【人教A版】2017学年数学选修1-1全册课时作业、单元试卷（32份，含答案）

温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业
九
椭圆及其标准方程
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·青岛高二检测)已知椭圆+=1上一点P到其中一个焦点的距离为3,则点P到另一个焦点的距离为　(　　)
A.2
B.3
C.5
D.7
【解析】选D.设该椭圆的两个焦点分别为F1,F2,利用椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=10.不妨令|PF1|=3,则|PF2|=7.
2.(2016·日照高二检测)已知椭圆+=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O为坐标原点,那么线段ON的长是　(　　)
A.2
B.4
C.8
D.
【解析】选B.设椭圆的另一个焦点为E,如图,
则|MF|+|ME|=10,
所以|ME|=8.
又ON为△MEF的中位线,
所以|ON|=|ME|=4.
3.椭圆+=1的焦距是2,则m的值是　(　　)
A.5
B.3或8
C.3或5
D.20
【解析】选C.由题意得2c=2,c=1,故有m-4=1或4-m=1,
所以m=5或m=3.
4.(2016·淄博高二检测)若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短距离为,则这个椭圆的方程
为　(　　)
A.+=1
B.+=1
C.+=1或+=1
D.以上都不对
【解析】选C.设短轴的一个端点为P,焦点分别为F1,F2,
因为△PF1F2为正三角形,所以|OP|=|F1F2|,可得b=c,即=c.①
又因为椭圆的焦点到椭圆上点的最短距离为,
所以a-c=,②
联立①②,可得a=2,c=,b==3.因此a2=12且b2=9,可得椭圆的标准方程为+=1或+=1.
5.已知椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到x轴的距离为　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解题指南】由·=0知△MF1F2为直角三角形,可根据面积求M到x轴的距离.
【解析】选C.由·=0,得MF1⊥MF2,可设|=m,|=n,在△F1MF2中,由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,故mn=2b2,即mn=2,
所以=·mn=1,
设点M到x轴的距离为h,则×|F1F2|×h=1,
又|F1F2|=2,故h=.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知椭圆中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1,则椭圆的标准方程为　　　　.
【解析】由题意可得所以
故b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为+=1.
答案:+=1
7.设P是椭圆+=1上的点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|·|PF2|的最大值是　　　　.
【解析】由题意知:|PF1|+|PF2|=2a=8,
所以|PF1|·|PF2|≤==16,当且仅当|PF1|=|PF2|时取“=”,
故|PF1|·|PF2|的最大值是16.
答案:16
8.如图所示,F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2=　　　　.
【解析】由题意=c2=,所以c=2,所以a2=b2+4.
由题意得点P坐标为(1,),把x=1,y=代入椭圆方程+=1中得+=1,解得b2=2.
答案:2
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知椭圆的中心在原点,且经过点P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程.
【解析】当焦点在x轴上时,设其方程为+=1(a>b>0).由椭圆过点P(3,0),知+=1,又a=3b,解得b2=1,a2=9,故椭圆的方程为+y2=1.
当焦点在y轴上时,设其方程为+=1(a>b>0).
由椭圆过点P(3,0),知+=1,又a=3b,联立解得a2=81,b2=9,故椭圆的方程为+=1.
故椭圆的标准方程为+=1或+y2=1.
10.(2016·郑州高二检测)如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|.
当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程.
【解题指南】设M(x,y),由等式|MD|=|PD|坐标化,即得轨迹方程.
【解析】设点M的坐标是(x,y),P的坐标是(xP,yP),
因为点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|,所以xP=x,且yP=y.
因为P在圆x2+y2=25上,
所以x2+=25,整理得+=1,即点M的轨迹C的方程是+=1.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·郑州高二检测)已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是　(　　)
A.m<2
B.1C.m<-1或1D.m<-1或1【解析】选D.由题意得
即
所以12.(2016·临沂高二检测)设椭圆+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|,设直线PF2与椭圆交于M,N两点,若|MN|=16,则椭圆的方程
为　(　　)
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
【解析】选B.因为点P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|,所以=2c,整理得2+-1=0,
所以=.
所以a=2c,b=c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,直线PF2的方程为y=(x-c),代入椭圆方程,消去y并整理,得5x2-8cx=0,解得x=0或c,
得M(0,-c),N,所以|MN|=c=16,所以c=5,所以椭圆方程为+=1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·温州高二检测)已知椭圆+=1的两个焦点是F1,F2,点P在该椭圆上,若|PF1|-|PF2|=2,则△PF1F2的面积是　　　　.
【解析】由已知得|F1F2|=2c=2,|PF1|+|PF2|=4,
又|PF1|-|PF2|=2,
所以得|PF1|=3,|PF2|=1,
因此|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,
所以△PF1F2是直角三角形,
所以=·|F1F2|·|PF2|=.
答案:
4.(2016·唐山高二检测)已知椭圆C:+y2=1的焦点F(1,0),直线l:x=2,点A∈l,线段AF交C于点B,若=3,则||=　　　
【解题指南】设出A点的坐标,利用=3求出A点坐标,即可求出||的大小.
【解析】设A(2,y0),B(x1,y1),=(1,y0),
=(x1-1,y1),由=3,
得(1,y0)=3(x1-1,y1),
所以又点B在椭圆C上,
所以+=1,解得y0=±1,
所以A点坐标为(2,±1),
所以||==.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2016·烟台高二检测)已知椭圆+=1(a>b>0)的焦点分别为F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2.
(1)求椭圆的方程.
(2)设点P在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2的余弦值.
【解析】(1)由题意得椭圆焦点在y轴上,且c=1.
又因为3a2=4b2,所以a2-b2=a2=c2=1,
所以a2=4,b2=3,
所以椭圆标准方程为+=1.
(2)如图所示,|PF1|-|PF2|=1.
又由椭圆定义知,
|PF1|+|PF2|=4,
所以|PF1|=,|PF2|=,
|F1F2|=2,
cos∠F1PF2==.
6.(2016·连云港高二检测)设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,B为椭圆上的点且坐标为(0,-1).
(1)若P是该椭圆上的一个动点,求|PF1|·|PF2|的最大值.
(2)若C为椭圆上异于B的一点,且=λ,求λ的值.
(3)设P是该椭圆上的一个动点,求△PBF1的周长的最大值.
【解析】(1)因为椭圆的方程为+y2=1,
所以a=2,b=1,c=,
即|F1F2|=2,
又因为|PF1|+|PF2|=2a=4,
所以|PF1|·|PF2|≤==4,
当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”,
所以|PF1|·|PF2|的最大值为4.
(2)设C(x0,y0),B(0,-1),F1(-,0),
由=λ得x0=,y0=-.
又+=1,所以有λ2+6λ-7=0,
解得λ=-7或λ=1,C异于B点,故λ=1舍去.所以λ=-7.
(3)因为|PF1|+|PB|=4-|PF2|+|PB|≤4+|BF2|,
所以△PBF1的周长≤4+|BF2|+|BF1|=8,
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时,△PBF1周长最大,最大值为8.
关闭Word文档返回原板块
PAGE温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业
二十三
　函数的极值与导数
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·福州高二检测)函数f(x)=x+的极值情况是　(　　)
A.当x=1时,极小值为2,但无极大值
B.当x=-1时,极大值为-2,但无极小值
C.当x=-1时,极小值为-2,当x=1时,极大值为2
D.当x=-1时,极大值为-2;当x=1时,极小值为2
【解析】选D.令f′(x)=1-=0,得x=±1,函数f(x)在区间(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,在(-1,0)和(0,1)上单调递减,所以当x=-1时,取极大值-2,当x=1时,取极小值2.
2.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围
是　(　　)
A.-1B.-3C.a<-1或a>2
D.a<-3或a>6
【解析】选D.f′(x)=3x2+2ax+a+6,函数f(x)有极大值和极小值,则
f′(x)=3x2+2ax+a+6=0有两不相等的实数根,即有Δ=(2a)2-12(a+6)>0,
解得a<-3或a>6.
3.(2016·临沂高二检测)已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是　(　　)
A.(2,3)
B.(3,+∞)
C.(2,+∞)
D.(-∞,3)
【解析】选B.f′(x)=6x2+2ax+36,
因为f(x)在x=2处有极值,
所以f′(2)=0,
解得a=-15.
令f′(x)>0得x>3或x<2.
所以从选项看函数的一个递增区间是(3,+∞).
【补偿训练】设a为实数,求函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R的单调区间与极值.
【解析】因为f′(x)=ex-2,令f′(x)=0,
解得x=ln2,
当x当x>ln2时,f′(x)>0,函数单调递增;
故函数的减区间为(-∞,ln2),
增区间为(ln2,+∞),
当x=ln2时函数取极小值,
极小值f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2-2ln2+2a.
4.(2016·天津高二检测)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数
是　(　　)
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.因为f′(x)=2xln2+3x2>0,
所以函数f(x)=2x+x3-2在(0,1)上递增,且f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,
所以有1个零点.
5.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等
于　(　　)
A.2
B.3
C.6
D.9
【解题指南】利用函数在x=1处有极值得到a,b的关系式,再利用基本不等式求最大值.
【解析】选D.f′(x)=12x2-2ax-2b,
因为函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,
所以f′(1)=12-2a-2b=0,
即a+b=6,则ab≤=9(当且仅当a=b=3时,等号成立).
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·西安高二检测)已知函数f(x)=x3+ax2+ax+b,当x=-1时,函数f(x)的极值为-,则f(2)=　　　　.
【解析】f′(x)=x2+2ax+a.
由题意知f′(-1)=0,f(-1)=-,
即
解得
所以f(x)=x3+x2+x-.
所以f(2)=.
答案:
7.(2016·四川高考改编)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=　　　　.
【解题指南】求出f′,解出方程f′=0的根,再根据不等式f′>0,
f′<0的解集得出函数的极值点.
【解析】f′=3x2-12=3,令f′=0,得x=-2或x=2,易知f在上单调递减,在上单调递增,故f的极小值为f,所以a=2.
答案:2
8.(2016·重庆高二检测)已知函数f(x)=x3+ax2+x+1有两个极值点,则实数a的取值范围是　　　　.
【解析】f′(x)=x2+2ax+1,因为函数f(x)有两个极值点,所以方程
f′(x)=x2+2ax+1=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4a2-4>0,解得a<-1或a>1.
答案:a<-1或a>1
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2016·烟台高二检测)设f(x)=,其中a为正实数.
(1)当a=时,求f(x)的极值点.
(2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.
【解析】对f(x)求导得f′(x)=ex.
(1)当a=时,若f′(x)=0,则4x2-8x+3=0,
解得x1=,x2=.
当x变化时,f′(x)和f(x)的变化情况如表:
x
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以x=是极小值点,x=是极大值点.
(2)若f(x)为R上的单调函数,
则f′(x)在R上不变号,
结合f′(x)与条件a>0,知ax2-2ax+1≥0在R上恒成立,
由此Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,
又a>0,故010.a为何值时,方程x3-3x2-a=0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根,有没有可能无实根
【解析】令f(x)=x3-3x2,y=a.
f(x)的定义域为R.
方程x3-3x2-a=0的根的个数即x3-3x2=a根的个数,
f(x)=x3-3x2与y=a交点个数.
由f′(x)=3x2-6x=0.
得x=0或x=2,
所以当x<0或x>2时,f′(x)>0;
当0函数f(x)在x=0处有极大值0,在x=2处有极小值-4,如图所示,故当a>0或a<-4时,原方程有一个根;
当a=0或a=-4时,原方程有两个不等实根;
当-4由图象可知,原方程不可能无实根.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.若函数y=x3-3ax+a在(1,2)内有极小值,则实数a的取值范围是　(　　)
A.1B.1C.2D.a>4或a<1
【解析】选B.y′=3x2-3a,当a≤0时,f′(x)≥0,函数y=x3-3ax+a为单调函数,不合题意,舍去;当a>0时,y′=3x2-3a=0 x=±,不难分析当1<<2即12.(2016·宁波高二检测)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则　(　　)
A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值
B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值
C.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值
D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值
【解析】选C.当k=1时,f(x)=(ex-1)(x-1),
则f′(x)=ex(x-1)+(ex-1)=exx-1,
所以f′(1)=e-1≠0,所以f(1)不是极值.
当k=2时,f(x)=(ex-1)(x-1)2,
则f′(x)=ex(x-1)2+2(ex-1)(x-1)=ex(x2-1)-2(x-1)=(x-1)[ex(x+1)-2],
所以f′(1)=0,且当x>1时,f′(x)>0;
在x=1附近的左侧,f′(x)<0,
所以f(1)是极小值.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·烟台高二检测)已知函数f(x)=x3-3x的图象与直线y=a有三个不同的交点,则a的取值范围是　　　　.
【解析】令f′(x)=3x2-3=0,得x=±1,
可得极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2.
y=f(x)的大致图象如图所示,观察图象得当-2答案:(-2,2)
【补偿训练】已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c=(　　)
A.-2或2
B.-9或3
C.-1或1
D.-3或1
【解析】选A.若函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则说明函数的两个极值中有一个为0,函数的导数为y′=3x2-3,令y′=3x2-3=0,解得x=±1,可知极大值为f(-1)=2+c,极小值为f(1)=c-2.由f(-1)=2+c=0,解得c=-2,由f(1)=c-2=0,解得c=2,所以c=-2或c=2.
4.(2015·陕西高考)函数y=xex在其极值点处的切线方程为　　　　.
【解题指南】求出极值点,再结合导数的几何意义即可求出切线的方程.
【解析】依题意得y′=ex+xex,
令y′=0,可得x=-1,所以y=-.
因此函数y=xex在其极值点处的切线方程为y=-.
答案:y=-
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2016·天津高二检测)设函数f(x)=-x3+x2+(m2-1)x(x∈R),其中m>0.
(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
【解析】(1)当m=1时,f(x)=-x3+x2,
f′(x)=-x2+2x,故f′(1)=1.
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1.
(2)f′(x)=-x2+2x+m2-1.
令f′(x)=0,解得x=1-m或x=1+m.
因为m>0,所以1+m>1-m.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,1-m)
1-m
(1-m,1+m)
1+m
(1+m,+∞)
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
f(1-m)
↗
f(1+m)
↘
所以函数f(x)在(-∞,1-m)和(1+m,+∞)上是减函数,在(1-m,1+m)上是增函数.
函数f(x)在x=1-m处取得极小值f(1-m),
且f(1-m)=-m3+m2-.
函数f(x)在x=1+m处取得极大值f(1+m),
且f(1+m)=m3+m2-.
6.(2016·山东高考)设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a∈R.
(1)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间.
(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.
【解题指南】(1)通过二次求导,研究g(x)的单调性.
(2)通过端点分析,找到分界点,再分情况讨论.
【解析】(1)g(x)=f′(x)=lnx-2ax+2a,
所以g′(x)=-2a=.
当a≤0,x∈时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增.
当a>0,x∈时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增,
x∈时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.
综上:当a≤0,函数g(x)单调递增区间为(0,+∞).
当a>0,函数g(x)单调递增区间为,函数g(x)单调递减区间为.
(2)由(1)知f′(1)=0.
①当a≤0,f′(x)单调递增,所以
x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减,x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.
②当01时,由(1)知f′(x)在内单调递增,
所以x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减,x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.
③当a=,=1时,f′(x)在内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,所以
x∈时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意.
④当a>,0<<1时,x∈,f′(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=1处取得极大值,符合题意.
综上可知a>.
关闭Word文档返回原板块
PAGE温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
单元质量评估(三)
第三章
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2016·台州高二检测)函数y=lgx的导数为　(　　)
A.
B.ln10
C.
D.
【解析】选C.因为(logax)′=,
所以(lgx)′=.
2.(2016·泉州高二检测)已知f(x)=sinx+lnx,则f′(1)的值为　(　　)
A.1-cos1
B.1+cos1
C.-1+cos1
D.-1-cos1
【解析】选B.f′(x)=cosx+,f′(1)=cos1+1.
3.设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调递增区间是　(　　)
A.
B.
C.(-∞,0)
D.(-∞,0)∪
【解析】选A.f(x)=2x2-x3,f′(x)=4x-3x2,
由f′(x)>0得04.已知物体的运动方程是s=t3-4t2+12t(t表示时间,s表示位移),则瞬时速度为0的时刻是　(　　)
A.0秒、2秒或6秒
B.2秒或16秒
C.2秒、8秒或16秒
D.2秒或6秒
【解析】选D.s′=t2-8t+12=0,解得t=2或t=6.
5.函数y=2x3-2x2在[-1,2]上的最大值为　(　　)
A.-5
B.0
C.-1
D.8
【解析】选D.y′=6x2-4x=2x(3x-2),列表:
x
-1
(-1,0)
0
2
y′
+
-
+
y
-4
↗
0
↘
-
↗
8
所以ymax=8.
6.(2016·临沂高二检测)曲线y=3lnx+x+2在点P0处的切线方程为4x-y-1=0,则点P0的坐标是　(　　)
A.(0,1)
B.(1,-1)
C.(1,3)
D.(1,0)
【解析】选C.f′(x)=+1.设P0(x0,y0),
则+1=4,解得x0=1.
因为(x0,y0)在直线4x-y-1=0上,所以y0=3.
所以点P0的坐标为(1,3).
7.若x=1是函数f(x)=(ax-2)·ex的一个极值点,则a的值为　(　　)
A.1
B.2
C.e
D.5
【解析】选A.因为f′(x)=aex+(ax-2)ex,
所以f′(1)=ae+(a-2)e=0,
解得:a=1,
把a=1代入函数得:
f(x)=(x-2)·ex,
所以f′(x)=ex+(x-2)ex=ex(x-1),
所以f′(1)=0,且x<1时,f′(x)<0,x>1时,
f′(x)>0.
故a=1符合题意.
8.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27π且用料最省,则圆柱的底面半径为　(　　)
A.5
B.6
C.3
D.2
【解析】选C.设圆柱的底面半径为R,母线长为l,
则V=πR2l=27π,所以l=.
要使用料最省,只需使水桶的表面积最小,
而S表=πR2+2πRl=πR2+,
令S表′=2πR-=0,
解得R=3,即当R=3时,S表最小.
9.(2016·菏泽高二检测)函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是　(　　)
A.(0,1)
B.(-∞,1)
C.(0,+∞)
D.
【解析】选D.f′(x)=3x2-6b,
因为f(x)在(0,1)内有极小值,
所以f′(x)=0在x∈(0,1)有解.
所以
所以010.(2016·合肥高二检测)设a【解析】选C.y′=2(x-a)(x-b)+(x-a)2=(x-a)·(3x-a-2b),由y′=0得x=a或x=.因为a11.(2016·烟台高二检测)已知a<0,函数f(x)=ax3+lnx,且f′(1)的最小值是-12,则实数a的值为　(　　)
A.2
B.-2
C.4
D.-4
【解析】选B.f′(x)=3ax2+,所以f′(1)=3a+≥-12,即a+≥-4,又a<0,有a+≤-4.故a+=-4,此时a=-2.
12.(2016·全国卷Ⅰ)若函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是(　　)
A.[-1,1]
B.
C.
D.
【解析】选C.方法一:用特殊值法:
取a=-1,f(x)=x-sin2x-sinx,
f′(x)=1-cos2x-cosx,
但f′(0)=1--1=-<0,不具备在(-∞,+∞)上单调递增,排除A,B,D.
方法二:f′(x)=1-cos2x+acosx≥0对x∈R恒成立,故1-(2cos2x-1)+acosx≥0,
即acosx-cos2x+≥0恒成立,
令t=cosx,所以-t2+at+≥0对t∈[-1,1]恒成立,构造函数f(t)=-t2+at+,
开口向下的二次函数f(t)的最小值的可能值为端点值,
故只需解得-≤a≤.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.(2016·中山高二检测)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为　　　　　　.
【解析】y′=3lnx+1+x·=3lnx+4,
所以y′|x=1=3ln1+4=4.
又f(1)=1×(3ln1+1)=1,
所以所求的切线方程为y-1=4(x-1),
即4x-y-3=0.
答案:4x-y-3=0
14.(2016·郑州高二检测)已知函数f(x)=+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0,则a=　　　　,b=　　　　.
【解析】f′(x)=-.
由于直线x+2y-3=0的斜率为-,且过点(1,1).
故即
解得a=1,b=1.
答案:1　1
15.函数y=x+2cosx-在区间上的最大值是　　　　.
【解析】y′=1-2sinx=0,在区间上解得x=,
故y=x+2cosx-在区间上是增函数,在区间上是减函数,所以x=时,y=,而x=0时,y=2-,x=时y=-,且>2->-,故函数y=x+2cosx-在区间上的最大值是.
答案:
【补偿训练】曲线y=x3-2以点为切点的切线的倾斜角为　　　　.
【解析】y′=x2,当x=1时,y′=1,从而切线的倾斜角为45°.
答案:45°
16.设f(x)=x3-x2-2x+5,当x∈[-1,2]时,f(x)【解析】f′(x)=3x2-x-2=(x-1)(3x+2),
令f′(x)=0,得x=1或x=-.
f(x)极小值=f(1)=1--2+5=,
f(x)极大值=f
=--++5
=5.
又f(-1)=-1-+2+5=,
f(2)=8-2-4+5=7,
比较可得f(x)max=f(2)=7.
因为f(x)所以m>7.
答案:(7,+∞)
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2016·南昌高二检测)设函数f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.
(1)若f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1x2=1,求实数a的值.
(2)是否存在实数a,使得f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数 若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
【解析】f′(x)=18x2+6(a+2)x+2a.
(1)由已知有f′(x1)=f′(x2)=0,从而x1x2==1,所以a=9.
(2)由于Δ=36(a+2)2-4×18×2a=36(a2+4)>0,
所以不存在实数a,使得f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数.
【补偿训练】已知函数f(x)=ax2+2x-lnx.
(1)当a=0时,求f(x)的极值.
(2)若f(x)在区间上是增函数,求实数a的取值范围.
【解析】(1)函数的定义域为(0,+∞).
因为f(x)=ax2+2x-lnx,
当a=0时,f(x)=2x-lnx,则f′(x)=2-,
令f′(x)=0得x=,
所以当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表
x
f′(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
所以当x=时,f(x)的极小值为1+ln2,无极大值.
(2)由已知,得
f(x)=ax2+2x-lnx,且x>0,则
f′(x)=ax+2-=.
若a=0,由f′(x)>0得x>,显然不合题意;
若a≠0,因为函数f(x)在区间上是增函数,
所以f′(x)≥0对x∈恒成立,即不等式ax2+2x-1≥0对x∈恒成立,
即a≥=-=-1恒成立,
故a≥.
而当x=时,函数-1的最大值为3,所以实数a的取值范围为a≥3.
18.(12分)已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程.
(2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.
【解析】(1)因为f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1,
所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f′(2)=13.
所以切线的方程为y=13(x-2)+(-6),
即y=13x-32.
