2.5
从力做的功到向量的数量积
整体设计
教学分析
前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢 如果能,运算结果应该是什么呢 另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.
图1
我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功W=|F||s|cosθ.
功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义a·b=|a||b|cosθ.
这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.
向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.
三维目标
1.通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义,掌握平面向量数量积的重要性质及运算律.
2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,并掌握向量垂直的条件.
3.通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力.
重点难点
教学重点:平面向量数量积的定义.
教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.
在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所做的功W可由下式计算:W=|F||s|cosθ,
其中θ是F与s的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量).
故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.
思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？
推进新课
新知探究
提出问题
①a·b的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么
②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？
③我们知道,对任意a,b∈R,恒有(a+b)2=a
2+2A.b+b2,(a+b)(a-b)=a
2-b2.对任意向量a、b,是否也有下面类似的结论
(1)(a+b)2=a2+2a·b+b2;
(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2.
活动:已知两个非零向量a与b,我们把数量|a||b|cosθ叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b,即
a·b=|a||b|cosθ(0≤θ≤π).
其中θ是a与b的夹角,|a|cosθ(|b|cosθ)叫作向量a在b方向上(b在a.方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.
图2
在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:
(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;
(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a·0=0;
(3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;
(4)当0≤θ＜时，cosθ＞0,从而a·b＞0;当＜θ≤π时,cosθ＜0,从而a·b＜0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.
已知a,b,c和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律:
①a·b=b·a(交换律);
②(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律);
③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
特别是:(1)当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量.这是因为任一与a垂直的非零向量b,都有a·b=0.
(2)已知实数a、b、c(b≠0),则ab=bca=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·c不能推出a=c.由图3很容易看出,虽然a·b=b·c,但a≠c.
图3
(3)对于实数a、b、c有(a·b)c=a(b·c);但对于向量a、b、c,(a·b)c=a(b·c)不成立.这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)不成立.
讨论结果①是数量,叫数量积.
②数量积满足a·b=b·a.(交换律);
(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律);
(a.+b)·c=a·c+b·c(分配律).
③1°(a+b)2=(a+b)·(a+b)
=a·a+a.·b+b·a+b·b=a2+2a·b+b2;
2°(a.+b)·(a.-b)=a.·a.-a.·b+b·a.-b·b=a.2-b2.
提出问题
①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？
②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？
活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.
图4
定义:|b|cosθ叫作向量b在a方向上的投影.并引导学生思考:
1°投影也是一个数量,不是向量;
2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b|;当θ=180°时投影为-|b|.
教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义:
数量积a·b等于a的长度与b在a方向上投影|b|Cosθ的乘积.
让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质:
设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量.
1°e·a=a·e=|a|cosθ.
2°a⊥ba·b=0.
3°当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.
特别地a·a=|a|2或|a|=.
4°cosθ=.
5°|a·b|≤|a||b|.
上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程中理解并记忆这些性质.
讨论结果:①略(见活动).
②向量的数量积的几何意义为数量积a·b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.
应用示例
思路1
例1
已知|a.|=3,|b|=4,且a与b的夹角θ=150°,求a·b.
活动:本例是让学生熟悉向量数量积的基本概念.
解:a·b=|a||b|cosθ=3×4×cos150°=12×(-)=-6.
点评:直接利用向量数量积的定义.
例2
已知平面上三点A、B、C满足||=2,||=1,||=3,求·+·+·的值.
活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件.因为已知、、的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A.BC是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果.
解:由已知,||2+||2=||2,∴△ABC是直角三角形.而且∠ACB=90°,
从而sin∠A.BC=,sin∠BAC=
∴∠ABC=60°,∠BAC=30°.
∴与的夹角为120°,与的夹角为90°,与的夹角为150°.
故·+·+·
=2×1×cos120°+1×cos90°+×2cos150°=-4.
点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中与的夹角是120°,而不是60°.
变式训练
已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,求(a+2b)·(a-3b).
解:(a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b-6b·b
=|a|2-a.·b-6|b|2
=|a|2-|a||b|cosθ-6|b|2
=62-6×4×cos60°-6×42
=-72.
例3
已知|a|=3,|b|=4,且a.与b不共线,当k为何值时,向量a+kb与a-kb互相垂直
解:a+kb与a-kb互相垂直的条件是(a+kb)·(a-kb)=0,
即a2-k2b2=0.
∵a2=32=9,b2=42=16,∴9-16k2=0.
∴k=±
也就是说,当k=±时,a+kb与a.-kb互相垂直.
点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件.
变式训练
(007海南三亚)设a、b、c是非零向量,下列命题正确的是(
)
A.(a.·b)·c=a.·(b·c)
B.|a.-b|2=|a.|2-2|a.||b|+|b|2
C.若|a.|=|b|=|a.+b|,则a与b的夹角为60°
D.若|a|=|b|=|a.-b|,则a.与b的夹角为60°
解析:设θ是a.和b的夹角,∵|a|=|b|,
∴|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2
=2|a|2-2a·b=|a|2.
∴cosθ=.
又∵0≤θ≤180°,∴θ=60°.
答案:D
例4
在△A.BC中,设边BC,CA.,A.B的长度分别为a,b,c.
证明a2=b2+c2-2bcCosA.,
b2=c2+a2-2cacosB,
c2=a2+b2-2acosC.
图5
证明:如右图,设=c,=a,=b,则a2=|a|2=||2=·
=(-)·(-)
=(b-c)·(b-c)
=b·b+c·c-2b·c
=|b|2+|c|2-2|b||c|cosA.
=b2+c2-2bccosA.
同理可证其他二式,我们把这个结果称为余弦定理,以后我们还要专门讨论它的意义.
思路2
例1
已知在四边形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且a·b=c·d=b·c=d·a.,试问四边形ABCD的形状如何？
解:∵+++=0,
即a+b+c+d=0,
∴a+b=-(c+d).
由上可得(a+b)2=(c+d)2,
即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.
又∵a·b=c·d,故a2+b2=c2+d2.
同理可得a2+d2=b2+c2.
由上两式可得a2=c2,且b2=d2,
即|a|=|c|,且|b|=|d|,也即A.B=CD,且BC=DA.,
∴四边形A.BCD是平行四边形.
故=-,即a=-c.
又a·b=b·c=-a.·b,
即a·b=０,∴a⊥b,即⊥.
综上所述,四边形ABCD是矩形.
点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.
例2
已知a,b是两个非零向量,且|a|=|b|=|a+b|,求向量b与a-b的夹角.
活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以a,b为邻边的A.BCD,若=a,=b,则=a+b,=a-b由|a|-|b|=|a+b|,可知∠ABC=60°,b与所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量b与a-b的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由cos〈b,a.-b〉=作为切入点,进行求解.
解:∵|b|=|a+b|,|b|=|a.|,∴b2=(a+b)2.
∴|b|2=|a|2+2a·b+|b|2.
∴a·b=-|b|2.
而b·(a-b)=b·a-b2=-|b|2-|b|2=-|b|2,①
由(a-b)2=a2-2a·b+b2=|b|2-2×(-)|b|2+|b|2=3|b|2,
而|a-b|2=(a-b)2=3|b|2,
∴|a-b|=3|b|.②
∵cos〈b,a.-b〉=,
代入①②,得cos〈b,a-b〉=-.
又∵〈b,a-b〉∈［0,π］,∴〈b,a-b〉=.
点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会.
变式训练
设向量c=ma+nb(m,n∈R),已知|a|=2,|c|=4,a.⊥c,b·c=-4,且b与c的夹角为120°,求m,n的值.
解:∵a⊥c,∴a·c=0.
又c=ma+nb,∴c·c=(ma+nb)·c,
即|c|2=ma·c+nb·c∴|c|2=nb·c.
由已知|c|2=16,b·c=-4,
∴16=-4n.∴n=-4.
从而c=ma-4b.
∵b·c=|b||c|cos120°=-4,
∴|b|·4·(-)=-4.∴|b|=2.
