高中数学全一册教案（打包25套）苏教版必修4

2．2.2　向量的减法
教学分析　　　　　
向量减法运算是加法的逆运算．学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算．因此，类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数)，首先引进相反向量的概念，然后引入向量的减法(减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量)，通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则，结合一定数量的例题，深刻理解向量的减法运算．通过阐述向量的减法运算，可以转化为向量的加法运算，渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化、相互联系的辩证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．
三维目标　　　　　
1．通过探究活动，使学生掌握向量减法的概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行的，掌握相反向量．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题．能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量．
2．鼓励学生对一些数学结论作出猜想，并给出证明，培养学生敢于独立思考、勇于创新的科学精神，培养学生的数学人文价值观．
重点难点　　　　　
教学重点：向量的减法运算及其几何意义．
教学难点：对向量减法定义的理解．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.(问题导入)上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数．向量的减法是否也有类似的法则呢？引导学生进一步探究，由此展开新课．
思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算．本节课，我们继续学习向量加法的逆运算：减法；向量的加法运算有三角形法则和平行四边形法则，那么，向量的减法运算是否也有类似的运算律呢？引导学生去探究、发现．
推进新课　　　　　
向量的减法运算及其几何意义．
数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此定义数的减法运算，必须先引进一个相反数的概念．类似地，向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．请同学们思考，类比数的减法运算，我们可以定义向量的减法运算，由上节知相反向量，即－(－a)＝a.
任一向量与其相反向量的和是零向量，
即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
所以，如果a、b互为相反向量，
那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
由此我们得到向量的减法定义，向量的减法是向量加法的逆运算．
若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的差，记为a－b，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．
根据向量减法的定义和向量加法的三角形法则，我们可以得到向量a－b的作图方法.
如图1，设向量＝b，＝a，则＝－b，由向量减法的定义，知＝a＋(－b)＝a－b.
图1
又b＋＝a，
所以＝a－b.
进一步，如图2，已知a、b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．
图2
教师引导学生仔细观察，细心体会：向量的减法按三角形法则，一定要注意向量的方向．即把减向量与被减向量的起点重合，其差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，应充分利用向量加、减法的几何意义，这也是数形结合思想的重要体现．
教师再次强调，差向量的箭头指向被减向量的终点．即a－b是表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
思路1
例1见课本本节例1.
变式训练
1．如图3(1)，已知向量a、b、c、d，求作向量a－b，c－d.
图3
活动：教师让学生亲自动手操作，引导学生注意规范操作，为以后解题打下良好基础；点拨学生根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．
作法：如图3(2)，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a－b，＝c－d.
2．在ABCD中，下列结论错误的是(　　)
A.＝
B.＋＝
C.－＝
D.＋＝0
解析：A显然正确，由平行四边形法则可知B正确，C中－＝错误，D中＋＝＋＝0正确．
答案：C
例2课本本节例2.
变式训练
1．如图4，ABCD中，＝a，＝b，你能用a、b表示向量、吗？
图4
活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．
解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道＝a＋b，
同样，由向量的减法，知＝－＝a－b.
2．已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c，则向量等于(　　)
A．a＋b＋c　　　　　　　　
　B．a－b＋c
C．a＋b－c
D．a－b－c
解析：如图5，点O到?ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c，
图5
结合图形有＝＋＝＋＝＋－＝a－b＋c.
答案：B
3．若＝a＋b，＝a－b.
①当a、b满足什么条件时，a＋b与a－b垂直？
②当a、b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|
③当a、b满足什么条件时，a＋b平分a与b所夹的角？
④a＋b与a－b可能是相等向量吗？
解：如图6，用向量构建平行四边形，其中向量、恰为平行四边形的对角线．
由平行四边形法则，得＝a＋b，＝－＝a－b.
图6
由此问题就可转换为：
①当边AB、AD满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|＝|b|)
②当边AB、AD满足什么条件时，对角线相等？(a、b互相垂直)
③当边AB、AD满足什么条件时，对角线平分内角？(|a|＝|b|)
④a＋b与a－b可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同)
点评：灵活的构想，独特巧妙，数形结合思想得到充分体现．由此我们可以想到在解决向量问题时，可以利用向量的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问题，这就是数形结合解题的威力与魅力，教师引导学生注意领悟.
思路2
例1判断题．
(1)若非零向量a与b的方向相同或相反，则a＋b的方向必与a、b之一的方向相同．
(2)△ABC中，必有＋＋＝0.
(3)若＋＋＝0，则A、B、C三点是一个三角形的三顶点．
(4)|a＋b|≥|a－b|.
解：(1)a与b方向相同，则a＋b的方向与a和b方向都相同；若a与b方向相反，则有可能a与b互为相反向量，此时a＋b＝0的方向不确定，说与a、b之一方向相同不妥．
(2)由向量加法法则得：＋＝，与互为相反向量，所以有上述结论．
(3)因为当A、B、C三点共线时也有＋＋＝0，而此时构不成三角形．
(4)当a与b不共线时，由向量加法的平行四边形法则可知其大小不定．
当a、b为非零向量共线时，同向则有|a＋b|>|a－b|，异向则有|a＋b|<|a－b|；
当a、b中有零向量时，|a＋b|＝|a－b|.
综上所述，只有(2)正确．
例2若||＝8，||＝5，则||的取值范围是(　　)
A．[3,8]
B．(3,8)
C．[3,13]
D．(3,13)
解析：＝－.
(1)当，同向时，||＝8－5＝3；
(2)当，反向时，||＝8＋5＝13；
(3)当，不共线时，3<||<13.综上，可知3≤||≤13.
答案：C
点评：此题可直接应用重要性质||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|求解．
课本本节练习．
1．先由学生回顾本节学习的数学知识：相反向量，向量减法的定义，向量减法的几何意义，向量差的作图．
2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，类比，数形结合，几何作图，分类讨论．
已知O为△ABC的外心，H为垂心，求证：＝＋＋.
证明：作直径BD，连结DA，DC，有＝－，DA⊥AB，DC⊥BC，故CH∥DA，AH∥DC，得四边形AHCD为平行四边形，∴有＝.
又∵＝－＝＋，∴＝＋＝＋＝＋＋.
∴结论成立．
1．向量减法的几何意义主要是结合平行四边形法则和三角形法则进行讲解的，两种作图方法各有千秋．第一种作法结合向量减法的定义，第二种作法结合向量的平行四边形法则，直接作出从同一点出发的两个向量a、b的差，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，第二种作图方法比较简捷．
2．鉴于上述情况，教学中引导学生结合向量减法的几何意义，注意差向量的方向，也就是箭头的方向不要搞错了，a－b的箭头方向要指向a的终点，如果指向b的终点则表示b－a，在几何证明题目中，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．
一、向量减法法则的理解
向量减法的三角形法则的式子内容是：两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减)，这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点的向量．
只要学生理解法则内容，那么解起向量加减法的题来就会更加得心应手，尤其遇到向量的式子运算题时，一般不用画图就可迅速求解，如下面例题：
例1化简：－＋－.
解：原式＝＋－＝－＝0.
例2化简：＋＋＋.
解：原式＝(＋)＋(＋)＝(－)＋0＝.
二、备用习题
1．下列等式中，正确的个数是(　　)
①a＋b＝b＋a　②a－b＝b－a　③0－a＝－a　④－(－a)＝a　⑤a＋(－a)＝0
A．5
B．4
C．3
D．2
图7
2．如图7，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则－等于(　　)
A.
B.
C.
D.
3．下列式子中不能化简为的是(　　)
A．(＋)＋
B．(＋)＋(＋)
C.＋－
D.－＋
4．已知A、B、C三点不共线，O是△ABC内一点，若＋＋＝0，则O是△ABC的(　　)
A．重心
B．垂心
C．内心
D．外心
参考答案：
1．C　2.D　3.C　4.A2．2.1　向量的加法
设计思想　　　　　
数学定义也是数学思维活动的结果，本节课设计思想是以物理学中“合位移”“合力”等概念为背景，引导学生亲历向量加法的建构过程，使学生体会数学抽象思维活动的基本方法．
教学内容分析　　　　　
本节课教学内容包括向量加法法则的建构，向量加法运算律及运算，以及向量加法的简单应用．
教学目标分析　　　　　
理解向量加法的意义，会用三角形法则和平行四边形法则求作已知两向量的和；掌握向量加法的交换律和结合律，会进行向量加法运算；通过体会、理解向量加法的定义过程对学生进行抽象思维训练，培养学生的创新意识和创造能力．
1．情景设置
从数学的角度看，向量也是量，数量可以进行运算，向量也必须建立相应的运算系统，才能作为解决实际问题的工具．呈现物理学中“合位移”和“合力”求法，提出问题：已知两个向量，我们是否可以类比“合位移”或“合力”求法，“生成”一个新的向量？
探索讨论：已知向量a和b，按照求合位移的方式我们可以这样得到一个新向量：如图，作＝a，＝b，连结OB得到新向量；
按照平行四边形求合力的方式我们又可以这样得到一个新向量：
如图，作＝a，＝b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，得到新向量.当然，利用向量相等概念分析可知，两种方式得到的“新向量”是相等的，这是因为图1(2)中的＝＝b，也就说明由“平行四边形”法则得到的(见图1(2))与由“三角形”法则得到的向量(见图1(1))是相等的．
　
(1)
　
(2)
图1
2．向量加法定义
我们把由上面的“三角形”法则或“平行四边形”法则得到的“新向量”定义为两个已知向量a与b的和，记作a＋b，求两向量和的运算叫做向量的加法．
3．验证向量加法满足交换律、结合律
利用向量加法定义和法则可以验证以下结论：
a＋0＝0＋a＝a.
a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
a＋b＝b＋a(加法交换律)(见图2(1))．
(1)
(2)
图2
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(加法结合律)(见图2(2))．
思考讨论：(1)＋＋…＋An－1An＋＝？(多个向量相加法则)
(2)|a＋b|与|a|±|b|的大小关系．(数形结合)
4．例题选讲(以学生活动为主)
例1如图3，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
图3
(1)＋；(2)＋；(3)＋.
解：(1)因为四边形OABC是以OA、OC为邻边的平行四边形，
OB为其对角线，所以＋＝.
(2)因为与方向相同且长度相等，所以与是相等向量，故＋与方向相同，长度为长度的2倍，因此，＋可用表示．所以＋＝.
(3)因为与是一对相反向量，所以＋＝0.
例2在长江南岸某渡口处，江水以12.5
km/h的速度向东流，渡船的速度为25
km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
分析：如图4，渡船的实际速度、船速与水速应满足＋＝.
图4
解：如图4，设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度．因为＋＝，所以四边形ABCD为平行四边形．
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，||＝||＝12.5，||＝25，所以∠CAD＝30°.
答：渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.
例3在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上取两点E、F，使BE＝DF，用向量方法证明四边形AECF也是平行四边形.
分析：要证四边形AECF是平行四边形，只需证＝.
图5
∵＝＋，＝＋，又四边形ABCD是平行四边形，BE＝DF，
∴＝，＝，∴＝.
小结(学生回答)：如何用向量方法证明四边形为平行四边形？
5．练习与反馈
(1)如图6，已知向量a、b，作出a＋b.
(1)
(2)
图6
(2)已知O是平行四边形ABCD对角线的交点，则下面结论中正确的是(　　)
A.＋＝
B.＋＝
C.＋≠
D.＋＋＋≠0
(3)在△ABC中，求证：＋＋≠0.
(4)一质点从点A出发，先向北偏东30°方向运动了4
cm，到达点B，再从点B向正西方向运动了3
cm到达点C，又从点C向西南方向运动了4
cm到达点D，试画出向量，，以及＋＋.
6．课堂小结
今天我们以求合位移和合力为背景定义了向量的加法，以后我们还会利用其他的实际背景和数学运算的内部结构定义多种向量的运算，本节课的重点是掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，其要点则分别为“首尾相连”和“起点重合，作平行四边形”．3.2　二倍角的三角函数
教学分析　　　　　
“二倍角的三角函数”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具；通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律，通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想；因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．
本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α＝β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰的知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想．这一切教师都要放心地让学生去做．因为《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”．所谓体验，从教育的角度看，是一种亲历亲为的活动，是一种积极参与活动的学习方式．让学生亲历经验，不但有助于通过多种活动和探究获取数学知识，更重要的是学生在体验中能够逐步掌握数学学习的一般规律和方法．
三维目标　　　　　
1．通过让学生探索、发现并推导二倍角公式，了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力．
2．通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明．体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用．使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．
3．通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神．
重点难点　　　　　
教学重点：二倍角三角函数公式的推导及其应用．
教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式．
课时安排　　　　　
2课时
第1课时
导入新课　　　　　
思路1.(旧知导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后找一个学生把这六个公式写在黑板上．教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？今天，我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课．
思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sinα＝，α∈(，π)，求sin2α，cos2α的值．学生会很容易看出：sin2α＝sin(α＋α)＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式．
推进新课　　　　　
从两角和的公式中推导出倍角公式，并用公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明．
活动：学生默写公式S(α＋β)、C(α＋β)、T(α＋β)，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α、β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试．如果学生想到α、β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入下一个问题，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的坐位上简化；教师再与学生一起订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释．这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义．同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉．
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ?sin2α＝2sinαcosα(S2α)；
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ?cos2α＝cos2α－sin2α(C2α)；
tan(α＋β)＝?tan2α＝(T2α)．
这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦、余弦、正切公式，并指导学生阅读课本，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”；点拨学生结合sin2α＋cos2α＝1思考，二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式．
这时教师指出，这些公式都叫做倍角公式(用多媒体演示)，倍角公式是和角公式的特例．倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系．这组公式用途很广，与学生一起观察公式的特征并记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角；二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式．并引导学生观察思考并初步感性认识到：(1)这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去；(2)通过二倍角公式，可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(3)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(4)公式(S2α)，(C2α)中的角α没有限制，都是α∈R.但公式(T2α)需在α≠kπ＋和α≠kπ＋(k∈Z)时才成立，这一条件限制要引起学生的注意．但是当α＝kπ＋，k∈Z时，虽然tanα不存在，此时不能用此公式，但tan2α是存在的，故可改用诱导公式．
为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍，是的二倍，3α是的二倍，是的二倍，3α是的二倍，－2α是－α的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式．
例如：sin＝2sincos，cos＝cos2－sin2等等．
本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意．
如：sin3αcos3α＝sin6α，4sincos＝2(2sincos)＝2sin，
＝tan80°，cos22α－sin22α＝cos4α，tan2α＝等等．
一般情况下：sin2α≠2sinα，cos2α≠2cosα，tan2α≠2tanα.
若sin2α＝2sinα，则2sinαcosα＝2sinα，
即sinα＝0或cosα＝1，此时α＝kπ(k∈Z)．
若cos2α＝2cosα，则2cos2α－2cosα－1＝0，即cosα＝(cosα＝舍去)．
若tan2α＝2tanα，则＝2tanα，∴tanα＝0，即α＝kπ(k∈Z)．
思路1
例1课本本节例1.
变式训练1．不查表：求值sin15°＋cos15°.解：原式＝＝＝.点评：本题在两角和与差的三角函数的学习中已经解决过，现用二倍角公式给出另外的解法，让学生体会它们之间的联系，体会数学变化的魅力．2．若sin＋cos＝，则cos2θ＝________.答案：－3．函数f(x)＝2sin2(＋)－1是(　　)A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数答案：C4．若＝－，则cosα＋sinα的值为(　　)A．－
B．－
C.
D.答案：C5．下列各式中，值为的是(　　)A．2sin15°－cos15°
B．cos215°－sin215°C．2sin215°－1
D．sin215°＋cos215°答案：B
　例2证明＝tanθ.
活动：教师先让学生思考一会，鼓励学生充分发挥自己的聪明才智，战胜它，并力争一题多解．教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等．对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？
待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发．点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励．强调“1”的妙用，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它．
证明：方法一：
左边＝＝
＝＝＝＝tanθ＝右边．
所以原式成立．
方法二：
左边＝＝
＝＝tanθ＝右边．
方法三：
左边＝＝
＝
＝＝＝tanθ＝右边．
点评：课本上只给出了一种方法，教学中可引导学生从不同角度观察题目得到不同解法，以训练应用公式的灵活性．以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其是“1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点．在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规范才是．
思路2
例1求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．
活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题．本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式．教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式．并点拨学生结合诱导公式思考．学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°，40°，60°，80°余弦的积，其中60°是特殊角，很容易发现40°是20°的2倍，80°是40°的2倍，故可考虑逆用二倍角公式．
解：原式＝cos80°cos60°cos40°cos20°＝＝＝＝.
点评：二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一，又是解答许多数学问题的重要模型和工具，具有灵活多变，技巧性强的特点，要注意在训练中细心体会其变化规律．
2在△ABC中，cosA＝，tanB＝2，求tan(2A＋2B)的值．
活动：此题结合三角形，具有一定的综合性，同时也是和与差公式的应用问题．教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题，会带来一些隐含的条件，如A＋B＋C＝π(0解：方法一：在△ABC中，由cosA＝，0sinA＝＝＝，
所以tanA＝＝×＝，tan2A＝＝＝.
又tanB＝2，所以tan2B＝＝＝－.
于是tan(2A＋2B)＝＝＝.
方法二：在△ABC中，由cosA＝，0所以tanA＝＝×＝.又tanB＝2，所以tan(A＋B)＝＝＝－.于是tan(2A＋2B)＝tan[2(A＋B)]＝＝＝.
点评：以上两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别，其目的是为了鼓励学生用不同的思路去思考，以拓展学生的视野.
变式训练　化简：.解：原式＝＝＝cot2α.
课本本节练习1、2、3、4.
求值：tan70°cos10°(tan20°－1)．
解：原式＝2tan70°cos10°＝2tan70°cos10°＝·＝－1.
1．先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明．
2．教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练的运用二倍角公式解题．在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．
1．新课改的核心理念是：以学生发展为本．本节课的设计流程从回顾→探索→应用，充分体现了“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式．本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在这个活动过程中，由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深的留在了学生的记忆中．本节课的教学设计流程还是比较流畅的．
2．纵观本教案的设计，学生发现二倍角后就是应用，至于如何训练二倍角公式正用，逆用，变形用倒成了次要的了．而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的．
3．教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法．这样做增加了学生温故知新的空间，增强了学生的参与意识，教给了学生发现规律、探索推导、获取新知的途径，让学生真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体．学生会体会到数学的美，产生一种成功感，从而提高了学习数学的兴趣．
一、关于三角变换中的“一致代换”法
在三角变换中，“一致代换”法是一种重要的方法，所谓“一致代换”法，即在三角变换中，化“异角”“异名”“异次”为“同角”“同名”“同次”的方法．它主要包括：在三角函数式中，①如果只含同角三角函数，一般应从变化函数名称入手，尽量化为同名函数，常用“化弦法”；②如果含有异角，一般应从变化角入手，尽量化不同角为同角，变复角为单角；③如果含有异次幂，一般利用升幂或降幂公式化异次幂为同次幂．
二、备用习题
1．求值：－.
2．化简：cos36°cos72°.
3．化简：cosαcoscoscos·…·cos.
4．求值：sin6°sin42°sin66°sin78°.
5．若cos(＋x)＝，6．已知cos(α－)＝－，sin(－β)＝，且<α<π，0<β<，求cos(α＋β)的值．
参考答案：
1．解：原式＝＝
＝＝＝4.
2．解：原式＝＝＝＝.
3．解：先将原式同乘除因式sin，然后逐次使用倍角公式，则原式＝.
4．解：原式＝sin6°cos48°cos24°cos12°＝sin6°cos12°cos24°cos48°
＝＝＝＝.
5．解：原式＝＝＝sin2xtan(＋x)．
∵故原式＝×(－)＝－.
6．解：∵cos(α－)＝－，<α<π，0<β<，∴<α－<π.∴sin(α－)＝.
∵sin(－β)＝，<α<π，0<β<，∴－<－β<.∴cos(－β)＝.
∵cos＝cos[(α－)－(－β)]＝cos(α－)cos(－β)＋sin(α－)sin(－β)
＝(－)×＋×＝，∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝－.
第2课时
导入新课　　　　　
思路1.(复习导入)让学生回顾上节课学习的三角函数倍角公式，快速写出并说出各公式的用途．
思路2.三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和、差、倍角等关系，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决．如2α＝(α＋β)＋(α－β)＝α＋α＝(＋α)－(－α)等．本节我们进一步加深对所学倍角公式的灵活运用．
推进新课　　　　　
进一步运用倍角公式进行三角函数式的化简、求值与三角恒等式的证明．
采用“cos2α＝，sin2α＝”可将二次降为一次，故该公式又称为“降幂扩角公式”，这是一组非常有用的三角公式，对于我们进行三角函数式的化简、求值以及三角恒等式变换有很大的帮助．
思路1
例1课本本节例3.
例2课本本节例4.
例3课本本节例5.
变式训练
　
如图1，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，四边形ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
图1
活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD的面积S最大，先找出S与α之间的函数关系，再求函数的最值．
找S与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到
S＝AB·BC＝(cosα－sinα)sinα＝sinαcosα－sin2α.
求这种y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x函数的最值，应先降幂，再利用公式化成Asin(x＋φ)型的三角函数求最值．
教师引导学生思考：要求当角α取何值时，矩形ABCD的面积S最大，可分两步进行：
(1)找出S与α之间的函数关系；
(2)由得出的函数关系，求S的最大值．
解：在Rt△OBC中，OB＝cosα，BC＝sinα.
在Rt△OAD中，＝tan60°＝，
所以OA＝DA＝BC＝sinα.
所以AB＝OB－OA＝cosα－sinα.
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AB·BC＝(cosα－sinα)sinα＝sinαcosα－sin2α
＝sin2α＋cos2α－＝(sin2α＋cos2α)－
＝sin(2α＋)－.
　由于0<α<，所以当2α＋＝，即α＝时，S最大＝－＝.
因此，当α＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.
点评：可以看到，通过三角变换，我们把形如y＝asinx＋bcosx的函数转化为形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，从而使问题得到简化．这个过程中蕴涵了化归思想．此题可引申，即可以去掉“记∠COP＝α”，结论改成“求矩形ABCD的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD＝x，S＝x(－x)，尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.
思路2
例1已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，且α、β∈(0，π)，求2α－β的值．
活动：把所求的角用含已知其值的角的式子表示，由所求的函数值结合该函数的单调区间求得角，但不要忽视对所求角的范围的讨论．即解决“给值求角”问题是由两个关键步骤构成：①把所求角用含已知角的式子表示；②由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．
解：∵2α－β＝2(α－β)＋β，tan(α－β)＝，
∴tan2(α－β)＝＝.
从而tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝＝＝＝1.
又∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝<1，
且0<α<π，∴0<α<.∴0<2α<.
又tanβ＝－<0，且β∈(0，π)，
∴<β<π，－π<－β<－.
∴－π<2α－β<0.∴2α－β＝－.
点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0，π)，则求cosα.若α∈(－，)，则求sinα等．
例2若α、β为锐角，且3sin2α＋2sin2β＝1,3sin2α－2sin2β＝0，求证：α＋2β＝.
证明：已知两个等式可化为3sin2α＝cos2β，①
3sinαcosα＝sin2β，②
①÷②，得＝，即cosαcos2β－sinαsin2β＝0，
∴cos(α＋2β)＝0.∵0<α<，0<β<，∴0<α＋2β<.∴α＋2β＝.
点评：由条件等式证明“角＋角＝角”的问题，一般转化为证明相应的三角函数值问题．
课本本节练习1、2、3.
1．在解决三角函数式的化简问题时，经常从以下三个方面来考虑：一看函数式中所涉及的角之间的关系；二看函数式中所涉及的三角函数的名称之间的关系；三看所涉及的三角函数的幂．遵循的原则是：不同角化同角，不同名化同名，高次降低次．
2．若所要化简或证明的三角函数式中含有多个名称的三角函数，我们常用的方法是将正切化为正弦、余弦，若是有常数和分式相加，我们采取的措施是通分，而后再化简．即对于形如例2的化简证明问题我们采用的措施是“切(正切)化弦(正弦、余弦)，通分化简，逆用公式，求得结果”．
课本习题3.2　10、12.
本节内容的几道例题都是二倍角公式的进一步应用，例3是有关几何的应用题．训练学生建立适当的数学模型来解决实际问题．教学中重在让学生体会二倍角公式的“降幂”作用，深刻领悟二倍角的结构特点及本质属性．对于三角函数条件等式的证明题，课本是从角的变换的角度来探求证明方法的．教学时要注意引导学生仔细体会、灵活掌握．
备选习题
1．已知x为锐角，且＝，则cosx等于(　　)
A.
B.
C.
D.
2.的值是(　　)
A．sin2
B．－cos2
C.cos2
D．－cos2
3．函数y＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx的最小值是(　　)
A.
B．－
C．2
D．－2
4．若tanx＝2，则tan(＋2x)＝________.
5．化简2sin(45°＋α)sin(45°－α)＝________.
6．化简：.
7．设α是第二象限角，sinα＝，求sin(－2α)的值．
8．求证：sin2α＋cosαcos(＋α)－sin2(－α)的值是与α无关的定值．
9．已知cos(α＋)＝(≤α＜)，求cos(2α＋)．
参考答案：
1.
D　2.A〔提示：＝＝－cos2〕
3．B〔提示：y＝cos2x＋sin2x＝sin(2x＋)≥－〕
4．－〔提示：由tanx＝2得tan2x＝－，原式＝＝－〕
5．cos2α　6.sin2α.
7．解：∵α是第二象限角，且sinα＝，∴cosα＝－.
∴sin2α＝－，cos2α＝.∴sin(－2α)＝cos2α－sin2α＝.
8．证明：原式＝(1－cos2α)－[1－cos(－2α)]＋cosαcos(＋α)
＝[cos(－2α)－cos2α]＋cosα(coscosα－sinsinα)
＝(coscos2α＋sinsin2α－cos2α)＋cos2α－cosαsinα
＝cos2α＋sin2α－cos2α＋(1＋cos2α)－sin2α＝，
∴sin2α＋cosαcos(＋α)－sin2(－α)的值与α无关．
9．分析：本题的解法很多，入口也较浅．为了求cos(2α＋)的值，可将cos(2α＋)适当变形，即进行三角式的恒等变形，以便与已知条件沟通起来．例如由于cos(2α＋)＝cos2αcos－sin2αsin，因此只需由已知条件求出cos2α及sin2α即可．又如由于cos(2α＋)＝cosαcos(α＋)－sinαsin(α＋)，因此只需由已知条件求出sin(α＋)及sinα、cosα同样也能获解．由此可见，灵活运用公式是关键．
解：∵≤α＜，cos(α＋)＝＞0，∴＞α＋＞，得＜α＜.
∴＜2α＜3π.从而sin2α＝－cos(2α＋)＝1－2cos2(α＋)＝，
cos2α＝－＝－.∴cos(2α＋)＝(cos2α－sin2α)＝－.2．3.1　平面向量基本定理
教学目标　　　　　
知识目标
(1)了解平面向量基本定理．
(2)掌握平面内任何一个向量都可以用不共线的两个向量表示，能够在具体问题中选取合适的基底，使其他向量都能用这组基底来表示．
能力目标
(1)培养学生用向量解决实际问题的能力．
(2)培养学生观察、抽象概括、合作交流的能力．　
情感目标
(1)增强学生的数学应用意识．
(2)激发学生学习数学的兴趣．
重点难点　　　　　
教学重点：平面向量基本定理．
教学难点：对平面向量基本定理的理解及应用．
(1)复习回顾
师：如果向量a与非零向量b共线，那么a与b满足怎样的关系？
生：a＝λb.
师：当a，b确定时，λ的值有几个？
结论：如果向量a与非零向量b共线，那么有且只有一个实数λ，使a＝λb.
(2)引导探究
师：如果a与b不共线，则上述结论还成立吗？
(学生讨论)
结论：不成立．
师：你能否添加恰当的条件使得能够表示？
学生回答．
师：设e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，怎样用e1、e2表示a
图1
图2
　　
(学生活动)根据前面所学的向量平行四边形法则，两向量共线定理得：
方法：平移(已知向量、未知向量)——构造((共起点)平行四边形)
＝＋＝λ1＋λ2，
即＝λ1e1＋λ2e2.
其中实数λ1，λ2都是惟一存在的．
设计意图：重在探究定理得出的三点，一是为何要用两个不共线的向量e1，e2来表示，二是怎样表示，三是表示的惟一性．
(3)意义建构
平面向量基本定理：(学生描述)
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a有且只有一对实数λ1，λ2，使得
a＝λ1e1＋λ2e2.
师：定理中应关注哪些关键词？这些关键词如何理解？
生：不共线、有且只有．
师：我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
基底是否惟一？
图3
＝＋
＝＋.
结论：对于同一向量，可以找到无数组基底来表示．在处理问题时经常选取最合适的一组基底．基底不惟一，关键是要不共线．
(4)定理再认识
①若a＝0，则有且只有：λ1＝λ2＝0使得a＝λ1e1＋λ2e2.
②若a与e1(或e2)共线，则有λ2＝0(或λ1＝0)，使得a＝λ1e1＋λ2e2.
③一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，称它为向量a的分解．特别地，当e1，e2互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．
事实上，物理中速度、力的分解就是向量分解的物理原型．在接下来的向量运算中，将要用到向量a的正交分解．
图4
例1如图5，D是△ABC中BC边的中点，＝a，＝b，试用a，b表示(1)，(2).
解：(1)＝(b－a)．
(2)＝＝(＋)＝(a＋b)．
图5
设计意图：通过构造平行四边形或三角形，利用平行四边形法则和三角形法则，把所求的量转化到已知量上，从而达到解题的目的．
例2设e1，e2是平面内的一组基底，＝e1＋e2，＝3e1－e2，＝me1－5e2且A、B、C三点共线，
(1)求实数m的值；
(2)试用向量，来表示.
解：(1)∵A、B、C三点共线，
∴＝λ.
又＝－＝(3e1－e2)－(e1＋e2)＝2e1－2e2，
＝－＝(me1－5e2)－(3e1－e2)
＝(m－3)e1－4e2，
∴2e1－2e2＝λ[(m－3)e1－4e2]，
故有
(2)由上知，＝7e1－5e2
，根据平面向量基本定理，存在惟一的实数s，t，使得＝s＋t.
∴7e1－5e2＝s(e1＋e2)＋t(3e1－e2)．
∴＝－2＋3.
解题反思：①三点共线的等价条件是什么？
②向量相等，对应向量的系数相等．
设计意图：体现解方程组、待定系数法的数学思想，对前面所学知识(任意共线三点A，B，C，满足＝s＋t，则s＋t＝1)的进一步理解．
(5)小结：
a．平面向量基本定理的内容．
b．对基本定理的理解：实数对λ1，λ2的存在性和惟一性，基底的不惟一性．
c．基本定理的作用是什么？
d．定理中蕴涵着哪些数学思想？2.5　向量的应用
教学分析　　　　　
1．在生产和日常生活中，有时会遇到既有大小，又有方向的量，这就为采用向量法解决问题提供方便，向量是既有大小又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁．这样向量又为解决几何问题提供了理论基础，本节主要在于让学生了解向量来源于实际又为解决实际问题及几何问题提供方便，教学中注意难度的控制，同时还要注意，向量也是解决许多物理问题的有力工具．
2．本节的目的是让学生加深对向量的认识，更好地体会向量这个工具的优越性．对于向量方法，就思路而言，几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致，不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”．这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果．代数方法的流程图可以简单地表述为：
则向量方法的流程图可以简单地表述为：
这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”，也是本节的重点．
3．研究几何可以采取不同的方法．这些方法包括：
综合方法——不使用其他工具，对几何元素及其关系直接进行讨论；
解析方法——以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；
向量方法——以向量和向量的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；
分析方法——以微积分为工具，对几何元素及其关系进行讨论，等等．
前三种方法都是中学数学中出现的内容．
有些平面几何问题，利用向量方法求解比较容易．使用向量方法的要点在于用向量表示线段或点，根据点与线之间的关系，建立向量等式，再根据向量的线性相关与无关的性质，得出向量的系数应满足的方程组，求出方程组的解，从而解决问题．使用向量方法时，要注意向量起点的选取，选取得当可使计算过程大大简化．
①通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；②认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；③利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；④利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题．教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较，得出抽象的数学模型．例如，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．同时，注重向量模型的运用，引导解决现实中的一些物理和几何问题．这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用．
三维目标　　　　　
1．通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”．理解并掌握用向量方法解决平面几何问题的步骤．明了平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示．
2．通过本节学习，让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性，活跃学生的思维，发展学生的创新意识，激发学生的学习积极性，并体会向量在几何和现实生活中的意义．教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段．
重点难点　　　　　
教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”．
教学难点：如何将实际问题化归为向量问题．
课时安排　　　　　
2课时
第1课时
导入新课　　　　　
思路1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景，当向量和平面坐标系结合后，向量的运算就完全可以转化为代数运算．这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便．本节专门研究平面几何中的向量方法．
思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题．下面通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用．
推进新课　　　　　
一、向量在几何中的应用
1．证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的条件
a∥b
a＝λb
x1y2－x2y1＝0(b≠0)．
2．证明垂直问题，常用向量垂直的条件a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
3．求夹角问题
利用夹角公式cosθ＝＝.
4．求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模
|a|＝＝或|AB|＝||＝.
5．用向量处理其他代数或几何问题．
二、用向量法解决几何问题的“三步曲”
1．建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
2．通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
3．把运算结果“翻译”成几何关系．
引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤．由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决部分几何问题．解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系．最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论．这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”．即：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
这个“三步曲”用流程图表示为：
思路1
例1课本本节例2.
变式训练
1.如图1，连结平行四边形ABCD的顶点B至AD、DC边的中点E、F，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？
图1
活动：为了培养学生的观察、发现、猜想能力，让学生能动态地发现图形中AR、RT、TC之间的相等关系，教学中可以充分利用多媒体，作出上述图形，测量AR、RT、TC的长度，让学生发现AR＝RT＝TC，拖动平行四边形的顶点，动态观察发现，AR＝RT＝TC这个规律不变，因此猜想AR＝RT＝TC.事实上，由于R、T是对角线AC上的两点，要判断AR、RT、TC之间的关系，只需分别判断AR、RT、TC与AC的关系即可．又因为AR、RT、TC、AC共线，所以只需判断，与之间的关系即可．探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论．第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系；第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：AR＝RT＝TC.
解：如图1，设＝a，＝b，＝r，＝t，则＝a＋b.
由于与共线，所以，我们设r＝n(a＋b)，n∈R，
又因为＝－＝a－b，与共线，所以我们设＝m＝m(a－b)．因为＝＋，所以r＝b＋m(a－b)．
因此n(a＋b)＝b＋m(a－b)，即(n－m)a＋(n＋)b＝0.
由于向量a、b不共线，要使上式为0，必须解得n＝m＝.
所以＝.同理＝.
于是＝，所以AR＝RT＝TC.
2.如图2，AD、BE、CF是△ABC的三条高．求证：AD、BE、CF相交于一点．
图2
证明：设BE、CF相交于H，并设＝b，＝c，＝h，则＝h－b，＝h－c，＝c－b.
因为⊥，⊥，
所以(h－b)·c＝0，(h－c)·b＝0，
即(h－b)·c＝(h－c)·b，化简得h·(c－b)＝0.
所以⊥.所以AH与AD共线，即AD、BE、CF相交于一点H.
例2课本本节例3.
思路2
1如图3，已知在等腰△ABC中，BB′、CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值．
图3
活动：教师可引导学生思考探究，上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题．可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系，找出所需点的坐标．如果能比较方便的建立起平面直角坐标系，如本例中的图形，很方便建立平面直角坐标系，且图形中的各个点的坐标也容易写出，是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？
教师引导学生建系、找点的坐标，然后让学生独立完成．
解：建立如图3所示的平面直角坐标系，取A(0，a)，C(c,0)，则B(－c,0)，＝(0，a)，＝(c，a)，＝(c,0)，＝(2c,0)，
因为BB′、CC′为两中线，所以＝(＋)＝[(2c,0)＋(c，a)]＝(，)．同理＝(－，)．因为BB′⊥CC′，所以－c2＋＝0，a2＝9c2.
所以cosA＝＝＝＝.
变式训练
　如图4，在Rt△ABC中，已知BC＝a.若长为2a的线段PQ以点A为中点，问：与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个最大值．
图4
解：方法一：如图4.
∵⊥，∴·＝0.
∵＝－，＝－，＝－，
∴·＝(－)·(－)
＝·－·－·＋·
＝－a2－·＋·＝－a2＋·(－)
＝－a2＋·＝－a2＋a2cosθ，故当cosθ＝1，即θ＝0，与的方向相同时，·最大，其最大值为0.
方法二：如图5.
图5
以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在的直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设|AB|＝c，|AC|＝b，则A(0,0)，B(c,0)，C(0，b)，且|PQ|＝2a，|BC|＝a.
设点P的坐标为(x，y)，则Q(－x，－y)，
∴＝(x－c，y)，＝(－x，－y－b)，
＝(－c，b)，＝(－2x，－2y)．
∴·＝(x－c)(－x)＋y(－y－b)＝－(x2＋y2)＋cx－by.
∵cosθ＝＝，∴cx－by＝a2cosθ.
∴·＝－a2＋a2cosθ.故当cosθ＝1，即θ＝0，与的方向相同时，·最大，其最大值为0.
课本本节练习2、3、4.
1．由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪些：平行四边形向量加、减法的几何模型，用向量方法解决平面几何问题的步骤，即“三步曲”．特别是这“三步曲”，要提醒学生理解领悟它的实质，达到熟练掌握的程度．
2．本节都学习了哪些数学方法：向量法，向量法与几何法、解析法的比较，将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法，深切体会向量的工具性这一特点．
课本习题2.5　3、4、6、7.
1．本节是对研究平面几何方法的探究与归纳，设计的指导思想是：充分使用多媒体这个现代化手段，引导学生展开观察、归纳、猜想、论证等一系列思维活动．本节知识方法容量较大，思维含量较高，教师要把握好火候，恰时恰点的激发学生的智慧火花．
2．由于本节知识方法在高考大题中得以直接的体现，特别是与其他知识的综合更是高考的热点问题，因此在实际授课时注意引导学生关注向量知识、向量方法与本书的三角、后续的解析几何内容等知识的交汇，提高学生综合解决问题的能力．
3．平面向量的运算包括向量的代数运算与几何运算．相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手．向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算，向量平行与垂直的条件及定比分点的向量式等，它们在处理平面几何的有关问题时，往往有其独到之处，教师可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维发散能力．
一、利用向量解决几何问题的进一步探讨
用平面向量的几何运算处理平面几何问题有其独到之处，特别是处理线段相等，线线平行，垂直，点共线，线共点等问题，往往简单明了，少走弯路，同时避免了复杂，烦琐的运算和推理，可以收到事半功倍的效果．现举几例以供教师学生进一步探究使用．
1．证明线线平行
例1如图6，在梯形ABCD中，E，F分别为腰AB，CD的中点．
图6
求证：EF∥BC，且||＝(||＋||)．
证明：连ED，EC，∵AD∥BC，可设＝λ(λ>0)．又E，F是中点，∴＋＝0.
且＝(＋)，而＋＝＋＋＋＝＋＝(1＋λ)，
∴＝.EF与BC无公共点，∴EF∥BC.
又λ>0，∴||＝(||＋|λ|)＝(||＋||)．
2．证明线线垂直
例2如图7，在△ABC中，由A与B分别向对边BC与CA作垂线AD与BE，且AD与BE交于H，连结CH，求证：CH⊥AB.
图7
证明：由已知AH⊥BC，BH⊥AC，有·＝0，·＝0，又＝＋，＝＋，
故有(＋)·＝0，且(＋)·＝0，
两式相减，得·(－)＝0，即·＝0，∴⊥，即CH⊥AB.
3．证明线共点或点共线
例3求证：三角形三边中线共点，且该点到顶点的距离等于该中线长的.
解：已知：△ABC的三边中点分别为D，E，F(如图8)，
图8
求证：AE，BF，CD共点，且＝＝＝.
证明：设AE，BF相交于点G，＝λ1，
由定比分点的向量式有＝＝＋，
又F是AC的中点，＝(＋)，
设＝λ2，则＋＝＋，
∴
∴＝
λ1＝2，λ2＝，即＝＝.
又＝＝(＋2)＝·(＋)＝，
∴C，G，D共线，且＝＝＝.
二、备用习题
1．有一边长为1的正方形ABCD，设＝a，＝b，＝c，则|a－b＋c|＝________.
2．已知|a|＝2，|b|＝，a与b的夹角为45°，则使λb－a与a垂直的λ＝________.
3．在等边△ABC中，＝a，＝b，＝c，且|a|＝1，则a·b＋b·c＋c·a＝________.
4．已知三个向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，且A，B，C三点共线，则k＝________.
5．如图9所示，已知矩形ABCD，AC是对角线，E是AC的中点，过点E作MN交AD于点M，交BC于点N，试运用向量知识证明AM＝CN.
图9
6．已知四边形ABCD满足||2＋||2＝||2＋||2，M为对角线AC的中点．求证：||＝||.
7．求证：如果一个角的两边平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．
参考答案：
1．2　2.2　3.－　4.－2或11
5解：建立如图10所示的直角坐标系，设BC＝a，BA＝b，则C(a,0)，A(0，b)，E(，)．
图10
又设M(x2，b)，N(x1,0)，则＝(x2,0)，＝(x1－a,0)，
∵∥，＝(－x2，－)，＝(x1－，－)，
∴(－x2)×(－)－(x1－)×(－)＝0.∴x2＝a－x1.
∴||＝＝|x2|＝|a－x1|＝|x1－a|.
而||＝＝|x1－a|，∴||＝||，即AM＝CN.
6．解：设＝a，＝b，＝c，＝d，
∵a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)．
∴a2＋b2＋2a·b＝c2＋d2＋2c·d.①
∵||2＋||2＝||2＋||2，
∴a2＋b2＝(－d)2＋(－c)2＝c2＋d2.②
由①②得a·b＝c·d.
∵M是AC的中点，如图11所示，则＝(d－c)，＝(b－a)，
图11
∴||2＝2＝(b2＋a2－2a·b)，
||2＝2＝(d2＋c2－2c·d)．
∴||2＝||2.∴||＝||.
7．解：已知OA∥O′A′，OB∥O′B′，
求证：∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝π.
证明：∵OA∥O′A′，OB∥O′B′，
∴可设＝λ(λ∈R，λ≠0)，＝μ(μ∈R，μ≠0)．∴cos∠AOB＝，
cos∠A′O′B′＝＝＝＝±.
当与，与均同向或反向时，取正号，即cos∠AOB＝cos∠A′O′B′.
∵∠AOB，∠A′O′B′∈(0，π)，∴∠AOB＝∠A′O′B′.
当与，与只有一个反向时，取负号，即cos∠AOB＝－cos∠A′O′B′＝cos(π－∠A′O′B′)．
∵∠AOB，π－∠A′O′B′∈(0，π)，
∴∠AOB＝π－∠A′O′B′.
∴∠AOB＋∠A′O′B′＝π.
∴命题成立．
第2课时
导入新课　　　　　
(问题导入)你能举出物理中的哪些向量？比如力、位移、速度、加速度等，既有大小又有方向，都是向量，学生很容易就举出来．进一步，你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗？你是怎样解决的？教师由此引导：向量是有广泛应用的数学工具，对向量在物理中的研究，有助于进一步加深对这方面问题的认识．我们可以通过对下面若干问题的研究，体会向量在物理中的重要作用．由此自然的引入新课．
推进新课　　　　　
向量在物理中的应用
1．向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用．
2．向量在速度的分解与合成中的应用．
如何用向量法来解决物理问题
1．将相关物理量用几何图形表示出来．
2．将物理问题抽象成数学模型，转化为数学问题．
3．最后将数学问题还原为物理问题．
例1课本本节例1.
变式训练1．在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？活动：这个日常生活问题可以抽象为如图12所示的数学模型，引导学生由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题．这样物理中用力的现象就转化为数学中的向量问题．只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系(其中F为F1、F2的合力)，就得到了问题的数学解释．图12在教学中要尽可能地采用多媒体，在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F|，|G|，θ之间在变化过程中所产生的相互影响．由学生独立完成本例后，与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤，也可以由学生自己完成，还可以用信息技术来验证．
　　　用向量解决物理问题的一般步骤是：①问题的转化，即把物理问题转化为数学问题；②模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型；③参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值；④问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．解：不妨设|F1|＝|F2|，由向量的平行四边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道cos＝
|F1|＝.通过上面的式子，我们发现：当θ由0°到180°逐渐变大时，由0°到90°逐渐变大，cos的值由大逐渐变小，因此|F1|由小逐渐变大，即F1，F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．点评：本题是日常生活中经常遇到的问题，学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验．本题的关键是作出简单的受力分析图，启发学生将物理现象转化成模型，从数学角度进行解释，这就是本题活动中所完成的事情．教学中要充分利用好这个模型，为解决其他物理问题打下基础．得到模型后就可以发现，这是一个很简单的向量问题，这也是向量工具优越性的具体体现．2．某人骑摩托车以20
km/h的速度向西行驶，感到风从正南方向吹来，而当其速度变为40
km/h时，他又感到风从西南方向吹来，求实际的风向和风速．解：如图13所示．设v1表示20
km/h的速度，在无风时，此人感到的风速为－v1，实际的风速为v，那么此人所感到的风速为v＋(－v1)＝v－v1.图13令＝－v1，＝－2v1，实际风速为v.∵＋＝，∴＝v－v1，这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度．∵＋＝，∴＝v－2v1，这就是当车的速度为40
km/h时，骑车人感受到的风速．由题意得∠DCA＝45°，DB⊥AB，AB＝BC，∴△DCA为等腰三角形．DA＝DC，∠DAC＝∠DCA＝45°，∴DA＝DC＝BC＝20，∴|v|＝20
km/h，答：实际吹来的风的速度v的大小是20
km/h，v的方向是东南方向.
例2在静水中划船的速度是每分钟40，水流的速度是每分钟20，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该指向何处？
解：如图14，船航行的方向是与河岸垂直方向成30°夹角，即指向河的上游．
图14
知能训练
1．一艘船以4
km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2
km/h，则经过小时，该船实际航程为(　　)
A．2
km　　　　
　B．6
km　　　　
　C.
km　　　　
　D．8
km
2．如图15，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为________
N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力F，则F＝________.
图15
3．一艘船以5
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，而该船实际航行的方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度的大小．
参考答案：
1．B
点评：由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理，所以要通过作高来求．
2.　(5,4)
3．解：如图16所示，设表示水流速度，表示船垂直于对岸的速度，表示船的实际速度，∠AOC＝30°，||＝5
km/h.
图16
因为四边形OACB为矩形，
所以||＝||cot30°＝||cot30°＝5
km/h，
||＝＝＝10
km/h.
答：水流速度的大小为5
km/h，船的实际速度的大小为10
km/h.
点评：转化为数学模型，画出向量图，在直角三角形中解出．
1．与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤．
①问题的转化，即把物理问题转化为数学问题；
②模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型；
③参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值；
④问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．
2．与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型．
①力、速度、加速度、位移都是向量；
②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减；
③动量mv是数乘向量，冲量ΔtF也是数乘向量；
④功是力F与位移s的数量积，即W＝F·s.
1．习题2.5　1、2、5、8.
2．归纳总结物理学中哪些地方可用向量．
1．本教案设计的指导思想是：由于本节重在解决两个问题，一是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型；二是如何用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．因此本教案设计的重点也就放在怎样让学生探究解决这两个问题上．而把这个探究的重点又放在这两个中的第一个上，也就是引导学生认真分析物理现象、准确把握物理量之间的相互关系．通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题，然后利用向量知识解决这个向量问题．
2．经历是最好的老师．充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决实际问题的方法就越恰当而且简捷．教科书中对本节的两个例题的处理方法，都不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法，就足以说明这一点．
3．突出数形结合的思想．教科书例题都是先画图进行分析的，本教案的设计中也突出了这一点．让学生在活动的时候就先想到画图，并在这个活动中，体会数形结合的应用，体会数学具有广泛的应用，体会向量这个工具的优越性．1．1.1　任意角
设计思想　　　　　
当今世界随着知识经济的不断发展，对人的整体素质提出了前所未有的要求，尤其是对人的主动性、创造性、批判性思维的重视超过了以往任何时代．作为现代科学技术的基础和工具的数学，其修养是21世纪高科技时代人才必备的素养，调查表明年级越高，对数学学习感兴趣的学生越少，究其原因，大多是因为在数学学习中经历了太多的失败，逐步丧失学习信心．数学是抽象的，难学的，数学教育要通过数学学习活动本身来提高学习的兴趣就显得更为重要．所以在本课的设计中以理解学生、尊重学生为前提，从学生的原认知出发，以学生熟知的生活现象创设问题情境，导入新课，发动学生，营造和谐的师生关系和课堂氛围、为学生的智慧生成留下足够的空间．在教师的引导下，让学生学会用客观环境所提供的信息来加工自己的知识，完善自己的知识结构并在对问题不断地讨论和探索过程中自主地思考问题并提出问题、构建数学、应用数学、回顾反思所学，培养学生发现问题、研究问题、解决问题、应用反思的数学学习能力，学生在教师的引导下一旦投入活动，各个不同层次的学习者都会有发现和创新的机会和成果，有向同学、教师展示自己成果和才能的机会，能经常体验到数学学习的乐趣，从而增强学习数学的信心和兴趣，并进入良性循环，终身学习的欲望得以孕育、成长．让课堂教学真正成为学生终生学习的成长阶梯，真正“实现不同的人在数学学习中得到不同的发展”，特别是新课程所提出的对学生思维方法的培养，为学生进一步学习提供必要的数学准备．
教学内容分析　　　　　
本课时教学内容为引言和1.1.1　任意角，是三角函数的开篇．
“引言”提出了本章的中心问题，它是本章知识的生长点，特别是周期现象贯穿了本章教学内容的始终，它可以帮助学生很好的探索、理解同终边角、同直线角、范围角的集合表示的抽象形式．同时，周期也是三角函数的一个非常重要的性质，是把三角函数一个周期的性质推广到整个定义域的理论依据，是研究三角函数的核心概念，为学生学习、理解周期的抽象的代数定义作了一个很好的铺垫．因此，笔者认为，在三角函数的开篇课中，应该按照引言中所提出的对周期性的研究大纲，把周期现象这一变化规律作为教学内容的一个重要组成部分实施教学，不能一带而过或不讲，要让学生对周期现象形成初步的感性认识和理性认识，为进一步学习与周期性相关的内容和理解周期的抽象含义打下坚实的基础，起到统领全章教学的核心作用．引言中所提出的“用什么样的数学模型来刻画圆上点P运动的变化规律”以及“如何表示点P”等问题在以后的教学中会自然的解决，因此，这些问题在本节课中没有必要作为重点，只是略作分析，通过用角α表示圆上围绕圆心的旋转点P的实际意义的需要，自然过渡到任意角这一教学环节，这样的处理符合了新课标中提出的螺旋上升的教学原则．
任意角的概念是本节课的重点，关于正、负角的引入，可以从实际事例(如体操中“向前翻腾两周半”“向后翻腾两周半”)引入，这样处理比较自然，学生也能够体会到引入正、负角的必要性和它的实际意义．然后再与正、负数类比，建立角度与实数一一对应的关系．在讲解任意角时，要注意把即时的画图和描述相结合起来，给学生以直观，以形助数，数形结合，体会任意角的旋转运动的实际意义．
把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来，是本节课的一个难点，理解终边相同的角的意义，是学好这一小节的关键，同时这一知识也是同直线角、范围角以及诱导公式等知识的生长点．因此，这一环节的教学，要引导学生结合周期现象通过对足够的特例进行观察、分析、研究最终探索一般的知识规律——“同终边角相差周期‘360°’的整数倍”，并及时地让学生去运用这一数学知识，使学生强化理解知识，为后续学习铺路．
问题与例题的设计给学生留下了比较多的思维空间，通过设疑来激发学生的思维，教师要让学生体会从具体到抽象，从特殊到一般，逐步归纳的思考方法；体会转化、分类讨论、数形结合等数学解题思想．
教学目标分析　　　　　
1．初步理解周期现象的含义．
2．使学生理解用“旋转”定义的任意角的概念．
3．理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义，是本节的教学重点．
1．学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角．
2．掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的集合的表示方法，是本节的教学难点．
3．能在0°到360°范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并能判定其为第几象限角．
4．学会用“特殊到一般、具体到抽象”研究问题的学习方法，体会分类讨论等数学思想．
通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化的观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求．
(一)引言
流程：(创设问题情境——探索发现规律——揭示数学本质)
问题情境：大家知道我每个星期的这一天的同一时间都要来高一7班做一件什么事吗？
师生合作：讨论分析，探索发现规律．
问题1：同学们能不能用自己的语言来描述一下什么叫周期呢？
问题2：你们能再举例说明周期现象吗？
问题3：数学问题中有这样的周期现象吗？
小结：我们把这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象．这种现象一般与周期运动有关，一个简单又基本的数学周期现象便是“圆周上一点的运动”．
设计意图：创设生活情境，符合学生实际，有利于营造和谐的、活跃的氛围，激发学生学习的兴趣；有利于学生“从无到有”的创造性的探索、发现知识的规律，揭示实际问题的数学本质．使学生充分地认识和理解周期现象，有利于学生对整章的学习，起到了关键性的作用．
(二)任意角的概念
流程：(创设问题情境——合作探究——建构数学)
问题情境：如图1，若点P从水平位置绕圆心O逆时针旋转一周半，点P的变化规律用数学方法如何刻画呢？
图1
问题3：在体操运动中有“翻腾两周半”这样的动作名称，这里的“翻腾两周半”表示什么呢？
问题4：“向前翻腾两周半”“向后翻腾两周半”又分别如何用角度来表示呢？
小结：一般情况下，把向前、向上、向右、逆时针的方向规定为正方向，相反则为负方向．(此时，我们头脑中的角度也不再是0°到360°之间的角了，角度的范围随着实际的应用开始推广到了任意角．)任意角包括正角、负角、零角(学生描述三种角的定义，老师板书并分别画图演示)．任意角和实数可以建立一一对应的关系．
设计意图：创设问题情境，自然过渡，从学生已有的认知出发，暴露学生的“思维定势”，引导学生质疑、批判的去思考问题，以形象的生活实际，引入正、负角的概念，有利于学生理解和接受新知识；有利于学生自觉地、创造性地去研究数学、构建数学．
(三)同终边角的集合表示
流程：(创设问题情境——自主探究——建构数学)
师：为了便于研究，今后我们常以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．(画图分析说明)
问题：－300°，－150°，－60°，60°，210°，300°，420°，180°，540°，900°，－900°角分别是第几象限角？其中哪些角的终边是相同的？
探究题组：(1)终边相同的角是否相等？不同角的终边是否不同？
(2)相同终边的角彼此之间有什么关系？
(3)你能写出与60°角终边相同的角的集合吗？
(4)求与角α终边相同的角的集合．
小结：一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}(β与α相差周期的整数倍)．作用：可以把不在0°到360°范围内的角转化为0°到360°范围内的角．
设计意图：创设问题情境，从特殊到一般，从具体到抽象，有利于学生探究问题、发现问题、归纳问题的一般规律，培养学生探究学习数学的方法和能力；有利于学生深刻地理解同终边角集合的抽象的表示形式．
(四)数学应用
流程：(问题情境——自主实践——合作交流——疑难点拨——解题回顾)
例1在0°到360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：(1)650°；(2)－150°；(3)－990°15′.
