2.4.1
平面向量的坐标表示
2.4.2
平面向量线性运算的坐示表示
2.4.3
向量平行的坐标表示
整体设计
教学分析
1.前面学面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.
2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律.
3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢 前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ,使得a.=λb,那么a.与b共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的.
三维目标
1.通过经历探究活动,使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法.理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示.
2.引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化,平面向量的坐标成了数与形结合的载体.
3.在解决问题过程中要形成“见数思形、以形助数”的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识.
重点难点
教学重点:平面向量的坐标运算.
教学难点:对平面向量共线的坐标表示的理解.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y的二元一次方程A.x+By+C=0(A.、B不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？
思路2.对于平面内的任意向量A.,过定点O作向量=a.,则点A.的位置被向量a.的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A.的位置可通过其坐标来反映,从而向量a.也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢？
推进新课
新知探究
提出问题
①如何用坐标表示平面内的每一个向量 在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的
②我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a.=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a.+b,a.-b,λa.的坐标表示吗
③如图2,已知A.(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示的坐标？你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的P点吗 标出点P后,你能总结出什么结论
图1
图2
活动:在平面直角坐标系中,如图1,我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,a为坐标平面内的任意向量,以坐标原点O为起点作=a.,由平面向量基本定理，可知有且只有一对实数x,y,使得=xi+yj.
因此a=xi+yj.我们把实数对(x,y)叫作向量a.的坐标,记作a=(x,y).
式是向量a.的坐标表示.
显然,其中(x,y)就是点P的坐标.
由此可见,在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系.因此在直角坐标系中,点或向量都可以看作有序实数对的直观形象.向量的正交分解十分重要,它有广泛的应用.
教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:
a+b=(x1ｉ+y1j)+(x2ｉ+y2j)=(x1+x2)ｉ+(y1+y2)j,
即a+b=(x1+x2,y1+y2).
同理a-b=(x1-x2,y1-y2).
又λa=λ(x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j.∴λa=(λx1,λy1).
教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为:
两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量平移,使得点A与坐标原点O重合,则平移后的B点位置就是P点.向量的坐标与以原点为始点,点P为终点的向量坐标是相同的,这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系.
学生通过平移也可以发现:向量的模与向量的模是相等的.
由此,我们可以得出平面内两点间的距离公式:
||=||=.
教师对总结完全的同学进行表扬,并鼓励学生,只要善于开动脑筋,勇于创新,展开思维的翅膀,就一定能获得意想不到的收获.
讨论结果:①略.
②能.
③=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).(图2)
结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.
提出问题
①如何用坐标表示两个共线向量
②若a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么=是向量a.、b共线的什么条件
活动:教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨:设a.=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.我们知道,a.、b共线,当且仅当存在实数λ,使a=λb.如果用坐标表示,可写为(x1,y1)=λ(x2,y2),
即消去λ后,得x1y2-x2y1=0.
这就是说,当且仅当x1y2-x2y1=0时向量a.、b(b≠0)共线.
又我们知道x1y2-x2y1=0与x1y2=x2y1是等价的,但这与=是不等价的.因为当x1=x2=0时,x1y2-x2y1=0成立,但=均无意义.因此=是向量a、b共线的充分不必要条件.由此也看出向量的应用更具一般性,更简捷、实用,让学生仔细体会这点.
讨论结果:①x1y2-x2y1=0时,向量a.、b(b≠0)共线.
②充分不必要条件.
提出问题
a与非零向量b为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a.=λb,
那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？
活动:教师引导推证:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠a,
由a=λb,(x1,y1)=λ(x2,y2),消去λ,得x1y2-x2y1=0.
讨论结果:a.∥b(b≠0)的充要条件是x1y2-x2y1=0.
教师应向学生特别提醒感悟:
1°消去λ时不能两式相除,∵y1、y2有可能为0,而b≠0,∴x2、y2中至少有一个不为0.
2°充要条件不能写成=(∵x1、x2有可能为0).
3°从而向量共线的充要条件有两种形式:a.∥b(b≠0)
应用示例
思路1
例1
已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐标.
活动:本例是向量代数运算的简单应用,让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论.若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标,从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成.
解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);
a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);
3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).
点评:本例是平面向量坐标运算的常规题,目的是熟悉平面向量的坐标运算公式.
变式训练
(2007海南高考,4)已知平面向量A.=(1,1),b=(1,-1),则向量a-b等于(
)
A.(-2,-1)
B.(-2,1)
C.(-1,0)
D.(-1,2)
答案:D
例2
如图3,已知A.BCD的三个顶点A.、B、C的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D的坐标.
图3
活动:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法:解法一利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”,解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量的坐标,进而得到点D的坐标.解题过程中,关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思考,将顶点D的坐标表示为已知点的坐标.
解:方法一:如图3,设顶点D的坐标为(x,y).
∵=(-1-(-2),3-1)=(1,2),=(3-x,4-y).
由=,得(1,2)=(3-x,4-y).
∴
∴
∴顶点D的坐标为(2,2).
方法二:如图3,由向量加法的平行四边形法则,可知
=+=+=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),
而=+=(-1,3)+(3,-1)=(2,2),
∴顶点D的坐标为(2,2).
点评:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.
变式训练
如图4,已知平面上三点的坐标分别为A.(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
图4
解:当平行四边形为A.BCD时,仿例2得:D1=(2,2);
当平行四边形为A.CDB时,仿例2得:D2=(4,6);
当平行四边形为DA.CB时,仿上得:D3=(-6,0).
例3
已知A.(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A.、B、C三点之间的位置关系.
活动:教师引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观察图像领悟先猜后证的思维方式.
解:在平面直角坐标系中作出A.、B、C三点,观察图形,我们猜想A.、B、C三点共线.下面给出证明.
∵=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),=(2-(-1),5-(-1))=(3,6),
又2×6-3×4=0,∴∥,且直线A.B、直线A.C有公共点A.,
∴A.、B、C三点共线.
点评:本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法,其实质是从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的.
变式训练
已知a.=(4,2),b=(6,y),且a.∥b,求y.
解:∵a∥b,∴4y-2×6=0.
∴y=3.
例4
是坐标原点,=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k为何值时,A.、B、C三点共线
解:依题意,得=(4,5)-(k,12)=(4-k,-7),
=(10,k)-(4,5)=(6,k-5).
A.、B、C三点共线的充要条件是,共线,依向量共线的充要条件可得(4-k)(k-5)-6×(-7)=0,
解得k=-2或k=11,
所以,当k=-2或k=11时,A.、B、C三点共线.
思路2
例1
A.BC中,已知点A.(3,7)、B(-2,5).若线段A.C、BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.
