(共54张PPT)
1.3
弧 度 制
【知识提炼】
1.弧度制的概念
(1)1弧度角:在单位圆中,长度为______所对的圆心角为1弧度角,它
的单位符号是rad,读作弧度.
(2)弧度制:以_____作为单位来度量角的单位制.
1的弧
弧度
2.角度与弧度的互化
3.弧度数与弧度制的作用
正数
负数
0
【即时小测】
1.思考下列问题
(1)长度为1的弧所对的圆心角一定是1弧度角吗
提示:不一定.只有半径也是1时圆心角才是1弧度的角.否则圆心角不是1弧度角.
(2)弧度的计算公式为|α|=
,为什么带绝对值号
提示:因为角度有正角、负角之分,而弧长为正值,当α<0时,α=-
.
2.如果一扇形的弧长为π,半径等于2,则扇形所对圆心角为( )
A.π B.2π
【解析】选C.由题意π=2α,故α=
.
3.将-300°化为弧度为________.
【解析】-300×
=-
.
答案:-
4.
π化为度,结果为________.
【解析】πrad=180°,则1rad=
所以
答案:150°
5.把-570°化为2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式为____________.
【解析】
答案:
【知识探究】
知识点1
角度制与弧度制
观察图形,回答下列问题:
问题:怎样理解、记忆角度制与弧度制的互化公式
【总结提升】
1.角度制与弧度制的差别
(1)定义不同.
(2)单位不同.弧度制是以“弧度”为单位,单位可以省略,而角度制是以“度”为单位,单位不能省略.
(3)弧度制是十进制,而角度制是六十进制.
2.角度制与弧度制的互化
(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值,仅和半径与所含的弧这两者的比值有关.
(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化.
3.学习弧度制的注意点
知识点2
弧度制下的弧长公式及扇形面积公式
观察图形,回答下列问题:
问题:怎样利用角度制下的扇形面积公式推导弧度制下的扇形面积公式
【总结提升】
关于扇形的面积公式
(1)公式中共四个量分别为α,l,R,S,由其中的两个量可以求出另外的两个量,即知二求二.
(2)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多,但要注意它的前提是α为弧度数.
(3)在运用公式时,还应熟练地掌握这两个公式的变形运用:
①
②
【题型探究】
类型一
角度与弧度的互化
【典例】1.(2015·宝鸡高一检测)角2013°的弧度表示为 ( )
2.下列转化结果错误的是 ( )
A.67°30′化成弧度是
πrad
B.-
π化成度是-600度
C.-150°化成弧度是
πrad
D.
化成度是15度
3.把下列各角写成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式,并指出它们是第几象限角:
【解题探究】1.典例1,2中角度化弧度、弧度化角度的公式是什么
提示:
2.用弧度判断角所在的象限一般考虑哪个范围
提示:利用与该角终边相同的角(0≤α<2π)所在的象限判断.
2.选C.因为1°=π180，
A中，
正确.
B中，
正确．
C中：
错误．
D中，
正确．
3.①
是第三象限角.
②
所以-315°可以表示为（-2）
×π+
,是第一象限角.
③
是第一象限角.
【方法技巧】角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点
(1)原则:牢记180°=πrad,充分利用1°=
rad和1
rad=
进行换算.
(2)方法:设一个角的弧度数为α,角度数为n,
则
(3)注意点
①用“弧度”为单位度量角时,“弧度”二字或“rad”可以省略不写;
②用“弧度”为单位度量角时,常常把弧度数写成多少π的形式,如无特别要求,不必把π写成小数;
③度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.
【拓展延伸】
1.用弧度数表示象限角
2.弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下,与角α的终边相同的角可以表示为{β|β=2kπ+α,k∈Z},即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.
【变式训练】(1)157°30′=________rad.
(2)
πrad=________°.
(3)如图所示,用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角α的集合.
【解析】(1)因为157°30′=157.5°,
所以
答案:
(2)因为
答案:72
(3)①按逆时针方向,在-π～π范围内与角
终边相同的角为
故所求集合S为
②所求集合为
类型二
用弧度制表示角的集合
【典例】1.终边经过点(a,a)(a≠0)的角α的集合是 ( )
2.用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断2015°是不是这个集合的元素.
【解题探究】1.典例1中,在[0,2π]内,哪个角的终边经过点(a,a)
(a≠0)
提示:
的终边经过点(a,a)(a≠0).
2.典例2中,在[0,2π]内终边在图中阴影区域内的集合(包括边界)是什么
提示:
【解析】1.选D.终边经过点(a,a)(a>0)的角α的集合为
终边经过点(a,a)(a<0)的角α的集合为
所以终边经过点(a,a)(a≠0)的角α的集合是
2.因为150°=
.所以终边在阴影区域内角的集合为
因为2015°=215°+5×360°=
+10π,
又
所以2015°=
∈S,即2015°是这个集合的元
素.
【方法技巧】
1.用弧度表示角的注意点
(1)注意角度与弧度不能混用.
(2)各终边相同的角需加2kπ,k∈Z.
(3)求两个角的集合的交集时,注意应用数轴直观确定,可对k进行适当地赋值.
2.解决“弧度”与“角度”概念问题的关键点
(1)引入弧度制后,角的集合与实数集建立了一一对应关系.
(2)用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同(都是0);用角度制和弧度制度量任意非零角,单位不同,数量也不同.
(3)“角度”与“弧度”可以按照“180°=πrad”这一等量关系进行相互转化.
【变式训练】用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合.
【解析】(1)以OB为终边的330°角可看成-30°角,化为弧度,即-
,
而
所以终边落在阴影部分内的角的集合为{θ|2kπ-
<θ<2kπ+
,
k∈Z}.
(2)因为30°=
rad,210°=
rad,
这两个角的终边所在的直线相同,因此终边在直线AB上的角为α=kπ
+
,k∈Z,而终边在y轴上的角为β=kπ+
,k∈Z,从而终边落在阴影
部分内的角的集合为{θ|kπ+
<θ,k∈Z}.
类型三
弧长公式与面积公式的应用
【典例】1.(2015·福州高一检测)已知扇形的圆心角为120°,半径
为
cm,则此扇形的面积为________.
2.已知半径为10的☉O中,弦AB的长为10.求弦AB所对的圆心角α的弧
度值.
【解题探究】1.题1中据已知条件,可利用扇形的哪个面积公式求解
提示:由于已知扇形的圆心角和半径,可利用扇形面积公式S=
lR.
2.圆心角的角度值是多少
提示:圆心角的角度值是60°.
【解析】1.设扇形弧长为l,
因为
所以
所以
答案:πcm2
2.由☉O的半径r=10=AB,知△AOB是等边三角形,
所以α=∠AOB=60°=
.
【延伸探究】
1.(改变问法)若题2中条件不变,改为求α所在扇形的弧长l.
【解析】因为α=
,r=10,
故l=αr=
.
2.(改变问法)若题2条件不变改为求弧所在的弓形面积S.
【解析】S扇形=
而S△AOB=
所以S=S扇形-S△AOB=
【方法技巧】弧度制下扇形面积公式的应用
(1)涉及的公式:弧长l=|α|r,周长2r+l,面积S=
lr=
αr2.
