(共33张PPT)
3．2 二倍角的三角函数
第3章
三角恒等变换
学习导航
第3章
三角恒等变换
学习目标
1.了解二倍角公式的推导过程.
2.理解二倍角公式的意义及变形形式．(重点)
3.掌握二倍角公式进行化简、求值及证明．
(重点、难点)
学法指导
1．1－2sin222.5°的结果等于________．
7
二倍角公式的正用与逆用
1.求下列各式的值．
(1)cos
36°·cos
72°；
(2)sin
6°·sin
42°·cos
24°·cos
12°.
给值求值
二倍角公式的综合应用
名师解题
破解三角函数求值问题
易错警示
化简中因忽视对被开方数的判断致误
新知初探·思维启动
〉基础梳理,追本溯源,初试身手,巩固新知回
◎教材梳理③
预习自测◎
教材盘点·合作学习
〉题型突破,讲练互动,方法感悟,汇集真知⊙
例
题型→
跟踪洲练
题型
例
例
题型
B
A
教材拓展·整合提高
〉典例剖析,深入浅出,名师导学,拓展提高⊙
例
例3.3
几个三角恒等式
课堂导学
三点剖析
1.三角函数恒等式应用举例
【例1】
运用三角函数变换证明tan=.
思路分析：由于角不一致，首先应统一角度，即运用倍角公式设法将tan变成角α的三角函数.
证明：tan=
=.
tan=
=
∴tan=成立.
温馨提示
这组公式的结构特征是用cosα与sinα表示的正切值，可称为半角公式.
2．三角函数变换的应用
【例2】
将下列各式化简为Asin(ωx+φ)的形式：
（1）cosx-sinx；
(2)3sinx+cosx；
(3)3sinx-4cosx；
(4)asinx+bcosx(ab≠0).
思路分析：本题主要考查两角和（差）的正余弦公式的恒等变形.
解：（1）cosx-sinx=-(sinx-cosx)
=(sinx-cosx)
=(sinxcos-cosxsin)
=sin(x-).
本题化简结果不唯一，也可这样变换：
cosx-sinx=(cosx-sinx)
=(sinxcos+cosxsin)=sin(x+).
（2）3sinx+cosx=2(sinx+cosx)
=2(sinxcos+cosxsin)
=2sin(x+).
(3)3sinx-4cosx=5(sinxcosx)
令cosφ=，φ为第一象限角，则sinφ=.
∴3sinx-4cosx=5(sinxcosφ-cosxsinφ)
=5sin(x-φ).
（4）asinx+bcosx
=(sinx+cosx)
=(sinxcosφ+cosxsinφ)
=sin(x+φ).
其中cosφ=,sinφ=.
温馨提示
形如asinx+bcosx的式子均可化成·sin(x+φ)的形式，这种变换的主要功能是把asinx+bcosx形的三角函数式表示成一个角的一个三角函数，这样做有利于研究f(x)=asinx+bcosx的图象和性质，或化简、求最值问题.
3.在解题过程中怎样选择合适的公式
【例3】已知函数f(x)=2asinxcosx+2bcos2x,且f(0)=8，f()=6+.
求a,b的值及f(x)的周期和最大值.
解：∵f(0)=2asin0cos0+2bcos20=2b=8,∴b=4.
又f()=2asincos+2bcos2=a+b=a+6=6+.
∴a=3.
∴f(x)=3sin2x+4cos2x+4=5(sin2x+φ)+4(其中cosφ=,sinφ=),
∴f(x)的周期是T==π.
当sin（2x+φ）=1时，f(x)最大值=9.
温馨提示
当f(x)的解析式中有待定常数a，b时，可根据条件列关于a，b的两个条件等式，再通过解方程组求出a，b;求f(x)的周期和最值，通常需把f(x)化成Asin（ωx+φ）+k的形式.本例中（2）问是根据方程根的意义得到两个三角等式，再通过三角变换变出所需要的式子.
各个击破
类题演练1
已知cosθ=，且θ∈（0，），求tan.
解：∵θ∈（0，），
∴θ[]2∈(0,)，
∴tan＞0，
∴tan=
变式提升1
求证：（1）sinαcosβ=［sin（α+β）+sin(α-β)］;
(2)sinθ+sinφ=2sincos.
证明：（1）因为sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ,
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ,
即sinα·cosβ=［sin（α+β）+sin(α-β)］.
（2）由（1）可得，
sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ（
）
设α+β=θ,α-β=φ,
那么α=,β=.
把α,β的值代入（
），得
sinθ+sinφ=2sincos.
温馨提示
本例是积化和差、和差化积公式的证明，所用的方程思想和换元的方法很巧妙，使公式的证明变得十分简单.
类题演练2
当y=2cosx-3sinx取得最大值时，tanx的值（
）
A.
B.-
C.
D.4
解析：y=sin(φ-x),y有最大值时，sin(φ-x)=1φ-x=2kπ+φ=2kπ++x,又由sinφ=,cosφ=，知tanφ=，故tan(2kπ++x)=tanx=-(k∈Z).
答案：B
变式提升2
（1）当-≤x≤时，f(x)=sinx+3cosx的最值.
解：f(x)=sinx+cosx=2sin(x+).
设t=x+.
∵-≤x≤，∴-≤x+≤，即-≤t≤.
∴原函数化为y=2sint(-≤t≤).
画出y=2sint的图象，观察图象可知
当t=-，即x=-时，
ymin=2sin(-)=-1,
当t=，即x=时，ymax=2sin=2.
∴ymin=-1,ymax=2.
(2)(2005江苏高考，10)若sin(-α)=，则cos(+2α)等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：cos(+2α)=2cos2(+α)-1.
∵(-α)+(+α)=,
∴cos(+α)=sin(-α)=.
∴cos(+2α)=2×()2-1=.
答案：A
类题演练3
求证：（1）sin3α=3sinα-4sin3α；（2）cos3α=4cos3α-3cosα.
证明：（1）sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcos2α+(1-2sin2α)sinα
=2sinα(1-sin2α)+sinα-2sin3α
=3sinα-4sin3α.
∴sin3α=3sinα-4sin3α.
（2）cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα
=(2cos2α-1)cosα-2sin2αcosα
=2cos3α-cosα-2(1-cos2α)cosα
=4cos3α-3cosα.
∴cos3α=4cos3α-3cosα.
变式提升3
求sin18°的值.
解：∵sin36°=cos54°,
∴2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°.
又∵cos18°≠0,
∴2sin18°=4(1-sin218°)-3,
∴4sin218°+2sin18°-1=0.
解这个关于sin18°的一元二次方程得
sin18°=.
∵sin18°＞0,∴sin18°=.(共22张PPT)
第3章
三角恒等变换
三角函数的化简
三角函数的化简是三角变换应用的一个重要方面，其基本
思想是统一角、统一三角函数的名称，在具体实施过程中，
应着重抓住角的统一，通过观察角、函数名、项的次数等，
找到突然口．利用切化弦、升幂、降幂、逆用或变用公式
手段将其化简，最后结果为：(1)能求值的尽量求值；(2)三角函
数名称尽量少；(3)项数尽量少；(4)次数尽量低；(5)分母、根号内尽量不含三角函数．
[分析] 先对分子进行切化弦，然后通分后利用两角
和
与差的三角公式整理化简，分母利用二倍角公式升幂后去
掉根号．
三角函数求值
三角恒等式的证明
三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒
等式．证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，
左右归一，变更命题等方法，通过三角恒等式变换，使等式
的两边化异为同．
[分析] 由已知入手，可利用不同的三角函数公式进行化简，得到不同的方法．
与三角形有关的三角函数问题
这是一类将三角形的有关知识(如内角和为180°，大
边对
大角，两边之和大于第三边，直角三角形中的边角关系等)与三角变换紧密联系在一起的问题，需综合运用这两方面的知识解题．
[分析] 由已知条件先求出A＋B，再根据内角和定理求C.
[点评] 利用三角公式可以解决一些与三角形有关的问题.
三角恒等变换的综合利用
[分析] 利用和差角公式和倍角公式，将所给三角代数式化为f(x)＝asin
ωx＋bcos
ωx＋c的形式，进而化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，然后研究其性质(如单调性、周期性、奇偶性、对称性和最值等)3．3 几个三角恒等式
教学分析
本节主要内容为利用已有的公式进行推导发现．本节的编写意图与特色是教师引导学生发现创造，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三角恒等变换所涉及的问题各种各样，内容十分丰富，我们希望能总结出一些有规律性的数学思想、方法和技巧，提高对三角变换的理性认识．
科学发现是从问题开始的，没有问题就不可能有深入细致的观察．为了让学生经历一个完整的探索发现过程，教科书从三角函数运算的角度提出了研究课题．这是从数学知识体系的内部发展需要提出问题的方法．用这种方法提出问题可以更好地揭示知识间的内在联系，体会推理论证和逻辑思维在数学发现活动中的作用．从运算的角度提出问题，还可以帮助学生认识到三角变换也是一种运算，丰富对运算的认识，从而把对三角变换的研究纳入整体的数学体系之中．类比对数运算，由两角和与差的正弦公式易推出积化和差公式．
在推导出了公式sinα＋sinβ＝2sincos以后，可以让学生推导其余的和差化积及积化和差公式．本节后面的练习中之所以用证明的形式给出这个问题，只是为了让学生有一个正确完整的结论．
和差化积、积化和差、万能代换以及半角公式都不要求记忆和运用，要注意不应该加大三角变换的难度，不要在三角变换中“深挖洞”．高考在该部分内容上的难度一降再降几乎不涉及了．
三维目标
1．通过类比推导出积化和差与和差化积公式及万能公式．体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力．体会三角恒等变换在数学中的应用．
2．通过和差化积公式和积化和差公式的推导，让学生经历数学探索和发现过程，激发学生数学发现的欲望和信心．
重点难点
教学重点：推导积化和差、和差化积公式．
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.(复习导入)在前面的几节课中我们学习了两角和与差的三角函数的计算公式，并运用这些公式解决了一些三角函数的化简、求值以及三角恒等式的证明问题，在我们运用三角函数知识解决一些问题的时候，我们也会遇到形如sinα＋sinβ，sinα－sinβ，cosα＋cosβ，cosα－cosβ的形式，那么，我们能否运用角α、β的有关三角函数值表示它们呢？这就是我们本节课所要研究的问题．
思路2.(类比导入)我们知道logam＋logan＝loga(mn)，那么sinα＋sinβ等于什么呢？
推进新课
和差化积公式的推导、万能公式的应用．
在引入对数概念以后，我们还研究了它的运算，并得到了一些重要的结论，如logam＋logan＝loga(mn)．
同样，在定义了三角函数以后，我们也应该考虑它的运算，如
sinα＋sinβ＝？
观察和角公式
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，
容易得到
sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ.①
由此，有
sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．
①的左边已经是两个正弦的和，因此，只要进行简单的变形，就可以回答sinα＋sinβ＝？这个问题了．
令α＋β＝θ，α－β＝φ，代入①得
sinθ＋sinφ＝2sincos，
从而有sinα＋sinβ＝2sincos.②
为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含sinαcosβ呢？想到sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.从方程角度看这个等式，sinαcosβ，cosαsinβ分别看成两个未知数．二元方程要求得确定解，必须有两个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sinαcosβ的公式，列出sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ后，解相应地以sinαcosβ，cosαsinβ为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果．
得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与前者没有什么区别．只需做个变换，令α＋β＝θ，α－β＝φ，则α＝，β＝，代入①式即得②式．
证明：(1)因为sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ，
即sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．
(2)由(1)可得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ.①
设α＋β＝θ，α－β＝φ，那么α＝，β＝.
把α、β的值代入①，
即得sinθ＋sinφ＝2sincos.
类似的还能得到
sinα－sinβ＝2cossin，
cosα＋cosβ＝2coscos，
cosα－cosβ＝－2sinsin.
以上四个公式我们称其为和差化积公式．
教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想，可以总结出在本例的证明过程中，用到了换元的思想，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式变换成θ，φ的三角函数式．另外，把sinαcosβ看作x，cosαsinβ看作y，把等式看作x，y的方程，通过解方程求得x，这就是方程思想的体现．
利用前面所学的三角函数公式还能推出很多有用的恒等式，我们先来探究一个具体问题．
设tan＝t.
(1)求证：sinα＝，cosα＝，tanα＝；①
(2)当t＝2时，利用以上结果求3cos2－2sinα＋sin2的值．
(1)证明：由二倍角公式，得
sinα＝2sincos＝＝＝，
tanα＝＝.
再由同角三角函数间的关系，得
cosα＝＝＝.
(2)解：3cos2－2sinα＋sin2＝2cos2＋1－2sinα＝2＋cosα－2sinα
＝2＋－
＝＝－.
公式①称为万能代换公式，利用万能代换公式，可以用tan的有理式统一表示α角的任何三角函数值．图1中的直角三角形可以帮助你更好地理解万能代换公式．
图1
思路1
例1已知sinx－cosx＝，求sin3x－cos3x的值．
活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解．由于(a－b)3＝a3－3a2b＋3ab2－b3＝a3－b3－3ab(a－b)，∴a3－b3＝(a－b)3＋3ab(a－b)．解完此题后，教师引导学生深挖本例的思想方法，由于sinxcosx与sinx±cosx之间的转化，提升学生的运算、化简能力及整体代换思想．本题也可直接应用上述公式求解，即sin3x－cos3x＝(sinx－cosx)3＋3sinxcosx(sinx－cosx)＝.此方法往往适用于sin3x±cos3x的化简问题．
解：由sinx－cosx＝，得(sinx－cosx)2＝，
即1－2sinxcosx＝，∴sinxcosx＝.
∴sin3x－cos3x＝(sinx－cosx)(sin2x＋sinxcosx＋cos2x)
＝(1＋)＝.
点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值，注意公式的灵活运用和化简的方法.
变式训练 已知sinθ＋cosθ＝，且≤θ≤，则cos2θ的值是__________．答案：－
例2已知＋＝1，求证：＋＝1.
活动：此题可从多个角度进行探究，由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致，只是将A、B的位置互换了，因此应从所给的条件等式入手，而条件等式中含有A、B角的正、余弦，可利用平方关系来减少函数的种类．从结构上看，已知条件是a2＋b2＝1的形式，可利用三角代换．
证法一：∵＋＝1，∴cos4Asin2B＋sin4Acos2B＝sin2Bcos2B.
∴cos4A(1－cos2B)＋sin4Acos2B＝(1－cos2B)cos2B，
即cos4A－cos2B(cos4A－sin4A)＝cos2B－cos4B.
∴cos4A－2cos2Acos2B＋cos4B＝0.
∴(cos2A－cos2B)2＝0.∴cos2A＝cos2B.∴sin2A＝sin2B.
∴＋＝cos2B＋sin2B＝1.
证法二：令＝cosα，＝sinα，
则cos2A＝cosBcosα，sin2A＝sinBsinα.
两式相加得1＝cosBcosα＋sinBsinα，即cos(B－α)＝1.
∴B－α＝2kπ(k∈Z)，即B＝2kπ＋α(k∈Z)．∴cosα＝cosB，sinα＝sinB.
∴cos2A＝cosBcosα＝cos2B，sin2A＝sinBsinα＝sin2B.
∴＋＝＋＝cos2B＋sin2B＝1.
点评：要善于从不同的角度来观察问题，本例从角与函数的种类两方面观察，利用平方关系进行了合理消元．
思路2
例题
证明＝tan(＋)．
活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边．教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导．注意式子左边包含的角为x，三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角，三角函数的种类为正切．
证法一：从右边入手，切化弦，得
tan(＋)＝＝＝，由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos＋sin，得
＝.
证法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得
＝＝.
由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos，得
＝＝tan(＋)．
点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.
变式训练 求证：＝.分析：运用比例的基本性质，可以发现原式等价于＝，此式右边就是tan2θ.证明：原等式等价于＝tan2θ.而上式左边＝＝＝＝tan2θ＝右边．∴上式成立，即原等式得证.
1．若sinα＝，α在第二象限，则tan的值为( )
A．5
B．－5
C.
D．－
2．设5π<θ<6π，cos＝a，则sin等于( )
A.
B.
C．－
D．－
3．已知sinθ＝－，3π<θ<，则tan＝__________.
答案：
1．A 2.D 3.－3
1．先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系．积化和差与和差化积公式及其推导，三角恒等式与条件等式的证明．
2．教师画龙点睛：本节学习的数学方法：公式的使用，换元法，方程思想，等价转化，三角恒等变形的基本手段．
课本复习题9、10.
1．本节主要学习了怎样推导半角公式，积化和差，和差化积公式，在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形．还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等．
2．在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查．特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用．
一、1.一道给值求角类问题错解点击．
解决给值求角这类问题时，要注意根据问题给出的三角函数值及角的范围，选择适当的三角函数，确定所求角的恰当范围，利用函数值在此范围内的单调性求出所求角．解答此类问题一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系，常见的错误为不根据已知条件确定角的范围而盲目求值，造成增解．
例题：若sinα＝，sinβ＝，α、β均为锐角，求α＋β的值．
错解：∵α为锐角，
∴cosα＝＝.
又β为锐角，
∴cosβ＝＝.
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝.
∵α，β均为锐角，
∴0°<α＋β<180°.
∴α＋β＝45°或135°.
点评：上述解法欠严密，仅由sin(α＋β)＝，0°<α＋β<180°而得到α＋β＝45°或135°是正确的．但题设中sinα＝<，sinβ＝<，使得0°<α＋β<60°，故上述结论是错误的．事实上，由0°<α＋β<180°，应选择求cos(α＋β)＝(∵余弦函数在此范围内是单调的)，易求得cos(α＋β)＝，则α＋β＝45°，因此，解决给值求角这类问题一般分三步：第一步是确定角所在的范围；第二步是求角的某一个三角函数值(要尽量使所选择的三角函数在所确定的范围内单调)；第三步是得到结论，求得所求角的值．
2．如何进行三角恒等变式的证明．
三角恒等式证明的基本方法：
师：如何利用同角三角函数的基本关系式对三角恒等式进行证明呢？
(1)可从一边开始，证得它等于另一边，一般是由繁到简．
(2)可用左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)可采用切割化弦，将其转化为所熟知的正、余弦．
(4)可用分析法，即假定结论成立，经推理论证，找到一个显然成立的式子(或已知条件)．
(5)可用拼凑法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异，简言之，即化异求同．
(6)可采用比较法，即“＝1”或“左边－右边＝0”．
证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，就是有目的地进行化简，因此，在证明时要注意将上述方法综合起来考虑，要灵活运用公式，消除差异，其思维模式可归纳为三点：
(1)发现差异：观察角、函数、运算结构的差异；
(2)寻求联系：运用相关公式，找出转化差异的联系；
(3)合理转化：选择恰当的公式，实现差异的转化．
二、备用习题
1．已知tanx＝－3，则sin2x＝________，cos2x＝________.