解:(1)若A.C的中点在y轴上,则BC的中点在x轴上,
设点C的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得=0,
∴x=-3,y=-5,
即C点坐标为(-3,-5).
(2)若A.C的中点在x轴上,则BC的中点在y轴上,则同理可得C点坐标为(2,-7).
综合(1)(2),知C点坐标为(-3,-5)或(2,-7).
例2
点A.(1,2),B(4,5),O为坐标原点,=+t.若点P在第二象限,求实数t的取值范围.
活动:教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等,把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解.教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力,或者让学生到黑板上去板书解题过程,并对思路清晰过程正确的同学进行表扬,同时也要对组织步骤不完全的同学给与提示和鼓励.教师要让学生明白“化归”思想的利用.不等式求变量取值范围的基本观点是,将已知条件转化为关于变量的不等式(组),那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集.
解:由已知=(4,5)-(1,2)=(3,3).∴=(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).
若点P在第二象限,则
故t的取值范围是(-,-).
点评:此题通过向量的坐标运算,将点P的坐标用t表示,由点P在第二象限可得到一个关于t的不等式组,这个不等式组的解集就是t的取值范围.
变式训练
已知=(cosθ,sinθ),=(1+sinθ,1+cosθ),其中0≤θ≤π,求||的取值范围.
解:∵=-=(1+sinθ,1+cosθ)-(cosθ,sinθ)
=(1+sinθ-cosθ,1+cosθ-sinθ),
∴||2=(1+sinθ-cosθ)2+(1+cosθ-sinθ)2
=［1+(sinθ-cosθ)］2+［1-(sinθ-cosθ)］2
=2+2(sinθ-cosθ)2=2+2(1-2sinθcosθ)
=4-4sinθcosθ=4-2sin2θ.
∵0≤θ≤π,∴0≤2θ≤2π.
从而-1≤sin2θ≤1.
∴4-2sin2θ∈［2,6］.
故||的取值范围是［,］.
例3
已知a=(3,4),b=(-1,4),求a+b,a-b，2a-3b的坐标.
解:a+b=(3,4)+(-1,4)=(2,8),
a-b=(3,4)-(-1,4)=(4,0),
2a-3b=2(3,4)-3(-1,4)=(6,8)-(-3,12)=(9,-4)
例4
已知点A.(1,0),B(0,2),C(-1,-2),求A.BCD的顶点D的坐标(如图5).
图5
解:设D点的坐标为(x,y),由右图所示,=,得(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y),
即(-1,2)=(-1-x,-2-y),
所以
即D点的坐标为(0,-4).
变式训练
(2007宁夏银川)已知A.(7,1),B(1,4),直线y=ax与线段A.B交于点C,且=2,则a等于(
)
A.2
B.
C.1
D.
解析:由=2,A.(7,1),B(1,4),设C(m,n),则由向量的坐标运算求得C(3,3),代入直线方程y=ax,求得A.=2.
答案:A.
知能训练
课本本节练习1—6.
课堂小结
1.先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识:平面向量的和、差、数乘的坐标运算,两个向量共线的坐标表示.
2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,定义法、归纳、整理、概括的思想,强调在今后的学习中,要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神,为将来的发展打下良好基础.
作业
课本习题2—4A.组5、6、7.
设计感想
1.本节课中向量的坐标表示及运算实际上是向量的代数运算.这对学生来说学习并不困难,可大胆让学生自己探究.本教案设计流程符合新课改精神.教师在引导学生探究时,始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点.让学生在了解向量知识网络结构基础上,进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律,能熟练向量代数化的重要作用和实际生活中的应用,并加强数学应用意识,提高分析问题、解决问题的能力.
2.平面向量的坐标运算包括向量的代数运算与几何运算.相比较而言,学生对向量的代数运算要容易接受一些,但对向量的几何运算往往感到比较困难,无从下手.向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算,向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等.
3.通过平面向量坐标的加、减代数运算,结合图形,不但可以建立向量的坐标与点的坐标之间的联系,而且教师可在这两题的基础上稍作推广,就可通过求向量的模而得到直角坐标系内的两点间的距离公式甚至可以推出中点坐标公式.它们在处理平面几何的有关问题时,往往有其独到之处,教师可让学有余力的学生课下继续探讨,以提高学生的思维发散能力.
备课资料
一、求点P分有向线段所成的比的几种求法
(1)定义法:根据已知条件直接找到使=λ的实数λ的值.
例1
已知点A.(-2,-3),点B(4,1),延长A.B到P,使||=3||,求点P的坐标.
解：因为点在A.B的延长线上,P为的外分点,所以=λ,λ＜0,又根据||=3||,可知λ=-3,由分点坐标公式易得P点的坐标为(7,3).
(2)公式法:依据定比分点坐标公式.
x=,y=,结合已知条件求解λ.
2.已知两点P1(3,2),P2
(-8,3),求点P(,y)分所成的比λ及y的值.
解：由线段的定比分点坐标公式,得解得
二、备用习题
1.已知a=(3,-1),b=(-1,2),则-3a.-2b等于(
)
A.(7,1)
B.(-7,-1)
C.(-7,1)
D.(7,-1)
2.已知A.(1,1),B(-1,0),C(0,1),D(x,y),若和是相反向量,则D点的坐标是(
)
A.(-2,0)
B.(2,2)
C.(2,0)
D.(-2,-2)
3.若点A.(-1,-1),B(1,3),C(x,5)共线,则使=λ的实数λ的值为(
)
A.1
B.-2
C.0
D.2
4.设a=(,sinα),b=(cosα,),且a.∥b,则α的值是(
)
A.α=2kπ+(k∈Z)
B.α=2kπ-(k∈Z)
C.α=kπ+(k∈Z)
D.α=kπ-(k∈Z)
5.已知A.、B、C三点共线,且A.(3,-6),B(-5,2),若C点的横坐标为6,则C点的纵坐标为(
)
A.-2
B.9
C.-9
D.13
6.若A.(2,3),B(x,4),C(3,y),且=2,则x=___________,y=________________.
7.已知ABCD中,=(3,7),=(-2,1),则的坐标(O为对角线的交点)为__________.
8.向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k为何值时,A.、B、C三点共线
9.已知点A.(2,3),B(5,4),C(7,10),若=+λ(λ∈R),试问:当λ为何值时,点P在第一与第三象限的角平分线上 当λ在什么范围内取值时,点P在第三象限内
10.如图7所示,已知△A.OB中,A.(0,5),O(0,0),B(4,3),=,=,A.D与BC相交于点M,求点M的坐标.
