3.3
二倍角的正弦、余弦和正切
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1.若sin2α=，且α∈（，），则cosα-sinα的值是（
）
A.
B.
C.-
D.-
思路分析：要求cosα-sinα的值，可以先求(cosα-sinα)2，其展开式中的2sinαcosα就是已知的sin2α，应当注意的是在（,
）上，cosα答案：C
2.如果|cosθ|=，＜θ＜3π，则sin的值为（
）
A.
B.
C.
D.
思路分析：根据<θ<3π,可知角θ是第二象限角，其余弦值为负，即cosθ=-，而<<为第三象限角，正弦值为负，于是利用半角公式即得结果.
答案：C
3.若＜α＜2π，则等于（
）
A.cos
B.-sin
C.-cos
D.sin
思路分析：根据本题结构特点，连续两次使用公式1+cos2α=2cos2α，达到脱去根号的目的，这是解这类问题的常规思路.
答案：C
4.(全国高考卷Ⅱ，文10)若f(sinx)=3-cos2x，则f(cosx)为（
）
A.3-cos2x
B.3-sin2x
C.3+cos2x
D.3+sin2x
思路分析：∵
f(sinx)=3-cos2x=3-(1-2sin2x)=2+2sin2x，∴f(x)=2+2x2.∴f(cosx)=2+2cos2x=3＋cos2x.
答案：C
5.若f（α）=cotα-，那么f（）的值为______________.
思路分析：将函数f(α)化简变形可得简单形式，即f(α)=cotα+cotα+tanα=，所以f()==2.
答案：2
6.(2006湖南高三百校大联考第二次，11)函数y=sin2x-sin4x的最小正周期是T=____________.
思路分析：将函数解析式化为y=sin2x-sin4x=sin2x(1-sin2x)=sin2xcos2x=sin22x=-(1+cos4x)，∴T==.
答案：
7.已知α为钝角、β为锐角且sinα=，sinβ=，则cos的值为______________.
思路分析：∵α为钝角、β为锐角，且sinα=，sinβ=，
∴cosα=，cosβ=.
∴cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ=.
∵＜α＜π，0＜β＜，
又∵0＜α-β＜π，0＜＜，
∴cos＞0.
∴cos=
答案：
8.化简-sin10°.
思路分析：1±sinα是完全平方的形式.
解：原式=
=|sin5°+cos5°|+|sin5°-cos5°|
=|sin50°|+|cos50°|
=sin50°+cos50°
=2sin95°=2cos5°.
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9.(2006北京高考卷，理15)已知函数f(x)=.
（1）求f(x)的定义域；
（2）设α为第四象限的角，且tanα=，求f(α)的值.
思路分析：（1）即解cosx≠0；（2）化简f(α)，再求值.
解：（1）由cosx≠0得x≠kπ+(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ+,k∈Z
}.
（2）因为tanα=，且α是第四象限的角，
所以sinα=-,cosα=,
故f(x)=
=
=
=
=2(cosα-sinα)
=.
10.(2006广东高考卷，15)已知函数f(x)=sinx+sin(x+),x∈R,
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）求f(x)的最大值和最小值；
（3）若f(α)=
，求sin2α的值.
思路分析：化为y=Asin(ωx+φ)的形式来讨论其性质.
解：f(x)=sinx+sin(x+)
=sinx+cosx
=sin(x+).
（1）f(x)的最小正周期为T==2π.
（2）f(x)的最大值为2和最小值为-2.
（3）因为f(α)=
，即sinα+cosα=.
∴(sinα+cosα)2=.
∴2sinαcosα=，
即sin2α=.
11.已知sinα=，sin（α+β）=，α与β均为锐角，求cos.
思路分析：要求的是β的一半，而β=(α+β)-β，于是转化为已知的角，根据sinα和sin(α+β)，结合平方关系式可得cosα和cos(α+β)，从而求出cosβ，再运用半角公式求得结论，解答本题时一定要考虑到角的范围.
解：∵0＜α＜，∴cosα==.
又∵0＜α＜，0＜β＜，
∴0＜α+β＜π.若０＜α+β＜，
∵sin（α+β）＜sinα，∴α+β＜α不可能.
故＜α+β＜π.∴cos（α+β）=.
∴cosβ=cos［（α+β）-α］
=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=×+×=.
∵0＜β＜，∴0＜＜.
故cos=.
12.(2006福建高考卷，理17)已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x,x∈R.
（1）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
（2）函数f(x)的图像可以由函数y=sin2x(x∈R)的图像经过怎样的变换得到？
思路分析：将函数的解析式化为y=Asin(ωx+φ)+b的形式，再讨论其性质.
解：f(x)=sin2x+(1+cos2x)
=sin2x+cos2x+=sin(2x+)+
,
（1）f(x)的最小正周期T==π.
由题意,得2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
即kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
∴f(x)的单调增区间为［kπ-,kπ+］,k∈Z.
（2）步骤：
①先把y=sin2x图像上所有点向左平移个单位长度，得到y=sin(2x+)的图像；
②再把y=sin(2x+)图像上所有的点向上平移个单位长度，就得到y=sin(2x+)+
即f(x)的图像.1.8
函数y=Asin（ωxφ）的图象
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1.浙江高考卷，文1)函数y＝sin(2x+)的最小正周期是（
）
A.
B.π
C.2π
D.4π
思路解析：T===π.
答案：B
2.若函数y=f（x）的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图像沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线与y=sinx的图像相同，则y=f（x）是（
）
A.y=sin（2x+）+1
B.y=sin（2x-）+1
C.y=sin（2x-）+1
D.y=sin（2x+）+1
思路解析：逆向法解决，将y=sinx的图像沿y轴向上平移1个单位得到函数y=sinx+1的图像；再将函数y=sinx+1的图像向右平移个单位得到函数y=sin（x-）+1的图像；再将函数y=sin（x-）+1的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的得到函数y=sin（2x-）+1.这就是函数y=f（x）的解析式.
答案：B
3.(2006四川高考卷，理5文6)下列函数中，图像的一部分如图1-7-5所示的是（
）
图1-7-5
A.y=sin(x+）
B.y=sin(2x-）
C.y=cos(4x-）
D.y=cos(2x-）
思路解析：从图像看出，=+=，∴函数的最小正周期为π.∴ω==2.∴排除A、C.∵图像过点(-,0)，代入选项B，∴f(-)=sin(--)=-1≠0.∴排除B.
答案：D
4.把函数y=sin(ωx+φ)（其中φ为锐角）的图像向右平移个单位，或向左平移个单位都可使对应的新函数成为奇函数，则原函数的一条对称轴方程是（
）
A.x=
B.x=
C.x=-
D.x=
思路解析：将函数y=sin(ωx+φ)的图像向右平移个单位后，得函数y=sin［ω(x-）+φ］为奇函数，根据奇函数的性质，由函数的定义域为R，知sin［ω(0-)+φ］=0（即f(0)=0）.∴ω(-)+φ=0,φ=.
将函数y=sin(ωx+φ)向左平移个单位后，得函数y=sin［ω(x+）+φ］也是奇函数，∴sin［ω(0+)+φ］=0.将φ=代入，得sin(+)=0.
∴=kπ,ω=2k(k∈Z).∵φ∈(0,
)，∴ω=2，且φ=.又正弦函数图像的对称轴过取得最值的点，设2x+=kπ+，则x=+.当k=1时，x=，即x=是函数y=sin(2x+)的一条对称轴方程.
答案：D
5.求函数y=2sin（3x-）的对称中心.
思路分析：利用整体策略求出对称中心坐标.
解：由y=sinx的对称中心是（kπ，0），令3x-=kπ，x=+（k∈Z）,
即对称中心是（+，0）（k∈Z）.
6.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0),φ取何值时，f(x)为奇函数？
思路分析：结合正弦函数的图像和性质来讨论.
解：（1）∵x∈R，f(x)是奇函数，∴f(x)+f(-x)=0.
则有f(0)=0，∴sinφ=0.∴φ=kπ,k∈Z.
当φ=kπ,k∈Z时，f(x)=Asin(ωx+kπ)，
当k为偶数时，f(x)=Asin(ωx)是奇函数；
当k为奇数时，f(x)=-Asin(ωx)是奇函数.
综上可得,当φ=kπ,k∈Z时，f(x)为奇函数.
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7.函数y=5sin(-2x)的单调递增区间是_________.
思路解析：函数y=-5sin(2x-)=5sin(2x+)，令2kπ-≤2x+≤2kπ+
(k∈Z)，解得kπ-≤x≤kπ-.
答案：［kπ-,kπ-］(k∈Z)
8.已知sin（2x+）=-，x∈［0，2π］，求角x的集合.
思路分析：先由x的范围确定2x+的范围，然后判断角的个数求出角.
解：∵0≤x≤2π，∴≤2x+≤.
∵sin（2x+）=-，
∴2x+=或2x+=或2x+=或2x+=.
∴x＝，，，.
∴x的集合为{，，，}.
9.函数f(x)=2sin(x+)（k≠0）.
（1）求f(x)的最大值M、最小值N和最小正周期T.
（2）试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f(x)至少有一个值是M,一个值是N.
（3）当k=10时，由y=sinx的图像经过怎样的变换得到y=f(x)的图像
思路分析：由于k影响函数的周期，所以求最小的正整数k就要讨论函数周期的限制.
解：（1）∵f(x)=2sin(x+)，k≠0，且x∈R，
∴M=2，N=-2，T=.
（2）由题意，得当自变量x在任意两个整数间变化时，函数f(x)至少有一个最大值，又有一个最小值，则函数的周期应不大于区间长度的最小值1，即≤1，解得|k|≥10π，所以最小的正整数k=32.
（3）当k=10时，有f(x)=2sin(2x+).
变换步骤是：
①把y=sinx的图像上所有的点向左平行移动个单位，得函数y=sin(x+)的图像；
②把函数y=sin(x+)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得函数y=sin(2x+)的图像；
③把函数y=sin(2x+)的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得函数f(x)=2sin(2x+)的图像.
10.如图1-7-6所示，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A＞0,ω＞0,0＜φ＜π).
图1-7-6
（1）求这段时间的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式.
