学业分层测评(十二)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
1．若函数y＝f(x)在x＝1处的导数为1，则
等于( )
A．2
B．1
C.
D．
【解析】
＝f′(1)＝1.
【答案】 B
2．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a
B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a
D．f′(x0)＝b
【解析】 ＝＝＝a＋bΔx，当x趋于x0，即Δx趋于0时，平均变化率趋于a，∴f′(x0)＝a.
【答案】 C
3．如图3 2 2所示的是y＝f(x)的图像，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
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图3 2 2
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)
C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
【解析】 分别过A，B两点作曲线的切线，由切线的斜率知kB>kA，∴f′(xB)>f′(xA)．故选B.
【答案】 B
4．设函数f(x)＝ax＋b，若f(1)＝f′(1)＝2，则f(2)等于( )
【导学号：63470061】
A．1
B．2
C．4
D．6
【解析】 可得f′(1)＝
＝
＝
＝a，
又f′(1)＝2，得a＝2，而f(1)＝2，故a＋b＝2，即b＝0，所以f(x)＝2x，有f(2)＝4.
【答案】 C
5．已知曲线f(x)＝－和点M(1，－2)，则曲线在点M处的切线方程为( )
A．y＝－2x＋4
B．y＝－2x－4
C．y＝2x－4
D．y＝2x＋4
【解析】 ＝＝，
∴当Δx→0时，f′(1)＝2，即k＝2.
∴直线方程为y＋2＝2(x－1)，即y＝2x－4.
【答案】 C
二、填空题
6．(2016·亳州高二检测)已知函数y＝f(x)的图像在点(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__________.
【解析】 ∵f(1)＝1＋2＝3，f′(1)＝k＝1，
∴f(1)＋f′(1)＝4.
【答案】 4
7．(2016·蚌埠高二检测)曲线y＝x2上切线的倾斜角是30°的点的坐标为__________．
【解析】 设切点横坐标为x0，
f′(x0)＝
＝2x0，
∴2x0＝tan
30°＝，∴x0＝，∴y0＝.
【答案】
8．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于________.
【导学号：63470062】
【解析】 ∵y′＝
＝
(2a＋aΔx)＝2a.
∴可令2a＝2，∴a＝1.
【答案】 1
三、解答题
9．已知函数f(x)＝求f′(1)·f′(－1)的值．
【解】 当x＝1时，＝＝＝.
由导数的定义，得f′(1)＝
＝.
当x＝－1时，＝
＝＝Δx－2.
由导数的定义，得f′(－1)＝
(Δx－2)＝－2.
所以f′(1)·f′(－1)＝×(－2)＝－1.
10．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．
【解】 曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线斜率k＝f′(1)＝
＝
(3Δx＋2)＝2.
∴过点P(－1,2)的直线的斜率为2，
由点斜式得y－2＝2(x＋1)，
即2x－y＋4＝0.
所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.
能力提升]
1．曲线y＝x3＋6在点P(1,7)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A．－4
B．－3
C．4
D．10
【解析】 ＝
＝＝(Δx)2＋3Δx＋3.
当Δx→0时，→3.
∴在(1,7)处的切线方程为y－7＝3(x－1)．
令x＝0得y＝4.
【答案】 C
2．(2016·杭州高二检测)若直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点P(1,3)，则b等于( )
A．3
B．－3
C．5 D．－5
【解析】 ∵点P(1,3)既在直线上又在曲线上，
∴3＝k＋1，且3＝1＋a＋b，即k＝2，a＋b＝2.
根据导数的定义知y＝x3＋ax＋b的导数为y′＝3x2＋a，
∴3×12＋a＝k，∴a＝－1，b＝3.
【答案】 A
3．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为，则点P横坐标的取值范围为________．
【解析】 ∵f′(x)＝
＝
＝
(Δx＋2x＋2)＝2x＋2.
∴可设P点横坐标为x0，则曲线C在P点处的切线斜率为2x0＋2.
由已知得0≤2x0＋2≤1，∴－1≤x0≤－，
∴点P横坐标的取值范围为.
【答案】
4．过曲线y＝x2＋1上点P的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标.
【导学号：63470063】
【解】 设切点P(x0，y0)，
则f′(x0)＝
＝2x0.
所以过点P的切线方程为：y－y0＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x＋1－x，
又此直线与曲线y＝－2x2－1相切，
所以切线与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点．
由
得2x2＋2x0x＋2－x＝0.
即Δ＝4x－8(2－x)＝0.
解得x0＝，y0＝.
所以点P的坐标为或.学业分层测评(十)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
1．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6,0)，则它的标准方程是( )
【导学号：63470045】
A.－＝1
B．－＝1
C.－＝1
D．－＝1
【解析】 设等轴双曲线方程为－＝1(a＞0)．
∴a2＋a2＝62，∴a2＝18.
故双曲线方程为－＝1.
【答案】 B
2．若双曲线x2＋ky2＝1的离心率是2，则实数k的值是( )
A．－3
B．
C．3
D．－
【解析】 双曲线x2＋ky2＝1可化为＋＝1，故离心率e＝＝2，解得k＝－.
【答案】 D
3．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1
B．－＝1
C.－＝1
D．－＝1
【解析】 由顶点在y轴上得该双曲线焦点位于y轴，排除A、D，B项，a＝2，b＝2，c＝2，∴2a＋2b＝·2c符合题意．
【答案】 B
4．双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝( )
【导学号：63470046】
A.
B．2
C．3
D．6
【解析】 双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆心坐标为(3,0)，由点到直线的距离公式与渐近线与圆相切得，圆心到渐近线的距离为r，且r＝＝.
【答案】 A
5．双曲线－＝1和椭圆＋＝1(a＞0，m＞b＞0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【解析】 双曲线的离心率e1＝，椭圆的离心率e2＝，由e1e2＝1得(a2＋b2)(m2－b2)＝a2m2，故a2＋b2＝m2，因此三角形为直角三角形．
【答案】 B
二、填空题
6．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________.
【导学号：63470047】
【解析】 ∵2a＝2,2b＝2，∴
＝2，
∴m＝－.
【答案】 －
7．若双曲线中心在原点，焦点在y轴，离心率e＝，则其渐近线方程为________．
【解析】 由于焦点在y轴，则渐近线方程为y＝±x.
而e＝＝，则＝－1＝，＝，
∴渐近线方程为y＝±x.
【答案】 y＝±x
8．双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，以F1F2为边作等边△MF1F2.若双曲线恰好平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为________．
【解析】 如图，点N为MF2的中点，且在双曲线上，利用双曲线的定义即可求解．
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|F1N|＝c，|NF2|＝c.
又∵|NF1|－|NF2|＝2a，
即c－c＝2a.∴e＝＝＝＋1.
【答案】 ＋1
三、解答题
9．求适合下列条件的双曲线标准方程：
(1)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；
(2)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．
【解】 (1)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6 λ＝；
当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6 λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为－＝1和－＝1.
(2)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
将点(2，－2)代入双曲线方程，
得λ＝－(－2)2＝－2.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
10．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．
【解】 椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，
因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.
设双曲线G的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
∴渐近线方程为bx±ay＝0，且a2＋b2＝25，
又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3.
∴＝3，得a＝3，b＝4，
∴双曲线G的方程为－＝1.
能力提升]
1．设a，b是关于t的方程t2cos
θ＋tsin
θ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线－＝1的公共点的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 由根与系数的关系，得a＋b＝－tan
θ，ab＝0，则a，b中必有一个为0，另一个为－tan
θ.不妨设A(0,0)，B(－tan
θ，tan2
θ)，则直线AB的方程为y＝－xtan
θ.根据双曲线的标准方程，得双曲线的渐近线方程为y＝±xtan
θ，显然直线AB是双曲线的一条渐近线，所以直线与双曲线没有公共点．
【答案】 A
2．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【解析】 设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，而kBF＝－，
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∴·＝－1，整理得b2＝ac.
∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－e－1＝0，
解得e＝或e＝(舍去)，故选D.
【答案】 D
3．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB面积为________.
【导学号：63470048】
【解析】 A(3,0)，F(5,0)，取过F平行于渐近线y＝x的直线，则方程为y＝(x－5)．
由得B.
∴△AFB的面积S＝(5－3)×＝.
【答案】
4．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A、B两点，试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．
【解】 双曲线方程可化为－＝1，
c2＝a2＋b2＝4，∴c＝2.
∴F2(2,0)，又l的斜率为1.
∴直线l的方程为y＝x－2，
代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
∵x1·x2＝－<0，
∴A、B两点不位于双曲线的同一支上．
∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－，
∴|AB|＝|x1－x2|
＝
＝·＝6.学业分层测评(三)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
1．下列命题为特称命题的是( )
A．偶函数的图像关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在大于等于3的实数
【解析】 选项A、B、C是全称命题，选项D含有存在量词，故选D.
【答案】 D
2．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题为( )
A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立
B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立
C．对任意x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy成立
D．存在x<0，y<0，使x2＋y2≤2xy成立
【解析】 本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数x，y”，改成全称命题为：对任意实数x，y，都有x2＋y2≥2xy成立．
【答案】 A
3．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
【解析】 否定原命题结论的同时要把量词做相应改变．故选D.
【答案】 D
4．存在实数x0，使得x－4bx0＋3b<0成立，则b的取值范围是( )
A．b<0
B．b>
C．b<
D．b<0或b>
【解析】 由题意，知Δ＝16b2－12b>0.
∴b<0或b>.
【答案】 D
5．下列命题为真命题的是( )
A．对任意x∈R，都有cos
x<2成立
B．存在x∈Z，使log2(3x－1)<0成立
C．对任意x>0，都有3x>3成立
D．存在x∈Q，使方程
x－2＝0有解
【解析】 A中，由于函数y＝cos
x的最大值是1，又1<2，所以A是真命题；B中，log2(3x－1)<0 0<3x－1<1 【答案】 A
二、填空题
6．下列命题中全称命题是________；特称命题是________．
①正方形的四条边相等；
②存在两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
【解析】 ①③是全称命题，②④是特称命题．
【答案】 ①③ ②④
7．(2016·宁波高二检测)命题“任意x∈R，若y>0，则x2＋y>0”的否定是________．
【解析】 将“任意”换为“存在”，再否定结论．
【答案】 存在x0∈R，若y>0，则x＋y≤0
8．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围是________.
【导学号：63470011】
【解析】 命题为真命题时，a≤0时显然存在x，使ax2＋2x＋a<0.当a>0时，Δ＝4－4a2>0即0综上可知a<1.
【答案】 (－∞，1)
三、解答题
9．判断下列全称命题或特称命题的真假．
(1)所有的单位向量都相等；
(2)公差大于零的等差数列是递增数列；
(3)有些向量的坐标等于其起点的坐标；
(4)存在x∈R，使sin
x－cos
x＝2.
【解】 (1)假命题．如果两个单位向量e1，e2的方向不相同，尽管有|e1|＝|e2|＝1，但是e1≠e2.
