3.3
二倍角的正弦、余弦和正切
自主广场
我夯基
我达标
1.若sin2α=，且α∈（，），则cosα-sinα的值是（
）
A.
B.
C.-
D.-
思路分析：要求cosα-sinα的值，可以先求(cosα-sinα)2，其展开式中的2sinαcosα就是已知的sin2α，应当注意的是在（,
）上，cosα
答案：C
2.如果|cosθ|=，＜θ＜3π，则sin的值为（
）
A.
B.
C.
D.
思路分析：根据<θ<3π,可知角θ是第二象限角，其余弦值为负，即cosθ=-，而<<为第三象限角，正弦值为负，于是利用半角公式即得结果.
答案：C
3.若＜α＜2π，则等于（
）
A.cos
B.-sin
C.-cos
D.sin
思路分析：根据本题结构特点，连续两次使用公式1+cos2α=2cos2α，达到脱去根号的目的，这是解这类问题的常规思路.
答案：C
4.(全国高考卷Ⅱ，文10)若f(sinx)=3-cos2x，则f(cosx)为（
）
A.3-cos2x
B.3-sin2x
C.3+cos2x
D.3+sin2x
思路分析：∵
f(sinx)=3-cos2x=3-(1-2sin2x)=2+2sin2x，∴f(x)=2+2x2.∴f(cosx)=2+2cos2x=3＋cos2x.
答案：C
5.若f（α）=cotα-，那么f（）的值为______________.
思路分析：将函数f(α)化简变形可得简单形式，即f(α)=cotα+cotα+tanα=，所以f()==2.
答案：2
6.(2006湖南高三百校大联考第二次，11)函数y=sin2x-sin4x的最小正周期是T=____________.
思路分析：将函数解析式化为y=sin2x-sin4x=sin2x(1-sin2x)=sin2xcos2x=sin22x=-(1+cos4x)，∴T==.
答案：
7.已知α为钝角、β为锐角且sinα=，sinβ=，则cos的值为______________.
思路分析：∵α为钝角、β为锐角，且sinα=，sinβ=，
∴cosα=，cosβ=.
∴cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ=.
∵＜α＜π，0＜β＜，
又∵0＜α-β＜π，0＜＜，
∴cos＞0.
∴cos=
答案：
8.化简-sin10°.
思路分析：1±sinα是完全平方的形式.
解：原式=
=|sin5°+cos5°|+|sin5°-cos5°|
=|sin50°|+|cos50°|
=sin50°+cos50°
=2sin95°=2cos5°.
我综合
我发展
9.(2006北京高考卷，理15)已知函数f(x)=.
（1）求f(x)的定义域；
（2）设α为第四象限的角，且tanα=，求f(α)的值.
思路分析：（1）即解cosx≠0；（2）化简f(α)，再求值.
解：（1）由cosx≠0得x≠kπ+(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ+,k∈Z
}.
（2）因为tanα=，且α是第四象限的角，
所以sinα=-,cosα=,
故f(x)=
=
=
=
=2(cosα-sinα)
=.
10.(2006广东高考卷，15)已知函数f(x)=sinx+sin(x+),x∈R,
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）求f(x)的最大值和最小值；
（3）若f(α)=
，求sin2α的值.
思路分析：化为y=Asin(ωx+φ)的形式来讨论其性质.
解：f(x)=sinx+sin(x+)
=sinx+cosx
=sin(x+).
（1）f(x)的最小正周期为T==2π.
（2）f(x)的最大值为2和最小值为-2.
（3）因为f(α)=
，即sinα+cosα=.
∴(sinα+cosα)2=.
∴2sinαcosα=，
即sin2α=.
11.已知sinα=，sin（α+β）=，α与β均为锐角，求cos.
思路分析：要求的是β的一半，而β=(α+β)-β，于是转化为已知的角，根据sinα和sin(α+β)，结合平方关系式可得cosα和cos(α+β)，从而求出cosβ，再运用半角公式求得结论，解答本题时一定要考虑到角的范围.
解：∵0＜α＜，∴cosα==.
又∵0＜α＜，0＜β＜，
∴0＜α+β＜π.若０＜α+β＜，
∵sin（α+β）＜sinα，∴α+β＜α不可能.
故＜α+β＜π.∴cos（α+β）=.
∴cosβ=cos［（α+β）-α］
=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=×+×=.
∵0＜β＜，∴0＜＜.
故cos=.
12.(2006福建高考卷，理17)已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x,x∈R.
（1）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
（2）函数f(x)的图像可以由函数y=sin2x(x∈R)的图像经过怎样的变换得到？
思路分析：将函数的解析式化为y=Asin(ωx+φ)+b的形式，再讨论其性质.
解：f(x)=sin2x+(1+cos2x)
=sin2x+cos2x+=sin(2x+)+
,
（1）f(x)的最小正周期T==π.
由题意,得2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
即kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
∴f(x)的单调增区间为［kπ-,kπ+］,k∈Z.
（2）步骤：
①先把y=sin2x图像上所有点向左平移个单位长度，得到y=sin(2x+)的图像；
②再把y=sin(2x+)图像上所有的点向上平移个单位长度，就得到y=sin(2x+)+
即f(x)的图像.3.2
两角和与差的三角函数
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.cosα=，sinβ=，α∈（，π），β∈（，2π），则cos（α-β）的值是（
）
A.1
B.-1
C.2
D.0
解析：由α∈(,π)，β∈（，2π），cosα=,sinβ=得sinα=，cosβ=cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ==-1.
答案：B
2.化简sin（A-B）·cosB+cos（A-B）·sinB的结果应为（
）
A.1
B.cosA
C.sinA
D.sinA·cosB
解析:原式
=sin(A-B+B)=sinA.
答案：C
3.已知cosθ=,θ∈(,π),则sin(θ+)=_______________.
解析:∵cosθ=,θ∈(,π),
∴sinθ=.
∴sin(θ+）=sinθcos+cosθsin=×+()×=.
答案:
4.已知锐角α,β满足sinα=,cosβ=,求cos(α-β)的值.
解:∵sinα=,α为锐角,
∴cosα=.
∵cosβ=,β为锐角,
∴sinβ=.
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.的化简结果为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：原式=.
答案：A
2.sin22°sin23°-cos23°cos22°的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：原式=-（cos23°cos22°-?sin22°sin23°）=-cos45°=.
答案：D
3.sin=__________________.
解析：，.
原式变形为.
答案:
4.已知＜β＜α＜，cos（α-β）=，sin（α+β）=，求sin2α的值与cos2α的值.
解：（α+β）+（α-β）=2α，＜β＜α＜，则π＜α+β＜，0＜α-β＜.
∵cos（α-β）=，sin（α+β）=，
∴sin（α-β）=，cos（α+β）=，sin2α=sin［（α+β）+（α-β）］=，
cos2α=cos［（α+β）+（α-β）］=.
5.化简:sinα-cosα.
解:sinα-cosα=2(sinαcosα)=2(sinα·cos-cosα·sin)=2sin(α-).
6.已知α、β均为锐角,cosα=,cos(α+β)=,求cosβ的值.
解:∵α、β均为锐角,∴0<α+β<π.
∵cosα=,cos(α+β)=,
∴sinα=,
sin(α+β)=.
∴cosβ=cos［(α+β)-α］=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=×.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.已知sinα·sinβ=1，那么cos（α+β）的值等于（
）
A.-1
B.0
C.1
D.±1
解析：正弦函数的值域为［-1，1］.由sinα·sinβ=1，得sinα=1且sinβ=1或sinα=-1且sinβ=-1，只有这两种情况.
∴cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ=-1.
答案：A
2.要使sinα-cosα=有意义，则m的取值范围是（
）
A.（-∞，］
B.（1，+∞）
C.［-1，］
D.（-∞，-1］∪［，+∞）
解析：sinα-cosα=2sin（α-）=.
利用三角函数的有界性,由-1≤sin（α-）≤1，求得-1≤m≤.