思路分析：图像最上方的点的纵坐标是温度的最大值，最下方的点的纵坐标是温度的最小值.
解：（1）由图知这段时间的最大温差是30-10=20（℃）.
（2）图中从6时到14时的图像是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图像，即=2(14-6)，
∴ω=,A=(30-10）=10，b=(30+10)=20.
这时y=10sin(x+φ)+20.将x=6,y=10代入上式，可取φ=.
综上，所求的解析式为y=10sin(x+)+20，x∈［0,14］.3.2
两角和与差的三角函数
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1.(福建高考卷，理3)已知α∈(,π),sinα=,则tan(α+)等于（
）
A.
B.7
C.-
D.-7
思路解析：由条件求出tanα，再计算tan(α+).∵α∈(,π),sinα=,
∴cosα==-.∴
tanα=-.
∴tan(α+)=.
答案：A
2.当x∈［-,］时，函数f(x)=sinx+cosx的（
）
A.最大值为1，最小值为-1
B.最大值为1，最小值为-
C.最大值为2，最小值为-2
D.最大值为2，最小值为-1
思路解析：先化简再求最值.f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+)，∵x∈［-,］,
∴-≤x+≤.∴-1≤f(x)≤2.
答案：D
3.已知在△ABC中，满足tanAtanB＞1，则这个三角形一定是（
）
A.正三角形
B.等腰直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
思路解析：此题限定条件是在三角形中，可以根据三角函数值的符号来判断角的范围.在三角形中，常用到三角形的内角和定理.可以将A+B+C=π等价转化成A=π-（B+C），然后用诱导公式化简整理.由于tanAtanB＞1，可知tanA＞0，且tanB＞0，则在△ABC中，A、B必定为锐角.又∵＞1，∴sinAsinB＞cosAcosB,得到cos（A+B）＜0.∴cos（π-C）＜0，即cosC＞0.则C也必定是锐角.因此△ABC是锐角三角形.
答案：C
4.要使得sinα-cosα=有意义，则m的取值范围是（
）
A.（-∞，］
B.［1，+∞）
C.［-1，］
D.（-∞，-1）∪［，+∞)
思路解析：利用三角函数的值域求m的取值范围.
sinα-cosα=2（sinα-cosα）=2sin（α-）,∴2sin（α-）=，即sin（α-）=.∵-1≤sin（α-）≤1，∴-1≤≤1.解不等式，可得-1≤m≤.
答案：C
5.△ABC中，cosA=且cosB=，则cosC的值是______________.
思路解析：由于在△ABC中，cosA=，可知A为锐角，∴sinA==.由于cosB=，可知B也为锐角，∴sinB==.∴cosC=cos［π-（A+B）］=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=××=.
答案：
6.
sin-cos=_______________.
思路解析：方法一：对公式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ逆用.sin-cos=2（sin-cos）=2（sinsin-coscos）=-2cos（+）=-2cos=-.
方法二：利用=-来计算sin，sin-3cos=sin(-)-3cos(-)=-.
答案：-
7.(2006湖南常德一模)已知函数f(x)=-1+2sin2x+mcos2x的图象经过点A(0,1)，求此函数在［0,
］上的最值.
思路分析：先求m的值，再化简函数的解析式为y=Asin(ωx+φ)+b的形式求最值.
解：∵A(0,1)在函数的图像上，
∴1=-1+2sin0+mcos0.
解得m=2.
∴f(x)=-1+2sin2x+2cos2x
=2(sin2x+cos2x)-1
=22sin(2x+)-1.
∵0≤x≤，
∴≤2x+≤.
∴-≤sin(2x+)≤1.
∴-3≤f(x)≤-1.
∴函数f(x)的最大值为-1，最小值是-3.
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8.已知cos（α+β）=，cos（α-β）=，求tanαtanβ的值.
思路分析：化切为弦，就会发现要求tanαtanβ，就是求sinαsinβ和cosαcosβ的比值，因此，本题应该设法求出sinαsinβ和cosαcosβ.
解：由已知,得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=，①
cos（α-β）=cosαcosβ+
sinαsinβ=，②
①+②得cosαcosβ=，③
①-②得sinαsinβ=.④
④÷③即得tanαtanβ==,即tanαtanβ=.
9.化简.
思路分析：本题要观察出7°+8°=15°，利用这一关系，可以减少角的个数，解题过程中还需要应用两角和与差的正弦、余弦公式.
解：=
=tan15°=tan(45°-30°)=.
10.如果α、β、γ都是锐角，并且它们的正切分别为、、，求α+β+γ的值.
思路分析：要求α+β+γ，先求tan（α+β+γ）.先根据α、β的正切值可以利用两角和的正切求出（α+β）的正切值，而α+β+γ又可以看作是两个角（α+β）与γ的和，再运用两角和的正切公式求解即可.但要注意确定出α+β+γ这个和的范围，才能证得结果.
解：∵tanα=，tanβ=，
∴tan（α+β）==.
∴tan（α+β+γ）=tan［（α+β）+γ］
=.
又∵α、β、γ都是锐角且０＜tanα=＜1，0＜tanβ=＜1，0＜tanγ=＜1,
∴0°＜α＜45°，0°＜β＜45°，0°＜γ＜45°.
∴0＜α+β+γ＜135°.
∴α+β+γ=45°.
11.已知<α<，0<β<，cos(+α)=
，sin(+β)=
，
求sin(α+β)的值.
思路分析：利用角的变换：(+α)+(
+β)=（α+β）+π.
解：∵<α<，
∴<+α<π.
又∵cos(+α)=
，
∴sin(+α)=.
∵0<β<，
∴<+β＜π.
又∵
sin(+β)<π，
∴cos(+β)=.
∴sin(α+β)=-sin［π+(α+β)］=-sin［(+α)+(
+β)］
=-［sin(+α)cos(+β)+cos(+α)sin(+β)］
=-［×(-)
×］=.1.1
周期现象与周期函数
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1．时针走过2小时40分，则分针转过的角度是（
）
A.80°
B.-80°
C.960°
D.-960°
思路解析：分针转过的角是负角.
答案：D
2．给出下列四个命题：①-15°是第四象限的角；②185°是第三象限的角；③475°是第二象限的角；④-350°是第一象限的角，其中正确命题的个数是（
）
A.1B.2C.3D.4
思路解析：将题中的角化成α+k·360°(k∈Z)，α在0°—360°之间的形式，并结合图形即可判断出来.
答案：D
3.与-457°角终边相同的角的集合是（
）
A.{α|α=k·360°+457°，k∈Z}
B.{α|α=k·360°+97°，k∈Z}
C.{α|α=k·360°+263°，k∈Z}
D.{α|α=k·360°-263°，k∈Z}
思路解析：可用特殊值法去研究，也可用定义去分析解决，还可用排除法.
方法一：∵-457°=-2×360°+263°，∴应选C.
方法二：因为-457°角与-97°角终边相同，又-97°角与263°角终边相同，所以-457°角应与k·360°+263°角终边相同，故应选Ｃ.
方法三：由于-457°角与-97°角终边相同，易知应排除Ａ、Ｂ、Ｄ，故选C.
答案：C
4.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z}，B={β|-180°＜β＜180°},则A∩B等于（
）
A.{-36°,54°}
B.{-126°,144°}
C.{-126°,-36°,54°,144°}
D.{-126°,54°}
思路解析：在集合A中，令k取不同的整数，找出既属于A又属于B的角度即可.k=-1,0,1,2,验证可知A∩B={-126°，-36°，54°，144°}.
答案：C
5.如果α与x+45°具有相同的终边，角β与x-45°具有相同的终边，那么α与β间的关系是（
）
A.α+β=0
B.α-β=0
C.α+β=k·360°,k∈Z
D.α-β=k·360°+90°,k∈Z
思路解析：利用终边相同的角的关系，分别写出α、β，找出它们的关系即可.由题意知，α＝k·360°+x+45°,k∈Z，β=n·360°+x-45°,n∈Z，则α-β=(k-n)·360°+90°,(k-n)
∈Z.
答案：D
6.(2005全国高考卷Ⅲ，理1)已知α为第三象限角，则所在的象限是（
）
A.第一或第二象限
B.第二或第三象限
C.第一或第三象限
D.第二或第四象限
思路解析：利用不等式法和八卦图法均可解决.
答案：D
7.已知-180°＜α＜180°，7α的终边又与α的终边重合，求满足条件的角α的集合.
思路分析：7α与α相差360°的整数倍，由此确定符合条件的角的集合.
解：由题意得7α=α+k·360°,得α=k·60°,k∈Z.
令-180°＜k·60°＜180°，∴-3＜k＜3.
∴α=-120°,-60°,0°,60°,120°，
∴满足条件的角α的集合为{-120°,-60°,0°,60°,120°｝.
8.今天是星期一，158天后的那一天是星期几
思路分析：每个星期，从星期一、星期二，一直到星期日共是7天，呈现出周期性，故求158被7除的余数即可.∵158＝7×22＋4，而今天是星期一，∴158天后的那一天是星期五.
答案：星期五.
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9.若α是第一象限的角，则180°-α是第____________象限的角.
思路解析：利用不等式法判断.
∵α是第一象限的角，
∴k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z.
∴-k·360°+90°＜180°-α＜-k·360°+180°,k∈Z，画图知，180°-α是第二象限的角.
答案:二
10.设两个集合M={α|α=k·90°+45°,k∈Z}，N={α|α=k·180°-45°,k∈Z},试求M、N之间的关系.
思路分析：由于集合M、N中的角都与k·180°有关，故应采用坐标系将角的终边的范围表示出来，再求解.
解：集合M、N所表示的角的终边分别如图1-（1，2）-6甲和图乙所示：
图1-（1，2）-6
由图可知NM.
11.若θ角的终边与168°角的终边相同，求在［0°，360°）内终边与角的终边相同的角.
思路分析：先写出与168°角终边相同的角，再找在［0°，360°）内的角.
解：θ=k·360°＋168°(k∈Z)，
∴=k·120°+56°(k∈Z).