图7
11.已知四边形A.BCD是正方形,BE∥A.C,A.C=CE,EC的延长线交BA.的延长线于点F,求证:A.F=A.E.
参考答案:
1.B
2.B
3.D
4.C
5.C
6.4
7.(-,-4)
8.解：∵=(k,12),=(4,5),=(10,k)，
∴=-=(4-k,-7),=-=(6,k-5).
∵∥,∴(4-k)(k-5)+7×6=0.
∴k2-9k-22=0.
解得k=11或k=-2.
9.解：∵=(3,1),=(5,7),
∴+λ=(3+5λ,1+7λ).而=+λ(已知),
∴=+=(2,3)+(3+5λ,1+7λ)=(5+5λ,4+7λ).
(1)若点P在第一与第三象限的角平分线上,则5+5
(2)若点P在第三象限内,则
10.解：∵==(0,5)=(0,),∴C(0,).
∵==(4,3)=(2,),∴D(2,).
设M(x,y),则=(x,y-5),=(2-0,-5)=(2,-).
∵∥,∴-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.①
又=(x,y-),=(4,),
∵∥,∴x-4(y-)=0,即7x-16y=-20.②
联立①②,解得x=,y=2，故点M的坐标为(,2).
11.证明:建立如图8所示的直角坐标系,为了研究方便,不妨设正方形A.BCD的边长为1,则B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(x,y),这里y＞0,于是=(1,1),=(x-1,y).
图8
∵∥,∴1×y-(x-1)×1=0y=x-1.①
∵A.C=OC=CE(已知),∴CE2=OC2(x-1)2+(y-1)2=2.②
由y＞0,联立①②,解得x=
即E().
A.E=OE==+1.
设F(t,0),则=(1-t,1),=.
∵F、C、E三点共线,∴∥.
∴(1-t)××1=0,即t=-1-.
∴AF=OF=1+.
∴AF=AE2.4
平面向量的坐标
自我小测
1．已知向量a＝(－2,4)，b＝(3，－6)，则a和b的关系是( )
A．共线且方向相同
B．共线且方向相反
C．是相反向量
D．不共线
2．已知A(2，－2)，B(4,3)，向量p的坐标为(2k－1,7)，且p∥，则k的值为( )
A．－
B．
C．－
D．
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，且向量ka＋b与lb＋a平行，则实数k，l满足的关系式为( )
A．kl＝－1
B．k＋l＝0
C．l－k＝0
D．kl＝1
4．已知A，B，C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为( )
A．－13
B．9
C．－9
D．13
5．如果向量a＝(k,1)，b＝(4，k)共线且方向相反，则k等于( )
A．±2
B．－2
C．2
D．0
6．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝__________.
7．已知两点M(7,8)，N(1，－6)，P点是线段MN的靠近点M的三等分点，则P点的坐标为__________．
8．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
(2)若，求点C的坐标．
9．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,6)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
(1)若u∥v，求实数x的值；
(2)若a，v不共线，求实数x的值．
参考答案
1．解析：因为a＝(－2,4)，b＝(3，－6)，所以a＝－b.
由于－＜0，故a和b共线且方向相反．
答案：B
2．解析：＝(2,5)．
又∵p∥，∴2×7＝5(2k－1)．∴k＝.
答案：D
3．解析：∵ka＋b＝(k－3,2k＋2)，lb＋a＝(－3l＋1，2l＋2)，
且ka＋b∥lb＋a，∴(k－3)(2l＋2)－(2k＋2)·(－3l＋1)＝0.整理，得kl＝1.
答案：D
4．解析：设C点坐标为(6，y)，
则＝(－8,8)，＝(3，y＋6)．
∵A，B，C三点共线，∴＝，∴y＝－9.
答案：C
5．解析：∵a与b共线且方向相反，
∴存在实数λ(λ＜0)，使得b＝λa，
即(4，k)＝λ(k,1)＝(λk，λ)．
∴，解得，或(舍去)．
答案：B
6．解析：因为a－2b＝(，3)，所以由(a－2b)∥c，得×－3k＝0，解得k＝1.
答案：1
7．解析：设P点坐标为(x，y)，由知(－6，－14)＝3(x－7，y－8)，
∴∴
即P点的坐标为eq
\b\lc\(\rc\)().
答案：eq
\b\lc\(\rc\)()
8．解：(1)＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，
＝(a－1，b－1)．
若A，B，C三点共线，则与共线．
∴2(b－1)－(－2)×(a－1)＝0.∴a＋b＝2.
(2)若，则(a－1，b－1)＝(4，－4)，
∴∴
∴点C的坐标为(5，－3)．
9．解：(1)因为a＝(1,2)，b＝(x,6)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
所以u＝(1,2)＋2(x,6)＝(2x＋1,14)，
v＝2(1,2)－(x,6)＝(2－x，－2)．
又因为u∥v，
所以－2(2x＋1)－14(2－x)＝0，
即10x＝30，解得x＝3.
(2)若a，v共线，则2(2－x)＝－2，解得x＝3，
所以要使a，v不共线，则{x|x∈R，且x≠3}．解读两个基本定理
《平面向量》的第三节有两个重要的定理，对它们的理解直接影响到整个向量知识的学习.对一个定理理解主要可从下面几个方面考虑：定理揭示的本质、定理条件与结论中的关键字词、变形式及推论、用法技巧等.下面就对两个基本定理的进行解读.
一、向量共线基本定理
定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得＝.
要熟练使用此定理，必须对定理透彻理解，主要从下面几个方面理解：
1、把握定理所揭示的本质：如果给一个非零向量，那么所有与它共线的向量，可以由它和一个实数唯一表示，就好比一个非零实数，可以表示任意实数一样.
2、注意定理中的关键词：定理中“非零”不可忽视，否则，就成了“充分不必要条件”，这是因为：若为零向量，则向量与共线，但不能得出有且只有一个实数，使得＝，此时若是零向量，实数不唯一，若是非零向量，实数不存在.
3、熟悉共线定理的变形式：此定理还可以用一般的形式给出：如果存在不全为0的一对实数t，s，使t＋s＝，则与共线.
事实上，若与不共线，且t＋s＝，必有t＝s＝0，这是因为如果t，s中至少有一个不为0，不妨设t≠0，则由＝―，―∈R，于是与共线，与已知矛盾，故t，s均为0.
4、掌握定理用法技巧：如果题中涉及向量共线，一般需要引进参数进行求解，如果向量与共线，则可设＝.
二、平面向量基本定理
定理：如果、是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使＝1＋2.
