2.6
平面向量数量积的坐标表示
知识梳理
1.向量数量积的坐标表示
已知a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，则a·b=a1b1+a2b2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
2.两个向量垂直的坐标表示
已知a=(a1，a2)，b=(b1,b2)，则a⊥ba1b1+a2b2=0；a⊥b
(a1,a2)∥(-b2,b1).
3.向量的长度、距离和夹角公式（度量公式）
(1)长度公式：已知a=(a1,a2)，则|a|=.
(2)距离公式：如果A(x1，y1），B(x2，y2)，则||=.
(3)夹角公式：已知a=(a1,a2)，b=(b1,b2)，则两个向量a、b的夹角为cos〈a,b〉=.
知识导学
1.复习平面向量的坐标表示，向量共线和垂直的条件，向量的长度和夹角的概念.
2.本节的重点是向量数量积的应用，难点是灵活应用数量积解决有关问题.
疑难突破
1.为什么向量的数量积能用坐标表示？
剖析：由于向量能用坐标表示，那么向量的数量积也能用坐标表示，因此其突破方法是利用平面向量的坐标表示来推导.
设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，
则i·i=1，j·j=1，i·j=j·i=0.
∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j，
∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)
=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2=x1x2+y1y2,
即a·b=x1x2+y1y2.
用坐标表示向量数量积体现了数与形的密切结合和相互转化的思想，进一步体会到数形结合思想在解决数学问题时所带来的便利.
2.为什么（a·b）c=a(b·c)不成立？
剖析：难点是总认为此等式成立.突破路径1：否定一个等式，只需举一个反例即可；突破路径2：利用数量积的几何意义来证明；突破路径3：利用反证法通过向量数量积的坐标表示来证明等式不成立.
方法一：举反例.
如图2-6-1所示，设=a，=b，=c，且||=1，||=2，||=3，〈,〉=，〈,
〉=，则〈,〉=.
∴a·b=|a||b|cos〈a，b〉=1，b·c=|b||c|cos〈b，c〉=3.
∴(a·b)c=c，a(b·c)=3a.很明显c=3a不成立，
图2-6-1
∴(a·b)c=a(b·c)不成立.
再例如：a=(1,2)，b=(-3,4)，c=(6,-5),
则(a·b)c=
［1×(-3)+2×4］(6,-5)=3(6,-5)=(18,-15),
a(b·c)=(1,2)［-3×6+4×(-5)］=(-38)(1,2)=(-38,-72).
∴(a·b)c=a(b·c)不成立.
方法二：下面用向量数量积的几何意义来分析.
由于向量的数量积是实数，则设a·b=λ，b·c=μ.
则(a·b)c=λc，a(b·c)=μa.
由于c，a是任意向量，则λc=μa不成立.
∴(a·b)c=a(b·c)不成立.
方法三：下面用向量数量积的坐标表示来分析.
设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，c=(x3,y3).
则a·b=x1x2+y1y2,b·c=x3x2+y3y2.
∴(a·b)c=(x1x2+下标y1y2)(x3,y3)=(x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3)，
a(b·c)=(x3x2+y3y2)(x1,y1)=(x1x2x3+x1y2y3,x2x3y1+y1y2y3).
假设(a·b)c=a(b·c)成立,
则有(x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3)=(x1x2x3+x1y2y3,x2x3y1+y1y2y3)，
∴x1x2x3+y1y2x3=x1x3x2+x1y2y3，
x1x2y3+y1y2y3=x2x3y1+y1y2y3.
∴y1y2x3=x1y2y3，x1x2y3=x2x3y1.
∴y2(y1x3-x1y3)=0，x2（x1y3-x3y1）=0.
∵b是任意向量，
∴x2和y2是任意实数.
∴y1x3-x1y3=0.
∴a∥c.
这与a，c是任意向量，即不一定共线相矛盾.
∴假设不成立.
∴(a·b)c=a(b·c)不成立.2.6
平面向量数量积的坐标表示
自主广场
我夯基
我达标
1.已知向量a=（-4，7），向量b=（5，2），则a·b的值是（
）
A.34
B.27
C.-43
D.-6
思路解析：依数量积的坐标运算法则解答此题.a·b=-4×5+7×2=-6.
答案：D
2.已知向量a=（2，1），b=（3，x），若（2a-b）⊥b，则x的值是（
）
A.3
B.-1
C.-1或3
D.-3或1
思路解析：欲求x的值，只需建立关于x的方程，由条件（2a-b）⊥b（2a-b）·b=0，即可得出x的方程.∵（2a-b）⊥b，∴（2a-b）·b=2a·b-b2=2×2×3+2×1×x-32-x2=0.整理，得x2-2x-3=0，解得x=-1或3.
答案：C
3．若向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°，且|b|=，则b等于（
）
A.(-3,6)
B.(3,-6)
C.(6,-3)
D.(-6,3)
思路解析：由题意，b与a共线，再结合|b|=，列出关于b的坐标的方程，即可解出.
方法一：设b=λ(-1,2)，且λ＞0，有(-λ)2+(2λ)2=()2b=(-3，6).
方法二：由题意可知，向量a、b共线且方向相反.故可由方向相反排除B，C；由共线可知b=-3a.
答案：A
4．(2006天津高考卷，文12)设向量a与b的夹角为θ，且a=(3,3),2b-a=(-1,1)，则cosθ=________________.
思路解析：由题意，得b=a+(-1,1)=（1,2），则a·b=9，|a|=，|b|=，
∴cosθ=.
答案：
5.已知a=（1，2），b=（1，1），c=b-ka，若c⊥a，则c=_________________.
思路解析：根据a和b的坐标、c的坐标，利用垂直建立关于k的方程，求出k后可得向量c.
答案：（）
6.已知a=（3，-1），b=（1，2），x·a=9与x·b=-4，向量x的坐标为_______________.
思路解析：待定系数法，设出向量x的坐标，利用所给两个关系式得到关于坐标的方程组，再求解.设x=（t，s），由
答案：（2，-3）
7.已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a=（1，2），
（1）若|c|=，且c∥a，求c的坐标；
（2）若|b|=，且a+2b与2a-b垂直，求a与b的夹角θ.
思路分析：（1）欲求向量c，同前面的题目类似，可以设出向量c的坐标，然后建立c的坐标方程，可得解法一.另外注意到c∥a，故存在实数λ，使c=λa，则|c|=|λa|，即|λ|=.故可求出λ，也就能求出c，得解法二.
（2）欲求a与b的夹角θ，可根据cosθ=来求cosθ，然后再求θ.故只需求出ab和|a||b|即可.由题意易知|a||b|，关键是求a·b.又有a+2b与2a-b垂直，故可以得到（a+2b）·（2a－b）=0.进一步可求出a·b的值.
（1）解法一：设c=（x，y）.
∵|c|=，∴=，即x2+y2=20.
①
又c∥a，∴2x－y=0.
②
由①②可得或
即向量c的坐标为（2，4）或（-2，-4）.
解法二：∵c∥a，故可设c=λa，
则|λ|==2.
∴λ=±2.
即向量c的坐标为（2，4）或（-2，-4）.
（2）解：∵a=（1，2），∴|a|=.
又|b|=，故|a||b|=.
又∵（a+2b）⊥（2a-b），
∴（a+2b）·（2a-b）=0，即2a2+3a·b-2b2=0.
∴2×5+3a·b-2×=0，a·b=.
∴cosθ=.
又θ∈［0，π］，
∴θ=π，
即a与b的夹角为π.
我综合
我发展
8.已知a=（3，4），b=（4，3），求实数x、y的值使（xa+yb）⊥a，且|xa+yb|=1.
思路分析：首先写出（xa+yb）的坐标，再根据它与向量a垂直和模为1列出方程组，从而解得x和y的值.
解：由a=（3，4），b=（4，3），有xa+yb=（3x+4y，4x+3y）.