令0°≤k·120°+56°＜360°(k∈Z)，则k=0,1,2，
∴在［0°，360°）内与终边相同的角有56°，176°，296°.2.7
向量应用举例
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1.过点A（2，3），且垂直于向量a=（2，1）的直线方程为（
）
A.2x+y-7=0
B.2x+y+7=0
C.x-2y+4=0
D.x-2y-4=0
思路解析：利用轨迹法求直线方程.设所求直线上任一点P（x,y）的坐标，则⊥a，又∵=(x-2,y-3)，∴2(x-2)+(y-3)=0，即所求的直线方程为2x+y-7=0.
答案：A
2.(全国高考卷Ⅱ，理8)已知点A（，1），B（0，0）,C（，0）.设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有BC=λ,其中λ等于（
）
A.2
B.
C.-3
D.
思路解析：方法一：在△ABC中，AC=1,BC=,AB=2.∴=2，∴BE=2EC.∴||=3||.
∴|λ|=3.又∵与方向相反，∴λ＜0.
∴λ=-3.
方法二：设E(x,0)，则=(,1)，=(x-,-1),
=(0,1).∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC.又∵cos〈,〉=,cos〈,〉=,
∴=.
∴.
∴，解得x=.
∴E(,0).∴=(,0),
=(-,0).
∴=-3.∴λ=-3.
答案：C
3.在△ABC中，∠C=90°，=(k,1),=(2,3),则k的值是（
）
A.5
B.-5
C.
D.
思路解析：由题意，得=-=(2,3)-(k,1)=(2-k,2)，∵∠C=90°，∴⊥.
∴·=0.∴2(2-k)+3×2=0.∴k=5.
答案：A
4.一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1、水速为v2，已知船垂直到达对岸，则（
）
A.|v1|＜|v2|
B.|v1|＞|v2|
C.|v1|≤|v2|
D.|v1|≥|v2|
思路解析：速度是向量，要使船垂直到达对岸，则向量v1在水流方向上的分量与向量v2大小相等，方向相反，由此即得|v1|＞|v2|.
答案：B
5.(福建高考卷，理11)已知||=1,||=,·=0，点C在∠AOC内，且∠AOC=30°.设=m+n(m,n∈R)，则等于（
）
A.
B.3
C.
D.
思路解析：由已知，不妨设=（1，0），=（0，），=（x0，y0）.
∵∠AOC=30°,∴y0=x0.
∴=(x0,x0).∴=m+n.
∴(x0,x0)=(m,).
∴x0=m,x0=.
∴=3.
答案：B
6.(四川高考卷，理7)如图2-7-8所示,已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是（
）
图2-7-8
A.
B.
C.
D.
思路解析：设边长||=a，则∠P2P1P3=.||=a,
=a·a·=，∠P2P1P4=,|
|=2a,
=a·2a·=a2,
=0,＜0,∴数量积中最大的是.
答案：A
7.(2006东北三校二模，14)已知向量a=(6,2)，b=(-4,
)，直线l过点A(3,-1)且与向量a+2b垂直，则直线l的方程为________________________.
思路解析：由题意，得a+2b=(-2,3)，则直线l的方程为(-2)(x-3)+3(y+1)=0，即2x-3y-9=0.
答案：2x-3y-9=0
我综合
我发展
8.(2005上海春季高考卷，5)在△ABC中，若∠C=90°，AC=BC=4，则·=___________.
思路解析：由于AC=BC，∠C=90°，则△ABC是直角三角形,||=，〈，〉=45°.所以·=||||cos〈,〉=×4×cos45°=16.
答案：16
9.已知三个力F1=（3，4），F2=（2，-5），F3=（x，y）的合力F1+F2+F3=0.
求F3的坐标.
思路分析：把力看成向量，将F1+F2+F3=0变为坐标的形式就可以得到结论.
解：由题设F1+F2+F3=0，得
（3，4）+（2，-5）+（x，y）=（0，0），
即∴
∴F3=（-5，1）.
10,用向量法证明三角形的三条高线交于一点.
思路分析：用向量证明几何问题时，往往要先选择向量基底.我们假设两条高BE、CF交于点H，再证明AH与BC垂直即证明⊥可说明结论成立
证明：已知：如图2-7-9所示.AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF交于一点.
图2-7-9
证法一：设两条高BE、CF交于点H,
设=a，=b,
则-a，-b，=b-a.
∵⊥，⊥，
∴·=0，·=0.
∴（-a）·b=0，（-b）·a=0.
∴（-a）·b=（-b）·a.
化简得·（b-a）=0，即·=0.
∴⊥.
∴AH⊥BC,
即AD、BE、CF交于一点.
证法二：如图2-7-10所示，以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系，设B(c,0),C(m,n),H(m,y).
图2-7-10
则有=(m-c,y),=(m,n),
=(m-c,n)，=(m,y),=(c,0).∵⊥，
∴m(m-c)+ny=0.
解得y=.∴AH=(m,).
∴AH·BC=m(m-c)+n=m(m-c)+mc-m2=0.
∴⊥.∴AH⊥BC.
故AD、BE、CF交于一点.
11.如图2-7-11,有两条相交成60°的直线xx1、yy1,交点为O.甲、乙分别在Ox、Oy1上,起初甲位于离O点3
km的A处,乙位于离O点1
km的B处.后来两个人同时用每小时4
km的速度,甲沿xx1的方向,乙沿yy1的方向运动.
问：(1)起初两个人的距离是多少
(2)什么时候两人的距离最近
图2-7-11
思路分析：把距离转化为向量的长度，以甲、乙两人t时刻的位置和O三点形成三角形,通过对三角形有关量的求解便可实现解题的目的.
解：(1)起初两人分别在A、B两点,则||=3,||=1.
∴||2=(+)2
=2+2·+2
=||2+||2-2||||cos60°
=9+1-2×3×1×=7.
∴||=km,即起初两人相距千米.
(2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，
∵=-，∴||2=(-)2=||2-2·+|OP|2
=||2+||2-2||||cos〈,〉.
当0≤t≤时，||=1-4t,||=3-4t,〈,〉=60°,
||2=(3-4t)2+(1-4t)2-2(3-4t)(1-4t)cos60°=48t2-24t+7.
当＜t≤时，|=|4t-1,|
|=3-4t,〈,〉=120°，
||2=(4t-1)2+(3-4t)2-2(4t-1)(3-4t)cos120°=48t2-24t+7.
当t＞时，||=4t-1,|
|=4t-3,〈,〉=60°,
||2=(4t-1)2+(4t-3)2-2(4t-1)(4t-3)cos60°=48t2-24t+7.
综上得||2=48t2-24t+7=48(t-)2+4,t∈［0,+∞).
∴当t=，即在第15分钟末时，最短，两人最近，最近距离为2
km.3.1
同角三角函数的基本关系
自主广场
我夯基
我达标
1．若sinα=且α是第二象限角,则tanα的值等于（
）
A.-
B.
C.±
D.±
思路解析：利用三角函数值的符号及三角函数基本关系式即可求解.
∵α是第二象限角,
∴cosα=.
∴tanα==×()=-.
答案：A
2．已知sin(π+α)=-，那么cosα的值为（
）
A.±
B.
C.
D.±
思路解析：由已知得sinα=，所以cosα＝±1-sin2α=±.
答案：D
3．已知tan160°=a,则sin2
000°的值是（
）
A.
B.
C.
D.-
思路解析：∵tan160°=-tan20°,∴tan20°=-a.
∴sin2
000°＝sin200°＝-sin20°＝.
答案：A
4．若，则x的取值范围是________________.
思路解析：由=，可得＜0，则有cosx＜0，利用三角函数线或余弦函数的图像得2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z.
答案：(2kπ+,2kπ+)(k∈Z)
5.已知tan(π+α)=-2，求sin(π-α)、sin(-α).
思路分析：对α所在象限分类讨论.
解：∵tan(π+α)=-2，∴tanα=-2.
可列下列方程组
由②得sinα=-2cosα，代入①式整理得5cos2α=1，cos2α=.
又∵tanα=-2＜0，
∴α可为第二、四象限角.
当α为第二象限角时，sin（-α)=cosα=-，sin(π-α)=sinα=；
当α为第四象限角时，sin(-α)=cosα=，sin(π-α)=sinα=-.
6.化简：sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β.
思路分析：化简三角函数式应先看清式子的结构特征，再作有目的的变形.
解：sin2α+sin2β-sin2αsin2β+cos2αcos2β
=sin2α（1-sin2β）+sin2β+cos2αcos2β
=sin2αcos2β+cos2αcos2β+sin2β
=（sin2α+cos2α）cos2β+sin2β
=cos2β+sin2β
=1.
我综合
我发展
7.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=_____________.
思路解析：利用诱导公式，将后半部分的sin89°,sin88°，…，sin46°，分别转化为cos1°,cos2°，…，cos44°，从而构造出平方关系式，得到结论.
答案：
8.(2005福建高考卷，理17)已知-＜x＜0,sinx+cosx=，求sinx-cosx的值.
思路分析：利用sinx+cosx和sinx-cosx的关系求值.
解法一：∵sinx+cosx=，
∴sin2x+2sinxcosx+cos2x=.
∴2sinxcosx=.
∴(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=.
又∵-＜x＜0,∴sinx＜0,cosx＞0,sinx-cosx＜0.
∴sinx-cosx=.
解法二：∵sinx+cosx=，
∴sinx=-cosx.
∴(-cosx)2+cos2x=1.
整理得25cos2x-5cosx-12=0.
∴cosx=或cosx=.
∵-＜x＜0,∴
∴sinx-cosx=.
9.求证：.
思路分析：由于等式两边均很复杂，故用中间量法证明.
证明：左边=
=，
右边=，
∴左边=右边.
∴原等式成立.
10.设f（θ）=，求f（）的值.
思路分析：求三角函数式的值时，应先化简再求值.
解：f（θ）=
=
=
=
=
==cosθ-1,
∴f()=cos-1=-1=-.1.6
余弦函数
自主广场
我夯基
我达标
1.cos600°等于（
）
A.-
B.
C.-
D.
思路解析：利用诱导公式cos600°＝cos(360°+240°)＝cos240°=-cos60°=-.
答案：A
2.已知角α的终边上一点P(1,-2),则sinα+cosα等于（
）
A.-1
B.
