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第二章 平面向量
2.1 从位移、速度、力到向量
【知识提炼】
1.向量的定义
既有_____又有_____的量.
2.有向线段
(1)概念:具有_____的线段.
(2)记法:以A为起点,以B为终点的有向线段记作____.
(3)长度:线段AB的长度,记作|
|.
大小
方向
方向
3.向量的表示法
(1)向量可以用_________来表示.有向线段的长度表示___________,
即长度(也称___).箭头所指的方向表示___________.
(2)向量也可以用黑体小写字母如a,b,c,…来表示,书写用_________,
…来表示.
有向线段
向量的大小
模
向量的方向
4.与向量有关的概念
名称
定义
记法
零向量
长度为__的向量
0
单位向量
长度为______的向量
相等向量
长度_____且方向_____的向量
向量a与b相等,记作____
0
单位1
相等
相同
a=b
名称
定义
记法
共线向量
(平行向量)
表示两个向量的有向线段所在的直线___________的向量.规定零向量与任一向量_____
向量a与b平行或共线,记作_____
平行或重合
平行
a∥b
【即时小测】
1.思考下列问题.
(1)两个向量能比较大小吗
提示:不能.向量是既有大小,又有方向的量.
(2)有向线段是向量吗
提示:不是.有向线段只是向量的一种表现形式.
2.下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度;⑧功.其中不是向量的有 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选D.由向量的定义知②速度;③位移;④力;⑤加速度既有大小又有方向,其他4个不是向量.
3.已知向量a如图所示,下列说法不正确的是 ( )
A.也可以用
表示
B.方向是由M指向N
C.起点是M
D.终点是M
【解析】选D.终点是N而不是M.
4.如图,在☉O中,向量
是 ( )
A.有相同起点的向量
B.共线向量
C.模相等的向量
D.相等的向量
【解析】选C.
均等于☉O的半径,大小相等.
5.如图,以1cm×3cm方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中,以A为起点,可以写出________个不同的向量.
【解析】由图可知,以A为起点的向量有
共有7个.
答案:7
【知识探究】
知识点1
向量的物理背景及概念
观察图形,回答下列问题:
问题1:上图中的两个物理量有何特点
问题2:直角坐标平面上的x轴、y轴是向量吗
问题3:这些物理量与数量有何区别,与有向线段有无区别
【总结提升】
1.向量与数量的联系和区别
向量
数量
区
别
方向
有
无
表示
方法
可以用有向线段表示,也可以用字母符号表示
因为实数与数轴上的点一一对应,所以数量常常用数轴上的一个点表示
联系
(1)向量与数量都是有大小的量
(2)向量的模是数量
2.向量与有向线段的区别
(1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关.只要大小和方向相同,这两个向量就是相同的向量.
(2)有向线段是表示向量的工具,它有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.
(3)向量可自由移动,并且平移前后不变;有向线段不能随意移动.
知识点2
与向量有关的概念
观察如图所示内容,回答下列问题:
问题1:单位向量是否唯一 有多少个单位向量
问题2:共线向量有几种情况 共线向量与平行向量的含义一样吗
【总结提升】
1.对平行(共线)向量的三点说明
(1)平行向量与共线向量是同一概念的不同名称.根据定义可知,平行(共线)向量所在的直线可以平行,也可以重合.
(2)共线向量所在的直线可以平行,与平面几何中的“共线”含义不同.
(3)平行向量可以在同一条直线上,与平面几何中“直线平行”不同,平面中两直线平行是指两直线没有公共点.
2.零向量的理解
(1)零向量的大小为零,方向任意.
(2)零向量与任一向量平行.
(3)所有的零向量相等.
3.关于相等向量的关注点
(1)两个向量相等必须满足两个条件:模相等,方向相同,二者缺一不可.例如,单位向量不一定是相等向量.
(2)相等向量是平行(共线)向量,但是平行(共线)向量不一定是相等向量.
【题型探究】
类型一
向量有关概念的理解
【典例】1.下列结论中正确的是 ( )
A.向量
的长度和向量
的模长相等
B.向量a与b平行,则b与a方向相同
C.两个有共同起点而长度相等的向量,它们的终点必相同
D.若a与b平行同向,且|a|>|b|,则a>b
2.给出下列几种说法:
(1)若|a|=|b|,则a=b或a=-b.
(2)向量的模一定是正数.
(3)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量.
(4)向量
是共线向量,则A,B,C,D四点必在同一直线上.
其中正确的序号是______.
【解题探究】1.相等向量有何特征
提示:模长相等,方向相同.
2.向量共线与向量同向有何区别与联系
提示:共线不一定同向,但同向一定共线.
【解析】1.选A.
选项
解析
结论
A
模长是表示向量的有向线段的长度
正确
B
平行向量包括方向相同和相反
错误
C
共起点长度相等的向量方向不一定相同
错误
D
向量不能比较大小
错误
2.(1)错误.由|a|=|b|仅说明a与b模相等,但不能说明它们方向的关系.
(2)错误.0的模|0
|=0.
(3)正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向,是可以任意移动的,因此相等向量可以起点不同.
(4)错误.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量
必须在同一直线上.
答案:(3)
【方法技巧】理解向量有关概念时的四个关注点
(1)理解向量的问题时不可忽视向量的大小与方向.
(2)理解向量的平行问题时不可忽视零向量的大小为零,方向任意;零向量与任一向量平行.
(3)共线向量包括同向和反向,向量相等指向量的大小相等方向相同.
(4)向量a的单位向量有两个,这两个单位向量方向相反.
【拓展延伸】判定一个量是否为向量的方法
(1)看大小,即看其是否具有大小特征.
(2)看方向,即看其是否具有方向性.
【变式训练】下列说法正确的是 ( )
A.向量a与b共线,向量b与c共线,则向量a与c共线
B.向量a与b不共线,向量b与c不共线,则向量a与c不共线
C.向量
是共线向量,则A,B,C,D四点可构成平行四边形
D.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量
【解析】选D.当b=0时,A不对;如图,
b与a,b与c均不共线,但a与c共线,所以B错.
当A,B,C,D四点共线时
也是共线向量,所以C错.
若a与b有一个为零向量,则a与b一定共线,所以a,b不共线时,一定有a与b都是非零向量,故D正确.
类型二
向量的表示
【典例】在如图所示的坐标纸中,用直尺与圆规画出下列向量.
(1)|
|=3,点A在点O的正东方向.
(2)|
|=3,点B在点O的正西方向.
【解题探究】如何确定题中的向量
提示:根据模长定长度,根据上北下南左西右东的原则定方向即可确定.
【解析】如图所示:
【延伸探究】
1.(改变问法)若本例的前提条件不变,试画出满足下列条件的向量.
(1)
点C在点O的东北方向.
(2)|
|=2,点D在点O的西南方向.
【解析】如图所示:
2.(改变问法)如果将题中的“|
|=3”改为“1<|
|<2”,试求
点A构成的图形的面积.
【解析】因为1<|
|<2,所以点A在以点O为圆心,半径为2的圆内,
在以点O为圆心,半径为1的圆外.所以点A构成的图形是一个圆环,其面
积为π×22-π×12=3π.
