2.4
平面向量的坐标
自我小测
1．已知向量a＝(－2,4)，b＝(3，－6)，则a和b的关系是( )
A．共线且方向相同
B．共线且方向相反
C．是相反向量
D．不共线
2．已知A(2，－2)，B(4,3)，向量p的坐标为(2k－1,7)，且p∥，则k的值为( )
A．－
B．
C．－
D．
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，且向量ka＋b与lb＋a平行，则实数k，l满足的关系式为( )
A．kl＝－1
B．k＋l＝0
C．l－k＝0
D．kl＝1
4．已知A，B，C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为( )
A．－13
B．9
C．－9
D．13
5．如果向量a＝(k,1)，b＝(4，k)共线且方向相反，则k等于( )
A．±2
B．－2
C．2
D．0
6．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝__________.
7．已知两点M(7,8)，N(1，－6)，P点是线段MN的靠近点M的三等分点，则P点的坐标为__________．
8．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
(2)若，求点C的坐标．
9．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,6)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
(1)若u∥v，求实数x的值；
(2)若a，v不共线，求实数x的值．
参考答案
1．解析：因为a＝(－2,4)，b＝(3，－6)，所以a＝－b.
由于－＜0，故a和b共线且方向相反．
答案：B
2．解析：＝(2,5)．
又∵p∥，∴2×7＝5(2k－1)．∴k＝.
答案：D
3．解析：∵ka＋b＝(k－3,2k＋2)，lb＋a＝(－3l＋1，2l＋2)，
且ka＋b∥lb＋a，∴(k－3)(2l＋2)－(2k＋2)·(－3l＋1)＝0.整理，得kl＝1.
答案：D
4．解析：设C点坐标为(6，y)，
则＝(－8,8)，＝(3，y＋6)．
∵A，B，C三点共线，∴＝，∴y＝－9.
答案：C
5．解析：∵a与b共线且方向相反，
∴存在实数λ(λ＜0)，使得b＝λa，
即(4，k)＝λ(k,1)＝(λk，λ)．
∴，解得，或(舍去)．
答案：B
6．解析：因为a－2b＝(，3)，所以由(a－2b)∥c，得×－3k＝0，解得k＝1.
答案：1
7．解析：设P点坐标为(x，y)，由知(－6，－14)＝3(x－7，y－8)，
∴∴
即P点的坐标为eq
\b\lc\(\rc\)().
答案：eq
\b\lc\(\rc\)()
8．解：(1)＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，
＝(a－1，b－1)．
若A，B，C三点共线，则与共线．
∴2(b－1)－(－2)×(a－1)＝0.∴a＋b＝2.
(2)若，则(a－1，b－1)＝(4，－4)，
∴∴
∴点C的坐标为(5，－3)．
9．解：(1)因为a＝(1,2)，b＝(x,6)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
所以u＝(1,2)＋2(x,6)＝(2x＋1,14)，
v＝2(1,2)－(x,6)＝(2－x，－2)．
又因为u∥v，
所以－2(2x＋1)－14(2－x)＝0，
即10x＝30，解得x＝3.
(2)若a，v共线，则2(2－x)＝－2，解得x＝3，
所以要使a，v不共线，则{x|x∈R，且x≠3}．2.2
从位移的合成到向量的加法第2课时
自我小测
1．如图，点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则＝( )
A．
B．
C．
D．
2．下列等式中正确的个数是( )
①a－0＝a；②b＋a＝a＋b；③－(－a)＝a；④a＋(－a)＝0；⑤a＋(－b)＝a－b.
A．2
B．3
C．4
D．5
3．两个不相等的向量a－b与b－a的( )
A．模相等，方向相反
B．模相等，方向相同
C．仅方向相反
D．仅模相等
4．下列式子不能化简为的是( )
A．
B．
C．
D．
5．已知O是四边形ABCD所在平面内的一点，且，，，满足等式，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形
B．菱形
C．梯形
D．等腰梯形
6．若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为__________，|a－b|的最大值为__________．
解析：当a与b共线且同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，|a－b|＝||a|－|b||.
当a与b共线且反向时，|a＋b|＝||a|－|b||，|a－b|＝|a|＋|b|.
当a与b不共线时，||a|－|b||＜|a＋b|＜|a|＋|b|，||a|－|b||＜|a－b|＜|a|＋|b|，
因此当a与b共线且反向时，|a＋b|取最小值为12－8＝4；
当a与b共线且反向时，|a－b|取最大值为12＋8＝20.
7．如图，在ABCD中，E是CD的中点，且＝a，＝b，则等于__________．
8．如图，在边长为1的正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则|a－b＋c|＝__________.
9．已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，
求证：.
10．已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝2，∠AOB＝，求|a＋b|，|a－b|.
参考答案
1．解析：.
答案：D
2．解析：①②③⑤正确．
答案：C
3．解析：设＝a，＝b，则a－b＝－＝，b－a＝－＝，显然和是一对相反向量．
答案：A
4．解析：；
；
；
.
答案：C
5．解析：∵，，
而，
∴，
∴，
即AB∥CD，且AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
答案：A
6．4 20
7．解析：＝(＋)＝[b＋(－)]
＝(b＋b－a)＝b－a.
答案：b－a
8．解析：因为a－b＝，过B作＝c，连接CM，则＝a－b＋c.
因为AC⊥BD，且＝，
所以DB⊥BM，＝，
所以＝2，即|a－b＋c|＝2.
答案：2
9．证明：如图所示，在四边形CDEF中，
.①
在四边形ABFE中，
.②
①＋②，得
＝．
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴，，
∴，
即.
10．解：以OA，OB为邻边作如图所示的平行四边形OBCA，
由向量的三角形法则和平行四边形法则，
可得a＋b＝，a－b＝.
又∵|a|＝|b|，
∴平行四边形OBCA为菱形，
∴|a＋b|＝＝＝2，
|a－b|＝＝2.1.9
三角函数的简单应用
自我小测
1．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝
s时，电流强度I为( )
A．5
A
B．2.5
A
C．2
A
D．－5
A
2．一根长l
cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，其中
g是重力加速度，当小球摆动的周期是1
s时，l＝( )
A．
B．
C．
D．
3．如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式，则当t=0时，角θ的大小及单摆频率分别是( )
A．，
B．2，
C．，π
D．2，π
4．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin(其中0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )
A．[0,5]
B．[5,10]
C．[10,15]
D．[15,20]
5．把函数y＝cos
2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是( )
6．据市场调查，某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋BA＞0，ω＞0，|φ|＜的模型波动(x为月份)．已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为__________．
7．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的递增区间是__________．
8．如图所示，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向．若已知振幅为3
cm，周期为3
s，且物体向右运动到A点(距平衡位置最远处)开始计时．
(1)求物体离开平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式；
(2)求该物体在t＝5
s时的位置．
9．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：
t/时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/米
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos
ωt＋b的图像．
(1)根据以上数据，求出函数y＝Acos
ωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放．请依据(1)的结论，判断一天内的8：00至16：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
参考答案
1．解析：当t＝
s时，
I＝5sin＝5cos＝2.5(A)．
答案：B
2．解析：因为周期T＝
，所以＝＝2π.所以l＝.
答案：D
3．解析：t＝0时，θ＝sin＝.由函数解析式易知单摆的周期为＝π，故单摆频率为.
答案：A
4．解析：对每个选项进行验证．
当t∈[0,5]时，∈[0,2.5]．
因为2.5＞，所以函数F(t)在[0,5]上先增后减，不符合题意；
当t∈[5,10]时，∈[2.5,5]，
所以函数F(t)在上是减少的，在上是增加的，不符合题意；
当t∈[10,15]时，∈[5,7.5]，所以函数F(t)在[5,7.5]上是增加的，符合题意；当t∈[15,20]时，∈[7.5,10]，所以函数F(t)在[7.5,10]上先增后减，不符合题意．
答案：C
5．解析：y＝cos
2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y1＝cos
x＋1，再向左平移1个单位长度得y2＝cos(x＋1)＋1，再向下平移1个单位长度得y3＝cos(x＋1)，故相应图像为选项A中所示的图像．
答案：A
6．解析：由题意可知
∴
又∵T＝2(7－3)＝8，∴ω＝.
∵当x＝3时，y＝9，∴2sin＋7＝9.
又∵|φ|＜，
∴φ＝－，∴f(x)＝2sin＋7.
答案：f(x)＝2sin＋7
7．解析：设点A的纵坐标y关于t的函数关系式
y＝sin＝sin.
令2kπ－≤＋≤2kπ＋(k∈Z)，
故12k－5≤t≤12k＋1.
又由0≤t≤12，故k取0,1，可知t∈[0,1]和[7,12]．
答案：[0,1]和[7,12]
8．解：(1)设位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式为x＝3sin(ωt＋φ)(ω＞0,0≤φ＜2π)，
则由T＝＝3，得ω＝.
当t＝0时，有3sin
φ＝3，即sin
φ＝1.
又0≤φ＜2π，故可得φ＝.
从而所求的函数关系式是x＝3sin，
即为x＝3cost.
(2)令t＝5，得x＝3cos＝－1.5，
故该物体在t＝5
s时的位置是在O点左侧，且距O点1.5
cm处．
9．解：(1)由表中数据，知周期T＝12，
∴ω＝＝＝.
由题意，得
解得A＝0.5，b＝1.
∴y＝cost＋1.
(2)由题知，当y＞1时才可对冲浪爱好者开放，
∴cost＋1＞1.
∴cost＞0.
∴2kπ－＜t＜2kπ＋(k∈Z)，
即12k－3＜t＜12k＋3(k∈Z)．
∵0≤t≤24，
∴可令k分别为0,1,2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.
∴一天内的8：00至16：00之间仅在9：00至15：00之间即有6个小时可供冲浪者进行运动．1.4
正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式第2课时
自我小测
1．sin
570°的值是( )
A．
B．－
C．
D．－
2．sin
95°＋cos
175°的值为( )
A．sin
5°
B．cos
5°
C．0
D．2sin
5°
3．设A，B，C是△ABC的三个内角，下列关系恒成立的是( )
A．cos(A＋B)＝cos
C
B．sin(A＋B)＝sin
C
C．sin＝sin
D．sin＝－cos
4．已知sin＝，则sin的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
5．下列三角函数：
①sin；②cos；③sin；
④cos；⑤sin(n∈Z)．
其中函数值与sin的值相同的是( )
A．①②
B．①③④
C．②③⑤
D．①③⑤
6．若函数y＝sin
x在区间上是增加的，则a的取值范围是__________．
7．化简求值：＝__________.
