1．2.1 任意角的三角函数
课堂导学
三点剖析
1.任意角的正弦、余弦、正切的定义
【例1】有下列命题，其中正确的命题的个数是(
)
①终边相同的角的同名三角函数的值相同
②终边不同的角的同名三角函数的值不等
③若sinα＞0，则α是第一、二象限的角
④若α是第二象限的角，且P（x,y）是其终边上一点，则cosα=
A.1
B.2
C.3
D.4
思路分析：运用概念判断.
解析：由任意角三角函数定义知①正确；
对②，我们举出反例sin=sin；
对③，可指出sin＞0，但不是第一、二象限的角；对④，应是cosα=.
综上选A.
答案：A
温馨提示
要准确地理解任意角的三角函数定义，可与三角函数线结合记忆.
2．角、实数和三角函数值之间的对应关系
【例2】
判断下列各式的符号.
（1）tan250°·cos(-350°);
(2)sin151°cos230°；
(3)sin3cos4tan5;
(4)sin(cosθ)·cos(sinθ)(θ是第二象限角).
思路分析：本题主要考查三角函数的符号.角度确定了，所在的象限也就确定了.三角函数的符号也就确定了.进一步再确定各式的符号.对于（4），视sinθ、cosθ为弧度数.
解：（1）∵tan250°＞0,cos(-350°)＞0,
∴tan250°·cos(-350°)＞0.
(2)∵sin151°＞0,cos230°＜0,
∴sin151°·cos230°＜0.
(3)∵＜3＜π,π＜4＜,＜5＜2π,
∴sin3＞0,cos4＜0,tan5＜0,
∴sin3·cos4·tan5＞0.
(4)∵θ是第二象限角，∴0＜sinθ＜1＜,
∴cos(sinθ)＞0.
同理，-＜-1＜cosθ＜0,
∴sin(cosθ)＜0,故sin（cosθ）·cos(sinθ)＜0.
温馨提示
(1)判断各三角函数值的符号，须判断角所在的象限.（2）sinθ既表示角θ的正弦值，同时也可以表示［-1，1］上的一个角的弧度数.（3）中解题的关键是将cosθ、sinθ视为角的弧度数.
【例3】求函数y=的定义域.
思路分析：运用等价及集合的思想.
解：只需满足条件
∴函数的定义域为{x|2kπ＜x＜2kπ+,k∈Z}.
温馨提示
利用图形，可直观找出不等式组的解集，体现了数形结合思想.
各个击破
类题演练1
已知角α的终边经过点P（-6，-2），求α的三个三角函数值.
解：已知x=-6,y=-2,所以r=,于是sinα=,
cosα=tanα=.
变式提升1
已知角α的终边经过点P（2t,-3t）(t＜0),求sinα,cosα,tanα.
解：∵x=2t,y=-3t
∴r=
∵t＜0
∴r=
∴sinα=
cosα=,
tanα=.
类题演练2
判断下列各式的符号
（1）sin105°·cos230°;(2)sinπ·tanπ;
(3)cos6·tan
6;(4)sin4·tan().
解：(1)∵105°、230°分别为第二、第三象限角，
∴sin105°＞0.cos230°＜0.
sin105°·cos230°＜0.
(2)∵＜π＜π,∴π是第二象限角.
∴sinπ＞0,tanπ＜0.
∴sinπ·tanπ＜0.
(3)∵π＜6＜2π,∴6弧度的角是第四象限角.
∴cos6＞0,tan6＜0.∴cos6·tan6＜0.
(4)∵π＜4＜π,∴sin4＜0.
又=-6π+,∴与终边相同.
∴tan()＞0.
∴sin4·tan()＜0.
变式提升2
已知α是第三象限角，试判断sin（cosα）·cos（sinα）的符号.
解：∵α是第三象限角.
∴cosα＜0,sinα＜0.
又|sinα|＜1,|cosα|＜1,
∴-1＜cosα＜0,-1＜sinα＜0,
∴sin(cosα)＜0,cos(sinα)＞0.
∴sin(cosα)·cos（sinα）＜0.
类题演练3
已知角α的终边在直线y=-3x上，求10sinα+3cosα的值.
解：设α终边上任意一点P（k,-3k）,则
r=
当k＞0时，r=,
∴sinα=,
cosα=.
∴10sinα+3cosα=.
当k＜0时，r=-k,
∴sinα=,
cosα=.
∴10sinα+3cosα=.
变式提升3
已知α∈(0,),试比较α、sinα、tanα的大小.
解：如右图，设锐角α的终边交单位圆于点P，过单位圆与x轴正半轴的交点A作圆的切线交OP延长线于T，并过点P作PM⊥x轴，则
|MP|=sinα，|AT|=tanα，
的长为α.
连PA，
∵S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，
即|OA|·|MP|＜|OA|2·a＜|OA|·|AT|,|MP|＜α＜|AT|,
∴sinα＜α＜tanα.1.1.2
弧度制
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三点剖析
1.弧度的意义，角度与弧度之间的换算
【例1】-300°化为弧度是（
）
A.
B.
C.
D.
思路分析：运用角度与弧度间的转化关系式.
解：∵1°=弧度，
∴-300°=弧度.
答案：B
温馨提示
掌握基本换算关系：180°=π弧度，1弧度=（）°≈57.30°,可以解决角度与弧度的换算问题.
2．弧度制的概念及其与角度的关系
【例2】
用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（不包括边界）.
思路分析：运用数形结合表示象限角的方法
，先找出终边落在阴影边界的两个最小正角或最大负数.
解：(1)中OB为终边的角为330°，可看成-30°，化为弧度，
即而75°=.
∴阴影部分内的角的集合为
{θ|2kπ＜θ＜2kπ+,k∈Z}.
(2)中OB为终边的角是225°，可看成-135°，
化为弧度，即，
而135°=.
∴阴影部分内的角的集合为
{θ|2kπ＜θ＜2kπ+,k∈Z}.
温馨提示
在表示角的集合时，一定要使用统一的单位，只能用角度制或弧度制的一种，不能混用.
3．弧度的意义的再理解
【例3】下列诸命题中，真命题是(
)
A.一弧度是一度的圆心角所对的弧
B.一弧度是长度为半径的弧
C.一弧度是一度的弧与一度的角之和
D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位
思路分析：弧度定义的理解.
解：根据一弧度的定义：把长度等于半径长的弧所对圆心角叫做一弧度的角，由选项知，D为真命题.
答案：D
温馨提示
掌握定义的准确表述，弧度是角的单位，不是弧的单位.
各个击破
类题演练1
把260°化为弧度为____________.
解析：∵1°=弧度
∴260°=弧度.
答案：
变式提升1
（1）将112°30′化为弧度；
（2）将-rad
化为度.
解：(1)∵1°=
rad,
∴112°30′=×112.5
rad=rad.
(2)∵1
rad=()°,
∴-
rad=-(×)°=-75°.
类题演练2
（1）分别写出终边落在
OA，OB位置上的角的集合；
（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合.
思路分析：先在0到2π之间找出终边落在OA与OB位置上的角的集合，为方便起见，也可以在-π与π之间找出终边落在OA与OB位置上的角的集合.
解：（1）在0到2π之间，终边落在OA位置上的角是+=，终边落在OB位置上的角是+=,
故终边落在OA上的角的集合为{α|α=2kπ+,k∈Z},
终边落在OB上的角的集合为{β|β=2kπ+,k∈Z}.
(2)终边落在阴影部分角的集合为{α|2kπ≤α≤2kπ+,k∈Z}.
变式提升2
（1）已知0＜θ＜2π,且θ与7θ终边相同，求θ.
解：由已知有7θ=2kπ+θ,k∈Z.
即6θ=2kπ.∴θ=.
又∵0＜θ＜2π,∴0＜＜2π.
∵k∈Z,
当k=1,2,3,4,5时，θ=,,π,,.
(2)已知某角是小于2π的非负角且此角的终边与它的5倍角的终边相同，求此角的大小.
解：设这个角是α,则0≤α＜2π.
∵5α与α终边相同，
∴5α=α+2kπ(k∈Z),
∴α=(k∈Z).
又∵α∈［0,2π）,令k=0，1，2，3.
得α=0，，π，.即为所求值.
温馨提示
求与α终边相同的角，一般先将这样的角表示为2kπ+α(k∈Z)的形式，再由题目已知条件来求解.
类题演练3
下列诸命题中，假命题是（
）
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.一度的角是周角的,一弧度的角是周角的
C.根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
D.不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关
解析：根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D项是假命题，其他A、B、C三项均为真命题.
答案：D
变式提升3
在半径不等的圆中，1弧度的圆心角所对的（
）
A.弦长相等
B.弧长相等
C.弦长等于所在圆的半径
D.弧长等于所在圆的半径
解析：由弧度的意义可知选D.
答案：D3．1.1 两角和与差的余弦
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三点剖析
1.两角和与差的余弦公式的应用
【例1】化简下列各式.
（1）sin70°cos25°-sin20°·sin25°;
（2）cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)sin(170°-α).
思路分析：从整体上观察式子的特点，区别角的异同，利用诱导公式合理转化，凑成公式形式，再利用公式解题.
解：（1）原式=cos20°cos25°-sin20°sin25°
=cos(20°+25°)=cos45°=.
(2)原式=cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)sin［180°-（10°+α）］
=cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)·sin(10°+α)
=cos［（70°+α）-(10°+α)］
=cos60°=.
温馨提示
在逆用公式时，要通过诱导公式变形，使之符合公式的特征，有时还可以把三角式中的系数作为特殊值转化为特殊角.
2.两角差的余弦公式的探索与证明
【例2】已知sin=，cosβ=，求cos（α-β）的值.
思路分析：本题要考查利用两角差的余弦公式求值.根据两角差的余弦公式知，还须求cosα、sinβ.由条件可知，只要对α、β所处的象限进行讨论即可.
解：∵sinα=＞0，
∴α为第一、二象限角.
当α为第一象限角时，cosα=；
当α为第二象限角时，cosα=-.
∵cosβ=＞0，
∴β为第一、四象限角.
当β为第一象限角时，sinβ=；
当β为第四象限角时，sinβ=-.
∵cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，
∴当α、β均为第一象限角时，
cos（α-β）=×+×=；
当α为第一象限角，β为第四象限角时，
cos（α-β）=×+×（-）=；
当α为第二象限角，β为第一象限角时，
cos（α-β）=（-）×+×（-）=-；
当α为第二象限角，β为第四象限角时，
cos（α-β）=（-）×+×-=-.
温馨提示
①解题时，由结论出发分析题目作了哪些条件准备，还需再求什么，明确解题的目标.②已知条件中给出某个角的三角函数值，但并未指出角α所在的象限时，一般要进行分类讨论.
3.两角和与差的余弦公式的综合应用
【例3】已知cos（α-）=-，sin（-β）=，且α∈（，π），β∈（0，），求cos的值.
思路分析：本题主要考查角的变换及两角差的余弦公式.本题是给值求值的问题，若不考虑条件，盲目地看cos无法求.为此寻求已知条件中角α-、-β与欲求式中角的关系，不难发现=（α-）-（-β），这样将cosα+的值转化为cos[(α-)-（-β）]的值，可利用两角差的余弦公式求得.
解：∵＜α＜π，0＜β＜，
∴＜＜，0＜＜＜，＜α+β＜.
∴＜α-＜π，-＜-β＜，＜＜.
又cos（α-）=-，sin（-β）=.
∴sin（α-）=，cos（-β）=.
∴cosα+=cos[（α-）-（-β）]
=cos（α-）cos（-β）+sin（α-）sin（-β）
=（-）×+×=.
温馨提示
像这类给值求值问题，关键是抓住已知条件中的角与所求式中角的联系，即想办法利用已知条件中角表示所求式中的角，这个过程我们称作“角的变换”.
各个击破
类题演练1
求值.
（1）cos24°cos36°-sin24°sin36°；
（2）cos80°cos35°+cos10°cos55°；
（3）sin100°sin（-160°）+cos200°（-280°）；
（4）sin347°cos148°+sin77°cos58°.
解：（1）原式=cos（24°+36°）=cos60°=；
（2）原式=cos80°cos35°+sin80°sin35°=cos（80°-35°）=cos45°=；
（3）原式=sin（180°-80°）sin（20°-180°）+cos（20°+180°）cos（80°-360°）
=sin80°（-sin20°）+（-cos20°）cos80°
=-sin80°sin20°-cos80°cos20°
=-（cos80°cos20°+sin80°sin20°）
=-cos（80°-20°）=-cos60°=-；
（4）原式=sin（-13°+360°）cos（180°-32°）+sin77°cos58°
=sin（-13°）（-cos32°）+sin77°cos58°
=-sin13°（-cos32°）+sin77°cos58°
=cos77°cos32°+sin77°sin32°
=cos（77°-32°）=cos45°=.
变式提升1
求值.
（1）cos（-15°）；（2）cos75°.
解：（1）cos（-15°）=cos15°=cos（45°-30°）
=cos45°cos30°+sin45°sin30°=；
（2）cos75°=cos（45°+30°）=cos45°cos30°-sin45°sin30°=.
类题演练2
已知锐角α、β满足sinα=，cosβ=.
