3.2
两角和与差的三角函数
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.cosα=，sinβ=，α∈（，π），β∈（，2π），则cos（α-β）的值是（
）
A.1
B.-1
C.2
D.0
解析：由α∈(,π)，β∈（，2π），cosα=,sinβ=得sinα=，cosβ=cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ==-1.
答案：B
2.化简sin（A-B）·cosB+cos（A-B）·sinB的结果应为（
）
A.1
B.cosA
C.sinA
D.sinA·cosB
解析:原式
=sin(A-B+B)=sinA.
答案：C
3.已知cosθ=,θ∈(,π),则sin(θ+)=_______________.
解析:∵cosθ=,θ∈(,π),
∴sinθ=.
∴sin(θ+）=sinθcos+cosθsin=×+()×=.
答案:
4.已知锐角α,β满足sinα=,cosβ=,求cos(α-β)的值.
解:∵sinα=,α为锐角,
∴cosα=.
∵cosβ=,β为锐角,
∴sinβ=.
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.的化简结果为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：原式=.
答案：A
2.sin22°sin23°-cos23°cos22°的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：原式=-（cos23°cos22°-?sin22°sin23°）=-cos45°=.
答案：D
3.sin=__________________.
解析：，.
原式变形为.
答案:
4.已知＜β＜α＜，cos（α-β）=，sin（α+β）=，求sin2α的值与cos2α的值.
解：（α+β）+（α-β）=2α，＜β＜α＜，则π＜α+β＜，0＜α-β＜.
∵cos（α-β）=，sin（α+β）=，
∴sin（α-β）=，cos（α+β）=，sin2α=sin［（α+β）+（α-β）］=，
cos2α=cos［（α+β）+（α-β）］=.
5.化简:sinα-cosα.
解:sinα-cosα=2(sinαcosα)=2(sinα·cos-cosα·sin)=2sin(α-).
6.已知α、β均为锐角,cosα=,cos(α+β)=,求cosβ的值.
解:∵α、β均为锐角,∴0<α+β<π.
∵cosα=,cos(α+β)=,
∴sinα=,
sin(α+β)=.
∴cosβ=cos［(α+β)-α］=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=×.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.已知sinα·sinβ=1，那么cos（α+β）的值等于（
）
A.-1
B.0
C.1
D.±1
解析：正弦函数的值域为［-1，1］.由sinα·sinβ=1，得sinα=1且sinβ=1或sinα=-1且sinβ=-1，只有这两种情况.
∴cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ=-1.
答案：A
2.要使sinα-cosα=有意义，则m的取值范围是（
）
A.（-∞，］
B.（1，+∞）
C.［-1，］
D.（-∞，-1］∪［，+∞）
解析：sinα-cosα=2sin（α-）=.
利用三角函数的有界性,由-1≤sin（α-）≤1，求得-1≤m≤.
答案：C
3.若cosα=,α∈(,2π),则cos(-α)=__________________.
解析:∵cosα=,α∈(,2π),
∴sinα=.
∴cos(-α)=coscosα+sinsinα
=×+×()=.
答案:
4.已知sinα=,sinβ=,则sin(α+β)·sin(α-β)=_______________.
解析:sin(α+β)·sin(α-β)
=(sinα·cosβ+cosα·sinβ)·(sinα·cosβ-cosα·sinβ)
=sin2α·cos2β-cos2α·sin2β
=sin2α(1-sin2β)-(1-sin2α)·sin2β
=sin2α-sin2β
=.
答案:
5.在△ABC中，sinA=cosB·cosC，且B≠，C≠，求tanB+tanC的值.
解：在△ABC中，A+B+C=π，B+C=π-A.
sinA=sin（π-A）=sin（B+C）=sinB·cosC+cosB·sinC=cosB·cosC，
即sinB·cosC+cosB·sinC=cosB·cosC.
∵B≠，C≠，∴cosB≠0，cosC≠0.上式两边同除以cosB·cosC，得tanB+tanC=1.
6.求证：cos53°+sin53°=2cos7°.
证明：左=cos53°+sin53°=?2（cos53°?+sin53°）=2（sin30°cos53°+cos30°sin53°）=2sin（30°+53°）=2sin83°=2cos7°=右.
7.在△ABC中，已知sinA·sinB＜cosA·cosB，试判定三角形的形状.
解：∵sinA·sinB＜cosA·cosB，∴cosA·cosB-sinA·sinB=cos（A+B）＞0.
∴cosC=cos［π-（A+B）］=-cos（A+B）＜0.
∵0＜C＜π，∴角C为钝角，则△ABC为钝角三角形.
8.化简下列各式:
(1)cosαsinα；
(2)sinα-cosα；
(3)cos(+φ)-cos(-φ).
解:(1)cosα-sinα=2(cosα-sinα)=2(cosαcos-sinαsin)=2cos(α+).
(2)sinα-cosα===.
(3)cos(+φ)-cos(-φ)=(coscosφ-sinsinφ)-(coscosφ+sinsinφ)=-2sin·sinφ
=sinφ.
9.已知锐角α、β满足cosα=,cos(α+β)=,求sinβ.
解:∵α为锐角,且cosα=,
∴sinα=.
∵α、β为锐角,且cos(α+β)=,
∴0<α+β<π,sin(α+β)=.
∴sinβ=sin［(α+β)-α］=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=··=.1.1
周期现象
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.月球围绕着地球转，月球到地球的距离y随时间的变化是周期性的吗？
解析：由月球的运动规律,可知是周期性变化.
2.走路时，我们的手臂自然地随步伐周期性地摆动，那么，手臂的周期摆动满足什么规律呢？
解：如图所示，以ON代表手臂的垂直位置，当手臂摆动到OP位置，设θ=∠PON为摆动的幅角，而y为P点离开直线ON的水平距离，r为手臂的长度，根据初中平面几何知识可知y=rsinθ.
3.列举自然界中存在的周期性现象.
答案：自然界中存在的周期现象有：太阳的东升西落；月亮的圆缺；春、夏、秋、冬的变化等.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.下列函数中函数值y随x的变化而周期性变化的是（
）
①f(x)=x
②f(x)=2x
③f(x)=1
④f(x)=
A.①②
B.③
C.③④
D.①②③④
解：①f(x+T)=x+T≠x，T≠0;②f(x+T)=2x+T≠2x=f(x)；③f(x+T)=1=f(x)；④设T是任意一个有理数，那么当x是有理数时，x+T也是有理数；当x为无理数时，x+T也是无理数，就是说f(x)与f(x+T)或者都等于1或者都等于0，因此在两种情况下，都有f(x+T)=f(x).
答案：C
2.今天是星期一，158天后的那一天是星期几
解：∵158=7×22+4，而今天是星期一,
∴158天后的那一天是星期五.
3.我们选定风车轮边缘上一点A，点A到地面的距离y随时间t的变化是周期性的吗？
答案：是周期性的.
4.已知f(x)是奇函数，且满足f(x+1)=，若f(-1)=1，（1）求证：f(x+4)=f(x)；（2）求f(-3).
（1）证明：∵f(x+2)=，
∴f(x+4)==f(x).
（2）解：∵f(x)是奇函数，
∴f(-3)=f(-3+4)=f(1)=-f(-1)=-1.
5.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+3)=f(x),f(1)=-1,求f(11)的值.
解：由f(x)为奇函数，得f(-x)=-f(x)，f(-1)=-f(1).
又f(x+3)=f(x)，故f(11)=f(3×4-1)=f(-1)=1.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.下列现象是周期现象的有（
）
①太阳的东升西落
②月亮的圆缺
③太阳表面的太阳黑子活动
④心脏的收缩与舒张
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：D
2.有以下现象：①鸟类的迁徙；②单摆的简谐振动；③交流电的电压变化规律；④化学元素的性质.其中是周期现象的有____________.
答案：①②③④
3.已知f(x+1)=-f(x),求证：f(x+2)=f(x).
证明：f(x+2)=f［(x+1)+1］=-f(x+1)=-［-f(x)］=f(x).
4.已知f(x+2)=,求证：f(x+4)=f(x).
证明：f(x+4)=f［(x+2)+2］==f(x).
5.求证：若函数y=f(x)(x∈R)的图像关于x=a对称，且关于x=b对称，则f［x+2(b-a)］=f(x).
证明：设x是任意一个实数，因为函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，故f(a+x)=f(a-x).同理，f(b+x)=f(b-x).
于是f[x+2(b-a)]=f[b+(b+x-2a)]=f[b-(b+x-2a)]=f(2a-x)=f[a+(a-x)]=f[a-(a-x)]=f(x),即f［x+2(b-a)］=f(x).
6.设f(x)是定义在R上的函数，且f(x+2)=f(x),f(x)为偶函数，在区间［2,3］上，f(x)=-2(x-3)2+4，求x∈［1,2］时，f(x)的解析式.
解：令x∈[-3，-2]，则-x∈[2，3]，从而f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.
又f(x)为偶函数，故f(-x)=f(x),即f(x)=-2(x+3)2+4,x∈[-3,-2].
令x∈[1，2]，则x-4∈[-3，-2]，有f(x-4)=f(x)=-2(x-1)2+4.
即当x∈[1，2]时，f(x)=-2(x-1)2+4.
7.设f(x)是定义在R上的偶函数，其图像关于x=1对称，对任意的x1，x2∈［0,］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2).
（1）设f(1)=2，求；
（2）证明f(x+2)=f(x).
（1）解：由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),x1,x2∈[0,]知f(x)=f()·f()≥0,x∈[0,1]，
故f(1)=f(+)=f()·f()=?[f()]2=2.
∴.
f()=f(+)=[f()]2=,即f(）=.
（2）证明：由y=f(x)关于直线x=1对称，得
f(x)=f(1+1-x)，f(x)=f(2-x).
又f(-x)=f(x)，故f(-x)=f(2-x)，即f(x)=f(2+x).
8.我们选定自行车车轮边缘上一点A，车轮的中心记为O，OA与竖直方向的夹角记为α，当自行车沿直线做匀速运动时，变量α随时间t的变化是周期性的吗？
解：由其运动规律可知是周期性的.2.7
向量应用举例
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.已知点(a,2)(a＞0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a的值为（
）
A.
B.2-
C.-1
D.+1
解析:指由点到直线距离公式得,
∵,
∴|a+1|=.
又a>0,
∴a=-1.
答案:C
2.已知三个力F1=（3，4），F2=（2，-5），F3=（x，y）的合力F1+F2+F3=0，则F3的坐标为（
）
A.(5,-1)
B.(-5,1)
C.(-1,5)
D.(1,-5)
解析：由题设F1+F2+F3=0，
得（3，4）+（2，-5）+（x，y）=（0，0），
即
∴F3=(-5,1).
答案:B
3.已知两个力F1和F2的夹角是直角，如图2-7-1所示，且已知它们的合力F与F1的夹角是60°，|F|=10
N，求F1和F2的大小.
图2-7-1
解：|F1|=|F|cos60°=10×=5
N，
|F2|=|F|sin60°=10×=5N，
∴F1的大小为5
N，F2的大小为5N.
4.如图2-7-2所示，一艘船从A点出发以
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2
km/h，求船的实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）.
图2-7-2
解：设表示船垂直于对岸行驶的速度，表示水流的速度，以AD、AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船的实际航行的速度.
在Rt△ABC中，||=2，||=2，
所以||==4.
因为tan∠CAB==∠CAB=60°.
所以，船的实际航行速度的大小为4
km/h，方向与水流速间的夹角为60°.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.下列向量中，是直线y=2的法向量的是(
)
A.n=（0，1）
B.n=（-1，0）
C.n=（1，1）
D.n=（-1，-1）
解析：直线y=2的一个方向向量为（-1,0),故其法向量为与（-1,0)垂直的向量.
答案:A
2.一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起，结果造成小孩胳膊受伤，试用向量知识加以解释.
解：设小孩的体重为G，两胳膊受力分别为F1、F2，且F1=F2，两胳膊的夹角为θ，胳膊受力分析如右图(不记其他因素产生的力)，不难建立向量模型：
|F1|=,θ∈［0,π］,
当θ=0时，|F1|=;当θ=时，|F1|=|G|；又∈(0,)时，|F1|单调递增，
故当θ∈(0,)时,F1∈(,|G|),当θ∈(,π)时，|F1|>|G|.
此时，欲悬空拎起小孩容易造成小孩受伤.
3.某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来；而当速度为2a时，感到风从东北方向吹来.试求实际风速和方向.
解：设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为-a，
设实际风速为v，那么此时人感到的风速为v-a.
设=-a,=-2a.
∵+=,∴=v-a.
这就是感到由正北方向吹来的风速.
∵+=,∴=v-2a.
于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是.由题意知∠PBO=45°，PA⊥BO，
BA=AO，可知△POB为等腰直角三角形，
∴PO=PB=a，即|v|=a.
∴实际风速是a的西北风.
4.已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0).试求：
(1)F1、F2分别对质点所做的功；
(2)F1和F2的合力F对质点所做的功.
解：=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).
(1)W1=F1·=(3,4)·（-13，-15）=-99（焦耳）.
W2=F2·=（6，-5）（-13，-15）=-3（焦耳）.
（2）W=F·AB=（F1+F2）·=［（3，4）+（6，-5）］·（-13，-15）=（9，-1）·（-13，-15）=-102（焦耳）.
5.如图2-7-3所示，有两条相交成60°的直线xx1、yy1的交点为O.甲、乙分别在Ox、Oy1上，起初甲位于离O点3
km的A处，乙位于离O点1
km的B处.后来两个人同时用每小时4
km的速度，甲沿xx1的方向，乙沿yy1的方向运动(如图2-7-4所示，三角形中有如下结论：b2=a2+c2-2accosB).试求：
图2-7-3
图2-7-4
(1)起初两个人的距离是多少
(2)什么时候两人的距离最近
解：(1)起初两人分别在A、B两点，则||=3,||=1.
∴||=||2+||2-2||||cos60°=9+1-2×3×1×=7.
∴||=km，即起初两人相距
km.
(2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q,则||=4t,|BQ|=4t,
又∵甲沿xx1的方向，乙沿yy1的方向运动，
∴当0≤t≤时，
||2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°=48t2-24t+7;
当t>时，||2=(3-4t)2+（1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos120°=48t2-24t+7(t>0),
综上,||2=48t2-24t+7=48(t)2+4,t∈［0,+∞).
∴当t=，即在第15分钟末时，PQ最短，两人最近，最近距离为2
km.
6.在静水中划船的速度是每分钟40米，水流的速度是每分钟20米.如果从岸边O点出发，沿着垂直于水流的航线到达对岸，试问小船的行进方向应指向哪里
解：用向量的长度和方向分别表示水流的速度和方向，用表示船行进的方向，它的长度表示船的速度.以、为邻边作平行四边形OACB，连结OC.
依题意OC⊥OA，BC=OA=20，OB=40，
∴∠BOC=30°，船应向上游与河岸夹角为30°的方向行进.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.过点A（2，3）且垂直于向量a=（2，1）的直线方程为(
)
A.2x+y-7=0
B.2x+y+7=0
C.x-2y+4=0
D.x-2y-4=0
解析：∵法向量a=(2,1),∴直线的斜率为k=.又直线过定点A(2,3),∴直线方程为2x+y-7=0.
答案：A
2.若=3e，=5e，且||=||，则四边形ABCD是(
)
A.平行四边形
B.菱形
C.等腰梯形
D.非等腰梯形
解析：由=3e，=5e，可知与平行.又||≠||，故四边形ABCD为梯形.由||=||，可得四边形ABCD为等腰梯形.因为向量是既有大小，又有方向的量，所以利用向量可判断平面中线段的数量关系，也可判断直线的位置关系.如平行、垂直、夹角等问题.
答案：C
3.某人用50
N的力（与水平方向成30°角，斜向下）推动一质量为8
kg的木箱沿水平平面运动了20
m，若动摩擦因数μ=0.02，g取10
m/s2，则摩擦力f所做的功为(
)
A.42
J
B.-42
J
C.22
J
D.-22
J
解析：f=（80+50×sin30°）×0.02
N=2.1
N，又f与位移所成的角为180°，
∴f·s=|f||s|cos180°=2.1×20×（-1）J=-42
J.
答案：B
4.某人向正东走x
km后，又向右转150°，然后朝新方向走3
km.结果他离出发点恰好
km，那么x的值等于(
)
A.
B.
C.
D.3
解析：由分析知|a+b|=，∴a2+2a·b+b2=3.
∴x2+6x·cos150°+9-3=0，即x2-3x+6=0.
解得x=或2.
答案：C
5.已知△ABC满足2=·+·+·，则△ABC是(
)
A.等边三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
解析：∵2=·+·+·，∴2=·（-）+·，
即2=·（+）+·.
∴·=0，即⊥.故△ABC为直角三角形.
答案：C
6.已知一物体在共点力F1=（lg2，lg2），F2=（lg5，lg2）的作用下产生位移s=（2lg5，1），则这两个共点力对物体做的功W为(
)
A.lg2
B.lg5
C.1
D.2
解析：∵F1+F2=（1，2lg2），s=（2lg5，1），
∴共点力对物体做的功W=（F1+F2）·s=2lg5+2lg2=2.
答案：D
7.有两个向量e1=（1，0），e2=（0，1），今有动点P，从P0（-1，2）开始沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e1+e2|；另一动点Q，从Q0（-2，-1）开始沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e1+2e2|.设P、Q在时刻t=0秒时，分别在P0、Q0处，则当⊥时，t=______________.
解析：由题意知=t（e1+e2）=（t，t），故P点坐标为（t-1，t+2）.
=t（3e1+2e2）=（3t，2t），故Q点坐标为（3t-2，2t-1）.
∴=（2t-1，t-3），=（-1，-3）.又⊥，即·=0，
∴-2t+1-3t+9=0.解得t=2.
答案:2
8.一艘船从A点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v2，船实际航行的速度大小为4
km/h，方向与水流间的夹角是60°.求v1和v2.
解：v1=v·sin60°=4×km/h=2km/h，
v2=v·cos60°=4×
km/h=2
km/h.
∴v1的大小为2
km/h，v2的大小为2
km/h.
9.在△ABC内求一点P,使2+2+2的值最小.
解:如图,设=a,=b,=x,
则=x-a,=x-b,
∴2+2+2=(x-a)2+(x-b)2+x2=3x2-2(a+b)x+b2=3［x-(a+b)］2+a2+b2-
(a+b)2.
根据向量运算的意义知,当x=(a+b)时,
2+2+2有最小值.
设M为AB的中点,易知a+b=2.
当x=
(a+b)时,
=
,也即P为△ABC的重心时,
2+2+2的值最小,为a2+b2-(a+b)2.1.6
正切函数
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.函数y=tan（-x）的定义域是（
）
A.{x|x≠，x∈R}
B.{x|x≠，x∈R}
C.{x|x≠kπ+，k∈Z，x∈R}
D.{x|x≠kπ+，k∈Z，x∈R}
解析：要使函数有意义，需满足-x≠+kπ（k∈Z），所以x≠+kπ（k∈Z），也可写成x≠+kπ（k∈Z）.
答案：D
2.作出函数y=|tanx|的图像，并根据图像求其单调区间.