∵（xa+yb）⊥a，
∴（xa+yb）·a=0.
∴3（3x+4y）+4（4x+3y）=0，
即25x+24y=0.①
又∵|xa+yb|=1,
∴（3x+4y）2＋（4x+3y）2=1.
整理得25x2＋48xy+25y2=1.②
由①②联立方程组，解得和
9.(2006全国高考卷Ⅱ，理17)已知向量a=(sinθ，1)，b=(1，cosθ)，-＜θ＜.
（1）若a⊥b，求θ；
（2）求｜a＋b｜的最大值.
思路分析：利用定义直接求得θ.把点的坐标代入｜a＋b｜，先化简再求最值.
解：（1）∵a⊥b，
∴sinθ＋cosθ=0.
∴tanθ=-1(-＜θ＜).
∴θ=.
（2）∵a=(sinθ，1)，b=(1，cosθ)，
∴a+b=(sinθ+1，1+cosθ).
∴｜a+b｜=
=.
当sin(θ+)=1时，|a＋b|取得最大值，
即当θ=时，|a＋b|的最大值为.
10.平面上有两个向量e1=(1,0)，e2=(0,1)，今有动点P，从P0(-1,2)开始沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|e1+e2|，另一动点Q，从点Q0(-2,-1)出发，沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3e1+2e2|.设P，Q在t=0分别在P0,Q0处，则当⊥时，t=___________秒.
思路解析：用t表示出，列出方程即可求解.
∵P0(-1,2),Q0(-2,-1),∴=(-1,-3).
又∵e1+e2=(1,1),∴|e1+e2|=.∵3e1+2e2=(3,2),∴|3e1+2e2|=.
∴当t时刻时,点P的位置为(-1+t,2+t),点Q的位置为(-2+3t,-1+2t).
∴=(-1+2t,-3+t).∵⊥,
∴(-1)×(-1+2t)+(-3)×(-3+t)=0.∴t=2.
答案：2
11.(2006湖北黄冈模拟，16)平面直角坐标系内有点P(1,cosx)、Q(cosx，
1),x∈［,］.
(1)求向量和向量的夹角θ的余弦值；
(2)令f(x)=cosθ，求f(x)的最小值.
思路分析：（1）直接用夹角公式即可求得；（2）利用换元法，再利用函数的单调性求出最小值.
解：(1)由题意，得=(1,cosx),=(cosx,1).
∴·=2cosx，||=，||=.
∴cosθ=.
∴向量和向量的夹角θ的余弦值为.
（2）由(1)得f(x)=,x∈［,］,
设t=cosx,则≤t≤1.∴f(t)=，≤t≤1.
可以证明当≤t≤1时，f(t)=是增函数.
∴f(x)的最小值是f()=.(共55张PPT)
2.6
平面向量数量积的坐标表示
【知识提炼】
1.平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示
(1)数量积的坐标表示.
设向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则a·b=________.
x1x2+y1y2
(2)模、夹角、垂直的坐标表示.
x1x2
+y1y2=0
2.直线的方向向量
(1)定义：与直线l_____的非零向量m称为直线l的方向向量.
(2)性质：给定斜率为k的直线l的一个方向向量为m=
_______.
共线
(1，k)
【即时小测】
1.思考下列问题
(1)向量数量积的坐标公式适用于任何两个向量吗
提示:适用,无论是零向量,还是非零向量,均可使用向量数量积的坐标公式.
(2)若直线l1,l2的方向向量相等,那么l1,l2有什么关系
提示:l1∥l2或l1与l2重合.
2.已知a=(-3,4),b=(5,2),则a·b的值是 ( )
A.23 B.7 C.-23 D.-7
【解析】选D.由向量数量积的计算公式.a·b=(-3,4)·(5,2)=
-3×5+4×2=-7.
3.已知平面向量a=(3,1),b=(x,-3),且a⊥b,则x等于 ( )
A.3 B.1 C.-1 D.-3
【解析】选B.因为a⊥b,a·b=0,即3x+1×(-3)=0,解得x=1.
4.已知a=(3,-1),b=(1,-2),则向量a与b的夹角为 ( )
【解析】选B.设a,b的夹角为θ,
则
因为0≤θ≤π,所以θ=
.
5.过点A(-2,1)且与向量a=(3,1)平行的直线方程为________.
【解析】设P(x,y)是所求直线上任一点,
=(x+2,y-1),因为
∥a,
所以(x+2)×1-3(y-1)=0,
所以所求直线方程为x-3y+5=0.
答案:x-3y+5=0
【知识探究】
知识点1
数量积、模、夹角、垂直的坐标表示
观察如图所示内容,回答下列问题:
问题1:平面向量的数量积坐标表示的特点是什么
问题2:平面向量的模、夹角、垂直的坐标表示各有何特征 分别有什么作用
【总结提升】
1.数量积的坐标表示的实质与特点
(1)实质:是将向量运算转化为代数运算,它使得数量积的计算更为方便,简单.
(2)特点:等于两个向量相应坐标乘积的和.
2.向量模的坐标运算的实质
a=(x,y),则在平面直角坐标系中,一定存在点A(x,y),使得
=a
=(x,y),所以
即|a|为点A到原点的距离.
3.向量的夹角的坐标表示
(1)来源:数量积公式的一个变形.
(2)适用范围:由向量坐标计算夹角的一个公式,仅适用于两个非零
向量.
(3)夹角的取值范围的确定:
由x1x2+y1y2的取值符号确定θ角的取值范围,其中当x1x2+y1y2>0时,
0≤θ<
;当x1x2+y1y2<0时,
<θ≤π;当x1x2+y1y2=0时,θ=
.
知识点2
直线的方向向量
观察如图所示内容,回答下列问题:
问题:如何求直线的方向向量
【总结提升】
对直线的方向向量的两点说明
(1)个数:一条直线的方向向量有无数个.
(2)长度:方向向量的长度没有限制.
【题型探究】
类型一
数量积、模的坐标运算
【典例】1.设向量a=(1,0),b=(
),则下列结论正确的是( )
A.|a|=|b|
B.a·b=
C.(a-b)⊥b
D.a∥b
2.已知向量a=(
,-1)和b=(1,
),若a·c=b·c,试求模长为
的向量c的坐标.
【解题探究】
1.典例1中(a-b)⊥b的等价条件是什么
提示:(a-b)·b=0.
2.典例2哪些条件可构造关于c的坐标的方程
提示:根据a·c=b·c,|c|=
可构造关于c的坐标的方程.
【解析】1.选C.因为|a|=
|b|=
所以|a|≠|b|,故A错误;由a·b=(1,0)·
故B错误;
由(a-b)·b=
所以(a-b)⊥b,故C正确;
由
故D错误.
2.方法一:设c=(x,y),则a·c=(
,-1)·(x,y)
=
x-y,b·c=(1,
)·(x,y)=x+
y,
由a·c=b·c及|c|=
,得
所以
方法二:由于a·b=
×1+(-1)×
=0,且|a|=|b|=2,从而以a,b为
邻边的平行四边形是正方形,且由于a·c=b·c,所以c与a,b的夹角相
等,从而c与正方形的对角线共线,如图.
此外,由于|c|=
即其长度为正方形对角线长度
的一半,故
【方法技巧】数量积坐标运算的规律与技巧
(1)进行数量积运算时,要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系:
|a|2=a·a.
(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2.
(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2.
(2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量积的坐标运算列出方程组来进行求解.
(3)形如(ma+nb)·(ka+eb)(m,n,k,e∈R)的坐标运算,有两条途径:其一,展开转化为a2,a·b,b2的坐标运算;其二,先求ma+nb与ka+eb的坐标,再运算.