C.-
D.-
思路解析：直接利用正弦、余弦函数的定义,分别求出sinα，cosα即可.
答案：C
3.如果α+β=180°，那么下列等式中成立的是（
）
A.cosα=cosβ
B.cosα=-cosβ
C.sinα=-sinβ
D.以上都不对
思路解析：利用诱导公式π-α即可推导.cosα＝cos(180°-β)=-cosβ.
答案：B
4.(2006山东临沂二模，理1)cos(-)+sin(-)的值为（
）
A.
B.
C.
D.
思路解析：cos(-)+sin(-）
=cos-sin=cos-sin=-cos+sin=.
答案：C
5.若，则角α的终边在（
）
A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第二、三象限
D.第一、四象限
思路解析：由题意，得cosα＜0，则角α的终边在第二、三象限.
答案：C
6.化简：+sin(-θ).
思路分析：由三角函数诱导公式，结合同角基本关系化简即可.
解：原式=
=
=
=
=1-sinθ.
我综合
我发展
7.已知y=2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是_________________.
思路解析：如图1-5-10所示，根据余弦函数图像的对称性知y=2cosx(0≤x≤2π)的图像与直线y=2围成的封闭图形的面积等于△ABC的面积.
图1-5-10
由题意，得△ABC的面积为×2π×4=4π，
则所求封闭图形的面积是4π.
答案：4π
8.求下列函数值域：
（1）y=2cos2x+2cosx+1；
（2）y=.
思路分析：利用换元法转化为求二次函数等常见函数的值域.
解：（1）y=2(cosx+)2+，将其看作关于cosx的二次函数，注意到-1≤cosx≤1，
∴当cosx=-时，ymin=；当cosx=1时，ymax=5.
∴y∈［,5］.
（2）由原式得cosx=.
∵-1≤cosx≤1，
∴-1≤≤1.
∴y≥3或y≤.
值域为{y|y≥3或y≤}.
9.求函数y=lgsin(-2x)的最大值.
思路分析：将sin(-2x)化简为-cos2x，然后利用对数函数单调性及余弦函数的有界性求得最大值.
解：sin(-2x)=sin(2π+-2x)=sin(-2x）=-cos2x.
∴y=lgsin(-2x)=lg(-cos2x).
又∵0＜-cos2x≤1，
∴ymax=lg1=0，
即函数y=lgsin(-2x)的最大值为0.
10.已知0≤x≤，求函数y=cos2x-2acosx的最大值M（a）与最小值m（a）.
思路分析：利用换元法转化为求二次函数的最值问题.
解：设cosx=t，
∵0≤x≤，∴0≤t≤1.
∵y=t2-2at=(t-a)2-a2，
∴当a＜0时，m(a)=0,M(a)=1-2a;
当0≤a＜时，m(a)=-a2,M(a)=1-2a；
当≤a＜1时，m(a)=-a2,M(a)=0；
当a≥1时，m(a)=1-2a,M(a)=0.2.6
平面向量数量积的坐标表示
自主广场
我夯基
我达标
1.已知向量a=（-4，7），向量b=（5，2），则a·b的值是（
）
A.34
B.27
C.-43
D.-6
思路解析：依数量积的坐标运算法则解答此题.a·b=-4×5+7×2=-6.
答案：D
2.已知向量a=（2，1），b=（3，x），若（2a-b）⊥b，则x的值是（
）
A.3
B.-1
C.-1或3
D.-3或1
思路解析：欲求x的值，只需建立关于x的方程，由条件（2a-b）⊥b（2a-b）·b=0，即可得出x的方程.∵（2a-b）⊥b，∴（2a-b）·b=2a·b-b2=2×2×3+2×1×x-32-x2=0.整理，得x2-2x-3=0，解得x=-1或3.
答案：C
3．若向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°，且|b|=，则b等于（
）
A.(-3,6)
B.(3,-6)
C.(6,-3)
D.(-6,3)
思路解析：由题意，b与a共线，再结合|b|=，列出关于b的坐标的方程，即可解出.
方法一：设b=λ(-1,2)，且λ＞0，有(-λ)2+(2λ)2=()2b=(-3，6).
方法二：由题意可知，向量a、b共线且方向相反.故可由方向相反排除B，C；由共线可知b=-3a.
答案：A
4．(2006天津高考卷，文12)设向量a与b的夹角为θ，且a=(3,3),2b-a=(-1,1)，则cosθ=________________.
思路解析：由题意，得b=a+(-1,1)=（1,2），则a·b=9，|a|=，|b|=，
∴cosθ=.
答案：
5.已知a=（1，2），b=（1，1），c=b-ka，若c⊥a，则c=_________________.
思路解析：根据a和b的坐标、c的坐标，利用垂直建立关于k的方程，求出k后可得向量c.
答案：（）
6.已知a=（3，-1），b=（1，2），x·a=9与x·b=-4，向量x的坐标为_______________.
思路解析：待定系数法，设出向量x的坐标，利用所给两个关系式得到关于坐标的方程组，再求解.设x=（t，s），由
答案：（2，-3）
7.已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a=（1，2），
（1）若|c|=，且c∥a，求c的坐标；
（2）若|b|=，且a+2b与2a-b垂直，求a与b的夹角θ.
思路分析：（1）欲求向量c，同前面的题目类似，可以设出向量c的坐标，然后建立c的坐标方程，可得解法一.另外注意到c∥a，故存在实数λ，使c=λa，则|c|=|λa|，即|λ|=.故可求出λ，也就能求出c，得解法二.
（2）欲求a与b的夹角θ，可根据cosθ=来求cosθ，然后再求θ.故只需求出ab和|a||b|即可.由题意易知|a||b|，关键是求a·b.又有a+2b与2a-b垂直，故可以得到（a+2b）·（2a－b）=0.进一步可求出a·b的值.
（1）解法一：设c=（x，y）.
∵|c|=，∴=，即x2+y2=20.
①
又c∥a，∴2x－y=0.
②
由①②可得或
即向量c的坐标为（2，4）或（-2，-4）.
解法二：∵c∥a，故可设c=λa，
则|λ|==2.
∴λ=±2.
即向量c的坐标为（2，4）或（-2，-4）.
（2）解：∵a=（1，2），∴|a|=.
又|b|=，故|a||b|=.
又∵（a+2b）⊥（2a-b），
∴（a+2b）·（2a-b）=0，即2a2+3a·b-2b2=0.
∴2×5+3a·b-2×=0，a·b=.
∴cosθ=.
又θ∈［0，π］，
∴θ=π，
即a与b的夹角为π.
我综合
我发展
8.已知a=（3，4），b=（4，3），求实数x、y的值使（xa+yb）⊥a，且|xa+yb|=1.
思路分析：首先写出（xa+yb）的坐标，再根据它与向量a垂直和模为1列出方程组，从而解得x和y的值.
解：由a=（3，4），b=（4，3），有xa+yb=（3x+4y，4x+3y）.
∵（xa+yb）⊥a，
∴（xa+yb）·a=0.
∴3（3x+4y）+4（4x+3y）=0，
即25x+24y=0.①
又∵|xa+yb|=1,
∴（3x+4y）2＋（4x+3y）2=1.
整理得25x2＋48xy+25y2=1.②
由①②联立方程组，解得和
9.(2006全国高考卷Ⅱ，理17)已知向量a=(sinθ，1)，b=(1，cosθ)，-＜θ＜.
（1）若a⊥b，求θ；
（2）求｜a＋b｜的最大值.
思路分析：利用定义直接求得θ.把点的坐标代入｜a＋b｜，先化简再求最值.
解：（1）∵a⊥b，
∴sinθ＋cosθ=0.
∴tanθ=-1(-＜θ＜).
∴θ=.
（2）∵a=(sinθ，1)，b=(1，cosθ)，
∴a+b=(sinθ+1，1+cosθ).
∴｜a+b｜=
=.
当sin(θ+)=1时，|a＋b|取得最大值，
即当θ=时，|a＋b|的最大值为.
10.平面上有两个向量e1=(1,0)，e2=(0,1)，今有动点P，从P0(-1,2)开始沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|e1+e2|，另一动点Q，从点Q0(-2,-1)出发，沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3e1+2e2|.设P，Q在t=0分别在P0,Q0处，则当⊥时，t=___________秒.
思路解析：用t表示出，列出方程即可求解.
∵P0(-1,2),Q0(-2,-1),∴=(-1,-3).
又∵e1+e2=(1,1),∴|e1+e2|=.∵3e1+2e2=(3,2),∴|3e1+2e2|=.
∴当t时刻时,点P的位置为(-1+t,2+t),点Q的位置为(-2+3t,-1+2t).
∴=(-1+2t,-3+t).∵⊥,
∴(-1)×(-1+2t)+(-3)×(-3+t)=0.∴t=2.
答案：2
11.(2006湖北黄冈模拟，16)平面直角坐标系内有点P(1,cosx)、Q(cosx，
1),x∈［,］.
(1)求向量和向量的夹角θ的余弦值；
(2)令f(x)=cosθ，求f(x)的最小值.
思路分析：（1）直接用夹角公式即可求得；（2）利用换元法，再利用函数的单调性求出最小值.
解：(1)由题意，得=(1,cosx),=(cosx,1).
∴·=2cosx，||=，||=.
∴cosθ=.
∴向量和向量的夹角θ的余弦值为.
（2）由(1)得f(x)=,x∈［,］,
设t=cosx,则≤t≤1.∴f(t)=，≤t≤1.
可以证明当≤t≤1时，f(t)=是增函数.
∴f(x)的最小值是f()=.2.3
从速度的倍数到数乘向量
自主广场
我夯基
我达标
1.O是平行四边形ABCD对角线的交点，下列各组向量：①与；②与；③与；④与.其中可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底的是（
）
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
思路解析：平面内任意不共线的两个向量均能构成一组向量基底.通过画图可得①与不共线；②=-，则∥，所以与共线；③与不共线；④=-，则∥，所以与共线.由平面向量基底的概念知①③可以构成平面内所有向量的基底.
