2.2.1
向量的加法
整体设计
教学分析
向量的加法是学生在认识向量概念之后首先要掌握的运算,其主要内容是运用向量的定义和向量相等的定义得出向量加法的三角形法则、平行四边形法则,并对向量加法的交换律、结合律进行证明.同时运用它们进行相关计算,这可让学生进一步加强对向量几何意义的理解,也为接下来学习向量的减法奠定基础,起到承上启下的重要作用.学生已经通过上节的学习,掌握了向量的概念、几何表示,理解了什么是相等向量和共线向量.在学习物理的过程中,已经知道位移、速度和力这些物理量都是向量,可以合成,而且知道这些矢量的合成都遵循平行四边形法则,这为本课题的引入提供了较好的条件.
培养数学的应用意识是当今数学教育的主题,本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识.在向量加法的概念中,由于涉及到两个向量有不平行和平行这两种情况,因此有利于渗透分类讨论的数学思想.而在猜测向量加法的运算律时,通过引导学生利用实数加法的运算律进行类比,则能培养学生类比、迁移等能力.在实际教学中,类比数的运算,向量也能够进行运算.运算引入后,向量的工具作用才能得到充分发挥.实际上,引入一个新的量后,考察它的运算及运算律,是数学研究中的基本问题.教师应引导学生体会考察一个量的运算问题,最主要的是认清运算的定义及其运算律,这样才能正确、方便地实施运算.
向量的加法运算是通过类比数的加法,以位移的合成、力的合力等两个物理模型为背景引入的.这样做使加法运算的学习建立在学生已有的认知基础上,同时还可以提醒学生注意,由于向量有方向,因此在进行向量运算时,不但要考虑大小问题,而且要考虑方向问题,从而使学生体会向量运算与数的运算的联系与区别.这样做,有利于学生更好地把握向量加法的特点.因此本节的主要思想方法是类比思想、数形结合思想等.
三维目标
1.通过经历向量加法的探究,掌握向量加法概念,结合物理学实际理解向量加法的意义.能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,并能作出已知两向量的和向量.
2.在探究活动中,理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义.掌握有特殊位置关系的两个向量的和,比如共线向量、共起点向量、共终点向量等.
3.通过本节内容的学习,使学生认识事物之间的相互转化,培养学生的数学应用意识,体会数学在生活中的作用.培养学生类比、迁移、分类、归纳等能力,初步体会向量内容与其他知识的交汇特点.
重点难点
教学重点:向量加法的运算及其几何意义.
教学难点:对向量加法法则定义的理解.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(复习导入)上一节,我们一起学习了向量的有关概念,明确了向量的表示方法,了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念,并掌握了这些概念的辨析判断.另外,向量和我们熟悉的数一样也可以进行加减运算,这一节,我们先学习向量的加法.
思路2.(问题导入)2004年大陆和台湾没有直航,因此春节探亲,要先从台北到香港,再从香港到上海,这两次位移之和是什么 怎样列出数学式子？一位同学按以下的指令进行活动:向北走20米,再向西走15米,再向东走5米,最后向南走10米,怎样计算他所在的位置 由此导入新课.
推进新课
新知探究
提出问题
①数能进行运算,向量是否也能进行运算呢？类比数的加法,猜想向量的加法,应怎样定义向量的加法？
②猜想向量加法的法则是什么 与数的运算法则有什么不同
图1
活动:向量是既有大小、又有方向的量,教师引导学生回顾物理中位移的概念,位移可以合成,如图1.在大型生产车间里,一重物被天车从A处般运到B处,它的实际位移,可以看作水平运动的分位移与竖直向上运动的分位移的合位移.
由分位移求合位移,称为位移的合成.由物理学知识我们知道,位移合成遵循平行四边形法则,即AB是以AC,AD为邻边的ACBD的对角线.
数的加法启发我们,从运算的角度看,可以认为是与的和,即位移、力的合成看作向量的加法.
讨论结果:①向量加法的定义:如图2,已知非零向量a、b,在平面内任取一点A,作=a,=b,则向量叫作a与b的和,记作a+b,即a+b=+=.
图2
求两个向量和的运算,叫作向量的加法.
②向量加法的法则:
1°向量加法的三角形法则
已知向量a,b,在平面内任取一点A,作=a,=b,再作向量,则向量叫作向量a与b的和,这种求向量和的作图方法就是向量加法的三角形法则.运用这一法则时要特别注意“首尾相接”,即第二个向量要以第一个向量的终点为起点,则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量,如图2.
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.
向量求和的三角形法则,可推广至多个向量求和的多边形法则:n个向量经过平移,顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合,组成一向量折线,这n个向量的和等于折线起点到终点的向量,即+…+.
2°向量加法的平行四边形法则
图3
如图3,以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形,则以O为起点的对角线就是a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则.
力的合成可以看作向量加法的物理模型.
提出问题
①对于零向量与任一向量的加法,结果又是怎样的呢
②两共线向量求和时,用三角形法则较为合适.当在数轴上表示两个向量时,它们的加法与数的加法有什么关系？
③思考|a+b|,|a|,|b|存在着怎样的关系
④数的运算和运算律紧密联系,运算律可以有效地简化运算.类似地,向量的加法是否也有运算律呢
活动:观察实际例子,教师启发学生思考,并适时点拨,诱导,探究向量的加法在特殊情况下的运算,共线向量加法与数的加法之间的关系.数的加法满足交换律与结合律,即对任意a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).任意向量a,b的加法是否也满足交换律和结合律 引导学生画图进行探索.
讨论结果:①对于零向量与任一向量,我们规定a+0=0+a=a.
②两个数相加其结果是一个数,对应于数轴上的一个点;在数轴上的两个向量相加,它们的和仍是一个向量,对应于数轴上的一条有向线段.
③当a,b不共线时,|a+b|＜|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边);
当a,b共线且方向相同时,|a+b|=|a|+|b|;
当a,b共线且方向相反时,|a+b|a|-|b|(或|b|-|a|)，其中当向量a的长度大于向量b的长度时,|a+b|=|a|b|;当向量a的长度小于向量b的长度时,|a+b|=|b|a|.
一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b
图4
④如图4,作=a,=b以AB、AD为邻边作ABCD,则=b,=a.
因为=+=a+b,=+=
b+a,所以a+b=b+a.
图5
如图5,因为=+=(+)+=(a+b)+c,
=+=+(+)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c).
综上所述,向量的加法满足交换律和结合律.
应用示例
思路1
例1
如图6,已知向量a、b,求作向量a+b.
活动:教师引导学生,让学生探究分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.在向量加法的作图中,学生体会作法中在平面内任取一点O的依据——它体现了向量起点的任意性.在向量作图时,一般都需要进行向量的平移,用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起,而用三角形法则作图则要求首尾相连.
图6
图7
图8
解:作法一:在平面内任取一点O(如图7),作=a,=b,则=a+b.
作法二:在平面内任取一点O(如图8),作=a,=b.以OA、OB为邻边作OACB,连结OC,则=a+b.
变式训练
化简:(1)+;(2);(3)+
活动:根据向量加法的交换律使各向量首尾顺次相接,再运用向量加法的结合律调整运算顺序,然后相加.
解:(1)+=+=.
(2)=(=0.
(3)++++=++++
=+++=++=+=0.
点评:要善于运用向量的加法的运算法则及运算律来求和向量.
例2
长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图9所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h.
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字);
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到度).
图9
图10
活动:本例结合一个实际问题说明向量加法在实际生活中的应用.这样的问题在物理中已有涉及,这里是要学生能把它抽象为向量的加法运算,体会其中应解决的问题是向量模的大小及向量的方向(与某一方向所成角的大小).引导点拨学生正确理解题意,将实际问题反映在向量作图上,从而与初中学过的解直角三角形建立联系.
解:如图10所示,表示船速,表示水速,以AD、AB为邻边作ABCD,则表示船实际航行的速度.
(2)在Rt△ABC中,|=2,||=5,
所以||=≈5.4.
因为tan∠CAB=,由计算器得∠CAB=70°.
答:船实际航行速度的大小约为5.4km/h,方向与水的流速间的夹角为70°.
点评:用向量法解决物理问题的步骤为:先用向量表示物理量,再进行向量运算,最后回扣物理问题,解决问题.
变式训练
用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形.
图11
活动:本题是一道平面几何题,如果用纯几何的方法去思考,问题不难解决,如果用向量法来解,不仅思路清晰,而且运算简单.将互相平分利用向量表达,以此为条件推证使四边形为平行四边形的向量等式成立.教师引导学生探究怎样用向量法解决几何问题,并在解完后总结思路方法.
证明:如图11,设四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,=,.AC与BD互相平分,=,=,
∴=,
因此AB∥CD且||=||,
即四边形ABCD是平行四边形.
点评:证明一个四边形是平行四边形时,只需证明=或即可.而要证明一个四边形是梯形,需证明与共线,且||≠||.
例3
轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40n
mile
(海里)到达B处,再由B处沿正北方向行驶40n
mile到达C处,求此时轮船与A港的相对位置.
图12
解:如图12，设、分别表示轮船的两次位移,则表示轮船的合位移,=+.
在Rt△ADB中,∠ADB=90°,∠DAB=30°,||=40n
mile,
所以||=20n
mile,||=20n
mile.
在Rt△ADC中,∠ADC=90°,||=60n
mile,
所以||=n
mile
因为||=2||,所以∠CAD=60°.
答:轮船此时位于A港东偏北60°,且距A港40n
mile的C处.
思路2
例1
如图13,O为正六边形ABCDEF的中心,作出下列向量:
(1);(2);(3).
活动:教师引导学生由向量的平行四边形法则(三角形法则)作出相应的向量.教师一定要让学生亲自动手操作,对思路不清的学生教师适时地给予点拨指导.
图13
解:(1)因四边形OABC是以OA、OC为邻边的平行四边形,OB是其对角线,
故=.
(2)因,
故与方向相同,长度为的长度的2倍,
故=.
(3)因,
故=0.
点评:向量的运算结合平面几何知识,在长度和方向两个方面作文章.应深刻理解向量的加、减法的几何意义.
例2
在小船过河时,小船沿垂直河岸方向行驶的速度为v1=3.46km/h,河水流动的速度为v2=2.0
km/h,试求小船过河实际航行速度的大小和方向.
