1.2
角的概念的推广
课后导练
基础达标
1.与30°终边相同的角的集合是（
）
A.{α|α=k·360°+30°,k∈Z}
B.{α|α=k·360°-30°,k∈Z}
C.{α|α=k·180°+30°,k∈Z}
D.{α|α=k·180°-30°,k∈Z}
解析：与30°终边相同的角α=k·360°+30°.
答案：A
2.下面属于第三象限角的是（
）
A.270°
B.179°
C.550°
D.1
000°
解析：270°不是象限角，179°是第二象限角，550°=360°+190°为第三象限角，1
000°=720°+280°为第四象限角，故选C.
答案：C
3.给出下列四个命题：①-15°是第四象限的角；②185°是第三象限的角；③475°是第二象限的角；④-350°是第一象限的角.其中正确的个数是（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:将题中的角化成α+k·360°(k∈Z),α在0°—360°之间的形式即可判断四个命题都正确.
答案：D
4.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z}，B={β|-180°＜β＜180°}则A∩B等于（
）
A.{-36°,54°}
B.{-126°,144°}
C.{-126°,-36°,54°,144°}
D.{-126°,54°}
解析:在集合A中，令k取不同的整数，找出既属于A又属于B的角度即可.k=-1,0,1,2验证可知A∩B={-126°,-36°,54°,144°}.
答案：C
5.若α是第一象限角，下列各角中为第四象限角的是（
）
A.90°-α
B.90°+α
C.360°-α
D.180°+α
解析：取α=30°，把它代入选项中检验，选C.
答案：C
6.时针走过2小时40分，则分针转过的角度是____________.
解析：要注意角的方向，钟表中时针和分针转过的角都是负角.
答案：-960°
7.已知-1
000°＜α＜-640°,且α与120°角的终边相同，则α=___________.
解析：∵α与120°终边相同，
故α=k·360°+120°,k∈Z.
又∵-1
000°＜α＜-640°,
∴-1
000°＜k·360°+120°＜-640°.
即-1
120°＜k·360°＜-760°.
当k=-3时，α=(-3)×360°+120°=-960°.
答案：-960°
8.写出终边在y轴上的角的集合.
解析：在0°—360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°,270°角.因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1={β|β=90°+k·360°,k∈Z},
而所有与270°角终边相同的角构成集合
S2={β|β=270°+k·360°,k∈Z}.
于是，终边在y轴上的角的集合
S=S1∪S2={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+180°+2k·180°,k∈Z}
={β|
β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1)180°,k∈Z}
={β|β=90°+n·180°,n∈Z}.
9.已知A={锐角}，B={0°到90°的角}，C={第一象限角}，D={小于90°的角}.求A∩B,A∪C,C∩D,A∪D.
解析：A={α|0°<α<90°};
B={α|0°≤α<90°}；
C={α|k·360°<α
D={α|α<90°}.
所以A∩B={α|0°<α<90°};A∪C={α|k·360°<αC∩D={α|k·360°<α10.设两个集合M={α|α=k·90°+45°,k∈Z},N={α|α=k·180°-45°,k∈Z}，试求M、N之间的关系.
解析：集合M、N分别如图甲和图乙所示：
由上图可知：NM.
综合运用
11.如果α与x+45°具有同一条终边，角β与x-45°具有同一条终边，那么α与β间的关系是（
）
A.α+β=0
B.α-β=0
C.α+β=k·360°,k∈Z
D.α-β=k·360°+90°,k∈Z
解析:利用终边相同的角的关系，分别写出α、β，找出它们的关系即可.
由题意知，α=k·360°+x+45°,k∈Z;β=n·360°+x-45°,n∈Z.两式相减得α-β=(k-n)·360°+90°,(k-n)∈Z.
答案：D
12.已知2α的终边在x轴的上方（不与x轴重合），则α的终边在（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第一或第三象限
解析：360°·k＜2α＜360°·k+180°,
180°·k＜α＜180°·k+90°.
令k=0,1得
0°＜α＜90°,
180°＜α＜270°，故选D.
答案：D
13.角α小于180°而大于-180°，它的7倍角的终边又与自身终边重合，则满足条件的角α的集合为_________.
解析:终边相同的角的大小相差360°的整数倍.
与角α终边相同的角连同角α在内可表示为：
{β|β=α+k·360°,k∈Z}.
∵它的7倍角的终边与其终边相同，
∴7α=α+k·360°，
解得α=k·60°,k∈Z.
∴满足α的集合为：{-120°,-60°,0°,60°,120°｝.
答案：{-120°,-60°,0°,60°,120°｝
14.如右图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：
（1）终边落在射线OM上；（2）终边落在直线OM上；
（3）终边落在阴影区域内（含边界）.
解析：(1)终边落在射线OM上的角的集合
A={α|α=45°+k·360°,k∈Z},
(2)终边落在射线OM上的角的集合为
A={α|α=45°+k·360°,k∈Z}
终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为
B={α|α=225°+k·360°,k∈Z}.
所以终边落在直线OM上的角的集合为
A∪B={α|α=45°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=225°+k·360°,k∈Z}
={α|α=45°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=45°+(2k+1)·180°,k∈Z}
={α|α=45°+180°的偶数倍}∪{α|α=45°+180°的奇数倍}
={α|α=45°+180°的整数倍}
={α|α=45°+n·180°,n∈Z}.
(3)同理可得终边落在直线ON上的角的集合为{β|β=60°+n·180°,n∈Z},
所以终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为：
{α|45°+n·180°≤α≤60°+n·180°,n∈Z}.
15.若θ角的终边与168°角的终边相同，求在［0°,360°）内终边与角的终边相同的角.
解析：∵θ=k·360°+168°(k∈Z),
∴=k·120°+56°(k∈Z).
而0°≤k·120°+56<360°(k∈Z),
则k=0,1,2,
即在［0°,360°)内有=56°,176°,296°.
拓展探究
16.今天是星期三，那么7k(k∈Z)天后的第一天是星期几？7k(k∈Z)天前的第一天是星期几？100天后的第一天是星期几？
解析：每星期，从星期一直到星期日，每星期7天，呈现周期性变化，每7天都要重复出现.
∵今天是星期三，
∴7k(k∈Z)天后的第一天仍是星期三，
7k(k∈Z)天前的第一天仍是星期三.
∵100=7×14+2,
又∵今天是星期三，
∴100天后的第一天是星期五.1.9
三角函数的简单应用
课后导练
基础达标
1.下列与tanα相等的是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由tan=可知D正确.
答案：D
2.y=sin2x的最小正周期T和奇偶性为（
）
A.T=2π，偶函数
B.T=2π，奇函数
C.T=π，偶函数
D.T=π，奇函数
解析：y=sin2x=.
答案：C
3.已知π＜α＜2π，则cos的值等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：π<α<2π,<<π.
cos=.
答案：C
4.tan+的值（
）
A.2
B.3
C.4
D.6
解析：tan=，
,
∴原式==4.
答案：C
5.若<α<π,且cosα=a,则sin等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：∵<α<π,
∴sin>0,
∴sin=.
答案：A
6.tan15°=______________-.
解析：tan15°=.
答案：2-
7.若3sinα=4cosα,且sinα<0,则tan=_____________.
解析：3sinα=4cosα,∴tanα=.
∵sinα<0,tanα>0,
∴α在第三象限，2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z,
∴kπ+<∴tan<0,由2tan,
得tan=-2.
答案：-2
8.求证：(1+tanx·tan)=tanx.
证明：左=(1+)
=sinx(1+)==tanx=右.
9.已知|cosθ|=,且<θ<3π,求sin、cos、tan的值.
解析：∵|cosθ|=,<θ<3π,
∴cosθ=,<<.
由cosθ=1-2sin2,
有sin=.
又cosθ=2cos2-1,
有cos=,
tan==2.
10.设sinα∶sin=8∶5,求cosα与tan的值.
解析：∵,∴cos=,
∴cosα=2cos2-1=2×()2-1=,
tan.
综合运用
11.若cos(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=且β在第三象限，则cos为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由题意知sin(α-β-α)=,
即sin(-β)=，∴sinβ=-.
∵β是第三象限角，
∴cosβ=，且是二、四象限角.
∴cos=±.
答案：B
12.若P=(<α<2π)则化简P可得（
）
A.-cos
B.cos
C.-sin
D.sin
解析：∵α∈(,2π),∴∈(,π),
∴原式==|cos|
=-cos.
答案：A
13.已知sinα=，且α为第二象限角，则tan的值为___________.
解析：∵α为第二象限角，∴cosα=.
tan=
.
答案：
14.已知sinθ=,3π<θ<,则tan=_________________.
解析：∵3π<θ<,
∴cosθ=-.
tan==-3.
答案：-3
15.发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流分别是时间t的函数：Ia=Isinωt,Ib=Isin(ωt+120°),Ic=Isin(ωt+240°).你能算算它们的电流之和吗
解析：I=Ia+Ib+Ic
=I［sinωt+sin(ωt+120°)+sin(ωt+240°)］
=I［sinωt+sin(60°-ωt)-sin(ωt+60°)］
=I(sinωt+cosωtsinωt-cosωtsinωt)
=I(sinωt-sinωt)=0.
拓展探究
16.有一块半径为R、中心角为45°的扇形铁皮材料，为了截取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常将矩形的一边放在扇形的半径上，然后作其最大的内接矩形.你能帮工人师傅设计一方案，选出矩形的四点吗
解析：如下图,设∠POA=θ，则PN=Rsinθ.
OM=QM=PN=Rsinθ,ON=Rcosθ.
MN=ON-OM=Rcosθ-Rsinθ.
则S矩形PQMN=MN·PN
=R(cosθ-sinθ)·Rsinθ=R2(sinθcosθ-sin2θ)
=R2(sin2θ-1+cos2θ)
=R2［sin(2θ+)-］,
当2θ+=,即θ=时，S矩形PQMN最大且最大值为R2.
因此可以这样选点，以扇形一半径OA为一边在扇形上作∠AOP=,P为边OP与扇形的交点，自P作PN⊥OA于N,PQ∥OA交OB于Q.若作QM⊥OA于M，则矩形MNPQ为所求的面积最大的矩形.2.4
平面向量的坐标
课后导练
基础达标
1.已知a=(1,1),b=(2,3),则2a-b的坐标是(
)
A.（0，-1）
B.（0，1）
C.（-1，0）
D.（1，0）
解析:2a-b=2(1,1)-(2,3)=(2，2)-(2，3)=（0，-1）.
答案：A
2.(浙江,文4)
已知向量a=(3,4),b=(sinα,cosα),且a∥b,则tanα等于(
)
A.
B.
C.
D.
解析：∵a∥b,
∴3cosα-4sinα=0,
∴tanα=.
答案：A
3.下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（
）
A.e1=(0,0),e2=(1,-2)
B.e1=(-1,2),e2=(5,7)
C.e1=(3,5),e2=(6,10)
D.e1=(2,-3),e2=(,)
解析：验证找出不共线的一组向量.
答案：B
4.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于(
)
A.-a+b
B.a-b
C.a-b
D.-a+b
解析：本题主要考查平面内任一向量可用该平面内一组基底唯一线性表示，可用待定系数法.
答案：B
5.已知A（1，-3），B（8，）且A、B、C三点共线，则C点的坐标是（
）
A.（-9，1）
B.（9，-1）
C.（9，1）
D.（-9，-1）
解析：设C（x,y）,则=（7，），=（x-1,y+3）.
∵A、B、C三点共线，
∴∥，
∴7（y+3）=(x-1),7x-14y-49=0.
只有C满足.
答案：C
6.(2004上海，文6)
已知点A（-1，-5）和向量a=(2,3)，若=3a,则点B的坐标为______.
解析：设B（x,y）则=（x+1,y+5）,
∵=3a，
∴(x+1,y+5)=3(2,3),
∴
∴B的坐标（5，4）.
答案：（5，4）
7.已知三个向量=（k,12）,=(4,5),=(10,k)，且A、B、C三点共线，则k=________.
解析:由A、B、C三点共线，可得=λ,
即（4-k,-7）=λ(6,k-5).