由c=ma-4b,得a·c=ma2-4a·b,
∴8m-4a·b=0,即a·b=2m.①
再由c=ma-4b,得b·c=ma·b-4b2
∴ma·b-16=-4,即ma·b=12.②
联立①②，得2m2=12,即m2=6.
∴m=±.故m=±,n=-4.
例3
证明菱形的两条对角线互相垂直.
图6
证明:菱形ABCD中,=(如图6),
由于=+,=-,
可得·=(+)·(-)
=()2-()2
=||2-||2
=0,
所以⊥，
即菱形的两条对角线互相垂直.
例4
已知单位向量e1,e2的夹角为60°,求向量a=e1+e2,b=e2-2e1的夹角.
解:由单位向量e1、e2的夹角为60°,得e1·e2=cos60°=,
所以a·b=(e1+e2)·(e2-2e1)
=-2e1·e1-e1·e2+e2·e2
=-2-+1
=-.①
又|a|2=|e1+e2|2=|e1|2+2e1·e2+|e2|2=3,
|b|2=|e2-2e1|2=4|e1|2-4e1·e2+|e2|2=3,
所以|a|=|b|=.②
由①②可得cosθ=又0＜θ＜π,所以θ=120°.
知能训练
课本本节练习1—5.
课堂小结
1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量积的运算律.
2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解.
作业
课本习题2—53、5.
设计感想
本节的重要性是显而易见的,但本节有几个常见思维误区:不能正确理解向量夹角的定义,两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角,因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区.同时利用向量的数量积不但可以解决两向量垂直问题,而且还可以解决两向量共线问题,要深刻理解两向量共线、垂直的充要条件,应用的时候才能得心应手.
备课资料
一、向量的向量积
在物理学中,由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要,就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积.定义如下:
两个向量a.与b的向量积是一个新的向量c:
(1)c的模等于以a.及b两个向量为边所作成的平行四边形的面积;
(2)c垂直于平行四边形所在的平面;
(3)其指向使a.、b、c三向量成右手系——设想一个人站在c处观看a.与b时,a.按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b，如图8.
图8
向量a与b的向量积记作a×b.
设a与b两个向量的夹角为θ,则|a.×b|=|a||b|sinθ.
在上面的定义中已默认了a、b为非零向量,若这两个向量中至少有一个是零向量,则
a×b=0.
向量的向量积服从以下运算律:
(1)a×b=-b×a;
(2)a×(b+c)=a×b+a×c;
(3)(ma)×b=m(a×b).
二、备用习题
1.已知a,b,c是非零向量,则下列四个命题中正确的个数为(
)
①|a·b|=|a||b|a∥b②a与b反向a·b=-|a||b|
③a⊥b|a+b|=|a-b|
④|a|=|b||a·c|=|b·c|
A..1
B.2
C.3
D.4
2.有下列四个命题:
①在△ABC中,若·＞0,则△ABC是锐角三角形;
②在△ABC中,若·＞0,则△ABC为钝角三角形;
③△ABC为直角三角形的充要条件是·=0;
④△ABC为斜三角形的充要条件是·≠0.
其中为真命题的是(
)
A..①
B.②
C.③
D.④
3.设|a|=8,e为单位向量,a与e的夹角为60°,则a在e方向上的投影为(
)
A..4
B.4
C.4
D.8+
4.设a,b,c是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,有下列四个命题:
①(a·b)c-(c·a.)b=0;②|a|-|b|＜|a.-b|;
③(b·c)a-(c·a)b不与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.
其中正确的是(
)
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
5.在△A.BC中,设=b,=c,则等于(
)
A..0
B.S△ABC
C.S△ABC
D.2S△ABC
6.设i、j是平面直角坐标系中x轴、y轴方向上的单位向量,且a=(m+1)i-3j,b=i+(m-1)j,如果(a+b)⊥(a-b),则实数m=_____________.
7.若向量a,b,c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a·b+b·c+c·a=________________.
8.设|a|=3,|b|=4,a.与b的夹角为150°,求:
(1)(a-3b)·(2a+b);
(2)|3a-4b|.
9.已知|a|=,|b|=3,a与b的夹角为45°,且向量λa+b与a+λb的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.
10.解：已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为,求向量m=2a+b与n=a-4b的夹角的余弦值.
解答:
1.C
2.B
3.B
4.D
5.D
6.-2
7.-13
8.(1)-30+30;(2).
9.{λ|λ＜}.
10.解：由向量的数量积的定义,得a·b=2×1×cos=1.
∵m=2a+b,∴m2=4a.2+b2+4a.·b=4×4+1+4×1=21.∴|m|=.
又∵n=a-4b,∴n2=a.2+16b2-8a.·b=4+16-8=12.
∴|n|=2.
设m与n的夹角为θ,则m·n=|m||n|cosθ.①
又m·n=2a2-7a·b-4b2=2×4-7-4=-3.
把m·n=-3,|m|=,|n|=2代入①式,得-3=×2cosθ,
∴cosθ=-,即向量m与向量n的夹角的余弦值为-.(共68张PPT)
2.5
从力做的功到向量的数量积
【知识提炼】
1.向量的夹角与投影
(1)夹角
①定义：已知两个非零向量a和b，作
=a,
=b,则_________叫作向量a与b的夹角；
②范围：_______________；
∠AOB=θ
0°≤θ≤180°
③大小与向量共线、垂直的关系：θ=
0° a与b_____，
180° a与b_____，
90° a___b.
同向
反向
⊥
(2)投影
①定义：如图所示：
=a，
=b，过点B作BB1垂直于直线
OA，垂足为B1，则OB1=__________.
__________叫做向量b在a
方向上的投影数量(简称投影).
|b|cos
θ
|b|cos
θ
②大小与夹角的关系：
夹角
0°
锐角
90°
钝角
180°
射影
____
_____
__
_____
_____
|b|
正值
0
负值
-|b|
2.向量的数量积
(1)定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，我们把_____________叫作a与b的数量积(或内积)，记作_____，即
a·b=
_____________.
|a||b|cos
θ
a·b
|a||b|cos
θ
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上投影
__________的乘积，或b的长度____与a在b方向上投影
__________的乘积.
(3)物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移
s的数量积_____.
|b|cos
θ
|b|
|a|cos
θ
F·s
(4)性质：
①若e是单位向量，则e·a=a·e=
__________；
②a⊥b _______；(其中a,b为非零向量);
③|a|=
④cos
θ=_________(|a||b|≠0)；
⑤对任意两个向量a,b,有
|a·b|___|a||b|.
|a|cos
θ
a·b=0
≤
(5)运算律：
交换律：a·b=_____.
结合律：(λa)·b=
_________=
_________.
分配律：a·(b+c)=__________.
b·a
λ(a·b)
a·(λb)
a·b+a·c
【即时小测】
1.思考下列问题:
(1)向量的夹角与直线的倾斜角的范围相同吗
提示:不相同.向量的夹角范围为[0,π],而直线的倾斜角范围为[0,π).
(2)影响数量积的大小的因素有哪些
提示:影响数量积的大小的因素有向量的模及其夹角的大小.
2.若e1,e2是两个平行的单位向量,则下面结果正确的是 ( )
A.e1·e2=1
B.e1·e2=-1
C.|e1·e2|=1
D.e1·e2<1
【解析】选C.由于e1,e2是两个平行的单位向量,设其夹角为θ,则|cosθ|=1,所以|e1·e2|=|cosθ|=1.
3.若a·b>0,则a与b的夹角θ的取值范围是 ( )
【解析】选A.因为a·b>0,所以cosθ>0,所以θ∈
.
4.若e1,e2是夹角为
的单位向量,且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,则a·b等于
( )
A.1
B.-4
C.-
D.
【解析】选C.a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)
=
=-6|e1|2+|e1||e2|cos
+2|e2|2
=-6×12+1×1×
+2×12=-
.
5.已知|a|=5,|b|=6,若a∥b,则a·b=________.
【解析】由a∥b,可知a与b的夹角为0或π,故a·b=±30.