【拓展延伸】 向量投影的坐标公式
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),夹角为θ,则向量a在非零向量b方向上的投
影的坐标表示为:
【变式训练】(2015·天津高一检测)已知点A(1,-2),若向量
与
a=(2,3)同向,且
则点B的坐标为( )
A.(5,-4)
B.(4,5)
C.(-5,-4)
D.(5,4)
【解析】选D.因为向量
与a=(2,3)同向,
所以设向量
=λ(2,3),λ>0,则
=(2λ,3λ),
又因为
所以(2λ)2+(3λ)2=(2)2,
所以λ2=4,解得λ=2,所以
=(4,6),
又因为点A的坐标为(1,-2),设O为坐标原点,
所以
=(1,-2)+(4,6)=(5,4),
所以点B的坐标为(5,4).
类型二
向量的夹角与垂直问题
【典例】1.(2015·长春高一检测)已知三个点A,B,C的坐标分别为
(3,-4),(6,-3),(5-m,-3-m),若△ABC为直角三角形,且∠A为直角,
则实数m的值为________.
2.已知a=(1,2),b=
求a与b的夹角.
【解题探究】1.典例1中由∠A为直角得出什么样的结论
提示:由∠A为直角,得出
2.典例2中求向量a与b的夹角需求哪些量
提示:根据向量的夹角公式需求|a|,|b|以及a·b.
【解析】1.由已知,得
因为△ABC为直角三角形,且∠A为直角,
所以
解得m=
.
答案:
2.因为a·b=(1,2)·
=1×1-2×
=0.
所以a与b垂直,即a与b的夹角为90°.
【延伸探究】
1.(变换条件)本例2中条件“b=
”改为“b=(1,λ)”.其他条
件不变,求a与b的夹角为锐角时,λ的取值范围.
【解析】设a与b的夹角为θ,因为a与b的夹角为锐角,
所以cosθ>0,且cosθ≠1,
即a·b>0且a与b不同向.
因此1+2λ>0,即λ>-
.
又因为a与b共线且同向时,λ=2.
所以a与b的夹角为锐角时,
λ的取值范围为
∪(2,+∞).
2.(改变问法)探究1中的条件不变,求a与b的夹角为钝角时,λ的取值
取围.
【解析】设a与b的夹角为θ,因为a与b的夹角θ为钝角,
所以cosθ<0且cosθ≠-1.
所以a·b<0且a与b不反向,
由a·b<0得1+2λ<0,故λ<-
,
由a与b共线得λ=2,故a与b不可能反向,所以λ的取值范围为
(-∞,-
).
【方法技巧】利用数量积求两向量夹角的步骤
类型三
向量平行和垂直的坐标的应用
【典例】1.在四边形ABCD中,若
则该四边形
的面积为 ( )
A.
B.2 C.5 D.10
2.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求证:AB⊥AD.
(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标,并求矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值.
【解题探究】1.向量
垂直吗
提示:因为
2.AB⊥AD的等价条件是什么 四边形ABCD为矩形的实质是什么
提示:AB⊥AD的等价条件是
四边形ABCD为矩形的实质是
【解析】1.选C.因为
所以AC,BD是互相垂直的对角线,
所以
2.(1)因为A(2,1),B(3,2),D(-1,4),
所以
又因为
=1×(-3)+1×3=0.
所以
即AB⊥AD.
(2)如图,
由四边形ABCD为矩形,知
设C(x,y),则(x+1,y-4)=(1,1),
即
所以C(0,5).
所以
所以
=2×4+(-4)×(-2)=16,
所以
所以矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值为
.
设
的夹角为θ
【延伸探究】本例2的条件变为“A(3,4),B(0,0),C(c,0)”,
(1)若c=5,求sinA的值.
(2)若A是钝角,求c的取值范围.
【解析】(1)
当c=5时,
=(2,-4),
所以cosA
所以sinA=
(2)若A为钝角,则
=-3(c-3)+16<0且
不共线,
解得c>
.显然此时
不共线.
故当A为钝角时,c的取值范围为
【方法技巧】三角形或四边形形状的判定
(1)可先求各边对应的向量及模,看各边长度关系.
(2)再求它们两两的数量积,从而判定其内角是否为锐角(直角、钝角).四边形还可以从对角线对应的向量入手.
【变式训练】如图,四边形OABC是平行四边形,A(4,0),C(1,
),点M
是OA的中点,点P在线段BC上运动(包括端点).
(1)求
的最大值.
(2)是否存在实数λ,使
若存在,求出λ的取值范围;
若不存在,请说明理由.
【解析】(1)设点P(x0,
),则1≤x0≤5,
M(2,0),
故
所以当x0=5时,t的值最大,最大值为t=2.
(2)
因为
所以有4λ-x0+3=0,
又因为1≤x0≤5,
所以1≤4λ+3≤5,得
故当λ∈
时,满足
【补偿训练】已知在△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),求过点C与AB平行的直线方程.
【解析】由题意,设所求直线方程为y=kx+b,则该直线的一个方向向量a=(1,k),因为直线与AB平行,所以a与
共线.
又
=(3,2)-(2,-1)=(1,3),所以k=3.
所以直线方程为y=3x+b,
又直线过点C(-3,-1),所以3×(-3)+b=-1,即b=8.
所以直线方程为y=3x+8,即3x-y+8=0.
规范解答
向量数量积坐标运算的综合应用
【典例】(12分)已知在△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD为BC
边上的高,求|
|与点D的坐标.
【审题指导】(1)要求|
|,需先求点D的坐标,可设D点坐标为(x,y).
(2)注意到AD⊥BC,点D在BC上,可得
共线,进而可构
造关于x,y的方程组,解之可得点D的坐标.
(3)点D的坐标求出,可得
的坐标,则可求|
|.
【规范解答】设D点坐标为(x,y),
【题后悟道】
1.注意隐含条件的挖掘
解题时要仔细分析题目中的条件,挖掘一些隐含条件,如本例,由“AD
为BC边上的高”隐含了“AD⊥BC,点D在BC上”即“
共线”,挖掘出这两个条件是解题的关键.
2.方程思想在解题中的应用
解题时,正确利用方程思想是应该养成的一个习惯,如本例,要求点D的坐标,需构造关于其横纵坐标的两个方程,而这就需要两个等价条件,自然能够挖掘出两个隐含条件.也谈高考热点—数量积
数量积是平面向量的一朵奇葩，其运算形式有与两种。用数量积来处理有关长度、角度、垂直关系，及构造不等式与函数都有其独到之处
。因此关于数量积的考查，也成为高考命题的热点。以下就其在高考中的考查形式，分类例述如下
一、求长度
例1
设向量满足，,则的值是
分析：本题考查向量的代数运算，必须要熟练掌握数量积与向量加减法运算。
解析：，故
，
所以
评注：求向量的模，通常是转化为向量的平方，利用向量的数量积来解决。这是解决向量长度的一种重要方法。
二、求角
例2
已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是
(
)
A.[0,]
B.
C.
D.
分析：
要求两向量夹角，必须回到向量数量积的运算公式上来处理。
解：
且关于的方程有实根，则，设向量的夹角为θ，cosθ=≤，∴θ∈，选B.
评注：将向量的运算揉合在方程之中，这也是近年高考对向量考查的一个方向。但万变不离其宗，只要我们能理解题意，回到向量数量积的运算上来，就能使问题迎刃而解。
三、判断几何位置
例3
设点O是平面上的一定点，点A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，则P点一定通过△ABC的（
）
A、外心、
B、内心
C、重心
D、垂心
分析：考虑在△ABC中，，
以及，故在等式两边作的数量积来求解。
解：在等式两边分别作的数量积，则有：
故，由，得到P点通过△ABC的垂心，选D
评注：许多有关向量点的位置判定，利用数量积的运算常可收到意想不到的效果。在运用数量积时，要注意两向量的夹角的定义，如本例中的夹角是而非角B
四、构造不等式
例4
设,,,点是线段上的一个动点,,若,则实数的取值范围是（
）
(A)
(B)
(C)
(D)
分析：解决此种题型首先要将各向量用坐标正确表示出来，然后利用数量积运算，得出关于参数的不等式。
解：
解得:
因点是线段上的一个动点,所以,
即满足条件的实数的取值范围是,故选择答案B.
