平面向量的“转化”策略
平面向量作为分析和解决问题工具，是近几年高考的高频考点之一.由于向量既有数的特点又有形的优势，所以在解决与向量有关的问题时，哪个方面有利就向哪个方面转化.这方面的转化策略应引起大家的重视。下面举向三个方面转化的例题供大家参考。
一、“坐标化”方法
例1
已知向量，其中和是和轴的正向单位向量.(1)试计算及的值；（2）求向量与的夹角的大小.
解析：由已知，可得
（1），，并得，，
，
（2）设向量与的夹角为,,又.
点评：平面向量可用基底向量表示，图形表示，还可以用坐标表示，其中坐标表示是最常见的，即代数化也称“坐标化”.此题将向量问题坐标化，降低思维难度.体现转化的思想，同时求解的过程体现了整体思想.
二、“图形化”方法
例1
已知向量.
若,
求的最大值.
解析
如图，向量，点A、B在单位圆上，且A、B关于直线对称.
设，则，,
点C在直线上，于是
,
要它取得最大值，必须同时取得最大值，即，所以的最大值为.
此时.
点评：向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质.
本题抓住已知两个向量的几何背景和几何关系，再运用它的“数”的运算性质进行计算处理，大大简化求解过程.
三、“投影化”方法
例3
设AC是的长对角线，从C引AB、AD的垂线CE、CF，垂足分别为E、F,如图所示，求证：
点评：由向量的数量积定义可知：两向量的数量积（其中是的夹角），它可以看成方向上的投影之积，因此要证明的等式可转化成，而对该等式我们采用向量方法不难得证.
x
y
O
A
B
C
y=x(共52张PPT)
2.7
向量应用举例
【题型探究】
类型一
向量在解析几何中的应用
【典例】1.点P0(-1,2)到直线l:2x+y-10=0的距离为________.
2.已知△ABC的三顶点A(0,-4),B(4,0),C(-6,2),点D,E,F分别为边BC,CA,AB的中点.
(1)求直线DE,EF,FD的方程.
(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程.
【解题探究】1.典例1中点P0到直线l的距离的实质是什么
提示:实质是过点P0作直线m,垂足与P0的距离.
2.典例2题(1)中直线DE有什么特征 题(2)中的CH呢
提示:设点M为直线DE上任意一点,则
设点N为CH所在的直线
上任意一点,则
【解析】1.方法一:取直线l的一个法向量为n=(2,1),在直线l上任取
一点P(5,0),所以
=(-6,2),所以点到直线l的距离d就是
在法
向量n上的射影.设
与n的夹角为θ.
所以
故点P0到直线l的距离为
.
方法二:由点到直线的距离公式得
答案:
2.(1)由已知得点D(-1,1),E(-3,-1),F(2,-2).
设点M(x,y)是直线DE上任一点,
则
所以(-2)×(x+1)-(-2)×(y-1)=0,
即x-y+2=0为直线DE的方程.
同理可求,直线EF,FD的方程分别为x+5y+8=0,x+y=0.
(2)设点N(x,y)是CH所在的直线上任一点,
则
所以4(x+6)+4(y-2)=0,
即x+y+4=0为所求直线CH所在的直线方程.
【方法技巧】
1.直线的法向量n
2.利用方向向量及法向量求直线方程的关键及常用结论
(1)关键是探寻所求直线的方向向量同已知直线方向向量或法向量的关系.
(2)常用结论如下:
①所求直线与已知直线平行,则和已知直线的方向向量平行,和已知直线的法向量垂直.
②所求直线与已知直线垂直,则和已知直线的方向向量垂直,和已知直线的法向量平行.
【变式训练】已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=4及点A(1,1),M是圆C上的任一
点,点N在线段MA的延长线上,且
求点N的轨迹方程.
【解析】设N(x,y),M(x0,y0),
所以
=(1-x0,1-y0),
=(x-1,y-1).
依题设
则(1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1).
所以
又因为点M(x0,y0)在圆C上,
所以(x0-3)2+(y0-3)2=4,
则x2+y2=1.
故点N的轨迹方程为x2+y2=1.
类型二
向量在平面几何中的应用
【典例】已知正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证:BE⊥CF.
【解题探究】典例中如何用向量证明BE⊥CF
提示:可证明
【证明】建立如图所示的平面直角坐标系,设AB=2,则A(0,0),
B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).
所以
=(-1)×(-2)+2×(-1)=0,
所以
即BE⊥CF.
【延伸探究】
1.(改变问法)本例条件不变,证明:AP=AB.
【证明】连接AP.建系同例题,设点P坐标为(x,y),
则
因为
所以x=2(y-1),即x=2y-2,
同理,由
得y=-2x+4,
由
所以点P坐标为
所以
即AP=AB.
2.(变换条件)本例条件变为“P为对角线BD上的一点,四边形PECF是矩形”,求证:PA⊥EF.
【证明】方法一:(基向量法)如图,
设
由已知得,
|a|=|b|且a·b=0.
设
所以
所以
即AP⊥EF.
方法二:(坐标法)如图,
以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,
建立平面直角坐标系,设正方形的边长为1,
则A(0,0),
所以
故
所以
即AP⊥EF.
【方法技巧】
1.用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤:
①选取基底;②用基底表示相关向量;③利用向量的线性运算或数量积找相应关系;④把几何问题向量化.
(2)向量的坐标运算法的四个步骤:
①建立适当的平面直角坐标系;②把相关向量坐标化;③用向量的坐标运算找相应关系;④把几何问题向量化.
2.用向量解决平面几何问题的常用策略
(1)证明线段相等、平行,常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则,有时也用到向量减法的定义.
(2)证明线段平行、三角形相似、判断两直线是否平行,常运用向量平行的条件:a∥b a=λb(b≠0),或者a∥b x1y2-x2y1=0.
(3)证明线段的垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形,判断两直线是否垂直等,常运用向量垂直的条件:a⊥b a·b=0,或者a⊥b x1x2
+y1y2=0.
(4)求与夹角相关的问题,往往利用向量的夹角公式
cosθ=
如求三角形的面积用公式S=
absinC时,可能会利用夹
角公式求出cosC,进而求出sinC.
(5)向量的坐标法,对于有些平面几何问题,如矩形、正方形、直角三
角形等,可建立平面直角坐标系,把向量用坐标表示,通过代数运算解
决几何问题.
【补偿训练】如图,已知Rt△OAB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=2,M在OB上,且OM=1,N在OA上,且ON=1,P为AM与BN的交点,求AP.
【解析】设
【延伸探究】
1.(改变问法)本题条件不变,求∠MPN.
【解析】设
的夹角为θ,
则
所以
所以cosθ=
又因为θ∈[0,π],所以θ=
,
因为∠MPN即为向量
的夹角,所以∠MPN=
.
2.(变换条件)本题条件变为“等腰Rt△OAB中,OA=OB=2,D是BO的中点,E是AB上的点,且AE=2BE”,求证AD⊥OE.
【证明】如图,
以O为坐标原点,以OA,OB所在的直线为x轴,y轴建立坐标系,则A(2,0),
因为AO=BO,所以B(0,2).
因为D为BO的中点,所以D(0,1).
所以
=(0,2)-(2,0)=(-2,2).
=(0,1)-(2,0)=(-2,1).
所以
所以
所以AD⊥OE.
类型三
向量在物理中的应用
【典例】1.如图,无弹性的细绳OA,OB的一端分别固定在A,B处,同样无弹性的细绳OC下端系着一称盘,且使得OB⊥OC,试分析三根绳子受力的大小,判断哪根绳受力最大.
2.某人在静水中游泳,速度为4
km/h.如果他径直
游向河对岸,水的流速为4km/h,他实际沿什么方向前
进 速度大小为多少
【解题探究】1.典例1中考查的知识点是什么
提示:向量加法的平行四边形法则.
2.典例2中某人在水中的速度与其在静水中的速度及水的流速有什么关系
提示:某人在水中的速度是其在静水中的速度及水的流速的和.
【解析】1.设OA,OB,OC三根绳子的受力分别为a,b,c,
则a+b+c=0,a与b的合力为c′=a+b,|c′|=|c|,
在如图的平行四边形中,
因为
所以
即|a|>|b|且|a|>|c|,故绳OA受力最大.
2.如图,设人游泳的速度为
,水流的速度为
,以OA,OB为邻边作
平行四边形OACB,则此人的实际速度为
根据勾股定理,
且在Rt△ACO中,∠COA=60°,故此人实际沿与水速夹角为
60°的方向前进,速度大小为8km/h.
【延伸探究】(改变问法)典例2条件不变,他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进(求出其与河岸夹角的余弦值即可) 他实际前进的速度大小为多少
【解析】如图,
设此人的实际速度为
,水流速度为
.
因为实际速度=游速+水速,故游速为
在Rt△AOB中,
所以cos∠BAO=
,
故此人的前进方向与河岸夹角的余弦值为
,且逆着水流方向,实际
前进速度的大小为4
km/h.
【方法技巧】利用向量解决物理问题的步骤
【变式训练】两个力F1=i+j,F2=4i-5j作用于同一质点,使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i,j分别是与x轴,y轴同方向的单位向量).