于是由方程组
利用代入法解得
答案：-2或11
8.已知a=(10,-4),b=(3,1),c=(-2,3)，试用b,c表示a.
解析:设a=λb+μc
(λ,μ∈R),
则（10，-4）=λ(3,1)+μ(-2,3)
=(3λ,λ)+(-2μ,3μ).(3λ-2μ,λ+3μ).
∴
∴a=2b-2c.
9.如右图，已知点A（4，0），B（4，4），C（2，6）.
求AC和OB交点P的坐标.
解析：设P（x,y）,则=（x,y）,
=(4,4),∵,共线，
∴4x-4y=0.又=（x-2,y-6）,
=(2,-6),且与共线，
∴-6（x-2）-2(y-6)=0.
于是可解得x=3,y=3,即P（3，3）.
10.已知a=(1,2),b=(x,1),μ=a+2b,v=2a-b且μ∥v,求x.
解析：μ=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4),
v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3),
μ∥v,存在λ∈R,使μ=λv.
即（2x+1,4）=λ(2-x,3)=((2-x)λ,3λ).
∴
∴x=.
综合运用
11.已知两点A（2，3），B（-4，5），则与共线的单位向量是(
)
A.（-6，12）
B.（-6，2）或（6，-2）
C.（）
D.（）或（）
解析：=(-6，2)，
∴与共线的单位向量是±
∴单位向量为（）或（）.
答案：D
12.已知边长为单位长的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴的正向上，则向量2+3+的坐标为____________.
解析:由已知，有A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），
∴=（1，0），=（0，1），=（1，1），则有2+3+=（2，0）+（0，3）+（1，1）=（3，4）.
答案：（3，4）
13.已知O（0，0）和A（6，3）两点，若点P在直线OA上，且=，又点P是线段OB的中点，则B的坐标是______________.
解析：由已知，得=（6，3），
∵=，∴=，
∴==（2，1），=2=（4，2）.
答案：（4，2）
14.如右图，已知△ABC,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M,N,D分别是AB、AC、BC的中点，且MN与AD交于F点，则的坐标为_________.
解析：由已知=（-4-3），=（4-7，3-8）=（-3，-5），
又∵D是
BC的中心，∴=（+）=（-4-3，-3-5）=（-3.5，-4）.
又∵M、N分别为AB、AC的中点，
∴F为AD的中点.
∴==-=-（-3.5，-4）=（1.75，2）.
答案：（1.75,2）
15.已知：a、c是同一平面内的两个向量，其中a=(1,2).
若|c|=,且c∥a,求c的坐标
解析：设c=(x,y),∵|c|=,
∴,即x2+y2=20.①
∵c∥a,a=(1,2),
∴2x-y=0,即y=2x.②
联立①②得
∴c=(2,4)或（-2，-4）.
拓展探究
16.已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及=+t，试问：
（1）t为何值时，P在x轴上？在y轴上？P在第二象限？
（2）四边形OABP能否构成平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
解析：（1）=（3，3），
=+t=（1+3t,2+3t）.
若P在x轴上，则2+3t=0，
解得t=-;
若P在y轴上，则1+3t=0，
解得t=-;
若P在第二象限，
则解得＜t＜.
(2)∵=(1,2),=+=(3-3t,3-3t),
若四边形OABP为平行四边形，则
=，
而无解，
∴四边形OABP不能构成平行四边形.2.3
从速度的倍数到数乘向量
课后导练
基础达标
1.已知菱形的两邻边=a，=b，其对角线交点为D，则等于(
)
A.a+b
B.a+b
C.(a+b)
D.a+b
解析:由平行四边形法则及平行四边形的性质可得.
答案：C
2.化简：［(2a+8b)-(4a-2b)］得(
)
A.2a-b
B.2b-a
C.b-a
D.a-b
答案：B
3.已知5(x+a)=3(b-x),则x等于（
）
A.a-b
B.a-b
C.a+b
D.a+b
解析：∵5(x+a)=3(b-x)，
∴5x+5a=3b-3x,
∴8x=3b-5a，
∴x=a+b.
答案：C
4.已知e1,e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是（
）
A.e1+e2和e1-
e2
B.3e1-2e2和4e2-6e1
C.e1+2e2和e2+2e1
D.e2和e1+e2
解析：∵4e2-6e1=-2(3e1-2e2),
∴3e1-2e2与4e2-6e1共线，
∴它们不能作为一组基底，作为基底的两向量一定不共线.
答案：B
5.在ABCD中，与交于点M，若设=a,=b,则以下选项中，与-a+b相等的向量有（
）
A.
B.
C.
D.
解析：∵-a+b=(b-a)=(-)==.
答案：D
6.已知3(x-a)+2(x+2a)-4(x+a-b)=0,则x_____________.
解析：等式可化为3x+2x-4x-3a+4b=0,
∴x=3a-4b.
答案：3a-4b
7.设e1、e2是不共线向量，e1+4e2与ke1+e2共线，则实数k的值___________.
解析:e1+4e2=λ(ke1+e2)=λke1+λe2，
∴λ=4
λk=1.
∴k=.
答案：
8.在△ABC中，设=m,=n,D、E是边BC上的三等分点，则=_______,=_______.
解析:由D,E是边BC上的三等分点，可得=,=，转化为已知向量即可.
答案：m+n
m+n
9.在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，设=a,=b，求作向量a-b,a-b,b+a.
解析：如下图a-b=-=.
a-b=-=.b+a=+=.
10.如右图，四边形ABCD为矩形，且|AD|=2|AB|，又△ADF为等腰直角三角形，E为FD中点，=e1，=e2.以e1、e2为基底，表示向量、、及.
解析：∵=
e1,=e2,
∴=e2-e1.
依题意有|AD|=2|AB|=|DE|，且F为ED中点，
∴四边形ABDF为平行四边形.
∴==e2-e1,==e2.
∴=+=e2-e1+e2=2e2-e1.
综合运用
11.向量、、的终点A、B、C在一条直线上，且=-3.设=p，=q,
=r，则下列等式成立的是(
)
A.r=-p+q
B.r=-p+2q
C.r=p-q
D.r=-q+2p
解析：由=-3得
-=-3(-)，
即2=-+3，
∴=-+，
即r=-p+q.
答案：A
12.设一直线上三点A、B、P满足=λ(λ≠1)，O是空间一点，则用、表示为(
)
A.=+λ
B.=λ+(1-λ)
C.=
D.=+
解析:由=λ(λ≠1)得
-=λ(-)即=.
答案：C
13.已知点G是△ABC的重心，过G作BC的平行线与AB、AC分别交于E、F，若=a,则=_____________.
解析：∵EF∥BC，∴=λ=λa,又EF过△ABC的重心G，∴||=||，∴=a.
答案：a
14.e1，e2是不共线的两个向量，=x1e1+y1e2,=x2e1+y2e2,=λ，那么等于_________.
解析：∵=+,
=+,
∴=(1-λ)+λ
=［(1-λ)x1+λx2］e1+［(1-λ)y1+λy2］e2.
答案：［(1-λ)x1+λx2］e1+［(1-λ)y1+λy2］e2
15.用向量方法证明：梯形中位线平行于底且等于上、下两底和的一半.
证明：如右图，梯形ABCD中，
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴=,=.
∵=++,
=++,
∴=(+++++)=(+).
又∵DC∥AB，
∴设=λ.
∴=(+)
=(+λ)=.
∴∥.
∵E、F、D、C四点不共线，
∴EF∥CD.同理EF∥AB，
且||=(||+||).
拓展探究
16.如右图，在△AOB中，=a,=b，设点M分所成的比为2∶1，点N分所成比为3∶1，而OM与BN交于点P，试用a,b表示.
解析：=+=+AB
=+（-）
=a+(b-a)=a+b,
∵与共线，令=t,则=t(a+b)=a+b.
设=(1-s)+s=(1-s)a+sb.
∴
∴=a+b.3.3
二倍角的正弦、余弦和正切
课后导练
基础达标
1.若角α满足条件sin2α<0,cosα-sinα<0,则α在（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：
∴α在第二象限.
答案：B
2.sin15°sin30°sin75°的值等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：原式=sin15°·sin30°·cos15°
=sin230°=.
答案：C
3.若tanx=2，则tan2(x-)等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析:tan(2x-)=-tan(-2x)=-cot2x=，
而tan2x=,
∴原式=.
答案：C
4.已知sin=，cos=，则角α所在的象限是（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:sinα=2sin·cos=<0,cosα=cos2-sin2=<0.
答案：C
5.(2006全国高考卷Ⅱ,理2)
函数y=sin2xcos2x的最小正周期是（
）
A.2π
B.4π
C.
D.
解析：化简，得y=sin4x,
∴T=.故选D.
答案：D
6.coscos的值为___________.
解析：coscos==.
答案：
7.已知sinα=cos2α,α∈(0,),则sin2α=_________.
解析：∵sinα=1-2sin2α,即2sin2α+sinα-1=0,
∴sinα=-1或sinα=.
又∵α∈(0,),∴sinα=,α=.
∴cosα=.
∴sin2α=2××=.
答案：
8.求sin10°·sin30°·sin50°·sin70°的值.
解析：原式=·cos80°·cos40°·cos20°
=·cos80°·cos40°·
=.
9.求证：=(tanα+1).
证明：左=s
=(tanα+1)=右边.
10.已知cos(α+)=,≤α<，求cos(2α+)的值.
解析：cos(2α+)=cos2αcos-sin2αsin
=(cos2α-sin2α).
∵≤α<,∴≤α+<.
又∵cos(α+)>0,∴<α+<.
∴sin(α+)=.
∴cos2α=sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)=,
sin2α=-cos(+2α)=1-2cos2(α+)=.
∴原式=×(-)=.
综合运用
11.已知sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=,那么cos2β的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由已知可得sin［(α-β)-α］=,
即sinβ=.
则cos2β=1-2sin2β=1-2×.
答案：A
12.若α∈［π,π］,则的值为（
）
A.2cos
B.-2cos
C.2sin
D.-2sin
解析：∵≤α≤，
∴≤≤.
∴cos≥sin.
如右图所示，在单位圆中
当≤≤时，|sin|≥|cos|,
∴sin+cos≤0,
∴
=-(sin+cos)+(cos-sin)=-2sin.
答案：D
13.若sin（+α）=,则cos2α=____________-.
解析：sin(+α)=cosα=.
cos2α=2cos2α-1=.
答案：
14.已知α为锐角，且sinαcosα=,则=__________.
解析：α为锐角，且由sinαcosα=sin2α=12α=α=,
∴原式=4-.
答案：4-
15.已知sin22α+sin2αcosα-cos2α=1,α∈(0,)，求sinα,tanα.
解析：由题意知4sin2αcos2α+2sinαcos2α-2cos2α=0，
即2cos2α(2sinα-1)(sinα+1)=0.
又α∈(0,),∴sinα+1≠0,cos2α≠0.
由2sinα-1=0，得sinα=,
∴α=.tanα=.
拓展探究
16.已知f（x）=，求f（x）的定义域，判定它的奇偶性并求其值域.
解析：（1）∵cos2x≠0，∴2x≠kπ+，k∈Z.
∴其定义域为{x|x≠+，k∈Z}，即定义域关于原点对称.
（2）f（-x）==f（x），则y=f（x）对于定义域内任意自变量恒成立.故y=f（x）为偶函数.
（3）f（x）==3cos2x-1.
{x|x≠+，k∈Z}.
其值域为{y|-1≤y≤2且y≠}.1.7
正切函数
课后导练
基础达标
1.若tanx=且x∈(-,),则x等于…（
）
A.
B.-
C.-
D.
解析:由于tanx=<0,且x∈(-,),即x的终边在y轴的右侧,可知x=-.
答案:B
2.tan300°等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析:tan300°=tan(360°-60°)=-tan60°=.
答案:D
3.下列函数中周期为π的奇函数且在(0,)上单调递增的是（
）
A.y=tanx
B.y=cos2x
C.y=sin2x
D.y=tan
解析:y=cos2x不是奇函数,故去掉B选项;y=tan的周期为2π,排除D选项;而y=sin2x在(0,)上先增后减.
