第一章章末测试
时间：90分钟 分值：100分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．把－1485°转化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是( )
A．45°－4×360° B．－45°－4×360°
C．－45°－5×360°
D．315°－5×360°
答案：D
解析：－1485°＝－5×360°＋315°.故选D.
2．若α＝－10rad，则角α是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
答案：B
解析：－10rad≈－10×57.30°＝－573°＝－720°＋147°，故角α是第二象限角．
3．函数y＝Asin(＋x)(A≠0)的奇偶性是( )
A．既非奇函数又非偶函数
B．既是奇函数又是偶函数
C．奇函数
D．偶函数
答案：D
解析：因为x∈R，并且sin(＋x)＝sin(－＋x)＝－sin(－x)＝－cosx.故所给函数为偶函数．
4．若a，b分别为函数y＝sinx－1的最大值和最小值，则a＋b等于( )
A.
B．－
C．－
D．－2
答案：D
解析：由题意可知：a＋b＝(－1)＋(－－1)＝－2.
5．若sin(－x)＝－，且π＜x＜2π，则x等于( )
A.π
B.π
C.π
D.π
答案：B
解析：∵sin(－x)＝cosx－.
且π＜x＜2π，∴x＝π.
6．若点P在的终边上，且|OP|＝2(点O为坐标原点)，则点P的坐标为( )
A．(1，)
B．(，－1)
C．(－1，－)
D．(－1，)
答案：D
解析：设点P(x，y)，则x＝2cos＝－1，y＝2sin＝，即P(－1，)．
7．为了得到函数y＝sin(2x－)的图像，只需把函数y＝sin(2x＋)的图像( )
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位
答案：B
解析：∵y＝sin(2x－)＝sin[2(x－)＋]，∴只需把函数y＝sin(2x＋)的图像向右平移个长度单位．
8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图像( )
A．关于点(，0)对称
B．关于直线x＝对称
C．关于点(，0)对称
D．关于直线x＝对称
答案：A
解析：由＝π，
得ω＝2，将其代入验证得f()＝0，所以选A.
9．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的部分图像如图所示，则( )
A．ω＝，φ＝0
B．ω＝，φ＝
C．ω＝－，φ＝
D．ω＝，φ＝0
答案：A
解析：∵T＝4，∴ω＝，又∵(1，)是顶点，|φ|＜，∴可得φ＝0.
10.
函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R)(ω>0，|φ|<)的部分图像如图所示，如果x1，x2∈(－，)，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于 ( )
A.
B.
C.
D．1
答案：B
解析：由图可知，＝－(－)＝ T＝π ω＝2，又∵＝，
∴f(x)过点(，1)，即sin(2×＋φ)＝1 φ＝，∴f(x)＝sin(2x＋)，
而x1＋x2＝－＋＝，∴f(x1＋x2)＝f()＝sin(2×＋)＝sin＝.
二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填入题中横线上．
11．圆的一段弧长等于这个圆的内接正三角形的一条边长，那么这段弧所对的圆心角是________rad.
答案：
解析：设此圆半径为r，则弧长为r，∴α＝.
12．若sin(＋α)＝，则cos(α－)＝________.
答案：
解析：cos(α－)＝cos(－α)＝cos[－(＋α)]＝sin(＋α)＝.
13．已知函数f(x)＝3sin(ωx＋)(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图像的对称轴完全相同．若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是________．
答案：[－，3]
解析：函数f(x)＝3sin(ωx＋)(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图像的对称轴完全相同，则f(x)与g(x)的周期相同，∴ω＝2，f(x)＝3sin(2x＋)．又x∈[0，]，∴2x＋∈[，]，∴－≤f(x)≤3.
三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．设f(θ)＝，求f()的值．
解：设f(θ)＝＝＝cosθ，
∴f()＝cos＝.
15．如图，扇形的内切圆半径与扇形半径之比为1?：3，求内切圆面积与扇形面积之比．
解：设内切圆半径为r，则扇形的半径为3r，计算可得扇形的中心角为，
故S内切圆?：S扇形＝πr2?：·3r·(·3r)＝2?：3，
即内切圆面积与扇形面积之比为2?：3.
16．若函数f(x)＝a－bcosx的最大值为，最小值为－，求函数g(x)＝－4asinbx的最值和最小正周期．
解：当b＞0时，
g(x)＝－4sinx.
最大值为4，最小值为－4，最小正周期为.
当b＜0时，
g(x)＝－4sin(－x)＝4sinx.
最大值为4，最小值为－4，最小正周期为.
b＝0时不符合题意．
综上所述，函数g(x)的最大值为4，最小值为－4，最小正周期为.
17．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)为偶函数，其图像上相邻的两个最高点之间的距离为2π.
(1)求f(x)的解析式；
(2)把函数f(2x＋)的图像向左平移m(m＞0)个单位使所得函数的图像关于点(，0)对称，求m的最小值．
解：∵图像上相邻的两个最高点之间的距离为2π，∴T＝2π，则ω＝＝1，
∴f(x)＝sin(x＋φ)，又∵f(x)是偶函数，∴φ＝kπ＋(k∈Z)，又0≤φ≤π，
∴φ＝，∴f(x)＝cosx.
(2)∵f(2x＋)＝cos(2x＋)，∴函数y＝cos[2(x＋m)＋]的图像关于点(，0)对称，
∴cos(2m＋)＝0，∴2m＋＝kπ＋(k∈Z)，∴m＝－(k∈Z)，又∵m＞0，
∴当k＝1时，m取最小值为.
18．如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面高度满足y＝Asin(ωt＋φ)＋b，A>0，ω>0，φ∈[－π，π]，已知某摩天轮的半径为50米，点O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处．
(1)根据条件写出y(米)关于t(分钟)的解析式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85米？
解：
(1)由题设可知A＝50，b＝60，又T＝＝3，所以ω＝，从而y＝50sin(t＋φ)＋60，再由题设知t＝0时，y＝10，代入y＝50sin(t＋φ)＋60，得sinφ＝－1，从而φ＝－，因此，y＝60－50cost，(t>0)．
(2)要使点P距离地面超过85米，则有y＝60－50cost>85，即cost<－，又0
0)解得0)，即1所以，在摩天轮转动的一圈内，点P距离地面超过85米的时间有1分钟．10 三角函数的简单应用
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．如图所示为一简谐振动的图像，则下列判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为0.7s
B．该质点的振幅为5cm
C．该质点在0.1s和0.5s时振动速度最大
D．该质点在0.3s和0.7s时的加速度为零
答案：B
解析：由图像可知振幅为5cm.
2．单位圆上有两个动点M、N，同时从P(1,0)点出发，沿圆周转动，M点按逆时针方向转，速度为rad/s，N点按顺时针方向转，速度为rad/s，则它们出发后第三次相遇时各自走过的弧度数分别为( )
A．π，2π
B．π，4π
C．2π，4π
D．4π，8π
答案：C
解析：设M、N两点走过的弧长分别为l1和l2，自出发至第三次相遇，经过t秒，则l1＝t，l2＝t.
∴t＋t＝6π，∴t＝12，∴l1＝2π，l2＝4π.
3.
如图所示为一半径为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝，A＝3
B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5
D．ω＝，A＝5
答案：B
解析：∵水轮每分钟转4圈，即每秒钟旋转πrad，
∴ω＝π.可知水轮上最高点离水面的距离为(r＋2)＝5(m)．
即ymax＝A＋2＝5，∴A＝3.
4．半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1,0)出发，按逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1秒内转过的角度为θ(0＜θ＜π)，经过2秒到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A处，则θ的值为( )
A.π
B.π
C.π或π
D.π或π
答案：C
解析：因为0＜θ＜π，且2kπ＋π＜2θ＜2kπ＋(k∈Z)，所以＜θ＜.又14θ＝2nπ(n∈Z)，所以θ＝.又因为＜＜，所以＜n＜，故n＝4或5，所以θ＝π或.
5．2012年伦敦奥运会的帆船比赛将在奥林匹克帆船中心举行，为了确保比赛顺利进行，对该中心进行必要的数据测试．已知比赛场馆区的海面上每天海浪高度y(米)可看作是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b，下表是某日各时的浪高数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
2
1
2
0.99
2
则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是( )
A．y＝cosx＋1
B．y＝cosx＋
C．y＝2cosx＋
D．y＝cos6πx＋
答案：B
解析：由周期T＝12，得ω＝，A＝＝，b＝＝.
6．弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间t(s)时离开平衡位置的距离s(cm)满足s＝2sin(t＋)，有如下三种说法：①小球开始在平衡位置上方cm处；②小球下降到最低点是离开平衡位置向下2
cm处；③经过2πs小球重复振动一次，其中正确的说法是( )
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
答案：D
解析：当t＝0时，s＝2sin(0＋)＝，故①正确；smin＝－2，故②正确；T＝2π，故③正确．
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．电流I(mA)随时间t(s)变化的函数关系是I＝3sin(100πt＋)，则电流I变化的最小正周期、频率和振幅分别为______，______，______.
答案： 50 3
解析：最小正周期T＝＝；频率f＝＝50；振幅A＝3.
8．如图，是一弹簧振子作简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是______．
答案：y＝2sin(x＋)
解析：由图知：A＝2cm，T＝2(0.5－0.1)＝0.8(s)．
ω＝＝＝.
设解析式为y＝2sin(x＋α)．
又由图像知最高点(0.1,2)，则2sin(×0.1＋α)＝2，
即＋α＝，
∴α＝.∴y＝2sin(x＋)．
9．如图所示，点P是半径为rcm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ωrad/s做圆周运动，则点P的纵坐标y关于时间t的函数关系为：________.
答案：y＝rsin(ω
t＋φ)
解析：当质点P从点P0转到点P位置时，点P转过的角度为ω
t．则∠POx＝ω
t＋φ.由任意角的三角函数定义得点P的纵坐标为：
y＝rsin(ω
t＋φ)．此即所求的函数关系式．
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝Asin(ωt＋φ).
(1)若I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图像如图所示，试根据图像写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)中的t在任意一个
s的时间段内电流强度I能取得最大值与最小值，那么正整数ω的最小值是多少？
答案：(1)由图，可知A＝300.
设t0＝－，t1＝，t2＝.
∵T＝t2－t0＝－＝，
∴ω＝＝100π，
∴I＝300sin(100πt＋φ)．
将代入解析式，得－＋φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z.
∵|φ|<，∴φ＝，
∴I＝300sin.
(2)由题意，知≤，∴ω≥200π，
∴正整数ω的最小值为629.
11．如图，一个摩天轮的半径为10
m，轮子的最低处距离地面2
m．如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30
s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P(点P与摩天轮中心O的高度相同)时开始计时．
(1)求此人相对于地面的高度h(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不小于17
m
解：(1)当t＝0时，此人相对于地面的高度h＝12.
在时间t时此人转过的角为t＝t，
此时此人相对于地面的高度h＝10sint＋12(t≥0)．
(2)由10sint＋12≥17，得sint≥，不妨令0≤t≤30，
则≤t≤，即≤t≤.
故在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17
m的时间为－＝10
s.
12．已知某港口落潮时水的深度为8.4
m，涨潮时水的深度为16
m，相邻两次涨潮发生的时间间隔为12
h．若水的深度d(m)随时间t(h)的变化曲线近似满足函数关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h，且10月10日4：00该港口发生一次涨潮．
(1)从10月10日0：00开始计算时间，求该港口的水深d(m)关于时间t(h)的函数关系式．
(2)10月10日17：00该港口的水深约为多少？(保留一位小数)
(3)10月10日这一天该港口共有多长时间水深不超过10.3
m
解：(1)依题意，知T＝＝12，故ω＝，
又h＝＝12.2，A＝16－12.2＝3.8，
所以d＝3.8sin＋12.2.
又t＝4时，d＝16，所以sin＝1，
所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则φ＝－＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<，所以φ＝－，
所以该港口的水深d关于时间t的函数关系式为d＝3.8sin＋12.2.
(2)当t＝17时，
d＝3.8sin＋12.2
＝3.8sin＋12.2
＝3.8×＋12.2
≈15.5.
所以10月10日17：00该港口的水深约为15.5
m.
(3)令3.8sin＋12.2≤10.3，有sin≤－，
因此2kπ＋≤t－≤2kπ＋，k∈Z，
所以12k＋8≤t≤12k＋12，k∈Z.
因为t∈[0,24]，所以k可以取0,1.
令k＝0，得t∈[8,12]；令k＝1，得t∈[20,24]．
故10月10日这一天该港口共有8小时水深不超过10.3
m.18 平面向量数量积习题课
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b与a垂直，则λ＝( )
A．－1 B．1
C．－2
D．2
答案：A
解析：a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，∴λa＋b＝λ(1，－3)＋(4，－2)＝(λ＋4，－3λ－2)，∵λa＋b与a垂直，∴λ＋4＋(－3)(－3λ－2)＝0，∴λ＝－1，故选A.
2．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：∵|a＋b|＝1，∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a·b〉＝.
3．已知向量a＝(3,4)，b＝(6，t)，若a与b的夹角为锐角，则实数t的取值范围是( )
A．(8，＋∞)
B.
C.
D.∪(8，＋∞)
答案：D
解析：由题意，得a·b>0，即18＋4t>0，解得t>－.又当t＝8时，两向量同向，应去掉，故选D.
4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠C＝150°，且AB＝3，BC＝1，CD＝2，则AD的长所在的区间为( )
A．(2,3)
B．(3,4)
C．(4,5)
D．(5,6)
答案：C
解析：由向量的性质，知＝＋＋，其中与的夹角为60°，与的夹角为30°，与的夹角为90°，于是||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝9＋1＋4＋2×3×1×＋2×1×2×＋0＝17＋2∈(16,25)，所以AD∈(4,5)．
5．在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，则·的值等于( )
A．0
B．4
C．8
D．－4
答案：B
解析：因为∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，所以∠BAD＝60°，AD＝2，则·＝·(－)＝·－·＝－2×4×cos120°＝4，所以选B.
6．已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )
A．1
B．2
C.
D.
答案：C
解析：由(a－c)·(b－c)＝0得a·b－(a＋b)·c＋c2＝0，即c2＝(a＋b)·c，故|c|·|c|≤|a＋b|·|c|，即|c|≤|a＋b|＝，故选C.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知向量a，b满足b＝(1，)，b·(a－b)＝－3，则向量a在b方向上的投影为__________．
答案：
解析：＝＝2且由b·(a－b)＝－3，解得a·b＝1，所以a在b方向上的投影为：cos＝＝.
8．△ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，满足·≤0，·≥0，则·的最小值为
__________.
答案：3
解析：∵·＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，∴x≤1.∴－x≥－1，
∵·＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2.
∴·＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3.
9．已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，设向量c满足(2a－c)·(3b－c)＝0，则|c|的最大值为
__________.
答案：
解析：设c＝(x，y)，则由题意得(2－x)·(－3－x)＋(2－y)·(3－y)＝0，即(x＋)2＋(y－)2＝，所以|c|的最大值为直径.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知在四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，判断四边形ABCD的形状．
解析：在四边形ABCD中，，，，四个向量顺次首尾相接，则其和向量为零向量，故有a＋b＋c＋d＝0，
∴a＋b＝－(c＋d)，∴(a＋b)2＝(c＋d)2，
即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2＋2c·d＝|d|2.
又a·b＝c·d，∴|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2.①
同理有|a|2＋|d|2＝|c|2＋|b|2，②
由①②可得|a|＝|c|，|b|＝|d|，即此四边形两组对边分别相等．
故四边形ABCD为平行四边形．
另一方面，由a·b＝b·c，有b·(a－c)＝0，由平行四边形ABCD得a＝－c，代入上式得b·(2a)＝0，即a·b＝0，故有a⊥b，即AB⊥BC.
综上，四边形ABCD是矩形．
11．已知在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，且△ABC是直角三角形，求实数k的值．
解析：(1)若∠BAC＝90°，即AC⊥AB，即·＝0，
从而2＋3k＝0，解得k＝－；
(2)若∠BCA＝90°，即AC⊥BC，即·＝0，
而＝－＝(－1，k－3)，
故－1＋k(k－3)＝0，解得k＝；
(3)若∠ABC＝90°，即AB⊥BC，即·＝0，
而＝(－1，k－3)，
故－2＋3(k－3)＝0，解得k＝.
综合可知，k＝－或k＝或k＝.
12．已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，a与b满足|ka＋b|＝|a－kb|，其中k>0.
(1)用k表示a·b；
(2)求a·b的最小值，并求出此时a，b的夹角．
解析：(1)将|ka＋b|＝|a－kb|两边平方，得|ka＋b|2＝(|a－kb|)2，
k2a2＋b2＋2ka·b＝3(a2＋k2b2－2ka·b)，
∴8ka·b＝(3－k2)a2＋(3k2－1)b2，
a·b＝.
∵a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，
∴a2＝1，b2＝1，
∴a·b＝＝.
(2)∵k2＋1≥2k(当且仅当k＝1时等号成立)，即≥＝，
∴a·b的最小值为.
设a，b的夹角为γ，则a·b＝|a||b|cosγ.
又|a|＝|b|＝1，
∴＝1×1×cosγ，
∴γ＝60°，即当a·b取最小值时，a与b的夹角为60°.16 从力做的功到向量的数量积
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：由题意，知a·b＝|a||b|cosθ＝4cosθ＝2，又0≤θ≤π，所以θ＝.
2．下列命题正确的是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若a·b＝0，则a∥b
C．若a⊥b，则a·b＝(a·b)2
D．a2＞|a|2
答案：C
解析：a·b＝0时，可能为a⊥b的情况；|a|2＝a2，故选C.
3．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：∵|a＋b|＝1，∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝1，∴cos〈a，b〉＝－.又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.
4．若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则k＝( )
A．－6
B．6
C．3
D．－3
答案：B
解析：由题意，得(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，由于a⊥b，故a·b＝0，又|a|＝|b|＝1，于是2k－12＝0，解得k＝6.
5．在△ABC中，若＝a，＝b，＝c，且a·b＝b·c＝c·a，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．以上都不对
答案：C
解析：∵a＋b＋c＝＋＋＝0，∴a＋b＝－c.
又∵a·c＝b·c，即(a－b)·c＝0，
∴－(a－b)·(a＋b)＝0，即|a|＝|b|.
同理，|a|＝|c|，|b|＝|c|，故|a|＝|b|＝|c|.
6．在边长为的正三角形ABC中，设＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋c·a等于( )
A．－3
B．0
C．1
D．2
答案：A
解析：a·b＋b·c＋c·a＝b·(a＋c)＋c·a＝b·(－b)＋c·a＝－b2＋c·a＝－2＋··cos＝－3.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知|a|＝4，a与b的夹角θ为30°，则a在b方向上的投影为________．
答案：2
解析：a在b方向上的投影为|a|·cosθ＝4×cos30°＝2.
8．向量a与b满足|a|＝2，|a＋b|＝3，|a－b|＝3，则|b|＝________.
答案：
解析：|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝9，∴2a·b＝9－|a|2－|b|2＝5－|b|2.①
|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝9.
∴2a·b＝|a|2＋|b|2－9＝|b|2－5.②
∴|b|＝.