答案:±30
【知识探究】
知识点1
向量的数量积
观察如图所示内容,回答下列问题:
问题1:向量的数量积可正、可负、可为零,其决定因素是什么
问题2:向量数量积a·b中的“·”能否省去
【总结提升】
1.数量积的写法及与实数乘积的区别
两向量a,b的数量积也称作内积,写成a·b,其应与代数中的a,b的乘积ab区分开来,其中“·”是一种运算符号,不同于实数的乘法符号.在向量运算中既不能省略,也不能用“×”代替.
2.数量积运算的结果
(1)向量线性运算的结果是一个向量,但两个向量的数量积是一个数量.
(2)由于0°≤θ≤180°,所以a·b可以为正数、负数和零,且当0°≤θ<90°时,a·b>0;当θ=90°时,a·b=0;当90°<θ≤180°时,a·b<0.
(3)若a为零向量,则|a|=0,从而a·b=0,故零向量与任一向量的数量积为0.
(4)a·a=a2=|a|2.
(5)两个单位向量的数量积等于它们的夹角的余弦值.
知识点2
数量积的性质及运算律
观察如图所示内容,回答下列问题:
问题1:向量的数量积有什么重要的性质
问题2:数量积与实数乘积有什么差异
【总结提升】
1.数量积五条性质的应用
性质(1)可以帮助理解数量积的几何意义;
性质(2)可以解决有关垂直的问题;
性质(3)可以求向量的长度;
性质(4)可以求两向量的夹角;
性质(5)可以解决有关不等式的问题,当且仅当a∥b时,等号成立.
2.数量积运算遵循的运算律及常用公式
(1)遵循的运算律:数量积的运算只适合交换律、分配律及数乘结合律,不适合乘法结合律,即(a·b)c不一定等于a(b·c).这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.
(2)常用公式及注意点:
①(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2;
②(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2;
③(a-b)2=|a|2-2a·b+|b|2.
注意:|a|2=a·a,|b|2=b·b.
【题型探究】
类型一
平面向量数量积的概念及运算
【典例】1.|a|=2,向量a与向量b的夹角为120°,则向量a在向量b方向上的射影等于 ( )
A.2
B.120°
C.-1
D.由向量b的长度确定
2.已知|a|=3,|b|=6,当(1)a∥b,(2)a⊥b,(3)a与b的夹角是60°时,分别求a·b,a·(a+b).
【解题探究】1.向量a在向量b方向上的射影公式是什么
提示:|a|cosθ.
2.a∥b时,两向量的夹角是多少
提示:若a与b同向,则它们的夹角θ=0°,若a与b反向,则它们的夹角θ=180°.
【解析】1.选C.根据平面向量数量积的几何意义可知|a|cos120°=2×
=-1.
2.(1)当a∥b时,若a与b同向,则它们的夹角θ=0°,
所以a·b=|a||b|cos0°=3×6×1=18,
a·(a+b)=a2+a·b=9+18=27.
若a与b反向,则它们的夹角θ=180°,
所以a·b=|a||b|cos180°=3×6×(-1)=-18,
a·(a+b)=a2+a·b=9-18=-9.
(2)当a⊥b时,它们的夹角θ=90°,
所以a·b=0,a·(a+b)=a2=9.
(3)当a与b的夹角是60°时,
有a·b=|a||b|cos60°=3×6×
=9.
a·(a+b)=a2+a·b=18.
【方法技巧】
1.求平面向量数量积的流程
2.形如(ma+nb)·(ka+lb)的运算技巧及注意点
(1)技巧:类似于实数多项式的运算,将运算转化为向量a,b的数量积运算.
(2)注意点:①a与b的数量积不可书写或认为是ab,
②a2=|a|2的应用.
【拓展延伸】数量积运算时的两个注意点
(1)要找准两向量的夹角.
(2)注意向量数量积的运算律的应用.
【变式训练】已知正三角形ABC的边长为1.求:
【解析】(1)
的夹角为60°,
所以
(2)因为
的夹角为120°,
所以
类型二
利用数量积求向量的模
【典例】已知|a|=|b|=5,向量a与b的夹角为
.求|a+b|,|a-b|.
【解题探究】联想到|a|2=a2,要求|a+b|,|a-b|,应先求什么
提示:应求|a+b|2与|a-b|2,进而可知先求a·b.
【解析】方法一:由题意可得a·b=|a||b|cosθ=5×5×
因为|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b
=25+25+2×
=75,
所以|a+b|=5
.
同理因为|a-b|2=|a|2+|b|2-2a·b=25,
所以|a-b|=5.
方法二:由向量线性运算的几何意义求作菱形ABCD,使AB=AD=5,
设
如图,
则
【延伸探究】
1.(改变问法)本例的条件不变求|3a+b|.
【解析】由题意可得a·b=|a||b|cosθ=5×5×
因为|3a+b|2=(3a+b)2=9a2+b2+6a·b=325.
所以|3a+b|=5
.
2.(变换条件)本例的已知条件若改为“|a|=|b|=5,且|3a-2b|=5”,如何求|3a+b|的值
【解析】因为|3a-2b|2=9|a|2-12a·b+4|b|2
=9×25-12a·b+4×25=325-12a·b,
又因为|3a-2b|=5,
所以325-12a·b=25,即a·b=25.
所以|3a+b|2=(3a+b)2=9a2+6a·b+b2
=9×25+6×25+25=400.
所以|3a+b|=20.
【方法技巧】求向量的模的常用思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模平方,与向量数量积联系,并灵活应用
a2=|a|2,勿忘记开方.
(2)a·a=a2=|a|2或|a|=
,此性质可用来求向量的模,可以实现实
数运算与向量运算的相互转化.
(3)一些常见的等式应熟记,如(a±b)2=a2±2a·b+b2,(a+b)·(a-b)
=a2-b2等.
【补偿训练】已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=4,|b|=2,求:
(1)|a+b|.
(2)|3a-4b|.
【解析】a·b=|a||b|cosθ=4×2×cos120°=-4.
(1)因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2
=42+2×(-4)+22=12,
所以|a+b|=2
.
(2)因为|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2
=9×16-24×(-4)+16×4=304,
所以|3a-4b|=4
.
【延伸探究】
1.(变换条件)本例条件变为“已知向量a与b的夹角为120°,且
|a|=4,|a+b|=2
”,求|b|.
【解析】因为a·b=|a||b|cosθ=4×|b|×cos120°=-2|b|.
所以|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2
=16-4|b|+|b|2.
因为|a+b|=2
,即|a+b|2=12,
所以16-4|b|+|b|2=12.
解得|b|=2.
2.(改变问法)若本例删去条件“已知向量a与b的夹角为120°,”求|a+b|的取值范围.
【解析】设向量a与b的夹角为θ,则
a·b=|a||b|cosθ=4×2×cosθ=8cosθ.
|a+b|2=a2+2a·b+b2=42+2×8cosθ+22=20+16cosθ.
因为θ∈[0,π],所以cosθ∈[-1,1],
所以|a+b|2∈[4,36],
则|a+b|∈[2,6].
类型三
向量的夹角或垂直
【典例】1.已知|a|=1,|b|=4,(a-b)·(a+2b)=-29,则a与b夹角θ=________.
2.已知向量a,b,c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=5,|c|=7.求a与b的夹角θ.
【解题探究】1.典例1中,若求a与b的夹角θ,还需要什么
提示:需要利用(a-b)·(a+2b)=-29求出a·b.
2.要求a与b的夹角θ,关键是先求哪些量
提示:关键是先求a·b.
【解析】1.因为(a-b)·(a+2b)=|a|2+a·b-2|b|2=1+a·b-32
=-31+a·b,
所以-31+a·b=-29,
所以a·b=2,所以
又因为0≤θ≤π,所以θ=
.
答案:
2.因为a+b+c=0,
所以a+b=-c,所以|a+b|=|c|.
所以(a+b)2=c2,
即a2+2a·b+b2=c2.
