1.5
正弦函数
课后导练
基础达标
1.sin600°的值是（
）
A.
B.-
C.
D.
解析：利用诱导公式2kπ+α，将sin600°化为sin(600°-2×360°).
sin600°=sin(600°-720°)=sin(-120°)=.
答案：D
2.若sin（π-α）=，则sin（-5π+α）的值为（
）
A.
B.
C.±
D.0
解析:化简已知和结论，易找出条件和结论的关系.
由sin（π-α）=，知sinα=，
而sin（-5π+α）=sin（-6π+π+α）
=sin（π+α）=-sinα.
∴sin(-5π+α)=.
答案：B
3.角α终边有一点P（t,t）(t≠0),则sinα的值是（
）
A.
B.
C.±
D.1
解析：因P（t,t）,∴P在第一或第三象限的角平分线上，∴sinα=±.
答案：C
4.函数y=的定义域是（
）
A.［kπ-,kπ+］，(k∈Z)
B.［2kπ+,2kπ+π］，(k∈Z)
C.［kπ+,(k+1)π］，(k∈Z)
D.［2kπ,2kπ+π］，(k∈Z)
解析：由sinx≥0知2kπ≤α≤2kπ+π(k∈Z).
答案：D
5.y=属于（
）
A.{1，-1}
B.{1}
C.{-1}
D.{1，0，-1}
解析：当sinx＞0时，y=1;当sinx＜0时，y=-1,
故y∈{-1,1}.
答案：A
6.已知角θ的终边落在y=2x上，则sinα=_________.
解析：取y=2x上的点（1，2），则r=,
∴sinα=,
同理取点（-1,-2），得sinα=.
答案：±
7.若x∈［-π，π］，且sinx=，则x等于…（
）
A.或
B.-或
C.或
D.或-
解析:考虑到是特殊值，因此角x必为特殊角，可先确定出符合条件的最小正角.由于sinx=，所以x的终边落在第三或第四象限.在［-π，π］内，只有-和.
答案：D
8.设sinx=t-3，则t的取值范围是（
）
A.R
B.（2，4）
C.（-2，2）
D.［2，4］
解析：当x∈R时,-1≤sinx≤1,
∴-1≤t-3≤1,∴2≤t≤4.
答案：D
9.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=xsin(π+x)；(2)f(x)=.
解析：(1)函数的定义域为R，关于原点对称.
f(x)=xsin(π+x)=-xsinx,
f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x)
∴f(x)是偶函数.
(2)∵sinx-1≥0,∴sinx=1,x=2kπ+,(k∈Z),
函数定义域是不关于原点对称的区间，故为非奇非偶函数.
10.求下列函数的周期.
(1)y=sinx；(2)y=2sin().
解析：(1)如果令m=x,则sinx=sinm是周期函数，且周期为2π.
∴sin(x+2π)=sinx,
即sin［(x+4π)］=sinx,
∴sin12x的周期4π.
(2)∵2sin(+2π)=2sin(),
即2sin［(x+6π)-］=2sin(),
∴2sin()的周期是6π.
综合运用
11.若sinx＞，则x满足（
）
A.k·360°+60°＜x＜k·360°+120°
B.60°＜x＜120°
C.k·360°+15°＜x＜k·360°+75°
D.k·180°+30°＜x＜k·180°+150°
解析:可借助于单位圆中的正弦线或三角函数图象来解决.
画出单位圆或正弦曲线草图，可确定满足sinx＞的x应是k·360°+60°＜x＜k·360°+120°.
答案：A
12.下列函数中，周期为π、图象关于直线x=对称的函数是（
）
A.y=2sin(+)
B.y=2sin(-)
C.y=sin(2x+)
D.y=sin(2x-)
解析:sin(ωx+φ)的周期是，对称轴方程是ωx+φ=kπ+(k∈Z),由周期为π,排除A、B.将x=代入2x+得,将x=代入2x-得，故选D.
答案：D
13.用五点法作y=2sin2x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（
）
A.0，，π，，2π
B.0，，，，π
C.0，π，2π，3π，4π
D.0，，，，
解析：先写出y=sinx五点的横坐标.0，π,,2π.当2x=0时，x=0;当2x=时，x=;当2x=π时，x=;当2x=时，x=;当2x=2π时，x=π,故选B.
答案：B
14.y=|sinx|+sinx的值域是________.
解析：当sinx≥0时，y=2sinx,这时0≤y≤2;
当sinx＜0时，y=0,∴函数的值域是［0，2］.
答案：［0,2］
15.以一年为一个周期调查某商品出厂价及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价是在6元的基础上按月份随正弦曲线波动的.已知3月份出厂价最高为8元，7月份出厂价最低为4元；而该商品在商店内的销售价格是在9元的基础上也是按月份随正弦曲线波动的，并且已知3月份价格最高为10元，7月份价格最低为8元.假设某商店每月购进这种商品m件，且当月能售完，请估计哪个月份赢利最大，并说明理由.
解析：由条件得：出厂价格函数是
y1=2sin(x-)+6；
销售价格函数为y2=sin(x-)+9.
则利润函数为y=m(y2-y1).
=m［sin(x-)+9-2sin(x-)-6］=m
［3-sin(x-)］.
所以当x=7时,y=4m.
所以7月份赢利最大.
拓展探究
16.烟筒弯头是由两个圆柱形的烟筒焊在一起做成的，现在要用长方形铁皮做成一个直角烟筒弯头（两个圆柱呈垂直状），如右图，若烟筒的直径为12
cm，最短母线为6
cm，应将铁皮如何剪裁，才能既省工又省料？
解析：如下图（2）所示，两个圆柱形烟筒的截面与水平面成45°角，设O是圆柱的轴与截面的交点，过O作水平面，它与截面的交线为CD，它与圆柱的交线是以O为圆心的圆，CD是此圆的直径.又设B是这个圆上任意一点，过B作BE垂直CD于E，作圆柱的母线AB，交截平面与圆柱的交线于A，易知∠AEB=45°，所以AB=BE.
设BD弧长为x，它所取的圆心角∠DOB=α，根据弧长公式，知α=.又设AB=y，在Rt△BOE中，sinα=，故BE=6sinα，从而y=AB=BE=6sinα，即y=6sin.所以，铁皮在接口处的轮廓线是正弦曲线y=6sin(0≤x≤12π)，其图象如下图（4）.因为将两个圆柱形铁皮上的曲线对拼起来，正好可以完全吻合，所以最节约且最省工的裁剪方式如下图（5）.1.5
正弦函数
自我小测
1．函数y＝(sin
x－3)2－2(x∈R)的最大值和最小值分别是( )
A．4和－2
B．14和－2
C．14和2
D．4和0
2．函数y＝sin
x的值域是( )
A．[－1,1]
B．
C．
D．
3．对于正弦函数y＝sin
x的图像，下列说法错误的是( )
A．向左、右无限延展
B．与y＝－sin
x的图像形状相同，只是位置不同
C．与x轴有无数个交点
D．关于x轴对称
4．函数y＝sin2x＋sin
x－1的值域为( )
A．[－1,1]
B．
C．
D．
5．已知函数f(x)＝sin
x＋2|sin
x|(x∈[0,2π])的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围是__________．
6．已知a∈R，函数f(x)＝sin
x－|a|(x∈R)为奇函数，则a＝__________.
7．方程sin
x＝x2有__________个正实根．
8．若函数y＝a－bsin
x的最大值为，最小值为－，试求函数y＝－4asin
bx的最值及周期．
9．对于函数y＝|sin
x|和y＝sin|x|，分别求出其定义域、值域、增区间，并判断其奇偶性、周期性．
参考答案
1．解析：当sin
x＝－1时，y取最大值14；当sin
x＝1时，y取最小值2.
答案：C
2．解析：利用函数y＝sin
x的图像易知y∈.
答案：B
3．解析：y＝sin
x是奇函数，图像关于原点对称．
答案：D
4．解析：令sin
x＝t，t∈[－1,1]，
则y＝t2＋t－1＝2－.
∵t∈[－1,1]，
∴y∈.
答案：C
5．解析：f(x)＝sin
x＋2|sin
x|＝
分别画出f(x)及y＝k的图像(图略)，
由图像可知1＜k＜3.
答案：(1,3)
6．解析：由题意知，f(－x)＝sin(－x)－|a|＝－f(x)＝－sin
x＋|a|.
∴|a|＝0，
∴a＝0.
答案：0
7．解析：如图，由图像可以看出，在y轴右侧，函数y＝sin
x，y＝x2有3个交点．故方程sin
x＝x2有3个正实根．
答案：3
8．解：设t＝sin
x∈[－1,1]，则y＝a－bt.
①当b＞0时，a－b≤a－bt≤a＋b.
∴
∴
∴所求函数为y＝－2sin
x.
②当b＜0时，同理可得∴
∴所求函数为y＝－2sin(－x)＝2sin
x.
