2.4
平面向量的坐标
自我小测
1．已知向量a＝(－2,4)，b＝(3，－6)，则a和b的关系是( )
A．共线且方向相同
B．共线且方向相反
C．是相反向量
D．不共线
2．已知A(2，－2)，B(4,3)，向量p的坐标为(2k－1,7)，且p∥，则k的值为( )
A．－
B．
C．－
D．
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，且向量ka＋b与lb＋a平行，则实数k，l满足的关系式为( )
A．kl＝－1
B．k＋l＝0
C．l－k＝0
D．kl＝1
4．已知A，B，C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为( )
A．－13
B．9
C．－9
D．13
5．如果向量a＝(k,1)，b＝(4，k)共线且方向相反，则k等于( )
A．±2
B．－2
C．2
D．0
6．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝__________.
7．已知两点M(7,8)，N(1，－6)，P点是线段MN的靠近点M的三等分点，则P点的坐标为__________．
8．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
(2)若，求点C的坐标．
9．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,6)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
(1)若u∥v，求实数x的值；
(2)若a，v不共线，求实数x的值．
参考答案
1．解析：因为a＝(－2,4)，b＝(3，－6)，所以a＝－b.
由于－＜0，故a和b共线且方向相反．
答案：B
2．解析：＝(2,5)．
又∵p∥，∴2×7＝5(2k－1)．∴k＝.
答案：D
3．解析：∵ka＋b＝(k－3,2k＋2)，lb＋a＝(－3l＋1，2l＋2)，
且ka＋b∥lb＋a，∴(k－3)(2l＋2)－(2k＋2)·(－3l＋1)＝0.整理，得kl＝1.
答案：D
4．解析：设C点坐标为(6，y)，
则＝(－8,8)，＝(3，y＋6)．
∵A，B，C三点共线，∴＝，∴y＝－9.
答案：C
5．解析：∵a与b共线且方向相反，
∴存在实数λ(λ＜0)，使得b＝λa，
即(4，k)＝λ(k,1)＝(λk，λ)．
∴，解得，或(舍去)．
答案：B
6．解析：因为a－2b＝(，3)，所以由(a－2b)∥c，得×－3k＝0，解得k＝1.
答案：1
7．解析：设P点坐标为(x，y)，由知(－6，－14)＝3(x－7，y－8)，
∴∴
即P点的坐标为eq
\b\lc\(\rc\)().
答案：eq
\b\lc\(\rc\)()
8．解：(1)＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，
＝(a－1，b－1)．
若A，B，C三点共线，则与共线．
∴2(b－1)－(－2)×(a－1)＝0.∴a＋b＝2.
(2)若，则(a－1，b－1)＝(4，－4)，
∴∴
∴点C的坐标为(5，－3)．
9．解：(1)因为a＝(1,2)，b＝(x,6)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
所以u＝(1,2)＋2(x,6)＝(2x＋1,14)，
v＝2(1,2)－(x,6)＝(2－x，－2)．
又因为u∥v，
所以－2(2x＋1)－14(2－x)＝0，
即10x＝30，解得x＝3.
(2)若a，v共线，则2(2－x)＝－2，解得x＝3，
所以要使a，v不共线，则{x|x∈R，且x≠3}．2.2
从位移的合成到向量的加法第2课时
自我小测
1．如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则＝( )
A．
B．
C．
D．
2．下列等式中正确的个数是( )
①a－0＝a；②b＋a＝a＋b；③－(－a)＝a；④a＋(－a)＝0；⑤a＋(－b)＝a－b.
A．2
B．3
C．4
D．5
3．两个不相等的向量a－b与b－a的( )
A．模相等，方向相反
B．模相等，方向相同
C．仅方向相反
D．仅模相等
4．下列式子不能化简为的是( )
A．
B．
C．
D．
5．已知O是四边形ABCD所在平面内的一点，且，，，满足等式，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形
B．菱形
C．梯形
D．等腰梯形
6．若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为__________，|a－b|的最大值为__________．
解析：当a与b共线且同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，|a－b|＝||a|－|b||.
当a与b共线且反向时，|a＋b|＝||a|－|b||，|a－b|＝|a|＋|b|.
当a与b不共线时，||a|－|b||＜|a＋b|＜|a|＋|b|，||a|－|b||＜|a－b|＜|a|＋|b|，
因此当a与b共线且反向时，|a＋b|取最小值为12－8＝4；
当a与b共线且反向时，|a－b|取最大值为12＋8＝20.
7．如图，在ABCD中，E是CD的中点，且＝a，＝b，则等于__________．
8．如图，在边长为1的正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则|a－b＋c|＝__________.
9．已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，
求证：.
10．已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝2，∠AOB＝，求|a＋b|，|a－b|.
参考答案
1．解析：.
答案：D
2．解析：①②③⑤正确．
答案：C
3．解析：设＝a，＝b，则a－b＝－＝，b－a＝－＝，显然和是一对相反向量．
答案：A
4．解析：；
；
；
.
答案：C
5．解析：∵，，
而，
∴，
∴，
即AB∥CD，且AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
答案：A
6．4 20
7．解析：＝(＋)＝[b＋(－)]
＝(b＋b－a)＝b－a.
答案：b－a
8．解析：因为a－b＝，过B作＝c，连接CM，则＝a－b＋c.
因为AC⊥BD，且＝，
所以DB⊥BM，＝，
所以＝2，即|a－b＋c|＝2.
答案：2
9．证明：如图所示，在四边形CDEF中，
.①
在四边形ABFE中，
.②
①＋②，得
＝．
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴，，
∴，
即.
10．解：以OA，OB为邻边作如图所示的平行四边形OBCA，
由向量的三角形法则和平行四边形法则，
可得a＋b＝，a－b＝.
又∵|a|＝|b|，
∴平行四边形OBCA为菱形，
∴|a＋b|＝＝＝2，
|a－b|＝＝2.2.7
向量应用举例
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.已知点(a,2)(a＞0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a的值为（
）
A.
B.2-
C.-1
D.+1
解析:指由点到直线距离公式得,
∵,
∴|a+1|=.
又a>0,
∴a=-1.
答案:C
2.已知三个力F1=（3，4），F2=（2，-5），F3=（x，y）的合力F1+F2+F3=0，则F3的坐标为（
）
A.(5,-1)
B.(-5,1)
C.(-1,5)
D.(1,-5)
解析：由题设F1+F2+F3=0，
得（3，4）+（2，-5）+（x，y）=（0，0），
即
∴F3=(-5,1).
答案:B
3.已知两个力F1和F2的夹角是直角，如图2-7-1所示，且已知它们的合力F与F1的夹角是60°，|F|=10
N，求F1和F2的大小.
图2-7-1
解：|F1|=|F|cos60°=10×=5
N，
|F2|=|F|sin60°=10×=5N，
∴F1的大小为5
N，F2的大小为5N.
4.如图2-7-2所示，一艘船从A点出发以
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2
km/h，求船的实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）.
图2-7-2
解：设表示船垂直于对岸行驶的速度，表示水流的速度，以AD、AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船的实际航行的速度.
在Rt△ABC中，||=2，||=2，
所以||==4.
因为tan∠CAB==∠CAB=60°.
所以，船的实际航行速度的大小为4
km/h，方向与水流速间的夹角为60°.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.下列向量中，是直线y=2的法向量的是(
)
A.n=（0，1）
B.n=（-1，0）
C.n=（1，1）
D.n=（-1，-1）
解析：直线y=2的一个方向向量为（-1,0),故其法向量为与（-1,0)垂直的向量.
答案:A
2.一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起，结果造成小孩胳膊受伤，试用向量知识加以解释.
解：设小孩的体重为G，两胳膊受力分别为F1、F2，且F1=F2，两胳膊的夹角为θ，胳膊受力分析如右图(不记其他因素产生的力)，不难建立向量模型：
|F1|=,θ∈［0,π］,
当θ=0时，|F1|=;当θ=时，|F1|=|G|；又∈(0,)时，|F1|单调递增，
故当θ∈(0,)时,F1∈(,|G|),当θ∈(,π)时，|F1|>|G|.
此时，欲悬空拎起小孩容易造成小孩受伤.
3.某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来；而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来.试求实际风速和方向.
解：设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为-a，
设实际风速为v，那么此时人感到的风速为v-a.
设=-a,=-2a.
∵+=,∴=v-a.
这就是感到由正北方向吹来的风速.
∵+=,∴=v-2a.
于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是.由题意知∠PBO=45°，PA⊥BO，
BA=AO，可知△POB为等腰直角三角形，
∴PO=PB=a，即|v|=a.
∴实际风速是a的西北风.
4.已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0).试求：
(1)F1、F2分别对质点所做的功；
(2)F1和F2的合力F对质点所做的功.
解：=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).
(1)W1=F1·=(3,4)·（-13，-15）=-99（焦耳）.
W2=F2·=（6，-5）（-13，-15）=-3（焦耳）.
（2）W=F·AB=（F1+F2）·=［（3，4）+（6，-5）］·（-13，-15）=（9，-1）·（-13，-15）=-102（焦耳）.
5.如图2-7-3所示，有两条相交成60°的直线xx1、yy1的交点为O.甲、乙分别在Ox、Oy1上，起初甲位于离O点3
km的A处，乙位于离O点1
km的B处.后来两个人同时用每小时4
km的速度，甲沿xx1的方向，乙沿yy1的方向运动(如图2-7-4所示，三角形中有如下结论：b2=a2+c2-2accosB).试求：
图2-7-3
图2-7-4
(1)起初两个人的距离是多少
(2)什么时候两人的距离最近
解：(1)起初两人分别在A、B两点，则||=3,||=1.
∴||=||2+||2-2||||cos60°=9+1-2×3×1×=7.
∴||=km，即起初两人相距
km.
(2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q,则||=4t,|BQ|=4t,
又∵甲沿xx1的方向，乙沿yy1的方向运动，
∴当0≤t≤时，
||2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°=48t2-24t+7;
当t>时，||2=(3-4t)2+（1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos120°=48t2-24t+7(t>0),
综上,||2=48t2-24t+7=48(t)2+4,t∈［0,+∞).
∴当t=，即在第15分钟末时，PQ最短，两人最近，最近距离为2
km.
6.在静水中划船的速度是每分钟40米，水流的速度是每分钟20米.如果从岸边O点出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，试问小船的行进方向应指向哪里
解：用向量的长度和方向分别表示水流的速度和方向，用表示船行进的方向，它的长度表示船的速度.以、为邻边作平行四边形OACB，连结OC.
依题意OC⊥OA，BC=OA=20，OB=40，
∴∠BOC=30°，船应向上游与河岸夹角为30°的方向行进.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.过点A（2，3）且垂直于向量a=（2，1）的直线方程为(
)
A.2x+y-7=0
B.2x+y+7=0
C.x-2y+4=0
D.x-2y-4=0
解析：∵法向量a=(2,1),∴直线的斜率为k=.又直线过定点A(2,3),∴直线方程为2x+y-7=0.
答案：A
2.若=3e，=5e，且||=||，则四边形ABCD是(
)
A.平行四边形
B.菱形
C.等腰梯形
D.非等腰梯形
解析：由=3e，=5e，可知与平行.又||≠||，故四边形ABCD为梯形.由||=||，可得四边形ABCD为等腰梯形.因为向量是既有大小，又有方向的量，所以利用向量可判断平面中线段的数量关系，也可判断直线的位置关系.如平行、垂直、夹角等问题.
答案：C
3.某人用50
N的力（与水平方向成30°角，斜向下）推动一质量为8
kg的木箱沿水平平面运动了20
m，若动摩擦因数μ=0.02，g取10
m/s2，则摩擦力f所做的功为(
)
A.42
J
B.-42
J
C.22
J
D.-22
J
解析：f=（80+50×sin30°）×0.02
N=2.1
N，又f与位移所成的角为180°，
∴f·s=|f||s|cos180°=2.1×20×（-1）J=-42
J.
答案：B
4.某人向正东走x
km后，又向右转150°，然后朝新方向走3
km.结果他离出发点恰好
km，那么x的值等于(
)
A.
B.
C.
D.3
解析：由分析知|a+b|=，∴a2+2a·b+b2=3.
∴x2+6x·cos150°+9-3=0，即x2-3x+6=0.
解得x=或2.
答案：C
5.已知△ABC满足2=·+·+·，则△ABC是(
)
A.等边三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
解析：∵2=·+·+·，∴2=·（-）+·，
即2=·（+）+·.
∴·=0，即⊥.故△ABC为直角三角形.
答案：C
6.已知一物体在共点力F1=（lg2，lg2），F2=（lg5，lg2）的作用下产生位移s=（2lg5，1），则这两个共点力对物体做的功W为(
)
A.lg2
B.lg5
C.1
D.2
解析：∵F1+F2=（1，2lg2），s=（2lg5，1），
∴共点力对物体做的功W=（F1+F2）·s=2lg5+2lg2=2.
答案：D
7.有两个向量e1=（1，0），e2=（0，1），今有动点P，从P0（-1，2）开始沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e1+e2|；另一动点Q，从Q0（-2，-1）开始沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e1+2e2|.设P、Q在时刻t=0秒时，分别在P0、Q0处，则当⊥时，t=______________.
解析：由题意知=t（e1+e2）=（t，t），故P点坐标为（t-1，t+2）.
=t（3e1+2e2）=（3t，2t），故Q点坐标为（3t-2，2t-1）.
∴=（2t-1，t-3），=（-1，-3）.又⊥，即·=0，
∴-2t+1-3t+9=0.解得t=2.
答案:2
8.一艘船从A点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v2，船实际航行的速度大小为4
km/h，方向与水流间的夹角是60°.求v1和v2.
解：v1=v·sin60°=4×km/h=2km/h，
v2=v·cos60°=4×
km/h=2
km/h.
∴v1的大小为2
km/h，v2的大小为2
km/h.
9.在△ABC内求一点P,使2+2+2的值最小.
解:如图,设=a,=b,=x,
则=x-a,=x-b,
∴2+2+2=(x-a)2+(x-b)2+x2=3x2-2(a+b)x+b2=3［x-(a+b)］2+a2+b2-
(a+b)2.
根据向量运算的意义知,当x=(a+b)时,
2+2+2有最小值.
设M为AB的中点,易知a+b=2.
当x=
(a+b)时,
=
,也即P为△ABC的重心时,
2+2+2的值最小,为a2+b2-(a+b)2.2.4
平面向量的坐标
课后导练
基础达标
1.已知a=(1,1),b=(2,3),则2a-b的坐标是(
)
A.（0，-1）
B.（0，1）
C.（-1，0）
D.（1，0）
解析:2a-b=2(1,1)-(2,3)=(2，2)-(2，3)=（0，-1）.
答案：A
2.(浙江,文4)
已知向量a=(3,4),b=(sinα,cosα),且a∥b,则tanα等于(
)
A.
B.
C.
D.
解析：∵a∥b,
∴3cosα-4sinα=0,
∴tanα=.
答案：A
3.下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（
）
A.e1=(0,0),e2=(1,-2)
B.e1=(-1,2),e2=(5,7)
C.e1=(3,5),e2=(6,10)
D.e1=(2,-3),e2=(,)
解析：验证找出不共线的一组向量.
答案：B
4.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于(
)
A.-a+b
B.a-b
C.a-b
D.-a+b
解析：本题主要考查平面内任一向量可用该平面内一组基底唯一线性表示，可用待定系数法.
答案：B
5.已知A（1，-3），B（8，）且A、B、C三点共线，则C点的坐标是（
）
A.（-9，1）
B.（9，-1）
C.（9，1）
D.（-9，-1）
解析：设C（x,y）,则=（7，），=（x-1,y+3）.
∵A、B、C三点共线，
∴∥，
∴7（y+3）=(x-1),7x-14y-49=0.
只有C满足.
答案：C
6.(2004上海，文6)
已知点A（-1，-5）和向量a=(2,3)，若=3a,则点B的坐标为______.
解析：设B（x,y）则=（x+1,y+5）,
∵=3a，
∴(x+1,y+5)=3(2,3),
∴
∴B的坐标（5，4）.
答案：（5，4）
7.已知三个向量=（k,12）,=(4,5),=(10,k)，且A、B、C三点共线，则k=________.
解析:由A、B、C三点共线，可得=λ,
即（4-k,-7）=λ(6,k-5).
于是由方程组
利用代入法解得
答案：-2或11
8.已知a=(10,-4),b=(3,1),c=(-2,3)，试用b,c表示a.
解析:设a=λb+μc
(λ,μ∈R),
则（10，-4）=λ(3,1)+μ(-2,3)
=(3λ,λ)+(-2μ,3μ).(3λ-2μ,λ+3μ).
∴
∴a=2b-2c.
9.如右图，已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6）.
求AC和OB交点P的坐标.
解析：设P（x,y）,则=（x,y）,
=(4,4),∵,共线，
∴4x-4y=0.又=（x-2,y-6）,
=(2,-6),且与共线，
∴-6（x-2）-2(y-6)=0.
于是可解得x=3,y=3,即P（3，3）.
10.已知a=(1,2),b=(x,1),μ=a+2b,v=2a-b且μ∥v,求x.
解析：μ=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4),
v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3),
μ∥v,存在λ∈R,使μ=λv.
即（2x+1,4）=λ(2-x,3)=((2-x)λ,3λ).
∴
∴x=.
综合运用
11.已知两点A（2，3），B（-4，5），则与共线的单位向量是(
)
A.（-6，12）
B.（-6，2）或（6，-2）
C.（）
D.（）或（）
解析：=(-6，2)，
∴与共线的单位向量是±
∴单位向量为（）或（）.
答案：D
12.已知边长为单位长的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴的正向上，则向量2+3+的坐标为____________.
解析:由已知，有A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），
∴=（1，0），=（0，1），=（1，1），则有2+3+=（2，0）+（0，3）+（1，1）=（3，4）.
答案：（3，4）
13.已知O（0，0）和A（6，3）两点，若点P在直线OA上，且=，又点P是线段OB的中点，则B的坐标是______________.
解析：由已知，得=（6，3），
∵=，∴=，
∴==（2，1），=2=（4，2）.
答案：（4，2）
14.如右图，已知△ABC,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M,N,D分别是AB、AC、BC的中点，且MN与AD交于F点，则的坐标为_________.
解析：由已知=（-4-3），=（4-7，3-8）=（-3，-5），
又∵D是
BC的中心，∴=（+）=（-4-3，-3-5）=（-3.5，-4）.
又∵M、N分别为AB、AC的中点，
∴F为AD的中点.
∴==-=-（-3.5，-4）=（1.75，2）.
答案：（1.75,2）
15.已知：a、c是同一平面内的两个向量，其中a=(1,2).
若|c|=,且c∥a,求c的坐标
解析：设c=(x,y),∵|c|=,
∴,即x2+y2=20.①
∵c∥a,a=(1,2),
∴2x-y=0,即y=2x.②
联立①②得
∴c=(2,4)或（-2，-4）.
拓展探究
16.已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及=+t，试问：
（1）t为何值时，P在x轴上？在y轴上？P在第二象限？
（2）四边形OABP能否构成平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
解析：（1）=（3，3），
=+t=（1+3t,2+3t）.
若P在x轴上，则2+3t=0，
解得t=-;
若P在y轴上，则1+3t=0，
解得t=-;
若P在第二象限，
则解得＜t＜.
(2)∵=(1,2),=+=(3-3t,3-3t),
若四边形OABP为平行四边形，则
=，
而无解，
∴四边形OABP不能构成平行四边形.2.7
向量应用举例
课后导练
基础达标
1.已知A（1，2），B（3，4），则AB中点的坐标是（
）
A.（2，3）?
B.（-2，-3）
C.（，）
D.（3，2）
解析：设AB中点为C（x,y），
则x==2,y==3,
∴C（2，3）.
答案：A
2.某人用50
N的力（与水平方向成30°角，斜向下）推动一质量为8
kg的木箱沿水平平面运动了20
m，若动摩擦因数μ=0.02，g取10
m/s2，则摩擦力f所做的功为(
)
A.42
J
B.-42
J
C.22
J
D.-22
J
解析：由数量积的物理意义，只需求出摩擦力f的大小，及它与位移的夹角即可.
|f|=(80+50×sin30°)×0.02
N=2.1
N,又f与位移所成的角为180°，
∴f·s=|f||s|cos180°=2.1×20×(-1)
J=-42
J.
答案：B
3.三点A（x1,y1）,B(x2,y2),C(x3,y3)共线，则有…（
）
A.x1y2-x2y1=0
B.x1y3-x3y1=0
C.(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)
D.(x2-x1)(x3-x1)=(y2-y1)(y3-y1)
解析：=(x2-x1,y2-y1),=(x3-x1,y3-y1),
∵AB∥AC,
∴(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0.
答案：C
4.已知a=（1，2），a⊥b，则b可以是（
）
A.（-4，2）
B.（2，-4）
C.（2，1）
D.（-2，-1）
解析：把选项通过x1x2+y1y2=0检验知b可以是（-4，2）.
答案：A
5.某人向正东走x
km后，又向右转150°，然后朝新方向走3
km.结果他离出发点恰好
km，那么x的值等于(
)
A.3
B.
C.或
D.3
解析：设向量a为“向东走x
m”,则|a|=x,设向量b为“朝新方向走
km”,则|b|=3，且a与b的夹角为150°，离出发点为
km,即|a+b|=.
由分析知|a+b|=，∴a2+2a·b+b2=.
∴x2+6x·cos150°+9-3=0,
即x2-x+6=0.
解得x=或.
答案：C
6.已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A、B、C三点共线，则k=________.
解析：
=(k,12),=(4,5),
=(-k,10).
∵A、B、C三点共线，
∴∥.
∵=(k-4,12-5),=(4+k,5-10),
∴(k-4)·（5-10）-（12-5）（4+k）=0,
解之得k=.
答案：
7.以原点和点A(4,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,∠B=90°,则向量的坐标为________.
解析：利用长度公式和垂直条件列出关于向量坐标的方程，然后求解.
设=（x,y）,则=（x-4,y-2）.
由已知
故B（1，3）或B（3，-1）.
∴=(-3,1)或(-1,-3).