示范(1)：方法一：因为650°＝360°＋290°，所以650°的角与290°的角终边相同，是第四象限角．
方法二：表示与650°同终边角的集合，对k取值验证．
方法三：表示与650°同终边角的集合，解不等式求k的值．
(2)、(3)略．
例2已知α与240°角的终边相同，判断是第几象限角．
方法一：分类讨论，化为同终边的角判断．
方法二：利用周期性，数形结合画出终边判断．
设计意图：创设问题情境，通过解题示范，增强学生的解题规范意识，树立学习数学的科学态度；通过一题多解的解题方法，渗透数学思想方法，提高学生的解题能力，揭示数学问题的本质规律．
(五)回顾反思
(1)知识要点回顾：周期现象；任意角；同终边角的集合表示；象限的判断．
(2)思想方法回顾：探索研究问题的一般思想方法——(一般到特殊)特殊到一般；判断象限时——转化思想；分类讨论、数形结合的数学思想的运用；周期应用．
(3)反思存在的问题(由学生提出疑问或问题改进的办法)．
(4)补充说明：(教师：一般情况下我们还可以用弧长，半径以及方向来刻化圆上点P运动的变化规律．)
设计意图：让学生谈学习体会，反思所学，反馈课堂教学信息，使学生的学习得到进一步的升华，从而提高课堂教学的效率．
(六)课后拓展
(1)终边落在x轴上的角的集合如何表示？终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？
(2)终边落在第一象限的角的集合如何表示？
(3)若α是第三象限角，则是第几象限角？
(七)作业布置(略)
附录(教学实录两个片段)
(一)引言(教学过程实录)
流程：(创设问题情境——探索发现规律——揭示数学本质)
师：大家知道我每个星期的这一天的同一时间都要来高一7班做一件什么事吗？
生：议论但没有回答．
师：答案就是：给你们上数学课．(学生笑)你们知道这一个很平常的生活现象表明了一个什么规律吗？
生：周期．
师：你们能用一个数字来刻化这个规律并说明你的理由吗？
生：四，因为今天是星期四．
师：那么，这一现象的周期是“四”对吗？(学生思考)
生：应该是“7”，因为老师要每隔“7”天才会再次在今天的同一时间上课．
师：还有其他数字吗？(学生一起答道“14”)好，同学们能不能用自己的语言来描述一下什么叫周期呢？
生：每隔相同时间重复相同事情的现象(教师引导：我们把这种现象称为周期现象，那么周期是什么呢？学生齐答：间隔的时间．教师引导：我们把7就叫做这一现象的一个周期．)
师：好，你们能再举例说明周期现象吗？
生：每天太阳早上升起，傍晚降落；
年复一年，春夏秋冬四个季节；
潮起潮落．
师：数学问题中有这样的周期现象吗？
生：循环小数如＝0.；
圆上的一点绕圆心旋转．
师：如图2，点P是半径为r的圆O上一点，点P的运动可以形象地描述为“周而复始”．那么点P运动的一个周期是什么？
图2
生：点P运动的一个周期是360°.
小结：我们把这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象．这种现象一般与周期运动有关，一个简单又基本的数学周期现象便是“圆周上一点的运动”．
(二)任意角的概念(教学过程实录)
流程：(创设问题情境——合作探究——建构数学)
师：如图3，若点P从水平位置绕圆心O逆时针旋转一周半，点P的变化规律用数学方法如何刻画呢？
图3
生：建立直角坐标系，用坐标(x，y)表示．
师：还可以用什么刻画呢？
生：角度．
师：用多少度来表示呢？
生甲：180°
师：为什么？
生甲：因为点P绕圆心O旋转一周半后终边与始边形成了一个平角，所以是180°.
生乙：不对，应该是540°.
师：为什么？
生乙：180°应该表示旋转半周，而旋转一周半表示旋转了360°＋180°＝540°(老师画图演示)．
师：大家认为用哪个角度表示合理呢？
生：540°.
师：在体操运动中有“翻腾两周半”这样的动作名称，这里的“翻腾两周半”表示什么呢？
生：是用来表示旋转900°的角度．(老师画图演示)
师：“向前翻腾两周半”“向后翻腾两周半”又分别如何用角度来表示呢？
生：“向前翻腾两周半”用900°表示；“向后翻腾两周半”用－900°表示．
师：“－”表示什么意思？
生：表示方向．
师：为什么“向后翻腾两周半”表示负的呢？怎样画－900°呢？(学生分析，老师画图)
师生共同小结：一般情况下，把向前、向上、向右、逆时针的方向规定为正方向，相反则为负方向．(此时，我们头脑中的角度也不再是0°到360°之间的角了，角度的范围随着实际的应用开始推广到了任意角．)任意角包括正角、负角、零角(学生描述三种角的定义，老师板书并分别画图演示)．任意角和实数可以建立一一对应的关系．1．2.3　三角函数的诱导公式
教学分析　　　　　
本节主要是推导诱导公式一、二、三、四、五、六，并利用它们解决一些求解、化简、证明的问题．
本小节介绍的六组诱导公式是后继学习内容的基础，它们主要用于解决求任意角的三角函数值的问题以及有关三角函数的化简、证明等问题．
在诱导公式的学习中，化归思想贯穿始末，这一典型的数学思想，无论在本节中的分析导入还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，均清晰地得到体现，在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中，让学生了解化归思想，形成初步的化归意识．
本部分内容的重点是六个诱导公式的推导，在公式的推导中，首先确定180°＋α角、－α角的终边与角α的终边有何位置关系，找出它们与单位圆交点的坐标，由正弦函数、余弦函数的定义得出结论，另外，运用公式进行一般的化简，实际上也是熟悉公式、巩固公式的一种方法，因此它同样属于本课时的重点之一．
公式二、公式三与公式四中涉及的角在本课的分析导入时为不大于90°的非负角，但是在推导中却把α拓广为任意角，这一思维上的转折使学生难以理解，甚至会导致对其必要性的怀疑，因此它成为本课时的难点所在．
课本例题实际上是诱导公式的综合运用，难点在于需要把所求的角看成是一个整体的任意角．学生第一次接触到此题型，思维上有困难，要多加引导分析，另外，诱导公式中角度制亦可转化为弧度制，但必须注意同一个公式中只能采取一种制度，因此要加强角度制与弧度制转化的练习．
三维目标　　　　　
1．通过学生的探究，明了三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想．
2．通过诱导公式的具体运用，熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题，体会数式变形在数学中的作用．
3．进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想，通过一题多解，一题多变，多题归一，提高分析问题和解决问题的能力．
重点难点　　　　　
教学重点：六个诱导公式的推导及灵活运用，三角函数式的求值、化简和证明等．
教学难点：六组诱导公式的灵活运用．
课时安排　　　　　
2课时
第1课时
导入新课　　　　　
投影显示以下问题：sin＝________，cos＝________，sin＝______，cos＝________，sin(－)＝________，cos(－)＝________，sin＝________，cos＝________，sin＝________，cos＝________.
学生能马上说出sin、cos的值，对于其他的值可能会有点困难，请仔细观察一下，其他的角与之间有什么关系吗？你能否将其他角用表示出来？
推进新课　　　　　
1．2kπ＋α，－α，π±α，2π－α的三角函数等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成是锐角时原函数值的符号，口诀是：函数名不变，符号看象限．
2.±α，±α的三角函数值等于α的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，口诀是：函数名改变，符号看象限．
这九组诱导公式总的口诀是：奇变偶不变，符号看象限．其中，变与不变是指函数名是否改变，奇偶是指α前面是的奇数倍还是偶数倍，α当成锐角来看，符号是指等号右边的正负号．
活动：在初中学习的锐角三角函数值，可以在直角三角形中求得，特殊角的三角函数值学生记住了，对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或使用计算器求得．教师可组织学生思考讨论如下问题：0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得；90°到360°的角β能否与锐角α相联系？通过分析β与α的联系，引导学生得出解决设问的一种思路：若能把求[90°，360°)内的角β的三角函数值，转化为求有关锐角α的三角函数值，则问题将得到解决，适时提出，这一思想就是数学的化归思想，教师可借此向学生介绍化归思想．
通过分析，归纳得出：如图1.
图1
β＝
教师引导学生分α为锐角和任意角作图分析：如图2.
图2
引导学生充分利用单位圆，并和学生一起讨论探究角α与180°＋α的关系．无论α为锐角还是任意角，180°＋α的终边都是α的终边的反向延长线，所以先选择180°＋α为研究对象．利用图形还可以直观地看出角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的，对应点的坐标分别是P(x，y)和P′(－x，－y)．由此指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义，导出公式四：
sin(180°＋α)＝－sinα，cos(180°＋α)＝－cosα.
并指导学生写出角为弧度时的关系式：
sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.
并进一步引导学生观察公式的特点，明了各个公式的作用．
教师引导学生在单位圆中讨论－α与α的位置关系，这时可通过复习正角和负角的定义，启发学生思考任意角α和－α的终边的位置关系：－α角的终边与角α的终边关于x轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等，纵坐标互为相反数．探索、概括、对照公式四的推导过程，由学生自己完成公式二的推导，即
sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα.
教师适时点拨学生注意：无论α是锐角还是任意角，公式均成立，并进一步引导学生观察分析公式二的特点，得出公式二的用途：可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值．
学生自然会想到π－α与α会有什么关系呢？教师与学生一起讨论π－α与α的位置关系，这时可通过复习互补的定义，引导学生思考：任意角α和π－α的终边的位置关系：π－α角的终边与角α的终边关于y轴对称，它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等，横坐标互为相反数．探索、概括、对照公式二、三的推导过程，由学生自己完成公式三的推导，即
sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.
强调无论α是锐角还是任意角，公式均成立．
并进一步引导学生观察分析公式三的特点，得出公式三的用途：可将求π－α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值．
让学生分析总结诱导公式的结构特点，概括说明，加强记忆．
通过观察思考发现以上公式可以用下面一段话来概括：
α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
教师进一步点拨以上公式可简记为：
“函数名不变，符号看象限”．
点拨、引导学生注意公式中的α是任意角．
思路1
例1见课本本节例1.
变式训练1．利用公式求下列三角函数值：(1)cos225°；(2)sin；(3)sin(－)；(4)cos(－2
040°)．解：(1)cos225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－；(2)sin＝sin(4π－)＝－sin＝－；(3)sin(－)＝－sin＝－sin(5π＋)＝－(－sin)＝；(4)cos(－2
040°)＝cos2
040°＝cos(6×360°－120°)＝cos120°＝cos(180°－60°)＝－cos60°＝－.点评：由上述例题我们可看出，利用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一般可按下列步骤进行：上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法，这是数学中很重要的一种思想方法，教师在学生完成例1后应留出足够的时间让学生思考总结．2．cos330°等于(　　)A.　　　　　B．－　　　　　C.　　　　　D．－答案：C3．下列各数中，与sin2
007°的值最接近的是(　　)A.
B.C．－
D．－答案：C
例2化简：.
活动：引导学生认真仔细的观察题目，重点考查学生对知识的掌握程度和应用的灵活程度．适时地提醒学生注意，利用诱导公式时尽可能将角统一，从而达到化简的目的．
解：sin(－α－180°)＝sin[－(180°＋α)]＝－sin(180°＋α)＝－(－sinα)＝sinα，
cos(－180°－α)＝cos[－(180°＋α)]＝cos(180°＋α)＝－cosα，
cos(180°＋α)＝－cosα，sin(360°＋α)＝sinα，
所以原式＝＝1.
点评：运用诱导公式时首先将负角化为正角.
变式训练　化简：.解：＝＝＝＝＝－1.
思路2
例1化简cos315°＋sin(－30°)＋sin225°＋cos480°.
活动：这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目．利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数，再求值、合并、约分．
解：cos315°＋sin(－30°)＋sin225°＋cos480°
＝cos(360°－45°)－sin30°＋sin(180°＋45°)＋cos(360°＋120°)
＝cos(－45°)－－sin45°＋cos120°
＝cos45°－－＋cos(180°－60°)
＝－－－cos60°＝－1.
点评：利用诱导公式化简是进行角的转化，最终达到统一角或求值的目的.
变式训练　求证：＝tanθ.分析：利用诱导公式化简较繁的一边，使之等于另一边．证明：左边＝＝＝＝tanθ＝右边．所以原式成立．规律总结：证明恒等式，一般是化繁为简，可以化简一边，也可以两边都化简.
例2判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝1－cosx；
(2)g(x)＝x－sinx.
活动：根据函数奇偶性定义判断函数奇偶性时，可以按以下步骤进行：
先根据解析式确定函数的定义域，判断函数定义域是否关于原点对称．
(1)若定义域关于原点不对称，则函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；
(2)若定义域关于原点对称，再讨论f(x)和f(－x)的关系．
若f(x)＝f(－x)，则函数是偶函数；若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数．
解：(1)因为函数f(x)的定义域是R，且f(－x)＝1－cos(－x)＝1－cosx＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
(2)因为函数g(x)的定义域是R，且g(－x)＝－x－sin(－x)＝－x－(－sinx)＝－(x－sinx)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数．
课本本节练习1、2、3.
本节课我们学习了公式一、公式二、公式三、公式四四组公式，这四组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时经常用到，为了记牢公式，我们总结了“函数名不变，符号看象限”的简便记法，同学们要正确理解这句话的含义，不过更重要的还是应用，我们要多加练习，切实掌握由未知向已知转化的化归思想．
课本习题1.2　13、14、15.
一、有关角的终边的对称性
(1)角α的终边与角π＋α的终边关于原点对称．
(2)角α的终边与角－α的终边关于x轴对称．
(3)角α的终边与角π－α的终边关于y轴对称．
二、三角函数的诱导公式应注意的问题
(1)α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数的符号；可简单记忆为：“函数名不变，符号看象限．”
(2)公式中的α是任意角．
(3)利用诱导公式一、二、三、四，可以把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值．
基本步骤是：任意负角的三角函数相应的正角的三角函数0到2π角的三角函数锐角的三角函数三角函数．
即负化正，大化小，化为锐角再查表．
一、错解剖析
我们在对已知条件等式进行变形时，特别是进行平方变形时，往往不经意间会扩大或缩小角的取值范围，而造成漏解或增解，对于上述情况，一定要注意题目所给条件对角的限制，要将所求得的解进行验证，或检查变形对角的范围有无影响．
[例]已知tan(π－α)＝a2，|cos(π－α)|＝－cosα，求的值．
错解：∵tan(π－α)＝a2，∴tanα＝－a2<0.
∵|cos(π－α)|＝－cosα>0，∴cosα<0.∴α是第二象限角．
又cos(π＋α)＝－cosα＝＝，
∴＝.
点评：一个实数的平方不一定是正数，可能是零，因此，本题不能漏掉角α的终边在x轴的非正半轴上的情形．而由于tanα存在，这就决定了角α的终边不在y轴上，即cosα不为零，因此，由tanα＝－a2≤0，|cos(π－α)|＝－cosα≥0即cosα≤0，可知角α的终边在第二象限或x轴的非正半轴上．若角α的终边在第二象限，即cosα<0时，＝；若角α的终边在x轴的非正半轴上，即a＝0时，＝－＝1.
综合上述两种情况可得＝.
二、备用习题
1．设A、B、C是三角形的三个内角，下列等式成立的是(　　)
A．cos(A＋B)＝cosC
B．sin(A＋B)＝sinC
C．tan(A＋B)＝tanC
D．tanA＝tanB－tanC
2．函数f(x)＝cosx(x∈Z)的值域为(　　)
A．{－1，－，，0,1}
B．{－1，－，，1}
C．{－1，－，0，，1}
D．{－1，－，，1}
3．已知sin＝m，则cos的值是(　　)
A．m
B．－m
C.
D．－
4．化简(n∈Z)所得的结果是(　　)
A．tannα
B．－tannα
C．tanα
D．－tanα
5．设tan(3π＋θ)＝a，则的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
6．化简：(k∈Z)．
参考答案：1.B　2.B　3.C　4.C　5.A　6.－1.
(设计者：郑吉星)
第2课时
导入新课　　　　　
上一节课我们研究了诱导公式一、二、三、四，现在请同学们回忆一下相应的公式，提问多名学生上黑板默写公式．在此基础上，我们今天继续探究别的诱导公式，揭示课题．
推进新课　　　　　
1．若一个角的终边与角α的终边关于直线y＝x对称，则这两个角具有怎样的数量关系？
2．用已有公式得出＋α的正弦、余弦与α的正弦、余弦之间的关系式．
我们借助单位圆探究终边与角α的终边关于直线y＝x对称的角的数量关系．
教师让学生充分探究，启发学生借助单位圆，点拨学生从终边关于直线y＝x对称的两个角之间的数量关系，关于直线y＝x对称的两个点的坐标之间的关系进行推导．
如图1，设任意角α的终边与单位圆的交点P1(x，y)，由于角－α的终边与角α的终边关于直线y＝x对称，角－α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y＝x对称，因此点P2的坐标是(y，x)，于是，我们有
图1
sinα＝y，cosα＝x，cos(－α)＝y，sin(－α)＝x.
从而得到公式五：
活动：教师点拨学生将＋α转化为π－(－α)，从而利用公式三和公式五达到我们的目的．因为＋α可以转化为π－(－α)，所以求＋α角的正余弦问题就转化为利用公式三接着转化为利用公式五，这时可以让学生独立推导公式六．
公式六：
结合上一堂课研究公式一～四的共同特征引导学生寻求公式五、六的共同特征，指导学生用类比的方法即可将公式五和公式六进行概括．
±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
进一步可以简记为：
函数名改变，符号看象限．
利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．
公式一～六都叫做诱导公式．
讨论结果：诱导公式一～四，函数名称不改变，这些公式左边的角分别是2kπ＋α(k∈Z)，π±α，－α(可看作0－α)．其中2kπ，π，0是横坐标轴上的角，因此，上述公式可归结为横坐标轴上的角±α，函数名称不改变．而公式五、六，这些公式左边的角分别是±α，－α.其中，是纵坐标轴上的角，因此这些公式可归结为纵坐标上的角±α，函数名称要改变．两类诱导公式的符号的考查是一致的，故而所有的诱导公式可用十个字来概括：纵变横不变，符号看象限．
教师指点学习方法：如果我们孤立地记忆这么多诱导公式，那么我们的学习将十分苦累，且效率低．学习过程中，能挖掘各个公式的本质特征，寻求它们之间的共性，那么我们对数学公式的记忆就不再是负担了．因此，要求大家多做这方面的工作，以后数学的学习就不再是枯燥无味的了．
思路1
例1求证：(1)sin(－α)＝－cosα；(2)cos(－α)＝－sinα.
活动：直接应用公式五、六或者通过转化后利用公式五、六解决化简、证明问题．
证明：(1)sin(－α)＝sin[π＋(－α)]＝－sin(－α)＝－cosα；
(2)cos(－α)＝cos[π＋(－α)]＝－cos(－α)＝－sinα.
点评：由公式五及六推得±α的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系，从而进一步可以推广到(k∈Z)的情形．本例的结果可以直接作为诱导公式使用．
例2见课本本节例3.
变式训练　化简：.解：原式＝＝＝－tanα.
思路2
例1(1)已知f(cosx)＝cos17x，求证：f(sinx)＝sin17x；
(2)对于怎样的整数n，才能由f(sinx)＝sinnx推出f(cosx)＝cosnx
活动：对诱导公式的应用需要较多的思维空间，善于观察题目特点，要灵活变形．观察本例条件与结论在结构上类似，差别在于一个含余弦，一个含正弦，注意到正弦、余弦转化可借助sinx＝cos(－x)或cosx＝sin(－x)．要善于观察条件和结论的结构特征，找出它们的共性与差异；要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名称之间的转移．
(1)证明：f(sinx)＝f[cos(－x)]＝cos[17(－x)]＝cos(8π＋－17x)
＝cos(－17x)＝sin17x，
即f(sinx)＝sin17x.
(2)解：f(cosx)＝f[sin(－x)]＝sin[n(－x)]＝sin(－nx)
＝
故所求的整数为n＝4k＋1(k∈Z)．
点评：正确合理地运用公式是解决问题的关键所在.
变式训练　已知cos(－α)＝m(m≤1)，求sin(－α)的值．解：∵－α－(－α)＝，∴－α＝＋(－α)．∴sin(－α)＝sin[＋(－α)]＝cos(－α)＝m.点评：(1)当两个角的和或差是的整数倍时，它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来．(2)化简已知与所求，然后探求联系，这是解决问题的重要思想方法.
例2见课本本节例4.
变式训练　
若函数f(n)＝sin(n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(102)＝__________.解：∵sin＝sin(＋2π)＝sin，∴f(n)＝f(n＋12)．又f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(12)＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(102)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝2＋.
例3已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，又知f(2
003)＝－1，求f(2
004)的值．
活动：寻求f(2
003)＝－1与f(2
004)之间的联系，这个联系就是我们解答问题的关键和要害．
解：f(2
003)＝asin(2
003π＋α)＋bcos(2
003π＋β)
＝asin(2
002π＋π＋α)＋bcos(2
002π＋π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
＝－asinα－bcosβ
＝－(asinα＋bcosβ)，
∵f(2
003)＝－1，∴asinα＋bcosβ＝1.
∴f(2
004)＝asin(2
004π＋α)＋bcos(2
004π＋β)
＝asinα＋bcosβ＝1.
点评：解决问题的实质就是由未知向已知转化的过程，在这个过程中一定要抓住关键和要害，注意“整体代入”这一思想的应用．解答本题的关键和要害就是求得式子asinα＋bcosβ＝1，它是联系已知和未知的纽带．
课本本节练习1～4.
本节课同学们自己导出了公式五、公式六，完成了教材中诱导公式的学习任务，为求任意角的三角函数值“铺平了道路”．公式一至六可用一句话“纵变横不变，符号看象限”来记忆，简单方便，不会遗忘．利用这些公式，可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，为求值带来很大的方便，这种转化的思想方法，是我们经常用到的一种策略，要细心去体会、去把握．利用这些公式，还可以化简三角函数式，证明简单的三角恒等式，我们要多练习，在应用中达到熟练掌握的程度．
1．求值：sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°.
2．已知sin(x＋y)＝1，求证：tan(2x＋y)＋tany＝0.
3．已知tan(π－α)＝2，求：
(1)；
(2)2sin(3π＋α)cos(＋α)＋sin(－α)sin(π－α)．
参考答案：1.44.5.2.略.3.(1)－1；(2)2.
1．本节设计指导思想是：在教师引导下放手让学生自主探究．因为公式多，学生容易记混，所以在学生的主动探究中明了公式的来龙去脉，在应用公式解决问题中灵活、熟练掌握公式．通过学生的自主探究、推导公式，培养学生独立思考、知难而上的科学态度，更进一步地体会数学的奇特美、对称美．激发学生强烈的探究欲望，培养学生会学习的良好品质．
2．用口诀记忆公式：①π±α，－α，2kπ＋α的三角函数公式为：“函数名不变，符号看象限．”②±α，±α的三角函数公式为：“函数名改变，符号看象限”，其中α看成锐角．
3．用类比的方法学习本节课的基础知识，用化归的数学思想指导三角函数的求值、化简与证明．
一、错解点击
是否存在角α、β，α∈(－，)，β∈(0，π)，使得等式sin(3π－α)＝cos(－β)，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由．
错解：将已知条件化为
①2＋②2，得sin2α＋3(1－sin2α)＝2，即sin2α＝，sinα＝±.
∵－<α<，∴α＝或α＝－.
(1)当α＝时，由②得cosβ＝，∵0<β<π，∴β＝；
(2)当α＝－时，由②得cosβ＝，∵0<β<π，∴β＝.
故存在α＝，β＝或α＝－，β＝，使得两个等式同时成立．
点评：若将所求得的α、β的两组值分别代入①式会发现，当α＝－，β＝时，①式不成立，造成这种错误的原因是：我们对①②进行平方时，扩大了角α与β的取值范围．事实上，由①式可知sinα与sinβ需同号，由②式可知cosα与cosβ需同号，而我们在平方消元(角β)时，将①式平方后，sinα与sinβ可异号，而这是不允许的．因此，我们在对三角函数式进行非等价变形时，要注意检验其是否满足题设条件．本题只存在一组值α＝，β＝符合题意．
本题如果改变角α的范围为0<α<π，则本题有两解：α＝，β＝，或α＝，β＝.
二、备用习题
1．在△ABC中，下列等式一定成立的是(　　)
A．sin＝－cos　　　　　　　　
B．sin(2A＋2B)＝－cos2C
C．sin(A＋B)＝－sinC
D．sin(A＋B)＝sinC
2．如果f(sinx)＝cosx，那么f(－cosx)等于(　　)
A．sinx
B．cosx
C．－sinx
D．－cosx
3．计算下列各式的值：
(1)sin(－1
200°)cos(1
290°)＋cos(－1
020°)sin(－1
050°)＋tan945°；
(2)tan(27°－α)tan(49°－β)tan(63°＋α)tan(139°－β)．
4．化简：.
5．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，求[sin(α＋)·sin(－α)·tan2(2π－α)·tan(π－α)]÷[cos(－α)·cos(＋α)]的值．
参考答案：1.D　2.C　3.(1)2；(2)－1.　4.－tanα.
5．解：∵5x2－7x－6＝0的两根为x＝2或x＝－，∴sinα＝－.
∴cosα＝±＝±.∴tanα＝±.
∴原式＝＝tanα＝±.
三、关于数学公式的记忆与变形
对于数学公式，除简单加以应用之外，还应在深刻理解其内涵的基础上会进行适当的公式变形．数学公式变形是中学数学教学的重要组成部分，为了理解公式的内在本质，公式变形是数学教学不可缺少的内容．数学公式变形应做到三有，即变之有用，变之有规，变之有益．
1．公式变形的目的最终应体现在其实用的价值上，一个公式的等价变形往往有多种，教学中应择其有用的变形，以提高应用公式的效能．
2．数学公式变形的方法多种多样，揭示数学公式变形的一般规律对深化公式教学会有积极的意义．由于公式中的字母可以代表数、式、函数等数学意义的式子，因此可以根据需要对公式进行适当的数学处理，或代换，或迭代，或取特殊值等等．
3．公式变形不仅仅是标准公式功能的拓宽，而且在变形过程中可以充分体现数学思想和观点，充分体现数学公式的转化和简化功能，使学生深刻理解数学公式的本质．
附：
1．2.3　三角函数的诱导公式
第一课时
作者：陈春芳，江苏省锡山高级中学教师，本教学设计获江苏省教学设计大赛一等奖．
教材分析　　　　　
新旧教材对比
第一、老教材的诱导公式是分散在几学时中学完的，这样学生对诱导公式没有整体的认识，在推导方面花时长，而且也不便于学生记忆．苏教版新教材在研究了同角三角函数的基本关系后再来系统研究不同角的三角函数之间的关系，在研究时不是盲目地研究任意两个角而是从角的终边关系出发，抓住三角函数的定义来研究几类终边关于某些特殊的直线和点具有某些对称关系的角的三角函数值之间的关系．
第二、老教材从计算特殊角的三角函数值提出问题，由此推广到研究任意角α与π＋α的三角函数值之间的关系．研究的方法是由角的定义得到π＋α的终边即为α终边的反向延长线，从而得到它们的终边关于原点对称，再根据三角函数的定义计算三角函数值，比较计算结果从而得到诱导公式二．这样处理的难点是直接从数的角度研究，比较抽象，不符合学生的认知规律．
第三、根据三角函数的定义知道三角函数值是由角的终边的位置决定的，因此从终边的位置关系提出问题就更为合理，而新教材从终边的对称关系出发借助单位圆，充分利用三角函数的几何定义，借助几何图形的对称性直接得出终边关于某些直线或点对称的角的三角函数值之间的关系，苏教版新教材的处理方式突出了数形结合思想，而且也比较直观．公式二的推导是关键，在突破这一组公式的证明后其他几组公式学生完全可以自己推导．因此在这一组公式的推导中可以让学生尝试从代数定义和几何定义两方面进行推理证明，让他们体会比较两种方法的优劣，体会几何方法的简洁性，这也是引入单位圆的必要性．新教材先由形的直观认识再上升到数之间的本质联系，这样比较符合学生的认知规律，易于学生接受．新教材在小结时，更是深刻地揭示了诱导公式的本质，堪称经典．
第四、由于苏教版新教材更好更准确地抓住了诱导公式的本质，所以整个处理过程一气呵成，自然合理，便于理解和记忆．
老教材的诱导公式的推导思路是：
→→→
新教材的诱导公式的推导思路是：
设计期望　　　　　
(1)教学内容方面：新教材这节课的内容庞杂、公式繁多，显得分散，不便于学生记忆．从数学知识的和谐性角度出发，本课以终边关于x轴，y轴，原点，直线y＝x对称为载体，三角函数的定义为依据，推导出六组诱导公式，整个知识的发生发展过程都围绕终边对称这根主线．
(2)教学对象方面：新课程教学中要求创设有利于引导学生主动学习的课程环境，提高学生自主学习、合作交流以及分析和解决问题的能力．本节课公式很多，推导、理解、记忆、应用都是问题，这对学生是挑战，因此“逼”着他们找规律，这样有利于培养学生从复杂现象中归纳出本质问题的意识和能力．
(3)教学活动方面：本节课按新课程教学的理念，引导学生积极参与教学，促使学生形成积极主动、勇于探索的学习方式．当教学任务完成时，对学生创新意识的培养起到潜移默化的作用．有利于对所学内容的理解和记忆，增强了学生可持续发展的能力．
教学目标　　　　　
(1)借助单位圆和角终边之间的对称关系推导出正弦、余弦的诱导公式；
(2)能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数．
(1)通过公式的推导培养学生的创新能力、探索归纳能力；
(2)在公式的推导过程中，突出了对称的思想和数形结合的思想；
(3)通过公式的运用使学生了解未知到已知、复杂到简单的转化过程．
(1)在数学的学习过程中，培养学生提出问题和解决问题的能力，数学表达和数学交流能力，发展学生的应用意识和创新意识；
(2)通过诱导公式的应用，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径；
(3)引导学生赏析数学的严谨美、统一美、结构美、简单美和奇异美，并用这些唤起学生对数学的热情和钟爱．
学情分析　　　　　
知识方面：学生已经学习了终边相同的角的表示，三角函数的代数定义和几何意义，在本节课的学习中教师只要把问题分解，抓住三角函数定义，围绕“对称”展开讨论和探究，对学生作适当的引导，让学生从形的角度出发观察归纳，再进行严密的推理证明，体现了数学的严谨性．学生的难点在于公式五的推导，所以前面的教学中要作好铺垫，利用角α和角β的终边关于直线y＝x的对称关系突破这个难点．
方法技能方面：学生已经初步掌握了数形结合、变量代换、分类讨论、化归转化等思想方法，对研究问题的一般方法已经有所了解，围绕问题展开讨论、交流、学习．
教学重难点　　　　　
教学重点：公式的推导．
教学难点：公式推导过程中的思考方法、公式的归类与记忆．
知识引入阶段——提出问题，明确目标　　　　　
师：前面我们研究了同角三角函数之间的基本关系．那么对于不同的两个角，它们的三角函数之间有没有联系呢？对于任意的两个角我们不妨先来研究终边具有某些对称关系的两个角的三角函数值之间的关系．根据三角函数的定义知道角α的三角函数值由角α的终边确定．终边具有某些对称关系的两个角，它们的三角函数值之间有何联系？这就是这节课我们要探讨的问题．
问题：角α的终边关于直线、点有哪些特殊的对称关系？
结论：终边相同，关于x轴，y轴，原点，直线y＝x对称等．
问题：设角α和角β的终边具有上述对称关系，我们如何去寻找它们的三角函数值之间的关系？
结论：根据三角函数的几何意义，数形结合，从图形上寻找几何关系，或者根据三角函数的代数定义计算．
知识探索阶段——探索、证明诱导公式　　　　　
师：1.角α和角β的终边相同
合作交流：由三角函数的定义可知，终边相同的角的三角函数值相等，学生很容易得出公式一(教师板书公式一)
师：2.角α和角β的终边关于x轴对称
合作交流：①先探讨角α和角β的三角函数值间的关系．
学生思考，教师作适当的提示，引导学生可以从数和形两个角度思考，数的角度就是要在终边上找两点，而这样的两个点应该是关于x轴对称的两个点．而从形的角度就要引导学生充分利用单位圆，这样两个对称点的坐标就可以直接用角的三角函数值表示，这样三角函数值之间的关系就很明朗了．无论哪个角度都要紧扣终边的对称关系以及其终边上对称点的坐标之间的关系，在学生作了充分的思考和探究后请学生讲解推导过程，帮助学生进行思维的监控和反思．学生一边回答，教师一边板书完整的解答过程，以下是解答过程：
代数方法：
设角α终边上一点P(x，y)，则其关于x轴的对称点P1(x，－y)在角β的终边上．
则sinα＝，cosα＝，tanα＝，sinβ＝，cosβ＝，tanβ＝.(r＝>0)
图1
所以得出sinα＝－sinβ，cosα＝cosβ，tanα＝－tanβ.
几何方法：
设角α和角β的终边分别与单位圆交于P，P1两点，
则有P(cosα，sinα)，P1(cosβ，sinβ)．
由点的对称关系得：sinα＝－sinβ，cosα＝cosβ，tanα＝－tanβ.
②再探讨角α和角β的关系．
(由前面终边相同的角的知识归纳出角α和角β的关系)
学生归纳：β＝－α＋2kπ(k∈Z)．
特别地，当k＝0时，β＝－α也满足条件，于是得出
sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα.(公式二)
设计目的：由对称关系分别从数和形两个方面寻找终边关于x轴对称的角的三角函数值之间的关系，充分利用对称性，让学生比较两种方法的优劣，体会几何方法的简洁性．把问题呈现给学生，引导学生积极主动探究，调动他们求知的积极性和主动性，将公式二的推导过程展示给学生，目的在于突破这一组公式后，就可以让学生自行推导其余的各组公式．
师：借助刚才我们探讨的方法，下面请同学们自己选择合适的方法探究角α和角β的终边关于y轴，原点对称时你能得出什么结论．
学生活动：留时间给学生推导，教师巡视，对有困难的同学给予适时的指导，情感上对学生给予鼓励，帮助学生树立克服困难的信心．稍后请同学回答，并将学生的成果用投影仪展示，加以适当调整修正即可得到公式三和公式四．
知识拓展：1.公式二、三、四能否由其中的两个推出另外一个？
2．由公式二你能得出三角函数的什么性质？
合作探究：角α和角β的终边关于直线y＝x对称：
(1)角α和角β的正弦函数和余弦函数值之间有何关系？
(2)角－α的终边与角α的终边是否关于直线y＝x对称？
(3)由(1)和(2)你能得出什么结论？
图2
师生互动：多媒体展示图形，先让学生观察动画，教师引导学生从图形和函数中点关于直线对称的知识一步步突破难点，对于－α与α的终边是否关于直线y＝x对称，可以先从特殊角观察，再推广到一般情况．从而和学生一起合作推导出公式五．
突破难点：对于问题(1)我是这样引导学生的：从三角函数的几何意义得出角α和角β的终边与单位圆交点的坐标，接着可以通过两种途径寻找角α和角β的正弦函数和余弦函数值之间的关系．
方法一：通过三角形相似得到线段之间的关系，再根据有向线段的方向得出函数值之间的关系．
方法二：函数中某点(a，b)关于直线y＝x对称点的坐标为(b，a)，进而得出函数值之间的关系．
师：利用公式二和公式五你又能发现什么？
学生活动：由学生推导出公式六．
设计目的：几组诱导公式能一气呵成地推导出来，主要还是依据三角函数的定义和终边的对称关系，可以从形上很直观地得出一些对称点的坐标之间的关系，每组公式的推导都是按下面的程序进行的：终边对称关系―→终边与单位圆的交点之间的对称关系―→交点坐标之间的关系―→三角函数值间的关系．学生自己推导公式二、三、四、五，让他们亲身体验探究的过程，理解知识的发生过程，加深了对三角函数定义的理解．而知识拓展又给学生一个思考的空间，可以通过多种途径得到结论．其中就体现了变量代换，体现一种转化、化归的数学思想．
知识整合阶段——诱导公式的记忆　　　　　
师：通过大家的努力我们得出了六组公式，这些都叫做三角函数的诱导公式．诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个三角函数之间的关系．换句话说，诱导公式实质是将终边对称的图形关系“翻译”成三角函数之间的代数关系．面对这么多公式的记忆问题，同学们能否观察它们之间的联系与区别，寻找记忆的方法？
学生活动：留时间给学生讨论、观察、分析、对比、交流，最后总结：
(1)公式特征；(2)记忆方法；(3)符号规律；(4)记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”．
设计目的：公式的繁多给学生的记忆带来很大的困难，让学生观察比较寻找公式之间的区别与联系，总结记忆的方法，培养学生从复杂事物中发现并归纳一般规律的能力．著名数学家华罗庚有一句名言：从薄到厚，再从厚到薄．经过整合，公式的量大大减少，方便学生记忆．又给出符号判断的图，形象直观．思维有发散和敛聚两个方面，知识也有拓展和浓缩两种方式，在教学过程中将公式经过整合，公式的量可大大的减少，最后概括为“奇变偶不变，符号看象限”，既从本质上刻画了知识的内涵，又减轻了学生记忆的负担．
图3
知识应用阶段——诱导公式的初步应用　　　　　
例1求值：
(1)sin；
(2)cos；
(3)tan(－1
560°)．
(学生回答，教师板书)
师总结：我们来看大家的解答，注意不同的解答方法的繁简，发现在求任意角三角函数值时都可以转化成求锐角的三角函数值．
(1)步骤：
(2)注意点：符号的判断．
例2判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝1－cosx；(2)g(x)＝x－sinx.
(学生回答，教师板书)
设计目的：随着角的概念的推广，同时也将三角函数的概念从锐角推广到任意角的范围，但推广的同时又要不断地返璞归真，将任意角的函数回归到锐角的三角函数．而诱导公式则是实现这种转化的关键．例1是利用诱导公式求任意角的三角函数值，体现了诱导公式的作用以及学习诱导公式的必要性．让学生自己尝试不同解法，比较其中的繁简，从而归纳求任意角的三角函数值的一般方法，即只要用公式转化为相应锐角的三角函数值即可，这种转化非常有价值，体现数学知识的返璞归真．公式二是反映三角函数的奇偶性，回顾函数奇偶性判断的一般方法，为以后学习三角函数的图象和性质作铺垫．
知识巩固：学生练习课本本节练习题1、2(板演)、3(口答)．
学习小结阶段——归纳知识方法，布置课后作业　　　　　
本节课的主要流程如下：
(1)分析解决问题：
教学中先引导学生分析解决问题，包括：引导学生分析终边具有某种对称关系的两个三角函数之间的关系，再由终边相同角的知识得出角之间的关系，进而推导出三角函数的诱导公式，将知识的结合点设定在“对称”这个点上．在得出公式后又在公式记忆这里给学生提出思考，总结出公式的规律和记忆方法．
(2)归纳解题方法：
主要引导学生观察、归纳、猜想、合情推理．
(3)渗透数学思想方法：
数形结合、变量代换、分类讨论等思想方法，培养学生思维的缜密性、创造性、深刻性等内容．
课堂小结：(请学生小结本节课的内容)
1．公式的推导及记忆方法；
2．运用公式求任意角的三角函数的解题步骤；
3．数形结合的思想方法．
课后作业：课本习题1.2　3、4、5.
本节课设计对一般问题的探讨和论证，紧密而又和谐，学生不会有什么大的障碍和困难．本节课的主要任务是诱导公式的推导和简单应用，同时又联系到图形的各种对称、变量的代换、数形结合、分类讨论的思想方法，使学生多方位、立体化、多层面地受益．
有机结合教学内容，特别是高中数学的教学内容，对学生渗透辩证唯物主义世界观和方法论的教育，是中学数学教育极为重要的一项任务．就本节课而言，“事物的内部矛盾是推动事物发展的动力”“矛盾双方在一定的条件下可以从一方转化为另一方”“透过现象抓住事物的本质”这些完全可以渗透到教学过程中．2.4　向量的数量积
教学分析　　　　　
课本从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的5个重要性质、运算律．向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来，这样为解决三角形的有关问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题．因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系．既然向量可以进行加减运算，一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢？如果能，运算结果应该是什么呢？另外，距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量
我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系．众所周知，向量概念的引入与物理学的研究密切相关，物理学家很早就知道，如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1)，那么力F所做的功
图1
W＝|F||s|cosθ.
功W是一个数量，其中既涉及“长度”，也涉及“角”，而且只与向量F，s有关．熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算，从而引进向量的数量积的定义
a·b＝|a||b|cosθ.
这个定义不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等)，而且还可以用它来更加简捷地表述几何中的许多结果．
向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量．
平面向量的数量积，教材将其分为两部分，在第一部分向量的数量积中，首先研究平面向量所成的角，其次，介绍了向量数量积的定义，最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论；在第二部分平面向量数量积的坐标表示中，在平面向量数量积的坐标表示的基础上，利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式，得到了两向量垂直的判定的方法．
本节课可采用“启发探索”式的教学方法，从教材内容看，由于前面已经学面向量的线性运算的坐标表示，因此在教学中运用指导探究为教学的主线，通过启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探索，将学生的独立思考、自主探究、交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体地位．
三维目标　　　　　
1．通过经历探究过程，掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，并掌握向量垂直的条件．
2．通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力；培养学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力．
3．通过探究平面向量的数量积的坐标运算，掌握两个向量数量积的坐标表示方法；掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题．
4．通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数量积的认识，提高学生的运算速度，培养学生的运算能力，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质．
重点难点　　　　　
教学重点：平面向量数量积的定义，平面向量数量积的坐标表示．
教学难点：平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用，平面向量坐标表示的应用．
课时安排　　　　　
2课时
第1课时
导入新课　　　　　
思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答地更简捷、更清晰．并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具，而且用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题认识更深刻．物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是向量，这些物理现象都可以用向量来研究．
在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W可由下式计算：
W＝|F||s|cosθ.
其中θ是F与s的夹角．我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量(数量)．
故从力所做的功出发，我们就顺其自然的引入向量数量积的概念．
思路2.前面我们已学过，任意的两个向量都可以进行加减运算，并且两个向量的和与差仍是一个向量．我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算，就自然地会想到，任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能，其运算结果是什么呢？
推进新课　　　　　
1．平面向量数量积的概念，向量的夹角．
2．数量积的重要性质及运算律．
3．两向量垂直的条件．
活动：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ(0≤θ≤π)，其中θ是a与b的夹角．图2为两向量数量积的关系，并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.
图2
教师在与学生的一起探究活动中，应特别点拨引导学生注意：
(1)两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积；
(2)零向量与任一向量的数量积为0，即a·0＝0；
(3)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；
(4)当0≤θ<时cosθ>0，从而a·b>0；当<θ≤π时，cosθ<0，从而a·b<0.与学生共同探究并证明数量积的运算律．
已知a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
①a·b＝b·a(交换律)；
②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)；
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
特别是：(1)当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量．这是因为任一与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0.
(2)已知实数a、b、c(b≠0)，则ab＝bc?a＝c，但对向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·c不能推出a＝c.由图3很容易看出，虽然a·b＝b·c，但a≠c.
图3
(3)对于实数a、b、c有(a·b)c＝a(b·c)，但对于向量a、b、c，(a·b)c＝a(b·c)不成立．这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)不成立．
讨论结果：
由向量数量积的定义可知，
当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
思路1
例1见课本本节例1.
变式训练1．已知平面上三点A、B、C满足||＝2，||＝1，||＝，求·＋·＋·的值．活动：教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解，先分析题设然后找到所需条件．因为已知、、的长度，要求得两两之间的数量积，必须先求出两两之间的夹角．结合勾股定理可以注意到△ABC是直角三角形，然后可利用数形结合来求解结果．解：由题意知，||2＋||2＝||2，∴△ABC是直角三角形，而且∠ACB＝90°.从而sin∠ABC＝，sin∠BAC＝，∴∠ABC＝60°，∠BAC＝30°.∴与的夹角为120°，与的夹角为90°，与的夹角为150°.故·＋·＋·＝2×1×cos120°＋1×cos90°＋×2cos150°＝－4.点评：确定两个向量的夹角，应先平移向量，使它们的起点相同，再考查其角的大小，而不是简单地看成两条线段的夹角，如本例中与的夹角是120°，而不是60°.2．已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b)．解：(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－a·b－6b·b＝|a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－|a||b|cosθ－6|b|2＝62－6×4×cos60°－6×42＝－72.
例2已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线．当k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直？
活动：教师引导学生利用数量积的性质来求两向量垂直需满足的条件，教师可让学生独立完成，可找几个学生到黑板上去演练．
解：a＋kb与a－kb互相垂直的条件是(a＋kb)·(a－kb)＝0，
即a2－k2b2＝0.
∵a2＝32＝9，b2＝42＝16，
∴9－16k2＝0.
∴k＝±.
也就是说，当k＝±时，a＋kb与a－kb互相垂直．
点评：本题主要考查向量的数量积性质中垂直的条件.
变式训练　已知向量a、b满足：a2＝9，a·b＝－12，求|b|的取值范围．解：∵|a|2＝a2＝9，∴|a|＝3.又∵a·b＝－12，∴|a·b|＝12.∵|a·b|≤|a||b|，∴12≤3|b|，|b|≥4.故|b|的取值范围是[4，＋∞).
思路2
例1已知四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝c·d＝b·c＝d·a，试问四边形ABCD的形状如何？
活动：教师引导学生总结如何判断四边形的形状．利用向量的关系来判断四边形的形状，就是借助两个向量的共线或者垂直来判断四边形是平行四边形或是矩形．教师先让学生明确四边形各边的位置关系与长度关系，这可以借助向量的有关运算来完成．
解：∵＋＋＋＝0，即a＋b＋c＋d＝0，
∴a＋b＝－(c＋d)．
由上可得(a＋b)2＝(c＋d)2，即a2＋2a·b＋b2＝c2＋2c·d＋d2.
又∵a·b＝c·d，故a2＋b2＝c2＋d2.
同理，可得a2＋d2＝b2＋c2.
由上两式可得a2＝c2，且b2＝d2.
即|a|＝|c|，且|b|＝|d|，也即AB＝CD，且BC＝DA.
∴四边形ABCD是平行四边形．
故＝－，即a＝－c.
又a·b＝b·c＝－a·b，即a·b＝0，
∴a⊥b.即⊥.
综上所述，四边形ABCD是矩形．
点评：本题考查的是向量数量积的性质应用，利用向量的数量积解决有关垂直问题，然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状．
例2已知a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|，|b|＝|a＋b|，求向量b与a－b的夹角．
解：∵|b|＝|a＋b|，|b|＝|a|，∴b2＝(a＋b)2.
∴|b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
∴a·b＝－|b|2.
而b·(a－b)＝b·a－b2＝－|b|2－|b|2＝－|b|2，①
由(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|b|2－2×(－)|b|2＋|b|2＝3|b|2，
而|a－b|2＝(a－b)2＝3|b|2，
∴|a－b|＝|b|.②
设a与a－b的夹角为θ，则cosθ＝，
代入①②，得cosθ＝－＝－.
又∵θ∈[0，π]，
∴θ＝.
点评：本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角的问题，解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会.
变式训练　设向量c＝ma＋nb(m，n∈R)，已知|a|＝2，|c|＝4，a⊥c，b·c＝－4，且b与c的夹角为120°，求m，n的值．解：∵a⊥c，∴a·c＝0.且c＝ma＋nb，∴c·c＝(ma＋nb)·c，即|c|2＝ma·c＋nb·c.∴|c|2＝nb·c.由已知|c|2＝16，b·c＝－4，∴16＝－4n.∴n＝－4.从而c＝ma－4b.∵b·c＝|b||c|cos120°＝－4，∴|b|×4×(－)＝－4.∴|b|＝2.由c＝ma－4b，得a·c＝ma2－4a·b，∴8m－4a·b＝0，即a·b＝2m.①再由c＝ma－4b，得b·c＝ma·b－4b2.∴ma·b－16＝－4，即ma·b＝12.②联立①②，得2m2＝12，即m2＝6，∴m＝±.故m＝±，n＝－4.
判断正误，并简要说明理由．
①a·0＝0；②0·a＝0；③0－＝；④|a·b|＝|a||b|；⑤若a≠0，则对任一非零b有a·b≠0；⑥a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；⑦对任意向量a，b，c都有(a·b)c＝a(b·c)；⑧a与b是两个单位向量，则a2＝b2.
解：上述8个命题中只有③⑧正确．
对于①，两个向量的数量积是一个实数，应有0·a＝0；
对于②，应有0·a＝0；
对于④，由数量积定义有|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有|a·b|＝|a||b|；
对于⑤，若非零向量a、b垂直，有a·b＝0；
对于⑥，由a·b＝0可知a⊥b，可以都非零；
对于⑦，若a与c共线，记a＝λc，
则a·b＝(λc)·b＝λ(c·b)＝λ(b·c)，
∴(a·b)c＝λ(b·c)c＝(b·c)λc＝(b·c)a.
若a与c不共线，则(a·b)c≠(b·c)a.
1．先由学生回顾本节学习的数学知识，数量积的定义、运算，数量积的重要性质，数量积的运算律．
2．教师与学生总结本节学习的数学方法：归纳类比、定义法、数形结合等．在领悟数学思想方法的同时，鼓励学生多角度、发散性的思考问题，并鼓励学生进行一题多解．
课本习题2.4　1、2、3、4、5.
1．本节的重点是平面向量数量积的概念，以及平面向量数量积的运算律，难点是平面向量数量积的应用．利用平面向量的数量积可以解决一些垂直问题，或者解决有关夹角问题．我们发现向量的引入使高中物理学科中的矢量理论有了数学依据，两门学科相互呼应，既可以促进高中学生对两门学科知识更好地理解和吸收，也有助于理科学生高中学习后期整个知识结构体系的整合．其实，“向量”和“矢量”是在数学和物理两门学科对同一量的两种不同称呼而已．在物理学中，矢量是相对于有大小而没有方向的“标量”的另一类重要物理量．几乎全部的高中物理学理论都是通过这两类量来阐释的．矢量广泛地应用于力学(如力，速度，加速度等)和电学(如电流方向，电场强度等)理论之中，在高中新教材中引入向量的数量积后，物理中的功和压强等就自然地形成．对向量进行系统深入的学习和研究，对学生在物理课上学习和理解矢量和标量的知识无疑将提供一个数学根据和许多运算便利．同样，学生在物理课上碰到的与矢量有关的物理实际又会使他们对向量有更深入的了解，并激发他们学习向量知识的兴趣和热情．如在力学中，对力、速度等的分解和合成，使用的就是向量的加减理论，数学和物理的完美结合，起到异曲同工之作用．
2．本节的重要性是显而易见的，但本节有几个常见思维误区：不能正确理解向量夹角的定义，对于两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区．同时利用向量的数量积不但可以解决两向量垂直问题，而且还可以解决两向量共线问题，要深刻理解两向量共线、垂直的充要条件，应用的时候才能得心应手．
一、向量的向量积
在物理学中，由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要，就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积．定义如下：
两个向量a与b的向量积是一个新的向量c：
(1)c的模等于以a及b两个向量为边所作成的平行四边形的面积；
(2)c垂直于平行四边形所在的平面；
(3)其指向使a、b、c三向量成右手系——设想一个人站在c处观看a与b时，a按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b.
向量a与b的向量积记作a×b.
设a与b两个向量的夹角为θ，则|a×b|＝|a||b|sinθ.
(1)
(2)
图4
在上面的定义中已默认了a、b为非零向量，若这两个向量中至少有一个是零向量，则a×b＝0.
向量的向量积服从以下运算律：
(1)a×b＝－b×a；(2)a×(b＋c)＝a×b＋a×c；(3)(ma)×b＝m(a×b)．
二、备用习题
1．已知a，b，c是非零向量，则下列四个命题中正确的个数为(　　)
①|a·b|＝|a||b|?a∥b　②a与b反向?a·b＝－|a||b|
③a⊥b?|a＋b|＝|a－b|　④|a|＝|b|?|a·c|＝|b·c|
A．1
B．2
C．3
D．4
2．有下列四个命题：
①在△ABC中，若·>0，则△ABC是锐角三角形；
②在△ABC中，若·>0，则△ABC为钝角三角形；
③△ABC为直角三角形?·＝0；
④△ABC为斜三角形?·≠0.
其中为真命题的是(　　)
A．①
B．②
C．③
D．④
3．设|a|＝8，e为单位向量，a与e的夹角为60°，则a在e方向上的投影为(　　)
A．4
B．4
C．4
D.
4．设a，b，c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，有下列四个命题：
①(a·b)c－(c·a)b＝0；
②|a|－|b|<|a－b|；
③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的是(　　)
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
5．在△ABC中，设＝b，＝c，则等于(　　)
A．0
B.S△ABC
C．S△ABC
D．2S△ABC
6．设i、j是平面直角坐标系中x轴、y轴方向上的单位向量，且a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，如果(a＋b)⊥(a－b)，则实数m＝________.
7．若向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a＝________.
8．设|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为150°，求：
(1)(a－3b)·(2a＋b)；
(2)|3a－4b|.
9．已知|a|＝，|b|＝3，a与b的夹角为45°，且向量λa＋b与a＋λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
10．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，求向量m＝2a＋b与向量n＝a－4b的夹角的余弦值．
参考答案：
1．C　2.B　3.B　4.D　5.D
6．－2　7.－13
8．(1)－30＋30；
(2).
9．{λ|λ<或λ>且λ≠1}．
10．解：由向量的数量积的定义得a·b＝2×1×cos＝1.
∵m＝2a＋b，
∴m2＝4a2＋b2＋4a·b＝4×4＋1＋4×1＝21，
∴|m|＝.
又∵n＝a－4b，
∴n2＝a2＋16b2－8a·b＝4＋16－8＝12.
∴|n|＝2.
设m与n的夹角为θ，
则m·n＝|m||n|cosθ.①
又m·n＝2a2－7a·b－4b2＝2×4－7－4＝－3，
把m·n＝－3，|m|＝，|n|＝2代入①式，得－3＝×2cosθ，
∴cosθ＝－，
即向量m与向量n的夹角的余弦值为－.
(设计者：仇玉法)
第2课时
导入新课　　　　　
思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，其运算的表示方式也会改变．向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便．上一节，我们学面向量的数量积，那么向量的坐标表示，对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题．
思路2.在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序实数对来表示，两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学面向量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示，在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示．
推进新课　　　　　
1．平面向量的数量积的坐标表示和运算，向量垂直的坐标表示．
2．由向量的坐标计算其数量积并由坐标形式求两个向量的夹角．
3．运用向量垂直的坐标表示的条件解决一些综合问题．
活动：平面向量的数量积这个实数如何用坐标表示，是培养学生数形结合这种重要思想方法的很好内容，在教学中抓住数形结合这条主线，不但推出了两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，推出平面内两点间的距离公式，并应用平面向量的数量积的坐标表示解决问题，这样不但能够提高学生的解题能力，而且培养学生会运用数形结合这种重要思想方法．
本节课开始时应向学生指出：对平面向量的数量积的研究不能仅仅停留在几何角度，还要寻求其坐标表示；在引入新知识之前应复习前面的有关知识，如平面向量，两个向量的和与差，实数与向量的积的坐标表示，以及平面向量的基本定理．
应将平面向量数量积的两种形式结合起来，交待等式a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．这个等式体现了数与形的结合，揭示了数与形的内在联系．教学中还应注意设计综合性问题，加强与前段知识的联系．
若两个向量为a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何用a，b的坐标来表示它们的数量积a·b
设i，j分别是x轴和y轴上的单位向量，
则i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0.
∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，
∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)
＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1i·j＋y1y2j2.
又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，
∴a·b＝x1x2＋y1y2.
教师给出结论性的总结，由此可归纳如下：
(1)平面向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，
即a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)向量模的坐标表示
若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝.
如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，那么
a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝.
(3)两向量垂直的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a⊥b
x1x2＋y1y2＝0.
(4)两向量夹角的坐标表示
设a、b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：
cosθ＝＝.
特别地，若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；
反之，若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.
例1课本本节例2.
例2课本本节例3.
变式训练1．(1)已知三点A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC的余弦值；(2)a＝(3,0)，b＝(－5,5)，求a与b的夹角．活动：教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)的数量积a·b＝x1x2＋y1y2和模|a|＝，|b|＝的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦值，即cosθ＝＝.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时，需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚，以免出现不必要的错误．解：(1)＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)，＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)，∴·＝3×(－1)＋3×6＝15.又∵||＝＝3，||＝＝，∴cos∠BAC＝＝＝.(2)a·b＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a|＝3，|b|＝5.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－.又∵0≤θ≤π，∴θ＝.点评：本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角．利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高．2．设a＝(5，－7)，b＝(－6，－4)，求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1°)．解：a·b＝5×(－6)＋(－7)×(－4)＝－30＋28＝－2.|a|＝＝，|b|＝＝，由计算器得cosθ＝≈－0.03.利用计算器得θ≈92°.
例3课本本节例4.
变式训练1．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，试判断△ABC的形状，并给出证明．活动：教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题．判断平面图形的形状，特别是三角形的形状时主要看边长是否相等，角是否为直角．可先作出草图，进行直观判定，再去证明．在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模长相等，则此平面图形与平行四边形有关；若三角形的两条边所在的向量模长相等或者有两边所在向量的数量积为零，则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形．教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法．解：在平面直角坐标系中标出A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)三点，我们发现△ABC是直角三角形．下面给出证明．∵＝(2－1,3－2)＝(1,1)，＝(－2－1,5－2)＝(－3,3)，∴·＝1×(－3)＋1×3＝0.∴⊥.∴△ABC是直角三角形．点评：本题考查的是向量数量积的应用，利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状．当给出要判定的三角形的顶点坐标时，首先要作出草图，得到直观判定，然后对你的结论给出充分的证明．2．在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，求k的值．解：由于题设中未指明哪一个角为直角，故需分别讨论．若∠A＝90°，则⊥，所以·＝0，于是2×1＋3k＝0.故k＝－.同理可求，若∠B＝90°时，k的值为.若∠C＝90°时，k的值为.故所求k的值为－或或.
