【人教A版】2016-2017年高中数学选修2-3全册练习（26份打包，Word版，含解析）

第二章
随机变量及其分布
2.1
离散型随机变量及其分布列
2.1.2
离散开明随机变量的分布列
第2课时
两点分布与超几何分布
A级　基础巩固
一、选择题
1．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中不放回每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止时，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为(　　)
A．1，2，3，…，6　
B．1，2，3，…，7
C．0，1，2，…，5
D．1，2，…，5
解析：可能第一次就取到白球，也可能红球都取完才取到白球，所以ξ的可能取值为1，2，3，…，7.
答案：B
2．下列问题中的随机变量不服从两点分布的是(　　)
A．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量X
B．某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量X
C．从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量X＝
D．某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X
解析：选项A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布．
答案：A
3．设随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝k)＝，k＝0，1，2，3，则c＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：依题意c＋＋＋＝1，所以c＝.
答案：C
4．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是(　　)
A．都不是一等品
B．恰有一件一等品
C．至少有一件一等品
D．至多有一件一等品
解析：设取到一等品的件数是ξ，则ξ＝0，1，2，P(ξ＝0)＝eq
\f(CC,C)＝，P(ξ＝1)＝eq
\f(CC,C)＝，P(ξ＝2)＝eq
\f(CC,C)＝，因为P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝，所以满足题设的事件是“至多有一件一等品”．
答案：D
5．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，下列概率中等于eq
\f(C·C,C)的是(　　)
A．P(ξ＝2)
B．P(ξ≤2)
C．P(ξ＝4)
D．P(ξ≤4)
解析：因为P(ξ＝2)＝eq
\f(CC,C)，P(ξ≤2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)≠eq
\f(CC,C)，P(ξ＝4)＝eq
\f(CC,C)，P(ξ≤4)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＞P(ξ＝4)，所以选项C正确．
答案：C
二、填空题
6．某人投篮的命中率是不命中概率的3倍，以随机变量X表示1次投篮的命中次数，则P(X＝1)＝________．
解析：设不命中的概率为p，则命中的概率为3p，
有p＋3p＝1，
即p＝.p(X＝1)是1次投篮中命中的概率，即投篮命中率．
答案：
7．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
解析：P(ξ＝0)＝eq
\f(CC,C)＝，P(ξ＝1)＝eq
\f(CC,C)＝＝，
P(ξ＝2)＝eq
\f(CC,C)＝.
答案：　　
8．已知离散型随机变量X的分布列P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，5，令Y＝2X－2，则P(Y＞0)＝________．
解析：由已知Y取值为0，2，4，6，8，且P(Y＝0)＝，P(Y＝2)＝，P(Y＝4)＝＝，P(Y＝6)＝，P(Y＝8)＝.
则P(Y>0)＝P(Y＝2)＋P(Y＝4)＋P(Y＝6)＋P(Y＝8)＝.
答案：
三、解答题
9．一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球．
(1)从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，求X的分布列；
(2)从中任意摸出两个球，用0表示两个球全是白球，用1表示两个球不全是白球，求X的分布列．
解：(1)因为摸出红球的概率为P(X＝1)＝eq
\f(C,C)＝，所以X的分布列为：
X
0
1
P
(2)因为P(X＝0)＝eq
\f(C,C)＝，所以X的分布列为：
X
0
1
P
10.生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？
解：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X服从超几何分布．这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的或只有1箱不合格，所以被接收的概率为P(X≤1)，
即P(X≤1)＝eq
\f(CC,C)＋eq
\f(CC,C)＝.
综上该批产品被接收的概率是.
B级　能力提升
1．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　　)
A．10%
B．20%
C．30%
D．40%
解析：设10件产品中有x件次品，
则P(ξ＝1)＝eq
\f(CC,C)＝＝，解得x＝2或8.
因为次品率不超过40%，
所以x＝2，所以次品率为＝20%.
答案：B
2．某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是________．
解析：将50名学生看作一批产品，其中选修A课程为不合格品，选修B课程为合格品，随机抽取两名学生，X表示选修A课程的学生数，则X服从超几何分布，其中N＝50，M＝15，n＝2.
依题意所求概率为P(X＝1)＝eq
\f(CC,C)＝.
答案：
3．盒子中装着标有数字1、2、3、4、5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求：
(1)取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量ξ的概率分布．
解：(1)记“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件”为A，
则P(A)＝eq
\f(CCCC,C)＝.
(2)由题意ξ可能的取值为2，3，4，5，
P(ξ＝2)＝eq
\f(CC＋CC,C)＝，
P(ξ＝3)＝eq
\f(CC＋CC,C)＝，
P(ξ＝4)＝eq
\f(CC＋CC,C)＝，
P(ξ＝5)＝eq
\f(CC＋CC,C)＝.
所以随机变量ξ的分布列为：
ξ
2
3
4
5
P第一章
计数原理
1.1
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第1课时
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
A级　基础巩固
一、选择题
1．已知集合A
{1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A有(　　)
A．2个　　　B．3个　　　C．4个　　　D．5个
解析：满足题意的集合A分两类：第一类有一个奇数有{1}，{3}，{1，2}，{3，2}共4个；第二类有两个奇数有{1，3}，所以共有4＋1＝5(个)．
答案：D
2．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法有(　　)
A．7种
B．12种
C．64种
D．81种
解析：要完成配套，分两步：第一步，选上衣，从4件中任选一件，有4种不同的选法；第二步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故不同取法共有4×3＝12(种)．
答案：B
3．如图所示，一条电路从A处到B处接通时，可构成的通路有(　　)
A．8条
B．6条
C．5条
D．3条
解析：依题意，可构成的通路有2×3＝6(条)．
答案：B
4．已知集合，M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是(　　)
A．18
B．17
C．16
D．10
解析：分两类：第1类，M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则在第一、第二象限内的点有3×3＝9(个)；第2类，N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则在第一、第二象限内的点有4×2＝8(个)．由分类加法计数原理，在第一、第二象限内的点共有9＋8＝17(个)．
答案：B
5．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有(　　)
A．30个
B．42个
C．36个
D．35个
解析：要完成这件事可分两步，第一步确定b(b≠0)有6种方法，第二步确定a有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有虚数6×6＝36(个)．
答案：C
二、填空题
6．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．
解析：选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为5，6，4，由分步乘法计数原理知，选法总数为N＝5×6×4＝120(种)．
答案：120
7．三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有________种．
解析：由分步乘法计数原理知，不同的选法有N＝2×2×2＝23＝8(种)．
答案：8
8．一学习小组有4名男生、3名女生，任选一名学生当数学课代表，共有________种不同选法；若选男女生各一名当组长，共有________种不同选法．
解析：任选一名当数学课代表可分两类，一类是从男生中选，有4种选法；另一类是从女生中选，有3种选法．根据分类加法计数原理，不同选法共有4＋3＝7(种)．
若选男女生各一名当组长，需分两步：第1步，从男生中选一名，有4种选法；第2步，从女生中选一名，有3种选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有4×3＝12(种)．
答案：7　12
三、解答题
9．若x，y∈N
，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数．
解：按x的取值进行分类：
x＝1时，y＝1，2，…，5，共构成5个有序自然数对；
x＝2时，y＝1，2，…，4，共构成4个有序自然数对；
……
x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．
根据分类加法计数原理，有序自然数对共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．
10．如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，问有多少种不同的着色方案？
操场
窗舍区
餐厅
教学区
解：操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从剩下的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从剩下的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理知，着色方案共有6×5×4×4＝480(种)．
B级　能力提升
1．某班小张等4位同学报名参加A、B、C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有(　　)
A．27种
B．36种
C．54种
D．81种
解析：除小张外，每位同学都有3种选择，小张只有2种选择，所以不同的报名方法有3×3×3×2＝54(种)．
答案：C
2．有三个车队分别有4辆、5辆、5辆车，现欲从其中两个车队各抽取一辆车外出执行任务，设不同的抽调方案数为n，则n的值为________．
解析：不妨设三个车队分别为甲、乙、丙，则分3类．甲、乙各一辆共4×5＝20(种)；甲、丙各一辆共4×5＝20(种)；乙、丙各一辆共5×5＝25(种)，所以共有20＋20＋25＝65(种)．
答案：65
3．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有多少种．
解：按出场位置顺序逐一安排：
第一位置有3种安排方法；
第二位置有7种安排方法；
第三位置有2种安排方法；
第四位置有6种安排方法；
第五位置有1种安排方法．
由分步乘法计数原理知，不同的出场安排方法有3×7×2×6×1＝252(种)．第二章
随机变量及其分布
2.3
离散型随机变量的均值与方差
2.3.2
离散型随机变量的方差
A级　基础巩固
一、选择题
1．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为(　　)
A．0.6和0.7　　　　
B．1.7和0.09
C．0.3和0.7
D．1.7和0.21
解析：E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1.7－1)2×0.3＋(1.7－2)2×0.7＝0.21.
答案：D
2．已知X的分布列为：
X
－1
0
1
P
0.5
0.3
0.2
则D(X)等于(　　)
A．0.7
B．0.61
C．－0.3
D．0
解析：E(X)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D(X)＝(－1＋0.3)2×0.5＋(0＋0.3)2×0.3＋(1＋0.3)2×0.2＝0.61.
答案：B
3．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．其中射击比较稳定的运动员是(　　)
环数k
8
9
10
P(ξ＝k)
0.3
0.2
0.5
P(η＝k)
0.2
0.4
0.4
A.甲
B．乙
C．一样
D．无法比较
解析：E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2，所以E(η)＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.56＜D(ξ)，所以乙稳定．
答案：B
4．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B(10，0.6)，则E(η)和D(η)的值分别是(　　)
A．6和2.4
B．2和2.4
C．2和5.6
D．6和5.6
解析：由已知E(ξ)＝10×0.6＝6，D(ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4.因为ξ＋η＝8，所以η＝8－ξ.
所以E(η)＝－E(ξ)＋8＝2，D(η)＝(－1)2D(ξ)＝2.4.
答案：B
5．随机变量ξ的分布列如下表，且E(ξ)＝1.1，则D(ξ)＝(　　)
ξ
0
1
x
P
p
A.0.36
B．0.52
C．0.49
D．0.68
解析：先由随机变量分布列的性质求得p＝.
由E(ξ)＝0×＋1×＋x＝1.1，得x＝2，
所以D(ξ)＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49.
答案：C
二、填空题
6．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________．
解析：在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.
答案：0.5
7．已知X的分布列为：
X
－1
0
1
P
若η＝2X＋2，则D(η)的值为________．
解析：E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，D(X)＝，D(η)＝D(2X＋2)＝4D(X)＝.
答案：
8．随机变量X的分布列如下表：
X
0
1
2
P
x
y
z
其中x，y，z成等差数列，若E(X)＝，则D(X)的值是________．
解析：E(X)＝0×x＋1×y＋2×z＝y＋2z＝，
又x＋y＋z＝1，且2y＝x＋z，解得x＝，y＝，z＝0，所以D(X)＝×＋×＋×0＝.
答案：
三、解答题
9．已知随机变量X的分布列为：
X
0
1
x
P
p
若E(X)＝.
(1)求D(X)的值；
(2)若Y＝3X－2，求的值．
解：由＋＋p＝1，得p＝.
又E(X)＝0×＋1×＋x＝，
所以x＝2.
(1)D(X)＝×＋×＋×＝＝.
(2)因为Y＝3X－2，所以D(Y)＝D(3X－2)＝9D(X)．
所以＝＝3＝.
10．每人在一轮投篮练习中最多可投篮4次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否则一直试投到4次为止．已知一选手的投篮命中率为0.7，求一轮练习中该选手的实际投篮次数ξ的分布列，并求出ξ的期望E(ξ)与方差E(ξ)(保留3位有效数字)．
解：ξ的取值为1，2，3，4.若ξ＝1，表示第一次即投中，故P(ξ＝1)＝0.7；若ξ＝2，表示第一次未投中，第二次投中，故P(ξ＝2)＝(1－0.7)×0.7＝0.21；若ξ＝3，表示第一、二次未投中，第三次投中，故P(ξ＝3)＝(1－0.7)2×0.7＝0.063；若ξ＝4，表示前三次未投中，故P(ξ＝4)＝(1－0.7)3＝0.027.
因此ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
P
0.7
0.21
0.063
0.027
E(ξ)＝1×0.7＋2×0.21＋3×0.063＋4×0.027＝1.417.
D(ξ)＝(1－1.417)2×0.7＋(2－1.417)2×0.21＋(3－1.417)2×0.063＋(4－1.417)2×0.027＝0.513.
B级　能力提升
1．若ξ是离散型随机变量，P(ξ＝X1)＝，P(ξ＝X2)＝，且X1＜X2，又已知E(ξ)＝，D(ξ)＝，则X1＋X2的值为(　　)
A.
B.
C．3
D.
解析：X1，X2满足
解得或
因为X1＜X2，所以X1＝1，X2＝2，所以X1＋X2＝3.
答案：C
2．抛掷一枚均匀硬币n(3≤n≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B，若P(ξ＝1)＝，则方差D(ξ)＝________．
解析：因为3≤n≤8，ξ服从二项分布B，且P(ξ＝1)＝，所以C··＝，即n＝，解得n＝6，所以方差D(ξ)＝np(1－p)＝6××＝.
答案：
3．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令ξ＝x·y.求：
(1)ξ所取各值的分布列；
(2)随机变量ξ的数学期望与方差．
解：(1)随机变量ξ的可能取值有0，1，2，4，“ξ＝0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为P(ξ＝0)＝1－×＝；
“ξ＝1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为P(ξ＝1)＝×＝；
“ξ＝2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为P(ξ＝2)＝2××＝；
“ξ＝4”是指两次取的卡片上都标着2，其概率为P(ξ＝4)＝×＝.
则ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
4
P
(2)E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1，
D(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(4－1)2×＝.模块综合评价(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)
1．某校教学大楼共有6层，每层均有2个楼梯，则由一楼至五楼的不同走法共有(　　
)
A．25种　　　　　
B．52种
C．12种
D．36种
解析：因为每层均有2个楼梯，所以每层有两种不同的走法，由分步计数原理可知：从一楼至五楼共有25种不同走法．
答案：A
2．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，则P(ξ＜3)等于(　　
)
A.
B.
C.
D.
解析：由正态分布的图象知，x＝μ＝3为该图象的对称轴，
则P(ξ＜3)＝.
答案：D
3．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
月份x
1
2
3
4
用水量y
4.5
4
3
2.5
由其散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是＝－0.7x＋a，则a＝(　　
)
A．10.5
B．5.15
C．5.2
D．5.25
解析：＝2.5，＝3.5，＝0.7，所以＝3.5＋0.7×2.5＝5.25.
答案：D
4．(2015·陕西卷)二项式(x＋1)n(n∈N
)的展开式中x2的系数为15，则n＝(　　)
A．4
B．5
C．6
D．7
解析：二项式的展开式的通项是Tr＋1＝Cxr，令r＝2，得x2的系数为C，所以C＝15，即n2－n－30＝0，解得n＝－5(舍去)或n＝6.
答案：C
5．变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则(　　
)
A．r2＜r1＜0
B．0＜r2＜r1
C．r2＜0＜r1
D．r2＝r1
解析：画出散点图(图略)，由散点图可知X与Y是正相关，则相关系数r1＞0，U与V是负相关，相关系数r2＜0，所以r2＜0＜r1.
答案：C
6．若随机变量X～B(n，0.6)，且E(X)＝3，则P(X＝1)的值是(　　
)
A．2×0.44
B．2×0.45
C．3×0.44
D．3×0.64
解析：因为X～B(n，0.6)，所以E(X)＝np＝0.6n＝3，所以n＝5，
所以P(X＝1)＝C×0.61×0.44＝3×0.44.
答案：C
7．如图所示，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么此系统的可靠性为(　　
)
A．0.504
B．0.994
C．0.496
D．0.06
解析：A，B，C三个开关相互独立，三个中只要至少有一个正常工作即可，由间接法知P＝1－(1－0.9)×(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.
答案：B
8．有三箱粉笔，每箱中有100盒，其中有一盒是次品，从这三箱粉笔中各抽出一盒，则这三盒中至少有一盒是次品的概率是(　　
)
A．0.01×0.992
B．0.012×0.99
C．C0.01×0.992
D．1－0.993
解析：设A＝“三盒中至少有一盒是次品”，则＝“三盒中没有次品”，又P()＝0.993，所以P(A)＝1－0.993.
答案：D
9．若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(　　)
A．1
B．－1
C．0
D．2
解析：令x＝1，得a0＋a1＋…＋a4＝(2＋)4.
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2＋)4.
所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(2＋)4(－2＋)4＝1.
答案：A
10．某商场开展促销抽奖活动，摇奖摇出的一组中奖号码是8，2，5，3，7，1，参加抽奖的每位顾客从0，1，2，…，9这10个号码中任意抽出6个组成一组，如果顾客抽出6个号码中至少有5个与中奖号码相同(不计顺序)就可以得奖，那么得奖的概率为(　　
)
A.
B.
C.
D.
解析：设A表示“至少有5个与摇出的号码相同”，A1表示“恰有5个与摇出的号码相同”，A2表示“恰有6个与摇出的号码相同”，得A＝A1＋A2，且A1，A2互斥，
P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝eq
\f(C·C,C)＋eq
\f(1,C)＝.
答案：D
11．(2015·湖南卷)在如图所示的正方形中随机投掷10
000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(　　
)
(附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ，σ＜X≤μ＋σ)＝0.682
6，(P(μ－2σ
＜X≤μ＋2σ)＝0.954
4)
A．2
386
B．2
718
C．3
413
D．4
772
解析：设X服从标准正态分布N(0，1)，则P(0＜X＝1)＝P(－1＜X≤1)＝0.341
3，故所投点落入阴影部分的概率P＝＝＝，得n＝3
413.
答案：C
12．考查正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于(　　
)
A.
B.
C.
D.
解析：如题图所示，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，不同取法共有C·C＝15×15＝225(种)，其中所得的两条直线相互平行但不重合有AC∥DB，AD∥CB，AE∥BF，AF∥BE，CE∥FD，CF∥ED，共12对，所以所求概率为P＝＝.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知随机变量ξ的分布列如下表，则x＝________.
ξ
0
1
2
p
x2
x
解析：由随机变量概率分布列的性质可知：x2＋x＋＝1且0≤x≤1，解得x＝.
答案：
14．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产出一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3，和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利________元．
解析：50×0.6＋30×0.3－20×0.1＝37(元)．
答案：37
15．小明和小勇在五种课外读物中各自选购两种，则他们两人所选购的课外读物中至少有一种不相同的选法种数为________．
解析：小明和小勇都有C种选购方法，根据乘法原理，选购方法总数是CC＝100.选购的两本读物都相同的方法数是C＝10.故所求的选法种数为100－10＝90.