（1）求cos（α-β）的值；
（2）求α+β的值.
解：（1）∵sinα=，α为锐角，
∴cosα==.
又∵cosβ=，β为锐角，
∴sinβ=.
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
=2·+·；
（2）由上可知，
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
=·-·.
又∵α∈（0，），β∈（0，），
∴α+β∈（0，π）.
∴α+β=.
变式提升2
已知sinα=，cosβ=-，α、β均为第二象限角，求cos（α-β）、cos（α+β）.
解：由sinα=，α为第二象限角，
∴cosα=
又由cosβ=-，β为第二象限角，
∴sinβ==.
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=（-）×（-）+×=，
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=（-）×（-）-×=-.
类题演练3
已知cosα=,α、β∈(0,),cos(α+β)=,求cosβ.
解：∵cosα=,α∈(0,),
∴sinα=.
又∵α、β∈(0,),∴α+β∈(0,π),
且cos(α+β)=.
∴sin(α+β)=.
∴cosβ=cos［（α+β）-α］
=cosα·cos(α+β)+sinα·sin(α+β)
=×()+×=.
变式提升3
已知
求cos(α-β)的值.
解：①平方得sin2α+2sinαsinβ+sin2β=.
②平方得cos2α+2cosαcosβ+cos2β=.
以上两式相加得，
2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=1,
2cos(α-β)=-1,
cos(α-β)=-.3.1.3
两角和与差的正切
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三点剖析
1.两角和与差的正切公式应用初步
【例1】计算下列各式的值.
（1）tan15°+tan75°;(2).
解析：观察各式的特点，设法化为特殊角的和、差正切公式计算.
解：（1）tan15°+tan75°
=tan(45°-30°)+tan(45°+30°)
=
=
==4.
(2)原式=tan(41°+19°)=tan60°=.
温馨提示
要灵活运用和、差角正切公式进行化简求值.当一个角能表示成两个特殊角的和或差时，可用公式求值；若式子能转化成公式右边的形式，便可逆用公式求值.
2.两角和与差的正切公式的综合应用
【例2】已知：A、B∈(0,),且A+B=.
求证：（1+tanA）(1+tanB)=2.
思路分析1：从局部入手，
tanB=tan(-A)=.
思路分析2：从整体入手，
（1+tanA）(1+tanB)=1+tanA+tanB+tanAtanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)+(1+tanAtanB)
〔此式由tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)代换得到〕.
证法1：
∵A+B=,
∴tanB=tan(-A)=.
左边=（1+tanA）(1+)
=(1+tanA)·=2=右边.
故原式成立.
证法2：由tan(A+B)=得，
tan(A+B)(1-tanA·tanB)=tanA+tanB.
∴原式左边=1+tanA+tanB+tanAtanB
=tan(A+B)(1-tanA·tanB)+(1+tanA·tanB).
又∵A+B=,
∴tan(A+B)=1.
∴原式左边=1-tanAtanB+1+tanAtanB=2=右边.
故原式成立.
温馨提示
tanα±tanβ=tan（α±β）（1tanαtanβ）这一公式变形在解题中经常用到，只要题目中有tanα+tanβ或tanα-tanβ，一般用正切公式的变形，整体代入都能奏效.
3.角的变换与角的范围的确定
【例3】已知α、β、γ都是锐角，且tanα=，tanβ=，tanγ=，求α+β+γ的值.
解：因为tan（α+β）=
=
tan[（α+β）+γ]=
==1.
由已知γ＜β＜α，又因0＜＜，
所以0＜γ＜β＜α＜，
得0＜α+β+γ＜.
故α+β+γ=.
温馨提示
本类问题通常会因为角的范围太大，导致产生不合题意的角，遇到本类问题，要根据已知条件尽可能精确地确定角的范围.
各个击破
类题演练1
计算下列各式的值.
（1）;
(2).
解：（1）原式==tan(45°-15°)=tan30°=.
(2)原式=tan(-)=tan=1.
变式提升1
求出下列各式的值，完成填空.
（1）=________________；
（2）=______________.
思路分析：（1）原式=tan（75°-15°）=tan60°=.
（2）原式==tan45°=1.
答案：（1）
（2）1
类题演练2
求tan50°-tan20°-tan50°·tan20°的值.
解析：本题主要考查给角求值，观察式子的结构特点知，tan50°-tan20°是两角差正切公式中的分子〔tan（50°-20°）=〕，于是抓住这一点作为突破口，用公式的变形，容易解决.
解：∵tan50°-tan20°=tan30°（1+tan50°·tan20°），
∴tan50°-tan20°-tan50°·tan20°
=tan30°（1+tan50°·tan20°）-tan50°·tan20°
=tan30°+tan30°·tan50°tan20°-tan50°·tan20°
=tan30°=.
变式提升2
求tan(-θ)+tan(+θ)+3tan(-θ)·tan(+θ)的值.
解析：∵tan［(-θ)+(+θ)］=tan=3,
∴=
tan(-θ)+tan(+θ)=[1-tan(-θ)·tan（+θ)］.
∴原式=［1-tan(-θ)·tan(+θ)］+3tan(-θ)·tan(+θ)=.
类题演练3
若tanα=,tanβ=,且α、β都是锐角，求α+β的值.
解析：∵tan(α+β)==1,
又根据已知0＜α＜,0＜β＜,
得0＜α+β＜π,
∴α+β=.
变式提升3
已知tan(α+β)=5,tan(α-β)=3,求tan2α,tan2β,tan(2α+).
思路分析：先利用α+β、α-β构造出2α、2β，即2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),再用公式解题.
解：tan2α=tan［（α+β）+（α-β）］
=
=.
tan2β=tan［(α+β)-(α-β)］
=
=.
tan(2α+)=.3.2
二倍角的三角函数
课堂导学
三点剖析
1.二倍角公式应用初步
【例1】（1）求coscos的值；
（2）求cos20°·cos40°·cos80°；
（3）求的值.
思路分析：本题主要涉及给角求值问题，应充分利用倍角公式及变形形式，抓住题目中各角之间的关系.
解：（1）coscos=cossin
=·2cossin=sin=.
（2）原式=
=
=.
（3）=
=
=
温馨提示
对于这类给角求值的问题，应首先观察题目中各角之间的关系.（1）根据、两角互余，将cos换成sin，再配以系数2即可逆用二倍角公式求值；（2）由于各角之间具有倍数关系，40°=2×20°，80°=2×40°，故分子分母同乘以sin20°，便可逆用二倍角公式求值；（3）由结构特点看应先通分，分子正好逆用两角差的正弦公式，分母逆用二倍角公式，约分后即可求值.
2.二倍角公式的变形应用
【例2】设sin（-x）=,0＜x＜,求的值.
思路分析：注意到角之间的关系，2x是x的二倍角，-x与+x互为余角，是特殊角.
解法1：∵0＜x＜,∴0＜-x＜,
∴cos(-x)=
=.
又cos（+x）=sin(-x)=,
∴原式=
=
=2cos(-x)=.
解法2：cos2x=cos2x-sin2x=(cosx+sinx)·(cosx-sinx)
=sin(x+)·cos(x+)
=2sin(x+)cos(x+).
∴原式=
=2sin(x+)=2cos(-x).
后面同解法一.
温馨提示
仔细分析角与角的关系，如-x与+x互为余角；2x是x的倍角，且cos2x=sin(±2x)=sin［2（±x）］.分析角的关系，往往是解题的突破口.
3.二倍角变形应用
【例3】（1）化简；
（2）设α∈（，2π），化简
解：（1）原式==2|sin4+cos4|+2|cos4|.
因为4∈（π，），所以sin4＜0,cos4＜0.
故原式=-2（sin4+cos4）-2cos4
=-2sin4-4cos4=-2（sin4+2cos4）.
（2）因为α∈（，2π），所以cosα＞0，cos＜0.
故，原式=
温馨提示
（1）带有根号的化简问题，首先要去掉根号，想办法将根号内的式子化成完全平方式，即三角函数中常用的解题技巧：“变次”，其中用到了二倍角正弦和余弦的两个重要的变形：1±sinα=（sin±cos）2，1±cosα=2cos2.
（2）脱掉根号时要注意符号问题，如|cos|，利用α所在的象限，判断cos的正负，然后去掉绝对值符号.
各个击破
类题演练1
化简.
（1）cos72°·cos36°；
（2）cosα·cos·cos·cos·…·cos.
思路分析：对于（1）要注意72°=2×36°；对于（2）要注意（k=1，2，…，n）.注意到以上的特点，可同乘除一个恰当的因式，然后用倍角公式解之.
解：（1）cos36°·cos72°=
==.
（2）原式同乘除因式sin，然后逐次使用倍角公式解得原式=.
变式提升1
已知θ∈（，），|cos2θ|=，则sinθ的值是（
）
A.
B.
C.
D.
思路分析：∵θ∈（，），
∴sinθ＜0，且2θ∈（，3π），∴cos2θ＜0.
∵|cos2θ|=，∴cos2θ=.
由cos2θ=1-2sin2θ，得sin2θ==，
∴sinθ=.
答案：D
类题演练2
已知sinα+cosα=,且0＜α＜π,求sin2α、cos2α、tan2α的值.
解：∵sinα+cosα=,
∴sin2α+cos2α+2sinαcosα=,
∴sin2α=-且sinαcosα=＜0.
又∵0＜α＜π,sinα＞0,∴cosα＜0,
∴sinα-cosα＞0.
∴sinα-cosα=,
∴cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=×()=.
tan2α=.
变式提升2
化简.
解法1：原式=
=
=
=.
解法2：原式=
=
=
=
=.
类题演练3
等于(
)
A.-2cos5°
B.2cos5°
C.-2sin5°
D.2sin5°
解析：原式=
=
=2（cos50°-sin50°）
=2sin（-5°）=-2sin5°，故选C.
答案：C
变式提升3
已知函数f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，],求f（x）的最大值、最小值.
解：（1）因为f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x-sin2x）-sin2x
=cos2x-sin2x=cos（2x+），
所以f（x）的最小正周期T==π.
（2）因为0≤x≤，所以≤2x+≤.
当2x+=时，cos（2x+）取得最大值；
当2x+=π时，cos（2x+）取得最小值-1.
所以f（x）在[0，]上的最大值为1，最小值为.2.4
向量的数量积
课堂导学
三点剖析
1.平面向量数量积的概念及其运算律
【例1】
已知|a|=4，|b|=3，若：（1）a∥b；（2）a⊥b；（3）a与b的夹角为60°，分别求a·b.
思路分析：本题运用数量积的定义求数量积.已知|a|与|b|，a与b的夹角，由定义可求a·b.
解：(1)当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ=0°,
a·b=|a||b|cos0°=4×3×1=12;
若a与b反向，则a与b的夹角θ=180°,
a·b=|a||b|cos180°=4×3×(-1)=-12.
(2)当a⊥b时,a与b的夹角为90°,a·b=|a|·|b|cos90°=0,
(3)当a与b的夹角θ=60°时，
a·b=|a||b|cos60°=4×3×=6.
温馨提示
利用定义计算a与b的数量积，关键是确定两向量的夹角.当a∥b时，a与b的夹角可能是0°，也可能为180°，解题时容易遗漏180°的情形.
2．平面向量数量积的应用
【例2】已知|a|=,|b|=3，a与b的夹角为45°,求使向量a+λb与λa+b的夹角为锐角时，λ的取值范围.
解：设a+λb与λa+b的夹角为θ.
则cosθ=＞0,
即(a+λb)·(λa+b)＞0,
展开得，λa2+(λ2+1)a·b+λb2＞0.
∵|a|=2,|b|=3,a·b=|a||b|cos45°=3,
∴2λ+3(λ2+1)+9λ＞0,
即3λ2+11λ+3＞0.
λ＜或λ＞.
另外θ=0°时，λ=1.故λ≠1.
∴λ∈(-∞,)∪(,1)∪(1,+∞).
温馨提示
求夹角时，注意与三角函数、不等式等知识相结合，但要注意角的范围.
3.平面向量数量积的运算律同实数的运算律的比较
【例3】
已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角为120°，求：（1）a·b；（2）（a+b）2；（3）a2-b2；（4）（2a-b）·（a+3b）.
思路分析：由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算，如（a+b）2=（a+b）·（a+b）=（a+b）·a+（a+b）·b=a·a+b·a+a·b+b·b=a2+2a·b+b2.
解：（1）a·b=|a||b|cos120°
=5×4×(-)=-10;
(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2
=|a|2+2a·b+|b|2
=25-2×10+16=21;
(3)a2-b2=|a|2-|b|2=25-16=9;
(4)(2a-b)·（a+3b）=2a2+5a·b-3b2
=2|a|2+5a·b-3|b|2
=2×25+5×(-10)-3×16=-48.
温馨提示
(1)在进行向量数量积运算时，应严格按运算律进行；（2）由于向量数量积满足乘法对加法的分配律，故向量数量积中也有类似多项式乘法的公式：（a±b）2=a2±2a·b+b2，（a+b）·（a-b）=a2-b2，（a+b+c）=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.因此，有的同学会相当然的用（a·b）·c=a·（b·c）,这是错误的.