答案：C
3.若cosα=,α∈(,2π),则cos(-α)=__________________.
解析:∵cosα=,α∈(,2π),
∴sinα=.
∴cos(-α)=coscosα+sinsinα
=×+×()=.
答案:
4.已知sinα=,sinβ=,则sin(α+β)·sin(α-β)=_______________.
解析:sin(α+β)·sin(α-β)
=(sinα·cosβ+cosα·sinβ)·(sinα·cosβ-cosα·sinβ)
=sin2α·cos2β-cos2α·sin2β
=sin2α(1-sin2β)-(1-sin2α)·sin2β
=sin2α-sin2β
=.
答案:
5.在△ABC中，sinA=cosB·cosC，且B≠，C≠，求tanB+tanC的值.
解：在△ABC中，A+B+C=π，B+C=π-A.
sinA=sin（π-A）=sin（B+C）=sinB·cosC+cosB·sinC=cosB·cosC，
即sinB·cosC+cosB·sinC=cosB·cosC.
∵B≠，C≠，∴cosB≠0，cosC≠0.上式两边同除以cosB·cosC，得tanB+tanC=1.
6.求证：cos53°+sin53°=2cos7°.
证明：左=cos53°+sin53°=?2（cos53°?+sin53°）=2（sin30°cos53°+cos30°sin53°）=2sin（30°+53°）=2sin83°=2cos7°=右.
7.在△ABC中，已知sinA·sinB＜cosA·cosB，试判定三角形的形状.
解：∵sinA·sinB＜cosA·cosB，∴cosA·cosB-sinA·sinB=cos（A+B）＞0.
∴cosC=cos［π-（A+B）］=-cos（A+B）＜0.
∵0＜C＜π，∴角C为钝角，则△ABC为钝角三角形.
8.化简下列各式:
(1)cosαsinα；
(2)sinα-cosα；
(3)cos(+φ)-cos(-φ).
解:(1)cosα-sinα=2(cosα-sinα)=2(cosαcos-sinαsin)=2cos(α+).
(2)sinα-cosα===.
(3)cos(+φ)-cos(-φ)=(coscosφ-sinsinφ)-(coscosφ+sinsinφ)=-2sin·sinφ
=sinφ.
9.已知锐角α、β满足cosα=,cos(α+β)=,求sinβ.
解:∵α为锐角,且cosα=,
∴sinα=.
∵α、β为锐角,且cos(α+β)=,
∴0<α+β<π,sin(α+β)=.
∴sinβ=sin［(α+β)-α］=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=··=.3.2
两角和与差的三角函数
自主广场
我夯基
我达标
1.(福建高考卷，理3)已知α∈(,π),sinα=,则tan(α+)等于（
）
A.
B.7
C.-
D.-7
思路解析：由条件求出tanα，再计算tan(α+).∵α∈(,π),sinα=,
∴cosα==-.∴
tanα=-.
∴tan(α+)=.
答案：A
2.当x∈［-,］时，函数f(x)=sinx+cosx的（
）
A.最大值为1，最小值为-1
B.最大值为1，最小值为-
C.最大值为2，最小值为-2
D.最大值为2，最小值为-1
思路解析：先化简再求最值.f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+)，∵x∈［-,］,
∴-≤x+≤.∴-1≤f(x)≤2.
答案：D
3.已知在△ABC中，满足tanAtanB＞1，则这个三角形一定是（
）
A.正三角形
B.等腰直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
思路解析：此题限定条件是在三角形中，可以根据三角函数值的符号来判断角的范围.在三角形中，常用到三角形的内角和定理.可以将A+B+C=π等价转化成A=π-（B+C），然后用诱导公式化简整理.由于tanAtanB＞1，可知tanA＞0，且tanB＞0，则在△ABC中，A、B必定为锐角.又∵＞1，∴sinAsinB＞cosAcosB,得到cos（A+B）＜0.∴cos（π-C）＜0，即cosC＞0.则C也必定是锐角.因此△ABC是锐角三角形.
答案：C
4.要使得sinα-cosα=有意义，则m的取值范围是（
）
A.（-∞，］
B.［1，+∞）
C.［-1，］
D.（-∞，-1）∪［，+∞)
思路解析：利用三角函数的值域求m的取值范围.
sinα-cosα=2（sinα-cosα）=2sin（α-）,∴2sin（α-）=，即sin（α-）=.∵-1≤sin（α-）≤1，∴-1≤≤1.解不等式，可得-1≤m≤.
答案：C
5.△ABC中，cosA=且cosB=，则cosC的值是______________.
思路解析：由于在△ABC中，cosA=，可知A为锐角，∴sinA==.由于cosB=，可知B也为锐角，∴sinB==.∴cosC=cos［π-（A+B）］=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=××=.
答案：
6.
sin-cos=_______________.
思路解析：方法一：对公式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ逆用.sin-cos=2（sin-cos）=2（sinsin-coscos）=-2cos（+）=-2cos=-.
方法二：利用=-来计算sin，sin-3cos=sin(-)-3cos(-)=-.
答案：-
7.(2006湖南常德一模)已知函数f(x)=-1+2sin2x+mcos2x的图象经过点A(0,1)，求此函数在［0,
］上的最值.
思路分析：先求m的值，再化简函数的解析式为y=Asin(ωx+φ)+b的形式求最值.
解：∵A(0,1)在函数的图像上，
∴1=-1+2sin0+mcos0.
解得m=2.
∴f(x)=-1+2sin2x+2cos2x
=2(sin2x+cos2x)-1
=22sin(2x+)-1.
∵0≤x≤，
∴≤2x+≤.
∴-≤sin(2x+)≤1.
∴-3≤f(x)≤-1.
∴函数f(x)的最大值为-1，最小值是-3.
我综合
我发展
8.已知cos（α+β）=，cos（α-β）=，求tanαtanβ的值.
思路分析：化切为弦，就会发现要求tanαtanβ，就是求sinαsinβ和cosαcosβ的比值，因此，本题应该设法求出sinαsinβ和cosαcosβ.
解：由已知,得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=，①
cos（α-β）=cosαcosβ+
sinαsinβ=，②
①+②得cosαcosβ=，③
①-②得sinαsinβ=.④
④÷③即得tanαtanβ==,即tanαtanβ=.
9.化简.
思路分析：本题要观察出7°+8°=15°，利用这一关系，可以减少角的个数，解题过程中还需要应用两角和与差的正弦、余弦公式.
解：=
=tan15°=tan(45°-30°)=.
10.如果α、β、γ都是锐角，并且它们的正切分别为、、，求α+β+γ的值.
思路分析：要求α+β+γ，先求tan（α+β+γ）.先根据α、β的正切值可以利用两角和的正切求出（α+β）的正切值，而α+β+γ又可以看作是两个角（α+β）与γ的和，再运用两角和的正切公式求解即可.但要注意确定出α+β+γ这个和的范围，才能证得结果.
解：∵tanα=，tanβ=，
∴tan（α+β）==.
∴tan（α+β+γ）=tan［（α+β）+γ］
=.
又∵α、β、γ都是锐角且０＜tanα=＜1，0＜tanβ=＜1，0＜tanγ=＜1,
∴0°＜α＜45°，0°＜β＜45°，0°＜γ＜45°.
∴0＜α+β+γ＜135°.
∴α+β+γ=45°.
11.已知<α<，0<β<，cos(+α)=
，sin(+β)=
，
求sin(α+β)的值.
思路分析：利用角的变换：(+α)+(
+β)=（α+β）+π.
解：∵<α<，
∴<+α<π.
又∵cos(+α)=
，
∴sin(+α)=.
∵0<β<，
∴<+β＜π.
又∵
sin(+β)<π，
∴cos(+β)=.
∴sin(α+β)=-sin［π+(α+β)］=-sin［(+α)+(
+β)］
=-［sin(+α)cos(+β)+cos(+α)sin(+β)］
=-［×(-)
×］=.3.3
二倍角的三角函数
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.已知θ是第二象限角，sinθ=，那么cos的值为（
）
A.