答案：90
16．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归方程＝x＋必过(，)；④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个2×2列联表中，由计算得K2＝13.079，则其两个变量之间有关系的可能性是90%.其中错误的个数是________．
解析：由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确；②④⑤均错误．
答案：3
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)两台车床加工同一种机械零件如下表：
分类
合格品
次品
总计
第一台车床加工的零件数
35
5
40
第二台车床加工的零件数
50
10
60
总计
85
15
100
从这100个零件中任取一个零件，求：
(1)取得合格品的概率；
(2)取得零件是第一台车床加工的合格品的概率．
解：(1)记在100个零件中任取一个零件，取得合格品记为A，因为在100个零件中，有85个为合格品，
则P(A)＝＝0.85.
(2)从100个零件中任取一个零件是第一台加工的概率为P1＝＝，第一台车床加工的合格品的概率为P2＝＝，
所以取得零件是第一台车床加工的合格品的概率P＝P1·P2＝×＝.
18．(本小题满分12分)已知展开式中第三项的系数比第二项系数大162，求：
(1)n的值；
(2)展开式中含x3的项．
解：(1)因为T3＝C()n－2＝4Cx，
T2＝C()n－1＝－2Cx，
依题意得4C＋2C＝162，所以2C＋C＝81.
所以n2＝81，n＝9.
(2)设第r＋1项含x3项，
则Tr＋1＝C()9－r＝(－2)rCr
9x，
所以＝3，r＝1.
所以第二项为含x3的项：T2＝－2Cx3＝－18x3.
19．(本小题满分12分)(2015·山东卷)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137，359，567等)．
在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．
(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望E(X)．
解：(1)所有个位数字是5的“三位递增数”是：
125，135，145，235，245，345；
(2)X的所有取值为－1，0，1.
P(X＝0)＝eq
\f(C,C)＝，P(X＝－1)＝eq
\f(C,C)＝，P(X＝1)＝eq
\f(C·C＋C,C)＝，甲得分X的分布列为：
X
0
－1
1
P
E(X)＝0×＋×(－1)＋×1＝.
20．(本题满分12分)设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡寿命表1X(单位：小时)和Y的分布列分别如表1和表2所示：
X
900
1
000
1
100
P
0.1
0.8
0.1
Y
950
1
000
1
050
P
0.3
0.4
0.3
试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？
解：由期望的定义，得
E(X)＝900×0.1＋1
000×0.8＋1
100×0.1＝1
000，
E(Y)＝950×0.3＋1
000×0.4＋1
050×0.3＝1
000.
两家灯泡厂生产的灯泡寿命的期望值相等，需进一步考查哪家工厂灯泡的质量比较稳定，即比较其方差．
由方差的定义，得D(X)＝(900－1
000)2×0.1＋(1
000－1
000)2×0.8＋(1
100－1
000)2×0.1＝2
000，
D(Y)＝(950－1
000)2×0.3＋(1
000－1
000)2×0.4＋(1
050－1
000)2×0.3＝1
500.
因为D(X)＞D(Y)，所以乙厂生产的灯泡质量比甲厂稳定，即乙厂生产的灯泡质量较好．
21．(本小题满分12分)某5名学生的总成绩与数学成绩如下表：
学生
A
B
C
D
E
总成绩x/分
482
383
421
364
362
数学成绩y/分
78
65
71
64
61
(1)画出散点图；
(2)求数学成绩对总成绩的回归方程；
(3)如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个学生的数学成绩．
(参考数据：4822＋3832＋4212＋3642＋3622＝819
794，482×78＋383×65＋421×71＋364×64＋362×61＝137
760)
解：(1)散点图如图所示：
(2)设回归方程为
≈0.132，
＝－≈－0.132×＝14.683
2，
所以回归方程为＝0.132x＋14.683
2.
(3)当x＝450时，＝0.132×450＋14.683
2＝74.083
2≈74，
即数学成绩大约为74分．
22．(本小题满分12分)在一次物理与化学两门功课的联考中，备有6道物理题，4道化学题，共10道题可供选择．要求学生从中任意选取5道作答，答对4道或5道即为良好成绩．设随机变量ξ为所选5道题中化学题的题数．
(1)求ξ的分布列及数学期望与方差；
(2)若学生甲随机选定了5道题，且答对任意一道题的概率均为0.6，求甲没有取得良好成绩的概率(精确到小数点后两位)．
解：(1)依题意，得ξ＝0，1，2，3，4.
则P(ξ＝0)＝eq
\f(C·C,C)＝，P(ξ＝1)＝eq
\f(C·C,C)＝，
P(ξ＝2)＝eq
\f(C·C,C)＝，P(ξ＝3)＝eq
\f(C·C,C)＝，
P(ξ＝4)＝eq
\f(C·C,C)＝.
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.
所以D(ξ)＝(0－2)2×＋(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＋(4－2)2×＝＋＋＋＝.
(2)“甲没有取得良好成绩”的对立事件是“甲取得良好成绩”，即甲答对4道或5道．甲答对4道题的概率为
P1＝C×0.64×(1－0.6)＝0.259
20；
甲答对5道题的概率为
P2＝C
×0.65×(1－0.6)0＝0.077
76.
故甲没有取得良好成绩的概率是
P＝1－(P1＋P2)＝1－(0.259
20＋0.077
76)≈0.66.第二章
随机变量及其分布
2.2
二项分布及其应用
2.2.3
独立重复试验与二项分布
A级　基础巩固
一、选择题
1．若X～B(10，0.8)，则P(X＝8)等于(　　)
A．C×0.88×0.22　
B．C×0.82×0.28
C．0.88×0.22
D．0.82×0.28
解析：因为X～B(10，0.8)，所以P(X＝k)＝C0.8k(1－0.8)10－k，所以P(X＝8)＝C×0.88×0.22.
答案：A
2．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝(　　)
A．C×
B．C×
C.×
D.×
解析：前两次测到的都是次品，第三次测到的是正品，
所以P(ξ＝3)＝××＝×.
答案：C
3．在某次试验中，事件A出现的概率为p，则在n次独立重复试验中出现k次的概率为(　　)
A．1－pk
B．(1－p)kpn－k
C．1－(1－p)k
D．C(1－p)kpn－k
解析：出现1次的概率为1－p，由二项分布概率公式可得出现k次的概率为C(1－p)kpn－k.
答案：D
4．(2015·课标全国Ⅰ卷)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　)
A．0.648
B．0.432
C．0.36
D．0.312
解析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C0.62×0.4＋0.63＝0.648.
答案：A
5．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P(ξ＝12)等于(　　)
A．C
B．C
C．C
D．C
解析：当ξ＝12时，表示前11次中取到9次红球，第12次取到红球，所以P(ξ＝12)＝C.
答案：B
二、填空题
6．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有________．
①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；
③有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M＜N)；
④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数．
解析：对于①，设事件A为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，P(A)＝.而在n次独立重复试验中事件A恰好发生了k次(k＝0，1，2，…，n)的概率P(ξ＝k)＝C，符合二项分布的定义，即有ξ～B.对于②，ξ的取值是1，2，3，…，P(ξ＝k)＝0.9×0.1k－1(k＝1，2，3，…，n)，显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布．③和④的区别是：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中n次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于③有ξ～B.故应填①③.
答案：①③
7．设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y≥1)＝________．
解析：因为X～B(2，p)，所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C(1－p)2＝，解得p＝.又Y～B(3，p)，所以P(Y≥1)＝1－P(Y＝0)＝1－C(1－p)3＝.
答案：
8．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：an＝如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S5＝3的概率为________．
解析：由题意知有放回地摸球为独立重复试验，且试验次数为5，这5次中有1次摸得红球．每次摸取红球的概率为，所以S5＝3时，概率为C×＝.
答案：
三、解答题
9．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的4棵大树中．
(1)至少有1棵成活的概率；
(2)两种大树各成活1棵的概率．
解：设Ak表示第k棵甲种大树成活，k＝1，2，Bl表示第l棵乙种大树成活，l＝1，2，
则A1，A2，B1，B2相互独立，且P(A1)＝P(A2)＝，P(B1)＝P(B2)＝.
(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知，所求概率为P＝C·C＝×＝＝.
10.
一名学生骑自行车去上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列．
解：依据已知条件，可将遇到每个交通岗看作一次试验，遇到红灯的概率都是，且每次试验结果都是相互独立的，所以X～B.
故P(X＝k)＝C＝C，k＝0，1，2，…，6.
因此所求X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
5
6
P
B级　能力提升
1．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是(　　)
A．[0.4，1)
B．(0，0.4]
C．[0.6，1)
D．(0，0.6]
解析：由条件知P(ξ＝1)≤P(ξ＝2)，
所以Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，2(1－p)≤3p，
所以p≥0.4.
又0≤p＜1，所以0.4≤p＜1.
答案：A
2．在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为.其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率是________．
解析：设事件A表示“甲选做第14题”，事件B表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB＋
”，且事件A，B相互独立．
所以P(AB＋)＝P(A)P(B)＋P()P()＝×＋＝.
答案：
3．甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立．
(1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；
(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X的分布列．
解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3.
由题意，各局比赛结果相互独立，
故P(A1)＝＝，
P(A2)＝C×＝，
P(A3)＝C×＝.
所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为.
以3∶2胜利的概率为.
(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A4，
由题意，各局比赛结果相互独立，所以
P(A4)＝C××＝.
由题意，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3.
根据事件的互斥性得
P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝；
P(X＝1)＝P(A3)＝；
P(X＝2)＝P(A4)＝；
P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝.
故X的分布列为：
X
0
1
2
3
P章末评估验收(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2，1，3，4条路，只从一面上山，而从其他任意一面下山的走法最多，应(　　)
A．从东边上山　　
B．从西边上山
C．从南边上山
D．从北边上山
解析：从北边上山，走法有4×(2＋1＋3)＝24(种)，是最多的．
答案：D
2．5名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去”，则第二天可能出现的不同情况的种数为(　　)
A．C
B．25
C．52
D．A
解析：“去”或“不去”，5个人中每个人都有两种选择，所以，出现的可能情况有2×2×2×2×2＝25(种)．
答案：B
3．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有(　　)
A．240种
B．360种
C．480种
D．720种
解析：第一步先排甲，共有A种不同的排法；第二步再排其他人，共有A种不同的排法，因此不同的演讲次序共有AA＝480(种)．
答案：C
4．已知C＝C＋C(n∈N
)，则n＝(　　)
A．14
B．15
C．13
D．12
解析：由组合数性质知，C＋C＝C，所以C＝C，所以7＋8＝n＋1，得n＝14.
答案：A
5．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg
a－lg
b的不同值的个数是(　　)
A．9
B．10
C．18
D．20
解析：从1，3，5，7，9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数为A＝20，但lg
1－lg
3＝lg
3－lg
9，lg
3－lg
1＝lg
9－lg
3，所以不同值的个数为20－2＝18.
答案：C
6．设f(x)＝(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1，则f(x)等于(　　)
A．(2x＋2)5
B．2x5
C．(2x－1)5
D．(2x)5
解析：f(x)＝C(2x＋1)5(－1)0＋C(2x＋1)4(－1)1＋C(2x＋1)3(－1)2＋C(2x＋1)2(－1)3＋C(2x＋1)1(－1)4＋C(2x＋1)0(－1)5＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5.
答案：D
7．在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有(　　)
A．24种
B．48种
C．96种
D．144种
解析：当A出现在第一步时，再排A，B，C以外的三个程序，有A种，A与A，B，C以外的三个程序生成4个可以排列程序B，C的空档，此时共有AAA种排法；当A出现在最后一步时的排法与此相同，故编排方法共有2AAA＝96(种)．
答案：C
8．若的展开式中的第4项为常数项，则展开式的各项系数的和为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：T4＝C()n－3＝－Cx－1，
令－1＝0，解得n＝5，再令x＝1，得＝.
答案：D
9．(2015·广东卷)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为(　　)
A．1
B.
C.
D.
解析：从袋中任取2个球共有C＝105种，其中恰好1个白球1个红球共有CC＝50(种)，所以恰好1个白球1个红球的概率为＝.
答案：C
10．(2015·课标全国Ⅰ卷)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A．10
B．20
C．30
D．60
解析：在(x2＋x＋y)5的5个因式中，2个取因式中x2剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y，故x5y2的系数为CCC＝30.
答案：C
11．从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为(　　)
A．300
B．216
C．180
D．162
解析：由题意知可分为两类：(1)选0，共有CCCA＝108(个)；(2)不选0，共有CA＝72(个)．由分类加法计数原理得108＋72＝180(个)．
答案：C
12．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝(　　)
A．45
B．60
C．120
D．210
解析：由条件得f(m，n)＝CC，所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝CC＋CC＋CC＋CC＝20＋60＋36＋4＝120.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．(2015·北京卷)在(x＋2)5的展开式中，x3的系数为________(用数字作答)．
解析：Tr＋1＝C25－rxr，令r＝3，得x3的系数为C22＝40.
答案：40
14．5个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有________种．
解析：甲、乙两人之间至少有一人，就是甲、乙两人不相邻，则有AA＝72(种)．
答案：72
15．如果把两条异面直线看成“一对”，那么正方体的棱所在的12条直线中，异面直线共有________对.
解析：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，与棱AB异面的棱有DD1，CC1，A1D1，B1C1，因此共有4对，正方体的棱共有12条，故异面直线共有4×12×＝24(对)．
答案：24
16．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴某大型展览会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答).
解析：先分组eq
\f(CCC,A)，再把三组分配乘以A得：eq
\f(CCC,A)A＝90(种)．
答案：90
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，求不同的买法有多少种(用数字作答)．
解：分两类：第一类，买5本2元的有C种；
第二类，买4本2元的和2本1元的有CC种．
故不同的买法共有C＋CC＝266(种)．
18．(本小题满分12分)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有多少种？
解：法一　可分以下2种情况：①A类选修课选1门，B类选修课选2门，有CC种不同的选法；②A类选修课选2门，B类选修课选1门，有CC种不同的选法．所以不同的选法共有CC＋CC＝18＋12＝30(种)．
法二　因为事件“两类课程中至少选一门”的对立事件是“全部选修A和全部选修B”，所以两类课程中各至少选一门种类：C－C－C＝30(种)．
19．(本小题满分12分)4个相同的红球和6个相同的白球放入袋中，现从袋中取出4个球；若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？
解：依题意知，取出有4个球中至少有2个红球，可分三类：
①取出的全是红球有C种方法；
②取出的4个球中有3个红球的取法有CC种；
③取出的4个球中有2个红球的取法有CC种．
由分类计数原理，共有C＋CC＋CC＝115(种)．
20．(本小题满分12分)设的展开式的第7项与倒数第7项的比是1∶6，求展开式中的第7项．
解：T7＝C()n－6，
Tn＋1－6＝Tn－5＝C()6.
由eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(C（\r(3,2)）n－6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,3))))\s\up12(6)))∶eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(C（\r(3,2)）6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,3))))\s\up12(n－6)))＝1∶6，
化简得6－4＝6－1，所以－4＝－1，解得n＝9.
所以T7＝C()9－6＝C×2×＝.
21．(本小题满分12分)某校高三年级有6个班级，现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加．这10个名额有多少不同的分配方法？
解：法一　除每班1个名额以外，其余4个名额也需要分配．这4个名额的分配方案可以分为以下几类：
(1)4个名额全部给某一个班级，有C种分法；
(2)4个名额分给两个班级，每班2个，有C种分法；
(3)4个名额分给两个班级，其中一个班级1个，一个班级3个．由于分给一班1个，二班3个和一班3个、二班1个是不同的分法，因此是排列问题，共有A种分法；
(4)分给三个班级，其中一个班级2个，其余两个班级每班1个，共有C·C种分法；
(5)分给四个班，每班1个，共有C种分法．
故分配方法共有N＝C＋C＋A＋C·C＋C＝126(种)．
法二　该问题也可以从另外一个角度去考虑：因为是名额分配问题，名额之间无区别，所以可以把它们视作排成一排的10个相同的球，要把这10个球分开成6段(每段至少有一个球)．这样，每一种分隔办法，对应着一种名额的分配方法．这10个球之间(不含两端)共有9个空位，现在要在这9个位子中放进5块隔板，放法共有N＝C＝126(种)．
故共有126种分配方法．
22．(本小题满分12分)用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？
(1)被4整除；
(2)比21
034大的偶数；
(3)左起第二、第四位是奇数的偶数．
解：(1)被4整除的数，其特征应是末两位数是4的倍数，可分为两类：当末两位数是20、40、04时，其排列数为3A＝18，当末两位数是12，24，32时，其排列数为3AA＝12.故满足条件的五位数共有18＋12＝30(个)．
(2)①当末位数字是0时，首位数字可以为2或3或4，满足条件的数共有3A＝18(个)．
②当末位数字是2时，首位数字可以为3或4，满足条件的数共有2A＝12(个)．
③当末位数字是4时，首位数字是3的有A＝6个，首位数字是2时，有3个，共有9个．
综上知，比21
034大的偶数共有18＋12＋9＝39(个)．
(3)法一　可分为两类：
末位数是0，有AA＝4(个)；
末位数是2或4，有AA＝4(个)；
故共有AA＋AA＝8(个)．
法二　第二、第四位从奇数1，3中取，有A个；首位从2，4中取，有A个；余下的排在剩下的两位，有A个，故共有AAA＝8(个)．第一章
计数原理
1.1
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第2课时
两个计数原理的综合应用
A级　基础巩固
一、选择题
1．某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中的一本，则购买方案有(　　)
A．3种　　　　　
B．6种
C．7种
D．9种
解析：买一本，有3种方案；买两本，有3种方案；买三本有1种方案．因此共有方案：3＋3＋1＝7(种)．
答案：C
2．从1，2，3，4，5五个数中任取3个，可组成不同的等差数列的个数为(　　
)
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：分两类：第一类，公差大于0，有以下4个等差数列：①1，2，3，②2，3，4，③3，4，5，④1，3，5；第二类，公差小于0，也有4个．根据分类加法计数原理可知，可组成的不同的等差数列共有4＋4＝8(个)．
答案：D
3．从集合{1，2，3}和{1，4，5，6}中各取1个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数为(　　)
A．12
B．11
C．24
D．23
解析：先在{1，2，3}中取出1个元素，共有3种取法，再在{1，4，5，6}中取出1个元素，共有4种取法，取出的2个数作为点的坐标有2种方法，由分步乘法计数原理知不同的点的个数有N＝3×4×2＝24(个)．又点(1，1)被算了两次，所以共有24－1＝23(个)．
答案：D
4．要把3张不同的电影票分给10个人，每人最多一张，则有不同的分法种数是(　　)
A．2
160
B．720
C．240
D．120
解析：可分三步：第一步，任取一张电影票分给一人，有10种不同分法；第二步，从剩下的两张中任取一张，由于一人已得电影票，不能再参与，故有9种不同分法；第三步，前面两人已得电影票，不再参与，因而剩余最后一张有8种不同分法．所以不同的分法种数是10×9×8＝720(种)．
答案：B
5．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数的个数是(　　)
A．20
B．16
C．14
D．12
解析：因为四位数的每个位数上都有两种可能性(取2或3)，其中四个数字全是2或3的不合题意，所以适合题意的四位数共有2×2×2×2－2＝14(个)．
答案：C
二、填空题
6．3位旅客投宿到1个旅馆的4个房间(每房间最多可住3人)有________种不同的住宿方法．
解析：分三步，每位旅客都有4种不同的住宿方法，因而共有不同的方法4×4×4＝43＝64(种)．
答案：64
7．甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有________种不同的推选方法．
解析：分为三类：
第一类，甲班选一名，乙班选一名，根据分步乘法计数原理，选法有3×5＝15(种)；
第二类，甲班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理，选法有3×2＝6(种)；
第三类，乙班选一名，丙班选一名，根据分步乘法计数原理，选法有5×2＝10(种)．
综合以上三类，根据分类加法计数原理，不同选法共有15＋6＋10＝31(种)．
答案：31
8．下图的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L形，那么在由3×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L形图案的个数为________(注：其他方向的也是L形)．
解析：每四个小正方形图案都可画出四个不同的L形图案，该图中共有8个这样的小正方形．故可画出不同的位置的L形图案的个数为4×8＝32.
