高中数学第二章平面向量（课件教案学案）（打包27套）苏教版必修4

2．2.1　向量的加法
设计思想　　　　　
数学定义也是数学思维活动的结果，本节课设计思想是以物理学中“合位移”“合力”等概念为背景，引导学生亲历向量加法的建构过程，使学生体会数学抽象思维活动的基本方法．
教学内容分析　　　　　
本节课教学内容包括向量加法法则的建构，向量加法运算律及运算，以及向量加法的简单应用．
教学目标分析　　　　　
理解向量加法的意义，会用三角形法则和平行四边形法则求作已知两向量的和；掌握向量加法的交换律和结合律，会进行向量加法运算；通过体会、理解向量加法的定义过程对学生进行抽象思维训练，培养学生的创新意识和创造能力．
1．情景设置
从数学的角度看，向量也是量，数量可以进行运算，向量也必须建立相应的运算系统，才能作为解决实际问题的工具．呈现物理学中“合位移”和“合力”求法，提出问题：已知两个向量，我们是否可以类比“合位移”或“合力”求法，“生成”一个新的向量？
探索讨论：已知向量a和b，按照求合位移的方式我们可以这样得到一个新向量：如图，作＝a，＝b，连结OB得到新向量；
按照平行四边形求合力的方式我们又可以这样得到一个新向量：
如图，作＝a，＝b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，得到新向量.当然，利用向量相等概念分析可知，两种方式得到的“新向量”是相等的，这是因为图1(2)中的＝＝b，也就说明由“平行四边形”法则得到的(见图1(2))与由“三角形”法则得到的向量(见图1(1))是相等的．
　
(1)
　
(2)
图1
2．向量加法定义
我们把由上面的“三角形”法则或“平行四边形”法则得到的“新向量”定义为两个已知向量a与b的和，记作a＋b，求两向量和的运算叫做向量的加法．
3．验证向量加法满足交换律、结合律
利用向量加法定义和法则可以验证以下结论：
a＋0＝0＋a＝a.
a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
a＋b＝b＋a(加法交换律)(见图2(1))．
(1)
(2)
图2
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(加法结合律)(见图2(2))．
思考讨论：(1)＋＋…＋An－1An＋＝？(多个向量相加法则)
(2)|a＋b|与|a|±|b|的大小关系．(数形结合)
4．例题选讲(以学生活动为主)
例1如图3，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
图3
(1)＋；(2)＋；(3)＋.
解：(1)因为四边形OABC是以OA、OC为邻边的平行四边形，
OB为其对角线，所以＋＝.
(2)因为与方向相同且长度相等，所以与是相等向量，故＋与方向相同，长度为长度的2倍，因此，＋可用表示．所以＋＝.
(3)因为与是一对相反向量，所以＋＝0.
例2在长江南岸某渡口处，江水以12.5
km/h的速度向东流，渡船的速度为25
km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
分析：如图4，渡船的实际速度、船速与水速应满足＋＝.
图4
解：如图4，设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度．因为＋＝，所以四边形ABCD为平行四边形．
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，||＝||＝12.5，||＝25，所以∠CAD＝30°.
答：渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.
例3在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上取两点E、F，使BE＝DF，用向量方法证明四边形AECF也是平行四边形.
分析：要证四边形AECF是平行四边形，只需证＝.
图5
∵＝＋，＝＋，又四边形ABCD是平行四边形，BE＝DF，
∴＝，＝，∴＝.
小结(学生回答)：如何用向量方法证明四边形为平行四边形？
5．练习与反馈
(1)如图6，已知向量a、b，作出a＋b.
(1)
(2)
图6
(2)已知O是平行四边形ABCD对角线的交点，则下面结论中正确的是(　　)
A.＋＝
B.＋＝
C.＋≠
D.＋＋＋≠0
(3)在△ABC中，求证：＋＋≠0.
(4)一质点从点A出发，先向北偏东30°方向运动了4
cm，到达点B，再从点B向正西方向运动了3
cm到达点C，又从点C向西南方向运动了4
cm到达点D，试画出向量，，以及＋＋.
6．课堂小结
今天我们以求合位移和合力为背景定义了向量的加法，以后我们还会利用其他的实际背景和数学运算的内部结构定义多种向量的运算，本节课的重点是掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，其要点则分别为“首尾相连”和“起点重合，作平行四边形”．(共33张PPT)
第2章
平面向量
2．1　向量的概念及表示
第2章
平面向量
学习导航
第2章
平面向量
学习目标
1.了解平面向量的实际背景.
2.理解平面向量的基本概念和几何表示．(重点、难点)
3.掌握向量相等、共线向量的定义．(重点)
学法指导
本节内容涉及的概念较多，必须认真辨析易混淆的概念，如向量与数量、向量与矢量、向量与有向线段、平行向量与共线向量、相等向量等．这些内容是平面向量的起始内容，是构建向量理论体系的基础，要注意认真体会概念的内涵.
1.向量的定义
既有____________又有____________的量称为向量．
大小
方向
2.向量的表示方法
长度
方向
大小
模
4．特殊的向量
(1)零向量：长度为0的向量称为零向量，记作0.
(2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.
相等
相反
1．下列各量是向量的是________．
①质量；②距离；③速度；④电流强度．
解析：①②④均无方向．
③
2．给出下列说法：
①零向量与单位向量平行；
②与非零向量a共线的单位向量只有一个；
③若两个向量方向相反，则这两个向量一定共线．
其中错误说法的个数是________．
解析：因为零向量与任意一个向量平行，所以①正确；
与
非零向量a共线的单位向量方向可能与a相同，也可能相反，
所
以有2个，②错误；方向相同或相反的向量是共线向量，③正确．所以错误的说法是②，有1个．
1
3．下列说法正确的有____________(填序号)．
①方向相同的向量叫相等向量；
②共线向量不一定相等；
③作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量；
④平行向量方向相同．
解析：①错误，向量的模不一定相等；④错误，平行向
量
的方向也可能相反；由相关概念知②③正确．
②③
2
向量的有关概念
如图，O为边长为1的正六边形ABCDEF的中心．根据图中标出的向量，回答下列问题：
方法归纳
对向量有关概念的理解要全面、准确．要注意相等
向量
、共线向量与平行向量之间的区别和联系．
(1)共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方
向相同或相反，向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中
“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义．
(2)如果两个向量所在的直线平行或重合，则这两个向量是
平行向量．
相等向量与共线向量
方法归纳
(1)向量平行与直线平行的关系：
两条直线平行时，直线上的有向线段平行，两向量平行时,表示向量的有向线段所在的直线不一定平行，也可能重合.若直线m，n，l，m∥n，n∥l，则m∥l；若向量a，b，c，a∥b,
b∥c，则a，c不一定平行．
(2)向量的相关性质与几何知识交汇，要注意联系几何图形的相关性质，使向量与几何图形有机地结合起来．
向量的表示
方法归纳
解决此类问题的步骤：
(1)运用向量观点将实际问题抽象转化成数学模型．
(2)确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的
大小确定向量的终点．
解：如图所示：
规范解答
平行向量与相等向量
[规范与警示]　在平面图形中找相等向量、共线
向量
时，
要注意先分析平面图形中的相等、平行关系，充分利用三角
形中位线定理、平行四边形的性质等平面几何知识，转化为
向量相等、平行.
易错警示
对向量的有关概念理解不透彻致误
4
③2.2.3　向量的数乘
教学分析　　　　　
向量的数乘运算，其实是加法运算的推广及简化，与加法、减法统称为向量的三大线性运算．教学时从加法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系．实数与向量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，也有方向．特别是所得向量与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理．共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛，且容易出错．尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量．共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着紧密的联系．
三维目标　　　　　
1．通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义．掌握实数与向量的积的运算律．理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行．
2．通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神．通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用．
重点难点　　　　　
教学重点：1.实数与向量积的意义．
2．实数与向量积的运算律．
3．两个向量共线的等价条件及其运用．
教学难点：对向量共线的等价条件的理解运用．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.(直接引入)前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算，这一节，我们将在加法运算的基础上研究相同向量和的简便计算及推广．在代数运算中，a＋a＋a＝3a，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，所以相同向量的求和运算也有类似的简便计算．
思路2.(问题引入)一物体做匀速直线运动，一秒钟的位移对应的向量为a，那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课．
推进新课　　　　　
实数与向量积的定义及运算律．
活动：教师引导学生回顾相关知识并猜想结果，对于运算律的验证，点拨学生通过作图来进行．通过学生的动手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义．教师要引导学生特别注意0·a＝0，而不是0·a＝0.这个零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如λ＋a，λ－a都无法进行．向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．判断两个向量是否平行(共线)，实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量．一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段．
实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘(scalar
multiplication
of
vectors)．
事实上，通过作图1可发现，＝＋＋＝a＋a＋a.类似数的乘法，可把a＋a＋a记作3a，即＝3a.显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，
即|3a|＝3|a|.同样，由图可知，
＝＋＋＝(－a)＋(－a)＋(－a)，
图1
即(－a)＋(－a)＋(－a)＝3(－a)．显然3(－a)的方向与a的方向相反，3(－a)的长度是a的长度的3倍，这样，3(－a)＝－3a.
上述过程推广后即为实数与向量的积．
我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．
由(1)可知，λ＝0时，λa＝0.
根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律．
设λ、μ为实数，那么
特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
关于向量共线的条件，教师要点拨学生做进一步深层探究，让学生思考，若去掉a≠0这一条件，上述条件成立吗？其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识．在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：(1)有一个为零向量；(2)两个都为零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等．
教师与学生一起归纳总结：数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|λ||a|确定．
它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小．
向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形．
思路1
例1课本本节例2.
变式训练1．计算：(1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)．解：(1)原式＝(－3×4)a＝－12a；(2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；(3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.点评：运用向量运算的运算律，解决向量的数乘．其运算过程可以仿照多项式运算中的“合并同类项”．2．若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a、b是已知向量，求m、n.解：∵3m＋2n＝a，①m－3n＝b，②3×②，得3m－9n＝3b，③①－③，得11n＝a－3b，∴n＝a－b.④将④代入②，有m＝b＋3n＝a＋b.点评：此题可把已知条件看作向量m、n的方程，通过方程组的求解获得m、n.在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.
例2课本本节例1.
变式训练
如图2(1)，已知任意两个非零向量a、b，试作＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？
活动：本题给出了利用向量共线判断三点共线的方法，这是判断三点共线常用的方法．教学中可以先引导学生作图，通过观察图形得到A、B、C三点共线的猜想，再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线．本题只需引导学生理清思路，具体过程可由学生自己完成．另外，本题是一个很好的与信息技术整合的题材，教学中可以通过计算机作图，进行动态演示，揭示向量a、b变化过程中，A、B、C三点始终在同一条直线上的规律．
(1)
(2)
图2
解：如图2(2)分别作向量、、，过点A、C作直线AC〔如图2(2)〕．观察发现，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线．
事实上，因为＝－＝a＋2b－(a＋b)＝b，
而＝－＝a＋3b－(a＋b)＝2b，于是＝2.
所以A、B、C三点共线．
点评：关于三点共线问题，学生接触较多，这里是用向量证明三点共线，方法是必须先证明两个向量共线，并且有公共点．教师引导学生解完后进行反思，体会向量证法的新颖独特．
例3课本本节例3.
变式训练
　如图3，ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，你能用a、b表示、、和吗？
图3
活动：本题的解答要用到平行四边形的性质．另外，用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤，教学中可以给学生明确指出这一点．
解：在ABCD中，
∵＝＋＝a＋b，＝－＝a－b，
又∵平行四边形的两条对角线互相平分，
∴＝－＝－(a＋b)＝－a－b，
＝＝(a－b)＝a－b，
＝＝a＋b，＝－＝－＝－a＋b.
点评：结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，将两个向量的和或差表示出来，这是解决这类几何题的关键.
思路2
例1凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F，求证：＝(＋)．
活动：教师引导学生探究，能否构造三角形，使EF作为三角形的中位线，借助于三角形中位线定理解决．或创造相同起点，以建立向量间的关系．鼓励学生多角度观察思考问题．
图4
证明：方法一：过点C在平面内作＝，则四边形ABGC是平行四边形，故F为AG的中点(如图4)．
∴EF是△ADG的中位线．
∴EFDG，∴＝.
而＝＋＝＋，
∴＝(＋)．
方法二：如图5，连EB、EC，则有＝＋，＝＋，
图5
又∵E是AD的中点，∴有＋＝0，即有＋＝＋.
以与为邻边作EBGC，则由F是BC的中点，可得F也是EG的中点．∴＝＝(＋)＝(＋)．
点评：向量的运算主要从以下几个方面加强练习：(1)加强数形结合思想的训练，画出草图帮助解决问题；(2)加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习．做到准确熟练运用．
例2课本本节例4.
变式训练1．若非零向量a、b满足|a＋b|＝|b|，则(　　)A．|2a|>|2a＋b|　　　　　　
　B．|2a|<|2a＋b|C．|2b|>|a＋2b|
D．|2b|<|a＋2b|答案：C2．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　)A.　　　　　B.　　　　　C．－　　　　　D．－答案：A
课本本节练习．
1．让学生回顾本节学习的数学知识，向量的数乘运算法则，向量的数乘运算律，向量共线的条件．体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般、归纳、猜想、类比、分类讨论、等价转化．
2．向量及其运算与数及其运算可以类比，这种类比是我们提高思想性的有效手段，在今后的学习中应予以充分的重视，它是我们学习中伟大的引路人．
课本习题2.2　8、9.
1．本教案的设计流程符合新课程理念，充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动，引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题．先由学生探究向量数乘的结果还是向量(特别地，0·a＝0)，它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小，当λ>0时，λa与a方向相同，当λ<0时，λa与a方向相反；向量共线定理用来判断两个向量是否共线，然后对所探究的结果进行运用拓展．
2．向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点，由此可看出在中学数学教材中的地位的重要，也成为近几年各地高考命题的重点和热点，教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理．
一、向量的数乘运算律的证明
设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有
(1)λ(μa)＝(λμ)a；①
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；②
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.③
证明：(1)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则①式显然成立．
如果λ≠0，μ≠0，且a≠0，则根据向量数乘的定义有：
|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，
|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|，
所以|λ(μa)|＝|(λμ)a|.
如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两边向量的方向都与a反向．
因此，向量λ(μa)与(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以这两个向量相等．
(2)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则②显然成立．
如果λ≠0，μ≠0且a≠0，可分如下两种情况：
当λ、μ同号时，则λa和μa同向，所以
|(λ＋μ)a|＝|λ＋μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，
|λa＋μa|＝|λa|＋|μa|＝|λ||a|＋|μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，
即有|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|.
由λ、μ同号，知②式两边向量的方向或都与a同向，或都与a反向，即②式两边向量的方向相同．
综上所述，②式成立．
如果λ、μ异号，当λ>μ时，②式两边向量的方向都与λa的方向相同；当λ<μ时，②式两边向量的方向都与μa的方向相同．
还可证|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|.因此②式也成立．
(3)当a＝0，b＝0中至少有一个成立，或λ＝0，λ＝1时，③式显然成立．
当a≠0，b≠0且λ≠0，λ≠1时，可分如下两种情况：
当λ>0且λ≠1时，如图6，在平面内任取一点O作＝a，＝b，＝λa，＝λb；则＝a＋b，＝λa＋λb.
图6
由作法知∥，有∠OAB＝∠OA1B1，||＝λ||，
所以＝＝λ.所以△AOB∽△A1OB1.
所以＝λ，∠AOB＝∠A1OB1.
因此O、B、B1在同一条直线上，||＝|λ|，与λ的方向也相同．
所以λ(a＋b)＝λa＋λb.
当λ<0时，由图7可类似证明λ(a＋b)＝λa＋λb.
图7
所以③式也成立．
二、备用习题
1.[(2a＋8b)－(4a－2b)]等于(　　)
A．2a－b　　　　　　B．2b－a　　　　　　C．b－a　　　　　　D．a－b
2．设两非零向量e1、e2不共线，且ke1＋e2与e1＋ke2共线，则k的值为(　　)
A．1
B．－1
C．±1
D．0
3．若向量方程2x－3(x－2a)＝0，则向量x等于(　　)
A.a
B．－6a
C．6a
D．－a
4．在△ABC中，＝，EF∥BC，EF交AC于F，设＝a，＝b，则用a、b表示的形式是＝________.
5．在△ABC中，M、N、P分别是AB、BC、CA边上的靠近A、B、C的三等分点，O是△ABC平面上的任意一点，若＋＋＝e1－e2，则＋＋＝________.
6．已知△ABC的重心为G，O为坐标原点，＝a，＝b，＝c，
求证：＝(a＋b＋c)．
参考答案：
1．B　2.C　3.C
4．－a＋b　5.e1－e2
6．证明：连结AG并延长，设AG交BC于M.
∵＝b－a，＝c－a，＝c－b，
∴＝＋＝(b－a)＋(c－b)＝(c＋b－2a)．
∴＝＝(c＋b－2a)．
∴＝＋＝a＋(c＋b－2a)＝(a＋b＋c)．2．3.1　平面向量基本定理
教学目标　　　　　
知识目标
(1)了解平面向量基本定理．
(2)掌握平面内任何一个向量都可以用不共线的两个向量表示，能够在具体问题中选取合适的基底，使其他向量都能用这组基底来表示．
能力目标
(1)培养学生用向量解决实际问题的能力．
(2)培养学生观察、抽象概括、合作交流的能力．　
情感目标
(1)增强学生的数学应用意识．
(2)激发学生学习数学的兴趣．
重点难点　　　　　
教学重点：平面向量基本定理．
教学难点：对平面向量基本定理的理解及应用．
(1)复习回顾
师：如果向量a与非零向量b共线，那么a与b满足怎样的关系？
生：a＝λb.
师：当a，b确定时，λ的值有几个？
结论：如果向量a与非零向量b共线，那么有且只有一个实数λ，使a＝λb.
(2)引导探究
师：如果a与b不共线，则上述结论还成立吗？
(学生讨论)
结论：不成立．
师：你能否添加恰当的条件使得能够表示？
学生回答．
师：设e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量，怎样用e1、e2表示a
图1
图2
　　
(学生活动)根据前面所学的向量平行四边形法则，两向量共线定理得：
方法：平移(已知向量、未知向量)——构造((共起点)平行四边形)
＝＋＝λ1＋λ2，
即＝λ1e1＋λ2e2.
其中实数λ1，λ2都是惟一存在的．
设计意图：重在探究定理得出的三点，一是为何要用两个不共线的向量e1，e2来表示，二是怎样表示，三是表示的惟一性．
(3)意义建构
平面向量基本定理：(学生描述)
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a有且只有一对实数λ1，λ2，使得
a＝λ1e1＋λ2e2.
师：定理中应关注哪些关键词？这些关键词如何理解？
生：不共线、有且只有．
师：我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
基底是否惟一？
图3
＝＋
＝＋.
结论：对于同一向量，可以找到无数组基底来表示．在处理问题时经常选取最合适的一组基底．基底不惟一，关键是要不共线．
(4)定理再认识
①若a＝0，则有且只有：λ1＝λ2＝0使得a＝λ1e1＋λ2e2.
②若a与e1(或e2)共线，则有λ2＝0(或λ1＝0)，使得a＝λ1e1＋λ2e2.
③一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，称它为向量a的分解．特别地，当e1，e2互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．
事实上，物理中速度、力的分解就是向量分解的物理原型．在接下来的向量运算中，将要用到向量a的正交分解．
图4
例1如图5，D是△ABC中BC边的中点，＝a，＝b，试用a，b表示(1)，(2).
解：(1)＝(b－a)．
(2)＝＝(＋)＝(a＋b)．
图5
设计意图：通过构造平行四边形或三角形，利用平行四边形法则和三角形法则，把所求的量转化到已知量上，从而达到解题的目的．
例2设e1，e2是平面内的一组基底，＝e1＋e2，＝3e1－e2，＝me1－5e2且A、B、C三点共线，
(1)求实数m的值；
(2)试用向量，来表示.
解：(1)∵A、B、C三点共线，
∴＝λ.
又＝－＝(3e1－e2)－(e1＋e2)＝2e1－2e2，
＝－＝(me1－5e2)－(3e1－e2)
＝(m－3)e1－4e2，
∴2e1－2e2＝λ[(m－3)e1－4e2]，
故有
(2)由上知，＝7e1－5e2
，根据平面向量基本定理，存在惟一的实数s，t，使得＝s＋t.
∴7e1－5e2＝s(e1＋e2)＋t(3e1－e2)．
∴＝－2＋3.
解题反思：①三点共线的等价条件是什么？
②向量相等，对应向量的系数相等．
设计意图：体现解方程组、待定系数法的数学思想，对前面所学知识(任意共线三点A，B，C，满足＝s＋t，则s＋t＝1)的进一步理解．
(5)小结：
a．平面向量基本定理的内容．
b．对基本定理的理解：实数对λ1，λ2的存在性和惟一性，基底的不惟一性．
c．基本定理的作用是什么？
d．定理中蕴涵着哪些数学思想？2.1
向量的概念及表示
典题精讲
例1
温度有零上与零下之分，温度是不是向量，为什么
思路分析：判断一个量是不是向量，关键就是看这个量是否同时具备两条：既有大小又有方向，这两者缺一不可.
答案：不是，因为温度只有大小没有方向.
绿色通道：向量是一种新的量，与以前的数量是不同的体系，两者之间既有联系又有区别；我们把既有大小又有方向而无特定位置的量叫自由向量.描述一个向量有两个指标：大小、方向.
变式训练
美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令：向1
200千米处发射两枚战斧式巡航导弹(精度10米左右，射程超过2
000千米)，试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标？
思路解析：向1
200千米处发射两枚战斧式巡航导弹,这里没有给定发射的方向不能击中伊拉克的军事目标.
答案：不能.
例2
如图2-1-1，已知四边形ABCD是矩形，设点集M={A，B，C，D}，集合T={,P、Q∈M，且P、Q不重合}.试求集合T.
图2-1-1
思路分析：要确定向量为元素的集合T有多少个子集，就需搞清楚集合T中有多少个相异的向量.
解：从已知条件出发,可以判断出相异的向量有{}.
绿色通道：这是一道向量与集合知识交汇的题型，在这里要分别从两个知识点出发，集合主要考查的是其互异性，向量的相关概念在此考查的是相异向量应当具备的一个硬件是排除相等向量的可能性情况，两者之间交汇在一个“异”字，解题时只有认真审题分清思路，才能得到正确的结果.
变式训练
如图2-1-2，四边形ABCD与ABEC都是平行四边形.
图2-1-2
(1)用有向线段表示与向量相等的向量；
(2)用有向线段表示与向量共线的向量.
思路解析：在寻找相等向量和共线向量时都是可以从大小和方向这两个方面来考虑，本题涉及到的线段比较多，要按一定的规律寻找，不要有遗漏.
答案：(1)与向量相等的向量是;
(2)与向量共线的向量是，
例3
有两个长度相等的向量，在什么情况下，这两个向量一定是相等向量
思路分析：判断两个向量是否相等就是看它们的大小是否相等，方向是否相同，这两个方面缺一不可.
解：有下列两种情况，这两个向量一定相等.
(1)方向相同；(2)都为零向量.
黑色陷阱：如果忽视了零向量是相等向量，那么就会遗漏第二种情况，使得本题的解答不完整.
绿色通道：向量有两个要素：一是大小，二是方向.两个向量只有当它们的模相等同时方向相同时,才称为相等的向量,即a=b就意味着|a|=|b|，且a与b的方向相同.还要注意到零向量与零向量是相等向量.
变式训练
下列说法正确的是_________.
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上
②单位向量都相等
③任一向量与它的相反向量不相等
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当=
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同
思路解析：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.
⑥不正确.如图2-1-3，与共线，虽起点不同，但其终点却相同.
图2-1-3
答案：④⑤
例4
某人从A点出发向西走了200
m到达B点，然后改变方向向西偏北60°走了450
m到达C点，最后又改变方向向东走了200
m到达D点.
(1)作出向量、、(用1
cm表示100
m)；
(2)求||.
思路分析：本题只要用向量来表示位移就可以很简单地
图2-1-4
解决.
解：(1)作出向量、、,如图2-1-4.
(2)∵||=||，且与方向相同，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴||=||=450
(m).
绿色通道：用向量知识解决物理问题，关键是将物理知识转化成数学知识，用向量表示物理量，然后解决问题.
变式训练
新华网北京10月17日电
北京时间17日2时40分许，记者从北京航天飞控中心获悉，神舟六号飞船返回指令解锁，即将结束五天的太空之旅，踏上返乡路程.凌晨3时43分至48分，远望三号测量船对飞船实施了姿态调整、轨道舱与返回航分离、制动点火等一系列关键控制，仪器表上已准确地出现飞船的方位，飞船顺利进入预定返回轨道.假定把神舟六号飞船看成向量，现在仪器表屏幕显示在4×5的方格中有一个向量，以图2-1-5中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个 与长度相等的共线向量有多少个
图2-1-5
思路分析：要判断向量相等，并不要求它们有相同的起点与终点，主要是依据把握住向量相等两要素：方向相同、长度相等.
答案：以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有7个，与长度相等的共线向量有15个.
问题探究
问题1
中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字，如图2-1-6，在中国象棋的半个棋盘(4×8个，矩形每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量,表示马走了“一步”.通过探究，你能在图中画出马在B、C处走了一步的所有情况吗？
图2-1-6
导思：根据象棋的走法规则，结合已知的图形，作出符合要求的所有向量，不要有遗漏.
探究：此题中，马在A处有两条路可走，在B处有三条路可走，在C处有八条路可走，可谓“八面威风”，解题时，应做到不重不漏.如图2-1-7,以点C为起点作向量(共8个)，以点B为起点作向量(共3个).
图2-1-7
问题2
如图2-1-8，A1，A2，…，A8是⊙O上的八个等分点，则在以A1，A2,
…,A8及圆心O九个点中任意两点为起点与终点的向量中，试探究模等于半径的向量有多少个，模等于半径倍的向量有多少个
图2-1-8
导思：(1)在模等于半径的向量个数的计算中，要计算与(i=1，2，…，8)两类，一般我们易想到(i=1,2,
…，8)这8个，而易遗漏(i=1，2，…，8)这8个.
(2)圆内接正方形的一边对应了长为的两个向量.例如边,A1A3对应向量与.因此与(1)一样，在解题过程中主要是防止漏算.认为满足条件的向量个数为8是错误的.
探究：(1)由于A1,A2,
…,A8是⊙O上的八个等分点，所以八边形A1A2…A8是正八边形，正八边形的边及对角线长均与⊙O的半径不相等.所以模等于半径的向量只可能是与(i=1,2,
……，8)两类，共16个.
(2)⊙O内接正方形的边长是半径的倍，所以我们应考虑与圆心O形成90°圆心角的两点为端点的向量个数.
以A1，A2，…，A8为顶点的⊙O的内接正方形有两个，一是正方形A1A3A5A7；另一个是正方形A2A4A6A8.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的倍.所以模为半径倍的向量共有4×2×2=16个.2．3.2　平面向量的坐标运算
教学分析　　　　　
1．前面学面向量的坐标表示，实际是平面向量的代数表示．在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．
2．本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算．推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律．
3．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法是向量的某些关系，特别是向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ，使得a＝λb，那么a与b共线)，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示．这种转化是比较容易的，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示．要注意的是，向量的共线与向量的平行是一致的．
三维目标　　　　　
1．通过经历探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法．理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示．
2．引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体．在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识．
重点难点　　　　　
教学重点：平面向量的坐标运算．
教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解．
课时安排　　　　　
2课时
第1课时
导入新课　　　　　
对于平面内的任意向量a，过定点O作向量＝a，则点A的位置被向量a的大小和方向所惟一确定．如果以定点O为原点建立平面直角坐标系，那么点A的位置可通过其坐标来反映，从而向量a也可以用坐标来表示，这样就可以通过坐标来研究向量问题了．事实上，向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算怎样通过坐标运算来实现呢？
推进新课　　　　　
1．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系内，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)．
注意：(1)在直角坐标平面内，以原点为起点的向量的坐标就等于点A的坐标．
(2)两个向量相等?对应坐标相等．
2．平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．
即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
||＝，即平面内两点间的距离公式．
(3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，λ∈R.