对此定理的理解，主要从下面几个方面考虑：
1、把握定理揭示的本质：平面内任意两个不共线的向量，可以表示出该平面内所有的向量.这样研究一个平面内所有的向量，可以转化为用两个不共线向量表示.即该定理表明对于同一平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数λ1、λ2，使得向量表示为其他两个不共线的向量、的线性组合，即＝λ1＋λ2；同时任何两个不共线向量的线性关系都可以用一个向量来表示μ1＋μ2＝.
2、注意定理中的关键词：由于定理中的“不共线”的限制，且零向量与任何向量平行，所以组成基底的向量必无零向量；定理中的“只有一对”则说明：当一组基底确定了，表达式＝1＋2是唯一确定的，当然，对于任一向量来说，我们可以任选一组不共线的向量作为基底．
3、掌握定理的用法技巧：在用法上主要体现两种思想方法：
①运用化归思想：将题目已知条件转化成x＋y＝的形式（，不共线），则可根据x＝y＝0求解相关的问题；
②运用待定系数学法与构造思想：通过构造同一向量的关于同一基底的两种不同形式的表达式，即若＝λ1＋λ2＝μ1＋μ2（，不共线），则必有λ1＝μ1且λ2＝μ2，这为待定系数法解题提供了理论依据.2.4
平面向量的坐标
课后导练
基础达标
1.已知a=(1,1),b=(2,3),则2a-b的坐标是(
)
A.（0，-1）
B.（0，1）
C.（-1，0）
D.（1，0）
解析:2a-b=2(1,1)-(2,3)=(2，2)-(2，3)=（0，-1）.
答案：A
2.(浙江,文4)
已知向量a=(3,4),b=(sinα,cosα),且a∥b,则tanα等于(
)
A.
B.
C.
D.
解析：∵a∥b,
∴3cosα-4sinα=0,
∴tanα=.
答案：A
3.下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（
）
A.e1=(0,0),e2=(1,-2)
B.e1=(-1,2),e2=(5,7)
C.e1=(3,5),e2=(6,10)
D.e1=(2,-3),e2=(,)
解析：验证找出不共线的一组向量.
答案：B
4.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于(
)
A.-a+b
B.a-b
C.a-b
D.-a+b
解析：本题主要考查平面内任一向量可用该平面内一组基底唯一线性表示，可用待定系数法.
答案：B
5.已知A（1，-3），B（8，）且A、B、C三点共线，则C点的坐标是（
）
A.（-9，1）
B.（9，-1）
C.（9，1）
D.（-9，-1）
解析：设C（x,y）,则=（7，），=（x-1,y+3）.
∵A、B、C三点共线，
∴∥，
∴7（y+3）=(x-1),7x-14y-49=0.
只有C满足.
答案：C
6.(2004上海，文6)
已知点A（-1，-5）和向量a=(2,3)，若=3a,则点B的坐标为______.
解析：设B（x,y）则=（x+1,y+5）,
∵=3a，
∴(x+1,y+5)=3(2,3),
∴
∴B的坐标（5，4）.
答案：（5，4）
7.已知三个向量=（k,12）,=(4,5),=(10,k)，且A、B、C三点共线，则k=________.
解析:由A、B、C三点共线，可得=λ,
即（4-k,-7）=λ(6,k-5).
于是由方程组
利用代入法解得
答案：-2或11
8.已知a=(10,-4),b=(3,1),c=(-2,3)，试用b,c表示a.
解析:设a=λb+μc
(λ,μ∈R),
则（10，-4）=λ(3,1)+μ(-2,3)
=(3λ,λ)+(-2μ,3μ).(3λ-2μ,λ+3μ).
∴
∴a=2b-2c.
9.如右图，已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6）.
求AC和OB交点P的坐标.
解析：设P（x,y）,则=（x,y）,
=(4,4),∵,共线，
∴4x-4y=0.又=（x-2,y-6）,
=(2,-6),且与共线，
∴-6（x-2）-2(y-6)=0.
于是可解得x=3,y=3,即P（3，3）.
10.已知a=(1,2),b=(x,1),μ=a+2b,v=2a-b且μ∥v,求x.
解析：μ=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4),
v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3),
μ∥v,存在λ∈R,使μ=λv.
即（2x+1,4）=λ(2-x,3)=((2-x)λ,3λ).
∴
∴x=.
综合运用
11.已知两点A（2，3），B（-4，5），则与共线的单位向量是(
)
A.（-6，12）
B.（-6，2）或（6，-2）
C.（）
D.（）或（）
解析：=(-6，2)，
∴与共线的单位向量是±
∴单位向量为（）或（）.
答案：D
12.已知边长为单位长的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴的正向上，则向量2+3+的坐标为____________.
解析:由已知，有A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），
∴=（1，0），=（0，1），=（1，1），则有2+3+=（2，0）+（0，3）+（1，1）=（3，4）.
答案：（3，4）
13.已知O（0，0）和A（6，3）两点，若点P在直线OA上，且=，又点P是线段OB的中点，则B的坐标是______________.
解析：由已知，得=（6，3），
∵=，∴=，
∴==（2，1），=2=（4，2）.
答案：（4，2）
14.如右图，已知△ABC,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M,N,D分别是AB、AC、BC的中点，且MN与AD交于F点，则的坐标为_________.
解析：由已知=（-4-3），=（4-7，3-8）=（-3，-5），
又∵D是
BC的中心，∴=（+）=（-4-3，-3-5）=（-3.5，-4）.
又∵M、N分别为AB、AC的中点，
∴F为AD的中点.
∴==-=-（-3.5，-4）=（1.75，2）.
答案：（1.75,2）
15.已知：a、c是同一平面内的两个向量，其中a=(1,2).
若|c|=,且c∥a,求c的坐标
解析：设c=(x,y),∵|c|=,
∴,即x2+y2=20.①
∵c∥a,a=(1,2),
∴2x-y=0,即y=2x.②
联立①②得
∴c=(2,4)或（-2，-4）.
拓展探究
16.已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及=+t，试问：
（1）t为何值时，P在x轴上？在y轴上？P在第二象限？
（2）四边形OABP能否构成平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
解析：（1）=（3，3），
=+t=（1+3t,2+3t）.
若P在x轴上，则2+3t=0，
解得t=-;
若P在y轴上，则1+3t=0，
解得t=-;
若P在第二象限，
则解得＜t＜.
(2)∵=(1,2),=+=(3-3t,3-3t),
若四边形OABP为平行四边形，则
=，
而无解，
∴四边形OABP不能构成平行四边形.2.4
平面向量的坐标
知识梳理
1.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做向量的正交分解.
