1.9
三角函数的简单应用
课后导练
基础达标
1.下列与tanα相等的是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由tan=可知D正确.
答案：D
2.y=sin2x的最小正周期T和奇偶性为（
）
A.T=2π，偶函数
B.T=2π，奇函数
C.T=π，偶函数
D.T=π，奇函数
解析：y=sin2x=.
答案：C
3.已知π＜α＜2π，则cos的值等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：π<α<2π,<<π.
cos=.
答案：C
4.tan+的值（
）
A.2
B.3
C.4
D.6
解析：tan=，
,
∴原式==4.
答案：C
5.若<α<π,且cosα=a,则sin等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：∵<α<π,
∴sin>0,
∴sin=.
答案：A
6.tan15°=______________-.
解析：tan15°=.
答案：2-
7.若3sinα=4cosα,且sinα<0,则tan=_____________.
解析：3sinα=4cosα,∴tanα=.
∵sinα<0,tanα>0,
∴α在第三象限，2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z,
∴kπ+<
∴tan<0,由2tan,
得tan=-2.
答案：-2
8.求证：(1+tanx·tan)=tanx.
证明：左=(1+)
=sinx(1+)==tanx=右.
9.已知|cosθ|=,且<θ<3π,求sin、cos、tan的值.
解析：∵|cosθ|=,<θ<3π,
∴cosθ=,<<.
由cosθ=1-2sin2,
有sin=.
又cosθ=2cos2-1,
有cos=,
tan==2.
10.设sinα∶sin=8∶5,求cosα与tan的值.
解析：∵,∴cos=,
∴cosα=2cos2-1=2×()2-1=,
tan.
综合运用
11.若cos(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=且β在第三象限，则cos为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由题意知sin(α-β-α)=,
即sin(-β)=，∴sinβ=-.
∵β是第三象限角，
∴cosβ=，且是二、四象限角.
∴cos=±.
答案：B
12.若P=(<α<2π)则化简P可得（
）
A.-cos
B.cos
C.-sin
D.sin
解析：∵α∈(,2π),∴∈(,π),
∴原式==|cos|
=-cos.
答案：A
13.已知sinα=，且α为第二象限角，则tan的值为___________.
解析：∵α为第二象限角，∴cosα=.
tan=
.
答案：
14.已知sinθ=,3π<θ<,则tan=_________________.
解析：∵3π<θ<,
∴cosθ=-.
tan==-3.
答案：-3
15.发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流分别是时间t的函数：Ia=Isinωt,Ib=Isin(ωt+120°),Ic=Isin(ωt+240°).你能算算它们的电流之和吗
解析：I=Ia+Ib+Ic
=I［sinωt+sin(ωt+120°)+sin(ωt+240°)］
=I［sinωt+sin(60°-ωt)-sin(ωt+60°)］
=I(sinωt+cosωtsinωt-cosωtsinωt)
=I(sinωt-sinωt)=0.
拓展探究
16.有一块半径为R、中心角为45°的扇形铁皮材料，为了截取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常将矩形的一边放在扇形的半径上，然后作其最大的内接矩形.你能帮工人师傅设计一方案，选出矩形的四点吗
解析：如下图,设∠POA=θ，则PN=Rsinθ.
OM=QM=PN=Rsinθ,ON=Rcosθ.
MN=ON-OM=Rcosθ-Rsinθ.
则S矩形PQMN=MN·PN
=R(cosθ-sinθ)·Rsinθ=R2(sinθcosθ-sin2θ)
=R2(sin2θ-1+cos2θ)
=R2［sin(2θ+)-］,
当2θ+=,即θ=时，S矩形PQMN最大且最大值为R2.
因此可以这样选点，以扇形一半径OA为一边在扇形上作∠AOP=,P为边OP与扇形的交点，自P作PN⊥OA于N,PQ∥OA交OB于Q.若作QM⊥OA于M，则矩形MNPQ为所求的面积最大的矩形.1.1
周期现象
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.月球围绕着地球转，月球到地球的距离y随时间的变化是周期性的吗？
解析：由月球的运动规律,可知是周期性变化.
2.走路时，我们的手臂自然地随步伐周期性地摆动，那么，手臂的周期摆动满足什么规律呢？
解：如图所示，以ON代表手臂的垂直位置，当手臂摆动到OP位置，设θ=∠PON为摆动的幅角，而y为P点离开直线ON的水平距离，r为手臂的长度，根据初中平面几何知识可知y=rsinθ.
3.列举自然界中存在的周期性现象.
答案：自然界中存在的周期现象有：太阳的东升西落；月亮的圆缺；春、夏、秋、冬的变化等.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.下列函数中函数值y随x的变化而周期性变化的是（
）
①f(x)=x
②f(x)=2x
③f(x)=1
④f(x)=
A.①②
B.③
C.③④
D.①②③④
解：①f(x+T)=x+T≠x，T≠0;②f(x+T)=2x+T≠2x=f(x)；③f(x+T)=1=f(x)；④设T是任意一个有理数，那么当x是有理数时，x+T也是有理数；当x为无理数时，x+T也是无理数，就是说f(x)与f(x+T)或者都等于1或者都等于0，因此在两种情况下，都有f(x+T)=f(x).
答案：C
2.今天是星期一，158天后的那一天是星期几
解：∵158=7×22+4，而今天是星期一,
∴158天后的那一天是星期五.
3.我们选定风车轮边缘上一点A，点A到地面的距离y随时间t的变化是周期性的吗？
答案：是周期性的.
4.已知f(x)是奇函数，且满足f(x+1)=，若f(-1)=1，（1）求证：f(x+4)=f(x)；（2）求f(-3).
（1）证明：∵f(x+2)=，
∴f(x+4)==f(x).
（2）解：∵f(x)是奇函数，
∴f(-3)=f(-3+4)=f(1)=-f(-1)=-1.
5.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+3)=f(x),f(1)=-1,求f(11)的值.
解：由f(x)为奇函数，得f(-x)=-f(x)，f(-1)=-f(1).
又f(x+3)=f(x)，故f(11)=f(3×4-1)=f(-1)=1.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.下列现象是周期现象的有（
）
①太阳的东升西落
②月亮的圆缺
③太阳表面的太阳黑子活动
④心脏的收缩与舒张
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：D
2.有以下现象：①鸟类的迁徙；②单摆的简谐振动；③交流电的电压变化规律；④化学元素的性质.其中是周期现象的有____________.
答案：①②③④
3.已知f(x+1)=-f(x),求证：f(x+2)=f(x).
证明：f(x+2)=f［(x+1)+1］=-f(x+1)=-［-f(x)］=f(x).
4.已知f(x+2)=,求证：f(x+4)=f(x).
证明：f(x+4)=f［(x+2)+2］==f(x).
5.求证：若函数y=f(x)(x∈R)的图像关于x=a对称，且关于x=b对称，则f［x+2(b-a)］=f(x).
证明：设x是任意一个实数，因为函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，故f(a+x)=f(a-x).同理，f(b+x)=f(b-x).
于是f[x+2(b-a)]=f[b+(b+x-2a)]=f[b-(b+x-2a)]=f(2a-x)=f[a+(a-x)]=f[a-(a-x)]=f(x),即f［x+2(b-a)］=f(x).
6.设f(x)是定义在R上的函数，且f(x+2)=f(x),f(x)为偶函数，在区间［2,3］上，f(x)=-2(x-3)2+4，求x∈［1,2］时，f(x)的解析式.
解：令x∈[-3，-2]，则-x∈[2，3]，从而f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.
又f(x)为偶函数，故f(-x)=f(x),即f(x)=-2(x+3)2+4,x∈[-3,-2].
令x∈[1，2]，则x-4∈[-3，-2]，有f(x-4)=f(x)=-2(x-1)2+4.
即当x∈[1，2]时，f(x)=-2(x-1)2+4.
7.设f(x)是定义在R上的偶函数，其图像关于x=1对称，对任意的x1，x2∈［0,］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2).
（1）设f(1)=2，求；
（2）证明f(x+2)=f(x).
（1）解：由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),x1,x2∈[0,]知f(x)=f()·f()≥0,x∈[0,1]，
故f(1)=f(+)=f()·f()=?[f()]2=2.
∴.
f()=f(+)=[f()]2=,即f(）=.
（2）证明：由y=f(x)关于直线x=1对称，得
f(x)=f(1+1-x)，f(x)=f(2-x).
又f(-x)=f(x)，故f(-x)=f(2-x)，即f(x)=f(2+x).
8.我们选定自行车车轮边缘上一点A，车轮的中心记为O，OA与竖直方向的夹角记为α，当自行车沿直线做匀速运动时，变量α随时间t的变化是周期性的吗？
解：由其运动规律可知是周期性的.1.9
三角函数的简单应用
自我小测
1．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝
s时，电流强度I为( )
A．5
A
B．2.5
A
C．2
A
D．－5
A
2．一根长l
cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，其中
g是重力加速度，当小球摆动的周期是1
s时，l＝( )
A．
B．
C．
D．
3．如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式，则当t=0时，角θ的大小及单摆频率分别是( )
A．，
B．2，
C．，π
D．2，π
4．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin(其中0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )
A．[0,5]
B．[5,10]
C．[10,15]
D．[15,20]
5．把函数y＝cos
2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是( )
6．据市场调查，某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋BA＞0，ω＞0，|φ|＜的模型波动(x为月份)．已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为__________．
7．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的递增区间是__________．
8．如图所示，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向．若已知振幅为3
cm，周期为3
s，且物体向右运动到A点(距平衡位置最远处)开始计时．
(1)求物体离开平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式；
(2)求该物体在t＝5
s时的位置．
9．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：
t/时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos
ωt＋b的图像．
(1)根据以上数据，求出函数y＝Acos
ωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放．请依据(1)的结论，判断一天内的8：00至16：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
参考答案
1．解析：当t＝
s时，
I＝5sin＝5cos＝2.5(A)．
答案：B
2．解析：因为周期T＝
，所以＝＝2π.所以l＝.
答案：D
3．解析：t＝0时，θ＝sin＝.由函数解析式易知单摆的周期为＝π，故单摆频率为.
答案：A
4．解析：对每个选项进行验证．
当t∈[0,5]时，∈[0,2.5]．
因为2.5＞，所以函数F(t)在[0,5]上先增后减，不符合题意；
当t∈[5,10]时，∈[2.5,5]，
所以函数F(t)在上是减少的，在上是增加的，不符合题意；
当t∈[10,15]时，∈[5,7.5]，所以函数F(t)在[5,7.5]上是增加的，符合题意；当t∈[15,20]时，∈[7.5,10]，所以函数F(t)在[7.5,10]上先增后减，不符合题意．
答案：C
5．解析：y＝cos
2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y1＝cos
x＋1，再向左平移1个单位长度得y2＝cos(x＋1)＋1，再向下平移1个单位长度得y3＝cos(x＋1)，故相应图像为选项A中所示的图像．
答案：A
6．解析：由题意可知
∴
又∵T＝2(7－3)＝8，∴ω＝.
∵当x＝3时，y＝9，∴2sin＋7＝9.
又∵|φ|＜，
∴φ＝－，∴f(x)＝2sin＋7.
答案：f(x)＝2sin＋7
7．解析：设点A的纵坐标y关于t的函数关系式
y＝sin＝sin.
令2kπ－≤＋≤2kπ＋(k∈Z)，
故12k－5≤t≤12k＋1.
又由0≤t≤12，故k取0,1，可知t∈[0,1]和[7,12]．
答案：[0,1]和[7,12]
8．解：(1)设位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式为x＝3sin(ωt＋φ)(ω＞0,0≤φ＜2π)，
则由T＝＝3，得ω＝.
当t＝0时，有3sin
φ＝3，即sin
φ＝1.
又0≤φ＜2π，故可得φ＝.
从而所求的函数关系式是x＝3sin，
即为x＝3cost.
(2)令t＝5，得x＝3cos＝－1.5，
故该物体在t＝5
s时的位置是在O点左侧，且距O点1.5
cm处．
9．解：(1)由表中数据，知周期T＝12，
∴ω＝＝＝.
由题意，得
解得A＝0.5，b＝1.
∴y＝cost＋1.
(2)由题知，当y＞1时才可对冲浪爱好者开放，
∴cost＋1＞1.
∴cost＞0.
∴2kπ－＜t＜2kπ＋(k∈Z)，
即12k－3＜t＜12k＋3(k∈Z)．
∵0≤t≤24，
∴可令k分别为0,1,2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.
∴一天内的8：00至16：00之间仅在9：00至15：00之间即有6个小时可供冲浪者进行运动．1.4
正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式第2课时
自我小测
1．sin
570°的值是( )
A．
B．－
C．
D．－
2．sin
95°＋cos
175°的值为( )
A．sin
5°
B．cos
5°
C．0
D．2sin
5°
3．设A，B，C是△ABC的三个内角，下列关系恒成立的是( )
A．cos(A＋B)＝cos
C
B．sin(A＋B)＝sin
C
C．sin＝sin
D．sin＝－cos
4．已知sin＝，则sin的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
5．下列三角函数：
①sin；②cos；③sin；
④cos；⑤sin(n∈Z)．
其中函数值与sin的值相同的是( )
A．①②
B．①③④
C．②③⑤
D．①③⑤
6．若函数y＝sin
x在区间上是增加的，则a的取值范围是__________．
7．化简求值：＝__________.
8．化简：＝__________.
9．已知函数f(x)＝则f＋f的值为________．
10．利用单位圆，求满足下列条件的角α的集合：
(1)sin
α＝； (2)sin
α≤－； (3)sin
α≥.
11．已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求的值．
12．已知f(n)＝sin，n∈Z.
(1)求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝f(9)＋f(10)＋…＋f(16)；
(2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2
014)的值．
参考答案
1．解析：sin
570°＝sin＝sin
210°＝sin(180°＋30°)＝－sin
30°＝－.
答案：B
2．解析：sin
95°＋cos
175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)＝cos
5°－cos
5°＝0.
答案：C
3．解析：∵A＋B＋C＝π，∴＝，
∴A＋B＝π－C，＝－，
∴cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos
C，
sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin
C，
sin＝sin＝cos，
故A，C，D错误，B正确．
答案：B
4．解析：∵＋＝π，∴sin＝sin＝sin＝.
答案：C
5．解析：当n为奇数时，sin＝sin＝sin；当n为偶数时，sin＝sin＝－sin，故①错；cos＝cos＝sin，故②正确；sin＝sin，故③正确；cos＝cos＝－cos＝－sin，故④错；sin＝sin＝sin，故⑤正确．
答案：C
6．解析：由单位圆知，要使y＝sin
x在上是增加的，需满足－＜a≤.
答案：
7．解析：
＝
＝＝
＝＝－1.
答案：－1
8．解析：原式＝＝＝－1.
答案：－1
9．解析：f＝－cos＝cos＝，f＝f＋1＝f＋1＝f＋1＋1＝f＋2＝－cos＋2＝cos＋2＝＋2＝，所以f＋f＝＋＝3.
答案：3
10．解：(1)如图(1)．
故使sin
α＝的α的集合为，或α＝＋2kπ，k∈Z.
(2)如图(2)．
在Rt△OMP中，|OP|＝1，|MP|＝，
∴∠MOP＝.故使sin
α≤－的α的集合为.
(3)如图(3)．
图(3)
使sin
α≥的α的集合为.
11．解：∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，
∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，
∴－sin(π－α)＝2cos(－α)，
∴sin
α＝－2cos
α，且cos
α≠0.
∴原式＝＝＝＝－.
12．(1)证明：f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝sin＋sin＋sin＋…＋sin＋sin＝0，
f(9)＋f(10)＋…＋f(16)＝sin＋sin＋sin＋…＋sin＋sin＝sin＋sin＋…＋sin＋sin＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝f(9)＋f(10)＋…＋f(16)．
(2)解：由(1)可知，从第一项开始，每8项的和为0.
又∵2
014＝251×8＋6，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2
014)＝251×0＋f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝sin＋sin＋sin＋sin＋sin＋sin＝＋1＋＋0－－1＝.1.1
周期现象与周期函数
自主广场
我夯基
我达标
1．时针走过2小时40分，则分针转过的角度是（
）
A.80°
B.-80°
C.960°
D.-960°
思路解析：分针转过的角是负角.
答案：D
2．给出下列四个命题：①-15°是第四象限的角；②185°是第三象限的角；③475°是第二象限的角；④-350°是第一象限的角，其中正确命题的个数是（
）
A.1B.2C.3D.4
思路解析：将题中的角化成α+k·360°(k∈Z)，α在0°—360°之间的形式，并结合图形即可判断出来.
答案：D
3.与-457°角终边相同的角的集合是（
）
A.{α|α=k·360°+457°，k∈Z}
B.{α|α=k·360°+97°，k∈Z}
C.{α|α=k·360°+263°，k∈Z}
D.{α|α=k·360°-263°，k∈Z}
思路解析：可用特殊值法去研究，也可用定义去分析解决，还可用排除法.
方法一：∵-457°=-2×360°+263°，∴应选C.
方法二：因为-457°角与-97°角终边相同，又-97°角与263°角终边相同，所以-457°角应与k·360°+263°角终边相同，故应选Ｃ.
方法三：由于-457°角与-97°角终边相同，易知应排除Ａ、Ｂ、Ｄ，故选C.
答案：C
4.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z}，B={β|-180°＜β＜180°},则A∩B等于（
）
A.{-36°,54°}
B.{-126°,144°}
C.{-126°,-36°,54°,144°}
D.{-126°,54°}
思路解析：在集合A中，令k取不同的整数，找出既属于A又属于B的角度即可.k=-1,0,1,2,验证可知A∩B={-126°，-36°，54°，144°}.
答案：C
5.如果α与x+45°具有相同的终边，角β与x-45°具有相同的终边，那么α与β间的关系是（
）
A.α+β=0
B.α-β=0
C.α+β=k·360°,k∈Z
D.α-β=k·360°+90°,k∈Z
思路解析：利用终边相同的角的关系，分别写出α、β，找出它们的关系即可.由题意知，α＝k·360°+x+45°,k∈Z，β=n·360°+x-45°,n∈Z，则α-β=(k-n)·360°+90°,(k-n)
∈Z.
答案：D
6.(2005全国高考卷Ⅲ，理1)已知α为第三象限角，则所在的象限是（
）
A.第一或第二象限
B.第二或第三象限
C.第一或第三象限
D.第二或第四象限
思路解析：利用不等式法和八卦图法均可解决.
答案：D
7.已知-180°＜α＜180°，7α的终边又与α的终边重合，求满足条件的角α的集合.
思路分析：7α与α相差360°的整数倍，由此确定符合条件的角的集合.
解：由题意得7α=α+k·360°,得α=k·60°,k∈Z.
令-180°＜k·60°＜180°，∴-3＜k＜3.
∴α=-120°,-60°,0°,60°,120°，
∴满足条件的角α的集合为{-120°,-60°,0°,60°,120°｝.
8.今天是星期一，158天后的那一天是星期几
思路分析：每个星期，从星期一、星期二，一直到星期日共是7天，呈现出周期性，故求158被7除的余数即可.∵158＝7×22＋4，而今天是星期一，∴158天后的那一天是星期五.
答案：星期五.
我综合
我发展
9.若α是第一象限的角，则180°-α是第____________象限的角.
思路解析：利用不等式法判断.
∵α是第一象限的角，
∴k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z.
∴-k·360°+90°＜180°-α＜-k·360°+180°,k∈Z，画图知，180°-α是第二象限的角.
答案:二
10.设两个集合M={α|α=k·90°+45°,k∈Z}，N={α|α=k·180°-45°,k∈Z},试求M、N之间的关系.
思路分析：由于集合M、N中的角都与k·180°有关，故应采用坐标系将角的终边的范围表示出来，再求解.
解：集合M、N所表示的角的终边分别如图1-（1，2）-6甲和图乙所示：
图1-（1，2）-6
由图可知NM.
11.若θ角的终边与168°角的终边相同，求在［0°，360°）内终边与角的终边相同的角.
思路分析：先写出与168°角终边相同的角，再找在［0°，360°）内的角.
解：θ=k·360°＋168°(k∈Z)，
∴=k·120°+56°(k∈Z).
令0°≤k·120°+56°＜360°(k∈Z)，则k=0,1,2，
∴在［0°，360°）内与终边相同的角有56°，176°，296°.1.7
正切函数
课后导练
基础达标
1.若tanx=且x∈(-,),则x等于…（
）
A.
B.-
C.-
D.
解析:由于tanx=<0,且x∈(-,),即x的终边在y轴的右侧,可知x=-.
答案:B
2.tan300°等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析:tan300°=tan(360°-60°)=-tan60°=.
答案:D
3.下列函数中周期为π的奇函数且在(0,)上单调递增的是（
）
A.y=tanx
B.y=cos2x
C.y=sin2x
D.y=tan
解析:y=cos2x不是奇函数,故去掉B选项;y=tan的周期为2π,排除D选项;而y=sin2x在(0,)上先增后减.
答案:A
4.（2006全国高考卷Ⅰ,理5）
函数f(x)=tan(x+)的单调区间为（
）
A.(kπ-,kπ+)，（k∈Z）
B.(kπ,(kπ+π)，（k∈Z）
C.(kπ-,kπ+),（k∈Z）
D.(kπ-,kπ+)，（k∈Z）
解析:∵kπ-≤x+≤kπ+(k∈Z),
∴单调增区间为(kπ-,kπ+).