图14
解:如图14,设表示小船垂直于河岸行驶的速度,表示水流的速度,以OA、OB为邻边作OACB,则就是小船实际航行的速度.
在Rt△OBC中,||=v1=3.46km/h,||=v2=2.0km/h,
所以||=≈4.0(km/h).
因为tan∠BOC==1.73,所以∠BOC≈60°.
答:小船实际航行速度的大小约为4.0km/h,方向与水流方向约成60°角.
变式训练
已知O是四边形ABCD内一点,若=0,则四边形ABCD是怎样的四边形 点O是四边形的什么点
图15
活动:要判断四边形的形状就必须找出四边形边的某些关系,如平行、相等等;而要判断点O是该四边形的什么点,就必须找到该点与四边形的边或对角线的关系.
解:如图15所示,设点O是任一四边形ABCD内的一点,且=0,过A作AEOD,连结ED,则四边形AEDO为平行四边形.
设OE与AD的交点为M,过B作BFOC,则四边形BOCF为平行四边形.
设OF与BC的交点为N,于是M、N分别是AD、BC的中点.
∵=0,,,
∴+=0,即与的长度相等,方向相反.
∴M、O、N三点共线,即点O在AD与BC的中点连线上.
同理,点O也在AB与DC的中点连线上.
∴点O是四边形ABCD对边中点连线的交点,且该四边形可以是任意四边形.
例3
两个力F1和F2同时作用在一个物体上,其中F1=40N,方向向东,F2=30N,方向向北,求它们的合力.
图16
解:如图16,表示F1,表示F2,以OA、OB为邻边作OACB,则表示合力F.
在Rt△OAC中,||=F1=40N,||=||=F2=30N.
由勾股定理,得F=||==50(N).
设合力F与力F1的夹角为θ，则
tanθ==0.75.
所以θ≈37°.
答：合力大小为50N，方向为东偏北37°.
知能训练
课本本节练习1—4.
课堂小结
1.先由学生回顾本节学习的数学知识:向量的加法定义,向量加法的三角形法则和平行四边形法则,向量加法满足交换律和结合律,几何作图,向量加法的实际应用.
2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法:特殊与一般,归纳与类比,数形结合,分类讨论,特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法.这种迁移类比的方法将把我们引向数学的王国,科学的殿堂.
作业
如图17所示,已知矩形ABCD中,||=4,设=a,=b,=c,试求向量a+b+c的模.
图17
解:过D作AC的平行线,交BC的延长线于E,
∴DE∥AC,AD∥BE
∴四边形ADEC为平行四边形.
∴=,=.
于是a+b+c=++=+==+=2,
∴|a+b+c|=2||=8.
点评:求若干个向量的和的模(或最值)的问题通常按下列步骤进行:
(1)寻找或构造平行四边形,找出所求向量的关系式;
(2)用已知长度的向量表示待求向量的模,有时还要利用模的重要性质.
设计感想
1.本节内容是向量的加法,运算法则有三角形法则和平行四边形法则,而两个法则的运用有各自的条件:三角形法则适合于首尾顺次相接的两向量相加,对于共线向量的加法仍然适合；而平行四边形法则适合于两个同起点的向量相加,对于共线向量却不能用此法解决.三角形法则可以推广到多个首尾顺次相接的向量的加法.
2.本节要求使用多媒体辅助教学,便于直观、生动地揭示向量加法的概念,突破难点,提高效率,因为本节解决问题的方法主要是借助图形,采用数形结合的思想方法.多让学生动手画图,识图,让学生在动态中经历和体会概念的形成过程.让学生自己类比、猜想、发现及应用新知识解决问题.
备课资料
备用习题
1.已知正方形ABCD的边长为1,=a,=c,=b,则|a+b+c|为(
)
A.0
B.3
C.
D.2
2.设a=(+)+(+),b是任一非零向量,则下列结论中正确的为(
)
①a∥b②a+b=a③a+b=b④|a+b|＜|a|+|b|⑤|a+b|=|a|+|b|
A①②
B.①③
C.①③⑤
D.③④⑤
3.设向量a,b都不是零向量:
(1)若向量a与b同向,则a+b与a的方向_________,且|a+b|_________|a|+|b|;
(2)若向量a与b反向,且|a|＞|b|,则a+b与a的方向_________,且|a|+|b|_________|a|-|b|.
4.如图18所示,已知正方体ABCD—A1B1C1D1,
设=a,=b,=c,则=_________.(用a、b、c表示)
图18
5.某人在静水中游泳,速度为4km/h,如果他径直游向对岸,水流速度为4km/h,则他实际以多大的速度沿何方向游
6.在中心为O的正八边形A1A2…A8中,a0=,ai=(i=1,2,…,7),
bj=(j=1,2,…,8),试化简a2+a5+b2+b5+b7.
7.已知△ABC为直角三角形,∠A=90°,AD⊥BC于D,
求证:||2=|+|2+|+|2.
参考答案:
1.D
2.C
3.(1)相同
=
(2)相同
=
4.a+b+c
5.解:如图19所示,设此人在静水中的游泳速度为,
水流速度为,则=+为此人的实际速度,
易求得||=8km/h,∠COA=60°.
图19
答:此人沿与河岸的夹角为60°顺着水流的方向前进,速度大小为8km/h.
6.解:如图20所示,∵=0,
∴a2+a5+b2+b5+b7=
=b5
图20
图21
7.证明:如图21所示,以DB、DA为邻边作ADBE,于是+=.
∵||=||,
∴|+|=||.
同理可得|+|=||.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
||2=|+|2+|+|2.2.2
从位移的合成到向量的加法第2课时
自我小测
1．如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则＝( )
A．
B．
C．
D．
2．下列等式中正确的个数是( )
①a－0＝a；②b＋a＝a＋b；③－(－a)＝a；④a＋(－a)＝0；⑤a＋(－b)＝a－b.
A．2
B．3
C．4
D．5
3．两个不相等的向量a－b与b－a的( )
A．模相等，方向相反
B．模相等，方向相同
C．仅方向相反
D．仅模相等
4．下列式子不能化简为的是( )
A．
B．
C．
D．
5．已知O是四边形ABCD所在平面内的一点，且，，，满足等式，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形
B．菱形
C．梯形
D．等腰梯形
6．若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为__________，|a－b|的最大值为__________．
解析：当a与b共线且同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，|a－b|＝||a|－|b||.
当a与b共线且反向时，|a＋b|＝||a|－|b||，|a－b|＝|a|＋|b|.
当a与b不共线时，||a|－|b||＜|a＋b|＜|a|＋|b|，||a|－|b||＜|a－b|＜|a|＋|b|，
因此当a与b共线且反向时，|a＋b|取最小值为12－8＝4；
当a与b共线且反向时，|a－b|取最大值为12＋8＝20.
7．如图，在ABCD中，E是CD的中点，且＝a，＝b，则等于__________．
8．如图，在边长为1的正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则|a－b＋c|＝__________.
9．已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，
求证：.
10．已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝2，∠AOB＝，求|a＋b|，|a－b|.
参考答案
1．解析：.
答案：D
2．解析：①②③⑤正确．
答案：C
3．解析：设＝a，＝b，则a－b＝－＝，b－a＝－＝，显然和是一对相反向量．
答案：A
4．解析：；
；
；
.
答案：C
5．解析：∵，，
而，
∴，
∴，
即AB∥CD，且AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
答案：A
6．4 20
7．解析：＝(＋)＝[b＋(－)]
＝(b＋b－a)＝b－a.
答案：b－a
8．解析：因为a－b＝，过B作＝c，连接CM，则＝a－b＋c.
因为AC⊥BD，且＝，
所以DB⊥BM，＝，
所以＝2，即|a－b＋c|＝2.
答案：2
9．证明：如图所示，在四边形CDEF中，
.①
在四边形ABFE中，
.②
①＋②，得
＝．
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴，，
∴，
即.
10．解：以OA，OB为邻边作如图所示的平行四边形OBCA，
由向量的三角形法则和平行四边形法则，
可得a＋b＝，a－b＝.
又∵|a|＝|b|，
∴平行四边形OBCA为菱形，
∴|a＋b|＝＝＝2，
|a－b|＝＝2.(共24张PPT)
2.2.2
向量的减法
上周日杨恒从家骑车到八里河公园游玩,
然后再由八里河公园返回家中,我们把八里河公园记作B点,杨恒家记作A点,那么杨恒的位移是多少
A
B
+
B
A
=
0
A
Ｂ
怎样用向量来表示呢
长度相等,方向相反.
2.类比相反数的概念,我们如何定义上述两个向 量的关系
与
长度相等、方向相反的向量，叫作 的相反向量.
记作：
和 互为相反向量.
规定：零向量的相反向量仍是零向量.即
２.
１.
３．类比相反数的性质,说明相反向量有哪些性质
３.如果
是互为相反的向量，则：
求两个向量差的运算，叫作向量的减法.
向量
加上
的相反向量，叫作
与
的差.
即
1.了解相反向量的概念.
2.掌握向量的减法，会求两个向量的差.（重点）
3.掌握向量减法的运算，并理解其几何意义.（难点）
A
B
C
O
.
探究点
向量减法
如图，作
以OA,OB为边作
OACB，连接BA.
不难看出，向量
表示向量
与
的和，也就是向量
已知向量
如何作
向量减法法则:
注
意:
两个向量起点相同，则两个向量的差就是连接两向量终点，指向被减向量终点的向量.
(1)起点相同.
(2)由减向量的终点指向被减向量的终点.
A
B
O
.
(3)向量的差仍是向量.
同起点，连终点，指向被减.
(1)图中，红色有向线段表示的向量是哪两个向量的差？
？
练一练
AB
-
AD
=
BA
-
BC
=
BC
-
BA
=
OD
-
OA
=
OA
-
OB
=
DB
CA
AC
AD
BA
(2)填空
(3)如图，
求作
.
Ｏ
Ｂ
Ａ
C
D
D
C
A
B
变式练习：
D
C
A
B
当
满足
时，
与
互相垂直.
本题中
互动探究1
D
C
A
B
本题中
互动探究2
D
C
A
B
不可能，因为对角线方向不同.
本题中
互动探究3
D
C
A
B
D
C
A
B
O
变式练习:
如图，已知一点O
到平行四边形ABCD的三个顶点A，
B，C的向量分别为
试用向量
表示
.