8．化简：＝__________.
9．已知函数f(x)＝则f＋f的值为________．
10．利用单位圆，求满足下列条件的角α的集合：
(1)sin
α＝； (2)sin
α≤－； (3)sin
α≥.
11．已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求的值．
12．已知f(n)＝sin，n∈Z.
(1)求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝f(9)＋f(10)＋…＋f(16)；
(2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2
014)的值．
参考答案
1．解析：sin
570°＝sin＝sin
210°＝sin(180°＋30°)＝－sin
30°＝－.
答案：B
2．解析：sin
95°＋cos
175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)＝cos
5°－cos
5°＝0.
答案：C
3．解析：∵A＋B＋C＝π，∴＝，
∴A＋B＝π－C，＝－，
∴cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos
C，
sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin
C，
sin＝sin＝cos，
故A，C，D错误，B正确．
答案：B
4．解析：∵＋＝π，∴sin＝sin＝sin＝.
答案：C
5．解析：当n为奇数时，sin＝sin＝sin；当n为偶数时，sin＝sin＝－sin，故①错；cos＝cos＝sin，故②正确；sin＝sin，故③正确；cos＝cos＝－cos＝－sin，故④错；sin＝sin＝sin，故⑤正确．
答案：C
6．解析：由单位圆知，要使y＝sin
x在上是增加的，需满足－＜a≤.
答案：
7．解析：
＝
＝＝
＝＝－1.
答案：－1
8．解析：原式＝＝＝－1.
答案：－1
9．解析：f＝－cos＝cos＝，f＝f＋1＝f＋1＝f＋1＋1＝f＋2＝－cos＋2＝cos＋2＝＋2＝，所以f＋f＝＋＝3.
答案：3
10．解：(1)如图(1)．
故使sin
α＝的α的集合为，或α＝＋2kπ，k∈Z.
(2)如图(2)．
在Rt△OMP中，|OP|＝1，|MP|＝，
∴∠MOP＝.故使sin
α≤－的α的集合为.
(3)如图(3)．
图(3)
使sin
α≥的α的集合为.
11．解：∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，
∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)，
∴－sin(π－α)＝2cos(－α)，
∴sin
α＝－2cos
α，且cos
α≠0.
∴原式＝＝＝＝－.
12．(1)证明：f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝sin＋sin＋sin＋…＋sin＋sin＝0，
f(9)＋f(10)＋…＋f(16)＝sin＋sin＋sin＋…＋sin＋sin＝sin＋sin＋…＋sin＋sin＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝f(9)＋f(10)＋…＋f(16)．
(2)解：由(1)可知，从第一项开始，每8项的和为0.
又∵2
014＝251×8＋6，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2
014)＝251×0＋f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝sin＋sin＋sin＋sin＋sin＋sin＝＋1＋＋0－－1＝.1.2
角的概念的推广
自我小测
1．下列命题是真命题的是( )
A．三角形的内角必是第一、二象限内的角
B．第一象限内的角必是锐角
C．不相等的角的终边一定不相同
D．{α|α＝k×360°±90°，k∈Z}＝{β|β＝k×180°＋90°，k∈Z}
2．若角α是第二象限角，则角2α的终边不可能在( )
A．第一、二象限
B．第二、三象限
C．第三、四象限
D．第一、四象限
3．已知角α是第四象限角，则角是( )
A．第一或第三象限角
B．第二或第三象限角
C．第一或第四象限角
D．第二或第四象限角
4．如图，终边落在阴影部分的角的集合是( )
A．{α|－45°≤α≤120°}
B．{α|120°≤α≤315°}
C．{α|－45°＋k×360°≤α≤120°＋k×360°，k∈Z}
D．{α|120°＋k×360°≤α≤315°＋k×360°，k∈Z}
5．已知集合A＝{x|x＝k×180°＋(－1)k×90°，k∈Z}，B＝{x|x＝k×360°＋90°，k∈Z}，则A，B的关系为( )
A．BA
B．AB
C．A＝B
D．A B
6．若角α的终边为第二象限的角平分线，则角α的集合为__________．
7．已知点P(0，－1)在角α的终边上，则所有角α组成的集合S＝___________________.
8．与2
014°角终边相同的最小正角是__________，与2
014°角终边相同的绝对值最小的角是__________．
9．已知角α＝－1
910°.
(1)把角α写成β＋k×360°(0°≤β＜360°，k∈Z)的形式，并判定它是第几象限角；
(2)求角θ，使角θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.
10．设集合A＝{α|k×360°＋60°＜α＜k×360°＋300°，k∈Z}，B＝{β|k×360°－210°＜β＜k×360°，k∈Z}，求A∩B，A∪B.
参考答案
1．解析：若三角形的内角为90°，它就不是第一、二象限内的角，故A错误；390°是第一象限内的角，但它不是锐角，故B错误；390°≠30°，但390°角与30°角的终边相同，故C错误；终边在y轴上的角的集合既可表示成{α|α＝k×360°±90°，k∈Z}，也可表示成{β|β＝k×180°＋90°，k∈Z}，故D正确．
答案：D
2．解析：∵角α是第二象限角，
∴k×360°＋90°＜α＜k×360°＋180°，k∈Z.
∴2k×360°＋180°＜2α＜2k×360°＋360°，k∈Z.
∴2α可能是第三或第四象限角或是终边在y轴的非正半轴上的角，
即其终边不可能在第一、二象限．
答案：A
3．解析：∵角α是第四象限角，
∴k×360°－90°＜α＜k×360°，k∈Z，
∴k×180°－45°＜＜k×180°，k∈Z.
∴角是第二或第四象限角．
答案：D
4．解析：注意角的范围不能局限于0°～360°，故在－360°～360°范围内，阴影部分表示－45°到120°范围内的角(包括－45°和120°)．又终边相同的角一般相差360°的整数倍，于是所求角的集合为选项C中的集合．故选C.
答案：C
5．解析：集合A中，当k为奇数时，x＝k×180°－90°，终边落在y轴的非负半轴上；当k为偶数时，x＝k×180°＋90°，终边落在y轴的非负半轴上；集合B表示的角的终边落在y轴的非负半轴上．故A＝B.
答案：C
6．解析：∵角α的终边为第二象限的角平分线，
∴角α的集合为{α|α＝135°＋k×360°，k∈Z}．
答案：{α|α＝135°＋k×360°，k∈Z}
7．解析：易知点P在y轴的负半轴上．又270°角的终边在y轴的负半轴上，则S＝{α|α＝270°＋k×360°，k∈Z}．
答案：{α|α＝270°＋k×360°，k∈Z}
8．解析：与2
014°角终边相同的角为2
014°＋k×360°(k∈Z)．
当k＝－5时，214°为最小正角；
当k＝－6时，－146°为绝对值最小的角．
答案：214° －146°
9．解：(1)设α＝－1
910°＝β＋k×360°(k∈Z)，
则β＝－1
910°－k×360°(k∈Z)．
令－1
910°－k×360°≥0°，解得k≤－＝－5.
故k的最大整数解为－6，相应的β＝250°.
于是α＝250°－6×360°，它是第三象限角．
(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，
取k＝－1，－2时，得到符合－720°≤θ＜0°的角θ为250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
故θ＝－110°或－470°.
10．解：在直角坐标系内表示集合A，B，如图所示．
∴A∩B＝{α|150°＋k×360°＜α＜k×360°＋300°，k∈Z}，A∪B＝{β|60°＋k×360°＜β＜k×360°＋360°，k∈Z}．3.2
两角和与差的三角函数
自我小测
1．sin
12°cos
48°＋cos
12°sin
48°的值是( )
A．
B．
C．
D．－
2．若cos
α＝－，sin
β＝－，α∈eq
\b\lc\(\rc\)()，β∈eq
\b\lc\(\rc\)()，则sin(α＋β)的值是( )
A．
B．－
C．－1
D．0
3．已知a＝(2sin
35°，2cos
35°)，b＝(cos
5°，－sin
5°)，则a·b＝( )
A．
B．1
C．2
D．2sin
40°
4．在△ABC中，A＝，cos
B＝，则sin
C＝( )
A．－
B．
C．－
D．
5．在△ABC中，cos
A＝，且cos
B＝，则cos
C等于( )
A．－
B．
C．－
D．
6．化简＝__________.
7．函数y＝cos
x＋coseq
\b\lc\(\rc\)()的最大值是__________．
8．若cos
α＝，α∈，则cos＝______.
9．化简下列各式：
(1)sineq
\b\lc\(\rc\)()＋2sineq
\b\lc\(\rc\)()－coseq
\b\lc\(\rc\)()；
(2)－2cos(α＋β)．
10．如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上的两点，O是坐标原点，且∠AOP＝，∠AOQ＝α，α∈[0，π)．
(1)若点Q的坐标是，求cos的值；
(2)设函数f(α)＝，求f(α)的值域．
参考答案
1．解析：原式＝sin(12°＋48°)＝sin
60°＝.
答案：C
2．解析：∵α∈eq
\b\lc\(\rc\)()，β∈eq
\b\lc\(\rc\)()，cos
α＝－，sin
β＝－，
∴sin
α＝＝＝，cos
β＝＝＝，
∴sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β
＝×＋eq
\b\lc\(\rc\)()×eq
\b\lc\(\rc\)()＝.
答案：A
3．解析：a·b＝2sin
35°cos
5°－2cos
35°sin
5°
＝2sin(35°－5°)＝2sin
30°＝1.
答案：B
4．解析：∵cos
B＝＞0，B∈(0，π)，∴B∈eq
\b\lc\(\rc\)()，
∴sin
B＝＝＝，
∴sin
C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin
A·cos
B＋cos
Asin
B＝×eq
\b\lc\(\rc\)()＝.
答案：D
5．解析：∵cos
A＝＞0，cos
B＝＞0，且A，B∈(0，π)，
∴A，B∈eq
\b\lc\(\rc\)()，
∴sin
A＝＝＝，sin
B＝＝＝.