(2)真命题．设等差数列{an}的首项为a1，公差d>0，
则an＋1－an＝a1＋nd－a1＋(n－1)d]＝d>0，
∴an＋1>an.
所以公差大于零的等差数列是递增数列．
(3)真命题．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝(x2－x1，y2－y1)，
由得
如A(1,3)，B(2,6)，＝(x2－x1，y2－y1)＝(1,3)，满足题意．
(4)假命题．由于sin
x－cos
x＝
＝sin
的最大值为，所以不存在实数x，
使sin
x－cos
x＝2.
10．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立？并说明理由；
(2)若存在实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．
【解】 (1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时m>－4.
(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)．
若存在实数x使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.
故所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
能力提升]
1．下列结论正确的个数为( )
①命题p“存在x0∈，使得cos
x0≤x0”的否定为“任意x∈，cos
x>x”；
②命题“任意x∈R，>0”的否定为“存在x0∈R，<0”；
③函数y＝x2－2x和函数y＝x－的单调递增区间都是1，＋∞)．
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 ①显然正确；②不正确，应为“存在x0∈R，≤0”；函数y＝x2－2x的单调增区间为1，＋∞)，函数y＝x－的单调增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，③不正确．
【答案】 B
2．有四个关于三角函数的命题：
p1：存在x∈R，sin2＋cos2
＝
p2：存在x，y∈R，sin(x－y)＝sin
x－sin
y
p3：任意x∈0，π]，＝sin
x
p4：sin
x＝cos
y x＋y＝，其中的假命题是( )
A．p1，p4
B．p2，p4
C．p1，p3
D．p2，p4
【解析】 由于对任意x∈R，sin2
＋cos2
＝1，故p1是假命题；
当x，y，x－y有一个为2kπ(k∈Z)时，
sin
x－sin
y＝sin
(x－y)成立，故p2是真命题．
对于p3：任意x∈0，π]，
＝＝|sin
x|＝sin
x为真命题．
对于p4：sin
x＝cos
y x＋y＝为假命题，例如x＝π，y＝，满足sin
x＝cos
y＝0，而x＋y＝.
【答案】 A
3．(2016·宿州高二检测)若任意x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________．
【解析】 由题意有：0∴∴－【答案】 (－，－1)∪(1，)
4．已知函数f(x)＝lg，若对任意x∈2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
【解】 根据f(x)>0得lg>lg
1，
即x＋－2>1在x∈2，＋∞)上恒成立，
分离参数，得a>－x2＋3x在x∈2，＋∞)上恒成立，
设g(x)＝－x2＋3x，则g(x)＝－＋，
当x∈2，＋∞)时，g(x)max＝g(2)＝2，∴a>2，
故a的取值范围是(2，＋∞)．学业分层测评(十八)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )
A．13万件
B．11万件
C．9万件
D．7万件
【解析】 因为y′＝－x2＋81，所以当x>9时，y′<0；当x∈(0,9)时，y′>0，所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值．
【答案】 C
2．(2016·黄山高二检测)函数y＝( )
A．有最大值2，无最小值
B．无最大值，有最小值－2
C．最大值为2，最小值为－2
D．无最值
【解析】 y′＝＝.
令y′＝0，得x1＝1，x2＝－1，且当－1＜x＜1时，y′＞0；
当x＜－1或x＞1时，y′＜0，∴最大值是f(1)＝2，
最小值是f(－1)＝－2.
【答案】 C
3．函数y＝的最大值为( )
A.
B．e
C．e2
D.
【解析】 令y′＝＝＝0.
解得x＝e.当x>e时，y′<0；当00.y极大值＝f(e)＝，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝.
【答案】 A
4．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在－2,2]上有最大值3，那么此函数在－2,2]上的最小值为( )
A．－5 B．－11 C．－29 D．－37
【解析】 由f′(x)＝6x2－12x>0，
得x<0或x>2，由f′(x)<0，得0∴f(x)在－2,0]上为增加的，在0,2]上为减少的，
∴f(x)max＝f(0)＝m＝3.又f(－2)＝－37，f(2)＝－5，∴f(x)min＝－37.
【答案】 D
5．以长为10的线段AB为直径作圆，则它的内接矩形的面积的最大值为( )
A．10
B．15
C．25
D．50
【解析】 设内接矩形一边长为x，则另一边长为，
∴内接矩形的面积S＝x·(0∴S′＝＋x·()′
＝－x·＝.
令S′＝0，得x＝±5.
∵0【答案】 D
二、填空题
6．函数y＝x＋2cos
x在区间上的最大值是________．
【解析】 令y′＝1－2sin
x＝0，得x＝，比较0，，处的函数值，得ymax＝＋.
【答案】 ＋
7．某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)＝x2(0【解析】 V(x)＝30x2－x3，∴V′(x)＝60x－x2＝－x(x－40)．
∵x∈(0,40)时，V′(x)>0，x∈(40,60)时，V′(x)<0，∴x＝40时，V(x)有极大值也是最大值．
【答案】 40
8．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.
【导学号：63470091】
【解析】 ∵f′(x)＝3x2－3，
∴当x>1或x<－1时，f′(x)>0；
当－1∴f(x)在0,1]上单调递减，在1,3]上单调递增．
∴f(x)min＝f(1)＝－2－a＝n.
∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，
∴f(x)max＝f(3)＝18－a＝m.
∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.
【答案】 20
三、解答题
9．求函数f(x)＝x3－3x2＋6x－10在区间－1,1]上的最值．
【解】 因为f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x－1)2＋3，
所以在区间－1,1]上f′(x)>0恒成立，
即函数f(x)在区间－1,1]上单调递增，
故当x＝－1时，函数f(x)取得最小值f(－1)＝－20；
当x＝1时，函数f(x)取得最大值f(1)＝－6.
10．一艘轮船在航行中的燃料费和它速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以多大速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？
【解】 设船的速度为x(x>0)时，燃料费用为Q元，则Q＝kx3，由6＝k×103可得k＝，∴Q＝x3.
∴总费用y＝·＝x2＋，
y′＝x－，令y′＝0得x＝20.
当x∈(0,20)时，y′<0，此时函数单调递减，
当x∈(20，＋∞)时，y′>0，此时函数单调递增，
∴当x＝20时，y取得最小值．
∴此轮船以20公里/小时的速度行驶时每公里的费用总和最小．
能力提升]
1．已知函数f(x)＝ax－ln
x，若f(x)>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1)
B．(－∞，1]
C．(1，＋∞)
D．1，＋∞)
【解析】 ∵f(x)＝ax－ln
x，f(x)>1在(1，＋∞)内恒成立，
∴a>在(1，＋∞)内恒成立．
设g(x)＝，
∴x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝<0，
即g(x)在(1，＋∞)上是减少的，∴g(x)∴a≥1，即a的取值范围是1，＋∞)．
【答案】 D
2．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为( )
A.
B.
C.
D．2
【解析】 设直棱柱的底面边长为a，高为h.
则a2·h＝V，∴h＝.
则表面积S(a)＝3ah＋a2＝＋a2.
S′(a)＝－＋a.令S′(a)＝0，得a＝.
当0时，S′(a)>0.
当a＝时，S(a)最小．
【答案】 C
3．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．
【解析】 函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln
2)上递增，在(ln
2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln
2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln
2－2即可．
【答案】 (－∞，2ln
2－2]
4．已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；
(2)在(1)的条件下，当x∈－2,6]时，f(x)<2|c|恒成立，求c的取值范围．
【解】 (1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，
∵函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，
∴－1,3是方程3x2－2ax＋b＝0的两根．
∴∴
(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，
f′(x)＝3x2－6x－9.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.
当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值c＋5
?
极小值c－27
?
而f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54，
∴当x∈－2,6]时，f(x)的最大值为c＋54，
要使f(x)<2|c|恒成立，只要c＋54<2|c|即可，
当c≥0时，c＋54<2c，∴c>54；
当c<0时，c＋54<－2c，∴c<－18.
∴c∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c的取值范围．学业分层测评(七)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
1．(2016·宜昌高二检测)如果抛物线y2＝ax的准线是直线x＝1，那么它的焦点坐标为( )
A．(1,0)
B．(2,0)
C．(3,0)
D．(－1,0)
【解析】 由准线方程x＝1可得a＝－4，所以焦点坐标为(－1,0)．
【答案】 D
2．到直线x＝2与到定点P(2,0)的距离相等的点的轨迹是( )
A．抛物线
B．圆
C．椭圆
D．直线
【解析】 法一：根据抛物线的定义判断，首先要看点P与直线的位置关系．点P(2,0)在直线x＝2上，故轨迹不是抛物线，而是经过点P(2,0)且垂直于直线x＝2的一条直线．
法二：设动点M(x，y)，则有＝|x－2|，所以y2＝0，即y＝0，表示的是x轴这条直线．故选D.
【答案】 D
3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A.
B．1
C．2
D．4
【解析】 由已知，可知抛物线的准线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切．圆心为(3,0)，半径为4，圆心到直线的距离d＝3＋＝4，解得p＝2.
【答案】 C
4．(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于( )
A．1
B．2
C．4
D．8
【解析】 由抛物线方程y2＝x，知p＝，又因为|AF|＝x0＋＝x0＋＝x0，所以得x0＝1.
【答案】 A
5．已知F为抛物线x2＝2py(p>0)的焦点，M为其上一点，且|MF|＝2p，则直线MF的斜率为( )
A．－
B．±
C．－
D．±
【解析】 由题意，得F，准线为y＝－.
过点M作MN垂直于准线于N，过F作FQ垂直于MN于Q，则|MN|＝|MF|＝2p，|MQ|＝p.故∠MFQ＝30°.
即直线MF的倾斜角为150°或30°，斜率为－或.
【答案】 B
二、填空题
6．抛物线y2＝2px过点M(2,2)，则点M到抛物线准线的距离为________．
【解析】 因为y2＝2px过点M(2,2)，于是p＝1，所以点M到抛物线准线的距离为2＋＝.
【答案】
7．一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，并且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点________．
【解析】 直线x＋2＝0是抛物线y2＝8x的准线，根据抛物线的定义，动圆必过焦点(2,0)．
【答案】 (2,0)
8．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是________．
【解析】 设动圆的半径为r，圆心O′(x，y)，且O′到点(2,0)的距离为r＋1，O′到直线x＝－1的距离为r，所以O′到(2,0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y2＝8x.
【答案】 y2＝8x
三、解答题
9．(1)求过点P(2，－4)的抛物线的标准方程；
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线相交于点A，|AF|＝5，求抛物线的标准方程.
【导学号：63470031】
【解】 (1)∵P(2，－4)在第四象限且坐标轴是对称轴，
∴设抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．
将P点的坐标代入，得p＝4或p＝.
∴所求抛物线的方程为y2＝8x或x2＝－y.
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的标准方程为：
y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)．
则由抛物线的定义得5＝|AF|＝
又(－3)2＝2pm.所以，p＝±1或p＝±9.