2．已知tanα＝2，则cos2α等于( )
A．－
B．±
C．－
D．±
3．下列各式化成和差的形式分别是：
(1)sin(＋2x)cos(－2x)；
(2)cossin.
4．设α、β≠kπ＋(k∈Z)，且cos2α＋sin2β＝0.求证：tan2α＝2tan2β＋1.
5．已知△ABC的三个内角A、B、C满足A＋C＝2B，且＋＝－，试求cos的值．
6．不查表求值：
tan6°tan42°tan66°tan78°.
参考答案：
1．－ － 2.C
3．(1)＋sin4x；(2)(sinα－sinβ).
4．证明：∵cos2α＋sin2β＝0,
∴＋＝0，即＋＝0.
化简得tan2α＝2tan2β＋1.
5．解：由题设条件，知B＝60°，A＋C＝120°，
设＝α，则A＝60°＋α，C＝60°－α.
代入＋＝－，
可得＋＝－2，
即＋＝－2，
可化为4cos2α＋cosα－3＝0，
解得cosα＝或－(舍去)．
∴cos＝.
6．解：原式＝
＝
＝
＝
＝＝1.3.1.3
两角和与差的正切
课堂导学
三点剖析
1.两角和与差的正切公式应用初步
【例1】计算下列各式的值.
（1）tan15°+tan75°;(2).
解析：观察各式的特点，设法化为特殊角的和、差正切公式计算.
解：（1）tan15°+tan75°
=tan(45°-30°)+tan(45°+30°)
=
=
==4.
(2)原式=tan(41°+19°)=tan60°=.
温馨提示
要灵活运用和、差角正切公式进行化简求值.当一个角能表示成两个特殊角的和或差时，可用公式求值；若式子能转化成公式右边的形式，便可逆用公式求值.
2.两角和与差的正切公式的综合应用
【例2】已知：A、B∈(0,),且A+B=.
求证：（1+tanA）(1+tanB)=2.
思路分析1：从局部入手，
tanB=tan(-A)=.
思路分析2：从整体入手，
（1+tanA）(1+tanB)=1+tanA+tanB+tanAtanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)+(1+tanAtanB)
〔此式由tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)代换得到〕.
证法1：
∵A+B=,
∴tanB=tan(-A)=.
左边=（1+tanA）(1+)
=(1+tanA)·=2=右边.
故原式成立.
证法2：由tan(A+B)=得，
tan(A+B)(1-tanA·tanB)=tanA+tanB.
∴原式左边=1+tanA+tanB+tanAtanB
=tan(A+B)(1-tanA·tanB)+(1+tanA·tanB).
又∵A+B=,
∴tan(A+B)=1.
∴原式左边=1-tanAtanB+1+tanAtanB=2=右边.
故原式成立.
温馨提示
tanα±tanβ=tan（α±β）（1tanαtanβ）这一公式变形在解题中经常用到，只要题目中有tanα+tanβ或tanα-tanβ，一般用正切公式的变形，整体代入都能奏效.
3.角的变换与角的范围的确定
【例3】已知α、β、γ都是锐角，且tanα=，tanβ=，tanγ=，求α+β+γ的值.
解：因为tan（α+β）=
=
tan[（α+β）+γ]=
==1.
由已知γ＜β＜α，又因0＜＜，
所以0＜γ＜β＜α＜，
得0＜α+β+γ＜.
故α+β+γ=.
温馨提示
本类问题通常会因为角的范围太大，导致产生不合题意的角，遇到本类问题，要根据已知条件尽可能精确地确定角的范围.
各个击破
类题演练1
计算下列各式的值.
（1）;
(2).
解：（1）原式==tan(45°-15°)=tan30°=.
(2)原式=tan(-)=tan=1.
变式提升1
求出下列各式的值，完成填空.
（1）=________________；
（2）=______________.
思路分析：（1）原式=tan（75°-15°）=tan60°=.
（2）原式==tan45°=1.
答案：（1）
（2）1
类题演练2
求tan50°-tan20°-tan50°·tan20°的值.
解析：本题主要考查给角求值，观察式子的结构特点知，tan50°-tan20°是两角差正切公式中的分子〔tan（50°-20°）=〕，于是抓住这一点作为突破口，用公式的变形，容易解决.
解：∵tan50°-tan20°=tan30°（1+tan50°·tan20°），
∴tan50°-tan20°-tan50°·tan20°
=tan30°（1+tan50°·tan20°）-tan50°·tan20°
=tan30°+tan30°·tan50°tan20°-tan50°·tan20°
=tan30°=.
变式提升2
求tan(-θ)+tan(+θ)+3tan(-θ)·tan(+θ)的值.
解析：∵tan［(-θ)+(+θ)］=tan=3,
∴=
tan(-θ)+tan(+θ)=[1-tan(-θ)·tan（+θ)］.
∴原式=［1-tan(-θ)·tan(+θ)］+3tan(-θ)·tan(+θ)=.
类题演练3
若tanα=,tanβ=,且α、β都是锐角，求α+β的值.
解析：∵tan(α+β)==1,
又根据已知0＜α＜,0＜β＜,
得0＜α+β＜π,
∴α+β=.
变式提升3
已知tan(α+β)=5,tan(α-β)=3,求tan2α,tan2β,tan(2α+).
思路分析：先利用α+β、α-β构造出2α、2β，即2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),再用公式解题.
解：tan2α=tan［（α+β）+（α-β）］
=
=.
tan2β=tan［(α+β)-(α-β)］
=
=.
tan(2α+)=.(共29张PPT)
3．1 两角和与差的三角函数
3．1.1 两角和与差的余弦
第3章
三角恒等变换
学习导航
第3章
三角恒等变换
学习目标
1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程．(难点)
2．理解两角和与差的余弦公式的意义与公式结构特征．(重点)
3．掌握运用两角和与差的余弦公式进行三角式的化简、求值与证明．(重点)
学法指导
学习两角和与差的余弦公式时，应从特例入手，归纳、提炼、拓展到一般的两角和与差的余弦公式，从单位圆上的三角函数和向量两种不同的途径探索、推导公式.
③
2．cos
45°cos
15°＋sin
15°sin
45°的值为__________.
3．sin
195°＝__________．
公式的正用
求下列三角函数的值．
(1)cos(－15°)；(2)cos
165°.
(链接教材P105例2)
公式的逆用
方法归纳
当所求的三角函数值为正弦和余弦函数值之积的
和(差
)的
形式时，一般是通过变换角间关系逆用公式，也就是把
所求
值的三角函数式化为某两个角α，β的余弦之积与正弦之积的和
(差)的形式，再逆用公式便可求其值．
给值求值
给值求角
名师解题
三角函数求值问题中的整体代换
易错警示
忽视隐含条件不能确定角的范围而出错3.2
二倍角的三角函数
课堂导学
三点剖析
1.二倍角公式应用初步
【例1】（1）求coscos的值；
（2）求cos20°·cos40°·cos80°；
（3）求的值.
思路分析：本题主要涉及给角求值问题，应充分利用倍角公式及变形形式，抓住题目中各角之间的关系.
解：（1）coscos=cossin
=·2cossin=sin=.
（2）原式=
=
=.
（3）=
=
=
温馨提示
对于这类给角求值的问题，应首先观察题目中各角之间的关系.（1）根据、两角互余，将cos换成sin，再配以系数2即可逆用二倍角公式求值；（2）由于各角之间具有倍数关系，40°=2×20°，80°=2×40°，故分子分母同乘以sin20°，便可逆用二倍角公式求值；（3）由结构特点看应先通分，分子正好逆用两角差的正弦公式，分母逆用二倍角公式，约分后即可求值.
2.二倍角公式的变形应用
【例2】设sin（-x）=,0＜x＜,求的值.
思路分析：注意到角之间的关系，2x是x的二倍角，-x与+x互为余角，是特殊角.
解法1：∵0＜x＜,∴0＜-x＜,
∴cos(-x)=
=.
又cos（+x）=sin(-x)=,
∴原式=
=
=2cos(-x)=.
解法2：cos2x=cos2x-sin2x=(cosx+sinx)·(cosx-sinx)
=sin(x+)·cos(x+)
=2sin(x+)cos(x+).
∴原式=
=2sin(x+)=2cos(-x).
后面同解法一.
温馨提示
仔细分析角与角的关系，如-x与+x互为余角；2x是x的倍角，且cos2x=sin(±2x)=sin［2（±x）］.分析角的关系，往往是解题的突破口.
3.二倍角变形应用
【例3】（1）化简；
（2）设α∈（，2π），化简
解：（1）原式==2|sin4+cos4|+2|cos4|.
因为4∈（π，），所以sin4＜0,cos4＜0.
故原式=-2（sin4+cos4）-2cos4
=-2sin4-4cos4=-2（sin4+2cos4）.
（2）因为α∈（，2π），所以cosα＞0，cos＜0.
故，原式=
温馨提示
（1）带有根号的化简问题，首先要去掉根号，想办法将根号内的式子化成完全平方式，即三角函数中常用的解题技巧：“变次”，其中用到了二倍角正弦和余弦的两个重要的变形：1±sinα=（sin±cos）2，1±cosα=2cos2.
（2）脱掉根号时要注意符号问题，如|cos|，利用α所在的象限，判断cos的正负，然后去掉绝对值符号.
各个击破
类题演练1
化简.
（1）cos72°·cos36°；
（2）cosα·cos·cos·cos·…·cos.
思路分析：对于（1）要注意72°=2×36°；对于（2）要注意（k=1，2，…，n）.注意到以上的特点，可同乘除一个恰当的因式，然后用倍角公式解之.
解：（1）cos36°·cos72°=
==.
（2）原式同乘除因式sin，然后逐次使用倍角公式解得原式=.
变式提升1
已知θ∈（，），|cos2θ|=，则sinθ的值是（
）
A.
B.
C.
D.
思路分析：∵θ∈（，），
∴sinθ＜0，且2θ∈（，3π），∴cos2θ＜0.
∵|cos2θ|=，∴cos2θ=.
由cos2θ=1-2sin2θ，得sin2θ==，
∴sinθ=.
答案：D
类题演练2
已知sinα+cosα=,且0＜α＜π,求sin2α、cos2α、tan2α的值.
解：∵sinα+cosα=,
∴sin2α+cos2α+2sinαcosα=,
∴sin2α=-且sinαcosα=＜0.
又∵0＜α＜π,sinα＞0,∴cosα＜0,
∴sinα-cosα＞0.
∴sinα-cosα=,
∴cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=×()=.
tan2α=.
变式提升2
化简.
解法1：原式=
=
=
=.
解法2：原式=
=
=
=
=.
类题演练3
等于(
)
A.-2cos5°
B.2cos5°
C.-2sin5°
D.2sin5°
解析：原式=
=
=2（cos50°-sin50°）
=2sin（-5°）=-2sin5°，故选C.
答案：C
变式提升3
已知函数f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，],求f（x）的最大值、最小值.
解：（1）因为f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x-sin2x）-sin2x
=cos2x-sin2x=cos（2x+），
所以f（x）的最小正周期T==π.
（2）因为0≤x≤，所以≤2x+≤.
当2x+=时，cos（2x+）取得最大值；
当2x+=π时，cos（2x+）取得最小值-1.
所以f（x）在[0，]上的最大值为1，最小值为.3．1.1 两角和与差的余弦
设计思路
整堂课大致分两部分，一是探究发现；二是知识应用．探究过程由物理情景出发，尝试解决物理问题后抽象出数学模型——向量，再转化问题的表述，回归数学本质，探究“cos(α－β)能否用α，β的三角函数表示出来？如何表示？”这一问题．经历“猜想——验证——证明”的体验过程，感受向量方法证明的简洁美和数学探究的成功体验．以《几何画板》为探索平台，完成公式推导，并体验α，β的任意性．证明过程由粗至精，在直观形象的基础上进一步去体验数学的科学严谨．通过例1、例2和练习1学会运用公式进行简单三角函数的化简、求值，例3有一定技巧，意在让学生初步体会角的变换的灵活性．
教学目标
1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；
2．掌握两角和与差的余弦公式，能正确运用这些公式进行简单三角函数的化简、求值；
3．培养学生发现问题、研究问题、解决问题的能力及创新能力，掌握数形结合这一重要数学思想；
4．引导学生注意养成有条理地逐步解决问题的习惯，培养学生普遍联系、运动变化、数学来源于实践又指导实践的辩证唯物主义观点及勇于探索的创新精神．
情景创设
1．物理情景
如图1所示，倾角为30°的斜坡上，一物体在力F的作用下前进了1
m，已知|F|＝1
N，力F的方向与水平方向成45°角，求此过程中力F所做的功．
图1
设问1：力F与位移s的夹角不是我们熟知的那些特殊角，有办法求此过程中力F所做的功W吗？
将力F正交分解，得水平方向和竖直方向的两个分力F1、F2，将位移s也按同样的方向做正交分解为s1、s2，可以具体计算出W1、W2，再求出和功W.
发现：由F·s＝F1·s1＋F2·s2，
有cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°.
设问2：一般地，斜坡倾角为β，力F的方向与水平方向所成角为α，还会有类似的结果吗？
2．数学情境
将上述问题中的数学模型抽象出来：我们知道，力、位移这些矢量在数学中抽象为向量，下面我们将前面的探索翻译成数学语言、向量语言．
设问3：(设问2的转化)cos(α－β)能否用α，β的三角函数表示出来？如何表示？猜猜看？
学生活动：举例验证各自的猜想是否正确，然后班级交流．
(猜想cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，诱导公式就是极好的验证例子)
设问4：所猜想的等式有什么结构特点？你能推导出这一猜想吗？说说你的推导思路．
建构数学
探究1：cos(α－β)看成两个向量的夹角的余弦，用向量的数量积来研究．(严谨性不必一步到位，采用学生们的说法“α－β为两向量夹角”)
师生活动：从“α－β为两向量夹角”这一不够严谨的说法出发，学生画图探索，尝试证明．老师用“几何画板”演示(如图2)，写出推导思路．再用“几何画板”演示(如图3)，引导大家对欠严谨处展开讨论，体验α，β的任意性．
图2
图3
前面的推导必须符合条件0≤α－β≤π才正确，α、β是任意的，α－β也应该是任意的．猜想仍然正确吗？
利用诱导公式，存在θ∈[0,2π)使cosθ＝cos(α－β)，
若θ∈[0，π]，则a·b＝cosθ＝cos(α－β)；
若θ∈[π，2π)，则2π－θ∈[0，π]且a·b＝cos(2π－θ)＝cosθ＝cos(α－β)．
从而得出公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.C(α－β)
探究2：(旋转变换的思想)如图4，将角α－β旋转变换到以x轴正方向为始边的位置，接着利用两点间的距离公式建立等式＝.
图4
引导体会该证法的优点(任意角α、β的终边位置不同不影响公式的证明)．
探究3：cos(α＋β)能否用α、β的三角函数表示出来？如何表示？
学生小组讨论后很容易由α＋β＝α－(－β)或依据α、β的任意性令β＝－β得出公式：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.
发散：模仿探究3你还能得出其他类似结果吗？
数学运用
我们探索得到了两角和与差的余弦公式，公式形式上有什么特点，如何记忆？这一公式的得出又有怎样的价值？
例1利用两角和(差)的余弦公式，求cos75°，cos15°，sin15°，tan15°.
设问5：这里的75°、15°以前我们并不熟悉，现在要求它们的余弦值(三角函数值)，怎样处理？
学生很快会答出将75°表示成45°＋30°，将15°表示成45°－30°，然后再利用两角和(差)的余弦公式求值．学生还会想出60°－45°的处理办法，要及时肯定．
教师板书解题过程，启发学生总结出解决问题的关键点：“将所求角用熟知的特殊角表示出来”．本题还涉及到诱导公式和同角三角函数关系的运用，也需设问引导学生注意总结．学生若能够与探究部分的发散联系起来，得出两角和(差)的正弦公式，要多加赞许．
例2已知sinα＝，α∈(，π)，cosβ＝－，β∈(π，)，求cos(α＋β)．
学生思考后师生共同分析，欲利用两角和的余弦公式求三角函数值，要先准备好公式中所需要的相关角的正弦值、余弦值，教育学生做事情要有条理，一步一步把事情做好．
强调利用同角三角函数关系准备相关三角函数值时，要依据角的范围，判断函数值的符号，进而求出三角函数值．
例3已知α、β都是锐角，cosα＝，cos(α＋β)＝－，求cosβ.
探究4：学生往往抓住cos(α＋β)用公式展开，将sinα，cosα的值代入，再结合同角三角函数关系sin2β＋cos2β＝1，用方程思想求解．
启发学生把题目中所涉及的角分成两类：已知角和所求角，能否用已知角把所求角表示出来？进而引导学生抓住角的变换应用公式求值．
β＝(α＋β)－α，cosβ＝cos((α＋β)－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα.
老师板书解题过程，并引导学生比较两种方法．
学生练习
1．利用两角和(差)的余弦公式化简：
(1)cos58°cos37°＋sin58°sin37°；
(2)cos(60°＋θ)－cos(60°－θ)．
2．已知cosθ＝－，θ∈(，π)，求cos(－θ)的值．
课堂小结
先请两位同学谈谈自己这堂课的收获与体验，然后老师小结．
·熟记公式 (化归的思想)
·向量方法探索公式的简洁美 (其他探索方法)
·公式应用 (求值型，证明型，化简型)
注意公式的正用、逆用，注意根据角的范围确定三角函数值的符号，要善于发现角之间的关系．
巩固作业
1．已知sinα＝，cosβ＝－，且α、β都是第二象限角，求cos(α－β)的值．
2．已知<α<β<，且sin(α＋β)＝，cos(α－β)＝.