答案：32
三、解答题
9．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？
解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．
(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以用分类加法计数原理，不同的选法有28＋7＋9＋3＝47(种)．
(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才完成，所以用分步乘法计数原理，不同的选法有28×7×9×3＝5
292(种)．
10．由1，2，3，4可以组成多少个自然数(数字可以重复，最多只能是四位数)
解：组成的自然数可以分为以下四类：
第一类：一位自然数，共有4个；
第二类：二位自然数，又可分两步来完成．先取出十位上的数字，再取出个位上的数字，共有4×4＝16(个)；
第三类：三位自然数，又可分三步来完成．每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4×4×4＝64(个)；
第四类：四位自然数，又可分四步来完成．每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4×4×4×4＝256(个)．
由分类加法计数原理知，可以组成的不同的自然数为
4＋16＋64＋256＝340(个)．
B级　能力提升
1．用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有(　　)
A．36个
B．18个
C．9个
D．6个
解析：分3步完成，1，2，3这三个数中必有某一个数字被重复使用2次．
第1步，确定哪一个数字被重复使用2次，有3种方法；
第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上有3种方法；
第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法．
故可组成的不同的四位数有3×3×2＝18(个)．
答案：B
2．把9个相同的小球放入编号为1，2，3的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不小于其编号数，则不同的放球方法共有________种．
解析：分四类：第一个箱子放入1个小球，将剩余的8个小球放入2，3号箱子，共有4种放法；第一个箱子放入2个小球，将剩余的7个小球放入2，3号箱子，共有3种放法；第一个箱子放入3个小球，将剩余的6个小球放入2，3号箱子，共有2种放法；第一个箱子放入4个小球则共有1种放法．根据分类加法计数原理共有10种情况．
答案：10
3．某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)，要在如图所示的6个点A，B，C，A1，B1，C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有多少种？
解：第一步，在点A1，B1，C1上安装灯泡，A1有4种方法，B1有3种方法，C1有2种方法，4×3×2＝24，即共有24种方法．
第二步，从A，B，C中选一个点安装第4种颜色的灯泡，有3种方法．
第三步，再给剩余的两个点安装灯泡，共有3种方法，由分步乘法计数原理可得，安装方法共有4×3×2×3×3＝216(种)．第一章
计数原理
1.3
二项式定理
1.3.1
二项式定理
A级　基础巩固
一、选择题
1．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是(　　)
A．(2x＋2)5　　　　
B．2x5
C．(2x－1)5
D．32x5
解析：原式＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
答案：D
2．在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有(　　)
A．3项
B．4项
C．5项
D．6项
解析：Tr＋1＝Cx·x－＝C·x12－r，则r分别取0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，所以x的幂指数有5项是整数项．
答案：C
3．若的展开式中第四项为常数项，则n＝(　　)
A．4
B．5
C．6
D．7
解析：由二项展开式可得Tr＋1＝C()n－r＝(－1)r2－rCx·x－，从而T4＝T3＋1＝(－1)32－3Cx，由题意可知＝0，n＝5.
答案：B
4．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是(　　)
A．－297
B．－252
C．297
D．207
解析：(1－x3)(1＋x)10＝(1＋x)10－x3(x＋1)10展开式中含x5的项的系数为：C－C＝207.
答案：D
5．若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被7整除，则x，n的值可能为(　　)
A．x＝5，n＝5
B．x＝5，n＝4
C．x＝4，n＝4
D．x＝4，n＝3
解析：Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1，检验得B正确．
答案：B
二、填空题
6．(2015·福建卷)(x＋2)5的展开式中，x2的系数等于________(用数字作答)．
解析：(x＋2)5的展开式中x2项为C23x2＝80，所以x2的系数等于80.
答案：80
7.的展开式中的第四项是________．
解析：T4＝C23＝－.
答案：－
8．如果的展开式中，x2项为第三项，则自然数n＝________．
解析：Tr＋1＝C()n－r＝Cx，由题意知r＝2时，＝2，所以n＝8.
答案：8
三、解答题
9．在的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项及项数．
解：(1)第3项的二项式系数为C＝15，
又T3＝C(2)4＝24Cx，
所以第3项的系数为24C＝240.
(2)Tk＋1＝C(2)6－k＝(－1)k26－kCx3－k，
令3－k＝2，得k＝1.
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
10．已知m，n∈N
，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．
解：由题设知m＋n＝19，又m，n∈N
，
所以1≤m≤18.
x2的系数为C＋C＝(m2－m)＋(n2－n)＝m2－19m＋171.
所以当m＝9或10时，x2的系数的最小值为81，此时x7的系数为C＋C＝156.
B级　能力提升
1．如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为(　　)
A．3
B．5
C．6
D．10
解析：展开式的通项表达式为C(3x2)n－r·＝C3n－r(－2)rx2n－5r，若C3n－r(－2)rx2n－5r为非零常数项，必有2n－5r＝0，得n＝r，所以正整数n的最小值为5.
答案：B
2．设二项式(a＞0)的展开式中，x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值是________．
解析：A＝C(－a)2，B＝C(－a)4，由B＝4A知，C(－a)2＝C(－a)4，
解得a＝2(舍去a＝－2)．
答案：2
3．已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．
(1)证明展开式中没有常数项；
(2)求展开式中所有有理项．
解：依题意，前三项系数的绝对值分别是1，C·，C·，
依题意2C·＝1＋C·，即n2－9n＋8＝0，
解之得n＝8(舍去n＝1)．
故Tk＋1＝C()8－r＝Cx.
(1)证明：若Tr＋1为常数项，当且仅当＝0，
即3r＝16，因为r∈N
，所以3r＝16不可能成立．
故展开式中没有常数项．
(2)若Tr＋1为有理项，当且仅当为整数，
因为0≤r≤8，r∈N
，所以r＝0或r＝4或r＝8.
此时展开式中的有理项共有三项，
它们是T1＝x4，T5＝x，
T9＝.第二章
随机变量及其分布
2.1
离散型随机变量及其分布列
2.1.2
离散型随机变量的分布列
第1课时
离散型随机变量的分布列
A级　基础巩固
一、选择题
1．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是(　　)
A．25　　　　B．10　　　　C．9　　　　D．5
解析：第一次可取1，2，3，4，5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1，2，3，4，5中的任何一个，两次的号码和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个．
答案：C
2．已知10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是(　　)
A．取到产品的件数
B．取到正品的概率
C．取到次品的件数
D．取到次品的概率
解析：对于A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B、D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量．
答案：C
3．设离散型随机变量X的概率分布列如下表：
X
1
2
3
4
P
p
则p等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：由＋＋＋p＝1，解得p＝＝.
答案：D
4．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝m，k＝1，2，3，则m的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，由离散型随机变量的分布列的性质知P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，即＋＋＝1，解得m＝.
答案：B
5．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员．从这10人中任选4人参加某项活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：依题意有P(X＝3)＝eq
\f(CC,C)＝.
答案：D
二、填空题
6．随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a、b、c成等差数列，则P(|ξ|＝1)＝________．
解析：由a＋b＋c＝1及2b＝a＋c，得b＝，所以P(|ξ|＝1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝－1)＝.
答案：
7．设随机变量ξ的可能取值为5，6，7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ＞8)＝________．
解析：依题意有P(ξ＞8)＝×8＝.
答案：
8．随机变量η的分布列如下：
η
1
2
3
4
5
6
P
0.2
x
0.35
0.1
0.15
0.2
则x＝________，P(η≤3)＝________．
解析：由分布列的性质得0.2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x＝0.故P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55.
答案：0　0.55
三、解答题
9．从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，取出的卡片号码数之和为X.求随机变量X的分布列．
解：
X可取3，4，5，6，7.其中X＝3表示取出分别标有1，2的2张卡片，P(X＝3)＝eq
\f(1,C)＝；
X＝4表示取出分别标有1，3的2张卡片，P(X＝4)＝eq
\f(1,C)＝；
X＝5表示取出分别标有1，4或2，3的2张卡片，P(X＝5)＝eq
\f(2,C)＝；
X＝6表示取出分别标有2，4的2张卡片，P(X＝6)＝eq
\f(1,C)＝；
X＝7表示取出分别标有3，4的2张卡片，P(X＝7)＝eq
\f(1,C)＝.
所以变量X的分布列为：
X
3
4
5
6
7
P
10.某班同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两族人数占各自小区总人数的比例如下：
A小区
低碳族
非低碳族
比例
B小区
低碳族
非低碳族
比例
C小区
低碳族
非低碳族
比例
(1)从A，B，C三个社区中各选一人，求恰好有2人是低碳族的概率；
(2)在B小区中随机选择20户，从中抽取的3户中“非低碳族”数量为X，求X的分布列．
解：(1)记这3人中恰好有2人是低碳族为事件A，P(A)＝××＋××＋××＝.
(2)在B小区中随机选择20户中，“非低碳族”有4户，
P(X＝k)＝eq
\f(CC,C)(k＝0，1，2，3)，
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
B级　能力提升
1．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)，则P＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：由＜ξ＜知ξ＝1，2，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝.所以P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝.
答案：D
2．设随机变量ξ等可能取值1，2，3，…，n，如果P(ξ＜4)＝0.3，那么n＝________．
解析：由ξ＜4知ξ＝1，2，3时，有P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.3＝，解得n＝10.
答案：10
3．(2015·安徽卷)已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)．
解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，
则P(A)＝eq
\f(AA,A)＝.
(2)X的可能取值为200，300，400.
P(X＝200)＝eq
\f(A,A)＝，
P(X＝300)＝eq
\f(ACCA,A)＝，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝.
所以，X的分布列为：
X
200
300
400
P第二章
随机变量及其分布
2.4
正态分布
A级　基础巩固
一、选择题
1．设随机变量X～N(1，22)，则D＝(　　)
A．4　　　　　B．2　　　　　C.　　　　　D．1
解析：因为X～N(1，22)，所以D(X)＝4.
所以D＝D(X)＝1.
答案：D
2．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有(　　)
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2
B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2
D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
解析：μ反映的是正态分布的平均水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1＜μ2；σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，
σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由题图可知σ1＜σ2.
答案：A
3．(2015·山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(　　)
[附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%]
A．4.56%
B．13.59%
C．27.18%
D．31.74%
解析：由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682
6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954
4，故P(3＜ξ＜6)＝＝＝0.135
9＝13.59%.
答案：B
4．若随机变量X的密度函数为f(x)＝·e－，X在区间(－2，－1)和(1，2)内取值的概率分别为p1，p2则p1，p2的关系为(　　)
A．p1＞p2
B．p1＜p2
C．p1＝p2
D．不确定
解析：由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x＝0对称，所以p1＝p2.
答案：C
5．已知某批材料的个体强度X服从正态分布N(200，182)，现从中任取一件，则取得的这件材料的强度高于182但不高于218的概率为(　　)
A．0.997
3
B．0.682
6
C．0.841
3
D．0.815
9
解析：由题意知μ＝200，σ＝18，μ－σ＝182，μ＋σ＝218，
由P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682
6，答案应选B.
答案：B
二、填空题
6．设X～N，则P(－1＜X＜1)的值为________．
解析：由题意可知，μ＝0，σ＝，故P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝P(－1＜X＜1)＝0.954
4.
答案：0.954
4
7．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3，5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．
解析：由题意知区间(－3，－1)与(3，5)关于直线x＝μ对称，因为区间(－3，－1)和区间(3，5)关于x＝1对称，所以正态分布的数学期望为1.
答案：1
8．工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N(μ，σ2)，在一次正常的试验中，取1
000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件可能有________个．
解析：因为P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＝0.997
4，所以不属于区间(μ－3σ，μ＋3σ)内的零点个数可能为1
000×(1－0.997
4)＝2.6≈3(个)．
答案：3
三、解答题
9．设X～N(1，22)，试求：
(1)P(－1＜X≤3)；
(2)P(3＜X≤5)．
解：因为X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.682
6.
(2)因为P(3＜X≤5)＝P(－3＜X≤－1)，
所以P(3＜X≤5)＝[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)]＝[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]＝[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]＝[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]＝(0.954
4－0.682
6)＝0.135
9.
10．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，试求：
(1)ξ在(0，2]内取值的概率；
(2)ξ在(2，＋∞)内取值的概率；
(3)ξ在(0，＋∞)内取值的概率．
解：(1)在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，正态分布图象的对称轴为x＝1，因为ξ在(0，1]内取值的概率为0.4，所以随机变量ξ在(1，2]内取值的概率等于ξ在(0，1]内取值的概率，也为0.4，即随机变量ξ在(0，2]内取值的概率为0.8.
(2)又因正态分布图象的对称轴为x＝1，得ξ在(1，＋∞)内取值的概率为0.5，结合随机变量ξ在(1，2]内取值的概率为0.4，可求得ξ在(2，＋∞)内取值的概率为0.5－0.4＝0.1.
(3)
ξ在(0，＋∞)内取值的概率为0.4＋0.5＝0.9.
B级　能力提升
1．以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|＜σ)等于(　　)
A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)
B．Φ(1)－Φ(－1)
C．Φ
D．2Φ(μ＋σ)
解析：设η＝，则P(|ξ－μ|＜σ)＝P(|η|＜1)＝P(－1＜η＜1)＝Φ(1)－Φ(－1)．
答案：B
2．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X服从正态分布N(60，102)，考生共10
000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．
解析：依题意，P(60－20＜X≤60＋20)＝0.954
4，P(X＞80)＝(1－0.954
4)＝0.022
8，故成绩高于80分的考生人数为10
000×0.022
8＝228(人)．
所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．
答案：229
3．若在一次数学考试中，某班学生的分数为X，且X～N(110，202)，满分为150分，这个班的学生共有54人，求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上(不包括130分)的人数．
解：因为X～N(110，202)，
所以μ＝110，σ＝20.
P(110－20＜X≤110＋20)＝0.682
6.
所以X＞130的概率为×(1－0.682
6)＝0.158
7.
所以X≥90的概率为0.682
6＋0.158
7＝0.841
3.
所以及格的人数为54×0.841
3≈45
(人)，
130分以上的人数为54×0.158
7＝9
(人)．第一章
计数原理
1.3
二项式定理
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
A级　基础巩固
一、选择题
1．(1＋x)2n＋1(n∈N
)的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是(　　)
A．n，n＋1　　　　
B．n－1，n
C．n＋1，n＋2
D．n＋2，n＋3
解析：因为2n＋1为奇数，所以展开式中间两项的二项式系数最大，中间两项的项数是n＋1，n＋2.
答案：C
2．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N
)，若a0＋a1＋…＋an＝30，则n等于(　　)
A．5　　　　B．3
C．4　　　　D．7
解析：令x＝1得a0＋a1＋…＋an＝2＋22＋…＋2n＝30，解得n＝4.
答案：C
3．在(x＋y)n展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是(　　)
A．第6项
B．第5项
C．第5、第6项
D．第6、第7项
解析：因为C＝C，所以n＝10，系数最大的项即为二项式系数最大的项．
答案：A
4．已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于(　　)
A．64　　　　B．32
C．63　　　　D．31
解析：由已知(1＋2)n＝3n＝729，解得n＝6，则C＋C＋C＝C＋C＋C＝×26＝32.
答案：B
5．设的展开式中各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为(　　)
A．－150　　　B．150
C．300　　　D．－300
解析：令x＝1，得M＝4n，又N＝2n，故4n－2n＝240，解得n＝4.展开式中的通项为Tr＋1＝C(5x)4－r＝(－1)r54－rCx4－r，令4－r＝1得r＝2，所以当r＝2时，展开式中x的系数为(－1)2·C·52＝150.
答案：B
二、填空题
6．(a＋)n的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第八项T8＝________．
解析：C＋C＋C＋…＝2n－1＝512＝29，所以n＝10，所以T8＝Ca3()7＝120a.
答案：120a
7．(1＋)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．
解析：因为8＜C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＜32，即8＜2n＜32.所以n＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T3＝C()2＝6x.
答案：6x
8．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．
1
3　3
5　6　5
7　11　11　7
9　18　22　18　9
…
解析：由于每行的第1个数1，3，5，7，9，…成等差数列，由等差数列的知识可知，an＝2n－1.
答案：2n－1
三、解答题
9．已知(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：
(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；
(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2.
解：(1)由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，
所以a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.
(2)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，
令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，①
令x＝－1得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.②
所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.
10．(1＋2x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
解：T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依题意有C25＝C26，
解得n＝8.
所以(1＋2x)n的展开式中，二项式系数最大的项为
T5＝C(2x)4＝1
120x4.
设第(k＋1)项系数最大，则有eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(C2k≥C2k－1，,C2k≥C2k＋1，))
解得5≤k≤6.
又因为k∈{0，1，2，…，8}，所以k＝5或k＝6.
所以系数最大的项为T6＝1
792x5，T7＝1
792x6.
B级　能力提升
1．若9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C是11的倍数，则自然数n为(　　)
A．奇数
B．偶数
C．3的倍数
D．被3除余1的数
解析：9n＋C·9n－1＋…＋C·9＋C＝(9n＋1＋C·9n＋…＋C·92＋C＋C)－＝(9＋1)n＋1－＝(10n＋1－1)是11的倍数，所以n＋1为偶数，n为奇数．
答案：A
2．(2015·山东卷)观察下列各式：
C＝40；
C＋C＝41；
C＋C＋C＝42；
C＋C＋C＋C＝43；
……
照此规律，当n∈N
时，
C＋C＋C＋…＋C＝________．
解析：具体证明过程可以是：
C＋C＋C＋…＋C＝(2C＋2C＋2C＋…＋2C)＝[(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)]＝(C＋C＋C＋…＋C＋C＋…＋C)＝·22n－1＝4n－1.
答案：4n－1
3．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．
解：由得Tr＋1＝C＝Cx，
令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，
所以r＝4，常数项T5＝C·＝16.
又(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2n＝16，n＝4.
所以(a2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T3＝Ca4＝54.