∴综合①②得，所求函数为y＝±2sin
x，其最小值为－2，最大值为2，周期为2π.
9．解：y＝|sin
x|的图像如图①所示，
y＝sin|x|的图像如图②所示．
图①
图②
由图像可得，y＝|sin
x|，定义域：R；值域：[0,1]；增区间：(k∈Z)；是偶函数，周期为π；
y＝sin|x|，定义域：R；值域：[－1,1]；增区间：(k为非正整数)，，(k为非负整数)；是偶函数；不是周期函数．1.5
正弦函数
自主广场
我夯基
我达标
1.(江苏高考卷，1)已知a∈R，函数f(x)=sinx-|a|,x∈R为奇函数，则a等于（
）
A.0
B.1
C.-
1
D.±1
思路解析：方法一:由题意，可知f(-x)=-f(x)，得a=0；
方法二:函数的定义域为R,又f(x)为奇函数,故其图像必过原点,即f(0)=0,所以得a=0.
答案：A
2.设f(x)(k∈R)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(1)=-1，则f(11)的值是（
）
A.-1
B.1
C.2
D.-2
思路解析：由f(x)为奇函数，得f(-x)＝-f(x)，f(-1)＝-f(1)＝1.又f(x)的周期为3，故f(11)＝f(3×4-1)＝f(-1)＝1.
答案：B
3.若sin（π-α）=，则sin（-5π+α）的值为（
）
A.-
B.
C.±
D.0
思路解析：由sin（π-α）=sinα，知sinα=，sin（-5π+α）=sin（-6π+π+α）=sin（π+α）=-sinα，∴sin（-5π+α）=.
答案：B
4.已知sinα=，且α是第三象限的角，P（m，n）是角α终边上一点，且|OP|=，则m-n等于（
）
A.2
B.-2
C.4
D.-4
思路解析：由题意，得m2+n2=10.
解得或（舍去）.m-n=-1-（-3）=2.
答案：A
5.设sinx=t-3，x∈R，则t的取值范围是（
）
A.R
B.（2，4）
C.（-2，2）
D.［2，4］
思路解析：当x∈R时，-1≤sinx≤1，
∴-1≤t-3≤1.∴2≤t≤4.
答案：D
6.若sinx＞，则x的取值满足（
）
A.k·360°+60°＜x＜k·360°+120°（k∈Z）
B.60°＜x＜120°
C.k·360°+15°＜x＜k·360°+75°（k∈Z）
D.k·180°+30°＜x＜k·180°+150°（k∈Z）
思路解析：可借助于正弦函数图像来解决.画出正弦曲线草图，可确定满足sinx＞的x应是k·360°+60°＜x＜k·360°+120°（k∈Z）.
答案：A
7.(安徽高考卷，理15)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=，若f(1)=-5,则f［f(5)］=__________________.
思路解析：∵f(x+2)=,∴f(x+4)==f(x).
∴函数f(x)是周期函数，4是一个周期.
∴f(5)=f(1+4)=f(1)=-5.
∴f［f(5)］=f(-5)=f(-1)==.
答案：
8.已知角α的终边经过点P（3，4t），t≠0，且sinα=，求实数t的值.
思路分析：应用三角函数的定义求解.
解：∵sinα=＜0，
∴α的终边在第三、四象限.
又∵点P（3，4t）在角α的终边上，
∴t＜0.
由题意得sinα=，
所以有=，
解方程得t=.
我综合
我发展
9.(上海高考卷，理10)函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈［0,2π］的图像与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_______________.
思路解析：f(x)=
图像如图1-4-8所示，由图可知，若y=f(x)与y=k图像有且仅有两个交点，则k的范围是1＜k＜3.
图1-4-8
答案：1＜k＜3
10.设x∈(0,π),则的最小值是__________________.
思路解析：利用换元法转化为求常见函数的最值.设sinx=t，∵x∈(0,π),∴0＜t≤1.
∴.
可以证明当0＜t≤1时，函数y=是减函数.
∴当t=1时，y取最小值，即的最小值是.
答案：
11.判断方程sinx=的根的个数.
思路分析：这是一个超越方程，无法直接求解，考虑数形结合，转化为函数y=的图像与函数y=sinx的图像交点个数，借助图形直观求解.
解：如图1-4-9所示，当x≥4π时，≥＞1≥sinx，当0＜x＜4π时，sin=1＞=，从而x＞0时，有3个交点，由对称性x＜0时，也有3个交点，加上原点，一共有7个交点.所以方程的根有7个.
图1-4-9
12.若角β的终边在经过点P(,-1)的直线上，写出角β的集合；当β∈(-360°,360°)时，求角β.
思路分析：先求出在［0°,360°）内的角β，再扩充到任意角.
解：∵P(,-1)，
∴x=,y=-1,r=
∴sinβ==-＜0.
又∵P在第四象限，
∴角β的终边在第二或四象限.
在［0°,360°)内，β=330°或150°，
∴角β的集合是{β|β=k·180°+150°,k∈Z｝.
令-360°＜k·180°+150°＜360°，
得＜k＜．
又∵k∈Z，∴k=-2,-1,0,1.
∴当β∈(-360°，360°）时，
β=-210°，-30°，150°，330°.1.5.2
正弦函数的性质
整体设计
教学分析
对于函数性质的研究,在高一必修中学生已经熟悉了.研究了幂函数、指数函数、对数函数的图像与性质.因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究,学生已经有些经验了.其中,通过观察函数的图像,从图像的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想方法的应用.
由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质,那么就完全清楚它在整个定义域内的性质.
正弦函数性质的难点,在于对函数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论是由图像观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易.单调性只要求由图像观察,不要求证明,而正弦的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可.
三维目标
1.通过创设情境,如单摆运动、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;理解周期函数的概念;能熟练地求出简单三角函数的周期,并能根据周期函数的定义进行简单的拓展?运用.
2.通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物.
重点难点
教学重点:正弦函数的主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域);深入研究函数性质的思想方法.
教学难点:正弦函数性质的理解及灵活运用,特别是周期性的理解.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时,如幂函数、指数函数、对数函数的性质,往往通过它们的图像来研究.本节可先让学生画出正弦函数的图像,从学生画图像、观察图像入手,由此展开正弦函数性质的探究.
思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质,y=sinx是函数,我们当然也要探讨它们的一些性质.本节课,我们就来研究正弦函数最基本的几条性质.请同学们回想一下,一般来说,我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值) 然后逐一进行探究.
推进新课
新知探究
提出问题
①回忆并画出正弦曲线,观察它的形状及在坐标系中的位置;
②观察正弦曲线,说出正弦函数的定义域是什么
③观察正弦曲线,说出正弦函数的值域是什么 由值域又能得到什么
④观察正弦曲线,函数值的变化有什么特点
⑤观察正弦曲线,它有哪些对称
图1
活动:先让学生充分思考、讨论后再回答.对回答正确的学生,教师可鼓励他们按自己的思路继续探究,对找不到思考方向的学生,教师可参与到他们中去,并适时地给予点拨、指导.
在上一节中,要求学生不仅会画图,还要识图,这也是学生必须熟练掌握的基本功.因此,在研究正弦函数性质时,教师要引导学生充分挖掘正弦函数曲线或单位圆中的三角函数线,当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的,因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系,是研究三角函数性质的好工具.用三角函数线研究三角函数的性质,体现了数形结合的思想方法,有利于我们从整体上把握有关性质.
对问题①,学生不一定画准确,教师要求学生尽量画准确,能画出它的变化趋势.
对问题②,学生很容易看出正弦函数的定义域是实数集R〔或(-∞,
+∞)〕.
对问题③,学生很容易观察出正弦曲线上、下都有界,得出正弦函数的值域是［-1,1］.教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明.
∵正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度,
∴|sinx|≤1,即-1≤sinx≤1.
也就是说,正弦函数的值域是［-1,1］.对于正弦函数y=sinx(x∈R),
1°当且仅当x=+2kπ,k∈Z时,取得最大值1.
2°当且仅当x=-+2kπ,k∈Z时,取得最小值-1.
对问题④,教师可引导、点拨学生先截取一段来看,选哪一段呢 如图2,通过学生充分讨论后确定,选图像上的［-,］(如图3)这段.教师还要强调为什么选这段,而不选［0,2π］的道理,其他类似.
图2
图3
这个变化情况也可从下表中显示出来:
x
-
0
π
sinx
-1
↗
0
↗
1↘
0
↘
-1
就是说,函数y=sinx,x∈［-,］.
当x∈［-,］时,曲线逐渐上升,是增函数,sinx的值由-1增大到1;
当x∈［,］时,曲线逐渐下降,是减函数,sinx的值由1减小到-1.
结合正弦函数的周期性可知:
正弦函数在每一个闭区间［-+2kπ,+2kπ］(k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间［+2kπ,+2kπ］(k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1.