例4已知|a|＝3，b＝(2,3)，试分别解答下面两个问题：
(1)若a⊥b，求a；(2)若a∥b，求a.
活动：对平面中的两向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，向量垂直的坐标表示x1x2＋y1y2＝0与向量共线的坐标表示x1y2－x2y1＝0很容易混淆，要让学生在应用中深刻领悟其本质属性，两向量垂直是a·b＝0，而共线是方向相同或相反．教师可多加强反例练习，多给出这两种类型的同式变形训练，以此巩固并能熟练地掌握和运用．
解：(1)设a＝(x，y)，由|a|＝3且a⊥b，得
解得或
∴a＝(－，)或a＝(，－)．
(2)设a＝(x，y)，由|a|＝3且a∥b，得
解得或
∴a＝(，)或a＝(－，－)．
点评：本题主要考查学生对公式的掌握情况，学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线，也能熟练地进行公式的逆用，利用已知关系来求向量的坐标.
变式训练　求证：一次函数y＝2x－3的图象(直线l1)与一次函数y＝－x的图象(直线l2)互相垂直．证明：在l1：y＝2x－3中，令x＝1得y＝－1；令x＝2得y＝1，即在l1上取两点A(1，－1)，B(2,1)．同理，在直线l2上取两点C(－2,1)，D(－4,2)，于是：＝(2,1)－(1，－1)＝(2－1,1＋1)＝(1,2)，＝(－4,2)－(－2,1)＝(－4＋2,2－1)＝(－2,1)．由向量的数量积的坐标表示，可得·＝1×(－2)＋1×2＝0，∴⊥，即l1⊥l2.
课本练习1～8.
1．在知识层面上，先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示，向量的模，两向量的夹角，向量垂直的条件．其次引导学生总结数量积的坐标运算规律，夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示．
2．在思想方法上，教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法，定义法，待定系数法等．
课本习题2.4　8、9、10.
1．由于本节课是对平面向量的进一步探究与应用，是对平面向量几何意义的综合研究提高，因此教案设计流程是探究、发现、应用、提高，这符合新课程理念，符合新课标要求．我们知道平面向量的数量积是本章最重要的内容，也是高考中的重点，既有选择题、填空题，也有解答题(大多与立体几何、解析几何一起综合考查)，故学习时要熟练掌握基本概念和性质及其综合运用．而且数量积的坐标表示又是向量运算的一个重要内容，用坐标表示直角坐标平面内点的位置，是解析几何的一个基本特征，从而以坐标为桥梁可以建立向量与解析几何的内在联系．以三角函数表示点的坐标，又可以沟通向量与三角函数的相互关系，由此就产生出一类向量与解析几何及三角函数交汇的综合性问题．
2．本节课学习的重点是两个向量数量积的坐标表示；两个向量垂直的坐标表示以及利用向量数量积的坐标表示解决有关的几何问题．本节学习的难点是建立向量与坐标之间的关系．平面向量数量积的坐标表示使得向量数量积的应用更为方便，也拓宽了向量应用的途径，通过学习本节的内容，要更加加深对向量数量积概念的理解．同时善于运用坐标形式运算解决数量问题，尤其是有关向量的夹角、长度、垂直等，往往可以使问题简单化．灵活使用坐标形式，综合处理向量的线性运算、数量积、平行等，综合地解决向量综合题，体现数形结合的思想．在本节的学习中可以通过对实际问题的抽象来培养学生分析问题、解决问题和应用知识解决问题的意识与能力．
一、|a·b|≤|a||b|的应用
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则平面向量的数量积的性质|a·b|≤|a||b|的坐标表示为x1x2＋y1y2≤
(x1x2＋y1y2)2≤(x＋y)(x＋y)．
不等式(x1x2＋y1y2)2≤(x＋y)(x＋y)有着非常广泛的应用，由此还可以推广到一般(柯西不等式)：
(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)．
例1(1)已知实数x，y满足x＋y－4＝0，则x2＋y2的最小值是________；
(2)已知实数x，y满足(x＋2)2＋y2＝1，则2x－y的最大值是________．
解析：(1)令m＝(x，y)，n＝(1,1)．
∵|m·n|≤|m||n|，∴|x＋y|≤·，
即2(x2＋y2)≥(x＋y)2＝16.∴x2＋y2≥8.故x2＋y2的最小值是8.
(2)令m＝(x＋2，y)，n＝(2，－1)，2x－y＝t.
由|m·n|≤|m||n|，得|2(x＋2)－y|≤·＝，即|t＋4|≤，
解得－4－≤t≤－4，故所求的最大值是－4.
答案：(1)8　(2)－4
例2已知a，b∈R，θ∈(0，)，试比较＋与(a＋b)2的大小．
解：构造向量m＝(，)，n＝(cosθ，sinθ)，由|m·n|≤|m||n|得
(cosθ＋sinθ)2≤(＋)(cos2θ＋sin2θ)，
∴(a＋b)2≤＋.
同类变式：已知a，b∈R，m，n∈R，且mn≠0，m2n2>a2m2＋b2n2，令M＝，N＝a＋b，比较M、N的大小．
解：构造向量p＝(，)，q＝(n，m)，由|p·q|≤|p||q|得
(×n＋×m)2≤(＋)(m2＋n2)＝(m2＋n2)N.
例3设a，b∈R，A＝{(x，y)|x＝n，y＝na＋b，n∈Z}，B＝{(x，y)|x＝m，y＝3m2＋15，m∈Z}，C＝{(x，y)|x2＋y2≤144}是直角坐标平面xOy内的点集，讨论是否存在a和b，使得A∩B≠与(a，b)∈C能同时成立．
解：此问题等价于探求a、b是否存在的问题，它满足设存在a和b满足①②两式，构造向量m＝(a，b)，n＝(n,1)．
由|m·n|2≤|m|2|n|2得(na＋b)2≤(n2＋1)(a2＋b2)，
∴(3n2＋15)2≤144(n2＋1)
n4－6n2＋9≤0.
解得n＝±，这与n∈Z矛盾，故不存在a和b满足条件．
二、备用习题
1．若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且a·b＝，则x等于(　　)
A．3　　　　　　B.　　　　　　C．－　　　　　　D．－3
2．设a＝(1,2)，b＝(1，m)，若a与b的夹角为钝角，则m的取值范围是(　　)
A．m>
B．m<
C．m>－
D．m<－
3．若a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，则(　　)
A．a⊥b
B．a∥b
C．(a＋b)⊥(a－b)
D．(a＋b)∥(a－b)
4．与a＝(u，v)垂直的单位向量是(　　)
A．(－，)
B．(，－)
C．(，)
D．(－，)或(，－)
5．已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
6．已知△ABC的三个顶点为A(1,1)，B(3,1)，C(4,5)，求△ABC的面积．
参考答案：
1．C　2.D　3.C　4.D
5．解：由已知(a＋3b)⊥(7a－5b)
(a＋3b)·(7a－5b)＝0
7a2＋16a·b－15b2＝0，①
又(a－4b)⊥(7a－2b)
(a－4b)·(7a－2b)＝0
7a2－30a·b＋8b2＝0，②
①－②得46a·b＝23b2，即a·b＝＝.③
将③代入①式可得7|a|2＋8|b|2－15|b|2＝0，即|a|2＝|b|2，有|a|＝|b|，
∴若记a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.
又θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°，即a与b的夹角为60°.
6．分析：S△ABC＝||||sin∠BAC，而||，||易求，要求sin∠BAC可先求出cos∠BAC.
解：∵＝(2,0)，＝(3,4)，||＝2，||＝5，
∴cos∠BAC＝＝＝.∴sin∠BAC＝.
∴S△ABC＝||||sin∠BAC＝×2×5×＝4.
三、新教材新教法的二十四个“化”字诀
新课导入新颖化，揭示概念美丽化；纵横相联过程化，探索讨论热烈化；
探究例题多变化，引导思路发散化；学生活动主体化，一石激浪点拨化；
大胆猜想多样化，论证应用规律化；变式训练探究化，课堂教学艺术化；
学法指导个性化，对待学生情感化；作业抛砖引玉化，选题质量层次化；
学生学习研究化，知识方法思想化；抓住闪光激励化，教学相长平等化；
教学意识超前化，与时俱进媒体化；灵活创新智慧化，学生素质国际化．
(设计者：仇玉法)
附：
2．4　向量的数量积
第1课时
作者：蒋国庆，江苏省泰兴市第四高级中学教师，本教学设计获江苏省教学设计大赛一等奖．
在《普通高中课程标准实验教科书·数学4(必修)》中，2.4平面向量的数量积约用3课时完成．本文从教材分析、目标分析、教学过程、设计说明等几个方面系统阐述第1课时的教学设计．
教材分析　　　　　
1．教材的地位和作用
向量在物理学中的应用非常广泛，在解析几何中应用更为直接，用向量方法特别便于研究涉及空间里直线与平面的各种问题．平面向量的数量积是向量的基本运算之一，在处理有关长度、角度和垂直问题等方面有很好的应用．“平面向量的数量积”是《平面向量》中的基础知识与重点内容．
2．教学重点与难点
本节课的重点是理解平面向量的数量积的概念及运算律，这也是本节课的难点．
目标分析　　　　　
通过本节课的教学，预计达到下面三个目标：
1．知识目标：理解平面向量的数量积的概念；能用公式和运算律进行计算．
2．能力目标：培养学生的理性思维能力、创造性思维能力、逻辑思维能力和思维的批判性．
3．情感目标：鼓励学生探索发现规律，激发学生学习数学的兴趣．
学法分析　　　　　
向量的数量积的结果是一个数量，而不是一个向量．像这样的运算结果与运算对象不在同一“范围”内的运算，学生首次接触，理解上有一定的困难，本文的教学设计准备通过预设的系列问题，发动学生进行合作讨论，调动学生参与到探索中来，让他们总结规律，从而充分经历，体验“发现定义”的过程．
本节课共分四大环节：理解定义、总结性质、学习运算律、巩固训练．
1．理解定义
教学设想：首先引导学生复习已学过的向量运算，并与实数的加法、减法及实数的乘法进行比较，让学生大胆思维，猜想有无这样的向量运算，结果是一个数量而不是一个向量？在数学上，以前肯定没学过．引导学生进一步联想，在物理上见过两个矢量运算的结果是一个标量的例子吗？有部分学生联想到力对物体作用产生的位移所做的功，力F是一个向量，位移s是一个向量，而功W是一个标量，这时又让学生思考相应的物理公式W＝|F||s|cosθ，这样就为向量数量积概念的引入做了一个积极的铺垫．通过学生联想类比物理学中的“功”，找到向量数量积的原型；通过讨论求功运算的特点，进而抽象出向量数量积的定义．这一过程培养了学生的发散性思维能力及创造性思维能力．
复习思考：
　　　　　　运算结果
向量的加法―→向量
向量的减法―→向量
实数与向量的乘法―→向量
两个向量的乘法―→？？？？
(1)物理意义下的“功”：
一个物体在力F的作用下发生了位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？
W＝|F||s|cosθ.
图1
其中力F和位移s是向量，θ是F与s的夹角，而功W是数量．
(2)向量的夹角
已知非零向量a与b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫作a与b的夹角．
①若θ＝0°，a
与b同向
②若θ＝180°，a
与b反向
③若θ＝90°，a与
b垂直记作a⊥b
图2
(3)平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即a·0＝0.
教学设想：讲授了数量积的意义之后，学生虽然可以从表面上接受这个概念，但并不深刻，为了加深对数量积概念的理解，可让学生启动类比联想思维，因为数量积是一种积，所以让学生去类比实数的乘积，通过类比寻找它们的不同之处．
小组讨论下列问题：
(1)在实数乘积中，由ab＝0可推出a＝0或b＝0，而对数量积a·b＝0，一定可以推出a＝0或b＝0吗？
(2)在实数乘积中，若ab＝bc(b≠0)，可以在等式两边同时约去b，得到a＝c；对数量积a·b＝b·c(b≠0)，能否得到a＝c
(3)两个向量的数量积的大小由哪些量确定？
(4)当两个向量都不是零向量时，这两个向量的数量积能否等于零？此时这两个向量有什么位置关系？
通过这样的类比，认识深刻了，对概念的理解升华了，预定的教学目标达到了，而发散思维能力和创造性思维能力也得到了培养．
2．总结性质
教学设想：把需要总结的数量积的性质，设计成7个讨论题，调动所有学生参与到探索中来，发动学生进行合作讨论，让他们总结规律．这7个讨论题是：
(1)向量的数量积的正负如何确定？
(2)单位向量与任意向量的数量积有什么规律？
(3)互相垂直的向量的数量积有什么特点？
(4)共线向量的数量积有什么规律？
(5)如何求两个向量的夹角？
(6)比较两个向量的数量积的模与两个向量模的积的大小的关系．
(7)两个相等向量的数量积等于什么？
数量积的性质：
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则
(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ；
(2)a⊥b
a·b＝0(判断两向量垂直的依据)；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝(用于计算向量的模)；
(4)cosθ＝(用于计算向量的夹角)；
(5)|a·b|≤|a||b|.
教学设想：在小组合作讨论的基础上，再由老师归纳性质．由于向量的数量积的性质是由学生在合作中发现出来的，学生从对性质的不知到完成已知，这本身就是一个创造过程，也是一个创新过程．
小组合作学习方式是教学中行之有效的方式，尤其是对一些比较难理解、需要深入研究和继续探讨的问题，通过小组合作讨论的形式，使学生之间的知识差异、性格差异相互补充，使他们学会合作，学会探索，学会发现，学会创新．
3．学习运算律
教学设想：教材中给出了向量的数量积的三个运算律，对于前两个运算律(交换律、实数与两个向量乘积的结合律)要求学生自己证明，而对分配律则要求学生课后预习数量积的几何意义再作证明．然后采取与实数乘法运算律列表比较的方法，让学生比较二者运算律，并上升为理性思维．通过比较使学生明确了实数乘法满足结合律而向量的数量积不满足结合律．最后要求学生结合数量积的意义举出反例．善于举出反例是学生批判性思维的突出表现，也是一种创新行为．教学实践表明，学生的思维是灵活的，一旦把他们的思维调动起来，他们的思考相当深刻，这也有助于提高逻辑思维能力和创新意识．　　　　　
设向量a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
列表比较实数乘法运算律和向量数量积的运算律
实数乘法
交换律
分配律
结合律
向量数量积
交换律
分配律
？？？？
举反例：学生完成．
教学设想：作为平面向量数量积的意义及运算律的应用，让学生研究作为实数运算(a＋b)2与(a＋b)(a－b)以及作为数量积运算(a＋b)2与(a＋b)·(a－b)的结果形式是否一样？为什么？学生经过认真思考与严密的推导得出正确结论，并且知道他们相等的原因是它们都满足交换律，而作为实数运算(ab)2与数量积运算(a·b)2的结果不同主要是因为结合律的影响，从而使认识更加深刻，也进一步强化了对学生思维批判性与深刻性的培养．
4．课堂巩固
教学设想：为了及时巩固所学知识，利用多媒体投影让学生独立思考，认真解答．并及时订正．
练习1.判断正误：
(1)若a＝0，则对任一向量b，有a·b＝0.
√
(2)若a≠0，则对任一非零向量b，有a·b≠0.
×
(3)若a≠0，a·b＝0，则b＝0.
×
(4)若a·b＝0，则a、b中至少有一个为0.
×
(5)若a≠0，a·b＝b·c，则a＝c.
×
(6)若a·b＝a·c，则b≠c，当且仅当a＝0时成立．
×
(7)对任意向量a，有a2＝|a|2.
√
练习2.已知|p|＝8，|q|＝6，p和q的夹角是60°，求p·q.
练习3.设|a|＝12，|b|＝9，a·b＝－54，求a和b的夹角θ.
这节课的设计注意改变学生的学习方法，以问题为线索，学生自主学习、小组合作学习为主，辅以适当练习加以训练，教师适时进行引导．
按照建构主义观点，知识需要经过学习者自身体验，才能被同化和顺应，因此，教学设计注重学生的主体地位，发挥教师的组织和引导作用，调动学生的主动性和积极性，使数学教学成为数学活动的教学，激发学生学习数学的兴趣．
教师在教学中如何确定知识的生长点、思维的展开点和认知的交流点，如何把知识教学和认知结构的形成、思维能力的训练、创新意识的培养、思想方法的渗透有机的结合起来，这些问题都是需要不断探索的．这节课把学生的兴奋点和着力点放在思维能力和创新意识的培养上，以期学生的综合素养得到一定的提高．第一章
三角函数
本章复习
知识网络　　　　　
1．任意角的概念是本章的基础，推广了角，扩大了研究的范围．在此基础上，为了计算中的简单，引入了两种度量制度：角度制与弧度制，但是其本质是一样的．其最基本的一个应用就是简化了弧长与扇形面积公式．同时也为定义任意角的三角函数作了前期工作，也就得到了本章的核心问题——任意角的三角函数定义．从这个核心出发，分成四条路线走，研究最基本的比例，就可以得到同角三角函数的基本关系式，同时根据定义就可以推导出诱导公式．知道了核心的本质意义在坐标系里面，可以定义点的坐标，为推导第三章和角公式作了应有的准备．而和角公式的两个特殊方面只是本身的一个推广，由此就得来了复杂多变的三角函数公式，而这些复杂的公式(第三章的倍角公式，差角公式)的本质又是和角公式．抛开比例的式子，应用弧度制的度量作为基础，就有了三角函数的图象和性质，这是三角与函数结合的产物，既有函数的特征，因此可以用函数的知识来解，又具有三角的特性，因此还可以用这一特点进行一些特殊的运算．所有的推导可以应用在计算与化简、证明恒等式上．
2．数学的魅力在于系统、严密，学习的兴趣在于环环相扣．本章最为理想的复习方法就是引导学生打通本章中的这张知识网络图，这是进行具体问题具体分析的理论依据，也是解决问题最基本的方法．教师指导学生步步为营，将其引入数学王国，畅游科学殿堂．
《三角函数》一章知识网络图
三维目标　　　　　
1．通过全章复习，让学生切实掌握三角函数的基本性质，会判定三角函数的奇偶性，确定单调区间及求周期的方法．熟练掌握同角三角函数的基本关系式及六组诱导公式，弄清公式的推导关系和互相联系，让学生做到记准、用熟．
2．要求学生会用“五点法”作正、余弦函数的简图，掌握应用基本三角变换公式的求值、化简、证明．
3．本章的最终目标是让学生熟练掌握三角函数基础知识、基本技能、基本运算能力，以及数形结合思想、转化与化规思想，激发学生学习兴趣，培养他们善于总结、善于合作、善于创新以及应用数学解决实际问题的能力．
重点难点　　　　　
教学重点：三角函数的定义，诱导公式，以及三角函数的图象与性质．
教学难点：三角恒等变形及三角函数的图象与性质的综合运用．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.(复习导入)了解一下全章的知识网络结构，并回顾思考本章学习了哪些具体内容：首先，我们给出了三角函数的定义，包括任意角的三角函数的符号，同角三角函数的关系式，诱导公式．又共同学习了正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质．接下来，我们又共同探讨了它们的应用，并能运用上述公式和性质进行三角函数式的化简、求值、证明以及它们的综合运用．由此展开全章的系统复习．
思路2.(问题导入)你现在已经会求任意角的三角函数值，会画三角函数的图象，会用三角函数模型来解释现实生活中具有周期性变换规律的一些现象．你是如何学习到这些知识的？又是如何提高自己能力的？由此引导学生回顾全章知识的形成过程，进而展开全面复习．
推进新课　　　　　
①我们是怎样推广任意角的？又是怎样得到任意角的三角函数定义的？
②本章学习了哪些同角三角函数的基本关系式？怎样推导的？
③本章都学习了哪些诱导公式？各有什么用途？怎样记忆？
④你是如何得到正弦曲线、余弦曲线和正切曲线的？
⑤你能从图象上说出三角函数的哪些性质？
活动：问题①，为了使学生了解知识的形成顺序与过程，教师可引导学生回忆从前的学习情景，让学生感悟数学是在什么样的背景下向前推进的，同时也加强系统数学知识的记忆，居高临下地来掌握全章知识．
问题②，教师引导学生回忆三角函数定义，回忆同角三角函数的基本关系式的推导，并回忆这些公式的作用和应用方法技巧．利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，也就是要就角所在象限进行分类讨论．同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角的三角函数间的相互关系，利用它可以使解题更方便，但要注意公式成立的前提是角对应的三角函数有意义．
sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.
问题③，教师引导学生回顾的同时，最好能利用多媒体或幻灯片来展示这些公式．以前学习的都是孤立的、零碎的，现在是放在一起记忆提高．幻灯片如下：
公式一
公式二
公式三
sin(α＋k·2π)＝sinα，cos(α＋k·2π)＝cosα，tan(α＋k·2π)＝tanα，其中k∈Z
sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα
sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα
公式四
公式五
公式六
sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα
sin(－α)＝cosα，cos(－α)＝sinα
sin(＋α)＝cosα，cos(＋α)＝－sinα
问题④，三角函数性质是通过图象来研究的，而且画图、识图、用图也是对学生的基本要求．教师要让学生亲自动手画一画，以加深学生对三角函数性质的进一步理解提升．让学生明了：利用平移正弦线，可以比较精确地画出正弦函数的图象，利用正弦函数的图象和诱导公式，可以画出余弦函数的图象，可以看出在长度为一个周期的闭区间上有五个点(即函数值最大和最小的点以及函数值为0的点)．这五个点在确定正弦函数、余弦函数图象的形状时起着关键的作用．因此，在精确度不太高时，我们常用“五点法”画正弦、余弦函数以及与它们类似的一些函数〔特别是函数y＝Asin(ωx＋φ)〕的简图．教师同时打出幻灯(如图1、图2、图3)：
图1
图2
图3
问题⑤，让学生由图象说性质，教师可引导学生从函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、最值、周期性、对称性等方面叙述．教师要强调，正弦、余弦、正切函数的图象以及它们的主要性质非常重要，要牢固掌握，但不要死记硬背．
讨论结果：①～⑤略．
例1已知角α终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为3∶4(且均不为零)，求2sinα＋cosα的值．
活动：本例属于较为简单的题目，目的是要学生熟悉任意角的三角函数定义，也要明确解题中的一种很重要的方法是回归定义．教师引导学生思考距离与坐标的不同、是否需要对点的坐标进行分类讨论，然后让学生独立完成此题．
解：由题意，需对角α终边的位置进行讨论：
①若角α终边过点P(4,3)，则2sinα＋cosα＝2×＋＝2；
②若角α终边过点P(－4,3)，则2sinα＋cosα＝2×＋＝；
③若角α终边过点P(－4，－3)，则2sinα＋cosα＝2×＋＝－2；
④若角α终边过点P(4，－3)，则2sinα＋cosα＝2×＋＝－.
点拨：任意角的三角函数定义不仅是本章的核心，也是整个三角函数的中心问题．要指导学生深刻理解三角函数定义的内涵，它只是一个比值，只与角的大小有关，而与点P在角的终边上的位置无关.
变式训练1．函数y＝cos(sinx)的值域是(　　)A．[cos(－1)，cos1]　　　　　　　　B．[－1,1]C．[cos1,1]
D．[1，cos1]答案：C2．已知sin(2π－α)＝，α∈(，2π)，则等于(　　)A.
B．－C．－7
D．7答案：A
例2已知sinα＋3cosα＝0，求：
(1)；(2)2sin2α－3sinαcosα＋2的值．
活动：教师引导学生观察本题的条件与结论，关键是求sinα与cosα的值，由sinα＋3cosα＝0及sin2α＋cos2α＝1联立方程组即得sinα与cosα的值．教师进一步点拨：根据同角三角函数的基本关系，不直接求sinα与cosα的值，需作怎样的变形即可？对看出本题由已知可得tanα＝－3的同学教师给予鼓励并作进一步探究，对看不出这一步的学生再给予进一步引导，直至其独立解出此题．
解：(1)＝＝＝－2－.
(2)2sin2α－3sinαcosα＋2＝4sin2α－3sinαcosα＋2cos2α＝cos2α(4tan2α－3tanα＋2)＝(4tan2α－3tanα＋2)＝(4×9＋3×3＋2)＝.
点拨：本题主要考查利用同角三角函数关系式求值．对于只含有正弦、余弦函数的齐次式，在求解时常常转化为只含有正切的式子，这种变形技巧十分重要，也称为“1”的代换，在今后的学习中经常用到，应要求学生仔细体会并熟悉掌握.
变式训练
1．已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝，求tanα的值．
解：由sinα＋cosα＝平方整理，得sinαcosα＝－<0.
∵α为三角形的内角，∴0<α<π，sinα>0，cosα<0.
∴sinα－cosα>0.
∵(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝，
∴sinα－cosα＝.
由
∴tanα＝－.
点拨：本题主要考查同角三角函数的基本关系式．对于三角求值题目，一定要注意角的范围，有时要根据所给三角函数值的大小，适当缩小所给角的范围，才能求出准确的值．教师要抓住时机就此进一步挖掘，以激起学生的探究兴趣．
2．已知sinθ＝，cosθ＝，<θ<π，则m的取值范围是…
(　　)
A．3≤m≤9　　　　　　　　　
B．m≤－5或m≥3
C．m＝0或m＝8
D．m＝8
答案：D
例3已知函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0)的图象在y轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为M(2,2)，与x轴正半轴的第一个交点为N(6,0)，求这个函数的解析式．
活动：本例是一道经典例题，主要考查三角函数模型的应用及训练学生的分析思维能力，对数形结合的思维要求也较高．教师可引导学生展开思考讨论，怎样根据题目中给出的条件找到思维的切入点．题目中虽然没有直接给出图象，实质是已知图象求解析式问题．指导学生画出草图，利用数形结合来深化题意的理解，事实上，学生很容易看出A的值．如果学生没找出周期问题，教师可进一步点拨：题目中告诉的x轴的横坐标2与6表示图象的哪段．根据题意，知道点M、N恰是函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0)在对应于包含0的周期的那段图象的五个关键点中的两个．由此可知A、T，但要注意指导φ的求法．
解：方法一：
根据题意，可知＝6－2＝4，所以T＝16.
于是ω＝＝.又A＝2，
将点M的坐标(2,2)代入y＝2sin(x＋φ)，
得2＝2sin(×2＋φ)，
即sin(＋φ)＝1.
所以满足＋φ＝的φ为最小正数解．所以φ＝.
从而所求的函数解析式是y＝2sin(x＋)，x∈R.
方法二：由题意可得A＝2，将两个点M(2,2)，N(6,0)的坐标分别代入y＝2sin(ωx＋φ)并化简，
得
故在长度为一个周期且包含原点的闭区间上，
有
从而所求的函数解析式是y＝2sin(x＋)，x∈R.
点拨：由三角函数图象求解析式确定φ时，答案可能不只一个，这里可提醒学生注意，习惯上一般取离x轴最近的一个，这样的解析式简洁．本例对学生有着很高的训练价值，特别是数形结合思想、转化与化归思想的运用．数形结合是数学中重要的思想方法，对各类函数的研究都离不开图象，在中学阶段，几乎所有函数的性质都是通过观察图象而得到的.
变式训练　已知函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R，A>0，ω>0，|φ|<，若该函数图象一个最高点坐标为(，3)，与其相邻的对称中心的坐标是(－，0)，求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式．解：由题意知A＝3，T＝－(－)＝，∵T＝π，ω＝＝2，y＝3sin(2x＋φ)．又由2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∵|φ|<，∴φ＝.∴y＝3sin(2x＋)，x∈R.
例4已知函数f(x)＝(sinx－cosx)．
(1)求它的定义域；(2)判断它的奇偶性；(3)判断它的周期性．
图4
活动：这是一组知识性很强的基础题，要求学生全面掌握有关三角函数的定义和性质．教师可先让学生自己动手操作，必要的时候给予点拨帮助．本题的关键是熟悉三角函数线或三角函数图象，利用数形结合直观性训练学生快速解题．如图4、图5.
图5
解：(1)x必须满足sinx－cosx>0，利用图4或图5，知2kπ＋∴函数定义域为(2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z.
(2)∵f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称，
∴f(x)不具备奇偶性．
(3)函数f(x)的最小正周期为T＝2π.
点评：利用单位圆中的三角函数线或正、余弦线可知：以第Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx－cosx的符号；以第Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx＋cosx的符号．要让学生在深刻理解的基础上记忆这点，因函数的定义域是函数的核心，故研究函数的性质都必须以函数的定义域为前提.
变式训练
1．如图6，⊙O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在⊙O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为(，－)，∠AOC＝α(α为锐角)．
图6
(1)求⊙O的半径，并用α的三角函数表示C点的坐标；
(2)若|BC|＝，求tanα的值．
解：(1)⊙O的半径r＝＝1，点C(cosα，sinα)．
(2)在△BOC中，由于|OB|＝|OC|＝1，|BC|＝，
∴∠COB是直角．
由三角函数的定义，
知cos(α－90°)＝sinα＝，且α为锐角，
故cosα＝，tanα＝.
2.已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象(　　)
A．关于点(，0)对称　　　　　
B．关于直线x＝对称
C．关于点(，0)对称
D．关于直线x＝对称
答案：A
教科书复习题1～18.
提出问题让学生回顾总结，通过本节复习，系统掌握三角函数有关知识，你对三角函数有什么新的认识？三角函数与以前所学函数有什么异同之处？在灵活应用本章知识进行三角函数式的化简、求值、证明方面你都有哪些提高？我们都解决了哪些实际问题？教师与学生一起归纳总结，共同完成本节小结．
已知函数f(x)＝sinπx图象的一部分如图7(1)，则图7(2)的函数图象所对应的函数解析式可以为(　　)
图7
A．y＝f(2x－)
B．y＝f(2x－1)
C．y＝f(x－1)
D．y＝f(x－)
答案：B
1．本章复习课只安排了1课时，课堂设计的容量较大，指导思想是充分利用多媒体，放手让学生根据教师提供的知识网络自己进行归纳总结，教师在知识的交汇处、在思维的提高上给予指导、点拨．建议教师课堂上不要把自己的思路、提前归纳的方法直接告诉学生．
2．加强学生的学法指导，因为“在不断变动的世界上，没有任何一门或一套课程可供在可见的未来使用，或可供你终身受用．现在需要的最重要的技能是如何学习”．因此数学课的学习过程，不仅是传授知识、技能的过程，更是教会学生如何学习数学的过程．也就是说，学习数学的过程实际上就是学生获取、整合、储存、运用数学知识和获得学习能力的过程．在本章复习课设计中，就体现了学生如何学习的问题．
3．复习不是简单的重复，不是练习堆积的习题课，而是成为学生再发现、再提高、再创造的氛围场所，是学生对所学知识居高临下的掌握和学生身心健康成长的愉悦体验．
一、备用习题
1．已知集合A＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，B＝{β|β＝60°＋k·720°，k∈Z}，C＝{γ|γ＝60°＋k·180°，k∈Z}，那么集合A，B，C之间的关系是(　　)
A．BAC
B．ABC
C．BCA
D．CBA
2．若α是第四象限角，则π－α是(　　)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
3．一扇形的半径与弧长之比是3∶π，则该扇形所含弓形的面积与该扇形的面积之比是
A．(2π－3)∶2π
B．(6π－3)∶6π
C．(4π－3)∶4π
D．(8π－3)∶8π
4．把函数y＝4cos(x＋)的图象向左平移m个单位，所得图象关于y轴对称，则m的最小值是(　　)
A.
B.
C.
D.
5．如果|x|≤，设函数f(x)＝cos2x＋sinx的最大值为M，最小值为m，则的值为…
(　　)
A．－
B．－3－2
C．3＋2
D．－
6．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的周期为1，最大值与最小值之差是3，且函数图象过点(，)，则函数表达式为(　　)
A．y＝3sin(2x＋)
B．y＝3sin(2x－)
C．y＝sin(2πx＋)
D．y＝sin(2πx－)
7．函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段的长为，则f()＝__________.
8．已知α、β∈(0，)，且α＋β>，求证：对于x∈(0，π)，有f(x)＝()x＋()x<2.
参考答案：
1．A　2.C　3.A　4.C　5.D　6.D　7.0
8．由α＋β>，知α>－β.
又由α、β∈(0，)，知－β∈(0，)．
∵y＝sinx在(0，)内为增函数，y＝cosx在(0，)内为减函数，
∴sinα>sin(－β)＝cosβ，cosα又∵x∈(0，π)，∴()x＜1，()x＜1.∴f(x)＝()x＋()x<2.
二、三角函数的拓展
1．关于三角函数的发展史
三角函数亦称圆函数，是正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等函数的总称．在平面直角坐标系xOy中，在与x轴正向夹角为α的动径上取点P，P的坐标是(x，y)，OP＝r，则正弦函数sinα＝，余弦函数cosα＝，正切函数tanα＝，余切函数cotα＝，正割函数secα＝，余割函数cscα＝.
这6种函数在1631年徐光启等人编译的《大测》中已齐备．正弦最早被看作圆内圆心角所对的弦长，公元前2世纪古希腊天文学家希帕霍斯就制造过这种正弦表，公元2世纪托勒密又制造了0°～90°每隔半度的正弦表．公元5世纪时印度最早引入正弦概念，还给出正弦函数表，记载于《苏利耶历数书》(约400年)中．该书中还出现了正矢函数，现在已很少使用它了．约510年印度数学家阿那波多考虑了余弦概念，传到欧洲后有多种名称，17世纪后才统一．正切和余切函数是由日影的测量而引起的，9世纪的阿拉伯计算家哈巴什首次编制了一个正切、余切表.10世纪的艾布·瓦法又单独编制了第一个正切表．哈巴什还首先提出正割和余割概念，艾布·瓦法正式使用．到1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中收入正弦、余弦、正切、余切、正割、余割6种函数，并附有正割表．他还首次用直角三角形的边长之比定义三角函数.1748年欧拉第一次以函数线与半径的比值定义三角函数，令圆半径为1，并创用许多三角函数符号．至此现代形式的三角函数开始通行，并不断发展至今．现在的许多教辅资料中，有关三角函数的运算都是6种函数的综合运算．
2．关于三角函数的定义法
三角函数定义是三角函数的核心内容．关于三角函数定义法，总的说来就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”，这两种方法本质上是一致的．正因为此，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用，采用哪一种定义方法是一个取舍问题，没有对错之分，并不存在商榷的问题．因此，“单位圆上的点毕竟是特殊点，用它定义三角函数有失一般性”的认识是不正确的．由上述三角函数发展史已经表明，任意角的三角函数是因研究圆周运动的需要而产生的，数学史上，三角函数曾经被称为“圆函数”，所以，采用“单位圆定义法”能更真实地反映三角函数的发展进程．在老师们熟悉的“终边定义法”中，给出定义后有如下说明：“根据相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值(如果有的话)都不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变等，对于确定的角α，上面三个比值都是惟一确定的．这就是说，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．”这恰恰说明了“以角α的终边与单位圆的交点坐标为‘比值’”是不失一般性的．另外，用“单位圆定义法”直截了当、简洁易懂，不需要这样的说明，就更显出其好处了．
3．关于《新课程》中的三角函数种类
《高中数学课程标准(实验)》只要求正弦、余弦和正切三个函数，其目的是削枝强干，是非常正确的．进一步地，三角函数中正弦、余弦函数是“基本三角函数”，其余都是通过这两个函数的运算(相除、取倒数等)而得到的，或者说是从这两个函数“派生”出来的，因此教师在教学中没有必要对其他的三角函数再作补充．1．1.2　弧度制
教学分析　　　　　
在物理学和日常生活中，一个量常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满足我们不同的需要．现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制，度量角的大小可以用度为单位，并且一度的角等于周角的，记作1°.
通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出角度和弧度的换算方法．在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性．这样可以尽量自然地引入弧度制，并让学生在探究过程中，更好地形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数奠定基础．
通过探究讨论，关键是弄清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的．通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性．通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式．使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度．
三维目标　　　　　
1．通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制．
2．通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是相互联系、辩证统一的．使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣．
重点难点　　　　　
教学重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算．
教学难点：弧度的概念及其与角度的关系．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？度量角的大小除了以度为单位度量外，还可采用哪种度量角的单位制？它们是怎样换算的？
思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷，或者利用普遍使用的钟表．实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的．无论采用哪一种方法，度量一个确定的量所得到的量数必须是惟一确定的．在初中，已学过利用角度来度量角的大小，现在来学习角的另一种度量方法——弧度制．要使学生真正了解弧度制，首先要弄清1弧度的含义，并能进行弧度与角度的换算．
在引入弧度制后，可以引导学生建立弧与圆心角的联系——弧的度数等于圆心角的度数．随着角的概念的推广，圆心角和弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角，相应地，弧也就有正弧、零弧、负弧；从“数”上讲，圆心角与弧的度数有正数、0、负数．圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”，就像三角函数值的正负可以用三角函数线(有向线段)的方向来表示一样．每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反之亦然．
推进新课　　　　　
弧度制
1．1°的角
周角的为1°的角．
2．1弧度的角
等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
3．弧度数
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.一扇形的半径为R，弧长为l，则l＝|α|R，S＝lR＝R2|α|.
4．角度制与弧度制的换算关系　π弧度＝180°，1°＝弧度，1弧度＝()°≈57°18′.
教师先让学生思考或讨论问题，并让学生回忆初中有关角度的知识，提出这是认识弧度制的关键，为更好地理解角度与弧度的关系奠定基础．讨论后教师提问学生，并对回答好的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键．教师板书弧度制的定义：规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作1
rad.如图1中，的长等于半径r，AB所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角，即＝1.
我们已学习过角的度量，规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制(degree
measure)．除了采用角度制外，在科学研究中还经常采用弧度制．
长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，记作1
rad(图1)．用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制(radian
measure)．
图1
用弧度表示角的大小时，只要不产生误解，可以省略单位．例如1
rad，2
rad，π
rad，可分别写成1,2，π.
正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数为0.
若圆半径为r，圆心角∠AOB(正角)所对的圆弧长为2r，那么∠AOB的弧度数就是＝2(图2)．
图2
教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系，提问学生归纳的情况，让学生找出区别和联系．教师给予补充和提示．引入弧度之后，应与角度进行对比，使学生明确：第一，弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；第二，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小，而1°的角是周角的；第三，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值．
若圆半径为r，圆心角∠AOB(正角)所对的圆弧长为2πr，则∠AOB的弧度数就是＝2π(图3)．故有360°＝2π
rad，
图3
1°＝
rad≈0.017
45
rad，1
rad＝()°≈57.30°.
如图4给出了一些角的弧度数与角度数之间的关系，需熟记．
图4
弧度制与角度制的换算公式：设一个角的弧度数为α
rad＝()°，n°＝n×(rad)．
可让学生填写下列的表格，找出某种规律．
的长
OB旋转的方向
∠AOB的弧度数
∠AOB的度数
πr
逆时针方向
2πr
逆时针方向
r
1
2r
－2
－π
0
180°
360°
由上表可知，如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的弧度数的绝对值是.这里，应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题，即角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们一定可以换算．推而广之，同一个数学对象用不同方式表示时，它们之间一定有内在联系，认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一．
教师给学生指出，角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系：每一个角都有惟一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有惟一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应值得注意的是：今后在表示与角α终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角α的单位来决定另一项的单位，即两项所用的单位制必须一致，绝对不能出现k·360°＋或者2kπ＋60°一类的写法．在弧度制中，与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2kπ(k∈Z)的形式．如图5为角的集合与实数集R之间的一一对应关系．
图5
与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2kπ(k∈Z)的形式．弧度制下关于扇形的公式为l＝αR，S＝αR2，S＝lR.
例1将下列弧度数化为角度数：
(1)；(2)3.5.
解：(1)
rad＝×＝108°；(2)3.5
rad＝3.5×≈200.54°.
例2将下列角度数化为弧度数：
(1)252°；(2)11°15′.
解：(1)252°＝252×
rad＝
rad；(2)11°15′＝11.25°＝11.25×
rad＝
rad.
点评：以上两例的目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别，以达到熟练掌握定义的目的．从实际教学上看，弧度制不难理解，学生结合角度制很容易记住.
变式训练1．下列各命题中，真命题是(　　)A．一弧度是一度的圆心角所对的弧B．一弧度是长度为半径的弧C．一弧度是一度的弧与一度的角之和D．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位答案：D2．下列四个命题中，不正确的一个是(　　)A．半圆所对的圆心角是π
radB．周角的大小是2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度答案：D
例3将下列用弧度制表示的角化为2kπ＋α〔k∈Z，α∈[0,2π)〕的形式，并指出它们所在的象限：(1)－；(2)；(3)－20；(4)－2.
活动：本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角，教师给予指导并讨论归纳出一般规律，即终边在x轴、y轴上的角的集合分别是{β|β＝kπ，k∈Z}、{β|β＝＋kπ，k∈Z}，第一、二、三、四象限角的集合分别为{β|2kπ<β<2kπ＋，k∈Z}、{β|2kπ＋<β<2kπ＋π，k∈Z}、{β|2kπ＋π<β<2kπ＋，k∈Z}、{β|2kπ＋<β<2kπ＋2π，k∈Z}．
解：(1)－＝－4π＋，是第一象限角．(2)＝10π＋，是第二象限角．
(3)－20＝－3×6.28－1.16，是第四象限角．(4)－2≈－3.464，是第二象限角．
点评：在这类题中对于含有π的弧度数表示的角，我们先将它化为2kπ＋α〔k∈Z，α∈[0,2π)〕的形式，再根据α角终边所在的位置进行判断，对于不含有π的弧度数表示的角，取π＝3.14，化为k×6.28＋α，k∈Z，|α|∈[0,6.28)的形式，通过α与，π，比较大小，估计出角所在的象限．
例4见课本本节例3.
变式训练　
已知一个扇形的周长为＋4，圆心角为80°，求这个扇形的面积．解：设扇形的半径为r，面积为S，由已知，得扇形的圆心角为80×＝，∴扇形的弧长为r，由已知，r＋2r＝＋4，∴r＝2.∴S＝×r2＝.故扇形的面积为.点评：求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．相反，也可由扇形的面积结合其他条件，求扇形的圆心角、半径、弧长．解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用.
课本本节练习1～6.
由学生总结弧度制的定义、角度与弧度的换算公式与方法．教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它们是互相联系的，辩证统一的；角度与弧度的换算，关键要理解并牢记180°＝π
rad这一关系式，由此可以很方便地进行角度与弧度的换算；三个注意的问题，同学们要切记；特殊角的弧度数，同学们要熟记．
重要的一点是，同学们自己找到了角的集合与实数集R的一一对应关系，对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解，要把这两个公式记下来，并在解决实际问题中灵活运用，表扬学生能总结出引入弧度制的好处，这种不断总结，不断归纳，梳理知识，编织知识的网络，特别是同学们善于联想、积极探索的学习品质，会使我们终生受用，这样持之以恒地坚持下去，你会发现数学王国的许多宝藏，以服务于社会，造福于人类．
①课本习题1.1
6、8、10.
②课后探究训练：课本习题1.1
12.
本节课的设计思想是：在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难点．因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究，不要让开始的探究成为一种摆设．如果学生一开始没有很好的理解，那么以后做题会更困难．通过探究让学生明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更宽的广度．
本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律；让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪．但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并为后续三角函数的学习奠定基础．
一、密位制度量角
度量角的单位制，除了角度制、弧度制外，军事上还常用密位制．密位制的单位是“密位”.1密位就是圆的所对的圆心角(或这条弧)的大小．因为360°＝6
000密位，所以
1°＝≈16.7密位，1密位＝＝0.06°＝3.6′≈216″.
密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线，例如7密位写成0—07，读作“零，零七”，478密位写成4—78，读作“四，七八”．
二、备用习题
1．一条弦的长度等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是(　　)
A.　　　　　　　B.　　　　　　　C．1　　　　　　　D．π
2．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增大到原来的2倍，则(　　)
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积增大到原来的2倍
D．扇形的圆心角增大到原来的2倍
3．下列表示的为终边相同的角的是(　　)
A．kπ＋与2kπ＋(k∈Z)
B.与kπ＋(k∈Z)
C．kπ－与kπ＋(k∈Z)
D．(2k＋1)π与3kπ(k∈Z)
4．已知0<θ<2π，7θ角的终边与θ角的终边重合，则θ＝__________.
5．已知扇形的周长为6
cm，面积为2
cm2，求扇形的中心角的弧度数．
6．若α∈(－，0)，β∈(0，)，求α＋β，α－β的范围，并指出它们各自所在的象限．
参考答案：1.A　2.B　3.C　4.，，π，，.
5．解：设扇形所在圆的半径为R，扇形的中心角为α，依题意有
αR＋2R＝6，且αR2＝2，∴R＝1，α＝4或R＝2，α＝1.∴α＝4或1.
6．解：－<α＋β<，∴α＋β在第一象限或第四象限，或α＋β的终边在x轴的非负半轴上．
－π<α－β<0，∴α－β在第三象限或第四象限，或α－β的终边在y轴的非正半轴上．
三、钟表的分针与时针的重合问题
弧度制、角度制以及有关弧度的概念，在日常生活中有着广泛的应用，我们平时所见到的时钟上的时针、分针的转动，其实质都反映了角的变化．时间的度量单位时、分、秒分别与角2π(rad)，(rad)，(rad)相对应，只是出于方便的原因，才用时、分、秒．时钟上的数学问题比较丰富，下面我们就时针与分针重合的问题加以研讨．
[例题]
在一般的时钟上，自零时开始到分针与时针再一次重合，分针所转过的角的弧度数是多少(在不考虑角度方向的情况下)
甲生：自零时(此时时针与分针重合，均指向12)开始到分针与时针再一次重合，设时针转过了x弧度，则分针转过了2π＋x弧度，而时针走1弧度相当于经过
h＝
min，分针走1弧度相当于经过
min，故有x＝(2π＋x)，得x＝，
∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是＋2π＝(rad)．
乙生：设再一次重合时，分针转过弧度数为α，则α＝12(α－2π)(因为再一次重合时，时针比分针少转了一周，且分针的旋转速度是时针的12倍)，得α＝，
∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是(rad)．
点评：两名同学得出的结果相同，其解答过程都是正确的，只不过解题的角度不同而已．甲同学是从时针与分针所走的时间相等方面列出方程求解，而乙同学则从时针与分针所转过的弧度数入手，当分针与时针再次重合时，分针所转过的弧度数α－2π与时针所转过的弧度数相等，利用弧度数之间的关系列出方程求解．2.2.3　向量的数乘
教学分析　　　　　
向量的数乘运算，其实是加法运算的推广及简化，与加法、减法统称为向量的三大线性运算．教学时从加法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系．实数与向量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，也有方向．特别是所得向量与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理．共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛，且容易出错．尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量．共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着紧密的联系．
三维目标　　　　　
1．通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义．掌握实数与向量的积的运算律．理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行．
2．通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神．通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用．
重点难点　　　　　
教学重点：1.实数与向量积的意义．
2．实数与向量积的运算律．
3．两个向量共线的等价条件及其运用．
教学难点：对向量共线的等价条件的理解运用．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.(直接引入)前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算，这一节，我们将在加法运算的基础上研究相同向量和的简便计算及推广．在代数运算中，a＋a＋a＝3a，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，所以相同向量的求和运算也有类似的简便计算．
思路2.(问题引入)一物体做匀速直线运动，一秒钟的位移对应的向量为a，那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课．
推进新课　　　　　
实数与向量积的定义及运算律．
活动：教师引导学生回顾相关知识并猜想结果，对于运算律的验证，点拨学生通过作图来进行．通过学生的动手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义．教师要引导学生特别注意0·a＝0，而不是0·a＝0.这个零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如λ＋a，λ－a都无法进行．向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．判断两个向量是否平行(共线)，实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量．一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段．
实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘(scalar
multiplication
of
vectors)．
事实上，通过作图1可发现，＝＋＋＝a＋a＋a.类似数的乘法，可把a＋a＋a记作3a，即＝3a.显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，
即|3a|＝3|a|.同样，由图可知，
＝＋＋＝(－a)＋(－a)＋(－a)，
图1
即(－a)＋(－a)＋(－a)＝3(－a)．显然3(－a)的方向与a的方向相反，3(－a)的长度是a的长度的3倍，这样，3(－a)＝－3a.
上述过程推广后即为实数与向量的积．
我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．
由(1)可知，λ＝0时，λa＝0.
根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律．
设λ、μ为实数，那么
特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
关于向量共线的条件，教师要点拨学生做进一步深层探究，让学生思考，若去掉a≠0这一条件，上述条件成立吗？其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识．在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：(1)有一个为零向量；(2)两个都为零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等．
教师与学生一起归纳总结：数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|λ||a|确定．
它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小．
向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形．
思路1
例1课本本节例2.
变式训练1．计算：(1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)．解：(1)原式＝(－3×4)a＝－12a；(2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；(3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.点评：运用向量运算的运算律，解决向量的数乘．其运算过程可以仿照多项式运算中的“合并同类项”．2．若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a、b是已知向量，求m、n.解：∵3m＋2n＝a，①m－3n＝b，②3×②，得3m－9n＝3b，③①－③，得11n＝a－3b，∴n＝a－b.④将④代入②，有m＝b＋3n＝a＋b.点评：此题可把已知条件看作向量m、n的方程，通过方程组的求解获得m、n.在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.
例2课本本节例1.
变式训练
如图2(1)，已知任意两个非零向量a、b，试作＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
活动：本题给出了利用向量共线判断三点共线的方法，这是判断三点共线常用的方法．教学中可以先引导学生作图，通过观察图形得到A、B、C三点共线的猜想，再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线．本题只需引导学生理清思路，具体过程可由学生自己完成．另外，本题是一个很好的与信息技术整合的题材，教学中可以通过计算机作图，进行动态演示，揭示向量a、b变化过程中，A、B、C三点始终在同一条直线上的规律．
(1)
(2)
图2
解：如图2(2)分别作向量、、，过点A、C作直线AC〔如图2(2)〕．观察发现，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线．
事实上，因为＝－＝a＋2b－(a＋b)＝b，
而＝－＝a＋3b－(a＋b)＝2b，于是＝2.
所以A、B、C三点共线．
点评：关于三点共线问题，学生接触较多，这里是用向量证明三点共线，方法是必须先证明两个向量共线，并且有公共点．教师引导学生解完后进行反思，体会向量证法的新颖独特．
例3课本本节例3.
变式训练
　如图3，ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，你能用a、b表示、、和吗？
图3
活动：本题的解答要用到平行四边形的性质．另外，用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤，教学中可以给学生明确指出这一点．
解：在ABCD中，
∵＝＋＝a＋b，＝－＝a－b，
又∵平行四边形的两条对角线互相平分，
∴＝－＝－(a＋b)＝－a－b，
＝＝(a－b)＝a－b，
＝＝a＋b，＝－＝－＝－a＋b.
点评：结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，将两个向量的和或差表示出来，这是解决这类几何题的关键.
思路2
例1凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F，求证：＝(＋)．
活动：教师引导学生探究，能否构造三角形，使EF作为三角形的中位线，借助于三角形中位线定理解决．或创造相同起点，以建立向量间的关系．鼓励学生多角度观察思考问题．
图4
证明：方法一：过点C在平面内作＝，则四边形ABGC是平行四边形，故F为AG的中点(如图4)．
∴EF是△ADG的中位线．
∴EFDG，∴＝.
而＝＋＝＋，
∴＝(＋)．
方法二：如图5，连EB、EC，则有＝＋，＝＋，
图5
又∵E是AD的中点，∴有＋＝0，即有＋＝＋.
以与为邻边作EBGC，则由F是BC的中点，可得F也是EG的中点．∴＝＝(＋)＝(＋)．
点评：向量的运算主要从以下几个方面加强练习：(1)加强数形结合思想的训练，画出草图帮助解决问题；(2)加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习．做到准确熟练运用．
例2课本本节例4.
变式训练1．若非零向量a、b满足|a＋b|＝|b|，则(　　)A．|2a|>|2a＋b|　　　　　　
　B．|2a|<|2a＋b|C．|2b|>|a＋2b|
D．|2b|<|a＋2b|答案：C2．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　)A.　　　　　B.　　　　　C．－　　　　　D．－答案：A
课本本节练习．
1．让学生回顾本节学习的数学知识，向量的数乘运算法则，向量的数乘运算律，向量共线的条件．体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般、归纳、猜想、类比、分类讨论、等价转化．
2．向量及其运算与数及其运算可以类比，这种类比是我们提高思想性的有效手段，在今后的学习中应予以充分的重视，它是我们学习中伟大的引路人．
课本习题2.2　8、9.
1．本教案的设计流程符合新课程理念，充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动，引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题．先由学生探究向量数乘的结果还是向量(特别地，0·a＝0)，它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小，当λ>0时，λa与a方向相同，当λ<0时，λa与a方向相反；向量共线定理用来判断两个向量是否共线，然后对所探究的结果进行运用拓展．
2．向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点，由此可看出在中学数学教材中的地位的重要，也成为近几年各地高考命题的重点和热点，教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理．
一、向量的数乘运算律的证明
设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有
(1)λ(μa)＝(λμ)a；①
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；②
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.③
证明：(1)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则①式显然成立．
如果λ≠0，μ≠0，且a≠0，则根据向量数乘的定义有：
|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，
|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|，
所以|λ(μa)|＝|(λμ)a|.
如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两边向量的方向都与a反向．
因此，向量λ(μa)与(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以这两个向量相等．
(2)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则②显然成立．
如果λ≠0，μ≠0且a≠0，可分如下两种情况：
当λ、μ同号时，则λa和μa同向，所以
|(λ＋μ)a|＝|λ＋μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，
|λa＋μa|＝|λa|＋|μa|＝|λ||a|＋|μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，
即有|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|.
由λ、μ同号，知②式两边向量的方向或都与a同向，或都与a反向，即②式两边向量的方向相同．
综上所述，②式成立．
如果λ、μ异号，当λ>μ时，②式两边向量的方向都与λa的方向相同；当λ<μ时，②式两边向量的方向都与μa的方向相同．
还可证|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|.因此②式也成立．
(3)当a＝0，b＝0中至少有一个成立，或λ＝0，λ＝1时，③式显然成立．
当a≠0，b≠0且λ≠0，λ≠1时，可分如下两种情况：
当λ>0且λ≠1时，如图6，在平面内任取一点O作＝a，＝b，＝λa，＝λb；则＝a＋b，＝λa＋λb.
图6
由作法知∥，有∠OAB＝∠OA1B1，||＝λ||，
所以＝＝λ.所以△AOB∽△A1OB1.
所以＝λ，∠AOB＝∠A1OB1.
因此O、B、B1在同一条直线上，||＝|λ|，与λ的方向也相同．
所以λ(a＋b)＝λa＋λb.
当λ<0时，由图7可类似证明λ(a＋b)＝λa＋λb.
图7
所以③式也成立．
二、备用习题
1.[(2a＋8b)－(4a－2b)]等于(　　)
A．2a－b　　　　　　B．2b－a　　　　　　C．b－a　　　　　　D．a－b
2．设两非零向量e1、e2不共线，且ke1＋e2与e1＋ke2共线，则k的值为(　　)
A．1
B．－1
C．±1
D．0
3．若向量方程2x－3(x－2a)＝0，则向量x等于(　　)
A.a
B．－6a
C．6a
D．－a
4．在△ABC中，＝，EF∥BC，EF交AC于F，设＝a，＝b，则用a、b表示的形式是＝________.
5．在△ABC中，M、N、P分别是AB、BC、CA边上的靠近A、B、C的三等分点，O是△ABC平面上的任意一点，若＋＋＝e1－e2，则＋＋＝________.
6．已知△ABC的重心为G，O为坐标原点，＝a，＝b，＝c，
求证：＝(a＋b＋c)．
参考答案：
1．B　2.C　3.C
4．－a＋b　5.e1－e2
6．证明：连结AG并延长，设AG交BC于M.