解：y=|tanx|
(k∈Z)，
所以其图像如图所示，单调增区间为［kπ，kπ+）（k∈Z）；单调减区间为（kπ-，kπ］（k∈Z）.
3.x取什么值时，有意义？
解：由题意得tanx≠0，∴x≠kπ(k∈Z).
又x≠kπ+(k∈Z),∴x≠kπ(k∈Z).
故当x∈{x|x≠kπ,k∈Z}时，有意义.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.函数y=tanx（≤x≤且x≠0）的值域是（
）
A.［-1，1］
B.［-1，0）∪（0，1］
C.（-∞，1］
D.［-1，+∞）
解析：先画出y=tanx在［,］上的图像，再根据所给的定义域结合图像研究y=tanx的值域.
答案：B
2.tan1，tan2，tan3的大小关系为（
）
A.tan1＞tan2＞tan3
B.tan1＞tan3＞tan2
C.tan2＞tan1＞tan3
D.tan3＞tan2＞tan1
解析：tan1=tan(π+1),2、3、π+1∈(,
)，因为y=tanx在(,
）上是增函数，所以tan1＞tan3＞tan2.
答案：B
3.在区间（）范围内，函数y=tanx与函数y=sinx的图像交点的个数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：先在同一坐标系下作出函数y=tanx与函数y=sinx的图像，通过图像研究它们的交点个数.
答案：C
4.不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：
（1）tan167°与tan173°；
（2）tan（）与tan（）.
解：（1）∵90°<167°<173°<180°，
又∵y=tanx在（90°，270°）上是增函数，
∴tan167°
（2）∵tan（）=tan（），tan（）=tan（），
又∵<<，函数y=tanx，x∈（，）是增函数，
∴tan（）即tan（）5.根据正切函数的图像，写出下列不等式的解集：
（1）tanx≥-1;
(2)tan2x≤-1.
解：作出y=tanx的图像，如图.
（1）∵tanx≥-1,tan()=-1,在(,)内，满足条件的x为≤x<,由正切函数的图像，可知满足此不等式的x的取值集合为{x|+kπ≤x<+kπ,k∈Z}.
(2)在（,)内，tan()=-1.
∴不等式tan2x≤-1的解集由不等式
kπ<2x≤kπ
(k∈Z)确定
解得∴不等式tan2x≤-1的解集为{x|30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.下列函数中是奇函数的是（
）
A.y=-sinx
B.y=|sinx|
C.y=cosx+1
D.y=tanx-1
解析：用定义判断函数的奇偶性.一一验证可以发现只有Ａ项的函数为奇函数.
答案：A
2.若tanx=且x∈（，），则x等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由于tanx=＜0，且x∈（），
即x的终边在y轴的右侧，可知x=.
答案：B
3.若cos（π+α）=，且α∈（，0），则tan（+α）的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：cos(π+α)=-cosα=,
?∴cosα=.
又α∈（，0），∴sinα=.
∴tan（+α）=cotα=.
答案：A
4.据正切函数的图像，写出不等式tanx≥0成立的x值的集合：________________.
解析：画出y=tanx在（）上的图像.
找出tanx=时的角x=，
从而得出结果kπ+≤x＜kπ+（k∈Z）.
答案：{x|kπ+≤x＜kπ+（k∈Z）
5.化简：.
解：原式==-1.
6.已知α是第二象限角，且cos（α)=，求的值.
解：原式=，
∵cos(α-)=sinα=，且α是第二象限的角，
∴cosα=.
∴原式=.
7.证明.
证明：左边=
=,
右边=,
左边=右边，∴原等式成立.
8.请利用单位圆中的三角函数线，完成下面两个问题：
（1）当0＜x＜时，tanx与x的大小关系；
（2）方程tanx=x在＜x＜内有解吗？如有，有几个解？
解：（1）如图(1),x=，角x的正切线为AT，
即tanx=AT，由Ｓ扇形AOP＜Ｓ△OAT，即OA·APx（0（2）由于y=x与y=tanx为奇函数，由（1）的结论，得当又x=0是方程x=tanx的解，因此方程x=tanx在（）内有唯一的解，即x=0.
9.画出函数y=tanx+|tanx|的图像，并简述其主要性质.
解：∵y=tanx，当x∈(,0)时,y<0；当x∈［0，）时，y≥0,∴当x∈()时，
y=tanx+|tanx|=其定义域为{x|x∈R,x≠kπ+,k∈Z}.值域为［0，+∞）；周期为T=π；区间（,kπ］（k∈Z）既不是增区间也不是减区间，其中［kπ,)(k∈Z)为单调递增区间，其图像如图2.1
从位移、速度、力到向量
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下列说法中正确的是(
)
A.向量∥就是的基线平行于的基线
B.长度相等的向量叫相等向量
C.零向量长度等于0
D.共线向量是在一条直线上的向量
解析：平行向量、共线向量：方向相同或相反的向量称为平行向量或共线向量.
零向量：长度等于0的向量，零向量的方向不确定.
答案：C
2.指出下列哪些量是向量.
①重力
②速度
③高度
④位移
⑤面积
⑥体积
解析：既有大小又有方向的量叫向量.只有大小、没有方向的量叫数量.没有特定位置的向量叫自由向量.
答案：①②④
3.如图2-1-1，在正六边形ABCDEF中与向量相等的向量有哪些？
图2-1-1
解：在正六边形中，||=||=||=||.
又∵AF∥EB∥DC，∴与、、方向相同.
∴与相等的向量有、、.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.长度为1的向量叫单位向量，把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是（
）
A.一条线段
B.一段圆弧
C.两个孤立点
D.一个圆
解析：根据向量的定义解答.
答案：D
2.如图2-1-2，在圆O中，向量、、是（
）
图2-1-2
A.有相同起点的向量
B.单位向量
C.模相等的向量
D.相等的向量
解析：其长度为圆的半径.
答案：C
3.下列说法中不正确的是(
)
A.零向量是没有方向的向量
B.零向量与任意向量共线
C.零向量只能与零向量相等
D.零向量的方向是任意的
解析：因为零向量是向量，所以由向量的概念知，它一定有方向.
答案：A
4.在正三角形ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量是（
）
A.与
B.与
C.与
D.与
解析：根据向量共线的定义解答.
答案：B
5.一质点从平面内的O点出发，向北前进a
m后，右转20°，再前进a
m，再右转20°，按此方法继续前进.问前进多少次，该质点第一次回到O点？
解析：很容易发现，质点回到出发点时正好是转了一周，于是由圆周角除以20°就可以了.
答案：18次.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.有下列物理量：①质量、②速度、③位移、④力、⑤加速度、⑥路程、⑦密度、⑧功，其中不是向量的有(
)
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.4个
解析：速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小没有方向，不是向量，是数量.故选D.
答案：D
2.下列说法中正确的是(
)
A.只有方向相同或相反的向量是平行向量
B.零向量的长度为0
C.长度相等的两个向量是相等向量
D.共线向量是在一条直线上的向量
解析：根据相等向量与共线向量的概念.
答案：B
3.下列命题中正确的是(
)
A.若|a|＞|b|，则a＞b
B.若|a|=|b|，则a=b
C.若a=b，则a∥b
D.若a≠b，则ab
解析：因为向量是“既有大小又有方向的量”，故向量之间无大小之分.又因为相等向量是指“大小相等、方向相同的向量”，所以选C.
答案：C
4.下列说法中不正确的是(
)
A.向量的长度与向量长度相等
B.任何一个非零向量都可以平行移动
C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D.两个有共同起点且共线的向量其终点必相同
解析：共线向量只与方向有关，所以D不正确.
答案：D
5.下列说法：①两个有公共起点且长度相等的向量，其终点可能不同；②若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线；③若a∥b且b∥c，则a∥c;④当且仅当=时，四边形ABCD是平行四边形.其中正确的个数为(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：①正确.
②不正确，这是由于向量的共线与表示向量的有向线段共线是两个不同的概念.
③不正确，假设向量b为零向量，因为零向量与任何一个向量都平行，符合a∥b且b∥c的条件，但结论a∥c却不能成立.
④正确，这是因为四边形ABCD是平行四边形AB∥DC且AB=DC，即和相等.
综上可知应选C.
答案：C
6.设O是正六边形ABCDEF的中心，那么图2-1-3中与向量、、相等的向量分别有多少个（
）
图2-1-3
A.1，2，3
B.2，2，1
C.2，2，3
D.3，3，3
解析：===；===;===.
答案：D
7.下列叙述正确的是(
)
A.长度相等的向量一定相等
B.相等向量的起点必相同
C.平行向量就是共线向量
D.与共线，则A、B、C、D四点共线
解析：相等向量必须大小相等，方向相同，相等向量与起点和终点的位置无关.向量共线是指向量的方向相同或相反，与平面几何中的共线有区别.
答案：C
8.以下说法正确的是______________.
①单位向量均相等
②单位向量共线
③共线的单位向量必相等
④单位向量的模相等
解析：由单位向量的定义可知只有④正确.
答案：④
9.如图2-1-4，△ABC是等腰三角形，则两腰上的向量与的关系是______________.
图2-1-4
解析：△ABC是等腰三角形，所以|AB|=|AC|.
答案：模相等
10.若a0是a的单位向量，则a与a0的方向____________，与a0的长度___________.
解析：根据单位向量的概念.
答案：相同或相反
相等
11.给出以下5个条件：①a=b；②|a|=|b|；③a与b的方向相反；④|a|=0或|b|=0；⑤a与b都是单位向量，其中能使a与b共线成立的是_______________.
解析：根据共线向量的概念.
答案：①③④
12.如图2-1-5，在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别是它们所在边的中点，O是EG、FH的交点，指出图中所标的向量中与相等的向量.
图2-1-5
解：由题意，据平行四边形的性质可知，与相等的向量有、、.2.3
从速度的倍数到数乘向量
2.3.1
数乘向量
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下列等式中不正确的是(
)
A.++=0
B.-=
C.0·=0
D.λ（μa）=λμa
解析：选项A说明首尾相连的向量之和为0，还可推广到n个向量首尾相连.对零向量的运算有明确规定，另外运算律也要熟练掌握.
0·≠0.
答案：C
2.化简：（1）5（3a-2b）+4（2b-3a）；
（2）6（a-3b+c）-4（-a+b-c）；
（3）（x-y）（a+b）-（x-y）（a-b）；
（4）（a+2b）+（3a-2b）-（a-b）.
解：（1）5（3a-2b）+4（2b-3a）=15a-10b+8b-12a=3a-2b；
（2）6（a-3b+c）-4（-a+b-c）=6a-18b+6c+4a-4b+4c=10a-22b+10c；
（3）（x-y）（a+b）-（x-y）（a-b）=xa+xb-ya-yb-xa+xb+ya-yb=2（x-y）b；
（4）（a+2b）+（3a-2b）-（a-b）=（）a+（）b=a+b.
3.已知两个非零向量a、b，试作=a+b，=a+2b，=a+3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
解：分别作向量、、，过点A、C作直线AC，观察发现，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线.
事实上，因为=-=a+3b-（a+2b）=b，
而=-=a+3b-（a+b）=2b，
于是=2，
所以，A、B、C三点共线.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知菱形的两邻边=a，=b，其对角线交点为D，则等于(
)
A.a+b
B.a+b
C.(a+b)
D.a+b
解析：由平行四边形法则及平行四边形的性质可得出答案.
答案：C
2.已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括A、C点），则等于(
)
A.λ（+），λ∈（0，1）
B.λ（+），λ∈（0，）
C.λ（-），λ∈（0，1）
D.λ（-），λ∈（0，）
解析：由题意，知=+，又点P在AC上，故存在实数λ∈（0，1）使=?λ.
答案：A
3.若3m+2n=a，m-3n=b，其中a、b是已知向量，求m、n.
解：3m+2n=a，
①
m-3n=b，
②
3×②,得3m-9n=3b.
③
①-③,得11n=a-3b.
∴n=.
④
将④代入②得m=b+3n=.
4.在平行四边形ABCD中，=a，=b，求、.
解法一：利用平行四边形的性质得==a，==b.
∵=+=-，
∴=a-b.
又∵=+，=，
?∴=a+b.
解法二：将、视为未知量，由向量的加法、减法得：
+=，-=.
两式相加得2=+，
∴=+=a+b.
两式相减得2=-，
∴=-=a-b.
5.用向量方法证明：三角形两边中点连线平行于第三边，且其长度等于第三边长度的一半.
证明：如图，已知△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点.求证：DE∥BC，且DE=.
∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴=，=.
∴=-=（-）=.
又D不在BC上，∴DE∥BC，且DE=.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.已知正方形ABCD的边长为1，=a，=b，=c，则a+b+c的模等于(
)
A.0
B.3
C.
D.
解析：由四边形ABCD为正方形，可知+=，即a+b=c，所以a+b+c=2c.
又||=，故a+b+c的模为.
答案：C
2.已知||=||=1且向量与不共线，则与∠BAC的平分线共线的向量是(
)
A.
B.+
C.-
D.
解析：由||=||=1且与不共线，可知以AB、AC为边的平行四边形为菱形，由菱形的性质和向量加法的平行四边形法则可解此题.
分析知选B.
答案：B
3.已知△ABC中，点D在BC边上，且=2，=r+s，则r+s的值是(
)
A.
B.
C.-3
D.0
解析：∵=2，
∴==r+s.
又++=0，
∴--=0，即-r-s-=0.
∴（1-r）-（s+1）=0，即
答案：D
4.已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，若++=，则点P与△ABC的关系为(
)
A.P在△ABC的内部
B.P在△ABC的外部
C.P在AB边或其延长线上
D.P在AC边上且是AC的一个三等分点
解析：由++=，得++=-，
即2=-.∴=2.由向量的数乘的几何意义知选D.
答案：D
5.如图2-3-1，在△ABC中，BD=DC，AE=3ED，若=a，=b，则等于(
)
图2-3-1
A.b+a
B.b-a
C.b+a
D.b-a
解析：=-=-=?（+）?-=+××=+（-）=-=b-a.
答案：B
6.已知a与b是不共线向量，实数x、y满足3xa+（10-y）b=2xb+（4y+7）a，则x+y=_____________.
解析：∵a、b不共线且3xa+（10-y）b=2xb+（4y+7）a，
∴3x=4y+7，10-y=2x.解得x=.
故x+y=.
答案：
7.在平行四边形ABCD中，设对角线=a，=b，试用a、b表示、.
解法一：设AC、BD交于点O，则===a，同理，=b.
∴=+=-=a-b.
同理，=a+b.
解法二：设=x，=y，那么+=，-=，
即a=x+y，b=y-x.∴x=（a-b），y=（a+b），
即=a-b，=a+b.
8.若O、A、B三点不共线，已知=m+n，m、n∈R，且m+n=1，那么点P的位置如何 请说明理由.
解：由已知=m+n=m+（1-m）=+m（-），
∴-=m（-），即=m.
∴与共线，即点P在直线上.
说明：由此题可猜想，P、A、B三点共线的充要条件是：存在实数λ、μ使=λ+μ，且λ+μ=1.
9.如图2-3-2，D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且=a，=b.
求证：（1）=a-b；（2）=a+b；(3)=；(4)++=0.
图2-3-2
证明：（1）=+=-b-a.
(2)=+=a+b.
(3)
=+=+=b+(+)=b+(-b-a)=a+b.
(4)++=a-ba+b+a+b=0.2.2.2
向量的减法
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.如图2-2-7所示，设=a，=b，=c，则等于(
)
图2-2-7
A.a-b+c
B.b-（a+c）
C.a+b+c
D.b-a+c
解析：由于a-b=-=,+=，所以a-b+c=.
答案：A
2.化简--等于(
)
A.0
B.2
C.-2
D.2
解析：因为-=,-=+=2，
所以--=2=-2.
答案：C
3.如图2-2-8，已知O为平行四边形ABCD内一点，=a，=b，=c，求.
图2-2-8
解：因为=,
=-,=-,
所以-=-,=-+.
所以=a-b+c.
4.在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点.设=a，=b，求作a-b，，.
解：如图，a-b=-=，
a-b=-=，
b+a=+=.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.在平行四边形ABCD中，++等于(
)
A.
B.
C.
D.
解析：依据向量的加法和减法法则进行化简.
解法一：++=(+)+=-=.
解法二：在平行四边形ABCD中，=-(+),=-，所以++=-(+)+-=-=.
答案：C
2.化简（-）+（-）的结果为(
)
A.
B.0
C.
D.
解析：（-)+(-)=(+)-(+)=-=-+=.
答案：C
3.已知向量a与b反向，则下列等式成立的是(
)
A.|a|+|b|=|a-b|
B.|a|-|b|=|a-b|
C.|a+b|=|a-b|
D.|a|+|b|=|a+b|
解析：如下图，作=a，=-b，易知选A.
答案：A
4.平面内有四边形ABCD和点O，若+=+，则四边形ABCD的形状是______________.
解析：∵+=+，∴-=-，即=.
由向量相等的定义知ABCD，故四边形ABCD为平行四边形.
答案：平行四边形
5.如图2-2-9，ABCD是一个梯形，AB∥CD且AB=2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知=a,=b，试用a、b表示和.
图2-2-9
解：连结CN，N是AB的中点，∵ANDC，
∴四边形ANCD是平行四边形
=-=-b，
又++=0，
∴=--=,
=-=+=a-b.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.下面给出四个式子，其中值为0的是(
)
①++
②+++
③-+-
④++-
A.①②
B.①③
C.①③④
D.①②③
解析：由向量加减法的几何意义可知①③④是正确的.
答案：C
2.如图2-2-10，在平行四边形ABCD中，=a，=b，=c，=d，则下列运算正确的是(
)
图2-2-10
A.a+b+c+d=0
B.a-b+c-d=0
C.a+b-c-d=0
D.a-b-c+d=0
解析：a-b=，c-d=，+=-=0.
答案：B
3.非零向量a、b满足|a|=|b|=|a+b|=1，则|a-b|=________________.
解析：由向量加法的平行四边形法则作图，易知OACB为菱形，故||=，即|a-b|=.
答案：
4.向量a、b的大小分别为2、8，则|a+b|的大小的取值范围是_______________.
解析：（1）当a、b同向时，|a+b|=|a|+|b|=8+2=10；
（2）当a、b反向时，|a+b|=|b|-|a|=8-2=6；
（3）当a、b不共线时，由向量加法的三角形法则和三角形的三边关系，知|b|-|a|＜|a+b|＜|a|+|b|.
故|a+b|∈［6，10］.
答案：［6,10］
5.如图2-2-11在边长为1的正方形ABCD中，设=a，=b，=c，求|a-b+c|.
图2-2-11
解：因为a-b=-=，过B作==c，
则=+=a-b+c.
因为AC⊥BD，且||=||=，所以DB⊥BM，||=||=.
所以||=2，即|a-b+c|=2.
6.已知=a，=b，且|a|=|b|=4，∠AOB=60°.
（1）求|a+b|、|a-b|；
（2）求a+b与a的夹角及a-b与a的夹角.
解：如下图，以、为邻边作平行四边形OACB.