故所求抛物线的方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
10．求与圆(x－3)2＋y2＝9外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程．
【解】 设定圆圆心M(3,0)，半径r＝3，动圆圆心P(x，y)，半径为R，则由已知得下列等式
INCLUDEPICTURE
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∴|PM|＝|x|＋3.
当x>0时，上式几何意义为点P到定点M的距离与它到直线x＝－3的距离相等，
∴点P轨迹为抛物线，焦点M(3,0)，准线x＝－3.
∴p＝6.
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抛物线方程为y2＝12x.
当x<0时，|PM|＝3－x，
动点P到定点M的距离等于动点P到直线x＝3的距离，
点P轨迹为x轴负半轴，
∴所求轨迹方程为y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0)．
能力提升]
1．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－
B．－1
C．－
D．－
【解析】 因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，且点A(－2,3)在准线上，故－＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为(2,0)，这时直线AF的斜率kAF＝＝－.
【答案】 C
2．从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为( )
A．5
B．10
C．20
D．
【解析】 由抛物线方程y2＝4x，易得抛物线的准线l的方程为x＝－1，又由|PM|＝5，可得点P的横坐标为4，代入y2＝4x，可求得其纵坐标为±4，故S△MPF＝×5×4＝10，选B.
【答案】 B
3．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________.
【解析】 如图所示，直线AF的方程为y＝－(x－2)，与准线方程x＝－2联立得A(－2,4)．
INCLUDEPICTURE
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设P(x0,4)，代入抛物线y2＝8x，得8x0＝48，
∴x0＝6，
∴|PF|＝x0＋2＝8.
【答案】 8
4．如图2 2 1，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
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\
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图2 2 1
(1)求抛物线方程；
(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
【解】 (1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，
于是，4＋＝5，p＝2.
所以抛物线方程为y2＝4x.
(2)因为点A的坐标是(4,4)，
由题意得B(0,4)，M(0,2)．
又F(1,0)，所以kAF＝.
因为MN⊥FA，所以kMN＝－.
则FA的方程为y＝(x－1)，
MN的方程为y＝－x＋2.
解方程组得
所以N.学业分层测评(十六)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图4 1 5所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极值点有( )
INCLUDEPICTURE
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图4 1 5
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】 y＝f′(x)的变号零点为极值点，不变号零点不是极值点，∴f(x)在开区间(a，b)内有3个极值点．
【答案】 C
2．函数f(x)＝1＋3x－x3( )
A．有极小值，无极大值
B．无极小值，有极大值
C．无极小值，无极大值
D．有极小值，有极大值
【解析】 ∵f′(x)＝－3x2＋3，由f′(x)＝0得x＝±1.
当x∈(－1,1)时f′(x)>0，
∴f(x)的单调递增区间为(－1,1)；
同理，f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．
∴当x＝－1时，函数有极小值－1，当x＝1时，函数有极大值3.
【答案】 D
3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1没有极值，则实数a的取值范围是( )
A．(－3,6)
B．－3,6]
C．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
D．(－∞，－3]∪6，＋∞)
【解析】 f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，由题意可知f′(x)＝0没有实根或有两个相等实根，故Δ＝4a2－12(a＋6)≤0，解得－3≤a≤6，故选B.
【答案】 B
4．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图像如图4 1 6所示，且f(x)在x＝x0与x＝2处取得极值，则f(1)＋f(－1)的值一定( )
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图4 1 6
A．等于0
B．大于0
C．小于0
D．小于或等于0
【解析】 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知，x＝x0与x＝2是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，由图像知，a＞0且x0＋2＜0，∴－＜0，∴b＞0.
又f(1)＋f(－1)＝2b，∴f(1)＋f(－1)＞0.
【答案】 B
5．三次函数当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，则此函数的解析式是( )
A．y＝x3＋6x2＋9x
B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x
D．y＝x3＋6x2－9x
【解析】 设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
则f(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由题意得f′(1)＝f′(3)＝0，f(1)＝4，f(3)＝0，
即
解得：a＝1，b＝－6，c＝9，d＝0.
【答案】 B
二、填空题
6．(2016·湛江高二检测)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．
【解析】 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2；由f′(x)＞0，得x＜0或x＞2；由f′(x)＜0，得0＜x＜2，∴f(x)在x＝2处取得极小值．
【答案】 2
7．函数f(x)＝2x3－3x2＋a的极大值为6，那么a＝________.
【导学号：63470083】
【解析】 由f′(x)＝6x2－6x，知函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)，故f(x)在x＝0处取得极大值6，故a＝6.
【答案】 6
8．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3ln
x在t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．
【解析】 由题意知f′(x)＝－x＋4－＝＝－，
由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1,3，
则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，
函数f(x)在区间t，t＋1]上就不单调，
由t<1【答案】 (0,1)∪(2,3)
三、解答题
9．求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－2x2＋x＋1；
(2)f(x)＝.
【解】 (1)函数的定义域为R，
f′(x)＝3x2－4x＋1
＝3(x－1).
令f′(0)>0，可得x>1或x<；
令f′(x)<0，可得∴函数f(x)＝x3－2x2＋x＋1的单调递增区间为和(1，＋∞)，单调递减区间为.
∴当x＝时，函数有极大值，且为f＝，
当x＝1时，函数有极小值，且为f(1)＝1，
(2)函数的定义域为R，
f′(x)＝2xe－x－x2e－x
＝x(2－x)e－x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
0
?
4e－2
?
由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且为f(0)＝0；
当x＝2时，函数有极大值，且为f(2)＝4e－2.
10．是否存在实数a，使函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋1在x＝1处取极值？若存在，求出a的值，并判断f(1)是极大值还是极小值；若不存在，请说明理由．
【解】 假设存在实数a使函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋1在x＝1处取极值．
又f′(x)＝x2＋2x＋a，
∴f′(1)＝0，即1＋2＋a＝0，∴a＝－3
当a＝－3时，f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0得x＝1或x＝－3.
当x>1时，f′(x)>0，当－3故存在实数a＝－3使函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋1在x＝1处取极小值．
能力提升]
1．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图像可能是( )
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【解析】 ∵f(x)在x＝－2处取得极小值，
∴当x＜－2时，f(x)单调递减，即f′(x)＜0；
当x＞－2时，f(x)单调递增，即f′(x)＞0.
∴当x＜－2时，y＝xf′(x)＞0；
当x＝－2时，y＝xf′(x)＝0；
当－2＜x＜0时，y＝xf′(x)＜0；
当x＝0时，y＝xf′(x)＝0；
当x＞0时，y＝xf′(x)＞0.结合选项中图像知，选C.
【答案】 C
2．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)·(x－1)k(k＝1,2)，则( )
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
【解析】 当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0.
∴x＝1不是f(x)的极值点．
当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)
显然f′(1)＝0，且x在1的左边附近f′(x)<0，
x在1的右边附近f′(x)>0，
∴f(x)在x＝1处取到极小值．故选C.
【答案】 C
3．设函数f(x)＝x3－x2＋6x－a.
(1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；
(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．
【解】 (1)f′(x)＝3x2－9x＋6.
∵x∈(－∞，＋∞)，f′(x)≥m恒成立，
即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，
∴Δ＝81－12(6－m)≤0，得m≤－.
即m的最大值为－.
(2)∵当x<1时，f′(x)>0；
当1当x>2时，f′(x)>0；
∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝－a；
当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a.
故当f(2)>0或f(1)<0时，方程f(x)＝0仅有一个实根，解得a<2或a>.学业分层测评(八)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
1．以抛物线y2＝2px(p>0)的焦半径|PF|为直径的圆与y轴位置关系为( )
【导学号：63470034】
A．相交
B．相离
C．相切
D．不确定
【解析】 设P(x0，y0)，则以|PF|为直径的圆半径r＝.又圆心到y轴的距离d＝，∴该圆与y轴相切．
【答案】 C
2．过点M(2,4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线共有( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 由于M(2,4)在抛物线上，故满足条件的直线共有2条，一条是与x轴平行的线，另一条是过M的切线，如果点M不在抛物线上，则有3条直线．
【答案】 B
3．设抛物线的顶点在原点，焦点F在y轴上，抛物线上的点(k，－2)与F的距离为4，则k的值为( )
A．4
B．－2
C．4或－4
D．2或－2
【解析】 由题意知抛物线方程可设为x2＝－2py(p>0)，则＋2＝4，
∴p＝4，∴x2＝－8y，将(k，－2)代入得k＝±4.
【答案】 C
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1
B．x＝－1
C．x＝2
D．x＝－2
【解析】 抛物线的焦点F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－.即x＝y＋，将其代入y2＝2px＝2p＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0.所以＝p＝2.所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
【答案】 B
5．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )
A．18
B．24
C．36
D．48
【解析】 不妨设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，由于l垂直于对称轴且过焦点，故直线l的方程为x＝.代入y2＝2px得y＝±p，即|AB|＝2p，又|AB|＝12，故p＝6，所以抛物线的准线方程为x＝－3，故S△ABP＝×6×12＝36.
【答案】 C
二、填空题
6．抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为________．
【解析】 过焦点且与对称轴垂直的弦是通径，即2p＝16，所以抛物线的方程为x2＝±16y.
【答案】 x2＝±16y
7．设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(0,2)，若线段FA的中点B在抛物线上，则点B到该抛物线准线的距离为________.
【导学号：63470035】
【解析】 由已知得点B的纵坐标为1，横坐标为，即B将其代入y2＝2px得p＝，则点B到准线的距离为＋＝p＝.
【答案】
8．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
则使抛物线方程为y2＝10x的必要条件是________(要求填写合适条件的序号)．
【解析】 由抛物线方程y2＝10x，知它的焦点在x轴上，所以②适合．
又∵它的焦点坐标为F，原点O(0,0)，设点P(2,1)，可得kPO·kPF＝－1，∴⑤也合适．
而①显然不合适，通过计算可知③④不合题意．
∴应填序号为②⑤.
【答案】 ②⑤
三、解答题
9．如图2 2 3所示，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，求此抛物线的方程．
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图2 2 3
【解】 过A，B分别作准线的垂线AA′，BD，垂足为A′，D，则|BF|＝|BD|，又2|BF|＝|BC|.
∴在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，又|AF|＝3，
∴|AA′|＝3，|AC|＝6，|FC|＝3.
∴F到准线距离p＝|FC|＝，∴y2＝3x.
10．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线的方程．
【解】 ∵过焦点F，垂直于x轴的弦长为4<36，
∴弦所在直线斜率存在，
设弦所在的直线的斜率为k，且与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．
∵抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，∴设直线方程为y＝k(x－1)．
由整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
∴x1＋x2＝.
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝＋2.
又|AB|＝36，∴＋2＝36.∴k＝±.