∵＝b－a，＝c－a，＝c－b，
∴＝＋＝(b－a)＋(c－b)＝(c＋b－2a)．
∴＝＝(c＋b－2a)．
∴＝＋＝a＋(c＋b－2a)＝(a＋b＋c)．3．3　几个三角恒等式
教学分析　　　　　
本节主要内容为利用已有的公式进行推导发现．本节的编写意图与特色是教师引导学生发现创造，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三角恒等变换所涉及的问题各种各样，内容十分丰富，我们希望能总结出一些有规律性的数学思想、方法和技巧，提高对三角变换的理性认识．
科学发现是从问题开始的，没有问题就不可能有深入细致的观察．为了让学生经历一个完整的探索发现过程，教科书从三角函数运算的角度提出了研究课题．这是从数学知识体系的内部发展需要提出问题的方法．用这种方法提出问题可以更好地揭示知识间的内在联系，体会推理论证和逻辑思维在数学发现活动中的作用．从运算的角度提出问题，还可以帮助学生认识到三角变换也是一种运算，丰富对运算的认识，从而把对三角变换的研究纳入整体的数学体系之中．类比对数运算，由两角和与差的正弦公式易推出积化和差公式．
在推导出了公式sinα＋sinβ＝2sincos以后，可以让学生推导其余的和差化积及积化和差公式．本节后面的练习中之所以用证明的形式给出这个问题，只是为了让学生有一个正确完整的结论．
和差化积、积化和差、万能代换以及半角公式都不要求记忆和运用，要注意不应该加大三角变换的难度，不要在三角变换中“深挖洞”．高考在该部分内容上的难度一降再降几乎不涉及了．
三维目标　　　　　
1．通过类比推导出积化和差与和差化积公式及万能公式．体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力．体会三角恒等变换在数学中的应用．
2．通过和差化积公式和积化和差公式的推导，让学生经历数学探索和发现过程，激发学生数学发现的欲望和信心．
重点难点　　　　　
教学重点：推导积化和差、和差化积公式．
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.(复习导入)在前面的几节课中我们学习了两角和与差的三角函数的计算公式，并运用这些公式解决了一些三角函数的化简、求值以及三角恒等式的证明问题，在我们运用三角函数知识解决一些问题的时候，我们也会遇到形如sinα＋sinβ，sinα－sinβ，cosα＋cosβ，cosα－cosβ的形式，那么，我们能否运用角α、β的有关三角函数值表示它们呢？这就是我们本节课所要研究的问题．
思路2.(类比导入)我们知道logam＋logan＝loga(mn)，那么sinα＋sinβ等于什么呢？
推进新课　　　　　
和差化积公式的推导、万能公式的应用．
在引入对数概念以后，我们还研究了它的运算，并得到了一些重要的结论，如logam＋logan＝loga(mn)．
同样，在定义了三角函数以后，我们也应该考虑它的运算，如
sinα＋sinβ＝？
观察和角公式
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，
容易得到
sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ.①
由此，有
sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．
①的左边已经是两个正弦的和，因此，只要进行简单的变形，就可以回答sinα＋sinβ＝？这个问题了．
令α＋β＝θ，α－β＝φ，代入①得
sinθ＋sinφ＝2sincos，
从而有sinα＋sinβ＝2sincos.②
为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含sinαcosβ呢？想到sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.从方程角度看这个等式，sinαcosβ，cosαsinβ分别看成两个未知数．二元方程要求得确定解，必须有两个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sinαcosβ的公式，列出sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ后，解相应地以sinαcosβ，cosαsinβ为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果．
得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与前者没有什么区别．只需做个变换，令α＋β＝θ，α－β＝φ，则α＝，β＝，代入①式即得②式．
证明：(1)因为sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ，
即sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．
(2)由(1)可得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ.①
设α＋β＝θ，α－β＝φ，那么α＝，β＝.
把α、β的值代入①，
即得sinθ＋sinφ＝2sincos.
类似的还能得到
sinα－sinβ＝2cossin，
cosα＋cosβ＝2coscos，
cosα－cosβ＝－2sinsin.
以上四个公式我们称其为和差化积公式．
教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想，可以总结出在本例的证明过程中，用到了换元的思想，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式变换成θ，φ的三角函数式．另外，把sinαcosβ看作x，cosαsinβ看作y，把等式看作x，y的方程，通过解方程求得x，这就是方程思想的体现．
利用前面所学的三角函数公式还能推出很多有用的恒等式，我们先来探究一个具体问题．
设tan＝t.
(1)求证：sinα＝，cosα＝，tanα＝；①
(2)当t＝2时，利用以上结果求3cos2－2sinα＋sin2的值．
(1)证明：由二倍角公式，得
sinα＝2sincos＝＝＝，
tanα＝＝.
再由同角三角函数间的关系，得
cosα＝＝＝.
(2)解：3cos2－2sinα＋sin2＝2cos2＋1－2sinα＝2＋cosα－2sinα
＝2＋－
＝＝－.
公式①称为万能代换公式，利用万能代换公式，可以用tan的有理式统一表示α角的任何三角函数值．图1中的直角三角形可以帮助你更好地理解万能代换公式．
图1
思路1
例1已知sinx－cosx＝，求sin3x－cos3x的值．
活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解．由于(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3＝a3－b3－3ab(a－b)，∴a3－b3＝(a－b)3＋3ab(a－b)．解完此题后，教师引导学生深挖本例的思想方法，由于sinxcosx与sinx±cosx之间的转化，提升学生的运算、化简能力及整体代换思想．本题也可直接应用上述公式求解，即sin3x－cos3x＝(sinx－cosx)3＋3sinxcosx(sinx－cosx)＝.此方法往往适用于sin3x±cos3x的化简问题．
解：由sinx－cosx＝，得(sinx－cosx)2＝，
即1－2sinxcosx＝，∴sinxcosx＝.
∴sin3x－cos3x＝(sinx－cosx)(sin2x＋sinxcosx＋cos2x)
＝(1＋)＝.
点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值，注意公式的灵活运用和化简的方法.
变式训练　已知sinθ＋cosθ＝，且≤θ≤，则cos2θ的值是__________．答案：－
例2已知＋＝1，求证：＋＝1.
活动：此题可从多个角度进行探究，由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致，只是将A、B的位置互换了，因此应从所给的条件等式入手，而条件等式中含有A、B角的正、余弦，可利用平方关系来减少函数的种类．从结构上看，已知条件是a2＋b2＝1的形式，可利用三角代换．
证法一：∵＋＝1，∴cos4Asin2B＋sin4Acos2B＝sin2Bcos2B.
∴cos4A(1－cos2B)＋sin4Acos2B＝(1－cos2B)cos2B，
即cos4A－cos2B(cos4A－sin4A)＝cos2B－cos4B.
∴cos4A－2cos2Acos2B＋cos4B＝0.
∴(cos2A－cos2B)2＝0.∴cos2A＝cos2B.∴sin2A＝sin2B.
∴＋＝cos2B＋sin2B＝1.
证法二：令＝cosα，＝sinα，
则cos2A＝cosBcosα，sin2A＝sinBsinα.
两式相加得1＝cosBcosα＋sinBsinα，即cos(B－α)＝1.
∴B－α＝2kπ(k∈Z)，即B＝2kπ＋α(k∈Z)．∴cosα＝cosB，sinα＝sinB.
∴cos2A＝cosBcosα＝cos2B，sin2A＝sinBsinα＝sin2B.
∴＋＝＋＝cos2B＋sin2B＝1.
点评：要善于从不同的角度来观察问题，本例从角与函数的种类两方面观察，利用平方关系进行了合理消元．
思路2
例题
证明＝tan(＋)．
活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边．教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导．注意式子左边包含的角为x，三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角，三角函数的种类为正切．
证法一：从右边入手，切化弦，得
tan(＋)＝＝＝，由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos＋sin，得
＝.
证法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得
＝＝.
由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos，得
＝＝tan(＋)．
点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.
变式训练　求证：＝.分析：运用比例的基本性质，可以发现原式等价于＝，此式右边就是tan2θ.证明：原等式等价于＝tan2θ.而上式左边＝＝＝＝tan2θ＝右边．∴上式成立，即原等式得证.
1．若sinα＝，α在第二象限，则tan的值为(　　)
A．5
B．－5
C.
D．－
2．设5π<θ<6π，cos＝a，则sin等于(　　)
A.
B.
C．－
D．－
3．已知sinθ＝－，3π<θ<，则tan＝__________.
答案：
1．A　2.D　3.－3
1．先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系．积化和差与和差化积公式及其推导，三角恒等式与条件等式的证明．
2．教师画龙点睛：本节学习的数学方法：公式的使用，换元法，方程思想，等价转化，三角恒等变形的基本手段．
课本复习题9、10.
1．本节主要学习了怎样推导半角公式，积化和差，和差化积公式，在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形．还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等．
2．在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查．特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用．
一、1.一道给值求角类问题错解点击．
解决给值求角这类问题时，要注意根据问题给出的三角函数值及角的范围，选择适当的三角函数，确定所求角的恰当范围，利用函数值在此范围内的单调性求出所求角．解答此类问题一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系，常见的错误为不根据已知条件确定角的范围而盲目求值，造成增解．
例题：若sinα＝，sinβ＝，α、β均为锐角，求α＋β的值．
错解：∵α为锐角，
∴cosα＝＝.
又β为锐角，
∴cosβ＝＝.
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝.
∵α，β均为锐角，
∴0°<α＋β<180°.
∴α＋β＝45°或135°.
点评：上述解法欠严密，仅由sin(α＋β)＝，0°<α＋β<180°而得到α＋β＝45°或135°是正确的．但题设中sinα＝<，sinβ＝<，使得0°<α＋β<60°，故上述结论是错误的．事实上，由0°<α＋β<180°，应选择求cos(α＋β)＝(∵余弦函数在此范围内是单调的)，易求得cos(α＋β)＝，则α＋β＝45°，因此，解决给值求角这类问题一般分三步：第一步是确定角所在的范围；第二步是求角的某一个三角函数值(要尽量使所选择的三角函数在所确定的范围内单调)；第三步是得到结论，求得所求角的值．
2．如何进行三角恒等变式的证明．
三角恒等式证明的基本方法：
师：如何利用同角三角函数的基本关系式对三角恒等式进行证明呢？
(1)可从一边开始，证得它等于另一边，一般是由繁到简．
(2)可用左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)可采用切割化弦，将其转化为所熟知的正、余弦．
(4)可用分析法，即假定结论成立，经推理论证，找到一个显然成立的式子(或已知条件)．
(5)可用拼凑法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异，简言之，即化异求同．
(6)可采用比较法，即“＝1”或“左边－右边＝0”．
证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，就是有目的地进行化简，因此，在证明时要注意将上述方法综合起来考虑，要灵活运用公式，消除差异，其思维模式可归纳为三点：
(1)发现差异：观察角、函数、运算结构的差异；
(2)寻求联系：运用相关公式，找出转化差异的联系；
(3)合理转化：选择恰当的公式，实现差异的转化．
二、备用习题
1．已知tanx＝－3，则sin2x＝________，cos2x＝________.
2．已知tanα＝2，则cos2α等于(　　)
A．－
B．±
C．－
D．±
3．下列各式化成和差的形式分别是：
(1)sin(＋2x)cos(－2x)；
(2)cossin.
4．设α、β≠kπ＋(k∈Z)，且cos2α＋sin2β＝0.求证：tan2α＝2tan2β＋1.
5．已知△ABC的三个内角A、B、C满足A＋C＝2B，且＋＝－，试求cos的值．
6．不查表求值：
tan6°tan42°tan66°tan78°.
参考答案：
1．－　－　2.C
3．(1)＋sin4x；(2)(sinα－sinβ).
4．证明：∵cos2α＋sin2β＝0,
∴＋＝0，即＋＝0.
化简得tan2α＝2tan2β＋1.
5．解：由题设条件，知B＝60°，A＋C＝120°，
设＝α，则A＝60°＋α，C＝60°－α.
代入＋＝－，
可得＋＝－2，
即＋＝－2，
可化为4cos2α＋cosα－3＝0，
解得cosα＝或－(舍去)．
∴cos＝.
6．解：原式＝
＝
＝
＝
＝＝1.1．3.3　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
教学分析　　　　　
本节通过图象变换，揭示参数φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响，讨论函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与正弦曲线的关系，以及A、ω、φ的物理意义，并通过图象的变化过程，进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图象变换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映．
如何经过变换由正弦函数y＝sinx来获取函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象呢？通过引导学生对函数y＝sinx到y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换规律的探索，让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象变换这一难点的突破，让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法；通过对参数φ、ω、A的分类讨论，让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系．
本节课建议充分利用多媒体，倡导学生自主探究，在教师的引导下，通过图象变换，通过“五点”作图法，正确找出函数y＝sinx到y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换规律，这也是本节课的重点所在．本节课的难点是对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象平移量的理解．因此，分析清不管哪种顺序变换，都是对一个字母x而言的变换成为突破本节课教学难点的关键．
三维目标　　　　　
1．通过学生自主探究，理解φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响，ω对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响，A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响．
2．通过探究图象变换，会用图象变换法画出y＝Asin(ωx＋φ)图象的简图，并会用“五点法”画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图．
3．通过学生对问题的自主探究，渗透数形结合思想．培养学生理解动与静的辩证关系，善于从运动的观点观察问题，培养学生解决问题抓主要矛盾的思想．
重点难点　　　　　
教学重点：用参数思想分层次、逐步讨论字母φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的简图的作法．
教学难点：由正弦曲线y＝sinx到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换过程．
课时安排　　　　　
2课时
第1课时
导入新课　　　　　
思路1.(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中，都要遇到形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数(其中A、ω、φ是常数)．例如，物体做简谐振动时位移y与时间x的关系，交流电中电流强度y与时间x的关系等，都可用这类函数来表示．这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出，因此，我们有必要画好这些函数的图象．揭示课题：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
思路2.(直接导入)从解析式来看，函数y＝sinx与函数y＝Asin(ωx＋φ)存在着怎样的关系？从图象上看，函数y＝sinx与函数y＝Asin(ωx＋φ)存在着怎样的关系？接下来，我们就分别探索φ、ω、A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响．
推进新课　　　　　
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与函数y＝sinx的图象关系
振幅变换：y＝Asinx(A>0，A≠1)的图象，可以看作是y＝sinx图象上所有点的纵坐标都伸长(A>1)或缩短(0周期变换：y＝sinωx(ω>0，ω≠1)的图象，可以看作是把y＝sinx的图象上各点的横坐标都缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的，由于y＝sinx的周期为2π，故y＝sinωx(ω>0)的周期为.
相位变换：y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y＝sinx的图象上各点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位而得到的．
由y＝sinx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象主要有下列两种方法．
分别在y＝sinx和y＝sin(x＋)的图象上恰当地选取一个纵坐标相同的点，同时移动这两点并观察其横坐标的变化，你能否从中发现，φ对图象有怎样的影响？对φ任取不同的值，作出y＝sin(x＋φ)的图象，看看与y＝sinx的图象是否有类似的关系？
利用上述研究问题的方法，讨论探究参数ω对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响，为了作图的方便，先不妨固定为φ＝，从而使y＝sin(ωx＋φ)在ω变化过程中的比较对象固定为y＝sin(x＋)．
类似地，参数A对y＝sin(2x＋)的图象有什么影响呢？为了研究方便，不妨令ω＝2，φ＝.此时，可以对A任取不同的值，利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系中的图象，观察它们与y＝sin(2x＋)的图象之间的关系．
活动：教师先引导学生阅读课本本节开头部分，并得出：设物体做简谐运动时，位移s和时间t的关系为s＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，其中A是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；往复振动一次所需的时间T＝，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f＝＝，称为振动的频率；ωt＋φ称为相位，t＝0时的相位φ称为初相．
教师引导学生思考研究问题的方法，同时引导学生观察y＝sin(x＋)图象上点的坐标和y＝sinx的图象上点的坐标的关系，获得φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响的具体认识．然后通过计算机作动态演示变换过程，引导学生观察变化过程中的不变量，得出它们的横坐标总是相差的结论．并让学生讨论探究．最后共同总结出：先分别讨论参数φ、ω、A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响，然后再整合．
由学生作出φ取不同值时，函数y＝sin(x＋φ)的图象，并探究它与y＝sinx的图象的关系，看看是否仍有上述结论．教师引导学生获得更多的关于φ对y＝sin(x＋φ)的图象影响的经验．为了研究的方便，不妨先取φ＝，利用计算机作出在同一直角坐标系内的图象，如图1，分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A，B，沿两条曲线同时移动这两点，并保持它们的纵坐标相等，观察它们横坐标的关系．可以发现，对于同一个y值，y＝sin(x＋)的图象上的点的横坐标总是等于y＝sinx的图象上对应点的横坐标减去.这样的过程可通过多媒体课件，使得图中A、B两点动起来(保持纵坐标相等)，在变化过程中观察A、B的坐标、xB－xA、|AB|的变化情况，这说明y＝sin(x＋)的图象，可以看作是把正弦曲线y＝sinx上所有的点向左平移个单位长度而得到，同时多媒体动画演示y＝sinx的图象向左平移，使之与y＝sin(x＋)的图象重合的过程，以加深学生对该图象变换的直观理解．再取φ＝－，用同样的方法可以得到y＝sinx的图象向右平移后与y＝sin(x－)的图象重合．
图1
如果再变换φ的值，类似的情况将不断出现，这时φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响的铺垫已经完成，学生关于φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓．
y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．
教师指导学生独立或小组合作进行探究ω对图象的影响，教师作适当指导．注意提醒学生按照从具体到一般的思路得出结论．具体过程是：(1)以y＝sin(x＋)为参照，把y＝sin(2x＋)的图象与y＝sin(x＋)的图象作比较，取点A、B观察．发现规律：如图2，对于同一个y值，y＝sin(2x＋)的图象上点的横坐标总是等于y＝sin(x＋)的图象上对应点的倍．教学中应当非常认真地对待这个过程，展示多媒体课件，体现伸缩变换过程，引导学生在自己独立思考的基础上给出规律．(2)取ω＝，让学生自己比较y＝sin(x＋)的图象与y＝sin(x＋)的图象．教学中可以让学生通过作图、观察和比较图象、讨论等活动，得出结论：把y＝sin(x＋)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)就得到y＝sin(x＋)的图象．
图2
当取ω为其他值时，观察相应的函数图象与y＝sin(x＋)的图象的关系，得出类似的结论．这时ω对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响的铺垫已经完成，学生关于ω对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓．教师指导学生将上述结论一般化，归纳y＝sin(ωx＋φ)的图象与y＝sin(x＋φ)的图象之间的关系，得出结论：
函数y＝sin(ωx＋φ)的图象可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到．
教师适时点拨学生，探索A对图象的影响的过程，与探索ω、φ对图象的影响过程完全一致，鼓励学生独立完成．学生观察y＝3sin(2x＋)的图象和y＝sin(2x＋)的图象之间的关系．如图3，分别在两条曲线上各取一个横坐标相同的点A、B，沿两条曲线同时移动这两点，并使它们的横坐标保持相同，观察它们纵坐标的关系．可以发现，对于同一个x值，函数y＝3sin(2x＋)的图象上的点的纵坐标等于函数y＝sin(2x＋)的图象上点的纵坐标的3倍．这说明，y＝3sin(2x＋)的图象，可以看作是把y＝sin(2x＋)的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)而得到的．通过实验可以看到，A取其他值时也有类似的情况．有了前面两个参数的探究，学生得出一般结论：
图3
函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0由此我们得到了参数φ、ω、A对函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的图象变化的影响情况．一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的图象，可以看作用下面的方法得到：先画出函数y＝sinx的图象，再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度，得到函数y＝sin(x＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，这时的曲线就是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
最后教师引导学生类比得出，也可先伸缩后平移，其顺序是：先伸缩横坐标(或纵坐标)，再伸缩纵坐标(或横坐标)，最后平移．但学生很容易在第三步出错，在图象变换时，对比变换可以引起学生注意，并体会一些细节．
由此我们完成了参数φ、ω、A对函数图象影响的探究．教师适时地引导学生回顾思考整个探究过程中体现的思想：由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想．
规律总结
先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移)的步骤程序如下：
y＝sinx的图象
得y＝Asinx的图象
得y＝Asin(ωx)的图象
得y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
先平移后伸缩的步骤程序如下：
y＝sinx的图象
得y＝sin(x＋φ)的图象
得y＝sin(ωx＋φ)的图象
得y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
思路1
例1见课本本节例1.
变式训练
　画出函数y＝2sin(x－)的简图．
活动：本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识．
(1)可引导学生从图象变换的角度来探究，这里的φ＝－，ω＝，A＝2，鼓励学生根据本节所学内容自己写出得到y＝2sin(x－)的图象的过程：只需把y＝sinx的曲线上所有点向右平行移动个单位长度，得到y＝sin(x－)的图象；再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到y＝sin(x－)的图象；再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y＝2sin(x－)的图象．如图4所示．
图4
(2)学生完成以上变换后，为了进一步掌握图象的变换规律，教师可引导学生做换个顺序的图象变换，要让学生自己独立完成仔细体会变化的实质．
(3)学生完成以上两种变换后，就得到了两种画函数y＝2sin(x－)简图的方法，教师再进一步地启发学生能否利用“五点法”作图画出函数y＝2sin(x－)的简图，并鼓励学生动手按“五点法”作图的要求完成这一画图过程．
解：方法一：画出函数y＝2sin(x－)简图的方法为
方法三：(利用“五点法”作图——作一个周期内的图象)
令X＝x－，则x＝3(X＋)．列表：
X
0
π
2π
x
2π
5π
y
0
2
0
－2
0
描点画图，如图5所示．
图5
点评：学生独立完成以上探究后，对整个的图象变换及“五点法”作图会有一个新的认识．但教师要强调学生注意方法二中第三步的变换，左右平移变换只对“单个”x而言，这是个难点，学生极易出错．对于“五点法”作图，要强调：这五个点应该是使函数取最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点．找出它们的方法是先作变量代换，设X＝ωx＋φ，再用方程思想由X取0，，π，，2π来确定对应的x值.
变式训练1．为了得到函数y＝sin(＋)，x∈R的图象，只需把函数y＝sinx，x∈R的图象上所有的点(　　)A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)答案：C2.将函数y＝f(x)的图象沿x轴向右平移，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y＝sinx的图象相同，则y＝f(x)是(　　)A．y＝sin(2x＋)　　　　　　　
B．y＝sin(2x－)C．y＝sin(2x＋)
D．y＝sin(2x－)点评：这是三角图象变换问题的又一类逆向型题，解题的思路是逆推法．解析：y＝sinx的图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的，得y＝sin2x；再沿x轴向左平移得y＝sin2(x＋)，即f(x)＝sin(2x＋)．答案：C
例2将函数y＝sinx的图象怎样变换可得到函数y＝2sin(2x＋)＋1的图象？
活动：可以用两种图象变换得到．但无论哪种变换都是针对字母x而言的．由y＝sin2x的图象向左平移个单位长度得到的函数图象的解析式是y＝sin2(x＋)而不是y＝sin(2x＋)，把y＝sin(x＋)的图象的横坐标缩小到原来的倍，得到的函数图象的解析式是y＝sin(2x＋)而不是y＝sin2(x＋)．
解：方法一：①把y＝sinx的图象沿x轴向左平移个单位长度，得y＝sin(x＋)的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的倍，得y＝sin(2x＋)的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得y＝2sin(2x＋)的图象；④最后把所得图象沿y轴向上平移1个单位长度得到y＝2sin(2x＋)＋1的图象．
方法二：①把y＝sinx的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得y＝2sinx的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的倍，得y＝2sin2x的图象；③将所得图象沿x轴向左平移个单位长度，得y＝2sin2(x＋)的图象；④最后把图象沿y轴向上平移1个单位长度得到y＝2sin(2x＋)＋1的图象．
点评：三角函数图象变换是个难点．本例很好地巩固了本节所学知识方法，关键是教师引导学生理清变换思路和各种变换对解析式的影响.
变式训练　要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝cos(x－)的图象(　　)A．向右平移个单位　　　　　　
B．向右平移个单位C．向左平移个单位　　　　　　　D．向左平移个单位答案：A
课本本节练习1、2、3、4.
1．由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法，以及对三角函数图象及三角函数解析式的新的认识，使本节的总结成为学生凝练提高的平台．
2．教师强调，本节课借助于计算机讨论并画出y＝Asin(ωx＋)的图象，分别观察参数φ、ω、A对函数图象变化的影响，同时通过具体函数的图象的变化，领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想．
1．用图象变换的方法在同一坐标系内由y＝sinx的图象画出函数y＝－sin(－2x)的图象．
2．要得到函数y＝cos(2x－)的图象，只需将函数y＝sin2x的图象通过怎样的变换得到？
3．指出曲线y＝cos2x＋1与余弦曲线y＝cosx的关系．
解答：1.y＝－sin(－2x)＝sin2x，作图过程：y＝sinx
y＝sin2x
y＝sin2x.
2．∵y＝cos(2x－)＝sin[＋(2x－)]＝sin(2x＋)＝sin2(x＋)，
∴将曲线y＝sin2x向左平移个单位长度即可．
3．∵y＝cos2x＋1，
∴将余弦曲线y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的倍，再将所得曲线上所有的点向上平移1个单位长度，即可得到曲线y＝cos2x＋1.
1．本节图象较多，学生活动量大，因此本节设计的主要指导思想是充分利用信息技术工具，从整体上探究参数φ、ω、A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象整体变化的影响．这符合新课标精神，符合教育课改新理念．现代教育要求学生在富有的学习动机下主动学习，合作探究，教师仅是学生主动学习的激发者和引导者．
2．对于函数y＝sinx的图象与函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象间的变换，由于“平移变换”与“伸缩变换”在“顺序”上的差别，直接会对图象平移量产生影响，这点也是学习三角函数图象变换的难点所在，设计意图旨在通过对比让学生领悟它们的异同．
3．学习过程是一个认知过程，学生内部的认知因素和学习情景的因素是影响学生认知结构的变量．如果学生本身缺乏学习动机和原有的认知结构，外部的变量就不能发挥它们的作用，但外部变量所提供的刺激也能使内部能力引起学习．
一、关于函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的奇偶性
1．若函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，反之也成立；若y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)，反之也成立．
2．若函数y＝Acos(ωx＋φ)是奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)，反之也成立；若y＝Acos(ωx＋φ)是偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)，反之也成立．
以下仅对命题“若函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，反之也成立”给出证明．
若y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数，则Asin(－ωx＋φ)＝－Asin(ωx＋φ)对x∈R成立，
即sin(ωx－φ)＝sin(ωx＋φ)对x∈R成立．令x＝0，
则sin(－φ)＝sinφ?sinφ＝0，φ＝kπ(k∈Z)．
反之，若φ＝kπ(k∈Z)，
则y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)＝Asin(ωx＋kπ)＝
∴f(－x)＝＝＝－f(x)．
∴当φ＝kπ(k∈Z)时，y＝f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数．
二、备用习题
1．下列变换中，正确的是(　　)
A．将y＝sin2x图象上的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)即可得到y＝sinx的图象
B．将y＝sin2x图象上的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)即可得到y＝sinx的图象
C．将y＝－sin2x图象上的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的相反数，即得到y＝sinx的图象
D．将y＝－3sin2x图象上的横坐标缩小一倍，纵坐标扩大到原来的倍，且变为相反数，即得到y＝sinx的图象
2．若将某函数的图象向右平移以后所得到的图象的函数式是y＝sin(x＋)，则原来的函数表达式为(　　)
A．y＝sin(x＋)
B．y＝sin(x＋)
C．y＝sin(x－)
D．y＝sin(x＋)－
3．函数y＝sin(2x－)的图象可由函数y＝sin2x的图象经过下列哪种变换得到……
(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
4．函数f(x)＝Msin(ωx＋φ)(其中M>0，ω>0)在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－M，f(b)＝M，则函数g(x)＝Mcos(ωx＋φ)在[a，b]上(　　)
A．是增函数
B．是减函数
C．可以取得最大值M
D．可以取得最小值－M
5．把函数y＝sin(x＋)的图象向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标缩短为原来的，则所得图象对应的函数的解析式为________________．
6．关于y＝4sin(2x＋)(x∈R)有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0，可得x1－x2必是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos(2x－)；
③y＝f(x)的图象关于点(－，0)对称；
④y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称．
其中正确的命题的序号为__________．
7．同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在[－，]上是增函数”的一个函数是(　　)
A．y＝sin(＋)
B．y＝cos(2x＋)
C．y＝sin(2x－)
D．y＝cos(2x－)
参考答案：1.A　2.A　3.B　4.C　5.f(x)＝sin(2x＋)　6.②③　7.B
第2课时
导入新课　　　　　
思路1.(直接导入)上一节课中，我们分别探索了参数φ、ω、A对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响及“五点法”作图．现在我们进一步熟悉掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，φ≠0)的图象变换及其物理背景．由此展开新课．
思路2.(复习导入)请同学们分别用图象变换及“五点作图法”画出函数y＝4sin(x－)的简图，学生动手画图，教师适时地点拨、纠正，并让学生回答有关的问题．在学生回顾与复习上节所学内容的基础上展开新课．
推进新课　　　　　
进一步熟悉并掌握三角函数的图象变换．
练习：(1)在上节课的学习中，用“五点作图法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，列表中最关键的步骤是什么？
(2)①把函数y＝sin2x的图象向__________平移__________个单位长度得到函数y＝sin(2x－)的图象；②把函数y＝sin3x的图象向__________平移__________个单位长度得到函数y＝sin(3x＋)的图象；③如何由函数y＝sinx的图象通过变换得到函数y＝sin(2x＋)的图象？
(3)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度，所得到的曲线是y＝sinx的图象，试求函数y＝f(x)的解析式．
对这个问题的求解现给出以下三种解法，请说出甲、乙、丙各自解法的正误(多媒体出示各自解法)．
甲生：所给问题即是将y＝sinx的图象先向右平移个单位长度，得到y＝sin(x－)的图象，再将所得的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到y＝sin(2x－)，
即y＝－cos2x的图象，∴f(x)＝－cos2x.
乙生：设f(x)＝Asin(ωx＋φ)，将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝Asin(x＋φ)的图象，再将所得的图象向左平移个单位长度，得到y＝Asin(x＋＋φ)＝sinx，∴A＝，＝1，＋φ＝0，
即A＝，ω＝2，φ＝－.∴f(x)＝sin(2x－)＝－cos2x.
丙生：设f(x)＝Asin(ωx＋φ)，将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝Asin(x＋φ)的图象，再将所得的图象向左平移个单位长度，得到y＝Asin[(x＋)＋φ]＝Asin(x＋＋φ)＝sinx，
∴A＝，＝1，＋φ＝0.
解得A＝，ω＝2，φ＝－，∴f(x)＝sin(2x－)＝－cos2x.
活动：通过以上回顾练习，复习巩固已学三种基本变换，同时为导入本节课重、难点创设情境．让学生回答并回忆A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象变化的影响．引导学生回顾“五点作图法”，既复习了旧知识，又为学生准确使用本节课的工具提供必要的保障．
让学生通过实例综合以上两种变换，再次回顾比较两种方法平移量的区别和导致这一现象的根本原因，以此培养训练学生变换的逆向思维能力，训练学生对变换实质的理解及使用诱导公式的综合能力．
练习③甲生的解法是考虑以上变换的“逆变换”，即将以上变换倒过来，由y＝sinx变换到y＝f(x)，解答正确．乙、丙两名同学都是采用代换法，即设y＝Asin(ωx＋φ)，然后按题设中的变换得到两次变换后图象的函数解析式，这种思路清晰，但值得注意的是：乙生的解答过程中存在实质性的错误，就是将y＝Asin(x＋φ)的图象向左平移个单位长度时，把y＝Asin(x＋φ)函数中的自变量x变成x＋，应该变换成y＝Asin[(x＋)＋φ]，而不是变换成y＝Asin(x＋＋φ)，虽然结果一样，但这是巧合，丙同学的解答是正确的．
三角函数图象的“逆变换”一定要注意其顺序，比如甲生解题的过程中如果交换了顺序就会出错，故在对这种方法不是很熟练的情况下，用丙同学的解法较合适(即待定系数法)．平移变换是对自变量x而言的，比如乙同学的变换就出现了这种错误．
以上练习的答案是：
(1)将ωx＋φ看作一个整体，令其分别为0，，π，，2π.
(2)①右　　②左　　③先将y＝sinx的图象左移个单位，再把所有点的横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变)．
(3)略．
思路1
例1图1是某简谐运动的图象．试根据图象回答下列问题：
(1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少？
(2)从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？
(3)写出这个简谐运动的函数表达式．
图1
活动：本例是根据简谐运动的图象求解析式．教师可引导学生再次回忆物理学中学过的相关知识，并提醒学生注意本课开始时探讨的知识，思考y＝Asin(ωx＋φ)中的参数φ、ω、A在图象上是怎样反映的，要解决这个问题，关键要抓住什么？让学生明确解题思路是由形到数地解决问题，学会数形结合地处理问题．完成解题后，教师引导学生进行反思学习过程，概括出研究函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的思想方法，找两名学生阐述思想方法，教师作点评、补充．
解：(1)从图象上可以看到，这个简谐运动的振幅为2
cm；周期为0.8
s；频率为.
(2)如果从O点算起，到曲线上的D点，表示完成了一次往复运动；如果从A点算起，则到曲线上的E点，表示完成了一次往复运动．
(3)设这个简谐运动的函数表达式为y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)，那么A＝2；由＝0.8，得ω＝；由图象知初相φ＝0.于是所求函数表达式是y＝2sinx，x∈[0，＋∞)．
点评：本例的实质是由函数图象求函数解析式，要抓住关键点．应用数学中重要的思想方法——数形结合的思想方法，应让学生熟练地掌握这种方法.
变式训练　函数y＝6sin(x－)的振幅是__________，周期是__________，频率是__________，初相是__________，图象最高点的坐标是__________．解：6　8π　　－　(8kπ＋，6)(k∈Z)
思路2
例1若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(其中A>0，ω>0)在其一个周期内的图象上有一个最高点(，3)和一个最低点(，－5)，求这个函数的解析式．
活动：让学生自主探究题目中给出的条件，本例中给出的实际上是一个图象，它的解析式为y＝Asin(ωx＋φ)＋B(其中A>0，ω>0)，这是学生未遇到过的．教师应引导学生思考它与y＝Asin(ωx＋φ)的图象的关系，它只是把y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的图象向上(B>0)或向下(B<0)平移|B|个单位．由图象可知，取最大值与最小值时相应的x的值之差的绝对值只是半个周期．这里φ的确定学生会感到困难，因为题目中毕竟没有直接给出图象，不能明显地看出来，应告诉学生一般都会在条件中注明|φ|<π，如不注明，就取离y轴最近的一个即可．
解：由已知条件，知ymax＝3，ymin＝－5，
则A＝(ymax－ymin)＝4，B＝(ymax＋ymin)＝－1，＝－＝.
∴T＝π，得ω＝2.故有y＝4sin(2x＋φ)－1.
由于点(，3)在函数的图象上，故有3＝4sin(2×＋φ)－1，
即sin(＋φ)＝1.一般要求|φ|<π，故取＋φ＝.∴φ＝.
故所求函数的解析式为y＝4sin(2x＋)－1.
点拨：这是数形结合的又一典型应用，应让学生明了，题中无图但脑中应有图或根据题意画出草图，结合图象可直接求得A、ω，进而求得初相φ.但要注意初相φ的确定．求初相也是这节课的一个难点.
变式训练
1.图2是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，|φ|＜π的图象的一部分，由图中条件，写出该函数解析式．
图2
解：由图象得：A＝5，＝－π，∴T＝3π，
∴＝T，ω＝.
方法一：单调性法．
∵点(π，0)在递减的那段曲线上，
∴＋φ∈[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)．
由sin(＋φ)＝0，得＋φ＝2kπ＋π，
∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．
∵|φ|＜π，∴φ＝.
方法二：最值点法．
将最高点坐标(，5)代入y＝5sin(x＋φ)，得5sin(＋φ)＝5，
∴＋φ＝2kπ＋.∴φ＝2kπ＋(k∈Z)，取φ＝.
方法三：起始点法．
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x正是由ωx＋φ＝0解得的，故只要找出起始点横坐标x0，就可以迅速求得初相φ.由图象求得x0＝－，∴φ＝－ωx0＝－×(－)＝.
故函数解析式为y＝5sin(x＋)．
点评：求初相角是高中数学学习中的一个难点，怎样求初相角？初相角有几个？让学生在探究一题多解中细细体会，在应用中逐渐掌握它．
2．函数y＝sin(2x－)在区间[－，π]上的简图是(　　)
　
图3
答案：A
课本本节练习5、6.
1．由学生自己回顾本节学习的数学知识：简谐运动的有关概念．本节学习的数学方法：简单到复杂、特殊到一般、具体到抽象的化归思想，数形结合思想，待定系数法，数学的应用价值．
2．三角函数图象变换问题的常规题型是：已知函数和变换方法，求变换后的函数或图象，这种题目的解题思路是：如果函数同名则按两种变换方法的步骤进行即可；如果函数不同名，则将异名函数化为同名函数，且需x的系数相同．左右平移时，如果x前面的系数不是1，需将x前面的系数提出．
把函数y＝cos(3x＋)的图象适当变动就可以得到y＝sin(－3x)的图象，这种变动可以是(　　)
A．向右平移
B．向左平移
C．向右平移
D．向左平移
解：∵y＝cos(3x＋)＝sin(－3x)＝sin[－3(x－)]，
∴由y＝sin[－3(x－)]向左平移个单位才能得到y＝sin(－3x)的图象．因此答案选D.
答案：D
点评：本题需逆推，教师在作业讲评时应加强学生注意逆向思维的训练．如本题中的－3x需写成－3(x－)，这样才能确保平移变换的正确性．
1．本节课符合新课改精神，突出体现了以学生能力的发展为主线，应用启发式、讲述式引导学生层层深入，培养学生自主探索及发现问题、分析问题和解决问题的能力．注重利用非智力因素促进学生的学习，实现数学知识价值、思维价值和人文价值的高度统一．
2．由于本节内容综合性强，所以本节教案设计的指导思想是：在教师的引导下，让学生积极、主动地提出问题，自主分析，再合作交流，达到殊途同归．在思维训练的过程中，感受数学知识的魅力，成为学习的主人．新课改要求教师在新的教学理念下，要勇于、更要善于把问题抛给学生，激发学生探求知识的强烈欲望和创新意识．教学的目的是以知识为平台，全面提升学生的综合能力．
备用习题
1．函数f(x)＝cos2x＋sin(＋x)是(　　)
A．非奇非偶函数
B．仅有最小值的奇函数
C．仅有最大值的偶函数
D．既有最大值，又有最小值的偶函数
2．定义在R上的偶函数f(x)满足f(π＋x)＝f(π－x)，且当x∈[0，π]时，其解析式为f(x)＝cosx，则f(x)>0的解集是(　　)
A．(2kπ－，2kπ＋)(k∈Z)
B．(2kπ－，2kπ＋)(k∈Z)
C．(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)
D．(2kπ，2kπ＋)(k∈Z)
3．将函数y＝5sin(－3x)的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象右移个单位，得到图象解析式是(　　)
A．y＝5sin(－x)
B．y＝sin(－x)
C．y＝5sin(－6x)
D．y＝5cosx
4．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f(＋x)＝f(－x)，则f()等于
…(　　)
A．3或0
B．－3或0
C．0
D．－3或3
5．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋n的最大值是4，最小值是0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，若A>0，ω>0,0<φ<，则函数解析式为________________．
参考答案：
1．D　2.B　3.D　4.D　5.y＝2sin(4x＋)＋2
附：
1．3.3　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
作者：苏康宁，江苏省宿迁中学教师，本教学设计获江苏省教学设计大赛一等奖．
第1课时
设计思想　　　　　
按照新课标理念，通过计算机辅助教学创设情境，实施信息技术与学科课程整合教学设计．引发学生学习兴趣，从而较好地完成教学任务．动画效果的展示形成对视觉的强刺激，把通常惯用的语言描述生动形象地刻画出来，促进学生对重点难点知识的理解掌握．
建构主义学习理论认为，知识不是通过教师传授获得的，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得的．本课教学设计重点是学习环境的设计，强调学生自主学习．关注学生的学习兴趣和经验，引导学生主动参与、乐于探究、培养学生处理信息的能力．
本节课的设计思想中体现着从特殊到一般，再从一般到特殊的认识事物的规律．通过对图象变换的认识，可以进一步分析函数性质的变化，树立数形结合的思想．
教学内容分析　　　　　
本课教学内容是能通过变换和五点法作出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，理解函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质及它与y＝sinx的图象的关系．本节内容是在三种基本变换的基础上进行的，进一步深入研究正弦函数的性质，y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换是函数图象变换的综合，充分体现利用数形结合研究函数解决问题的思想，对前面的基础知识有很好的小结作用，这种函数在物理学和工程学中应用比较广泛，高中物理课程内容与之紧密相关，因此它能为实际问题的解决提供良好的理论保证．同时，本课的教材也是培养学生逻辑思维能力、观察、分析、归纳等数学能力的重要素材．
教学重点：掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象和变换．
教学难点：学生能通过自主探究，掌握A，ω，φ对函数图象的影响．
教学目标分析　　　　　
(1)结合具体实例，理解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，会用“五点法”画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图．会用计算机画图，观察并研究参数A，ω，φ，进一步明确A，ω，φ对函数图象的影响．
(2)能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
(3)教学过程中体现由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想．
(1)为学生创设学数学的情境氛围，培养学生的数学应用意识和创新意识．
(2)在问题解决过程中，培养学生的自主学习能力．
(3)让学生经历列表、描点、连线成图的作图过程，体会数形结合、整体与局部的数学思想，培养学生的科学探索精神，归纳、发现的能力．
(1)通过函数图象及利用函数图象解决问题，培养学生发现数学中的美，并由欣赏到应用．
(2)提供适当的问题情境，激发学生学习热情，培养学生学习数学的兴趣．
课堂教学结构　　　　　
1．创设情境，2.提出问题，3.学生探究，4.构建知识，5.变式练习，6.归纳概括，7.能力训练，8.评估学习．
创设情境　　　　　
在现实生活中，我们常常会遇到形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数解析式(其中A，ω，φ都是常数)．利用课件展示物体简谐振动．
定义：A：称为振幅；T＝：称为周期；f＝：称为频率；ωx＋φ：称为相位．x＝0时的相位φ，称为初相．
提出问题　　　　　
讨论函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)x∈R的图象与y＝sinx的图象的关系及画法．
学生探究　　　　　
例1画出函数y＝2sinx(x∈R)；y＝sinx(x∈R)的图象(简图)．
解：用“五点法”．∵这两个函数都是周期函数，且周期为2π，
∴我们先画它们在[0,2π]上的简图．列表：
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
－1
0
2sinx
0
2
0
－2
0
sinx
0
0
－
0
图1
(1)y＝2sinx(x∈R)的值域是[－2,2]．
图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍而得(横坐标不变)．
(2)y＝sinx，x∈R的值域是[－，]．
图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标缩短到原来的倍而得(横坐标不变)．教师引导观察，启发点拨：用几何画板课件作图象比较．
学生归纳结论：振幅变换：y＝Asinx，x∈R(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0例2画出函数y＝sin2x(x∈R)；y＝sinx(x∈R)的图象(简图)．
解：函数y＝sin2x，x∈R的周期T＝π.
我们先画在[0，π]上的简图，在[0，π]上作图．
2x
0
π
2π
x
0
π
y＝sin2x
0
1
0
－1
0
图2
函数y＝sinx，x∈R的周期T＝4π.
我们画[0,4π]上的简图，列表：
0
π
2π
x
0
π
2π
3π
4π
sin
0
1
0
－1
0
(1)函数y＝sin2x，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到．
(2)函数y＝sinx，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到．
引导，观察启发：用几何画板课件作图象比较．
周期变换：函数y＝sinωx，x∈R(ω>0且ω≠1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍(纵坐标不变)．
3画出函数y＝sin(x＋)，x∈R；y＝sin(x－)，x∈R的简图．
解：列表、描点、画图：
x
－
x＋
0
π
2π
sin(x＋)
0
1
0
－1
0
x
x－
0
π
2π
sin(x－)
0
1
0
－1
0
图3
(1)函数y＝sin(x＋)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动个单位长度而得到．
(2)函数y＝sin(x－)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向右平行移动个单位长度而得到．
一般地，函数y＝sin(x＋φ)，x∈R(其中φ≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度而得到(用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)．y＝sin(x＋φ)与y＝sinx的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换．
例4画出函数y＝3sin(2x－)，x∈R的简图．
解：(五点法)列表、描点、画图．用几何画板课件作图象比较．
x
2x－
0
π
2π
3sin(2x－)
0
3
0
－3
0
图4
变式训练
　画出函数y＝3sin(2x＋)，x∈R的简图．
解：(五点法)列表、描点、画图：用几何画板课件作图象比较．
x
－
2x＋
0
π
2π
3sin(2x＋)
0
3
0
－3
0
图5
这种曲线也可由图象变换得到：
即y＝sinx→y＝sin(x＋)→y＝sin(2x＋)→y＝3sin(2x＋).
归纳概括　　　　　
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0)的图象，可以看作用下面的方法得到：
先把正弦曲线上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)．
评述：由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋φ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换．
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)．
先将y＝sinx的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋φ)的图象．
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换．
先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，再沿x轴向左(ω＞0)或向右(φ＜0)平移个单位，便得y＝sin(ωx＋φ)的图象．
能力训练　　　　　
1．若将某函数的图象向右平移个单位后所得到的图象的函数式是y＝sin(x＋)，则原来的函数表达式为(　　)
A．y＝sin(x＋)
B．y＝sin(x＋)
C．y＝sin(x－)
D．y＝sin(x＋)－
答案：A
2．把函数y＝cos(3x＋)的图象适当变动就可以得到y＝sin(－3x)的图象，这种变动可以是(　　)
A．向右平移个单位　　　　　　　　　　　　　B．向左平移个单位
C．向右平移个单位
D．向左平移个单位
分析：三角函数图象变换问题的常规题型是：已知函数和变换方法，求变换后的函数或图象．此题是已知变换前后的函数，求变换方式的逆向型题目，解题的思路是将异名函数化为同名函数，且需x的系数相同．
解析：∵y＝cos(3x＋)＝sin(－3x)＝sin[－3(x－)]，
∴由y＝sin[－3(x－)]向左平移个单位才能得到y＝sin(－3x)的图象．
答案：D
3．将函数y＝f(x)的图象沿x轴向右平移个单位，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y＝sinx的图象相同，则y＝f(x)是(　　)
A．y＝sin(2x＋)
B．y＝sin(2x－)
C．y＝sin(2x＋)
D．y＝sin(2x－)
分析：这是三角图象变换问题的又一类逆向型题，解题的思路是逆推法．
解析：y＝f(x)可由y＝sinx，纵坐标不变，横坐标压缩为原来的，得y＝sin2x；再沿x轴向左平移得y＝sin2(x＋)，即f(x)＝sin(2x＋)．
答案：C
评估学习　　　　　
小结(略)．第二章
平面向量
本章复习
知识网络　　　　　
教学分析　　　　　
向量的重要性可与函数相比，函数思想是整个中学数学的最重要的思想之一，它贯穿于整个中学的每一个学习阶段；而向量可作为一种重要的解题方法，渗透于高中数学的许多章节，它与函数、三角、复数、立体几何、解析几何等知识的联系是显而易见的．因此复习时，要特别重视向量概念、向量运算，并善于与物理中、生活中的模型进行模拟和联想，利用直观的教学手段和方法，帮助学生正确理解、掌握向量的有关概念、运算及几何意义．变抽象为形象，变被动接受为主动运用向量的知识分析问题、解决问题，从而提高本章复习的教学质量．
数与形的紧密结合是本章的显著特点，向量与几何之间存在着对应关系；向量又有加减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能沟通几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法——向量法．向量方法宜于把几何从思辩数学化成算法数学，将技巧性解题化成算法解题，因此是一种通法．在教学中引导学生搞清向量是怎样用有向线段表示的，掌握向量运算法则的基本依据，搞清向量运算和实数运算的联系和区别，认识向量平移是平面向量坐标运算的基础．
将一个实际问题转化为向量之间的关系问题，用向量建立一个数学模型是一个难点问题．在复习课教学中应注意多举例，引导学生思考并及时总结，逐步培养学生用向量工具解题的思维方向．
学习本章应注意类比，如向量的运算法则及运算律可与实数相应的运算法则及运算律进行横向类比．而一维情形下向量的共线条件，到二维情形下的平面向量基本定理，进而今后推广到三维情形下的空间向量基本定理，又可进行纵向类比．
向量是数形结合的载体，在本章学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，数形结合地解决数学和物理的有关问题．同时，向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段．
充分发挥多媒体的作用，向量是建立在平面上的，平移是向量的常见现象，而给学生直观、动态的演示能使学生理解、掌握问题．在复习完本章内容后，还要引导学生反思，重新概括研究思路，这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法，提升学生的数学思维水平．
三维目标　　　　　
1．通过展示本章知识网络结构，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，加深理解向量概念，平面向量的基本定理，两向量平行与垂直的条件，平面向量的坐标表示及其坐标运算，向量的数量积及其性质，向量的实际应用等知识．提高分析问题、解决问题的能力．
2．通过本节对向量有关内容的复习，使学生进一步认识事物之间的相互转化．培养学生的数学应用意识．深刻领悟数形结合思想，转化与化归思想．
3．通过一题多解的活动，培养学生的发散性思维能力，同时通过多种方法间的沟通，让学生体验数学的统一美、内在美，逐渐学会用美的心态来看待数学．
重点难点　　　　　
教学重点：向量的运算，向量平行、垂直的条件，平面向量的坐标表示及其运算、数量积的理解运用．
教学难点：向量的概念、运算法则的理解和利用向量解决物理问题和几何问题．对于本章内容的学习，要注意体会数形结合的数学思想方法的应用．
课时安排　　　　　
2课时
第1课时
导入新课　　　　　
思路1.(直接导入)前面一段，我们一起探究学习了向量的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力．这一节，我们一起对本章进行小结与复习，进一步巩固本章所学的知识，强化向量的综合应用．
思路2.(问题导入)由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份，与代数、几何都有着密切的关系，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点．在中学数学教材中的地位也越来越重要，也成为近几年全国及各省高考命题的重点和热点，根据你所学的本章知识解释一下，它是怎样具有代数、几何双重身份的？向量是怎样进行代数运算的？又是怎样进行几何运算的？你对向量的哪种运算掌握得最好？由此展开全章的复习．
推进新课　　　　　
向量的概念、运算及其综合应用．
活动：本章概念较多，学生可能不知如何进行复习，从头到尾重新翻看教材，学生兴趣不大，效果也不好．教师要点拨学生不仅要善于学习知识，而且还要善于归纳整理所学的知识．首先教师引导学生回忆从前所学，指导学生归类比较．比较是最好的学习方法，如向量的表示法有：几何表示法为，a(手写时为)，坐标表示法为a＝xi＋yj＝(x，y)．有哪些特殊的向量：a＝0
|a|＝0.向量a0为单位向量|a0|＝1.相等的向量：大小相等，方向相同．a＝b
(x1，y1)＝(x2，y2)
等等．
指导学生从代数运算和几何运算两方面展开思考归纳，引导学生把向量的运算类比数的运算．向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质较杂乱，教师可以利用多媒体课件或投影仪打出下表让学生填写相关内容：
运算类型
几何方法
坐标方法
运算性质
向量的加法
1.平行四边形法则(共起点构造平行四边形)2．三角(多边)形法则(向量首尾相连)
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
a＋b＝b＋a(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)＋＝
向量的减法
三角形法则(共起点指向被减)
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
a－b＝a＋(－b)＝－－＝
数乘向量
1.λa是一个向量，满足|λa|＝|λ||a|.2．λ>0时，λa与a同向；λ<0时，λa与a异向；λ＝0时，λa＝0
λa＝(λx，λy)
λ(μa)＝(λμ)a(λ＋μ)a＝λa＋μaλ(a＋b)＝λa＋λba∥b
a＝λb(b≠0)
向量的数量积
a·b是一个实数1．a＝0或b＝0或a⊥b时，a·b＝02．a≠0且b≠0时，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉
a·b＝x1x2＋y1y2
a·b＝b·a(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)(a＋b)·c＝a·c＋b·ca2＝|a2|，|a|＝|a·b|≤|a||b|
本章的重要定理及公式：
(1)平面向量基本定理：e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)两个向量平行的条件：a∥b(b≠0)
存在惟一的实数λ使得a＝λb；
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b
x1y2－x2y1＝0(b可以为0)．
(3)两个向量垂直的条件
当a、b≠0时，a⊥b
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0.
讨论结果：①～③略．
例1已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，
(1)ka＋b与a－3b垂直？
(2)ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
活动：向量的垂直、平行关系是向量间最基本、最重要的位置关系，是高考考查的重要内容之一．在解决本题时，教师首先引导学生思考回顾，如何用数量积及有关的定理解决有关长度，角度，垂直的问题；共线的向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础，那么怎样应用向量共线这个条件呢？让学生通过例题仔细体会，进一步熟练、提高．
解：(1)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
当(ka＋b)·(a－3b)＝0时，这两个向量垂直．
由(k－3)×10＋(2k＋2)×(－4)＝0，解得k＝19，
即当k＝19时，ka＋b与a－3b垂直．
(2)当ka＋b与a－3b平行时，存在惟一实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b)．
由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，得
这是一个以k、λ为未知数的二元一次方程组．
解这个方程组得k＝－，λ＝－，即当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－a＋b.
因为λ＝－<0，所以－a＋b与a－3b反向．
点评：向量共线的条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，在运用中各有特点，解题时可灵活选择．在本例中，也可以根据向量平行条件的坐标形式，从(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，先解出k＝－，然后再求λ.
变式训练1．已知向量a、b是两非零向量，在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是(　　)①2a－3b＝4e且a＋2b＝－3e②存在相异实数λ、μ，使λa＋μb＝0③xa＋yb＝0(其中实数x、y满足x＋y＝0)④已知梯形ABCD中，＝a、＝bA．①②　　　　　B．①③　　　　　C．②　　　　　D．③④解析：A、B均含有①，而C、D均含有④，所以可先判定①或④.若①能使a、b共线，则只有从A、B中进一步作出选择，若①不能使a、b共线，则应从C、D中进一步作出选择．首先判定①能否使a、b共线．由向量方程组可求得a＝－e，b＝－e.∴b＝10a.∴a、b共线，因此可排除C、D.而由②可得λ、μ是相异实数，所以λ、μ不同时为0，不妨设μ≠0，∴b＝－a，故a、b共线，∴排除B，选择A.答案：A2．设坐标平面上有三点A、B、C，i、j分别是坐标平面上x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量＝i－2j，＝i＋mj，那么是否存在实数m，使A、B、C三点共线？解：方法一：假设满足条件的m存在，由A、B、C三点共线，即∥，∴存在实数λ，使＝λ，i－2j＝λ(i＋mj)，∴m＝－2，即当m＝－2时，A、B、C三点共线．方法二：假设满足条件的m存在，根据题意可知：i＝(1,0)，j＝(0,1)，∴＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)．由A、B、C三点共线，即∥，故1×m－1×(－2)＝0，解得m＝－2.∴当m＝－2时，A、B、C三点共线.
例2如图1，已知在△ABC中，＝a，＝b，＝c.若a·b＝b·c＝c·a.求证：△ABC为正三角形．
图1
活动：引导学生回顾，向量具有二重性，一方面具有“形”的特点，因此有了几何运算；另一方面又具有一套优良的代数运算性质，因此又有了代数运算．对于这两种运算，前者难度大，灵活多变，对学生来说是个难点，后者学生感到熟悉，易于掌握，但应让学生明了，这两种方法都要掌握好，近几年高考题的解答都是以两种解法给出．本题给出的是三角形，对于某些几何命题的抽象的证明，自然可以转化为向量的几何运算问题来解决，请同学们在探究中要注意仔细体会，领悟其实质．教学中，教师要放手大胆地让学生自己去探究，鼓励学生从不同的角度去观察、去发现．真正做到一题多用，一题多变，串联知识、串联方法，使学生在探究过程中掌握了知识，提高了思维能力和复习效率．
证法一：由题意得a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)．
又∵b·c＝c·a，∴c·(a－b)＝0.
∴－a2＋b2＝0.∴|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|.
同理可得|c|＝|b|，∴|a|＝|b|＝|c|.
∴△ABC为正三角形．
证法二：由题意得a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，b＝－a－c.
∴a2＝b2＋c2＋2b·c，b2＝a2＋c2＋2a·c.
而b·c＝c·a(已知)，∴a2－b2＝b2－a2.
∴a2＝b2.∴|a|2＝|b|2.∴|a|＝|b|.