求:(1)F1,F2分别对该质点做的功.
(2)F1,F2的合力F对该质点做的功.
【解题指南】明确所求力及其位移,代入公式,得出结论.
【解析】
=(7-20)i+(0-15)j=-13i-15j.
(1)F1做的功W1=F1·s=F1·
=(i+j)·(-13i-15j)=-28J;
F2做的功W2=F2·s=F2·
=(4i-5j)·(-13i-15j)=23J.
(2)F=F1+F2=5i-4j,
所以F做的功W=F·s=F·
=(5i-4j)·(-13i-15j)=-5J.
【补偿训练】如图,在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1.
(1)求|F1|,|F2|随角θ的变化而变化的情况.
(2)当|F1|≤2|G|时,求角θ的取值范围.
【解析】(1)如图,
由力的平衡及向量加法的平行四边形法则,
得|F1|=
,|F2|=|G|tanθ.
当θ从0°趋向于90°时,|F1|,|F2|都逐渐变大.
(2)由(1),得|F1|=
,
由|F1|≤2|G|,得cosθ≥
.
又因为0°≤θ<90°,所以0°≤θ≤60°.
易错案例
用错向量的性质及运算法则致误
【典例】在△ABC中,设
若a·b=b·c=c·a,判断
三角形ABC的形状.
【失误案例】
【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗
提示:以上三种解法都犯了推理不严谨的错误.解法一中,只有在a,b同向共线时,才有a·b=|a||b|成立;解法二错在“(a-c)·b=0,而b≠0,故a-c=0,得到a=c”,这里由(a-c)·b=0只能得出(a-c)⊥b,而不能得到a=c;解法三错在由a·b=b·c,而b≠0,得a=c,向量具有方向,不能像数量那样,在进行计算时可以约分.
【自我矫正】因为a·b=b·c,所以(a-c)·b=0,而由向量加法的三角形法则可知,a+b+c=0,所以b=-a-c,所以(a-c)·(-a-c)=0,即(a-c)·(a+c)=0,得到a2-c2=0,a2=c2,即|a|2=|c|2,也就是|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,所以|a|=|b|=|c|.故△ABC是等边三角形.
【防范措施】
1.正确应用向量的定义、性质、运算法则
向量是一个具有方向的量,因此,在进行向量计算时,不能简单地照搬代数的运算方法,而应该严格按照向量的定义、性质、运算法则进行运算.如本例错解三,向量的数量积不能约分.
2.养成解题思维严谨的习惯
解题时,要注意步骤的严谨性,每一步要讲求有理有据,如本例错解二,由(a-c)·b=0只能得出(a-c)⊥b.2.7.2
向量的应用举例
整体设计
教学分析
向量与物理学天然相联.向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰.并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题的认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.
用向量研究物理问题的相关知识.(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量,那么它们的合成与分解就是向量的加、减法,运动的叠加亦用到向量的合成;(2)动量是数乘向量;(3)功即是力与所产生位移的数量积.
用向量知识研究物理问题的基本思路和方法.①通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题;②认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的相互关系;③利用向量知识解决这个向量问题,并获得这个向量的解;④利用这个结果,对原物理现象作出合理解释,即用向量知识圆满解决物理问题.教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较,得出抽象的数学模型.例如,物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型.同时,注重向量模型的运用,引导解决现实中的一些物理和几何问题.这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用.
三维目标
1.通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤,明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.
2.通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯.
重点难点
教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.
2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法.
教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(情境导入)生活中,道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系.说明了向量的研究对象及研究方法.那么向量究竟是怎样应用于物理的呢？它就像高速公路一样,是一条解决物理问题的高速公路.在学生渴望了解的企盼中,教师展示物理模型,由此展开新课.
思路2.(问题导入)你能举出物理中的哪些向量 比如力、位移、速度、加速度等,既有大小又有方向,都是向量,学生很容易就举出来.进一步,你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗 你是怎样解决的？教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具,对向量在物理中的研究,有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研究,体会向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新课.
推进新课
应用示例
例1
在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗
图1
活动:这个日常生活问题可以抽象为如图1所示的数学模型,引导学生由向量的平行四边形法则,力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题.这样物理中用力的现象就转化为数学中的向量问题.只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系(其中,F为F1、F2的合力),就得到了问题的数学解释.
在教学中要尽可能地采用多媒体,在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F|、|G|、θ之间在变化过程中所产生的相互影响.由学生独立完成本例后,与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤,也可以由学生自己完成,还可以用信息技术来验证.
用向量解决物理问题的一般步骤是:①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
解:不妨设|F1|=|F2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道
cos.
通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时,由0°到90°逐渐变大,cos的值由大逐渐变小,因此|F1|由小逐渐变大,即F1,F2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力.
点评:本例是日常生活中经常遇到的问题,学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图,启发学生将物理现象转化成模型,从数学角度进行解释,这就是本例活动中所完成的事情.教学中要充分利用好这个模型,为解决其他物理问题打下基础.得到模型后就可以发现,这是一个很简单的向量问题,这也是向量工具优越性的具体体现.
变式训练
某人骑摩托车以20
km/h的速度向西行驶,感到风从正南方向吹来,而当其速度变为40
km/h时,他又感到风从西南方向吹来,求实际的风向和风速.
图2
解:如图2所示.设v1表示20km/h的速度,在无风时,此人感到的风速为-v1,实际的风速为v,那么此人所感到的风速为v+(-v1)=v-v1.
令=-v1,=-2v1,实际风速为v.
∵+=,
∴=v-v1,这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度.
∵+=,
∴=v-2v1,
这就是当车的速度为40km/h时,骑车人感受到的风速.
由题意得∠DCA=45°,DB⊥AB,AB=BC,
∴△DCA为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°.
∴DA=DC=BC=20.
∴|v|=20
km/h.
答:实际的风速v的大小是20km/h,方向是东南方向.
例2
如图3所示,利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬挂在两线下端,子弹击中砂箱后,陷入箱内,使砂箱摆至某一高度h.设子弹和砂箱的质量分别为m和M,求子弹的速度v的大小.
图3
解:设v0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上动量守恒,所以m|v|=(M+m)|v0|.①
由于机械能守恒,所以(M+m)v02=(M+m)gh.②
联立①②解得|v|=.
又因为m相对于M很小,
所以|v|≈,
即子弹的速度大小约为.
例3
一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1
000
km到达B地,然后向C地飞行.设C地恰好在A地的南偏西60°,并且A,C两地相距2
000
km,求飞机从B地到C地的位移.
图4
解:如图4,设A在东西基线和南北基线的交点处.
依题意,的方向是北偏西60°,｜｜=1
000
km;的方向是南偏西60°,｜｜=2
000
km,所以∠BAC=60°.
过点B作东西基线的垂线,交AC于D,则△ABD为正三角形.
所以BD=CD=1
000
km,
∠CBD=∠BCD=∠BDA=30°.
所以∠ABC=90°,
BC=ACsin60°=2
000×=1
000(km),
｜｜=1
000
km.
答:飞机从B地到C地的位移大小是1
000km,方向是南偏西30°.
例4
已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上),大小为50
N,一个质量为8
kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20
m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少 (g=10
m/s2)
图5
解:如图5,设木块的位移为s,则
F·s=｜F｜｜s｜cos30°=50×20×=500(J).
将力F分解,它在铅垂方向上的分力F1的大小为
｜F1｜=｜F｜sin30°=50×=25(N),
所以,摩擦力f的大小为
｜f｜=｜μ(G-F1)｜=(80-25)×0.02=1.1(N).
因此f·s=｜f｜｜s｜cos180°=1.1×20×(-1)=-22(J).
答:F和f所做的功分别是500J和-22
J.
知能训练
1.一艘船以4
km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2
km/h,则经过3小时,该船实际航程为(
)
A.2
km
B.6
km
C.km
D.8
km
2.如图6,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为
N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力F,则F=____________.
图6
3.一艘船以5
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,而该船实际航行的方向与水流方向成30°角,求水流速度与船的实际速度.
解答:
1.B
点评:由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理,所以要通过作高来求.
2.
(5,4)
3.解:如图7所示,设表示水流速度,表示船垂直于对岸的速度,表示船的实际速度,∠AOC=30°,||=5
km/h.
图7
因为四边形OACB为矩形,所以||=||·cot30°=||·cot30°=5≈8.66
km/h,
||==10
km/h.
答:水流速度为8.66
km/h,船的实际速度为10
km/h.
点评:转化为数学模型,画出向量图,在直角三角形中解出.
课堂小结
1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤.
①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;
②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;
③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;
④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型.
①力、速度、加速度、位移都是向量;
②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减;
③动量mv是数乘向量,冲量ΔtF也是数乘向量;
④功是力F与位移s的数量积,即W=F·s.
作业
1.课本习题2—7
A组4,B组2.
2.归纳总结物理学中哪些地方可用向量.
设计感想
1.本教案设计的指导思想是:由于本节重在解决两个问题,一是如何把物理问题转化成数学问题,也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型;二是如何用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象.因此本教案设计的重点也就放在怎样让学生探究解决这两个问题上.而把这个探究的重点又放在这两个中的第一个上,也就是引导学生认真分析物理现象、准确把握物理量之间的相互关系.通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题,然后利用向量知识解决这个向量问题.