故所求直线的方程为y＝(x－1)或y＝－(x－1)．
能力提升]
1．过抛物线y2＝2px的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影为A1、B1，则∠A1FB1等于( )
A．45°
B．90°
C．60°
D．120°
【解析】
如图，由抛物线定义知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，所以∠AA1F＝∠AFA1，又∠AA1F＝∠A1FO，所以∠AFA1＝∠A1FO，
INCLUDEPICTURE
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同理∠BFB1＝∠B1FO，
于是∠AFA1＋∠BFB1＝∠A1FO＋∠B1FO＝∠A1FB1.
故∠A1FB1＝90°.
【答案】 B
2．若点P在y2＝x上，点Q在(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为( )
A.－1
B．－1
C．2
D．－1
【解析】 设圆(x－3)2＋y2＝1的圆心为Q′(3,0)，要求|PQ|的最小值，只需求|PQ′|的最小值．
设P点坐标为(y，y0)，则|PQ′|＝
＝＝.
∴|PQ′|的最小值为，
从而|PQ|的最小值为－1.
【答案】 D
3．(2014·湖南高考)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________.
【导学号：63470036】
【解析】 依题意可知，机器人运行的轨迹方程为y2＝4x.设直线l：y＝k(x＋1)，联立消去y，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，由Δ＝(2k2－4)2－4k4＜0，得k2＞1，解得k＜－1或k＞1.
【答案】 {k|k＜－1或k＞1}
4．如图2 2 4，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．
INCLUDEPICTURE
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图2 2 4
【证明】 设kAB＝k(k≠0)，
∵直线AB，AC的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)，
∵AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
由方程组消去y后，整理得
k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解．
∴4·xB＝，即xB＝.
以－k代换xB中的k，得xC＝，
∴kBC＝＝
＝＝＝－.
∴直线BC的斜率为定值．学业分层测评(十四)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
1．函数f(x)＝x3＋＋cos
x，则f′(x)等于( )
A．3x2＋x－sin
x
B．x2＋x－sin
x
C．3x2＋x＋sin
x
D．3x2＋x－sin
x
【解析】 f′(x)＝3x2＋x－sin
x.
【答案】 D
2．函数y＝的导数是( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 y′＝＝
＝＝.
【答案】 A
3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a等于( )
【导学号：63470070】
A.
B．
C.
D．
【解析】 f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，
∴a＝.
【答案】 D
4．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于( )
A．0
B．－4
C．－2
D．2
【解析】 f′(x)＝2x＋2f′(1)．∴f′(1)＝2＋2f′(1)．
即f′(1)＝－2.∴f′(0)＝2(－2)＝－4.
【答案】 B
5．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为( )
A．－
B．
C．－
D．
【解析】 y′＝＝，
故k＝.即曲线在点M处切线的斜率为.
【答案】 B
二、填空题
6．(2014·广东高考)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________.
【导学号：63470071】
【解析】 ∵y′＝－5ex，∴所求切线斜率是k＝－5e0＝－5，∴切线方程是：y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.
【答案】 5x＋y＋2＝0
7．函数f(x)＝excos
x，x∈0,2π]，且f′(x)＝0则x＝________.
【解析】 f′(x)＝(excos
x)′＝(ex)′cos
x＋ex(cos
x)′
＝excos
x－exsin
x＝ex(cos
x－sin
x)，
由f′(x)＝0，得ex(cos
x－sin
x)＝0.
∵ex>0，∴cos
x－sin
x＝0.
∴cos
x＝sin
x，x∈0,2π]．∴x＝或π.
【答案】 或π
8．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．
【解析】 y′＝3x2－10，由3x2－10＝2，得x＝±2.
又∵P点在第二象限内，∴x＝－2，y＝－8＋20＋3＝15.
∴P(－2,15)．
【答案】 (－2,15)
三、解答题
9．求下列函数的导数．
(1)f(x)＝x·tan
x；
(2)f(x)＝.
【解】 (1)法一：y′＝(x·tan
x)′＝
＝
＝＝.
法二：y′＝(x·tan
x)′＝x′·tan
x＋x·(tan
x)′
＝tan
x＋＝.
(2)y′＝
＝
＝.
10．已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，求a，b的值．
【解】 (1)f′(x)＝－.
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，故即解得
所以a＝1，b＝1.
能力提升]
1．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．2
B．
C．－
D．－2
【解析】 ∵y＝＝＝1＋，
∴y′＝－.
∴曲线y＝在点(3,2)处的切线斜率为k＝－，由题意知，ax＋y＋1＝0斜率为k′＝2，
∴a＝－2.
【答案】 D
2．若f(x)＝x2－2x－4ln
x，则f′(x)>0的解集为( )
A．(0，＋∞)
B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－1,0)
【解析】 函数的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－2－＝>0，
解得x>2，故选C.
【答案】 C
3．若点P是曲线f(x)＝x2－ln
x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的距离最小时点P的坐标为________．
【解析】 过点P作y＝x－2的平行直线l，且与曲线f(x)＝x2－ln
x相切．设P(x0，x－ln
x0)，则直线l的斜率k＝f′(x0)＝2x0－，∴2x0－＝1，∴x0＝1或x0＝－(舍去)，∴点P的坐标为(1,1)．
【答案】 (1,1)
4．已知曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝－(x－2)2，直线l与C1和C2都相切，求直线l的方程．
【解】 设l与C1相切于点P(x1，x)，与C2相切于点Q(x2，－(x2－2)2)．
对于C1：y′＝2x，则与C1相切于点P的切线方程为：
y－x＝2x1(x－x1)，
即y＝2x1x－x.
①
对于C2：y′＝－2(x－2)，则与C2相切于点Q的切线方程为：y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)，
即y＝－2(x2－2)x＋x－4.
②
因为两切线重合，
所以由①②，得
解得或
所以直线l的方程为y＝0或y＝4x－4.学业分层测评(十五)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
1．函数y＝f(x)的图像如右图4 1 1所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能是( )
INCLUDEPICTURE
"D:\\【阿贤软件】\\下载器\\download\\名校试卷\\理科\\数学\\XTB161-64.TIF"
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图4 1 1
INCLUDEPICTURE
"D:\\【阿贤软件】\\下载器\\download\\名校试卷\\理科\\数学\\XTB161-65.TIF"
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【解析】 由函数的图像可知，在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上，函数f(x)均为减函数，故在这两个区间上，f′(x)均小于0.
【答案】 D
2．函数f(x)＝x3－8x2＋13x－6的单调减区间为( )
A．(－∞，1)
B.
C.
D．(－∞，1)∪
【解析】 ∵f′(x)＝3x2－16x＋13，令f′(x)<0，得1【答案】 B
3．y＝8x2－ln
x在和上分别是( )
A．增加的，增加的
B．增加的，减少的
C．减少的，增加的
D．减少的，减少的
【解析】 y′＝16x－＝，当x∈时，y′＜0，函数在上是减少的；当x∈时，y′＞0，函数在上是增加的．
【答案】 C
4．已知函数f(x)＝＋ln
x，则有( )
A．f(2)B．f(e)C．f(3)D．f(e)【解析】 ∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝＋>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上为增加的，
∴f(2)【答案】 A
5．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a的取值范围为( )
A．a≥3
B．a＞3
C．a≤3
D．a＜3
【解析】 ∵f′(x)＝3x2－a，由题意f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立，即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3x2在(－1,1)上恒成立，又∵0≤3x2＜3，∴a≥3，经验证当a＝3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．
【答案】 A
二、填空题
6．若函数f(x)＝x3－ax＋1既有单调增区间，又有减区间，则a的取值范围是________.
【导学号：63470078】
【解析】 ∵f′(x)＝3x2－a，由条件知，f′(x)＝0需有两个不等实根，∴a>0.
【答案】 (0，＋∞)
7．函数g(x)＝－x3＋2x2＋mx＋5在R上单调递减，则实数m的范围为________．
【解析】 g′(x)＝－3x2＋4x＋m≤0恒成立，则Δ＝16＋4×3m≤0，∴m≤－.
【答案】
8．若函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调减区间为(－5,5)，则a的值为________．
【解析】 f′(x)＝3x2＋a，∵f′(x)<0的解为－5【答案】 －75
三、解答题
9．求下列函数的单调区间：
(1)y＝x－ln
x；(2)y＝x＋.
【解】 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－，
由y′>0，得x>1；由y′<0，得0∴函数y＝x－ln
x的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)．
(2)函数y＝x＋的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．
∵y＝x＋，∴y′＝1－.
当y′>0，即x>3或x<－3时，函数y＝x＋单调递增；
当y′<0，即－3函数y＝x＋单调递减．
故函数y＝x＋的单调递增区间为(－∞，－3)，(3，＋∞)，单调递减区间为(－3,0)，(0,3)．
10．已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增加的，求t的取值范围．
【解】 由题意得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，
∴f′(x)＝－3x2＋2x＋t.
若f(x)在(－1,1)上是增加的，
则在(－1,1)上f′(x)≥0恒成立．
即t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立．
考虑函数g(x)＝3x2－2x＝3－，x∈(－1,1)，显然g(x)而当t＝5时，f′(x)在(－1,1)上满足f′(x)>0，即f(x)在(－1,1)上是增加的．故t的取值范围是5，＋∞)．
能力提升]
1．已知函数y＝f(x)的图像如图4 1 2所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能是( )
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"D:\\【阿贤软件】\\下载器\\download\\名校试卷\\理科\\数学\\XTB161-66.tif"
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图4 1 2
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【解析】 对于选项A，y＝f′(x)的符号变化情况为大于0、小于0、大于0、小于0，反映在函数y＝f(x)的图像上，即得y＝f(x)的单调变化情况为增、减、增、减，满足条件．而其他三个选项均不满足条件．
【答案】 A
2．若函数f(x)＝kx－ln
x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－2]
B．(－∞，－1]
C．2，＋∞)
D．1，＋∞)
【解析】 由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln
x在区间(1，＋∞)单调递增 f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．
由于k≥，而0<<1，所以k≥1.即k的取值范围为1，＋∞)．
【答案】 D
3．设命题p：f(x)＝ln
x＋2x2＋mx＋1在(0，＋∞)上是增加的，命题q：m≥－5，则p是q的________条件.
【导学号：63470079】
【解析】 对p，f′(x)＝＋4x＋m.
∵f(x)在(0，＋∞)上是增加的，
∴＋4x＋m≥0在(0，＋∞)上恒成立．
∴m≥－.
∵x>0，∴－≤－4.
∴m≥－4.
又∵q：m≥－5，
∴“m≥－4”是“m≥－5”的充分不必要条件．
【答案】 充分不必要
4．已知函数f(x)＝mx3＋nx2(m、n∈R，m≠0)，函数y＝f(x)的图像在点(2，f(2))处的切线与x轴平行．
(1)用关于m的代数式表示n；
(2)求函数f(x)的单调增区间．
【解】 (1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，
又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n＝－3m.
(2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，
∴f′(x)＝3mx2－6mx.