B.±
C.
D.±
解析：θ为第二象限角，为第一或第三象限角.
sinθ=，则cosθ=.
.
答案：D
2.求下列各式的值：
（1）-cos2=_______________；（2）=_________________.
解析：（1）原式=(2cos2-1)
=.
（2）原式=.
答案:(1)
(2)
3.计算：coscoscos.
解：原式=
4.已知cos=,α∈(π,2π),求sinα,cosα,tanα.
解:∵α∈(π,2π),∴<<π.
又cos=,
∴sin=.
∴sinα=2sincos=2××()=,
cosα=2cos2-1=2()2-1=.
∴tanα=.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知2sinθ=1+cosθ，则tan的值是（
）
A.
B.2
C.或不存在
D.不存在
解析：2sinθ=1+cosθ，当2sinθ≠0，1+cosθ≠0，得出，
当sinθ=0时，cosθ=-1，θ=2kπ+π，不存在.
答案：C
2.已知cos(α+)=,≤α＜，则cos(2α+)的值为____________________.
解析：cos(2α+)=cos2αcos-sin2αsin=(cos2α-sin2α).
∵≤α<，∴≤α+.
又∵cos(α+)>0，∴<α+.
∴sin(α+)=.
∴cos2α=sin(2α+)=2sin(α+).
cos(α+)=,
sin2α=-cos(+2α)=1-2cos2(α+)=.
∴原式=×()=.
答案:
3.当x∈［,］时，求f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的周期、最大值及此时x的值.
解：f(x)=1+cos2x+1+sin2x=sin(2x+)+2,周期T=π.
当x∈［］时，2x+∈［］,
sin(2x+)∈［-1,1］.
∴f(x)∈［］.
∴f(x)max=.
由2x+,得x=.
又∵x∈［］，
∴x=,
即当x=时，f(x)的最大值为.
4.求值:cos275°+cos215°+cos75°cos15°.
解:原式=+sin15°·cos15°
=(1-cos30°)+(1+cos30°)+sin30°=++=.
5.设sin(-x)=,0＜x＜,求的值.
解法一:∵0∴cos(-x)=.
=.
又cos(+x)=sin(-x)=,
∴原式=
=2cos(-x)=.
解法二:cos2x=cos2x-sin2x
=（cosx+sinx)(cosx-sinx)
=sin(x+)·cos(x+)
=2sin(x+)cos(x+),
∴原式==2sin(x+)
=2cos(-x).后面同解法一.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.已知450°＜α＜540°,则等于（
）
A.-sin
B.cos
C.sin
D.-cos
解析:利用公式,
原式=,∵450°<α<540°,
∴cosα<0.
∴原式=.
∵450°<α<540°,∴225°<<270°.
∴sin<0.
∴原式==-sin.
答案:A
2.已知θ为第三象限角，sin4θ+cos4θ=，那么sin2θ等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：sin4θ+cos4θ=（sin2θ+cos2θ）2-2sin2θ·cos2θ=，
∴2sin2θ·cos2θ=，sin22θ=.θ为第三象限角，sinθ＜0，cosθ＜0，sin2θ＞0,
∴sin2θ=.
答案：B
3.设5π＜θ＜6π，cos=a,则sin的值等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：∵5π＜θ＜6π，
∴＜＜3π，＜＜.
∴.故D正确.
答案：D
4.tan5°+cot5°-=_____________.
解析:原式=
=.
答案:0
5.已知tan2θ=，＜2θ＜π，求的值.
解：tan2θ=，,
∵2tanθ=（1-tan2θ），
则tan2θ-tanθ-=0，
∴（tanθ-）（tanθ+1）=0.
∴tanθ=或tanθ=（舍）.
（∵＜2θ＜π，∴＜θ＜）
原式=.
6.在△ABC中，tanA+tanB+tanAtanB且sinAcosA=，试判断三角形的形状.
解：由sinAcosA=,得
sin2A=,即sin2A=，
∴2A=60°或120°.
∴A=30°或60°.
又由tanA+tanB=(1-tanAtanB),得
tan(A+B)=.
∴A+B=120°.
当A=30°时，B=90°,tanB无意义，
∴A=60°,B=60°,
即三角形为等边三角形.
7.(2005高考天津卷,文17)已知sin(α-)=，cos2α=，求sinα及tan(α+).
解：由sin(α)=,得
(sinα-cosα)=，
即sinα-cosα=.
①
又由cos2α=得cos2α-sin2α=，
即(cosα+sinα)(cosα-sinα)=.
∴cosα+sinα=.
②
由①②得sinα=,cosα=.
∴tanα=.
tan(α+)=tanα+.
8.已知f(x)=2sin(x+)cos(x+)+cos2(x+)-.
(1)化简f(x)的解析式；
(2)若0≤θ≤π，求使函数f(x)为奇函数的θ值；
(3)在(2)的条件下，求满足f(x)=1,x∈［-π,π］的x的取值集合.
解：（1）f(x)=sin(2x+θ)+［1+cos(2x+θ)］-
=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)
=2sin(2x+θ+).
（2）若f(x)为奇函数，则当x=0时，f(x)=0,
即θ+=kπ(k∈Z).∴θ=.
又∵0≤θ≤π，∴θ=.
（3）此时f(x)=2sin(2x+π)=-2sin2x，
由f(x)=1得sin2x=.
当x∈［-π,π］时，2x∈［-2π,2π］，
∴2x=.
∴x的取值集合为{}.
9.有一块半径为R、中心角为45°的扇形铁皮材料，为了截取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常将矩形的一边放在扇形的半径上，然后作其最大的内接矩形．你能帮工人师傅设计一方案，选出矩形的四点吗
解：如图,设∠POA=θ，则PN=Rsinθ.
OM=QM=PN=Rsinθ,ON=Rcosθ.
MN=ON-OM=Rcosθ-Rsinθ.
则S矩形PQMN=MN·PN
=R(cosθ-sinθ)·Rsinθ
=R2(sinθcosθ-sin2θ)
=(sin2θ-1+cos2θ)
=［sin(2θ+)］.
当2θ+,即θ=时，S矩形PQMN最大且最大值为.
因此可以这样选点，以扇形一半径OA为一边在扇形上作∠AOP=,P为边OP与扇形的交点，自P作PN⊥OA于N,PQ∥OA交OB于Q，若作QM⊥OA于M，则矩形MNPQ为所求的面积最大的矩形.3.3
二倍角的正弦、余弦和正切
课后导练
基础达标
1.若角α满足条件sin2α<0,cosα-sinα<0,则α在（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：
∴α在第二象限.
答案：B
2.sin15°sin30°sin75°的值等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：原式=sin15°·sin30°·cos15°
=sin230°=.
答案：C
3.若tanx=2，则tan2(x-)等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析:tan(2x-)=-tan(-2x)=-cot2x=，
而tan2x=,
∴原式=.
答案：C
4.已知sin=，cos=，则角α所在的象限是（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:sinα=2sin·cos=<0,cosα=cos2-sin2=<0.
答案：C
5.(2006全国高考卷Ⅱ,理2)
函数y=sin2xcos2x的最小正周期是（
）
A.2π
B.4π
C.
D.
解析：化简，得y=sin4x,
∴T=.故选D.
答案：D
6.coscos的值为___________.
解析：coscos==.
答案：
7.已知sinα=cos2α,α∈(0,),则sin2α=_________.
解析：∵sinα=1-2sin2α,即2sin2α+sinα-1=0,
∴sinα=-1或sinα=.
又∵α∈(0,),∴sinα=,α=.
∴cosα=.
∴sin2α=2××=.
答案：
8.求sin10°·sin30°·sin50°·sin70°的值.
解析：原式=·cos80°·cos40°·cos20°
=·cos80°·cos40°·
=.