各个击破
类题演练1
已知|a|=2，|b|=5，且
=45°,求a·b.
解：由数量积的定义，a、b=|a||b|cos
=2×5×cos45°=.
变式提升1
已知△ABC中，a=5,b=8，∠C=60°,求·.
解：因为||=a=5,||=b=8,<,>=180°-∠C=180°-60°=120°,
所以·=||||·cos<,>=5×8cos120°=-20.
类题演练2
已知a=(m+1,3),b=(1,m-1)，且a与b的夹角为钝角.若（2a+b）与(a-3b)垂直，求a与b夹角的余弦.
解析：∵(2a+b)⊥(a-3b),
∴2a2-5a·b-3b2=0.
即2［(m+1)2+9］-5［m+1+3(m-1)］-3［1+(m-1)2］=0,
整理得m2+10m-24=0,
m=2或m=-12.
∵a与b的夹角为钝角，
∴m=2舍去.设a与b夹角为θ,
则cosθ=.
变式提升2
(2006全国高考Ⅰ,文1)已知向量a、b满足|a|=1，|b|=4，且a·b=2，则a与b的夹角为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：cos=.
∴a与b的夹角为，故选C.
答案：C
类题演练3
已知|a|=|b|=5，=,求|a+b|，|a-b|.
解：因为a2=|a|2=25，b2=|b|2=25，
a·b=|a||b|cos=5×5cos=.
所以|a+b|=（a+b）2=
同样可求|a-b|=
变式提升3
（1）若向量a与b夹角为30°，且|a|=，|b|=1，则向量p=a+b与q=a-b的夹角的余弦为______________.
思路分析：本题可利用cosθ=，由两向量的数量积和模求夹角余弦值.
解：∵p·q=（a+b）·（a-b）=a2-b2=3-1=2，
又∵|p|=|a+b|=,
|q|=|a-b|=
∴cosθ=.
答案：
（2）若非零向量α、β满足|α+β|=|α-β|，求α与β所成的角.
思路分析：涉及模与夹角的问题，一般考虑向量的数量积，也可以从向量的线性运算入手，结合模的几何意义解答.
解：∵|α+β|=|α-β|,
∴|α2|+2α·β+|β|2=|α|2-2α·β+|β|2，
即4α·β=0，∴α·β=0，∴α⊥β.
∴α与β所成的角为90°.1.3.4
三角函数的应用
课堂导学
三点剖析
1.用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题
【例1】
设y=f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的对应数据.
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是(
)
A.y=12+3sint,t∈［0,24］
B.y=12+3sin(t+π),t∈［0,24］
C.y=12+3sint,t∈［0,24］
D.y=12+3sin(t+),t∈［0,24］
思路分析：考查函数y=Asin(ωx+φ)在实际问题中的近似估计.
解析：在给定的四个选项A、B、C、D中我们不妨代入t=0及t=3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.
答案：A
温馨提示
函数的模型只能近似刻画某个时段的水深变化情况，通常我们都要结合实验数据通过代入检验来不断改进函数模型.
2.从实际问题中抽象出三角函数模型
【例2】如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b.
(1)求这段时间的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
思路分析：本题考查知图求式问题.利用图象给出的条件，利用待定系数法求A、ω、φ.
解：（1）由题图所示这段时间的最大温差是30-10=20
℃.
(2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象，
∴·=14-6,解得ω=.
由图得A=(30-10)=10,
b=(30+10)=20.
于是y=10sin(x+φ)+20，将x=6,y=10代入得sin(+φ)=-1,由“五点法”作图原理知+φ=.∴φ=.
综上，所求解析式为y=10sin(x+)+20,x∈［6,14］.
温馨提示
（1）一般地，所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应特别注意自变量的取值范围.
（2）利用图象研究函数的性质，观察分析函数的图象，易求单调性、奇偶性、对称性、周期性等有关性质.
3.将实际问题数学化
【例3】已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t(0≤t≤24，单位小时)的函数，记作：y=f(t).下表是某日各时的浪高数据：
t（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b.
（1）根据以上数据，求出函数y=Acostx+b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
思路分析：从表中得到要用的数据，A、T、w
解：（1）由表中数据，知周期T=12.
∴ω===.
由t=0,y=1.5,得A+b=1.5
①
由t=3,y=1.0,得b=1.0
②
∴A=0.5,b=1,∴振幅为,
∴y=cost+1.
(2)由题知，当y＞1时才可对冲浪者开放
∴cost+1＞1,∴cost＞0.
∴2kπ-＜t＜2kπ+,
即12k-3＜t＜12k+3③
∵0≤t≤24,故可令③中k分别为0，1，2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.
∴在规定时间上午8:00至晚上20:00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动：上午9：00至下午15：00.
温馨提示
利用数学模型解决实际问题时，往往会忽略实际问题本身存在的条件，应引起注意.
各个击破
类题演练1
如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s
cm和时间t
s的函数关系式为s=6sin(2πt+)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（
）
A.2π
s
B.π
s
C.0.5
s
D.1
s
思路分析：本题已给出了单摆离开平衡位置O的距离s
cm和时间t
s的函数关系式，单摆来回摆动一次所需的时间即为此函数的一个周期.
解：由分析，因为ω=2π,所以T==1.
答案：D
变式提升1
某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦曲线变化.
（1）画出种群数量关于时间变化的图象；
（2）求出种群数量作为时间t的函数表达式（其中t以年初以来的月为计量单位）.
解：(1)种群数量关于时间变化的图象如图
（2）设表示该曲线的三角函数为y=Asin(ωx+α)+b.
由已知平均数量为800，最高数量与最低数量差为200，
数量变化周期为12个月，所以振幅A==100,ω==,b=800,又7月1日为种群数量达最高，∴×6+α=.∴α=-.
则种群数量关于时间t的函数表达式为y=800+100sin
(t-3).
类题演练2
一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球.小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s（单位cm）与时间t(单位：s)的函数关系是s=6sin（2πt+）,
(1)画出它的图象.
（2）回答以下问题.
①小球开始摆动（即t=0）时，离开平衡位置多少厘米
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少厘米？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
解：（1）先求周期：T==1（s）.
列表：
t
0
1
2πt+
π
2π
2π+
6sin(2πt+)
3
6
0
-6
0
3
描点画图:
(2)①小球开始摆动（t=0），离开平衡位置为6
cm.
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6
cm(即振幅).
③小球来回摆动一次需要1
s（即周期）.
变式提升2
在匀强磁场中，匀速转动的线圈所产生的电流i是时间t的正弦函数，即
i=3sin(t+).
试求它的初始（t=0）电流、最大电流和周期.
解析：t=0时，i=3sin=;
当sin(t+)=1；
即t+=，t=时，imax=3；
最小正周期：T==4π.
答案：,imax=3,T=4π.
类题演练3
以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元；而该商品在商店内的销售价格是在8元基础上按月份也是随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元.假设某商店每月购进这种商品m件，且当月能售完，请估计哪个月盈利最大.并说明理由.
解：由条件可得，出厂价格函数为y1=2sin（x-）+6,销售价格函数为y2=2sin（x）+8,则利润函数
y=m(y2-y1)=m［2sin(x)+8-2sin(x-)-6］=m(2-sinx)
所以，当x=6时，y=(2+)m,即6月份盈利最大.
变式提升3
曲线y=Asinωx+k(A＞0,ω＞0)在区间［0，］上截直线y=3及y=-1所得的线段长相等且不为零，则下列对A，k的描述正确的是（
）
A.k=1,A＞2
B.k=1,A≤2
C.k=2,A＞2
D.k=2,A≤3
解析：函数y=Asinωx+k的周期为,故［0,］的长度正好是它的一个周期，大致图象如图，由直线
y=3与y=-1截曲线所得线段长相等知，y=3与y=-1关于y=k对称，所以k=3-=1;又截得的丝段长不为零，有k+A＞3即A＞3-k=3-1=2.故选A.
答案：A2.2
向量的线性运算
课堂导学
三点剖析
1.向量的加减法运算数乘的定义及其运算律
【例1】
在四边形中，已知=a，=b，=c，试用向量a,b,c表示向量.
思路分析：连结，则将四边形ABCD分成两个三角形.利用向量的三角形法则，将用a,b,c与来表示，即可求出.
解：在下图中作向量.由向量加法的三角形法则，
得=a+c，=b+.
所以
a+c=b+.
因此=a+c-b.
温馨提示
找到向量并以建立与a,b,c的关系是本题的关键.
【例2】在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，设=a,=b，求作向量a-b,a-b,b+a.
思路分析：利用向量数乘、减法的法则来作图.
解：如图a-b=-=.
a-b=-=.
b+a=+=.
2．对向量数乘运算律的理解和应用
【例3】设x是未知量，解方程2（x-a）-(b-3x+c)+b=0.
思路分析：向量方程与实数方程类似，我们可以用和实数方程类似的方法来解决.
解：原方程化为2x-a-b+x-c+b=0,
B-a+b-c=0,
x=a-b+c,
∴x=a-b+c.
3.向量共线的应用
【例4】如右图所示，在平行四边形ABCD中，=a，=b，M是AB的中点，点N是BD上一点，|BN|=|BD|.
求证：M、N、C三点共线.
思路分析：本题主要考查运用向量知识解决平面几何问题.要证三点共线（M、N、C），不妨证、具有一定的倍数关系，只要用已知条件a,b表示出，，问题就可以解决.
证明：∵=a,=b,
∴=-=a-b.
∴==b+
=b+
(a-b)=
a+b
=(2a+b).
又∵==b+a=
(2a+b),
∴=3.又与有共同起点，
∴M、N、C三点共线.
温馨提示
几何中证明三点共线，可先在三点中选取起点和终点确定两个向量，看能否找到唯一的实数λ使两向量具有一定的倍数关系.
各个击破
类题演练1
已知平行四边形ABCD，=a，=b，用a、b分别表示向量，.
思路分析：利用向量加法、减法的平行四边形法则.
解：连结、，由求向量和的平行四边形法则，则=+=a+b.依减法定义得，=-=a-b.
变式提升1
(2006广东高考，4)如右图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于（
）
A.-+
B.--
C.-
D.+
思路分析：由三角形法则得知=-=-.
答案：A
类题演练2
若O为平行四边形ABCD的中心，=4e1，=6e2，则3e2-2e1=______________.
解：3e2=,2e1=,∴3e2-2e1=-=(-)=(+)=.
答案：
变式提升2
化简［(4a-3b)+
b-(6a-7b)］=__________________.
解析：原式=(4a-3b+b-a+b)
=［(4-)a+(-3++)b］
=(a-b)=a-b.
答案：a-b
类题演练3
设x为未知向量，解方程x+3a-b=0.
解：原方程化为x+(3a-b)=0,
所以x=0-(3a-b),x=-3a+b.所以x=-9a+b.
变式提升3
(2006山东高考，文4)设向量a=（1，-3），b=（-2，4）.若表示向量4a、3b-2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为（
）
A.(1，-1)
B.(-1,1)
C.(-4,6)
D.(4,-6)
解析：依题可知4a+(3b-2a)+c=0,
所以c=2a-4a-3b=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).
答案：D
类题演练4
已知两个非零向量e1和e2不共线，如果=2e1+3e2，=6e1+23e2，=4e1-8e2，求证：A、B、D三点共线.
思路分析：本题主要考查向量共线问题及向量的线性运算.欲证A、B、D三点共线，只需证、共线，根据题目的条件如何才能求得呢？显然=++
证明：∵=++
=2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2
=12e1+18e2=6（2e1+3e2）
=6，
∴向量与向量共线.
又∵和有共同的起点A，
∴A、B、D三点共线.
变式提升4
a=e1+2e2,b=3e1-4e2，且e1、e2共线，则a与b（
）
A.共线
B.不共线
C.可能共线，也可能不共线
D.不能确定
思路分析：∵e1与e2共线，则存在实数e1=λe2,
∴a=e1+2e2=(λ+2)e2,b=3e1-4e2=(3λ-4)e2,
∴a=λ+λ-4b,故a与b共线.
答案：A1.1.1
任意角
课堂导学
三点剖析
1.任意角的概念和象限角的概念
【例1】
若α是第四象限角，那么是第几象限角？
思路分析：运用直角坐标系内角的表示及不等式性质，先用不等式把第四象限的角表示出来，然后再确定的范围.
解：∵α是第四象限角.
∴270°+k·360°＜α＜360°+k·360°（k∈Z）,则有，
135°+k·180°＜＜180°+k·180°(k∈Z).
当k=2n(n∈Z)时，135°+n·360°＜＜180°+n·360°,
∴是第二象限角.
当k=2n+1(n∈Z)时
315°+n·360°＜＜360°+n·360°，
∴是第四象限角.
综上所述，是第二或第四象限角.
温馨提示
准确表示第四象限角，再分k为偶数、奇数两种情况讨论.不要认为α为第四象限角,则是第二象限角.
2．把终边相同的角用集合和符号语言正确的表示出来
【例2】
用集合的形式表示与下图中的角的终边相同的角的集合.
思路分析：运用两角关系及终边相同角解决.
解：（1）从图①中看出，图中两个角的终边在一条直线上.