∵|a|=|b|=4，∠AOB=60°，∴平行四边形OACB为菱形.
（1）a+b=+=,a-b=-=.
∴|a+b|=||=|2|=2××4=4，|a-b|=||=4.
（2）∵∠COA=∠AOB=30°，a+b与a所成的角即∠COA=30°，a-b与a所成的角即与所成的角∠CBA=60°.
7.如图，若ABCD是一个等腰梯形，AB∥CD，M、N分别是DC、AB的中点，已知=a，=b，=c，试用a、b、c表示和.
图2-2-12
解：作CE∥DA交AB于E，作CF⊥AB于F
∵AB∥DC，CE∥DA，
∴四边形AECD是平行四边形.
∴=-=-b.
∵=-=-=a-c，
∴=-=b+c-a.
==-=（c-a)-b-c+a=a-c-b
8.如图，在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB的中点，=a，求-+.
图2-2-13
解：-+=++=+=2.
∵D、F分别为BC、AB的中点,
∴|DF|=|AC|.∴2==-a.
∴-+=-a.
9.设在平面上有一任意四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边AB、BC、CD、DA的中点，求证：=.
证明：连结AC，
∵KL，MN分别是△ABC，△ADC的中位线，
∴∥，且||=||.
同理∥,
且||=||,
∴||=||.
又∵与方向相同,
∴=.1.5
正弦函数的图像与性质
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.函数y=1-sinx,x∈［0,2π］的大致图像是（
）
图1-4-2
解析：对于本题可按如下程序进行思考：
首先作出（或想象出）y=sinx,x∈［0,2π］的图像，如下图所示：
然后作出（或想象出）y=-sinx,x∈［0，2π］的图像（请同学自己画出）；最后作出（或想象出）y=-sinx+1的图像（请同学自己画出).
易得图像应为B.
本题亦可验证（0，1）、（，0）两点.
答案：B
2.在［0，2π］上画出函数y=sinx-1的简图.
解析：（1）第一步：按五个关键点列表；
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
-1
0
sinx-1
-1
0
-1
-2
-1
第二步：描点；
第三步：画图，即用光滑的曲线将五个点连结起来.
3.分析y=sinx-1及y=2sinx的图像与y=sinx的图像在［0，2π］上的位置关系.
解：（1）在同一坐标系中画出y=sinx-1与y=sinx的图像.
通过图像比较，y=sinx-1的图像是将y=sinx的图像整个向下平行移动了1个单位得到的.
（2）在同一坐标系中，画出y=2sinx与y=sinx的图像.
通过图像很容易看出，将y=sinx的图像上所有的点的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的2倍，就可以得到y=2sinx的图像.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.函数y=sin（-x），x∈［0，2π］的简图是（
）
图1-4-3
解析：y=f(x)的图像与y=f(-x)的图像关于y轴对称，先作出y=sinx的图像，再作此图像关于y轴的对称图像即得y=sin(-x)的图像.
答案：B
2.函数y=4sinx的图像（
）
A.关于y轴对称
B.关于直线x=对称
C.关于原点对称
D.关于直线x=π对称
解析：先作出y=4sinx的图像，通过图像可以看出y=4sinx的图像关于原点对称.
答案：C
3.函数y=-sinx图像上五个关键点的坐标是____________.
解析：函数y=-sinx与y=sinx，当x取同一值时，函数值互为相反数
答案：（0，0），（，-1），（π，0），（，1），（2π，0）
4.作出函数y=-sinx，x∈［-π，π］的简图，并回答下列问题：
（1）观察函数图像，写出满足下列条件的x的区间：①sinx＞0；②sinx＜0.
（2）直线y=与y=-sinx，x∈［-π,π］的图像有几个交点？
解：利用五点法作图，
（1）根据图像可知:图像在x轴上方的部分sinx>0，在x轴下方的部分sinx<0，所以当x∈（-π，0）时，sinx>0；当x∈（0，π）时，sinx<0.
（2）画出直线y=，得知有两个交点.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.函数y=x+sin|x|,x∈［-π,π］的大致图像是图1-4-4中的哪一项？（
）
图1-4-4
解析：首先y=x+sin|x|在x∈［-π,π］上递增；其次y=x+sin|x|不是奇函数，故选C
答案：C
2.已知y=sinx(≤x≤)的图像和直线y=1围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是_____________.
解析：如图:
y=sinx(≤x≤)的图像与直线y=1围成的封闭图形的面积为()×2÷2=2π.
答案：2π
3.(2005高考上海卷，理10文11)函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈［0,2π］的图像与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是___________.
解析：∵f(x)=
∴y=f(x)图像如图，
故若y=f(x)与y=k的图像有且仅有两个交点
则k的范围1答案：14.方程sinx=的根的个数为____________.
解析：这是一个超越方程，无法直接求解，考虑利用数形结合思想，转化为求函数y=的图像与函数y=sinx的图像交点个数，借助图形直观求解.
当x≥4π时，>1≥sinx，当00=，从而x>0时，有3个交点.由对称性知x<0时，也有3个交点，加上原点，一共有7个交点.
答案：7
5.画出函数y=在［0，2π］上的简图，求出y的最大值和最小值，并写出y取得最大值和最小值时x的值的集合.
解：列表：
x
0
π
2π
y=sinx
0
1
0
-1
0
y=1-1
2sinx
1
1
2
1
描点得y=在［0，2π］上的图像（如下图）.
由图可知y的最大值为，此时x的取值集合是{}；y的最小值为，此时x的取值集合是{
}.
6.利用正弦函数的图像，求满足条件sinx≥的x的集合.
解：作出正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图像.
由图形可以得到，满足条件的x的集合为［+2kπ,+2kπ］,k∈Z.
7.根据正弦函数的图像求满足sinx≥的x的范围.
解：首先在同一坐标系内作出函数y=sinx与y=的图像
然后观察长度为2π（一个周期）的一个闭区间内的情形，如观察［0，2π］看到符合sinx≥的x∈［，］.
最后由正弦函数的周期为2kπ(k∈Z,k≠0)，得x∈［2kπ+,2kπ+］(k∈Z).
8.作函数y=|sinx|与y=sin|x|的图像.
解：y=|sinx|=其图像为
y=sin|x|=
其图像为1.6余弦函数的图像和性质
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.使cosx=有意义的m的值为（
）
A.m≥0
B.m≤0
C.-1＜m＜1
D.m＜-1或m＞1
解析：要保证式子有意义，要求等号后面的表达式的绝对值在区间［-1，1］上，即||≤1.解得m≤0.
答案：B
2.求下列三角函数值：
（1）；
（2）cos（-2
640°）+sin1
665°.
解：（1）.
（2）cos（-2
640°）+sin1
665°=cos［(-15)×180°+60°］+sin(9×180°+45°)
=-cos60°-sin45°=.
3.求函数y=cos2x-3cosx+2的最小值.
解：令u=cosx,则y=cos2x-3cosx+2可变为y=u2-3u+2，
即y=(u-)2-,u∈［-1,1］.
当u∈［-1,1］时，函数递减，
∴当u=1时，函数y有最小值0.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.如果|cosx|=cos（x+π），则x的取值集合是（
）
A.+2kπ≤x≤+2kπ（k∈Z）
B.+2kπ≤x≤+2kπ（k∈Z）
C.+2kπ≤x≤+2kπ（k∈Z）
D.（2k+1）π≤x≤2（k+1）π（k∈Z）
解析：cos（x+π）=-cosx=|cosx|，
∴cosx≤0.故+2kπ≤x≤+2kπ（k∈Z).
答案：C
2.y=4cosx在x∈［-π，π］上的单调性是（
）
A.在［-π，0］上递增，在［0，π］上递减
B.在［］上递增，在［］和［］上都递减
C.在［0，π］上递增，在［-π，0］上递减
D.在［，π］和［-π，］上递增，在［］上递减
解析：画出y=cosx在［-π，π］上的简图，易发现y=4cosx在［-π，0］上递增，在［0，π］上递减.
答案：A
3.y=cos（x+3π）是（
）
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
解析：由于y=cos（3π+x）=cos（π+x）=-cosx，且具备-cos（-x）=-cosx，
∴y=cos（3π+x）为偶函数.
答案：B
4.函数y=（x∈R）的最大值是（
）
A.
B.
C.3
D.5
解析：由y=(x∈R），得cosx=.∴||≤1.∴≤y≤3.
答案：C
5.求函数y=1+cosx，x∈［0，2π］的图像与直线y=的交点坐标.
解法一：先画出y=1+cosx在［0，2π］上的图像与直线y=的图像，观察图像即得交点坐标为（）、（）.
解法二：解方程组
得cosx=.
∵x∈［0,2π］,
∴x1=,x2=.
故交点坐标为（，）、（）.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.函数y=2sin2x+2cosx-3的最大值是（
）
A.-1
B.
C.
D.-5
解析：y=-2（cosx-）2-,
又∵-1≤cosx≤1，∴当cosx=时，ymax=.
答案：C
2.下列各式：①sin185°；②cos504°；③sin（）；④cos8.6π；⑤sin273°·cos125°，其中为正值的个数为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：逐一验证，并将负角化正、大角化小.根据最终换成的角所在的象限确定其值的正负，可知⑤为正值.
答案：A
3.下列命题中正确的是（
）
A.函数y=sinx在（0，π）上递增
B.函数y=cosx在（）上递减
C.函数y=sinx在（）上递增
D.函数y=cosx在（π，）上递减
解析：处理三角函数的单调性问题，一般都借助它们的图像.联想或画出y=sinx和y=cosx的图像，即可判定C正确.
答案：C
4.在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的取值范围是（
）
A.（）∪（π，）
B.（）
C.（）
D.（）∪（）
解法一：作出［0，2π）区间上的正弦和余弦函数图像，从图像中判断.
解法二：在单位圆中作出第一、三象限的角平分线，由正弦线和余弦线的定义判断.
答案：C
5.若函数y=sinx和y=cosx都是减函数，则x是哪个象限的角(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：由y=cosx-1，且x∈R，可知
ymax=M=，ymin=m=
.因而M+m==-2.
答案：-2
6.设M和m分别是函数y=cosx-1的最大值和最小值，则M+m=____________.
解析：只需在同一坐标系中画出y=sinx和y=cosx的简图，就可以非常直观地得到?答案.
答案：B
7.cos（-1
650°）+sin570°的值为_____________.
解析：原式=cos1
650°+sin570°
=cos（4×360°+210°）+sin（360°+210°）
=cos210°+sin210°
=cos（180°+30°）+sin（180°+30°）
=-cos30°-sin30°=.
答案:
8.试问方程=cosx是否有实数解？若有，请求出实数解的个数；若没有，请说明理由.
解：可借助函数y=和y=cosx的图像，通过判断图像是否有交点来判定方程是否有实数解.如有交点，可通过讨论交点数来获得实数解的个数.
如图所示，y=的图像关于原点O对称，y=cosx
的图像关于y轴对称，所以y轴两侧的交点是成对出现的.在（0，+∞）上研究y=和y=cosx图像交点的情况（参考图）.
因为cos100≈0.86<1，且当x>100时，y=是增函数，所以当x≥100时，y=≥1.
又31π<100<32π，从图像中可得知直线?y=与曲线y=cosx在（0，30π］中从0开始每相隔2π会有两个交点，所以，在（0，30π］上共有30个交点，在（30π，31π］上有一个交点.总之，当x>0时有31个交点.
所以函数y=和y=cosx的图像总共有2×31=62个交点，即方程=cosx的解一共有62个.
9.求函数y=+lg（36-x2）的定义域.
解：欲求函数定义域，则由
取k=-1、0、1，可分别得到
x∈（-6，］或x∈［］或x∈［），
即所求的定义域为x∈（］∪［］∪［）.1.2
角的概念的推广
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.任意角的形成：角可以看成是_____________而成的，射线的端点叫做_____________，旋转开始的射线叫做_____________，旋转终止的射线叫做_____________，按逆时针方向旋转形成的角叫做_____________，按顺时针方向旋转形成的角叫做_____________，没有作任何旋转时，这样的角叫做_____________.
答案：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置
角的顶点
角的始边
角的终边
正角
负角
零角
2.在体操、花样滑冰、跳台跳水比赛中，常常听到“转体三周”“转体两周半”等说法，像这种动作名称表示的角是多大？
解：如果逆时针转体，分别是360°×3=1
080°和360°×2.5=900°；若顺时针转体，则分别为-1
080°和-900°.
3.在0°—360°之间，求出与下列各角终边相同的角，并判定下列各角是哪个象限的角.
（1）908°28′；
（2）-734°.
解：（1）908°28′=188°28′+2×360°，则188°28′即为所求的角，因为它是第三象限角，从而908°28′也是第三象限的角.
（2）-734°=346°-3×360°，则346°即为所求的角，因为它是第四象限角，从而-734°也是第四象限角.
4.在-720°—720°之间，写出与60°角终边相同的角的集合S.
解：与60°终边相同的角的集合为{α|α=60°+k·360°,k∈Z}，
令-720°≤60°+k·360°<720°,
得k=-2,-1,0,1，相应的角为-660°,-300°,60°,420°，
从而S={-660°,-300°,60°,420°}.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.下列说法中,正确的有（
）
①第一象限的角一定是锐角
②终边相同的角一定相等
③相等的角终边一定相同
④小于90°的角一定是锐角
⑤钝角的终边在第二象限
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析：终边相同的角，有的正有的负，不一定相等；锐角指的是在（0°，90°）内的正角；小于90°的角可以是负角，所以二者不同.第一象限的角是指终边落在第一象限的角，它可正可负，可大可小，故并非仅是锐角，所以①不正确；同理，可知②④均不正确；③⑤正确.
答案：B
2.下列各角中属于第二象限的是（
）
A.-290°
B.585°
C.-950°
D.182°
解析：将角写成k·360°+α（k∈Z）（0°≤α＜360°）（k∈Z）的形式，α与它在同一象限.将超过［-360°，360°］范围内的角化为在这个范围内即可判断.易知-290°在第一象限，182°在第三象限，585°=360°+225°，在第三象限，-950°=-720°-230°在第二象限.
答案：C
3.若A={α|α=k·360°，k∈Z}，B={α|α=k·180°，k∈Z}，C={α|α=k·90°，k∈Z}，则下列关系正确的是（
）
A.ACB
B.BAC
C.CBA
D.ABC
解析：A中，α=k·360°，α的终边落在x轴非负半轴上；B中，α=k·180°，则α的终边落在x轴上；C中，α=k·90°，则α的终边落在坐标轴上.故可判断ABC.
答案：D
4.在0°—360°范围内，找出与下列各角终边相同的所有角，并判断它们是第几象限的角.
（1）-150°；
（2）650°；
（3）-950°15′.
解：（1）因为-150°=-360°+210°，所以在0°—360°范围内，与角-150°终边相同的角是210°角，它是第三象限的角.
（2）因为650°=360°+290°，所以在0°—360°范围内，与角650°终边相同的角是290°角，它是第四象限的角.
（3）因为-950°15′=-3×360°+129°45′，所以在0°—360°范围内，与角-950°15′终边相同的角是129°45′角，它是第二象限的角.
5.（1）写出与15°角终边相同的角的集合；
（2）在（1）的集合中，将适合不等式-1
080°＜α＜360°的元素α求出来.
解：（1）与15°角终边相同的角的集合是M={α|α=k·360°+15°，k∈Z}.
（2）在M中适合-1
080°<α<360°的元素是：
取k=-3时，-3×360°+15°=-1
065°;
取k=-2时，-2×360°+15°=-705°;
取k=-1时，-1×360°+15°=-345°;
取k=0时，0×360°+15°=15°,
即元素-1
065°，-705°，-345°，15°为所求.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.若α是第二象限的角，则180°-α是（
）
A.第一象限的角
B.第二象限的角
C.第三象限的角
D.第四象限的角
解析：α与-α的终边关于x轴对称，又α是第二象限的角，所以-α是第三象限的角.而-α与180°-α的终边关于原点对称，∴180°-α为第一象限的角.或者可以直接由已知得k·360°+90°＜α＜k·360°+180°（k∈Z），∴-k·360°-180°＜-α＜-k·360°-90°（k∈Z）.∴-k·360°＜180°-α＜-k·360°+90°（k∈Z）.确定180°-α是第一象限的角.
答案：A
2.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z}，B={β|-180°＜β＜180°},则A∩B等于（
）
A.{-36°,54°}
B.{-126°,144°}
C.{-126°,-36°,54°,144°}
D.{-126°,54°}
解析：在集合A中，令k取不同的整数，找出既属于A又属于B的角度即可.k=-2,-1,0,1,2,3，验证可知A∩B={-126°,-36°,54°,144°}.
答案：C
3.如果α与x+45°具有同一条终边，角β与x-45°具有同一条终边，那么α与β间的关系是（
）
A.α+β=0
B.α-β=0
C.α+β=k·360°,k∈Z
D.α-β=k·360°+90°,k∈Z
解析：由题意，α=k·360°+x+45°,k∈Z；β=n·360°+x-45°,n∈Z.两式相减得α-β=(k-n)·360°+90°,(k-n)∈Z.
答案：D
4.在0°—360°范围内，与-45°角终边相同的角是____________.
解析：由于-45°是第四象限的角，所以0°—360°之间终边与之相同的角是315°.
答案：315°
5.时针走过2小时40分，则分针转过的角度是____________.
解析：时针走过2小时40分钟，则分针走过周，所以转过的角度为×360°=-960°.
答案：-960°
6.(1)终边在第一、三象限角平分线上的角的集合为____________；
(2)终边在第二、四象限角平分线上的角的集合为____________.
解析：（1）终边落在第一象限角的平分线上的角为{α|α=k·360°+45°,k∈Z}；
终边落在第三象限角的平分线上的角为{α|α=k·360°+225°,k∈Z}.
所以终边落在第一、三象限角的平分线上的角的集合为
S={α|α=k·360°+45°,k∈Z}∪{α|α=k·360°+225°,k∈Z}
={α|α=k·360°+45°或α=k·360°+225°,k∈Z}
={α|α=2k·180°+45°或α=(2k+1)·180°+45°,?k∈Z}
={α|α=n·180°+45°,n∈Z}.
（2）同理，推得落在第二、四象限角平分线上的角的集合为{α|α=n·180°+135°,n∈Z}.
答案：（1）{α|α?n·180°+45°,n∈Z}
（2）{α|α=n·180°+45°,n∈Z}
7.射线OA绕端点O逆时针旋转270°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转一周到达OC位置，求∠AOC的大小.
解：由题意知∠AOB=270°，∠BOC=-360°，所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=270°+（-360°）=-90°.
8.已知A={锐角}，B={0°到90°的角}，C={第一象限角}，D={小于90°的角}.求A∩B,A∪C，C∩D，A∪D.
解：因为A={α|0°<α<90°};B={α|0°≤α<90°};C={α|k·360°<αD={α|α<90°},
所以A∩B={α|0°<α<90°};A∪C={α|?k·360°<α<α9.已知α是第一象限角，试确定，2α终边的位置.
解：(1)由已知k·360°<αk·180°<∴k为偶数时，是第一象限角，k为奇数时，为第三象限角，即为第一或第三象限角.