9.求证：=(tanα+1).
证明：左=s
=(tanα+1)=右边.
10.已知cos(α+)=,≤α<，求cos(2α+)的值.
解析：cos(2α+)=cos2αcos-sin2αsin
=(cos2α-sin2α).
∵≤α<,∴≤α+<.
又∵cos(α+)>0,∴<α+<.
∴sin(α+)=.
∴cos2α=sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)=,
sin2α=-cos(+2α)=1-2cos2(α+)=.
∴原式=×(-)=.
综合运用
11.已知sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=,那么cos2β的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由已知可得sin［(α-β)-α］=,
即sinβ=.
则cos2β=1-2sin2β=1-2×.
答案：A
12.若α∈［π,π］,则的值为（
）
A.2cos
B.-2cos
C.2sin
D.-2sin
解析：∵≤α≤，
∴≤≤.
∴cos≥sin.
如右图所示，在单位圆中
当≤≤时，|sin|≥|cos|,
∴sin+cos≤0,
∴
=-(sin+cos)+(cos-sin)=-2sin.
答案：D
13.若sin（+α）=,则cos2α=____________-.
解析：sin(+α)=cosα=.
cos2α=2cos2α-1=.
答案：
14.已知α为锐角，且sinαcosα=,则=__________.
解析：α为锐角，且由sinαcosα=sin2α=12α=α=,
∴原式=4-.
答案：4-
15.已知sin22α+sin2αcosα-cos2α=1,α∈(0,)，求sinα,tanα.
解析：由题意知4sin2αcos2α+2sinαcos2α-2cos2α=0，
即2cos2α(2sinα-1)(sinα+1)=0.
又α∈(0,),∴sinα+1≠0,cos2α≠0.
由2sinα-1=0，得sinα=,
∴α=.tanα=.
拓展探究
16.已知f（x）=，求f（x）的定义域，判定它的奇偶性并求其值域.
解析：（1）∵cos2x≠0，∴2x≠kπ+，k∈Z.
∴其定义域为{x|x≠+，k∈Z}，即定义域关于原点对称.
（2）f（-x）==f（x），则y=f（x）对于定义域内任意自变量恒成立.故y=f（x）为偶函数.
（3）f（x）==3cos2x-1.
{x|x≠+，k∈Z}.
其值域为{y|-1≤y≤2且y≠}.3.1
同角三角函数的基本关系
自主广场
我夯基
我达标
1．若sinα=且α是第二象限角,则tanα的值等于（
）
A.-
B.
C.±
D.±
思路解析：利用三角函数值的符号及三角函数基本关系式即可求解.
∵α是第二象限角,
∴cosα=.
∴tanα==×()=-.
答案：A
2．已知sin(π+α)=-，那么cosα的值为（
）
A.±
B.
C.
D.±
思路解析：由已知得sinα=，所以cosα＝±1-sin2α=±.
答案：D
3．已知tan160°=a,则sin2
000°的值是（
）
A.
B.
C.
D.-
思路解析：∵tan160°=-tan20°,∴tan20°=-a.
∴sin2
000°＝sin200°＝-sin20°＝.
答案：A
4．若，则x的取值范围是________________.
思路解析：由=，可得＜0，则有cosx＜0，利用三角函数线或余弦函数的图像得2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z.
答案：(2kπ+,2kπ+)(k∈Z)
5.已知tan(π+α)=-2，求sin(π-α)、sin(-α).
思路分析：对α所在象限分类讨论.
解：∵tan(π+α)=-2，∴tanα=-2.
可列下列方程组
由②得sinα=-2cosα，代入①式整理得5cos2α=1，cos2α=.
又∵tanα=-2＜0，
∴α可为第二、四象限角.
当α为第二象限角时，sin（-α)=cosα=-，sin(π-α)=sinα=；
当α为第四象限角时，sin(-α)=cosα=，sin(π-α)=sinα=-.
6.化简：sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β.
思路分析：化简三角函数式应先看清式子的结构特征，再作有目的的变形.
解：sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β
=sin2α（1-sin2β）+sin2β+cos2αcos2β
=sin2αcos2β+cos2αcos2β+sin2β
=（sin2α+cos2α）cos2β+sin2β
=cos2β+sin2β
=1.
我综合
我发展
7.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=_____________.
思路解析：利用诱导公式，将后半部分的sin89°,sin88°，…，sin46°，分别转化为cos1°,cos2°，…，cos44°，从而构造出平方关系式，得到结论.
答案：
8.(2005福建高考卷，理17)已知-＜x＜0,sinx+cosx=，求sinx-cosx的值.
思路分析：利用sinx+cosx和sinx-cosx的关系求值.
解法一：∵sinx+cosx=，
∴sin2x+2sinxcosx+cos2x=.
∴2sinxcosx=.
∴(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=.
又∵-＜x＜0,∴sinx＜0,cosx＞0,sinx-cosx＜0.
∴sinx-cosx=.
解法二：∵sinx+cosx=，
∴sinx=-cosx.
∴(-cosx)2+cos2x=1.
整理得25cos2x-5cosx-12=0.
∴cosx=或cosx=.
∵-＜x＜0,∴
∴sinx-cosx=.
9.求证：.
思路分析：由于等式两边均很复杂，故用中间量法证明.
证明：左边=
=，
右边=，
∴左边=右边.
∴原等式成立.
10.设f（θ）=，求f（）的值.
思路分析：求三角函数式的值时，应先化简再求值.
解：f（θ）=
=
=
=
=
==cosθ-1,
∴f()=cos-1=-1=-.3.2
两角和与差的三角函数
自我小测
1．sin
12°cos
48°＋cos
12°sin
48°的值是( )
A．
B．
C．
D．－
2．若cos
α＝－，sin
β＝－，α∈eq
\b\lc\(\rc\)()，β∈eq
\b\lc\(\rc\)()，则sin(α＋β)的值是( )
A．
B．－
C．－1
D．0
3．已知a＝(2sin
35°，2cos
35°)，b＝(cos
5°，－sin
5°)，则a·b＝( )
A．
B．1
C．2
D．2sin
40°
4．在△ABC中，A＝，cos
B＝，则sin
C＝( )
A．－
B．
C．－
D．
5．在△ABC中，cos
A＝，且cos
B＝，则cos
C等于( )
A．－
B．
C．－
D．
6．化简＝__________.
7．函数y＝cos
x＋coseq
\b\lc\(\rc\)()的最大值是__________．
8．若cos
α＝，α∈，则cos＝______.
9．化简下列各式：
(1)sineq
\b\lc\(\rc\)()＋2sineq
\b\lc\(\rc\)()－coseq
\b\lc\(\rc\)()；
(2)－2cos(α＋β)．
10．如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，且∠AOP＝，∠AOQ＝α，α∈[0，π)．
(1)若点Q的坐标是，求cos的值；
(2)设函数f(α)＝，求f(α)的值域．
参考答案
1．解析：原式＝sin(12°＋48°)＝sin
60°＝.
答案：C
2．解析：∵α∈eq
\b\lc\(\rc\)()，β∈eq
\b\lc\(\rc\)()，cos
α＝－，sin
β＝－，
∴sin
α＝＝＝，cos
β＝＝＝，
∴sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β
＝×＋eq
\b\lc\(\rc\)()×eq
\b\lc\(\rc\)()＝.
答案：A
3．解析：a·b＝2sin
35°cos
5°－2cos
35°sin
5°
＝2sin(35°－5°)＝2sin
30°＝1.
答案：B
4．解析：∵cos
B＝＞0，B∈(0，π)，∴B∈eq
\b\lc\(\rc\)()，
∴sin
B＝＝＝，
∴sin
C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin
A·cos
B＋cos
Asin
B＝×eq
\b\lc\(\rc\)()＝.
答案：D
5．解析：∵cos
A＝＞0，cos
B＝＞0，且A，B∈(0，π)，
∴A，B∈eq
\b\lc\(\rc\)()，
∴sin
A＝＝＝，sin
B＝＝＝.