解得a＝±.第二章
随机变量及其分布
2.1
离散型随机变量及其分布列
2.1.1
离散型随机变量
A级　基础巩固
一、选择题
1．①某机场候机室中一天的旅客数量X；②连续投掷一枚均匀硬币4次，正面向上的次数X；③某篮球下降过程中离地面的距离X；④某立交桥一天经过的车辆数X.其中不是离散型随机变量的是(　　)
A．①中的X　　　
B．②中的X
C．③中的X
D．④中的X
解析：①、②、④中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故③中的X不是离散型随机变量．
答案：C
2．随机变量X是某城市1天之中发生的火警次数，随机变量Y是某城市1天之内的温度，随机变量ξ是某火车站1小时内的旅客流动人数．这三个随机变量中不是离散型随机变量的是(　　)
A．X和ξ
B．只有Y
C．Y和ξ
D．只有ξ
解析：某城市1天之内的温度不能一一列举，故Y不是离散型随机变量．
答案：
B
3．某人射击的命中率为P(0＜p＜1)，他向一目标射击，射中目标则停止射击，射击次数的取值是(　　)
A．1，2，3，…，n
B．1，2，3，…，n，…
C．0，1，2，…，n
D．0，1，2，…，n，…
解析：有可能第一次就射中，也可能一直射不中，选项B正确．
答案：B
4．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是(　　)
A．第5次击中目标
B．第5次未击中目标
C．前4次未击中目标
D．第4次击中目标
解析：击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ＝5，则说明前4次均未击中目标．
答案：C
5．抛掷两枚骰子，所得点数之积记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验结果是(　　)
A．2枚都是4点
B．1枚是1点，另1枚是4点
C．2枚都是2点
D．1枚是1点，另1枚是4点，或者2枚都是2点
解析：抛掷两枚骰子，其中一枚是x点，另一枚是y点，其中x，y＝1，2，…，6，而ξ＝xy，由ξ＝4得或或
答案：D
二、填空题
6．在100件产品中含有4件次品，从中任意抽取2件，ξ表示其中次品的件数，则ξ＝0的含义是______________．
答案：ξ＝0表示取出的2件产品都是正品
7．同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值的集合为______________．
解析：ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5.
答案：{0，1，2，3，4，5}
8．在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取3件，记次品的件数为ξ，则{ξ＜2}表示的试验结果是______________．
解析：应分ξ＝0和ξ＝1两类．ξ＝0表示取到3件正品；ξ＝1表示取到1件次品、2件正品．故{ξ＜2}表示的试验结果为取到1件次品，2件正品或取到3件正品．
答案：取到1件次品、2件正品或取到3件正品
三、解答题
9．一个袋中装有除颜色外完全相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，求最终得分Y的可能取值，并判定Y是否是离散型随机变量．
解：设X表示抽到的白球个数，则由题意可得Y＝5X＋6，而X可能的取值为0，1，2，3，所以Y对应的值为5×0＋6，5×1＋6，5×2＋6，5×3＋6.即Y的可能取值为6，11，16，21.显然，Y为离散型随机变量．
10．小王钱夹中只剩有20元、10元、5元、2元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张，用来买晚餐，用X表示这两张人民币的金额之和．写出X的可能取值，并说明所取值表示的随机试验的结果．
解：X的可能取值为(单位：元)：3，6，7，11，12，15，21，22，25，30.其中，X＝3表示抽到的是1元和2元，X＝6表示抽到的是1元和5元，X＝7表示抽到的是2元和5元，X＝11表示抽到的是1元和10元，X＝12表示抽到的是2元和10元，X＝15表示抽到的是5元和10元，X＝21表示抽到的是1元和20元，X＝22表示抽到的是2元和20元，X＝25表示抽到的是5元和20元，X＝30表示抽到的是10元和20元．
B级　能力提升
1．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为(　　)
A．20
B．24
C．4
D．18
解析：由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6，7，8，9四位数字的不同排列，故有A＝24(种)．
答案：B
2．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1、2、3、4、5、6.现从中随机取出3个球，以ξ表示取出的球的最大号码，用(x，y，z)表示取出的三个球编号为x，y，z(x＜y＜z)，则ξ＝5表示的试验结果构成的集合是___________________________________________．
解析：从6个球中选出3个球，其中有一个是5号球，其余的2个球是1，2，3，4号球中的任意2个．所以试验结果构成的集合是{(1，2，5)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)}．
答案：{(1，2，5)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)}
3．某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需回答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目，3道科技类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道题目中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题目，回答完该题后，再抽取下一道题目做答．某选手抽到科技类题目的道数为X.
(1)试求出随机变量X的可能取值；
(2){X＝1}表示的试验结果是什么？可能出现多少种不同的结果？
解：(1)由题意得X的可能取值为0，1，2，3.
(2){X＝1}表示的事件是“恰抽到一道科技类题目”．
从三类题目中各抽取一道，不同的结果有CCCA＝180(种)．
抽取1道科技类题目，2道文史类题目，不同的结果有CCA＝180(种)．
抽取1道科技类题目，2道体育类题目，不同的结果有CCA＝18(种)．
由分类加法计数原理知可能出现的不同结果有180＋180＋18＝378(种)．第二章
随机变量及其分布
2.3
离散型随机变量的均值与方差
2.3.1
离散型随机变量的均值
A级　基础巩固
一、选择题
1．某一供电网络，有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是(　　)
A．np(1－p)
B．np
C．n
D．p(1－p)
解析：依题意知，用电单位X～B(n，p)，所以E(X)＝np.
答案：B
2．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则E(ξ)的值为(　　)
ξ
0
1
2
3
4
5
P
2x
3x
7x
2x
3x
x
A.
B.
C.
D.
解析：根据概率和为1，可得x＝，
所以E(ξ)＝0×2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5×x＝40x＝.
答案：C
3．同时抛掷5枚质地均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是(　　)
A．20
B．25
C．30
D．40
解析：抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为eq
\f(C,25)＝.所以X～B.故E(X)＝80×＝25.
答案：B
4．已知ξ～B，η～B，且E(ξ)＝15，则E(η)等于(　　)
A．5
B．10
C．15
D．20
解析：因为ξ～B，所以E(ξ)＝.又E(ξ)＝15，则n＝30.所以η～B.故E(η)＝30×＝10.
答案：B
5．口袋中有编号分别为1、2、3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为(　　)
A.
B.
C．2
D.
解析：X＝2，3所以P(X＝2)＝eq
\f(1,C)＝，P(X＝3)＝eq
\f(C,C)＝.
所以E(X)＝2×＋3×＝.
答案：D
二、填空题
6．已知X～B，则E(2X＋3)＝________．
解析：E(X)＝100×＝50，E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝103.
答案：103
7．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．
解析：
答案：0.4
8．对某个数学题，甲解出的概率为，乙解出的概率为，两人独立解题．记X为解出该题的人数，则E(X)＝________．
解析：P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＋×＝，P(X＝2)＝×＝，E(X)＝＝.
答案：
三、解答题
9．某运动员投篮投中的概率为0.6.求：
(1)一次投篮时投中次数X的均值；
(2)重复5次投篮时投中次数Y的均值．
解：(1)X的分布列为
X
0
1
P
0.4
0.6
则E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，
即一次投篮时投中次数X的均值为0.6.
(2)Y服从二项分布，即Y～B(5，0.6)．
故E(Y)＝5×0.6＝3，
即重复5次投篮时投中次数Y的均值为3.
10．甲、乙两人进行围棋比赛，每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，规定某人先胜三局则比赛结束，求比赛局数X的均值．
解：由题意，X的所有可能值是3，4，5.
P(X＝3)＝C×＋C×＝；
P(X＝4)＝C×××＋C×××＝；
P(X＝5)＝C×××＋C×××＝.
所以X的分布列为：
X
3
4
5
P
所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝.
B级　能力提升
1．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)＝(　　)
A．0.765
B．1.75
C．1.765
D．0.22
解析：依题意X的可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015；
P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22；
P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765.
所以E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.
答案：B
2．设离散型随机变量X可能的取值为1，2，3，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1，2，3)．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝________．
解析：因为P(X＝1)＝a＋b，P(X＝2)＝2a＋b，
P(X＝3)＝3a＋b，
所以E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＝3，
所以14a＋6b＝3.①
又因为(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＝1，
所以6a＋3b＝1.②
由①②可知a＝，b＝－，所以a＋b＝－.
答案：－
3．由于电脑故障，使得随机变量X的分布列中部分数据丢失(以“？”
代替)，其表如下：
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.？5
0.10
0.1？
0.20
(1)求P(X＝3)及P(X＝5)的值；
(2)求E(X)；
(3)若η＝2X－E(X)，求E(η)．
解：(1)由分布列的性质可知
0．20＋0.10＋0.？5＋0.10＋0.1？＋0.20＝1.
故0.？5＋0.1？＝0.40.
由于小数点后只有两位有效数字，
故0.1？中“？”处应填5，0.？5中的“？”处数字为2.
即P(X＝3)＝0.25，P(X＝5)＝0.15.
(2)E(X)＝1×0.20＋2×0.10＋3×0.25＋4×0.1＋5×0.15＋6×0.20＝3.50.
(3)法一　由E(η)＝2E(X)－E(X)＝E(X)得，
E(η)＝E(X)＝3.50.
法二　由于η＝2X－E(X)，
所以η的分布列如下：
η
－1.5
0.5
2.5
4.5
6.5
8.5
P
0.20
0.10
0.25
0.10
0.15
0.20
所以E(η)＝－1.5×0.20＋0.5×0.10＋2.5×0.25＋4.5×0.10＋6.5×0.15＋8.5×0.20＝3.50.章末评估验收(三)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．下列四个散点图中，若用线性回归模拟变量x，y之间的关系，则模拟效果最好的是(　　)
解析：从散点图可以看出，只有选项D中的点分布在某条直线附近，而其他选项中的点则较为分散．
答案：D
2．对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程中的截距为(　　
)
A．a＝y－bx　　　　　
B．a＝－
C.＝y－bx
D.＝－
解析：回归直线方程中的截距公式＝－.
答案：D
3．在一个2×2列联表中，由其数据计算得K2＝13.097，则其两个变量间有关系的可能性为(　　
)
A．99%
B．95%
C．90%
D．无关系
解析：因为如果K2的估计值k＞10.828时，就有99.9%的把握认为“x与y有关系”．故选A.
答案：A
4．为了考查两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2，已知两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，那么下列说法正确的是(　　
)
A．l1和l2有交点(s，t)
B．l1与l2相交，但交点不一定是(s，t)
C．l1与l2必定平行
D．l1与l2必定重合
解析：由回归直线定义知选A.
答案：A
5．今有一组实验数据如下：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　
)
A．v＝log2t
B．v＝logt
C．v
＝
D．v＝2t－2
解析：先画出散点图(图略)，利用散点图直观认识变量间的关系，可选出较合适的模型为C，或将数据代入所给选项进行验证．
答案：C
6．下面是一个2×2列联表：
变量
y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
2
25
27
总计
b
46
100
其中a，b处填的值分别为(　　
)
A．52　54
B．54　52
C．94　146
D．146　94
解析：由a＋21＝73，得a＝52，a＋2＝b，得b＝54.
答案：A
7．由x与y的观测数据求得样本平均数＝5，＝8.8，并且当x＝8时，预测y＝14.8，则由这组观测数据求得的线性回归方程可能是(　　
)
A.＝x＋3.8
B.＝2x－1.2
C.＝－x＋11.3
D.＝x＋10.8
解析：样本中心(5，8.8)以及点(8，14.8)都在线性回归直线上，检验可知，＝2x－1.2符合条件．
答案：B
8．在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是(　　)
A．总偏差平方和
B．残差平方和
C．回归平方
D．相关指数R2
解析：根据残差平方和的概念知选项B正确．
答案：B
9．设有一个回归方程为＝3－5x，则变量x增加一个单位时(　　
)
A．y平均增加3个单位
B．y平均减少5个单位
C．y平均增加5个单位
D．y平均减少3个单位
解析：因为－5是斜率的估计值，说明x每增加一个单位时，y平均减少5个单位．
答案：B
10．在第29届奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居世界金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见．有网友为此进行了调查，在参加调查的2
548名男性公民中有1
560名持反对意见，2
452名女性公民中有1
200人持反对意见，在运用这些数据说明中国的奖牌数是否与中国进入体育强国有无关系时，用什么方法最有说服力(　　)
A．平均数与方差
B．回归直线方程
C．独立性检验
D．概率
解析：由于参加讨论的公民按性别被分成了两组，而且每一组又被分成了两种情况：认为有关与无关，故该资料取自完全随机统计，符合2×2列联表的要求，故用独立性检验最有说服力．
答案：C
11．两个相关变量满足如下关系：
x
10
15
20
25
30
y
1
003
1
005
1
010
1
011
1
014
两变量的回归直线方程为(　　
)
A.＝0.56x＋997.4
B.＝0.63x－231.2
C.＝50.2x＋501.4
D.＝60.4x＋400.7
解析：利用公式＝997.4，所以回归直线方程为＝0.56x＋997.4.
答案：A
12．某社区为了了解本社区居民的受教育程度与年收入的关系，随机调查了100户居民，得到如下表所示的2×2列联表(单位：人):
分类
年收入5万元以下
年收入5万元及以上
总计
高中文化以上
10
45
55
高中文化及以下
15
30
45
总计
25
75
100
若推断“受教育程度与年收入有关系”，则这种推断犯错误的概率不超过(　　
)
A．2.5%
B．2%
C．1.5%
D．1%
解析：由列联表中的数据可得K2＝≈9.818，由于9.818＞6.635，所以推断“受教育程度与年收入有关系”，犯错误的概率不超过1%.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1
671人，经过计算得K2＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的(填“有关”或“无关”)．
解析：K2＞10.828就有99.9%的理由认为两个量是有关的．
答案：有关
14．由身高(cm)预报体重(kg)满足y＝0.849x－85.712，若要找到41.638
kg的人，________是在150
cm的人群中(填“一定”或“不一定”)．
解析：因为统计的方法是可能犯错误的，利用线性回归方程预报变量的值不是精确值，但一般认为实际测量值应在预报值左右．
答案：不一定
15．在研究硝酸钠的可溶性程度时，观测它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果如下：
温度x/
℃
0
10
20
50
70
溶解度y
66.7
76.0
85.0
112.3
128.0
由此得到回归直线的斜率是________．
解析：把表中的数据代入公式＝＝0.880
9.
答案：0.880
9
16．从某项实验中，随机抽取四组实验数据，如下表所示：
x
1
2
3
4
y
0
2
3
3
则x＝5时y的预报值是________．
解析：
答案：5.25
三、解答题
(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（本小题满分10分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
(1)在给定的坐标系(如下图所示)中画出表中数据的散点图；
(2)求出y关于x的线性回归方程，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少时间.
解：(1)散点图如下图：
回归直线如上图所示．
(3)将x＝10代入回归直线方程，
得＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)．所以预测加工10个零件需要8.05小时．
18．(本小题满分12分)某运动队研制了一种有助于运动员在大运动量的训练后快速恢复体力的口服制剂，为了实验新药的效果而抽取若干名运动员来实验，所得资料如下：
恢复效果
男运动员
女运动员
未用药
用药
未用药
用药
有效(恢复得好)
60
120
45
180
无效(恢复得差)
45
45
60
255
总计
105
165
105
435
试区分该种药剂对男、女运动员产生的效果的强弱．
解：对男运动员K2＝
≈7.013＞6.635，
所以有99%的把握认定药剂对男运动员有效．
对女运动员K2＝≈0.076≤2.706，
所以没有充足的证据显示药剂与女运动员体力恢复有关系．因此该药对男运动员药效较好．
19．(本小题满分12分)某企业的某种产品产量与单位成本数据如下：
月份
1
2
3
4
5
6
产量/千件
2
3
4
3
4
5
单位成本/元
73
72
71
73
69
68
(1)试确定回归直线；
(2)产量每增加1
000件时，单位成本下降多少？
(3)假定产量为6
000件时，单位成本是多少？单位成本为70元时，产量应为多少件？
解：(1)设x表示每月产量(单位：千件)，y表示单位成本(单位：元)作散点图．
由图知y与x间呈线性相关关系，设线性回归方程为＝x＋，
由公式可求得＝－1.818，＝77.363.
所以线性回归方程为＝－1.818x＋77.363.
(2)由线性回归方程知，每增加1
000件产量，单位成本下降1.818
元．
(3)当x＝6
000时，y＝－1.818×6＋77.363＝66.455(元)，
当y＝70时，70＝－1.818x＋77.363，得x＝4.05(千件)．
20．(本小题满分12分)某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：
分类
积极参加班级工作
不太主动参加班级工作
总计
学习积极性高
18
7
25
学习积极性一般
6
19
25
总计
24
26
50
(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？
(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关，并说明理由．
解：(1)积极参加班级工作的学生有24名，总人数为50名，概率为＝.
不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19名，概率为.
(2)由K2公式得K2＝≈11.5.
因为K2＞10.828，所以有99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系．
21．(本小题满分12分)为了搞好某运动会的接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余人不喜爱运动．
(1)根据以上数据完成以下2×2列联表：
分类
喜爱运动
不喜爱运动
总计
男
10
16
女
6
14
总计
30
(2)根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？
(3)如果从喜欢运动的女志愿者中(其中恰有4人会外语)，抽取2名负责翻译工作，那么抽出的志愿者中至少有1人能胜任翻译工作的概率是多少？
解：(1)2×2列联表如下：
分类
喜爱运动
不喜爱运动
总计
男
10
6
16
女
6
8
14
总计
16
14
30
(2)假设：是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得
K2＝≈1.157
5＜2.706.
因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关．
(3)喜欢运动的女志愿者有6人，设喜欢运动的女志愿者分别为A，B，C，D，E，F，其中A，B，C，D会外语，则从这6人中任取2人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种取法，
其中两人都不会外语的只有EF这1种取法．
故抽出的志愿者中至少有1人能胜任翻译工作的概率是P＝1－＝.
22．(本小题满分12分)假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：
x
15.0
25.58
30.0
36.6
44.4
y
39.4
42.9
42.9
43.1
49.2
(1)以x为解释变量，y为预报变量，作出散点图；
(2)求y与x之间的回归直线方程，对于基本苗数56.7预报其有效穗；
(3)计算各组残差，并计算残差平方和；
(4)求R2，并说明残差变量对有效穗的影响占百分之几．
解：(1)散点图如下：
(2)由图看出，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系．
设回归方程为＝x＋，
由已知数据可求得＝30.316，＝43.5，
所以R2＝1－≈0.830.
所以解释变量小麦基本苗数对总效应贡献了约83%.
残差变量贡献了约1－83%＝17%.第三章
统计案例
3.1
回归分析的基本思想及其初步应用
第1课时
线性回归模型
A级　基础巩固
一、选择题
1．有下列说法：
①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，贴近这些样本点的数学方法；
②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；
③通过回归方程＝x＋及其回归系数b，可以估计和观测变量的取值和变化趋势；
④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验．
其中正确说法的个数是(　　
)
A．1　　　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4
解析：①反映的是最小二乘法思想，故正确．②反映的是画散点图的作用，也正确．③反映的是回归模型y＝bx＋a＋e，其中e为随机误差，故也正确．④不正确，在求回归方程之前必须进行相关性检验，以体现两变量的关系．
答案：C
2．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有(　　
)
A．b与r的符号相同
B．a与r的符号相同
C．b与r的符号相反
D．a与r的符号相反
解析：因为b＞0时，两变量正相关，此时r＞0；b＜0时，两变量负相关，此时r＜0.