答案:C
5.（2004全国高考Ⅱ）
已知函数y=tan(2x+φ)的图象过点(,0),则φ可以是（
）
A.-
B.
C.
D.
解析:∵y=tan(2x+φ)过(,0),∴tan(+φ)=0,∴+φ=kπ,∴φ=kπ-,当k=0时,φ=-.
答案：A
6.使tan2x>1的x的集合是________.
解析:由题意得kπ+<2x∴+答案:{x|+7.在tan1,tan2,tan3中,按从小到大的顺序排列是__________.
解析:∵tan2=tan(2-π),tan3=tan(3-π),
又∵<3<π,∴-<2-π<3-π<0<1<,
而y=tanx在(-,)内是增函数.
∴tan(2-π)答案:tan28.求下列各三角函数值.
(1)sin();(2)cos();(3)tan(-855°).
解析:(1)sin()=-sin
=-sin(2π+4)=-sin
=-sin(π+)=sin=.
(2)cos=cos(4π+)
=cos=cos(π-)
=-cos=.
(3)tan(-855°)=-tan855°=-tan(2×360°+135°)
=-tan135°=-tan(180°-45°)
=tan45°=1.
9.已知角α的终边经过P(-4a,3a)(a≠0),求sinα,cosα,tanα的值.
解析:r==5|a|.
若a>0时,r=5a,角α为第二象限角.
∴sinα=,
cosα=,
tanα=.
若a<0时,r=-5a,角α为第四象限角.
sinα=,cos=,
tanα=.
10.已知sin(α+β)=1,求证:tan(2α+β)+tanβ=0.
证明：∵sin(α+β)=1,
∴α+β=2kπ+(k∈Z).
∴α=2kπ+-β(k∈Z).
∴tan(2α+β)+tanβ
=tan［2(2kπ+-β)+β］+tanβ
=tan(4kπ+π-2β+β)+tanβ
=tan(4kπ+π-β)+tanβ
=tan(π-β)+tanβ
=-tanβ+tanβ=0.
∴tan(2α+β)+tanβ=0得证.
综合运用
11.在区间(-,)范围内,函数y=tanx与函数y=sinx的图象交点个数是（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:在同一坐标系中,画出y=tanx与y=sinx的图象,观察交点个数,数形结合思想在今后学习中经常用到.
答案:A
12.(2006天津高考,文5)
α,β∈(-,),那么“α<β”是“tanα）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:由y=tanx的图象知(-,)恰为函数的一单调增区间,故由单调递增函数定义知选C.
答案:C
13.在△ABC中,①sin(A+B+C);②sin(A+B)+sinC;③cos(A+B)+cosC;④tan(A+B)-tanC,其中表示常数的有___________.
解析:①sin(A+B+C)=sinπ=0.
②sin(A+B)+sinC=sin(π-C)+sinC=2sinC.
③cos(A+B)+cosC=cos(π-C)+cosC=-cosC+cosC=0.
④tan(A+B)-tanC=tan(π-C)-tanC=-tanC-tanC=-2tanC.
答案:①③
14.判断函数f(x)=lg的奇偶性.
解析:要使函数y=lg有意义,函数应满足1>0,∴tanx<-1或tanx>1.
∴函数定义域为(kπ-,kπ-)∪(kπ+,kπ+)(k∈Z).
∴定义域是关于原点对称的
f(-x)=lg=-f(x),
∴y=lg是奇函数.
15.已知函数f(x)=tanx，x∈(0,),若x1、x2∈(0,)且x1≠x2，试比较［f(x1)+f(x2)］与f()的大小.
解析：f(x)=tanx,x∈(0,)的图象如下图所示，
则f(x1)=AA1,f(x2)=BB1,f()=CC1,C1D是直角梯形AA1B1B的中位线，所以
［f(x1)+f(x2)］=(AA1+BB1)=DC1>CC1=f()，
即［f(x1)+f(x2)］>f().
拓展探究
16.已知tanα、是关于x的方程3x2-3kx+3k2-13=0的两实根，且3π＜α＜，求sinα·cosα的值.
解：∵tanα,是关于x的方程3x2-3kx+3k2-13=0的两实根，
∴1=tanα=(3k2-13),
k2=〔当k2=时，Δ=9k2-4×3(3k2-13)>0〕.
∵3π<α<
∴tanα>0,sinα<0,cosα<0.
又tanα+=k,
∴k>0.故取k=，于是tanα+,
即sinαcosα=.1.6
正切函数
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.函数y=tan（-x）的定义域是（
）
A.{x|x≠，x∈R}
B.{x|x≠，x∈R}
C.{x|x≠kπ+，k∈Z，x∈R}
D.{x|x≠kπ+，k∈Z，x∈R}
解析：要使函数有意义，需满足-x≠+kπ（k∈Z），所以x≠+kπ（k∈Z），也可写成x≠+kπ（k∈Z）.
答案：D
2.作出函数y=|tanx|的图像，并根据图像求其单调区间.
解：y=|tanx|
(k∈Z)，
所以其图像如图所示，单调增区间为［kπ，kπ+）（k∈Z）；单调减区间为（kπ-，kπ］（k∈Z）.
3.x取什么值时，有意义？
解：由题意得tanx≠0，∴x≠kπ(k∈Z).
又x≠kπ+(k∈Z),∴x≠kπ(k∈Z).
故当x∈{x|x≠kπ,k∈Z}时，有意义.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.函数y=tanx（≤x≤且x≠0）的值域是（
）
A.［-1，1］
B.［-1，0）∪（0，1］
C.（-∞，1］
D.［-1，+∞）
解析：先画出y=tanx在［,］上的图像，再根据所给的定义域结合图像研究y=tanx的值域.
答案：B
2.tan1，tan2，tan3的大小关系为（
）
A.tan1＞tan2＞tan3
B.tan1＞tan3＞tan2
C.tan2＞tan1＞tan3
D.tan3＞tan2＞tan1
解析：tan1=tan(π+1),2、3、π+1∈(,
)，因为y=tanx在(,
）上是增函数，所以tan1＞tan3＞tan2.
答案：B
3.在区间（）范围内，函数y=tanx与函数y=sinx的图像交点的个数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：先在同一坐标系下作出函数y=tanx与函数y=sinx的图像，通过图像研究它们的交点个数.
答案：C
4.不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
（1）tan167°与tan173°；
（2）tan（）与tan（）.
解：（1）∵90°<167°<173°<180°，
又∵y=tanx在（90°，270°）上是增函数，
∴tan167°（2）∵tan（）=tan（），tan（）=tan（），
又∵<<，函数y=tanx，x∈（，）是增函数，
∴tan（）即tan（）5.根据正切函数的图像，写出下列不等式的解集：
（1）tanx≥-1;
(2)tan2x≤-1.
解：作出y=tanx的图像，如图.
（1）∵tanx≥-1,tan()=-1,在(,)内，满足条件的x为≤x<,由正切函数的图像，可知满足此不等式的x的取值集合为{x|+kπ≤x<+kπ,k∈Z}.
(2)在（,)内，tan()=-1.
∴不等式tan2x≤-1的解集由不等式
kπ<2x≤kπ
(k∈Z)确定
解得∴不等式tan2x≤-1的解集为{x|30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.下列函数中是奇函数的是（
）
A.y=-sinx
B.y=|sinx|
C.y=cosx+1
D.y=tanx-1
解析：用定义判断函数的奇偶性.一一验证可以发现只有Ａ项的函数为奇函数.
答案：A
2.若tanx=且x∈（，），则x等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由于tanx=＜0，且x∈（），
即x的终边在y轴的右侧，可知x=.
答案：B
3.若cos（π+α）=，且α∈（，0），则tan（+α）的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：cos(π+α)=-cosα=,
?∴cosα=.
又α∈（，0），∴sinα=.
∴tan（+α）=cotα=.
答案：A
4.据正切函数的图像，写出不等式tanx≥0成立的x值的集合：________________.
解析：画出y=tanx在（）上的图像.
找出tanx=时的角x=，
从而得出结果kπ+≤x＜kπ+（k∈Z）.
答案：{x|kπ+≤x＜kπ+（k∈Z）
5.化简：.
解：原式==-1.
6.已知α是第二象限角，且cos（α)=，求的值.
解：原式=，
∵cos(α-)=sinα=，且α是第二象限的角，
∴cosα=.
∴原式=.
7.证明.
证明：左边=
=,
右边=,
左边=右边，∴原等式成立.
8.请利用单位圆中的三角函数线，完成下面两个问题：
（1）当0＜x＜时，tanx与x的大小关系；
（2）方程tanx=x在＜x＜内有解吗？如有，有几个解？
解：（1）如图(1),x=，角x的正切线为AT，
即tanx=AT，由Ｓ扇形AOP＜Ｓ△OAT，即OA·APx（0（2）由于y=x与y=tanx为奇函数，由（1）的结论，得当又x=0是方程x=tanx的解，因此方程x=tanx在（）内有唯一的解，即x=0.
9.画出函数y=tanx+|tanx|的图像，并简述其主要性质.
解：∵y=tanx，当x∈(,0)时,y<0；当x∈［0，）时，y≥0,∴当x∈()时，
y=tanx+|tanx|=其定义域为{x|x∈R,x≠kπ+,k∈Z}.值域为［0，+∞）；周期为T=π；区间（,kπ］（k∈Z）既不是增区间也不是减区间，其中［kπ,)(k∈Z)为单调递增区间，其图像如图1.2
角的概念的推广
自我小测
1．下列命题是真命题的是( )
A．三角形的内角必是第一、二象限内的角
B．第一象限内的角必是锐角
C．不相等的角的终边一定不相同
D．{α|α＝k×360°±90°，k∈Z}＝{β|β＝k×180°＋90°，k∈Z}
2．若角α是第二象限角，则角2α的终边不可能在( )
A．第一、二象限
B．第二、三象限
C．第三、四象限
D．第一、四象限
3．已知角α是第四象限角，则角是( )
A．第一或第三象限角
B．第二或第三象限角
C．第一或第四象限角
D．第二或第四象限角
4．如图，终边落在阴影部分的角的集合是( )
A．{α|－45°≤α≤120°}
B．{α|120°≤α≤315°}
C．{α|－45°＋k×360°≤α≤120°＋k×360°，k∈Z}
D．{α|120°＋k×360°≤α≤315°＋k×360°，k∈Z}
5．已知集合A＝{x|x＝k×180°＋(－1)k×90°，k∈Z}，B＝{x|x＝k×360°＋90°，k∈Z}，则A，B的关系为( )
A．BA
B．AB
C．A＝B
D．A B
6．若角α的终边为第二象限的角平分线，则角α的集合为__________．
7．已知点P(0，－1)在角α的终边上，则所有角α组成的集合S＝___________________.
8．与2
014°角终边相同的最小正角是__________，与2
014°角终边相同的绝对值最小的角是__________．
9．已知角α＝－1
910°.
(1)把角α写成β＋k×360°(0°≤β＜360°，k∈Z)的形式，并判定它是第几象限角；
(2)求角θ，使角θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.
10．设集合A＝{α|k×360°＋60°＜α＜k×360°＋300°，k∈Z}，B＝{β|k×360°－210°＜β＜k×360°，k∈Z}，求A∩B，A∪B.
参考答案
1．解析：若三角形的内角为90°，它就不是第一、二象限内的角，故A错误；390°是第一象限内的角，但它不是锐角，故B错误；390°≠30°，但390°角与30°角的终边相同，故C错误；终边在y轴上的角的集合既可表示成{α|α＝k×360°±90°，k∈Z}，也可表示成{β|β＝k×180°＋90°，k∈Z}，故D正确．
答案：D
2．解析：∵角α是第二象限角，
∴k×360°＋90°＜α＜k×360°＋180°，k∈Z.
∴2k×360°＋180°＜2α＜2k×360°＋360°，k∈Z.
∴2α可能是第三或第四象限角或是终边在y轴的非正半轴上的角，
即其终边不可能在第一、二象限．
答案：A
3．解析：∵角α是第四象限角，
∴k×360°－90°＜α＜k×360°，k∈Z，
∴k×180°－45°＜＜k×180°，k∈Z.
∴角是第二或第四象限角．
答案：D
4．解析：注意角的范围不能局限于0°～360°，故在－360°～360°范围内，阴影部分表示－45°到120°范围内的角(包括－45°和120°)．又终边相同的角一般相差360°的整数倍，于是所求角的集合为选项C中的集合．故选C.
答案：C
5．解析：集合A中，当k为奇数时，x＝k×180°－90°，终边落在y轴的非负半轴上；当k为偶数时，x＝k×180°＋90°，终边落在y轴的非负半轴上；集合B表示的角的终边落在y轴的非负半轴上．故A＝B.
答案：C
6．解析：∵角α的终边为第二象限的角平分线，
∴角α的集合为{α|α＝135°＋k×360°，k∈Z}．
答案：{α|α＝135°＋k×360°，k∈Z}
7．解析：易知点P在y轴的负半轴上．又270°角的终边在y轴的负半轴上，则S＝{α|α＝270°＋k×360°，k∈Z}．
答案：{α|α＝270°＋k×360°，k∈Z}
8．解析：与2
014°角终边相同的角为2
014°＋k×360°(k∈Z)．
当k＝－5时，214°为最小正角；
当k＝－6时，－146°为绝对值最小的角．
答案：214° －146°
9．解：(1)设α＝－1
910°＝β＋k×360°(k∈Z)，
则β＝－1
910°－k×360°(k∈Z)．
令－1
910°－k×360°≥0°，解得k≤－＝－5.
故k的最大整数解为－6，相应的β＝250°.
于是α＝250°－6×360°，它是第三象限角．
(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，
取k＝－1，－2时，得到符合－720°≤θ＜0°的角θ为250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
故θ＝－110°或－470°.
10．解：在直角坐标系内表示集合A，B，如图所示．
∴A∩B＝{α|150°＋k×360°＜α＜k×360°＋300°，k∈Z}，A∪B＝{β|60°＋k×360°＜β＜k×360°＋360°，k∈Z}．1.6
余弦函数
自主广场
我夯基
我达标
1.cos600°等于（
）
A.-
B.
C.-
D.
思路解析：利用诱导公式cos600°＝cos(360°+240°)＝cos240°=-cos60°=-.
答案：A
2.已知角α的终边上一点P(1,-2),则sinα+cosα等于（
）
A.-1
B.
C.-
D.-
思路解析：直接利用正弦、余弦函数的定义,分别求出sinα，cosα即可.
答案：C
3.如果α+β=180°，那么下列等式中成立的是（
）
A.cosα=cosβ
B.cosα=-cosβ
C.sinα=-sinβ
D.以上都不对
思路解析：利用诱导公式π-α即可推导.cosα＝cos(180°-β)=-cosβ.
答案：B
4.(2006山东临沂二模，理1)cos(-)+sin(-)的值为（
）
A.
B.
C.
D.
思路解析：cos(-)+sin(-）
=cos-sin=cos-sin=-cos+sin=.
答案：C
5.若，则角α的终边在（
）
A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第二、三象限
D.第一、四象限
思路解析：由题意，得cosα＜0，则角α的终边在第二、三象限.
答案：C
6.化简：+sin(-θ).
思路分析：由三角函数诱导公式，结合同角基本关系化简即可.
解：原式=
=
=
=
=1-sinθ.
我综合
我发展
7.已知y=2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是_________________.
思路解析：如图1-5-10所示，根据余弦函数图像的对称性知y=2cosx(0≤x≤2π)的图像与直线y=2围成的封闭图形的面积等于△ABC的面积.
图1-5-10
由题意，得△ABC的面积为×2π×4=4π，
则所求封闭图形的面积是4π.
答案：4π
8.求下列函数值域：
（1）y=2cos2x+2cosx+1；
（2）y=.
思路分析：利用换元法转化为求二次函数等常见函数的值域.
解：（1）y=2(cosx+)2+，将其看作关于cosx的二次函数，注意到-1≤cosx≤1，
∴当cosx=-时，ymin=；当cosx=1时，ymax=5.
∴y∈［,5］.
（2）由原式得cosx=.
∵-1≤cosx≤1，
∴-1≤≤1.
∴y≥3或y≤.
值域为{y|y≥3或y≤}.
9.求函数y=lgsin(-2x)的最大值.
思路分析：将sin(-2x)化简为-cos2x，然后利用对数函数单调性及余弦函数的有界性求得最大值.
解：sin(-2x)=sin(2π+-2x)=sin(-2x）=-cos2x.
∴y=lgsin(-2x)=lg(-cos2x).
又∵0＜-cos2x≤1，
∴ymax=lg1=0，
即函数y=lgsin(-2x)的最大值为0.
10.已知0≤x≤，求函数y=cos2x-2acosx的最大值M（a）与最小值m（a）.
思路分析：利用换元法转化为求二次函数的最值问题.
解：设cosx=t，
∵0≤x≤，∴0≤t≤1.
∵y=t2-2at=(t-a)2-a2，
∴当a＜0时，m(a)=0,M(a)=1-2a;
当0≤a＜时，m(a)=-a2,M(a)=1-2a；
当≤a＜1时，m(a)=-a2,M(a)=0；
当a≥1时，m(a)=1-2a,M(a)=0.1.8
函数y=Asin（ωxφ）的图象
课后导练
基础达标
1.函数y=3sin3x的图象可看成是y=3sinx的图象按下列哪种变换得到（
）
A.横坐标不变,纵坐标变为原来的倍
B.纵坐标不变,横坐标变为原来的倍
C.横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍
D.纵坐标不变,横坐标变为原来的3倍
解析:ω的变化是纵坐标不变,横坐标变为原来的()倍.
答案:B
2.要得到y=sin2x的图象，只要将函数y=sin（2x-)的图象（
）
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
解析:y=sin2x=sin［2(x+)-］,
∴只需将y=sin(2x-)左移个单位.
答案:C
3.要得到y=2sin2x的图象只要把y=sin2x的图象按下列哪种变换得到（
）
A.横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍
B.横坐标不变,纵坐标变为原来的倍
C.纵坐标不变,横坐标变为原来的倍
D.纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍
解析:y=sinx变为y=Asinx,只要横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍.
答案:A
4.把函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，则所得图象的函数是（
）
A.y=sin(4x+π)
B.y=sin(4x+)
C.y=sin4x
D.y=sinx
解析:将y=sin(2x+)向右平移，得y=sin［2(x-)+］，即y=sin2x的图象，再把y=sin2x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，就得到y=sin2(2x)，即y=sin4x的图象.
答案:C
5.已知函数y=f(x)，将f(x)的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿着x轴向左平移个单位，这样得到的是y=sinx的图象.那么函数y=f(x)的解析式是（
）
A.f(x)=sin(-)
B.f(x)=sin(2x+)
C.f(x)=sin(+)
D.f(x)=sin(2x-)
解析:对函数y=sinx的图象作相反的变换，利用逆向思维寻求应有的结论.把y=sinx的图象沿x轴向右平移个单位，得到解析式y=sin(x-)的图象，再使它的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，就得到解析式y=sin(2x-)的图象.
答案：D
6.(1)要得到函数y=sinx的图象,需把函数y=sinx的图象上所有点的________坐标________到原来的________倍.________坐标不变.
(2)要得到函数y=cosx的图象,需把函数y=3cosx图象上所有点________的坐标________到原来的________倍,_______坐标不变.
答案:(1)纵
伸长
2
横
(2)纵
缩短
横
7.把函数y=sin(x+)的图象上所有的点向_______平行移动____________个长度单位,可得到函数y=sin(x+)的图象.
答案:右
8.将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,那么新图象对应的函数的值域是_____________,周期是_________________.
答案:［-,］
π
9.求函数y=sin(2x-)的对称中心和对称轴方程.
解析:
设A=2x-,则函数y=sinA对称中心为(kπ,0),
即2x-=kπ,x=+,
对称轴方程为2x-=+kπ,x=+.
所以y=sin(2x-)的对称中心为(+,0),对称轴为x=+(k∈Z).
10.函数y=3sin(2x+)表示一种简谐振动，求它的振幅、周期、频率、相位、初相.
解析:振幅A=3,ω=2,∴周期T===π.
频率f=,相位为2x+,令x=0,得初相φ=.
综合运用
11.把函数y=sin(ωx+φ)（其中φ为锐角）的图象向右平移个单位，或向左平移个单位都可使对应的新函数成为奇函数.则原函数的一条对称轴方程是（
）
A.x=
B.x=
C.x=-
D.x=
解析:将函数y=sin(ωx+φ)的图象向右平移个单位后，
得函数y=sin［ω(x-)+φ］,为奇函数.
根据奇函数的性质，由函数的定义域为R，知sin［ω(0-)+φ］=0（即f(0)=0）.
∴ω(-)+φ=0,φ=.
将函数y=sin(ωx+φ)向左平移个单位后，得
函数y=sin［ω(x+)+φ］,也是奇函数，
所以sin［ω(0+)+φ］=0，
将φ=代入，得sin(+)=0.
∴ω=kπ,ω=2k(k∈Z).
∵φ∈(0,),
∴ω=2,且φ=.
又正弦函数图象的对称轴过取得最值的点，
设2x+=kπ+，
则x=+，
当k=1时，x=，
即x=是函数y=sin(2x+)的一条对称轴方程.