(2)解题策略:先分析题目条件中已知哪些量,然后利用相关的公式直接求解或解方程组求解.
【补偿训练】(2015·石家庄高一检测)已知扇形AOB的周长为8cm,面积为3cm2,则其圆心角为 ( )
【解析】选A.由题意
解得
规范解答
弧长与扇形面积问题
【典例】(12分)(2015·沈阳高一检测)已知扇形的周长为40cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大 最大面积是多少
【审题指导】
要求扇形面积的最大值,首先利用半径,圆心角表示出扇形面积,再利用周长40建立半径与圆心角的关系,用其中的一个表示另一个后代入,配方求最值.
【规范解答】设扇形的半径和弧长分别为r和l,
由题意可得2r+l=40,……………………………………………2分
所以l=40-2r,………………………………………………………4分
由l=40-2r>0,解得0………………………………………………………………………6分
所以扇形的面积
S=
lr=
(40-2r)r
=-r2+20r=-(r-10)2+100,
…………………………………………………………………8分
因为0所以当r=10时,面积取得最大值100,………………………9分
当r=10时,弧长l=20,圆心角为2,……………………………11分
所以当半径为10、圆心角为2时,扇形的面积最大,最大值为100.
…………………………………………………………………12分
【题后悟道】
1.关注题目中未知量的范围
题目中往往含有多个变量,一般用一个变量表示其他的变量,可以利用已知范围、变量自身的应用、变量之间的关系限制等确定变量的范围.如本题中一方面半径r大于0,另一方面利用l的范围确定r小于20.
2.准确求函数的最值
配方法是解决二次式最值问题的主要方法,应熟练掌握基本的运算.如本题中求扇形面积的最大值就是利用的配方法.纸扇黄金比设计
在炎炎夏日，用纸扇驱走闷热，无疑是最环好的方法．扇在美观设计上，可考虑用料、图案和形状．若从数学角度看，我们能否利用黄金比例（0.618）去设计一把富美感的的白纸扇？
在设计纸扇张开角（
）时，可考虑从一圆形（半径为
）分割出来的扇形的面积（
）与剩余面积（
）的比值．若假设这比值等于黄金比例，便可以找出
．若
，
以弧度表示．
则
．
（精确至最接近的
）．
除了找市面上的纸扇去量度其张开的角度外，我们更可自制不同形状的纸扇，去测试一下
接近
的设计是否最美．
a数
A
A21r2(2
0.618
x-8)1.3
弧度制
课后导练
基础达标
1.化为角度是（
）
A.140°
B.139°
C.144°
D.159°
解析：=144°.
答案：C
2.72°化为弧度是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：72×.
答案：A
3.若α=-4弧度，则α是（
）
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
解析：∵＜-4＜-π,
∴α是第二象限角.
答案：B
4.将1
008°化为α+2kπ(0≤α＜2π,k∈Z)的形式（
）
A.2π+
B.2π-
C.3π+
D.3π-
解析：1
008°=720°+288°=2π+.
答案：A
5.若扇形的面积是1
cm2,它的周长是4
cm，则扇形圆心角的弧度数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:确定扇形的条件有两个，最直接的条件是给出扇形的半径、弧长和圆心角中的两个.设扇形的半径为Ｒ，弧长为l，由已知条件可知：
R=1，所以扇形的圆心角度数为=2.
答案：Ｂ
6.圆的半径变为原来的2倍，而弧长不变，设弧所对的圆心角是原来的________倍.
解析：由α=可知该弧所对的圆心角是原来的倍.
答案：
7.α是第二象限角，则π+α是第______象限角.
解析：取α=,则π+α=,故α在第四象限.
答案：四
8.一弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及扇形的面积.
解析：如右图，作OC⊥AB于C，则C为AB的中点，
且AC=1,∠AOC=，
所以r=OA=.
则弧长l=|α|·r=，
面积S=lr=.
9.在直径为10
cm的轮子上有一长为6
cm的弦，P为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，求经过5秒钟后，点P转过的弧长.
解析：P到圆心O的距离PO==4（cm），
即为点P所在新圆的半径，
又点P转过的角的弧度数α=5×5=25，
所以弧长为α·OP=25×4=100（cm）.
10.如右图,动点P、Q从点A(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P、Q第一次相遇时所用的时间，相遇点的坐标及P、Q点各自走过的弧长.
解析：设P,Q第一次相遇时所用的时间是t，
则t·+t·|-|=2π，
所以t=4（s），即第一次相遇的时间为4
s.
设第一次相遇点为C，第一次相遇时已运动到终边在×4=的位置，则xc=-cos×4=-2，yc=-sin×4=，所以C点的坐标为（-2,)，P点走过的弧长为：×4=;Q点走过的弧长为.
综合运用
11.下列四个命题中，不正确的一个是（
）
A.半圆所对的圆心角是π
rad
B.周角的大小等于2π
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
解析：本题考查弧度制下，角的度量单位：1弧度的概念.根据一弧度的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各选项，可知D不正确.
答案：D
12.已知集合A={α|2kπ≤α≤(2k+1)π,k∈Z},B={α|-4≤α≤4},则A∩B等于（
）
A.
B.{α|0≤α≤π}
C.{α|-4≤α≤4}
D.{α|-4≤α≤-π或0≤α≤π}
解析：取k=0,-1，写出A在k取值-1，0时的α,画数轴求解.
答案：D
13.(2006辽宁高考，文1)
函数y=sin(x+3)的最小正周期是（
）
A.
B.π
C.2π
D.4π
解析：函数y=sin(12x+3)的最小正周期T==4π.
答案：D
14.如下图所示，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，（不包括边界）.
解析：（1）中OB为终边的角为330°，可看成-30°，化为弧度，
即，而75°=,
∴阴影部分内的角的集合为
{θ|2kπ＜θ＜2kπ+,k∈Z}.
（2）中OB为终边的角是225°，可看成-135°，
化为弧度，即π，
而135°=.
∴阴影部分内的角的集合为
{θ|2kπ＜θ＜2kπ+,k∈Z}.
15.用30
cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解析：设扇形半径为r，弧长为l,扇形面积为S.
则l+2r=30,即l=30-2r.①
将①式代入S=lr,得S=（30-2r）·r
=-r2+15r=-(r-)2+.
所以当r=时，扇形面积最大，且最大面积为
cm2.
此时圆心角θ=30-=2.
拓展探究
16.在炎炎夏日，用纸扇驱走闷热，无疑是很好的办法.纸扇在美观的设计上，可考虑用料、图案和形状.若从数学角度看，我们能否利用黄金比例（0.618）去设计一把有美感的白纸扇呢？
思路分析:在设计纸扇张开角(θ)时，可以考虑从一圆形（半径为r）分割出来的扇形的面积(A1)与剩余面积(A2)的比值.若这一比值等于黄金比例，便可找到θ.
解析：若=0.618,θ以弧度表示,则
θ=0.618(2π-θ).
所以θ=0.764π≈140°（精确到度）.