答案:A
4.（2006全国高考卷Ⅰ,理5）
函数f(x)=tan(x+)的单调区间为（
）
A.(kπ-,kπ+)，（k∈Z）
B.(kπ,(kπ+π)，（k∈Z）
C.(kπ-,kπ+),（k∈Z）
D.(kπ-,kπ+)，（k∈Z）
解析:∵kπ-≤x+≤kπ+(k∈Z),
∴单调增区间为(kπ-,kπ+).
答案:C
5.（2004全国高考Ⅱ）
已知函数y=tan(2x+φ)的图象过点(,0),则φ可以是（
）
A.-
B.
C.
D.
解析:∵y=tan(2x+φ)过(,0),∴tan(+φ)=0,∴+φ=kπ,∴φ=kπ-,当k=0时,φ=-.
答案：A
6.使tan2x>1的x的集合是________.
解析:由题意得kπ+<2x∴+答案:{x|+7.在tan1,tan2,tan3中,按从小到大的顺序排列是__________.
解析:∵tan2=tan(2-π),tan3=tan(3-π),
又∵<3<π,∴-<2-π<3-π<0<1<,
而y=tanx在(-,)内是增函数.
∴tan(2-π)答案:tan28.求下列各三角函数值.
(1)sin();(2)cos();(3)tan(-855°).
解析:(1)sin()=-sin
=-sin(2π+4)=-sin
=-sin(π+)=sin=.
(2)cos=cos(4π+)
=cos=cos(π-)
=-cos=.
(3)tan(-855°)=-tan855°=-tan(2×360°+135°)
=-tan135°=-tan(180°-45°)
=tan45°=1.
9.已知角α的终边经过P(-4a,3a)(a≠0),求sinα,cosα,tanα的值.
解析:r==5|a|.
若a>0时,r=5a,角α为第二象限角.
∴sinα=,
cosα=,
tanα=.
若a<0时,r=-5a,角α为第四象限角.
sinα=,cos=,
tanα=.
10.已知sin(α+β)=1,求证:tan(2α+β)+tanβ=0.
证明：∵sin(α+β)=1,
∴α+β=2kπ+(k∈Z).
∴α=2kπ+-β(k∈Z).
∴tan(2α+β)+tanβ
=tan［2(2kπ+-β)+β］+tanβ
=tan(4kπ+π-2β+β)+tanβ
=tan(4kπ+π-β)+tanβ
=tan(π-β)+tanβ
=-tanβ+tanβ=0.
∴tan(2α+β)+tanβ=0得证.
综合运用
11.在区间(-,)范围内,函数y=tanx与函数y=sinx的图象交点个数是（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:在同一坐标系中,画出y=tanx与y=sinx的图象,观察交点个数,数形结合思想在今后学习中经常用到.
答案:A
12.(2006天津高考,文5)
α,β∈(-,),那么“α<β”是“tanα）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:由y=tanx的图象知(-,)恰为函数的一单调增区间,故由单调递增函数定义知选C.
答案:C
13.在△ABC中,①sin(A+B+C);②sin(A+B)+sinC;③cos(A+B)+cosC;④tan(A+B)-tanC,其中表示常数的有___________.
解析:①sin(A+B+C)=sinπ=0.
②sin(A+B)+sinC=sin(π-C)+sinC=2sinC.
③cos(A+B)+cosC=cos(π-C)+cosC=-cosC+cosC=0.
④tan(A+B)-tanC=tan(π-C)-tanC=-tanC-tanC=-2tanC.
答案:①③
14.判断函数f(x)=lg的奇偶性.
解析:要使函数y=lg有意义,函数应满足1>0,∴tanx<-1或tanx>1.
∴函数定义域为(kπ-,kπ-)∪(kπ+,kπ+)(k∈Z).
∴定义域是关于原点对称的
f(-x)=lg=-f(x),
∴y=lg是奇函数.
15.已知函数f(x)=tanx，x∈(0,),若x1、x2∈(0,)且x1≠x2，试比较［f(x1)+f(x2)］与f()的大小.
解析：f(x)=tanx,x∈(0,)的图象如下图所示，
则f(x1)=AA1,f(x2)=BB1,f()=CC1,C1D是直角梯形AA1B1B的中位线，所以
［f(x1)+f(x2)］=(AA1+BB1)=DC1>CC1=f()，
即［f(x1)+f(x2)］>f().
拓展探究
16.已知tanα、是关于x的方程3x2-3kx+3k2-13=0的两实根，且3π＜α＜，求sinα·cosα的值.
解：∵tanα,是关于x的方程3x2-3kx+3k2-13=0的两实根，
∴1=tanα=(3k2-13),
k2=〔当k2=时，Δ=9k2-4×3(3k2-13)>0〕.
∵3π<α<
∴tanα>0,sinα<0,cosα<0.
又tanα+=k,
∴k>0.故取k=，于是tanα+,
即sinαcosα=.2.7
向量应用举例
课后导练
基础达标
1.已知A（1，2），B（3，4），则AB中点的坐标是（
）
A.（2，3）?
B.（-2，-3）
C.（，）
D.（3，2）
解析：设AB中点为C（x,y），
则x==2,y==3,
∴C（2，3）.
答案：A
2.某人用50
N的力（与水平方向成30°角，斜向下）推动一质量为8
kg的木箱沿水平平面运动了20
m，若动摩擦因数μ=0.02，g取10
m/s2，则摩擦力f所做的功为(
)
A.42
J
B.-42
J
C.22
J
D.-22
J
解析：由数量积的物理意义，只需求出摩擦力f的大小，及它与位移的夹角即可.
|f|=(80+50×sin30°)×0.02
N=2.1
N,又f与位移所成的角为180°，
∴f·s=|f||s|cos180°=2.1×20×(-1)
J=-42
J.
答案：B
3.三点A（x1,y1）,B(x2,y2),C(x3,y3)共线，则有…（
）
A.x1y2-x2y1=0
B.x1y3-x3y1=0
C.(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)
D.(x2-x1)(x3-x1)=(y2-y1)(y3-y1)
解析：=(x2-x1,y2-y1),=(x3-x1,y3-y1),
∵AB∥AC,
∴(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0.
答案：C
4.已知a=（1，2），a⊥b，则b可以是（
）
A.（-4，2）
B.（2，-4）
C.（2，1）
D.（-2，-1）
解析：把选项通过x1x2+y1y2=0检验知b可以是（-4，2）.
答案：A
5.某人向正东走x
km后，又向右转150°，然后朝新方向走3
km.结果他离出发点恰好
km，那么x的值等于(
)
A.3
B.
C.或
D.3
解析：设向量a为“向东走x
m”,则|a|=x,设向量b为“朝新方向走
km”,则|b|=3，且a与b的夹角为150°，离出发点为
km,即|a+b|=.
由分析知|a+b|=，∴a2+2a·b+b2=.
∴x2+6x·cos150°+9-3=0,
即x2-x+6=0.
解得x=或.
答案：C
6.已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A、B、C三点共线，则k=________.
解析：
=(k,12),=(4,5),
=(-k,10).
∵A、B、C三点共线，
∴∥.
∵=(k-4,12-5),=(4+k,5-10),
∴(k-4)·（5-10）-（12-5）（4+k）=0,
解之得k=.
答案：
7.以原点和点A(4,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,∠B=90°,则向量的坐标为________.
解析：利用长度公式和垂直条件列出关于向量坐标的方程，然后求解.
设=（x,y）,则=（x-4,y-2）.
由已知
故B（1，3）或B（3，-1）.
∴=(-3,1)或(-1,-3).
答案：(-3,1)或(-1,-3)
8.如右图所示，在△ABC中,D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点,G是它的重心,已知D点的坐标是(1,2),E点的坐标是(3,5),F点的坐标是(2,7),求A、B、C、G的坐标.
解析：设A（x1,y1),由已知得EF平行且等于AD.
∴=.
∴(x1-1,y1-2)=(2-3,7-5)=(-1,2).
∴
∴A(0,4).同理可得B(2,0),C(4,10).连结AE,则AE过点G.
设G(x2,y2),由=2得(x2,y2-4)=2(3-x2,5-y2),
∴
∴G(2,).
9.如右图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1，求：
（1）|F1|、|F2|随角θ的变化而变化的情况；
（2）当|F1|≤2|G|时，θ角的取值范围.
解析：（1）如右图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：G=F1+F2.
解直角三角形得
|F1|=,
|F2|=|G|·tanθ,
当θ从0°趋向于90°时，
|F1|、|F2|皆逐渐增大.
(2)令|F1|==2|G|，
得cosθ≥,又0°≤θ＜90°,∴0°≤θ≤60°.
10.在四边形ABCD中(A、B、C、D顺时针排列),=(6,1),=(-2,-3).若有∥,又有⊥,求的坐标.
解析：设=(x,y)，则=（6+x，1+y)，=(4+x，y-2)，=（-x-4，2-y）,=(x-2,y-3).
又∥及⊥，
∴x(2-y)-(-x-4)y=0,①
(6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0,②
解得
∴=(-6,3)或（2，-1）.
综合运用
11.已知=λ+μ，若M、P、N三点共线，则λ与μ的关系为(
)
A.λ-μ=0
B.λ+μ=0
C.λ-μ=1
D.λ+μ=1
解析：可根据教材中的例题解此题，也可据M、P、N三点共线推导λ与μ的关系.
∵M、P、N三点共线，故存在实数k，使，
∴-=k-k，即=k+（1-k）.又=λ+μ，
∴∴λ+μ=1.
答案：D
12.若ABCD为正方形，E是CD的中点，且=a，=b，则等于（
）
A.b+a
B.b-a
C.a+b
D.a-b
解析：=-=+-=+-=b-a.
答案：B
13.在水流速度为
km/h的河水中，一艘船以12
km/h的速度垂直对岸行驶，求这艘船实际航行速度的大小_______，方向_______.
解析：如右图，设表示水流速度，表示船垂直对岸行驶的速度，以为一边、为一对角线作ABCD,则就是船实际航行的速度.
∵||=,||=12,
∴||=||=;
tan∠ACB=,∠CAD=∠ACB=30°,∠BAD=120°.
答案：
km/h
与水流速度方向的夹角为120°
14.已知线段AB的长度为4，点M在线段AB上，若点P（P与AB不共线）满足=（+）且||=2，则与的夹角为___________.
解析：∵=(+),||=2,
∴42=2+2·+2.①
又|-|=||=4,
∴2-2·+2=16.②
由①②可知，·=0，故与的夹角为.
答案:
15.如右图，已知A、B、C是不共线的三点,O是△ABC内的一点,若++=0,求证：O是△ABC的重心.
证明：如右图，由于++=0,
∴=-(+),即+是的相反向量.以,为邻边构造平行四边形OBDC,则有=-.在平行四边形BOCD中,设BC与OD交于E点,则=,=,∴AE是△ABC的中线,且||=2||,故O是△ABC的重心.
拓展探究
16.美国不顾国际社会的强烈反对,于2001年7月14日进行导弹防御系统拦截技术的第四次实验,军方先从加利福尼亚州的危登堡空军基地发射一枚作为标靶的洲际弹道导弹和诱弹,再从马绍尔群岛的夸贾林环礁发射另一枚导弹对前一枚导弹进行拦截,实施拦截时必须准确计算标靶的飞行速度、瞬时位置.现假设标靶与拦截导弹的飞行轨迹均在同一平面内,标靶飞行速度为|v|=10n
km/h.令ν=λ1e1+λ2e2,基底e1、e2是平面内的单位向量.若标靶的飞行方向为北偏东30°,
e1方向为正东,e2方向为北偏东60°,试求λ1、λ2的值.
解析：建立如右图所示的直角坐标系，则e1=(1,0),e2=(,),v=(5n,n).
∵e1,e2不共线，
∴v=λ1
e1+λ2
e2=λ1(1,0)+λ2(,),
(5n,n)=(λ1+λ2,λ2).
∴∴λ1=-10n,λ2=n.2.5
从力做的功到向量的数量积
课后导练
基础达标
1.若a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是(
)
A.（a+b）+c=a+（b+c）
B.（a+b）·c=a·c+b·c
C.m（a+b）=ma+mb
D.（a·b）c=a（b·c）
解析:由向量的运算律知选项D不一定成立.