∴cos
C＝cos(180°－A－B)＝－cos(A＋B)
＝sin
Asin
B－cos
Acos
B＝×－×＝.
答案：B
6．解析：∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)
＝sin
αcos
30°＋cos
αsin
30°＋cos
αcos
60°－sin
α·sin
60°＝sin
α＋cos
α＋cos
α－sin
α＝cos
α，
∴原式＝＝.
答案：
7．解析：y＝cos
x＋coseq
\b\lc\(\rc\)()＝cos
x＋cos
x－sin
x＝eq
\b\lc\(\rc\)()＝sineq
\b\lc\(\rc\)()，故函数的最大值是.
答案：
8．解析：由cos
α＝，α∈，得sin
α＝.
所以cos＝cos
αcos
－sin
αsin
＝×－×＝.
答案：
9．解：(1)原式＝sin
xcos＋cos
xsin＋2sin
xcos－2cos
xsin－coscos
x－sinsin
x
＝eq
\b\lc\(\rc\)()sin
x＋eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)－2sin－cos))cos
x
＝eq
\b\lc\(\rc\)()sin
x＋eq
\b\lc\(\rc\)()cos
x
＝0.
(2)原式＝
＝
＝
＝解：(1)由已知，可得cos
α＝，sin
α＝.
所以cos＝cos
αcos
＋sin
αsin＝×＋×＝.
(2)f(α)＝＝·(cos
α，sin
α)＝cos
α＋sin
α＝sin.
因为α∈[0，π)，所以α＋∈，
所以－＜sin≤1，
故f(α)的值域是.2.3
从速度的倍数到数乘向量
自我小测
1．若3x－2(x－a)＝0，则向量x等于( )
A．2a
B．－2a
C．a
D．－a
2．已知向量a，b不共线，若向量a＋λb与b＋λa的方向相反，则λ等于( )
A．1
B．0
C．－1
D．±1
3．如图，在△ABC中，设E为BC边的中点，则＝( )
A．
B．
C．
D．
4．已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，其对角线交点为O，则等于( )
A．a＋b
B．a＋b
C．(a＋b)
D．a＋b
5．已知△ABC和点M满足.若存在实数m使得成立，则m＝( )
A．2
B．3
C．4
D．5
6．化简：(4a＋b)－3(b－a)＝__________.
7．若＝5e，＝－7e，且，则四边形ABCD是__________形．
8．设e1，e2是两个不共线的向量，＝(e1＋5e2)，＝－2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，则共线的三点是__________．
9．如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且，求证：M，N，C三点共线．
10．已知a，b是不共线向量，且＝3a＋2b，＝a＋λb，＝－2a＋b，若A，B，D三点共线，试求实数λ的值．
参考答案
1．解析：由题意知3x－2x＋2a＝0，故x＝－2a.
答案：B
2．解析：∵向量a＋λb与b＋λa的方向相反，
∴(a＋λb)∥(b＋λa)，即存在一个负实数m，使得a＋λb＝m(b＋λa)，
即(1－mλ)a＝(m－λ)b.
∵a与b不共线，
∴1－mλ＝m－λ＝0，可得m＝λ＜0，
∴1－λ2＝0，∴λ＝－1.
答案：C
3．解析：
＝
＝
＝.
答案：D
4．解析：∵＋＝＝，＝a，＝b，
∴＝(a＋b)．
答案：C
5．解析：∵，∴点M是△ABC的重心．
∴.∴m＝3.
答案：B
6．解析：(4a＋b)－3(b－a)＝2a＋b－3b＋3a＝5a－b.
答案：5a－b
7．解析：∵＝5e，＝－7e，∴AB∥CD，且AB≠CD.
又∵，∴四边形ABCD是等腰梯形．
答案：等腰梯
8．解析：∵＝＋＝(－2e1＋8e2)＋3(e1－e2)＝e1＋5e2，＝(e1＋5e2)＝，
∴∥，
∴A，B，D三点共线．
答案：A，B，D
9．证明：设=a，=b，则由向量减法的三角形法则可知
.
又∵点N在BD上，且BN=BD，
∴，
∴，
∴.
又∵与的公共点为C，
∴C，M，N三点共线．
10．解：∵＝－＝(－2a＋b)－(a＋λb)＝－3a＋(1－λ)b，且A，B，D三点共线，
∴与共线，因此存在实数μ使得，
即3a＋2b＝μ[－3a＋(1－λ)b]＝－3μa＋μ(1－λ)b.
∵a，b是不共线向量，
∴∴.
故当A，B，D三点共线时，λ＝3.2.3
从速度的倍数到数乘向量
自我小测
1．已知a＝xe1＋2e2与b＝3e1＋ye2共线，且e1，e2不共线，则xy的值为( )
A．6
B．
C．－6
D．－
2．设a，b为基底向量，已知向量＝a－kb，＝2a＋b，＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于( )
A．2
B．－2
C．10
D．－10
3．若点O是ABCD的两条对角线的交点，且＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1＝( )
A．
B．
C．
D．
4．已知平面内有一点P及一个△ABC，若，则( )
A．点P在△ABC外部
B．点P在线段AB上
C．点P在线段BC上
D．点P在线段AC上
5．已知AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b
B．a＋b
C．a－b
D．－a＋b
6．如图所示，已知，用，表示＝__________.
7．在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，则m＋n的值为__________．
8．若e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，且a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则k的值为__________．
9．设e1，e2是两个不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式．
参考答案
1．解析：由a，b共线，得a＝λb(λ为实数)，即xe1＋2e2＝3λe1＋λye2.
∵e1，e2不共线，
∴x＝3λ，2＝λy，且λ≠0，
∴xy＝3λ·＝6.
答案：A
2．解析：＝＋＋＝(a－kb)＋(－2a－b)＋(3a－b)＝2a－(k＋2)b.
∵A，B，D三点共线，∴存在实数λ使得，
即a－kb＝λ[2a－(k＋2)b]＝2λa－λ(k＋2)b.
∵a，b为基底向量，
∴
解得λ＝，k＝2.
答案：A
3．解析：3e2－2e1＝＝＝＝.
答案：C
4．解析：∵，
∴＝0，
即＝0，
∴＝0，
∴，
∴点P在线段AC上．
答案：D
5．解析：设AD与BE的交点为F，
则＝a，＝b.
则＝0，得＝(a－b)，
所以＝a＋b.
答案：B
6．解析：
＝.
答案：
7．解析：＝()＝＋.
∵M，O，N三点共线，
∴＋＝1，
∴m＋n＝2.
答案：2
8．解析：当a∥b时，a，b不能作为一组基底，故存在实数λ，使得a＝λb，
即3e1－4e2＝λ(6e1＋ke2)，
∴6λ＝3，且kλ＝－4，
解得λ＝，k＝－8.
答案：－8
9．(1)证明：假设a，b共线，则a＝λb(λ∈R)，则
e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，
得
即
所以λ不存在，故a，b不共线，
即a，b可以作为一组基底．
(2)解：设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
所以解得故c＝2a＋b.2.4
平面向量的坐标
自我小测
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为( )
A．－2,1
B．1，－2
C．2，－1
D．－1,2
2．若＝(2,4)，＝(1,3)，则等于( )
A．(1,1)
B．(－1，－1)
C．(3,7)
D．(－3，－7)
3．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ1(3,4)，λ1∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，λ2∈R}，则M∩N等于( )
A．{(1,1)}
B．{(1,1)，(－2，－2)}
C．{(－2，－2)}
D．
4．已知向量a＝(3，－2)，b＝(－2,1)，c＝(7，－4)，试用a和b来表示c.下面表示正确的是( )
A．c＝5a－3b
B．c＝a－2b
C．c＝2a－b
D．c＝2a＋b
5．设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量m，n之间的一个运算“”为mn＝(ac－bd，ad＋bc)，若已知p＝(1,2)，pq＝(－4，－3)，则q等于( )
A．(－2,1)
B．(2,1)
C．(2，－1)
D．(－2，－1)
6．已知a1＝(1,0)，a2＝(1，－1)，a3＝(2,2)，若a1＋xa2＋ya3＝0，则x＋y的值为__________．
7．已知e1＝(1,2)，e2＝(－2,3)，a＝(－1,2)，试以e1，e2为基底将a分解为a1e1＋a2e2的形式为__________．
8．已知点A(－1,5)，a＝(－1,2)，若＝3a，则B点的坐标是__________．
9．已知点A(－1,2)，B(2,8)，，，求点C，D的坐标和的坐标．
10．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)，O为坐标原点．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足(λ∈R)，求y与λ的值．
参考答案
1．解析：∵c＝λ1a＋λ2b，
∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)．
∴解得λ1＝－1，λ2＝2.
答案：D
2．解析：∵－＝，
∴＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．
答案：B
3．解析：令(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，
即(1＋3λ1,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)．
∴解得
故M与N只有一个公共元素(－2，－2)．
答案：C
4．解析：设c＝λa＋μb，则(7，－4)＝λ(3，－2)＋μ(－2,1)，
即得
所以c＝a－2b.
答案：B
5．解析：设q＝(x，y)，由题设中运算法则得，
pq＝(x－2y，y＋2x)＝(－4，－3)，
∴解之，得
故q＝(－2,1)．
答案：A
6．解析：由条件知得
所以x＋y＝－.
答案：－
7．解析：设a＝a1e1＋a2e2(a1，a2∈R)，
则(－1,2)＝a1(1,2)＋a2(－2,3)＝(a1－2a2,2a1＋3a2)，
所以解得
所以a＝e1＋e2.
答案：a＝e1＋e2
8．解析：设B(x，y)，则由＝3a得，(x＋1，y－5)＝(－3,6)，解得x＝－4，y＝11，故B点的坐标是(－4,11)．
答案：(－4,11)
9．解：设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
由题意得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，
＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)．
因为，，
所以有且，
解得.
所以点C，D的坐标分别是(0,4)，(－2,0)，
从而＝(－2，－4)．
10．解：(1)＝(－1，－2)＋(4,3)＝(3,1)，
即B(3,1)．
＝(－1，－2)＋(－3，－1)＝(－4，－3)，即D(－4，－3)．设M(x，y)，
由中点坐标公式得
∴Meq
\b\lc\(\rc\)().