2.经历是最好的老师.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学,领悟思想方法的最好载体.学生这种经历的实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.教科书中对本节的两个例题的处理方法,都不是先给出解法,而是先进行分析,探索出解题思路,再给出解法,就足以说明这一点.
3.突出数形结合的思想.教科书例题都是先画图进行分析的,本教案的设计中也突出了这一点.让学生在活动的时候就先想到画图,并在这个活动中,体会数形结合的应用,体会数学具有广泛的应用,体会向量这个工具的优越性.
备课资料
一、向量与重心问题
假如有两个质点M1,M2,它们的质量分别是m1,m2,由物理学知识,这两个质点的重心M在线段M1M2上,并且分此线段为与质量成反比例的两部分,即
或m1
现设点M1、M2、M,对应的向量分别是r1、r2、r,则上式可以写成
m1(r-r1)=m2(r2-r).所以r=,点M处的质量为m1+m2.
现求三个质点的重心问题.
三个质点M1、M2、M3的质量分别是m1、m2、m3,所对应的向量分别是r1、r2、r3,
我们可设M1,M2的重心在点D处,该处对应的向量为rD=,该点的质量为m1+m2,然后求点D与点M3的重心M所对应的向量r,易得
r=.
二、备用习题
1.作用于同一点的两个力F1和F2，|F1|=5,|F2|=3,夹角为60°，则F1+F2的大小为_________.
2.一条渔船距对岸为4
km,现正以2
km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8
km,求河水的流速.
3.在半径为15
cm的均匀铁板上,挖出一个圆洞,已知圆洞的圆心和铁板中心相距8
cm,圆洞的半径是5
cm,求挖去圆洞后所剩下铁板的重心.
4.如图13所示,重力为G的均匀小球放在倾角为α的斜面上,球被与斜面夹角为θ的木板挡住,球面、木板均光滑,若使球对木板的压力最小,求木板与斜面间夹角θ的大小.
图13
参考答案:
1.7
2.如图14所示,设表示船垂直于对岸的速度,则+=,
图14
知就是渔船实际航行的速度.因为航行的时间为4÷2=2(h),
所以在Rt△ABC中,||=2
km/h,||=8÷2=4
km/h,则||=km/h.
答:河水的流速为km/h.
3.如图15所示,建立平面直角坐标系,两圆的圆心分别为O1(0,0),O2(8,0),圆O2是挖去的圆,不妨设铁板的密度为ρ=1,则小圆的质量m1=25π,挖去圆洞后,铁板的质量为m2=(225-25)π=200π,设所求的重心为O3.
图15
根据物理学知识,知O3在直线O1O2上,即可设O3(x3,0),且满足,其中λ=.由定比分点坐标公式,知0=,解得x3=-1,即O3(-1,0)为挖去圆洞后所剩下铁板的重心.
4.对小球的受力分析如图13所示,重力为G,斜面弹力为N2(垂直于斜面向上),木板弹力N1(垂直于木板),其中N1与N2的合力的大小恒为|G′|,方向向上,N2的方向始终不变,随着木板的转动,N1的方向始终垂直于木板,N1的大小在变化,且满足,
又|G′|=|G|,∴|N1|=.
∴当sinθ取最大值1时,|N1|min=|G|sinα,此时θ=.2.7
向量应用举例
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.已知点(a,2)(a＞0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a的值为（
）
A.
B.2-
C.-1
D.+1
解析:指由点到直线距离公式得,
∵,
∴|a+1|=.
又a>0,
∴a=-1.
答案:C
2.已知三个力F1=（3，4），F2=（2，-5），F3=（x，y）的合力F1+F2+F3=0，则F3的坐标为（
）
A.(5,-1)
B.(-5,1)
C.(-1,5)
D.(1,-5)
解析：由题设F1+F2+F3=0，
得（3，4）+（2，-5）+（x，y）=（0，0），
即
∴F3=(-5,1).
答案:B
3.已知两个力F1和F2的夹角是直角，如图2-7-1所示，且已知它们的合力F与F1的夹角是60°，|F|=10
N，求F1和F2的大小.
图2-7-1
解：|F1|=|F|cos60°=10×=5
N，
|F2|=|F|sin60°=10×=5N，
∴F1的大小为5
N，F2的大小为5N.
4.如图2-7-2所示，一艘船从A点出发以
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2
km/h，求船的实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）.
图2-7-2
解：设表示船垂直于对岸行驶的速度，表示水流的速度，以AD、AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船的实际航行的速度.
在Rt△ABC中，||=2，||=2，
所以||==4.
因为tan∠CAB==∠CAB=60°.
所以，船的实际航行速度的大小为4
km/h，方向与水流速间的夹角为60°.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.下列向量中，是直线y=2的法向量的是(
)
A.n=（0，1）
B.n=（-1，0）
C.n=（1，1）
D.n=（-1，-1）
解析：直线y=2的一个方向向量为（-1,0),故其法向量为与（-1,0)垂直的向量.
答案:A
2.一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起，结果造成小孩胳膊受伤，试用向量知识加以解释.
解：设小孩的体重为G，两胳膊受力分别为F1、F2，且F1=F2，两胳膊的夹角为θ，胳膊受力分析如右图(不记其他因素产生的力)，不难建立向量模型：
|F1|=,θ∈［0,π］,
当θ=0时，|F1|=;当θ=时，|F1|=|G|；又∈(0,)时，|F1|单调递增，
故当θ∈(0,)时,F1∈(,|G|),当θ∈(,π)时，|F1|>|G|.
此时，欲悬空拎起小孩容易造成小孩受伤.
3.某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来；而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来.试求实际风速和方向.
解：设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为-a，
设实际风速为v，那么此时人感到的风速为v-a.
设=-a,=-2a.
∵+=,∴=v-a.
这就是感到由正北方向吹来的风速.
∵+=,∴=v-2a.
于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是.由题意知∠PBO=45°，PA⊥BO，
BA=AO，可知△POB为等腰直角三角形，
∴PO=PB=a，即|v|=a.
∴实际风速是a的西北风.
4.已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0).试求：
(1)F1、F2分别对质点所做的功；
(2)F1和F2的合力F对质点所做的功.
解：=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).
(1)W1=F1·=(3,4)·（-13，-15）=-99（焦耳）.
W2=F2·=（6，-5）（-13，-15）=-3（焦耳）.
（2）W=F·AB=（F1+F2）·=［（3，4）+（6，-5）］·（-13，-15）=（9，-1）·（-13，-15）=-102（焦耳）.
5.如图2-7-3所示，有两条相交成60°的直线xx1、yy1的交点为O.甲、乙分别在Ox、Oy1上，起初甲位于离O点3
km的A处，乙位于离O点1
km的B处.后来两个人同时用每小时4
km的速度，甲沿xx1的方向，乙沿yy1的方向运动(如图2-7-4所示，三角形中有如下结论：b2=a2+c2-2accosB).试求：
图2-7-3
图2-7-4
(1)起初两个人的距离是多少
(2)什么时候两人的距离最近
解：(1)起初两人分别在A、B两点，则||=3,||=1.
∴||=||2+||2-2||||cos60°=9+1-2×3×1×=7.
∴||=km，即起初两人相距
km.
(2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q,则||=4t,|BQ|=4t,
又∵甲沿xx1的方向，乙沿yy1的方向运动，
∴当0≤t≤时，
||2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°=48t2-24t+7;
当t>时，||2=(3-4t)2+（1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos120°=48t2-24t+7(t>0),
综上,||2=48t2-24t+7=48(t)2+4,t∈［0,+∞).
∴当t=，即在第15分钟末时，PQ最短，两人最近，最近距离为2
km.
6.在静水中划船的速度是每分钟40米，水流的速度是每分钟20米.如果从岸边O点出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，试问小船的行进方向应指向哪里
解：用向量的长度和方向分别表示水流的速度和方向，用表示船行进的方向，它的长度表示船的速度.以、为邻边作平行四边形OACB，连结OC.
依题意OC⊥OA，BC=OA=20，OB=40，
∴∠BOC=30°，船应向上游与河岸夹角为30°的方向行进.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.过点A（2，3）且垂直于向量a=（2，1）的直线方程为(
)
A.2x+y-7=0
B.2x+y+7=0
C.x-2y+4=0
D.x-2y-4=0
解析：∵法向量a=(2,1),∴直线的斜率为k=.又直线过定点A(2,3),∴直线方程为2x+y-7=0.
答案：A
2.若=3e，=5e，且||=||，则四边形ABCD是(
)
A.平行四边形
B.菱形
C.等腰梯形
D.非等腰梯形
解析：由=3e，=5e，可知与平行.又||≠||，故四边形ABCD为梯形.由||=||，可得四边形ABCD为等腰梯形.因为向量是既有大小，又有方向的量，所以利用向量可判断平面中线段的数量关系，也可判断直线的位置关系.如平行、垂直、夹角等问题.