答案：(-3,1)或(-1,-3)
8.如右图所示，在△ABC中,D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点,G是它的重心,已知D点的坐标是(1,2),E点的坐标是(3,5),F点的坐标是(2,7),求A、B、C、G的坐标.
解析：设A（x1,y1),由已知得EF平行且等于AD.
∴=.
∴(x1-1,y1-2)=(2-3,7-5)=(-1,2).
∴
∴A(0,4).同理可得B(2,0),C(4,10).连结AE,则AE过点G.
设G(x2,y2),由=2得(x2,y2-4)=2(3-x2,5-y2),
∴
∴G(2,).
9.如右图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1，求：
（1）|F1|、|F2|随角θ的变化而变化的情况；
（2）当|F1|≤2|G|时，θ角的取值范围.
解析：（1）如右图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：G=F1+F2.
解直角三角形得
|F1|=,
|F2|=|G|·tanθ,
当θ从0°趋向于90°时，
|F1|、|F2|皆逐渐增大.
(2)令|F1|==2|G|，
得cosθ≥,又0°≤θ＜90°,∴0°≤θ≤60°.
10.在四边形ABCD中(A、B、C、D顺时针排列),=(6,1),=(-2,-3).若有∥,又有⊥,求的坐标.
解析：设=(x,y)，则=（6+x，1+y)，=(4+x，y-2)，=（-x-4，2-y）,=(x-2,y-3).
又∥及⊥，
∴x(2-y)-(-x-4)y=0,①
(6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0,②
解得
∴=(-6,3)或（2，-1）.
综合运用
11.已知=λ+μ，若M、P、N三点共线，则λ与μ的关系为(
)
A.λ-μ=0
B.λ+μ=0
C.λ-μ=1
D.λ+μ=1
解析：可根据教材中的例题解此题，也可据M、P、N三点共线推导λ与μ的关系.
∵M、P、N三点共线，故存在实数k，使，
∴-=k-k，即=k+（1-k）.又=λ+μ，
∴∴λ+μ=1.
答案：D
12.若ABCD为正方形，E是CD的中点，且=a，=b，则等于（
）
A.b+a
B.b-a
C.a+b
D.a-b
解析：=-=+-=+-=b-a.
答案：B
13.在水流速度为
km/h的河水中，一艘船以12
km/h的速度垂直对岸行驶，求这艘船实际航行速度的大小_______，方向_______.
解析：如右图，设表示水流速度，表示船垂直对岸行驶的速度，以为一边、为一对角线作ABCD,则就是船实际航行的速度.
∵||=,||=12,
∴||=||=;
tan∠ACB=,∠CAD=∠ACB=30°,∠BAD=120°.
答案：
km/h
与水流速度方向的夹角为120°
14.已知线段AB的长度为4，点M在线段AB上，若点P（P与AB不共线）满足=（+）且||=2，则与的夹角为___________.
解析：∵=(+),||=2,
∴42=2+2·+2.①
又|-|=||=4,
∴2-2·+2=16.②
由①②可知，·=0，故与的夹角为.
答案:
15.如右图，已知A、B、C是不共线的三点,O是△ABC内的一点,若++=0,求证：O是△ABC的重心.
证明：如右图，由于++=0,
∴=-(+),即+是的相反向量.以,为邻边构造平行四边形OBDC,则有=-.在平行四边形BOCD中,设BC与OD交于E点,则=,=,∴AE是△ABC的中线,且||=2||,故O是△ABC的重心.
拓展探究
16.美国不顾国际社会的强烈反对,于2001年7月14日进行导弹防御系统拦截技术的第四次实验,军方先从加利福尼亚州的危登堡空军基地发射一枚作为标靶的洲际弹道导弹和诱弹,再从马绍尔群岛的夸贾林环礁发射另一枚导弹对前一枚导弹进行拦截,实施拦截时必须准确计算标靶的飞行速度、瞬时位置.现假设标靶与拦截导弹的飞行轨迹均在同一平面内,标靶飞行速度为|v|=10n
km/h.令ν=λ1e1+λ2e2,基底e1、e2是平面内的单位向量.若标靶的飞行方向为北偏东30°,
e1方向为正东,e2方向为北偏东60°,试求λ1、λ2的值.
解析：建立如右图所示的直角坐标系，则e1=(1,0),e2=(,),v=(5n,n).
∵e1,e2不共线，
∴v=λ1
e1+λ2
e2=λ1(1,0)+λ2(,),
(5n,n)=(λ1+λ2,λ2).
∴∴λ1=-10n,λ2=n.2.5
从力做的功到向量的数量积
课后导练
基础达标
1.若a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是(
)
A.（a+b）+c=a+（b+c）
B.（a+b）·c=a·c+b·c
C.m（a+b）=ma+mb
D.（a·b）c=a（b·c）
解析:由向量的运算律知选项D不一定成立.
答案：D
2.设a、b、c是任意的非零向量，且相互不共线，则①（a·b）c-（c·a）b=0；②a2=|a|2；③（b·c）a-（c·a）b不与c垂直；④（3a+2b）·（3a-2b）=9|a|2-4|b|2中，正确的有(
)
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
解析：①中，a·b的运算结果为数，故（a·b）c为一向量，同理（a·c）b也是一向量，向量之差为向量.故①不正确.由数量积的性质知②正确.
又［（b·c）a-（c·a）b］·c=（b·c）（a·c）-（c·a）（b·
）=0，而（a·c）b与（b·c）a不可能同时为零向量.故③不正确，④正确.
答案：D
3.在边长为1的正三角形ABC中，设=c，=a,=b,则a·b+b·c+c·a等于（
）
A.1.5
B.-1.5
C.0.5
D.-0.5
解析：在正三角形ABC中，a·b=|a|·|b|cos60°=0.5,
b·c=|b|·|c|cos60°=0.5,
a·c=|a|·|c|cos120°=-0.5,
答案：C
4.(2004重庆高考，6)
若向量a与b的夹角为60°，|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模是(
)
A.2
B.4
C.6
D.12
解析：（a+2b）·(a-3b)=|a|2-a·b-6|b|2=-72
∴|a|2-|a|·|b|·cos60°-6|b|2=-72
∴|b|=4代入上式，解得：|a|=6(∵|a|＞0).
答案：C
5.△ABC中，=a,=b,若a·b＜0,则△ABC形状为（
）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.不能判断
解析：由a·b＜0,知cos〈a,b〉＜0,所以〈a,b〉＞,所以∠ABC为锐角.三角形中，∠ABC为锐角，并不能判断三角形形状，所以选D.
答案：D
6.比较大小|a·b|___________|a|·|b|.
解析：a·b=|a||b|cosθ,
∴|a·b|=|a||b||cosθ|≤|a|·|b|.
答案：≤
7.已知e为单位向量，|a|=4，a与e的夹角为，则a在e方向上的投影为________.
解析:由向量在另一方向上投影的定义解答此题.
投影为=|a|·cos=-2.
答案：-2
8.利用向量证明：菱形的两条对角线互相垂直.
证明:设=a,=b,则|a|=|b|.
∵=a+b,=a-b,
∴·=(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0.
∴⊥.
∴AC⊥BD.
9.已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为,求（1）a·b;(2)a2;(3)|a+b|.
解析：(1)a·b=|a||b|cos=6×4×=.
(2)a2=a·a=|a|2=62=36.
(3)|a+b|=.
10.已知平面上三个向量a、b、c的模为1，它们相互间的夹角均为120°.
（1）求证：（a-b）⊥c；
（2）若|ka+b+c|=1（k∈R），求k的值.
（1）证明：∵（a-b）·c=a·c-b·c
=|a||c|·cos120°-|b||c|cos120°，
又|a|=|b|=|c|，∴（a-b）·c=0，即（a-b）⊥c.
（2）解析：由|ka+b+c|=1，得|ka+b+c|2=12，
即（ka+b+c）2=1，
∴k2a2+b2+c2+2b·c+2ka·b+2ka·c=1.
又a·b=a·c=b·c=-，
∴k2-2k=0.解得k=2或0.
综合运用
11.已知△ABC满足2=·+·+，则△ABC是(
)
A.等边三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
解析：∵·+·=·（-）=2，
∴=0.
∴⊥,
即AC⊥BC.
∴△ABC为直角三角形.
答案：C
12.若a、b是不共线的两向量，且=λ1a+b，=a+λ2b（λ1、λ2∈R），已知A、B、C三点共线，则(
)
A.λ1=λ2=-1
B.λ1=λ2=1
C.λ1λ2+1=0
D.λ1λ2-1=0
解析:可用待定系数法，用共线向量定理建立待定系数的方程.
∵A、B、C三点共线，∴存在实数k,使得=k，即λ1a+b=ka+λ2kb.
又a、b不共线，
∴.消去k得λ1λ2-1=0.
答案：D
13.若|a|=m(m＞0),b=λa(λ＞0),则a·b=_______;若|a|=m(m＞0),b=λa(λ＜0),则a·b=________.
解析：∵b=λa(λ＞0),∴〈a·b〉=0,∴a·b=λm2.
当b=λa(λ＜0)时，〈a·b〉=π,∴a·b=-λm2.
答案：λm2
-λm2
14.已知|a|=2,|b|=,a与b的夹角为45°，要使λb-a与a垂直，则λ=________.
解析：若λb-a与a垂直，则(λb-a)·a=0,
即λb·a-a2=0,
∴λ|b|·|a|·cos45°-|a|2=0,
∴λ××2×-22=0,
∴λ=2.
答案：2
15.求证：直径上的圆周角为直角.
证明：如右图，设=a,=b,有=a.
∵=a+b,=a-b且|a|=|b|,
∴·=(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0.
∴⊥.∴∠ABC=90°.
拓展探究
16.设a与b是两个互相垂直的单位向量，问当k为整数时，向量m=ka+b与向量n=a+kb的夹角能否等于60°，证明你的结论.
解析：假设夹角等于60°，
∵|m|2=|ka+b|2=(ka+b)2=k2+1,
|n|2=|a+kb|2=(a+kb)2=k2+1.
m·n=(ka+b)·(a+kb)=2k,
∴2k=×cos60°,
即4k=k2+1,解得k=2±这与k为整数矛盾.
∴m与n的夹角不能等于60°.2.1
从位移、速度、力到向量
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下列说法中正确的是(
)
A.向量∥就是的基线平行于的基线
B.长度相等的向量叫相等向量
C.零向量长度等于0
D.共线向量是在一条直线上的向量
解析：平行向量、共线向量：方向相同或相反的向量称为平行向量或共线向量.
零向量：长度等于0的向量，零向量的方向不确定.
答案：C
2.指出下列哪些量是向量.
①重力
②速度
③高度
④位移
⑤面积
⑥体积
解析：既有大小又有方向的量叫向量.只有大小、没有方向的量叫数量.没有特定位置的向量叫自由向量.
答案：①②④
3.如图2-1-1，在正六边形ABCDEF中与向量相等的向量有哪些？
图2-1-1
解：在正六边形中，||=||=||=||.
又∵AF∥EB∥DC，∴与、、方向相同.
∴与相等的向量有、、.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.长度为1的向量叫单位向量，把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是（
）
A.一条线段
B.一段圆弧
C.两个孤立点
D.一个圆
解析：根据向量的定义解答.
答案：D
2.如图2-1-2，在圆O中，向量、、是（
）
图2-1-2
A.有相同起点的向量
B.单位向量
C.模相等的向量
D.相等的向量
解析：其长度为圆的半径.
答案：C
3.下列说法中不正确的是(
)
A.零向量是没有方向的向量
B.零向量与任意向量共线
C.零向量只能与零向量相等
D.零向量的方向是任意的
解析：因为零向量是向量，所以由向量的概念知，它一定有方向.
答案：A
4.在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量是（
）
A.与
B.与
C.与
D.与
解析：根据向量共线的定义解答.
答案：B
5.一质点从平面内的O点出发，向北前进a
m后，右转20°，再前进a
m，再右转20°，按此方法继续前进.问前进多少次，该质点第一次回到O点？
解析：很容易发现，质点回到出发点时正好是转了一周，于是由圆周角除以20°就可以了.
答案：18次.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.有下列物理量：①质量、②速度、③位移、④力、⑤加速度、⑥路程、⑦密度、⑧功，其中不是向量的有(
)
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.4个
解析：速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小没有方向，不是向量，是数量.故选D.
答案：D
2.下列说法中正确的是(
)
A.只有方向相同或相反的向量是平行向量
B.零向量的长度为0
C.长度相等的两个向量是相等向量
D.共线向量是在一条直线上的向量
解析：根据相等向量与共线向量的概念.
答案：B
3.下列命题中正确的是(
)
A.若|a|＞|b|，则a＞b
B.若|a|=|b|，则a=b
C.若a=b，则a∥b
D.若a≠b，则ab
解析：因为向量是“既有大小又有方向的量”，故向量之间无大小之分.又因为相等向量是指“大小相等、方向相同的向量”，所以选C.
答案：C
4.下列说法中不正确的是(
)
A.向量的长度与向量长度相等
B.任何一个非零向量都可以平行移动
C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D.两个有共同起点且共线的向量其终点必相同
解析：共线向量只与方向有关，所以D不正确.
答案：D
5.下列说法：①两个有公共起点且长度相等的向量，其终点可能不同；②若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线；③若a∥b且b∥c，则a∥c;④当且仅当=时，四边形ABCD是平行四边形.其中正确的个数为(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：①正确.
②不正确，这是由于向量的共线与表示向量的有向线段共线是两个不同的概念.
③不正确，假设向量b为零向量，因为零向量与任何一个向量都平行，符合a∥b且b∥c的条件，但结论a∥c却不能成立.
④正确，这是因为四边形ABCD是平行四边形AB∥DC且AB=DC，即和相等.
综上可知应选C.
答案：C
6.设O是正六边形ABCDEF的中心，那么图2-1-3中与向量、、相等的向量分别有多少个（
）
图2-1-3
A.1，2，3
B.2，2，1
C.2，2，3
D.3，3，3
解析：===；===;===.
答案：D
7.下列叙述正确的是(
)
A.长度相等的向量一定相等
B.相等向量的起点必相同
C.平行向量就是共线向量
D.与共线，则A、B、C、D四点共线
解析：相等向量必须大小相等，方向相同，相等向量与起点和终点的位置无关.向量共线是指向量的方向相同或相反，与平面几何中的共线有区别.
答案：C
8.以下说法正确的是______________.
①单位向量均相等
②单位向量共线
③共线的单位向量必相等
④单位向量的模相等
解析：由单位向量的定义可知只有④正确.
答案：④
9.如图2-1-4，△ABC是等腰三角形，则两腰上的向量与的关系是______________.
图2-1-4
解析：△ABC是等腰三角形，所以|AB|=|AC|.
答案：模相等
10.若a0是a的单位向量，则a与a0的方向____________，与a0的长度___________.
解析：根据单位向量的概念.
答案：相同或相反
相等
11.给出以下5个条件：①a=b；②|a|=|b|；③a与b的方向相反；④|a|=0或|b|=0；⑤a与b都是单位向量，其中能使a与b共线成立的是_______________.
解析：根据共线向量的概念.
答案：①③④
12.如图2-1-5，在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别是它们所在边的中点，O是EG、FH的交点，指出图中所标的向量中与相等的向量.
图2-1-5
解：由题意，据平行四边形的性质可知，与相等的向量有、、.2.3
从速度的倍数到数乘向量
2.3.1
数乘向量
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下列等式中不正确的是(
)
A.++=0
B.-=
C.0·=0
D.λ（μa）=λμa
解析：选项A说明首尾相连的向量之和为0，还可推广到n个向量首尾相连.对零向量的运算有明确规定，另外运算律也要熟练掌握.
0·≠0.
答案：C
2.化简：（1）5（3a-2b）+4（2b-3a）；
（2）6（a-3b+c）-4（-a+b-c）；
（3）（x-y）（a+b）-（x-y）（a-b）；
（4）（a+2b）+（3a-2b）-（a-b）.
解：（1）5（3a-2b）+4（2b-3a）=15a-10b+8b-12a=3a-2b；
（2）6（a-3b+c）-4（-a+b-c）=6a-18b+6c+4a-4b+4c=10a-22b+10c；
（3）（x-y）（a+b）-（x-y）（a-b）=xa+xb-ya-yb-xa+xb+ya-yb=2（x-y）b；
（4）（a+2b）+（3a-2b）-（a-b）=（）a+（）b=a+b.
3.已知两个非零向量a、b，试作=a+b，=a+2b，=a+3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
解：分别作向量、、，过点A、C作直线AC，观察发现，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线.
事实上，因为=-=a+3b-（a+2b）=b，
而=-=a+3b-（a+b）=2b，
于是=2，
所以，A、B、C三点共线.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知菱形的两邻边=a，=b，其对角线交点为D，则等于(
)
A.a+b
B.a+b
C.(a+b)
D.a+b
解析：由平行四边形法则及平行四边形的性质可得出答案.
答案：C
2.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括A、C点），则等于(
)
A.λ（+），λ∈（0，1）
B.λ（+），λ∈（0，）
C.λ（-），λ∈（0，1）
D.λ（-），λ∈（0，）
解析：由题意，知=+，又点P在AC上，故存在实数λ∈（0，1）使=?λ.
答案：A
3.若3m+2n=a，m-3n=b，其中a、b是已知向量，求m、n.
解：3m+2n=a，
①
m-3n=b，
②
3×②,得3m-9n=3b.
③
①-③,得11n=a-3b.
∴n=.
④
将④代入②得m=b+3n=.
4.在平行四边形ABCD中，=a，=b，求、.
解法一：利用平行四边形的性质得==a，==b.
∵=+=-，
∴=a-b.
又∵=+，=，
?∴=a+b.
解法二：将、视为未知量，由向量的加法、减法得：
+=，-=.
两式相加得2=+，
∴=+=a+b.
两式相减得2=-，
∴=-=a-b.
5.用向量方法证明：三角形两边中点连线平行于第三边，且其长度等于第三边长度的一半.
证明：如图，已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点.求证：DE∥BC，且DE=.
∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴=，=.
∴=-=（-）=.
又D不在BC上，∴DE∥BC，且DE=.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.已知正方形ABCD的边长为1，=a，=b，=c，则a+b+c的模等于(
)
A.0
B.3
C.
D.
解析：由四边形ABCD为正方形，可知+=，即a+b=c，所以a+b+c=2c.
又||=，故a+b+c的模为.
答案：C
2.已知||=||=1且向量与不共线，则与∠BAC的平分线共线的向量是(
)
A.
B.+
C.-
D.
解析：由||=||=1且与不共线，可知以AB、AC为边的平行四边形为菱形，由菱形的性质和向量加法的平行四边形法则可解此题.
分析知选B.
答案：B
3.已知△ABC中，点D在BC边上，且=2，=r+s，则r+s的值是(
)
A.
B.
C.-3
D.0
解析：∵=2，
∴==r+s.
又++=0，
∴--=0，即-r-s-=0.
∴（1-r）-（s+1）=0，即
答案：D
4.已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，若++=，则点P与△ABC的关系为(
)
A.P在△ABC的内部
B.P在△ABC的外部
C.P在AB边或其延长线上
D.P在AC边上且是AC的一个三等分点
解析：由++=，得++=-，
即2=-.∴=2.由向量的数乘的几何意义知选D.
答案：D
5.如图2-3-1，在△ABC中，BD=DC，AE=3ED，若=a，=b，则等于(
)
图2-3-1
A.b+a
B.b-a
C.b+a
D.b-a
解析：=-=-=?（+）?-=+××=+（-）=-=b-a.
答案：B
6.已知a与b是不共线向量，实数x、y满足3xa+（10-y）b=2xb+（4y+7）a，则x+y=_____________.
解析：∵a、b不共线且3xa+（10-y）b=2xb+（4y+7）a，
∴3x=4y+7，10-y=2x.解得x=.
故x+y=.
答案：
7.在平行四边形ABCD中，设对角线=a，=b，试用a、b表示、.
解法一：设AC、BD交于点O，则===a，同理，=b.
∴=+=-=a-b.
同理，=a+b.
解法二：设=x，=y，那么+=，-=，
即a=x+y，b=y-x.∴x=（a-b），y=（a+b），
即=a-b，=a+b.
8.若O、A、B三点不共线，已知=m+n，m、n∈R，且m+n=1，那么点P的位置如何 请说明理由.
解：由已知=m+n=m+（1-m）=+m（-），
∴-=m（-），即=m.
∴与共线，即点P在直线上.
说明：由此题可猜想，P、A、B三点共线的充要条件是：存在实数λ、μ使=λ+μ，且λ+μ=1.
9.如图2-3-2，D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且=a，=b.
求证：（1）=a-b；（2）=a+b；(3)=；(4)++=0.
图2-3-2
证明：（1）=+=-b-a.
(2)=+=a+b.
(3)
=+=+=b+(+)=b+(-b-a)=a+b.
(4)++=a-ba+b+a+b=0.2.2.2
向量的减法
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.如图2-2-7所示，设=a，=b，=c，则等于(
)
图2-2-7
A.a-b+c
B.b-（a+c）
C.a+b+c
D.b-a+c
解析：由于a-b=-=,+=，所以a-b+c=.
答案：A
2.化简--等于(
)
A.0
B.2
C.-2
D.2
解析：因为-=,-=+=2，
所以--=2=-2.
答案：C
3.如图2-2-8，已知O为平行四边形ABCD内一点，=a，=b，=c，求.
图2-2-8
解：因为=,
=-,=-,
所以-=-,=-+.
所以=a-b+c.
4.在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点.设=a，=b，求作a-b，，.
解：如图，a-b=-=，
a-b=-=，
b+a=+=.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.在平行四边形ABCD中，++等于(
)
A.
B.
C.
D.
解析：依据向量的加法和减法法则进行化简.
解法一：++=(+)+=-=.
解法二：在平行四边形ABCD中，=-(+),=-，所以++=-(+)+-=-=.
答案：C
2.化简（-）+（-）的结果为(
)
A.
B.0
C.
D.
解析：（-)+(-)=(+)-(+)=-=-+=.