我们可以找市面上的纸扇去检验其张开的角度是否接近140°，也可以自制不同形状的纸扇，去测试一下是否θ接近140°时纸扇的形状最美观.1.3
弧度制
自主广场
我夯基
我达标
1．下列命题中，错误的是（
）
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.一度的角是周角的，一弧度的角是周角的
C.根据弧度的定义，180°等于π弧度
D.不论用角度制还是用弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关
思路解析：由角和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与半径的长短无关，只与弧长与半径的比值有关.
答案：D
2．α是第三象限的角，则π+α是（
）
A.第一象限的角
B.第二象限的角
C.第三象限的角
D.第四象限的角
思路解析：结合图形，π+α可以看成将α按顺时针旋转π得到的，则π+α是第一象限的角.
答案：A
3.如果一扇形的圆心角为72°，半径等于20
cm，则扇形的面积为（
）
A.40π
cm2
B.80π
cm2
C.40
cm2
D.80
cm2
思路解析：先把角度化为弧度，然后利用弧度制下的扇形面积公式即可解出.72°=,S=|α|r2=××202=80π
cm2.
答案：B
4．若扇形的面积是1
cm2，它的周长是4
cm，则扇形圆心角的弧度数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
思路解析：设扇形的半径为Ｒ，弧长为l，由已知条件可知解得所以扇形的圆心角度数为=2.
答案：B
5．若α、β满足-＜α＜β＜，则α-2β的取值范围是____________________.
思路解析：由题意,得-＜α＜，-π＜-2β＜π，∴-＜α-2β＜.
答案：(-,)
6.1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及扇形的面积.
思路分析：解决此问题的关键是求圆的直径.
图1-3-5
解：如图所示，作OC⊥AB于C，
则C为AB的中点，且AC=1，∠AOC=，∴r=OA==.
则弧长l=|α|·r=，面积S=lr=.
我综合
我发展
7.在直径为10
cm的轮子上有一长为6cm的弦，P为弦的中点，轮子以每秒５弧度的角速度旋转，求经过５秒钟后，点P转过的弧长.
思路分析：P点在一新圆上，所以要求点P转过的弧长，需先求新圆的半径.
解：P到圆心O的距离PO==4（cm），即点P所在新圆的半径为4，又点P转过的角的弧度数α=5×5=25，所以弧长为α·OP=25×4=100（cm）.即点P转过的弧长为100
cm.
8.如图1-3-6,动点P、Q从点(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P、Q第一次相遇时所用的时间，相遇点的坐标及P、Q点各自走过的弧长.
图1-3-6
思路分析：利用方程思想，结合题意，求出第一次相遇的时间；利用解直角三角形的知识，根据点所处位置，确定相遇点坐标；（3）利用弧长公式求弧长.
解：设P、Q第一次相遇时所用的时间是t，则t·+t·|-|=2π，所以t=4（秒），即第一次相遇的时间为4秒，设第一次相遇点为C，则第一次相遇时已运动到终边在·4=的位置，则xC=-cos·4=-2,yC=-sin·4=-，所以C点的坐标为(-2,-
)，P点走过的弧长为·4=；Q点走过的弧长为·4=.
9.将钟表上的时针作为角的始边，分针作为终边，那么当钟表上显示8点5分时，时针与分针构成的角度是_____________.
思路解析：本题应从任意角的概念出发，研究时针与分针所构成的角α，其中有正角、负角，共有无穷多个角.要求这无穷多个角，可先求出在-360°—0°范围内的角∠AOB.∠AOB＝-(×360°×+90°+×360°)=-147.5°,所以角α可表示为α＝k·360°-147.5°（k∈Z）
答案：k·360°-147.5°（k∈Z）
10.如图1-3-7，已知一长为dm，宽为1
dm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木板挡住，且木块底面与桌面成角为，求点A走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积.
图1-3-7
思路分析：A点首先以B为圆心，以2为半径旋转达到A1的位置；再以C为圆心，以1为半径旋转到A2的位置；然后以A2为圆心旋转，最后以D为圆心，以3为半径转过到达A3，A点走过的路程将包括三段弧，将这三段弧长及三个扇形面积分别相加即可.
解：由题意得所对的圆的半径为2，圆心角为，则弧长l1=2×=π，扇形面积S1=××22=π.
所对的圆半径是1，圆心角是，则弧长l2=1×=，扇形面积S2=××12=.
所对的圆半径为，圆心角为，则弧长l3=×=，扇形面积S3=××()2=.则所走过路程是三段圆弧之和，即π++=，三段弧所在扇形的总面积是π++=dm2.
11.一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2
km，一列火车用每小时30
km的速度通过，10
s间转过几度？
思路分析：利用速度和时间求出路程，即得圆弧的弧长，再由弧长公式可得圆心角的度数.因为火车前进的方向未知，所以将圆心角的大小加上绝对值.
解：因为圆弧半径为2
km=2
000
m，vk=30
km/h=m/s，10
s走过的弧长为m，
∴|α|==rad≈2.39°,即10秒间转过约2.39°.1.3
弧度制
知识梳理
1.弧度制
（1）定义：以弧度为单位度量角大小的制度叫弧度制.
（2）度量方法：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小叫做1弧度的角.
（3）记法：弧度单位用符号“rad”表示，或用弧度两个字表示.在用弧度制表示角的大小时，通常单位省略不写.
2.弧度制与角度制的换算
（1）换算公式：1
rad=（)°,1°=rad.
（2）特殊角的弧度数
角度
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
120°
135°
150°
弧度
0
角度
180°
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
弧度
π
2π
3.弧度制下的公式
如图1-3-1所示，l、r、α分别是弧长、半径、弧所对的圆心角的弧度数.
图1-3-1
（1）弧度数公式：|α|=；
（2）弧长公式：l=|α|r；
（3）扇形面积公式：S=lr=|α|r2.
知识导学
学习过程中一定要努力突破单一按角度制思考问题的习惯，力求能通过弧度来认识任意角.要实现这一目标，可以多做角度与弧度的互化练习，熟记常用特殊角的弧度数.
疑难突破
1.为什么β=k·360°+
(k∈Z)这种写法是错误的？
剖析：很多同学这样写，但是并不认为是错误的写法，并且屡错屡犯，很难改正.突破口是正确认识角度制和弧度制.
弧度制和角度制一样，都是度量角大小的方法，只是单位不同.在同一道题目中，用了弧度制后，就不能再用角度制；同样，用了角度制后，也不能再用弧度制，即角度制和弧度制不能混用.就像长度单位米和千米一样，不能写出1米＋1千米这样的式子，容易引起混乱.如同人的穿着打扮全身要上下协调一样，这样写β=k·360°+
(k∈Z)，就像一个人上身穿着羽绒服，脚上穿着凉鞋一样，这种打扮显然是不合适的.所以角度制与弧度制必须分开使用，不能在同一问题中混合使用.
弧度制与角度制相比有一定的优点.其一是在进位上，角度制在度、分、秒上都是60进位制，不便于计算，而弧度制是十进位制，给运算带来方便；其二是在弧长公式与扇形面积的表达上，弧度制下的公式远比角度制下的公式简单，运算起来方便.因此在今后表示角的时候，常常用弧度制表示角.