(1)用α＋β，α－β表示2α；
(2)求cos2α的值．
教学反思
1．物理情景的引入帮助学生很快形成猜想，同时尝试抽象出其中的数学本质，一方面自然过渡到用向量法探究两角差的余弦公式，另一方面也是对数学建模思想的又一次丰富．
2．两角差的余弦公式探索方法很多，教材中也留有许多思考让学生从不同角度探索公式，这些探索证明方法的建构都有着丰富的数学思想方法，仅仅停留在课堂上的探索是远远不够的，要引导学生课后继续探究．
3．本堂课中学生的情感体验，对两角和差余弦公式价值的认识都比较充分；适当的数学史知识和我国数学家的介绍也拓宽了学生的视野，加深了学生对数学研究的亲近感；结合数学解题展开的生活习惯的养成也恰到好处．第三章
三角恒等变换
本章复习
知识网络
教学分析
三角函数及其三角恒等变换不仅有着广泛的实际应用，而且是进一步学习中学后继内容和高等数学的基础，因而成为高考中对基础知识、基本技能和基本思想方法考查的重要内容之一．切实掌握三角函数的基本变换思想是复习掌握好本章的关键．三角函数的恒等变形，不仅在三角函数的化简、求值问题中应用，而且在研究第一章三角函数的图象与性质时、在后续内容解三角形中也应用广泛．解决三角函数的恒等变形问题，其关键在掌握基本变换思想，运用三角恒等变形的主要途径——变角，变函数，变结构，注意公式的灵活应用．
在本章的学习中，化归的数学思想和方法被多次运用，有了化归思想，就可以理解三角恒等式推导和变形的思路．
在本节课的教学中，可以先组织学生自己回顾在本章教学中所学到的知识，自己绘制本章内容的结构框架图，梳理本章的知识体系，构建学生的知识结构．
三角公式是三角变换的基本依据，在三角恒等变换的复习中，可以引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，引导学生推导积化和差、和差化积、半角公式及万能公式．通过对这些公式的探求，使学生学会预测变换的目标、选择变换的公式、设计变换的途径，帮助学生进一步提高推理能力和运算能力．
学完本章后，前一章平面向量更有了用武之地，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，三角函数又具有较强的渗透力，切实提高三角函数的综合能力是复习好本章的保证．因此，我们可以通过整合，将三角函数，平面向量结成一个知识板块来复习，并进行三角与向量相融合的综合训练，这样更有利于学生对平面向量、三角函数及三角恒等变换的深刻理解及运用．
三维目标
1．通过复习全章知识方法，掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．并能正确地运用上述公式化简三角函数式、求某些角的三角函数值、证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题．
2．掌握简单的三角恒等变换的基本思想方法，并结合向量解决一些基本的综合问题．
3．通过三角恒等变换体会数学的逻辑性的特征，进一步理解数学的化归思想、方程思想和代换意识，认识事物之间是相互依存、互相联系的．学会用联系和发展的观点认识事物，培养学生学会思考问题的方法，培养他们勇于探索创新的精神，磨练学生的意志．
重点难点
教学重点：和角公式、差角公式、倍角公式及其灵活应用．
教学难点：和角公式、差角公式、倍角公式在三角恒等变换中的综合运用．
课时安排
2课时
第1课时
导入新课
思路1.(直接导入)在第一章三角函数的基础上，我们又一起探究学习了第3章三角恒等变换的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力与运算能力．现在我们一起对本章进行小结与复习，进一步巩固本章所学的知识，请同学们画出本章的知识框图，由此进入复习．
思路2.(问题导入)本章学习了几个公式？推导这些公式的过程中你用到了哪些基本的数学思想方法？你是从哪几个基本方面认识三角函数式的特点的？它们之间存在着怎样的逻辑关系？三角式的变换与代数式的变换有什么相同点？有什么不同点？分析三角函数式的特点对提高三角恒等变换的能力有什么帮助？通过学生解决这些问题展开全章的复习．
推进新课
让学生回忆本章的学习过程：利用向量推导了两角差的余弦公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式．并进一步探究了积化和差、和差化积、万能公式、半角公式等几个三角恒等式．经历并体验了数学的发现与创造过程，体会了向量与三角函数与三角恒等变换公式之间的密切联系．学习了三角变换的基本方法，提高了我们的运算能力及逻辑推理能力．
本章的公式关系见下表：
和差正、余弦公式
和差正切公式
二倍角公式
万能公式
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβcos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβsin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβsin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
tan(α＋β)＝tan(α－β)＝
sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
设tan＝tsinα＝cosα＝tanα＝
教师始终注意通过恰时恰点的问题的提出，引导学生用类比、联系、化归的观点来理解这些公式的逻辑关系，认识公式的特点，联想与代数运算的相同与不同之处；三角恒等变换是代数式恒等变换的推广和发展；进行三角恒等变换，除了要熟练运用代数恒等变换的各种方法，还要抓住三角本身的特点，领会和掌握最基本最常见的变换．教师要引导学生明确三角变换不仅是三角函数式的结构形式变换，而且还有角的变换，以及不同三角函数之间的变换，使学生领悟有关公式在变换中的作用和用法，学会用恰当的数学思想方法指导选择和设计变换思路．并让学生体会到通过三角恒等变换的探究训练，能大大提高他们的推理能力和运算能力．
教师与学生一起归纳总结常见的变换有：
(1)公式变换，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，
tanαtanβ＝1－，1＝tanαtanβ＋，
1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α等．
(2)角的变换，如α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；
－α＝－(＋α)；＋α＝－(－α)等．
还需熟练掌握一些常见的式子：
如：sinx±cosx＝sin(x±)，sinx±cosx＝2sin(x±)等．
对于化简，有两种常见的形式，(1)未指明答案的恒等变形，这时应把结果化为最简形式；(2)根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式，例如一角一函数的形式，以便研究它的各种性质．无论是何种形式的化简，都要切实注意角度变换、函数变换等各种变换．
对于证明，它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式的证明．(1)无条件恒等式的证明，需认真分析等式两边三角函数式的特点，角度、函数、结构的差异，一般由繁的一边往简的一边证，逐步消除差异，最后达到统一．对于较难的题目，可以用分析法帮助思考，或分析法和综合法联用．(2)有附加条件的恒等式的证明，关键是恰当地利用附加条件，需认真分析条件式和结论式中三角函数之间的联系，从分析过程中发现条件应怎样利用，证明这类恒等式时，还常常用到消元法和基本量方法．
思路1
例1(1)化简tan2Atan(30°－A)＋tan2Atan(60°－A)＋tan(30°－A)tan(60°－A)；
(2)已知α为锐角，且tanα＝，求的值．
活动：本例是一个三角函数化简求值问题，属于给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数式的值．关键是正确运用三角变换公式及常用思想方法，探索已知式与欲求式之间的差异和联系的途径和方法．教师可以大胆放手，让学生自己独立探究，必要时给予适时的点拨引导．但要让学生明白，从高考角度来看，关于三角函数求值问题是个重要题型、命题热点，一直备受高考的青睐．因为三角函数求值问题能综合考查考生三角变换、代数变形的基本运算能力和灵活运用公式、合理选用公式、准确选择解题方向的思维能力，且题目的答案可以简单明了．并让学生明了解决这些问题时应在认准目标的前提下，从结构式的特点去分析，以寻找到合理、简捷的解题方法，切忌不分青红皂白地盲目运用三角公式．比如在本例的(1)中，首先应想到将倍角化为单角这一基本的转化方法．
教师还应点拨学生思考，求三角函数式的值必须明确求值的目标．一般来说，题设中给出的是一个或某几个特定角，即便这些角都不是特殊角，其最终结果也应该是一个具体的实数；题设中给出的是某种或几种参变量关系，其结果既可能是一个具体的实数，也可能是含参变量的某种代数式．如本例的(2)中，目标是弦且是和差角，而条件是切且是单角．在学生探讨向目标转化的过程中，由于视角不同，思考方式不同，学生会有多种解法，教师应鼓励学生一题多解，对新颖解法给予表扬．
解：(1)∵tan(90°－2A)＝tan[(30°－A)＋(60°－A)]＝，
∴tan(30°－A)＋tan(60°－A)＝tan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)]．
∴原式＝tan2A[tan(30°－A)＋tan(60°－A)]＋tan(30°－A)tan(60°－A)
＝tan2Atan(90°－2A)[1－tan(30°－A)tan(60°－A)]＋tan(30°－A)tan(60°－A)
＝1－tan(30°－A)tan(60°－A)＋tan(30°－A)tan(60°－A)＝1.
(2)原式＝＝＝＝.∵tanα＝，又α∈(0，)，即2sinα＝cosα，又由sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝.∴＝.
点评：本两题主要回顾了和差、二倍角公式的使用，及三角函数化简求值题目的一般解法；由于公式本身就是等式，所以从方程观点出发进行变形也是一种行之有效的变形办法．由此产生逆变公式、整体变换公式等方法的灵活运用，本例的两种解法其实质是一样的．学生解决完后，教师应抓住这最佳时机，留出一定的时间让学生反思、领悟解决问题所用到的化归等数学思想方法．
例2已知α、β∈(0，)，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4tan＝1－tan2，求α＋β的值．
活动：本题属于给值求角，综合性强，有一定的难度，教师应在学生探究中适时给予恰当的点拨：把所求的角用含已知其值的角的式子表示，由所求的函数值结合该函数的单调区间求得角，但不要忽视对所求角的范围的讨论，即解决“给值求角”问题是由两个关键步骤构成：①把所求角用含已知角的式子表示；②由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，如本例，联想条件的形式，确定目标选用和角的正切．这点要提醒学生在解题过程中细细体会，领悟其要领，掌握其实质．
解：∵3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，
∵α、β∈(0，)，∴0<α＋β<.∴cos(α＋β)≠0，cosα≠0.∴tan(α＋β)＝2tanα.
由4tan＝1－tan2，得＝1，即得2tanα＝1.
代入tan(α＋β)＝2tanα，得tan(α＋β)＝1.又0<α＋β<，∴α＋β＝.
点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．
思路2
例题
已知θ∈(，π)，2cos2θ－sinθcosθ－sin2θ＝0，求tanθ和sin(2θ＋)的值．
活动：本题主要训练同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数恒等变形的基础知识和基本运算技能，是一道较为综合的题目．本题能较全面地考查到三角函数的重要公式，有多种解题的切入口，通过探究，学生可从中体会不同的数学思想方法，本题解题思路清晰，运算过程不繁杂，不必运用特殊的解题技巧．本题基本解法是常规的因式分解法，也可运用方程的思想，通过换元先解一个一元二次方程，还可以运用三角函数的定义来解题．可说是一道较为简单、考查全面的好题，教师可完全放给学生自己探究，必要时给以点拨．
解：∵2cos2θ－sinθcosθ－sin2θ＝0，
∴cosθ≠0.∴上式两边同除以cos2θ，得tan2θ＋tanθ－2＝0.
解得tanθ＝－2.〔∵θ∈(，π)，∴舍去tanθ＝1〕
∴sin(2θ＋)＝sin2θcos＋cos2θsin＝sinθcosθ＋(2cos2θ－1)
＝－＝－＝－.
点评：三角函数的解法多样，教师应鼓励学生一题多解，如本题中，可由方程组解得sinθ、cosθ的值，再代入得解，也是一种不错的思路.
变式训练
已知函数f(x)＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x，x∈R，求：
(1)函数f(x)的最大值及取得最大值时自变量x的取值集合；
(2)函数f(x)的单调增区间．
解：(1)方法一：∵f(x)＝＋sin2x＋
＝2＋sin2x＋cos2x＝2＋sin(2x＋)，
∴当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值2＋.
因此，f(x)取得最大值时自变量x的取值集合是{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
方法二：∵f(x)＝(sin2x＋cos2x)＋sin2x＋2cos2x
＝1＋sin2x＋1＋cos2x＝2＋sin(2x＋)，
∴当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值2＋.
因此，f(x)取得最大值时自变量x的取值集合是{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
(2)f(x)＝2＋sin(2x＋)，
由题意，得2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
因此，f(x)的单调增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z).
课本复习题1～4.
课本复习题5、6、7.
1．先由学生总结归纳本节所复习的知识及数学思想方法，明确三角恒等变换所涉及的公式主要是和角公式、差角公式、倍角公式以及万能公式，这些公式主要用于三角函数式的计算、化简与推导，它们在数学和许多其他学科中都有广泛的应用，必须熟练掌握，并搞清这些公式的逻辑关系和推导公式过程中所涉及的数学思想方法．
2．教师强调，对一些公式不仅会用，还会逆用、变形用．三角函数是三角变换的对象，在进行三角恒等变换时，要认清三角函数式的角的特征、函数名称的特征和式子的结构特征，以便使用恰当的变形手段，巧妙地解决问题．
1．本节为全章复习课，教案设计的指导思想是：通过设计的教学程序，引导学生对全章，甚至对涉及前两章的相关内容进行全面的复习整合，在掌握数学知识的同时，深刻领悟数学思想方法，提高他们分析问题、解决问题的能力．
2．本章在新课程中的位置是承上启下，前有三角函数，后有解三角形，所以三角函数式的恒等变形是解决有关三角问题的重要环节，蕴含着丰富的数学思想方法，教师在指导学生复习时要引导学生深刻领悟这一点．
3．三角函数公式众多，教学时要充分体现新课标的“以学生发展为本”的新理念，让学生亲自探究体验，切忌被动学习、死记硬背、机械地训练．在指导学生运用三角公式进行三角变换时，注意点拨学生从三角函数名称和角的差异双角度去综合分析，再从差异的分析中决定三角公式的选取，不可生搬硬套．
一、三角函数式的化简、求值与证明
求值、化简、证明是三角变换的中心内容，在高考中出现的三角变换大题，多数都是求值、化简类型．其解法的依据是三角恒等变换公式及代数中恒等变换知识，如配方法、消元法、因式分解、比例性质、判别式法、待定系数法等．
化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之间的关系，以便于应用．常用方法是：化异名函数为同名函数，化异角为同角，化异次为同次，切化弦，特殊角与特殊值的三角函数互化．对于三角公式要记忆准确(在理解基础上)，并要注意公式成立的条件，在应用时，要认真分析，合理转化，避免盲目性．
求值可分为给角求值、给值求值、给值求角三部分．给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数；给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，一般可适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而使问题获解；给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数式的值，其次判断该角在对应区间的单调性．
三角恒等式的证明，包括条件恒等式和无条件恒等式两种．无条件等式的证明，常用综合法、分析法、转换命题法、同一法等，证明的形式有化繁为简，左右归一等，无论采用什么证明方式和方法，都要认真分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系，找出差异，寻找证明突破口；有条件的等式证明，常常先观察条件及欲证式中左、右两边三角函数式的区别与联系，灵活使用条件，变形得证，证明方法主要是基本量法和消去法．
在三角变换中，要自觉地运用化归的思想、方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、换元的思想去处理问题．
二、备用习题
1．函数y＝cos4x－sin4x的最小正周期是( )
A.
B．π
C．2π
D．4π
2．函数y＝的最大值是( )
A.－1
B.＋1
C．1－
D．－1－
3．若θ∈(，)，sin2θ＝，则cosθ－sinθ的值为( )
A.
B．－
C．－
D.
4．函数y＝2sinx(sinx＋cosx)的单调递减区间是( )
A．[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z
B．[2kπ＋，2kπ＋]，k∈Z
C．[kπ－，kπ＋]，k∈Z
D．[kπ＋，kπ＋]，k∈Z
5．求函数y＝的值域．
6．化简：f(x)＝cos2x＋cos2(60°＋x)＋cos2(120°＋x)．
参考答案：
1．B 2.B 3.C 4.D
5．解：y＝＝＝＝2sinx(1＋sinx)，sinx≠1，
∴y＝2sin2x＋2sinx＝2(sinx＋)2－.
令t＝sinx，则t∈[－1,1)，∴y＝2(t＋)2－.
∴当t∈[－1,1)时，y∈[－，4)．
6．解：f(x)＝＋＋
＝＋[cos2x－cos(60°－2x)＋cos(240°＋2x)]
＝＋[cos2x－cos2x－sin2x－cos2x＋sin2x]
＝.
(设计者：郑吉星)
第2课时
导入新课
思路1.(直接导入)请同学们回忆上一节复习的内容，教师点出，上一节我们一起复习了本章的三角函数公式，以及它们之间的内在联系，这一节我们将通过例题分析，继续探讨三角函数应用问题，重点是复习与向量有关的一些综合问题．
思路2.(问题导入)教师开始就提出以下问题让学生探究，(1)不查表求sin220°＋cos280°＋cos20°cos80°的值．(2)已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值．学生专心解决问题的探究过程就已展开了新课．
推进新课
教师打出幻灯，根据上节复习的知识方法，请解答以下一组考试题：
1．设α、β为钝角，且sinα＝，cosβ＝－，则α＋β的值为( )
A.
B.
C.
D.或
2．已知a＝(sinα－cosα，2
007)，b＝(sinα＋cosα，1)，且a∥b，则tan2α－等于( )
A．－2
007
B．－
C．2
007
D.
3．已知α∈(，π)，sinα＝，则tan(α＋)等于( )
A.
B．7
C．－
D．－7
4．若α、β∈(0，)，cos(α－)＝，sin(－β)＝－，则cos(α＋β)的值等于________．
5．已知tan(＋θ)＋tan(－θ)＝4，且－π<θ<－，
求sin2θ－2sinθcosθ－cos2θ的值．
活动：由学生自己独立完成，对找不到思路的学生教师可给予适时的点拨，上述1～4都是2007、2006年的高考或模拟题．从中可看出，三角函数的化简、求值及恒等式的证明是三角变换的基本问题，各市地在高考中都有所体现，在考查三角公式的掌握和运用的同时，还注重考查思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算推理能力．特别是三角求值，需充分利用公式变形，而公式变形过程中可以充分体现数学思想和观点，充分体现数学公式的转化和简化功能，使学生深刻理解数学公式的本质，所以，高考三角求值题倍受命题人的青睐，使得成为出题频率较多的题型，但其难度较小．如以上几例，让学生在探究中体会怎样选择有用的公式，或其变形式．
答案：1.C 注意选用α＋β的余弦．
2．C 需利用向量平行的条件对已知进行转化，然后把所求式子切化弦，通分后再利用倍角公式化单角来解决．
3．A 利用同角三角函数的基本关系式可求得余弦值，然后利用和角的正切公式解决．
4．－ 先确定角的范围，－<α－<，－<－β<，可得α－＝，
－β＝－，∴＝(α－)－(－β)＝，α＋β＝，cos(α＋β)＝－.
5．解：由tan(＋θ)＋tan(－θ)＝4，
得＋＝
＝＝＝4，则cos2θ＝.
∵－π<θ<－，
∴cosθ＝－，sinθ＝－，sin2θ－2sinθcosθ－cos2θ＝－2××－＝－.
思路1
例1若cos(－x)＝－，
活动：本例题是一道综合型的中档题目，具有很好的训练价值，其变形式子在多处的高考试题中都有所体现．教师引导学生探讨题目中的已知条件与所求式子的角的关系，寻找解决问题的突破口．如转化为已知一个角(－x)的三角函数值，求这个角的其余三角函数值的问题．这样可以将所求式子化简，使其出现(－x)这个角的三角函数．教师要鼓励学生多视角观察，以探求更多的解题思路，从中比较最优解法．
解：＝＝
＝sin2x·＝sin2xtan(－x)＝cos(－2x)tan(－x)
＝[2cos2(－x)－1]tan(－x)．
∵点评：在解答某些三角函数的求值问题时，要能够合理地利用公式，引导学生观察角之间的关系，公式应正确、熟练地记忆与应用，并注意总结公式的应用经验，对一些公式不仅会用，还会逆用，变形用，这里就是应用了正切和角公式的逆用，而且还是很重要的一步.
变式训练 已知cosα－sinα＝，(1)求m＝的值；(2)若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，且f(－1)＝320，试求f(m)的值．解：(1)由已知cosα－sinα＝，得cos(α＋)＝.又因为sin2α＝－cos(＋2α)＝1－2cos2(α＋)＝，所以m＝＝7.(2)由题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，因此，f(3＋x)＝f(3－x)，所以f(m)＝f(7)＝f(3＋4)＝f(3－4)＝f(－1)＝320.