答案：A
3．实验测得四组(x，y)的值为(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，则y与x之间的回归直线方程为(　　
)
A.＝x＋1
B.＝x＋2
C.＝2x＋1
D.＝x－1
解析：求出样本中心(，)代入选项检验知选项A正确．
答案：A
4．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(　　
)
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1
cm，则其体重约增加0.85
kg
D．若该大学某女生身高为170
cm，则可断定其体重必为58.79
kg
解析：回归方程中x的系数为0.85＞0，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心，，B正确；依据回归方程中y的含义可知，x每变化1个单位，y相应变化约0.85个单位，C正确；用回归方程对总体进行估计不能得到肯定的结论，故D错误．
答案：D
5．(2015·福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x/万元
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y/万元
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0.76，＝y－，.
据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(　　)
A．11.4万元
B．11.8万元
C．12.0万元
D．12.2万元
解析：由已知得
＝＝10(万元)，
＝＝8(万元)，
故＝8－0.76×10＝0.4.
所以回归直线方程为＝0.76x＋0.4，社区一户年收入为15万元家庭年支出为＝0.76x＋0.4，社区一户年收入为15万元家庭支出为＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．
答案：B
二、填空题
6．今年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(单位：件)与月平均气温x(单位：℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表所示：
月平均气温x/℃
17
13
8
2
月销售y/件
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程＝x＋中的＝－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6
℃，据此估计，该商场下个月该品牌羽绒服的销售量的件数约为________．
解析：由表格得(，)为(10，38)，又(，)在回归直线＝x＋上，且＝－2，所以38＝－2×10＋，＝58，所以＝－2x＋58，当x＝6时，＝－2×6＋58＝46.
答案：46
7．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位：千箱)与单位成本(单位：元)的资料进行线性回归分析，结果如下：
＝71－(－1.818
2)×≈77.36，则销量每增加1千箱，单位成本下降________元．
解析：由已知可得，＝－1.818
2x＋77.36，销量每增加1千箱，则单位成本下降1.818
2元．
答案：1.818
2
8．已知一个线性回归方程为＝1.5x＋45，其中x的取值依次为1，7，5，13，19，则＝________．
解析：＝＝9，因为回归直线方程过点(，)，所以＝1.5x＋45＝1.5×9＋45＝58.5.
答案：58.5
三、解答题
9．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量x(单位：mg/L)与消光系数y读数的结果如下：
尿汞含量x
2
4
6
8
10
消光系数y
64
138
205
285
360
(1)画出散点图；
(2)求回归方程．
解：(1)散点图如图所示：
(2)由图可知y与x的样本点大致分布在一条直线周围，因此可以用线性回归方程来拟合它．
设回归方程为＝x＋.
故所求的线性回归方程为＝36.95x－11.3.
10．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份
2008
2010
2012
2014
2016
需求量/万吨
236
246
257
276
286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程＝x＋；
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2018年的粮食需求量．
解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程．为此对数据预处理如下：
年份2012年
－4
－2
0
2
4
需求量257万吨
－21
－11
0
19
29
对预处理后的数据，容易算得＝0，＝3.2.所以
＝＝6.5，
＝－＝3.2.
由上述计算结果，知所求回归直线方程为
－257＝(x－2
012)＋＝6.5(x－2
012)＋3.2，
即＝6.5(x－2
012)＋260.2.①
(2)利用直线方程①，可预测2018年的粮食需求量为
＝6.5×(2
018－2
012)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)≈300(万吨)．
B级　能力提升
1．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(单位：千元)与居民人均消费水平y(单位：千元)统计调查，y与x具有相关关系，回归方程为＝0.66x＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675(单位：千元)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为(　　
)
A．83%　　　B．72%　　　C．67%　　　D．66%
解析：因为当＝7.675时，x＝≈9.262，
所以≈0.829≈83%.
答案：A
2．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：
时间x
1
2
3
4
5
命中率y
0.4
0.5
0.6
0.6
0.4
小李这5天的平均投篮命中率为________，用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．
解析：这5天的平均投篮命中率为
＝＝0.5，
＝＝3.
所以＝＝0.01，＝－＝0.47.
所以回归直线方程为＝0.01x＋0.47.
当x＝6时，＝0.01×6＋0.47
＝0.53.
答案：0.5　0.53
3．某市垃圾处理厂的垃圾年处理量(单位：千万吨)与资金投入量x(单位：千万元)有如下统计数据：
分类
2012年
2013年
2014年
2015年
2016年
资金投入量x/千万元　　
1.5
1.4
1.9
1.6
2.1
垃圾处理量y/千万吨　　
7.4
7.0
9.2
7.9
10.0
(1)若从统计的5年中任取2年，求这2年的垃圾处理量至少有一年不低于8.0
千万吨的概率；
(2)由表中数据求得线性回归方程为＝4x＋，该垃圾处理厂计划2017年的垃圾处理量不低于9.0千万吨，现由垃圾处理厂决策部门获悉2017年的资金投入量约为1.8千万元，请你预测2017年能否完成垃圾处理任务，若不能，缺口约为多少千万吨？
解：(1)从统计的5年垃圾处理量中任取2年的基本事件共10个：(7.4，7.0)，(7.4，9.2)，(7.4，7.9)，(7.4，10.0)，(7.0，9.2)，(7.0，7.9)，(7.0，10.0)，(9.2，7.9)，(9.2，10.0)，(7.9，10.0)，其中垃圾处理量至少有一年不低于8.0千万吨的基本事件有6个：(7.4，9.2)，(7.4，10.0)，(7.0，9.2)，(7.0，10.0)，(9.2，7.9)，(9.2，10.0)．
所以，这2年的垃圾处理量至少有一年不低于8.0千万吨的概率为P＝＝.
(2)＝＝1.7，
＝＝8.3，
因为直线＝4x＋过样本中心点(，)，
所以8.3＝4×1.7＋，解得＝1.5.
所以＝4x＋1.5.
当x＝1.8时，＝4×1.8＋1.5＝8.7＜9.0，
所以不能完成垃圾处理任务，缺口约为0.3千万吨．第一章
计数原理
1.2
排列与组合
1.2.1
排列
第2课时
排列的综合应用
A级　基础巩固
一、选择题
1．A，B，C，D，E五人并排站成一行，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数是(　　)
A．6　　　　B．24　　　　C．48　　　　D．120
解析：把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，排法共有A＝24(种)．
答案：B
2．用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20
000大的五位偶数共有(　　)
A．48个
B．36个
C．24个
D．18个
解析：个位数字是2的有3A＝18(个)，个位数字是4的有3A＝18(个)，所以共有36个．
答案：B
3．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有(　　)
A．6种
B．12种
C．24种
D．30种
解析：首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法；其次从剩余3门中任选2门进行排列，排列方法有A＝6(种)．于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×6＝24(种)．
答案：C
4．3张卡片正反面分别标有数字1和2，3和4，5和7，若将3张卡片并列组成一个三位数，可以得到不同的三位数的个数为(　　)
A．30
B．48
C．60
D．96
解析：“组成三位数”这件事，分2步完成：第1步，确定排在百位、十位、个位上的卡片，即为3个元素的一个全排列A；第2步，分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种方法．根据分步乘法计数原理，可以得到不同的三位数有A×2×2×2＝48(个)．
答案：B
5．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有(　　)
A．20种
B．30种
C．40种
D．60种
解析：分三类：甲在周一，共有A种排法；甲在周二，共有A种排法；甲在周三，共有A种排法．所以排法共有A＋A＋A＝20(种).
答案：A
二、填空题
6．从班委会的5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有______种(用数字作答)．
解析：先选出文娱委员，有3种选法，再选出学习委员、体育委员，有A种选法．由分步乘法计数原理知，选法共有3A＝36(种)．
答案：36
7．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，
且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．
解析：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有A种方法，而A、B可交换位置，所以摆法有2A＝48(种)．
又当A、B相邻又满足A、C相邻，摆法有2A＝12(种)．
故满足条件的摆法有48－12＝36(种)．
答案：36
8．在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有________个．
解析：千位数字比个位数字大2，有8种可能，即(2，0)，(3，1)，…，(9，7)，前一个数为千位数字，后一个数为个位数字，其余两位无任何限制．所以共有8A＝448(个)．
答案：448
三、解答题
9．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．
(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？
(2)前4个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？
解：(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A种排法，故共有不同排法AA＝1
440(种)．
(2)先不考虑排列要求，有A种排列，其中前4个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有AA种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A－AA＝37
440(种)．
10．3名男生、4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排队方案有多少种．
(1)甲不站中间，也不站两端；
(2)甲、乙两人必须相邻；
(3)甲、乙两人不得相邻．
解：(1)分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的6人中选3人排列，有A种站法，然后再排其余位置，有A种站法，所以不同站法共有AA＝2
880(种)．
(2)把甲、乙两人看成一个元素，首先与其余5人相当于6个元素进行全排列，然后甲、乙两人再进行排列，所以站法共有AA＝1
440(种)．
(3)法一　先让其余的5人全排列，再让甲、乙两人在每两人之间(含两端)的6个位置插入排列，所以不同站法共有A·A＝3
600(种)．
法二　不考虑限制条件，共有A种站法，除去甲、乙相邻的站法A·A，所以不同站法共有A－A·A＝3
600(种)．
B级　能力提升
1．由1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{an}，则a72等于(　　)
A．1
543
B．2
543
C．3
542
D．4
532
解析：千位数为1时组成的四位数有A个，同理，千位数是2，3，4，5时均有A个数，而千位数字为1，2，3时，从小到大排成数列的个数为3A＝72，即3
542是第72个．
答案：C
2．三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为________．
解析：“每人两边都有空位”是说三个人不相邻，且不能坐两头，可视作5个空位和3个人满足上述两要求的一个排列，只要将3个人插入5个空位形成的4个空当中即可．所以不同坐法共有A＝24(种)．
答案：24第二章
随机变量及其分布
2.2
二项分布及其应用
2.2.2
事件的相互独立性
A级　基础巩固
一、选择题
1．有以下3个问题：
(1)掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”，事件N：“出现的点数为偶数”；
(2)袋中有5红、5黄10个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M：“第1次摸到红球”，事件N：“第2次摸到红球”；
(3)分别抛掷2枚相同的硬币，事件M：“第1枚为正面”，事件N：“两枚结果相同”．
这3个问题中，M，N是相互独立事件的有(　　)
A．3个　　　B．2个　　　C．1个　　　D．0个
解析：只有(1)中的事件M，N是相互独立事件．
答案：C
2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：P甲＝＝，P乙＝，所以P＝P甲·P乙＝.
答案：A
3．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：设A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，
则P(A)＝，B表示“第二个圆盘的指针落在奇数据在的区域”，
则P(B)＝.故P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝.
答案：A
4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：所求概率为×＋×＝或P＝1－×－×＝.
答案：B
5．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：设加工出来的零件为次品为事件，
则A为加工出来的零件为正品．所以P(A)＝1－P()＝1－＝.
答案：C
二、填空题
6．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为________．
解析：从甲盒内取一个A型螺杆记为事件M，从乙盒内取一个A型螺母记为事件N，因事件M，N相互独立，则能配成A型螺栓(即一个A型螺杆与一个A型螺母)的概率为P(MN)＝P(M)P(N)＝×＝.
答案：
7．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A、B相互独立时，P(A∪B)＝________，P(A|B)＝________．
解析：因为A，B相互独立，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65；P(A|B)＝P(A)＝0.3.
答案：0.65　0.3
8．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，2人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．
解析：都未解决的概率为＝×＝，问题得到解决就是至少有1人能解决问题，所以P＝1－＝.
答案：　
三、解答题
9．已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为，求灯亮的概率．
解：因为A，B断开且C，D至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮，P＝P(AB)[1－P(CD)]＝P(A)P(B)[1－P(CD)]＝××＝.
所以灯亮的概率为1－＝.
10．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为.
(1)求恰有一名同学当选的概率；
(2)求至多有两人当选的概率．
解：设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，
则有P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)因为A，B，C相互独立，
所以恰有一名同学当选的概率为
P(A)＋P(B)＋P(C)＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)＝××＋××＋××＝.
(2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－××＝.
B级　能力提升
1．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，则等于(　　)
A．2个球不都是红球的概率
B．2个球都是红球的概率
C．至少有1个红球的概率
D．2个球中恰有1个红球的概率
解析：分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A、B，则P(A)＝，P(B)＝，由于A、B相互独立，所以1－P()P()＝1－×＝.根据互斥事件可知C正确．
答案：C
2．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．
解析：分情况讨论：若共有3人被治愈，则P1＝C0.93×(1－0.9)＝0.291
6；若共有4人被治愈，则P2＝0.94＝0.656
1.故至少有3人被治愈的概率为P＝P1＋P2＝0.947
7.
答案：0.947
7
3．已知A，B，C为三个独立事件，若事件A发生的概率是，事件B发生的概率是，事件C发生的概率是，求下列事件的概率：
(1)事件A、B、C只发生两个；
(2)事件A、B、C至多发生两个．
解：(1)记“事件A，B，C只发生两个”为A1，则事件A1包括三种彼此互斥的情况，AB；AC；BC，由互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，
所以概率为P(A1)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝＋＋＝，
所以事件A，B，C只发生两个的概率为.
(2)记“事件A，B，C至多发生两个”为A2，则包括彼此互斥的三种情况：事件A，B，C一个也不发生，记为A3，事件A，B，C只发生一个，记为A4，事件A，B，C只发生两个，记为A5，故P(A2)＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝＋＋＝.
所以事件A、B、C至多发生两个的概率为.模块综合评价(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)
1．如图所示，从A地到B地要经过C地和D地，从A地到C地有3条路，从C地到D地有2条路，从D地到B地有4条路，则从A地到B地不同走法的种数是(　　
)
A．9　　　　B．24　　　　C．3　　　　D．1
解析：由分步乘法计数原理得，不同走法的种数是3×2×4＝24.
答案：B
2．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是(　　
)
A.＝－10x＋200
B.＝10x＋200
C.＝－10x－200
D.＝10x－200
解析：由于销售量y与销售价格x负相关，故排除B，D.又当x＝10时，A中的y＝100，而C中y＝－300，故C不符合题意．
答案：A
3．从3名男生和3名女生中，选出3名分别担任语文、数学、英语的课代表，要求至少有1名女生，则选派方案共有(　　
)
A．19种
B．54种
C．114种
D．120种
解析：选出的3名中全是男生的选法有A种，从6人中选出3人有A选法，所以至少有1名女生的选派方案有A－A＝120－6＝114(种)．
答案：C
4．下面是调查某地区男、女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出(　　)
A．性别与喜欢理科无关
B．女生中喜欢理科的比例约为80%
C．男生比女生喜欢理科的可能性大些
D．男生中不喜欢理科的比例约为60%
解析：由图可知，女生中喜欢理科的比例约为20%，男生中喜欢理科的比例约为60%，因此男生比女生喜欢理科的可能性大些．
答案：C
5．若的展开式中各项系数之和为32，则展开式中含项的系数为(　　
)
A．－240
B．－270
C．240
D．270
解析：由题意知，不妨令x＝1，则(3－1)n＝32，解得n＝5.
展开通项为Tr＋1＝C·(3)5－r·＝(－1)r·C35－r
·x－r，当r＝2时，T3＝(－1)2·C33·x＝270，所以展开式中含项的系数为270.
答案：D
6．ξ，η为随机变量，且η＝aξ＋b，若E(ξ)＝1.6，E(η)＝3.4，则a，b可能的值为(　　)
A．2，0.2
B．1，4
C．0.5，1.4
D．1.6，3.4
解析：由E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝1.6a＋b＝3.4，把选项代入验证，只有A满足．
答案：A
7．已知随机变量ξ的分布列为ξ＝－1，0，1，对应P＝，，，且设η＝2ξ＋1，则η的期望为(　　)
A．－
B.
C.
D．1
解析：E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－，
所以E(μ)＝E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝.
答案：B
8．某校1
000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如图所示，则成绩X位于区间(52，68]的人数大约是(　　
)
A．997
B．954
C．682
D．341
解析：由题图知X～N(μ，σ2)，其中μ＝60，σ＝8，
所以P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝P(52＜X≤68)＝0.682
6.
所以人数为0.682
6×1
000≈682.
答案：C
9．随机变量ξ的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a为常数，则P＝(　　
)
A.
B.
C.
D.
解析：因为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，4)，
所以＋＋＋＝1，所以a＝.
所以P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝×＋×＝.
答案：D
10．通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：
分类
女
男
总计
读营养说明
16
28
44
不读营养说明
20
8
28
总计
36
36
72
请问性别和读营养说明之间有关系的程度为(　　
)
A．99%的可能性
B．99.75%的可能性
C．99.5%的可能性
D．97.5%的可能性
解析：由题意可知a＝16，b＝28，c＝20，d＝8，a＋b＝44，c＋d＝28，a＋c＝36，b＋d＝36，n＝a＋b＋c＋d＝72.
代入公式K2＝，
得K2＝≈8.42.
由于K2≈8.42＞7.879，我们就有99.5%的把握认为性别和读营养说明之间有关系，即性别和读营养说明之间有99.5%的可能是有关系的．
答案：C
11．某日A，B两个沿海城市受台风袭击的概率相同，已知A市或B市至少有一个受台风袭击的概率为0.36，若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则E(X)＝(　　
)
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
解析：设A，B两市受台风袭击的概率均为p，则A市或B市都不受台风袭击的概率为(1－p)2＝1－0.36，解得p＝0.2或p＝1.8(舍去)．
法一　P(X＝0)＝1－0.36＝0.64.P(X＝1)＝2×0.8×0.2＝0.32，
P(X＝2)＝0.2×0.2＝0.04，所以E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.
法二　X～B(2，0.2)，E(X)＝np＝2×0.2＝0.4.
答案：D
12．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2个引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行．要使4个引擎飞机更安全，则p的取值范围是(　　
)
A.
B.
C.
D.
解析：4个引擎飞机成功飞行的概率为Cp3(1－p)＋p4，2个引擎飞机成功飞行的概率为p2，要使Cp3(1－p)＋p4＞p2，必有＜p＜1.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P(400＜X＜450)＝0.3，则P(550＜X＜600)＝________．
解析：由下图可以看出P(550＜X＜600)＝P(400＜X＜450)＝0.3.
答案：0.3
14．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．
解析：由表格可知：x＋0.1＋0.3＋y＝1，7x＋8×0.1＋9×0.3＋10×y＝8.9，联合解得y＝0.4.
答案：0.4
15．(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________．
解析：由已知得(1＋x)4＝1＋4x＋6x2＋4x3＋x4，故(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项分别为4ax，4ax3，x，6x3，x5，其系数之和为4a＋4a＋1＋6＋1＝32，解得a＝3.
答案：3
16．某射手对目标进行射击，直到第一次命中为止，每次射击的命中率为0.6，现共有子弹4颗，命中后剩余子弹数目的数学期望是________．
解析：设ξ为命中后剩余子弹数目，则P(ξ＝3)＝0.6，P(ξ＝2)＝0.4×0.6＝0.24，
P(ξ＝1)＝0.4×0.4×0.6＝0.096，E(ξ)＝3×0.6＋2×0.24＋0.096＝2.376.