2.弧度制与角度制有什么区别和联系？
剖析：难点是对这两种度量角的方法混淆不清.其突破方法是分析不同单位之间的区别和联系，主要从定义、意义、换算、写法等方面考虑.
（1）从定义上：弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度.因此弧度制和角度制一样，都是度量角的方法.
（2）从意义上：1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角(或该弧)的大小，而1°是圆的所对的圆心角(或该弧)的大小；任意圆心角α的弧度数的绝对值|α|=，其中l为以角α作为圆心角时的所对圆弧长，r为圆的半径.
(3)从换算上：1
rad=()°，1°=
rad.
(4)从写法上：用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，这时弧度数在形式上虽是一个不名数，但应当把它理解为名数；如果以度(°)为单位表示角时，度(°)就不能省去.
(5)优越性：弧度制比角度制有一定的优点.其一是在进位上，角度制在度、分、秒上是60进位制，不便于计算，而弧度制是十进位制，给运算带来方便；其二是在弧长公式与扇形面积的表达上，弧度制下的公式远比角度制下的公式简单，运算起来方便.因此在今后表示角的时候，常常用弧度制表示角.弧度制的由来
以已知角的顶点为圆心，以任意大于0的值R为半径作圆弧，则角所对的弧长与R之比是一个定值﹝与R无关﹞，我们称=R时的正角为1弧度的角。以1弧度角为量角大小的单位，称此度量制为弧度制，以示与角的另一种度量制──角度制区别。
弧度制的基本思想是使圆半径与圆周长有同一度量单位，然后用对应的弧长与圆半径之比来度量角度，这一思想的雏型起源于印度。印度著名数学家阿利耶毗陀﹝476？-550？﹞定圆周长为21600分，相应地定圆半径为3438分﹝即取圆周率π3.142﹞，但阿利耶毗陀没有明确提出弧度制这个概念。严格的弧度概念是由瑞士数学家欧拉（Leonhardo
Eulero，1707年－－1783年）于1748年引入。他在1748年出版的一部划时代的著作《无穷小分析概论》第八章中提出了弧度制的思想.但与阿利耶毗陀不同的是，他先定义了半径为1个单位的圆，那么半圆的弧长为π，此时的正弦值为0，就记为sinπ=
0，同理，1/4圆周的弧长为π/2，此时的正弦为1，记为sin(π/2)=1。从而确立了用π、π/2分别表示半圆及1/4圆弧所对的中心角。其它的角也可依此类推。这一思想将线段与弧的度量单位统一起来，大大简化了某些三角公式及计算．
1873年6月5日，数学教师汤姆生（James
Thomson）在北爱尔兰首府贝尔法斯特（Belfast）女王学院的数学考试题目中创造性地首先使用了“弧度”一词．当时，他将“半径”（radius）的前四个字母与“角”（angle）的前两个字母合在一起，构成radian，并被人们广泛接受和引用．我国学者曾把radian译成“弪”（由“弧”与“径”两字的一部分拼成）．中华人民共和国成立以来，中学数学教科书都把radian译作“弧度”．
1881年，学者哈尔斯特（G.B.Halsted）等用希腊字母ρ表示弧度的单位，例如用3/5πρ表示3/5π弧度．1907年，学者包尔（G.N.Bauer）用r
表示；1909年，学者霍尔（A.G.Hall
）等又用R来表示，例如将π/4弧度写成πR/4．现在人们习惯把弧度的单位省略．1.3
弧度制
自我小测
1．一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为( )
A．
B．
C．
D．
2．已知扇形的周长是16，圆心角是2
rad，则扇形的面积是( )
A．16π
B．32π
C．16
D．32
3．将分针拨慢10分钟，则分针转过的弧度数是( )
A．
B．－
C．
D．－
4．若扇形的半径变为原来的2倍，弧长增加到原来的2倍，则( )
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积增加到原来的2倍
D．扇形的圆心角增加到原来的2倍
5．的终边所在的象限是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6．半径为2的圆中，长为2的弧所对的圆周角的弧度数为__________，度数为__________．
7．已知扇形的半径是5
cm，弧长是
cm，那么扇形的面积是__________
cm2.
8．已知四边形四个内角的度数的比为1∶3∶7∶9，用弧度制写出这四个角从小到大的顺序为________________________________________________________________________．
9．在直径为10
cm的滑轮上有一条弦，其长为6
cm，且P为弦的中点，滑轮以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5
s后，P点转过的弧长是多少？
10．半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1,0)出发，按照逆时针方向沿圆周匀速旋转，已知P点在1秒钟内转过的角度为θ(0＜θ＜π)，经过2秒到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A处．求：
(1)θ的大小；
(2)线段OP每秒钟扫过的扇形的面积．
参考答案
1．解析：因为弦长等于半径，则弦和两半径构成等边三角形，则弦所对圆心角为60°＝
rad.
答案：B
2．解析：设扇形的半径为r，则扇形的弧长为l＝2r.
由题意知2r＋2r＝16，所以r＝4，l＝2r＝8，
因此扇形的面积为S＝×8×4＝16.
答案：C
3．解析：因为分针每分钟转过的角度为－6°，所以将分针拨慢10分钟，则分针转过的弧度数为.
答案：A
4．解析：设原来的扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则现在的扇形的半径为2r，弧长为2l，圆心角为β，l＝αr，2l＝2rβ，所以α＝β.
答案：B
5．解析：＝2π＋π.因为是第一象限角，所以的终边所在的象限是第一象限．
答案：A
6．解析：半径为2的圆中，长为2的弧所对的圆心角的弧度数为1，所对的圆周角的弧度数为，度数为°.
答案： °
7．解析：扇形的面积为S＝lr＝××5＝(cm2)．
答案：
8．解析：因为四边形四个内角的度数的比为1∶3∶7∶9，所以设这四个角的弧度数分别为x,3x,7x,9x.根据题意得，x＋3x＋7x＋9x＝2π，则x＝，3x＝，7x＝，9x＝.
答案：，，，
9．解：根据垂径定理得，P点到滑轮中心的距离为4
cm.
又因滑轮以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5
s后，P点转过的弧长是5×5×4＝100(cm)．
答：经过5
s后，P点转过的弧长是100
cm.
10．解：(1)∵0＜θ＜π，∴0＜2θ＜2π.
又2kπ＋π＜2θ＜2kπ＋(k∈Z)，
∴k＝0.∴＜θ＜.①
又14θ＝2nπ(n∈Z)，∴θ＝(n∈Z)．②
由①②可得θ＝或θ＝.
(2)由(1)知θ＝或θ＝，
又S扇形＝θr2＝θ，∴S扇形＝或S扇形＝.
即线段OP每秒钟扫过的面积是或.1.3
弧度制
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下列诸命题中，真命题是（
）
A.一弧度是一度的圆心角所对的弧
B.一弧度是长度为半径的弧
C.一弧度是一度的弧与一度的角之和
D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位
解析：由1弧度的意义可知，选D.
答案：D
2.下列诸命题中，假命题是（
）
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1度的角是周角的，1弧度的角是周角的
C.根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
D.不论用角度制还是用弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关
解析：由角和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与半径的长短无关，而是与弧长与半径的比值有关.故应选Ｄ.