(2)因为切线与直线y=-+3垂直,
所以切线的斜率k=4.
设切点的坐标为(x0,y0),
则f′(x0)=3+1=4,
所以x0=±1,
所以或
即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18).
切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.
即y=4x-18或y=4x-14.
19.(12分)(2016·临沂高二检测)已知函数f(x)=lnx-ax2-2x.
(1)若函数f(x)在x=2处取得极值,求实数a的值.
(2)若函数f(x)在定义域内单调递增,求a的取值范围.
【解析】(1)f′(x)=-(x>0),
因为x=2时,f(x)取得极值,
所以f′(2)=0,解之得a=-,经检验符合题意.
(2)由题意知f′(x)≥0在x>0时恒成立,
即ax2+2x-1≤0在x>0时恒成立,
则a≤=-1在x>0时恒成立,
即a≤(x>0),
当x=1时,-1取得最小值-1.
所以a的取值范围是(-∞,-1].
20.(12分)某5A级景区为提高经济效益,现对某景点进行改造升级,提高旅游增加值,经过市场调查,旅游增加值y万元与投入x(x≥10)万元之间满足:
y=f(x)=ax2+x-bln,a,b为常数,当x=10万元时,y=19.2万元;当x=50万元时,y=74.4万元.(参考数据:ln2=0.7,ln3=1.1,ln5=1.6)
(1)求f(x)的解析式.
(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值.(利润=旅游增加值-投入)
【解析】(1)由条件可得
解得a=-,b=1.
则f(x)=-+x-ln(x≥10).
(2)由T(x)=f(x)-x=-+x-ln(x≥10),
则T′(x)=-+-=-,
令T′(x)=0,则x=1(舍)或x=50,
当x∈(10,50)时,T′(x)>0,
因此T(x)在(10,50)上是增函数;
当x>50时,T′(x)<0,因此T(x)在(50,+∞)上是减函数,
故x=50为T(x)的极大值点,也是最大值点,且最大值为24.4万元.
即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为24.4万元.
21.(12分)(2016·绍兴高二检测)已知函数f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3.
(1)设a=1,求函数f(x)的极值.
(2)若a>,且当x∈[1,4a]时,f(x)≥a3-12a恒成立,试确定a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,f(x)=x3-3x2-9x+1且f′(x)=3x2-6x-9,由f′(x)=0得x=-1或x=3.
当x<-1时,f′(x)>0,当-1因此x=-1是函数f(x)的极大值点,
极大值为f(-1)=6;
当-13时f′(x)>0,
因此x=3是函数的极小值点,极小值为f(3)=-26.
(2)因为f′(x)=3x2-6ax-9a2=3(x+a)(x-3a),a>,
所以当1≤x<3a时,f′(x)<0;
当3a0.
所以x∈[1,4a]时,f(x)的最小值为f(3a)=-26a3.
由f(x)≥a3-12a在[1,4a]上恒成立得-26a3≥a3-12a.
解得a≤-或0≤a≤.
又a>,所以即a的取值范围为.
22.(12分)奇函数f(x)=ax3+bx2+cx的图象过点A(-,),B(2,10).
(1)求f(x)的表达式.
(2)求f(x)的单调区间.
(3)若方程f(x)+m=0有三个不同的实数根,求m的取值范围.
【解析】(1)因为f(x)=ax3+bx2+cx为奇函数,
所以f(-x)=-f(x)(x∈R).
所以b=0.
所以f(x)=ax3+cx.
因为图象过点A(-,),B(2,10),
所以
即
所以
所以f(x)=x3-3x.
(2)因为f(x)=x3-3x,
所以f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),
所以当-1当x<-1或x>1时,f′(x)>0,
所以f(x)的递增区间是(-∞,-1)和(1,+∞),递减区间是(-1,1).
(3)因为f(-1)=2,f(1)=-2,为使方程f(x)+m=0,
即f(x)=-m有三个不等实数根,
则-2<-m<2,
即-2所以m的取值范围是(-2,2).
关闭Word文档返回原板块温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业
一
命　　题
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·石家庄高二检测)下列语句中是命题的是　(　　)
A.周期函数的和是周期函数吗
B.sin
45°=1
C.x2+2x-1>0
D.梯形是不是平面图形呢
【解析】选B.A不是,因为它是一个疑问句,不能判断其真假,故不构成命题;B是,因为能够判断真假,故是命题;C不是,因为不能判断其真假,故不构成命题;D不是,不能判定真假且不是陈述句,故不构成命题.
2.下列语句中命题的个数是　(　　)
①2<1;②x<1;③若x<2,则x<1;④函数f(x)=x2是R上的偶函数.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选D.①③④是命题;②不能判断真假,不是命题.
3.(2016·湛江高二检测)下列命题中是假命题的是　(　　)
A.若a·b=0(a≠0,b≠0),则a⊥b
B.若|a|=|b|,则a=b
C.若ac2>bc2,则a>b
D.5>3
【解析】选B.|a|=|b|只能说明a与b长度一样.a=b不一定成立.
【误区警示】选项A易忽视括号中条件的作用,错认为是假命题,而选项B易忽视向量的方向,错认为是真命题.
4.下列说法正确的是　(　　)
A.命题“正项等差数列的公差大于零”是真命题
B.语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题
C.“四边形是菱形”是真命题
D.语句“当a>4时,方程x2-4x+a=0有实根”是假命题
【解析】选D.当a>4时,方程x2-4x+a=0的判别式Δ<0,方程无实根.
5.(2016·安阳高二检测)下列命题是真命题的是　(　　)
A.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B.过点P(x0,y0)的所有直线的方程都可表示为y-y0=k(x-x0)
C.已知点A(x0,y0)是圆C:x2+y2=1内一点,则直线x0x+y0y-1=0与圆C相交
D.圆柱的俯视图可能为矩形
【解析】选D.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱,不满足棱柱的定义,所以A不正确;过点P(x0,y0)的所有直线的方程都可表示为y-y0=k(x-x0),直线的斜率不存在时,无法表示出来,所以B不正确;因为A(x0,y0)是圆C:x2+y2=1内一点,所以+<1,所以圆心(0,0)到直线x0x+y0y=1的距离:d=>1,所以直线x0x+y0y=1与圆相离.所以C不正确.
圆柱的俯视图可能为矩形,当圆柱放倒时,满足题意,所以D正确.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.给出下列命题:
①若ac=bc,则a=b;
②方程x2-x+1=0有两个实根;
③对于实数x,若x-2=0,则x-2≤0;
④若p>0,则p2>p;
⑤正方形不是菱形.
其中真命题是　　　　,假命题是　　　　.
【解析】①c=0时,a不一定等于b,假命题.
②此方程无实根,假命题.
③结论成立,真命题.
④0⑤不成立,假命题.
答案:③　①②④⑤
7.把“正弦函数是周期函数”写成“若p,则q”的形式是　　　　.
【解析】该命题的条件是函数为正弦函数,结论是这个函数是周期函数,故“若p,则q”的形式为“若函数为正弦函数,则此函数是周期函数”.
答案:若函数为正弦函数,则此函数是周期函数
【延伸探究】判断本题中命题的真假.
【解析】因为正弦函数是周期函数,所以该命题为真命题.
8.给出下列命题:
①在△ABC中,若∠A>∠B,则sinA>sinB;
②函数y=x3在R上既是奇函数又是增函数;
③函数y=f(x)的图象与直线x=a至多有一个交点;
④若将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,则得到函数y=sin的图象.
其中真命题的序号是　　　　.
【解析】①∠A>∠B a>b sinA>sinB,①为真命题,②③易知正确.④将函数y=sin2x的图象向左平移个单位,得到函数y=sin的图象.
答案:①②③
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(教材P4练习T3改编)把下列命题写成“若p,则q”的形式,并判断其真假:
(1)等腰三角形底边上的中线垂直于底边并且平分顶角.
(2)二次函数的图象关于y轴对称.
【解析】(1)若一个三角形是等腰三角形,则其底边上的中线垂直于底边且平分顶角.
或:若一条线段是一个等腰三角形的底边上的中线,则这条线段垂直于底边且平分顶角,真命题.
(2)若一个函数是二次函数,则它的图象关于y轴对称,假命题.
10.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)ac>bc a>b.
(2)已知x,y∈N
,当y=x+1时,y=3,x=2.
(3)当m>时,mx2-x+1=0无实根.
(4)当x2-2x-3=0时,x=3或x=-1.
【解析】(1)若ac>bc,则a>b,是假命题.
(2)已知x,y∈N
,若y=x+1,则y=3,x=2,是假命题.
(3)若m>,则mx2-x+1=0无实根,是真命题.
(4)若x2-2x-3=0,则x=3或x=-1,是真命题.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.下列命题正确的是　(　　)
A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
【解题指南】利用空间中线面位置关系的有关定理逐一判断.
【解析】选C.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线可平行、可异面、可相交,选项A错;
如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧,则经过这三个点的平面与这个平面相交,选项B不正确;
如图,平面α∩β=b,a∥α,a∥β,过直线a作平面ε∩α=c,过直线a作平面γ∩β=d,因为a∥α,所以a∥c,因为a∥β,所以a∥d,所以d∥c,因为c α,d α,所以d∥α,
又因为d β,所以d∥b,所以a∥b,选项C正确;
若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面可平行、可相交,选项D不正确.
2.(2016·鹰潭高二检测)在下列给出的命题中,所有正确命题的个数为　(　　)
①函数y=2x3-3x+1的图象关于点(0,1)成中心对称;②若实数x,y满足x2+y2=1,则的最大值为;③若△ABC为锐角三角形,则sinAA.1个
B.2个
C.3个　　　
D.0个
【解题指南】由f(x)+f(-x)=2判断①;数形结合判断③;利用三角函数的单调性判断④.
【解析】选B.对于①,f(x)+f(-x)=2x3-3x+1-2x3+3x+1=2,则函数y=2x3-3x+1的图象关于点(0,1)成中心对称,即①正确;
对于②,若实数x,y满足x2+y2=1,如图,可看作过点(-2,0)与圆x2+y2=1上点的直线的斜率,相切时取得最值,则的最大值为,②正确;
对于③,若△ABC为锐角三角形,
则A+B>,-B所以sinA>sin=cosB,③错误.
所以正确命题的个数是2个.
【补偿训练】已知不等式x+3≥0的解集是A,则使得a∈A是假命题的a的取值范围是　(　　)
A.a≥-3　　　B.a>-3
C.a≤-3
D.a<-3
【解析】选D.因为x+3≥0,x≥-3,所以A={x|x≥-3}.
又因为a∈A是假命题,即a A,所以a<-3.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.命题“若a>0,则二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包含边界)”条件p:　　　　,结论q:　　　　.它是　　　　(填“真”或“假”)命题.
【解析】a>0时,设a=1,把(0,0)代入x+y-1≥0得-1≥0不成立,所以x+y-1≥0表示直线的右上方区域,所以命题为真命题.
答案:a>0　二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包含边界)　真
4.下列4个命题:
① a∈R,a2>0;
② α∈R,sin2α+cos2α=;
③ x1,x2∈R,若x1④ α∈R,sinα=cosα.其中真命题为　　　　.
【解析】①a=0时,命题错误;
②不存在α∈R,sin2α+cos2α=;
③因为y=2x是增函数,
所以 x1,x2∈R,若x1④ α∈R,sinα=cosα,正确.例如α=时.
答案:③④
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假,且指出p和q分别指什么.
(1)乘积为1的两个实数互为倒数.
(2)奇函数的图象关于原点对称.
(3)与同一直线平行的两个平面平行.
【解析】(1)“若两个实数乘积为1,则这两个实数互为倒数”,它是真命题.
p:两个实数乘积为1;q:两个实数互为倒数.
(2)“若一个函数为奇函数,则它的图象关于原点对称”.它是真命题.
p:一个函数为奇函数;q:函数的图象关于原点对称.
(3)“若两个平面与同一条直线平行,则这两个平面平行”.它是假命题,这两个平面也可能相交.
p:两个平面与同一条直线平行;q:两个平面平行.
6.判断“函数f(x)=2x-x2有三个零点”是否为命题.若是命题,是真命题还是假命题 说明理由.
【解析】这是一个可以判断真假的陈述句,所以是命题,且是真命题.
函数f(x)=2x-x2的零点即方程2x-x2=0的实数根,也就是方程2x=x2的实数根,即函数y=2x,y=x2的图象的交点的横坐标,易知指数函数y=2x的图象与抛物线y=x2有三个交点,所以函数f(x)=2x-x2有三个零点.
关闭Word文档返回原板块
PAGE温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业
十三
双曲线的简单几何性质
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2015·安徽高考)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的
是　(　　)
A.x2-=1
B.-y2=1
C.-x2=1
D.y2-=1
【解析】选C.由题意知,选项A,B的焦点在x轴上,故排除A,B,C项的渐近线方程为y=±2x.
2.(2016·合肥高二检测)点P为双曲线C1:-=1(a>0,b>0)和圆C2:x2+y2=a2+b2的一个交点,且2∠PF1F2=∠PF2F1,其中F1,F2为双曲线C1的两个焦点,则双曲线C1的离心率为　(　　)
A.
B.1+
C.+1
D.2
【解题指南】由题意:PF1⊥PF2,且2∠PF1F2=∠PF2F1,故∠PF1F2=30°,∠PF2F1=
60°.设|PF2|=m,则|PF1|=m,|F1F2|=2m.由e==,能求出双曲线的离心率.
【解析】选C.由题意:PF1⊥PF2,且2∠PF1F2=∠PF2F1,
所以∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°.
设|PF2|=m,
则|PF1|=m,
|F1F2|=2m.
e===
=+1.
【补偿训练】双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率为　(　　)
A.2
B.
C.
D.
【解析】选C.依题意·=-1,所以a2=b2.
则e2===2,所以e=.
3.(2016·宁波高二检测)与双曲线-=1有共同的渐近线,且经过点(-3,2)的双曲线方程为　(　　)
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
【解析】选D.设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0),把(-3,2)代入方程得-=λ,所以λ=.
故双曲线方程为-=,即-=1.
4.设a>1,则双曲线-=1的离心率e的取值范围是　(　　)
A.(,2)
B.(,)
C.(2,5)
D.(2,)
【解析】选B.e2==++2=+1,
因为a>1,所以0<<1,1<+1<2,
所以21,所以5.(2016·沈阳高二检测)已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则·的最小值为(　　)
A.-4
B.-
C.1
D.0
【解题指南】根据题意,设P(x,y)(x≥1),根据双曲线的方程,易得A1,F2的坐标,将其代入·中,可得关于x,y的关系式,结合双曲线的方程,可得·的二次函数,由x的范围,可得答案.
【解析】选A.根据题意双曲线x2-=1,设P(x,y)(x≥1),
易得A1(-1,0),F2(3,0),
·=(-1-x,-y)·(3-x,-y)=x2-2x-3+y2,
又x2-=1,故y2=8(x2-1),
于是·=9x2-2x-11=9-.
当x=1时,取到最小值-4.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·山东高考)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是　　　　.
【解题指南】充分利用图象的几何性质,找出矩形一个顶点的坐标,代入曲线方程,便可求得离心率.
【解析】假设点A在左支位于第二象限内,由双曲线和矩形的性质,可得A,代入双曲线方程-=1,
可得-=1,所以e2-1=,又e>1,所以可求得e=2.
答案:2
7.(2016·菏泽高二检测)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以线段F1F2为直径的圆交双曲线左支于A,B两点,且∠AF1B=120°,若双曲线的离心率介于整数k与k+1之间,则k=　　　　.
【解析】因为以线段F1F2为直径的圆交双曲线左支于A,B两点,且∠AF1B=120°,
所以△OF1A是等边三角形,
所以|AF1|=c,|AF2|=c,
所以2a=|AF2|-|AF1|=(-1)c,
所以e===+1,
因为双曲线的离心率介于整数k与k+1之间,
所以k=2.
答案:2
8.(2016·厦门高二检测)设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为　　　　.
【解析】设椭圆C1的方程为+=1(a1>b1>0),
由已知得所以
所以焦距为2c1=10.
又因为8<10,所以曲线C2是双曲线.设其方程为
-=1(a2>0,b2>0),
则a2=4,c2=5,所以=52-42=32=9,
所以曲线C2的方程为-=1.
答案:-=1
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2016·威海高二检测)已知双曲线的一条渐近线为x+y=0,且与椭圆x2+4y2=64有相同的焦距,求双曲线的标准方程.
【解析】椭圆方程为+=1,
所以椭圆的焦距为8.
①当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),
所以解得.
所以双曲线的标准方程为-=1.
②当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线方程为-=1(a′>0,b′>0),
所以解得
所以双曲线的标准方程为-=1.
由①②可知,双曲线的标准方程为-=1或-=1.
10.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).
(1)求此双曲线的方程.
(2)若点M(3,m)在此双曲线上,求证:·=0.
【解析】(1)因为离心率e==,所以a=b.
设双曲线方程为x2-y2=n(n≠0),
因为点(4,-)在双曲线上,
所以n=42-(-)2=6.
所以双曲线方程为x2-y2=6.
(2)因为点M(3,m)在双曲线上,故m2=3.
又点F1(-2,0),
点F2(2,0),
所以·=·=-=-1.
所以·=0.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2014·重庆高考)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|·|PF2|=ab,则该双曲线的离心率
为　(　　)
A.
B.
C.
D.3
【解析】选B.由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a,又|PF1|+|PF2|=3b,所以(|PF1|+|PF2|)2-(|PF1|-|PF2|)2=9b2-4a2,即4|PF1|·|PF2|=9b2-4a2,又4|PF1|·|PF2|=9ab,因此9b2-4a2=9ab,即9--4=0,则=0,解得=,则双曲线的离心率e==.
2.(2016·唐山高二检测)设F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|=|F1F2|,且cos∠PF1F2=,则双曲线的渐近线方程为　(　　)
A.3x±4y=0
B.4x±3y=0
C.3x±5y=0
D.5x±4y=0
【解题指南】根据|PF2|=|F1F2|,结合双曲线的定义,可得出|PF1|=2a+2c,再由
cos∠PF1F2=,求出的值.
【解析】选B.作F2Q⊥PF1于点Q,
因为|F1F2|=|PF2|,所以点Q为PF1的中点,
由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a,
所以|PF1|=2a+2c,故|F1Q|=a+c,
因为cos∠PF1F2=,所以=cos∠PF1F2,
即=,得3c=5a,
所以3=5a,得=,
故双曲线的渐近线方程为y=±x,即4x±3y=0.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·深圳高二检测)已知双曲线an-1y2-anx2=an-1an的焦点在y轴上,一条渐近线方程为y=x,其中{an}是以4为首项的正数数列,则数列{an}的通项公式是　　　　.
【解析】双曲线即:-=1.
因为{an}是以4为首项的正数数列,一条渐近线方程为y=x,
所以=,=2,所以an=4·2n-1=2n+1.
答案:an=2n+1
4.(2016·重庆高二检测)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为　　　　　.
【解析】由双曲线的定义知,
(|PF1|-|PF2|)2=4a2,
又(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,
所以4a2=b2-3ab,
等号两边同除以a2,
化简得-3·-4=0,
解得=4或=-1(舍去),
故离心率
e=====.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.双曲线-=1(a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥c,求双曲线离心率e的取值范围.
【解析】设直线l的方程为+=1,
即bx+ay-ab=0.
由点到直线的距离公式,且a>1,得点(1,0)到直线l的距离d1=,点(-1,0)到直线l的距离d2=.
所以s=d1+d2==.
由s≥c,得≥c,即5a≥2c2.
因为e=,所以5≥2e2,
所以25(e2-1)≥4e4,
即4e4-25e2+25≤0,
所以≤e2≤5(e>1).所以≤e≤,
即e的取值范围为.
6.(2016·青岛高二检测)已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x2+y2=10相交于点P(3,-1),若此圆过点P的切线与双曲线的渐近线平行,求此双曲线的方程.
【解析】切点为P(3,-1)的圆的切线方程为3x-y=10,
因为双曲线的一条渐近线平行于此切线,且双曲线关于两坐标轴对称.
所以双曲线的渐近线方程为3x±y=0.
当焦点在x轴上时,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),
则其渐近线方程为y=±x,即=3,
则双曲线方程可化为-=1,
因为双曲线过点P(3,-1),
所以-=1,所以a2=,b2=80,
所以所求双曲线方程为-=1.
当焦点在y轴上时,设双曲线方程为-=1(a′>0,b′>0),
则渐近线方程为y=±x,即=3,
则双曲线方程可化为-=1,
因为双曲线过点P(3,-1),
所以-=1,得-=1,无解.
综上可知所求双曲线方程为-=1.
【一题多解】切点为P(3,-1)的圆的切线方程为3x-y=10.
因为双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称.
所以双曲线的两条渐近线方程为3x±y=0,
设所求的双曲线方程为9x2-y2=λ(λ≠0),
因为点P(3,-1)在所求双曲线上,所以λ=80.
所以所求双曲线方程为-=1.
关闭Word文档返回原板块
PAGE温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业
十九
导数的几何意义
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2016·深圳高二检测)曲线y=f(x)=在点(2,-2)处的切线的斜率k
为　(　　)
A.　　　　
B.　　　　
C.1　　　　
D.-
【解析】选C.k=
===1.
【补偿训练】(2016·重庆高二检测)曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为　(　　)
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
【解析】选B.y′=
=
==3x2-2.
则当x=1时,切线的斜率k=1.
设切线的倾斜角为θ,由tanθ=1,且0≤θ≤180°,得θ=45°.
2.(2016·阜阳高二检测)函数y=f(x)的图象在点P(5,f(5))处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)=　(　　)
A.
B.1
C.2
D.0
【解题指南】根据函数f(x)的图象在点P(5,f(5))处的切线方程求出切线的斜率f′(5)和f(5)是解答关键.
【解析】选C.函数f(x)的图象在点P(5,f(5))处的切线y=
-x+8的斜率是k=-1,
所以f′(5)=-1,
又切线过点P(5,f(5)),
所以f(5)=-5+8=3,
所以f(5)+f′(5)=3-1=2.
3.(2016·临沂高二检测)曲线y=x3-3x2+1在点P处的切线平行于直线y=9x-1,则切线方程为　(　　)
A.y=9x
B.y=9x-26
C.y=9x+26
D.y=9x+6或y=9x-26
【解析】选D.设点P(x0,y0),
则=
=
=(Δx)2+3x0Δx-3Δx+3-6x0.
所以f′(x0)=[(Δx)2+3x0Δx-3Δx+3-6x0]
=3-6x0,于是3-6x0=9,解得x0=3或x0=-1,
因此,点P的坐标为(3,1)或(-1,-3).