(2)＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
∵，
∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)，
∴解得.2.6
平面向量数量积的坐标表示
自我小测
1．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，则k的值为( )
A．18
B．19
C．20
D．21
2．若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则(a·b)(a＋b)＝( )
A．20
B．54
C．(－10,30)
D．(－8,24)
3．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝( )
A．4
B．2
C．8
D．8
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A．eq
\b\lc\(\rc\)()
B．eq
\b\lc\(\rc\)()
C．eq
\b\lc\(\rc\)()
D．eq
\b\lc\(\rc\)()
5．如果向量a与b的夹角为θ，那么我们称a×b为向量a与b的“向量积”，a×b是一个向量，它的长度为|a×b|＝|a|·|b|sin
θ.如果|a|＝5，|b|＝1，a·b＝－3，则|a×b|＝( )
A．3
B．－4
C．4
D．5
6．已知向量a是直线x＋2y－3＝0的方向向量，且|a|＝2，则a＝__________.
7．若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝__________.
8．设a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，则t的值为__________．
9．在四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD是什么图形？
10．已知在△ABC中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC边上的高为AD.
(1)求证：AB⊥AC；
(2)求点D的坐标和向量.
参考答案
1．解析：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
因为ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0，
即10(k－3)＋(－4)(2k＋2)＝0，解得k＝19.
答案：B
2．解析：∵a·b＝－3＋8＝5，a＋b＝(－2,6)，
∴(a·b)(a＋b)＝(－10,30)．
答案：C
3．解析：∵c＝a－(a·b)b＝a－6b＝(8，－8)，
∴|c|＝＝8.
答案：D
4．解析：不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)．∵(c＋a)∥b，∴－3(1＋m)＝2(2＋n)．①
又∵c⊥(a＋b)，∴3m－n＝0.②
由①②解得m＝－，n＝－.
答案：D
5．解析：由于|a|＝5，|b|＝1，a·b＝|a||b|cos
θ＝－3，所以cos
θ＝－.又因为θ为向量a与b的夹角，所以sin
θ＝，所以|a×b|＝|a||b|sin
θ＝5×1×＝4.
答案：C
6．解析：设a＝λeq
\b\lc\(\rc\)()(λ≠0)．由|a|＝2，得λ2＋λ2＝20，解得λ＝±4，所以a＝(4，－2)或(－4,2)．
答案：(4，－2)或(－4,2)
7．解析：设a＝(x，y)，则a＋b＝(x＋2，y－1)．
由题意得
∴a＝(－1,1)或(－3,1)．
答案：(－1,1)或(－3,1)
8．解析：∵a＝(4，－3)，b＝(2,1)，∴a＋tb＝(4＋2t，－3＋t)．
∵a＋tb与b的夹角为45°，
∴(a＋tb)·b＝|a＋tb||b|cos
45°，∴2(4＋2t)＋(－3＋t)×1＝××，
∴5t＋5＝·.∴＝(t＋1)．①
将①式两边平方得t2＋2t－3＝0，解得t＝1或t＝－3.
而t＝－3时，①式无意义，∴t＝－3舍去，故t＝1.
答案：1
9．解：因为a＋b＋c＋d＝0，所以a＋b＝－(c＋d)．
所以(a＋b)2＝(c＋d)2.
即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2＋2c·d＋|d|2.
由于a·b＝c·d，所以|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2.①
同理，有|a|2＋|d|2＝|c|2＋|b|2.②
由①②可得|a|＝|c|，且|b|＝|d|，
即四边形ABCD的两组对边分别相等．
所以四边形ABCD是平行四边形．
又由a·b＝b·c得b·(a－c)＝0.
而由平行四边形ABCD的性质得a＝－c，
代入上式得b·(2a)＝0，
即a·b＝0.所以a⊥b.亦即AB⊥BC.
综上所述，四边形ABCD是矩形．
10．(1)证明：＝(－3，－6)，＝(2，－1)．∵＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，∴.∴AB⊥AC.
(2)解：设点D的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y－4)，＝(5,5)．∵AD为BC边上的高，∴AD⊥BC.∴.∴＝5(x－2)＋5(y－4)＝0.①
又∵＝(x＋1，y＋2)，且与共线，
∴5(x＋1)＝5(y＋2)．②
由①②，解得.∴点D的坐标为eq
\b\lc\(\rc\)().
∴＝eq
\b\lc\(\rc\)()＝eq
\b\lc\(\rc\)().2.2
从位移的合成到向量的加法第1课时
自我小测
1．等于( )
A．
B．0
C．
D．
2．已知a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a，b是方向相反的向量
C．a＝－b
D．a，b无论什么关系均可
3．在矩形ABCD中，＝4，＝2，则向量的长度等于( )
A．2
B．4
C．12
D．6
4．若向量a表示“向东航行1
km”，向量b表示“向北航行
km”，则向量a＋b表示( )
A．向东北方向航行2
km
B．向北偏东30°方向航行2
km
C．向北偏东60°方向航行2
km
D．向东北方向航行(1＋)
km
5．已知四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是( )
A．
B．
C．
D．
6．化简：＝__________.
7．在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，＝1，则＝__________.
8．如图，在正六边形ABCDEF中，＝______.
9．化简下列各式：
(1)；
(2).
10．一艘船在水中航行，水流速度与船在静水中航行的速度均为5
km/h.如果此船实际向南偏西30°方向行驶2
km，然后又向西行驶2
km，你知道此船在整个过程中的位移吗？
参考答案
1．解析：＝0＋0＝0.
答案：B
2．A
3．解析：因为，
所以的长度为的模的2倍．
又＝＝2，
所以向量的长度为4.
答案：B
4．解析：如图所示，由向量加法的平行四边形法则，可知a+b的方向是沿平行四边形的对角线的方向，且tan
α=，所以α=30°.
故a+b的方向是北偏东30°.
又|a+b|=2，故选B.
答案：B
5．解析：，故A项错；，故B项错；，故C项正确；，故D项错．
答案：C
6．解析：.
答案：
7．解析：如图，由题意知△ABD为等边三角形，∴.
答案：1
8．解析：.
答案：
9．解：(1)＝＝0＋＝.
(2)
＝
＝.
10．解：如图，用表示船的第一次位移，用表示船的第二次位移，根据向量加法的三角形法则知，
所以可表示两次位移的和位移．
由题意知，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
则BC=AC=1，AB=.
在等腰△ACD中，AC=CD=2，
所以∠D=∠DAC=∠ACB=30°，
所以∠BAD=60°，AD=2AB=，
所以两次位移的和位移的方向是南偏西60°，位移的大小为
km.3.1
同角三角函数的基本关系
自我小测
1．若sin
α＝m，cos
α＝m，则( )
A．m∈[－1,1]
B．m∈
C．m＝
D．m＝±
2．已知cos
θ＝，且＜θ＜2π，那么tan
θ的值是( )
A．
B．－
C．
D．－
3．已知tan
α＝－，则的值是( )
A．
B．3
C．－
D．－3
4．已知sin
α－cos
α＝－，则tan
α＋的值为( )
A．－4
B．4
C．－8
D．8
5．＝( )
A．－sin
10°
B．－cos
10°
C．sin
10°
D．cos
10°
6．若sin
x＋sin2x＝1，则cos2x＋cos4x＝______.
7．已知向量a＝(3,4)，b＝(sin
α，cos
α)，且a∥b，则tan
α＝__________.
8．已知cos(π＋α)＝－，求cos的值．
9．已知A是△ABC的一个内角，且tan
A＝－，求sin
A，cos
A的值．
10．已知sin
θ＋cos
θ＝－，
(1)求＋的值；
(2)求tan
θ的值．
参考答案
1．解析：由sin2α＋cos2α＝1，得m2＋(m)2＝1，
解得m＝±.
答案：D
2．解析：由＜θ＜2π知sin
θ＜0，且sin
θ＝－＝－，故tan
θ＝＝＝－.
答案：B
3．解析：原式＝
＝＝－.
答案：C
4．解析：tan
α＋＝＋＝.
∵sin
αcos
α＝＝－，
∴tan
α＋＝－8.
答案：C
5．解析：原式＝＝cos
10°.
答案：D
6．解析：∵sin
x＋sin2x＝1，
∴sin
x＝1－sin2x＝cos2x，
∴cos2x＋cos4x＝sin
x＋sin2x＝1.
答案：1
7．解析：∵a＝(3,4)，b＝(sin
α，cos
α)，且a∥b，
∴3cos
α－4sin
α＝0.∴tan
α＝.
答案：
8．分析：→→
解：∵cos(π＋α)＝－cos
α＝－，∴cos
α＝，
∴α为第一或第四象限角．
若α为第一象限角，
则cos＝－sin
α＝－
＝－＝－.
若α为第四象限角，
则cos＝－sin
α＝
＝＝.
9．解：由tan
A＝－，得A∈eq
\b\lc\(\rc\)()，
则＝－，即sin
A＝－cos
A.
又∵sin2A＋cos2A＝1，∴cos
A＝－，
∴sin
A＝＝.
10．解：(1)因为sin
θ＋cos
θ＝－，
所以1＋2sin
θcos
θ＝，
即sin
θcos
θ＝－，
所以＋＝＝.
(2)由(1)得＝－，
所以＝－，即3tan2θ＋10tan
θ＋3＝0，
所以tan
θ＝－3或tan
θ＝－.1.4
正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式第1课时
自我小测
1．下列函数是周期函数的有( )
①y＝sin
x；②y＝cos
x；③y＝x2.
A．①③
B．②③
C．①②
D．①②③
2．设角α是第二象限角，且＝－cos，则角是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
3．点A(x，y)是－300°角终边与单位圆的交点，则的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
4．已知角α的终边经过点P(－b,4)，且cos
α＝－，则b的值为( )
A．3
B．－3
C．±3
D．5
5．已知角α的终边在射线y＝－3x(x≥0)上，则sin
αcos
α等于( )
A．－
B．－
C．
D．
6．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin
α＞0，cos
α≤0，则a的取值范围是__________．
7．设角θ分别是第二、三、四象限角，则点P(sin
θ，cos
θ)分别在第____、____、____象限．
8．已知锐角α的终边交单位圆于点P，则sin
α＝__________，cos
α＝__________.
9．已知函数f(x)的定义域是R，对任意实数x，满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,4)时，f(x)＝x2＋2x.