如图（1）中阴影部分.
（2）由已知得2k·360°<2α<2k·360°+180°(k∈Z).
故2α的终边在第一或第二象限或y轴的非负半轴上.如图（2）中阴影部分
10.若角α的终边经过点P（-1，），写出角α的集合.
解：如图，AO=1，AP=，所以∠AOP=60°.所以角α的集合为{α|α=240°+k·360°，k∈Z}.
11.有一个小于360°的正角，这个角的6倍的终边与x轴的正半轴重合，求这个角.
解：由题意知6α=k·360°，k∈Z，所以α=k·60°，k∈Z.又因为α是小于360°的正角，所以满足条件的角α的值为60°，120°，180°，240°，300°.3.2
两角和与差的正切函数
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.若=4+，则tan（-A）的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：tan（-A）=.
答案：B
2.计算tan20°+tan40°+tan20°tan40°=_____________.
解析:tan60°=tan（20°+40°）=，
则tan20°+tan40°=（1-tan20°tan40°）=tan20°tan40°，
因此tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.
答案:
3.当α=40°时,=________________.
解析:原式=tan［(2α+β)+(α-β)］=tan3α=tan120°=-tan60°=.
答案:
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.如果tan（α+β）=，tan（β-）=，那么tan（α+）等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：tan（α+）=tan［（α+β）-（β）］=.
答案：C
2.已知，则cot（+α）的值等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析:由,
可知，tan（-α）=.
而-α与+α互为余角，
则有cot（+α）=tan（-α）=.
答案：A
3.=_________________.
解析：原式==-tan（45°-15°）=.
答案:
4.求证：（1+tan22°）（1+tan23°）=2.
证明：∵22°+23°=45°，∴tan（22°+23°）=.
∴1-tan22°tan23°=tan22°+tan23°.
左边=（1+tan22°）（1+tan23°）=1+tan22°+tan23°+tan22°tan23°=2=右边.
5.已知tan(α+β)=5,tan(α-β)=3,求tan2α,tan2β,tan(2α+).
解:tan2α=tan［(α+β)+(α-β)］
=.
tan2β=tan［(α+β)-(α-β)］
=.
tan(2α+)=.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.若0＜α＜,0＜β＜,且tanα=,tanβ=,则α+β等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析:∵tanα=,tanβ=,∴tan(α+β)==1.
又∵0<α<,0<β<,∴0<α+β<π.
而在(0,π)内只有tan=1.
∴α+β=.
答案:B
2.在△ABC中，已知tanA、tanB是方程3x2+8x-1=0的两个根，则tanC等于（
）
A.2
B.-2
C.4
D.-4
解析:由于tanA、tanB是方程3x2+8x-1=0的两个根，
根据韦达定理，有tanA+tanB=，tanA·tanB=.
则tanC=tan［π-（A+B）］=-tan（A+B）=.
答案:A
3.（1+tan1°）（1+tan2°）…（1+tan44°）（1+tan45°）=_____________.
解析:原式=（1+tan1°）（1+tan2°）（1+tan3°）+…+（1+tan44°）（1+tan45°）
=［（1+tan1°）（1+tan44°）］…［（1+tan22°）（1+tan23°）］·（1+tan45°）=2·2·…·2=223.
4.tan70°+tan50°tan50°·tan70°=_______________.
解析:原式=tan(70°+50°)(1-tan70°tan50°)-tan70°tan50°
=(1-tan70°tan50°)tan70°tan50°=.
答案:
5.如果α、β、γ都是锐角，并且它们的正切分别为、、，求证：α+β+γ=45°.
证明：由于tanα=，tanβ=，
可知tan（α+β）=.
由题意可知tanγ=，则
tan（α+β+γ）=tan［（α+β）+γ］==1.
根据α、β、γ都是锐角，且0＜tanα=＜1，0＜tanβ=＜1，0＜tanγ=＜1，
可知0°＜α＜45°，0°＜β＜45°，0°＜γ＜45°,
得0＜α+β+γ＜135°.
所以，α+β+γ=45°.
6.求证：tan（A-B）+tan（B-C）+tan（C-A）=tan（A-B）·tan（B-C）·tan（C-A）.
证明：（A-B）+（B-C）=A-C.
由两角和的正切公式变形为
tan［（A-B）+（B-C）］=.
∴tan（A-B）+tan（B-C）=tan（A-C）·［1-tan（A-B）·tan（B-C）］.
左=tan（A-C）［1-tan（A-B）·tan（B-C）］+tan（C-A）=tan（A-C）-tan（A-C）·tan（A-B）·tan（B-C）+tan（C-A）=tan（C-A）·?tan（A-B）?·tan（B-C）=右.
7.已知α∈(0,),β∈(0,π),且tan(α-β)=,tanβ=，求tan(2α-β)的值及角2α-β.
解:tanα=tan［(α-β)+β］=.
tan(2α-β)=tan［α+(α-β)］
==1.
又
β∈(0,π),tanβ=<0,∴β∈(,π).
∵α∈(0,
),∴2α∈(0,
).
∴2α-β∈(-π,0).∴2α-β=π.
8.已知sinα=
(90°＜α＜180°),cosβ=
(270°＜β＜360°),求tan(α+β)和tan(α-β)的值.
解:∵sinα=,90°<α<180°,∴cosα=.
∴tanα=.
∵cosβ=,270°<β<360°,
∴sinβ=.∴tanβ=.
∴tan(α+β)=
=.
tan(α-β)=.
9.设一元二次方程mx2+(2m-1)x+(m+1)=0的两根为tanα、tanβ,求tan(α+β)的取值范围.
解:因为tanα、tanβ为方程的两根,则有Δ=(2m-1)2-4m(m+1)≥0,且m≠0,解得m≤,m≠0,所以m∈(-∞,0)∪(0,］.
由韦达定理得tanα+tanβ=,tanα·tanβ=,于是,tan(α+β)=
=.
因为2m-1≤2×-1=-且2m-1≠-1,
所以tan(α+β)的取值范围是(-∞,-1)∪?(-1,-］.2.4.1平面向量的坐标表示
2.4.2平面向量线性运算的坐标表示
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则c等于(
)
A.
B.
C.
D.
解析：根据平面内任一向量可用该平面内一组基底唯一线性表示，可用待定系数法.
答案：B
2.已知平行四边形ABCD的一个顶点坐标为A（-2，1），一组对边AB、CD的中点分别为M?（3，0）、N（-1，-2），求平行四边形的各个顶点坐标.
解：设其余三个顶点的坐标为B（x1，y1），C（x2，y2），D（x3，y3）.
因为M是AB的中点，所以3=，0=.
解得x1=8，y1=-1.
设MN的中点为O′（x0，y0），则x0==1，y0==-1，而O′既是AC的中点，又是BD的中点，
所以x0=，y0=，即1=.
解得x2=4，y2=-3.
同理解得x3=-6，y3=-1.
所以B（8，-1），C（4，-3），D（-6，-1）.
3.已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及=+t.求：
（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限
（2）四边形OABP能否构成平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
解：（1）=+t=（1+3t，2+3t），若P在x轴上，只需2+3t=0，所以t=-2[]3；
若P在y轴上，只需1+3t=0，所以t=；
若P在第二象限，只需
所以.
（2）因为=（1，2），=（3-3t，3-3t），若OABP为平行四边形，则=.
由于无解，故四边形OABP不能构成平行四边形.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知点A（，1），B（0，0），C（，0）.设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有=λ,其中λ等于(
)
A.2
B.
C.-3
D.
解析：∵AE为∠BAC的平分线，
∴.
∴=-2.
∴=-=-2-=-3.
答案：C
2.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3)，若点C满足=α+β，其中，α、β∈R，且α+β=1,则点C的轨迹方程为________________.
解析：将点C所满足的向量式条件转化为直角坐标的方程式即为点C的轨迹方程.
答案：x+2y-5=0
3.（1）已知e1=（1，2），e2=（-2，3），a=（-1，2），试以e1、e2为基底，将a分解为λ1e1+λ2e2的形式.
（2）已知点A（-1，2）、B（2，8）及，求C、D和的坐标.
（3）△ABC的重心在原点，A（1，4），B（-3，-3），求C点的坐标.
解：（1）由
所以a=e1+e2.
（2）因为=（1，2），所以C（0，4），=（1，2）.
所以D（-2，0），=（-2，-4）.
（3）设C点坐标为（x，y），则由
所以C点坐标为（2，-1）.
4.用坐标法证明++=0.
证明：设A（a1，a2），B（b1，b2），C（c1，c2），则=（b1-a1，b2-a2），
=（c1-b1，c2-b2），=（a1-c1，a2-c2）.
∴++=（b1-a1，b2-a2）+（c1-b1，c2-b2）+（a1-c1，a2-c2）=（b1-a1+c1-b1+a1-c1，b2-a2+c2-b2+a2-c2）=（0，0）=0.
∴++=0.
5.如图2-4-1，已知平面上三点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求点D的坐标，使得这四点能构成平行四边形的四个顶点.
图2-4-1
解：（1）当平行四边形为ABCD时，因为=，所以（4，1）=（x+2，y-1）.所以x=2，y=2，即D（2，2）.
（2）当平行四边形为ACDB时，因为=，所以（-1，-2）=（3-x，4-y）.所以x=4，y=6，即D（4，6）.
（3）当平行四边形为DACB时，因为=，所以（-2-x，1-y）=（4，1）.所以x=-6，y=0，即D（-6，0）.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.若向量a=（x+3，x2-3x-4）与相等，已知A（1，2）和B（3，2），则x的值为(
)
A.-1
B.-1或4
C.4
D.1或-4
解析：因为已知A（1，2）和B（3，2），所以向量可以求，然后根据向量相等的定义就可以得出x的值.
答案：A
2.已知M（3，-2）、N（-5，-1），且=，则点P的坐标为(
)
A.（-8，1）
B.（1，）
C.（-1，）
D.（8，-1）
解析：根据=可以得到2=，再根据向量的坐标运算就可以得出点P的坐标.
答案：C
3.在△ABC中，已知A（2，3）、B（8，-4），G（2，-1）是中线AD上的一点，且||=2||，则点C的坐标为(
)
A.（-4，2）
B.（-4，-2）
C.（4，-2）
D.（4，2）
解析：设C点坐标为（x，y），由于G是△ABC的重心，则2=，∴x=-4.
-1=，∴y=-2.
答案：B
4.已知A（-2，4）、B（3，-1）、C（-3，-4）且=3，=2，试求点M、N和的坐标.
解：∵A（-2，4），B（3，-1），C（-3，-4），
∴=（-2+3，4+4）=（1，8），
=（3+3，-1+4）=（6，3）.
于是=3=3（1，8）=（3，24），
=2=2（6，3）=（12，6）.
设M（x，y），则有=（x+3，y+4），
∴
即M点的坐标为（0，20），同理可求得N（9，2）.
因此=（9-0，2-20）=（9，-18）.
故所求的点M、N的坐标分别为（0，20）、（9，2），的坐标为（9，-18）.
5.如图2-4-2所示，已知△ABC中，A（7，8）、B（3，5）、C（4，3），M、N是AB、AC的中点，D是BC的中点，NM与AD交于F，求.
图2-4-2
解：∵A（7，8）、B（3，5）、C（4，3），
∴=（3-7，5-8）=（-4，-3），=（4-7，3-8）=（-3，-5）.
又∵D是的中点，∴=（+）=（，-4）.
又∵M、N分别为AB、AC的中点，∴F为AD的中点.
∴==（，2）.
6.已知点A（2，3）、B（5，4）、C（7，10），若=+λ（λ∈R），试求λ为何值时，点P在第一、三象限的角平分线上？点P在第三象限内？
解：设点P的坐标为（x，y），则=（x，y）-（2，3）=（x-2，y-3），
+λ=（5，4）-（2，3）+λ［（7，10）-（2，3）］
=（3，1）+λ（5，7）=（3，1）+（5λ，7λ）=（3+5λ，1+7λ）.
∵=+λ，
∴（x-2，y-3）=（3+5λ，1+7λ）.
∴∴
∴P点的坐标为（5+5λ，4+7λ）.
（1）若点P在一、三象限的角平分线上，则5+5λ=4+7λ，∴λ=.
（2）若点P在第三象限内，则
∴∴λ＜-1，
即只要λ＜-1，点P就在第三象限内.
7.已知向量u=（x，y）与向量v=（y，2y-x）的对应关系可用v=f（u）表示.
（1）证明对于任意向量a、b及常数m、n，恒有f（ma+nb）=mf（a）+nf（b）成立；
（2）设a=（1，1），b=（1，0），求向量f（a）及f（b）的坐标；
（3）求使f（c）=（3，5）成立的向量c.
（1）证明：设向量a=（x1，y1），b=（x2，y2）.
则f（mx1+nx2，my1+ny2）=（my1+ny2，2my1+2ny2-mx1-nx2），
又mf（a）=（my1，
2my1-mx1），nf（b）=（ny2，2ny2-nx2），
所以mf（a）+nf（b）=（my1+ny2，2my1+2ny2-mx1-nx2）.
所以f（ma+nb）=mf（a）+nf（b）.
（2）解：f（a）=（1，1），f（b）=（0，-1）.
（3）解：由所以c=（1，3）.
8.设G为四边形ABCD对角线中点连线的中点，O为平面内任意一点，证明=(+++).
证明：如图，任意四边形ABCD的对角线AC的中点为E，BD中点为F，则=（+），=（+）.
又G为EF的中点，则=（+），
即=［（+）+（+）］=（+++）.
9.已知A(1,-2),B(2,1)，C(3,2)和D(-2,3),以、为一组基底来表示.
解：AB=（1，3），AC=（2，4），AD=（-3，5），BD=(-4,2),CD=(-5,1),
∴AD+BD+CD=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8).
根据平面向量基本定理,一定存在实数m、n使得
++=m·+n·，
∴（-12，8）=m（1，3）+n（2，4）
也就是(-12,8)=(m+2n,3m+4n),可得
∴++=32-22.3.3
二倍角的三角函数
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.已知θ是第二象限角，sinθ=，那么cos的值为（
）
A.
B.±
C.
D.±
解析：θ为第二象限角，为第一或第三象限角.
sinθ=，则cosθ=.
.
答案：D
2.求下列各式的值：
（1）-cos2=_______________；（2）=_________________.
解析：（1）原式=(2cos2-1)
=.
（2）原式=.
答案:(1)
(2)
3.计算：coscoscos.
解：原式=
4.已知cos=,α∈(π,2π),求sinα,cosα,tanα.
解:∵α∈(π,2π),∴<<π.
又cos=,
∴sin=.
∴sinα=2sincos=2××()=,
cosα=2cos2-1=2()2-1=.
∴tanα=.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知2sinθ=1+cosθ，则tan的值是（
）
A.
B.2
C.或不存在
D.不存在
解析：2sinθ=1+cosθ，当2sinθ≠0，1+cosθ≠0，得出，
当sinθ=0时，cosθ=-1，θ=2kπ+π，不存在.
答案：C
2.已知cos(α+)=,≤α＜，则cos(2α+)的值为____________________.
解析：cos(2α+)=cos2αcos-sin2αsin=(cos2α-sin2α).
∵≤α<，∴≤α+.
又∵cos(α+)>0，∴<α+.
∴sin(α+)=.
∴cos2α=sin(2α+)=2sin(α+).
cos(α+)=,
sin2α=-cos(+2α)=1-2cos2(α+)=.
∴原式=×()=.
答案:
3.当x∈［,］时，求f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的周期、最大值及此时x的值.
解：f(x)=1+cos2x+1+sin2x=sin(2x+)+2,周期T=π.
当x∈［］时，2x+∈［］,
sin(2x+)∈［-1,1］.
∴f(x)∈［］.
∴f(x)max=.
由2x+,得x=.
又∵x∈［］，
∴x=,
即当x=时，f(x)的最大值为.
4.求值:cos275°+cos215°+cos75°cos15°.
解:原式=+sin15°·cos15°
=(1-cos30°)+(1+cos30°)+sin30°=++=.
5.设sin(-x)=,0＜x＜,求的值.
解法一:∵0∴cos(-x)=.
=.
又cos(+x)=sin(-x)=,
∴原式=
=2cos(-x)=.
解法二:cos2x=cos2x-sin2x
=（cosx+sinx)(cosx-sinx)
=sin(x+)·cos(x+)
=2sin(x+)cos(x+),
∴原式==2sin(x+)
=2cos(-x).后面同解法一.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.已知450°＜α＜540°,则等于（
）
A.-sin
B.cos
C.sin
D.-cos
解析:利用公式,
原式=,∵450°<α<540°,
∴cosα<0.
∴原式=.
∵450°<α<540°,∴225°<<270°.
∴sin<0.
∴原式==-sin.
答案:A
2.已知θ为第三象限角，sin4θ+cos4θ=，那么sin2θ等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：sin4θ+cos4θ=（sin2θ+cos2θ）2-2sin2θ·cos2θ=，
∴2sin2θ·cos2θ=，sin22θ=.θ为第三象限角，sinθ＜0，cosθ＜0，sin2θ＞0,
∴sin2θ=.
答案：B
3.设5π＜θ＜6π，cos=a,则sin的值等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：∵5π＜θ＜6π，
∴＜＜3π，＜＜.
∴.故D正确.
答案：D
4.tan5°+cot5°-=_____________.
解析:原式=
=.
答案:0
5.已知tan2θ=，＜2θ＜π，求的值.
解：tan2θ=，,
∵2tanθ=（1-tan2θ），
则tan2θ-tanθ-=0，
∴（tanθ-）（tanθ+1）=0.
∴tanθ=或tanθ=（舍）.
（∵＜2θ＜π，∴＜θ＜）
原式=.
6.在△ABC中，tanA+tanB+tanAtanB且sinAcosA=，试判断三角形的形状.
解：由sinAcosA=,得
sin2A=,即sin2A=，
∴2A=60°或120°.
∴A=30°或60°.
又由tanA+tanB=(1-tanAtanB),得
tan(A+B)=.
∴A+B=120°.
当A=30°时，B=90°,tanB无意义，
∴A=60°,B=60°,
即三角形为等边三角形.
7.(2005高考天津卷,文17)已知sin(α-)=，cos2α=，求sinα及tan(α+).
解：由sin(α)=,得
(sinα-cosα)=，
即sinα-cosα=.
①
又由cos2α=得cos2α-sin2α=，
即(cosα+sinα)(cosα-sinα)=.
∴cosα+sinα=.
②
由①②得sinα=,cosα=.
∴tanα=.
tan(α+)=tanα+.
8.已知f(x)=2sin(x+)cos(x+)+cos2(x+)-.
(1)化简f(x)的解析式；
(2)若0≤θ≤π，求使函数f(x)为奇函数的θ值；
(3)在(2)的条件下，求满足f(x)=1,x∈［-π,π］的x的取值集合.
解：（1）f(x)=sin(2x+θ)+［1+cos(2x+θ)］-
=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)
=2sin(2x+θ+).
（2）若f(x)为奇函数，则当x=0时，f(x)=0,
即θ+=kπ(k∈Z).∴θ=.
又∵0≤θ≤π，∴θ=.
