2.3
从速度的倍数到数乘向量
课后导练
基础达标
1.已知菱形的两邻边=a，=b，其对角线交点为D，则等于(
)
A.a+b
B.a+b
C.(a+b)
D.a+b
解析:由平行四边形法则及平行四边形的性质可得.
答案：C
2.化简：［(2a+8b)-(4a-2b)］得(
)
A.2a-b
B.2b-a
C.b-a
D.a-b
答案：B
3.已知5(x+a)=3(b-x),则x等于（
）
A.a-b
B.a-b
C.a+b
D.a+b
解析：∵5(x+a)=3(b-x)，
∴5x+5a=3b-3x,
∴8x=3b-5a，
∴x=a+b.
答案：C
4.已知e1,e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是（
）
A.e1+e2和e1-
e2
B.3e1-2e2和4e2-6e1
C.e1+2e2和e2+2e1
D.e2和e1+e2
解析：∵4e2-6e1=-2(3e1-2e2),
∴3e1-2e2与4e2-6e1共线，
∴它们不能作为一组基底，作为基底的两向量一定不共线.
答案：B
5.在ABCD中，与交于点M，若设=a,=b,则以下选项中，与-a+b相等的向量有（
）
A.
B.
C.
D.
解析：∵-a+b=(b-a)=(-)==.
答案：D
6.已知3(x-a)+2(x+2a)-4(x+a-b)=0,则x_____________.
解析：等式可化为3x+2x-4x-3a+4b=0,
∴x=3a-4b.
答案：3a-4b
7.设e1、e2是不共线向量，e1+4e2与ke1+e2共线，则实数k的值___________.
解析:e1+4e2=λ(ke1+e2)=λke1+λe2，
∴λ=4
λk=1.
∴k=.
答案：
8.在△ABC中，设=m,=n,D、E是边BC上的三等分点，则=_______,=_______.
解析:由D,E是边BC上的三等分点，可得=,=，转化为已知向量即可.
答案：m+n
m+n
9.在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，设=a,=b，求作向量a-b,a-b,b+a.
解析：如下图a-b=-=.
a-b=-=.b+a=+=.
10.如右图，四边形ABCD为矩形，且|AD|=2|AB|，又△ADF为等腰直角三角形，E为FD中点，=e1，=e2.以e1、e2为基底，表示向量、、及.
解析：∵=
e1,=e2,
∴=e2-e1.
依题意有|AD|=2|AB|=|DE|，且F为ED中点，
∴四边形ABDF为平行四边形.
∴==e2-e1,==e2.
∴=+=e2-e1+e2=2e2-e1.
综合运用
11.向量、、的终点A、B、C在一条直线上，且=-3.设=p，=q,
=r，则下列等式成立的是(
)
A.r=-p+q
B.r=-p+2q
C.r=p-q
D.r=-q+2p
解析：由=-3得
-=-3(-)，
即2=-+3，
∴=-+，
即r=-p+q.
答案：A
12.设一直线上三点A、B、P满足=λ(λ≠1)，O是空间一点，则用、表示为(
)
A.=+λ
B.=λ+(1-λ)
C.=
D.=+
解析:由=λ(λ≠1)得
-=λ(-)即=.
答案：C
13.已知点G是△ABC的重心，过G作BC的平行线与AB、AC分别交于E、F，若=a,则=_____________.
解析：∵EF∥BC，∴=λ=λa,又EF过△ABC的重心G，∴||=||，∴=a.
答案：a
14.e1，e2是不共线的两个向量，=x1e1+y1e2,=x2e1+y2e2,=λ，那么等于_________.
解析：∵=+,
=+,
∴=(1-λ)+λ
=［(1-λ)x1+λx2］e1+［(1-λ)y1+λy2］e2.
答案：［(1-λ)x1+λx2］e1+［(1-λ)y1+λy2］e2
15.用向量方法证明：梯形中位线平行于底且等于上、下两底和的一半.
证明：如右图，梯形ABCD中，
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴=,=.
∵=++,
=++,
∴=(+++++)=(+).
又∵DC∥AB，
∴设=λ.
∴=(+)
=(+λ)=.
∴∥.
∵E、F、D、C四点不共线，
∴EF∥CD.同理EF∥AB，
且||=(||+||).
拓展探究
16.如右图，在△AOB中，=a,=b，设点M分所成的比为2∶1，点N分所成比为3∶1，而OM与BN交于点P，试用a,b表示.
解析：=+=+AB
=+（-）
=a+(b-a)=a+b,
∵与共线，令=t,则=t(a+b)=a+b.
设=(1-s)+s=(1-s)a+sb.
∴
∴=a+b.(共15张PPT)
2.3.1数乘向量
复习1:向量的加法
B
A
如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
b
a
o.
O.
C
a+b
b
a
A
B
b
a+b
a
1.向量加法三角形法则:
2.向量加法平行四边形法则:
特点:首尾相接，首尾连
特点:共起点
复习2:向量的减法
o.
B
A
a-b
如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.
a
b
a
-b
o.
B
A
a
b
特点：共起点，连终点，方向指向被减数
实际背景
在物理中位移与速度的关系：s=vt，力与加速度的关系：f=ma.
其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、质量都是数量.
讲授新课
思考题1:已知向量
如何作出
和
O
A
B
C
N
M
Q
P
记:
即:
同理可得:
思考题2:
向量
与向量
有什么关系
向量
与向量
有什么关系
(1)向量
的方向与
的方向相同,
向量
的长度是
的3倍,即
(2)向量
的方向与
的方向相反,
向量
的长度是
的3倍,即
定义:
特别地，当
λ=0
或
a
=
0
时,
λa
=
0
(2)
方向
当λ>0时,λa的方向与a方向相同；
当λ<0时,λa的方向与a方向相反；
(1)
长度
|λa|=|λ|·|a|
一般地，实数λ与向量
的积是一个向量，这种
运算叫做向量的数乘运算，记作λ
。
它的长度和方向规定如下：
练习2:
结论:
2a+2b
2b
(2)
已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并比较.
a
b
结论:
2a+2b=2(a+b)
a+b
6a
3(2a)
a
2(a+b)
2a
3(2a)=6a
(2+4)a=2a+4a
(1)
根据定义，求作向量3(2a)和(6a)
(a≠0)，并比较.
①λ(μa)=(λμ)
a
运算律:
设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：
②(λ+μ)
a=λa+μa
③λ(a+b)=λa+λb
2(a+b)
数乘向量的运算律：
结合律
第一分配律
第二分配律
练习3:
解:
(1)
原式
=
(2)
原式
=
(3)
原式
=
计算：(口答)
(1)
(-3)×4
a
(2)
3(
a+b)
–2(
a-b)-a
(3)
(2a+3b-c)
–(3a-2b+c
)
(3-2-1)a+(3+2)b
=
5b
(2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c
=
-a+5b-2c
-12a
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算.
对于任意的向量
a,b
以及任意实数
λ,μ
,
恒有
λ(μ1a±μ2b)=
λμ1a±λμ2b
思考:
当a与b同方向时，有b=μa;
当a与b反方向时，有b=-μa，
所以始终有一个实数λ，使b=λa.
1、如果
b=λa
,
那么，向量a与b是否共线？
2、如果非零向量a与b共线，那么是否有λ，使b=λa
？
对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使得b=λa
,
那么，由数乘向量的定义知：向量a与b共线.
若向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是a的长度的μ倍，即有|b|=μ|a|,且
2)
b
可以是零向量吗
思考:1)
a为什么要是非零向量
向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一个实数λ，使得
b=λa.
a是一个非零向量，若存在一个实数λ，
使得
b=λa
，则向量b与非零向量a共线.
例题1:
A
E
D
C
B
解：
=3
AC
=3(
AB+
BC
)
∵
AB+BC=AC
=3
AB+3
BC
又
AE=AD+DE
∴
AC与AE
共线
如图，已知AD=3AB,DE=3BC，试判断AC与AE是否共线
变：若B,C分别是AD,AE的三等分点，证明：BC‖DE.
例题2:
解：作图如右
O
A
B
C
依图猜想:A、B、C三点共线
∴
A,B,C三点共线.
a
b
b
b
已知任意两非零向量a,
b，
试作
OA=a+b,
OB=a+2b,
OC=a+3b.
你能判断A,B,C三点之间的位置关系吗？为什么？
b
a
∵
AB=OB-OA
∴
AC=2AB
又
AC=OC-OA
=a+3b-(a+b)=2b
=a+2b-(a+b)=b
又
AB与AC有公共点A，
A
P
B
C
例3
A，B，C是平面内的三点，且点A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在AB上，则存在实数λ，使得
PC=
λ
PA+(1-
λ)PB
小结回顾:
二、知识应用：
1.证明
向量共线；
2.证明
三点共线:
AB=λBC
A,B,C三点共线；
3.证明
两直线平行:
AB=λCD
AB∥CD
AB，CD不重合
直线AB∥直线CD
一、概念与定理
①
λa
的定义及运算律
②
向量共线定理
(
a≠0
)
b=λa
向量a与b共线向量数乘运算及其几何意义
命题方向1
向量的数乘运算
若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a、b是已知向量，求m、n.
[分析] 把已知条件看作向量m、n的方程，联立方程组求得m、n.
[解析] 把已知中的两等式看做关于m、n的方程，联立方程组解得
规律总结：此题在求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的运算律．另外，解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法相同．
命题方向2
向量共线定理的应用
已知两个非零向量e1、e2不共线，若＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2.求证：A、B、D三点共线．
[分析]
[证明] ∵＝＋B＋
＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2
＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6A，
∴∥.
又∵AD和AB有公共点A，∴A、B、D三点共线．
规律总结：用向量法证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得b＝λa(a、b为这三点构成的其中任意两个向量)．证明步骤是先证明向量共线，然后再由两向量有公共点，证得三点共线．
命题方向3
向量在平面几何中的探究应用
平行四边形一顶点和对边中点的连线能三等分此平行四边形的一条对角线吗？若能，请写出证明过程；若不能，请说明理由．
[解析] 已知在 ABCD中，F为DC的中点，E为AF与BD的交点，求证：E为BD的一个三等分点．
证明：如图，设实数λ、μ满足＝λ，＝μ.
∴＝＋＝＋μ，
∴λ＝＋μ.
∵＝－，
＝＋＝＋＝＋，
∴λ(＋)＝＋μ(－)．
∴(λ－μ)＝(1－μ－λ).
∵与不共线，
∴，∴
∴＝μ＝.
∴E为BD(靠近D)的一个三等分点．
同理可证，C与AB中点的连线和BD的交点也为BD(靠近B)的一个三等分点．
综上可得，平行四边形一顶点和对边中点的连线能三等分此平行四边形的一条对角线．
规律总结：在上述证明过程中，由与不共线及(λ－μ)＝(1－μ－λ)，知必有(λ－μ)＝(1－μ－λ)＝0，进而得到关于λ与μ的方程组．通过本例，应掌握利用向量共线的条件解题的方法．
命题方向4
共线向量与三点共线问题
设两个非零向量a与b不共线，
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线．
[分析] (1)欲证三点A、B、D共线，即证存在实数λ，使＝λ，只要由已知条件找出λ即可．
(2)由两向量共线，列出关于a、b的等式，再由a与b不共线知，若λa＝μb，则λ＝μ＝0.