(1)求证：函数f(x)是周期函数；
(2)求f(－7)．
10．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin
θ＝－，求y的值．
参考答案
1．C
2．解析：∵角α是第二象限角，
∴2kπ＋＜α＜2kπ＋π，k∈Z，
∴kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z.
当k＝2n(n∈Z)时，角是第一象限角；当k＝2n＋1(n∈Z)时，角是第三象限角．
∵＝－cos，∴角是第三象限角．
答案：C
3．解析：根据三角函数的定义得，x＝cos(－300°)＝cos(－360°＋60°)＝cos
60°＝，
y＝sin(－300°)＝sin(－360°＋60°)＝sin
60°＝，
故＝.
答案：A
4．解析：因为角α的终边经过点P(－b,4)，且cos
α＝－，
所以r＝，cos
α＝＝＝－，
解得b＝±3.
由题意得b＞0，所以b＝3.
答案：A
5．解析：根据三角函数的定义，在终边上取点求值．在角α的终边上取一点P(1，－3)，此时x＝1，y＝－3，
∴r＝＝.
∴sin
α＝＝－，cos
α＝＝.
∴sin
αcos
α＝－×＝－.
答案：A
6．解析：∵sin
α＞0，cos
α≤0，∴∴－2＜a≤3.
答案：－2＜a≤3
7．解析：当角θ是第二象限角时，sin
θ＞0，cos
θ＜0；当角θ是第三象限角时，sin
θ＜0，cos
θ＜0；当角θ是第四象限角时，sin
θ＜0，cos
θ＞0.
答案：四 三 二
8．解析：由题意得cos
α＝.
又∵角α为锐角，∴α＝60°，∴sin
α＝.
答案：
9．(1)证明：对任意实数x，有f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)．
∴函数f(x)是周期函数．
(2)解：由(1)知，函数f(x)的周期为4，
∴f(－7)＝f(－7＋2×4)＝f(1)．
∵当x∈[0,4)时，f(x)＝x2＋2x，
∴f(－7)＝f(1)＝3.
10．解：根据题意sin
θ＝－＜0及P(4，y)是角θ终边上一点，可知角θ为第四象限角，所以y＜0.再由三角函数的定义，得＝－，解得y＝－8.故y的值为－8.1.7
正切函数
（1）
自我小测
1．已知角
α的终边上有一点P(a，a)(a∈R，且a≠0)，则tan
α的值是( )
A．±1
B．1
C．－1
D．
2．函数f(x)＝tan的增区间为( )
A．(k∈Z)
B．(kπ，(k＋1)π)(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
3．若tan
θsin
θ＜0，则角θ的终边在( )
A．第一或第二象限
B．第一或第三象限
C．第二或第三象限
D．第二或第四象限
4．直线y＝a与y＝tan
x的图像的相邻两个交点的距离是( )
A．
B．π
C．2π
D．与a的值的大小有关
5．下列图形分别是①y＝|tan
x|；②y＝tan
x；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈内的大致图像，那么由a到d对应的函数关系式应是( )
A．①②③④
B．①③④②
C．③②④①
D．①②④③
6．若tan
x＋1＜0，则x的取值范围是__________．
7．若y＝tan(2x＋θ)图像的一个对称中心为，且－＜θ＜，则θ的值是__________．
8．函数f(x)＝tan
ωx(ω＞0)的图像的相邻两支截直线y＝1所得线段长为，则f的值是__________．
9．利用函数图像解不等式－1≤tan
x≤.
10．求函数y＝tan
2x的定义域、值域、单调区间、周期，并作出它在区间[－π，π]内的图像．
参考答案
1．解析：由正切函数的定义知，tan
α＝＝1.
答案：B
2．解析：由kπ－＜x＋＜kπ＋，k∈Z，得kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z.
答案：C
3．解析：由tan
θsin
θ＜0得，tan
θ＞0，sin
θ＜0或tan
θ＜0，sin
θ＞0，故角θ的终边在第二或第三象限．
答案：C
4．解析：由题意知，相邻两个交点间的距离即为一个周期的长度，故为π.
答案：B
5．解析：y＝tan(－x)＝－tan
x在上是减少的，只有图像d符合，即d对应③.
答案：D
6．解析：tan
x＋1＜0，即tan
x＜－1.
所以－＋kπ＜x＜－＋kπ，k∈Z.
答案：
7．解析：令2x＋θ＝，k∈Z，得θ＝－π(k∈Z)．
又∵θ∈，∴θ＝－或.
答案：－或
8．解析：由题意知＝，∴ω＝4，∴f＝tan＝.
答案：
9．解：作出函数y＝tan
x，x∈的图像，如图所示．
观察图像可得：在内，自变量x应满足－≤x≤.
由正切函数的周期性可知，不等式的解集为
.
10．解：(1)要使函数y＝tan
2x有意义，
只需2x≠＋kπ，k∈Z，即x≠＋，k∈Z，
∴函数y＝tan
2x的定义域为
.
(2)设t＝2x，由x≠＋，k∈Z，知t≠＋kπ，k∈Z.∴y＝tan
t的值域为(－∞，＋∞)，
即y＝tan
2x的值域为(－∞，＋∞)．
(3)由－＋kπ＜2x＜＋kπ，k∈Z，得－＋＜x＜＋，k∈Z，
∴y＝tan
2x的增区间为(k∈Z)．
(4)∵tan＝tan(2x＋π)＝tan
2x，
∴y＝tan
2x的周期为.
(5)函数y＝tan
2x在区间[－π，π]内的图像如图所示．1.6
余弦函数的图像和性质
自我小测
1．下列函数中，在上增加的是( )
A．y＝sin
x
B．y＝cos
x
C．y＝sin
2x
D．y＝cos
2x
2．函数y＝cos
x－2，x∈[－π，π]的图像是( )
3．函数y＝cos，x∈的值域是( )
A．
B．
C．
D．
4．函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是( )
A．0
B．
C．
D．π
5．在函数y＝sin|x|，y＝|sin
x|，y＝sin，y＝cos中，是周期函数的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
6．比较大小：cosπ__________cosπ.
7．函数y＝－3cos
x－1的减区间是__________．
8．不等式cos
x＋≤0的解集是________________．
9．画出函数y＝cos
x(x∈R)的简图，并根据图像写出y≥时x的集合．
10．已知函数f(x)＝acos
x＋b的最大值是1，最小值是－3，试确定g(x)＝bsin的解析式．
参考答案
1．解析：∵≤x≤π，∴π≤2x≤2π，∴y＝sin
2x在[π，2π]内不具备单调性；
而y＝sin
x与y＝cos
x在上都是减少的，只有D符合．
答案：D
2．解析：用五点法作出函数y＝cos
x－2，x∈[－π，π]的图像或把函数y＝cos
x，x∈[－π，π]的图像向下平移2个单位长度均可．
答案：A
3．解析：∵0≤x≤，∴≤x＋≤，
∴－≤cos≤.
答案：B
4．解析：当φ＝时，y＝sin＝cos
2x，而y＝cos
2x是偶函数．
答案：C
5．解析：由y＝sin|x|的图像知，它是非周期函数．
答案：C
6．解析：∵cosπ＝cos＝cos，
cos＝cos＝cosπ，
而0＜＜＜，
∴cos＞cos，
即cosπ＞cosπ.
答案：＞
7．解析：∵函数y＝cos
x的增区间是[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)，
∴函数y＝－3cos
x－1的减区间是[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)．
答案：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)
8．解析：由cos
x＋≤0，得cos
x≤－.
根据余弦函数的图像可知，原不等式的解集为.
答案：，k∈Z
9．解：用五点法作出y＝cos
x的简图，如图所示．
过点作x轴的平行线，从图像中看出：
在区间[－π，π]上，y＝与余弦曲线交于点，，故在区间[－π，π]内，y≥时，x的集合为.
当x∈R时，若y≥，则x的集合为.
10．解：当a＞0时，有∴
此时g(x)＝－sin；
当a＜0时，有∴
此时g(x)＝－sin＝sin.
综上，当a＞0时，g(x)＝－sin；
当a＜0时，g(x)＝sin.1.5
正弦函数（1）
自我小测
1．关于正弦函数y＝sin
x的图像，下列说法错误的是( )
A．关于原点对称
B．有最大值1
C．与y轴有一个交点
D．关于y轴对称
2．在同一坐标系中，函数y＝sin
x，x∈[0,2π)与y＝sin
x，x∈[2π，4π)的图像( )
A．重合
B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称
D．形状不同，位置不同
3．在[0,2π]上，满足sin
x≥的x的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
4．函数y＝sin
x的图像与函数y＝－sin
x的图像关于( )
A．x轴对称
B．y轴对称
C．原点对称
D．直线y＝x对称
5．已知函数f(x)＝x3＋sin
x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为( )
A．3
B．0
C．－1
D．－2
6．函数y＝－sin
x，x∈的简图是( )
7．用五点法作函数y＝2sin
2x的图像时，首先描出的五个点的横坐标是_____________．
8．用五点法作出函数y＝sin在一个周期上的图像．
9．求函数y＝2＋sin
x的最大值、最小值和周期，并求这个函数取最大值、最小值时x的集合．
参考答案
1．解析：正弦函数y＝sin
x的图像如图所示．
根据y＝sin
x，x∈R的图像可知A，B，C均正确，D错误．
答案：D
2．解析：因y＝sin
x，x∈R是周期函数，且最小正周期为2π，所以选B.
答案：B
3．解析：如图所示，在同一坐标系内作出y＝sin
x在[0,2π]上的图像和y＝的图像即可得到结论．
答案：C
4．解析：在同一直角坐标系中画出函数y＝sin
x与函数y＝－sin
x在[0,2π]上的图像，可知两函数的图像关于x轴对称．
答案：A
5．解析：设φ(x)＝x3＋sin
x，则φ(x)为奇函数，
∴f(x)＝φ(x)＋1.
∵f(a)＝φ(a)＋1＝2，
∴φ(a)＝1.
∴f(－a)＝φ(－a)＋1＝－φ(a)＋1＝－1＋1＝0.
答案：B
6．解析：用特殊点来验证．x＝0时，y＝－sin
0＝0，排除选项A，C；又x＝－时，y＝－sin＝1，排除选项B.故选D.
答案：D
7．解析：分别令2x＝0，，π，，2π，求出x的值分别为0，，，π，π.