解：
1.化简
的结果等于(
)
A.
B.
C.
D.
2.化简
为(
)
A.
B.
C.
D.
B
C
3.已知△ABC为等腰直角三角形，∠A＝90°，有下列运算：
①
②
③
④
其中正确的序号为__________．
①②③④
D
C
A
B
4.
1.向量的减法的定义.
3.
可以表示为从向量
的终点指向向量
的终点的向量
（
与
起点相同）.
２.向量减法可以看作一个向量加上
另一个向量的相反向量.
才者，德之资也；德者，才之帅也.
——司马光平面向量的线性运算考点解析
向量的线性运算是向量的基础部分，考查主要在选择题、填空题形式出现，侧重于对向量的基本概念、向量运算的关系的考查；在解答题中侧重于向量与其他章节的综合考查，预计高考中向量的内容所占的比重还会较大.
下面对平面向量的线性运算的考点作简单的探究：
考点一、平面向量基本概念的考查：
例1、（06年烟台模拟）给出下列命题：
⑴两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等；
⑵若，则A、B、C、D四点是平行四边形的四各顶点；
⑶若，则；
⑷若，则
其中所有正确命题的序号为
.
解析：两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点与终点的位置无关，故⑴不正确；当时，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故⑵不正确；由，则，且与的方向相同；由，则，且与的方向相同，则与的长度相等且方向相同，故，⑶是正确的；对于⑷，当时，与不一定平行，故⑷是不正确的.
所以正确命题的序号为⑶.
考点二、向量加法、加法的考查：
例2、（07年高考模拟）下列命题：
①如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与之一方向相同；
②在中，必有；
③若，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；
④若均为非零向量，则与一定相等.
其中真命题的个数为（
）
A、0
B、1
C、2
D、3
解析：①假命题，当时，命题不成立.
②真命题.
③假命题，当A、B、C三点共线时，也可以有.
④假命题，只有当与同向时相等，其他情况均为.
点评：对于①②③，关于向量的加法运算除掌握法则外，还应注意一些特殊情况，如零向量，共线向量等，对于④，要注意到向量的加法和求模运算的次序不能交换，即两个向量和的模等于这两个向量的模的和，因为向量的加法实施的对象是向量，而模是数量.
例3、（07年高考模拟）已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别为，则向量等于（
）
A、
B、
C、
D、
解析：如图所示，点O到平行四边形的三个
顶点A、B、C的向量分别为，
结合图形有：
故答案：B
点评：掌握向量加法、减法的三角形法则的灵活应用，相等向量是指长度相等方向相同的向量，与它的位置没有关系.
考点三、平面向量的共线定理的考查：
例4、如图所示，在的边上分别有一点M、N，已知
，连结AN，在AN上取一点R，满足.
⑴用向量表示向量；
⑵证明：R在线段BM上.
解析：⑴∵，
∴
∵，
∴
∵，
∴
又
∴，
∴.
⑵证明：∵
∴，
∴R在线段BM上.
点评：利用向量共线定理时容易证明几何中的三点共线和两直线平行的问题，但是向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括重合情况.
D
C
B
A
O
N
M
O
B
A
R2.2.2向量的减法
整体设计
教学分析
向量减法运算是加法的逆运算.学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算.因此,类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),首先引进相反向量的概念,然后引入向量的减法(减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量),通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则,结合一定数量的例题,深刻理解向量的减法运算.通过阐述向量的减法运算,可以转化为向量加法运算,渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辩证思想,同时由于向量的运算能反映出一些物理规律,从而加强了数学学科与物理学科之间的联系,提高学生的应用意识.
三维目标
1.通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量.
2.启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题.能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量.
重点难点
教学重点:向量的减法运算及其几何意义.
教学难点:对向量减法定义的理解.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢 引导学生进一步探究,由此展开新课.
思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法的逆运算——减法.引导学生去探究、发现.
推进新课
新知探究
提出问题
①向量是否有减法？
②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？
③如何理解向量的减法？
④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？
活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义
引导学生思考,相反向量有哪些性质
由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此a和-a互为相反向量.
于是-(-a)=a.
我们规定,零向量的相反向量仍是零向量.
任一向量与其相反向量的和是零向量,即
a+(-a)=(-a)+a=0.
所以,如果a、b是互为相反的向量,那么
a=-b,b=-a,a+b=0.
(1)平行四边形法则
图1
如图1,设向量=b,=a,则=-b,由向量减法的定义,知=a+(-b)=a-b.
又b+=a,所以=a-b.
由此,我们得到a-b的作图方法.
(2)三角形法则
图2
如图2,已知a、b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b,即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义.
讨论结果:①向量也有减法运算.
②定义向量减法运算之前,应先引进相反向量.
与数x的相反数是-x类似,我们规定,与a长度相等,方向相反的量,叫作a的相反向量,记作-a.
③向量减法的定义.我们定义
a-b=a+(-b),
即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
规定:零向量的相反向量是零向量.
④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是数形结合思想的重要体现.
提出问题
①上图中,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量是什么
②改变上图中向量a、b的方向使a∥b,怎样作出a-b呢
讨论结果:①=b-a.
②略.
应用示例
思路1
例1
如图3,已知向量a,b,c,求作向量a-b+c.
图3
活动:教师让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则,需要选点平移作出两个同起点的向量.
解:在平面上任取一点O,作=a,=b,则=a-b.
再作=c,并以BA、BC为邻边作BADC,
则=+=a-b+c(如图4).
图4
变式训练
(2006上海高考)在ABCD中,下列结论中错误的是(
)
A.=
B.+=
C.-=
D.+=0
解析:A显然正确,由平行四边形法则,可知B正确,C中,-=错误,D中,+=+=0正确.
答案:C
2.如图5,ABCD中,=a,=b,你能用a、b表示向量、吗
图5
活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础.要多注意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.
解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道=a+b,
同样,由向量的减法,知=-=a-b.
变式训练
1.(2005高考模拟)
已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向
量等于(
)
图6
A.a+b+c
B.a-b+c
C.a+b-c
D.a-b-c
解析:如图6,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,结合图形有=+=+=+-=a-b+c.
答案:B
2.若=a+b,=a-b.
①当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直
②当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|
③当a、b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角
④a+b与a-b可能是相等向量吗？
图7
解析:如图7,用向量构建平行四边形,其中向量、恰为平行四边形的对角线.
由平行四边形法则,得
=a+b,=-=a-b.
由此问题就可转换为:
①当边AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直？(|a|=|b|)
②当边AB、AD满足什么条件时,对角线相等？(a、b互相垂直)
③当边AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角？(a、b相等)
④a+b与B-b可能是相等向量吗？(不可能,因为对角线方向不同)
点评:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的威力与魅力,教师引导学生注意领悟.
思路2
例1
判断题:
(1)若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.
(2)△ABC中,必有++=0.
(3)若++=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.
(4)|a+b|≥|a-b|.
活动:根据向量的加、减法及其几何意义.
解:(1)a与b方向相同,则a+b的方向与a和b方向都相同;
若a与b方向相反,则有可能a与b互为相反向量,
此时a+b=0的方向不确定,说与a、b之一方向相同不妥.
(2)由向量加法法则+=,与是互为相反向量,所以有上述结论.
(3)因为当A、B、C三点共线时也有++=0,而此时构不成三角形.
(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定;
当a、b为非零向量共线时,同向则有|a+b|＞|a-b|,异向则有|a+b|＜|a-b|;
当a、b中有零向量时,|a+b|=|a-b|.
综上所述,只有(2)正确.
例2
若||=8,||=5,则||的取值范围是(
)
A.[3,8]
B.(3,8)
C.[3,13]
D.(3,13)
解析:=-.
(1)当、同向时,||=8-5=3;
(2)当、反向时,||=8+5=13;
(3)当、不共线时,3＜||＜13.
综上,可知3≤||≤13.
答案:C
点评:此题可直接应用重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.
变式训练
已知a、b、c是三个非零向量,且两两不共线,顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a+b+c=0.
证明:已知0≠0,b≠0,c≠0,且ab,bc,ca,
(1)必要性:作=a,=b,则由假设=c,
另一方面a+b=+=.
由于与是一对相反向量,
∴有+=0,故有a+b+c=0.
(2)充分性:作=a,=b,则=a+b,又由条件a+b+c=0,
∴+c=0.等式两边同加,得++c=+0.
∴c=,故顺次将向量a、b、c的终点和始点相连接成一三角形.
图8
例3
已知|a|=6,|b|=8,且|a+b|=|a-b|,求|a-b|.
解:如图8,设=a,=b,以AB、AD为邻边作ABCD,则=a+b,=a-b.
因为|a+b|=|a-b|,所以||=||.
又四边形ABCD为平行四边形,所以四边形ABCD为矩形.故AD⊥AB.
在Rt△DAB中,||=6,||=8,由勾股定理,得||==10.所以|a+b|=|a-b|=10.
知能训练
课本本节练习1、2.
课堂小结
1.先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量,向量减法的定义,向量减法的几何意义,向量差的作图.
2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,类比,数形结合,几何作图,分类讨论.
作业
课本习题2—2A组4、5.
设计感想
1.向量减法的几何意义主要是结合平行四边形法则和三角形法则进行讲解的,两种作图方法各有千秋.第一种作法结合向量减法的定义,第二种作法结合向量的平行四边形法则,直接作出从同一点出发的两个向量a、b的差,即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量,第二种作图方法比较简捷.
2.鉴于上述情况,教学中引导学生结合向量减法的几何意义,注意差向量的方向,也就是箭头的方向不要搞错了,a-b的箭头方向要指向a,如果指向b则表示b-a,在几何证明题目中,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.
3.关于向量减法,在向量代数中常有两种定义方法,第一种方法是将向量的减法定义为向量加法的逆运算,也就是说,如果b+x=a,则x叫作a与b的差,记作a-b.这样作a-b时,可先在平面内任取一点O,再作=a,=b,则就是a-b.这种定义向量减法,学生较难理解定义本身,但很容易作a-b.
第二种方法是在相反向量的基础上,通过向量加法定义,即定义a-b=a+(-b).
用这种方法定义,通过类比有理数的减法,学生容易接受a-b=a+(-b),但作图较繁.
实际上这两种定义方法没有本质的区别,为了便于学生接受,降低理论要求,教科书先定义了相反向量,然后将a+(-b)定义为a-b,并探究了在此定义下作两个向量差的方法以及向量减法的运算.