又切线斜率为9,所以曲线在点P处的切线方程为y=9(x-3)+1或y=9(x+1)-3,即y=9x-26或y=9x+6.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.(2016·德州高二检测)已知曲线f(x)=x3在点(2,8)处的切线方程为12x-ay-16=0,则实数a的值为　　　　.
【解析】因为f′(2)==
=12,
所以曲线f(x)=x3在点(2,8)处的切线的斜率为12,
所以=12,a=1.
答案:1
【补偿训练】(2016·福州高二检测)已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则=　　　　　.
【解析】=(a·Δx+2a)=2a=2,所以a=1,
又3=a×12+b,所以b=2,即=2.
答案:2
5.(2016·北京东城高二检测)如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(0))=　
　
　
　
　　　;
=　　　　　　　　　.(用数字作答)
【解析】因为函数f(x)的图象过点A(0,4)和(4,2),
所以f(f(0))=f(4)=2.
又函数f(x)过点A(0,4),B(2,0),
则当0≤x≤2时,
f(x)=4-2x.
所以==f′(1)=-2.
答案:2　-2
三、解答题
6.(10分)(2016·威海高二检测)已知曲线f(x)=x2+1与g(x)=x3+1在x=x0处的切线互相垂直,求x0的值.
【解析】因为f′(x)=
=(2x+Δx)=2x,
g′(x)=
=((Δx)2+3xΔx+3x2)=3x2,
所以k1=2x0,k2=3,
由k1k2=-1,
即6=-1,
解得x0=-.
【补偿训练】已知曲线y=x3上一点P,如图所示.
(1)求曲线在点P处的切线的斜率.
(2)求曲线在点P处的切线方程.
【解题指南】
【解析】(1)因为y=x3,
所以y′==
=
=[3x2+3x·Δx+(Δx)2]=x2,
所以y′=22=4,
所以曲线y=x3在点P处的切线的斜率为4.
(2)曲线y=x3在点P处的切线方程是y-=4(x-2),
即12x-3y-16=0.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·重庆高二检测)过曲线y=x3+1上一点(1,2)且与该点处的切线垂直的直线方程是　(　　)
A.y=3x-3
B.y=x-
C.y=-x+
D.y=-3x+3
【解题指南】先求出曲线在该点处的切线的斜率,再求与此切线垂直的直线的斜率,进而得到直线方程.
【解析】选C.曲线上点(1,2)处切线的斜率为
=[3+3Δx+(Δx)2]=3,
所以与切线垂直的直线的斜率为-,
所以所求直线的方程是y-2=-(x-1),
即y=-x+.
【补偿训练】若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则　(　　)
A.a=1,b=1
B.a=-1,b=1
C.a=1,b=-1
D.a=-1,b=-1
【解析】选A.y′=
=
=
=(Δx+a+2x)=2x+a.
又因为点(0,b)处的切线方程为x-y+1=0,
所以y′=a=1.
将(0,b)代入x-y+1=0得,b=1.
所以a=1,b=1.
2.(2016·泰安高二检测)设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为　(　　)
A.
B.[-1,0]
C.[0,1]
D.
【解题指南】根据倾斜角的取值范围可以得到曲线C在点P处切线斜率的取值范围,进而得到点P横坐标的取值范围.
【解析】选D.设点P的横坐标为x0,因为y=x2+2x+3,
由定义可求其导数y′=2x0+2,利用导数的几何意义得2x0+2=tanα(α为点P处切线的倾斜角),
又因为α∈,所以1≤2x0+2,
所以x0∈.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·烟台高二检测)若函数f(x)=x-,则它与x轴交点处的切线方程为　　　　.
【解析】由f(x)=x-=0得x=±1,
即与x轴交点坐标为(1,0),(-1,0).
因为f′(x)=
==1+,
所以切线的斜率k=1+=2.
所以切线的方程为y=2(x-1)或y=2(x+1),
即2x-y-2=0或2x-y+2=0.
答案:2x-y-2=0或2x-y+2=0
4.若点P是抛物线y=x2上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为　　　　.
【解析】由题意可得,当点P到直线y=x-2的距离最小时,点P为抛物线y=x2的一条切线的切点,且该切线平行于直线y=x-2,由导数的几何意义知y′=2x=1,解得x=,
所以P,故点P到直线y=x-2的最小距离d==.
答案:
三、解答题
5.(10分)已知曲线C:y=x3.
(1)求曲线C在点P(1,1)处的切线方程.
(2)试判断(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点.
【解析】(1)曲线在点P处的切线斜率为f′(1)=
=3,故所求切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.
(2)由解得或
因此,点P处的切线与曲线C除了切点(1,1)之外,还有另一个公共点(-2,-8).
关闭Word文档返回原板块
PAGE温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
单元质量评估(一)
第一章
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2016·宜昌高二检测)下列命题:
①面积相等的三角形是全等三角形;
②若xy=0,则|x|+|y|=0;
③若a>b,则ac2>bc2;
④矩形的对角线互相垂直.
其中假命题的个数是　(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选D.①等底等高的三角形都是面积相等的三角形,但不一定全等;②当x,y中一个为零,另一个不为零时,|x|+|y|≠0;③当c=0时不成立;④菱形的对角线互相垂直,矩形的对角线不一定垂直.
【补偿训练】下列命题是真命题的是　(　　)
A.y=tanx的定义域是R
B.y=的值域为R
C.y=的递减区间为(-∞,0)∪(0,+∞)
D.y=sin2x-cos2x的最小正周期是π
【解析】选D.当x=kπ+,k∈Z时,y=tanx无意义,A错;
函数y=的定义域为[0,+∞),且为增函数,则y=≥0,B错;
函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在区间(-∞,0)和区间(0,+∞)都递减,但当x=-1时,y=-1,当x=1时,y=1,故C错;
由y=sin2x-cos2x=-cos2x,得其周期为T==π,故D正确.
2.(2016·浙江高考)命题“ x∈R, n∈N
,使得n≥x2”的否定形式是　(　　)
A. x∈R, n∈N
,使得nB. x∈R, n∈N
,使得nC. x∈R, n∈N
,使得nD. x∈R, n∈N
,使得n【解题指南】根据量词的否定判断.
【解析】选D. 的否定是 , 的否定是 ,n≥x2的否定是n3.(2016·焦作高二检测)给出命题p:3>1,q:4∈{2,3},则在下列三个命题:
“p∧q”“p∨q”“p”中,真命题的个数为　(　　)
A.0
B.3
C.2
D.1
【解析】选D.因为p真q假,所以“p∧q”为假,“p∨q”为真,“p”为假.
4.(2016·广州高二检测)下列说法正确的是　(　　)
A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”
B.命题“ x≥0,x2+x-1<0”的否定是“ x0<0,+x0-1<0”
C.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为假命题
D.若“p∨q”为真命题,则p,q中至少有一个为真命题
【解析】选D.“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2≠1,则x≠1”,故A错;否命题既否定条件,又否定结论;而命题的否定只否定命题的结论.“ x≥0,x2+x-1<0”的否定是“ x0≥0,+x0-1≥0”,故B错;
命题“若A,则B”的逆否命题是“若B,则A”,因此“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为“若sinx≠siny,则x≠y”,这是一个真命题;“p∨q”为真命题时,p与q中至少有一个为真命题.
【补偿训练】(2016·资阳模拟)给出以下四个判断,其中正确的判断是　(　　)
A.若“p或q”为真命题,则p,q均为真命题
B.命题“若x≥4且y≥2,则x+y≥6”的逆否命题为“若x+y<6,则x<4且y<2”
C.若x≠300°,则cosx≠
D.命题“ x0∈R,≤0”是假命题
【解析】选D.若“p或q”为真命题,则p,q至少一个为真命题,故A错误;命题“若x≥4且y≥2,则x+y≥6”的逆否命题为“若x+y<6,则x<4或y<2”,故B错误;若x≠300°,则cosx≠错误,如x=60°≠300°,但cos60°=,故C错误;由指数函数的值域可知,命题“ x0∈R,≤0”是假命题,故D正确.
5.(2016·珠海高二检测)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为　(　　)
A.存在x0∈R,使得<0
B.对任意x∈R,使得x2<0
C.存在x0∈R,都有≥0
D.不存在x0∈R,使得<0
【解析】选A.根据全称命题的否定是特称命题可得命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为“存在x0∈R,使得<0”.
【补偿训练】命题“存在x0∈R使得≤0”的否定是　(　　)
A.不存在x0∈R使得>0
B.对任意x∈R,ex>0
C.对任意x∈R,ex≤0
D.存在x0∈R,使得>0
【解析】选B.命题“存在x0∈R,使得≤0”的否定是对任意x∈R,ex>0.
6.若关于命题p:A∪ =A,命题q:A∩ =A,则下列说法正确的是　(　　)
A.(p)∨(q)为假
B.(p)∧(q)为真
C.(p)∨q为假
D.(p)∧q为真
【解析】选C.命题p是真的;命题q是假的.则p是假的,q为真的,则(p)∨q为假.
7.(2016·宿州高二检测)若存在x0∈R,使a+2x0+a<0,则实数a的取值范围
是　(　　)
A.a<1
B.a≤1
C.-1D.-1【解析】选A.当a≤0时,显然存在x0∈R,使a+2x0+a<0;当a>0时,必需
Δ=4-4a2>0,解得-1综上所述,实数a的取值范围是a<1.
8.命题“对于正数a,若a>1,则lga>0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为　(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选D.原命题“对于正数a,若a>1,则lga>0”是真命题;逆命题“对于正数a,若lga>0,则a>1”是真命题;否命题“对于正数a,若a≤1,则lga≤0”是真命题;逆否命题“对于正数a,若lga≤0,则a≤1”是真命题.
9.(2016·郓城高二检测)等差数列{an}中,“a1A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解题指南】利用等差数列的公差进行判断.
【解析】选C.等差数列中,由a10,
所以an+1=an+d>an,即an反过来,由an0,
所以a3=a1+2d>a1,即a1等差数列{an}中,“a110.给出如下四个命题:
①若“p∨q”为真命题,则p,q均为真命题;
②“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b-1”;
③“ x∈R,x2+x≥1”的否定是“ x0∈R,+x0≤1”;
④“x>0”是“x+≥2”的充要条件.
其中不正确的命题是　(　　)
A.①②
B.②③
C.①③
D.③④
【解题指南】①“p∨q”为真命题,p,q二者中只要有一真即可;
②写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论;
③直接写出全称命题的否定;
④利用基本不等式,可得结论.
【解析】选C.①“p∨q”为真命题,p,q二者中只要有一真即可,故不正确;
②“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为“若a≤b,
则2a≤2b-1”,正确;
③“ x∈R,x2+x≥1”的否定是“ x0∈R,+x0<1”,故不正确;
④x>0时,x+≥2,若x+≥2,则x>0,所以“x>0”是“x+≥2”的充要条件,故正确.
11.(2016·眉山高二检测)“a>1”是“对任意的正数x,不等式2x+≥1成立”的　(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.2x+≥1,x>0,则a≥-2x2+x对x>0恒成立,而-2x2+x=-2+,所以a≥,“对任意的正数x,不等式2x+≥1成立”的充要条件是“a≥”,故“a>1”是“对任意的正数x,不等式2x+≥1成立”的充分不必要条件,故选A.
12.使不等式x2-3x<0成立的一个必要不充分条件是　(　　)
A.0B.0C.0D.x<0或x>3
【解析】选B.x2-3x<0 00000x<0或x>303;
x<0或x>0是不等式x2-3x<0成立的既不充分又不必要条件.故选B.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.(2016·衡阳高二检测)命题“存在x0>-1,+x0-2016>0”的否定是　　　　　　.
【解析】特称命题的否定是全称命题,故命题“存在x0>-1,+x0-2016>0”的否定是“对任意x>-1,x2+x-2016≤0”.
答案:对任意x>-1,x2+x-2016≤0
14.(2016·宝鸡高二检测)已知q:不等式x2-mx+4≥0对x∈R恒成立,若q为假,则实数m的范围是　　　　　.
【解题指南】由q为假,可知q为真命题,从而得出二次不等式恒成立,利用判别式满足的条件可求.
【解析】q为假,即q为真命题.q:不等式x2-mx+4≥0对x∈R恒成立,即(-m)2-16≤0,-4≤m≤4,故实数m的范围是[-4,4].
答案:[-4,4]
【拓展延伸】完美解决参数问题
通过已知条件,探索命题的真假,然后求解参数的取值范围,是逻辑用语部分常见的、基本的题型.解决此类问题要从三个方面入手:
(1)熟练掌握真值表,判断单个命题p,q的真假.
(2)具备丰富的基础知识储备,求解单个命题成立的参数范围.
(3)辅助应用集合的运算确定参数的最后范围.
15.(2016·徐州高二检测)已知命题p:≤1,命题q:x2-2x+1-m2<0(m>0),若p是q的充分不必要条件,则实数m的范围是　　　　　.
【解析】命题p首先化简为-1≤x≤3,命题q是二次不等式,p是q的充分不必要条件说明当-1≤x≤3时不等式x2-2x+1-m2<0恒成立,故
又m>0,故可解得m>2.
答案:(2,+∞)
16.给出下列命题:
①数列,3,,,3…的一个通项公式是;
②当k∈(-3,0)时,不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立;
③函数y=sin2-sin2是周期为π的奇函数;
④两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内.
其中,真命题的序号是　　　　　.
【解析】①数列,3=,,,3=…的被开方数构成一个以3为首项,以6为公差的等差数列,故它的一个通项公式是,故①正确;
②当k∈(-3,0)时,因为Δ=k2+3k<0,故函数y=2kx2+kx-的图象开口朝下,且与x轴无交点,
故不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,故②正确;
③函数y=sin2-sin2=sin2-cos2=
-cos=sin2x,是周期为π的奇函数,故③正确;
④两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内,故④正确.
故真命题的序号是①②③④.
答案:①②③④
【补偿训练】下列正确命题有　　　　.
①“sinθ=”是“θ=30°”的充分不必要条件;
②如果命题“(p或q)”为假命题,则p,q中至多有一个为真命题;
③设a>0,b>1,若a+b=2,则+的最小值为3+2;
④函数f(x)=3ax+1-2a在(-1,1)上存在x0,使f(x0)=0,则a的取值范围是a<-1或a>.
【解析】①由θ=30°可得sinθ=,反之不成立,因此“sinθ=”是“θ=30°”的必要不充分条件;
②命题“(p或q)”为假命题,则p,q都是假命题;
③a+b=2,所以a+b-1=1,+=(a+b-1)=3++≥3+2,最小值为3+2;
④由题意得f(-1)f(1)<0,所以(-5a+1)(a-1)<0,所以a<-1或a>.
答案:③④
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假.
(1)对数函数都是单调函数.
(2)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除.
(3) x∈{x|x>0},x+≥2.
(4) x0∈Z,log2x0>2.
【解析】(1)本题隐含了全称量词“所有的”,其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”,是全称命题,且为真命题.
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是特称命题,真命题.
(3)命题中含有全称量词“ ”,是全称命题,真命题.
(4)命题中含有存在量词“ ”,是特称命题,真命题.
18.(12分)已知f(x)=x2,g(x)=-m,若对 x1∈[-1,3], x2∈[0,2],有f(x1)≥g(x2),求实数m的取值范围.
【解析】根据题意知,f(x1)min≥g(x2)min,
当x1∈[-1,3]时,f(x1)min=0.
当x2∈[0,2]时,g(x2)=-m的最小值为g(2)=-m.
因此0≥-m,解之得m≥.
故实数m的取值范围是.
19.(12分)(2016·马鞍山高二检测)已知曲线C:x2+y2+Gx+Ey+F=0(G2+E2-4F>0),求曲线C在x轴上所截的线段的长度为1的充要条件,证明你的结论.
【解题指南】先求出必要条件,再证明其充分性.
【解析】必要性:令y=0,则x2+Gx+F=0.
设x1,x2为此方程的根,
若|x1-x2|==1,则G2-4F=1.
充分性:若G2-4F=1,x2+Gx+F=0
有两根为x1,x2,且x1+x2=-G,x1·x2=F,
|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1·x2=G2-4F=1.
故所求的充要条件是G2-4F=1.
20.(12分)(2016·汕头高二检测)已知p:-2≤1-≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
【解题指南】先解不等式求出p真和q真的条件.p真:-2≤x≤10;q真:1-m≤x≤1+m,然后利用p是q的必要不充分条件,根据集合之间的包含关系建立关于m的不等式,求出m的取值范围.
【解析】由x2-2x+1-m2≤0,得1-m≤x≤1+m,
所以q:A={x|x>1+m或x<1-m,m>0}.
由-2≤1-≤2,得-2≤x≤10.
所以p:B={x|x>10或x<-2},
因为p是q的必要不充分条件,
所以AB,所以
21.(12分)(2016·聊城高二检测)设命题p:函数f(x)=lg的定义域为R:命题q:3x-9x【解析】要使函数f(x)=lg的定义域为R,则不等式ax2-x+>0对于一切x∈R恒成立,
若a=0,则不等式等价为-x>0,解得x<0,不满足恒成立.
若a≠0,则满足条件
即解得即a>2,所以p:a>2.
因为g(x)=3x-9x=-+≤,
所以要使3x-9x,即q:a>.
要使p且q为假,则p,q至少有一个为假命题.
当p,q都为真命题时,满足即a>2,
所以p,q至少有一个为假命题时有a≤2,
即实数a的取值范围是a≤2.
22.(12分)(2016·福州高二检测)已知a>0,b>0,函数f(x)=ax-bx2.
(1)求证: x∈R均有f(x)≤1是a≤2的充分条件.
(2)当b=1时,求f(x)≤1,x∈[0,1]恒成立的充要条件.
【解析】(1)f(x)=ax-bx2=-b+,
因为 x∈R,f(x)≤1,
所以≤1,又a>0,b>0,
所以a≤2,
所以 x∈R均有f(x)≤1是a≤2的充分条件.
(2)因为b=1,所以f(x)=ax-x2,
当x=0时,f(x)=0≤1成立,
当x∈(0,1]时,f(x)≤1恒成立,
即a≤x+在(0,1]上恒成立,又=2,此时x=1,
所以0当0所以f(x)≤1在(0,1]上恒成立,
所以f(x)≤1,x∈(0,1]上恒成立的充要条件为0关闭Word文档返回原板块温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
考前过关训练(一)
常用逻辑用语
(30分钟　50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.(2016·三明高二检测)命题:“若x2<1,则-1A.若x2≥1,则x≥1或x≤-1
B.若-1C.若x>1或x<-1,则x2>1
D.若x≥1或x≤-1,则x2≥1
【解析】选D.x2<1的否定为x2≥1;-12.(2016·长沙高二检测)命题p: x>0,ex>1,则p是　(　　)
A. x0≤0,≤1
B. x0>0,≤1
C. x>0,ex≤1
D. x≤0,ex≤1
【解析】选A.p是 x0>0,≤1.
3.命题p:x>2是x2>4的充要条件;命题q:若>,则a>b,则　(　　)
A.“p∨q”为真
B.“p∧q”为真
C.p真q假
D.p,q均为假
【解析】选A.命题p:x>2是x2>4的充要条件是假命题;命题q:“若>,则a>b”是真命题,所以“p∨q”为真.
4.(2016·茂名高二检测)“直线y=x+b与圆x2+y2=1相交”是“0A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.若“直线y=x+b与圆x2+y2=1相交”,则圆心到直线的距离为d=<1,即<,不能推出0反过来,若0【补偿训练】设向量a=(1,x),b=(2,1-x),则“x=-1”是“a⊥b”的　(　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由a⊥b可得:x+2=0 x=2或x=-1,所以“x=-1”是“a⊥b”的充分而不必要条件.
5.下列命题中的真命题是　(　　)
A. x0∈R,使得sinx0cosx0=
B. x0∈(-∞,0),>1
C. x∈R,x2>x-1
D. x∈(0,π),sinx>cosx
【解析】选C.由sinx0cosx0=,得sin2x0=>1,故A错误;结合指数函数和三角函数的图象,可知B,D错误;
因为x2-x+1=+>0恒成立,所以C正确.
6.(2016·安康高二检测)“直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是　(　　)
A.-1B.-1≤k≤3
C.0D.k<-1或k>3
【解析】选C.“直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交点”等价于<,也就是k∈(-1,3).四个选项中只有(0,3)是(-1,3)的真子集,故充分不必要条件可以是0【补偿训练】已知命题p:在△ABC中,“C>B”是“sinC>sinB”的充分不必要
条件;命题q:“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件,则下列选项中正确的
是　(　　)
A.p真q假
B.p假q真
C.“p∨q”为假
D.“p∧q”为真
【解析】选C.在△ABC中,设角C与角B所对应的边分别为c,b,由C>B,知c>b,由正弦定理=可得sinC>sinB,当sinC>sinB时,易证C>B,故“C>B”是“sinC>sinB”的充要条件.当c=0时,由a>b得ac2=bc2,由ac2>bc2易证a>b,故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件,即命题p是假命题,命题q也是假命题,所以“p∨q”为假.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.在下列结论中,
①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件;
②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件;
③“p∨q”为真是“p”为假的必要不充分条件;
④“p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件.
正确的是　　　　　.
【解析】①“p∧q”为真是同时为真,可得到“p∨q”为真,反之不成立;②“p∧q”为假说明至少一个为假,此时“p∨q”可真可假;③中当“p”为假时可得到“p∨q”为真,所以“p∨q”为真是“p”为假的必要不充分条件;④“p”为真可得“p∧q”为假.
答案:①③
8.(2016·嘉峪关模拟)已知命题p:不等式|x-1|>m的解集是R,命题q:f(x)=在区间(0,+∞)上是减函数,若命题“p或q”为真,命题“p且q”为假,则实数m的范围是　　　　.
【解析】因为不等式|x-1|>m的解集是R,
所以m<0,即p:m<0.
若f(x)=在区间(0,+∞)上是减函数,
则2-m>0,即m<2,即q:m<2.
若p或q为真命题,p且q为假命题,则p,q一真一假.
若p真,q假,则此时m无解,若p假,q真,
则解得0≤m<2.综上:0≤m<2.
答案:0≤m<2
【补偿训练】设p:方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根;q:方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根.则使p∨q为真,p∧q为假的实数m的取值范围是　　　　.
【解析】设方程x2+2mx+1=0的两根分别为x1,x2,由得m<-1,
所以p:m<-1;
由方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根,可得Δ2=4(m-2)2-4(-3m+10)<0,知-2由p∨q为真,p∧q为假,可知命题p,q一真一假,
当p真q假时,此时m≤-2;
当p假q真时,此时-1≤m<3,
所以m的取值范围是m≤-2或-1≤m<3.
答案:(-∞,-2]∪[-1,3)
9.下列结论:
①若命题p: x0∈R,tanx0=2;命题q: x∈R,x2-x+>0.则命题“p∧(q)”是假命题;
②已知直线l1:ax+3y-1=0,
l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是=-3;
③“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为:“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”.