评注：本题主要考查向量的表示方法,向量的基本运算,定比分点中定比的范围等等.这类题通常是借数量积来得出不等式，要求我们能熟练进行运算。
五、构造函数
例5
设函数，其中向量，，，。（１）、求函数的最大值和最小正周期；（２）、将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。
分析：向量与三角函数结合在一起，是近年高考考查三角函数与向量的常见题型。解题的关键就是对向量与三角函数的运算要到位。
解：(1)由题意得
=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx)
=sin2x－2sinxcosx+3cos2x=2+cos2x－sin2x=2+sin(2x+).
所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是＝.
（2）由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈Z，
于是＝（，－2），k∈Z.
因为k为整数，要使最小，则只有k＝1，此时＝（―，―2）即为所求.
评注：此类题型主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。
向量数量积在高考中，不仅能单独成题，也时常与其它知识结合在一起考查。解决好有关试题，要求我们熟练掌握数量积的运算与性质，尤其要注意向量夹角的定义；求模的大小时的转化等。2.6
平面向量数量积的坐标表示
整体设计
教学分析
平面向量的数量积,教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量积中,首先研究平面向量所成的角,其次介绍了向量数量积的定义,最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中,在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定方法,本节是平面向量数量积的第二部分.
前面我们学面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示.
教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础.
三维目标
1.通过探究平面向量的数量积的坐标运算,掌握两个向量数量积的坐标表示方法.
2.掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.
3.通过平面向量数量积的坐标表示,进一步加深学生对平面向量数量积的认识,提高学生的运算速度,培养学生的运算能力,培养学生的创新能力,提高学生的数学素质.
重点难点
教学重点:平面向量数量积的坐标表示.
教学难点:向量数量积的坐标表示的应用.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节,我们学面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题.
思路2.在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示？若能,如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示,在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示.
推进新课
新知探究
提出问题
①平面向量的数量积能否用坐标表示
②已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b呢
③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？
④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？
活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系,那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和补充.推导过程如下:
∵a=x1ｉ+y1j,b=x2ｉ+y2j,
∴a·b=(x1ｉ+y1j)·(x2ｉ+y2j)=x1x2ｉ2+x1y2ｉ·j+x2y1ｉ·j+y1y2j2.
又∵ｉ·ｉ=1,j·j=1,ｉ·j=j·ｉ0,
∴a·b=x1x2+y1y2.
教师给出结论性的总结,由此可归纳如下:
1°平面向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,
即a=(x1,y1),b=(x2,y2),
则a.·b=x1x2+y1y2.
2°向量模的坐标表示
若a=(x,y),则|a|2=x2+y2,或|a|=.
如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),那么
a=(x2-x1,y2-y1),|a|=.
3°两向量垂直的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a⊥bx1x2+y1y2=0.
4°两向量夹角的坐标表示
设a.、b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示,可得
cosθ=
讨论结果:略.
应用示例
思路1
例1
已知A.(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△A.BC的形状,并给出证明.
活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.
解:在平面直角坐标系中标出A.(1,2),B(2,3),C(-2,5)三点,我们发现△A.BC是直角三角形.下面给出证明.
∵=(2-1,3-2)=(1,1),
=(-2-1,5-2)=(-3,3),
∴·=1×(-3)+1×3=0.
∴⊥.
∴△ABC是直角三角形.
点评:本题考查的是向量数量积的应用,利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时,首先要作出草图,得到直观判定,然后对你的结论给出充分的证明.
变式训练
在△ABC中,=(2,3),=(1,k),且△A.BC的一个内角为直角,求k的值.
解:由于题设中未指明哪一个角为直角,故需分别讨论.
若∠A=90°,则⊥,所以·=0.
于是2×1+3k=0.故k=-.
同理可求,若∠B=90°时,k的值为;
若∠C=90°时,k的值为.
故所求k的值为-.
例2
已知a=(3,2),b=(1,-1),求向量a与b的夹角的余弦值.
解:设向量a与b的夹角为θ,
则Cosθ=,
即向量A与b夹角的余弦值为.
例3
求以点C(a.,b)为圆心,r为半径的圆的方程(如图1).
图1
解:设M(x,y)是圆C上一点,则||=r,即·=r2.
因为=(x-a.,y-b),
所以(x-a.)2+(y-b)2=r2,即为圆的标准方程.
如果圆心在坐标原点上,这时a.=0,b=0,那么圆的标准方程就是x2+y2=r2.
例4
(1)已知三点A.(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BA.C的余弦值;
(2)a=(3,0),b=(-5,5),求a与b的夹角.
活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2)的数量积a·b=x1x2+y1y2和模|a|=,|b|=的积,其比值就是这两个向量夹角的余弦值,即cosθ=.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时,需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚,以免出现不必要的错误.
解:(1)=(5,1)-(2,-2)=(3,3),=(1,4)-(2,-2)=(-1,6),
∴·=3×(-1)+3×6=15.
又∵||=,||=,
∴cos∠BAC=.
(2)a·b=3×(-5)+0×5=-15,|a|=3,|b|=5.
设a与b的夹角为θ,则Cosθ=又∵0≤θ≤π,∴θ=.
点评:本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角.利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高.
变式训练
已知向量a=(1,1),b=(2,-3),若ka-b与a垂直,则实数k等于_______________.
解析:由题意，知(ka-b)·a=(k-2,k+3)·(1,1)=0,
解得k=-
答案:-
思路2
例1
已知|a.|=3,b=(2,3),试分别解答下面两个问题:
(1)若a.⊥b,求a;
(2)若a∥b,求a.
活动:对平面中的两向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2),要让学生在应用中深刻领悟其本质属性,向量垂直的坐标表示x1x2+y1y2=0与向量共线的坐标表示x1y2-x2y1=0很容易混淆,应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上鉴别,两向量垂直是a·b=0,而共线是方向相同或相反.教师可多加强反例练习,多给出这两种类型的同式变形训练.
解:(1)设a=(x,y),由|a.|=3且a⊥b,
得
解得
∴a=(a=
(2)设a=(x,y),由|a|=3且a∥b,得
解得
∴aa
点评:本题主要考查学生对公式的掌握情况,学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线,也能熟练地进行公式的逆用,利用已知关系来求向量的坐标.
变式训练
求证:一次函数y=2x-3的图像(直线l1)与一次函数y=-x的图像(直线l2)互相垂直.
证明:在l1:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l1上取两点A.(1,-1),B(2,1).
同理,在直线l2上取两点C(-2,1),D(-4,2),于是
=(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1,2),
=(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).
由向量的数量积的坐标表示,可得·=1×(-2)+1×2=0,
∴⊥,即l1⊥l2.
例2
已知圆C:(x-a.)2+(y-b)2=r2,求与圆C相切于点P0(x0,y0)的切线方程(如图2).
图2
解:设P(x,y)为所求直线l上一点.
根据圆的切线性质,有⊥l,即·=0.
因为=(x0-a.,y0-b),=(x-x0,y-y0),
所以(x0-a)(x-x0)+(y0-b)(y-y0)=0.
特别地,当圆心在坐标原点时,圆的标准方程为x2+y2=r2,与它相切于P0(x0,y0)的切线方程为x0(x-x0)+y0(y-y0)=0,
由于x02+y02=r2,故此方程可化为x0x+y0y=r2.
由解析几何,知给定斜率为k的直线l,则向量m=(1,k)与直线l共线,我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量.
例3
已知直线l1:3x+4y-12=0和l2:7x+y-28=0,求直线l1和l2的夹角.
解:任取直线l1和l2的方向向量m=(1,-)和n=(1,-7).
设向量m与n的夹角为θ,因为m·n=|m||n|cosθ,
从而cosθ=
所以θ=45°,即直线l1和l2的夹角为45°.