答案：D
2.设a、b、c是任意的非零向量，且相互不共线，则①（a·b）c-（c·a）b=0；②a2=|a|2；③（b·c）a-（c·a）b不与c垂直；④（3a+2b）·（3a-2b）=9|a|2-4|b|2中，正确的有(
)
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
解析：①中，a·b的运算结果为数，故（a·b）c为一向量，同理（a·c）b也是一向量，向量之差为向量.故①不正确.由数量积的性质知②正确.
又［（b·c）a-（c·a）b］·c=（b·c）（a·c）-（c·a）（b·
）=0，而（a·c）b与（b·c）a不可能同时为零向量.故③不正确，④正确.
答案：D
3.在边长为1的正三角形ABC中，设=c，=a,=b,则a·b+b·c+c·a等于（
）
A.1.5
B.-1.5
C.0.5
D.-0.5
解析：在正三角形ABC中，a·b=|a|·|b|cos60°=0.5,
b·c=|b|·|c|cos60°=0.5,
a·c=|a|·|c|cos120°=-0.5,
答案：C
4.(2004重庆高考，6)
若向量a与b的夹角为60°，|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模是(
)
A.2
B.4
C.6
D.12
解析：（a+2b）·(a-3b)=|a|2-a·b-6|b|2=-72
∴|a|2-|a|·|b|·cos60°-6|b|2=-72
∴|b|=4代入上式，解得：|a|=6(∵|a|＞0).
答案：C
5.△ABC中，=a,=b,若a·b＜0,则△ABC形状为（
）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.不能判断
解析：由a·b＜0,知cos〈a,b〉＜0,所以〈a,b〉＞,所以∠ABC为锐角.三角形中，∠ABC为锐角，并不能判断三角形形状，所以选D.
答案：D
6.比较大小|a·b|___________|a|·|b|.
解析：a·b=|a||b|cosθ,
∴|a·b|=|a||b||cosθ|≤|a|·|b|.
答案：≤
7.已知e为单位向量，|a|=4，a与e的夹角为，则a在e方向上的投影为________.
解析:由向量在另一方向上投影的定义解答此题.
投影为=|a|·cos=-2.
答案：-2
8.利用向量证明：菱形的两条对角线互相垂直.
证明:设=a,=b,则|a|=|b|.
∵=a+b,=a-b,
∴·=(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0.
∴⊥.
∴AC⊥BD.
9.已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为,求（1）a·b;(2)a2;(3)|a+b|.
解析：(1)a·b=|a||b|cos=6×4×=.
(2)a2=a·a=|a|2=62=36.
(3)|a+b|=.
10.已知平面上三个向量a、b、c的模为1，它们相互间的夹角均为120°.
（1）求证：（a-b）⊥c；
（2）若|ka+b+c|=1（k∈R），求k的值.
（1）证明：∵（a-b）·c=a·c-b·c
=|a||c|·cos120°-|b||c|cos120°，
又|a|=|b|=|c|，∴（a-b）·c=0，即（a-b）⊥c.
（2）解析：由|ka+b+c|=1，得|ka+b+c|2=12，
即（ka+b+c）2=1，
∴k2a2+b2+c2+2b·c+2ka·b+2ka·c=1.
又a·b=a·c=b·c=-，
∴k2-2k=0.解得k=2或0.
综合运用
11.已知△ABC满足2=·+·+，则△ABC是(
)
A.等边三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
解析：∵·+·=·（-）=2，
∴=0.
∴⊥,
即AC⊥BC.
∴△ABC为直角三角形.
答案：C
12.若a、b是不共线的两向量，且=λ1a+b，=a+λ2b（λ1、λ2∈R），已知A、B、C三点共线，则(
)
A.λ1=λ2=-1
B.λ1=λ2=1
C.λ1λ2+1=0
D.λ1λ2-1=0
解析:可用待定系数法，用共线向量定理建立待定系数的方程.
∵A、B、C三点共线，∴存在实数k,使得=k，即λ1a+b=ka+λ2kb.
又a、b不共线，
∴.消去k得λ1λ2-1=0.
答案：D
13.若|a|=m(m＞0),b=λa(λ＞0),则a·b=_______;若|a|=m(m＞0),b=λa(λ＜0),则a·b=________.
解析：∵b=λa(λ＞0),∴〈a·b〉=0,∴a·b=λm2.
当b=λa(λ＜0)时，〈a·b〉=π,∴a·b=-λm2.
答案：λm2
-λm2
14.已知|a|=2,|b|=,a与b的夹角为45°，要使λb-a与a垂直，则λ=________.
解析：若λb-a与a垂直，则(λb-a)·a=0,
即λb·a-a2=0,
∴λ|b|·|a|·cos45°-|a|2=0,
∴λ××2×-22=0,
∴λ=2.
答案：2
15.求证：直径上的圆周角为直角.
证明：如右图，设=a,=b,有=a.
∵=a+b,=a-b且|a|=|b|,
∴·=(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0.
∴⊥.∴∠ABC=90°.
拓展探究
16.设a与b是两个互相垂直的单位向量，问当k为整数时，向量m=ka+b与向量n=a+kb的夹角能否等于60°，证明你的结论.
解析：假设夹角等于60°，
∵|m|2=|ka+b|2=(ka+b)2=k2+1,
|n|2=|a+kb|2=(a+kb)2=k2+1.
m·n=(ka+b)·(a+kb)=2k,
∴2k=×cos60°,
即4k=k2+1,解得k=2±这与k为整数矛盾.
∴m与n的夹角不能等于60°.周期现象与周期函数
课后导练
基础达标
1.今天是星期五，九天后的那一天是星期几…
（
）
A.五
B.六
C.日
D.一
解析：每个星期有7天，9÷7=1……2,故为星期日.
答案：C
2.下列函数是周期函数的是（
）
①f(x)=x
②f(x)=2x
③f(x)=1
④f(x)=
A.①②
B.③
C.③④
D.①②③④
解析：①f(x+T)=x+T≠x,∴f(x)不是周期函数，①错误.只能从B、C中选，所以只需判断④即可，f(x+T)=是周期函数，故④正确.
答案：C
3.下列命题正确的是（
）
A.周期函数必有最小正周期
B.只有y=sinx才是周期函数
C.y=1的最小正周期为1
D.周期函数的定义域一定是无限集
解析：由周期函数的定义知A、B、C均错误.
答案：D
4.已知y=f(x)为最小正周期为2的函数，且f(1)=4,则f(5)等于（
）
A.3
B.2
C.1
D.4
解析：∵y=f(x)中T=2，
∴f(5)=f(2×2+1)=f(1)=4.
答案：D
5.下列四个函数为周期函数的是（
）
A.y=1
B.y=3x0
C.y=x2
D.y=x
解析：由周期函数定义知y=1是周期函数，对于y=3x0,不存在常数T，使f(0+T)=f(0).
答案：A
6.设f(x)(x∈R)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(1)=-1，则f(11)的值是（
）
A.-1
B.1
C.2
D.-2
解析：∵f(x)是奇函数，∴f(-1)=-f(1)=1,f(11)=f(11-3×4)=f(-1)=1.
答案：B
7.若f(x)是以为周期的函数，且f()=1,则f(-)=_______.
解析：f(-)=f(-2×)=f()=1
答案：1
8.今天是星期一，158天后的那一天是星期几？
解析:∵158=7×22+4，而今天是星期一，
∴158天后的那一天是星期五.
9.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+1)=f(-x)(x∈R),证明f(x)为周期函数.
证明：由f(x+2)=f［(x+1)+1］=f［-(x+1)］=-f(x+1)=-f(-x)=f(x)得，f(x)是周期函数，周期为2.
10.求证：若函数y=f(x)(x∈R)的图象关于x=a对称，且关于x=b对称，则f(x)为周期函数，且2(b-a)是它的一个周期.
证明：设x是任意一个实数，
因为函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称，
故f(a+x)=f(a-x)，
同理，f(b+x)=f(b-x).
于是f［x+2(b-a)］
=f［b+(b+x-2a)］
=f［b-(b+x-2a)］
=f(2a-x)=f［a+(a-x)］=f［a-(a-x)］=f(x).
所以，f(x)是周期函数，且2(b-a)是它的一个周期.
综合运用
11.定义在实数集上的偶函数y=f(x)是周期为2的周期函数，且当2≤x≤3时，f(x)=x,则当-1≤x≤0时，f(x)等于（
）
A.4+x
B.2+|x+1|
C.-2+x
D.3-|x+1|
解析：当x∈［-1,0］时，-x∈［0,1］,-x+2∈［2,3］,f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x,因为3-|x+1|=2-x，
∴f(x)=3-|x+1|.
答案：D
12.设f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，f(1)＞1,f(2)=a,则（
）
A.a＞2
B.a＜-2
C.a＞1
D.a＜-1
解析：f(2)=-f(-2)=-f(3-2)=-f(1)=a,
∴f(1)=-a＞1,
∴a＜-1.
答案：D
13.函数f(x)的最小正周期为8，且等式f(4+x)=f(4-x)对一切实数都成立，则f(x)是（
）
A.奇函数
B.偶函数
C.既奇又偶
D.非奇非偶
解析：∵T=8,且f(4+x)=f(4-x)，
∴f(x)=f(x+8)=f［4+(4+x)］
=f［4-(4+x)］=f(-x),
∴f(x)为偶函数.
答案：B
14.设f(x)是定义在R上以2为周期的周期函数，且f(x)为偶函数，在区间［2,3］上，f(x)=-2(x-3)2-4，求x∈［1,2］时，f(x)的解析式.
解析：令x∈［-3，-2］，则-x∈［3，2］，
从而f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.
又f(x)为偶函数，故f(-x)=f(x).即f(x)=-2(x+3)2+4,x∈［-3,-2］.
令x∈［1，2］，则x-4∈［-3，-2］，
有f(x-4)=f(x)=-2(x-1)2+4，
即x∈［1，2］时，f(x)=-2(x-1)2+4.
15.设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x=1对称，对任意的x1,x2∈［0,］，都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2).
（1）设f(1)=2，求f(),f()；
（2）证明f(x)是周期函数.
（1）解析：由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),x1,x2∈［0,］知
f(x)=f()·f()≥0,x∈［0,1］,
故f(1)=f(+)=f()·f()=［f()］2.因此f(12)=2,
又f(1）=2，
故f()=f(+)=［f()］2=2.
即f()=2.
（2）证明：由y=f(x)关于直线x=1对称，得
f(x)=f(1+1-x)，f(x)=f(2-x).
又f(-x)=f(x)，故f(-x)=f(2-x)，
∴f(x+2)=f(x),即f(x)为周期函数.
拓展探究
16.函数满足f(x+2)=f(x-2)，且f(4+x)=f(4-x).若2≤x≤6时,f(x)=x2-2bx+c,f(-4)=-14,试比较f(b)与f(c)的大小.
解析：由已知f(4+x)=f（4-x）,x∈R,得x=4是函数f(x)图象的对称轴.
又∵2≤x≤6,f(x)=x2-2bx+c,
∴x=4是f(x)=x2-2bx+c,x∈［2,6］的对称轴，即=4,
∴b=4.
又∵f(x+2)=f(x-2),
∴f(x)=f［(x+2)-2］=f［(x+2)+2］
=f(x+4).
∴f(x)是周期函数，周期为T=4.
∵f(-4)=-14,
而f(-4)=f(-4+4×2)=f(4),
∴f(4)=-14.
∵4∈［2,6］,
∴42-2×4×4+c=-14,
∴c=2.
∴当x∈［2,6］时，f(x)=x2-8x+2.
∴f(x)在x∈［2,4］上是减函数,
∴f(2)＞f(4),即f(c)＞f(b).1.6
余弦函数
课后导练
基础达标
1.如果α+β=180°，那么下列等式中成立的是（
）
A.cosα=cosβ
B.cosα=-cosβ
C.sinα=-sinβ
D.以上都不对
解析:利用诱导公式π-α即可推导.
cosα=cos(180°-β)=-cosβ.
答案：B
2.cos()的值是（
）
A.0
B.
C.