∴cos
C＝cos(180°－A－B)＝－cos(A＋B)
＝sin
Asin
B－cos
Acos
B＝×－×＝.
答案：B
6．解析：∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)
＝sin
αcos
30°＋cos
αsin
30°＋cos
αcos
60°－sin
α·sin
60°＝sin
α＋cos
α＋cos
α－sin
α＝cos
α，
∴原式＝＝.
答案：
7．解析：y＝cos
x＋coseq
\b\lc\(\rc\)()＝cos
x＋cos
x－sin
x＝eq
\b\lc\(\rc\)()＝sineq
\b\lc\(\rc\)()，故函数的最大值是.
答案：
8．解析：由cos
α＝，α∈，得sin
α＝.
所以cos＝cos
αcos
－sin
αsin
＝×－×＝.
答案：
9．解：(1)原式＝sin
xcos＋cos
xsin＋2sin
xcos－2cos
xsin－coscos
x－sinsin
x
＝eq
\b\lc\(\rc\)()sin
x＋eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)－2sin－cos))cos
x
＝eq
\b\lc\(\rc\)()sin
x＋eq
\b\lc\(\rc\)()cos
x
＝0.
(2)原式＝
＝
＝
＝解：(1)由已知，可得cos
α＝，sin
α＝.
所以cos＝cos
αcos
＋sin
αsin＝×＋×＝.
(2)f(α)＝＝·(cos
α，sin
α)＝cos
α＋sin
α＝sin.
因为α∈[0，π)，所以α＋∈，
所以－＜sin≤1，
故f(α)的值域是.3.2
两角和与差的三角函数
课后导练
基础达标
1.sin18°等于（
）
A.cos20°cos2°+sin20°sin2°
B.cos20°cos2°-sin20°sin2°
C.sin20°cos2°+cos20°sin2°
D.sin20°cos2°-cos20°sin2°
解析：选项A为cos(20°-2°)=cos18°;
B为cos(20°+2°)=cos22°;
C为sin(20°+2°)=sin22°;
D为sin（20°-2°）=sin18°.
答案：D
2.化简sincos-cossin的值是（
）
A.
B.
C.-sin
D.sin
解析：先用诱导公式将角转化，再逆用公式即得.
原式=-sincos+cossin
=sin(-)
=sin=.
答案：B
3.满足cosα·cosβ=+sinα·sinβ的一组α、β的值是（
）
A.α=
β=
B.α=
β=
C.α=
β=
D.α=
β=
解析：将原式变形：cosα·cosβ-sinα·sinβ=
∴cos(α+β)=,
∴α+β=2kπ±(k∈Z),
∴只有A选项适合.
答案：A
4.计算的值等于（
）
A.
B.-
C.
D.
解析：将35°拆成30°+5°，25°拆成30°-5°展开化简.
原式==-.
答案：B
5.的值是（
）
A.1
B.2
C.4
D.
解析：原式=
==4.
答案：C
6.计算cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)的值为___________.
解析：根据原式可逆用两角差的余弦公式来求解.
原式=cos(α-35°-25°-α)=cos(-60°)=.
答案：
7.若tanα=,则tan(α+)=__________________.
解析：tanα(α+)==3.
答案：3
8.tanα=，tanβ=,0<α<,π<β<,求α+β的值.
解析：∵tan(α+β)===1.
又∵0<α<,π<β<π,
∴π<α+β<2π,
∴α+β=π.
9.求下面函数的值：
(1)tan20°+tan40°+tan20°tan40°;
(2)
(3);
(4)(tan10°-)
解析：(1)原式=tan(20°+40°)(1-tan20°tan40°)+tan20°tan40°
=(1-tan20°tan40°)+tan20°tan40°=.
(2)原式=
=tan15°=tan(45°-30°)
=.
(3)原式=.
(4)原式=（tan10°-tan60°）
=-2.
10.已知sin（α+β）=,sin(α-β)=,求的值.
解析：由已知得
①+②,得2sinαcosβ=
③
①-②，得2cosαsinβ=
④
③÷④得=4,
即=4.
综合运用
11.在△ABC中，若cosA=,cosB=,则cosC的值是（
）
A.
B.
C.
或
D.
解析：在△ABC中，0cosA=>0,cosB=>0,
得0从而sinA=,sinB=,
∴cosC=cos［π-(A+B)］
=-cos(A+B)
=sinA·sinB-cosA·cosB
=×-×=.
答案：A
12.已知tan(α+β)=,tan(β-)=，那么tan(α+)的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：tan(α+)
=tan［(α+β)-(β-)］
=.
答案：D
13.求值=________________.
解析：原式=
=
=tan75°=2+.
答案：2+
14.的值为____________.
解析：原式==1.
答案：1
15.频率相同的正弦电流相加，得到的仍是一个正弦电流，已知I1=sin(100πt+),I2=sin(100πt-)，若I1+I2=I3,I3=Asin(ωt+θ)，其中A>0,ω>0,0<θ<2π，求A、ω、θ.
解析：∵I2=sin(100πt-)
=cos(-100πt+)
=cos(-100πt)
=-cos(π-+100πt)
=-cos(100πt+),
∴I3=I1+I2=sin(100πt+)-cos(100πt+)
=2［sin(100πt+)cos(100πt+)］
=2sin(100πt+-)
=2sin(100πt+).
∴A=2,ω=100π,θ=.
拓展探究
16.如下图所示，工人师傅要把宽是4
cm和8
cm的钢板焊接成60°角，下料时x应满足什么条件？
思路分析:可寻找关于x的三角函数的某种关系，寻求x满足的条件.
解：由题图可知∠CBD=60°，则∠ABD=60°-x,
在△ABC中，sinx=,①
在△ABD中，sin(60°-x)=,②
由①②得=2，
即sin(60°-x)=2sinx，
cosxsinx=2sinx.
∴sinx=cosx.∴tanx=.
∴当x满足tanx=时，符合要求.3.1
同角三角函数的基本关系
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下列结论能成立的是（
）
A.sinα=且cosα=
B.tanα=2且
C.tanα=1且cosα=
D.sinα=1且tanα·cosα=1
解析：同角三角函数的基本关系式中要注意理解“同角”的含义；关系式是指一个角的不同三角函数值之间的关系，这个角可以是任意角.
答案：C
2.（1）若tanα=-2且α为第二象限角，求sinα、cosα；
（2）若tanα=-2，求sinα、cosα.
解：（1）由题意和基本关系式可列下列方程组：
由②得sinα=-2cosα，代入①式整?理得5cos2α=1，cos2α=.又α为第二象限角，所以cosα=，sinα=.
（2）由（1）可得cos2α=.又α可为第二、四象限角，所以当α为第二象限角时，cosα=，sinα=；当α为第四象限角时，cosα=，sinα=.
3.已知x、y满足求x、y之间的函数关系式.
解：由①：x2=9sin2θ，∴sin2θ=.
③
由②：y2=9cos2θ，∴cos2θ=.
④
将③④代入sin2θ+cos2θ=1中，可得=1,∴x、y满足x2+y2=9.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知sinθ=，θ为第二象限角，则tanθ等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由sinθ=且θ为第二象限角，知cosθ=，∴tanθ=.
答案：C
2.若tanα=-1，则sinα+cosα的值是（
）
A.
B.
C.0
D.±
解析：由tanα=-1，知α=kπ+（k∈Z）.不妨取α=，则sinα=sin=，cosα=cos=.
∴sinα+cosα==0.故选C.
答案：C
3.若tan100°=k，则sin80°的值等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：∵100°=180°-80°，
∴tan100°=tan（180°-80°）=-tan80°=k.
∴tan80°=-k（k＜0）.
又tan280°=,
∴=k2，即sin280°=.
∵k<0，∴sin80°=.
答案：C
4.已知sin（π+α）=（α是第四象限的角），则cos（α-2π）=_____________.