9．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是__________．
答案：22
解析：由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以·＝2，即2－·－2＝2.又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知e1与e2是两个夹角为60°的单位向量，a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1，求a与b的夹角．
解析：因为|e1|＝|e2|＝1，所以e1·e2＝1×1×cos60°＝，|a|2＝(2e1＋e2)2＝4＋1＋4e1·e2＝7，故|a|＝，
|b|2＝(2e2－3e1)2＝4＋9＋2×2×(－3)e1·e2＝7，故|b|＝，且a·b＝－6e＋2e＋e1·e2＝－6＋2＋＝－，
所以cos〈a，b〉＝＝＝－，
所以a与b的夹角为120°.
11．已知|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，(a＋b)⊥(a＋tb)，求实数t的值．
解析：由题意，得(a＋b)·(a＋tb)＝0，
∴a2＋(t＋1)a·b＋tb2＝0，
即4＋(t＋1)×(－2)＋4t＝0，
得t＝－1.
12．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a，b的夹角为60°.
(1)求(2a－b)·(a＋b)；
(2)若(a＋b)⊥(λa－2b)，求实数λ的值．
解析：(1)由题意，得a·b＝|a|·|b|cos60°＝1×4×＝2.
∴(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋a·b－b2＝2＋2－16＝－12.
(2)∵(a＋b)⊥(λa－2b)，∴(a＋b)·(λa－2b)＝0，
∴λa2＋(λ－2)a·b－2b2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0，
∴λ＝12.21 同角三角函数的基本关系
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知cosα＝－，且α为第三象限角，求tanα( )
A. B．－
C.
D．－
答案：C
解析：因为cosα＝－，所以sinα＝±＝±，
又因为α为第三象限角，所以sinα＜0，
所以sinα＝－.
所以tanα＝＝.
2．化简
的结果是( )
A．cos
B．－cos
C．±cos
D．cos
答案：B
解析：∵＜＜π，∴cos＜0.
∴
＝
＝|cos|＝－cos.
3．已知sinθ＋cosθ＝1，则sinθ－cosθ的值为( )
A．1
B．－1
C．±1
D．0
答案：C
解析：将sinθ＋cosθ＝1两边平方得sinθcosθ＝0.
即或，故sinθ－cosθ＝±1.
4．已知α、β均为锐角，2tanα＋3sinβ＝7，tanα－6sinβ＝1，则sinα的值是( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：由题目所给的两个方程消去β，转化为tanα的方程，求tanα后，再求sinα.
解得tanα＝3.∴＝3，
又sin2α＋cos2α＝1，且α为锐角，∴sinα＝.故选C.
5．如果sinα|sinα|＋cosα|cosα|＝－1，那么角α是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
答案：C
解析：∵－sin2α＋(－cos2α)＝－1，
∴只有|sinα|＝－sinα，|cosα|＝－cosα时，
sinα|sinα|＋cosα|cosα|＝－1才能成立．
sinα、cosα同时小于零，所以α是第三象限角．
6．已知＝－，则的值是( )
A.
B．－
C．2
D．－2
答案：A
解析：∵÷＝＝－1，
∴＝－＝.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．化简sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β的结果为________．
答案：1
解析：原式＝sin2α＋sin2β(1－sin2α)＋cos2αcos2β＝sin2α＋sin2βcos2α＋cos2αcos2β＝sin2α＋cos2α(sin2β＋cos2β)＝1.
8．若cosα＋2sinα＝－，则tanα＝________.
答案：2
解析：将已知等式两边平方，得cos2α＋4sin2α＋4sinαcosα＝5(cos2α＋sin2α)，化简得sin2α－4sinαcosα＋4cos2α＝0，即(sinα－2cosα)2＝0，则sinα＝2cosα，故tanα＝2.
9．若tanα＋＝3，则sinαcosα＝________，tan2α＋＝________.
答案： 7
解析：∵tanα＋＝3，∴＋＝3，即＝3，∴sinαcosα＝.tan2α＋＝2－2tanα＝9－2＝7.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．化简下列各式：
(1)＋，θ∈；
(2)·.
解析：(1)原式＝＋
＝＋
＝
＝.
(2)原式＝·
＝·
＝·
＝
＝
(k∈Z)．
11．已知tanα＝3，求下列各式的值：
(1)；
(2).
解析：(1)∵tanα＝3，∴cosα≠0.
原式的分子、分母同除以cosα，得
原式＝＝＝.
(2)原式的分子、分母同除以cos2α，得
原式＝＝＝－.
12．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两个根分别为sinθ和cosθ，θ∈.
(1)求＋的值；
(2)求实数m的值；
(3)求sinθ，cosθ及θ的值．
解析：(1)由题意，得，
所以＋＝＋＝＝sinθ＋cosθ＝.
(2)由(1)，知sinθ＋cosθ＝，
将上式两边平方，得1＋2sinθcosθ＝，
所以sinθcosθ＝，
由(1)，知＝，所以＝.
(3)由(2)可知原方程为2x2－(＋1)x＋＝0，
解得x1＝，x2＝.
所以或.
又θ∈，所以θ＝或.23 两角和与差的正弦余弦函数2
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知a＝sin10°＋cos10°，b＝sin20°＋cos20°，c＝，则a、b、c的大小关系为( )
A．aC．cD．b＜a＜c
答案：A
解析：a＝sin55°sin60°＝.
2．已知sinα＋sinβ＋sin1＝0，cosα＋cosβ＋cos1＝0，则cos(α－β)＝( )
A．－1
B．1
C．－
D.
答案：C
解析：原式变为
sinα＋sinβ＝－sin1
①
cosα＋cosβ＝－cos1 ②
①②平方相加得cos(α－β)＝－.
3．设函数f(x)＝sin＋cos，则( )
A．y＝f(x)在单调递增，其图像关于直线x＝对称
B．y＝f(x)在单调递增，其图像关于直线x＝对称
C．y＝f(x)在单调递减，其图像关于直线x＝对称
D．y＝f(x)在单调递减，其图像关于直线x＝对称
答案：D
解析：f(x)＝sin＋cos＝sin＝cos2x.
则函数在单调递减，其图像关于x＝对称．
4．已知锐角α，β满足cosα＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为( )
A. B．－ C. D．－
答案：A
解析：∵α，β为锐角，cosα＝，cos(α＋β)＝－，∴sinα＝，sin(α＋β)＝，∴cos(2π－β)＝cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－×＋×＝.
5．若sinα＋sinβ＝，则cosα＋cosβ的取值范围是( )
A.
B.
C．[－2,2]
D.
答案：D
解析：设cosα＋cosβ＝x，
则(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝＋x2，
即2＋2cos(α－β)＝＋x2，
∴x2＝＋2cos(α－β)．
显然，当cos(α－β)取得最大值时，x2有最大值．
∴0≤x2≤即－≤x≤.
6．设α，β∈，sinα＝，sinβ＝，α＋β的大小为( )
A．－135°
B．45°
C．135°
D．45°或135°
答案：B
解析：cos(α＋β)＝，∵α＋β∈(0°，180°)，∴α＋β＝45°.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．－cos(－50°)cos129°＋cos400°cos39°＝________.
答案：cos1°
解析：－cos(－50°)cos129°＋cos400°cos39°
＝－sin40°(－sin39°)＋cos40°cos39°
＝cos(40°－39°)
＝cos1°.
8．已知α是第二象限角，sin＝－，则cosα＝________.
答案：－
解析：因为α是第二象限角，sin＝－<0，所以α＋是第三象限角，所以cos＝－，所以cosα＝cos＝cos＋sin＝－.
9.＝__________.
答案：
解析：原式＝＝＝.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知3sinβ＝sin(2α＋β)，α≠kπ＋，α＋β≠kπ＋，k∈Z，求证：tan(α＋β)＝2tanα.
证明：由3sinβ＝sin(2α＋β)，得
3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]．
3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα.
整理，得sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα.
∴α≠kπ＋，α＋β≠kπ＋(k∈Z)．
将上式两边同除以cosα·cos(α＋β)，得
tan(α＋β)＝2tanα.
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为，.求cos(α－β)的值．
解析：依题意，得cosα＝，cosβ＝.
因为α，β为锐角，所以sinα＝，sinβ＝，
所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.
12．已知a、b是两不共线的向量，且a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)．
(1)求证：a＋b与a－b垂直；
(2)若α∈，β＝，且a·b＝，求sinα.
解：(1)证明：∵a2＝cos2α＋sin2α＝1，b2＝cos2β＋sin2β＝1.
∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.
即(a＋b)⊥(a－b)．
(2)由已知a·b＝cosαcos＋sinαsin＝cos且a·b＝，
∴cos＝.
由－＜α＜，得－＜α－＜0.
∴sin＝－＝－.
∴sinα＝sin
＝sincos＋cossin＝－.24 两角和与差的正切函数
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．设tanα＝，tanβ＝，且α、β角为锐角，则α＋β的值是( )
A. B.或
C.
D.
答案：C
解析：由tanα＝，tanβ＝，得tan(α＋β)＝＝＝1.又α、β均是锐角，
∴α＋β＝.
2.的值是( )
A.
B．－
C.
D．－
答案：B
解析：＝＝tan(45°＋75°)＝tan120°＝－tan60°＝－.
3．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan＝( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：因为α＋＝(α＋β)－，所以tan＝tan＝＝，故选C.
4．已知tanα＝，则的值是( )
A．2
B.
C．－1
D．－3
答案：B
解析：解法一：因为tanα＝，所以tan＝＝＝3，所以＝＝.故选B.
解法二：＝＝tan＝tanα＝.故选B.
5．在△ABC中，若tanAtanB>1，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
答案：A
解析：由tanAtanB>1得角A，B均为锐角，然后切化弦，得sinAsinB>cosAcosB，即cos(A＋B)<0，∴cos(π－C)<0，∴－cosC<0，∴cosC>0，∴角C为锐角，∴△ABC是锐角三角形，故选A.
6．设tanα和tanβ是方程mx2＋(2m－3)x＋(m－2)＝0的两根，则tan(α＋β)的最小值是( )
A.
B.
C．－
D．不确定
答案：C
解析：∵tanα和tanβ是mx2＋(2m－3)x＋(m－2)＝0的两根，
∴
∴m≤，且m≠0.tan(α＋β)＝＝＝＝－m＋.
∴当m＝时，tan(α＋β)的最小值为－.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知α为第三象限的角，cos2α＝－，则tan(＋2α)＝________.
答案：－
解析：∵α为第三象限的角，则2kπ＋π≤α≤2kπ＋，∴4kπ＋2π≤2α≤4kπ＋3π(k∈Z)，又cos2α＝－，
∴sin2α＝，tan2α＝－，∴tan(＋2α)＝＝－.
8．tan＋tan＋tan·tan的值为________．
答案：
解析：tan＋tan＋tan·tan
＝tan＋tan·tan
＝＋tan·tan＝.
9．若a，b是非零实数，且＝tan，则＝________.
答案：
解析：∵＝＝tan＝tan(＋)＝，∴＝tan＝.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知点A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求的值．
解析：(1)由题意，得cosα＝，cosβ＝.
因为α，β为锐角，所以sinα＝，sinβ＝，
因为tanα＝2，tanβ＝.
所以tan(α＋β)＝＝＝－.
(2)
＝×
＝×tan[(α＋β)－α]
＝×tanβ
＝×
＝.
11．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，求tan(3π＋2α)＋tan(4π＋2β)的值．
解析：因为tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，
所以tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝－1，
tan2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]＝＝＝－，
所以tan(3π＋2α)＋tan(4π＋2β)＝tan2α＋tan2β＝－1－＝－.
12．已知向量a＝(sinθ，2)，b＝(cosθ，1))，且a，b共线，其中θ∈.
(1)求tan的值；
(2)若5cos(θ－φ)＝3cosφ，0<φ<，求φ的值．
解析：(1)∵a，b共线，∴sinθ－2cosθ＝0，即tanθ＝2.
∴tan＝＝＝－3.
(2)由(1)，知tanθ＝2，又θ∈，∴sinθ＝，cosθ＝.
∵5cos(θ－φ)＝3cosφ，
∴5(cosθcosφ＋sinθsinφ)＝3cosφ，即cosφ＋2sinφ＝3cosφ，
∴cosφ＝sinφ.
又0<φ<，∴tanφ＝1，∴φ＝.7 正切函数
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知P(x,3)是角θ终边上一点，且tanθ＝－，则x的值为( )
A. B．5
C．－
D．－5
答案：D
解析：本题考查正切函数的定义：tanθ＝，(x，y)为角θ终边上异于坐标原点的任一点．由＝－ x＝－5，故选D.
2．tan(－)的值为( )
A．1
B．－1
C.
D．－
答案：B
解析：练习公式tan(－α)＝－tanα，tan(－)＝－tan()＝－tan(3π＋)＝－tan＝－1.故选B.
3．直线y＝a与y＝tanx的图像的相邻两个交点的距离是( )
A.
B．π
C．2π
D．与a的值的大小有关
答案：B
解析：所求距离即y＝tanx的周期．
4．函数y＝tan在一个周期内的图像是( )
答案：A
解析：令x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋2kπ，k∈Z，故可排除选项B，C，D.
5．下列不等式中，正确的是( )
A．tan>tan
B．tanC．tanD．tan>tan
答案：D
解析：tan＝tan，∴tan>tan，∴tan>tan，故C不正确；tan＝tan＝tan＝－tan，tan＝tan＝tan＝－tan.又tan>tan，∴tan6．下列函数中，同时满足①在(0，)上是增函数；②为奇函数；③以π为最小正周期的函数是( )
A．y＝tanx
B．y＝－cosx
C．y＝tan|x|
D．y＝sin|x|
答案：A
解析：分别作出各函数的图像，观察图像易知，只有函数y＝tanx符合条件．
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知f(x)＝asinx＋btanx＋1.满足f(5)＝7，则f(－5)＝__________.
答案：－5
8．已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在第________象限．
答案：二
解析：∵点P(tanα，cosα)在第三象限，∴tanα＜0，α在第二、四象限①，∵cosα＜0，∴α在第二、三象限②，
由于①与②同时成立，∴α为第二象限．
9．直线y＝a(a为常数)与正切曲线y＝tanωx(ω为常数，且ω>0)相交，则两相邻交点间的距离为________．
答案：
解析：∵ω>0，∴函数y＝tanωx的最小正周期为，且在每一个开区间(k∈Z)上都是单调递增的，∴两相邻交点间的距离为.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边落在直线y＝－2x上，x≥0，求tanα－sinα的值．
解：取射线y＝－2x(x≥0)上一点(x，－2x)(x≥0)，可得|x|＝x所以tanα＝＝＝－2，sinα＝＝＝－.故tanα－sinα＝－2＋2＝0.
11．设tan＝a，求证：
＝.
解：左边＝
＝
＝
＝
＝右边．
所以原式得证．
12．已知函数f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，]上是单调函数，求θ的取值范围．
解：(1)当θ＝－时，
f(x)＝x2－x－1＝2－.
∵x∈[－1，]，
∴当x＝时，f(x)取得最小值，为－，
当x＝－1时，f(x)取得最大值，为.
(2)函数f(x)＝(x＋tanθ)2－1－tan2θ是关于x的二次函数，它的图像的对称轴为直线x＝－tanθ.
∵函数f(x)在区间[－1，]上是单调函数，
∴－tanθ≤－1或－tanθ≥，即tanθ≥1或tanθ≤－.
∵θ∈，
∴θ的取值范围是∪.20 单元测试卷二
时间：90分钟 满分150分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量在向量上的投影为( )
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：＝(2,2)，＝(－1,3)，||＝，·＝－2＋6＝4，向量在向量上的投影为＝＝，故选B.
2．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝( )
A．5
B．25
C.
D.
答案：A
解析：因为|a＋b|＝5，所以a2＋2a·b＋b2＝50，即5＋2×10＋b2＝50，所以|b|＝5.
3．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，－2)，则c＝( )
A．－a－b
B．－a＋b
C.a－b
D．－a＋b
答案：D
4．若非零向量a，b满足|a－b|＝|b|，则( )
A．|2b|＞|a－2b|
B．|2b|＜|a－2b|
C．|2a|＞|2a－b|
D．|2a|＜|2a－b|
答案：A
5．已知平面上不共线的四点O、A、B、C.若－4＋3＝0，则＝( )
A.
B.
C．2
D．3
答案：D
解析：∵－4＋3＝0，
∴(－)－3＋3＝0，即－＝3(－)，
∴＝3，
∴＝3.
6．在△ABC中，若||＝1，||＝，|＋|＝||，则＝( )
A．－
B．－
C.
D.
答案：B
解析：由向量的平行四边形法则，知当|＋|＝||时，∠A＝90°.又||＝1，||＝，故∠B＝60°，∠C＝30°，||＝2，所以＝＝－.
7．已知a＝(3,4)，b＝(－1,2m)，c＝(m，－4)，满足c⊥(a＋b)，则m＝( )
A．－
B.
C.
D．－
答案：A
解析：a＋b＝(2,4＋2m)，c⊥(a＋b) c·(a＋b)＝(m，－4)·(2,4＋2m)＝2m－4(4＋2m)＝0，解得m＝－.
8．已知平面向量a＝(1，)，|a－b|＝1，则|b|的取值范围是( )
A．[0,1]
B．[1,3]
C．[2,4]
D．[3,4]
答案：B
解析：由于＝1，所以向量b对应的点在以(1，)为圆心，1为半径的圆上，由于圆心到原点的距离为2，所以的取值范围是[1,3]．
9．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上的一点P使·取得最小值，则点P的坐标为( )
A．(3,0)
B．(－3,0)
C．(2,0)
D．(4,0)
答案：A
解析：设P(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，
∴·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
∴当x＝3时，·取得最小值，此时P(3,0)．
10．已知O是三角形ABC所在平面内一点，且满足·＋||2＝·＋||2，则O点( )
A．在过点C且垂直于AB的直线上
B．在∠C平分线所在的直线上
C．在AB边中线所在的直线上
D．是△ABC的外心
答案：A
解析：由题意有·＋·＋2－2＝0.
即·＋·＋(－)·(＋)
＝·(＋－－－－)＝－2·＝0，
所以⊥.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．
11．若向量＝(1，－3)，||＝||，·＝0，则||＝________.
答案：2
解析：因为||2＝|－|2＝||2＋||2－2·＝10＋10－0＝20，所以||＝＝2.
12．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，a＋b＝(，1)，则向量a＋b与向量a－b的夹角是________．
答案：
解析：因为|a－b|2＋|a＋b|2＝2|a|2＋2|b|2，所以|a－b|2＝2|a|2＋2|b|2－|a＋b|2＝2＋6－4＝4，故|a－b|＝2，因为cos〈a－b，a＋b〉＝＝＝－，故所求夹角是.
13．已知在△ABC中，向量与的夹角为，||＝2，则||的取值范围是________．
答案：(0,4]
解析：∵||＝|＋|＝，∴||2＋||2－||||＝4，把||看作未知量，得到一个一元二次方程||2－||||＋(|AB|2－4)＝0，这个方程的判别式Δ＝(－||)2－4(||2－4)＝16－||2≥0，∴－4≤||≤4，根据实际意义，知0<||≤4.
14．已经△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝__________.
答案：
解析：·＝·cos＝2，＝－＝(1－λ)－，
同理＝λ－，则·＝(1－λ)λ·－(1－λ)2－λ2＋·
＝2λ(1－λ)－4(1－λ)－4λ＋2＝－2λ2＋2λ－2＝－，解得λ＝.