知能训练
课本本节练习1、2.
课堂小结
1.在知识层面上,先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示,向量的模,两向量的夹角,向量垂直的条件.其次引导学生总结数量积的坐标运算规律,夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示.
2.在思想方法上,教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法,定义法,待定系数法等.
作业
课本习题2—6A.组2、4、6.
设计感想
由于本节课是对平面向量的进一步探究与应用,是对平面向量几何意义的综合研究提高,因此教案设计流程是探究、发现、应用、提高,这符合新课程理念,符合新课标要求.我们知道平面向量的数量积是本章最重要的内容,也是高考中的重点,既有选择题、填空题,也有解答题(大多同立体几何、解析几何综合考查),故学习时要熟练掌握基本概念和性质及其综合运用.而且数量积的坐标表示又是向量运算的一个重要内容,用坐标表示直角坐标平面内点的位置,是解析几何的一个基本特征,从而以坐标为桥梁可以建立向量与解析几何的内在联系.以三角函数表示点的坐标,又可以沟通向量与三角函数的相互关系,由此就产生出一类向量与解析几何及三角函数交汇的综合性问题.
平面向量数量积的坐标表示使得向量数量积的应用更为方便,也拓宽了向量应用的途径.通过学习本节的内容,要更加加深对向量数量积概念的理解,同时善于运用坐标形式运算解决数量问题,尤其是有关向量的夹角、长度、垂直等,往往可以使问题简单化.灵活使用坐标形式,综合处理向量的线性运算、数量积、平行等,综合地解决向量综合题,体现数形结合的思想.在本节的学习中可以通过对实际问题的抽象来培养学生分析问题、解决问题和应用知识解决问题的意识与能力.
备课资料
一、|a·b|≤|a||b|的应用
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则平面向量的数量积的性质|a·b|≤|a||b|的坐标表示为x1x2+y1y2≤≤(x12+y12)(x22+y22).
不等式(x1x2+y1y2)2≤(x12+y12)(x22+y22)有着非常广泛的应用,由此还可以推广到一般(柯西不等式):
(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn).
例1
(1)已知实数x,y满足x+y-4=0,则x2+y2的最小值是__________;
(2)已知实数x,y满足(x+2)2+y2=1,则2x-y的最大值是__________.
解析:(1)令m=(x,y),n=(1,1).
∵|m·n|≤|m||n|,∴|x+y|≤,
即2(x2+y2)≥(x+y)2=16.∴x2+y2≥8,故x2+y2的最小值是8.
(2)令m=(x+2,y),n=(2,-1),2x-y=t.
由|m·n|≤|m||n|,得|2(x+2)-y|≤=,即|t+4|≤.
解得-4-≤t≤-4.故所求的最大值是-4.
答案:(1)8
(2)-4
例2
已知a.,b∈R,θ∈(0,),试比较的大小.
解:构造向量m=(),n=(cosθ,sinθ),由|m·n|≤|m||n|,得
()2≤()(cos2θ+sin2θ),
∴(a+b)2≤.
同类变式:已知a.,b∈R,m,n∈R,且mn≠0,m2n2＞a2m2+b2n2,令M=,N=a+b,比较M、N的大小.
解:构造向量p=(),q=(n,m),由|p·q|≤|p||q|,得
()2≤()(m2+n2)=(m2+n2)＜m2+n2,
∴M＞N.
例3
设a.,b∈R,A={(x,y)|x=n,y=na+b,n∈Z},B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,m∈Z},C={(x,y)|x2+y2
≤144}是直角坐标平面xOy内的点集,讨论是否存在a和b,使得A∩B=与(a,b)∈C能同时成立.
解:此问题等价于探求a、b是否存在的问题,它满足
设存在a和b满足①②两式,构造向量m=(a.,b),n=(n,1).
由|m·n|2≤|m|2|n|2,得(na+b)2≤(n2+1)(a2+b2),
∴(3n2+15)2≤144(n2+1)n4-6n2+9≤0.
解得n=±,这与n∈Z矛盾,故不存在a.和b满足条件.
二、备用习题
1.若a=(2,-3),b=(x,2x),且a·b=,则x等于(
)
A.3
B.
C.-
D.-3
2.设a=(1,2),b=(1,m),若a与b的夹角为钝角,则m的取值范围是(
)
A.m＞
B.m＜
C.m＞-
D.m＜-
3.若a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),则(
)
A.a⊥b
B.a∥b
C.(a+b)⊥(a.-b)
D.(a+b)∥(a-b)
4.与a=(u,v)垂直的单位向量是(
)
A.()
B.()
C.()
D.()或()
5.已知向量a=(cos23°,cos67°),b=(cos68°,cos22°),u=B+tb(t∈R),求u的模的最小值.
6.已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.
7.已知△ABC的三个顶点为A(1,1),B(3,1),C(4,5),求△ABC的面积.
参考答案:
1.C
2.D
3.C
4.D
5.解：|a|==1,同理|b|=1.
又a·b=cos23°cos68°+cos67°cos22°
=cos23°cos68°+sin23°sin68°=cos45°=,
∴|u|2=(a+tb)2=a2+2ta·b+t2b2=t2+t+1=(t+)2+≥.
当t=-时,|u|min=.
6.解：由已知(a+3b)⊥(7a.-5b)(a+3b）(7a-5b)=07a2+16a·b-15b2=0.①
又(a-4b)⊥(7a-2b)(a-4b)·(7a.-2b)=07a2-30a·b+8b2=0.②
①-②，得46a·b=23b2,即a·b=.③
将③代入①,可得7|a.|2+8|b|2-15|b|2=0,即|a|2=|b|2,有|a|=|b|,
∴若记a与b的夹角为θ,则cosθ=.
又θ∈[0°,180°],∴θ=60°,即a与b的夹角为60°.
7.分析:S△A.BC=sin∠BAC,而||,||易求,要求sin∠BAC可先求出cos∠BAC.
解:∵=(2,1),=(3,4),||=2,||=5,
∴cos∠BAC===∴sin∠BAC=.
∴S△ABC=||||sin∠BAC=×2×5×=4.
三、新教材新教法的二十四个“化”字诀
新课导入新颖化,揭示概念美丽化;纵横相联过程化,探索讨论热烈化;
探究例题多变化,引导思路发散化;学生活动主体化,一石激浪点拨化;
大胆猜想多样化,论证应用规律化;变式训练探究化,课堂教学艺术化;
学法指导个性化,对待学生情感化;作业抛砖引玉化,选题质量层次化;
学生学习研究化,知识方法思想化;抓住闪光激励化,教学相长平等化;
教学意识超前化,与时俱进媒体化;灵活创新智慧化,学生素质国际化.2.6
平面向量数量积的坐标表示
自我小测
1．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，则k的值为( )
A．18
B．19
C．20
D．21
2．若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则(a·b)(a＋b)＝( )
A．20
B．54
C．(－10,30)
D．(－8,24)
3．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝( )
A．4
B．2
C．8
D．8
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A．eq
\b\lc\(\rc\)()
B．eq
\b\lc\(\rc\)()
C．eq
\b\lc\(\rc\)()
D．eq
\b\lc\(\rc\)()
5．如果向量a与b的夹角为θ，那么我们称a×b为向量a与b的“向量积”，a×b是一个向量，它的长度为|a×b|＝|a|·|b|sin
θ.如果|a|＝5，|b|＝1，a·b＝－3，则|a×b|＝( )
A．3
B．－4
C．4
D．5
6．已知向量a是直线x＋2y－3＝0的方向向量，且|a|＝2，则a＝__________.
7．若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝__________.
8．设a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，则t的值为__________．
9．在四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD是什么图形？
10．已知在△ABC中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC边上的高为AD.
(1)求证：AB⊥AC；
(2)求点D的坐标和向量.