对问题⑤,学生能直观地得出正弦曲线关于原点O对称.在R上,y=sinx为奇函数.教师要恰时恰点地引导,并提问学生怎样用学过的知识方法给予证明呢
由诱导公式,∵sin(-x)=-sinx,
∴y=sinx为奇函数.
至此,一部分学生已经看出来了,在正弦曲线上还有其他的对称点和对称轴,如正弦曲线还关于直线x=对称,等等,这是由它的周期性而来的.教师可就此引导学生进一步探讨,为今后的学习打下伏笔.
讨论结果:①略.
②定义域为R.
③值域为［-1,1］,最大值是1,最小值是-1.
④单调性(略).
⑤奇偶性(略).
应用示例
思路1
1.函数y=-3sin2x,x∈R有最大值、最小值吗 如果有,请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合,并说出最大值、最小值分别是什么.
解:令z=2x,使函数y=-3sinz,z∈R取得最大值的z的集合是{z|z=-+2kπ,k∈Z},
由2x=z=-+2kπ,得x=-+kπ.
因此使函数y=-3sin2x,x∈R取得最大值的x的集合是{x|x=-+kπ,k∈Z}.
同理,使函数y=-3sin2x,x∈R取得最小值的x的集合是{x|x=+kπ,k∈Z}.
函数y=-3sin2x,x∈R的最大值是3,最小值是-3.
点评:以前我们求过最值,本例也是求最值,但这里最值对应的自变量x的值却不唯一,这从正弦函数的周期性容易得到解释.求解本例的基本依据是正弦函数的最大(小)值的性质,对于形如y=Asin(ωx+φ)+B的函数,一般通过变量代换(如设z=ωx+φ化归为y=Asinz+B的形式),然后进行求解.这种思想对于利用正弦函数的其他性质解决问题时也适用.
2.利用三角函数的单调性,比较sin(-)与sin(-)的大小.
解:因为-＜-＜-＜0,正弦函数y=sinx在区间［-,0］上是增函数,
所以sin(-)＞sin(-).
点评:推进本例时应提醒学生注意,在今后遇到的三角函数值大小比较时,必须将已知角化到同一个单调区间内,其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况,以便快速解题.
3.求函数y=sin(x+),x∈［-2π,2π］的单调递增区间.
活动:可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间.教师要引导学生的思考方向:
把x+看成z,这样问题就转化为求y=sinz的单调区间问题,而这就简单多了.
解:令z=x+.函数y=sinz的单调递增区间是［-+2kπ,+2kπ］.
由-+2kπ≤x+≤+2kπ,得-+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z.
由x∈［-2π,2π］可知,-2π≤-+4kπ且+4kπ≤2π,于是-≤k≤,由于k∈Z,所以k=0,即-≤x≤,而［-,］［-2π,2π］,
因此,函数y=sin(+),x∈［-2π,2π］的单调递增区间是［-,］.
点评:本例的求解是转化与化归思想的运用,即利用正弦函数的单调性,将问题转化为一个关于x的不等式问题.然后通过解不等式得到所求的单调区间,要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法,善于将复杂的问题简单化.
4.利用“五点法”画出函数y=sinx-1的简图,并根据图像讨论它的性质.
解:列表,根据表中数据画出简图(如图4所示).
x
0
2π
Sinx
0
1
0
-1
0
y=sinx-1
-1
0
图4
观察图像得出y=sinx-1的性质(如下表所示).
函数
y=sinx-1
定义域
R
值域
［-2,0］
奇偶性
非奇非偶函数
周期
2π
单调性
当x∈［2kπ-,2kπ+］(k∈Z)时,函数是递增的;当x∈［2kπ+,2kπ+］(k∈Z)时,函数是递减的
最大值与最小值
当x=2kπ+(k∈Z)时,最大值为0;当x=2kπ+(k∈Z)时,最小值为-2
思路2
例1
求函数y=的定义域.
活动:学生思考操作,教师提醒学生充分利用函数图像,根据实际情况进行适当的指导点拨,纠正学生出现的一些错误或书写不规范等.
解:由1+sinx≠0,得sinx≠-1,即x≠+2kπ(k∈Z).
∴原函数的定义域为{x|x≠+2kπ,k∈Z}.
点评:本例实际上是解三角不等式,可根据正弦曲线直接写出结果.本例可分作两步,第一步转化,第二步利用三角函数曲线写出解集.
2.在下列区间中,函数y=sin(x+)的单调增区间是(
)
A.［,π］
B.［0,］
C.［-π,0］
D.［,］
活动:函数?y=sin(x+)是一个复合函数,即y=sin［φ(x)］,φ(x)=x+,欲求y=sin(x+)的单调增区间,因φ(x)=x+在实数集上恒递增,故应求使y随φ(x)递增而递增的区间.也可从转化与化归思想的角度考虑,即把x+看成一个整体,其道理是一样的.
解:∵φ(x)=x+在实数集上恒递增,又y=sinx在［2kπ-,2kπ+］(k∈Z)上是递增的,故令2kπ-
≤x+≤2kπ+.∴2kπ-≤x≤2kπ+.∴y=sin(x+)的递增区间是［2kπ-,2kπ+］.
取k=-1、0、1分别得［-,］、［-,］、［,］.
答案:B
点评:像这类题型,上述解法属常规解法,而运用y=Asin(ωx+φ)的单调增区间的一般结论,由一般到特殊求解,既快又准确,若本题运用对称轴方程求单调区间,则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法.当然作为选择题还可利用特殊值、图像变换等手段更快地解出.
解题规律:求复合函数单调区间的一般思路是:
(1)求定义域;(2)确定复合过程,y=f(t),t=φ(x);(3)根据函数f(t)的单调性确定φ(x)的单调性;(4)写出满足φ(x)的单调性的含有x的式子,并求出x的范围;(5)得到x的范围,与其定义域求交集,即是原函数的单调区间.
结论:对于复合函数的单调性,可以直接根据构成函数的单调性来判断.
变式训练
1.如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期是T,且当x=2时取得最大值,那么(
)
A.T=2,θ=
B.T=1,θ=π
C.T=2,θ=π
D.T=1,θ=
解:T==2,又当x=2时,sin(π·2+θ)=sin(2π+θ)=sinθ,要使f(x)取得最大值,可取θ=
答案:A
2.求函数y=sin(-)的单调递减区间及单调递增区间.
解:y=sin(-)=-sin(-).由2kπ-≤-≤2kπ+,可得3kπ-≤x≤3kπ+(k∈Z),为单调减区间;
由2kπ+≤-≤2kπ+,可得3kπ+≤x≤3kπ+(k∈Z),为单调增区间.所以原函数的单调减区间为［3kπ-,3kπ+］(k∈Z);原函数的单调增区间为［3kπ+,3kπ+］(k∈Z).
知能训练
课本本节练习2
1、2、3.
课堂小结
1.由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识,学习了哪些数学思想方法.这节课我们研究了正弦函数的性质.重点是掌握正弦函数的性质,通过对正弦函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究,更加深了我们对这个函数的理解.同时也巩固了上节课所学的正弦函数的图像的画法.
2.进一步熟悉了数形结合的思想方法,转化与化归的思想方法,类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点.
作业
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xsin(π+x);(2)f(x)=.
解答:(1)函数的定义域为R,它关于原点对称.又∵f(x)=xsin(π+x)
=-xsinx,
f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x),∴函数为偶函数.
(2)函数应满足1-sinx≠0,∴函数的定义域为{x|x∈R且x≠2kπ+,k∈Z}.
∵函数的定义域关于原点不对称,∴函数既不是奇函数也不是偶函数.
设计感想
1.本节是三角函数的重点内容,设计的容量较大,指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动.作为函数的性质,从初中就开始学习,到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识,这是高中所学的最后一个基本初等函数.但由于以前所学的函数不是周期函数,所以理解较为容易,而正弦函数除具有以前所学函数的共性外,又有其特殊性,共性中包含特性,特性又离不开共性,这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟.
2.在解题中突出数形结合思想,在训练中降低变化技巧的难度,加大应用图像与性质解题的力度.较好地利用图像解决问题,这也是本节课主要强调的数学思想方法.
3.学习三角函数的性质后,引导学生对过去所学的知识重新认识,例如sin(α+2π)=sinα这个公式,以前我们只简单地把它看成一个诱导公式,现在我们认识到了,它表明正弦函数的周期性,以提升学生的思维层次.
备课资料
一、近几年三角函数知识的变动情况
三角函数一直是高中固定的传统内容,但近几年对这部分内容的具体要求变化较大.1998年4月21日,国家教育部专门调整了高中数学的部分教学内容,其中的调整意见第(7)条为:“对三角函数中的和差化积、积化和差的8个公式,不要求记忆”.1998年全国高考数学卷中,已尽可能减少了这8个公式的出现次数,在仅有的一次应用中,还将公式印在试卷上,以供查阅.而当时调整意见尚未生效(应在1999年生效),这不能不说对和积互化的8个公式的要求是大大降低了.但是,如果认为这次调整的仅仅是8个公式,仅仅是降低了对8公式的要求,那就太表面、太肤浅了.