例2已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，)，求sinα、tanα的值．
活动：本题是2002年高考试卷解答题的第一题，但常解常新．虽然综合性很强，但试题难度并不大，对学生的逻辑思维能力和运算能力有很好的训练价值．本题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数恒等变形的基础知识和基本运算技能．按照较易题的要求来考查三角函数的重点知识．教师大胆放手让学生探究，必要时适时的给予点拨，鼓励学生一题多解．解答本题常出现的失误有：(1)记错三角公式，如“cos2α＝2sin2α－1”等；(2)解题中未能及时消去相同的项以简化运算，如将原式化为关于sinα的四次方程，造成运算烦琐，或不能得到结果；(3)用一个算式去除等式两边时，未先确认这个算式不等于零，推理不严密；(4)恒等变形中，移项时符号出错或合并同类项时系数出错，导致解题结果错误．可以此来检查学生的掌握程度．
解：方法一：由倍角公式，sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝2cos2α－1，得
4sin2αcos2α＋2sinαcos2α－2cos2α＝0?2cos2α(2sin2α＋sinα－1)＝0?2cos2α(2sinα－1)(sinα＋1)＝0，∵α∈(0，)，∴sinα＋1≠0，cos2α≠0.
∴2sinα－1＝0，即sinα＝.∴α＝.∴tanα＝.
方法二：由题设得sin22α＋sin2αcosα－2cos2α＝0，即(sin2α＋2cosα)(sin2α－cosα)＝0.
∵α∈(0，)，∴sin2α＋2cosα≠0.∴sin2α－cosα＝0.
∵cosα≠0，∴2sinα－1＝0，即sinα＝.∴α＝.∴tanα＝.
方法三：由题设得sin22α＋sin2αcosα－2cos2α＝0，将其看成关于sin2α的一元二次方程，得sin2α＝＝，∴sin2α＝－2cosα或sin2α＝cosα.
∵α∈(0，)，∴sin2α≠－2cosα.∴sin2α＝cosα(以下同方法二)．
点评：本题是考查三角函数的综合题，能抓住“二倍角公式”和“同角三角函数关系式”这两个知识重点，把它们有机地组合在一起．解题过程运用“换元法”等基本数学方法，体现方程思想，在考查基础知识和基本技能的同时达到考查数学思想方法的目标.
变式训练 已知a＝(cos2α，sinα)，b＝(1，2sinα－1)，α∈(，π)，a·b＝，求的值．解：∵a·b＝cos2α＋sinα(2sinα－1)＝2cos2α－1＋2sin2α－sinα＝1－sinα＝，∴sinα＝.又∵α∈(，π)，∴cosα＝－.∴cos(α＋)＝－.∴＝＝－10.
例3已知函数f(x)＝2asin2x－2asinxcosx＋a＋b(a≠0)的定义域为[0，]，值域为[－5,1]，求常数a、b的值．
活动：本题是一道经典三角综合题，属于结合三角函数性质运用的综合性中档题目．教师引导学生思考，对于涉及三角函数值域等性质的问题，首先应考虑将函数化为一个角一种函数形式，本题通过降次，逆用二倍角公式后，形成了y＝asinx＋bcosx型的函数，再应用y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中tanφ＝，需引起学生的高度重视．首先通过三角恒等变形，将函数化成一个角一种函数形式，然后注意函数定义域对确定函数的值域的影响，可让学生独立探究，教师适时点拨．
解：f(x)＝a(1－cos2x)－asin2x＋a＋b＝－a(cos2x＋sin2x)＋2a＋b
＝－2asin(2x＋)＋2a＋b，
∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]．∴－≤sin(2x＋)≤1.
因此，由f(x)的值域为[－5,1]，可得
或∴或
点评：解题运用通性通法，不追求特殊解题技巧，是一道难度合适的试题．解完后教师及时引导学生进行反思，注意体会解决本题用到的数学思想方法.
变式训练 已知a，b是两个向量，且a＝(1，cosx)，b＝(cos2x，sinx)，x∈R，定义：y＝a·b.(1)求y关于x的函数解析式y＝f(x)及其单调递增区间；(2)若x∈[0，]，求函数y＝f(x)的最大值、最小值及其相应的x的值．解：a＝(1，cosx)，b＝(cos2x，sinx)，a·b＝cos2x＋cosxsinx＝cos(2x－)＋，∴y＝cos(2x－)＋.单调递增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(2)由x∈[0，]，得－≤2x－≤，∴－≤cos(2x－)≤1.∴f(x)min＝0，此时x＝，f(x)max＝，此时x＝.
思路2
例1已知tan(α＋)＝－，<α<π，
(1)求tanα的值；(2)求的值．
活动：本题作为济南市的一模统考题，位置在六道解答题的第一题，由此可看出三角函数化简求值题的难度属于容易题，整个三角题目的高考难度也如此．因此在平时指导学生训练时教师要控制好这个难度．根据正切和角公式，由本题条件易得正切值，再将所求式子化简求值即可．对于本题的探究解答，可完全留给学生自己完成，教师只需在关键地方对部分学生给予指导点拨．
解：(1)由tan(α＋)＝－，<α<π，得＝－，解之，得tanα＝－3.
(2)＝＝2cosα，
∵<α<π，且tanα＝－3，∴cosα＝－，即原式的值为－.
点评：解这类求值题一定要在化简上多下些功夫，至于究竟化简到什么程度，这要具体结合题目条件而定．学生解完后教师要引导学生进行反思，并要求学生书写规范，思路清晰，解答过程简洁流畅.
变式训练 已知α为第二象限角，且sinα＝，求的值．解：∵sin(2α＋)＝sin[＋(2π＋2α)]＝cos(2π＋2α)＝cos2α，∴原式＝＝＝＝＝.∵α为第二象限角，且sinα＝，∴cosα＝－＝－.∴原式＝－.
例2设向量a＝(1＋cosα，sinα)，b＝(1－cosβ，sinβ)，c＝(1,0)，α∈(0，π)，β∈(π，2π)，a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1－θ2＝，求sin的值．
活动：本题是一道经典试题，多次多处用作试题，题目基础性强且难度不大，题干结构优美，主要考查向量及运算、三角函数公式变换的有关知识，以及综合探究问题和解决问题的能力．教师先让学生探究思路，寻找解题方向，适时的点拨学生．思考过程要从角、三角函数种类、式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳．可由已知找到θ1、θ2与α、β关系，由θ1－θ2＝，求得，进而求得sin的值．
解：a＝2cos(cos，sin)，b＝(2sin2，2sincos)＝2sin(sin，cos)，
∵α∈(0，π)，β∈(π，2π)，∴∈(0，)，∈(，π)．故|a|＝2cos，|b|＝2sin，
cosθ1＝＝＝cos，∴θ1＝.
cosθ2＝＝＝sin＝cos(－)．
∵0＜－＜，∴θ2＝－.又θ1－θ2＝，
∴－＋＝.∴＝－.∴sin＝sin(－)＝－.
点评：本题的关键是找到角的关系，教师不要直接给出解答，让学生自己探究发现，因为学生学习数学应当是以积极的心态调动原有的认知和经验，尝试解决新问题、理解新知识的有意义的过程．解完后让学生反思：计算两条向量的夹角问题与三角函数有关，故向量可与三角函数的运算自然结合，使试题简洁优美.
变式训练 设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(m，cosx)，b＝(1＋sinx,1)，x∈R，且f()＝2.(1)求实数m的值；(2)求函数f(x)的最小值．解：(1)f(x)＝a·b＝m(1＋sinx)＋cosx，f()＝m(1＋sin)＋cos＝2，得m＝1.(2)由(1)得f(x)＝sinx＋cosx＋1＝sin(x＋)＋1，∴当sin(x＋)＝－1时，f(x)的最小值为1－.
课本复习题11、12.
1．由学生回顾总结，通过本节课的复习对三角函数知识方法的整合达到高考要求了吗？对三角函数、平面向量、三角恒等变换有哪些新的认识？
2．教师画龙点睛，点出处理三角函数及恒等变换问题，重在正确、熟练地运用三角公式，并注意总结公式的应用经验，对一些公式不仅正用，还要逆用、变形用；在运用相关公式时，注意观察角之间的关系，认清三角函数式的角的特征、函数名称的特征和式子结构特征．更重要的是学会具体问题具体分析的科学方法．
课本复习题13、14.
1．本教案的设计流程符合新课标精神，设计的理念是想让学生充分体验学习探究的全过程，并且引导学生主动参与、积极探究学习的全过程，让学生在探究中感知数学，锻炼思维，在思考中培养、发展创新思维和实践能力．这是比学习数学知识更重要的．
2．作为本模块的最后课时，本教案设计的题目都带有一定的综合性，但难度都不大，没有超出高考考试大纲的要求，目的是想让学生“温故知新”，而且综合前两章的内容进行三角函数的综合探究更有利于学生智能发展，也是高考的命题要求所在．
3．通过探究设置的问题，启迪学生的想象力，引发学生学习的兴趣，激励学生探索欲望，使之养成勇于攀登、不怕困难的良好习惯和求实的科学态度，是我们数学教师努力的方向．3．1.3 两角和与差的正切
教学分析
由于学生有了推导两角和与差的正弦、余弦公式的学习经历，因此，教学中应该让学生独立地推导两角和与差的正切公式．对于公式的成立条件，可以让学生推导出公式观察、比较、分析，以便在掌握公式结构的基础上加以讨论．
对于公式的结构特点的分析、归纳、总结，可以结合教科书中“思考”引导学生去发现，并结合例题的解答帮助学生更好地掌握这些特点，同时体会这些特点在解题中的作用．
三维目标
1．会由两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．
2．能用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值及三角恒等式证明．
3．通过推导两角和与差的正切公式以及运用公式解决具体问题，使学生从中体会化归思想的作用．
4．通过对例题解题思路的探求，使学生学会用分析的方法寻求解题思路．
重点难点
教学重点：两角和与差的正切公式的推导及运用．
教学难点：运用公式解决简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明过程中解题思路的探求．
课时安排
2课时
第1课时
导入新课
思路1.(复习导入)前面我们推出了公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α＋β)、S(α－β)后自然想到两角和与差的正切，即有没有tan(α－β)，tan(α＋β)的公式呢？由此导入新课．
思路2.(问题导入)我们现在很容易由两角和与差的正弦、余弦公式求出sin15°和cos15°，再由同角三角函数关系求出tan15°，那么能不能直接由tan45°和tan30°求出tan15°呢？
推进新课
1．推导两角和与差的正切公式．
2．用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值及三角恒等式的证明．
教师引导学生回顾并写出两角和与差的正弦、余弦公式及同角三角函数关系式．点拨学生推出tan(α－β)，tan(α＋β)．
学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到．但学生很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出来．
当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝＝.
如果cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0时，分子分母同除以cosαcosβ，得
tan(α＋β)＝，根据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用－β代之，则有
tan(α－β)＝＝.
由此推得两角和与差的正切公式，简记为T(α－β)、T(α＋β)．
让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±β都不能等于＋kπ(k∈Z)，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆．
至此，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得：C(α＋β)、S(α＋β)、T(α＋β)叫和角公式；S(α－β)、C(α－β)、T(α－β)叫差角公式．并由学生综合分析以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图．可让学生自己画出这六个框图．通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式．同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用．如两角和与差的正切公式的变形式：
tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美．对于两角和与差的正切公式，当tanα，tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用T(α±β)处理某些相关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(－β)，因为tan的值不存在，所以改用诱导公式tan(－β)＝＝来处理等．
例1课本本节例1.
变式训练 在△ABC中，已知tanA、tanB是方程3x2＋8x－1＝0的两个根，求tanC的值．解：∵tanA、tanB是方程3x2＋8x－1＝0的两根，∴tanA＋tanB＝－，tanAtanB＝－.∴tanC＝tan[180°－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－＝－＝2.
例2课本本节例2.
变式训练 求tan11°＋tan34°＋tan11°tan34°的值．解：原式＝tan45°(1－tan11°tan34°)＋tan11°tan34°＝1－tan11°tan34°＋tan11°tan34°＝1.点评：充分利用两角和与差的正切公式的变形式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1tanαtanβ).
例3课本本节例3.
课本本节练习1、2、3、4.
由于学生有了推导两角和与差的正弦、余弦公式的学习经历，因此，教学中应该让学生独立地推导两角和与差的正切公式．对于公式的成立条件，可以让学生推导出公式观察、比较、分析，以便在掌握公式结构的基础上加以讨论．
对于公式的结构特点的分析、归纳、总结，可以结合教科书中“思考”引导学生去发现，并结合例1和例2的解答帮助学生更好地掌握这些特点，同时体会这些特点在解题中的作用．
本小节共两课时，本节课为第1课时，主要是推导公式、讨论探究公式的成立条件，并完成课本例1、例2、例3.例3是一道具有几何背景的简单问题，在该题的教学中，要注意让学生体会已知一个角的三角函数值，确定角的方法．
本节课从内容上来看，难度较小，但两角和与差的正切公式有其成立的条件．这点教材中未做特别说明，是学生易出错的地方．在教学中，应注意引导学生对公式的结构特征仔细观察，清楚公式变形的本质属性，解题时灵活选用．同时注意鼓励学生进行一题多解，一题多变，并从中体会重要的数学思想方法，这才是本节教学的核心问题，而不是一些特殊的变换技巧．
一、对两角和与差的正切公式的理解
1．两角和的正切公式是根据同角三角函数的关系式＝tanα及正、余弦的和角公式导出的，因为公式S(α＋β)与C(α＋β)具有一般性，因此公式T(α＋β)也具有一般性，在公式T(α＋β)中以－β代β便可得到公式T(α－β)．
2．两公式只有当tanα，tanβ或tan(α±β)都存在，即α≠kπ＋，β≠kπ＋，α±β≠kπ＋(k∈Z)时才成立，这是由任意角的正切函数的定义域所决定的．
3．当tanα，tanβ或tan(α±β)的值不都存在时，不能使用T(α±β)来处理某些相关问题，但可改用诱导公式或其他方法，如化简tan(＋β)，因为tan的值不存在，不能利用公式T(α＋β)，所以要改用诱导公式来解，则
tan(＋β)＝＝＝－.
二、备用习题
1．如果tan(α＋β)＝，cot(α＋)＝4，则tan(β－)为( )
A.
B.
C.
D.
2．已知tan(α－)＝，tan(β－)＝－，则tan的值等于________．
3．已知tan(α＋)＝－，则tanα＝________，tan(α－)＝________.
4．已知tanα，tanβ是方程x2＋(4m＋1)x＋2m＝0的两个根，且m≠－，求.
5．已知α、β都是锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值．
参考答案：
1．C 2.
3．－ 解析：∵tan(α＋)＝－，∴＝－.
解得tanα＝－，tan(α－)＝＝.
4．解：由题意tanα＋tanβ＝－(4m＋1)，tanαtanβ＝2m，
∴＝＝＝－.
5．解：由题意tanα＝，∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝
＝＝.
又∵cos2β＝＝＝，∴cosβ＝.
(设计者：王光玲)
第2课时
导入新课
思路1.(复习导入)让学生回顾前面所学的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，从分析公式的推导过程入手，揭示它们的逻辑关系．
思路2.(习题导入)
①已知α＋β＝45°，求(1＋tanα)(1＋tanβ)的值．(答案：2)
②已知sinα＝－，α是第四象限角，求tan(－α)的值．(答案：7)
③求tan70°＋tan50°－tan50°tan70°的值．(答案：－)
学生练习，教师讲评中导入新课．
推进新课
本节为两角和与差的三角函数的最后一节内容，对两角和与差公式进一步熟练掌握．
上节课我们学习了两角和与差的正切公式，请同学们默写这些公式，并思考这些公式的使用条件．我们上节课初步运用这些公式解决了一些有关三角函数的求值和化简问题，利用这些公式除了能进行三角函数式的求值、化简之外，我们还可以运用其解决一些三角函数式的证明问题，并能解决一些实际问题．这就是我们本节课所要学习的内容．
例1课本本节例4.
变式训练 在锐角△ABC中，A、B、C是它的三个内角，记S＝＋，求证：S<1.证明：∵S＝＝，又A＋B>90°，∴90°>A>90°－B>0°.∴tanA>tan(90°－B)＝cotB>0.∴tanAtanB>1.∴S<1.
例2课本本节例5.
例3求证：＝1－.
活动：证明三角恒等式，一般要遵循“由繁到简”的原则，另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法．
证法一：左边＝
＝＝1－＝1－＝右边．∴原式成立．
证法二：右边＝1－＝
＝
＝＝左边．∴原式成立．
点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形，灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力．
课本本节练习1、2、3、4.
我们在学习两角和与差的正切公式的时候，不仅要熟练掌握公式本身，更应该掌握公式的变形公式，尤其是在解决有关三角函数式的证明和化简问题时，更应该注意灵活运用公式的变形公式．
课本习题3.1(3) 8、9、10.
作为两角和与差公式的最后一节课，学生对两角和与差的正切(包括正弦、余弦)公式及其应用有了比较深刻的理解．对于本节来说，教学中可以更多地让学生自主学习，探究解决问题的来龙去脉，使学生更好地掌握用分析的方法寻求解题思路．特别是本节课本例4是一个优美的三角恒等式，可让学生课后继续探究它的对称美、简洁美、统一美、结构美等特征，让学生从中体会数学的美丽生动．
备选习题
1．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为( )
A．－1
B．－
C.
D.
2．tan30°＋tan15°＋tan15°tan30°的值等于( )
A.
B.
C.
D．1
3.＝________.
4．已知tan110°＝a，则tan50°的值为________．
5．若tanx＝，则x＝________.
6．已知sinα＝－，cosβ＝，且α，β的终边在同一象限，求tan(α＋β)的值．
7．若3sinx＋cosx＝2sin(x＋φ)且φ∈(0，)，求tan(φ＋)的值．
8．在平面直角坐标系中，点P在以原点O为圆心、6为半径的圆上运动，线段OP与以O为圆心、2为半径的圆交于R点，过P作x轴的垂线，垂足为M，过R作PM的垂线，垂足为Q，求∠POQ的最大值．
参考答案：
1．D 2.D 3. 4.(或)
5．25°＋k·180°(k∈Z) 6..
7．分析：如何求φ是本题的关键．
解：∵3sinx＋cosx＝2(sinx＋cosx)＝2(sinxcos＋cosxsin)＝2sin(x＋)，
∴2sin(x＋φ)＝2sin(x＋)．
又∵φ∈(0，)，∴φ＝.
∴tan(φ＋)＝＝＝＝＝2＋.
8．解：本应考虑点P在四个象限的情形，由于对称性，可不妨设点P在第一象限，
设∠xOP＝α，∠xOQ＝β，则∠POQ＝α－β，Q(6cosα，2sinα)，tanβ＝＝tanα.
故tan∠POQ＝tan(α－β)＝＝＝.