答案：C
3.已知向量a与b反向，则下列等式成立的是(
)
A.|a|+|b|=|a-b|
B.|a|-|b|=|a-b|
C.|a+b|=|a-b|
D.|a|+|b|=|a+b|
解析：如下图，作=a，=-b，易知选A.
答案：A
4.平面内有四边形ABCD和点O，若+=+，则四边形ABCD的形状是______________.
解析：∵+=+，∴-=-，即=.
由向量相等的定义知ABCD，故四边形ABCD为平行四边形.
答案：平行四边形
5.如图2-2-9，ABCD是一个梯形，AB∥CD且AB=2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知=a,=b，试用a、b表示和.
图2-2-9
解：连结CN，N是AB的中点，∵ANDC，
∴四边形ANCD是平行四边形
=-=-b，
又++=0，
∴=--=,
=-=+=a-b.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.下面给出四个式子，其中值为0的是(
)
①++
②+++
③-+-
④++-
A.①②
B.①③
C.①③④
D.①②③
解析：由向量加减法的几何意义可知①③④是正确的.
答案：C
2.如图2-2-10，在平行四边形ABCD中，=a，=b，=c，=d，则下列运算正确的是(
)
图2-2-10
A.a+b+c+d=0
B.a-b+c-d=0
C.a+b-c-d=0
D.a-b-c+d=0
解析：a-b=，c-d=，+=-=0.
答案：B
3.非零向量a、b满足|a|=|b|=|a+b|=1，则|a-b|=________________.
解析：由向量加法的平行四边形法则作图，易知OACB为菱形，故||=，即|a-b|=.
答案：
4.向量a、b的大小分别为2、8，则|a+b|的大小的取值范围是_______________.
解析：（1）当a、b同向时，|a+b|=|a|+|b|=8+2=10；
（2）当a、b反向时，|a+b|=|b|-|a|=8-2=6；
（3）当a、b不共线时，由向量加法的三角形法则和三角形的三边关系，知|b|-|a|＜|a+b|＜|a|+|b|.
故|a+b|∈［6，10］.
答案：［6,10］
5.如图2-2-11在边长为1的正方形ABCD中，设=a，=b，=c，求|a-b+c|.
图2-2-11
解：因为a-b=-=，过B作==c，
则=+=a-b+c.
因为AC⊥BD，且||=||=，所以DB⊥BM，||=||=.
所以||=2，即|a-b+c|=2.
6.已知=a，=b，且|a|=|b|=4，∠AOB=60°.
（1）求|a+b|、|a-b|；
（2）求a+b与a的夹角及a-b与a的夹角.
解：如下图，以、为邻边作平行四边形OACB.
∵|a|=|b|=4，∠AOB=60°，∴平行四边形OACB为菱形.
（1）a+b=+=,a-b=-=.
∴|a+b|=||=|2|=2××4=4，|a-b|=||=4.
（2）∵∠COA=∠AOB=30°，a+b与a所成的角即∠COA=30°，a-b与a所成的角即与所成的角∠CBA=60°.
7.如图，若ABCD是一个等腰梯形，AB∥CD，M、N分别是DC、AB的中点，已知=a，=b，=c，试用a、b、c表示和.
图2-2-12
解：作CE∥DA交AB于E，作CF⊥AB于F
∵AB∥DC，CE∥DA，
∴四边形AECD是平行四边形.
∴=-=-b.
∵=-=-=a-c，
∴=-=b+c-a.
==-=（c-a)-b-c+a=a-c-b
8.如图，在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，=a，求-+.
图2-2-13
解：-+=++=+=2.
∵D、F分别为BC、AB的中点,
∴|DF|=|AC|.∴2==-a.
∴-+=-a.
9.设在平面上有一任意四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边AB、BC、CD、DA的中点，求证：=.
证明：连结AC，
∵KL，MN分别是△ABC，△ADC的中位线，
∴∥，且||=||.
同理∥,
且||=||,
∴||=||.
又∵与方向相同,
∴=.2.3
从速度的倍数到数乘向量
自我小测
1．若3x－2(x－a)＝0，则向量x等于( )
A．2a
B．－2a
C．a
D．－a
2．已知向量a，b不共线，若向量a＋λb与b＋λa的方向相反，则λ等于( )
A．1
B．0
C．－1
D．±1
3．如图，在△ABC中，设E为BC边的中点，则＝( )
A．
B．
C．
D．
4．已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，其对角线交点为O，则等于( )
A．a＋b
B．a＋b
C．(a＋b)
D．a＋b
5．已知△ABC和点M满足.若存在实数m使得成立，则m＝( )
A．2
B．3
C．4
D．5
6．化简：(4a＋b)－3(b－a)＝__________.
7．若＝5e，＝－7e，且，则四边形ABCD是__________形．
8．设e1，e2是两个不共线的向量，＝(e1＋5e2)，＝－2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，则共线的三点是__________．
9．如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且，求证：M，N，C三点共线．
10．已知a，b是不共线向量，且＝3a＋2b，＝a＋λb，＝－2a＋b，若A，B，D三点共线，试求实数λ的值．
参考答案
1．解析：由题意知3x－2x＋2a＝0，故x＝－2a.
答案：B
2．解析：∵向量a＋λb与b＋λa的方向相反，
∴(a＋λb)∥(b＋λa)，即存在一个负实数m，使得a＋λb＝m(b＋λa)，
即(1－mλ)a＝(m－λ)b.
∵a与b不共线，
∴1－mλ＝m－λ＝0，可得m＝λ＜0，
∴1－λ2＝0，∴λ＝－1.
答案：C
3．解析：
＝
＝
＝.
答案：D
4．解析：∵＋＝＝，＝a，＝b，
∴＝(a＋b)．
答案：C
5．解析：∵，∴点M是△ABC的重心．
∴.∴m＝3.
答案：B
6．解析：(4a＋b)－3(b－a)＝2a＋b－3b＋3a＝5a－b.
答案：5a－b
7．解析：∵＝5e，＝－7e，∴AB∥CD，且AB≠CD.
又∵，∴四边形ABCD是等腰梯形．
答案：等腰梯
8．解析：∵＝＋＝(－2e1＋8e2)＋3(e1－e2)＝e1＋5e2，＝(e1＋5e2)＝，
∴∥，
∴A，B，D三点共线．
答案：A，B，D
9．证明：设=a，=b，则由向量减法的三角形法则可知
.
又∵点N在BD上，且BN=BD，
∴，
∴，
∴.
又∵与的公共点为C，
∴C，M，N三点共线．
10．解：∵＝－＝(－2a＋b)－(a＋λb)＝－3a＋(1－λ)b，且A，B，D三点共线，
∴与共线，因此存在实数μ使得，
即3a＋2b＝μ[－3a＋(1－λ)b]＝－3μa＋μ(1－λ)b.
∵a，b是不共线向量，
∴∴.
故当A，B，D三点共线时，λ＝3.2.3
从速度的倍数到数乘向量
自主广场
我夯基
我达标
1.O是平行四边形ABCD对角线的交点，下列各组向量：①与；②与；③与；④与.其中可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底的是（
）
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
思路解析：平面内任意不共线的两个向量均能构成一组向量基底.通过画图可得①与不共线；②=-，则∥，所以与共线；③与不共线；④=-，则∥，所以与共线.由平面向量基底的概念知①③可以构成平面内所有向量的基底.
答案：B
2.如图2-3-8，矩形ABCD中，若=5e1，=3e2，则等于（
）
图2-3-8
A.（5e1+3e2）
B.（5e1-3e2）
C.（3e2+5e1）
D.（5e2-3e1）
思路解析：用，表示，再代入向量和的值即可.==（-）=（+）=（+）=(5e1+3e2).
答案：A
3.M为△ABC的重心，点D、E、F分别为三边BC、AB、AC的中点，则++为（
）
A.6
B.-6
C.0
D.6
思路解析：如图2-3-9所示，由题意，知设MB的中点为P，连结DP、PE，得平行四边形MDPE，取向量，为一组基底，则有=2=2（+），=-2，=-2，则有++=0.
图2-3-9
答案：C
4.(2006广东高考卷，3)如图2-3-10所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量为（
）
图2-3-10
A.-+
B.--
C.
-
D.+
思路解析：用基向量，表示向量.=+=-+.
答案：A
5.(2006河北石家庄一模，理7)在△ABC中，点D在直线BC上，且=4=r-s，则s+t等于（
）
A.0
B.
C.
D.3
思路解析：如图2-3-11所示，由题意，得点D在线段CB的延长线上.∵=4，∴=.
又∵=-,∴=
(-)=
-,∴r=s=，∴s+t=.
图2-3-11
答案：C
6.在△ABC中，设=m，=n，D、E是边BC上的三等分点，则=_______________,=_______________.
思路解析：由D、E是边BC上的三等分点，可得=,=，转化为已知向量即可.
答案：m+n
m+n
我综合
我发展
7.如图2-3-12，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在线段BD上，且有BN=BD，求证：M，N，C三点共线.
图2-3-12
思路分析：要证M，N，C三点共线，只需证向量与共线即可.
证明：设=a，=b(a,b不共线)，则=+=-=b-a.
∵N是BD的三等分点，
∴==b-b.
而=+=+=a+b-a=a+b，=+=+=a+b，
∴=.
又∵、有共同的起点M，
∴M,N,C三点共线.
8.用向量方法证明：梯形中位线平行于底且等于上、下两底和的一半.
思路分析：用向量证明几何问题，首先要用向量表示几何元素，然后进行向量线性运算，最后作出运算结果的几何意义解释即可.
证明：如图2-3-13，已知梯形ABCD中，E、F是两腰、的中点，求证：∥∥，且||=（||+||）.
图2-3-13
证明：∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴=-，=-,
∵=++，
=++.
∴=（+++++）=（+）.
又∵∥，
∴设=λ(λ∈R).
∴=(+)=(+λ)=.
∴∥.
∵E、F、D、C四点不共线，
∴∥.
同理,可证∥，
∵∥且同向，
∴||=|（+）|=|+|=（||+||）.
∴||=（||+||）.
9.在正六边形ABCDEF中，=a，=b，求,,.
思路分析：由平面几何的知识可知，正六边形的各边长相等，相对的边平行且相等，边长与其外接圆的半径也相等.应用平行向量及相等向量的知识、向量的加法运算，容易用a,b表示所求的向量.
解：如图2-3-14，连结FC交AD于O，连结OB，由平面几何知识得四边形ABOF、四边形ABCO均是平行四边形.
图2-3-14
解法一：根据向量的平行四边形法则有
=+=a+b.
在平行四边形ABCO中，
=+=a+b+a=2a+b.
由正六边形知识知，=2=2a+2b.
又=+,且=-,
∴=-=2a+2b-a=a+2b.
解法二：根据向量的平行四边形法则有
=+=a+b.
∵=，∴=a+b.
根据向量加法的三角形法则得
=+，
∴=a+b+a=2a+b.
又∵==b，
∴=+=2a+b+b=2a+2b.
=+=-=2a+2b-a=a+2b.
10.设x为未知向量，解方程x+3a-b=0.
思路分析：这是一个关于未知向量的向量方程，由于向量具有许多与数相同的运算性质，我们可以按照解关于数的方法来解这个方程.
解：原方程可化为x+(3a-b)=0，
∴x=-(3a-b）.
∴x=-9a+b.
11.如图2-3-15，在平行四边形PQRS中，在PQ、QR、RS、SP上分别取点K、L、M、N，其中K、N分别为PQ，PS的中点，QL=QR,SM=SR，设KM与LN交于A点，=q，=s，试用q,s表示.
图2-3-15
思路分析：由于，而=，关键是求.又由于与共线，而可用q,s表示，这样可以求得一个关于q,s的分解式(含参数).同样，利用,还可求得另一个关于q,s的分解式(也含参数).由于关于q,s的分解式的唯一性，就可得到含参数的两个方程，解出参数值，问题得到解决.
解：∵与共线，
∴存在实数λ1，使=λ1.
∵=,K为的中点，
=,=-,=，
∴=+(-)=，
即=q+s.
∴=-q+λ1s.
∵=+,K为的中点，
∴=q-q+λ1s，即=（-)q+λ1s.
同样，设=λ2，
==+-=-=q-s，
∴=+λ2=s+λ2q-s=(-)s+λ2q.
∵关于q,s的分解式是唯一的，
∴解得
∴=.2.3
从速度的倍数到数乘向量
自我小测
1．已知a＝xe1＋2e2与b＝3e1＋ye2共线，且e1，e2不共线，则xy的值为( )
A．6
B．
C．－6
D．－
2．设a，b为基底向量，已知向量＝a－kb，＝2a＋b，＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于( )
A．2
B．－2
C．10
D．－10
3．若点O是ABCD的两条对角线的交点，且＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1＝( )
A．
B．
C．
D．
4．已知平面内有一点P及一个△ABC，若，则( )
A．点P在△ABC外部
B．点P在线段AB上
C．点P在线段BC上
D．点P在线段AC上
5．已知AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b
B．a＋b
C．a－b
D．－a＋b
6．如图所示，已知，用，表示＝__________.
7．在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，则m＋n的值为__________．
8．若e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，且a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则k的值为__________．
9．设e1，e2是两个不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式．
参考答案
1．解析：由a，b共线，得a＝λb(λ为实数)，即xe1＋2e2＝3λe1＋λye2.
∵e1，e2不共线，
∴x＝3λ，2＝λy，且λ≠0，
∴xy＝3λ·＝6.
答案：A
2．解析：＝＋＋＝(a－kb)＋(－2a－b)＋(3a－b)＝2a－(k＋2)b.
∵A，B，D三点共线，∴存在实数λ使得，
即a－kb＝λ[2a－(k＋2)b]＝2λa－λ(k＋2)b.
∵a，b为基底向量，
∴
解得λ＝，k＝2.
答案：A
3．解析：3e2－2e1＝＝＝＝.
答案：C
4．解析：∵，
∴＝0，
即＝0，
∴＝0，
∴，
∴点P在线段AC上．
答案：D
5．解析：设AD与BE的交点为F，
则＝a，＝b.
则＝0，得＝(a－b)，
所以＝a＋b.
答案：B
6．解析：
＝.
答案：
7．解析：＝()＝＋.
∵M，O，N三点共线，
∴＋＝1，
∴m＋n＝2.
答案：2
8．解析：当a∥b时，a，b不能作为一组基底，故存在实数λ，使得a＝λb，
即3e1－4e2＝λ(6e1＋ke2)，
∴6λ＝3，且kλ＝－4，
解得λ＝，k＝－8.
答案：－8
9．(1)证明：假设a，b共线，则a＝λb(λ∈R)，则
e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，
得
即
所以λ不存在，故a，b不共线，
即a，b可以作为一组基底．
(2)解：设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
所以解得故c＝2a＋b.2.4
平面向量的坐标
自我小测
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为( )
A．－2,1
B．1，－2
C．2，－1
D．－1,2
2．若＝(2,4)，＝(1,3)，则等于( )
A．(1,1)
B．(－1，－1)
C．(3,7)
D．(－3，－7)
3．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ1(3,4)，λ1∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，λ2∈R}，则M∩N等于( )
A．{(1,1)}
B．{(1,1)，(－2，－2)}
C．{(－2，－2)}
D．
4．已知向量a＝(3，－2)，b＝(－2,1)，c＝(7，－4)，试用a和b来表示c.下面表示正确的是( )
A．c＝5a－3b
B．c＝a－2b
C．c＝2a－b
D．c＝2a＋b
5．设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量m，n之间的一个运算“”为mn＝(ac－bd，ad＋bc)，若已知p＝(1,2)，pq＝(－4，－3)，则q等于( )
A．(－2,1)
B．(2,1)
C．(2，－1)
D．(－2，－1)
6．已知a1＝(1,0)，a2＝(1，－1)，a3＝(2,2)，若a1＋xa2＋ya3＝0，则x＋y的值为__________．
7．已知e1＝(1,2)，e2＝(－2,3)，a＝(－1,2)，试以e1，e2为基底将a分解为a1e1＋a2e2的形式为__________．
8．已知点A(－1,5)，a＝(－1,2)，若＝3a，则B点的坐标是__________．
9．已知点A(－1,2)，B(2,8)，，，求点C，D的坐标和的坐标．
10．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)，O为坐标原点．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足(λ∈R)，求y与λ的值．
参考答案
1．解析：∵c＝λ1a＋λ2b，
∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)．
∴解得λ1＝－1，λ2＝2.
答案：D
2．解析：∵－＝，
∴＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．
答案：B
3．解析：令(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，
即(1＋3λ1,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)．
∴解得
故M与N只有一个公共元素(－2，－2)．
答案：C
4．解析：设c＝λa＋μb，则(7，－4)＝λ(3，－2)＋μ(－2,1)，
即得
所以c＝a－2b.
答案：B
5．解析：设q＝(x，y)，由题设中运算法则得，
pq＝(x－2y，y＋2x)＝(－4，－3)，
∴解之，得
故q＝(－2,1)．
答案：A
6．解析：由条件知得
所以x＋y＝－.
答案：－
7．解析：设a＝a1e1＋a2e2(a1，a2∈R)，
则(－1,2)＝a1(1,2)＋a2(－2,3)＝(a1－2a2,2a1＋3a2)，
所以解得
所以a＝e1＋e2.
答案：a＝e1＋e2
8．解析：设B(x，y)，则由＝3a得，(x＋1，y－5)＝(－3,6)，解得x＝－4，y＝11，故B点的坐标是(－4,11)．
答案：(－4,11)
9．解：设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
由题意得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，
＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．
因为，，
所以有且，
解得.
所以点C，D的坐标分别是(0,4)，(－2,0)，
从而＝(－2，－4)．
10．解：(1)＝(－1，－2)＋(4,3)＝(3,1)，
即B(3,1)．
＝(－1，－2)＋(－3，－1)＝(－4，－3)，即D(－4，－3)．设M(x，y)，
由中点坐标公式得
∴Meq
\b\lc\(\rc\)().
(2)＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
∵，
∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)，
∴解得.2.2
从位移的合成到向量的加法
自主广场
我夯基
我达标
1.正方形ABCD的边长为1，则|+++|为（
）
A.1
B.
C.3
D.
思路解析：|+++|=2||=.
答案：D
2.如图2-2-10，四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是（
）
图2-2-10
A.+=
B.+=
C.+=
D.+=
思路解析：由三角形法则和平行四边形法则知，+=，A错；+=，B错；+=，D错.C中+=+==，故C是正确的.
答案：C
3.已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a+b的方向（
）
A.与向量a方向相同
B.与向量a方向相反
C.与向量b方向相同
D.与向量b方向相反
思路解析：已知a平行于b，如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a的方向相同，如果它们的方向相反，因为a的模大于b的模，所以它们的和仍然与a的方向相同.
答案：A
4.设a表示“向东走了2千米”，b表示“向南走了2千米”，c表示“向西走了2千米”，d表示“向北走了2千米”，则
（1）a+d表示向____________走了____________千米；
（2）b+c表示向____________走了____________千米；
(3)a+c+d表示向____________走了____________千米；
(4)b+c+d表示向____________走了____________千米；
(5)若a表示向东走8
km，b表示向北走8
km，则|a+b|=____________km，a+b的方向是____________.
思路分析：用向量表示位移，进行向量运算后，回扣物理意义即可.
答案：（1）东北
（2）西南
(3)北
2
(4)西
2
(5)
东偏北45°
我综合
我发展
5.化简下列各式:
(1)++；
（2）.
思路分析：结合图形，并运用向量加减法的运算律来化简.
解：(1)原式=+（+）=+=0；
(2)原式=.
6.在重300
N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°(如图2-2-11)，当重物平衡时，求两根绳子拉力的大小.
图2-2-11
思路分析：此题中力的分解实质上是寻找两个向量，使其和向量为一竖直向量.
解：如图2-2-12所示，作平行四边形OACB，使∠AOC=30°，∠BOC=60°，
图2-2-12
在△OAC中，∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°，
∴||=||cos30°=×300=1503(N),
||=||sin30°=×300=150(N).
∴||=||=150（N）,
即与铅垂线的夹角为30°的绳子拉力是N，与铅垂线的夹角为60°的绳子的拉力是150
N.
7.一艘渔船在航行中遇险，发出警报，在遇险处西10
n
mile处有一艘货船收到警报后立即侦察，发现渔船正向正南方向以9
n
mile/h的速度向一小岛靠近，货船的最大航速为18
n
mile/h，要想尽快将这只渔船救出险境，求货船的行驶方向和所用时间.
思路分析：根据实际条件，用向量表示位移，作出图形，解决几何问题即可.
解：如图2-2-13所示，渔船在A处遇险，货船在B处，货船在C处与渔船相遇，
图2-2-13
设所用时间为t，由已知得△ABC为直角三角形，
则||=10,||=9t,||=18t.
由勾股定理得
||2=||2+||2.
∴182t2=100+92t2.
∴t2=.
∴t≈0.64.
sin∠ABC=，
∴∠ABC=30°.
∴货船应沿东偏南30°的方向行驶，最快可用0.64小时将渔船救出险境.2.6
平面向量数量积的坐标表示
自我小测
1．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，则k的值为( )
A．18
B．19
C．20
D．21
2．若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则(a·b)(a＋b)＝( )
A．20
B．54
C．(－10,30)
D．(－8,24)
3．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝( )
A．4
B．2
C．8
D．8
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A．eq
\b\lc\(\rc\)()
B．eq
\b\lc\(\rc\)()
C．eq
\b\lc\(\rc\)()
D．eq
\b\lc\(\rc\)()
5．如果向量a与b的夹角为θ，那么我们称a×b为向量a与b的“向量积”，a×b是一个向量，它的长度为|a×b|＝|a|·|b|sin
θ.如果|a|＝5，|b|＝1，a·b＝－3，则|a×b|＝( )
A．3
B．－4
C．4
D．5
6．已知向量a是直线x＋2y－3＝0的方向向量，且|a|＝2，则a＝__________.
7．若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝__________.
8．设a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，则t的值为__________．
9．在四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD是什么图形？
10．已知在△ABC中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC边上的高为AD.
(1)求证：AB⊥AC；
(2)求点D的坐标和向量.
参考答案
1．解析：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
因为ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0，
即10(k－3)＋(－4)(2k＋2)＝0，解得k＝19.