答案:D
12.(2005福建高考)
函数y=sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如右图,则（
）
A.ω=,φ=
B.ω=,φ=
C.ω=,φ=
D.ω=,φ=
解析:=2,
∴T=8.ω==.
将点（1，1）代入y=sin（x+φ）中.
1=sin(+φ),
∴+φ=,φ=.
答案:C
13.右图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，那么f(x)可以写成（
）
A.sin(1+x)
B.sin(-1-x)
C.sin(x-1)
D.sin(1-x)
解析:
方法一：由题图可以看出，f(x)的图象是由y=sinx的图象向左平移π-1个单位而得到的，所以在y=sinx中，把x换成［x+(π-1)］就得到f(x)，即
f(x)=sin［x+(π-1)］=sin［π+(x-1)］=-sin(x-1)=sin(1-x).
方法二：f(x)的图象也可以看成是由y=sinx
的图象向右平移π+1个单位而得到的，即在sinx中，把x换成［x-(π+1)］就得到f(x)，所以
f(x)=sin［x-(π+1)］=sin［-π+(x-1)］=-sin［π-(x-1)］=-sin(x-1)=sin(1-x).
方法三：由图可以看出f(1)=0,f(0)>0，从给出的四个选项中，同时满足这两个条件的函数不是sin(1+x)，因为sin(1+1)≠0；也不是sin(-1-x)，因为sin(-1-1)≠0；也不是sin(x-1)，因为sin(0-1)=sin(-1)=-sin1<0.而sin(1-x)同时满足sin(1-1)=sin0=0和sin(1-0)=sin1>0.
答案：D
14.(2005天津高考)
函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|＜,x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式是（
）
A.y=-4sin(x+)
B.y=4sin(x-)
C.y=-4sin(x-)
D.y=4sin(x+)
解析:特殊点法.把(-2,0),(2,-4)代入A、B、C、D检验可知.
答案：A
15.如下图，
已知正弦函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0)的一个周期的图象，则函数y的解析式为___________.
解析：依图和题意知
T=(,
∴T=3π,
即ω==.
当x=时,y=0；
当x=时,y=A；
当x=0时，y=-.
∴
故y=2sin(x+).
答案：y=2sin(x+)
拓展探究
16.已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y=f(t).下表是某日各时的浪高数据：
t(小时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y=f(t)的曲线可近似地看成函数y=Acosωt+b.
（1）根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内上午8时至晚上20时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动
解析：
（1）∵A==，而A+b=1.5,
∴b=1.再据T=12，得ω=.
∴y=cost+1.
（2）由y>1cost+1>1,
∴cost>0.∴2kπ-∴12k-3正弦函数的图像与性质
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.函数y=1-sinx,x∈［0,2π］的大致图像是（
）
图1-4-2
解析：对于本题可按如下程序进行思考：
首先作出（或想象出）y=sinx,x∈［0,2π］的图像，如下图所示：
然后作出（或想象出）y=-sinx,x∈［0，2π］的图像（请同学自己画出）；最后作出（或想象出）y=-sinx+1的图像（请同学自己画出).
易得图像应为B.
本题亦可验证（0，1）、（，0）两点.
答案：B
2.在［0，2π］上画出函数y=sinx-1的简图.
解析：（1）第一步：按五个关键点列表；
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
-1
0
sinx-1
-1
0
-1
-2
-1
第二步：描点；
第三步：画图，即用光滑的曲线将五个点连结起来.
3.分析y=sinx-1及y=2sinx的图像与y=sinx的图像在［0，2π］上的位置关系.
解：（1）在同一坐标系中画出y=sinx-1与y=sinx的图像.
通过图像比较，y=sinx-1的图像是将y=sinx的图像整个向下平行移动了1个单位得到的.
（2）在同一坐标系中，画出y=2sinx与y=sinx的图像.
通过图像很容易看出，将y=sinx的图像上所有的点的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的2倍，就可以得到y=2sinx的图像.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.函数y=sin（-x），x∈［0，2π］的简图是（
）
图1-4-3
解析：y=f(x)的图像与y=f(-x)的图像关于y轴对称，先作出y=sinx的图像，再作此图像关于y轴的对称图像即得y=sin(-x)的图像.
答案：B
2.函数y=4sinx的图像（
）
A.关于y轴对称
B.关于直线x=对称
C.关于原点对称
D.关于直线x=π对称
解析：先作出y=4sinx的图像，通过图像可以看出y=4sinx的图像关于原点对称.
答案：C
3.函数y=-sinx图像上五个关键点的坐标是____________.
解析：函数y=-sinx与y=sinx，当x取同一值时，函数值互为相反数
答案：（0，0），（，-1），（π，0），（，1），（2π，0）
4.作出函数y=-sinx，x∈［-π，π］的简图，并回答下列问题：
（1）观察函数图像，写出满足下列条件的x的区间：①sinx＞0；②sinx＜0.
（2）直线y=与y=-sinx，x∈［-π,π］的图像有几个交点？
解：利用五点法作图，
（1）根据图像可知:图像在x轴上方的部分sinx>0，在x轴下方的部分sinx<0，所以当x∈（-π，0）时，sinx>0；当x∈（0，π）时，sinx<0.
（2）画出直线y=，得知有两个交点.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.函数y=x+sin|x|,x∈［-π,π］的大致图像是图1-4-4中的哪一项？（
）
图1-4-4
解析：首先y=x+sin|x|在x∈［-π,π］上递增；其次y=x+sin|x|不是奇函数，故选C
答案：C
2.已知y=sinx(≤x≤)的图像和直线y=1围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是_____________.
解析：如图:
y=sinx(≤x≤)的图像与直线y=1围成的封闭图形的面积为()×2÷2=2π.
答案：2π
3.(2005高考上海卷，理10文11)函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈［0,2π］的图像与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是___________.
解析：∵f(x)=
∴y=f(x)图像如图，
故若y=f(x)与y=k的图像有且仅有两个交点
则k的范围1答案：14.方程sinx=的根的个数为____________.
解析：这是一个超越方程，无法直接求解，考虑利用数形结合思想，转化为求函数y=的图像与函数y=sinx的图像交点个数，借助图形直观求解.
当x≥4π时，>1≥sinx，当00=，从而x>0时，有3个交点.由对称性知x<0时，也有3个交点，加上原点，一共有7个交点.
答案：7
5.画出函数y=在［0，2π］上的简图，求出y的最大值和最小值，并写出y取得最大值和最小值时x的值的集合.
解：列表：
x
0
π
2π
y=sinx
0
1
0
-1
0
y=1-1
2sinx
1
1
2
1
描点得y=在［0，2π］上的图像（如下图）.
由图可知y的最大值为，此时x的取值集合是{}；y的最小值为，此时x的取值集合是{
}.
6.利用正弦函数的图像，求满足条件sinx≥的x的集合.
解：作出正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图像.
由图形可以得到，满足条件的x的集合为［+2kπ,+2kπ］,k∈Z.
7.根据正弦函数的图像求满足sinx≥的x的范围.
解：首先在同一坐标系内作出函数y=sinx与y=的图像
然后观察长度为2π（一个周期）的一个闭区间内的情形，如观察［0，2π］看到符合sinx≥的x∈［，］.
最后由正弦函数的周期为2kπ(k∈Z,k≠0)，得x∈［2kπ+,2kπ+］(k∈Z).
8.作函数y=|sinx|与y=sin|x|的图像.
解：y=|sinx|=其图像为
y=sin|x|=
其图像为1.6余弦函数的图像和性质
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.使cosx=有意义的m的值为（
）
A.m≥0
B.m≤0
C.-1＜m＜1
D.m＜-1或m＞1
解析：要保证式子有意义，要求等号后面的表达式的绝对值在区间［-1，1］上，即||≤1.解得m≤0.
答案：B
2.求下列三角函数值：
（1）；
（2）cos（-2
640°）+sin1
665°.
解：（1）.
（2）cos（-2
640°）+sin1
665°=cos［(-15)×180°+60°］+sin(9×180°+45°)
=-cos60°-sin45°=.
3.求函数y=cos2x-3cosx+2的最小值.
解：令u=cosx,则y=cos2x-3cosx+2可变为y=u2-3u+2，
即y=(u-)2-,u∈［-1,1］.
当u∈［-1,1］时，函数递减，
∴当u=1时，函数y有最小值0.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.如果|cosx|=cos（x+π），则x的取值集合是（
）
A.+2kπ≤x≤+2kπ（k∈Z）
B.+2kπ≤x≤+2kπ（k∈Z）
C.+2kπ≤x≤+2kπ（k∈Z）
D.（2k+1）π≤x≤2（k+1）π（k∈Z）
解析：cos（x+π）=-cosx=|cosx|，
∴cosx≤0.故+2kπ≤x≤+2kπ（k∈Z).
答案：C
2.y=4cosx在x∈［-π，π］上的单调性是（
）
A.在［-π，0］上递增，在［0，π］上递减
B.在［］上递增，在［］和［］上都递减
C.在［0，π］上递增，在［-π，0］上递减
D.在［，π］和［-π，］上递增，在［］上递减
解析：画出y=cosx在［-π，π］上的简图，易发现y=4cosx在［-π，0］上递增，在［0，π］上递减.
答案：A
3.y=cos（x+3π）是（
）
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
解析：由于y=cos（3π+x）=cos（π+x）=-cosx，且具备-cos（-x）=-cosx，
∴y=cos（3π+x）为偶函数.
答案：B
4.函数y=（x∈R）的最大值是（
）
A.
B.
C.3
D.5
解析：由y=(x∈R），得cosx=.∴||≤1.∴≤y≤3.
答案：C
5.求函数y=1+cosx，x∈［0，2π］的图像与直线y=的交点坐标.
解法一：先画出y=1+cosx在［0，2π］上的图像与直线y=的图像，观察图像即得交点坐标为（）、（）.
解法二：解方程组
得cosx=.
∵x∈［0,2π］,
∴x1=,x2=.
故交点坐标为（，）、（）.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.函数y=2sin2x+2cosx-3的最大值是（
）
A.-1
B.
C.
D.-5
解析：y=-2（cosx-）2-,
又∵-1≤cosx≤1，∴当cosx=时，ymax=.
答案：C
2.下列各式：①sin185°；②cos504°；③sin（）；④cos8.6π；⑤sin273°·cos125°，其中为正值的个数为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：逐一验证，并将负角化正、大角化小.根据最终换成的角所在的象限确定其值的正负，可知⑤为正值.
答案：A
3.下列命题中正确的是（
）
A.函数y=sinx在（0，π）上递增
B.函数y=cosx在（）上递减
C.函数y=sinx在（）上递增
D.函数y=cosx在（π，）上递减
解析：处理三角函数的单调性问题，一般都借助它们的图像.联想或画出y=sinx和y=cosx的图像，即可判定C正确.
答案：C
4.在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的取值范围是（
）
A.（）∪（π，）
B.（）
C.（）
D.（）∪（）
解法一：作出［0，2π）区间上的正弦和余弦函数图像，从图像中判断.
解法二：在单位圆中作出第一、三象限的角平分线，由正弦线和余弦线的定义判断.
答案：C
5.若函数y=sinx和y=cosx都是减函数，则x是哪个象限的角(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：由y=cosx-1，且x∈R，可知
ymax=M=，ymin=m=
.因而M+m==-2.
答案：-2
6.设M和m分别是函数y=cosx-1的最大值和最小值，则M+m=____________.
解析：只需在同一坐标系中画出y=sinx和y=cosx的简图，就可以非常直观地得到?答案.
答案：B
7.cos（-1
650°）+sin570°的值为_____________.
解析：原式=cos1
650°+sin570°
=cos（4×360°+210°）+sin（360°+210°）
=cos210°+sin210°
=cos（180°+30°）+sin（180°+30°）
=-cos30°-sin30°=.
答案:
8.试问方程=cosx是否有实数解？若有，请求出实数解的个数；若没有，请说明理由.
解：可借助函数y=和y=cosx的图像，通过判断图像是否有交点来判定方程是否有实数解.如有交点，可通过讨论交点数来获得实数解的个数.
如图所示，y=的图像关于原点O对称，y=cosx
的图像关于y轴对称，所以y轴两侧的交点是成对出现的.在（0，+∞）上研究y=和y=cosx图像交点的情况（参考图）.
因为cos100≈0.86<1，且当x>100时，y=是增函数，所以当x≥100时，y=≥1.
又31π<100<32π，从图像中可得知直线?y=与曲线y=cosx在（0，30π］中从0开始每相隔2π会有两个交点，所以，在（0，30π］上共有30个交点，在（30π，31π］上有一个交点.总之，当x>0时有31个交点.
所以函数y=和y=cosx的图像总共有2×31=62个交点，即方程=cosx的解一共有62个.
9.求函数y=+lg（36-x2）的定义域.
解：欲求函数定义域，则由
取k=-1、0、1，可分别得到
x∈（-6，］或x∈［］或x∈［），
即所求的定义域为x∈（］∪［］∪［）.1.5
正弦函数
自主广场
我夯基
我达标
1.(江苏高考卷，1)已知a∈R，函数f(x)=sinx-|a|,x∈R为奇函数，则a等于（
）
A.0
B.1
C.-
1
D.±1
思路解析：方法一:由题意，可知f(-x)=-f(x)，得a=0；
方法二:函数的定义域为R,又f(x)为奇函数,故其图像必过原点,即f(0)=0,所以得a=0.
答案：A
2.设f(x)(k∈R)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(1)=-1，则f(11)的值是（
）
A.-1
B.1
C.2
D.-2
思路解析：由f(x)为奇函数，得f(-x)＝-f(x)，f(-1)＝-f(1)＝1.又f(x)的周期为3，故f(11)＝f(3×4-1)＝f(-1)＝1.
答案：B
3.若sin（π-α）=，则sin（-5π+α）的值为（
）
A.-
B.
C.±
D.0
思路解析：由sin（π-α）=sinα，知sinα=，sin（-5π+α）=sin（-6π+π+α）=sin（π+α）=-sinα，∴sin（-5π+α）=.
答案：B
4.已知sinα=，且α是第三象限的角，P（m，n）是角α终边上一点，且|OP|=，则m-n等于（
）
A.2
B.-2
C.4
D.-4
思路解析：由题意，得m2+n2=10.
解得或（舍去）.m-n=-1-（-3）=2.
答案：A
5.设sinx=t-3，x∈R，则t的取值范围是（
）
A.R
B.（2，4）
C.（-2，2）
D.［2，4］
思路解析：当x∈R时，-1≤sinx≤1，
∴-1≤t-3≤1.∴2≤t≤4.
答案：D
6.若sinx＞，则x的取值满足（
）
A.k·360°+60°＜x＜k·360°+120°（k∈Z）
B.60°＜x＜120°
C.k·360°+15°＜x＜k·360°+75°（k∈Z）
D.k·180°+30°＜x＜k·180°+150°（k∈Z）
思路解析：可借助于正弦函数图像来解决.画出正弦曲线草图，可确定满足sinx＞的x应是k·360°+60°＜x＜k·360°+120°（k∈Z）.
答案：A
7.(安徽高考卷，理15)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=，若f(1)=-5,则f［f(5)］=__________________.
思路解析：∵f(x+2)=,∴f(x+4)==f(x).
∴函数f(x)是周期函数，4是一个周期.
∴f(5)=f(1+4)=f(1)=-5.
∴f［f(5)］=f(-5)=f(-1)==.
答案：
8.已知角α的终边经过点P（3，4t），t≠0，且sinα=，求实数t的值.
思路分析：应用三角函数的定义求解.
解：∵sinα=＜0，
∴α的终边在第三、四象限.
又∵点P（3，4t）在角α的终边上，
∴t＜0.
由题意得sinα=，
所以有=，
解方程得t=.
我综合
我发展
9.(上海高考卷，理10)函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈［0,2π］的图像与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_______________.
思路解析：f(x)=
图像如图1-4-8所示，由图可知，若y=f(x)与y=k图像有且仅有两个交点，则k的范围是1＜k＜3.
图1-4-8
答案：1＜k＜3
10.设x∈(0,π),则的最小值是__________________.
思路解析：利用换元法转化为求常见函数的最值.设sinx=t，∵x∈(0,π),∴0＜t≤1.
∴.
可以证明当0＜t≤1时，函数y=是减函数.
∴当t=1时，y取最小值，即的最小值是.
答案：
11.判断方程sinx=的根的个数.
思路分析：这是一个超越方程，无法直接求解，考虑数形结合，转化为函数y=的图像与函数y=sinx的图像交点个数，借助图形直观求解.
解：如图1-4-9所示，当x≥4π时，≥＞1≥sinx，当0＜x＜4π时，sin=1＞=，从而x＞0时，有3个交点，由对称性x＜0时，也有3个交点，加上原点，一共有7个交点.所以方程的根有7个.
图1-4-9
12.若角β的终边在经过点P(,-1)的直线上，写出角β的集合；当β∈(-360°,360°)时，求角β.
思路分析：先求出在［0°,360°）内的角β，再扩充到任意角.
解：∵P(,-1)，
∴x=,y=-1,r=
∴sinβ==-＜0.
又∵P在第四象限，
∴角β的终边在第二或四象限.
在［0°,360°)内，β=330°或150°，
∴角β的集合是{β|β=k·180°+150°,k∈Z｝.
令-360°＜k·180°+150°＜360°，
得＜k＜．
又∵k∈Z，∴k=-2,-1,0,1.
∴当β∈(-360°，360°）时，
β=-210°，-30°，150°，330°.1.2
角的概念的推广
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.任意角的形成：角可以看成是_____________而成的，射线的端点叫做_____________，旋转开始的射线叫做_____________，旋转终止的射线叫做_____________，按逆时针方向旋转形成的角叫做_____________，按顺时针方向旋转形成的角叫做_____________，没有作任何旋转时，这样的角叫做_____________.
答案：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置
角的顶点
角的始边
角的终边
正角
负角
零角
2.在体操、花样滑冰、跳台跳水比赛中，常常听到“转体三周”“转体两周半”等说法，像这种动作名称表示的角是多大？
解：如果逆时针转体，分别是360°×3=1
080°和360°×2.5=900°；若顺时针转体，则分别为-1
080°和-900°.
3.在0°—360°之间，求出与下列各角终边相同的角，并判定下列各角是哪个象限的角.
（1）908°28′；
（2）-734°.
解：（1）908°28′=188°28′+2×360°，则188°28′即为所求的角，因为它是第三象限角，从而908°28′也是第三象限的角.
（2）-734°=346°-3×360°，则346°即为所求的角，因为它是第四象限角，从而-734°也是第四象限角.
4.在-720°—720°之间，写出与60°角终边相同的角的集合S.
解：与60°终边相同的角的集合为{α|α=60°+k·360°,k∈Z}，
令-720°≤60°+k·360°<720°,
得k=-2,-1,0,1，相应的角为-660°,-300°,60°,420°，
从而S={-660°,-300°,60°,420°}.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.下列说法中,正确的有（
）
①第一象限的角一定是锐角
②终边相同的角一定相等
③相等的角终边一定相同
④小于90°的角一定是锐角
⑤钝角的终边在第二象限
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析：终边相同的角，有的正有的负，不一定相等；锐角指的是在（0°，90°）内的正角；小于90°的角可以是负角，所以二者不同.第一象限的角是指终边落在第一象限的角，它可正可负，可大可小，故并非仅是锐角，所以①不正确；同理，可知②④均不正确；③⑤正确.
答案：B
2.下列各角中属于第二象限的是（
）
A.-290°
B.585°
C.-950°
D.182°
解析：将角写成k·360°+α（k∈Z）（0°≤α＜360°）（k∈Z）的形式，α与它在同一象限.将超过［-360°，360°］范围内的角化为在这个范围内即可判断.易知-290°在第一象限，182°在第三象限，585°=360°+225°，在第三象限，-950°=-720°-230°在第二象限.
答案：C
3.若A={α|α=k·360°，k∈Z}，B={α|α=k·180°，k∈Z}，C={α|α=k·90°，k∈Z}，则下列关系正确的是（
）
A.ACB
B.BAC
C.CBA
D.ABC
解析：A中，α=k·360°，α的终边落在x轴非负半轴上；B中，α=k·180°，则α的终边落在x轴上；C中，α=k·90°，则α的终边落在坐标轴上.故可判断ABC.
答案：D
4.在0°—360°范围内，找出与下列各角终边相同的所有角，并判断它们是第几象限的角.
（1）-150°；
（2）650°；
（3）-950°15′.
解：（1）因为-150°=-360°+210°，所以在0°—360°范围内，与角-150°终边相同的角是210°角，它是第三象限的角.
（2）因为650°=360°+290°，所以在0°—360°范围内，与角650°终边相同的角是290°角，它是第四象限的角.
（3）因为-950°15′=-3×360°+129°45′，所以在0°—360°范围内，与角-950°15′终边相同的角是129°45′角，它是第二象限的角.
5.（1）写出与15°角终边相同的角的集合；
（2）在（1）的集合中，将适合不等式-1
080°＜α＜360°的元素α求出来.
解：（1）与15°角终边相同的角的集合是M={α|α=k·360°+15°，k∈Z}.