3．线段的中点坐标公式
若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1P2的中点P(，)．
思路1
例1课本本节例1.
变式训练
已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b等于(　　)
A．(－2，－1)
B．(－2,1)
C．(－1,0)
D．(－1,2)
答案：D
例2课本本节例2.
变式训练
1.如图1，已知?ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(－2,1)、(－1,3)、(3,4)，试求顶点D的坐标．
图1
活动：本题的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．这里给出了两种解法：方法一利用“两个向量相等，则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想；方法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量的坐标，进而得到点D的坐标．解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系)，数形结合地思考，将顶点D的坐标表示为已知点的坐标．
解：方法一：如图1，设顶点D的坐标为(x，y)．
∵＝(－1－(－2)，3－1)＝(1,2)，＝(3－x,4－y)，
由＝，得(1,2)＝(3－x,4－y)．
∴∴∴顶点D的坐标为(2,2)．
方法二：如图1，由向量加法的平行四边形法则可知＝＋＝＋＝(－2－(－1)，1－3)＋(3－(－1)，4－3)＝(3，－1)，而＝＋＝(－1,3)＋(3，－1)＝(2,2)，
∴顶点D的坐标为(2,2)．
点评：本题的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算．
2.如图2，已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1,3)，C(3,4)，求点D的坐标，
图2
使这四点构成平行四边形的四个顶点．
解：当为ABCD时，仿例2得D1＝(2,2)；
当为ACDB时，仿例2得D2＝(4,6)；
当为DACB时，仿例2得D3＝(－6,0).
例3课本本节例4.
思路2
例1设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)．
(1)当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．
活动：教师充分让学生思考，并提出：这一结论可以推广吗？即当＝λ时，点P的坐标是什么？师生共同讨论，一起探究，可按照求中点坐标的解题思路类比推广，有学生可能提出如下推理方法：
由＝λ，知(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，
即
这就是线段的定比分点公式，教师要给予充分肯定，鼓励学生的这种积极探索，这是学习数学的重要品质．时间允许的话，可以探索λ的取值符号对P点位置的影响，也可鼓励学生课后探索．
解：(1)如图3，由向量的线性运算可知
图3
＝(＋)＝(，)．
所以点P的坐标是(，)．
(2)如图4，当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，即＝或＝2.如果＝，那么
＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋
图4
＝(，)．
即点P的坐标是(，)．
同理，如果＝2，那么点P的坐标是(，)．
点评：本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.
变式训练　在△ABC中，已知点A(3,7)、B(－2,5)．若线段AC、BC的中点都在坐标轴上，求点C的坐标．解：(1)若AC的中点在y轴上，则BC的中点在x轴上．设点C的坐标为(x，y)，由中点坐标公式得＝0，＝0，∴x＝－3，y＝－5，即C点坐标为(－3，－5)．(2)若AC的中点在x轴上，则BC的中点在y轴上，同理可得C点坐标为(2，－7)．综合(1)(2)，知C点坐标为(－3，－5)或(2，－7).
例2已知点A(1,2)，B(4,5)，O为坐标原点，＝＋t.若点P在第二象限，求实数t的取值范围．
活动：教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量相等，把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解．教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力，或者让学生到黑板上板书解题过程，并对思路清晰过程正确的同学进行表扬，同时也要对组织步骤不完全的同学给予提示和鼓励．教师要让学生明白“化归”思想的利用．不等式求变量取值范围的基本观点是：将已知条件转化为关于变量的不等式(组)，那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集．
解：由已知＝(4,5)－(1,2)＝(3,3)，
∴＝(1,2)＋t(3,3)＝(3t＋1,3t＋2)．
若点P在第二象限，则
－故t的取值范围是(－，－)．
点评：此题通过向量的坐标运算将点P的坐标用t表示，由点P在第二象限可得到一个关于t的不等式组，这个不等式组的解集就是t的取值范围．
课本本节练习1～6.
1．先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识：平面向量的和、差、数乘的坐标运算．
2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，定义法、归纳、整理、概括的思想，强调在今后的学习中，要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好的基础．
课本习题2.3　1～8.
1．本节课中向量的坐标表示及运算实际上是向量的代数运算．这对学生来说学习并不困难，可大胆让学生自己探究．本教案设计流程符合新课改精神．教师在引导学生探究时，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点．让学生在了解向量知识网络结构的基础上，进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律，能熟练向量代数化的重要作用和在实际生活中的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．
2．平面向量的坐标运算包括向量的代数运算与几何运算．相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手．
3．通过平面向量坐标的加、减代数运算，结合图形，不但可以建立向量的坐标与点的坐标之间的联系，而且教师可在这两题的基础上稍作推广，就可通过求向量的模而得到直角坐标系内的两点间的距离公式甚至可以推出中点坐标公式．它们在处理平面几何的有关问题时，往往有其独到之处，教师可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维发散能力．
一、关于点P分有向线段所成的比的探讨
(1)定义法：根据已知条件直接找到使＝λ的实数λ的值．
例1已知点A(－2，－3)，点B(4,1)，延长AB到P，使||＝3||，求点P的坐标．
解：因为P点在AB的延长线上，P为的外分点，所以＝λ，λ<0.
又根据||＝3||，可知λ＝－3，由分点坐标公式易得P点的坐标为(7,3)．
(2)公式法：依据定比分点坐标公式．
x＝，y＝，结合已知条件求解λ.
例2已知两点P1(3,2)，P2(－8,3)，求点P(，y)分所成的比λ及y的值．
解：由线段的定比分点坐标公式，得
解得
例3如图5，已知三点A(0,8)，B(－4,0)，C(5，－3)，D点内分的比为1∶3，E点在BC边上，且使△BDE的面积是△ABC面积的一半，求DE中点的坐标．
图5
分析：要求DE中点的坐标，只要求得点D、E的坐标即可，又由于点E在BC上，△BDE与△ABC有公共顶点B，所以它们的面积表达式选定一公用角可建立比例关系求解．
解：由已知有＝，则得＝，
又＝，则S△BDE＝||||sin∠DBE，
S△ABC＝||||sin∠ABC，且∠DBE＝∠ABC，
∴＝，即得＝.
又点E在边BC上，∴＝2.∴点E分所成比λ＝2.
由定比分点坐标公式有
即E(2，－2)，
又由有D(－1,6)．
记线段DE的中点为M(x，y)，则
即M(，2)为所求．
二、备用习题
1．已知a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，则－3a－2b等于(　　)
A．(7,1)
B．(－7，－1)
C．(－7,1)
D．(7，－1)
2．已知A(1,1)，B(－1,0)，C(0,1)，D(x，y)，若和是相反向量，则D点的坐标是
(　　)
A．(－2,0)
B．(2,2)
C．(2,0)
D．(－2，－2)
3．若点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)共线，则使＝λ的实数λ的值为(　　)
A．1
B．－2
C．0
D．2
4．已知A、B、C三点共线，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为(　　)
A．－2
B．9
C．－9
D．13
5．若A(2,3)，B(x,4)，C(3，y)，且＝2，则x＝________，y＝________.
6．已知?ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,1)，则的坐标(O为对角线的交点)为________．
7．向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A、B、C三点共线？
8．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若＝＋λ(λ∈R)，试问：当λ为何值时，点P在第一与第三象限的角平分线上？当λ在什么范围内取值时，点P在第三象限内？
9．如图6所示，已知△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
图6
10．已知四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF＝AE.
参考答案：
1．B　2.B　3.D　4.C　5.4　　6.(－，－4)
7．解：∵＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，
∴＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(6，k－5)．
∵∥，∴存在实数λ，使得(4－k，－7)＝λ(6，k－5)．
∴k2－9k－22＝0.解得k＝11或k＝－2.
8．解：∵＝(3,1)，＝(5,7)，
∴＋λ＝(3＋5λ，1＋7λ)．而＝＋λ(已知)，
∴＝＋＝(2,3)＋(3＋5λ，1＋7λ)＝(5＋5λ，4＋7λ)．
(1)若点P在第一与第三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ?λ＝；
(2)若点P在第三象限内，则
λ∈(－∞，－1)．
9．解：∵＝＝(0,5)＝(0，)，∴C(0，)．
∵＝＝(4,3)＝(2，)，∴D(2，)．
设M(x，y)，则＝(x，y－5)，＝(2－0，－5)＝(2，－)．
∵∥，∴存在实数λ，使得(x，y－5)＝λ(2，－)，即7x＋4y＝20.①
又＝(x，y－)，＝(4，)，
∵∥，∴存在实数μ，使得(x，y－)＝μ(4，)，即7x－16y＝－20.②
联立①②解得x＝，y＝2，故点M的坐标为(，2)．
10．证明：建立如图7所示的直角坐标系，为了研究方便，不妨设正方形ABCD的边长为1，则B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(x，y)，这里y>0，于是＝(1,1)，＝(x－1，y)．
图7
∵∥，∴存在实数λ，使得(1,1)＝λ(x－1，y)，即1×y－(x－1)×1＝0
y＝x－1.①
∵AC＝OC＝CE(已知)，∴CE2＝OC2?(x－1)2＋(y－1)2＝2.②
由y>0，联立①②解得即E(，)．
AE＝OE＝＝＋1.
设F(t,0)，则＝(1－t,1)，＝(，)．
∵F，C，E三点共线，∴∥.
∴存在实数μ，使得(1－t，t)＝μ(，)，即(1－t)×－×1＝0，解得t＝－1－.∴AF＝OF＝1＋.∴AF＝AE.
第2课时
导入新课　　　　　
向量的应用主要是解决平面几何问题，而几何中的平行问题占着重要的地位，向量的平行包含着几何中的平行情形，本章开始时已初步研究了向量的平行问题，但仍然用的是几何方法来研究的．本节课通过坐标的方法来研究向量的平行问题，但涉及内容不是很深．
推进新课　　　　　
若向量a与非零向量b为共线向量，则当且仅当存在惟一的一个实数λ，使得a＝λb，那么这个条件如何用坐标来表示呢？
活动：教师引导推证：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠a，
由a＝λb，(x1，y1)＝λ(x2，y2)
消去λ，得x1y2－x2y1＝0.
结论：a∥b(b≠0)
x1y2－x2y1＝0.
教师应向学生特别提醒感悟：
1°消去λ时不能两式相除，∵y1、y2有可能为0，而b≠0，∴x2、y2中至少有一个不为0.
2°此条件不能写成＝(∵x1，x2有可能为0)．
3°从而向量共线的条件有两种形式：a∥b(b≠0)
由此我们得到：
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，如果a∥b，那么x1y2－x2y1＝0；
反过来，如果x1y2－x2y1＝0，那么a∥b.
证明：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，因为a≠0，所以x1、y1不全为0.
不妨假设x1≠0.
(1)如果a∥b，则存在实数λ，使b＝λa，即(x2，y2)＝λ(x1，y1)＝(λx1，λy1)，
所以
因为x1≠0，由①得λ＝.③
将③代入②，得y2＝y1，即x1y2－x2y1＝0.
(2)反之，如果x1y2－x2y1＝0，因为x1≠0，所以y2＝y1.
(x2，y2)＝(x2，y1)＝(x1，y1)．令λ＝，则b＝λa，所以a∥b.
例1已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，当实数k为何值时，向量ka－b与a＋3b平行？并确定此时它们是同向还是反向．
解：ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋3b＝(1,0)＋3(2,1)＝(7,3)．
由向量平行的条件，可得3·(k－2)－(－1)·7＝0，所以k＝－.
此时，ka－b＝(－，－1)＝－(7,3)＝－(a＋3b)．
因此，它们是反向的.
变式训练　已知a＝(4,2)，b＝(6，y)，且a∥b，求y.解：∵a∥b，∴4y－2×6＝0.∴y＝3.
例2已知点O，A，B，C的坐标分别为(0,0)，(3,4)，(－1,2)，(1,1)，是否存在常数t，使得＋t＝成立？解释你所得结论的几何意义．
解：设存在常数t，使得＋t＝，则(3,4)＋t(－1,2)＝(1,1)，所以t(－1,2)＝(1,1)－(3,4)＝(－2，－3)．所以
此方程组无解，故不存在这样的常数t.
上述结论表明向量与不平行.
变式训练　已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(2,5)，试判断A、B、C三点之间的位置关系．活动：教师引导学生利用向量的共线来判断．首先要探究三个点组合成两个向量，然后根据两个向量共线的条件来判断这两个向量是否共线，从而来判断这三点是否共线．教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系．让学生通过观察图形领悟先猜后证的思维方式．解：在平面直角坐标系中作出A、B、C三点，观察图形，我们猜想A、B、C三点共线．下面给出证明．∵＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3,6)，又2×6－3×4＝0，∴∥，且直线AB、直线AC有公共点A，∴A、B、C三点共线．点评：本题的解答给出了判断三点共线的一种常用方法，其实质是从同一点出发的两个向量共线，则这两个向量的三个顶点共线．这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的.
课本本节练习1、2、3.
代数化研究向量平行问题是本节课的重点内容，向量的平行可以公式化地解决，这就是数学化思考问题的方法，我们通过本节课，不光要记住平行向量的坐标表示的方法，还要理解数学化处理问题的思想．
本节课的主要内容是让学生探究向量平行的坐标表示及应用，实际上向量的应用主要是解决平面几何问题和物理问题的．在平面几何中平行问题占着重要的地位．本章开始时已初步研究了向量的平行问题，但所用方法仍是向量的几何法．本节是通过坐标的方法来探究向量的平行问题，由于上节学生刚刚探究了向量的坐标表示及坐标运算，所以本节的教学活动完全可以放给学生自己探究完成，本教案的设计就是在教师的指导下，学生探究、应用．由于本节难度小，学生会轻松愉快地掌握好本节内容．
备用习题
1．若a＝2i＋3j，b＝4i＋yj，且a∥b，则y等于(　　)
A．2
B．4
C．6
D．8
2．已知A(1，－3)，B(8，)，若A、B、C三点共线，则C点坐标可能是(　　)
A．(－9,1)
B．(9，－1)
C．(9,1)
D．(－9，－1)
3．向量a＝(n,1)与b＝(4，n)共线且方向相同，则n＝________.
4．已知O点是ABCD的对角线的交点，＝(2,5)，＝(－2,3)，则坐标为________，坐标为________，坐标为________．
5．△ABC中，A(2，－1)，B(－3,2)，C(0，－4)，D、E、F是BC、AB、AC的中点，若EF与AD交于M点，求.
6．已知四点A(5,
1),
B(3,
4)，C(1,
3)，D(5,
－3)，求证：四边形ABCD是梯形．
7．若a＝(－1，x)与b＝(－x,
2)共线且方向相同，求x.
参考答案：
1．C　2.C
3．2　n2－4＝0，∴n＝±2.又a与b方向相同，∴n＝2.
4．(2，－3)　(－2，－1)　(0，－4)
5．解：由EF为中位线，得EF平分AD，
∴＝＝(＋)＝＋＝(－3,6)＋(5，－3)＝(，0)．
6．解：∵＝(－2,
3)，＝(－4,
6)，∴2＝.
∴∥且||≠||.
∴四边形ABCD是梯形．
7．解：∵a＝(－1，x)与b＝(－x,
2)共线，
∴(－1)×2－x·(－x)＝0.
∴x＝±.∵a与b方向相同，∴x＝.2.3
向量的坐标表示
课堂导学
三点剖析
1.平面向量基本定理的理解与应用
【例1】已知A（1，-2）、B（2，1）、C（3，2）和D（-2，3），以、为一组基底来表示++.
思路分析：本题主要考查向量的坐标表示、向量的坐标运算、平面向量基本定理以及待定系数法等知识.求解时首先由点A、B、C、D的坐标求得向量、、、、等的坐标，然后根据平面向量基本定理得到等式++=m·+n·，再列出关于m、n的方程组，进而解方程求出所表示的系数.
解：=（1，3），=（2，4），=（-3，5），
=（-4，2），=（-5，1），
∴++=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8).
根据平面向量基本定理，一定存在实数m、n使得
++=m·+n·，
∴（-12，8）=m(1,3)+n(2,4).
也就是（-12，8）=（m+2n,3m+4n）.
可得
解得
∴++=32·-22·.
温馨提示
用一组基底e1、e2表示平面内的任何一个向量a，应首先根据平面向量基本定理写成：a=λ1e1+λ2e2,然后代入各向量的坐标，转化成方程组，解得待定系数λ1、λ2，这就是常用的待定系数法.
2．向量的直角坐标运算法则与对向量平行的应用
【例2】
平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
（1）若（a+kc）∥(2b-a).求实数k的值.
（2）设d=(x,y)满足（d-c）∥(a+b)且|d-c|=1.求d.
思路分析：（1）将a、b、c的坐标代入a+kc
和2b-a并分别求出其坐标，利用两向量共线的条件即可求得k值.（2）利用d-c与a+b共线与|d-c|=1列出两个关于x、y的方程，解方程即可.
解：（1）∵（a+kc）∥(2b-a),又a+kc=(3,2)+k(4,1)=(3,2)+(4k,k)=(3+4k,2+k),2b-a=2(-1,2)-(3,2)=
(-2,4)-(3,2)
=(-5,2).∴2×(3+4k)-(-5)(2+k)=0.
∴k=.
（2）∵d-c=(x,y)-(4,1)=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,
∴
解之得或
∴d=(,)或（,）.
温馨提示
向量的加减及实数与向量的积，两向量共线的等价条件、向量的模都可用于列方程求未知数的值.
【例3】平面内已知三个点A（1，-2），B（7，0），C（-5，6）.求，，+，+.
思路分析：本题主要涉及向量的坐标运算，代入相应的公式运算即可得.
解：∵A(1,-2),B(7,0),C(-5,6),∴=(7-1,0+2)=(6,2),
=(-5-1,6+2)=(-6,8),
+=(6-6,2+8)=(0,10),
+=(6,2)+(-6,8)=(6,2)+(-3,4)=(3,6)
温馨提示
对于向量的起点、终点及向量所对应的三组坐标中，可知二求一.对于向量的坐标运算，均需正确掌握其运算法则.
3.向量坐标形式的综合应用
【例4】
已知A（-1，2），B（3，4）连结A、B并延长至P，使|AP|=3|BP|，求P点求标.
思路分析：本题主要涉及定比分点坐标公式.首先确定用哪一个点作分点、起点和终点，正确确定定比λ的值，代入公式即可求得P点坐标.
解：选定P为分点，A为起点，B为终点，则P分所成的两个向量为和，由图可知，与方向相反，∴λ=.
由定比分点公式，设P点坐标为（x,y）.则
所以P点坐标为（5，5）.
温馨提示
一般地，A、B、P三点中选哪一个点作起点、分点或终点都可以，但一经确定两点.第三点也随之确定.虽然对各种情况的定比不同，但计算结果都一样，可根据题目条件恰当选择起点、分点和终点，确定相应的定比λ的值，优化解题过程.而此类题目最大的弊病是分不清起点与终点，致使公式用错.
各个击破
类题演练1
如图，在ABCD中，AH=HD，BF=MC=BC，且=a，=b，沿向量，分解向量，，，.
解：“沿向量，分解向量”，就是用向量，表示该向量.
=-=b-b=b,
=+=a+b,
=-=b-(a+b)=-a-b,
=+=a+b,
==a+b,
=HD-=b-(a+b)=-a+b.
∴=a+b,=-a-b,=a+b,=-a+b.
变式提升1
已知向量a=(3,-2),b=(-2,1),c=(5,-3)，试用a和b来表示c.
思路分析：设c=ma+nb,然后利用待定系数法求出m、n的值.
解：设c=ma+nb,
即（5，-3）=m(3,-2)+n(-2,1)=(3m-2n,-2m+n),
于是有解得
所以c=a-b.
类题演练2
已知点A、B的坐标分别为（2，-2），（4，3），向量p的坐标为（2k-1,7），且p∥，则k的值为多少？
解：=（2，5），p=(2k-1,7).
共线的条件为x1y2-x2y1=0,
2×7-(2k-1)×5=0,解得k=.
变式提升2
(1)已知：A（-2，-3），B（2，1），C（1，4），D（-7，-4），判断与是否共线？
解：=（2，1）-（-2，-3）=（4，4）,=（-7，-4）-（1，4）=（-8，-8）,
∵4×(-8)-4×(-8)=0,
∴∥,
即与共线，或=-2，∥，∴与共线.
(2)若向量a=(2,-1),b=(x,2),c=(-3,y),且a∥b∥c,求x,y的值.
解法1：∵a∥b∥c,∴b=λ1a,c=λ2a.
则有
解得
解法2：∵a∥b，∴4+x=0.∴x=-4.
又∵a∥c,∴2y-3=0y=.
类题演练3
已知A（1，-2），B（2，1），C（3，2）和D（-2，3），以、为一组基底来表示++.
解：=（1，3），=（2，4），（-3，5），=（-4，2），=（-5，1），
∴++=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8).
根据平面向量基本定理，一定存在实数m、n，使得
++=m·+n·，
∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4),
也就是（-12，8）=(m+2n,3m+4n),
可得解得
∴++=32-22.
变式提升3
若点O（0，0）、A（1，2）、B（-1，3），且=2,=3,则点A′的坐标为____________，点B′的坐标为____________，向量的坐标为____________.
解：∵O(0,0)，A（1，2），B（-1，3），
∴=（1，2），=（-1，3），=2×(1,2)=(2,4),
′=3×(-1,3)=(-3,9).
∴A′(2,4),B′(-3,9),
=(-3-2,9-4)=(-5,5).
答案：（2，4）
（-3，9）
（-5，5）
类题演练4
已知A（-2，1），B（1，3），求线段AB中点M和三等分点P、Q的坐标.
解析：因为=-
=（1，3）-（-2，1）=（3，2）
所以=(+)
=［(-2,1)+(1,3)］=(-,2).
=+
=(-2,1)+(3,2)=(-1,).
=+
=(-2,1)+(3,2)=(0,).
因此M（-,2）,P(-1,),Q(0,).
变式提升4
在△ABC中，已知A（4，1）、B（7，5）、C（-4，7），则BC边的中线AD的长是（
）
A.
B.
C.
D.
解：∵B(7,5),C(-4,7),∴BC中点D的坐标为（,）,即D（,6）.
∵A(4,1),∴=(,6)-(4,1)=(-,5)
∴||=.
即BC边中线长为，应选B.
答案：B(共29张PPT)
2．4　向量的数量积(二)
第2章
平面向量
学习导航
第2章
平面向量
学习目标
1.了解平面向量数量积的坐标表示．
2．理解平面向量数量积的坐标运算．(重点)
3．掌握利用平面向量的数量积求向量的夹角、平
行、垂直等问题．(重点、难点)
学法指导
平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时,平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁,成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具.
1.向量数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝______________，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的____________．
2.求向量模的公式
设a＝(x，y)，则|a|2＝a2＝a·a＝x2＋y2或|a|＝____________．
x1x2＋y1y2
乘积的和
x1x2＋y1y2＝0
1．已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)，则a·(a－b)＝______.
解析：法一：a－b＝(－1，2)－(3，2)＝(－4，0)，
所以a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝[(－1)2＋22]－(－1，2)·(3，2)＝5－[(－1)×3＋2×2]＝5－1＝4.
4
2．与非零向量a＝(x，y)同向的单位向量的坐标为
________________________．
3．已知a＝(－5，5)，b＝(0，－3)，则a与b的夹角为
________．
4．已知向量a＝(2，4)，b＝(1，1)，若向量b⊥(a＋λb)，则实数λ的值是__________．
解析：b·(a＋λb)＝b·a＋λb·b＝2×1＋4×1＋2λ＝0 λ＝－3.
－3
平面向量数量积的坐标运算
已知向量a＝(1，3)，b＝(2，5)，c＝(2，1)．求：
(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a－b)；
(3)(a·b)·c，a·(b·c)．
(链接教材P87例2)
[解]　(1)a·b＝(1，3)·(2，5)＝1×2＋3×5＝17.
(2)∵a＋b＝(1，3)＋(2，5)＝(3，8)，
2a－b＝2(1，3)－(2，5)＝(2，6)－(2，5)＝(0，1)，
∴(a＋b)·(2a－b)＝(3，8)·(0，1)＝3×0＋8×1＝8.
(3)(a·b)·c＝17·c＝17(2，1)＝(34，17)，
a·(b·c)＝a((2，5)·(2，1))＝(1，3)·(2×2＋5×1)
＝9(1，3)＝(9，27)．
方法归纳
以坐标形式计算数量积，要找准数量积中各向量的
坐标，
可一步一步计算每个过程以保证结果正确．
1.例1的条件不变，求(1)2a·(b－a)；(2)(a＋2b)·c.
解：(1)2a＝2(1，3)＝(2，6),b－a＝(2，5)－(1，3)＝(1，2),
∴2a·(b－a)＝(2，6)·(1，2)＝2×1＋6×2＝14.
(2)a＋2b＝(1，3)＋2(2，5)＝(1，3)＋(4，10)＝(5，13)，
∴(a＋2b)·c＝(5，13)·(2，1)＝5×2＋13×1＝23.