答案：B
2．解析：∵a·b＝－3＋8＝5，a＋b＝(－2,6)，
∴(a·b)(a＋b)＝(－10,30)．
答案：C
3．解析：∵c＝a－(a·b)b＝a－6b＝(8，－8)，
∴|c|＝＝8.
答案：D
4．解析：不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)．∵(c＋a)∥b，∴－3(1＋m)＝2(2＋n)．①
又∵c⊥(a＋b)，∴3m－n＝0.②
由①②解得m＝－，n＝－.
答案：D
5．解析：由于|a|＝5，|b|＝1，a·b＝|a||b|cos
θ＝－3，所以cos
θ＝－.又因为θ为向量a与b的夹角，所以sin
θ＝，所以|a×b|＝|a||b|sin
θ＝5×1×＝4.
答案：C
6．解析：设a＝λeq
\b\lc\(\rc\)()(λ≠0)．由|a|＝2，得λ2＋λ2＝20，解得λ＝±4，所以a＝(4，－2)或(－4,2)．
答案：(4，－2)或(－4,2)
7．解析：设a＝(x，y)，则a＋b＝(x＋2，y－1)．
由题意得
∴a＝(－1,1)或(－3,1)．
答案：(－1,1)或(－3,1)
8．解析：∵a＝(4，－3)，b＝(2,1)，∴a＋tb＝(4＋2t，－3＋t)．
∵a＋tb与b的夹角为45°，
∴(a＋tb)·b＝|a＋tb||b|cos
45°，∴2(4＋2t)＋(－3＋t)×1＝××，
∴5t＋5＝·.∴＝(t＋1)．①
将①式两边平方得t2＋2t－3＝0，解得t＝1或t＝－3.
而t＝－3时，①式无意义，∴t＝－3舍去，故t＝1.
答案：1
9．解：因为a＋b＋c＋d＝0，所以a＋b＝－(c＋d)．
所以(a＋b)2＝(c＋d)2.
即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2＋2c·d＋|d|2.
由于a·b＝c·d，所以|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2.①
同理，有|a|2＋|d|2＝|c|2＋|b|2.②
由①②可得|a|＝|c|，且|b|＝|d|，
即四边形ABCD的两组对边分别相等．
所以四边形ABCD是平行四边形．
又由a·b＝b·c得b·(a－c)＝0.
而由平行四边形ABCD的性质得a＝－c，
代入上式得b·(2a)＝0，
即a·b＝0.所以a⊥b.亦即AB⊥BC.
综上所述，四边形ABCD是矩形．
10．(1)证明：＝(－3，－6)，＝(2，－1)．∵＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，∴.∴AB⊥AC.
(2)解：设点D的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y－4)，＝(5,5)．∵AD为BC边上的高，∴AD⊥BC.∴.∴＝5(x－2)＋5(y－4)＝0.①
又∵＝(x＋1，y＋2)，且与共线，
∴5(x＋1)＝5(y＋2)．②
由①②，解得.∴点D的坐标为eq
\b\lc\(\rc\)().
∴＝eq
\b\lc\(\rc\)()＝eq
\b\lc\(\rc\)().2.2
从位移的合成到向量的加法第1课时
自我小测
1．等于( )
A．
B．0
C．
D．
2．已知a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a，b是方向相反的向量
C．a＝－b
D．a，b无论什么关系均可
3．在矩形ABCD中，＝4，＝2，则向量的长度等于( )
A．2
B．4
C．12
D．6
4．若向量a表示“向东航行1
km”，向量b表示“向北航行
km”，则向量a＋b表示( )
A．向东北方向航行2
km
B．向北偏东30°方向航行2
km
C．向北偏东60°方向航行2
km
D．向东北方向航行(1＋)
km
5．已知四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是( )
A．
B．
C．
D．
6．化简：＝__________.
7．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，＝1，则＝__________.
8．如图，在正六边形ABCDEF中，＝______.
9．化简下列各式：
(1)；
(2).
10．一艘船在水中航行，水流速度与船在静水中航行的速度均为5
km/h.如果此船实际向南偏西30°方向行驶2
km，然后又向西行驶2
km，你知道此船在整个过程中的位移吗？
参考答案
1．解析：＝0＋0＝0.
答案：B
2．A
3．解析：因为，
所以的长度为的模的2倍．
又＝＝2，
所以向量的长度为4.
答案：B
4．解析：如图所示，由向量加法的平行四边形法则，可知a+b的方向是沿平行四边形的对角线的方向，且tan
α=，所以α=30°.
故a+b的方向是北偏东30°.
又|a+b|=2，故选B.
答案：B
5．解析：，故A项错；，故B项错；，故C项正确；，故D项错．
答案：C
6．解析：.
答案：
7．解析：如图，由题意知△ABD为等边三角形，∴.
答案：1
8．解析：.
答案：
9．解：(1)＝＝0＋＝.
(2)
＝
＝.
10．解：如图，用表示船的第一次位移，用表示船的第二次位移，根据向量加法的三角形法则知，
所以可表示两次位移的和位移．
由题意知，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
则BC=AC=1，AB=.
在等腰△ACD中，AC=CD=2，
所以∠D=∠DAC=∠ACB=30°，
所以∠BAD=60°，AD=2AB=，
所以两次位移的和位移的方向是南偏西60°，位移的大小为
km.2.4
平面向量的坐标
自主广场
我夯基
我达标
1.若向量a=（3，2），b=（0，-1），则向量2b-a的坐标是（
）
A.（3，-4）
B.（-3，4）
C.（3，4）
D.（-3，-4）
思路解析：依向量的坐标运算解答此题.2b-a=（0，-2）-（3，2）=（-3，-4）.
答案：D
2.(1国防科技工业第四次联考，3)已知向量a=（1，2），b=(-3,2),且向量ka+b与lb+a平行，则实数k,l满足的关系式为（
）
A.kl=-1
B.k+l=0
C.l-k=0
D.kl=1
思路解析：∵ka+b=(k-3,2k+2)，lb+a=(-3l+1,2l+2)，∴(k-3)(2l+2)-(2k+2)(-3l+1)=0.整理得kl=1.
答案：D
3.(山东高考卷，理5)设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2)，若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为（
）
A.(2,6)
B.(-2,6)
C.(2,-6)
D.(-2,-6)
思路解析：由题意，得4a+4b－2c+2(a－c)+d=0，代入向量的坐标即可求得向量d.
答案：D
4.与a=（12，5）平行的单位向量为（
）
A.（，-）
B.（-，-）
C.（，）或（-，-）
D.（±，±）
思路解析：利用平行与单位向量两个条件，即可求得.
答案：C
5.(山东临沂二模，理5)已知向量a=（8，x），b=（x，1），其中x＞0，若(a-2b)∥(2a+b)，则x的值为（
）
A.4
B.8
C.0
D.2
思路解析：利用向量共线的坐标表示得方程.∵a-2b=(8-2x,
x-2),2a+b=(16+x,x+1),∴(8-2x)(x+1)-(
x-2)(16+x)=0.∴x=4或x=-5（舍去）.
答案：A
6.下列各组向量：①e1=（－1，2），e2=（5，7）；②e1=（3，5），e2=（6，10）；③e1=（2，－3），e2=（，-）.其中能作为平面内所有向量的基底的是_____________________.
思路解析：由平面向量基本定理知只要不共线的两向量就可以作为基底，故可由共线向量定理的坐标表示加以选取.易知仅有①中两向量－1×7－2×5≠0，故为①.
答案：①
7.已知向量=（6，1），=（x，y），=（-2，-3），当∥时，求实数x、y应满足的关系.
思路分析：利用向量共线的坐标表示.
解：由题意，得
=-=-(++）=-［（6，1）+（x，y）+（-2，-3）］=（-x-4，-y+2），
=（x，y），
又∵∥，
∴x(-y+2）-y·（-x-4）=0.
解得y=-x,
即x，y应满足y=－x.
我综合
我发展
8.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（-1，3），若C点满足=α+β，其中，α，β∈R，且α+β=1,则点C的轨迹方程的形状是__________________.
思路解析：∵α+β=1,∴β=1-α.∴=α+(1-α).∴-=α().
∴=α.∴A、B、C三点共线.∴点C的轨迹方程是直线.
答案：直线
9.平面内给定三个向量：a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
（1）求3a+b-2c；
（2）求满足a=mb+nc的实数m和n；
(3)若(a+kc)∥(2b-a)，求实数k.
思路分析：根据向量的坐标运算法则及两个向量平行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解.
解：（1）3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(9-1-8,6+2-2)=(0,6).
（2）∵a=mb+nc,m,n∈R，
∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).
∴解得
∴m=,n=.
(3)∵a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2)，
又∵(a+kc)∥(2b-a)，
∴(3+4k)×2-(-5)×(2+k)=0.
∴k=.
10.已知向量u=(x,y)，v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)来表示.
（1）证明对于任意向量a,b及常数m,n恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立；
（2）求使f(c)=(p,q)(p,q为常数)的向量c的坐标.
思路分析：此题应将题设条件中的向量坐标化，通过坐标进行运算.
（1）证明：设a=(a1,a2),b=(b1,b2)，
则ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2).
∴f(ma+nb)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1),
mf(a)+nf(b)=m(a2,2a2-a1)+n(b2,2b2-b1)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1).
∴f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.
（2）解：设c=(x,y)则f(c)=(y,2y-x)=(p,q).
∴解得
∴c=(2p-q,p).
11.已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及=+t，
求：（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限
（2）四边形OABP能否构成平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
思路分析：首先把向量表示为坐标的形式，再利用点在x轴上、y轴上、第二象限内的特征，得到坐标的条件；要看四边形OABP能否构成平行四边形，就要看能否找到t，使=，即对边所在的直线平行且相等.
解：（1）=+t=（1+3t，2+3t）.
若P在x轴上，只需2+3t=0，所以t=-.
若P在y轴上，只需1+3t=0，所以t=.
若P在第二象限，只需∴-＜t＜.
（2）因为=（1，2），=（3－3t，3－3t），
若OABP为平行四边形，则=.
由于方程无解，
故四边形OABP不能构成平行四边形.2.6
平面向量数量积的坐标表示
课后导练
基础达标
1.设向量a=（-1，2），b=（2，-1），则(a·b)(a+b)等于(
)
A.（1，1）
B.（-4，-4）
C.-4
D.（-2，-2）
解析:a·b=-2-2=-4,a+b=(1,1),
∴(a·b)(a+b)=(-4,-4).
答案：B
2.若向量a=（3，2），b=（0，-1），则向量2b-a的坐标是(
)
A.（3，-4）
B.（-3，4）
C.（3，4）
D.（-3，-4）
解析：依向量的坐标运算解答此题.
2b-a=（0，-2）-（3，2）=（-3，-4）.
答案：D
3.已知|a|=8,e为单位向量，当它们之间的夹角为时，a在e方向上的投影为（
）
A.
B.4
C.
D.8+
解析：a在e方向上的投影为|a|·cos=8×=4.
答案：B
4.以A（-1，2），B（3，1），C（2，-3）为顶点的三角形一定是(
)
A.直角三角形
B.等腰直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
解析：由已知可得=（4，-1），=（3，-5），=（-1，-4），∴||=||=，
且由·=-4+4=0得⊥，
故△ABC为等腰直角三角形.
答案：B
5.设向量a=（3，m）,b=(2,-1)，且a-3b与a-b垂直，则实数m的值是（
）
A.m=0
B.m=-4
C.m=0或m=-4
D.m=0或m=4
解析：a-3b=(3,m)-3(2,-1)
=(-3,m+3),
a-b=(3,m)-(2,-1)=(1,m+1),
∴(a-3b)·（a-b）=(-3,m+3)·（1,m+1）
=-3+(m+3)(m+1)
=m2+4m=0,
解得m=0或m=-4.
答案：C
6.在△ABC中，∠A=90°，=(k,1),=(2,3)，则k的值是________.
解析:由与垂直，列出关于k的方程，解方程即可得到答案.
∵∠A=90°，∴⊥.
∴·=2k+3=0.
∴k=-.
答案：-
7.已知|a|=,b=(-2,3)且a⊥b，则a的坐标为_______.
解析:设a=(x,y)，则x2+y2=52,①
由a⊥b,得-2x+3y=0.②
由①②得
答案：（6，4）或（-6，-4）
8.判断a与b是否垂直：
（1）a=(0,-2),b=(-1,3);
(2)a=(-1,3),b=(-3,-1)
解析:(1)a·b=0·（-1）+（-2）·3=-6≠0,
∴a与b不垂直.
（2）a·b=（-1）·（-3）+3·（-1）=3-3=0,
∴a⊥b.
9.已知四点：A（-1，3），B（1，1），C（4，4），D（3，5），求证：四边形ABCD为直角梯形.
证明：=（2，-2），=（1，-1），=（3，3），
∴=2.∴∥.
又·=2×3+（-2）×3=0，
∴⊥.
又||=8，||=，||≠||,
∴四边形ABCD为直角梯形.
10.Rt△ABC中，=（2，3），=（1，k），求实数k的值.
解析：（1）当∠A=90°时，易知·=0，
即2+3k=0，k=-.
（2）当∠B=90°时，=-=（-1，k-3），易知·=0，即k=.
（3）当∠C=90°时，·=-1+k2-3k=0，k=.
综上可知，k的值为-或或.
综合运用
11.(2004天津高考，理3)
若平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°，且|b|=,则b等于(
)
A.(-3,6)
B.(3,-6)
C.(6,-3)
D.(-6,3)
解析：a与b共线且方向相反，
∴b=λa(λ＜0).
设b=(x,y)，由(x,y)=λ(1,-2)得
由|b|=得,x2+y2=45,
即λ2+4λ2=45,解得λ=-3.
∴b=(-3,6).
答案：A
12.已知平面上直线l的方向向量e=()，点O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分别是O1、A1，则=λe，其中λ等于(
)
A.
B.
C.2
D.-2
解析:方法一：由向量在已知向量上的射影的定义知
λ=||cos〈e,〉=
==-2.
方法二：利用数形结合的思想，作图可得.令向量e过原点,故与e方向相反.排除A、C，检验B、D可知D正确.
答案：D
13.若将向量=（，1）绕原点按逆时针方向旋转，得到向量，则向量的坐标为___________.
解析：欲求向量的坐标，可设出的坐标，然后用||=||和、的夹角为，即cos建立坐标的方程组，但较麻烦.注意到与x轴的正方向所成的角为，再逆时针旋转，故与x轴正方向所成的角为，故可采用几何法求点B的坐标.另外若注意到A、B关于直线y=x对称，则马上得到B点坐标.
由分析易知的坐标为（1，）.
答案：（1，）
14.平面上有两个向量e1=(1,0),
e2=(0,1)，今有动点P，从P0(-1,2)开始沿着与向量e1+
e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|
e1+
e2|;另一动点Q，从点Q0(-2,-1)出发，沿着与向量3
e1+2
e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3
e1+2
e2|.设P、Q在t=0时分别在P0、Q0处，则当⊥时，t=_________秒.
解析：∵P0(-1,2)，Q0(-2,-1)，
∴=(-1，-3).
又∵e1+
e2=(1，1),∴|
e1+
e2|=.
∵3
e1+2
e2=(3，2)，∴|3
e1+2
e2|=.
∴当t时刻时，点P的位置为(-1+t,2+t)，点Q的位置为(-2+3t,-1+2t).
∴=(-1+2t,-3+t).
∵⊥，
∴(-1)·(-1+2t)+(-3)·(-3+t)=0.
∴t=2.
答案：2
15.已知：a、b是同一平面内的两个向量,其中a=(1,2).若|b|=,且a+2b与2a-b垂直，求a与b的夹角θ.
解析：∵a=（1，2），∴|a|=.
又|b|=，故|a||b|=.
又∵（a+2b）⊥（2a-b），
∴（a+2b）·（2a-b）=0，
2a2+3a·b-2b2=0.
∴2×5+3a·b-2×=0，a·b=.
∴cosθ==-1.
又θ∈［0，π］，∴θ=π，即a与b的夹角为π.
拓展探究
16.平面内有向量=(1,7),=(5,1),=(2,1)，点X为直线OP上的一动点.
(1)当·取最小值时，求的坐标；
(2)当点X满足(1)的条件和结论时，求cos∠AXB的值.
解析：(1)设=(x,y)，因为点X在直线OP上，所以向量与共线.
又=(2,1)，所以x·1-y·2=0，x=2y.所以=（2y，y）.
又=-且=（1，7），所以=（1-2y，7-y）.
同理，=-=（5-2y，1-y）.
于是有·（1-2y）（5-2y）+（7-y）（1-y）=5（y-2）2-8.
所以当y=2时，·=5（y-2）2-8有最小值-8，此时=（4，2）.
(2)当=（4，2），即y=2时，
有=（-3，5），=（1，-1），||=，||=,
·=-3×1+5×（-1）=-8,
所以cos∠AXB=.2.4.1平面向量的坐标表示
2.4.2平面向量线性运算的坐标表示
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于(
)
A.
B.
C.
D.
解析：根据平面内任一向量可用该平面内一组基底唯一线性表示，可用待定系数法.
答案：B
2.已知平行四边形ABCD的一个顶点坐标为A（-2，1），一组对边AB、CD的中点分别为M?（3，0）、N（-1，-2），求平行四边形的各个顶点坐标.
解：设其余三个顶点的坐标为B（x1，y1），C（x2，y2），D（x3，y3）.
因为M是AB的中点，所以3=，0=.
解得x1=8，y1=-1.
设MN的中点为O′（x0，y0），则x0==1，y0==-1，而O′既是AC的中点，又是BD的中点，
所以x0=，y0=，即1=.
解得x2=4，y2=-3.
同理解得x3=-6，y3=-1.
所以B（8，-1），C（4，-3），D（-6，-1）.
3.已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及=+t.求：
（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限
（2）四边形OABP能否构成平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
解：（1）=+t=（1+3t，2+3t），若P在x轴上，只需2+3t=0，所以t=-2[]3；
若P在y轴上，只需1+3t=0，所以t=；
若P在第二象限，只需
所以.
（2）因为=（1，2），=（3-3t，3-3t），若OABP为平行四边形，则=.
由于无解，故四边形OABP不能构成平行四边形.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知点A（，1），B（0，0），C（，0）.设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有=λ,其中λ等于(
)
A.2
B.
C.-3
D.
解析：∵AE为∠BAC的平分线，
∴.
∴=-2.
∴=-=-2-=-3.
答案：C
2.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3)，若点C满足=α+β，其中，α、β∈R，且α+β=1,则点C的轨迹方程为________________.
解析：将点C所满足的向量式条件转化为直角坐标的方程式即为点C的轨迹方程.
答案：x+2y-5=0
3.（1）已知e1=（1，2），e2=（-2，3），a=（-1，2），试以e1、e2为基底，将a分解为λ1e1+λ2e2的形式.
（2）已知点A（-1，2）、B（2，8）及，求C、D和的坐标.
（3）△ABC的重心在原点，A（1，4），B（-3，-3），求C点的坐标.
解：（1）由
所以a=e1+e2.
（2）因为=（1，2），所以C（0，4），=（1，2）.
所以D（-2，0），=（-2，-4）.
（3）设C点坐标为（x，y），则由
所以C点坐标为（2，-1）.
4.用坐标法证明++=0.
证明：设A（a1，a2），B（b1，b2），C（c1，c2），则=（b1-a1，b2-a2），
=（c1-b1，c2-b2），=（a1-c1，a2-c2）.
∴++=（b1-a1，b2-a2）+（c1-b1，c2-b2）+（a1-c1，a2-c2）=（b1-a1+c1-b1+a1-c1，b2-a2+c2-b2+a2-c2）=（0，0）=0.
∴++=0.
5.如图2-4-1，已知平面上三点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求点D的坐标，使得这四点能构成平行四边形的四个顶点.
图2-4-1
解：（1）当平行四边形为ABCD时，因为=，所以（4，1）=（x+2，y-1）.所以x=2，y=2，即D（2，2）.
（2）当平行四边形为ACDB时，因为=，所以（-1，-2）=（3-x，4-y）.所以x=4，y=6，即D（4，6）.
（3）当平行四边形为DACB时，因为=，所以（-2-x，1-y）=（4，1）.所以x=-6，y=0，即D（-6，0）.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.若向量a=（x+3，x2-3x-4）与相等，已知A（1，2）和B（3，2），则x的值为(
)
A.-1
B.-1或4
C.4
D.1或-4
解析：因为已知A（1，2）和B（3，2），所以向量可以求，然后根据向量相等的定义就可以得出x的值.
答案：A
2.已知M（3，-2）、N（-5，-1），且=，则点P的坐标为(
)
A.（-8，1）
B.（1，）
C.（-1，）
D.（8，-1）
解析：根据=可以得到2=，再根据向量的坐标运算就可以得出点P的坐标.
答案：C
3.在△ABC中，已知A（2，3）、B（8，-4），G（2，-1）是中线AD上的一点，且||=2||，则点C的坐标为(
)
A.（-4，2）
B.（-4，-2）
C.（4，-2）
D.（4，2）
解析：设C点坐标为（x，y），由于G是△ABC的重心，则2=，∴x=-4.
-1=，∴y=-2.
答案：B
4.已知A（-2，4）、B（3，-1）、C（-3，-4）且=3，=2，试求点M、N和的坐标.
解：∵A（-2，4），B（3，-1），C（-3，-4），
∴=（-2+3，4+4）=（1，8），
=（3+3，-1+4）=（6，3）.
于是=3=3（1，8）=（3，24），
=2=2（6，3）=（12，6）.
设M（x，y），则有=（x+3，y+4），
∴
即M点的坐标为（0，20），同理可求得N（9，2）.
因此=（9-0，2-20）=（9，-18）.
故所求的点M、N的坐标分别为（0，20）、（9，2），的坐标为（9，-18）.
5.如图2-4-2所示，已知△ABC中，A（7，8）、B（3，5）、C（4，3），M、N是AB、AC的中点，D是BC的中点，NM与AD交于F，求.
图2-4-2
解：∵A（7，8）、B（3，5）、C（4，3），
∴=（3-7，5-8）=（-4，-3），=（4-7，3-8）=（-3，-5）.