令f′(x)>0，即3mx2－6mx>0，
当m>0时，解得x<0或x>2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；
当m<0时，解得0综上，当m>0时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m<0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2).学业分层测评(十三)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
1．给出下列结论：①若y＝，则y′＝－；②若y＝，则y′＝；③若f(x)＝sin
α，则f′(x)＝cos
α；④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.其中，正确的个数是( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】 对于②y＝，y′＝x＝x＝，故②错；对于③f(x)＝sin
α，为常数函数，
∴f′(x)＝0，故③错；①④都正确．
【答案】 B
2．曲线f(x)＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为( )
【导学号：63470066】
A．1
B．2
C．e
D．
【解析】 ∵f(x)＝ex，∴f′(x)＝ex，
∴f′(0)＝1.
即曲线f(x)＝ex在点(0,1)处的切线的斜率为1.
【答案】 A
3．已知曲线y＝x3在点(a，b)处的切线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则a的值是( )
A．－1
B．±1
C．1
D．±3
【解析】 由y＝x3知y′＝3x2，
∴切线斜率k＝y′|x＝a＝3a2.
又切线与直线x＋3y＋1＝0垂直，
∴3a2·＝－1，
∴即a2＝1，a＝±1，故选B.
【答案】 B
4．已知f(x)＝loga
x(a>1)的导函数是f′(x)，记A＝f′(2)，B＝f(3)－f(2)，C＝f′(3)，则( )
A．A>B>C
B．A>C>B
C．B>A>C
D．C>B>A
【解析】 记M(2，f(2))，N(3，f(3))，则由于B＝f(3)－f(2)＝表示直线MN的斜率，A＝f′(2)表示函数f(x)＝loga
x在点M处的切线的斜率，C＝f′(3)表示函数f(x)＝loga
x在点N处的切线的斜率．由f(x)的图像易得A>B>C.
【答案】 A
5．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为( )
A.
B．－
C．－e
D．e
【解析】 y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则
∴e＝e·x0，∴x0＝1，∴k＝e.
【答案】 D
二、填空题
6．若f(x)＝cos
，则f′(x)＝________.
【解析】 f(x)＝－，∴f′(x)＝0.
【答案】 0
7．(2016·安庆高二检测)曲线y＝cos
x在点处的切线的倾斜角为________.
【导学号：63470067】
【解析】 y′＝－sin
x，∴k＝－sin＝－.
设倾斜角为α，则tan
α＝－，α＝135°.
【答案】 135°
8．设直线y＝x＋b是曲线f(x)＝ln
x(x>0)的一条切线，则实数b的值为________．
【解析】 f′(x)＝(ln
x)′＝，设切点坐标为(x0，y0)，由题意得＝，则x0＝2，y0＝ln
2，代入切线方程y＝x＋b，得b＝ln
2－1.
【答案】 ln
2－1
三、解答题
9．求与曲线y＝在点P(8,4)处的切线垂直，且过点(4,8)的直线方程．
【解】 ∵y＝，∴y′＝()′＝(x)′＝x.
∴k＝f′(8)＝·8＝.
即曲线在点P(8,4)处的切线的斜率为.
∴适合条件的直线的斜率为－3.
从而适合条件的直线方程为y－8＝－3(x－4)．
即3x＋y－20＝0.
10．若曲线f(x)＝x在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．
【解】 对函数f(x)＝x求导得f′(x)＝－x(x>0)，则曲线f(x)＝x在点(a，a)处的切线l的斜率k＝f′(a)＝－a，由点斜式得切线的方程为y－a＝－a
(x－a)，易求得直线l与x轴，y轴的截距分别为3a，a，所以直线l与两个坐标轴围成的三角形面积S＝×3a×a＝a＝18，解得a＝64.
能力提升]
1．设f0(x)＝sin
x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，……，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2
016(x)等于( )
A．sin
x
B．－sin
x
C．cos
x
D．－cos
x
【解析】 f1(x)＝cos
x，f2(x)＝－sin
x，
f3(x)＝－cos
x，f4(x)＝sin
x，f5(x)＝cos
x，
f6(x)＝－sin
x，f7(x)＝－cos
x，f8(x)＝sin
x，…，
故fn(x)以4为周期，
∴f2
016(x)＝f504×4(x)＝f0(x)＝sin
x.
【答案】 A
2．(2016·青岛高二检测)曲线y＝在x＝0处的切线方程是( )
A．x＋yln
2－ln
2＝0
B．xln
2＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0
D．x＋y－1＝0
【解析】 y′＝ln
＝－ln
2·，y′|x＝0＝－ln
2，即切线的斜率为－ln
2.又切点为(0,1)，所以切线方程为y－1＝－ln
2×(x－0)，即xln
2＋y－1＝0.选B.
【答案】 B
3．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为________．
【解析】 y′＝ex，∴y′|x＝2＝e2.
∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)，x＝0时，y＝－e2；y＝0时，x＝1.
∴S△＝×1×e2＝.
【答案】
4．已知两条曲线y＝sin
x，y＝cos
x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
【解】 不存在．理由如下：由于y＝sin
x，y＝cos
x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，
所以两条曲线在P(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝cos
x0，k2＝－sin
x0.
若使两条切线互相垂直，必须有cos
x0·(－sin
x0)＝－1，即cos
x0·sin
x0＝1，也就是sin
2x0＝2，这是不可能的，所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直．学业分层测评(四)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
1．命题：“方程x2－1＝0的解是x＝±1”，其使用逻辑联结词的情况是( )
A．使用了逻辑联结词“且”
B．使用了逻辑联结词“或”
C．使用了逻辑联结词“非”
D．没有使用逻辑联结词
【解析】 “方程x2－1＝0的解是x＝±1”的含义是方程x2－1＝0的解是1或－1，使用了逻辑联结词“或”．
【答案】 B
2．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么( )
A．命题p不一定是假命题
B．命题q一定是真命题
C．命题q不一定是真命题
D．命题p与命题q的真假相同
【解析】 “非p”是真命题，则p是假命题；又“p或q”是真命题，所以q一定是真命题．
【答案】 B
3．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是( )
A．(﹁p)或q
B．p且q
C．(﹁p)且(﹁q)
D．(﹁p)或(﹁q)
【解析】 由于p为真命题，q为假命题，所以﹁p是假命题，﹁q为真命题，故(﹁p)或(﹁q)为真命题．
【答案】 D
4．已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数．
p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．
则在命题q1：p1或p2，q2：p1且p2，q3：(﹁p1)或p2和q4：p1且(﹁p2)中，真命题是( )
A．q1，q3
B．q2，q3
C．q1，q4
D．q2，q4
【解析】 p1是真命题，则﹁p1为假命题；p2是假命题，则﹁p2为真命题；
∴q1：p1或p2是真命题，q2：p1且p2是假命题．
∴q3：(﹁p1)或p2为假命题，q4：p1且(﹁p2)为真命题．
∴真命题是q1，q4.
【答案】 C
5．已知命题p：“任意x∈1,2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．{a|a≤－2或a＝1}
B．{a|a≥1}
C．{a|a≤－2或1≤a≤2}
D．{a|－2≤a≤1}
【解析】 由题意知，p：a≤1，q：a≤－2或a≥1.
∵“p且q”为真命题，∴p，q均为真命题，
∴a≤－2或a＝1.
【答案】 A
二、填空题
6．命题p：方向相同的两个向量共线，q：方向相反的两个向量共线，则命题“p或q”为________．
【答案】 方向相同或相反的两个向量共线
7．若“x∈2,5]或x∈(－∞，1)∪4，＋∞)”是假命题，则x的取值范围是________．
【解析】 ∵x∈2,5]或x∈(－∞，1)∪4，＋∞)，故x∈(－∞，1)∪2，＋∞)，由于该命题为假命题，所以1≤x＜2，即x∈1,2)．
【答案】 1,2)
8．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝的定义域是3，＋∞)，则“p或q”、“p且q”，“
﹁p”中是真命题的有________．
【解析】 ab＝0a＝0，∴p为假，由x－3≥0得x≥3.
∴q真，所以“p或q”真，“p且q”为假，“﹁p”为真．
【答案】 p或q，﹁p
三、解答题
9．分别指出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题的真假．
(1)命题p：正方形的两条对角线互相垂直，命题q：正方形的两条对角线相等；
(2)命题p：“x2－3x－4＝0”是“x＝4”的必要不充分条件；
命题q：若函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图像关于y轴对称，则φ＝.
【解】 (1)因为p、q均为真命题，
∴p且q，p或q为真，﹁p为假命题．
(2)由x2－3x－4＝0，得x＝4或x＝－1.
∴命题p是真命题，
又函数f(x)的图像关于y轴对称，
∴φ＝kπ＋(k∈Z)，则命题q是假命题．
由于p真，q假，
∴﹁p、p且q为假命题，p或q为真命题．
10．已知p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝－(5－2a)x在R上是减函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围．
【解】 设g(x)＝x2＋2ax＋4.
因为p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图像开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16<0，
所以－2因为q：函数f(x)＝－(5－2a)x在R上是减函数，
所以5－2a>1，即a<2.
又由于p或q为真，p且q为假，
所以p和q为一真一假．
①若p真q假，则此不等式组无解．
②若p假q真，则所以a≤－2.
综上所述，所求实数a的取值范围为a≤－2.
能力提升]
1．已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x，使2x<0.下列选项中为真命题的是( )
A．﹁p
B．﹁p或q
C．﹁q且p
D．q
【解析】 很明显命题p为真命题，所以﹁p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以﹁q是真命题．所以﹁p或q为假命题，﹁q且p为真命题，故选C.
【答案】 C
2．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(﹁p)∨(﹁q)
B．p∨(﹁q)
C．(﹁p)∧(﹁q)
D．p∨q
【解析】 依题意，﹁p：“甲没有降落在指定范围”，
﹁q：“乙没有降落在指定范围”，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(﹁p)∨(﹁q)．
【答案】 A
3．已知命题p：“任意x∈R，存在m∈R,4x－2x＋1＋m＝0”，若命题﹁p是假命题，则实数m的取值范围是__________.
【导学号：63470015】
【解析】 若﹁p是假命题，则p是真命题，即关于x的方程4x－2·2x＋m＝0有实数解，由于m＝－(4x－2·2x)＝－(2x－1)2＋1≤1.∴m≤1.
【答案】 (－∞，1]
4．已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．
【解】 由a2x2＋ax－2＝0，得(ax＋2)(ax－1)＝0.
显然a≠0，∴x＝－或x＝.若命题p为真，
∵x∈－1,1]，故≤1或≤1，∴|a|≥1.
若命题q为真，即只有一个实数x满足x2＋2ax＋2a≤0，
即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点．
∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.
∵命题“p或q”为假命题，
∴a的取值范围是{a|－1(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
1．已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4，则动点P的轨迹是( )
A．双曲线
B．双曲线的左支
C．一条射线
D．双曲线的右支
【解析】 本题容易犯片面性错误，从而根据双曲线的定义而得出错误结果．由于|PM|－|PN|＝4，恰好等于这两个定点间的距离，故其轨迹是一条射线．
【答案】 C
2．已知双曲线中心在原点且一个焦点F2(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF2的中点坐标为(0,2)，则该双曲线方程为( )
A.－y2＝1
B．x2－＝1
C.－＝1
D．－＝1
【解析】 易知点P的坐标为(，4)，把点P的坐标代入选项中的方程只有B适合．
【答案】 B
3．已知P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A．1或5
B．6
C．7
D．9
【解析】 由题意a＝2，∴||PF1|－|PF2||＝4.∴|PF2|＝7.