15．如图，在正方形ABCD中，已知AB＝2，M为BC的中点，若N为正方形内(含边界)任意一点，则·的最大值为__________．
答案：6
解析：以AB，AD所在的直线为坐标轴建立坐标系，则M(2,1)，A(0,0)，设N(x，y)，则0≤x≤2,0≤y≤2，因此·＝2x＋y，因此，当x＝2，y＝2时，有最大值6.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(12分)已知A、B、C三点的坐标分别为(－2，1)、(2，－1)、(0,1)，且＝3，＝2，求点P、Q和向量的坐标．
解：因为A、B、C三点的坐标分别为(－2,1)、(2，－1)、(0,1)，所以＝(－2,0)，＝(2，－2)，所以＝3＝(－6,0)，＝2＝(4，－4)，设P(x，y)，则有＝(x，y－1)，所以解得即P点的坐标为(－6,1)，同理可得Q(4，－3)，因此向量＝(10，－4)．
17．(12分)已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.
(1)求a·b及|a＋b|的值；
(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)
解：(1)a·b＝|a||b|cos120°＝－16，
|a＋b|＝
＝
＝4.
(2)由题意，知(a＋2b)·(ka－b)＝ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7.
18．(12分)如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y.
(1)若＝，求x，y的值；
(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值．
解析：(1)若＝，则＝＋，
故x＝y＝.
(2)若＝3，则＝＋，
·＝·(－)
＝－2－·＋2
＝－×42－×4×2×cos60°＋×22
＝－3.
19．(12分)△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3＋4＋5＝0.
(1)求数量积·，·，·；
(2)求△ABC的面积．
解析：(1)∵3＋4＋5＝0.
∴3＋4＝0－5，即(3＋4)2＝(0－5)2.
可得92＋24·＋162＝252.
又∵|OA|＝|OB|＝|OC|＝1.∴2＝2＝2＝1，∴·＝0.
同理·＝－，·＝－.
(2)S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OAC＝||·||·sin∠AOB＋||·||sin∠BOC＋||·||·sin∠AOC.
又|OA|＝|OB|＝|OC|＝1.
∴S△ABC＝(sin∠AOB＋sin∠BOC＋sin∠AOC)．
由(1)·＝||·||·cos∠AOB＝cos∠AOB＝0，得sin∠AOB＝1.
·＝||·||·cos∠BOC＝cos∠BOC＝－，
∴sin∠BOC＝，同理sin∠AOC＝.∴S△ABC＝.
20．(13分)以某市人民广场的中心为原点建立平面直角坐标系，x轴的正方向指向东，y轴的正方向指向北．一个单位长度表示实际路程100
m，一人步行从广场入口处A(2,0)出发，始终沿一个方向匀速前进，6
min时路过少年宫C,10
min后到达科技馆B(－3,5)．
(1)求此人的位移(说明此人行走的距离和方向)及此人行走的速度v(用坐标表示)；
(2)求少年宫C点相对于广场中心所在的位置．(参考数据：tan18°26′＝)．
解析：(1)依题意知＝(－3,5)－(2,0)＝(－5,5)，
||＝＝5，∠xAB＝135°.
∴此人沿北偏西45°方向走了500
m.
∵当t＝
h时，此人所走的实际距离s＝||×100＝500(m)，
∴|v|＝＝3000
m/h
∴vx＝|v|cos135°＝－3000(m/h)，vy＝|v|sin135°＝3000(m/h)，
又一个单位长度表示实际路程100
m，
∴v＝(－30,30)．
(2)∵＝＝，
＝＋＝(2,0)＋(－5,5)＝(－1,3)，
∴||＝，又tan∠COy＝，∴∠COy＝18°26′.
即少年宫C位于距离广场中心100
m，且在北偏西18°26′处．
21．(14分)在平面直角坐标系中，已知三点A(4,0)，B(t,2)，C(6，t)，t∈R，O为坐标原点．
(1)若△ABC是直角三角形，求t的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，求||的最小值．
解析：(1)由题意得＝(t－4,2)，＝(2，t)，＝(6－t，t－2)，
若∠A＝90°，则·＝0，即2(t－4)＋2t＝0，∴t＝2；
若∠B＝90°，则·＝0，即(t－4)(6－t)＋2(t－2)＝0，
∴t＝6±2；
若∠C＝90°，则·＝0，即2(6－t)＋t(t－2)＝0，无解，
∴满足条件的t的值为2或6±2.
(2)若四边形ABCD是平行四边形，则＝，设点D的坐标为(x，y)，
即(x－4，y)＝(6－t，t－2)，∴，即D(10－t，t－2)，
∴||＝＝，
∴当t＝6时，||取得最小值4.28 二倍角习题课
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．若π<α<2π，则化简的结果是( )
A．sin
B．cos
C．－cos
D．－sin
答案：C
解析：∵π<α<2π，∴<<π，∴cos<0，原式＝＝＝－cos.故选C.
2．若＝－，则cosα＋sinα的值为( )
A．－
B．－
C.
D.
答案：C
解析：方法一：原式左边＝
＝
＝－2cos
＝－(sinα＋cosα)
＝－
∴sinα＋cosα＝，故选C.
方法二：原式＝
＝
＝－(sinα＋cosα)
＝－
∴cosα＋sinα＝，故选C.
3．若θ∈，sin2θ＝，则sin(5π－θ)＝( )
A.
B.
C.或
D．－
答案：A
解析：解法一：因为θ∈，所以2θ∈.又sin2θ＝，所以cos2θ＝－＝－＝－，所以sin(5π－θ)＝sinθ＝＝＝.故选A.
解法二：因为sin2θ＝，所以2sinθcosθ＝，即sinθcosθ＝.又sin2θ＋cos2θ＝1，所以sin2θcos2θ＝sin2θ(1－sin2θ)＝，即sin4θ－sin2θ＋＝0，解得sin2θ＝或sin2θ＝.又θ∈，所以≤sinθ≤1，所以sinθ＝.所以sin(5π－θ)＝sinθ＝，故选A.
4．已知cos2α－cos2β＝a，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于( )
A．－
B.
C．－a
D．a
答案：C
解析：方法一：sin(α＋β)sin(α－β)
＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)
＝sin2αcos2β－cos2αsin2β
＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)
＝cos2β－cos2α＝－a，故选C.
方法二：原式＝－(cos2α－cos2β)
＝－(2cos2α－1－2cos2β＋1)
＝cos2β－cos2α＝－a.
5．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．不等边三角形
D．直角三角形
答案：B
解析：∵sinBsinC＝cos2，∴sinBsinC＝，即2sinBsinC＝1－cos(B＋C)，2sinBsinC＝1－cosBcosC＋sinBsinC，
即cosBcosC＋sinBsinC＝1，∴cos(B－C)＝1，∴B－C＝0，∴B＝C.
6．在△ABC中，若B＝30°，则cosAsinC的取值范围是( )
A．[－1,1]
B.
C.
D.
答案：C
解析：cosAsinC＝[sin(A＋C)－sin(A－C)]＝－sin(A－C)，
∵－1≤sin(A－C)≤1，∴cosAsinC∈.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．若θ∈，sin2θ＝，则sinθ的值为________．
答案：－
解析：因为θ∈，所以2θ∈，cos2θ<0，所以cos2θ＝－＝－.又sinθ＝－＝－＝－.
8.－的值为__________．
答案：4
解析：原式＝－＝＝＝4.
9．已知α、β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝__________.
答案：1
解析：tanβ＝＝＝tan，
∵－α，β∈且y＝tanx在上是单调增函数，
∴β＝－α，∴α＋β＝，∴tan(α＋β)＝tan＝1.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．证明：cos＋cos＋cos＝－2sincos.
解析：左边＝·
＝
＝
＝－，
右边＝－sin＝－，因为左边＝右边，所以原等式成立．
11．已知函数f(x)＝sin＋cos，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，0<α<β≤，求f(β)．
解析：(1)f(x)＝sinxcos＋cosxsin＋cosxcos＋sinxsin＝sinx－cosx＝2sin，
所以最小正周期T＝2π，f(x)min＝－2.
(2)cos(β－α)＝cosβcosα＋sinβsinα＝， ①
cos(β＋α)＝cosβcosα－sinβsinα＝－. ②
①＋②，得cosαcosβ＝0，
于是由0<α<β≤，得cosβ＝0，β＝.
故f(β)＝2sin＝.
12．已知向量a＝(1，－)，b＝(sinx,2cos2－1)，函数f(x)＝a·b.
(1)若f(θ)＝0，求的值；
(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．
解析：(1)∵a＝(1，－)，b＝，
∴f(x)＝a·b＝sinx－＝sinx－cosx.
∵f(θ)＝0，即sinθ－cosθ＝0，
∴tanθ＝，
∴＝＝＝＝－2＋.
(2)f(x)＝sinx－cosx＝2sin，
∵x∈[0，π]，∴x－∈，
当x－＝－，即x＝0时，f(x)min＝－；
当x－＝，即x＝时，f(x)max＝2，
∴当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域为[－，2]．1 周期现象、角的概念的推广
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，给出下列四个命题：
①A＝B＝C；②AC；③CA；④A∩C＝B.
其中正确命题的个数为( )
A．0
B．2
C．3
D．4
答案：A
解析：由题可知BA，BC，因为－30°∈C，－30° A,370°∈A,370° C，所以①②③均不正确．对于④，－350°∈A∩C，但－350° B，所以④错误．故选A.
2．与1303°角的终边相同的角是( )
A．763°
B．493°
C．－137°
D．－47°
答案：C
解析：因为1303°＝4×360°－137°，所以与1303°角的终边相同的角是－137°.
3．如果角α的终边上有一个点P(0，－3)，那么α( )
A．是第三象限角
B．是第四象限角
C．是第三或第四象限角
D．不是任何象限角
答案：D
解析：因为点P落在y轴的非正半轴上，即α的终边落在y轴的非正半轴上，因此α不是任何象限角．
4．角α与β的终边关于y轴对称，则有( )
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝90°＋k·360°(k∈Z)
C．α＋β＝2k·180°(k∈Z)
D．α＋β＝180°＋k·360°(k∈Z)
答案：D
解析：因为α、β关于y轴对称，由象限角可知α＝360°·k＋180°－β.所以α＋β＝360°·k＋180°(k∈Z)．
5．已知角2α的终边在x轴上方，那么α是( )
A．第一象限角
B．第一或第二象限角
C．第一或第三象限角
D．第一或第四象限角
答案：C
解析：∵角2α的终边在x轴上方，∴k·360°<2α6．探索规律：根据图中箭头指向的规律，判断从2014到2015再到2016，箭头的指向是( )
答案：B
解析：由图易得周期为4，由2014＝503×4＋2，知箭头的指向如选项B中的图所示．
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．
答案：－960°
解析：分针按顺时针方向转动，则转过的角度是负角为－360°×2＝－960°.
8.与－496°终边相同的角是________；它们是第________象限的角；它们中最小正角是________；最大负角是________．
答案：k·360°－496°(k∈Z)；三；224°；－136°.
解析：－496°＝－360°－136°＝－720°＋224°.
9．终边在第一或第三象限角平分线上的角的集合为________，终边在第二或第四象限角平分线上的角的集合为________．
答案：{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z} {α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}
解析：根据终边在第一象限角平分线上的角的集合为{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}，而终边在第三象限角平分线上的角的集合为{x|x＝k·360°＋225°，k∈Z}，可知终边在第一或第三象限角平分线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}，同理可得，终边在第二或第四象限角平分线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．如图是一个单摆的振动图像，根据图像，回答下面问题：
(1)单摆的振动是周期现象吗？
(2)若是周期现象，其振动的周期是多少？
(3)单摆离开平衡位置的最大距离是多少？
解：由题图可知：(1)单摆的振动是周期现象．
(2)其振动周期是0.8
s.
(3)单摆离开平衡位置的最大距离是0.5
cm.
11．已知α是第三象限角，则是第几象限角？
解：∵α是第三象限角，
∴180°＋k·360°<α<270°＋k·360°(k∈Z)，
∴60°＋k·120°<<90°＋k·120°(k∈Z)．
当k＝3n(n∈Z)时，60°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)，
∴是第一象限角；
当k＝3n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<<210°＋n·360°(n∈Z)，∴是第三象限角；
当k＝3n＋2(n∈Z)时，300°＋n·360°<<330°＋n·360°(n∈Z)，∴是第四象限角．
∴是第一或第三或第四象限角．
12．如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
解：(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}．
终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由题图，可知终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．12 从位移、速度、力到向量；从位移的合成到向量的加法
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．给出下列四个命题：①时间、速度、距离都是向量；②向量的模是一个正实数；③所有的单位向量都相等；④共线向量一定在同一直线上．其中正确的命题有( )
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
答案：D
解析：时间、距离不是向量；向量的模可以是0；单位向量的模相等，方向不一定相同；平行向量也叫做共线向量，可以不在同一直线上．所以四个命题都不正确．
2．设O是△ABC的外心，则，，是( )
A．相等向量
B．模相等的向量
C．平行向量
D．起点相同的向量
答案：B
解析：∵三角形的外心是三角形外接圆的圆心，∴点O到三个顶点A，B，C的距离相等，∴，，是模相等的向量．
3．如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A．0
B.
C.
D.
答案：D
解析：＋＋＝＋＋＝＋＝，所以选D.
4．已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|.其中正确的是( )
A．①③
B．②③
C．②④
D．①②
答案：A
解析：∵在平行四边形ABCD中，＋＝0，＋＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确，②④错误．
5．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：设a＝＋，利用平行四边形法则作出向量＋，再平移即发现a＝.
6．设非零向量a，b，c，若p＝＋＋，则|p|的取值范围为( )
A．[0,1]
B．[0,2]
C．[0,3]
D．[1,2]
答案：C
解析：因为，，是三个单位向量，因此当三个向量同向时，|p|取最大值3.当三个向量两两成120°角时，它们的和为0，故|p|的最小值为0.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，那么：
(1)在图中与共线的向量有________；
(2)在图中与相等的向量有________；
(3)在图中与模相等的向量有________；
(4)在图中与相等的向量有________．
答案：(1)，，，，，，；(2)，；(3)，，，，，，，，；(4)
解析：(1)与已知向量在同一直线上或平行的向量都是它的共线向量，根据题意，与共线的向量有，，，，，，.
(2)与已知向量相等的向量与已知向量方向相同、长度相等，于是与相等的向量有，.
(3)向量的模相等，只需长度相等，与方向无关，根据正方形和等腰直角三角形的性质，可知与模相等的向量有，，，，，，，，.
(4)与相等的向量只有.
8．若a＝“向东走8公里”，b＝“向北走8公里”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
答案：8 北偏东45°(或东北方向)
解析：由题意知，|a|＝|b|＝8，且a⊥b，所以|a＋b|是以a，b为邻边的正方形的对角线长，所以|a＋b|＝8，a＋b与b的夹角为45°，所以a＋b的方向是北偏东45°.
9．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝________.
答案：2
解析：由题意，知a＋b＋c＝2c，而|c|＝，故|a＋b＋c|＝2.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．试求：(1)与向量相等的向量；(2)与共线的向量．
解：(1)在平行四边形ABCD和ABDE中，有＝，＝，所以与相等的向量为，；
(2)由图形不难得到，与共线的向量有，，，，，，.
11．在如下图的方格纸上，每个小正方形的边长都是1，已知向量a.
(1)试以点B为终点画一个向量b，使b＝a；
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么图形？
解：画一个向量，必须先确定所画向量的方向和大小，另外还需根据实际情况确定起点和终点．
(1)如图所示，向量即为所求向量b；
(2)向量即为一个所求向量c，向量c终点的轨迹是一个以点A为圆心，以为半径的圆．
12．已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．
解：由|a－b|≤|a|＋|b|可得|－|≤||＋||＝6＋9＝15(当且仅当、共线反向时成立)，当、共线同向时，|－|＝||－||＝3，∴3≤|－|≤15.模块综合测试卷
时间：90分钟 分值：100分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知角α的终边上有一点M(，－5)，则sinα等于( )
A．－ B．－
C．－
D．－
答案：B
解析：∵|OM|＝＝6，∴sinα＝－.
2．若向量＝(－1,3)，＝(3，t)，且∥，则等于( )
A．(1,3)
B．(2，－6)
C．(－3,2)
D．(3,2)
答案：B
解析：∵∥，∴－t－9＝0，∴t＝－9，＝(3，－9)，∴＝＋＝(2，－6)．
3．下列函数中，周期是的偶函数是( )
A．y＝sin4x
B．y＝cos22x－sin22x
C．y＝tan2x
D．y＝cos2x
答案：B
解析：A选项中y＝sin4x的周期是，但是是奇函数．B选项中y＝cos22x－sin22x＝cos4x，是偶函数，且周期T＝.C选项中y＝tan2x的周期是，但是是奇函数．D选项中y＝cos2x是偶函数，但周期是π.
4．已知向量a＝(3,2)，b＝(x,4)，且a∥b，则x的值为( )
A．6
B．－6
C．－
D.
答案：A
解析：2x－12＝0 ∴x＝6，故选A.
5．已知tan＝3，则cosα的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
答案：B
解析：将cosα表示成tan的关系式，代入求值．
cosα＝cos2－sin2＝＝＝＝－.
6．在△ABC中，＝(，－1)，＝(1，－)，则sinB等于( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：∵在△ABC中，＝(－，1)，∴cosB＝＝＝－，∴sinB＝.
7．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)等于( )
A．－8
B.
C．－
D．8
答案：C
解析：(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋7e1·e2－2e，
由e1、e2为单位向量知|e2|2＝|e1|2＝1，e1·e2＝，
∴原式＝－6＋7×－2＝－.故选C.
8．函数y＝f(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的解析式为( )
A．y＝sin2x－2
B．y＝2cos3x－1
C．y＝sin(2x－)－1
D．y＝1－sin(2x－)
答案：D
解析：把x＝，y＝1；x＝，y＝0代入检验知y＝1－sin(2x－)．
9．若函数y＝f(x)的图像和函数y＝sin(x＋)的图像关于P(，0)对称，则f(x)解析式为( )
A．f(x)＝sin(x－)
B．f(x)＝－sin(x－)
C．f(x)＝－cos(x＋)
D．f(x)＝cos(x－)
答案：B
解析：设函数y＝f(x)的图像上任意点为(x，y)，由对称性可得：－y＝f(π－x)，y＝－f(π－x)＝－sin(π－x＋)＝－sin(x－)．
10．已知α、β∈(0，)，满足tan(α＋β)＝4tanβ，则tanα的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：因为＋4tanβ≥4，
所以tanα＝tan[(α＋β)－β]
＝＝＝≤，
所以当且仅当tanβ＝时，等号成立．
二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填入题中横线上．
11．设向量a，b满足|a|＝2，a·b＝，|a＋b|＝2，则|b|＝________.
答案：1
解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋3＋b2＝8，∴|b|＝1.
12．函数y＝2sinxcosx－1(x∈R)的值域是______．
答案：[－2,0]
解析：y＝2sinxcosx－1＝sin2x－1，∵x∈R，
∴sin2x∈[－1,1]，
∴y∈[－2,0]．
13．给出下列命题：
(1)f(x)＝－2cos(π－2x)是奇函数；
(2)若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ；
(3)x＝－π是函数y＝3sin(2x－π)的图像的一条对称轴；
(4)已知函数f(x)＝3sin2x＋1，使f(x＋c)＝f(x)对任意x∈R都成立的正整数c的最小值是2.