又∵D是的中点，∴=（+）=（，-4）.
又∵M、N分别为AB、AC的中点，∴F为AD的中点.
∴==（，2）.
6.已知点A（2，3）、B（5，4）、C（7，10），若=+λ（λ∈R），试求λ为何值时，点P在第一、三象限的角平分线上？点P在第三象限内？
解：设点P的坐标为（x，y），则=（x，y）-（2，3）=（x-2，y-3），
+λ=（5，4）-（2，3）+λ［（7，10）-（2，3）］
=（3，1）+λ（5，7）=（3，1）+（5λ，7λ）=（3+5λ，1+7λ）.
∵=+λ，
∴（x-2，y-3）=（3+5λ，1+7λ）.
∴∴
∴P点的坐标为（5+5λ，4+7λ）.
（1）若点P在一、三象限的角平分线上，则5+5λ=4+7λ，∴λ=.
（2）若点P在第三象限内，则
∴∴λ＜-1，
即只要λ＜-1，点P就在第三象限内.
7.已知向量u=（x，y）与向量v=（y，2y-x）的对应关系可用v=f（u）表示.
（1）证明对于任意向量a、b及常数m、n，恒有f（ma+nb）=mf（a）+nf（b）成立；
（2）设a=（1，1），b=（1，0），求向量f（a）及f（b）的坐标；
（3）求使f（c）=（3，5）成立的向量c.
（1）证明：设向量a=（x1，y1），b=（x2，y2）.
则f（mx1+nx2，my1+ny2）=（my1+ny2，2my1+2ny2-mx1-nx2），
又mf（a）=（my1，
2my1-mx1），nf（b）=（ny2，2ny2-nx2），
所以mf（a）+nf（b）=（my1+ny2，2my1+2ny2-mx1-nx2）.
所以f（ma+nb）=mf（a）+nf（b）.
（2）解：f（a）=（1，1），f（b）=（0，-1）.
（3）解：由所以c=（1，3）.
8.设G为四边形ABCD对角线中点连线的中点，O为平面内任意一点，证明=(+++).
证明：如图，任意四边形ABCD的对角线AC的中点为E，BD中点为F，则=（+），=（+）.
又G为EF的中点，则=（+），
即=［（+）+（+）］=（+++）.
9.已知A(1,-2),B(2,1)，C(3,2)和D(-2,3),以、为一组基底来表示.
解：AB=（1，3），AC=（2，4），AD=（-3，5），BD=(-4,2),CD=(-5,1),
∴AD+BD+CD=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8).
根据平面向量基本定理,一定存在实数m、n使得
++=m·+n·，
∴（-12，8）=m（1，3）+n（2，4）
也就是(-12,8)=(m+2n,3m+4n),可得
∴++=32-22.2.3
从速度的倍数到数乘向量
课后导练
基础达标
1.已知菱形的两邻边=a，=b，其对角线交点为D，则等于(
)
A.a+b
B.a+b
C.(a+b)
D.a+b
解析:由平行四边形法则及平行四边形的性质可得.
答案：C
2.化简：［(2a+8b)-(4a-2b)］得(
)
A.2a-b
B.2b-a
C.b-a
D.a-b
答案：B
3.已知5(x+a)=3(b-x),则x等于（
）
A.a-b
B.a-b
C.a+b
D.a+b
解析：∵5(x+a)=3(b-x)，
∴5x+5a=3b-3x,
∴8x=3b-5a，
∴x=a+b.
答案：C
4.已知e1,e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是（
）
A.e1+e2和e1-
e2
B.3e1-2e2和4e2-6e1
C.e1+2e2和e2+2e1
D.e2和e1+e2
解析：∵4e2-6e1=-2(3e1-2e2),
∴3e1-2e2与4e2-6e1共线，
∴它们不能作为一组基底，作为基底的两向量一定不共线.
答案：B
5.在ABCD中，与交于点M，若设=a,=b,则以下选项中，与-a+b相等的向量有（
）
A.
B.
C.
D.
解析：∵-a+b=(b-a)=(-)==.
答案：D
6.已知3(x-a)+2(x+2a)-4(x+a-b)=0,则x_____________.
解析：等式可化为3x+2x-4x-3a+4b=0,
∴x=3a-4b.
答案：3a-4b
7.设e1、e2是不共线向量，e1+4e2与ke1+e2共线，则实数k的值___________.
解析:e1+4e2=λ(ke1+e2)=λke1+λe2，
∴λ=4
λk=1.
∴k=.
答案：
8.在△ABC中，设=m,=n,D、E是边BC上的三等分点，则=_______,=_______.
解析:由D,E是边BC上的三等分点，可得=,=，转化为已知向量即可.
答案：m+n
m+n
9.在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，设=a,=b，求作向量a-b,a-b,b+a.
解析：如下图a-b=-=.
a-b=-=.b+a=+=.
10.如右图，四边形ABCD为矩形，且|AD|=2|AB|，又△ADF为等腰直角三角形，E为FD中点，=e1，=e2.以e1、e2为基底，表示向量、、及.
解析：∵=
e1,=e2,
∴=e2-e1.
依题意有|AD|=2|AB|=|DE|，且F为ED中点，
∴四边形ABDF为平行四边形.
∴==e2-e1,==e2.
∴=+=e2-e1+e2=2e2-e1.
综合运用
11.向量、、的终点A、B、C在一条直线上，且=-3.设=p，=q,
=r，则下列等式成立的是(
)
A.r=-p+q
B.r=-p+2q
C.r=p-q
D.r=-q+2p
解析：由=-3得
-=-3(-)，
即2=-+3，
∴=-+，
即r=-p+q.
答案：A
12.设一直线上三点A、B、P满足=λ(λ≠1)，O是空间一点，则用、表示为(
)
A.=+λ
B.=λ+(1-λ)
C.=
D.=+
解析:由=λ(λ≠1)得
-=λ(-)即=.
答案：C
13.已知点G是△ABC的重心，过G作BC的平行线与AB、AC分别交于E、F，若=a,则=_____________.
解析：∵EF∥BC，∴=λ=λa,又EF过△ABC的重心G，∴||=||，∴=a.
答案：a
14.e1，e2是不共线的两个向量，=x1e1+y1e2,=x2e1+y2e2,=λ，那么等于_________.
解析：∵=+,
=+,
∴=(1-λ)+λ
=［(1-λ)x1+λx2］e1+［(1-λ)y1+λy2］e2.
答案：［(1-λ)x1+λx2］e1+［(1-λ)y1+λy2］e2
15.用向量方法证明：梯形中位线平行于底且等于上、下两底和的一半.
证明：如右图，梯形ABCD中，
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴=,=.
∵=++,
=++,
∴=(+++++)=(+).
又∵DC∥AB，
∴设=λ.
∴=(+)
=(+λ)=.
∴∥.
∵E、F、D、C四点不共线，
∴EF∥CD.同理EF∥AB，
且||=(||+||).
拓展探究
16.如右图，在△AOB中，=a,=b，设点M分所成的比为2∶1，点N分所成比为3∶1，而OM与BN交于点P，试用a,b表示.
解析：=+=+AB
=+（-）
=a+(b-a)=a+b,
∵与共线，令=t,则=t(a+b)=a+b.
设=(1-s)+s=(1-s)a+sb.
∴
∴=a+b.2.7
向量应用举例
自主广场
我夯基
我达标
1.过点A（2，3），且垂直于向量a=（2，1）的直线方程为（
）
A.2x+y-7=0
B.2x+y+7=0
C.x-2y+4=0
D.x-2y-4=0
思路解析：利用轨迹法求直线方程.设所求直线上任一点P（x,y）的坐标，则⊥a，又∵=(x-2,y-3)，∴2(x-2)+(y-3)=0，即所求的直线方程为2x+y-7=0.
答案：A
2.(全国高考卷Ⅱ，理8)已知点A（，1），B（0，0）,C（，0）.设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有BC=λ,其中λ等于（
）
A.2
B.
C.-3
D.
思路解析：方法一：在△ABC中，AC=1,BC=,AB=2.∴=2，∴BE=2EC.∴||=3||.
∴|λ|=3.又∵与方向相反，∴λ＜0.
∴λ=-3.
方法二：设E(x,0)，则=(,1)，=(x-,-1),
=(0,1).∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC.又∵cos〈,〉=,cos〈,〉=,
∴=.
∴.
∴，解得x=.
∴E(,0).∴=(,0),
=(-,0).
∴=-3.∴λ=-3.
答案：C
3.在△ABC中，∠C=90°，=(k,1),=(2,3),则k的值是（
）
A.5
B.-5
C.
D.
思路解析：由题意，得=-=(2,3)-(k,1)=(2-k,2)，∵∠C=90°，∴⊥.
∴·=0.∴2(2-k)+3×2=0.∴k=5.
答案：A
4.一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1、水速为v2，已知船垂直到达对岸，则（
）
A.|v1|＜|v2|
B.|v1|＞|v2|
C.|v1|≤|v2|
D.|v1|≥|v2|
思路解析：速度是向量，要使船垂直到达对岸，则向量v1在水流方向上的分量与向量v2大小相等，方向相反，由此即得|v1|＞|v2|.
答案：B
5.(福建高考卷，理11)已知||=1,||=,·=0，点C在∠AOC内，且∠AOC=30°.设=m+n(m,n∈R)，则等于（
）
A.
B.3
C.
D.
思路解析：由已知，不妨设=（1，0），=（0，），=（x0，y0）.
∵∠AOC=30°,∴y0=x0.
∴=(x0,x0).∴=m+n.
∴(x0,x0)=(m,).
∴x0=m,x0=.
∴=3.
答案：B
6.(四川高考卷，理7)如图2-7-8所示,已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是（
）
图2-7-8
A.
B.
C.
D.
思路解析：设边长||=a，则∠P2P1P3=.||=a,
=a·a·=，∠P2P1P4=,|
|=2a,
=a·2a·=a2,
=0,＜0,∴数量积中最大的是.
答案：A
7.(2006东北三校二模，14)已知向量a=(6,2)，b=(-4,
)，直线l过点A(3,-1)且与向量a+2b垂直，则直线l的方程为________________________.
思路解析：由题意，得a+2b=(-2,3)，则直线l的方程为(-2)(x-3)+3(y+1)=0，即2x-3y-9=0.
答案：2x-3y-9=0
我综合
我发展
8.(2005上海春季高考卷，5)在△ABC中，若∠C=90°，AC=BC=4，则·=___________.
思路解析：由于AC=BC，∠C=90°，则△ABC是直角三角形,||=，〈，〉=45°.所以·=||||cos〈,〉=×4×cos45°=16.
答案：16
9.已知三个力F1=（3，4），F2=（2，-5），F3=（x，y）的合力F1+F2+F3=0.
求F3的坐标.
思路分析：把力看成向量，将F1+F2+F3=0变为坐标的形式就可以得到结论.
解：由题设F1+F2+F3=0，得
（3，4）+（2，-5）+（x，y）=（0，0），
即∴
∴F3=（-5，1）.
10,用向量法证明三角形的三条高线交于一点.
思路分析：用向量证明几何问题时，往往要先选择向量基底.我们假设两条高BE、CF交于点H，再证明AH与BC垂直即证明⊥可说明结论成立
证明：已知：如图2-7-9所示.AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF交于一点.
图2-7-9
证法一：设两条高BE、CF交于点H,
设=a，=b,
则-a，-b，=b-a.
∵⊥，⊥，
∴·=0，·=0.
∴（-a）·b=0，（-b）·a=0.
∴（-a）·b=（-b）·a.
化简得·（b-a）=0，即·=0.
∴⊥.
∴AH⊥BC,
即AD、BE、CF交于一点.
证法二：如图2-7-10所示，以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系，设B(c,0),C(m,n),H(m,y).
图2-7-10
则有=(m-c,y),=(m,n),
=(m-c,n)，=(m,y),=(c,0).∵⊥，
∴m(m-c)+ny=0.
解得y=.∴AH=(m,).
∴AH·BC=m(m-c)+n=m(m-c)+mc-m2=0.
∴⊥.∴AH⊥BC.
故AD、BE、CF交于一点.
11.如图2-7-11,有两条相交成60°的直线xx1、yy1,交点为O.甲、乙分别在Ox、Oy1上,起初甲位于离O点3
km的A处,乙位于离O点1
km的B处.后来两个人同时用每小时4
km的速度,甲沿xx1的方向,乙沿yy1的方向运动.
问：(1)起初两个人的距离是多少
(2)什么时候两人的距离最近
图2-7-11
思路分析：把距离转化为向量的长度，以甲、乙两人t时刻的位置和O三点形成三角形,通过对三角形有关量的求解便可实现解题的目的.
解：(1)起初两人分别在A、B两点,则||=3,||=1.
∴||2=(+)2
=2+2·+2
=||2+||2-2||||cos60°
=9+1-2×3×1×=7.
∴||=km,即起初两人相距千米.
(2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，
∵=-，∴||2=(-)2=||2-2·+|OP|2
=||2+||2-2||||cos〈,〉.
当0≤t≤时，||=1-4t,||=3-4t,〈,〉=60°,
||2=(3-4t)2+(1-4t)2-2(3-4t)(1-4t)cos60°=48t2-24t+7.
当＜t≤时，|=|4t-1,|
|=3-4t,〈,〉=120°，
||2=(4t-1)2+(3-4t)2-2(4t-1)(3-4t)cos120°=48t2-24t+7.
当t＞时，||=4t-1,|
|=4t-3,〈,〉=60°,
||2=(4t-1)2+(4t-3)2-2(4t-1)(4t-3)cos60°=48t2-24t+7.
综上得||2=48t2-24t+7=48(t-)2+4,t∈［0,+∞).
∴当t=，即在第15分钟末时，最短，两人最近，最近距离为2
km.2.4.3
向量平行的坐标表示
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.(高考全国卷Ⅲ,文1)已知向量a=(4,2),向量b=(x,3),且a∥b,则x等于（
）
A.9
B.6
C.5
D.4
解析：由a∥b的条件：4×3-2x=0∴x=6.
答案：B
2.已知向量=（6，1），=（x，y），=（-2，-3），当∥时，则实数x、y应满足的关系是_____________.
解析：==-(++)=-［（6，1）+（x，y）+（-2，-3）］=（-x-4，-y+2），=（x，y）.
当∥时，x（-y+2）-y（-x-4）=0，化简得y=x.
所以当∥时，x、y应满足y=x.
答案:y=x
3.已知a=（2，-1），b=（x，2），c=（-3，y），且a∥b∥c.求x、y的值.
解：由a∥b得4+x=0，
∴x=-4.
由a∥c得2y-3=0，
∴y=.∴x=-4，y=.
4.已知a=（1，2），b=（-3，2），当k为何值时，ka+b与a-3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解法一：ka+b=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），
a-3b=（1，2）-3（-3，2）=（10，-4）.
当ka+b与a-3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka+b=λ（a-3b）.
由（k-3，2k+2）=λ（10，-4），
∴
解得k=，λ=.
当k=时，ka+b与a-3b平行，这时ka+b=a+b.
∵λ=＜0，∴a+b与a-3b反向.
解法二：由解法一知ka+b=（k-3，2k+2），
a-3b=（10，-4），∵（ka+b）∥（a-3b），
∴（k-3）×（-4）-10×（2k+2）=0.
解得k=，
此时ka+b=（-3，+2）=（）=（10，-4）=（a-3b）.
∴当k=时，ka+b与a-3b平行并且反向.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.下列选项中所给向量共线的有(
)
A.(1，5)，(5，-5)
B.(2，-3)，(,)
C.(1，0)，(0，1)
D.(1，-3)，(8，)
解析：由平面向量共线的条件，只需将所给坐标代入公式，看“x1y2-x2y1=0”是否成立即可.
答案：B
2.与a=(12,5)平行的单位向量为(
)
A.()
B.()
C.()或()
D.(±,±)
解析：利用平行与单位向量两个条件，即可求得.
答案：C
3.已知|a|=10,b=(3,4),a∥b,则向量a=_______________.
解析：首先设a=(x,y)，然后利用|a|=10,a∥b,列出含x、y的两个等式解出x、y.
答案：(6，8)或(-6，-8)
4.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求3a+b-2c；
(2)求满足a=mb+nc的实数m和n；
(3)若(a+kc)∥(2b-a)，求实数k；
(4)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1，求d.
解：（1）3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(9-1-8,6+2-2)=(0,6).
（2）∵a=mb+nc,m、n∈R，
∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).
∴
（3）∵(a+kc)∥(2b-a)且a+kc=(3+4k,2+k)2b-a=(-5,2)，
∴(3+4k)×2-(-5)×(2+k)=0.
∴k=.
（4）∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),且(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1，
∴
解得
∴d=()或d=().
5.已知a=（x1，y1），b=（x2，y2）且a≠0，b≠0，ab.求证：a+ba-b.
证明：∵a+b=（x1+x2，y1+y2），a-b=（x1-x2，y1-y2），
假设a+b∥a-b，则（x1+x2）（y1-y2）-（y1+y2）（x1-x2）=0，
即x1y1+x2y1-x1y2-x2y2-x1y1-x1y2+x2y1+x2y2=0，
2（x2y1-x1y2）=0，x1y2-x2y1=0.
∵a≠0，b≠0，
∴a∥b与已知矛盾，故a+ba-b.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.已知A、B、C三点共线，且A（3，-6）、B（-5，2），若C点横坐标为6，则C点的纵坐标为(
)
A.-13
B.9
C.-9
D.13
解析：设C（6，y），则∥.
又=（-8，8），=（3，y+6），
∴-8（y+6）-3×8=0.∴y=-9.
答案：C
2.与a=（-5，4）不平行的向量是(
)
A.（-5k，4k）
B.（）
C.（-10，2）
D.（5k，-4k）
解析：∵A、B、D都满足x1y2-x2y1=0,∴选C.
答案：C
3.已知点A、B的坐标分别为（2，-2）、（4，3），向量p的坐标为（2k-1，7），且p∥，则k的值是(
)
A.
B.
C.
D.
解析：∵A（2，-2），B（4，3），∴=（2，5）.
又p∥，∴14-5（2k-1）=0，即k=.
答案：B
4.若a=（3，4），b∥a且b的起点为（1，2），终点为（x，3x），则b=_____________.
解析：∵b=（x，3x）-（1，2）=（x-1，3x-2），且b∥a，
∴3（3x-2）-4（x-1）=0.∴x=.
∴b=（）.
答案：（）
5.已知点M（x，y）在向量=（1，2）所在的直线上，则x、y所满足的条件为______________.
解析：∵M在所在的直线上，∴∥.
又=（x，y），=（1，2），∴2x-y=0，即y=2x.
答案：y=2x
6.若a=（-1，x）与b=（-x，2）共线且方向相同，则x=______________.
解析：∵a与b共线，-2+x2=0，∴x=±.
当x=时，a=（-1，），b=（，2）=，
∴a与b同向.
当x=时，a=（-1，），b=（，2）
=（1，）=（-1，），
∴a、b反向.
答案：
7.已知两点A（1，1）、B（4，5），则与共线的方向向量e的坐标是________________.
解析：由单位向量的定义和共线向量定理，知的单位向量e=λ，所以|e|=|λ|||.所以|λ|=，得解法一.
另外所求向量e受两个条件约束，其一是单位向量，即|e|=1，其二是与共线，即=μe.由此可建立e的坐标的方程组，得解法二.
解法一：由题意知e=±.
又=（3，4），故e的坐标为（）或（）.
解法二：设e=（x，y），则由题意可得x2+y2=1.
①
又e与共线，故存在实数μ使=μe，即消去μ，得y=.代入①可得e的坐标为（）或（）.
答案：（）或（）
8.已知a=（3，2），b=（2，-1），若λa+b与a+λb（λ∈R）平行，求λ的值.
解：λa+b=λ（3，2）+（2，-1）=（3λ+2，2λ-1），
a+λb=（3，2）+λ（2，-1）=（3+2λ，2-λ）.
由题意知（3λ+2）（2-λ）-（3+2λ）（2λ-1）=0，
化简得λ2=1，即λ=±1.
9.已知A、B、C、D四点坐标分别为A（1，0）、B（4，3）、C（2，4）、D（0，2）.试证明四边形ABCD是梯形.
证明：∵=（4，3）-（1，0）=（3，3），
=（0，2）-（2，4）=（-2，-2），
∴=，故与共线，即∥.∴AB∥CD.
∵=（0，2）-（1，0）=（-1，2），
=（2，4）-（4，3）=（-2，1），
又∵（-1）×1-2×（-2）≠0，
∴AD不平行于BC.
∴四边形ABCD是梯形.
10.已知A、B、C三点坐标分别为（-1，0）、（3，-1）、（1，2），=,?BF=.
求证：∥.
证明：设E、F两点坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）.
∵=（2，2），=（-2，3），=（4，-1），
∴==（），==(,1),
=（x1，y1）-（-1，0）=（），
=（x2，y2）-（3，-1）=（）.
∴（x1，y1）=（）+（-1，0）=（），
（x2，y2）=（，1）+（3，-1）=（，0）.
∴=（x2，y2）-（x1，y1）=（，0）-（，)=().
∵4×（）-（-1）×=0，
∴∥.2.6
平面向量数量积的坐标表示
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.已知向量a=（-4，7），向量b=（5，2），则a·b的值是(
)
A.34
B.27
C.-43
D.-6
解析：a·b=-4×5+7×2=-6.
答案：D
2.(高考福建卷,文14)在△ABC中，∠A=90°，=(k,1),=(2,3),则k的值是______________.
解析：由与垂直，列出关于k的方程，解方程即可.
∵∠A=90°，∴⊥.∴·=2k+3=0.∴k=.
答案：
3.已知向量a与b同向，b=(1,2),a·b=10.
(1)求向量a的坐标；
（2）若c=(2,-1)，求(b·c)a.
解：(1)∵向量a与b同向，b=(1,2),∴a=λb=(λ,2λ).
又∵a·b=10，∴有λ+4λ=10.解得λ=2>0.
符合向量a与b同向的条件，∴a=(2,4).
(2)∵b·c=1×2+2×(-1)=0,
∴(b·c)a=0.