【答案】 C
4．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是( )
A.－y2＝1
B．－y2＝1
C.－＝1
D．x2－＝1
【解析】 ∵c2＝4－1＝3，∴共同焦点坐标为(±，0)，
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则由
解得
∴双曲线方程为－y2＝1.
【答案】 A
5．F1，F2是椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于( )
A. B. C. D.
【解析】 不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，|PF1|－|PF2|＝2，
①
由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2.
②
由①②可得，|PF1|＝＋，|PF2|＝－，
∵|F1F2|＝4，
∴cos∠F1PF2＝＝.
【答案】 B
二、填空题
6．双曲线5x2＋ky2＝5的一个焦点是(2,0)，那么k＝________.
【导学号：63470040】
【解析】 方程可化为x2－＝1，
∴＝2，解得k＝－.
【答案】 －
7．(2014·北京高考)设双曲线C的两个焦点为(－，0)，(，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为________．
【解析】 由题意，设双曲线的方程为x2－＝1(b＞0)，又∵1＋b2＝()2，∴b2＝1，即双曲线C的方程为x2－y2＝1.
【答案】 x2－y2＝1
8．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为______．
【解析】 设右焦点为F′，由题意知F′(4,0)，根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝4，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF′|＋|PA|，∴要使|PF|＋|PA|最小，只需|PF′|＋|PA|最小即可，即需满足P、F′、A三点共线，最小值为4＋|F′A|＝4＋＝9.
【答案】 9
三、解答题
9．若双曲线－＝1的两个焦点为F1、F2，|F1F2|＝10，P为双曲线上一点，|PF1|＝2|PF2|，PF1⊥PF2，求此双曲线的方程．
【解】 ∵|F1F2|＝10，
∴2c＝10，c＝5.
又∵|PF1|－|PF2|＝2a，且|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.
在Rt△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
∴4a2＋16a2＝100.
∴a2＝5.则b2＝c2－a2＝20.
故所求的双曲线方程为－＝1.
10．已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心的轨迹方程．
【解】 设动圆M的半径为r，由于动圆与圆C1相外切，所以|MC1|＝r＋，又动圆与圆C2相内切，所以有|MC2|＝r－，于是|MC1|－|MC2|＝(r＋)－(r－)＝2，且2<|C1C2|，因此动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支．
设其方程为－＝1，则有2a＝2，即a＝，
又c＝4，∴b2＝c2－a2＝16－2＝14，
于是动圆圆心的轨迹方程为－＝1(x≥)．
能力提升]
1．已知F1、F2为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为( )
A.＋4
B．－4
C.－2
D．＋2
【解析】 如图所示，连接F1P交双曲线右支于点A0.
INCLUDEPICTURE
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∵|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2，
∴要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值．
当A落在A0处时，|AP|＋|AF1|＝|PF1|最小，最小值为，∴|AP|＋|AF2|的最小值为－2.
【答案】 C
2．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线－y2＝1(a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则·的取值范围为( )
A．3－2，＋∞)
B．3＋2，＋∞)
C.
D．
【解析】 由a2＋1＝4，得a＝，则双曲线方程为
－y2＝1.
设点P(x0，y0)，则－y＝1，即y＝－1.
·＝x0(x0＋2)＋y＝x＋2x0＋－1
＝－，∵x0≥，
故·的取值范围是3＋2，＋∞)，故选B.
【答案】 B
3．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是________.
【导学号：63470041】
【解析】 ∵c2＝4－1＝3，∴共同焦点坐标为(±，0)，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则由
解得
∴双曲线方程为－y2＝1.
【答案】 －y2＝1
4．已知方程kx2＋y2＝4，其中k∈R，试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型．
【解】 (1)当k＝0时，方程变为y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程变为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；
(3)当k<0时，方程变为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线．
(4)当0(5)当k>1时，方程变为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆.学业分层测评(十一)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)＝sin
x，当x从变到时，函数值的改变量Δy＝( )
A．－ B. C. D.
【解析】 Δy＝f－f＝sin－sin
＝1－＝.
【答案】 B
2．在曲线y＝x2＋1上取一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则＝( )
A．Δx＋
B．Δx－－2
C．Δx＋2
D．2＋Δx－
【解析】 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝(Δx)2＋2Δx，∴＝Δx＋2.
【答案】 C
3．函数f(x)＝－，在2到2＋Δx之间的平均变化率为( )
A．－
B．－
C.
D．
【解析】 ＝＝.
【答案】 C
4．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为s＝t2，则t＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( )
A．2
B．1
C.
D．
【解析】 因为Δs＝(2＋Δt)2－×22＝Δt＋(Δt)2，所以＝＋Δt，当Δt趋于0时，＋Δt趋于，因此t＝2时，木块在水平方向瞬时速度为.
【答案】 C
5．水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，按顺序与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像相对应的一项是( )
INCLUDEPICTURE
"D:\\【阿贤软件】\\下载器\\download\\名校试卷\\理科\\数学\\XTB161-57.TIF"
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A．①②③④
B．②①③④
C．②①④③
D．②④①③
【解析】 以第二个容器为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快，反映在图像上，①符合上述变化情况．而第三个容器在开始时高度增加快，后来时高度增加慢，图像④适合上述变化情况．故应选C.
【答案】 C
二、填空题
6．函数f(x)＝ln
x＋1从e到e2的平均变化率为________．
【解析】 Δy＝f(e2)－f(e)＝(ln
e2＋1)－(ln
e＋1)＝1，
Δx＝e2－e，
∴＝.
【答案】
7．质点按规律s(t)＝at＋1运动，若在t＝2时刻的瞬时速度为，则a的值为________．
【解析】 由＝a，得a＝.
【答案】
8．质点的运动方程是s(t)＝，则质点在t＝2时的速度为________.
【导学号：63470057】
【解析】 ＝＝
＝－，当Δt趋于0时，＝－.
【答案】 －
三、解答题
9．如果一个质点从定点A开始运动，时间t的位移函数为y＝f(t)＝t3＋3，当t1＝4，且Δt＝0.01时，求：
(1)Δy；(2).
【解】 (1)∵Δy＝f(t1＋Δt)－f(t1)＝(t1＋Δt)3＋3－(t＋3)
＝3tΔt＋3t1(Δt)2＋(Δt)3.
∴当t1＝4，Δt＝0.01时，
Δy＝3×42×0.01＋3×4×0.012＋0.013＝0.481
201.
(2)∵＝
＝3t＋3t1·Δt＋(Δt)2.
∴当t1＝4，Δt＝0.01时，
＝3×42＋3×4×0.01＋0.012＝48.120
1.
10．设某跳水运动员跳水时，相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)的函数关系为h(t)＝－5t2＋6t＋10.
(1)求该运动员从时间t＝1到时间t＝3的平均速度；
(2)求该运动员在时间t＝1处的瞬时速度．
【解】 (1)由h(t)＝－5t2＋6t＋10，得该运动员从时间t＝1到时间t＝3的平均速度；
＝＝－14.
故该运动员从时间t＝1到时间t＝3的平均速度为－14
m/s；
(2)∵＝
＝
＝
＝－5·Δt－4，
∴当Δt趋于0时，趋于－4，
即该运动员在时间t＝1处的瞬时速度为－4
m/s.
能力提升]
1．一物体作直线运动，其运动方程为s＝3t－t2，其中位移s单位为米，时间t的单位为秒，那么该物体的初速度为( )
A．0米/秒
B．－2米/秒
C．3米/秒
D．3－2t米/秒
【解析】 物体的初速度就是t＝0时的瞬时速度．
＝＝＝3－Δx.
当Δx→0时，3－Δx→3，∴物体初速度为3米/秒．
【答案】 C
2．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，若函数在x0处的瞬时变化率为0，则点P的坐标为( )
A．(1,10)
B．(－1，－2)
C．(1，－2)
D．(－1,10)
【解析】 Δy＝3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)＋1－3x－6x0－1＝6x0·Δx＋3(Δx)2＋6Δx，
∴＝6x0＋3Δx＋6，由题意，当Δx→0时，→6x0＋6＝0，∴x0＝－1，∴y0＝－2.
【答案】 B
3．经过研究，某个婴儿从出生到第24个月的体重变化如图3 1 1所示，那么该婴儿体重的平均变化率哪一年较大？________.(填“第一年”或“第二年”)
【导学号：63470058】
INCLUDEPICTURE
"D:\\【阿贤软件】\\下载器\\download\\名校试卷\\理科\\数学\\XTB161-58.TIF"
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INCLUDEPICTURE
"C:\\Documents
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图3 1 1
【解析】 由题图知，第一年该婴儿体重的平均变化率是＝0.625；第二年该婴儿体重的平均变
化率是＝0.25.因为0.625>0.25，所以第一年该婴儿体重的平均变化率较大．
【答案】 第一年
4．路灯距地面8
m，一个身高为1.6
m的人以84
m/min的速度在地面上从路灯在地面上射影点C沿某直线离开路灯．
(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；
(2)求人离开路灯的第一个10
s内身影的平均变化率．
【解】 (1)如图所示，设人从C点运动到B点的路程为x
m，AB为身影长度，AB的长度为y
m，
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由于CD∥BE，则＝，
即＝，所以y＝f(x)＝x.
(2)84
m/min＝1.4
m/s，在0,10]内自变量的增量为
x2－x1＝1.4×10－1.4×0＝14，
f(x2)－f(x1)＝×14－×0＝.
所以＝＝.
即人离开路灯的第一个10
s内身影的平均变化率为.学业分层测评(五)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
1．椭圆4x2＋y2＝1的焦点坐标为( )
A．(±，0)
B．
C.
D．(0，±)
【解析】 ∵＋＝1，
∴椭圆的焦点在y轴上，并且a2＝1，b2＝，
∴c2＝，即焦点坐标为.
【答案】 C
2．若椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为( )
A．5
B．6
C．4
D．1
【解析】 由椭圆的定义知a＝5，点P到两个焦点的距离之和为2a＝10.因为点P到一个焦点的距离为5，所以到另一个焦点的距离为10－5＝5，故选A.
【答案】 A
3．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．a＞3
B．a＜－2
C．a＞3或a＜－2
D．a＞3或－6＜a＜－2
【解析】 ∵椭圆的焦点在x轴上，∴
∴a＞3或－6＜a＜－2.
【答案】 D
4．已知A(0，－1)，B(0,1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是( )
A.＋＝1(x≠±2)
B．＋＝1(y≠±2)
C.＋＝1(x≠0)
D．＋＝1(y≠0)
【解析】 ∵2c＝|AB|＝2，∴c＝1，
∴|CA|＋|CB|＝6－2＝4＝2a，∴a＝2.