【方法技巧】用“四定一标”法来表示向量
(1)所谓“四定”,即定向量长度、定向量的起点、定向量方向及终点.
(2)所谓“一标”,即用箭头标明向量的方向性.
注意:任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关.
【补偿训练】一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达点B,然后又改变方向向西偏北60°行驶了200千米到达点C,最后又改变方向,向东行驶了100千米到达点D.作出向量
【解析】如图所示:
【延伸探究】
1.(改变问法)本题条件不变,求|
|.
【解析】由题意,易知
方向相反,
故
所以在四边形ABCD中,AB
CD.
所以四边形ABCD为平行四边形.
所以
=200千米.
2.(改变问法)本题条件不变,点D在点B的什么位置
【解析】由题意知,点B,C,D构成直角三角形,所以
所以点D在点B的正北方向
千米.
类型三
相等向量与共线向量
【典例】如图所示,△ABC的三边均不相等,E,F,D分别是AC,AB,BC的中点.
(1)写出与
共线的向量.
(2)写出与
的模相等的向量.
(3)写出与
相等的向量.
【解题探究】1.题(1)中判断向量共线的依据是什么
提示:依据是看两个向量的方向是否相同或相反.
2.题(2)中判断向量的模是否相等的依据是什么
提示:判断表示向量的有向线段的长度是否相等.
3.题(3)中判断向量相等的依据是什么
提示:判断两个向量的方向是否相同,模是否相等.
【解析】因为E,F分别是AC,AB的中点,
所以EF∥BC,且EF=
BC.
又因为D是BC的中点,所以EF=BD=DC.
(1)与
共线的向量有:
(2)与
的模相等的向量有:
(3)与
相等的向量有:
【延伸探究】在本例条件不变的情况下,写出与
共线的向量和与
相等的向量.
【解析】与
共线的向量有:
与
相等的向量有:
【方法技巧】判断相等向量与共线向量的注意点
(1)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念:两个向量平行包含两个向量所在直线共线,但两条直线平行不包含两条直线重合.
(2)平行(共线)向量无传递性(因为有0).
(3)共线向量一般在一条直线上或分别在两条平行直线上.
【变式训练】如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,且
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些
(2)与a共线的向量有哪些
【解析】(1)与a的长度相等、方向相反的向量有
(2)与a共线的向量有
易错案例
对向量的相关概念的正确理解
【典例】下列四个说法:
①若|a|=0,则a=0;
②两个单位向量一定相等;
③若a∥b,则|a|=|b|;
④若a∥b,b∥c,则a∥c.
其中正确的个数是 (
)
A.0
B.1
C.2
D.3
【失误案例】
【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗
提示:错误的根本原因在于对向量的相关概念理解不透彻.认为①正确是忽略了0和0的区别.认为③正确是忽视只由两个向量平行,可以得到它们的方向相同或相反,而未必得到它们的模相等;认为④正确,是因为忽视了零向量与任何向量平行.
【自我矫正】选A.①错误,由|a|=0可知a是零向量,即a=0;②错误,单位向量模为1,但方向不一定相同,故单位向量不一定相等;③错误,两个向量平行,可以得到它们的方向相同或相反,而未必得到它们的模相等;④错误,若b=0,则a与c不一定平行.
【防范措施】
1.正确理解向量的相关概念
解答有关向量的概念辨析问题时,要紧扣向量的相关定义,从向量的大小和方向两个角度去分析.
2.明确向量共线和平行与平面几何中共线、平行的区别
共线向量和平行向量是同一概念,都是指方向相同或相反的向量,并不一定在同一条直线上,要注意与平面几何中的“共线”“平行”的区别.
3.重视零向量的特殊性
要特别注意零向量的方向的任意性,它与任意向量平行,本题若忽视这一点,对④的判断就会出错.浅谈如何学习平面向量
作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后，给中学数学带来了无限生机．由于向量融数、形于一体，“具有代数形式和几何形式的双重身份，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介”．因而，向量的引入大大拓宽了解题的思路和方法，“使它在研究其它问题时得到了广泛的应用”．以下笔者着重介绍“平面向量”的考试要求，并针对此单元的学习谈几点粗浅建议．
1．以本为本，重视教材的示范作用
数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”，能力是在知识传授和学习过程中得到培养和发展的．近年高考中平面向量的有些问题与课本的练习题相同或相似，虽然只是个别小题，但它对我们的学习具有指导意义．
2．注重数学思想方法的学习
（１）数形结合的思想方法
由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识．
（２）化归转化的思想方法
同学们在今后学习向量的夹角、平行、垂直等关系时均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式，沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决．
（３）分类讨论的思想方法
向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量a在b方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的随分点P的位置不同，可以大于零，也可以小于零．
3．突出向量与其他数学知识的交汇
新课程增加了新的学习内容，其意义不仅在于数学内容的更新，更重要的是新的思维方法的引入，可以帮助我们更有效地处理和解决数学问题和实际应用问题，启示我们在今后的学习中，应突出向量的工具性，注重向量与其他知识的交汇与融合，但不宜“深挖洞”．
总之，在新课的学习中，同学们应该系统地、全面地掌握平面向量的基础知识和基本技能，熟练地掌握重点知识及其应用，并注意数学思想方法的应用．2.1
从位移、速度、力到向量
教材解读
一、平面向量的基本概念
1．向量
既有大小、又有方向的量叫做向量．
注：向量有两个要素：大小和方向，二者缺一不可．
2．向量的表示
①用一个小写字母表示向量，如a，b等．
②用有向线段表示向量，以A为起点，B为终点的向量记为，注意起点写在前面、终点写在后面．
3．向量的模
向量的大小，称作向量的长度（或称模），记作．
注：向量是不能比较大小的，但向量的模可以比较大小．
4．零向量
长度为0的向量叫做零向量，记作0．
注：①0；②零向量的方向是任意的．
5．单位向量
长度等于１个单位的向量，叫做单位向量．
6．平行向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量a，b平行，记作．
注：①规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有；②由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量；③两个向量共线与两条线段共线不同，前者的起点可以不同，而后者必须在同一直线上．同样，两个平行向量与两条平行直线是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上．
7．相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作．
注：①零向量与零向量相等；②任意两个相等的非零向量，都可用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关；③对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的；④；反之不成立．
8．相反向量
与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作．
注：①a与互为相反向量；②；③相反向量与方向相反的向量不是同一个概念，相反向量是方向相反的向量，反之不成立．2.1
从位移、速度、力到向量
自我小测
1．下列说法中正确的是( )
A．若|a|＞|b|，则a＞b
B．若|a|＝|b|，则a∥b
C．若a＝b，则a∥b
D．若a≠b，则a与b不是共线向量
2．设O为△ABC的外心，则，，是( )
A．相等向量
B．平行向量
C．模相等的向量
D．起点相同的向量
3．两列火车从同一站台沿相反方向开去，行驶了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a和b，那么下列命题中错误的是( )
A．a与b为平行向量
B．a与b为模相等的向量
C．a与b为共线向量
D．a与b为相等向量
4．下列四种说法正确的个数为( )
①若，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
②在平行四边形ABCD中，一定有；
③若m＝n，n＝k，则m＝k；
④若a∥b，b∥c，则a∥c.