我们知道,三角中的和积互化历来是三角部分的重点内容之一,相当部分的三角题都是围绕它们而设计的,它们也确实在很大程度上体现了公式变形的技巧和魅力.现在要求降低了,有关的题目已不再适合作为例(习)题选用了.这样一来,三角部分还要我们教些什么呢 又该怎样教 立刻成了部分教师心头的一大困惑.有鉴于此,我们认为很有必要重新审视这部分的知识体系,理清新的教学思路,以便真正落实这次调整的意见,实现“三个有利于(有利于减轻学生过重的课业负担,有利于深化普通高中的课程改革,有利于稳定普通高中的教育教学秩序)”的既定目标.
1.是“三角”还是“函数”
应当说,三角函数是由“三角”和“函数”两部分知识构成的.三角本是几何学的衍生物,起始于古希腊的希帕克,经由托勒玫、利提克思等至欧拉而终于成为一门形态完备、枝繁叶茂的古典数学学科,历史上的很长一段时期,只有《三角学》盛行于世,却无“三角函数”之名.“三角函数”概念的出现,自然是在有了函数概念之后,从时间上看距今不过300余年.但是,此概念一经引入,立刻极大地改变了三角学的面貌,特别是经过罗巴切夫斯基的开拓性工作,致使三角函数可以完全独立于三角形之外,而成为分析学的一个分支,其中的角也不限于正角,而是任意实数了.有的学者甚至认为可将它更名为角函数,这是有见地的,所以,作为一门学科的《三角学》已经不再独立存在.现行中学教材也取消了原来的《代数》《三角》《几何》的格局,将三角并入了代数内容.这本身即足以说明“函数”在“三角”中应占有的比重.
从《代数学》的历史演变来看,在相当长的历史时期内,“式与方程”一直是它的核心内容,那时的教材都是围绕着它们展开的.所以,书中的分式变形、根式变形、指数式变形和对数式变形可谓连篇累牍,所在皆是.这是由当时的数学认知水平决定的.而现在,函数已取代了式与方程成为代数的核心内容,比起运算技巧和变形套路来,人们更关注函数思想的认识价值和应用价值.1963年颁布的《数学教学大纲》提出数学三大能力时,首要强调的是“形式演算能力”,1990年的大纲突出强调的则是“逻辑思维能力”.现行高中《代数》课本中,充分阐发了幂函数、指数函数、对数函数的图像和性质及应用,对这三种代数式的变形却轻描淡写.所以,三角函数部分应重在“函数的图像和性质”是无疑的,这也是国际上普遍认可的?观点.
2.是“图像”还是“变换”
现行高中三角函数部分,单列了一章专讲三角函数,这是与数学发展的潮流相一致的.大多数师生头脑中反映出来的,还是“众多的公式,纷繁的变换”,而三角函数的“图像和性质”倒是在其次的,这一点,与前面所述的“幂、指、对”函数有着极大的反差.调整以后,降低了对这部分的要求,大面积地减少了题量.把“函数”作为关键词,将目光放在“图像和性质”上,应当是正确的选择,负担轻了,障碍小了,这更方便于我们将注意力转移到对函数图像和性质的关注上,这才是“三个有利于”得以贯彻的根本.
3.国外的观点及启示
下面来看一下美国和德国的观点:
美国没有全国统一的教材和《考试说明》,只有一个《课程标准》,在《课程标准》中,他们对三角函数提出了下面的要求:“会用三角学的知识解三角形;会用正弦、余弦函数研究客观实际中的周期现象;掌握三角函数图像;会解三角函数方程;会证基本的和简单的三角恒等式;懂得三角函数同极坐标、复数等之间的联系”.他们还特别指出,不要在推导三角恒等式上花费过多的时间,只要掌握一些简单的恒等式推导就可以了,比较复杂的恒等式就应该完全避免了.
德国在10到12年级(相当于中国的高一到高三)每年都有三角内容,10年级要求如下:(1)一个角的弧度;(2)三角函数sinx、cosx、tanx和它们的图像周期性;(3)三角形中角和边的计算;(4)重要关系(特指同角三角函数的平方关系、商数关系和倒数关系).另外,在11年级和12年级的“无穷小分析”中,继续研究三角函数的图像变换、求导、求积分、求极限.
从以上罗列,我们可以看出下面的共同点:
第一,突出强调三角函数的图像和性质;
第二,淡化三角式的变形,仅涉及同角变换,而且要求较低,8公式根本不予介绍;
第三,明确变换的目的是为了三角形中的实际计算;
第四,注意三角函数和其他知识的联系.
这带给我们的启示还是很强烈的,美国和德国的中学教育以实用为主,并不太在乎教材体系是否严谨,知识系统是否完整;我国的教材虽作调整,怎样实施且不去细说,有一个意图是可猜到的,那就是要让学生知道教材是严谨与完整的.现在看来严谨的东西,在更高的观点下是否还严谨 在圈内看是完整的,跳出圈子看,是否还完整 在一个小地方钻得太深,在另外更大的地方就可能无暇顾及.人家能在中学学到向量、行列式、微分、积分,我们却热衷于在个别地方穷追不舍,这早已引起行家的注意,从这个意义上说,此次调整应当只是第一步.在中学阶段即试图严谨与完整,其实是受前苏联教育家赞可夫的三高(高速度、高难度、高理论)影响太深的缘故.
二、备用习题
1.函数y=sin(-2x)的单调减区间是(
)
A.［2kπ-,2kπ+］(k∈Z)
B.［4kπ-,4kπ+］(k∈Z)
C.［kπ-,kπ+］(k∈Z)
D.［kπ-,kπ+］(k∈Z)
2.满足sin(x-)≥的x的集合是(
)
A.{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}
B.{x|2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z}
C.{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}
D.{x|2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z}∪{x|2kπ+≤x≤(2k+1)π,k∈Z}
3.求函数y=lgsinx的定义域和值域.
4.已知函数y=f(x)的定义域是［0,］,求函数f()的定义域.
参考答案:
1.D
2.A
3.解:由题意得sinx＞0,∴2kπ＜x＜(2k+1)π,k∈Z.又∵0＜sinx≤1,∴lgsinx≤0.
故函数的定义域为(2kπ,(2k+1)π),k∈Z，值域为(-∞,0］.
4.解:由题意得0≤≤,∴-≤sinx≤-或≤sinx≤
∴x∈［kπ+,kπ+］∪［kπ+,kπ+］,k∈Z.(共32张PPT)
1.5
正弦函数的图像与性质
前面我们借助单位圆学习了正弦函数y=sin
x的基本性质，下面画出正弦函数的图像，然后借助正弦函数的图像，进一步研究它的性质.
思考：
有什么办法画出该曲线的图象？
今天我们学习正弦函数的图像及性质.
1.理解正弦函数的性质.（难点）
2.掌握正弦函数图像的“五点作图法”.
(重点)
(1)
列表.
(2)
描点.按上表值作图.
(3)
连线.
1.用描点法作出函数图像的主要步骤是怎样的？
-
-
-
-
-
-
探究点1
正弦函数y=sinx的图像
(1)
列表.
函数
图像的几何作法
作法:
(1)等分.
(2)作正弦线.
(3)平移.
(4)连线.
2.
因为终边相同的角的三角函数值相同，
所以y=sinx的图像在
…
与y=sinx,x∈[0,2π]的图像相同.
3.正弦曲线
正弦函数的图像叫作正弦曲线.
与x轴的交点
图像的最高点
图像的最低点
4.五点作图法
-
-
-1
1
-1
简图作法
(1)列表(列出对图像形状起关键作用的五点坐标).
(3)连线(用光滑的曲线顺次连接五个点).
(2)描点(定出五个关键点).
O
点不在多，五个就行
思考
“五点法”作图有何优、缺点
提示:
“五点法”就是列表描点法中的一种.它的优点是抓住关键点、迅速画出图像的主要特征;缺点是图像的精度不高.
【即时训练】
用“五点法”作y=2sin
2x的图像时，首先描出的五
个点的横坐标是(
)
【解析】令2x=
得
B
y=1
y=-1
观察正弦函数
y=sin
x(x∈R)
的图像.
x
y
1
-1
想一想：
1.我们经常研究的函数性质有哪些？
3.你能从中得到正弦函数的哪些性质？
2.正弦函数的图像有什么特点？
探究点2
正弦函数y=sinx的性质
正弦函数
y=sinx的定义域为R
1.定义域
2.值域
从正弦函数的图像可以看出，正弦曲线夹在两条平行线y=1和y=-1之间，所以值域为[-1,1]
当x∈A时，函数取得最大值1，反之，若函数取得最大值1时，x∈A.