所以a·b=
又因为a·b=|a||b|cosθ,
所以
=3×5×cosθ.
即cosθ=
,因为θ∈[0,π],所以θ=
.
【延伸探究】典例2中若条件不变,是否存在实数μ使μa+b与a-2b垂直 存在,求出μ值,不存在,说明理由.
【解析】假设存在实数μ使μa+b与a-2b垂直.
可得(μa+b)·(a-2b)=0.
即μa2-2b2-2μa·b+a·b=0.
所以9μ-2×25-2μ×
解得μ=-
.
所以存在μ=-
,使得μa+b与a-2b垂直.
【方法技巧】
1.求向量夹角的解题流程及注意事项
(1)解题流程:
(2)注意事项
在个别含有|a|,|b|与a·b的等量关系式中,常利用消元思想计算cosθ的值.
2.求cosθ的两种情形
(1)求出a·b,|a|,|b|的值代入公式计算.
(2)得到a·b,|a|,|b|之间的关系代入公式计算.
3.两向量垂直的确定与应用
(1)确定:通常利用两向量垂直的充要条件,即计算a·b是否为0.
(2)应用:若a⊥b,则a·b=0可求其中参数的值.
【变式训练】(2015·重庆高考)若非零向量a,b满足
且
则a与b的夹角为 ( )
【解题指南】解答本题可以根据相互垂直的向量的数量积为零进行计算,然后求出夹角.
【解析】选A.设a与b的夹角为θ,
因为
所以
解得cosθ=
,因为θ∈[0,π]
,所以θ=
.
【补偿训练】1.已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.
【解题指南】由(a+3b)·(7a-5b)=0及(a-4b)·(7a-2b)=0建立a·b与b2以及|a|与|b|的等量关系,可求a与b的夹角.
【解析】由已知得(a+3b)·(7a-5b)=0,
即7a2+16a·b-15b2=0 ①
(a-4b)·(7a-2b)=0,
即7a2-30a·b+8b2=0 ②
①,②两式相减得2a·b=b2,所以a·b=
b2,
代入①,②中任一式得a2=b2,设a,b的夹角为θ,
则
因为0°≤θ≤180°,所以θ=60°.
2.设n和m是两个单位向量,其夹角是60°,求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.
【解析】m和n是两个单位向量,其夹角是60°,
所以m·n=|m|×|n|×cos60°=
,
设a=2m+n与b=2n-3m的夹角为α,
所以
因为0°≤α≤180°,所以α=120°.
即a=2m+n与b=2n-3m的夹角为120°.
易错案例
根据向量的夹角求范围
【典例】设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
【失误案例】
【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗
提示:错误的根本原因在于忽视了向量的夹角的取值范围.(2te1+
7e2)·(e1+te2)<0包括了向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为π即共线且方向相反的情况,故应排除这种情况.
【自我矫正】由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角θ为钝角,得
cosθ=
即(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,
化简得2t2+15t+7<0.
解得-7
.
当夹角为π时,也有(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,但此时夹角不是钝角.
设2te1+7e2=λ(e1+te2),λ<0,则
所以所求实数t的取值范围是
【防范措施】
1.注意向量夹角的取值范围
由公式cosθ=
可知若θ为钝角,则cosθ<0,即a·b<0,同时也
应注意向量a,b共线且反向这一情况,要排除掉.如本题,若没有注意到
这一情况,将会造成失分.
2.注意问题转换的等价性
数量积的符号同向量夹角的关系如下:对于非零向量a和b,①a·b=0
a⊥b;②a·b>0 为锐角或零角,③a·b<0 为钝角或平
角.例如,本例利用2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,得等价关系式.
3.注意思考问题的全面性
由向量的夹角求参数的范围时,务必注意思考问题的全面性,如本例应
排除向量2te1+7e2与e1+te2共线且反向的特殊情形,即求出-7后,应注意排除夹角为平角的情形.2.5
从力做的功到向量的数量积
知识梳理
1.两个向量的夹角
（1）定义：已知两个非零向量a，b，如图2-5-1所示，作=a，=b，则∠AOB称为a与b的夹角，记作〈a，b〉.
图2-5-1
(2)范围：［0,π］，〈a，b〉=〈b，a〉.
(3)当〈a，b〉=时，称向量a与b互相垂直，记作a⊥b.规定零向量与任一向量垂直.
(4)当〈a，b〉=0时，a与b同向；当〈a，b〉=π时，a与b反向.
2.向量的射影
图2-5-2
已知向量a和b，如图2-5-2所示，作=a，=b,过点B作的垂线，垂足为B1，则1的数量|b|cosθ
叫做向量b在向量a方向上的正射影（简称射影）.
3.向量的数量积（内积）
（1）定义：|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.
（2）理解：两向量的数量积不是向量而是数量，它可以为正数、为零、为负数.
（3）几何意义：向量a与向量b的数量积等于a的长度｜a｜与b在a方向上的射影|b|cosθ的乘积，或看作是b的长度｜b｜与a在b方向上的射影|a|cosθ的乘积.
4.向量数量积的性质
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
（1）e·a=a·e=|a|cos〈a，e〉.
（2）a·ba·b=0.
（3）当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|；特别地：a·a=|a|2或|a|=.
（4）cos〈a，b〉=.
（5）|a·b|≤|a||b|.
5.向量数量积的运算律
交换律：a·b=b·a；结合律：（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）(λ∈R)；
分配律：（a＋b）·c=a·c＋b·c.
知识导学
1.学好本节，需复习平行向量基本定理、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示、平面向量的坐标运算.
2.本节的重点是向量数量积的坐标运算、度量公式及其应用，特别是向量垂直的坐标运算的应用；难点是向量数量积的理解，以及灵活应用度量公式解决问题.
疑难突破
1.向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算有什么区别和联系？
剖析：难点是对这三种运算分不清.其突破的途径主要是从运算的定义、表示方法、性质、结果和几何意义上来分析对比.
①从定义上看：两个向量数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角的大小决定；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数，其方向由这个实数的符号所决定；两个实数的积也是一个实数，符号由这两个实数的符号所决定.
②从运算的表示方法上看：两个向量a、b的数量积称为内积，写成a·b；大学里还要学到两个向量的外积a×b，而a·b是两个向量的数量的积，因此书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；向量的数乘的写法同单项式的写法；实数的乘法的写法我们就非常熟悉了.
③从运算的性质上看：在向量的数量积中，若a·b=0，则a=0或b=0或〈a,b〉=；在向量的数乘中，若λa=0，则λ=0或a=0；在实数的乘法中，若a·b=0，则a=0或b=0.
在向量的数量积中：a·b=b·cb=0或a=c或〈b，(a－c)〉=；在向量的数乘中，λa=λb（λ∈R）a=b或a≠b；在实数的乘法中，ab=bca=c或b=0.
在向量的数量积中：(a·b)c≠a·（b·c)；在向量的数乘中，（λｍ）a=λ(ｍa)（λ∈R,m∈R）；在实数的乘法中，有(a·b）c=a·（b·c).
④从几何意义上来看：在向量的数量积中，a·b的几何意义是a的长度｜a｜与b在a方向上的射影|b|cosθ的乘积；在向量的数乘中，λa的几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小|λ|倍.
2.如何应用|a|=来求平面内两点间的距离？
剖析：难点是知道这个等式成立，但不会用来求平面内两点间的距离.其突破口是建立平面向量基底，再代入等式即可.
例如：如图2-5-3所示，已知平行四边形ABCD中，AB=3，AD=1，∠DAB=，求对角线AC和BD的长.
图2-5-3
解：设=a，=b.
则|a|=3，|b|=1，〈a,b〉=.
∴a·b=|a||b|cos〈a,b〉=.
又∵=a+b,=a-b，
∴||=，
||=，
∴AC=,DB=.