参考答案
1．解析：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
因为ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0，
即10(k－3)＋(－4)(2k＋2)＝0，解得k＝19.
答案：B
2．解析：∵a·b＝－3＋8＝5，a＋b＝(－2,6)，
∴(a·b)(a＋b)＝(－10,30)．
答案：C
3．解析：∵c＝a－(a·b)b＝a－6b＝(8，－8)，
∴|c|＝＝8.
答案：D
4．解析：不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)．∵(c＋a)∥b，∴－3(1＋m)＝2(2＋n)．①
又∵c⊥(a＋b)，∴3m－n＝0.②
由①②解得m＝－，n＝－.
答案：D
5．解析：由于|a|＝5，|b|＝1，a·b＝|a||b|cos
θ＝－3，所以cos
θ＝－.又因为θ为向量a与b的夹角，所以sin
θ＝，所以|a×b|＝|a||b|sin
θ＝5×1×＝4.
答案：C
6．解析：设a＝λeq
\b\lc\(\rc\)()(λ≠0)．由|a|＝2，得λ2＋λ2＝20，解得λ＝±4，所以a＝(4，－2)或(－4,2)．
答案：(4，－2)或(－4,2)
7．解析：设a＝(x，y)，则a＋b＝(x＋2，y－1)．
由题意得
∴a＝(－1,1)或(－3,1)．
答案：(－1,1)或(－3,1)
8．解析：∵a＝(4，－3)，b＝(2,1)，∴a＋tb＝(4＋2t，－3＋t)．
∵a＋tb与b的夹角为45°，
∴(a＋tb)·b＝|a＋tb||b|cos
45°，∴2(4＋2t)＋(－3＋t)×1＝××，
∴5t＋5＝·.∴＝(t＋1)．①
将①式两边平方得t2＋2t－3＝0，解得t＝1或t＝－3.
而t＝－3时，①式无意义，∴t＝－3舍去，故t＝1.
答案：1
9．解：因为a＋b＋c＋d＝0，所以a＋b＝－(c＋d)．
所以(a＋b)2＝(c＋d)2.
即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2＋2c·d＋|d|2.
由于a·b＝c·d，所以|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2.①
同理，有|a|2＋|d|2＝|c|2＋|b|2.②
由①②可得|a|＝|c|，且|b|＝|d|，
即四边形ABCD的两组对边分别相等．
所以四边形ABCD是平行四边形．
又由a·b＝b·c得b·(a－c)＝0.
而由平行四边形ABCD的性质得a＝－c，
代入上式得b·(2a)＝0，
即a·b＝0.所以a⊥b.亦即AB⊥BC.
综上所述，四边形ABCD是矩形．
10．(1)证明：＝(－3，－6)，＝(2，－1)．∵＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，∴.∴AB⊥AC.
(2)解：设点D的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y－4)，＝(5,5)．∵AD为BC边上的高，∴AD⊥BC.∴.∴＝5(x－2)＋5(y－4)＝0.①
又∵＝(x＋1，y＋2)，且与共线，
∴5(x＋1)＝5(y＋2)．②
由①②，解得.∴点D的坐标为eq
\b\lc\(\rc\)().
∴＝eq
\b\lc\(\rc\)()＝eq
\b\lc\(\rc\)().(共29张PPT)
2.6
平面向量数量积的坐标表示
如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限.
下面就让平面向量数量积坐标表示的运算顺利起航吧！
1.掌握“平面向量的数量积的坐标表示”这个重要的知识点.（重点）
2.会用“平面向量的数量积的坐标表示”的有关知识解决实际问题.如判断垂直、求模、夹角等.（难点）
问题1：向量的加法、减法、数乘都可以用“坐标语言”表示，向量的数量积能否由“坐标语言”来表示？
若两个向量
请计算下列式子：
①
②
③
④
=
=
=
=
设x轴上单位向量为
y轴上单位向量为
1
1
0
0
o
x
y
【探索练习】
这就是说，两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和,即
所以
问题2：如何用向量的坐标来表示两向量数量积的相关性质？
坐标表示为：
(1)垂直的充要条件：
(2)求模公式：
坐标表示为：
特别地：
坐标表示为：
(3)夹角公式：
例1
已知
，
，求向量
与
的夹角的余弦值.
技巧方法:
1.细心代入，精确计算.
2.分步计算，化整为零.
例2
求以点C(ɑ,b)为圆心，r为半径的圆的方程.
特别地：如果圆心在坐标原点上，这时a=0,b=0
，那么圆的标准方程为
x2+y2=r2.
x
o
y
即圆的标准方程.
解：设M（x,y)是圆C上任意一点，
所以(x-a)2+(y-b)2=r2,
则|
|=r,
即
·
=
r2.
因为
=（x-a,y-b),
C
M
总结提升:
设圆上任意一点M（x，y），构造向量
，利用向量的模为定值，列出相等关系，化简即得所求曲线的方程.
y
x
o
.
例3
已知圆C:（x-ɑ)2+(y-b)2=r2，求与
圆C相切于点Po（xo,yo)的切线方程.(如图)
C
P0
P
.
l
解:
设P（x,y)为所求直线
l上一点.
根据圆的切线性质，
有
⊥
，即
·
=0,
因为
=(xo-ɑ,yo-b),
=(x-xo,y-yo),所以(xo-ɑ)(x-xo)+(yo-b)(y-yo)=0.
若ɑ=0，b=0,圆的标准方程为x2+y2=r2，与它相切于
P0（x0，y0）的切线方程为x0（x-x0）+y0（y-y0）=0，
由于x02+y02=r2，故此方程可化为x0x+y0y=r2.
特别地：
总结提升:
将相关向量用坐标表示，根据互相垂直的向量的数量积等于零，写出表达式.
直线的方向向量
由解析几何知，给定斜率为k的直线l，则向量
=（1，k）与直线l共线，我们把与直线l共线的非
零向量
称为直线l的方向向量.
例4
已知直线l1:3x+4y-12=0和l2:7x+y-28=0，求直线l1和l2的夹角.
解:
任取直线l1和l2的方向向量
提升总结:
利用斜率为k的直线l的方向向量为
=（1，k），写出直线l1和l2的方向向量，然后运用向量的夹角公式计算出夹角的余弦值，从而求出夹角.
注意：直线的夹角取值范围[0,
],当求出的向量的夹角为钝角时，应取其补角.
1.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量
在
方向上的投影为(
)
A.
B.
C.-
D.-
A
C
选C.
3.已知A(1，2),B(4,0),C(8，6),D(5，8)，则四边
形ABCD的形状是
.
4.给定两个向量
若
⊥
∥
若
矩形
5.已知单位向量
3
6.已知向量
，则
的最大值为____.
7.已知向量
（１）求
与
的夹角θ的余弦值.
（２）若向量
与
垂直，求λ的值.
1.数量积的运算转化为向量的坐标运算：
2.向量模的坐标公式：
３.向量夹角的坐标公式：
4.平行、垂直的坐标表示：
5.三个重要公式
三个重要公式
向量模公式：设
两点间距离公式：若
向量的夹角公式：设两非零向量
不患位之不尊，而患德之不崇；不耻禄之不伙，而耻智之不博.
——张衡2.6
平面向量数量积的坐标表示
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.已知向量a=（-4，7），向量b=（5，2），则a·b的值是(
)
A.34
B.27
C.-43
D.-6
解析：a·b=-4×5+7×2=-6.
答案：D
2.(高考福建卷,文14)在△ABC中，∠A=90°，=(k,1),=(2,3),则k的值是______________.
解析：由与垂直，列出关于k的方程，解方程即可.
∵∠A=90°，∴⊥.∴·=2k+3=0.∴k=.
答案：
3.已知向量a与b同向，b=(1,2),a·b=10.
(1)求向量a的坐标；
（2）若c=(2,-1)，求(b·c)a.
解：(1)∵向量a与b同向，b=(1,2),∴a=λb=(λ,2λ).