当x∈B时，函数取得最小值-1，反之，若函数取得最小值-1时，x∈B.
由正弦函数图像可以看出，当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现，即正弦函数是周期函数，它的最小正周期是2π.
3
周期性
由于正弦函数具有周期性，为了研究问题方便，我们可以选取任意一个x值，讨论区间[x,x+
2π]上的函数的性质，然后延拓到整个定义域上.
思考1：观察正弦函数y=sinx(x∈R)的图像，能找出正弦函数的单调区间吗？
4
单调性
选取区间
，可知
在区间
单调性
在每一个区间__________________上是增加的；
在每一个区间__________________上是减少的.
x
y
1
-1
O
5
奇偶性
图像关于原点对称，奇函数关于原点对称.
根据诱导公式sin(-x)=-sin
x，可知正弦函数是奇函数
观察正弦函数的图像，可以看到
【即时训练】
下列关于函数y=sin
x-3的说法中，不正确的是(
)
A.最小值为-4
B.是奇函数
C.当
k∈Z时，函数取最大值-2
D.是周期函数，且最小正周期是2π
【解析】因为f(-x)=sin(-x)-3=-sin
x-3，
显然f(-x)≠-f(x)，所以函数y=sin
x-3不是奇函数.
B
1
-1
y=
-sinx,
x
[0,
]
解：列表
x
y
例1.用五点法画出y=-sinx在区间[0,2π]上的简图.
x
0
y=sinx
0
1
0
-1
0
y=-sinx
0
-1
0
1
0
.
.
.
.
.
O
x
0
0
1
0
-1
0
1
2
1
0
1
例2.用五点法画出y=1+sinx在区间[0,2π]上的简图.
解：列表
y=sinx
y=1+sinx
x
y
O
-1
1
2
2
.
.
.
.
.
[0,2π]
x
sinx,
y
=
【变式练习】
用“五点法”画出函数y=3-sin
x(x∈［0,2π］)的图像.
【解析】(1)列表.
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
-1
0
3-sin
x
3
2
3
4
3
(2)描点，连线，如图所示.
对“五点法”画正弦函数图像的四点说明:
(1)应用的前提条件是精确度要求不是太高.
(2)五个点必须是确定的五点.
【特别提醒】
(3)用光滑的曲线顺次连接时，要注意线的走向，一般在最高(低)点的附近要平滑，不要出现“拐角”现象.
(4)“五点法”作出的是一个周期上的正弦函数图像，要得到整个正弦函数图像，还要“平移”.
x
0
例3
利用五点法画出函数y=sinx-1的简图,并根据图像讨论它的性质.
y=sinx
y=sinx-1
解：列表：
0
1
0
-1
0
-1
0
-1
-2
-1
x
y
O
-1
1
2
2
.
.
.
.
.
y=sinx-1
画出简图：
-2
【解析】(1)k＞0时，当sin
x=1时，函数y=ksin
x+b取得最大值，sin
x=-1时，y=ksin
x+b取得最小值.
所以
解得
【变式练习】
函数y=ksin
x+b的最大值为2,最小值为-4，求k,b的值.
(2)k＜0时，当sin
x=1时，函数y=ksin
x+b取得最小值，sin
x=-1时，y=ksin
x+b取得最大值.
所以
解得
综上可知，k=3,b=-1或k=-3,b=-1.
函数
y=sinx-1
定义域
值域
奇偶性
周期性
单调性
最值
R
[-2,0]
既不是奇函数也不是偶函数
2π
从图像观察y=sinx-1的性质并填写下表
【解析】选B.由y=sin(-x)=-sin
x知，其图像和y=sin
x
的图像关于x轴对称.
1.函数y=sin(-x),x∈［0,2π］的简图是(
)
B
【解析】因为cos
=cos
=-sinx,所以函数f(x)为奇函数.
2.
函数f(x)=cos
的奇偶性为(
)
A.偶函数
B.奇函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
B
3.
函数y=sin(πx-1)的最小正周期是 ( )
A.2
B.2π
C.
D.-1
【解析】T=
=2.
A
4.求函数
的最大值及取得最大值时自变量x的集合.
解：
5.用五点法画出y=sin2x一个周期的简图.
1
-1
y=
sin2x
解：
x
y
x
0
2x
0
y=sin2x
0
1
0
-1
0
.
.
.
.
.
O
6.f(x)=
的最大值为___,此时x=_____
___.
【解题关键】利用正弦函数的值域求解.
【解析】因为-1≤
≤1,所以-1≤
≤1,
所以-1+5≤
≤1+5,
即
∈［4,6］,
所以f(x)的最大值为6.
此时
即
(k∈Z),
所以x=9π+12kπ(k∈Z).
6
9π+12kπ(k∈Z)
回顾本节课的收获
正弦函数y=sinx
的图像
正弦函数y=sinx
的性质
正弦函数的图像与性质
周期性
奇偶性
值域
定义域
单调性
最值
五点法
几何作法
观察
图象
性质的应用
冰山在海里移动,它之所以显得庄严宏伟,
是因为只有
露出水面.
——海明威《老人与海》1.5.1
正弦函数的图像
整体设计
教学分析
研究函数的性质常常以图像直观为基础,这点学生已经有些经验,通过观察函数的图像,从图像的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想的应用.正弦函数、余弦函数的教学也是如此.先研究它们的图像,在此基础上再利用图像来研究它们的性质.显然,加强数形结合是深入研究函数性质的基本要求.
由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质,那么它的性质也就完全清楚了,因此,教科书把对周期现象的研究放在了本章开篇第一节.
由于正弦线已经从“形”的角度描述了三角函数,因此利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图像是一个自然的想法.当然,我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图,从画出的图形中观察得出五个关键点,得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图.
三维目标
1.通过实验演示,让学生经历图像画法的过程及方法,通过对图像的感知,形成正弦曲线的初步认识,进而探索正弦曲线准确的作法,养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问题时善于调动所学过的知识,较好地运用新旧知识之间的联系,提高分析问题、解决问题的能力.
2.通过本节学习,理解正弦函数图像的画法.借助图像变换,了解函数之间的内在联系.通过三角函数图像的三种画法:描点法、几何法、五点法,体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图像.
3.通过本节的学习,让学生体会数学中的图形美,体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦.渗透由抽象到具体的思想,加深数形结合思想的认识,理解动与静的辩证关系,树立科学的辩证唯物主义观.
重点难点
教学重点:正弦函数的图像.
教学难点:将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图像上的点.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(复习导入)遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图像,观察图像的形状,看看有什么特殊点,并借助图像研究它的性质,如:值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等.我们也很自然的想知道y=sinx的图像是怎样的呢 回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图像是什么 是如何画出它们图像的(列表描点法:列表、描点、连线) 进而引导学生通过取值,画出当x∈［0,2π］时,y=sinx的图像.
思路2.(情境导入)请学生动手做一做章头图表示的“简谐运动”实验.教师指导学生将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图像.物理中把简谐运动的图像叫作“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.
有了上述实验,你对正弦函数的图像是否有了一个直观的印象 画函数的图像,最基本的方法是我们以前熟知的列表描点法,但不够精确.下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图像.
推进新课
新知探究
提出问题
问题①:作正弦函数图像的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,由于对一般角的三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长(或用有向线段数值)表示x角的三角函数值 怎样得到函数图像上点的两个坐标的准确数据呢 简单地说,就是如何得到y=sinx,x∈［0,2π］的精确图像呢
问题②:如何得到y=sinx,x∈R时的图像
活动:教师先让学生阅读教材、思考讨论,先引导学生弄清什么是角α的正弦线.此处的难点在于为什么要用正弦线来作正弦函数的图像,怎样在x轴上标横坐标 为什么将单位圆分成12份 学生思考探索仍不得要领时,教师可进行适时的点拨.只要解决了y=sinx,x∈［0,2π］的图像,就很容易得到y=sinx,x∈R时的图像了.
对问题①,第一步,可以想象把单位圆圆周剪开并12等分(教材中的说明中强调“所分的等份越细,画出的图像越精确.”),再把x轴上从0到2π这一段分成12等份.由于单位圆周长是2π,这样就解决了横坐标问题.过⊙O1上的各分点作x轴的垂线,就可以得到对应于0、、、、、…、2π等角的正弦线,这样就解决了纵坐标问题(相当于“列表”).第二步,把角x的正弦线向右平移,使它的起点与x轴上的点x重合,这就得到了函数对(x,y)(相当于“描点”).第三步,再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来,我们就得到函数y=sinx在［0,2π］上的一段光滑曲线(相当于“连线”).如图1所示(这一过程用课件演示,让学生仔细观察怎样平移和连线过程.然后让学生动手作图,形成对正弦函数图像的感知).这是本节的难点,教师要和学生共同探讨.