其中正确结论的序号为　　　　.(把你认为正确结论的序号都填上).
【解析】在①中,命题p是真命题,命题q也是真命题,故“p∧(q)”是假命题是正确的.在②中l1⊥l2 a+3b=0,所以②不正确.在③中“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为:“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”,正确.
答案:①③
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.(2016·湛江高二检测)已知a,b,c,d均为实数,且2bd-c-a=0.
命题p:关于x的方程ax2+2bx+1=0有实根;
命题q:关于x的方程cx2+2dx+1=0有实根;
证明:“p或q”为真命题.
【证明】由ax2+2bx+1=0得Δ1=4b2-4a,
由cx2+2dx+1=0得Δ2=4d2-4c,
又因为2bd-c-a=0,所以a+c=2bd,
所以Δ1+Δ2=4[b2+d2-(a+c)]
=4(b2+d2-2bd)
=4(b-d)2≥0,
即Δ1,Δ2中至少有一个大于或等于0,
所以两方程至少有一个有实根,即“p或q”为真命题.
11.(2016·临汾高二检测)已知c>0,设命题p:函数y=cx在R上为减函数,命题q:当x∈时,函数f=x+>恒成立.如果“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求c的取值范围.
【解题指南】根据指数函数的图象和性质可求出命题p为真命题时,c的取值范围;根据对勾函数的图象和性质,结合函数恒成立问题的解答思路,可求出命题q为真命题时,c的取值范围,进而根据“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,可知p和q一真一假,分类讨论后,综合讨论结果,即可求出答案.
【解析】因为c>0,所以如果命题p:函数y=cx在R上为减函数,是真命题,那么0如果命题q:当x∈,函数f=x+>恒成立是真命题,
又因为函数f=x+≥2,
当且仅当x=时,即x=1时,函数f(x)=2,
所以当x∈,函数f(x)∈>,所以<2,即c>.
又因为p或q为真命题,p且q为假命题,所以p或q一个为真命题一个为假命题.
如果p为真命题q为假命题,那么0如果p为假命题q为真命题,那么c≤0或c≥1且c>,所以c≥1.
综上所述,c的取值范围为0关闭Word文档返回原板块
PAGE温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业
十二
双曲线及其标准方程
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.设θ∈,则关于x,y的方程-=1所表示的曲线是　(　　)
A.焦点在y轴上的双曲线
B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在x轴上的椭圆
【解析】选C.方程即+=1,因为θ∈,所以sinθ>0,cosθ<0,且-cosθ>sinθ,故方程表示焦点在y轴上的椭圆.
【补偿训练】在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程的曲线是　(　　)
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的双曲线
【解析】选D.方程mx2-my2=n可化为:-=1,因为mn<0,所以->0,
所以方程的曲线是焦点在y轴上的双曲线.
2.(2016·枣庄高二检测)双曲线-=1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为　(　　)
A.22或2
B.7
C.22
D.2
【解析】选A.因为a2=25,所以a=5.
由双曲线定义可得||PF1|-|PF2||=10,由题意知|PF1|=12,所以|PF1|-|PF2|=±10,所以|PF2|=22或2.
3.设动点P到A(-5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6,则P点的轨迹方程是　(　　)
A.-=1
B.-=1
C.-=1(x≤-3)
D.-=1(x≥3)
【解析】选D.由题意知,动点P的轨迹应为以A(-5,0),点B(5,0)为焦点的双曲线的右支.
由c=5,a=3,知b2=16,
所以P点的轨迹方程为-=1(x≥3).
【误区警示】容易忽视x的取值范围而导致错选A.
4.(2016·泉州高二检测)已知定点A,B且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是　(　　)
A.
B.
C.
D.5
【解析】选C.由题意知,动点P的轨迹是以定点A,B为焦点的双曲线的一支(如图),从图上不难发现,|PA|的最小值是图中AP′的长度,即a+c=.
5.(2016·潍坊高二检测)双曲线-y2=1(n>1)的两焦点为F1,F2,P在双曲线上,且满足|PF1|+|PF2|=2,则△PF1F2的面积为　(　　)
A.
B.1
C.2
D.4
【解析】选B.不妨设F1,F2是双曲线的左、右焦点,
P为右支上一点,
|PF1|-|PF2|=2,①
|PF1|+|PF2|=2,②
由①②解得:
|PF1|=+,|PF2|=-,
得:|PF1|2+|PF2|2=4n+4=|F1F2|2,
所以PF1⊥PF2,
又由①②分别平方后作差得:
|PF1||PF2|=2,
所以=|PF1|·|PF2|=1.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·唐山高二检测)已知P是双曲线-=1上一点,F1,F2是双曲线的两个焦点,若|PF1|=17,则|PF2|的值为　　　　　.
【解析】由条件知a2=64,即a=8,c2=b2+a2=100,c=10,
所以双曲线右支上的点到左焦点F1的最短距离a+c=18>17,故点P在双曲线左支上.
所以|PF2|-|PF1|=2a=16,
即|PF2|=16+|PF1|=33.
答案:33
【误区警示】本题易直接利用定义求解,忽视右支上的点到左焦点的最短距离为a+c,而出现错误结论|PF2|=1或|PF2|=33.
【补偿训练】在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-6,0)和C(6,0),若顶点B在双曲线-=1的左支上,则=　　　　.
【解题指南】由正弦定理可将转化为边的比,而△ABC的顶点A,C已知,故边AC长可求,B在双曲线上,由定义可求|BC|-|BA|.
【解析】由条件可知|BC|-|BA|=10,且|AC|=12,又在△ABC中,有===2R,从而==.
答案:
7.(2016·烟台高二检测)已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(-,0),点P位于该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的方程是　　　　.
【解析】设双曲线方程为-=1,因为c=,c2=a2+b2,所以b2=5-a2,所以-=1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2),则P点的坐标为(,4).代入双曲线方程得-=1,解得a2=1或a2=25(舍去),所以双曲线方程为x2-=1.
答案:x2-=1
8.已知双曲线-=1上一点M的横坐标为5,则点M到左焦点的距离是　　　　.
【解题指南】利用双曲线的定义求解.
【解析】由于双曲线-=1的右焦点为F(5,0),将xM=5代入双曲线方程可得|yM|=,即为点M到右焦点的距离,由双曲线的定义知M到左焦点的距离为+2×3=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知双曲线与椭圆+=1有相同的焦点,且与椭圆的一个交点的纵坐标为4,求双曲线的方程.
【解析】椭圆的焦点为F1(0,-3),F2(0,3),故可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),且c=3,a2+b2=9.由条件知,双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4,可得两交点的坐标为A(,4),B(-,4),
由点A在双曲线上知,-=1.
解方程组得
所以所求双曲线的方程为-=1.
10.如图,在△ABC中,已知|AB|=4,且三内角A,B,C满足2sinA+sinC=2sinB,建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.
【解析】以AB边所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系如图所示,则A(-2,0),B(2,0).
由正弦定理,得sinA=,sinB=,sinC=(R为△ABC的外接圆半径).
因为2sinA+sinC=2sinB,
所以2a+c=2b,即b-a=,
从而有|CA|-|CB|=|AB|=2<|AB|.
由双曲线的定义知,点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点),
因为a=,c=2,所以b2=c2-a2=6,
即所求轨迹方程为-=1(x>)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·合肥高二检测)已知双曲线-=1的焦点为F1,F2,点M在双曲线上,且MF1⊥x轴,则F1到直线F2M的距离为　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.设F1到直线F2M的距离为d,
不妨设点F1(-3,0),容易计算得出
|MF1|=,
|MF2|-|MF1|=2.
解得|MF2|=.
而|F1F2|=6,在直角三角形MF1F2中,
由|MF1|·|F1F2|=|MF2|·d,
求得F1到直线F2M的距离d为.
2.(2016·沈阳高二检测)已知点P在曲线C1:-=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大
值是　(　　)
A.6
B.8
C.10
D.12
【解析】选C.由双曲线的知识可知:C1:-=1的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),且|PF1|-|PF2|=8,
而这两点正好是两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的圆心,两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的半径分别是r1=1,r2=1,
所以|PQ|max=|PF1|+1,|PR|min=|PF2|-1,
所以|PQ|-|PR|的最大值为:(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+2=8+2=10.
【补偿训练】(2016·太原高二检测)设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若点P在双曲线上,有·=0,则|+|=　(　　)
A.
B.2
C.
D.2
【解析】选B.因为·=0,所以PF1⊥PF2,
即△PF1F2为直角三角形,
所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2)2=40,
|+|=
=
==2.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·黄冈高二检测)已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),点P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值是　　　　　.
【解析】由双曲线-=1,得c=4,
所以左焦点F(-4,0),右焦点F′(4,0),
由双曲线的定义得:|PF|-|PF′|=2a=4,
所以|PF|+|PA|=4+|PF′|+|PA|≥4+|AF′|=4+=9,此时P为
AF′与双曲线的交点,即|PF|+|PA|的最小值为9.
答案:9
4.(2016·杭州高二检测)已知双曲线的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),M是此双曲线上一点,若·=0,||·||=2,则该双曲线的方程是　　　　　.
【解析】设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),
由题意得||MF1|-|MF2||=2a,
|MF1|2+|MF2|2=(2)2=20,
又因为||·||=2,
所以|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|=4a2,
即20-2×2=4a2,所以a2=4,b2=c2-a2=5-4=1,
所以双曲线的方程为-y2=1.
答案:-y2=1
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.当0°≤α≤180°时,方程x2cosα+y2sinα=1表示的曲线怎样变化
【解析】(1)当α=0°时,方程为x2=1,它表示两条平行直线x=1和x=-1.
(2)当0°<α<90°时,方程为+=1.
①当0°<α<45°时,0<<,它表示焦点在y轴上的椭圆.
②当α=45°时,它表示圆x2+y2=.
③当45°<α<90°时,>>0,它表示焦点在x轴上的椭圆.
(3)当α=90°时,方程为y2=1,它表示两条平行直线y=1和y=-1.
(4)当90°<α<180°时,方程为-=1,它表示焦点在y轴上的双曲线.
(5)当α=180°时,方程为x2=-1,它不表示任何曲线.
【误区警示】解答本题时容易忽略α=90°的情况.
6.(2016·济南高二检测)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,求P到x轴的距离.
【解析】因为||PF1|-|PF2||=2,
所以|PF1|2-2|PF1|·|PF2|+|PF2|2=4,
所以|PF1|2+|PF2|2=4+2|PF1|·|PF2|,
由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2
=2|PF1|·|PF2|cos60°,
得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|·|PF2|,
又a=1,b=1,所以c==,
所以|F1F2|=2c=2,
所以4+2|PF1||PF2|=|PF1|·|PF2|+8,
所以|PF1|·|PF2|=4.
设P到x轴的距离为|y0|,
=|PF1||PF2|sin60°=|F1F2|·|y0|,
所以×4×=×2|y0|,所以|y0|==.即P点到x轴的距离为.
关闭Word文档返回原板块
PAGE温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
考前过关训练(三)
导数及其应用
(30分钟　50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.(2016·临沂高二检测)曲线y=-x3+3x2在点(1,2)处的切线方程是　(　　)
A.y=3x-1
B.y=-3x+5
C.y=3x+5
D.y=2x
【解析】选A.y′=-3x2+6x,曲线在点(1,2)处的切线斜率k=-3×12+6×1=3,又切线过点(1,2),则切线方程为y-2=3(x-1),整理得:y=3x-1.
【补偿训练】若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程
为　(　　)
A.4x-y-3=0
B.x+4y-5=0
C.4x-y+3=0
D.x+4y+3=0
【解析】选A.与直线x+4y-8=0垂直的直线l为4x-y+m=0,即y=x4在某一点的导数为4.而y′=4x3,所以y=x4在(1,1)处导数为4,此点处的切线方程为4x-y-3=0.
2.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能为　(　　)
【解析】选D.原函数的单调性是:当x<0时,增;当x>0时,单调性变化依次为增、减、增.故当x<0时,f′(x)>0;当x>0时,f′(x)的符号变化依次为+,-,+.
3.如图所示是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象,则+等于　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由图象知f(x)=0的根为0,1,2,
所以d=0.
所以f(x)=x3+bx2+cx=x(x2+bx+c).
所以x2+bx+c=0的两根为1和2.
所以b=-3,c=2.
所以f(x)=x3-3x2+2x,则f′(x)=3x2-6x+2.
因为x1,x2是方程f′(x)=0的两根,
所以x1+x2=2,x1x2=.
所以+=(x1+x2)2-2x1x2=22-2×=.
4.(2016·聊城高三模拟)f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足
xf′(x)+f(x)≤0对任意正数a,b,若aA.af(a)≤f(b)
B.bf(b)≤f(a)
C.af(b)≤bf(a)
D.bf(a)≤af(b)
【解析】选C.设g(x)=xf(x),
则由g′(x)=xf′(x)+f(x)≤0,
知g(x)在(0,+∞)上递减.
又0所以bf(b)所以af(b)当f(x)=0时,f(b)=f(a)=0,
所以af(b)≤bf(a).
5.(2016·山东高考)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两
点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是
(　　)
A.y=sinx
B.y=lnx
C.y=ex
D.y=x3
【解题指南】利用基本初等函数的导数公式,求导后,表示出两“切线”的斜率,判断它们的乘积是否为-1.
【解析】选A.对于A,函数y=sinx,y′=cosx,设图象上存在这样两点(x1,sinx1),(x2,sinx2),那么两切线的斜率k1=cosx1,k2=cosx2,令k1·k2=cosx1·cosx2=-1,则x1=2kπ,x2=2kπ+π(x2=2kπ,x1=2kπ+π),k∈Z,即存在这样的两点,所以具有T性质.
对于B,函数y=lnx,y′=,k1·k2=·,而x1>0,x2>0,所以k1·k2≠-1,所以函数y=lnx不具有T性质.
对于C,函数y=ex,y′=ex,k1=,k2=,显然均大于0.所以函数y=ex不具有T性质.
对于D,函数y=x3,y′=3x2,k1=3,k2=3,显然k1·k2≠-1,所以函数y=x3不具有T性质.
6.把一个周长为12的长方形卷成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱的底面周长与高的比为　(　　)
A.1∶2
B.1∶π
C.2∶1
D.2∶π
【解析】选C.设圆柱高为x,即长方形的宽为x,
则圆柱底面周长即长方形的长为=6-x,
所以圆柱底面半径:R=,
所以圆柱的体积V=πR2h=πx
=,
所以V′==,
当x<2或x>6时,V′>0,函数单调递增;
当2当x>6时,函数无实际意义,
所以x=2时体积最大,此时底面周长=6-2=4,
该圆柱底面周长与高的比:4∶2=2∶1.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2016·海南高二检测)函数f(x)=ax3+x+1有极值的充要条件是　　　　　.
【解析】要使f′(x)=3ax2+1=0有解,
则x2=->0,
所以函数f(x)有极值的充要条件是a<0.
答案:a<0
8.(2016·武汉高二调研)若函数y=-x3+ax有三个单调区间,则a的取值范围是　　　　　.
【解析】因为y′=-4x2+a,且y有三个单调区间,
所以方程y′=-4x2+a=0有两个不等的实根,
所以Δ=02-4×(-4)×a>0,
所以a>0.
答案:(0,+∞)
9.(2016·温州高二检测)函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N
.若a1=16,则a1+a3+a5的值是　　　　.
【解析】因为y′=2x,所以点(ak,)处的切线方程为y-=2ak(x-ak),又该切线与x轴的交点为(ak+1,0),所以ak+1=ak,即数列{ak}是等比数列,首项a1=16,公比q=,所以a3=4,a5=1,所以a1+a3+a5=21.
答案:21
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=-2时,都取得极值.
(1)求a,b的值.
(2)若x∈[-3,2]时,都有f(x)>-恒成立,求c的取值范围.
【解析】(1)f′(x)=3x2+2ax+b,
根据题意有
即
解得
(2)由(1)知f′(x)=3x2+3x-6,
令f′(x)=0得x=-2或x=1.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
-3
(-3,-2)
-2
(-2,1)
1
(1,2)
2
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
+c
↗
极大值c+10
↘
极小值c-
↗
2+c
所以f(x)在[-3,2]上的最小值为c-.
即-解得.
11.已知函数f(x)=x2+lnx.
(1)求函数f(x)在[1,e]上的最大值与最小值.
(2)求证:在区间[1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=x3的图象的下方.
【解析】(1)因为f(x)=x2+lnx,
所以f′(x)=′=x+,
在[1,e]上,f′(x)>0,
所以函数f(x)是增函数,
所以f(x)max=f(e)=e2+1,f(x)min=f(1)=.
(2)设F(x)=f(x)-g(x)=x2+lnx-x3,
则F′(x)=x+-2x2=.
因为当x>1时,F′(x)<0,
所以函数F(x)在(1,+∞)上为减函数,
又因为F(x)max=F(1)=-<0,
所以在[1,+∞)上,恒有F(x)<0,
即f(x)所以在区间[1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=x3的图象的下方.
关闭Word文档返回原板块
PAGE温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业
三
四种命题间的相互关系
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.命题“若p,则q”是真命题,则下列命题一定是真命题的是　(　　)
A.若p,则q
B.若q,则p
C.若q,则p
D.若q,则p
【解题指南】利用命题的等价关系判断.
【解析】选C.“若p,则q”的逆否命题是“若q,则p”,又因为互为逆否命题所以真假性相同.
所以“若q,则p”一定是真命题.
2.(2016·三明高二检测)下列命题中为真命题的是　(　　)
A.命题“若x>2016,则x>0”的逆命题
B.命题“若xy=0,则x=0或y=0”的否命题
C.命题“若x2+x-2=0,则x=1”
D.命题“若x2≥1,则x≥1”的逆否命题
【解析】选B.A.命题“若x>2016,则x>0”的逆命题为命题“若x>0,则x>2016”,显然命题为假;
B.命题“若xy=0,则x=0或y=0”的逆命题为“若x=0或y=0,则xy=0”,显然命题为真,则原命题的否命题也为真;
C.解x2+x-2=0得x=1或x=-2.所以命题“若x2+x-2=0,则x=1”为假;
D.x2≥1 x≤-1或x≥1.所以命题“若x2≥1,则x≥1”是假命题,则其逆否命题也为假命题.
3.(2016·泰安高二检测)已知命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是　(　　)
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.若a,b,c成等比数列,则b2=ac,为真命题,
逆命题:若b2=ac,则a,b,c成等比数列,为假命题,
否命题:若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac,为假命题,
逆否命题:若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列,为真命题,
在它的逆命题、否命题、逆否命题中为真命题的有1个.
【补偿训练】已知命题p:若a>0,则方程ax2+2x=0有解,则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为　(　　)
A.3
B.2
C.1
D.0
【解析】选B.易知原命题和逆否命题都是真命题,否命题和逆命题都是假命题.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.在命题“若m>-n,则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是　　　　.
【解析】原命题为假命题,逆否命题也为假命题,逆命题也是假命题,否命题也是假命题.故假命题个数为3.
答案:3
5.给出下列命题:
①原命题为真,它的否命题为假;
②原命题为真,它的逆命题不一定为真;
③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真;
④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真;
⑤“若m>1,则mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集为R”的逆命题.
其中真命题是　　　　　.(把你认为正确命题的序号都填在横线上)
【解析】原命题为真,而它的逆命题、否命题不一定为真,互为逆否命题同真同假,故①④错误,②③正确.又因为不等式mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集为R,
由 m>1.
故⑤正确.
答案:②③⑤
三、解答题
6.(10分)(教材P8练习改编)
证明:若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1.
【证明】“若a2-4b2-2a+1≠0,则a≠2b+1”的逆否命题为“若a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0”.
因为a=2b+1,
所以a2-4b2-2a+1=(2b+1)2-4b2-2(2b+1)+1=4b2+1+4b-4b2-4b-2+1=0,
所以命题“若a=2b+1,则a2-4b2-2a+1=0”为真命题.
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,结论正确.
【补偿训练】求证:若p2+q2=2,则p+q≤2.
【证明】该命题的逆否命题为若p+q>2,则p2+q2≠2.
p2+q2=[(p+q)2+(p-q)2]≥(p+q)2.
因为p+q>2,
所以(p+q)2>4,
所以p2+q2>2,即p+q>2时,p2+q2≠2成立.
所以由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,结论正确.
即若p2+q2=2,则p+q≤2.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·厦门高二检测)给出命题:已知a,b为实数,若a+b=1,则ab≤.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是　(　　)
A.3
B.2
C.1
D.0
【解题指南】四种命题中原命题与逆否命题真假性一致,逆命题与否命题真假性一致,因此要判断一个命题的真假可判断其逆否命题的真假.
【解析】选C.由ab≤得:a+b=1,则有ab≤,原命题是真命题,所以逆否命题是真命题;逆命题:若ab≤,则a+b=1不成立,反例a=b=0满足ab≤但不满足a+b=1,所以逆命题是假命题,否命题也是假命题.
2.(2016·惠州高二检测)已知命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是　(　　)
A.否命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真命题
B.逆命题“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”是假命题
C.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”是真命题
D.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题
【解析】选D.函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数等价于f′(x)=ex-m≥0在(0,+∞)上恒成立,即m≤ex在(0,+∞)上恒成立,而ex>1,故m≤1,所以命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”是真命题,所以其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题.
【补偿训练】命题“若△ABC有一内角为,则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题　(　　)
A.与原命题同为假命题
B.与原命题的否命题同为假命题
C.与原命题的逆否命题同为假命题
D.与原命题同为真命题
【解析】选D.原命题显然为真,原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列,则△ABC有一内角为”,它是真命题.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·衡阳高二检测)在“a,b是实数”的大前提之下,已知原命题是“若不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集,则a2-4b≥0”,给出下列命题:
①若a2-4b≥0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集;
②若a2-4b<0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是空集;
③若不等式x2+ax+b≤0的解集是空集,则a2-4b<0;
④若不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集,则a2-4b<0;
⑤若a2-4b<0,则不等式x2+ax+b≤0的解集是非空数集;
⑥若不等式x2+ax+b≤0的解集是空集,则a2-4b≥0.
其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题的命题的序号依次是　　　　(按要求的顺序填写).
【解题指南】根据四种命题间的关系确定
【解析】“非空集”的否定是“空集”,“大于或等于”的否定是“小于”,根据命题的构造规则,题目的答案是①③②.
答案:①③②
4.命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为　　　　,是　　　　命题(填“真”或“假”).
【解题指南】求原命题的等价命题即为原命题的逆否命题,只需把原命题的条件与结论既交换又否定即可.
【解析】命题“已知不共线向量e1,e2,若λe1+μe2=0,则λ=μ=0”的等价命题为“已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0”,是真命题.