A．1
B．2
C．3
D．4
5．如图，在平行四边形ABCD中，与共线的向量是__________，与相等的向量是__________．
6．如图所示，在四边形ABCD中，，且，则四边形ABCD的形状为__________．
7．设O是正方形ABCD的中心，则①；②∥；③与共线；④.其中，所有正确结论的序号为________________.
8．下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若a∥b，则|a|＝|b|；③若a＝0，则|a|＝0.其中正确命题的序号是________．
9．如图，在四边形ABCD中，，N，M分别是AD，BC上的点，且，求证：.
10．在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA上的点，已知，，试推断向量与是否为相等向量，说明你的理由．
参考答案
1．解析：向量不能比较大小，所以选项A不正确；a∥b需满足a，b共线，所以选项B不正确；选项C正确；共线向量只需方向相同或相反，所以选项D不正确．
答案：C
2．解析：△ABC的外心，即△ABC的外接圆的圆心，它到A，B，C三点的距离相等，即有.
答案：C
3．解析：由向量的基本概念知a与b方向相反，
∴a与b是平行向量，即共线向量．
又∵两列火车所行路程相同，
∴a与b的模相等．
∴a与b是模相等且方向相反的向量，即D错．
答案：D
4．解析：①不正确，因为点A，B，C，D可能落在同一条直线上；零向量的方向不确定，且零向量与任一向量都平行，所以④中若b＝0，则a与c就不一定平行了，因此④不正确；②③正确．故选B.
答案：B
5．，，
6．解析：∵，
∴四边形ABCD为平行四边形．
又∵，
∴平行四边形ABCD为菱形．
答案：菱形
7．①②③
8．解析：①中忽略了0和0的区别，由|a|＝0知a＝0，但a≠0；②中是对两个平行向量的定义理解不透，两个向量平行，只是说明这两个向量的方向相同或相反，而它们的模却不一定相等；③中零向量的模为零．
答案：③
9．证明：∵，∴，且AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴，且DA∥CB.
又∵与的方向相同，∴.
∵，∴，且CN∥MA，
∴四边形CNAM是平行四边形．
∴，且CM∥NA.
又∵与的方向相同，
∴.∴.
10．解：.理由如下：
∵，∴，∴D是AB的中点．
∵，∴与是平行向量，从而DF∥BE，即DF∥BC.∴＝＝1，
∴F是AC的中点．
由三角形中位线定理知，DF＝BC.
又，即，
∴BE＝BC.
∴E为BC的中点．
∴DE∥AC，且DE＝AC.
∵F是AC的中点，∴AF＝AC，
∴DE＝AF.∴.2.1
从位移、速度、力到向量
自主广场
我夯基
我达标
1.把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是（
）
A.一条线段
B.一段圆弧
C.两个孤立点
D.一个圆
思路解析：由单位向量的定义可知，如果把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，则所有的终点到这个起点的距离相等，且等于1，这样的图形显然是一个圆.
答案：D
2.下列命题正确的是（
）
A.若|a|=0，则a=0
B.若|a|=|b|，则a=b
C.若|a|=|b|，则a∥b
D.若a∥b，则a=b
思路解析：考虑向量的相等关系，必须同时考虑它的大小和方向.当|a|=|b|时，只说明a与b的长度相等，无法确定方向，故B、C均错;当a与b平行时，只说明方向相同或相反，没有长度的关系，不能确定相等，故D错.
答案：A
3.下列说法中不正确的是（
）
A.向量的长度与向量的长度相等
B.任何一个非零向量都可以平行移动
C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D.两个有共同起点且共线的向量的终点必相同
思路解析：两个有共同起点且共线的向量，它们的方向可能相反，而且它们的长度也有可能不同，所以D不正确.
答案：D
4.下列说法：
①两个有公共起点且长度相等的向量，其终点可能不同；
②若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线；
③若a∥b且b∥c，则a∥c；④当且仅当=时，四边形ABCD是平行四边形.
正确的个数为（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
思路解析：①正确；
②不正确，这是由于向量的共线与表示向量的有向线段共线是两个不同的概念；
③不正确，假设向量b为零向量，因为零向量与任何一个向量都平行，符合a∥b且b∥c的条件，但结论a∥c却不能成立；
④正确，这是因为四边形ABCD是平行四边形AB∥DC且AB=DC，即和相等.
答案：C
5.下列说法中正确的是（
）
A.若|a|＞|b|，则a＞b
B.若|a|=|b|，则a=b
C.若a=b，则a∥b
D.若a≠b，则a与b不是共线向量
思路解析：向量不能比较大小，所以A不正确；当|a|=|b|时，它们的方向不一定相同，所以B不正确；a∥b是共线向量只需方向相同或相反，所以D不正确.
答案：C
6.若a0是a的单位向量，则a与a0的方向____________，与a0的长度.
思路解析：一个向量的单位向量和这个向量本身共线；向量a的单位向量定义为.
答案：相同
相等
我综合
我发展
7.给出以下5个条件：①a=b；②|a|=|b|；③a与b的方向相反；④|a|=0或|b|=0；⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是__________.
思路解析：模相等的向量的方向不确定，②不正确；单位向量不一定是共线向量;⑤不能使a与b共线成立.
答案：①③④
8.如图2-1-4，D、E、F分别是等腰Rt△ABC的各边中点，∠BAC=90°.
图2-1-4
（1）分别写出图中与向量、长度相等的向量；
（2）分别写出图中与向量、相等的向量；
(3)分别写出图中与向量、共线的向量.
思路分析：相等向量要考虑两个向量的大小、方向，共线向量只考虑方向是否相同或相反，向量的长度只考虑大小不考虑方向.
解：（1）与长度相等的向量有：，，，；与长度相等的向量有：，，，，，，，，，.
（2）与向量相等的向量有：，；与向量相等的向量有：，.
(3)与向量共线的向量有：，，，，，，；与向量共线的向量有：FD，，，，，，.
9/已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2
000
km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2
000
km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向 丁地距甲地多远
思路分析：本题用向量解决物理问题，首先用向量表示位移，作出图形，然后解平面几何问题即可.
解：如图2-1-5，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，
图2-1-5
由题意知，△ABC是正三角形，
∴AC=2
000
km.
又∵∠ACD=45°，CD=km，
∴△ACD是直角三角形.
∴AD=
km，∠CAD=45°.
∴丁地在甲地的东南方向，丁地距甲地km.2.1
从位移、速度、力到向量
知识梳理
1.概念
（1）向量、数量的定义
既有大小又有方向的量叫做向量(vector)，物理学中常称为矢量.
只有大小没有方向的量叫做数量，物理学中常称为标量.
（2）向量与数量的区别
向量具备两个要素：大小和方向，向量不能比较大小.
数量只有一个要素：大小，数量没有方向，可以比较大小.
2.平面向量的表示
（1）有向线段
一般地，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，则线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.以A为起点，B为终点的有向线段记作.线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||.有向线段包含三要素：起点、方向、长度.