[解析] 证明：(1)∵＝a＋b，＝2a＋8b，
＝3(a－b)
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)
＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.
∴、共线，
又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)
即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b，
∵a、b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.(共58张PPT)
2.3 从速度的倍数到数乘向量
2.3.1 数乘向量
【知识提炼】
1.数乘向量的概念与运算律
(1)数乘向量：
①定义：λ
a是一个_____.
②长度：________.
向量
|λ||a|
③方向：
相同
相反
任意
(2)数乘向量的运算律：
①λ(μa)=________(λ，μ∈R).
②(λ+μ)a=__________(λ，μ∈R).
③λ(a+b)=__________(λ∈R).
(λμ)a
λ
a+μ
a
λ
a+λ
b
2.向量共线的判定定理与性质定理
(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得
b=____，则向量b与非零向量a共线.
(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数
λ，使得b=____.
λa
λa
【即时小测】
1.思考下列问题:
(1)实数与向量相乘得到数乘向量,那么实数与向量能相加(减)吗
提示:不能.实数与向量可以相乘,但不能相加减.
(2)如果向量a,b共线,一定有b=λa(λ∈R)吗
提示:不一定.当a=0,b≠0时,λ不存在.
2.已知λ,μ∈R,下面式子正确的是 ( )
A.λa与a同向
B.0a=0
C.若a≠0,ma=na,则m=n
D.若b=λa,则|b|=λ|a|
【解析】选C.当λ<0时,λa与a反向,A错;0a=0,B错;若b=λa,则|b|=|λ||a|,D错;对于C,ma=na得(m-n)a=0,因a≠0,故m-n=0,即m=n,C正确.
3.点C在直线AB上,且
则
等于 ( )
【解析】选D.如图,
4.若
其中a,b,c为已知向量,则未知向量y=________.
【解析】因
故
所以
答案:
5.如图所示,D是△ABC的边AB上的中点,则向量
=______.(填写正确的序号)
【解析】
答案:①
【知识探究】
知识点1
数乘向量的定义与运算
观察图形,回答下列问题:
问题1:什么是数乘向量 其方向是如何规定的
问题2:数乘向量有哪些运算律
【总结提升】
1.对实数与向量的积的理解
(1)从代数的角度来看,①λ是实数,a是向量,它们的积仍然是向量;
②λa=0的条件是a=0或λ=0.
(2)从几何的角度来看,对于向量的长度而言,①当|λ|>1时,有|λa|>|a|,这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<-1)上伸长到|λ|倍;②当0<|λ|<1时,有|λa|<|a|,这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(-1<λ<0)上缩短到原来的|λ|.
2.对数乘向量的运算律的说明
数乘向量满足对实数的结合律、分配律,即数乘向量的运算律类似于实数的运算律,可以类比记忆应用.
知识点2
向量共线的判定定理与性质定理
观察如图所示内容,回答下列问题:
问题1:共线向量的判定定理和性质定理的内容是什么
问题2:共线向量的判定定理和性质定理有哪些应用
【总结提升】
对向量共线定理的两点说明
(1)定理中,之所以规定a≠0,因为若a=0,当b=0时,对于任意的实数λ,均满足b=λa;当b≠0,则不存在实数λ,满足b=λa.
(2)若a,b不共线,且λa=μb,则必有λ=μ=0.
【题型探究】
类型一
数乘向量的定义及其几何意义
【典例】1.两个非零向量a与(2x-1)a的方向相同,则x的取值范围为________.
2.已知a,b为两个非零向量,下列说法中正确的个数为________.
(1)2a与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍.
(2)-2a与5a的方向相反,且-2a的模是5a模的
.
(3)-2a与2a是一对相反向量.
(4)a-b与-(b-a)是一对相反向量.
【解题探究】1.题1中方向相同的两个向量的系数应满足什么条件
提示:方向相同的两个向量的系数应同号.
2.题2判断数乘向量的关系应从哪两个方面入手
提示:一是方向,二是长度.可先从实数的正负判断两向量的方向关系,再找两向量模的关系,从而进行判断.
【解析】1.由定义知,2x-1>0,即x>
.
答案:x>
2.(1)正确.因为2>0,所以2a与a方向相同且|2a|=2|a|.
(2)正确.因为5>0,所以5a与a方向相同,且|5a|=5|a|,而-2<0,所以
-2a与a的方向相反,且-2a的模是5a模的
.
(3)正确.按照相反向量的定义可以判断.
(4)错误.因为-(b-a)与b-a是一对相反向量,而a-b与b-a是一对相反向量,
故a-b与-(b-a)为相等向量.
答案:3
【方法技巧】对数乘向量的三点说明
(1)λa的实数λ叫作向量a的系数.
(2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小.
(3)当λ=0或a=0时,λa=0.注意是0,而不是0.
【拓展延伸】a的单位向量
(1)a的单位向量为e=±
.
(2)a的方向上的单位向量为e=
.
【变式训练】已知O是平面内一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,
动点P满足
(λ∈[0,+∞)),则点P的轨迹一定
通过△ABC的 ( )
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
【解析】选B.
上的单位向量,
上的单位向量,则
的方向为∠BAC的角平分线的方向.
类型二
数乘向量的运算
【典例】如图,D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且
试求
(用a,b表示).
【解题探究】题中
所在线段在三角形中叫什么
提示:三角形的中线.
【解析】
【延伸探究】
1.(改变问法)本例条件不变,求
【解析】因为
所以
2.(变换条件)本例如添加条件“G为AD,BE,CF的交点”,试求
【解析】如图,
由题意知,点G为三角形的重心,
所以
【方法技巧】用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程.
【补偿训练】在 ABCD中,E和F分别为边CD和BC的中点,若
其中λ,μ∈R,求λ+μ的值.
【解析】如图所示,设
则
因为
所以
所以
【延伸探究】
1.(变换条件、改变问法)本题条件“若
其中λ,μ∈R”
变为“
”,试用a,b表示
【解析】方法一:因为
方法二:由题意知,
2.(变换条件、改变问法)本题条件“若
其中λ,
μ∈R”变为“
”,试用a,b表示
【解析】方法一:
类型三
共线向量定理的应用
【典例】设两个非零向量e1和e2不共线.如果
求证:A,C,D三点共线.
【解题探究】A,C,D三点共线应满足的条件是什么
提示:A,C,D三点共线应满足
【证明】
所以
共线.
又因为AC与CD有公共点C,
所以A,C,D三点共线.
【延伸探究】如果
A,C,D三点共线,
求k的值.
【解析】
=(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2,
因为A,C,D三点共线,
所以
共线,从而存在实数λ使得
即3e1-2e2=λ(2e1-ke2),
所以
【方法技巧】
1.用向量共线定理求参数的方法
(1)三点A,B,C共线问题:利用
构造方程求参数.
(2)已知向量ma+nb与ka+pb(a与b不共线)共线求参数的值的步骤
①设:设ma+nb=λ(ka+pb);
②整:整理得ma+nb=λka+λpb,故
③解:解方程组得参数的值.
2.应用向量共线定理时的注意点
(1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
(2)向量a,b共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0成立,若λ1a+λ2b=0,当且仅当λ1=λ2=0时成立,则向量a,b不共线.
【变式训练】(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点,
则 ( )
【解析】选A.由题知
【补偿训练】1.设D,E,F分别是△ABC的三边BC,CA,AB上的点,且
( )
A.反向平行
B.同向平行
C.互相垂直
D.既不平行也不垂直
【解题指南】
如果存在实数倍关系,再看系数的正负,
若系数为正则同向平行,若系数为负则反向平行;如果不存在实数倍关
系则不平行.
【解析】选A.由题意,得
又
所以
所以
同理,得
将以上三式相加,得
2.若a,b是两个不共线的非零向量,a与b起点相同,则当t为何值时,a,
tb,
(a+b)三向量的终点在同一条直线上
【解析】设
则
要使A,B,C三点共线,只需
即
所以当t=
时,三向量的终点在同一条直线上.
易错案例
证明三点共线
【典例】(2015·临沂高一检测)若
则
λ=________.
【失误案例】
【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗
提示:错误的根本原因在于漏掉了两个向量方向相反的情况,造成错解.
【自我矫正】(1)当点C在线段的延长线上时,如图.
则
则λ=2.
(2)当点C在线段上时,如图.
则
即λ=-2.综上,λ=±2.
答案:±2
【防范措施】
1.重视对向量方向的讨论
当两个向量方向相同或相反时,两向量共线,所以遇到共线向量问题时,要注意对向量方向的讨论,如本题,若想当然地认为两个向量同向,将会造成漏解.
2.关注零向量对解题的干扰
规定零向量与任何向量共线,当共线向量中的一个向量不确定时,要注意对零向量的关注.(共23张PPT)
2.3.2
平面向量基本定理
思考：（1）向量
是否可以用含有
,
的式子
来表示呢？怎样表示？
（2）若向量
能够用
,
表示，这种表示是否唯
一？
请进入本节课的学习！
1.了解平面向量基本定理及其意义.(重点)
2.了解基底的含义.
3.会用任意一组基底表示指定的向量.(难点)
2.过点C作平行于OB的直线，与直线OA相交于点M；
过点C作平行于OA的直线，与直线OB相交于点N；
O
A
N
C
M
B
则
1.
B
O
A
N
C
M
3.又
与
共线,
与
共线.
所以有且只有一个实数λ1，使得
有且只有一个实数λ2
，使得
即
亦即
平面向量基本定理
特别地：
λ1=0，λ2≠0时，
共线.
λ1≠0，λ2=0时，
共线.
λ1=λ2=0时，
我们把不共线的向量
叫作表示这一平面内所
有向量的一组基底.
问题1：在平面向量基本定理中，为什么要求向
量e1,
e2
不共线？
可以作为基底吗？
问题2：平面向量的基底唯一吗？
提示：平面向量的基底不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面向量的一组基底.
E
G
N
A
F
M
因为
=10（kg）×10（m/s2）=100（N），
答：物体所受滑动摩擦力大小为50N，方向与斜面平行向
上；所受斜面支持力大小为
方向与斜面垂直向上.
【解题关键】因为四边形ABCD为平行四边形,可知M为AC与BD的中点.所以
【变式练习】如右图所示，平行四边形ABCD的两条
对角线相交于点M，且
用
表示
M
C
A
B
D
解:在平行四边形ABCD中，因为
，
所以
又因为
所以
M
C
A
B
D
注意:我们在做有关向量的题目时,要先找清楚未知向量和已知向量间的关系,认真分析未知与已知之间的相关联系,从而使问题简化.
D
B
C
A
E
F
说明：同上题一样，我们要找到与未知相关联的量来解决问题，避免做无用功！
，
.
【变式练习】
1.下列说法中，正确的有（
）
①一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；
③零向量不可以为基底中的向量.
②③
2.如图，在△ABC中，
AN=
NC，P是BN上的一点，
若
AP
=
mAB+
AC，则实数m的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：由已知△ABC中，
AN=
NC，P是BN上的一点，
设BP=λBN后，我们易将AP表示为(1-λ)
AB+
AC
的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于λ，
m的方程组，解方程组后即可得到m的值.
D
A
选A.