答案：B
2.如图2-3-8，矩形ABCD中，若=5e1，=3e2，则等于（
）
图2-3-8
A.（5e1+3e2）
B.（5e1-3e2）
C.（3e2+5e1）
D.（5e2-3e1）
思路解析：用，表示，再代入向量和的值即可.==（-）=（+）=（+）=(5e1+3e2).
答案：A
3.M为△ABC的重心，点D、E、F分别为三边BC、AB、AC的中点，则++为（
）
A.6
B.-6
C.0
D.6
思路解析：如图2-3-9所示，由题意，知设MB的中点为P，连结DP、PE，得平行四边形MDPE，取向量，为一组基底，则有=2=2（+），=-2，=-2，则有++=0.
图2-3-9
答案：C
4.(2006广东高考卷，3)如图2-3-10所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量为（
）
图2-3-10
A.-+
B.--
C.
-
D.+
思路解析：用基向量，表示向量.=+=-+.
答案：A
5.(2006河北石家庄一模，理7)在△ABC中，点D在直线BC上，且=4=r-s，则s+t等于（
）
A.0
B.
C.
D.3
思路解析：如图2-3-11所示，由题意，得点D在线段CB的延长线上.∵=4，∴=.
又∵=-,∴=
(-)=
-,∴r=s=，∴s+t=.
图2-3-11
答案：C
6.在△ABC中，设=m，=n，D、E是边BC上的三等分点，则=_______________,=_______________.
思路解析：由D、E是边BC上的三等分点，可得=,=，转化为已知向量即可.
答案：m+n
m+n
我综合
我发展
7.如图2-3-12，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在线段BD上，且有BN=BD，求证：M，N，C三点共线.
图2-3-12
思路分析：要证M，N，C三点共线，只需证向量与共线即可.
证明：设=a，=b(a,b不共线)，则=+=-=b-a.
∵N是BD的三等分点，
∴==b-b.
而=+=+=a+b-a=a+b，=+=+=a+b，
∴=.
又∵、有共同的起点M，
∴M,N,C三点共线.
8.用向量方法证明：梯形中位线平行于底且等于上、下两底和的一半.
思路分析：用向量证明几何问题，首先要用向量表示几何元素，然后进行向量线性运算，最后作出运算结果的几何意义解释即可.
证明：如图2-3-13，已知梯形ABCD中，E、F是两腰、的中点，求证：∥∥，且||=（||+||）.
图2-3-13
证明：∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴=-，=-,
∵=++，
=++.
∴=（+++++）=（+）.
又∵∥，
∴设=λ(λ∈R).
∴=(+)=(+λ)=.
∴∥.
∵E、F、D、C四点不共线，
∴∥.
同理,可证∥，
∵∥且同向，
∴||=|（+）|=|+|=（||+||）.
∴||=（||+||）.
9.在正六边形ABCDEF中，=a，=b，求,,.
思路分析：由平面几何的知识可知，正六边形的各边长相等，相对的边平行且相等，边长与其外接圆的半径也相等.应用平行向量及相等向量的知识、向量的加法运算，容易用a,b表示所求的向量.
解：如图2-3-14，连结FC交AD于O，连结OB，由平面几何知识得四边形ABOF、四边形ABCO均是平行四边形.
图2-3-14
解法一：根据向量的平行四边形法则有
=+=a+b.
在平行四边形ABCO中，
=+=a+b+a=2a+b.
由正六边形知识知，=2=2a+2b.
又=+,且=-,
∴=-=2a+2b-a=a+2b.
解法二：根据向量的平行四边形法则有
=+=a+b.
∵=，∴=a+b.
根据向量加法的三角形法则得
=+，
∴=a+b+a=2a+b.
又∵==b，
∴=+=2a+b+b=2a+2b.
=+=-=2a+2b-a=a+2b.
10.设x为未知向量，解方程x+3a-b=0.
思路分析：这是一个关于未知向量的向量方程，由于向量具有许多与数相同的运算性质，我们可以按照解关于数的方法来解这个方程.
解：原方程可化为x+(3a-b)=0，
∴x=-(3a-b）.
∴x=-9a+b.
11.如图2-3-15，在平行四边形PQRS中，在PQ、QR、RS、SP上分别取点K、L、M、N，其中K、N分别为PQ，PS的中点，QL=QR,SM=SR，设KM与LN交于A点，=q，=s，试用q,s表示.
图2-3-15
思路分析：由于，而=，关键是求.又由于与共线，而可用q,s表示，这样可以求得一个关于q,s的分解式(含参数).同样，利用,还可求得另一个关于q,s的分解式(也含参数).由于关于q,s的分解式的唯一性，就可得到含参数的两个方程，解出参数值，问题得到解决.
解：∵与共线，
∴存在实数λ1，使=λ1.
∵=,K为的中点，
=,=-,=，
∴=+(-)=，
即=q+s.
∴=-q+λ1s.
∵=+,K为的中点，
∴=q-q+λ1s，即=（-)q+λ1s.
同样，设=λ2，
==+-=-=q-s，
∴=+λ2=s+λ2q-s=(-)s+λ2q.
∵关于q,s的分解式是唯一的，
∴解得
∴=.2.5
从力做的功到向量的数量积
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1．给出下列等式：
①a·0=0；②0·a=0；③0-=；④|a·b|=|a||b|；⑤若a≠0，则对任一非零向量b有a·b≠0；⑥a·b=0，则a与b中至少有一个为0；⑦a与b是两个单位向量，则a2=b2.
以上成立的是（
）
A.①②③⑥⑦
B.③④⑦
C.②③④⑤
D.③⑦
思路解析：按照定义、性质、运算律作答即可.
对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有a·0=0，故①错；
对于②：应有a·0=0，故②错；
对于③：很明显正确；
对于④：由数量积定义，有|a·b|=|a||b||cosθ|≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ=0或θ=π时，才有|a·b|=|a||b|，故④错；
对于⑤：若非零向量a、b垂直，有a·b=0，故⑤错；
对于⑥：由a·b=0可知a⊥b，即可以都非零，故⑥错；
对于⑦：a2-b2=|a|2-|b|2=1-1=0，故⑦正确.
答案：D
2．（北京高考卷，理3）若|a|=1，|b|=2，c=a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为（
）
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
思路解析：要求a与b的夹角，根据夹角公式需先求夹角的余弦值，再结合夹角的范围确定其值.设a与b的夹角为θ.∵c⊥a，∴c·a=0.∴（a＋b）·a=0.
∴|a|2+b·a=0.∴b·a=-1.
∴cosθ=.
又∵0°≤θ≤180°，∴θ=120°.
答案：C
3．已知△ABC中，=a，=b，当a·b＜0和a·b=0时，△ABC的形状分别是（
）
A.钝角三角形，直角三角形
B.锐角三角形，直角三角形
C.锐角三角形，钝角三角形
D.锐角三角形，斜三角形
思路解析：由a·b＜0可知a与b的夹角为钝角，即∠A是钝角；当a·b=0时，可知a与b的夹角为直角，即△ABC是直角三角形.
答案：A
4．（辽宁高考卷，理12）设O（0，0）,A（1，0）,B（0，1）,点P是线段AB上的一个动点,=λ,若·≥·,则实数λ的取值范围是（
）
A.≤λ≤1
B.1≤λ≤1
C.≤λ≤1+
D.1≤λ≤1+
思路解析：由题意得=λ=(1-λ)+λ=(1-λ,λ)，=-=(1-λ)
=(λ-1,1-λ),
=λ=（-λ,λ）,又∵·≥·，∴(1-λ,λ)·(-1,1)≥（λ,-λ)·(λ-1,1-λ).
∴2λ2-4λ+1≤0.∴1≤λ≤1+.因点P是线段上的一个动点,所以0≤λ≤1,即满足条件的实数λ的取值范围是1≤λ≤1.
答案：B
5．（湖南高考卷，理,5）已知|a|=2|b|≠0且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是（
）
A.［0，］
B.［，π］
C.［,］
D.［，π］
思路解析：∵|a|=2|b|≠0，且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根，∴|a|2-4a·b≥0.∴a·b≤|a|2=|b|2.∴cos〈a,b〉==，∴θ∈［,π］.
答案：B
6.已知e为单位向量，|a|=4，a与e的夹角为，则a在e方向上的投影为______________.
思路解析：由向量在另一方向上投影的定义解答此题.投影为=|a|·cos=－2.
答案：－2
7.已知|a|=10，|b|=12，a与b的夹角为120°，求：
（1）a·b；
（2）（3a）·（b）；
（3）（3b－2a）·（4a+b）.
思路分析：第（1）题直接由定义可得，（2）和（3）则利用向量数量积的运算律计算.
解：（1）a·b=|a||b|cosθ=10×12×cos120°=-60.
（2）（3a）·（b）=（a·b）=×（-60）=-36.
（3）（3b－2a）·（4a+b）=12b·a+3b2-8a2-2a·b=10a·b+3|b|2-8|a|2=10×（-60）+3×122-8×102=-968.
我综合
我发展
8.已知向量=a，=b，∠AOB=60°，且|a|=|b|=4.
(1)求|a+b|,|a-b|；
(2)求a+b与a的夹角；a-b与a的夹角.
思路分析：本题可以直接利用长度公式和夹角公式求解；也可利用已知条件画出图形，数形结合.
解法一：（1）|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=|a|2+2|a||b|cos60°+|b|2=42+2×4×4cos60°+42=16+16+16
=48,
∴|a+b|=43.
|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=|a|2-2|a||b|cos60°+|b|2
=42-2×4×4cos60°+42=16-16+16=16,
∴|a-b|=4.
(2)记a+b与a的夹角为α，a-b与a的夹角为β.
则cosα=，∴α=30°.
cosβ=∴β=60°.
解法二：如图2-5-8所示，以、为邻边作平行四边形OACB.
图2-5-8
∵|a|=|b|=4，∴四边形OACB为菱形.
(1)a+b=+=，a-b==，又∠AOB=60°，
∴|a+b|=||=2||=2××4=.a-b=||=4.
(2)在△OAC中，∠OAC=120°，
∴∠COA=∠OCA=30°.a+b与a的夹角即∠COA=30°，
a-b与a的夹角即与所成的角为60°.