设tan∠POQ＝y，tanα＝t，则y＝，
即yt2－2t＋3y＝0.由α是锐角，可知t＞0，从而y＝＞0.
又Δ＝4－12y2≥0，故0＜y≤，且当t＝时，y＝.
故y的最大值，即tan∠POQ的最大值为.
所以∠POQ的最大值为.
附：(设计者：王光玲)
3．1.3 两角和与差的正切
第1课时
作者：徐金花，江苏省铜山县棠张中学教师，本教学设计获江苏省教学设计大赛二等奖．
设计思想
数学课程标准指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上．”“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解与掌握基本的数学基础知识与技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动的经验．”苏霍姆林斯基曾经说过，学生心灵深处有一种根深蒂固的需要——希望自己是一个发现者、研究者、探究者．本节课根据新课标和新课程的教学理念，采用自主探究与合作交流的教学方法，让学生积极主动的参与学习，给予他们充分的时间和空间，进行探索、猜想和发现两角和与差的正切公式．对于例习题的处理是通过一题多解、一题多变等形式让教学成为师生对话、沟通、合作、共建的交往活动．
教学内容分析
本节内容在上两节正、余弦和、差角公式的基础上，利用同角三角函数关系推导出正切的和差角公式，并通过三个例题及变式题的处理(主要是公式的正用、逆用和变用)巩固所学知识．
教学目标分析
1．知识与技能：会由正、余弦的和、差角公式推导出正切的和差、角公式．
能用正切的和、差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明．
2．过程与方法：学生利用正、余弦的和、差角公式自主探究正切的和、差角公式，并从推导的过程中感悟化归思想．
3．情感与态度：通过对问题的自主探究和合作交流，体验团队合作的快乐，养成严谨、开放的思维习惯，感悟化归思想、数形结合思想、整体思想、方程思想，增强数学学习的信心．
重点难点
教学重点：正切公式的推导及用公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．
教学难点：公式的灵活应用．
教学准备
实物投影仪 多媒体
情景创设(多媒体出示)
回顾3.1.1节例2中求tan15°的过程，我们先分别求出sin15°和cos15°，再由同角三角函数关系求出tan15°，这个计算方法较烦琐，由15°＝45°－30°，我们猜想，能否由tan45°和tan30°直接求出tan15°呢？这就是我们这节课研究的课题——两角和与差的正切．(教师板书课题)
学生活动：回顾求解过程、感受计算量．
自主探究：(1)如何化未知角为已知角？
(2)如何化未知函数名为已知函数名？(“切”化“弦”)
学生活动
学生就上面的问题展开讨论，讨论将涉及下面的问题：
1．同角的三角函数有哪些关系？我们选择哪个关系来研究本课题？
2．问题1中涉及到的S(α＋β)和C(α＋β)公式，你能准确写出来吗？
3．由问题1,2将tan(α±β)表示成α，β的“弦”的形式之后如何化成“切”的形式呢？
小组讨论，合作交流．
推荐两个小组代表板演推导两个公式的过程．
数学建构
两角和与差的正切公式：(教师板书)
tan(α＋β)＝ T(α＋β)
tan(α－β)＝ T(α－β)
思考：1.公式的结构特点及适用范围(符号特点；结构特点：要注意到tan(α±β)可以用tanα和tanβ的和(差)与积表示；适用范围是使公式的两边都有意义)．
2．公式T(α－β)能否由T(α＋β)来推导呢？
(利用化归思想，用－β代替β)(教师板书数学思想)
3．由T(α＋β)公式，你能否将公式变形得到其他公式？(教师板书变形公式)
变形1 tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；
变形2 tanαtanβ＝1－.
(两个变形公式的适用范围也是使等式两边都有意义)
学生活动：学生在书上划出公式，并观察公式的结构特点．
思考：(1)求tan(＋α)可以用T(α＋β)公式展开吗？(2)T(α＋β)公式成立的具体条件是什么？
自主探究：一中等生口述思路“整体代换”
学生感悟化归思想．
小组讨论，合作交流．
学生记下变形公式(不作记忆要求，会变形应用)
思考：两变形公式成立的具体条件是什么？
数学应用(例题用多媒体出示、变式题用实物投影仪出示)
例1(1)已知tanα＝，求tan(α＋)；
(2)已知tanα＝－，tanβ＝－5，求tan(α＋β)．
分析：直接应用公式，注意公式及运算的准确性．
变式1：(教材例1)已知tanα，tanβ是方程x2＋5x－6＝0的两根，求tan(α＋β)的值．
分析：思路一：可以根据方程解出tanα，tanβ，再代入公式计算即可．
思路二：通过计算tanα＋tanβ，tanαtanβ的值来求tan(α＋β)．
反思：思路二是利用整体思想方法来解题，较思路一简捷．
变式题2(教材本节练习4)
已知tan(α＋β)＝，tanα＝－2，求tanβ的值．
分析：思路一：利用“β＝(α＋β)－α”变换方法，代入T(α－β)公式求解即可．
思路二：由＝tan(α＋β)展开，将tanα＝－2代入，建立关于tanβ的方程．
反思：思路一通过角的变换，化未知为已知，渗透了化归思想；思路二是建立方程，体现了方程的思想．
(以上几题均是公式的正用)
思考：公式及变形公式有什么作用？
学生活动：一中等学生口述分析思路一，师板书．
一优等生口述分析思路二并板书关键步骤．
学生回顾韦达定理的内容并感悟整体思想方法．
两中等生口述分析思路一、思路二．
(师多媒体出示解答过程，强调规范书写，并给出评分标准)
思考：两种思路体现的数学思想是什么？
例2(教材例2)
求证：＝.
分析：思路一：由1＝tan45°，等式左边的结构与tan(α＋β)相似，考虑逆用两角和的正切公式．
思路二：本题也可由联想到tan60°，进而联想到两角和的正切公式，找到证明途径(公式正用)．
思路三：利用15°＝45°－30°，再代入T(α－β)公式求解．(化未知角为已知角再正用公式)
自主探究：
(1)如何证明等式？
(2)观察等式左、右两边的结构有何特点？
一优等生分析口述思路一(师板书)，
一中等生分析思路二(师及时表扬学生的巧妙联想)，
一潜能生分析思路三(师肯定学生的转化方法)．
变式题1.求证：＝.
分析：思路一：利用15°＝45°－30°，再代入S(α±β)和C(α±β)公式计算即可(此法较为烦琐)．
思路二：“弦化切”处理之后即为例2，可证．
思路三：逆用两角和与差的正、余弦公式化简可证．
其中：
cos15°－sin15°＝(cos15°－sin15°)
＝sin(45°－15°)＝.
cos15°＋sin15°＝(cos15°＋sin15°)
＝sin(45°＋15°)＝.
思路四：由等式左边是正值，可证其平方为3，而平方后可逆用和、差角公式，令m＝，则m>0，
从而m2＝＝＝＝3，可证．
思路五：构造向量，利用向量的内积定义及坐标表示来证明．
令a＝(1，－1)，b＝(cos15°，sin15°)，则
cos15°－sin15°＝(1，－1)·(cos15°，sin15°)＝×1×cosθ，
其中θ为a与b的夹角，且数形结合可知θ＝15°＋45°＝60°，
从而cos15°－sin15°＝cos60°＝，同理可求
cos15°＋sin15°＝cos30°＝，从而可证．
反思：本题是一题多解，开阔学生的思维，培养学生分析问题和解决问题的能力，渗透数学中的转化思想(思路二)和整体思想(思路四)和数形结合思想(思路五)．
小组讨论，合作交流．
不同解法的小组派代表展示证明方法．(前四种不同解法)
(通过合作探究问题的过程，体验团队合作的快乐，体会公式的灵活应用、感悟化归、数形结合、整体、方程的数学思想．)
(师启发思路五并多媒体出示解答过程，留时间让学生体会构造方法)
变式题2.利用和(差)公式证明
tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝.
分析：利用和(差)角公式的变形公式1可得
tan20°＋tan40°＝tan(20°＋40°)(1－tan20°tan40°)＝(1－tan20°tan40°)．
反思：本题是公式灵活应用的典例，更一般地，猜想：
tanα＋tanβ＋tan(α＋β)tanαtanβ＝tan(α＋β)成立吗？
讨论交流，一优等生分析口述(师板书)．
思考：能否用公式T(α＋β)的变形2来证明呢？
(课后完成猜想)
例3(教材例3)
如图，三个相同的正方形相接，求证：α＋β＝.
分析：由图可知tanα＝且0<α<，tanβ＝且0<β<，欲求α＋β的值，先求tan(α＋β)的值为1且0<α＋β<π，从而α＋β＝.
反思：这是一道具有几何背景的简单问题，从这里可以看出已知一个角的三角函数值求角的方法．
思考：你能从图形中观察出α，β均小于，那你能从代数的角度说明α，β均小于吗？(利用函数的单调性求角的范围．如0思考1：求角“α＋β”的哪个函数值较好？
思考2：由tan(α＋β)＝1能直接得到α＋β＝吗？为什么？
变式题：已知A，B为锐角，且A＋B＝45°.
(1)求证：(1＋tanA)(1＋tanB)＝2.
(2)求值：(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)．
自主探究(1)
课外思考(2)
回顾小结
1．知识点：两角和与差的正切公式的推导；应用公式进行求值、化简及三角恒等式的证明(正用，逆用，变用)．
2．数学思想：化归思想、整体思想、数形结合思想、方程思想．
一中等生完成小结，学生笔记数学思想．
作业
教材习题3.1(3)必做题2,5,9；选做题7.
教后记
本节课根据新课标和新课程的教学理念，采用自主探究与合作交流的教学方法，让学生积极主动的参与学习，给予他们充分的时间和空间，进行探索、猜想和发现两角和与差的正切公式，培养学生自主探究能力和合作交流能力．在公式的结构特点方面，让学生观察归纳，培养学生的观察能力和归纳能力．在例题的处理和变式题的训练方面，完全让学生自主探究，合作讨论交流，体验团队合作的快乐，培养学生思维的严谨性和开阔性，以及分析问题、解决问题的能力，渗透了整体、化归、数形结合、方程等几种数学思想．
不足之处：对于例2的变式题1的证法五是在教师启发引导下探究出来的，这说明学生的“向量”工具应用还不够好，学生的思维开阔性及整体思想、数形结合思想的应用方面还需进一步提高．而例2的变式题2的处理，学生变用公式的能力还有待进一步提高．对于例3的思考2同样反映了学生的数形结合能力有待进一步提高．3.1.2 两角和与差的正弦
教学分析
1．两角和与差的正弦公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦公式的．在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如：比较cos(α－β)与cos(α＋β)，它们都是角的余弦，只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α＋β＝α－(－β)的关系，从而由公式C(α－β)推得公式C(α＋β)，又如：比较sin(α－β)与cos(α－β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式(5)(6)即可推得公式S(α－β)、S(α＋β)等．
2．通过对“两角和与差的正弦公式”的推导，揭示了两角和差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了对数学公式的推导和证明方法的理解．因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．
3．本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆．本节几个例子的主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如，在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等；另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简洁性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的．
三维目标
1．在学习两角和与差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力．
2．通过两角和与差的正弦公式的运用，会进行简单的求值、化简和恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力．
3．通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质．
重点难点
教学重点：两角和与差的正弦公式的推导及运用．
教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明．
课时安排
2课时
第1课时
导入新课
思路1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角和与差的余弦公式，并把公式默写在黑板上(或打出幻灯)，注意有意识地让学生写整齐．然后教师引导学生观察cos(α－β)与sin(α＋β)、sin(α－β)的内在联系，进行由旧知推出新知的转化过程，从而推导出S(α－β)、S(α＋β)．本节课我们共同研究公式的推导及其应用．
思路2.(问题导入)教师出示问题，先让学生计算以下几个题目，既复习回顾上节所学公式，又为本节新课作准备．若sinα＝，α∈(0，)，cosβ＝，β∈(0，)，求cos(α－β)，cos(α＋β)的值．学生利用公式C(α－β)很容易求得cos(α－β)，从而引出新课题，并由此展开联想探究其他公式．
推进新课
会推导两角和与差的正弦公式及运用公式求三角函数式的值．
活动：引导学生观察思考幻灯中的两角和与差的余弦公式，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式(5)(6)来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin2α＋cos2α＝1来互化，这些想法都很好．鼓励学生试一试．从诱导公式cos(－α)＝sinα，sin(－α)＝cosα，我们可以得到：
sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)－β]
＝cos(－α)cosβ＋sin(－α)sinβ
＝sinαcosβ＋cosαsinβ.
在上述公式中β用－β代之，则
sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]
＝sinαcos(－β)＋cosαsin(－β)
＝sinαcosβ－cosαsinβ.
因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S(α＋β)、S(α－β)．
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))，
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))．
思路1
例1课本本节例1.
变式训练
1．已知sinα＝－，α是第四象限角，求sin(－α)，cos(＋α)的值．
活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注意认真分析条件，明确要求．再思考应该联系什么公式，使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等．例如本题中，要先求出cosα的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成．
解：由sinα＝－，α是第四象限角，得
cosα＝＝＝，
于是有sin(－α)＝sincosα－cossinα
＝×－×(－)＝，
cos(＋α)＝coscosα－sinsinα
＝×－×(－)
＝.
点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个题目的目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯．
2．设α∈(0，)，若sinα＝，则sin(α＋)等于( )
A.
B.
C.
D．4
答案：A
例2课本本节例2.
变式训练
已知sinα＝，α∈(，π)，cosβ＝－，β∈(π，)．求sin(α－β)，cos(α＋β)．
活动：教师可先让学生自己探究解决，对探究困难的学生教师给以适当的点拨，指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系．根据公式S(α－β)、C(α＋β)应先求出cosα，sinβ的值，然后利用公式求值，但要注意解题中三角函数值的符号．
解：由sinα＝，α∈(，π)，得
cosα＝－＝－＝－.
又由cosβ＝－，β∈(π，)，
得sinβ＝－＝－＝－，
∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
＝×(－)－(－)×(－)
＝.
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝(－)×(－)－×(－)
＝.
点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题，其目的还是让学生熟练掌握公式的应用，训练学生的运算能力.
例3求证：cosα＋sinα＝2sin(＋α)．
活动：本题虽小但其意义很大，从形式上就可看出来，左边是两个函数，而右边是一个函数，教师引导学生给予足够的重视．对于此题的证明，学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S(α＋β)展开，化简整理即可得到左边，这是很自然的，教师要给予鼓励．同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S(α＋β)的右边的形式，然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子，这种证明方法不仅仅是方法的变化，更重要的是把两个三角函数化为了一个三角函数．
证明：方法一：右边＝2(sincosα＋cossinα)
＝2(cosα＋sinα)
＝cosα＋sinα＝左边．
方法二：左边＝2(cosα＋sinα)
＝2(sincosα＋cossinα)
＝2sin(＋α)＝右边．
点评：本题给出了两种证法，方法一是正用公式的典例，而方法二则是逆用公式证明的，此法也给了我们一种重要的转化方法，要求学生熟练掌握其精神实质．本例的证法二将左边的系数1与分别变为了与，即辅助角的正、余弦．关于形如asinx＋bcosx(a，b不同时为零)的式子引入辅助角变形为Asin(x＋φ)的形式，其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式，把它化成Asin(x＋φ)的形式．一般情况下，如果a＝Acosφ，b＝Asinφ，那么asinx＋bcosx＝A(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝Asin(x＋φ)．由sin2φ＋cos2φ＝1，可得：
A2＝a2＋b2，A＝±，不妨取A＝，于是得到cosφ＝，sinφ＝，因此asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，通过引入辅助角φ，可以将asinx＋bcosx这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式．化为这种形式可解决asinx＋bcosx的许多问题，比如值域、最值、周期、单调区间等．教师应提醒学生注意，这种引入辅助角的变换思想很重要，即把两个三角函数化为了一个三角函数，实质上是消元思想，这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质．因此在历年高考试题中出现的频率非常高，是三角部分中高考的热点，再结合后续内容的倍角公式，在解答高考物理试题时也常常被使用，应让学生领悟其实质并熟练地掌握它.
变式训练 化简下列式子：cosx－sinx.解：原式＝2(cosx－sinx)＝2(sincosx－cossinx)＝2sin(－x).
例4课本本节例3.
思路2
例1若sin(＋α)＝，cos(－β)＝，且0<α<<β<，求cos(α＋β)的值．
活动：本题是一个典型的变角问题，也是一道经典例题，对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值．尽管学生思考有点难度，但教师仍可放手让学生探究讨论，教师不可直接给出解答．对于探究不出的学生，教师可恰当点拨引导，指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系，引导学生理清所求的角与已知角的关系，观察选择应该选用哪个公式进行求解，同时也要特别提醒学生注意：在求有关角的三角函数值时，要特别注意确定角的范围，准确地判断好三角函数符号，这是解决这类问题的关键．学生完全理清思路后，教师应指导学生的规范书写，并熟练掌握它．对于程度比较好的学生可让其扩展本题，或变化条件，或变换所求的结论等．如教师可变换α，β角的范围，进行一题多变训练，提高学生灵活应用公式的能力，因此教师要充分利用好这个例题的训练价值．
解：∵0<α<<β<，
∴<＋α<π，－<－β<0.
又已知sin(＋α)＝，cos(－β)＝，
∴cos(＋α)＝－，sin(－β)＝－.
∴cos(α＋β)＝sin[＋(α＋β)]
＝sin[(＋α)－(－β)]
＝sin(＋α)cos(－β)－cos(＋α)sin(－β)
＝×－(－)×(－)＝－.
点评：本题是典型的变角问题，即把所求角利用已知角来表示，实际上就是化归思想．这需要巧妙地引导，充分让学生自己动手进行角的变换，培养学生灵活运用公式的能力.
变式训练
已知α，β∈(，π)，sin(α＋β)＝－，sin(β－)＝，求cos(α＋)的值．
解：∵α，β∈(，π)，sin(α＋β)＝－，sin(β－)＝，
∴<α＋β<2π，<β－<.
∴cos(α＋β)＝，cos(β－)＝－.
∴cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)]
＝cos(α＋β)cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－)
＝×(－)＋(－)×＝－.
例2化简＋＋.
活动：本题是直接利用公式把两角的和差化为两单角的三角函数的形式，教师可以先让学生自己独立地探究，然后进行讲评．
解：原式＝＋＋
＝＋＋
＝
＝0.
点评：本题是一个很好的运用公式进行化简的例子，通过学生独立解答，培养学生熟练运用公式的运算能力.
变式训练 化简.解：原式＝＝＝＝tan(β－α).
课本练习1～8.
已知0<β<，<α<，cos(－α)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值．
解：∵<α<，∴－<－α<0.∴sin(－α)＝－＝－.
又∵0<β<，∴<＋β<π.∴cos(＋β)＝－＝－.
∴sin(α＋β)＝－cos(＋α＋β)＝－cos[(＋β)－(－α)]＝－cos(＋β)cos(－α)－sin(＋β)sin(－α)＝－(－)×－×(－)＝.