4.如图，已知梯形ABCD，AB∥CD，且AB=2DC,M,N分别是DC,AB的中点.请大家动手,从图中的线段AD,AB,BC,
DC,MN对应的向量中确定一组基底，将其他向量用这组基底表示出来.
A
N
M
C
D
B
平面向量基本定理
定理
基底
如果
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量
有且只有一对实数
使
.
平面中的任一向量都可表示为其他的两个不共线向量的线性组合,
（1）平面中的任意不共线向量都可以作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的.（2）零向量不能作基底.
不用相当的独立功夫，不论在哪个严重的问题上都不能找出真理；谁怕用功夫，谁就无法找到真理.
——列宁2.3.1数乘向量
整体设计
教学分析
向量的数乘运算,其实是加法运算的推广及简化,与加法、减法统称为向量的三大线性运算.教学时从加法入手,引入数乘运算,充分展现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积,仍然是一个向量,既有大小,也有方向.特别是方向与已知向量是共线向量,进而引出共线向量定理.共线向量定理是本章节中重要的内容,应用相当广泛,且容易出错.尤其是定理的前提条件:向量a是非零向量.共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质,且与后续的知识有着密切的联系.
三维目标
1.通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程,掌握实数与向量积的定义,理解实数与向量积的几何意义,掌握实数与向量的积的运算律.
2.理解两个向量共线的等价条件,能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行.
3.通过探究,体会类比迁移的思想方法,渗透研究新问题的思想和方法,培养创新能力和积极进取精神.通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用.
重点难点
教学重点:1.实数与向量积的意义.
2.实数与向量积的运算律.
3.两个向量共线的等价条件及其运用.
教学难点:对向量共线的等价条件的理解运用.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1
前面两节课,我们一起学习了向量加减法运算,这一节,我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及推广.在代数运算中,a+a+a=3a,故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法,那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算.
思路2.一物体做匀速直线运动,一秒钟的位移对应的向量为a,那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课.
推进新课
新知探究
提出问题
①已知非零向量a,试一试作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).
②你能对你的探究结果作出解释,并说明它们的几何意义吗
③引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗 怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同
④怎样理解向量共线定理
活动:教师引导学生回顾相关知识并猜想结果,对于运算律的验证,点拨学生通过作图来进行.通过学生的动手作图,让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义.教师要引导学生特别注意0·a=0,而不是0·a=0.这个零向量是一个特殊的向量,它似乎很不起眼,但又处处存在,稍不注意就会出错,所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系.实数与向量可以求积,但是不能进行加、减运算,比如λ+a,λ-a都无法进行.向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似,只是数乘运算的分配律有两种不同的形式:(λ+μ)a=λa+μa和λ(a+b)=λa+λb,数乘运算的关键是等式两边向量的模相等,方向相同.判断两个向量是否平行(共线),实际上就是看能否找出一个实数,使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量.一定要切实理解两向量共线的条件,它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段.
图1
对问题①,学生通过作图1可发现,=++=a+a+a.类似数的乘法,可把a+a+a记作3a,即=3a.显然3a的方向与a的方向相同,3a的长度是a的长度的3倍,即|3a|=3|a|.同样,由图1可知,
=++=(-a)+(-a)+(-a),
即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).显然3(-a)的方向与a的方向相反,3(-a)的长度是a的长度的3倍,这样,3(-a)=-3a.
对问题②,上述过程推广后即为实数与向量的积.
我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫作向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下:
(1)|λa|=|λ||a|;
(2)当λ＞0时,λa的方向与a的方向相同;当λ＜0时,λa的方向与a的方向相反.
由(1),可知λ=0时,λa=0.
根据实数与向量的积的定义,我们可以验证下面的运算律.
实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数,那么
(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.
特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.
对问题③,向量共线的等价条件是:如果a(a≠0)与b共线,那么有且只有一个实数λ,使b=λa.推证过程教师可引导学生自己完成,推证过程如下:对于向量a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使b=λa,那么由向量数乘的定义,知a与b共线.反过来,已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的μ倍,即|b|=μ|a|,那么当a与b同方向时,有b=μa;当a与b反方向时,有b=-μa.
关于向量共线的条件,教师要点拨学生做进一步深层探究,让学生思考,若去掉a≠0这一条件,上述条件成立吗 其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识.在判断两个非零向量是否共线时,只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可,与这两个向量的长度无关.在没有指明非零向量的情况下,共线向量可能有以下几种情况:(1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)同向且模相等;(4)同向且模不等;(5)反向且模相等;(6)反向且模不等.
讨论结果:①数与向量的积仍是一个向量,向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定,大小由|λ|·|a|确定.
②它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小.
③略.
④定理a是一个非零向量,若存在一个实数λ,使得b=λa,则向量b与非零向量a共线.
定理若向量b与非零向量a共线,则存在一个实数λ,使得b=λa.
⑤向量的平行与直线的平行是不同的,直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点;而向量的平行既包含没有交点的情况,又包含两个向量在同一条直线上的情形.
应用示例
思路1
1.设a,b为向量,计算下列各式:
(1)-×3a;
(2)2(a-b)-(a+b);
(3)(2m-n)a-mb-(m-n)(a-b)(m,n为实数).
活动:本例是数乘运算的简单应用,可让学生自己完成,要求学生熟练运用向量数乘运算的运算律.教学中,点拨学生不能将本题看作字母的代数运算,可以让他们在代数运算的同时说出其几何意义,使学生明确向量数乘运算的特点.同时向学生点出,向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a、b,以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.
解:(1)原式=(-×3)a=-a;
(2)原式=2a-2b-a-b=(2a-a)-(2b+b)=a-b;
(3)原式=2ma-na-mb-m(a-b)+n(a-b)
=2ma-na-mb-ma+mb+na-nb
=ma-nb.
点评:运用向量运算的运算律,解决向量的数乘.其运算过程可以仿照多项式运算中的“合并同类项”.
变式训练
若3m+2n=a,m-3n=b,其中a,b是已知向量,求m,n.
解:∵3m+2n=a,①m-3n=b.②3×②,得3m-9n=3b.③①-③,得11n=a-3b.
∴n=a-b.④
将④代入②,有m=b+3n=a+b.
点评:此题可把已知条件看作向量m、n的方程,通过方程组的求解获得m、n.在此题求解过程中,利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律,从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.
例2
如图2,已知任意两个非零向量a、b,试作=a+b,=a+2b,=a+3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗 为什么
图2
活动:本例给出了利用向量共线判断三点共线的方法,这是判断三点共线常用的方法.教学中可以先引导学生作图,通过观察图形得到A,B,C三点共线的猜想,再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线.本题只要引导学生理清思路,具体过程可由学生自己完成.另外,本题是一个很好的与信息技术整合的题材,教学中可以通过计算机作图,进行动态演示,揭示向量a、b变化过程中,A、B、C三点始终在同一条直线上的规律.
图3
解:如图3,分别作向量、、,过点A、C作直线AC.观察发现,不论向量a、b怎样变化,点B始终在直线AC上,猜想A、B、C三点共线.
事实上,因为=-=a+2b-(a+b)=b,
而=-=a+3b-(a+b)=2b,
于是=2.
所以A、B、C三点共线.
点评:关于三点共线问题,学生接触较多,这里是用向量证明三点共线,方法是必须先证明两个向量共线,并且有公共点.教师引导学生解完后进行反思,体会向量证法的独特新颖.
例3
如图4,ABCD的两条对角线相交于点M,且=a,=b,你能用a、b表示、、和吗
图4
活动:本例的解答要用到平行四边形的性质.另外,用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤,教学中可以给学生明确指出这一点.
解:在ABCD中,∵=+=a+b,=-=a-b,
又∵平行四边形的两条对角线互相平分,
∴=-==-(a+b)=-a-b,
==(a-b)=a-b,
==a+b,
=-=-=-a+b.
点评:结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则,将两个向量的和或差表示出来,这是解决这类几何题的关键.
思路2
例1
凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F,求证:=(+).
活动:教师引导学生探究,能否构造三角形,使EF作为三角形中位线,借助于三角形中位线定理解决,或创造相同起点,以建立向量间关系.鼓励学生多角度观察思考问题.
图5
解:方法一:过点C在平面内作=,
则四边形ABGC是平行四边形,
故F为AG中点.(如图5)
∴EF是△ADG的中位线.
∴EFDG
∴=.
而=+=+,
∴=(+).
图6
方法二:如图6,连接EB、EC,则有=+,=+,
又∵E是AD的中点,
∴有+=0,
即有+=+.
以与为邻边作EBGC,则由F是BC之中点,可得F也是EG之中点.
∴==(+)=(+).
点评:向量的运算主要从以下几个方面加强练习:(1)加强数形结合思想的训练,画出草图帮助解决问题;(2)加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习,做到准确熟练运用.
变式训练
如图7,已知=4,=4,试判断与是否共线.
图7
解:因为=+=4+4
=4(+)=4,
所以与共线.
例2
已知和是不共线向量,=t(t∈R),试用、表示.
活动:教师引导学生思考,由=t(t∈R)，知A、B、P三点共线,而=+,然后以表示,进而建立,的联系.本题可让学生自己解决,教师适时点拨.
解:=+=+t·=+t·(-)=(1-t)+t·.
点评:灵活运用向量共线的条件.若令1-t=m,t=n,则=m·+n·,m+n=1.
变式训练
1.设两个不共线的向量e1、e2,若向量a=2e1-3e2,向量b=2e1+3e2,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数λ、μ,使向量d=λa+μb与向量c共线？
解:d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2,要使d与c共线,则存在实数k使d=kc,
即(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2=2ke1-9ke2.
由2λ+2μ=2k及3μ-3λ=-9k得λ=-2μ.
故存在这样的实数λ和μ,只要λ=-2μ就能使d与c共线.
2.(2007浙江高考,7)
若非零向量a、b满足|a+b|=|b|,则(
)
A.|2a|＞|2a+b|
B.|2a|＜|2a+b|
C.|2b|＞|a+2b|
D.|2b|＜|a+2b|
答案:C
3.(2007全国高考,5)在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ等于(
)
A.
B.
C.-
D.-
答案:A
3.如图8,A,B,C是平面内三个点,且A与B不重合,P是平面内任意一点,若点C在直线AB上,求证：存在实数λ,使得=λ+(1-λ)
图8
证明:如图8,因为向量与向量共线,根据向量共线定理，可知=λ.
即-=λ(-),=λ+-λ,
=λ+(1-λ).
点评:本例给出了判断三点共线的一个方法.
知能训练
本节练习1、2、3、4、5.
课堂小结
1.让学生回顾本节学习的数学知识:向量的数乘运算法则,向量的数乘运算律,向量共线的条件,体会本节学习中用到的思想方法:特殊到一般,归纳、猜想、类比,分类讨论,等价转化.
2.向量及其运算与数及其运算可以类比,这种类比是我们提高思想性的有效手段,在今后的学习中应予以充分的重视,类比是我们学习中伟大的引路人.
作业
课本习题2—31、2.
设计感想
1.本教案的设计流程符合新课程理念,充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动,引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题.先由学生探究向量数乘的结果还是向量(特别地，0·a=0),它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小,当λ＞0时,λa与a方向相同,当λ＜0时,λa与a方向相反;向量共线定理用来判断两个向量是否共线.然后对所探究的结果进行运用拓展.