其中正确命题的序号是________．
答案：(1)(3)(4)
解析：必须逐个解决才能得出正确答案．
(1)f(x)＝－2cos(π－2x)＝2sin2x是奇函数，∴(1)正确．
(2)α＝30°，β＝－300°时，α＞β，但tanα＜tanβ，∴(2)错误．
(3)将x＝－π代入y＝3sin(2x－π)后，y取最大值3.∴(3)正确．
(4)f(x)＝3×＋1＝－cosπx.f(x)的最小正周期是2，而f(x＋c)＝f(x)对任意x∈R都成立，则说明正整数c是f(x)的周期，∴c的最小值是2.∴(4)正确．
三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．已知角α终边上一点P(－4,3)，求的值．
解：∵tanα＝＝－
∴
＝＝tanα＝－.
15．已知tanα，tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的两个实根，且α，β∈(，)，求α＋β的值．
解：由于tanα，tanβ是方程x2＋3
x＋4＝0的两个实根，
于是
∵α，β∈(，)，由②知tanα与tanβ同号，结合①知tanα<0，tanβ<0，
∴<α<π，<β<π，
∴π<α＋β<2π
而tan(α＋β)＝＝＝，∴α＋β＝.
16．已知＝(－1,1)，＝(0，－1)，＝(1，m)(m∈R)．
(1)若A，B，C三点共线，求实数m的值；
(2)证明：对任意实数m，恒有·≥1成立．
解：(1)＝(－2,1－m)，＝(1，－2)，∵A，B，C三点共线，∴－2＝，∴m＝－3.
(2)∵＝(－2,1－m)，＝(－1，－1－m)，∴·＝2－(1－m2)＝m2＋1≥1，
∴恒有·≥1成立．
17．已知cosx＋cosy＝，求cosx－sin2y的最大值和最小值．
解：∵cosy＝－cosx，
cosx＝－cosy≥－1，
∴－≤cosx≤1，
由cosx－sin2y＝cosx－(1－cos2y)
＝cosx＋(－cosx)2－1
＝cos2x＋cosx－
＝(cosx＋)2－.
∴当cosx＝－时，cosx－sin2y的最小值为－；
当cosx＝1时，cosx－sin2y的最大值为.
18．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)将函数y＝f(x)的图像向右平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图像，求方程g(x)＝1在x∈[0，π]上的解集．
解：(1)f(x)＝sin(2x＋)＋1，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得：kπ－≤x≤kπ＋，
∴f(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)由已知，g(x)＝sin(2x－)＋1，由g(x)＝1，得sin(2x－)＝0，
∴x＝＋(k∈Z)，∵x∈[0，π]，∴x＝或，∴方程的解集为{，}．26 二倍角的三角函数1
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．计算1－2sin222.5°的结果等于( )
A. B.
C.
D.
答案：B
解析：1－2sin222.5°＝cos45°＝.
2．设sin＝，则sin2θ＝( )
A．－
B．－
C.
D.
答案：A
解析：sin＝，∴sinθ＋cosθ＝，两边平方得1＋2sinθcosθ＝，∴sin2θ＝－.
3．当cos2α＝时，sin4α＋cos4α的值为( )
A.
B.
C.
D．1
答案：B
解析：由cos2α＝ (cos2α－sin2α)2＝ sin4α＋cos4α＝＋2sin2αcos2α＝＋sin22α
＝＋＝.
4．函数f(x)＝cos2x＋2sinx的最小值和最大值分别为( )
A．－3,1
B．－2,2
C．－3，
D．－2，
答案：C
解析：f(x)＝1－2sin2x＋2sinx＝－22＋，
∴sinx＝时，f(x)max＝，sinx＝－1时，f(x)min＝－3，故选C.
5．已知α为锐角，且满足cos2α＝sinα，则α等于( )
A．30°或270°
B．45°
C．60°
D．30°
答案：D
解析：因为cos2α＝1－2sin2α，故由题意，知2sin2α＋sinα－1＝0，即(sinα＋1)(2sinα－1)＝0.因为α为锐角，所以sinα＝，所以α＝30°.故选D.
6．锐角三角形的内角A、B满足tanA－＝tanB，则有( )
A．sin2A－cosB＝0
B．sin2A＋cosB＝0
C．sin2A－sinB＝0
D．sin2A＋sinB＝0
答案：A
解析：∵△ABC为锐角三角形，∴sin2A＋cosB＞0，sin2A＋sinB＞0，∴B、D都错．
又A＋B＞，A＞－B，∴cosA＜sinB.
∴2sinAcosA＜sinB，即sin2A＜sinB，∴C错，选A.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．sin22.5°cos202.5°＝________.
答案：－
解析：sin22.5°cos202.5°＝sin22.5°·(－cos22.5°)＝－sin45°＝－.
8．coscosπ的值是__________．
答案：
解析：原式＝·2sincoscos＝·2sincosπ＝sinπ＝.
9.的值是__________．
答案：
解析：原式＝＝＝＝.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知sin－2cos＝0.
(1)求tanx的值；
(2)求的值．
解析：(1)由sin－2cos＝0， tan＝2，
∴tanx＝＝＝－.
(2)原式＝＝，由(1)知cosx－sinx≠0，
所以上式＝＝cotx＋1＝＋1＝.
11．设T＝.
(1)已知sin(π－θ)＝，θ为钝角，求T的值
；
(2)已知cos(π－θ)＝m，且<θ≤，求T的值
.
解析：(1)由sin(π－θ)＝，得sinθ＝，∵θ为钝角，∴cosθ＝－，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝－，T＝＝.
(2)由cos(π－θ)＝m得sinθ＝m，∵θ为钝角，∴cosθ＝－，T＝＝|sinθ＋cosθ|，
∵<θ≤时，sinθ＋cosθ>0，
∴T＝sinθ＋cosθ＝m－.
12．若＜α＜2π(α∈)且cosα＝.求的值．
解析：∵＜α＜2π，∴＜＜π.
又∵cosα＝，∴cos＝－＝－，
∴
＝
＝
＝－cos＝.14 平面向量的基本定理
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．设a，b是不共线的两个非零向量，已知＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b.若A，B，D三点共线，则p的值为( )
A．1
B．2
C．－2
D．－1
答案：D
解析：＝＋＝2a－b，＝2a＋pb，由A，B，D三点共线，知存在实数λ，使2a＋pb＝2λa－λb.∵a，b不共线，∴，∴p＝－1.
2．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝e1，＝e2，则＝( )
A.(e1＋e2)
B.(e1－e2)
C.(2e2－e1)
D.(e2－e1)
答案：A
解析：因为O是矩形ABCD对角线的交点，＝e1，＝e2，所以＝(＋)＝(e1＋e2)，故选A.
3．若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是( )
A．60°
B．120°
C．30°
D．150°
答案：A
解析：使平面向量a，b有公共起点O，如图所示，则由对顶角相等，可得向量－a与－b的夹角也是60°.
4．如果a与b是一组基底，则下列不能作为基底的是( )
A．a＋b与a－b
B．a＋2b与2a＋b
C．a＋b与－a－b
D．a与－b
答案：C
解析：由已知，a与b不共线，根据平行四边形法则，可知A，B，D选项中的两个向量都可以作为基底，而a＋b与－a－b共线，不能作为基底．
5．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，＝x＋y，且＝3，则( )
A．x＝，y＝
B．x＝，y＝
C．x＝，y＝
D．x＝，y＝
答案：D
解析：由已知＝3，得－＝3(－)，整理，得＝＋，故x＝，y＝.
6．设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：
①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；
②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；
③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；
④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：C
解析：对于①，若向量a、b确定，因为a－b是确定的，故总存在向量c，满足c＝a－b，即a＝b＋c故正确；
对于②，因为c和b不共线，由平面向量基本定理知，总存在唯一的一对实数λ、μ，满足a＝λb＋μc，故正确；
对于③，如果a＝λb＋μc，则以|a|、|λb|、|μc|为三边长可以构成一个三角形，如果b和正数μ确定，则一定存在单位向量c和实数λ满足a＝λb＋μc，故正确；
对于④，如果给定的正数λ和μ不能满足“以|a|，|λb|、|μc|为三边长可构成一个三角形”，这时单位向量b和c就不存在，故错误．故选C.
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
7．设G是△ABC的重心(即三条中线的交点)，＝a，＝b，试用a，b表示＝________.
答案：a＋b.
解析：延长AG交BC于D.
∵＝＝(＋)＝(＋)＝＋(－)＝＋＝a＋b.
8．已知e1，e2是两个不共线向量，a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2共线，则实数k＝________.
答案：－2或
解析：由题设，知＝，∴3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或.
9．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
答案：
解析：由题意，知＝＋，＝＋，＝＋.又＝λ＋μ，所以＝＋，故，所以λ＋μ＝.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．如图，在 ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，试用a，b表示.
解析：由＝3，知N为AC的四等分点.＝＋＝－＝－(＋)＝－＋＝－a＋b.
11．已知＝λ(λ∈R)，O是平面内任意一点(O不在直线AB上)．
(1)试以，为基底表示；
(2)当λ＝时，试确定点P的位置．
解析：(1)∵＝－，＝－，由＝λ得(－)＝λ(－)，
∴＝λ＋(1－λ).
(2)当λ＝时，由(1)可知＝＋＝(＋)，结合向量加法的几何意义可知，此时点P为线段AB的中点．
12．如图，在平行四边形ABCD中，F是CD的中点，AF与BD交于E，求证：E为线段BD的三等分点．
解析：设＝a，＝b，则＝－＝b－a，＝＋＝＋＝b＋a.
因为A、E、F与B、D、E分别共线，所以存在实数λ，μ∈R，使＝λ，＝μ.
于是＝a＋λb，＝μb－μa.
由＋＝得，(1－μ)a＋μb＝a＋λb.
因为a，b不共线，由平面向量基本定理，得1－μ＝且μ＝λ.
解得λ＝μ＝，∴＝.
即E为线段BD(靠近D)的一个三等分点．22 两角和与差的正弦余弦函数1
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．化简cos(x－y)cosy－sin(x－y)siny可得( )
A．1
B．sinx
C．sinxcos2y
D．cosx
答案：D
解析：原式＝cos[(x－y)＋y]＝cosx.
2．设α∈，若sinα＝，则cos＝( )
A.
B.
C．－
D．－
答案：B
解析：∵α∈，sinα＝，∴cosα＝，
又cos＝＝cosα－sinα＝.
3．若sinx－cosx＝2sin(x＋θ)，θ∈(－π，π)，则θ的值( )
A．－
B.
C.
D．－
答案：A
解析：sinx－cosx＝2[sinx－cosx]＝2[sinxcos－cosxsin]＝2sin(x－)，故θ的值为－.
4．若sin(α－β)＝，sinα＝，且α、β为锐角，则cosβ的值为( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：因为α、β为锐角，所以α－β∈(－，)，又因为sin(α－β)＝，sinα＝，得cos(α－β)＝，cosα＝，所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝.
5．设A、B、C∈(0，)，且sinA－sinC＝sinB，cosA－cosC＝cosB，则B－A等于( )
A．－
B.
C．－
D．－或
答案：A
解析：条件中的两式可变为sinA－sinB＝sinC，cosA－cosB＝cosC，所得两式两边平方相加得cos(B－A)＝，又因为A，B，C∈(0，)，sinA－sinB＝sinC>0，故可得A>B，故B－A＝－.
6．已知三角形ABC中，有关系式tanA＝成立，则三角形ABC一定为( )
A．等腰三角形
B．A＝60°的三角形
C．等腰三角形或A＝60°的三角形
D．不能确定
答案：C
解析：“切化弦”后可得cos(A－C)＝cos(B－C)，∴A－C＝A－B或A－C＝－(A－B)，即B＝C或2A＝B＋C，即B＝C或A＝60°.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanαtanβ＝__________.
答案：
解析：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝，①
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝，②
①×3－②得：2cosαcosβ＝4sinαsinβ
即tanαtanβ＝.
8．sin70°cos25°－sin380°cos295°＝________.
答案：
解析：原式＝sin70°cos25°－sin20°cos65°＝cos20°cos25°－sin20°sin25°＝cos45°＝.
9．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.
答案：－
解析：∵α，β∈，
∴α＋β∈，β－∈.
∵sin(α＋β)＝－，∴cos(α＋β)＝.
∵sin＝，∴cos＝－，
∴cos＝cos＝·＋·＝－.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．化简：(tan10°－).
解析：原式＝(－)＝()＝·＝－2.
11．设cos＝－，sin＝且＜α＜π，0＜β＜，求cos.
解析：∵＜α＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，－＜－β＜，
又∵cos＝－，sin＝，
∴sin＝
＝，cos＝
＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin ＝.
12．已知函数f(x)＝2sin，x∈R.
(1)求f的值；
(2)设α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．
解析：(1)f
＝2sin
＝2sin＝2×＝.
(2)f
＝2sin
＝2sinα＝，∴sinα＝.
f(3β＋2π)＝2sin＝2sin
＝2cosβ＝，
∴cosβ＝.
∵α，β∈，∴cosα＝＝，sinβ＝＝，
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.6 余弦函数的图像与性质
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．函数y＝1＋cosx的图像( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线x＝对称
答案：B
解析：y＝1＋cosx是偶函数，其图像关于y轴对称．
2．若函数f(x)＝2cosx，x∈[0，]，则函数f(x)的最小值是( )
A．－ B．－1
C．－2
D．－
答案：C
解析：函数f(x)＝2cosx，∵x∈[0，]，∴cosx∈[－1,1]，∴2cosx∈[－2,2]，∴函数f(x)的最小值为－2.
3．使cosx＝1－m有意义的m的值为( )
A．m≥0
B．m≤0
C．0≤m≤2
D．－2≤m≤0
答案：C
解析：由于－1≤cosx≤1，即－1≤1－m≤1，即0≤m≤2.
4．函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成的封闭图形的面积是( )
A．4
B．8
C．2π
D．4π
答案：D
解析：函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图像与直线y＝2围成的封闭图形如右图中阴影部分所示．
利用图像的对称性可知该封闭图形的面积等于矩形OABC的面积．
又OA＝2，OC＝2π，∴S封闭图形＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.
5．函数y＝1＋cosx(x∈[0,2π])的图像与直线y＝的交点个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：C
解析：由函数y＝1＋cosx(x∈[0,2π])的图像，可知直线y＝与函数y＝1＋cosx的图像有2个交点，故选C.
6．函数y＝－xcosx的图像大致是图中的( )
答案：D
解析：令f(x)＝－xcosx，则f(－x)＝－(－x)·cos(－x)＝xcosx＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，所以A、C排除，又当x∈时，f(x)＜0，故选D.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．三个数cos110°，cos80°，－cos50°的大小关系为__________．
答案：cos80°＞cos110°＞－cos50°
解析：－cos50°＝cos(180°－50°)＝cos130°，
∵函数y＝cosx在[0，π]上为减函数，∴cos80°＞cos110°＞cos130°，即cos80°＞cos110°＞－cos50°.
8．设0≤x≤2π，且|cosx－sinx|＝sinx－cosx，则x的取值范围为________．
答案：
解析：由题意，知sinx－cosx≥0，即cosx≤sinx，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝sinx，x∈[0,2π]与y＝cosx，x∈[0,2π]的图像，如图所示：
观察图像，可知x∈.
9．函数y＝log(1＋λcosx)的最小值是－2，则λ的值是________．
答案：±3
解析：由题意，知1＋λcosx的最大值为4，当λ>0时，1＋λ＝4，λ＝3；当λ<0时，1－λ＝4，λ＝－3.∴λ＝±3.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．画出函数y＝cosx＋|cosx|的图像，并根据图像讨论其性质
.
解：y＝cosx＋|cosx|＝，利用五点法画出其图像，如图：
由图像可知函数具有以下性质：定义域：R；值域：[0,1];
奇偶性：偶函数；周期性：最小正周期为2π的周期函数；单调性：在区间[2kπ，2kπ＋](k∈Z)上是递减的；在区间[2kπ－，2kπ](k∈Z)上是递增的．
11．已知函数f(x)＝2cos，x∈R.
(1)求f(π)的值；
(2)若f＝，α∈，求f(2α)的值．
解：(1)f(π)＝2cos＝－2cos＝－.
(2)∵f＝2cos＝－2sinα＝，
∴sinα＝－
∵α∈＝，
∴cosα＝＝
∴f(2α)＝2cos
＝cos2α＋sin2α＝(2cos2α－1)＋2sinαcosα＝(2×－1)＋2××＝.
12．(1)求函数y＝3cos2x－4cosx＋1，x∈的值域；
(2)已知函数y＝acos＋3，x∈的最大值为4，求实数a的值．
解：(1)y＝3cos2x－4cosx＋1＝32－.
∵x∈，∴cosx∈.
从而当cosx＝－，即x＝时，ymax＝；
当cosx＝，即x＝时，ymin＝－.
∴函数y＝3cos2x－4cosx＋1，x∈的值域为.
(2)∵x∈，∴2x＋∈，
∴－1≤cos≤.
若a>0，则当cos＝时，y取得最大值a＋3，
∴a＋3＝4，∴a＝2.
若a<0，则当cos＝－1时，y取得最大值－a＋3，
∴－a＋3＝4，∴a＝－1.
综上，实数a的值为2或－1.17 平面向量数量积的坐标表示
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b＝( )
A．23 B．7
C．－23
D．－7
答案：D
2．若向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论正确的是( )
A．a·b＝1
B．|a|＝|b|
C．(a－b)⊥b
D．a∥b
答案：C
解析：a·b＝2，选项A错误；|a|＝2，|b|＝，选项B错误；(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝0，选项C正确，故选C.
3．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在b方向上的投影为( )
A.
B．3
C．－
D．－3
答案：D
解析：向量a在b方向上的投影为＝＝－3.选D.
4．若A(1,2)，B(2,3)，C(－3,5)，则△ABC为( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．不等边三角形
答案：C
解析：∵A(1,2)，B(2,3)，C(－3,5)，
∴＝(1,1)，＝(－4,3)，
cosA＝＝＝－＜0，∴∠A为钝角，△ABC为钝角三角形．
5．若向量＝(3，－1)，n＝(2,1)，且n·＝7，那么n·等于( )
A．－2
B．2
C．－2或2
D．0
答案：B
解析：n·(＋)＝n·＋n·＝7，所以n·＝7－n·＝7－(6－1)＝2.
6．与向量a＝(，)，b＝(，－)的夹角相等，且模为1的向量是( )
A．(，－)
B．(，－)或(－，)
C．(，－)
D．(，－)或(－，)
答案：B
解析：设与向量a＝(，)，b＝(，－)的夹角相等，且模为1的向量为e＝(x，y)，则
，解得或故选B.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知点A(4,0)，B(0,3)，OC⊥AB于点C，O为坐标原点，则·＝________.
答案：
解析：设点C的坐标为(x，y)，因为OC⊥AB于点C，∴，即，解得，∴·＝4x＝.
8．已知向量a＝(1，)，2a＋b＝(－1，)，a与2a＋b的夹角为θ，则θ＝________.
答案：
解析：∵a＝(1，)，2a＋b＝(－1，)，∴|a|＝2，|2a＋b|＝2，a·(2a＋b)＝2，∴cosθ＝＝，∴θ＝.