作两个向量差时,教师应提醒学生注意向量的方向,也就是箭头不要搞错了,a-b的箭头要指向向量a,如果指向向量b,则表示b-a.
备课资料
一、向量减法法则的理解
向量减法的三角形法则的式子内容是:两个向量相减,则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减),这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点,以被减向量的终点的字母为终点的向量.
只要学生理解法则内容,那么解决起向量加减法的题来就会更加得心应手,尤其遇到向量的式子运算题时,一般不用画图就可迅速求解,如下面例题:
例1
化简:-+-.
解:原式=+-=-=0.
例2
化简:+++.
解:原式=(+)+(+)=(-)+0=.
二、备用习题
1.下列等式中,正确的个数是
(
)
①a+b=b+a
②a-b=b-a
③0-a=-a
④-(-a)=a
⑤a+(-a)=0
A.5
B.4
C.3
D.2
2.如图12,D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点,则-等于(
)
图12
A.
B.
C.
D.
3.下列式子中不能化简为的是(
)
A.(+)+
B.(+)+(+)
C.+-
D.-+
4.已知A、B、C三点不共线,O是△ABC内一点,若++=0,则O是△ABC的(
)
A.重心
B.垂心
C.内心
D.外心
5.已知两向量a和b,求证:|a+b|=|a-b|的充要条件是a的方向与b的方向垂直.
参考答案:
1.C
2.D
3.C
4.A
5.证明:(1)充分性:
设=a,=b,使⊥,以、为邻边作矩形OBCA,则|a+b|=||,|a-b|=||.
∵四边形OBCA为矩形,
∴||=||,故|a+b|=|a-b|.
(2)必要性:
设=a,=b,以OA、OB为邻边作平行四边形,
则|a+b|=||,|a-b|=||.∵|a+b|=|a-b|,∴|||=||.∴OBCA为矩形.
∴a的方向与b的方向垂直.(共25张PPT)
2.2从位移的合成到向量的加法
2.2.1
向量的加法
北京
广州
上海
1.飞机从广州飞往上海,再从上海飞往北京,这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移相同吗？
我们把后面这样一次位移叫作前面两次位移的合位移.
相同
A
B
C
D
2.在大型生产车间里,一重物被天车从A处搬运到B处.
它的实际位移AB,可以看作水平
运动的分位移AC与竖直运动的分
位移AD的合位移.
由分位移求合位移,称为位移的合成.
在上一节课中我们知道位移是向量，因此位移合成就是向量的加法，那么向量的加法怎么体现？符合哪些规律呢？这就是我们今天要探究的内容.
1.掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法则和平行四边形法则求几个向量的合向量.（重点)
2.能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行向量计算.
（重点）
3.向量加法的概念和向量加法的法则及运算律.（难点）
既然向量的加法可以类比位移的合成，想一想，求两个向量的和是否也可以类比前面位移的合成呢？
探究点1
向量加法的三角形法则
b
a
如下图，已知向量
如何求这两向量的和？
这种作法叫作向量求和的三角形法则.
A
C
作法：1.在平面内任取一点A.
讨论：作图的关键点在哪？
首尾顺次相连.
B
a
b
类比前面的广州至北京的飞机位移的合成
再作向量
.
(1)同向
(2)反向
a
b
a
b
问题1：当向量a，b是共线向量时，a+b又如何作？
(3)规定：
A
B
C
B
A
a
C
b
A
探究点2
向量加法的平行四边形法则
问题2：类比位移的合成方法，作两向量的和还有没有其他的方法呢？
B
D
C
b
a
作法：
作
以AB，AD为邻边
作平行四边形，则
上述这种方法叫作向量求和的平行四边形法则.
思考：这种方法的作图关键点是什么呢？
提示：共起点.
提升总结：三角形法则和平行四边形法则的使用范围.
（1）三角形法则适用于任意两个向量的加法.
（2）平行四边形法则适用于不共线的两个向量的加法.
例１
轮船从Ａ港沿东偏北
30°方向行驶了40
n
mile
（海里）到达
B
处,再由B处沿正北方向行驶40
n
mile
到达
C
处.求此时轮船与A港的相对位置.
北
A
B
30
D
东
C
东
北
A
B
30
C
D
因为
答:
轮船此时位于A港东偏北
60°，且距A港40
n
mile
的
C处.
变式练习
0
探究点3
向量加法的运算律
数的加法满足交换律与结合律
，即对任意a，b∈R，有
.任意向量
的加法是否也满足交换律和结合律？
向量的加法满足交换律和结合律
D
A
C
B
A
B
C
D
A1A2+A2A3+A3A4+A4A5+
…
+An-2An-1+An-1An
=
问题3：能否将它推广至多个向量的求和？
A1
A2
A3
A1A2+A2A3+A3A4=_______
A1A2+A2A3=
_______
A1
A2
A3
A4
多边形法则：n个首尾顺次相接的向量的和等于折线起点到终点的向量.
解：如图，
表示
，
表示
.以OA，OB为邻边作□OACB，则
表示合力
.
在Rt△OAC中，
=40N，
=30N.由勾股定理得
例2
两个力
和
同时作用在一个物体上,其中
的大小
为40
N,方向向东,
的大小为30
N,方向向北,求它们的合力.
东
北
O
θ
C
Ａ
Ｂ
设合力
与力
的夹角为θ，则
所以θ≈37°.
答：合力大小为50N，方向为东偏北37°.
2求向量
之和.
变式练习
O
B
例3
在小船过河时,小船沿垂直河岸方向行驶的速度为v1=3.46
km/h,河水流动的速度v2=2.0
km/h.试求小船过河实际航行速度的大小和方向.
v1
v2
解：如图，设
表示小船垂直于河
岸行驶的速度,
表示水流的速度，
以OA,OB为邻边作□OCBA，则
就
是小船实际航行的速度.
C
A
A
B
C
D
E
F
１.如图，在正六边形ABCDEF中，
（
）
A．
B．
C． Ｄ．
Ｄ
2.下列非零向量的运算结果为零向量的是(
)
A.
B.
C.
D.
D
3.试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.
证明
与
平行且相等,
结论得证.
因为
向量
加法
三角形法则（首尾相接）
平行四边形法则（起点相同）
运算律
推广
多边形法则
法则
长期的心灰意懒以及烦恼足以致人于贫病枯萎.
——布朗利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则解题
近几年高考中常有利用向量加法的三角形法则、平行四边形法则解题，题型多是选择题、填空题，请看下面例析：
例1
（2007北京理）已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA+OB+OC=0，那么（
）
A、AO=OD
B、AO=2OD
C、AO=3OD
D、2AO=OD
分析：延长OD至E，使|OD|=|DE|得
OBEC，用向量加法的三角形法则、平行四边形法则解题
解：延长OD至E，如图1，使|DE|=|OD|
∵OB+OC=OE=2OD
∴2OA+OB+OC=2OA+2OD=0
∴OA+OD=0
∴OD=-OA=AO，故选A。
（2007陕西理）如图2，平面内有三个向量OA、OB、OC，其中OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°，且|OA|=|OB|=1，|OC|=2，若OC=λOA+μOB（λ、μ∈R），则λ+μ的值为
。
解：过点A作AD∥OB，交OC于D，由已知条件可得OB⊥OC
∴∠ODA=90°，又∠AOD=30°，∴|AD|=，|OD|=
由|OB|=1得AD=OB，由向量加法法则得
OD=OA+AD=OA+OB；4OD=4OA+2OB，∵4|OD|=2
又|OC|=2，∴4OD=OC，即OC=4OA+2OB
由λ、μ的唯一性得λ=4，μ=2，∴λ+μ=6
点评：本小题主要考查平面向量的基本定理和利用向量知识解决问题的能力。
例3
（2006安徽理）在
ABCD中，AB=a，AD=b；AN=3NC，M为BC的中点，则MN=
（用a、b表示）
分析：依题意作出图，用向量加法的三角形法则、平行四边形法则解。
解：依题意作图如下，在
ABCD中，
∵M为BC中点，
∴MC=BC=b
∴AC=AB+BC=a+b
∴CN=CA=-AC=-（a+b）
∴MN=MC+CN=b-（a+b）=（b-a）
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
A
B
C
D
O
E
图1
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
A
B
C
O
D
图2
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
A
B
C
D
a
b
M
N
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→(共57张PPT)
2.2从位移的合成到向量的加法
2.2.1
向量的加法
【知识提炼】
1.向量的加法
(1)定义:求两个向量_________.
和的运算
(2)运算法则
a+b
2.向量加法的运算律
(1)交换律:a+b=____.
(2)结合律:(a+b)+c=a+(____).
特别地:对于零向量与任一向量a的和有0+a=____=__.
b+a
b+c
a+0
a
【即时小测】
1.思考下列问题:
(1)两个向量的和向量方向如何确定
提示:根据向量加法的三角形法则,即“首尾相接,起点指向终点”.
(2)力的合成与向量的加法有着怎样的关系
提示:力的合成也可以看成是向量加法的一个物理模型.
2.
等于 ( )
A.0
B.0
C.2
D.-2
【解析】选B.如图,
由向量加法的运算法则可知
3.在四边形ABCD中,
则 ( )
A.ABCD一定是矩形
B.ABCD一定是菱形
C.ABCD一定是正方形
D.ABCD一定是平行四边形
【解析】选D.由
知A,B,C,D构成的四边形一定是平行四边形.
4.化简
=________.
【解析】原式=
答案:
5.在正方形ABCD中,边长为1,
则|a+b|=________.
【解析】a+b=
所以|a+b|=|
|=
.
答案:
【知识探究】
知识点1
向量的加法法则
观察图形,回答下列问题:
问题1:三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同
问题2:两个向量共线时怎样求和
问题3:多个向量相加时,运用哪个法则求解
【总结提升】
对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的理解
(1)两个法则的使用条件不同
三角形法则适用于任意两个非零向量求和,平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和.
当两个向量不共线时,两个法则是一致的.
如图所示:
(平行四边形法则),
又因为
(三角形法则).
(2)在使用三角形法则时,应注意“首尾相接”;在使用平行四边形法则时相加向量共起点.