由此可见向量法求平面内两点间的距离的步骤是：
①建立平面向量基底或建立平面直角坐标系，将平面内两点间距离转化为向量的长度；
②应用公式|a|=，通过向量运算求出向量的长度；
③把向量的长度还原成平面内两点间的距离.2.5
从力做的功到向量的数量积
自主广场
我夯基
我达标
1．给出下列等式：
①a·0=0；②0·a=0；③0-=；④|a·b|=|a||b|；⑤若a≠0，则对任一非零向量b有a·b≠0；⑥a·b=0，则a与b中至少有一个为0；⑦a与b是两个单位向量，则a2=b2.
以上成立的是（
）
A.①②③⑥⑦
B.③④⑦
C.②③④⑤
D.③⑦
思路解析：按照定义、性质、运算律作答即可.
对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有a·0=0，故①错；
对于②：应有a·0=0，故②错；
对于③：很明显正确；
对于④：由数量积定义，有|a·b|=|a||b||cosθ|≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ=0或θ=π时，才有|a·b|=|a||b|，故④错；
对于⑤：若非零向量a、b垂直，有a·b=0，故⑤错；
对于⑥：由a·b=0可知a⊥b，即可以都非零，故⑥错；
对于⑦：a2-b2=|a|2-|b|2=1-1=0，故⑦正确.
答案：D
2．（北京高考卷，理3）若|a|=1，|b|=2，c=a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为（
）
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
思路解析：要求a与b的夹角，根据夹角公式需先求夹角的余弦值，再结合夹角的范围确定其值.设a与b的夹角为θ.∵c⊥a，∴c·a=0.∴（a＋b）·a=0.
∴|a|2+b·a=0.∴b·a=-1.
∴cosθ=.
又∵0°≤θ≤180°，∴θ=120°.
答案：C
3．已知△ABC中，=a，=b，当a·b＜0和a·b=0时，△ABC的形状分别是（
）
A.钝角三角形，直角三角形
B.锐角三角形，直角三角形
C.锐角三角形，钝角三角形
D.锐角三角形，斜三角形
思路解析：由a·b＜0可知a与b的夹角为钝角，即∠A是钝角；当a·b=0时，可知a与b的夹角为直角，即△ABC是直角三角形.
答案：A
4．（辽宁高考卷，理12）设O（0，0）,A（1，0）,B（0，1）,点P是线段AB上的一个动点,=λ,若·≥·,则实数λ的取值范围是（
）
A.≤λ≤1
B.1≤λ≤1
C.≤λ≤1+
D.1≤λ≤1+
思路解析：由题意得=λ=(1-λ)+λ=(1-λ,λ)，=-=(1-λ)
=(λ-1,1-λ),
=λ=（-λ,λ）,又∵·≥·，∴(1-λ,λ)·(-1,1)≥（λ,-λ)·(λ-1,1-λ).
∴2λ2-4λ+1≤0.∴1≤λ≤1+.因点P是线段上的一个动点,所以0≤λ≤1,即满足条件的实数λ的取值范围是1≤λ≤1.
答案：B
5．（湖南高考卷，理,5）已知|a|=2|b|≠0且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是（
）
A.［0，］
B.［，π］
C.［,］
D.［，π］
思路解析：∵|a|=2|b|≠0，且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根，∴|a|2-4a·b≥0.∴a·b≤|a|2=|b|2.∴cos〈a,b〉==，∴θ∈［,π］.
答案：B
6.已知e为单位向量，|a|=4，a与e的夹角为，则a在e方向上的投影为______________.
思路解析：由向量在另一方向上投影的定义解答此题.投影为=|a|·cos=－2.
答案：－2
7.已知|a|=10，|b|=12，a与b的夹角为120°，求：
（1）a·b；
（2）（3a）·（b）；
（3）（3b－2a）·（4a+b）.
思路分析：第（1）题直接由定义可得，（2）和（3）则利用向量数量积的运算律计算.
解：（1）a·b=|a||b|cosθ=10×12×cos120°=-60.
（2）（3a）·（b）=（a·b）=×（-60）=-36.
（3）（3b－2a）·（4a+b）=12b·a+3b2-8a2-2a·b=10a·b+3|b|2-8|a|2=10×（-60）+3×122-8×102=-968.
我综合
我发展
8.已知向量=a，=b，∠AOB=60°，且|a|=|b|=4.
(1)求|a+b|,|a-b|；
(2)求a+b与a的夹角；a-b与a的夹角.
思路分析：本题可以直接利用长度公式和夹角公式求解；也可利用已知条件画出图形，数形结合.
解法一：（1）|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=|a|2+2|a||b|cos60°+|b|2=42+2×4×4cos60°+42=16+16+16
=48,
∴|a+b|=43.
|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=|a|2-2|a||b|cos60°+|b|2
=42-2×4×4cos60°+42=16-16+16=16,
∴|a-b|=4.
(2)记a+b与a的夹角为α，a-b与a的夹角为β.
则cosα=，∴α=30°.
cosβ=∴β=60°.
解法二：如图2-5-8所示，以、为邻边作平行四边形OACB.
图2-5-8
∵|a|=|b|=4，∴四边形OACB为菱形.
(1)a+b=+=，a-b==，又∠AOB=60°，
∴|a+b|=||=2||=2××4=.a-b=||=4.
(2)在△OAC中，∠OAC=120°，
∴∠COA=∠OCA=30°.a+b与a的夹角即∠COA=30°，
a-b与a的夹角即与所成的角为60°.
9.向量e1、e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
思路分析：向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，则它们的数量积应当小于零，由此可得关于t的不等式，解之即得.
解：∵e12=4，e22=1，e1·e2=2×1×cos60°=1，
∴（2te1+7e2）·（e1+te2）=2te12+（2t2+7）e1·e2+7te22=2t2+15t+7.
∵向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，
∴2t2+15t+7＜0.
∴－7＜t＜－.
设2te1+7e2=λ（e1+te2）（λ＜0），则2t=λ，且7=tλ，
∴2t2=7.
∴t=，λ=.
∴当t=时，2te1+7e2与e1+te2的夹角为π.
∴实数t的取值范围是（-7，）∪（，-）.
10.四边形ABCD中，=a，=b，CD=c，=d，且a·b=b·c=c·d=d·a，试问四边形ABCD是什么图形
思路分析：四边形的形状由边角关系确定，由题设条件演变，推算该四边形的边角关系.
解：由题意，得a+b+c+d=0，
∴a+b=-(c+d）.
∴（a+b）2=（c+d）2，
即|a|2+2a·b+|b|2=|c|2+2c·d+|d|2.
由于a·b=c·d，
∴|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.①
同理，有|a|2+|d|2=|c|2+|b|2.②
由①②可得|a|=|c|且|b|=|d|，即四边形ABCD的两组对边分别相等，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵a·b=b·c，∴b·（a－c）=0.
由平行四边形ABCD可得c=－a，代入上式得b·（2a）=0，
即a·b=0.
∴a⊥b，
即AB⊥BC.
综上所述，四边形ABCD是矩形.学习的九点注记
注记1： 是指两个向量的数量积，是一个实数，不是向量，该实数的符号由cos的符号决定．
注记2： 是指两个向量的数量积称为内积，其积为一个实数．不能写成×，它称为两个向量的外积，其积仍是一个向量．
注记3： ＝||||cos，其中的意义为夹角，即两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段的夹角，不同起点的向量要通过平移成为相同起点的向量，再找夹角．
注记4： ＝||||cos，||cos叫做向量在向量上的射影．射影为一个实数，而非向量，可正，可负，可零．
注记5： ＝，不能推出＝，或＝．有可能是cos＝0，如||＝1，||＝2，与的夹角为90°，则有 ＝．
注记6：在实数中，有(a b)c＝a(b c)；但在数量积中，( ) ≠ ( )，由于左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，一般与不共线．
注记7：| |≠||||，由于| |＝|||||cos|≤||||，即应有| |≤||||，当且仅当，中至少一个为零向量或＝0°时等号成立．
注记8： 的符号与，的夹角关系，设≠，≠，与的夹角为，则有
①为锐角时 ＞0且，不同向，
②为钝角时 ＜0且，不反向．
注记9：已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bca＝c；但 ＝ (≠)，不能推出＝．如：||＝||＝1，||＝，与的夹角为60°，与的夹角为0°，则有 ＝ ，但≠．2.5
从力做的功到向量的数量积
自我小测
1．已知|a|＝2，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则|a－b|的值为( )
A．4
B．2
C．2
D．6
2．若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．4
B．3
C．2
D．0
3．已知|a|＝8，e为单位向量，当它们的夹角为时，a在e方向上的射影是( )
A．4
B．4
C．4
D．8＋
4．在△OAB中，＝a，＝b，OD是AB边上的高，若，则λ等于( )
A．
B．
C．
D．
5．若，则△ABC为( )
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．等腰直角三角形
6．已知a⊥b，(3a＋2b)⊥(ka－b)，若|a|＝2，|b|＝3，则实数k的值为__________．
7．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角θ是__________．
8．设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：
(1)|a|－|b|＜|a－b|；
(2)(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；
(3)(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确结论的序号为__________．
9．已知|a|＝1，|b|＝，设a与b的夹角为θ.