9．若平面向量a＝(log2x，－1)，b＝(log2x,2＋log2x)，则满足a·b<0的实数x的取值集合为________．
答案：
解析：由题意可得(log2x)2－log2x－2<0 (log2x＋1)(log2x－2)<0，所以－1三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(1,2)，(3,8)，向量＝(x,3)．
(1)若∥，求实数x的值；
(2)若⊥，求实数x的值．
解析：(1)依题意，＝(3,8)－(1,2)＝(2,6)．
∵∥，＝(x,3)，
∴2×3－6x＝0，∴x＝1.
(2)∵⊥，＝(x,3)，
∴2x＋6×3＝0，∴x＝－9.
11．已知：a＝(4,3)，b＝(－1,2)，m＝a－λb，n＝2a＋b.按照下列条件求λ的值：
(1)m与n的夹角为钝角；
(2)|m|＝|n|.
解析：(1)因为m与n的夹角为钝角，所以m·n＜0，且m与n不共线．
因为m＝a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，n＝2a＋b＝(7,8)．
所以.
解得λ＞.
(2)因为|m|＝|n|，所以＝.整理可得5λ2－4λ－88＝0.解之得λ＝.
12．已知平面向量a＝(sinα，1)，b＝(1，cosα)，－<α<.
(1)若a⊥b，求α；
(2)求|a＋b|的最大值．
解析：(1)由已知，得a·b＝0，
即sinα＋cosα＝0，∴tanα＝－1.
∵－<α<，∴α＝－.
(2)由已知得|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝sin2α＋1＋cos2α＋1＋2(sinα＋cosα)＝3＋2sin.
∵－<α<，
∴－<α＋<，∴－即1<|a＋b|2≤3＋2，∴1<|a＋b|≤1＋，
即|a＋b|的最大值为1＋.4 单位圆与诱导公式
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．sin585°的值为( )
A．－ B.
C．－
D.
答案：A
2．如果△ABC的三角内角为A、B、C，则sin＝( )
A．－cos
B．sin
C．－sin
D．cos
答案：D
3．sin(π－2)－cos化简的结果为( )
A．0
B．－1
C．2sin2
D．－2sin2
答案：A
解析：原式＝sin2－sin2＝0，所以选A.
4．sin2150°＋sin2135°＋2sin210°＋cos2225°的值为( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
5．已知f(sinx)＝cos3x，则f(cos10°)的值为( )
A．－
B.
C．－
D.
答案：A
解析：f(cos10°)＝f(sin80°)＝cos240°＝cos(180°＋60°)＝－cos60°＝－.
6．若sin(π＋α)＋cos(＋α)＝－m，则cos(－α)＋2sin(2π－α)＝( )
A．－m
B.m
C．－m
D.m
答案：C
解析：因为sin(π＋α)＋cos(＋α)＝－sinα－sinα＝－m，所以sinα＝，所以cos(－α)＋2sin(2π－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－m.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．若sin＝，则sin＝________.
答案：－
8.的值是________．
答案：
9．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a，b，α，β为非零常数．若f(2014)＝1，则f(2015)＝________.
答案：3
解析：f(2014)＝asin(2014π＋α)＋bcos(2014π＋β)＋2＝asinα＋bcosβ＋2＝1，∴asinα＋bcosβ＝－1.∴f(2015)＝asin(2015π＋α)＋bcos(2015π＋β)＋2＝－asinα－bcosβ＋2＝3.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．求下列三角函数值．
(1)cos945°；
(2)sinπ；
(3)cos；
(4)sin.
解析：(1)cos945°＝cos(2×360°＋225°)＝cos225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－.
(2)sinπ＝sin＝－sin＝－.
(3)cos＝cos＝－cos＝－＝.
(4)sin＝－sin＝－sin＝－sin＝sin＝.
11．已知α是第四象限角，且f(α)＝.
(1)若cos(α－)＝，求f(α)的值；
(2)若α＝－1
860°，求f(α)的值．
解析：f(α)＝
＝＝.
(1)因为cos(α－)＝，所以cos(α－＋2π)＝，所以cos(＋α)＝，所以sinα＝－
所以f(α)＝＝－5.
(2)当α＝－1
860°时，
f(α)＝＝＝
＝＝＝－.
12．设f(n)＝cos(n∈N
)，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)的值．
解：∵f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)
＝cos＋cos＋cos＋cos
＝－sin－cos＋sin＋cos
＝0.
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)
＝503[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]
＝0.
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2015)
＝f(2013)＋f(2014)＋f(2015)
＝cos＋cos＋cos
＝cos＋cos＋cos
＝－sin－cos－cosπ
＝－－＋＝－.9 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像习题课
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知函数f(x)＝sinπx的图像的一部分如图(1)，则图(2)的函数图像所对应的函数解析式可以为( )
(1) (2)
A．y＝f(2x－) B．y＝f(2x－1)
C．y＝f(－1)
D．y＝f(－)
答案：B
解析：因为图(2)中的图像可以看作是图(1)中的图像先向右平移一个单位，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的二分之一倍而得到，所以图(2)所对应的函数解析式应是y＝f(2x－1)．故选B.
2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在x＝1处取得最大值，则( )
A．函数f(x－1)一定是奇函数
B．函数f(x－1)一定是偶函数
C．函数f(x＋1)一定是奇函数
D．函数f(x＋1)一定是偶函数
答案：D
解析：因为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在x＝1处取得最大值，则说明sin(ω＋φ)＝±1，解得ω＋φ＝kπ＋，k∈Z，因此函数利用诱导公式，f(x＋1)必然是偶函数，选D.
3．设ω>0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则ω的最小值是( )
A.
B.
C.
D．3
答案：C
解析：因为ω>0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图像向右平移个单位后与原图像重合，说明至少平移一个周期，或者是周期的整倍数，因此＝nT＝n· ∴当n＝1，ω＝.
4．函数f(x)＝3sin(3x＋φ)在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－2,
f(b)＝2，则g(x)＝2cos(2x＋φ)在[a，b]上( )
A．是增函数
B．是减函数
C．可以取得最大值
D．可以取得最小值
答案：C
解析：由f(x)在[a，b]上为增函数及f(a)＝－2,
f(b)＝2知，g(x)在[a，b]上先增后减，可以取到最大值．
5．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图像不可能是( )
答案：D
解析：当a＝0时，f(x)＝1，选项C符合；当0<|a|<1时，T>2π，且f(x)的最小值为正数，选项A符合；当|a|>1时，T<2π，且f(x)的最小值为负数，选项B符合；在选项D中，由振幅得|a|>1，则T<2π，而由图像知T>2π矛盾，故选D.
6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π<φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则( )
A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数
B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数
C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数
D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数
答案：A
解析：由T＝6π，得ω＝＝.当x＝时，sin＝1，即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，可得φ＝＋2kπ，k∈Z.而－π<φ≤π，可得φ＝.故f(x)＝2sin，结合其图像可知选A.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图像如图所示，则ω＝________.
答案：
解析：由图，知＝－＝，∴T＝.又T＝＝，∴ω＝.
8．已知函数f(x)＝sin的图像向左平移个单位长度后与函数g(x)＝sin的图像重合，则正数ω的最小值为________．
答案：
解析：函数f(x)＝sin的图像向左平移个单位长度后，得到的图像所对应的函数是y＝sin，其图像与函数g(x)＝sin的图像重合，∴ω＋＝＋2kπ，k∈Z.又ω>0，∴当k＝1时，ω取得最小值为.
9．关于f(x)＝3sin(2x＋)有以下命题：
①若f(x1)＝f(x2)＝0，则x1－x2＝kπ(k∈Z);
②f(x)图像与g(x)＝3cos(2x－)图像相同；③f(x)在区间[－，－]上是减函数；④f(x)图像关于点(－，0)对称．
其中正确的命题是________．
答案：①②
解析：f＝3sin＝3sin＝－3，∴①正确；由－三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知函数f(x)＝2sin＋1(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值；
(2)将函数f(x)的图像向右平移个单位长度后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)的单调递减区间．
解：(1)∵f(x)为偶函数，
∴φ－＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝kπ＋(k∈Z)．
又0<φ<π，
∴φ＝，
∴f(x)＝2sin＋1＝2cosωx＋1.
又函数f(x)的图像的两相邻对称轴间的距离为，
∴T＝＝2×，
∴ω＝2，
∴f(x)＝2cos2x＋1，
∴f＝2cos＋1＝＋1.
(2)将f(x)的图像向右平移个单位长度后，得到函数f的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到f的图像，
所以g(x)＝f＝2cos2＋1＝2cos＋1.
而2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减．∴函数g(x)的单调递减区间是(k∈Z)．
11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图像如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设0解：(1)观察图像，得A＝2，T＝÷＝π.
∴ω＝＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．
∵函数f(x)的图像经过点，
∴2sin＝2，
即sin＝1.
又|φ|<，∴φ＝，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
(2)∵0.
又0由图，可知当－2∴m的取值范围为(－2,1)∪(1,2)．
当－2当112．已知f(x)＝sin2(2x－)－2t·sin(2x－)＋t2－6t＋1(x∈
[，])，其最小值为g(t)．
(1)求g(t)的表达式．
(2)当－≤t≤1时，要使关于t的方程g(t)＝kt
有一个实根，求实数k的取值范围．
解：(1)因为x∈[，]，可得sin(2x－)∈[－，1]．
f(x)＝[sin(2x－)－t]2－6t＋1(x∈
[，])．
当t<－时，则当sinx＝－时，
f(x)min＝t2－5t＋；
当－≤t≤1时，则当sinx＝t时，f(x)min＝－6t＋1；当t＞1时，则当sinx＝1时，
f(x)min＝t2－8t＋2；
故g(t)＝
(2)当－≤t≤1时，g(t)＝－6t＋1，令h(t)＝g(t)－kt.
欲使g(t)＝kt有一个实根，则只需使或即可．
解得k≤－8或k≥－5.第二章章末测试
时间：90分钟 分值：100分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．下列命题正确的是( )
A．向量与是相等向量
B．共线的单位向量是相等向量
C．零向量与任一向量共线
D．两平行向量所在直线平行
答案：C
解析：利用向量的概念进行判定．
2．向量a，b反向，下列等式成立的是( )
A．|a－b|＝|a|－|b|
B．|a＋b|＝|a|＋|b|
C．|a|＋|b|＝|a－b|
D．|a＋b|＝|a－b|
答案：C
解析：当a，b反向时，由向量加法或减法的几何意义可知，|a－b|＝|a|＋|b|.
3．以a＝(－1,2)，b＝(1，－1)为基底表示c＝(3，－2)为( )
A．c＝4a＋b B．c＝a＋4b
C．c＝4b
D．c＝a－4b
答案：B
解析：设c＝x
a＋y
b，则(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)，
所以－x＋y＝3且2x－y＝－2，解得x＝1，y＝4.
所以c＝a＋4b.
4．已知平面内三点A(－1,0)、B(5,6)、P(3,4)，则·等于( )
A．0
B．－16
C．16
D．8
答案：B
解析：＝(4,4)，＝(－2，－2)，所以·＝－16.
5．向量a＝(－1,1)在向量b＝(3,4)上的射影为( )
A.
B．－
C.
D．－
答案：C
解析：由a·b＝|a||b|cosθ，得|a|cosθ＝＝
＝.
6．已知a＝(3，)，b＝＝(－，cosα)，a∥b且0°＜α＜180°，则α等于( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
答案：C
解析：∵a∥b，∴3cosα＝－，∴cosα＝－，又0＜α＜π，∴α＝120°.
7．给定两个向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，若(a＋xb)⊥(a－b)，则x等于( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：a＋xb＝(2,1)＋(－3x,4x)＝(2－3x,1＋4x)，a－b＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)，∵(a＋xb)⊥(a－b)，∴(2－3x)·5＋(1＋4x)·(－3)＝0，∴x＝.
8．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
答案：C
解析：由条件知|a|＝，|b|＝2，a＋b＝(－1，－2)，∴|a＋b|＝，∵(a＋b)·c＝，∴×·cosθ＝，其中θ为a＋b与c的夹角，∴θ＝60°，∵a＋b＝－a，∴a＋b与a方向相反，∴a与c的夹角为120°.
9．在边长为1的正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则|a－b＋c|等于( )
A．1
B.
C．2
D.
答案：C
解析：先求模的平方．
10.
将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一个正六角星，如图所示的正六角星是以原点O为中心，其中，，分别为原点O到两个顶点的向量．若将原点O到正六角星12个顶点的向量，都写成为a＋b的形式，则a＋b的最大值为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
答案：D
解析：要求a＋b的最大值，只需考虑右图中6个顶点的向量即可，讨论如下：
(1)∵＝，∴(a，b)＝(1,0)；
(2)∵＝＋＝＋3，∴(a，b)＝(3,1)；
(3)∵＝＋＝＋2，∴(a，b)＝(1,2)；
(4)∵＝＋＋＝＋＋＝＋＋(＋2)＝2＋3，∴(a，b)＝(3,2)；
(5)∵＝＋＝＋，∴(a，b)＝(1,1)；
(6)∵＝，∴(a，b)＝(0,1)．
∴a＋b的最大值为3＋2＝5.
二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填入题中横线上．
11．已知向量a，b满足|a|＝2011，|b|＝4，且a·b＝4022，则a与b的夹角为________．
答案：
解析：设a与b的夹角为θ，由夹角余弦公式cosθ＝＝＝，解得θ＝.
12．已知向量a＝(1，t)，b＝(－1，t).2a－b与b垂直，则|a|＝________.
答案：2
解析：由(2a－b)·b＝0，可得t＝±，所以|a|＝＝2.
13．如右图，在△ABC中，∠BAC＝135°
，AB＝，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则·＝________.
答案：－
解析：根据向量的加减法法则有：＝－，
＝＋＝＋(－)＝＋，此时·＝(＋)(－)＝||2＋·－||2
＝－×1××－×2＝－.
三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．已知点A、B、C的坐标分别为A(，2)、B(0,3)、C(－，sinα)，α∈(，)．若|＝||，求角α的值．
解：∵＝(－，1)，＝(－，sinα－3)
∴||＝，||＝
由||＝||得sinα＝.
又∵α∈(，)，∴α＝.
15．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是150°，计算：
(1)(a＋2b)(2a－b)；
(2)|4a－2b|.
解：(1)(a＋2b)·(2a－b)
＝2a2＋3a·b－2b2
＝2|a|2＋3|a|·|b|·cos150°－2|b|2
＝2?42＋3?4?8·(－)－2?82
＝－96－48.
(2)|4a－2b|＝
＝
＝
＝
＝8(＋)．
16．已知向量a与b的夹角为π，|a|＝2，|b|＝3，记m＝3a－2b，n＝2a＋kb.
(1)若m⊥n，求实数k的值；
(2)是否存在实数k，使得m∥n？说明理由．
解：(1)由m⊥n得m·n＝0，即(3a－2b)·(2a＋kb)＝0，
整理得：6|a|2－(4－3k)a·b－2k|b|2＝0，
∴27k＝36，∴k＝，∴当k＝时，m⊥n.
(2)若存在实数k，使m∥n，则有m＝λn，
即3a－2b＝λ(2a＋kb)，∴(3－2λ)a＝(2＋kλ)b.
∵由题意可知向量a与b不共线，∴
即存在实数k＝－，使得m∥n.
17．如图所示，现有一小船位于d＝60m宽的河边P处，从这里起，在下游l＝80m的L处河流变成“飞流直下三千尺”的瀑布．若河水流速的方向为上游指向下游(与河岸平行)，水速大小为5m/s，为了使小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？
解：船速最小时，船应在到达瀑布的那一刻到达对岸，如图所示，船的临界合速度应沿方向．设＝v水，从A向作垂线，垂足为B，有向线段即表示最小划速的大小和方向．
|v划|min＝|v水|sinθ＝|v水|·＝5×＝5×0.6＝3(m/s)，所以划速最小为3m/s.
18．已知点A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)．
(1)已知点D(－2,3)，以、为一组基底来表示＋＋；
(2)若＝＋λ(λ∈R)，且点P在第四象限，求λ的取值范围．
解：如图，∵⊥，∴·＝0.
∵＝－，＝－，＝－，
∴·＝(－)·(－)
＝·－·－·＋·
＝－a2－·＋·
＝－a2＋·(－)
＝－a2＋·
＝－a2＋a2cosθ.
故当cosθ＝1，即0＝0(与方向相同)时，·最大，其最大值为0.27 二倍角的三角函数2
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．下列各式中，值为的是( )
A．sin15°cos15° B．2cos2－1
C.
D.
答案：D
解析：＝tan45°＝.
2．函数y＝2sinx(sinx＋cosx)的最大值为( )
A．1＋
B.－1
C.
D．2
答案：A
解析：∵y＝2sin2x＋sin2x＝1－cos2x＋sin2x＝1＋sin，
∴ymax＝1＋.故选A.
3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝( )
A．－
B．－
C.
D.
答案：B
解析：依题意：tanθ＝2，∴cosθ＝±，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－或cos2θ＝＝＝－，故选B.
4．设a＝(sin56°－cos56°)，b＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°，c＝，d＝(cos80°－2cos250°＋1)，则a，b，c，d的大小关系为( )
A．a＞b＞d＞c
B．b＞a＞d＞c
C．d＞a＞b＞c
D．c＞a＞d＞b
答案：B
解析：∵a＝·sin(56°－45°)＝sin11°，
b＝－sin40°·sin38°＋cos40°·cos38°
＝cos78°＝sin12°，
c＝cos81°＝sin9°，
d＝(cos80°－cos100°)＝cos80°＝sin10°，故b＞a＞d＞c.
5．已知2π<θ<3π，cosθ＝m，则sin＝( )
A．－
B.
C．－
D.
答案：A
解析：因为2π<θ<3π，所以π<<.又cosθ＝m，所以sin＝－＝－，故选A.
6．已知函数f(x)＝，则( )
A．函数f(x)的最大值为，无最小值
B．函数f(x)的最小值为－，最大值为0
C．函数f(x)的最大值为，无最小值
D．函数f(x)的最小值为－，无最大值
答案：D
解析：因为f(x)＝＝＝＝－tanx,0二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知sinx＝，且＜x＜π，则sin＝__________.
答案：
解析：∵＜x＜π，∴cosx＝－＝－，
∴sin＝
＝
＝
＝
＝.
8．已知θ∈(0，π)，且sin＝，则tan2θ＝________.
答案：－
解析：由sin＝，得(sinθ－cosθ)＝ sinθ－cosθ＝.解方程组，得或.因为θ∈(0，π)，所以sinθ>0，所以不合题意，舍去，所以tanθ＝，所以tan2θ＝＝＝－.
9．化简cos2A＋cos2＋cos2＝
__________.
答案：
解析：原式＝＋＋
＝＋＋
＝＋cos2A＋2coscos2A
＝＋＝.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知tanα＝，tanβ＝，且α，β均为锐角，求α＋2β的值．
解析：tan2β＝＝，
tan(α＋2β)＝＝1.
因为α，β均为锐角，且tanα＝<1，tanβ＝<1，
所以α，β∈，所以α＋2β∈，
所以α＋2β＝.
11．已知函数f(x)＝2cos2x＋4sincoscosx.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间上的值域．
解析：(1)f(x)＝2cos2x＋4sincoscosx
＝2cos2x＋2sinxcosx
＝cos2x＋1＋sin2x
＝2sin＋1，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为x∈，所以2x＋∈，
所以sin∈，
所以f(x)的值域为[0,3]．
12．已知函数f(x)＝2cos，x∈R.