1．先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法，有哪些收获与提高，在公式推导中你悟出了什么样的数学思想？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明？
2．教师画龙点睛：我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦公式及其推导，明白从已知推得未知，理解数学中重要的数学思想——“转化思想”，并要正确熟练地运用公式解题．在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．
1．本节课是典型的公式教学模式，本节课是在两角差的余弦公式的基础上进行的，因此本教案的设计流程是“提出问题→转化推导→分析记忆→应用训练”；它充分展示了公式教学中以学生为主体，进行主动探索数学知识发生发展的过程．同时充分发挥教师的主导作用，引导学生利用旧知识推导、证明新知识，并学会记忆公式的方法，灵活运用公式解决实际问题，从而使学生领会了数学中重要的数学思想——“转化思想”，并培养他们主动利用“转化思想”指导探索解决数学问题的能力．
2．纵观本教案的设计，知识点集中，容量较大，重点是公式的推导证明、记忆以及简单的应用等，通过本节的学习，使学生深刻理解公式的推导证明方法，会用公式解决简单的问题．同时教给学生发现规律，探索推导，获取新知的方法，让他们真正体验到自己发现探索数学知识的喜悦和成功感．
三角函数知识口诀
三角函数是函数，象限符号坐标注；函数图象单位圆，周期奇偶增减现．
同角关系很重要，化简证明都需要；同角仅是正余切，平方商除有技巧．
诱导公式就是好，负化正后大化小；变成锐角好查表，化简证明少不了．
三角公式就是美，二的一半整数倍；千变万化有规律，奇数化余偶不变．
将其后者视锐角，符号原来函数判；两角和的余弦值，化为单角好求值．
计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变．
换角变形众公式，抓住角的相对性；公式虽多巧记忆，互余角度变名称．
第2课时
导入新课
思路1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯．教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解．这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦公式的灵活应用．
思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答．
1．化简下列各式：(1)cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ；
(2)－－sinx－cosx.
2．证明下列各式：
(1)＝；
(2)－2cos(α＋β)＝.
答案：1.(1)cosα；(2)0.2.证明略．
教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的公式进行回顾复习，由此展开新课．
推进新课
知识要点：运用两角和与差的正弦、余弦公式进行化简、求值与证明．
活动：两角和与差的余弦公式是我们进行三角变换的重要公式，要熟练运用它解决有关问题，就必须熟悉公式的结构特点，并能熟练记忆，既要能正向运用，更要会逆向运用．另外，在运用公式解决有关求值问题时，应注意讨论研究题中所有涉及到的角以及所给角之间的关系．
待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊到一般的数学思想方法；教师引导学生观察，当α、β中有一个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例．在应用公式时，还要注意角的相对性，如：α＝(α＋β)－β，＝(α－)－(－β)等．让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养．
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ〔S(α±β)〕，
cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ〔C(α±β)〕．
思路1
例1利用和差角公式计算下列各式的值．
(1)sin72°cos42°－cos72°sin42°；
(2)cos20°cos70°－sin20°sin70°.
活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成．对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现(1)同公式S(α－β)的右边、(2)同公式C(α＋β)右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果．
解：(1)由公式S(α－β)，得
原式＝sin(72°－42°)＝sin30°＝.
(2)由公式C(α＋β)，得
原式＝cos(20°＋70°)＝cos90°＝0.
点评：本例体现了对公式的全面理解上的要求，要求学生能够从正、反两个角度使用公式．与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解.
变式训练 化简求值：(1)cos44°sin14°－sin44°cos14°；(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)．解：(1)原式＝sin(14°－44°)＝sin(－30°)＝－sin30°＝－.(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin90°＝1.
例2课本本节例4.
变式训练 已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos2β的值．解：∵<β<α<，∴0<α－β<，π<α＋β<.又∵cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，∴sin(α－β)＝，cos(α＋β)＝－.∴cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－×＋(－)×＝－.
例3课本本节例5.
例4课本本节例6.
课本练习1、2.
课本习题3.1(2)9、10、11、12.
1．先让学生回顾本节课的主要内容是什么？我们学习了哪些重要的解题方法？通过本节的学习，我们在运用和角与差角公式时，应注意什么？如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题？
2．我们在运用两角和与差的正弦公式进行三角函数式的化简和三角函数式的证明问题时，应该注意运用角变换，以达到问题的最简化，在解决具体问题时应该注意整体观察式子中所涉及的角，以便能非常正确地进行角变化．
1．本节是典型的习题课，目的就是加深巩固两角和与差公式的应用，深刻理解公式的内在联系，学会综合利用公式解题的方法和技巧；因此本节课安排的四个例子都是围绕这个目标设计的，它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用．另外，通过补充的例题，教给学生正用、逆用、变形用公式的方法，培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力．特别是给出了形如“asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)”公式的推导和应用，对于三角函数的研究，给我们提供了一种重要的方法．
2．对于习题课来说，我们应该本着以学生为主体，教师为主导的原则，让学生先认真审题、独立思考、板演解法，然后教师再进行点评，理清思路，纠正错误，指导解法，争取一题多解，拓展思路．通过变式训练再进行方法巩固．
一、和角与差角公式应用的规律
两角和与差的正、余弦公式主要用于求值、化简、证明等三角变换，常见的规律如下：①配角的方法：通过对角的“合成”与“分解”，寻找欲求角与已知角的内在联系，灵活应用公式，如α＝(α＋β)－β，α＝(α＋β)＋(α－β)等．②公式的逆用与变形用：既要会从左到右展开，又要会从右到左合并，还要掌握公式的变形．③“1”的妙用：在三角函数式中有许多关于“1”的“变形”，如1＝sin2α＋cos2α，也有1＝sin90°＝tan45°等．
二、备用习题
1．在△ABC中，sinAsinBA．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．等腰三角形
2.cos－sin的值是( )
A．0
B．－
C.
D．2
3．在△ABC中，有关系式tanA＝成立，则△ABC为( )
A．等腰三角形
B．A＝60°的三角形
C．等腰三角形或A＝60°的三角形
D．不能确定
4．若cos(α－β)＝，cosβ＝，α－β∈(0，)，β∈(0，)，则有( )
A．α∈(0，)
B．α∈(，π)
C．α∈(－，0)
D．α＝
5．求值：＝__________.
6．若sinαsinβ＝1，则cosαcosβ＝__________.
7．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanαtanβ＝__________.
8．求函数y＝2sin(x＋10°)＋cos(x＋55°)的最大值和最小值．
9．化简－2cos(A＋B)．
10．已知5sinβ＝sin(2α＋β)，求证：2tan(α＋β)＝3tanα.
参考答案：
1．B 2.C 3.C 4.B 5. 6.0 7.－
8．解：∵y＝2sin(x＋10°)＋cos[(x＋10°)＋45°]
＝2sin(x＋10°)＋cos(x＋10°)－sin(x＋10°)
＝sin(x＋10°)＋cos(x＋10°)
＝sin[(x＋10°)＋45°]
＝sin(x＋55°)，
又∵－1≤sin(x＋55°)≤1，
∴当x＋55°＝k·360°－90°，即x＝k·360°－145°(k∈Z)时，ymin＝－；
当x＋55°＝k·360°＋90°，即x＝k·360°＋35°(k∈Z)时，ymax＝.
9．解：原式＝＝
＝＝.
点评：本题中的三角函数均为弦函数，所以变换的问题只涉及角．一般来说，三角函数式的化简问题首先考虑角，其次是函数名，再次是代数式的结构特点．
10．证明：∵β＝(α＋β)－α，2α＋β＝(α＋β)＋α，∴5sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
即5sin(α＋β)cosα－5cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα.
∴2sin(α＋β)cosα＝3cos(α＋β)sinα.∴2tan(α＋β)＝3tanα.
点评：注意到条件式的角是β和2α＋β，求证式中的角是α＋β和α，显然“不要”的角β和2α＋β应由要保留下来的角α＋β与α来替代．三角条件等式的证明，一般是将条件中的角(不要的)用结论式中的角(要的)替代，然后选择恰当的公式变形．三角变换中经常要化复角为单角，化未知角为已知角．因此，看准角与角的关系十分重要．哪些角消失了，哪些角变化了，结论中是哪些角，条件中有没有这些角，在审题中必须对此认真观察和分析．常见的变角方式有：α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；2α－β＝(α－β)＋α；当然变换形式不惟一，应因题而异，要具体问题具体分析．3.3
几个三角恒等式
典题精讲
例1
(江苏高考卷，14)
cot20°cos10°+sin10°tan70°-2cos40°=__________
思路分析：本题方法不拘泥,要注意灵活运用公式.
解：cot20°cos10°+sin10°tan70°-2cos40°
=-2cos40°
=-2cos40°
=-2cos40°
=-2cos40°
==2.
绿色通道：在求解三角函数的问题中,要注意这样的规律,即要“三看”：
(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用.
变式训练
1
(福建高考卷，理1)
tan15°+cot15°等于(
)
A.2
B.
C.4
D.
思路解析：原式==4.
答案：C
变式训练
2
计算：coscoscos.
思路分析:通过观察、分析已知式子中各角的特点，可先将cos转化为sin，然后再利用二倍角的正弦公式进行求解.将非特殊角转化为特殊角是求值常用的方法.
解：原式=cossin=sin=.
例2
若sinα=,sinβ=,且α,β是锐角，求α+β的值.
思路分析：可先求出α+β的某种三角函数值.但应当注意对α+β的角的范围进行讨论.
解：∵α,β是锐角，
∴cosα=cosβ=.
∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=.
又∵sinα=＜,sinβ=＜，∴0°＜α＜30°,0°＜β＜30°.
∴0°＜α+β＜60°.∴α+β=45°.
黑色陷阱：此题在解出sin(α+β)=时，易误认为α+β=45°或α+β=135°.忽视了sinα,sinβ的取值对α,β范围的进一步限制.
变式训练
已知cos(α+)=,≤α＜，求cos(2α+)的值.
思路分析:先将cos(2α+)变形为用已知角或有关的角来表示.本题若不注意cos(α+)=对α+的限制，在求sin(α+)时将会出现两种情况.
解：cos(2α+)=cos2αcos-sin2αsin=(cos2α-sin2α).
∵≤α<，∴≤α+<.
又∵cos(α+)>0，∴<α+<.
∴sin(α+)==-.
∴cos2α=sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)=.
sin2α=-cos(+2α)=1-2cos2(α+)=.
∴原式=×(-)=.
例3
(2006陕西高考卷，理17)
已知函数f(x)=sin(2x-)+2sin2(x-)(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
思路分析：对于形如asinα+bcosα(a,b不同时为0)的式子可先引入辅助角变为Asin(α+φ)的形式，再进行三角函数的化简,求周期和最值等.
解:(1)
f(x)=sin(2x-)+1-cos2(x-)
=2[sin2(x-)-cos2(x-)]+1
=2sin[2(x-)-]+1
=2sin(2x-)+1,∴T==π.
(2)当f(x)取最大值时,sin(2x-)=1,有2x-=2kπ+,
即x=kπ+(k∈Z).
∴所求x的集合为{x∈R|x=
kπ+,k∈Z
}.
黑色陷阱：忽视题目中角与角的关系，即(2x-)与(x-)是二倍角的关系，思维受阻，同时在三角变换上出现计算错误.
变式训练
(2005重庆高考卷，文17)
f(x)=-asincos(π-)的最大值为2，试确定常数a的值.
思路分析:首先分析已知函数式的特点和角的特点，然后根据三角关系式对f(x)进行化简，再来确定常数.
解：f(x)=-asincos(π-)
=+asincos=cosx+sinx
=sin(x+φ)(其中tanφ=a).
由题意有+=4，解得a=±.
问题探究
问题1
对于三角函数的求值问题可归纳哪些类型
导思:三角函数的求值问题可归纳为三种类型：给角求值、给值求值、给值求角.需要注意的是以上无论哪种计算,每一步都要注意所给条件，特别是隐含条件对角的范围的限制而引起的值的范围的变化.
探究:(1)给角求值，一般所给的角都是非特殊角，需仔细观察所给角与特殊角的关系，结合公式转化为特殊角的三角函数求解.
(2)给值求值，实质上也是“给角求值”，关键也是把所求角用已知角或特殊角的形式表示.
(3)给值求角，实质上是“给值求值”，关键是根据条件求出所求角的某种三角函数值，再结合所求角的范围求出角.
问题2
求解有关三角函数的最值问题，总结起来有哪些方法？
导思:关于三角函数的最值问题一般归结为四种类型，需要注意的是无论哪种方法都要注意角的取值范围引起的某些变量的变化范围.
探究:关于三角函数的最值问题一般归结为四种类型：
(1)形如y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x的函数,先降幂再化为Acos(ωx+φ)+B的形式，利用sinα的有界性求最值；
(2)形如y=或y=的函数,利用反函数法解出sinα、cosα，利用sinα、cosα的有界性求最值；
(3)可化为形如y=a(sinx-b)2+c或y=a(cosx-b)2+c的形式的函数，利用换元法转化为二次函数在特定区间上的最值问题；
(4)利用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx和换元法转化为关于sinx+cosx的最值问题.3．1.1 两角和与差的余弦
课堂导学
三点剖析
1.两角和与差的余弦公式的应用
【例1】化简下列各式.
（1）sin70°cos25°-sin20°·sin25°;
（2）cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)sin(170°-α).
思路分析：从整体上观察式子的特点，区别角的异同，利用诱导公式合理转化，凑成公式形式，再利用公式解题.
解：（1）原式=cos20°cos25°-sin20°sin25°
=cos(20°+25°)=cos45°=.
(2)原式=cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)sin［180°-（10°+α）］
=cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)·sin(10°+α)
=cos［（70°+α）-(10°+α)］
=cos60°=.
温馨提示
在逆用公式时，要通过诱导公式变形，使之符合公式的特征，有时还可以把三角式中的系数作为特殊值转化为特殊角.
2.两角差的余弦公式的探索与证明
【例2】已知sin=，cosβ=，求cos（α-β）的值.
思路分析：本题要考查利用两角差的余弦公式求值.根据两角差的余弦公式知，还须求cosα、sinβ.由条件可知，只要对α、β所处的象限进行讨论即可.
解：∵sinα=＞0，
∴α为第一、二象限角.
当α为第一象限角时，cosα=；
当α为第二象限角时，cosα=-.
∵cosβ=＞0，
∴β为第一、四象限角.
当β为第一象限角时，sinβ=；
当β为第四象限角时，sinβ=-.
∵cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，
∴当α、β均为第一象限角时，
cos（α-β）=×+×=；
当α为第一象限角，β为第四象限角时，
cos（α-β）=×+×（-）=；
当α为第二象限角，β为第一象限角时，
cos（α-β）=（-）×+×（-）=-；
当α为第二象限角，β为第四象限角时，
cos（α-β）=（-）×+×-=-.
温馨提示
①解题时，由结论出发分析题目作了哪些条件准备，还需再求什么，明确解题的目标.②已知条件中给出某个角的三角函数值，但并未指出角α所在的象限时，一般要进行分类讨论.
3.两角和与差的余弦公式的综合应用
【例3】已知cos（α-）=-，sin（-β）=，且α∈（，π），β∈（0，），求cos的值.
思路分析：本题主要考查角的变换及两角差的余弦公式.本题是给值求值的问题，若不考虑条件，盲目地看cos无法求.为此寻求已知条件中角α-、-β与欲求式中角的关系，不难发现=（α-）-（-β），这样将cosα+的值转化为cos[(α-)-（-β）]的值，可利用两角差的余弦公式求得.
解：∵＜α＜π，0＜β＜，
∴＜＜，0＜＜＜，＜α+β＜.
∴＜α-＜π，-＜-β＜，＜＜.
又cos（α-）=-，sin（-β）=.
∴sin（α-）=，cos（-β）=.
∴cosα+=cos[（α-）-（-β）]
=cos（α-）cos（-β）+sin（α-）sin（-β）
=（-）×+×=.
温馨提示
像这类给值求值问题，关键是抓住已知条件中的角与所求式中角的联系，即想办法利用已知条件中角表示所求式中的角，这个过程我们称作“角的变换”.
各个击破
类题演练1
求值.
（1）cos24°cos36°-sin24°sin36°；
（2）cos80°cos35°+cos10°cos55°；
（3）sin100°sin（-160°）+cos200°（-280°）；
（4）sin347°cos148°+sin77°cos58°.
解：（1）原式=cos（24°+36°）=cos60°=；
（2）原式=cos80°cos35°+sin80°sin35°=cos（80°-35°）=cos45°=；
（3）原式=sin（180°-80°）sin（20°-180°）+cos（20°+180°）cos（80°-360°）
=sin80°（-sin20°）+（-cos20°）cos80°
=-sin80°sin20°-cos80°cos20°
=-（cos80°cos20°+sin80°sin20°）
=-cos（80°-20°）=-cos60°=-；
（4）原式=sin（-13°+360°）cos（180°-32°）+sin77°cos58°
=sin（-13°）（-cos32°）+sin77°cos58°
=-sin13°（-cos32°）+sin77°cos58°
=cos77°cos32°+sin77°sin32°
=cos（77°-32°）=cos45°=.
变式提升1
求值.
（1）cos（-15°）；（2）cos75°.
解：（1）cos（-15°）=cos15°=cos（45°-30°）
=cos45°cos30°+sin45°sin30°=；
（2）cos75°=cos（45°+30°）=cos45°cos30°-sin45°sin30°=.
类题演练2
已知锐角α、β满足sinα=，cosβ=.
（1）求cos（α-β）的值；
（2）求α+β的值.
解：（1）∵sinα=，α为锐角，
∴cosα==.
又∵cosβ=，β为锐角，
∴sinβ=.
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
=2·+·；
（2）由上可知，
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
=·-·.
又∵α∈（0，），β∈（0，），
∴α+β∈（0，π）.
∴α+β=.
变式提升2
已知sinα=，cosβ=-，α、β均为第二象限角，求cos（α-β）、cos（α+β）.
解：由sinα=，α为第二象限角，
∴cosα=
又由cosβ=-，β为第二象限角，
∴sinβ==.
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=（-）×（-）+×=，
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=（-）×（-）-×=-.
类题演练3
已知cosα=,α、β∈(0,),cos(α+β)=,求cosβ.
解：∵cosα=,α∈(0,),
∴sinα=.
又∵α、β∈(0,),∴α+β∈(0,π),
且cos(α+β)=.
∴sin(α+β)=.
∴cosβ=cos［（α+β）-α］
=cosα·cos(α+β)+sinα·sin(α+β)
=×()+×=.
变式提升3
已知
求cos(α-β)的值.
解：①平方得sin2α+2sinαsinβ+sin2β=.
②平方得cos2α+2cosαcosβ+cos2β=.
以上两式相加得，
2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=1,
2cos(α-β)=-1,
cos(α-β)=-.3.1.2
两角和与差的正弦
课堂导学
三点剖析
1.两角和与差的正弦公式应用初步
【例1】求值.