（3）此时f(x)=2sin(2x+π)=-2sin2x，
由f(x)=1得sin2x=.
当x∈［-π,π］时，2x∈［-2π,2π］，
∴2x=.
∴x的取值集合为{}.
9.有一块半径为R、中心角为45°的扇形铁皮材料，为了截取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常将矩形的一边放在扇形的半径上，然后作其最大的内接矩形．你能帮工人师傅设计一方案，选出矩形的四点吗
解：如图,设∠POA=θ，则PN=Rsinθ.
OM=QM=PN=Rsinθ,ON=Rcosθ.
MN=ON-OM=Rcosθ-Rsinθ.
则S矩形PQMN=MN·PN
=R(cosθ-sinθ)·Rsinθ
=R2(sinθcosθ-sin2θ)
=(sin2θ-1+cos2θ)
=［sin(2θ+)］.
当2θ+,即θ=时，S矩形PQMN最大且最大值为.
因此可以这样选点，以扇形一半径OA为一边在扇形上作∠AOP=,P为边OP与扇形的交点，自P作PN⊥OA于N,PQ∥OA交OB于Q，若作QM⊥OA于M，则矩形MNPQ为所求的面积最大的矩形.1.4
单位圆与正弦、余弦函数
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.sin600°的值是（
）
A.
B.
C.
D.
解析：600°角与240°角终边相同，设240°角的终边与单位圆交于点P，则P点坐标为（）.
∴sin600°=sin240°=.
答案：D
2.如图1-4-1，在单位圆中，∠AOP=60°，则点P的坐标为_________________，sin∠AOP=_____________.
图1-4-1
解析：先过P点作x轴的垂线PM，连结PA，根据△AOP中OA=OP，∠AOP=60°可以求得PM、OM的长度，即P点的纵坐标与横坐标的值.再利用正弦函数的定义，可求得其正弦值.
答案：
3.求135°角的正弦.
解：设135°角的终边与单位圆交于点P，则
P点坐标为.
∴sin135°=.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.以下四个命题：
①终边相同的角的正弦值相等；
②终边不相同的角的正弦值不相等；
③两个角的正弦值相等，则这两个角相等；
④两个角的正弦值相等，则这两个角有相同的终边.
其中错误的命题的个数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：①正确；②错误，例如30°与150°的终边不相同，而sin30°=sin150°.③错误，例如sin30°=sin150°，而30°≠150°.④错误，例如sin30°=sin150°，而30°与150°的终边不相同.
答案：C
2.在［0，2π］上满足sinx≥的x的取值范围是（
）
A.［0，］
B.［］
C.［］
D.［，π］
解析：作出单位圆如图，过点（0，）作x轴的平行线，分别交单位圆于两点，连结圆心O和这两点，得到两条射线，这两条射线与x轴的非负半轴所成角分别为和.可得sinx≥的角x的范围是［］.
答案：B
3.（1）已知角α的终边经过点P（3，4），求角α的正弦.
（2）已知角α的终边经过点P（3t，4t）(t≠0)，求角α的正弦.
解：（1）由x=3，y=4，得|OP|=r=，∴sinα=.
（2）由x=3t，y=4t，得r==5|t|.
当t>0时，r=5t，sinα=；
当t<0时，r=-5t，sinα=.
4.已知角α的终边落在直线y=2x上，求sinα的值.
解：（1）当终边在第一象限时，在角的终边上取点P（1，2）.
由|OP|=得sinα=.
（2）当终边在第三象限时，在角的终边上取点Q（-1，-2）.
由|OP|=得sinα=.
5.在单位圆中画出适合条件sinα=的角α的终边.
解：作直线y=交单位圆于P、Q两点，则OP与OQ为角α的终边，如图.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.下列四个命题正确的是（
）
A.周期函数必有最小正周期
B.只有三角函数才是周期函数
C.因为y=sin(kx+2π)=sinkx(k∈Z)，所以sinkx的最小正周期是2π
D.周期函数的定义域一定是无限集
解析：A错，常数函数y=C（C为常数）为周期函数，但无最小正周期.B错，由A可知.C错，sin(kx+2π)=sink(x+)=sinkx，其周期为，周期的大小由k的取值决定.D正确，由周期函数的定义可知.
答案：D
2.已知角α的终边与射线y=-3x(x≥0)重合,则sinα等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：在α终边上取一点P(1,-3),此时x=1,y=-3,∴r=.
∴sinα=.
答案:A
3.若点P（2m,-3m)(m＜0)在角α的终边上，则sinα=______________.
解析：点P（2m,-3m）（m<0)在第二象限，r=,
∴sinα=.
答案：
4.已知角α的终边与函数y=的图像重合，求sinα.
解：由题意可知α的终边在第一或第三象限.
若α终边在第一象限，则在终边上任取点?P（2，
3）.
此时x=2，y=3，r=.
∴sinα=.
若α终边在第三象限，则在终边上任取点?P（-2，-3）.
此时x=-2，y=-3，r=.
∴sinα=.
5.已知角α的终边经过点P（-4a，3a）（a≠0),求sinα的值.
解：r=.
若a>0时，r=5a,α角在第二象限.
sinα=；
若a<0时，r=-5a,α角在第四角限.
sinα=.
6.在单位圆中画出适合条件sinα≥的角α终边的范围，并由此写出角α的集合.
解：作直线y=交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域（阴影部分）即为角α的终边的范围.
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}.
7.对于函数y=sinx,x∈R，有sin()=sin，所以是y=sinx,x∈R的周期.这种说法正确吗？为什么？
解析：因为sin(+）≠sin，由周期函数的定义知不是y=sinx的周期.
答案：不正确，因为不能保证定义域内所有的x都满足sin(x+)=sinx.
8.对于函数y=sin2x,x∈R，有sin(2x+2π)=sin2x，所以2π是y=sin2x,x∈R的周期.这种说法对吗？若不对，它的周期是什么？
解：通过反例解决.显然2π是y=sin2x的一个周期，但由sin(2x+2π)=sin2x得出y=sin2x的周期与周期函数的定义f(x+T)=f(x)不符.因为sin(2x+2π)=sin2(x+π)=sin2x，由周期函数的定义知y=sin2x的最小正周期为π，周期为kπ,k∈Z.
9.若函数f(x)为奇函数，周期为=1，求f().
解：=-1.1.6
余弦函数
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.135°角的正弦和余弦为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：设135°角的终边与单位圆交于点P，则
P点坐标为（，）.
∴sin135°=，cos135°=.
答案：B
2.（1）已知角α的终边经过点P（3，4），求角α的正弦和余弦;
（2）已知角α的终边经过点P（3t，4t），t≠0，求角α的正弦和余弦.
解：（1）由x=3，y=4，得|OP|=r==5.
∴sinα=，cosα=.
（2）由x=3t，y=4t，得r==5|t|.
当t>0时，r=5t.
因此sinα=，cosα=.
当t<0时，r=-5t.因此sinα=，
cosα=.
3.已知角α的终边与函数y=的图像重合，求sinα、cosα.
解：由题意可知α的终边在第一或第三象限.
若α终边在第一象限，则在终边上任取点P（2，3）.
此时x=2，y=3，r=.
∴sinα=,cosα=.
若α终边在第三象限，则在终边上任取点P（-2，-3）.
此时x=-2，y=-3，r=.
∴sinα=,cosα=.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.若cosα=0，则角α等于（
）
A.kπ（k∈Z）
B.+kπ（k∈Z）
C.+2kπ（k∈Z）
D.+2kπ（k∈Z）
解析：根据余弦函数的定义，cosα==0.所以x=0.所以α的终边落在x轴上.所以α=
+kπ(k∈Z).
答案：B
2.如果角θ满足cosθ与sinθ同号，则角θ所在的象限是（
）
A.第一、三象限
B.第二、三象限
C.第三、四象限
D.第一、四象限
解析：由cosθ、sinθ同号，可知角θ可能在第一象限，也可能在第三象限.
答案：A
3.若角α的终边经过点M（-3，-1），则sinα=____________，cosα=____________.
解析：依题意x=-3，y=-1，
∴r=.
∴sinα=，
cosα=.
答案：
4.若MP和OM分别是α=的正弦线和余弦线，则MP、OM、0的大小关系是__________.
解析：在单位圆中，画出角α=的正弦线MP和余弦线OM，易知MP＞0＞OM.
答案：MP＞0＞OM
5.角α终边上一点P（4t，-3t）（t≠0），求2sinα+cosα的值.
解：据题意有x=4t，y=-3t，
∴r==5|t|.
（1）当t＞0时，r=5t，sinα=，cosα=，
∴原式=.
（2）当t＜0时，r=-5t，sinα=,cosα=，
∴原式=.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.已知角α的终边与射线y=-3x(x≥0)重合，则sinα·cosα等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：根据三角函数的定义，在终边上取点求值.在α终边上取一点P（1，-3），此时x=1,y=-3,
∴r=.
∴sinα=，cosα=.
∴sinα·cosα=.
答案：A
2.如果角α满足sinα＞0，且cosα＜0，则α是第几象限的角(
)
A.一
B.二
C.三
D.四
解析：由sinα＞0、cosα＜0可知角α必在第二象限.
答案：B
3.若角α的终边经过点P（-3，b），且cosα=，则b=___________，sinα=___________.
解析：由，得b=±4.
∴r=5，sinα=.
答案：±4
±
4.已知α的终边经过点（3a-9，a+2）且cosα≤0、sinα＞0，则a的取值范围是___________.
解析：α终边在y轴正半轴或者第二象限内，所以有解此不等式即可得到a的取值范围.
答案：-25.在（0，2π）内满足=-cosx的x的取值范围是___________.
解析：∵=|cosx|=-cosx，∴cosx≤0，
∴x在第二或第三象限或x轴非正半轴上或y轴上.
又x∈（0，2π），∴≤x≤.
答案：≤x≤
6.已知角α的终边落在直线y=kx上，且cosα=a（a≠0），求k的值.
解：∵cosα=a，∴sin2α=1-a2，sinα=±,
∴当α为第一、二象限角时，sinα=，k=tanα=；
当α为第三、四象限角时，sinα=，k=tanα=.
7.已知θ为正锐角，求证：
（1）sinθ＋cosθ＜；
（2）sin3θ+cos3θ＜1.
证明：（1）如图所示，设角θ的终边与单位圆交于P（x，y）.
过P作PM⊥Ox，PN⊥Oy，M、N为垂足.
∵y=sinθ，x=cosθ，
S△OAP=|OA|·|PM|=y=sinθ，
S△OPB=|OB|·|NP|=x=cosθ，
S扇形OAB=，
又四边形OAPB被扇形OAB所覆盖，
∴S△OAP+S△OPB＜S扇形OAB，
即.∴sinθ+cosθ＜.
（2）∵0∵函数y=ax（0∴cos3θ∴cos3θ+sin3θ∵sin2θ+cos2θ=x2+y2=1，
∴sin3θ+cos3θ<1.
8.已知角α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴.若角α终边过点P（，y），且sinα=（y≠0），判断角α所在的象限，并求cosα的值.
解：依题意，P到原点O的距离为|OP|=，
∴sinα=.
∵y≠0，∴9+3y2=16.
∴y2=，y=±.
∴点P在第二或第三象限.
当点P在第二象限时，y=，cosα=;
当点P在第三象限时，y=，cosα=.
9.求适合条件2cosα-1≥0的角α的集合.
解：如图.
∵2cosα-1≥0,∴cosα≥.
∴α∈［］(k∈Z).2.4.3
向量平行的坐标表示
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.(高考全国卷Ⅲ,文1)已知向量a=(4,2),向量b=(x,3),且a∥b,则x等于（
）
A.9
B.6
C.5
D.4
解析：由a∥b的条件：4×3-2x=0∴x=6.
答案：B
2.已知向量=（6，1），=（x，y），=（-2，-3），当∥时，则实数x、y应满足的关系是_____________.
解析：==-(++)=-［（6，1）+（x，y）+（-2，-3）］=（-x-4，-y+2），=（x，y）.
当∥时，x（-y+2）-y（-x-4）=0，化简得y=x.
所以当∥时，x、y应满足y=x.
答案:y=x
3.已知a=（2，-1），b=（x，2），c=（-3，y），且a∥b∥c.求x、y的值.
解：由a∥b得4+x=0，
∴x=-4.
由a∥c得2y-3=0，
∴y=.∴x=-4，y=.
4.已知a=（1，2），b=（-3，2），当k为何值时，ka+b与a-3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解法一：ka+b=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），
a-3b=（1，2）-3（-3，2）=（10，-4）.
当ka+b与a-3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka+b=λ（a-3b）.
由（k-3，2k+2）=λ（10，-4），
∴
解得k=，λ=.
当k=时，ka+b与a-3b平行，这时ka+b=a+b.
∵λ=＜0，∴a+b与a-3b反向.
解法二：由解法一知ka+b=（k-3，2k+2），
a-3b=（10，-4），∵（ka+b）∥（a-3b），
∴（k-3）×（-4）-10×（2k+2）=0.
解得k=，
此时ka+b=（-3，+2）=（）=（10，-4）=（a-3b）.
∴当k=时，ka+b与a-3b平行并且反向.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.下列选项中所给向量共线的有(
)
A.(1，5)，(5，-5)
B.(2，-3)，(,)
C.(1，0)，(0，1)
D.(1，-3)，(8，)
解析：由平面向量共线的条件，只需将所给坐标代入公式，看“x1y2-x2y1=0”是否成立即可.
答案：B
2.与a=(12,5)平行的单位向量为(
)
A.()
B.()
C.()或()
D.(±,±)
解析：利用平行与单位向量两个条件，即可求得.
答案：C
3.已知|a|=10,b=(3,4),a∥b,则向量a=_______________.
解析：首先设a=(x,y)，然后利用|a|=10,a∥b,列出含x、y的两个等式解出x、y.
答案：(6，8)或(-6，-8)
4.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求3a+b-2c；
(2)求满足a=mb+nc的实数m和n；
(3)若(a+kc)∥(2b-a)，求实数k；
(4)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1，求d.
解：（1）3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(9-1-8,6+2-2)=(0,6).
（2）∵a=mb+nc,m、n∈R，
∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).
∴
（3）∵(a+kc)∥(2b-a)且a+kc=(3+4k,2+k)2b-a=(-5,2)，
∴(3+4k)×2-(-5)×(2+k)=0.
∴k=.
（4）∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),且(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1，
∴
解得
∴d=()或d=().
5.已知a=（x1，y1），b=（x2，y2）且a≠0，b≠0，ab.求证：a+ba-b.
证明：∵a+b=（x1+x2，y1+y2），a-b=（x1-x2，y1-y2），
假设a+b∥a-b，则（x1+x2）（y1-y2）-（y1+y2）（x1-x2）=0，
即x1y1+x2y1-x1y2-x2y2-x1y1-x1y2+x2y1+x2y2=0，
2（x2y1-x1y2）=0，x1y2-x2y1=0.
∵a≠0，b≠0，
∴a∥b与已知矛盾，故a+ba-b.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.已知A、B、C三点共线，且A（3，-6）、B（-5，2），若C点横坐标为6，则C点的纵坐标为(
)
A.-13
B.9
C.-9
D.13
解析：设C（6，y），则∥.
又=（-8，8），=（3，y+6），
∴-8（y+6）-3×8=0.∴y=-9.
答案：C
2.与a=（-5，4）不平行的向量是(
)
A.（-5k，4k）
B.（）
C.（-10，2）
D.（5k，-4k）
解析：∵A、B、D都满足x1y2-x2y1=0,∴选C.
答案：C
3.已知点A、B的坐标分别为（2，-2）、（4，3），向量p的坐标为（2k-1，7），且p∥，则k的值是(
)
A.
B.
C.
D.
解析：∵A（2，-2），B（4，3），∴=（2，5）.
又p∥，∴14-5（2k-1）=0，即k=.
答案：B
4.若a=（3，4），b∥a且b的起点为（1，2），终点为（x，3x），则b=_____________.
解析：∵b=（x，3x）-（1，2）=（x-1，3x-2），且b∥a，
∴3（3x-2）-4（x-1）=0.∴x=.
∴b=（）.
答案：（）
5.已知点M（x，y）在向量=（1，2）所在的直线上，则x、y所满足的条件为______________.
解析：∵M在所在的直线上，∴∥.
又=（x，y），=（1，2），∴2x-y=0，即y=2x.
答案：y=2x
6.若a=（-1，x）与b=（-x，2）共线且方向相同，则x=______________.
解析：∵a与b共线，-2+x2=0，∴x=±.
当x=时，a=（-1，），b=（，2）=，
∴a与b同向.
当x=时，a=（-1，），b=（，2）
=（1，）=（-1，），
∴a、b反向.
答案：
7.已知两点A（1，1）、B（4，5），则与共线的方向向量e的坐标是________________.
解析：由单位向量的定义和共线向量定理，知的单位向量e=λ，所以|e|=|λ|||.所以|λ|=，得解法一.
另外所求向量e受两个条件约束，其一是单位向量，即|e|=1，其二是与共线，即=μe.由此可建立e的坐标的方程组，得解法二.
解法一：由题意知e=±.
又=（3，4），故e的坐标为（）或（）.
解法二：设e=（x，y），则由题意可得x2+y2=1.
①
又e与共线，故存在实数μ使=μe，即消去μ，得y=.代入①可得e的坐标为（）或（）.
答案：（）或（）
8.已知a=（3，2），b=（2，-1），若λa+b与a+λb（λ∈R）平行，求λ的值.
解：λa+b=λ（3，2）+（2，-1）=（3λ+2，2λ-1），
a+λb=（3，2）+λ（2，-1）=（3+2λ，2-λ）.
由题意知（3λ+2）（2-λ）-（3+2λ）（2λ-1）=0，
化简得λ2=1，即λ=±1.
9.已知A、B、C、D四点坐标分别为A（1，0）、B（4，3）、C（2，4）、D（0，2）.试证明四边形ABCD是梯形.
证明：∵=（4，3）-（1，0）=（3，3），
=（0，2）-（2，4）=（-2，-2），
∴=，故与共线，即∥.∴AB∥CD.
∵=（0，2）-（1，0）=（-1，2），
=（2，4）-（4，3）=（-2，1），
又∵（-1）×1-2×（-2）≠0，
∴AD不平行于BC.
∴四边形ABCD是梯形.
10.已知A、B、C三点坐标分别为（-1，0）、（3，-1）、（1，2），=,?BF=.
求证：∥.
证明：设E、F两点坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）.
∵=（2，2），=（-2，3），=（4，-1），
∴==（），==(,1),
=（x1，y1）-（-1，0）=（），
=（x2，y2）-（3，-1）=（）.
∴（x1，y1）=（）+（-1，0）=（），
（x2，y2）=（，1）+（3，-1）=（，0）.
∴=（x2，y2）-（x1，y1）=（，0）-（，)=().
∵4×（）-（-1）×=0，
∴∥.1.3
弧度制
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下列诸命题中，真命题是（
）
A.一弧度是一度的圆心角所对的弧
B.一弧度是长度为半径的弧
C.一弧度是一度的弧与一度的角之和
D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位
解析：由1弧度的意义可知，选D.