∴顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线)．因此，顶点C的轨迹方程为＋＝1(y≠±2)．
【答案】 B
5．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过点P的椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1
B．＋＝1
C.＋＝1
D．＋＝1
【解析】 由椭圆定义知：2a＝＋＝＋＝2.
∴a＝.∴b＝＝，故椭圆的标准方程为＋＝1.
【答案】 A
二、填空题
6．椭圆方程mx2＋ny2＝mn(m>n>0)中，焦距为________.
【导学号：63470023】
【解析】 椭圆方程可化为＋＝1，∵m>n>0，∴椭圆焦点在y轴上．∴c＝，即焦距为2.
【答案】 2
7．若α∈，方程x2sin
α＋y2cos
α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是________．
【解析】 方程可化为＋＝1.∵焦点在y轴上，
∴>，即sin
α>cos
α.
又∵α∈，∴α∈.
【答案】
8．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
【解析】 由题意，得
解得a2－c2＝9，即b2＝9，所以b＝3.
【答案】 3
三、解答题
9．在椭圆9x2＋25y2＝225上求点P，使它到右焦点的距离等于它到左焦点距离的4倍.
【导学号：63470024】
【解】 原方程可化为＋＝1.其中a＝5，b＝3，则c＝4.
∴F1(－4,0)，F2(4,0)．
设P(x，y)是椭圆上任一点，
由椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
又|PF2|＝4|PF1|，解得|PF1|＝2，|PF2|＝8，
即解得
或
故P点坐标为或.
10．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
【解】 如图，设动圆M和定圆B内切于点C，由|MA|＝|MC|得|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝|BC|＝8，即动圆圆心M到两定点A(－3,0)，B(3,0)的距离之和等于定圆的半径，
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∴动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，
且2a＝8,2c＝6，b＝＝，
∴M的轨迹方程是＋＝1.
能力提升]
1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2
B．4
C．8
D．16
【解析】 设A为椭圆左焦点，而BC过右焦点F，如图．
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可知|BA|＋|BF|＝2a，
|CA|＋|CF|＝2a，两式相加，得|AB|＋|BF|＋|CA|＋|CF|＝|AB|＋|AC|＋|BC|＝4a.而椭圆标准方程为＋y2＝1，因此a＝2，故4a＝8，故选C.
【答案】 C
2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是( )
A．圆
B．椭圆
C．线段
D．直线
【解析】 由题意知|PO|＝|MF2|，|PF1|＝|MF1|，
又|MF1|＋|MF2|＝2a，所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c，故由椭圆的定义知P点的轨迹是椭圆．
【答案】 B
3．椭圆＋＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为________．
【解析】 如图所示，
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∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，
|MF1|＝2，∴|MF2|＝8.
∵N，O分别是MF1，F1F2中点．
∴|ON|＝|MF2|＝×8＝4.
【答案】 4
4．(2014·重庆高考改编)如图2 1 3，设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面积为.求该椭圆的标准方程．
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图2 1 3
【解】 设F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2.
由＝2，得|DF1|＝＝c.
从而S＝|DF1||F1F2|＝c2＝，故c＝1.
从而|DF1|＝.
由DF1⊥F1F2，得|DF2|2＝|DF1|2＋|F1F2|2＝，
因此|DF2|＝，
所以2a＝|DF1|＋|DF2|＝2，
故a＝，b2＝a2－c2＝1.
因此，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.学业分层测评(十七)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
1．一物体运动的路程s与时间t之间的关系为s＝2t，则该物体( )
A．做匀加速运动
B．做匀减速运动
C．做匀速运动
D．处于静止状态
【解析】 ∵s′＝2，∴物体做匀速运动．
【答案】 C
2．圆的面积S是半径r的函数S(r)＝πr2，那么在r＝3时，面积的变化率是( )
A．6
B．9
C．9π
D．6π
【解析】 面积S在r＝3时的变化率即为S′(3)＝2π×3＝6π.
【答案】 D
3．一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用y＝f(t)表示，则f′(10)表示( )
【导学号：63470087】
A．t＝10时的降雨强度
B．t＝10时的降雨量
C．t＝10时的时间
D．t＝10时的温度
【解析】 f′(t)表示t时刻的降雨强度．
【答案】 A
4．从时刻t＝0开始的t
s内，通过某导体的电量(单位：C)可由公式q＝2t2＋t表示，则第3
s时电流强度为( )
A．10
C/s
B．11
C/s
C．12
C/s
D．13
C/s
【解析】 ∵q′＝4t＋1，∴q′|t＝3＝13，即第3
s时的电流强度为13
C/s.
【答案】 D
5．人在吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的速度( )
A．越来越慢
B．越来越快
C．先慢后快
D．先快后慢
【解析】 ∵气球半径与体积的关系式为r(V)＝，
r′(V)＝··
随着V的增加，r′(V)越来越小．
【答案】 A
二、填空题
6．某人拉动一物体前行，他所做的功W是时间t的函数W＝W(t)，则W′(t0)表示________．
【解析】 因为功率是功关于时间的导数，故W′(t0)表示t＝t0时的功率．
【答案】 t＝t0时的功率
7．某物体的运动速度与时间的关系为v(t)＝2t2－1，则t＝2时的加速度为________．
【解析】 v'(t)＝4t，∴v′(2)＝8.
【答案】 8
8．某收音机制造厂的管理者通过对上午上班工人工作效率的研究表明：一个中等技术水平的工人，从8：00开始工作，t小时后可装配晶体管收音机的台数为Q(t)＝－t3＋9t2＋12t，则Q′(2)＝________，它的实际意义是________．
【解析】 Q′(t)＝－3t2＋18t＋12，Q′(2)＝36台/小时．
【答案】 36台/小时 10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时
三、解答题
9．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(时间：s)间的关系式为h(t)＝－4t2＋7t＋16.
(1)求t从2
s到3
s时，高度关于时间t的平均变化率；
(2)求h′(2)，h′(3)，并解释它们的实际意义．
【解】 (1)∵h(2)＝14，h(3)＝1，
∴t从2
s到3
s时，h关于t的平均变化率为
＝＝－13(m/s)．
(2)∵h′(t)＝－8t＋7，
∴h′(2)＝－9
m/s，h′(3)＝－17
m/s.
h′(2)和h′(3)分别表示t＝2
s和t＝3
s时，运动员每秒向下运动的高度为9
m和17
m.
10．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)．
(1)从t＝0
min到t＝10
min，蜥蜴的体温下降了多少？
(2)从t＝0
min到t＝10
min，蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
(3)求T′(5)，并解释它的实际意义．
【解】 (1)∵T(10)－T(0)＝＋15－＝－16(℃)，
∴从t＝0
min到t＝10
min，蜥蜴的体温下降了16
℃.
(2)从t＝0
min到t＝10
min，蜥蜴体温下降的平均变化率是：＝＝－1.6(℃/min)，
它表示从t＝0
min到t＝10
min这段时间内，蜥蜴体温平均每分钟下降1.6
℃.
(3)∵T′(t)＝＝，
∴T′(5)＝－＝－1.2(℃/min)．
它表示t＝5
min时，蜥蜴体温的下降速度为1.2
℃/min.
能力提升]
1．设一辆汽车在公路上做加速直线运动，已知速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的函数关系为v＝v(t)＝t3＋2t，则t＝t0时汽车的加速度为( )
A．t＋2t0
B．3t＋2t0
C．3t＋2
D．t＋2
【解析】 v′(t)＝3t2＋2，当t＝t0时，速度的变化率v′(t0)＝3t＋2(m/s2)，则t＝t0时，汽车的加速度为(3t＋2)m/s2.
【答案】 C
2．如图4 2 1所示，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90
°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，则函数的图像大致是( )
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图4 2 1
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【解析】 由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快．
选项A表示面积的增速是常数，与实际不符；
选项B表示最后时段面积的增速较快，与实际不符；
选项C表示开始和最后时段面积的增速比中间时段面积的增速快，与实际不符；
选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快，符合实际．
【答案】 D
3．一物体按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若物体在t＝2
s时的瞬时速度为8
m/s，则常数a＝________.
【导学号：63470088】
【解析】 ∵s′(t)＝2at，
∴物体在t＝2
s时的瞬时速度为4a，即4a＝8，
∴a＝2.
【答案】 2
4．某食品厂生产某种食品的总成本C(单位：元)和总收入R(单元：元)都是日产量x(单位：kg)的函数，分别为C(x)＝100＋2x＋0.02x2，R(x)＝7x＋0.01x2，试求边际利润函数，以及当日产量分别为200
kg,250
kg,300
kg时的边际利润，并说明其经济意义．
【解】 (1)根据定义知，总利润函数为L(x)＝R(x)－C(x)＝5x－100－0.01x2.
所以边际利润函数为L′(x)＝5－0.02x.
(2)当日产量分别为200
kg,250
kg,300
kg时，边际利润分别为L′(200)＝1(元)，L′(250)＝0(元)，L′(300)＝－1(元)．
其经济意义是：当日产量为200
kg时，再增加1
kg，则总利润可增加1元；当日产量为250
kg时，再增加1
kg，则总利润无增加；当日产量为300
kg时，再增加1
kg，则总利润反而减少1元．
由此可得：当企业的某一产品的生产量超过了边际利润的零点时，反而会使企业“无利可图”．学业分层测评(二)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
1．下面四个条件中，使“a>b”成立的充分条件是( )
A．a>b＋1
B．a>b－1
C．a2>b2
D．a＋1>b
【解析】 “p的充分条件是q”即“q是p的充分条件”，亦即“q p”．因为a>b＋1 a>b，故选A.
【答案】 A
2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件的( )
A．m＝－2
B．m＝2
C．m＝－1
D．m＝1
【解析】 由f(x)＝x2＋mx＋1＝＋1－，
∴f(x)的图像的对称轴为x＝－，由题意：－＝1，
∴m＝－2.
【答案】 A
3．已知p：关于x的不等式x2＋2ax－a>0的解集是R，q：－1A．充分条件
B．必要条件
C．非充分也非必要条件
D．不能确定
【解析】 p所对应的集合为A＝{a|－1∴B A，∴q p，∴p是q的必要条件．
【答案】 B
4．(2015·天津高考)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2>0”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 |x－2|<1 10 x>1或x<－2.