（2）在M中适合-1
080°<α<360°的元素是：
取k=-3时，-3×360°+15°=-1
065°;
取k=-2时，-2×360°+15°=-705°;
取k=-1时，-1×360°+15°=-345°;
取k=0时，0×360°+15°=15°,
即元素-1
065°，-705°，-345°，15°为所求.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.若α是第二象限的角，则180°-α是（
）
A.第一象限的角
B.第二象限的角
C.第三象限的角
D.第四象限的角
解析：α与-α的终边关于x轴对称，又α是第二象限的角，所以-α是第三象限的角.而-α与180°-α的终边关于原点对称，∴180°-α为第一象限的角.或者可以直接由已知得k·360°+90°＜α＜k·360°+180°（k∈Z），∴-k·360°-180°＜-α＜-k·360°-90°（k∈Z）.∴-k·360°＜180°-α＜-k·360°+90°（k∈Z）.确定180°-α是第一象限的角.
答案：A
2.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z}，B={β|-180°＜β＜180°},则A∩B等于（
）
A.{-36°,54°}
B.{-126°,144°}
C.{-126°,-36°,54°,144°}
D.{-126°,54°}
解析：在集合A中，令k取不同的整数，找出既属于A又属于B的角度即可.k=-2,-1,0,1,2,3，验证可知A∩B={-126°,-36°,54°,144°}.
答案：C
3.如果α与x+45°具有同一条终边，角β与x-45°具有同一条终边，那么α与β间的关系是（
）
A.α+β=0
B.α-β=0
C.α+β=k·360°,k∈Z
D.α-β=k·360°+90°,k∈Z
解析：由题意，α=k·360°+x+45°,k∈Z；β=n·360°+x-45°,n∈Z.两式相减得α-β=(k-n)·360°+90°,(k-n)∈Z.
答案：D
4.在0°—360°范围内，与-45°角终边相同的角是____________.
解析：由于-45°是第四象限的角，所以0°—360°之间终边与之相同的角是315°.
答案：315°
5.时针走过2小时40分，则分针转过的角度是____________.
解析：时针走过2小时40分钟，则分针走过周，所以转过的角度为×360°=-960°.
答案：-960°
6.(1)终边在第一、三象限角平分线上的角的集合为____________；
(2)终边在第二、四象限角平分线上的角的集合为____________.
解析：（1）终边落在第一象限角的平分线上的角为{α|α=k·360°+45°,k∈Z}；
终边落在第三象限角的平分线上的角为{α|α=k·360°+225°,k∈Z}.
所以终边落在第一、三象限角的平分线上的角的集合为
S={α|α=k·360°+45°,k∈Z}∪{α|α=k·360°+225°,k∈Z}
={α|α=k·360°+45°或α=k·360°+225°,k∈Z}
={α|α=2k·180°+45°或α=(2k+1)·180°+45°,?k∈Z}
={α|α=n·180°+45°,n∈Z}.
（2）同理，推得落在第二、四象限角平分线上的角的集合为{α|α=n·180°+135°,n∈Z}.
答案：（1）{α|α?n·180°+45°,n∈Z}
（2）{α|α=n·180°+45°,n∈Z}
7.射线OA绕端点O逆时针旋转270°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转一周到达OC位置，求∠AOC的大小.
解：由题意知∠AOB=270°，∠BOC=-360°，所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=270°+（-360°）=-90°.
8.已知A={锐角}，B={0°到90°的角}，C={第一象限角}，D={小于90°的角}.求A∩B,A∪C，C∩D，A∪D.
解：因为A={α|0°<α<90°};B={α|0°≤α<90°};C={α|k·360°<αD={α|α<90°},
所以A∩B={α|0°<α<90°};A∪C={α|?k·360°<α<α9.已知α是第一象限角，试确定，2α终边的位置.
解：(1)由已知k·360°<αk·180°<∴k为偶数时，是第一象限角，k为奇数时，为第三象限角，即为第一或第三象限角.
如图（1）中阴影部分.
（2）由已知得2k·360°<2α<2k·360°+180°(k∈Z).
故2α的终边在第一或第二象限或y轴的非负半轴上.如图（2）中阴影部分
10.若角α的终边经过点P（-1，），写出角α的集合.
解：如图，AO=1，AP=，所以∠AOP=60°.所以角α的集合为{α|α=240°+k·360°，k∈Z}.
11.有一个小于360°的正角，这个角的6倍的终边与x轴的正半轴重合，求这个角.
解：由题意知6α=k·360°，k∈Z，所以α=k·60°，k∈Z.又因为α是小于360°的正角，所以满足条件的角α的值为60°，120°，180°，240°，300°.1.7
正切函数
（1）
自我小测
1．已知角
α的终边上有一点P(a，a)(a∈R，且a≠0)，则tan
α的值是( )
A．±1
B．1
C．－1
D．
2．函数f(x)＝tan的增区间为( )
A．(k∈Z)
B．(kπ，(k＋1)π)(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
3．若tan
θsin
θ＜0，则角θ的终边在( )
A．第一或第二象限
B．第一或第三象限
C．第二或第三象限
D．第二或第四象限
4．直线y＝a与y＝tan
x的图像的相邻两个交点的距离是( )
A．
B．π
C．2π
D．与a的值的大小有关
5．下列图形分别是①y＝|tan
x|；②y＝tan
x；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈内的大致图像，那么由a到d对应的函数关系式应是( )
A．①②③④
B．①③④②
C．③②④①
D．①②④③
6．若tan
x＋1＜0，则x的取值范围是__________．
7．若y＝tan(2x＋θ)图像的一个对称中心为，且－＜θ＜，则θ的值是__________．
8．函数f(x)＝tan
ωx(ω＞0)的图像的相邻两支截直线y＝1所得线段长为，则f的值是__________．
9．利用函数图像解不等式－1≤tan
x≤.
10．求函数y＝tan
2x的定义域、值域、单调区间、周期，并作出它在区间[－π，π]内的图像．
参考答案
1．解析：由正切函数的定义知，tan
α＝＝1.
答案：B
2．解析：由kπ－＜x＋＜kπ＋，k∈Z，得kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z.
答案：C
3．解析：由tan
θsin
θ＜0得，tan
θ＞0，sin
θ＜0或tan
θ＜0，sin
θ＞0，故角θ的终边在第二或第三象限．
答案：C
4．解析：由题意知，相邻两个交点间的距离即为一个周期的长度，故为π.
答案：B
5．解析：y＝tan(－x)＝－tan
x在上是减少的，只有图像d符合，即d对应③.
答案：D
6．解析：tan
x＋1＜0，即tan
x＜－1.
所以－＋kπ＜x＜－＋kπ，k∈Z.
答案：
7．解析：令2x＋θ＝，k∈Z，得θ＝－π(k∈Z)．
又∵θ∈，∴θ＝－或.
答案：－或
8．解析：由题意知＝，∴ω＝4，∴f＝tan＝.
答案：
9．解：作出函数y＝tan
x，x∈的图像，如图所示．
观察图像可得：在内，自变量x应满足－≤x≤.
由正切函数的周期性可知，不等式的解集为
.
10．解：(1)要使函数y＝tan
2x有意义，
只需2x≠＋kπ，k∈Z，即x≠＋，k∈Z，
∴函数y＝tan
2x的定义域为
.
(2)设t＝2x，由x≠＋，k∈Z，知t≠＋kπ，k∈Z.∴y＝tan
t的值域为(－∞，＋∞)，
即y＝tan
2x的值域为(－∞，＋∞)．
(3)由－＋kπ＜2x＜＋kπ，k∈Z，得－＋＜x＜＋，k∈Z，
∴y＝tan
2x的增区间为(k∈Z)．
(4)∵tan＝tan(2x＋π)＝tan
2x，
∴y＝tan
2x的周期为.
(5)函数y＝tan
2x在区间[－π，π]内的图像如图所示．1.4
正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式第1课时
自我小测
1．下列函数是周期函数的有( )
①y＝sin
x；②y＝cos
x；③y＝x2.
A．①③
B．②③
C．①②
D．①②③
2．设角α是第二象限角，且＝－cos，则角是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
3．点A(x，y)是－300°角终边与单位圆的交点，则的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
4．已知角α的终边经过点P(－b,4)，且cos
α＝－，则b的值为( )
A．3
B．－3
C．±3
D．5
5．已知角α的终边在射线y＝－3x(x≥0)上，则sin
αcos
α等于( )
A．－
B．－
C．
D．
6．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin
α＞0，cos
α≤0，则a的取值范围是__________．
7．设角θ分别是第二、三、四象限角，则点P(sin
θ，cos
θ)分别在第____、____、____象限．
8．已知锐角α的终边交单位圆于点P，则sin
α＝__________，cos
α＝__________.
9．已知函数f(x)的定义域是R，对任意实数x，满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,4)时，f(x)＝x2＋2x.
(1)求证：函数f(x)是周期函数；
(2)求f(－7)．
10．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin
θ＝－，求y的值．
参考答案
1．C
2．解析：∵角α是第二象限角，
∴2kπ＋＜α＜2kπ＋π，k∈Z，
∴kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z.
当k＝2n(n∈Z)时，角是第一象限角；当k＝2n＋1(n∈Z)时，角是第三象限角．
∵＝－cos，∴角是第三象限角．
答案：C
3．解析：根据三角函数的定义得，x＝cos(－300°)＝cos(－360°＋60°)＝cos
60°＝，
y＝sin(－300°)＝sin(－360°＋60°)＝sin
60°＝，
故＝.
答案：A
4．解析：因为角α的终边经过点P(－b,4)，且cos
α＝－，
所以r＝，cos
α＝＝＝－，
解得b＝±3.
由题意得b＞0，所以b＝3.
答案：A
5．解析：根据三角函数的定义，在终边上取点求值．在角α的终边上取一点P(1，－3)，此时x＝1，y＝－3，
∴r＝＝.
∴sin
α＝＝－，cos
α＝＝.
∴sin
αcos
α＝－×＝－.
答案：A
6．解析：∵sin
α＞0，cos
α≤0，∴∴－2＜a≤3.
答案：－2＜a≤3
7．解析：当角θ是第二象限角时，sin
θ＞0，cos
θ＜0；当角θ是第三象限角时，sin
θ＜0，cos
θ＜0；当角θ是第四象限角时，sin
θ＜0，cos
θ＞0.
答案：四 三 二
8．解析：由题意得cos
α＝.
又∵角α为锐角，∴α＝60°，∴sin
α＝.
答案：
9．(1)证明：对任意实数x，有f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)．
∴函数f(x)是周期函数．
(2)解：由(1)知，函数f(x)的周期为4，
∴f(－7)＝f(－7＋2×4)＝f(1)．
∵当x∈[0,4)时，f(x)＝x2＋2x，
∴f(－7)＝f(1)＝3.
10．解：根据题意sin
θ＝－＜0及P(4，y)是角θ终边上一点，可知角θ为第四象限角，所以y＜0.再由三角函数的定义，得＝－，解得y＝－8.故y的值为－8.1.5
正弦函数
课后导练
基础达标
1.sin600°的值是（
）
A.
B.-
C.
D.
解析：利用诱导公式2kπ+α，将sin600°化为sin(600°-2×360°).
sin600°=sin(600°-720°)=sin(-120°)=.
答案：D
2.若sin（π-α）=，则sin（-5π+α）的值为（
）
A.
B.
C.±
D.0
解析:化简已知和结论，易找出条件和结论的关系.
由sin（π-α）=，知sinα=，
而sin（-5π+α）=sin（-6π+π+α）
=sin（π+α）=-sinα.
∴sin(-5π+α)=.
答案：B
3.角α终边有一点P（t,t）(t≠0),则sinα的值是（
）
A.
B.
C.±
D.1
解析：因P（t,t）,∴P在第一或第三象限的角平分线上，∴sinα=±.
答案：C
4.函数y=的定义域是（
）
A.［kπ-,kπ+］，(k∈Z)
B.［2kπ+,2kπ+π］，(k∈Z)
C.［kπ+,(k+1)π］，(k∈Z)
D.［2kπ,2kπ+π］，(k∈Z)
解析：由sinx≥0知2kπ≤α≤2kπ+π(k∈Z).
答案：D
5.y=属于（
）
A.{1，-1}
B.{1}
C.{-1}
D.{1，0，-1}
解析：当sinx＞0时，y=1;当sinx＜0时，y=-1,
故y∈{-1,1}.
答案：A
6.已知角θ的终边落在y=2x上，则sinα=_________.
解析：取y=2x上的点（1，2），则r=,
∴sinα=,
同理取点（-1,-2），得sinα=.
答案：±
7.若x∈［-π，π］，且sinx=，则x等于…（
）
A.或
B.-或
C.或
D.或-
解析:考虑到是特殊值，因此角x必为特殊角，可先确定出符合条件的最小正角.由于sinx=，所以x的终边落在第三或第四象限.在［-π，π］内，只有-和.
答案：D
8.设sinx=t-3，则t的取值范围是（
）
A.R
B.（2，4）
C.（-2，2）
D.［2，4］
解析：当x∈R时,-1≤sinx≤1,
∴-1≤t-3≤1,∴2≤t≤4.
答案：D
9.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=xsin(π+x)；(2)f(x)=.
解析：(1)函数的定义域为R，关于原点对称.
f(x)=xsin(π+x)=-xsinx,
f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x)
∴f(x)是偶函数.
(2)∵sinx-1≥0,∴sinx=1,x=2kπ+,(k∈Z),
函数定义域是不关于原点对称的区间，故为非奇非偶函数.
10.求下列函数的周期.
(1)y=sinx；(2)y=2sin().
解析：(1)如果令m=x,则sinx=sinm是周期函数，且周期为2π.
∴sin(x+2π)=sinx,
即sin［(x+4π)］=sinx,
∴sin12x的周期4π.
(2)∵2sin(+2π)=2sin(),
即2sin［(x+6π)-］=2sin(),
∴2sin()的周期是6π.
综合运用
11.若sinx＞，则x满足（
）
A.k·360°+60°＜x＜k·360°+120°
B.60°＜x＜120°
C.k·360°+15°＜x＜k·360°+75°
D.k·180°+30°＜x＜k·180°+150°
解析:可借助于单位圆中的正弦线或三角函数图象来解决.
画出单位圆或正弦曲线草图，可确定满足sinx＞的x应是k·360°+60°＜x＜k·360°+120°.
答案：A
12.下列函数中，周期为π、图象关于直线x=对称的函数是（
）
A.y=2sin(+)
B.y=2sin(-)
C.y=sin(2x+)
D.y=sin(2x-)
解析:sin(ωx+φ)的周期是，对称轴方程是ωx+φ=kπ+(k∈Z),由周期为π,排除A、B.将x=代入2x+得,将x=代入2x-得，故选D.
答案：D
13.用五点法作y=2sin2x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（
）
A.0，，π，，2π
B.0，，，，π
C.0，π，2π，3π，4π
D.0，，，，
解析：先写出y=sinx五点的横坐标.0，π,,2π.当2x=0时，x=0;当2x=时，x=;当2x=π时，x=;当2x=时，x=;当2x=2π时，x=π,故选B.
答案：B
14.y=|sinx|+sinx的值域是________.
解析：当sinx≥0时，y=2sinx,这时0≤y≤2;
当sinx＜0时，y=0,∴函数的值域是［0，2］.
答案：［0,2］
15.以一年为一个周期调查某商品出厂价及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价是在6元的基础上按月份随正弦曲线波动的.已知3月份出厂价最高为8元，7月份出厂价最低为4元；而该商品在商店内的销售价格是在9元的基础上也是按月份随正弦曲线波动的，并且已知3月份价格最高为10元，7月份价格最低为8元.假设某商店每月购进这种商品m件，且当月能售完，请估计哪个月份赢利最大，并说明理由.
解析：由条件得：出厂价格函数是
y1=2sin(x-)+6；
销售价格函数为y2=sin(x-)+9.
则利润函数为y=m(y2-y1).
=m［sin(x-)+9-2sin(x-)-6］=m
［3-sin(x-)］.
所以当x=7时,y=4m.
所以7月份赢利最大.
拓展探究
16.烟筒弯头是由两个圆柱形的烟筒焊在一起做成的，现在要用长方形铁皮做成一个直角烟筒弯头（两个圆柱呈垂直状），如右图，若烟筒的直径为12
cm，最短母线为6
cm，应将铁皮如何剪裁，才能既省工又省料？
解析：如下图（2）所示，两个圆柱形烟筒的截面与水平面成45°角，设O是圆柱的轴与截面的交点，过O作水平面，它与截面的交线为CD，它与圆柱的交线是以O为圆心的圆，CD是此圆的直径.又设B是这个圆上任意一点，过B作BE垂直CD于E，作圆柱的母线AB，交截平面与圆柱的交线于A，易知∠AEB=45°，所以AB=BE.
设BD弧长为x，它所取的圆心角∠DOB=α，根据弧长公式，知α=.又设AB=y，在Rt△BOE中，sinα=，故BE=6sinα，从而y=AB=BE=6sinα，即y=6sin.所以，铁皮在接口处的轮廓线是正弦曲线y=6sin(0≤x≤12π)，其图象如下图（4）.因为将两个圆柱形铁皮上的曲线对拼起来，正好可以完全吻合，所以最节约且最省工的裁剪方式如下图（5）.1.8
函数y=Asin（ωxφ）的图象
自主广场
我夯基
我达标
1.浙江高考卷，文1)函数y＝sin(2x+)的最小正周期是（
）
A.
B.π
C.2π
D.4π
思路解析：T===π.
答案：B
2.若函数y=f（x）的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图像沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线与y=sinx的图像相同，则y=f（x）是（
）
A.y=sin（2x+）+1
B.y=sin（2x-）+1
C.y=sin（2x-）+1
D.y=sin（2x+）+1
思路解析：逆向法解决，将y=sinx的图像沿y轴向上平移1个单位得到函数y=sinx+1的图像；再将函数y=sinx+1的图像向右平移个单位得到函数y=sin（x-）+1的图像；再将函数y=sin（x-）+1的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的得到函数y=sin（2x-）+1.这就是函数y=f（x）的解析式.
答案：B
3.(2006四川高考卷，理5文6)下列函数中，图像的一部分如图1-7-5所示的是（
）
图1-7-5
A.y=sin(x+）
B.y=sin(2x-）
C.y=cos(4x-）
D.y=cos(2x-）
思路解析：从图像看出，=+=，∴函数的最小正周期为π.∴ω==2.∴排除A、C.∵图像过点(-,0)，代入选项B，∴f(-)=sin(--)=-1≠0.∴排除B.
答案：D
4.把函数y=sin(ωx+φ)（其中φ为锐角）的图像向右平移个单位，或向左平移个单位都可使对应的新函数成为奇函数，则原函数的一条对称轴方程是（
）
A.x=
B.x=
C.x=-
D.x=
思路解析：将函数y=sin(ωx+φ)的图像向右平移个单位后，得函数y=sin［ω(x-）+φ］为奇函数，根据奇函数的性质，由函数的定义域为R，知sin［ω(0-)+φ］=0（即f(0)=0）.∴ω(-)+φ=0,φ=.
将函数y=sin(ωx+φ)向左平移个单位后，得函数y=sin［ω(x+）+φ］也是奇函数，∴sin［ω(0+)+φ］=0.将φ=代入，得sin(+)=0.
∴=kπ,ω=2k(k∈Z).∵φ∈(0,
)，∴ω=2，且φ=.又正弦函数图像的对称轴过取得最值的点，设2x+=kπ+，则x=+.当k=1时，x=，即x=是函数y=sin(2x+)的一条对称轴方程.
答案：D
5.求函数y=2sin（3x-）的对称中心.
思路分析：利用整体策略求出对称中心坐标.
解：由y=sinx的对称中心是（kπ，0），令3x-=kπ，x=+（k∈Z）,
即对称中心是（+，0）（k∈Z）.
6.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0),φ取何值时，f(x)为奇函数？
思路分析：结合正弦函数的图像和性质来讨论.
解：（1）∵x∈R，f(x)是奇函数，∴f(x)+f(-x)=0.
则有f(0)=0，∴sinφ=0.∴φ=kπ,k∈Z.
当φ=kπ,k∈Z时，f(x)=Asin(ωx+kπ)，
当k为偶数时，f(x)=Asin(ωx)是奇函数；
当k为奇数时，f(x)=-Asin(ωx)是奇函数.
综上可得,当φ=kπ,k∈Z时，f(x)为奇函数.
我综合
我发展
7.函数y=5sin(-2x)的单调递增区间是_________.
思路解析：函数y=-5sin(2x-)=5sin(2x+)，令2kπ-≤2x+≤2kπ+
(k∈Z)，解得kπ-≤x≤kπ-.
答案：［kπ-,kπ-］(k∈Z)
8.已知sin（2x+）=-，x∈［0，2π］，求角x的集合.
思路分析：先由x的范围确定2x+的范围，然后判断角的个数求出角.
解：∵0≤x≤2π，∴≤2x+≤.
∵sin（2x+）=-，
∴2x+=或2x+=或2x+=或2x+=.
∴x＝，，，.
∴x的集合为{，，，}.
9.函数f(x)=2sin(x+)（k≠0）.
（1）求f(x)的最大值M、最小值N和最小正周期T.
（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个值是M,一个值是N.
（3）当k=10时，由y=sinx的图像经过怎样的变换得到y=f(x)的图像
思路分析：由于k影响函数的周期，所以求最小的正整数k就要讨论函数周期的限制.
解：（1）∵f(x)=2sin(x+)，k≠0，且x∈R，
∴M=2，N=-2，T=.