(3)多个向量相加的运算法则推广
两个向量相加有三角形法则,多个向量相加怎么办呢 我们知道:两个向量相加的三角形法则的物理模型是位移的合成.类似地,多个向量的相加,也可以用位移合成,即向量求和的三角形法则可推广到多个向量求和的多边形法则:n个向量经过平移,顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合,组成一个向量折线,这n个向量的和等于折线起点到终点的向量,即:
特别地:
知识点2
向量加法的运算律
观察图形,回答下列问题:
问题1:向量加法的交换律中向量b可以是零向量吗
问题2:任意两个向量相加都可以用平行四边形法则吗
问题3:向量加法的交换律和结合律对多个向量还成立吗
【总结提升】
1.向量加法的交换律
在图①中的平行四边形ABCD中,
故a+b=b+a.即向量加法满足交换律.
当向量a,b至少有一个为零向量时,交换律显然成立,当a,b为非零向
量且共线时,
(1)当a,b同向时,向量a+b与a同向,且|a+b|=|a|+|b|;向量b+a与b同向,且|b+a|=|b|+|a|,故a+b=b+a.
(2)当a,b反向时,不妨设|a|>|b|,a+b与a同向,且|a+b|=|a|-|b|;b+a与a同向,且|b+a|=|a|-|b|,故a+b=b+a.
2.向量加法的结合律
在图②中,
所以
从而(a+b)+c=a+(b+c).即向量加
法满足结合律.
3.向量加法运算律的推广
向量加法的交换律和结合律对多个向量仍然成立,恰当地使用运算律
可以实现简化运算的目的.在进行多个向量的加法运算时,可以按照任
意的次序和任意的组合进行.如(a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c).
【题型探究】
类型一
向量求和
【典例】1.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,E,F,G,H分别是所在边的中点,点O是对角线的交点,则下列各式正确的是 ( )
A.①和③
B.②和④
C.②和③
D.①和④
2.如图,已知梯形ABCD,AD∥BC,则
=________.
【解题探究】1.解答本题可用向量的哪些知识
提示:显然可用向量的加法的平行四边形法则及相等向量判断.
2.运用向量加法的结合律应如何结合较好
提示:一个向量的终点是另一个向量的起点时,两个向量两两结合较好.
【解析】1.选A.由向量加法的平行四边形法则知
所以①正确.
因为
又因为
所以②不正确.
因为
又因为
而
所以③正确.
因为
所以④不正确.
2.
答案:
【方法技巧】向量加法运算律的应用原则及注意点
(1)应用原则:利用代数方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相接”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
(2)注意点
①三角形法则强调“首尾相接”,平行四边形法则强调“起点相同”;
②向量的和仍是向量;
③向量加法的三角形法则和平行四边形法则实质上是向量加法的几何意义.
【变式训练】
=________.
【解析】方法一:
方法二:
答案:
类型二
利用向量的加法法则作图
【典例】如图,已知a,b,分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出a+b.
【解题探究】如何作不共线的两个向量的和
提示:在平面内任取一点A,作
=a,然后利用三角形法则或平行四边
形法则,作
进而可得.
【解析】如图所示,a+b=
【延伸探究】
1.(变换条件)如果两个向量变为如图所示,作出a+b.
【解析】方法一:在平面内任意取一点O,作
如图.
方法二:在平面内任意取一点O,以OA,OB为邻边作 OACB,且
连接OC,则
=a+b.
如图.
2.(变换条件)若本例再增加一个向量c,如图,利用三角形法则作出a+b+c.
【解析】如图,在平面内任取一点O,
作
【方法技巧】利用向量加法的两种法则作图的方法
【补偿训练】若正方形ABCD的边长为1,
试作出向量a+b+c.
【解析】根据平行四边形法则可知,
根据三角形法则,延长AC,在AC的延长线上作
如图.
【延伸探究】
1.(改变问法)本题条件不变,求|a+b+c|.
【解析】因为
2.(变换条件)如图,O为△ABC内一点,
求作b+c+a.
【解析】方法一:如图,以
为邻边作 OBDC,连接
则
方法二:如图,作
连接AD,则
类型三
向量加法的应用
【典例】如图,O是四边形ABCD对角线的交点,使得
求证:四边形ABCD是平行四边形.
【解题探究】证明平行四边形的方法有哪些 本例可从什么角度入手
提示:可证一组对边平行且相等,也可证对角线互相平分,本例可证
进而可得AB
DC.
【解析】因为
所以
所以AB
DC,所以四边形ABCD是平行四边形.
【延伸探究】
本例的条件不变,在BD的延长线和反向延长线上各取一点F,E,使BE=DF.
求证:四边形AECF是平行四边形.
【证明】
因为四边形ABCD是平行四边形,
所以
因为BE=DF,且
的方向相同,
所以
所以
即AE与FC平行且相等,
所以四边形AECF是平行四边形.
【方法技巧】应用向量加法解决平面几何与物理学问题的基本步骤
(1)表示:用向量表示相关的量,将所有解决的问题转化为向量的加法问题.
(2)运算:应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则,进行相关运算.
(3)还原:根据向量运算的结果,结合向量共线、相等概念回答原问题.
【变式训练】一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40km到达B地,再由B地沿正北方向飞行40km到达C地,求此时直升飞机与A地的相对位置.
【解题指南】利用向量加法的三角形法则,知
是线段AC的长度.
【解析】如图,设
分别是直升飞机的两次位移,则
表示两次位移的合位移,
即
在Rt△ABD中,
在Rt△ACD中,
∠CAD=60°,
即此时直升飞机位于A地北偏东30°方向,且距离A地40
km处.
【补偿训练】P是△ABC内的一点,
则△ABC的面
积与△ABP的面积之比为________.
【解析】如图,D为BC的中点,则
所以P为△ABC的重心,故C到AB距离为P到AB距离的3倍,即若△ABC中AB边上的高为h,
则△ABP中AB边上的高为
h,
所以
答案:3
易错案例
向量的求和
【典例】化简
=______.
【失误案例】
【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗
提示:错误的根本原因在于对向量的加法运算的结果没有正确理解.平面向量的加法运算的结果仍是一个向量,特别对于结果为零向量的运算,往往容易出现符号方面的错误,认为结果为零而将结果0错误地写成0.
【自我矫正】方法一:
方法二:
答案:0
【防范措施】
1.正确理解向量的加法
平面向量的加法运算的结果仍是一个向量,特别对于结果为零向量的运算,要注意零向量的书写.另外把握“首尾相接且为和”的三角形法则.
2.恰当地利用向量的加法运算律
灵活地运用向量的加法运算律可实现简化运算的目的,如本例利用结合律使得多个向量相加的运算变得简洁明快.2.2
从位移的合成到向量的加法
课后导练
基础达标
1.下列等式正确的个数是(
)
①0-a=-a
②-(-a)=a
③a+(-a)=0
④a+0=a
⑤a-b=a+(-b)
⑥a+(-a)=0
A.3
B.4
C.5
D.6
解析:只有第⑥个错误.
答案：C
2.化简（-）+（-）的结果是(
)
A.0
B.
C.
D.
解析：（-）+（-）=+++=+++=.
答案：D
3.已知下列各式，其中结果为0的个数为（
）
①++
②（+）++
③
④+++
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：①④两式结果为0.
答案：B
4.如右图，正方形ABCD的边长为1，则|+++|等于…（
）
A.1
B.
C.3
D.
解析：|+++|=|2|=2||=.
答案：D
5.如右图，四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是（
）
A.+=
B.+=
C.+=
D.+=
答案：C
6.若||=7，||=3，则||的取值范围_________.
解析：||=|-|，当与同向时，||min=4；当与反向时，||max=10.
答案：4≤||≤10
7.设向量a表示“向东走6
m”，b表示“向北走6
m”，则|a+b|________=,a+b的方向是______.
解析:由向量加法的三角形法则知|a+b|=，而a+b的方向是东北方向.
答案：
m
东北方向
8.求证：对任意向量a、b，都有|a+b|≤|a|+|b|.
证明：(1)当a、b不共线时，
如右图，a+b=，
∵△OAB中||＜||+||,
∴|a+b|≤|a|+|b|.
(2)当a,b共线时，a,b同向则|a+b|=|a|+|b|；
a,b反向则|a+b|＜|a|+|b|.
∴对任意向量a,b，都有|a+b|≤|a|+|b|.
9.在静水中划船的速度是每分钟40
m，水流的速度是每分钟20
m，若船从A处出发，沿垂直水流的航线到达对岸，船的航速是多少？方向怎样？
解析：v实=，
tan∠ABC=,
∴∠ABC=60°,
答：船的速度是
m/s，与水流的夹角是60°.
综合运用
10.已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a+b的方向(
)
A.与向量a方向相同
B.与向量a方向相反
C.与向量b方向相同
D.与向量b方向相反
解析：已知a平行于b，如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a的方向相同;如果它们的方向相反，因为a的模大于b的模，所以它们的和仍然与a的方向相同.
答案：A
11.a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则(
)
A.a∥b，且a与b方向相同
B.a、b是共线向量
C.a=-b
D.a、b无论什么关系均可
解析:当两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a、b的方向都不相同，且|a+b|＜|a|+|b|；向量a与b同向时，a+b的方向与a、b的方向都相同，且|a+b|=|a|+|b|；向量a与b反向且|a|＜|b|时，a+b的方向与b的方向相同(与a方向相反)，且|a+b|=|b|-|a|.
答案：A
12.已知一个点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，则向量=_______.
解析：如右图，=a,=b,=c,则=+=+=+（-）=a+(c-b)=a+c-b
答案：a+c-b
13.在平行四边形ABCD中，若|+|=|-|，则四边形ABCD是__________（填正方形或矩形或菱形）.
解析：由|+|=|-|，即||=||，可得ABCD是一个特殊的平行四边形--矩形.
答案：矩形
14.已知=a，=b,且|a|=|b|=4,∠AOB=60°.
（1）求|a+b|,|a-b|.
（2）求a+b与a的夹角，a-b与a的夹角.
解析：如右图，以，为邻边作平行四边形OACB，
∵|a|=|b|=4,∠AOB=60°,
∴OACB为菱形.
(1)a+b=+=,
a-b=-=,
∴|a+b|=||=2||=2××4=,
|a-b|=||=4.
（2）∵∠COA=∠AOB=30°，
a+b与a所成的角即∠COA=30°，
a-b与a所成的角即与所成的角∠CBA=60°.