2.向量的坐标
在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.对于平面上的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x,y，使得a=xi+yj.这样，平面内的任意向量a都可以由x,y唯一确定，我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的直角坐标，记作a=(x，y),其中x叫做向量a在x轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标.
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1).
3.线性运算的坐标表示
已知a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a+b=(x1+x2,y1+y2)，a-b=(x1-x2),y1-y2)，即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
λa=(λx1,λy1)，实数与向量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
4.平面向量共线的坐标表示
已知a=(x1,y1)，b=(x2,y2)（b≠0），则
x1y2-x2y1=0a∥b.
知识导学
学习本节要复习向量加法的运算法则和向量共线的性质和判定定理；要特别注意区分起点在原点的向量、起点不在原点的向量、相等的向量的坐标表示，只有起点在原点时，平面向量的坐标才与终点坐标相同.
疑难突破
1.向量的坐标.
剖析：难点是既然能用坐标表示向量，那么如何理解向量的坐标.其突破方法是分析向量坐标的规定.
可以从以下几个方面来理解：
（1）i=(1,0),j=(0,1),0=(0，0).
（2）在直角坐标系内，以原点为起点作向量=a，则点A的位置由向量a唯一确定.
(3)设=xi+yj，则向量的坐标(x,y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x,y).因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对有序实数对唯一表示,即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的.
(4)两向量相等的充分必要条件是它们对应的坐标相等.
(5)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同.例：点A(3,5),B(6,8),C(-5,3),D(-2,6)，向量==(3,3).两向量的坐标相同，但起点、终点坐标不同.
2.如何看待平面向量的几何运算和坐标运算这两种运算形式？
剖析：很多同学对向量有两种运算形式产生了疑问.其突破方法是分析平面向量的表示方法.
总起来看向量有两种表示方法,一种是用有向线段来表示，称为几何法；另一种是用数字即坐标表示，称为代数法.那么相应的向量的运算也就分为图形上的几何运算和坐标下的代数运算.这两种运算恰好体现了向量是数形结合的载体.
例如：已知两个非零向量e1和e2不共线，且ke1+e2和e1+ke2共线，求实数k的值.
解法一（基向量法）：
∵ke1+e2和e1+ke2共线，
∴存在实数λ，使得ke1+e2=λ(e1+ke2).
∴(k-λ)e1=(λk-1)e2.
∵e1和e2不共线，
∴
∴k=±1.
解法二：设向量e1=(x1,y1)，e2=(x2,y2)，
∴ke1+e2=(kx1+x2,ky1+y2)，e1+ke2=(x1+kx2,y1+ky2).
∵ke1+e2和e1+ke2共线，
∴(kx1+x2)(y1+ky2)-(x1+kx2)(ky1+y2)=0.
∴(k2-1)(x1y2-x2y1)=0.
∵向量e1和e2不共线，
∴x1y2-x2y1≠0.
∴k2-1=0.
∴k=±1.2.4
平面向量的坐标
自我小测
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为( )
A．－2,1
B．1，－2
C．2，－1
D．－1,2
2．若＝(2,4)，＝(1,3)，则等于( )
A．(1,1)
B．(－1，－1)
C．(3,7)
D．(－3，－7)
3．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ1(3,4)，λ1∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，λ2∈R}，则M∩N等于( )
A．{(1,1)}
B．{(1,1)，(－2，－2)}
C．{(－2，－2)}
D．
4．已知向量a＝(3，－2)，b＝(－2,1)，c＝(7，－4)，试用a和b来表示c.下面表示正确的是( )
A．c＝5a－3b
B．c＝a－2b
C．c＝2a－b
D．c＝2a＋b
5．设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量m，n之间的一个运算“”为mn＝(ac－bd，ad＋bc)，若已知p＝(1,2)，pq＝(－4，－3)，则q等于( )
A．(－2,1)
B．(2,1)
C．(2，－1)
D．(－2，－1)
6．已知a1＝(1,0)，a2＝(1，－1)，a3＝(2,2)，若a1＋xa2＋ya3＝0，则x＋y的值为__________．
7．已知e1＝(1,2)，e2＝(－2,3)，a＝(－1,2)，试以e1，e2为基底将a分解为a1e1＋a2e2的形式为__________．
8．已知点A(－1,5)，a＝(－1,2)，若＝3a，则B点的坐标是__________．
9．已知点A(－1,2)，B(2,8)，，，求点C，D的坐标和的坐标．
10．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)，O为坐标原点．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足(λ∈R)，求y与λ的值．
参考答案
1．解析：∵c＝λ1a＋λ2b，
∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)．
∴解得λ1＝－1，λ2＝2.
答案：D
2．解析：∵－＝，
∴＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．
答案：B
3．解析：令(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，
即(1＋3λ1,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)．
∴解得
故M与N只有一个公共元素(－2，－2)．
答案：C
4．解析：设c＝λa＋μb，则(7，－4)＝λ(3，－2)＋μ(－2,1)，
即得
所以c＝a－2b.
答案：B
5．解析：设q＝(x，y)，由题设中运算法则得，
pq＝(x－2y，y＋2x)＝(－4，－3)，
∴解之，得
故q＝(－2,1)．
答案：A
6．解析：由条件知得
所以x＋y＝－.
答案：－
7．解析：设a＝a1e1＋a2e2(a1，a2∈R)，
则(－1,2)＝a1(1,2)＋a2(－2,3)＝(a1－2a2,2a1＋3a2)，
所以解得
所以a＝e1＋e2.
答案：a＝e1＋e2
8．解析：设B(x，y)，则由＝3a得，(x＋1，y－5)＝(－3,6)，解得x＝－4，y＝11，故B点的坐标是(－4,11)．
答案：(－4,11)
9．解：设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
由题意得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，
＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．
因为，，
所以有且，
解得.
所以点C，D的坐标分别是(0,4)，(－2,0)，
从而＝(－2，－4)．
10．解：(1)＝(－1，－2)＋(4,3)＝(3,1)，
即B(3,1)．
＝(－1，－2)＋(－3，－1)＝(－4，－3)，即D(－4，－3)．设M(x，y)，
由中点坐标公式得
∴Meq
\b\lc\(\rc\)().
(2)＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
∵，
∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)，
∴解得.(共30张PPT)
2.4
平面向量的坐标
思考：1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来表示
2.平面向量是否也有类似的表示呢
A
(a,b)
a
b
1.掌握平面向量正交分解及其坐标表示.（重点）
2.会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.（重点）
3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.（难点）
(a,b)
探究点1
平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来表示
平面向量是否也有类似的表示呢
A
a
b
有
因为由平面向量基本定理，平面向量与有序实数对一一对应.