答案：D
2.下列诸命题中，假命题是（
）
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1度的角是周角的，1弧度的角是周角的
C.根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
D.不论用角度制还是用弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关
解析：由角和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与半径的长短无关，而是与弧长与半径的比值有关.故应选Ｄ.
答案：D
3.单位圆中，长为2个单位长度的弧所对的圆心角的弧度数为___________
rad.
解析：由α=，可得圆心角α的弧度为=2
rad.
答案：2
4.-300°化为弧度是，弧度化为角度是____________.
解析：-300°=×（-300）rad=,
rad=180°×=288°.
答案：
rad
288°
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.在直角坐标系中，集合S={β|β=k·，k∈Z}的元素所表示的角的终边在（
）
A.第一象限
B.x轴上
C.y轴上
D.坐标轴上
解析：终边落在坐标轴上的角的集合应为{β|β=，k∈Z}易知当整数k为偶数时，β的终边落在x轴上；当k为奇数时，β的终边落在y轴上.所以β角的终边应落在坐标轴上.
答案：D
2.下列两组角中，终边不相同的是（
）
A.+kπ与+kπ（k∈Z）
B.+2kπ与（k∈Z）
C.+2kπ与+2kπ（k∈Z）
D.+2kπ与+2kπ（k∈Z）
解析：对整数k的取值进行分类讨论.一一验证，易知B、C中两组角终边相同.A中，kπ+和kπ-（k∈Z）的终边相同；D中，由于和不在一个象限，所以它们的终边不相同.
答案：D
3.化为度应是_____________.
解析：∵π
rad=180°，∴rad=×180°=144°.
答案：144°
4.把下列各角化为2kπ+α（0≤α＜2π）的形式，并指出所在的象限.
（1）；
（2）.
解：（1）=6π+,在第二象限；
（2）的终边落在y轴的正半轴上.
5.某飞轮直径为1.2
m，每分钟按逆时针方向旋转300圈，求：
（1）飞轮每分钟转过的弧度数；
（2）轮周上的一点每秒钟经过的弧长.
解：（1）因为飞轮每分钟按逆时针方向旋转300圈，而逆时针方向旋转一周的弧度数为2π，
所以飞轮每分钟转过的弧度数是300×2π=600π
rad.
（2）∵飞轮每分钟按逆时针方向旋转300圈，∴每秒钟转5圈.
又飞轮直径为1.2
m，
∴一圈的长（即圆的周长）为1.2π
m.
因此轮周上的一点每秒钟经过的弧长是5×1.2π
m=6π
m.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.下列各命题中正确的是（
）
A.地球到太阳的距离y与时间t构成的函数是周期函数
B.用弧度制表示的角都是正角
C.大圆中1弧度角比小圆1弧度角大
D.圆心角为1弧度的扇形的弧长相等
解析：据物理学知识，任何一时刻，地球与太阳的距离y是唯一确定的，且每经过一年地球绕太阳旋转一周，无论哪个时刻t，经过一年，地球又回到原来的位置，所以我们有f（T+t）=f（t），故y=f（t）是周期函数.所以A正确；对于弧度制，定义为弧长等于1个单位长度所对的圆心角大小为1弧度，与圆的大小无关.大小不同的圆1弧度的扇形的弧长不等，所以C、D均不正确.又采用弧度制表示的角，是任意角，可正可负，所以B不正确.
答案：A
2.圆的一段弧长等于这个圆的内接正三角形的一条边长，那么这段弧所对的圆心角是弧度.
解析：设圆的半径为r，则圆内接正三角形的边长为，即弧长为，所以所求圆心角的弧度数为|α|=.
答案：
3.地球赤道的半径是6
370
km，赤道上1°的弧长是__________
km.（可用计算器）
解析：由于1°=≈0.017
45
rad，
所以赤道上1°的弧长是0.017
45×6
370
km=111.156
5
km.
答案：111.156
5
4.已知α∈()，β∈(,π),求α+2β,α-2β的范围.
解：∵<α<,<β<π,则<2β<2π,-2π<-2β<，
∴,.
5.将下列各角从弧度化为度：
（1）；
（2）-20.
解：（1）rad=×180°=-75°；
（2）-20
rad≈57.3°×（-20）=-1
146°.
6.将下列角度数化为弧度数：
（1）-12°45′；
（2）112°30′.
解：(1)-12°45′=-12?75°=-12.75×；
（2）112°30′=112.5°=112.5×rad.
7.已知一扇形的周长是40
cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大 最大面积是多少
解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l+2r=40，∴l=40-2r.
∴S=×（40-2r）r=20r-r2=-（r-10）2+100.
∴当半径r=10
cm时，扇形的面积最大，这个最大值为100
cm2，这时θ=rad=2
rad.
8.已知圆中一段弧长正好等于该圆外切正三角形的边长，求这段弧所对的圆心角.
解：设圆的半径为r，则圆的外切正三角形的边长为，由题意知弧长为，
所以这段弧所对的圆心角的弧度数为rad.
9.已知圆上一点A(1,0)按逆时针方向做匀速圆周运动，1秒钟时间转过θ(0＜θ≤π)角，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟转到与最初位置重合的位置，求θ角的弧度数.
解：∵0<θ≤π，可得0<2θ≤2π.
又∵2θ在第三象限，∴π<2θ≤.
由14θ=2kπ(k∈Z),可得2θ=(k∈Z)，∴π<<,即.
∴k=4或5.∴θ=或.
10.在已知圆内，1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及扇形的面积.
解：如图，作OC⊥AB于C，则C为AB的中点，且AC=1，∠AOC=，所以
r=OA=.
则弧长l=|α|·r=,面积S=.2.6
平面向量数量积的坐标表示
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.已知向量a=（-4，7），向量b=（5，2），则a·b的值是(
)
A.34
B.27
C.-43
D.-6
解析：a·b=-4×5+7×2=-6.
答案：D
2.(高考福建卷,文14)在△ABC中，∠A=90°，=(k,1),=(2,3),则k的值是______________.
解析：由与垂直，列出关于k的方程，解方程即可.
∵∠A=90°，∴⊥.∴·=2k+3=0.∴k=.
答案：
3.已知向量a与b同向，b=(1,2),a·b=10.
(1)求向量a的坐标；
（2）若c=(2,-1)，求(b·c)a.
解：(1)∵向量a与b同向，b=(1,2),∴a=λb=(λ,2λ).
又∵a·b=10，∴有λ+4λ=10.解得λ=2>0.
符合向量a与b同向的条件，∴a=(2,4).
(2)∵b·c=1×2+2×(-1)=0,
∴(b·c)a=0.
4.求向量a=(1,2)在向量b=(2,-2)方向上的投影.
解：设a与b的夹角为θ，
则cosθ=.
∴a在b方向上的投影为|a|cosθ=.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知平面上直线l的方向向量e=(,)，点O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分别是O1、A1，则=λe，其中λ等于(
)
A.
B.-
C.2
D.-2
解析：将所给坐标代入公式λ=||cos〈e,〉，或利用特殊值.
方法一：由向量在已知向量上的射影的定义知
λ=||cos〈e,〉=.
方法二：利用数形结合的思想，作图可得.令向量e过原点，故与e方向相反.排除A、C，检验B、D可知D正确.
答案：D
2.若向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°，且|b|=，则b等于(
)
A.(-3，6)
B.(3，-6)
C.(6，-3)
D.(-6，3)
解析：由题意b与a共线，
方法一：设b=λ(-1,2),且λ>0,有(-λ)2+(2λ)2=()2b=(-3,6).
方法二：由题意可知，向量a、b共线且方向相反，故可由方向相反排除B、C.由共线可知b=-3a.
答案：A
3.已知向量a=(cosθ,sinθ)，向量b=(,-1），则|2a-b|的最大值和最小值分别是(
)
A.,0
B.4,
C.16，0
D.4，0
解析：a·b=2sin(-θ),|2a-b|=,
∴|2a-b|的最大值为4，最小值为0.
答案：D
4.A、B、C、D四点的坐标依次是(-1，0)、(0，2)、(4，3)、(3，1)，则四边形ABCD为（
）
A.正方形
B.矩形
C.菱形
D.平行四边形
解析：∵=(1,2),=(1,2),∴=.又线段AB与线段DC无公共点，
∴AB∥DC且|AB|=|DC|.?∴四边形ABCD为平行四边形.
又|AB|=，|BC|=，∴|AB|≠|BC|.∴平行四边形ABCD不是菱形也不是正方形.
又·=4+2=6≠0，∴AB与BC不垂直.∴平行四边形ABCD不是矩形.
答案：D
5.已知|a|=,b=(-2,3)且a⊥b,则a的坐标为________________.
解析：设a=(x,y)，则x2+y2=52.由a⊥b得-2x+3y=0.
由以上两个条件得
答案：(6，4)或(-6，-4)
6.已知A、B、C、D四点的坐标分别为A(1,0)、B(4,3)、C(2,4)、D(m,n).当m、n满足什么条件时，四边形ABCD分别是平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形(A、B、C、D按逆时针方向排列)
解：由条件知=(3,3),=(-2,1),=(m-1,n),=(2-m,4-n).
（1）若四边形ABCD为平行四边形，则=，
∴(3,3)=(2-m,4-n),解得m=-1,n=1.
∴当m=-1,n=1时，四边形ABCD为平行四边形.
（2）当m=-1,n=1时，=(3,3),=(-2,1).
则||=,||=,||≠||.因此，使四边形ABCD为菱形的m、n不存在.
（3）当m=-1,n=1时，·=(3,3)·(-2,1)=-3≠0，即AB、AD不垂直.因此使四边形ABCD为矩形的m、n不存在.
(4)由(2)(3)知，使四边形ABCD为正方形的m、n不存在.
(5)若四边形ABCD为梯形，则=λ或=λ，其中λ为实数，且λ>0,λ≠1.
∴(λ>0,λ≠1)?或(λ>0,λ≠1).
整理得m、n的取值条件为n=m+2(m<2,m≠-1)或n=(m<1,m≠-1).
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.下列各向量中，与e=（3，2）垂直的向量是(
)
A.a=（3，-2）
B.b=（0，0）
C.c=（-4，6）
D.d=（-3，2）
解析：∵3×（-4）+2×6=0，故选C.
答案：C
2.已知向量a=（2，1），b=（3，x），若（2a-b）⊥b，则x的值是(
)
A.3
B.-1
C.-1或3
D.-3或1
解析：∵（2a-b）⊥b，
∴（2a-b）·b=2a·b-b2=2×2×3+2×1×x-32-x2=0.
整理，得x2-2x-3=0，解得x=-1或3.
答案：C
3.A、B、C为平面内不共线的三点，若向量=（1，1），n=（1，-1）且n·=2，则n·等于(
)
A.-2
B.2
C.-2或2
D.0
解析：∵=-，
∴n·=n·（-）=n·-n·=2-（1×1-1×1）=2.
答案：B
4.已知a=（λ，2），b=（-3，5），且a和b的夹角为钝角，则λ的取值范围是(
)
A.λ＜
B.λ≤
C.λ＞
D.λ≥
解析：∵a和b的夹角为钝角，∴a·b＜0，即-3λ+10＜0，λ＞.
答案：C
5.已知O为原点，点A、B的坐标分别为（a，0）、（0，a）.其中常数a＞0，点P在线段AB上，且=t（0≤t≤1），则·的最大值为(
)
A.a
B.2a
C.3a
D.a2
解析：由=t，可得-=t-t，
故=t+(1-t)
=t(0,a)+(1-t)(a,0)=(0,at)+(a-at,0)=(a-at,at).
∴·=-a2t+a2,故当t=0时，·的最大值为a2.
答案：D
6.若将向量=（，1）绕原点按逆时针方向旋转，得到向量，则向量的坐标为______________.
解析：设出的坐标，然后用||=||和、的夹角为，即cos=建立坐标的方程组，但较麻烦.注意到与x轴的正方向所成的角为，再逆时针旋转，故与x轴正方向所成的角为，故可采用几何法求点B的坐标.另外若注意到A、B关于直线y=x对称，则得到B点坐标.由分析易知的坐标为（1，）.
答案：（1，）
7.直角三角形ABC中，=（2，3），=（1，k），求实数k的值.
解：（1）当∠A=90°时，易知·=0，即2+3k=0，k=.
（2）当∠B=90°时，=-=（-1，k-3），易知·=0，即k=.
（3）当∠C=90°时，·=-1+k2-3k=0，k=.
综上可知，k的值为或或.
8.设两向量e1、e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1与e2的夹角为60°，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
解：∵e12=4，e22=1，e1·e2=2×1×cos60°，
∴（2te1+7e2）·（e1+te2）=2te12+（2t2+7）
e1·e2+7te22=2t2+15t+7.
∴2t2+15t+7＜0.
∴-7则2t=λ，且7=tλ，∴2t2=7.
∴t=，λ=.
∴t=时，2te1+7e2与e1+te2的夹角为π，t的取值范围是（-7，）∪（，）.
9.已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a=（1，2）.
（1）若|c|=，且c∥a，求c的坐标；
（2）若|b|=，且a+2b与2a-b垂直，求a与b的夹角θ.
（1）解法一：设c=（x，y）.
∵|c|=，∴，即x2+y2=20.
①
又c∥a，∴2x-y=0.
②
由①②可得
解法二：∵c∥a，故可设c=λa，则|λ|==2.
∴λ=±2.故向量c的坐标为（2，4）或（-2，-4）.
（2）解：∵a=（1，2），∴|a|=.又|b|=，故|a||b|=.
又∵（a+2b）⊥（2a-b），
∴（a+2b）·（2a-b）=0，即2a2+3a·b-2b2=0.
∴2×5+3a·b-2×=0，a·b=.
∴cosθ==-1.
又θ∈［0，π］，∴θ=π，即a与b的夹角为π.
10.求与向量a=（，-1）和b=（1，）的夹角相等且模为的向量c的坐标.
解法一：设c=（x，y）.
∵|c|=，∴x2+y2=2.
①
又a与c的夹角与b与c的夹角相等，
∴，
即（-1）x=（+1）y.
②
联立①②解得
解法二：∵|a|=|b|=2，由向量加法的平行四边形法则，知a+b就与a、b夹角相等，故（a+b）∥c.
又|a+b|=，故c=±（a+b）=±（+1，-1）.
∴向量c的坐标为（+,）或(+,).
11.已知a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），且a与b之间满足|ka+b|=3|a-kb|，其中k＞0.
（1）用k表示a·b；
（2）若a与b的夹角为60°，求k的值.
解：（1）∵|ka+b|=|a-kb|，两边平方，得|ka+b|2=3|a-kb|2，
∴k2a2+b2+2ka·b=3（a2-2ka·b+k2b2），
即a·b=.
又a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），
∴a2=b2=1.∴a·b=k
（2）∵a与b的夹角为60°，
∴a·b=|a||b|cos60°=.
由（1）知，即k2-2k+1=0，解得k=1.2.5
从力做的功到向量的数量积
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下列命题中正确的个数有（
）
①a·0=0
②0·a=0
③0-=
④|a·b|=|a||b|
⑤若a≠0，则对任一非零b有a·b≠0
⑥a·b=0，则a与b中至少有一个为0
⑦a与b是两个单位向量，则a2=b2
A.7
B.5
C.4
D.2
解析：7个命题中只有③⑦正确.
对于①,两个向量的数量积是一个实数，应有0·a=0；
对于②,应有0·a=0；对于④,由数量积定义，有|a·b|=|a||b|·|cosθ|≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ=0或θ=π时，才有|a·b|=|a||b|；
对于⑤,若非零向量a、b垂直，有a·b=0；
对于⑥,由a·b=0可知a⊥b，可以都非零.
答案：D
2.已知|a|=3，|b|=6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角为60°时，分别求a·b.
解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ=0°，
∴a·b=|a||b|cos0°=3×6×1=18；
若a与b反向，则它们的夹角θ=180°，
∴a·b=|a||b|cos180°=3×6×（-1）=-18.
②当a⊥b时，它们的夹角θ=90°，
∴a·b=0.
③当a与b的夹角是60°时，有
a·b=|a||b|cos60°=3×6×=9.
3.已知|a|=10，|b|=12，a与b的夹角为120°，求a·b.
解：由定义，a·b=|a||b|cosθ=10×12×cos120°=-60.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.给出下列命题：
①在△ABC中，若·＜0，则△ABC是锐角三角形；
②在△ABC中，若·＞0，则△ABC是钝角三角形；
③△ABC是直角三角形·=0；
④△ABC是斜三角形一定有·≠0.
其中，正确命题的序号是____________________.
解析：①∵·<0，∴·=-·>0.∴∠B是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角.∴推不出△ABC是锐角三角形.故命题①是假命题.
②∵·>0，∴·=-·<0.∠A是钝角，因而△ABC是钝角三角形.故命题②是真命题.
③△ABC是直角三角形，则直角可以是∠A，也可以是∠B、∠C.而·=0仅能保证∠B是直角.故命题③是假命题.
④一方面，当△ABC是斜三角形时，其三个内角均不是直角，故·≠0.故命题④是真命题.
答案：②④
2.若向量a、b、c满足a+b+c=0，且|a|=3,|b|=1,|c|=4，则a·b+b·c+a·c=____________.
解法一：∵a+b+c=0,
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=0.
∴2(a·b+b·c+a·c)=-(a2+b2+c2)=-(|a|2+|b|2+|c|2)=-(32+12+42)=-26.∴a·b+b·c+a·c=-13.
解法二：根据已知条件可知|c|=|a|+|b|,c=-a-b，所以a与b同向，c与a+b反向.所以有a·b+b·c+a·c=3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4-12=-13.
答案：-13
3.已知a、b是两个非零向量，同时满足|a|=|b|=|a-b|，求a与a+b的夹角.
解法一：根据|a|=|b|，有|a|2=|b|2.
又由|b|=|a-b|，得|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,∴a·b=|a|2?.
而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=3|a|2,∴|a+b|=|a|.
设a与a+b的夹角为θ，则cosθ=，
∴θ=30°.
解法二：设向量a=(x1，y1),b=(x2,y2),
∵|a|=|b|,∴x12+y12=x22+y22.
由|b|=|a-b|，得x1x2+y1y2=(x12+y12)，即a·b=(x12+y12).
由|a+b|2=2(x12+y12)+2×(x12+y12)=3(x12+y12)，得|a+b|=(x12+y12).
设a与a+b的夹角为θ，则
cosθ=，
∴θ=30°.
解法三：根据向量加法的几何意义，在平面内任取一点O，作=a，=b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB.
∵|a|=|b|，即||=||，
∴OACB为菱形，OC平分∠AOB，这时=a+b，=a-b.而|a|=|b|=|a-b|，即||=||=||.
∴△AOB为正三角形，则∠AOB=60°，于是∠AOC=30°，
即a与a+b的夹角为30°.
4.若(a+b)⊥(2a-b)，(a-2b)⊥(2a+b)，试求a与b的夹角的余弦值.
解：由(a+b)⊥(2a-b),(a-2b)⊥(2a+b)有
∴a2=b2,|a|2=|b|2,?|a|=|b|.