拓展探究
15.一艘渔船在航行中遇险，发出警报，在遇险处西10
n
mile处有一艘货船收到警报后立即侦察，发现渔船正向正南方向以9
n
mile/h的速度向一小岛靠近，货船的最大航速为18
n
mile/h.要想尽快将这只渔船救出险境，求货船的行驶方向和所用的时间.
思路分析：本题是实际问题，首先根据实际条件，用向量表示位移，作出图形，即可解决几何问题.
解：如右图，渔船在A处遇险，货船在B处，货船在C处与渔船相遇，
设所用时间为t，由已知△ABC为直角三角形.
||=10,||=9t,||=18t,
由勾股定理得：
||2=||2+||2.
∴182t2=100+92t2.
∴t2=.
∴t≈0.64.
sin∠ABC=，
∴∠ABC=30°.
∴货船应沿东偏南30°的方向行驶，最快可用0.64小时将渔船救出险境.2.2
从位移的合成到向量的加法
知识梳理
1.向量的加法
（1）向量加法法则
①三角形法则：根据加法的定义求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则.其具体做法是将向量b平移，使向量b的起点与向量a的终点重合，则以a的起点为起点，b的终点为终点的向量就是向量a与b的和向量.
②平行四边形法则：已知两个不共线向量a、b（如图2-2-1），作=a，=b，则A、B、D三点不共线，以、为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量=a+b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.
图2-2-1
③多边形法则：ｎ个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一向量折线，这ｎ个向量的和等于折线起点到终点的向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.多边形法则实质就是三角形法则的连续应用.
(2)几何意义
向量加法遵循三角形法则和平行四边形法则，因此，向量加法的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义.
(3)运算律
交换律：a＋b=b＋a；结合律：（a＋b)＋c=a＋(b＋c）.
2.向量的减法
(1)向量的减法是向量加法的逆运算.求两个向量的差，必须把两个向量的起点放在一起，它们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.
（2）利用相反向量的定义，一个向量减去另一个向量等于加上另一个向量的相反向量.
（3）向量减法的作图法：一是利用向量减法的定义直接作图,二是利用相反向量作图.
知识导学
学好本节有必要复习物理学中三角形法则和平行四边形法则；善于应用+=和-=解决向量问题.
疑难突破
1.向量加法与实数加法的联系.
剖析：讨论两种运算的联系，主要从它们的运算法则、运算结果、运算律、运算的意义来分析.
（1）运算法则：向量加法法则是三角形法则或平行四边形法则，可以用有向线段的连接来表示；实数的加法法则是两个实数的和的绝对值等于这两个实数中较大数的绝对值减去较小数的绝对值，和的符号与较大绝对值加数的符号相同.
（2）运算结果：向量的和还是向量，实数的和还是实数.
(3)运算律：向量的加法与实数的加法类似，都满足交换律与结合律；向量加法的交换律可以用平行四边形法则来验证；向量加法的结合律可以用三角形法则验证.
图2-2-2
如图2-2-2，作=a，=b，=c，连结、、，
则=a+b，=b+c.
∵=+=a+(b+c)，
=+=(a+b)+c，
∴(a+b)+c=a+(b+c).
（4）运算的几何意义：向量加法的几何意义是向量加法的三角形法则和平行四边形法则；实数加法的意义是实数的加法法则.
由此可见，向量的加法与实数的加法不相同，其根本原因是向量不但有大小并且还有方向，而实数仅有大小,是数量，所以向量的运算不能按实数的运算来进行.
2.在化简时，为什么总是错误地得出=？
剖析：根据解题经验，的结果是和中的一个向量，到底是哪一个向量呢？把结果通过向量加法的三角形法则验证.假设=，则有=+，由于表示、、的有向线段正好构成三角形即△OAB，如图2-2-3所示.
图2-2-3
由向量加法的三角形法则知=+.所以=是错误的，应该是=.
为了防止出现类似错误，通常画图利用数形结合解决此类问题，也可以化归为向量的加法进行验证.设=m，则=+m，由于m等于和中的一个向量，+≠，仅有+=，所以=.2.2.2
向量的减法
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.如图2-2-7所示，设=a，=b，=c，则等于(
)
图2-2-7
A.a-b+c
B.b-（a+c）
C.a+b+c
D.b-a+c
解析：由于a-b=-=,+=，所以a-b+c=.
答案：A
2.化简--等于(
)
A.0
B.2
C.-2
D.2
解析：因为-=,-=+=2，
所以--=2=-2.
答案：C
3.如图2-2-8，已知O为平行四边形ABCD内一点，=a，=b，=c，求.
图2-2-8
解：因为=,
=-,=-,
所以-=-,=-+.
所以=a-b+c.
4.在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点.设=a，=b，求作a-b，，.
解：如图，a-b=-=，
a-b=-=，
b+a=+=.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.在平行四边形ABCD中，++等于(
)
A.
B.
C.
D.
解析：依据向量的加法和减法法则进行化简.
解法一：++=(+)+=-=.
解法二：在平行四边形ABCD中，=-(+),=-，所以++=-(+)+-=-=.
答案：C
2.化简（-）+（-）的结果为(
)
A.
B.0
C.
D.
解析：（-)+(-)=(+)-(+)=-=-+=.
答案：C
3.已知向量a与b反向，则下列等式成立的是(
)
A.|a|+|b|=|a-b|
B.|a|-|b|=|a-b|
C.|a+b|=|a-b|
D.|a|+|b|=|a+b|
解析：如下图，作=a，=-b，易知选A.
答案：A
4.平面内有四边形ABCD和点O，若+=+，则四边形ABCD的形状是______________.
解析：∵+=+，∴-=-，即=.
由向量相等的定义知ABCD，故四边形ABCD为平行四边形.
答案：平行四边形
5.如图2-2-9，ABCD是一个梯形，AB∥CD且AB=2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知=a,=b，试用a、b表示和.
图2-2-9
解：连结CN，N是AB的中点，∵ANDC，
∴四边形ANCD是平行四边形
=-=-b，
又++=0，
∴=--=,
=-=+=a-b.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.下面给出四个式子，其中值为0的是(
)
①++
②+++
③-+-
④++-
A.①②
B.①③
C.①③④
D.①②③
解析：由向量加减法的几何意义可知①③④是正确的.
答案：C
2.如图2-2-10，在平行四边形ABCD中，=a，=b，=c，=d，则下列运算正确的是(
)
图2-2-10
A.a+b+c+d=0
B.a-b+c-d=0
C.a+b-c-d=0
D.a-b-c+d=0
解析：a-b=，c-d=，+=-=0.
答案：B
3.非零向量a、b满足|a|=|b|=|a+b|=1，则|a-b|=________________.
解析：由向量加法的平行四边形法则作图，易知OACB为菱形，故||=，即|a-b|=.
答案：
4.向量a、b的大小分别为2、8，则|a+b|的大小的取值范围是_______________.
解析：（1）当a、b同向时，|a+b|=|a|+|b|=8+2=10；
（2）当a、b反向时，|a+b|=|b|-|a|=8-2=6；
（3）当a、b不共线时，由向量加法的三角形法则和三角形的三边关系，知|b|-|a|＜|a+b|＜|a|+|b|.
故|a+b|∈［6，10］.
答案：［6,10］
5.如图2-2-11在边长为1的正方形ABCD中，设=a，=b，=c，求|a-b+c|.
图2-2-11
解：因为a-b=-=，过B作==c，
则=+=a-b+c.
因为AC⊥BD，且||=||=，所以DB⊥BM，||=||=.
所以||=2，即|a-b+c|=2.
6.已知=a，=b，且|a|=|b|=4，∠AOB=60°.
（1）求|a+b|、|a-b|；
（2）求a+b与a的夹角及a-b与a的夹角.
解：如下图，以、为邻边作平行四边形OACB.
∵|a|=|b|=4，∠AOB=60°，∴平行四边形OACB为菱形.
（1）a+b=+=,a-b=-=.
∴|a+b|=||=|2|=2××4=4，|a-b|=||=4.
（2）∵∠COA=∠AOB=30°，a+b与a所成的角即∠COA=30°，a-b与a所成的角即与所成的角∠CBA=60°.
7.如图，若ABCD是一个等腰梯形，AB∥CD，M、N分别是DC、AB的中点，已知=a，=b，=c，试用a、b、c表示和.
图2-2-12
解：作CE∥DA交AB于E，作CF⊥AB于F
∵AB∥DC，CE∥DA，
∴四边形AECD是平行四边形.
∴=-=-b.
∵=-=-=a-c，
∴=-=b+c-a.
==-=（c-a)-b-c+a=a-c-b
8.如图，在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，=a，求-+.
图2-2-13
解：-+=++=+=2.
∵D、F分别为BC、AB的中点,
∴|DF|=|AC|.∴2==-a.
∴-+=-a.
9.设在平面上有一任意四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边AB、BC、CD、DA的中点，求证：=.
证明：连结AC，
∵KL，MN分别是△ABC，△ADC的中位线，
∴∥，且||=||.
同理∥,
且||=||,
∴||=||.
又∵与方向相同,
∴=.2.2
从位移的合成到向量的加法
自主广场
我夯基
我达标
1.正方形ABCD的边长为1，则|+++|为（
）
A.1
B.
C.3
D.
思路解析：|+++|=2||=.
答案：D
2.如图2-2-10，四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是（
）
图2-2-10
A.+=
B.+=
C.+=
D.+=
思路解析：由三角形法则和平行四边形法则知，+=，A错；+=，B错；+=，D错.C中+=+==，故C是正确的.
答案：C
3.已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a+b的方向（
）
A.与向量a方向相同
B.与向量a方向相反
C.与向量b方向相同
D.与向量b方向相反
思路解析：已知a平行于b，如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a的方向相同，如果它们的方向相反，因为a的模大于b的模，所以它们的和仍然与a的方向相同.
答案：A
4.设a表示“向东走了2千米”，b表示“向南走了2千米”，c表示“向西走了2千米”，d表示“向北走了2千米”，则
（1）a+d表示向____________走了____________千米；
（2）b+c表示向____________走了____________千米；
(3)a+c+d表示向____________走了____________千米；
(4)b+c+d表示向____________走了____________千米；
(5)若a表示向东走8
km，b表示向北走8
km，则|a+b|=____________km，a+b的方向是____________.
思路分析：用向量表示位移，进行向量运算后，回扣物理意义即可.