答案:已知不共线向量e1,e2,若λ,μ不全为0,则λe1+μe2≠0　真
三、解答题
5.(10分)(2016·益阳高二检测)写出命题:“若+(y+1)2=0,则x=2且y=-1”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假.
【解析】逆命题:若x=2且y=-1,则+(y+1)2=0,真命题;
否命题:若+(y+1)2≠0,则x≠2或y≠-1,
因为逆命题为真,所以否命题为真;
逆否命题:若x≠2或y≠-1,则+(y+1)2≠0,
显然原命题为真命题,所以逆否命题为真命题.
关闭Word文档返回原板块
PAGE温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业
八
含有一个量词的命题的否定
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2015·湖北高考)命题“ x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是　(　　)
A. x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1
B. x0 (0,+∞),lnx0=x0-1
C. x∈(0,+∞),lnx≠x-1
D. x (0,+∞),lnx=x-1
【解析】选C.由特称命题的否定为全称命题可知,所求命题的否定为 x∈(0,+∞),lnx≠x-1.
【补偿训练】命题p: x∈[0,+∞),(log32)x≤1,则　(　　)
A.p是假命题,p: x0∈[0,+∞),(log32>1
B.p是假命题,p: x∈[0,+∞),(log32)x≥1
C.p是真命题,p: x0∈[0,+∞),(log32>1
D.p是真命题,p: x∈[0,+∞),(log32)x≥1
【解析】选C.由01.
2.(2016·榆林高二检测)已知命题p:对 x∈R, m0∈R,使4x+2xm0+1=0.若命题p是假命题,则实数m0的取值范围是　(　　)
A.[-2,2]
B.[2,+∞)
C.(-∞,-2]
D.[-2,+∞)
【解析】选C.因为p为假,故p为真,即求原命题为真时m0的取值范围.
由4x+2xm0+1=0,
得-m0==2x+≥2.
所以m0≤-2.
3.(2016·大同高二检测)已知命题p: x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则p是　(　　)
A. x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0
B. x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0
C. x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0
D. x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0
【解题指南】全称命题的否定是特称命题.
【解析】选C.因为命题p: x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,所以p: x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.命题:“对任意k>0,方程x2+x-k=0有实根”的否定是　　　　.
【解析】全称命题的否定是特称命题,故原命题的否定是“存在k0>0,方程x2+x-k0=0无实根.”
答案:存在k0>0,方程x2+x-k0=0无实根
5.(2016·金华高二检测)命题“ x0∈(1,2),满足不等式+mx0+4≥0”是假命题,则m的取值范围为　　　　.
【解析】由题意,得不等式x2+mx+4<0在(1,2)上恒成立,于是由m<-x-得m≤-1-4=-5.
答案:m≤-5
三、解答题
6.(10分)(教材P26习题1.4A组T1改编)写出下列命题的否定与否命题,并判断其真假性.
(1)末位数是0的整数,可以被5整除.
(2)负数的平方是正数.
(3)梯形的对角线相等.
【解析】(1)命题的否定:有些末位数是0的整数,不可以被5整除;假命题.
否命题:末位数不是0的整数,不可以被5整除;假命题.
(2)命题的否定:有些负数的平方不是正数;假命题.
否命题:非负数的平方不是正数;假命题.
(3)命题的否定:有些梯形的对角线不相等;真命题.
否命题:如果一个四边形不是梯形,则它的对角线不相等;假命题.
【补偿训练】写出下列命题的否定与否命题,并判断其真假性.
(1)p:若x>y,则5x>5y.
(2)p:若x2+x<2,则x2-x<2.
(3)p:正方形的四条边相等.
(4)p:已知a,b为实数,若x2+ax+b≤0有非空实解集,则a2-4b≥0.
【解析】(1)p:若x>y,则5x≤5y;假命题.
否命题:若x≤y,则5x≤5y;真命题.
(2)p:若x2+x<2,则x2-x≥2;假命题.
否命题:若x2+x≥2,则x2-x≥2;假命题.
(3)p:存在一个四边形,尽管它是正方形,然而四条边中至少有两条边不相等;假命题.
否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等;假命题.
(4)p:存在两个实数a0,b0,虽然满足x2+a0x+b0≤0有非空实解集,但是-4b0<0;假命题.
否命题:已知a,b为实数,若x2+ax+b≤0没有非空实解集,则a2-4b<0;真命题.
【拓展延伸】命题的否定与否命题的不同
(1)任何命题均有否定,无论是真命题还是假命题;而否命题仅是针对命题“若p则q”提出来的.
(2)命题的否定(非)是原命题的矛盾命题,两者的真假性必然是一真一假,一假一真;而否命题与原命题可能是同真同假,也可能是一真一假.
(3)原命题是“若p则q”的形式,它的否定为“若p,则q”;而它的否命题为“若p,则q”,既否定条件又否定结论.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·阜阳高二检测)已知命题p: x∈R,ln(ex+1)>0,则p为　(　　)
A. x0∈R,ln(+1)<0
B. x∈R,ln(ex+1)<0
C. x0∈R,ln(+1)≤0
D. x∈R,ln(ex+1)≤0
【解题指南】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论.
【解析】选C.p为“ x0∈R,ln(+1)≤0”.
【补偿训练】命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是　(　　)
A.不存在x∈R,x3-x2+1≤0
B.存在x0∈R,-+1≥0
C.存在x0∈R,-+1>0
D.对任意的x∈R,x3-x2+1>0
【解析】选C.全称命题的否定是特称命题,所以命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是:存在x0∈R,-+1>0.
2.(2016·常德高二检测)已知命题p: x0∈R,+1<2x0;命题q:若mx2-mx-1<0恒成立,则-4A.“p”是假命题
B.“q”是真命题
C.“p∧q”为真命题
D.“p∨q”为真命题
【解析】选D.对于命题p,+1-2x0=(x0-1)2≥0,即对任意的x∈R,都有x2+1≥2x,因此命题p是假命题.
对于命题q,若mx2-mx-1<0恒成立,则当m=0时,mx2-mx-1<0恒成立,
当m≠0时,由mx2-mx-1<0恒成立得
即-4因此若mx2-mx-1<0恒成立,
则-4故命题q是真命题.
因此,“p”是真命题,“q”是假命题,
“p∧q”是假命题,“p∨q”是真命题.
【补偿训练】设函数f(x)的定义域为R,则“ x∈R,f(x+1)>f(x)”是“函数f(x)为增函数”的　(　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由增函数定义知:若函数f(x)为增函数,则 x∈R,f(x+1)>f(x),必要性成立;反之充分性不成立,如非单调函数f(x)=[x](取整函数),满足 x∈R,f(x+1)>f(x).
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.命题“任意偶数是2的倍数”的否定是　　　　.
【解析】由于命题“任意偶数是2的倍数”是全称命题,故其否定要改写成特称命题.
答案:存在偶数不是2的倍数
【补偿训练】命题“ x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是　　　　.
【解析】全称命题的否定是特称命题,全称量词“任意”改为存在量词“存在”,并把结论否定.
答案: x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤3
4.(2016·运城高二检测)命题p是“对某些实数x,有x-a>0或x-b≤0”,其中a,b是常数.
(1)命题p的否定是　　　　.
(2)当a,b满足条件　　　　时,命题p的否定为真.
【解析】(1)命题p的否定:对任意实数x,有x-a≤0且x-b>0.
(2)要使命题p的否定为真,需要使不等式组的解集为R.
通过画数轴可看出,a,b应满足的条件是b答案:(1)对任意实数x,有x-a≤0且x-b>0　(2)b三、解答题
5.(10分)(2016·福州高二检测)a,b,c为实数,且a=b+c+1,证明:两个一元二次方程x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根.
【解题指南】利用原命题与其否定真假性相反证明.
【证明】原命题的否定为:两个方程都没有两个不等的实数根,则
Δ1=1-4b≤0,Δ2=a2-4c≤0,所以Δ1+Δ2=1-4b+a2-4c≤0.
因为a=b+c+1,所以b+c=a-1.
所以1-4(a-1)+a2≤0,即a2-4a+5≤0.
但是a2-4a+5=(a-2)2+1>0,故矛盾.
所以原命题的否定是假命题,原命题为真命题,即两个方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根.
关闭Word文档返回原板块
PAGE温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业
十一
椭圆方程及性质的应用
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·聊城高二检测)过椭圆x2+2y2=4的左焦点F作倾斜角为的弦AB,则弦AB的长为　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.椭圆的方程可化为+=1,
所以F(-,0).
又因为直线AB的斜率为,
所以直线AB的方程为y=x+.
由得7x2+12x+8=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,
x1·x2=,
所以|AB|==.
2.AB为过椭圆+=1(a>b>0)中心的弦,F(c,0)为椭圆的右焦点,则△AFB面积的最大值为　(　　)
A.b2
B.ab
C.ac
D.bc
【解析】选D.由AB过椭圆中心,则yA+yB=0,
故S△AFB=(yA-yB)·c=|2yA|·c=|yA|·c≤bc,即当AB为y轴时面积最大.
3.(2016·济宁高二检测)如果椭圆+=1的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是　(　　)
A.x-2y=0
B.x+2y-4=0
C.2x+3y-12=0
D.x+2y-8=0
【解析】选D.设这条弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为k,则
两式相减再变形得+k=0.
又弦中点为(4,2),故k=-,
故这条弦所在的直线方程为y-2=-(x-4),
整理得x+2y-8=0.
4.(2016·衡水高二检测)如果AB是椭圆+=1(a>b>0)的任意一条与x轴不垂直的弦,O为椭圆的中心,e为椭圆的离心率,M为AB的中点,则kAB·kOM的值
为　(　　)
A.e-1
B.1-e
C.e2-1
D.1-e2
【解析】选C.设A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0),
由点差法,+=1,+=1,作差得
=,
所以kAB·kOM=·=-==e2-1.
【补偿训练】椭圆+=1中,以点M(-1,2)为中点的弦所在的直线斜率
为　(　　)
A.　　　
B.　　　
C.　　　
D.-
【解析】选B.设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),
则①-②得
+=0,
又因为弦中点为M(-1,2),
所以x1+x2=-2,y1+y2=4,
所以+=0,
所以k==.
5.(2016·郑州高二检测)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数,记为a,b,则方程+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆,
所以a>b>0,a<2b,
它对应的平面区域如图中阴影部分所示:
则方程+=1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为
P===.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·南昌高二检测)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么椭圆C的方程为　　　　.
【解析】根据椭圆焦点在x轴上,可设椭圆方程为+=1(a>b>0).因为e=,所以=.根据△ABF2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=2,
所以椭圆方程为+=1.
答案:+=1
7.(2016·沈阳高二检测)椭圆+=1上有n个不同的点P1,P2,P3,…,Pn,椭圆的右焦点为F,数列{|PnF|}是公差大于的等差数列,则n的最大值为　　　　.
【解题指南】|P1F|=|a-c|=1,|PnF|=a+c=3,|PnF|=|P1F|+(n-1)d,再由数列{|PnF|}是公差大于的等差数列,可求出n的最大值.
【解析】|P1F|=|a-c|=1,|PnF|=a+c=3,
|PnF|=|P1F|+(n-1)d.
若d=,n=201,d>,n<201.
答案:200
8.(2016·长春高二检测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为　　　　.
【解题指南】由余弦定理解三角形,结合椭圆的几何性质(对称性)求出点A(或B)到右焦点的距离,进而求得a,c.
【解析】在△ABF中,由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB||BF|cos∠ABF,
又|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,
解得|AF|=6.在△ABF中,|AB|2=102=82+62=|BF|2+|AF|2,故△ABF为直角三角形.设椭圆的右焦点为F′,连接AF′,BF′,根据椭圆的对称性,四边形AFBF′为矩形,
则其对角线|FF′|=|AB|=10,且|BF|=|AF′|=8,
即焦距2c=10,
又据椭圆的定义,得|AF|+|AF′|=2a,
所以2a=|AF|+|AF′|=6+8=14.
故离心率e===.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.在平面直角坐标系xOy中,点P到两点(0,-),(0,)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C.
(1)求C的方程.
(2)设直线y=kx+1与C交于A,B两点,k为何值时⊥ 此时|AB|的值是多少.
【解析】(1)设P(x,y),由椭圆的定义知,点P的轨迹C是以(0,-),(0,)为焦点,长半轴长为2的椭圆,它的短半轴长b==1.故曲线C的方程为+x2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足
消去y,并整理,得(k2+4)x2+2kx-3=0.
由根与系数的关系得x1+x2=-,x1x2=-.
若⊥,则x1x2+y1y2=0.
因为y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1,
所以x1x2+y1y2=---+1=-=0,
所以k=±.
当k=±时,x1+x2= ,x1x2=-.
所以|AB|=
=.
而(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=+4×=,
所以|AB|==.
10.(2016·烟台高二检测)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程.
(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若·+·=8,求k的值.
【解析】(1)设F(-c,0),由=,知a=c.
过点F且与x轴垂直的直线为x=-c,代入椭圆方程有+=1,解得y=±,于是=,解得b=,
又a2-c2=b2,从而a=,c=1,
所以椭圆方程为+=1.
(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),
由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1),
由方程组消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.
所以x1+x2=-,x1x2=.
因为A(-,0),B(,0),
所以·+·=(x1+,y1)·(-x2,-y2)+(x2+,y2)·(-x1,-y1)
=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)
=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2
=6+.
由已知得6+=8,解得k=±.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·济南高二检测)若直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,则过点(a,b)的直线与椭圆+=1的公共点个数为　(　　)
A.0
　　
B.1
C.2　
　　
D.需根据a,b的取值来确定
【解题指南】根据直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,可推断点(a,b)是以原点为圆心,2为半径的圆内的点,根据圆的方程和椭圆方程可知圆x2+y2=4内切于椭圆,进而可知点P是椭圆内的点,进而判断可得答案.
【解析】选C.因为直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,
所以原点到直线ax+by+4=0的距离d=>2,所以a2+b2<4,所以点P(a,b)是在以原点为圆心,2为半径的圆内的点,
因为椭圆的长半轴为3,短半轴为2,
所以圆x2+y2=4内切于椭圆,
所以点P是椭圆内的点,
所以过点P(a,b)的一条直线与椭圆的公共点数为2.
2.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于A,B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则的值为　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.把y=1-x代入椭圆ax2+by2=1,
得ax2+b(1-x)2=1,
整理得(a+b)x2-2bx+b-1=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,y1+y2=2-,
所以线段AB的中点坐标为,
所以过原点与线段AB中点的直线的斜率k===,即=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·石家庄高二检测)过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为　　　　.
【解析】右焦点为(1,0),故直线为y=2(x-1).
由消去y,得3x2-5x=0,
所以x=0或x=,
从而A(0,-2),B.
所以|AB|===.
又O到AB的距离d==,
所以S△AOB=·|AB|·d=××=.
答案:
4.(2016·青岛高二检测)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使=成立,则该椭圆的离心率的取值范围为　　　　.
【解析】由正弦定理及=,得
==.
在△PF1F2中,设|PF2|=x,则|PF1|=2a-x.
则上式为=,即cx+ax=2a2,x=.
又a-c由a-c<,得a2>-c2,显然恒成立.
由c2+2ac-a2>0,即e2+2e-1>0,
解得e>-1+或e<-1-(舍).
又0所以e的取值范围为(-1,1).
答案:(-1,1)
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2016·北京高二检测)已知椭圆G:+y2=1,过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点.
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率.
(2)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值.
【解析】(1)由已知得a=2,b=1,
所以c==.
所以椭圆G的焦点坐标为(-,0),(,0),
离心率为e==.
(2)由题意知,|m|≥1.
当m=1时,切线l的方程为x=1,点A,B的坐标分别为(1,),(1,-),此时|AB|=.
当m=-1时,同理可得|AB|=.
当|m|>1时,设切线l的方程为y=k(x-m).
由得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0.
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.
由l与圆x2+y2=1相切,得=1,
即m2k2=k2+1.
所以|AB|=
=
=
=.
当m=±1时,|AB|=,
所以|AB|=,m∈(-∞,-1]∪[1,+∞).
因为|AB|==≤2,且当m=±时,|AB|=2,
所以|AB|的最大值为2.
6.(2016·四川高考)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程.
(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.
【解题指南】(1)利用点在椭圆上,列出方程,解出b的值,从而得到椭圆的标准方程.(2)利用椭圆的几何性质,数形结合,利用根与系数的关系,进行计算.
【解析】(1)由已知,a=2b,又椭圆+=1过点P,故+=1,解得b2=1,所以椭圆的方程为+y2=1.
(2)设直线l的方程为y=x+m,A,B,
由方程组得x2+2mx+2m2-2=0,①
方程①的判别式为Δ=4,由Δ>0,即2-m2>0,解得-由①得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2,所以M点坐标为,直线OM的方程为y=-x,
由得C,D,
所以·
=·=,
所以·=
=[+]
==
=(2-m2),
所以·=·.
关闭Word文档返回原板块
PAGE温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业
五
充要条件的应用
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2015·安徽高考)设p:x<3,q:-1A.充分必要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.因为p:x<3,q:-12.(2016·长治高二检测)在下列3个结论中,正确的有　(　　)
①x2>4是x3<-8的必要不充分条件;
②在△ABC中,AB2+AC2=BC2是△ABC为直角三角形的充要条件;
③若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件.
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
【解析】选C.对于①,由x3<-8 x<-2 x2>4,但是x2>4 x>2或x<-2 x3>8或x3<-8,不一定有x3<-8,故①正确;对于②,当B=90°或C=90°时不能推出AB2+AC2=BC2,故②错;对于③,由a2+b2≠0 a,b不全为0,反之,由a,b不全为0 a2+b2≠0,故③正确.
【误区警示】本题易错选②,原因是忽视了斜边、直角边的确定.
3.在△ABC中,“·=0”是“△ABC是直角三角形”的　(　　)
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.在△ABC中,由“·=0”可知B为直角,则“△ABC是直角三角形”.三角形是直角三角形,不一定B=90°,所以在△ABC中,“·=0”是“△ABC是直角三角形”的充分不必要条件.
4.(2016·四川高考)设p:实数x,y满足x>1且y>1,q:实数x,y满足x+y>2,则p是q的　(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件　　
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解题指南】根据不等式的性质及充分必要条件的定义求解.
【解析】选A.由题意,x>1且y>1,则x+y>2,而当x+y>2时不能得出x>1且y>1,例如x=0,y=3,故p是q的充分不必要条件.
5.(2016·宁德高二检测)函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是　(　　)
A.m=-2
B.m=2　
C.m=-1
D.m=1
【解题指南】利用二次函数的图象特点来判断.
【解析】选A.当m=-2时,f(x)=x2-2x+1,其图象关于直线x=1对称,反之也成立,所以f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是m=-2.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.下列命题中是假命题的是　　　　.(填序号)
(1)x>2且y>3是x+y>5的充要条件
(2)“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件
(3)b2-4ac<0是ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为R的充要条件
(4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形
【解析】(1)因x>2且y>3 x+y>5,
x+y>5x>2且y>3,
故x>2且y>3是x+y>5的充分不必要条件.
(2)若x>1,则|x|>0成立,若|x|>0,则x<0或x>0,不一定大于1,故“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件.
(3)因b2-4ac<0ax2+bx+c<0的解集为R,
ax2+bx+c<0的解集为R a<0且b2-4ac<0,
故b2-4ac<0是ax2+bx+c<0的解集为R的必要不充分条件.
(4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形.
答案:(1)(3)
7.(2016·池州高二检测)设函数f(x)=ax+b(0≤x≤1),则a+2b>0是f(x)>0在[0,1]上恒成立的　　　　条件.
【解析】由
所以a+2b>0.
而仅有a+2b>0,无法推出f(0)>0和f(1)>0同时成立.
答案:必要不充分
【补偿训练】设{an}是等比数列,则“a1　　　　条件.
【解析】{an}为等比数列,an=a1·,由a10,q>1或a1<0,0答案:充要
8.△ABC中,“角A,B,C成等差数列”是“sinC=(cosA+sinA)cosB”成立的
　　　　条件.
【解析】条件:△ABC中,角A,B,C成等差数列 B=;结论:sinC=
(cosA+sinA)cosB sin(A+B)=cosAcosB+sinAcosB cosAsinB=
cosAcosB cosA=0或sinB=cosB A=或B=.所以条件是结论的充分不必要条件.
答案:充分不必要
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(教材P12习题1.2A组T4改编)求圆(x-a)2+(y-b)2=1的面积被y轴平分的充要条件.
【解析】因为圆是轴对称图形,所以圆面积被y轴平分等价于圆心在y轴上,即点(a,b)在y轴上,所以a=0是圆(x-a)2+(y-b)2=1的面积被y轴平分的充要条件.
10.证明:对于x,y∈R,xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件.
【解题指南】要证明必要不充分条件,就是要证明两个,一个是必要条件,另一个是不充分条件.
【证明】必要性:对于x,y∈R,如果x2+y2=0,
则x=0,y=0,即xy=0,
故xy=0是x2+y2=0的必要条件;
不充分性:对于x,y∈R,如果xy=0,如x=0,y=1,此时x2+y2≠0,
故xy=0是x2+y2=0的不充分条件.
综上所述:对于x,y∈R,xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·保定高二检测)设a,b为向量,则“|a·b|=|a||b|”是“a∥b”的　(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.|a·b|=|a||b||cosα|=|a||b|,得cosα=±1,α=0或π,故a∥b,反之,a∥b,则a,b的夹角为0或π得,|a·b|=|a||b|,故|a·b|=|a||b|是a∥b的充要条件.
2.(2016·浙江高考)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的　(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解题指南】根据充分必要条件的定义来推断是p q还是q p.
【解析】选A.由题意知f(x)=x2+bx=-,最小值为-,令t=x2+bx,则f(f(x))=f(t)=t2+bt=-,t≥-.当b<0时,f(f(x))的最小值为-,所以“b<0”能推出“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”;当b=0时,f(f(x))=x4的最小值为0,f(x)的最小值也为0,所以“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”不能推出“b<0”.
【补偿训练】已知真命题“a≥b c>d”和“a≥b e≤f”,那么“c>d”是“e≤f”的　(　　)
A.充分条件　　　　
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.因为a≥b c>d,a≥b e≤f,所以e≤f c>d.但是c>d不一定推出e≤f,
故“c>d”是“e≤f”的必要条件.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·温州高二检测)已知条件p:k=;条件q:直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,则p是q的　　　　.(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)
【解题指南】化简条件q中的k值,再确定p与q的关系.
【解析】因为直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,
所以=1,解得k=±,即条件q:k=±.
若p成立,则q成立;反之,若q成立,推不出p成立.所以p是q的充分不必要条件.
答案:充分不必要条件
4.(2016·焦作高二检测)“a=”是“对任意的正数x,均有x+≥1”的　　　　条件.