答案：2.376
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121.求展开式中二项式系数最大的项．
解：由题意知：C＋C＋C＝121，即C＋C＋C＝121.
所以1＋n＋＝121，即n2＋n－240＝0.
解得n＝－16(舍去)或n＝15.
所以在(1＋3x)15展开式中二项式系数最大的项是第八、第九两项，
即T8＝C(3x)7＝C·37x7，T9＝C(3x)8＝C·38x8.
18．(本大题满分12分)五位师傅和五名徒弟站一排．
(1)五名徒弟必须排在一起共有多少种排法？
(2)五名徒弟不能相邻共有多少种排法？
(3)师傅和徒弟相间共有多少种排法？
解：(1)先将五名徒弟看作一人与五位师傅排列有A种排法，五名徒弟在内部全排列有A种，据乘法原理排法共有AA＝86
400(种)．
(2)先将五位师傅全排列有A种排法，再将五名徒弟排在五位师傅产生的六个空位上有A种排法，据乘法原则，排法共计AA＝86
400(种)．
(3)先将五位师傅排列有A种排法，再将五名徒弟排在五位师傅产生的六个空位中前五位或后五位上有2A种排法，据乘法原理排法共有2AA＝28
800(种)．
19．(本小题满分12分)(2015·福建卷)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．
解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，
则P(A)＝××＝.
(2)依题意得，X所有可能的取值是1，2，3，又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝.
所以X的分布列为：
X
1
2
3
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
20．(本小题满分12分)一台机器使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：
转速x/(转·秒－1)
16
14
12
8
每小时生产有缺陷
的零件数y/件
11
9
8
5
(1)已知y与x有线性相关关系，写出线性回归方程；
(2)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度需控制在什么范围内？
解：(1)＝12.5，＝8.25，
所以线性回归方程为＝0.728
6x－0.857
5.
(2)由＝0.728
6x－0.857
5≤10，
得x≤14.901
9.
所以机器的转速应控制在14.901
9转/秒以下．
21．(本小题满分12分)为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩．
(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；
(2)学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．
分类
甲班
乙班
合计
优秀
不优秀
合计
下面临界值表供参考：
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
K
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解：(1)甲班成绩为87分的同学有2个，其他不低于80分的同学有3个“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有C＝10(个)，“抽到至少有一个87分的同学”所组成的基本事件有CC＋C＝(7个)，所以P＝.
(2)2×2列联表如下：
甲班
乙班
合计
优秀
6
14
20
不优秀
14
6
20
合计
20
20
40
K2＝＝6.4＞5.024.
因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．
22．(本小题满分12分)某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X的分布列为：
X
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
某商场经销一件商品，采用1期付款，其利润为200元；
分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．Y表示经销一件该商品的利润．
(1)求事件“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；
(2)求Y的分布及E(Y)．
解：(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”，知A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．
P()＝(1－0.4)3＝0.216，
P(A)＝1－P()＝1－0.216＝0.784.
(2)Y的可能取值为200元，250元，300元．
P(Y＝200)＝P(X＝1)＝0.4，
P(Y＝250)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，
P(Y＝300)＝1－P(Y＝200)－P(Y＝250)＝1－0.4－0.4＝0.2.
Y的分布列为：
Y
200
250
300
P
0.4
0.4
0.2
E(Y)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．章末评估验收(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．设随机变量ξ等可能取值1，2，3，…，n，如果P(ξ＜6)＝，那么n＝(　　)
A．8　　　　　B．9　　　　　C．10　　　　　D．15
解析：因为P(ξ＜6)＝＝，所以n＝15.
答案：D
2．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：根据相互独立事件与互斥、对立事件的概率公式得P＝×＋×＝.
答案：A
3．已知某离散型随机变量X服从的分布列如下表所示，则随机变量X的方差D(X)等于(　　)
X
0
1
P
m
2m
A.
B.
C.
D.
解析：由m＋2m＝1得m＝，所以E(X)＝0×＋1×＝，D(X)＝×＋×＝.
答案：B
4．投掷3枚硬币，至少有一枚出现正面的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：P(至少有一枚正面)＝1－P(三枚均为反面)＝1－＝.
答案：D
5．某产品40件，其中有次品数3件，现从中任取2件，则其中至少有一件次品的概率是(　　)
A．0.146
2
B．0.153
8
C．0.996
2
D．0.853
8
解析：所求的概率为1－eq
\f(C,C)＝1－＝0.146
2.
答案：A
6．在比赛中，如果运动员A胜运动员B的概率是，那么在五次比赛中运动员A恰有三次获胜的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：所求概率为C×＝.
答案：B
7．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，4)，则E(2ξ＋1)与D(2ξ＋1)的值分别为(　　)
A．13，4
B．13，8
C．7，8
D．7，16
解析：由已知E(ξ)＝3，D(ξ)＝4，得E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝7，D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝16.
答案：D
8．有编号分别为1、2、3、4、5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：从10个球中任取4个，取法有C＝210(种)，取出的编号互不相同的取法有C·24＝80(种)，所以所求概率P＝＝.
答案：D
9．如果随机变量ξ表示抛掷一个各面分别有1，2，3，4，5，6的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量ξ的均值为(　　)
A．2.5
B．3
C．3.5
D．4
解析：P(ξ＝k)＝(k＝1，2，3，…，6)，所以E(ξ)＝1×＋2×＋…＋6×＝(1＋2＋…＋6)×＝3.5.
答案：C
10．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为(　　)
A．恰有1只是坏的
B．4只全是好的
C．恰有2只是好的
D．至多有2只是坏的
解析：X＝k表示取出的螺丝钉恰有k只为好的，则P(X＝k)＝eq
\f(CC,C)(k＝1，2，3，4)．所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝.
答案：C
11．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：小球落入B袋中的概率为P1＝×2＝，所以小球落入A袋中的概率为P＝1－P1＝.
答案：D
12．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a，b，c∈[0，1))，已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：由条件知，3a＋b＝1，所以ab＝(3a)·b≤＝，等号在3a＝b＝，即a＝，b＝时成立．
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．如果随机变量ξ服从N(μ，σ)，且E(ξ)＝3，D(ξ)＝1，那么μ＝________，σ＝________．
解析：因为ξ～N(μ，σ)，所以E(ξ)＝μ＝3，D(ξ)＝σ2＝1，
所以σ＝1.
答案：3　1
14．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________．
解析：P(敌机被击中)＝1－P(甲未击中敌机)P(乙未击中敌机)＝1－(1－0.6)(1－0.5)＝1－0.2＝0.8.
答案：0.8
15．一盒子中装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则P(B|A)＝________．
解析：由条件知，P(A)＝，P(AB)＝eq
\f(C,C)＝，
所以P(B|A)＝＝.
答案：
16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．
解析：此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.
答案：0.128
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)一个口袋中有5个同样大小的球，编号为3，4，5，6，7，从中同时取出3个小球，以ξ表示取出的球的最小号码，求ξ的分布列．
解：ξ的取值分别为3，4，5，
P(ξ＝3)＝eq
\f(C,C)＝，P(ξ＝4)＝eq
\f(C,C)＝，P(ξ＝5)＝eq
\f(C,C)＝，
所以ξ的分布列为：
ξ
3
4
5
P
18.(本小题满分12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．
(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．
(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数)
解：(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为P＝eq
\f(C＋C,C)＝.
(2)X的所有可能值为1，2，3，且P(X＝1)＝eq
\f(CC＋C,C)＝；
P(X＝2)＝eq
\f(CCC＋CC＋C,C)＝；
P(X＝3)＝eq
\f(CC,C)＝.
故X的分布列为：
X
1
2
3
P
从而E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
19．(本小题满分12分)某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的“我看中国改革开放三十年”演讲比赛活动．
(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．
解：(1)ξ的所有可能取值为0，1，2，依题意得P(ξ＝0)＝eq
\f(C,C)＝，P(ξ＝1)＝eq
\f(CC,C)＝，
P(ξ＝2)＝eq
\f(CC,C)＝.
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，
则P(C)＝eq
\f(C,C)＝＝.
所以所求概率为P(C)＝1－P(C)＝1－＝.
(3)P(B)＝eq
\f(C,C)＝＝；P(B|A)＝eq
\f(C,C)＝＝.
20．(本小题满分12分)某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客浏览这3个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且游客是否浏览哪个景点互不影响，用X表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览和景点数之差的绝对值．
(1)求X的分布列及期望；
(2)记“f(x)＝2Xx＋4在[－3，－1]上存在x0，使f(x0)＝0”为事件A，求事件A的概率．
解：(1)设游客游览甲、乙、丙景点分别为事件A1，A2，A3，已知A1，A2，A3相互独立，且P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6.游客游览的景点数可能取值为0，1，2，3，相应的游客没有游览的景点数可能取值为3，2，1，0，所以X的可能取值为1，3，则P(X＝3)＝P(A1A2A3)＋＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＋P()·P()·P()＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24.
P(X＝1)＝1－0.24＝0.76.
所以分布列为：
X
1
3
P
0.76
0.24
所以E(X)＝1×0.76＋3×0.24＝1.48.
(2)因为f(x)＝2Xx＋4在[－3，－1]上存在x0，
使得f(x0)＝0，
所以f(－3)·f(－1)≤0，即(－6X＋4)(－2X＋4)≤0，
解得≤X≤2.
所以P(A)＝P＝P(X＝1)＝0.76.
21．(本小题满分12分)甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员射击的环数X稳定在7，8，9，10环．他们的这次成绩画成频率分布直方图分别如图1和图2所示：
(1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙＝8)，并求甲、乙同时击中9环以上(包括9环)的概率；
(2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高．
解：(1)由題图2可知：
P(X乙＝7)＝0.2，P(X乙＝9)＝0.2，P(X乙＝10)＝0.35.
所以P(X乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.
同理P(X甲＝7)＝0.2，P(X甲＝8)＝0.15，P(X甲＝9)＝0.3.
所以P(X甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35.
因为P(X甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65，
P(X乙≥9)＝0.2＋0.35＝0.55.
所以甲、乙同时击中9环以上(包含9环)的概率为
P＝P(X甲≥9)·P(X乙≥9)＝0.65×0.55＝0.357
5.
(2)因为E(X甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8，
E(X乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7，
E(X甲)>E(X乙)，所以估计甲的水平更高．
22．(本小题满分12分)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘，已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立．
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．
解：(1)设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，
则，，分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．
因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，
由对立事件的概率公式知P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5.
红队至少两人获胜的事件有：DEF，DFE，EF，DEF.
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为
P＝P(DE)＋P(DF)＋P(EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.
(2)由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3.
又由(1)知
，E，D是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，
因此，P(ξ＝0)＝P()＝0.4×0.5×0.5＝0.1，
P(ξ＝1)＝P(F)＋P(E)＋P(D)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35.
P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15.
由对立事件的概率公式得
P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.
所以ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.35
0.4
0.15
因此E(ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.第一章
计数原理
1.2
排列与组合
1.2.1
排列
第1课时
排列的简单应用
A级　基础巩固
一、选择题
1．已知下列问题：
①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加数学和物理学习小组；
②从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学参加一项活动；
③从a，b，c，d
4个字母中取出2个字母；
④从1，2，3，4
4个数字中取出2个数字组成1个两位数．
其中是排列问题的有(　　)
A．1个　　　B．2个　　　
C．3个　　　D．4个
解析：①是排列问题，因为2名同学参加的活动与顺序有关；②不是排列问题，因为2名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的2个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取出的2个数字还需要按顺序排成一列．
答案：B
2．计算eq
\f(A－A,A)＝(　　)
A．12
B．24
C．30
D．36
解析：A＝7×6A，A＝6A，所以eq
\f(A－A,A)＝eq
\f(36A,A)＝36.
答案：D
3．元旦来临之际，某寝室四位同学各有一张贺年卡，并且要送给该寝室的其中一位同学，但每人都必须得到一张，则不同的送法有(　　)
A．6种
B．9种
C．11种
D．23种
解析：将4张贺卡分别记为A，B，C，D，且按题意进行排列，用树状图表示为：
由此可知共有9种送法．
答案：B
4．由0，1，2，3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数字共有(　　)
A．238个
B．232个
C．174个
D．168个
解析：由0，1，2，3可组成的四位数共有3×43＝192(个)，其中无重复的数字的四位数共有3A＝18(个)，故共有192－18＝174(个)
答案：C
5．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有(　　)
A．24个
B．30个
C．40个
D．60个
解析：将符合条件的偶数分为两类：一类是2作个位数，共有A个，另一类是4作个位数，也有A个．因此符合条件的偶数共有A＋A＝24(个)．
答案：A
二、填空题
6．若A＝10×9×…×5，则m＝_________________________.
解析：由10－(m－1)＝5，得m＝6.
答案：6
7．现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．
解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A＝8×7×6×5＝1
680(种)．
答案：1
680
8．从2，3，5，7中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是______，其中真分数的个数是____．
解析：第一步：选分子，可从4个数字中任选一个作分子，共有4种不同选法；第二步：选分母，从剩下的3个数字中任选一个作分母，有3种不同选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有4×3＝12(种)，其中真分数有，，，，，，共6个．
答案：12　6
三、解答题
9．求下列各式中n的值：
(1)90A＝A；
(2)AA＝42A.
解：(1)因为90A＝A，
所以90n(n－1)＝n(n－1)(n－2)(n－3)．
所以n2－5n＋6＝90.
所以(n－12)(n＋7)＝0.
解得n＝－7(舍去)或n＝12.
所以满足90A＝A的n的值为12.
(2)由AA＝42A，得·(n－4)！＝42(n－2)！.
所以n(n－1)＝42.
所以n2－n－42＝0.解得n＝－6(舍去)或n＝7.
10．用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数．
(1)能被5整除的四位数有多少个？
(2)这些四位数中偶数有多少个？
解：(1)能被5整除的数个位必须是5，故有A＝120(个)．(2)偶数的个位数只能是2，4，6，有A种排法，其他位上有A种排法，由乘法原理知，四位数中偶数共有A·A＝360(个)．
B级　能力提升
1．满足不等式eq
\f(A,A)＞12的n的最小值为(　　)
A．12
B．10
C．9
D．8
解析：由排列数公式得＞12，即(n－5)(n－6)＞12，解得n＞9或n＜2.又n≥7，所以n＞9.又n∈N
，所以n的最小值为10.
答案：B
2．从集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的系数A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条．
解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则C＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A，B，有A种．
所以符合条件的直线有A＝30(条)．
答案：30
3．用1，2，3，4四个数字排成三位数(允许数字重复使用)，并把这些三位数从小到大排成一个数列{an}．
(1)写出这个数列的前11项；
(2)求这个数列共有多少项．
解：(1)这个数列的前11项为：
111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133.
(2)这个数列的项数就是用1，2，3，4排成三位数的个数，每一数位都有4种排法，则共有4×4×4＝64(项)．章末复习课
[整合·网络构建]
[警示·易错提醒]
1．线性回归方程中的系数及相关指数R2，独立性检验统计量K2公式复杂，莫记混用错．
2．相关系数r是判断两随机变量相关强度的统计量，相关指数R2是判断线性回归模型拟合效果好坏的统计量，而K2是判断两分类变量相关程度的量，应注意区分．
3．在独立性检验中，当K2≥6.635时，我们有99.9%的把握认为两分类变量有关，是指“两分类变量有关”这一结论的可信度为99%而不是两分类变量有关系的概率为99%.
专题一　回归分析思想的应用
回归分析是对抽取的样本进行分析，确定两个变量的相关关系，并用一个变量的变化去推测另一个变量的变化．如果两个变量非线性相关，我们可以通过对变量进行变换，转化为线性相关问题．
[例1]　一个车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下表所示：
零件数x/个
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
加工时间y/min
62
72
75
81
85
95
103
108
112
127
(1)画出散点图，并初步判断是否线性相关；
(2)若线性相关，求线性回归方程；
(3)求出相关指数；
(4)作出残差图；
(5)进行残差分析；
(6)试制订加工200个零件的用时规定．
解：(1)散点图，如图所示：
由图可知，x，y线性相关．
(2)x与y的关系可以用线性回归模型来拟合，不妨设回归模型为＝＋x.因为＝55，＝92，
0．670，
＝－＝92－×55＝≈55.133.
故线性回归方程为＝0.670x＋55.133.
(3)利用所求回归方程求出下列数据：
yi
61.833
68.533
75.233
81.933
88.633
yi－yi
0.167
3.467
－0.233
－0.933
－3.633
yi－
－30
－20
－17
－11
－7
yi
95.333
102.033
108.733
115.433
122.133
yi－yi
－0.333
0.967
－0.733
－3.433
4.867
yi－
3
11
16
20
35
(4)因为ei＝yi－yi，利用上表中数据作出残差图，如图所示：
(5)由散点图可以看出x与y有很强的线性相关性，由R2的值可以看出回归效果很好．
由残差图也可观察到，第2，5，9，10个样本点的残差比较大，需要确认在采集这些样本点的过程中是否有人为的错误．
(6)将x＝200代入回归方程，得＝189，所以可以制订189
min加工200个零件的规定．
归纳升华
建立回归模型的一般步骤：
(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；
(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系)；
(3)由经验确定回归方程的类型，如我们观察到数据呈线性关系，选用线性回归方程＝＋x；
(4)按一定规则估计回归方程中的参数；
(5)得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应的残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等)，若残差存在异常，则应检查数据是否有误，或模型是否合适等；
(6)依据回归方程做出预报．
[变式训练]　某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x(x取整数)元与日销售量y台之间有如下对应数据：
单价x/元
35
40
45
50
日销售y/台
56
41
28
11
(1)画出散点图并说明y与x是否具有线性相关关系？如果有，求出线性回归方程(方程的斜率保留一个有效数字)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据(1)写出P关于x的函数关系式，并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．
解：散点图如图所示：从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量具有线性相关关系．
设回归直线方程为＝＋x，由题意知＝42.5，＝34,
＝－＝34－(－3)×42.5＝161.5.
所以＝－3x＋161.5.
(2)依题意有：
P＝(－3x＋161.5)(x－30)＝－3x2＋251.5x－4
845＝－3＋－4
845.
所以当x＝≈42时，P有最大值．
即预测销售单价约为42元时，能获得最大日销售利润．
专题二　独立性检验的应用
独立性检验是对两个分类变量间是否存在相关关系的一种案例分析方法．常用等高条形图来直观反映两个分类变量之间差异的大小；利用假设检验求随机变量K2的值能更精确地判断两个分类变量间的相关关系．
[例2]　为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表所示：
月收入
[15，25)
[25，35)
[35，45)
[45，55)
[55，65)
[65，75)
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
8
8
5
2
1
将月收入不低于55的人群称为“高收入族”，有收入低于55的人群称为“非高收入族”．
(1)已知：K2＝，当K2＜2.706
时，没有充分的证据判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当K2＞2.706时，有90%的把握判断赞成楼市限购令与收入高低有关；当K2＞3.841，有95%的把握判断定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当K2＞6.635时，有99%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关．
根据已知条件完成下面的2×2列联表，有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？
分类
非高收入族
高收入族
总计
赞成
不赞成
总计
(2)现从月收入在[55，65)的人群中随机抽取两人，求所抽取的两人中至少一人赞成楼市限购令的概率．
解：(1)2×2列联表如下表所示：
分类
非高收入族
高收入族
总计
赞成
25
3
28
不赞成
15
7
22
总计
40
10
50
K2＝≈3.43，故有90%的把握认为楼市限购令与收入高低有关．
(2)设“从月收入在[55，65)的5人中随机抽取2人，其中至少有1人赞成楼市限购令”为事件A，则事件A含有基本事件数为C－C＝7，从5人中任取2人所含基本事件数为C＝10，因此所求概率为.