（1）sin;
(2)sinπcosπ-sinsinπ.
解：（1）sin=sin(-)
=sincos-cossin
=×-×=.
(2)原式=sinπcosπ-cos(-)sinπ
=sinπcosπ-cosπsinπ
=sin(π-π)=sin=.
温馨提示
解决给角求值这类问题，一般是将所求角表示成两个特殊角的和或差，就可以利用两角和或差的正余弦公式求值.在运用两角和或差的正余弦公式前注意结合诱导公式先化简.
2.两角和与差的正弦公式的综合应用
【例2】已知＜β＜α＜，cos（α-β）=，sin（α+β）=，求sin2α的值.
思路分析：如果发现2α=（α-β）+（α+β）的关系，便可迅速获得该题的解答；否则，若采用将cos（α-β）和sin（α+β）展开的做法，解答过程不仅要用不少三角函数公式，而且大大增加了运算量.
解：由＜β＜α＜，得
α-β∈（0，），α+β∈（π，）.
∴sin（α-β）=.
cos（α+β）=
=.
故sin2α=sin[（α-β）+（α+β）]
=sin（α-β）cos（α+β）+cos（α-β）sin（α+β）
=×（）+×（）=-.
温馨提示
（1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解这类问题应认真分析已知式中角与未知式中角的关系，再决定如何利用已知条件，避免盲目地处理相关角的三角函数式，以免造成解题时不必要的麻烦.
（2）要注意观察和分析问题中角与角之间的内在联系，尽量整体的运用条件中给出的有关角的三角函数值.
（3）许多问题都给出了角的范围，解题时一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系，从而恰当、准确地求出三角函数值.
3.变形或逆用两角和与差的正弦公式
【例3】化简下列各三角函数式.
（1）sinα-cosα;
(2)sin(x+60°)+2sin(x-60°)-3cos(120°-x).
思路分析：采取配系数的方法，构造和、差角的正弦公式，再利用和、差角的正弦公式化简.
解析：（1）sinα-cosα=2(sinα-cosα)
=2(sinαcos-cosαsin)
=2sin(α-).
(2)解法1：原式=sinxcos60°+cosxsin60°+2sinxcos60°-2cosxsin60°-cos120°cosx-·sin120°
sinx
=（cos60°+2cos60°-sin120°）sinx+(sin60°-2sin60°-cos120°)cosx
=(+2×-×)sinx+(-2×+×)cosx=0;
解法2：原式=sin(x+60°)+cos(x+60°)+2sin(x-60°)
=2［sin(x+60°)+
cos(x+60°)］+2sin(x-60°)
=2［cos60°·sin(x+60°)+sin60°·cos(x+60°)］+2sin(x-60°)
=2sin［60°+(x+60°)］+2sin(x-60°)
=2sin(x+120°)+2sin(x-60°)
=-2sin(x-60°)+2sin(x-60°)=0.
温馨提示
（2）中解法1是顺用两角和差的正弦、余弦公式计算.解法2的关键在于构造能逆用两角和差的正弦公式的式子.观察到（x+）和（-x）互补是顺利解决问题的前提条件，这种技巧在三角函数解题中经常用到.而这往往又是容易忽略的地方.
各个击破
类题演练1
求下列各式的值.
（1）sin75°；
（2）sin15°；
（3）sin13°cos17°+cos13°sin17°.
解：（1）sin75°=sin（45°+30°）
=sin45°cos30°+cos45°sin30°
=·-·=；
（2）sin15°=sin（45°-30°）
=sin45°cos30°-cos45°sin30°
=·-·=；
（3）原式=sin（13°+17°）=sin30°=.
变式提升1
已知cosφ=，φ∈（0，），求sin（φ-）.
思路分析：先求出sinφ的值，再代入公式运算.
解：∵cosφ=，φ∈（0，），∴sinφ=.
∴sin（φ-）=sinφcos-cosφsin
=××=.
类题演练2
已知cosα=，sin（α-β）=，且α、β∈（0，），求sinβ的值.
解：∵cosα=，α∈（0，），
∴sinα=.又∵α，β∈（0，），
∴α-β∈（-，）∵sin（α-β）=，
∴cos（α-β）=.∴sinβ=sin[α-（α-β）]
=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）
=××（）=.
变式提升2
已知cos（α+β）=，cos2α=-，α、β均为钝角，求sin（α-β）.
思路分析：将已知条件整体使用，并且发现α-β=2α-（α+β），因此要求sin（α-β）的值，关键是求出sin（α+β）及sin2α.
解：∵α、β∈（90°，180°），∴α+β，2α∈（180°，360°）.
∵cos（α+β）=＜0，cos2α=-＜0，
∴α+β，2α∈（180°，270°）.
∴sin（α+β）=.
sin2α=.
∴sin（α-β）=sin[2α-（α+β）]
=sin2αcos（α+β）-cos2αsin（α+β）
=（-）（）-（-）（）
=.
类题演练3
求值：［2sin50°+sin10°(1+tan10°)］·.
解析：原式=（2sin50°+sin10°·）·sin80°
=(2sin50°+2sin10°·)·cos10°=2［sin50°cos10°+sin10°cos（60°-10°）］=sin（50°+10°）=sin60°=×.
变式提升3
（1）若sin（α+β）=,sin(α-β)=,则=_________________.
思路分析：
欲求=,从而转化为由条件求出sinαcosβ、cosαsinβ.
解析：由
得
解得，sinαcosβ=,cosαsinβ=.
则有==×5=.
（2）
已知A，B，C是△ABC的三个内角，且lgsinA-lgsinB-lgsinC=lg2.试判断此三角形的形状.
解析：由lgsinA-lgsinB-lgcosC=lg2可得，
lgsinA=lg2+lgsinB+lgcosC=lg2sinBcosC，
即sinA=2sinBcosC.
∵A=π-(B+C),
∴sin［π-(B+C)］=2sinBcosC,
即sin（B+C）=2sinBcosC，
sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，
移项：sinBcosC-cosBsinC=0，
即sin（B-C）=0.
∴B=C.
∴△ABC为等腰三角形.3.2
二倍角的三角函数
典题精讲
例1
求下列各式的值：
(1)coscos；(2)(cos-sin)(cos+sin)；
(3)-cos2；(4)cos215°.
思路解析：灵活运用二倍角公式，如(1)题添加系数2，即可逆用倍角公式；(2)题利用平方差公式之后由逆用倍角公式；(3)中提取系数2后产生倍角公式的形式；(4)则需提取系数.
解：(1)coscos=cossin=×2cossin=sin=；
(2)(cos-sin)(cos+sin)=cos2-sin2=cos=；
(3)-cos2=-(2cos2-1)=-cos=；
(4)cos215°=(2cos215°-1)=cos30°=.
绿色通道：根据式子本身的特征，经过适当变形，进而利用公式，同时制造出特殊角，获得式子的值，这当中一定要整体考虑式子的特征.
变式训练
1
求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.
思路解析：由sin30°=，原式可化为sin10°sin50°sin70°，再转化为cos20°cos40°cos80°，产生成倍数的角，增加一项sin20°，即可依次逆用倍角公式；也可使用三角中的对偶式，设而不求，达到变形的目的.
解法1：sin10°sin30°sin50°sin70°=cos20°cos40°cos80°
=
解法2：令M=sin10°sin30°sin50°sin70°，N=cos10°cos30°cos50°cos70°，因为M·N=（sin10°cos10°）(sin30°cos30°)(sin50°cos50°)(sin70°cos70°)
=sin20°sin60°sin100°sin140°
=cos10°cos30°cos50°cos70°=N
所以M=，即sin10°sin30°sin50°sin70°=.
例2
已知sin(+α)sin(-α)=，且α∈(，π)，求sin4的值.
思路解析：发现+α与-α的互余关系，将其中一个角的三角函数变为另一个的余名三角函数，即可产生倍角公式的形式，逆用倍角公式可得2α的三角函数值，进一步可求4α的正弦值.
解：因为(+α)+(-α)=，
所以sin(-α)=cos(+α).
因为sin(+α)sin(-α)=，
所以2sin(+α)cos(+α)=
，
即sin(+2α)=.所以cos2α=.
又因为α∈(，π)，所以2α∈(π，2π).
所以sin2α=.
所以sin4α=2sin2αcos2α=.
绿色通道：通过角的形式的变化，生成所求的角或再加变形即得所求角，是三角变换的重要方式，求解时应当对所给角有敏锐的感觉.
变式训练
2
设5π＜θ＜6π，cos=a，则sin的值等于(
)
A.
B.
C.
D.
思路解析：本题中的显然是的一半，可以直接应用公式，首先根据θ的范围确定要求的的范围，然后确定sin的正负.
∵5π＜θ＜6π，
∴＜＜3π,＜＜，
∴sin=
答案：D
例3
求证：4sinθ·cos2=2sinθ+sin2θ.
思路解析：观察所给式子中的角，显然应考虑将转化为θ，再进一步转化为2θ的三角函数.
证明：左边=4sinθ·cos2=2sinθ·(1+cosθ)
=2sinθ+2sinθcosθ=2sinθ+sin2θ=右边.
本题也可从右到左，即
2sinθ+sin2θ=2sinθ+2sinθcosθ=2sinθ(1+cosθ)=2sinθ·2cos2=4sinθcos2.
绿色通道：证明等式成立，常有以下方法：从左到右；从右到左；两边到中间，但总的原则是从繁到简，从复杂到简单..
变式训练
3
（2006湖南高考，文16）
已知sinθ-·cosθ=1,θ∈(0,π),求θ的值.
思路解析：三角函数的性质和三角变换的知识是高考的常考点，应力争在这方面全面过关.应避免未能正确运用诱导公式导致变换出错.
解：由已知条件得sinθ-·cosθ=1.
即sinθ-2sin2θ=0.
解得sinθ=或sinθ=0.
由0＜θ＜π知sinθ=，从而θ=或θ=.
例4
设25sin2x+sinx-24=0，x是第二象限角，求cos的值.
思路解析：先解方程获得sinx的值，再根据角x的范围确定sinx以及的象限，最后利用半角公式得到cos.
解：因为25sin2x+sinx-24=0，
所以sinx=或sinx=-1.
又因为x是第二象限角，
所以sinx=，cosx=.
又是第一或第三象限角，
从而cos=±.
绿色通道：利用半角公式求角的三角函数值的时候，首要任务是确定角的范围，如果角的范围不能具体确定,三角函数的符号则要考虑带着正负号.
变式训练
4
（2006北京高考，文15）
已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的定义域；
(2)设α是第四象限的角，且tanα=，求f(α)的值.
思路解析：本题通过借助函数的相关性质，结合三角函数的基本计算解答.解题时应当注意三角函数在各个象限的符号问题.以免出错.
解：(1)由cosx≠0,得x≠kπ+(k∈Z),
故f(x)的定义域为｛|x|x≠kπ+,k∈Z｝.
(2)因为tanα=,且α是第四象限的角,所以sinα=,cosα=,
故f(α)=.
例5
（2006天津高考，文17）
已知tanα+cotα=，α∈(,).求cos2α和sin(2α+）的值.
思路解析：在这里通过分析条件角与目标角的关系，从而创设运用同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式等条件，达到活用公式.
解法1：由tanα+cotα=,得,则,sin2α=.
因为α∈(,),
cos2α==-,
sin(2α+)=sin2α·cos+cos3α·sin=×-×=.
解法2：由tanα+cotα=,得tanα+,
解得tanα=2或tanα=.由已知α∈(,).
故舍去tanα=,得tanα=2.
因此，sinα=,cosα=.
那么cos2α=cos2α-sin2α=-,
且sin2α=2sinαcosα=,
故sin(2α+)=sin2α·cos+cos2α·sin=×-×=.
绿色通道：将已知中的正余切化为正余弦的形式进行化简计算，解法1利用切割化弦思想解题过程顺利时行.解法2借助同角三角函数关系并淮确把握这些公式的结构特征，使解题过程非常简洁.三角化简计算题为高考考查重点内容，解决好这类问题的关键要熟练掌握三角化简计算公式的正用、逆用.
变式训练
5
设-3π＜α＜，化简.
思路解析：整个式子显然符合倍角公式的特征，首先运用诱导公式化简，再逆用倍角公式可得结果.
解：∵-3π＜α＜，∴-＜＜，cos＜0.
又由诱导公式得cos(α-π)=-cosα，
∴-cos.
变式训练
6
（2006上海高考,文17）
已知α是第一象限的角，且cosα=，求的值.
思路解析：对于分式化简问题，通常要将分子、分母均化为积的形式，且若分子、分母有公因式，通常约分把式子化简，这是我们解这类问题地常用思路.
解：
由已知可得sinα,∴原式=×.
问题探究
问题1
如图3-2-1，设球的半径为R，联系已知球半径、锥底半径和母线来表达外切于这个球的一切圆锥中全面积最小的圆锥的全面积.
图3-2-1
导思：球的半径是定值，但这个球的外切圆锥是相当自由的概念，锥高h>2R，可大可小，锥底半径也随着锥高的变化而变化，如何选择一个恰当的自变量，可以互相兼顾，比较方便地勾勒出这些量，从而把外切圆锥的全面积表示为这个变量的函数，然后来求全面积这个目标函数的最小值，是一个很重要的问题.经过多方试探，这里给出一种选用∠OAC=θ，来联系已知球半径、锥底半径和母线来表达全面积的方法，是比较理想的方法之一.
探究：设∠OAC=θ(0<θ<),
则锥底半径AC=Rcotθ，母线
PA=，因此全面积可以表示为θ的函数：
S(θ)=πAC2+πAC·PA=πR2cot2θ+πR2·=πR2cot2θ(1+)=πR2·π.
设f(θ)=tan2θ(1-tan2θ)，则因为tan2θ+(1-tan2θ)=1是常数，且tan2θ>0,(1-tan2θ)>0，所以f(θ)=tan2θ(1-tan2θ)≤()2=，
当且仅当tan2θ=1-tan2θ，即tanθ=时，fmax=.
所以当tanθ=时，球外切圆锥的全面积为最小，最小全面积是8πR2平方单位.(共27张PPT)
3．1.3 两角和与差的正切
第3章
三角恒等变换
学习导航
第3章
三角恒等变换
学习目标
1.了解两角和与差的正切公式的推导.
2.理解两角和与差的正切公式的意义及结构特征．
(重点)
3.掌握运用公式进行三角函数式的化简、求值和证明．
(重点、难点)
第3章
三角恒等变换
学法指导
1．tan
75°＝________．
－7
1
公式的正用和逆用
公式的变形使用
给值求角
名师解题
函数与方程思想的应用
已知tan
α＋tan
β＝2，tan(α＋β)＝4，求tan2α＋tan2β的值．
易错警示
忽视隐含条件而致误
新知初探·思维启动
〉基础梳理,追本溯源,初试身手,巩固新知回
◎教材梳理③
预习自测◎
教材盘点·合作学习
〉题型突破,讲练互动,方法感悟,汇集真知⊙
例
题型→
跟踪洲练
题型
例
例
题型
教材拓展·整合提高
〉典例剖析,深入浅出,名师导学,拓展提高⊙
例
例3.1
两角和与差的三角函数
典题精讲
例1
计算sin33°cos27°+sin57°cos63°.
思路解析：题目中都是非特殊角，不能直接计算，可将sin57°化为cos33°,cos63°化为sin27°，再逆用两角和差的正、余弦公式，则迎刃而解.
解：原式=sin33°cos27°+cos33°sin27°=sin(33°+27°)=sin60°=.
或：原式=cos57°cos27°+sin57°sin27°=cos(57°-27°)=cos30°=.
绿色通道：从整体出发，对局部进行三角变换，出现特殊值是求值常用的方法.
变式训练
1
(陕西高考，文13)
cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为__________.
思路解析：cos43°cos77°+sin43°cos167°=cos43°cos77°-sin43°sin77°
=cos120°
=-.
答案：-
例2
已知α,β∈(,),tanα,tanβ是一元二次方程x2+33x+4=0的两根，求α+β.
思路解析：由根与系数关系可得tanα+tanβ，tanαtanβ，因此可先求tan(α+β)，根据其正切值就可以求得其角度.
解：由题意,知tanα+tanβ=,tanαtanβ=4,①∴tan(α+β)=.
又∵α,β∈(,)，且由①知α∈(,0)，β∈(,0)∴α+β∈(-π,0).∴α+β=.
黑色陷阱：本题易由α,β∈(,),得α+β∈(-π,π)，从而得出α+β=或，而忽视了隐含条件tanα<0,tanβ<0对α,β范围的限制.
变式训练
2
(湖北高考，理3)
若△ABC的内角A满足sin2A=，则sinA+cosA等于(
)
A.
B.
C.
D.
思路解析：由sin2A＝2sinAcosA>0，可知A为锐角，所以sinA+cosA>0，又(sinA+cosA)2=1+sin2A=
答案：A
例3
已知tanα=，tanβ=，0<α<β<,则α+2β等于(
)
A.
B.
C.或
D.
思路解析：选求α+2β的某一三角函数值，显然选择正切较简单.但得出tan(α+2β)=1，就判断选项为B，则非明智之举.
解：∵tan2β=，∴tan(α+2β)==1，
∵tanα=<1，∴0<α<.tan2β=<1,
∴0<2β<,∴0<α+2β<.∴α+2β=.
答案：B
黑色陷阱：若本题只考虑0<α<β<，则∴α+2β∈(0,)，误解为或，原因是忽视了tanα,tanβ的值对α,β取值范围的进一步限制.
变式训练
3
(2006福建高考，文4)
已知α∈(,π)，sinα=,则tan(α+)等于(
)
A.
B.7
C.-
D.-7
思路解析：由α∈(,π),sinα=,
则tanα=,tan(α+)==.
答案：A
例4
(2006浙江高考，理6)
函数y=sin2x+sinx,x∈R的值域是（
）
A.［-,］
B.［,］
C.［+,+］
D.［-,-］
思路解析：本题考查三角函数的性质，基础题.首先要对所给的函数表达式进行变换，用降幂公式化为Asin(ωx+φ)+B的形式再解.
解：y=sin2x+sin2x=sin2x-cos2x+=sin(2x-)+.
答案：C
绿色通道：三角函数的最值一般有两种思路，一是化为Asin(ωx+φ)+B的形式，二是化为A(sinx-b)2+c的形式利用二次函数的图象求解.
变式训练
4
当x∈［,］时，求f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的周期，最大值及此时的x值.
思路解析：首先要对所给的函数表达式进行变换，用降幂公式化为Asin(ωx+φ)+B的形式再解.
解：f(x)=1+cos2x+1+sin2x=sin(2x+)+2.
周期T=π.
当x∈［,］时，2x+∈［,］.
sin(2x+)∈［-1,1］,∴f(x)∈［2-,2+］.
∴f(x)max=2+.由2x+=2kπ+得x=kπ+.
又∵x∈［,］，∴x=.即当x=时，f(x)的最大值为2+.