2.向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现,因而成为中学数学知识网络的一个交汇点,由此可看出在中学数学教材中的地位的重要,也成为近几年各地高考命题的重点和热点,教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理.
备课资料
一、向量的数乘运算律的证明
设a、b为任意向量,λ、μ为任意实数,则有
(1)λ(μa)=(λμ)a;①
(2)(λ+μ)a=λa+μa;②
(3)λ(a+b)=λa+λb.③
证明：(1)如果λ=0或μ=0或a=0,则①式显然成立.
如果λ≠0,μ≠0,且a≠0,则根据向量数乘的定义,有
|λ(μa)|=|λ||μa|=|λ||μ||a|,
|(λμ)a|=|λμ||a|=|λ||μ||a|.
所以|λ(μa)|=|(λμ)a|.
如果λ、μ同号,则①式两边向量的方向都与a同向;如果λ、μ异号,则①式两边向量的方向都与a反向.
因此,向量λ(μa)与(λμ)a有相等的模和相同的方向,所以这两个向量相等.
(2)如果λ=0或μ=0或a=0,则②显然成立.
如果λ≠0,μ≠0且a≠0,可分如下两种情况:
当λ、μ同号时,则λa和μa同向,所以
|(λ+μ)a|=|λ+μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|,
|λa+μa|=|λa|+|μa|=|λ||a|+|μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|,
即有|(λ+μ)a|=|λa+μa|.
由λ、μ同号,知②式两边向量的方向或都与a同向,或都与a反向,即②式两边向量的方向相同.
综上所述,②式成立.
如果λ、μ异号,当λ＞μ时,②式两边向量的方向都与λa的方向相同;当λ＜μ时,②式两边向量的方向都与μa的方向相同.
还可证|(λ+μ)a|=|λa+μa|.因此②式也成立.
(3)当a=0,b=0中至少有一个成立,或λ=0,λ=1时,③式显然成立.
图9
图10
当a≠0,b≠0且λ≠0,λ≠1时,可分如下两种情况:
当λ＞0且λ≠1时如图9,在平面内任取一点O作=a,=b,=λa,=λb,则=a+b,=λa+λb.
由作法知∥,有∠OAB=∠OA1B1,||=λ||.
所以=λ.所以△AOB∽△A1OB1.
所以=λ,∠AOB=∠A1OB1.
因此O、B、B1在同一条直线上,||=|λ|,与λ的方向也相同.
所以λ(a+b)=λa+λb.
当λ＜0时,由图10可类似证明λ(a+b)=λa+λb.
所以③式也成立.
二、备用习题
1.[(2a+8b)-(4a-2b)]等于（
）
A.2a-b
B.2b-a
C.b-a
D.a-b
2.设两非零向量e1、e2不共线,且ke1+e2与e1+ke2共线,则k的值为(
)
A.1
B.-1
C.±1
D.0
3.若向量方程2x-3(x-2a.)=0,则向量x等于(
)
A.a
B.-6a.
C.6a
D.-a.
4.在△A.BC中,=,EF∥BC,EF交A.C于F,设=a.,=b,则用a.、b表示的形式是=________________.
5.在△A.BC中,M、N、P分别是A.B、BC、CA.边上的靠近A.、B、C的三等分点,O是△A.BC平面上的任意一点,若++=e1-e2,则++=_________.
6.已知△A.BC的重心为G,O为坐标原点,=a,=b,=c,
求证:=(a+b+c).
7.对判断向量a.=-2e与b=2e是否共线 有如下解法:
解:∵a.=-2e,b=2e,∴b=-a..∴a.与b共线.请根据本节所学的共线知识给以评析.如果解法有误,请给出正确解法.
参考答案:
1.B
2.C
3.C
4.-a.+b
5.e1-e2
6.证明：连接A.G并延长,设A.G交BC于M.
∵=b-a.,=c-a.,=c-b,
∴=+=(b-a.)+(c-b)=(c+b-2a.).
∴==(c+b-2a.).
∴=+=a+(c+b-2a.)=(a.+b+c).
7.评析:乍看上述解答,真是简单明快.然而,仔细研究题目已知,却发现其解答存在问题,这是因为,原题已知中,对向量e并无任何限制,那么就应允许e=0,而当e=0时,显然,a.=0,b=0,此时,a.不符合定理中的条件,且使b=λa.成立的λ值也不唯一(如λ=-1,λ=1,λ=2等均可使b=λA.成立),故不能应用定理来判断它们是否共线.可见,对e=0的情况应另法判断才妥.
综上分析,此题应解答如下:
解:(1)当e=0时,则a.=-2e=0.
由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”,所以此时a.与b共线.
(2)当e≠0时,则a=-2e≠0,b=2e≠0,
∴b=-a.〔这时满足定理中的a.≠0,及有且只有一个实数λ(λ=-1),使得b=λa.成立〕.
∴a与b共线.
综合(1)(2),可知a.与b共线.2.3.2
平面向量基本定理
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量，其中正确的说法是（
）
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
解析：根据平面向量基本定理可以进行判断.平面内向量的基底不唯一,在同一平面内任何一组不共线的向量都可以作为平面内所有向量的基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确.
答案：B
2.设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与，其中可作为这个平行四边形所在平面内表示它的所有向量的基底的是（
）
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
解析：①AD与AB不共线,②DA=-BC,DA∥BC,DA与BC共线,③CA与DC不共线,④OD=-OB,OD∥OB,OD与OB共线.由平面向量基底的概念知①③可构成平面内所有向量的基底.
答案：B
3.想一想，e1、e2不共线，e1、e2中能否有零向量？a与e1、e2的关系可能有几种情况？
解析：e1、e2不共线，则e1≠0且e2≠0.
（1）a与e1共线，则有且只有一个λ1，使a=λ1e1；
（2）a与e2共线，则有且只有一个λ2，使a=λ2e2；
（3）a与e1、e2都共线，则a=0；
（4）a与e1、e2都不共线，a能用e1、e2表示，解法如下：
与共线，则有且只有一个λ1，使=λ1e1.
与共线，则有且只有一个λ2，使=λ2e2，则a=+=λ1e1+λ2e2.
4.如图2-3-3，已知△OAB，其中=a，=b，M、N分别是边、上的点，且=a，=b.设与相交于P，用向量a、b表示.
图2-3-3
解：=+,=+.
设=m，=n，则
=+m=a+m(b-a)
=(1-m)a+mb,
=+n=b+n(a-b)
=(1-n)b+na.
∵a、b不共线，
∴
∴=a+b.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.向量、、的终点A、B、C在一条直线上，且=-3.设=p,=q,=r，则下列等式成立的是(
)
A.r=
B.r=-p+2q
C.r=
D.r=-q+2p
解析：由=-3,得-=-3（-），
即2=-+3，∴=+，即r=.
答案：A
2.设一直线上三点A、B、P满足=λ(λ≠1),O是空间一点，则用、表示为(
)
A.=+λ
B.=λ+(1-λ)
C.=
D.
解析：由=λ（λ≠1）得-=λ（-），即=.
答案：C
3.如图2-3-4，四边形ABCD为矩形，且AD=2AB,又△ADE为等腰直角三角形，F为ED中点，=e1，=e2.以e1、e2为基底，表示向量、、及.
图2-3-4
解：∵=e1，=e2，∴=e2-e1.
依题意有AD=2AB=DE，且F为ED中点，
∴四边形ABDF为平行四边形.
∴==e2-e1，==e2.
∴=+=e2-e1+e2=2e2-e1.
4.如图2-3-5，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知=c，=d，试用c、d表示和.
图2-3-5
解：设=a，=b，
则由M、N分别为DC、BC的中点可得=，=.
从△ABN和△ADM中可得
a+b=d，b+a=c.
解得a=(2d-c),b=(2c-d),
即=(2d-c),=(2c-d).
5.证明三角形的三条中线交于一点.
证明：如图，令=a,=b为基底.
=b-a,=a+b,=b-a.
设AD与BE交于点G1，并设=λ,=μ，
则有=-==,
=-=,
∴解得λ=μ=,∴=.
设AD与CF交于点G2，同理,可得=.
∴G1与G2重合，也就是说AD、BE、CF相交于同一点.
∴三角形的三条中线交于一点.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.e1和e2表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作一组基底的是(
)
A.e1+e2和e1-e2
B.3e1-2e2和4e2-6e1
C.e1+3e2和e2+3e1
D.e2和e1+e2
解析：∵3e1-2e2=（4e2-6e1），
∴3e1-2e2与4e2-6e1共线.
答案：B
2.下面关于单位向量的叙述正确的是(
)
A.若e是向量的单位向量，则e与同向或反向
B.若e1与e2是两向量的单位向量，则e1与e2可作为平面的一组基底
C.0的单位向量是0
D.向量的单位向量e=
解析：单位向量是指与a同向且大小为一个单位的向量，故A不正确.若e1、e2是两个单位向量，则可能反向，故B不正确.易知选D.
答案：D
3.已知=3（e1+e2），=e2-e1，=2e1+e2，则(
)
A.A、B、C三点共线
B.A、B、D三点共线
C.A、C、D三点共线
D.B、C、D三点共线
解析：=+=-=4e1+2e2=2（2e1+e2）=2.
答案：C
4.在△ABC中，设=m，=n，D、E是边BC上的三等分点，则=_______________,
=_______________.
解析：由D、E是边BC上的三等分点，可得=,=，转化为已知向量即可.
答案：
5.设e1、e2是两个不共线向量，若向量b=e1+λe2（λ∈R）与向量a=2e1-e2共线，则λ=___________.
解析：由共线向量定理，设b=λa，即e1+λe2=2μ
e1-μ
e2.
所以解得λ=.
答案：
6.如图2-3-6，在平行四边形PQRS中，在PQ、QR、RS、SP上分别取点K、L、M、N，其中K、N分别为PQ、PS的中点，QL=QR，SM=SR.设KM与LN交于A点，=a，=q，=s，试用q、s表示a.
图2-3-6
解法一：∵与共线，∴存在实数λ1，使=λ1.
∵=++,K为的中点，
=,=,=，
∴=++(）=+，
即=q+s.∴=.
∵=+,K为的中点，
∴=q，即=()q+λ1s.
同样设=λ2，
=++=+-=-=q-s,
∴=+=+λ2=s+λ2q-=(-)s+λ2q.
∵关于q、s的分解式是唯一的，
∴
∴=.
解法二：由于N、A、L三点共线，故存在α∈R，使=α+(1-α).
∵==s,=+=+=q+s.
∴=α
s+(1-α)(q+s)
=+(1-α)q+.
∴=(1-α)q+()s.
同理，由于K、A、M三点共线，故存在β∈R，使=β+(1-β).
∵==q,=+=s+,
∴=β
s+(1-β)(s+).
∴=(1-β)s+(）q.
∵关于q、s的分解式是唯一的，
∴
∴=.
7.已知向量a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，其中e1、e2不共线.向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d=λa+μb与c共线 若存在，求出λ、μ的值；若不存在，请说明理由.