答案：C
3.某人用50
N的力（与水平方向成30°角，斜向下）推动一质量为8
kg的木箱沿水平平面运动了20
m，若动摩擦因数μ=0.02，g取10
m/s2，则摩擦力f所做的功为(
)
A.42
J
B.-42
J
C.22
J
D.-22
J
解析：f=（80+50×sin30°）×0.02
N=2.1
N，又f与位移所成的角为180°，
∴f·s=|f||s|cos180°=2.1×20×（-1）J=-42
J.
答案：B
4.某人向正东走x
km后，又向右转150°，然后朝新方向走3
km.结果他离出发点恰好
km，那么x的值等于(
)
A.
B.
C.
D.3
解析：由分析知|a+b|=，∴a2+2a·b+b2=3.
∴x2+6x·cos150°+9-3=0，即x2-3x+6=0.
解得x=或2.
答案：C
5.已知△ABC满足2=·+·+·，则△ABC是(
)
A.等边三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
解析：∵2=·+·+·，∴2=·（-）+·，
即2=·（+）+·.
∴·=0，即⊥.故△ABC为直角三角形.
答案：C
6.已知一物体在共点力F1=（lg2，lg2），F2=（lg5，lg2）的作用下产生位移s=（2lg5，1），则这两个共点力对物体做的功W为(
)
A.lg2
B.lg5
C.1
D.2
解析：∵F1+F2=（1，2lg2），s=（2lg5，1），
∴共点力对物体做的功W=（F1+F2）·s=2lg5+2lg2=2.
答案：D
7.有两个向量e1=（1，0），e2=（0，1），今有动点P，从P0（-1，2）开始沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e1+e2|；另一动点Q，从Q0（-2，-1）开始沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e1+2e2|.设P、Q在时刻t=0秒时，分别在P0、Q0处，则当⊥时，t=______________.
解析：由题意知=t（e1+e2）=（t，t），故P点坐标为（t-1，t+2）.
=t（3e1+2e2）=（3t，2t），故Q点坐标为（3t-2，2t-1）.
∴=（2t-1，t-3），=（-1，-3）.又⊥，即·=0，
∴-2t+1-3t+9=0.解得t=2.
答案:2
8.一艘船从A点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v2，船实际航行的速度大小为4
km/h，方向与水流间的夹角是60°.求v1和v2.
解：v1=v·sin60°=4×km/h=2km/h，
v2=v·cos60°=4×
km/h=2
km/h.
∴v1的大小为2
km/h，v2的大小为2
km/h.
9.在△ABC内求一点P,使2+2+2的值最小.
解:如图,设=a,=b,=x,
则=x-a,=x-b,
∴2+2+2=(x-a)2+(x-b)2+x2=3x2-2(a+b)x+b2=3［x-(a+b)］2+a2+b2-
(a+b)2.
根据向量运算的意义知,当x=(a+b)时,
2+2+2有最小值.
设M为AB的中点,易知a+b=2.
当x=
(a+b)时,
=
,也即P为△ABC的重心时,
2+2+2的值最小,为a2+b2-(a+b)2.(共40张PPT)
2.7
向量应用举例
平行、垂直、夹角、距离、全等、相似等，是平面几何中常见的问题，而这些问题都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此，平面几何中的某些问题可以用向量方法来解决，但解决问题的数学思想、方法和技能，需要我们在实践中去探究、领会和总结.
1.了解直线法向量的概念.
2.掌握利用向量方法解决平面几何问题，体会解析法和向量方法的区别与联系.(重点)
3.会用向量方法解决物理问题，会用所学知识解决实际问题.（难点）
问题1
用向量方法解决平面几何问题的基本思路是什么？
几何问题向量化
向量运算关系化
向量关系几何化.
探究点1
点到直线的距离公式
仓库
铁路
仓库
l
.
M
点到直线的距离
l
一定是垂线段哟！
l
M
.
o
x
y
:
Ax+By+C=0
(x0,y0)
点到直线的距离
已知点M(x0,
y0)和直线l:Ax+By+C=0.
则点M到直线
l
的距离d为:
点到直线的距离公式
问题2
如何借助向量的方法来证明点到直线的距离公式？
.
o
x
y
M(x0,y0)
P(x,
y)
l
l:
Ax+By+C=0
.
o
x
y
M(x0,y0)
P(x,
y)
1.在使用该公式前，需将直线方程化为一般式．
2.
A=0或B=0，此公式也成立，但当A=0且B=0时一般不用此公式计算距离．
特别提醒:
当A=0或B=0时,直线方程为y=y1或x=x1的形式.
Q
Q
x
y
o
x=x1
M(x0,y0)
y
o
y=y1
(x0,y0)
x
M
(x0,y1)
(x1,y0)
【总结提升】
认清公式的形式，找准每一个变量代表的数值，准确代入，精确计算.
求下列各点到相应直线的距离
【变式练习】
探究点2
几何中的应用举例
例2
如图,已知AD，BE，CF分别是△ABC的三条高，
求证：AD，BE，CF相交于同一点.
【解题关键】
将相关的线段用向量表示，利用向量的三角形法则和平行四边形法则，结合题目中的已知条件进行运算，得出结果，再翻译成几何语言
.
C
D
E
F
B
A
H
C
D
E
F
B
A
H
简述：
1.建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.
2.通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.
3.把运算结果“翻译”成几何元素.
问题3
根据例题你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
形到向量
向量的运算
向量和数到形
B
O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点.若( - )·( + -2 )=0,则△ABC是(
)
A.以AB为底边的等腰三角形
B.以BC为底边的等腰三角形
C.以AB为斜边的直角三角形
D.以BC为斜边的直角三角形
变式练习
.
设M为
的中点，则有
所以
所以△ABC中，
边上的中线AM也是CB边上的高，
所以△ABC是以BC为底边的等腰三角形.
解析
问题4
物理中力的合成与分解中体现了向量的哪种运算
提示：体现了向量的加减法的运算.
问题5
在物体的运动过程中,是否力越大,做的功就越多
提示：不一定.力所做的功不仅取决于力的大小,还和力与物体运动方向的夹角有关系.
探究点3
物理中的应用举例
例3
一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行
1
000km到达B地，然后向C地飞行.设C地恰好在A地的南偏西60°，并且A，C两地相距2
000km，求飞机从B地到C地的位移.
B
A
D
C
60o
60o
西
南
东
北
【解题关键】要求飞机从B地到C地的位移，需要解决两个问题：
⑴利用解三角形的知识求线段BC的长度.
⑵求BC与基线的夹角.
变式训练
一架飞机向北飞行300
km后，改变航向向西飞行300
km,则飞行的路程为
,两次位移的和的方向为 ,大小 .
600
km
北偏西45°
300
km
向量解决航空、航海问题方法：
1.按照题意正确作图.
2.分析图形的边角关系.
3.利用平面几何的知识求出答案.
30°
【解题关键】本题是向量在物理学中“力学问题”上应用的例子，可以清楚地看出向量的直接作用，根据向量数量积的几何意义，可知对物体所做的功即是表示力的向量和表示位移的向量的数量积.
例4
已知力
与水平方向的夹角为30°（斜向上），
大小为50
N，一个质量为8
kg的木块受力
的作用在
动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20
m.问力
和摩擦力
所做的功分别为多少？（g=10
m/s2）
向量解决物理问题方法：
1.将物理中的矢量用向量表示.
2.找出向量与向量的夹角.
3.利用向量的数量积计算功.
变式训练
如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个箱子，已知箱子的重量为10
N，则每根绳子的拉力大小是 .
10
N
1.以原点O及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,使∠A=90°,则 的坐标为(
)
A.(2,-5) B.(-2,5)或(2,-5)
C.(-2,5) D.(7,-3)或(3,7)
B
思路分析
本题方法：
1.计算速度的合速度.
2.计算时间必须使速度的方向和位移的方向一致.
答：行驶航程最短时，所用的时间是3.1
min.
3.证明直径所对的圆周角是直角.
A
B
C
O
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C
为⊙O上任意一点，不与AB重合.
求证∠ACB=90°.
要证∠ACB=90°，只需证向
量
，即
.
【解题关键】
证明：设
则
，
由此可得：
即
，
∠ACB=90°.
4、已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于E，O是平面内任意一点，求证：
证明:因为E为BD的中点，
所以
同理，
所以
注意:用该公式时应先将直线方程化为一般式.
1.点到直线的距离公式：
，
2.掌握用向量方法解决平面几何问题的三个步骤：
简述：形到向量
向量的运算
向量和数到形
不奋苦而求速效，只落得少日浮夸，老来窘隘而已.
——郑板桥2.7
向量应用举例
知识梳理
1.向量在平面几何中的应用
（1）证明线段相等，转化为证明向量的长度相等；求线段的长，转化为求向量的长度；
（2）证明线段、直线平行，转化为证明向量平行；
（3）证明线段、直线垂直，转化为证明向量垂直；
（4）几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题；
（5）对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题，通常以相互垂直的两边所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，通过代数（坐标）运算解决平面几何问题.
2.向量在解析几何中的应用
（1）若直线l的倾斜角为α，斜率为k，向量a=（m，n）平行于l，则k=tanα=；
反之，若直线的斜率k=，则向量（m，n）一定与该直线平行；
（2）向量（1，k）与直线l：y=kx+b平行；
（3）与a=（m，n）平行且过点P(x0,y0)的直线方程为
n(x-x0)-m(y-y0)=0;
(4)过点P(x0,y0)且与向量a=（m，n）垂直的直线方程为：m(x-x0)+n(y-y0)=0.