向量的模与夹角问题
已知向量a＝(1，0)，b＝(1，1)，则
(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为_______________;
(2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为______________．
(链接教材P87例3，P88T9)
方法归纳
熟练掌握平面向量的夹角公式，两向量的数量积定义及其
运算性质是解此类题目的关键，在求解过程中只要明确所求
解的量，并逐步求解所求的量即可顺利解题．
向量垂直的坐标表示
方法归纳
充分利用向量垂直的条件，将问题转化为实数方程组的求解问题．
易错警示
忽略共线情况而致误
设a＝(2，x)，b＝(－4，5)，若a与b夹角为钝角，求x的取值范围．
4．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)．若a与b的夹角α为钝角,求λ的取值范围．
规范解答
向量与三角函数的综合应用第二章
平面向量
本章复习
知识网络　　　　　
教学分析　　　　　
向量的重要性可与函数相比，函数思想是整个中学数学的最重要的思想之一，它贯穿于整个中学的每一个学习阶段；而向量可作为一种重要的解题方法，渗透于高中数学的许多章节，它与函数、三角、复数、立体几何、解析几何等知识的联系是显而易见的．因此复习时，要特别重视向量概念、向量运算，并善于与物理中、生活中的模型进行模拟和联想，利用直观的教学手段和方法，帮助学生正确理解、掌握向量的有关概念、运算及几何意义．变抽象为形象，变被动接受为主动运用向量的知识分析问题、解决问题，从而提高本章复习的教学质量．
数与形的紧密结合是本章的显著特点，向量与几何之间存在着对应关系；向量又有加减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能沟通几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法——向量法．向量方法宜于把几何从思辩数学化成算法数学，将技巧性解题化成算法解题，因此是一种通法．在教学中引导学生搞清向量是怎样用有向线段表示的，掌握向量运算法则的基本依据，搞清向量运算和实数运算的联系和区别，认识向量平移是平面向量坐标运算的基础．
将一个实际问题转化为向量之间的关系问题，用向量建立一个数学模型是一个难点问题．在复习课教学中应注意多举例，引导学生思考并及时总结，逐步培养学生用向量工具解题的思维方向．
学习本章应注意类比，如向量的运算法则及运算律可与实数相应的运算法则及运算律进行横向类比．而一维情形下向量的共线条件，到二维情形下的平面向量基本定理，进而今后推广到三维情形下的空间向量基本定理，又可进行纵向类比．
向量是数形结合的载体，在本章学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，数形结合地解决数学和物理的有关问题．同时，向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段．
充分发挥多媒体的作用，向量是建立在平面上的，平移是向量的常见现象，而给学生直观、动态的演示能使学生理解、掌握问题．在复习完本章内容后，还要引导学生反思，重新概括研究思路，这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法，提升学生的数学思维水平．
三维目标　　　　　
1．通过展示本章知识网络结构，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，加深理解向量概念，平面向量的基本定理，两向量平行与垂直的条件，平面向量的坐标表示及其坐标运算，向量的数量积及其性质，向量的实际应用等知识．提高分析问题、解决问题的能力．
2．通过本节对向量有关内容的复习，使学生进一步认识事物之间的相互转化．培养学生的数学应用意识．深刻领悟数形结合思想，转化与化归思想．
3．通过一题多解的活动，培养学生的发散性思维能力，同时通过多种方法间的沟通，让学生体验数学的统一美、内在美，逐渐学会用美的心态来看待数学．
重点难点　　　　　
教学重点：向量的运算，向量平行、垂直的条件，平面向量的坐标表示及其运算、数量积的理解运用．
教学难点：向量的概念、运算法则的理解和利用向量解决物理问题和几何问题．对于本章内容的学习，要注意体会数形结合的数学思想方法的应用．
课时安排　　　　　
2课时
第1课时
导入新课　　　　　
思路1.(直接导入)前面一段，我们一起探究学习了向量的有关知识，并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力．这一节，我们一起对本章进行小结与复习，进一步巩固本章所学的知识，强化向量的综合应用．
思路2.(问题导入)由于向量具有几何形式和代数形式的双重身份，与代数、几何都有着密切的关系，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点．在中学数学教材中的地位也越来越重要，也成为近几年全国及各省高考命题的重点和热点，根据你所学的本章知识解释一下，它是怎样具有代数、几何双重身份的？向量是怎样进行代数运算的？又是怎样进行几何运算的？你对向量的哪种运算掌握得最好？由此展开全章的复习．
推进新课　　　　　
向量的概念、运算及其综合应用．
活动：本章概念较多，学生可能不知如何进行复习，从头到尾重新翻看教材，学生兴趣不大，效果也不好．教师要点拨学生不仅要善于学习知识，而且还要善于归纳整理所学的知识．首先教师引导学生回忆从前所学，指导学生归类比较．比较是最好的学习方法，如向量的表示法有：几何表示法为，a(手写时为)，坐标表示法为a＝xi＋yj＝(x，y)．有哪些特殊的向量：a＝0
|a|＝0.向量a0为单位向量|a0|＝1.相等的向量：大小相等，方向相同．a＝b
(x1，y1)＝(x2，y2)
等等．
指导学生从代数运算和几何运算两方面展开思考归纳，引导学生把向量的运算类比数的运算．向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量积及其各运算的坐标表示和性质较杂乱，教师可以利用多媒体课件或投影仪打出下表让学生填写相关内容：
运算类型
几何方法
坐标方法
运算性质
向量的加法
1.平行四边形法则(共起点构造平行四边形)2．三角(多边)形法则(向量首尾相连)
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
a＋b＝b＋a(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)＋＝
向量的减法
三角形法则(共起点指向被减)
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
a－b＝a＋(－b)＝－－＝
数乘向量
1.λa是一个向量，满足|λa|＝|λ||a|.2．λ>0时，λa与a同向；λ<0时，λa与a异向；λ＝0时，λa＝0
λa＝(λx，λy)
λ(μa)＝(λμ)a(λ＋μ)a＝λa＋μaλ(a＋b)＝λa＋λba∥b
a＝λb(b≠0)
向量的数量积
a·b是一个实数1．a＝0或b＝0或a⊥b时，a·b＝02．a≠0且b≠0时，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉
a·b＝x1x2＋y1y2
a·b＝b·a(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)(a＋b)·c＝a·c＋b·ca2＝|a2|，|a|＝|a·b|≤|a||b|
本章的重要定理及公式：
(1)平面向量基本定理：e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)两个向量平行的条件：a∥b(b≠0)
存在惟一的实数λ使得a＝λb；
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b
x1y2－x2y1＝0(b可以为0)．
(3)两个向量垂直的条件
当a、b≠0时，a⊥b
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0.
讨论结果：①～③略．
例1已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，
(1)ka＋b与a－3b垂直？
(2)ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
活动：向量的垂直、平行关系是向量间最基本、最重要的位置关系，是高考考查的重要内容之一．在解决本题时，教师首先引导学生思考回顾，如何用数量积及有关的定理解决有关长度，角度，垂直的问题；共线的向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础，那么怎样应用向量共线这个条件呢？让学生通过例题仔细体会，进一步熟练、提高．
解：(1)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
当(ka＋b)·(a－3b)＝0时，这两个向量垂直．
由(k－3)×10＋(2k＋2)×(－4)＝0，解得k＝19，
即当k＝19时，ka＋b与a－3b垂直．
(2)当ka＋b与a－3b平行时，存在惟一实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b)．
由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，得
这是一个以k、λ为未知数的二元一次方程组．
解这个方程组得k＝－，λ＝－，即当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－a＋b.
因为λ＝－<0，所以－a＋b与a－3b反向．
点评：向量共线的条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，在运用中各有特点，解题时可灵活选择．在本例中，也可以根据向量平行条件的坐标形式，从(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，先解出k＝－，然后再求λ.
变式训练1．已知向量a、b是两非零向量，在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是(　　)①2a－3b＝4e且a＋2b＝－3e②存在相异实数λ、μ，使λa＋μb＝0③xa＋yb＝0(其中实数x、y满足x＋y＝0)④已知梯形ABCD中，＝a、＝bA．①②　　　　　B．①③　　　　　C．②　　　　　D．③④解析：A、B均含有①，而C、D均含有④，所以可先判定①或④.若①能使a、b共线，则只有从A、B中进一步作出选择，若①不能使a、b共线，则应从C、D中进一步作出选择．首先判定①能否使a、b共线．由向量方程组可求得a＝－e，b＝－e.∴b＝10a.∴a、b共线，因此可排除C、D.而由②可得λ、μ是相异实数，所以λ、μ不同时为0，不妨设μ≠0，∴b＝－a，故a、b共线，∴排除B，选择A.答案：A2．设坐标平面上有三点A、B、C，i、j分别是坐标平面上x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量＝i－2j，＝i＋mj，那么是否存在实数m，使A、B、C三点共线？解：方法一：假设满足条件的m存在，由A、B、C三点共线，即∥，∴存在实数λ，使＝λ，i－2j＝λ(i＋mj)，∴m＝－2，即当m＝－2时，A、B、C三点共线．方法二：假设满足条件的m存在，根据题意可知：i＝(1,0)，j＝(0,1)，∴＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)．由A、B、C三点共线，即∥，故1×m－1×(－2)＝0，解得m＝－2.∴当m＝－2时，A、B、C三点共线.
例2如图1，已知在△ABC中，＝a，＝b，＝c.若a·b＝b·c＝c·a.求证：△ABC为正三角形．
图1
活动：引导学生回顾，向量具有二重性，一方面具有“形”的特点，因此有了几何运算；另一方面又具有一套优良的代数运算性质，因此又有了代数运算．对于这两种运算，前者难度大，灵活多变，对学生来说是个难点，后者学生感到熟悉，易于掌握，但应让学生明了，这两种方法都要掌握好，近几年高考题的解答都是以两种解法给出．本题给出的是三角形，对于某些几何命题的抽象的证明，自然可以转化为向量的几何运算问题来解决，请同学们在探究中要注意仔细体会，领悟其实质．教学中，教师要放手大胆地让学生自己去探究，鼓励学生从不同的角度去观察、去发现．真正做到一题多用，一题多变，串联知识、串联方法，使学生在探究过程中掌握了知识，提高了思维能力和复习效率．
证法一：由题意得a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)．
又∵b·c＝c·a，∴c·(a－b)＝0.
∴－a2＋b2＝0.∴|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|.
同理可得|c|＝|b|，∴|a|＝|b|＝|c|.
∴△ABC为正三角形．
证法二：由题意得a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，b＝－a－c.
∴a2＝b2＋c2＋2b·c，b2＝a2＋c2＋2a·c.
而b·c＝c·a(已知)，∴a2－b2＝b2－a2.
∴a2＝b2.∴|a|2＝|b|2.∴|a|＝|b|.
同理可得|c|＝|b|，∴|a|＝|b|＝|c|.
∴△ABC为正三角形．
证法三：如图2，以AB、BC为邻边作平行四边形ABCD，则＝a，＝－，
图2
∴＝a－c.
又∵a·b＝b·c，∴b·(a－c)＝0.
∴b·＝0.∴b⊥.
∴平行四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC.同理可得BC＝AC，
∴△ABC为正三角形．
证法四：取的中点E，连结AE，则
＝(＋)＝(c－b)，
∴·a＝(c－b)·a＝0.∴⊥a.∴AB＝AC.
同理可得BC＝AC，∴△ABC为正三角形．
点评：本题给出了四种证法，教师要善于引导学生进行一题多解，这是一种很有效的办法．数学教学中，一题多解训练是培养学生思维灵活的一种良好手段．通过一题多解的训练能沟通知识之间的内在联系，提高学生应用所学的基础知识与基本技能解决实际问题的能力，逐步学会举一反三的本领，在教材安排的例题中，有相当一部分题目存在一题多解的情况．教师要引导学生善于挖掘.
变式训练1．若·＋2＝0，则△ABC是(　　)A．直角三角形
B．锐角三角形C．钝角三角形
D．等腰直角三角形答案：A2．在四边形ABCD中，·＝·＝·＝·，试证明四边形ABCD是矩形．证明：设＝a，＝b，＝c，＝d，∵a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)．两边平方，得|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2＋2c·d＋|d|2，又a·b＝c·d，∴|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2.①同理|a|2＋|d|2＝|b|2＋|c|2.②由①②得|a|2＝|c|2，|d|2＝|b|2，∴|a|＝|c|，|d|＝|b|，即AB＝CD，BC＝DA.∴四边形ABCD是平行四边形．于是＝－，即a＝－c.又a·b＝b·c，故a·b＝b·(－a)，∴a·b＝0.∴⊥.∴四边形ABCD为矩形．点评：要证明四边形ABCD是矩形，可以先证四边形ABCD为平行四边形，再证明其一组邻边互相垂直．为此我们可以从四边形边的长度和位置两方面的关系来进行思考.
例3已知a＝(，－1)，b＝(，)，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb且x⊥y.试求的最小值．
活动：本例是一道平面向量综合应用的经典例题，具有一定的综合性，但难度不大，可以先让学生自己探究，独立地去完成．对找不到思路的学生，教师要引导学生注意挖掘题目中的隐含条件，然后根据垂直的条件列出方程，得出k与t之间的关系，再利用二次函数的知识来求最值．根据垂直的条件和坐标运算列方程是解决本例的关键．
解：由已知，得|a|＝＝2，|b|＝＝1.
∵a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b.
∵x⊥y，∴x·y＝0，
即[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝0.
化简，得k＝，∴＝(t2＋4t－3)＝(t＋2)2－，
即t＝－2时，有最小值－.
点评：本题主要训练学生综合运用所学向量知识解决问题的能力，训练学生利用转化的思想以及建立函数模型的建模能力.
变式训练
1.如图3，M是△ABC内一点，且满足条件＋2＋3＝0，延长CM交AB于N，令＝a，试用a表示.
图3
解：∵＝＋，＝＋，
∴由＋2＋3＝0，得
(＋)＋2(＋)＋3＝0.
∴＋3＋2＋3＝0.
又∵A、N、B三点共线，C、M、N三点共线，
由平行向量基本定理，设＝λ，＝μ，
∴λ＋3＋2＋3μ＝0.
∴(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0.
由于和不共线，∴∴
∴＝－＝.∴＝＋＝2＝2a.
2．将函数y＝2x2进行平移，使得到的图形与抛物线y＝－2x2＋4x＋2的两个交点关于原点对称，求平移后的函数解析式．
解法一：设平移向量a＝(h，k)，则将y＝2x2按a平移之后得到的图象的解析式为y＝2(x－h)2＋k.
设M(m，n)和M′(－m，－n)是y＝－2x2＋4x＋2与y＝2(x－h)2＋k的两个交点，则解得或
　∴点(1,4)和点(－1，－4)在函数y＝2(x－h)2＋k的图象上．
∴
故所求解析式为y＝2(x＋1)2－4，即y＝2x2＋4x－2.
解法二：将y＝2x2按向量a＝(h，k)平移，设P(x，y)为y＝2x2上任一点，按a平移之后的对应点为P′(x′，y′)，
则故
∴y－k＝2(x－h)2是平移之后的函数图象解析式．
由消去y，得4x2－4(h＋1)x＋2h2＋k－2＝0.
又∵两交点关于原点对称，
∴x1＋x2＝0，即＝0，h＝－1.
又y1＋y2＝0，∴2x－4hx1＋2h2＋k＋2x－4hx2＋2h2＋k＝0.
∴2(x＋x)＋4(x1＋x2)＝－4－2k.
∴2(x1＋x2)2＋4(x1＋x2)－4x1x2＝－4－2k.
∵x1x2＝，x1＋x2＝0，
∴－4×＝－4－2k.
∴k＝－4.∴y＝2(x＋1)2－4，即y＝2x2＋4x－2.
课本复习题1～6.
1．先由学生回顾本节都复习了哪些向量知识，用了哪些方法，在原来的基础上你有哪些提高．对本章的知识网络结构了然于胸了吗？
2．教师点拨，通过本节复习，要求大家在了解向量知识网络结构的基础上，进一步熟悉基本概念及运算律，并能熟练运用重要定理、公式解决一些综合问题，加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．
1．课本复习题7、8、9、10.
2．每人搜集一道向量应用的题目或向量创新题．
1．本节复习课的设计容量较大，要求应用多媒体课件．教师在引导学生探究的过程中，始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点．让学生在了解向量知识网络结构的基础上，进一步熟悉基本概念及运算律，并能熟练重要定理、公式的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力．
2．本设计教案中一题多解应用较多．因为在数学知识的学习中，作为扮演教学活动的组织者、引导者和合作者角色的教师，在组织学生学习各数学知识点的同时，如果能善于引导学生沟通各知识点之间的联系，不仅能达到激发学生的发散性思维和多角度的解题思路的目的，而且更重要的是通过注重多种方法间的联系与沟通，学生能深切感受到各种解题方法之间是有联系的，是相通的，而不是孤立的、割裂的，从而体会数学的统一美和简洁美，进一步增强对数学学习的兴趣，这样的美在一题多解中是随处可见的．
一、备用习题
1．下列四个等式中正确的是(　　)
A.＋＝0
B.＝－
C．a·b－b·a＝0
D．(＋)＋＋＋＝
2．若直线y＝2x按向量a平移得到直线y＝2x＋6，那么a(　　)
A．只能是(－3,0)
B．只能是(0,6)
C．只能是(－3,0)或(0,6)
D．有无数个
3．已知向量a＝(3,4)，b＝(－3,1)，a与b的夹角为θ，则tanθ等于(　　)
A.
B．－
C．－3
D．3
4．已知三个点M(－1,0)，N(5,6)，P(3,4)在一条直线上，P分的比为λ，则λ的值为(　　)
A.
B.
C．2
D．3
5．以A(2,7)，B(－4,2)，C(－1，－3)为顶点的三角形，其内角为钝角的是(　　)
A．∠A
B．∠B
C．∠C
D．不存在
6．平面上有三个点C(2,2)、M(1,3)、N(7，k)，若∠MCN＝90°，那么k的值为…(　　)
A．6
B．7
C．8
D．9
7．有下列五个命题：
①若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；
②若a≠0，且a·b＝b·c，则a＝c；
③若a2＝b2，则a＝b或a＝－b；
④(a·b)c＝a(b·c)；
⑤若|a·b|＝|a||b|，则a∥b.
其中正确命题的序号是________．(请把你认为正确的命题的序号全部填上)
8．已知P(1，cosx)，Q(cosx,1)，x∈[－，]．
(1)若用f(x)表示向量与的夹角θ的余弦，求f(x)；
(2)若t＝cosx，将f(x)表示成t的函数φ(t)，并求φ(t)的定义域．
参考答案：
1．D　2.D　3.C　4.C　5.B　6.B　7.⑤
8．解：(1)∵＝(1，cosx)，＝(cosx,1)，与的夹角为θ，
∴f(x)＝cosθ＝＝＝.
(2)∵t＝cosx，∴φ(t)＝f(x)＝.
∵x∈[－，]，观察余弦曲线y＝cosx在[－，]上的图象可知，t＝cosx∈[－，1]，
∴函数φ(t)的定义域为[－，1]．
二、关于一题多解
培养学生思维的灵活性是数学教学工作者的一个重要教学环节，它主要表现在使学生能根据事物的变化，运用已有的经验灵活地进行思维，及时地改变原定的方案，不局限于过时或不妥的假设之中．因为客观世界时时处处在发展变化，所以它要求学生用变化、发展的眼光去认识、解决问题．数学教学中，一题多解的训练，是培养学生思维灵活的一种良好手段，通过一题多解的训练能沟通知识之间的内在联系，提高学生应用所学的基础知识与基本技能解决实际问题的能力，逐步学会举一反三的本领，在本节安排的例题中，多数采用了一题多解模式．
通过一题多解的教学，不仅能使学生掌握新知识，还能起到复习巩固旧知识的作用，使学生对所学的方法有了更进一步的明确，同时能活跃课堂气氛，使学生对数学学习产生浓厚的兴趣，也培养了学生的一种钻研精神，使学生在思考问题上具有灵活性、多变性，避免了学生在公式、定理的应用中钻死胡同的现象．所以教师在教学过程中，要重视一题多解的教学，特别是在备课中要根据教学内容、学生情况适当地进行教材处理和钻研，要对知识进行横向和纵向联系，这样课堂效果才能做到丰富多彩．
一题多解也是灵活应用所学知识、培养发散思维的有效途径和方法．充分运用学过的知识，从不同的角度思考问题，采用多种方法解决问题，这有利于学生加深理解各部分知识间的纵、横方向的内在联系，掌握各部分知识之间的相互转化，所以教师在教学过程中要多挖掘一些行之有效的一题多解的例题和习题，使学生的思维应变能力能得到充分的锻炼和提高．使未来多出现具有高思维层次的国际型人才．
第2课时
导入新课　　　　　
思路1.(直接导入)请同学们回忆上一节复习的内容，教师点出，上一节我们一起复习了本章向量的基本概念、运算性质及重要定理、公式，这一节我们将通过例题分析，继续探讨向量的有关应用，重点是复习向量的一些独特方法和应用．
思路2.(投影导入)投影展示上节布置的、同学们搜集到的一道向量应用题或创新题，教师选出最有代表性的、最典型的题目引导学生进行探讨，由此展开新课．
推进新课　　　　　
向量的坐标运算及其综合应用．
通过幻灯出示题目让学生思考讨论：设向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
解：由题意得e1·e2＝|e1||e2|cos60°＝1，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7.
∵向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，
∴2t2＋15t＋7<0，即－7活动：引导学生回忆向量的数量积概念，点拨学生结合钝角考虑：向量的数量积是一个数．当两个向量的夹角是锐角时，它们的数量积大于0；当两个向量的夹角是钝角时，它们的数量积小于0；当两个向量的夹角是90°时，它们的数量积等于0.零向量与任何向量的数量积等于0.向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、判断相应的两条直线是否垂直．
教师引导学生探究讨论：对于两个非零向量a、b，若a与b的夹角θ为钝角，则a·b<0，反之，却不一定成立．因为当a·b＝|a||b|cosθ<0时，a与b的夹角也可能为π，因此，a与b的夹角为钝角a·b<0且a≠λb(λ<0)，所以，正确的解答应在上述t的范围中去掉夹角为π的情形，即设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ<0)，所以其中λ<0，解得t＝－.故所求实数t的取值范围为(－7，－)∪(－，－)．
比较是最好的老师，反例更能澄清概念的本质，使我们深刻理解概念的内涵和外延，教师应引导学生多做这方面的探讨．如由a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，尽管由ab＝0
a＝0或b＝0.又如|a·b|≤|a||b|，尽管|ab|＝|a||b|.再如(a·b)c≠a(b·c)，尽管(ab)c＝a(bc)．因此，学习向量的数量积应与代数中实数间的乘积严加区分，切勿混淆．
1已知向量a是以点A(3，－1)为起点，且与向量b＝(－3,4)垂直的单位向量，求a的终点坐标．
活动：关于向量的坐标与表示此有向线段的点的坐标，概念虽小学生却极易混淆．教师引导学生回忆思考：一个向量的坐标与表示此向量的有向线段的点的坐标是什么关系？对此题来说，若要利用两向量垂直的条件，则需设a的终点坐标，然后表示a的坐标，再根据两向量垂直的条件建立方程．
解：设a的终点坐标为(m，n)，则a＝(m－3，n＋1)，
由题意，
由①得n＝(3m－13)，代入②得25m2－150m＋209＝0.
解得或∴a的终点坐标是(，－)或(，－)．
点评：通过训练要使学生明了，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者不能混淆．向量的概念较多，且容易混淆，在复习中教师要引导学生理清主线，分清、理解各概念的本质属性.
变式训练
1．已知点A(－3，－4)、B(5，－12)，
(1)若＝＋，＝－，求及的坐标；
(2)求·.
解：(1)＝(2，－16)，＝(－8,8)．
(2)·＝33.
2.如图4所示，＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)．
图4
(1)若∥，求x与y间的关系式；
(2)若又有⊥，求x、y的值及四边形ABCD的面积.
解：(1)∵＝＋＋＝(x＋4，y－2)，＝－＝(－x－4，2－y)，
又∥且＝(x，y)，∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0.①
(2)由于＝＋＝(x＋6，y＋1)，
＝＋＝(x－2，y－3)，
又⊥，∴·＝0，即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.②
联立①②化简，得y2－2y－3＝0，∴y＝3或y＝－1.
故当y＝3时，x＝－6，此时＝(0,4)，＝(－8,0)，
∴S四边形ABCD＝||||＝16；
当y＝－1时，x＝2，此时＝(8,0)，＝(0，－4)，
∴S四边形ABCD＝||||＝16.
点评：引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体.
例2设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且a、b满足|ka＋b|＝|a－kb|(k为正实数)．
(1)求证：(a＋b)⊥(a－b)；
(2)把a与b的数量积表示为关于k的函数f(k)，求f(k)；
(3)求函数f(k)的最小值及取得最小值时a与b的夹角．
活动：本题是一道向量应用的经典例题，难度不大但综合性较强，体现平面向量与函数、三角函数的交汇，是近几年高考的热点问题．解决这类问题必须熟知平面向量的概念、运算性质、定理、公式等基础知识．教师可以充分让学生自己去探究解决．对有困难的学生教师引导其回忆相关的知识，并适时地点拨学生注意条件地转化及解答的规范．
(1)证明：|a|＝＝1，|b|＝＝1，
∵(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．
(2)解：由|ka＋b|＝|a－kb|，得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
化简，得a·b＝，故f(k)＝(k>0)．
(3)解：由y＝(y>0)，得k2－4yk＋1＝0.
∵k>0，方程有解，∴Δ＝16y2－4≥0，解得y≥，即k＝1时，f(k)取最小值为.
这时，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝，又0≤θ≤π，∴a与b的夹角为.
点评：解决本题，我们首先要根据题意画出图形，借助对图形的观察，实现实际问题向数学问题的转化．转化与化归思想是解决数学问题的一种重要的策略和方法．以向量为工具，通过转化，可以为函数中的许多问题提供新颖、简捷的解法，请同学们注意体会．
例3有两根柱子相距20
m，分别位于电车的两侧，在两柱之间连结一条水平的绳子，电车的送电线就悬挂在绳子的中点，如果送电线在这点垂直向下的作用力是17.8
N，则这条成水平的绳子的中点下降0.2
m，求此时绳子所受的张力．
活动：教师应引导学生回忆向量的应用举例的处理方法：向量起源于物理，是从物理学中抽象出来的数学概念．物理学中的许多问题，如位移、速度、加速度等都可以利用向量来解决．用数学知识解决物理问题，首先要把物理问题转化为数学问题，即根据题目的条件建立数学模型，再转化为数学中的向量运算来完成．本题仍可由学生自己去探究，点拨学生先画出受力分析图，认真分析题意，创建数学模型，对感到困难的学生教师给予指导，帮助其复习相关的知识，逐步提高分析问题及解决问题的能力．
解：如图5所示，设重力作用点为C，绳子AC、BC所承受的力分别记、，重力记为.
图5
由C为绳子的中点知||＝||.
由＋＝，知四边形CFGE为菱形．
又∵cos∠FCG＝cos∠DCB＝≈0.02，
∴||＝||＝≈＝445，
即绳子所受的张力为445
N.
点评：本题是向量知识在物理中的应用，培养了学生动手操作绘图能力、分析问题及解决问题的能力．对学生来说这是一个难点，突破这个难点的关键是教师引导学生把物理问题转化为数学问题．
课本复习题11、12、13.
1．先由学生回顾本节都复习了哪些主要内容，用到了哪些数学思想方法．向量在函数、三角函数中的重要作用，两向量的数量积的应用，向量平行与垂直条件在解题中的重要作用，向量的几何运算在解决平面几何问题和物理问题中的重要作用．
2．教师点睛，要注意解题方法的灵活性，尤其是向量的坐标化思路在解题时的应用，将几何与代数知识沟通起来，同时注意向量与其他学科的联系．
如图6，已知AC、BD是梯形ABCD的对角线，E、F分别为BD、AC的中点，求证：EF∥BC.
图6
证明：设＝a，＝b，
∵AD∥BC，∴＝λ＝λb，
则＝－＝b－a.
∵E为BD中点，＝＝(b－a)，F为AC中点，
＝＋＝＋
＝＋(－)
＝(＋)＝(－)
＝(λb－a)，
∴＝－＝(λb－a)－(b－a)＝(λ－)b.
∵b＝，
∴＝[(λ－)×].
∴∥，即EF∥BC.
点评：证明线段平行，也就是证明向量共线．证明向量a、b共线，即是想办法证明a＝λb(b≠0)，进而想办法找到λ.
1．本教案的设计思想是：以向量的两种运算思路为主线，以向量的代数、几何双重特点的应用为平台，将向量体现的思想方法贯穿其中，巩固加强本章向量知识．
2．平面向量是中学数学的重要内容，它与函数、三角函数等多个知识点相联，因此它与其他知识点的交汇也就成了近几年来高考命题的热点．尤其是向量体现的思想方法，几乎包括了中学的全部．如：数形结合思想，例3中函数与方程思想，解决物理问题的转化与化归思想，对向量共线与否中的分类讨论思想．因此我们应给予足够的重视，充分利用向量解题的优化特点，并注意掌握解平面向量题常用的数学思想方法，以提高学生综合应用能力，也适应高考对平面向量的考查要求．
一、备用习题
1．已知向量a＝(4,3)，b＝(－1,2)，若向量a＋kb与a－b垂直，则k的值为……(　　)
A.　　　　　　　B．7　　　　　　　C．－　　　　　　D．－
2．已知向量＝(1,2)，＝(0,1)，则下列各点中在直线AB上的是(　　)
A．(0,3)
B．(1,1)
C．(2,4)
D．(2,5)
3．向量a的模为10，它与x轴的夹角为150°，则它在x轴上的投影为(　　)
A．－5
B．5
C．－5
D．5
4．若|a|＝2，|b|＝5，|a＋b|＝4，则|a－b|为(　　)
A.
B．13
C.