起点在原点，终点坐标为向量坐标
x
y
o
①式是向量
的坐标表示.
注意：每个向量都有唯一的坐标.
探究点2
平面向量的坐标表示
在直角坐标系内，我们分别
例1
在平面内以点O的正东方向为x轴正向，正北方向为y轴的正向建立直角坐标系，质点在平面内做直线运动，分别求下列位移向量的坐标(如图).
30°
解：设
并设P（x1，y1），
Q（x2，y2），R（x3，y3）.
（1）由图可知，∠POP′=45°，
|
|=2.
所以
（2）因为∠QOQ′=60°，
（3）因为∠ROR′=30°，
所以，
问题1：什么时候向量的坐标能和点的坐标统一起来？
向量的起点为原点时.
一一对应
y
x
在同一直角坐标系内画出下列向量.
解：
【即时训练】
.
.
-1
1
1
2
问题2：相等向量的坐标有什么关系？
提示：相等,与起点的位置无关.
1
A
B
1
x
y
A1
B1
(x1,y1)
(x2,y2)
.
.
(1)任一平面向量都有唯一的坐标.
(2)当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标.
(3)相等的向量有相等的坐标.
结论：
问题3：全体有序实数对与坐标平面内的所有向量是否一一对应？
因此,在直角坐标系中,点或向量都可以看作有序实数对的直观形象.
探究点3
平面向量线性运算的坐标表示
解：
结论1：向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的和与差.
结论2：实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积.
A(x1,y1)
O
x
y
B(x2,y2)
结论3:
一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标.
向量坐标与向量始点、终点之间的关系
因为
解：
2
y
x
o
A
B
C
D
得（0,2）-（1,0）=（-1,-2）-（x,y）
即（-1，2）=（-1-x，-2-y），
即点D的坐标为（0，-4）.
解：
3
解：由已知
得
（3，4）+（2，-5）+（x,y）=（0，0）,
【变式练习】
4
探究点4
向量平行（共线）的坐标表示
我们可以得出：
定理：若两个向量（与坐标轴不平行）平行，则它们相应的坐标成比例.
定理：若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行.
解:依题意,得
5
A
B
2.已知点A(－1，－5)和向量a=(2,3)，若
则点B的坐标为(
)
A(6,9)
B(5,4)
C(7,14)
D(9,24)
3.(2014北京高考)已知平面向量a=(2,4)，b=(-1,1)，
则2a-b等于
(
)
A.(5,7)
B.(5,9)
C.(3,7)
D.(3,9)
A
B
5.已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别为
（-2，1）,（-1，3）,（3，4），求顶点D的坐标.
x
y
O
A(-2,1)
B(-1,3)
C(3,4)
D(x,y)
1.向量的坐标的概念:
2.对向量坐标表示的理解:
3.平面向量的坐标运算.
(1)任一平面向量都有唯一的坐标.
(2)向量的坐标与其始点、终点坐标的关系.
(3)相等的向量有相等的坐标.
4.向量平行的坐标表示：
向量
共线
x1·y2=x2·y1
不要对一切人都以不信任的眼光看待,但要谨慎而坚定.
——德谟克里特(共41张PPT)
2.4
平面向量的坐标
【知识提炼】
1.平面向量的坐标表示
(1)向量a的坐标：________.
(2)全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间的关系是
_________的.
a=(x,y)
一一对应
2.平面向量线性运算的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
类别
坐标运算
语言表述
向量的加法坐标表示
a+b=
____________
向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的________
向量的减法坐标表示
a-b=
____________
实数与向量积的坐标表示
λa=___________
实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的_____
(x1+x2,y1+y2)
(x1-x2,y1-y2)
和与差
(λx1,λy1)
乘积
类别
坐标运算
语言表述
有向线段的坐标表示
设A(x1,y1)，
B(x2,y2),
则
=_______-_______
=____________
一个向量的坐标
等于__________
_______________
___________
(x2,y2)
(x1,y1)
(x2-x1,y2-y1)
其终点的相
应坐标减去起点
的相应坐标
3.向量平行的坐标表示
(1)公式：设a,b是非零向量，且a=(x1,y1),b=(x2,y2),
a∥b __________.
若y1≠0且y2≠0，则上式可表示为a∥b
.
(2)文字语言：
定理1：若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的
坐标_______.
定理2：若两个向量相对应的坐标_______，则它们平行.
x1y2-x2y1=0
成比例
成比例
【即时小测】
1.思考下列问题:
(1)如果向量的坐标已知,能确定向量的位置吗
提示:不能.向量的坐标只能确定其方向及模长,平面向量不受位置约束.
(2)对于平行向量,如何根据其坐标判断两个向量同向还是反向
提示:由(x1,y1)=λ(x2,y2),当λ>0时,两向量同向;当λ<0时,两向量反向.
2.已知A(1,3),B(2,1),则
的坐标是 ( )
A.(-1,2) B.(2,-1) C.(1,-2) D.(-2,1)
【解析】选A.向量的坐标等于终点坐标减去始点坐标,故
=(1,3)
-(2,1)=(-1,2).
3.已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a= ( )
A.(-2,1)
B.(2,-1)
C.(2,0)
D.(4,3)
【解析】选B.向量的减法是横坐标的差作为横坐标,纵坐标的差作为纵坐标.故b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).
4.已知平面上三点A(2,-4),B(0,6),C(-8,10),则
的坐标
是________.
【解析】因为
=(-8,10)-(2,-4)=(-10,14),
=(-8,10)-(0,6)
=(-8,4),
所以
=(-5,7)-(-2,1)=(-3,6).
答案:(-3,6)
5.已知A(-1,-2),B(2,3),C(-2,0),D(x,y),且
则x+y
=________.
【解析】因为
=(-2,0)-(-1,-2)=(-1,2),
=(x,y)-(2,3)=
(x-2,y-3),
又
即(2x-4,2y-6)=(-1,2),
答案:
【知识探究】
知识点1
向量的坐标及其线性运算
观察如图所示内容,回答下列问题:
问题1:点的坐标与向量坐标有区别吗
问题2:相等向量的坐标相同吗 相等向量的起点、终点一定相同吗
【总结提升】
1.对平面向量坐标表示的三点说明
(1)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关.
(2)向量确定后,向量的坐标就被确定了.
(3)引入向量的坐标表示以后,向量就有两种表示方法:一种是几何法,即用向量的长度和方向表示;另一种是坐标法,即用一对有序实数表示.有了向量的坐标表示,就可以将几何问题转化为代数问题来解决.
2.点的坐标与向量坐标的区别与联系
(1)区别
①表示形式不同,向量a=(x,y)中间用等号连接,而点的坐标A(x,y)中间没有等号.