图1
对问题②,因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数y=sinx在x∈［2kπ,2(k+1)π］,k∈Z且k≠0上的图像与函数y=sinx在x∈［0,2π］上的图像的形状完全一致,只是位置不同.
于是我们只要将函数y=sinx,x∈［0,2π］的图像向左、右平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sinx,x∈R的图像.(这一过程用课件处理,让同学们仔细观察整个图的形成过程,感知周期性)
图2
讨论结果:①利用正弦线,通过等分单位圆及平移即可得到y=sinx,x∈［0,2π］的图像.
②左、右平移,每次2π个长度单位即可.
提出问题
问题:以上方法作图,虽然精确,但不太实用,自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图像的方法.你认为哪些点是关键性的点
活动:对此问题,教师可引导学生从图像的整体入手观察正弦函数的图像,发现在［0,2π］上有五个点起关键作用,只要描出这五个点后,函数y=sinx在［0,2π］上的图像的形状就基本上确定了.这五点如下:
(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0).
因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连接起来,就可快速得到函数的简图.这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的,要求熟练掌握.
讨论结果:略.
应用示例
例1
用五点法画出下列函数在区间［0,2π］上的简图:
(1)y=-sinx;(2)y=1+sinx.
活动:本例的目的是让学生会用“五点法”画图,并通过独立完成课后练习1领悟画正弦、余弦函数图像的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,“五点法”画图易学却难掌握,学生需练好扎实的基本功.可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生操作中指导一一纠正,这对以后学习大有好处.
解:(1)按五个关键点列表:
x
0
π
2π
y=sinx
0
1
0
-1
0
y=-sinx
0
-1
0
1
0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图3).
图3
(2)按五个关键点列表:
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
-1
0
1+sinx
1
2
1
0
1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图4).
图4
点评:“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法,本例是最简单的变化.本例的目的是让学生熟悉“五点法”.
如果是多媒体教学,要突破课件教学的互动性,多留给学生一些动手操作的时间,或者增加图像纠错的环节,效果将会令人满意,切不可教师画图学生看.完成本例后,让学生阅读本例下面的“思考”,并回答如何通过图像变换得出要画的图像,让学生从另一个角度熟悉函数作图的方法.
例2
画出函数y=|sinx|,x∈R的简图.
活动:教师引导学生观察探究y=sinx的图像并思考|sinx|的意义,发现只要将其x轴下方的图像翻上去即可.进一步探究发现,只要画出y=|sinx|,x∈［0,π］的图像,然后左、右平移(每次π个单位)就可以得到y=|sinx|,x∈R的图像.让学生尝试寻找在［0,π］上哪些点起关键作用,易看出起关键作用的点有三个:(0,0),(,1),(π,0).然后列表、描点、连线,让学生自己独立操作完成,对其失误的地方再予以一一纠正.
解:按三个关键点列表:
x
0
π
sinx
0
1
0
y=|sinx|
0
1
0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图5).
图5
点评:通过本例,让学生更深刻地理解正弦曲线及“五点法”画图的要义,并进一步从图像变换的角度认识函数之间的关系,也为下一步将要学习的周期打下伏笔.
变式训练
1.方程sinx=的根的个数为
(
)
A.7
B.8
C.9
D.10
解析:这是一个超越方程,无法直接求解,可引导学生考虑数形结合的思想方法,将其转化为函数y=的图像与y=sinx的图像的交点个数问题,借助图形直观求解.解好本题的关键是正确地画出正弦函数的图像.如图6,从图中可看出,两个图像有7个交点.
图6
答案:A
2.用五点法作函数y=2sin2x的图像时,首先应描出的五点横坐标可以是(
)
A.0,,π,,2π
B.0,,,,π
C.0,π,2π,3π,4π
D.0,,,,
答案:B
知能训练
课本本节练习1.
课堂小结
以提问的方式,先由学生反思学习内容并回答,教师再作补充完善.
1.单位圆中圆心角的弧度数与正弦线的数量是如何组成图像上点坐标的
2.为什么将单位圆圆周12等分 有什么好处
3.怎样利用“周而复始”的特点,把区间［0,2π］上的图像扩展到整个定义域的
这节课学习了正弦函数图像的画法.除了代数描点法、几何描点法之外,“五点法”作图是比较方便、实用的方法,应熟练掌握.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.
作业
课本习题1—5
A组1、2.
设计感想
1.本节课操作性强,学生活动量较大.新课从实验演示入手,形成图像的感知后,升级问题,探索正弦曲线准确的作法,形成理性认识.问题设置层层深入,引导学生发现问题,解决问题,并对方法进行归纳总结,体现了新课标“以学生为主体,教师为主导”的课堂教学理念.如用多媒体课件,则可生动地表现出函数图像的变化过程,更好地突破难点.
2.本节课所画的图像较多,能迅速准确地画出函数图像对初学者来说是一个较高的要求,重在学生动手操作,不要怕学生出错.通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力.开始时要慢些,尤其是“五点法”,每个点都要准确地找到,然后迅速画出图像.
3.本小节设置的“探究”“思考”较多,还提供了“探究与发现”“信息技术应用”等拓展性栏目.教学时,应留给学生一定的时间去思考、探究这些问题.
备课资料
一、备用习题
1.用“五点法”画出下列函数的图像:
(1)y=2-sinx,x∈［0,2π］;
(2)y=+sinx,x∈［0,2π］.
2.如图7中的曲线对应的函数解析式是(
)
图7
A.y=|sinx|
B.y=sin|x|
C.y=-sin|x|
D.y=-|sinx|
参考答案:
1.解:按五个关键点列表如下:
x
0
π
2π
y=2-sinx
2
1
2
3
2
y=+sinx
-
在直角坐标系中描出这五个点,作出相应的函数图像,如下图所示.
(1)如图8.
(2)如图9.
图8
图9
2.C
二、潮汐与港口水深
我国东汉时期的学者王充说过“涛之兴也,随月盛衰”.唐代学者张若虚(约660年至约720年)在他的《春江花月夜》中,更有“春江潮水连海平,海上明月共潮生”这样的优美诗句.古人把海水白天的上涨叫作“潮”,晚上的上涨叫作“汐”.实际上,潮汐与月球、地球都有关系.在月球万有引力的作用下,就地球的海面上的每一点而言,海水会随着地球本身的自转,大约在一天里经历两次上涨、两次降落.
由于潮汐与港口的水深有密切关系,任何一个港口的工作人员对此都十分重视,以便合理地加以利用.例如,某港口工作人员在某年农历八月初一从0时至24时记录的时间t(h)与水深d(m)的关系如下:
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
D
5
7.5
5
2.5
5
7.5
5
2.5
5
(1)把上表中的九组对应值用直角坐标系中的九个点表示出来(如下图中实心圆点所示),
观察它们的位置关系,不难发现,我们可以选用正弦型函数d=5+2.5sint,t∈［0,24)来近似地描
述这个港口这一天的水深d与时间t的关系,并画出简图(如图10).
图10
由此图或利用科学计算器,可以得到t取其他整数时d的近似值,从而把上表细化.
(2)利用这个函数及其简图,例如这一年农历八月初二或九月初一,假设有一条货船的吃水深度(即船底与水面的距离)为4
m,安全条例规定至少要有1.5
m的安全间隙(即船底与水底的距离),那么根据5.5≤d≤7.5,就可以近似得到此船何时能进入港口和在港口能逗留多久.如果此船从凌晨2时开始卸货,吃水深度由于船减少了载重而按0.3
m/h的速度递减,还可以近似得到卸货必须在什么时间前停止才能将船驶向较深的某目标水域.
不同的日子,潮汐的时刻和大小是不同的.农历初一和十五涨的是大潮,尤以八月十五中秋为甚.以上的估算必须结合其他数据一起考虑,才能加以科学利用.(共43张PPT)
1.5
正弦函数的图像与性质
【知识提炼】
1.正弦函数的图像
(1)“五点法”画图:在精确度要求不太高时,我们可以找出正弦曲线上的(0,0),
______，________，________，(2π,0)五个关键点画出正弦函数在一个周期上的图像.
(π，0)
(2)正弦曲线:将函数y=sinx(x∈[0,2π])的图像向左、向右平行移
动(每次平移____个单位长度),就可以得到正弦函数y=sinx(x∈R)的
图像._________的图像叫作正弦曲线.
2π
正弦函数
2.正弦函数的性质
函数
性质
y=sin
x
图像
定义域
R
值域
_________
［-1,1］
函数
性质
y=sin
x
奇偶性
_______
周期性
周期函数，最小正周期为____
单调性
在每一个区间___________________上是增加的；
在每一个区间____________________上是减少的
奇函数
2π
【即时小测】
1.思考下列问题
(1)利用“五点法”作正、余弦函数的图像的关键是什么
提示:关键是抓住三角函数的最值点以及与x轴的交点.