归纳升华
(1)判断两个分类变量之间是否有关系可以通过等高条形图作粗略判断，需要确知所作判断犯错误的概率情况下，可进行独立性检验，独立性检验可以得到较为可靠的结论．
(2)独立性检验的一般步骤：
①根据样本数据制成2×2列联表；
②根据公式计算K2的值；
③比较K2与临界值的大小关系，做出统计推断．
[变式训练]　调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到如下数据．试问能以多大把握认为婴儿的性别与出生时间有关系？
性别
晚上
白天
总计
男婴
24
31
55
女婴
8
26
34
总计
32
57
89
解：由公式K2＝计算得
K2＝≈3.69，
由于K2＞2.706，所以只有90%的把握说明婴儿出生的时间与性别有关，故婴儿的出生的时间与性别是相互独立的(也可以说没有充分的证据显示婴儿的性别与其出生时间有关)．
专题三　数形结合思想
数形结合思想在统计中的应用主要是将收集到的数据利用图表的形式表示出来，直观地反映变量间的关系．
[例3]　为了解铅中毒病人是否有尿棕色素增加现象，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下，问铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别？
组别
阳性数
阴性数
总计
铅中毒病人
29
7
36
对照组
9
28
37
总计
38
35
73
解：
由上述列联表可知，在铅中毒病人中尿棕色素为阳性的占80.56%，而对照组仅占24.32%.说明他们之间有较大差别．
根据列联表作出等高条形图由图可知，铅中毒病人中与对照组相比较，尿棕色素为阳性差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性存在关联关系．
归纳升华
收集数据、整理数据是统计知识处理问题的两个基本步骤，将收集到的数据利用图表的形式整理出来，能够直观地反映变量之间的关系．在精确度要求不高的情况下，可以利用散点图、等高条形图等对两个变量之间的关系做出判断．
[变式训练]　根据如下样本数据：
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
得到的回归方程为＝bx＋a，则(　　)
A．a＞0，b＞0　　　
B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0
D．a＜0，b＜0
解析：根据题中表内数据画出散点图如图所示，由散点图可知b＜0，a＞0.
答案：B第二章
随机变量及其分布
2.2
二项分布及其应用
2.2.1
条件概率
A级　基础巩固
一、选择题
1．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝{两个点数互不相同}，B＝{出现一个5点}，则P(B|A)＝(　　)
A.　　　　　　　
B.
C.
D.
解析：出现点数互不相同的共有6×5＝30(种)，出现一个5点共有5×2＝10(种)，所以P(B|A)＝＝.
答案：A
2．有一匹叫Harry的马，参加了100场赛马比赛，赢了20场，输了80场．在这100场比赛中，有30场是下雨天，70场是晴天．在30场下雨天的比赛中，Harry赢了15场．如果明天下雨，Harry参加赛马的赢率是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：此为一个条件概率的问题，由于是在下雨天参加赛马，所以考查的应该是Harry在下雨天的比赛中的胜率，即P＝＝.
答案：B
3．在10个形状大小均相同的球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：设第一次摸到的是红球为事件A，则P(A)＝＝，设第二次摸得红球为事件B，则P(AB)＝＝，
故在第一次摸得红球的条件下第二次也摸得红球的概率为
P(B|A)＝＝.
答案：D
4．某种电子元件用满3
000小时不坏的概率为，用满8
000小时不坏的概率为.现有一只此种电子元件，已经用满3
000小时不坏，还能用满8
000小时的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：记事件A：“用满3
000小时不坏”，P(A)＝；记事件B：“用满8
000小时不坏”，P(B)＝.因为B A，所以P(AB)＝P(B)＝，P(B|A)＝＝＝÷＝.
答案：B
5．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是(　　)
A．0.72
B．0.8
C．0.86
D．0.9
解析：设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，并成活而成长为幼苗)，则P(A)＝0.9，又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.
答案：A
二、填空题
6．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是________．
解析：因为第一名同学没有抽到中奖券已知，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是.
答案：
7．把一枚硬币任意抛掷两次，事件B为“第一次出现反面”，事件A为“第二次出现正面”，则P(A|B)为________．
解析：事件B包含的基本事件数有1×C＝2个，AB包含的基本事件数为1，由条件概率公式P(A|B)＝＝.
答案：
8．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)和P(B|A)分别等于________，________．
解析：P(A|B)＝＝＝，P(B|A)＝＝＝.
答案：　
三、解答题
9．抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是奇数的概率．
解：设事件A表示“点数不超过3”，事件B表示“点数为奇数”，
所以P(A)＝＝，P(AB)＝＝.
所以P(B|A)＝＝.
10．某班级有学生40人，其中团员15人，全班分四个小组，第一小组10人，其中团员4人，如果要在班内任选一人当学生代表．
(1)求这个代表恰好在第一小组内的概率；
(2)现在要在班内任选一个团员代表，问这个代表恰好在第一小组内的概率是多少？
解：设A＝{在班内任选一个学生，该学生属于第一小组}，B＝{在班内任选一个学生，该学生是团员}．
(1)由古典概率知P(A)＝＝.
(2)法一　由古典概型知P(A|B)＝.
法二　P(AB)＝，P(B)＝，
由条件概率的公式，得P(A|B)＝.
B级　能力提升
1．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
解析：设事件A表示“抽到2张都是假钞”，事件B为“2张中至少有1张假钞”，所以所求概率为P(A|B)．
而P(AB)＝eq
\f(C,C)，P(B)＝eq
\f(C＋CC,C).
所以P(A|B)＝＝.
答案：D
2．盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取产品，每次1件，取两次，已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率是________．
解析：令第二次取得一等品为事件A，第一次取得二等品为事件B，
则P(AB)＝eq
\f(C·C,C·C)＝，P(A)＝eq
\f(C·C＋CC,C·C)＝.
所以P(B|A)＝＝×＝.
答案：
3．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2次的事件数为n(Ω)＝A＝30，
根据分步计数原理n(A)＝AA＝20，
于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝12，
于是P(AB)＝＝＝.
(3)法一　由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
P(B|A)＝＝÷＝.
法二　因为n(AB)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝＝＝.第三章
统计案例
3.2
独立性检验的基本思想及其初步应用
A级　基础巩固
一、选择题
1．若用独立性检验的方法，我们得到能有99%的把握认为变量X与Y有关系，则(　　
)
A．K2≥2.706　　　　　
B．K2≥6.635
C．K2＜2.706
D．K2＜6.635
解析：根据临界值表可知，选项B正确．
答案：B
2．假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：
分类
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
以下各组数据中，对于同一样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为(　　)
A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2
B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2
C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5
D．a＝2，b＝3，c＝5，d＝4
解析：比较.选项A中，＝；选项B中，＝；选项C中
，＝；选项D中，＝.所以选项D正确.
答案：D
3．下面是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图可以看出(　　)
A．性别与喜欢理科无关
B．女生中喜欢理科的比为80%
C．男生比女生喜欢理科的可能性大些
D．男生不喜欢理科的比为60%
解析：从等高条形图可以看出，男生比女生喜欢理科的可能性大些．
答案：C
4．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是(　　
)
①若K2的观测值满足K2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误．
A．①
B．①③
C．③
D．②
解析：①推断在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，说法错误，排除A、B，③正确．排除D，所以选项C正确．
答案：C
5．某校为了研究初一学生吃零食是否与性别有关，从初一年级抽取了100名学生调查购买零食的费用，规定每月在零食上花费不低于30元的为吃零食较多，每月在零食上花费不满30元的为吃零食较少．根据收集的数据得到了一个2×2列联表，并计算得出K2的观测值为k＝4.365，则下列结论正确的是(　　
)
A．有97.5%的把握认为“初一学生吃零食与性别有关”
B.
有95%的把握认为“初一学生吃零食与性别有关”
C.
该校初一学生中有95%的学生吃零食较多
D.
该校初一学生中有95%的女生吃零食较多
解析：因为k＝4.365＞3.841，所以有95%的把握认为“初一学生吃零食与性别有关”.
答案：B
二、填空题
6．下列关于K2的说法中，正确的有________．
①K2的值越大，两个分类变量的相关性越大；
②若求出K2＝4＞3.841，则有95%的把握认为两个分类变量有关系，即有5%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；
③独立性检验就是选取一个假设H0条件下的小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则做出拒绝H0的推断．
解析：对于①，K2的值越大，只能说明我们有更大的把握认为二者有关系，却不能判断相关性大小，故①错误；根据独立性检验的概念和临界值表知②③正确．
答案：
②③
7．某小学对232名小学生调查发现：180名男生中有98名有多动症，另外82名没有多动症，52名女生中有2名有多动症，另外50名没有多动症，用独立性检验的方法判断多动症与性别________(填“有关”或“无关”)．
解析：由题目数据列出如下列联表：
性别
多动症
无多动症
总计
男生
98
82
180
女生
2
50
52
总计
100
132
232
由表中数据可看到
k＝≈42.117＞10.828.
所以，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为多动症与性别有关系．
答案：有关
8.
某卫生机构对366人进行健康体检，其中某项检测指标阳性家族史者糖尿病发病的有16人，不发病的有93人；阴性家族史者糖尿病发病的有17人，不发病的有240人，有________的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．
解析：先作出如下糖尿病患者与遗传列联表(单位：人)：
家族
糖尿病发病
糖尿病不发病
总计
阳性家族史
16
93
109
阴性家族史
17
240
257
总计
33
333
366
根据列联表中的数据，得到K2的观测值为k＝≈6.067＞5.024.故我们有97.5%的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．
答案：97.5%
三、解答题
9．为考察某种药物预防疾病的效果进行动物试验，得到如下列联表：
分类
患病
未患病
总计
服用药
10
45
55
未服用药
20
30
50
总计
30
75
105
试用等高条形图分析服用药和患病之间是否有关系．
解：根据列联表所给的数据可得出服用药患病的频率为≈0.18，未服用药患病的频率为＝0.4，
两者的差距是|0.18－0.4|＝0.22，两者相差很大，
作出等高条形图如图所示，
因此服用药与患病之间有关系的程度很大．
10．为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.表1和表2分别是注射药物A和药物B后的试验结果(疱疹面积单位：mm2)．
表1　注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积
[60，65)
[65，70)
[70，75)
[75，80)
频数
30
40
20
10
表2　注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积
[60，65)
[65，70)
[70，75)
[75，80)
[80，85)
频数
10
25
20
30
15
完成表3中的2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．
表3
药物
疱疹面积小于70
mm2
疱疹面积不小于70
mm2
总计
注射药物A
a＝
b＝
注射药物B
c＝
d＝
总计
n＝
解：表3完成如下：
药物
疱疹面积小于70
mm2
疱疹面积不小于70
mm2
总计
注射药物A
a＝70
b＝30
100
注射药物B
c＝35
d＝65
100
总计
105
95
n＝200
由列联表中的数据，得K2的观测值为k＝≈24.561＞10.828.
因此，有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．
B级　能力提升
1．有两个分类变量x，y，其2×2列联表如下表．其中a，15－a均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“x与y之间有关系”，则a的取值应为(　　
)
变量
y1
y2
x1
a
20－a
x2
15－a
30＋a
A.5或6　　　　　　
B.
6或7
C．7
或8
D．8或9
解析：查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为K2之间有关系，则K2＞2.706，而K2＝＝＝，要使K2＞2.706得a＞7.19或a＜2.04.又因为a＞5且15－a＞5，a∈Z，所以a＝8或9，故当a取8或9时在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“x与y之间有关系”．
答案：D
2．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：
分类
又发作过心脏病
未发作过心脏病
总计
心脏搭桥手术
39
157
196
血管清障手术
29
167
196
总计
68
324
392
试根据上述数据计算K2＝________，比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别_________．
解析：提出假设H0：两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别．根据列联表中的数据，可以求得K2的观测值．k＝≈1.78.
当H0成立时，K2＝1.78，又K2＜2.072的概率为0.85.所以，不能否定假设H0.也就是不能做出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论．
答案：1.78　不能做出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论
3．某教育科研机构研发了一款新的学习软件，为了测试该软件的受欢迎程度，该公司在某市的两所初中和两所小学按分层抽样法抽取部分学生进行了调研．已知这四所
学校在校学生有9
000人，其中小学生5
400人，参加调研的初中生有180人．
(1)参加调研的小学生有多少人？
(2)该科研机构将调研的情况统计后得到下表：
学生
喜爱使用该学习软件
不太喜爱使用该学习软件
总计
初中生
60
120
180
小学生
90
总计
请将上表填写完整，并据此说明是否有99.9%的把握认为“喜爱使用该学习软件”与“学生年龄”有关．
解：(1)这四所学校共9
000人，其中小学生5
400人，
所以初中生有3
600人，
因为参加调研的初中生有180人，
所以抽取比例为＝.
所以参加调研的小学生有5
400×＝270(人)．
(2)由(1)知参加调研的总人数为180＋270＝450，
所以表格中的数据如下表所示：
学生
喜爱使用该学习软件
不太喜爱使用该学习软件
总计
初中生
60
120
180
小学生
180
90
270
总计
240
210
450
因为，K2＝≈16.071＞10.828，
所以有99.9%的把握认为“喜爱玩该游戏”与“学生年龄”有关．章末复习课
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1．正确区分“分类”与“分步”，恰当地进行分类，使分类后不重、不漏．
2．正确区分是组合问题还是排列问题，要把“定序”和“有序”区分开来．
3．正确区分分堆问题和分配问题．
4．二项式定理的通项公式Tk＋1＝Can－kbk是第(k＋1)项，而不是第k项，注意其指数规律．
5．求二项式展开式中的特殊项(如：系数最大的项、二项式系数最大的项、常数项、含某未知数的次数最高的项、有理项……)时，要注意n与k的取值范围．
6．注意区分“某项的系数”与“某项的二项式系数”，展开式中“二项式系数的和”与“各项系数的和”，“奇(偶)数项系数的和”与“奇(偶)次项系数的和”．
专题一　两个计数原理的应用
分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章知识的基础，高考中时有出现，一般是与排列、组合相结合进行考查，难度中等．
[例1]　现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(　　)
高
中
数
学
A.144种　　　
B．72种
C．64种
D．84种
解析：法一　根据所用颜色的种数分类
第一类：用4种颜色涂，方法有A＝4×3×2×1＝24(种)．
第二类：用3种颜色，必须有一条对角区域涂同色，方法有CCA＝48(种)．
第三类：用2种颜色，对角区域各涂一色，方法有A＝12(种)．
根据加法原理，不同的涂色方法共有24＋48＋12＝84(种)．
法二　根据“高”“学”是否为同色分类
第一类：区域“高”与“学”同色，从4色中选1色，有C种方法，其余区域“中”“数”各有3种方法，共有4×3×3＝36(种)．
第二类：区域“高”与“学”不同色，区域“高”有4种方法，区域“学”有3种方法，区域“中”“数”各有2种方法，共有4×3×2×2＝48(种)．
根据加法原理，方法共有36＋48＝84(种)．
答案：D
归纳升华
应用两个原理解决有关计数问题的关键是区分事件是分类完成还是分步完成，而分类与分步的区别又在于任取其中某一方法是否能完成该事件，能完成便是分类，否则便是分步．对于有些较复杂问题可能既要分类又要分步，此时应注意层次清晰，不重不漏，在分步时，要注意上一步的方法确定后对下一步有无影响(即是否是独立的)．
[变式训练]　在∠AOB的OA边上取3个点，在OB边上取4个点(均除O点外)，连同O点共8个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有(　　)
A．48
B．42
C．36
D．32
解析：分三类：第一类：从OA边上(不包括O)任取一点与从OB边上(不包括O)任取两点，可构造一个三角形，有CC个；
第二类：从OA边上(不包括O)任取两点与OB边上(不包括O)任取一点，可构造一个三角形，有CC个；
第三类：从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上(不包括O)任取一点，与O点可构造一个三角形，有CC个．
由分类加法计数原理，可作的三角形共有N＝CC＋CC＋CC＝42(个)．
答案：B
专题二　排列组合应用题
排列组合应用题是高考的一个重点内容，常与实际问题相结合进行考查．要认真阅读题干，明确问题本质，利用排列组合的相关公式与方法解题．
1．合理分类，准确分步．
[例2]　5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种(用数字作答)．
解析：①只有1名老队员的排法有CCA＝36(种)．②有2名老队员的排法有CCCA＝12(种)．所以共有36＋12＝48(种)．
答案：48
2．特殊优先，一般在后．
[例3]　将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．
解析：①当C在第一或第六位时，排法有A＝120(种)；
②当C在第二或第五位时，排法有AA＝72(种)；
③当C在第三或第四位时，排法有AA＋AA＝48(种)．
所以排法共有2×(120＋72＋48)＝480(种)．
答案：480
3．直接间接，灵活选择．
[例4]　10件产品中有2件合格品，8件优质品，从中任意取4件，至少有1件是合格品的抽法有________种．
解析：法一　抽取的4件产品至少有1件合格品分为有1件合格品、2件合格品2种情况：有1件合格品的抽法有CC种；有2件合格品抽法有CC种．根据分类加法计数原理至少有1件合格品的抽法共有CC＋CC＝140(种)．
法二　从10件产品中任意抽取4件，有C种抽法，其中没有合格品的抽法有C种，因此至少有1件合格品的抽法有C－C＝210－70＝140(种)．
答案：140
4．元素相邻，捆绑为一．
[例5]　用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则其中数字2，3相邻的偶数有________个(用数字作答)．
解析：数字2和3相邻的偶数有两种情况．第一种情况，当数字2在个位上时，则3必定在十位上，此时这样的五位数共有6个；第二种情况，当数字4在个位上时，且2，3必须相邻，此时满足要求的五位数有AA＝12(个)，则一共有6＋12＝18(个)．
答案：18
5．元素相间，插空解决．
[例6]　一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有________种不同的坐法．
解析：先让4人坐在4个位置上，有A种排法，再让2个元素(一个是两个空位作为一个整体，另一个是单独的空位)插入4个人形成的5个“空挡”之间，有A种插法，所以所求的坐法数为AA＝480.
答案：480
6．分组问题，消除顺序．
[例7]　某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为________．
解析：把新转来的4名学生平均分两组，每组2人，分法有eq
\f(C,A)＝3(种)，把这两组人安排到6个班中的某2个班中去，有A种方法，故不同的安排种数为3A＝90.