D．42
5．已知a＝(2,1)，与a平行且长度为2的向量b是(　　)
A．(4,2)
B．(－4，－2)
C．(2,1)或(－2，－1)
D．(4,2)或(－4，－2)
6．已知向量i，j，i＝(1,0)，j＝(0,1)，与2i＋j垂直的向量是(　　)
A．2i－j
B．i－2j
C．2i＋j
D．i＋2j
7．已知O为原点，点A，B的坐标分别为(a,0)，(0，a)，a是正的常数，点P在线段AB上，且＝t(0≤t≤1)，则·的最大值是(　　)
A．a
B．2a
C．a2
D．3a
8．向量a＝(n,2)与b＝(4，n)共线，则n＝________.
9．已知a＝(2,1)，b＝(1,2)，要使|a＋tb|最小，那么实数t的值是________．
10．已知|a|＝1，|b|＝1，a与b的夹角为60°，x＝2a－b，y＝3b－a，求x与y的夹角．
参考答案：
1．A　2.D　3.A　4.C　5.D　6.B　7.C
8．±2　9.－
10．解：由已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角α为60°，得a·b＝|a||b|cosα＝.
要计算x与y的夹角θ，需求出|x|，|y|，x·y的值．
∵|x|2＝x2＝(2a－b)2＝4a2－4a·b＋b2＝4－4×＋1＝3，
|y|2＝y2＝(3b－a)2＝9b2－6b·a＋a2＝9－6×＋1＝7，
x·y＝(2a－b)·(3b－a)
＝6a·b－2a2－3b2＋a·b
＝7a·b－2a2－3b2
＝7×－2－3＝－，
又∵x·y＝|x||y|cosθ，即－＝×cosθ，
∴cosθ＝－，θ＝π－arccos，
即x与y的夹角是π－arccos.
二、关于斜抛运动的向量思考
物理课中我们研究过水平抛出物体的运动，不计空气阻力时，这样的物体运动可以分解为自由落体运动和水平方向的匀速直线运动．现实中还有向斜上方抛出物体的运动：投掷铅球时，铅球的飞行曲线是什么形状？大炮射击时，炮口的仰角多大时炮弹射得最远？让我们以向量为工具研究斜抛物体运动的规律．
下面的问题可能有助于对于斜抛物体运动的思考．
设炮弹被以初速度v0和仰角α射出，空气阻力忽略不计．
1．为研究问题方便，对初速度v0是否需要分解？如需分解，应如何分解(画出向量图)？这样分解的根据是什么？
2．对飞行中的炮弹进行分析，通过数学关系式描述它的飞行轨迹以及它在各点的速度．
3．炮弹的飞行距离与什么因素相关？能否写出关系式？
4．当初速度v0大小一定时，分析发射角α与炮弹飞行距离最大值x最大的关系．
上述问题中涉及速度等物理量，对于速度等的分析要用到向量的知识．根据向量基本定理，可以把一个非零向量分解为两个不共线向量．这种分解可以依据问题本身的需要进行，本问题中炮弹向斜上方射出，其所受重力垂直向下，射程指水平距离，这些都是确定向量分解方向的因素．
确定炮弹飞行曲线涉及各时刻炮弹的位置，建立坐标系有助于问题解决．
时间在问题中是一个数量，数乘向量的结果具有一定的实际物理意义．
根据对问题的物理意义的分析，可以得出数学关系式，它能清晰地反映相关物理量之间的数量关系；从数学角度对关系式进行再分析，又能得出物理问题的解答．这样的数学关系式可以作为物理问题的数学模型．(共31张PPT)
2．4　向量的数量积(一)
第2章
平面向量
学习导航
第2章
平面向量
学习目标
1.了解平面向量数量积的物理意义．
2．理解平面向量数量积的含义．(难点)
3．掌握平面向量数量积的运算．(重点)
学法指导
1.向量的数量积是一种新的乘法，和向量的线性运算有着显著的区别，两个向量的数量积，其结果是数量,而不是向量．学习时必须透彻理解数量积概念的内涵.
2．向量的数量积与实数的乘积既有区别又有联系，概念内涵更丰富，计算更复杂，实数乘法中的一些运算律在向量的数量积中已经不再成立，不宜作简单类比,照搬照抄.书写格式也要严格区分,a·b中的“·”不能省略.
0°≤θ≤180°
[0，π]
内积
同向
|a||b|
|a|2
反向
－|a||b|
垂直
a⊥b
0
0
3．向量的数量积的运算律
已知向量a，b，c和实数λ，则
(1)a·b＝____________；
(2)(λa)·b＝____________＝____________＝__________；
(3)(a＋b)·c＝____________．
温馨提示：向量a、b的数量积a·b虽与代数中数a、b的乘积ab形式相似，实质差别很大．实数中的一些运算性质不能随
意简单地类比到向量的数量积上来．例如，a·b＝0不能推出a＝0或b＝0；a·b＝b·c /
a＝c；(a·b)·c＝a·(b·c)也未必成立．
b·a
a·(λb)
λa·b
λ(a·b)
a·c＋b·c
1．设a，b，c为平面向量，有下面几个命题：
①a·(b－c)＝a·b－a·c；
②(a·b)·c＝a·(b·c)；
③(a－b)2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2；
④若a·b＝0，则a＝0，b＝0.
其中正确的有__________个．
解析：由向量的数量积的性质知①正确;由向量的数量积的运算不满足结合律知②不正确;由(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2
|a||b|cos
θ＋|b|2知③不正确;对于④，∵a·b＝|a||b|·cos
θ＝0,
∴|a|＝0或|b|＝0或cos
θ＝0.∴a＝0或b＝0或a⊥b,故④不正确.
1
3
数量积的基本运算
已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.
(链接教材P84例1)
[解]　①当a∥b时，
若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cos
0°＝3×6×1＝18；
1.已知a和b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b和向量ka－b垂直，则k＝________．
1
与向量模有关的问题
2.若向量a与向量b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72.求：
(1)|a|；(2)|a＋b|；(3)|a－b|.
与向量夹角有关的问题
若(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，试求a，
b的夹角θ的余弦值．
(链接教材P85T3)
方法归纳
(1)求向量a，b夹角的流程图：
(2)由于|a|，|b|及a·b都是实数，因此在涉及有关|a|，|b|及a·b的相应等式中,可用方程的思想求解(或表示)未知量.
3.已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
平面向量数量积的综合应用
a、b为非零向量，当a＋tb的模取得最小值时，求证：b⊥(a＋tb)．
(链接教材P85T8)
规范解答
平面向量数量积的应用
(本题满分14分)已知两个非零向量a，b，夹角θ＝120°，且(a－3b)⊥(7a＋5b)，问是否存在实数λ，满足(a－4b)⊥(λa－b)
易错警示
将向量的夹角与直线的夹角混淆致误
－252.2
向量的线性运算
典题精讲
例1
已知向量a、b，比较|a+b|与|a|+|b|的大小.
思路分析：因为向量包含长度和方向，所以在比较和向量长度的大小时，要考虑其方向.
解：(1)当a、b至少有一个为零向量时，有|a+b|=|a|+|b|；
(2)当a、b为非零向量且a、b不共线时，有|a+b|<|a|+|b|；
(3)当a、b为非零向量且a、b同向共线时，有|a+b|=|a|+|b|；
(4)当a、b为非零向量且a、b异向共线时，有|a+b|<|a|+|b|.
绿色通道：解答本题可利用向量加法的三角形法则，作出草图辅助解答.关键是准确、恰当地进行分类处理.
变式训练
已知向量a、b，讨论|a-b|、|a|+|b|和||a|-|b||的大小.
思路解析：(1)当a、b至少有一个为零向量时，有|a-b|=|a|+|b|=||a|-|b||；
(2)当a、b为非零向量，且a、b不共线时，有|a|+|b|>|a-b|>||a|-|b||；(三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边的向量表示)
当a、b为非零向量，且a、b同向共线时,|a|+|b|>|a+b|=||a|-|b||,
当a，b为非零向量，且a，b异向共线时，|a|+|b|=|a+b|>||a|-|b||,
所以|a|+|b|≥|a-b|≥||a|-|b||.
例2
化简下列各式：
(1)；(2)［(4a-3b)+b-(6a-7b)］.
思路分析：对于(1)，可以利用三角形法则对向量进行分解；对于(2),利用向量线性运算的运算法则化简.
解：(1)
=0+2=2；
(2)［(4a-3b)+b-(6a-7b)］=(4a-3b+b-a+b)
=［(4-)a+(-3++)b］=(a-b)=a-b.
绿色通道：向量加法的三角形法则可以推广为多边形法则，另一方面可以把任何一个向量用两个向量的和或差来表示，使用向量的数乘的结合律与分配律可以化简向量式子.
变式训练
(2006全国高考卷Ⅰ，理9)
设平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0.如果向量b1、b2、b3满足|bi|=2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i=1,2,3，则(
)
A.-b1+b2+b3=0
B.b1-b2+b3=0
C.b1+b2-b3=0
D.b1+b2+b3=0
思路解析：如图2-2-8所示,
图2-2-8
∵|bi|=2|ai|,假设旋转角度的方向为逆时针,可得
△OAB∽△OA′B′且相似比为1∶2.
a1+a2+a3=0,b1+b2+b3=0.
答案：D
例3
已知两个非零向量e1和e2不共线，且ke1+e2和e1+ke2共线，求实数k的值.
思路分析：向量a,b共线,则一定存在实数λ,使a=λb成立.
解：∵ke1+e2和e1+ke2共线，
∴存在实数λ，使得ke1+e2=λ(e1+ke2).
∴(k-λ)e1=(λk-1)e2.∵e1和e2不共线，
∴
∴k=±1.
绿色通道：本题从正反两方面运用了向量数乘的几何意义，利用共线得到关于k的方程，用待定系数法解决问题.
变式训练
若3m+2n=a，m-3n=b，其中a、b是已知向量，求m、n.
思路分析：此题可把已知条件看作向量m、n的方程，通过方程组求解m、n.
解:记3m+2n=a,①
m-3n=b,②
3×②，得3m-9n=3b.③
①-③,得11n=a-3b.
∴n=a-b.④
将④代入②,有m=b+3n=a+b.
例4
一艘船以5
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度.
思路分析：本题要求的是速度，而速度是向量，因此可以用向量表示速度，然后用向量加法合成速度即可.
图2-2-9
解：如图2-2-9，表示水流速度，表示船垂直于对岸方向行驶的速度，表示船的实际速度，∠AOC=30°，||=5
km/h，
∵四边形ABCD为矩形，
∴||=||cot30°=，
||==10.
∴水流速度为
km/h,船实际速度为10
km/h.
绿色通道：用向量法解决物理问题的步骤为：(1)用向量表示物理量；(2)进行向量运算；(3)回扣解决问题.
变式训练
一架执行救灾任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300
km后到达B地，然后向C地飞行.已知C地在A地北偏东60°的方向处，且A、C两地相距300
km，求飞机从B地向C地飞行的方向及B、C两地的距离.
思路分析：首先根据题意作出图形(如图2-2-10)，然后由A地确定B、C两地的方位与距离.
解：根据题意和图形，可知∠BAC=90°，
||=||=300
km，则可得||=
km；
又由于∠ABC=45°,A地在B地东偏南60°的方向处，可知C地在B地东偏南15°的方向处.
图2-2-10
问题探究
问题1
已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连.以第一个向量的起点为起点,第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量.A1、A2、A3是平面内不共线的三点，则等于什么？对于平面上不共线的四点A1、A2、A3、A4上述结论是否成立？又等于多少
导思：求多个向量的和，需要连续使用三角形法则，这也可以看作是应用了多边形法则.对向量求和的多边形法则应明确：(1)多边形法则适用于两个或两个以上的向量和的计算，三角形法则是多边形法则的特殊情形；(2)n个向量的和的结果仍是一个向量；(3)法则的要领是“头尾相接，头是头，尾是尾”，与向量加法的三角形法则相同.
探究：由平行四边形法则,知，
∴=0.类似地，根据向量求和的多边形法则,
有,即=0.
对这个结论的更一般的形式，即n个向量顺次首尾相接，组成一条封闭的折线，其和为零向量，也就不难理解了：=0.
问题2
三人夺球的游戏的规则是：在小球上均匀装上三条绳子，由三人在一水平面上分别拉绳，要求每两人与球连线夹角相等，得到小球者为胜.现有甲、乙、丙三人玩此游戏，若甲、乙两人的力量相同，均为a
N，试探究丙需要多少力量小球静止？若甲、乙两人的力量不等，则小球有可能静止吗？
导思：互为相反向量的两个向量的和为0,在物理中可以理解成两个力的合力为0.解决本题首先要审好题，能从题目中提炼出数学模型，进而利用数学知识解决，这是解决文字题或应用题最关键的一个环节.
探究：本题主要考查向量加法法则及相反向量的定义.设甲、乙、丙三人作用于小球的力分别为a、b、c,根据题意，可知a、b、c三个向量两两夹角为120°，可先计算a+b，由于|a|=|b|，易求|a+b|=|c|，且a+b平分a、b所成的角即方向与c相反，要使小球不动，则c=-(a+b)，所以丙需要与甲、乙相同的力量，小球就会静止.若甲、乙两人力量不等，根据向量加法的平行四边形法则，a+b的方向不可能与c相反，也就是说a+b与c不可能是相反向量，所以小球不可能静止.2.4
向量的数量积
课堂导学
三点剖析
1.平面向量数量积的概念及其运算律
【例1】
已知|a|=4，|b|=3，若：（1）a∥b；（2）a⊥b；（3）a与b的夹角为60°，分别求a·b.
思路分析：本题运用数量积的定义求数量积.已知|a|与|b|，a与b的夹角，由定义可求a·b.
解：(1)当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ=0°,
a·b=|a||b|cos0°=4×3×1=12;
若a与b反向，则a与b的夹角θ=180°,
a·b=|a||b|cos180°=4×3×(-1)=-12.
(2)当a⊥b时,a与b的夹角为90°,a·b=|a|·|b|cos90°=0,
(3)当a与b的夹角θ=60°时，
a·b=|a||b|cos60°=4×3×=6.
温馨提示
利用定义计算a与b的数量积，关键是确定两向量的夹角.当a∥b时，a与b的夹角可能是0°，也可能为180°，解题时容易遗漏180°的情形.
2．平面向量数量积的应用
【例2】已知|a|=,|b|=3，a与b的夹角为45°,求使向量a+λb与λa+b的夹角为锐角时，λ的取值范围.
解：设a+λb与λa+b的夹角为θ.
则cosθ=＞0,
即(a+λb)·(λa+b)＞0,
展开得，λa2+(λ2+1)a·b+λb2＞0.
∵|a|=2,|b|=3,a·b=|a||b|cos45°=3,
∴2λ+3(λ2+1)+9λ＞0,
即3λ2+11λ+3＞0.
λ＜或λ＞.
另外θ=0°时，λ=1.故λ≠1.
∴λ∈(-∞,)∪(,1)∪(1,+∞).
温馨提示
求夹角时，注意与三角函数、不等式等知识相结合，但要注意角的范围.
3.平面向量数量积的运算律同实数的运算律的比较
【例3】
已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角为120°，求：（1）a·b；（2）（a+b）2；（3）a2-b2；（4）（2a-b）·（a+3b）.
思路分析：由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算，如（a+b）2=（a+b）·（a+b）=（a+b）·a+（a+b）·b=a·a+b·a+a·b+b·b=a2+2a·b+b2.
解：（1）a·b=|a||b|cos120°
=5×4×(-)=-10;
(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2
=|a|2+2a·b+|b|2
=25-2×10+16=21;
(3)a2-b2=|a|2-|b|2=25-16=9;
(4)(2a-b)·（a+3b）=2a2+5a·b-3b2
=2|a|2+5a·b-3|b|2
=2×25+5×(-10)-3×16=-48.
温馨提示
(1)在进行向量数量积运算时，应严格按运算律进行；（2）由于向量数量积满足乘法对加法的分配律，故向量数量积中也有类似多项式乘法的公式：（a±b）2=a2±2a·b+b2，（a+b）·（a-b）=a2-b2，（a+b+c）=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.因此，有的同学会相当然的用（a·b）·c=a·（b·c）,这是错误的.
各个击破
类题演练1
已知|a|=2，|b|=5，且=45°,求a·b.
解：由数量积的定义，a、b=|a||b|cos
=2×5×cos45°=.
变式提升1
已知△ABC中，a=5,b=8，∠C=60°,求·.
解：因为||=a=5,||=b=8,<,>=180°-∠C=180°-60°=120°,
所以·=||||·cos<,>=5×8cos120°=-20.
类题演练2
已知a=(m+1,3),b=(1,m-1)，且a与b的夹角为钝角.若（2a+b）与(a-3b)垂直，求a与b夹角的余弦.
解析：∵(2a+b)⊥(a-3b),
∴2a2-5a·b-3b2=0.
即2［(m+1)2+9］-5［m+1+3(m-1)］-3［1+(m-1)2］=0,
整理得m2+10m-24=0,
m=2或m=-12.
∵a与b的夹角为钝角，
∴m=2舍去.设a与b夹角为θ,
则cosθ=.
变式提升2
(2006全国高考Ⅰ,文1)已知向量a、b满足|a|=1，|b|=4，且a·b=2，则a与b的夹角为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：cos=.
∴a与b的夹角为，故选C.
答案：C
类题演练3
已知|a|=|b|=5，=,求|a+b|，|a-b|.
解：因为a2=|a|2=25，b2=|b|2=25，
a·b=|a||b|cos=5×5cos=.
所以|a+b|=（a+b）2=
同样可求|a-b|=
变式提升3
（1）若向量a与b夹角为30°，且|a|=，|b|=1，则向量p=a+b与q=a-b的夹角的余弦为______________.
思路分析：本题可利用cosθ=，由两向量的数量积和模求夹角余弦值.
解：∵p·q=（a+b）·（a-b）=a2-b2=3-1=2，
又∵|p|=|a+b|=,
|q|=|a-b|=
∴cosθ=.
答案：
（2）若非零向量α、β满足|α+β|=|α-β|，求α与β所成的角.
思路分析：涉及模与夹角的问题，一般考虑向量的数量积，也可以从向量的线性运算入手，结合模的几何意义解答.
解：∵|α+β|=|α-β|,
∴|α2|+2α·β+|β|2=|α|2-2α·β+|β|2，
即4α·β=0，∴α·β=0，∴α⊥β.
∴α与β所成的角为90°.2.5
向量的应用
课堂导学
三点剖析
1.数学问题的向量方法
【例1】如右图平行四边形ABCD中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2.求对角线AC的长.
思路分析：本题要求线段长度问题，可以转化为求向量的模来解决.
解：设=a，=b，则=a-b，=a+b.
而||=|a-b|=
∴||2=5-2a·b=4（
）
又||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2
=|a|2+2a·b+|b|2=1+4+2a·b.
由（
）得2a·b=1，
∴||2=6,
∴||=,即=.
温馨提示
在解决本题中，不用解斜三角形，而用向量的数量积及模的知识解决，过程中采取整体代入，使问题解决简捷明快.
2．物理问题中的向量方法
【例2】
如图甲所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1，求：
甲
(1)|F1|、|F2|随角θ的变化而变化的情况；
（2）当|F1|≤2|G|时，θ角的取值范围.
思路分析：本题主要是利用向量加法的平行四边形法则解决物理问题.
乙
解：（1）如图乙所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：G=F1+F2.
解直角三角形得
|F1|=
当θ从0°趋向于90°时，|F1|、|F2|皆逐渐增大.
（2）令|F1|=≤2|G|，
得cosθ≥,
又0°≤θ<90°,
∴0°≤θ≤60°.
温馨提示
在解决力的合成、力的分解问题时，一般是利用向量的平行四边形法则解决.
3.向量方法的综合应用
【例3】已知两恒力F1（3，4）、F2（6，-5）作用于同一质点，使之由点A（20，15）移动到点B（7，0）.试求：
（1）F1，F2分别对质点所做的功；
（2）F1，F2的合力F对质点所做的功.
思路分析：本题利用向量数量积知识解决物理中的做功问题，由于给出各分力的坐标，采用坐标法计算，首先求出位移的坐标，代入F·s公式即可.
解：=（7，0）-（20，15）=（-13，-15）.
（1）W1=F1·=（3，4）·（-13，-15）=3×(-13)+4×(-15)=-99(焦),
W2=F2·=（6，-5）·（-13，-15）=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦).
（2）W=F·=（F1+F2）·=［(3,4)+(6,-5)］·（-13，-15）=（9，-1）·（-13，-15）=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(焦).
温馨提示
力对物体所做的功实际是力与位移的数量积，即W=F·s，若用坐标运算，应当注意首先求出位移s这一向量的坐标，即终点的坐标减去起点的坐标.
【例4】△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P.
求：AP∶PM的值.
思路分析：待定系数法求定比的问题.
解：设=e1,=e2.
则=+=-3e2-e1,=2e1+e2.
∵A、P、M和B、P、N分别共线，
∴存在实数λ，μ分别使=λ=-λe1-3λe2,
=μ=2μe1+μe2.
故=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.
而=+=2e1+3e2.
由基本定理得
解得
即=.
故AP∶PM=4∶1.
温馨提示
在解决有关定比问题时，字母顺序易出错，解决本题的关键是选择适当的一对基底，选不好基底，会使题目进入误区.
各个击破
类题演练1
已知：在△ABC中，=a=(x1,y1),=b=(x2,y2).
求证：△ABC的面积S=|x2y1-x1y2|.
证明：由S△ABC=|a|·|b|sinA
=
=
=
=
=|x2y1-x1y2|.
变式提升1
如图，O为△ABC的外心，E为三角形内一点，满足=++，求证：⊥.
证明：∵=-,
=-=(++)-=+,
∴·=（-）·（+）=||2-||2.
∵O为外心，
∴||=||，即·=0，⊥.
类题演练2
在重300
N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°,60°,如图，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.
解：作ABCB，使∠AOC=30°,∠BOC=60°.
在△OAC中，∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°,
||=||cos30°=1503（N），||=||sin30°=150(N),||=||=150(N).
答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150
N.
变式提升2
某人在静水中游泳，速度为千米/时，水流速度为4千米/时.
（1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向游？速度是多少？
（2）他必须往哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际速度是多少？
解：（1）如图，
水流速度v1=4
km/h,游泳速度v2=km/h.
设合速度v与v1所成角为θ，于是tanθ=，∴θ=60°.
|v|==8
km/h.
（2）如图，v=，
sinθ=，θ≈35.26°,
则方向为与水流方向成125.26°的角.实际速度是km/h.
类题演练3
如图所示，求两个力f1、f2的合力f的大小和方向（精确到一位小数）.
解：设f1=(a1,a2),f2=(b1,b2),
则a1=300cos30°=259.8,
a2=300sin30°=150,
b1=-200cos45°=-141.4,b2=200sin45°=141.4,
所以f1=(259.8,150),f2=(-141.4,141.4),
f=f1+f2=(259.8,150)+(-141.4,141.4)=(118.4,291.4),
|f|==314.5.
设f与x轴的正向夹角为θ，则tanθ==2.4611.
由f的坐标知θ是第一象限的角，所以θ=67°53′.
答：两个力的合力是314.5
N,与x轴的正方向的夹角为67°53′，与y轴的夹角为22°7′.
变式提升3
如图，质量为m的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为α，求斜面对于物体的摩擦力的大小f.
解析：如图，物体受三个力：重力w（方向竖直向下，大小为mgN）,斜面对物体的支持力p(方向垂直于斜面斜向上，设其大小为pN),摩擦力f(沿斜面支持力的方向，大小为fN)，由于物体静止，这三个力平衡，合力为0；
w+p+f=0（
）
记垂直于斜面斜向下方、大小为1
N的力为e1，沿斜面下降方向、大小为1
N的力为e2，以e1、e2为基底，写出所涉及的三个力的坐标，则p=（-p,0）,f=(0,-f),由e1旋转到w方向的角为α，则w的坐标为（mgcosα,mgsinα）.
由（
），得w+p+f=（mgcosα,mgsinα）+(-p,0)+(0,-f)
=(mgcosα-p,mgsinα-f)=(0,0).
故mgsinα-f=0,f=mgsinα(N).
类题演练4
求证：直径上的圆周角是直角.
解析：已知：AC为⊙O的一条直径，∠ABC是圆周角.
求证：∠ABC=90°.
证明：设=a,
=b.
则=a+b,=a,=a-b,|a|=|b|.
由于·=（a+b）·(a-b)=|a|2-|b|2=0,
所以⊥.
由此得∠ABC=90°.
即直径上的圆周角为直角.
变式提升4
已知圆C：(x-3)2+(y-3)2=4和点A（1，1），M为圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且MA=2AN，求点N的轨迹方程.
解析：设M（x0,y0）,N(x,y).
由=2，得
(1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1).
所以
代入方程(x-3)2+(y-3)2=4，
整理得x2+y2=1.
所以所求的轨迹方程为x2+y2=1.2.5　向量的应用
教学分析　　　　　
1．在生产和日常生活中，有时会遇到既有大小，又有方向的量，这就为采用向量法解决问题提供方便，向量是既有大小又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁．这样向量又为解决几何问题提供了理论基础，本节主要在于让学生了解向量来源于实际又为解决实际问题及几何问题提供方便，教学中注意难度的控制，同时还要注意，向量也是解决许多物理问题的有力工具．
2．本节的目的是让学生加深对向量的认识，更好地体会向量这个工具的优越性．对于向量方法，就思路而言，几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致，不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”．这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果．代数方法的流程图可以简单地表述为：
则向量方法的流程图可以简单地表述为：
这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”，也是本节的重点．
3．研究几何可以采取不同的方法．这些方法包括：
综合方法——不使用其他工具，对几何元素及其关系直接进行讨论；
解析方法——以数(代数式)和数(代数式)的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；
向量方法——以向量和向量的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论；
分析方法——以微积分为工具，对几何元素及其关系进行讨论，等等．
前三种方法都是中学数学中出现的内容．
有些平面几何问题，利用向量方法求解比较容易．使用向量方法的要点在于用向量表示线段或点，根据点与线之间的关系，建立向量等式，再根据向量的线性相关与无关的性质，得出向量的系数应满足的方程组，求出方程组的解，从而解决问题．使用向量方法时，要注意向量起点的选取，选取得当可使计算过程大大简化．
①通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；②认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；③利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；④利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题．教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较，得出抽象的数学模型．例如，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．同时，注重向量模型的运用，引导解决现实中的一些物理和几何问题．这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用．
三维目标　　　　　
1．通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”．理解并掌握用向量方法解决平面几何问题的步骤．明了平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示．
2．通过本节学习，让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性，活跃学生的思维，发展学生的创新意识，激发学生的学习积极性，并体会向量在几何和现实生活中的意义．教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段．
重点难点　　　　　
教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”．
教学难点：如何将实际问题化归为向量问题．
课时安排　　　　　
2课时
第1课时
导入新课　　　　　
思路1.(直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景，当向量和平面坐标系结合后，向量的运算就完全可以转化为代数运算．这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便．本节专门研究平面几何中的向量方法．
思路2.(情境导入)由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题．下面通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用．
推进新课　　　　　
一、向量在几何中的应用
1．证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的条件
a∥b
a＝λb
x1y2－x2y1＝0(b≠0)．
2．证明垂直问题，常用向量垂直的条件a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
3．求夹角问题
利用夹角公式cosθ＝＝.
4．求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模
|a|＝＝或|AB|＝||＝.
5．用向量处理其他代数或几何问题．
二、用向量法解决几何问题的“三步曲”
1．建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
2．通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
3．把运算结果“翻译”成几何关系．
引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤．由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决部分几何问题．解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系．最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论．这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”．即：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
这个“三步曲”用流程图表示为：
思路1
例1课本本节例2.