在0°—360°范围内，且另一个角为225°，故所求集合为
S={β|β=45°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z}
={β|β=45°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=45°+180°+2k·180°,k∈Z}
={β|β=45°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=45°+（2k+1）·180°,k∈Z}
={β|β=45°+n·180°，n∈Z}.
(2)从图②中看出，图中两个角的终边关于x轴对称，故所求集合为
S={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=330°+k·360°,k∈Z}
={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=-30°+360°+k·360°,k∈Z}
={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=-30°+（k+1）·360°,k∈Z}
={β|β=±30°+n·360°，n∈Z}.
(3)从图③中看出，图中两个角的终边关于y轴对称，故所求集合为
S={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=150°+k·360°,k∈Z}
={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=-30°+180°+2k·180°,k∈Z}
={β|β=30°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=-30°+（2k+1）·180°,k∈Z}
={β|β=（-1）n·30°+n·180°，n∈Z}.
温馨提示
本题求解过程中，利用了数形结合的思想.两个集合并为一个集合，应先把两个集合变成一个统一的形式.否则，就不能并为一个集合.
3．任意角的概念
【例3】设集合M={小于90°的角}，N={第一象限的角}，则M∩N等于(
)
A.{锐角}
B.{小于90°的角}
C.{第一象限角}
D.以上均不对
思路分析：抓住几个有关概念的区别.
解：小于90°的角由锐角、零角、负角组成.
而第一象限角包括锐角及终边在第一象限的角.
M∩N由锐角及其终边在第一象限的负角组成.故选D.
答案：D
温馨提示
上述几个概念用起来容易混淆，要加以辨别，搞清它们之间的关系.
各个击破
类题演练1
若α是第二象限角，是第几象限角？
解：因为α是第二象限角，则有：
k·360°+90°＜α＜k·360°+180°，k∈Z，
所以k·120°+30°＜＜k·120°+60°，k∈Z.
当k=3m(m∈Z)时，
m·360°+30°＜＜m·360°+60°，m∈Z,所以是第一象限角.
当k=3m+1(m∈Z)时，
m·360°+150°＜＜m·360°+180°，m∈Z,所以是第二象限角.
当k=3m+2(m∈Z)时，
m·360°+270°＜＜m·360°+300°，m∈Z,
所以是第四象限角.
因此是第一、二、四象限角.
变式提升1
已知角α是第二象限角，求角2α是第几象限角.
解：因为α是第二象限角，则
k·360°+90°＜α＜k·360°+180°，k∈Z，
∴2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°,k∈Z,
∴2α是第三或第四象限角，以及终边落在y轴的非正半轴上的角.
类题演练2
已知α=1
690°，
（1）把α改写成β+k·360°（k∈Z,0°≤β＜360°）的形式；
（2）求θ,使θ的终边与α相同，且-360°＜θ＜360°,并判断θ属于第几象限.
解：（1）α=250°+4·360°（k=4,β=250°）.
(2)∵θ与α终边相同，
∴θ角可写成250°+k·360°.
又∵-360°＜θ＜360°,
∴-360°＜250°+k·360°＜360°，k∈Z.
解得k=-1或0,
∴θ=-110°或250°,
∴θ是第三象限角.
变式提升2
（1）与-457°角终边相同的角的集合是（
）
A.{α|α=k·360°+457°,k∈Z}
B.{α|α=k·360°+97°,k∈Z}
C.{α|α=k·360°+263°,k∈Z}
D.{α|α=k·360°-263°,k∈Z}
解法1：∵-457°=-2×360°+263°,∴应选C.
解法2：∵-457°角与-97°角终边相同，
又-97°角与263°角终边相同，
又263°角与k·360°+263°角终边相同，∴应选C.
答案：C
（2）已知角α、β的终边相同，那么α-β的终边在（
）
A.x轴的非负半轴上
B.y轴的非负半轴上
C.x轴的非正半轴上
D.y轴的非正半轴上
解析：∵角α、β终边相同.
∴α=k·360°+β,k∈Z,
作差α-β=k·360°+β-β=k·360°，k∈Z.
∴α-β的终边在x轴的非负半轴上.
答案：A
类题演练3
用集合表示下列各角：“0°到90°的角”“第一象限角”
“锐角”
“小于90°的角”
“0°—90°的角”.
解：0°—90°的角的集合为{α|0°≤α＜90°}；
第一象限角的集合为{α|k·360°＜α＜k·360°+90°,k∈Z}；
锐角的集合为{α|0°＜α＜90°}；
小于90°的角的集合为{α|α＜90°}；
0°—90°的角的集合为{α|0°≤α≤90°}.
变式提升3
下列命题中，正确的是（
）
A.终边相同的角一定相等
B.锐角都是第一象限角
C.第一象限的角都是锐角
D.小于90°的角都是锐角
解析：终边相同的两个角彼此相差360°的整数倍，它们可能相等也可能不等，故排除A；第一象限的角是指{α|k·360°＜α＜k·360°+90°,k∈Z}，所以锐角组成的集合是第一象限的角所成集合的子集，故C错；小于90°的角也可以是负角，故D错；因此正确的答案为B.
答案：B3.1.2
两角和与差的正弦
课堂导学
三点剖析
1.两角和与差的正弦公式应用初步
【例1】求值.
（1）sin;
(2)sinπcosπ-sinsinπ.
解：（1）sin=sin(-)
=sincos-cossin
=×-×=.
(2)原式=sinπcosπ-cos(-)sinπ
=sinπcosπ-cosπsinπ
=sin(π-π)=sin=.
温馨提示
解决给角求值这类问题，一般是将所求角表示成两个特殊角的和或差，就可以利用两角和或差的正余弦公式求值.在运用两角和或差的正余弦公式前注意结合诱导公式先化简.
2.两角和与差的正弦公式的综合应用
【例2】已知＜β＜α＜，cos（α-β）=，sin（α+β）=，求sin2α的值.
思路分析：如果发现2α=（α-β）+（α+β）的关系，便可迅速获得该题的解答；否则，若采用将cos（α-β）和sin（α+β）展开的做法，解答过程不仅要用不少三角函数公式，而且大大增加了运算量.
解：由＜β＜α＜，得
α-β∈（0，），α+β∈（π，）.
∴sin（α-β）=.
cos（α+β）=
=.
故sin2α=sin[（α-β）+（α+β）]
=sin（α-β）cos（α+β）+cos（α-β）sin（α+β）
=×（）+×（）=-.
温馨提示
（1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解这类问题应认真分析已知式中角与未知式中角的关系，再决定如何利用已知条件，避免盲目地处理相关角的三角函数式，以免造成解题时不必要的麻烦.
（2）要注意观察和分析问题中角与角之间的内在联系，尽量整体的运用条件中给出的有关角的三角函数值.
（3）许多问题都给出了角的范围，解题时一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系，从而恰当、准确地求出三角函数值.
3.变形或逆用两角和与差的正弦公式
【例3】化简下列各三角函数式.
（1）sinα-cosα;
(2)sin(x+60°)+2sin(x-60°)-3cos(120°-x).
思路分析：采取配系数的方法，构造和、差角的正弦公式，再利用和、差角的正弦公式化简.
解析：（1）sinα-cosα=2(sinα-cosα)
=2(sinαcos-cosαsin)
=2sin(α-).
(2)解法1：原式=sinxcos60°+cosxsin60°+2sinxcos60°-2cosxsin60°-cos120°cosx-·sin120°
sinx
=（cos60°+2cos60°-sin120°）sinx+(sin60°-2sin60°-cos120°)cosx
=(+2×-×)sinx+(-2×+×)cosx=0;
解法2：原式=sin(x+60°)+cos(x+60°)+2sin(x-60°)
=2［sin(x+60°)+
cos(x+60°)］+2sin(x-60°)
=2［cos60°·sin(x+60°)+sin60°·cos(x+60°)］+2sin(x-60°)
=2sin［60°+(x+60°)］+2sin(x-60°)
=2sin(x+120°)+2sin(x-60°)
=-2sin(x-60°)+2sin(x-60°)=0.
温馨提示
（2）中解法1是顺用两角和差的正弦、余弦公式计算.解法2的关键在于构造能逆用两角和差的正弦公式的式子.观察到（x+）和（-x）互补是顺利解决问题的前提条件，这种技巧在三角函数解题中经常用到.而这往往又是容易忽略的地方.
各个击破
类题演练1
求下列各式的值.
（1）sin75°；
（2）sin15°；
（3）sin13°cos17°+cos13°sin17°.
解：（1）sin75°=sin（45°+30°）
=sin45°cos30°+cos45°sin30°
=·-·=；
（2）sin15°=sin（45°-30°）
=sin45°cos30°-cos45°sin30°
=·-·=；
（3）原式=sin（13°+17°）=sin30°=.
变式提升1
已知cosφ=，φ∈（0，），求sin（φ-）.
思路分析：先求出sinφ的值，再代入公式运算.
解：∵cosφ=，φ∈（0，），∴sinφ=.
∴sin（φ-）=sinφcos-cosφsin
=××=.
类题演练2
已知cosα=，sin（α-β）=，且α、β∈（0，），求sinβ的值.
解：∵cosα=，α∈（0，），
∴sinα=.又∵α，β∈（0，），
∴α-β∈（-，）∵sin（α-β）=，
∴cos（α-β）=.∴sinβ=sin[α-（α-β）]
=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）
=××（）=.
变式提升2
已知cos（α+β）=，cos2α=-，α、β均为钝角，求sin（α-β）.
思路分析：将已知条件整体使用，并且发现α-β=2α-（α+β），因此要求sin（α-β）的值，关键是求出sin（α+β）及sin2α.
解：∵α、β∈（90°，180°），∴α+β，2α∈（180°，360°）.
∵cos（α+β）=＜0，cos2α=-＜0，
∴α+β，2α∈（180°，270°）.
∴sin（α+β）=.
sin2α=.
∴sin（α-β）=sin[2α-（α+β）]
=sin2αcos（α+β）-cos2αsin（α+β）
=（-）（）-（-）（）
=.
类题演练3
求值：［2sin50°+sin10°(1+tan10°)］·.
解析：原式=（2sin50°+sin10°·）·sin80°
=(2sin50°+2sin10°·)·cos10°=2［sin50°cos10°+sin10°cos（60°-10°）］=sin（50°+10°）=sin60°=×.
变式提升3
（1）若sin（α+β）=,sin(α-β)=,则=_________________.
思路分析：
欲求=,从而转化为由条件求出sinαcosβ、cosαsinβ.
解析：由
得
解得，sinαcosβ=,cosαsinβ=.
则有==×5=.
（2）
已知A，B，C是△ABC的三个内角，且lgsinA-lgsinB-lgsinC=lg2.试判断此三角形的形状.
解析：由lgsinA-lgsinB-lgcosC=lg2可得，
lgsinA=lg2+lgsinB+lgcosC=lg2sinBcosC，
即sinA=2sinBcosC.
∵A=π-(B+C),
∴sin［π-(B+C)］=2sinBcosC,
即sin（B+C）=2sinBcosC，
sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，
移项：sinBcosC-cosBsinC=0，
即sin（B-C）=0.
∴B=C.
∴△ABC为等腰三角形.1．3.1 三角函数的周期性
课堂导学
三点剖析
1.周期函数与周期的意义
【例1】
求下列三角函数的周期.
（1）y=sin(x+);（2）y=3sin(+).
思路分析：运用周期函数的定义即可.
解：（1）令z=x+,而sin(2π+z)=sinz,
即f(2π+z)=f(z),
f［(2π+x)+
］=f(x+).
∴周期T=2π.
(2)令z=+,
则f(x)=3sinz
=3sin(z+2π)
=3sin(++2π)
=3sin()
=f(x+4π).
∴T=4π.
温馨提示
理解好周期函数与周期的意义.对定义中的任意一个x满足f(x+T)=f(x),而非某一个x值.也可用公式T=求周期.
2.判断函数是否具有周期性和求周期
【例2】
求证：（1）y=cos2x+sin2x的周期为π;
(2)y=|sinx|+|cosx|的周期为.
思路分析：观察特征，运用定义.
证明：（1）f(x+π)=cos2(x+π)+sin2(x+π)=cos(2π+2x)+sin(2π+2x)=cos2x+sin2x=f(x),
∴y=cos2x+sin2x的周期是π.
(2)f(x+)=|sin(x+)|+|cos(x+)|=|cosx|+|-sinx|=|sinx|+|cosx|=f(x),
∴y=|sinx|+|cosx|的周期是.
温馨提示
“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立.可以用上式验证一个量是否是一个函数的周期.
3.判断函数是否具有周期性
【例3】证明y=sin|x|不是周期函数.
思路分析：运用定义进行证明.
证明：假设y=sin|x|是周期函数，且周期为T，则sin|x+T|=sin|x|(x∈R).
(1)当T≥时，
令x=,得sin|+T|
=sin||sin(+T)=sincosT=1;
令x=-,得sin|-+T|=sin|-|
sin(-+T)=sin
-cosT=1cosT=-1.
由此得1=-1,这一矛盾说明T≥不可能.
(2)当T≤-时,
令x=x′-T得,sin|x′-T+T|=sin|x′-T|sin|x′-T|=sin|x′|,即-T是函数的周期.但-T≥,由(1)知这是不可能的.