(1)求f(π)的值；
(2)若f＝，α∈，求f(2α)的值．
解析：(1)f(π)＝2cos＝－2cos＝－2×＝－.
(2)因为f＝2cos＝2cos＝－2sinα＝，所以sinα＝－.
又α∈，故cosα＝＝＝，
所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，
cos2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝.
所以f(2α)＝2cos＝2cos2αcos＋2sin2αsin＝2××＋2××＝.29 单元测试卷三
时间：90分钟 满分：150分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．sin15°cos75°＋cos15°sin75°等于( )
A．0 B. C. D．1
答案：D
解析：原式＝sin(15°＋75°)＝sin90°＝1.
2．设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于( )
A.
B.
C．0
D．－1
答案：C
解析：因为a⊥b，所以1×(－1)＋cosθ×(2cosθ)＝0，得2cos2θ－1＝0，即cos2θ＝0.
3．已知ω>0，函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)在上单调递减，则实数ω的取值范围是( )
A.
B.
C.
D．(0,2]
答案：A
解析：因为f(x)＝(sinωx＋cosωx)，所以f(x)＝sin.
4．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，则sin(2β＋7π)＝( )
A.
B．－
C．－
D.
答案：B
解析：∵sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝－sinβ＝，∴sinβ＝－.又β是第三象限角，∴cosβ＝－，∴sin(2β＋7π)＝－sin2β＝－2sinβcosβ＝－2××＝－.
5．函数f(x)＝cos2x＋sin2x＋2(x∈R)的值域是( )
A．[2,3]
B.
C．[1,4]
D．[2,4]
答案：A
解析：因为f(x)＝cos2x＋sin2x＋2＝3－2sin2x＋sin2x＝3－sin2x，sinx∈[－1,1]，所以f(x)∈[2,3]．故选A.
6．在△ABC中，若sinC＝2cosAsinB，则此三角形必是( )
A．等腰三角形
B．正三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
答案：A
解析：因为A＋B＋C＝π，所以C＝π－(A＋B)．
∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB.
由条件知：sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，又∵A－B∈(－π，π)，∴A－B＝0，故选A.
7．若α∈(0，π)，且cosα＋sinα＝－，则cos2α等于( )
A.
B．±
C．－
D.
答案：A
解析：(cosα＋sinα)2＝，sinαcosα＝－，从而sinα＞0，cosα＜0，
cosα－sinα＝－＝－，
cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)
＝－× ＝.
8．若sinα＋cosα＝tanα，则α的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：因为sinα＋cosα＝sin(α＋)∈(1，)，所以tanα∈(1，)，又因为0<α<，所以<α<，故选
C.
9．已知f(x)＝sin2(x＋)，若a＝f(lg
5)，b＝f(lg)，则( )
A．a＋b＝0
B．a－b＝0
C．a＋b＝1
D．a－b＝1
答案：C
解析：f(x)＝＝，所以f(－x)＋f(x)＝＋＝1
又因为lg5＋lg＝0，∴a＋b＝1.
10．若偶函数f(x)在区间[－1,0]上是增函数，α，β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式中正确的是( )
A．f(cosα)＞f(cosβ)
B．f(sinα)＞f(cosβ)
C．f(sinα)＞f(sinβ)
D．f(cosα)＞f(sinβ)
答案：D
解析：已知α，β是锐角三角形的两个内角，所以α＋β＞，即β＞－α且β，－α∈.因为y＝sinx在上为增函数，所以sinβ＞sin＝cosα，sinβ，cosα∈[0,1]，已知函数f(x)在[－1,0]上为增函数且为偶函数，则f(x)在[0,1]上为减函数，所以f(cosα)＞f(sinβ)．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．
11．已知sin＝，则sin2x＝________.
答案：－
解析：∵sin＝，∴sinx＋cosx＝，两边平方，得1＋sin2x＝，∴sin2x＝－.
12．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且0＜α，β＜，则cosβ＝__________.
答案：
解析：因为0＜α，β＜，cosα＝，cos(α＋β)＝－，所以sinα＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝.
13．已知θ为第二象限角，tan2θ＝－2，则＝________.
答案：3＋2
解析：∵tan2θ＝＝－2，∴tanθ＝－或tanθ＝.∵＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z，∴tanθ<0，∴tanθ＝－，＝＝＝＝＝3＋2.
14．已知函数f(x)＝cos2x－2acosx－2a的最小值为－，则实数a的值为________．
答案：－2＋
解析：f(x)＝cos2x－2acosx－2a＝2cos2x－2acosx－2a－1.令t＝cosx，则－1≤t≤1，函数f(x)可化为y＝2t2－2at－2a－1＝22－－2a－1(－1≤t≤1)．当>1，即a>2时，当t＝1时，ymin＝2－2a－2a－1＝－，解得a＝，不符合a>2，舍去；当<－1，即a<－2时，当t＝－1时，ymin＝2＋2a－2a－1＝1，不符合题意，舍去；当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，当t＝时，ymin＝－－2a－1＝－，解得a＝－2±，由于－2≤a≤2，故a＝－2＋.
15．给出下列命题：
①存在x∈，使sinx＋cosx＝；
②存在区间(a，b)，使y＝cosx为减函数而sinx＜0；
③y＝cos2x＋sin既有最大值和最小值，又是偶函数；
④y＝sin的最小正周期为π.
其中错误的命题为__________．(把所有符合要求的命题序号都填上)
答案：①②④
解析：对于①，sinx＋cosx＝sin，因为x∈，所以x＋∈，sinx＋cosx＝sin∈[1，]，故①错误；对于②，函数y＝cosx的单调减区间为(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z，此时y＝sinx＞0，故②错误；③正确；对于④，函数y＝sin的最小正周期为，故错误．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(12分)已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)2＋2cos2x.
(1)求f的值；
(2)求函数f(x)的单调递减区间．
解析：(1)因为函数f(x)＝(sinx＋cosx)2＋2cos2x，
所以f(x)＝1＋2sinxcosx＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋2＝sin＋2，
所以f＝sin＋2＝＋2＝＋＋2＝.
(2)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．
17．(12分)已知tanθ＝，求：
(1)的值；
(2)sin2θ－sinθcosθ＋2cos2θ的值．
解析：(1)＝＝＝＝－3－2
.
(2)sin2θ－sinθcosθ＋2cos2θ
＝ ＝ ＝ ＝.
18．(12分)已知函数f(x)＝sinxcosx＋cos2x.
(1)若tanθ＝2，求f(θ)的值；
(2)若函数y＝g(x)的图像是由函数y＝f(x)的图像上所有的点向右平移个单位长度得到的，且g(x)在区间(0，m)上是单调函数，求实数m的最大值．
解：解法一：(1)因为tanθ＝2，
所以f(θ)＝sinθcosθ＋cos2θ
＝sinθcosθ＋(2cos2θ－1)
＝sinθcosθ＋cos2θ－
＝－
＝－
＝.
(2)由已知，得f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin.
依题意，得g(x)＝sin，
即g(x)＝sin.
因为当x∈(0，m)时，2x－∈，
又g(x)在区间(0，m)上是单调函数，
所以2m－≤，即m≤，
故实数m的最大值为.
解法二：(1)f(θ)＝sinθcosθ＋cos2θ
＝sinθcosθ＋(2cos2θ－1)
＝sinθcosθ＋cos2θ－
＝－.
因为tanθ＝2，所以sinθ＝2cosθ，
所以f(θ)＝－＝.
(2)由已知，得f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin.
依题意，得g(x)＝sin，
即g(x)＝sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
故函数g(x)在上单调递增．
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
故函数g(x)在上单调递减．
因为函数g(x)在区间(0，m)上是单调函数，所以(0，m) ，
故实数m的最大值为.
19．(12分)已知函数f(x)＝1－cos2x＋2sinxcosx＋t(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若x∈，是否存在实数t，使函数f(x)的值域恰为？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵f(x)＝1－cos2x＋sin2x＋t＝2sin＋t＋1，
∴函数f(x)的最小正周期T＝π.
(2)假设存在实数t符合题意，∵x∈，
∴－≤2x－≤，则sin∈，
∴f(x)＝2sin＋t＋1∈[t,3＋t]．
又f(x)∈，∴t＝，
∴存在实数t＝，使函数f(x)的值域恰为.
20．(13分)已知向量m＝(sinx,1－cosx)，n＝(1－sinx，cosx)，函数f(x)＝m·n＋.
(1)求函数f(x)的零点；
(2)若f(α)＝，且α∈，求cosα的值．
解：(1)f(x)＝m·n＋＝sinx－sin2x＋cosx－cos2x＋＝sinx＋cosx＝2sin.
由2sin＝0，得x＋＝kπ(k∈Z)，所以x＝kπ－(k∈Z)，所以函数f(x)的零点为x＝kπ－(k∈Z)．
(2)由(1)，知f(α)＝2sin＝，所以sin＝，
因为α∈，所以<α＋<，则cos＝－，所以cosα＝cos＝coscos＋sinsin＝－×＋×＝.
21．(14分)已知函数f(x)＝2sin2－cos2x，x∈.
(1)求f(x)的最大值和最小值；
(2)若不等式|f(x)－m|＜2在x∈上恒成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)∵f(x)＝－cos2x
＝1＋sin2x－cos2x
＝1＋2sin.
又∵x∈，∴≤2x－≤，
∴2≤1＋2sin≤3，
∴f(x)max＝3，f(x)min＝2.
(2)∵|f(x)－m|＜2 f(x)－2＜m＜f(x)＋2，x∈，
∴m＞f(x)max－2且m＜f(x)min＋2，
∴1＜m＜4，即m的取值范围是(1,4)．11 单元测试卷一
时间：90分钟 满分：150分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数y＝sin(－4x＋1)的最小正周期是( )
A.
B．π
C．2π
D．4π
答案：A
解析：利用三角函数的周期公式T＝＝＝.
2．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( )
A.
B．－
C.
D．－
答案：B
解析：由题意，可得cosθ＝，所以cos(π－θ)＝－cosθ＝－.
3．已知f(x)＝，则f(2016)＝( )
A.
B．－
C.
D．－
答案：C
解析：f(2016)＝f(2012)＝sinπ＝sin＝sinπ＝.
4．若函数f(x)＝cos(3x＋φ)的图像关于原点中心对称，则φ＝( )
A．－
B．2kπ－(k∈Z)
C．kπ(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
答案：D
解析：若函数f(x)＝cos(3x＋φ)的图像关于原点中心对称，则f(0)＝cosφ＝0，∴φ＝kπ＋(k∈Z)．
5．下列不等式中，正确的是( )
A．tan＜tan
B．sin＞cos
C．sin(π－1)＜sin1°
D．cos＜cos
答案：D
解析：由三角函数的单调性知D正确．
6．电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图像如图所示，则当t＝
s时，电流强度是( )
A．－5
A
B．5
A
C．5
A
D．10
A
答案：A
解析：由图像知A＝10，＝－＝，∴T＝，∴ω＝＝100π，∴I＝10sin(100πt＋φ)．又在图像上，∴100π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z.又0<φ<，∴φ＝.∴I＝10sin，当t＝
s时，l＝－5
A，故选A.
7．下列四个命题：①函数y＝tanx在定义域内是增函数；②函数y＝tan(2x＋1)的最小正周期是π；③函数y＝tanx的图像关于点(π，0)成中心对称；④函数y＝tanx的图像关于点成中心对称．其中正确命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：C
解析：对于①，函数y＝tanx仅在区间(k∈Z)内递增，如＜，但tan＝tan，所以①不正确；对于②，其最小正周期是，所以②也不正确；观察正切曲线可知命题③④都正确．
8．要得到函数y＝sin2x的图像，只需将函数y＝cos(2x－)的图像( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
答案：B
解析：将函数y＝cos(2x－)向右平移个单位，得到y＝cos＝cos＝sin2x，故选B.
9．在△ABC中，若sinAsinBcosC＜0，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．锐角或钝角三角形
答案：C
解析：正弦函数在区间(0，π)的函数值都为正，故cosC＜0，角C为钝角．
10．已知定义在区间上的函数y＝f(x)的图像关于直线x＝对称，当x≥时，f(x)＝cosx，如果关于x的方程f(x)＝a有解，记所有解的和为S，则S不可能为( )
A.π
B.π
C.π
D．3π
答案：A
解析：当a＝－1时，方程两解关于直线x＝对称，两解之和为π，当－1＜a＜－时，方程有四解，对应关于直线x＝对称，四解之和为3π，当a＝－时，方程有三解，它们关于直线x＝对称，三解之和为π，当－＜a＜0时，方程有两解，它们关于直线x＝对称，其和为π.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上．
11．已知圆的半径是6
cm，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形的面积是________cm2.
答案：
解析：∵15°＝ ∴扇形的面积为S＝r2α＝×62×＝.
12．已知在△ABC中，sinA＝，则cosA＝________.
答案：或－
依题意可知A∈(0，π)，又sinA＝，所以A＝或，所以cosA＝或－.
13．已知0<α<，sinα＝，则tanα＝________________________________________________________________________；
＝________.
答案： 4
解析：由0<α<，sinα＝，得cosα＝，则tanα＝；＝＝4.
14．函数y＝tan的图像与直线y＝－a(a∈R)的交点中距离的最小值为________．
答案：
解析：y＝tan的最小正周期T＝，故y＝tan与y＝－a的交点中距离的最小值为.
15．给出下列命题：
(1)函数y＝sin|x|不是周期函数；
(2)函数y＝tanx在定义域内为增函数；
(3)函数y＝的最小正周期为；
(4)函数y＝4sin，x∈R的一个对称中心为.
其中正确命题的序号是________．
答案：(1)(4)
解析：(1)由于函数y＝sin|x|是偶函数，作出y轴右侧的图像，再关于y轴对称即得左侧图像(图略)，观察图像可知没有周期性出现，即y＝sin|x|不是周期函数，命题(1)正确；(2)正切函数在定义域内不单调，命题(2)错误；(3)令f(x)＝，因为f＝≠f(x)，所以不是函数y＝的周期，命题(3)错误；(4)由于f＝0，故是函数y＝4sin的一个对称中心，命题(4)正确．
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．(12分)已知函数f(x)＝sin＋2(x∈R，ω＞0)的最小正周期是.
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．
解：(1)∵f(x)＝sin＋2(x∈R，ω＞0)的最小正周期是，
∴＝，所以ω＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝sin＋2.
当4x＋＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)时，sin取得最大值1，
所以函数f(x)的最大值是2＋，此时x的集合为{x|x＝＋，k∈Z}．
17．(12分)角α的终边上的点P与A(a，b)关于x轴对称(a≠0，b≠0)，角β的终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求＋＋的值．
解：∵P(a，－b)，∴sinα＝，cosα＝，tanα＝－.
∵Q(b，a)，∴sinβ＝，cosβ＝，tanβ＝.
∴＋＋＝－1－＋＝0.
18．(12分)已知函数f(x)＝asin＋＋b的最小正周期为π，函数f(x)的最大值是，最小值是.
(1)求ω，a，b的值；
(2)求出f(x)的单调递增区间．
解：(1)由函数f(x)的最小正周期为π，得ω＝1.
又f(x)的最大值是，最小值是，
则，
解得a＝，b＝1.
(2)由(1)，知f(x)＝sin＋，
当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，f(x)单调递增，
故f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
19．(12分)对任意的θ∈R，不等式sin2θ＋2mcosθ－2m－2<0恒成立，求实数m的取值范围．
解：对任意的θ∈R，
不等式sin2θ＋2mcosθ－2m－2<0恒成立，
即1－cos2θ＋2mcosθ－2m－2<0恒成立，得cos2θ－2mcosθ＋2m＋1>0恒成立．
由θ∈R，得－1≤cosθ≤1.
设t＝cosθ，则－1≤t≤1.
令g(t)＝t2－2mt＋2m＋1，－1≤t≤1，则g(t)的图像关于直线t＝m对称．
①当m≤－1时，g(t)在t∈[－1,1]上为增函数，
则g(t)min＝g(－1)＝4m＋2>0，得m>－，与m≤－1矛盾；
②当－10，得1－③当m≥1时，g(t)在t∈[－1,1]上为减函数，则g(t)min＝g(1)＝2>0.
综上，实数m的取值范围为(1－，＋∞)．
20．(13分)已知函数y＝sin(ωx＋φ)，在同一个周期内，当x＝时，y取最大值1，当x＝时，y取最小值－1.
(1)求函数的解析式y＝f(x)．
(2)函数y＝sinx的图像经过怎样的变换可得到y＝f(x)的图像？
(3)若函数f(x)满足方程f(x)＝a(0解：(1)∵T＝2×＝，
∴ω＝＝3.
又sin＝1，
∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|<，
∴φ＝－，
∴y＝f(x)＝sin.
(2)y＝sinx的图像向右平移个单位长度，得到y＝sin的图像，
再将y＝sin的图像上所有点的横坐标缩短为原来的，
纵坐标不变，得到y＝sin的图像．
(3)∵f(x)＝sin的最小正周期为，
∴f(x)＝sin在[0,2π]内恰有3个周期，
∴sin＝a(0x3＋x4＝×2＝，x5＋x6＝×2＝，
故所有实数根之和为＋＋＝.
21．(14分)据市场调查，某种商品一年内每月的价格满足函数关系式：f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，x为月份．已知3月份该商品的价格首次达到最高，为9万元，7月份该商品的价格首次达到最低，为5万元．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求此商品的价格超过8万元的月份．
解：(1)由题可知＝7－3＝4，∴T＝8，∴ω＝＝.
又，∴.
即f(x)＝2sin＋7.(
)
又f(x)过点(3,9)，代入(
)式得2sin＋7＝9，
∴sin＝1，
∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<，∴φ＝－，
∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N
)．
(2)令f(x)＝2sin＋7>8，
∴sin>，
∴＋2kπ可得＋8k又1≤x≤12，x∈N
，
∴x＝2,3,4,10,11,12，
即2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元．13 数乘向量
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知λ∈R，则下列命题正确的是( )
A．|λa|＝λ|a|
B．|λa|＝|λ|a
C．|λa|＝|λ||a|
D．|λa|>0
答案：C
解析：当λ<0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，所以B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C.
2．如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量＝( )
A．－＋
B．－－
C.－
D.＋
答案：A
解析：＝＋＝－＋.
3．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若＝a，AD＝b，则＝( )
A.a＋b
B.a＋b
C．a＋b
D．a＋b
答案：A
解析：由已知条件可知BE＝3DE，∴DF＝AB，∴＝＋＝＋＝a＋b.
4．如图，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F.设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)为( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：∵AD＝DB，AE＝EC，∴F是△ABC的重心，则＝，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝AB＋＝a＋b，∴x＝，y＝.
5．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D
B．A，B，C
C．B，C，D
D．A，C，D
答案：A
解析：因为＝＋＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2，所以与向量共线，又因为与有共点B，所以A、B、D三点共线．
6．已知向量a、b是两个非零向量，在下列四个条件中，能使a，b共线的条件是( )
①2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e；
②存在相异实数λ，μ，使λ
a＋μb＝0；
③x
a＋y
b＝0(其中实数x、y满足x＋y＝0)；
④已知梯形ABCD中，AB∥CD，＝a，＝b.
A．①②④
B．①③
C．②③④
D．③④
答案：A
解析：关键是对共线向量的理解．
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知点A、B、C三点共线，且点O是平面ABC内任意一点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
答案：1
8．已知x，y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________.