变式训练
1.如图1，连结平行四边形ABCD的顶点B至AD、DC边的中点E、F，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？
图1
活动：为了培养学生的观察、发现、猜想能力，让学生能动态地发现图形中AR、RT、TC之间的相等关系，教学中可以充分利用多媒体，作出上述图形，测量AR、RT、TC的长度，让学生发现AR＝RT＝TC，拖动平行四边形的顶点，动态观察发现，AR＝RT＝TC这个规律不变，因此猜想AR＝RT＝TC.事实上，由于R、T是对角线AC上的两点，要判断AR、RT、TC之间的关系，只需分别判断AR、RT、TC与AC的关系即可．又因为AR、RT、TC、AC共线，所以只需判断，与之间的关系即可．探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论．第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系；第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：AR＝RT＝TC.
解：如图1，设＝a，＝b，＝r，＝t，则＝a＋b.
由于与共线，所以，我们设r＝n(a＋b)，n∈R，
又因为＝－＝a－b，与共线，所以我们设＝m＝m(a－b)．因为＝＋，所以r＝b＋m(a－b)．
因此n(a＋b)＝b＋m(a－b)，即(n－m)a＋(n＋)b＝0.
由于向量a、b不共线，要使上式为0，必须解得n＝m＝.
所以＝.同理＝.
于是＝，所以AR＝RT＝TC.
2.如图2，AD、BE、CF是△ABC的三条高．求证：AD、BE、CF相交于一点．
图2
证明：设BE、CF相交于H，并设＝b，＝c，＝h，则＝h－b，＝h－c，＝c－b.
因为⊥，⊥，
所以(h－b)·c＝0，(h－c)·b＝0，
即(h－b)·c＝(h－c)·b，化简得h·(c－b)＝0.
所以⊥.所以AH与AD共线，即AD、BE、CF相交于一点H.
例2课本本节例3.
思路2
1如图3，已知在等腰△ABC中，BB′、CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值．
图3
活动：教师可引导学生思考探究，上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题．可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系，找出所需点的坐标．如果能比较方便的建立起平面直角坐标系，如本例中的图形，很方便建立平面直角坐标系，且图形中的各个点的坐标也容易写出，是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？
教师引导学生建系、找点的坐标，然后让学生独立完成．
解：建立如图3所示的平面直角坐标系，取A(0，a)，C(c,0)，则B(－c,0)，＝(0，a)，＝(c，a)，＝(c,0)，＝(2c,0)，
因为BB′、CC′为两中线，所以＝(＋)＝[(2c,0)＋(c，a)]＝(，)．同理＝(－，)．因为BB′⊥CC′，所以－c2＋＝0，a2＝9c2.
所以cosA＝＝＝＝.
变式训练
　如图4，在Rt△ABC中，已知BC＝a.若长为2a的线段PQ以点A为中点，问：与的夹角θ取何值时，·的值最大？并求出这个最大值．
图4
解：方法一：如图4.
∵⊥，∴·＝0.
∵＝－，＝－，＝－，
∴·＝(－)·(－)
＝·－·－·＋·
＝－a2－·＋·＝－a2＋·(－)
＝－a2＋·＝－a2＋a2cosθ，故当cosθ＝1，即θ＝0，与的方向相同时，·最大，其最大值为0.
方法二：如图5.
图5
以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在的直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设|AB|＝c，|AC|＝b，则A(0,0)，B(c,0)，C(0，b)，且|PQ|＝2a，|BC|＝a.
设点P的坐标为(x，y)，则Q(－x，－y)，
∴＝(x－c，y)，＝(－x，－y－b)，
＝(－c，b)，＝(－2x，－2y)．
∴·＝(x－c)(－x)＋y(－y－b)＝－(x2＋y2)＋cx－by.
∵cosθ＝＝，∴cx－by＝a2cosθ.
∴·＝－a2＋a2cosθ.故当cosθ＝1，即θ＝0，与的方向相同时，·最大，其最大值为0.
课本本节练习2、3、4.
1．由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪些：平行四边形向量加、减法的几何模型，用向量方法解决平面几何问题的步骤，即“三步曲”．特别是这“三步曲”，要提醒学生理解领悟它的实质，达到熟练掌握的程度．
2．本节都学习了哪些数学方法：向量法，向量法与几何法、解析法的比较，将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法，深切体会向量的工具性这一特点．
课本习题2.5　3、4、6、7.
1．本节是对研究平面几何方法的探究与归纳，设计的指导思想是：充分使用多媒体这个现代化手段，引导学生展开观察、归纳、猜想、论证等一系列思维活动．本节知识方法容量较大，思维含量较高，教师要把握好火候，恰时恰点的激发学生的智慧火花．
2．由于本节知识方法在高考大题中得以直接的体现，特别是与其他知识的综合更是高考的热点问题，因此在实际授课时注意引导学生关注向量知识、向量方法与本书的三角、后续的解析几何内容等知识的交汇，提高学生综合解决问题的能力．
3．平面向量的运算包括向量的代数运算与几何运算．相比较而言，学生对向量的代数运算要容易接受一些，但对向量的几何运算往往感到比较困难，无从下手．向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算，向量平行与垂直的条件及定比分点的向量式等，它们在处理平面几何的有关问题时，往往有其独到之处，教师可让学有余力的学生课下继续探讨，以提高学生的思维发散能力．
一、利用向量解决几何问题的进一步探讨
用平面向量的几何运算处理平面几何问题有其独到之处，特别是处理线段相等，线线平行，垂直，点共线，线共点等问题，往往简单明了，少走弯路，同时避免了复杂，烦琐的运算和推理，可以收到事半功倍的效果．现举几例以供教师学生进一步探究使用．
1．证明线线平行
例1如图6，在梯形ABCD中，E，F分别为腰AB，CD的中点．
图6
求证：EF∥BC，且||＝(||＋||)．
证明：连ED，EC，∵AD∥BC，可设＝λ(λ>0)．又E，F是中点，∴＋＝0.
且＝(＋)，而＋＝＋＋＋＝＋＝(1＋λ)，
∴＝.EF与BC无公共点，∴EF∥BC.
又λ>0，∴||＝(||＋|λ|)＝(||＋||)．
2．证明线线垂直
例2如图7，在△ABC中，由A与B分别向对边BC与CA作垂线AD与BE，且AD与BE交于H，连结CH，求证：CH⊥AB.
图7
证明：由已知AH⊥BC，BH⊥AC，有·＝0，·＝0，又＝＋，＝＋，
故有(＋)·＝0，且(＋)·＝0，
两式相减，得·(－)＝0，即·＝0，∴⊥，即CH⊥AB.
3．证明线共点或点共线
例3求证：三角形三边中线共点，且该点到顶点的距离等于该中线长的.
解：已知：△ABC的三边中点分别为D，E，F(如图8)，
图8
求证：AE，BF，CD共点，且＝＝＝.
证明：设AE，BF相交于点G，＝λ1，
由定比分点的向量式有＝＝＋，
又F是AC的中点，＝(＋)，
设＝λ2，则＋＝＋，
∴
∴＝
λ1＝2，λ2＝，即＝＝.
又＝＝(＋2)＝·(＋)＝，
∴C，G，D共线，且＝＝＝.
二、备用习题
1．有一边长为1的正方形ABCD，设＝a，＝b，＝c，则|a－b＋c|＝________.
2．已知|a|＝2，|b|＝，a与b的夹角为45°，则使λb－a与a垂直的λ＝________.
3．在等边△ABC中，＝a，＝b，＝c，且|a|＝1，则a·b＋b·c＋c·a＝________.
4．已知三个向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，且A，B，C三点共线，则k＝________.
5．如图9所示，已知矩形ABCD，AC是对角线，E是AC的中点，过点E作MN交AD于点M，交BC于点N，试运用向量知识证明AM＝CN.
图9
6．已知四边形ABCD满足||2＋||2＝||2＋||2，M为对角线AC的中点．求证：||＝||.
7．求证：如果一个角的两边平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．
参考答案：
1．2　2.2　3.－　4.－2或11
5解：建立如图10所示的直角坐标系，设BC＝a，BA＝b，则C(a,0)，A(0，b)，E(，)．
图10
又设M(x2，b)，N(x1,0)，则＝(x2,0)，＝(x1－a,0)，
∵∥，＝(－x2，－)，＝(x1－，－)，
∴(－x2)×(－)－(x1－)×(－)＝0.∴x2＝a－x1.
∴||＝＝|x2|＝|a－x1|＝|x1－a|.
而||＝＝|x1－a|，∴||＝||，即AM＝CN.
6．解：设＝a，＝b，＝c，＝d，
∵a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)．
∴a2＋b2＋2a·b＝c2＋d2＋2c·d.①
∵||2＋||2＝||2＋||2，
∴a2＋b2＝(－d)2＋(－c)2＝c2＋d2.②
由①②得a·b＝c·d.
∵M是AC的中点，如图11所示，则＝(d－c)，＝(b－a)，
图11
∴||2＝2＝(b2＋a2－2a·b)，
||2＝2＝(d2＋c2－2c·d)．
∴||2＝||2.∴||＝||.
7．解：已知OA∥O′A′，OB∥O′B′，
求证：∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝π.
证明：∵OA∥O′A′，OB∥O′B′，
∴可设＝λ(λ∈R，λ≠0)，＝μ(μ∈R，μ≠0)．∴cos∠AOB＝，
cos∠A′O′B′＝＝＝＝±.
当与，与均同向或反向时，取正号，即cos∠AOB＝cos∠A′O′B′.
∵∠AOB，∠A′O′B′∈(0，π)，∴∠AOB＝∠A′O′B′.
当与，与只有一个反向时，取负号，即cos∠AOB＝－cos∠A′O′B′＝cos(π－∠A′O′B′)．
∵∠AOB，π－∠A′O′B′∈(0，π)，
∴∠AOB＝π－∠A′O′B′.
∴∠AOB＋∠A′O′B′＝π.
∴命题成立．
第2课时
导入新课　　　　　
(问题导入)你能举出物理中的哪些向量？比如力、位移、速度、加速度等，既有大小又有方向，都是向量，学生很容易就举出来．进一步，你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗？你是怎样解决的？教师由此引导：向量是有广泛应用的数学工具，对向量在物理中的研究，有助于进一步加深对这方面问题的认识．我们可以通过对下面若干问题的研究，体会向量在物理中的重要作用．由此自然的引入新课．
推进新课　　　　　
向量在物理中的应用
1．向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用．
2．向量在速度的分解与合成中的应用．
如何用向量法来解决物理问题
1．将相关物理量用几何图形表示出来．
2．将物理问题抽象成数学模型，转化为数学问题．
3．最后将数学问题还原为物理问题．
例1课本本节例1.
变式训练1．在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？活动：这个日常生活问题可以抽象为如图12所示的数学模型，引导学生由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题．这样物理中用力的现象就转化为数学中的向量问题．只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系(其中F为F1、F2的合力)，就得到了问题的数学解释．图12在教学中要尽可能地采用多媒体，在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F|，|G|，θ之间在变化过程中所产生的相互影响．由学生独立完成本例后，与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤，也可以由学生自己完成，还可以用信息技术来验证．
　　　用向量解决物理问题的一般步骤是：①问题的转化，即把物理问题转化为数学问题；②模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型；③参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值；④问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．解：不妨设|F1|＝|F2|，由向量的平行四边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道cos＝
|F1|＝.通过上面的式子，我们发现：当θ由0°到180°逐渐变大时，由0°到90°逐渐变大，cos的值由大逐渐变小，因此|F1|由小逐渐变大，即F1，F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．点评：本题是日常生活中经常遇到的问题，学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验．本题的关键是作出简单的受力分析图，启发学生将物理现象转化成模型，从数学角度进行解释，这就是本题活动中所完成的事情．教学中要充分利用好这个模型，为解决其他物理问题打下基础．得到模型后就可以发现，这是一个很简单的向量问题，这也是向量工具优越性的具体体现．2．某人骑摩托车以20
km/h的速度向西行驶，感到风从正南方向吹来，而当其速度变为40
km/h时，他又感到风从西南方向吹来，求实际的风向和风速．解：如图13所示．设v1表示20
km/h的速度，在无风时，此人感到的风速为－v1，实际的风速为v，那么此人所感到的风速为v＋(－v1)＝v－v1.图13令＝－v1，＝－2v1，实际风速为v.∵＋＝，∴＝v－v1，这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度．∵＋＝，∴＝v－2v1，这就是当车的速度为40
km/h时，骑车人感受到的风速．由题意得∠DCA＝45°，DB⊥AB，AB＝BC，∴△DCA为等腰三角形．DA＝DC，∠DAC＝∠DCA＝45°，∴DA＝DC＝BC＝20，∴|v|＝20
km/h，答：实际吹来的风的速度v的大小是20
km/h，v的方向是东南方向.
例2在静水中划船的速度是每分钟40，水流的速度是每分钟20，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该指向何处？
解：如图14，船航行的方向是与河岸垂直方向成30°夹角，即指向河的上游．
图14
知能训练
1．一艘船以4
km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2
km/h，则经过小时，该船实际航程为(　　)
A．2
km　　　　
　B．6
km　　　　
　C.
km　　　　
　D．8
km
2．如图15，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为________
N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力F，则F＝________.
图15
3．一艘船以5
km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，而该船实际航行的方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度的大小．
参考答案：
1．B
点评：由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理，所以要通过作高来求．
2.　(5,4)
3．解：如图16所示，设表示水流速度，表示船垂直于对岸的速度，表示船的实际速度，∠AOC＝30°，||＝5
km/h.
图16
因为四边形OACB为矩形，
所以||＝||cot30°＝||cot30°＝5
km/h，
||＝＝＝10
km/h.
答：水流速度的大小为5
km/h，船的实际速度的大小为10
km/h.
点评：转化为数学模型，画出向量图，在直角三角形中解出．
1．与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤．
①问题的转化，即把物理问题转化为数学问题；
②模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型；
③参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值；
④问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．
2．与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型．
①力、速度、加速度、位移都是向量；
②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减；
③动量mv是数乘向量，冲量ΔtF也是数乘向量；
④功是力F与位移s的数量积，即W＝F·s.
1．习题2.5　1、2、5、8.
2．归纳总结物理学中哪些地方可用向量．
1．本教案设计的指导思想是：由于本节重在解决两个问题，一是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型；二是如何用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．因此本教案设计的重点也就放在怎样让学生探究解决这两个问题上．而把这个探究的重点又放在这两个中的第一个上，也就是引导学生认真分析物理现象、准确把握物理量之间的相互关系．通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题，然后利用向量知识解决这个向量问题．
2．经历是最好的老师．充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决实际问题的方法就越恰当而且简捷．教科书中对本节的两个例题的处理方法，都不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法，就足以说明这一点．
3．突出数形结合的思想．教科书例题都是先画图进行分析的，本教案的设计中也突出了这一点．让学生在活动的时候就先想到画图，并在这个活动中，体会数形结合的应用，体会数学具有广泛的应用，体会向量这个工具的优越性．2.3
向量的坐标表示
典题精讲
例1
如图2-3-2，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知=c，=d，试用c、d表示和.
图2-3-2
思路分析：本题要求用c、d表示和，所以可以将c、d看作基底，也就变成了用基底表示和两个向量.
解：设=a，=b，由M、N分别为DC、BC的中点，
得=b，=a.从△ABN和△ADM中，
得
即=(2d-c)，=(2c-d).
绿色通道：从解答本题的过程来看，本题策略性较强：
(1)为使问题表达简单，采用代换=a，=b；
(2)为使问题降低难度，采用正难则反策略，即直接用c、d表示、困难，反过来改用、表示c、d，然后将和看成是未知量，利用方程组解得和.
变式训练
如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法错误的有(
)
①λe1+μe2
(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
②对于平面α中的任一向量a，使a=λe1+μe2的实数λ、μ有无数多对
③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1
e1+μ1
e2=λ(λ2
e1+μ2
e2)
④
若实数λ、μ使λe1+μe2=0，则λ=μ=0
A.①②
B.②③
C.③④
D.②
思路解析：由平面向量基本定理,知①④正确，而②错误.当λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)，当λ1=λ2=μ1=μ2时，对任意实数λ，均有λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2).因此，③也是错误的.
答案：B
例2
已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.
(1)求证：对于任意向量a、b及常数m、n，f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)恒成立；
(2)设a=(1,1)，b=(1,0)，求向量f(a)、f(b)的坐标;
(3)求使f(c)=(p,q)(p、q为常数)的向量c的坐标.
思路分析：本题用到向量的坐标表示，向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算等知识，代入相应的公式运算即可.
解：(1)设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2).
∴
f(ma+nb)=(ma2+nb2，2ma2+2nb2-ma1-nb1),
mf(a)+nf(b)=m(a2，2a2-a1)+n(b2，2b2-b1)
=(ma2+nb2，2ma2+2nb2-ma1-nb1).
∴f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)恒成立.
(2)f(a)=(1,2×1-1)=(1,1)，f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).
(3)设c=(x,y)，则f(c)=(y,2y-x)=(p,q).
∴y=p,2y-x=q.∴x=2p-q，即向量c=(2p-q,p).
绿色通道：本题是向量的坐标运算与函数知识相结合的问题，题目的难度并不大，主要考查向量的坐标运算和函数的基础知识，但却充分体现了坐标运算的代数性.为运用题设条件，必须将向量用坐标表示，通过坐标进行计算，从而解决问题.
变式训练
已知ABCD中，A(-1，0)，B(3，0)，C(1，-5)，则D的坐标为(
)
A.(-3，-5)
B.(-3，5)
C.(5，-5)
D.(-2，5)
思路解析：设D(x,y)，∵四边形ABCD是平行四边形，∴=.
又∵=-=(4,0),=-=(1-x,-5-y)，
∴1-x=4且-5-y=0.∴x=-3,y=-5.
答案：A
例3
如图2-3-3所示，在△ABC中，=a,=b，=c，=λa(0<λ<1),
=μb(0<μ<1),试用a、b表示c.
图2-3-3
思路分析：利用共线，假设=m和=n；再根据向量减法的三角形法则，求出(用a,b,m,n,λ,μ表示)，再解方程，从而可顺利用a,b表示出c.
解：∵与共线，假设=m,
∴=m=m(-)=m(μb-a).
∴=+=a+m(μb-a)
=(1-m)a+mμb.①
又∵与共线，
设=n=n(-)=n(λa-b)，
∴=+=b+n(λa-b)
=nλa+(1-n)b.②
由①②，得(1-m)a+mμb=nλa+(1-n)b，
∵a与b不共线，
∴
解得m=,n=.代入①式，得
c=(1-m)a+mμb=(1-)a+μb=［λ(1-μ)a+μ(1-λ)b］.
绿色通道：由于题中的三角形个数较多，利用向量减法的三角形法则要从条件与结论所需要出发，找出有关三角形，一个不够可以找两个、三个、…，本例中找了两个三角形；然后利用平面向量基本定理中向量用基底表示的唯一性，分别求出m、n.
变式训练
一船以每小时8千米的速度向东航行，船上人测得风自北方来，若船速加倍，则测得风自东北方来，求风速.
思路分析：船上人测得的风速是风对船的相对速度，明白了这个道理解决这个问题就很简单了.
解：分别取正东、正北方向为x、y轴建立直角坐标系，令x、y轴正方向上的单位向量为i、j，则风速可表示为xi+yj，
第一次船速为8i，船上人测得的风速为-pj(p>0).
∴xi+yj-8i=-pj.∴x=8.
第二次船速为16i，船上人测得的风速为-q(i+j)(q>0).
∴xi+yj-16i=-q(i+j).
∴x-16=-q=y.
∴y=-8.
∴风速为8i-8j，即风的方向为东南方向，大小为千米/时.
问题探究
问题试探究命题“如果a=(a1,a2),b=(b1,b2)，则a1b2-a2b1=0a∥b”成立.
导思：若a、b其中一个为零向量，则零向量与任何向量共线，显然成立，若a、b均不为零向量，可借助平面向量基本定理证明结合向量的直角坐标运算来证之.
探究：(1)若a1b2-a2b1=0.
①若b1=b2=0即b=0，此时a∥b成立；
②若b1=0，b2≠0，则a1=0，此时a=(0,a2)，b=(0,b2)，a∥b成立；
③若b1≠0且b2≠0，则由a1b2-a2b1=0得，
令=λ，即a1=λb1,a2=λb2，
∴a=(a1,a2)=(λb1,λb2)=λ(b1,b2)=λb.
∴a∥b.
因此，若a1b2-a2b1=0，则a∥b.
(2)若a∥b.
①若a、b其中一个为零向量，不妨设b=(0,0)，则a1b2-a2b1=0成立；
②若a、b均不为零向量，因为a∥b，则存在唯一实数λ使a=λb,
即(a1,a2)=λ(b1,b2)=(λb1,λb2),
即a1=λb1，①
a2=λb2
.②
①②两式的两边分别乘以b2、b1,得
a1b2=λb1b2,③
a2b1=λb2b1.④
∴a1b2-a2b1=0.
因此，若a∥b，则a1b2-a2b1=0.
综上可得a1b2-a2b1=0a∥b.(共36张PPT)
2．2　向量的线性运算
2．2.1　向量的加法
2．2.2　向量的减法
第2章
平面向量
学习导航
第2章
平面向量
学习目标
1.了解向量加法、减法的实际背景,相反向量的概念.
2．理解向量加法、减法的几何意义．(重点、难点)
3．掌握向量加法、减法运算法则．(重点)
第2章
平面向量
学法指导
1.使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相
接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.
2．向量的三角形法则可推广到n个向量求和——多边形法则，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是由第一个向量起点指向第n个向量的终点的向量．
3．当两向量不共线时，向量加法的三角形法则与平行四边形法则是一致的．而当两个向量共线时，三角形法则适用，平行四边形法则就不适用了．
第2章
平面向量
学法指导
第2章
平面向量
学法指导
5．关于“差向量”方向的确定,通常归纳为“指向被减向量”,这个结论成立的前提是两个“作差向量”共起点,因此几何法确定差向量的方向有两个关注点:(1)共起点；(2)指被减.
2.向量加法法则与运算律
向量加法法则
三角形法则
向量加法法则
平行四边形法则
向量加法的运算律
交换律
a＋b＝___________
结合律
a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(____________)
b＋a
b＋c
3.向量加法的运算性质
(1)设a为任一向量，则a＋0＝0＋a＝____________．
(2)对于相反向量，有a＋(－a)＝(－a)＋a＝____________．
(3)a与b互为相反向量 a＋b＝0 a＝－b b＝_________．
4．向量减法的定义
向量的减法是向量加法的____________运算．
若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的差，记作____________，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．
a
0
－a
逆
a－b
5．向量a－b的作图方法
根据向量减法的定义和向量加法的三角形法则，可得向量
a－b的作图方法．
由b＋(a－b)＝a，知：当向量a，b起点相同时，从b的终点
指向a的终点的向量就是a－b，这是向量减法的几何意义．
作两个向量的差向量时，首先考虑两个向量有相同的起点,其次是考虑从减向量的终点指向被减向量的终点．上述是向
量减法的三角形法则．
6．向量加减法的关系
(1)a－b＝________________；
(2)a＋b＝________________．
a＋(－b)
a－(－b)
1
2．已知向量a表示“向东走3千米”，b表示“向南走3千米”,
则a＋b表示_____________________________．
解析：经化简知①②③④均为零向量．
4
用已知向量作出其它向量
如图，已知向量a，b，c不共线,求作向量a＋b－c.

(链接教材P65T2及P66例1)
解：如图所示：
向量的加减法运算与化简
方法归纳
(1)化简与向量和的运算有关的式子，应注意利用向量和的
三角形法则和向量加法的运算律．
(2)“首尾相接”的n个向量的和为0，而不是0.
(3)减去一个向量等于加上它的相反向量．
向量加减法的实际应用
一条小船要渡过一条两岸平行的小河，河的宽度d＝100
m，船的航行速度为v1＝4
m/s，水流速度
为v2＝2
m/s,
试问当船头与水流方向的夹角θ为多大时，小船行驶到对岸所用的时间最少？此时小船的实际航行速度与水流方向的夹角
的正切值是多大？
(链接教材P64例2)
②
①
方法归纳
小船过河所用的时间取决于合速度沿垂直于河岸的分速度,也就是船的航行速度沿垂直于河岸的分速度．本题主要考查
向量在实际生活中的应用，解答本题的关键在于把实际问题
抽象为向量的加法运算，在此基础上依据题设正确作出图形,并结合三角形的有关知识求解相应问题．
规范解答
利用向量加法证明平面几何问题
(本题满分14分)用向量的方法证明“对角线互相平分的四边形是平行四边形”．
名师解题
向量的加、减运算及模的综合应用2.1
向量的概念及表示
课堂导学
三点剖析
1.向量、相等向量、共线向量的概念
【例1】
判断下列各命题的真假.
（1）向量的长度与向量的长度相等；
（2）向量a与向量b平行，且a与b方向相同或相反；
（3）两个有共同起点而且相等的向量，终点相同；
（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
（5）与共线，则点A、B、C、D必在同一条直线上；
（6）有向线段就是向量，向量就是有向线段.
思路分析：考查向量的基本概念及表示.
解：（1）真命题.与互为相反向量.
（2）假命题.若a、b中有一个为零向量时，其方向是不确定的.
（3）真命题.
（4）假命题.终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反.
（5）假命题.共线向量所在的直线可以重合也可以平行.
（6）假命题.向量是用有向线段来表示的，但并不是有向线段.
温馨提示
对于零向量它比较特殊，它与任一向量平行.解题时加以注意.
2．共线向量（平行向量）的概念理解
【例2】
如右图D、E、F分别是等腰Rt△ABC各边中点，∠BAC=90°.
（1）写出图中与、长度相等的向量；
（2）分别写出图中与向量、共线的向量.
思路分析：长度相等的向量包括相等向量、相反向量以及模相等的所有向量.共线与否只看方向不看大小.
解：（1）与长度相等的向量有、、、、.与长度相等的向量有、.
（2）与共线的向量有、、.与共线的向量有，，.
温馨提示
共线向量有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等.这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.
3.向量的模与零向量
【例3】下列四个命题，其中正确命题的个数是（
）
①若|a|=0，则a=0
②若|a|=|b|，则a=b或a=-b
③若a∥b，则|a|=|b|
④若a=0，则-a=0
A.1
B.2
C.3
D.4
思路分析：考查零向量与向量的模的概念.
解：分清0与0的区别，知①错误；两个向量模相等，它们有无数种位置关系，故②不正确；两向量平行模不一定相等，故③错误.④正确.
答案：A
温馨提示
①容易忽略0与0的区别；②误认为模相等时向量相等，把向量的模同实数的绝对值等同起来.
【例4】
给出下列命题，其中正确命题的个数是（
）
①零向量是唯一没有方向的向量
②平面内的单位向量有且仅有一个
③a与b共线，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量
④相等的向量必是共线向量
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析：①零向量方向任意.②平面内的单位向量有无数个.③a与c方向可能相反.
答案：A
各个击破
类题演练1
如图B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出多少个互不相等的非零向量？
思路分析：大小相等、方向相同的向量是相等的.只需从大小和方向两方面思考即可.
解：可设AD的长度为3，那么长度为1的向量有6个，其中==，==；长度为2的向量有4个，其中=，；长度为3的向量有2个，所以最多可以写出6个互不相等的向量.
变式提升1
（1）如图，D、E、F分别是正△ABC的各边中点，则在以A、B、C、D、E、F六个点中任意两点为起点与终点的向量中，找出与向量平行的向量.
解：与向量平行的向量有7个，分别是、、、、、、.
（2）判断下列命题的真假，并注意体会它们之间的联系与不同.
①若a∥b，则a=b.(
)
②若|a|=|b|，则a=b.（
）
③若|a|=|b|，则a∥b.（
）
④若a=b,则|a|=|b|.(
)
答案：（1）假命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）真命题.