9.向量e1、e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
思路分析：向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，则它们的数量积应当小于零，由此可得关于t的不等式，解之即得.
解：∵e12=4，e22=1，e1·e2=2×1×cos60°=1，
∴（2te1+7e2）·（e1+te2）=2te12+（2t2+7）e1·e2+7te22=2t2+15t+7.
∵向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，
∴2t2+15t+7＜0.
∴－7＜t＜－.
设2te1+7e2=λ（e1+te2）（λ＜0），则2t=λ，且7=tλ，
∴2t2=7.
∴t=，λ=.
∴当t=时，2te1+7e2与e1+te2的夹角为π.
∴实数t的取值范围是（-7，）∪（，-）.
10.四边形ABCD中，=a，=b，CD=c，=d，且a·b=b·c=c·d=d·a，试问四边形ABCD是什么图形
思路分析：四边形的形状由边角关系确定，由题设条件演变，推算该四边形的边角关系.
解：由题意，得a+b+c+d=0，
∴a+b=-(c+d）.
∴（a+b）2=（c+d）2，
即|a|2+2a·b+|b|2=|c|2+2c·d+|d|2.
由于a·b=c·d，
∴|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.①
同理，有|a|2+|d|2=|c|2+|b|2.②
由①②可得|a|=|c|且|b|=|d|，即四边形ABCD的两组对边分别相等，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵a·b=b·c，∴b·（a－c）=0.
由平行四边形ABCD可得c=－a，代入上式得b·（2a）=0，
即a·b=0.
∴a⊥b，
即AB⊥BC.
综上所述，四边形ABCD是矩形.2.2
从位移的合成到向量的加法
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1.正方形ABCD的边长为1，则|+++|为（
）
A.1
B.
C.3
D.
思路解析：|+++|=2||=.
答案：D
2.如图2-2-10，四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是（
）
图2-2-10
A.+=
B.+=
C.+=
D.+=
思路解析：由三角形法则和平行四边形法则知，+=，A错；+=，B错；+=，D错.C中+=+==，故C是正确的.
答案：C
3.已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a+b的方向（
）
A.与向量a方向相同
B.与向量a方向相反
C.与向量b方向相同
D.与向量b方向相反
思路解析：已知a平行于b，如果a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a的方向相同，如果它们的方向相反，因为a的模大于b的模，所以它们的和仍然与a的方向相同.
答案：A
4.设a表示“向东走了2千米”，b表示“向南走了2千米”，c表示“向西走了2千米”，d表示“向北走了2千米”，则
（1）a+d表示向____________走了____________千米；
（2）b+c表示向____________走了____________千米；
(3)a+c+d表示向____________走了____________千米；
(4)b+c+d表示向____________走了____________千米；
(5)若a表示向东走8
km，b表示向北走8
km，则|a+b|=____________km，a+b的方向是____________.
思路分析：用向量表示位移，进行向量运算后，回扣物理意义即可.
答案：（1）东北
（2）西南
(3)北
2
(4)西
2
(5)
东偏北45°
我综合
我发展
5.化简下列各式:
(1)++；
（2）.
思路分析：结合图形，并运用向量加减法的运算律来化简.
解：(1)原式=+（+）=+=0；
(2)原式=.
6.在重300
N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°(如图2-2-11)，当重物平衡时，求两根绳子拉力的大小.
图2-2-11
思路分析：此题中力的分解实质上是寻找两个向量，使其和向量为一竖直向量.
解：如图2-2-12所示，作平行四边形OACB，使∠AOC=30°，∠BOC=60°，
图2-2-12
在△OAC中，∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°，
∴||=||cos30°=×300=1503(N),
||=||sin30°=×300=150(N).
∴||=||=150（N）,
即与铅垂线的夹角为30°的绳子拉力是N，与铅垂线的夹角为60°的绳子的拉力是150
N.
7.一艘渔船在航行中遇险，发出警报，在遇险处西10
n
mile处有一艘货船收到警报后立即侦察，发现渔船正向正南方向以9
n
mile/h的速度向一小岛靠近，货船的最大航速为18
n
mile/h，要想尽快将这只渔船救出险境，求货船的行驶方向和所用时间.
思路分析：根据实际条件，用向量表示位移，作出图形，解决几何问题即可.
解：如图2-2-13所示，渔船在A处遇险，货船在B处，货船在C处与渔船相遇，
图2-2-13
设所用时间为t，由已知得△ABC为直角三角形，
则||=10,||=9t,||=18t.
由勾股定理得
||2=||2+||2.
∴182t2=100+92t2.
∴t2=.
∴t≈0.64.
sin∠ABC=，
∴∠ABC=30°.
∴货船应沿东偏南30°的方向行驶，最快可用0.64小时将渔船救出险境.2.1
从位移、速度、力到向量
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1.把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是（
）
A.一条线段
B.一段圆弧
C.两个孤立点
D.一个圆
思路解析：由单位向量的定义可知，如果把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，则所有的终点到这个起点的距离相等，且等于1，这样的图形显然是一个圆.
答案：D
2.下列命题正确的是（
）
A.若|a|=0，则a=0
B.若|a|=|b|，则a=b
C.若|a|=|b|，则a∥b
D.若a∥b，则a=b
思路解析：考虑向量的相等关系，必须同时考虑它的大小和方向.当|a|=|b|时，只说明a与b的长度相等，无法确定方向，故B、C均错;当a与b平行时，只说明方向相同或相反，没有长度的关系，不能确定相等，故D错.
答案：A
3.下列说法中不正确的是（
）
A.向量的长度与向量的长度相等
B.任何一个非零向量都可以平行移动
C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D.两个有共同起点且共线的向量的终点必相同
思路解析：两个有共同起点且共线的向量，它们的方向可能相反，而且它们的长度也有可能不同，所以D不正确.
答案：D
4.下列说法：
①两个有公共起点且长度相等的向量，其终点可能不同；
②若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线；
③若a∥b且b∥c，则a∥c；④当且仅当=时，四边形ABCD是平行四边形.
正确的个数为（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
思路解析：①正确；
②不正确，这是由于向量的共线与表示向量的有向线段共线是两个不同的概念；
③不正确，假设向量b为零向量，因为零向量与任何一个向量都平行，符合a∥b且b∥c的条件，但结论a∥c却不能成立；
④正确，这是因为四边形ABCD是平行四边形AB∥DC且AB=DC，即和相等.
答案：C
5.下列说法中正确的是（
）
A.若|a|＞|b|，则a＞b
B.若|a|=|b|，则a=b
C.若a=b，则a∥b
D.若a≠b，则a与b不是共线向量
思路解析：向量不能比较大小，所以A不正确；当|a|=|b|时，它们的方向不一定相同，所以B不正确；a∥b是共线向量只需方向相同或相反，所以D不正确.
答案：C
6.若a0是a的单位向量，则a与a0的方向____________，与a0的长度.
思路解析：一个向量的单位向量和这个向量本身共线；向量a的单位向量定义为.
答案：相同
相等
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7.给出以下5个条件：①a=b；②|a|=|b|；③a与b的方向相反；④|a|=0或|b|=0；⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是__________.
思路解析：模相等的向量的方向不确定，②不正确；单位向量不一定是共线向量;⑤不能使a与b共线成立.
答案：①③④
8.如图2-1-4，D、E、F分别是等腰Rt△ABC的各边中点，∠BAC=90°.
图2-1-4
（1）分别写出图中与向量、长度相等的向量；
（2）分别写出图中与向量、相等的向量；
(3)分别写出图中与向量、共线的向量.
思路分析：相等向量要考虑两个向量的大小、方向，共线向量只考虑方向是否相同或相反，向量的长度只考虑大小不考虑方向.
解：（1）与长度相等的向量有：，，，；与长度相等的向量有：，，，，，，，，，.
（2）与向量相等的向量有：，；与向量相等的向量有：，.
(3)与向量共线的向量有：，，，，，，；与向量共线的向量有：FD，，，，，，.
9/已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2
000
km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2
000
km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向 丁地距甲地多远
思路分析：本题用向量解决物理问题，首先用向量表示位移，作出图形，然后解平面几何问题即可.
解：如图2-1-5，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，
图2-1-5
由题意知，△ABC是正三角形，
∴AC=2
000
km.
又∵∠ACD=45°，CD=km，
∴△ACD是直角三角形.
∴AD=
km，∠CAD=45°.
∴丁地在甲地的东南方向，丁地距甲地km.1.9
三角函数的简单应用
自主广场
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1.已知sinA=，角A是△ABC的一个内角，则角A的度数为（
）
A.
B.
C.或
D.或
思路解析：∵角A是△ABC的一个内角，∴0＜A＜π.
∴A＝或.
答案：C
2.如图3-3-4所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离为s
cm和时间t
s的函数关系式为s=6sin(2πt+)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（
）
图3-3-4
A.2π
s
B.π
s
C.1
s
D.
2
s
思路解析：单摆来回摆动一次所需的时间为此函数的一个周期,则T==1.
答案：C
3.图3-3-5是一弹簧振子作简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是______________.
图3-3-5
思路解析：设函数解析式为y=Asin(ωx+φ)，
由图像可知A=2，T=2×(0.5-0.1)=，
∴ω=.∴y=2sin(x+φ).
由图像得×0.1+φ=.∴φ=.
∴函数的解析式为y=2sin(x+).
答案：y=2sin(x+)
4.甲、乙两楼相距60米，从乙楼底部望甲楼的顶部的仰角为45°，从甲楼的顶部望乙楼的顶部的俯角为30°，则甲、乙两楼的高度分别为_________________.
图3-3-6
思路解析：如图3-3-6，甲楼的高度AC=AB=60米.
在Rt△CDE中，DE=CE·tan30°=60×=20(米)
即乙楼的高度为BD=BE-DE=(60-20)米.
答案：60米和(60-20)米
5.一树干被台风吹折，断裂部分与原树干成60°角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度为________________.
图3-3-7
思路解析：如图3-3-7所示，BC=20tan30°=,
AB=，
所以树干原来的高度为AB+BC=20（米）.
答案：20米
6.(2006全国高考卷，理17)△ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，cosA+2cos取得最大值，并求出这个最大值.