4.求向量a=(1,2)在向量b=(2,-2)方向上的投影.
解：设a与b的夹角为θ，
则cosθ=.
∴a在b方向上的投影为|a|cosθ=.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知平面上直线l的方向向量e=(,)，点O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分别是O1、A1，则=λe，其中λ等于(
)
A.
B.-
C.2
D.-2
解析：将所给坐标代入公式λ=||cos〈e,〉，或利用特殊值.
方法一：由向量在已知向量上的射影的定义知
λ=||cos〈e,〉=.
方法二：利用数形结合的思想，作图可得.令向量e过原点，故与e方向相反.排除A、C，检验B、D可知D正确.
答案：D
2.若向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°，且|b|=，则b等于(
)
A.(-3，6)
B.(3，-6)
C.(6，-3)
D.(-6，3)
解析：由题意b与a共线，
方法一：设b=λ(-1,2),且λ>0,有(-λ)2+(2λ)2=()2b=(-3,6).
方法二：由题意可知，向量a、b共线且方向相反，故可由方向相反排除B、C.由共线可知b=-3a.
答案：A
3.已知向量a=(cosθ,sinθ)，向量b=(,-1），则|2a-b|的最大值和最小值分别是(
)
A.,0
B.4,
C.16，0
D.4，0
解析：a·b=2sin(-θ),|2a-b|=,
∴|2a-b|的最大值为4，最小值为0.
答案：D
4.A、B、C、D四点的坐标依次是(-1，0)、(0，2)、(4，3)、(3，1)，则四边形ABCD为（
）
A.正方形
B.矩形
C.菱形
D.平行四边形
解析：∵=(1,2),=(1,2),∴=.又线段AB与线段DC无公共点，
∴AB∥DC且|AB|=|DC|.?∴四边形ABCD为平行四边形.
又|AB|=，|BC|=，∴|AB|≠|BC|.∴平行四边形ABCD不是菱形也不是正方形.
又·=4+2=6≠0，∴AB与BC不垂直.∴平行四边形ABCD不是矩形.
答案：D
5.已知|a|=,b=(-2,3)且a⊥b,则a的坐标为________________.
解析：设a=(x,y)，则x2+y2=52.由a⊥b得-2x+3y=0.
由以上两个条件得
答案：(6，4)或(-6，-4)
6.已知A、B、C、D四点的坐标分别为A(1,0)、B(4,3)、C(2,4)、D(m,n).当m、n满足什么条件时，四边形ABCD分别是平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形(A、B、C、D按逆时针方向排列)
解：由条件知=(3,3),=(-2,1),=(m-1,n),=(2-m,4-n).
（1）若四边形ABCD为平行四边形，则=，
∴(3,3)=(2-m,4-n),解得m=-1,n=1.
∴当m=-1,n=1时，四边形ABCD为平行四边形.
（2）当m=-1,n=1时，=(3,3),=(-2,1).
则||=,||=,||≠||.因此，使四边形ABCD为菱形的m、n不存在.
（3）当m=-1,n=1时，·=(3,3)·(-2,1)=-3≠0，即AB、AD不垂直.因此使四边形ABCD为矩形的m、n不存在.
(4)由(2)(3)知，使四边形ABCD为正方形的m、n不存在.
(5)若四边形ABCD为梯形，则=λ或=λ，其中λ为实数，且λ>0,λ≠1.
∴(λ>0,λ≠1)?或(λ>0,λ≠1).
整理得m、n的取值条件为n=m+2(m<2,m≠-1)或n=(m<1,m≠-1).
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.下列各向量中，与e=（3，2）垂直的向量是(
)
A.a=（3，-2）
B.b=（0，0）
C.c=（-4，6）
D.d=（-3，2）
解析：∵3×（-4）+2×6=0，故选C.
答案：C
2.已知向量a=（2，1），b=（3，x），若（2a-b）⊥b，则x的值是(
)
A.3
B.-1
C.-1或3
D.-3或1
解析：∵（2a-b）⊥b，
∴（2a-b）·b=2a·b-b2=2×2×3+2×1×x-32-x2=0.
整理，得x2-2x-3=0，解得x=-1或3.
答案：C
3.A、B、C为平面内不共线的三点，若向量=（1，1），n=（1，-1）且n·=2，则n·等于(
)
A.-2
B.2
C.-2或2
D.0
解析：∵=-，
∴n·=n·（-）=n·-n·=2-（1×1-1×1）=2.
答案：B
4.已知a=（λ，2），b=（-3，5），且a和b的夹角为钝角，则λ的取值范围是(
)
A.λ＜
B.λ≤
C.λ＞
D.λ≥
解析：∵a和b的夹角为钝角，∴a·b＜0，即-3λ+10＜0，λ＞.
答案：C
5.已知O为原点，点A、B的坐标分别为（a，0）、（0，a）.其中常数a＞0，点P在线段AB上，且=t（0≤t≤1），则·的最大值为(
)
A.a
B.2a
C.3a
D.a2
解析：由=t，可得-=t-t，
故=t+(1-t)
=t(0,a)+(1-t)(a,0)=(0,at)+(a-at,0)=(a-at,at).
∴·=-a2t+a2,故当t=0时，·的最大值为a2.
答案：D
6.若将向量=（，1）绕原点按逆时针方向旋转，得到向量，则向量的坐标为______________.
解析：设出的坐标，然后用||=||和、的夹角为，即cos=建立坐标的方程组，但较麻烦.注意到与x轴的正方向所成的角为，再逆时针旋转，故与x轴正方向所成的角为，故可采用几何法求点B的坐标.另外若注意到A、B关于直线y=x对称，则得到B点坐标.由分析易知的坐标为（1，）.
答案：（1，）
7.直角三角形ABC中，=（2，3），=（1，k），求实数k的值.
解：（1）当∠A=90°时，易知·=0，即2+3k=0，k=.
（2）当∠B=90°时，=-=（-1，k-3），易知·=0，即k=.
（3）当∠C=90°时，·=-1+k2-3k=0，k=.
综上可知，k的值为或或.
8.设两向量e1、e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1与e2的夹角为60°，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
解：∵e12=4，e22=1，e1·e2=2×1×cos60°，
∴（2te1+7e2）·（e1+te2）=2te12+（2t2+7）
e1·e2+7te22=2t2+15t+7.
∴2t2+15t+7＜0.
∴-7则2t=λ，且7=tλ，∴2t2=7.
∴t=，λ=.
∴t=时，2te1+7e2与e1+te2的夹角为π，t的取值范围是（-7，）∪（，）.
9.已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a=（1，2）.
（1）若|c|=，且c∥a，求c的坐标；
（2）若|b|=，且a+2b与2a-b垂直，求a与b的夹角θ.
（1）解法一：设c=（x，y）.
∵|c|=，∴，即x2+y2=20.
①
又c∥a，∴2x-y=0.
②
由①②可得
解法二：∵c∥a，故可设c=λa，则|λ|==2.
∴λ=±2.故向量c的坐标为（2，4）或（-2，-4）.
（2）解：∵a=（1，2），∴|a|=.又|b|=，故|a||b|=.
又∵（a+2b）⊥（2a-b），
∴（a+2b）·（2a-b）=0，即2a2+3a·b-2b2=0.
∴2×5+3a·b-2×=0，a·b=.
∴cosθ==-1.
又θ∈［0，π］，∴θ=π，即a与b的夹角为π.
10.求与向量a=（，-1）和b=（1，）的夹角相等且模为的向量c的坐标.
解法一：设c=（x，y）.
∵|c|=，∴x2+y2=2.
①
又a与c的夹角与b与c的夹角相等，
∴，
即（-1）x=（+1）y.
②
联立①②解得
解法二：∵|a|=|b|=2，由向量加法的平行四边形法则，知a+b就与a、b夹角相等，故（a+b）∥c.
又|a+b|=，故c=±（a+b）=±（+1，-1）.
∴向量c的坐标为（+,）或(+,).
11.已知a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），且a与b之间满足|ka+b|=3|a-kb|，其中k＞0.
（1）用k表示a·b；
（2）若a与b的夹角为60°，求k的值.
解：（1）∵|ka+b|=|a-kb|，两边平方，得|ka+b|2=3|a-kb|2，
∴k2a2+b2+2ka·b=3（a2-2ka·b+k2b2），
即a·b=.
又a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），
∴a2=b2=1.∴a·b=k
（2）∵a与b的夹角为60°，
∴a·b=|a||b|cos60°=.
由（1）知，即k2-2k+1=0，解得k=1.2.7
向量应用举例
自我小测
1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为( )
A．－1
B．1
C．2
D．－1或2
2．若＝2e1，＝4e1，且与的模相等，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形
B．梯形
C．等腰梯形
D．菱形
3．某人以a
km/h的速度向东行走，此时正刮着时速为a
km的南风，那么此人感受到的风向、风速为( )
A．东南风，a
km/h
B．东风，a
km/h
C．南风，a
km/h
D．西南风，a
km/h
4．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力分别为F1，F2，若|F1|＝|F2|＝|G|，则θ的值为( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
5．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10
N，合力与F1的夹角为60°，则F1的大小为( )
A．5
N
B．5
N
C．10
N
D．5
N
6．一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前进60
m，若纤绳与行进方向的夹角为，人的拉力为50
N，则纤夫对船所做的功为__________．
7．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7,4)，＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是__________．
8．在△ABC中，C＝，AC＝1，BC＝2，则f(λ)＝|2λ＋(1－λ)|的最小值是__________．
9．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)．
(1)求和∠ACB的大小，并判断△ABC的形状；
(2)若M为BC边的中点，求.
10．如图所示，一物体受到两个大小均为60
N的力的作用，两力的夹角为60°且有一力方向水平，求合力的大小及方向．
参考答案
1．解析：l的一个方向向量为v＝(－2，m)．
由v与向量(1－m,1)平行得，－2＝m(1－m)，解得m＝2或－1.
答案：D
2．解析：由题意得，且∥.
又∵，
∴四边形ABCD为等腰梯形．
答案：C
3．解析：如图所示，设人的速度为v1，风速为v2，则人感受到的风速为v，且|v|＝a.
答案：A
4．解析：作＝F1，＝F2，＝－G，则＝＋，当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，∴∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°.
答案：D
5．解析：|F1|＝|F|cos
60°＝5(N)．
答案：B
6．解析：功W＝60×50×cos＝1
500(J)．
答案：1
500
J
7．解析：＝－＝(3,6)＝.
又∵＝(4，－2)·(3,6)＝0，
∴四边形ABCD为矩形．
∴＝＝2，＝＝3.∴S＝＝2×3＝30.
答案：30
8．解析：以C为原点，CA，CB所在直线分别为y轴，x轴建立平面直角坐标系，
所以＝(0,1)，＝(2,0)，
即2λ＋(1－λ)＝(0,2λ)＋(2－2λ，0)＝(2－2λ，2λ)，所以f(λ)＝2，故f(λ)的最小值为，在λ＝时取得．
答案：
9．解：(1)由题意得，＝(3，－1)，＝(－1，－3)，
＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0.
所以，即∠A＝90°.
又易知，
所以△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝45°.
(2)因为M为BC的中点，所以M(2,0)．
又因为A(1,2)，所以＝(1，－2)．
所以＝＝.
10．解：设向量，分别表示两力，以，为邻边作平行四边形OACB，即为合力．
由已知可得△OAC为等腰三角形，且∠COA＝30°.
过A作AD⊥OC于D，则在Rt△OAD中，cos
30°＝60×＝30.
故＝60，
即合力的大小为60
N，方向与水平方向成30°角．2.5
从力做的功到向量的数量积
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下列命题中正确的个数有（
）
①a·0=0
②0·a=0
③0-=
④|a·b|=|a||b|
⑤若a≠0，则对任一非零b有a·b≠0
⑥a·b=0，则a与b中至少有一个为0
⑦a与b是两个单位向量，则a2=b2
A.7
B.5
C.4
D.2
解析：7个命题中只有③⑦正确.
对于①,两个向量的数量积是一个实数，应有0·a=0；
对于②,应有0·a=0；对于④,由数量积定义，有|a·b|=|a||b|·|cosθ|≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ=0或θ=π时，才有|a·b|=|a||b|；
对于⑤,若非零向量a、b垂直，有a·b=0；
对于⑥,由a·b=0可知a⊥b，可以都非零.
答案：D
2.已知|a|=3，|b|=6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角为60°时，分别求a·b.
解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ=0°，
∴a·b=|a||b|cos0°=3×6×1=18；
若a与b反向，则它们的夹角θ=180°，
∴a·b=|a||b|cos180°=3×6×（-1）=-18.
②当a⊥b时，它们的夹角θ=90°，
∴a·b=0.
③当a与b的夹角是60°时，有
a·b=|a||b|cos60°=3×6×=9.
3.已知|a|=10，|b|=12，a与b的夹角为120°，求a·b.
解：由定义，a·b=|a||b|cosθ=10×12×cos120°=-60.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.给出下列命题：
①在△ABC中，若·＜0，则△ABC是锐角三角形；
②在△ABC中，若·＞0，则△ABC是钝角三角形；
③△ABC是直角三角形·=0；
④△ABC是斜三角形一定有·≠0.
其中，正确命题的序号是____________________.
解析：①∵·<0，∴·=-·>0.∴∠B是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角.∴推不出△ABC是锐角三角形.故命题①是假命题.
②∵·>0，∴·=-·<0.∠A是钝角，因而△ABC是钝角三角形.故命题②是真命题.
③△ABC是直角三角形，则直角可以是∠A，也可以是∠B、∠C.而·=0仅能保证∠B是直角.故命题③是假命题.
④一方面，当△ABC是斜三角形时，其三个内角均不是直角，故·≠0.故命题④是真命题.
答案：②④
2.若向量a、b、c满足a+b+c=0，且|a|=3,|b|=1,|c|=4，则a·b+b·c+a·c=____________.
解法一：∵a+b+c=0,
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=0.
∴2(a·b+b·c+a·c)=-(a2+b2+c2)=-(|a|2+|b|2+|c|2)=-(32+12+42)=-26.∴a·b+b·c+a·c=-13.
解法二：根据已知条件可知|c|=|a|+|b|,c=-a-b，所以a与b同向，c与a+b反向.所以有a·b+b·c+a·c=3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4-12=-13.
答案：-13
3.已知a、b是两个非零向量，同时满足|a|=|b|=|a-b|，求a与a+b的夹角.
解法一：根据|a|=|b|，有|a|2=|b|2.
又由|b|=|a-b|，得|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,∴a·b=|a|2?.
而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=3|a|2,∴|a+b|=|a|.
设a与a+b的夹角为θ，则cosθ=，
∴θ=30°.
解法二：设向量a=(x1，y1),b=(x2,y2),
∵|a|=|b|,∴x12+y12=x22+y22.
由|b|=|a-b|，得x1x2+y1y2=(x12+y12)，即a·b=(x12+y12).
由|a+b|2=2(x12+y12)+2×(x12+y12)=3(x12+y12)，得|a+b|=(x12+y12).
设a与a+b的夹角为θ，则
cosθ=，
∴θ=30°.
解法三：根据向量加法的几何意义，在平面内任取一点O，作=a，=b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB.
∵|a|=|b|，即||=||，
∴OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时=a+b，=a-b.而|a|=|b|=|a-b|，即||=||=||.
∴△AOB为正三角形，则∠AOB=60°，于是∠AOC=30°，
即a与a+b的夹角为30°.
4.若(a+b)⊥(2a-b)，(a-2b)⊥(2a+b)，试求a与b的夹角的余弦值.
解：由(a+b)⊥(2a-b),(a-2b)⊥(2a+b)有
∴a2=b2,|a|2=|b|2,?|a|=|b|.
由2a2+a·b-b2=0得
a·b=b2-2a2=|b|2-2|a|2=|b|2-2×|b|2=|b|2，
∴cosθ=.
∴a、b的夹角的余弦值为.
5.已知|a|=5,|b|=12，当且仅当m为何值时，向量a+mb与a-mb互相垂直
解：若向量a+mb与a-mb互相垂直，则有(a+mb)·(a-mb)=0，
∴a2-m2b2=0.∵|a|=5,|b|=12,∴a2=25,b2=144.∴25-144m2=0.
∴m=±.
∴当且仅当m=±时，向量a+mb与a-mb互相垂直.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.若向量a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是(
)
A.（a+b）+c=a+（b+c）
B.（a+b）·c=a·c+b·c
C.（a·b）c=a（b·c）
D.m（a+b）=ma+mb
解析：根据向量的加、减、乘运算法则解答此题.
（a·b）·c≠a·（b·c）.
答案：C
2.已知a、b、c为任意非零向量，若a=b，则下列命题：
①|a|=|b|；②a2=b2；③a2=a·b；④c·（a-b）=0.正确的有(
)
A.①③
B.①②④
C.②③④
D.①②③④
解析：a=b|a|=|b|；a2=b2；a2=a·b；c·（a-b）=0，而四个命题均不能推出a=b成立.
答案：D
3.对任意向量a、b，|a||b|与a·b的大小关系是(
)
A.|a||b|＜a·b
B.|a||b|＞a·b
C.|a||b|≥a·b
D.两者大小不定
解：|a||b|-a·b=|a||b|-|a||b|cosθ=|a||b|（1-cosθ）.
∵θ∈［0，π］，∴-1≤cosθ≤1，1-cosθ∈［0，2］.
又|a|≥0，|b|≥0，1-cosθ≥0，
∴|a||b|≥a·b.
答案：C
4.设a、b、c是任意的非零向量，且相互不共线，则①（a·b）c-（c·a）b=0；②a2=|a|2；
③（b·c）a-（c·a）b不与c垂直；④（3a+2b）·（3a-2b）=9|a|2-4|b|2中，
是真命题的有(
)
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
解析：命题①中，a·b的运算结果为数，故（a·b）c为一向量，同理（a·c）b也是一向量，向量之差为向量.故①不正确.由数量积的性质知②正确.
又［（b·c）a-（c·a）b］·c=（b·c）（a·c）-（c·a）（b·c）=0，而（a·c）b与（b·c）a不可能同时为零向量,故命题③不正确，④正确.
答案：D
5.下列命题：①△ABC为锐角三角形，则必有·＞0；②若a·b=0，则a⊥b；③若a·b=a·c，且a≠0，则b=c；④
|a·b|=|a||b|a∥b.其中正确命题的个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：命题①：·=||||·cos（π-∠ABC）＜0，不正确.
命题②：当a、b为0时，a·b=0a⊥b，不正确.
命题③：a·b=a·c，即|a||b|·cosθ1=|a||b|·cosθ2，
又a≠0，∴|b|cosθ1=|c|cosθ2不一定有b=c.故不正确.
命题④：|a·b|=||a||b|cosθ|=|a|·|b|·|cosθ|=|a||b||cosθ|=1θ=0或π，故a∥b.另外当a、b中有一个为0时，也有a∥b.故正确.
答案：A
6.已知e为单位向量，|a|=4，a与e的夹角为，则a在e方向上的投影为________________.
解析：投影为=|a|·cos=-2.
答案：-2
7.向量α、β满足|α+β|=|α-β|，则α与β的夹角是_________________.
解析：∵|α+β|=|α-β|，∴|α+β|2=|α-β|2，即α2+2α·β+β2=α2-2α·β+β2.
∴α·β=0.又α、β均为非零向量，故α与β的夹角为90°.
答案：90°
8.已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互间的夹角均为120°.
（1）求证：（a-b）⊥c；
（2）若|ka+b+c|=1（k∈R），求k的值.
（1）证明：∵（a-b）·c=a·c-b·c=|a||c|·cos120°-|b||c|cos120°，又|a|=|b|=|c|，∴（a-b）·c=0，即（a-b）⊥c.
（2）解：由|ka+b+c|=1，得|ka+b+c|2=12，即（ka+b+c）2=1，
∴k2a2+b2+c2+2b·c+2ka·b+2ka·c=1.
又a·b=a·c=b·c=，
∴k2-2k=0.解得k=2或0.
9.已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,c=3a+5b,d=ma-3b.
(1)当m为何值时,c与d垂直
(2)当m为何值时,c与d共线
解：（1）由向量垂直的条件得c·d=0，c·d=（3a+5b）·（ma-3b）
=3ma2+（5m-9）a·b-15b2=27m+3（5m-9）-60，
∴42m-87=0.
∴m=即m=时c与d垂直
（2）由向量共线的条件是c=λd
∴3a+5b=λ（ma-3b）.
∴3a+5b=mλ·a-3λ·b
∵a与b不共线,
∴
即当m=时c与d共线2.3.2
平面向量基本定理
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量，其中正确的说法是（
）
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
解析：根据平面向量基本定理可以进行判断.平面内向量的基底不唯一,在同一平面内任何一组不共线的向量都可以作为平面内所有向量的基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确.
答案：B
2.设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与，其中可作为这个平行四边形所在平面内表示它的所有向量的基底的是（
）
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
解析：①AD与AB不共线,②DA=-BC,DA∥BC,DA与BC共线,③CA与DC不共线,④OD=-OB,OD∥OB,OD与OB共线.由平面向量基底的概念知①③可构成平面内所有向量的基底.
答案：B
3.想一想，e1、e2不共线，e1、e2中能否有零向量？a与e1、e2的关系可能有几种情况？
解析：e1、e2不共线，则e1≠0且e2≠0.
（1）a与e1共线，则有且只有一个λ1，使a=λ1e1；
（2）a与e2共线，则有且只有一个λ2，使a=λ2e2；
（3）a与e1、e2都共线，则a=0；
（4）a与e1、e2都不共线，a能用e1、e2表示，解法如下：
与共线，则有且只有一个λ1，使=λ1e1.
与共线，则有且只有一个λ2，使=λ2e2，则a=+=λ1e1+λ2e2.
4.如图2-3-3，已知△OAB，其中=a，=b，M、N分别是边、上的点，且=a，=b.设与相交于P，用向量a、b表示.
图2-3-3
解：=+,=+.
设=m，=n，则
=+m=a+m(b-a)
=(1-m)a+mb,
=+n=b+n(a-b)
=(1-n)b+na.