答案：0，，，π，π
8．解：列表：
x＋
0
π
2π
x
－
y＝sin
0
1
0
－1
0
图像如图所示．
9．解：ymax＝2＋(sin
x)max＝2＋1＝3，
ymin＝2＋(sin
x)min＝2＋(－1)＝1.
周期T＝2π，使y＝2＋sin
x取得最大值的x的集合是，
使y＝2＋sin
x取得最小值的x的集合是.1.5
正弦函数
自我小测
1．函数y＝(sin
x－3)2－2(x∈R)的最大值和最小值分别是( )
A．4和－2
B．14和－2
C．14和2
D．4和0
2．函数y＝sin
x的值域是( )
A．[－1,1]
B．
C．
D．
3．对于正弦函数y＝sin
x的图像，下列说法错误的是( )
A．向左、右无限延展
B．与y＝－sin
x的图像形状相同，只是位置不同
C．与x轴有无数个交点
D．关于x轴对称
4．函数y＝sin2x＋sin
x－1的值域为( )
A．[－1,1]
B．
C．
D．
5．已知函数f(x)＝sin
x＋2|sin
x|(x∈[0,2π])的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围是__________．
6．已知a∈R，函数f(x)＝sin
x－|a|(x∈R)为奇函数，则a＝__________.
7．方程sin
x＝x2有__________个正实根．
8．若函数y＝a－bsin
x的最大值为，最小值为－，试求函数y＝－4asin
bx的最值及周期．
9．对于函数y＝|sin
x|和y＝sin|x|，分别求出其定义域、值域、增区间，并判断其奇偶性、周期性．
参考答案
1．解析：当sin
x＝－1时，y取最大值14；当sin
x＝1时，y取最小值2.
答案：C
2．解析：利用函数y＝sin
x的图像易知y∈.
答案：B
3．解析：y＝sin
x是奇函数，图像关于原点对称．
答案：D
4．解析：令sin
x＝t，t∈[－1,1]，
则y＝t2＋t－1＝2－.
∵t∈[－1,1]，
∴y∈.
答案：C
5．解析：f(x)＝sin
x＋2|sin
x|＝
分别画出f(x)及y＝k的图像(图略)，
由图像可知1＜k＜3.
答案：(1,3)
6．解析：由题意知，f(－x)＝sin(－x)－|a|＝－f(x)＝－sin
x＋|a|.
∴|a|＝0，
∴a＝0.
答案：0
7．解析：如图，由图像可以看出，在y轴右侧，函数y＝sin
x，y＝x2有3个交点．故方程sin
x＝x2有3个正实根．
答案：3
8．解：设t＝sin
x∈[－1,1]，则y＝a－bt.
①当b＞0时，a－b≤a－bt≤a＋b.
∴
∴
∴所求函数为y＝－2sin
x.
②当b＜0时，同理可得∴
∴所求函数为y＝－2sin(－x)＝2sin
x.
∴综合①②得，所求函数为y＝±2sin
x，其最小值为－2，最大值为2，周期为2π.
9．解：y＝|sin
x|的图像如图①所示，
y＝sin|x|的图像如图②所示．
图①
图②
由图像可得，y＝|sin
x|，定义域：R；值域：[0,1]；增区间：(k∈Z)；是偶函数，周期为π；
y＝sin|x|，定义域：R；值域：[－1,1]；增区间：(k为非正整数)，，(k为非负整数)；是偶函数；不是周期函数．1.8
函数y=Asin（ωxφ）的图象
自我小测
1．下列函数中，周期为π，且在上是减少的是( )
A．y＝cos
B．y＝cos
C．y＝sin
D．y＝sin
2．如图是函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，x∈R)在区间上的图像，为了得到这个函数的图像，只要将y=sin
x(x∈R)的图像上所有的点( )
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
3．把函数y＝sin
x(x∈R)的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图像所表示的函数是( )
A．y＝sin，x∈R
B．y＝sin，x∈R
C．y＝sin，x∈R
D．y＝sin，x∈R
4．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则f＝( )
A．－
B．
C．
D．－
5．已知f(x)＝2sin的图像经过点(0,1)，则f(x)的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6π，φ＝
B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝
D．T＝6，φ＝
6．已知函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0)的一段图像如图所示，则此函数解析式为_________.
7．函数y＝cos，x∈的值域是__________．
8．设函数y＝2sin的图像关于点P(x0,0)成中心对称，若x0∈，则x0＝__________.
9．已知函数y＝3sin.
(1)求此函数的周期、振幅、初相；
(2)作函数在[0,4π]上的图像；
(3)说出此函数图像是由y＝sin
x的图像经过怎样的变化得到的．
10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像的一部分如图所示，求函数f(x)的解析式．
参考答案
1．解析：y＝sin＝cos
2x的周期为π，且在上是减少的．
答案：D
2．解析：观察图像可知，在函数y＝Asin(ωx＋φ)中，A＝1，＝π，故ω＝2.
令ω×＋φ＝0，得φ＝，
所以函数y＝sin.
故只要把y＝sin
x的图像向左平移个单位长度，再把各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变即可．
答案：A
3．解析：将y＝sin
x的图像上的所有的点向左平移个单位长度得到y＝sin的图像，再将图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得y＝sin的图像．
答案：C
4．解析：由＝π，得ω＝2，此时f(x)＝sin.
∴f＝sin＝.
答案：B
5．解析：T＝＝6.将点(0,1)代入得2sin
φ＝1，
即sin
φ＝.
又∵|φ|＜，∴φ＝.
答案：D
6．解析：图中给出了第三个、第五个关键点，于是得
解得
又∵A=2，
∴所求函数的解析式为.
答案：
7．解析：∵0＜x≤，∴＜x＋≤π，
∴cosπ≤cos＜cos，
即－≤cos＜，
即y＝cos，x∈的值域是.
答案：
8．解析：由2x0＋＝kπ(k∈Z)，得x0＝－(k∈Z)．
∵x0∈，∴k＝0，x0＝－.
答案：－
9．解：(1)y＝3sin的周期T＝4π，振幅为3，初相为－.
(2)在x∈[0,4π]上确定关键点，列表如下：
x
0
4π
x－
－
0
π
y＝3sin
－
0
3
0
－3
－
描点，作出以上各点，用平滑曲线顺次连接各点，得y＝3sin在[0,4π]上的草图如图所示．
(3)方法一：y＝sin
x的图像y＝sin的图像y＝sin的图像y＝3sin的图像．
方法二：y＝sin
x的图像y＝sinx的图像y＝sin＝sin的图像y＝3sin的图像．
10．解：由图像可知，A＝2，T＝8.
∵T＝8，∴ω＝＝＝.
∴f(x)＝2sin.
方法一：由图像过点(1,2)得，2sin＝2，
∴sin＝1.
∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
即φ＝2kπ＋，k∈Z.
∵|φ|＜，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin.
方法二：∵点(1,2)对应“五点”中的第二个点，
∴×1＋φ＝，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin.2.7
向量应用举例
自我小测
1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为( )
A．－1
B．1
C．2
D．－1或2
2．若＝2e1，＝4e1，且与的模相等，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形
B．梯形
C．等腰梯形
D．菱形
3．某人以a
km/h的速度向东行走，此时正刮着时速为a
km的南风，那么此人感受到的风向、风速为( )
A．东南风，a
km/h
B．东风，a
km/h
C．南风，a
km/h
D．西南风，a
km/h
4．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力分别为F1，F2，若|F1|＝|F2|＝|G|，则θ的值为( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
5．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10
N，合力与F1的夹角为60°，则F1的大小为( )
A．5
N
B．5
N
C．10
N
D．5
N
6．一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前进60
m，若纤绳与行进方向的夹角为，人的拉力为50
N，则纤夫对船所做的功为__________．
7．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7,4)，＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是__________．
8．在△ABC中，C＝，AC＝1，BC＝2，则f(λ)＝|2λ＋(1－λ)|的最小值是__________．
9．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)．
(1)求和∠ACB的大小，并判断△ABC的形状；
(2)若M为BC边的中点，求.
10．如图所示，一物体受到两个大小均为60
N的力的作用，两力的夹角为60°且有一力方向水平，求合力的大小及方向．
参考答案
1．解析：l的一个方向向量为v＝(－2，m)．
由v与向量(1－m,1)平行得，－2＝m(1－m)，解得m＝2或－1.
答案：D
2．解析：由题意得，且∥.
又∵，
∴四边形ABCD为等腰梯形．
答案：C
3．解析：如图所示，设人的速度为v1，风速为v2，则人感受到的风速为v，且|v|＝a.
答案：A
4．解析：作＝F1，＝F2，＝－G，则＝＋，当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，∴∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°.
答案：D
5．解析：|F1|＝|F|cos
60°＝5(N)．
答案：B
6．解析：功W＝60×50×cos＝1
500(J)．
答案：1
500
J
7．解析：＝－＝(3,6)＝.
又∵＝(4，－2)·(3,6)＝0，
∴四边形ABCD为矩形．
∴＝＝2，＝＝3.∴S＝＝2×3＝30.
答案：30
8．解析：以C为原点，CA，CB所在直线分别为y轴，x轴建立平面直角坐标系，
所以＝(0,1)，＝(2,0)，
即2λ＋(1－λ)＝(0,2λ)＋(2－2λ，0)＝(2－2λ，2λ)，所以f(λ)＝2，故f(λ)的最小值为，在λ＝时取得．
答案：
9．解：(1)由题意得，＝(3，－1)，＝(－1，－3)，
＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0.
所以，即∠A＝90°.
又易知，
所以△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝45°.
(2)因为M为BC的中点，所以M(2,0)．
又因为A(1,2)，所以＝(1，－2)．
所以＝＝.
10．解：设向量，分别表示两力，以，为邻边作平行四边形OACB，即为合力．
由已知可得△OAC为等腰三角形，且∠COA＝30°.
过A作AD⊥OC于D，则在Rt△OAD中，cos
30°＝60×＝30.