【解析】当a=时,对任意的正数x,x+=x+≥2=1,而对任意的正数x,要使x+≥1,只需f(x)=x+的最小值大于或等于1即可,而在a为正数的情况下,f(x)=x+的最小值为f()=2≥1,得a≥,故为充分不必要条件.
答案:充分不必要
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.已知集合M={x|x<-3或x>5},P={x|(x-a)·(x-8)≤0}.
(1)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5(2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5(3)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5【解题指南】用数轴表示两个集合,把条件的充要性转化为集合间的关系解决.
【解析】由M∩P={x|5(1)M∩P={x|5(2)M∩P={x|5(3)若a=-5,显然M∩P=[-5,-3)∪(5,8]是M∩P={x|5故a<-3时为必要不充分条件.
6.(2016·益阳高二检测)证明“0≤a≤”是“函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上为减函数”的充分不必要条件.
【证明】充分性:由已知0≤a≤,
对于函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2,
当a=0时,f(x)=-2x+2,显然在(-∞,4]上是减函数.当a≠0时,由已知0二次函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2图象是抛物线,其开口向上,
对称轴方程为x==-1≥6-1=5.
所以二次函数f(x)在(-∞,4]上是减函数.
非必要性:当a≠0时,二次函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2的图象是抛物线,其对称轴为x==-1.
因为二次函数f(x)在(-∞,4]上是减函数,
所以 0显然,函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在(-∞,4]上是减函数时,也有a=0.
由于,所以0≤a≤不是函数f(x)=ax2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上为减函数的必要条件.
综上所述,命题成立.
【补偿训练】已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证:数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.
【证明】充分性:当q=-1时,a1=p-1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).当n=1时,上式也成立.
于是==p,即数列{an}为等比数列.必要性:当n=1时,a1=S1=p+q.
当n≥2时,an=Sn-
QUOTE
Sn-1=
QUOTE
pn-1(p-1).
因为p≠0且p≠1,
所以==p.
因为{an}为等比数列,
所以==p=,所以q=-1.
所以数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.
关闭Word文档返回原板块
PAGE温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业
七
全称量词　存在量词
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列命题中,既是真命题又是特称命题的是　(　　)
A.存在一个α0,使tan(90°-α0)=tanα0
B.存在实数x0,使sinx0=
C.对一切α,sin(180°-α)=sinα
D.sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
【解析】选A.由命题是特称命题,排除C,D;在A中,当α0=45°时,结论正确;B中,>1,所以不存在x0,使sinx0=.
2.(2016·龙岩高二检测)下列命题中的假命题是　(　　)
A. x∈R,2x-1>0
B. x∈N
,(x-1)2>0
C. x0∈R,lgx0<1
D. x0∈R,tanx0=2
【解析】选B.A中命题是全称命题,易知2x-1>0恒成立,故是真命题;
B中命题是全称命题,当x=1时,(x-1)2=0,故是假命题;
C中命题是特称命题,当x0=1时,lgx0=0,故是真命题;
D中命题是特称命题,依据正切函数定义,可知是真命题.
【补偿训练】(2016·天津模拟)有四个关于三角函数的命题:p1: A0∈R,sin2+cos2=;p2: A0,B0∈R,sin(A0-B0)=sinA0-sinB0;p3: x∈[0,π],=sinx,p4:sinx=cosy→x+y=.其中假命题是(　　)
A.p1,p4　
　B.p2,p4　　
C.p1,p3　
　D.p2,p3
【解析】选A.因为sin2+cos2=1恒成立,所以命题p1为假命题.
因为当A0=0,B0=0时,sin(A0-B0)=sinA0-sinB0,所以命题p2为真命题.
因为==|sinx|,而x∈[0,π],所以sinx≥0,所以=sinx,所以命题p3为真命题.因为sin=cos0,而+0≠,所以命题p4为假命题.
3.(2016·金华高二检测)命题p: x0∈N,<;命题q: a∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=loga(x-1)的图象过点(2,0).则　(　　)
A.p假q真
B.p真q假
C.p假q假
D.p真q真
【解析】选A.因为x3二、填空题(每小题4分,共8分)
4.下列命题是真命题的是　　　　(填序号).
①所有的实数x都能使x2-3x+6>0成立;②存在一个实数x0,使不等式-3x0+6<0成立;③存在一个实数x0,使-3x0+6=0.
【解析】因为x2-3x+6=0中,Δ=(-3)2-4×6=-15<0,
所以x2-3x+6=0无解,x2-3x+6>0恒成立.
所以①正确,②③错误.
答案:①
5.当命题(1) x∈R,sinx+cosx>m,(2) x0∈R,sinx0+cosx0>m分别为真命题时,m的范围分别是(1)　　　　,(2)　　　　.
【解析】(1)令y=sinx+cosx,x∈R.
因为y=sinx+cosx=sin≥-,
又因为 x∈R,sinx+cosx>m为真命题,
所以只要m<-即可.
所以所求m的取值范围是(-∞,-).
(2)令y=sinx+cosx,x∈R.
因为y=sinx+cosx=sin∈[-,],
又因为 x0∈R,sinx0+cosx0>m为真命题,
所以只要m<即可,
所以所求m的取值范围是(-∞,).
答案:(1)(-∞,-)　(2)(-∞,)
三、解答题
6.(10分)(教材P28T5改编)判断下列命题的真假:
(1) x∈N,x2>0.
(2)圆x2+y2=r2(r>0)上存在一点到圆心的距离是r.
(3)存在一对实数x0,y0满足2x0+4y0=3.
(4)方程2x+4y=3的所有解都不是整数解.
【解析】(1)假命题:当x=0时,x2=0.
(2)真命题:由圆的定义知圆上的每一个点到圆心的距离都是r.
(3)真命题:满足方程2x+4y=3.
(4)真命题:当x,y∈Z时,左边是偶数,右边3是奇数,不可能相等.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·佛山高二检测)下列命题中,真命题是　(　　)
A. m0∈R,使函数f(x)=x2+m0x(x∈R)是偶函数
B. m0∈R,使函数f(x)=x2+m0x(x∈R)是奇函数
C. m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数
D. m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数
【解析】选A.只有当m=0时,f(x)=x2(x∈R)是偶函数,故A正确,C,D不正确;又二次函数不可能为奇函数,故B不正确.
2.(2016·衡阳高二检测)设命题p: x0∈R,使+2ax0+2-a=0;命题q:不等式ax2-ax+2>0对任意x∈R恒成立.若p为真,且p或q为真,则a的取值范围
是　(　　)
A.(-2,1)
B.(-2,0)
C.[0,4)
D.(0,4)
【解题指南】若p为真,且p或q为真,则可知命题p和q都为假命题,从而求出参数a的取值范围.
【解析】选B.由命题p: x0∈R,使+2ax0+2-a=0可知,Δ≥0,则a≤-2或a≥1,
对于命题q,因为x∈R,ax2-ax+2>0恒成立,
所以
或a=0,即0≤a<4.
由题意知p与q都为假命题,
所以
-2所以a的取值范围为(-2,0).
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·本溪高二检测)不等式组的解集记为D.有下面四个命题:
p1: (x,y)∈D,x+2y≥-2,
p2: (x0,y0)∈D,x0+2y0≥2,
p3: (x,y)∈D,x+2y≤3,
p4: (x0,y0)∈D,x0+2y0≤-1.
其中真命题是　　　　.
【解析】不等式组表示的平面区域如图所示.
由得交点A(2,-1),
因为目标函数u=x+2y的斜率k=-,
所以当直线x+2y=u过A时,u取最小值0.故p1,p2正确.
答案:p1,p2
4.下列命题:
① x∈R,x2+1>0;② x∈N,x2≥1;
③ x0∈Z,<1;④ x0∈Q,=3;
⑤ x∈R,x2-3x+2=0;
⑥ x0∈R,x2+1=0.
其中所有真命题的序号是　　　　.
【解析】① x∈R,x2+1≥1>0;② x∈N,x2≥0;③ x0=0∈Z,<1;④=3 x0=± Q;⑤x=0时x2-3x+2≠0;⑥ x∈R,x2+1≥1>0.所以①③为真命题.
答案:①③
三、解答题
5.(10分)(2016·汉中高二检测)已知a∈R,命题p:“ x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“ x0∈R,+2ax0+2-a=0”.
(1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围.
(2)若命题“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.
【解题指南】(1)命题p为真命题只需a≤(x2)min即可.(2)命题“p∧q”为假命题,则p为假命题或q为假命题.p为假命题时a的取值集合与p为真命题时a的取值集合互补,从而由(1)可得p为假命题时a的范围.q为假命题此方程无根,即判别式小于0.
【解析】(1)由命题p为真命题,a≤(x2)min,a≤1.
(2)由命题“p∧q”为假命题,所以p为假命题或q为假命题.
p为假命题时,由(1)得a>1.
q为假命题时,Δ=4a2-4(2-a)<0,解得-2综上,a∈(-2,1)∪(1,+∞).
【补偿训练】已知命题p:“存在a0>0,使函数f(x)=a0x2-4x在(-∞,2]上单调递减”,命题q:“存在a0∈R,使 x∈R,16x2-16(a0-1)x+1≠0”.若命题“p∧q”为真命题,求实数a的取值范围.
【解析】若p为真,则对称轴x=-=≥2,所以0若q为真,则方程16x2-16(a-1)x+1=0无实数根,所以Δ=[16(a-1)]2-4×16<0,所以所以所以故实数a的取值范围为.
关闭Word文档返回原板块
PAGE温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业
二十五
生活中的优化问题举例
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·杭州高二检测)炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时,原油温度(单位:℃)为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是　(　　)
A.8
B.
C.-1
D.-8
【解析】选C.原油温度的瞬时变化率为f′(x)=x2-2x=(x-1)2-1(0≤x≤5),所以当x=1时,原油温度的瞬时变化率取得最小值-1.
2.(2016·西安高二检测)要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为　(　　)
A.cm
B.cm
C.cm
D.cm
【解析】选D.设圆锥的高为xcm,则底面半径为cm,其体积为
V=πx(202-x2)(0V′=π(400-3x2),令V′=0,
解得x1=,x2=-舍去.
当00;当所以当x=时,V取得最大值.
【补偿训练】内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为　(　　)
A.R
B.2R
C.R
D.R
【解析】选C.设圆锥的高为h,底面半径为r,
则R2=(h-R)2+r2,所以r2=2Rh-h2,
所以V=πr2h=h(2Rh-h2)
=πRh2-h3,V′=πRh-πh2,
令V′=0,得h=R.
当00;当因此当h=R时,圆锥体积最大.
3.(2016·泰安高二检测)把长为12cm的细铁丝锯成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形的面积之和的最小值是　(　　)
A.cm2
B.4cm2
C.3cm2
D.2cm2
【解析】选D.设两段长分别为xcm,(12-x)cm,这两个正三角形的边长分别为cm,cm,面积之和为S(x)==(x2-+16).令
S′(x)==0,解得x=6.则x=6是S(x)的极小值点,也是最小值点,所以S(x)min=S(6)=2cm2.
4.(2016·临沂高二检测)某公司生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与产量x的关系式为R(x)=则总利润最大时,每年生产的产品是　(　　)
A.100单位
B.150单位
C.200单位
D.300单位
【解析】选D.设总成本为C元,总利润为P元,
则C=20000+100x,
P=R-C=
所以P′=
令P′=0,得x=300.当00;
当x>300时,P′<0.
所以当x=300时,P取得最大值.
5.某厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙
壁,其他三边要砌新墙,当砌新墙所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别
为　(　　)
A.32米,16米
B.30米,15米
C.40米,20米
D.36米,18米
【解析】选A.设需建的矩形堆料场与原墙平行的一边边长为x米,其他两边边长均为y米,则xy=512,所砌新墙的长l=x+2y=+2y(y>0),令l′=-+2=0,解得y=16(另一负根舍去),当0l′<0;当y>16时,
l′>0,所以当y=16时,函数取得极小值,也就是最小值,此时x==32.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·大连高二检测)某商品一件的成本为30元,在某段时间内,若以每件x元出售,可卖出(200-x)件,则当每件商品的定价为　　　　元时,利润最大.
【解析】利润s(x)=(x-30)(200-x)=-x2+230x-6000,s′(x)=-2x+230.
由s′(x)=0,得x=115,这时利润最大.
答案:115
7.(2016·洛阳高二检测)某公司一年购买某种货物400吨,每次购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费为4x万元,要使一年的总运费与总存储费之和最小,则x为　　　　吨.
【解析】设该公司一年内总共购买n次货物,则n=,所以总运费与总存储费之和f(x)=4n+4x=+4x,
令f′(x)=4-=0,解得x=20(-20舍去),
当00,所以x=20是函数f(x)的极小值点,也是最小值点,故当x=20时,运费与总存储费之和最小.
答案:20
8.某厂生产某种产品x件的总成本C(x)=1200+x3,产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品的单价为50元,总利润最大时,产量应定为　　　　.
【解析】设产品单价为a元,产品单价的平方与产品件数x成反比,即a2x=250000,a=.总利润y=500-x3-1200(x>0),y′=-x2,由y′=0得x=25.当x∈(0,25)时,y′>0,当x∈(25,+∞)时,y′<0,所以当x=25时,y取最大值.
答案:25件
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2016·石家庄高二检测)一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10千米时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问轮船的速度是多少时,航行1千米所需的费用总和最少
【解析】设速度为每小时v千米时,燃料费是每小时p元,那么由题设知p=kv3,因为v=10,p=6,所以k==0.006.于是有p=0.006v3.
又设船的速度为每小时v千米时,行驶1千米所需的总费用为q元,那么每小时所需的总费用是(0.006v3+96)元,而行驶1千米所用时间为小时,所以行驶1千米的总费用为
q=(0.006v3+96)=0.006v2+.
q′=0.012v-=(v3-8000),
令q′=0,解得v=20.
当v<20时,q′<0;当v>20时,q′>0,
所以当v=20时,q取得最小值.
即当速度为20千米/小时时,航行1千米所需费用总和最少.
10.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为13万元/辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车的投入成本增加的比例为x(0【解析】由题意得,本年度每辆车的投入成本为10(1+x),每辆车的出厂价为13(1+0.7x),年利润为:
f(x)=[13(1+0.7x)-10(1+x)]·y=(3-0.9x)×3240×=3240(0.9x3-4.8x2+4.5x+5),
则f′(x)=3240(2.7x2-9.6x+4.5)=972(9x-5)(x-3),
由f′(x)=0,解得x=或x=3(舍去),
当x∈时,f′(x)>0,f(x)是增函数;
当x∈时,f′(x)<0,f(x)是减函数.
所以当x=时,f(x)取极大值,f=20000,因为f(x)在(0,1)内只有一个极大值,所以它是最大值.
所以当x=时,本年度的年利润最大,最大利润为20000万元.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·长沙高二检测)若球的半径为R,作内接于球的圆柱,则其侧面积的最大值为　(　　)
A.2πR2
B.πR2
C.4πR2
D.πR2
【解析】选A.设内接圆柱的高为h,底面半径为x,
则x=,
所以S侧=2πxh=2πh
=2π,
令t=R2h2-,则t′=2R2h-h3,
令t′=0,得h=R(舍去负值)或h=0(舍去),
当00,当R所以当h=R时,圆柱的侧面积最大.
所以侧面积的最大值为2π=2πR2.
2.(2016·威海高二检测)一窗户的上部是半圆,下部是矩形,如果窗户面积为S,为使窗户周长最小,用料最省,圆的半径应为　(　　)
A.
B.
C.
D.2
【解析】选C.如图,设半圆的半径为x,矩形的高为h,
则S=x2+2hx.
解关于h的方程得h=-x.
所以窗户周长L(x)=πx+2x+2h
=πx+2x+-x
=x+2x+.
令L′(x)=+2-=0,
解得x=,(负值舍去)
因为L(x)只有一个极小值,因此x=也为最小值点.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·沈阳高二检测)某银行准备设一种新的定期存款业务,经预测,存款额与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x∈(0,4.8%)),则使银行获得最大收益的存款利率为　　　　.
【解析】依题意知,存款额是kx2,银行应支付的存款利息是kx3,银行应获得的贷款利息是0.048kx2,所以银行的收益是y=0.048kx2-kx3(0令y′=0,解得x=0.032或x=0(舍去).
当00;
当0.032因此,当x=0.032时,y取得极大值,也是最大值,即当存款利率为3.2%时,银行可获得最大收益.
答案:3.2%
4.(2016·东营高二检测)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是　　　　(单位:元).
【解析】设底面的相邻两边长分别为xm,ym,总造价为T元,则V=xy·1=4,所以y=,
T=4×20+(2x+2y)×1×10=80+20(x+y)
=80+20,
令f(x)=x+(x>0),则f′(x)=1-,
由f′(x)=0得x=2.
当0当x>2时,f′(x)>0,
所以f(x)在x=2处取得极小值4,也是最小值.
所以Tmin=80+20×4=160.
答案:160
【补偿训练】(2016·亳州高二检测)某超市中秋前30天,月饼销售总量f(t)与时间t(0【解析】记g(t)==t++10(0g′(t)=1-=,
令g′(t)>0,得t>2,令g′(t)<0,得0所以函数g(t)在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,10)上单调递增,
又t∈Z,且g(3)=g(4)=17,
所以g(t)的最小值为17,即该超市前t天平均售出的月饼最少为17个.
答案:17个
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.某产品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如果降低价格,销售量将会增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位:元,0≤x≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件.
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数.
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大
【解析】(1)若商品降低x元,则一个星期多卖的商品为kx2件.
由已知条件,得k·22=24,解得k=6.
若记一个星期的商品销售利润为f(x),则有f(x)=
(30-x-9)(432+6x2)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈[0,21].
(2)对(1)中函数f(x)求导得f′(x)的变化情况如下表:
x
0
(0,2)
2
(2,12)
12
(12,21)
21
f′(x)
-
0
+
0
-
f(x)
9
072
↘
极小值
↗
极大值
↘
0
所以当x=12时,f(x)取得极大值.
因为f(0)=9072,f(12)=11664,f(21)=0,
所以定价为30-12=18(元),能使一个星期的商品销售利润最大.
6.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)与行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为y=x3-x+8(0(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少 最少为多少升
【解析】(1)当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了=2.5(小时),
此时的耗油量为×2.5=17.5(升).
因此当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地需要耗油17.5升.
(2)当速度为x千米/小时的时候,汽车从甲地到乙地行驶了小时.设耗油量为h(x)升,依题意得h(x)==x2+-
h′(x)=-=.
令h′(x)=0,得x=80.考虑到0当x∈(0,80)时,h′(x)<0,h(x)是减函数;
当x∈(80,120]时,h′(x)>0,h(x)是增函数.
所以当x=80时,h(x)取到极小值h(80)=11.25(升).
因为h(x)在(0,120]上只有一个极值,所以11.25是最小值.
答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.
关闭Word文档返回原板块
PAGE温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业
十八
变化率问题　导数的概念
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2016·杭州高二检测)设函数y=f(x)=x2-1,当自变量x由1变为1.1时,函数的平均变化率为　(　　)
A.2.1
B.1.1
C.2
D.0
【解析】选A.===2.1.
2.(2016·洛阳高二检测)一质点运动的方程为s=5-3t2,若该质点在时间段
[1,1+Δt]内相应的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度
是　(　　)
A.-3
B.3
C.6
D.-6
【解析】选D.==-3Δt-6,
当Δt→0时,-3Δt-6→-6,
所以瞬时速度为-6.
3.设函数f(x)在x0处可导,则=　(　　)
A.f′(x0)
B.-f′(x0)
C.f(x0)
D.-f(x0)
【解析】选B.
==-f′(x0).
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.某质点的运动方程为s=-2t2+1,则该质点从t=1到t=2时的平均速度为　　　　.
【解析】===-6.
5.(2016·佛山高二检测)一物体的运动方程为s=7t2+8,则其在t=　　　　时的瞬时速度为1.
【解析】==7Δt+14t0,
当(7Δt+14t0)=1时,t=t0=.
答案:
三、解答题
6.(10分)(2016·石家庄高二检测)一辆汽车按规律s=3t2+1做直线运动(时间单位:s,位移单位:m),求这辆汽车在t=3s时的瞬时速度.
【解析】设这辆汽车在3s到(3+Δt)s这段时间内的位移的增量为Δs,则
Δs=3·(3+Δt)2+1-28=3(Δt)2+18Δt,
所以=3Δt+18,
所以(3Δt+18)=18.
故这辆汽车在t=3s时的瞬时速度为18m/s.
【补偿训练】1.甲、乙两人走过的路程s1(t),s2(t)与时间t的关系如图所示,试比较两人的平均速度哪个大
【解题指南】欲比较两人的平均速度,其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率,通过平均变化率的大小关系得出结论.
【解析】由图象可知s1(t0)=s2(t0),s1(0)>s2(0),
所以<,
所以在从0到t0这段时间内乙的平均速度大.
2.(1)计算函数f(x)=x2从x=1到x=1+Δx的平均变化率,其中Δx的值为:
①2;②1;③0.1;④0.01.
(2)思考:当Δx越来越小时,函数f(x)在区间[1,1+Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势
【解析】(1)因为Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)2-12=(Δx)2+2Δx,
所以==Δx+2.
①当Δx=2时,=Δx+2=4;
②当Δx=1时,=Δx+2=3;
③当Δx=0.1时,=Δx+2=2.1;
④当Δx=0.01时,=Δx+2=2.01.
(2)当Δx越来越小时,函数f(x)在区间[1,1+Δx]上的平均变化率逐渐变小,并接近于2.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·太原高二检测)物体的运动方程是s=-4t2+16t,在某一时刻的速度为零,则相应时刻为　(　　)
A.t=1
B.t=2
C.t=3
D.t=4
【解析】选B.=-8t+16,令-8t+16=0,得t=2.
2.(2016·菏泽高二检测)若f′(x0)=1,则=　(　　)
A.
B.-
C.1
D.-1
【解题指南】根据导数的定义求解.
【解析】选B.
=-
=-f′(x0)=-×1=-.
【误区警示】本题易对导数的概念不理解而误选成D.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·烟台高二检测)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,,,则三者的大小关系为　　　　.
【解析】=kOA,=kAB,=kBC,由图象知kOA答案:<<
4.如图所示,水波的半径以1m/s的速度向外扩张,当半径为5m时,这水波面的圆面积的膨胀率是　　　m2/s.
【解题指南】求出在时刻t的水波面积,进而求出在时刻t0的瞬时膨胀率,代入半径求膨胀率.
【解析】因为水波的半径以v=1m/s的速度向外扩张,
水波面积S=πr2=π(vt)2=πt2,
所以水波面积在时刻t0时的瞬时膨胀率S′(t0)=2πt.
当半径为5m时,t=5s,所以S′(5)=2π·5=10π,
即半径为5m时,这水波面积的膨胀率是10π,
答案:10π
三、解答题
5.(10分)建造一栋面积为xm2的房屋需要成本y万元,y是x的函数,y=f(x)=++0.3,求f′(100),并解释它的实际意义.