答案：（1）东北
（2）西南
(3)北
2
(4)西
2
(5)
东偏北45°
我综合
我发展
5.化简下列各式:
(1)++；
（2）.
思路分析：结合图形，并运用向量加减法的运算律来化简.
解：(1)原式=+（+）=+=0；
(2)原式=.
6.在重300
N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°(如图2-2-11)，当重物平衡时，求两根绳子拉力的大小.
图2-2-11
思路分析：此题中力的分解实质上是寻找两个向量，使其和向量为一竖直向量.
解：如图2-2-12所示，作平行四边形OACB，使∠AOC=30°，∠BOC=60°，
图2-2-12
在△OAC中，∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°，
∴||=||cos30°=×300=1503(N),
||=||sin30°=×300=150(N).
∴||=||=150（N）,
即与铅垂线的夹角为30°的绳子拉力是N，与铅垂线的夹角为60°的绳子的拉力是150
N.
7.一艘渔船在航行中遇险，发出警报，在遇险处西10
n
mile处有一艘货船收到警报后立即侦察，发现渔船正向正南方向以9
n
mile/h的速度向一小岛靠近，货船的最大航速为18
n
mile/h，要想尽快将这只渔船救出险境，求货船的行驶方向和所用时间.
思路分析：根据实际条件，用向量表示位移，作出图形，解决几何问题即可.
解：如图2-2-13所示，渔船在A处遇险，货船在B处，货船在C处与渔船相遇，
图2-2-13
设所用时间为t，由已知得△ABC为直角三角形，
则||=10,||=9t,||=18t.
由勾股定理得
||2=||2+||2.
∴182t2=100+92t2.
∴t2=.
∴t≈0.64.
sin∠ABC=，
∴∠ABC=30°.
∴货船应沿东偏南30°的方向行驶，最快可用0.64小时将渔船救出险境.(共53张PPT)
2.2.2
向量的减法
【知识提炼】
1.相反向量及性质
相反
向量
定义
与a长度_____、方向_____的向量，叫
作a的相反向量，记作：___.
性质
(1)-(-a)=__.
(2)如果a，b是互为相反的向量，那么
a=___，b=___，a+b=__.
(3)a-b=a+_____.
(4)零向量的相反向量仍是_______.
相等
相反
-a
a
-b
-a
0
(-b)
零向量
2.向量的减法及几何意义
向量的减法
向量a加上向量b的_________,叫作a与b的差,即a-b=a+(-b),求两个向量差的运算,叫作向量的减法.
向量减法
的几何意义
如图，设
则
=a-b，即a-b表示从______的终点B
指向__________的终点A的向量.
相反向量
向量b
被减向量a
【即时小测】
1.思考下列问题:
(1)任何向量与其相反向量共线吗
提示:共线.如果该向量为零向量,其相反向量也是零向量,零向量与任何向量共线;如果该向量不是零向量,该向量与其相反向量方向相反,所以共线.
(2)向量的加法运算律适用于向量的减法吗
提示:适用.向量的减法可以借助于相反向量转化为向量的加法运算,因此适用.
2.
= ( )
【解析】选B.
3.在△ABC中,
则
= ( )
A.a-b
B.b-a
C.a+b
D.-a-b
【解析】选D.因为
4.在△ABC中,D是BC的中点,设
则d-a=________.
【解析】如图,
答案:c
5.已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O,且
则
=________.(用a,b表示)
【解析】如图,
=-a-b.
答案:-a-b
【知识探究】
知识点
向量的减法
观察如图所示内容,回答下列问题:
问题1:向量的相反向量是怎样定义的 有何性质
问题2:如何进行向量的减法运算 运算法则是什么
【总结提升】
1.相反向量的意义
(1)在相反向量的基础上,可以通过向量加法定义向量减法.
(2)为向量的“移项”提供依据.利用(-a)+a=0在向量等式的两端加上某个向量的相反向量,实现向量的“移项”.例如,由a+b=c+d可得a-c=d-b.
2.对相反向量的三点说明
(1)a与-a互为相反向量.
(2)相反向量与方向相反的向量不是同一个概念,相反向量是方向相反的向量,反之不成立.
(3)相反向量与相反数是两个不同的概念,相反数是两个数符号相反,绝对值相等;相反向量是方向相反,模长相等的两个向量.
3.对向量减法的理解
(1)实质:向量减法的实质是向量加法的逆运算.
(2)应用:利用相反向量的定义,把其中减向量的方向变为与原方向相反,大小不变就可以把减法化为加法.在用三角形法则作两个共起点的向量减法时,只要记住“连接两向量终点,箭头指向被减向量”即可.
4.非零向量a,b的差向量的不等式
(1)当a,b不共线时,如图①,作
因为在三角形中两边之和大于第三边,于是
|a-b|<|a|+|b|.
(2)当a,b共线且同向时,若|a|>|b|,
则a-b与a,b同向(如图②),
于是|a-b|=|a|-|b|.
若|a|<|b|,则a-b与a,b反向(如图③),
于是|a-b|=|b|-|a|.
(3)当a,b共线且反向时,a-b与a同向,与b反向.于是|a-b|=|a|+
|b|(如图④).
可见,对任意两个非零向量,总有下列向量不等式成立:
||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.
【题型探究】
类型一
向量减法的几何意义
【典例】1.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于O点,则
=________.
2.如图所示,O为△ABC内一点,
求作:b+c-a.
【解题探究】1.两个向量作差的前提条件是什么
提示:前提条件是两向量同起点.
2.题2中三个向量有何共同的特点
提示:三个向量同起点.
【解析】1.
答案:
2.方法一:以
为邻边作 OBDC,连接OD,AD,
则
方法二:作
连接AD,则
【方法技巧】利用向量减法进行几何作图的方法
(1)已知向量a,b,如图①所示,作
利用向量减法的三
角形法则可得a-b,利用此方法作图时,把两个向量的起点放在一起,则
这两个向量的差是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的
向量.
(2)利用相反向量作图,通过向量求和的平行四边形法则作出a-b.如
图②所示,作
【拓展延伸】向量加法与减法的几何意义的联系
(1)如图所示,平行四边形ABCD中,
若
(2)类比||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.可知||a|-|b||≤|a-b|
≤|a|+|b|.
【变式训练】如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
【解析】方法一:如图,在平面内任取一点O,作
再作
方法二:如图,在平面内任取一点O,作
再作
=c,连接OC,则
=a+b-c.
类型二
用已知向量表示其他向量
【典例】平行四边形中,
用a,b表示向量
【解题探究】如何建立被表示的向量与已知向量间的联系
提示:由向量加法的平行四边形法则及向量减法的三角形法则可得.
【解析】由平行四边形法则得:
【延伸探究】
1.(变换条件、改变问法)平行四边形中,
当|a|=|b|时,
试判断
的关系.
【解析】由平行四边形法则得:
因为|a|=|b|,所以四边形为菱形,所以
互相垂直.
2.(改变问法)本例条件不变,当a,b满足什么条件时,|a+b|与|a-b|相
等
【解析】由平行四边形法则知,
因为
AC,BD为平行四边形的两条对角线,所以要使|a+b|=|a-b|,需四边形是
矩形,故当a,b垂直时,|a+b|与|a-b|相等.
【方法技巧】利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意
(1)一个关键
一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道.
(2)三点注意
①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系.
②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律.
③注意在封闭图形中利用多边形法则.
【补偿训练】设O是△ABC内一点,且
若以线段
OA,OB为邻边作平行四边形,第四个顶点为D,再以OC,OD为邻边作平
行四边形,其第四个顶点为H.试用a,b,c表示
【解析】由题意可知四边形OADB为平行四边形,
所以
=a+b,
所以
=c-(a+b)=c-a-b.
又四边形ODHC为平行四边形,
所以
=c+a+b,
所以
=a+b+c-b=a+c.
【延伸探究】
1.(改变问法)本题条件不变,如何用向量a,b,c表示出向量
【解析】由以上可得
2.(变换条件)本题条件改为如图所示,在五边形ABCDE中,若四边形
ACDE是平行四边形,且
试用向量a,b,c表示向
量
【解析】因为四边形ACDE是平行四边形,
所以
所以
类型三
向量加法、减法的综合应用
【典例】如图,已知向量
满足|a|=1,|b|=2,且∠BAD=
60°,求|a-b|.
【解题探究】|a-b|在图形中实际上是什么
提示:|a-b|在图形中实际上是△ABD的一条边长.
【解析】由向量减法的三角形法则可知
=a-b,在△ABD中,
因为∠BAD=60°,AD=1,AB=2,
所以△ABD为直角三角形,
即AD⊥BD,BD=AD×tan60°=1×
=
.
所以|a-b|=
.
【延伸探究】本例条件变为“|a|=1,|b|=2,且|a-b|=2”,求|a+b|.
【解析】如图,在平面内任取一点A,作
由题意,
过点B作BE⊥AD于点E,
过点C作CF⊥AB交直线AB于点F.
因为AB=BD=2,所以AE=ED=
AD=
.
因为∠CBF=∠EAB,又在△ABE中,
所以BF=BCcos∠CBF=1×
=
.
所以CF=
所以AF=AB+BF=
所以在Rt△AFC中,
即|a+b|=
.
【方法技巧】向量加法与减法的综合应用时的注意点
(1)向量减法的实质是向量加法的逆运算,一般利用三角形法则求解.
(2)向量减法运算在平行四边形中的应用,要明确a-b的几何意义.
(3)向量减法的几何意义往往与向量加法的几何意义结合应用,在应用的过程中要结合矩形、正方形、三角形的边角性质,因此要熟悉相关的图形的性质.
【变式训练】如图,O是平行四边形ABCD的对角线AC,BD的交点,
设
【解题指南】要证明b+c-a=
,可转化为证明b+c=
+a,从而利
用向量加法证明;也可以从c-a入手,利用向量减法证明.
【证明】在 ABCD中,
因为
又因为
所以
【补偿训练】已知A,B,C是不共线的三点,O是△ABC内一点,若
求证:O是△ABC的重心.
【证明】因为
方向相反且长度相等的向量.
如图所示,以OB,OC为相邻的两边作平行四边形,则
所以A,O,D三点共线.
在平行四边形OBDC中,设OD与BC交于E,则
所以AE是
△ABC的边BC上的中线,且
所以点O是△ABC的重心.