解：∵d=λ（2e1-3e2）+μ（2e1+3e2）
=（2λ+2μ）e1+（-3λ+3μ）e2，
如果d与c共线，则应存在实数k，使得d=kc，
即（2λ+2μ）e1+（-3λ+3μ）e2=2ke1-9ke2.
∴2λ+2μ=2k，-3λ+3μ=-9k，
解得λ=-2μ.
故存在这样的λ、μ，只要λ=-2μ，就能使d与c共线.
8.如图2-3-7，平行四边形ABCD中，=，=.求证：A、F、E三点共线.
图2-3-7
证明：设=a，=b，由题意，得=
==a，
==（-）=（a-b）.
又=+=b+a，∴=+=b+（a-b）=a+b.
∴=（a+b）==.
∴∥.
又∵直线AE与直线AF有公共点A，∴A、F、E三点共线.
9.如图2-3-8,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM的值.
图2-3-8
解:设BM=e1,CN=e2,则AM=AC+CM
=-3CN-BM=-3e2-e1,BN=BC+CN
=2BM+CN=2e1+e2.
∵A、P、M和B、P、N分别共线，
∴存在实数λ、μ使AP=λAM=-3λe2-λe1，BP=μ=2μe1+μe2
故BA=BP-AP=2μe1+μe2-（-3λe2-λe1）=（2μ+λ）e1+（μ+3λ）e2
而BA=BC+CA=2BM+3CN=2e1+3e2
由平面向量基本定理知
故=,即AP∶PM=4∶1.
快乐时光
分数略
某考生在考数学时，最后一道题不会做，他偷看到了别人的答案，但过程还是不会.快交卷时，他灵机一动，在卷子上写道：运算过程略.接着把答案抄在后面.评卷老师看后，在答案后打个“X”，接着写道：分数略.2.3
从速度的倍数到数乘向量
2.3.1
数乘向量
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下列等式中不正确的是(
)
A.++=0
B.-=
C.0·=0
D.λ（μa）=λμa
解析：选项A说明首尾相连的向量之和为0，还可推广到n个向量首尾相连.对零向量的运算有明确规定，另外运算律也要熟练掌握.
0·≠0.
答案：C
2.化简：（1）5（3a-2b）+4（2b-3a）；
（2）6（a-3b+c）-4（-a+b-c）；
（3）（x-y）（a+b）-（x-y）（a-b）；
（4）（a+2b）+（3a-2b）-（a-b）.
解：（1）5（3a-2b）+4（2b-3a）=15a-10b+8b-12a=3a-2b；
（2）6（a-3b+c）-4（-a+b-c）=6a-18b+6c+4a-4b+4c=10a-22b+10c；
（3）（x-y）（a+b）-（x-y）（a-b）=xa+xb-ya-yb-xa+xb+ya-yb=2（x-y）b；
（4）（a+2b）+（3a-2b）-（a-b）=（）a+（）b=a+b.
3.已知两个非零向量a、b，试作=a+b，=a+2b，=a+3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
解：分别作向量、、，过点A、C作直线AC，观察发现，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线.
事实上，因为=-=a+3b-（a+2b）=b，
而=-=a+3b-（a+b）=2b，
于是=2，
所以，A、B、C三点共线.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知菱形的两邻边=a，=b，其对角线交点为D，则等于(
)
A.a+b
B.a+b
C.(a+b)
D.a+b
解析：由平行四边形法则及平行四边形的性质可得出答案.
答案：C
2.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括A、C点），则等于(
)
A.λ（+），λ∈（0，1）
B.λ（+），λ∈（0，）
C.λ（-），λ∈（0，1）
D.λ（-），λ∈（0，）
解析：由题意，知=+，又点P在AC上，故存在实数λ∈（0，1）使=?λ.
答案：A
3.若3m+2n=a，m-3n=b，其中a、b是已知向量，求m、n.
解：3m+2n=a，
①
m-3n=b，
②
3×②,得3m-9n=3b.
③
①-③,得11n=a-3b.
∴n=.
④
将④代入②得m=b+3n=.
4.在平行四边形ABCD中，=a，=b，求、.
解法一：利用平行四边形的性质得==a，==b.
∵=+=-，
∴=a-b.
又∵=+，=，
?∴=a+b.
解法二：将、视为未知量，由向量的加法、减法得：
+=，-=.
两式相加得2=+，
∴=+=a+b.
两式相减得2=-，
∴=-=a-b.
5.用向量方法证明：三角形两边中点连线平行于第三边，且其长度等于第三边长度的一半.
证明：如图，已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点.求证：DE∥BC，且DE=.
∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴=，=.
∴=-=（-）=.
又D不在BC上，∴DE∥BC，且DE=.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.已知正方形ABCD的边长为1，=a，=b，=c，则a+b+c的模等于(
)
A.0
B.3
C.
D.
解析：由四边形ABCD为正方形，可知+=，即a+b=c，所以a+b+c=2c.
又||=，故a+b+c的模为.
答案：C
2.已知||=||=1且向量与不共线，则与∠BAC的平分线共线的向量是(
)
A.
B.+
C.-
D.
解析：由||=||=1且与不共线，可知以AB、AC为边的平行四边形为菱形，由菱形的性质和向量加法的平行四边形法则可解此题.
分析知选B.
答案：B
3.已知△ABC中，点D在BC边上，且=2，=r+s，则r+s的值是(
)
A.
B.
C.-3
D.0
解析：∵=2，
∴==r+s.
又++=0，
∴--=0，即-r-s-=0.
∴（1-r）-（s+1）=0，即
答案：D
4.已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，若++=，则点P与△ABC的关系为(
)
A.P在△ABC的内部
B.P在△ABC的外部
C.P在AB边或其延长线上
D.P在AC边上且是AC的一个三等分点
解析：由++=，得++=-，
即2=-.∴=2.由向量的数乘的几何意义知选D.
答案：D
5.如图2-3-1，在△ABC中，BD=DC，AE=3ED，若=a，=b，则等于(
)
图2-3-1
A.b+a
B.b-a
C.b+a
D.b-a
解析：=-=-=?（+）?-=+××=+（-）=-=b-a.
答案：B
6.已知a与b是不共线向量，实数x、y满足3xa+（10-y）b=2xb+（4y+7）a，则x+y=_____________.
解析：∵a、b不共线且3xa+（10-y）b=2xb+（4y+7）a，
∴3x=4y+7，10-y=2x.解得x=.
故x+y=.
答案：
7.在平行四边形ABCD中，设对角线=a，=b，试用a、b表示、.
解法一：设AC、BD交于点O，则===a，同理，=b.
∴=+=-=a-b.
同理，=a+b.
解法二：设=x，=y，那么+=，-=，
即a=x+y，b=y-x.∴x=（a-b），y=（a+b），
即=a-b，=a+b.
8.若O、A、B三点不共线，已知=m+n，m、n∈R，且m+n=1，那么点P的位置如何 请说明理由.
解：由已知=m+n=m+（1-m）=+m（-），
∴-=m（-），即=m.
∴与共线，即点P在直线上.
说明：由此题可猜想，P、A、B三点共线的充要条件是：存在实数λ、μ使=λ+μ，且λ+μ=1.
9.如图2-3-2，D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且=a，=b.
求证：（1）=a-b；（2）=a+b；(3)=；(4)++=0.
图2-3-2
证明：（1）=+=-b-a.
(2)=+=a+b.
(3)
=+=+=b+(+)=b+(-b-a)=a+b.
(4)++=a-ba+b+a+b=0.2.3
从速度的倍数到数乘向量
自我小测
1．若3x－2(x－a)＝0，则向量x等于( )
A．2a
B．－2a
C．a
D．－a
2．已知向量a，b不共线，若向量a＋λb与b＋λa的方向相反，则λ等于( )
A．1
B．0
C．－1
D．±1
3．如图，在△ABC中，设E为BC边的中点，则＝( )
A．
B．
C．
D．
4．已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，其对角线交点为O，则等于( )
A．a＋b
B．a＋b
C．(a＋b)
D．a＋b
5．已知△ABC和点M满足.若存在实数m使得成立，则m＝( )
A．2
B．3
C．4
D．5
6．化简：(4a＋b)－3(b－a)＝__________.
7．若＝5e，＝－7e，且，则四边形ABCD是__________形．
8．设e1，e2是两个不共线的向量，＝(e1＋5e2)，＝－2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，则共线的三点是__________．
9．如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且，求证：M，N，C三点共线．
10．已知a，b是不共线向量，且＝3a＋2b，＝a＋λb，＝－2a＋b，若A，B，D三点共线，试求实数λ的值．
参考答案
1．解析：由题意知3x－2x＋2a＝0，故x＝－2a.
答案：B
2．解析：∵向量a＋λb与b＋λa的方向相反，
∴(a＋λb)∥(b＋λa)，即存在一个负实数m，使得a＋λb＝m(b＋λa)，
即(1－mλ)a＝(m－λ)b.
∵a与b不共线，
∴1－mλ＝m－λ＝0，可得m＝λ＜0，
∴1－λ2＝0，∴λ＝－1.
答案：C
3．解析：
＝
＝
＝.
答案：D
4．解析：∵＋＝＝，＝a，＝b，
∴＝(a＋b)．
答案：C
5．解析：∵，∴点M是△ABC的重心．
∴.∴m＝3.
答案：B
6．解析：(4a＋b)－3(b－a)＝2a＋b－3b＋3a＝5a－b.
答案：5a－b
7．解析：∵＝5e，＝－7e，∴AB∥CD，且AB≠CD.
又∵，∴四边形ABCD是等腰梯形．
答案：等腰梯
8．解析：∵＝＋＝(－2e1＋8e2)＋3(e1－e2)＝e1＋5e2，＝(e1＋5e2)＝，
∴∥，
∴A，B，D三点共线．
答案：A，B，D
9．证明：设=a，=b，则由向量减法的三角形法则可知
.
又∵点N在BD上，且BN=BD，
∴，
∴，
∴.
又∵与的公共点为C，
∴C，M，N三点共线．
10．解：∵＝－＝(－2a＋b)－(a＋λb)＝－3a＋(1－λ)b，且A，B，D三点共线，
∴与共线，因此存在实数μ使得，
即3a＋2b＝μ[－3a＋(1－λ)b]＝－3μa＋μ(1－λ)b.
∵a，b是不共线向量，
∴∴.
故当A，B，D三点共线时，λ＝3.(共39张PPT)
2.3.2
平面向量基本定理
【知识提炼】
平面向量基本定理与基底
(1)平面向量基本定理：
(2)基底：成为基底的条件：向量e1,e2_______.
条件
结论
①e1,e2是同一平面内的两
个_______向量
②a是该平面内的_____向量
存在唯一一对实数λ1,
λ2，使得a=__________
不共线
任一
λ1e1+λ2e2
不共线
【即时小测】
1.思考下列问题:
(1)0能与另外一个向量a构成基底吗
提示:不能.基向量是不共线的,而0与任意向量是共线的.
(2)平面向量的基底是唯一的吗
提示:不是.平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底,当基底一旦确定后,平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示.
2.在△ABC中,
则
等于 ( )
【解析】选A.如图,
3.在平面向量基本定理中,若a=0,则λ1=λ2=________.
【解析】当a=0,即λ1e1+λ2e2=0时,
因为0·e1+0·e2=0,
所以根据实数λ1,λ2相对于基底e1,e2唯一性知λ1=λ2=0.