【解题指南】根据导数的定义,求出函数值y在x=100时的瞬时变化率即可,最后由瞬时变化率解释f′(100)的意义.
【解析】根据导数的定义,得
f′(100)==
=
=
=
=0.105.
f′(100)=0.105表示当建筑面积为100m2时,成本增加的速度为1050元/m2,也就是说当建筑面积为100m2时,每增加1m2的建筑面积,成本就要增加1050元.
【补偿训练】如果一个质点从起点A开始运动,在时间t的位移函数为y=f(t)=t3+3.
(1)当t1=4且Δt=0.01时,求Δy和.
(2)当t1=4时,求的值.
【解析】(1)Δy=f(4+Δt)-f(4)=(4+Δt)3+3-43-3
=(Δt)3+48Δt+12(Δt)2
=(0.01)3+48×(0.01)+12×(0.01)2
=0.481201.
所以==48.1201.
(2)当Δt→0时,=48.
关闭Word文档返回原板块
PAGE温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业
十五
抛物线及其标准方程
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·四川高考)抛物线y2=4x的焦点坐标是　(　　)
A.(0,2)
B.(0,1)
C.(2,0)
D.(1,0)
【解题指南】根据抛物线的标准方程求解.
【解析】选D.由题意,y2=4x的焦点坐标为(1,0).
【补偿训练】在平面直角坐标系内,到点(1,1)和直线x+2y=3的距离相等的点的轨迹是　(　　)
A.直线　　　　　　
B.抛物线
C.圆
D.双曲线
【解析】选A.因为点(1,1)在直线x+2y=3上,故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x+2y=3垂直的直线.
2.(2016·日照高二检测)抛物线y=4x2的焦点坐标是　(　　)
A.(0,1)
B.(1,0)
C.
D.
【解析】选C.由y=4x2得x2=y,
所以抛物线焦点在y轴正半轴上且2p=,
所以p=,所以焦点为.
【误区警示】本题易忽略抛物线的标准形式,认为2p=4而出错.
3.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2+y2-2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是　(　　)
A.y=-3x2
B.y2=9x
C.y2=-9x或y=3x2
D.y=-3x2或y2=9x
【解析】选D.由已知易得圆心为(1,-3),当焦点在x轴上时设抛物线的方程是y2=ax,将(1,-3)代入得a=9,所以方程为y2=9x,当焦点在y轴上时设抛物线的方程是x2=ay,将(1,-3)代入得a=-,所以方程为y=-3x2.
4.(2016·成都高二检测)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是　(　　)
A.
B.
C.1
D.
【解题指南】先求得抛物线的焦点坐标,然后求得双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离公式进行求解即可.
【解析】选B.抛物线y2=4x的焦点是(1,0),双曲线x2-=1的一条渐近线方程为x-y=0,根据点到直线的距离公式可得d==.
【补偿训练】抛物线y2=8x的焦点到直线x-y=0的距离是　(　　)
A.2
B.2
C.
D.1
【解析】选D.抛物线y2=8x的焦点为(2,0),根据点到直线的距离公式可得d==1.
5.(2016·肇庆高二检测)已知M是抛物线y2=2px(p>0)上的点,若M到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4,则点M的横坐标为　(　　)
A.1
B.1或4
C.1或5
D.4或5
【解析】选B.因为点M到对称轴的距离为4,
所以点M的坐标可设为(x,4)或(x,-4),
又因为M到准线的距离为5,
所以解得或
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·浙江高考)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是　　　　.
【解题指南】根据抛物线的定义求解.
【解析】xM+1=10 xM=9.
答案:9
7.(2016·烟台高二检测)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为　　　　.
【解析】由抛物线方程y2=2px(p>0),得其准线方程为x=-.又圆的方程为(x-3)2+y2=16,所以圆心为(3,0),半径为4.依题意,得3-=4,解得p=2.
答案:2
8.(2016·西安高二检测)如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽　　　　米.
【解题指南】建立平面直角坐标系,求出抛物线方程,根据方程求解.
【解析】以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则点(2,-2)在抛物线上,代入可得p=1,抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x2=6,所以水面宽为2米.
答案:2
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.根据下列条件求抛物线的标准方程.
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点.
(2)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5.
【解析】(1)双曲线方程化为-=1,
左顶点为(-3,0).
由题意设抛物线方程为
y2=-2px(p>0)且=-3,
所以p=6,
所以方程为y2=-12x.
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为
y2=2px(p≠0),A点坐标为(m,-3).
由抛物线定义得5=|AF|=|m+|.
又(-3)2=2pm,
所以p=±1或p=±9,
故所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.
10.如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管O′P=1m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面2m,P距抛物线的对称轴1m,则水池的直径至少应设计为多少米 (精确到1m)
【解析】如图所示,建立平面直角坐标系.
设抛物线方程为x2=-2py(p>0).
依题意有P′(1,-1)在此抛物线上,代入得p=.
故得抛物线方程为x2=-y.
点B在抛物线上,将B(x,-2)代入抛物线方程得x=,
即|AB|=,则|AB|+1=+1,
因此所求水池的直径为2(1+)m,约为5m,
即水池的直径至少应设计为5m.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·厦门高二检测)抛物线y2=mx的焦点为F,点P(2,2)在此抛物线上,M为线段PF的中点,则点M到该抛物线准线的距离为　(　　)
A.1
B.
C.2
D.
【解析】选D.因为点P(2,2)在抛物线上,
所以(2)2=2m,
所以m=4,P到抛物线准线的距离为2-(-1)=3,F到准线距离为2,所以M到抛物线准线的距离为d==.
2.(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,点A,B是C的准线与E的两个交点,则=　(　　)
A.3
B.6
C.9
D.12
【解析】选B.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),右焦点为(c,0),依题意得解得a=4,由b2=a2-c2=16-4=12,所以椭圆E的方程为+=1,因为抛物线C:y2=8x的准线为x=-2,将x=-2代入到+=1,解得y=±3,所以A(-2,3),B(-2,-3),故=6.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·陕西高考)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=　　　　　　.
【解题指南】利用抛物线和双曲线的简单性质,以及抛物线方程y2=2px中p的意义可以求解.
【解析】双曲线x2-y2=1的左焦点为(-,0),故抛物线y2=2px的准线为x=-,所以=,所以p=2.
答案:2
4.(2016·南昌高二检测)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=　　　　.
【解题指南】A,B,F三点坐标都能与p建立起联系,分析可知△ABF的高为p,可构造p的方程解决.
【解析】由题意知,△ABF的高为p,将y=-代入双曲线方程得A,B两点的横坐标为x=±,因为△ABF为等边三角形,所以=tan60°,从而解得p2=36,即p=6.
答案:6
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.一辆卡车高3m,宽1.6m,欲通过断面为抛物线型的隧道,已知拱口宽恰好是拱高的4倍,若拱口宽为am,求使卡车通过的a的最小整数值.
【解析】以隧道顶点为原点,拱高所在直线为y轴建立直角坐标系,如图所示,则B点的坐标为,设隧道所在抛物线方程为x2=my,则=m·,
所以m=-a,即抛物线方程为x2=-ay.
将(0.8,y)代入抛物线方程,得0.82=-ay,
即y=-.
欲使卡车通过隧道,应有y->3,即->3,
由于a>0,得上述不等式的解为a>12.21,所以a应取13.
6.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A,B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0),求抛物线的方程.
【解析】设抛物线的方程为y2=2px(p>0),
则其准线为x=-.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
因为|AF|+|BF|=8,
所以x1++x2+=8,
即x1+x2=8-p.
因为Q(6,0)在线段AB的垂直平分线上,
所以|QA|=|QB|,
即
=,
又=2px1,=2px2,
所以(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0,
因为AB与x轴不垂直,所以x1≠x2.
故x1+x2-12+2p=8-p-12+2p=0,即p=4.
从而抛物线的方程为y2=8x.
关闭Word文档返回原板块
PAGE温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业
十
椭圆的简单几何性质
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2015·广东高考)已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=　(　　)
A.9
B.4
C.3
D.2
【解析】选C.由题意得:m2=25-42=9,
因为m>0,所以m=3.
2.(2016·烟台高二检测)椭圆+=1与+=1(0A.有相等的长、短轴
B.有相等的焦距
C.有相同的焦点
D.有相等的离心率
【解析】选B.对于椭圆+=1(0c2=(25-k)-(9-k)=16,
焦点在y轴上,所以它们有相等的焦距.
【补偿训练】将椭圆C1∶2x2+y2=4上的每一点的纵坐标变为原来的一半,而横坐标不变,得一新椭圆C2,则C2与C1有　(　　)
A.相等的短轴长　　　　
B.相等的焦距
C.相等的离心率
D.相等的长轴长
【解析】选C.把C1的方程化为标准方程,即
C1:+=1,从而得C2:+y2=1.
因此C1的长轴在y轴上,C2的长轴在x轴上.
e1==e2,故离心率相等.
【误区警示】解答本题时容易得到C2:+=1.而错选A.
3.已知椭圆+=1(a>b>0)有两个顶点在直线x+2y=2上,则此椭圆的焦点坐标
是　(　　)
A.(±,0)
B.(0,±)
C.(±,0)
D.(0,±)
【解析】选A.直线x+2y=2与坐标轴的交点为椭圆的顶点,
又因为椭圆的焦点在x轴上,所以a=2,b=1,
所以c==.
所以椭圆的焦点坐标是(±,0).
4.(2016·南昌高二检测)椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为　(　　)
A.
B.
C.
D.-2
【解析】选B.因为A,B分别为左右顶点,F1,F2分别为左右焦点,所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c,又由|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列得(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2,所以离心率e=.
【补偿训练】设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为　(　　)
A.　
　B.　　
C.2-　
　D.-1
【解析】选D.设椭圆方程为+=1(a>b>0),
因为F1(-c,0),所以P(-c,yP)代入椭圆方程得
+=1,所以=,
又因为b2=a2-c2,所以=2c,所以e2+2e-1=0,又05.设AB是椭圆+=1(a>b>0)的长轴,若把线段AB分为100等份,过每个分点作AB的垂线,分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P99,F1为椭圆的左焦点,则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是　(　　)
A.98a
B.99a
C.100a
D.101a
【解析】选D.设F2为椭圆的右焦点,根据椭圆的定义及对称性
有:|F1P1|=|F2P99|,|F1P2|=|F2P98|,…,|F1P49|=|F2P51|,
因此|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=…=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a.
故结果应为50×2a+|F1P50|=101a.
【误区警示】本题在求解过程中,易忽视|F1P50|,结果选C而致错.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·武汉高二检测)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在y轴上,且长轴长为12,离心率为,则椭圆方程为　　　　　.
【解析】因为椭圆的焦点在y轴上,
所以设椭圆的方程为+=1(a>b>0).
由得
由a2=b2+c2,得b2=32.
故椭圆的方程为+=1.
答案:+=1
7.(2016·济南高二检测)已知椭圆+=1的离心率e=,则m的值为　　　　.
【解析】由椭圆的标准方程,易知m>0且m≠5.
①若0由=1-=,得m=3.
②若m>5,则a2=m,b2=5.
由=1-=,得m=.
所以m的值为3或.
答案:3或
8.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为　　　　.
【解题指南】设P(x0,y0),利用数量积的坐标运算,结合椭圆的范围解出.
【解析】由题意,F(-1,0),设点P(x0,y0),则有+=1,解得=3,因为=(x0+1,y0),=(x0,y0),所以·=x0(x0+1)+=x0(x0+1)+
3=+x0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-2,因为-2≤x0≤2,所以当x0=2时,·取得最大值+2+3=6.
答案:6
【误区警示】解题中容易不考虑x0的取值范围,而直接求出二次函数的最值,而导致错误.
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图所示,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵坐标等于短半轴长的,求椭圆的离心率.
【解析】设椭圆方程为
+=1(a>b>0),则M(c,b).
代入椭圆方程,得+=1,所以=,
所以=,即e=.
【一题多解】设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a,b,c.则焦点为F1(-c,0),F2(c,0),M点的坐标为(c,b),
则△MF1F2为直角三角形.
在Rt△MF1F2中,
|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2,
即4c2+b2=|MF1|2.
而|MF1|+|MF2|=+b=2a,
整理得3c2=3a2-2ab.
又c2=a2-b2,所以3b=2a.所以=.
所以e2===1-=,
所以e=.
10.(2016·潍坊高二检测)如图,已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率.
(2)若=2,·=,求椭圆的方程.
【解析】(1)若∠F1AB=90°,则△AOF2为等腰直角三角形,所以有OA=OF2,即b=c.
所以a=c,e==.
(2)由题意知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0).
其中,c=,设B(x,y).
由=2 (c,-b)=2(x-c,y),
解得x=,y=-,即B.
将B点坐标代入+=1,得+=1,
即+=1,解得a2=3c2.①
又由·=(-c,-b)·=
b2-c2=1,即有a2-2c2=1.②
由①②解得c2=1,a2=3,
从而有b2=2.
所以椭圆方程为+=1.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·武汉高二检测)椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,椭圆C与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于B(0,2),且·=4+4,则椭圆C的方程
为　(　　)
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
【解析】选C.由已知得F(c,0),A(a,0),B(0,2),
所以·=(c,-2)·(a,-2)=ac+4=4+4,
所以
解得a2=8,b2=4.
所以椭圆C的方程为+=1.
2.(2016·长春高二检测)如图,F1,F2分别是椭圆+=1(a>0,b>0)的两个焦点,A和B是以O为圆心,以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则椭圆的离心率为　(　　)
A.
B.
C.
D.-1
【解析】选D.由题意知A.
把A代入椭圆+=1(a>b>0),得+=1,
所以(a2-c2)c2+3a2c2=4a2(a2-c2),
整理,得e4-8e2+4=0,
所以e2==4±2.因为0二、填空题(每小题5分,共10分)
3.已知椭圆的短半轴长为1,离心率0【解析】因为b=1,所以c2=a2-1,
又==1-≤,
所以≥,所以a2≤4,
又因为a2-1>0,所以a2>1,
所以1答案:(2,4]
4.(2016·江苏高考)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是　　　　.
【解题指南】利用kBF·kCF=-1计算得出离心率的值.
【解析】将直线y=与椭圆的方程联立得B,C,F(c,0),
则kBF=,kCF=,
因为∠BFC=90°,所以kBF·kCF=×=-1,
整理得b2=3a2-4c2,所以a2-c2=3a2-4c2,
即3c2=2a2 e==.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.已知椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P是椭圆上的一个动点,求·的取值范围.
【解析】由+=1,得F1(-,0),F2(,0),
设P(x0,y0),则=(--x0,-y0),
=(-x0,-y0).
所以·=(-5)+.①
又+=1,所以=4-,代入①,
得·=-1,
因为0≤≤9,所以0≤≤5,
所以-1≤·≤4,
所以·∈[-1,4].
【误区警示】本题易出现只注意到≥0得出·≥-1的错误,错误的原因是忽视了点P(x0,y0)在椭圆上,x0应满足x0∈[-3,3].
6.已知椭圆x2+=1(0【解题指南】根据圆的性质,得圆心P为FC的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点,因此分别求出FC,BC的垂直平分线方程,得到它们的交点为P,代入直线x+y=0解出b2=,即可得出此椭圆的方程.
【解析】设圆心P的坐标为(m,n),因为圆P过点F,B,C三点,所以圆心P既在FC的垂直平分线上,也在BC的垂直平分线上,
FC的垂直平分线方程为x=.①
因为BC的中点为,kBC=-b,
所以BC的垂直平分线方程为y-=②
由①,②联立,得x=,y=,即m=,n=.
因为P(m,n)在直线x+y=0上,所以+=0,
可得(1+b)(b-c)=0,
因为1+b>0,所以b=c,结合b2=1-c2得b2=,
所以椭圆的方程为x2+=1,即x2+2y2=1.
关闭Word文档返回原板块
PAGE温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业
十六
抛物线的简单几何性质
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·吉安高二检测)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为　(　　)
A.
B.1
C.
D.
【解析】选C.由抛物线的定义,有|AF|+|BF|=+=xA+xB+p=3,故xA+xB=3-p=,故线段AB的中点到y轴的距离为.
【延伸探究】若将上题改为F是抛物线x2=2y的焦点,A,B是抛物线上的两点,|AF|+|BF|=6,则线段AB的中点到x轴的距离为　　　　　.
【解析】|AF|+|BF|=6,由抛物线的定义可得|AD|+|BE|=6,又线段AB的中点到抛物线准线y=-的距离为(|AD|+|BE|)=3,所以线段AB的中点到x轴的距离为.
答案:
2.(2016·温州高二检测)已知抛物线y2=6x的焦点为F,准线为1,点P为抛物线上一点,且在第一象限,PA⊥l,垂足为A,|PF|=2,则直线AF的倾斜角为　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解题指南】可先画出图形,得出F,由抛物线的定义可以得出|PA|=2,从而可以得出P点的横坐标,代入抛物线方程便可求出P点的纵坐标,这样即可得出A点的坐标,从而求出直线AF的斜率,根据斜率便可得出直线AF的倾斜角.
【解析】选D.如图,由抛物线方程得F;|PF|=|PA|=2,所以P点的横坐标为2-=;所以y2=6·,P在第一象限,所以P点的纵坐标为;所以A点的坐标;所以AF的斜率为=-;所以AF的倾斜角为.
3.已知直线l经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线交于P,Q两点,由P,Q分别向准线引垂线PK,QS,垂足分别为K,S,如果|PF|=a,|QF|=b,M为KS的中点,则|MF|的值为　(　　)
A.a+b
B.(a+b)
C.ab
D.
【解析】选D.如图,根据抛物线的定义,有|PF|=|PK|,|QF|=|QS|,易知△KFS为直角三角形,故要求的是直角三角形斜边上的中线长.在直角梯形PKSQ中,容易求得|KS|=2.
故|FM|=|KS|=.
4.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,
l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为　(　　)
A.18
B.24
C.36
D.48
【解析】选C.如图所示,
设抛物线方程为y2=2px(p>0).
因为当x=时,|y|=p,
所以p===6.
又P到AB的距离始终为p,
所以S△ABP=×12×6=36.
5.(2015·浙江高考)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.=====.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.设抛物线y2=mx的准线与直线x=1的距离为3,则抛物线的方程为　　　　.
【解析】当m>0时,准线方程为x=-=-2,所以m=8,
此时抛物线方程为y2=8x;
当m<0时,准线方程为x=-=4,
所以m=-16,
此时抛物线方程为y2=-16x.
所以所求抛物线方程为y2=8x或y2=-16x.
答案:y2=8x或y2=-16x.
【误区警示】解答本题时容易忽视m的符号,出现答案不完整的情况.
7.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为　　　.
【解析】据题意知,△PMF为等边三角形时,PF=PM,
所以PM垂直抛物线的准线,
设P,则M(-1,m),
则等边三角形边长为
1+,F(1,0),
所以由PM=FM,得1+=,解得m2=12,
所以等边三角形边长为4,其面积为4.
答案:4
8.(2016·长沙高二检测)已知定点A(-3,0),B(3,0),动点P在抛物线y2=2x上移动,则·的最小值等于　　　　.
【解题指南】设出P点的坐标结合抛物线y2=2x中的x的范围求解.
【解析】设P(x,y),则y2=2x,因为A(-3,0),B(3,0),
则·=·=(x+3,y)·(x-3,y)=x2+y2-9=x2+2x-9=(x+1)2-10(x≥0),
所以当x=0时,(·)min=-9.
答案:-9
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.直角三角形的直角顶点在坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,且一直角边的方程是y=2x,斜边长是5,求此抛物线的方程.
【解析】如图,设直角三角形为AOB,直角顶点为O,AO边的方程为y=2x,
则OB边的方程为y=-x.
由得A点坐标为.
由得B点坐标为(8p,-4p).
因为|AB|=5,
所以=5.
因为p>0,解得p=,
所以所求抛物线方程为y2=x.
10.(2016·淮安高二检测)如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.
(1)求y1y2的值.
(2)记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,证明:为定值.
【解题指南】(1)设出直线AB的方程,把直线方程代入抛物线方程中整理化简,然后根据一元二次方程根与系数的关系可求.(2)表示出斜率,根据根与系数的关系代入化简可求得定值.
【解析】(1)依题意,设AB的方程为x=my+2,代入y2=4x,得y2-4my-8=0,从而y1y2=-8.
(2)设M(x3,y3),N(x4,y4),
=×=×=,
设直线AM的方程为x=ny+1,代入y2=4x消去x得:y2-4ny-4=0,所以y1y3=-4,
同理y2y4=-4,===,
由(1)y1y2=-8,所以=2为定值.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·成都高二检测)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为抛物线上不同的三点,点F是△ABC的重心,O为坐标原点,△OFA,△OFB,△OFC的面积分别为S1,S2,S3,则++=　(　　)
A.9
B.6
C.3
D.2
【解析】选C.设A,B,C三点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),
因为抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),
所以S1=|y1|,S2=|y2|,S3=|y3|,
所以++=(++)=x1+x2+x3,
因为点F是△ABC的重心,
所以x1+x2+x3=3,所以++=3.
2.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是　(　　)
A.
B.
C.
D.3
【解析】选A.设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为,当m=时,取得最小值为.
【一题多解】选A.设与4x+3y-8=0平行的直线l的方程为4x+3y+m=0,
由消去y得,3x2-4x-m=0,
由Δ=0得,16+12m=0,解得m=-.
所以l的方程为4x+3y-=0.
因此抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是d==.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.已知点P是抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A(4,6),则|PA|+|PM|的最小值是　　　　　.
【解题指南】将P到y轴的距离,转化为点P到焦点的距离,当A,P,F共线时,|PA|+|PM|最小.
【解析】由y2=4x,得p=2,
所以F(1,0),
如图,|PM|=|PF|-
=|PF|-1,
所以|PA|+|PM|=|PA|+|PF|-1≥|AF|-1
=-1=3-1.
答案:3-1
4.(2016·南昌高二检测)已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|=　　　　.
【解析】因为抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1),点A坐标为(2,0),所以抛物线的准线方程为l:y=-1,直线AF的斜率为k==-.过M作MP⊥l于P,根据抛物线的定义得|FM|=|PM|.
因为Rt△MPN中,tan∠MNP=-k=,
所以=,
可得|PN|=2|PM|,
得|MN|==|PM|.
所以=,可得|FM|∶|MN|=|PM|∶|MN|=1∶.
答案:1∶
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2016·长春高二检测)点M(m,4)(m>0)为抛物线x2=2py(p>0)上一点,F为其焦点,已知|FM|=5.
(1)求m与p的值.
(2)以M点为切点作抛物线的切线,交y轴于点N,求△FMN的面积.