（2）由题意，得当自变量x在任意两个整数间变化时，函数f(x)至少有一个最大值，又有一个最小值，则函数的周期应不大于区间长度的最小值1，即≤1，解得|k|≥10π，所以最小的正整数k=32.
（3）当k=10时，有f(x)=2sin(2x+).
变换步骤是：
①把y=sinx的图像上所有的点向左平行移动个单位，得函数y=sin(x+)的图像；
②把函数y=sin(x+)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得函数y=sin(2x+)的图像；
③把函数y=sin(2x+)的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得函数f(x)=2sin(2x+)的图像.
10.如图1-7-6所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A＞0,ω＞0,0＜φ＜π).
图1-7-6
（1）求这段时间的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式.
思路分析：图像最上方的点的纵坐标是温度的最大值，最下方的点的纵坐标是温度的最小值.
解：（1）由图知这段时间的最大温差是30-10=20（℃）.
（2）图中从6时到14时的图像是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图像，即=2(14-6)，
∴ω=,A=(30-10）=10，b=(30+10)=20.
这时y=10sin(x+φ)+20.将x=6,y=10代入上式，可取φ=.
综上，所求的解析式为y=10sin(x+)+20，x∈［0,14］.1.6
余弦函数的图像和性质
自我小测
1．下列函数中，在上增加的是( )
A．y＝sin
x
B．y＝cos
x
C．y＝sin
2x
D．y＝cos
2x
2．函数y＝cos
x－2，x∈[－π，π]的图像是( )
3．函数y＝cos，x∈的值域是( )
A．
B．
C．
D．
4．函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是( )
A．0
B．
C．
D．π
5．在函数y＝sin|x|，y＝|sin
x|，y＝sin，y＝cos中，是周期函数的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
6．比较大小：cosπ__________cosπ.
7．函数y＝－3cos
x－1的减区间是__________．
8．不等式cos
x＋≤0的解集是________________．
9．画出函数y＝cos
x(x∈R)的简图，并根据图像写出y≥时x的集合．
10．已知函数f(x)＝acos
x＋b的最大值是1，最小值是－3，试确定g(x)＝bsin的解析式．
参考答案
1．解析：∵≤x≤π，∴π≤2x≤2π，∴y＝sin
2x在[π，2π]内不具备单调性；
而y＝sin
x与y＝cos
x在上都是减少的，只有D符合．
答案：D
2．解析：用五点法作出函数y＝cos
x－2，x∈[－π，π]的图像或把函数y＝cos
x，x∈[－π，π]的图像向下平移2个单位长度均可．
答案：A
3．解析：∵0≤x≤，∴≤x＋≤，
∴－≤cos≤.
答案：B
4．解析：当φ＝时，y＝sin＝cos
2x，而y＝cos
2x是偶函数．
答案：C
5．解析：由y＝sin|x|的图像知，它是非周期函数．
答案：C
6．解析：∵cosπ＝cos＝cos，
cos＝cos＝cosπ，
而0＜＜＜，
∴cos＞cos，
即cosπ＞cosπ.
答案：＞
7．解析：∵函数y＝cos
x的增区间是[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)，
∴函数y＝－3cos
x－1的减区间是[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)．
答案：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)
8．解析：由cos
x＋≤0，得cos
x≤－.
根据余弦函数的图像可知，原不等式的解集为.
答案：，k∈Z
9．解：用五点法作出y＝cos
x的简图，如图所示．
过点作x轴的平行线，从图像中看出：
在区间[－π，π]上，y＝与余弦曲线交于点，，故在区间[－π，π]内，y≥时，x的集合为.
当x∈R时，若y≥，则x的集合为.
10．解：当a＞0时，有∴
此时g(x)＝－sin；
当a＜0时，有∴
此时g(x)＝－sin＝sin.
综上，当a＞0时，g(x)＝－sin；
当a＜0时，g(x)＝sin.1.2
角的概念的推广
课后导练
基础达标
1.与30°终边相同的角的集合是（
）
A.{α|α=k·360°+30°,k∈Z}
B.{α|α=k·360°-30°,k∈Z}
C.{α|α=k·180°+30°,k∈Z}
D.{α|α=k·180°-30°,k∈Z}
解析：与30°终边相同的角α=k·360°+30°.
答案：A
2.下面属于第三象限角的是（
）
A.270°
B.179°
C.550°
D.1
000°
解析：270°不是象限角，179°是第二象限角，550°=360°+190°为第三象限角，1
000°=720°+280°为第四象限角，故选C.
答案：C
3.给出下列四个命题：①-15°是第四象限的角；②185°是第三象限的角；③475°是第二象限的角；④-350°是第一象限的角.其中正确的个数是（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:将题中的角化成α+k·360°(k∈Z),α在0°—360°之间的形式即可判断四个命题都正确.
答案：D
4.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z}，B={β|-180°＜β＜180°}则A∩B等于（
）
A.{-36°,54°}
B.{-126°,144°}
C.{-126°,-36°,54°,144°}
D.{-126°,54°}
解析:在集合A中，令k取不同的整数，找出既属于A又属于B的角度即可.k=-1,0,1,2验证可知A∩B={-126°,-36°,54°,144°}.
答案：C
5.若α是第一象限角，下列各角中为第四象限角的是（
）
A.90°-α
B.90°+α
C.360°-α
D.180°+α
解析：取α=30°，把它代入选项中检验，选C.
答案：C
6.时针走过2小时40分，则分针转过的角度是____________.
解析：要注意角的方向，钟表中时针和分针转过的角都是负角.
答案：-960°
7.已知-1
000°＜α＜-640°,且α与120°角的终边相同，则α=___________.
解析：∵α与120°终边相同，
故α=k·360°+120°,k∈Z.
又∵-1
000°＜α＜-640°,
∴-1
000°＜k·360°+120°＜-640°.
即-1
120°＜k·360°＜-760°.
当k=-3时，α=(-3)×360°+120°=-960°.
答案：-960°
8.写出终边在y轴上的角的集合.
解析：在0°—360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°,270°角.因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1={β|β=90°+k·360°,k∈Z},
而所有与270°角终边相同的角构成集合
S2={β|β=270°+k·360°,k∈Z}.
于是，终边在y轴上的角的集合
S=S1∪S2={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+180°+2k·180°,k∈Z}
={β|
β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1)180°,k∈Z}
={β|β=90°+n·180°,n∈Z}.
9.已知A={锐角}，B={0°到90°的角}，C={第一象限角}，D={小于90°的角}.求A∩B,A∪C,C∩D,A∪D.
解析：A={α|0°<α<90°};
B={α|0°≤α<90°}；
C={α|k·360°<αD={α|α<90°}.
所以A∩B={α|0°<α<90°};A∪C={α|k·360°<αC∩D={α|k·360°<α10.设两个集合M={α|α=k·90°+45°,k∈Z},N={α|α=k·180°-45°,k∈Z}，试求M、N之间的关系.
解析：集合M、N分别如图甲和图乙所示：
由上图可知：NM.
综合运用
11.如果α与x+45°具有同一条终边，角β与x-45°具有同一条终边，那么α与β间的关系是（
）
A.α+β=0
B.α-β=0
C.α+β=k·360°,k∈Z
D.α-β=k·360°+90°,k∈Z
解析:利用终边相同的角的关系，分别写出α、β，找出它们的关系即可.
由题意知，α=k·360°+x+45°,k∈Z;β=n·360°+x-45°,n∈Z.两式相减得α-β=(k-n)·360°+90°,(k-n)∈Z.
答案：D
12.已知2α的终边在x轴的上方（不与x轴重合），则α的终边在（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第一或第三象限
解析：360°·k＜2α＜360°·k+180°,
180°·k＜α＜180°·k+90°.
令k=0,1得
0°＜α＜90°,
180°＜α＜270°，故选D.
答案：D
13.角α小于180°而大于-180°，它的7倍角的终边又与自身终边重合，则满足条件的角α的集合为_________.
解析:终边相同的角的大小相差360°的整数倍.
与角α终边相同的角连同角α在内可表示为：
{β|β=α+k·360°,k∈Z}.
∵它的7倍角的终边与其终边相同，
∴7α=α+k·360°，
解得α=k·60°,k∈Z.
∴满足α的集合为：{-120°,-60°,0°,60°,120°｝.
答案：{-120°,-60°,0°,60°,120°｝
14.如右图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：
（1）终边落在射线OM上；（2）终边落在直线OM上；
（3）终边落在阴影区域内（含边界）.
解析：(1)终边落在射线OM上的角的集合
A={α|α=45°+k·360°,k∈Z},
(2)终边落在射线OM上的角的集合为
A={α|α=45°+k·360°,k∈Z}
终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为
B={α|α=225°+k·360°,k∈Z}.
所以终边落在直线OM上的角的集合为
A∪B={α|α=45°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=225°+k·360°,k∈Z}
={α|α=45°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=45°+(2k+1)·180°,k∈Z}
={α|α=45°+180°的偶数倍}∪{α|α=45°+180°的奇数倍}
={α|α=45°+180°的整数倍}
={α|α=45°+n·180°,n∈Z}.
(3)同理可得终边落在直线ON上的角的集合为{β|β=60°+n·180°,n∈Z},
所以终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为：
{α|45°+n·180°≤α≤60°+n·180°,n∈Z}.
15.若θ角的终边与168°角的终边相同，求在［0°,360°）内终边与角的终边相同的角.
解析：∵θ=k·360°+168°(k∈Z),
∴=k·120°+56°(k∈Z).
而0°≤k·120°+56<360°(k∈Z),
则k=0,1,2,
即在［0°,360°)内有=56°,176°,296°.
拓展探究
16.今天是星期三，那么7k(k∈Z)天后的第一天是星期几？7k(k∈Z)天前的第一天是星期几？100天后的第一天是星期几？
解析：每星期，从星期一直到星期日，每星期7天，呈现周期性变化，每7天都要重复出现.
∵今天是星期三，
∴7k(k∈Z)天后的第一天仍是星期三，
7k(k∈Z)天前的第一天仍是星期三.
∵100=7×14+2,
又∵今天是星期三，
∴100天后的第一天是星期五.1.5
正弦函数（1）
自我小测
1．关于正弦函数y＝sin
x的图像，下列说法错误的是( )
A．关于原点对称
B．有最大值1
C．与y轴有一个交点
D．关于y轴对称
2．在同一坐标系中，函数y＝sin
x，x∈[0,2π)与y＝sin
x，x∈[2π，4π)的图像( )
A．重合
B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称
D．形状不同，位置不同
3．在[0,2π]上，满足sin
x≥的x的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
4．函数y＝sin
x的图像与函数y＝－sin
x的图像关于( )
A．x轴对称
B．y轴对称
C．原点对称
D．直线y＝x对称
5．已知函数f(x)＝x3＋sin
x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为( )
A．3
B．0
C．－1
D．－2
6．函数y＝－sin
x，x∈的简图是( )
7．用五点法作函数y＝2sin
2x的图像时，首先描出的五个点的横坐标是_____________．
8．用五点法作出函数y＝sin在一个周期上的图像．
9．求函数y＝2＋sin
x的最大值、最小值和周期，并求这个函数取最大值、最小值时x的集合．
参考答案
1．解析：正弦函数y＝sin
x的图像如图所示．
根据y＝sin
x，x∈R的图像可知A，B，C均正确，D错误．
答案：D
2．解析：因y＝sin
x，x∈R是周期函数，且最小正周期为2π，所以选B.
答案：B
3．解析：如图所示，在同一坐标系内作出y＝sin
x在[0,2π]上的图像和y＝的图像即可得到结论．
答案：C
4．解析：在同一直角坐标系中画出函数y＝sin
x与函数y＝－sin
x在[0,2π]上的图像，可知两函数的图像关于x轴对称．
答案：A
5．解析：设φ(x)＝x3＋sin
x，则φ(x)为奇函数，
∴f(x)＝φ(x)＋1.
∵f(a)＝φ(a)＋1＝2，
∴φ(a)＝1.
∴f(－a)＝φ(－a)＋1＝－φ(a)＋1＝－1＋1＝0.
答案：B
6．解析：用特殊点来验证．x＝0时，y＝－sin
0＝0，排除选项A，C；又x＝－时，y＝－sin＝1，排除选项B.故选D.
答案：D
7．解析：分别令2x＝0，，π，，2π，求出x的值分别为0，，，π，π.
答案：0，，，π，π
8．解：列表：
x＋
0
π
2π
x
－
y＝sin
0
1
0
－1
0
图像如图所示．
9．解：ymax＝2＋(sin
x)max＝2＋1＝3，
ymin＝2＋(sin
x)min＝2＋(－1)＝1.
周期T＝2π，使y＝2＋sin
x取得最大值的x的集合是，
使y＝2＋sin
x取得最小值的x的集合是.1.5
正弦函数
自我小测
1．函数y＝(sin
x－3)2－2(x∈R)的最大值和最小值分别是( )
A．4和－2
B．14和－2
C．14和2
D．4和0
2．函数y＝sin
x的值域是( )
A．[－1,1]
B．
C．
D．
3．对于正弦函数y＝sin
x的图像，下列说法错误的是( )
A．向左、右无限延展
B．与y＝－sin
x的图像形状相同，只是位置不同
C．与x轴有无数个交点
D．关于x轴对称
4．函数y＝sin2x＋sin
x－1的值域为( )
A．[－1,1]
B．
C．
D．
5．已知函数f(x)＝sin
x＋2|sin
x|(x∈[0,2π])的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围是__________．
6．已知a∈R，函数f(x)＝sin
x－|a|(x∈R)为奇函数，则a＝__________.
7．方程sin
x＝x2有__________个正实根．
8．若函数y＝a－bsin
x的最大值为，最小值为－，试求函数y＝－4asin
bx的最值及周期．
9．对于函数y＝|sin
x|和y＝sin|x|，分别求出其定义域、值域、增区间，并判断其奇偶性、周期性．
参考答案
1．解析：当sin
x＝－1时，y取最大值14；当sin
x＝1时，y取最小值2.
答案：C
2．解析：利用函数y＝sin
x的图像易知y∈.
答案：B
3．解析：y＝sin
x是奇函数，图像关于原点对称．
答案：D
4．解析：令sin
x＝t，t∈[－1,1]，
则y＝t2＋t－1＝2－.
∵t∈[－1,1]，
∴y∈.
答案：C
5．解析：f(x)＝sin
x＋2|sin
x|＝
分别画出f(x)及y＝k的图像(图略)，
由图像可知1＜k＜3.
答案：(1,3)
6．解析：由题意知，f(－x)＝sin(－x)－|a|＝－f(x)＝－sin
x＋|a|.
∴|a|＝0，
∴a＝0.
答案：0
7．解析：如图，由图像可以看出，在y轴右侧，函数y＝sin
x，y＝x2有3个交点．故方程sin
x＝x2有3个正实根．
答案：3
8．解：设t＝sin
x∈[－1,1]，则y＝a－bt.
①当b＞0时，a－b≤a－bt≤a＋b.
∴
∴
∴所求函数为y＝－2sin
x.
②当b＜0时，同理可得∴
∴所求函数为y＝－2sin(－x)＝2sin
x.
∴综合①②得，所求函数为y＝±2sin
x，其最小值为－2，最大值为2，周期为2π.
9．解：y＝|sin
x|的图像如图①所示，
y＝sin|x|的图像如图②所示．
图①
图②
由图像可得，y＝|sin
x|，定义域：R；值域：[0,1]；增区间：(k∈Z)；是偶函数，周期为π；
y＝sin|x|，定义域：R；值域：[－1,1]；增区间：(k为非正整数)，，(k为非负整数)；是偶函数；不是周期函数．1.4
单位圆与正弦、余弦函数
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.sin600°的值是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：600°角与240°角终边相同，设240°角的终边与单位圆交于点P，则P点坐标为（）.
∴sin600°=sin240°=.
答案：D
2.如图1-4-1，在单位圆中，∠AOP=60°，则点P的坐标为_________________，sin∠AOP=_____________.
图1-4-1
解析：先过P点作x轴的垂线PM，连结PA，根据△AOP中OA=OP，∠AOP=60°可以求得PM、OM的长度，即P点的纵坐标与横坐标的值.再利用正弦函数的定义，可求得其正弦值.
答案：
3.求135°角的正弦.
解：设135°角的终边与单位圆交于点P，则
P点坐标为.
∴sin135°=.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.以下四个命题：
①终边相同的角的正弦值相等；
②终边不相同的角的正弦值不相等；
③两个角的正弦值相等，则这两个角相等；
④两个角的正弦值相等，则这两个角有相同的终边.
其中错误的命题的个数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：①正确；②错误，例如30°与150°的终边不相同，而sin30°=sin150°.③错误，例如sin30°=sin150°，而30°≠150°.④错误，例如sin30°=sin150°，而30°与150°的终边不相同.
答案：C
2.在［0，2π］上满足sinx≥的x的取值范围是（
）
A.［0，］
B.［］
C.［］
D.［，π］
解析：作出单位圆如图，过点（0，）作x轴的平行线，分别交单位圆于两点，连结圆心O和这两点，得到两条射线，这两条射线与x轴的非负半轴所成角分别为和.可得sinx≥的角x的范围是［］.
答案：B
3.（1）已知角α的终边经过点P（3，4），求角α的正弦.
（2）已知角α的终边经过点P（3t，4t）(t≠0)，求角α的正弦.
解：（1）由x=3，y=4，得|OP|=r=，∴sinα=.
（2）由x=3t，y=4t，得r==5|t|.
当t>0时，r=5t，sinα=；
当t<0时，r=-5t，sinα=.
4.已知角α的终边落在直线y=2x上，求sinα的值.
解：（1）当终边在第一象限时，在角的终边上取点P（1，2）.
由|OP|=得sinα=.
（2）当终边在第三象限时，在角的终边上取点Q（-1，-2）.
由|OP|=得sinα=.
5.在单位圆中画出适合条件sinα=的角α的终边.
解：作直线y=交单位圆于P、Q两点，则OP与OQ为角α的终边，如图.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.下列四个命题正确的是（
）
A.周期函数必有最小正周期
B.只有三角函数才是周期函数
C.因为y=sin(kx+2π)=sinkx(k∈Z)，所以sinkx的最小正周期是2π
D.周期函数的定义域一定是无限集
解析：A错，常数函数y=C（C为常数）为周期函数，但无最小正周期.B错，由A可知.C错，sin(kx+2π)=sink(x+)=sinkx，其周期为，周期的大小由k的取值决定.D正确，由周期函数的定义可知.
答案：D
2.已知角α的终边与射线y=-3x(x≥0)重合,则sinα等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：在α终边上取一点P(1,-3),此时x=1,y=-3,∴r=.
∴sinα=.
答案:A
3.若点P（2m,-3m)(m＜0)在角α的终边上，则sinα=______________.
解析：点P（2m,-3m）（m<0)在第二象限，r=,
∴sinα=.
答案：
4.已知角α的终边与函数y=的图像重合，求sinα.
解：由题意可知α的终边在第一或第三象限.
若α终边在第一象限，则在终边上任取点?P（2，
3）.
此时x=2，y=3，r=.
∴sinα=.
若α终边在第三象限，则在终边上任取点?P（-2，-3）.
此时x=-2，y=-3，r=.
∴sinα=.
5.已知角α的终边经过点P（-4a，3a）（a≠0),求sinα的值.
解：r=.
若a>0时，r=5a,α角在第二象限.
sinα=；
若a<0时，r=-5a,α角在第四角限.
sinα=.
6.在单位圆中画出适合条件sinα≥的角α终边的范围，并由此写出角α的集合.
解：作直线y=交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域（阴影部分）即为角α的终边的范围.
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}.
7.对于函数y=sinx,x∈R，有sin()=sin，所以是y=sinx,x∈R的周期.这种说法正确吗？为什么？
解析：因为sin(+）≠sin，由周期函数的定义知不是y=sinx的周期.
答案：不正确，因为不能保证定义域内所有的x都满足sin(x+)=sinx.
8.对于函数y=sin2x,x∈R，有sin(2x+2π)=sin2x，所以2π是y=sin2x,x∈R的周期.这种说法对吗？若不对，它的周期是什么？
解：通过反例解决.显然2π是y=sin2x的一个周期，但由sin(2x+2π)=sin2x得出y=sin2x的周期与周期函数的定义f(x+T)=f(x)不符.因为sin(2x+2π)=sin2(x+π)=sin2x，由周期函数的定义知y=sin2x的最小正周期为π，周期为kπ,k∈Z.
9.若函数f(x)为奇函数，周期为=1，求f().
解：=-1.1.6
余弦函数
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.135°角的正弦和余弦为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：设135°角的终边与单位圆交于点P，则
P点坐标为（，）.
∴sin135°=，cos135°=.
答案：B
2.（1）已知角α的终边经过点P（3，4），求角α的正弦和余弦;
（2）已知角α的终边经过点P（3t，4t），t≠0，求角α的正弦和余弦.
解：（1）由x=3，y=4，得|OP|=r==5.
∴sinα=，cosα=.
（2）由x=3t，y=4t，得r==5|t|.
当t>0时，r=5t.
因此sinα=，cosα=.
当t<0时，r=-5t.因此sinα=，
cosα=.
3.已知角α的终边与函数y=的图像重合，求sinα、cosα.
解：由题意可知α的终边在第一或第三象限.
若α终边在第一象限，则在终边上任取点P（2，3）.
此时x=2，y=3，r=.