D.1
解析：∵=-4π+,
∴cos()=cos(-4π+)
=cos=cos=0
答案：A
3.若sinθ·cosθ＞0,则θ在（
）
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第一、四象限
D.第二、四象限
解析：∵sinθ·cosθ＞0,
∴
∴θ在第一象限或第三象限.
答案：B
4.已知角θ的终边经过点P（4a,-3a），（a≠0）则2sinθ+cosθ的值是（
）
A.
B.
C.或
D.不确定
解析：分a＞0与a＜0两种情况进行讨论，当a＞0时，r=5a，
∴sinθ=,cosθ=.
∴2sinθ+cosθ=2×()+=.
同理得a＜0时，2sinθ+cosθ=.
答案：C
5.若α为第一象限角，则sin2α,cos2α,sin,cos中必定取正值的有（
）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
解析：根据α角所在象限，求出2α与的象限,再根据象限确定三角函数值的符号.
答案：B
6.若=cosx,则x的取值范围是________.
答案：-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z
7.x∈(0,2π)且cosx＜sinx＜,则x的取值范围是__________-.
解析：依题意得
借助函数图象或三角函数线可知，x∈(π,π).
答案：(π,π)
8.|cosα|=cos(π+α)，则角α的集合为_______________.
解析：由绝对值的意义确定角α所在象限，进而写出范围.
由已知得：|cosα|=-cosα，
∴α为第二、三象限角或终边落在y轴上的角.
∴2kπ+≤α≤2kπ+(k∈Z).
答案：2kπ+≤α≤2kπ+
(k∈Z)
9.求y=cos(x+)的周期.
解析：cos［(x+)+2π］=cos［(x+3π)+］=f(x+3π),
而f(x)=cos(x+)=cos［(x+)+2π］,
∴f(x+3π)=f(x)，即原函数的周期为3π.
10.设函数f(x)=-x2+2x+3(0≤x≤3)的最大值为m，最小值为n，当角α终边经过点P（m,n-1）时，求sinα+cosα的值.
解析：f(x)=-x2+2x+3
=-(x-1)2+4（0≤x≤3）.
当x=1时，f(x)max=f(1)=4,即m=4.
当x=3时，f(x)min=f(3)=0,即n=0.
∴角α的终边经过P（4,-1）.
∴r=.
∴sinα+cosα=.
综合运用
11.若θ是第三象限角且=-cos,则角所在象限是（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：∵θ是第三象限角，则的终边落在第一、三、四象限.
又cos＜0,
∴角的终边在第三象限.
答案：C
12.如右图所示，定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x∈［3,4］时，f(x)=x-2,则（
）
A.f(sin)＜f(cos)
B.f(sin)＞f(cos)
C.f(sin1)＜f(cos1)
D.f(sin)＞f(cos)
解析：当0≤x≤1时，-1≤-x≤0,3≤-x+4≤4.
f(x)=f(-x)=f(-x+2)=f(-x+4)
=-x+4-2=-x+2.
故当x∈［0,1］时f(x)为减函数.
又sin＜cos,sin＞cos,sin1＞cos1,sin＞cos,
故f(sin)＞f(cos),f(sin)＜f(cos),f(sin1)＜f(cos1),f(sin)＜f(cos).
答案：C
13.(2006北京高考，文5)
函数y=1+cosx的图象（
）
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线x=对称
答案：B
14.已知cos(75°+α)=，其中α为第三象限角，求cos(105°-α)+sin(α-105°)的值.
解析：cos(105°-α)=cos［180°-(75°+α)］
=-cos(75°+α)=.
sin(α-105°)=-sin(105°-α)
=-sin［180°-(75°+α)］=-sin(75°+α).
∵cos(75°+α)=>0,又α为第三象限角,可知75°+α为第四象限角.
则有sin(75°+α)=;
则cos(105°-α)+sin(α-105°)=.
15.求下列函数的最大值和最小值：
（1）y=;
(2)y=3+2cos(2x+);
(3)y=2sin(2x+)(-≤x≤);
(4)y=acosx+b.
解析：（1）∵∴-1≤sinx≤1.
∴当sinx=-1时，ymax=;
当sinx=1时，ymin=.
(2)∵-1≤cos(2x+)≤1,
∴当cos(2x+)=1时，ymax=5;
当cos(2x+)=-1时，ymin=1.
(3)∵-≤x≤,∴0≤2x+≤.
∴0≤sin(2x+)≤1.
∴当sin(2x+)=1时，ymax=2;
当sin(2x+)=0时，ymin=0.
(4)当a＞0时；
cosx=1，即x=2kπ(k∈Z)时，ymax=a+b;
cosx=-1，即x=(2k+1)
π(k∈Z)时，ymin=b-a;
当a＜0时；
cosx=-1，即x=(2k+1)π(k∈Z)时，ymax=b-a;
cosx=1，即x=2kπ(k∈Z)时，ymin=a+b.
拓展探究
16.如右图所示，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面0.5米.风车圆周上一点A从最低点O开始运动，t秒后与地面的距离是h米.
（1）求函数h=f(t)的关系式；
（2）画出函数h=f(t)的图象.
解析：如图(1)，以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立直角坐标系.
设点A的坐标为(x,y)，则h=y+0.5.
设∠OO1A=θ，
则cosθ=,y=-2cosθ+2.
又θ=×t,即θ=t.
所以y=-2cost+2.
所以h(t)=-2cost+2.5.
（2）h(t)=-2cost+2.5的图象如图(2).2.2
从位移的合成到向量的加法
课后导练
基础达标
1.下列等式正确的个数是(
)
①0-a=-a
②-(-a)=a
③a+(-a)=0
④a+0=a
⑤a-b=a+(-b)
⑥a+(-a)=0
A.3
B.4
C.5
D.6
解析:只有第⑥个错误.
答案：C
2.化简（-）+（-）的结果是(
)
A.0
B.
C.
D.
解析：（-）+（-）=+++=+++=.
答案：D
3.已知下列各式，其中结果为0的个数为（
）
①++
②（+）++
③
④+++
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：①④两式结果为0.
答案：B
4.如右图，正方形ABCD的边长为1，则|+++|等于…（
）
A.1
B.
C.3
D.
解析：|+++|=|2|=2||=.
答案：D
5.如右图，四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是（
）
A.+=
B.+=
C.+=
D.+=
答案：C
6.若||=7，||=3，则||的取值范围_________.
解析：||=|-|，当与同向时，||min=4；当与反向时，||max=10.
答案：4≤||≤10
7.设向量a表示“向东走6
m”，b表示“向北走6
m”，则|a+b|________=,a+b的方向是______.
解析:由向量加法的三角形法则知|a+b|=，而a+b的方向是东北方向.
答案：
m
东北方向
8.求证：对任意向量a、b，都有|a+b|≤|a|+|b|.
证明：(1)当a、b不共线时，
如右图，a+b=，
∵△OAB中||＜||+||,
∴|a+b|≤|a|+|b|.
(2)当a,b共线时，a,b同向则|a+b|=|a|+|b|；
a,b反向则|a+b|＜|a|+|b|.
∴对任意向量a,b，都有|a+b|≤|a|+|b|.
9.在静水中划船的速度是每分钟40
m，水流的速度是每分钟20
m，若船从A处出发，沿垂直水流的航线到达对岸，船的航速是多少？方向怎样？
解析：v实=，
tan∠ABC=,
∴∠ABC=60°,
答：船的速度是
m/s，与水流的夹角是60°.
综合运用
10.已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a+b的方向(
)
A.与向量a方向相同
B.与向量a方向相反
C.与向量b方向相同
D.与向量b方向相反
解析：已知a平行于b，如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a的方向相同;如果它们的方向相反，因为a的模大于b的模，所以它们的和仍然与a的方向相同.
答案：A
11.a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则(
)
A.a∥b，且a与b方向相同
B.a、b是共线向量
C.a=-b
D.a、b无论什么关系均可
解析:当两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a、b的方向都不相同，且|a+b|＜|a|+|b|；向量a与b同向时，a+b的方向与a、b的方向都相同，且|a+b|=|a|+|b|；向量a与b反向且|a|＜|b|时，a+b的方向与b的方向相同(与a方向相反)，且|a+b|=|b|-|a|.
答案：A
12.已知一个点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c，则向量=_______.
解析：如右图，=a,=b,=c,则=+=+=+（-）=a+(c-b)=a+c-b
答案：a+c-b
13.在平行四边形ABCD中，若|+|=|-|，则四边形ABCD是__________（填正方形或矩形或菱形）.
解析：由|+|=|-|，即||=||，可得ABCD是一个特殊的平行四边形--矩形.
答案：矩形
14.已知=a，=b,且|a|=|b|=4,∠AOB=60°.
（1）求|a+b|,|a-b|.
（2）求a+b与a的夹角，a-b与a的夹角.
解析：如右图，以，为邻边作平行四边形OACB，
∵|a|=|b|=4,∠AOB=60°,
∴OACB为菱形.
(1)a+b=+=,
a-b=-=,
∴|a+b|=||=2||=2××4=,
|a-b|=||=4.
（2）∵∠COA=∠AOB=30°，
a+b与a所成的角即∠COA=30°，
a-b与a所成的角即与所成的角∠CBA=60°.
拓展探究
15.一艘渔船在航行中遇险，发出警报，在遇险处西10
n
mile处有一艘货船收到警报后立即侦察，发现渔船正向正南方向以9
n
mile/h的速度向一小岛靠近，货船的最大航速为18
n
mile/h.要想尽快将这只渔船救出险境，求货船的行驶方向和所用的时间.
思路分析：本题是实际问题，首先根据实际条件，用向量表示位移，作出图形，即可解决几何问题.
解：如右图，渔船在A处遇险，货船在B处，货船在C处与渔船相遇，
设所用时间为t，由已知△ABC为直角三角形.
||=10,||=9t,||=18t,
由勾股定理得：
||2=||2+||2.
∴182t2=100+92t2.
∴t2=.
∴t≈0.64.
sin∠ABC=，
∴∠ABC=30°.
∴货船应沿东偏南30°的方向行驶，最快可用0.64小时将渔船救出险境.3.2
两角和与差的三角函数
课后导练
基础达标
1.sin18°等于（
）
A.cos20°cos2°+sin20°sin2°
B.cos20°cos2°-sin20°sin2°
C.sin20°cos2°+cos20°sin2°
D.sin20°cos2°-cos20°sin2°
解析：选项A为cos(20°-2°)=cos18°;
B为cos(20°+2°)=cos22°;
C为sin(20°+2°)=sin22°;
D为sin（20°-2°）=sin18°.
答案：D
2.化简sincos-cossin的值是（
）
A.
B.
C.-sin
D.sin
解析：先用诱导公式将角转化，再逆用公式即得.
原式=-sincos+cossin
=sin(-)
=sin=.
答案：B
3.满足cosα·cosβ=+sinα·sinβ的一组α、β的值是（
）
A.α=
β=
B.α=
β=
C.α=
β=
D.α=
β=
解析：将原式变形：cosα·cosβ-sinα·sinβ=
∴cos(α+β)=,
∴α+β=2kπ±(k∈Z),
∴只有A选项适合.
答案：A
4.计算的值等于（
）
A.
B.-
C.
D.
解析：将35°拆成30°+5°，25°拆成30°-5°展开化简.
原式==-.
答案：B
5.的值是（
）
A.1
B.2
C.4
D.
解析：原式=
==4.
答案：C
6.计算cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)的值为___________.
解析：根据原式可逆用两角差的余弦公式来求解.
原式=cos(α-35°-25°-α)=cos(-60°)=.
答案：
7.若tanα=,则tan(α+)=__________________.
解析：tanα(α+)==3.
答案：3
8.tanα=，tanβ=,0<α<,π<β<,求α+β的值.
解析：∵tan(α+β)===1.
又∵0<α<,π<β<π,
∴π<α+β<2π,
∴α+β=π.
9.求下面函数的值：
(1)tan20°+tan40°+tan20°tan40°;
(2)
(3);
(4)(tan10°-)
解析：(1)原式=tan(20°+40°)(1-tan20°tan40°)+tan20°tan40°
=(1-tan20°tan40°)+tan20°tan40°=.