答案:0
4.在平面向量基本定理中,若a∥e1,则λ2=0;若a∥e2,则λ1=__________.
【解析】当a∥e1时,a=λe1=λ1e1+λ2e2,
所以根据实数λ1,λ2相对于基底e1,e2唯一性知λ1=λ,λ2=0.
同理可知当a∥e2时λ1=0.
答案:0
【知识探究】
知识点
平面向量基本定理
观察如图所示内容,回答下列问题:
问题1:平面向量基本定理的内容是什么
问题2:如何用已知向量表示指定向量
【总结提升】
1.对平面向量基本定理的四点说明
(1)实质:平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任意向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式.
(2)唯一性:平面向量基本定理中,平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底,一旦选定一组基底,则给定向量沿着基底的分解是唯一的.只要是同一平面内两个不共线的向量都可以作为一组基底,故基底的选取不唯一.
(3)特殊性:零向量与任意向量都共线,因此零向量不能作为基底.
(4)体现的数学思想:这个定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解决几何问题时,可以选择恰当的基底,将问题中涉及的向量用基底化归,使问题得以解决.
2.平面向量基本定理与向量共线定理的联系
由平面向量共线定理可知,任意一个向量可以用一个与它共线的非零向量来线性表示,而且这种表示是唯一的,故平面向量基本定理是向量共线定理从一维到二维的推广.
【题型探究】
类型一
对基底的正确理解
【典例】1.设e1,e1是不共线的两个向量,给出下列四组向量:
①e1与e1+e2;②e1-2e2与e2-2e1;③e1-2e2与4e2-2e1;④e1+e2与e1-e2.其中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号).
2.如图所示,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴
影区域内(不含边界)运动,且
则x的取值范围是______;
当x=-
时,y的取值范围是________.
【解题探究】1.典例1中判断两个向量是否为一组基底的依据是什么
提示:不共线即两个向量不是零向量并且方向不相同也不相反.
2.典例2中
满足什么条件时,点P,A,B三点共线
提示:当x+y=1时三点共线.
【解析】1.①中,设e1+e2=λe1,则
无解.所以e1+e2与e1不共线,故e1与e1+e2可作为一组基底;同理,可得②④中的两个向量不共线,可作为一组基底;③中的两个向量共线,不可作为一组基底.
答案:③
2.由题意得:
由-aλ<0,得x∈(-∞,0).
又由
则有0当
答案:(-∞,0)
【方法技巧】对基底的正确理解
(1)两个向量能否构成基底,主要看两向量是否为非零向量且不共线.
(2)一个平面的基底一旦确定,那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示.
【拓展延伸】正确应用基底的几个关注点
(1)若a=0,则有且只有λ1=λ2=0,使a=λ1e1+λ2e2.
(2)若a与e1(e2)共线,则λ2=0(λ1=0),使a=λ1e1+λ2e2.
(3)若e1,e2不共线,λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2,则λ1=μ1且λ2=μ2.
(4)若e1,e2不共线,λ1e1+λ2e2=0,则恒有λ1=λ2=0.
【变式训练】设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,下列向量组:
其中可作为这个平行
四边形所在平面的基底的是 ( )
A.①② B.①③ C.①④ D.③④
【解析】选B.①
共线;②
则
共线;
③
不共线;④
共线.由平面向量基底的
概念知①③向量组可以作为平面的基底.
类型二
用基底表示向量
【典例】已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,a=3e1-2e2,b=
-2e1+e2,c=7e1-4e2,试用向量a和b表示c.
【解题探究】向量a和b能表示c的实质是什么
提示:其实质是向量a和b不共线,能够作为一组基底.
【解析】因为a,b不共线,所以可设c=xa+yb,则xa+yb=x(3e1-2e2)+
y(-2e1+e2)=(3x-2y)e1+(-2x+y)e2=7e1-4e2.又因为e1,e2不共线,
所以c=a-2b.
【延伸探究】
1.(改变问法)本例的条件不变,是否存在实数λ,μ使得d=λa+μb与c共线 说明理由.
【解析】因为a=3e1-2e2,b=-2e1+e2,
d=λa+μb=λ(3e1-2e2)+μ(-2e1+e2)
=(3λ-2μ)e1+(-2λ+μ)e2,所以如果d,c共线,
则c=kd(k∈R),
即
所以μ=-2λ.
故存在实数λ,μ,当μ=-2λ时,d,c共线.
2.(变换条件)本例的条件“a=3e1-2e2,b=-2e1+e2,c=7e1-4e2”变为
“
=3e1-2e2,
=λe1+e2,
=7e1-4e2,若A,B,D三点共线”试求实
数λ的值.
【解析】因为
=(7e1-4e2)-(λe1+e2)
=(7-λ)e1-5e2,且A,B,D三点共线,所以
共线,
即存在实数μ,使得
所以3e1-2e2=μ[(7-λ)e1-5e2]=μ(7-λ)e1-5μe2,
因为e1,e2是平面内两个不共线的向量,
【方法技巧】应用平面向量基本定理时的关注点
(1)充分利用向量的加法、减法的法则,在平行四边形、三角形中确定
向量的关系.
(2)应用数乘向量时特别注意线段的比例关系,如中点、三等分点等.
(3)一个重要结论:设a,b是同一平面内的两个不共线的向量,若x1a+
y1b=x2a+y2b,则有
【补偿训练】如图,已知在△OAB中,延长BA到C,使AB=AC,D是将
分成2∶1的一个分点,DC和OA交于点E,设
试用a,b
表示向量
【解析】因为点A为BC的中点,
所以
【延伸探究】
1.(变换条件)本题条件不变,若
求实数λ的值.
【解析】如图,
因为
=λa-2a+b=(λ-2)a+b.
因为
共线,
所以存在实数m,使得
即
即(λ+2m-2)a+
b=0.
因为a,b不共线,所以
2.(改变问法)本题条件不变,试用a,b表示向量
.
【解析】设
因为
共线,
所以存在实数m,使得
即(λ-2)a+b=
即(λ+2m-2)a+
b=0.
因为a,b不共线,所以
所以
所以
规范解答
平面向量基本定理的应用
【典例】已知
设t∈R,如果3a=c,
2b=d,
e=t(a+b),那么t为何值时,C,D,E三点在一条直线上
【审题指导】(1)要使C,D,E三点在一条直线上,则存在实数k,使得
可以想到用向量a,b,c,d,e表示
(2)由3a=c,2b=d,e=t(a+b),可以用向量a,b表示
进而联想到
平面向量基本定理,需要考虑向量a,b是否共线.
(3)分向量a,b共线、不共线两种情况讨论.
【规范解答】
【题后悟道】
1.合理的选择基底
用基底表示向量是解决向量问题的基础,应根据已知条件灵活选择,通
常以与待求向量密切相关的两个不共线的向量作为基底,如本题,可以
用向量a,b表示
2.关注平面向量基本定理成立的条件
对基底的正确理解是应用平面向量基本定理的关键,忽视作为基底的两个向量应不共线这个条件,将会造成解题考虑不周全而出现错解或漏解,如本题,如果忽视对向量a,b是否共线进行讨论将使解题考虑不周全.2.3
从速度的倍数到数乘向量
自主广场
我夯基
我达标
1.O是平行四边形ABCD对角线的交点，下列各组向量：①与；②与；③与；④与.其中可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底的是（
）
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
思路解析：平面内任意不共线的两个向量均能构成一组向量基底.通过画图可得①与不共线；②=-，则∥，所以与共线；③与不共线；④=-，则∥，所以与共线.由平面向量基底的概念知①③可以构成平面内所有向量的基底.
答案：B
2.如图2-3-8，矩形ABCD中，若=5e1，=3e2，则等于（
）
图2-3-8
A.（5e1+3e2）
B.（5e1-3e2）
C.（3e2+5e1）
D.（5e2-3e1）
思路解析：用，表示，再代入向量和的值即可.==（-）=（+）=（+）=(5e1+3e2).
答案：A
3.M为△ABC的重心，点D、E、F分别为三边BC、AB、AC的中点，则++为（
）
A.6
B.-6
C.0
D.6
思路解析：如图2-3-9所示，由题意，知设MB的中点为P，连结DP、PE，得平行四边形MDPE，取向量，为一组基底，则有=2=2（+），=-2，=-2，则有++=0.
图2-3-9
答案：C
4.(2006广东高考卷，3)如图2-3-10所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量为（
）
图2-3-10
A.-+
B.--
C.
-
D.+
思路解析：用基向量，表示向量.=+=-+.
答案：A
5.(2006河北石家庄一模，理7)在△ABC中，点D在直线BC上，且=4=r-s，则s+t等于（
）
A.0
B.
C.
D.3
思路解析：如图2-3-11所示，由题意，得点D在线段CB的延长线上.∵=4，∴=.
又∵=-,∴=
(-)=
-,∴r=s=，∴s+t=.
图2-3-11
答案：C
6.在△ABC中，设=m，=n，D、E是边BC上的三等分点，则=_______________,=_______________.
思路解析：由D、E是边BC上的三等分点，可得=,=，转化为已知向量即可.
答案：m+n
m+n
我综合
我发展
7.如图2-3-12，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在线段BD上，且有BN=BD，求证：M，N，C三点共线.
图2-3-12
思路分析：要证M，N，C三点共线，只需证向量与共线即可.
证明：设=a，=b(a,b不共线)，则=+=-=b-a.
∵N是BD的三等分点，
∴==b-b.
而=+=+=a+b-a=a+b，=+=+=a+b，
∴=.
又∵、有共同的起点M，
∴M,N,C三点共线.
8.用向量方法证明：梯形中位线平行于底且等于上、下两底和的一半.
思路分析：用向量证明几何问题，首先要用向量表示几何元素，然后进行向量线性运算，最后作出运算结果的几何意义解释即可.
证明：如图2-3-13，已知梯形ABCD中，E、F是两腰、的中点，求证：∥∥，且||=（||+||）.
图2-3-13
证明：∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴=-，=-,
∵=++，
=++.
∴=（+++++）=（+）.
又∵∥，
∴设=λ(λ∈R).
∴=(+)=(+λ)=.
∴∥.
∵E、F、D、C四点不共线，
∴∥.
同理,可证∥，
∵∥且同向，
∴||=|（+）|=|+|=（||+||）.
∴||=（||+||）.
9.在正六边形ABCDEF中，=a，=b，求,,.
思路分析：由平面几何的知识可知，正六边形的各边长相等，相对的边平行且相等，边长与其外接圆的半径也相等.应用平行向量及相等向量的知识、向量的加法运算，容易用a,b表示所求的向量.
解：如图2-3-14，连结FC交AD于O，连结OB，由平面几何知识得四边形ABOF、四边形ABCO均是平行四边形.
图2-3-14
解法一：根据向量的平行四边形法则有
=+=a+b.
在平行四边形ABCO中，
=+=a+b+a=2a+b.
由正六边形知识知，=2=2a+2b.
又=+,且=-,
∴=-=2a+2b-a=a+2b.
解法二：根据向量的平行四边形法则有
=+=a+b.
∵=，∴=a+b.
根据向量加法的三角形法则得
=+，
∴=a+b+a=2a+b.