∴sinα=,cosα=.
若α终边在第三象限，则在终边上任取点P（-2，-3）.
此时x=-2，y=-3，r=.
∴sinα=,cosα=.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.若cosα=0，则角α等于（
）
A.kπ（k∈Z）
B.+kπ（k∈Z）
C.+2kπ（k∈Z）
D.+2kπ（k∈Z）
解析：根据余弦函数的定义，cosα==0.所以x=0.所以α的终边落在x轴上.所以α=
+kπ(k∈Z).
答案：B
2.如果角θ满足cosθ与sinθ同号，则角θ所在的象限是（
）
A.第一、三象限
B.第二、三象限
C.第三、四象限
D.第一、四象限
解析：由cosθ、sinθ同号，可知角θ可能在第一象限，也可能在第三象限.
答案：A
3.若角α的终边经过点M（-3，-1），则sinα=____________，cosα=____________.
解析：依题意x=-3，y=-1，
∴r=.
∴sinα=，
cosα=.
答案：
4.若MP和OM分别是α=的正弦线和余弦线，则MP、OM、0的大小关系是__________.
解析：在单位圆中，画出角α=的正弦线MP和余弦线OM，易知MP＞0＞OM.
答案：MP＞0＞OM
5.角α终边上一点P（4t，-3t）（t≠0），求2sinα+cosα的值.
解：据题意有x=4t，y=-3t，
∴r==5|t|.
（1）当t＞0时，r=5t，sinα=，cosα=，
∴原式=.
（2）当t＜0时，r=-5t，sinα=,cosα=，
∴原式=.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.已知角α的终边与射线y=-3x(x≥0)重合，则sinα·cosα等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：根据三角函数的定义，在终边上取点求值.在α终边上取一点P（1，-3），此时x=1,y=-3,
∴r=.
∴sinα=，cosα=.
∴sinα·cosα=.
答案：A
2.如果角α满足sinα＞0，且cosα＜0，则α是第几象限的角(
)
A.一
B.二
C.三
D.四
解析：由sinα＞0、cosα＜0可知角α必在第二象限.
答案：B
3.若角α的终边经过点P（-3，b），且cosα=，则b=___________，sinα=___________.
解析：由，得b=±4.
∴r=5，sinα=.
答案：±4
±
4.已知α的终边经过点（3a-9，a+2）且cosα≤0、sinα＞0，则a的取值范围是___________.
解析：α终边在y轴正半轴或者第二象限内，所以有解此不等式即可得到a的取值范围.
答案：-25.在（0，2π）内满足=-cosx的x的取值范围是___________.
解析：∵=|cosx|=-cosx，∴cosx≤0，
∴x在第二或第三象限或x轴非正半轴上或y轴上.
又x∈（0，2π），∴≤x≤.
答案：≤x≤
6.已知角α的终边落在直线y=kx上，且cosα=a（a≠0），求k的值.
解：∵cosα=a，∴sin2α=1-a2，sinα=±,
∴当α为第一、二象限角时，sinα=，k=tanα=；
当α为第三、四象限角时，sinα=，k=tanα=.
7.已知θ为正锐角，求证：
（1）sinθ＋cosθ＜；
（2）sin3θ+cos3θ＜1.
证明：（1）如图所示，设角θ的终边与单位圆交于P（x，y）.
过P作PM⊥Ox，PN⊥Oy，M、N为垂足.
∵y=sinθ，x=cosθ，
S△OAP=|OA|·|PM|=y=sinθ，
S△OPB=|OB|·|NP|=x=cosθ，
S扇形OAB=，
又四边形OAPB被扇形OAB所覆盖，
∴S△OAP+S△OPB＜S扇形OAB，
即.∴sinθ+cosθ＜.
（2）∵0∵函数y=ax（0∴cos3θ∴cos3θ+sin3θ∵sin2θ+cos2θ=x2+y2=1，
∴sin3θ+cos3θ<1.
8.已知角α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴.若角α终边过点P（，y），且sinα=（y≠0），判断角α所在的象限，并求cosα的值.
解：依题意，P到原点O的距离为|OP|=，
∴sinα=.
∵y≠0，∴9+3y2=16.
∴y2=，y=±.
∴点P在第二或第三象限.
当点P在第二象限时，y=，cosα=;
当点P在第三象限时，y=，cosα=.
9.求适合条件2cosα-1≥0的角α的集合.
解：如图.
∵2cosα-1≥0,∴cosα≥.
∴α∈［］(k∈Z).1.8
函数y=Asin（ωxφ）的图象
自我小测
1．下列函数中，周期为π，且在上是减少的是( )
A．y＝cos
B．y＝cos
C．y＝sin
D．y＝sin
2．如图是函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，x∈R)在区间上的图像，为了得到这个函数的图像，只要将y=sin
x(x∈R)的图像上所有的点( )
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
3．把函数y＝sin
x(x∈R)的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图像所表示的函数是( )
A．y＝sin，x∈R
B．y＝sin，x∈R
C．y＝sin，x∈R
D．y＝sin，x∈R
4．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则f＝( )
A．－
B．
C．
D．－
5．已知f(x)＝2sin的图像经过点(0,1)，则f(x)的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6π，φ＝
B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝
D．T＝6，φ＝
6．已知函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0)的一段图像如图所示，则此函数解析式为_________.
7．函数y＝cos，x∈的值域是__________．
8．设函数y＝2sin的图像关于点P(x0,0)成中心对称，若x0∈，则x0＝__________.
9．已知函数y＝3sin.
(1)求此函数的周期、振幅、初相；
(2)作函数在[0,4π]上的图像；
(3)说出此函数图像是由y＝sin
x的图像经过怎样的变化得到的．
10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像的一部分如图所示，求函数f(x)的解析式．
参考答案
1．解析：y＝sin＝cos
2x的周期为π，且在上是减少的．
答案：D
2．解析：观察图像可知，在函数y＝Asin(ωx＋φ)中，A＝1，＝π，故ω＝2.
令ω×＋φ＝0，得φ＝，
所以函数y＝sin.
故只要把y＝sin
x的图像向左平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变即可．
答案：A
3．解析：将y＝sin
x的图像上的所有的点向左平移个单位长度得到y＝sin的图像，再将图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得y＝sin的图像．
答案：C
4．解析：由＝π，得ω＝2，此时f(x)＝sin.
∴f＝sin＝.
答案：B
5．解析：T＝＝6.将点(0,1)代入得2sin
φ＝1，
即sin
φ＝.
又∵|φ|＜，∴φ＝.
答案：D
6．解析：图中给出了第三个、第五个关键点，于是得
解得
又∵A=2，
∴所求函数的解析式为.
答案：
7．解析：∵0＜x≤，∴＜x＋≤π，
∴cosπ≤cos＜cos，
即－≤cos＜，
即y＝cos，x∈的值域是.
答案：
8．解析：由2x0＋＝kπ(k∈Z)，得x0＝－(k∈Z)．
∵x0∈，∴k＝0，x0＝－.
答案：－
9．解：(1)y＝3sin的周期T＝4π，振幅为3，初相为－.
(2)在x∈[0,4π]上确定关键点，列表如下：
x
0
4π
x－
－
0
π
y＝3sin
－
0
3
0
－3
－
描点，作出以上各点，用平滑曲线顺次连接各点，得y＝3sin在[0,4π]上的草图如图所示．
(3)方法一：y＝sin
x的图像y＝sin的图像y＝sin的图像y＝3sin的图像．
方法二：y＝sin
x的图像y＝sinx的图像y＝sin＝sin的图像y＝3sin的图像．
10．解：由图像可知，A＝2，T＝8.
∵T＝8，∴ω＝＝＝.
∴f(x)＝2sin.
方法一：由图像过点(1,2)得，2sin＝2，
∴sin＝1.
∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
即φ＝2kπ＋，k∈Z.
∵|φ|＜，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin.
方法二：∵点(1,2)对应“五点”中的第二个点，
∴×1＋φ＝，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin.1.3
弧度制
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下列诸命题中，真命题是（
）
A.一弧度是一度的圆心角所对的弧
B.一弧度是长度为半径的弧
C.一弧度是一度的弧与一度的角之和
D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位
解析：由1弧度的意义可知，选D.
答案：D
2.下列诸命题中，假命题是（
）
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1度的角是周角的，1弧度的角是周角的
C.根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
D.不论用角度制还是用弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关
解析：由角和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与半径的长短无关，而是与弧长与半径的比值有关.故应选Ｄ.
答案：D
3.单位圆中，长为2个单位长度的弧所对的圆心角的弧度数为___________
rad.
解析：由α=，可得圆心角α的弧度为=2
rad.
答案：2
4.-300°化为弧度是，弧度化为角度是____________.
解析：-300°=×（-300）rad=,
rad=180°×=288°.
答案：
rad
288°
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.在直角坐标系中，集合S={β|β=k·，k∈Z}的元素所表示的角的终边在（
）
A.第一象限
B.x轴上
C.y轴上
D.坐标轴上
解析：终边落在坐标轴上的角的集合应为{β|β=，k∈Z}易知当整数k为偶数时，β的终边落在x轴上；当k为奇数时，β的终边落在y轴上.所以β角的终边应落在坐标轴上.
答案：D
2.下列两组角中，终边不相同的是（
）
A.+kπ与+kπ（k∈Z）
B.+2kπ与（k∈Z）
C.+2kπ与+2kπ（k∈Z）
D.+2kπ与+2kπ（k∈Z）
解析：对整数k的取值进行分类讨论.一一验证，易知B、C中两组角终边相同.A中，kπ+和kπ-（k∈Z）的终边相同；D中，由于和不在一个象限，所以它们的终边不相同.
答案：D
3.化为度应是_____________.
解析：∵π
rad=180°，∴rad=×180°=144°.
答案：144°
4.把下列各角化为2kπ+α（0≤α＜2π）的形式，并指出所在的象限.
（1）；
（2）.
解：（1）=6π+,在第二象限；
（2）的终边落在y轴的正半轴上.
5.某飞轮直径为1.2
m，每分钟按逆时针方向旋转300圈，求：
（1）飞轮每分钟转过的弧度数；
（2）轮周上的一点每秒钟经过的弧长.
解：（1）因为飞轮每分钟按逆时针方向旋转300圈，而逆时针方向旋转一周的弧度数为2π，
所以飞轮每分钟转过的弧度数是300×2π=600π
rad.
（2）∵飞轮每分钟按逆时针方向旋转300圈，∴每秒钟转5圈.
又飞轮直径为1.2
m，
∴一圈的长（即圆的周长）为1.2π
m.
因此轮周上的一点每秒钟经过的弧长是5×1.2π
m=6π
m.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.下列各命题中正确的是（
）
A.地球到太阳的距离y与时间t构成的函数是周期函数
B.用弧度制表示的角都是正角
C.大圆中1弧度角比小圆1弧度角大
D.圆心角为1弧度的扇形的弧长相等
解析：据物理学知识，任何一时刻，地球与太阳的距离y是唯一确定的，且每经过一年地球绕太阳旋转一周，无论哪个时刻t，经过一年，地球又回到原来的位置，所以我们有f（T+t）=f（t），故y=f（t）是周期函数.所以A正确；对于弧度制，定义为弧长等于1个单位长度所对的圆心角大小为1弧度，与圆的大小无关.大小不同的圆1弧度的扇形的弧长不等，所以C、D均不正确.又采用弧度制表示的角，是任意角，可正可负，所以B不正确.
答案：A
2.圆的一段弧长等于这个圆的内接正三角形的一条边长，那么这段弧所对的圆心角是弧度.
解析：设圆的半径为r，则圆内接正三角形的边长为，即弧长为，所以所求圆心角的弧度数为|α|=.
答案：
3.地球赤道的半径是6
370
km，赤道上1°的弧长是__________
km.（可用计算器）
解析：由于1°=≈0.017
45
rad，
所以赤道上1°的弧长是0.017
45×6
370
km=111.156
5
km.
答案：111.156
5
4.已知α∈()，β∈(,π),求α+2β,α-2β的范围.
解：∵<α<,<β<π,则<2β<2π,-2π<-2β<，
∴,.
5.将下列各角从弧度化为度：
（1）；
（2）-20.
解：（1）rad=×180°=-75°；
（2）-20
rad≈57.3°×（-20）=-1
146°.
6.将下列角度数化为弧度数：
（1）-12°45′；
（2）112°30′.
解：(1)-12°45′=-12?75°=-12.75×；
（2）112°30′=112.5°=112.5×rad.
7.已知一扇形的周长是40
cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大 最大面积是多少
解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l+2r=40，∴l=40-2r.
∴S=×（40-2r）r=20r-r2=-（r-10）2+100.
∴当半径r=10
cm时，扇形的面积最大，这个最大值为100
cm2，这时θ=rad=2
rad.
8.已知圆中一段弧长正好等于该圆外切正三角形的边长，求这段弧所对的圆心角.
解：设圆的半径为r，则圆的外切正三角形的边长为，由题意知弧长为，
所以这段弧所对的圆心角的弧度数为rad.
9.已知圆上一点A(1,0)按逆时针方向做匀速圆周运动，1秒钟时间转过θ(0＜θ≤π)角，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟转到与最初位置重合的位置，求θ角的弧度数.
解：∵0<θ≤π，可得0<2θ≤2π.
又∵2θ在第三象限，∴π<2θ≤.
由14θ=2kπ(k∈Z),可得2θ=(k∈Z)，∴π<<,即.
∴k=4或5.∴θ=或.
10.在已知圆内，1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及扇形的面积.
解：如图，作OC⊥AB于C，则C为AB的中点，且AC=1，∠AOC=，所以
r=OA=.
则弧长l=|α|·r=,面积S=.周期现象与周期函数
课后导练
基础达标
1.今天是星期五，九天后的那一天是星期几…
（
）
A.五
B.六
C.日
D.一
解析：每个星期有7天，9÷7=1……2,故为星期日.
答案：C
2.下列函数是周期函数的是（
）
①f(x)=x
②f(x)=2x
③f(x)=1
④f(x)=
A.①②
B.③
C.③④
D.①②③④
解析：①f(x+T)=x+T≠x,∴f(x)不是周期函数，①错误.只能从B、C中选，所以只需判断④即可，f(x+T)=是周期函数，故④正确.
答案：C
3.下列命题正确的是（
）
A.周期函数必有最小正周期
B.只有y=sinx才是周期函数
C.y=1的最小正周期为1
D.周期函数的定义域一定是无限集
解析：由周期函数的定义知A、B、C均错误.
答案：D
4.已知y=f(x)为最小正周期为2的函数，且f(1)=4,则f(5)等于（
）
A.3
B.2
C.1
D.4
解析：∵y=f(x)中T=2，
∴f(5)=f(2×2+1)=f(1)=4.
答案：D
5.下列四个函数为周期函数的是（
）
A.y=1
B.y=3x0
C.y=x2
D.y=x
解析：由周期函数定义知y=1是周期函数，对于y=3x0,不存在常数T，使f(0+T)=f(0).
答案：A
6.设f(x)(x∈R)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(1)=-1，则f(11)的值是（
）
A.-1
B.1
C.2
D.-2
解析：∵f(x)是奇函数，∴f(-1)=-f(1)=1,f(11)=f(11-3×4)=f(-1)=1.
答案：B
7.若f(x)是以为周期的函数，且f()=1,则f(-)=_______.
解析：f(-)=f(-2×)=f()=1
答案：1
8.今天是星期一，158天后的那一天是星期几？
解析:∵158=7×22+4，而今天是星期一，
∴158天后的那一天是星期五.
9.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+1)=f(-x)(x∈R),证明f(x)为周期函数.
证明：由f(x+2)=f［(x+1)+1］=f［-(x+1)］=-f(x+1)=-f(-x)=f(x)得，f(x)是周期函数，周期为2.
10.求证：若函数y=f(x)(x∈R)的图象关于x=a对称，且关于x=b对称，则f(x)为周期函数，且2(b-a)是它的一个周期.
证明：设x是任意一个实数，
因为函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称，
故f(a+x)=f(a-x)，
同理，f(b+x)=f(b-x).
于是f［x+2(b-a)］
=f［b+(b+x-2a)］
=f［b-(b+x-2a)］
=f(2a-x)=f［a+(a-x)］=f［a-(a-x)］=f(x).
所以，f(x)是周期函数，且2(b-a)是它的一个周期.
综合运用
11.定义在实数集上的偶函数y=f(x)是周期为2的周期函数，且当2≤x≤3时，f(x)=x,则当-1≤x≤0时，f(x)等于（
）
A.4+x
B.2+|x+1|
C.-2+x
D.3-|x+1|
解析：当x∈［-1,0］时，-x∈［0,1］,-x+2∈［2,3］,f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x,因为3-|x+1|=2-x，
∴f(x)=3-|x+1|.
答案：D
12.设f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，f(1)＞1,f(2)=a,则（
）
A.a＞2
B.a＜-2
C.a＞1
D.a＜-1
解析：f(2)=-f(-2)=-f(3-2)=-f(1)=a,
∴f(1)=-a＞1,
∴a＜-1.
答案：D
13.函数f(x)的最小正周期为8，且等式f(4+x)=f(4-x)对一切实数都成立，则f(x)是（
）
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶
D.非奇非偶
解析：∵T=8,且f(4+x)=f(4-x)，
∴f(x)=f(x+8)=f［4+(4+x)］
=f［4-(4+x)］=f(-x),
∴f(x)为偶函数.
答案：B
14.设f(x)是定义在R上以2为周期的周期函数，且f(x)为偶函数，在区间［2,3］上，f(x)=-2(x-3)2-4，求x∈［1,2］时，f(x)的解析式.
解析：令x∈［-3，-2］，则-x∈［3，2］，
从而f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.
又f(x)为偶函数，故f(-x)=f(x).即f(x)=-2(x+3)2+4,x∈［-3,-2］.
令x∈［1，2］，则x-4∈［-3，-2］，
有f(x-4)=f(x)=-2(x-1)2+4，
即x∈［1，2］时，f(x)=-2(x-1)2+4.
15.设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x=1对称，对任意的x1,x2∈［0,］，都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2).
（1）设f(1)=2，求f(),f()；
（2）证明f(x)是周期函数.
（1）解析：由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),x1,x2∈［0,］知
f(x)=f()·f()≥0,x∈［0,1］,
故f(1)=f(+)=f()·f()=［f()］2.因此f(12)=2,
又f(1）=2，
故f()=f(+)=［f()］2=2.
即f()=2.
（2）证明：由y=f(x)关于直线x=1对称，得
f(x)=f(1+1-x)，f(x)=f(2-x).
又f(-x)=f(x)，故f(-x)=f(2-x)，
∴f(x+2)=f(x),即f(x)为周期函数.
拓展探究
16.函数满足f(x+2)=f(x-2)，且f(4+x)=f(4-x).若2≤x≤6时,f(x)=x2-2bx+c,f(-4)=-14,试比较f(b)与f(c)的大小.
解析：由已知f(4+x)=f（4-x）,x∈R,得x=4是函数f(x)图象的对称轴.
又∵2≤x≤6,f(x)=x2-2bx+c,
∴x=4是f(x)=x2-2bx+c,x∈［2,6］的对称轴，即=4,
∴b=4.
又∵f(x+2)=f(x-2),
∴f(x)=f［(x+2)-2］=f［(x+2)+2］
=f(x+4).
∴f(x)是周期函数，周期为T=4.
∵f(-4)=-14,
而f(-4)=f(-4+4×2)=f(4),
∴f(4)=-14.
∵4∈［2,6］,
∴42-2×4×4+c=-14,
∴c=2.
∴当x∈［2,6］时，f(x)=x2-8x+2.
∴f(x)在x∈［2,4］上是减函数,
∴f(2)＞f(4),即f(c)＞f(b).1.3
弧度制
自我小测
1．一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为( )
A．
B．
C．
D．
2．已知扇形的周长是16，圆心角是2
rad，则扇形的面积是( )
A．16π
B．32π
C．16
D．32
3．将分针拨慢10分钟，则分针转过的弧度数是( )
A．
B．－
C．
D．－
4．若扇形的半径变为原来的2倍，弧长增加到原来的2倍，则( )
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积增加到原来的2倍
D．扇形的圆心角增加到原来的2倍
5．的终边所在的象限是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6．半径为2的圆中，长为2的弧所对的圆周角的弧度数为__________，度数为__________．
7．已知扇形的半径是5
cm，弧长是
cm，那么扇形的面积是__________
cm2.
8．已知四边形四个内角的度数的比为1∶3∶7∶9，用弧度制写出这四个角从小到大的顺序为________________________________________________________________________．
9．在直径为10
cm的滑轮上有一条弦，其长为6
cm，且P为弦的中点，滑轮以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5
s后，P点转过的弧长是多少？
10．半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1,0)出发，按照逆时针方向沿圆周匀速旋转，已知P点在1秒钟内转过的角度为θ(0＜θ＜π)，经过2秒到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A处．求：
(1)θ的大小；
(2)线段OP每秒钟扫过的扇形的面积．
参考答案
1．解析：因为弦长等于半径，则弦和两半径构成等边三角形，则弦所对圆心角为60°＝
rad.
答案：B
2．解析：设扇形的半径为r，则扇形的弧长为l＝2r.
由题意知2r＋2r＝16，所以r＝4，l＝2r＝8，
因此扇形的面积为S＝×8×4＝16.