②意义不同,点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置,a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方向,另外(x,y)既可以表示点,也可以表示向量,叙述时应指明点(x,y)或向量a=(x,y).
(2)联系
当平面向量的起点在原点时,平面向量的坐标与向量终点的坐标相同.
3.向量的三种运算体系
(1)图形表示下的几何运算:此运算体系下要注意三角形法则、平行四边形法则的应用.
(2)字母表示下的几何运算:此运算体系下一方面要注意运算律的应用,
另一方面要注意
等运算法则的应用.
(3)坐标表示下的代数运算:此运算体系下要牢记公式,且细心运算.若
已知有向线段两个端点的坐标,则应先求出向量的坐标,再进行坐标运
算.
知识点2
向量平行的坐标表示
观察如图所示内容,回答下列问题:
问题1:两向量平行的条件
与x1y2-x2y1=0有何区别
问题2:向量平行的坐标表示有何作用
【总结提升】
1.对向量平行的三种理解
(1)a∥b(b≠0) a=λb.这是几何运算,体现了向量a与b的长度及方向之间的关系.
(2)a∥b a1b2-a2b1=0,其中a=(a1,b1),b=(a2,b2).这是代数运算,由于不需引进参数λ,从而简化了代数运算.
(3)a∥b
其中a=(a1,b1),b=(a2,b2)且b1≠0,b2≠0.即两向
量的对应坐标成比例.通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示,
而且不易出现搭配错误.
2.三点共线问题
已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
(1)当(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0时三点共线.
(2)若存在实数λ使
则三点共线.
【题型探究】
类型一
平面向量的坐标表示及线性运算
【典例】1.已知
=(1,2),A(3,4),则B点坐标是________.
2.(1)已知平面上三个点A(4,6),B(7,5),C(1,8),求
(2)已知a=(1,2),b=(-3,4),求向量a+b,a-b,3a-4b的坐标.
【解题探究】1.向量的坐标与起点坐标、终点坐标的关系是什么
提示:向量的坐标等于终点坐标减起点坐标.
2.向量的线性运算有何特征
提示:向量的线性运算是横坐标与横坐标及纵坐标与纵坐标之间的运算.
【解析】1.设B点的坐标为(x,y),则=(x-3,y-4)=(1,2).
所以
所以B点的坐标是(4,6).
答案:(4,6)
2.(1)因为A(4,6),B(7,5),C(1,8).
所以
=(7,5)-(4,6)=(3,-1),
=(1,8)-(4,6)=(-3,2),
=(3,-1)+(-3,2)=(0,1),
=(3,-1)-(-3,2)=(6,-3),
=2(3,-1)+
(-3,2)
(2)a+b=(1,2)+(-3,4)=(-2,6),
a-b=(1,2)-(-3,4)=(4,-2),
3a-4b=3(1,2)-4(-3,4)=(15,-10).
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
【拓展延伸】坐标形式下的向量相等的条件及其应用
(1)条件:相等向量的对应坐标相等.
(2)应用:利用坐标形式下向量相等的条件,可以建立相等关系,由此可求某些参数的值.
【变式训练】已知a=(x+3y,2x+y+2),b=(y-2x+1,3x-y+7),若a=b,求实数x,y的值.
【解析】由题意,可列方程组
类型二
平面向量平行的坐标表示及其应用
【典例】已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行
【解题探究】典例中ka+b与a-3b的坐标分别是什么
提示:ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4).
【解析】方法一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,
使ka+b=λ(a-3b).即(k-3,2k+2)=λ(10,-4),
所以
所以当k=-
时,ka+b与a-3b平行,
方法二:由方法一知ka+b=(k-3,2k+2),
a-3b=(10,-4),
因为ka+b与a-3b平行,
所以(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得k=-
.
【延伸探究】
1.(改变问法)本题条件不变,判断ka+b与a-3b平行时,它们是同向还是反向
【解析】方法一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ,使ka+b=λ(a-3b).
即(k-3,2k+2)=λ(10,-4),
所以
所以当k=-
时,ka+b与a-3b平行,
这时ka+b=-
a+b=-
(a-3b),
因为λ=-
<0,所以ka+b与a-3b反向.
方法二:由方法一知ka+b=(k-3,2k+2),
a-3b=(10,-4),
因为ka+b与a-3b平行,
所以(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得k=-
.
此时ka+b=(-
-3,-
+2)=-
(a-3b).
所以当k=-
时,ka+b与a-3b平行,并且反向.
2.(变换条件)本题条件变为“已知a=(1,2),b=(-3,2),c=(3,4).若λ
为实数,(a+λb)∥c”,求λ的值.
【解析】可得a+λb=(1-3λ,2+2λ),由(a+λb)∥c得(1-3λ)×4
-3×(2+2λ)=0,解得λ=-
.
【方法技巧】利用向量平行的条件处理求值问题的思路
(1)利用共线向量定理a=λb(b≠0)列方程组求解.
(2)利用向量平行的坐标表达式a1b2-a2b1=0直接求解.
易错案例
向量坐标的运算
【典例】(2015·济源高一检测)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若
(λ∈R),当点P在第三象限时,λ的取值范围是_____.
【失误案例】
【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗
提示:错误的根本原因在于把向量
的坐标当作点P的坐标,混淆了点
的坐标与向量坐标的概念.
【自我矫正】由已知得
=(5,4)-(2,3)=(3,1),
=(7,10)-(2,3)=(5,7),
所以
=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ),
设点P(x,y),
则
=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3).
所以(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ),
又因为点P在第三象限,
所以
解得λ<-1.
所以λ的取值范围是(-∞,-1).
答案:(-∞,-1)
【防范措施】
1.明确向量坐标与点的坐标的区别
向量的坐标是终点坐标减起点坐标,当且仅当向量的起点为坐标原点时,向量的坐标与其终点的坐标相同,如本题点P的坐标不是向量的坐标.