又∵==b，
∴=+=2a+b+b=2a+2b.
=+=-=2a+2b-a=a+2b.
10.设x为未知向量，解方程x+3a-b=0.
思路分析：这是一个关于未知向量的向量方程，由于向量具有许多与数相同的运算性质，我们可以按照解关于数的方法来解这个方程.
解：原方程可化为x+(3a-b)=0，
∴x=-(3a-b）.
∴x=-9a+b.
11.如图2-3-15，在平行四边形PQRS中，在PQ、QR、RS、SP上分别取点K、L、M、N，其中K、N分别为PQ，PS的中点，QL=QR,SM=SR，设KM与LN交于A点，=q，=s，试用q,s表示.
图2-3-15
思路分析：由于，而=，关键是求.又由于与共线，而可用q,s表示，这样可以求得一个关于q,s的分解式(含参数).同样，利用,还可求得另一个关于q,s的分解式(也含参数).由于关于q,s的分解式的唯一性，就可得到含参数的两个方程，解出参数值，问题得到解决.
解：∵与共线，
∴存在实数λ1，使=λ1.
∵=,K为的中点，
=,=-,=，
∴=+(-)=，
即=q+s.
∴=-q+λ1s.
∵=+,K为的中点，
∴=q-q+λ1s，即=（-)q+λ1s.
同样，设=λ2，
==+-=-=q-s，
∴=+λ2=s+λ2q-s=(-)s+λ2q.
∵关于q,s的分解式是唯一的，
∴解得
∴=.2.3
从速度的倍数到数乘向量
自我小测
1．已知a＝xe1＋2e2与b＝3e1＋ye2共线，且e1，e2不共线，则xy的值为( )
A．6
B．
C．－6
D．－
2．设a，b为基底向量，已知向量＝a－kb，＝2a＋b，＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于( )
A．2
B．－2
C．10
D．－10
3．若点O是ABCD的两条对角线的交点，且＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1＝( )
A．
B．
C．
D．
4．已知平面内有一点P及一个△ABC，若，则( )
A．点P在△ABC外部
B．点P在线段AB上
C．点P在线段BC上
D．点P在线段AC上
5．已知AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b
B．a＋b
C．a－b
D．－a＋b
6．如图所示，已知，用，表示＝__________.
7．在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，则m＋n的值为__________．
8．若e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，且a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则k的值为__________．
9．设e1，e2是两个不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式．
参考答案
1．解析：由a，b共线，得a＝λb(λ为实数)，即xe1＋2e2＝3λe1＋λye2.
∵e1，e2不共线，
∴x＝3λ，2＝λy，且λ≠0，
∴xy＝3λ·＝6.
答案：A
2．解析：＝＋＋＝(a－kb)＋(－2a－b)＋(3a－b)＝2a－(k＋2)b.
∵A，B，D三点共线，∴存在实数λ使得，
即a－kb＝λ[2a－(k＋2)b]＝2λa－λ(k＋2)b.
∵a，b为基底向量，
∴
解得λ＝，k＝2.
答案：A
3．解析：3e2－2e1＝＝＝＝.
答案：C
4．解析：∵，
∴＝0，
即＝0，
∴＝0，
∴，
∴点P在线段AC上．
答案：D
5．解析：设AD与BE的交点为F，
则＝a，＝b.
则＝0，得＝(a－b)，
所以＝a＋b.
答案：B
6．解析：
＝.
答案：
7．解析：＝()＝＋.
∵M，O，N三点共线，
∴＋＝1，
∴m＋n＝2.
答案：2
8．解析：当a∥b时，a，b不能作为一组基底，故存在实数λ，使得a＝λb，
即3e1－4e2＝λ(6e1＋ke2)，
∴6λ＝3，且kλ＝－4，
解得λ＝，k＝－8.
答案：－8
9．(1)证明：假设a，b共线，则a＝λb(λ∈R)，则
e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，
得
即
所以λ不存在，故a，b不共线，
即a，b可以作为一组基底．
(2)解：设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
所以解得故c＝2a＋b.2.3
从速度的倍数到数乘向量
知识梳理
1.向量数乘
（1）定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.
λa的长度与方向规定如下：|λa|=|λ||a|；当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0.
（2）向量数乘的运算律
设λ、μ是实数，则有λ(μa)=(λμ)a；(λ+μ)a=λa+μ
a；λ(a+b)=λa+λb.
（3）向量数乘的几何意义：λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小|λ|倍.
2.向量的线性运算
（1）向量的加法、减法和向量数乘的综合运算，叫做向量的线性运算.若一个向量c是由另一些向量的线性运算得到的，我们就说这个向量c可以用另一些向量线性表示.
（2）向量的线性运算也叫向量的初等运算.它们的运算法则在形式上很像实数加、减法、乘法满足的运算法则，但它们在具体含义上是不同的.不过由于它们在形式上相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形方法在向量的线性运算中都可以使用.
3.向量共线的判定定理和性质定理
判定定理：如果a=λb，则a∥b；
性质定理：如果a∥b（b≠0），则一定存在一个实数λ，使得a=λb.
4.平面向量基本定理
如果e1和e2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a=a1e1＋a2e2.我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为｛e1，e2｝，a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底｛e1，e2｝的分解式.
5.直线的向量参数方程式
已知A、B是直线l上任意两点，O是l外一点，则对于直线l上任一点P，存在实数ｔ，使=(1-t)+t,这个等式又称为直线l的向量参数方程式.
知识导学
1.一个向量用其他向量的线性运算来表示是解决这一类问题的关键，注意转化与化归的思想应用.
2.灵活、适当地选择一组平面向量基底来表示其他未知向量是正确解决向量问题的前提.
3.在解决问题时，一定要自觉作出草图来寻找解题思路，重视数形结合思想的运用.
疑难突破
1.向量共线定理有何应用？
剖析：学行向量基本定理后，对定理的应用陷入茫然.其突破方法是对平行向量基本定理的结论的理解不够彻底.下面分三方面来讨论.
（1）判定定理的结论是a∥b，那么用平行向量基本定理可以证明两向量共线.
例如：设=a，=b，=（a+b）,求证：∥.
证明：由题意得=b-a，=-=（b+a）-b=（a-b），
∴=-.
∴∥.
由此可见，证明向量a∥b，只需找到满足a=λb的实数λ的一个值即可.
（2）判定定理的结论是a∥b，则有当=a，=b时，有O、A、B三点共线，即用平行向量基本定理可以证明三点共线.
例如：设=a，=b，=（a+b）,求证：A、B、C三点共线.
证明：由题意得=b-a.
=-=（a+b）-b=（a-b）,
∴=.∴∥.
∴A、B、C三点共线.
由此可见，三点共线问题通常转化为向量共线问题.
（3）判定定理的结论是a∥b，当a和b所在的直线分别是直线m和n时，则有直线m、n平行或重合,即用平行向量基本定理可以证明两直线平行.
例如：如图2-3-1，已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，并且AD=xAB，AE=xAC,0＜x＜1.
图2-3-1
求证：DE∥BC且DE=xBC.
证明：∵AD=xAB，AE=xAC，
∴=x，=x.
∴=-=x(-)=x.
∴∥.
∴DE∥BC且DE=xBC.
由此可见，证明两直线平行转化为证明它们的方向向量共线.
（4）性质定理的结论是a=λb，则有|a|=|λ|·|b|，当=a，=b时，||=|λ|·||，从而OA=λOB,即用平行向量基本定理可以证明两平行线段间的长度关系.
例如：如图2-3-2，平行四边形OACB中，BD=BC，OD与BA相交于E.
图2-3-2
求证：BE=BA.
证明：设E′是线段BA上的一点，且BE′=BA.
设=a，=b，则=a，=b+a.
∵=-b，E′A=a-，3=E′A,
∴3(-b)=a-.
∴=
(a+3b)=
(b+a).
∴=.
∴O、E′、D三点共线，即E，E′重合.
∴BE=BA.
由此可见，证明两平行线段的长度关系转化为证明这两条线段构成的向量共线.
2.如何正确认识平面向量基本定理？
剖析：疑点是平面向量基本定理是关于哪一方面的定理，有什么作用？突破口是从定理的条件和结论来分析.
平面向量基本定理实质上就是向量线性运算知识的推广和延伸，即平面内任一向量a都可分解成两个不共线向量e1，e2（基底）的唯一线性组合形式λ1e1＋λ2e2.因此平面向量基本定理也是是向量正交分解的依据，是向量坐标运算的基础，理解该定理能很好的掌握平面向量的各种知识，帮助我们解决向量问题.
例如：（经典回放）已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则等于（
）
A.λ(+),λ∈(0,1)
B.λ(+BC),λ∈(0,)
C.λ(-),λ∈(0,1)
D.λ(-BC),λ∈(0,
)
思路解析：如图2-3-3所示，
图2-3-3
由向量的运算法则得：+=，
又点P在对角线AC上，则∥,且||＜||.
∴存在实数λ使=λ,λ∈(0,1).
答案：A2.3.2平面向量基本定理
整体设计
教学分析
平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因.
三维目标
1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理.
2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.
重点难点
教学重点:平面向量基本定理.
教学难点:平面向量基本定理的运用.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v,可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量,a.是这一平面内的任一向量,那么a与e1、e2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫作把向量正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,是否会给我们带来更方便的研究呢？
思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义,如果将平面内向量的始点放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成,在黑板上给出图像进行演示和讲解.如果条件允许,用多媒体教学,通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？
推进新课
新知探究
提出问题
①给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、e2,请你作出向量3e1+2e2、e1-2e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示呢
图1
②如图1,设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量,A.是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究a与e1、e2之间的关系.
活动:如图1,在平面内任取一点O,作=e1,=e2,=a..过点C作平行于直线OB的直线,与直线OA.交于点M;过点C作平行于直线OA.的直线,与直线OB交于点N.由向量的线性运算性质可知,存在实数λ1、λ2,使得=λ1e1,=λ2e2.由于=+,所以a=λ1e1+λ2e2.也就是说,任一向量a.都可以表示成λ1e1+λ2e2的形式.
由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来.当e1、e2确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.
由此可得:平面向量基本定理:
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a.=λ1e1+λ2e2.
定理说明:(1)我们把不共线向量e1、e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底;
(2)基底不唯一,关键是不共线;
(3)由定理可将任一向量a.在给出基底e1、e2的条件下进行分解;
(4)基底给定时,分解形式唯一.
讨论结果:①可以.
②a=λ1e1+λ2e2.
提出问题
①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？
②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？
活动:教师引导学生结合向量的定义和性质,思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的,结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况,对回答正确的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论:不共线向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:
图2
已知两个非零向量a和b(如图2),作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a.与b的夹角.
显然,当θ=0°时,a.与b同向;当θ=180°时,a.与b反向.因此,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内.
如果a与b的夹角是90°,我们说a.与b垂直,记作a.⊥b.
由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量a.,均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+λ2a2.
在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫作把向量正交分解.如上,重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常见的一种情形.
在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便.
讨论结果:①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间\[0°,180°\]内;向量与直线的夹角不一样.
②可以.
应用示例
思路1
例1
如图3,ABCD中,=a.,=b,H、M是AD、DC之中点,F使BF=BC,以a.,b为基底分解向量与
图3
活动:教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出表扬,对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励.