答案：C
3．解析：因为分针每分钟转过的角度为－6°，所以将分针拨慢10分钟，则分针转过的弧度数为.
答案：A
4．解析：设原来的扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则现在的扇形的半径为2r，弧长为2l，圆心角为β，l＝αr，2l＝2rβ，所以α＝β.
答案：B
5．解析：＝2π＋π.因为是第一象限角，所以的终边所在的象限是第一象限．
答案：A
6．解析：半径为2的圆中，长为2的弧所对的圆心角的弧度数为1，所对的圆周角的弧度数为，度数为°.
答案： °
7．解析：扇形的面积为S＝lr＝××5＝(cm2)．
答案：
8．解析：因为四边形四个内角的度数的比为1∶3∶7∶9，所以设这四个角的弧度数分别为x,3x,7x,9x.根据题意得，x＋3x＋7x＋9x＝2π，则x＝，3x＝，7x＝，9x＝.
答案：，，，
9．解：根据垂径定理得，P点到滑轮中心的距离为4
cm.
又因滑轮以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5
s后，P点转过的弧长是5×5×4＝100(cm)．
答：经过5
s后，P点转过的弧长是100
cm.
10．解：(1)∵0＜θ＜π，∴0＜2θ＜2π.
又2kπ＋π＜2θ＜2kπ＋(k∈Z)，
∴k＝0.∴＜θ＜.①
又14θ＝2nπ(n∈Z)，∴θ＝(n∈Z)．②
由①②可得θ＝或θ＝.
(2)由(1)知θ＝或θ＝，
又S扇形＝θr2＝θ，∴S扇形＝或S扇形＝.
即线段OP每秒钟扫过的面积是或.1.6
余弦函数
课后导练
基础达标
1.如果α+β=180°，那么下列等式中成立的是（
）
A.cosα=cosβ
B.cosα=-cosβ
C.sinα=-sinβ
D.以上都不对
解析:利用诱导公式π-α即可推导.
cosα=cos(180°-β)=-cosβ.
答案：B
2.cos()的值是（
）
A.0
B.
C.
D.1
解析：∵=-4π+,
∴cos()=cos(-4π+)
=cos=cos=0
答案：A
3.若sinθ·cosθ＞0,则θ在（
）
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第一、四象限
D.第二、四象限
解析：∵sinθ·cosθ＞0,
∴
∴θ在第一象限或第三象限.
答案：B
4.已知角θ的终边经过点P（4a,-3a），（a≠0）则2sinθ+cosθ的值是（
）
A.
B.
C.或
D.不确定
解析：分a＞0与a＜0两种情况进行讨论，当a＞0时，r=5a，
∴sinθ=,cosθ=.
∴2sinθ+cosθ=2×()+=.
同理得a＜0时，2sinθ+cosθ=.
答案：C
5.若α为第一象限角，则sin2α,cos2α,sin,cos中必定取正值的有（
）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
解析：根据α角所在象限，求出2α与的象限,再根据象限确定三角函数值的符号.
答案：B
6.若=cosx,则x的取值范围是________.
答案：-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z
7.x∈(0,2π)且cosx＜sinx＜,则x的取值范围是__________-.
解析：依题意得
借助函数图象或三角函数线可知，x∈(π,π).
答案：(π,π)
8.|cosα|=cos(π+α)，则角α的集合为_______________.
解析：由绝对值的意义确定角α所在象限，进而写出范围.
由已知得：|cosα|=-cosα，
∴α为第二、三象限角或终边落在y轴上的角.
∴2kπ+≤α≤2kπ+(k∈Z).
答案：2kπ+≤α≤2kπ+
(k∈Z)
9.求y=cos(x+)的周期.
解析：cos［(x+)+2π］=cos［(x+3π)+］=f(x+3π),
而f(x)=cos(x+)=cos［(x+)+2π］,
∴f(x+3π)=f(x)，即原函数的周期为3π.
10.设函数f(x)=-x2+2x+3(0≤x≤3)的最大值为m，最小值为n，当角α终边经过点P（m,n-1）时，求sinα+cosα的值.
解析：f(x)=-x2+2x+3
=-(x-1)2+4（0≤x≤3）.
当x=1时，f(x)max=f(1)=4,即m=4.
当x=3时，f(x)min=f(3)=0,即n=0.
∴角α的终边经过P（4,-1）.
∴r=.
∴sinα+cosα=.
综合运用
11.若θ是第三象限角且=-cos,则角所在象限是（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：∵θ是第三象限角，则的终边落在第一、三、四象限.
又cos＜0,
∴角的终边在第三象限.
答案：C
12.如右图所示，定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x∈［3,4］时，f(x)=x-2,则（
）
A.f(sin)＜f(cos)
B.f(sin)＞f(cos)
C.f(sin1)＜f(cos1)
D.f(sin)＞f(cos)
解析：当0≤x≤1时，-1≤-x≤0,3≤-x+4≤4.
f(x)=f(-x)=f(-x+2)=f(-x+4)
=-x+4-2=-x+2.
故当x∈［0,1］时f(x)为减函数.
又sin＜cos,sin＞cos,sin1＞cos1,sin＞cos,
故f(sin)＞f(cos),f(sin)＜f(cos),f(sin1)＜f(cos1),f(sin)＜f(cos).
答案：C
13.(2006北京高考，文5)
函数y=1+cosx的图象（
）
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线x=对称
答案：B
14.已知cos(75°+α)=，其中α为第三象限角，求cos(105°-α)+sin(α-105°)的值.
解析：cos(105°-α)=cos［180°-(75°+α)］
=-cos(75°+α)=.
sin(α-105°)=-sin(105°-α)
=-sin［180°-(75°+α)］=-sin(75°+α).
∵cos(75°+α)=>0,又α为第三象限角,可知75°+α为第四象限角.
则有sin(75°+α)=;
则cos(105°-α)+sin(α-105°)=.
15.求下列函数的最大值和最小值：
（1）y=;
(2)y=3+2cos(2x+);
(3)y=2sin(2x+)(-≤x≤);
(4)y=acosx+b.
解析：（1）∵∴-1≤sinx≤1.
∴当sinx=-1时，ymax=;
当sinx=1时，ymin=.
(2)∵-1≤cos(2x+)≤1,
∴当cos(2x+)=1时，ymax=5;
当cos(2x+)=-1时，ymin=1.
(3)∵-≤x≤,∴0≤2x+≤.
∴0≤sin(2x+)≤1.
∴当sin(2x+)=1时，ymax=2;
当sin(2x+)=0时，ymin=0.
(4)当a＞0时；
cosx=1，即x=2kπ(k∈Z)时，ymax=a+b;
cosx=-1，即x=(2k+1)
π(k∈Z)时，ymin=b-a;
当a＜0时；
cosx=-1，即x=(2k+1)π(k∈Z)时，ymax=b-a;
cosx=1，即x=2kπ(k∈Z)时，ymin=a+b.
拓展探究
16.如右图所示，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面0.5米.风车圆周上一点A从最低点O开始运动，t秒后与地面的距离是h米.
（1）求函数h=f(t)的关系式；
（2）画出函数h=f(t)的图象.
解析：如图(1)，以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立直角坐标系.
设点A的坐标为(x,y)，则h=y+0.5.
设∠OO1A=θ，
则cosθ=,y=-2cosθ+2.
又θ=×t,即θ=t.
所以y=-2cost+2.
所以h(t)=-2cost+2.5.
（2）h(t)=-2cost+2.5的图象如图(2).1.9
三角函数的简单应用
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.初速度为v0，发射角为θ，则炮弹水平移动的距离x与v0之间的关系式（t是飞行时间）为（
）
A.x=|v0t|
B.x=|v0|·sinθ·t
C.x=|v0|·sinθ·t-|g|·t2
D.x=|v0|·cosθ·t
解析：由速度的分解可知炮弹水平移动的速度为v0·cosθ，如图所示：
故炮弹水平移动的距离为|v0|·cosθ·t.
答案：D
2.在200米高山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（
）
A.米
B.米
C.米
D.米
解:如图，设塔高为h米，则
200·tan30°=(200-h)tan60°,∴h=米.
答案：A
3.甲、乙两楼相距60米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为45°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则甲、乙两楼的高度分别为_____________、_____________.
解析:如图,甲楼的高度AC=AB=60米,
在Rt△CDE中,DE=CE·tan30°=60×=.
∴乙楼的高度为BD=BE-DE=（60-）（米）.
答案:60米
(60-)米
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.图3-3-1中哪一个图像准确地描述了某物体沿粗糙斜面滑下时其加速度和斜面倾斜角θ之间的关系（动摩擦因数不变）？（
）
图3-3-1
解析：由物理知识可知，当斜面倾斜角θ比较小时，物体处于静止状态，加速度为0,故排除A,B.根据受力分析,受到的合外力F=mgsinθ-μmgcosθ.
∴a=g(sinθ-μcosθ)=sin(θ-φ)(其中tanφ=μ).故选D.
答案：D
2.一树干被台风折成60°角,树干底部与树尖着地处相距20米,树干原来的高度为__________.
解析:如图,BC=20tan30°=.
AB=,
所以树干原来的高度为AB+BC=(米).
答案:米
3.图3-3-2是一弹簧振子做简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________________.
图3-3-2
解析：设函数解析式为y=Asin(ωx+φ)，则A=2，由图像可知
T=2×(0.5-0.1)=,∴ω=.
∴×0.1+φ=.∴φ=.
∴函数的解析式为y=2sin(x+).
4.某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦曲线变化.
（1）画出种群数量关于时间变化的图像；
（2）求出种群数量作为时间t的函数表达式（其中t以年初以来的月为计量单位）.
解：（1）种群数量关于时间变化的图像如图所示：
（2）设表示该曲线的三角函数为y=Asin(ωt+φ)+k，
由已知平均数量为800，最高数量与最低数量之差为200，数量变化周期为12个月，
所以振幅A==100，
即ω=,k=800.
又7月1日种群数量达到最高，
∴.∴φ=.
∴种群数量关于时间t的函数表达式为y=100sin(t-3)+800.
5.如图3-3-3所示,某人身高a=1.77米,在黄浦江边测得对岸的东方明珠塔尖的仰角α=75.5°,测得在黄浦江中的倒影的塔尖的俯角β=75.6°,求东方明珠的塔高h.
图3-3-3
解:设黄浦江的宽为b米,则
b·tanα=h-a,b·tanβ=h+a.消去b得
h=.
当α=75.5°,β=75.6°,a=1.77米时,h=?490.1米.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.如图3-3-4所示,有一块以点O为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地,使其一边AD落在圆的直径上,另两点B、C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为a,如何选择关于点O对称的点A、D的位置,可以使矩形ABCD的面积最大
图3-3-4
解:如图,令∠AOB=θ,则AB=asinθ,OA=acosθ,
则矩形ABCD的面积为
S=asinθ·2·acosθ=a2·2sinθcosθ=a2·sin2θ≤a2.
其中“≤”中等号成立的条件是sin2θ=1,
即2θ=90°,于是θ=45°时,S为最大.
∴A、D两点与O的距离都是a.
2.三角函数的叠加问题：在交流电、简谐运动及各种“波”等问题的研究中，三角函数发挥了重要的作用，在这些实际问题中，经常会涉及“波”的叠加，在数学上常常可以归结为三角函数的叠加问题.设y1=3sin(2t+)，y2=4sin2t表示两个不同的正弦“波”，试求它们叠加后的振幅和周期.
解：它们叠加后的函数是y1+y2=3sin()+4sin2t
=3cos2t+4sin2t
=
=5sin(2t+φ)(其中tanφ=),
所以，叠加后的函数的振幅为5，周期仍为π，初相为arctan,
即叠加后的“波”的振幅为5，周期仍为π.
3.以一年为一个周期调查某商品出厂及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元的基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元；而该商品在商店内的销售价格是在8元的基础上也是按月份随正弦曲线波动的，并且已知5月份价格最高为10元，9月份价格最低为6元.假设某商店每月购进这种商品m件，且当月能售完，请估计哪个月份赢利最大？并说明理由.
解：由条件得：出厂价格函数是y1=2sin(x)+6,
销售价格函数为?y2=2sin(x-)+8.
则利润函数为y=m(y2-y1)
=.
所以当x=6时,y=(2+)m最大.
所以6月份赢利最大.
4.如图3-3-5，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面0.5米.风车圆周上一点A从最低点O开始运动，t秒后与地面的距离是h米.
图3-3-5
（1）求函数h=f(t)的关系式；
（2）画出函数h=f(t)的图像.
解：（1）如图，以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立直角坐标系.
设点A的坐标为(x,y)，则h=y+0.5.
设∠OO1A=θ，则cosθ=,y=-2cosθ+2.
又θ=×t,即θ=t,
所以y=.
所以h(t)=.
（2）h(t)=
的图像如下图.
5.一根细线的一端固定,另一端悬挂一个小球,小球来回摆动时,离开平衡位置的位移S(单位cm)与时间t(单位:s)的函数关系是S=6sin(2πt+).
(1)画出它的图像;
(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t=0),离开平衡位置多少厘米
②小球摆动时,离开平衡位置的最大距离是多少厘米
③小球来回摆动一次需要多少时间
解:（1）先求周期：T==1(s).
列表：
t
0
1
2πt+
π
2π
2π+
6sin(2πt+)
3
6
0
-6
0
3
描点画图：
（2）①小球开始摆动(t=0)，离开平衡位置为3
cm.
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6
cm(即振幅).
③小球来回摆动一次需要1
s（即周期）.
6.某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24,单位：小时)的函数,下面是水深数据:
t(时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米）
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
据上述数据描成的曲线如图3-3-6所示，经拟合，该曲线可近似看成正弦函数?y=Asinωx+B的图像.
图3-3-6
(1)试根据数据表和曲线求出y=Asinωx+B的表达式;
(2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的,如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米,那么该船在什么时间段能够安全进港 若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略离港所用的时间)
解:(1)从拟合的曲线可知,函数y=Asinωx+B在一个周期内由最大变为最小需要9-3=6个小时,此为半个周期,所以函数的最小正周期为12小时,因此=12,ω=.又当t=0时,y=10,当t=3时,ymax=13,所以B=10,A=13-?10=3.
于是所求函数解析式为y=3sinx+10.
(2)由于船的吃水深度为7米,船底与海底的距离不少于4.5米,故在船舶航行时水深y应大于等于7+4.5=11.5(米).
由拟合的曲线可知,一天24小时,水深y变化两个周期,故要使船舶在一天内停留港口的时间最长,则应从凌晨3点前进港,而从第二个周期中的下午15点后离港.
令y=3sin+10≥11.5,可得sinx≥.
∴2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z).
∴12k+1≤x≤12x+5(k∈Z).
取k=0,则1≤x≤5;取k=1,则13≤x≤17;
而取k=2时,则25≤x≤29(不合题意).
从而可知,船舶要在一天之内在港口停留的时间最长,就应从凌晨1点(1点到5点都可以)进港,而下午17点(即13点到17点之间)前离港,在港内停留的时间最长为16小时.1.8
函数y=Asin(ωx+φ)的图像
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.(高考辽宁卷，文2)函数y=sin()的最小正周期是（
）
A.
B.π
C.2π
D.4π
解析：y=sin()的最小正周期T==4π
答案：D
2.将y=sinx的图像变换为y=3sin（)的两种变换方法如下，请在“”处填上变换方法.
法一：y=sinxy=sin2xy=sin(2x+)y=3sin(2x+）；
法二：y=sinxy=sin(x+)y=sin(2x+)y=3sin(2x+).
解法一：y=sinxy=sin2x图像上所有点向左平移个单位y=sin［2（x+)］=sin(2x+）y=3sin(2x+).
解法二：y=sinxy=sin(x+)
y=sin(2x+)y=3sin(2x+).
3.已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的简图（如图1-7-1），求其相应的函数表达式，并说明它是y=sinx经过怎样的变换得到的.
图1-7-1
解：因为T=，所以ω=2.又易知A=2，所以y=2sin（2x+φ）.将点（，0）带入上式得0=2sin［2×（）+φ］，即sin（φ-）=0.由|φ|<得φ=，所以y=2sin（2x+）.
它的图像可由y=sinx的图像作如下变换得到：
y=sinxy=sin(x+)y=sin(2x+)y=2sin(2x+).
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.为了得到函数y=3sin（x-）（x∈R）的图像，只需把y=3sinx上所有的点（
）
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
解析：三角函数图像的平移变换，应遵循法则：“加左减右”，且移动的单位数仅对一个x而言.据由y=sinx的图像得到y=sin（x+φ）的图像的步骤可知，应把y=3sinx图像上所有的点向右平移个单位，即可获得y=3sin（x-）的图像.故选B.
答案：B
2.函数y=3sin（x+）图像上的点进行_____________变换，就可得到函数y=3sin（2x+）的图像（x∈R）(
)
A.横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变
B.横坐标缩短为原来的，纵坐标不变
C.纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变
D.纵坐标缩短为原来的，横坐标不变
解析：横向伸缩变换又称周期变换，即周期发生了变化，因此，可先据周期的变大（小）确定横坐标的变化.由y=sinx的图像得到y=sinωx的图像，应是将y=sinx图像上所有点的横坐标变为原来的倍（0＜ω＜1时，伸长；ω＞1时，压缩）.故由y=3sin（x+）变为y=3sin（2x+）应是横坐标缩短为原来的.所以选B.
答案：B
3.下列函数中，周期为的是（
）
A.y=sin（）
B.y=sin（）
C.y=sin（）
D.y=sin（2x+）
解析：y=Asin（ωx+φ）的周期，注意运用T=求时需ω＞0.
答案：B
4.设y=sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ等于（
）
A.0
B.
C.
D.π
解析：函数的奇偶性，可用定义，还可借助于图像.f（x）为偶函数，则从代数式上应有f（-x）=f（x），从图像上应有图像关于y轴对称.
答案：C
5.正弦函数在一个周期内的图像如图1-7-2所示，求函数的表达式.
图1-7-2
解：由题图可知振幅A=2，又=π，所以周期T=2π，进而ω==1.再据第一个零点为（，0），代入可得φ=.
所以y=2sin(x+).
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.函数y=cosx的图像经过怎样的变换才能变成函数y=cos（x+）（x∈R）的图像(
)
A.向左平移个单位
B.向左平移个单位
C.向右平移个单位
D.向右平移个单位
解析：平移变换时，一是看准平移的方向；二是确定平移的单位数.根据题意知应把y=cosx的图像向左平移个单位.故选B.
答案：B
2.已知函数y=f（x），现将y=f（x）图像上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后把整个图像沿着x轴向左平移个单位，得到y=sinx的图像，则函数f（x）的解析式为(
)
A.f（x）=
B.f（x）=
C.f（x）=
D.f（x）=
解析：依题意，函数y=sinx的图像沿x轴向右平移个单位后，所得的函数是y=.再将其图像上点的横坐标变为原来的，可得函数y=.则y=，即y=f（x）.故选D.
答案：D
3.方程2sin2x=x-3的解有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析：在同一坐标系下，画出y=2sin2x和y=x-3的图像，如下图，易知有3个交点.故方程有3个实数解.所以选C.
答案：C
4.已知函数y=Asin（ωx+φ）在同一周期内，当x=时取得最大值，当x=时取得最小值，则该函数的解析式为（
）
A.y=2sin（-）
B.y=sin（3x+）
C.y=sin（3x-）
D.y=sin（-）
解析：由题意，知A=,∴T=.∴ω==3.
将（）视为第一个最高点，代入可求出φ=，∴y=sin（3x+）.故选B.
答案：B
5.函数y=sin（2x+5）的图像的一条对称轴方程是（
）
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=
解析：函数y=sin（2x+）的对称轴垂直于x轴，有很多条，它们通过图像的最高点或最低点，即使函数取得最大值或最小值.所以一一代入验证，可得x=符合要求.故选A.
答案：A
6.函数y=cos（x+）（x∈R）（
）
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既不是奇函数又不是偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
解析：除了用定义判断某一函数的奇偶性之外，还可用图像加以深化理解.如y=cos（x+φ）若为奇函数，则φ可取哪些值，不妨结合图像解决.由奇偶函数的定义或图像，易知y=cos（x+）既不是奇函数又不是偶函数.故选C.
答案：C
7.函数y=sin（-2x）的单调减区间为_______________.
解析：令t
=，易知原函数的单调减区间即是y=sint的单调增区间.
由2kπ-≤t≤2kπ+（k∈Z），知
2kπ-≤2x-≤2kπ+（k∈Z），
∴kπ-≤x≤kπ+（k∈Z）.
因此函数y=sin（-2x）的减区间为［kπ-，kπ+］（k∈Z）.
答案：［］（k∈Z）
8.如图1-7-3，弹簧挂着的小球上下振动，时间与小球相对于平衡位置（即静止时的位置）的高度之间的函数关系式是h=2sin（t+），t∈［0，+∞）.
图1-7-3
画出这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并回答下列问题.
（1）小球开始振动（即t=0）时的位置在哪里
（2）小球最高、最低点与平衡位置的距离分别是多少
（3）经过多长时间小球往复振动一次
（4）小球每1
s能往复振动多少次
解：因为函数h=2sin（t+），t∈［0，+∞）的最小正周期是T=2π，它在［0，2π］上的简图如下.
（1）小球开始振动（即t=0）时，h=2sin（0+）=2sin.
（2）小球最高、最低点与平衡位置的距离分别是2和-2.