2.正确理解向量相等
两个向量相等即方向相同,模长相等;坐标形式下的向量相等即坐标对应相等.正确利用向量相等可建立相等关系,由此可求某些参数的值,如本例灵活利用向量相等是解题的关键.巧用定比分点公式解题
定比分点公式是平面解析几何中的重要公式，在解析几何中应用非常广泛。在平面直角坐标系中分点的坐标是以二维变量形式出现的，在数轴上定比及定比分点公式显得更简洁和新颖，分点的坐标是以一维变量的形式出现。所以在高中数学的其他章节内容中，若能灵活运用定比及定比分点公式求解，能拓展学生的解题思路，开拓视野，培养学生创造性思维。
例1、设，求证：
证明：如右图在数轴上取点A，B；坐标分别为
点X分有向线段所成的定比
，即，由定比分点公式得
所以点X为线段的外分点，即
例2、已知
求证：
证明：设分别对应数轴上的三点且P是有向线段的分点，则由知P分有向线段的定比，因此P是有向线段的内分点，从而，即以上结论成立。
例3、已知求证：
分析：该题与例2证明方法相同，如右图P分有向线段所成的定比>0
所以P是有向线段的内分点，即结论成立。
评注：以上三题都是巧妙地构造数轴上的定比分点，运用定比的概念及定比分点公式进行运算，利用定比值的符号以及内分点，外分点的概念巧妙地证明了以上不等式。
例4、已知试判断距与哪个更近？并说明理由。
分析：本题需要判断的值哪一个更小一些，若联想定比分点，利用定比判断分点距有向线段的两个端点距离的远近很容易解决问题。
解：设，与分别对应数轴上的三点且P分有向线段所成的比为，则。所以P为有向线段的内分点，且离更近，即距更近。
例5、设方程对于的一切有解，求的取值范围？
分析：该题运用代数的方法，通过构造一次函数利用数形结合很容易求解，但通过构造定比分点，利用定比进行运算思路显得很新颖。
解：由题容易知当时无解，所以，则由方程得：
如右图
-2，，2分别对应数轴上的三点且P分有向线段所成的比为。显然依题知P为内分点即。由定比分点公式得：
解此不等式得：
评注：通过以上几题的解答，强化了对定比及定比分点公式的理解，增强数学学科内知识的交汇，对于拓展学生思维，提高应用知识解决问题的能力很有帮助。2.4
平面向量的坐标
自主广场
我夯基
我达标
1.若向量a=（3，2），b=（0，-1），则向量2b-a的坐标是（
）
A.（3，-4）
B.（-3，4）
C.（3，4）
D.（-3，-4）
思路解析：依向量的坐标运算解答此题.2b-a=（0，-2）-（3，2）=（-3，-4）.
答案：D
2.(1国防科技工业第四次联考，3)已知向量a=（1，2），b=(-3,2),且向量ka+b与lb+a平行，则实数k,l满足的关系式为（
）
A.kl=-1
B.k+l=0
C.l-k=0
D.kl=1
思路解析：∵ka+b=(k-3,2k+2)，lb+a=(-3l+1,2l+2)，∴(k-3)(2l+2)-(2k+2)(-3l+1)=0.整理得kl=1.
答案：D
3.(山东高考卷，理5)设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2)，若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为（
）
A.(2,6)
B.(-2,6)
C.(2,-6)
D.(-2,-6)
思路解析：由题意，得4a+4b－2c+2(a－c)+d=0，代入向量的坐标即可求得向量d.
答案：D
4.与a=（12，5）平行的单位向量为（
）
A.（，-）
B.（-，-）
C.（，）或（-，-）
D.（±，±）
思路解析：利用平行与单位向量两个条件，即可求得.
答案：C
5.(山东临沂二模，理5)已知向量a=（8，x），b=（x，1），其中x＞0，若(a-2b)∥(2a+b)，则x的值为（
）
A.4
B.8
C.0
D.2
思路解析：利用向量共线的坐标表示得方程.∵a-2b=(8-2x,
x-2),2a+b=(16+x,x+1),∴(8-2x)(x+1)-(
x-2)(16+x)=0.∴x=4或x=-5（舍去）.
答案：A
6.下列各组向量：①e1=（－1，2），e2=（5，7）；②e1=（3，5），e2=（6，10）；③e1=（2，－3），e2=（，-）.其中能作为平面内所有向量的基底的是_____________________.
思路解析：由平面向量基本定理知只要不共线的两向量就可以作为基底，故可由共线向量定理的坐标表示加以选取.易知仅有①中两向量－1×7－2×5≠0，故为①.
答案：①
7.已知向量=（6，1），=（x，y），=（-2，-3），当∥时，求实数x、y应满足的关系.
思路分析：利用向量共线的坐标表示.
解：由题意，得
=-=-(++）=-［（6，1）+（x，y）+（-2，-3）］=（-x-4，-y+2），
=（x，y），
又∵∥，
∴x(-y+2）-y·（-x-4）=0.
解得y=-x,
即x，y应满足y=－x.
我综合
我发展
8.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（-1，3），若C点满足=α+β，其中，α，β∈R，且α+β=1,则点C的轨迹方程的形状是__________________.
思路解析：∵α+β=1,∴β=1-α.∴=α+(1-α).∴-=α().
∴=α.∴A、B、C三点共线.∴点C的轨迹方程是直线.
答案：直线
9.平面内给定三个向量：a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
（1）求3a+b-2c；
（2）求满足a=mb+nc的实数m和n；
(3)若(a+kc)∥(2b-a)，求实数k.
思路分析：根据向量的坐标运算法则及两个向量平行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解.
解：（1）3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(9-1-8,6+2-2)=(0,6).
（2）∵a=mb+nc,m,n∈R，
∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).
∴解得
∴m=,n=.
(3)∵a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2)，
又∵(a+kc)∥(2b-a)，
∴(3+4k)×2-(-5)×(2+k)=0.
∴k=.
10.已知向量u=(x,y)，v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)来表示.
（1）证明对于任意向量a,b及常数m,n恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立；
（2）求使f(c)=(p,q)(p,q为常数)的向量c的坐标.
思路分析：此题应将题设条件中的向量坐标化，通过坐标进行运算.
（1）证明：设a=(a1,a2),b=(b1,b2)，
则ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2).
∴f(ma+nb)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1),
mf(a)+nf(b)=m(a2,2a2-a1)+n(b2,2b2-b1)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1).
∴f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.
（2）解：设c=(x,y)则f(c)=(y,2y-x)=(p,q).
∴解得
∴c=(2p-q,p).
11.已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及=+t，
求：（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限
（2）四边形OABP能否构成平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
思路分析：首先把向量表示为坐标的形式，再利用点在x轴上、y轴上、第二象限内的特征，得到坐标的条件；要看四边形OABP能否构成平行四边形，就要看能否找到t，使=，即对边所在的直线平行且相等.
解：（1）=+t=（1+3t，2+3t）.
若P在x轴上，只需2+3t=0，所以t=-.
若P在y轴上，只需1+3t=0，所以t=.
若P在第二象限，只需∴-＜t＜.
（2）因为=（1，2），=（3－3t，3－3t），
若OABP为平行四边形，则=.
由于方程无解，
故四边形OABP不能构成平行四边形.