(2)原式=
=tan15°=tan(45°-30°)
=.
(3)原式=.
(4)原式=（tan10°-tan60°）
=-2.
10.已知sin（α+β）=,sin(α-β)=,求的值.
解析：由已知得
①+②,得2sinαcosβ=
③
①-②，得2cosαsinβ=
④
③÷④得=4,
即=4.
综合运用
11.在△ABC中，若cosA=,cosB=,则cosC的值是（
）
A.
B.
C.
或
D.
解析：在△ABC中，0cosA=>0,cosB=>0,
得0从而sinA=,sinB=,
∴cosC=cos［π-(A+B)］
=-cos(A+B)
=sinA·sinB-cosA·cosB
=×-×=.
答案：A
12.已知tan(α+β)=,tan(β-)=，那么tan(α+)的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：tan(α+)
=tan［(α+β)-(β-)］
=.
答案：D
13.求值=________________.
解析：原式=
=
=tan75°=2+.
答案：2+
14.的值为____________.
解析：原式==1.
答案：1
15.频率相同的正弦电流相加，得到的仍是一个正弦电流，已知I1=sin(100πt+),I2=sin(100πt-)，若I1+I2=I3,I3=Asin(ωt+θ)，其中A>0,ω>0,0<θ<2π，求A、ω、θ.
解析：∵I2=sin(100πt-)
=cos(-100πt+)
=cos(-100πt)
=-cos(π-+100πt)
=-cos(100πt+),
∴I3=I1+I2=sin(100πt+)-cos(100πt+)
=2［sin(100πt+)cos(100πt+)］
=2sin(100πt+-)
=2sin(100πt+).
∴A=2,ω=100π,θ=.
拓展探究
16.如下图所示，工人师傅要把宽是4
cm和8
cm的钢板焊接成60°角，下料时x应满足什么条件？
思路分析:可寻找关于x的三角函数的某种关系，寻求x满足的条件.
解：由题图可知∠CBD=60°，则∠ABD=60°-x,
在△ABC中，sinx=,①
在△ABD中，sin(60°-x)=,②
由①②得=2，
即sin(60°-x)=2sinx，
cosxsinx=2sinx.
∴sinx=cosx.∴tanx=.
∴当x满足tanx=时，符合要求.1.8
函数y=Asin（ωxφ）的图象
课后导练
基础达标
1.函数y=3sin3x的图象可看成是y=3sinx的图象按下列哪种变换得到（
）
A.横坐标不变,纵坐标变为原来的倍
B.纵坐标不变,横坐标变为原来的倍
C.横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍
D.纵坐标不变,横坐标变为原来的3倍
解析:ω的变化是纵坐标不变,横坐标变为原来的()倍.
答案:B
2.要得到y=sin2x的图象，只要将函数y=sin（2x-)的图象（
）
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
解析:y=sin2x=sin［2(x+)-］,
∴只需将y=sin(2x-)左移个单位.
答案:C
3.要得到y=2sin2x的图象只要把y=sin2x的图象按下列哪种变换得到（
）
A.横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍
B.横坐标不变,纵坐标变为原来的倍
C.纵坐标不变,横坐标变为原来的倍
D.纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍
解析:y=sinx变为y=Asinx,只要横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍.
答案:A
4.把函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，则所得图象的函数是（
）
A.y=sin(4x+π)
B.y=sin(4x+)
C.y=sin4x
D.y=sinx
解析:将y=sin(2x+)向右平移，得y=sin［2(x-)+］，即y=sin2x的图象，再把y=sin2x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，就得到y=sin2(2x)，即y=sin4x的图象.
答案:C
5.已知函数y=f(x)，将f(x)的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿着x轴向左平移个单位，这样得到的是y=sinx的图象.那么函数y=f(x)的解析式是（
）
A.f(x)=sin(-)
B.f(x)=sin(2x+)
C.f(x)=sin(+)
D.f(x)=sin(2x-)
解析:对函数y=sinx的图象作相反的变换，利用逆向思维寻求应有的结论.把y=sinx的图象沿x轴向右平移个单位，得到解析式y=sin(x-)的图象，再使它的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，就得到解析式y=sin(2x-)的图象.
答案：D
6.(1)要得到函数y=sinx的图象,需把函数y=sinx的图象上所有点的________坐标________到原来的________倍.________坐标不变.
(2)要得到函数y=cosx的图象,需把函数y=3cosx图象上所有点________的坐标________到原来的________倍,_______坐标不变.
答案:(1)纵
伸长
2
横
(2)纵
缩短
横
7.把函数y=sin(x+)的图象上所有的点向_______平行移动____________个长度单位,可得到函数y=sin(x+)的图象.
答案:右
8.将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,那么新图象对应的函数的值域是_____________,周期是_________________.
答案:［-,］
π
9.求函数y=sin(2x-)的对称中心和对称轴方程.
解析:
设A=2x-,则函数y=sinA对称中心为(kπ,0),
即2x-=kπ,x=+,
对称轴方程为2x-=+kπ,x=+.
所以y=sin(2x-)的对称中心为(+,0),对称轴为x=+(k∈Z).
10.函数y=3sin(2x+)表示一种简谐振动，求它的振幅、周期、频率、相位、初相.
解析:振幅A=3,ω=2,∴周期T===π.
频率f=,相位为2x+,令x=0,得初相φ=.
综合运用
11.把函数y=sin(ωx+φ)（其中φ为锐角）的图象向右平移个单位，或向左平移个单位都可使对应的新函数成为奇函数.则原函数的一条对称轴方程是（
）
A.x=
B.x=
C.x=-
D.x=
解析:将函数y=sin(ωx+φ)的图象向右平移个单位后，
得函数y=sin［ω(x-)+φ］,为奇函数.
根据奇函数的性质，由函数的定义域为R，知sin［ω(0-)+φ］=0（即f(0)=0）.
∴ω(-)+φ=0,φ=.
将函数y=sin(ωx+φ)向左平移个单位后，得
函数y=sin［ω(x+)+φ］,也是奇函数，
所以sin［ω(0+)+φ］=0，
将φ=代入，得sin(+)=0.
∴ω=kπ,ω=2k(k∈Z).
∵φ∈(0,),
∴ω=2,且φ=.
又正弦函数图象的对称轴过取得最值的点，
设2x+=kπ+，
则x=+，
当k=1时，x=，
即x=是函数y=sin(2x+)的一条对称轴方程.
答案:D
12.(2005福建高考)
函数y=sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如右图,则（
）
A.ω=,φ=
B.ω=,φ=
C.ω=,φ=
D.ω=,φ=
解析:=2,
∴T=8.ω==.
将点（1，1）代入y=sin（x+φ）中.
1=sin(+φ),
∴+φ=,φ=.
答案:C
13.右图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，那么f(x)可以写成（
）
A.sin(1+x)
B.sin(-1-x)
C.sin(x-1)
D.sin(1-x)
解析:
方法一：由题图可以看出，f(x)的图象是由y=sinx的图象向左平移π-1个单位而得到的，所以在y=sinx中，把x换成［x+(π-1)］就得到f(x)，即
f(x)=sin［x+(π-1)］=sin［π+(x-1)］=-sin(x-1)=sin(1-x).
方法二：f(x)的图象也可以看成是由y=sinx
的图象向右平移π+1个单位而得到的，即在sinx中，把x换成［x-(π+1)］就得到f(x)，所以
f(x)=sin［x-(π+1)］=sin［-π+(x-1)］=-sin［π-(x-1)］=-sin(x-1)=sin(1-x).
方法三：由图可以看出f(1)=0,f(0)>0，从给出的四个选项中，同时满足这两个条件的函数不是sin(1+x)，因为sin(1+1)≠0；也不是sin(-1-x)，因为sin(-1-1)≠0；也不是sin(x-1)，因为sin(0-1)=sin(-1)=-sin1<0.而sin(1-x)同时满足sin(1-1)=sin0=0和sin(1-0)=sin1>0.
答案：D
14.(2005天津高考)
函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|＜,x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式是（
）
A.y=-4sin(x+)
B.y=4sin(x-)
C.y=-4sin(x-)
D.y=4sin(x+)
解析:特殊点法.把(-2,0),(2,-4)代入A、B、C、D检验可知.
答案：A
15.如下图，
已知正弦函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0)的一个周期的图象，则函数y的解析式为___________.
解析：依图和题意知
T=(,
∴T=3π,
即ω==.
当x=时,y=0；
当x=时,y=A；
当x=0时，y=-.
∴
故y=2sin(x+).
答案：y=2sin(x+)
拓展探究
16.已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y=f(t).下表是某日各时的浪高数据：
t(小时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y=f(t)的曲线可近似地看成函数y=Acosωt+b.
（1）根据以上数据，求出函数y=Acosωt+b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内上午8时至晚上20时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动
解析：
（1）∵A==，而A+b=1.5,
∴b=1.再据T=12，得ω=.
∴y=cost+1.
（2）由y>1cost+1>1,
∴cost>0.∴2kπ-∴12k-3弧度制
课后导练
基础达标
1.化为角度是（
）
A.140°
B.139°
C.144°
D.159°
解析：=144°.
答案：C
2.72°化为弧度是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：72×.
答案：A
3.若α=-4弧度，则α是（
）
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
解析：∵＜-4＜-π,
∴α是第二象限角.
答案：B
4.将1
008°化为α+2kπ(0≤α＜2π,k∈Z)的形式（
）
A.2π+
B.2π-
C.3π+
D.3π-
解析：1
008°=720°+288°=2π+.
答案：A
5.若扇形的面积是1
cm2,它的周长是4
cm，则扇形圆心角的弧度数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:确定扇形的条件有两个，最直接的条件是给出扇形的半径、弧长和圆心角中的两个.设扇形的半径为Ｒ，弧长为l，由已知条件可知：
R=1，所以扇形的圆心角度数为=2.
答案：Ｂ
6.圆的半径变为原来的2倍，而弧长不变，设弧所对的圆心角是原来的________倍.
解析：由α=可知该弧所对的圆心角是原来的倍.
答案：
7.α是第二象限角，则π+α是第______象限角.
解析：取α=,则π+α=,故α在第四象限.
答案：四
8.一弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及扇形的面积.
解析：如右图，作OC⊥AB于C，则C为AB的中点，
且AC=1,∠AOC=，
所以r=OA=.
则弧长l=|α|·r=，
面积S=lr=.
9.在直径为10
cm的轮子上有一长为6
cm的弦，P为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，求经过5秒钟后，点P转过的弧长.
解析：P到圆心O的距离PO==4（cm），
即为点P所在新圆的半径，
又点P转过的角的弧度数α=5×5=25，
所以弧长为α·OP=25×4=100（cm）.
10.如右图,动点P、Q从点A(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P、Q第一次相遇时所用的时间，相遇点的坐标及P、Q点各自走过的弧长.
解析：设P,Q第一次相遇时所用的时间是t，
则t·+t·|-|=2π，
所以t=4（s），即第一次相遇的时间为4
s.
设第一次相遇点为C，第一次相遇时已运动到终边在×4=的位置，则xc=-cos×4=-2，yc=-sin×4=，所以C点的坐标为（-2,)，P点走过的弧长为：×4=;Q点走过的弧长为.
综合运用
11.下列四个命题中，不正确的一个是（
）
A.半圆所对的圆心角是π
rad
B.周角的大小等于2π
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
解析：本题考查弧度制下，角的度量单位：1弧度的概念.根据一弧度的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做一弧度的角.对照各选项，可知D不正确.
答案：D
12.已知集合A={α|2kπ≤α≤(2k+1)π,k∈Z},B={α|-4≤α≤4},则A∩B等于（
）
A.
B.{α|0≤α≤π}
C.{α|-4≤α≤4}
D.{α|-4≤α≤-π或0≤α≤π}
解析：取k=0,-1，写出A在k取值-1，0时的α,画数轴求解.
答案：D
13.(2006辽宁高考，文1)
函数y=sin(x+3)的最小正周期是（
）
A.
B.π
C.2π
D.4π
解析：函数y=sin(12x+3)的最小正周期T==4π.
答案：D
14.如下图所示，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，（不包括边界）.