(2)正弦函数的单调区间是有限个吗
提示:不是,当k取不同的整数值时,单调区间不同,所以正弦函数的单调区间有无限个.
2.点
在函数y=sinx的图像上,则m的值为 ( )
【解析】选B.因为点M在函数y=sinx的图像上,
所以
3.函数y=sin(-x),x∈[0,2π]的简图是 ( )
【解析】选B.由y=sin(-x)=-sinx知,其图像和y=sinx的图像关于x轴对称.
4.函数y=3sin
的最小正周期为________.
【解析】函数y=3sin
的最小正周期T=
=π.
答案:π
5.用“五点法”作函数y=1-sinx,x∈的图像时,应取的五个关键点是
__________.
【解析】五个关键点为(0,1),
,(π,1),
,(2π,1).
答案:(0,1),
,(π,1),
,(2π,1)
【知识探究】
知识点1
正弦函数的图像
观察图形,回答下列问题:
问题:“五点法”作图中的“五点”是不是图像上的任意五点 你能从正弦函数的图像中找出“五点”吗
【总结提升】
1.正弦函数图像的作法
五点法:它是我们作三角函数图像的基本方法,在要求精度不太高的情况下常用此法,作图时要注意五个关键点的选择.
2.利用“五点法”作图时需要注意的三点
(1)应用的前提条件是精确度要求不高.
(2)利用光滑的曲线连接时,一般要最高(低)点的附近要平滑,不要出现“拐角”的现象.
(3)“五点法”作出的正弦函数一个周期上的图像是正弦曲线的一部分.
知识点2
正弦函数的性质
观察如图所示内容,回答下列问题:
问题1:正弦函数的周期性在正弦函数的性质中体现在哪里
问题2:正弦函数的区间如何表示
【总结提升】
正弦函数的性质
(1)正弦函数的定义域为R.值域为[－1,1]，奇函数,可以由函数的图像直观得到.
(2)正弦函数的单调性可以由图像上升、下降的特点得到,一般的方法是先写出上的单调区间[0,2π]再加周期2kπ即可.
【题型探究】
类型一
用“五点法”画函数的图像
【典例】用“五点法”作函数y=2sinx-1在[0,2π]上的图像.
【解题探究】
函数y=2sinx-1的“五点”是什么
提示:函数y=2sinx-1的“五点”是
【解析】列表:
描点、连线得到函数的图像:
【方法技巧】“五点法”作图中“五点”的含义
【变式训练】用“五点法”画出函数y=3-sinx(x∈[0,2π])的图像.
【解析】(1)列表:
(2)描点,连线,如图所示.
类型二
正弦函数图像、单调性的应用
【典例】1.(2015·西安高一检测)函数f(x)=sin(x+π)在区间__________上是减少的.
2.求函数y=
的定义域.
【解题探究】1.题1中的单调区间如何求
提示:把x+π看作一个整体求单调区间.
2.要使函数有意义,需要满足的不等关系是什么
提示:要使函数有意义,需要满足的不等关系为2sinx-
≥0.
【解析】1.因为y=sinx在
(k∈Z)上是减少的.所以
+2kπ≤x+π≤
π+2kπ,
即-
+2kπ≤x≤
+2kπ,k∈Z.
答案:
,(k∈Z)
2.要使函数有意义,则2sinx-
≥0,
即sinx≥
,由正弦函数的图像如图:
可知:2kπ+
≤x≤2kπ+
,k∈Z,
故函数的定义域为
【延伸探究】
1.(变换条件)题2中,若函数解析式变为y=
,试求其定义域.
【解析】要使函数有意义,则2sinx+
≥0,
即sinx≥-
,由正弦函数的图像如图:
可知:2kπ-
≤x≤2kπ+
,k∈Z,
故函数的定义域为
2.(变换条件)题2中,若函数的解析式变为y=
,试求函
数的定义域.
【解析】要使函数有意义,则
-2sinx≥0,
即sinx≤
,由正弦函数的图像如图:
可知:2kπ+
≤x≤2kπ+
,k∈Z,
故函数的定义域为
【方法技巧】利用正弦函数的图像求范围
求不等式如sinx≥a中未知量的范围时,首先要画出y=sinx,y=a的图像,选取正弦函数一个周期(一般选取距离y轴较近的),在这个周期内求出未知量的范围,最后根据正弦函数的周期性推广到全体实数即可.
【补偿训练】(2015·哈尔滨高一检测)函数y=
的定义域是
__________.
【解析】要是函数有意义,则sinx≥0,
由正弦函数的图像可知2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z,
则函数的定义域为{x|2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z}.
答案:
{x|2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z}
类型三
正弦函数的最值的应用
【典例】1.(2015·亳州高一检测)函数y=sinx在区间
上的
值域为__________.
2.(2015·海口高一检测)已知函数y=3sin
,则当x=________时,
函数取得最大值为________.
【解题探究】1.函数y=sinx在区间
上是单调函数吗
提示:不是,在
上是增加的,在
上是减少的.
2.当函数y=3sin
时,如何求x值
提示:令x+
=2kπ+
,k∈Z求解.
【解析】1.函数y=sinx在
上是增加的,在
上是减少
的,结合函数的图像可知函数的值域为
答案:
2.因为当x=
+2kπ(k∈Z)时,函数y=sinx取得最大值为1,所以当
x+
=
+2kπ,即x=
+2kπ(k∈Z)时,函数y=3sin
取得最
大值为3.
答案:
+2kπ(k∈Z) 3
【方法技巧】
1.关于正弦函数在定区间上的值域
求正弦函数在定区间上的值域时,首先要考查正弦函数在该区间上是否单调,若是单调函数,则直接代入端点值即可;若不是单调函数,则要结合图像,确定正弦函数在该区间上的最高点、最低点后再求最值.
2.求正弦型函数最值的常用方法
(1)形如y=asinx的函数的最值要注意对a的讨论.
(2)可化为y=Asin(ωx+φ)的函数,将ωx+φ看成一个整体,用整体思想求最值.
【变式训练】(2015·日照高一检测)函数y=
sinx-1的最大值与最小值的和是 ( )
【解析】选D.因为sinx∈[-1,1],所以
【补偿训练】函数y=
sin
x-1,x∈[0,2π]的值域是________.
【解析】因为x∈[0,2π],所以
所以sin
x∈[0,1],
所以sin
x-1∈[-1,0].
答案:[-1,0]
规范解答
分类讨论思想在求函数最值的应用
【典例】(12分)已知y=a-bsin3x(b≠0)的最大值为
,最小值为-
,
求函数y=-4asin(3bx)的最值及取得最值时的x,并判断其奇偶性.
【审题指导】1.要求函数的最值,首先利用已知函数的最值,求出a,b的值,再利用正弦函数的性质求最值.
2.要判断函数的奇偶性,可由函数奇偶性的定义判断.
【规范解答】
【题后悟道】
1.增强分类讨论意识
当题目中含有范围不确定的参数时,需要对参数进行讨论,讨论时注意把握分类依据.如本题中对参数b分大于零、小于零两种情况讨论.
2.准确应用正弦函数的性质
利用正弦函数的性质,可以与正弦函数相关的函数的性质相结合,解题
的关键是准确应用正弦函数的性质.如本题利用正弦函数在x=2kπ+
时取最大值,求出所求的函数的最大值及取最大值时的x值.1.5
正弦函数（1）
自我小测
1．关于正弦函数y＝sin
x的图像，下列说法错误的是( )
A．关于原点对称
B．有最大值1
C．与y轴有一个交点
D．关于y轴对称
2．在同一坐标系中，函数y＝sin
x，x∈[0,2π)与y＝sin
x，x∈[2π，4π)的图像( )
A．重合
B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称
D．形状不同，位置不同
3．在[0,2π]上，满足sin
x≥的x的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
4．函数y＝sin
x的图像与函数y＝－sin
x的图像关于( )
A．x轴对称
B．y轴对称
C．原点对称
D．直线y＝x对称
5．已知函数f(x)＝x3＋sin
x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为( )
A．3
B．0
C．－1
D．－2
6．函数y＝－sin
x，x∈的简图是( )
7．用五点法作函数y＝2sin
2x的图像时，首先描出的五个点的横坐标是_____________．
8．用五点法作出函数y＝sin在一个周期上的图像．
9．求函数y＝2＋sin
x的最大值、最小值和周期，并求这个函数取最大值、最小值时x的集合．
参考答案
1．解析：正弦函数y＝sin
x的图像如图所示．
根据y＝sin
x，x∈R的图像可知A，B，C均正确，D错误．
答案：D
2．解析：因y＝sin
x，x∈R是周期函数，且最小正周期为2π，所以选B.
答案：B
3．解析：如图所示，在同一坐标系内作出y＝sin
x在[0,2π]上的图像和y＝的图像即可得到结论．
答案：C
4．解析：在同一直角坐标系中画出函数y＝sin
x与函数y＝－sin
x在[0,2π]上的图像，可知两函数的图像关于x轴对称．
答案：A
5．解析：设φ(x)＝x3＋sin
x，则φ(x)为奇函数，
∴f(x)＝φ(x)＋1.