(1)若θ＝，求|a＋b|；
(2)若a与a－b垂直，求θ.
10．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
参考答案
1．解析：∵a·(b－a)＝2，∴a·b－a2＝2.
∴a·b＝2＋a2＝2＋|a|2＝2＋22＝6.
∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝22－2×6＋62＝28，
∴|a－b|＝2.
答案：B
2．解析：由a∥b及a⊥c，得b⊥c，
则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.
答案：D
3．解析：a在e方向上的射影为|a|cos＝4.
答案：B
4．解析：由题意知，，
即.
∴，
∴λ＝－＝－＝.
答案：B
5．解析：∵，
∴，
∴，
∴，∴，∴∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
答案：A
6．解析：由已知得a·b＝0，a2＝4，b2＝9.
由(3a＋2b)·(ka－b)＝0得，
3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.
∴12k－18＝0，∴k＝.
答案：
7．解析：由|a＋b|＝|a－b|得，|a＋b|2＝|a－b|2，
整理得a·b＝0.
又由|a－b|＝2|a|得，|a－b|2＝4|a|2，
∴|a|2－2a·b＋|b|2＝4|a|2，
∴|b|2＝3|a|2，∴|b|＝|a|.
∴cos
θ＝＝＝＝－.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案：
8．解析：(1)∵(|a|－|b|)2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b，
又∵a，b不共线，∴a·b＜|a||b|.
∴(|a|－|b|)2＜|a－b|2.∴|a|－|b|＜|a－b|.
(2)∵[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(a·c)(b·c)＝0，∴(b·c)a－(c·a)b与c垂直．
(3)(3a＋2b)·(3a－2b)＝9a2－4b2＝9|a|2－4|b|2.
答案：(1)(3)
9．解：(1)|a＋b|＝＝
＝＝.
(2)由题意得，a·(a－b)＝0，
∴a2＝a·b＝|a||b|cos
θ，
∴cos
θ＝＝＝.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
10．解：∵e1·e2＝|e1||e2|cos
60°＝2×1×＝1，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te12＋(2t2＋7)e1·e2＋7te22＝2t2＋15t＋7.
由题意得，2t2＋15t＋7＜0，得－7＜t＜－.
若两向量反向共线，设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)，
∴得t＝－或t＝(舍去)．而当t＝－时，已知两向量的夹角为180°，不合题意．故t∈eq
\b\lc\(\rc\)()∪eq
\b\lc\(\rc\)().2.5
从力做的功到向量的数量积
课后导练
基础达标
1.若a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是(
)
A.（a+b）+c=a+（b+c）
B.（a+b）·c=a·c+b·c
C.m（a+b）=ma+mb
D.（a·b）c=a（b·c）
解析:由向量的运算律知选项D不一定成立.
答案：D
2.设a、b、c是任意的非零向量，且相互不共线，则①（a·b）c-（c·a）b=0；②a2=|a|2；③（b·c）a-（c·a）b不与c垂直；④（3a+2b）·（3a-2b）=9|a|2-4|b|2中，正确的有(
)
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
解析：①中，a·b的运算结果为数，故（a·b）c为一向量，同理（a·c）b也是一向量，向量之差为向量.故①不正确.由数量积的性质知②正确.
又［（b·c）a-（c·a）b］·c=（b·c）（a·c）-（c·a）（b·
）=0，而（a·c）b与（b·c）a不可能同时为零向量.故③不正确，④正确.
答案：D
3.在边长为1的正三角形ABC中，设=c，=a,=b,则a·b+b·c+c·a等于（
）
A.1.5
B.-1.5
C.0.5
D.-0.5
解析：在正三角形ABC中，a·b=|a|·|b|cos60°=0.5,
b·c=|b|·|c|cos60°=0.5,
a·c=|a|·|c|cos120°=-0.5,
答案：C
4.(2004重庆高考，6)
若向量a与b的夹角为60°，|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模是(
)
A.2
B.4
C.6
D.12
解析：（a+2b）·(a-3b)=|a|2-a·b-6|b|2=-72
∴|a|2-|a|·|b|·cos60°-6|b|2=-72
∴|b|=4代入上式，解得：|a|=6(∵|a|＞0).
答案：C
5.△ABC中，=a,=b,若a·b＜0,则△ABC形状为（
）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.不能判断
解析：由a·b＜0,知cos〈a,b〉＜0,所以〈a,b〉＞,所以∠ABC为锐角.三角形中，∠ABC为锐角，并不能判断三角形形状，所以选D.
答案：D
6.比较大小|a·b|___________|a|·|b|.
解析：a·b=|a||b|cosθ,
∴|a·b|=|a||b||cosθ|≤|a|·|b|.
答案：≤
7.已知e为单位向量，|a|=4，a与e的夹角为，则a在e方向上的投影为________.
解析:由向量在另一方向上投影的定义解答此题.
投影为=|a|·cos=-2.
答案：-2
8.利用向量证明：菱形的两条对角线互相垂直.
证明:设=a,=b,则|a|=|b|.
∵=a+b,=a-b,
∴·=(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0.
∴⊥.
∴AC⊥BD.
9.已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为,求（1）a·b;(2)a2;(3)|a+b|.
解析：(1)a·b=|a||b|cos=6×4×=.
(2)a2=a·a=|a|2=62=36.
(3)|a+b|=.
10.已知平面上三个向量a、b、c的模为1，它们相互间的夹角均为120°.
（1）求证：（a-b）⊥c；
（2）若|ka+b+c|=1（k∈R），求k的值.
（1）证明：∵（a-b）·c=a·c-b·c
=|a||c|·cos120°-|b||c|cos120°，
又|a|=|b|=|c|，∴（a-b）·c=0，即（a-b）⊥c.
（2）解析：由|ka+b+c|=1，得|ka+b+c|2=12，
即（ka+b+c）2=1，
∴k2a2+b2+c2+2b·c+2ka·b+2ka·c=1.
又a·b=a·c=b·c=-，
∴k2-2k=0.解得k=2或0.
综合运用
11.已知△ABC满足2=·+·+，则△ABC是(
)
A.等边三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
解析：∵·+·=·（-）=2，
∴=0.
∴⊥,
即AC⊥BC.
∴△ABC为直角三角形.
答案：C
12.若a、b是不共线的两向量，且=λ1a+b，=a+λ2b（λ1、λ2∈R），已知A、B、C三点共线，则(
)
A.λ1=λ2=-1
B.λ1=λ2=1
C.λ1λ2+1=0
D.λ1λ2-1=0
解析:可用待定系数法，用共线向量定理建立待定系数的方程.
∵A、B、C三点共线，∴存在实数k,使得=k，即λ1a+b=ka+λ2kb.
又a、b不共线，
∴.消去k得λ1λ2-1=0.
答案：D
13.若|a|=m(m＞0),b=λa(λ＞0),则a·b=_______;若|a|=m(m＞0),b=λa(λ＜0),则a·b=________.