答案：D
3.单位圆中，长为2个单位长度的弧所对的圆心角的弧度数为___________
rad.
解析：由α=，可得圆心角α的弧度为=2
rad.
答案：2
4.-300°化为弧度是，弧度化为角度是____________.
解析：-300°=×（-300）rad=,
rad=180°×=288°.
答案：
rad
288°
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.在直角坐标系中，集合S={β|β=k·，k∈Z}的元素所表示的角的终边在（
）
A.第一象限
B.x轴上
C.y轴上
D.坐标轴上
解析：终边落在坐标轴上的角的集合应为{β|β=，k∈Z}易知当整数k为偶数时，β的终边落在x轴上；当k为奇数时，β的终边落在y轴上.所以β角的终边应落在坐标轴上.
答案：D
2.下列两组角中，终边不相同的是（
）
A.+kπ与+kπ（k∈Z）
B.+2kπ与（k∈Z）
C.+2kπ与+2kπ（k∈Z）
D.+2kπ与+2kπ（k∈Z）
解析：对整数k的取值进行分类讨论.一一验证，易知B、C中两组角终边相同.A中，kπ+和kπ-（k∈Z）的终边相同；D中，由于和不在一个象限，所以它们的终边不相同.
答案：D
3.化为度应是_____________.
解析：∵π
rad=180°，∴rad=×180°=144°.
答案：144°
4.把下列各角化为2kπ+α（0≤α＜2π）的形式，并指出所在的象限.
（1）；
（2）.
解：（1）=6π+,在第二象限；
（2）的终边落在y轴的正半轴上.
5.某飞轮直径为1.2
m，每分钟按逆时针方向旋转300圈，求：
（1）飞轮每分钟转过的弧度数；
（2）轮周上的一点每秒钟经过的弧长.
解：（1）因为飞轮每分钟按逆时针方向旋转300圈，而逆时针方向旋转一周的弧度数为2π，
所以飞轮每分钟转过的弧度数是300×2π=600π
rad.
（2）∵飞轮每分钟按逆时针方向旋转300圈，∴每秒钟转5圈.
又飞轮直径为1.2
m，
∴一圈的长（即圆的周长）为1.2π
m.
因此轮周上的一点每秒钟经过的弧长是5×1.2π
m=6π
m.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.下列各命题中正确的是（
）
A.地球到太阳的距离y与时间t构成的函数是周期函数
B.用弧度制表示的角都是正角
C.大圆中1弧度角比小圆1弧度角大
D.圆心角为1弧度的扇形的弧长相等
解析：据物理学知识，任何一时刻，地球与太阳的距离y是唯一确定的，且每经过一年地球绕太阳旋转一周，无论哪个时刻t，经过一年，地球又回到原来的位置，所以我们有f（T+t）=f（t），故y=f（t）是周期函数.所以A正确；对于弧度制，定义为弧长等于1个单位长度所对的圆心角大小为1弧度，与圆的大小无关.大小不同的圆1弧度的扇形的弧长不等，所以C、D均不正确.又采用弧度制表示的角，是任意角，可正可负，所以B不正确.
答案：A
2.圆的一段弧长等于这个圆的内接正三角形的一条边长，那么这段弧所对的圆心角是弧度.
解析：设圆的半径为r，则圆内接正三角形的边长为，即弧长为，所以所求圆心角的弧度数为|α|=.
答案：
3.地球赤道的半径是6
370
km，赤道上1°的弧长是__________
km.（可用计算器）
解析：由于1°=≈0.017
45
rad，
所以赤道上1°的弧长是0.017
45×6
370
km=111.156
5
km.
答案：111.156
5
4.已知α∈()，β∈(,π),求α+2β,α-2β的范围.
解：∵<α<,<β<π,则<2β<2π,-2π<-2β<，
∴,.
5.将下列各角从弧度化为度：
（1）；
（2）-20.
解：（1）rad=×180°=-75°；
（2）-20
rad≈57.3°×（-20）=-1
146°.
6.将下列角度数化为弧度数：
（1）-12°45′；
（2）112°30′.
解：(1)-12°45′=-12?75°=-12.75×；
（2）112°30′=112.5°=112.5×rad.
7.已知一扇形的周长是40
cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大 最大面积是多少
解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l+2r=40，∴l=40-2r.
∴S=×（40-2r）r=20r-r2=-（r-10）2+100.
∴当半径r=10
cm时，扇形的面积最大，这个最大值为100
cm2，这时θ=rad=2
rad.
8.已知圆中一段弧长正好等于该圆外切正三角形的边长，求这段弧所对的圆心角.
解：设圆的半径为r，则圆的外切正三角形的边长为，由题意知弧长为，
所以这段弧所对的圆心角的弧度数为rad.
9.已知圆上一点A(1,0)按逆时针方向做匀速圆周运动，1秒钟时间转过θ(0＜θ≤π)角，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟转到与最初位置重合的位置，求θ角的弧度数.
解：∵0<θ≤π，可得0<2θ≤2π.
又∵2θ在第三象限，∴π<2θ≤.
由14θ=2kπ(k∈Z),可得2θ=(k∈Z)，∴π<<,即.
∴k=4或5.∴θ=或.
10.在已知圆内，1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及扇形的面积.
解：如图，作OC⊥AB于C，则C为AB的中点，且AC=1，∠AOC=，所以
r=OA=.
则弧长l=|α|·r=,面积S=.(共29张PPT)
1.3
弧度制
思
考
有人问：上海到南京有多远时，有人回答约300公里，但也有人回答约188英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）
回答：显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.
1.角度制的定义
规定周角的
为1度的角，这种用度作单位来度量角的制度叫角度制.
2.弧长公式及扇形面积公式
在角度制下，当把两个角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来困难．那么我们能否重新选择角单位，使运算与常规的十进制加减法一样去做呢？
我们这节课要研究的主要内容就是弧度制.
1.理解弧度的意义,熟记特殊角的弧度数.（重点）
2.能熟练地进行弧度与角度的换算.（难点）
3.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式.（难点）
探究点1
弧度制的有关概念
在以单位长为半径的圆中,单位长度的弧所对的圆心角为__________，它的单位符号是rad,读作弧度.
设弧长为l，若l=r，
则∠AOB=
1弧度.
l
r
=
O
B
r
l=r
A
1弧度
1弧度的角
则∠AOB=
2π弧度.
l
r
=
则∠AOB=
2弧度.
l
r
=
r
O
A
B
l=2r
2π弧度
l=2
π
r
O
A
(B)
r
若l=2r，
若l=2πr，
2弧度
若圆心角∠AOB表示一个负角，且它所对的弧长为3r，则∠AOB的弧度数的绝对值是
l
r
=
3，
即∠AOB
=
l
r
=
-3弧度.
l=3r
O
A
B
r
-3弧度
-
思考：通过上面的实例我们能得到什么结论？
提示：圆心角∠AOB的弧度数的绝对值等于它所对的弧长与半径长的比.
1弧度
R
l=R
O
A'
B'
1弧度
r
l=r
O
A
B
与半径长无关
的一个比值
一般地，任一正角的弧度数都是一个_____；任一负角的弧度数都是一个_____；零角的弧度数是__.这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制.