答案：90
归纳升华
解排列组合应用题应遵循三大原则，掌握基本类型，突出转化思想．
(1)三大原则是：先特殊后一般的原则、先取后排的原则、先分类后分步的原则．
(2)基本类型主要包括：排列中的“在与不在”问题，组合中的“有与没有”问题、“相邻与不相邻”问题、“分组问题”等．
(3)转化思想：就是把一些排列组合问题与基本类型相联系，从而把这些问题转化为基本类型，然后加以解决．
专题三　二项式定理的应用
二项式定理是历年高考中的必考内容，解决二项式定理问题，特别是涉及求二项展开式的通项的问题，关键在于抓住通项公式，还要注意区分“二项式系数”与“展开式系数”．
[例8]　(1)已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为－，其中i2＝－1，则展开式中系数为实数且最大的项为(　　)
A．第三项
B．第四项
C．第五项
D．第五项或第六项
(2)设(3x－1)6＝a6x6＋a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a6＋a4＋a2＋a0＝________．
解析：(1)T3＝－Cx2n－5，T5＝Cx2n－10.
由－eq
\f(C,C)＝－，得n2－5n－50＝0，解得n＝10(舍去n＝－5)，
又Tr＋1＝C(－i)rx20－r，
据此可知当r分别取0，2，4，6，8，10时其系数为实数，且当r＝4时，C＝210为最大．
(2)令x＝1，得a6＋a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝26＝64；
令x＝－1，得a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝4
096.
两式相加，得2(a6＋a4＋a2＋a0)＝4
160，
所以a6＋a4＋a2＋a0＝2
080.
答案：(1)C　(2)2
080
归纳升华
(1)区分“项的系数”与“二项式系数”．项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正数．
(2)切实理解“常数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大的项”等概念．
(3)求展开式中的指定项，要把该项完整写出，不能仅仅说明是第几项．
(4)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1等．
[变式训练]　(1)展开式中的含x－3的项的系数为(　　)
A．80
B．60
C．40
D．－40
(2)已知(1＋x)6(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a11x11，则a1＋a2＋…＋a11＝________．
解析：(1)设展开式的第(r＋1)项为Tr＋1＝Cx5－r＝(－2)rCx5－4r，令5－4r＝－3，得r＝2，
所以，展开式中含x
－3的项为
T3＝(－2)2Cx－3＝40x－3.
(2)令x＝0，得a0＝1；令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－64.
所以a1＋a2＋…＋a11＝－65.
答案：(1)C　(2)－65
专题四　分类讨论思想
分类讨论思想在解决排列组合问题时经常应用，此类问题一般情况繁多，因此要对各种不同的情况进行合理的分类与准确的分步，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏的现象发生．
[例4]　从10种不同的作物中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法共有________种．
解析：根据选出的6种种子中所含甲、乙种子个数来分类：选出的6种种子中只含甲或只含乙的不同放法都为CAA；选出的6种种子中，同时含有甲与乙的不同放法有CAA；选出的6种种子中，都不含甲与乙的不同放法有A.故不同的放法共有2CAA＋CAA＋A＝120
960(种)．
答案：120
960
归纳升华
排列组合的综合问题一般比较复杂，分类方法也灵活多变．一般有以下一些分类方式：(1)根据元素分类，又包括根据特殊元素分类，根据元素特征分类，根据特殊元素的个数分类；(2)根据特殊位置分类；(3)根据图形分类，又包括根据图形的特征分类，根据图形的种类分类；(4)根据题设条件分类．
[变式训练]　由1，2，3，4，5，6六个数字可组成________个无重复且是6的倍数的五位数．
解析：若一个整数是偶数且是3的倍数，则这个整数是6的倍数．据此本题分两类求解．
第一类：由1，2，4，5，6作数码．首先从2，4，6中任选一个作为个位数字，有A种选法，然后其余四个数字在其他数位上全排列，有A种选法，所以符合条件的五位数共有N1＝AA＝72(个)．
第二类：由1，2，3，4，5作数码．依照第一类的方法，符合条件的五位数有N2＝AA＝48(个)．
综上，符合条件的五位数共有N＝N1＋N2＝120(个)．
答案：120章末复习课
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[警示·易错提醒]
1．“互斥事件”与“相互独立事件”的区别．
“互斥事件”是说两个事件不能同时发生，“相互独立事件”是说一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
2．对独立重复试验要准确理解．
(1)独立重复试验的条件：第一，每次试验是在同样条件下进行；第二，任何一次试验中某事件发生的概率相等；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
(2)独立重复试验概率公式的特点：关于P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，它是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率．其中n是重复试验次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立试验中事件A恰好发生的次数，弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式．
3．(1)准确理解事件和随机变量取值的意义，对实际问题中事件之间的关系要清楚．
(2)认真审题，找准关键字句，提高解题能力．如“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”等．
(3)常见事件的表示．已知两个事件A、B，则A，B中至少有一个发生为A∪B；都发生为A·B；都不发生为·；恰有一个发生为(·B)∪(A·)；至多有一个发生为(·)∪(·B)∪(A·)．
4．对于条件概率，一定要区分P(AB)与P(B|A)．
5．(1)离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一，期望E(ξ)的值可正也可负，而方差的值则一定是一个非负值．它们都由ξ的分布列唯一确定．
(2)D(ξ)表示随机变量ξ对E(ξ)的平均偏离程度．D(ξ)
越大表明平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散；反之D(ξ)越小，ξ的取值越集中．
(3)D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，在记忆和使用此结论时，请注意D(aξ＋b)≠aD(ξ)＋b，D(aξ＋b)≠aD(ξ)．
6．对于正态分布，要特别注意N(μ，σ2)由μ和σ唯一确定，解决正态分布问题要牢记其概率密度曲线的对称轴为x＝μ.
专题一　条件概率的求法
条件概率是高考的一个热点，常以选择题或填空题的形式出现，也可能是大题中的一个部分，难度中等．
[例1]　坛子里放着7个大小、形状相同的鸭蛋，其中有4个是绿皮的，3个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：
(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；
(2)第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋的概率；
(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．
解：设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB.
(1)从7个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的事件数为n(Ω)＝A＝42，
根据分步乘法计数原理，n(A)＝A×A＝24.
于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝12，
所以P(AB)＝＝＝.
(3)法一　由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P(B|A)＝＝
÷＝.
法二　因为n(AB)＝12，n(A)＝24，
所以P(B|A)＝＝＝.
归纳升华
解决概率问题的步骤．
第一步，确定事件的性质：古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验、条件概率，然后把所给问题归结为某一种．
第二步，判断事件的运算(和事件、积事件)，确定事件至少有一个发生还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式．
第三步，利用条件概率公式求解：(1)条件概率定义：
P(B|A)＝.(2)针对古典概型，缩减基本事件总数P(B|A)＝.
[变式训练]　把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为是多少？
解：“第一次抛出偶数点”记为事件A，“第二次抛出偶数点”记为事件B，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝.
所以P(B|A)＝＝÷＝.
专题二　互斥事件、独立事件的概率
要正确区分互斥事件与相互独立事件，准确应用相关公式解题，互斥事件是不可能同时发生的事件，相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件没有影响．
[例2]　如图所示，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.
(1)求p；
(2)求电流能在M与N之间通过的概率．
解：记Ai表示事件：电流能通过Ti，i＝1，2，3，4，
A表示事件：T1，T2，T3中至少有一个能通过电流，
B表示事件：电流能在M与N之间通过．
(1)
，A1，A2，A3相互独立，
P()＝P＝(1－p)3.
又P()＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，
P(A3)＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9＝0.989
1.
归纳升华
求解相互独立事件同时发生的概率时，要注意以下几个问题：
(1)若事件A与B相互独立，则事件与B，A与，与分别相互独立，且有P(B)＝P()P(B)，P(A)＝P(A)P()，P(
)＝P()P()．
(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
[变式训练]　一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是多少？
解：由题意知，四条线路是否闭合相互独立，开关A，B与E，F闭合的概率相等，都是P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝，所以四条线路都不闭合的概率为P1＝·＝，所以灯亮的概率为P＝1－＝.
专题三　独立重复试验与二项分布
二项分布是高考考查的重点，要准确理解、熟练运用其概率公式Pn(k)＝C·pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，高考以解答题为主，有时也用选择题、填空题形式考查．
[例3]　现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．
(1)求张同学所取的3道题至少有1道乙类题的概率；
(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X为1和3的概率．
解：(1)设事件A＝“
张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．
因为P()＝eq
\f(C,C)＝，所以P(A)＝1－P()＝.
(2)P(X＝1)＝C··＋C··＝；
P(X＝3)＝C··＝.
归纳升华
解决二项分布问题必须注意：
(1)对于公式Pn(k)＝C·pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n次．
[变式训练]　一位病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，服用这种新药的有甲、乙、丙3位病人，且各人之间互不影响，有下列结论：
①3位病人都被治愈的概率为0.93；
②3人中的甲被治愈的概率为0.9；
③3人中恰好有2人被治愈的概率是2×0.92×0.1；
④3人中恰好有2人未被治愈的概率是3×0.9×0.12.
其中正确结论的序号是________(把正确结论的序号都填上)．
解析：
①中事件为3次独立重复试验恰有3次发生的概率，其概率为0.93，故①正确；由独立重复试验中，事件A发生的概率相同，知②正确；③中恰有2人被治愈的概率为P(X＝2)＝Cp2(1－p)＝3×0.92×0.1，从而③错误；④中恰好有2人未被治愈相当于恰好1人被治愈，故概率为C×0.9×0.12＝3×0.9×0.12，从而④正确．
答案：①②④
专题四　离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量的均值和方差在实际问题中具有重要意义，也是高考的热点内容．
[例4]　一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件做检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件做检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．
(1)求这批产品通过检验的概率；
(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．
解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝×＋×＝.
(2)X可能的取值为400，500，800，并且P(X＝400)＝1－－＝，
P(X＝500)＝，P(X＝800)＝.
所以X的分布列为：
X
400
500
800
P
E(X)＝400×＋500×＋800×＝506.25.
归纳升华
(1)求离散型随机变量的分布列有以下三个步骤：①明确随机变量X取哪些值；②计算随机变量X取每一个值时的概率；③将结果用表格形式列出．计算概率时要注意结合排列组合知识．
(2)均值和方差的求解方法是：在分布列的基础上利用
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn求出均值，然后利用D(X)＝xi－E(X)]2pi求出方差．
[变式训练]　甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．
解：(1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.
因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.
所以ξ，η的分布列分别为：
ξ
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
　
η
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2
(2)由(1)得：
E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；
E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；
D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；
D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
由于E(ξ)＞E(η)，D(ξ)＜D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好.
专题五　正态分布及简单应用
高考主要以选择题、填空题形式考查正态曲线的形状特征与性质，抓住其对称轴是关键．
[例5]　为了解一种植物的生长情况，抽取一批该植物样本测量高度(单位：cm)，其频率分布直方图如图所示.
(1)求该植物样本高度的平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)假设该植物的高度Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2，利用该正态分布求P(64.5＜Z＜96)．
(附：＝10.5.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.682
6，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.954
4)
解：(1)x＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.35＋85×0.3＋95×0.05＝75，
s2＝(55－75)2×0.1＋(65－75)2×0.2＋(75－75)2×0.35＋(85－75)2×0.3＋(95－75)2×0.05＝110.
(2)由(1)知，Z～N(75，110)，
从而P(64.5＜Z＜75)＝×P(75－10.5＜Z＜75＋10.5)＝×0.682
6＝0.341
3，
P(75＜Z＜96)＝×P(75－2×10.5＜Z＜75＋2×10.5)＝×0.954
4＝0.477
2，
所以P(64.5＜Z＜96)＝P(64.5＜Z＜75)＋P(75＜Z＜96)＝0.341
3＋0.477
2＝0.818
5.
归纳升华
求解正态分布的问题，要根据正态曲线的对称性，还要结合3σ原则以及正态曲线与x轴之间的面积为1.
[变式训练]　某镇农民年收入服从μ＝5
000元，σ＝200元的正态分布．则该镇农民平均收入在5
000～5
200元的人数的百分比是________．
解析：设X表示此镇农民的平均收入，则X～N(5
000，2002)．
由P(5
000－200＜X≤5
000＋200)＝0.682
6.
得P(5
000＜X≤5
200)＝＝0.341
3.
故此镇农民平均收入在5
000～5
200元的人数的百分比为34.13%.
答案：34.13%
专题六　方程思想
方程思想是解决概率问题中的重要思想，在求离散型随机变量的分布列，求两个或三个事件的概率时常会用到方程思想．即根据题设条件列出相关未知数的方程(或方程组)求得结果．
[例6]　甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.
(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．
解：记A，B，C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．
由题设条件有
eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（A）＝\f(1,4)，,P（B）＝\f(1,12)，,P（AC）＝\f(2,9)，))即
由①③得P(B)＝1－P(C)，代入②得
27[P(C)]2－51P(C)＋22＝0.
解得P(C)＝或P(C)＝(舍去)．
将P(C)＝分别代入②③可得P(A)＝，P(B)＝.
故甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是，，.
(2)记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件．
则P(D)＝1－P()＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－××＝.
故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为.
归纳升华
(1)在求离散型随机变量的分布列时，常利用分布列的性质：①p1≥0，i＝1，2，3，…，n；②i＝1，列出方程或不等式求出未知数．
(2)在求两个或多个概率时，常根据不同类型的概率公式列出方程或方程组求出未知数．
[变式训练]　若离散型随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
P
9a2－a
3－8a
求常数a及相应的分布列．
解：由离散型随机变量的性质得
解得a＝(舍去)或a＝.
所以，随机变量的分布列为：
ξ
0
1
P第三章
统计案例
3.1
回归分析的基本思想及其初步应用
第2课时
残差分析
A级　基础巩固
一、选择题
1．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做实验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表所示：
分类
甲
乙
丙
丁
r
0.82
0.78
0.69
0.85
m
106
115
124
103
则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性(　　)
A．甲　　　　　　
B．乙
C．丙
D．丁
解析：r越接近1，相关性越强，残差平方和m越小，相关性越强，所以选D正确．
答案：D
2．为了表示n个点与相应直线在整体上的接近程度，我们常用的表示法为(　　)
解析：由回归直线方程可知，为一个量的估计值，而yi为它的实际值，在最小二乘估计中（yi－a－bxi）2，即（yi－）2.
答案：C
3.甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和如下表所示：
分类
甲
乙
丙
丁
散点图
残差平方和
115
106
124
103
哪位同学的试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高（　　）
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
解析：根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小（对于已经获取的样本数据，R2的表达式中为确定的数，则残差平方和越小，R2越大)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些．
答案：D
4．通过残差图我们发现在采集样本点过程中，样本点数据不准确的是(　　)
A．第四个
B．第五个
C．第六个
D．第八个
解析：由题图可知，第六个的数据偏差最大，所以第六个数据不准确．
答案：C
5．如图所示，5个(x，y)数据，去掉D(3，10)后，下列说法错误的是(　　)
A．相关系数r变大
B．残差平方和变大
C．相关指数R2变大
D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
解析：由散点图知，去掉D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小．
答案：B
二、填空题
6．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之间满足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1，2，…，n)，且ei恒为0，则R2为________．
解析：由ei恒为0，知yi＝i，即yi－i＝0，
答案：1
7．x，y满足如下表的关系：
x
0.2
0.6
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
y
0.04
0.36
1
1.4
1.9
2.5
3.2
3.98
4.82
则x，y之间符合的函数模型为________．
解析：通过数据发现y的值与x的平方值比较接近，所以x，y之间的函数模型为y＝x2.
答案：y＝x2
8．关于x与y，有如下数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
有如下的两个模型：(1)＝6.5x＋17.5；(2)＝7x＋17.通过残差分析发现第(1)个线性回归模型比第(2)个拟合效果好．则R________R，Q1________Q2(用大于，小于号填空，R，Q分别是相关指数和残差平方和)．
解析：根据相关指数和残差平方和的意义知R＞R，Q1＜Q2.
答案：＞　＜
三、解答题
9．在实验中得到变量y与x的数据如下表所示：
x
0.066
7
0.038
8
0.033
3
0.027
3
0.022
5
y
39.4
42.9
41.0
43.1
49.2
由经验知，y与之间具有线性相关关系，试求y与x之间的回归曲线方程，并预测x0＝0.038时，y0的值．
解：令u＝，由题目所给数据可得下表所示的数据：
序号
ui
yi
u
uiyi
1
15.0
39.4
225
591
2
25.8
42.9
665.64
1
106.82
3
30.0
41.0
900
1
230
4
36.6
43.1
1
339.56
1
577.46
5
44.4
49.2
1
971.36
2
184.48
合计
151.8
215.6
5
101.56
6
689.76
计算得＝0.29，＝34.32.
所以＝34.32＋0.29u.
所以试求回归曲线方程为＝34.32＋.
当x0＝0.038时，y0＝34.32＋
≈41.95.
10．关于x与y有以下数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
已知x与y线性相关，由最小二乘法得＝6.5.
(1)求y与x的线性回归方程；
(2)现有第二个线性模型：＝7x＋17，且R2＝0.82.若与(1)的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由．
解：(1)依题意设y与x的线性回归方程为＝6.5x＋.
＝＝5，＝＝50，因为＝6.5x＋经过(，)，所以y与x的线性回归方程为＝6.5x＋17.5
.所以50＝6.5×5＋.所以＝17.5.
(2)由(1)的线性模型得yi－yi与yi－的关系如下表所示：
yi－yi
－0.5
－3.5
10
－6.5
0.5
yi－
－20
－10
10
0
20
由于R＝0.845，R2＝0.82知R＞R2，所以(1)的线性模型拟合效果比较好．
B级　能力提升
1．在研究身高和体重的关系时，得到的结论是“身高解释了64%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的36%，所以身高对体重的效应比随机误差的效应大得多”，则求得的相关指数R2≈(　　)
A．0.36
B．0.64
C．0.32
D．0.18
解析：根据相关指数的意义知R2≈0.64.
答案：B
2．若某函数型相对一组数据的残差平方和为89，其相关指数为0.95，则总偏差平方和为________，回归平方和为________．
解析：因为R2＝1－，
0．95＝1－，所以总偏差平方和为1
780；回归平方和＝总偏差平方和－残差平方和＝1
780－89＝1
691.
答案：1
780　1
691
3．某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下：
次数x
30
33
35
37
39
44
46
50
成绩y
30
34
37
39
42
46
48
51
(1)作出散点图；
(2)求出回归方程；
(3)作出残差图；
(4)计算相关指数R2；
(5)试预测该运动员训练47次及55次的成绩．
解：(1)作出该运动员训练次数(x)与成绩(y)之间的散点图，如图所示，由散点图可知，它们之间具有线性相关关系．
(2)＝39.25，＝40.875,
＝13
180，
＝－＝－0.003
88.
所以回归方程为＝1.0415x－0.003
88.
(3)作残差图如图所示，由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适．
(4)计算得相关指数R2＝0.985
5，说明了该运动员的成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的．
(5)由上述分析可知，我们可用回归方程＝1.041
5x－0.003
88作为该运动员成绩的预报值．
将x＝47和x＝55分别代入该方程可得y≈49和y≈57.
故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.