类题演练2
不相等的两个向量a和b，有可能是平行向量吗？若不可能，请说明理由；若有可能，请把各种可能的情形一一列出.
解：不相等的两个向量有可能平行.
有如下三种情况：
情况1：两个向量a和b中有一个是零向量而另一个是非零向量；
情况2：两个向量a和b都为非零向量，且方向相同；
情况3：两个向量a和b都为非零向量，且方向相反.
变式提升2
判断下列命题是否正确.
（1）若a∥b，则a与b的方向相同或相反；
（2）共线的向量.若起点不同，则终点一定不同.
解：（1）错.若a、b中有一零向量，其方向不定.
（2）错.如图，与共线，虽起点不同，但终点却相同.
类题演练3
下列命题中，正确的是（
）
A.|a|=|b|a=b
B.|a|>|b|a>b
C.a=ba∥b
D.|a|=0a=0
解法1：（直接法）
∵如果两个向量相等，则这两个向量必定平行.
∴应选C.
解法2：（排除法）
由向量的定义知：向量既有大小，也有方向，由向量具有方向性可排除A、B，零向量，数字0是两个不同的概念，零向量是不等于数字0的.
∴应排除D，∴应选C.
答案：C
变式提升3
根据图形回答下列问题.
（1）写出与共线的向量;
（2）写出与的模大小相等的向量;
（3）写出与相等的向量.
思路分析：利用三角形中位线定理解决线段的平行和相等问题，再将线段的平行、相等转化为共线的向量、相等的向量.
解：（1）∵E、F分别是AC、AB的中点，
∴EFBC.
又∵D是BC的中点,
∴与向量共线的向量有：，，，，，，.
（2）与模相等的向量有：，，，，.
（3）与相等的向量有:，.
温馨提示
零向量在共线向量问题中是一个特别的对象，应按照平行向量的补充规定来判断；考查向量应考查其大小和方向，二者缺一不可，对于一个向量只要不改变其大小与方向是可以任意平行移动的，即我们研究的向量是自由向量；平行向量与向量的模无关，而方向包含相同和相反两种情形.(共28张PPT)
2．3　向量的坐标表示
第2章
平面向量
学习导航
第2章
平面向量
学习目标
1.了解平面内所有向量的一组基底的含义．
2．理解平面向量基本定理．(重点、难点)
3．掌握平面向量的正交分解．(重点)
学法指导
平面向量基本定理的实质：平面内的任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式；而且基底一旦确定，这种分解是惟一的.
不共线
有且只有一对
不共线
互相垂直
2.向量共线定理与平面向量基本定理的关系
(1)由平面向量共线定理知，任意一个向量可以用一个与它
共线的非零向量来线性表示，而且这种表示是惟一的；
(2)由平面向量基本定理知，任一平面向量可以用不共线的
两个非零向量来线性表示，而且这种表示是惟一的；
上述两个定理都可以看成(在一定范围内的)向量分解“惟一
性”定理．
1．下面三种说法：
①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
②一个平面内有无数对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
③零向量不可以作为基底中的向量．
其中正确的说法是__________．
解析：平面内的一对向量只要不共线均可作为表示这个平
面内所有向量的基底,基底本身也可以用这组基底表示.故
①
错,②对；由于零向量与平面内的任一向量共线，故③正确．
②③
2．平面向量的基底是不惟一的，一个向量在某一组基底下的分解________惟一的．(填“是”或“不是”)
解析：平面向量基本定理中，实数λ1，λ2的惟一性是相
对
于基底e1，e2而言的．平面内任意两个不共线的向量都可作为基底，一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是惟
一的．同一平面可以有不同的基底，就像平面上可选取不同
的坐标系一样，在不同基底下的实数对λ1、λ2不同．
是
③
用基底表示向量
向量正交分解在物理学中的应用
如图所示，用绳子AC和BC吊一重物，绳子与垂直
方向夹角分别为60°和30°，已知绳子AC和BC所能承受的最大拉力分别为80
N和150
N，那么重物的重力的大小应不超过多少？
(链接教材P75例2)
方法归纳
物理学中的受力分析、速度分解与合成，特别是作正交分解,充分体现了平面向量基本定理的思想内涵，使复杂的问题
简单化、特殊化，从而便于解决．
平面向量基本定理的应用
易错警示
忽视向量共线的情况而致误
3．下列关于基底的说法正确的序号是________．
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的
线
性分解形式也是惟一确定的．
解析：作为基底的两个向量不共线，故基底中的向量不
能
是零向量，②不正确，①③正确．
①③
规范解答
平面向量基本定理的综合应用2.1　向量的概念及表示
教学分析　　　　　
1．本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大．学生可根据原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形、实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念．由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用，可通过几个具体的例子说明它的应用．位移是物理中的基本量之一，也是几何研究的重要对象．几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．位移简明地表示了点的位置之间的相对关系，它是向量的重要的物理模型．力是常见的物理量．重力、浮力、弹力等都是既有大小又有方向的量．物理中还有其他力，让学生举出物理学中力的其他一些实例，目的是要建立物理课中学过的位移、力及矢量等概念与向量之间的联系，以此更加自然地引入向量概念，并建立学习向量的认知基础．
2．在类比数量的抽象过程引出向量的概念后，为了使学生更好地理解向量概念，可采用与数量概念比较的方法，引导学生认识年龄、身高、长度、面积、体积、质量等量是“只有大小，没有方向的量”，同时给出“时间、路程、功是向量吗？速度、加速度是向量吗？”的思考题．通过这样的比较，可以使学生在区分相似概念的过程中更深刻地把握向量概念．实数与数轴上的点是一一对应的，数量常常用数轴上的一个点表示．教科书通过类比实数在数轴上的表示，给出了向量的几何表示——用有向线段表示向量．用有向线段表示向量，赋予了向量一定的几何意义．有向线段使向量的“方向”得到了表示，那么，向量的大小又该如何表示呢？一个自然的想法是用有向线段的长度来表示，从而引出向量的模、零向量及单位向量等概念，为学习向量作了很好的铺垫．
3．数学中，引进一个新的量后，首先要考虑的是如何规定它的“相等”，这是讨论这个量的基础．如何规定“相等向量”呢？由于向量涉及大小和方向，因此把“长度相等且方向相同的向量”规定为相等向量是非常自然的．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的方向和大小，就可以任意平行移动．因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，这为用向量处理几何问题带来方便，并使平面上的向量与向量的坐标得以一一对应．教学时可结合例题、习题说明这种思想．
4．共线向量和平行向量是研究向量的基础，由此可以将一组平行向量平移(不改变大小和方向)到一条直线上，这给问题的研究带来方便．教学中，要使学生体会两个共线向量并不一定要在一条直线上，只要两个向量平行就是共线向量．当然，在同一直线上的向量也是平行向量．要避免向量的平行、共线与平面几何中直线、线段的平行和共线相混淆，教学中可以通过对具体例子的辨析来正确掌握概念．
三维目标　　　　　
1．通过实例，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念和确定平面向量的两个要素，搞清数量与向量的区别．
2．理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量等概念，并能判断向量之间的关系，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量．
3．在教学过程中，应充分根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系，揭示向量可以平移这一特性．
4．通过本节学习，培养学生从数学的角度思考生活中实际问题的习惯．加强数学的应用意识，切实做到学以致用．用联系、发展的观点观察世界．
重点难点　　　　　
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量．
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．
教具准备　　　　　
实物投影仪，多媒体课件．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.如图1，
图1
在同一时刻，老鼠由A向西北方向的C处逃窜，猫在B处向正东方向的D处追去，猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论：追不上，猫的速度再快也没用，因为方向错了．教师适时设问：如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课．
思路2.两列火车先后从同一站台沿相反方向开出，各走了相同的路程，怎样用数学式子表示这两列火车的位移？从中国象棋中规定“马”走日，象走“田”，让学生在图上画出马、象走过的路线引入新课也是一个不错的选择．
推进新课　　　　　
1．向量
既有大小又有方向的量叫做向量．向量的大小叫做向量的长度(或称模)．
2．向量的表示方法
(1)字母表示法：如a、b、等．
(2)几何表示法：用一条有向线段表示向量．
3．零向量
长度为零的向量，记为0，其方向是任意的．
4．单位向量
模为1个单位长度的向量．
5．平行向量
方向相同或方向相反的非零向量，也叫做共线向量.
规定：0与任一非零向量平行．a与b平行，记作a∥b.
6．相等向量
长度相等且方向相同的向量，记作a＝b.
7．相反向量
长度相等且方向相反的向量．
在物理课中，我们学过力的概念．请回顾一下力的三要素是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢？这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象出这些具有共同特征的量呢？
教师指导学生阅读教材，思考讨论并解决上述问题，学生讨论列举与位移一样的一些量．物体受到的重力是竖直向下的，物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是沿着反拉方向的，被压缩的弹簧的弹力是沿着反压方向的，并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大；速度与加速度都是既有大小，又有方向的量；物理中的动量与矢量都有方向，且有大小；物理学中存在着许多既有大小，又有方向的量．
教师引导学生观察思考这些量的共同特征，我们能否在数学学科中对这些量加以抽象，形成一种新的量？至此时机成熟，引入向量，并把那些只有大小，没有方向的量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量，物理学上称为标量．显然数量和向量的区别就在于方向问题．
教师再次指导学生阅读教材，通过阅读教材思考讨论向量的表示方法、向量的长度、零向量，单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念．特别是有向线段，是学习向量的关键．但不能说“向量就是有向线段，有向线段就是向量”，有向线段只是向量的一种几何表示，二者有本质的区别．向量只由方向和大小决定，而与向量的起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，也与起点的位置有关．如图2，
图2
在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点、B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作，起点要写在终点的前面．
已知，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就惟一确定了．
用有向线段表示向量的方法是：
①起点是A，终点是B的有向线段，对应的向量记作：.
这里要提醒学生注意的方向是由点A指向点B，点A是向量的起点．
②用字母a，b，c，…表示．(一定要让学生规范书写：印刷用黑体a，书写用)
③向量(或a)的大小，就是向量(或a)的长度(或称模)，记作||(或|a|)．
教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比较，数量有大小而没有方向，其大小有正、负和0之分，可进行运算，并可比较大小；向量的模是正数或0，也可以比较大小．由于方向不能比较大小，所以像a＞b就没有意义，而|a|>|b|有意义．
注意：手写体上面的箭头一定不能漏写．
对于有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，其有三个要素：起点、方向、长度．向量与有向线段的区别：向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．
长度为0的向量叫做零向量，记作0，规定零向量的方向是任意的．长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．长度相等且方向相同的向量叫相等向量．
对于平行向量定义的理解：第一，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，第二，我们规定0与任一向量平行即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量a，b，c平行，记作a∥b∥c.如图3.
图3
又如图4，a，b，c是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出＝a，＝b，＝c.这就是说，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．
图4
这里一定要特别注意平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性质，不能比较大小．本章学习的向量都是平面内的自由向量，它们仅由方向和大小确定而与起点的位置无关．
例1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．
(1)
ABCD中，与是共线向量；
(2)单位向量都相等．
活动：教师引导学生画出平行四边形，如图5.
图5
因为AB∥CD，所以∥.由于上面已经明确，单位向量只限制了大小，方向不确定，所以单位向量不一定相等，即单位向量模均相等且为1，但方向不确定．
解：(1)正确；
(2)不正确．
点评：本题考查基本概念，对于单位向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握好．
例2见课本本节例1.
点评：向量相等是一个重要的概念，今后经常用到．让学生在训练中明确：向量相等不仅大小相等，还要方向相同．
对于相反向量，我们把与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量(opposite
vectors)，记作－a，a与－a互为相反向量．并且规定零向量的相反向量仍是零向量．于是，对任一向量a有－(－a)＝a.
例3见课本本节例2.
变式训练　如图6，EF、GH将正方形ABCD分为4个单位正方形(边长为1个单位长度)．图6(1)在以图中的点为端点的所有向量中，与平行的向量有哪些？其中单位向量有哪些？(2)在以图中的点为端点的所有向量中，与相等的向量有多少个？试写出来．解：(1)根据平行向量的定义，与平行的向量有：、、、、、、、、、、、、、、、、.其中单位向量有：、、、、、、、、、、〔向量平行的几何表示与平面几何中的直线(或射线、线段)平行不完全相同．平面几何中平行的两条线不可以共线，而向量平行则可以“共线”〕．(2)与相等的向量有：、、.
例4下列命题正确的是(　　)
A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B．任意两个相等的非零向量的起点与终点是一个平行四边形的四个顶点
C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D．有相同起点的两个非零向量不平行
活动：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确．由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确．向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确．对于C，其条件以否定形式给出，所以可从反面入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有a与b都是非零向量，所以只有C正确．
答案：C
点评：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念特征入手，也可以从反面进行考虑，即要判断一个结论不正确，只需举一个反例即可．要启发学生注意这两方面的结合.
变式训练1．判断：(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)(3)与零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量)(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量)(5)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？(平行向量)(6)两个非零向量相等当且仅当什么？(长度相等且方向相同)(7)共线向量一定在同一直线上吗？(不一定)2．在同一平面内，把一切单位向量归结到共同的起点，那么这些向量的终点所构成的图形是(　　)A．一条线段　　　　　　　　
B．一段圆弧C．两个点
D．一个圆答案：D3.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点，则这些向量的终点所构成的图形是(　　)A．一个点　　　　　　　　　　
B．两个点C．一个圆
D．一条线段答案：B
课本本节练习1、2、3、4.
1．先由学生回顾本节都学了哪些概念：向量的描述，向量的两种表示，即对向量的手写要标上箭头，图示要标上箭头和起点、终点，零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，明了平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比．
2．教师简要总结：本节课我们从平面向量的物理背景和几何背景入手，利用类比的方法，介绍了向量的两种表示方法：几何表示和字母表示，几何表示为用向量处理几何问题打下了基础，字母表示则利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念，这些概念是我们进一步学习后续课程的基础，必须要在理解的基础上把握好．
3．点拨学生要领悟我们是如何从实际背景中获得这些数学概念的方法，本节的数学知识或许将来会忘掉，但是我们探究这些知识的方法却会伴随我们一生，永远不会忘掉，使我们终生受益．
如图7，在梯形ABCD中，AB∥CD，AE∶ED＝BF∶FC＝AB∶DC，O是AC与BD的交点，求证：＝.
图7
证明：∵AB∥CD，∴AO∶OC＝BO∶OD＝AB∶CD.
又AE∶ED＝BF∶FC＝AB∶DC，
∴AE∶ED＝AO∶OC.∴EO∥DC.
同理，OF∥DC，∴E，O，F在同一直线上．
∴＝＝＝.
∴EO＝OF，即||＝||.
又与方向相同，∴＝.
1．本节是平面向量的第一节，显然属于“概念课”，概念的理解无疑是重点，但也是难点．本教案设计的指导思想是：把学生划分小组合作讨论学习，经过小组成员们的合作探究，对平面向量的基本概念和基本解题方法都明了不少，应该有很多的成功之处或收获．对失败或教训之处可能是由于一些概念性问题没有深入研究，导致解题存在困难，不过这些会通过学习的深入弥补上来的．
2．作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后，给中学数学带来无限生机．通过本节具体问题的解决，让学生体会到数学在生活中的重要作用，并在实际课堂教学中规范学生的习惯，培养学生严谨的思考习惯和行为习惯，为后面学习打下基础．
备用习题
1．若正多边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，…，an，则这n个向量…(　　)
A．都相等
B．都共线
C．都不共线
D．模都相等
2．如图8所示，在△ABC中，DE∥BC，则其中共线向量有…(　　)
图8
A．一组
B．二组
C．三组
D．四组
3．如图9所示，在四边形ABCD中，若＝，则下列各组向量相等的是(　　)
图9
A.与
B.与
C.与
D.与
4．如图10所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．
图10
(1)写出与相等的向量；
(2)若||＝3，求向量的模．
5．判断下列各命题的真假：①向量的长度与向量的长度相等；②向量a∥b，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
6．如图11，O为正方形ABCD的中心．
图11
(1)与是相等向量吗？
(2)与是平行向量吗？
(3)的长度与的长度之比为________．
7．如图12，有四个全等的相邻正方形，从中找出与相等的向量．
图12
8.(1)如果非零向量a、b平行，非零向量b、c也平行，则a、c是否平行？
(2)如果非零向量a、b共线，非零向量a、c也共线，则向量a、b是否共线？
参考答案：
1．D　2.C　3.D
4．(1)与相等的向量有和(因为四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，
故AB＝ED＝DC)．
(2)向量的模等于6.
5．C　因为①真命题；②假命题；③真命题；④假命题；⑤假命题；⑥假命题．
6．(1)不是　(2)是　(3)1∶
评注：弄清平行向量及表示方法，能正确地解决有关相等向量和向量模的问题．
7．解：与相等的向量有，，.
评注：成为相等向量的条件是方向相同和长度相等．
8．解：(1)(2)符合任一组平行向量都可移到同一直线上及它们的位置关系与表示它们的有向线段的起点无关．所以(1)是平行，(2)是共线．(共23张PPT)
第2章
平面向量
平面向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常叫做向量的线性运算，主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共
线、两线段平行、线段相等等问题，而理解相关概念，用基底表示向量是基础．
向量的坐标运算
向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示．引入向量的
坐标表示后，向量的运算完全转化为代数运算，达到了数与
形的统一，通过向量的坐标运算主要解决求向量的坐标、向
量的模、判断共线、平行等问题．
已知A、B、C、D四点的坐标分别是A(1，0)、
B(4，3)、C(2，4)、D(m，n)，当m，n满足什么条件
时，
四边形ABCD分别是平行四边形、菱形、矩形、正方形、
梯
形(A、B、C、D按逆时针方向排列)
[分析]　将平行四边形、菱形等的判断条件用向量的关
系
式表示出来求解．
[点评]　通过建立直角坐标系,可以将平面内任一向量用一
个有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对就表示一个
向量．这就是说，一个平面向量就是一个有序实数对．这样,就给出了向量的另一种表示——坐标表示法，向量的加法、减法及实数与向量的积都可用坐标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决就可以转化为我们熟知的数量运算．
平面向量的数量积
通过向量的数量积的定义和由定义推出的性质可以计算向
量的长度(模)、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、
判
断相应的两条直线是否垂直等．
[分析]　对角线的长即为向量的模，利用模的计算公式求解.
[点评]　数量积的运算是平面向量的核心内容，利用数量积可以解决以下几个大问题：平行问题、垂直问题、求模问
题、求夹角问题以及求向量及进行数量积运算等．
向量的共线问题
平面向量的应用
平面向量的应用主要体现在三个方面：
(1)在平面几何中的应用，向量的加法运算和全等、平行，
数乘向量和相似，距离、夹角和数量积之间有着密切联系，
因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．
(2)在解析几何中的应用，主要利用向量平行和垂直的坐标
关系求轨迹方程．
(3)在物理中的应用．
[分析]　把力学问题转化为相应的向量问题，建立数学模型，通过向量的加法法则及平面向量的数量积求解．
[点评]　解决此类问题必须用向量知识将力学问题
转化
为
数学问题，即将力学各量之间的关系抽象成数学模型，再利
用建立的数学模型解析或回答相关物理现象．2.2
向量的线性运算
课堂导学
三点剖析
1.向量的加减法运算数乘的定义及其运算律
【例1】
在四边形中，已知=a，=b，=c，试用向量a,b,c表示向量.
思路分析：连结，则将四边形ABCD分成两个三角形.利用向量的三角形法则，将用a,b,c与来表示，即可求出.
解：在下图中作向量.由向量加法的三角形法则，
得=a+c，=b+.
所以
a+c=b+.
因此=a+c-b.
温馨提示
找到向量并以建立与a,b,c的关系是本题的关键.
【例2】在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，设=a,=b，求作向量a-b,a-b,b+a.
思路分析：利用向量数乘、减法的法则来作图.
解：如图a-b=-=.
a-b=-=.
b+a=+=.
2．对向量数乘运算律的理解和应用
【例3】设x是未知量，解方程2（x-a）-(b-3x+c)+b=0.
思路分析：向量方程与实数方程类似，我们可以用和实数方程类似的方法来解决.
解：原方程化为2x-a-b+x-c+b=0,
B-a+b-c=0,
x=a-b+c,
∴x=a-b+c.
3.向量共线的应用
【例4】如右图所示，在平行四边形ABCD中，=a，=b，M是AB的中点，点N是BD上一点，|BN|=|BD|.
求证：M、N、C三点共线.
思路分析：本题主要考查运用向量知识解决平面几何问题.要证三点共线（M、N、C），不妨证、具有一定的倍数关系，只要用已知条件a,b表示出，，问题就可以解决.
证明：∵=a,=b,
∴=-=a-b.
∴==b+
=b+
(a-b)=
a+b
=(2a+b).
又∵==b+a=
(2a+b),
∴=3.又与有共同起点，
∴M、N、C三点共线.
温馨提示
几何中证明三点共线，可先在三点中选取起点和终点确定两个向量，看能否找到唯一的实数λ使两向量具有一定的倍数关系.
各个击破
类题演练1
已知平行四边形ABCD，=a，=b，用a、b分别表示向量，.
思路分析：利用向量加法、减法的平行四边形法则.
解：连结、，由求向量和的平行四边形法则，则=+=a+b.依减法定义得，=-=a-b.
变式提升1
(2006广东高考，4)如右图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于（
）
A.-+
B.--
C.-
D.+
思路分析：由三角形法则得知=-=-.
答案：A
类题演练2
若O为平行四边形ABCD的中心，=4e1，=6e2，则3e2-2e1=______________.
解：3e2=,2e1=,∴3e2-2e1=-=(-)=(+)=.
答案：
变式提升2
化简［(4a-3b)+
b-(6a-7b)］=__________________.
解析：原式=(4a-3b+b-a+b)
=［(4-)a+(-3++)b］
=(a-b)=a-b.
答案：a-b
类题演练3
设x为未知向量，解方程x+3a-b=0.
解：原方程化为x+(3a-b)=0,
所以x=0-(3a-b),x=-3a+b.所以x=-9a+b.
变式提升3
(2006山东高考，文4)设向量a=（1，-3），b=（-2，4）.若表示向量4a、3b-2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为（
）
A.(1，-1)
B.(-1,1)
C.(-4,6)
D.(4,-6)
解析：依题可知4a+(3b-2a)+c=0,
所以c=2a-4a-3b=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).
答案：D
类题演练4
已知两个非零向量e1和e2不共线，如果=2e1+3e2，=6e1+23e2，=4e1-8e2，求证：A、B、D三点共线.
思路分析：本题主要考查向量共线问题及向量的线性运算.欲证A、B、D三点共线，只需证、共线，根据题目的条件如何才能求得呢？显然=++
证明：∵=++
=2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2
=12e1+18e2=6（2e1+3e2）
=6，
∴向量与向量共线.
又∵和有共同的起点A，
∴A、B、D三点共线.
变式提升4
a=e1+2e2,b=3e1-4e2，且e1、e2共线，则a与b（
）
A.共线
B.不共线
C.可能共线，也可能不共线
D.不能确定
思路分析：∵e1与e2共线，则存在实数e1=λe2,
∴a=e1+2e2=(λ+2)e2,b=3e1-4e2=(3λ-4)e2,
∴a=λ+λ-4b,故a与b共线.
答案：A2．2.2　向量的减法
教学分析　　　　　
向量减法运算是加法的逆运算．学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算．因此，类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数)，首先引进相反向量的概念，然后引入向量的减法(减去一个向量，等于加上这个向量的相反向量)，通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则，结合一定数量的例题，深刻理解向量的减法运算．通过阐述向量的减法运算，可以转化为向量的加法运算，渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化、相互联系的辩证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．
三维目标　　　　　
1．通过探究活动，使学生掌握向量减法的概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行的，掌握相反向量．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题．能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量．
2．鼓励学生对一些数学结论作出猜想，并给出证明，培养学生敢于独立思考、勇于创新的科学精神，培养学生的数学人文价值观．
重点难点　　　　　
教学重点：向量的减法运算及其几何意义．
教学难点：对向量减法定义的理解．
课时安排　　　　　
1课时
导入新课　　　　　
思路1.(问题导入)上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数．向量的减法是否也有类似的法则呢？引导学生进一步探究，由此展开新课．
思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算．本节课，我们继续学习向量加法的逆运算：减法；向量的加法运算有三角形法则和平行四边形法则，那么，向量的减法运算是否也有类似的运算律呢？引导学生去探究、发现．
推进新课　　　　　
向量的减法运算及其几何意义．
数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此定义数的减法运算，必须先引进一个相反数的概念．类似地，向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．请同学们思考，类比数的减法运算，我们可以定义向量的减法运算，由上节知相反向量，即－(－a)＝a.
任一向量与其相反向量的和是零向量，
即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
所以，如果a、b互为相反向量，
那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
由此我们得到向量的减法定义，向量的减法是向量加法的逆运算．
若b＋x＝a，则向量x叫做a与b的差，记为a－b，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．
根据向量减法的定义和向量加法的三角形法则，我们可以得到向量a－b的作图方法.
如图1，设向量＝b，＝a，则＝－b，由向量减法的定义，知＝a＋(－b)＝a－b.
图1
又b＋＝a，
所以＝a－b.
进一步，如图2，已知a、b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．
图2
教师引导学生仔细观察，细心体会：向量的减法按三角形法则，一定要注意向量的方向．即把减向量与被减向量的起点重合，其差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，应充分利用向量加、减法的几何意义，这也是数形结合思想的重要体现．
教师再次强调，差向量的箭头指向被减向量的终点．即a－b是表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
思路1
例1见课本本节例1.
变式训练
1．如图3(1)，已知向量a、b、c、d，求作向量a－b，c－d.
图3
活动：教师让学生亲自动手操作，引导学生注意规范操作，为以后解题打下良好基础；点拨学生根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．
作法：如图3(2)，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a－b，＝c－d.
2．在ABCD中，下列结论错误的是(　　)
A.＝
B.＋＝
C.－＝
D.＋＝0
解析：A显然正确，由平行四边形法则可知B正确，C中－＝错误，D中＋＝＋＝0正确．
答案：C
例2课本本节例2.
变式训练
1．如图4，ABCD中，＝a，＝b，你能用a、b表示向量、吗？
图4
活动：本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量，这是用向量证明几何问题的基础．要多注意这方面的训练，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．
解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道＝a＋b，
同样，由向量的减法，知＝－＝a－b.
2．已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c，则向量等于(　　)
A．a＋b＋c　　　　　　　　
　B．a－b＋c
C．a＋b－c
D．a－b－c
解析：如图5，点O到?ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c，
图5
结合图形有＝＋＝＋＝＋－＝a－b＋c.
答案：B
3．若＝a＋b，＝a－b.
①当a、b满足什么条件时，a＋b与a－b垂直？
②当a、b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|
③当a、b满足什么条件时，a＋b平分a与b所夹的角？
④a＋b与a－b可能是相等向量吗？
解：如图6，用向量构建平行四边形，其中向量、恰为平行四边形的对角线．
由平行四边形法则，得＝a＋b，＝－＝a－b.
图6
由此问题就可转换为：
①当边AB、AD满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|＝|b|)
②当边AB、AD满足什么条件时，对角线相等？(a、b互相垂直)
③当边AB、AD满足什么条件时，对角线平分内角？(|a|＝|b|)
④a＋b与a－b可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同)
点评：灵活的构想，独特巧妙，数形结合思想得到充分体现．由此我们可以想到在解决向量问题时，可以利用向量的几何意义构造几何图形，转化为平面几何问题，这就是数形结合解题的威力与魅力，教师引导学生注意领悟.
思路2
例1判断题．
(1)若非零向量a与b的方向相同或相反，则a＋b的方向必与a、b之一的方向相同．
(2)△ABC中，必有＋＋＝0.
(3)若＋＋＝0，则A、B、C三点是一个三角形的三顶点．
(4)|a＋b|≥|a－b|.