正数
负数
0
总结：不同的角，其弧度数一定不相同.因此可用角的弧度数来度量角的大小.这种度量方法有效地把角度单位与长度单位统一起来.弧度制确
立了角的弧度数与实数间的一一对应关系，
实数集R
角的集合
正角
零角
负角
正实数
零
负实数
对应角的弧度数
【即时训练】
判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)角的弧度数的大小与角的大小有关.(
)
(2)角的弧度数与角所在圆的半径的大小有关.(
)
(3)角α=5表示的是5弧度的角.(
）
【解析】(1)
角的大小决定了弧度数的大小.
(2)
由弧度数的概念知弧度数与角所在圆的半径无关.
(3)
在用弧度表示角时“弧度”两字可以省略.
√
×
√
探究点2
弧度制与角度制的换算
360°=
2π
rad
180°=
π
rad
l=2
π
r
O
A
(B)
r
因为周角的弧度数是2π，而在角度制下它是360°，所以
由180°=πrad还可得
1°=
——
rad
≈
0．017
45
rad.
180
π
1rad
=（
）°≈
57．30°=57°18′.
把角度换成弧度
把弧度换成角度
【即时训练】
用弧度制表示终边落在x轴上方的角的集合为_________.
【解题关键】角α的终边落在x轴上方，即角的终边落在
第一象限、第二象限以及y轴的非负半轴上.
【解析】若角α的终边落在x轴上方，
则2kπ＜α＜2kπ+π,k∈Z.
答案:{α|2kπ＜α＜2kπ+π,k∈Z}
例1
把45°化成弧度.
解:
45°=
例2
把
化成度.
解:
方法：用弧度与角度的相互转化公式求解
度
0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
弧度
0
π
2π
提升总结
一些特殊角的度数与弧度数的对应表
对于0°～360°之外的角，我们也不难得到它们的
弧度数.例如，-30°=-
rad,420°=
360°+60°
=
rad.
思考：在进行角度制和弧度制的换算时，应注意什么？
提示：(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”两字或“rad”可以不写.
(2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数.
(3)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度.
设r为圆的半径,
l是圆心角α所对的弧长，在使用弧度制时，圆心角α的弧度数通常也用α来表示，由弧度的定义可知，角α的弧度数的绝对值满足：
︱α︱=
l
r
即
l
=|
|r
探究点3
扇形的弧长和面积
即弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝对值与半径的积.
证明:(1)由于半径为r，圆心角为n的扇形的弧长公式和面积公式分别是：
将n转换为弧度，得
于是，
(2)将
代入上式，即得
例3
如图，利用弧度制证明扇形面积公式
其中r是半径，l是弧长，
为圆心角，S是扇形的面积.
思考：弧长、扇形的面积公式中的角α是否可以是
角度制？
提示：不可以.在不同的度量角的制度下，扇形的弧
长和面积公式是不同的，角度制下的弧长和扇形面
积公式：弧长l=
,扇形的面积S=
=
lr.在应用
时必须选用与角的度量制对应的公式.
已知扇形的周长为8
cm，圆心角为2
rad，求该扇形的面积.
【解析】设扇形的半径为r
cm，弧长为l
cm，由圆心角为2
rad，依据弧长公式可得l=2r.
由题意知l+2r=2r+2r=4r=8
cm.
解得r=2
cm.从而l=4
cm.
故扇形的面积
【变式练习】
1.把下列各角化成弧度.
(1)67°30'.
(2)120°.(3)75°.
(4)135°.(5)300°.(6)-210°.
解：
2.把下列各弧度化成度.
(1)
(2)
(3)
(1)15°.
(2)-144°.
(3)-150°.
解：
3.
半径为1
cm，圆心角为150°的角所对的弧长为(
)
【解析】因为150°=
所以
D
4.已知扇形的周长为8
cm，面积为4
cm2，求该扇形的圆心角的弧度数.
解：设扇形半径为r，弧长为l，则由
故该扇形的圆心角α的弧度数为
5.已知扇形的面积为4，当扇形的圆心角为多少弧
度时，扇形的周长最小？并求出此最小值．
【解析】设扇形的弧长为l，半径为r，由
得
所以扇形周长
因为r∈
时，
为减函数，r∈(2,+∞)时，
为增函数，故r=2时扇形的周长最小为8，此时l=4，圆心角α=2.
【特别提醒】
弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略及其注意点
(1)解题策略
①明确弧度制下弧长公式l=|α|r,扇形的面积公式是
=
(其中l是扇形的弧长,α是扇形的圆心角).
②涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.
(2)注意点
①在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负.
②看清角的度量制，选用相应的公式.
③扇形的周长等于弧长加两个半径长.
正数
负数
0
回顾本节课的收获
悲观的人虽生犹死，乐观的人永生不老.
——拜伦1.3
弧度制
整体设计
教学分析
在物理学和日常生活中,一个量常常需要用不同的方法进行度量,不同的度量方法可以满足我们不同的需要.现实生活中有许多计量单位,如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制,度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制,度量角的大小可以用度为单位进行度量,并且一度的角等于周角的,记作1°.
通过类比引出弧度制,给出1弧度的定义,然后通过探究得到弧度数的绝对值公式,并得出角度和弧度的换算方法.在此基础上,通过具体的例子,巩固所学概念和公式,进一步认识引入弧度制的必要性.这样可以尽量自然地引入弧度制,并让学生在探究过程中,更好地形成弧度的概念,建立角的集合与实数集的一一对应,为学习任意角的三角函数奠定基础.
通过探究讨论,关键弄清1弧度角的定义,使学生建立弧度的概念,理解弧度制的定义,达到突破难点之目的.通过电教手段的直观性,使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性.通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度,二者虽单位不同,但却是互相联系、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解,渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点.
三维目标
1.通过类比长度、重量的不同度量制,使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量,从而引出弧度制.
2.通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度,通过总结引入弧度制的好处,学会归纳整理并认识到任何新知识的学习,都会为解决实际问题带来方便,从而激发学生的学习兴趣.
重点难点
教学重点:理解弧度制的意义,并能进行角度和弧度的换算.
教学难点:弧度的概念及其与角度的关系.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换算的 家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量,这两种度量单位又是怎样换算的 度量角的大小除了以度为单位度量外,还可采用哪种度量角的单位制 它们是怎样换算的
思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷,或者利用普遍使用的钟表.实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪一种方法,度量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的.在初中,已学过利用角度来度量角的大小,现在来学习角的另一种度量方法——弧度制.
推进新课
新知探究
提出问题
问题①:在初中几何里,我们学习过角的度量,1°的角是怎样定义的呢
问题②:我们从度量长度和重量上知道,不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么角的度量是否也能用不同单位制呢
活动:教师先让学生思考或讨论问题,并让学生回忆初中有关角度的知识,为更好地理解角度弧度的关系奠定基础.我们知道,半径不同时,同样的圆心角所对的弧长是不相等的,但通过度量和计算发现,当半径不同时,同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数,这个常数我们称为该角的弧度数.讨论后教师提问学生,并对回答好的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键.教师引导学生进一步探究,对任意一个0°—360°的角,我们以它的顶点为圆心,画单位圆就能得到它的弧度数.不难看出,不同的角,其弧度数一定不相同,而且角越大,它的弧度数越大.因此,我们可以用角的弧度数来度量角的大小.我们规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫作弧度制;在弧度制下,?1弧度记作1
rad.如图1中,的长等于半径r,所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角,即=1.