答案：
解析：由已知得，解得x＝y＝.
9．已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足＋＝0,2＋＋＝，若||＝λ||，则正实数λ＝________.
答案：
解析：由条件＋＝0，知＝－＝，所以点P是边AC的中点．又2＋＋＝，所以2＝－－＝＋＋＝2，从而有＝，故点Q是边AB的中点，所以PQ是△ABC的中位线，所以||＝||，故λ＝。
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．设两个非零向量e1与e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)．
求证：(1)A、B、D三点共线；
(2)试确定实数k的值，使ke1＋e2和e1＋ke2共线．
证明：(1)∵＝＋＝5e1＋5e2＝5，
∴∥，又AB、BD有公共点B，∴A、B、D三点共线．
(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，∴，∴k2＝1，∴k＝±1.
11．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，求实数m的值．
解：＝＋＝＋＝m＋，
∴＝m－.
又＝＋＝＋(－)＝－，
设＝λ，则λ－λ＝m－，∴m＝λ＝.
12．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，若＝t，则t等于多少？
解析：∵A，M，Q三点共线，∴＝α＋β(α＋β＝1)，
∴＝＝＋＝＋.
又∵＝＋，∴α＝，β＝，
∴α＋β＝＋＝1，∴t＝.8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．函数y＝3sin(x－)的振幅、周期、初相分别为( )
A．－3,4π， B．3,4π，－
C．3，π，－
D．－3，π，
答案：B
解析：振幅为3，周期为＝4π，初相为－.
2．把函数y＝sinx的图像上所有点向左平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图像所对应的函数是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
答案：C
解析：把函数y＝sinx的图像上所有点向左平行移动个单位长度后得到函数y＝sin的图像，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数y＝sin的图像．
3．函数y＝2sin(x＋)的一条对称轴为( )
A．x＝－
B．x＝0
C.
D．－
答案：C
解析：因为y＝2sin(x＋)，其对称轴可由x＋＝kπ＋，(k∈Z)求得，解得x＝kπ＋，k∈Z，选项中只有C符合．
4．函数y＝1－2cosx(x∈[0，])的最小值、最大值分别是( )
A．－1,3
B．－1,2
C．0,3
D．0,2
答案：B
解析：因为0≤x≤，所以－≤cosx≤1，所以得函数y＝1－2cosx的最小值、最大值分别是－1,2.
5．函数y＝sin(2x＋)的一个增区间是( )
A．(－，)
B．(－，)
C．[－，0)
D．(－，)
答案：B
解析：由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，选项中只有B符合．
6．如果函数y＝sin(2x＋φ)的图像关于点(，0)中心对称，那么φ的值可以是( )
A．－
B．－
C.
D.
答案：D
解析：由题意得sin(2×＋φ)＝0，φ的值可以是.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．用五点法画函数y＝2sin(3x－)的图像，这五个点可以分别是(，0)(，2)，(，0)，__________，(，0)．
答案：(，－2)
解析：由3x－＝，x＝知，应填(，－2)．
8．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图像如下，此函数的解析式为__________________________．
答案：y＝2sin(2x＋)
解析：A＝2，T＝2(－(－))＝π，∴ω＝2.由最高点的坐标可知，2×(－)＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以y＝2sin(2x＋π)．
9．将函数y＝2sinx的图像向左平移个单位，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝f(x)的图像，若x∈[0，]，则函数y＝f(x)的值域为________．
答案：[－1,2]
解析：由y＝sinx→y＝2sin(x－)→y＝2sin(2x－)知，f(x)＝2sin(2x－)．由x∈[0，]得2x－∈[－，]，所以函数y＝f(x)的值域为[－1,2]．
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．把函数y＝f(x)的图像上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得到图像的解析式是y＝2sin(x＋)，求f(x)的解析式．
解：y＝2sin(x＋)的图像纵坐标伸长到原来的倍，得y＝3sin(x＋)的图像，横坐标缩短到原来的倍得到y＝3sin(x＋)的图像，再向左平移个单位得到y＝3sin[(x＋)＋]＝3cosx的图像．故f(x)＝3cosx.
11．已知函数y＝sin(2x＋)，借助“五点作图法”画出函数f(x)在[0，]上的简图，并且依图写出函数f(x)在[0，]上的递增区间．
解：可先画出区间[－，]的图像，再截取所需．
列表
μ＝2x＋
0
π
2π
x
－
y
0
0
－
0
图像略，注意f(0)＝1，由图像可知函数在区间[0，]上的单调递增区间是[0，]，[，]．
12．已知函数f(x)＝sin(2x－)－1.
(1)写出函数f(x)的单调递增区间；
(2)若不等式－1.
解：(1)因为f(x)＝sin(2x－)－1
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)得：－＋kπ
≤x≤＋kπ(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间是[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
(2)由－1即－1当x∈[，]时，≤2x－≤.
故当2x－＝时，即x＝时，f(x)取得最大值0；
当2x－＝时，即x＝时，f(x)取得最小值－.
故m的取值范围为(－1，)．2 弧度制
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1.化为角度是( )
A．110°
B．160°
C．108°
D．218°
答案：C
解析：＝×180°＝108°.
2．若扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为( )
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：S扇形＝lR＝(αR)·R＝αR2，由题中条件可知S扇形＝，R＝1，从而α＝＝＝，故选B.
3．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )
A.π
B．－π
C.π
D．－π
答案：B
解析：显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度为－×2π＝－π.
4．终边在第一、四象限的角的集合可表示为( )
A．(－，)
B．(2kπ－，2kπ＋)(k∈Z)
C．(0，)∪(，2π)
D．(2kπ－，2kπ)∪(2kπ，2kπ＋)(k∈Z)
答案：D
解析：将象限角用弧度制来表示．另外，要特别注意，终边在坐标轴上的角不在任何象限上．
5．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，B＝{α|－4≤α≤4}，则A∩B为( )
A．
B．{α|－4≤α≤π}
C．{α|0≤α≤π}
D．{α|－4≤α≤－π}∪{α|0≤α≤π}
答案：D
解析：求出集合A在[－4,4]附近区域内的x的数值，k＝0时，0≤x≤π；k＝1时，x≥2π≥4；在k＝－1时，－2π＜x＜－π，而－2π＜－4，－π＞－4，从而求出A∩B.
6．圆弧长度等于其内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )
A.
B.π
C.
D．2
答案：C
解析：设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，∴θ＝＝.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．把－1125°化为2kπ＋α(k∈Z,0≤α<2π)的形式是________．
答案：－8π＋
8．若角α的终边在如图所示的阴影部分，则角α的取值范围是________．
答案：{α|2kπ＋π≤α≤2kπ＋π，k∈Z}
解析：该阴影部分在(0,2π)内对应的取值范围为[π，π]，所以该阴影部分的取值范围是{α|2kπ＋π≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
9．半径为4
cm的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆周的长，则这个扇形的面积是______cm2.
答案：8π－16
解析：设扇形的圆心角的弧度数为α.
∵R＝4，扇形周长等于弧所在的半圆周的长．
∴2×4＋4α＝4π，∴α＝π－2.
∴S扇形＝|α|R2＝(π－2)×42＝8π－16(cm2)．
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知角α＝2010°.
(1)将α改写成θ＋2kπ(k∈Z,0≤θ<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
解：(1)2010°＝2010×＝＝5×2π＋.
又π<<，角α与角的终边相同，故α是第三象限角．
(2)与α终边相同的角可以写为r＝＋2kπ(k∈Z)．
又－5π≤r<0，
∴k＝－3，－2，－1.
当k＝－3时，r＝－；
当k＝－2时，r＝－；
当k＝－1时，r＝－.
11．已知扇形AOB的周长为8
cm.
(1)若这个扇形的面积为3
cm2，求该扇形的圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦AB的长度．
解：(1)设该扇形AOB的半径为r，圆心角为θ，面积为S，弧长为l.
由题意，得，解得或.
∴圆心角θ＝＝＝6或θ＝＝，
∴该扇形的圆心角的大小为
rad或6
rad.
(2)θ＝，
∴S＝·r2·＝4r－r2＝－(r－2)2＋4，
∴当r＝2，即θ＝＝2时，Smax＝4
cm2.
此时弦长AB＝2×2sin
1＝4sin
1(cm)．
∴扇形面积最大时，圆心角的大小等于2
rad，弦AB的长度为4sin
1
cm.
12．单位圆上两个动点M，N同时从点P(1,0)出发，沿圆周运动，点M按
rad/s的速度逆时针方向旋转，点N按
rad/s的速度顺时针方向旋转，试求它们出发后第一次相遇时各自转过的弧度．
解：设从点P出发后，t
s时M，N第一次相遇，
则有t＋t＝2π，解得t＝4，
故点M转过的弧度为×4＝π，
点N转过的弧度为－＝－π.3 正余弦函数的定义与单位圆
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．若sinα<0，cosα>0，则角α的终边位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案：D
解析：因为sinα<0，cosα>0，所以角α的终边位于第四象限．
2．已知点P(－，y)为角β终边上一点，且sinβ＝，则y的值为( )
A．±
B.
C．－
D．±2
答案：B
解析：∵|OP|＝，sinβ＝＝，∴y＝±，∵sinβ＞0，∴y＞0，故y＝.
3．角α为第二象限角，且＝－cos，则是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
答案：C
4．y＝＋的值域为( )
A．{2,0}
B．{－2,0}
C．{2，－2}
D．{2，－2,0}
答案：D
5．若角α是第一象限角，且sinα＝，则α＝( )
A.
B.
C．2kπ＋(k∈Z)
D．2kπ＋(k∈Z)
答案：C
解析：当0<α<且sinα＝时，α＝，所以当角α是第一象限角时，此角终边与角的终边相同，故α＝＋2kπ，k∈Z
.
6．若角α的终边在直线y＝3x上，sinα<0，且P(m，n)是角α终边上一点，|OP|＝(O为坐标原点)，则m－n＝( )
A．2
B．－2
C．4
D．－4
答案：A
解析：因为点P在直线y＝3x上，所以n＝3m<0.又|OP|2＝m2＋n2＝10，所以m＝－1，n＝－3，所以m－n＝2.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知角α终边上一点P(6，－8)，则sinα＝__________.cosα＝__________.
答案：－
8．点(sin5，cos5)所在的象限为第__________象限．
答案：二
解析：因为<5<2π，∴sin5<0，cos5>0，∴(sin5，cos5)在第二象限．
9．已知△ABC中，|cosA|＝－cosA，则角A的取值范围是________．
答案：
解析：由题意，知cosA≤0，又角A为△ABC的内角，所以≤A<π.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．判断下列各式的符号．
(1)cos(－345°)；
(2)sin175°cos248°.
解析：(1)∵－345°＝－360°＋15°是第一象限角，∴cos(－345°)>0.
(2)∵175°是第二象限角，248°是第三象限角，
∴sin175°>0，cos248°<0，
∴sin175°cos248°<0.
11．已知角α的终边在直线y＝－x上，求cosα－的值．
解析：设O为坐标原点．
①若角α为第四象限角，在角α的终边上取一点P1(4，－3)，
则r1＝|OP1|＝＝＝5，
∴sinα＝＝－，cosα＝＝，
∴cosα－＝.
②若角α为第二象限角，在角α的终边上取一点P2(－4,3)，
则r2＝|OP2|＝＝＝5，
∴sinα＝＝，cosα＝＝－，
∴cosα－＝－.
综上，cosα－的值为或－.
12．利用单位圆，求适合下列条件的0到2π的角的集合．
(1)sinα≥；
(2)cosα＜.
解析：
(1)作直线y＝交单位圆于P1，P2两点，连接OP1，OP2，则OP1与OP2围成的区域(如图所示阴影部分)即为角α终边的范围．由sin＝sinπ＝知，适合条件的角α的集合为{α|≤α≤}．
(2)作直线x＝交单位圆于P1，P2两点，连接OP1，OP2，则OP1与OP2围成的区域(如图阴影部分，不含边界)即为角α终边的范围．由cos＝cos＝知，适合条件的角α的集合为{α|＜α＜}．阶段性检测
时间：90分钟 分值：100分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．cosπ的值为( )
A. B．－
C.
D．0
答案：A
解析：cosπ＝cos(4π－)＝cos＝.
2．已知角α的终边经过点P(－7a,24a)(a＜0)，则sinα＋cosα等于( )
A.
B.
C．－
D．－
答案：C
解析：求出|OP|，利用三角函数定义求值．
∵点P坐标为(－7a,24a)(a＜0)，
∴点P是第四象限角且|OP|＝－25a.
∴sinα＝＝－，cosα＝＝，
∴sinα＋cosα＝－＋＝－.
3．设M和m分别表示函数y＝cosx－1的最大值和最小值，则M＋m等于( )
A.
B．－
C．－
D．－2
答案：D
解析：M＝－1，m＝－－1，
∴M＋m＝－－＝－2.
4．函数y＝cos(2x＋)的图像的一条对称轴方程是( )
A．x＝－
B．x＝－
C．x＝
D．x＝π
答案：B
解析：y＝cos(2x＋)＝－sin2x.函数图像的对称轴位置就是函数取最值的位置，验证即得．
5．sin2cos3tan4的值( )
A．大于0
B．小于0
C．等于0
D．不确定
答案：B
解析：∵sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0，∴sin2cos3tan4＜0.
6．函数y＝3tan(－2x)的最小正周期为( )
A.
B.
C．π
D．2π
答案：B
解析：对于正切型函数T＝＝，故选B.
7．为了得到函数y＝2sin(＋)(x∈R)的图像，只需把函数y＝2sinx(x∈R)的图像上所有的点( )
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)
答案：C
8．已知点(tan，sin(－))是角θ终边上一点，则tanθ等于( )
A．2
B．－
C．－
D．－2
答案：C
解析：点(tan，sin(－))可化为点(1，－)，则tanθ＝－.
9．函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜，x∈R)的部分图像如下图所示，则函数表达式为( )
A．y＝－4sin(x＋)
B．y＝4sin(x－)
C．y＝－4sin(x－)
D．y＝4sin(x＋)
答案：A
解析：先确定A＝－4，由x＝－2和6时y＝0可得T＝16，ω＝，φ＝.
10．已知集合E＝{θ|cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π}，F＝{θ|tanθ＜sinθ}，那么E∩F为区间为( )
A．(，π)
B．(，)
C．(π，)
D．(，)
答案：A
解析：如图，由图像可知集合E＝{θ|＜θ＜}，
又因为θ在第一象限时，sinθ＜tanθ，
θ在第二象限时，sinθ＞0＞tanθ，
θ在第三象限时，tanθ＞0＞sinθ，
θ在第四象限时，sinθ＞tanθ(由三角函数线可知)，
∴F＝{θ|2kπ＋＜θ＜2kπ＋π或2kπ＋＜θ＜2kπ＋2π，k∈Z}，
故E∩F＝(，π)，应选A.
二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填入题中横线上．
11．若sinα＝2cosα，则＝________.
答案：
解析：＝＝.
12．函数y＝tan(2x＋)的递增区间是________．
答案：(－，＋)(k∈Z)
解析：由kπ－＜2x＋＜kπ＋，得－＜x＜＋(k∈Z)．
13．函数f(x)＝1－sin2x＋sinx在(，]上的值域是________．
答案：[，]
解析：f(x)＝1－sin2x＋sinx＝－(sinx－)2＋.∵＜x≤，
∴－≤sinx≤1，则当sinx＝时，f(x)max＝；当sinx＝－时，f(x)max＝.
三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°.
解：原式＝－sin1200°·cos1290°＋cos1020°·(－sin1050°)＋tan945°
＝－sin120°·cos210°＋cos60°·sin30°＋tan225°
＝(－)2＋×＋1＝2.
15．已知函数f(x)＝2cos(－)．
(1)求f(x)的最小正周期T；
(2)求f(x)的单调递增区间．
解：(1)由已知f(x)＝2cos(－)＝2cos(－)，则T＝＝4π.
(2)当2kπ－π≤－≤2kπ(k∈Z),
即4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)单调递增，
∴函数f(x)的单调递增区间为{x|4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)}．
16．已知f(x)＝2sin(2x＋)＋a＋1，(a∈R)．
(1)若x∈[0，]时，f(x)最大值为4，求a的值；
(2)在(1)的条件下，求满足f(x)＝1且x∈[－π，π]的x的集合．
解：(1)f(x)＝2sin(2x＋)＋a＋1
∵x∈[0，]，
∴2x＋∈[，]，
∴f(x)在[0，]上的最大值为a＋3，
所以a＝1.
(2)f(x)＝1，∴sin(2x＋)＝－，
即2x＋＝2kπ－或2x＋＝2kπ－，此时x＝kπ－或x＝kπ－，
又因为x∈[－π，π]，
所以x∈{－，－，，}．
17．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图像如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数在区间[－2,4]上的最大值和最小值以及对应的x的值．
解：(1)由题可知A＝，＝6－(－2)＝8，∴T＝16，
∴ω＝＝，则f(x)＝sin(x＋φ)．
又图像过点(2，)，代入函数表达式可得φ＝2kπ＋(k∈Z)．
又|φ|＜，∴φ＝，∴f(x)＝sin(x＋)．
(2)∵x∈[－2,4]，∴x＋∈[0，]，
当x＋＝，即x＝2时，f(x)max＝；
当x＋＝0，即x＝－2时，f(x)min＝0.
18．设函数y＝f(x)＝sin(2x＋φ)，－π＜φ＜0，y＝f(x)的图像的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调递增区间；
(3)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像．
解：(1)因为x＝是函数y＝f(x)的图像的一条对称轴，
所以sin＝±1，
所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)．
因为－π＜φ＜0，所以φ＝－.
(2)由(1)知φ＝－，因此y＝sin.
由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)．
所以kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
即函数y＝sin的单调递增区间为(k∈Z)．
(3)由y＝sin知
x
0
π
y
－
－1
0
1
0
－
故函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像如图所示．15 平面向量的坐标
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，则＝( )
A．(－2，－2)
B．(2,2)
C．(1,1)
D．(－1，－1)
答案：D
解析：＝(－)＝(－2，－2)＝(－1，－1)，故选D.
2．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，＝(2,4)，＝(1,3)，则＝( )
A．(2,4)
B．(3,5)
C．(1,1)
D．(－1，－1)
答案：C
解析：＝－＝－＝－(－)＝(1,1)．
3．已知点A(1,1)，B(4,2)和向量a＝(2，λ)，若a∥，则实数λ的值为( )
A．－
B.
C.
D．－
答案：C
解析：根据A，B两点的坐标，可得＝(3,1)，∵a∥，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝，故选C.
4．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c可用a，b表示为( )
A．－a＋b
B.a－b
C.a－b
D．－a＋b
答案：B
解析：设c＝x
a＋y
b，∵a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，
∴(－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－1)＝(x＋y，x－y)．
∴解得故选B.
5．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )
A.
B.
C．(3,2)
D．(1,3)
答案：A
解析：设点D(m，n)，则由题意得(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，故，解得，即点D，故选A.
6．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinB＝1，向量p＝(a，b)，q＝(1,2)．若p∥q，则C的大小为( )
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：由sinB＝1，得B＝，所以在△ABC中，cosC＝.又由p＝(a，b)，q＝(1,2)，p∥q，得2a－b＝0，a＝，故cosC＝，所以C＝.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．若向量a＝(1,2)，b＝(－1,0)，则2a－b＝________.