(3)当-＜T＜时,
令x=0得,sin|T|=sin|0|sinT=0T=0(周期不为零).
由此可知原函数无周期,故y=sin|x|不是周期函数.
温馨提示
进一步理解定义,①存在一个常数T≠0;②当x取定义域内每一个值时(而不是某一个),都有f(x+T)=f(x)恒成立.
各个击破
类题演练1
求下列函数的最小正周期.
（1）f(x)=3sinx;
(2)f(x)=sin2x;
(3)f(x)=2sin().
解：（1）f(x)=3sinx=3sin(x+2π)=f(x+2π),函数的最小正周期为2π.
(2)f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π),
函数的最小正周期为π.
(3)f(x)=2sin()=2sin(+2π)＝2sin［(x+)+］=f(x+4π),函数的最小正周期为4π.
变式提升1
定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈［0,］时,f(x)=sinx,则f(π)的值为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：由题意:f(π)=f(-π)=f(-π+2π)=f()=sin=.
答案：D
类题演练2
设f(x)是定义在R上以2为周期的周期函数，且f(x)是偶函数，在区间［2，3］上，f(x)=-2(x-3)2+4，求x∈［1,2］时，f(x)的解析表达式.
解：当x∈［-3,-2］时，-x∈［２，3］.
∵f(x)是偶函数，
∴f(x)=f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.
又∵f(x)是以2为周期的周期函数，
当x∈［1,2］时，-3≤x-4≤-2,
∴f(x)=f(x-4)=-2［（x-4）+3］2+4=-2(x-1)2+4.
∴f(x)=-2(x-1)2+4(1≤x≤2).
变式提升2
定义在R上的偶函数f(x)，其图象关于直线x=2对称，当x∈(-2,2)时，f(x)=x2+1，则x∈(-6,-2)时，f(x)=__________________.
解析：∵偶函数f(x)其图象关于直线x=2对称，
∴f(x+4)=f(x)，f(x)是周期函数，且4是它的一个周期.
当x∈(-6,-2),x+4∈(-2,2).
∴f(x)=f(x+4)=(x+4)2+1=x2+8x+17.
答案：x2+8x+17
类题演练3
证明下列函数不是周期函数.
（1）y=x3;(2)y=sinx2.
证明：（1）因为y=x3在x∈R上单调，设y取到值a,方程x3=a不可能有两个不同的根，因此y=x3不是周期函数.
（2）设函数y=sinx2是周期函数，周期为T，那么对所有的x∈R，sin(x+T)2=sinx2.由x的任意性，T=0，所以函数y不可能是周期函数.
变式提升3
(1)证明f（x)=1(x∈R)是周期函数，但没有最小正周期.
证明：因为对于任意实数T≠0，都有f(x+T)=f(x)=1，所以此函数是周期函数，其周期为任意非零实数.但所有正实数中没有最小值存在,故此函数没有最小正周期.
(2)偶函数f(x)的定义域为R,若f(x-1)=f(x+1)对一切x∈R恒成立,又当0≤x≤1时,f(x)=-x2+4.
①求证f(x)是周期函数,并确定它的周期;
②求当1≤x≤2时,f(x)的解析式.
①证明：∵f(x)定义域为R且f(x-1)=f(x+1),
∴f(x+2)=f(x+1+1)=f(x+1-1)=f(x).
则f(x)的一个周期为2,且2n(n∈Z,n≠0)都是y=f(x)的周期.
②解：设1≤x≤2,则-2≤-x≤-1，
因此，0≤2-x≤1,
由已知有：f(2-x)=-(2-x)2+4,
∵f(x)的周期为2，且为偶函数，
∴f(2-x)=f(-x)=f(x).
∴当1≤x≤2时，f(x)=-(2-x)2+4.1.2.2
同角三角函数关系
课堂导学
三点剖析
1.同角三角函数关系
【例1】已知sinθ-cosθ=,则sin3θ-cos3θ=__________________.
思路分析：把sin3θ-cos3θ变形凑出含有sinθ-cosθ的代数式代入求值.
解析
：∵sinθ-cosθ=,
∴(sinθ-cosθ)2=.
∴1-2sinθcosθ=.
∴sinθ·cosθ=.
∴sin3θ-cos3θ
=(sinθ-cosθ)(sin2θ+sinθ·cosθ+cos2θ)
=·(1+)=.
答案：
温馨提示
若已知sinα-cosα与sinα+cosα其中一个条件，求sin2α·cos2
α,sin3α±cos3α时，常用凑出sinα·cosα与sinα±cosα的关系来变化.
2．求三角函数式的值及证明三角函数恒等式
【例2】
已知cosα=,求sinα及tanα的值.
思路分析：用同角三角函数关系解题.
解：∵cosα＜0,且cosα≠-1
∴α是第二或第三象限角.
如果α是第二象限角，那么
sinα=.
tanα==×(-)=.
如果α是第三象限角，那么
sinα=-,tan
α=.
温馨提示
(1)要会用公式sin2α+cos2α=1的变形
sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.
(2)若已知正弦、余弦正切中的某一个三角函数值，但没有指定角所在的象限，要求另外两个三角函数值时，可按角所在象限分别进行讨论，进行运算，这时有两组结果，本题就属这种类型.
【例3】求证：.
思路分析1：注意到已给等式中含有正弦与余弦，因此采用正、余弦基本关系证明.
证法1：左边=
=
=
==右边.
∴原式成立.
思路分析2：注意到欲证式中只含有一个角θ的函数，因此可用三角函数定义证明.
证法2：设P（x,y）是象限角θ终边上一点，|OP|=r＞0,则由三角函数的定义知：
sinθ=,cosθ=,且x2+y2=r2.
所以，左式=
=
==右式.
故原式成立.
思路分析3：考虑到A=BA-B=0,故此题可采用比较法.
证法3：因为-=
=,
所以.
3.关于“1”的变换
【例4】
已知tanα=2,求sin2α-3sinαcosα+1的值.
思路分析：主要应用“1”的变换.
解：sin2α-3sinαcosα+1
=sin2α-3sinαcosα+(sin2α+cos2α)
=2sin2α-3sinαcosα+cos2
α
=.
温馨提示
已知tanα的值，求形如asin2α+bsinαcosα+ccos2α的值，可将分母1化为1=sin2α+cos2α代入，从而转化为关于tanα的表达式后再求值.
各个击破
类题演练1
已知=-1,求值.
.
解析：由已知，tan
α=,所以，
变式提升1
已知tanα为非零实数，用tanα表示sinα,cosα.
解：∵sin2
α+cos2
α=1,
∴sin2α=1-cos2α.
又∵=tanα,
∴tan2α=.
于是=1+tan2α
cos2α=.
由于tanα为非零实数，可知角α的终边不在坐标轴上，
从而cosα=
sinα=cosαtanα
=
类题演练2
已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π)，求
tanθ的值.
解：将已知等式平方，得
2sinθ·cosθ=.
∵sinθ+cosθ=＞0,∴sinθ＞0,cosθ＜0
∴cosθ＜0＜sinθ,∴sinθ-cosθ＞0.
而（sinθ-cosθ）2=1-2sinθcosθ=,于是sinθ-cosθ=.
和已知等式联立，便可解得
sinθ=,cosθ=,tanθ=.
变式提升2
已知f(x)=,若α∈(,π),则f(cosα)+f(-cosα)可化简为_______________.
解：f(cosα)+f(-cosα)=
=
答案：
类题演练3
求证：（1）;
(2).
思路分析：（1）切化弦，（2）左边入手，利用平方差公式.
证明：（1）左边=
==右边.
所以,原命题成立.
（2）左边=
=
=
=
=
=
所以，原命题成立.
变式提升3
已知tan2α=2tan2β+1,求证：sin2β=2sin2α-1.
证明：因为tan2α=2tan2β+1,
所以
=,
所以.
所以sin2α(1-sin2β)=(1-sin2α)(1+sin2β).
所以sin2β=2sin2α-1.
类题演练4
的值为（
）
A.sinα+cosα
B.sinα-cosα
C.cosα-sinα
D.|sinα+cosα|
解析：∵1+2sinαcosα=sin2α+2sinαcosα+cos2α
=(sinα+cosα)2
∴原式==|sinα+cosα|,
故选D.
答案：D
变式提升4
若β∈［0,2π),且+=sinβ-cosβ,则β的取值范围是（
）
A.［0,)
B.［,π］
C.［π,
］
D.［,2π)
解析：∵+=
=|sinβ|+|cosβ|=sinβ-cosβ,
∴sinβ≥0,cosβ≤0,∴β是第二象限角（包括x轴负半轴和y轴正半轴）.
∵0≤β＜2π,∴β∈［,π］.
答案：B1.3.2 三角函数的图象与性质
课堂导学
三点剖析
1.正弦函数、余弦函数的主要性质
【例1】求下列函数的定义域：
（1）y=+lgcosx;
(2)y=logsinx(cosx+).
思路分析：利用三角函数单调性求解.
解：（1）由得
由上图可知不等式组的解集为［-6，-)∪(-,)∪(,6］.
故原函数的定义域为［-6，-)∪(-,）∪(,6］.
(2)由
得(k∈Z).
∴原函数的定义域为（2kπ,2kπ+）∪（2kπ+,2kπ+23π）k∈Z.
温馨提示
求函数的定义域,就是求使函数式有意义的x值集合.三角不等式常借助图象或三角函数线求解.若不等式组由三角不等式和普通不等式组成，不等式组的解集可由数轴找出.若不等式组只由三角不等式组成，不等式组的解集可借助象限或单位圆求出.
【例2】
比较下列各组中四个值的大小：
（1）sin1,sin2,sin3,sin4;
(2)cos1,cos2,cos3,cos4.
思路分析：转化到同一单调区间再比较.
解析：（1）∵0＜1＜＜2＜3＜π＜4＜,
∴sin4＜0,sin2=sin(π-2),sin3=sin(π-3).
而0＜π-3＜1＜π-2＜,正弦函数y=sinx在（0，）上为增函数，
∴sin(π-3)＜sin1＜sin(π-2),
即sin2＞sin1＞sin3＞sin4.
(2)由（1）可知，cos1＞0,cos2=-cos(π-2),cos3=-cos(π-3),
cos4=-cos(4-π).而0＜π-3＜4-π＜π-2＜,余弦函数y=cosx在（0，）上为减函数，
∴cos(π-3)＞cos(4-π)＞cos(π-2),
∴cos(π-3)＜-cos(4-π)＜-cos(π-2),
即cos3＜cos4＜cos2＜cos1.
答案：（1）sin2＞sin1＞sin3＞sin4;
(2)cos3＜cos4＜cos2＜cos1.
温馨提示
①要判断函数值的大小，主要依据是函数在这个区间上的单调性.②求三角函数的单调区间，可利用换元思想把角的某个代数式看作新的变量.③对于复合函数，应先考虑函数的定义域，再结合函数的单调性来确定单调区间.
2.正弦函数和余弦函数图象间的关系
【例3】作函数y=的图象.
思路分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作函数的图象.
解：y=化为y=|sinx|,
即y=(k∈Z)
其图象如下图.
温馨提示
①画y=|sinx|的图象可分两步完成，第一步先画了y=sinx,x∈［0,π］、y=-sinx,x∈［π,2π］上的图象，第二步将得到的图象向左、右平移，即可得到完整的曲线.②由图象可以看到函数y=|sinx|的最小正周期是π.
3.三角函数图象和性质综合应用
【例4】
作出函数y=|tanx|及y=tan|x|的图象，观察图象，指出函数的单调区间，并判断它们的奇偶性及周期性.若为周期函数，求出它的最小正周期.
思路分析：利用分段函数图象的画法.
解：（1）y=|tanx|=由y=tanx图象可知，y=|tanx|的图象如下：
由图象可知，y=|tanx|仍为周期函数，最小正周期T=π,函数是偶函数.函数的单调增区间是（kπ,kπ+）（k∈Z）,减区间（kπ-,kπ）(k∈Z).
(2)y=tan|x|=由y=tanx图象可知，y=tan|x|的图象如下：
由y=tan|x|图象可知，函数不是周期函数.但y=tan|x|是偶函数，单调增区间［0,
）∪（kπ+,kπ+）（k∈N）.函数的单调减区间（-,0］∪（kπ-,kπ-)(k∈Z且k≤0).
各个击破
类题演练1
求y=的定义域.
解：根据函数表达式可得
作出下图.
由图示可得，函数定义域为［-5,-π］∪［0,π］.
变式提升1
求下列函数的定义域.
（1）y=;
(2)y=
解：(1)将正弦函数和正切函数的图象画在同一坐标系内，如图
由图显然可得函数定义域集合为
{x|2kπ≤x＜2kπ+,k∈π+π,k∈Z}.
(2）由cos(+)≠0
得
可利用单位圆中三角函数线直观地求得上述不等式组的解集（如图）
∴函数定义域为{x|2kπ+＜x＜2kπ+,k∈Z}.
类题演练2
已知函数y=acosx+b的最大值是1，最小值是-3，试确定f(x)=bsin(x+)的单调区间.