图1
讨论结果:①1°的角可以理解为将圆周角分成360等份,每一等份的弧所对的圆心角就是1°.它是一个定值,与所取圆的半径大小无关.
②能,用弧度制.
提出问题
问题①:作半径不等的甲、乙两圆,在每个圆上作出等于其半径的弧长,连接圆心与弧的两个端点,得到两个角,将乙图移到甲图上,两个角有什么样的关系
问题②:如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数是多少 既然角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们之间如何换算
活动:教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系,提问学生归纳的情况,让学生找出区别和联系.教师给予补充和提示,对表现好的学生进行表扬,对回答不准确的学生提示和鼓励.引入弧度之后,应与角度进行对比,使学生明确:第一,弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制,角度制是以“度”为单位来度量角的单位制;第二,1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小,而1°的角是周角的;第三,无论是以“弧度”还是以“度”为单位,角的大小都是一个与半径大小无关的定值.教师要强调为了让学生习惯使用弧度制,本教科书在后续的内容中尽量采用弧度制.
讨论结果:①完全重合,因为都是1弧度的角.
②α=;将角度化为弧度:360°=2πrad,1°=rad≈0.01745rad,将弧度化为角度:2πrad=360°,1rad=()°≈57.30°=57°18′.弧度制与角度制的换算公式:设一个角的弧度数为αrad=()°,n°=n(rad).
提出问题
问题①:引入弧度之后,在平面直角坐标系中,终边相同的角应该怎么用弧度来表示 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示
②:填写下列的表格,并找出某种规律.
的长
OB旋转的方向
∠AOB的弧度数
∠AOB的度数
πr
逆时针方向
2πr
逆时针方向
r
1
-2
-π
0
180°
360°
活动:教师先点明教科书上为什么设置这个“探究” 其意图是先根据所给图像对一些特殊角填表,然后概括出一般情况.通过学生合作交流,讨论并总结出规律,提问学生的总结情况,让学生板书.教师对做正确的学生给予表扬,对没有总结完全的学生进行必要的提示.
由上表可知,如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数的绝对值是这里,应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题,即角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们一定可以换算.推而广之,同一个数学对象用不同方式表示时,它们之间一定有内在联系,认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一.
教师点拨:角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.值得注意的是:今后在表示与角α终边相同的角时,有弧度制与角度制两种单位制,要根据角α的单位来决定另一项的单位,即两项所用的单位制必须一致,绝对不能出现k·360°+或者2kπ+60°一类的写法.在弧度制中,与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ
(k∈Z)的形式.如图2为角的集合与实数集R之间的一一对应关系.
图2
讨论结果:①与角α终边相同的角,连同角α在内,可以写成β=α+2kπ
(k∈Z)的形式.弧度制下关于扇形的公式为l=αR,S=αR2,S=R.
②
的长
OB旋转的方向
∠AOB的弧度数
∠AOB的度数
πr
逆时针方向
π
180°
2πr
逆时针方向
2π
360°
r
逆时针方向
1
57.3°
2r
顺时针方向
-2
-114.6°
πr
顺时针方向
-π
-180°
0
未施转
0
0°
πr
逆时针方向
π
180°
2πr
逆时针方向
2π
360°
应用示例
思路1
例1
下列各命题中,是真命题的是(
)
A.一弧度是一度的圆心角所对的弧
B.一弧度是长度为半径的弧
C.一弧度是一度的弧与一度的角之和
D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位
活动:本例目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别,以达到熟练掌握定义.从实际教学上看,弧度制不难理解,学生结合角度制很容易记住.
根据弧度制的定义:我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作一弧度的角.对照各项,可知D为真命题.
答案:D
点评:本题考查弧度制下角的度量单位:1弧度的概念.
变式训练
下列四个命题中,不正确的一个是(
)
A.半圆所对的圆心角是πrad
B.周角的大小是2π
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
答案:D
例2
把45°化成弧度.
解:45°=×45rad=rad.
例3
把rad化成度.
解:rad=×180°=108°.
例4
将下列用弧度制表示的角化为2kπ+α〔k∈Z,α∈［0,2π)〕的形式,并指出它们所在的象限:①-;②;③-20;④-2.
活动:本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角,教师给予指导并讨论归纳出一般规律.即终边在x轴、y轴上的角的集合分别是:{β|β=kπ,k∈Z},{β|β=+kπ,k∈Z}.?第一、二、三、四象限角的集合分别为:
{β|2kπ＜β＜2kπ+,k∈Z},
{β|2kπ+＜β＜2kπ+π,k∈Z},
{β|2kπ+π＜β＜2kπ+,k∈Z},
{β|2kπ+＜β＜2kπ+2π,k∈Z}.
解:①-=-4π+,是第一象限角.
②=10π+,是第二象限角.
③-20=-3×6.28-1.16,是第四象限角.
④-2≈-3.464,是第二象限角.
点评:在这类题中对于含有π的弧度数表示的角,我们先将它化为2kπ+α〔k∈Z,α∈［0,2π)〕的形式,再根据α角终边所在的位置进行判断,对于不含有π的弧度数表示的角,取π=3.14,化为k×6.28+α,k∈Z,|α|∈［0,6.28)的形式,通过α与,π,比较大小,估计出角所在的象限.
变式训练
(1)把-1
480°写成2kπ+α(k∈Z,α∈［0,2π))的形式;
(2)若β∈［-4π,0),且β与(1)中α终边相同,求β.
解:(1)∵-1
480°=-=-10π+,0≤＜2π,
∴-1
480°=2(-5)π+.
(2)∵β与α终边相同,∴β=2kπ+,k∈Z.
又∵β∈［-4π,0),∴β1=-,β2=-.
思路2
1.已知0＜θ＜2π,且θ与7θ终边相同,求θ.
活动:本例目的是让学生在教师的指导下会用弧度制求终边相同的角,并通过独立完成课后练习真正领悟弧度制的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,用弧度制解决角的问题很容易却难掌握,很有可能记错或者混淆或者化简错误,学生需多做些这方面的题来练基本功.可先让学生多做相应的随堂练习,在黑板上当场演练,教师给予批改指导,对易出错的地方特别强调.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生的练习操作中一一纠正,这对以后学习大有好处.
解:由已知,得7θ=2kπ+θ,k∈Z,即6θ=2kπ.∴θ=.
又∵0＜θ＜2π,∴0＜＜2π.
∵k∈Z,当k=1、2、3、4、5时,θ=、、π、、
点评:本题是在一定的约束条件下,求与角α终边相同的角,一般地,首先将这样的角表示为2kπ+α〔k∈Z,α∈［0,2π)〕的形式,然后在约束条件下确定k的值,进而求适合条件的角.
例2
已知一个扇形的周长为a,求当扇形的圆心角多大时,扇形的面积最大,并求这个最大值.