故＝60，
即合力的大小为60
N，方向与水平方向成30°角．1.3
弧度制
自我小测
1．一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为( )
A．
B．
C．
D．
2．已知扇形的周长是16，圆心角是2
rad，则扇形的面积是( )
A．16π
B．32π
C．16
D．32
3．将分针拨慢10分钟，则分针转过的弧度数是( )
A．
B．－
C．
D．－
4．若扇形的半径变为原来的2倍，弧长增加到原来的2倍，则( )
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积增加到原来的2倍
D．扇形的圆心角增加到原来的2倍
5．的终边所在的象限是( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6．半径为2的圆中，长为2的弧所对的圆周角的弧度数为__________，度数为__________．
7．已知扇形的半径是5
cm，弧长是
cm，那么扇形的面积是__________
cm2.
8．已知四边形四个内角的度数的比为1∶3∶7∶9，用弧度制写出这四个角从小到大的顺序为________________________________________________________________________．
9．在直径为10
cm的滑轮上有一条弦，其长为6
cm，且P为弦的中点，滑轮以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5
s后，P点转过的弧长是多少？
10．半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1,0)出发，按照逆时针方向沿圆周匀速旋转，已知P点在1秒钟内转过的角度为θ(0＜θ＜π)，经过2秒到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A处．求：
(1)θ的大小；
(2)线段OP每秒钟扫过的扇形的面积．
参考答案
1．解析：因为弦长等于半径，则弦和两半径构成等边三角形，则弦所对圆心角为60°＝
rad.
答案：B
2．解析：设扇形的半径为r，则扇形的弧长为l＝2r.
由题意知2r＋2r＝16，所以r＝4，l＝2r＝8，
因此扇形的面积为S＝×8×4＝16.
答案：C
3．解析：因为分针每分钟转过的角度为－6°，所以将分针拨慢10分钟，则分针转过的弧度数为.
答案：A
4．解析：设原来的扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则现在的扇形的半径为2r，弧长为2l，圆心角为β，l＝αr，2l＝2rβ，所以α＝β.
答案：B
5．解析：＝2π＋π.因为是第一象限角，所以的终边所在的象限是第一象限．
答案：A
6．解析：半径为2的圆中，长为2的弧所对的圆心角的弧度数为1，所对的圆周角的弧度数为，度数为°.
答案： °
7．解析：扇形的面积为S＝lr＝××5＝(cm2)．
答案：
8．解析：因为四边形四个内角的度数的比为1∶3∶7∶9，所以设这四个角的弧度数分别为x,3x,7x,9x.根据题意得，x＋3x＋7x＋9x＝2π，则x＝，3x＝，7x＝，9x＝.
答案：，，，
9．解：根据垂径定理得，P点到滑轮中心的距离为4
cm.
又因滑轮以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5
s后，P点转过的弧长是5×5×4＝100(cm)．
答：经过5
s后，P点转过的弧长是100
cm.
10．解：(1)∵0＜θ＜π，∴0＜2θ＜2π.
又2kπ＋π＜2θ＜2kπ＋(k∈Z)，
∴k＝0.∴＜θ＜.①
又14θ＝2nπ(n∈Z)，∴θ＝(n∈Z)．②
由①②可得θ＝或θ＝.
(2)由(1)知θ＝或θ＝，
又S扇形＝θr2＝θ，∴S扇形＝或S扇形＝.
即线段OP每秒钟扫过的面积是或.2.1
从位移、速度、力到向量
自我小测
1．下列说法中正确的是( )
A．若|a|＞|b|，则a＞b
B．若|a|＝|b|，则a∥b
C．若a＝b，则a∥b
D．若a≠b，则a与b不是共线向量
2．设O为△ABC的外心，则，，是( )
A．相等向量
B．平行向量
C．模相等的向量
D．起点相同的向量
3．两列火车从同一站台沿相反方向开去，行驶了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a和b，那么下列命题中错误的是( )
A．a与b为平行向量
B．a与b为模相等的向量
C．a与b为共线向量
D．a与b为相等向量
4．下列四种说法正确的个数为( )
①若，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
②在平行四边形ABCD中，一定有；
③若m＝n，n＝k，则m＝k；
④若a∥b，b∥c，则a∥c.
A．1
B．2
C．3
D．4
5．如图，在平行四边形ABCD中，与共线的向量是__________，与相等的向量是__________．
6．如图所示，在四边形ABCD中，，且，则四边形ABCD的形状为__________．
7．设O是正方形ABCD的中心，则①；②∥；③与共线；④.其中，所有正确结论的序号为________________.
8．下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若a∥b，则|a|＝|b|；③若a＝0，则|a|＝0.其中正确命题的序号是________．
9．如图，在四边形ABCD中，，N，M分别是AD，BC上的点，且，求证：.
10．在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA上的点，已知，，试推断向量与是否为相等向量，说明你的理由．
参考答案
1．解析：向量不能比较大小，所以选项A不正确；a∥b需满足a，b共线，所以选项B不正确；选项C正确；共线向量只需方向相同或相反，所以选项D不正确．
答案：C
2．解析：△ABC的外心，即△ABC的外接圆的圆心，它到A，B，C三点的距离相等，即有.
答案：C
3．解析：由向量的基本概念知a与b方向相反，
∴a与b是平行向量，即共线向量．
又∵两列火车所行路程相同，
∴a与b的模相等．
∴a与b是模相等且方向相反的向量，即D错．
答案：D
4．解析：①不正确，因为点A，B，C，D可能落在同一条直线上；零向量的方向不确定，且零向量与任一向量都平行，所以④中若b＝0，则a与c就不一定平行了，因此④不正确；②③正确．故选B.
答案：B
5．，，
6．解析：∵，
∴四边形ABCD为平行四边形．
又∵，
∴平行四边形ABCD为菱形．
答案：菱形
7．①②③
8．解析：①中忽略了0和0的区别，由|a|＝0知a＝0，但a≠0；②中是对两个平行向量的定义理解不透，两个向量平行，只是说明这两个向量的方向相同或相反，而它们的模却不一定相等；③中零向量的模为零．
答案：③
9．证明：∵，∴，且AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴，且DA∥CB.
又∵与的方向相同，∴.
∵，∴，且CN∥MA，
∴四边形CNAM是平行四边形．
∴，且CM∥NA.
又∵与的方向相同，
∴.∴.
10．解：.理由如下：
∵，∴，∴D是AB的中点．
∵，∴与是平行向量，从而DF∥BE，即DF∥BC.∴＝＝1，
∴F是AC的中点．
由三角形中位线定理知，DF＝BC.
又，即，
∴BE＝BC.
∴E为BC的中点．
∴DE∥AC，且DE＝AC.
∵F是AC的中点，∴AF＝AC，
∴DE＝AF.∴.2.5
从力做的功到向量的数量积
自我小测
1．已知|a|＝2，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则|a－b|的值为( )
A．4
B．2
C．2
D．6
2．若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．4
B．3
C．2
D．0
3．已知|a|＝8，e为单位向量，当它们的夹角为时，a在e方向上的射影是( )
A．4
B．4
C．4
D．8＋
4．在△OAB中，＝a，＝b，OD是AB边上的高，若，则λ等于( )
A．
B．
C．
D．
5．若，则△ABC为( )
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．等腰直角三角形
6．已知a⊥b，(3a＋2b)⊥(ka－b)，若|a|＝2，|b|＝3，则实数k的值为__________．
7．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角θ是__________．
8．设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：
(1)|a|－|b|＜|a－b|；
(2)(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；
(3)(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确结论的序号为__________．
9．已知|a|＝1，|b|＝，设a与b的夹角为θ.
(1)若θ＝，求|a＋b|；
(2)若a与a－b垂直，求θ.
10．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
参考答案
1．解析：∵a·(b－a)＝2，∴a·b－a2＝2.
∴a·b＝2＋a2＝2＋|a|2＝2＋22＝6.
∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝22－2×6＋62＝28，
∴|a－b|＝2.
答案：B
2．解析：由a∥b及a⊥c，得b⊥c，
则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.
答案：D
3．解析：a在e方向上的射影为|a|cos＝4.
答案：B
4．解析：由题意知，，
即.
∴，
∴λ＝－＝－＝.
答案：B
5．解析：∵，
∴，
∴，
∴，∴，∴∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
答案：A
6．解析：由已知得a·b＝0，a2＝4，b2＝9.
由(3a＋2b)·(ka－b)＝0得，
3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.
∴12k－18＝0，∴k＝.
答案：
7．解析：由|a＋b|＝|a－b|得，|a＋b|2＝|a－b|2，
整理得a·b＝0.
又由|a－b|＝2|a|得，|a－b|2＝4|a|2，
∴|a|2－2a·b＋|b|2＝4|a|2，
∴|b|2＝3|a|2，∴|b|＝|a|.
∴cos
θ＝＝＝＝－.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案：
8．解析：(1)∵(|a|－|b|)2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b，
又∵a，b不共线，∴a·b＜|a||b|.
∴(|a|－|b|)2＜|a－b|2.∴|a|－|b|＜|a－b|.
(2)∵[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(a·c)(b·c)＝0，∴(b·c)a－(c·a)b与c垂直．
(3)(3a＋2b)·(3a－2b)＝9a2－4b2＝9|a|2－4|b|2.
答案：(1)(3)
9．解：(1)|a＋b|＝＝
＝＝.
(2)由题意得，a·(a－b)＝0，
∴a2＝a·b＝|a||b|cos
θ，
∴cos
θ＝＝＝.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
10．解：∵e1·e2＝|e1||e2|cos
60°＝2×1×＝1，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te12＋(2t2＋7)e1·e2＋7te22＝2t2＋15t＋7.
由题意得，2t2＋15t＋7＜0，得－7＜t＜－.
若两向量反向共线，设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)，
∴得t＝－或t＝(舍去)．而当t＝－时，已知两向量的夹角为180°，不合题意．故t∈eq
\b\lc\(\rc\)()∪eq
\b\lc\(\rc\)().3.3
二倍角的正弦、余弦和正切
自我小测
1．已知θ是第三象限角，若sin4θ＋cos4θ＝，则sin
2θ等于( )
A．
B．－
C．
D．－
2．已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是( )
A．
B．
C．－
D．－
3．已知taneq
\b\lc\(\rc\)()＝2，则的值为( )
A．－
B．
C．
D．－
4．－等于( )
A．－2cos
5°
B．2cos
5°
C．－2sin
5°
D．2sin
5°
5．已知sineq
\b\lc\(\rc\)()＝，则cos(π＋2α)的值为( )
A．－
B．
C．
D．－
6．函数f(x)＝2cos2＋sin
x的最小正周期是__________．
7．等腰三角形顶角的余弦值为，那么这个三角形一底角的余弦值为__________．
8．在△ABC中，若cos
A＝，求sin2＋cos
2A的值．
9．若x∈，求函数y＝＋2tan
x＋1的最值及相应的x的值．
10．已知△ABC的面积为3，且满足0＜A·A≤6.设AB和AC的夹角为θ.