解:由H、M、F所在位置,有
=+=+=+=b+a..
=-=+-=+-
=+-
=a-b
点评:以a.、b为基底分解向量与,实为用a.与b表示向量与.
变式训练
已知向量e1、e2(如图4),求作向量-2.5e1+3e2.
图4
作法:(1)如图,任取一点O,作
=-2.5e1,=3e2.
(2)作OACB.
故就是求作的向量.
例2
如图5,质量为10kg的物体a.沿倾角θ=30°的斜面匀速下滑,求物体受到的滑动摩擦力和支持力.(g=10m/s2)
图5
解:物体受到三个力:重力,斜面支持力,滑动摩擦力.把重力分解为平行于斜面的分力和垂直于斜面的分力.因为物体做匀速运动,所以=-,=-.
因为||=10(kg)×10(m/s2)=100(N),
||=||·sin30°=100×=50(N)，
||=||·cos30°=100×=50(N),
所以||=||=50N,||=||=50N.
答：物体所受滑动摩擦力大小为50N,方向与斜面平行向上；所受斜面支持力大小为50N,方向与斜面垂直向上.
例3
下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是(
)
A..①②
B.②③
C.①③
D.①②③
活动:这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解,教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的,只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底.
解析:平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确.
答案:B
点评:本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.
变式训练
(2007上海春季高考,13)
如图6,平面内的两条相交直线和将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界).若=a.+b,且点P落在第Ⅲ部分,则实数a.、b满足.(
)
图6
A.a.＞0,b＞0
B.a.＞0,b＜0
C.a.＜0,b＞0
D.a.＜0,b＜0
解析:∵点P落在第Ⅲ部分,
∴在直线上的分向量与同向,在直线上的分向量与反向.∴a.＞0,b＜0.
答案:B
思路2
例1
如图7,M是△A.BC内一点,且满足条件+2+3=0,延长CM交A.B于N,令=a.,试用a.表示.
图7
活动:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解决平面向量计算问题的重要工具.由平面向量基本定理,可得到下面两个推论:
推论1:e1与e2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数λ1、λ2,使得λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0.
推论2:e1与e2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数a.1,a.2,b1,b2,使得a=a1e1+a2e2=b1e1+b2e2,则
解:∵=+,=+,
∴由+2+3=0,得(+)+2(+)+3=0.
∴+3+2+3=0.又∵A.、N、B三点共线,C、M、N三点共线,
由平行向量基本定理,设=λ,=μ,
∴λ+3+2+3μ=0.∴(λ+2)+(3+3μ)=0.
由于和不共线,∴.∴
∴=-=.∴=+=2=2a.
点评:这里选取,作为基底,运用化归思想,把问题归结为λ1e1+λ2e2=0的形式来解决.
变式训练
设e1与e2是两个不共线向量,a.=3e1+4e2,b=-2e1+5e2,若实数λ、μ满足λa+μb=5e1-e2,求λ、μ的值.
解:由题设λa+μb=(3λe1+4λe2)+(-2μe1+5μe2)=(3λ-2μ)e1+(4λ+5μ)e2.
又λa+μb=5e1-e2.
由平面向量基本定理,知
解之,得λ=1,μ=-1.
例2
如图8,△A.BC中,A.D为△A.BC边上的中线且A.E=2EC,求及的值.
图8
活动:教师让学生先仔细分析题意,以明了本题的真正用意,怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后,然后结合向量的相等进行求解比值.
解:设=λ,=μ.
∵=,即-=-,
∴=(+).
又∵=λ=λ(-),
∴==+.①
又∵=μ,即-=μ(-),
∴(1+μ)=+μ,=+.
又=,∴=+.②
比较①②,∵、不共线,
∴解之,得
点评:本例中,构造向量在同一基底下的两种不同表达形式,利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组,从而进一步求得结果.
变式训练
过△OA.B的重心G的直线与边OA.、OB分别交于P、Q,设=h,=k,试证:=3.
证明:设=a.,=b,OG交A.B于D,则=(+)=(a.+b)(图略).
∴==(a+b),=-=(a.+b)-kb=a+b=-=ha-kb.
∵P、G、Q三点共线,∴=λ.
∴a+b=λha.-λkb∴
两式相除,得k+h=3hk,
∴=3.
知能训练
已知G为△A.BC的重心,设=a.,=b,试用a.、b表示向量.
图9
解答:如图9,=,
而=+=+=a+(b-a)=a+b,
∴==(a+b)=a.+b.
点评:利用向量加法、减法及数乘的几何意义.
课堂小结
1.先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示.
2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图.
作业
课本习题2—35、6.
设计感想
1.本节课内容是为了研究向量方便而引入的一个新定理——平面向量基本定理.教科书首先通过“思考”:让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点,反过来,对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e1+λ2e2的向量表示.
2.教师应该多提出问题,多让学生自己动手作图来发现规律,通过解题来总结方法,引导学生理解“化归”思想对解题的帮助,也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题.
3.如果条件允许,借助多媒体进行教学会有意想不到的效果.整节课的教学主线应以学生练习为主,教师给与引导和提示.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学,领悟思想方法的最好载体.学生这种经历的实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.
备课资料
一、三角形三条中线共点的证明
如图13所示,已知在△A.BC中,D、E、L分别是BC、CA.、A.B的中点,设中线A.D、BE相交于点P.
图13
求证:A.D、BE、CL三线共点.
分析:欲证三条中线共点,只需证明C、P、L三点共线.
证明:设=a.,=b,则=b,=-=-a+b.
设=m,则+=m(+),
=(-1+m)+m=(-1+m)a.+m[(b-a)]=(-1+m)a+mb.①
又设=n,则-=n(+),
∴=(1-n)+n=-(1-n)a+n(b-a.)=(--n)a+nb.②
由①②，得解之,得
∴=-a+b=(-a.+b)=
∴C、P、L三点共线.∴A.D、BE、CL三线共点.
二、备用习题
1.如图14所示,已知=,=,用、表示,则等于(
)
图14
A..+
B.-+
C.--
D.-
2.已知e1,e2是两非零向量,且|e1|=m,|e2|=n,若c=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R),则|c|的最大值为(
)
A..λ1m+λ2n
B.λ1n+λ2m
C.|λ1|m+|λ2|n
D.|λ1|n+|λ2|m
3.已知G1、G2分别为△A.1B1C1与△A.2B2C2的重心,且=e1,=e2,=e3,则等于(
)
A..(e1+e2+e3)
B.(e1+e2+e3)
C.(e1+e2+e3)
D.-(e1+e2+e3)
4.O是平面上一定点,A.、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ(),λ∈［0,+∞),则P的轨迹一定通过△A.BC的(
)
A..外心
B.内心
C.重心
D.垂心
5.已知向量a.、b且=a.+2b,=-5a.+6b,=7a.-2b,则一定共线的三点是(
)
A..A.、B、D
B.A.、B、C
C.C、B、D
D.A.、C、D
6.(2007浙江高考,15)如图15,平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=23,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为__________________.
图15
参考答案:1.B
2.C
3.B
4.B
5.A.
6.6(共28张PPT)
2.3
从速度的倍数到数乘向量
2.3.1
数乘向量
1.向量加法的三角形法则
2.向量加法的平行四边形法则
特点:首尾相接，首尾连
特点:共起点
A
C
B
b
a
a
b
.
a
+
b
A
B
D
C
b
a
a
a
+
b
b
o.
B
A
3.向量的减法
特点：共起点，连终点，方向指向被减向量
1.在急风骤雨、雷电交加的夜晚，为什么我们总是先看到闪电，后听到雷声？这是因为在同一方向上光速远远大于声速.经测量，光速大小约为声速的8.7×105倍.
由以上两个实例可以看出，实际中存在方向相同、大小之间存在倍数关系的两个向量，因此有必要研究实数与向量积的运算.
1.理解、掌握向量数乘运算及其几何意义.（重点）
2.掌握数乘运算的运算律.（重点）
3.掌握向量共线的判定定理和性质定理.（难点）
B
C
N
M
Q
P
O
A
探究点1
数乘向量
问题1：
.
，
问题2：向量
与向量
有什么关系？向量
与向量
有什么关系？
提示：
1.向量
的方向与
的方向相同，向量
的长度是
的长度的3倍，即
2.向量
的方向与
的方向相反，向量
的长度是
的长度的3倍，即
向量的数乘运算
它的长度和方向规定如下：
一般地，实数λ与向量
的积是一个向量，
记作
这种运算叫作向量的数乘运算.
特别地，当λ=0时
方向任意.
问题3：数乘向量依然是向量,它的方向由谁决定
提示:由λ和向量
的方向共同决定.
问题4：数乘向量的几何意义.
提示:是把向量
沿
的方向或
的反方向伸长或压
缩，具体为：
①当|λ|＞1时，有|λ
|＞|
|，这意味着表示
向量
的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ
＜0)上伸长为原来的|λ|倍，
②当0＜|λ|＜1时，有|λ
|＜|
|，这意味着表
示向量
的有向线段在原方向(0＜λ＜1)或反方
向(-1＜λ＜0)上缩短为原来的|λ|倍.
探究点2
数乘向量的运算律
1.根据定义，求作向量
和
，并作比较.
结论：
2.
数乘向量的运算律:
设
为向量，λ，μ为实数，则有：
结合律
第一分配律
第二分配律
解：
向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，通常叫作向量的线性运算.
对于任意的向量
以及任意实数λ，μ1，
μ2
，恒有
计算：
【变式练习】
探究点3
共线向量判定定理和性质定理
问题1:如果
那么向量
与
是否共线？
向量共线的判定定理
是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得
则向量
与非零向量
共线.
且当
与
同方向时，有
当
与
反方向时，有
所以始终有一个实数λ，使
问题2：如果非零向量
与
共线，那么是否有实数λ,使
向量共线的性质定理
若向量
与非零向量
共线，则存在一个实数λ，使得
问题3：(1)
为什么要是非零向量？
若是零向量时，λ不唯一.
(2)
可以是零向量吗？
可以.
A
C
B
D
E
,
P
C
A
B
证明：如题干图，因为向量
与向量
共线，根据向
量共
b
a
解：作图如右图
依图猜想:A，B，C三点共线
O
A
B
C
a
b
b
b
又AB与AC有公共点A,所以A，B，C三点共线.
【变式练习】
1.在△ABC中，
AB=
a，
AC=
b，且
BD=2DC，
则
AD等于（ ）
A．
a
+
b
B．
a
+
b
C．
a
+
b
D．
a
+
b
D
D
2.若
AP=
PB，
AB=λBP，则实数λ的值是（ ）
A．
B．-
C．
D．-
解:
(1)
原式
=
(2)
原式
=
(3)
原式
=
3计算：(口答)
(1)
(-3)×4
a
(2)
3(
a+b)
–2(
a-b)-a
(3)
(2a+3b-c)
–(3a-2b+c
)
(3-2-1)a+(3+2)b
=
5b
(2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c
=
-a+5b-2c
-12a
一、①
的定义及运算律.
②向量共线定理.
二、
定理的应用：
1.证明向量共线；
2.证明三点共线:
不知道他自己的人的尊严，他就完全不能尊重别人的尊严.
——席勒