解析：∵sin（π+α）=-sinα，
∴sinα=.
而cos（α-2π）=cos（2π-α）=cosα，据?α属于第四象限，且cos2α=1-sin2α，知cosα=
.
答案：
5.已知sinα-cosα=，求sin3α-cos3α的值.
解：将sinα-cosα=两边同时平方，得1-2sinαcosα=，
即sinαcosα=.
∴sin3α-cos3α=（sinα-cosα）（sin2α+cos2α+sinαcosα）=.
6.已知tanα=-2，求下列各式的值：
（1）；
（2）sin2α+cos2α.
解：∵tanα=-2，则cosα≠0.
（1）=10；
（2）.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.若cosα=tanα，则sinα的值是（
）
A.
B.
C.
D.以上皆错
解析：由cosα=tanα，得cos2α=sinα.
∴1-sin2α=sinα，即sin2α+sinα-1=0.
解之,得sinα=.
又cosα=tanα，∴α属于第一或第二象限.
∴sinα=.
答案：A
2.使成立的α的取值范围是（
）
A.2kπ-π＜α＜2kπ（k∈Z）
B.2kπ-π≤α≤2kπ（k∈Z）
C.2kπ+π＜α＜2kπ+3（k∈Z）
D.只能是第三或第四象限
解析：∵,
若，则sinα＜0，
∴角α的终边落在x轴的下方区域，即2kπ-π＜α＜2kπ（k∈Z）.
答案：A
3.已知=2，则sinθ·cosθ的值为（
）
A.
B.±
C.
D.
解析：已知等式两边平方得=4，从而sinθ·cosθ=.
答案：C
4.已知sinαcosα=且＜α＜，那么cosα-sinα的值是（
）
A.
B.
C.
D.±
解析：∵，∴sinα＞cosα.
∴cosα-sinα＜0.
又（cosα-sinα）2=1-2sinαcosα=1-2×，
∴cosα-sinα=.
答案：B
5.已知tan（π+α）=（＜α＜2π），则cos（+α）=_______________.
解析：∵tan（π+α）=tanα=，而cos（+α）=-sinα，
由tanα=，得tan2α=.∴，即sin2α=.
注意到＜α＜2π，∴sinα＜0，即sinα=，从而cos（+α）=.
答案：
6.设tan（5π+α）=m（m≠0），则=_________________.
解析：tan（5π+α）=
tanα=m，
而所求函数式=.
答案：
7.设sinθ、cosθ是方程4x2-4mx+2m-1=0的两根且＜θ＜2π，则实数m的值为_____________.
解析：由题意可知sinθ+cosθ=m，sinθ·cosθ=，
∴（sinθ+cosθ）2=m2.
∴1+2sinθ·cosθ=m2.
从而1+=m2，∴2m2-2m-1=0.
解之,得m=.
又θ∈（，2π），∴sinθ·cosθ＜0.
∴2m-1＜0，即m＜.∴m=.
答案：
8.当α∈（0，）时，化简.
解：原式==|sinα-cosα|+|sinα+cosα|，∵α∈（0，），0＜sinα＜cosα，
∴原式=-（sinα-cosα）+sinα+cosα=2cosα.
9.已知sin（π-α）-cos（π+α）=（＜α＜π），求sinα-cosα的值.
解：由已知，得sinα+cosα=，平方得1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=.
又＜α＜π，
∴sinα-cosα=.
10.已知θ∈［0，2π），而sinθ、cosθ是方程x2-kx+k+1=0的两实数根，求k和θ的值.
解：∵sinθ、cosθ是方程x2-kx+k+1=0的两实数根，∴
代入（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ中整理可得k2=1+2（k+1），即k2-2k-3=0.
∴k=-1或k=3（舍）.
代回原方程组得
∴
即θ=π或θ=.3.3
二倍角的正弦、余弦和正切
自我小测
1．已知θ是第三象限角，若sin4θ＋cos4θ＝，则sin
2θ等于( )
A．
B．－
C．
D．－
2．已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是( )
A．
B．
C．－
D．－
3．已知taneq
\b\lc\(\rc\)()＝2，则的值为( )
A．－
B．
C．
D．－
4．－等于( )
A．－2cos
5°
B．2cos
5°
C．－2sin
5°
D．2sin
5°
5．已知sineq
\b\lc\(\rc\)()＝，则cos(π＋2α)的值为( )
A．－
B．
C．
D．－
6．函数f(x)＝2cos2＋sin
x的最小正周期是__________．
7．等腰三角形顶角的余弦值为，那么这个三角形一底角的余弦值为__________．
8．在△ABC中，若cos
A＝，求sin2＋cos
2A的值．
9．若x∈，求函数y＝＋2tan
x＋1的最值及相应的x的值．
10．已知△ABC的面积为3，且满足0＜A·A≤6.设AB和AC的夹角为θ.
(1)求θ的取值范围；
(2)求函数f(θ)＝2sin2eq
\b\lc\(\rc\)()－cos
2θ的最大值与最小值．
参考答案
1．解析：∵sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－2(sin
θcos
θ)2＝，
∴(sin
θcos
θ)2＝.
∵θ为第三象限角，
∴sin
θ＜0，cos
θ＜0，
∴sin
θcos
θ＞0，
∴sin
θcos
θ＝.
∴sin
2θ＝2sin
θcos
θ＝.
答案：A
2．解析：令底角为α，顶角为β，则β＝π－2α.
∵cos
α＝，0＜α＜π，
∴sin
α＝.
∴sin
β＝sin(π－2α)＝sin
2α＝2sin
αcos
α
＝2××＝.
答案：A
3．解析：由taneq
\b\lc\(\rc\)()＝＝2得tan
α＝.
原式＝＝tan
α－＝－＝－.
答案：A
4．解析：原式＝－
＝(cos
50°－sin
50°)
＝2eq
\b\lc\(\rc\)()
＝2sin(45°－50°)＝－2sin
5°.
答案：C
5．解析：∵sineq
\b\lc\(\rc\)()＝，
∴cos
α＝.
∴cos(π＋2α)＝－cos
2α＝1－2cos2α
＝1－＝.
答案：B
6．解析：∵f(x)＝2cos2＋sin
x＝1＋sineq
\b\lc\(\rc\)()，
∴T＝＝2π.
答案：2π
7．解析：设等腰三角形的底角为α，顶角为β，
则α＝－，cos
β＝，
∴cos
α＝coseq
\b\lc\(\rc\)()＝sin＝＝.
答案：
8．解：sin2＋cos
2A＝＋cos
2A
＝＋2cos2A－1
＝＋×＋2×eq
\b\lc\(\rc\)()2－1
＝－.
9．解：y＝＋2tan
x＋1
＝＋2tan
x＋1
＝tan2x＋2tan
x＋2＝(tan
x＋1)2＋1.
∵x∈，
∴tan
x∈[－，1]．
令tan
x＝t，则有y＝g(t)＝(t＋1)2＋1，
∴当t＝tan
x＝－1，
即x＝－时，ymin＝1；
当t＝tan
x＝1，即x＝时，ymax＝5.
综上，当x＝－时，ymin＝1；当x＝时，ymax＝5.
10．解：(1)设△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，
则由已知条件可得bcsin
θ＝3,0＜bccos
θ≤6，可得cos
θ＞0，tan
θ≥1.
又∵θ∈(0，π)，∴θ∈eq
\b\lc\[\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，)).
(2)f(θ)＝2sin2eq
\b\lc\(\rc\)()－cos
2θ
＝1－coseq
\b\lc\(\rc\)()－cos
2θ
＝1＋sin
2θ－cos
2θ
＝1＋2sineq
\b\lc\(\rc\)().
∵θ∈eq
\b\lc\[\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，))，
∴2θ－∈eq
\b\lc\[\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，))，
∴2≤1＋2sineq
\b\lc\(\rc\)()≤3.