(1)求θ的取值范围；
(2)求函数f(θ)＝2sin2eq
\b\lc\(\rc\)()－cos
2θ的最大值与最小值．
参考答案
1．解析：∵sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－2(sin
θcos
θ)2＝，
∴(sin
θcos
θ)2＝.
∵θ为第三象限角，
∴sin
θ＜0，cos
θ＜0，
∴sin
θcos
θ＞0，
∴sin
θcos
θ＝.
∴sin
2θ＝2sin
θcos
θ＝.
答案：A
2．解析：令底角为α，顶角为β，则β＝π－2α.
∵cos
α＝，0＜α＜π，
∴sin
α＝.
∴sin
β＝sin(π－2α)＝sin
2α＝2sin
αcos
α
＝2××＝.
答案：A
3．解析：由taneq
\b\lc\(\rc\)()＝＝2得tan
α＝.
原式＝＝tan
α－＝－＝－.
答案：A
4．解析：原式＝－
＝(cos
50°－sin
50°)
＝2eq
\b\lc\(\rc\)()
＝2sin(45°－50°)＝－2sin
5°.
答案：C
5．解析：∵sineq
\b\lc\(\rc\)()＝，
∴cos
α＝.
∴cos(π＋2α)＝－cos
2α＝1－2cos2α
＝1－＝.
答案：B
6．解析：∵f(x)＝2cos2＋sin
x＝1＋sineq
\b\lc\(\rc\)()，
∴T＝＝2π.
答案：2π
7．解析：设等腰三角形的底角为α，顶角为β，
则α＝－，cos
β＝，
∴cos
α＝coseq
\b\lc\(\rc\)()＝sin＝＝.
答案：
8．解：sin2＋cos
2A＝＋cos
2A
＝＋2cos2A－1
＝＋×＋2×eq
\b\lc\(\rc\)()2－1
＝－.
9．解：y＝＋2tan
x＋1
＝＋2tan
x＋1
＝tan2x＋2tan
x＋2＝(tan
x＋1)2＋1.
∵x∈，
∴tan
x∈[－，1]．
令tan
x＝t，则有y＝g(t)＝(t＋1)2＋1，
∴当t＝tan
x＝－1，
即x＝－时，ymin＝1；
当t＝tan
x＝1，即x＝时，ymax＝5.
综上，当x＝－时，ymin＝1；当x＝时，ymax＝5.
10．解：(1)设△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，
则由已知条件可得bcsin
θ＝3,0＜bccos
θ≤6，可得cos
θ＞0，tan
θ≥1.
又∵θ∈(0，π)，∴θ∈eq
\b\lc\[\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，)).
(2)f(θ)＝2sin2eq
\b\lc\(\rc\)()－cos
2θ
＝1－coseq
\b\lc\(\rc\)()－cos
2θ
＝1＋sin
2θ－cos
2θ
＝1＋2sineq
\b\lc\(\rc\)().
∵θ∈eq
\b\lc\[\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，))，
∴2θ－∈eq
\b\lc\[\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(，))，
∴2≤1＋2sineq
\b\lc\(\rc\)()≤3.
即当θ＝时，f(θ)max＝3；
当θ＝时，f(θ)min＝2.3.2
两角和与差的三角函数
自我小测
1．若tan
α＝2，tan
β＝3，且α，β∈，则α＋β的值为( )
A．
B．
C．
D．
2．设A，B，C是△ABC的三个内角，且tan
A，tan
B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
3．若tan
α＝3，tan
β＝，则tan(α＋β)＝( )
A．－3
B．3
C．－
D．
4．tan
20°＋tan
40°＋tan
20°tan
40°的值为( )
A．－
B．
C．3
D．
5．若tan
28°tan
32°＝m，则tan
28°＋tan
32°的值为( )
A．m
B．(1－m)
C．(m－1)
D．(m＋1)
6．已知tan＝2，则＝__________.
7．若A＝15°，B＝30°，则(1＋tan
A)(1＋tan
B)的值为__________．
8．已知sin
α＝，tan(π－β)＝，则tan(α－β)＝__________.
9．已知tan
α＝，tan
β＝，0＜α＜，π＜β＜，求α＋β
的值．
10．已知tan
α＝－，cos
β＝，α，β∈(0，π)．
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求函数f(x)＝sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．
参考答案
1．解析：∵tan(α＋β)＝＝＝－1，0＜α＋β＜π，
∴α＋β＝.
答案：C
2．解析：由题意知，tan
A＋tan
B＝，tan
Atan
B＝.
∴tan
C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)
＝－＝－＝－＜0.
∴＜C＜π.
∴△ABC为钝角三角形．
答案：D
3．解析：tan(α＋β)＝＝＝－.
答案：C
4．解析：原式＝tan
60°(1－tan
20°tan
40°)＋tan
20°tan
40°＝tan
60°＝.
答案：B
5．解析：∵tan(28°＋32°)＝，
∴tan
28°＋tan
32°＝tan
60°(1－tan
28°tan
32°)
＝(1－m)．
答案：B
6．解析：由tan＝2，得＝2，
∴tan
α＝.
∴＝
＝＝＝.
答案：
7．解析：∵tan(A＋B)＝tan
45°＝1，
∴＝1.
∴tan
A＋tan
B＝1－tan
Atan
B.
∴(1＋tan
A)(1＋tan
B)＝1＋tan
A＋tan
B＋tan
Atan
B＝2.
答案：2
8．解析：∵sin
α＝，且＜α＜π，
∴cos
α＝－＝－.∴tan
α＝＝－.
又∵tan(π－β)＝－tan
β＝，∴tan
β＝－.
∴tan(α－β)＝＝
＝－.
答案：－
9．解：∵tan
α＝，tan
β＝，
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
∵0＜α＜，π＜β＜，
∴π＜α＋β＜2π.∴α＋β＝.
10．解：(1)∵cos
β＝，β∈(0，π)，
∴sin
β＝，
∴tan
β＝2，
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
(2)∵tan
α＝－，α∈(0，π)，
∴sin
α＝，cos
α＝－，
∴f(x)＝(sin
xcos
α－cos
xsin
α)＋(cos
xcos
β－sin
xsin
β)＝－sin
x－cos
x＋cos
x－sin
x＝－sin
x.
又∵－1≤sin
x≤1，
∴f(x)的最大值为.1.7
正切函数
自我小测
1．下列各式成立的是( )
A．tan(π＋α)＝－tan
α
B．tan(π－α)＝tan
α
C．tan(－α)＝－tan
α
D．tan(2π－α)＝tan
α
2．tan的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
3．已知角α终边上有一点P(5n,4n)(n≠0)，则tan(180°－α)的值是( )
A．－
B．－
C．±
D．±
4．已知tan(243°－α)＝，那么tan(－927°－α)的值为( )
A．
B．－
C．－3
D．±3
5．化简tan(π－α)＋tan(α－π)的结果为( )
A．0
B．2tan
α
C．－2tan
α
D．2cot
α
6．tan＝__________.
7．已知tan(π－x)＝，则tan(x－3π)＝__________.
8．log4sin＋log9tan＝________.
9．求下列各式的值：
(1)cos＋tan；
(2)sin
810°＋tan
765°＋tan
1
125°＋cos
360°.
10．利用正切函数的单调性比较tan与tan的大小．
参考答案
1．解析：tan＝－tan
＝－tan＝－5，故tan＝5.
答案：B
2．解析：b＝tan
2＝tan(2－π)，c＝tan
3＝tan(3－π)，
又－＜2－π＜3－π＜1＜，
且y＝tan
x在上是增加的，
则有tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan
1，即b＜c＜a.
答案：B
3．解析：tan＝－tan＝－tan＝－tan＝tan＝.
答案：
4．解析：＝tan
300°＝－tan
60°＝－.
答案：－
5．解：(1)∵tan
9＝tan(－2π＋9)，
而＜2＜－2π＋9＜π，且y＝tan
x在内是增加的，
∴tan
2＜tan(－2π＋9)，即tan
2＜tan
9.
(2)∵tan＝tan，tan＝tan，
又∵0＜＜＜，且y＝tan
x在内是增加的，
∴tan＜tan，
即tan＜tan.
课后作业·稳步提升
1．解析：tan(π＋α)＝tan
α；tan(π－α)＝－tan
α；tan(－α)＝－tan
α；tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan
α.故选C.
答案：C
2．解析：tan＝tan＝－tan＝－.
答案：B
3．解析：∵角α终边上有一点P(5n,4n)(n≠0)，∴tan
α＝，
∴tan(180°－α)＝－tan
α＝－.
答案：A
4．解析：tan(243°－α)＝tan(180°＋63°－α)＝tan(63°－α)＝，
而(27°＋α)＋(63°－α)＝90°，
所以tan(27°＋α)＝3，
所以tan(－927°－α)＝－tan(927°＋α)
＝－tan(5×180°＋27°＋α)＝－tan(27°＋α)＝－3.
答案：C
5．解析：tan(π－α)＋tan(α－π)＝－tan
α＋tan
α＝0.
答案：A
6．解析：tan＝－tan＝－tan＝－tan
＝－tan＝－tan＝－.
答案：－
7．解析：由tan(π－x)＝知tan
x＝－，
故tan(x－3π)＝－tan(3π－x)＝tan
x＝－.
答案：－
8．解析：∵sin＝sin＝sin＝，
tan＝－tan＝tan＝，
∴log4
sin＋log9
tan＝log4＋log9
＝＝－－＝－.
答案：－
9．解：(1)cos＋tan＝cos＋tan
＝cos＋tan＝＋1＝.
(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(0°＋360°)＝sin
90°＋tan
45°＋tan
45°＋cos
0°＝4.
10．解：∵tan＝tan＝tan，
tan＝tan＝tan，
又∵函数y＝tan
x在上是增加的，
而－＜－＜＜，
∴tan＜tan，
即tan＜tan.