（2）向量的表示
几何表示：用有向线段来表示.此时有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的模.
字母表示：用单个黑斜体的小写英文字母表示，通常印刷体如a、b、c等，而手写体用带箭头的小写字母表示如、…；还可用两个大写英文字母表示.
3.相等向量与共线向量
（1）向量的长度
向量的大小，也就是向量的长度(或模)，记作||.
长度为零的向量叫做零向量，记作0.零向量的方向不确定，是任意的.
长度为单位1的向量叫做单位向量.
（2）共线向量(平行向量)
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫共线向量.
规定：零向量与任一向量是平行向量，记作0∥a.
任一向量与它本身都是平行向量，记作a∥a.
（3）相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
知识导学
学好本节一定要弄清概念，要用类比的方法学习向量的概念，还要注意向量与数量的区别.
疑难突破
1.为什么两个向量不能比较大小
剖析：疑点是向量的模有大小，两个向量怎么不能比较大小,其突破口是从向量的定义来讨论.
向量是既有大小又有方向的量，向量的模可以比较大小，但因为向量有方向，所以不能比较大小.例如：老鼠由A向西北逃窜，如果猫由A向正东方向追，猫的速度再快也不可能捉到老鼠，因为猫追的方向错了.所以在研究向量时，既要研究向量的大小，又要研究向量的方向.
2.向量和数量有什么区别和联系？
剖析：难点是对向量和数量混淆不清.其突破口是从向量的定义来分析.
从定义上看，向量是规定了大小和方向的量，向量不同于数量，数量只有大小，而向量不仅有大小而且还有方向；数量是一个代数量，可以进行各种代数运算，数量之间可以比较大小，“大于”“小于”的概念对数量是适用的.由于向量具有方向，而方向不能比较大小，因此“大于”“小于”的概念对向量来说是没有意义的.2.1
从位移、速度、力到向量
整体设计
教学分析
1.本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.位移、速度、力等物理量学生都学过，这里仅是列出这些物理量让学生感知矢量，为进一步学习向量的概念作铺垫.由于向量来源于物理,并且兼具“数”和“形”的特点,所以它在物理和几何中具有广泛的应用.可通过几个具体的例子说明它的应用.位移、速度、力等是物理中的基本量,也是几何研究的重要对象.几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.位移简明地表示了点的位置之间的相对关系,它是向量的重要的物理模型.力是常见的物理量.重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量.物理中还有其他力,让学生举出物理学中力的其他一些实例,目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系,以此更加自然地引入向量概念,并建立学习向量的认知基础.
2.在类比数量的抽象过程而引出向量的概念后,为了使学生更好地理解向量概念,可采用与数量概念比较的方法,引导学生认识年龄、身高、长度、面积、体积、质量等量是“只有大小,没有方向的量”,同时给出“时间、路程、功是向量吗 速度、加速度是向量吗 ”的思考题.通过这样的比较,可以使学生在区分相似概念的过程中更深刻地把握向量概念.实数与数轴上的点是一一对应的,数量常常用数轴上的一个点表示.教科书通过类比实数在数轴上的表示,给出了向量的几何表示——用有向线段表示向量.用有向线段表示向量,赋予了向量一定的几何意义.有向线段使向量的“方向”得到了表示,那么向量的大小又该如何表示呢 一个自然的想法是用有向线段的长度来表示.从而引出向量的模、零向量及单位向量等概念,为学习向量作了很好的铺垫.
3.数学中,引进一个新的量后,首先要考虑的是如何规定它的“相等”,这是讨论这个量的基础.如何规定“相等向量”呢 由于向量涉及大小和方向,因此把“长度相等且方向相同的向量”规定为相等向量是非常自然的.由向量相等的定义可以知道,对于一个向量,只要不改变它的方向和大小,就可以任意平行移动.因此,用有向线段表示向量时,可以任意选取有向线段的起点,这为用向量处理几何问题带来方便,并使平面上的向量与向量的坐标得以一一对应.教学时可结合例题、习题说明这种思想.
4.共线向量和平行向量是研究向量的基础,由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上,这给问题的研究带来方便.教学中,要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上,只要两个向量平行就是共线向量,当然,在同一直线上的向量也是平行向量.要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆,教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念.
三维目标
1.通过物理中的位移、速度、力等矢量，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素，搞清数量与向量的区别.
2.理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量、零向量等概念，并能判断向量之间的关系.并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.
3.在教学过程中，应充分根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系，揭示向量可以平移这一特性.并通过本节学习，培养学生从数学的角度思考生活中实际问题的习惯.加强数学的应用意识,切实做到学以致用.用联系、发展的观点观察世界.
重点难点
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、向量的模、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
图1
思路1.先引导学生阅读本章引言并观察思考章头图，然后提出问题：在同一时刻，老鼠由A向西北方向的C处逃窜，猫在B处向正东方向的D处追去，猫能否追到老鼠呢(如图1) 学生马上得出结论：追不上，猫的速度再快也没用，因为方向错了.教师适时设问:如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课的探究.
思路2.创设实物情境，回忆物理相关知识，让学生思考：两列火车先后从同一站台沿相反方向开出，各走了相同的路程，怎样用数学式子表示这两列火车的位移？中国象棋中规定马走“日”，象走“田”，让学生在图上画出马、象走过的路线，从物理知识位移的视角观察思考，并由此展开新课,这也是一个不错的导入选择.
推进新课
新知探究
提出问题
①回忆初中物理课中，我们学过的“位移”“速度”“力”等物理概念,让学生举出我们日常生活中有关“位移”“速度”“力”的实例.
②“位移”“速度”“力”这些量的共同特征是什么
③“位移”“速度”“力”等量与长度、面积、质量等量有哪些不同？即数量与矢量的本质区别在哪里
活动：教师指导学生阅读课本，思考讨论课本中的实例所反映的物理量的特征.实例（1）反映的是物理量——位移：民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班，每次飞行都是民航客机的一次位移．由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移；实例（2）反映的也是物理量——位移：假如学校位于你家东偏北30°方向，距离你家2
000
m，从家到学校，可能有长短不同的几条路．无论走哪条路，你的位移都是向东偏北30°方向移动了2
000
m；实例（3）反映的是物理量——速度：飞机向东北方向飞行了150
km，飞行时间为半小时，飞行速度的大小是300km/h，方向是东北；实例（4）反映的也是物理量——速度：某著名运动员投掷标枪时，标枪的初速度的记录资料是：平均出手角度θ=43.242°，平均出手速度大小为v＝28.35m/s；最后两个实例反映的是物理量——力：起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用．当拉力的大小超过重力的大小时，物体即被吊起；汽车爬倾斜角为θ的坡路时，汽车的牵引力大小为F(N)，方向倾斜向上，与水平方向成θ角.