解析：∵b=λa(λ＞0),∴〈a·b〉=0,∴a·b=λm2.
当b=λa(λ＜0)时，〈a·b〉=π,∴a·b=-λm2.
答案：λm2
-λm2
14.已知|a|=2,|b|=,a与b的夹角为45°，要使λb-a与a垂直，则λ=________.
解析：若λb-a与a垂直，则(λb-a)·a=0,
即λb·a-a2=0,
∴λ|b|·|a|·cos45°-|a|2=0,
∴λ××2×-22=0,
∴λ=2.
答案：2
15.求证：直径上的圆周角为直角.
证明：如右图，设=a,=b,有=a.
∵=a+b,=a-b且|a|=|b|,
∴·=(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0.
∴⊥.∴∠ABC=90°.
拓展探究
16.设a与b是两个互相垂直的单位向量，问当k为整数时，向量m=ka+b与向量n=a+kb的夹角能否等于60°，证明你的结论.
解析：假设夹角等于60°，
∵|m|2=|ka+b|2=(ka+b)2=k2+1,
|n|2=|a+kb|2=(a+kb)2=k2+1.
m·n=(ka+b)·(a+kb)=2k,
∴2k=×cos60°,
即4k=k2+1,解得k=2±这与k为整数矛盾.
∴m与n的夹角不能等于60°.(共34张PPT)
2.5
从力做的功到向量的数量积
物理中我们学过功的概念，一个物体在力
的作用
下产生位移
（如图）
θ
力
所做的功W可用下式计算:
其中θ是
与
的夹角.
当0°≤θ＜90°时，W＞0,
即力F做正功；
当θ＝90°时，W＝0，即力F不做功；
当90°＜θ≤180°时，W＜0，即力F做负功.
从力所做的功出发，我们引入向量的数量积的概念.
1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（重点）
2.体会平面向量的数量积与向量射影的关系.
3.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律和它的一些简单应用.（重点）
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.（难点）
两个非零向量
和
，作
，
，则
（
）叫作向量
与
的夹角．
O
A
B
问题1
如何定义向量的夹角？
计算向量的夹角时要将两个向量起点放在一起.
探究点1
向量的数量积
O
A
B
若
，
与
同向
O
A
B
若
，
与
反向
O
A
B
若
，
与
垂直，
记作
由于零向量的方向是任意的，为方便起见，
规定:零向量可与任一向量垂直.
，过点B
作BB1垂直于直线OA，垂足为
B1，则
|
|
cosθ叫作向量
在
方向
上的射影(也叫投影)．
当θ为锐角时，
|
|
cosθ_____0
＞
问题2
什么是向量的射影？
O
A
B
B1
O
B
A
当θ=0°时，
|
|cosθ=_____
|
|
当θ为钝角时，
|
|
cosθ___0.
当θ为直角时，
|
|cosθ____0
＜
=
B
O
A
θ
O
A
B
θ
O
B
A
当θ=180°时，
|
|
cosθ=_____
B1
物理实例中，与位移
方向一致的分力
的长度为
︱
︱cosθ，即是力
在
方向上的射影.
θ
-|
|
问题3
平面向量的数量积的定义如何？
已知两个向量
与
，它们的夹角为θ，我们把
|
||
|cosθ叫作
与
的数量积（或内积）.记作
·
·
=|
||
|
cosθ
注意：向量的数量积是一个数量.
特别地:零向量与任一向量
的数量积为0.
例1
⑴
已知|
|=3，|
|=4，且
与
的夹角θ=150°，求
·
.
解：
·
=|
||
|cosθ=3×4×cos150°
=3×4×（-
）=－6
变式练习：已知
=(1,1),
=(2,0),
与
的夹角
θ=
45°.
求
·
.
解：
|
|
=
,
|
|=2,
θ=45°,
所以
·
=|
||
|cosθ=
×2×cos45°=
2.
问题4
数量积的几何意义是什么？
特别提醒：
1.
2.若
是单位向量,则
单位向量是一种特殊的向量哟！
重要性质：
1.若
是单位向量，则：
2.
3.
4.
5.
当且仅当
∥
时等号成立.
问题5
数量积的物理意义是什么？
反之成立吗？
解答：不成立.
解答：成立.
思考：
探究点2
向量的数量积的运算律
练习：判断下列说法的正误
√
×
×
×
×
×
√
3．若
≠
，
·
=0，则
=
2．若
≠
，则对任一非零向量
,有
·
≠0．
1．若
=
，则对任一向量
，有
·
=
0
．
4．若
·
=0，则
,
中至少有一个为
．
5．若
≠
，
·
=
·
，则
=
6．若
·
=
·
,且
≠
,当且仅当
=
时成立．
7．对任意向量
有
例2
在ΔABC中，设边BC，CA，AB的长度分别为a，b，c，证明：
a =b +c –2
bccosA，
b =c +a –2cacosB，
c =a +b –2abcosC.
A
a
c
b
C
B
证明：设
则
同理可证其他两式，我们把这个结果称为余弦定理.
=b +c –2
bccosA.
向量法证明几何问题的步骤：
1.将三角形的边用有向线段表示.
2.根据向量的运算及向量的几何意义，写出向量之间的关系.
3.通过平方和向量的数量积整理出所要的结果.
例3
证明菱形的两条对角线互相垂直.
证明：菱形ABCD中，AB=AD，由于
可得
=0，
所以，
即菱形的两条对角线互相垂直.
A
B
C
D
O
证明线段垂直的方法：
1.取两个不共线的向量作基底.
2.将要证明的向量用这两个向量表示.
3.利用
进行证明.
【提升总结】
例4
已知单位向量
,
的夹角为60°，求向量
,
的夹角.
解：由单位向量
,
的夹角为60°，得
所以
②
①
所以
又
设
与
的夹角为
，
由①②可得
又
所以
.
即向量
与
的夹角为
.
技巧点拨：
1.以
，
为基底,计算
的值.
2.利用向量的夹角公式计算.
1.判断下列说法的正误:
（1）平面向量的数量积可以比较大小.
(
)
（2）
(
)
（3）已知
为非零向量,因为0×
=
，
·
=
0,
所以
=
(
)
(4)
(
)
√
×
×
×
2.△ABC中，
则该三角形为(
)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
【解析】由
知∠ABC为锐角；
由
知,∠ACB为钝角.
C
C
5.在△ABC中，M是线段BC的中点，AM=3，BC=10，
则
_______.
-16
-2
6.若|a|=1,|b|=2，且a，b反向，则a·b=_______.
解：
本节课主要学习了：
1.向量的夹角.
2.向量的射影.
3.向量的数量积.
4.向量的数量积的几何意义和物理意义.
5.向量的数量积的性质和运算律.
不会宽容别人的人，是不配受到别人的宽容的.
——贝尔奈2.5
从力做的功到向量的数量积
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下列命题中正确的个数有（
）
①a·0=0
②0·a=0
③0-=
④|a·b|=|a||b|
⑤若a≠0，则对任一非零b有a·b≠0
⑥a·b=0，则a与b中至少有一个为0
⑦a与b是两个单位向量，则a2=b2
A.7
B.5
C.4
D.2
解析：7个命题中只有③⑦正确.
对于①,两个向量的数量积是一个实数，应有0·a=0；
对于②,应有0·a=0；对于④,由数量积定义，有|a·b|=|a||b|·|cosθ|≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ=0或θ=π时，才有|a·b|=|a||b|；
对于⑤,若非零向量a、b垂直，有a·b=0；
对于⑥,由a·b=0可知a⊥b，可以都非零.
答案：D
2.已知|a|=3，|b|=6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角为60°时，分别求a·b.
解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ=0°，
∴a·b=|a||b|cos0°=3×6×1=18；
若a与b反向，则它们的夹角θ=180°，
∴a·b=|a||b|cos180°=3×6×（-1）=-18.
②当a⊥b时，它们的夹角θ=90°，
∴a·b=0.
③当a与b的夹角是60°时，有
a·b=|a||b|cos60°=3×6×=9.