同理可得|c|＝|b|，∴|a|＝|b|＝|c|.
∴△ABC为正三角形．
证法三：如图2，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCD，则＝a，＝－，
图2
∴＝a－c.
又∵a·b＝b·c，∴b·(a－c)＝0.
∴b·＝0.∴b⊥.
∴平行四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC.同理可得BC＝AC，
∴△ABC为正三角形．
证法四：取的中点E，连结AE，则
＝(＋)＝(c－b)，
∴·a＝(c－b)·a＝0.∴⊥a.∴AB＝AC.
同理可得BC＝AC，∴△ABC为正三角形．
点评：本题给出了四种证法，教师要善于引导学生进行一题多解，这是一种很有效的办法．数学教学中，一题多解训练是培养学生思维灵活的一种良好手段．通过一题多解的训练能沟通知识之间的内在联系，提高学生应用所学的基础知识与基本技能解决实际问题的能力，逐步学会举一反三的本领，在教材安排的例题中，有相当一部分题目存在一题多解的情况．教师要引导学生善于挖掘.
变式训练1．若·＋2＝0，则△ABC是(　　)A．直角三角形
B．锐角三角形C．钝角三角形
D．等腰直角三角形答案：A2．在四边形ABCD中，·＝·＝·＝·，试证明四边形ABCD是矩形．证明：设＝a，＝b，＝c，＝d，∵a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)．两边平方，得|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2＋2c·d＋|d|2，又a·b＝c·d，∴|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2.①同理|a|2＋|d|2＝|b|2＋|c|2.②由①②得|a|2＝|c|2，|d|2＝|b|2，∴|a|＝|c|，|d|＝|b|，即AB＝CD，BC＝DA.∴四边形ABCD是平行四边形．于是＝－，即a＝－c.又a·b＝b·c，故a·b＝b·(－a)，∴a·b＝0.∴⊥.∴四边形ABCD为矩形．点评：要证明四边形ABCD是矩形，可以先证四边形ABCD为平行四边形，再证明其一组邻边互相垂直．为此我们可以从四边形边的长度和位置两方面的关系来进行思考.
例3已知a＝(，－1)，b＝(，)，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb且x⊥y.试求的最小值．
活动：本例是一道平面向量综合应用的经典例题，具有一定的综合性，但难度不大，可以先让学生自己探究，独立地去完成．对找不到思路的学生，教师要引导学生注意挖掘题目中的隐含条件，然后根据垂直的条件列出方程，得出k与t之间的关系，再利用二次函数的知识来求最值．根据垂直的条件和坐标运算列方程是解决本例的关键．
解：由已知，得|a|＝＝2，|b|＝＝1.
∵a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b.
∵x⊥y，∴x·y＝0，
即[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0.
化简，得k＝，∴＝(t2＋4t－3)＝(t＋2)2－，
即t＝－2时，有最小值－.
点评：本题主要训练学生综合运用所学向量知识解决问题的能力，训练学生利用转化的思想以及建立函数模型的建模能力.
变式训练
1.如图3，M是△ABC内一点，且满足条件＋2＋3＝0，延长CM交AB于N，令＝a，试用a表示.
图3
解：∵＝＋，＝＋，
∴由＋2＋3＝0，得
(＋)＋2(＋)＋3＝0.
∴＋3＋2＋3＝0.
又∵A、N、B三点共线，C、M、N三点共线，
由平行向量基本定理，设＝λ，＝μ，
∴λ＋3＋2＋3μ＝0.
∴(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0.
由于和不共线，∴∴
∴＝－＝.∴＝＋＝2＝2a.
2．将函数y＝2x2进行平移，使得到的图形与抛物线y＝－2x2＋4x＋2的两个交点关于原点对称，求平移后的函数解析式．
解法一：设平移向量a＝(h，k)，则将y＝2x2按a平移之后得到的图象的解析式为y＝2(x－h)2＋k.
设M(m，n)和M′(－m，－n)是y＝－2x2＋4x＋2与y＝2(x－h)2＋k的两个交点，则解得或
　∴点(1,4)和点(－1，－4)在函数y＝2(x－h)2＋k的图象上．
∴
故所求解析式为y＝2(x＋1)2－4，即y＝2x2＋4x－2.
解法二：将y＝2x2按向量a＝(h，k)平移，设P(x，y)为y＝2x2上任一点，按a平移之后的对应点为P′(x′，y′)，
则故
∴y－k＝2(x－h)2是平移之后的函数图象解析式．
由消去y，得4x2－4(h＋1)x＋2h2＋k－2＝0.
又∵两交点关于原点对称，
∴x1＋x2＝0，即＝0，h＝－1.
又y1＋y2＝0，∴2x－4hx1＋2h2＋k＋2x－4hx2＋2h2＋k＝0.
∴2(x＋x)＋4(x1＋x2)＝－4－2k.
∴2(x1＋x2)2＋4(x1＋x2)－4x1x2＝－4－2k.
∵x1x2＝，x1＋x2＝0，
∴－4×＝－4－2k.
∴k＝－4.∴y＝2(x＋1)2－4，即y＝2x2＋4x－2.
课本复习题1～6.
1．先由学生回顾本节都复习了哪些向量知识，用了哪些方法，在原来的基础上你有哪些提高．对本章的知识网络结构了然于胸了吗？
2．教师点拨，通过本节复习，要求大家在了解向量知识网络结构的基础上，进一步熟悉基本概念及运算律，并能熟练运用重要定理、公式解决一些综合问题，加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．
1．课本复习题7、8、9、10.
2．每人搜集一道向量应用的题目或向量创新题．
1．本节复习课的设计容量较大，要求应用多媒体课件．教师在引导学生探究的过程中，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点．让学生在了解向量知识网络结构的基础上，进一步熟悉基本概念及运算律，并能熟练重要定理、公式的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．
2．本设计教案中一题多解应用较多．因为在数学知识的学习中，作为扮演教学活动的组织者、引导者和合作者角色的教师，在组织学生学习各数学知识点的同时，如果能善于引导学生沟通各知识点之间的联系，不仅能达到激发学生的发散性思维和多角度的解题思路的目的，而且更重要的是通过注重多种方法间的联系与沟通，学生能深切感受到各种解题方法之间是有联系的，是相通的，而不是孤立的、割裂的，从而体会数学的统一美和简洁美，进一步增强对数学学习的兴趣，这样的美在一题多解中是随处可见的．
一、备用习题
1．下列四个等式中正确的是(　　)
A.＋＝0
B.＝－
C．a·b－b·a＝0
D．(＋)＋＋＋＝
2．若直线y＝2x按向量a平移得到直线y＝2x＋6，那么a(　　)
A．只能是(－3,0)
B．只能是(0,6)
C．只能是(－3,0)或(0,6)
D．有无数个
3．已知向量a＝(3,4)，b＝(－3,1)，a与b的夹角为θ，则tanθ等于(　　)
A.
B．－
C．－3
D．3
4．已知三个点M(－1,0)，N(5,6)，P(3,4)在一条直线上，P分的比为λ，则λ的值为(　　)
A.
B.
C．2
D．3
5．以A(2,7)，B(－4,2)，C(－1，－3)为顶点的三角形，其内角为钝角的是(　　)
A．∠A
B．∠B
C．∠C
D．不存在
6．平面上有三个点C(2,2)、M(1,3)、N(7，k)，若∠MCN＝90°，那么k的值为…(　　)
A．6
B．7
C．8
D．9
7．有下列五个命题：
①若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；
②若a≠0，且a·b＝b·c，则a＝c；
③若a2＝b2，则a＝b或a＝－b；
④(a·b)c＝a(b·c)；
⑤若|a·b|＝|a||b|，则a∥b.
其中正确命题的序号是________．(请把你认为正确的命题的序号全部填上)
8．已知P(1，cosx)，Q(cosx,1)，x∈[－，]．
(1)若用f(x)表示向量与的夹角θ的余弦，求f(x)；
(2)若t＝cosx，将f(x)表示成t的函数φ(t)，并求φ(t)的定义域．
参考答案：
1．D　2.D　3.C　4.C　5.B　6.B　7.⑤
8．解：(1)∵＝(1，cosx)，＝(cosx,1)，与的夹角为θ，
∴f(x)＝cosθ＝＝＝.
(2)∵t＝cosx，∴φ(t)＝f(x)＝.
∵x∈[－，]，观察余弦曲线y＝cosx在[－，]上的图象可知，t＝cosx∈[－，1]，
∴函数φ(t)的定义域为[－，1]．
二、关于一题多解
培养学生思维的灵活性是数学教学工作者的一个重要教学环节，它主要表现在使学生能根据事物的变化，运用已有的经验灵活地进行思维，及时地改变原定的方案，不局限于过时或不妥的假设之中．因为客观世界时时处处在发展变化，所以它要求学生用变化、发展的眼光去认识、解决问题．数学教学中，一题多解的训练，是培养学生思维灵活的一种良好手段，通过一题多解的训练能沟通知识之间的内在联系，提高学生应用所学的基础知识与基本技能解决实际问题的能力，逐步学会举一反三的本领，在本节安排的例题中，多数采用了一题多解模式．
通过一题多解的教学，不仅能使学生掌握新知识，还能起到复习巩固旧知识的作用，使学生对所学的方法有了更进一步的明确，同时能活跃课堂气氛，使学生对数学学习产生浓厚的兴趣，也培养了学生的一种钻研精神，使学生在思考问题上具有灵活性、多变性，避免了学生在公式、定理的应用中钻死胡同的现象．所以教师在教学过程中，要重视一题多解的教学，特别是在备课中要根据教学内容、学生情况适当地进行教材处理和钻研，要对知识进行横向和纵向联系，这样课堂效果才能做到丰富多彩．
一题多解也是灵活应用所学知识、培养发散思维的有效途径和方法．充分运用学过的知识，从不同的角度思考问题，采用多种方法解决问题，这有利于学生加深理解各部分知识间的纵、横方向的内在联系，掌握各部分知识之间的相互转化，所以教师在教学过程中要多挖掘一些行之有效的一题多解的例题和习题，使学生的思维应变能力能得到充分的锻炼和提高．使未来多出现具有高思维层次的国际型人才．
第2课时
导入新课　　　　　
思路1.(直接导入)请同学们回忆上一节复习的内容，教师点出，上一节我们一起复习了本章向量的基本概念、运算性质及重要定理、公式，这一节我们将通过例题分析，继续探讨向量的有关应用，重点是复习向量的一些独特方法和应用．
思路2.(投影导入)投影展示上节布置的、同学们搜集到的一道向量应用题或创新题，教师选出最有代表性的、最典型的题目引导学生进行探讨，由此展开新课．
推进新课　　　　　
向量的坐标运算及其综合应用．
通过幻灯出示题目让学生思考讨论：设向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
解：由题意得e1·e2＝|e1||e2|cos60°＝1，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7.
∵向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，
∴2t2＋15t＋7<0，即－7活动：引导学生回忆向量的数量积概念，点拨学生结合钝角考虑：向量的数量积是一个数．当两个向量的夹角是锐角时，它们的数量积大于0；当两个向量的夹角是钝角时，它们的数量积小于0；当两个向量的夹角是90°时，它们的数量积等于0.零向量与任何向量的数量积等于0.向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、判断相应的两条直线是否垂直．
教师引导学生探究讨论：对于两个非零向量a、b，若a与b的夹角θ为钝角，则a·b<0，反之，却不一定成立．因为当a·b＝|a||b|cosθ<0时，a与b的夹角也可能为π，因此，a与b的夹角为钝角a·b<0且a≠λb(λ<0)，所以，正确的解答应在上述t的范围中去掉夹角为π的情形，即设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ<0)，所以其中λ<0，解得t＝－.故所求实数t的取值范围为(－7，－)∪(－，－)．
比较是最好的老师，反例更能澄清概念的本质，使我们深刻理解概念的内涵和外延，教师应引导学生多做这方面的探讨．如由a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，尽管由ab＝0
a＝0或b＝0.又如|a·b|≤|a||b|，尽管|ab|＝|a||b|.再如(a·b)c≠a(b·c)，尽管(ab)c＝a(bc)．因此，学习向量的数量积应与代数中实数间的乘积严加区分，切勿混淆．
1已知向量a是以点A(3，－1)为起点，且与向量b＝(－3,4)垂直的单位向量，求a的终点坐标．
活动：关于向量的坐标与表示此有向线段的点的坐标，概念虽小学生却极易混淆．教师引导学生回忆思考：一个向量的坐标与表示此向量的有向线段的点的坐标是什么关系？对此题来说，若要利用两向量垂直的条件，则需设a的终点坐标，然后表示a的坐标，再根据两向量垂直的条件建立方程．
解：设a的终点坐标为(m，n)，则a＝(m－3，n＋1)，
由题意，
由①得n＝(3m－13)，代入②得25m2－150m＋209＝0.
解得或∴a的终点坐标是(，－)或(，－)．
点评：通过训练要使学生明了，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者不能混淆．向量的概念较多，且容易混淆，在复习中教师要引导学生理清主线，分清、理解各概念的本质属性.
变式训练
1．已知点A(－3，－4)、B(5，－12)，
(1)若＝＋，＝－，求及的坐标；
(2)求·.
解：(1)＝(2，－16)，＝(－8,8)．
(2)·＝33.
2.如图4所示，＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)．
图4
(1)若∥，求x与y间的关系式；
(2)若又有⊥，求x、y的值及四边形ABCD的面积.
解：(1)∵＝＋＋＝(x＋4，y－2)，＝－＝(－x－4，2－y)，
又∥且＝(x，y)，∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0.①
(2)由于＝＋＝(x＋6，y＋1)，
＝＋＝(x－2，y－3)，
又⊥，∴·＝0，即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.②
联立①②化简，得y2－2y－3＝0，∴y＝3或y＝－1.
故当y＝3时，x＝－6，此时＝(0,4)，＝(－8,0)，
∴S四边形ABCD＝||||＝16；
当y＝－1时，x＝2，此时＝(8,0)，＝(0，－4)，
∴S四边形ABCD＝||||＝16.
点评：引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体.
例2设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且a、b满足|ka＋b|＝|a－kb|(k为正实数)．
(1)求证：(a＋b)⊥(a－b)；
(2)把a与b的数量积表示为关于k的函数f(k)，求f(k)；
(3)求函数f(k)的最小值及取得最小值时a与b的夹角．
活动：本题是一道向量应用的经典例题，难度不大但综合性较强，体现平面向量与函数、三角函数的交汇，是近几年高考的热点问题．解决这类问题必须熟知平面向量的概念、运算性质、定理、公式等基础知识．教师可以充分让学生自己去探究解决．对有困难的学生教师引导其回忆相关的知识，并适时地点拨学生注意条件地转化及解答的规范．
(1)证明：|a|＝＝1，|b|＝＝1，
∵(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．
(2)解：由|ka＋b|＝|a－kb|，得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
化简，得a·b＝，故f(k)＝(k>0)．
(3)解：由y＝(y>0)，得k2－4yk＋1＝0.
∵k>0，方程有解，∴Δ＝16y2－4≥0，解得y≥，即k＝1时，f(k)取最小值为.
这时，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝，又0≤θ≤π，∴a与b的夹角为.
点评：解决本题，我们首先要根据题意画出图形，借助对图形的观察，实现实际问题向数学问题的转化．转化与化归思想是解决数学问题的一种重要的策略和方法．以向量为工具，通过转化，可以为函数中的许多问题提供新颖、简捷的解法，请同学们注意体会．
例3有两根柱子相距20
m，分别位于电车的两侧，在两柱之间连结一条水平的绳子，电车的送电线就悬挂在绳子的中点，如果送电线在这点垂直向下的作用力是17.8
N，则这条成水平的绳子的中点下降0.2
m，求此时绳子所受的张力．
活动：教师应引导学生回忆向量的应用举例的处理方法：向量起源于物理，是从物理学中抽象出来的数学概念．物理学中的许多问题，如位移、速度、加速度等都可以利用向量来解决．用数学知识解决物理问题，首先要把物理问题转化为数学问题，即根据题目的条件建立数学模型，再转化为数学中的向量运算来完成．本题仍可由学生自己去探究，点拨学生先画出受力分析图，认真分析题意，创建数学模型，对感到困难的学生教师给予指导，帮助其复习相关的知识，逐步提高分析问题及解决问题的能力．
解：如图5所示，设重力作用点为C，绳子AC、BC所承受的力分别记、，重力记为.
图5
由C为绳子的中点知||＝||.
由＋＝，知四边形CFGE为菱形．
又∵cos∠FCG＝cos∠DCB＝≈0.02，
∴||＝||＝≈＝445，
即绳子所受的张力为445
N.
点评：本题是向量知识在物理中的应用，培养了学生动手操作绘图能力、分析问题及解决问题的能力．对学生来说这是一个难点，突破这个难点的关键是教师引导学生把物理问题转化为数学问题．
课本复习题11、12、13.
1．先由学生回顾本节都复习了哪些主要内容，用到了哪些数学思想方法．向量在函数、三角函数中的重要作用，两向量的数量积的应用，向量平行与垂直条件在解题中的重要作用，向量的几何运算在解决平面几何问题和物理问题中的重要作用．
2．教师点睛，要注意解题方法的灵活性，尤其是向量的坐标化思路在解题时的应用，将几何与代数知识沟通起来，同时注意向量与其他学科的联系．
如图6，已知AC、BD是梯形ABCD的对角线，E、F分别为BD、AC的中点，求证：EF∥BC.
图6
证明：设＝a，＝b，
∵AD∥BC，∴＝λ＝λb，
则＝－＝b－a.
∵E为BD中点，＝＝(b－a)，F为AC中点，
＝＋＝＋
＝＋(－)
＝(＋)＝(－)
＝(λb－a)，
∴＝－＝(λb－a)－(b－a)＝(λ－)b.
∵b＝，
∴＝[(λ－)×].
∴∥，即EF∥BC.
点评：证明线段平行，也就是证明向量共线．证明向量a、b共线，即是想办法证明a＝λb(b≠0)，进而想办法找到λ.
1．本教案的设计思想是：以向量的两种运算思路为主线，以向量的代数、几何双重特点的应用为平台，将向量体现的思想方法贯穿其中，巩固加强本章向量知识．
2．平面向量是中学数学的重要内容，它与函数、三角函数等多个知识点相联，因此它与其他知识点的交汇也就成了近几年来高考命题的热点．尤其是向量体现的思想方法，几乎包括了中学的全部．如：数形结合思想，例3中函数与方程思想，解决物理问题的转化与化归思想，对向量共线与否中的分类讨论思想．因此我们应给予足够的重视，充分利用向量解题的优化特点，并注意掌握解平面向量题常用的数学思想方法，以提高学生综合应用能力，也适应高考对平面向量的考查要求．
一、备用习题
1．已知向量a＝(4,3)，b＝(－1,2)，若向量a＋kb与a－b垂直，则k的值为……(　　)
A.　　　　　　　B．7　　　　　　　C．－　　　　　　D．－
2．已知向量＝(1,2)，＝(0,1)，则下列各点中在直线AB上的是(　　)
A．(0,3)
B．(1,1)
C．(2,4)
D．(2,5)
3．向量a的模为10，它与x轴的夹角为150°，则它在x轴上的投影为(　　)
A．－5
B．5
C．－5
D．5
4．若|a|＝2，|b|＝5，|a＋b|＝4，则|a－b|为(　　)
A.
B．13
C.
D．42
5．已知a＝(2,1)，与a平行且长度为2的向量b是(　　)
A．(4,2)
B．(－4，－2)
C．(2,1)或(－2，－1)
D．(4,2)或(－4，－2)
6．已知向量i，j，i＝(1,0)，j＝(0,1)，与2i＋j垂直的向量是(　　)
A．2i－j
B．i－2j
C．2i＋j
D．i＋2j
7．已知O为原点，点A，B的坐标分别为(a,0)，(0，a)，a是正的常数，点P在线段AB上，且＝t(0≤t≤1)，则·的最大值是(　　)
A．a
B．2a
C．a2
D．3a
8．向量a＝(n,2)与b＝(4，n)共线，则n＝________.
9．已知a＝(2,1)，b＝(1,2)，要使|a＋tb|最小，那么实数t的值是________．
10．已知|a|＝1，|b|＝1，a与b的夹角为60°，x＝2a－b，y＝3b－a，求x与y的夹角．
参考答案：
1．A　2.D　3.A　4.C　5.D　6.B　7.C
8．±2　9.－
10．解：由已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角α为60°，得a·b＝|a||b|cosα＝.
要计算x与y的夹角θ，需求出|x|，|y|，x·y的值．
∵|x|2＝x2＝(2a－b)2＝4a2－4a·b＋b2＝4－4×＋1＝3，
|y|2＝y2＝(3b－a)2＝9b2－6b·a＋a2＝9－6×＋1＝7，
x·y＝(2a－b)·(3b－a)
＝6a·b－2a2－3b2＋a·b
＝7a·b－2a2－3b2
＝7×－2－3＝－，
又∵x·y＝|x||y|cosθ，即－＝×cosθ，
∴cosθ＝－，θ＝π－arccos，
即x与y的夹角是π－arccos.
二、关于斜抛运动的向量思考
物理课中我们研究过水平抛出物体的运动，不计空气阻力时，这样的物体运动可以分解为自由落体运动和水平方向的匀速直线运动．现实中还有向斜上方抛出物体的运动：投掷铅球时，铅球的飞行曲线是什么形状？大炮射击时，炮口的仰角多大时炮弹射得最远？让我们以向量为工具研究斜抛物体运动的规律．
下面的问题可能有助于对于斜抛物体运动的思考．
设炮弹被以初速度v0和仰角α射出，空气阻力忽略不计．
1．为研究问题方便，对初速度v0是否需要分解？如需分解，应如何分解(画出向量图)？这样分解的根据是什么？
2．对飞行中的炮弹进行分析，通过数学关系式描述它的飞行轨迹以及它在各点的速度．
3．炮弹的飞行距离与什么因素相关？能否写出关系式？
4．当初速度v0大小一定时，分析发射角α与炮弹飞行距离最大值x最大的关系．
上述问题中涉及速度等物理量，对于速度等的分析要用到向量的知识．根据向量基本定理，可以把一个非零向量分解为两个不共线向量．这种分解可以依据问题本身的需要进行，本问题中炮弹向斜上方射出，其所受重力垂直向下，射程指水平距离，这些都是确定向量分解方向的因素．
确定炮弹飞行曲线涉及各时刻炮弹的位置，建立坐标系有助于问题解决．
时间在问题中是一个数量，数乘向量的结果具有一定的实际物理意义．
根据对问题的物理意义的分析，可以得出数学关系式，它能清晰地反映相关物理量之间的数量关系；从数学角度对关系式进行再分析，又能得出物理问题的解答．这样的数学关系式可以作为物理问题的数学模型．第三章
三角恒等变换
本章复习
知识网络　　　　　
教学分析　　　　　
三角函数及其三角恒等变换不仅有着广泛的实际应用，而且是进一步学习中学后继内容和高等数学的基础，因而成为高考中对基础知识、基本技能和基本思想方法考查的重要内容之一．切实掌握三角函数的基本变换思想是复习掌握好本章的关键．三角函数的恒等变形，不仅在三角函数的化简、求值问题中应用，而且在研究第一章三角函数的图象与性质时、在后续内容解三角形中也应用广泛．解决三角函数的恒等变形问题，其关键在掌握基本变换思想，运用三角恒等变形的主要途径——变角，变函数，变结构，注意公式的灵活应用．
在本章的学习中，化归的数学思想和方法被多次运用，有了化归思想，就可以理解三角恒等式推导和变形的思路．
在本节课的教学中，可以先组织学生自己回顾在本章教学中所学到的知识，自己绘制本章内容的结构框架图，梳理本章的知识体系，构建学生的知识结构．
三角公式是三角变换的基本依据，在三角恒等变换的复习中，可以引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，引导学生推导积化和差、和差化积、半角公式及万能公式．通过对这些公式的探求，使学生学会预测变换的目标、选择变换的公式、设计变换的途径，帮助学生进一步提高推理能力和运算能力．
学完本章后，前一章平面向量更有了用武之地，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，三角函数又具有较强的渗透力，切实提高三角函数的综合能力是复习好本章的保证．因此，我们可以通过整合，将三角函数，平面向量结成一个知识板块来复习，并进行三角与向量相融合的综合训练，这样更有利于学生对平面向量、三角函数及三角恒等变换的深刻理解及运用．
三维目标　　　　　
1．通过复习全章知识方法，掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．并能正确地运用上述公式化简三角函数式、求某些角的三角函数值、证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题．
2．掌握简单的三角恒等变换的基本思想方法，并结合向量解决一些基本的综合问题．
3．通过三角恒等变换体会数学的逻辑性的特征，进一步理解数学的化归思想、方程思想和代换意识，认识事物之间是相互依存、互相联系的．学会用联系和发展的观点认识事物，培养学生学会思考问题的方法，培养他们勇于探索创新的精神，磨练学生的意志．
重点难点　　　　　
教学重点：和角公式、差角公式、倍角公式及其灵活应用．
教学难点：和角公式、差角公式、倍角公式在三角恒等变换中的综合运用．
课时安排　　　　　
2课时
第1课时
导入新课　　　　　
思路1.(直接导入)在第一章三角函数的基础上，我们又一起探究学习了第3章三角恒等变换的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力与运算能力．现在我们一起对本章进行小结与复习，进一步巩固本章所学的知识，请同学们画出本章的知识框图，由此进入复习．
思路2.(问题导入)本章学习了几个公式？推导这些公式的过程中你用到了哪些基本的数学思想方法？你是从哪几个基本方面认识三角函数式的特点的？它们之间存在着怎样的逻辑关系？三角式的变换与代数式的变换有什么相同点？有什么不同点？分析三角函数式的特点对提高三角恒等变换的能力有什么帮助？通过学生解决这些问题展开全章的复习．
推进新课　　　　　
让学生回忆本章的学习过程：利用向量推导了两角差的余弦公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式．并进一步探究了积化和差、和差化积、万能公式、半角公式等几个三角恒等式．经历并体验了数学的发现与创造过程，体会了向量与三角函数与三角恒等变换公式之间的密切联系．学习了三角变换的基本方法，提高了我们的运算能力及逻辑推理能力．
本章的公式关系见下表：
和差正、余弦公式
和差正切公式
二倍角公式
万能公式
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβcos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβsin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβsin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
tan(α＋β)＝tan(α－β)＝
sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
设tan＝tsinα＝cosα＝tanα＝
教师始终注意通过恰时恰点的问题的提出，引导学生用类比、联系、化归的观点来理解这些公式的逻辑关系，认识公式的特点，联想与代数运算的相同与不同之处；三角恒等变换是代数式恒等变换的推广和发展；进行三角恒等变换，除了要熟练运用代数恒等变换的各种方法，还要抓住三角本身的特点，领会和掌握最基本最常见的变换．教师要引导学生明确三角变换不仅是三角函数式的结构形式变换，而且还有角的变换，以及不同三角函数之间的变换，使学生领悟有关公式在变换中的作用和用法，学会用恰当的数学思想方法指导选择和设计变换思路．并让学生体会到通过三角恒等变换的探究训练，能大大提高他们的推理能力和运算能力．
教师与学生一起归纳总结常见的变换有：
(1)公式变换，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，
tanαtanβ＝1－，1＝tanαtanβ＋，
1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α等．
(2)角的变换，如α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；
－α＝－(＋α)；＋α＝－(－α)等．
还需熟练掌握一些常见的式子：
如：sinx±cosx＝sin(x±)，sinx±cosx＝2sin(x±)等．
对于化简，有两种常见的形式，(1)未指明答案的恒等变形，这时应把结果化为最简形式；(2)根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式，例如一角一函数的形式，以便研究它的各种性质．无论是何种形式的化简，都要切实注意角度变换、函数变换等各种变换．
对于证明，它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明．(1)无条件恒等式的证明，需认真分析等式两边三角函数式的特点，角度、函数、结构的差异，一般由繁的一边往简的一边证，逐步消除差异，最后达到统一．对于较难的题目，可以用分析法帮助思考，或分析法和综合法联用．(2)有附加条件的恒等式的证明，关键是恰当地利用附加条件，需认真分析条件式和结论式中三角函数之间的联系，从分析过程中发现条件应怎样利用，证明这类恒等式时，还常常用到消元法和基本量方法．
思路1
例1(1)化简tan2Atan(30°－A)＋tan2Atan(60°－A)＋tan(30°－A)tan(60°－A)；
(2)已知α为锐角，且tanα＝，求的值．
活动：本例是一个三角函数化简求值问题，属于给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值．关键是正确运用三角变换公式及常用思想方法，探索已知式与欲求式之间的差异和联系的途径和方法．教师可以大胆放手，让学生自己独立探究，必要时给予适时的点拨引导．但要让学生明白，从高考角度来看，关于三角函数求值问题是个重要题型、命题热点，一直备受高考的青睐．因为三角函数求值问题能综合考查考生三角变换、代数变形的基本运算能力和灵活运用公式、合理选用公式、准确选择解题方向的思维能力，且题目的答案可以简单明了．并让学生明了解决这些问题时应在认准目标的前提下，从结构式的特点去分析，以寻找到合理、简捷的解题方法，切忌不分青红皂白地盲目运用三角公式．比如在本例的(1)中，首先应想到将倍角化为单角这一基本的转化方法．
教师还应点拨学生思考，求三角函数式的值必须明确求值的目标．一般来说，题设中给出的是一个或某几个特定角，即便这些角都不是特殊角，其最终结果也应该是一个具体的实数；题设中给出的是某种或几种参变量关系，其结果既可能是一个具体的实数，也可能是含参变量的某种代数式．如本例的(2)中，目标是弦且是和差角，而条件是切且是单角．在学生探讨向目标转化的过程中，由于视角不同，思考方式不同，学生会有多种解法，教师应鼓励学生一题多解，对新颖解法给予表扬．
解：(1)∵tan(90°－2A)＝tan[(30°－A)＋(60°－A)]＝，
∴tan(30°－A)＋tan(60°－A)＝tan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)]．
∴原式＝tan2A[tan(30°－A)＋tan(60°－A)]＋tan(30°－A)tan(60°－A)
＝tan2Atan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)]＋tan(30°－A)tan(60°－A)
＝1－tan(30°－A)tan(60°－A)＋tan(30°－A)tan(60°－A)＝1.
(2)原式＝＝＝＝.∵tanα＝，又α∈(0，)，即2sinα＝cosα，又由sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝.∴＝.
点评：本两题主要回顾了和差、二倍角公式的使用，及三角函数化简求值题目的一般解法；由于公式本身就是等式，所以从方程观点出发进行变形也是一种行之有效的变形办法．由此产生逆变公式、整体变换公式等方法的灵活运用，本例的两种解法其实质是一样的．学生解决完后，教师应抓住这最佳时机，留出一定的时间让学生反思、领悟解决问题所用到的化归等数学思想方法．
例2已知α、β∈(0，)，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4tan＝1－tan2，求α＋β的值．
活动：本题属于给值求角，综合性强，有一定的难度，教师应在学生探究中适时给予恰当的点拨：把所求的角用含已知其值的角的式子表示，由所求的函数值结合该函数的单调区间求得角，但不要忽视对所求角的范围的讨论，即解决“给值求角”问题是由两个关键步骤构成：①把所求角用含已知角的式子表示；②由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，如本例，联想条件的形式，确定目标选用和角的正切．这点要提醒学生在解题过程中细细体会，领悟其要领，掌握其实质．
解：∵3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，
∵α、β∈(0，)，∴0<α＋β<.∴cos(α＋β)≠0，cosα≠0.∴tan(α＋β)＝2tanα.
由4tan＝1－tan2，得＝1，即得2tanα＝1.
代入tan(α＋β)＝2tanα，得tan(α＋β)＝1.又0<α＋β<，∴α＋β＝.
点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．
思路2
例题
已知θ∈(，π)，2cos2θ－sinθcosθ－sin2θ＝0，求tanθ和sin(2θ＋)的值．
活动：本题主要训练同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数恒等变形的基础知识和基本运算技能，是一道较为综合的题目．本题能较全面地考查到三角函数的重要公式，有多种解题的切入口，通过探究，学生可从中体会不同的数学思想方法，本题解题思路清晰，运算过程不繁杂，不必运用特殊的解题技巧．本题基本解法是常规的因式分解法，也可运用方程的思想，通过换元先解一个一元二次方程，还可以运用三角函数的定义来解题．可说是一道较为简单、考查全面的好题，教师可完全放给学生自己探究，必要时给以点拨．
解：∵2cos2θ－sinθcosθ－sin2θ＝0，
∴cosθ≠0.∴上式两边同除以cos2θ，得tan2θ＋tanθ－2＝0.
解得tanθ＝－2.〔∵θ∈(，π)，∴舍去tanθ＝1〕
∴sin(2θ＋)＝sin2θcos＋cos2θsin＝sinθcosθ＋(2cos2θ－1)
＝－＝－＝－.
点评：三角函数的解法多样，教师应鼓励学生一题多解，如本题中，可由方程组解得sinθ、cosθ的值，再代入得解，也是一种不错的思路.
变式训练
　已知函数f(x)＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x，x∈R，求：
(1)函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的取值集合；
(2)函数f(x)的单调增区间．
解：(1)方法一：∵f(x)＝＋sin2x＋
＝2＋sin2x＋cos2x＝2＋sin(2x＋)，
　∴当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值2＋.
因此，f(x)取得最大值时自变量x的取值集合是{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
方法二：∵f(x)＝(sin2x＋cos2x)＋sin2x＋2cos2x
＝1＋sin2x＋1＋cos2x＝2＋sin(2x＋)，
∴当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值2＋.
因此，f(x)取得最大值时自变量x的取值集合是{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
(2)f(x)＝2＋sin(2x＋)，
由题意，得2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
因此，f(x)的单调增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z).
课本复习题1～4.
课本复习题5、6、7.
1．先由学生总结归纳本节所复习的知识及数学思想方法，明确三角恒等变换所涉及的公式主要是和角公式、差角公式、倍角公式以及万能公式，这些公式主要用于三角函数式的计算、化简与推导，它们在数学和许多其他学科中都有广泛的应用，必须熟练掌握，并搞清这些公式的逻辑关系和推导公式过程中所涉及的数学思想方法．
2．教师强调，对一些公式不仅会用，还会逆用、变形用．三角函数是三角变换的对象，在进行三角恒等变换时，要认清三角函数式的角的特征、函数名称的特征和式子的结构特征，以便使用恰当的变形手段，巧妙地解决问题．
1．本节为全章复习课，教案设计的指导思想是：通过设计的教学程序，引导学生对全章，甚至对涉及前两章的相关内容进行全面的复习整合，在掌握数学知识的同时，深刻领悟数学思想方法，提高他们分析问题、解决问题的能力．
2．本章在新课程中的位置是承上启下，前有三角函数，后有解三角形，所以三角函数式的恒等变形是解决有关三角问题的重要环节，蕴含着丰富的数学思想方法，教师在指导学生复习时要引导学生深刻领悟这一点．
3．三角函数公式众多，教学时要充分体现新课标的“以学生发展为本”的新理念，让学生亲自探究体验，切忌被动学习、死记硬背、机械地训练．在指导学生运用三角公式进行三角变换时，注意点拨学生从三角函数名称和角的差异双角度去综合分析，再从差异的分析中决定三角公式的选取，不可生搬硬套．
一、三角函数式的化简、求值与证明
求值、化简、证明是三角变换的中心内容，在高考中出现的三角变换大题，多数都是求值、化简类型．其解法的依据是三角恒等变换公式及代数中恒等变换知识，如配方法、消元法、因式分解、比例性质、判别式法、待定系数法等．
化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于应用．常用方法是：化异名函数为同名函数，化异角为同角，化异次为同次，切化弦，特殊角与特殊值的三角函数互化．对于三角公式要记忆准确(在理解基础上)，并要注意公式成立的条件，在应用时，要认真分析，合理转化，避免盲目性．
求值可分为给角求值、给值求值、给值求角三部分．给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数；给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，一般可适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而使问题获解；给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数式的值，其次判断该角在对应区间的单调性．
三角恒等式的证明，包括条件恒等式和无条件恒等式两种．无条件等式的证明，常用综合法、分析法、转换命题法、同一法等，证明的形式有化繁为简，左右归一等，无论采用什么证明方式和方法，都要认真分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系，找出差异，寻找证明突破口；有条件的等式证明，常常先观察条件及欲证式中左、右两边三角函数式的区别与联系，灵活使用条件，变形得证，证明方法主要是基本量法和消去法．
在三角变换中，要自觉地运用化归的思想、方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、换元的思想去处理问题．
二、备用习题
1．函数y＝cos4x－sin4x的最小正周期是(　　)
A.
B．π
C．2π
D．4π
2．函数y＝的最大值是(　　)
A.－1
B.＋1
C．1－
D．－1－
3．若θ∈(，)，sin2θ＝，则cosθ－sinθ的值为(　　)
A.
B．－
C．－
D.
4．函数y＝2sinx(sinx＋cosx)的单调递减区间是(　　)
A．[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z
B．[2kπ＋，2kπ＋]，k∈Z
C．[kπ－，kπ＋]，k∈Z
D．[kπ＋，kπ＋]，k∈Z
5．求函数y＝的值域．
6．化简：f(x)＝cos2x＋cos2(60°＋x)＋cos2(120°＋x)．
参考答案：
1．B　2.B　3.C　4.D
5．解：y＝＝＝＝2sinx(1＋sinx)，sinx≠1，
∴y＝2sin2x＋2sinx＝2(sinx＋)2－.
令t＝sinx，则t∈[－1,1)，∴y＝2(t＋)2－.
∴当t∈[－1,1)时，y∈[－，4)．
6．解：f(x)＝＋＋
＝＋[cos2x－cos(60°－2x)＋cos(240°＋2x)]
＝＋[cos2x－cos2x－sin2x－cos2x＋sin2x]
＝.
(设计者：郑吉星)
第2课时
导入新课　　　　　
思路1.(直接导入)请同学们回忆上一节复习的内容，教师点出，上一节我们一起复习了本章的三角函数公式，以及它们之间的内在联系，这一节我们将通过例题分析，继续探讨三角函数应用问题，重点是复习与向量有关的一些综合问题．
思路2.(问题导入)教师开始就提出以下问题让学生探究，(1)不查表求sin220°＋cos280°＋cos20°cos80°的值．(2)已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值．学生专心解决问题的探究过程就已展开了新课．
推进新课　　　　　
教师打出幻灯，根据上节复习的知识方法，请解答以下一组考试题：
1．设α、β为钝角，且sinα＝，cosβ＝－，则α＋β的值为(　　)
A.
B.
C.
D.或
2．已知a＝(sinα－cosα，2
007)，b＝(sinα＋cosα，1)，且a∥b，则tan2α－等于(　　)
A．－2
007
B．－
C．2
007
D.
3．已知α∈(，π)，sinα＝，则tan(α＋)等于(　　)
A.
B．7
C．－
D．－7
4．若α、β∈(0，)，cos(α－)＝，sin(－β)＝－，则cos(α＋β)的值等于________．
5．已知tan(＋θ)＋tan(－θ)＝4，且－π<θ<－，
求sin2θ－2sinθcosθ－cos2θ的值．
活动：由学生自己独立完成，对找不到思路的学生教师可给予适时的点拨，上述1～4都是2007、2006年的高考或模拟题．从中可看出，三角函数的化简、求值及恒等式的证明是三角变换的基本问题，各市地在高考中都有所体现，在考查三角公式的掌握和运用的同时，还注重考查思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算推理能力．特别是三角求值，需充分利用公式变形，而公式变形过程中可以充分体现数学思想和观点，充分体现数学公式的转化和简化功能，使学生深刻理解数学公式的本质，所以，高考三角求值题倍受命题人的青睐，使得成为出题频率较多的题型，但其难度较小．如以上几例，让学生在探究中体会怎样选择有用的公式，或其变形式．
答案：1.C　注意选用α＋β的余弦．
2．C　需利用向量平行的条件对已知进行转化，然后把所求式子切化弦，通分后再利用倍角公式化单角来解决．
3．A　利用同角三角函数的基本关系式可求得余弦值，然后利用和角的正切公式解决．
4．－　先确定角的范围，－<α－<，－<－β<，可得α－＝，
－β＝－，∴＝(α－)－(－β)＝，α＋β＝，cos(α＋β)＝－.
5．解：由tan(＋θ)＋tan(－θ)＝4，
得＋＝
＝＝＝4，则cos2θ＝.
∵－π<θ<－，
∴cosθ＝－，sinθ＝－，sin2θ－2sinθcosθ－cos2θ＝－2××－＝－.
思路1
例1若cos(－x)＝－，活动：本例题是一道综合型的中档题目，具有很好的训练价值，其变形式子在多处的高考试题中都有所体现．教师引导学生探讨题目中的已知条件与所求式子的角的关系，寻找解决问题的突破口．如转化为已知一个角(－x)的三角函数值，求这个角的其余三角函数值的问题．这样可以将所求式子化简，使其出现(－x)这个角的三角函数．教师要鼓励学生多视角观察，以探求更多的解题思路，从中比较最优解法．
解：＝＝
＝sin2x·＝sin2xtan(－x)＝cos(－2x)tan(－x)
＝[2cos2(－x)－1]tan(－x)．
∵点评：在解答某些三角函数的求值问题时，要能够合理地利用公式，引导学生观察角之间的关系，公式应正确、熟练地记忆与应用，并注意总结公式的应用经验，对一些公式不仅会用，还会逆用，变形用，这里就是应用了正切和角公式的逆用，而且还是很重要的一步.
变式训练　已知cosα－sinα＝，(1)求m＝的值；(2)若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，且f(－1)＝320，试求f(m)的值．解：(1)由已知cosα－sinα＝，得cos(α＋)＝.又因为sin2α＝－cos(＋2α)＝1－2cos2(α＋)＝，所以m＝＝7.(2)由题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，因此，f(3＋x)＝f(3－x)，所以f(m)＝f(7)＝f(3＋4)＝f(3－4)＝f(－1)＝320.
例2已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，)，求sinα、tanα的值．
活动：本题是2002年高考试卷解答题的第一题，但常解常新．虽然综合性很强，但试题难度并不大，对学生的逻辑思维能力和运算能力有很好的训练价值．本题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数恒等变形的基础知识和基本运算技能．按照较易题的要求来考查三角函数的重点知识．教师大胆放手让学生探究，必要时适时的给予点拨，鼓励学生一题多解．解答本题常出现的失误有：(1)记错三角公式，如“cos2α＝2sin2α－1”等；(2)解题中未能及时消去相同的项以简化运算，如将原式化为关于sinα的四次方程，造成运算烦琐，或不能得到结果；(3)用一个算式去除等式两边时，未先确认这个算式不等于零，推理不严密；(4)恒等变形中，移项时符号出错或合并同类项时系数出错，导致解题结果错误．可以此来检查学生的掌握程度．
解：方法一：由倍角公式，sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝2cos2α－1，得
4sin2αcos2α＋2sinαcos2α－2cos2α＝0?2cos2α(2sin2α＋sinα－1)＝0?2cos2α(2sinα－1)(sinα＋1)＝0，∵α∈(0，)，∴sinα＋1≠0，cos2α≠0.
∴2sinα－1＝0，即sinα＝.∴α＝.∴tanα＝.
方法二：由题设得sin22α＋sin2αcosα－2cos2α＝0，即(sin2α＋2cosα)(sin2α－cosα)＝0.
∵α∈(0，)，∴sin2α＋2cosα≠0.∴sin2α－cosα＝0.
∵cosα≠0，∴2sinα－1＝0，即sinα＝.∴α＝.∴tanα＝.
方法三：由题设得sin22α＋sin2αcosα－2cos2α＝0，将其看成关于sin2α的一元二次方程，得sin2α＝＝，∴sin2α＝－2cosα或sin2α＝cosα.
∵α∈(0，)，∴sin2α≠－2cosα.∴sin2α＝cosα(以下同方法二)．
点评：本题是考查三角函数的综合题，能抓住“二倍角公式”和“同角三角函数关系式”这两个知识重点，把它们有机地组合在一起．解题过程运用“换元法”等基本数学方法，体现方程思想，在考查基础知识和基本技能的同时达到考查数学思想方法的目标.
变式训练　已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1，2sinα－1)，α∈(，π)，a·b＝，求的值．解：∵a·b＝cos2α＋sinα(2sinα－1)＝2cos2α－1＋2sin2α－sinα＝1－sinα＝，∴sinα＝.又∵α∈(，π)，∴cosα＝－.∴cos(α＋)＝－.∴＝＝－10.
例3已知函数f(x)＝2asin2x－2asinxcosx＋a＋b(a≠0)的定义域为[0，]，值域为[－5,1]，求常数a、b的值．
活动：本题是一道经典三角综合题，属于结合三角函数性质运用的综合性中档题目．教师引导学生思考，对于涉及三角函数值域等性质的问题，首先应考虑将函数化为一个角一种函数形式，本题通过降次，逆用二倍角公式后，形成了y＝asinx＋bcosx型的函数，再应用y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中tanφ＝，需引起学生的高度重视．首先通过三角恒等变形，将函数化成一个角一种函数形式，然后注意函数定义域对确定函数的值域的影响，可让学生独立探究，教师适时点拨．
解：f(x)＝a(1－cos2x)－asin2x＋a＋b＝－a(cos2x＋sin2x)＋2a＋b
＝－2asin(2x＋)＋2a＋b，
∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]．∴－≤sin(2x＋)≤1.
因此，由f(x)的值域为[－5,1]，可得
或∴或
点评：解题运用通性通法，不追求特殊解题技巧，是一道难度合适的试题．解完后教师及时引导学生进行反思，注意体会解决本题用到的数学思想方法.
变式训练　已知a，b是两个向量，且a＝(1，cosx)，b＝(cos2x，sinx)，x∈R，定义：y＝a·b.(1)求y关于x的函数解析式y＝f(x)及其单调递增区间；(2)若x∈[0，]，求函数y＝f(x)的最大值、最小值及其相应的x的值．解：a＝(1，cosx)，b＝(cos2x，sinx)，a·b＝cos2x＋cosxsinx＝cos(2x－)＋，∴y＝cos(2x－)＋.单调递增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(2)由x∈[0，]，得－≤2x－≤，∴－≤cos(2x－)≤1.∴f(x)min＝0，此时x＝，f(x)max＝，此时x＝.
思路2
例1已知tan(α＋)＝－，<α<π，
(1)求tanα的值；(2)求的值．
活动：本题作为济南市的一模统考题，位置在六道解答题的第一题，由此可看出三角函数化简求值题的难度属于容易题，整个三角题目的高考难度也如此．因此在平时指导学生训练时教师要控制好这个难度．根据正切和角公式，由本题条件易得正切值，再将所求式子化简求值即可．对于本题的探究解答，可完全留给学生自己完成，教师只需在关键地方对部分学生给予指导点拨．
解：(1)由tan(α＋)＝－，<α<π，得＝－，解之，得tanα＝－3.
(2)＝＝2cosα，
∵<α<π，且tanα＝－3，∴cosα＝－，即原式的值为－.
点评：解这类求值题一定要在化简上多下些功夫，至于究竟化简到什么程度，这要具体结合题目条件而定．学生解完后教师要引导学生进行反思，并要求学生书写规范，思路清晰，解答过程简洁流畅.
变式训练　已知α为第二象限角，且sinα＝，求的值．解：∵sin(2α＋)＝sin[＋(2π＋2α)]＝cos(2π＋2α)＝cos2α，∴原式＝＝＝＝＝.∵α为第二象限角，且sinα＝，∴cosα＝－＝－.∴原式＝－.
例2设向量a＝(1＋cosα，sinα)，b＝(1－cosβ，sinβ)，c＝(1,0)，α∈(0，π)，β∈(π，2π)，a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1－θ2＝，求sin的值．
活动：本题是一道经典试题，多次多处用作试题，题目基础性强且难度不大，题干结构优美，主要考查向量及运算、三角函数公式变换的有关知识，以及综合探究问题和解决问题的能力．教师先让学生探究思路，寻找解题方向，适时的点拨学生．思考过程要从角、三角函数种类、式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳．可由已知找到θ1、θ2与α、β关系，由θ1－θ2＝，求得，进而求得sin的值．
解：a＝2cos(cos，sin)，b＝(2sin2，2sincos)＝2sin(sin，cos)，
∵α∈(0，π)，β∈(π，2π)，∴∈(0，)，∈(，π)．故|a|＝2cos，|b|＝2sin，
cosθ1＝＝＝cos，∴θ1＝.
cosθ2＝＝＝sin＝cos(－)．
∵0＜－＜，∴θ2＝－.又θ1－θ2＝，
∴－＋＝.∴＝－.∴sin＝sin(－)＝－.
点评：本题的关键是找到角的关系，教师不要直接给出解答，让学生自己探究发现，因为学生学习数学应当是以积极的心态调动原有的认知和经验，尝试解决新问题、理解新知识的有意义的过程．解完后让学生反思：计算两条向量的夹角问题与三角函数有关，故向量可与三角函数的运算自然结合，使试题简洁优美.
变式训练　设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(m，cosx)，b＝(1＋sinx,1)，x∈R，且f()＝2.(1)求实数m的值；(2)求函数f(x)的最小值．解：(1)f(x)＝a·b＝m(1＋sinx)＋cosx，f()＝m(1＋sin)＋cos＝2，得m＝1.(2)由(1)得f(x)＝sinx＋cosx＋1＝sin(x＋)＋1，∴当sin(x＋)＝－1时，f(x)的最小值为1－.
课本复习题11、12.
1．由学生回顾总结，通过本节课的复习对三角函数知识方法的整合达到高考要求了吗？对三角函数、平面向量、三角恒等变换有哪些新的认识？
2．教师画龙点睛，点出处理三角函数及恒等变换问题，重在正确、熟练地运用三角公式，并注意总结公式的应用经验，对一些公式不仅正用，还要逆用、变形用；在运用相关公式时，注意观察角之间的关系，认清三角函数式的角的特征、函数名称的特征和式子结构特征．更重要的是学会具体问题具体分析的科学方法．
课本复习题13、14.
1．本教案的设计流程符合新课标精神，设计的理念是想让学生充分体验学习探究的全过程，并且引导学生主动参与、积极探究学习的全过程，让学生在探究中感知数学，锻炼思维，在思考中培养、发展创新思维和实践能力．这是比学习数学知识更重要的．
2．作为本模块的最后课时，本教案设计的题目都带有一定的综合性，但难度都不大，没有超出高考考试大纲的要求，目的是想让学生“温故知新”，而且综合前两章的内容进行三角函数的综合探究更有利于学生智能发展，也是高考的命题要求所在．
3．通过探究设置的问题，启迪学生的想象力，引发学生学习的兴趣，激励学生探索欲望，使之养成勇于攀登、不怕困难的良好习惯和求实的科学态度，是我们数学教师努力的方向．2.1　向量的概念及表示
教学分析　　　　　
1．本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大．学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形、实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念．由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用，可通过几个具体的例子说明它的应用．位移是物理中的基本量之一，也是几何研究的重要对象．几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．位移简明地表示了点的位置之间的相对关系，它是向量的重要的物理模型．力是常见的物理量．重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量．物理中还有其他力，让学生举出物理学中力的其他一些实例，目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系，以此更加自然地引入向量概念，并建立学习向量的认知基础．
2．在类比数量的抽象过程引出向量的概念后，为了使学生更好地理解向量概念，可采用与数量概念比较的方法，引导学生认识年龄、身高、长度、面积、体积、质量等量是“只有大小，没有方向的量”，同时给出“时间、路程、功是向量吗？速度、加速度是向量吗？”的思考题．通过这样的比较，可以使学生在区分相似概念的过程中更深刻地把握向量概念．实数与数轴上的点是一一对应的，数量常常用数轴上的一个点表示．教科书通过类比实数在数轴上的表示，给出了向量的几何表示——用有向线段表示向量．用有向线段表示向量，赋予了向量一定的几何意义．有向线段使向量的“方向”得到了表示，那么，向量的大小又该如何表示呢？一个自然的想法是用有向线段的长度来表示，从而引出向量的模、零向量及单位向量等概念，为学习向量作了很好的铺垫．
3．数学中，引进一个新的量后，首先要考虑的是如何规定它的“相等”，这是讨论这个量的基础．如何规定“相等向量”呢？由于向量涉及大小和方向，因此把“长度相等且方向相同的向量”规定为相等向量是非常自然的．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的方向和大小，就可以任意平行移动．因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，这为用向量处理几何问题带来方便，并使平面上的向量与向量的坐标得以一一对应．教学时可结合例题、习题说明这种思想．
4．共线向量和平行向量是研究向量的基础，由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上，这给问题的研究带来方便．教学中，要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上，只要两个向量平行就是共线向量．当然，在同一直线上的向量也是平行向量．要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆，教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念．
三维目标　　　　　
1．通过实例，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念和确定平面向量的两个要素，搞清数量与向量的区别．
2．理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念，并能判断向量之间的关系，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量．
3．在教学过程中，应充分根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系，揭示向量可以平移这一特性．
4．通过本节学习，培养学生从数学的角度思考生活中实际问题的习惯．加强数学的应用意识，切实做到学以致用．用联系、发展的观点观察世界．
重点难点　　　　　
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量．
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．
教具准备　　　　　
实物投影仪，多媒体课件．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.如图1，
图1
在同一时刻，老鼠由A向西北方向的C处逃窜，猫在B处向正东方向的D处追去，猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论：追不上，猫的速度再快也没用，因为方向错了．教师适时设问：如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课．
思路2.两列火车先后从同一站台沿相反方向开出，各走了相同的路程，怎样用数学式子表示这两列火车的位移？从中国象棋中规定“马”走日，象走“田”，让学生在图上画出马、象走过的路线引入新课也是一个不错的选择．
推进新课　　　　　
1．向量
既有大小又有方向的量叫做向量．向量的大小叫做向量的长度(或称模)．
2．向量的表示方法
(1)字母表示法：如a、b、等．
(2)几何表示法：用一条有向线段表示向量．
3．零向量
长度为零的向量，记为0，其方向是任意的．
4．单位向量
模为1个单位长度的向量．
5．平行向量
方向相同或方向相反的非零向量，也叫做共线向量.
规定：0与任一非零向量平行．a与b平行，记作a∥b.
6．相等向量
长度相等且方向相同的向量，记作a＝b.
7．相反向量
长度相等且方向相反的向量．
在物理课中，我们学过力的概念．请回顾一下力的三要素是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢？这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象出这些具有共同特征的量呢？
教师指导学生阅读教材，思考讨论并解决上述问题，学生讨论列举与位移一样的一些量．物体受到的重力是竖直向下的，物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是沿着反拉方向的，被压缩的弹簧的弹力是沿着反压方向的，并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大；速度与加速度都是既有大小，又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向，且有大小；物理学中存在着许多既有大小，又有方向的量．
教师引导学生观察思考这些量的共同特征，我们能否在数学学科中对这些量加以抽象，形成一种新的量？至此时机成熟，引入向量，并把那些只有大小，没有方向的量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量，物理学上称为标量．显然数量和向量的区别就在于方向问题．
教师再次指导学生阅读教材，通过阅读教材思考讨论向量的表示方法、向量的长度、零向量，单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念．特别是有向线段，是学习向量的关键．但不能说“向量就是有向线段，有向线段就是向量”，有向线段只是向量的一种几何表示，二者有本质的区别．向量只由方向和大小决定，而与向量的起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关．如图2，
图2
在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点、B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作，起点要写在终点的前面．
已知，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就惟一确定了．
用有向线段表示向量的方法是：
①起点是A，终点是B的有向线段，对应的向量记作：.
这里要提醒学生注意的方向是由点A指向点B，点A是向量的起点．
②用字母a，b，c，…表示．(一定要让学生规范书写：印刷用黑体a，书写用)
③向量(或a)的大小，就是向量(或a)的长度(或称模)，记作||(或|a|)．
教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比较，数量有大小而没有方向，其大小有正、负和0之分，可进行运算，并可比较大小；向量的模是正数或0，也可以比较大小．由于方向不能比较大小，所以像a＞b就没有意义，而|a|>|b|有意义．
注意：手写体上面的箭头一定不能漏写．
对于有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，其有三个要素：起点、方向、长度．向量与有向线段的区别：向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．
长度为0的向量叫做零向量，记作0，规定零向量的方向是任意的．长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．长度相等且方向相同的向量叫相等向量．
对于平行向量定义的理解：第一，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，第二，我们规定0与任一向量平行即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量a，b，c平行，记作a∥b∥c.如图3.