解：(1)a与b方向相同，则a＋b的方向与a和b方向都相同；若a与b方向相反，则有可能a与b互为相反向量，此时a＋b＝0的方向不确定，说与a、b之一方向相同不妥．
(2)由向量加法法则得：＋＝，与互为相反向量，所以有上述结论．
(3)因为当A、B、C三点共线时也有＋＋＝0，而此时构不成三角形．
(4)当a与b不共线时，由向量加法的平行四边形法则可知其大小不定．
当a、b为非零向量共线时，同向则有|a＋b|>|a－b|，异向则有|a＋b|<|a－b|；
当a、b中有零向量时，|a＋b|＝|a－b|.
综上所述，只有(2)正确．
例2若||＝8，||＝5，则||的取值范围是(　　)
A．[3,8]
B．(3,8)
C．[3,13]
D．(3,13)
解析：＝－.
(1)当，同向时，||＝8－5＝3；
(2)当，反向时，||＝8＋5＝13；
(3)当，不共线时，3<||<13.综上，可知3≤||≤13.
答案：C
点评：此题可直接应用重要性质||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|求解．
课本本节练习．
1．先由学生回顾本节学习的数学知识：相反向量，向量减法的定义，向量减法的几何意义，向量差的作图．
2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法，类比，数形结合，几何作图，分类讨论．
已知O为△ABC的外心，H为垂心，求证：＝＋＋.
证明：作直径BD，连结DA，DC，有＝－，DA⊥AB，DC⊥BC，故CH∥DA，AH∥DC，得四边形AHCD为平行四边形，∴有＝.
又∵＝－＝＋，∴＝＋＝＋＝＋＋.
∴结论成立．
1．向量减法的几何意义主要是结合平行四边形法则和三角形法则进行讲解的，两种作图方法各有千秋．第一种作法结合向量减法的定义，第二种作法结合向量的平行四边形法则，直接作出从同一点出发的两个向量a、b的差，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，第二种作图方法比较简捷．
2．鉴于上述情况，教学中引导学生结合向量减法的几何意义，注意差向量的方向，也就是箭头的方向不要搞错了，a－b的箭头方向要指向a的终点，如果指向b的终点则表示b－a，在几何证明题目中，特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系．
一、向量减法法则的理解
向量减法的三角形法则的式子内容是：两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减)，这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点的向量．
只要学生理解法则内容，那么解起向量加减法的题来就会更加得心应手，尤其遇到向量的式子运算题时，一般不用画图就可迅速求解，如下面例题：
例1化简：－＋－.
解：原式＝＋－＝－＝0.
例2化简：＋＋＋.
解：原式＝(＋)＋(＋)＝(－)＋0＝.
二、备用习题
1．下列等式中，正确的个数是(　　)
①a＋b＝b＋a　②a－b＝b－a　③0－a＝－a　④－(－a)＝a　⑤a＋(－a)＝0
A．5
B．4
C．3
D．2
图7
2．如图7，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则－等于(　　)
A.
B.
C.
D.
3．下列式子中不能化简为的是(　　)
A．(＋)＋
B．(＋)＋(＋)
C.＋－
D.－＋
4．已知A、B、C三点不共线，O是△ABC内一点，若＋＋＝0，则O是△ABC的(　　)
A．重心
B．垂心
C．内心
D．外心
参考答案：
1．C　2.D　3.C　4.A(共32张PPT)
2．2.3　向量的数乘
第2章
平面向量
学习导航
第2章
平面向量
学习目标
1.了解向量数乘运算的几何意义．
2．理解向量共线定理．(重点)
3．掌握向量数乘运算法则及运算律．(重点、难点)
学法指导
1.实数λ与向量a可作数乘，但实数λ不能与向量a进行加、减运算，如λ＋a，λ－a都是无意义的．还必须明确λa是一个向量，λ的符号与λa的方向相关，|λ|的大小与λa的模有关．
2．利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意,向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题.
向量
相同
相反
0
有且只有一个
1．化简：4(a－b)－3(a＋b)－b＝________．
解析：4(a－b)－3(a＋b)－b
＝(4－3)a－(4＋3＋1)b＝a－8b.
2．已知实数m，n和向量a，b，给出下列命题：
①m(a－b)＝ma－mb；
②(m－n)a＝ma－na；
③若ma＝mb，则a＝b；
④若ma＝na(a≠0)，
则m＝n.
其中正确的命题是__________．
解析：若m＝0，则ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故③不正确．
a－8b
①②④
①②③
2
向量的线性运算
向量共线定理的应用
方法归纳
(1)本题充分利用了向量共线定理，即b与a(a≠0)共线 b＝λa
(a≠0，λ∈R)，因此用它既可以证明点共线或线共线问
题,
也可以根据共线求参数的值．
(2)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向
量来
表示，进而互相表示，从而判断共线．
向量在几何中的应用
(链接教材P71T6)
方法归纳
用已知向量来表示另外一些向量是向量解题的基础，除利
用向量的线性运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、
性质，如三角形的中位线，相似三角形对应边成比例等．
2.
如图，已知在△ABC中，AC的中点为E，AB的中点
为F,延长BE至P，使BE＝EP，延长CF至Q，使CF＝FQ.试用向量方法证明P、A、Q三点共线．
名师解题
单位向量的应用
[答案]　角平分线
易错警示
对新定义题理解不透致误
[答案]　④
本部分内容讲解结束
按ESC键退出全屏播放2.4　向量的数量积
教学分析　　　　　
课本从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的5个重要性质、运算律．向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来，这样为解决三角形的有关问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题．因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系．既然向量可以进行加减运算，一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢？如果能，运算结果应该是什么呢？另外，距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量
我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系．众所周知，向量概念的引入与物理学的研究密切相关，物理学家很早就知道，如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1)，那么力F所做的功
图1
W＝|F||s|cosθ.
功W是一个数量，其中既涉及“长度”，也涉及“角”，而且只与向量F，s有关．熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算，从而引进向量的数量积的定义
a·b＝|a||b|cosθ.
这个定义不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等)，而且还可以用它来更加简捷地表述几何中的许多结果．
向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量．
平面向量的数量积，教材将其分为两部分，在第一部分向量的数量积中，首先研究平面向量所成的角，其次，介绍了向量数量积的定义，最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论；在第二部分平面向量数量积的坐标表示中，在平面向量数量积的坐标表示的基础上，利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式，得到了两向量垂直的判定的方法．
本节课可采用“启发探索”式的教学方法，从教材内容看，由于前面已经学面向量的线性运算的坐标表示，因此在教学中运用指导探究为教学的主线，通过启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探索，将学生的独立思考、自主探究、交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体地位．
三维目标　　　　　
1．通过经历探究过程，掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，并掌握向量垂直的条件．
2．通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力；培养学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力．
3．通过探究平面向量的数量积的坐标运算，掌握两个向量数量积的坐标表示方法；掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题．
4．通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数量积的认识，提高学生的运算速度，培养学生的运算能力，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质．
重点难点　　　　　
教学重点：平面向量数量积的定义，平面向量数量积的坐标表示．
教学难点：平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用，平面向量坐标表示的应用．
课时安排　　　　　
2课时
第1课时
导入新课　　　　　
思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答地更简捷、更清晰．并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具，而且用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题认识更深刻．物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是向量，这些物理现象都可以用向量来研究．
在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W可由下式计算：
W＝|F||s|cosθ.
其中θ是F与s的夹角．我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量(数量)．
故从力所做的功出发，我们就顺其自然的引入向量数量积的概念．
思路2.前面我们已学过，任意的两个向量都可以进行加减运算，并且两个向量的和与差仍是一个向量．我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算，就自然地会想到，任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能，其运算结果是什么呢？
推进新课　　　　　
1．平面向量数量积的概念，向量的夹角．
2．数量积的重要性质及运算律．
3．两向量垂直的条件．
活动：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ(0≤θ≤π)，其中θ是a与b的夹角．图2为两向量数量积的关系，并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.
图2
教师在与学生的一起探究活动中，应特别点拨引导学生注意：
(1)两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积；
(2)零向量与任一向量的数量积为0，即a·0＝0；
(3)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；
(4)当0≤θ<时cosθ>0，从而a·b>0；当<θ≤π时，cosθ<0，从而a·b<0.与学生共同探究并证明数量积的运算律．
已知a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
①a·b＝b·a(交换律)；
②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)；
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
特别是：(1)当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量．这是因为任一与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0.
(2)已知实数a、b、c(b≠0)，则ab＝bc?a＝c，但对向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·c不能推出a＝c.由图3很容易看出，虽然a·b＝b·c，但a≠c.
图3
(3)对于实数a、b、c有(a·b)c＝a(b·c)，但对于向量a、b、c，(a·b)c＝a(b·c)不成立．这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)不成立．
讨论结果：
由向量数量积的定义可知，
当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
思路1
例1见课本本节例1.
变式训练1．已知平面上三点A、B、C满足||＝2，||＝1，||＝，求·＋·＋·的值．活动：教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解，先分析题设然后找到所需条件．因为已知、、的长度，要求得两两之间的数量积，必须先求出两两之间的夹角．结合勾股定理可以注意到△ABC是直角三角形，然后可利用数形结合来求解结果．解：由题意知，||2＋||2＝||2，∴△ABC是直角三角形，而且∠ACB＝90°.从而sin∠ABC＝，sin∠BAC＝，∴∠ABC＝60°，∠BAC＝30°.∴与的夹角为120°，与的夹角为90°，与的夹角为150°.故·＋·＋·＝2×1×cos120°＋1×cos90°＋×2cos150°＝－4.点评：确定两个向量的夹角，应先平移向量，使它们的起点相同，再考查其角的大小，而不是简单地看成两条线段的夹角，如本例中与的夹角是120°，而不是60°.2．已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b)．解：(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－a·b－6b·b＝|a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－|a||b|cosθ－6|b|2＝62－6×4×cos60°－6×42＝－72.
例2已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线．当k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直？
活动：教师引导学生利用数量积的性质来求两向量垂直需满足的条件，教师可让学生独立完成，可找几个学生到黑板上去演练．
解：a＋kb与a－kb互相垂直的条件是(a＋kb)·(a－kb)＝0，
即a2－k2b2＝0.
∵a2＝32＝9，b2＝42＝16，
∴9－16k2＝0.
∴k＝±.
也就是说，当k＝±时，a＋kb与a－kb互相垂直．
点评：本题主要考查向量的数量积性质中垂直的条件.
变式训练　已知向量a、b满足：a2＝9，a·b＝－12，求|b|的取值范围．解：∵|a|2＝a2＝9，∴|a|＝3.又∵a·b＝－12，∴|a·b|＝12.∵|a·b|≤|a||b|，∴12≤3|b|，|b|≥4.故|b|的取值范围是[4，＋∞).
思路2
例1已知四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝c·d＝b·c＝d·a，试问四边形ABCD的形状如何？
活动：教师引导学生总结如何判断四边形的形状．利用向量的关系来判断四边形的形状，就是借助两个向量的共线或者垂直来判断四边形是平行四边形或是矩形．教师先让学生明确四边形各边的位置关系与长度关系，这可以借助向量的有关运算来完成．
解：∵＋＋＋＝0，即a＋b＋c＋d＝0，
∴a＋b＝－(c＋d)．
由上可得(a＋b)2＝(c＋d)2，即a2＋2a·b＋b2＝c2＋2c·d＋d2.
又∵a·b＝c·d，故a2＋b2＝c2＋d2.
同理，可得a2＋d2＝b2＋c2.
由上两式可得a2＝c2，且b2＝d2.
即|a|＝|c|，且|b|＝|d|，也即AB＝CD，且BC＝DA.
∴四边形ABCD是平行四边形．
故＝－，即a＝－c.
又a·b＝b·c＝－a·b，即a·b＝0，
∴a⊥b.即⊥.
综上所述，四边形ABCD是矩形．
点评：本题考查的是向量数量积的性质应用，利用向量的数量积解决有关垂直问题，然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状．
例2已知a，b是两个非零向量，且|a|＝|b|，|b|＝|a＋b|，求向量b与a－b的夹角．
解：∵|b|＝|a＋b|，|b|＝|a|，∴b2＝(a＋b)2.
∴|b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
∴a·b＝－|b|2.
而b·(a－b)＝b·a－b2＝－|b|2－|b|2＝－|b|2，①
由(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|b|2－2×(－)|b|2＋|b|2＝3|b|2，
而|a－b|2＝(a－b)2＝3|b|2，
∴|a－b|＝|b|.②
设a与a－b的夹角为θ，则cosθ＝，
代入①②，得cosθ＝－＝－.
又∵θ∈[0，π]，
∴θ＝.
点评：本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角的问题，解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会.
变式训练　设向量c＝ma＋nb(m，n∈R)，已知|a|＝2，|c|＝4，a⊥c，b·c＝－4，且b与c的夹角为120°，求m，n的值．解：∵a⊥c，∴a·c＝0.且c＝ma＋nb，∴c·c＝(ma＋nb)·c，即|c|2＝ma·c＋nb·c.∴|c|2＝nb·c.由已知|c|2＝16，b·c＝－4，∴16＝－4n.∴n＝－4.从而c＝ma－4b.∵b·c＝|b||c|cos120°＝－4，∴|b|×4×(－)＝－4.∴|b|＝2.由c＝ma－4b，得a·c＝ma2－4a·b，∴8m－4a·b＝0，即a·b＝2m.①再由c＝ma－4b，得b·c＝ma·b－4b2.∴ma·b－16＝－4，即ma·b＝12.②联立①②，得2m2＝12，即m2＝6，∴m＝±.故m＝±，n＝－4.
判断正误，并简要说明理由．
①a·0＝0；②0·a＝0；③0－＝；④|a·b|＝|a||b|；⑤若a≠0，则对任一非零b有a·b≠0；⑥a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；⑦对任意向量a，b，c都有(a·b)c＝a(b·c)；⑧a与b是两个单位向量，则a2＝b2.
解：上述8个命题中只有③⑧正确．
对于①，两个向量的数量积是一个实数，应有0·a＝0；
对于②，应有0·a＝0；
对于④，由数量积定义有|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有|a·b|＝|a||b|；
对于⑤，若非零向量a、b垂直，有a·b＝0；
对于⑥，由a·b＝0可知a⊥b，可以都非零；
对于⑦，若a与c共线，记a＝λc，
则a·b＝(λc)·b＝λ(c·b)＝λ(b·c)，
∴(a·b)c＝λ(b·c)c＝(b·c)λc＝(b·c)a.
若a与c不共线，则(a·b)c≠(b·c)a.
1．先由学生回顾本节学习的数学知识，数量积的定义、运算，数量积的重要性质，数量积的运算律．
2．教师与学生总结本节学习的数学方法：归纳类比、定义法、数形结合等．在领悟数学思想方法的同时，鼓励学生多角度、发散性的思考问题，并鼓励学生进行一题多解．
课本习题2.4　1、2、3、4、5.
1．本节的重点是平面向量数量积的概念，以及平面向量数量积的运算律，难点是平面向量数量积的应用．利用平面向量的数量积可以解决一些垂直问题，或者解决有关夹角问题．我们发现向量的引入使高中物理学科中的矢量理论有了数学依据，两门学科相互呼应，既可以促进高中学生对两门学科知识更好地理解和吸收，也有助于理科学生高中学习后期整个知识结构体系的整合．其实，“向量”和“矢量”是在数学和物理两门学科对同一量的两种不同称呼而已．在物理学中，矢量是相对于有大小而没有方向的“标量”的另一类重要物理量．几乎全部的高中物理学理论都是通过这两类量来阐释的．矢量广泛地应用于力学(如力，速度，加速度等)和电学(如电流方向，电场强度等)理论之中，在高中新教材中引入向量的数量积后，物理中的功和压强等就自然地形成．对向量进行系统深入的学习和研究，对学生在物理课上学习和理解矢量和标量的知识无疑将提供一个数学根据和许多运算便利．同样，学生在物理课上碰到的与矢量有关的物理实际又会使他们对向量有更深入的了解，并激发他们学习向量知识的兴趣和热情．如在力学中，对力、速度等的分解和合成，使用的就是向量的加减理论，数学和物理的完美结合，起到异曲同工之作用．
2．本节的重要性是显而易见的，但本节有几个常见思维误区：不能正确理解向量夹角的定义，对于两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区．同时利用向量的数量积不但可以解决两向量垂直问题，而且还可以解决两向量共线问题，要深刻理解两向量共线、垂直的充要条件，应用的时候才能得心应手．
一、向量的向量积
在物理学中，由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要，就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积．定义如下：
两个向量a与b的向量积是一个新的向量c：
(1)c的模等于以a及b两个向量为边所作成的平行四边形的面积；
(2)c垂直于平行四边形所在的平面；
(3)其指向使a、b、c三向量成右手系——设想一个人站在c处观看a与b时，a按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b.
向量a与b的向量积记作a×b.
设a与b两个向量的夹角为θ，则|a×b|＝|a||b|sinθ.
(1)
(2)
图4
在上面的定义中已默认了a、b为非零向量，若这两个向量中至少有一个是零向量，则a×b＝0.
向量的向量积服从以下运算律：
(1)a×b＝－b×a；(2)a×(b＋c)＝a×b＋a×c；(3)(ma)×b＝m(a×b)．
二、备用习题
1．已知a，b，c是非零向量，则下列四个命题中正确的个数为(　　)
①|a·b|＝|a||b|?a∥b　②a与b反向?a·b＝－|a||b|
③a⊥b?|a＋b|＝|a－b|　④|a|＝|b|?|a·c|＝|b·c|
A．1
B．2
C．3
D．4
2．有下列四个命题：
①在△ABC中，若·>0，则△ABC是锐角三角形；
②在△ABC中，若·>0，则△ABC为钝角三角形；
③△ABC为直角三角形?·＝0；
④△ABC为斜三角形?·≠0.
其中为真命题的是(　　)
A．①
B．②
C．③
D．④
3．设|a|＝8，e为单位向量，a与e的夹角为60°，则a在e方向上的投影为(　　)
A．4
B．4
C．4
D.
4．设a，b，c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，有下列四个命题：
①(a·b)c－(c·a)b＝0；
②|a|－|b|<|a－b|；
③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的是(　　)
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
5．在△ABC中，设＝b，＝c，则等于(　　)
A．0
B.S△ABC
C．S△ABC
D．2S△ABC
6．设i、j是平面直角坐标系中x轴、y轴方向上的单位向量，且a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，如果(a＋b)⊥(a－b)，则实数m＝________.
7．若向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a＝________.
8．设|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为150°，求：
(1)(a－3b)·(2a＋b)；
(2)|3a－4b|.
9．已知|a|＝，|b|＝3，a与b的夹角为45°，且向量λa＋b与a＋λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
10．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，求向量m＝2a＋b与向量n＝a－4b的夹角的余弦值．
参考答案：
1．C　2.B　3.B　4.D　5.D
6．－2　7.－13
8．(1)－30＋30；
(2).
9．{λ|λ<或λ>且λ≠1}．
10．解：由向量的数量积的定义得a·b＝2×1×cos＝1.
∵m＝2a＋b，
∴m2＝4a2＋b2＋4a·b＝4×4＋1＋4×1＝21，
∴|m|＝.
又∵n＝a－4b，
∴n2＝a2＋16b2－8a·b＝4＋16－8＝12.
∴|n|＝2.
设m与n的夹角为θ，
则m·n＝|m||n|cosθ.①
又m·n＝2a2－7a·b－4b2＝2×4－7－4＝－3，
把m·n＝－3，|m|＝，|n|＝2代入①式，得－3＝×2cosθ，
∴cosθ＝－，
即向量m与向量n的夹角的余弦值为－.
(设计者：仇玉法)
第2课时
导入新课　　　　　
思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，其运算的表示方式也会改变．向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便．上一节，我们学面向量的数量积，那么向量的坐标表示，对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题．
思路2.在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序实数对来表示，两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学面向量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示，在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示．
推进新课　　　　　
1．平面向量的数量积的坐标表示和运算，向量垂直的坐标表示．
2．由向量的坐标计算其数量积并由坐标形式求两个向量的夹角．
3．运用向量垂直的坐标表示的条件解决一些综合问题．
活动：平面向量的数量积这个实数如何用坐标表示，是培养学生数形结合这种重要思想方法的很好内容，在教学中抓住数形结合这条主线，不但推出了两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，推出平面内两点间的距离公式，并应用平面向量的数量积的坐标表示解决问题，这样不但能够提高学生的解题能力，而且培养学生会运用数形结合这种重要思想方法．
本节课开始时应向学生指出：对平面向量的数量积的研究不能仅仅停留在几何角度，还要寻求其坐标表示；在引入新知识之前应复习前面的有关知识，如平面向量，两个向量的和与差，实数与向量的积的坐标表示，以及平面向量的基本定理．
应将平面向量数量积的两种形式结合起来，交待等式a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．这个等式体现了数与形的结合，揭示了数与形的内在联系．教学中还应注意设计综合性问题，加强与前段知识的联系．
若两个向量为a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何用a，b的坐标来表示它们的数量积a·b
设i，j分别是x轴和y轴上的单位向量，
则i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0.
∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，
∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)
＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1i·j＋y1y2j2.
又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，
∴a·b＝x1x2＋y1y2.
教师给出结论性的总结，由此可归纳如下：
(1)平面向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，
即a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)向量模的坐标表示
若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝.
如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，那么
a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝.
(3)两向量垂直的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a⊥b
x1x2＋y1y2＝0.
(4)两向量夹角的坐标表示
设a、b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：
cosθ＝＝.
特别地，若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；
反之，若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.
例1课本本节例2.
例2课本本节例3.
变式训练1．(1)已知三点A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC的余弦值；(2)a＝(3,0)，b＝(－5,5)，求a与b的夹角．活动：教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)的数量积a·b＝x1x2＋y1y2和模|a|＝，|b|＝的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦值，即cosθ＝＝.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时，需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚，以免出现不必要的错误．解：(1)＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)，＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)，∴·＝3×(－1)＋3×6＝15.又∵||＝＝3，||＝＝，∴cos∠BAC＝＝＝.(2)a·b＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a|＝3，|b|＝5.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－.又∵0≤θ≤π，∴θ＝.点评：本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角．利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高．2．设a＝(5，－7)，b＝(－6，－4)，求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1°)．解：a·b＝5×(－6)＋(－7)×(－4)＝－30＋28＝－2.|a|＝＝，|b|＝＝，由计算器得cosθ＝≈－0.03.利用计算器得θ≈92°.
例3课本本节例4.
变式训练1．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，试判断△ABC的形状，并给出证明．活动：教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题．判断平面图形的形状，特别是三角形的形状时主要看边长是否相等，角是否为直角．可先作出草图，进行直观判定，再去证明．在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模长相等，则此平面图形与平行四边形有关；若三角形的两条边所在的向量模长相等或者有两边所在向量的数量积为零，则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形．教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法．解：在平面直角坐标系中标出A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)三点，我们发现△ABC是直角三角形．下面给出证明．∵＝(2－1,3－2)＝(1,1)，＝(－2－1,5－2)＝(－3,3)，∴·＝1×(－3)＋1×3＝0.∴⊥.∴△ABC是直角三角形．点评：本题考查的是向量数量积的应用，利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状．当给出要判定的三角形的顶点坐标时，首先要作出草图，得到直观判定，然后对你的结论给出充分的证明．2．在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，求k的值．解：由于题设中未指明哪一个角为直角，故需分别讨论．若∠A＝90°，则⊥，所以·＝0，于是2×1＋3k＝0.故k＝－.同理可求，若∠B＝90°时，k的值为.若∠C＝90°时，k的值为.故所求k的值为－或或.
例4已知|a|＝3，b＝(2,3)，试分别解答下面两个问题：
(1)若a⊥b，求a；(2)若a∥b，求a.
活动：对平面中的两向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，向量垂直的坐标表示x1x2＋y1y2＝0与向量共线的坐标表示x1y2－x2y1＝0很容易混淆，要让学生在应用中深刻领悟其本质属性，两向量垂直是a·b＝0，而共线是方向相同或相反．教师可多加强反例练习，多给出这两种类型的同式变形训练，以此巩固并能熟练地掌握和运用．
解：(1)设a＝(x，y)，由|a|＝3且a⊥b，得
解得或
∴a＝(－，)或a＝(，－)．
(2)设a＝(x，y)，由|a|＝3且a∥b，得
解得或
∴a＝(，)或a＝(－，－)．
点评：本题主要考查学生对公式的掌握情况，学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线，也能熟练地进行公式的逆用，利用已知关系来求向量的坐标.
变式训练　求证：一次函数y＝2x－3的图象(直线l1)与一次函数y＝－x的图象(直线l2)互相垂直．证明：在l1：y＝2x－3中，令x＝1得y＝－1；令x＝2得y＝1，即在l1上取两点A(1，－1)，B(2,1)．同理，在直线l2上取两点C(－2,1)，D(－4,2)，于是：＝(2,1)－(1，－1)＝(2－1,1＋1)＝(1,2)，＝(－4,2)－(－2,1)＝(－4＋2,2－1)＝(－2,1)．由向量的数量积的坐标表示，可得·＝1×(－2)＋1×2＝0，∴⊥，即l1⊥l2.
课本练习1～8.
1．在知识层面上，先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示，向量的模，两向量的夹角，向量垂直的条件．其次引导学生总结数量积的坐标运算规律，夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示．
2．在思想方法上，教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法，定义法，待定系数法等．
课本习题2.4　8、9、10.
1．由于本节课是对平面向量的进一步探究与应用，是对平面向量几何意义的综合研究提高，因此教案设计流程是探究、发现、应用、提高，这符合新课程理念，符合新课标要求．我们知道平面向量的数量积是本章最重要的内容，也是高考中的重点，既有选择题、填空题，也有解答题(大多与立体几何、解析几何一起综合考查)，故学习时要熟练掌握基本概念和性质及其综合运用．而且数量积的坐标表示又是向量运算的一个重要内容，用坐标表示直角坐标平面内点的位置，是解析几何的一个基本特征，从而以坐标为桥梁可以建立向量与解析几何的内在联系．以三角函数表示点的坐标，又可以沟通向量与三角函数的相互关系，由此就产生出一类向量与解析几何及三角函数交汇的综合性问题．
2．本节课学习的重点是两个向量数量积的坐标表示；两个向量垂直的坐标表示以及利用向量数量积的坐标表示解决有关的几何问题．本节学习的难点是建立向量与坐标之间的关系．平面向量数量积的坐标表示使得向量数量积的应用更为方便，也拓宽了向量应用的途径，通过学习本节的内容，要更加加深对向量数量积概念的理解．同时善于运用坐标形式运算解决数量问题，尤其是有关向量的夹角、长度、垂直等，往往可以使问题简单化．灵活使用坐标形式，综合处理向量的线性运算、数量积、平行等，综合地解决向量综合题，体现数形结合的思想．在本节的学习中可以通过对实际问题的抽象来培养学生分析问题、解决问题和应用知识解决问题的意识与能力．
一、|a·b|≤|a||b|的应用
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则平面向量的数量积的性质|a·b|≤|a||b|的坐标表示为x1x2＋y1y2≤
(x1x2＋y1y2)2≤(x＋y)(x＋y)．
不等式(x1x2＋y1y2)2≤(x＋y)(x＋y)有着非常广泛的应用，由此还可以推广到一般(柯西不等式)：
(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)．
例1(1)已知实数x，y满足x＋y－4＝0，则x2＋y2的最小值是________；
(2)已知实数x，y满足(x＋2)2＋y2＝1，则2x－y的最大值是________．
解析：(1)令m＝(x，y)，n＝(1,1)．
∵|m·n|≤|m||n|，∴|x＋y|≤·，
即2(x2＋y2)≥(x＋y)2＝16.∴x2＋y2≥8.故x2＋y2的最小值是8.