即当θ＝时，f(θ)max＝3；
当θ＝时，f(θ)min＝2.3.1
同角三角函数的基本关系
自我小测
1．若sin
α＝m，cos
α＝m，则( )
A．m∈[－1,1]
B．m∈
C．m＝
D．m＝±
2．已知cos
θ＝，且＜θ＜2π，那么tan
θ的值是( )
A．
B．－
C．
D．－
3．已知tan
α＝－，则的值是( )
A．
B．3
C．－
D．－3
4．已知sin
α－cos
α＝－，则tan
α＋的值为( )
A．－4
B．4
C．－8
D．8
5．＝( )
A．－sin
10°
B．－cos
10°
C．sin
10°
D．cos
10°
6．若sin
x＋sin2x＝1，则cos2x＋cos4x＝______.
7．已知向量a＝(3,4)，b＝(sin
α，cos
α)，且a∥b，则tan
α＝__________.
8．已知cos(π＋α)＝－，求cos的值．
9．已知A是△ABC的一个内角，且tan
A＝－，求sin
A，cos
A的值．
10．已知sin
θ＋cos
θ＝－，
(1)求＋的值；
(2)求tan
θ的值．
参考答案
1．解析：由sin2α＋cos2α＝1，得m2＋(m)2＝1，
解得m＝±.
答案：D
2．解析：由＜θ＜2π知sin
θ＜0，且sin
θ＝－＝－，故tan
θ＝＝＝－.
答案：B
3．解析：原式＝
＝＝－.
答案：C
4．解析：tan
α＋＝＋＝.
∵sin
αcos
α＝＝－，
∴tan
α＋＝－8.
答案：C
5．解析：原式＝＝cos
10°.
答案：D
6．解析：∵sin
x＋sin2x＝1，
∴sin
x＝1－sin2x＝cos2x，
∴cos2x＋cos4x＝sin
x＋sin2x＝1.
答案：1
7．解析：∵a＝(3,4)，b＝(sin
α，cos
α)，且a∥b，
∴3cos
α－4sin
α＝0.∴tan
α＝.
答案：
8．分析：→→
解：∵cos(π＋α)＝－cos
α＝－，∴cos
α＝，
∴α为第一或第四象限角．
若α为第一象限角，
则cos＝－sin
α＝－
＝－＝－.
若α为第四象限角，
则cos＝－sin
α＝
＝＝.
9．解：由tan
A＝－，得A∈eq
\b\lc\(\rc\)()，
则＝－，即sin
A＝－cos
A.
又∵sin2A＋cos2A＝1，∴cos
A＝－，
∴sin
A＝＝.
10．解：(1)因为sin
θ＋cos
θ＝－，
所以1＋2sin
θcos
θ＝，
即sin
θcos
θ＝－，
所以＋＝＝.
(2)由(1)得＝－，
所以＝－，即3tan2θ＋10tan
θ＋3＝0，
所以tan
θ＝－3或tan
θ＝－.3.1
同角三角函数的基本关系
课后导练
基础达标
1.已知cosθ=,且θ为第二象限角,则tanθ等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析:∵θ为第二象限角,∴sinθ=,tanθ=.
答案:B
2.已知tanα=2,则的值是（
）
A.1
B.
C.-1
D.-
解析:原式==1.
答案:A
3.已知sinαcosα=,且<α<,则cosα-sinα的值等于（
）
A.
B.
C.
D.±
解析:(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1-2×=,又<α<,cosα-sinα<0.∴cosα-sinα=.
答案:C
4.已知,则α的终边在（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第一或第三象限
D.第三或第四象限
解析:,若这两部分相等,则sinα与cosα同号.∴α在第一或第三象限.
答案:C
5.若β∈［0,2π),且=sinβ-cosβ,则β的取值范围是（
）
A.［0,)
B.［,π］
C.［π,］
D.［,2π)
解析:∵=|sinβ|+|cosβ|=sinβ-cosβ,
∴sinβ≥0,cosβ≤0,∴β是第二象限角(包括x轴负半轴和y轴正半轴).
∵0≤β<2π,∴β∈［,π］.
答案：B
6.(0＜α＜)=_____________.
解析:要灵活运用“1”,同时注意开方时符号的选取.
原式=
=|sin-cos|+|sin+cos|.
∵0<α<,∴0<<.
∴sin-cos<0,sin+cos>0.
∴上式=cos-sin+sin+cos=2cos.
答案：2cos
7.已知sinα=,并且α是第四象限角,求cosα,tanα.
解析:由sinα,cosα之间的关系式sin2α+cos2α=1及第四象限角的余弦cosα>0得cosα=tanα=.
8.已知α是三角形的内角,sinα+cosα=,求tanα的值.
解析:将sinα+cosα=两边平方,得sin2α+2sinαcosα+cos2α=.
∵sin2α+cos2α=1,
∴2sinαcosα=<0.
∵α是三角形的内角,∴cosα<0.故<α<π,
∴sinα-cosα>0.
由(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+得sinα-cosα=.
解方程组
∴tanα=.
9.求证:
证明:
左边=
=右边.
∴原式成立.
10.已知tanα=2,求下列各式的值:
(1);
(2)
解析:
(1)=-1.
或∵tanα==2,
∴sinα=2cosα.
∴原式==-1.
(2).
综合运用
11.已知A为三角形内角，且sinAcosA=，则cosA-sinA的值为（
）
A.
B.±
C.±
D.
解析:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ求解.
∵A为三角形内角，则A∈(0,π).
又∵sinAcosA=<0,
∴sinA>0,cosA<0.
∴(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA
=1-2×()=.
又∵cosA-sinA<0,
∴cosA-sinA=.
答案：D
12.已知f(x)=,若α∈(,π),则f(cosα)+f(-cosα)可化简为_______________.
解析:f(cosα)+f(-cosα)=
答案:
13.求证:=sinα+cosα.
证明:
==sinα+cosα
14.已知sinαcosα>0,且sinαtanα>0.化简
cos
解析:由sinαcosα>0,知α为第一、三象限角.
由sinαtanα>0,知α为第一、四象限角.
∴α为一象限角，∴为第一、三象限角.
当为第一象限角时，
原式=cos·1=2.
当为第三象限角时，原式=-2.
15.是否存在角α、β，α∈(-,),β∈(0,π)，使
解析：将已知化为
sinα=sinβ,
①
cosα=cosβ,②
①2+②2,得sin2α+3(1-sin2α)=2，
∴sin2α=,sinα=±.
∵-<α<,∴α=或-.
当α=时，由②得cosβ=.
又β∈(0,π),∴β=.
当α=-时，由②得cosβ=.
又β∈(0,π),∴β=.
∴存在使两个等式同时成立.
拓展探究
16.若f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为f(a).
(1)用a表示f(a)的表达式；
（2）求能使f(a)=的a值，并求当a取此值时f(x)的最大值.
解析:(1)f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x
=1-2a-2acosx-2+2cos2x
=2(cosx-)2-a2-2a-1.
①当>1,即a>2且cosx=1时,f(x)取得最小值.即f(a)=1-4a;
②当-1≤≤1,即-2≤a≤2且cosx=时,f(x)取得最小值,即f(a)=-a2-2a-1;
③当<-1,即a<-2且cosx=-1时,f(x)取得最小值,即f(a)=1;
综上得f(a)=
(2)若f(a)=,则a只能在［-2,2］内,
∴-a2-2a-1=,得a=-1,此时f(x)=2(cosx+)2+;当cosx=1时,f(x)有最大值5.3.2
两角和与差的三角函数
自我小测
1．若tan
α＝2，tan
β＝3，且α，β∈，则α＋β的值为( )
A．
B．
C．
D．
2．设A，B，C是△ABC的三个内角，且tan
A，tan
B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
3．若tan
α＝3，tan
β＝，则tan(α＋β)＝( )
A．－3
B．3
C．－
D．
4．tan
20°＋tan
40°＋tan
20°tan
40°的值为( )
A．－
B．
C．3
D．
5．若tan
28°tan
32°＝m，则tan
28°＋tan
32°的值为( )
A．m
B．(1－m)
C．(m－1)
D．(m＋1)
6．已知tan＝2，则＝__________.