我们身边这样的实例很多，可让学生充分思考讨论再举出一些位移、速度、力的实例来，如果学生举出的是一些有关长度、面积、质量的例子，效果会更好，这样就有了比较，教师因势利导，学生更能明了这些量的本质.例如：物体在液体中受到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是沿着反拉方向的,被压缩的弹簧的弹力是沿着反压方向的,并且在弹性限度内,弹簧拉长或压缩的长度越大,弹力越大；物理中的速度与加速度，物理中的动量与冲量等，这些量的共同特征是既有大小又有方向.如有学生举出我们的身高、运动会上的百米赛跑的跑道长度及场地面积、铅球体积、铅球质量等实例，教师适时地让学生讨论：这些量显然与以上那些量不同，因为长度、面积等这些量只有大小而无方向.
教师与学生一起归纳总结以上实例：位移、速度和力等这些物理量都是既有大小，又有方向的量，在物理中称为“矢量”．只有大小，没有方向的量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量，物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问题，矢量与标量是完全不同的两个量.
铺垫已经完成，至此时机成熟，教师恰时恰点地引导学生思考：在现实世界中，像位移、速度、力等既有大小，又有方向的量是很多的，我们能否在数学学科中对这些量加以抽象,形成一种新的量？由此引入本章重要概念——向量.在数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量统称为向量.
讨论结果：①—③略.
提出问题
①在数学中，怎样表示向量呢
②什么叫有向线段？有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么
③怎样定义零向量？怎样定义单位向量
④满足什么条件的两个向量叫作相等向量
⑤有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？怎样定义平行向量
⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系
⑦什么是向量的模？
活动：教师指导学生阅读教材，并思考讨论以上问题，特别是有向线段，这是学习向量的关键.我们知道，在物理学中，表示位移最简单的方法，是用一条带箭头的线段，箭头的方向表示位移的方向，线段的长度表示位移的大小.速度和力也是用这种方法表示的，箭头的方向分别表示速度和力的方向，线段长度分别表示速度和力的大小.
图2
这种带箭头的线段，在数学中叫作“有向线段”.一般地，若规定线段AB的端点A为起点，端点B为终点，则线段AB就具有了从起点A到终点B的方向和长度．这种具有方向和长度的线段叫作有向线段（如图2)，记作，线段AB的长度也叫作有向线段的长度，记作||.有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定.
向量可以用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可以用黑体小写字母如a,b,c表示.一定要学生规范：印刷用黑体a,手写一定要在小写字母上加箭头.要注意不能说“向量就是有向线段，有向线段就是向量”，有向线段只是向量的一种几何表示，二者有本质的区别.向量只由方向和大小决定，而与向量的起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关．如图2，在线段AB的两个端点中,规定一个顺序,假设A为起点,B为终点,我们就说线段AB具有方向,具有方向的线段叫作有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作.起点要写在终点的前面,即是说的方向是由点A指向点B,点A是向量的起点.
图3
如图3，关于向量的长度，这是向量的一个重要概念；向量(或a)的大小,就是向量(或a)的长度(或称模),记作||(或|a|).
教师应注意引导学生将数量与向量的模进行比较,以明确向量的意义.数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0之分,可进行运算,并可比较大小;向量的模是正数或0,也可以比较大小.但向量具有方向，由于方向不能比较大小,向量也就不能比较大小，像a＞b就没有意义,而|a|＞|b|就有意义.
理解了以上向量概念，那么关于向量相等和向量平行就很容易理解了，教师引导学生阅读教材即可.
讨论结果：①用字母a,b,c,…表示向量（印刷用粗黑体表示），手写用字母加箭头来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如,.
注意：手写体上面的箭头一定不能漏写.
②有向线段：具有方向的线段就叫作有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
图4
③长度为0的向量叫零向量，记作0,规定零向量的方向是任意的.长度为单位1的向量，叫单位向量.但要注意，零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
④长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
⑤关于平行向量的定义：第一，方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二我们规定0与任一向量平行,即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义.向量a,b,c平行，记作a∥b∥c.如图4.
图5
又如图5,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出＝a,=b,=c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫作共线向量.这里教师要提醒学生注意：平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系.
⑥是共线向量，也就是平行向量.但要注意，平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
⑦||〔或|a|表示向量(或a)的大小,即长度(也称为模)〕.
应用示例
例1
如图6,D,E,F依次是等边△ABC的边AB,
BC,
AC的中点．在以A,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中,
图6
(1）找出与向量相等的向量;
(2）找出与向量共线的向量.
活动：教材安排本例的目的是让学生进一步熟悉向量的概念，属于基础练习，需要用到初中所学平面几何的相关知识，教师引导学生回忆相关知识后，可让学生充分讨论合作解决.
解：由初中所学三角形中位线定理不难得到:
(1)在以A,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中，与向量相等的向量有：和;
(2)在以A,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中，与向量共线的向量有：.
变式训练
判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.
图7
(1)ABCD中,与是共线向量;
(2)单位向量都相等.
解:(1)正确;
(2)不正确.
点评：本题考查基本概念,对于单位向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.教师引导学生画出平行四边形，如图7.因为AB∥CD,所以，∥.由于上面已经明确，单位向量只限制了大小，方向不确定，所以单位向量不一定相等,即单位向量模均相等且为1,但方向不确定.
例2
一个人从A点出发沿东北方向走了100m到达B点,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100m到达C点,求此人从C点走回A点的位移.
图8
活动:本例是一个简单的实际问题,让学生画出有向线段表示位移.本例目的在于巩固向量概念及其几何表示.
解：根据题意画出示意图,如图8所示.
||=100m,||=100m,∠ABC=45°+15°=60°,
∴△ABC为正三角形.∴||=100m,即此人从C点返回A点所走的路程为100m.
∵∠BAC=60°,∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,即此人行走的方向为西偏北15°.
点评：位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.如图8,由A点确定B点、C点的位置.
例3
如图9,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与相等的量.
图9
活动：本例是结合正六边形的一些几何性质,让学生巩固相等向量和平行向量的概念,正六边形是边长等于半径并且对边互相平行的正多边形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,具有丰富的几何性质.教科书中要求判断与,与是否相等,是要通过长度相等方向相反的两个向量的不等,让学生从反面认识向量相等的概念.
解:
==;=;.
点评：向量相等是一个重要的概念，今后经常用到.让学生在训练中明确，向量相等不仅大小相等，还要方向相同.
变式训练
(演示课件)
1.本例变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）
本例变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）
本例变式三：与向量共线的向量还有哪些？（）
2.对命题“a∥b∥c推出a∥c”，关于真假问题，甲、乙两个学生的判断如下:甲生判断是真命题.理由是：由a∥b可知a与b的方向相同或相反,由b∥c可知c与b的方向相同或相反,从而有a与c的方向相同或相反,故a∥c,即原命题为真命题；乙生判断是假命题.理由是：当两个非零向量a,c不平行,而b=0时,显然a∥b且b∥c,但不能推出a∥b∥c,故此时结论不成立,即原命题为假命题.究竟甲、乙两生谁的判断正确呢？请给以分析.
解:乙的判断正确.
由于存在“零向量与任一向量都平行”这一特殊结论,所以在平行向量中应弄清是否有零向量存在.甲生没有考虑到向量b可能为零向量的情况,故甲生的判断是错误的;乙生的判断完全正确.这说明向量平行的传递性若要成立,则“过渡”向量b需不为零向量,即在b≠0时有:
(1)当a≠0,b≠0时,由a∥b,b∥c可推出a∥c;
(2)若a与c中有一个为0,则另一个向量无论是否为0,均可推出a∥c.