又∵a·b=10，∴有λ+4λ=10.解得λ=2>0.
符合向量a与b同向的条件，∴a=(2,4).
(2)∵b·c=1×2+2×(-1)=0,
∴(b·c)a=0.
4.求向量a=(1,2)在向量b=(2,-2)方向上的投影.
解：设a与b的夹角为θ，
则cosθ=.
∴a在b方向上的投影为|a|cosθ=.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知平面上直线l的方向向量e=(,)，点O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分别是O1、A1，则=λe，其中λ等于(
)
A.
B.-
C.2
D.-2
解析：将所给坐标代入公式λ=||cos〈e,〉，或利用特殊值.
方法一：由向量在已知向量上的射影的定义知
λ=||cos〈e,〉=.
方法二：利用数形结合的思想，作图可得.令向量e过原点，故与e方向相反.排除A、C，检验B、D可知D正确.
答案：D
2.若向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°，且|b|=，则b等于(
)
A.(-3，6)
B.(3，-6)
C.(6，-3)
D.(-6，3)
解析：由题意b与a共线，
方法一：设b=λ(-1,2),且λ>0,有(-λ)2+(2λ)2=()2b=(-3,6).
方法二：由题意可知，向量a、b共线且方向相反，故可由方向相反排除B、C.由共线可知b=-3a.
答案：A
3.已知向量a=(cosθ,sinθ)，向量b=(,-1），则|2a-b|的最大值和最小值分别是(
)
A.,0
B.4,
C.16，0
D.4，0
解析：a·b=2sin(-θ),|2a-b|=,
∴|2a-b|的最大值为4，最小值为0.
答案：D
4.A、B、C、D四点的坐标依次是(-1，0)、(0，2)、(4，3)、(3，1)，则四边形ABCD为（
）
A.正方形
B.矩形
C.菱形
D.平行四边形
解析：∵=(1,2),=(1,2),∴=.又线段AB与线段DC无公共点，
∴AB∥DC且|AB|=|DC|.?∴四边形ABCD为平行四边形.
又|AB|=，|BC|=，∴|AB|≠|BC|.∴平行四边形ABCD不是菱形也不是正方形.
又·=4+2=6≠0，∴AB与BC不垂直.∴平行四边形ABCD不是矩形.
答案：D
5.已知|a|=,b=(-2,3)且a⊥b,则a的坐标为________________.
解析：设a=(x,y)，则x2+y2=52.由a⊥b得-2x+3y=0.
由以上两个条件得
答案：(6，4)或(-6，-4)
6.已知A、B、C、D四点的坐标分别为A(1,0)、B(4,3)、C(2,4)、D(m,n).当m、n满足什么条件时，四边形ABCD分别是平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形(A、B、C、D按逆时针方向排列)
解：由条件知=(3,3),=(-2,1),=(m-1,n),=(2-m,4-n).
（1）若四边形ABCD为平行四边形，则=，
∴(3,3)=(2-m,4-n),解得m=-1,n=1.
∴当m=-1,n=1时，四边形ABCD为平行四边形.
（2）当m=-1,n=1时，=(3,3),=(-2,1).
则||=,||=,||≠||.因此，使四边形ABCD为菱形的m、n不存在.
（3）当m=-1,n=1时，·=(3,3)·(-2,1)=-3≠0，即AB、AD不垂直.因此使四边形ABCD为矩形的m、n不存在.
(4)由(2)(3)知，使四边形ABCD为正方形的m、n不存在.
(5)若四边形ABCD为梯形，则=λ或=λ，其中λ为实数，且λ>0,λ≠1.
∴(λ>0,λ≠1)?或(λ>0,λ≠1).
整理得m、n的取值条件为n=m+2(m<2,m≠-1)或n=(m<1,m≠-1).
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.下列各向量中，与e=（3，2）垂直的向量是(
)
A.a=（3，-2）
B.b=（0，0）
C.c=（-4，6）
D.d=（-3，2）
解析：∵3×（-4）+2×6=0，故选C.
答案：C
2.已知向量a=（2，1），b=（3，x），若（2a-b）⊥b，则x的值是(
)
A.3
B.-1
C.-1或3
D.-3或1
解析：∵（2a-b）⊥b，
∴（2a-b）·b=2a·b-b2=2×2×3+2×1×x-32-x2=0.
整理，得x2-2x-3=0，解得x=-1或3.
答案：C
3.A、B、C为平面内不共线的三点，若向量=（1，1），n=（1，-1）且n·=2，则n·等于(
)
A.-2
B.2
C.-2或2
D.0
解析：∵=-，
∴n·=n·（-）=n·-n·=2-（1×1-1×1）=2.
答案：B
4.已知a=（λ，2），b=（-3，5），且a和b的夹角为钝角，则λ的取值范围是(
)
A.λ＜
B.λ≤
C.λ＞
D.λ≥
解析：∵a和b的夹角为钝角，∴a·b＜0，即-3λ+10＜0，λ＞.
答案：C
5.已知O为原点，点A、B的坐标分别为（a，0）、（0，a）.其中常数a＞0，点P在线段AB上，且=t（0≤t≤1），则·的最大值为(
)
A.a
B.2a
C.3a
D.a2
解析：由=t，可得-=t-t，
故=t+(1-t)
=t(0,a)+(1-t)(a,0)=(0,at)+(a-at,0)=(a-at,at).
∴·=-a2t+a2,故当t=0时，·的最大值为a2.
答案：D
6.若将向量=（，1）绕原点按逆时针方向旋转，得到向量，则向量的坐标为______________.
解析：设出的坐标，然后用||=||和、的夹角为，即cos=建立坐标的方程组，但较麻烦.注意到与x轴的正方向所成的角为，再逆时针旋转，故与x轴正方向所成的角为，故可采用几何法求点B的坐标.另外若注意到A、B关于直线y=x对称，则得到B点坐标.由分析易知的坐标为（1，）.
答案：（1，）
7.直角三角形ABC中，=（2，3），=（1，k），求实数k的值.
解：（1）当∠A=90°时，易知·=0，即2+3k=0，k=.
（2）当∠B=90°时，=-=（-1，k-3），易知·=0，即k=.
（3）当∠C=90°时，·=-1+k2-3k=0，k=.
综上可知，k的值为或或.
8.设两向量e1、e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1与e2的夹角为60°，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
解：∵e12=4，e22=1，e1·e2=2×1×cos60°，
∴（2te1+7e2）·（e1+te2）=2te12+（2t2+7）
e1·e2+7te22=2t2+15t+7.
∴2t2+15t+7＜0.
∴-7则2t=λ，且7=tλ，∴2t2=7.
∴t=，λ=.
∴t=时，2te1+7e2与e1+te2的夹角为π，t的取值范围是（-7，）∪（，）.
9.已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a=（1，2）.
（1）若|c|=，且c∥a，求c的坐标；
（2）若|b|=，且a+2b与2a-b垂直，求a与b的夹角θ.
（1）解法一：设c=（x，y）.
∵|c|=，∴，即x2+y2=20.
①
又c∥a，∴2x-y=0.
②
由①②可得
解法二：∵c∥a，故可设c=λa，则|λ|==2.
∴λ=±2.故向量c的坐标为（2，4）或（-2，-4）.
（2）解：∵a=（1，2），∴|a|=.又|b|=，故|a||b|=.
又∵（a+2b）⊥（2a-b），
∴（a+2b）·（2a-b）=0，即2a2+3a·b-2b2=0.
∴2×5+3a·b-2×=0，a·b=.
∴cosθ==-1.
又θ∈［0，π］，∴θ=π，即a与b的夹角为π.
10.求与向量a=（，-1）和b=（1，）的夹角相等且模为的向量c的坐标.
解法一：设c=（x，y）.
∵|c|=，∴x2+y2=2.
①
又a与c的夹角与b与c的夹角相等，
∴，
即（-1）x=（+1）y.