图3
又如图4，a，b，c是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出＝a，＝b，＝c.这就是说，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．
图4
这里一定要特别注意平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性质，不能比较大小．本章学习的向量都是平面内的自由向量，它们仅由方向和大小确定而与起点的位置无关．
例1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．
(1)
ABCD中，与是共线向量；
(2)单位向量都相等．
活动：教师引导学生画出平行四边形，如图5.
图5
因为AB∥CD，所以∥.由于上面已经明确，单位向量只限制了大小，方向不确定，所以单位向量不一定相等，即单位向量模均相等且为1，但方向不确定．
解：(1)正确；
(2)不正确．
点评：本题考查基本概念，对于单位向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握好．
例2见课本本节例1.
点评：向量相等是一个重要的概念，今后经常用到．让学生在训练中明确：向量相等不仅大小相等，还要方向相同．
对于相反向量，我们把与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量(opposite
vectors)，记作－a，a与－a互为相反向量．并且规定零向量的相反向量仍是零向量．于是，对任一向量a有－(－a)＝a.
例3见课本本节例2.
变式训练　如图6，EF、GH将正方形ABCD分为4个单位正方形(边长为1个单位长度)．图6(1)在以图中的点为端点的所有向量中，与平行的向量有哪些？其中单位向量有哪些？(2)在以图中的点为端点的所有向量中，与相等的向量有多少个？试写出来．解：(1)根据平行向量的定义，与平行的向量有：、、、、、、、、、、、、、、、、.其中单位向量有：、、、、、、、、、、〔向量平行的几何表示与平面几何中的直线(或射线、线段)平行不完全相同．平面几何中平行的两条线不可以共线，而向量平行则可以“共线”〕．(2)与相等的向量有：、、.
例4下列命题正确的是(　　)
A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B．任意两个相等的非零向量的起点与终点是一个平行四边形的四个顶点
C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D．有相同起点的两个非零向量不平行
活动：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确．由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确．向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确．对于C，其条件以否定形式给出，所以可从反面入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有a与b都是非零向量，所以只有C正确．
答案：C
点评：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念特征入手，也可以从反面进行考虑，即要判断一个结论不正确，只需举一个反例即可．要启发学生注意这两方面的结合.
变式训练1．判断：(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)(3)与零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量)(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量)(5)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？(平行向量)(6)两个非零向量相等当且仅当什么？(长度相等且方向相同)(7)共线向量一定在同一直线上吗？(不一定)2．在同一平面内，把一切单位向量归结到共同的起点，那么这些向量的终点所构成的图形是(　　)A．一条线段　　　　　　　　
B．一段圆弧C．两个点
D．一个圆答案：D3.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点，则这些向量的终点所构成的图形是(　　)A．一个点　　　　　　　　　　
B．两个点C．一个圆
D．一条线段答案：B
课本本节练习1、2、3、4.
1．先由学生回顾本节都学了哪些概念：向量的描述，向量的两种表示，即对向量的手写要标上箭头，图示要标上箭头和起点、终点，零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，明了平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比．
2．教师简要总结：本节课我们从平面向量的物理背景和几何背景入手，利用类比的方法，介绍了向量的两种表示方法：几何表示和字母表示，几何表示为用向量处理几何问题打下了基础，字母表示则利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念，这些概念是我们进一步学习后续课程的基础，必须要在理解的基础上把握好．
3．点拨学生要领悟我们是如何从实际背景中获得这些数学概念的方法，本节的数学知识或许将来会忘掉，但是我们探究这些知识的方法却会伴随我们一生，永远不会忘掉，使我们终生受益．
如图7，在梯形ABCD中，AB∥CD，AE∶ED＝BF∶FC＝AB∶DC，O是AC与BD的交点，求证：＝.
图7
证明：∵AB∥CD，∴AO∶OC＝BO∶OD＝AB∶CD.
又AE∶ED＝BF∶FC＝AB∶DC，
∴AE∶ED＝AO∶OC.∴EO∥DC.
同理，OF∥DC，∴E，O，F在同一直线上．
∴＝＝＝.
∴EO＝OF，即||＝||.
又与方向相同，∴＝.
1．本节是平面向量的第一节，显然属于“概念课”，概念的理解无疑是重点，但也是难点．本教案设计的指导思想是：把学生划分小组合作讨论学习，经过小组成员们的合作探究，对平面向量的基本概念和基本解题方法都明了不少，应该有很多的成功之处或收获．对失败或教训之处可能是由于一些概念性问题没有深入研究，导致解题存在困难，不过这些会通过学习的深入弥补上来的．
2．作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后，给中学数学带来无限生机．通过本节具体问题的解决，让学生体会到数学在生活中的重要作用，并在实际课堂教学中规范学生的习惯，培养学生严谨的思考习惯和行为习惯，为后面学习打下基础．
备用习题
1．若正多边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，…，an，则这n个向量…(　　)
A．都相等
B．都共线
C．都不共线
D．模都相等
2．如图8所示，在△ABC中，DE∥BC，则其中共线向量有…(　　)
图8
A．一组
B．二组
C．三组
D．四组
3．如图9所示，在四边形ABCD中，若＝，则下列各组向量相等的是(　　)
图9
A.与
B.与
C.与
D.与
4．如图10所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．
图10
(1)写出与相等的向量；
(2)若||＝3，求向量的模．
5．判断下列各命题的真假：①向量的长度与向量的长度相等；②向量a∥b，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
6．如图11，O为正方形ABCD的中心．
图11
(1)与是相等向量吗？
(2)与是平行向量吗？
(3)的长度与的长度之比为________．
7．如图12，有四个全等的相邻正方形，从中找出与相等的向量．
图12
8.(1)如果非零向量a、b平行，非零向量b、c也平行，则a、c是否平行？
(2)如果非零向量a、b共线，非零向量a、c也共线，则向量a、b是否共线？
参考答案：
1．D　2.C　3.D
4．(1)与相等的向量有和(因为四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，
故AB＝ED＝DC)．
(2)向量的模等于6.
5．C　因为①真命题；②假命题；③真命题；④假命题；⑤假命题；⑥假命题．
6．(1)不是　(2)是　(3)1∶
评注：弄清平行向量及表示方法，能正确地解决有关相等向量和向量模的问题．
7．解：与相等的向量有，，.
评注：成为相等向量的条件是方向相同和长度相等．
8．解：(1)(2)符合任一组平行向量都可移到同一直线上及它们的位置关系与表示它们的有向线段的起点无关．所以(1)是平行，(2)是共线．2．3.2　平面向量的坐标运算
教学分析　　　　　
1．前面学面向量的坐标表示，实际是平面向量的代数表示．在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．
2．本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算．推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律．
3．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法是向量的某些关系，特别是向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ，使得a＝λb，那么a与b共线)，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示．这种转化是比较容易的，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示．要注意的是，向量的共线与向量的平行是一致的．
三维目标　　　　　
1．通过经历探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法．理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示．
2．引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体．在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识．
重点难点　　　　　
教学重点：平面向量的坐标运算．
教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解．
课时安排　　　　　
2课时
第1课时
导入新课　　　　　
对于平面内的任意向量a，过定点O作向量＝a，则点A的位置被向量a的大小和方向所惟一确定．如果以定点O为原点建立平面直角坐标系，那么点A的位置可通过其坐标来反映，从而向量a也可以用坐标来表示，这样就可以通过坐标来研究向量问题了．事实上，向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算怎样通过坐标运算来实现呢？
推进新课　　　　　
1．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系内，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)．
注意：(1)在直角坐标平面内，以原点为起点的向量的坐标就等于点A的坐标．
(2)两个向量相等?对应坐标相等．
2．平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．
即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
||＝，即平面内两点间的距离公式．
(3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，λ∈R.
3．线段的中点坐标公式
若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1P2的中点P(，)．
思路1
例1课本本节例1.
变式训练
已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b等于(　　)
A．(－2，－1)
B．(－2,1)
C．(－1,0)
D．(－1,2)
答案：D
例2课本本节例2.
变式训练
1.如图1，已知?ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(－2,1)、(－1,3)、(3,4)，试求顶点D的坐标．
图1
活动：本题的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．这里给出了两种解法：方法一利用“两个向量相等，则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想；方法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量的坐标，进而得到点D的坐标．解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系)，数形结合地思考，将顶点D的坐标表示为已知点的坐标．
解：方法一：如图1，设顶点D的坐标为(x，y)．
∵＝(－1－(－2)，3－1)＝(1,2)，＝(3－x,4－y)，
由＝，得(1,2)＝(3－x,4－y)．
∴∴∴顶点D的坐标为(2,2)．
方法二：如图1，由向量加法的平行四边形法则可知＝＋＝＋＝(－2－(－1)，1－3)＋(3－(－1)，4－3)＝(3，－1)，而＝＋＝(－1,3)＋(3，－1)＝(2,2)，
∴顶点D的坐标为(2,2)．
点评：本题的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．
2.如图2，已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D的坐标，
图2
使这四点构成平行四边形的四个顶点．
解：当为ABCD时，仿例2得D1＝(2,2)；
当为ACDB时，仿例2得D2＝(4,6)；
当为DACB时，仿例2得D3＝(－6,0).
例3课本本节例4.
思路2
例1设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)．
(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．
活动：教师充分让学生思考，并提出：这一结论可以推广吗？即当＝λ时，点P的坐标是什么？师生共同讨论，一起探究，可按照求中点坐标的解题思路类比推广，有学生可能提出如下推理方法：
由＝λ，知(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，
即
这就是线段的定比分点公式，教师要给予充分肯定，鼓励学生的这种积极探索，这是学习数学的重要品质．时间允许的话，可以探索λ的取值符号对P点位置的影响，也可鼓励学生课后探索．
解：(1)如图3，由向量的线性运算可知
图3
＝(＋)＝(，)．
所以点P的坐标是(，)．
(2)如图4，当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，即＝或＝2.如果＝，那么
＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋
图4
＝(，)．
即点P的坐标是(，)．
同理，如果＝2，那么点P的坐标是(，)．
点评：本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.
变式训练　在△ABC中，已知点A(3,7)、B(－2,5)．若线段AC、BC的中点都在坐标轴上，求点C的坐标．解：(1)若AC的中点在y轴上，则BC的中点在x轴上．设点C的坐标为(x，y)，由中点坐标公式得＝0，＝0，∴x＝－3，y＝－5，即C点坐标为(－3，－5)．(2)若AC的中点在x轴上，则BC的中点在y轴上，同理可得C点坐标为(2，－7)．综合(1)(2)，知C点坐标为(－3，－5)或(2，－7).
例2已知点A(1,2)，B(4,5)，O为坐标原点，＝＋t.若点P在第二象限，求实数t的取值范围．
活动：教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量相等，把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解．教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力，或者让学生到黑板上板书解题过程，并对思路清晰过程正确的同学进行表扬，同时也要对组织步骤不完全的同学给予提示和鼓励．教师要让学生明白“化归”思想的利用．不等式求变量取值范围的基本观点是：将已知条件转化为关于变量的不等式(组)，那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集．
解：由已知＝(4,5)－(1,2)＝(3,3)，
∴＝(1,2)＋t(3,3)＝(3t＋1,3t＋2)．
若点P在第二象限，则
－故t的取值范围是(－，－)．
点评：此题通过向量的坐标运算将点P的坐标用t表示，由点P在第二象限可得到一个关于t的不等式组，这个不等式组的解集就是t的取值范围．
课本本节练习1～6.
1．先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识：平面向量的和、差、数乘的坐标运算．
2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，定义法、归纳、整理、概括的思想，强调在今后的学习中，要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好的基础．
课本习题2.3　1～8.
1．本节课中向量的坐标表示及运算实际上是向量的代数运算．这对学生来说学习并不困难，可大胆让学生自己探究．本教案设计流程符合新课改精神．教师在引导学生探究时，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点．让学生在了解向量知识网络结构的基础上，进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律，能熟练向量代数化的重要作用和在实际生活中的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．
2．平面向量的坐标运算包括向量的代数运算与几何运算．相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手．
3．通过平面向量坐标的加、减代数运算，结合图形，不但可以建立向量的坐标与点的坐标之间的联系，而且教师可在这两题的基础上稍作推广，就可通过求向量的模而得到直角坐标系内的两点间的距离公式甚至可以推出中点坐标公式．它们在处理平面几何的有关问题时，往往有其独到之处，教师可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维发散能力．
一、关于点P分有向线段所成的比的探讨
(1)定义法：根据已知条件直接找到使＝λ的实数λ的值．
例1已知点A(－2，－3)，点B(4,1)，延长AB到P，使||＝3||，求点P的坐标．
解：因为P点在AB的延长线上，P为的外分点，所以＝λ，λ<0.
又根据||＝3||，可知λ＝－3，由分点坐标公式易得P点的坐标为(7,3)．
(2)公式法：依据定比分点坐标公式．
x＝，y＝，结合已知条件求解λ.
例2已知两点P1(3,2)，P2(－8,3)，求点P(，y)分所成的比λ及y的值．
解：由线段的定比分点坐标公式，得
解得
例3如图5，已知三点A(0,8)，B(－4,0)，C(5，－3)，D点内分的比为1∶3，E点在BC边上，且使△BDE的面积是△ABC面积的一半，求DE中点的坐标．
图5
分析：要求DE中点的坐标，只要求得点D、E的坐标即可，又由于点E在BC上，△BDE与△ABC有公共顶点B，所以它们的面积表达式选定一公用角可建立比例关系求解．
解：由已知有＝，则得＝，
又＝，则S△BDE＝||||sin∠DBE，
S△ABC＝||||sin∠ABC，且∠DBE＝∠ABC，
∴＝，即得＝.
又点E在边BC上，∴＝2.∴点E分所成比λ＝2.
由定比分点坐标公式有
即E(2，－2)，
又由有D(－1,6)．
记线段DE的中点为M(x，y)，则
即M(，2)为所求．
二、备用习题
1．已知a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，则－3a－2b等于(　　)
A．(7,1)
B．(－7，－1)
C．(－7,1)
D．(7，－1)
2．已知A(1,1)，B(－1,0)，C(0,1)，D(x，y)，若和是相反向量，则D点的坐标是
(　　)
A．(－2,0)
B．(2,2)
C．(2,0)
D．(－2，－2)
3．若点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)共线，则使＝λ的实数λ的值为(　　)
A．1
B．－2
C．0
D．2
4．已知A、B、C三点共线，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为(　　)
A．－2
B．9
C．－9
D．13
5．若A(2,3)，B(x,4)，C(3，y)，且＝2，则x＝________，y＝________.
6．已知?ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,1)，则的坐标(O为对角线的交点)为________．
7．向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A、B、C三点共线？
8．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若＝＋λ(λ∈R)，试问：当λ为何值时，点P在第一与第三象限的角平分线上？当λ在什么范围内取值时，点P在第三象限内？
9．如图6所示，已知△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
图6
10．已知四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF＝AE.
参考答案：
1．B　2.B　3.D　4.C　5.4　　6.(－，－4)
7．解：∵＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，
∴＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(6，k－5)．
∵∥，∴存在实数λ，使得(4－k，－7)＝λ(6，k－5)．
∴k2－9k－22＝0.解得k＝11或k＝－2.
8．解：∵＝(3,1)，＝(5,7)，
∴＋λ＝(3＋5λ，1＋7λ)．而＝＋λ(已知)，
∴＝＋＝(2,3)＋(3＋5λ，1＋7λ)＝(5＋5λ，4＋7λ)．
(1)若点P在第一与第三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ?λ＝；
(2)若点P在第三象限内，则
λ∈(－∞，－1)．
9．解：∵＝＝(0,5)＝(0，)，∴C(0，)．
∵＝＝(4,3)＝(2，)，∴D(2，)．
设M(x，y)，则＝(x，y－5)，＝(2－0，－5)＝(2，－)．
∵∥，∴存在实数λ，使得(x，y－5)＝λ(2，－)，即7x＋4y＝20.①
又＝(x，y－)，＝(4，)，
∵∥，∴存在实数μ，使得(x，y－)＝μ(4，)，即7x－16y＝－20.②
联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为(，2)．
10．证明：建立如图7所示的直角坐标系，为了研究方便，不妨设正方形ABCD的边长为1，则B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(x，y)，这里y>0，于是＝(1,1)，＝(x－1，y)．
图7
∵∥，∴存在实数λ，使得(1,1)＝λ(x－1，y)，即1×y－(x－1)×1＝0
y＝x－1.①
∵AC＝OC＝CE(已知)，∴CE2＝OC2?(x－1)2＋(y－1)2＝2.②
由y>0，联立①②解得即E(，)．
AE＝OE＝＝＋1.
设F(t,0)，则＝(1－t,1)，＝(，)．
∵F，C，E三点共线，∴∥.
∴存在实数μ，使得(1－t，t)＝μ(，)，即(1－t)×－×1＝0，解得t＝－1－.∴AF＝OF＝1＋.∴AF＝AE.
第2课时
导入新课　　　　　
向量的应用主要是解决平面几何问题，而几何中的平行问题占着重要的地位，向量的平行包含着几何中的平行情形，本章开始时已初步研究了向量的平行问题，但仍然用的是几何方法来研究的．本节课通过坐标的方法来研究向量的平行问题，但涉及内容不是很深．
推进新课　　　　　
若向量a与非零向量b为共线向量，则当且仅当存在惟一的一个实数λ，使得a＝λb，那么这个条件如何用坐标来表示呢？
活动：教师引导推证：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠a，
由a＝λb，(x1，y1)＝λ(x2，y2)
消去λ，得x1y2－x2y1＝0.
结论：a∥b(b≠0)
x1y2－x2y1＝0.
教师应向学生特别提醒感悟：
1°消去λ时不能两式相除，∵y1、y2有可能为0，而b≠0，∴x2、y2中至少有一个不为0.
2°此条件不能写成＝(∵x1，x2有可能为0)．
3°从而向量共线的条件有两种形式：a∥b(b≠0)
由此我们得到：
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0；
反过来，如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b.
证明：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，因为a≠0，所以x1、y1不全为0.
不妨假设x1≠0.
(1)如果a∥b，则存在实数λ，使b＝λa，即(x2，y2)＝λ(x1，y1)＝(λx1，λy1)，
所以
因为x1≠0，由①得λ＝.③
将③代入②，得y2＝y1，即x1y2－x2y1＝0.
(2)反之，如果x1y2－x2y1＝0，因为x1≠0，所以y2＝y1.
(x2，y2)＝(x2，y1)＝(x1，y1)．令λ＝，则b＝λa，所以a∥b.
例1已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，当实数k为何值时，向量ka－b与a＋3b平行？并确定此时它们是同向还是反向．
解：ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋3b＝(1,0)＋3(2,1)＝(7,3)．
由向量平行的条件，可得3·(k－2)－(－1)·7＝0，所以k＝－.
此时，ka－b＝(－，－1)＝－(7,3)＝－(a＋3b)．
因此，它们是反向的.
变式训练　已知a＝(4,2)，b＝(6，y)，且a∥b，求y.解：∵a∥b，∴4y－2×6＝0.∴y＝3.
例2已知点O，A，B，C的坐标分别为(0,0)，(3,4)，(－1,2)，(1,1)，是否存在常数t，使得＋t＝成立？解释你所得结论的几何意义．
解：设存在常数t，使得＋t＝，则(3,4)＋t(－1,2)＝(1,1)，所以t(－1,2)＝(1,1)－(3,4)＝(－2，－3)．所以
此方程组无解，故不存在这样的常数t.
上述结论表明向量与不平行.
变式训练　已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(2,5)，试判断A、B、C三点之间的位置关系．活动：教师引导学生利用向量的共线来判断．首先要探究三个点组合成两个向量，然后根据两个向量共线的条件来判断这两个向量是否共线，从而来判断这三点是否共线．教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系．让学生通过观察图形领悟先猜后证的思维方式．解：在平面直角坐标系中作出A、B、C三点，观察图形，我们猜想A、B、C三点共线．下面给出证明．∵＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3,6)，又2×6－3×4＝0，∴∥，且直线AB、直线AC有公共点A，∴A、B、C三点共线．点评：本题的解答给出了判断三点共线的一种常用方法，其实质是从同一点出发的两个向量共线，则这两个向量的三个顶点共线．这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的.
课本本节练习1、2、3.
代数化研究向量平行问题是本节课的重点内容，向量的平行可以公式化地解决，这就是数学化思考问题的方法，我们通过本节课，不光要记住平行向量的坐标表示的方法，还要理解数学化处理问题的思想．
本节课的主要内容是让学生探究向量平行的坐标表示及应用，实际上向量的应用主要是解决平面几何问题和物理问题的．在平面几何中平行问题占着重要的地位．本章开始时已初步研究了向量的平行问题，但所用方法仍是向量的几何法．本节是通过坐标的方法来探究向量的平行问题，由于上节学生刚刚探究了向量的坐标表示及坐标运算，所以本节的教学活动完全可以放给学生自己探究完成，本教案的设计就是在教师的指导下，学生探究、应用．由于本节难度小，学生会轻松愉快地掌握好本节内容．
备用习题
1．若a＝2i＋3j，b＝4i＋yj，且a∥b，则y等于(　　)
A．2
B．4
C．6
D．8
2．已知A(1，－3)，B(8，)，若A、B、C三点共线，则C点坐标可能是(　　)
A．(－9,1)
B．(9，－1)
C．(9,1)
D．(－9，－1)
3．向量a＝(n,1)与b＝(4，n)共线且方向相同，则n＝________.
4．已知O点是ABCD的对角线的交点，＝(2,5)，＝(－2,3)，则坐标为________，坐标为________，坐标为________．
5．△ABC中，A(2，－1)，B(－3,2)，C(0，－4)，D、E、F是BC、AB、AC的中点，若EF与AD交于M点，求.
6．已知四点A(5,
1),
B(3,
4)，C(1,
3)，D(5,
－3)，求证：四边形ABCD是梯形．
7．若a＝(－1，x)与b＝(－x,
2)共线且方向相同，求x.
参考答案：
1．C　2.C
3．2　n2－4＝0，∴n＝±2.又a与b方向相同，∴n＝2.
4．(2，－3)　(－2，－1)　(0，－4)
5．解：由EF为中位线，得EF平分AD，
∴＝＝(＋)＝＋＝(－3,6)＋(5，－3)＝(，0)．
6．解：∵＝(－2,
3)，＝(－4,
6)，∴2＝.
∴∥且||≠||.
∴四边形ABCD是梯形．
7．解：∵a＝(－1，x)与b＝(－x,
2)共线，
∴(－1)×2－x·(－x)＝0.
∴x＝±.∵a与b方向相同，∴x＝.1．2.1　任意角的三角函数
教学分析　　　　　
学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的．锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系．任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了．因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题．
本节以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义三角函数．由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系，使得我们在讨论三角函数的问题时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发．三角函数的研究中，数形结合思想起着非常重要的作用．
利用信息技术，可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来，所以信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质；激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境．
三维目标　　　　　
1．通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号．
2．正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来．
3．能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题．
重点难点　　　　　
教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义．
教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数符号的掌握；利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示．
课时安排　　　　　
2课时
第1课时
导入新课　　　　　
我们把角的范围推广了，锐角三角函数的定义还能适用吗？譬如三角形内角和为180°，那么sin200°的值还是三角形中200°的对边与斜边的比值吗？类比角的概念的推广，怎样修正三角函数定义？由此展开新课．另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义，然后再在适当时机联系锐角三角函数，这也是一种不错的选择．
推进新课　　　　　
任意角的三角函数
1．任意角的三角函数的定义．
角α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r(r>0)，则角α的三角函数定义为：
三角函数
定义
定义域
sinα
R
cosα
R
tanα
{α|α≠kπ＋，k∈Z}
2．各象限角的三角函数值的符号如下图所示．
图1
三角函数正值口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ两切，Ⅳ余弦．
教师提示：前面我们对角的概念已经进行了扩充，并且学习了弧度制，知道了角的集合与实数集是一一对应的，在此基础上，我们来研究任意角的三角函数．教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系，画出角α的终边；学生给出相应点的坐标，并用坐标表示锐角三角函数．如图2.设锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限．在α的终边上任取一点P(x，y)，它与原点的距离r＝>0.过P作x轴的垂线，垂足为M，则线段OM的长度为x，线段MP的长度为y.
图2
根据初中学过的三角函数定义，我们有
sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝.
怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数呢？
教师先让学生们相互讨论，并让他们动手画出图形，看看从图形中是否能找出某种关系来．然后提问学生，由学生回答教师的问题，教师再引导学生选几个点，计算一下对应的比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质来证明．最后可以发现，由相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变．也就是说，对于确定的角α，比值和都惟一确定，故正弦、余弦都是角α的函数．当α＝＋kπ(k∈Z)时，角α的终边在y轴上，故有x＝0，这时tanα无意义．除此之外，对于确定的角α(α≠＋kπ，k∈Z)，比值也是惟一确定的，故正切也是角α的函数．sinα、cosα、tanα分别叫做角α的正弦函数、余弦函数、正切函数．以上三种函数都称为三角函数(trigonometric
function)．
由定义可知，正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限的符号，如图3所示．
图3
与学生一起讨论得到以上结论后，教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量是什么，对应关系有什么特点，函数值是什么．特别注意α既表示一个角，又是一个实数(弧度数)：“它的终边与单位圆交于点P(x，y)”包含两个对应关系．从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数．值得注意的是：(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．
(2)sinα不是sin与α的乘积，而是一个比值；三角函数的记号是一个整体，离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的．
研究函数我们首先要考虑它的定义域，教师要注意引导学生从定义出发，利用坐标平面内点的坐标的特征得定义域．对于正弦函数sinα＝，因为y恒有意义，即α取任意实数，y恒有意义，也就是说sinα恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tanα＝，因为x＝0时，无意义，即tanα无意义，又当且仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x＝0，所以当α的终边不在纵轴上时，恒有意义，即tanα恒有意义，所以正切函数的定义域是α≠＋kπ(k∈Z)．(由学生填写下表)
三角函数
定义域
sinα
R
cosα
R
tanα
{α|α≠＋kπ，k∈Z}
三角函数的定义告诉我们，各三角函数在各象限内的符号，取决于x，y的符号，当点P在第一、二象限时，纵坐标y>0，点P在第三、四象限时，纵坐标y<0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示)；同样地，余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的；正切、余切函数在第一、三象限是正的，在第二、四象限是负的．从而完成上面结论的探究．
思路1
例1已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的正弦、余弦和正切值．
图4
解：因为x＝2，y＝－3，所以r＝＝.
所以sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝，
tanα＝＝－.
点评：本例是已知角α终边上一点的坐标，求角α的三角函数值问题．可以先根据三角形相似将这一问题化归到单位圆上，再由定义得解.
变式训练　求的正弦、余弦和正切值．解：在平面直角坐标系中，作∠AOB＝，如图5.图5易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为(，－)．所以sin＝－，cos＝，tan＝－.
例2见课本本节例2.
变式训练1．求证：当且仅当下列不等式组成立时，角θ为第三象限角．证明：我们证明如果①②式都成立，那么θ为第三象限角．因为①sinθ<0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的非正半轴上；又因为②式tanθ>0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限．因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限．于是角θ为第三象限角．反过来请同学们自己证明．点评：本例的目的是认识不同位置的角对应的三角函数值的符号，其条件以一个不等式出现，在教学时要让学生把问题的条件、结论弄清楚，然后再给出证明．这一问题的解决可以训练学生的数学语言表达能力.2.已知cosθtanθ<0，那么角θ是(　　)A．第一或第二象限角
B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角
D．第一或第四象限角答案：C
思路2
例1已知角α的终边在直线y＝－3x上，则10sinα＋3secα＝________.
活动：要让学生独立思考这一题目，本题虽然是个填空题，看似简单但内含分类讨论思想，教师可以找两个学生来板演这个例题．对解答思路正确的学生给以鼓励，对思路受阻的学生教师要引导其思路的正确性，并适时地点拨学生：假如是个大的计算题应该怎样组织步骤？
解析：设角α终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则
x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|.
(1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角，
sinα＝＝＝－，secα＝＝＝，
∴10sinα＋3secα＝10×(－)＋3＝－3＋3＝0.
(2)当k<0时，r＝－k，α为第二象限角，
sinα＝＝＝，secα＝＝＝－，
∴10sinα＋3secα＝10×＋3×(－)＝3－3＝0.
综合以上两种情况均有10sinα＋3secα＝0.
答案：0
点评：本题的解题关键是要清楚当k>0时，P(k，－3k)是第四象限内的点，角α的终边在第四象限；当k<0时，P(k，－3k)是第二象限内的点，角α的终边在第二象限内，这与角α的终边在y＝－3x上是一致的．
例2求函数y＝＋tanα的定义域．
活动：教师让学生先回顾求函数的定义域需要注意哪些特点，并让学生归纳出一些常见函数有意义的要求，根据函数有意义的特征来求自变量的范围．对于三角函数这种特殊的函数在解三角不等式时要结合三角函数的定义进行．求含正切函数的组合型三角函数的定义域时，正切函数本身的定义域往往被忽略，教师提醒学生应注意这种情况．同时，函数的定义域是一个集合，所以结论要用集合形式表示．
解：要使函数y＝＋tanα有意义，则sinα≥0且α≠kπ＋(k∈Z)．
由正弦函数的定义知道，sinα≥0就是角α的终边与单位圆的交点的纵坐标非负．
∴角α的终边在第一、二象限或在x轴上或在y轴非负半轴上，即2kπ≤α≤π＋2kπ(k∈Z)．
∴函数的定义域是{α|2kπ≤α<＋2kπ，或＋2kπ<α≤(2k＋1)π，k∈Z}．
点评：本题的关键是弄清楚要使函数式有意义，必须sinα≥0，且tanα有意义，由此推导出α的取值范围就是函数的定义域.
变式训练　求下列函数的定义域：(1)y＝sinx＋cosx；(2)y＝sinx＋tanx；(3)y＝.解：(1)∵使sinx、cosx有意义的x∈R，∴y＝sinx＋cosx的定义域为R.(2)要使函数有意义，必须使sinx与tanx有意义．∴有∴函数y＝sinx＋tanx的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}．(3)要使函数有意义，必须使tanx有意义，且tanx≠0.∴有(k∈Z)．∴函数y＝的定义域为{x|x≠，k∈Z}.
课本本节练习1～6.
本节课我们给出了任意角三角函数的定义，并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域，任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆，至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到．
课本习题1.2　1,5,6.
关于三角函数定义法，总的来说就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”．这两种方法本质上是一致的．正因为这样，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用．在学习本节的过程中可以与初中学习的三角函数定义进行类比、学习．理解任意角三角函数的定义不但是学好本节内容的关键，也是学好本章内容的关键．在教学中，教师应该充分调动学生独立思考和总结的能力，以巩固对知识的理解和掌握．
教师在教学中，始终引导学生紧扣三角函数的定义，善于利用数形结合．在利用三角函数定义进行求值时，应特别强调要注意横向联系，即不仅仅能求出该值，还要善于观察该值与其他三角函数值之间的联系，找出规律来求解．
一、关于余切、正割、余割函数
设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆的交点P(x，y)，那么除角α的正弦、余弦、正切外，还可定义角α的余切、正割、余割，它们分别是
cotα＝，secα＝，cscα＝.
角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割统称为角α的三角函数．
二、备用习题
1．角α的终边经过点P(2a,3a)(a≠0)，则cosα的值是(　　)
A.
B.
C．±
D．±
2．已知tanαcosα>0，且<0，则α在(　　)
A．第二象限
B．第三象限
C．第四象限
D．第三、四象限
3．下列各三角函数值中，负值的个数是(　　)
①sin(－660°)　②tan160°　③cos(－740°)　④sin(－420°)cos570°
A．1
B．2
C．3
D．4
4.＝__________.
5．确定下列各式的符号：
(1)sin105°cos230°；(2)cos6tan6；(3)tan191°－cos191°.
6．已知tanx>0，且sinx＋cosx>0，则角x是第__________象限角．
参考答案：1.D　2.A　3.A　4.
5．解：(1)∵105°、230°分别是第二、三象限角，
∴sin105°>0，cos230°<0.∴sin105°cos230°<0.
(2)∵<6<2π，∴6是第四象限角．
∴cos6>0，tan6<0.∴cos6tan6<0.
(3)∵tan191°>0，cos191°<0，∴tan191°－cos191°>0.
6．一　解析：由tanx>0，知x为第一或第三象限角，而当x是第三象限角时，sinx与cosx都取负值，这与sinx＋cosx>0矛盾，故知角x是第一象限角．
第2课时
导入新课　　　　　
思路1.(情境导入)同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车，大家是否想过大观览车在转动过程中，座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化，二者之间有怎样的相依关系呢？由此导入新课．
思路2.(复习导入)我们研究了三角函数在各象限内的符号，前面还分析讨论了三角函数的定义域，这些内容的研究，都是建立在任意角的三角函数定义之上的，这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时，是经常、反复运用的，请同学们务必在理解的基础上要加强记忆．由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法．我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关．因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向，以使它们的取值与点的坐标联系起来．
推进新课　　　　　
活动：1.任意角的三角函数的几何表示，即三角函数线．
2．有向线段，有向线段的数量及单位圆来表示三角函数．
教师指导学生在平面直角坐标系内作出单位圆，设任意角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y)，x轴的正半轴与单位圆相交于A(1,0)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过A作单位圆的切线，这条切线必平行于y轴(垂直于同一条直线的两直线平行)，设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.教师点拨学生观察线段的方向与点P的坐标．显然，线段OM的长度为|x|，线段MP的长度为|y|，它们都只能取非负值．
当角α的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM、MP都看作带有方向的线段：
如果x>0，OM与x轴同向，规定此时OM具有正值x；如果x<0，OM与x轴正向相反(即反向)，规定此时OM具有负值x，所以不论哪一种情况，都有OM＝x.
如果y>0，把MP看作与y轴同向，规定此时MP具有正值y；如果y<0，把MP看作与y轴反向，规定此时MP具有负值y，所以不论哪一种情况，都有MP＝y.
引导学生观察OM、MP都是带有方向的线段，这种被看作带有方向的线段叫做有向线段．
于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有sinα＝＝＝y＝MP，cosα＝＝＝x＝OM.
这两条与单位圆有关的有向线段MP、OM分别叫做角α的正弦线、余弦线．
类似地，我们把OA、AT也看作有向线段，那么根据正切函数的定义和相似三角形的知识，就有tanα＝＝＝AT.
这条与单位圆有关的有向线段AT，叫做角α的正切线(如图6、7)．
当角α终边在y轴的右侧时(图6)，在角α终边上取点T(1，y′)，则tanα＝＝y′＝AT(A为单位圆与x轴正半轴的交点)；当角α终边在y轴的左侧时(图7)，在角α终边的反向延长线上取点T(1，y′)，由于它关于原点的对称点Q(－1，－y′)在角α终边上，故有tanα＝＝y′＝AT.
图6
图7
即总有tanα＝AT.
因此，我们把有向线段AT叫做角α的正切线．
有向线段MP、OM、AT都称为三角函数线．
当角α的终边在不同象限时，其三角函数线如图8所示．
图8
师生共同讨论探究，最后一致得出以下几点：
(1)当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．
(2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．
(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆．
(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点．
(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同．
正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线．
例1如图9，α、β的终边分别与单位圆交于点P、Q，过A(1,0)作切线AT，交射线OP于点T，交射线OQ的反向延长线于点T′，点P、Q在x轴上的射影分别为点M、N，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________，sinβ＝________，cosβ＝________，tanβ＝________.
图9
活动：根据三角函数线的定义，可知sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT，sinβ＝NQ，cosβ＝ON，tanβ＝AT′.
答案：MP　OM　AT　NQ　ON　AT′
点评：掌握三角函数线的作法，注意用有向线段表示三角函数线时，字母的书写顺序不能随意颠倒.
变式训练　利用三角函数线证明|sinα|＋|cosα|≥1.解：当α的终边落在坐标轴上时，正弦(或余弦)线变成一个点，而余弦(或正弦)线的长等于r，所以|sinα|＋|cosα|＝1.当角α终边落在四个象限时，利用三角形两边之和大于第三边有|sinα|＋|cosα|＝|OM|＋|MP|>1，∴|sinα|＋|cosα|≥1.
例2证明恒等式＋＋＋＝2.
活动：引导学生总结证明恒等式的方法与步骤，特别地，在证明三角恒等式时，一般地是从较繁的一边推向较简的一边．从方向上来推证三角恒等式主要有三种推证方法，即从左边推向右边；从右边推向左边；左、右两边同推向第三个式子．
证法一：设M(x，y)为角α终边上异于原点的一点，|OM|＝r，由三角函数定义，有
sinα＝，cosα＝，secα＝，cscα＝.
原式左边＝＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋
＝2＝右边．
∴原等式成立．
证法二：左边＝＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋
＝2
＝右边．
∴左边＝右边．
∴原等式成立．
点评：根据本题的特点，被证式的左边比较复杂，故可由左边证向右边.
变式训练　求证：＝.证明：设M(x，y)为α终边上异于原点的一点，|OM|＝r，由三角函数定义，有sinα＝，cosα＝，tanα＝，secα＝.左边＝＝＝＝＝＝＝，右边＝＝，∴左边＝右边，故原等式成立.
课本本节练习7、8.
本节课我们学习了有向线段的定义，正弦线、余弦线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合)，二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种几何表示．
三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具，利用三角函数线可以解或证明三角不等式，求函数的定义域以及比较大小，三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作图工具．
利用单位圆和三角函数线证明：若α为锐角，则(1)sinα＋cosα>1；(2)sin2α＋cos2α＝1.
证明：如图10，记角α与单位圆的交点为P，过P作PM⊥x轴于M，则sinα＝MP，cosα＝OM.
图10
(1)在Rt△OMP中，MP＋OM>OP，
即sinα＋cosα>1.
(2)在Rt△OMP中，MP2＋OM2＝OP2，
即sin2α＋cos2α＝1.
对于三角函数线，开始时学生可能不是很理解，教师应该充分发挥好图象的直观作用，让学生通过图形来感知、了解三角函数线的定义．在学生理解了正弦线、余弦线、正切线的定义后，教师应引导学生会利用三角函数线来发现、总结、归纳正弦函数、余弦函数、正切函数的性质，以便为了以后更好地学习三角函数的图象和性质打下良好的基础．教师要让学生对三角函数线了解即可，要让学生利用任意角的三角函数线来感知对应的三角函数图象的变化趋势，不要再向深处挖掘，因为三角函数线能解决的问题都可以用三角函数的图象来解决．教师在教学中要搞好师生互动，让学生自己动脑、动手，多启发学生善于发现问题、提出问题、解决问题的能力，让学生学会独立思考和归纳总结知识的能力．
一、一个三角不等式的证明
已知θ∈(0，)，求证：sinθ<θ证明：如图11，设锐角θ的终边交单位圆于点P，过单位圆与x轴正半轴的交点A作圆的切线交OP于点T，过点P作PM⊥x轴于点M，则MP＝sinθ，AT＝tanθ，的长为θ，连结PA.
图11
∵S△OPA∴|OA||MP|<|OA|2·θ<|OA||AT|.
∴|MP|<θ<|AT|，则MP<θ二、备用习题
1．若<θ<，则sinθ，cosθ，tanθ的大小关系是(　　)
A．tanθB．sinθC．cosθD．cosθ2．若0<α<2π，则使sinα<和cosα>同时成立的α的取值范围是(　　)
A．(－，)
B．(0，)
C．(，2π)
D．(0，)∪(，2π)
3．在(0,2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围是__________．
4．设0<β<α<，求证：α－β>sinα－sinβ.
5．当α∈[0,2π)时，试比较sinα与cosα的大小．
参考答案：1.D　2.D　3.(，)
4．证明：如图12，设单位圆与角α、β的终边分别交于P1、P2，作P1M1⊥x轴于M1，作P2M2⊥x轴于M2，作P2C⊥P1M于C，连结P1P2，
图12
则sinα＝M1P1，sinβ＝M2P2，α－β＝，
∴α－β＝>P1P2>CP1＝M1P1－M1C＝M1P1－M2P2＝sinα－sinβ，即α－β>sinα－sinβ.
5．解：如图13.
(1)当0≤α<时，设角α的终边与单位圆交于点P1(x1，y1)，此时x1>y1，而sinα＝y1，
图13
cosα＝x1，∴cosα>sinα.
(2)当α＝时，x1＝y1，此时sinα＝cosα.
(3)当<α≤时，设角α的终边与单位圆交于点P2(x2，y2)，此时y2>x2，而sinα＝y2，cosα＝x2，
∴sinα>cosα.
(4)当<α≤π时，sinα≥0，cosα<0，∴sinα>cosα.
(5)当π<α<时，设角α的终边与单位圆交于点P3(x3，y3)，此时x3∴sinα>cosα.
(6)当α＝时，有sinα＝cosα.
(7)当<α≤时，设角α的终边与单位圆交于点P4(x4，y4)，此时y4∴sinα(8)当<α<2π时，cosα≥0，sinα<0，
∴cosα>sinα.
综上所述，当α∈(，)时，sinα>cosα；当α＝或时，sinα＝cosα；当α∈[0，)∪(，2π)时，sinα教学分析　　　　　
由于学生有了推导两角和与差的正弦、余弦公式的学习经历，因此，教学中应该让学生独立地推导两角和与差的正切公式．对于公式的成立条件，可以让学生推导出公式观察、比较、分析，以便在掌握公式结构的基础上加以讨论．
对于公式的结构特点的分析、归纳、总结，可以结合教科书中“思考”引导学生去发现，并结合例题的解答帮助学生更好地掌握这些特点，同时体会这些特点在解题中的作用．
三维目标　　　　　
1．会由两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．
2．能用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值及三角恒等式证明．
3．通过推导两角和与差的正切公式以及运用公式解决具体问题，使学生从中体会化归思想的作用．
4．通过对例题解题思路的探求，使学生学会用分析的方法寻求解题思路．
重点难点　　　　　
教学重点：两角和与差的正切公式的推导及运用．
教学难点：运用公式解决简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明过程中解题思路的探求．
课时安排　　　　　
2课时
第1课时
导入新课　　　　　
思路1.(复习导入)前面我们推出了公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α＋β)、S(α－β)后自然想到两角和与差的正切，即有没有tan(α－β)，tan(α＋β)的公式呢？由此导入新课．
思路2.(问题导入)我们现在很容易由两角和与差的正弦、余弦公式求出sin15°和cos15°，再由同角三角函数关系求出tan15°，那么能不能直接由tan45°和tan30°求出tan15°呢？
推进新课　　　　　
1．推导两角和与差的正切公式．
2．用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值及三角恒等式的证明．
教师引导学生回顾并写出两角和与差的正弦、余弦公式及同角三角函数关系式．点拨学生推出tan(α－β)，tan(α＋β)．
学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到．但学生很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出来．
当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝＝.
如果cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0时，分子分母同除以cosαcosβ，得
tan(α＋β)＝，根据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用－β代之，则有
tan(α－β)＝＝.
由此推得两角和与差的正切公式，简记为T(α－β)、T(α＋β)．
让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±β都不能等于＋kπ(k∈Z)，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆．
至此，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得：C(α＋β)、S(α＋β)、T(α＋β)叫和角公式；S(α－β)、C(α－β)、T(α－β)叫差角公式．并由学生综合分析以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图．可让学生自己画出这六个框图．通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式．同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用．如两角和与差的正切公式的变形式：
tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美．对于两角和与差的正切公式，当tanα，tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用T(α±β)处理某些相关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(－β)，因为tan的值不存在，所以改用诱导公式tan(－β)＝＝来处理等．
例1课本本节例1.
变式训练　在△ABC中，已知tanA、tanB是方程3x2＋8x－1＝0的两个根，求tanC的值．解：∵tanA、tanB是方程3x2＋8x－1＝0的两根，∴tanA＋tanB＝－，tanAtanB＝－.∴tanC＝tan[180°－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－＝－＝2.
例2课本本节例2.
变式训练　求tan11°＋tan34°＋tan11°tan34°的值．解：原式＝tan45°(1－tan11°tan34°)＋tan11°tan34°＝1－tan11°tan34°＋tan11°tan34°＝1.点评：充分利用两角和与差的正切公式的变形式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1tanαtanβ).
例3课本本节例3.
课本本节练习1、2、3、4.
由于学生有了推导两角和与差的正弦、余弦公式的学习经历，因此，教学中应该让学生独立地推导两角和与差的正切公式．对于公式的成立条件，可以让学生推导出公式观察、比较、分析，以便在掌握公式结构的基础上加以讨论．
对于公式的结构特点的分析、归纳、总结，可以结合教科书中“思考”引导学生去发现，并结合例1和例2的解答帮助学生更好地掌握这些特点，同时体会这些特点在解题中的作用．
本小节共两课时，本节课为第1课时，主要是推导公式、讨论探究公式的成立条件，并完成课本例1、例2、例3.例3是一道具有几何背景的简单问题，在该题的教学中，要注意让学生体会已知一个角的三角函数值，确定角的方法．
本节课从内容上来看，难度较小，但两角和与差的正切公式有其成立的条件．这点教材中未做特别说明，是学生易出错的地方．在教学中，应注意引导学生对公式的结构特征仔细观察，清楚公式变形的本质属性，解题时灵活选用．同时注意鼓励学生进行一题多解，一题多变，并从中体会重要的数学思想方法，这才是本节教学的核心问题，而不是一些特殊的变换技巧．
一、对两角和与差的正切公式的理解
1．两角和的正切公式是根据同角三角函数的关系式＝tanα及正、余弦的和角公式导出的，因为公式S(α＋β)与C(α＋β)具有一般性，因此公式T(α＋β)也具有一般性，在公式T(α＋β)中以－β代β便可得到公式T(α－β)．
2．两公式只有当tanα，tanβ或tan(α±β)都存在，即α≠kπ＋，β≠kπ＋，α±β≠kπ＋(k∈Z)时才成立，这是由任意角的正切函数的定义域所决定的．
3．当tanα，tanβ或tan(α±β)的值不都存在时，不能使用T(α±β)来处理某些相关问题，但可改用诱导公式或其他方法，如化简tan(＋β)，因为tan的值不存在，不能利用公式T(α＋β)，所以要改用诱导公式来解，则
tan(＋β)＝＝＝－.
二、备用习题
1．如果tan(α＋β)＝，cot(α＋)＝4，则tan(β－)为(　　)
A.
B.
C.
D.
2．已知tan(α－)＝，tan(β－)＝－，则tan的值等于________．
3．已知tan(α＋)＝－，则tanα＝________，tan(α－)＝________.
4．已知tanα，tanβ是方程x2＋(4m＋1)x＋2m＝0的两个根，且m≠－，求.
5．已知α、β都是锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值．
参考答案：
1．C　2.
3．－　　解析：∵tan(α＋)＝－，∴＝－.
解得tanα＝－，tan(α－)＝＝.
4．解：由题意tanα＋tanβ＝－(4m＋1)，tanαtanβ＝2m，
∴＝＝＝－.
5．解：由题意tanα＝，∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝
＝＝.
又∵cos2β＝＝＝，∴cosβ＝.
(设计者：王光玲)
第2课时
导入新课　　　　　
思路1.(复习导入)让学生回顾前面所学的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，从分析公式的推导过程入手，揭示它们的逻辑关系．
思路2.(习题导入)
①已知α＋β＝45°，求(1＋tanα)(1＋tanβ)的值．(答案：2)
②已知sinα＝－，α是第四象限角，求tan(－α)的值．(答案：7)
③求tan70°＋tan50°－tan50°tan70°的值．(答案：－)
学生练习，教师讲评中导入新课．
推进新课　　　　　
本节为两角和与差的三角函数的最后一节内容，对两角和与差公式进一步熟练掌握．
上节课我们学习了两角和与差的正切公式，请同学们默写这些公式，并思考这些公式的使用条件．我们上节课初步运用这些公式解决了一些有关三角函数的求值和化简问题，利用这些公式除了能进行三角函数式的求值、化简之外，我们还可以运用其解决一些三角函数式的证明问题，并能解决一些实际问题．这就是我们本节课所要学习的内容．
例1课本本节例4.
变式训练　在锐角△ABC中，A、B、C是它的三个内角，记S＝＋，求证：S<1.证明：∵S＝＝，又A＋B>90°，∴90°>A>90°－B>0°.∴tanA>tan(90°－B)＝cotB>0.∴tanAtanB>1.∴S<1.
例2课本本节例5.
例3求证：＝1－.
活动：证明三角恒等式，一般要遵循“由繁到简”的原则，另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法．
证法一：左边＝
＝＝1－＝1－＝右边．∴原式成立．
证法二：右边＝1－＝
＝
＝＝左边．∴原式成立．
点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形，灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力．
课本本节练习1、2、3、4.
我们在学习两角和与差的正切公式的时候，不仅要熟练掌握公式本身，更应该掌握公式的变形公式，尤其是在解决有关三角函数式的证明和化简问题时，更应该注意灵活运用公式的变形公式．
课本习题3.1(3)　8、9、10.
作为两角和与差公式的最后一节课，学生对两角和与差的正切(包括正弦、余弦)公式及其应用有了比较深刻的理解．对于本节来说，教学中可以更多地让学生自主学习，探究解决问题的来龙去脉，使学生更好地掌握用分析的方法寻求解题思路．特别是本节课本例4是一个优美的三角恒等式，可让学生课后继续探究它的对称美、简洁美、统一美、结构美等特征，让学生从中体会数学的美丽生动．
备选习题
1．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为(　　)
A．－1
B．－
C.
D.
2．tan30°＋tan15°＋tan15°tan30°的值等于(　　)
A.
B.
C.
D．1
3.＝________.
4．已知tan110°＝a，则tan50°的值为________．
5．若tanx＝，则x＝________.
6．已知sinα＝－，cosβ＝，且α，β的终边在同一象限，求tan(α＋β)的值．
7．若3sinx＋cosx＝2sin(x＋φ)且φ∈(0，)，求tan(φ＋)的值．
8．在平面直角坐标系中，点P在以原点O为圆心、6为半径的圆上运动，线段OP与以O为圆心、2为半径的圆交于R点，过P作x轴的垂线，垂足为M，过R作PM的垂线，垂足为Q，求∠POQ的最大值．
参考答案：
1．D　2.D　3.　4.(或)
5．25°＋k·180°(k∈Z)　6..
7．分析：如何求φ是本题的关键．
解：∵3sinx＋cosx＝2(sinx＋cosx)＝2(sinxcos＋cosxsin)＝2sin(x＋)，
∴2sin(x＋φ)＝2sin(x＋)．
又∵φ∈(0，)，∴φ＝.
∴tan(φ＋)＝＝＝＝＝2＋.
8．解：本应考虑点P在四个象限的情形，由于对称性，可不妨设点P在第一象限，
设∠xOP＝α，∠xOQ＝β，则∠POQ＝α－β，Q(6cosα，2sinα)，tanβ＝＝tanα.
故tan∠POQ＝tan(α－β)＝＝＝.
设tan∠POQ＝y，tanα＝t，则y＝，
即yt2－2t＋3y＝0.由α是锐角，可知t＞0，从而y＝＞0.
又Δ＝4－12y2≥0，故0＜y≤，且当t＝时，y＝.
故y的最大值，即tan∠POQ的最大值为.
所以∠POQ的最大值为.
附：(设计者：王光玲)
3．1.3　两角和与差的正切
第1课时
作者：徐金花，江苏省铜山县棠张中学教师，本教学设计获江苏省教学设计大赛二等奖．
设计思想　　　　　
数学课程标准指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上．”“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解与掌握基本的数学基础知识与技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动的经验．”苏霍姆林斯基曾经说过，学生心灵深处有一种根深蒂固的需要——希望自己是一个发现者、研究者、探究者．本节课根据新课标和新课程的教学理念，采用自主探究与合作交流的教学方法，让学生积极主动的参与学习，给予他们充分的时间和空间，进行探索、猜想和发现两角和与差的正切公式．对于例习题的处理是通过一题多解、一题多变等形式让教学成为师生对话、沟通、合作、共建的交往活动．
教学内容分析　　　　　
本节内容在上两节正、余弦和、差角公式的基础上，利用同角三角函数关系推导出正切的和差角公式，并通过三个例题及变式题的处理(主要是公式的正用、逆用和变用)巩固所学知识．
教学目标分析　　　　　
1．知识与技能：会由正、余弦的和、差角公式推导出正切的和差、角公式．
能用正切的和、差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明．
2．过程与方法：学生利用正、余弦的和、差角公式自主探究正切的和、差角公式，并从推导的过程中感悟化归思想．
3．情感与态度：通过对问题的自主探究和合作交流，体验团队合作的快乐，养成严谨、开放的思维习惯，感悟化归思想、数形结合思想、整体思想、方程思想，增强数学学习的信心．
重点难点　　　　　
教学重点：正切公式的推导及用公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．
教学难点：公式的灵活应用．
教学准备　　　　　
实物投影仪　多媒体
情景创设(多媒体出示)　　　　　
回顾3.1.1节例2中求tan15°的过程，我们先分别求出sin15°和cos15°，再由同角三角函数关系求出tan15°，这个计算方法较烦琐，由15°＝45°－30°，我们猜想，能否由tan45°和tan30°直接求出tan15°呢？这就是我们这节课研究的课题——两角和与差的正切．(教师板书课题)
学生活动：回顾求解过程、感受计算量．
自主探究：(1)如何化未知角为已知角？
(2)如何化未知函数名为已知函数名？(“切”化“弦”)
学生活动　　　　　
学生就上面的问题展开讨论，讨论将涉及下面的问题：
1．同角的三角函数有哪些关系？我们选择哪个关系来研究本课题？
2．问题1中涉及到的S(α＋β)和C(α＋β)公式，你能准确写出来吗？
3．由问题1,2将tan(α±β)表示成α，β的“弦”的形式之后如何化成“切”的形式呢？
小组讨论，合作交流．
推荐两个小组代表板演推导两个公式的过程．
数学建构　　　　　
两角和与差的正切公式：(教师板书)
tan(α＋β)＝　　　T(α＋β)
tan(α－β)＝　　　T(α－β)
思考：1.公式的结构特点及适用范围(符号特点；结构特点：要注意到tan(α±β)可以用tanα和tanβ的和(差)与积表示；适用范围是使公式的两边都有意义)．
2．公式T(α－β)能否由T(α＋β)来推导呢？
(利用化归思想，用－β代替β)(教师板书数学思想)
3．由T(α＋β)公式，你能否将公式变形得到其他公式？(教师板书变形公式)
变形1　tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；
变形2　tanαtanβ＝1－.
(两个变形公式的适用范围也是使等式两边都有意义)
学生活动：学生在书上划出公式，并观察公式的结构特点．
思考：(1)求tan(＋α)可以用T(α＋β)公式展开吗？(2)T(α＋β)公式成立的具体条件是什么？
自主探究：一中等生口述思路“整体代换”
学生感悟化归思想．
小组讨论，合作交流．
学生记下变形公式(不作记忆要求，会变形应用)
思考：两变形公式成立的具体条件是什么？
数学应用(例题用多媒体出示、变式题用实物投影仪出示)　　　　　
例1(1)已知tanα＝，求tan(α＋)；
(2)已知tanα＝－，tanβ＝－5，求tan(α＋β)．
分析：直接应用公式，注意公式及运算的准确性．
变式1：(教材例1)已知tanα，tanβ是方程x2＋5x－6＝0的两根，求tan(α＋β)的值．
分析：思路一：可以根据方程解出tanα，tanβ，再代入公式计算即可．
思路二：通过计算tanα＋tanβ，tanαtanβ的值来求tan(α＋β)．
反思：思路二是利用整体思想方法来解题，较思路一简捷．
变式题2(教材本节练习4)
已知tan(α＋β)＝，tanα＝－2，求tanβ的值．
分析：思路一：利用“β＝(α＋β)－α”变换方法，代入T(α－β)公式求解即可．
思路二：由＝tan(α＋β)展开，将tanα＝－2代入，建立关于tanβ的方程．
反思：思路一通过角的变换，化未知为已知，渗透了化归思想；思路二是建立方程，体现了方程的思想．
(以上几题均是公式的正用)
思考：公式及变形公式有什么作用？
学生活动：一中等学生口述分析思路一，师板书．
一优等生口述分析思路二并板书关键步骤．
学生回顾韦达定理的内容并感悟整体思想方法．
两中等生口述分析思路一、思路二．
(师多媒体出示解答过程，强调规范书写，并给出评分标准)
思考：两种思路体现的数学思想是什么？
例2(教材例2)
求证：＝.