由于{x|11或x<－2}的真子集，
所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分而不必要条件．
【答案】 A
5．有下述说法：
①a＞b＞0是a2＞b2的充要条件；②a＞b＞0是＜的充要条件；③a＞b＞0是a3＞b3的充要条件．
其中正确的说法有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【解析】 a＞b＞0 a2＞b2，
a2＞b2 |a|＞|b|a＞b＞0，故①错．
a＞b＞0 ＜，但＜a＞b＞0，故②错．
a＞b＞0 a3＞b3，但a3＞b3a＞b＞0，故③错．
【答案】 A
二、填空题
6．“cos
α＝－”是“α＝π”的________条件．
【解析】 α＝π时，cos
α＝－，反之不一定成立，故应是必要不充分条件．
【答案】 必要不充分
7．下列说法正确的是________．
①“两角相等”是“两角是对顶角”的充分条件；
②“一个平面过另一个平面的垂线”是“这两个平面垂直”的充分条件；
③“a，b，c成等比数列”是“b2＝ac”的必要条件．
【解析】 因为“两角相等”“两角是对顶角”，①错；“a，b，c成等比数列” “b2＝ac”，③错．②正确．
【答案】 ②
8．直线l1：2x＋my＋1＝0与直线l2：y＝3x－1垂直的充要条件是________.
【导学号：63470008】
【解析】 l1⊥l2，则2×3＋m×(－1)＝0，即m＝6.
【答案】 m＝6
三、解答题
9．已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．
【解】 由(x－a)2<1，得a－1由x2－5x－24<0，得－3∵N是M的必要条件，
∴M N，
∴
∴－2≤a≤7.
即a的取值范围是－2,7]．
10．已知p：ab≠0，a＋b＝1；q：ab≠0，a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.求证：p是q的充要条件．
【证明】 ①先证充分性成立．
∵ab≠0，a＋b＝1，
∴b＝1－a.
∴a3＋b3＋ab－a2－b2
＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2
＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.
②再证必要性成立．
∵ab≠0，
∴a≠0且b≠0.
∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0.
∴(a2－ab＋b2)·(a＋b－1)＝0.
∵a2－ab＋b2≠0，
∴a＋b＝1.
由①②知，p是q的充要条件．
能力提升]
1．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C
”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}，
C＝{x∈R|x<0或x>2}，
∵A∪B＝C，
∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件．
【答案】 C
2．若A：log2a<1，B：关于x的二次方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，则A是B的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 由log2a<1，解得0【答案】 A
3．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则“<0”是“2x>4”成立的________条件．
【解析】 f(x)<0即x>2；当x<0时，f(x)>0，即x<－2，∴x>2或x<－2；而2x>4 x>2，所以前者是后者的必要不充分条件．
【答案】 必要不充分
4．已知条件p：|x－1|>a和条件q：2x2－3x＋1>0，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.
【解】 依题意得a>0.由条件p：|x－1|>a
得x－1<－a，或x－1>a，∴x<1－a，或x>1＋a.
由条件q：2x2－3x＋1>0，得x<，或x>1.
要使p是q的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，应有
或解得a≥.
令a＝1，则p：x<0，或x>2，
此时必有x<，或x>1.
即p q，反之不成立．∴最小正整数a＝1.学业分层测评(一)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
1．下列语句是命题的是( )
A．2016是一个大数
B．若两直线平行，则这两条直线没有公共点
C．对数函数是增函数吗？
D．a≤15
【解析】 B选项可以判断真假，是命题．
【答案】 B
2．以下说法错误的是( )
A．原命题为真，则它的逆命题可以为真，也可以为假
B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定是真命题
C．原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数
D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题
【解析】 A显然正确；B错误，原命题与否命题的真假可能相同，也可能相反；C、D为真命题．
【答案】 B
3．下列命题中，为真命题的是( )
A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题
【解析】 B选项中，否命题为“若x≤1，则x2≤1”，为假命题；C选项中，否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，为假命题；D选项中，逆否命题为“若x≤1，则x2≤0”，为假命题．
【答案】 A
4．命题“对于正数a，若a>1，则lg
a>0.”及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中真命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．4
【解析】 原命题是正确的，所以其逆否命题也是正确的；逆命题“对于正数a，若lg
a>0，则a>1”是真命题，所以其否命题也正确．
【答案】 D
5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的假命题是( )
A．若m⊥n，m⊥α，nα，则n∥α
B．若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m?α
C．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
D．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
【解析】 C是假命题，m∥α，α⊥β时，m与β的关系可以是m⊥β，可以是m∥β，可以m?β或m与β斜交．
【答案】 C
二、填空题
6．命题“无理数是无限不循环小数”中，条件是________，结论是________.
【导学号：63470003】
【解析】 该命题可改写为“如果一个数是无理数，那么它是无限不循环小数”．条件是：一个数是无理数；结论是：它是无限不循环小数．
【答案】 一个数是无理数 它是无限不循环小数
7．已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则有
①逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；
②否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；
③逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”．
其中所有正确叙述的序号是________．
【解析】 ①②正确，③逆否命题应为：“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”，故③错误．
【答案】 ①②
8．有下列四个命题：
①命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；
③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；
④命题“若A∩B＝B，则A B”的逆否命题．
其中是真命题的是________(填上正确命题的序号)．
【解析】 ④中由A∩B＝B，应该得出B A，原命题为假命题，所以逆否命题为假命题．
【答案】 ①②③
三、解答题
9．判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假．
(1)若a>b，则ac2>bc2；
(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，则该二次函数图像与x轴有公共点．
【解】 (1)该命题为假．因为当c＝0时，ac2＝bc2.
逆命题：若ac2>bc2，则a>b，为真．
否命题：若a≤b，则ac2≤bc2，为真．
逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b，为假．
(2)该命题为假．∵当b2－4ac<0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴无公共点．
逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有公共点，则b2－4ac<0，为假．
否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，则该二次函数图像与x轴没有公共点，为假．
逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴没有公共点，则b2－4ac≥0，为假．
10．证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
【证明】 原命题的逆否命题为“已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，
若a＋b<0，则f(a)＋f(b)若a＋b<0，则a<－b，b<－a，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．
能力提升]
1．命题“若－1A．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
B．若x2<1，则－1C．若x2>1，则x>1或x<－1
D．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
【解析】 “－1【答案】 D
2．下列四个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
(2)“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题；
(3)“若x≤－3，则x2－x－6＞0”的否命题；
(4)“对顶角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2 D．3
【解析】 (1)否命题：若x＋y≠0，则x，y不互为相反数，真命题．(2)逆否命题：若a2≤b2，则a≤b，假命题．(3)否命题：若x＞－3，则x2－x－6≤0，假命题．(4)逆命题：相等的两个角是对顶角，假命题，故选B.
【答案】 B
3．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．
【解析】 由已知得，若1＜x＜2成立，则m－1＜x＜m＋1也成立．
∴，∴1≤m≤2.
【答案】 1,2]
4．已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：1－x＋<1，若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数x的取值范围.
【导学号：63470004】
【解】 由lg(x2－2x－2)≥0，得x2－2x－2≥1，
即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.
由1－x＋<1，得x2－4x<0，解得0因为命题p为真命题，命题q为假命题，
所以，解得x≤－1或x≥4.
所以，满足条件的实数x的取值范围为(－∞，－1]∪4，＋∞)．学业分层测评(六)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
1．若椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值是( )
A．3
B．3或
C.
D．或
【解析】 若焦点在x轴上，则a＝，由＝得c＝，
∴b2＝a2－c2＝3，∴m＝b2＝3.
若焦点在y轴上，则b2＝5，a2＝m.∴＝，
∴m＝.
【答案】 B
2．椭圆＋＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( )
A．8,2
B．5,4
C．5,1
D．9,1
【解析】 由题意知a＝5，b＝3，c＝4，∴a＋c＝9，a－c＝1，
故点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别为9,1.
【答案】 D
3．(2016·梅州高二检测)焦点在x轴上，长、短轴长之和为20，焦距为4，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1
B．＋＝1
C.＋＝1
D．＋＝1
【解析】 ∵c＝2，∴a2＝(2)2＋b2，又a＋b＝10，可解得a＝6，b＝4.故椭圆方程为＋＝1.
【答案】 A
4．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 由题意可得|PF2|＝|F1F2|，
∴2＝2c.
∴3a＝4c.∴e＝.
【答案】 C
5．已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是( )
A．(0,1]
B．1,2]
C．(0,2]
D．2，＋∞)
【解析】 因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取值范围是________.
【导学号：63470028】
【解析】 由题意2b>2c，即b>c，即>c，
∴a2－c2>c2，则a2>2c2.
∴<，∴0【答案】
7．(2016·台州高二检测)若椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，且△PF1F2的最大面积是12，则椭圆的短半轴长为________．
【解析】 设P点到x轴的距离为h，则S＝|F1F2|h，
当P点在y轴上时，h最大，此时S最大
∵|F1F2|＝2c＝8，∴h＝3，即b＝3.
【答案】 3
8．焦点在x轴上的椭圆，焦距|F1F2|＝8，率心率为，椭圆上的点M到焦点F1的距离2，N为MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为________．
【解析】 ∵|F1F2|＝2c＝8，e＝＝，∴a＝5，
∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝2，∴|MF2|＝8.
又∵O，N分别为F1F2，MF1的中点，
∴ON是△F1F2M的中位线，∴|ON|＝|MF2|＝4.
【答案】 4
三、解答题
9．(1)求与椭圆＋＝1有相同的焦点，且离心率为的椭圆的标准方程；
(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．
【解】 (1)∵c＝＝，
∴所求椭圆的焦点为(－，0)，(，0)．
设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵e＝＝，c＝，
∴a＝5，b2＝a2－c2＝20.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因椭圆的焦点在x轴上，
设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵2c＝8，∴c＝4，
又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
10．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos
∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
【解】 (1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，
得|AF1|＝3，|F1B|＝1.
因为△ABF2的周长为16，
所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.
故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.
(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos
∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0.
而a＋k>0，故a＝3k.
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝a，
所以椭圆E的离心率e＝＝.
能力提升]
1．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到y轴的距离为( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 由题意，得F1(－，0)，F2(，0)．
设M(x，y)，则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝0，
整理得x2＋y2＝3.
①
又因为点M在椭圆＋y2＝1上，
即y2＝1－.
②
将②代入①，得x2＝2，解得x＝±.
故点M到y轴的距离为.
【答案】 B
2．已知F1、F2是椭圆的两个焦点．满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1)
B．
C.
D．
【解析】 ∵·＝0，
∴M点轨迹方程为x2＋y2＝c2，其中F1F2为直径，
由题意知椭圆上的点在圆x2＋y2＝c2外部，设点P为椭圆上任意一点，则|OP|>c恒成立，
由椭圆性质知|OP|≥b，其中b为椭圆短半轴长，
∴b>c，∴c22c2，
∴<，∴e＝<.
又∵0【答案】 C
3．椭圆E：＋＝1内有一点P(2,1)，则经过点P并且以P为中点的弦所在直线方程为__________．
【解析】 设所求直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＋＝1，＋＝1.
相减得＋＝0.
又x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，∴kAB＝＝－.
因此，所求直线方程：y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
【答案】 x＋2y－4＝0
4．(2014·全国卷Ⅱ)设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点，且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
【解】 (1)根据c＝及题设，知M，2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝，＝－2(舍去)．
故C的离心率为.
(2)由题意知，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.
①
由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，
则 即
代入C的方程，得＋＝1.
②
将①及c＝代入②，得＋＝1，
解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.