②
联立①②解得
解法二：∵|a|=|b|=2，由向量加法的平行四边形法则，知a+b就与a、b夹角相等，故（a+b）∥c.
又|a+b|=，故c=±（a+b）=±（+1，-1）.
∴向量c的坐标为（+,）或(+,).
11.已知a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），且a与b之间满足|ka+b|=3|a-kb|，其中k＞0.
（1）用k表示a·b；
（2）若a与b的夹角为60°，求k的值.
解：（1）∵|ka+b|=|a-kb|，两边平方，得|ka+b|2=3|a-kb|2，
∴k2a2+b2+2ka·b=3（a2-2ka·b+k2b2），
即a·b=.
又a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），
∴a2=b2=1.∴a·b=k
（2）∵a与b的夹角为60°，
∴a·b=|a||b|cos60°=.
由（1）知，即k2-2k+1=0，解得k=1.2.6
平面向量数量积的坐标表示
课后导练
基础达标
1.设向量a=（-1，2），b=（2，-1），则(a·b)(a+b)等于(
)
A.（1，1）
B.（-4，-4）
C.-4
D.（-2，-2）
解析:a·b=-2-2=-4,a+b=(1,1),
∴(a·b)(a+b)=(-4,-4).
答案：B
2.若向量a=（3，2），b=（0，-1），则向量2b-a的坐标是(
)
A.（3，-4）
B.（-3，4）
C.（3，4）
D.（-3，-4）
解析：依向量的坐标运算解答此题.
2b-a=（0，-2）-（3，2）=（-3，-4）.
答案：D
3.已知|a|=8,e为单位向量，当它们之间的夹角为时，a在e方向上的投影为（
）
A.
B.4
C.
D.8+
解析：a在e方向上的投影为|a|·cos=8×=4.
答案：B
4.以A（-1，2），B（3，1），C（2，-3）为顶点的三角形一定是(
)
A.直角三角形
B.等腰直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
解析：由已知可得=（4，-1），=（3，-5），=（-1，-4），∴||=||=，
且由·=-4+4=0得⊥，
故△ABC为等腰直角三角形.
答案：B
5.设向量a=（3，m）,b=(2,-1)，且a-3b与a-b垂直，则实数m的值是（
）
A.m=0
B.m=-4
C.m=0或m=-4
D.m=0或m=4
解析：a-3b=(3,m)-3(2,-1)
=(-3,m+3),
a-b=(3,m)-(2,-1)=(1,m+1),
∴(a-3b)·（a-b）=(-3,m+3)·（1,m+1）
=-3+(m+3)(m+1)
=m2+4m=0,
解得m=0或m=-4.
答案：C
6.在△ABC中，∠A=90°，=(k,1),=(2,3)，则k的值是________.
解析:由与垂直，列出关于k的方程，解方程即可得到答案.
∵∠A=90°，∴⊥.
∴·=2k+3=0.
∴k=-.
答案：-
7.已知|a|=,b=(-2,3)且a⊥b，则a的坐标为_______.
解析:设a=(x,y)，则x2+y2=52,①
由a⊥b,得-2x+3y=0.②
由①②得
答案：（6，4）或（-6，-4）
8.判断a与b是否垂直：
（1）a=(0,-2),b=(-1,3);
(2)a=(-1,3),b=(-3,-1)
解析:(1)a·b=0·（-1）+（-2）·3=-6≠0,
∴a与b不垂直.
（2）a·b=（-1）·（-3）+3·（-1）=3-3=0,
∴a⊥b.
9.已知四点：A（-1，3），B（1，1），C（4，4），D（3，5），求证：四边形ABCD为直角梯形.
证明：=（2，-2），=（1，-1），=（3，3），
∴=2.∴∥.
又·=2×3+（-2）×3=0，
∴⊥.
又||=8，||=，||≠||,
∴四边形ABCD为直角梯形.
10.Rt△ABC中，=（2，3），=（1，k），求实数k的值.
解析：（1）当∠A=90°时，易知·=0，
即2+3k=0，k=-.
（2）当∠B=90°时，=-=（-1，k-3），易知·=0，即k=.
（3）当∠C=90°时，·=-1+k2-3k=0，k=.
综上可知，k的值为-或或.
综合运用
11.(2004天津高考，理3)
若平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°，且|b|=,则b等于(
)
A.(-3,6)
B.(3,-6)
C.(6,-3)
D.(-6,3)
解析：a与b共线且方向相反，
∴b=λa(λ＜0).
设b=(x,y)，由(x,y)=λ(1,-2)得
由|b|=得,x2+y2=45,
即λ2+4λ2=45,解得λ=-3.
∴b=(-3,6).
答案：A
12.已知平面上直线l的方向向量e=()，点O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分别是O1、A1，则=λe，其中λ等于(
)
A.
B.
C.2
D.-2
解析:方法一：由向量在已知向量上的射影的定义知
λ=||cos〈e,〉=
==-2.
方法二：利用数形结合的思想，作图可得.令向量e过原点,故与e方向相反.排除A、C，检验B、D可知D正确.
答案：D
13.若将向量=（，1）绕原点按逆时针方向旋转，得到向量，则向量的坐标为___________.
解析：欲求向量的坐标，可设出的坐标，然后用||=||和、的夹角为，即cos建立坐标的方程组，但较麻烦.注意到与x轴的正方向所成的角为，再逆时针旋转，故与x轴正方向所成的角为，故可采用几何法求点B的坐标.另外若注意到A、B关于直线y=x对称，则马上得到B点坐标.
由分析易知的坐标为（1，）.
答案：（1，）
14.平面上有两个向量e1=(1,0),
e2=(0,1)，今有动点P，从P0(-1,2)开始沿着与向量e1+
e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|
e1+
e2|;另一动点Q，从点Q0(-2,-1)出发，沿着与向量3
e1+2
e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3
e1+2
e2|.设P、Q在t=0时分别在P0、Q0处，则当⊥时，t=_________秒.
解析：∵P0(-1,2)，Q0(-2,-1)，
∴=(-1，-3).
又∵e1+
e2=(1，1),∴|
e1+
e2|=.
∵3
e1+2
e2=(3，2)，∴|3
e1+2
e2|=.
∴当t时刻时，点P的位置为(-1+t,2+t)，点Q的位置为(-2+3t,-1+2t).
∴=(-1+2t,-3+t).
∵⊥，
∴(-1)·(-1+2t)+(-3)·(-3+t)=0.
∴t=2.
答案：2
15.已知：a、b是同一平面内的两个向量,其中a=(1,2).若|b|=,且a+2b与2a-b垂直，求a与b的夹角θ.
解析：∵a=（1，2），∴|a|=.
又|b|=，故|a||b|=.
又∵（a+2b）⊥（2a-b），
∴（a+2b）·（2a-b）=0，
2a2+3a·b-2b2=0.
∴2×5+3a·b-2×=0，a·b=.
∴cosθ==-1.
又θ∈［0，π］，∴θ=π，即a与b的夹角为π.
拓展探究
16.平面内有向量=(1,7),=(5,1),=(2,1)，点X为直线OP上的一动点.
(1)当·取最小值时，求的坐标；
(2)当点X满足(1)的条件和结论时，求cos∠AXB的值.
解析：(1)设=(x,y)，因为点X在直线OP上，所以向量与共线.
又=(2,1)，所以x·1-y·2=0，x=2y.所以=（2y，y）.
又=-且=（1，7），所以=（1-2y，7-y）.
同理，=-=（5-2y，1-y）.
于是有·（1-2y）（5-2y）+（7-y）（1-y）=5（y-2）2-8.
所以当y=2时，·=5（y-2）2-8有最小值-8，此时=（4，2）.
(2)当=（4，2），即y=2时，
有=（-3，5），=（1，-1），||=，||=,
·=-3×1+5×（-1）=-8,
所以cos∠AXB=.