4(1)下列命题正确的是(
)
?A.a与b共线,b与c共线,则a与c也共线
?B.任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四顶点
?C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量
?D.有相同起点的两个非零向量不平行
活动:由于零向量与任一向量都共线,所以A不正确.由于数学中研究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可以在同一直线上,而此时就构不成四边形,根本不可能是一个平行四边形的四个顶点,所以B不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否相同无关,所以D不正确.对于C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以只有C正确.
答案:C
点评：对于有关向量基本概念的考查,可以从概念特征入手,也可以从反面进行考虑.即要判断一个结论不正确，只需举一个反例即可.要启发学生注意正反这两方面的结合.
变式训练
1.判断:（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）
（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）
（6）两个非零向量相等当且仅当什么？（长度相等且方向相同）
（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）
2.把一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是(
)
A.一条线段
B.一段圆弧
C.两个点
D.一个圆
3.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点，则这些向量的终点所构成的图形是(
)
A.一个点
B.两个点
C.一个圆
D.一条线段
答案：1.略
2.D
3.B
知能训练
课本本节练习1、2、3
课堂小结
1.先由学生回顾本节都学了哪些概念：向量，向量的两种表示，特别是对向量的手写要标上箭头，图示上要标上箭头和始点、终点，零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念,明了平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.
2.再由教师简要总结：本节课我们学习了向量、向量的两种表示方法及向量的有关概念：如向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念，这些概念是我们进一步学习后续课程的基础，必须要在理解的基础上把握好．
3.点拨学生要领悟我们是如何从大量的实际背景中获得这些数学概念的方法，本节的数学知识或许将来会忘掉或全部忘掉，但是我们探究这些知识的方法却会伴随我们一生，永远不会忘掉，使我们终生受益.
作业
如图10,在梯形ABCD中,AB∥CD,AE∶ED=BF∶FC=AB∶DC,O是AC与BD的交点,
求证:.
图10
证明：如图10,∵AB∥CD,∴AO∶OC=BO∶OD=AB∶CD.
又AE∶ED=BF∶FC=AB∶DC,
∴AE∶ED=AO∶OC.∴EO∥DC.
同理,OF∥DC,∴E,O,F在同一直线上.
∴.∴EO=OF,
即||=||.
又与方向相同,∴=.
设计感想
1.本节是平面向量的第一节，对向量概念的理解无疑是重点，也是难点.本节教案的设计总思路是：把学生划分小组合作讨论学习，经过小组成员们的合作探究，对平面向量的基本概念，和基本解题方法有个清晰的认识,学生有很多的成功之处或收获.对失败或教训之处可能是对一些概念性问题没有深入研究，导致解题存在困难，不过这些会通过学习的深入弥补上来的.
2.本教案设计充分利用向量的物理背景.作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后，给中学数学带来无限生机.通过本节大量物理背景实例的铺垫及数学问题的解决，让学生体会到数学在生活中的重要作用，并在实际课堂教学中规范学生的习惯，培养严谨的思考习惯和行为习惯，为后面学习打下基础.
3.本教案设计遵循学生的认知规律，体现新课标理念,设计的教学方法主要是让学生自主探究，呈现“现实情境—数学模型—应用于现实问题”的特点，让学生通过观察、分析、归纳、验证，培养学生的主动探究的积极精神，让学生初步感受到向量确实生动有趣，是培养学生数学能力的很好题材.
备课资料
一、向量中有关概念的辨析
1.数量、向量、有向线段
对这几个概念的理解容易出现概念不清的问题.数量只有大小,没有方向,其大小可以用实数来表示,它是一个代数量,数量之间可以比较大小;向量既有大小又有方向,向量之间不可以比较大小;有向线段是向量的直观性表示,不能说向量就是有向线段.
2.平行向量、共线向量、相等向量
平行向量也叫共线向量,故平行向量与共线向量没有区别,而相等向量一定是平行向量,但平行向量不一定是相等向量,即平行向量是相等向量的必要条件而非充分条件.
二、备用习题
1.若正多边形有n条边,它们对应的向量依次为a1,a2,…an,则这n个向量(
)
图16
A.都相等
B.都共线
C.都不共线
D.模都相等
2.如图16所示,在△ABC中,DE∥BC,则其中共线向量有…(
)
A.一组
B.二组
C.三组
D.四组
3.若命题p为a=b,命题q为|a|=|b|,则p是q的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不必要又不充分条件
4.如图17所示,在四边形ABCD中,若=,则下列各组向量相等的是(
)
图17
A.与
B.与
C.与
D.与
5.已知a,b是任意两个向量,有下列条件:①|a|=|b|;②a=b;③a与b的方向相反;④a=0或b=0;⑤a与b都是单位向量.其中是向量a与b共线的充分不必要条件的为__________.(把你认为正确的命题序号全都填上)
6.如图18所示,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形.
图18
(1)写出与相等的向量;
(2)若||=3,求向量的模.
7.判断下列各命题的真假：①向量的长度与向量的长度相等;②向量a∥b，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为?(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
参考答案:1.D
2.C
3.A
4.D
5.②③④
6.解:(1)与相等的向量有和,因为四边形ABCD和ABDE都是平行四边形,故AB=ED=DC;
(2)向量的模||=6.
7.C
因为①真命题；②假命题；③真命题；④假命题；⑤假命题；⑥假命题.2.1
从位移、速度、力到向量
课后导练
基础达标
1.下列物理量：①质量、②速度、③位移、④力、⑤加速度、⑥路程、⑦密度、⑧功，其中不是向量的有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:本题考查向量的概念，关键是看所给的量是否既有大小又有方向.由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功这四个物理量只有大小没有方向，不是向量，是数量.故选D.
答案：D
2.下列说法中不正确的是(
)
A.向量的长度与向量长度相等
B.任何一个非零向量都可以平行移动
C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D.两个有共同起点且共线的向量其终点必相同
解析：两个有共同起点且共线的向量，它们的方向可能相反，而且它们的长度也有可能不同，所以D不正确.
答案：D
3.如右图，
在圆O中，向量、、是（
）
A.有相同起点的向量
B.单位向量
C.模相等的向量
D.相等的向量
解析：因O是圆心，A、B、C是圆上的点，所以||=||=||.
答案：C
4.下列说法中正确的有几个（
）
①物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量
②温度有零上和零下，因此温度是向量
③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量
④坐标平面上x轴与y轴都是向量
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：正确的是①③，有2个正确.
答案：B
5.如右图，设RSPQ为菱形，下列可以用同一条有向线段表示的两个向量是（
）
A.和
B.和
C.和
D.和
解析：因四边形SPQR是菱形，有=，所以可以用同一条有向线段表示.
答案：B
6.如下图△ABC是等腰三角形，则两腰上的向量与的关系是__________.
答案：模相等
7.若a0是a的单位向量，则a与a0的方向_______，与a0的长度_______.