分析：思路一：由1＝tan45°，等式左边的结构与tan(α＋β)相似，考虑逆用两角和的正切公式．
思路二：本题也可由联想到tan60°，进而联想到两角和的正切公式，找到证明途径(公式正用)．
思路三：利用15°＝45°－30°，再代入T(α－β)公式求解．(化未知角为已知角再正用公式)
自主探究：
(1)如何证明等式？
(2)观察等式左、右两边的结构有何特点？
一优等生分析口述思路一(师板书)，
一中等生分析思路二(师及时表扬学生的巧妙联想)，
一潜能生分析思路三(师肯定学生的转化方法)．
变式题1.求证：＝.
分析：思路一：利用15°＝45°－30°，再代入S(α±β)和C(α±β)公式计算即可(此法较为烦琐)．
思路二：“弦化切”处理之后即为例2，可证．
思路三：逆用两角和与差的正、余弦公式化简可证．
其中：
cos15°－sin15°＝(cos15°－sin15°)
＝sin(45°－15°)＝.
cos15°＋sin15°＝(cos15°＋sin15°)
＝sin(45°＋15°)＝.
思路四：由等式左边是正值，可证其平方为3，而平方后可逆用和、差角公式，令m＝，则m>0，
从而m2＝＝＝＝3，可证．
思路五：构造向量，利用向量的内积定义及坐标表示来证明．
令a＝(1，－1)，b＝(cos15°，sin15°)，则
cos15°－sin15°＝(1，－1)·(cos15°，sin15°)＝×1×cosθ，
其中θ为a与b的夹角，且数形结合可知θ＝15°＋45°＝60°，
从而cos15°－sin15°＝cos60°＝，同理可求
cos15°＋sin15°＝cos30°＝，从而可证．
反思：本题是一题多解，开阔学生的思维，培养学生分析问题和解决问题的能力，渗透数学中的转化思想(思路二)和整体思想(思路四)和数形结合思想(思路五)．
小组讨论，合作交流．
不同解法的小组派代表展示证明方法．(前四种不同解法)
(通过合作探究问题的过程，体验团队合作的快乐，体会公式的灵活应用、感悟化归、数形结合、整体、方程的数学思想．)
(师启发思路五并多媒体出示解答过程，留时间让学生体会构造方法)
变式题2.利用和(差)公式证明
tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝.
分析：利用和(差)角公式的变形公式1可得
tan20°＋tan40°＝tan(20°＋40°)(1－tan20°tan40°)＝(1－tan20°tan40°)．
反思：本题是公式灵活应用的典例，更一般地，猜想：
tanα＋tanβ＋tan(α＋β)tanαtanβ＝tan(α＋β)成立吗？
讨论交流，一优等生分析口述(师板书)．
思考：能否用公式T(α＋β)的变形2来证明呢？
(课后完成猜想)
例3(教材例3)
如图，三个相同的正方形相接，求证：α＋β＝.
分析：由图可知tanα＝且0<α<，tanβ＝且0<β<，欲求α＋β的值，先求tan(α＋β)的值为1且0<α＋β<π，从而α＋β＝.
反思：这是一道具有几何背景的简单问题，从这里可以看出已知一个角的三角函数值求角的方法．
思考：你能从图形中观察出α，β均小于，那你能从代数的角度说明α，β均小于吗？(利用函数的单调性求角的范围．如0思考1：求角“α＋β”的哪个函数值较好？
思考2：由tan(α＋β)＝1能直接得到α＋β＝吗？为什么？
变式题：已知A，B为锐角，且A＋B＝45°.
(1)求证：(1＋tanA)(1＋tanB)＝2.
(2)求值：(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)．
自主探究(1)
课外思考(2)
回顾小结　　　　　
1．知识点：两角和与差的正切公式的推导；应用公式进行求值、化简及三角恒等式的证明(正用，逆用，变用)．
2．数学思想：化归思想、整体思想、数形结合思想、方程思想．
一中等生完成小结，学生笔记数学思想．
作业　　　　　
教材习题3.1(3)必做题2,5,9；选做题7.
教后记　　　　　
本节课根据新课标和新课程的教学理念，采用自主探究与合作交流的教学方法，让学生积极主动的参与学习，给予他们充分的时间和空间，进行探索、猜想和发现两角和与差的正切公式，培养学生自主探究能力和合作交流能力．在公式的结构特点方面，让学生观察归纳，培养学生的观察能力和归纳能力．在例题的处理和变式题的训练方面，完全让学生自主探究，合作讨论交流，体验团队合作的快乐，培养学生思维的严谨性和开阔性，以及分析问题、解决问题的能力，渗透了整体、化归、数形结合、方程等几种数学思想．
不足之处：对于例2的变式题1的证法五是在教师启发引导下探究出来的，这说明学生的“向量”工具应用还不够好，学生的思维开阔性及整体思想、数形结合思想的应用方面还需进一步提高．而例2的变式题2的处理，学生变用公式的能力还有待进一步提高．对于例3的思考2同样反映了学生的数形结合能力有待进一步提高．1.3.2　三角函数的图象与性质
教学分析　　　　　
研究函数的性质常常以直观图象为基础，这点学生已经有些经验，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想的应用．正弦函数、余弦函数的教学也是如此．先研究它们的图象，在此基础上再利用图象来研究它们的性质．显然，加强数形结合是深入研究函数性质的基本要求．
由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就完全清楚了，因此，教科书把对周期性的研究放在了首位．这是对数学思考方向的一种引导．
由于正弦线、余弦线已经从“形”的角度描述了三角函数，因此利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图象是一个自然的想法．当然，我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图．
三维目标　　　　　
1．通过实验演示，让学生经历图象画法的过程及方法，通过对图象的感知，形成对正弦、余弦以及正切函数的初步认识，了解这三种曲线的准确作法．经历正弦、余弦、正切函数的性质的探索过程，熟练掌握这三种函数的性质．在探索学习的过程中，使学生养成善于发现、善于探究的良好习惯．学会遇到新问题时善于调动所学过的知识，较好地运用新旧知识之间的联系，提高分析问题、解决问题的能力．
2．通过学习本节，理解正弦、余弦、正切函数图象的画法．借助图象变换，了解函数之间的内在联系，加深学生对数形结合这一数学思想的认识．通过三角函数图象的三种画法：描点法、几何法、五点法，体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处，并会熟练地画出一些较简单的函数图象．
3．组织学生通过观察这三种函数的图象归纳出三种函数的性质，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣．通过学习，让学生体会数学中的图形美，体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦，树立科学的辩证唯物主义观．
重点难点　　　　　
教学重点：1.会画正弦、余弦、正切函数的图象．
2．掌握正弦、余弦、正切函数的性质及应用．
教学难点：1.利用正弦线、正切线画正弦、正切函数的图象；由诱导公式和正弦曲线画余弦函数的图象．
2．正弦、余弦、正切函数性质的应用．
课时安排　　　　　
3课时
第1课时
导入新课　　　　　
思路1.(复习导入)遇到一个新的函数，非常自然的是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等．我们也很自然的想知道y＝sinx与y＝cosx的图象是怎样的？回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么？是如何画出它们的图象的(列表描点法：列表、描点、连线)？进而引导学生通过取值，画出当x∈[0,2π]时y＝sinx的图象．
思路2.(情境导入)指导学生将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴．把漏斗灌上沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”．它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况．
有了上述实验，你对正弦函数、余弦函数的图象是否有了一个直观的印象？画函数的图象，最基本的方法是我们以前熟知的列表描点法，但不够精确．下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图象．
推进新课　　　　　
教师先让学生阅读教材、思考讨论．为什么要用正弦线来作正弦函数的图象，怎样在x轴上标横坐标？为什么将单位圆分成12份？学生思考探索仍不得要领时，教师可进行适时的点拨．只要解决了y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，就很容易得到y＝sinx，x∈R时的图象了．
第一步，可以想象把单位圆圆周剪开并12等份，再把x轴上从0到2π这一段分成12等分．由于单位圆周长是2π，这样就解决了横坐标问题．过⊙O1上的各分点作x轴的垂线，就可以得到对应于0、、、、…、2π等角的正弦线，这样就解决了纵坐标问题(相当于“列表”)．第二步，把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，这就得到了函数对(x，y)(相当于“描点”)．第三步，再把这些正弦线的终点用平滑曲线连结起来，我们就得到函数y＝sinx在[0,2π]上的一段光滑曲线(相当于“连线”)．如图1所示(这一过程用课件演示，让学生仔细观察平移和连线过程．然后让学生动手作图，形成对正弦函数图象的感知)．这是本节的难点，教师要和学生共同探讨．
图1
因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sinx在x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0上的图象与函数y＝sinx在x∈[0,2π]上的图象的形状完全一致，只是位置不同．于是我们只要将函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图象．(这一过程用课件处理，让同学们仔细观察整个图的形成过程，感知周期性)．
图2
教师引导学生观察诱导公式，思考探究正弦函数、余弦函数之间的关系，通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象？让学生从函数解析式之间的关系思考，进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法．让学生动手做一做，体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同，感知两个函数的整体形状，为下一步学习正弦函数、余弦函数的性质打下基础．
把正弦函数y＝sinx，x∈R的图象向左平移个单位长度即可得到余弦函数图象，如图3.
图3
正弦函数y＝sinx，x∈R的图象和余弦函数y＝cosx，x∈R的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象，发现在[0,2π]上有五个点起关键作用，只要描出这五个点后，函数y＝sinx在[0,2π]上的图象的形状就基本上确定了．这五点如下：
(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．
因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就可快速得到函数的简图．这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的，要求熟练掌握．
例1课本本节例1.
变式训练
1．画出下列函数的简图：
(1)y＝1＋sinx，x∈[0,2π]；(2)y＝－cosx，x∈[0,2π]．
解：(1)按五个关键点列表：
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
－1
0
1＋sinx
1
2
1
0
1
描点并将它们用光滑的曲线连结起来(图4).
图4
(2)按五个关键点列表：
x
0
π
2π
cosx
1
0
－1
0
1
－cosx
－1
0
1
0
－1
描点并将它们用光滑的曲线连结起来(图5)．
图5
点评：“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法，本例是最简单的变化．本例的目的是让学生熟悉“五点法”．如果是多媒体教学，要突破课件教学的互动性，多留给学生一些动手操作的时间，或者增加图象纠错的环节，效果将会令人满意，切不可教师画图学生看．
2.在给定的直角坐标系如图6中，作出函数f(x)＝cos(2x＋)在区间[0，π]上的图象．
解：列表取点如下：
x
0
π
2x＋
π
2π
f(x)
1
0
－
0
1
描点连线作出函数f(x)＝cos(2x＋)在区间[0，π]上的图象如图7.
　　　
图6　　　　
　　
　　　图7
例2画出函数y＝|sinx|，x∈R的简图．
活动：教师引导学生观察探究y＝sinx的图象并思考|sinx|的意义，发现只要将其x轴下方的图象翻上去即可．
进一步探究发现，只要画出y＝|sinx|，x∈[0，π]的图象，然后左、右平移(每次π个单位)就可以得到y＝|sinx|，x∈R的图象．
让学生尝试寻找在[0，π]上哪些点起关键作用，易看出起关键作用的点有三个：(0,0)，(，1)，(π，0)．然后列表、描点、连线，让学生自己独立操作完成，对其失误的地方再予以纠正．
解：按三个关键点列表：
x
0
π
sinx
0
1
0
y＝|sinx|
0
1
0
描点并将它们用光滑的曲线连结起来(图8)．
图8
点评：通过本例，让学生更深刻地理解正弦曲线及“五点法”画图的要义，并进一步从图象变换的角度认识函数之间的关系.
变式训练
1．方程sinx＝的根的个数为(　　)
A．7　　　　　　B．8　　　　　　C．9　　　　　　D．10
解：这是一个超越方程，无法直接求解，可引导学生，考虑数形结合的思想方法，将其转化为函数y＝的图象与y＝sinx的图象的交点个数问题，借助图形直观求解．解好本题的关键是正确地画出正弦函数的图象．如图9，从图中可看出，两个图象有7个交点.
图9
答案：A
2．用“五点法”作函数y＝2sin2x的图象时，首先应描出的五点横坐标可以是(　　)
A．0，，π，，2π　　　　　　　
B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π
D．0，，，，
答案：B
课本本节练习2、3.
以提问的方式，先由学生反思学习内容并回答，教师再作补充完善．
1．怎样利用“周而复始”的特点，把区间[0,2π]上的图象扩展到整个定义域的？
2．如何利用图象变换从正弦曲线得到余弦曲线？
这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法．除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外，余弦函数图象还可由平移交换法得到．“五点法”作图是比较方便、实用的方法，应熟练掌握．数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．
课本习题1.3　2.
1．本节课操作性强，学生活动量较大．新课从实验演示入手，形成图象的感知后，升级问题，探索正弦曲线准确的作法，形成理性认识．问题设置层层深入，引导学生发现问题，解决问题，并对方法进行归纳总结，体现了新课标“以学生为主体，教师为主导”的课堂教学理念．如用多媒体课件，则可生动地表现出函数图象的变化过程，更好地突破难点．
2．本节课所画的图象较多，能迅速准确地画出函数图象对初学者来说是一个较高的要求，重在学生动手操作，不要怕学生出错．通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力．开始时要慢些，尤其是“五点法”，每个点都要能准确地找到，然后迅速画出图象．
备用习题
1．用“五点法”画出下列函数的图象：
(1)y＝2－sinx，x∈[0,2π]；(2)y＝＋sinx，x∈[0,2π]．
2．方程2x＝cosx的解的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．无穷多个
3．图10中的曲线对应的函数解析式是(　　)
图10
A．y＝|sinx|
B．y＝sin|x|
C．y＝－sin|x|
D．y＝－|sinx|
4．根据y＝cosx的图象解不等式：－≤cosx≤.
参考答案：1.解：按五个关键点列表如下：
x
0
π
2π
y＝2－sinx
2
1
2
3
2
y＝＋sinx
－
在直角坐标系中描出这五个点，作出相应的函数图象，如下图所示．
(1)如图11.
图11
(2)如图12.
图12
2．D　3.C
4．解：如图13.
图13
解集为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}或{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
二、潮汐与港口水深
我国东汉时期的学者王充说过：“涛之兴也，随月盛衰”．唐代学者张若虚(约660年至约720年)在他的《春江花月夜》中，更有“春江潮水连海平，海上明月共潮生”这样的优美诗句．古人把海水白天的上涨叫做“潮”，晚上的上涨叫做“汐”．实际上，潮汐与月球、地球都有关系．在月球万有引力的作用下，就地球的海面上的每一点而言，海水会随着地球本身的自转，大约在一天里经历两次上涨、两次降落．
由于潮汐与港口的水深有密切关系，任何一个港口的工作人员对此都十分重视，以便合理地加以利用．例如，某港口工作人员在某年农历八月初一从0时至24时记录的时间t(h)与水深d(m)的关系如下：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
d
5
7.5
5
2.5
5
7.5
5
2.5
5
(1)把上表中的九组对应值用直角坐标系中的九个点表示出来(如下图中实心圆点所示)，观察它们的位置关系，不难发现，我们可以选用正弦型函数d＝5＋2.5sint，t∈[0,24)来近似地描述这个港口这一天的水深d与时间t的关系，并画出简图(如图14)．
图14
由此图或利用科学计算器，可以得到t取其他整数时d的近似值，从而把上表细化．
(2)利用这个函数及其简图，例如这一年农历八月初二或九月初一，假设有一条货船的吃水深度(即船底与水面的距离)为4
m，安全条例规定至少要有1.5
m的安全间隙(即船底与水底的距离)，那么根据5.5≤d≤7.5，就可以近似得到此船何时能进入港口和在港口能逗留多久．如果此船从凌晨2时开始卸货，吃水深度由于船减少了载重而按0.3
m/h的速度递减，还可以近似得到卸货必须在什么时间前停止才能将船驶向较深的某目标水域．
不同的日子，潮汐的时刻和大小是不同的．农历初一和十五涨的是大潮，尤以八月十五中秋为甚．以上的估算必须结合其他数据一起考虑，才能加以科学利用．
(设计者：郑吉星)
第2课时
导入新课　　　　　
思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时，如幂函数、指数函数、对数函数的性质，往往通过它们的图象来研究．先让学生画出正弦函数、余弦函数的图象，从学生画图象、观察图象入手，由此展开正弦函数、余弦函数性质的探究．
思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质，y＝sinx，y＝cosx是函数，我们当然也要探讨它的一些性质．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质．请同学们回想一下，一般来说，我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)？然后逐一进行探究．
推进新课　　　　　
由正弦函数、余弦函数图象归纳它们的性质，并利用正、余弦函数的性质解决一些简单的问题．
在研究正弦、余弦函数图象与性质时，教师要引导学生充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线，当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的，因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系，是研究三角函数性质的好工具．用三角函数线研究三角函数的性质，体现了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质．
学生很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R〔或(－∞，＋∞)〕；很容易观察出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界，得出正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．教师要引导学生从代数的角度思考并给出证明：
∵正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，
∴|sinx|≤1，|cosx|≤1，
即－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1.
也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是[－1,1]．
对于正弦函数y＝sinx，x∈R：
(1)当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1.
(2)当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.
对于余弦函数y＝cosx，x∈R：
(1)当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1.
(2)当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.
关于正、余弦函数的变化趋势教师可引导、点拨学生先截取一段图象来看，选哪一段呢？如图1，通过学生充分讨论后确定：选图象上的[－，]这段．教师还要强调为什么选这段，而不选[0,2π]的道理，其他类似．
这个变化情况也可从下表中显示出来：
x
－
…
0
…
…
π
…
sinx
－1
↗
0
↗
1
↘
0
↘
－1
就是说，函数y＝sinx，x∈[－，]．
当x∈[－，]时，曲线逐渐上升，是增函数，sinx的值由－1增大到1；
当x∈[，]时，曲线逐渐下降，是减函数，sinx的值由1减小到－1.
类似地，同样可得y＝cosx，x∈[－π，π]的单调变化情况．教师要适时点拨、引导学生先如何恰当地选取余弦曲线的一段来研究，如图3，为什么选[－π，π]，而不是选[0,2π]．
图3
并引导学生列出下表：
x
－π
…
－
…
0
…
…
π
cosx
－1
↗
0
↗
1
↘
0
↘
－1
结合正弦函数、余弦函数的周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
余弦函数在每一个闭区间[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
关于对称性，学生能直观地得出：正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对称．在R上，y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数．教师要恰时恰点地引导，怎样用学过的知识方法给予证明？
由诱导公式：
∵sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，
∴y＝sinx为奇函数，y＝cosx为偶函数．
至此，一部分学生已经看出来了，在正弦曲线、余弦曲线上还有其他的对称点和对称轴，如正弦曲线还关于直线x＝对称，余弦曲线还关于点(，0)对称，等等，这是由它的周期性而来的；教师可就此引导学生进一步探讨，为今后的学习打下伏笔．
当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后，会发现它们有很多共同之处．我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲线，所以它们的定义域相同，都为R，值域也相同，都是[－1,1]，最大值都是1，最小值都是－1，只不过由于y轴放置的位置不同，使取得最大(或最小)值的时刻不同；它们的周期相同，最小正周期都是2π；它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x轴的直线为对称轴．但是由于y轴的位置不同，对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同．它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现，也是由于y轴的位置改变，使增、减区间的位置有所不同，也使奇偶性发生了改变．
由此可看出，图象的平移变换对函数的性质会产生怎样的影响？
最后教师与学生一起归纳总结并填写如下表格(或打出幻灯)：
思路1
例1课本本节例2.
变式训练　下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么．(1)y＝cosx＋1，x∈R；(2)y＝－3sin2x，x∈R.解：(1)使函数y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合{x|x＝2kπ，k∈Z}；使函数y＝cosx＋1，x∈R取得最小值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最小值的x的集合{x|x＝(2k＋1)π，k∈Z}.　　　函数y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2；最小值是－1＋1＝0.(2)令z＝2x，使函数y＝－3sinz，z∈R取得最大值的z的集合是{z|z＝－＋2kπ，k∈Z}；由2x＝z＝－＋2kπ，得x＝－＋kπ.因此使函数y＝－3sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是{x|x＝－＋kπ，k∈Z}．同理，使函数y＝－3sin2x，x∈R取得最小值的x的集合是{x|x＝＋kπ，k∈Z}．函数y＝－3sin2x，x∈R的最大值是3，最小值是－3.点评：以前我们求过最值，本例也是求最值，但对应的自变量x的值却不惟一，这从正弦函数的周期性容易得到解释．求解本例的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大(小)值的性质，对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋B的函数，一般通过变量代换(如设z＝ωx＋φ化归为y＝Asinz＋B的形式)，然后进行求解．这种思想对于利用正弦函数、余弦函数的其他性质解决问题时也适用.
例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)sin(－)与sin(－)；(2)cos(－)与cos(－)．
活动：学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的图象与性质进行大小比较，充分利用学生的知识迁移有利于学生能力的快速提高．本例的两组都是正弦或余弦，只需将角化为在同一个单调区间，然后根据单调性比较大小即可．课堂上教师要让学生自己独立地去操作，教师适时地点拨、纠错，对思考方法不对的学生给予帮助指导．
解：(1)因为－<－<－<0，正弦函数y＝sinx在区间[－，0]上是增函数，
所以sin(－)>sin(－)．
(2)cos(－)＝cos＝cos，
cos(－)＝cos＝cos.
因为0<<<π，且函数y＝cosx，x∈[0，π]是减函数，
所以cos>cos，
即cos(－)点评：推进本例时应提醒学生注意，在今后遇到的三角函数值大小比较时，必须将已知角化到同一个单调区间内，其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况，以便快速解题，如本例中，cos>0，cos<0，显然大小可判．
例3见课本本节例3.
变式训练　求函数y＝sin(x＋)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间．活动：可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间．教师要引导学生的思考方向：把x＋看作z，这样问题就转化为求y＝sinz的单调区间问题，而这就简单多了．解：令z＝x＋.函数y＝sinz的单调递增区间是[－＋2kπ，＋2kπ]．由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z.由x∈[－2π，2π]，可知－2π≤－＋4kπ且＋4kπ≤2π，于是－≤k≤，由于k∈Z，所以k＝0，即取k＝0，得－≤x≤.而[－，][－2π，2π]，因此，函数y＝sin(＋)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是[－，]．点评：本例的求解是转化与化归思想的运用，即利用正弦函数的单调性，将问题转化为一个关于x的不等式问题．然后通过解不等式得到所求的单调区间，要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法，善于将复杂的问题简单化.
思路2
例1求下列函数的定义域：
(1)y＝；(2)y＝.
活动：学生思考操作，教师提醒学生充分利用函数图象，根据实际情况进行适当地指导点拨，纠正出现的一些错误或书写不规范等．
解：(1)由1＋sinx≠0，得sinx≠－1，
即x≠＋2kπ(k∈Z)．
∴原函数的定义域为{x|x≠＋2kπ，k∈Z}．
(2)由cosx≥0，
得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
∴原函数的定义域为[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)．
点评：本例实际上是解三角不等式，可根据正弦曲线、余弦曲线直接写出结果．本例分作两步，第一步转化，第二步利用三角函数曲线写出解集．
例2在下列区间中，函数y＝sin(x＋)的单调增区间是(　　)
A．[，π]
B．[0，]
C．[－π，0]
D．[，]
活动：函数y＝sin(x＋)是一个复合函数，
即y＝sin[φ(x)]，φ(x)＝x＋，
欲求y＝sin(x＋)的单调增区间，
因φ(x)＝x＋在实数集上恒递增，
故应求使y随φ(x)递增而递增的区间．
也可从转化与化归思想的角度考虑，
即把x＋看成一个整体，其道理是一样的．
解：∵φ(x)＝x＋在实数集上恒递增，
又y＝sinx在[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)上是递增的，
故令2kπ－≤x＋≤2kπ＋.
∴2kπ－≤x≤2kπ＋.
∴y＝sin(x＋)的递增区间是[2kπ－，2kπ＋]．
取k＝－1、0、1分别得[－，－]、[－，]、[，]，对照选择肢，可知应选B.
答案：B
点评：像这类题型，上述解法属常规解法，而运用y＝Asin(ωx＋φ)的单调增区间的一般结论，由一般到特殊求解，既快又准确，如本题倘若运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法．当然作为选择题还可利用特殊值、图象变换等手段更快地解出．
解题规律：求复合函数单调区间的一般思路是：
(1)求定义域；
(2)确定复合过程，y＝f(t)，t＝φ(x)；
(3)根据函数f(t)的单调性确定φ(x)的单调性；
(4)写出满足φ(x)的单调性的含有x的式子，并求出x的范围；
(5)得到x的范围，与其定义域求交集，即是原函数的单调区间．
结论：对于复合函数的单调性，可以直接根据构成函数的单调性来判断.
变式训练1．函数y＝sin(2x＋)的图象的一条对称轴方程是(　　)A．x＝－　　
B．x＝－　　
C．x＝　　
D．x＝解析：方法一：y＝sin(2x＋)的所有对称轴方程为x＝－π(k∈Z)，令k＝1，得x＝－，对于B、C、D都无整数k对应．方法二：y＝sin(2x＋)＝cos2x，它的对称轴方程为x＝(k∈Z)，令k＝－1，得x＝－，对于B、C、D都无整数k对应．答案：A2．如果函数f(x)＝sin(πx＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T，且当x＝2时取得最大值，那么(　　)A．T＝2，θ＝　　　　　　　
　B．T＝1，θ＝πC．T＝2，θ＝π
D．T＝1，θ＝解析：T＝＝2，又当x＝2时，sin(π·2＋θ)＝sin(2π＋θ)＝sinθ，要使上式取得最大值，可取θ＝.答案：A3．求函数y＝sin(－)的单调递减区间及单调递增区间．解：y＝sin(－)＝－sin(－)，由2kπ－≤－≤2kπ＋，可得3kπ－≤x≤3kπ＋(k∈Z)为单调减区间；由2kπ＋≤－≤2kπ＋，可得3kπ＋≤x≤3kπ＋(k∈Z)为单调增区间．所以原函数的单调减区间为[3kπ－，3kπ＋](k∈Z)；原函数的单调增区间为[3kπ＋，3kπ＋](k∈Z).
课本练习1、4、5、6、7.
1．由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识，学习了哪些数学思想方法．这节课我们研究了正弦函数、余弦函数的性质．重点是掌握正弦函数的性质，通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究，更加深了我们对这两个函数的理解．同时也巩固了上节课所学的正弦函数，余弦函数的图象的画法．
2．进一步熟悉了数形结合的思想方法，转化与化归的思想方法，类比的思想方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点．
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝xsin(π＋x)；(2)f(x)＝.
解答：(1)函数的定义域为R，它关于原点对称．
∵f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsinx，
f(－x)＝－(－x)sin(－x)＝－xsinx＝f(x)，
∴函数为偶函数．
(2)函数应满足1－sinx≠0，
∴函数的定义域为{x|x∈R且x≠2kπ＋，k∈Z}．
∵函数的定义域关于原点不对称，
∴函数既不是奇函数也不是偶函数．
1．本节是三角函数的重点内容，设计的容量较大，指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动．作为函数的性质，从初中就开始学习，到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识，这是高中所学的最后一个基本初等函数．但由于以前所学的函数不是周期函数，所以理解较为容易，而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外，又有其特殊性，共性中包含特性，特性又离不开共性，这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟．
2．在讲完正弦函数性质的基础上，应着重引导学生用类比的方法写出余弦函数的性质，以加深他们对两个函数的区别与联系的认识，并在解题中突出数形结合思想，在训练中降低变化技巧的难度，提高应用图象与性质解题的力度．较好地利用图象解决问题，这也是本节课主要强调的数学思想方法．
3．学习三角函数性质后，引导学生对过去所学的知识重新认识，例如sin(α＋2π)＝sinα这个公式，以前我们只简单地把它看成一个诱导公式，现在我们认识到了它表明正弦函数的周期性，以提升学生的思维层次．
二、备用习题
1．函数y＝sin(－2x)的单调减区间是(　　)
A．[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)
B．[4kπ－，4kπ＋](k∈Z)
C．[kπ－，kπ＋](k∈Z)
D．[kπ－，kπ＋](k∈Z)
2．满足sin(x－)≥的x的集合是(　　)
A．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}
B．{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}
C．{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}
D．{x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z}∪{x|2kπ＋≤x≤(2k＋1)π，k∈Z}
3．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝lgsinx；(2)y＝2.
4．已知函数y＝f(x)的定义域是[0，]，求下列函数的定义域：
(1)f(cos2x)；(2)f(sin2x－)．
5．已知函数f(x)＝|sinx－cosx|.
(1)求出它的定义域和值域；
(2)指出它的单调区间；
(3)判断它的奇偶性；
(4)求出它的周期．
6．求函数y＝sin2x＋psinx＋q(p、q∈R)的最值．
7．若cos2θ＋2msinθ－2m－2<0恒成立，试求实数m的取值范围．
8．求函数y＝lgsin(－)的单调增区间，以下甲、乙、丙有三种解法，请给予评判．
同学甲：令t＝sin(－)，则y＝lgt.
∵y＝lgt是增函数，∴原函数的单调增区间就是t＝sin(－)的增区间．
又sinμ的增区间为[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)，
∴－＋2kπ≤－≤＋2kπ(k∈Z)，
解得4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)．
∴原函数的增区间为[4kπ－，4kπ＋](k∈Z)．
同学乙：令t＝sin(－)，则y＝lgt.
∵y＝lgt是增函数，∴原函数的单调增区间就是t的增区间．
∵t＝sin(－)＝cos(＋)，∴只需求出cos(＋)的增区间，
由于cosμ的增区间为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，
∴2kπ－π≤＋≤2kπ4kπ－≤x≤4kπ－(k∈Z)．
∴原函数的增区间为[4kπ－，4kπ－](k∈Z)．
同学丙：令t＝sin(－)，则y＝lgt.
∵y＝lgt是增函数，∴原函数的单调增区间是使t>0且t为增函数的x的范围．
∵t＝sin(－)＝cos(＋)，
∴只需求出使t＝cos(＋)>0且t为增函数的x的区间，
于是有2kπ－<＋≤2kπ?4kπ－∴原函数的增区间为(4kπ－，4kπ－](k∈Z)．
参考答案：1.D　2.A
3．解：(1)由题意得sinx>0，∴2kπ又∵0故函数的定义域为[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z，值域为(－∞，0]．
(2)由题意得cos3x≥0，
∴2kπ－≤3x≤2kπ＋，k∈Z.
∴－≤x≤＋，k∈Z.
又∵0≤cos3x≤1，∴0≤2≤2.
故函数的定义域为[－，＋]，k∈Z，值域为[0,2]．
4．解：(1)由题意得0≤cos2x≤，∴－≤cosx≤.
利用单位圆中的三角函数线或余弦函数图象，可得
x∈[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.
(2)由题意得0≤sin2x－≤，∴－≤sinx≤－或≤sinx≤
.
∴x∈[kπ＋，kπ＋]∪[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.
5．解：f(x)＝|sinx－cosx|＝|sin(x－)|.
(1)它的定义域应满足sin(x－)≠0，x－≠kπ，x≠kπ＋(k∈Z)，
故定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}．
∵|sinx－cosx|＝|sin(x－)|，
∴0≤|sinx－cosx|≤.
根据y＝t，t∈(0，＋∞)是减函数，可知|sinx－cosx|≥＝－，
故值域为[－，＋∞)．
(2)函数的单调增区间是[kπ－，kπ＋)(k∈Z)，单调减区间是(kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
(3)由于其定义域关于原点不对称，∴此函数非奇非偶．
(4)由于y＝|sinx|的周期为π，故原函数的周期为π.
6．解：y＝sin2x＋psinx＋q＝(sinx＋)2＋，令t＝sinx.
若－>1，即p<－2，则当t＝sinx＝1时，ymin＝1＋p＋q，当t＝sinx＝－1时，ymax＝1－p＋q；
若－1≤－≤1，即－2≤p≤2，则当t＝sinx＝－时，ymin＝，并且若－1≤－≤0，即0≤p≤2，则当t＝sinx＝1时，ymax＝1＋p＋q；
若0<－≤1，即－2≤p<0，则当t＝sinx＝－1时，ymax＝1－p＋q；
若－<－1，即p>2，则当t＝sinx＝－1时，ymin＝1－p＋q；当t＝sinx＝1时，ymax＝1＋p＋q.
7．解：令sinθ＝t，则－1≤t≤1.
要使cos2θ＋2msinθ－2m－2<0恒成立，即sin2θ－2msinθ＋2m＋1>0恒成立．
设f(t)＝t2－2mt＋2m＋1，则只要f(t)>0在[－1,1]上恒成立即可．
由于f(t)＝(t－m)2＋2m＋1－m2(－1≤t≤1)，∴只要f(t)的最小值大于零即可．
若m<－1，则当t＝－1时，f(t)min＝2＋4m，令2＋4m>0，得m>－，这与m<－1矛盾，故舍去；
若－1≤m≤1，则当t＝m时，f(t)min＝－m2＋2m＋1，令－m2＋2m＋1>0，
解得1－∴1－若m>1，则当t＝1时，f(t)min＝2>0，∴m>1.
综上所述，m>1－.
8．解：由于函数的单调区间是其定义域的子区间，该函数的定义域是使sin(－)>0的x的取值范围，甲、乙两名同学都没有考虑到定义域，因此其解法是错误的；同时，甲同学还有一处错误，即sinμ的增区间不是t的增区间(因为μ＝－中μ是自变量x的减函数)．丙生既考虑了函数的定义域，也考虑到将x的系数变为正数，其解法是正确的．
第3课时
导入新课　　　　　
思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数，前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课．
思路2.先由图象开始，让学生先画正切线，然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象．这也是一种不错的选择，这是传统的导入法．
推进新课　　　　　
正切函数的图象及其应用．我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质．正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数．我们可以运用类比的方法先探究出正切函数的性质．
由诱导公式tan(x＋π)＝tanx，x∈R，x≠＋kπ，k∈Z可知，正切函数是周期函数，周期是π.
这里可通过多媒体课件演示，让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性，直观理解正切函数的周期性，后面的正切函数图象作出以后，还可从图象上观察正切函数的这一周期性．
引导学生作出正切线，并观察它的变化规律．如图1.
图1
画正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？引导学生在课堂上展开充分讨论，体现“教师为主导，学生为主体”的新课改理念．有的学生可能选取了[0，π]作为正切函数的周期，这正是学生作图的真实性的体现．此时，教师应调整计划，把课件中先作出[－，]内的图象，改为先作出[0，π]内的图象，再进行图象的平移，得到整个定义域内函数的图象，让学生观察思考．最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质，让学生通过分析得到先作区间(－，)的图象为好．这时条件成熟，引导学生来作正切函数的图象．如图2.
根据正切函数的周期性，把图2向左、右扩展，得到正切函数y＝tanx，x∈R，且x≠＋kπ(k∈Z)的图象，我们称正切曲线，如图3.
引导学生进一步观察正切曲线，点拨学生讨论思考只需确定哪些点或线就能画出函数y＝tanx，x∈(－，)上的简图？学生可看出有三个点很关键：(－，－1)，(0,0)，(，1)，还有两条竖线．因此画正切函数简图的方法就是：先描三点(－，－1)，(0,0)，(，1)，再画两条平行线x＝－，x＝，然后连线．教师要让学生动手画一画，这对今后解题很有帮助．
从图中可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．引导学生进一步思考，这点反映了它的哪一性质？(定义域)；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线，我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线？(渐近线)；从y轴方向看，上下无限延伸，得到它的哪一性质？(值域为R)；每隔π个单位，对应的函数值相等，得到它的哪一性质？(周期π)；在每个区间上，图象都呈上升趋势，得到它的哪一性质？(单调性)，单调增区间是(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z，没有减区间；它的图象是关于原点对称的，得到哪一性质？(奇函数)．通过图象我们还能发现它是中心对称的，对称中心是(，0)，k∈Z.
由正切函数的图象可以得到正切函数的主要性质如下：
(1)定义域：{x|x∈R且x≠＋kπ，k∈Z}．
(2)值域：实数集R.
(3)周期性：正切函数是周期为π的周期函数．
(4)奇偶性：奇函数，图象关于原点对称．
(5)单调性：每个开区间(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)都是函数y＝tanx的单调增区间．
注意：正切函数在每个区间上都是增函数，但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数．如在区间(0，π)上就没有单调性．
例1不求值，比较下列各组函数值的大小．
(1)tan138°与tan143°；(2)tan(－)与tan(－)．
活动：利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，可以先利用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小．教师可放手让学生自己去探究完成，由学生类比正弦、余弦函数值的大小比较，学生不难解决，主要是训练学生巩固本节所学的基础知识，加强类比思想的运用．
解：(1)∵y＝tanx在90°∴由138°<143°，得tan138°(2)∵tan(－)＝－tan＝－tan(3π＋)＝－tan，
tan(－)＝－tan＝－tan(3π＋)＝－tan.
又0<<<，而y＝tanx在(0，)上是增函数，∴tan∴－tan>－tan，即tan(－)>tan(－)．
点评：不要求学生强记正切函数的性质，只要记住正切函数的图象或正切线即可．
例2见课本本节例4.
变式训练　用图象求函数y＝的定义域．解：由tanx－≥0，得tanx≥，利用图4知，所求定义域为[kπ＋，kπ＋)(k∈Z)．点评：先在一个周期内得出x的取值范围，然后再加周期即可，亦可利用单位圆求解，但在今后解题时，学生哪种熟练就用哪种.
变式训练　根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x的集合．(1)1＋tanx≥0；(2)tanx＋＜0.解：(1)tanx≥－1，∴x∈[kπ－，kπ＋)，k∈Z；(2)x∈(kπ－，kπ－)，k∈Z.
变式训练　求函数y＝tan(x＋)的定义域、周期和单调区间．活动：类比正弦、余弦函数，本题应用的是换元法，由于在研究正弦、余弦函数的类似问题时已经用过换元法，所以这里也就不用再介绍换元法了，可以直接将x＋作为一个整体．教师可让学生自己类比地探究，只是提醒学生注意定义域．解：函数的自变量x应满足x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠2k＋，k∈Z.所以函数的定义域是{x|x≠2k＋，k∈Z}．由于f(x)＝tan(x＋)＝tan(x＋＋π)＝tan[(x＋2)＋]＝f(x＋2)，因此函数的周期为2.由－＋kπ0)的周期性的研究一样，这里可引导学生探究y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期T＝.
变式训练　求函数y＝tan(x＋)的定义域，值域，单调区间，周期性．解：由x＋≠kπ＋，k∈Z，可知定义域为{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}，值域：R.由x＋∈(kπ－，kπ＋)，k∈Z可得，在x∈(kπ－，kπ＋)上是增函数．周期是π，也可看作由y＝tanx的图象向左平移个单位得到，其周期仍然是π.
思路2
例1把tan1，tan2，tan3，tan4按照由小到大的顺序排列，并说明理由．
活动：引导学生利用函数y＝tanx的单调性探究解题方法，也可利用单位圆中的正切线探究解题方法．但要提醒学生注意本节中活动的结论：正切函数在定义域内的每个区间上都是增函数，但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数．学生可能的错解有：
错解1：∵函数y＝tanx是增函数，又1<2<3<4，
∴tan1错解2：∵2和3的终边在第二象限，
∴tan2，tan3都是负数．
∵1和4的终边分别在第一和第三象限，
∴tan1，tan4都是正数．
又∵函数y＝tanx是增函数，且2<3,1<4，
∴tan2教师可放手让学生自己探究问题的解法．发现错解后不要直接纠正，立即给出正确解法，可再让学生讨论分析找出错的原因．
解法1：∵函数y＝tanx在区间(，)上是单调递增函数，
且tan1＝tan(π＋1)，
又<2<3<4<π＋1<，
∴tan2解法2：(如图6)1,2,3,4的正切函数线分别是AT1，AT2，AT3，AT4，
图6
∴tan2点评：本例重在让学生澄清正切函数单调性问题，这是学生的易错点．把正切函数y＝tanx的单调性简单地说成“在定义域内是增函数”是不对的．
课本练习1～3.
1．先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法，有哪些启发收获．本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后，研究的又一个具体的三角函数，与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同？本节分析类比正弦、余弦函数的图象与性质得出了正切函数的图象与性质．
2．教师点拨，本节研究的过程是由数及形，又由形及数相结合，也是我们研究函数的基本方法，特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法．请同学们课后思考总结：这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？
课本习题1.3　5(5)(6)．
1．本教案的设计背景是刚刚学完正弦函数、余弦函数的图象与性质．因此教案的设计始终是抓住类比思想这条主线，让学生在巩固原有知识的基础上，通过类比，由学生自己来对新知识进行分析、探究、猜想、证明，使新旧知识点有机地结合在一起，学生对新知识也较易接受．
2．本教案设计的学习程序是：温故(相关知识准备)→新的学习对象与旧知识的联系→类比探究→解决问题→应用成果→归纳总结→进一步的发散思考→探索提高．
一、关于函数f(x)±g(x)最小正周期的求法
若f(x)和g(x)是三角函数，求f(x)±g(x)的最小正周期没有统一的方法，往往因题而异，现介绍几种常用方法．
(一)定义法
例1求函数y＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期．
解：∵y＝|sinx|＋|cosx|
＝|－sinx|＋|cosx|
＝|cos(x＋)|＋|sin(x＋)|
＝|sin(x＋)|＋|cos(x＋)|，
对定义域内的每一个x，当x增加到x＋时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是.
(二)最小公倍数法
设f(x)与g(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T1、T2分别是它们的周期，且T1≠T2，则f(x)±g(x)的最小正周期是T1、T2的最小公倍数，分数的最小公倍数＝.
例2求函数y＝sin3x＋cos5x的最小正周期．
解：设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2，则T1＝，T2＝，所以y＝sin3x＋cos5x的最小正周期T＝＝2π.
例3求y＝sin3x＋tanx的最小正周期．
解：∵sin3x与tanx的最小正周期是与，其最小公倍数是＝10π，
∴y＝sin3x＋tanx的最小正周期是10π.
(三)图象法
例4求y＝|cosx|的最小正周期.
解：由y＝|cosx|的图象(图7)，可知y＝|cosx|的周期T＝π.
图7
二、备用习题
1．在区间(－，)范围内，函数y＝tanx与函数y＝sinx的图象的交点个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
2．方程x－tanx＝0的实根个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．无穷多个
3．直线y＝a与正切曲线y＝tanωx(ω为常数，且ω>0)相交的相邻两点间的距离是…
(　　)
A．π
B.
C.
D．与a值有关
4．函数f(x)的定义域是[0,1]，则f(tanx)的定义域是________．
5．作函数f(x)＝tan|x|的图象，并求出其定义域与值域．
6．已知0<α，β，γ<，且cosα＝tanβ，cosβ＝tanγ，cosγ＝tanα，求证：α＝β＝γ.
参考答案：1.在同一坐标系中，首先作出y＝sinx与y＝tanx在x∈(－，)内的图象，然后扩展，得到它们在x∈(－，)内的图象．
在同一坐标系中，作出y＝sinx与y＝tanx在x∈(－，)内的图象，值得注意的是：
当x∈(0，)时，有sinx然后利用对称性作出x∈(－，)内的两函数图象，如图8，由图象可知它们有三个交点．故选C.
图8
2．设y1＝x，y2＝tanx，则方程x－tanx＝0的实根的个数问题转化为直线y1＝x与正切曲线y2＝tanx的交点个数问题，在同一坐标系内作出两个函数的图象，根据图象可知选D.
3．本题主要考查正切函数的图象和周期，由图象可以得解．
利用图象，直线y＝a与正切曲线y＝tanωx相交，知两相邻交点间的距离就是此正切曲线的一个最小正周期，故选C.
4．∵函数f(x)的定义域是[0,1]，
∴对于y＝f(tanx)，有0≤tanx≤1，kπ≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴f(tanx)的定义域为[kπ，kπ＋](k∈Z)．
5．函数f(x)＝tan|x|化为f(x)＝(k∈Z)，其图象如图9，根据图象，可知函数的定义域为{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}，值域为R.
图9
6．∵0<α，β，γ<，不妨设α≤β≤γ，
∵y＝tanx在(0，)上是增函数，
∴tanα≤tanβ≤tanγ.①
又∵y＝cosx在(0，)上是减函数，∴cosα≥cosβ≥cosγ.
由题设替换，有tanβ≥tanγ≥tanα，②
由①②得tanβ＝tanγ，∴β＝γ.
∴cosα＝cosβ＝tanβ＝tanγ，∴α＝β＝γ.3.1.2　两角和与差的正弦
教学分析　　　　　
1．两角和与差的正弦公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦公式的．在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如：比较cos(α－β)与cos(α＋β)，它们都是角的余弦，只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α＋β＝α－(－β)的关系，从而由公式C(α－β)推得公式C(α＋β)，又如：比较sin(α－β)与cos(α－β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式(5)(6)即可推得公式S(α－β)、S(α＋β)等．
2．通过对“两角和与差的正弦公式”的推导，揭示了两角和差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了对数学公式的推导和证明方法的理解．因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．
3．本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆．本节几个例子的主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如，在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等；另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简洁性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的．
三维目标　　　　　
1．在学习两角和与差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力．
2．通过两角和与差的正弦公式的运用，会进行简单的求值、化简和恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力．
3．通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质．
重点难点　　　　　
教学重点：两角和与差的正弦公式的推导及运用．
教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明．
课时安排　　　　　
2课时
第1课时
导入新课　　　　　
思路1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角和与差的余弦公式，并把公式默写在黑板上(或打出幻灯)，注意有意识地让学生写整齐．然后教师引导学生观察cos(α－β)与sin(α＋β)、sin(α－β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出S(α－β)、S(α＋β)．本节课我们共同研究公式的推导及其应用．
思路2.(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备．若sinα＝，α∈(0，)，cosβ＝，β∈(0，)，求cos(α－β)，cos(α＋β)的值．学生利用公式C(α－β)很容易求得cos(α－β)，从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式．
推进新课　　　　　
会推导两角和与差的正弦公式及运用公式求三角函数式的值．
活动：引导学生观察思考幻灯中的两角和与差的余弦公式，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式(5)(6)来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin2α＋cos2α＝1来互化，这些想法都很好．鼓励学生试一试．从诱导公式cos(－α)＝sinα，sin(－α)＝cosα，我们可以得到：
sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)－β]
＝cos(－α)cosβ＋sin(－α)sinβ
＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
在上述公式中β用－β代之，则
sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]
＝sinαcos(－β)＋cosαsin(－β)
＝sinαcosβ－cosαsinβ.
因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S(α＋β)、S(α－β)．
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))，
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))．
思路1
例1课本本节例1.
变式训练
1．已知sinα＝－，α是第四象限角，求sin(－α)，cos(＋α)的值．
活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求．再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等．例如本题中，要先求出cosα的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成．
解：由sinα＝－，α是第四象限角，得
cosα＝＝＝，
于是有sin(－α)＝sincosα－cossinα
＝×－×(－)＝，
cos(＋α)＝coscosα－sinsinα
＝×－×(－)
＝.
　
点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个题目的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯．
2．设α∈(0，)，若sinα＝，则sin(α＋)等于(　　)
A.
B.
C.
D．4
答案：A
例2课本本节例2.
变式训练
　
已知sinα＝，α∈(，π)，cosβ＝－，β∈(π，)．求sin(α－β)，cos(α＋β)．
活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系．根据公式S(α－β)、C(α＋β)应先求出cosα，sinβ的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号．
解：由sinα＝，α∈(，π)，得
cosα＝－＝－＝－.
又由cosβ＝－，β∈(π，)，
得sinβ＝－＝－＝－，
∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
＝×(－)－(－)×(－)
＝.
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝(－)×(－)－×(－)
＝.
点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.
例3求证：cosα＋sinα＝2sin(＋α)．
活动：本题虽小但其意义很大，从形式上就可看出来，左边是两个函数，而右边是一个函数，教师引导学生给予足够的重视．对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S(α＋β)展开，化简整理即可得到左边，这是很自然的，教师要给予鼓励．同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S(α＋β)的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为了一个三角函数．
证明：方法一：右边＝2(sincosα＋cossinα)
＝2(cosα＋sinα)
＝cosα＋sinα＝左边．
方法二：左边＝2(cosα＋sinα)
＝2(sincosα＋cossinα)
＝2sin(＋α)＝右边．
点评：本题给出了两种证法，方法一是正用公式的典例，而方法二则是逆用公式证明的，此法也给了我们一种重要的转化方法，要求学生熟练掌握其精神实质．本例的证法二将左边的系数1与分别变为了与，即辅助角的正、余弦．关于形如asinx＋bcosx(a，b不同时为零)的式子引入辅助角变形为Asin(x＋φ)的形式，其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式，把它化成Asin(x＋φ)的形式．一般情况下，如果a＝Acosφ，b＝Asinφ，那么asinx＋bcosx＝A(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝Asin(x＋φ)．由sin2φ＋cos2φ＝1，可得：
A2＝a2＋b2，A＝±，不妨取A＝，于是得到cosφ＝，sinφ＝，因此asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，通过引入辅助角φ，可以将asinx＋bcosx这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式．化为这种形式可解决asinx＋bcosx的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等．教师应提醒学生注意，这种引入辅助角的变换思想很重要，即把两个三角函数化为了一个三角函数，实质上是消元思想，这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质．因此在历年高考试题中出现的频率非常高，是三角部分中高考的热点，再结合后续内容的倍角公式，在解答高考物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练地掌握它.
变式训练　化简下列式子：cosx－sinx.解：原式＝2(cosx－sinx)＝2(sincosx－cossinx)＝2sin(－x).
例4课本本节例3.
思路2
例1若sin(＋α)＝，cos(－β)＝，且0<α<<β<，求cos(α＋β)的值．
活动：本题是一个典型的变角问题，也是一道经典例题，对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值．尽管学生思考有点难度，但教师仍可放手让学生探究讨论，教师不可直接给出解答．对于探究不出的学生，教师可恰当点拨引导，指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系，引导学生理清所求的角与已知角的关系，观察选择应该选用哪个公式进行求解，同时也要特别提醒学生注意：在求有关角的三角函数值时，要特别注意确定角的范围，准确地判断好三角函数符号，这是解决这类问题的关键．学生完全理清思路后，教师应指导学生的规范书写，并熟练掌握它．对于程度比较好的学生可让其扩展本题，或变化条件，或变换所求的结论等．如教师可变换α，β角的范围，进行一题多变训练，提高学生灵活应用公式的能力，因此教师要充分利用好这个例题的训练价值．
解：∵0<α<<β<，
∴<＋α<π，－<－β<0.
又已知sin(＋α)＝，cos(－β)＝，
∴cos(＋α)＝－，sin(－β)＝－.
∴cos(α＋β)＝sin[＋(α＋β)]
＝sin[(＋α)－(－β)]
＝sin(＋α)cos(－β)－cos(＋α)sin(－β)
＝×－(－)×(－)＝－.
点评：本题是典型的变角问题，即把所求角利用已知角来表示，实际上就是化归思想．这需要巧妙地引导，充分让学生自己动手进行角的变换，培养学生灵活运用公式的能力.
变式训练
已知α，β∈(，π)，sin(α＋β)＝－，sin(β－)＝，求cos(α＋)的值．
　解：∵α，β∈(，π)，sin(α＋β)＝－，sin(β－)＝，
∴<α＋β<2π，<β－<.
∴cos(α＋β)＝，cos(β－)＝－.
∴cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)]
＝cos(α＋β)cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－)
＝×(－)＋(－)×＝－.
例2化简＋＋.
活动：本题是直接利用公式把两角的和差化为两单角的三角函数的形式，教师可以先让学生自己独立地探究，然后进行讲评．
解：原式＝＋＋
＝＋＋
＝
＝0.
点评：本题是一个很好的运用公式进行化简的例子，通过学生独立解答，培养学生熟练运用公式的运算能力.
变式训练　化简.解：原式＝＝＝＝tan(β－α).
课本练习1～8.
已知0<β<，<α<，cos(－α)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值．
解：∵<α<，∴－<－α<0.∴sin(－α)＝－＝－.
又∵0<β<，∴<＋β<π.∴cos(＋β)＝－＝－.
∴sin(α＋β)＝－cos(＋α＋β)＝－cos[(＋β)－(－α)]＝－cos(＋β)cos(－α)－sin(＋β)sin(－α)＝－(－)×－×(－)＝.
1．先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法，有哪些收获与提高，在公式推导中你悟出了什么样的数学思想？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明？
2．教师画龙点睛：我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦公式及其推导，明白从已知推得未知，理解数学中重要的数学思想——“转化思想”，并要正确熟练地运用公式解题．在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．
1．本节课是典型的公式教学模式，本节课是在两角差的余弦公式的基础上进行的，因此本教案的设计流程是“提出问题→转化推导→分析记忆→应用训练”；它充分展示了公式教学中以学生为主体，进行主动探索数学知识发生发展的过程．同时充分发挥教师的主导作用，引导学生利用旧知识推导、证明新知识，并学会记忆公式的方法，灵活运用公式解决实际问题，从而使学生领会了数学中重要的数学思想——“转化思想”，并培养他们主动利用“转化思想”指导探索解决数学问题的能力．
2．纵观本教案的设计，知识点集中，容量较大，重点是公式的推导证明、记忆以及简单的应用等，通过本节的学习，使学生深刻理解公式的推导证明方法，会用公式解决简单的问题．同时教给学生发现规律，探索推导，获取新知的方法，让他们真正体验到自己发现探索数学知识的喜悦和成功感．
三角函数知识口诀
三角函数是函数，象限符号坐标注；函数图象单位圆，周期奇偶增减现．
同角关系很重要，化简证明都需要；同角仅是正余切，平方商除有技巧．
诱导公式就是好，负化正后大化小；变成锐角好查表，化简证明少不了．
三角公式就是美，二的一半整数倍；千变万化有规律，奇数化余偶不变．
将其后者视锐角，符号原来函数判；两角和的余弦值，化为单角好求值．
计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变．
换角变形众公式，抓住角的相对性；公式虽多巧记忆，互余角度变名称．
第2课时
导入新课　　　　　
思路1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯．教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解．这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦公式的灵活应用．
思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答．
1．化简下列各式：(1)cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ；
(2)－－sinx－cosx.
2．证明下列各式：
(1)＝；
(2)－2cos(α＋β)＝.
答案：1.(1)cosα；(2)0.2.证明略．
教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的公式进行回顾复习，由此展开新课．
推进新课　　　　　
知识要点：运用两角和与差的正弦、余弦公式进行化简、求值与证明．
活动：两角和与差的余弦公式是我们进行三角变换的重要公式，要熟练运用它解决有关问题，就必须熟悉公式的结构特点，并能熟练记忆，既要能正向运用，更要会逆向运用．另外，在运用公式解决有关求值问题时，应注意讨论研究题中所有涉及到的角以及所给角之间的关系．
待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊到一般的数学思想方法；教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例．在应用公式时，还要注意角的相对性，如：α＝(α＋β)－β，＝(α－)－(－β)等．让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养．
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ〔S(α±β)〕，
cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ〔C(α±β)〕．
思路1
例1利用和差角公式计算下列各式的值．
(1)sin72°cos42°－cos72°sin42°；
(2)cos20°cos70°－sin20°sin70°.
活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成．对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现(1)同公式S(α－β)的右边、(2)同公式C(α＋β)右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果．
解：(1)由公式S(α－β)，得
原式＝sin(72°－42°)＝sin30°＝.
(2)由公式C(α＋β)，得
原式＝cos(20°＋70°)＝cos90°＝0.
点评：本例体现了对公式的全面理解上的要求，要求学生能够从正、反两个角度使用公式．与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解.
变式训练　化简求值：(1)cos44°sin14°－sin44°cos14°；(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)．解：(1)原式＝sin(14°－44°)＝sin(－30°)＝－sin30°＝－.(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin90°＝1.
例2课本本节例4.
变式训练　已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos2β的值．解：∵<β<α<，∴0<α－β<，π<α＋β<.又∵cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，∴sin(α－β)＝，cos(α＋β)＝－.∴cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－×＋(－)×＝－.
例3课本本节例5.
例4课本本节例6.
课本练习1、2.
课本习题3.1(2)9、10、11、12.