思路分析：转化为求关于sin的二次函数的最值.
解：∵A+B+C=π，
∴=-.
∴cos=sin.
∴cosA+2cos=cosA+2sin=1-2sin2+
2sin=-2(sin-)2+.
∴当sin=，
即A=时，
cosA+2cos取得最大值为.
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7.某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦曲线变化.
（1）画出种群数量关于时间变化的图像；
（2）求出种群数量作为时间t的函数表达式（其中t以年初以来的月为计量单位）.
解：（1）种群数量关于时间变化的图像如图3-3-8所示.
图3-3-8
（2）设表示该曲线的三角函数为y=Asin(ωx+φ)+k.
由已知平均数量为800，最高数量与最低数量之差为200，数量变化周期为12个月，
∴振幅A==100，
即ω==,k=800.
又7月1日种群数量达到最高，
∴×7+φ=-.
∴φ=-.
∴种群数量关于时间t的函数表达式为y=100sin(t-4)+800.
8.(2006山西太原模拟)已知向量a=(sinB，1-cosB)与向量b=(2，0)的夹角为，其中B是△ABC的内角，求角B的大小.
思路分析：先利用夹角公式求B的余弦值，再确定大小.
解：由题意，得a·b=2sinB，∣a∣=，∣b∣=2.
∴
cos.
整理，得2cos2B-cosB-1=0.
解得cosB=-1（舍去）或cosB=-.
又∵B是△ABC的内角，
∴0＜B＜π.∴B=.
9.(经典回放）如图3-3-9，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.
3-3-9
(1)求这段时间的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
思路解析:根据A、ω、φ、b对图像的影响确定解析式.
解:(1)由图3-3-9所示，
这段时间的最大温差是30-10=20(℃)；
(2)从图中可以看出，
从6时到14时的图像是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图像.
∴·=14-6，解得ω=.
由图知A=
(30-10)=10，
b=
(30+10)=20，
这时y=10sin(x+φ)+20，
将x=6，y=10代入上式，可取φ=,
综上,所求的解析式为y=10sin(x+)+20，x∈［6，14］.1.5
正弦函数
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1.(江苏高考卷，1)已知a∈R，函数f(x)=sinx-|a|,x∈R为奇函数，则a等于（
）
A.0
B.1
C.-
1
D.±1
思路解析：方法一:由题意，可知f(-x)=-f(x)，得a=0；
方法二:函数的定义域为R,又f(x)为奇函数,故其图像必过原点,即f(0)=0,所以得a=0.
答案：A
2.设f(x)(k∈R)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(1)=-1，则f(11)的值是（
）
A.-1
B.1
C.2
D.-2
思路解析：由f(x)为奇函数，得f(-x)＝-f(x)，f(-1)＝-f(1)＝1.又f(x)的周期为3，故f(11)＝f(3×4-1)＝f(-1)＝1.
答案：B
3.若sin（π-α）=，则sin（-5π+α）的值为（
）
A.-
B.
C.±
D.0
思路解析：由sin（π-α）=sinα，知sinα=，sin（-5π+α）=sin（-6π+π+α）=sin（π+α）=-sinα，∴sin（-5π+α）=.
答案：B
4.已知sinα=，且α是第三象限的角，P（m，n）是角α终边上一点，且|OP|=，则m-n等于（
）
A.2
B.-2
C.4
D.-4
思路解析：由题意，得m2+n2=10.
解得或（舍去）.m-n=-1-（-3）=2.
答案：A
5.设sinx=t-3，x∈R，则t的取值范围是（
）
A.R
B.（2，4）
C.（-2，2）
D.［2，4］
思路解析：当x∈R时，-1≤sinx≤1，
∴-1≤t-3≤1.∴2≤t≤4.
答案：D
6.若sinx＞，则x的取值满足（
）
A.k·360°+60°＜x＜k·360°+120°（k∈Z）
B.60°＜x＜120°
C.k·360°+15°＜x＜k·360°+75°（k∈Z）
D.k·180°+30°＜x＜k·180°+150°（k∈Z）
思路解析：可借助于正弦函数图像来解决.画出正弦曲线草图，可确定满足sinx＞的x应是k·360°+60°＜x＜k·360°+120°（k∈Z）.
答案：A
7.(安徽高考卷，理15)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=，若f(1)=-5,则f［f(5)］=__________________.
思路解析：∵f(x+2)=,∴f(x+4)==f(x).
∴函数f(x)是周期函数，4是一个周期.
∴f(5)=f(1+4)=f(1)=-5.
∴f［f(5)］=f(-5)=f(-1)==.
答案：
8.已知角α的终边经过点P（3，4t），t≠0，且sinα=，求实数t的值.
思路分析：应用三角函数的定义求解.
解：∵sinα=＜0，
∴α的终边在第三、四象限.
又∵点P（3，4t）在角α的终边上，
∴t＜0.
由题意得sinα=，
所以有=，
解方程得t=.
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9.(上海高考卷，理10)函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈［0,2π］的图像与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_______________.
思路解析：f(x)=
图像如图1-4-8所示，由图可知，若y=f(x)与y=k图像有且仅有两个交点，则k的范围是1＜k＜3.
图1-4-8
答案：1＜k＜3
10.设x∈(0,π),则的最小值是__________________.
思路解析：利用换元法转化为求常见函数的最值.设sinx=t，∵x∈(0,π),∴0＜t≤1.
∴.
可以证明当0＜t≤1时，函数y=是减函数.
∴当t=1时，y取最小值，即的最小值是.
答案：
11.判断方程sinx=的根的个数.
思路分析：这是一个超越方程，无法直接求解，考虑数形结合，转化为函数y=的图像与函数y=sinx的图像交点个数，借助图形直观求解.
解：如图1-4-9所示，当x≥4π时，≥＞1≥sinx，当0＜x＜4π时，sin=1＞=，从而x＞0时，有3个交点，由对称性x＜0时，也有3个交点，加上原点，一共有7个交点.所以方程的根有7个.
图1-4-9
12.若角β的终边在经过点P(,-1)的直线上，写出角β的集合；当β∈(-360°,360°)时，求角β.
思路分析：先求出在［0°,360°）内的角β，再扩充到任意角.
解：∵P(,-1)，
∴x=,y=-1,r=
∴sinβ==-＜0.
又∵P在第四象限，
∴角β的终边在第二或四象限.
在［0°,360°)内，β=330°或150°，
∴角β的集合是{β|β=k·180°+150°,k∈Z｝.
令-360°＜k·180°+150°＜360°，
得＜k＜．
又∵k∈Z，∴k=-2,-1,0,1.
∴当β∈(-360°，360°）时，
β=-210°，-30°，150°，330°.1.7
正切函数
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1.(北京西城5月抽样，理1)sin600°＋tan240°的值是（
）
A.-
B.
C.-+
D.+
思路解析：sin600°+tan240°=sin(360°+240°)+tan(180°+60°)=sin240°+tan60°=-sin60°+tan60°
=-+.
答案：C
2.若tanx=且x∈（-，），则x等于…（
）
A.
B.-
C.-
D.
思路解析：由正切函数的图像知在（-，）内仅有tan(-)=，x=-.
答案：B
3.要得到y=tan2x的图像，只需将y=tan(2x+)的图像（
）
A.向左平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向右平移个单位
思路解析：因为y=tan2(x+)，所以将其向右平移个单位可得y=tan2x的图像.
答案：D
4函数y=2tan(3x+)-5的单调递增区间是_______________.
思路解析：令kπ-＜3x+＜kπ+
(k∈Z)，得-＜x＜+.
答案：(-,+)(k∈Z)
5.求函数y=的定义域.
思路分析：利用正切函数的图像得定义域.
解：x的取值需满足tanx-1≥0，即tanx≥1.
画出正切函数的图像，则在(-,)内，≤x＜.
则x的取值满足kπ+≤x＜kπ+
(k∈Z)，
即函数的定义域是［kπ+,kπ+)(k∈Z).
6.已知tanα=2，利用三角函数的定义，求sinα和cosα.
思路分析：在α的终边上取一点P(a,2a)，其中a≠0，利用三角函数的定义求得.注意要对α所在的象限分类讨论.
解：在α的终边上取一点P(a,2a)，则有x=a,y=2a,r=.
∵tanα=2＞0，
∴α在第一象限或第三象限.
当α在第一象限时，a＞0，则r=a.
∴sinα===,cosα===.
当α在第三象限时，a＜0,则r=-a.
∴sinα==，cosα=.
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7.判断函数y=的奇偶性.
思路分析：先求定义域，再确定f(-x)与f(x)的关系.
解：要使函数有意义，则cosx≠0，得函数定义域是{x|x≠kπ+,k∈Z}.
f(-x)=
=
=
=-f(x),
∴y=是奇函数.
8.已知sin(α+β)=1，化简:tan(2α+β)+tanβ.
思路分析：由sin(α+β)=1,得到α+β=2kπ+，即α＝2kπ+-β.然后利用诱导公式进行化简.
解：∵sin(α+β)=1，
∴α+β=2kπ+
(k∈Z).
∴α=2kπ+-β(k∈Z).
∴tan(2α+β)+tanβ
=tan［2(2kπ+-β)+β］+tanβ
=tan(4kπ+π-β)+tanβ
=tan(π-β)+tanβ
=-tanβ+tanβ=0.
∴tan(2α+β)+tanβ=0.
9.已知函数f(x)=tanx,x∈(0,
)，若x1,x2∈(0,
)且x1≠x2，试比较［f(x1)+f(x2)］与f()的大小.
思路分析：数形结合,利用正切函数的图像性质构造图形证明.
解：f(x)=tanx,x∈(0,)的图像如图1-6-6所示，
图1-6-6
则f(x1)=AA1,f(x2)=BB1，f()=CC1，
C1D是直角梯形AA1B1B的中位线.
所以［f(x1)+f(x2)］=(AA1+BB1)=DC1＞CC1=f(),
即［f(x1)+f(x2)］＞f().
10.根据正切函数的图像，写出不等式3+tan2x≥0成立的x的取值集合.
思路分析：不等式3+tan2x≥0等价于tan2x≥-，再利用正切函数的图像解得.