易错案例
向量的减法法则的应用
【典例】(2015·亳州高一检测)如图所示,已知一点O到平行四边形
ABCD的三个顶点A,B,C的向量分别为r1,r2,r3,则
=_________.
(用r1,r2,r3表示)
【失误案例】
【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗
提示:错误的根本原因在于误用了向量的减法法则.减法口诀:起点相同,连接终点,箭头指向被减向量.即
【自我矫正】
=r3+r1-r2.
答案:r3+r1-r2
【防范措施】
1.相等向量的灵活代换
解决以平面几何图形为背景的加减法运算时,要注意平面几何知识的
应用,如本题由平行四边形ABCD得
并正确代换是解题的关键.
2.运算法则的灵活应用
减法口诀:起点相同,连接终点,箭头指向被减向量.应把首尾相接的放
在一起计算,起点相同的放在一起计算.必要时,可画出图像,结合图像
观察将使问题更为直观.(共17张PPT)
2.2.1向量的加法
北京
广州
上海
实例分析
飞机从广州飞往上海,再从上海飞往北京,这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.
这时我们就把后面这样一次位移叫做前面两次位移的合位移.
A
B
在大型车间里,一重物被天车从A处搬运到B处.
它的实际位移AB,可以看作水平运动的分位移AC与竖直向上运动的分位移AD的合位移.
C
D
由分位移求合位移,称为位移的合成
求两个向量和的运算叫向量的加法.
a
b
这种作法叫做三角形法则
a
b
A.
B
a
C
b
作法：[1]在平面内任取一点A.
[2]作AB=
a
,
BC=
b.
[3]则向量AC叫
作向量a
与
b
的和，记作a
＋
b.
b
a
+
这叫做向量加法的平行四边形法则.
作法：
作
AB=
a,
AD
=b,以AB，AD为邻边
作平行四边形，则
AC
=
a
+
b
.
a
b
A
a
B
b
D
C
a
+
b
共线向量求和
a
b
方向相同
a
b
方向相反
C
B
A
A
B
C
例１轮船从Ａ港沿东偏北
方向行驶了40海里到达B处,再由B处沿正北方向行驶40海里到达C处.求此时轮船与A港的相对位置.
东
北
A
B
30
C
D
向量的加法满足
①
交换律：
a
+
b
=
b
+
a
②
结合律：（
a
+
b
)
+
c
=
a
+
(
b
+
c
)
A
B
C
D
例2
两个力F1和F2同时作用在一个物体上,其中F1
=40N,方向向东,F2=30N,方向向北,求它们的合力.
东
北
O
B
θ
C
Ａ
Ｂ
F1
F2
例3
在小船过河时,小船沿垂直河岸方向行驶的速度为v1=3.46km/h，河水流动的速度v2=2.0km/h，试求小船过河实际航行速度的大小和方向.
O
B
A
C
1
试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.
证明
与
平行且相等,
结论得证.
2
求向量
之和.
（1）掌握向量求和的三角形法则
（2）掌握向量求和的平行四边形法则
（3）掌握向量加法的运算律2.2
从位移的合成到向量的加法第1课时
自我小测
1．等于( )
A．
B．0
C．
D．
2．已知a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a，b是方向相反的向量
C．a＝－b
D．a，b无论什么关系均可
3．在矩形ABCD中，＝4，＝2，则向量的长度等于( )
A．2
B．4
C．12
D．6
4．若向量a表示“向东航行1
km”，向量b表示“向北航行
km”，则向量a＋b表示( )
A．向东北方向航行2
km
B．向北偏东30°方向航行2
km
C．向北偏东60°方向航行2
km
D．向东北方向航行(1＋)
km
5．已知四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是( )
A．
B．
C．
D．
6．化简：＝__________.
7．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，＝1，则＝__________.
8．如图，在正六边形ABCDEF中，＝______.
9．化简下列各式：
(1)；
(2).
10．一艘船在水中航行，水流速度与船在静水中航行的速度均为5
km/h.如果此船实际向南偏西30°方向行驶2
km，然后又向西行驶2
km，你知道此船在整个过程中的位移吗？
参考答案
1．解析：＝0＋0＝0.
答案：B
2．A
3．解析：因为，
所以的长度为的模的2倍．
又＝＝2，
所以向量的长度为4.
答案：B
4．解析：如图所示，由向量加法的平行四边形法则，可知a+b的方向是沿平行四边形的对角线的方向，且tan
α=，所以α=30°.
故a+b的方向是北偏东30°.
又|a+b|=2，故选B.
答案：B
5．解析：，故A项错；，故B项错；，故C项正确；，故D项错．
答案：C
6．解析：.
答案：
7．解析：如图，由题意知△ABD为等边三角形，∴.
答案：1
8．解析：.
答案：
9．解：(1)＝＝0＋＝.
(2)
＝
＝.
10．解：如图，用表示船的第一次位移，用表示船的第二次位移，根据向量加法的三角形法则知，
所以可表示两次位移的和位移．
由题意知，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
则BC=AC=1，AB=.
在等腰△ACD中，AC=CD=2，
所以∠D=∠DAC=∠ACB=30°，
所以∠BAD=60°，AD=2AB=，
所以两次位移的和位移的方向是南偏西60°，位移的大小为
km.2.2
从位移的合成到向量的加法
2.1
向量的加法
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.如图2-2-1，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点.下列结论中正确的是(
)
图2-2-1
A.=,=
B.+=
C.+=+
D.++=
解析：因为+=,+=，所以+=+.
答案：C
2.如图2-2-2，作向量a、b的和______________.
图2-2-2
解：在平面中任取一点A，作=a，=b，则向量就是向量a和b的和，即a+b，则a+b=+=.
3.如图2-2-3，已知向量a、b、c、d，作出向量a+b+c+d.
图2-2-3
解：在空间中任取一点O，作=a，=b，=c，=d，则=a+b+c+d.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.如图2-2-4，正方形ABCD的边长为1，则|+++|为(
)
图2-2-4
A.1
B.
C.3
D.
解析：|+++|=|2|=2||=.
答案：D
2.如图2-2-5，四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是(
)
图2-2-5
A.+=
B.+=
C.+=
D.+=
解析：利用三角形法则和平行四边形法则.
答案：C
3.已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a+b的方向(
)
A.与向量a方向相同
B.与向量a方向相反
C.与向量b方向相同
D.与向量b方向相反
解析：由平行向量与题意可知A正确
答案：A
4.如图2-2-6，试作出向量a与b的和a+b.
图2-2-6
解：如下图，首先作=a，再作=b，则=a+b.
5.已知向量a、b，比较|a+b|与|a|+|b|的大小.
解：（1）当a、b至少有一个为零向量时，有|a+b|=|a|+|b|.
（2）当a、b为非零向量且a、b不共线时，有|a+b|<|a|+|b|.
当a、b为非零向量且a、b同向共线时，有|a+b|=|a|+|b|.
当a、b为非零向量且a、b异向共线时，有|a+b|<|a|+|b|.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.下列等式错误的是(
)
A.a+0=0+a=a
B.（a+b）+c=a+（c+b）
C.+=0
D.+=
解析：由向量加法的运算法则，可知D不正确.
答案：D
2.已知P为△ABC所在平面内的一点，当+=成立时，点P位于(
)
A.△ABC的AB边上
B.△ABC的BC边上
C.△ABC的内部
D.△ABC的外部
解析：由向量加法的平行四边形法则易知，点P在△ABC的外部.
答案：D
3.设（+）+（+）=a，而b是一非零向量，则下列结论正确的有(
)
①a∥b
②a+b=a
③a+b=b
④|a+b|＜|a|+|b|
A.①③
B.②③
C.②④
D.①②
解析：（+）+（+)=(+)+(+)=+=0=a,所以①③正确.
答案：A
4.向量a、b都是非零向量，下列说法中不正确的是(
)
A.向量a与b同向，则向量a+b与a的方向相同
B.向量a与b同向，则向量a+b与b的方向相同
C.向量a与b反向，且|a|＜|b|，则向量a+b与a的方向相同
D.向量a与b反向，且|a|＞|b|，则向量a+b与a的方向相同
解析：由共线向量的定义可解.
答案：C
5.a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则(
)
A.a∥b，且a与b方向相同
B.a、b是共线向量
C.a=-b
D.a、b无论什么关系均可
解析：当两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a、b的方向都不相同，且|a+b|<|a|+|b|；向量a与b同向时，a+b的方向与a、b的方向都相同，且|a+b|=|a|+|b|；向量a与b反向且|a|<|b|时，a+b的方向与b的方向相同(与a方向相反)，且|a+b|=|b|-|a|.
答案：A
6.在平行四边形ABCD中，下列式子：
①=+；②=+；③+=；④+=；⑤=++；⑥=+.
其中不正确的个数是(
)
A.1
B.2
C.4
D.6
解析：由向量加法的平行四边形法则和三角形法则可知，只有⑥=+不正确.
答案：A
7.正六边形ABCDEF中，++=______________.
解析：作出图形，利用向量加法的平行四边形法则和向量相等的定义易知++=.
答案：
8.设a表示“向东走了2s千米”，b表示“向南走了2s千米”，c表示“向西走了2s千米”，d表示“向北走了2s千米”，则
(1)a+d表示向____________走了____________千米；
(2)b+c表示向____________走了____________千米；
(3)a+c+d表示向____________走了____________千米；
(4)b+c+d表示向____________走了____________千米；
(5)若a表示向东走8
km，b表示向北走8
km，则|a+b|=__________km，a+b的方向是________；
(6)一架飞机向北飞行300
km后改变航向向____________飞行____________km，两次飞行位移之和的方向为北偏西53.1°，大小为500
km，飞行路程为____________km.
解析：用向量表示位移，进行向量运算后，回扣物理意义即可.
答案：（1）东北
s
（2）西南
s?（3）北
2s
（4）西
2s
（5）
东偏北45°
（6）西
400
700
9.一艘船以5
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度的大小.
解：如下图，设水流速度为v1=，船的实际速度为v2=，水流速度与船的实际速度的合速度为v=，则?||=5.
由题意，知=+，
∴四边形ABCD为平行四边形，且AC⊥AB，∠CDA=30°.
∴||=2||=2×5=10，||=||=||cos30°=.
∴水流速度的大小为km/h，船的实际速度的大小为10
km/h.