∵f(a)＝φ(a)＋1＝2，
∴φ(a)＝1.
∴f(－a)＝φ(－a)＋1＝－φ(a)＋1＝－1＋1＝0.
答案：B
6．解析：用特殊点来验证．x＝0时，y＝－sin
0＝0，排除选项A，C；又x＝－时，y＝－sin＝1，排除选项B.故选D.
答案：D
7．解析：分别令2x＝0，，π，，2π，求出x的值分别为0，，，π，π.
答案：0，，，π，π
8．解：列表：
x＋
0
π
2π
x
－
y＝sin
0
1
0
－1
0
图像如图所示．
9．解：ymax＝2＋(sin
x)max＝2＋1＝3，
ymin＝2＋(sin
x)min＝2＋(－1)＝1.
周期T＝2π，使y＝2＋sin
x取得最大值的x的集合是，
使y＝2＋sin
x取得最小值的x的集合是.1.5
正弦函数的图像与性质
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.函数y=1-sinx,x∈［0,2π］的大致图像是（
）
图1-4-2
解析：对于本题可按如下程序进行思考：
首先作出（或想象出）y=sinx,x∈［0,2π］的图像，如下图所示：
然后作出（或想象出）y=-sinx,x∈［0，2π］的图像（请同学自己画出）；最后作出（或想象出）y=-sinx+1的图像（请同学自己画出).
易得图像应为B.
本题亦可验证（0，1）、（，0）两点.
答案：B
2.在［0，2π］上画出函数y=sinx-1的简图.
解析：（1）第一步：按五个关键点列表；
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
-1
0
sinx-1
-1
0
-1
-2
-1
第二步：描点；
第三步：画图，即用光滑的曲线将五个点连结起来.
3.分析y=sinx-1及y=2sinx的图像与y=sinx的图像在［0，2π］上的位置关系.
解：（1）在同一坐标系中画出y=sinx-1与y=sinx的图像.
通过图像比较，y=sinx-1的图像是将y=sinx的图像整个向下平行移动了1个单位得到的.
（2）在同一坐标系中，画出y=2sinx与y=sinx的图像.
通过图像很容易看出，将y=sinx的图像上所有的点的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的2倍，就可以得到y=2sinx的图像.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.函数y=sin（-x），x∈［0，2π］的简图是（
）
图1-4-3
解析：y=f(x)的图像与y=f(-x)的图像关于y轴对称，先作出y=sinx的图像，再作此图像关于y轴的对称图像即得y=sin(-x)的图像.
答案：B
2.函数y=4sinx的图像（
）
A.关于y轴对称
B.关于直线x=对称
C.关于原点对称
D.关于直线x=π对称
解析：先作出y=4sinx的图像，通过图像可以看出y=4sinx的图像关于原点对称.
答案：C
3.函数y=-sinx图像上五个关键点的坐标是____________.
解析：函数y=-sinx与y=sinx，当x取同一值时，函数值互为相反数
答案：（0，0），（，-1），（π，0），（，1），（2π，0）
4.作出函数y=-sinx，x∈［-π，π］的简图，并回答下列问题：
（1）观察函数图像，写出满足下列条件的x的区间：①sinx＞0；②sinx＜0.
（2）直线y=与y=-sinx，x∈［-π,π］的图像有几个交点？
解：利用五点法作图，
（1）根据图像可知:图像在x轴上方的部分sinx>0，在x轴下方的部分sinx<0，所以当x∈（-π，0）时，sinx>0；当x∈（0，π）时，sinx<0.
（2）画出直线y=，得知有两个交点.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.函数y=x+sin|x|,x∈［-π,π］的大致图像是图1-4-4中的哪一项？（
）
图1-4-4
解析：首先y=x+sin|x|在x∈［-π,π］上递增；其次y=x+sin|x|不是奇函数，故选C
答案：C
2.已知y=sinx(≤x≤)的图像和直线y=1围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是_____________.
解析：如图:
y=sinx(≤x≤)的图像与直线y=1围成的封闭图形的面积为()×2÷2=2π.
答案：2π
3.(2005高考上海卷，理10文11)函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈［0,2π］的图像与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是___________.
解析：∵f(x)=
∴y=f(x)图像如图，
故若y=f(x)与y=k的图像有且仅有两个交点
则k的范围1答案：14.方程sinx=的根的个数为____________.
解析：这是一个超越方程，无法直接求解，考虑利用数形结合思想，转化为求函数y=的图像与函数y=sinx的图像交点个数，借助图形直观求解.
当x≥4π时，>1≥sinx，当00=，从而x>0时，有3个交点.由对称性知x<0时，也有3个交点，加上原点，一共有7个交点.
答案：7
5.画出函数y=在［0，2π］上的简图，求出y的最大值和最小值，并写出y取得最大值和最小值时x的值的集合.
解：列表：
x
0
π
2π
y=sinx
0
1
0
-1
0
y=1-1
2sinx
1
1
2
1
描点得y=在［0，2π］上的图像（如下图）.
由图可知y的最大值为，此时x的取值集合是{}；y的最小值为，此时x的取值集合是{
}.
6.利用正弦函数的图像，求满足条件sinx≥的x的集合.
解：作出正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图像.
由图形可以得到，满足条件的x的集合为［+2kπ,+2kπ］,k∈Z.
7.根据正弦函数的图像求满足sinx≥的x的范围.
解：首先在同一坐标系内作出函数y=sinx与y=的图像
然后观察长度为2π（一个周期）的一个闭区间内的情形，如观察［0，2π］看到符合sinx≥的x∈［，］.
最后由正弦函数的周期为2kπ(k∈Z,k≠0)，得x∈［2kπ+,2kπ+］(k∈Z).
8.作函数y=|sinx|与y=sin|x|的图像.
解：y=|sinx|=其图像为
y=sin|x|=
其图像为1.5
正弦函数的图像与性质
知识梳理
1.任意角的正弦函数
（1）单位圆：圆心在原点O，半径等于1的圆称为单位圆.
（2）定义
如图1-4-1所示，单位圆与角α的终边交于P点.设P（a，b）,则P点纵坐标b是角α的函数，称为正弦函数，记为b=sinα(α∈R).通常用x、y表示自变量和因变量，将正弦函数表示为y=sinx(x∈R).
图1-4-1
（3）正弦线
如图1-4-1所示，过点P作x轴的垂线PM，垂足为M.单位圆中的有向线段MP叫做角α的正弦线.当角α的终边在x轴上时，M与P重合，此时正弦线变成一个点.
（4）正弦线所表示的正弦值可如下确定：
正弦线的方向是表示正弦值的符号，同y轴一致，向上为正，向下为负；正弦线的长度是正弦值的绝对值.
(5)正弦函数定义的推广
如图1-4-2所示，设P（x,y)是α的终边上任意一点，
图1-4-2
P到原点的距离|OP|＝r，有r=,
则sinα＝.
对于每一个确定的角α，总有唯一确定的正弦值与之对应，所以这个对应法则是以角α为自变量的函数，叫做正弦函数.正弦函数值与点P在角α终边上的位置无关，只依赖于角α的大小.
2.周期函数
一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如没特别指明，一般都是指它的最小正周期.
3.任意角的正弦值的符号
（1）图形表示：各象限正弦函数符号，如图1-4-3所示.
图1-4-3
（2）表格表示.
α的终边
sinα
x非负半轴
0
第一象限
+
y非负半轴
+
第二象限
+
x非正半轴
0
第三象限
-
y非正半轴
-
第四象限
-
4.正弦函数的图像和性质
(1)图像：如图1-4-4所示.
图1-4-4
(2)性质.
函数性质
y=sinx
定义域
R
值域
［-1，1］
当x=2kπ+
(k∈Z)时，y取最大值1;当x=2kπ-
(k∈Z)时，y取最小值-1
周期
2π
奇偶性
奇函数
单调性
增区间
［-+2kπ,
+2kπ］(k∈Z)
减区间
［-+2kπ,
+2kπ］(k∈Z)
5.诱导公式
x
-α
π-α
π+α
2π-α
2kπ+α(k∈Z)
sinx
-sinα
sinα
-sinα
-sinα
sinα
知识导学
1.复习初中学过的锐角的正弦函数，本节是锐角的正弦函数的补充和延伸.
2.任意角的正弦值的符号记忆口诀：“上正下负”.其含义是终边在x轴上方的任意角正弦值为正，在x轴下方的任意角正弦值为负.
3.诱导公式的记忆口诀：“函数名不变，符号看象限”.其含义是：-α，π±α，2π-a，2kπ+α(k∈Z)的正弦函数值等于α的正弦函数值，前面加上一个把α看成锐角时原正弦函数值的符号.