3.力向量与速度向量
（1）力是具有大小、方向和作用点的向量，它与向量有所不同.大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，它们就不相等.但是在不计作用点的情况下，可用平行四边形法则计算两个力的合力.
（2）速度是具有大小和方向的向量，因而可用三角形和平行四边形法则，求两个速度的合速度.
知识导学
这部分内容是向量的核心内容，向量的平行和垂直是向量间最基本最重要的位置关系，在平面几何、解析几何、物理等方面有着重要的应用，是本章的重点，又是高考的热点内容，是高考的必考内容之一.
疑难突破
1.用向量处理问题时，如何选择平面向量基底？
剖析：难点是在已知图形中有很多不共线的向量，到底选择哪两个向量为基向量？其突破口是明确向量基底的含义和选择向量基底的原则.
平面内任意不共线的两个向量构成了平面向量基底，因此要在图形中选择不共线的两个向量即可.但是在具体的解题过程中，通常不会随便取不共线的两个向量，要选择适当的向量基底，这样会减少计算量.选择基向量的基本原则是：
①不共线；
②基向量的长度最好已经确定；
③基向量的夹角最好已经明确（直角最合适）；
④尽量使基向量和所涉及到的向量共线或构成三角形或构成平行四边形.
要会选择适当的平面向量基底，还要靠平时经验的积累，需要自己逐步去体会和实践应用.
2.用向量处理问题时，如何建立平面直角坐标系？
剖析：难点是建立平面直角坐标系时，到底选择哪两条直线为坐标轴，哪个点为原点？选择不当会增加解题的运算量，也会带来不必要的麻烦.其突破口是明确平面直角坐标系是如何构成的以及选择坐标轴的基本原则.
具有公共原点的两条数轴构成了平面直角坐标系，因此在已知图形中，只要选择互相垂直的两条直线为坐标轴就能建立坐标系，但是又不能随便选择坐标轴，选择的基本原则是：
①尽量用已知图形中两互相垂直的向量所在直线为坐标轴；
②尽量选择已知图形中某一特殊点为原点；
③尽量使位于坐标轴上的已知点越多越好；
与选择向量基底类似，要学会选择适当的平面直角坐标系，还要靠平时经验的积累，需要自己逐步去体会和实践应用.2.7
向量应用举例
自主广场
我夯基
我达标
1.过点A（2，3），且垂直于向量a=（2，1）的直线方程为（
）
A.2x+y-7=0
B.2x+y+7=0
C.x-2y+4=0
D.x-2y-4=0
思路解析：利用轨迹法求直线方程.设所求直线上任一点P（x,y）的坐标，则⊥a，又∵=(x-2,y-3)，∴2(x-2)+(y-3)=0，即所求的直线方程为2x+y-7=0.
答案：A
2.(全国高考卷Ⅱ，理8)已知点A（，1），B（0，0）,C（，0）.设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有BC=λ,其中λ等于（
）
A.2
B.
C.-3
D.
思路解析：方法一：在△ABC中，AC=1,BC=,AB=2.∴=2，∴BE=2EC.∴||=3||.
∴|λ|=3.又∵与方向相反，∴λ＜0.
∴λ=-3.
方法二：设E(x,0)，则=(,1)，=(x-,-1),
=(0,1).∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC.又∵cos〈,〉=,cos〈,〉=,
∴=.
∴.
∴，解得x=.
∴E(,0).∴=(,0),
=(-,0).
∴=-3.∴λ=-3.
答案：C
3.在△ABC中，∠C=90°，=(k,1),=(2,3),则k的值是（
）
A.5
B.-5
C.
D.
思路解析：由题意，得=-=(2,3)-(k,1)=(2-k,2)，∵∠C=90°，∴⊥.
∴·=0.∴2(2-k)+3×2=0.∴k=5.
答案：A
4.一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1、水速为v2，已知船垂直到达对岸，则（
）
A.|v1|＜|v2|
B.|v1|＞|v2|
C.|v1|≤|v2|
D.|v1|≥|v2|
思路解析：速度是向量，要使船垂直到达对岸，则向量v1在水流方向上的分量与向量v2大小相等，方向相反，由此即得|v1|＞|v2|.
答案：B
5.(福建高考卷，理11)已知||=1,||=,·=0，点C在∠AOC内，且∠AOC=30°.设=m+n(m,n∈R)，则等于（
）
A.
B.3
C.
D.
思路解析：由已知，不妨设=（1，0），=（0，），=（x0，y0）.
∵∠AOC=30°,∴y0=x0.
∴=(x0,x0).∴=m+n.
∴(x0,x0)=(m,).
∴x0=m,x0=.
∴=3.
答案：B
6.(四川高考卷，理7)如图2-7-8所示,已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是（
）
图2-7-8
A.
B.
C.
D.
思路解析：设边长||=a，则∠P2P1P3=.||=a,
=a·a·=，∠P2P1P4=,|
|=2a,
=a·2a·=a2,
=0,＜0,∴数量积中最大的是.
答案：A
7.(2006东北三校二模，14)已知向量a=(6,2)，b=(-4,
)，直线l过点A(3,-1)且与向量a+2b垂直，则直线l的方程为________________________.
思路解析：由题意，得a+2b=(-2,3)，则直线l的方程为(-2)(x-3)+3(y+1)=0，即2x-3y-9=0.
答案：2x-3y-9=0
我综合
我发展
8.(2005上海春季高考卷，5)在△ABC中，若∠C=90°，AC=BC=4，则·=___________.
思路解析：由于AC=BC，∠C=90°，则△ABC是直角三角形,||=，〈，〉=45°.所以·=||||cos〈,〉=×4×cos45°=16.
答案：16
9.已知三个力F1=（3，4），F2=（2，-5），F3=（x，y）的合力F1+F2+F3=0.
求F3的坐标.
思路分析：把力看成向量，将F1+F2+F3=0变为坐标的形式就可以得到结论.
解：由题设F1+F2+F3=0，得
（3，4）+（2，-5）+（x，y）=（0，0），
即∴
∴F3=（-5，1）.
10,用向量法证明三角形的三条高线交于一点.
思路分析：用向量证明几何问题时，往往要先选择向量基底.我们假设两条高BE、CF交于点H，再证明AH与BC垂直即证明⊥可说明结论成立
证明：已知：如图2-7-9所示.AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF交于一点.
图2-7-9
证法一：设两条高BE、CF交于点H,
设=a，=b,
则-a，-b，=b-a.
∵⊥，⊥，
∴·=0，·=0.
∴（-a）·b=0，（-b）·a=0.
∴（-a）·b=（-b）·a.
化简得·（b-a）=0，即·=0.
∴⊥.
∴AH⊥BC,
即AD、BE、CF交于一点.
证法二：如图2-7-10所示，以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系，设B(c,0),C(m,n),H(m,y).
图2-7-10
则有=(m-c,y),=(m,n),
=(m-c,n)，=(m,y),=(c,0).∵⊥，
∴m(m-c)+ny=0.
解得y=.∴AH=(m,).
∴AH·BC=m(m-c)+n=m(m-c)+mc-m2=0.
∴⊥.∴AH⊥BC.
故AD、BE、CF交于一点.
11.如图2-7-11,有两条相交成60°的直线xx1、yy1,交点为O.甲、乙分别在Ox、Oy1上,起初甲位于离O点3
km的A处,乙位于离O点1
km的B处.后来两个人同时用每小时4
km的速度,甲沿xx1的方向,乙沿yy1的方向运动.
问：(1)起初两个人的距离是多少
(2)什么时候两人的距离最近
图2-7-11
思路分析：把距离转化为向量的长度，以甲、乙两人t时刻的位置和O三点形成三角形,通过对三角形有关量的求解便可实现解题的目的.
解：(1)起初两人分别在A、B两点,则||=3,||=1.
∴||2=(+)2
=2+2·+2
=||2+||2-2||||cos60°
=9+1-2×3×1×=7.
∴||=km,即起初两人相距千米.
(2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，
∵=-，∴||2=(-)2=||2-2·+|OP|2
=||2+||2-2||||cos〈,〉.
当0≤t≤时，||=1-4t,||=3-4t,〈,〉=60°,
||2=(3-4t)2+(1-4t)2-2(3-4t)(1-4t)cos60°=48t2-24t+7.
当＜t≤时，|=|4t-1,|
|=3-4t,〈,〉=120°，
||2=(4t-1)2+(3-4t)2-2(4t-1)(3-4t)cos120°=48t2-24t+7.
当t＞时，||=4t-1,|
|=4t-3,〈,〉=60°,
||2=(4t-1)2+(4t-3)2-2(4t-1)(4t-3)cos60°=48t2-24t+7.
综上得||2=48t2-24t+7=48(t-)2+4,t∈［0,+∞).