∵a、b不共线，
∴
∴=a+b.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.向量、、的终点A、B、C在一条直线上，且=-3.设=p,=q,=r，则下列等式成立的是(
)
A.r=
B.r=-p+2q
C.r=
D.r=-q+2p
解析：由=-3,得-=-3（-），
即2=-+3，∴=+，即r=.
答案：A
2.设一直线上三点A、B、P满足=λ(λ≠1),O是空间一点，则用、表示为(
)
A.=+λ
B.=λ+(1-λ)
C.=
D.
解析：由=λ（λ≠1）得-=λ（-），即=.
答案：C
3.如图2-3-4，四边形ABCD为矩形，且AD=2AB,又△ADE为等腰直角三角形，F为ED中点，=e1，=e2.以e1、e2为基底，表示向量、、及.
图2-3-4
解：∵=e1，=e2，∴=e2-e1.
依题意有AD=2AB=DE，且F为ED中点，
∴四边形ABDF为平行四边形.
∴==e2-e1，==e2.
∴=+=e2-e1+e2=2e2-e1.
4.如图2-3-5，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知=c，=d，试用c、d表示和.
图2-3-5
解：设=a，=b，
则由M、N分别为DC、BC的中点可得=，=.
从△ABN和△ADM中可得
a+b=d，b+a=c.
解得a=(2d-c),b=(2c-d),
即=(2d-c),=(2c-d).
5.证明三角形的三条中线交于一点.
证明：如图，令=a,=b为基底.
=b-a,=a+b,=b-a.
设AD与BE交于点G1，并设=λ,=μ，
则有=-==,
=-=,
∴解得λ=μ=,∴=.
设AD与CF交于点G2，同理,可得=.
∴G1与G2重合，也就是说AD、BE、CF相交于同一点.
∴三角形的三条中线交于一点.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.e1和e2表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作一组基底的是(
)
A.e1+e2和e1-e2
B.3e1-2e2和4e2-6e1
C.e1+3e2和e2+3e1
D.e2和e1+e2
解析：∵3e1-2e2=（4e2-6e1），
∴3e1-2e2与4e2-6e1共线.
答案：B
2.下面关于单位向量的叙述正确的是(
)
A.若e是向量的单位向量，则e与同向或反向
B.若e1与e2是两向量的单位向量，则e1与e2可作为平面的一组基底
C.0的单位向量是0
D.向量的单位向量e=
解析：单位向量是指与a同向且大小为一个单位的向量，故A不正确.若e1、e2是两个单位向量，则可能反向，故B不正确.易知选D.
答案：D
3.已知=3（e1+e2），=e2-e1，=2e1+e2，则(
)
A.A、B、C三点共线
B.A、B、D三点共线
C.A、C、D三点共线
D.B、C、D三点共线
解析：=+=-=4e1+2e2=2（2e1+e2）=2.
答案：C
4.在△ABC中，设=m，=n，D、E是边BC上的三等分点，则=_______________,
=_______________.
解析：由D、E是边BC上的三等分点，可得=,=，转化为已知向量即可.
答案：
5.设e1、e2是两个不共线向量，若向量b=e1+λe2（λ∈R）与向量a=2e1-e2共线，则λ=___________.
解析：由共线向量定理，设b=λa，即e1+λe2=2μ
e1-μ
e2.
所以解得λ=.
答案：
6.如图2-3-6，在平行四边形PQRS中，在PQ、QR、RS、SP上分别取点K、L、M、N，其中K、N分别为PQ、PS的中点，QL=QR，SM=SR.设KM与LN交于A点，=a，=q，=s，试用q、s表示a.
图2-3-6
解法一：∵与共线，∴存在实数λ1，使=λ1.
∵=++,K为的中点，
=,=,=，
∴=++(）=+，
即=q+s.∴=.
∵=+,K为的中点，
∴=q，即=()q+λ1s.
同样设=λ2，
=++=+-=-=q-s,
∴=+=+λ2=s+λ2q-=(-)s+λ2q.
∵关于q、s的分解式是唯一的，
∴
∴=.
解法二：由于N、A、L三点共线，故存在α∈R，使=α+(1-α).
∵==s,=+=+=q+s.
∴=α
s+(1-α)(q+s)
=+(1-α)q+.
∴=(1-α)q+()s.
同理，由于K、A、M三点共线，故存在β∈R，使=β+(1-β).
∵==q,=+=s+,
∴=β
s+(1-β)(s+).
∴=(1-β)s+(）q.
∵关于q、s的分解式是唯一的，
∴
∴=.
7.已知向量a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，其中e1、e2不共线.向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d=λa+μb与c共线 若存在，求出λ、μ的值；若不存在，请说明理由.
解：∵d=λ（2e1-3e2）+μ（2e1+3e2）
=（2λ+2μ）e1+（-3λ+3μ）e2，
如果d与c共线，则应存在实数k，使得d=kc，
即（2λ+2μ）e1+（-3λ+3μ）e2=2ke1-9ke2.
∴2λ+2μ=2k，-3λ+3μ=-9k，
解得λ=-2μ.
故存在这样的λ、μ，只要λ=-2μ，就能使d与c共线.
8.如图2-3-7，平行四边形ABCD中，=，=.求证：A、F、E三点共线.
图2-3-7
证明：设=a，=b，由题意，得=
==a，
==（-）=（a-b）.
又=+=b+a，∴=+=b+（a-b）=a+b.
∴=（a+b）==.
∴∥.
又∵直线AE与直线AF有公共点A，∴A、F、E三点共线.
9.如图2-3-8,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM的值.
图2-3-8
解:设BM=e1,CN=e2,则AM=AC+CM
=-3CN-BM=-3e2-e1,BN=BC+CN
=2BM+CN=2e1+e2.
∵A、P、M和B、P、N分别共线，
∴存在实数λ、μ使AP=λAM=-3λe2-λe1，BP=μ=2μe1+μe2
故BA=BP-AP=2μe1+μe2-（-3λe2-λe1）=（2μ+λ）e1+（μ+3λ）e2
而BA=BC+CA=2BM+3CN=2e1+3e2
由平面向量基本定理知
故=,即AP∶PM=4∶1.
快乐时光
分数略
某考生在考数学时，最后一道题不会做，他偷看到了别人的答案，但过程还是不会.快交卷时，他灵机一动，在卷子上写道：运算过程略.接着把答案抄在后面.评卷老师看后，在答案后打个“X”，接着写道：分数略.2.2
从位移的合成到向量的加法
课后导练
基础达标
1.下列等式正确的个数是(
)
①0-a=-a
②-(-a)=a
③a+(-a)=0
④a+0=a
⑤a-b=a+(-b)
⑥a+(-a)=0
A.3
B.4
C.5
D.6
解析:只有第⑥个错误.
答案：C
2.化简（-）+（-）的结果是(
)
A.0
B.
C.
D.
解析：（-）+（-）=+++=+++=.
答案：D
3.已知下列各式，其中结果为0的个数为（
）
①++
②（+）++
③
④+++
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：①④两式结果为0.
答案：B
4.如右图，正方形ABCD的边长为1，则|+++|等于…（
）
A.1
B.
C.3
D.
解析：|+++|=|2|=2||=.
答案：D
5.如右图，四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是（
）
A.+=
B.+=
C.+=
D.+=
答案：C
6.若||=7，||=3，则||的取值范围_________.
解析：||=|-|，当与同向时，||min=4；当与反向时，||max=10.
答案：4≤||≤10
7.设向量a表示“向东走6
m”，b表示“向北走6
m”，则|a+b|________=,a+b的方向是______.
解析:由向量加法的三角形法则知|a+b|=，而a+b的方向是东北方向.
答案：
m
东北方向
8.求证：对任意向量a、b，都有|a+b|≤|a|+|b|.
证明：(1)当a、b不共线时，
如右图，a+b=，
∵△OAB中||＜||+||,
∴|a+b|≤|a|+|b|.
(2)当a,b共线时，a,b同向则|a+b|=|a|+|b|；
a,b反向则|a+b|＜|a|+|b|.
∴对任意向量a,b，都有|a+b|≤|a|+|b|.
9.在静水中划船的速度是每分钟40
m，水流的速度是每分钟20
m，若船从A处出发，沿垂直水流的航线到达对岸，船的航速是多少？方向怎样？
解析：v实=，
tan∠ABC=,
∴∠ABC=60°,
答：船的速度是
m/s，与水流的夹角是60°.
综合运用
10.已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a+b的方向(
)
A.与向量a方向相同
B.与向量a方向相反
C.与向量b方向相同
D.与向量b方向相反
解析：已知a平行于b，如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a的方向相同;如果它们的方向相反，因为a的模大于b的模，所以它们的和仍然与a的方向相同.
答案：A
11.a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则(
)
A.a∥b，且a与b方向相同
B.a、b是共线向量
C.a=-b
D.a、b无论什么关系均可
解析:当两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a、b的方向都不相同，且|a+b|＜|a|+|b|；向量a与b同向时，a+b的方向与a、b的方向都相同，且|a+b|=|a|+|b|；向量a与b反向且|a|＜|b|时，a+b的方向与b的方向相同(与a方向相反)，且|a+b|=|b|-|a|.
答案：A
12.已知一个点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，则向量=_______.
解析：如右图，=a,=b,=c,则=+=+=+（-）=a+(c-b)=a+c-b
答案：a+c-b
13.在平行四边形ABCD中，若|+|=|-|，则四边形ABCD是__________（填正方形或矩形或菱形）.
解析：由|+|=|-|，即||=||，可得ABCD是一个特殊的平行四边形--矩形.
答案：矩形
14.已知=a，=b,且|a|=|b|=4,∠AOB=60°.
（1）求|a+b|,|a-b|.
（2）求a+b与a的夹角，a-b与a的夹角.
解析：如右图，以，为邻边作平行四边形OACB，
∵|a|=|b|=4,∠AOB=60°,
∴OACB为菱形.
(1)a+b=+=,
a-b=-=,
∴|a+b|=||=2||=2××4=,
|a-b|=||=4.
（2）∵∠COA=∠AOB=30°，
a+b与a所成的角即∠COA=30°，
a-b与a所成的角即与所成的角∠CBA=60°.
拓展探究
15.一艘渔船在航行中遇险，发出警报，在遇险处西10
n
mile处有一艘货船收到警报后立即侦察，发现渔船正向正南方向以9
n
mile/h的速度向一小岛靠近，货船的最大航速为18
n
mile/h.要想尽快将这只渔船救出险境，求货船的行驶方向和所用的时间.
思路分析：本题是实际问题，首先根据实际条件，用向量表示位移，作出图形，即可解决几何问题.
解：如右图，渔船在A处遇险，货船在B处，货船在C处与渔船相遇，
设所用时间为t，由已知△ABC为直角三角形.
||=10,||=9t,||=18t,
由勾股定理得：
||2=||2+||2.
∴182t2=100+92t2.
∴t2=.
∴t≈0.64.
sin∠ABC=，
∴∠ABC=30°.
∴货船应沿东偏南30°的方向行驶，最快可用0.64小时将渔船救出险境.2.6
平面向量数量积的坐标表示
自主广场
我夯基
我达标
1.已知向量a=（-4，7），向量b=（5，2），则a·b的值是（
）
A.34
B.27
C.-43
D.-6
思路解析：依数量积的坐标运算法则解答此题.a·b=-4×5+7×2=-6.
答案：D
2.已知向量a=（2，1），b=（3，x），若（2a-b）⊥b，则x的值是（
）
A.3
B.-1
C.-1或3
D.-3或1
思路解析：欲求x的值，只需建立关于x的方程，由条件（2a-b）⊥b（2a-b）·b=0，即可得出x的方程.∵（2a-b）⊥b，∴（2a-b）·b=2a·b-b2=2×2×3+2×1×x-32-x2=0.整理，得x2-2x-3=0，解得x=-1或3.
答案：C
3．若向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°，且|b|=，则b等于（
）
A.(-3,6)
B.(3,-6)
C.(6,-3)
D.(-6,3)
思路解析：由题意，b与a共线，再结合|b|=，列出关于b的坐标的方程，即可解出.
方法一：设b=λ(-1,2)，且λ＞0，有(-λ)2+(2λ)2=()2b=(-3，6).
方法二：由题意可知，向量a、b共线且方向相反.故可由方向相反排除B，C；由共线可知b=-3a.
答案：A
4．(2006天津高考卷，文12)设向量a与b的夹角为θ，且a=(3,3),2b-a=(-1,1)，则cosθ=________________.
思路解析：由题意，得b=a+(-1,1)=（1,2），则a·b=9，|a|=，|b|=，
∴cosθ=.
答案：
5.已知a=（1，2），b=（1，1），c=b-ka，若c⊥a，则c=_________________.
思路解析：根据a和b的坐标、c的坐标，利用垂直建立关于k的方程，求出k后可得向量c.
答案：（）
6.已知a=（3，-1），b=（1，2），x·a=9与x·b=-4，向量x的坐标为_______________.
思路解析：待定系数法，设出向量x的坐标，利用所给两个关系式得到关于坐标的方程组，再求解.设x=（t，s），由
答案：（2，-3）
7.已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a=（1，2），
（1）若|c|=，且c∥a，求c的坐标；
（2）若|b|=，且a+2b与2a-b垂直，求a与b的夹角θ.
思路分析：（1）欲求向量c，同前面的题目类似，可以设出向量c的坐标，然后建立c的坐标方程，可得解法一.另外注意到c∥a，故存在实数λ，使c=λa，则|c|=|λa|，即|λ|=.故可求出λ，也就能求出c，得解法二.
（2）欲求a与b的夹角θ，可根据cosθ=来求cosθ，然后再求θ.故只需求出ab和|a||b|即可.由题意易知|a||b|，关键是求a·b.又有a+2b与2a-b垂直，故可以得到（a+2b）·（2a－b）=0.进一步可求出a·b的值.
（1）解法一：设c=（x，y）.
∵|c|=，∴=，即x2+y2=20.
①
又c∥a，∴2x－y=0.
②
由①②可得或
即向量c的坐标为（2，4）或（-2，-4）.
解法二：∵c∥a，故可设c=λa，
则|λ|==2.
∴λ=±2.
即向量c的坐标为（2，4）或（-2，-4）.
（2）解：∵a=（1，2），∴|a|=.
又|b|=，故|a||b|=.
又∵（a+2b）⊥（2a-b），
∴（a+2b）·（2a-b）=0，即2a2+3a·b-2b2=0.
∴2×5+3a·b-2×=0，a·b=.
∴cosθ=.
又θ∈［0，π］，
∴θ=π，
即a与b的夹角为π.
我综合
我发展
8.已知a=（3，4），b=（4，3），求实数x、y的值使（xa+yb）⊥a，且|xa+yb|=1.
思路分析：首先写出（xa+yb）的坐标，再根据它与向量a垂直和模为1列出方程组，从而解得x和y的值.
解：由a=（3，4），b=（4，3），有xa+yb=（3x+4y，4x+3y）.
∵（xa+yb）⊥a，
∴（xa+yb）·a=0.
∴3（3x+4y）+4（4x+3y）=0，
即25x+24y=0.①
又∵|xa+yb|=1,
∴（3x+4y）2＋（4x+3y）2=1.
整理得25x2＋48xy+25y2=1.②
由①②联立方程组，解得和
9.(2006全国高考卷Ⅱ，理17)已知向量a=(sinθ，1)，b=(1，cosθ)，-＜θ＜.
（1）若a⊥b，求θ；
（2）求｜a＋b｜的最大值.
思路分析：利用定义直接求得θ.把点的坐标代入｜a＋b｜，先化简再求最值.
解：（1）∵a⊥b，
∴sinθ＋cosθ=0.
∴tanθ=-1(-＜θ＜).
∴θ=.
（2）∵a=(sinθ，1)，b=(1，cosθ)，
∴a+b=(sinθ+1，1+cosθ).
∴｜a+b｜=
=.
当sin(θ+)=1时，|a＋b|取得最大值，
即当θ=时，|a＋b|的最大值为.
10.平面上有两个向量e1=(1,0)，e2=(0,1)，今有动点P，从P0(-1,2)开始沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|e1+e2|，另一动点Q，从点Q0(-2,-1)出发，沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3e1+2e2|.设P，Q在t=0分别在P0,Q0处，则当⊥时，t=___________秒.
思路解析：用t表示出，列出方程即可求解.
∵P0(-1,2),Q0(-2,-1),∴=(-1,-3).
又∵e1+e2=(1,1),∴|e1+e2|=.∵3e1+2e2=(3,2),∴|3e1+2e2|=.
∴当t时刻时,点P的位置为(-1+t,2+t),点Q的位置为(-2+3t,-1+2t).
∴=(-1+2t,-3+t).∵⊥,
∴(-1)×(-1+2t)+(-3)×(-3+t)=0.∴t=2.
答案：2
11.(2006湖北黄冈模拟，16)平面直角坐标系内有点P(1,cosx)、Q(cosx，
1),x∈［,］.
(1)求向量和向量的夹角θ的余弦值；
(2)令f(x)=cosθ，求f(x)的最小值.
思路分析：（1）直接用夹角公式即可求得；（2）利用换元法，再利用函数的单调性求出最小值.
解：(1)由题意，得=(1,cosx),=(cosx,1).
∴·=2cosx，||=，||=.
∴cosθ=.
∴向量和向量的夹角θ的余弦值为.
（2）由(1)得f(x)=,x∈［,］,
设t=cosx,则≤t≤1.∴f(t)=，≤t≤1.
可以证明当≤t≤1时，f(t)=是增函数.
∴f(x)的最小值是f()=.2.1
从位移、速度、力到向量
自我小测
1．下列说法中正确的是( )
A．若|a|＞|b|，则a＞b
B．若|a|＝|b|，则a∥b
C．若a＝b，则a∥b
D．若a≠b，则a与b不是共线向量
2．设O为△ABC的外心，则，，是( )
A．相等向量
B．平行向量
C．模相等的向量
D．起点相同的向量
3．两列火车从同一站台沿相反方向开去，行驶了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a和b，那么下列命题中错误的是( )
A．a与b为平行向量
B．a与b为模相等的向量
C．a与b为共线向量
D．a与b为相等向量
4．下列四种说法正确的个数为( )
①若，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
②在平行四边形ABCD中，一定有；
③若m＝n，n＝k，则m＝k；
④若a∥b，b∥c，则a∥c.
A．1
B．2
C．3
D．4
5．如图，在平行四边形ABCD中，与共线的向量是__________，与相等的向量是__________．
6．如图所示，在四边形ABCD中，，且，则四边形ABCD的形状为__________．
7．设O是正方形ABCD的中心，则①；②∥；③与共线；④.其中，所有正确结论的序号为________________.
8．下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若a∥b，则|a|＝|b|；③若a＝0，则|a|＝0.其中正确命题的序号是________．
9．如图，在四边形ABCD中，，N，M分别是AD，BC上的点，且，求证：.
10．在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA上的点，已知，，试推断向量与是否为相等向量，说明你的理由．
参考答案
1．解析：向量不能比较大小，所以选项A不正确；a∥b需满足a，b共线，所以选项B不正确；选项C正确；共线向量只需方向相同或相反，所以选项D不正确．
答案：C
2．解析：△ABC的外心，即△ABC的外接圆的圆心，它到A，B，C三点的距离相等，即有.
答案：C
3．解析：由向量的基本概念知a与b方向相反，
∴a与b是平行向量，即共线向量．
又∵两列火车所行路程相同，
∴a与b的模相等．
∴a与b是模相等且方向相反的向量，即D错．
答案：D
4．解析：①不正确，因为点A，B，C，D可能落在同一条直线上；零向量的方向不确定，且零向量与任一向量都平行，所以④中若b＝0，则a与c就不一定平行了，因此④不正确；②③正确．故选B.
答案：B
5．，，
6．解析：∵，
∴四边形ABCD为平行四边形．
又∵，
∴平行四边形ABCD为菱形．
答案：菱形
7．①②③
8．解析：①中忽略了0和0的区别，由|a|＝0知a＝0，但a≠0；②中是对两个平行向量的定义理解不透，两个向量平行，只是说明这两个向量的方向相同或相反，而它们的模却不一定相等；③中零向量的模为零．
答案：③
9．证明：∵，∴，且AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴，且DA∥CB.
又∵与的方向相同，∴.
∵，∴，且CN∥MA，
∴四边形CNAM是平行四边形．
∴，且CM∥NA.
又∵与的方向相同，
∴.∴.
10．解：.理由如下：
∵，∴，∴D是AB的中点．
∵，∴与是平行向量，从而DF∥BE，即DF∥BC.∴＝＝1，
∴F是AC的中点．
由三角形中位线定理知，DF＝BC.
又，即，
∴BE＝BC.
∴E为BC的中点．
∴DE∥AC，且DE＝AC.
∵F是AC的中点，∴AF＝AC，
∴DE＝AF.∴.2.5
从力做的功到向量的数量积
自主广场
我夯基
我达标
1．给出下列等式：
①a·0=0；②0·a=0；③0-=；④|a·b|=|a||b|；⑤若a≠0，则对任一非零向量b有a·b≠0；⑥a·b=0，则a与b中至少有一个为0；⑦a与b是两个单位向量，则a2=b2.
以上成立的是（
）
A.①②③⑥⑦
B.③④⑦
C.②③④⑤
D.③⑦
思路解析：按照定义、性质、运算律作答即可.
对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有a·0=0，故①错；
对于②：应有a·0=0，故②错；
对于③：很明显正确；
对于④：由数量积定义，有|a·b|=|a||b||cosθ|≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ=0或θ=π时，才有|a·b|=|a||b|，故④错；
对于⑤：若非零向量a、b垂直，有a·b=0，故⑤错；
对于⑥：由a·b=0可知a⊥b，即可以都非零，故⑥错；
对于⑦：a2-b2=|a|2-|b|2=1-1=0，故⑦正确.
答案：D
2．（北京高考卷，理3）若|a|=1，|b|=2，c=a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为（
）
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
思路解析：要求a与b的夹角，根据夹角公式需先求夹角的余弦值，再结合夹角的范围确定其值.设a与b的夹角为θ.∵c⊥a，∴c·a=0.∴（a＋b）·a=0.
∴|a|2+b·a=0.∴b·a=-1.
∴cosθ=.