解：如图1-6-7所示，在同一坐标系中画出函数y=tanx,x∈(-,)的图像和直线y=-.
图1-6-7
由图,得在区间(-,)内，不等式tanx≥-的解是-≤x＜.
∴在{x|x≠kπ+,k∈Z}内，不等式tanx≥-的解是kπ-≤x＜kπ+(k∈Z).
令kπ-≤2x＜kπ+
(k∈Z),
得-≤x＜+(k∈Z),即不等式3+tan2x≥0成立的x的取值集合是［-,+）(k∈Z).2.4
平面向量的坐标
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1.若向量a=（3，2），b=（0，-1），则向量2b-a的坐标是（
）
A.（3，-4）
B.（-3，4）
C.（3，4）
D.（-3，-4）
思路解析：依向量的坐标运算解答此题.2b-a=（0，-2）-（3，2）=（-3，-4）.
答案：D
2.(1国防科技工业第四次联考，3)已知向量a=（1，2），b=(-3,2),且向量ka+b与lb+a平行，则实数k,l满足的关系式为（
）
A.kl=-1
B.k+l=0
C.l-k=0
D.kl=1
思路解析：∵ka+b=(k-3,2k+2)，lb+a=(-3l+1,2l+2)，∴(k-3)(2l+2)-(2k+2)(-3l+1)=0.整理得kl=1.
答案：D
3.(山东高考卷，理5)设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2)，若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为（
）
A.(2,6)
B.(-2,6)
C.(2,-6)
D.(-2,-6)
思路解析：由题意，得4a+4b－2c+2(a－c)+d=0，代入向量的坐标即可求得向量d.
答案：D
4.与a=（12，5）平行的单位向量为（
）
A.（，-）
B.（-，-）
C.（，）或（-，-）
D.（±，±）
思路解析：利用平行与单位向量两个条件，即可求得.
答案：C
5.(山东临沂二模，理5)已知向量a=（8，x），b=（x，1），其中x＞0，若(a-2b)∥(2a+b)，则x的值为（
）
A.4
B.8
C.0
D.2
思路解析：利用向量共线的坐标表示得方程.∵a-2b=(8-2x,
x-2),2a+b=(16+x,x+1),∴(8-2x)(x+1)-(
x-2)(16+x)=0.∴x=4或x=-5（舍去）.
答案：A
6.下列各组向量：①e1=（－1，2），e2=（5，7）；②e1=（3，5），e2=（6，10）；③e1=（2，－3），e2=（，-）.其中能作为平面内所有向量的基底的是_____________________.
思路解析：由平面向量基本定理知只要不共线的两向量就可以作为基底，故可由共线向量定理的坐标表示加以选取.易知仅有①中两向量－1×7－2×5≠0，故为①.
答案：①
7.已知向量=（6，1），=（x，y），=（-2，-3），当∥时，求实数x、y应满足的关系.
思路分析：利用向量共线的坐标表示.
解：由题意，得
=-=-(++）=-［（6，1）+（x，y）+（-2，-3）］=（-x-4，-y+2），
=（x，y），
又∵∥，
∴x(-y+2）-y·（-x-4）=0.
解得y=-x,
即x，y应满足y=－x.
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8.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（-1，3），若C点满足=α+β，其中，α，β∈R，且α+β=1,则点C的轨迹方程的形状是__________________.
思路解析：∵α+β=1,∴β=1-α.∴=α+(1-α).∴-=α().
∴=α.∴A、B、C三点共线.∴点C的轨迹方程是直线.
答案：直线
9.平面内给定三个向量：a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
（1）求3a+b-2c；
（2）求满足a=mb+nc的实数m和n；
(3)若(a+kc)∥(2b-a)，求实数k.
思路分析：根据向量的坐标运算法则及两个向量平行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解.
解：（1）3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(9-1-8,6+2-2)=(0,6).
（2）∵a=mb+nc,m,n∈R，
∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).
∴解得
∴m=,n=.
(3)∵a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2)，
又∵(a+kc)∥(2b-a)，
∴(3+4k)×2-(-5)×(2+k)=0.
∴k=.
10.已知向量u=(x,y)，v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)来表示.
（1）证明对于任意向量a,b及常数m,n恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立；
（2）求使f(c)=(p,q)(p,q为常数)的向量c的坐标.
思路分析：此题应将题设条件中的向量坐标化，通过坐标进行运算.
（1）证明：设a=(a1,a2),b=(b1,b2)，
则ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2).
∴f(ma+nb)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1),
mf(a)+nf(b)=m(a2,2a2-a1)+n(b2,2b2-b1)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1).
∴f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.
（2）解：设c=(x,y)则f(c)=(y,2y-x)=(p,q).
∴解得
∴c=(2p-q,p).
11.已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及=+t，
求：（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限
（2）四边形OABP能否构成平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
思路分析：首先把向量表示为坐标的形式，再利用点在x轴上、y轴上、第二象限内的特征，得到坐标的条件；要看四边形OABP能否构成平行四边形，就要看能否找到t，使=，即对边所在的直线平行且相等.
解：（1）=+t=（1+3t，2+3t）.
若P在x轴上，只需2+3t=0，所以t=-.
若P在y轴上，只需1+3t=0，所以t=.
若P在第二象限，只需∴-＜t＜.
（2）因为=（1，2），=（3－3t，3－3t），
若OABP为平行四边形，则=.
由于方程无解，
故四边形OABP不能构成平行四边形.1.3
弧度制
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1．下列命题中，错误的是（
）
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.一度的角是周角的，一弧度的角是周角的
C.根据弧度的定义，180°等于π弧度
D.不论用角度制还是用弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关
思路解析：由角和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与半径的长短无关，只与弧长与半径的比值有关.
答案：D
2．α是第三象限的角，则π+α是（
）
A.第一象限的角
B.第二象限的角
C.第三象限的角
D.第四象限的角
思路解析：结合图形，π+α可以看成将α按顺时针旋转π得到的，则π+α是第一象限的角.
答案：A
3.如果一扇形的圆心角为72°，半径等于20
cm，则扇形的面积为（
）
A.40π
cm2
B.80π
cm2
C.40
cm2
D.80
cm2
思路解析：先把角度化为弧度，然后利用弧度制下的扇形面积公式即可解出.72°=,S=|α|r2=××202=80π
cm2.
答案：B
4．若扇形的面积是1
cm2，它的周长是4
cm，则扇形圆心角的弧度数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
思路解析：设扇形的半径为Ｒ，弧长为l，由已知条件可知解得所以扇形的圆心角度数为=2.
答案：B
5．若α、β满足-＜α＜β＜，则α-2β的取值范围是____________________.
思路解析：由题意,得-＜α＜，-π＜-2β＜π，∴-＜α-2β＜.
答案：(-,)
6.1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及扇形的面积.
思路分析：解决此问题的关键是求圆的直径.
图1-3-5
解：如图所示，作OC⊥AB于C，
则C为AB的中点，且AC=1，∠AOC=，∴r=OA==.
则弧长l=|α|·r=，面积S=lr=.
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7.在直径为10
cm的轮子上有一长为6cm的弦，P为弦的中点，轮子以每秒５弧度的角速度旋转，求经过５秒钟后，点P转过的弧长.
思路分析：P点在一新圆上，所以要求点P转过的弧长，需先求新圆的半径.
解：P到圆心O的距离PO==4（cm），即点P所在新圆的半径为4，又点P转过的角的弧度数α=5×5=25，所以弧长为α·OP=25×4=100（cm）.即点P转过的弧长为100
cm.
8.如图1-3-6,动点P、Q从点(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P、Q第一次相遇时所用的时间，相遇点的坐标及P、Q点各自走过的弧长.
图1-3-6
思路分析：利用方程思想，结合题意，求出第一次相遇的时间；利用解直角三角形的知识，根据点所处位置，确定相遇点坐标；（3）利用弧长公式求弧长.
解：设P、Q第一次相遇时所用的时间是t，则t·+t·|-|=2π，所以t=4（秒），即第一次相遇的时间为4秒，设第一次相遇点为C，则第一次相遇时已运动到终边在·4=的位置，则xC=-cos·4=-2,yC=-sin·4=-，所以C点的坐标为(-2,-
)，P点走过的弧长为·4=；Q点走过的弧长为·4=.
9.将钟表上的时针作为角的始边，分针作为终边，那么当钟表上显示8点5分时，时针与分针构成的角度是_____________.
思路解析：本题应从任意角的概念出发，研究时针与分针所构成的角α，其中有正角、负角，共有无穷多个角.要求这无穷多个角，可先求出在-360°—0°范围内的角∠AOB.∠AOB＝-(×360°×+90°+×360°)=-147.5°,所以角α可表示为α＝k·360°-147.5°（k∈Z）
答案：k·360°-147.5°（k∈Z）
10.如图1-3-7，已知一长为dm，宽为1
dm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木板挡住，且木块底面与桌面成角为，求点A走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积.
图1-3-7
思路分析：A点首先以B为圆心，以2为半径旋转达到A1的位置；再以C为圆心，以1为半径旋转到A2的位置；然后以A2为圆心旋转，最后以D为圆心，以3为半径转过到达A3，A点走过的路程将包括三段弧，将这三段弧长及三个扇形面积分别相加即可.
解：由题意得所对的圆的半径为2，圆心角为，则弧长l1=2×=π，扇形面积S1=××22=π.
所对的圆半径是1，圆心角是，则弧长l2=1×=，扇形面积S2=××12=.
所对的圆半径为，圆心角为，则弧长l3=×=，扇形面积S3=××()2=.则所走过路程是三段圆弧之和，即π++=，三段弧所在扇形的总面积是π++=dm2.
11.一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2
km，一列火车用每小时30
km的速度通过，10
s间转过几度？
思路分析：利用速度和时间求出路程，即得圆弧的弧长，再由弧长公式可得圆心角的度数.因为火车前进的方向未知，所以将圆心角的大小加上绝对值.
解：因为圆弧半径为2
km=2
000
m，vk=30
km/h=m/s，10
s走过的弧长为m，
∴|α|==rad≈2.39°,即10秒间转过约2.39°.