解析:一个向量的单位向量和这个向量本身方向相同，模为1.向量a的单位向量定义为：.
答案：相同或相反
相等
8.有两个长度相等的向量，在什么情况下，这两个向量一定是相等向量？
解析：有下列两种情况，这两个向量一定相等.
（1）两个长度相等的向量的方向相同；
（2）两个长度相等的向量都为零向量.
9.如下图所示，设O是正六边形ABCDEF的中心.在图里的向量中
（1）写出与相等的向量；
（2）写出与相等的向量；
（3）写出与共线的向量；
（4）写出与长度相等但方向相反的向量.
解析：（1）与相等的向量有
（2）
（3）、、
（4）、
10.某人从A点出发向西走了200
m到达B点，然后改变方向向西偏北60°走了450
m到达C点，最后又改变方向向东走了200
m到达D点.
（1）作出向量、、(用1
cm表示100
m)；
(2）求||.
解析：（1）作出向量、、(如右图)；
（2）∵||=||，且与方向相同，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴||=||=450
m.
综合运用
11.若||=||，且=，则四边形ABCD为（
）
A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.等腰梯形
解析：由=知，四边形ABCD的一组对边BA、CD平行，且大小相等.所以四边形为平行四边形.又||=||.故平行四边形为菱形.
答案：B
12.已知A={与a共线的向量}，B={与a长度相等的向量}，C={与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列说法错误的是（
）
A.CA
B.A∩B={a}
C.CB
D.A∩B{a}
答案：B
13.下列4种说法，其中正确命题的个数是（
）
①若两个非零向量共线，则它们的起点和终点共4个点在同一直线上
②若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点
③与已知非零向量共线的单位向量是唯一的
④四边形ABCD是平行四边形能得出与、与分别共线的结论
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析：（4）是正确的.
答案：A
14.如右图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，在图中的向量中，①与向量相等的向量有___________；②用有向线段表示与共线的向量_______；③若||=3，则||=_______.
解析：由条件可得=且=，所以=，∴E，D，C共线.∴∥，||=||+||=2||=6.
故①的答案为、.②的答案是、、.③的答案是6.
答案：、
、
6
15.（1）把平面上所有单位向量的起点平行移动到同一点P，则这些向量的终点构成的几何图形为_________.
（2）把平行于直线l的所有单位向量的起点平行移动到直线l的点P，这些向量的终点构成的几何图形为_________.
（3）把平行于直线l的所有向量的起点平行移动到直线l的点P，这些向量的终点构成的几何图形为_________.
解析：向量是自由向量，根据向量相等，可以把向量的起点平移到同一点.
(1)因为单位向量的模都是单位长度，所以同起点时，终点构成单位圆.应填：一个圆.
(2)因为平行于直线l的所有单位向量只有两个方向，故只有两个，起点为P，则终点应为：直线l上与P的距离相等的两个点.
(3)因为平行于直线l的向量只有两个方向，但长度不同，任何长度都有，所以终点应为：直线l上的任意一点，即：直线l.
答案：(1)一个圆
(2)直线l上与点P的距离为1的两个点
(3)直线l
拓展探究
16.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2
000
km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2
000
km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行
km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向 丁地距甲地多远
解析：如右图，A,B,C,D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，由题意知，△ABC是正三角形，
∴AC=2
000
km.
又∵∠ACD=45°，CD=
km,
∴△ACD是直角三角形.
∴AD=
km，∠CAD=45°.
∴丁地在甲地的东南方向，丁地距甲地
km.(共26张PPT)
第二章
平面向量
2.1从位移、速度、力到向量
1.老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去.猫能否追到老鼠？
A
B
不能.猫的速度再快也没用,
因为方向错了.
速度是既有大小又有方向的量.
北
东
北京
广州
上海
哈尔滨
重庆
2.民航每天都有从北京飞往重庆、广州、上海、哈尔滨等地的航班.每次飞行都是民航客机的一次位移.
由于飞行的距离和方向各不相同,因此,它们是不同的位移.
位移既有大小又有方向.
3.假如学校位于你家东偏北30°方向，距离你家
2
000
m.从家到学校，可能有长短不同的几条路.
无论走哪条路，你的位移都是向东偏北30°方向
移动了2
000
m.
家
学校
北
东
30°
4.飞机向东北飞行了150km,飞行时间为半小时,飞行的速度为多少
大小是300km/h,方向是东北.
东
北
5.某著名运动员投掷标枪时，标枪的初始速度的记录资料是：平均出手角度θ=43.242°，平均出手速度大小为v=28.35
m/s.
6.起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用.当拉力的大小超过重力的大小时，物体即被吊起.
G
F
思考：物理中，既有大小又有方向的量，叫作什么？在数学中，既有大小又有方向的量又叫作什么呢
提示：矢量，向量.
1.理解向量、零向量、单位向量、相等向量的定义，并能用数学符号表示向量.(重点)
2.
理解向量的几何表示，并会用字母表示向量.（重点）
3.掌握向量的模、相等向量、平行（共线）向量的概念，并能在图形中辨认相等向量、平行（共线）向量.
（难点）
既有大小,又有方向的量统称为向量.
问题1.现实生活中有哪些量既有大小又有方向？
提示：力、加速度、动量、电场强度等.
问题2.哪些量只有大小没有方向？
提示：距离、身高、质量、时间、面积等.
探究点1
向量的概念
注意：数量与向量的区别
1.数量只有大小，是一个数，可以进行代数运算、
能比较大小.
2.向量不仅有大小还有方向，具有双重性，
不能比较大小.
有向线段——具有方向和长度的线段．
___________长度表示向量的大小，
_____所指的方向表示向量的方向.
探究点2
向量的表示方法
1.几何表示法：有向线段．
如图：以A为起点、B为终点的有向线段记作
回顾物理中表示位移、速度、力的方法，思考向量可以用什么表示？
F
G
A
起点
B
终点
有向线段的
箭头
2.字母表示法：
用
等小写字母表示.
提示：有区别：矢量一般是指物理中的既有大小又有方向的量，与起点位置有关.而在数学中我们研究的是仅由大小和方向确定，与起点位置无关的向量，也称为自由向量．
想一想：矢量和向量都是既有大小又有方向的量，都
可以用有向线段表示，是不是就可以说这二者
是相同的呢？
探究点3
向量的模
问题：长度为0的向量是什么样的向量？长度为1的向量呢？
向量
(或
)的大小，即长度（也称模）.
注:零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的.
提示：零向量：长度为零的向量，记为
；方向任意.
单位向量：长度为单位1的向量.
0
r
记作：
或（|
|).
思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，
它们终点的轨迹是什么图形？
提示：如图,轨迹是以O为圆心,半径为1的圆(单位圆).
o
x
y
探究点4
向量平行与相等向量
如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线.
1.向量平行
如：
记作：
规定：零向量与任一向量平行.即对于任意向量
，
都有
长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量.
规定:
零向量与零向量相等.
2.相等向量
想一想：
1.相等向量一定平行吗
2.平行的向量一定是相等向量吗
是
不是
若向量
与
相等，记作：
a
b
思考1
共线向量和相等向量有什么关系？
提示:共线向量不一定是相等向量；相等向量一定
是共线向量.