(2)令m＝(x＋2，y)，n＝(2，－1)，2x－y＝t.
由|m·n|≤|m||n|，得|2(x＋2)－y|≤·＝，即|t＋4|≤，
解得－4－≤t≤－4，故所求的最大值是－4.
答案：(1)8　(2)－4
例2已知a，b∈R，θ∈(0，)，试比较＋与(a＋b)2的大小．
解：构造向量m＝(，)，n＝(cosθ，sinθ)，由|m·n|≤|m||n|得
(cosθ＋sinθ)2≤(＋)(cos2θ＋sin2θ)，
∴(a＋b)2≤＋.
同类变式：已知a，b∈R，m，n∈R，且mn≠0，m2n2>a2m2＋b2n2，令M＝，N＝a＋b，比较M、N的大小．
解：构造向量p＝(，)，q＝(n，m)，由|p·q|≤|p||q|得
(×n＋×m)2≤(＋)(m2＋n2)＝(m2＋n2)N.
例3设a，b∈R，A＝{(x，y)|x＝n，y＝na＋b，n∈Z}，B＝{(x，y)|x＝m，y＝3m2＋15，m∈Z}，C＝{(x，y)|x2＋y2≤144}是直角坐标平面xOy内的点集，讨论是否存在a和b，使得A∩B≠与(a，b)∈C能同时成立．
解：此问题等价于探求a、b是否存在的问题，它满足设存在a和b满足①②两式，构造向量m＝(a，b)，n＝(n,1)．
由|m·n|2≤|m|2|n|2得(na＋b)2≤(n2＋1)(a2＋b2)，
∴(3n2＋15)2≤144(n2＋1)
n4－6n2＋9≤0.
解得n＝±，这与n∈Z矛盾，故不存在a和b满足条件．
二、备用习题
1．若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且a·b＝，则x等于(　　)
A．3　　　　　　B.　　　　　　C．－　　　　　　D．－3
2．设a＝(1,2)，b＝(1，m)，若a与b的夹角为钝角，则m的取值范围是(　　)
A．m>
B．m<
C．m>－
D．m<－
3．若a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，则(　　)
A．a⊥b
B．a∥b
C．(a＋b)⊥(a－b)
D．(a＋b)∥(a－b)
4．与a＝(u，v)垂直的单位向量是(　　)
A．(－，)
B．(，－)
C．(，)
D．(－，)或(，－)
5．已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
6．已知△ABC的三个顶点为A(1,1)，B(3,1)，C(4,5)，求△ABC的面积．
参考答案：
1．C　2.D　3.C　4.D
5．解：由已知(a＋3b)⊥(7a－5b)
(a＋3b)·(7a－5b)＝0
7a2＋16a·b－15b2＝0，①
又(a－4b)⊥(7a－2b)
(a－4b)·(7a－2b)＝0
7a2－30a·b＋8b2＝0，②
①－②得46a·b＝23b2，即a·b＝＝.③
将③代入①式可得7|a|2＋8|b|2－15|b|2＝0，即|a|2＝|b|2，有|a|＝|b|，
∴若记a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.
又θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°，即a与b的夹角为60°.
6．分析：S△ABC＝||||sin∠BAC，而||，||易求，要求sin∠BAC可先求出cos∠BAC.
解：∵＝(2,0)，＝(3,4)，||＝2，||＝5，
∴cos∠BAC＝＝＝.∴sin∠BAC＝.
∴S△ABC＝||||sin∠BAC＝×2×5×＝4.
三、新教材新教法的二十四个“化”字诀
新课导入新颖化，揭示概念美丽化；纵横相联过程化，探索讨论热烈化；
探究例题多变化，引导思路发散化；学生活动主体化，一石激浪点拨化；
大胆猜想多样化，论证应用规律化；变式训练探究化，课堂教学艺术化；
学法指导个性化，对待学生情感化；作业抛砖引玉化，选题质量层次化；
学生学习研究化，知识方法思想化；抓住闪光激励化，教学相长平等化；
教学意识超前化，与时俱进媒体化；灵活创新智慧化，学生素质国际化．
(设计者：仇玉法)
附：
2．4　向量的数量积
第1课时
作者：蒋国庆，江苏省泰兴市第四高级中学教师，本教学设计获江苏省教学设计大赛一等奖．
在《普通高中课程标准实验教科书·数学4(必修)》中，2.4平面向量的数量积约用3课时完成．本文从教材分析、目标分析、教学过程、设计说明等几个方面系统阐述第1课时的教学设计．
教材分析　　　　　
1．教材的地位和作用
向量在物理学中的应用非常广泛，在解析几何中应用更为直接，用向量方法特别便于研究涉及空间里直线与平面的各种问题．平面向量的数量积是向量的基本运算之一，在处理有关长度、角度和垂直问题等方面有很好的应用．“平面向量的数量积”是《平面向量》中的基础知识与重点内容．
2．教学重点与难点
本节课的重点是理解平面向量的数量积的概念及运算律，这也是本节课的难点．
目标分析　　　　　
通过本节课的教学，预计达到下面三个目标：
1．知识目标：理解平面向量的数量积的概念；能用公式和运算律进行计算．
2．能力目标：培养学生的理性思维能力、创造性思维能力、逻辑思维能力和思维的批判性．
3．情感目标：鼓励学生探索发现规律，激发学生学习数学的兴趣．
学法分析　　　　　
向量的数量积的结果是一个数量，而不是一个向量．像这样的运算结果与运算对象不在同一“范围”内的运算，学生首次接触，理解上有一定的困难，本文的教学设计准备通过预设的系列问题，发动学生进行合作讨论，调动学生参与到探索中来，让他们总结规律，从而充分经历，体验“发现定义”的过程．
本节课共分四大环节：理解定义、总结性质、学习运算律、巩固训练．
1．理解定义
教学设想：首先引导学生复习已学过的向量运算，并与实数的加法、减法及实数的乘法进行比较，让学生大胆思维，猜想有无这样的向量运算，结果是一个数量而不是一个向量？在数学上，以前肯定没学过．引导学生进一步联想，在物理上见过两个矢量运算的结果是一个标量的例子吗？有部分学生联想到力对物体作用产生的位移所做的功，力F是一个向量，位移s是一个向量，而功W是一个标量，这时又让学生思考相应的物理公式W＝|F||s|cosθ，这样就为向量数量积概念的引入做了一个积极的铺垫．通过学生联想类比物理学中的“功”，找到向量数量积的原型；通过讨论求功运算的特点，进而抽象出向量数量积的定义．这一过程培养了学生的发散性思维能力及创造性思维能力．
复习思考：
　　　　　　运算结果
向量的加法―→向量
向量的减法―→向量
实数与向量的乘法―→向量
两个向量的乘法―→？？？？
(1)物理意义下的“功”：
一个物体在力F的作用下发生了位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？
W＝|F||s|cosθ.
图1
其中力F和位移s是向量，θ是F与s的夹角，而功W是数量．
(2)向量的夹角
已知非零向量a与b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫作a与b的夹角．
①若θ＝0°，a
与b同向
②若θ＝180°，a
与b反向
③若θ＝90°，a与
b垂直记作a⊥b
图2
(3)平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即a·0＝0.
教学设想：讲授了数量积的意义之后，学生虽然可以从表面上接受这个概念，但并不深刻，为了加深对数量积概念的理解，可让学生启动类比联想思维，因为数量积是一种积，所以让学生去类比实数的乘积，通过类比寻找它们的不同之处．
小组讨论下列问题：
(1)在实数乘积中，由ab＝0可推出a＝0或b＝0，而对数量积a·b＝0，一定可以推出a＝0或b＝0吗？
(2)在实数乘积中，若ab＝bc(b≠0)，可以在等式两边同时约去b，得到a＝c；对数量积a·b＝b·c(b≠0)，能否得到a＝c
(3)两个向量的数量积的大小由哪些量确定？
(4)当两个向量都不是零向量时，这两个向量的数量积能否等于零？此时这两个向量有什么位置关系？
通过这样的类比，认识深刻了，对概念的理解升华了，预定的教学目标达到了，而发散思维能力和创造性思维能力也得到了培养．
2．总结性质
教学设想：把需要总结的数量积的性质，设计成7个讨论题，调动所有学生参与到探索中来，发动学生进行合作讨论，让他们总结规律．这7个讨论题是：
(1)向量的数量积的正负如何确定？
(2)单位向量与任意向量的数量积有什么规律？
(3)互相垂直的向量的数量积有什么特点？
(4)共线向量的数量积有什么规律？
(5)如何求两个向量的夹角？
(6)比较两个向量的数量积的模与两个向量模的积的大小的关系．
(7)两个相等向量的数量积等于什么？
数量积的性质：
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则
(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ；
(2)a⊥b
a·b＝0(判断两向量垂直的依据)；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝(用于计算向量的模)；
(4)cosθ＝(用于计算向量的夹角)；
(5)|a·b|≤|a||b|.
教学设想：在小组合作讨论的基础上，再由老师归纳性质．由于向量的数量积的性质是由学生在合作中发现出来的，学生从对性质的不知到完成已知，这本身就是一个创造过程，也是一个创新过程．
小组合作学习方式是教学中行之有效的方式，尤其是对一些比较难理解、需要深入研究和继续探讨的问题，通过小组合作讨论的形式，使学生之间的知识差异、性格差异相互补充，使他们学会合作，学会探索，学会发现，学会创新．
3．学习运算律
教学设想：教材中给出了向量的数量积的三个运算律，对于前两个运算律(交换律、实数与两个向量乘积的结合律)要求学生自己证明，而对分配律则要求学生课后预习数量积的几何意义再作证明．然后采取与实数乘法运算律列表比较的方法，让学生比较二者运算律，并上升为理性思维．通过比较使学生明确了实数乘法满足结合律而向量的数量积不满足结合律．最后要求学生结合数量积的意义举出反例．善于举出反例是学生批判性思维的突出表现，也是一种创新行为．教学实践表明，学生的思维是灵活的，一旦把他们的思维调动起来，他们的思考相当深刻，这也有助于提高逻辑思维能力和创新意识．　　　　　
设向量a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
列表比较实数乘法运算律和向量数量积的运算律
实数乘法
交换律
分配律
结合律
向量数量积
交换律
分配律
？？？？
举反例：学生完成．
教学设想：作为平面向量数量积的意义及运算律的应用，让学生研究作为实数运算(a＋b)2与(a＋b)(a－b)以及作为数量积运算(a＋b)2与(a＋b)·(a－b)的结果形式是否一样？为什么？学生经过认真思考与严密的推导得出正确结论，并且知道他们相等的原因是它们都满足交换律，而作为实数运算(ab)2与数量积运算(a·b)2的结果不同主要是因为结合律的影响，从而使认识更加深刻，也进一步强化了对学生思维批判性与深刻性的培养．
4．课堂巩固
教学设想：为了及时巩固所学知识，利用多媒体投影让学生独立思考，认真解答．并及时订正．
练习1.判断正误：
(1)若a＝0，则对任一向量b，有a·b＝0.
√
(2)若a≠0，则对任一非零向量b，有a·b≠0.
×
(3)若a≠0，a·b＝0，则b＝0.
×
(4)若a·b＝0，则a、b中至少有一个为0.
×
(5)若a≠0，a·b＝b·c，则a＝c.
×
(6)若a·b＝a·c，则b≠c，当且仅当a＝0时成立．
×
(7)对任意向量a，有a2＝|a|2.
√
练习2.已知|p|＝8，|q|＝6，p和q的夹角是60°，求p·q.
练习3.设|a|＝12，|b|＝9，a·b＝－54，求a和b的夹角θ.
这节课的设计注意改变学生的学习方法，以问题为线索，学生自主学习、小组合作学习为主，辅以适当练习加以训练，教师适时进行引导．
按照建构主义观点，知识需要经过学习者自身体验，才能被同化和顺应，因此，教学设计注重学生的主体地位，发挥教师的组织和引导作用，调动学生的主动性和积极性，使数学教学成为数学活动的教学，激发学生学习数学的兴趣．
教师在教学中如何确定知识的生长点、思维的展开点和认知的交流点，如何把知识教学和认知结构的形成、思维能力的训练、创新意识的培养、思想方法的渗透有机的结合起来，这些问题都是需要不断探索的．这节课把学生的兴奋点和着力点放在思维能力和创新意识的培养上，以期学生的综合素养得到一定的提高．(共34张PPT)
2．5　向量的应用
第2章
平面向量
学习导航
第2章
平面向量
学习目标
1.了解平面向量在处理数学问题中的工具性作用．
2．理解用向量方法解决有关几何问题、物理问题及实际问题的一般思路．(难点)
3．掌握用向量方法解决实际问题的步骤——“三步
曲”．(重点)
第2章
平面向量
学法指导
1.由于向量涉及共线、夹角、垂直、长度等基本问题，而这些问题正是平面几何研究的对象，因此可以用向量来处理平面几何问题．
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
③把运算结果“翻译”成几何关系．
2．力、速度、加速度、位移以及运动的合成与分解就是向量的加减法，利用向量的平行四边形法则或三角形法则加以解决．
3．物体在力F的作用下，发生位移s时，力F所做的功就是力F与位移s的数量积.
1.向量的作用
向量是既有大小又有方向的量，它既有代数特征，又有几
何
特征．通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，
所
以向量是数形结合的桥梁．同时，向量也是解决许多物理问
题
的有力工具．
2.用向量解决几何问题
(1)建立几何问题与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为向量问题．
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂
直、距离、夹角等．
(3)将运算结果“转译”成几何关系．
3．用向量解决物理问题或实际生活问题
(1)从所给问题中抽象出数学问题．
(2)将数学问题转化为向量问题,并用向量方法解决数学问题.
(3)再用所获得的结果解释物理现象或实际生活问题．
1．过点A(2，3)，且垂直于向量a＝(2，1)的直线为____________________．
2x＋y－7＝0
2．已知作用在点A(1，1)的三个力F1＝(3，4)，F2＝(2，－5),
F3＝(3，1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标是________.
解析：F＝(8，0)，故终点坐标为(8，0)＋(1，1)＝(9，1)．
(9，1)
②③
1
向量在平面几何中的应用
方法归纳
证明两向量垂直，即证它们的数量积为0；求向量的模,一般通过求其模的平方来解．
向量在物理中的应用
方法归纳
平面向量在物理中的应用范围非常广泛，运用好平面向
量
这一工具可以解决物理问题，如力的合成、速度的合成等
，这里一定要结合图象进行数形结合，才能使问题更为直观．
向量在解析几何中的应用
方法归纳
(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量,再利用向量法则进行运算．
(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角;⑤向量相等则对应坐标相等等．
3.已知直线l过点A(1，1)，且垂直于向量n＝(－2，1)．
(1)求直线l的一般方程；
(2)若与直线l垂直的直线l1经过点B(2，0)，求l1的一般方程．
解：(1)∵直线l垂直于向量n＝(－2，1)，
∴直线l的一个方向向量为v＝(1，2)，
∴直线l的斜率为2，
∴直线l的点斜式方程为y－1＝2(x－1)，
整理得2x－y－1＝0.
故直线l的一般方程为2x－y－1＝0.
技法导学
构造法利用向量求最值
易错警示
因向量的物理意义不明而致误
一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着
风
速
计和风向标,测得风向为东偏南30°，风速为4
m/s，这时气象
台报告实际风速为2
m/s.试求风的实际方向和汽车的速度大小．2.4
向量的数量积
典题精讲
例1
若向量a,b,c满足a+b+c=0，且|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a·b+b·c+a·c=_____________.
思路解析：本题可以利用数量积公式两边平方求解；也可由已知条件，得出三个向量之间的两两夹角，再用数量积公式求解.
方法一：∵a+b+c=0，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=0.
∴2(a·b+b·c+a·c)=-（a2+b2+c2）
=-（|a|2+|b|2+|c|2）
=-（32+12+42）=-26.
∴a·b+b·c+a·c=-13.
方法二：根据已知条件可知|c|=|a|+|b|，c=-a-b,所以a与b同向，c与a+b反向.所以有a·b+b·c+a·c=3cos0°+4cos180°+12cos180°=3-4-12=-13.
答案：-13
绿色通道：由向量数量积定义及其运算律可推导出如下常用性质：
a2=｜a｜2，
(a+b)(c+d)=a·c+a·d+b·c+b·d,
(a+b)2=a2+2a·b+b2,
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c.
变式训练
已知|a|=5,|b|=12，当且仅当m为何值时，向量a+mb与a-mb互相垂直
思路分析：(a+mb)⊥(a-mb)(a+mb)·(a-mb)=0.根据这一点可以很容易寻找到解题突破口.
解：若向量a+mb与a-mb互相垂直，则有(a+mb)·(a-mb)=0,
∴a2-m2b2=0.∵|a|=5,|b|=12，∴a2=25,b2=144.∴25-144m2=0.
∴m=±.
∴当且仅当m=±时，向量a+mb与a-mb互相垂直.
例2
（2006福建高考卷，理11）
已知||=1,||=,·=0,点C在∠AOB内,且∠AOC=30°.设=m+n(m、n∈R)，则等于…(
)
A.
B.3
C.
D.
思路解析：本题可以利用向量的加法、实数与向量的积的坐标运算、向量数量积来解，向量是高中数学新增内容，所以它也成为高考重点考查的内容之一.深刻理解向量的运算，做到灵活运用，使解题简便.
方法一：以直线、OB分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则A(1,0),B(0,).
设=λ(cos30°,sin30°)=(λ,λ),另外=m+n=m(1,0)+n(0,),
得(λ,λ)=(m,n)
方法二：=(m+n)2=m22+n22=m2+3n2，
∴||=.
由已知,得∠BOC=60°，在等式=m+n(m、n∈R)两端同乘以，
得·=m2，
∴m=||·||cos30°=m2=9n2.
由题设知m>0,n>0,∴=3.
答案：B
黑色陷阱：对向量的坐标运算或向量数量积的运算不熟练，易导致难寻问题的切入口；有关向量的运算失误也易导致解答失误.
变式训练
(2006福建高考卷，文9)
已知向量a与b的夹角为120°，|a|=3,|a+b|=,则|b|等于(
)
A.5
B.4
C.3
D.1
思路解析：向量a与b的夹角为120°，
|a|=3,|a+b|=,a·b=|a|·|b|·cos120°=|b|，
|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2，
∴13=9-3|b|+|b|2，
则|b|=-1(舍去)或|b|=4.
答案：B
例3
(2006福建高考卷，理12)
对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)，定义它们之间的一种“距离”：
||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|.
给出下列三种说法：
(1)若点C在线段AB上，则||AC||+||CB||=||AB||;
(2)在△ABC中，若∠C=90°,则||AC||2+||CB||2=||AB||2;
(3)在△ABC中，||AC||+||CB||>||AB||.
其中正确的个数为（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
思路解析：在坐标平面上取几个具体的符合条件的点并写出其坐标，进行观察、比较、分析、综合，不难确定各说法的真假.
设C(x
,
y),若点C在线段AB上，则=λ·,λ>0，
得C()，
则||AC||=|x1-|+|y1-|=(|x1-x2|+|y1-y2|)，
||CB||=(|x1-x2|+|y1-y2|)，得||AC||+||CB||=||AB||.
∴(1)正确.
在△ABC中，若∠C=90°,取C(0,0),B(1,0),A(0,2),则
||AC||=2,||BC||=1,||AB||=3,但||AC||2+||CB||2≠||AB||2且
||AC||+||CB||=||AB||.
∴(2)与(3)都不正确.
答案：B
黑色陷阱：对题设理解不够准确，易导致运算(操作)上的失误.对平面上两点之间的距离的全新定义，易引起考生理解上的困难，这时更需要独立思考与一定的创新意识.
变式训练
(2006陕西高考卷，理9)
已知非零向量与满足()·=0且=,则△ABC为(
)
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰非等边三角形
D.等边三角形
思路解析：非零向量满足()·=0，即角A的平分线垂直于BC，
∴AB=AC.又cosA==，∠A=，
∴△ABC为等边三角形，选D.
答案：D
问题探究
问题1
任给8个非零实数a1,a2,
…,a8,试探究下列六个数a1a3+a2a4，a1a5+a2a6，a1a7+a2a8，a3a5+a4a6，a3a7+a4a8，a5a7+a6a8中至少有一个是非负的.
导思：观察六个数有共同的形式且与向量的数量积有关，思考时就可借助向量作解题尝试，本题通过构造四个向量，然后利用向量之间的位置关系，运用向量的数量积坐标运算解决问题.
探究：在直角坐标系xOy中，构造向量、、、，它们的坐标分别为(a1,a2)、(a3,a4)、(a5,a6)、(a7,a8)，
显然，平面上四个向量两两所成的角中至少有一个不超过90°，不妨设和的夹角不大于90°，
则cos〈,〉=≥0，
∴a1a3+a2a4≥0，命题为真.
问题2
是否存在4个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直
导思：本题是一个探索性问题，解决本题的关键在于构造一个正三角形及其内切圆，得到四个向量，这也是本题的难点.然后利用向量之间的关系，运用数量积的运算律论证+与+垂直.
图2-4-3
探究：如图2-4-3所示，在正△ABC中，O为其内心，P为圆周上一点，满足、、两两不共线，有
(+)·(+)
=(+++)·(++)
=(2++)·(2+)
=(2-)·(2+)
=42-2
=0.
∴有(+)与(+)垂直.
同理可证其他情况.
从而、、、满足题意.故存在这样的4个平面向量.2.5
向量的应用
典题精讲
例1
ABCD是正方形,BE∥AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于点F,求证：AF=AE.
思路分析：建立适当的坐标系,根据坐标运算求出,的坐标,进而证明AF=AE.
证明：如图2-5-1,建立直角坐标系,设正方形边长为1,则A(-1,1),B(0,1).设E(x,y),则
图2-5-1
=(x,y-1),=(1,-1).
∵∥,
∴x·（-1）-1·（y-1）=0.
∴x+y-1=0.
又∵||=||,∴x2+y2-2=0.
由x2+y2-2=0
即E().
设F(m,1)，由=(m,1)和=()共线,得m-=0.
解得m=-2-.∴F(-2-,1),=(-1-,0),=(),
∴||==1+=||,
∴AF=AE.
绿色通道：把几何问题放入适当的坐标系中就赋予了有关点及向量的坐标,从而进行相关运算,使问题得到解决.
变式训练
已知△ABC中,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M、N分别是AB、AC的中点,D是BC的中点,MN与AD交于F,求.
思路分析：由已知条件可求出、的坐标,然后再由中点坐标公式进一步求出,进而再求出.
解：∵A(7,8),B(3,5),C(4,3)，
∴=(3-7,5-8)=(-4,-3),=(4-7,3-8)=(-3,-5).
又∵D是BC的中点,
∴=(+)=(-3.5,-4).又M、N分别是AB、AC的中点,∴F为AD的中点.∴=-=(1.75,2).
例2
一条河的两岸平行，河的宽度为d=500
m，如图2-5-2所示，一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处，船的航行速度为|v1|=10
km/h，水流速度为|v2|=4
km/h.
图2-5-2
(1)试求v1与v2的夹角(精确到1°)及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1
min);
(2)要使船到达对岸所用时间最少,v1与v2的夹角应为多少
思路分析：船(相对于河岸)的航行路线不能与河岸垂直.原因是船的实际航行速度是船本身(相对于河水)的速度与河水的流速的合速度.
解:(1)依题意,要使船到达对岸,就要使v1与v2的合速度的方向正好垂直于对岸,所以
|v|==≈9.2
km/h,
v1与v的夹角α满足sinα==0.92,又α为钝角，故v1与v2的夹角θ=114°；船垂直到达对岸所用的时间t=×60≈3.3
min.
(2)设v1与v2的夹角为θ(如图2-5-3)，
图2-5-3
v1与v2在竖直方向上的分速度的和为|v1|·sinθ，而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为d=0.5
km，从而所用的时间为t=，显然，当θ=90°时，t最小，即船头始终向着对岸时，所用的时间最少，t==0.05
h=3
min.
绿色通道：解决此类问题的关键在于明确“水速+船速=船的实际速度”，注意“速度”是一个向量，既有大小又有方向.结合向量应用的具体问题,在理解向量知识和应用两方面下功夫,将物理量之间的关系抽象成数学模型，然后再通过对这个数学模型的研究解释相关物理现象.
变式训练
如图2-5-4，一物体受到两个大小均为60
N的力的作用，两力夹角为60°且有一力方向水平，求合力的大小及方向.
图2-5-4
解：设、分别表示两力，以OA、OB为邻边作OACB，则就是合力.据题意，△OAC为等腰三角形且∠COA=30°，过A作AD⊥OC垂足为D，则在Rt△OAD中｜｜=｜｜·cos30°=60×=,故｜｜=2｜｜=.所以合力的大小为
N，方向与水平方向成30°角.
例3
(2006四川高考卷，理7)
如图2-5-5，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是（
）
图2-5-5
A.；
B.；
C.；
D..
思路解析：设边长|P1P2|=a，则∠P2P1P3=.
|P1P3|=a,=a·a·，
∠P2P1P4=，|P1P4|=2a，=a·2a·=a2，=0，<0，∴数量积中最大的是.
答案：A
黑色陷阱：本题易因找错向量的夹角如误认为∠P2P1P3=，或数量积公式用错而出现错误.
变式训练
如图2-5-6,设四边形ABCD是⊙O的内接正方形,P是⊙O上的任一点,求证：||2+||2+||2+||2与P点的位置无关.
图2-5-6
思路分析：根据向量的三角形法则表示出、、、,从而判断出||2+||2+||2+||2为定值.
解：设圆的半径为r.
∵=-,=-,=-,=-,则
||2=(-)2=2-2·+2=2r2-2·，
||2=2r2-2·，
||2=2r2-2·，
||2=2r2-2·，
∴||2+||2+||2+||2
=8r2-2（+++）·=8r2-2·0·=8r2(定值).
∴||2+||2+||2+||2与P点的位置无关.
问题探究
问题1
一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起,结果造成小孩胳臂受伤,试一试你能用向量知识加以解释吗？
导思：这是日常生活中司空见惯的事情，解决这个题目的关键是首先建立数学模型，然后根据数学知识来解决.针对小孩的两条胳膊画出受力图形,然后通过胳膊受力分析,
建立数学模型：
|F1|=,θ∈［0,π］来确定何种情景时,小孩的胳膊容易受伤.
探究：设小孩的体重为G,两胳膊受力分别为F1、F2,且F1=F2,两胳膊的夹角为θ,胳膊受力分析如图2-5-7(不记其他因素产生的力),不难建立向量模型：|F1|=,θ∈［0,π］,当θ=0时,|F1|=；当θ=时,|F1|=|G|；又∈(0,)时,|F1|单调递增,故当θ∈(0,)时,F1∈(,|G|),当θ∈（，π）时,|F1|>|G|.此时,悬空拎起小孩容易造成小孩受伤.
图2-5-7
问题2
已知一只蚂蚁在地面上的一个三角形区域ABC内爬行，试探究当蚂蚁爬到这个三角形区域的什么位置时，它到这个三角形的三个顶点间的距离的平方和最小？
导思：像这个具体问题要采用其他的办法可能是比较困难的.这样的问题在考虑利用向量的知识来求解时，需要注意考虑如何恰当地将相关向量转化为密切相关的一些向量间的关系，从而将问题解决.
探究：本题是一个应用问题，首先应考虑将题目翻译为数学问题：在△ABC内求一点P，使得AP2+BP2+CP2最小.设=a,=b,=t，则
=-=t-a，=-=t-b，
2+2+2=t2+(t-a)2+(t-b)2=3t2-2t·（a+b）+a2+b2
=3（t-）2+（a2+b2）-a·b,
所以,当=t=，即
P为△ABC的重心时，AP2+BP2+CP2最小.