解析：（1）中OB为终边的角为330°，可看成-30°，化为弧度，
即，而75°=,
∴阴影部分内的角的集合为
{θ|2kπ＜θ＜2kπ+,k∈Z}.
（2）中OB为终边的角是225°，可看成-135°，
化为弧度，即π，
而135°=.
∴阴影部分内的角的集合为
{θ|2kπ＜θ＜2kπ+,k∈Z}.
15.用30
cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解析：设扇形半径为r，弧长为l,扇形面积为S.
则l+2r=30,即l=30-2r.①
将①式代入S=lr,得S=（30-2r）·r
=-r2+15r=-(r-)2+.
所以当r=时，扇形面积最大，且最大面积为
cm2.
此时圆心角θ=30-=2.
拓展探究
16.在炎炎夏日，用纸扇驱走闷热，无疑是很好的办法.纸扇在美观的设计上，可考虑用料、图案和形状.若从数学角度看，我们能否利用黄金比例（0.618）去设计一把有美感的白纸扇呢？
思路分析:在设计纸扇张开角(θ)时，可以考虑从一圆形（半径为r）分割出来的扇形的面积(A1)与剩余面积(A2)的比值.若这一比值等于黄金比例，便可找到θ.
解析：若=0.618,θ以弧度表示,则
θ=0.618(2π-θ).
所以θ=0.764π≈140°（精确到度）.
我们可以找市面上的纸扇去检验其张开的角度是否接近140°，也可以自制不同形状的纸扇，去测试一下是否θ接近140°时纸扇的形状最美观.3.1
同角三角函数的基本关系
课后导练
基础达标
1.已知cosθ=,且θ为第二象限角,则tanθ等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析:∵θ为第二象限角,∴sinθ=,tanθ=.
答案:B
2.已知tanα=2,则的值是（
）
A.1
B.
C.-1
D.-
解析:原式==1.
答案:A
3.已知sinαcosα=,且<α<,则cosα-sinα的值等于（
）
A.
B.
C.
D.±
解析:(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1-2×=,又<α<,cosα-sinα<0.∴cosα-sinα=.
答案:C
4.已知,则α的终边在（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第一或第三象限
D.第三或第四象限
解析:,若这两部分相等,则sinα与cosα同号.∴α在第一或第三象限.
答案:C
5.若β∈［0,2π),且=sinβ-cosβ,则β的取值范围是（
）
A.［0,)
B.［,π］
C.［π,］
D.［,2π)
解析:∵=|sinβ|+|cosβ|=sinβ-cosβ,
∴sinβ≥0,cosβ≤0,∴β是第二象限角(包括x轴负半轴和y轴正半轴).
∵0≤β<2π,∴β∈［,π］.
答案：B
6.(0＜α＜)=_____________.
解析:要灵活运用“1”,同时注意开方时符号的选取.
原式=
=|sin-cos|+|sin+cos|.
∵0<α<,∴0<<.
∴sin-cos<0,sin+cos>0.
∴上式=cos-sin+sin+cos=2cos.
答案：2cos
7.已知sinα=,并且α是第四象限角,求cosα,tanα.
解析:由sinα,cosα之间的关系式sin2α+cos2α=1及第四象限角的余弦cosα>0得cosα=tanα=.
8.已知α是三角形的内角,sinα+cosα=,求tanα的值.
解析:将sinα+cosα=两边平方,得sin2α+2sinαcosα+cos2α=.
∵sin2α+cos2α=1,
∴2sinαcosα=<0.
∵α是三角形的内角,∴cosα<0.故<α<π,
∴sinα-cosα>0.
由(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+得sinα-cosα=.
解方程组
∴tanα=.
9.求证:
证明:
左边=
=右边.
∴原式成立.
10.已知tanα=2,求下列各式的值:
(1);
(2)
解析:
(1)=-1.
或∵tanα==2,
∴sinα=2cosα.
∴原式==-1.
(2).
综合运用
11.已知A为三角形内角，且sinAcosA=，则cosA-sinA的值为（
）
A.
B.±
C.±
D.
解析:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ求解.
∵A为三角形内角，则A∈(0,π).
又∵sinAcosA=<0,
∴sinA>0,cosA<0.
∴(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA
=1-2×()=.
又∵cosA-sinA<0,
∴cosA-sinA=.
答案：D
12.已知f(x)=,若α∈(,π),则f(cosα)+f(-cosα)可化简为_______________.
解析:f(cosα)+f(-cosα)=
答案:
13.求证:=sinα+cosα.
证明:
==sinα+cosα
14.已知sinαcosα>0,且sinαtanα>0.化简
cos
解析:由sinαcosα>0,知α为第一、三象限角.
由sinαtanα>0,知α为第一、四象限角.
∴α为一象限角，∴为第一、三象限角.
当为第一象限角时，
原式=cos·1=2.
当为第三象限角时，原式=-2.
15.是否存在角α、β，α∈(-,),β∈(0,π)，使
解析：将已知化为
sinα=sinβ,
①
cosα=cosβ,②
①2+②2,得sin2α+3(1-sin2α)=2，
∴sin2α=,sinα=±.
∵-<α<,∴α=或-.
当α=时，由②得cosβ=.
又β∈(0,π),∴β=.
当α=-时，由②得cosβ=.
又β∈(0,π),∴β=.
∴存在使两个等式同时成立.
拓展探究
16.若f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为f(a).
(1)用a表示f(a)的表达式；
（2）求能使f(a)=的a值，并求当a取此值时f(x)的最大值.
解析:(1)f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x
=1-2a-2acosx-2+2cos2x
=2(cosx-)2-a2-2a-1.
①当>1,即a>2且cosx=1时,f(x)取得最小值.即f(a)=1-4a;
②当-1≤≤1,即-2≤a≤2且cosx=时,f(x)取得最小值,即f(a)=-a2-2a-1;
③当<-1,即a<-2且cosx=-1时,f(x)取得最小值,即f(a)=1;
综上得f(a)=
(2)若f(a)=,则a只能在［-2,2］内,
∴-a2-2a-1=,得a=-1,此时f(x)=2(cosx+)2+;当cosx=1时,f(x)有最大值5.2.1
从位移、速度、力到向量
课后导练
基础达标
1.下列物理量：①质量、②速度、③位移、④力、⑤加速度、⑥路程、⑦密度、⑧功，其中不是向量的有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:本题考查向量的概念，关键是看所给的量是否既有大小又有方向.由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功这四个物理量只有大小没有方向，不是向量，是数量.故选D.
答案：D
2.下列说法中不正确的是(
)
A.向量的长度与向量长度相等
B.任何一个非零向量都可以平行移动
C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D.两个有共同起点且共线的向量其终点必相同
解析：两个有共同起点且共线的向量，它们的方向可能相反，而且它们的长度也有可能不同，所以D不正确.
答案：D
3.如右图，
在圆O中，向量、、是（
）
A.有相同起点的向量
B.单位向量
C.模相等的向量
D.相等的向量
解析：因O是圆心，A、B、C是圆上的点，所以||=||=||.
答案：C
4.下列说法中正确的有几个（
）
①物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量
②温度有零上和零下，因此温度是向量
③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量
④坐标平面上x轴与y轴都是向量
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：正确的是①③，有2个正确.
答案：B
5.如右图，设RSPQ为菱形，下列可以用同一条有向线段表示的两个向量是（
）
A.和
B.和
C.和
D.和
解析：因四边形SPQR是菱形，有=，所以可以用同一条有向线段表示.
答案：B
6.如下图△ABC是等腰三角形，则两腰上的向量与的关系是__________.
答案：模相等
7.若a0是a的单位向量，则a与a0的方向_______，与a0的长度_______.
解析:一个向量的单位向量和这个向量本身方向相同，模为1.向量a的单位向量定义为：.
答案：相同或相反
相等
8.有两个长度相等的向量，在什么情况下，这两个向量一定是相等向量？
解析：有下列两种情况，这两个向量一定相等.
（1）两个长度相等的向量的方向相同；
（2）两个长度相等的向量都为零向量.
9.如下图所示，设O是正六边形ABCDEF的中心.在图里的向量中
（1）写出与相等的向量；
（2）写出与相等的向量；
（3）写出与共线的向量；
（4）写出与长度相等但方向相反的向量.
解析：（1）与相等的向量有
（2）
（3）、、
（4）、
10.某人从A点出发向西走了200
m到达B点，然后改变方向向西偏北60°走了450
m到达C点，最后又改变方向向东走了200
m到达D点.
（1）作出向量、、(用1
cm表示100
m)；
(2）求||.
解析：（1）作出向量、、(如右图)；
（2）∵||=||，且与方向相同，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴||=||=450
m.
综合运用
11.若||=||，且=，则四边形ABCD为（
）
A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.等腰梯形
解析：由=知，四边形ABCD的一组对边BA、CD平行，且大小相等.所以四边形为平行四边形.又||=||.故平行四边形为菱形.
答案：B
12.已知A={与a共线的向量}，B={与a长度相等的向量}，C={与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列说法错误的是（
）
A.CA
B.A∩B={a}
C.CB
D.A∩B{a}
答案：B
13.下列4种说法，其中正确命题的个数是（
）
①若两个非零向量共线，则它们的起点和终点共4个点在同一直线上
②若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点
③与已知非零向量共线的单位向量是唯一的
④四边形ABCD是平行四边形能得出与、与分别共线的结论
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析：（4）是正确的.
答案：A
14.如右图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，在图中的向量中，①与向量相等的向量有___________；②用有向线段表示与共线的向量_______；③若||=3，则||=_______.
解析：由条件可得=且=，所以=，∴E，D，C共线.∴∥，||=||+||=2||=6.
故①的答案为、.②的答案是、、.③的答案是6.
答案：、
、
6
15.（1）把平面上所有单位向量的起点平行移动到同一点P，则这些向量的终点构成的几何图形为_________.
（2）把平行于直线l的所有单位向量的起点平行移动到直线l的点P，这些向量的终点构成的几何图形为_________.
（3）把平行于直线l的所有向量的起点平行移动到直线l的点P，这些向量的终点构成的几何图形为_________.
解析：向量是自由向量，根据向量相等，可以把向量的起点平移到同一点.
(1)因为单位向量的模都是单位长度，所以同起点时，终点构成单位圆.应填：一个圆.
(2)因为平行于直线l的所有单位向量只有两个方向，故只有两个，起点为P，则终点应为：直线l上与P的距离相等的两个点.
(3)因为平行于直线l的向量只有两个方向，但长度不同，任何长度都有，所以终点应为：直线l上的任意一点，即：直线l.
答案：(1)一个圆
(2)直线l上与点P的距离为1的两个点
(3)直线l
拓展探究
16.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2
000
km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2
000
km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行
km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向 丁地距甲地多远
解析：如右图，A,B,C,D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，由题意知，△ABC是正三角形，
∴AC=2
000
km.
又∵∠ACD=45°，CD=
km,
∴△ACD是直角三角形.
∴AD=
km，∠CAD=45°.
∴丁地在甲地的东南方向，丁地距甲地
km.1.5
正弦函数
课后导练
基础达标
1.sin600°的值是（
）
A.
B.-
C.
D.
解析：利用诱导公式2kπ+α，将sin600°化为sin(600°-2×360°).
sin600°=sin(600°-720°)=sin(-120°)=.
答案：D
2.若sin（π-α）=，则sin（-5π+α）的值为（
）
A.
B.
C.±
D.0
解析:化简已知和结论，易找出条件和结论的关系.
由sin（π-α）=，知sinα=，
而sin（-5π+α）=sin（-6π+π+α）
=sin（π+α）=-sinα.
∴sin(-5π+α)=.
答案：B
3.角α终边有一点P（t,t）(t≠0),则sinα的值是（
）
A.
B.
C.±
D.1
解析：因P（t,t）,∴P在第一或第三象限的角平分线上，∴sinα=±.
答案：C
4.函数y=的定义域是（
）
A.［kπ-,kπ+］，(k∈Z)
B.［2kπ+,2kπ+π］，(k∈Z)
C.［kπ+,(k+1)π］，(k∈Z)
D.［2kπ,2kπ+π］，(k∈Z)
解析：由sinx≥0知2kπ≤α≤2kπ+π(k∈Z).