解：若a＞0.则a+b=1,-a+b=-3,解得a=2,b=-1，此时，f(x)=-sin(2x+).
设k∈Z,2kπ-≤2x+≤2kπ+时，f(x)单调递减，2kπ+≤2x+≤2kπ+的f(x)单调递增.
于是，单调递减区间为［kπ-,kπ+］(k∈Z),单调递增区间为［kπ+,kπ+］,k∈Z.
若a＜0,则-a+b=1,a+b=-3,
∴a=-2,b=-1.
f(x)=-sin(-2x+)=sin(2x-).
其单调递增区间为［kπ-,kπ+］,k∈Z,
单调递减区间为［kπ+,kπ+］,k∈Z.
变式提升2
函数y=2sin()(x∈［0,π］)为增函数的区间是（
）
A.［0,］
B.［,］
C.［,
］
D.［,π］
思路分析：利用三角函数的性质，求出y=2sin(-2x)在R上的单调增区间，取特殊值验证即可解决此类问题.
解：2sin(-2x)=-2sin(2x),当2kπ+≤2x≤2kπ+,即kπ+≤x≤kπ+
(k∈Z),当k=0时得在［0,π］上的单调增区间为［,
］.
答案：C
类题演练3
函数y=3sinx,x∈［-,］的简图是（
）
思路分析：用五点法作图即可得出答案.
答案：A
变式提升3
函数y=-cosx的图象与余弦函数的图象（
）
A.只关于x轴对称
B.只关于原点对称
C.关于原点、x轴对称
D.关于原点、坐标轴对称
解析：对于y=cosx与y=-cosx，当x取相同值时，y值相反，所以图象关于x轴对称.
答案：A
类题演练4
(2006全国高考Ⅰ，理5文6)函数f(x)=tan(x+)的单调增区间为（
）
A.(kπ-,kπ+),k∈Z
B.(kπ,(k+1)π),k∈Z
C.(kπ,kπ+),k∈Z
D.(kπ-,kπ+),k∈Z
解析：kπ-＜x+＜kπ+
(k∈Z),
∴单调增区间为(kπ,kπ+),k∈Z.
答案：C
变式提升4
(2004天津)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π,且当x∈［0,
］时，f(x)=sinx，则f()的值为（
）
A.-
B.
C.
D.
解：f()=f(π+)=f()=f(π-)=f(-)=f().
∵当x∈［0,
］时，f(x)=sinx,
∴f()=sin=.
答案：D
温馨提示
三角函数的奇偶性的判断，首先要看定义域，若定义不关于原点对称则函数一定是非奇非偶函数.如f(x)=奇偶性的判断，另外，奇偶函数的四则运算具有的一些性质，也可用来判断函数的奇偶性.如：偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；奇函数的和、差为奇函数；奇函数的积、商为偶函数.奇函数与偶函数的积、商为奇函数等.2.5
向量的应用
课堂导学
三点剖析
1.数学问题的向量方法
【例1】如右图平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2.求对角线AC的长.
思路分析：本题要求线段长度问题，可以转化为求向量的模来解决.
解：设=a，=b，则=a-b，=a+b.
而||=|a-b|=
∴||2=5-2a·b=4（
）
又||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2
=|a|2+2a·b+|b|2=1+4+2a·b.
由（
）得2a·b=1，
∴||2=6,
∴||=,即=.
温馨提示
在解决本题中，不用解斜三角形，而用向量的数量积及模的知识解决，过程中采取整体代入，使问题解决简捷明快.
2．物理问题中的向量方法
【例2】
如图甲所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1，求：
甲
(1)|F1|、|F2|随角θ的变化而变化的情况；
（2）当|F1|≤2|G|时，θ角的取值范围.
思路分析：本题主要是利用向量加法的平行四边形法则解决物理问题.
乙
解：（1）如图乙所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：G=F1+F2.
解直角三角形得
|F1|=
当θ从0°趋向于90°时，|F1|、|F2|皆逐渐增大.
（2）令|F1|=≤2|G|，
得cosθ≥,
又0°≤θ<90°,
∴0°≤θ≤60°.
温馨提示
在解决力的合成、力的分解问题时，一般是利用向量的平行四边形法则解决.
3.向量方法的综合应用
【例3】已知两恒力F1（3，4）、F2（6，-5）作用于同一质点，使之由点A（20，15）移动到点B（7，0）.试求：
（1）F1，F2分别对质点所做的功；
（2）F1，F2的合力F对质点所做的功.
思路分析：本题利用向量数量积知识解决物理中的做功问题，由于给出各分力的坐标，采用坐标法计算，首先求出位移的坐标，代入F·s公式即可.
解：=（7，0）-（20，15）=（-13，-15）.
（1）W1=F1·=（3，4）·（-13，-15）=3×(-13)+4×(-15)=-99(焦),
W2=F2·=（6，-5）·（-13，-15）=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦).
（2）W=F·=（F1+F2）·=［(3,4)+(6,-5)］·（-13，-15）=（9，-1）·（-13，-15）=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(焦).
温馨提示
力对物体所做的功实际是力与位移的数量积，即W=F·s，若用坐标运算，应当注意首先求出位移s这一向量的坐标，即终点的坐标减去起点的坐标.
【例4】△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P.
求：AP∶PM的值.
思路分析：待定系数法求定比的问题.
解：设=e1,=e2.
则=+=-3e2-e1,=2e1+e2.
∵A、P、M和B、P、N分别共线，
∴存在实数λ，μ分别使=λ=-λe1-3λe2,
=μ=2μe1+μe2.
故=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.
而=+=2e1+3e2.
由基本定理得
解得
即=.
故AP∶PM=4∶1.
温馨提示
在解决有关定比问题时，字母顺序易出错，解决本题的关键是选择适当的一对基底，选不好基底，会使题目进入误区.
各个击破
类题演练1
已知：在△ABC中，=a=(x1,y1),=b=(x2,y2).
求证：△ABC的面积S=|x2y1-x1y2|.
证明：由S△ABC=|a|·|b|sinA
=
=
=
=
=|x2y1-x1y2|.
变式提升1
如图，O为△ABC的外心，E为三角形内一点，满足=++，求证：⊥.
证明：∵=-,
=-=(++)-=+,
∴·=（-）·（+）=||2-||2.
∵O为外心，
∴||=||，即·=0，⊥.
类题演练2
在重300
N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°,60°,如图，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.
解：作ABCB，使∠AOC=30°,∠BOC=60°.
在△OAC中，∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°,
||=||cos30°=1503（N），||=||sin30°=150(N),||=||=150(N).
答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150
N.
变式提升2
某人在静水中游泳，速度为千米/时，水流速度为4千米/时.
（1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向游？速度是多少？
（2）他必须往哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际速度是多少？
解：（1）如图，
水流速度v1=4
km/h,游泳速度v2=km/h.
设合速度v与v1所成角为θ，于是tanθ=，∴θ=60°.
|v|==8
km/h.
（2）如图，v=，
sinθ=，θ≈35.26°,
则方向为与水流方向成125.26°的角.实际速度是km/h.
类题演练3
如图所示，求两个力f1、f2的合力f的大小和方向（精确到一位小数）.
解：设f1=(a1,a2),f2=(b1,b2),
则a1=300cos30°=259.8,
a2=300sin30°=150,
b1=-200cos45°=-141.4,b2=200sin45°=141.4,
所以f1=(259.8,150),f2=(-141.4,141.4),
f=f1+f2=(259.8,150)+(-141.4,141.4)=(118.4,291.4),
|f|==314.5.
设f与x轴的正向夹角为θ，则tanθ==2.4611.
由f的坐标知θ是第一象限的角，所以θ=67°53′.
答：两个力的合力是314.5
N,与x轴的正方向的夹角为67°53′，与y轴的夹角为22°7′.
变式提升3
如图，质量为m的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为α，求斜面对于物体的摩擦力的大小f.
解析：如图，物体受三个力：重力w（方向竖直向下，大小为mgN）,斜面对物体的支持力p(方向垂直于斜面斜向上，设其大小为pN),摩擦力f(沿斜面支持力的方向，大小为fN)，由于物体静止，这三个力平衡，合力为0；
w+p+f=0（
）
记垂直于斜面斜向下方、大小为1
N的力为e1，沿斜面下降方向、大小为1
N的力为e2，以e1、e2为基底，写出所涉及的三个力的坐标，则p=（-p,0）,f=(0,-f),由e1旋转到w方向的角为α，则w的坐标为（mgcosα,mgsinα）.
由（
），得w+p+f=（mgcosα,mgsinα）+(-p,0)+(0,-f)
=(mgcosα-p,mgsinα-f)=(0,0).
故mgsinα-f=0,f=mgsinα(N).
类题演练4
求证：直径上的圆周角是直角.
解析：已知：AC为⊙O的一条直径，∠ABC是圆周角.
求证：∠ABC=90°.
证明：设=a,
=b.
则=a+b,=a,=a-b,|a|=|b|.
由于·=（a+b）·(a-b)=|a|2-|b|2=0,
所以⊥.
由此得∠ABC=90°.
即直径上的圆周角为直角.
变式提升4
已知圆C：(x-3)2+(y-3)2=4和点A（1，1），M为圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且MA=2AN，求点N的轨迹方程.
解析：设M（x0,y0）,N(x,y).
由=2，得
(1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1).
所以
代入方程(x-3)2+(y-3)2=4，
整理得x2+y2=1.
所以所求的轨迹方程为x2+y2=1.2.3
向量的坐标表示
课堂导学
三点剖析
1.平面向量基本定理的理解与应用
【例1】已知A（1，-2）、B（2，1）、C（3，2）和D（-2，3），以、为一组基底来表示++.
思路分析：本题主要考查向量的坐标表示、向量的坐标运算、平面向量基本定理以及待定系数法等知识.求解时首先由点A、B、C、D的坐标求得向量、、、、等的坐标，然后根据平面向量基本定理得到等式++=m·+n·，再列出关于m、n的方程组，进而解方程求出所表示的系数.
解：=（1，3），=（2，4），=（-3，5），
=（-4，2），=（-5，1），
∴++=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8).
根据平面向量基本定理，一定存在实数m、n使得
++=m·+n·，
∴（-12，8）=m(1,3)+n(2,4).
也就是（-12，8）=（m+2n,3m+4n）.
可得
解得
∴++=32·-22·.
温馨提示
用一组基底e1、e2表示平面内的任何一个向量a，应首先根据平面向量基本定理写成：a=λ1e1+λ2e2,然后代入各向量的坐标，转化成方程组，解得待定系数λ1、λ2，这就是常用的待定系数法.
2．向量的直角坐标运算法则与对向量平行的应用
【例2】
平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
（1）若（a+kc）∥(2b-a).求实数k的值.
（2）设d=(x,y)满足（d-c）∥(a+b)且|d-c|=1.求d.
思路分析：（1）将a、b、c的坐标代入a+kc
和2b-a并分别求出其坐标，利用两向量共线的条件即可求得k值.（2）利用d-c与a+b共线与|d-c|=1列出两个关于x、y的方程，解方程即可.
解：（1）∵（a+kc）∥(2b-a),又a+kc=(3,2)+k(4,1)=(3,2)+(4k,k)=(3+4k,2+k),2b-a=2(-1,2)-(3,2)=
(-2,4)-(3,2)
=(-5,2).∴2×(3+4k)-(-5)(2+k)=0.
∴k=.
（2）∵d-c=(x,y)-(4,1)=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,
∴
解之得或
∴d=(,)或（,）.
温馨提示
向量的加减及实数与向量的积，两向量共线的等价条件、向量的模都可用于列方程求未知数的值.
【例3】平面内已知三个点A（1，-2），B（7，0），C（-5，6）.求，，+，+.
思路分析：本题主要涉及向量的坐标运算，代入相应的公式运算即可得.
解：∵A(1,-2),B(7,0),C(-5,6),∴=(7-1,0+2)=(6,2),
=(-5-1,6+2)=(-6,8),
+=(6-6,2+8)=(0,10),
+=(6,2)+(-6,8)=(6,2)+(-3,4)=(3,6)
温馨提示
对于向量的起点、终点及向量所对应的三组坐标中，可知二求一.对于向量的坐标运算，均需正确掌握其运算法则.
3.向量坐标形式的综合应用
【例4】
已知A（-1，2），B（3，4）连结A、B并延长至P，使|AP|=3|BP|，求P点求标.
思路分析：本题主要涉及定比分点坐标公式.首先确定用哪一个点作分点、起点和终点，正确确定定比λ的值，代入公式即可求得P点坐标.
解：选定P为分点，A为起点，B为终点，则P分所成的两个向量为和，由图可知，与方向相反，∴λ=.
由定比分点公式，设P点坐标为（x,y）.则
所以P点坐标为（5，5）.
温馨提示
一般地，A、B、P三点中选哪一个点作起点、分点或终点都可以，但一经确定两点.第三点也随之确定.虽然对各种情况的定比不同，但计算结果都一样，可根据题目条件恰当选择起点、分点和终点，确定相应的定比λ的值，优化解题过程.而此类题目最大的弊病是分不清起点与终点，致使公式用错.
各个击破
类题演练1
如图，在ABCD中，AH=HD，BF=MC=BC，且=a，=b，沿向量，分解向量，，，.