答案：(3,4)
解析：2a－b＝(2,4)－(－1,0)＝(3,4)．
8．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝________.
答案：1
解析：a－2b＝(，3)，根据a－2b与c共线，得3k＝×，解得k＝1.
9.
如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．
答案：(2－sin2,1－cos2)
解析：设A(2,0)，B(2,1)，由题意知劣弧长为2，∠ABP＝＝2.
设P(x，y)，则x＝2－1×cos(2－)＝2－sin2，y＝1＋1×sin(2－)＝1－cos2，
∴的坐标为(2－sin2,1－cos2)．
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC延长至E，使||＝||.
求点E的坐标．
解析：设C(x，y)，由＝，得(x＋2，y－1)＝(x－1，y－4)．
即解得即C(－5，－2)．又E在DC的延长线上，∴＝，设E(a，b)，则(a＋5，b＋2)＝(a－4，b＋3) 解得a＝－8，b＝－.∴E(－8，－)．
11．设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1,3)，B(2，－2)，C(4，－1)．
(1)若＝，求点D的坐标；
(2)设向量a＝，b＝，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值．
解：(1)设D(x，y)．
由＝，得(2，－2)－(1,3)＝(x，y)－(4，－1)，
即(1，－5)＝(x－4，y＋1)，
所以，解得.
所以点D的坐标为(5，－6)．
(2)因为a＝＝(2，－2)－(1,3)＝(1，－5)，
b＝＝(4，－1)－(2，－2)＝(2,1)，
所以ka－b＝k(1，－5)－(2,1)＝(k－2，－5k－1)，
a＋3b＝(1，－5)＋3(2,1)＝(7，－2)．
由ka－b与a＋3b平行，得(k－2)×(－2)－(－5k－1)×7＝0，所以k＝－.
12．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且＝＋t.
(1)t为何值时，P在x轴上，P在y轴上，P在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
解析：＝(1,2)，＝(3,3)，＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．
(1)若P在x轴上，则有2＋3t＝0，t＝－；若P在y轴上，则有1＋3t＝0，t＝－；若P在第二象限，则有，解得－(2)＝－＝(3－3t,3－3t)，若四边形OABP是平行四边形，则有＝，即有3－3t＝1，且3－3t＝2，这显然是不可能的，因此，四边形OABP不可能是平行四边形．25 两角和与差的三角函数习题课
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．已知α为任意角，则下列等式
①sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
②cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
③cos(＋α)＝－sinα
④tan(－α)＝cotα
⑤tan(α－β)＝
其中恒成立的等式有( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
答案：B
解析：①②③对任意的α角都成立，当α＝0时，④中的tan(－0)无意义，当α＝β＋时，⑤式中的tan(α－β)无意义．
2．函数y＝sin＋sin2x的最小正周期是( )
A.
B．π
C．2π
D．4π
答案：B
解析：∵y＝cos2x－sin2x＋sin2x＝sin，∴周期T＝π.
3．若sinα＋cosα＝－，则cos(－α)等于( )
A.
B.
C．－
D．－
答案：C
解析：sinα＋cosα＝2sin(α＋)＝－.
cos(－α)＝cos(－α)＝cos[－(α＋)]＝sin(α＋)＝－.
4．若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是( )
A.
B.
C.或
D.或
答案：A
解析：因为α∈，所以2α∈.又sin2α＝，故2α∈，所以α∈，所以cos2α＝－.又β∈，所以β－α∈，且α＋β∈，于是cos(β－α)＝－，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－×－×＝，故α＋β＝.
5．已知sin＝sinα＝－，－<α<0，则cos等于( )
A．－
B．－
C.
D.
答案：D
解析：因为sin＋sinα＝－，所以sin＋sin＝－，
所以sin＋sincos－cossin＝－，所以sin－cos＝－，
所以－＝－，
－cos＝－，cos＝，
所以cos＝cos＝，故选D.
6．在△ABC中，若tanC＝，且sinAcosB＝cos(－B)sinB，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形
B．等腰但非直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
答案：D
解析：由tanC＝可知，C＝.所以A＋B＝，故cos＝cosA.由条件可知，sin(A－B)＝0，又因为角A、B是三角形的内角，可得A＝B，故三角形为等边三角形．
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．化简sin(x＋60°)＋2sin(x－60°)－cos(120°－x)＝__________.
答案：0
解析：原式＝sinxcos60°＋cosxsin60°＋2sinxcos60°－2cosxsin60°－cos120°cosx－sin120°sinx
＝sinx－cosx＋cosx－sinx＝0.
8．函数y＝2sin2x＋2cos2x－3在x∈上的值域为________．
答案：[－5,1]
解析：y＝2sin2x＋2cos2x－3＝4sin－3.又x∈，所以2x＋∈，sin∈，所以－2≤4sin≤4，所以－5≤4sin－3≤1.所以函数y＝2sin2x＋2cos2x－3在x∈上的值域为[－5,1]．
9．已知tan2α＝，tan(β－α)＝，α为第三象限角，那么tan(β－2α)的值为________．
答案：－
解析：依题意，知tanα＝，tan(β－α)＝，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝－.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．已知tanα＝2，证明：sin2α＋sinαcosα＝－－.
解析：因为tanα＝2，
所以左边＝＝＝＝，
右边＝－－＝－－＝－－tan＝－－tan＝，
所以左边＝右边，所以原等式成立．
11．已知函数f(x)＝sin－cos，x∈R.
(1)求f的值；
(2)若α，β∈，f＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．
解析：(1)∵f(x)＝sin－cos，x∈R，
∴f(x)＝2sin，x∈R.
f＝2sin＝2sin＝.
(2)f＝2sinα＝，∴sinα＝，∵α∈，∴cosα＝.
f(3β＋2π)＝2sin＝2cosβ＝，∴cosβ＝，∵β∈，∴sinβ＝.
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.
12．已知sinαcosβ＝，求
sinβcosα的取值范围．
解析：sin(β＋α)＝sinβcosα＋cosβsinα＝sinβcosα＋，
sin(β－α)＝sinβcosα－cosβsinα＝sinβcosα－.因为－1≤sin(β±α)≤1
所以所以－≤sinβcosα≤.
即当α＋β＝2kπ＋(k∈Z)时，cosα，sinβ同号，右边等号成立；当β－α＝2kπ－(k∈Z)时，cosα，sinβ异号，左边等号成立．第三章章末测试
时间：90分钟 分值：100分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知sinα＝且α∈(，π)，则tanα的值为( )
A．－ B.
C．－
D.
答案：C
解析：∵α∈(，π)，由同角基本关系易知cosα＝－.
tanα＝＝－.
2．若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin(α＋)的值为( )
A．－
B.
C．－
D.
答案：A
解析：由题知，cosα＝－，α是第三象限的角，所以sinα＝－，由两角和的正弦公式可得sin(α＋)＝sinαcos＋cosαsin＝(－)×＋(－)×＝－，故选A.
3．若cosθ＝－，θ是第三象限的角，则＝( )
A.
B．－
C.
D．－2
答案：D
解析：由已知得＝＝＝，
因为cosθ＝－，且θ是第三象限的角，故sinθ＝－，故＝＝－2.
4．已知cosθ＝，θ∈(0，π)，则cos(π＋2θ)的值为( )
A．－
B．－
C.
D.
答案：C
解析：∵cosθ＝，θ∈(0，π)
∴sinθ＝
cos(＋2θ)＝sin2θ＝2sinθcosθ＝2××＝.
5．设α，β∈(0，)，tanα＝，tanβ＝，则α－β等于( )
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：∵tan(α－β)＝＝＝1，
α，β∈(0，)，∴－＜α－β＜，
∴α－β＝.
6．当x∈[－，]时，y＝的最小值为( )
A．－
B．－
C．－
D．－
答案：B
解析：∵y＝＝tanx，∴当x＝－时，ymin＝－.
7．若sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，且β为第三象限角，则cosβ的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
答案：B
解析：∵sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝m，∴sin(－β)＝m，sinβ＝－m，又∵β为第三象限角，∴cosβ＝－.
8．已知tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，则tan(α＋)等于( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：tan(α＋)＝tan[(α＋β)－(β－)]＝＝.
9．要得到y＝2sin2x的图像，只需将函数y＝sin2x＋cos2x的图像( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
答案：D
解析：y＝sin2x＋cos2x
＝2(sin2x＋cos2x)
＝2sin(2x＋)
而y＝2sin2x＝2sin[2(x－)＋]
∴只需将图像向右平移，故选D.
10．如图，在5个并排的正方形图案中作出一个∠AOnB＝135°(n＝1,2,3,4,5,6)，则n＝( )
A．1,6
B．2,5
C．3,4
D．2,3,4,5
答案：C
解析：若n＝1或n＝6，显然∠AOnB<90°，若n＝2，则有∠AO2O1＝45°，∠BO2O6<45°，∴∠AOnB>135°，根据对称性可知，若n＝5，∠AOnB>135°，若n＝3，则有tan(∠AO3O1＋∠BO3O6)＝＝1，又∵∠AO3O1，∠BO3O6∈(0,45°)，∴∠AO3O1＋∠BO3O6＝45°，∴∠AO3B＝135°，同理根据对称性有∠AO4B＝135°.
二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填入题中横线上．
11．已知cosα＝，且α∈(，2π)，则cos(α－)＝________.
答案：
解析：∵cosα＝，α∈(π，2π)，∴sinα＝－＝－＝－，
∴cos(α－)＝cosαcos＋sinαsin＝×－×＝.
12．函数f(x)＝sinx＋cosx的图像相邻两条对称轴之间的距离是________．
答案：
解析：∵f(x)＝sinx＋cosx＝sin(x＋)，∴其相邻两条对称轴之间的距离是＝.
13．如图，四边形ABCD为矩形，且AB＝2，AD＝1，延长BA至E，使AE＝2，连接EC、ED，则tan∠CED＝________.
答案：
解析：由题意可知，tan∠DEB＝，tan∠CEB＝，
∴tan∠CED＝tan(∠DEB－∠CEB)＝＝.
三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
14．化简求值：.
解：原式＝＝
＝＝sin30°＝.
15．已知α∈(0，)，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，求2α－β.
解：∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝，∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝＝1.
又∵β∈(0，π)，tanβ＝－，∴＜β＜π，又α∈(0，)，
∴－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－.
16．如图，
设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P、Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，∠AOP＝，∠AOQ＝α，α∈[0，π)．
(1)若Q(，)，求cos(α－)的值；
(2)设函数f(α)＝·，求f(α)的值域．
解：(1)由已知可得cosα＝，sinα＝.
∴cos(α－)＝cosαcos＋sinαsin
＝×＋×
＝.
(2)f(α)＝·＝(cos，sin)·(cosα，sinα)
＝cosα＋sinα
＝sin(α＋)．
∵α∈[0，π)，∴α＋∈[，)，
－∴f(α)的值域是(－，1]．
17．已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．
(1)若a∥b，求tanθ的值；
(2)若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值．
解：(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝.
(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以
1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.
从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是
sin(2θ＋)＝－.
又由0＜θ＜π知，＜2θ＋＜，所以2θ＋＝或2θ＋＝.
因此θ＝或θ＝.
18．已知函数f(x)＝cos2(x＋)，g(x)＝1＋sin2x.
(1)设x＝x0是函数y＝f(x)图像的一条对称轴，求g(x0)的值；
(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．
解：(1)由题设知f(x)＝[1＋cos(2x＋)]．
因为x＝x0是函数y＝f(x)图像的一条对称轴，所以2x0＋＝kπ(k∈Z)，
即2x0＝kπ－(k∈Z)．
所以g(x0)＝1＋sin2x0＝1＋sin(kπ－)．
当k为偶数时，g(x0)＝1＋sin(－)＝；
当k为奇数时，g(x0)＝1＋sin＝.
(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝[1＋cos(2x＋)]＋1＋sin2x
＝[cos(2x＋)＋sin2x]＋
＝(cos2x＋sin2x)＋＝sin(2x＋)＋.
当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，
函数h(x)＝sin(2x＋)＋是递增的．
故函数h(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．19 向量应用举例
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为( )
A．(－2,4) B．(－30,25)
C．(10，－5)
D．(5，－10)
答案：C
解析：按照共线向量及坐标运算法则代入可求．
2．和直线3x－4y＋7＝0平行的向量a及垂直的向量b分别是( )
A．a＝(3,4)，b＝(3，－4)
B．a＝(－3,4)，b＝(4，－3)
C．a＝(4,3)，b＝(3，－4)
D．a＝(－4,3)，b＝(3,4)
答案：C
解析：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的向量为(A，B)，与直线Ax＋By＋C＝0平行的向量为(－B，A)．
3．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形的形状为( )
A．正方形
B．菱形
C．矩形
D．平行四边形
答案：B
解析：∵＋＝0，＝，∴四边形ABCD为平行四边形．又·＝0，∴⊥，∴对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形．
4．在△ABC中，·＝0，且·＝，则△ABC的形状是( )
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰(非等边)三角形
D．等边三角形
答案：D
解析：由·＝0，得角A的平分线垂直于BC，∴AB＝AC.又·＝cos〈，〉＝，〈，〉∈(0°，180°)，∴∠BAC＝60°.∴△ABC为等边三角形，选D.
5．一条河的宽度为d，一艘船从河岸的A出发到河的正对岸B处，船速为v1，水速为v2，船到达B处所用的时间t为( )
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：如图所示，知|v合|2＝|v1|2－|v2|2.
∴|v合|＝，∴t＝＝，选C.
6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8
B．4
C．2
D．1
答案：B
解析：由|＋|＝|－|可知，⊥，则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，因此，||＝||＝4，故选B.
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．已知两个粒子A、B从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为va＝(4,3)，vb＝(3,4)，则va在vb上的射影为________．
答案：
解析：由题知va与vb的夹角θ的余弦值为cosθ＝＝.
∴va在vb上的射影为|va|cosθ＝5×＝.
8．已知直线l经过点A(1，－2)，且直线l的一个法向量n＝(2,3)，则点B(2,3)到直线l的距离是________．
答案：
解析：由题意，知直线l的斜率k＝－.又直线l过点A(1，－2)，所以直线l的方程为2x＋3y＋4＝0，所以点B(2,3)到直线l的距离d＝＝.
9．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7,4)，＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________．
答案：30
解析：＝－＝(3,6)＝，∵·＝(4，－2)·(3,6)＝0，∴⊥，∴四边形ABCD为矩形，||＝，||＝，∴S＝||·||＝30.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，D是边BC的中点，E是边AB上的点，且AE＝2BE，求证：AD⊥CE.
解：解法一(基向量法)
·＝·
＝·
＝·
＝2－·－2.
∵BC⊥CA，∴·＝0.
又BC＝CA，
∴||＝||，
∴·＝(||2－||2)＝0，
∴⊥，即AD⊥CE.
解法二(坐标法)
以CA，CB所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设||＝||＝a，
∴C(0,0)，A(a,0)，B(0，a)，E，D，
∴＝，＝，
∴·＝－＋×＝－＋＝0，
∴⊥，即AD⊥CE.
11．如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，DC的中点，BE，BF与AC分别交于点R，T，证明：R，T为AC的三等分点．
解：设＝a，＝b，则＝a＋b，＝b－a.
由于与共线，因此存在实数m，使得＝m(a＋b)．
又与共线，因此存在实数n，使得＝n＝n.
由＝＋＝＋n，得m(a＋b)＝a＋n，
整理得(m＋n－1)a＋b＝0.
由于向量a，b不共线，所以有，
解得，
所以＝.
同理＝，
所以＝，所以AR＝RT＝TC，
所以R，T为AC的三等分点．
12．如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂线的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.
(1)判断|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围．
解：(1)如图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得－G＝F1＋F2，|F1|＝，
|F2|＝|G|tanθ，
当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大．
(2)由|F1|＝，|F1|≤2|G|，得cosθ≥.
又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°，
即角θ的取值范围为[0°，60°]．5 正弦函数的图像与性质
时间：45分钟 满分：80分
班级________ 姓名________ 分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．函数y＝sinx的值域是( )
A．[－1,1]
B.
C.
D.
答案：B
解析：画出y＝sinx的图像，知其值域为.
2．函数y＝2＋sinx，当x∈[－π，π]时( )
A．在[－π，0]上是递增的，在[0，π]上是递减的
B．在[－，]上是递增的，在[－π，－]和[，π]上是递减的
C．在[0，π]上是递增的，在[－π，0]上是递减的
D．在[，π]和[－π，]上是递增的，在[－，]上是递减的
答案：B
3．若函数y＝sin(x＋φ)的图像过点，则φ的值可以为( )
A.
B.
C．－
D．－
答案：C
解析：将点代入y＝sin(x＋φ)，可得＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝－＋kπ，k∈Z，只有选项C满足．
4．y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图像与直线y＝2的交点的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：B
解析：由y＝1＋sinx在[0,2π]上的图像，可知只有1个交点．
5．使函数f(x)＝sin(2x＋φ)为奇函数的φ的值可以是( )
A.
B.
C．π
D.
答案：C
解析：由函数f(x)是R上的奇函数，知f(0)＝0，即sin(2×0＋φ)＝sinφ＝0，故φ＝kπ(k∈Z)，故选C.
6．在[0,2π)内，方程|sinx|＝根的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：D
解析：y＝|sinx|＝(k∈Z)．其图像如图所示：
由图，在[0,2π)内y＝这条直线与它有4个交点．
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．函数y＝的定义域是________．
答案：{x|2kπ－π≤x≤2kπ，k∈Z}
解析：∵－2sinx≥0，∴sinx≤0，∴2kπ－π≤x≤2kπ，k∈Z.
8．sin(－)________sin(－)(选项“>”“<”或“＝”)．
答案：>
解析：因为－>－，且y＝sinx在(－，)内为增函数，所以sin(－)>sin(－)．
9．设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
答案：2
解析：f(x)＝＝1＋，设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)．又g(x)的定义域为R，
∴g(x)是奇函数，由奇函数图像的对称性，知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．求下列函数的值域：
(1)y＝3－2sinx；
(2)y＝sin2x－sinx＋1，x∈.
解：(1)∵－1≤sinx≤1，∴－2≤－2sinx≤2，
∴1≤3－2sinx≤5.
∴函数的值域为[1,5]．
(2)y＝sin2x－sinx＋1＝2＋.
设t＝sinx，∵x∈，
∴由正弦函数的图像知≤t≤1.
而函数y＝2＋在上单调递增，
∴当t＝，即x＝时，ymin＝，
当t＝1，即x＝时，ymax＝1.
∴函数的值域是.
11．已知函数f(x)＝2asin＋b的定义域为，最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．
解：∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π，
∴－≤sin≤1，易知a≠0.
当a>0时，f(x)max＝2a＋b＝1，
f(x)min＝－a＋b＝－5，
由，解得.
当a<0时，f(x)max＝－a＋b＝1，
f(x)min＝2a＋b＝－5，
由，解得.
12．已知f(x)＝－sin2x＋sinx＋a，若1≤f(x)≤对任意的实数x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
解：令t＝sinx，t∈[－1,1]，则y＝－sin2x＋sinx＋a＝－t2＋t＋a＝－(t－)2＋a＋.
当t＝时，f(x)有最大值a＋，当t＝－1时，f(x)有最小值a－2.
故对于一切x∈R，函数f(x)的值域为[a－2，a＋]，从而 3≤a≤4.