活动:这是一道应用题,并且考查了函数思想,教师提示学生回顾一下用函数法求最值的思路与步骤,教师提问学生对已学知识的掌握和巩固,并对回答好的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予一定的提示和鼓励.教师补充.函数法求最值所包括的五个基本环节:(1)选取自变量;(2)建立目标函数;(3)指出函数的定义域;(4)求函数的最值;(5)作出相应结论.其中自变量的选取不唯一,建立目标函数结合有关公式进行,函数定义域要根据题意确定,有些函数是结构确定求最值的方法,并确保在定义域内能取到最值.
解:设扇形的弧长为l,半径为r,圆心角为α,面积为S.由已知,2r+l=a,即l=a-2r.
∴S=l·r=
(a-2r)·r=-r2+r=-(r-)2+.
∵r＞0,l=a-2r＞0,∴0＜r＜.
∴当r=时,=此时,l=a-2·=,∴α==2.
故当扇形的圆心角为2rad时,扇形的面积取最大值
点评:这是一个最大值问题,可用函数法求解,即将扇形的面积S表示成某个变量的函数,然后求这个函数的最大值及相应的圆心角.
变式训练
已知一个扇形的周长为+4,圆心角为80°,求这个扇形的面积.
解:设扇形的半径为r,面积为S,由已知知道,扇形的圆心角为80×=,
∴扇形的弧长为r,由已知,r+2r=+4,∴r=2,∴S=,r2=
故扇形的面积为
点评:求解扇形问题的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.相反,也可由扇形的面积结合其他条件,求扇形的圆心角、半径、弧长.解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用.
知能训练
习题1—3
1、2、3、4、5.
课堂小结
由学生总结弧度制的定义,角度与弧度的换算公式与方法.教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制,它们是互相联系,辩证统一的;角度与弧度的换算,关键要理解并牢记180°=πrad这一关系式,由此可以很方便地进行角度与弧度的换算;三个注意的问题,同学们要切记;特殊角的弧度数,同学们要熟记.
重要的一点是,同学们自己找到了角的集合与实数集R的一一对应关系,对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解,要把这两个公式记下来,并在解决实际问题中灵活运用,表扬学生能总结出引入弧度制的好处,这种不断总结,不断归纳,梳理知识,编织知识的网络,特别是同学们善于联想、积极探索的学习品质,会使我们终生受用,这样持之以恒地坚持下去,你会发现数学王国的许多宝藏,以服务于社会,造福于人类.
作业
习题1—3
6、8.
设计感想
本节课的设计思想是:在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难点.因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究,不要让开始的探究成为一种摆设.如果学生一开始没有很好的理解,那么以后有些题怎么做就怎么难受.通过探究让学生明确知识依附于问题而存在,方法为解决问题的需要而产生.将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去,由此把学生的思维推到更宽的广度.
本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难,这符合学生的认知规律;让学生在探究中积累知识,发展能力,对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪.但由于学生知识水平的限制,本节不能扩展太多,建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并为后续三角函数的学习奠定基础.
根据本节特点可考虑分层推进、照顾全体.对优等生,重在引导他们变式思维的训练,培养他们求同思维、求异思维的能力,以及思维的灵活性、深刻性与创造性.鼓励他们独立思考,勇于探索,敢于创新,对正确的要予以肯定,对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正,使课堂学习成为再发现再创造的过程.
备课资料
一、密位制度量角
度量角的单位制,除了角度制、弧度制外,军事上还常用密位制.密位制的单位是“密位”.1密位就是圆的所对的圆心角(或这条弧)的大小.因为360°=6
000密位,所以1°=≈16.7密位,
1密位==0.06°=3.6′≈216″.
密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线,例如7密位写成0—07,读作“零,零七”,478密位写成4—78,读作“四,七八”.
二、备用习题
1.一条弦的长度等于圆的半径,则这条弦所对的圆心角的弧度数是(
)
A.
B.
C.1
D.π
2.圆的半径变为原来的2倍,而弧长也增大到原来的2倍,则(
)
A.扇形的面积不变
B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积增大到原来的2倍
D.扇形的圆心角增大到原来的2倍
3.下列表示的为终边相同的角的是(
)
A.kπ+与2kπ+(k∈Z)
B.与kπ+(k∈Z)
C.kπ-与kπ+(k∈Z)
D.(2k+1)π与3kπ(k∈Z)
4.已知扇形的周长为6cm,面积为2cm2,求扇形的中心角的弧度数.
5.若α∈(-,0),β∈(0,),求α+β,α-β的范围,并指出它们各自所在的象限.
6.用弧度表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界,如图3所示).
图3
7.(1)角α,β的终边关于直线y=x对称,写出α与β的关系式;
(2)角α,β的终边关于直线y=-x对称,写出α与β的关系式.
参考答案:1.A
2.B
3.C
4.解:设扇形所在圆的半径为R,扇形的中心角为α,依题意有αR+2R=6,且αR2=2,
∴R=1,α=4或R=2,α=1.
∴α=4或1.
5.解:-＜α+β＜,
∴α+β在第一象限或第四象限,或α+β的终边在x轴的非负半轴上.-π＜α-β＜0,
∴α-β在第三象限或第四象限,或α-β的终边在y轴的非正半轴上.
6.解:(1){θ|2kπ-＜θ＜2kπ+,k∈Z};
(2){θ|2kπ-＜θ＜2kπ+,k∈Z};
(3){θ|2kπ+＜θ＜2kπ+,k∈Z}∪{θ|2kπ+＜θ＜2kπ+,k∈Z}
={θ|nπ+＜θ＜π+,n∈Z}.
7.解:(1)β=-α+2kπ,k∈Z;
(2)β=+α+2kπ,k∈Z.
三、钟表的分针与时针的重合问题
弧度制、角度制以及有关弧度的概念,在日常生活中有着广泛的应用,我们平时所见到的时钟上的时针、分针的转动,其实质都反映了角的变化.时间的度量单位时、分、秒分别与角2π
(rad),(rad),(rad)相对应,只是出于方便的原因,才用时、分、秒.时钟上的数学问题比较丰富,下面我们就时针与分针重合的问题加以研讨.
例题
在一般的时钟上,自零时开始到分针与时针再一次重合,分针所转过的角的弧度数是多少(在不考虑角度方向的情况下)
甲生:自零时(此时时针与分针重合,均指向12)开始到分针与时针再一次重合,设时针转过了x弧度,则分针转过了2π+x弧度,而时针走1弧度相当于经过h=min,分针走1弧度相当于经过min,故有x=(2π+x),得x=,
∴到分针与时针再一次重合时,分针转过的弧度数是++2π=(rad).
乙生:设再一次重合时,分针转过弧度数为α,则α=12(α-2π)(因为再一次重合时,时针比分针少转了一周,且分针的旋转速度是时针的12倍),得α=,
∴到分针与时针再一次重合时,分针转过的弧度数是(rad).
点评:两名同学得出的结果相同,其解答过程都是正确的,只不过解题的角度不同而已.甲同学是从时针与分针所走的时间相等方面列出方程求解,而乙同学则从时针与分针所转过的弧度数入手,当分针与时针再次重合时,分针所转过的弧度数α-2π与时针所转过的弧度数相等,利用弧度数之间的关系列出方程求解.