7．若A＝15°，B＝30°，则(1＋tan
A)(1＋tan
B)的值为__________．
8．已知sin
α＝，tan(π－β)＝，则tan(α－β)＝__________.
9．已知tan
α＝，tan
β＝，0＜α＜，π＜β＜，求α＋β
的值．
10．已知tan
α＝－，cos
β＝，α，β∈(0，π)．
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求函数f(x)＝sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．
参考答案
1．解析：∵tan(α＋β)＝＝＝－1，0＜α＋β＜π，
∴α＋β＝.
答案：C
2．解析：由题意知，tan
A＋tan
B＝，tan
Atan
B＝.
∴tan
C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)
＝－＝－＝－＜0.
∴＜C＜π.
∴△ABC为钝角三角形．
答案：D
3．解析：tan(α＋β)＝＝＝－.
答案：C
4．解析：原式＝tan
60°(1－tan
20°tan
40°)＋tan
20°tan
40°＝tan
60°＝.
答案：B
5．解析：∵tan(28°＋32°)＝，
∴tan
28°＋tan
32°＝tan
60°(1－tan
28°tan
32°)
＝(1－m)．
答案：B
6．解析：由tan＝2，得＝2，
∴tan
α＝.
∴＝
＝＝＝.
答案：
7．解析：∵tan(A＋B)＝tan
45°＝1，
∴＝1.
∴tan
A＋tan
B＝1－tan
Atan
B.
∴(1＋tan
A)(1＋tan
B)＝1＋tan
A＋tan
B＋tan
Atan
B＝2.
答案：2
8．解析：∵sin
α＝，且＜α＜π，
∴cos
α＝－＝－.∴tan
α＝＝－.
又∵tan(π－β)＝－tan
β＝，∴tan
β＝－.
∴tan(α－β)＝＝
＝－.
答案：－
9．解：∵tan
α＝，tan
β＝，
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
∵0＜α＜，π＜β＜，
∴π＜α＋β＜2π.∴α＋β＝.
10．解：(1)∵cos
β＝，β∈(0，π)，
∴sin
β＝，
∴tan
β＝2，
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
(2)∵tan
α＝－，α∈(0，π)，
∴sin
α＝，cos
α＝－，
∴f(x)＝(sin
xcos
α－cos
xsin
α)＋(cos
xcos
β－sin
xsin
β)＝－sin
x－cos
x＋cos
x－sin
x＝－sin
x.
又∵－1≤sin
x≤1，
∴f(x)的最大值为.3.2
两角和与差的正切函数
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.若=4+，则tan（-A）的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：tan（-A）=.
答案：B
2.计算tan20°+tan40°+tan20°tan40°=_____________.
解析:tan60°=tan（20°+40°）=，
则tan20°+tan40°=（1-tan20°tan40°）=tan20°tan40°，
因此tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.
答案:
3.当α=40°时,=________________.
解析:原式=tan［(2α+β)+(α-β)］=tan3α=tan120°=-tan60°=.
答案:
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.如果tan（α+β）=，tan（β-）=，那么tan（α+）等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：tan（α+）=tan［（α+β）-（β）］=.
答案：C
2.已知，则cot（+α）的值等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析:由,
可知，tan（-α）=.
而-α与+α互为余角，
则有cot（+α）=tan（-α）=.
答案：A
3.=_________________.
解析：原式==-tan（45°-15°）=.
答案:
4.求证：（1+tan22°）（1+tan23°）=2.
证明：∵22°+23°=45°，∴tan（22°+23°）=.
∴1-tan22°tan23°=tan22°+tan23°.
左边=（1+tan22°）（1+tan23°）=1+tan22°+tan23°+tan22°tan23°=2=右边.
5.已知tan(α+β)=5,tan(α-β)=3,求tan2α,tan2β,tan(2α+).
解:tan2α=tan［(α+β)+(α-β)］
=.
tan2β=tan［(α+β)-(α-β)］
=.
tan(2α+)=.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.若0＜α＜,0＜β＜,且tanα=,tanβ=,则α+β等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析:∵tanα=,tanβ=,∴tan(α+β)==1.
又∵0<α<,0<β<,∴0<α+β<π.
而在(0,π)内只有tan=1.
∴α+β=.
答案:B
2.在△ABC中，已知tanA、tanB是方程3x2+8x-1=0的两个根，则tanC等于（
）
A.2
B.-2
C.4
D.-4
解析:由于tanA、tanB是方程3x2+8x-1=0的两个根，
根据韦达定理，有tanA+tanB=，tanA·tanB=.
则tanC=tan［π-（A+B）］=-tan（A+B）=.
答案:A
3.（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan44°）（1+tan45°）=_____________.
解析:原式=（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）+…+（1+tan44°）（1+tan45°）
=［（1+tan1°）（1+tan44°）］…［（1+tan22°）（1+tan23°）］·（1+tan45°）=2·2·…·2=223.
4.tan70°+tan50°tan50°·tan70°=_______________.
解析:原式=tan(70°+50°)(1-tan70°tan50°)-tan70°tan50°
=(1-tan70°tan50°)tan70°tan50°=.
答案:
5.如果α、β、γ都是锐角，并且它们的正切分别为、、，求证：α+β+γ=45°.
证明：由于tanα=，tanβ=，
可知tan（α+β）=.
由题意可知tanγ=，则
tan（α+β+γ）=tan［（α+β）+γ］==1.
根据α、β、γ都是锐角，且0＜tanα=＜1，0＜tanβ=＜1，0＜tanγ=＜1，
可知0°＜α＜45°，0°＜β＜45°，0°＜γ＜45°,
得0＜α+β+γ＜135°.
所以，α+β+γ=45°.
6.求证：tan（A-B）+tan（B-C）+tan（C-A）=tan（A-B）·tan（B-C）·tan（C-A）.
证明：（A-B）+（B-C）=A-C.
由两角和的正切公式变形为
tan［（A-B）+（B-C）］=.
∴tan（A-B）+tan（B-C）=tan（A-C）·［1-tan（A-B）·tan（B-C）］.
左=tan（A-C）［1-tan（A-B）·tan（B-C）］+tan（C-A）=tan（A-C）-tan（A-C）·tan（A-B）·tan（B-C）+tan（C-A）=tan（C-A）·?tan（A-B）?·tan（B-C）=右.
7.已知α∈(0,),β∈(0,π),且tan(α-β)=,tanβ=，求tan(2α-β)的值及角2α-β.
解:tanα=tan［(α-β)+β］=.
tan(2α-β)=tan［α+(α-β)］
==1.
又
β∈(0,π),tanβ=<0,∴β∈(,π).
∵α∈(0,
),∴2α∈(0,
).
∴2α-β∈(-π,0).∴2α-β=π.
8.已知sinα=
(90°＜α＜180°),cosβ=
(270°＜β＜360°),求tan(α+β)和tan(α-β)的值.
解:∵sinα=,90°<α<180°,∴cosα=.
∴tanα=.
∵cosβ=,270°<β<360°,
∴sinβ=.∴tanβ=.
∴tan(α+β)=
=.
tan(α-β)=.
9.设一元二次方程mx2+(2m-1)x+(m+1)=0的两根为tanα、tanβ,求tan(α+β)的取值范围.
解:因为tanα、tanβ为方程的两根,则有Δ=(2m-1)2-4m(m+1)≥0,且m≠0,解得m≤,m≠0,所以m∈(-∞,0)∪(0,］.
由韦达定理得tanα+tanβ=,tanα·tanβ=,于是,tan(α+β)=
=.
因为2m-1≤2×-1=-且2m-1≠-1,
所以tan(α+β)的取值范围是(-∞,-1)∪?(-1,-］.