1．先让学生回顾本节课的主要内容是什么？我们学习了哪些重要的解题方法？通过本节的学习，我们在运用和角与差角公式时，应注意什么？如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题？
2．我们在运用两角和与差的正弦公式进行三角函数式的化简和三角函数式的证明问题时，应该注意运用角变换，以达到问题的最简化，在解决具体问题时应该注意整体观察式子中所涉及的角，以便能非常正确地进行角变化．
1．本节是典型的习题课，目的就是加深巩固两角和与差公式的应用，深刻理解公式的内在联系，学会综合利用公式解题的方法和技巧；因此本节课安排的四个例子都是围绕这个目标设计的，它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用．另外，通过补充的例题，教给学生正用、逆用、变形用公式的方法，培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力．特别是给出了形如“asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)”公式的推导和应用，对于三角函数的研究，给我们提供了一种重要的方法．
2．对于习题课来说，我们应该本着以学生为主体，教师为主导的原则，让学生先认真审题、独立思考、板演解法，然后教师再进行点评，理清思路，纠正错误，指导解法，争取一题多解，拓展思路．通过变式训练再进行方法巩固．
一、和角与差角公式应用的规律
两角和与差的正、余弦公式主要用于求值、化简、证明等三角变换，常见的规律如下：①配角的方法：通过对角的“合成”与“分解”，寻找欲求角与已知角的内在联系，灵活应用公式，如α＝(α＋β)－β，α＝(α＋β)＋(α－β)等．②公式的逆用与变形用：既要会从左到右展开，又要会从右到左合并，还要掌握公式的变形．③“1”的妙用：在三角函数式中有许多关于“1”的“变形”，如1＝sin2α＋cos2α，也有1＝sin90°＝tan45°等．
二、备用习题
1．在△ABC中，sinAsinBA．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．等腰三角形
2.cos－sin的值是(　　)
A．0
B．－
C.
D．2
3．在△ABC中，有关系式tanA＝成立，则△ABC为(　　)
A．等腰三角形
B．A＝60°的三角形
C．等腰三角形或A＝60°的三角形
D．不能确定
4．若cos(α－β)＝，cosβ＝，α－β∈(0，)，β∈(0，)，则有(　　)
A．α∈(0，)
B．α∈(，π)
C．α∈(－，0)
D．α＝
5．求值：＝__________.
6．若sinαsinβ＝1，则cosαcosβ＝__________.
7．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanαtanβ＝__________.
8．求函数y＝2sin(x＋10°)＋cos(x＋55°)的最大值和最小值．
9．化简－2cos(A＋B)．
10．已知5sinβ＝sin(2α＋β)，求证：2tan(α＋β)＝3tanα.
参考答案：
1．B　2.C　3.C　4.B　5.　6.0　7.－
8．解：∵y＝2sin(x＋10°)＋cos[(x＋10°)＋45°]
＝2sin(x＋10°)＋cos(x＋10°)－sin(x＋10°)
＝sin(x＋10°)＋cos(x＋10°)
＝sin[(x＋10°)＋45°]
＝sin(x＋55°)，
又∵－1≤sin(x＋55°)≤1，
∴当x＋55°＝k·360°－90°，即x＝k·360°－145°(k∈Z)时，ymin＝－；
当x＋55°＝k·360°＋90°，即x＝k·360°＋35°(k∈Z)时，ymax＝.
9．解：原式＝＝
＝＝.
点评：本题中的三角函数均为弦函数，所以变换的问题只涉及角．一般来说，三角函数式的化简问题首先考虑角，其次是函数名，再次是代数式的结构特点．
10．证明：∵β＝(α＋β)－α，2α＋β＝(α＋β)＋α，∴5sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
即5sin(α＋β)cosα－5cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα.
∴2sin(α＋β)cosα＝3cos(α＋β)sinα.∴2tan(α＋β)＝3tanα.
点评：注意到条件式的角是β和2α＋β，求证式中的角是α＋β和α，显然“不要”的角β和2α＋β应由要保留下来的角α＋β与α来替代．三角条件等式的证明，一般是将条件中的角(不要的)用结论式中的角(要的)替代，然后选择恰当的公式变形．三角变换中经常要化复角为单角，化未知角为已知角．因此，看准角与角的关系十分重要．哪些角消失了，哪些角变化了，结论中是哪些角，条件中有没有这些角，在审题中必须对此认真观察和分析．常见的变角方式有：α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；2α－β＝(α－β)＋α；当然变换形式不惟一，应因题而异，要具体问题具体分析．1.3.4　三角函数的应用
教学分析　　　　　
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．
三角函数模型的简单应用的设置目的，在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习．本节通过例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用，本节在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性，同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用．
通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题，培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力．培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．由于实际问题常常涉及一些复杂数据，因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，包括建立有关数据的散点图，根据散点图进行函数拟合等．
三维目标　　　　　
1．能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律．将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型．
2．通过函数拟合得到具体的函数模型，提高数学建模能力，并在探究中激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神，培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神．
3．通过切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，及数学与日常生活和其他学科的联系．认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用．体会和感受数学思想的内涵及数学本质，逐步提高创新意识和实践能力．
重点难点　　　　　
教学重点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型，用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．
教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数的模型，并调动相关学科的知识来解决问题，是本节的难点，主要原因是背景陌生，数据处理较复杂，学习起来感到难以切入．
课时安排　　　　　
2课时
第1课时
导入新课　　　　　
思路1.(问题导入)既然大到宇宙天体的运动，小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在，那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此展开新课．
思路2.(直接导入)我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质，特别研究了三角函数的周期性．在现实生活中，如果某种变化着的现象具有周期性，那么是否可以借助三角函数来描述呢？面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子，来研究这种三角函数模型的简单应用．
推进新课　　　　　
用三角函数的图象和性质解决一些简单的生活实际问题．
活动：师生互动，唤起回忆，充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程．对课前已经做好复习的学生给予表扬，并鼓励他们类比以前所学知识方法，继续探究新的数学模型．对还没有进入状态的学生，教师要帮助其回忆并快速激起相应的知识方法．在教师的引导下，学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是：收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题．
这点很重要，学生只要有了这个认知基础，本节的简单应用便可迎刃而解．新课标下的教学要求，不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题，而是教师引领学生逐步登高，在合作探究中自己解决问题，探求新知．
简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述．数学模型的方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法．
解决问题的一般程序是：
(1)审题：逐字逐句地阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；
(2)建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型；
(3)求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；
(4)还原：把数学结论还原为实际问题的解答．
思路1
例1见课本本节例1.
变式训练
　如图1，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝sin(ωx＋φ)＋b.
图1
(1)求这一天的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
活动：这道题目是2002年全国卷的一道高考题，探究时教师与学生一起讨论．本题是研究温度随时间呈周期性变化的问题．教师可引导学生思考，本题给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决．
题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型．其中第(1)小题实际上就是求函数图象的解析式，然后再求函数的最值差．教师应引导学生观察思考：“求这一天的最大温差”实际指的是“求6时到14时这段时间的最大温差”，可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式．让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用．第(2)小　题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数，即可确定其解析式．其中求ω是利用半周期(14－6)，通过建立方程得解．
解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是20
℃.
(2)从图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，
∴A＝(30－10)＝10，b＝(30＋10)＝20.
∵·＝14－6，∴ω＝.将x＝6，y＝10代入上式，解得φ＝.
综上，所求解析式为y＝10sin(x＋)＋20，x∈[6,14]．
点评：本题中所给出的一段图象恰好是半个周期的图象，提醒学生注意抓关键．本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围，这点往往被学生忽略掉.
例2见课本本节例2.
变式训练　函数y＝|sinx|的一个单调增区间是(　　)A．(－，)　　　　　　　　
B．(，)C．(π，)
D．(，2π)答案：C
例3如图2，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，φ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是θ＝90°－|φ－δ|.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．
如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？
图2
活动：本例所用地理知识、物理知识较多，综合性比较强，需调动相关学科的知识来帮助理解问题，这是本节的一个难点．在探讨时要让学生充分熟悉实际背景，理解各个量的含义以及它们之间的数量关系．
首先由题意要知道太阳高度角的定义：设地球表面某地纬度值为φ，正午太阳高度角为θ，此时太阳直射纬度为δ，那么这三个量之间的关系是θ＝90°－|φ－δ|.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．
根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带，图形如图3，由画图易知太阳高度角θ、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系：h0＝htanθ.
由地理知识知，在北京地区，太阳直射北回归线时物体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长．因此，为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡，应当考虑太阳直射南回归线时的情况．
解：如图3，A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点．要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意，两楼的间距应不小于MC.
图3
根据太阳高度角的定义，
有∠C＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′，所以MC＝＝≈2.000h0，
即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高两倍的间距．
点评：本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的函数模型解决问题．要直接根据图2来建立函数模型，学生会有一定困难，而解决这一困难的关键是联系相关知识，画出图3，然后由图形建立函数模型，问题得以求解．这道题的结论有一定的实际应用价值．教学中，教师可以在这道题的基础上再提出一些问题，如下例的变式训练，激发学生进一步探究.
变式训练　
某市的纬度是北纬23°，小王想在某住宅小区买房，该小区的楼高7层，每层3米，楼与楼之间相距15米．要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡，他应选择哪几层的房？图4解：如图4，由例3知，北楼被南楼遮挡的高度为h＝15tan[90°－(23°＋23°26′)]＝15tan43°34′≈14.26，由于每层楼高为3米，根据以上数据，所以他应选5层以上.
课本本节练习1、2.
1．本节课我们学习了三个层次的三角函数模型的应用，即根据图象建立解析式，根据解析式作出图象，将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤吗？
2．实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多学科的知识才能解决它．因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题．
1．图5表示的是电流I与时间t的函数关系I＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象．
图5
(1)根据图象写出I＝Asin(ωx＋φ)的解析式．
(2)为了使I＝Asin(ωx＋φ)中的t在任意一段
s的时间内电流I能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值为多少？
解：(1)由图知A＝300，第一个零点为(－，0)，第二个零点为(，0)，
∴ω·(－)＋φ＝0，ω·＋φ＝π.
解得ω＝100π，φ＝.
∴I＝300sin(100πt＋)．
(2)依题意有T≤，即≤，
∴ω≥200π，故ωmin＝629.
2．搜集、归纳、分类现实生活中周期变化的情境模型．
解：如以下两例：
①人体内部的周期性节律变化和个人的习惯性的生理变化，如人体脉搏、呼吸、排泄、体温、睡眠节奏、饥饿程度等；
②蜕皮(tuipi)昆虫纲和甲壳纲等节肢动物，以及线形动物等的体表具有坚硬的几丁质层，虽有保护身体的作用，但限制动物的生长、发育．因此，在胚后发育过程中，必须进行1次或数次脱去旧表皮，再长出宽大的新表皮后，才变成成虫，这种现象称为蜕皮；蜕下的“旧表皮”称为“蜕”，只有这样，虫体才能得以继续充分生长、发育．蜕皮现象的发生具有周期性，但蜕皮的准备和蜕皮过程是连续进行的．此外，脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显，如蜥蜴和蛇具有双层角质层，其外层在定期蜕皮时脱掉，蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤，约每2个月为一个周期可完整地脱落1次，称为蛇蜕．
1．本教案设计指导思想是：充分唤起学生已有的知识方法，调动起相关学科的知识，尽量降低实例背景的相对难度，加大实际问题的鲜明、活跃程度，以引发学生探求问题的兴趣．
2．应用三角函数模型解决问题，首先要把实际问题抽象为数学问题，确定它的周期，从而建立起适当的三角函数模型．如果学生选择了不同的函数模型，教师应组织学生进行交流，或让学生根据自己选择的模型进行求解，然后再根据所求结果与实际情况的差异进行评价．
3．由于实际问题常常涉及一些复杂数据，因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，有条件的要用多媒体进行动态演示，以使学生有更多的时间用于对问题本质的理解．
一、备选习题
1．下列函数中，图象的一部分如图6所示的是(　　)
图6
A．y＝sin(x＋)
B．y＝sin(2x－)
C．y＝cos(4x－)
D．y＝cos(2x－)
2.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜π)的一段图象如图7所示，求函数的解析式．
图7
3．已知函数y＝Atan(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为(，0)和(，0)，且过点(0，－3)，求此函数的解析式．
4．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(厘米)和时间t(秒)的函数关系为s＝6sin(2πt＋)．
(1)单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置多少厘米？
(2)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？
(3)单摆来回摆动一次需要多少时间？
5．函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝kx有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
参考答案：
1．D
2．由图7，得A＝2，＝－(－)＝，
∴T＝π.∴ω＝2.∴y＝2sin(2x＋φ)．
又∵图象经过点(－，2)，∴2＝2sin(－＋φ)．∴φ－＝2kπ＋(k∈Z)．
∴φ＝2kπ＋.∴函数解析式为y＝2sin(2x＋)．
3．∵T＝＝－，∴ω＝.
∵×＋φ＝0，且－3＝Atan(×0＋φ)，∴A＝3，φ＝－.
故y＝3tan(x－)．
4．(1)t＝0时，s＝3，即离开平衡位置3厘米；
(2)振幅为6，所以最右边离平衡位置6厘米；
(3)T＝1，即来回一次需要1秒钟．
5.将原函数化简为
f(x)＝sinx＋2|sinx|＝
由此可画出图8，
图8
由数形结合可知，k的取值范围为1＜k＜3.
二、数学与音乐
若干世纪以来，音乐和数学一直被联系在一起．在中世纪时期，算术、几何、天文和音乐都包括在教育课程之中．今天的新式计算机正在使这条纽带绵延不断．
乐谱的书写是表现数学对音乐的影响的第一个显著的领域．在乐稿上，我们看到速度、节拍(4/4拍、3/4拍，等等)、全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符，等等．书写乐谱时确定每小节内的某分音符数，与求公分母的过程相似——不同长度的音符必须与某一节拍所规定的小节相适应．作曲家创作的音乐是在书写出的乐谱的严密结构中非常美丽而又毫不费力地融为一体的．如果将一件完成了的作品加以分析，可见每一小节都使用不同长度的音符构成规定的拍数．
除了数学与乐谱的明显关系外，音乐还与比率、指数曲线、周期函数和计算机科学相联系．
毕达哥拉斯学派(公元前585～前400)是最先用比率将音乐与数学联系起来的．他们认识到拨动琴弦所产生的声音与琴弦长度有关，从而发现了和声与整数的关系．他们还发现谐声是由长度成整数比的同样绷紧的弦发出的——事实上被拨弦的每一和谐组合可表示成整数比．按整数比增加弦的长度，能产生整个音阶．例如，从产生音符C的弦开始，C的16/15长度给出B，C的6/5长度给出A，C的4/3长度给出G，C的3/2长度给出F，C的8/5长度给出E，C的16/9长度给出D，C的2/1长度给出低音C.
不管是弦乐器还是由空气柱发声的管乐器，它们的结构都反映出一条指数曲线的形状．
19世纪数学家约翰·傅里叶的工作使乐声性质的研究达到顶点．他证明所有乐声——器乐和声乐——都可用数学式来描述，这些数学式是简单的周期正弦函数的和．每一个声音有三个性质，即音高、音量和音质，将它与其他乐声区别开来．
傅里叶的发现使声音的这三个性质可以在图形上清楚地表示出来．音高与曲线的频率有关，音量和音质分别与周期函数的振幅和形状有关．
如果不了解音乐的数学，在计算机对于音乐创作和乐器设计的应用方面就不可能有进展．数学发现，具体地说即周期函数，在乐器的现代设计和声控计算机的设计方面是必不可少的．许多乐器制造者把他们的产品的周期声音曲线与这些乐器的理想曲线相比较．电子音乐复制的保真度也与周期曲线密切相关．音乐家和数学家将继续在音乐的产生和复制方面发挥着同等重要的作用．
(设计者：郑吉星)
第2课时
导入新课　　　　　
思路1.(作业导入)学生搜集、归纳到的现实生活中的周期现象有：物理情景的①简单和谐运动，②星体的环绕运动；地理情景的①气温变化规律，②月圆与月缺；心理、生理现象的①情绪的波动，②智力变化状况，③体力变化状况；日常生活现象的①涨潮与退潮，②股票变化等等．
思路2.(复习导入)回忆上节课三角函数模型的简单应用例子，这节课我们继续探究三角函数模型在日常生活中的一些简单应用．
推进新课　　　　　
三角函数性质在生活中的应用．
本章章头引言告诉我们，海水在月球和太阳引力作用下发生周期性涨落现象．回忆上节课的内容，怎样用上节课的方法从数学的角度来定量地解决这个问题呢？教师引导学生复习、回忆、理清思路，查看上节的课下作业．教师指导、适时设问，调动学生的学习气氛．
例1货船进出港时间问题：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻
0：00
3：00
6：00
9：00
12：00
15：00
18：00
21：00
24：00
水深/米
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001)．
(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与海底的距离)，该船何时能进入港口？
(3)若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
活动：引导学生观察上述问题表格中的数据，会发现什么规律？比如重复出现的几个数据．并进一步引导学生作出散点图．让学生自己完成散点图，提醒学生仔细、准确地观察散点图，如图9.
图9
教师引导学生根据散点的位置排列，思考可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律．根据散点图中的最高点、最低点和平衡点，学生很容易确定选择三角函数模型．港口的水深与时间的关系可以用形如y＝Asin(ωx＋φ)＋h的函数来刻画．其中x是时间，y是水深，我们可以根据数据确定相应的A，ω，φ，h的值．这时注意引导学生与“五点法”相联系．要求学生独立操作完成，教师指导点拨，并纠正可能出现的错误，直至无误地求出解析式，进而根据所得的函数模型，求出整点时的水深．
根据学生所求得的函数模型，指导学生利用计算器进行计算求解．注意引导学生正确理解题意，一天中有两个时间段可以进港．这时点拨学生思考：你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合，应怎样修改？让学生养成检验的良好习惯．
在本例的(3)中，应保持港口的水深不小于船的安全水深，那么如何刻画船的安全水深呢？引导学生思考，怎样把此问题翻译成函数模型？求货船停止卸货、将船驶向深水域的含义又是什么？教师引导学生将实际问题的意义转化为数学解释，同时提醒学生注意货船的安全水深、港口的水深同时在变，停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候．
进一步引导学生思考：根据问题的实际意义，货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？可让学生思考、讨论后再由教师组织学生进行评价．通过讨论或争论，最后得出一致结论：在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的，因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨．
解：(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图(图9)．
根据图象，可以考虑用函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h刻画水深与时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出：A＝2.5，h＝5，T＝12，φ＝0，由T＝＝12，得ω＝.
所以这个港口的水深与时间的关系可用y＝2.5sin(x)＋5近似描述．
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：
时刻
0：00
1：00
2：00
3：00
4：00
5：00
6：00
7：00
8：00
9：00
10：00
11：00
水深
5.000
6.250
7.165
7.5
7.165
6.250
5.000
3.754
2.835
2.500
2.835
3.754
时刻
12：00
13：00
14：00
15：00
16：00
17：00
18：00
19：00
20：00
21：00
22：00
23：00
水深
5.000
6.250
7.165
7.5
7.165
6.250
5.000
3.754
2.835
2.500
2.835
3.754
(2)货船需要的安全水深为4＋1.5＝5.5(米)，所以当y≥5.5时就可以进港．
令2.5sin(x)＋5≥5.5，得sinx≥0.2.
画出y＝sin(x)的图象，由图象可得
0．4≤x≤5.6或12.4≤x≤17.6.
故该船在0：24至5：36和12：24至17：36期间可以进港．
图10
(3)设在时刻x货船的安全水深为y，那么y＝5.5－0.3(x－2)(x≥2)．在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在6～7时之间两个函数图象有一个交点(如图11)．
图11
通过计算也可以得到这个结果．在6时的水深约为5米，此时货船的安全水深约为4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此时货船的安全水深约为4.1米；7时的水深约为3.8米，而货船的安全水深约为4米．因此为了安全，货船最好在6.7时之前停止卸货，将船驶向较深的水域．
点评：本例是研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题，题目只给出了时间与水深的关系表，要想由此表直接得到函数模型是很困难的．对第(2)问的解答，教师需要强调，建立数学模型解决实际问题，所得的模型是近似的，并且得到的解也是近似的．这就需要根据实际背景对问题的解进行具体的分析．如本例中，一天中有两个时间段可以进港，教师应引导学生根据问题的实际意义，对答案的合理性作出解释.
变式训练　发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数，IA＝Isinωt，IB＝Isin(ωt＋120°)，IC＝Isin(ωt＋240°)，则IA＋IB＋IC＝__________.答案：0
例2已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若sinx＋f(x)＝，求sinxcosx的值．
解：(1)∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，即sin(－ωx＋φ)＝sin(ωx＋φ)．
∴φ＝.∴f(x)＝sin(ωx＋)＝cosωx.
相邻两点P(x0,1)，Q(x0＋，－1)．
由题意，|PQ|＝＝，解得ω＝1.
∴f(x)＝cosx.
(2)由sinx＋f(x)＝，得sinx＋cosx＝.
两边平方，得sinxcosx＝－.
例3小明在直角坐标系中，用1
cm代表一个单位长度作出了一条正弦曲线的图象．若他将纵坐标改用2
cm代表一个单位长度，横坐标不变，那么他所作的曲线的函数解析式是什么？若他将横坐标改用2
cm代表一个单位长度，而纵坐标不变，那么他所作的曲线的函数解析式又是什么？
解：小明原作的曲线为y＝sinx，x∈R，由于纵坐标改用了2
cm代表一个单位长度，与原来1
cm代表一个单位长度比较，单位长度增加到原来的2倍，所以原来的1
cm只能代表个单位长度了．由于横坐标没有改变，曲线形状没有变化，而原曲线图象的解析式变为y＝sinx，x∈R.同理，若纵坐标保持不变，横坐标改用2
cm代表一个单位长度，则横坐标被压缩到原来的，原曲线周期就由2π变为π.故改变横坐标后，原曲线图象的解析式变为y＝sin2x，x∈R.
例4求方程lgx＝sinx实根的个数．
解：由方程式模型构建图象模型．在同一坐标系内作出函数y＝lgx和y＝sinx的图象，如图12.可知原方程的解的个数为3.
图12
点评：单解方程是很困难的，而根据方程式模型构建图象模型，利用数形结合来解就容易多了，教师要让学生熟练掌握这一方法．
课本习题1.3　14.
1．让学生回顾本节课的数学模型都解决了哪些现实生活中的问题，用三角函数模型刻画周期变化规律对国家建设、制定未来计划，以及我们的学习、生活都发挥着什么样的作用．
2．三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题，其解答流程大致是：审读题意→设角建立三角式→进行三角变换→解决实际问题．在解决实际问题时，要学会具体问题具体分析，充分运用数形结合的思想，灵活地运用三角函数的图象和性质解决现实问题．
课本习题1.3　13.
1．本节是三角函数内容中新增加的一节，目的是加强学生的应用意识，本节教案设计的指导思想，是让学生围绕着采集到的数据展开讨论，在学生思考探究的过程中，学会积极冷静地对待陌生背景，正确处理复杂数据以及准确分析问题中的数量关系，这很符合新课改理念．
2．现实生活中的问题是多变的，学生的思维是发散的，观察的视角又是多样的，因此课题教学中，教师要善于挖掘并发现学生思维的闪光点，通过讨论例题这个载体，充分激发学生的潜能，让学生从观察走向发现，从发现走向创造，走向创新．
3．学生面对枯燥的数据，潜意识里是讨厌的，因此教师要在有限的课堂时间里，着重解决物理背景下、地理背景下的三角函数的函数模型的选定，不要把时间浪费在一些计算上．
一、备选习题
1．图13是周期为2π的三角函数f(x)的图象，那么f(x)可写成(　　)
图13
A．sin(1＋x)
B．sin(－1－x)
C．sin(x－1)
D．sin(1－x)
2．函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图象是图14中的(　　)
图14
3．一束光线与玻璃成45°角，穿过折射率为1.5，厚度为1
cm的一块玻璃，那么光线在玻璃内的行程是多少？(折射率＝，其中α为入射角，β为折射角)
参考答案：
1．D　2.C
3．如图15所示，α＝45°，
图15
∴1.5＝，得sinβ＝，cosβ＝.
而cosβ＝＝，
∴AB≈1.134(cm)，
即光线在玻璃中的行程为1.134
cm.
二、驾驭着波峰的数学
如果你是冲浪运动员，你知道有时难以预料何时浪会升起．有时浪在岸边完整地出现，但是当你进入水中时，它已经消失了，因此你就得等待完整波的到来，有时似乎要好几个小时．在另外一些时候，完整波一个接一个地来到，可有许多个供你选择．不用说，波理论和波活动是一个复杂的系统，许多因素影响着和创造着海浪．风、地震、船的尾波，当然还有月亮和太阳所产生的引起潮汐的万有引力，都扰动着海洋，使海浪在水面上行动．当有多重的扰动或因素互相作用时，这些波动形式多少有点随机性.19世纪初，对海浪在数学上开展了很多研究．在海上和受控制的实验室中所作的观测，帮助科学家们获得了有趣的结论.1802年在捷克斯洛伐克，弗朗兹·格特纳开始提出最早的波理论．在他的观测中，他记录着波中水粒是如何做圆周运动的．位于波峰(最高点)的水的运动方向与波相同，位于波谷(最低点)的水的运动方向则相反．在水面上，每一水粒都沿着圆形轨道运动，然后回到原位．圆的直径被发现等于波的高度．水的整个深度中水粒都在生成圆，但水粒愈深，它的圆愈小．事实上，人们发现在相当于波长(两个相邻峰之间的水平距离)的的深度，圆形轨道的直径大约是水面上水粒的圆形轨道的直径的一半．
因为波浪与这些做圆周运动的水粒有关，并且因为正弦曲线和摆线也与转动着的圆有关，这些数学曲线和它们的方程被用来描述海洋波浪就不足为奇了．但是人们发现，波浪既不是严格的正弦曲线，也不是任何别的纯粹的数学曲线．水的深度、风的强度和潮汐只是在描述波浪时必须考察的变量中的几个而已．今天研究波浪时，用到了概率、统计学这些数学工具．人们考察了大量小波，并依据所收集到的数据提出预测．3．1.1　两角和与差的余弦
设计思路　　　　　
整堂课大致分两部分，一是探究发现；二是知识应用．探究过程由物理情景出发，尝试解决物理问题后抽象出数学模型——向量，再转化问题的表述，回归数学本质，探究“cos(α－β)能否用α，β的三角函数表示出来？如何表示？”这一问题．经历“猜想——验证——证明”的体验过程，感受向量方法证明的简洁美和数学探究的成功体验．以《几何画板》为探索平台，完成公式推导，并体验α，β的任意性．证明过程由粗至精，在直观形象的基础上进一步去体验数学的科学严谨．通过例1、例2和练习1学会运用公式进行简单三角函数的化简、求值，例3有一定技巧，意在让学生初步体会角的变换的灵活性．
教学目标　　　　　
1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；
2．掌握两角和与差的余弦公式，能正确运用这些公式进行简单三角函数的化简、求值；
3．培养学生发现问题、研究问题、解决问题的能力及创新能力，掌握数形结合这一重要数学思想；
4．引导学生注意养成有条理地逐步解决问题的习惯，培养学生普遍联系、运动变化、数学来源于实践又指导实践的辩证唯物主义观点及勇于探索的创新精神．
情景创设　　　　　
1．物理情景
如图1所示，倾角为30°的斜坡上，一物体在力F的作用下前进了1
m，已知|F|＝1
N，力F的方向与水平方向成45°角，求此过程中力F所做的功．
图1
设问1：力F与位移s的夹角不是我们熟知的那些特殊角，有办法求此过程中力F所做的功W吗？
将力F正交分解，得水平方向和竖直方向的两个分力F1、F2，将位移s也按同样的方向做正交分解为s1、s2，可以具体计算出W1、W2，再求出和功W.
发现：由F·s＝F1·s1＋F2·s2，
有cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°.
设问2：一般地，斜坡倾角为β，力F的方向与水平方向所成角为α，还会有类似的结果吗？
2．数学情境
将上述问题中的数学模型抽象出来：我们知道，力、位移这些矢量在数学中抽象为向量，下面我们将前面的探索翻译成数学语言、向量语言．
设问3：(设问2的转化)cos(α－β)能否用α，β的三角函数表示出来？如何表示？猜猜看？
学生活动：举例验证各自的猜想是否正确，然后班级交流．
(猜想cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，诱导公式就是极好的验证例子)
设问4：所猜想的等式有什么结构特点？你能推导出这一猜想吗？说说你的推导思路．
建构数学　　　　　
探究1：cos(α－β)看成两个向量的夹角的余弦，用向量的数量积来研究．(严谨性不必一步到位，采用学生们的说法“α－β为两向量夹角”)
师生活动：从“α－β为两向量夹角”这一不够严谨的说法出发，学生画图探索，尝试证明．老师用“几何画板”演示(如图2)，写出推导思路．再用“几何画板”演示(如图3)，引导大家对欠严谨处展开讨论，体验α，β的任意性．
图2
图3
前面的推导必须符合条件0≤α－β≤π才正确，α、β是任意的，α－β也应该是任意的．猜想仍然正确吗？
利用诱导公式，存在θ∈[0,2π)使cosθ＝cos(α－β)，
若θ∈[0，π]，则a·b＝cosθ＝cos(α－β)；
若θ∈[π，2π)，则2π－θ∈[0，π]且a·b＝cos(2π－θ)＝cosθ＝cos(α－β)．
从而得出公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.C(α－β)
探究2：(旋转变换的思想)如图4，将角α－β旋转变换到以x轴正方向为始边的位置，接着利用两点间的距离公式建立等式＝.
图4
引导体会该证法的优点(任意角α、β的终边位置不同不影响公式的证明)．
探究3：cos(α＋β)能否用α、β的三角函数表示出来？如何表示？
学生小组讨论后很容易由α＋β＝α－(－β)或依据α、β的任意性令β＝－β得出公式：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.
发散：模仿探究3你还能得出其他类似结果吗？
数学运用　　　　　
我们探索得到了两角和与差的余弦公式，公式形式上有什么特点，如何记忆？这一公式的得出又有怎样的价值？
例1利用两角和(差)的余弦公式，求cos75°，cos15°，sin15°，tan15°.
设问5：这里的75°、15°以前我们并不熟悉，现在要求它们的余弦值(三角函数值)，怎样处理？
学生很快会答出将75°表示成45°＋30°，将15°表示成45°－30°，然后再利用两角和(差)的余弦公式求值．学生还会想出60°－45°的处理办法，要及时肯定．
教师板书解题过程，启发学生总结出解决问题的关键点：“将所求角用熟知的特殊角表示出来”．本题还涉及到诱导公式和同角三角函数关系的运用，也需设问引导学生注意总结．学生若能够与探究部分的发散联系起来，得出两角和(差)的正弦公式，要多加赞许．
例2已知sinα＝，α∈(，π)，cosβ＝－，β∈(π，)，求cos(α＋β)．
学生思考后师生共同分析，欲利用两角和的余弦公式求三角函数值，要先准备好公式中所需要的相关角的正弦值、余弦值，教育学生做事情要有条理，一步一步把事情做好．
强调利用同角三角函数关系准备相关三角函数值时，要依据角的范围，判断函数值的符号，进而求出三角函数值．
例3已知α、β都是锐角，cosα＝，cos(α＋β)＝－，求cosβ.
探究4：学生往往抓住cos(α＋β)用公式展开，将sinα，cosα的值代入，再结合同角三角函数关系sin2β＋cos2β＝1，用方程思想求解．
启发学生把题目中所涉及的角分成两类：已知角和所求角，能否用已知角把所求角表示出来？进而引导学生抓住角的变换应用公式求值．
β＝(α＋β)－α，cosβ＝cos((α＋β)－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα.
老师板书解题过程，并引导学生比较两种方法．
学生练习
1．利用两角和(差)的余弦公式化简：
(1)cos58°cos37°＋sin58°sin37°；
(2)cos(60°＋θ)－cos(60°－θ)．
2．已知cosθ＝－，θ∈(，π)，求cos(－θ)的值．
课堂小结　　　　　
先请两位同学谈谈自己这堂课的收获与体验，然后老师小结．
·熟记公式　　　　　　　　　(化归的思想)
·向量方法探索公式的简洁美　　　(其他探索方法)
·公式应用　　　　　　　　　(求值型，证明型，化简型)
注意公式的正用、逆用，注意根据角的范围确定三角函数值的符号，要善于发现角之间的关系．
巩固作业　　　　　
1．已知sinα＝，cosβ＝－，且α、β都是第二象限角，求cos(α－β)的值．
2．已知<α<β<，且sin(α＋β)＝，cos(α－β)＝.
(1)用α＋β，α－β表示2α；
(2)求cos2α的值．
教学反思　　　　　
1．物理情景的引入帮助学生很快形成猜想，同时尝试抽象出其中的数学本质，一方面自然过渡到用向量法探究两角差的余弦公式，另一方面也是对数学建模思想的又一次丰富．
2．两角差的余弦公式探索方法很多，教材中也留有许多思考让学生从不同角度探索公式，这些探索证明方法的建构都有着丰富的数学思想方法，仅仅停留在课堂上的探索是远远不够的，要引导学生课后继续探究．
3．本堂课中学生的情感体验，对两角和差余弦公式价值的认识都比较充分；适当的数学史知识和我国数学家的介绍也拓宽了学生的视野，加深了学生对数学研究的亲近感；结合数学解题展开的生活习惯的养成也恰到好处．1．3.1　三角函数的周期性
教学分析　　　　　
三角函数的周期性是在学习了三角函数的概念之后研究的，教材中，为学习三角函数的图象和性质提供了问题背景，因此，教学时要充分运用这些问题背景以突出本章“建立刻画周期性现象的数学模型”这一主题．
周期函数的定义是教学中的一个难点．在教学中，可以从“周而复始的重复出现”出发，一步步地使语言精确化，通过“每隔一定时间出现”“自变量每增加或减少一个值，函数值就重复出现”等，逐步抽象出函数周期性的定义．
教学中可以引导学生通过对三角函数实例的具体分析，帮助认识周期以及周期函数．因为在本节中，我们讨论的主题是三角函数的周期性，这一点更重要，在教学中不要对一般的周期函数作过多的讨论．
三角函数的最小正周期是指三角函数所有周期中的最小正数．对于正弦函数、余弦函数的最小正周期是2π的结论，可以组织学生通过观察三角函数线的变化进行验证，进而通过本节“链接”中的内容了解其证明过程．
不论是周期，还是最小正周期，都是对自变量x而言的，是自变量x的改变量．这一点正是解决例2的根据．教学时根据学生的实际，可以组织学生仿照例2推导出函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期为这一结论．
三维目标　　　　　
1．通过创设情境，如单摆运动、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；理解周期函数的概念；能熟练地求出简单三角函数的周期，并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用．
2．通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物，并通过本节的学习，使学生进一步了解从特殊到一般的认识世界的科学方法，提高认识世界的能力和思维层次，为今后认识世界和探索世界打下坚实的基础．
重点难点　　　　　
教学重点：周期函数定义的理解，深化研究函数性质的思想方法．
教学难点：周期函数概念的理解，最小正周期的意义及简单的应用．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.人的情绪、体力、智力都有周期性的变化现象，在日常生活和工作中，人们常常有这样的自我感觉，有的时候体力充沛，心情愉快，思维敏捷；有的时候却疲倦乏力，心灰意冷，反应迟钝；也有的时候思绪不稳，喜怒无常，烦躁不安，糊涂健忘，这些感觉呈周期性发生，贯穿人的一生，这种有规律性的重复，我们称之为周期性现象．请同学们举出生活中存在周期现象的例子，在学生热烈的争论中引入新课．
思路2.取出一个钟表，实际操作，我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这是一种周期现象．我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？在图形上让学生观察正弦线“周而复始”的变化规律，在代数式上让学生思考诱导公式：sin(x＋2kπ)＝sinx又是怎样反映函数值的“周而复始”的变化规律的．要求学生用日常语言叙述这个公式，通过对图象、函数解析式的特点的描述，使学生在理解周期性的基础上，进而理解“周而复始”变化的代数刻画，由此引出周期函数的概念．
推进新课　　　　　
周期函数的定义
由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π时，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin(2π＋x)＝sinx，cos(2π＋x)＝cosx.
正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性．
若记f(x)＝sinx，则对于任意x∈R，都有f(x＋2π)＝f(x)．这又启发我们思考：
如何用数学语言刻画函数的周期性？
教师在引入正式定义之前，可以引导学生先从不同角度进行描述．例如：对于函数f(x)，自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个)，函数值就重复出现，那么这个函数就叫做周期函数．教师可以引导点拨学生从诱导公式进行描述．例如：
sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，k∈Z.
这表明，正弦函数、余弦函数在定义域内自变量每增加(k>0时)或减少(k<0时)一个定值2kπ，它的函数值就重复出现，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数．还可以通过类比奇函数、偶函数、周期函数的研究方法来加深理解周期性概念．
如果函数f(x)对于其定义域内的每一个值，都有：
f(－x)＝－f(x)，那么f(x)叫做奇函数；
f(－x)＝f(x)，那么f(x)叫做偶函数；
f(x＋T)＝f(x)，其中T是非零常数，那么函数f(x)叫做周期函数．
从上述定义可以看到，函数的性质是对函数的一种整体考查结果，反映了同一类函数的共同特点，它们可以从代数角度得到统一刻画．
定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
由诱导公式易知，2π是正弦函数的一个周期，下面用反证法证明2π是它的最小正周期．
假设0由此可知，2π是正弦函数的最小正周期．
学生一时可能难于理解周期的代数刻画．教师在引导学生阅读、讨论、思考问题时可多举一些具体例子，以使抽象概念具体化．如常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)是周期函数，所有非零实数T都是它的周期．同时应特别强调：(1)对周期函数与周期定义中的“当x取定义域内每一个值时”这句话，要特别注意“每一个值”的要求．如果只是对某些x有f(x＋T)＝f(x)，那么T就不是f(x)的周期．例如，分别取x1＝2kπ＋(k∈Z)，x2＝，则由sin(2kπ＋＋)＝sin(2kπ＋)，sin(＋)≠sin，可知不是正弦函数的周期．又如sin(30°＋120°)＝sin30°，但不是对所有x都有f(x＋120°)＝f(x)，所以120°不是f(x)的周期．(2)从上述定义还可以看到周期函数的周期不惟一，例如2π，4π，6π，8π，…都是它的周期，有无穷多个，即2kπ(k∈Z，k≠0)都是正弦函数的周期．这一点可以从周期函数的图象上得到反映，也可以从代数上给以证明：设T是函数f(x)的周期，那么对于任意的k∈Z，k≠0，kT也是函数f(x)的周期．(3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期．但周期函数不一定存在最小正周期，例如，对于常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小值，即最小正数是不存在的，所以常数函数没有最小正周期．(4)正弦函数中，正周期无穷多，2π是最小的一个，在我们学习的三角函数中，如果不加特别说明，教科书提到的周期，一般都是指最小正周期．
对问题②，教师要指导学生紧扣定义，可先出一些简单的求周期的例子，如：若T是f(x)的周期，那么2T、3T、…呢？怎样求？实际上，由于T是f(x)的周期，那么2T、3T、…也是它的周期．因为f(x＋2T)＝f(x＋T＋T)＝f(x＋T)＝f(x)．这样学生就会明白，数学中的周期函数，其实就是在独立变量上加上一个确定的周期之后数值重复出现的函数．
例1见课本本节例1.
变式训练1．求下列函数的周期：(1)y＝3cosx，x∈R；(2)y＝sin2x，x∈R；(3)y＝2sin(－)，x∈R.活动：教师引导学生紧扣定义，一切从定义出发来求．(1)因为3cos(x＋2π)＝3cosx，根据周期函数的定义可知，原函数的周期为2π.有的学生可能会提出π是不是呢？让学生自己试一试，加深对概念的理解．因为3cos(x＋π)＝－3cosx≠3cosx，所以π不是周期．(2)教师引导学生观察2x，可把2x看成一个新的变量u，那么cosu的最小正周期是2π，就是说，当u增加到u＋2π时，函数cosu的值重复出现，而u＋2π＝2x＋2π＝2(x＋π)，所以当自变量x增加到x＋π且必须增加到x＋π时函数值重复出现．因为sin2(x＋π)＝sin(2x＋2π)，所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为π.(3)因为2sin[(x＋4π)－]＝2sin[(－)＋2π]＝2sin(－)，所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π.解：(1)周期为2π；(2)周期为π；(3)周期为4π.点评：通过本例我们看到函数周期的变化仅与自变量的系数有关，关键是让学生认识到，f(x＋T)＝f(x)中，T是相对于自变量x而言的，让学生总结归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关．一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期为T＝.可以按照如下的方法求它的周期：y＝Asin(ωx＋φ＋2π)＝Asin[ω(x＋)＋φ]＝Asin(ωx＋φ)．于是有f(x＋)＝f(x)，所以其周期为.例如在第(3)小题，y＝2sin(－)，x∈R中ω＝，所以其周期是4π.由上述解法可以看到，思考的基本依据还是y＝sinx的周期为2π.根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期．如第(3)小题：T＝＝4π这是求简单三角函数周期的最基本方法，即公式法．2．已知函数f(x)是周期为5的周期函数，且f(1)＝2
007，求f(11)．解：因为5是函数f(x)在R上的周期，所以f(11)＝f(6＋5)＝f(6)＝f(1＋5)＝f(1)＝2
007.3．已知奇函数f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，求f(8)．解：由题意，知3是函数f(x)的周期，且f(－x)＝－f(x)，所以f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
例2判断函数f(x)＝2sin2x＋|cosx|，x∈R的周期性．如果是周期函数，最小正周期是多少？
活动：本例的难度较大，教师可引导学生从定义出发，结合诱导公式，寻求使f(x＋T)＝f(x)成立的T的值．学生可能会很容易找出4π、2π，这的确是原函数的周期，但是不是最小正周期呢？教师引导学生选其他几个值试试．如果学生很快求出，教师给予表扬鼓励；如果学生做不出，教师点拨学生的探究思路，充分让学生自己讨论解决．
解：因为f(x＋π)＝2sin2(x＋π)＋|cos(x＋π)|＝2sin2x＋|cosx|＝f(x)，
所以原函数是周期函数，最小正周期是π.
点评：本题能很容易判断是周期函数，但要求的是“最小正周期”，那就要多加小心了．虽然将4π，2π带入公式后也符合要求，但还必须进一步变形，即f(x)中的x以x＋π代替后看看函数值变不变．为此需将π，等都代入试一试．实际上，f(x)＝2sin2x＋|cosx|，x∈R中，学生应看到平方与绝对值的作用是一样的，与负号没有关系．因而π肯定是原函数的一个周期．
变式训练1．求函数y＝2sin(π－x)的周期．解：因为y＝2sin(π－x)＝－2sin(－)，所以周期T＝6π.2．设f(x)是定义在R上，以2为周期的函数，当x∈(－1,1)时，f(x)＝x2.(1)求x∈(1,3)时，f(x)的表达式；(2)求f(－3.5)及f(3.5)的值．解：(1)∵1课本本节练习1～4.
1．课本习题1.3　1.
2．预习正弦函数、余弦函数的图象．
1．本节课的设计思想是：在学生的探究活动中突破正弦、余弦函数的周期性这个教学难点．如果学生一开始没有很好的理解，那么以后有些题不管怎么做都难受．通过探究让学生找出周期这个规律性的东西，并明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将周期性概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更高的广度．
2．本节设计的特点是从形(单位圆)到数、由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律；让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启导．但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续探讨函数的周期性的规律及一般三角函数的周期的求法．
3．根据本节课的特点可考虑分层推进、照顾全体．对优等生，重在引导他们进行一题多解，多题合一，变式思考的训练，培养他们求同思维、求异思维能力，以及思维的灵活性、深刻性与创造性，鼓励他们独立思考，勇于探索，敢于创新，对正确的要予以肯定，对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正，使课堂学习成为再发现再创造的过程．
一、关于周期函数与函数的周期
周期性是函数的一条特殊而有趣的性质，在高中数学中仅三角函数与周期数列的通项公式中涉及到周期函数，对一般的周期函数未作重点讨论．下面对周期函数的定义、性质、周期函数和非周期函数的判定，进行一些简单的扩展说明，以吸引有兴趣的学生对周期函数作进一步的探讨．
1．性质：
(1)若T(T≠0)是函数f(x)的周期，则－T也是f(x)的周期．
〔因f[x＋(T－T)]＝f[x＋(－T)]＝f(x)〕因而周期函数必定有正周期．
(2)若T(T≠0)是f(x)的周期，则nT(n为任意非零整数)也是f(x)的周期．
(3)若T1与T2都是f(x)的周期，则T1±T2也是f(x)的周期．
〔因f[x＋(T1±T2)]＝f(x＋T1)＝f(x)〕
(4)如果f(x)有最小正周期T
，那么f(x)的任何正周期T一定是T
的正整数倍．
(5)周期函数f(x)的定义域M必定是双方无界的集合，但M并非必定是(－∞，＋∞)．
2．周期函数的判定
(1)若f(x)是在数集M上以T
为最小正周期的周期函数，则kf(x)＋c(k≠0)和分别是数集M和数集{x|f(x)≠0}上的以T
为最小正周期的周期函数．
(2)设f(u)是定义在数集M上的函数，u＝g(x)是数集M1上的周期函数，且当x∈M1时，g(x)∈M，则复合函数f[g(x)]是M1上的周期函数．
(3)设f1(x)、f2(x)都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若∈Q，则它们的和、差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍数为它们的周期．
例如：f(x)＝sinx－2cos2x＋sin4x是以2π、π、的最小公倍数2π为周期的周期函数．
3．非周期函数的判定
(1)若f(x)的定义域有界，则f(x)不是周期函数．例如：f(x)＝cosx(x≤10)不是周期函数．
(2)一般用反证法证明．
例如：可证f(x)＝sinx2是非周期函数；f(x)＝ax＋b(a≠0)是非周期函数．
(3)根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(x＋T)＝f(x)中是与x无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f(x＋T)－f(x)＝0，若能解出与x无关的非零常数T，便可断定函数f(x)是周期函数，若这样的T不存在，则f(x)为非周期函数．
4．求周期函数的周期
关于求三角函数最小正周期的问题，是三角函数的重点和难点，教科书和各种教参中虽有讲解，但其涉及到的题目类型及解决方法并不多，学生遇到较为复杂一点的问题时，往往不知从何入手．本节涉及的求周期的方法可概括为定义法、公式法，其他还有转化法、最小公倍数法、图象法等．
二、备用习题
1．求下列函数的周期：
①y＝cos2x；②y＝sinx；③y＝sin(x－)；④y＝|sinx|.
2．已知函数y＝2cos(－ωx)的周期是4π，求ω.
3．已知函数f(x)＝3sin(＋3)(k≠0)的最小正周期不大于1，则最小正整数k的值为(　　)
A．33　　　
　
　　B．32　　　
　
　　C．31　　　
　
　　D．30
4．下列函数中不是周期函数的是(　　)
A．y＝－8π
B．y＝|cosx|
C．y＝
D．y＝sin|x|
5．求证：y＝cos2x＋sin2x的周期为π.
6．求函数y＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期．
参考答案：1.①π；②3π；③8π；④2π.
2．ω＝±.　3.B　4.D
5．证明：f(x＋π)＝cos2(x＋π)＋sin2(x＋π)＝cos(2π＋2x)＋sin(2π＋2x)＝cos2x＋sin2x＝f(x)，∴y＝cos2x＋sin2x的周期是π.
(一般不要求证明是最小正周期)
6．解：函数y＝|sinx|＋|cosx|的图象如图1所示，由图可知：函数的最小正周期为T＝.
图11.2.2　同角三角函数关系
教学分析　　　　　
与三角函数的定义域、符号的确定一样，同角三角函数的基本关系式的推导，紧扣了定义，按照一切从定义出发的原则进行，通过对基本关系的推导，培养学生重视对基本概念学习的良好习惯，并通过对基本概念的学习，善于钻研，从中不断发掘更深层次的内涵．
同角三角函数的基本关系式将“同角”的三种不同的三角函数直接或间接地联系起来，在使用时一要注意“同角”，如sin24π＋cos24π＝1等，二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的，如tanα中的α是使得tanα有意义的值，即α≠kπ＋，k∈Z.
通过联系，让学生了解到基本关系式具有等式的一切性质(正用、逆用、变形用)，对公式不仅能牢固掌握，还能灵活运用，不仅掌握公式的标准形式，而且还应掌握它们的等价形式：sin2α＝1－cos2α，1＝sin2α＋cos2α，cosα＝±，sinα＝tanαcosα，cosα＝.熟练掌握这些等价形式，在应用上可更为方便，但在变形中要注意定义域从左到右的变化，如sinα＝tanαcosα，这时定义域由α∈R变为α≠kπ＋，k∈Z，而tanαcosα＝sinα，这时定义域由α≠kπ＋，k∈Z，变为α∈R.
已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个，这是同角三角函数关系式的一个最基本功能，在求值时，根据已知的三角函数值，确定角的终边的位置是关键和必要的，有时由于角的终边的位置不确定，因此解的情况不止一种，解题时产生遗漏的主要原因：一是没有确定好或不去确定终边的位置；二是利用平方关系开方时，漏掉了负的平方根．
三维目标　　　　　
1．通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式，并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明．
2．掌握如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明．
3．通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯，提高三角恒等变形的能力，树立转化与化归的思想方法．
重点难点　　　　　
教学重点：课本的两个公式的推导及应用．
教学难点：课本的两个公式的推导及应用．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.先请学生回忆任意角的三角函数定义，然后引导学生先计算后观察以下各题的结果，并鼓励学生大胆进行猜想，教师点拨学生能否用定义给予证明，由此展开新课．计算下列各式的值：
(1)sin290°＋cos290°；(2)sin230°＋cos230°；(3)；(4).
思路2.既然角α的正弦、余弦、正切都是角α的函数，自然想到它们之间会有什么内在的联系呢？由此引导学生探究同角三角函数的关系式．
推进新课　　　　　
如图1，以正弦线MP、余弦线OM和半径OP三者的长构成直角三角形，而且OP＝1.由勾股定理有OM2＋MP2＝1.
图1
因此x2＋y2＝1，即sin2α＋cos2α＝1.(等式1)
显然，当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立．
根据三角函数的定义，当α≠kπ＋，k∈Z时，有＝tanα.(等式2)
这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
对于同一个角的正弦、余弦、正切，至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出其他的三角函数的值．
对以上关系式教师可先让学生用自己的语言叙述出来，然后点拨学生思考这两个公式的用处．同时启发学生注意“同一个角”这个前提条件，及使等式分别有意义的角的取值范围．可让学生展开讨论，点拨学生从方程的角度进行探究，对思考正确的学生给予鼓励，对没有思路的学生教师点拨其思考的方法，最后得出结论“知一求二”．
思路1
例1已知sinα＝，并且α是第二象限的角，求cosα，tanα的值．
活动：同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握，先让学生接触比较简单的应用问题，明确和正确地应用同角三角函数关系．可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是sin2α＋cos2α＝1，故cosα的值最容易求得，在求cosα时需要进行开平方运算，因此应根据角α所在的象限确定cosα的符号，在此基础上教师指导学生独立地完成此题．
解：因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝1－sin2α＝1－()2＝.
又因为α是第二象限角，
所以cosα<0.
于是cosα＝－＝－，
从而tanα＝＝×(－)＝－.
点评：本题是直接应用关系式求解三角函数值的问题，属于比较简单和直接的问题，让学生体会关系式的用法．应使学生清楚tanα＝－中的负号来自α是第二象限角，这也是根据商数关系直接运算后的结果，它不同于在选用平方关系式的三角函数符号的确定．
例2见课本本节例2.
变式训练　已知cosα＝－，求sinα，tanα的值．解：因为cosα<0，且cosα≠－1，所以α是第二或第三象限角．如果α是第二象限角，那么sinα＝＝＝，tanα＝＝×(－)＝－，如果α是第三象限角，那么sinα＝－，tanα＝.点评：在已知角的一个三角函数值但是不知道角所在的象限的时候，应先根据题目条件讨论角的终边所在的象限，分类讨论所有的情况，得出所有的解.
思路2
例1已知tanα为非零实数，用tanα表示sinα、cosα.
活动：引导学生思考讨论：角的终边在什么位置；能否直接利用基本关系式求出sinα或cosα的值．由tanα≠0，只能确定α的终边不在坐标轴上．关于sinα、cosα、tanα的关系式只有tanα＝，在这个式子中必须知道其中两个三角函数值，才能求出第三个，因此像这类问题的求解，不能一步到位，需要公式的综合应用．其步骤是：先根据条件判断角的终边的位置，讨论出现的所有情况．然后根据讨论的结果，利用基本关系式求解．分情况求出cosα，进而求出sinα.
解：因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝1－cos2α.
又因为tanα＝，
所以tan2α＝＝＝－1，于是＝1＋tan2α，cos2α＝.
由tanα为非零实数，可知角α的终边不在坐标轴上，从而
cosα＝
sinα＝cosαtanα＝
点评：要求学生灵活运用三角函数公式进行变形、化简、求解．这一小题，需要学生认真细致分析题目的条件，灵活运用公式，需要较高的思维层次.
变式训练　已知cosα≠0，且|cosα|≠1，用cosα表示sinα、tanα.解：本题仿照上题可以比较顺利的完成．sinα＝tanα＝
例2见课本本节例3.
例3见课本本节例4.
变式训练　求证：＝.证法一：由cosx≠0，且sinx≠－1，得1＋sinx≠0，于是左边＝＝＝＝＝右边．所以原式成立．证法二：因为(1－sinx)(1＋sinx)＝1－sin2x＝cos2x＝cosxcosx，且1－sinx≠0，cosx≠0，所以＝.教师启发学生进一步探究：除了证法一和证法二外，你是否还有其他的证明方法．教师和学生一起讨论，由此可探究出证法三．依据“a－b＝0a＝b”来证明恒等式是常用的证明方法，由学生自己独立完成．证法三：因为－＝＝＝＝0，所以＝.点评：这是一道很有训练价值的经典例题，教师要充分利用好这个题目．从这个例题可以看出，证明一个三角恒等式的方法有很多．证明一个等式，可以从它的任何一边开始，证得它等于另一边；还可以先证得另一个等式成立，从而推出需要证明的等式成立.
课本本节练习1～6.
由学生回顾本节所学的方法知识：①同角三角函数的基本关系式及成立的条件，②根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余的两个值(可以简称“知一求二”)时要注意这个角的终边所在的位置．
“知一求二”的解题步骤一般为：先确定角的终边位置，再根据基本关系式求值，若已知正弦或余弦，则先用平方关系，再用其他关系求值；若已知正切或余切，则构造方程组求值．
教师和学生一起归纳三角函数式化简与三角恒等式的证明的一般方法及应注意的问题，并让学生总结本节用到的思想方法．
1．化简(1＋tan2α)cos2α.
2．已知tanα＝2，求的值．
答案：1.1.　2.3.
公式的推导和应用是本节课的重点，也是本节课的难点．
公式的应用实际上是求可化为完全平方的三角函数式的“算术平方根”的化简题和证明题，这类问题可按下列情形分别处理：
(1)如果这个三角函数式的值的符号可以确定，则可以根据算术平方根的定义直接得到结果；
(2)如果这个三角函数式的值的符号不可以确定，则可根据题设条件，经过合理的分类讨论得到结果．
三角函数式的化简，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则，它不仅需要学生能熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式，同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的灵活运用也具有较高的要求，在教学时要注意进行相关知识的复习．
证明恒等式的过程实质上就是分析转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法一般有以下三种：
(1)依据相等关系的传递性，从等式一边开始，证明它等于另一边，证明时一般遵循由繁到简的原则．
(2)依据“等于同量的两个量相等”证明左、右两边等于同一个式子．
(3)依据等价转化思想，证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
教材上在运用这一方法时使用的是综合法，初学恒等式的证明时，运用等价转化的方法可以使证明的思路更清楚一些，实际上，使用综合法时不一定要求进行等价转化，只需证明等式成立的充分条件即可(教师知道即可)，证明方法中分别运用了分式的基本性质和算式的基本性质．使学生明白，如果算式中含有正弦、余弦、正切等三角函数，为了便于将算式两边沟通，可通过“切化弦”使两边的三角函数相同．
备用习题
1．如果sinx＋cosx＝，且0A．－
B．－或－
C．－
D.或－
2．若sinθ－cosθ＝，则sinθcosθ＝________，tanθ＋＝________，sin3θ－cos3θ＝________，sin4θ＋cos4θ＝________.
3．若a≠0，且sinx＋siny＝a，cosx＋cosy＝a，则sinx＋cosx＝____________.
4．已知tanα＝－，求下列各式的值：
(1)；
(2)2sin2α＋sinαcosα－3cos2α.
5．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＋1＝2sin2α.
参考答案：1.A　2.－　－2　　　3.a
4．解：(1)原式＝＝＝5.
(2)原式＝＝＝＝－.
5．证明：由已知有1＋tan2α＝2tan2β＋2＝2(1＋tan2β)，
∴1＋＝2(1＋)．
∴2cos2α＝cos2β.∴2(1－sin2α)＝1－sin2β.∴sin2β＋1＝2sin2α.