∴当t=，即在第15分钟末时，最短，两人最近，最近距离为2
km.2.7.1
点到直线的距离公式
整体设计
教学分析
1.按教材的安排,本大节是想让学生熟悉向量在数学和物理学中的广泛应用,理解向量的工具性,明确向量处于知识网络的交汇点.从高考角度看,向量与三角函数、解析几何等知识综合起来的题目频频出现在全国各地市的高考试卷上.这种与向量交汇的题目新颖别致,活力四射,正逐渐成为高考的新宠.但教材的处理是:点到直线的距离公式的向量证明作为一节,几何应用与物理应用放在一节.这不利于学生的理解掌握,因此在本教案设计时稍作调整,把点到直线的距离的向量证明及几何中的应用统一到向量在数学中的应用上,另一节专门探究向量在物理中的应用.
2.本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.向量在数学中有着广泛的应用,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为:
则向量方法的流程图可以简单地表述为:
这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的重点.
3.用向量方法解决解析几何中的问题,其方法与用向量方法解决几何问题是一致的.本质上是把解析几何中的几何问题转化成向量运算,并且这种向量运算简单明快,令人耳目一新.
有些平面几何问题,利用向量方法求解比较容易.使用向量方法要点在于用向量表示线段或点,根据点与线之间的关系,建立向量等式,再根据向量的线性相关与无关的性质,得出向量的系数应满足的方程组,求出方程组的解,从而解决问题.使用向量方法时,要注意向量起点的选取,选取得当可使计算过程大大简化.
三维目标
1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.
2.通过点到直线的距离的向量证明方法,了解向量在解析几何中的应用.
3.通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何、解析几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段.
重点难点
教学重点:用向量方法解决平面几何问题、解析几何问题.
教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后,向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.
思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何、解析几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此,可用向量方法解决平面几何中的一些问题.下面通过几个具体实例,说明向量方法在平面几何中的运用.
推进新课
新知探究
提出问题
图1
①你能用向量的知识证明数学2中学习过的点到直线的距离公式吗
②平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型,如图1,你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？
③你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法
④你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？
活动:①教师引导学生画出直线,点.
如图2所示,M(x0,y0)是直线外一定点,P(x,y)是直线上任意一点,由直线l:ax+by+c=0,可以取它的方向向量v=(b,-a).一般地,称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量.
设n=(a,b),因为n·v=(a,b)·(b,-a)=ab-ab=0,
所以n⊥v,故称n为直线l的法向量,与n同向的单位向量为
n0=.
于是,点M(x0,y0)到直线l:ax+by+c=0的距离等于向量在n0方向上射影的长度:
d=｜·n0｜=｜(x0-x,y0-y)·(.
又因为P(x,y)为l上任意一点,所以c=-(ax+by).
②教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系.利用类比的思想方法,猜想平行四边形有没有相似关系.指导学生猜想出结论:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
③教师引导学生探究证明方法,并点拨学生对各种方法分析比较,平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形,在平面几何的学习中,学生得到了它的许多性质,有些性质的得出比较麻烦,有些性质的得出比较简单.让学生体会研究几何可以采取不同的方法,这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法.
证明:方法一:如图3.
图3
作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,则Rt△ADF≌Rt△BCE.
∴AD=BC,AF=BE由于
AC2=AE2+CE2=(AB+BE)2+CE2=AB2+2AB·BE+BE2+CE2=AB2+2AB·BE+BC2.
BD2=BF2+DF2=(AB-AF)2+DF2
=AB2-2AB·AF+AF2+DF2
=AB2-2AB·AF+AD2
=AB2-2AB·BE+BC2.
∴AC2+BD2=2(AB2+BC2).
方法二:如图4.
图4
以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系.
设B(a,0),D(b,c),则C(a+b,c).
∴|AC|2=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2,|BD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.
∴|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)=2(|AB|2+|AD|2).
用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系.在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时,常常考虑用向量的数量积.通过以下推导学生可以发现,由于向量能够运算,因此它在解决某些几何问题时具有优越性,它把一个思辨过程变成了一个算法过程,学生可按一定的程序进行运算操作,从而降低了思考问题的难度,同时也为计算机技术的运用提供了方便.教学时应引导学生体会向量带来的优越性.因为平行四边形对边平行且相等,考虑到向量关系=-,=+,教师可点拨学生设=a,=b,其他线段对应向量用它们表示,涉及长度问题常常考虑向量的数量积,为此,我们计算||2与||2.因此有了方法三.
方法三:设=a,=b,则=a+b,=a-b,||2=|a|2,||2=|b|2.
∴||2=·=(a+b)·(a+b)
=a·a+a·b+b·a+b·b
=|a|2+2a·b+|b|2.①
同理||2=|a|2-2a·b+|b|2.②
观察①②两式的特点,我们发现,①+②得
||2+||2=2(|a|2+|b|2)=2(||2+||2),
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.
④至此,为解决重点问题所作的铺垫已经完成,向前发展可以说水到渠成.教师充分让学生对以
上各种方法进行分析比较,讨论认清向量方法的优越性,适时地引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤.由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题,而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角,因此我们可以用向量方法解决部分几何问题.解决几何问题时,先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素.然后通过向量的运算,特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系.最后再把运算结果“翻译”成几何关系,得到几何问题的结论.这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”,即
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
这个“三步曲”用流程图表示为:
讨论结果:①能.
②能想出至少三种证明方法.
③略.
应用示例
例1
求点P(1,2)到直线l:2x+y+1=0的距离.
活动:本例是直接应用点到直线的距离公式.由学生自己完成.
解:由点到直线的距离公式,得d=,
所以点P(1,2)到直线l的距离为5.
点评:通过此题让学生归纳用向量方法解决解析几何问题的思路.
变式训练
(2007广东梅州)若将函数y=f(x)的图像按向量a平移,使图像上点的坐标由(1,0)变为(2,2),则平移后的图像的解析式为(
)
A.y=f(x+1)-2
B.y=f(x-1)-2
C.y=f(x-1)+2
D.y=f(x+1)+2
解析:由已知,得
平移公式为
即代入y=f(x),得y′-2=f(x′-1),
即y′=f(x′-1)+2.
∴平移后的图像的解析式为y=f(x-1)+2.
答案:C
例2
如图5,ABCD中,点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC交于R、T两点,你能发现AR、RT、TC之间的关系吗
图5
活动:为了培养学生的观察、发现、猜想能力,让学生能动态地发现图形中AR、RT、TC之间的相等关系,教学中可以充分利用多媒体,作出上述图形,测量AR、RT、TC的长度,让学生发现AR=RT=TC,拖动平行四边形的顶点,动态观察,发现AR=RT=TC这个规律不变,因此猜想AR=RT=TC.事实上,由于R、T是对角线AC上的两点,要判断AR、RT、TC之间的关系,只需分别判断AR、RT、TC与AC的关系即可.又因为AR、RT、TC、AC共线,所以只需判断,与之间的关系即可.探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论.第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系;第三步,把运算结果“翻译”成几何关系:AR=RT=TC.
解:如图5,设=a,=b,=r,则=a+b.
由于与共线,所以我们设r=n(a+b),n∈R.
又因为=-=（a-b),与共线,
所以我们设=m=m(a-b).
因为=+,所以r=b+m(a-b),
因此n(a+b)=b+m(a-b),即(n-m)a+(n+)b=0.
由于向量a,b不共线,要使上式为0,必须.
解得n=m=.
所以=.同理,=.
于是=.所以AR=RT=TC.
点评:教材中本例重在说明是如何利用向量的办法找出这个相等关系的,因此在书写时可简化一些程序.指导学生在今后的训练中,不必列出三个步骤.
变式训练
如图6,AD、BE、CF是△ABC的三条高.求证:AD、BE、CF相交于一点.
图6
证明:设BE、CF相交于点H,并设=b,=c,=h,
则=h-b,=h-c,=c-b.
因为⊥,⊥,
所以(h-b)·c=0,(h-c)·b=0,
即(h-b)·c=(h-c)·b.
化简,得h·(c-b)=0.
所以⊥.
所以AH与AD共线,即AD、BE、CF相交于一点H.
例3
如图7,已知在等腰△ABC中,BB′、CC′是两腰上的中线,且BB′⊥CC′,求顶角A的余弦值.
图7
活动:教师可引导学生思考探究,上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题.可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系,找出所需点的坐标.如果能比较方便地建立起平面直角坐标系,如本例中图形,很方便建立平面直角坐标系,且图形中的各个点的坐标也容易写出,是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？教师引导学生建系、找点的坐标,然后让学生独立完成.
解:建立如图7所示的平面直角坐标系,取A(0,a),C(c,0),则B(-c,0),
=(0,a),=(c,a),=(c,0),=(2c,0).
因为BB′、CC′都是中线,所以=(+)=［(2c,0)+(c,a)］=().
同理,=(-).
因为BB′⊥CC′,所以-=0,a2=9c2.
所以cosA=.
点评:比较是最好的学习方法.本例利用的方法与例题1有所不同,但其本质是一致的,教学中引导学生仔细体会这一点,比较两例的异同,找出其内在的联系,以达到融会贯通、灵活运用之功效.
变式训练
(2004湖北高考)如图8,在Rt△ABC中,已知BC=a.若长为2a的线段PQ以点A为中点,问:与的夹角θ取何值时,·的值最大 并求出这个最大值.
图8
解:方法一,如图8.