思考2
若两个向量在同一直线上，则这两个向量
有什么关系？
提示:平行.
（2）在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的向量中，与
向量
共线的向量有：
例.如图，D,E,F依次是等边三角形ABC的边AB,BC,AC的中点，在以A,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中，
（1）找出与向量
相等的向量.
（2）找出与向量
共线的向量.
A
B
C
D
E
F
解：由三角形中位线定理不难得到：
（1）在以A，B，C，D，E，F为起点
或终点的向量中，与向量
相等的向量有：
11个
变式练习
如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，
（1）写出图中与向量
相等的向量.
（3）是否存在与向量
长度相等，方向相反的向量？
存在，为
（4）与向量
长度相等且共线的向量有哪些？
（2）与向量
长度相等的向量有多少
个？
1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量
与
是共线向量，则A,B,C,D
四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量(长度相同,方向相反的向量)不相等；
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
(×)
(×)
(×)
(×)
2.设O是正方形ABCD的中心，向量
是
(
)
A.平行向量
B.有相同终点的向量
C.相等向量
D.模相等的向量
D
Ａ3
Ｂ3
Ａ１
Ｂ１
Ａ2
Ｂ2
3.右图中的向量是什么关系
说明：
任意两个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关.
解析：相等的有7个.
长度相等且共线的有15个.
B
A
4.在4×5的方格纸中有一个向量
，以图中的格点为起
点和终点作向量，其中与
相等的向量有多少个？与
长度相等且共线的向量有多少个 （
除外）
单位向量
概念
表示方法
关系
平行向量
相等向量
向量
零向量
当你还不能对自己说今天学到了什么东西时，你就不要去睡觉.
——利希顿堡 2.1
从位移、速度、力到向量
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下列说法中正确的是(
)
A.向量∥就是的基线平行于的基线
B.长度相等的向量叫相等向量
C.零向量长度等于0
D.共线向量是在一条直线上的向量
解析：平行向量、共线向量：方向相同或相反的向量称为平行向量或共线向量.
零向量：长度等于0的向量，零向量的方向不确定.
答案：C
2.指出下列哪些量是向量.
①重力
②速度
③高度
④位移
⑤面积
⑥体积
解析：既有大小又有方向的量叫向量.只有大小、没有方向的量叫数量.没有特定位置的向量叫自由向量.
答案：①②④
3.如图2-1-1，在正六边形ABCDEF中与向量相等的向量有哪些？
图2-1-1
解：在正六边形中，||=||=||=||.
又∵AF∥EB∥DC，∴与、、方向相同.
∴与相等的向量有、、.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.长度为1的向量叫单位向量，把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是（
）
A.一条线段
B.一段圆弧
C.两个孤立点
D.一个圆
解析：根据向量的定义解答.
答案：D
2.如图2-1-2，在圆O中，向量、、是（
）
图2-1-2
A.有相同起点的向量
B.单位向量
C.模相等的向量
D.相等的向量
解析：其长度为圆的半径.
答案：C
3.下列说法中不正确的是(
)
A.零向量是没有方向的向量
B.零向量与任意向量共线
C.零向量只能与零向量相等
D.零向量的方向是任意的
解析：因为零向量是向量，所以由向量的概念知，它一定有方向.
答案：A
4.在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量是（
）
A.与
B.与
C.与
D.与
解析：根据向量共线的定义解答.
答案：B
5.一质点从平面内的O点出发，向北前进a
m后，右转20°，再前进a
m，再右转20°，按此方法继续前进.问前进多少次，该质点第一次回到O点？
解析：很容易发现，质点回到出发点时正好是转了一周，于是由圆周角除以20°就可以了.
答案：18次.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.有下列物理量：①质量、②速度、③位移、④力、⑤加速度、⑥路程、⑦密度、⑧功，其中不是向量的有(
)
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.4个
解析：速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小没有方向，不是向量，是数量.故选D.
答案：D
2.下列说法中正确的是(
)
A.只有方向相同或相反的向量是平行向量
B.零向量的长度为0
C.长度相等的两个向量是相等向量
D.共线向量是在一条直线上的向量
解析：根据相等向量与共线向量的概念.
答案：B
3.下列命题中正确的是(
)
A.若|a|＞|b|，则a＞b
B.若|a|=|b|，则a=b
C.若a=b，则a∥b
D.若a≠b，则ab
解析：因为向量是“既有大小又有方向的量”，故向量之间无大小之分.又因为相等向量是指“大小相等、方向相同的向量”，所以选C.
答案：C
4.下列说法中不正确的是(
)
A.向量的长度与向量长度相等
B.任何一个非零向量都可以平行移动
C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D.两个有共同起点且共线的向量其终点必相同
解析：共线向量只与方向有关，所以D不正确.
答案：D
5.下列说法：①两个有公共起点且长度相等的向量，其终点可能不同；②若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线；③若a∥b且b∥c，则a∥c;④当且仅当=时，四边形ABCD是平行四边形.其中正确的个数为(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：①正确.
②不正确，这是由于向量的共线与表示向量的有向线段共线是两个不同的概念.
③不正确，假设向量b为零向量，因为零向量与任何一个向量都平行，符合a∥b且b∥c的条件，但结论a∥c却不能成立.
④正确，这是因为四边形ABCD是平行四边形AB∥DC且AB=DC，即和相等.
综上可知应选C.
答案：C
6.设O是正六边形ABCDEF的中心，那么图2-1-3中与向量、、相等的向量分别有多少个（
）
图2-1-3
A.1，2，3
B.2，2，1
C.2，2，3
D.3，3，3
解析：===；===;===.
答案：D
7.下列叙述正确的是(
)
A.长度相等的向量一定相等
B.相等向量的起点必相同
C.平行向量就是共线向量
D.与共线，则A、B、C、D四点共线
解析：相等向量必须大小相等，方向相同，相等向量与起点和终点的位置无关.向量共线是指向量的方向相同或相反，与平面几何中的共线有区别.
答案：C
8.以下说法正确的是______________.
①单位向量均相等
②单位向量共线
③共线的单位向量必相等
④单位向量的模相等
解析：由单位向量的定义可知只有④正确.
答案：④
9.如图2-1-4，△ABC是等腰三角形，则两腰上的向量与的关系是______________.
图2-1-4
解析：△ABC是等腰三角形，所以|AB|=|AC|.
答案：模相等
10.若a0是a的单位向量，则a与a0的方向____________，与a0的长度___________.
解析：根据单位向量的概念.
答案：相同或相反
相等
11.给出以下5个条件：①a=b；②|a|=|b|；③a与b的方向相反；④|a|=0或|b|=0；⑤a与b都是单位向量，其中能使a与b共线成立的是_______________.
解析：根据共线向量的概念.
答案：①③④
12.如图2-1-5，在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别是它们所在边的中点，O是EG、FH的交点，指出图中所标的向量中与相等的向量.
图2-1-5
解：由题意，据平行四边形的性质可知，与相等的向量有、、.