3.已知|a|=10，|b|=12，a与b的夹角为120°，求a·b.
解：由定义，a·b=|a||b|cosθ=10×12×cos120°=-60.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.给出下列命题：
①在△ABC中，若·＜0，则△ABC是锐角三角形；
②在△ABC中，若·＞0，则△ABC是钝角三角形；
③△ABC是直角三角形·=0；
④△ABC是斜三角形一定有·≠0.
其中，正确命题的序号是____________________.
解析：①∵·<0，∴·=-·>0.∴∠B是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角.∴推不出△ABC是锐角三角形.故命题①是假命题.
②∵·>0，∴·=-·<0.∠A是钝角，因而△ABC是钝角三角形.故命题②是真命题.
③△ABC是直角三角形，则直角可以是∠A，也可以是∠B、∠C.而·=0仅能保证∠B是直角.故命题③是假命题.
④一方面，当△ABC是斜三角形时，其三个内角均不是直角，故·≠0.故命题④是真命题.
答案：②④
2.若向量a、b、c满足a+b+c=0，且|a|=3,|b|=1,|c|=4，则a·b+b·c+a·c=____________.
解法一：∵a+b+c=0,
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=0.
∴2(a·b+b·c+a·c)=-(a2+b2+c2)=-(|a|2+|b|2+|c|2)=-(32+12+42)=-26.∴a·b+b·c+a·c=-13.
解法二：根据已知条件可知|c|=|a|+|b|,c=-a-b，所以a与b同向，c与a+b反向.所以有a·b+b·c+a·c=3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4-12=-13.
答案：-13
3.已知a、b是两个非零向量，同时满足|a|=|b|=|a-b|，求a与a+b的夹角.
解法一：根据|a|=|b|，有|a|2=|b|2.
又由|b|=|a-b|，得|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,∴a·b=|a|2?.
而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=3|a|2,∴|a+b|=|a|.
设a与a+b的夹角为θ，则cosθ=，
∴θ=30°.
解法二：设向量a=(x1，y1),b=(x2,y2),
∵|a|=|b|,∴x12+y12=x22+y22.
由|b|=|a-b|，得x1x2+y1y2=(x12+y12)，即a·b=(x12+y12).
由|a+b|2=2(x12+y12)+2×(x12+y12)=3(x12+y12)，得|a+b|=(x12+y12).
设a与a+b的夹角为θ，则
cosθ=，
∴θ=30°.
解法三：根据向量加法的几何意义，在平面内任取一点O，作=a，=b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB.
∵|a|=|b|，即||=||，
∴OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时=a+b，=a-b.而|a|=|b|=|a-b|，即||=||=||.
∴△AOB为正三角形，则∠AOB=60°，于是∠AOC=30°，
即a与a+b的夹角为30°.
4.若(a+b)⊥(2a-b)，(a-2b)⊥(2a+b)，试求a与b的夹角的余弦值.
解：由(a+b)⊥(2a-b),(a-2b)⊥(2a+b)有
∴a2=b2,|a|2=|b|2,?|a|=|b|.
由2a2+a·b-b2=0得
a·b=b2-2a2=|b|2-2|a|2=|b|2-2×|b|2=|b|2，
∴cosθ=.
∴a、b的夹角的余弦值为.
5.已知|a|=5,|b|=12，当且仅当m为何值时，向量a+mb与a-mb互相垂直
解：若向量a+mb与a-mb互相垂直，则有(a+mb)·(a-mb)=0，
∴a2-m2b2=0.∵|a|=5,|b|=12,∴a2=25,b2=144.∴25-144m2=0.
∴m=±.
∴当且仅当m=±时，向量a+mb与a-mb互相垂直.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.若向量a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是(
)
A.（a+b）+c=a+（b+c）
B.（a+b）·c=a·c+b·c
C.（a·b）c=a（b·c）
D.m（a+b）=ma+mb
解析：根据向量的加、减、乘运算法则解答此题.
（a·b）·c≠a·（b·c）.
答案：C
2.已知a、b、c为任意非零向量，若a=b，则下列命题：
①|a|=|b|；②a2=b2；③a2=a·b；④c·（a-b）=0.正确的有(
)
A.①③
B.①②④
C.②③④
D.①②③④
解析：a=b|a|=|b|；a2=b2；a2=a·b；c·（a-b）=0，而四个命题均不能推出a=b成立.
答案：D
3.对任意向量a、b，|a||b|与a·b的大小关系是(
)
A.|a||b|＜a·b
B.|a||b|＞a·b
C.|a||b|≥a·b
D.两者大小不定
解：|a||b|-a·b=|a||b|-|a||b|cosθ=|a||b|（1-cosθ）.
∵θ∈［0，π］，∴-1≤cosθ≤1，1-cosθ∈［0，2］.
又|a|≥0，|b|≥0，1-cosθ≥0，
∴|a||b|≥a·b.
答案：C
4.设a、b、c是任意的非零向量，且相互不共线，则①（a·b）c-（c·a）b=0；②a2=|a|2；
③（b·c）a-（c·a）b不与c垂直；④（3a+2b）·（3a-2b）=9|a|2-4|b|2中，
是真命题的有(
)
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
解析：命题①中，a·b的运算结果为数，故（a·b）c为一向量，同理（a·c）b也是一向量，向量之差为向量.故①不正确.由数量积的性质知②正确.
又［（b·c）a-（c·a）b］·c=（b·c）（a·c）-（c·a）（b·c）=0，而（a·c）b与（b·c）a不可能同时为零向量,故命题③不正确，④正确.
答案：D
5.下列命题：①△ABC为锐角三角形，则必有·＞0；②若a·b=0，则a⊥b；③若a·b=a·c，且a≠0，则b=c；④
|a·b|=|a||b|a∥b.其中正确命题的个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：命题①：·=||||·cos（π-∠ABC）＜0，不正确.
命题②：当a、b为0时，a·b=0a⊥b，不正确.
命题③：a·b=a·c，即|a||b|·cosθ1=|a||b|·cosθ2，
又a≠0，∴|b|cosθ1=|c|cosθ2不一定有b=c.故不正确.
命题④：|a·b|=||a||b|cosθ|=|a|·|b|·|cosθ|=|a||b||cosθ|=1θ=0或π，故a∥b.另外当a、b中有一个为0时，也有a∥b.故正确.
答案：A
6.已知e为单位向量，|a|=4，a与e的夹角为，则a在e方向上的投影为________________.
解析：投影为=|a|·cos=-2.
答案：-2
7.向量α、β满足|α+β|=|α-β|，则α与β的夹角是_________________.
解析：∵|α+β|=|α-β|，∴|α+β|2=|α-β|2，即α2+2α·β+β2=α2-2α·β+β2.
∴α·β=0.又α、β均为非零向量，故α与β的夹角为90°.
答案：90°
8.已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互间的夹角均为120°.
（1）求证：（a-b）⊥c；
（2）若|ka+b+c|=1（k∈R），求k的值.
（1）证明：∵（a-b）·c=a·c-b·c=|a||c|·cos120°-|b||c|cos120°，又|a|=|b|=|c|，∴（a-b）·c=0，即（a-b）⊥c.
（2）解：由|ka+b+c|=1，得|ka+b+c|2=12，即（ka+b+c）2=1，
∴k2a2+b2+c2+2b·c+2ka·b+2ka·c=1.
又a·b=a·c=b·c=，
∴k2-2k=0.解得k=2或0.
9.已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,c=3a+5b,d=ma-3b.
(1)当m为何值时,c与d垂直
(2)当m为何值时,c与d共线
解：（1）由向量垂直的条件得c·d=0，c·d=（3a+5b）·（ma-3b）
=3ma2+（5m-9）a·b-15b2=27m+3（5m-9）-60，
∴42m-87=0.
∴m=即m=时c与d垂直
（2）由向量共线的条件是c=λd
∴3a+5b=λ（ma-3b）.
∴3a+5b=mλ·a-3λ·b
∵a与b不共线,
∴
即当m=时c与d共线