∵⊥,∴·=0.
∵=-,=-,=-,
∴·=(-)·(-)
=·-·-·+·
=-a2-·+·=-a2+·(-)
=-a2+·=-a2+a2cosθ.
故当cosθ=1,即θ=0,与的方向相同时,·最大,其最大值为0.
方法二:如图9.
图9
以直角顶点A为坐标原点,两直角边所在的直线为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a.
设点P的坐标为(x,y),
则Q(-x,-y).
∴=(x-c,y),=(-x,-y-b),=(-c,b),=(-2x,-2y).
∴·=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.
∵cosθ=,
∴cx-by=a2cosθ.
∴·=-a2+a2cosθ.
故当cosθ=1,即θ=0,与的方向相同时,·最大,其最大值为0.
知能训练
1.如图10,已知AC为⊙O的一条直径,∠ABC是圆周角.
求证:∠ABC=90°.
图10
证明:如图10.
设=a,=b,
则=a+b,=a,=a-b,|a|=|b|.
因为·=(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,
所以⊥.
由此,得∠ABC=90°.
点评:充分利用圆的特性,设出向量.
2.D、E、F分别是△ABC的三条边AB、BC、CA上的动点,且它们在初始时刻分别从A、B、C出发,各以一定速度沿各边向B、C、A移动.当t=1时,分别到达B、C、A.求证:在0≤t≤1的任一时刻t1,△DEF的重心不变.
图11
证明:如图11.
建立如图所示的平面直角坐标系,设A、B、C坐标分别为(0,0),(a,0),(m,n).
在任一时刻t1∈(0,1),因速度一定,其距离之比等于时间之比,有=λ,由定比分点的坐标公式可得D、E、F的坐标分别为(at1,0),(a+(m-a)t1,nt1),(m-mt1,n-nt1).由重心坐标公式可得△DEF的重心坐标为().
当t=0或t=1时,△ABC的重心也为(),
故对任一t1∈[0,1],△DEF的重心不变.
点评:主要考查定比分点公式及建立平面直角坐标系,只要证△ABC的重心和时刻t1的△DEF的重心相同即可.
课堂小结
1.由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪些:平行四边形向量加、减法的几何模型,用向量方法解决解析几何及平面几何问题的步骤,即“三步曲”.特别是这“三步曲”,要提醒学生理解领悟它的实质,达到熟练掌握的程度.
2.本节都学习了哪些数学方法:向量法,向量法与几何法、解析法的比较,将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法,深切体会向量的工具性这一特点.
作业
课本习题2—7
A组1,2.
设计感想
1.本节设计的指导思想是:充分使用多媒体这个现代化手段,引导学生展开观察、归纳、猜想、论证等一系列思维活动.本节知识方法容量较大,思维含量较高,教师要把握好火候,恰时恰点地激发学生的智慧火花.
2.由于本节知识方法在高考大题中得以直接的体现,特别是与其他知识的综合更是高考的热点问题.因此在实际授课时,注意引导学生关注向量知识、向量方法与三角知识、解析几何知识等的交汇,提高学生综合解决问题的能力.
3.平面向量的运算包括向量的代数运算与几何运算.相比较而言,学生对向量的代数运算要容易接受一些,但对向量的几何运算往往感到比较困难,无从下手.向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算,向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等,它们在处理平面几何的有关问题时,往往有其独到之处,教师可让学有余力的学生课下继续探讨,以提高学生的思维发散能力.
备课资料
一、利用向量解决几何问题的进一步探讨
用平面向量的几何运算处理平面几何问题有其独到之处,特别是处理线段相等,线线平行,垂直,点共线,线共点等问题,往往简单明了,少走弯路,同时避免了复杂,烦琐的运算和推理,可以收到事半功倍的效果.现举几例以供教师、学生进一步探究使用.
1.简化向量运算
例1
如图12所示,O为△ABC的外心,H为垂心,求证:=++.
图12
证明:如图12,作直径BD,连接DA,DC,有=-,
且DA⊥AB,DC⊥BC,AH⊥BC,CH⊥AB,
故CH∥DA,AH∥DC,得四边形AHCD是平行四边形.
从而=.
又=-=+,得=+=+,
即=++.
2.证明线线平行
例2
如图13,在梯形ABCD中,E,F分别为腰AB,CD的中点.求证:EF∥BC,且||=(||+||).
图13
证明:连接ED,EC,∵AD∥BC,可设=λ(λ＞0),
又E,F是中点,∴+=0,
且=(+).
而+=+++
=+=(1+λ),
∴=.EF与BC无公共点,
∴EF∥BC.又λ＞0,
∴||=(||+|λ|)=(||+||).
3.证明线线垂直
例3
如图14,在△ABC中,由A与B分别向对边BC与CA作垂线AD与BE,且AD与BE交于H,连接CH,求证:CH⊥AB.
图14
证明:由已知AH⊥BC,BH⊥AC,
有·=0,·=0.
又=+,=+,
故有(+)·=0,且(+)·=0,
两式相减,得·(-)=0,即·=0,∴⊥.
4.证明线共点或点共线
例4
求证:三角形三中线共点,且该点到顶点的距离等于各该中线长的.
图15
解:已知:△ABC的三边中点分别为D,E,F(如图15).
求证:AE,BF,CD共点,且=.
证明:设AE,BF相交于点G,=λ1,
由定比分点的向量式有=+,
又F是AC的中点,=(+),
设=λ2,
则+=+,∴
∴
又=,
∴C,G,D共线,且.
二、备用习题
1.有一边长为1的正方形ABCD,设=a,=b,=c,则|a-b+c|=___________.
2.已知|a|=2,|b|=,a与b的夹角为45°,则使λb-a与a垂直的λ=____________.
3.在等边△ABC中,=a,=b,=c,且|a|=1,则a·b+b·c+c·a=__________.
4.已知三个向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),且A,B,C三点共线,则k=__________.
5.如图16所示,已知矩形ABCD,AC是对角线,E是AC的中点,过点E作MN交AD于点M,交BC于点N,试运用向量知识证明AM=CN.
图16
6.已知四边形ABCD满足||2+||2=||2+||2,M为对角线AC的中点.求证:||=||.
7.求证:如果一个角的两边平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补.
参考答案:
1.2
2.2
3.-
4.-2或11
5.证明:建立如图17所示的平面直角坐标系,设BC=a,BA=b,则C(a,0),A(0,b),E().
图17
又设M(x2,b),N(x1,0),则
=(x2,0),=(x1-a,0).
∵∥,=(-x2,-),=(x1-,-),
∴(-x2)×(-)-(x1-)×(-)=0.
∴x2=a-x1.
∴||==|x2|=|a-x1|=|x1-a|.
而||==|x1-a|,
∴||=||,
即AM=CN.
6.证明:设=a,=b,=c,=d,
∵a+b+c+d=0,
∴a+b=-(c+d).
∴a2+b2+2a·b=c2+d2+2c·d.①
∵||2+||2=||2+||2,
∴a2+b2=(-d)2+(-c)2=c2+d2.②
由①②,得a·b=c·d.
图18
∵M是AC的中点,如图18所示,
则=(d-c),=(b-a).
∴||2=2=(b2+a2-2a·b),
||2=2=(d2+c2-2c·d).
∴||2=||2.
∴||=||.
7.解:已知OA∥O′A′,OB∥O′B′.
求证:∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=π.
证明:∵OA∥O′A′,OB∥O′B′,
∴=λ(λ∈R,λ≠0),=μ(μ∈R,μ≠0).
∴cos∠AOB=,
cos∠A′O′B′=
当与,与均同向或反向时,取正号,
即cos∠AOB=cos∠A′O′B′.
∵∠AOB,∠A′O′B′∈(0,π),
∴∠AOB=∠A′O′B′.
当与,与只有一个反向时,取负号,
即cos∠AOB=-cos∠A′O′B′=cos(π-∠A′O′B′).
∵∠AOB,π-∠A′O′B′∈(0,π),
∴∠AOB=π-∠A′O′B′.
∴∠AOB+∠A′O′B′=π.
∴命题成立.2.7
向量应用举例
课后导练
基础达标
1.已知A（1，2），B（3，4），则AB中点的坐标是（
）
A.（2，3）?
B.（-2，-3）
C.（，）
D.（3，2）
解析：设AB中点为C（x,y），
则x==2,y==3,
∴C（2，3）.
答案：A
2.某人用50
N的力（与水平方向成30°角，斜向下）推动一质量为8
kg的木箱沿水平平面运动了20
m，若动摩擦因数μ=0.02，g取10
m/s2，则摩擦力f所做的功为(
)
A.42
J
B.-42
J
C.22
J
D.-22
J
解析：由数量积的物理意义，只需求出摩擦力f的大小，及它与位移的夹角即可.
|f|=(80+50×sin30°)×0.02
N=2.1
N,又f与位移所成的角为180°，
∴f·s=|f||s|cos180°=2.1×20×(-1)
J=-42
J.
答案：B
3.三点A（x1,y1）,B(x2,y2),C(x3,y3)共线，则有…（
）
A.x1y2-x2y1=0
B.x1y3-x3y1=0
C.(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)
D.(x2-x1)(x3-x1)=(y2-y1)(y3-y1)
解析：=(x2-x1,y2-y1),=(x3-x1,y3-y1),
∵AB∥AC,
∴(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0.