答案：D
5.y=属于（
）
A.{1，-1}
B.{1}
C.{-1}
D.{1，0，-1}
解析：当sinx＞0时，y=1;当sinx＜0时，y=-1,
故y∈{-1,1}.
答案：A
6.已知角θ的终边落在y=2x上，则sinα=_________.
解析：取y=2x上的点（1，2），则r=,
∴sinα=,
同理取点（-1,-2），得sinα=.
答案：±
7.若x∈［-π，π］，且sinx=，则x等于…（
）
A.或
B.-或
C.或
D.或-
解析:考虑到是特殊值，因此角x必为特殊角，可先确定出符合条件的最小正角.由于sinx=，所以x的终边落在第三或第四象限.在［-π，π］内，只有-和.
答案：D
8.设sinx=t-3，则t的取值范围是（
）
A.R
B.（2，4）
C.（-2，2）
D.［2，4］
解析：当x∈R时,-1≤sinx≤1,
∴-1≤t-3≤1,∴2≤t≤4.
答案：D
9.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=xsin(π+x)；(2)f(x)=.
解析：(1)函数的定义域为R，关于原点对称.
f(x)=xsin(π+x)=-xsinx,
f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x)
∴f(x)是偶函数.
(2)∵sinx-1≥0,∴sinx=1,x=2kπ+,(k∈Z),
函数定义域是不关于原点对称的区间，故为非奇非偶函数.
10.求下列函数的周期.
(1)y=sinx；(2)y=2sin().
解析：(1)如果令m=x,则sinx=sinm是周期函数，且周期为2π.
∴sin(x+2π)=sinx,
即sin［(x+4π)］=sinx,
∴sin12x的周期4π.
(2)∵2sin(+2π)=2sin(),
即2sin［(x+6π)-］=2sin(),
∴2sin()的周期是6π.
综合运用
11.若sinx＞，则x满足（
）
A.k·360°+60°＜x＜k·360°+120°
B.60°＜x＜120°
C.k·360°+15°＜x＜k·360°+75°
D.k·180°+30°＜x＜k·180°+150°
解析:可借助于单位圆中的正弦线或三角函数图象来解决.
画出单位圆或正弦曲线草图，可确定满足sinx＞的x应是k·360°+60°＜x＜k·360°+120°.
答案：A
12.下列函数中，周期为π、图象关于直线x=对称的函数是（
）
A.y=2sin(+)
B.y=2sin(-)
C.y=sin(2x+)
D.y=sin(2x-)
解析:sin(ωx+φ)的周期是，对称轴方程是ωx+φ=kπ+(k∈Z),由周期为π,排除A、B.将x=代入2x+得,将x=代入2x-得，故选D.
答案：D
13.用五点法作y=2sin2x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（
）
A.0，，π，，2π
B.0，，，，π
C.0，π，2π，3π，4π
D.0，，，，
解析：先写出y=sinx五点的横坐标.0，π,,2π.当2x=0时，x=0;当2x=时，x=;当2x=π时，x=;当2x=时，x=;当2x=2π时，x=π,故选B.
答案：B
14.y=|sinx|+sinx的值域是________.
解析：当sinx≥0时，y=2sinx,这时0≤y≤2;
当sinx＜0时，y=0,∴函数的值域是［0，2］.
答案：［0,2］
15.以一年为一个周期调查某商品出厂价及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价是在6元的基础上按月份随正弦曲线波动的.已知3月份出厂价最高为8元，7月份出厂价最低为4元；而该商品在商店内的销售价格是在9元的基础上也是按月份随正弦曲线波动的，并且已知3月份价格最高为10元，7月份价格最低为8元.假设某商店每月购进这种商品m件，且当月能售完，请估计哪个月份赢利最大，并说明理由.
解析：由条件得：出厂价格函数是
y1=2sin(x-)+6；
销售价格函数为y2=sin(x-)+9.
则利润函数为y=m(y2-y1).
=m［sin(x-)+9-2sin(x-)-6］=m
［3-sin(x-)］.
所以当x=7时,y=4m.
所以7月份赢利最大.
拓展探究
16.烟筒弯头是由两个圆柱形的烟筒焊在一起做成的，现在要用长方形铁皮做成一个直角烟筒弯头（两个圆柱呈垂直状），如右图，若烟筒的直径为12
cm，最短母线为6
cm，应将铁皮如何剪裁，才能既省工又省料？
解析：如下图（2）所示，两个圆柱形烟筒的截面与水平面成45°角，设O是圆柱的轴与截面的交点，过O作水平面，它与截面的交线为CD，它与圆柱的交线是以O为圆心的圆，CD是此圆的直径.又设B是这个圆上任意一点，过B作BE垂直CD于E，作圆柱的母线AB，交截平面与圆柱的交线于A，易知∠AEB=45°，所以AB=BE.
设BD弧长为x，它所取的圆心角∠DOB=α，根据弧长公式，知α=.又设AB=y，在Rt△BOE中，sinα=，故BE=6sinα，从而y=AB=BE=6sinα，即y=6sin.所以，铁皮在接口处的轮廓线是正弦曲线y=6sin(0≤x≤12π)，其图象如下图（4）.因为将两个圆柱形铁皮上的曲线对拼起来，正好可以完全吻合，所以最节约且最省工的裁剪方式如下图（5）.2.6
平面向量数量积的坐标表示
课后导练
基础达标
1.设向量a=（-1，2），b=（2，-1），则(a·b)(a+b)等于(
)
A.（1，1）
B.（-4，-4）
C.-4
D.（-2，-2）
解析:a·b=-2-2=-4,a+b=(1,1),
∴(a·b)(a+b)=(-4,-4).
答案：B
2.若向量a=（3，2），b=（0，-1），则向量2b-a的坐标是(
)
A.（3，-4）
B.（-3，4）
C.（3，4）
D.（-3，-4）
解析：依向量的坐标运算解答此题.
2b-a=（0，-2）-（3，2）=（-3，-4）.
答案：D
3.已知|a|=8,e为单位向量，当它们之间的夹角为时，a在e方向上的投影为（
）
A.
B.4
C.
D.8+
解析：a在e方向上的投影为|a|·cos=8×=4.
答案：B
4.以A（-1，2），B（3，1），C（2，-3）为顶点的三角形一定是(
)
A.直角三角形
B.等腰直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
解析：由已知可得=（4，-1），=（3，-5），=（-1，-4），∴||=||=，
且由·=-4+4=0得⊥，
故△ABC为等腰直角三角形.
答案：B
5.设向量a=（3，m）,b=(2,-1)，且a-3b与a-b垂直，则实数m的值是（
）
A.m=0
B.m=-4
C.m=0或m=-4
D.m=0或m=4
解析：a-3b=(3,m)-3(2,-1)
=(-3,m+3),
a-b=(3,m)-(2,-1)=(1,m+1),
∴(a-3b)·（a-b）=(-3,m+3)·（1,m+1）
=-3+(m+3)(m+1)
=m2+4m=0,
解得m=0或m=-4.
答案：C
6.在△ABC中，∠A=90°，=(k,1),=(2,3)，则k的值是________.
解析:由与垂直，列出关于k的方程，解方程即可得到答案.
∵∠A=90°，∴⊥.
∴·=2k+3=0.
∴k=-.
答案：-
7.已知|a|=,b=(-2,3)且a⊥b，则a的坐标为_______.
解析:设a=(x,y)，则x2+y2=52,①
由a⊥b,得-2x+3y=0.②
由①②得
答案：（6，4）或（-6，-4）
8.判断a与b是否垂直：
（1）a=(0,-2),b=(-1,3);
(2)a=(-1,3),b=(-3,-1)
解析:(1)a·b=0·（-1）+（-2）·3=-6≠0,
∴a与b不垂直.
（2）a·b=（-1）·（-3）+3·（-1）=3-3=0,
∴a⊥b.
9.已知四点：A（-1，3），B（1，1），C（4，4），D（3，5），求证：四边形ABCD为直角梯形.
证明：=（2，-2），=（1，-1），=（3，3），
∴=2.∴∥.
又·=2×3+（-2）×3=0，
∴⊥.
又||=8，||=，||≠||,
∴四边形ABCD为直角梯形.
10.Rt△ABC中，=（2，3），=（1，k），求实数k的值.
解析：（1）当∠A=90°时，易知·=0，
即2+3k=0，k=-.
（2）当∠B=90°时，=-=（-1，k-3），易知·=0，即k=.
（3）当∠C=90°时，·=-1+k2-3k=0，k=.
综上可知，k的值为-或或.
综合运用
11.(2004天津高考，理3)
若平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°，且|b|=,则b等于(
)
A.(-3,6)
B.(3,-6)
C.(6,-3)
D.(-6,3)
解析：a与b共线且方向相反，
∴b=λa(λ＜0).
设b=(x,y)，由(x,y)=λ(1,-2)得
由|b|=得,x2+y2=45,
即λ2+4λ2=45,解得λ=-3.
∴b=(-3,6).
答案：A
12.已知平面上直线l的方向向量e=()，点O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分别是O1、A1，则=λe，其中λ等于(
)
A.
B.
C.2
D.-2
解析:方法一：由向量在已知向量上的射影的定义知
λ=||cos〈e,〉=
==-2.
方法二：利用数形结合的思想，作图可得.令向量e过原点,故与e方向相反.排除A、C，检验B、D可知D正确.
答案：D
13.若将向量=（，1）绕原点按逆时针方向旋转，得到向量，则向量的坐标为___________.
解析：欲求向量的坐标，可设出的坐标，然后用||=||和、的夹角为，即cos建立坐标的方程组，但较麻烦.注意到与x轴的正方向所成的角为，再逆时针旋转，故与x轴正方向所成的角为，故可采用几何法求点B的坐标.另外若注意到A、B关于直线y=x对称，则马上得到B点坐标.
由分析易知的坐标为（1，）.
答案：（1，）
14.平面上有两个向量e1=(1,0),
e2=(0,1)，今有动点P，从P0(-1,2)开始沿着与向量e1+
e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|
e1+
e2|;另一动点Q，从点Q0(-2,-1)出发，沿着与向量3
e1+2
e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3
e1+2
e2|.设P、Q在t=0时分别在P0、Q0处，则当⊥时，t=_________秒.
解析：∵P0(-1,2)，Q0(-2,-1)，
∴=(-1，-3).
又∵e1+
e2=(1，1),∴|
e1+
e2|=.
∵3
e1+2
e2=(3，2)，∴|3
e1+2
e2|=.
∴当t时刻时，点P的位置为(-1+t,2+t)，点Q的位置为(-2+3t,-1+2t).
∴=(-1+2t,-3+t).
∵⊥，
∴(-1)·(-1+2t)+(-3)·(-3+t)=0.
∴t=2.
答案：2
15.已知：a、b是同一平面内的两个向量,其中a=(1,2).若|b|=,且a+2b与2a-b垂直，求a与b的夹角θ.
解析：∵a=（1，2），∴|a|=.
又|b|=，故|a||b|=.
又∵（a+2b）⊥（2a-b），
∴（a+2b）·（2a-b）=0，
2a2+3a·b-2b2=0.
∴2×5+3a·b-2×=0，a·b=.
∴cosθ==-1.
又θ∈［0，π］，∴θ=π，即a与b的夹角为π.
拓展探究
16.平面内有向量=(1,7),=(5,1),=(2,1)，点X为直线OP上的一动点.
(1)当·取最小值时，求的坐标；
(2)当点X满足(1)的条件和结论时，求cos∠AXB的值.
解析：(1)设=(x,y)，因为点X在直线OP上，所以向量与共线.
又=(2,1)，所以x·1-y·2=0，x=2y.所以=（2y，y）.
又=-且=（1，7），所以=（1-2y，7-y）.
同理，=-=（5-2y，1-y）.
于是有·（1-2y）（5-2y）+（7-y）（1-y）=5（y-2）2-8.
所以当y=2时，·=5（y-2）2-8有最小值-8，此时=（4，2）.
(2)当=（4，2），即y=2时，
有=（-3，5），=（1，-1），||=，||=,
·=-3×1+5×（-1）=-8,
所以cos∠AXB=.