（3）小球往复振动一次，即是一个周期2π
s.
（4）小球每1
s能往复振动的次数，即频率f=.
9.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0,|φ|＜)的图像的一个最高点为（2，），由这个最高点到相邻最低点，图像与x轴交于（6，0）点，试求这个函数的解析式.
解：已知图像最高点为（2，），∴A=.
又据题意知从最高点到相邻最低点时交x轴于（6，0），
∴=6-2=4，即T=16
∴ω=
∴y=sin(x+φ),代入最高点坐标，.
∴sin（+φ）=1.
∴φ=.
∴函数解析式为y=.1.3
弧度制
课后导练
基础达标
1.化为角度是（
）
A.140°
B.139°
C.144°
D.159°
解析：=144°.
答案：C
2.72°化为弧度是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：72×.
答案：A
3.若α=-4弧度，则α是（
）
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
解析：∵＜-4＜-π,
∴α是第二象限角.
答案：B
4.将1
008°化为α+2kπ(0≤α＜2π,k∈Z)的形式（
）
A.2π+
B.2π-
C.3π+
D.3π-
解析：1
008°=720°+288°=2π+.
答案：A
5.若扇形的面积是1
cm2,它的周长是4
cm，则扇形圆心角的弧度数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:确定扇形的条件有两个，最直接的条件是给出扇形的半径、弧长和圆心角中的两个.设扇形的半径为Ｒ，弧长为l，由已知条件可知：
R=1，所以扇形的圆心角度数为=2.
答案：Ｂ
6.圆的半径变为原来的2倍，而弧长不变，设弧所对的圆心角是原来的________倍.
解析：由α=可知该弧所对的圆心角是原来的倍.
答案：
7.α是第二象限角，则π+α是第______象限角.
解析：取α=,则π+α=,故α在第四象限.
答案：四
8.一弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及扇形的面积.
解析：如右图，作OC⊥AB于C，则C为AB的中点，
且AC=1,∠AOC=，
所以r=OA=.
则弧长l=|α|·r=，
面积S=lr=.
9.在直径为10
cm的轮子上有一长为6
cm的弦，P为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，求经过5秒钟后，点P转过的弧长.
解析：P到圆心O的距离PO==4（cm），
即为点P所在新圆的半径，
又点P转过的角的弧度数α=5×5=25，
所以弧长为α·OP=25×4=100（cm）.
10.如右图,动点P、Q从点A(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P、Q第一次相遇时所用的时间，相遇点的坐标及P、Q点各自走过的弧长.
解析：设P,Q第一次相遇时所用的时间是t，
则t·+t·|-|=2π，
所以t=4（s），即第一次相遇的时间为4
s.
设第一次相遇点为C，第一次相遇时已运动到终边在×4=的位置，则xc=-cos×4=-2，yc=-sin×4=，所以C点的坐标为（-2,)，P点走过的弧长为：×4=;Q点走过的弧长为.
综合运用
11.下列四个命题中，不正确的一个是（
）
A.半圆所对的圆心角是π
rad
B.周角的大小等于2π
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
解析：本题考查弧度制下，角的度量单位：1弧度的概念.根据一弧度的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各选项，可知D不正确.
答案：D
12.已知集合A={α|2kπ≤α≤(2k+1)π,k∈Z},B={α|-4≤α≤4},则A∩B等于（
）
A.
B.{α|0≤α≤π}
C.{α|-4≤α≤4}
D.{α|-4≤α≤-π或0≤α≤π}
解析：取k=0,-1，写出A在k取值-1，0时的α,画数轴求解.
答案：D
13.(2006辽宁高考，文1)
函数y=sin(x+3)的最小正周期是（
）
A.
B.π
C.2π
D.4π
解析：函数y=sin(12x+3)的最小正周期T==4π.
答案：D
14.如下图所示，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，（不包括边界）.
解析：（1）中OB为终边的角为330°，可看成-30°，化为弧度，
即，而75°=,
∴阴影部分内的角的集合为
{θ|2kπ＜θ＜2kπ+,k∈Z}.
（2）中OB为终边的角是225°，可看成-135°，
化为弧度，即π，
而135°=.
∴阴影部分内的角的集合为
{θ|2kπ＜θ＜2kπ+,k∈Z}.
15.用30
cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解析：设扇形半径为r，弧长为l,扇形面积为S.
则l+2r=30,即l=30-2r.①
将①式代入S=lr,得S=（30-2r）·r
=-r2+15r=-(r-)2+.
所以当r=时，扇形面积最大，且最大面积为
cm2.
此时圆心角θ=30-=2.
拓展探究
16.在炎炎夏日，用纸扇驱走闷热，无疑是很好的办法.纸扇在美观的设计上，可考虑用料、图案和形状.若从数学角度看，我们能否利用黄金比例（0.618）去设计一把有美感的白纸扇呢？
思路分析:在设计纸扇张开角(θ)时，可以考虑从一圆形（半径为r）分割出来的扇形的面积(A1)与剩余面积(A2)的比值.若这一比值等于黄金比例，便可找到θ.
解析：若=0.618,θ以弧度表示,则
θ=0.618(2π-θ).
所以θ=0.764π≈140°（精确到度）.
我们可以找市面上的纸扇去检验其张开的角度是否接近140°，也可以自制不同形状的纸扇，去测试一下是否θ接近140°时纸扇的形状最美观.1.9
三角函数的简单应用
自主广场
我夯基
我达标
1.已知sinA=，角A是△ABC的一个内角，则角A的度数为（
）
A.
B.
C.或
D.或
思路解析：∵角A是△ABC的一个内角，∴0＜A＜π.
∴A＝或.
答案：C
2.如图3-3-4所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离为s
cm和时间t
s的函数关系式为s=6sin(2πt+)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（
）
图3-3-4
A.2π
s
B.π
s
C.1
s
D.
2
s
思路解析：单摆来回摆动一次所需的时间为此函数的一个周期,则T==1.
答案：C
3.图3-3-5是一弹簧振子作简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是______________.
图3-3-5
思路解析：设函数解析式为y=Asin(ωx+φ)，
由图像可知A=2，T=2×(0.5-0.1)=，
∴ω=.∴y=2sin(x+φ).
由图像得×0.1+φ=.∴φ=.
∴函数的解析式为y=2sin(x+).
答案：y=2sin(x+)
4.甲、乙两楼相距60米，从乙楼底部望甲楼的顶部的仰角为45°，从甲楼的顶部望乙楼的顶部的俯角为30°，则甲、乙两楼的高度分别为_________________.
图3-3-6
思路解析：如图3-3-6，甲楼的高度AC=AB=60米.
在Rt△CDE中，DE=CE·tan30°=60×=20(米)
即乙楼的高度为BD=BE-DE=(60-20)米.
答案：60米和(60-20)米
5.一树干被台风吹折，断裂部分与原树干成60°角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度为________________.
图3-3-7
思路解析：如图3-3-7所示，BC=20tan30°=,
AB=，
所以树干原来的高度为AB+BC=20（米）.
答案：20米
6.(2006全国高考卷，理17)△ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA+2cos取得最大值，并求出这个最大值.
思路分析：转化为求关于sin的二次函数的最值.
解：∵A+B+C=π，
∴=-.
∴cos=sin.
∴cosA+2cos=cosA+2sin=1-2sin2+
2sin=-2(sin-)2+.
∴当sin=，
即A=时，
cosA+2cos取得最大值为.
我综合
我发展
7.某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦曲线变化.
（1）画出种群数量关于时间变化的图像；
（2）求出种群数量作为时间t的函数表达式（其中t以年初以来的月为计量单位）.
解：（1）种群数量关于时间变化的图像如图3-3-8所示.
图3-3-8
（2）设表示该曲线的三角函数为y=Asin(ωx+φ)+k.
由已知平均数量为800，最高数量与最低数量之差为200，数量变化周期为12个月，
∴振幅A==100，
即ω==,k=800.
又7月1日种群数量达到最高，
∴×7+φ=-.
∴φ=-.
∴种群数量关于时间t的函数表达式为y=100sin(t-4)+800.
8.(2006山西太原模拟)已知向量a=(sinB，1-cosB)与向量b=(2，0)的夹角为，其中B是△ABC的内角，求角B的大小.
思路分析：先利用夹角公式求B的余弦值，再确定大小.
解：由题意，得a·b=2sinB，∣a∣=，∣b∣=2.
∴
cos.
整理，得2cos2B-cosB-1=0.
解得cosB=-1（舍去）或cosB=-.
又∵B是△ABC的内角，
∴0＜B＜π.∴B=.
9.(经典回放）如图3-3-9，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.
3-3-9
(1)求这段时间的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
思路解析:根据A、ω、φ、b对图像的影响确定解析式.
解:(1)由图3-3-9所示，
这段时间的最大温差是30-10=20(℃)；
(2)从图中可以看出，
从6时到14时的图像是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图像.
∴·=14-6，解得ω=.
由图知A=
(30-10)=10，
b=
(30+10)=20，
这时y=10sin(x+φ)+20，
将x=6，y=10代入上式，可取φ=,
综上,所求的解析式为y=10sin(x+)+20，x∈［6，14］.1.7
正切函数
自主广场
我夯基
我达标
1.(北京西城5月抽样，理1)sin600°＋tan240°的值是（
）
A.-
B.
C.-+
D.+
思路解析：sin600°+tan240°=sin(360°+240°)+tan(180°+60°)=sin240°+tan60°=-sin60°+tan60°
=-+.
答案：C
2.若tanx=且x∈（-，），则x等于…（
）
A.
B.-
C.-
D.
思路解析：由正切函数的图像知在（-，）内仅有tan(-)=，x=-.
答案：B
3.要得到y=tan2x的图像，只需将y=tan(2x+)的图像（
）
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
思路解析：因为y=tan2(x+)，所以将其向右平移个单位可得y=tan2x的图像.
答案：D
4函数y=2tan(3x+)-5的单调递增区间是_______________.
思路解析：令kπ-＜3x+＜kπ+
(k∈Z)，得-＜x＜+.
答案：(-,+)(k∈Z)
5.求函数y=的定义域.
思路分析：利用正切函数的图像得定义域.
解：x的取值需满足tanx-1≥0，即tanx≥1.
画出正切函数的图像，则在(-,)内，≤x＜.
则x的取值满足kπ+≤x＜kπ+
(k∈Z)，
即函数的定义域是［kπ+,kπ+)(k∈Z).
6.已知tanα=2，利用三角函数的定义，求sinα和cosα.
思路分析：在α的终边上取一点P(a,2a)，其中a≠0，利用三角函数的定义求得.注意要对α所在的象限分类讨论.
解：在α的终边上取一点P(a,2a)，则有x=a,y=2a,r=.
∵tanα=2＞0，
∴α在第一象限或第三象限.
当α在第一象限时，a＞0，则r=a.
∴sinα===,cosα===.
当α在第三象限时，a＜0,则r=-a.
∴sinα==，cosα=.
我综合
我发展
7.判断函数y=的奇偶性.
思路分析：先求定义域，再确定f(-x)与f(x)的关系.
解：要使函数有意义，则cosx≠0，得函数定义域是{x|x≠kπ+,k∈Z}.
f(-x)=
=
=
=-f(x),
∴y=是奇函数.
8.已知sin(α+β)=1，化简:tan(2α+β)+tanβ.
思路分析：由sin(α+β)=1,得到α+β=2kπ+，即α＝2kπ+-β.然后利用诱导公式进行化简.
解：∵sin(α+β)=1，
∴α+β=2kπ+
(k∈Z).
∴α=2kπ+-β(k∈Z).
∴tan(2α+β)+tanβ
=tan［2(2kπ+-β)+β］+tanβ
=tan(4kπ+π-β)+tanβ
=tan(π-β)+tanβ
=-tanβ+tanβ=0.
∴tan(2α+β)+tanβ=0.
9.已知函数f(x)=tanx,x∈(0,
)，若x1,x2∈(0,
)且x1≠x2，试比较［f(x1)+f(x2)］与f()的大小.
思路分析：数形结合,利用正切函数的图像性质构造图形证明.
解：f(x)=tanx,x∈(0,)的图像如图1-6-6所示，
图1-6-6
则f(x1)=AA1,f(x2)=BB1，f()=CC1，
C1D是直角梯形AA1B1B的中位线.
所以［f(x1)+f(x2)］=(AA1+BB1)=DC1＞CC1=f(),
即［f(x1)+f(x2)］＞f().
10.根据正切函数的图像，写出不等式3+tan2x≥0成立的x的取值集合.
思路分析：不等式3+tan2x≥0等价于tan2x≥-，再利用正切函数的图像解得.
解：如图1-6-7所示，在同一坐标系中画出函数y=tanx,x∈(-,)的图像和直线y=-.
图1-6-7
由图,得在区间(-,)内，不等式tanx≥-的解是-≤x＜.
∴在{x|x≠kπ+,k∈Z}内，不等式tanx≥-的解是kπ-≤x＜kπ+(k∈Z).
令kπ-≤2x＜kπ+
(k∈Z),
得-≤x＜+(k∈Z),即不等式3+tan2x≥0成立的x的取值集合是［-,+）(k∈Z).1.3
弧度制
自主广场
我夯基
我达标
1．下列命题中，错误的是（
）
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.一度的角是周角的，一弧度的角是周角的
C.根据弧度的定义，180°等于π弧度
D.不论用角度制还是用弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关
思路解析：由角和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与半径的长短无关，只与弧长与半径的比值有关.
答案：D
2．α是第三象限的角，则π+α是（
）
A.第一象限的角
B.第二象限的角
C.第三象限的角
D.第四象限的角
思路解析：结合图形，π+α可以看成将α按顺时针旋转π得到的，则π+α是第一象限的角.
答案：A
3.如果一扇形的圆心角为72°，半径等于20
cm，则扇形的面积为（
）
A.40π
cm2
B.80π
cm2
C.40
cm2
D.80
cm2
思路解析：先把角度化为弧度，然后利用弧度制下的扇形面积公式即可解出.72°=,S=|α|r2=××202=80π
cm2.
答案：B
4．若扇形的面积是1
cm2，它的周长是4
cm，则扇形圆心角的弧度数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
思路解析：设扇形的半径为Ｒ，弧长为l，由已知条件可知解得所以扇形的圆心角度数为=2.
答案：B
5．若α、β满足-＜α＜β＜，则α-2β的取值范围是____________________.
思路解析：由题意,得-＜α＜，-π＜-2β＜π，∴-＜α-2β＜.
答案：(-,)
6.1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及扇形的面积.
思路分析：解决此问题的关键是求圆的直径.
图1-3-5
解：如图所示，作OC⊥AB于C，
则C为AB的中点，且AC=1，∠AOC=，∴r=OA==.
则弧长l=|α|·r=，面积S=lr=.
我综合
我发展
7.在直径为10
cm的轮子上有一长为6cm的弦，P为弦的中点，轮子以每秒５弧度的角速度旋转，求经过５秒钟后，点P转过的弧长.
思路分析：P点在一新圆上，所以要求点P转过的弧长，需先求新圆的半径.
解：P到圆心O的距离PO==4（cm），即点P所在新圆的半径为4，又点P转过的角的弧度数α=5×5=25，所以弧长为α·OP=25×4=100（cm）.即点P转过的弧长为100
cm.
8.如图1-3-6,动点P、Q从点(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P、Q第一次相遇时所用的时间，相遇点的坐标及P、Q点各自走过的弧长.
图1-3-6
思路分析：利用方程思想，结合题意，求出第一次相遇的时间；利用解直角三角形的知识，根据点所处位置，确定相遇点坐标；（3）利用弧长公式求弧长.
解：设P、Q第一次相遇时所用的时间是t，则t·+t·|-|=2π，所以t=4（秒），即第一次相遇的时间为4秒，设第一次相遇点为C，则第一次相遇时已运动到终边在·4=的位置，则xC=-cos·4=-2,yC=-sin·4=-，所以C点的坐标为(-2,-
)，P点走过的弧长为·4=；Q点走过的弧长为·4=.
9.将钟表上的时针作为角的始边，分针作为终边，那么当钟表上显示8点5分时，时针与分针构成的角度是_____________.
思路解析：本题应从任意角的概念出发，研究时针与分针所构成的角α，其中有正角、负角，共有无穷多个角.要求这无穷多个角，可先求出在-360°—0°范围内的角∠AOB.∠AOB＝-(×360°×+90°+×360°)=-147.5°,所以角α可表示为α＝k·360°-147.5°（k∈Z）
答案：k·360°-147.5°（k∈Z）
10.如图1-3-7，已知一长为dm，宽为1
dm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木板挡住，且木块底面与桌面成角为，求点A走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积.
图1-3-7
思路分析：A点首先以B为圆心，以2为半径旋转达到A1的位置；再以C为圆心，以1为半径旋转到A2的位置；然后以A2为圆心旋转，最后以D为圆心，以3为半径转过到达A3，A点走过的路程将包括三段弧，将这三段弧长及三个扇形面积分别相加即可.
解：由题意得所对的圆的半径为2，圆心角为，则弧长l1=2×=π，扇形面积S1=××22=π.
所对的圆半径是1，圆心角是，则弧长l2=1×=，扇形面积S2=××12=.
所对的圆半径为，圆心角为，则弧长l3=×=，扇形面积S3=××()2=.则所走过路程是三段圆弧之和，即π++=，三段弧所在扇形的总面积是π++=dm2.
11.一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2
km，一列火车用每小时30
km的速度通过，10
s间转过几度？
思路分析：利用速度和时间求出路程，即得圆弧的弧长，再由弧长公式可得圆心角的度数.因为火车前进的方向未知，所以将圆心角的大小加上绝对值.
解：因为圆弧半径为2
km=2
000
m，vk=30
km/h=m/s，10
s走过的弧长为m，
∴|α|==rad≈2.39°,即10秒间转过约2.39°.1.7
正切函数
自我小测
1．下列各式成立的是( )
A．tan(π＋α)＝－tan
α
B．tan(π－α)＝tan
α
C．tan(－α)＝－tan
α
D．tan(2π－α)＝tan
α
2．tan的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
3．已知角α终边上有一点P(5n,4n)(n≠0)，则tan(180°－α)的值是( )
A．－
B．－
C．±
D．±
4．已知tan(243°－α)＝，那么tan(－927°－α)的值为( )
A．
B．－
C．－3
D．±3
5．化简tan(π－α)＋tan(α－π)的结果为( )
A．0
B．2tan
α
C．－2tan
α
D．2cot
α
6．tan＝__________.
7．已知tan(π－x)＝，则tan(x－3π)＝__________.
8．log4sin＋log9tan＝________.
9．求下列各式的值：
(1)cos＋tan；
(2)sin
810°＋tan
765°＋tan
1
125°＋cos
360°.
10．利用正切函数的单调性比较tan与tan的大小．
参考答案
1．解析：tan＝－tan
＝－tan＝－5，故tan＝5.
答案：B
2．解析：b＝tan
2＝tan(2－π)，c＝tan
3＝tan(3－π)，
又－＜2－π＜3－π＜1＜，
且y＝tan
x在上是增加的，
则有tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan
1，即b＜c＜a.
答案：B
3．解析：tan＝－tan＝－tan＝－tan＝tan＝.
答案：
4．解析：＝tan
300°＝－tan
60°＝－.
答案：－
5．解：(1)∵tan
9＝tan(－2π＋9)，
而＜2＜－2π＋9＜π，且y＝tan
x在内是增加的，
∴tan
2＜tan(－2π＋9)，即tan
2＜tan
9.
(2)∵tan＝tan，tan＝tan，
又∵0＜＜＜，且y＝tan
x在内是增加的，
∴tan＜tan，
即tan＜tan.
课后作业·稳步提升
1．解析：tan(π＋α)＝tan
α；tan(π－α)＝－tan
α；tan(－α)＝－tan
α；tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan
α.故选C.
答案：C
2．解析：tan＝tan＝－tan＝－.
答案：B
3．解析：∵角α终边上有一点P(5n,4n)(n≠0)，∴tan
α＝，
∴tan(180°－α)＝－tan
α＝－.
答案：A
4．解析：tan(243°－α)＝tan(180°＋63°－α)＝tan(63°－α)＝，
而(27°＋α)＋(63°－α)＝90°，
所以tan(27°＋α)＝3，
所以tan(－927°－α)＝－tan(927°＋α)
＝－tan(5×180°＋27°＋α)＝－tan(27°＋α)＝－3.
答案：C
5．解析：tan(π－α)＋tan(α－π)＝－tan
α＋tan
α＝0.
答案：A
6．解析：tan＝－tan＝－tan＝－tan
＝－tan＝－tan＝－.
答案：－
7．解析：由tan(π－x)＝知tan
x＝－，
故tan(x－3π)＝－tan(3π－x)＝tan
x＝－.
答案：－
8．解析：∵sin＝sin＝sin＝，
tan＝－tan＝tan＝，
∴log4
sin＋log9
tan＝log4＋log9
＝＝－－＝－.
答案：－
9．解：(1)cos＋tan＝cos＋tan
＝cos＋tan＝＋1＝.
(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(0°＋360°)＝sin
90°＋tan
45°＋tan
45°＋cos
0°＝4.
10．解：∵tan＝tan＝tan，
tan＝tan＝tan，
又∵函数y＝tan
x在上是增加的，
而－＜－＜＜，
∴tan＜tan，
即tan＜tan.