答案：C
4.已知a=（1，2），a⊥b，则b可以是（
）
A.（-4，2）
B.（2，-4）
C.（2，1）
D.（-2，-1）
解析：把选项通过x1x2+y1y2=0检验知b可以是（-4，2）.
答案：A
5.某人向正东走x
km后，又向右转150°，然后朝新方向走3
km.结果他离出发点恰好
km，那么x的值等于(
)
A.3
B.
C.或
D.3
解析：设向量a为“向东走x
m”,则|a|=x,设向量b为“朝新方向走
km”,则|b|=3，且a与b的夹角为150°，离出发点为
km,即|a+b|=.
由分析知|a+b|=，∴a2+2a·b+b2=.
∴x2+6x·cos150°+9-3=0,
即x2-x+6=0.
解得x=或.
答案：C
6.已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A、B、C三点共线，则k=________.
解析：
=(k,12),=(4,5),
=(-k,10).
∵A、B、C三点共线，
∴∥.
∵=(k-4,12-5),=(4+k,5-10),
∴(k-4)·（5-10）-（12-5）（4+k）=0,
解之得k=.
答案：
7.以原点和点A(4,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,∠B=90°,则向量的坐标为________.
解析：利用长度公式和垂直条件列出关于向量坐标的方程，然后求解.
设=（x,y）,则=（x-4,y-2）.
由已知
故B（1，3）或B（3，-1）.
∴=(-3,1)或(-1,-3).
答案：(-3,1)或(-1,-3)
8.如右图所示，在△ABC中,D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点,G是它的重心,已知D点的坐标是(1,2),E点的坐标是(3,5),F点的坐标是(2,7),求A、B、C、G的坐标.
解析：设A（x1,y1),由已知得EF平行且等于AD.
∴=.
∴(x1-1,y1-2)=(2-3,7-5)=(-1,2).
∴
∴A(0,4).同理可得B(2,0),C(4,10).连结AE,则AE过点G.
设G(x2,y2),由=2得(x2,y2-4)=2(3-x2,5-y2),
∴
∴G(2,).
9.如右图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1，求：
（1）|F1|、|F2|随角θ的变化而变化的情况；
（2）当|F1|≤2|G|时，θ角的取值范围.
解析：（1）如右图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：G=F1+F2.
解直角三角形得
|F1|=,
|F2|=|G|·tanθ,
当θ从0°趋向于90°时，
|F1|、|F2|皆逐渐增大.
(2)令|F1|==2|G|，
得cosθ≥,又0°≤θ＜90°,∴0°≤θ≤60°.
10.在四边形ABCD中(A、B、C、D顺时针排列),=(6,1),=(-2,-3).若有∥,又有⊥,求的坐标.
解析：设=(x,y)，则=（6+x，1+y)，=(4+x，y-2)，=（-x-4，2-y）,=(x-2,y-3).
又∥及⊥，
∴x(2-y)-(-x-4)y=0,①
(6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0,②
解得
∴=(-6,3)或（2，-1）.
综合运用
11.已知=λ+μ，若M、P、N三点共线，则λ与μ的关系为(
)
A.λ-μ=0
B.λ+μ=0
C.λ-μ=1
D.λ+μ=1
解析：可根据教材中的例题解此题，也可据M、P、N三点共线推导λ与μ的关系.
∵M、P、N三点共线，故存在实数k，使，
∴-=k-k，即=k+（1-k）.又=λ+μ，
∴∴λ+μ=1.
答案：D
12.若ABCD为正方形，E是CD的中点，且=a，=b，则等于（
）
A.b+a
B.b-a
C.a+b
D.a-b
解析：=-=+-=+-=b-a.
答案：B
13.在水流速度为
km/h的河水中，一艘船以12
km/h的速度垂直对岸行驶，求这艘船实际航行速度的大小_______，方向_______.
解析：如右图，设表示水流速度，表示船垂直对岸行驶的速度，以为一边、为一对角线作ABCD,则就是船实际航行的速度.
∵||=,||=12,
∴||=||=;
tan∠ACB=,∠CAD=∠ACB=30°,∠BAD=120°.
答案：
km/h
与水流速度方向的夹角为120°
14.已知线段AB的长度为4，点M在线段AB上，若点P（P与AB不共线）满足=（+）且||=2，则与的夹角为___________.
解析：∵=(+),||=2,
∴42=2+2·+2.①
又|-|=||=4,
∴2-2·+2=16.②
由①②可知，·=0，故与的夹角为.
答案:
15.如右图，已知A、B、C是不共线的三点,O是△ABC内的一点,若++=0,求证：O是△ABC的重心.
证明：如右图，由于++=0,
∴=-(+),即+是的相反向量.以,为邻边构造平行四边形OBDC,则有=-.在平行四边形BOCD中,设BC与OD交于E点,则=,=,∴AE是△ABC的中线,且||=2||,故O是△ABC的重心.
拓展探究
16.美国不顾国际社会的强烈反对,于2001年7月14日进行导弹防御系统拦截技术的第四次实验,军方先从加利福尼亚州的危登堡空军基地发射一枚作为标靶的洲际弹道导弹和诱弹,再从马绍尔群岛的夸贾林环礁发射另一枚导弹对前一枚导弹进行拦截,实施拦截时必须准确计算标靶的飞行速度、瞬时位置.现假设标靶与拦截导弹的飞行轨迹均在同一平面内,标靶飞行速度为|v|=10n
km/h.令ν=λ1e1+λ2e2,基底e1、e2是平面内的单位向量.若标靶的飞行方向为北偏东30°,
e1方向为正东,e2方向为北偏东60°,试求λ1、λ2的值.
解析：建立如右图所示的直角坐标系，则e1=(1,0),e2=(,),v=(5n,n).
∵e1,e2不共线，
∴v=λ1
e1+λ2
e2=λ1(1,0)+λ2(,),
(5n,n)=(λ1+λ2,λ2).
∴∴λ1=-10n,λ2=n.2.7
向量应用举例
自我小测
1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为( )
A．－1
B．1
C．2
D．－1或2
2．若＝2e1，＝4e1，且与的模相等，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形
B．梯形
C．等腰梯形
D．菱形
3．某人以a
km/h的速度向东行走，此时正刮着时速为a
km的南风，那么此人感受到的风向、风速为( )
A．东南风，a
km/h
B．东风，a
km/h
C．南风，a
km/h
D．西南风，a
km/h
4．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力分别为F1，F2，若|F1|＝|F2|＝|G|，则θ的值为( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
5．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10
N，合力与F1的夹角为60°，则F1的大小为( )
A．5
N
B．5
N
C．10
N
D．5
N
6．一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前进60
m，若纤绳与行进方向的夹角为，人的拉力为50
N，则纤夫对船所做的功为__________．
7．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7,4)，＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是__________．
8．在△ABC中，C＝，AC＝1，BC＝2，则f(λ)＝|2λ＋(1－λ)|的最小值是__________．
9．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)．
(1)求和∠ACB的大小，并判断△ABC的形状；
(2)若M为BC边的中点，求.
10．如图所示，一物体受到两个大小均为60
N的力的作用，两力的夹角为60°且有一力方向水平，求合力的大小及方向．
参考答案
1．解析：l的一个方向向量为v＝(－2，m)．
由v与向量(1－m,1)平行得，－2＝m(1－m)，解得m＝2或－1.
答案：D
2．解析：由题意得，且∥.
又∵，
∴四边形ABCD为等腰梯形．
答案：C
3．解析：如图所示，设人的速度为v1，风速为v2，则人感受到的风速为v，且|v|＝a.
答案：A
4．解析：作＝F1，＝F2，＝－G，则＝＋，当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，∴∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°.
答案：D
5．解析：|F1|＝|F|cos
60°＝5(N)．
答案：B
6．解析：功W＝60×50×cos＝1
500(J)．
答案：1
500
J
7．解析：＝－＝(3,6)＝.
又∵＝(4，－2)·(3,6)＝0，
∴四边形ABCD为矩形．
∴＝＝2，＝＝3.∴S＝＝2×3＝30.
答案：30
8．解析：以C为原点，CA，CB所在直线分别为y轴，x轴建立平面直角坐标系，
所以＝(0,1)，＝(2,0)，
即2λ＋(1－λ)＝(0,2λ)＋(2－2λ，0)＝(2－2λ，2λ)，所以f(λ)＝2，故f(λ)的最小值为，在λ＝时取得．
答案：
9．解：(1)由题意得，＝(3，－1)，＝(－1，－3)，
＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0.
所以，即∠A＝90°.
又易知，
所以△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝45°.
(2)因为M为BC的中点，所以M(2,0)．
又因为A(1,2)，所以＝(1，－2)．
所以＝＝.
10．解：设向量，分别表示两力，以，为邻边作平行四边形OACB，即为合力．
由已知可得△OAC为等腰三角形，且∠COA＝30°.
过A作AD⊥OC于D，则在Rt△OAD中，cos
30°＝60×＝30.
故＝60，
即合力的大小为60
N，方向与水平方向成30°角．