又∵0°≤θ≤180°，∴θ=120°.
答案：C
3．已知△ABC中，=a，=b，当a·b＜0和a·b=0时，△ABC的形状分别是（
）
A.钝角三角形，直角三角形
B.锐角三角形，直角三角形
C.锐角三角形，钝角三角形
D.锐角三角形，斜三角形
思路解析：由a·b＜0可知a与b的夹角为钝角，即∠A是钝角；当a·b=0时，可知a与b的夹角为直角，即△ABC是直角三角形.
答案：A
4．（辽宁高考卷，理12）设O（0，0）,A（1，0）,B（0，1）,点P是线段AB上的一个动点,=λ,若·≥·,则实数λ的取值范围是（
）
A.≤λ≤1
B.1≤λ≤1
C.≤λ≤1+
D.1≤λ≤1+
思路解析：由题意得=λ=(1-λ)+λ=(1-λ,λ)，=-=(1-λ)
=(λ-1,1-λ),
=λ=（-λ,λ）,又∵·≥·，∴(1-λ,λ)·(-1,1)≥（λ,-λ)·(λ-1,1-λ).
∴2λ2-4λ+1≤0.∴1≤λ≤1+.因点P是线段上的一个动点,所以0≤λ≤1,即满足条件的实数λ的取值范围是1≤λ≤1.
答案：B
5．（湖南高考卷，理,5）已知|a|=2|b|≠0且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是（
）
A.［0，］
B.［，π］
C.［,］
D.［，π］
思路解析：∵|a|=2|b|≠0，且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根，∴|a|2-4a·b≥0.∴a·b≤|a|2=|b|2.∴cos〈a,b〉==，∴θ∈［,π］.
答案：B
6.已知e为单位向量，|a|=4，a与e的夹角为，则a在e方向上的投影为______________.
思路解析：由向量在另一方向上投影的定义解答此题.投影为=|a|·cos=－2.
答案：－2
7.已知|a|=10，|b|=12，a与b的夹角为120°，求：
（1）a·b；
（2）（3a）·（b）；
（3）（3b－2a）·（4a+b）.
思路分析：第（1）题直接由定义可得，（2）和（3）则利用向量数量积的运算律计算.
解：（1）a·b=|a||b|cosθ=10×12×cos120°=-60.
（2）（3a）·（b）=（a·b）=×（-60）=-36.
（3）（3b－2a）·（4a+b）=12b·a+3b2-8a2-2a·b=10a·b+3|b|2-8|a|2=10×（-60）+3×122-8×102=-968.
我综合
我发展
8.已知向量=a，=b，∠AOB=60°，且|a|=|b|=4.
(1)求|a+b|,|a-b|；
(2)求a+b与a的夹角；a-b与a的夹角.
思路分析：本题可以直接利用长度公式和夹角公式求解；也可利用已知条件画出图形，数形结合.
解法一：（1）|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=|a|2+2|a||b|cos60°+|b|2=42+2×4×4cos60°+42=16+16+16
=48,
∴|a+b|=43.
|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=|a|2-2|a||b|cos60°+|b|2
=42-2×4×4cos60°+42=16-16+16=16,
∴|a-b|=4.
(2)记a+b与a的夹角为α，a-b与a的夹角为β.
则cosα=，∴α=30°.
cosβ=∴β=60°.
解法二：如图2-5-8所示，以、为邻边作平行四边形OACB.
图2-5-8
∵|a|=|b|=4，∴四边形OACB为菱形.
(1)a+b=+=，a-b==，又∠AOB=60°，
∴|a+b|=||=2||=2××4=.a-b=||=4.
(2)在△OAC中，∠OAC=120°，
∴∠COA=∠OCA=30°.a+b与a的夹角即∠COA=30°，
a-b与a的夹角即与所成的角为60°.
9.向量e1、e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
思路分析：向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，则它们的数量积应当小于零，由此可得关于t的不等式，解之即得.
解：∵e12=4，e22=1，e1·e2=2×1×cos60°=1，
∴（2te1+7e2）·（e1+te2）=2te12+（2t2+7）e1·e2+7te22=2t2+15t+7.
∵向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，
∴2t2+15t+7＜0.
∴－7＜t＜－.
设2te1+7e2=λ（e1+te2）（λ＜0），则2t=λ，且7=tλ，
∴2t2=7.
∴t=，λ=.
∴当t=时，2te1+7e2与e1+te2的夹角为π.
∴实数t的取值范围是（-7，）∪（，-）.
10.四边形ABCD中，=a，=b，CD=c，=d，且a·b=b·c=c·d=d·a，试问四边形ABCD是什么图形
思路分析：四边形的形状由边角关系确定，由题设条件演变，推算该四边形的边角关系.
解：由题意，得a+b+c+d=0，
∴a+b=-(c+d）.
∴（a+b）2=（c+d）2，
即|a|2+2a·b+|b|2=|c|2+2c·d+|d|2.
由于a·b=c·d，
∴|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.①
同理，有|a|2+|d|2=|c|2+|b|2.②
由①②可得|a|=|c|且|b|=|d|，即四边形ABCD的两组对边分别相等，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵a·b=b·c，∴b·（a－c）=0.
由平行四边形ABCD可得c=－a，代入上式得b·（2a）=0，
即a·b=0.
∴a⊥b，
即AB⊥BC.
综上所述，四边形ABCD是矩形.2.1
从位移、速度、力到向量
自主广场
我夯基
我达标
1.把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是（
）
A.一条线段
B.一段圆弧
C.两个孤立点
D.一个圆
思路解析：由单位向量的定义可知，如果把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，则所有的终点到这个起点的距离相等，且等于1，这样的图形显然是一个圆.
答案：D
2.下列命题正确的是（
）
A.若|a|=0，则a=0
B.若|a|=|b|，则a=b
C.若|a|=|b|，则a∥b
D.若a∥b，则a=b
思路解析：考虑向量的相等关系，必须同时考虑它的大小和方向.当|a|=|b|时，只说明a与b的长度相等，无法确定方向，故B、C均错;当a与b平行时，只说明方向相同或相反，没有长度的关系，不能确定相等，故D错.
答案：A
3.下列说法中不正确的是（
）
A.向量的长度与向量的长度相等
B.任何一个非零向量都可以平行移动
C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D.两个有共同起点且共线的向量的终点必相同
思路解析：两个有共同起点且共线的向量，它们的方向可能相反，而且它们的长度也有可能不同，所以D不正确.
答案：D
4.下列说法：
①两个有公共起点且长度相等的向量，其终点可能不同；
②若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线；
③若a∥b且b∥c，则a∥c；④当且仅当=时，四边形ABCD是平行四边形.
正确的个数为（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
思路解析：①正确；
②不正确，这是由于向量的共线与表示向量的有向线段共线是两个不同的概念；
③不正确，假设向量b为零向量，因为零向量与任何一个向量都平行，符合a∥b且b∥c的条件，但结论a∥c却不能成立；
④正确，这是因为四边形ABCD是平行四边形AB∥DC且AB=DC，即和相等.
答案：C
5.下列说法中正确的是（
）
A.若|a|＞|b|，则a＞b
B.若|a|=|b|，则a=b
C.若a=b，则a∥b
D.若a≠b，则a与b不是共线向量
思路解析：向量不能比较大小，所以A不正确；当|a|=|b|时，它们的方向不一定相同，所以B不正确；a∥b是共线向量只需方向相同或相反，所以D不正确.
答案：C
6.若a0是a的单位向量，则a与a0的方向____________，与a0的长度.
思路解析：一个向量的单位向量和这个向量本身共线；向量a的单位向量定义为.
答案：相同
相等
我综合
我发展
7.给出以下5个条件：①a=b；②|a|=|b|；③a与b的方向相反；④|a|=0或|b|=0；⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是__________.
思路解析：模相等的向量的方向不确定，②不正确；单位向量不一定是共线向量;⑤不能使a与b共线成立.
答案：①③④
8.如图2-1-4，D、E、F分别是等腰Rt△ABC的各边中点，∠BAC=90°.
图2-1-4
（1）分别写出图中与向量、长度相等的向量；
（2）分别写出图中与向量、相等的向量；
(3)分别写出图中与向量、共线的向量.
思路分析：相等向量要考虑两个向量的大小、方向，共线向量只考虑方向是否相同或相反，向量的长度只考虑大小不考虑方向.
解：（1）与长度相等的向量有：，，，；与长度相等的向量有：，，，，，，，，，.
（2）与向量相等的向量有：，；与向量相等的向量有：，.
(3)与向量共线的向量有：，，，，，，；与向量共线的向量有：FD，，，，，，.
9/已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2
000
km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2
000
km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向 丁地距甲地多远
思路分析：本题用向量解决物理问题，首先用向量表示位移，作出图形，然后解平面几何问题即可.
解：如图2-1-5，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，
图2-1-5
由题意知，△ABC是正三角形，
∴AC=2
000
km.
又∵∠ACD=45°，CD=km，
∴△ACD是直角三角形.
∴AD=
km，∠CAD=45°.
∴丁地在甲地的东南方向，丁地距甲地km.2.5
从力做的功到向量的数量积
自我小测
1．已知|a|＝2，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则|a－b|的值为( )
A．4
B．2
C．2
D．6
2．若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．4
B．3
C．2
D．0
3．已知|a|＝8，e为单位向量，当它们的夹角为时，a在e方向上的射影是( )
A．4
B．4
C．4
D．8＋
4．在△OAB中，＝a，＝b，OD是AB边上的高，若，则λ等于( )
A．
B．
C．
D．
5．若，则△ABC为( )
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．等腰直角三角形
6．已知a⊥b，(3a＋2b)⊥(ka－b)，若|a|＝2，|b|＝3，则实数k的值为__________．
7．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角θ是__________．
8．设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：
(1)|a|－|b|＜|a－b|；
(2)(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；
(3)(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确结论的序号为__________．
9．已知|a|＝1，|b|＝，设a与b的夹角为θ.
(1)若θ＝，求|a＋b|；
(2)若a与a－b垂直，求θ.
10．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
参考答案
1．解析：∵a·(b－a)＝2，∴a·b－a2＝2.
∴a·b＝2＋a2＝2＋|a|2＝2＋22＝6.
∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝22－2×6＋62＝28，
∴|a－b|＝2.
答案：B
2．解析：由a∥b及a⊥c，得b⊥c，
则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.
答案：D
3．解析：a在e方向上的射影为|a|cos＝4.
答案：B
4．解析：由题意知，，
即.
∴，
∴λ＝－＝－＝.
答案：B
5．解析：∵，
∴，
∴，
∴，∴，∴∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
答案：A
6．解析：由已知得a·b＝0，a2＝4，b2＝9.
由(3a＋2b)·(ka－b)＝0得，
3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.
∴12k－18＝0，∴k＝.
答案：
7．解析：由|a＋b|＝|a－b|得，|a＋b|2＝|a－b|2，
整理得a·b＝0.
又由|a－b|＝2|a|得，|a－b|2＝4|a|2，
∴|a|2－2a·b＋|b|2＝4|a|2，
∴|b|2＝3|a|2，∴|b|＝|a|.
∴cos
θ＝＝＝＝－.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案：
8．解析：(1)∵(|a|－|b|)2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b，
又∵a，b不共线，∴a·b＜|a||b|.
∴(|a|－|b|)2＜|a－b|2.∴|a|－|b|＜|a－b|.
(2)∵[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(a·c)(b·c)＝0，∴(b·c)a－(c·a)b与c垂直．
(3)(3a＋2b)·(3a－2b)＝9a2－4b2＝9|a|2－4|b|2.
答案：(1)(3)
9．解：(1)|a＋b|＝＝
＝＝.
(2)由题意得，a·(a－b)＝0，
∴a2＝a·b＝|a||b|cos
θ，
∴cos
θ＝＝＝.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
10．解：∵e1·e2＝|e1||e2|cos
60°＝2×1×＝1，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te12＋(2t2＋7)e1·e2＋7te22＝2t2＋15t＋7.
由题意得，2t2＋15t＋7＜0，得－7＜t＜－.
若两向量反向共线，设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)，
∴得t＝－或t＝(舍去)．而当t＝－时，已知两向量的夹角为180°，不合题意．故t∈eq
\b\lc\(\rc\)()∪eq
\b\lc\(\rc\)().2.1
从位移、速度、力到向量
课后导练
基础达标
1.下列物理量：①质量、②速度、③位移、④力、⑤加速度、⑥路程、⑦密度、⑧功，其中不是向量的有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:本题考查向量的概念，关键是看所给的量是否既有大小又有方向.由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功这四个物理量只有大小没有方向，不是向量，是数量.故选D.
答案：D
2.下列说法中不正确的是(
)
A.向量的长度与向量长度相等
B.任何一个非零向量都可以平行移动
C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D.两个有共同起点且共线的向量其终点必相同
解析：两个有共同起点且共线的向量，它们的方向可能相反，而且它们的长度也有可能不同，所以D不正确.
答案：D
3.如右图，
在圆O中，向量、、是（
）
A.有相同起点的向量
B.单位向量
C.模相等的向量
D.相等的向量
解析：因O是圆心，A、B、C是圆上的点，所以||=||=||.
答案：C
4.下列说法中正确的有几个（
）
①物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量
②温度有零上和零下，因此温度是向量
③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量
④坐标平面上x轴与y轴都是向量
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：正确的是①③，有2个正确.
答案：B
5.如右图，设RSPQ为菱形，下列可以用同一条有向线段表示的两个向量是（
）
A.和
B.和
C.和
D.和
解析：因四边形SPQR是菱形，有=，所以可以用同一条有向线段表示.
答案：B
6.如下图△ABC是等腰三角形，则两腰上的向量与的关系是__________.
答案：模相等
7.若a0是a的单位向量，则a与a0的方向_______，与a0的长度_______.
解析:一个向量的单位向量和这个向量本身方向相同，模为1.向量a的单位向量定义为：.
答案：相同或相反
相等
8.有两个长度相等的向量，在什么情况下，这两个向量一定是相等向量？
解析：有下列两种情况，这两个向量一定相等.
（1）两个长度相等的向量的方向相同；
（2）两个长度相等的向量都为零向量.
9.如下图所示，设O是正六边形ABCDEF的中心.在图里的向量中
（1）写出与相等的向量；
（2）写出与相等的向量；
（3）写出与共线的向量；
（4）写出与长度相等但方向相反的向量.
解析：（1）与相等的向量有
（2）
（3）、、
（4）、
10.某人从A点出发向西走了200
m到达B点，然后改变方向向西偏北60°走了450
m到达C点，最后又改变方向向东走了200
m到达D点.
（1）作出向量、、(用1
cm表示100
m)；
(2）求||.
解析：（1）作出向量、、(如右图)；
（2）∵||=||，且与方向相同，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴||=||=450
m.
综合运用
11.若||=||，且=，则四边形ABCD为（
）
A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.等腰梯形
解析：由=知，四边形ABCD的一组对边BA、CD平行，且大小相等.所以四边形为平行四边形.又||=||.故平行四边形为菱形.
答案：B
12.已知A={与a共线的向量}，B={与a长度相等的向量}，C={与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列说法错误的是（
）
A.CA
B.A∩B={a}
C.CB
D.A∩B{a}
答案：B
13.下列4种说法，其中正确命题的个数是（
）
①若两个非零向量共线，则它们的起点和终点共4个点在同一直线上
②若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点
③与已知非零向量共线的单位向量是唯一的
④四边形ABCD是平行四边形能得出与、与分别共线的结论
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析：（4）是正确的.
答案：A
14.如右图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，在图中的向量中，①与向量相等的向量有___________；②用有向线段表示与共线的向量_______；③若||=3，则||=_______.
解析：由条件可得=且=，所以=，∴E，D，C共线.∴∥，||=||+||=2||=6.
故①的答案为、.②的答案是、、.③的答案是6.
答案：、
、
6
15.（1）把平面上所有单位向量的起点平行移动到同一点P，则这些向量的终点构成的几何图形为_________.
（2）把平行于直线l的所有单位向量的起点平行移动到直线l的点P，这些向量的终点构成的几何图形为_________.
（3）把平行于直线l的所有向量的起点平行移动到直线l的点P，这些向量的终点构成的几何图形为_________.
解析：向量是自由向量，根据向量相等，可以把向量的起点平移到同一点.
(1)因为单位向量的模都是单位长度，所以同起点时，终点构成单位圆.应填：一个圆.
(2)因为平行于直线l的所有单位向量只有两个方向，故只有两个，起点为P，则终点应为：直线l上与P的距离相等的两个点.
(3)因为平行于直线l的向量只有两个方向，但长度不同，任何长度都有，所以终点应为：直线l上的任意一点，即：直线l.
答案：(1)一个圆
(2)直线l上与点P的距离为1的两个点
(3)直线l
拓展探究
16.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2
000
km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2
000
km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行
km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向 丁地距甲地多远
解析：如右图，A,B,C,D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，由题意知，△ABC是正三角形，
∴AC=2
000
km.
又∵∠ACD=45°，CD=
km,
∴△ACD是直角三角形.
∴AD=
km，∠CAD=45°.
∴丁地在甲地的东南方向，丁地距甲地
km.2.2
从位移的合成到向量的加法
2.1
向量的加法
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.如图2-2-1，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点.下列结论中正确的是(
)
图2-2-1
A.=,=
B.+=
C.+=+
D.++=
解析：因为+=,+=，所以+=+.
答案：C
2.如图2-2-2，作向量a、b的和______________.
图2-2-2
解：在平面中任取一点A，作=a，=b，则向量就是向量a和b的和，即a+b，则a+b=+=.
3.如图2-2-3，已知向量a、b、c、d，作出向量a+b+c+d.
图2-2-3
解：在空间中任取一点O，作=a，=b，=c，=d，则=a+b+c+d.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.如图2-2-4，正方形ABCD的边长为1，则|+++|为(
)
图2-2-4
A.1
B.
C.3
D.
解析：|+++|=|2|=2||=.
答案：D
2.如图2-2-5，四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是(
)
图2-2-5
A.+=
B.+=
C.+=
D.+=
解析：利用三角形法则和平行四边形法则.
答案：C
3.已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a+b的方向(
)
A.与向量a方向相同
B.与向量a方向相反
C.与向量b方向相同
D.与向量b方向相反
解析：由平行向量与题意可知A正确
答案：A
4.如图2-2-6，试作出向量a与b的和a+b.
图2-2-6
解：如下图，首先作=a，再作=b，则=a+b.
5.已知向量a、b，比较|a+b|与|a|+|b|的大小.
解：（1）当a、b至少有一个为零向量时，有|a+b|=|a|+|b|.
（2）当a、b为非零向量且a、b不共线时，有|a+b|<|a|+|b|.
当a、b为非零向量且a、b同向共线时，有|a+b|=|a|+|b|.
当a、b为非零向量且a、b异向共线时，有|a+b|<|a|+|b|.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.下列等式错误的是(
)
A.a+0=0+a=a
B.（a+b）+c=a+（c+b）
C.+=0
D.+=
解析：由向量加法的运算法则，可知D不正确.
答案：D
2.已知P为△ABC所在平面内的一点，当+=成立时，点P位于(
)
A.△ABC的AB边上
B.△ABC的BC边上
C.△ABC的内部
D.△ABC的外部
解析：由向量加法的平行四边形法则易知，点P在△ABC的外部.
答案：D
3.设（+）+（+）=a，而b是一非零向量，则下列结论正确的有(
)
①a∥b
②a+b=a
③a+b=b
④|a+b|＜|a|+|b|
A.①③
B.②③
C.②④
D.①②
解析：（+）+（+)=(+)+(+)=+=0=a,所以①③正确.
答案：A
4.向量a、b都是非零向量，下列说法中不正确的是(
)
A.向量a与b同向，则向量a+b与a的方向相同
B.向量a与b同向，则向量a+b与b的方向相同
C.向量a与b反向，且|a|＜|b|，则向量a+b与a的方向相同
D.向量a与b反向，且|a|＞|b|，则向量a+b与a的方向相同
解析：由共线向量的定义可解.
答案：C
5.a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则(
)
A.a∥b，且a与b方向相同
B.a、b是共线向量
C.a=-b
D.a、b无论什么关系均可
解析：当两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a、b的方向都不相同，且|a+b|<|a|+|b|；向量a与b同向时，a+b的方向与a、b的方向都相同，且|a+b|=|a|+|b|；向量a与b反向且|a|<|b|时，a+b的方向与b的方向相同(与a方向相反)，且|a+b|=|b|-|a|.
答案：A
6.在平行四边形ABCD中，下列式子：
①=+；②=+；③+=；④+=；⑤=++；⑥=+.
其中不正确的个数是(
)
A.1
B.2
C.4
D.6
解析：由向量加法的平行四边形法则和三角形法则可知，只有⑥=+不正确.
答案：A
7.正六边形ABCDEF中，++=______________.
解析：作出图形，利用向量加法的平行四边形法则和向量相等的定义易知++=.
答案：
8.设a表示“向东走了2s千米”，b表示“向南走了2s千米”，c表示“向西走了2s千米”，d表示“向北走了2s千米”，则
(1)a+d表示向____________走了____________千米；
(2)b+c表示向____________走了____________千米；
(3)a+c+d表示向____________走了____________千米；
(4)b+c+d表示向____________走了____________千米；
(5)若a表示向东走8
km，b表示向北走8
km，则|a+b|=__________km，a+b的方向是________；
(6)一架飞机向北飞行300
km后改变航向向____________飞行____________km，两次飞行位移之和的方向为北偏西53.1°，大小为500
km，飞行路程为____________km.
解析：用向量表示位移，进行向量运算后，回扣物理意义即可.
答案：（1）东北
s
（2）西南
s?（3）北
2s
（4）西
2s
（5）
东偏北45°
（6）西
400
700
9.一艘船以5
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度的大小.
解：如下图，设水流速度为v1=，船的实际速度为v2=，水流速度与船的实际速度的合速度为v=，则?||=5.
由题意，知=+，
∴四边形ABCD为平行四边形，且AC⊥AB，∠CDA=30°.
∴||=2||=2×5=10，||=||=||cos30°=.
∴水流速度的大小为km/h，船的实际速度的大小为10
km/h.