由2a2+a·b-b2=0得
a·b=b2-2a2=|b|2-2|a|2=|b|2-2×|b|2=|b|2，
∴cosθ=.
∴a、b的夹角的余弦值为.
5.已知|a|=5,|b|=12，当且仅当m为何值时，向量a+mb与a-mb互相垂直
解：若向量a+mb与a-mb互相垂直，则有(a+mb)·(a-mb)=0，
∴a2-m2b2=0.∵|a|=5,|b|=12,∴a2=25,b2=144.∴25-144m2=0.
∴m=±.
∴当且仅当m=±时，向量a+mb与a-mb互相垂直.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.若向量a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是(
)
A.（a+b）+c=a+（b+c）
B.（a+b）·c=a·c+b·c
C.（a·b）c=a（b·c）
D.m（a+b）=ma+mb
解析：根据向量的加、减、乘运算法则解答此题.
（a·b）·c≠a·（b·c）.
答案：C
2.已知a、b、c为任意非零向量，若a=b，则下列命题：
①|a|=|b|；②a2=b2；③a2=a·b；④c·（a-b）=0.正确的有(
)
A.①③
B.①②④
C.②③④
D.①②③④
解析：a=b|a|=|b|；a2=b2；a2=a·b；c·（a-b）=0，而四个命题均不能推出a=b成立.
答案：D
3.对任意向量a、b，|a||b|与a·b的大小关系是(
)
A.|a||b|＜a·b
B.|a||b|＞a·b
C.|a||b|≥a·b
D.两者大小不定
解：|a||b|-a·b=|a||b|-|a||b|cosθ=|a||b|（1-cosθ）.
∵θ∈［0，π］，∴-1≤cosθ≤1，1-cosθ∈［0，2］.
又|a|≥0，|b|≥0，1-cosθ≥0，
∴|a||b|≥a·b.
答案：C
4.设a、b、c是任意的非零向量，且相互不共线，则①（a·b）c-（c·a）b=0；②a2=|a|2；
③（b·c）a-（c·a）b不与c垂直；④（3a+2b）·（3a-2b）=9|a|2-4|b|2中，
是真命题的有(
)
A.①②
B.②③
C.③④
D.②④
解析：命题①中，a·b的运算结果为数，故（a·b）c为一向量，同理（a·c）b也是一向量，向量之差为向量.故①不正确.由数量积的性质知②正确.
又［（b·c）a-（c·a）b］·c=（b·c）（a·c）-（c·a）（b·c）=0，而（a·c）b与（b·c）a不可能同时为零向量,故命题③不正确，④正确.
答案：D
5.下列命题：①△ABC为锐角三角形，则必有·＞0；②若a·b=0，则a⊥b；③若a·b=a·c，且a≠0，则b=c；④
|a·b|=|a||b|a∥b.其中正确命题的个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：命题①：·=||||·cos（π-∠ABC）＜0，不正确.
命题②：当a、b为0时，a·b=0a⊥b，不正确.
命题③：a·b=a·c，即|a||b|·cosθ1=|a||b|·cosθ2，
又a≠0，∴|b|cosθ1=|c|cosθ2不一定有b=c.故不正确.
命题④：|a·b|=||a||b|cosθ|=|a|·|b|·|cosθ|=|a||b||cosθ|=1θ=0或π，故a∥b.另外当a、b中有一个为0时，也有a∥b.故正确.
答案：A
6.已知e为单位向量，|a|=4，a与e的夹角为，则a在e方向上的投影为________________.
解析：投影为=|a|·cos=-2.
答案：-2
7.向量α、β满足|α+β|=|α-β|，则α与β的夹角是_________________.
解析：∵|α+β|=|α-β|，∴|α+β|2=|α-β|2，即α2+2α·β+β2=α2-2α·β+β2.
∴α·β=0.又α、β均为非零向量，故α与β的夹角为90°.
答案：90°
8.已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互间的夹角均为120°.
（1）求证：（a-b）⊥c；
（2）若|ka+b+c|=1（k∈R），求k的值.
（1）证明：∵（a-b）·c=a·c-b·c=|a||c|·cos120°-|b||c|cos120°，又|a|=|b|=|c|，∴（a-b）·c=0，即（a-b）⊥c.
（2）解：由|ka+b+c|=1，得|ka+b+c|2=12，即（ka+b+c）2=1，
∴k2a2+b2+c2+2b·c+2ka·b+2ka·c=1.
又a·b=a·c=b·c=，
∴k2-2k=0.解得k=2或0.
9.已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,c=3a+5b,d=ma-3b.
(1)当m为何值时,c与d垂直
(2)当m为何值时,c与d共线
解：（1）由向量垂直的条件得c·d=0，c·d=（3a+5b）·（ma-3b）
=3ma2+（5m-9）a·b-15b2=27m+3（5m-9）-60，
∴42m-87=0.
∴m=即m=时c与d垂直
（2）由向量共线的条件是c=λd
∴3a+5b=λ（ma-3b）.
∴3a+5b=mλ·a-3λ·b
∵a与b不共线,
∴
即当m=时c与d共线2.3.2
平面向量基本定理
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量，其中正确的说法是（
）
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
解析：根据平面向量基本定理可以进行判断.平面内向量的基底不唯一,在同一平面内任何一组不共线的向量都可以作为平面内所有向量的基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确.
答案：B
2.设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与，其中可作为这个平行四边形所在平面内表示它的所有向量的基底的是（
）
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
解析：①AD与AB不共线,②DA=-BC,DA∥BC,DA与BC共线,③CA与DC不共线,④OD=-OB,OD∥OB,OD与OB共线.由平面向量基底的概念知①③可构成平面内所有向量的基底.
答案：B
3.想一想，e1、e2不共线，e1、e2中能否有零向量？a与e1、e2的关系可能有几种情况？
解析：e1、e2不共线，则e1≠0且e2≠0.
（1）a与e1共线，则有且只有一个λ1，使a=λ1e1；
（2）a与e2共线，则有且只有一个λ2，使a=λ2e2；
（3）a与e1、e2都共线，则a=0；
（4）a与e1、e2都不共线，a能用e1、e2表示，解法如下：
与共线，则有且只有一个λ1，使=λ1e1.
与共线，则有且只有一个λ2，使=λ2e2，则a=+=λ1e1+λ2e2.
4.如图2-3-3，已知△OAB，其中=a，=b，M、N分别是边、上的点，且=a，=b.设与相交于P，用向量a、b表示.
图2-3-3
解：=+,=+.
设=m，=n，则
=+m=a+m(b-a)
=(1-m)a+mb,
=+n=b+n(a-b)
=(1-n)b+na.
∵a、b不共线，
∴
∴=a+b.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.向量、、的终点A、B、C在一条直线上，且=-3.设=p,=q,=r，则下列等式成立的是(
)
A.r=
B.r=-p+2q
C.r=
D.r=-q+2p
解析：由=-3,得-=-3（-），
即2=-+3，∴=+，即r=.
答案：A
2.设一直线上三点A、B、P满足=λ(λ≠1),O是空间一点，则用、表示为(
)
A.=+λ
B.=λ+(1-λ)
C.=
D.
解析：由=λ（λ≠1）得-=λ（-），即=.
答案：C
3.如图2-3-4，四边形ABCD为矩形，且AD=2AB,又△ADE为等腰直角三角形，F为ED中点，=e1，=e2.以e1、e2为基底，表示向量、、及.
图2-3-4
解：∵=e1，=e2，∴=e2-e1.
依题意有AD=2AB=DE，且F为ED中点，
∴四边形ABDF为平行四边形.
∴==e2-e1，==e2.
∴=+=e2-e1+e2=2e2-e1.
4.如图2-3-5，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知=c，=d，试用c、d表示和.
图2-3-5
解：设=a，=b，
则由M、N分别为DC、BC的中点可得=，=.
从△ABN和△ADM中可得
a+b=d，b+a=c.
解得a=(2d-c),b=(2c-d),
即=(2d-c),=(2c-d).
5.证明三角形的三条中线交于一点.
证明：如图，令=a,=b为基底.
=b-a,=a+b,=b-a.
设AD与BE交于点G1，并设=λ,=μ，
则有=-==,
=-=,
∴解得λ=μ=,∴=.
设AD与CF交于点G2，同理,可得=.
∴G1与G2重合，也就是说AD、BE、CF相交于同一点.
∴三角形的三条中线交于一点.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.e1和e2表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作一组基底的是(
)
A.e1+e2和e1-e2
B.3e1-2e2和4e2-6e1
C.e1+3e2和e2+3e1
D.e2和e1+e2
解析：∵3e1-2e2=（4e2-6e1），
∴3e1-2e2与4e2-6e1共线.
答案：B
2.下面关于单位向量的叙述正确的是(
)
A.若e是向量的单位向量，则e与同向或反向
B.若e1与e2是两向量的单位向量，则e1与e2可作为平面的一组基底
C.0的单位向量是0
D.向量的单位向量e=
解析：单位向量是指与a同向且大小为一个单位的向量，故A不正确.若e1、e2是两个单位向量，则可能反向，故B不正确.易知选D.
答案：D
3.已知=3（e1+e2），=e2-e1，=2e1+e2，则(
)
A.A、B、C三点共线
B.A、B、D三点共线
C.A、C、D三点共线
D.B、C、D三点共线
解析：=+=-=4e1+2e2=2（2e1+e2）=2.
答案：C
4.在△ABC中，设=m，=n，D、E是边BC上的三等分点，则=_______________,
=_______________.
解析：由D、E是边BC上的三等分点，可得=,=，转化为已知向量即可.
答案：
5.设e1、e2是两个不共线向量，若向量b=e1+λe2（λ∈R）与向量a=2e1-e2共线，则λ=___________.
解析：由共线向量定理，设b=λa，即e1+λe2=2μ
e1-μ
e2.
所以解得λ=.
答案：
6.如图2-3-6，在平行四边形PQRS中，在PQ、QR、RS、SP上分别取点K、L、M、N，其中K、N分别为PQ、PS的中点，QL=QR，SM=SR.设KM与LN交于A点，=a，=q，=s，试用q、s表示a.
图2-3-6
解法一：∵与共线，∴存在实数λ1，使=λ1.
∵=++,K为的中点，
=,=,=，
∴=++(）=+，
即=q+s.∴=.
∵=+,K为的中点，
∴=q，即=()q+λ1s.
同样设=λ2，
=++=+-=-=q-s,
∴=+=+λ2=s+λ2q-=(-)s+λ2q.
∵关于q、s的分解式是唯一的，
∴
∴=.
解法二：由于N、A、L三点共线，故存在α∈R，使=α+(1-α).
∵==s,=+=+=q+s.
∴=α
s+(1-α)(q+s)
=+(1-α)q+.
∴=(1-α)q+()s.
同理，由于K、A、M三点共线，故存在β∈R，使=β+(1-β).
∵==q,=+=s+,
∴=β
s+(1-β)(s+).
∴=(1-β)s+(）q.
∵关于q、s的分解式是唯一的，
∴
∴=.
7.已知向量a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，其中e1、e2不共线.向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d=λa+μb与c共线 若存在，求出λ、μ的值；若不存在，请说明理由.
解：∵d=λ（2e1-3e2）+μ（2e1+3e2）
=（2λ+2μ）e1+（-3λ+3μ）e2，
如果d与c共线，则应存在实数k，使得d=kc，
即（2λ+2μ）e1+（-3λ+3μ）e2=2ke1-9ke2.
∴2λ+2μ=2k，-3λ+3μ=-9k，
解得λ=-2μ.
故存在这样的λ、μ，只要λ=-2μ，就能使d与c共线.
8.如图2-3-7，平行四边形ABCD中，=，=.求证：A、F、E三点共线.
图2-3-7
证明：设=a，=b，由题意，得=
==a，
==（-）=（a-b）.
又=+=b+a，∴=+=b+（a-b）=a+b.
∴=（a+b）==.
∴∥.
又∵直线AE与直线AF有公共点A，∴A、F、E三点共线.
9.如图2-3-8,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM的值.
图2-3-8
解:设BM=e1,CN=e2,则AM=AC+CM
=-3CN-BM=-3e2-e1,BN=BC+CN
=2BM+CN=2e1+e2.
∵A、P、M和B、P、N分别共线，
∴存在实数λ、μ使AP=λAM=-3λe2-λe1，BP=μ=2μe1+μe2
故BA=BP-AP=2μe1+μe2-（-3λe2-λe1）=（2μ+λ）e1+（μ+3λ）e2
而BA=BC+CA=2BM+3CN=2e1+3e2
由平面向量基本定理知
故=,即AP∶PM=4∶1.
快乐时光
分数略
某考生在考数学时，最后一道题不会做，他偷看到了别人的答案，但过程还是不会.快交卷时，他灵机一动，在卷子上写道：运算过程略.接着把答案抄在后面.评卷老师看后，在答案后打个“X”，接着写道：分数略.1.9
三角函数的简单应用
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.初速度为v0，发射角为θ，则炮弹水平移动的距离x与v0之间的关系式（t是飞行时间）为（
）
A.x=|v0t|
B.x=|v0|·sinθ·t
C.x=|v0|·sinθ·t-|g|·t2
D.x=|v0|·cosθ·t
解析：由速度的分解可知炮弹水平移动的速度为v0·cosθ，如图所示：
故炮弹水平移动的距离为|v0|·cosθ·t.
答案：D
2.在200米高山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（
）
A.米
B.米
C.米
D.米
解:如图，设塔高为h米，则
200·tan30°=(200-h)tan60°,∴h=米.
答案：A
3.甲、乙两楼相距60米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为45°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则甲、乙两楼的高度分别为_____________、_____________.
解析:如图,甲楼的高度AC=AB=60米,
在Rt△CDE中,DE=CE·tan30°=60×=.
∴乙楼的高度为BD=BE-DE=（60-）（米）.
答案:60米
(60-)米
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.图3-3-1中哪一个图像准确地描述了某物体沿粗糙斜面滑下时其加速度和斜面倾斜角θ之间的关系（动摩擦因数不变）？（
）
图3-3-1
解析：由物理知识可知，当斜面倾斜角θ比较小时，物体处于静止状态，加速度为0,故排除A,B.根据受力分析,受到的合外力F=mgsinθ-μmgcosθ.
∴a=g(sinθ-μcosθ)=sin(θ-φ)(其中tanφ=μ).故选D.
答案：D
2.一树干被台风折成60°角,树干底部与树尖着地处相距20米,树干原来的高度为__________.
解析:如图,BC=20tan30°=.
AB=,
所以树干原来的高度为AB+BC=(米).
答案:米
3.图3-3-2是一弹簧振子做简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________________.
图3-3-2
解析：设函数解析式为y=Asin(ωx+φ)，则A=2，由图像可知
T=2×(0.5-0.1)=,∴ω=.
∴×0.1+φ=.∴φ=.
∴函数的解析式为y=2sin(x+).
4.某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦曲线变化.
（1）画出种群数量关于时间变化的图像；
（2）求出种群数量作为时间t的函数表达式（其中t以年初以来的月为计量单位）.
解：（1）种群数量关于时间变化的图像如图所示：
（2）设表示该曲线的三角函数为y=Asin(ωt+φ)+k，
由已知平均数量为800，最高数量与最低数量之差为200，数量变化周期为12个月，
所以振幅A==100，
即ω=,k=800.
又7月1日种群数量达到最高，
∴.∴φ=.
∴种群数量关于时间t的函数表达式为y=100sin(t-3)+800.
5.如图3-3-3所示,某人身高a=1.77米,在黄浦江边测得对岸的东方明珠塔尖的仰角α=75.5°,测得在黄浦江中的倒影的塔尖的俯角β=75.6°,求东方明珠的塔高h.
图3-3-3
解:设黄浦江的宽为b米,则
b·tanα=h-a,b·tanβ=h+a.消去b得
h=.
当α=75.5°,β=75.6°,a=1.77米时,h=?490.1米.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.如图3-3-4所示,有一块以点O为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地,使其一边AD落在圆的直径上,另两点B、C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为a,如何选择关于点O对称的点A、D的位置,可以使矩形ABCD的面积最大
图3-3-4
解:如图,令∠AOB=θ,则AB=asinθ,OA=acosθ,
则矩形ABCD的面积为
S=asinθ·2·acosθ=a2·2sinθcosθ=a2·sin2θ≤a2.
其中“≤”中等号成立的条件是sin2θ=1,
即2θ=90°,于是θ=45°时,S为最大.
∴A、D两点与O的距离都是a.
2.三角函数的叠加问题：在交流电、简谐运动及各种“波”等问题的研究中，三角函数发挥了重要的作用，在这些实际问题中，经常会涉及“波”的叠加，在数学上常常可以归结为三角函数的叠加问题.设y1=3sin(2t+)，y2=4sin2t表示两个不同的正弦“波”，试求它们叠加后的振幅和周期.
解：它们叠加后的函数是y1+y2=3sin()+4sin2t
=3cos2t+4sin2t
=
=5sin(2t+φ)(其中tanφ=),
所以，叠加后的函数的振幅为5，周期仍为π，初相为arctan,
即叠加后的“波”的振幅为5，周期仍为π.
3.以一年为一个周期调查某商品出厂及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元的基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元；而该商品在商店内的销售价格是在8元的基础上也是按月份随正弦曲线波动的，并且已知5月份价格最高为10元，9月份价格最低为6元.假设某商店每月购进这种商品m件，且当月能售完，请估计哪个月份赢利最大？并说明理由.
解：由条件得：出厂价格函数是y1=2sin(x)+6,
销售价格函数为?y2=2sin(x-)+8.
则利润函数为y=m(y2-y1)
=.
所以当x=6时,y=(2+)m最大.
所以6月份赢利最大.
4.如图3-3-5，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面0.5米.风车圆周上一点A从最低点O开始运动，t秒后与地面的距离是h米.
图3-3-5
（1）求函数h=f(t)的关系式；
（2）画出函数h=f(t)的图像.
解：（1）如图，以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立直角坐标系.
设点A的坐标为(x,y)，则h=y+0.5.
设∠OO1A=θ，则cosθ=,y=-2cosθ+2.
又θ=×t,即θ=t,
所以y=.
所以h(t)=.
（2）h(t)=
的图像如下图.
5.一根细线的一端固定,另一端悬挂一个小球,小球来回摆动时,离开平衡位置的位移S(单位cm)与时间t(单位:s)的函数关系是S=6sin(2πt+).
(1)画出它的图像;
(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t=0),离开平衡位置多少厘米
②小球摆动时,离开平衡位置的最大距离是多少厘米
③小球来回摆动一次需要多少时间
解:（1）先求周期：T==1(s).
列表：
t
0
1
2πt+
π
2π
2π+
6sin(2πt+)
3
6
0
-6
0
3
描点画图：
（2）①小球开始摆动(t=0)，离开平衡位置为3
cm.
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6
cm(即振幅).
③小球来回摆动一次需要1
s（即周期）.
6.某港口水深y(米)是时间t(0≤t≤24,单位：小时)的函数,下面是水深数据:
t(时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米）
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
据上述数据描成的曲线如图3-3-6所示，经拟合，该曲线可近似看成正弦函数?y=Asinωx+B的图像.