问题探究
问题1
如图3-1-1,在直角坐标系xOy中,单位圆O与x轴交于P0，以Ox为始边分别作出角α,β,α-β，其终边分别和单位圆交于P1，P2，P3,由||=||，你能否导出两角差的余弦公式？
图3-1-1
导思：利用向量将三角公式与几何图形联系起来，向量的“曼妙”让令人生厌的三角公式摇身一变为婀娜多姿的几何图形，起到了化腐朽为神奇的效果!
探究：能，由已知条件可知点P0，P1，P2，
P3的坐标分别是
P0(1,0),P1(cosα,sinα)P2(cosβ,sinβ),P3(cos(α-β),sin(α-β)),
||=,
||=,
由||=||导出公式:
［cos(α-β)-1］2+sin2(α-β)=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2.展开并整理得2-2cos(α-β)=2-2(cosαcosβ+sinαsinβ).
所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(C(α+β)).3.2 二倍角的三角函数
教学分析
“二倍角的三角函数”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具；通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律，通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想；因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．
本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α＝β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰的知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想．这一切教师都要放心地让学生去做．因为《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”．所谓体验，从教育的角度看，是一种亲历亲为的活动，是一种积极参与活动的学习方式．让学生亲历经验，不但有助于通过多种活动和探究获取数学知识，更重要的是学生在体验中能够逐步掌握数学学习的一般规律和方法．
三维目标
1．通过让学生探索、发现并推导二倍角公式，了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力．
2．通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明．体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用．使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．
3．通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神．
重点难点
教学重点：二倍角三角函数公式的推导及其应用．
教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式．
课时安排
2课时
第1课时
导入新课
思路1.(旧知导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后找一个学生把这六个公式写在黑板上．教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？今天，我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课．
思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sinα＝，α∈(，π)，求sin2α，cos2α的值．学生会很容易看出：sin2α＝sin(α＋α)＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式．
推进新课
从两角和的公式中推导出倍角公式，并用公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明．
活动：学生默写公式S(α＋β)、C(α＋β)、T(α＋β)，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α、β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试．如果学生想到α、β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入下一个问题，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的坐位上简化；教师再与学生一起订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释．这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义．同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉．
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ?sin2α＝2sinαcosα(S2α)；
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ?cos2α＝cos2α－sin2α(C2α)；
tan(α＋β)＝?tan2α＝(T2α)．
这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦、余弦、正切公式，并指导学生阅读课本，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”；点拨学生结合sin2α＋cos2α＝1思考，二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式．
这时教师指出，这些公式都叫做倍角公式(用多媒体演示)，倍角公式是和角公式的特例．倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系．这组公式用途很广，与学生一起观察公式的特征并记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角；二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式．并引导学生观察思考并初步感性认识到：(1)这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去；(2)通过二倍角公式，可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(3)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(4)公式(S2α)，(C2α)中的角α没有限制，都是α∈R.但公式(T2α)需在α≠kπ＋和α≠kπ＋(k∈Z)时才成立，这一条件限制要引起学生的注意．但是当α＝kπ＋，k∈Z时，虽然tanα不存在，此时不能用此公式，但tan2α是存在的，故可改用诱导公式．
为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍，是的二倍，3α是的二倍，是的二倍，3α是的二倍，－2α是－α的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式．
例如：sin＝2sincos，cos＝cos2－sin2等等．
本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意．
如：sin3αcos3α＝sin6α，4sincos＝2(2sincos)＝2sin，
＝tan80°，cos22α－sin22α＝cos4α，tan2α＝等等．
一般情况下：sin2α≠2sinα，cos2α≠2cosα，tan2α≠2tanα.
若sin2α＝2sinα，则2sinαcosα＝2sinα，
即sinα＝0或cosα＝1，此时α＝kπ(k∈Z)．
若cos2α＝2cosα，则2cos2α－2cosα－1＝0，即cosα＝(cosα＝舍去)．
若tan2α＝2tanα，则＝2tanα，∴tanα＝0，即α＝kπ(k∈Z)．
思路1
例1课本本节例1.
变式训练1．不查表：求值sin15°＋cos15°.解：原式＝＝＝.点评：本题在两角和与差的三角函数的学习中已经解决过，现用二倍角公式给出另外的解法，让学生体会它们之间的联系，体会数学变化的魅力．2．若sin＋cos＝，则cos2θ＝________.答案：－3．函数f(x)＝2sin2(＋)－1是( )A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数
D．周期为2π的偶函数答案：C4．若＝－，则cosα＋sinα的值为( )A．－
B．－
C.
D.答案：C5．下列各式中，值为的是( )A．2sin15°－cos15°
B．cos215°－sin215°C．2sin215°－1
D．sin215°＋cos215°答案：B
例2证明＝tanθ.
活动：教师先让学生思考一会，鼓励学生充分发挥自己的聪明才智，战胜它，并力争一题多解．教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等．对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？
待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发．点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励．强调“1”的妙用，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它．
证明：方法一：
左边＝＝
＝＝＝＝tanθ＝右边．
所以原式成立．
方法二：
左边＝＝
＝＝tanθ＝右边．
方法三：
左边＝＝
＝
＝＝＝tanθ＝右边．
点评：课本上只给出了一种方法，教学中可引导学生从不同角度观察题目得到不同解法，以训练应用公式的灵活性．以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其是“1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点．在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规范才是．
思路2
例1求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．
活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题．本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式．教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式．并点拨学生结合诱导公式思考．学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°，40°，60°，80°余弦的积，其中60°是特殊角，很容易发现40°是20°的2倍，80°是40°的2倍，故可考虑逆用二倍角公式．
解：原式＝cos80°cos60°cos40°cos20°＝＝＝＝.
点评：二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一，又是解答许多数学问题的重要模型和工具，具有灵活多变，技巧性强的特点，要注意在训练中细心体会其变化规律．
2在△ABC中，cosA＝，tanB＝2，求tan(2A＋2B)的值．
活动：此题结合三角形，具有一定的综合性，同时也是和与差公式的应用问题．教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题，会带来一些隐含的条件，如A＋B＋C＝π(0解：方法一：在△ABC中，由cosA＝，0sinA＝＝＝，
所以tanA＝＝×＝，tan2A＝＝＝.
又tanB＝2，所以tan2B＝＝＝－.
于是tan(2A＋2B)＝＝＝.
方法二：在△ABC中，由cosA＝，0所以tanA＝＝×＝.又tanB＝2，所以tan(A＋B)＝＝＝－.于是tan(2A＋2B)＝tan[2(A＋B)]＝＝＝.
点评：以上两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别，其目的是为了鼓励学生用不同的思路去思考，以拓展学生的视野.
变式训练 化简：.解：原式＝＝＝cot2α.
课本本节练习1、2、3、4.
求值：tan70°cos10°(tan20°－1)．
解：原式＝2tan70°cos10°＝2tan70°cos10°＝·＝－1.
1．先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明．
2．教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练的运用二倍角公式解题．在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．
1．新课改的核心理念是：以学生发展为本．本节课的设计流程从回顾→探索→应用，充分体现了“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式．本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在这个活动过程中，由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深的留在了学生的记忆中．本节课的教学设计流程还是比较流畅的．
2．纵观本教案的设计，学生发现二倍角后就是应用，至于如何训练二倍角公式正用，逆用，变形用倒成了次要的了．而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的．
3．教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法．这样做增加了学生温故知新的空间，增强了学生的参与意识，教给了学生发现规律、探索推导、获取新知的途径，让学生真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体．学生会体会到数学的美，产生一种成功感，从而提高了学习数学的兴趣．
一、关于三角变换中的“一致代换”法
在三角变换中，“一致代换”法是一种重要的方法，所谓“一致代换”法，即在三角变换中，化“异角”“异名”“异次”为“同角”“同名”“同次”的方法．它主要包括：在三角函数式中，①如果只含同角三角函数，一般应从变化函数名称入手，尽量化为同名函数，常用“化弦法”；②如果含有异角，一般应从变化角入手，尽量化不同角为同角，变复角为单角；③如果含有异次幂，一般利用升幂或降幂公式化异次幂为同次幂．
二、备用习题
1．求值：－.
2．化简：cos36°cos72°.
3．化简：cosαcoscoscos·…·cos.
4．求值：sin6°sin42°sin66°sin78°.
5．若cos(＋x)＝，6．已知cos(α－)＝－，sin(－β)＝，且<α<π，0<β<，求cos(α＋β)的值．
参考答案：
1．解：原式＝＝
＝＝＝4.
2．解：原式＝＝＝＝.
3．解：先将原式同乘除因式sin，然后逐次使用倍角公式，则原式＝.
4．解：原式＝sin6°cos48°cos24°cos12°＝sin6°cos12°cos24°cos48°
＝＝＝＝.
5．解：原式＝＝＝sin2xtan(＋x)．
∵故原式＝×(－)＝－.
6．解：∵cos(α－)＝－，<α<π，0<β<，∴<α－<π.∴sin(α－)＝.
∵sin(－β)＝，<α<π，0<β<，∴－<－β<.∴cos(－β)＝.
∵cos＝cos[(α－)－(－β)]＝cos(α－)cos(－β)＋sin(α－)sin(－β)
＝(－)×＋×＝，∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝－.
第2课时
导入新课
思路1.(复习导入)让学生回顾上节课学习的三角函数倍角公式，快速写出并说出各公式的用途．
思路2.三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和、差、倍角等关系，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决．如2α＝(α＋β)＋(α－β)＝α＋α＝(＋α)－(－α)等．本节我们进一步加深对所学倍角公式的灵活运用．
推进新课
进一步运用倍角公式进行三角函数式的化简、求值与三角恒等式的证明．
采用“cos2α＝，sin2α＝”可将二次降为一次，故该公式又称为“降幂扩角公式”，这是一组非常有用的三角公式，对于我们进行三角函数式的化简、求值以及三角恒等式变换有很大的帮助．
思路1
例1课本本节例3.
例2课本本节例4.
例3课本本节例5.
变式训练
如图1，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，四边形ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
图1
活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD的面积S最大，先找出S与α之间的函数关系，再求函数的最值．
找S与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到
S＝AB·BC＝(cosα－sinα)sinα＝sinαcosα－sin2α.
求这种y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x函数的最值，应先降幂，再利用公式化成Asin(x＋φ)型的三角函数求最值．
教师引导学生思考：要求当角α取何值时，矩形ABCD的面积S最大，可分两步进行：
(1)找出S与α之间的函数关系；
(2)由得出的函数关系，求S的最大值．
解：在Rt△OBC中，OB＝cosα，BC＝sinα.
在Rt△OAD中，＝tan60°＝，
所以OA＝DA＝BC＝sinα.
所以AB＝OB－OA＝cosα－sinα.
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AB·BC＝(cosα－sinα)sinα＝sinαcosα－sin2α
＝sin2α＋cos2α－＝(sin2α＋cos2α)－
＝sin(2α＋)－.
由于0<α<，所以当2α＋＝，即α＝时，S最大＝－＝.
因此，当α＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.
点评：可以看到，通过三角变换，我们把形如y＝asinx＋bcosx的函数转化为形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，从而使问题得到简化．这个过程中蕴涵了化归思想．此题可引申，即可以去掉“记∠COP＝α”，结论改成“求矩形ABCD的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD＝x，S＝x(－x)，尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.
思路2
例1已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，且α、β∈(0，π)，求2α－β的值．
活动：把所求的角用含已知其值的角的式子表示，由所求的函数值结合该函数的单调区间求得角，但不要忽视对所求角的范围的讨论．即解决“给值求角”问题是由两个关键步骤构成：①把所求角用含已知角的式子表示；②由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．
解：∵2α－β＝2(α－β)＋β，tan(α－β)＝，
∴tan2(α－β)＝＝.
从而tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝＝＝＝1.
又∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝<1，
且0<α<π，∴0<α<.∴0<2α<.
又tanβ＝－<0，且β∈(0，π)，
∴<β<π，－π<－β<－.
∴－π<2α－β<0.∴2α－β＝－.
点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0，π)，则求cosα.若α∈(－，)，则求sinα等．
例2若α、β为锐角，且3sin2α＋2sin2β＝1,3sin2α－2sin2β＝0，求证：α＋2β＝.
证明：已知两个等式可化为3sin2α＝cos2β，①
3sinαcosα＝sin2β，②
①÷②，得＝，即cosαcos2β－sinαsin2β＝0，
∴cos(α＋2β)＝0.∵0<α<，0<β<，∴0<α＋2β<.∴α＋2β＝.
点评：由条件等式证明“角＋角＝角”的问题，一般转化为证明相应的三角函数值问题．
课本本节练习1、2、3.
1．在解决三角函数式的化简问题时，经常从以下三个方面来考虑：一看函数式中所涉及的角之间的关系；二看函数式中所涉及的三角函数的名称之间的关系；三看所涉及的三角函数的幂．遵循的原则是：不同角化同角，不同名化同名，高次降低次．
2．若所要化简或证明的三角函数式中含有多个名称的三角函数，我们常用的方法是将正切化为正弦、余弦，若是有常数和分式相加，我们采取的措施是通分，而后再化简．即对于形如例2的化简证明问题我们采用的措施是“切(正切)化弦(正弦、余弦)，通分化简，逆用公式，求得结果”．
课本习题3.2 10、12.
本节内容的几道例题都是二倍角公式的进一步应用，例3是有关几何的应用题．训练学生建立适当的数学模型来解决实际问题．教学中重在让学生体会二倍角公式的“降幂”作用，深刻领悟二倍角的结构特点及本质属性．对于三角函数条件等式的证明题，课本是从角的变换的角度来探求证明方法的．教学时要注意引导学生仔细体会、灵活掌握．
备选习题
1．已知x为锐角，且＝，则cosx等于( )
A.
B.
C.
D.
2.的值是( )
A．sin2
B．－cos2
C.cos2
D．－cos2
3．函数y＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx的最小值是( )
A.
B．－
C．2
D．－2
4．若tanx＝2，则tan(＋2x)＝________.
5．化简2sin(45°＋α)sin(45°－α)＝________.
6．化简：.
7．设α是第二象限角，sinα＝，求sin(－2α)的值．
8．求证：sin2α＋cosαcos(＋α)－sin2(－α)的值是与α无关的定值．
9．已知cos(α＋)＝(≤α＜)，求cos(2α＋)．
参考答案：
1.
D 2.A〔提示：＝＝－cos2〕
3．B〔提示：y＝cos2x＋sin2x＝sin(2x＋)≥－〕
4．－〔提示：由tanx＝2得tan2x＝－，原式＝＝－〕
5．cos2α 6.sin2α.
7．解：∵α是第二象限角，且sinα＝，∴cosα＝－.
∴sin2α＝－，cos2α＝.∴sin(－2α)＝cos2α－sin2α＝.
8．证明：原式＝(1－cos2α)－[1－cos(－2α)]＋cosαcos(＋α)
＝[cos(－2α)－cos2α]＋cosα(coscosα－sinsinα)
＝(coscos2α＋sinsin2α－cos2α)＋cos2α－cosαsinα
＝cos2α＋sin2α－cos2α＋(1＋cos2α)－sin2α＝，
∴sin2α＋cosαcos(＋α)－sin2(－α)的值与α无关．
9．分析：本题的解法很多，入口也较浅．为了求cos(2α＋)的值，可将cos(2α＋)适当变形，即进行三角式的恒等变形，以便与已知条件沟通起来．例如由于cos(2α＋)＝cos2αcos－sin2αsin，因此只需由已知条件求出cos2α及sin2α即可．又如由于cos(2α＋)＝cosαcos(α＋)－sinαsin(α＋)，因此只需由已知条件求出sin(α＋)及sinα、cosα同样也能获解．由此可见，灵活运用公式是关键．
解：∵≤α＜，cos(α＋)＝＞0，∴＞α＋＞，得＜α＜.
∴＜2α＜3π.从而sin2α＝－cos(2α＋)＝1－2cos2(α＋)＝，
cos2α＝－＝－.∴cos(2α＋)＝(cos2α－sin2α)＝－.(共34张PPT)
3．1.2 两角和与差的正弦
第3章
三角恒等变换
学习导航
第3章
三角恒等变换
学习目标
1.了解两角和与差的正弦公式的推导．(难点)
2．理解运用两角和与差的正弦公式的意义及结构特征．(重点)
3．掌握运用两角和与差的正弦公式进行化简、求值与证明．(重点、难点)
学法指导
1.运用两角和与差的三角函数公式关键在于构造角的和差．在构造过程中，要尽量使其中的角为特殊角或已知角，这样才能尽可能的利用已知条件进行化简或求值．
2．灵活运用公式的关键在于观察、分析待化简、要求值的三角函数式的结构特征，联想具有类似特征的相关公式．然后经过适当变形、拼凑，再正用或逆用公式解题.
1.两角和与差的正弦公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的
正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝
___________________
α，β∈R
两角差的
正弦
S(α－β)
sin(α－β)＝
___________________
α，β∈R
2.两角和与差的正弦公式与余弦公式的区别
(1)余弦公式右边函数名的排列顺序为：余·余±正·正，
左
右两边加减运算符号相反．
(2)正弦公式右边函数名的排列顺序为：正·余±余·正，
左
右两边加减运算符号相同．
1
公式的正用
1.求下列各式的值：(1)sin
15°，(2)sin
795°.
公式的逆用
1
给值求值
规范解答
公式的综合应用
易错警示
三角函数求值时忽视隐含条件致误(共31张PPT)
3．3 几个三角恒等式
第3章
三角恒等变换
学习导航
第3章
三角恒等变换
学习目标
1.了解积化和差、和差化积公式.
2.理解降幂公式．(重点)
3.灵活运用两角和差公式、倍角公式、半角公式进行恒等变换．(重点、难点)
学法指导
学习本节内容时，应在熟练掌握两角和与差的三角函数公式、二倍角的三角函数公式的基础上，对公式进行适当变形，从而导出降幂公式；学习的重点是体会和感悟在推导这些公式中所蕴含的三角恒等变换基本思想方法以及数学思想方法；应通过典型例题的学习和适量的训练，体会和感悟三角恒等变换在三角函数式化简、求值以及三角恒等式证明中的作用，掌握应用三角恒等变换解题的通性通法.
利用公式化简
方法归纳
对于三角函数式的化简有下面的要求：(1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数种数尽量少．(3)使三角函数式中的项数尽量少．(4)尽量使分母不含有三角函数．(5)尽量使被开方数不含三角函数．
利用公式求值
三角恒等变换的综合应用
规范解答
三角恒等变换的综合问题
易错警示
应用半角公式求值时的易错点
新知初探·思维启动
〉基础梳理,追本溯源,初试身手,巩固新知回
◎教材梳理③
预习自测◎
教材盘点·合作学习
〉题型突破,讲练互动,方法感悟,汇集真知⊙
例
题型→
跟踪洲练
题型
例
例
题型
教材拓展·整合提高
〉典例剖析,深入浅出,名师导学,拓展提高⊙
例
例