解：“沿向量，分解向量”，就是用向量，表示该向量.
=-=b-b=b,
=+=a+b,
=-=b-(a+b)=-a-b,
=+=a+b,
==a+b,
=HD-=b-(a+b)=-a+b.
∴=a+b,=-a-b,=a+b,=-a+b.
变式提升1
已知向量a=(3,-2),b=(-2,1),c=(5,-3)，试用a和b来表示c.
思路分析：设c=ma+nb,然后利用待定系数法求出m、n的值.
解：设c=ma+nb,
即（5，-3）=m(3,-2)+n(-2,1)=(3m-2n,-2m+n),
于是有解得
所以c=a-b.
类题演练2
已知点A、B的坐标分别为（2，-2），（4，3），向量p的坐标为（2k-1,7），且p∥，则k的值为多少？
解：=（2，5），p=(2k-1,7).
共线的条件为x1y2-x2y1=0,
2×7-(2k-1)×5=0,解得k=.
变式提升2
(1)已知：A（-2，-3），B（2，1），C（1，4），D（-7，-4），判断与是否共线？
解：=（2，1）-（-2，-3）=（4，4）,=（-7，-4）-（1，4）=（-8，-8）,
∵4×(-8)-4×(-8)=0,
∴∥,
即与共线，或=-2，∥，∴与共线.
(2)若向量a=(2,-1),b=(x,2),c=(-3,y),且a∥b∥c,求x,y的值.
解法1：∵a∥b∥c,∴b=λ1a,c=λ2a.
则有
解得
解法2：∵a∥b，∴4+x=0.∴x=-4.
又∵a∥c,∴2y-3=0y=.
类题演练3
已知A（1，-2），B（2，1），C（3，2）和D（-2，3），以、为一组基底来表示++.
解：=（1，3），=（2，4），（-3，5），=（-4，2），=（-5，1），
∴++=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8).
根据平面向量基本定理，一定存在实数m、n，使得
++=m·+n·，
∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4),
也就是（-12，8）=(m+2n,3m+4n),
可得解得
∴++=32-22.
变式提升3
若点O（0，0）、A（1，2）、B（-1，3），且=2,=3,则点A′的坐标为____________，点B′的坐标为____________，向量的坐标为____________.
解：∵O(0,0)，A（1，2），B（-1，3），
∴=（1，2），=（-1，3），=2×(1,2)=(2,4),
′=3×(-1,3)=(-3,9).
∴A′(2,4),B′(-3,9),
=(-3-2,9-4)=(-5,5).
答案：（2，4）
（-3，9）
（-5，5）
类题演练4
已知A（-2，1），B（1，3），求线段AB中点M和三等分点P、Q的坐标.
解析：因为=-
=（1，3）-（-2，1）=（3，2）
所以=(+)
=［(-2,1)+(1,3)］=(-,2).
=+
=(-2,1)+(3,2)=(-1,).
=+
=(-2,1)+(3,2)=(0,).
因此M（-,2）,P(-1,),Q(0,).
变式提升4
在△ABC中，已知A（4，1）、B（7，5）、C（-4，7），则BC边的中线AD的长是（
）
A.
B.
C.
D.
解：∵B(7,5),C(-4,7),∴BC中点D的坐标为（,）,即D（,6）.
∵A(4,1),∴=(,6)-(4,1)=(-,5)
∴||=.
即BC边中线长为，应选B.
答案：B1．3.3 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
课堂导学
三点剖析
1.会求y=Asin（ωx+φ）的振幅、周期、频率、相位及初相
【例1】已知函数y=3sin(2x+).
(1)求出它的周期；
（2）用“五点法”作出一个周期的简图；
（3）指出函数的单调区间.
思路分析：复合函数的周期、图象、单调性.
解：（1）周期为T==π.
(2)列表.
2x+
0
π
2π
x
y
0
3
0
-3
0
描点连线（如下图）.
（3）可见在一个周期内，函数在［,］上递减，又因函数的最小正周期为π,所以函数的递减区间为［kπ+,kπ+］(k∈Z).同理，增区间为［kπ-,kπ+］(k∈Z).
温馨提示
用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象.①先将函数化为Asin(ωx+φ)的形式.②求函数的周期.③抓住五个关键点，使函数式中的ωx+φ分别取0，,π,
,2π.然后求出相应的x，y值，作出图象.
2.y=sinx到y=Asin(ωx+φ)和y=cosx到y=Acos（ωx+φ）的变化过程
【例2】
指出将y=sinx的图象变换为y=3sin(2x+)的两种变换方法.
思路分析：采用先ω再φ的变换或先φ再ω都可以.
解法1：y=sinxy
=sin2xy=sin［2(x+π6)］
=sin(2x+)y
=3sin(2x+).
解法2:
y=sinxy=sin(x+)y=sin(2x+)y=3sin(2x+).
温馨提示
由y=sinx图象变换出y=sin(ωx+φ)的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换.
途径一：先平移变换再周期变换（伸缩变换），先将y=sinx的图象向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移|φ|个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0）（纵坐标不变），便得y=sin(ωx+φ)的图象.
途径二：先周期变换（伸缩变换）再平移变换.先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍（ω＞0,纵坐标不变），再沿x轴向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移个单位，便得y=sin(ωx+φ)的图象.
3.在y=Asin(ωx+φ)中，φ的确定
【例3】已知下图是函数y=2sin(ωx+φ)(|φ|＜)的图象.
（1）求ω、φ的值；
（2）求函数图象的对称轴方程，对称中心坐标.
思路分析：解这类问题的一般方法是通过特殊点来确定函数中的A、ω、φ.
解：由题意得
（1）解得ω=2,φ=.
所以y=2sin(2x+).
(2)函数图象的对称轴方程为2x+=kπ+,
即x=+(k∈Z).
对称中心为（x0,0）,则2x0+=kπ,k∈Z,
∴对称中心坐标为（,0）(k∈Z).
温馨提示
在y=Asin(ωx+φ)的确定过程中A、ω容易确定，而
φ要通过具体的点的坐标代入求出，容易在范围上出错.
各个击破
类题演练1
用五点法作出函数y=2sin(x-)+3的图象，并指出它的周期、频率、相位、初相、最值及单调区间.
解：（1）列表.
x
x-
0
π
2π
y
3
5
3
1
3
(2)描点.
（3）作图，如图.
周期T=2π,频率f==,相位x-,初相-,最大值5，最小值1，函数的减区间为［2kπ+π,2kπ+π］,k∈Z，增区间为
［2kπ,2kπ+］k∈Z.
将函数在一个周期内的图象向左、向右两边扩展即得y=2sin(x-)+3的图象.
变式提升1
如图是正弦函数y1=Asin(ωx+φ)的一个周期的图象.
（1）写出y1的解析式；
（2）若y2与y1的图象关于直线x=2对称，写出y2的解析式；
（3）指出y2的周期、频率、振幅、初相.
解：(1)由题图知：A=2，T=7-（-1）=8，
ω===,∴y1=2sin(x+φ),将点（-1，0）
代入得0=2sin（-+φ）
∴φ=,∴y1=2sin(x+).
(2)作出与y1的图象关于直线x=2对称的图象，可以看出y2的图象相当于将y1的图象向右平移2个单位得到的.
∴y2=2sin［(x-2)+］=2sin(x-).
(3)由(2)知，y2的周期T==8,
频率f=,振幅A=2，初相φ0=-.
类题演练2
把函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的,则所得图象的函数解析式是（
）
A.y=sin(4x+π)
B.y=sin(4x+)
C.y=sin4x
D.y=sinx
思路分析：将y=sin(2x+)的图象向右平移个单位，得y=sin［2(x-)+
］,即y=sin2x的图象；再将y=sin2x的图象上各点的横坐标缩短到原来的,就得到函数y=sin2(2x)，即y=sin4x的图象.
答案：C
变式提升2
作出函数y=3cos(2x-)的图象，并说明这个图象可以由y=cosx的图象经过怎样的变化得到？
解：①列出五个关键点如下：
2x-
0
Π
2π
x
y
3
0
-3
0
3
②描点作图.
③以π为周期把所得图象向左、右扩展，得
y=3cos(2x-)的图象.
这个图象可以由y=cosx的图象先向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标压缩到原来的，每一点的纵坐标伸长到原来的3倍而得到.
类题演练3
已知函数y=Asin(ωx+φ)（A＞0,ω＞0,0＜φ＜π）的图象上一个最高点为（2，3），与这个最高点相邻的一个函数值为0的点是（6，0），求这个函数的解析式.
解：由已知得，A=3,=6-2=4,
∴T=16.
∴ω=.
∴y=3sin(φ).
∵图象的一个最高点为（2，3），且0＜φ＜π,
∴×2+φ=,∴φ=.
所以函数的解析式为y=3sin(+).
变式提升3
函数y=Asin(ωx+φ)+b在同一周期内有最高点（,3）,最低点（,-5）,求它的解析式.
解：∵2A=3-(-5)=8,
∴A=4.
∵2b=3+(-5)=-2,
∴b=-1.
∵=-,
∴T=π.
∴ω==2.
∴y=4sin(2x+φ)-1.
又图象过点（，3），从而3=4sin(2·+φ)-1,
即sin(+φ)=1,
∴+φ=π2,φ=.
故y=4sin(2x+)-1.2.1
向量的概念及表示
课堂导学
三点剖析
1.向量、相等向量、共线向量的概念
【例1】
判断下列各命题的真假.
（1）向量的长度与向量的长度相等；
（2）向量a与向量b平行，且a与b方向相同或相反；
（3）两个有共同起点而且相等的向量，终点相同；
（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
（5）与共线，则点A、B、C、D必在同一条直线上；
（6）有向线段就是向量，向量就是有向线段.
思路分析：考查向量的基本概念及表示.
解：（1）真命题.与互为相反向量.
（2）假命题.若a、b中有一个为零向量时，其方向是不确定的.
（3）真命题.
（4）假命题.终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反.
（5）假命题.共线向量所在的直线可以重合也可以平行.
（6）假命题.向量是用有向线段来表示的，但并不是有向线段.
温馨提示
对于零向量它比较特殊，它与任一向量平行.解题时加以注意.
2．共线向量（平行向量）的概念理解
【例2】
如右图D、E、F分别是等腰Rt△ABC各边中点，∠BAC=90°.
（1）写出图中与、长度相等的向量；
（2）分别写出图中与向量、共线的向量.
思路分析：长度相等的向量包括相等向量、相反向量以及模相等的所有向量.共线与否只看方向不看大小.
解：（1）与长度相等的向量有、、、、.与长度相等的向量有、.
（2）与共线的向量有、、.与共线的向量有，，.
温馨提示
共线向量有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等.这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.
3.向量的模与零向量
【例3】下列四个命题，其中正确命题的个数是（
）
①若|a|=0，则a=0
②若|a|=|b|，则a=b或a=-b
③若a∥b，则|a|=|b|
④若a=0，则-a=0
A.1
B.2
C.3
D.4
思路分析：考查零向量与向量的模的概念.
解：分清0与0的区别，知①错误；两个向量模相等，它们有无数种位置关系，故②不正确；两向量平行模不一定相等，故③错误.④正确.
答案：A
温馨提示
①容易忽略0与0的区别；②误认为模相等时向量相等，把向量的模同实数的绝对值等同起来.
【例4】
给出下列命题，其中正确命题的个数是（
）
①零向量是唯一没有方向的向量
②平面内的单位向量有且仅有一个
③a与b共线，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量
④相等的向量必是共线向量
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析：①零向量方向任意.②平面内的单位向量有无数个.③a与c方向可能相反.
答案：A
各个击破
类题演练1
如图B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出多少个互不相等的非零向量？
思路分析：大小相等、方向相同的向量是相等的.只需从大小和方向两方面思考即可.
解：可设AD的长度为3，那么长度为1的向量有6个，其中==，==；长度为2的向量有4个，其中=，；长度为3的向量有2个，所以最多可以写出6个互不相等的向量.
变式提升1
（1）如图，D、E、F分别是正△ABC的各边中点，则在以A、B、C、D、E、F六个点中任意两点为起点与终点的向量中，找出与向量平行的向量.
解：与向量平行的向量有7个，分别是、、、、、、.
（2）判断下列命题的真假，并注意体会它们之间的联系与不同.
①若a∥b，则a=b.(
)
②若|a|=|b|，则a=b.（
）
③若|a|=|b|，则a∥b.（
）
④若a=b,则|a|=|b|.(
)
答案：（1）假命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）真命题.
类题演练2
不相等的两个向量a和b，有可能是平行向量吗？若不可能，请说明理由；若有可能，请把各种可能的情形一一列出.
解：不相等的两个向量有可能平行.
有如下三种情况：
情况1：两个向量a和b中有一个是零向量而另一个是非零向量；
情况2：两个向量a和b都为非零向量，且方向相同；
情况3：两个向量a和b都为非零向量，且方向相反.
变式提升2
判断下列命题是否正确.
（1）若a∥b，则a与b的方向相同或相反；
（2）共线的向量.若起点不同，则终点一定不同.
解：（1）错.若a、b中有一零向量，其方向不定.