图3-3-6
(1)试根据数据表和曲线求出y=Asinωx+B的表达式;
(2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的,如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米,那么该船在什么时间段能够安全进港 若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略离港所用的时间)
解:(1)从拟合的曲线可知,函数y=Asinωx+B在一个周期内由最大变为最小需要9-3=6个小时,此为半个周期,所以函数的最小正周期为12小时,因此=12,ω=.又当t=0时,y=10,当t=3时,ymax=13,所以B=10,A=13-?10=3.
于是所求函数解析式为y=3sinx+10.
(2)由于船的吃水深度为7米,船底与海底的距离不少于4.5米,故在船舶航行时水深y应大于等于7+4.5=11.5(米).
由拟合的曲线可知,一天24小时,水深y变化两个周期,故要使船舶在一天内停留港口的时间最长,则应从凌晨3点前进港,而从第二个周期中的下午15点后离港.
令y=3sin+10≥11.5,可得sinx≥.
∴2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z).
∴12k+1≤x≤12x+5(k∈Z).
取k=0,则1≤x≤5;取k=1,则13≤x≤17;
而取k=2时,则25≤x≤29(不合题意).
从而可知,船舶要在一天之内在港口停留的时间最长,就应从凌晨1点(1点到5点都可以)进港,而下午17点(即13点到17点之间)前离港,在港内停留的时间最长为16小时.1.8
函数y=Asin(ωx+φ)的图像
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.(高考辽宁卷，文2)函数y=sin()的最小正周期是（
）
A.
B.π
C.2π
D.4π
解析：y=sin()的最小正周期T==4π
答案：D
2.将y=sinx的图像变换为y=3sin（)的两种变换方法如下，请在“”处填上变换方法.
法一：y=sinxy=sin2xy=sin(2x+)y=3sin(2x+）；
法二：y=sinxy=sin(x+)y=sin(2x+)y=3sin(2x+).
解法一：y=sinxy=sin2x图像上所有点向左平移个单位y=sin［2（x+)］=sin(2x+）y=3sin(2x+).
解法二：y=sinxy=sin(x+)
y=sin(2x+)y=3sin(2x+).
3.已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的简图（如图1-7-1），求其相应的函数表达式，并说明它是y=sinx经过怎样的变换得到的.
图1-7-1
解：因为T=，所以ω=2.又易知A=2，所以y=2sin（2x+φ）.将点（，0）带入上式得0=2sin［2×（）+φ］，即sin（φ-）=0.由|φ|<得φ=，所以y=2sin（2x+）.
它的图像可由y=sinx的图像作如下变换得到：
y=sinxy=sin(x+)y=sin(2x+)y=2sin(2x+).
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.为了得到函数y=3sin（x-）（x∈R）的图像，只需把y=3sinx上所有的点（
）
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
解析：三角函数图像的平移变换，应遵循法则：“加左减右”，且移动的单位数仅对一个x而言.据由y=sinx的图像得到y=sin（x+φ）的图像的步骤可知，应把y=3sinx图像上所有的点向右平移个单位，即可获得y=3sin（x-）的图像.故选B.
答案：B
2.函数y=3sin（x+）图像上的点进行_____________变换，就可得到函数y=3sin（2x+）的图像（x∈R）(
)
A.横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变
B.横坐标缩短为原来的，纵坐标不变
C.纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变
D.纵坐标缩短为原来的，横坐标不变
解析：横向伸缩变换又称周期变换，即周期发生了变化，因此，可先据周期的变大（小）确定横坐标的变化.由y=sinx的图像得到y=sinωx的图像，应是将y=sinx图像上所有点的横坐标变为原来的倍（0＜ω＜1时，伸长；ω＞1时，压缩）.故由y=3sin（x+）变为y=3sin（2x+）应是横坐标缩短为原来的.所以选B.
答案：B
3.下列函数中，周期为的是（
）
A.y=sin（）
B.y=sin（）
C.y=sin（）
D.y=sin（2x+）
解析：y=Asin（ωx+φ）的周期，注意运用T=求时需ω＞0.
答案：B
4.设y=sin（x+φ）（0≤φ≤π）是R上的偶函数，则φ等于（
）
A.0
B.
C.
D.π
解析：函数的奇偶性，可用定义，还可借助于图像.f（x）为偶函数，则从代数式上应有f（-x）=f（x），从图像上应有图像关于y轴对称.
答案：C
5.正弦函数在一个周期内的图像如图1-7-2所示，求函数的表达式.
图1-7-2
解：由题图可知振幅A=2，又=π，所以周期T=2π，进而ω==1.再据第一个零点为（，0），代入可得φ=.
所以y=2sin(x+).
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.函数y=cosx的图像经过怎样的变换才能变成函数y=cos（x+）（x∈R）的图像(
)
A.向左平移个单位
B.向左平移个单位
C.向右平移个单位
D.向右平移个单位
解析：平移变换时，一是看准平移的方向；二是确定平移的单位数.根据题意知应把y=cosx的图像向左平移个单位.故选B.
答案：B
2.已知函数y=f（x），现将y=f（x）图像上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后把整个图像沿着x轴向左平移个单位，得到y=sinx的图像，则函数f（x）的解析式为(
)
A.f（x）=
B.f（x）=
C.f（x）=
D.f（x）=
解析：依题意，函数y=sinx的图像沿x轴向右平移个单位后，所得的函数是y=.再将其图像上点的横坐标变为原来的，可得函数y=.则y=，即y=f（x）.故选D.
答案：D
3.方程2sin2x=x-3的解有（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析：在同一坐标系下，画出y=2sin2x和y=x-3的图像，如下图，易知有3个交点.故方程有3个实数解.所以选C.
答案：C
4.已知函数y=Asin（ωx+φ）在同一周期内，当x=时取得最大值，当x=时取得最小值，则该函数的解析式为（
）
A.y=2sin（-）
B.y=sin（3x+）
C.y=sin（3x-）
D.y=sin（-）
解析：由题意，知A=,∴T=.∴ω==3.
将（）视为第一个最高点，代入可求出φ=，∴y=sin（3x+）.故选B.
答案：B
5.函数y=sin（2x+5）的图像的一条对称轴方程是（
）
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=
解析：函数y=sin（2x+）的对称轴垂直于x轴，有很多条，它们通过图像的最高点或最低点，即使函数取得最大值或最小值.所以一一代入验证，可得x=符合要求.故选A.
答案：A
6.函数y=cos（x+）（x∈R）（
）
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既不是奇函数又不是偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
解析：除了用定义判断某一函数的奇偶性之外，还可用图像加以深化理解.如y=cos（x+φ）若为奇函数，则φ可取哪些值，不妨结合图像解决.由奇偶函数的定义或图像，易知y=cos（x+）既不是奇函数又不是偶函数.故选C.
答案：C
7.函数y=sin（-2x）的单调减区间为_______________.
解析：令t
=，易知原函数的单调减区间即是y=sint的单调增区间.
由2kπ-≤t≤2kπ+（k∈Z），知
2kπ-≤2x-≤2kπ+（k∈Z），
∴kπ-≤x≤kπ+（k∈Z）.
因此函数y=sin（-2x）的减区间为［kπ-，kπ+］（k∈Z）.
答案：［］（k∈Z）
8.如图1-7-3，弹簧挂着的小球上下振动，时间与小球相对于平衡位置（即静止时的位置）的高度之间的函数关系式是h=2sin（t+），t∈［0，+∞）.
图1-7-3
画出这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并回答下列问题.
（1）小球开始振动（即t=0）时的位置在哪里
（2）小球最高、最低点与平衡位置的距离分别是多少
（3）经过多长时间小球往复振动一次
（4）小球每1
s能往复振动多少次
解：因为函数h=2sin（t+），t∈［0，+∞）的最小正周期是T=2π，它在［0，2π］上的简图如下.
（1）小球开始振动（即t=0）时，h=2sin（0+）=2sin.
（2）小球最高、最低点与平衡位置的距离分别是2和-2.
（3）小球往复振动一次，即是一个周期2π
s.
（4）小球每1
s能往复振动的次数，即频率f=.
9.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0,|φ|＜)的图像的一个最高点为（2，），由这个最高点到相邻最低点，图像与x轴交于（6，0）点，试求这个函数的解析式.
解：已知图像最高点为（2，），∴A=.
又据题意知从最高点到相邻最低点时交x轴于（6，0），
∴=6-2=4，即T=16
∴ω=
∴y=sin(x+φ),代入最高点坐标，.
∴sin（+φ）=1.
∴φ=.
∴函数解析式为y=.3.1
同角三角函数的基本关系
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下列结论能成立的是（
）
A.sinα=且cosα=
B.tanα=2且
C.tanα=1且cosα=
D.sinα=1且tanα·cosα=1
解析：同角三角函数的基本关系式中要注意理解“同角”的含义；关系式是指一个角的不同三角函数值之间的关系，这个角可以是任意角.
答案：C
2.（1）若tanα=-2且α为第二象限角，求sinα、cosα；
（2）若tanα=-2，求sinα、cosα.
解：（1）由题意和基本关系式可列下列方程组：
由②得sinα=-2cosα，代入①式整?理得5cos2α=1，cos2α=.又α为第二象限角，所以cosα=，sinα=.
（2）由（1）可得cos2α=.又α可为第二、四象限角，所以当α为第二象限角时，cosα=，sinα=；当α为第四象限角时，cosα=，sinα=.
3.已知x、y满足求x、y之间的函数关系式.
解：由①：x2=9sin2θ，∴sin2θ=.
③
由②：y2=9cos2θ，∴cos2θ=.
④
将③④代入sin2θ+cos2θ=1中，可得=1,∴x、y满足x2+y2=9.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知sinθ=，θ为第二象限角，则tanθ等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由sinθ=且θ为第二象限角，知cosθ=，∴tanθ=.
答案：C
2.若tanα=-1，则sinα+cosα的值是（
）
A.
B.
C.0
D.±
解析：由tanα=-1，知α=kπ+（k∈Z）.不妨取α=，则sinα=sin=，cosα=cos=.
∴sinα+cosα==0.故选C.
答案：C
3.若tan100°=k，则sin80°的值等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：∵100°=180°-80°，
∴tan100°=tan（180°-80°）=-tan80°=k.
∴tan80°=-k（k＜0）.
又tan280°=,
∴=k2，即sin280°=.
∵k<0，∴sin80°=.
答案：C
4.已知sin（π+α）=（α是第四象限的角），则cos（α-2π）=_____________.
解析：∵sin（π+α）=-sinα，
∴sinα=.
而cos（α-2π）=cos（2π-α）=cosα，据?α属于第四象限，且cos2α=1-sin2α，知cosα=
.
答案：
5.已知sinα-cosα=，求sin3α-cos3α的值.
解：将sinα-cosα=两边同时平方，得1-2sinαcosα=，
即sinαcosα=.
∴sin3α-cos3α=（sinα-cosα）（sin2α+cos2α+sinαcosα）=.
6.已知tanα=-2，求下列各式的值：
（1）；
（2）sin2α+cos2α.
解：∵tanα=-2，则cosα≠0.
（1）=10；
（2）.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.若cosα=tanα，则sinα的值是（
）
A.
B.
C.
D.以上皆错
解析：由cosα=tanα，得cos2α=sinα.
∴1-sin2α=sinα，即sin2α+sinα-1=0.
解之,得sinα=.
又cosα=tanα，∴α属于第一或第二象限.
∴sinα=.
答案：A
2.使成立的α的取值范围是（
）
A.2kπ-π＜α＜2kπ（k∈Z）
B.2kπ-π≤α≤2kπ（k∈Z）
C.2kπ+π＜α＜2kπ+3（k∈Z）
D.只能是第三或第四象限
解析：∵,
若，则sinα＜0，
∴角α的终边落在x轴的下方区域，即2kπ-π＜α＜2kπ（k∈Z）.
答案：A
3.已知=2，则sinθ·cosθ的值为（
）
A.
B.±
C.
D.
解析：已知等式两边平方得=4，从而sinθ·cosθ=.
答案：C
4.已知sinαcosα=且＜α＜，那么cosα-sinα的值是（
）
A.
B.
C.
D.±
解析：∵，∴sinα＞cosα.
∴cosα-sinα＜0.
又（cosα-sinα）2=1-2sinαcosα=1-2×，
∴cosα-sinα=.
答案：B
5.已知tan（π+α）=（＜α＜2π），则cos（+α）=_______________.
解析：∵tan（π+α）=tanα=，而cos（+α）=-sinα，
由tanα=，得tan2α=.∴，即sin2α=.
注意到＜α＜2π，∴sinα＜0，即sinα=，从而cos（+α）=.
答案：
6.设tan（5π+α）=m（m≠0），则=_________________.
解析：tan（5π+α）=
tanα=m，
而所求函数式=.
答案：
7.设sinθ、cosθ是方程4x2-4mx+2m-1=0的两根且＜θ＜2π，则实数m的值为_____________.
解析：由题意可知sinθ+cosθ=m，sinθ·cosθ=，
∴（sinθ+cosθ）2=m2.
∴1+2sinθ·cosθ=m2.
从而1+=m2，∴2m2-2m-1=0.
解之,得m=.
又θ∈（，2π），∴sinθ·cosθ＜0.
∴2m-1＜0，即m＜.∴m=.
答案：
8.当α∈（0，）时，化简.
解：原式==|sinα-cosα|+|sinα+cosα|，∵α∈（0，），0＜sinα＜cosα，
∴原式=-（sinα-cosα）+sinα+cosα=2cosα.
9.已知sin（π-α）-cos（π+α）=（＜α＜π），求sinα-cosα的值.
解：由已知，得sinα+cosα=，平方得1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=.
又＜α＜π，
∴sinα-cosα=.
10.已知θ∈［0，2π），而sinθ、cosθ是方程x2-kx+k+1=0的两实数根，求k和θ的值.
解：∵sinθ、cosθ是方程x2-kx+k+1=0的两实数根，∴
代入（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ中整理可得k2=1+2（k+1），即k2-2k-3=0.
∴k=-1或k=3（舍）.
代回原方程组得
∴
即θ=π或θ=.2.2
从位移的合成到向量的加法
2.1
向量的加法
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.如图2-2-1，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点.下列结论中正确的是(
)
图2-2-1
A.=,=
B.+=
C.+=+
D.++=
解析：因为+=,+=，所以+=+.
答案：C
2.如图2-2-2，作向量a、b的和______________.
图2-2-2
解：在平面中任取一点A，作=a，=b，则向量就是向量a和b的和，即a+b，则a+b=+=.
3.如图2-2-3，已知向量a、b、c、d，作出向量a+b+c+d.
图2-2-3
解：在空间中任取一点O，作=a，=b，=c，=d，则=a+b+c+d.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.如图2-2-4，正方形ABCD的边长为1，则|+++|为(
)
图2-2-4
A.1
B.
C.3
D.
解析：|+++|=|2|=2||=.
答案：D
2.如图2-2-5，四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是(
)
图2-2-5
A.+=
B.+=
C.+=
D.+=
解析：利用三角形法则和平行四边形法则.
答案：C
3.已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a+b的方向(
)
A.与向量a方向相同
B.与向量a方向相反
C.与向量b方向相同
D.与向量b方向相反
解析：由平行向量与题意可知A正确
答案：A
4.如图2-2-6，试作出向量a与b的和a+b.
图2-2-6
解：如下图，首先作=a，再作=b，则=a+b.
5.已知向量a、b，比较|a+b|与|a|+|b|的大小.
解：（1）当a、b至少有一个为零向量时，有|a+b|=|a|+|b|.
（2）当a、b为非零向量且a、b不共线时，有|a+b|<|a|+|b|.
当a、b为非零向量且a、b同向共线时，有|a+b|=|a|+|b|.
当a、b为非零向量且a、b异向共线时，有|a+b|<|a|+|b|.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.下列等式错误的是(
)
A.a+0=0+a=a
B.（a+b）+c=a+（c+b）
C.+=0
D.+=
解析：由向量加法的运算法则，可知D不正确.
答案：D
2.已知P为△ABC所在平面内的一点，当+=成立时，点P位于(
)
A.△ABC的AB边上
B.△ABC的BC边上
C.△ABC的内部
D.△ABC的外部
解析：由向量加法的平行四边形法则易知，点P在△ABC的外部.
答案：D
3.设（+）+（+）=a，而b是一非零向量，则下列结论正确的有(
)
①a∥b
②a+b=a
③a+b=b
④|a+b|＜|a|+|b|
A.①③
B.②③
C.②④
D.①②
解析：（+）+（+)=(+)+(+)=+=0=a,所以①③正确.
答案：A
4.向量a、b都是非零向量，下列说法中不正确的是(
)
A.向量a与b同向，则向量a+b与a的方向相同
B.向量a与b同向，则向量a+b与b的方向相同
C.向量a与b反向，且|a|＜|b|，则向量a+b与a的方向相同
D.向量a与b反向，且|a|＞|b|，则向量a+b与a的方向相同
解析：由共线向量的定义可解.
答案：C
5.a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则(
)
A.a∥b，且a与b方向相同
B.a、b是共线向量
C.a=-b
D.a、b无论什么关系均可
解析：当两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a、b的方向都不相同，且|a+b|<|a|+|b|；向量a与b同向时，a+b的方向与a、b的方向都相同，且|a+b|=|a|+|b|；向量a与b反向且|a|<|b|时，a+b的方向与b的方向相同(与a方向相反)，且|a+b|=|b|-|a|.
答案：A
6.在平行四边形ABCD中，下列式子：
①=+；②=+；③+=；④+=；⑤=++；⑥=+.
其中不正确的个数是(
)
A.1
B.2
C.4
D.6
解析：由向量加法的平行四边形法则和三角形法则可知，只有⑥=+不正确.
答案：A
7.正六边形ABCDEF中，++=______________.
解析：作出图形，利用向量加法的平行四边形法则和向量相等的定义易知++=.
答案：
8.设a表示“向东走了2s千米”，b表示“向南走了2s千米”，c表示“向西走了2s千米”，d表示“向北走了2s千米”，则
(1)a+d表示向____________走了____________千米；
(2)b+c表示向____________走了____________千米；
(3)a+c+d表示向____________走了____________千米；
(4)b+c+d表示向____________走了____________千米；
(5)若a表示向东走8
km，b表示向北走8
km，则|a+b|=__________km，a+b的方向是________；
(6)一架飞机向北飞行300
km后改变航向向____________飞行____________km，两次飞行位移之和的方向为北偏西53.1°，大小为500
km，飞行路程为____________km.
解析：用向量表示位移，进行向量运算后，回扣物理意义即可.
答案：（1）东北
s
（2）西南
s?（3）北
2s
（4）西
2s
（5）
东偏北45°
（6）西
400
700
9.一艘船以5
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度的大小.
解：如下图，设水流速度为v1=，船的实际速度为v2=，水流速度与船的实际速度的合速度为v=，则?||=5.
由题意，知=+，
∴四边形ABCD为平行四边形，且AC⊥AB，∠CDA=30°.
∴||=2||=2×5=10，||=||=||cos30°=.
∴水流速度的大小为km/h，船的实际速度的大小为10
km/h.