（2）错.如图，与共线，虽起点不同，但终点却相同.
类题演练3
下列命题中，正确的是（
）
A.|a|=|b|a=b
B.|a|>|b|a>b
C.a=ba∥b
D.|a|=0a=0
解法1：（直接法）
∵如果两个向量相等，则这两个向量必定平行.
∴应选C.
解法2：（排除法）
由向量的定义知：向量既有大小，也有方向，由向量具有方向性可排除A、B，零向量，数字0是两个不同的概念，零向量是不等于数字0的.
∴应排除D，∴应选C.
答案：C
变式提升3
根据图形回答下列问题.
（1）写出与共线的向量;
（2）写出与的模大小相等的向量;
（3）写出与相等的向量.
思路分析：利用三角形中位线定理解决线段的平行和相等问题，再将线段的平行、相等转化为共线的向量、相等的向量.
解：（1）∵E、F分别是AC、AB的中点，
∴EFBC.
又∵D是BC的中点,
∴与向量共线的向量有：，，，，，，.
（2）与模相等的向量有：，，，，.
（3）与相等的向量有:，.
温馨提示
零向量在共线向量问题中是一个特别的对象，应按照平行向量的补充规定来判断；考查向量应考查其大小和方向，二者缺一不可，对于一个向量只要不改变其大小与方向是可以任意平行移动的，即我们研究的向量是自由向量；平行向量与向量的模无关，而方向包含相同和相反两种情形.3.3
几个三角恒等式
课堂导学
三点剖析
1.三角函数恒等式应用举例
【例1】
运用三角函数变换证明tan=.
思路分析：由于角不一致，首先应统一角度，即运用倍角公式设法将tan变成角α的三角函数.
证明：tan=
=.
tan=
=
∴tan=成立.
温馨提示
这组公式的结构特征是用cosα与sinα表示的正切值，可称为半角公式.
2．三角函数变换的应用
【例2】
将下列各式化简为Asin(ωx+φ)的形式：
（1）cosx-sinx；
(2)3sinx+cosx；
(3)3sinx-4cosx；
(4)asinx+bcosx(ab≠0).
思路分析：本题主要考查两角和（差）的正余弦公式的恒等变形.
解：（1）cosx-sinx=-(sinx-cosx)
=(sinx-cosx)
=(sinxcos-cosxsin)
=sin(x-).
本题化简结果不唯一，也可这样变换：
cosx-sinx=(cosx-sinx)
=(sinxcos+cosxsin)=sin(x+).
（2）3sinx+cosx=2(sinx+cosx)
=2(sinxcos+cosxsin)
=2sin(x+).
(3)3sinx-4cosx=5(sinxcosx)
令cosφ=，φ为第一象限角，则sinφ=.
∴3sinx-4cosx=5(sinxcosφ-cosxsinφ)
=5sin(x-φ).
（4）asinx+bcosx
=(sinx+cosx)
=(sinxcosφ+cosxsinφ)
=sin(x+φ).
其中cosφ=,sinφ=.
温馨提示
形如asinx+bcosx的式子均可化成·sin(x+φ)的形式，这种变换的主要功能是把asinx+bcosx形的三角函数式表示成一个角的一个三角函数，这样做有利于研究f(x)=asinx+bcosx的图象和性质，或化简、求最值问题.
3.在解题过程中怎样选择合适的公式
【例3】已知函数f(x)=2asinxcosx+2bcos2x,且f(0)=8，f()=6+.
求a,b的值及f(x)的周期和最大值.
解：∵f(0)=2asin0cos0+2bcos20=2b=8,∴b=4.
又f()=2asincos+2bcos2=a+b=a+6=6+.
∴a=3.
∴f(x)=3sin2x+4cos2x+4=5(sin2x+φ)+4(其中cosφ=,sinφ=),
∴f(x)的周期是T==π.
当sin（2x+φ）=1时，f(x)最大值=9.
温馨提示
当f(x)的解析式中有待定常数a，b时，可根据条件列关于a，b的两个条件等式，再通过解方程组求出a，b;求f(x)的周期和最值，通常需把f(x)化成Asin（ωx+φ）+k的形式.本例中（2）问是根据方程根的意义得到两个三角等式，再通过三角变换变出所需要的式子.
各个击破
类题演练1
已知cosθ=，且θ∈（0，），求tan.
解：∵θ∈（0，），
∴θ[]2∈(0,)，
∴tan＞0，
∴tan=
变式提升1
求证：（1）sinαcosβ=［sin（α+β）+sin(α-β)］;
(2)sinθ+sinφ=2sincos.
证明：（1）因为sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ,
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ,
即sinα·cosβ=［sin（α+β）+sin(α-β)］.
（2）由（1）可得，
sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ（
）
设α+β=θ,α-β=φ,
那么α=,β=.
把α,β的值代入（
），得
sinθ+sinφ=2sincos.
温馨提示
本例是积化和差、和差化积公式的证明，所用的方程思想和换元的方法很巧妙，使公式的证明变得十分简单.
类题演练2
当y=2cosx-3sinx取得最大值时，tanx的值（
）
A.
B.-
C.
D.4
解析：y=sin(φ-x),y有最大值时，sin(φ-x)=1φ-x=2kπ+φ=2kπ++x,又由sinφ=,cosφ=，知tanφ=，故tan(2kπ++x)=tanx=-(k∈Z).
答案：B
变式提升2
（1）当-≤x≤时，f(x)=sinx+3cosx的最值.
解：f(x)=sinx+cosx=2sin(x+).
设t=x+.
∵-≤x≤，∴-≤x+≤，即-≤t≤.
∴原函数化为y=2sint(-≤t≤).
画出y=2sint的图象，观察图象可知
当t=-，即x=-时，
ymin=2sin(-)=-1,
当t=，即x=时，ymax=2sin=2.
∴ymin=-1,ymax=2.
(2)(2005江苏高考，10)若sin(-α)=，则cos(+2α)等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：cos(+2α)=2cos2(+α)-1.
∵(-α)+(+α)=,
∴cos(+α)=sin(-α)=.
∴cos(+2α)=2×()2-1=.
答案：A
类题演练3
求证：（1）sin3α=3sinα-4sin3α；（2）cos3α=4cos3α-3cosα.
证明：（1）sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcos2α+(1-2sin2α)sinα
=2sinα(1-sin2α)+sinα-2sin3α
=3sinα-4sin3α.
∴sin3α=3sinα-4sin3α.
（2）cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα
=(2cos2α-1)cosα-2sin2αcosα
=2cos3α-cosα-2(1-cos2α)cosα
=4cos3α-3cosα.
∴cos3α=4cos3α-3cosα.
变式提升3
求sin18°的值.
解：∵sin36°=cos54°,
∴2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°.
又∵cos18°≠0,
∴2sin18°=4(1-sin218°)-3,
∴4sin218°+2sin18°-1=0.
解这个关于sin18°的一元二次方程得
sin18°=.
∵sin18°＞0,∴sin18°=.1.2.3
三角函数的诱导公式
课堂导学
三点剖析
1.三角函数的诱导公式
【例1】求下列各三角函数值.
(1)sin();
(2)cos();
(3)tan(-855°).
思路分析：直接运用诱导公式进行变形求值即可.
解：(1)sin()=-sin
=-sin(2π+)
=-sin
=-sin(π+)
=sin=.
(2)cos=cos(4π+)
=cos=cos(π)
=-cos=.
(3)tan(-855°)=-tan855°
=-tan(2×360°+135°)
=-tan135°=-tan(180°-45°)
=tan45°=1.
温馨提示
对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三，化为正角的三角函数，若化了以后的正角大于360°,再利用诱导公式一，化为0°—360°间的角的三角函数，若这时是90°—360°间的角，再利用180°+α或180°-α或360°-α的诱导公式化为0°—90°间的角的三角函数.
【例2】化简：
(k∈Z).
思路分析：将k分为奇数和偶数，再利用诱导公式.
解法1：当k=2n,n∈Z时，
原式=cos(kπ++α)+cos(kπ--α)
=cos(2nπ++α)+cos(2nπ--α)
=cos(+α)+cos(+α)=2cos(+α).
当k=2n+1，n∈Z时，
原式=cos［(2n+1)π++α］+cos［(2n+1)π--α］=cos(π++α)+cos(π--α)
=-cos(+α)-cos(+α)=-2cos(+α).
解法2：∵(kπ++α)+(kπ--α)=2kπ,
∴cos(kπ--α)=cos［2kπ-（kπ++α）］=cos(kπ++α).
∴原式＝2cos（kπ--α）=
温馨提示
观察每组诱导公式的等号两边的角度，不难发现，这两个角度的和或差是一个轴线角，即为kπ，k∈Z的形式.于是诱导公式的一个重要的功能是：如果两个角的和或差是轴线角kπ，k∈Z的话，利用诱导公式总可以把它们变成同角函数来处理.
2.关于直线y=x对称的点的性质与（±α）的诱导公式
【例3】证明sin（-α）=-sinα,cos（-α）=cosα,tan(-α)=-tanα.
思路分析：利用三角函数定义解析问题.
证明：设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为P1（x,y），由于角-α的终边与角α的终边关于x轴对称，角-α的终边与单位圆的交点P2与点P1，关于x轴对称，因此点P2的坐标是（x,-y），由三角函数的定义得
sinα=y,cosα=x,tanα=;
sin(-α)=-y,cos(-α)=x,tan(-α)=-;
从而得sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.
温馨提示
学习过程中，充分理解本节的宗旨，突出数形结合思想.
3.诱导公式应用时符号的确定
【例4】
已知sin（3π+θ）=,
求的值.
解析：∵sin(3π+θ)=,
∴sinθ=-.
∴原式=
=
==18.
温馨提示
应用公式时，名称是否变化一般能观察明白，而函数符号的判断要注意，易出错.
各个击破
类题演练1
求下列各三角函数值.
(1)sin();
(2)cos(-945°).
解：（1）解法1：sin()=-sin16
=-sin(4π+)
=-sin=-sinπ+=sin=.
解法2：sin()=sin(-6π+)
=sin=sin(π-)=sin=.
(2)cos(-945°)=cos945°=cos（2×360°+225°）
=cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=.
变式提升1
计算：（1）cos+cos+cos+cos;
(2)tan10°+tan170°+sin1
866°-sin(-606°).
解：(1)原式=(cos+cos)+(cos+cos)
=［cos+cos(π-)］+［cos+cos(π-)］
=(cos-cos)+(cos-cos)=0.
(2)原式=tan10°+tan(180°-10°)+sin1
866°-sin(-606°)
=tan10°++sin(5×360°+66°)-sin［（-2）×360°+114°］
=tan10°-tan
10°+sin66°-sin66°=0.
类题演练2
化简：(n∈Z).
思路分析：考查诱导公式的应用，关键在于去掉“n”.
解：原式=
变式提升2
(1)已知tan(π-α)=2,求的值.
思路分析：首先求出tanα,其次将所求式子“弦化切”化简.
解：由tan(π-α)=2得tanα=-2.
则原式=
=.
(2)已知：cos(-2α)=m,求cos(2α+)的值.
思路分析：根据（-2α）与（2α+）是互补的角，适当选择诱导公式计算.
解：∵（-2α）+(2α+)=π,
∴cos(2α+)=cos［π-(-2α)］
=-cos(-2α)=-m.
类题演练3
求证sin（π-α）=sinα,cos（π-α）=-cosα,tan(π-α)=-tanα.
证明：设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为P1（x,y），由于角（π-α）的终边与角α的终边关于y轴对称，角（π-α）的终边与角α的终边关于x轴对称，角（π-α）的终边与单位圆的交点P2与点P1关于y轴对称，因此点P2的坐标是（-x,y），由三角函数的定义得：
sinα=y,cosα=x,tanα=;
sin(π-α)=y,cos(π-α)=-x,tan(π-α)=-
;
从而得sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.
变式提升3
求证：sin(-α)=cosα,cos(-α)=sinα.
证明：设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为（x,y）.由于角-α的终边与角α的终边关于直线y=x对称，角-α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y=x对称，因此点P2的坐标是（y,x）.于是我们有：
cosα=x,sinα=y;
cos(-α)=y,sin(-α)=x.
从而得sin（-α）=cosα,cos(-α)=sinα.
类题演练4
在△ABC中，①sin（A+B+C）；②sin（A+B）+sinC；③cos（A+B）+cosC；④tan·tan;⑤tan(A+B)-tanC,其中表示常数的有_______________.
解析：①sin(A+B+C)=sinπ=0.
②sin(A+B)+sinC=sin(π-C)+sinC=2sinC.
③cos(A+B)+cosC=cos(π-C)+cosC=-cosC+cosC=0.
④tan·tan=tan(90°-)tan=cot·tan=1.
⑤tan(A+B)-tanC=tan(π-C)-tanC=-tanC-tanC=-2tanC.
故应填①③④.
答案：①③④
变式提升4
若f(sinx)=cos17x，求f()的值.
思路分析：此类题目是诱导公式与函数之间的一种混合运算，在运算的过程中，要理解函数表达式的意义，灵活运用诱导公式.
解：f()=f(sin)=cos=cos(2π+)=cos=cos(π)=-cos=.