【解析】(1)由抛物线定义知,|FM|=+4=5,所以p=2.所以抛物线的方徎为x2=4y,
又由M(m,4)在抛物线上,所以m=4.
故p=2,m=4.
(2)设过M点的切线方程为y-4=k(x-4),
代入抛物线方程消去y得,x2-4kx+16k-16=0,
其判别式Δ=16k2-64(k-1)=0,所以k=2,
切线方程为y=2x-4,
切线与y轴的交点为N(0,-4),抛物线的焦点F(0,1),
所以S△FMN=|FN|·m=×5×4=10.
6.(2016·福州高二检测)如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,|CO|为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.
(1)若点C的纵坐标为2,求|MN|.
(2)若|AF|2=|AM|·|AN|,求圆C的半径.
【解析】(1)抛物线y2=4x的准线l的方程为x=-1.
由点C的纵坐标为2,得点C的坐标为(1,2),
所以点C到准线l的距离d=2,又|CO|=.
所以|MN|=2=2=2.
(2)设C,则圆C的方程为+(y-y0)2=+,即x2-x+y2-2y0y=0.由x=-1,得y2-2y0y+1+=0,
设M(-1,y1),N(-1,y2),则
由|AF|2=|AM|·|AN|,得|y1y2|=4,
所以+1=4,解得y0=±,此时Δ>0.
所以圆心C的坐标为或,
从而|CO|2=,|CO|=,即圆C的半径为.
关闭Word文档返回原板块
PAGE温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业
二十
几个常用函数的导数
与基本初等函数的导数公式
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.若曲线y=x2在点(a,a2)(a>0)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2,则a等于　(　　)
A.2　　　　B.4　　　　C.　　　　D.
【解析】选A.y′=2x,则切线的斜率为2a,
所以曲线y=x2在点(a,a2)(a>0)处的切线方程为y-a2=2a·(x-a),即y=2ax-a2.
令x=0得y=-a2,令y=0得x=,
所以切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为
×a2×=2,解得a=2,故选A.
2.(2016·海南高二检测)已知函数f(x)=,则f′(-2)=　(　　)
A.4
B.
C.-4
D.-
【解题指南】利用常用函数的导数公式进行计算.
【解析】选D.因为f(x)=,所以f′(x)=-,
所以f′(-2)=-=-.
3.(2016·临沂高二检测)若函数f(x)=f′(-1)x2-2x+3,则f′(-1)的值为　(　　)
A.0
B.-1
C.1
D.2
【解析】选B.因为f(x)=f′(-1)x2-2x+3,
所以f′(x)=f′(-1)x-2.
所以f′(-1)=f′(-1)×(-1)-2,
所以f′(-1)=-1.
4.质点做直线运动的方程是s=,则质点在t=3时的速度是(位移单位:m,时间单位:s)　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为s==,
所以s′=,当t=3时,
s′=·=.
5.(2016·保定高二检测)已知曲线y=lnx的切线过原点,则此切线的斜率
为　(　　)
A.e
B.-e
C.
D.-
【解析】选C.y′=,设切点为(x0,lnx0)(x0>0),
则k=y′=,切线方程为y-lnx0=(x-x0).
因为切线过点(0,0),
所以-lnx0=-1,解得x0=e,故k=.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·临沂高二检测)曲线y=x2在x=处的切线的倾斜角α为　　　　.
【解析】由y=x2,得y′=2x,
y′=1,因此斜率k=1,
所以α=45°.
答案:45°
7.(2016·青岛高二检测)曲线y=在点(1,1)处的切线方程是　　　　.
【解析】由y=,得y′=,
所以斜率k=y′=,
所以切线方程为y-1=(x-1),
即x-2y+1=0.
答案:x-2y+1=0
【补偿训练】(2014·广东高考)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程为　　　　.
【解析】因为y′=-5ex,所以在点(0,-2)处的切线斜率为-5,所以切线方程为y-(-2)=-5(x-0),5x+y+2=0.
答案:5x+y+2=0
8.(2016·石家庄高二检测)已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是　　　　.
【解析】y′==≥-1,
即tanα≥-1且tanα<0,所以≤α<π.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2016·洛阳高二检测)若函数f(x)=在x=c处的导数值与函数值互为相反数,求c的值.
【解析】由于f(x)=,
所以f(c)=,
又f′(x)==,
所以f′(c)=.
由题意知f(c)+f′(c)=0,
所以+=0,
所以2c-1=0,得c=.
10.(2016·郑州高二检测)试求过点P(2,-1)且与曲线y=x2相切的直线的方程.
【解题指南】先判断所给点是否在曲线上,若不在曲线上,则需设出切点坐标,然后利用斜率相等,列出等式,求出切点坐标,进而求出切线方程.
【解析】由题意知点P(2,-1)不是曲线y=x2上的点,即点P不是切点,设切点为M(x0,y0),则y0=,①
因为y′=2x,所以y′==2x0.
又kPM=,所以2x0=.②
由①②解得x0=2+或x0=2-.
当x0=2+时,切线斜率k=2x0=4+2.
此时切线方程为y+1=(4+2)(x-2),
即(4+2)x-y-9-4=0.
当x0=2-时,切线斜率k=2x0=4-2,
此时切线方程为y+1=(4-2)(x-2),
即(4-2)x-y-9+4=0.
所以切线方程为(4+2)x-y-9-4=0或(4-2)x-y-9+4=0.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·石家庄高二检测)若曲线y=f(x)=在点(a,)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a等于　(　　)
A.64
B.32
C.16
D.8
【解析】选A.由题得f′(a)=-,
切线方程为y-=-(x-a),
令y=0,得x=3a,
令x=0,得y=.
所以切线与两坐标轴交点分别为A(3a,0),B,
又因为a>0,
所以S△OAB=×3a×==18.
所以a=64.
2.(2016·烟台高二检测)设f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=
f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则f2016(x)=　(　　)
A.sinx
B.-sinx
C.cosx
D.-cosx
【解析】选A.因为f0(x)=sinx,
所以f1(x)=(sinx)′=cosx,
f2(x)=(cosx)′=-sinx,
f3(x)=(-sinx)′=-cosx,f4(x)=(-cosx)′=sinx,…,所以fn(x)的周期T=4,所以f2016(x)=f0(x)=sinx.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·洛阳高二检测)已知f(x)=cosx,g(x)=x,则关于x的不等式f′(x)+
g′(x)≤0的解集为　　　　　　　　　　.
【解析】f′(x)+g′(x)=-sinx+1≤0,
所以sinx≥1,
又sinx≤1,
所以sinx=1,
所以x=+2kπ,k∈Z.
答案:
4.(2015·陕西高考)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则点P的坐标为　　　　　.
【解题指南】利用y=ex在某点处的切线与另一曲线的切线垂直求得另一曲线的切线的斜率,进而求得切点坐标.
【解析】由f′(x)=ex,得f′(0)=e0=1.
又y=ex在(0,1)处的切线与y=(x>0)上点P处的切线垂直,所以点P处的切线斜率为-1.
又y′=-,设点P(x0,y0),所以-=-1,x0=±1,由x0>0,得x0=1,y0=1,
所以点P的坐标为(1,1).
答案:(1,1)
【补偿训练】曲线y=和y=x2在它们交点A处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是　　　　.
【解析】由得交点的坐标为(1,1).
由y=x2得y′=2x,
所以曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),
即y=2x-1.
由y=得y′=-,
所以曲线y=在点(1,1)处的切线方程为y-1=-(x-1),即y=-x+2.
如图所示,xB=,xC=2.
S△ABC=××1=.
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.已知曲线y=5,求:
(1)曲线上与直线y=2x-4平行的切线方程.
(2)求过点P(0,5),且与曲线相切的切线方程.
【解题指南】设切点坐标为(x0,y0),求曲线在此点处的导数y′.
(1)利用y′=2,求切点坐标,进而求切线方程.
(2)利用斜率相等,求切点坐标,进而求切线方程.
【解析】(1)设切点为(x0,y0),由y=5,得y′=.
所以切线与y=2x-4平行,
所以=2,所以x0=,所以y0=.
则所求切线方程为y-=2,
即16x-8y+25=0.
(2)因为点P(0,5)不在曲线y=5上,
故需设切点坐标为M(x1,y1),
则切线斜率为.
又因为切线斜率为,
所以==,
所以2x1-2=x1,得x1=4.
所以切点为M(4,10),斜率为,
所以切线方程为y-10=(x-4),
即5x-4y+20=0.
6.已知函数f(x)=,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值及该切线的方程.
【解析】因为f(x)=,g(x)=alnx,
所以f′(x)=,g′(x)=.
设f(x),g(x)的交点为(x0,y0),
则由已知得解得
所以切线斜率k=f′(x0)=f′(e2)=,切点为(e2,e),
所以切线方程为y-e=(x-e2),即x-2ey+e2=0.
关闭Word文档返回原板块
PAGE温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业
十七
抛物线方程及性质的应用
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·郑州高二检测)过点(-1,0)且与抛物线y2=x有且仅有一个公共点的直线有　(　　)
A.1条　　　　
B.2条　　　　
C.3条　　　　
D.4条
【解析】选C.点(-1,0)在抛物线y2=x的外部,故过(-1,0)且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有三条,其中两条为切线,一条为x轴.
【延伸探究】若把本题中的点(-1,0)改为(1,1),则此时与y2=x只有一个公共点的直线有　(　　)
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
【解析】选B.因为点(1,1)在抛物线y2=x上,所以作与y2=x只有一个公共点的直线有两条,其中一条为切线,一条为平行于x轴的直线.
2.过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y2=8x交于A,B两点,则弦AB的长
为　(　　)
A.2
B.2
C.2
D.2
【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2).
由题意知AB的方程为y=-2(x-1),即y=-2x+2.
由得x2-4x+1=0,
所以x1+x2=4,x1x2=1.
所以|AB|==
==2.
3.(2016·福州高二检测)若抛物线y2=x上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+b对称,且y1y2=-1,则实数b的值为　(　　)
A.-3
B.3
C.2
D.-2
【解析】选D.因为抛物线y2=x上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+b对称,所以=-1,所以=-1,所以y1+y2=-1.
因为y1y2=-1,所以x1+x2=+=(y1+y2)2-2y1y2=3,
所以两点A(x1,y1),B(x2,y2)中点坐标为.
代入y=x+b,可得b=-2.
4.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为　(　　)
A.x=1
B.x=-1
C.x=2
D.x=-2
【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),
代入抛物线方程得:
①-②得(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2).
又因为y1+y2=4,所以===k=1,所以p=2
所以所求抛物线的准线方程为x=-1.
5.(2016·西安高二检测)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过点F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为　(　　)
A.y=x-1或y=-x+1
B.y=(x-1)或y=-(x-1)
C.y=(x-1)或y=-(x-1)
D.y=(x-1)或y=-(x-1)
【解析】选C.由题意,可设|BF|=x,则|AF|=3x,设直线l与抛物线的准线相交于点M,则由抛物线的定义可知:=,所以|MB|=2x,所以直线l的倾斜角为
60°或120°,即直线l的斜率为±.
【误区警示】本题容易将倾斜角当作45°而错选A.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·临沂高二检测)直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k=　　　　.
【解析】当k=0时,直线与抛物线有唯一交点,当k≠0时,联立方程消y得:k2x2+4(k-2)x+4=0,由题意Δ=16(k-2)2-16k2=0,解得k=1.
答案:0或1
7.(2016·广州高二检测)在抛物线y=4x2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离最短,则该点的坐标是　　　　.
【解析】设与直线y=4x-5平行的直线为y=4x-b,代入y=4x2得4x2-4x+b=0.
令Δ=16-16b=0,解得b=1,
所以与直线y=4x-5平行的直线为y=4x-1,所以直线y=4x-1与抛物线相切,切点到y=4x-5的距离最短.
由4x2-4x+1=0,解得x=,
所以y=1,所求点为.
答案:
8.(2016·长春高二检测)抛物线焦点在y轴上,截得直线y=x+1的弦长为5,则抛物线的标准方程为　　　　.
【解题指南】设出抛物线的方程利用弦长公式求解.
【解析】设抛物线方程为x2=my,
联立抛物线方程与直线y=x+1的方程并消元,
得:2x2-mx-2m=0,设直线y=x+1与抛物线的交点坐标为(x1,y1),(x2,y2),
Δ=(-m)2-4×2×(-2m)=m2+16m>0,解得m>0或m<-16.
所以x1+x2=,x1x2=-m,
所以5=,
把x1+x2=,x1x2=-m代入解得m=4或-20,
所以抛物线的标准方程为x2=4y或x2=-20y.
答案:x2=4y或x2=-20y
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(1)设抛物线y2=4x被直线y=2x+k截得的弦长为3,求k的值.
(2)以(1)中的弦为底边,以x轴上的点P为顶点作三角形,当三角形的面积为9时,求P点坐标.
【解析】(1)由得4x2+(4k-4)x+k2=0,
设直线与抛物线交于A(x1,y1)与B(x2,y2)两点.
当Δ=(4k-4)2-4×4k2>0,即k<时,
x1+x2=1-k,x1x2=,
所以|AB|=
=
==.
因为|AB|=3,
所以=3,解得k=-4.
(2)因为三角形的面积为9,底边长为3,
所以三角形高h==.
因为点P在x轴上,所以设P点坐标是(x0,0),
则点P到直线y=2x-4的距离就等于h,
所以h==,
解得x0=-1或5.
所以P点坐标为(-1,0)或(5,0).
10.已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点.
(1)求证:OA⊥OB.
(2)当△OAB的面积等于时,求k的值.
【解析】(1)如图所示,由
消去x得,ky2+y-k=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得y1y2=-1,y1+y2=-.
因为A,B在抛物线y2=-x上,
所以=-x1,=-x2,所以·=x1x2.
因为kOA·kOB=·===-1,所以OA⊥OB.
(2)设直线与x轴交于点N,显然k≠0.
令y=0,得x=-1,即N(-1,0).
因为S△OAB=S△OAN+S△OBN
=|ON||y1|+|ON||y2|
=|ON|·|y1-y2|,
所以S△OAB=·1·
=.
因为S△OAB=,
所以=,解得k=±.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·武汉高二检测)抛物线y=ax2(a>0)与直线y=kx+b两个交点的横坐标分别为x1,x2,而x3是直线与x轴交点的横坐标,则　(　　)
A.x3=x1+x2
B.x3=+
C.x1x2=x1x3+x2x3
D.x1x3=x2x3+x1x2
【解析】选C.将y=kx+b代入x2=(a>0),得
ax2-kx-b=0,x1+x2=,x1x2=-,
+==-.
而直线y=kx+b与x轴交点的横坐标x3=-,
所以+=,
所以x1x2=x2x3+x1x3.
2.(2016·南宁高二检测)已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点,且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若·=0,则k=　(　　)
A.
B.
C.
D.2
【解题指南】先求出抛物线的焦点,列出过焦点的直线方程,与抛物线联立,化简成关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系代入求解.
【解析】选D.由题意知,直线AB的方程为y=k(x-2),将其代入y2=8x得,k2x2-4(k2+2)x+4k2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=4.　　①
又y1+y2=k(x1+x2)-4k,　　②
y1y2=k2[x1x2-2(x1+x2)+4].　　③
因为·=0,
所以(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=0,
即x1x2+2(x1+x2)+y1y2-2(y1+y2)+8=0.　④
由①②③④得,k=2.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A,B两点,过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形APQB的面积为　　　　.
【解析】由得x2-10x+9=0,
所以x1+x2=10,|y1-y2|=8,
即|AP|+|BQ|=x1+x2+p=10+2=12,
|PQ|=|y1-y2|=8,
所以S梯形APQB=·|PQ|=48.
答案:48
4.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=　　　　.
【解析】设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
由消去y得,k2x2+4x(k2-2)+4k2=0,
所以x1+x2=,x1x2=4.
由抛物线定义得|AF|=x1+2,|BF|=x2+2,
又因为|AF|=2|BF|,所以x1+2=2x2+4,
所以x1=2x2+2代入x1x2=4,得+x2-2=0,
所以x2=1或-2(舍去),所以x1=4,
所以=5,所以k2=,
因为k>0,所以k=.
则Δ=[4(k2-2)]2-4·k2·4k2=16×4(1-k2)>0符合题意.
答案:
【补偿训练】在已知抛物线y=x2上存在两个不同的点M,N关于直线y=kx+对称,则k的取值范围为　　　　.
【解析】设M(x1,),N(x2,)关于直线y=kx+对称,
所以=-,即x1+x2=-.设MN的中点为(x0,y0),则x0=-,y0=k×+=4.
因中点在y=x2内,有4> k2>,
所以k>或k<-.
答案:k>或k<-
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2016·蚌埠高二检测)如图,过抛物线y2=x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB,AC,交抛物线于B,C两点,求证:直线BC的斜率是定值.
【证明】设kAB=k(k≠0),
因为直线AB,AC的倾斜角互补,
所以kAC=-k(k≠0),
AB的方程是y=k(x-4)+2.
由方程组
消去y后,整理得
k2x2+(-8k2+4k-1)x+16k2-16k+4=0.
因为A(4,2),B(xB,yB)的坐标是上述方程组的解,
所以4·xB=,
即xB=.
以-k代换xB中的k,得xC=,
所以kBC=
=
==
=-.
所以直线BC的斜率为定值.
【补偿训练】(2016·唐山高二检测)已知抛物线E:x2=2py(p>0),直线y=kx+2与E交于A,B两点,且·=2,其中O为原点.
(1)求抛物线E的方程.
(2)点C坐标为(0,-2),记直线CA,CB的斜率分别为k1,k2,证明:+-2k2为定值.
【解析】(1)将y=kx+2代入x2=2py,得x2-2pkx-4p=0,
其中Δ=4p2k2+16p>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=2pk,x1x2=-4p.
·=x1x2+y1y2=x1x2+·=-4p+4.
由已知得,-4p+4=2,p=,
所以抛物线E的方程为x2=y.
(2)由(1)知,x1+x2=k,x1x2=-2.
k1====x1-x2,
同理k2=x2-x1,
所以+-2k2=2(x1-x2)2-2(x1+x2)2
=-8x1x2=16.
所以+-2k2为定值.
6.(2015·福建高考)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.
(1)求抛物线E的方程.
(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.
【解析】方法一:(1)由抛物线的定义得=2+,
因为=3,即2+=3,
解得p=2,
所以抛物线E的方程为y2=4x.
(2)因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,
所以m=±2,由抛物线的对称性,
不妨设A(2,2),
由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为
y=2(x-1).
由得2x2-5x+2=0,
解得x=2或x=,从而B.
又G(-1,0),
所以kGA==,
kGB==-,
所以kGA+kGB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.
方法二:(1)同方法一.
(2)设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.
因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,
所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2),
由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为
y=2(x-1).
由得2x2-5x+2=0,
解得x=2或x=,从而B.
又G(-1,0),故直线GA的方程为2x-3y+2=0,
从而r==.
又直线GB的方程为2x+3y+2=0,
所以点F到直线GB的距离d===r.
这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.
【补偿训练】(2016·天水高二检测)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线与抛物线交于A,B两点.
(1)若p=2,求线段AF中点M的轨迹方程.
(2)若直线AB的方向向量为n=(1,2),当焦点为F时,求△OAB的面积.
(3)若N是抛物线C准线上的点,求证:直线NA,NF,NB的斜率成等差数列.
【解析】(1)设A(x0,y0),M(x,y),焦点F(1,0),
则由题意得即
所求的轨迹方程为4y2=4(2x-1),
即y2=2x-1.
(2)y2=2x,F,
直线y=2=2x-1,
由
得y2-y-1=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
|AB|=|y1-y2|=,设点O到直线AB的距离为d,
则d=,
S△OAB=d|AB|=.
(3)显然直线NA,NB,NF的斜率都存在,分别设为k1,k2,k3,
点A,B,N的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),N,
设直线AB:x=ay+,
代入抛物线得y2-2apy-p2=0,
所以y1y2=-p2,
又=2px1,=2px2,
所以x1+=+=(+p2),
x2+=+=+=(+p2),
所以k1+k2=+
=+=-,
而k3==-,
故k1+k2=2k3,
所以直线NA,NF,NB的斜率成等差数列.
关闭Word文档返回原板块
PAGE温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业
四
充分条件与必要条件
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.“φ=”是“cosφ=0”的　(　　)
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件,又是必要条件
D.既不是充分条件,也不是必要条件
【解析】选A.当φ=时,有cosφ=0,但当cosφ=0时,φ=kπ+,k∈Z.
2.(2016·嘉兴高二检测)设集合A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的　(　　)
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件又是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选C.A∪B={x∈R|x<0,或x>2},
C={x∈R|x<0,或x>2},
因为A∪B=C,所以x∈A∪B x∈C,且x∈C x∈A∪B,
所以x∈A∪B是x∈C的充分条件,同时也是必要条件.
3.下列各小题中,p是q的充分条件的是　(　　)
①p:m<-2,q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点;
②p:=1,q:y=f(x)是偶函数;
③p:cosα=cosβ,q:tanα=tanβ.
A.①
B.③
C.②③
D.①②
【解析】选D.①y=x2+mx+m+3有两个不同的零点,则Δ=m2-4(m+3)>0,得m>6或m<-2,所以p是q的充分条件;
②因为=1,所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,所以p是q的充分条件;
③当α=β=kπ+时,tanα,tanβ无意义,所以p是q的必要条件.
4.已知q是等比数列{an}的公比,则“q<1”是“数列{an}是递减数列”的　(　　)
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件,又是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选D.等比数列的单调性与首项和公比都有关系.
【误区警示】本题中的等比数列易与等差数列混淆,忽略首项的作用.
5.(2015·成都高二检测)已知α,β是两个不同的平面,则“平面α∥平面β”成立的一个充分条件是　(　　)
A.存在一条直线l,l α,l∥β
B.存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥β
C.存在一条直线l,l⊥α,l⊥β
D.存在一个平面γ,γ∥α,γ⊥β
【解析】选C.A.存在一条直线l,l α,l∥β,此时α,β可能相交.
B.若存在一个平面γ,γ⊥α,γ⊥β,则α与β可能平行,可能相交.
C.若存在一条直线l,l⊥α,l⊥β,则α∥β成立,反之不一定成立,满足条件.
D.若存在一个平面γ,γ∥α,γ⊥β,则α⊥β,所以不满足题意.
【补偿训练】(2015·佛山高二检测)已知p:x2-x<0,那么命题p的一个充分条件是　(　　)
A.1B.-1C.D.【解析】选C.x2-x<0 0二、填空题(每小题5分,共15分)
6.设A,B是非空集合,则A∩B=A是A=B的　　　　条件(填“充分”“必要”).
【解析】当A∩B=A时,只能得出A B,得不出A=B,但当A=B时,一定有A∩B=A,即由A=B可以推出A∩B=A.
答案:必要
7.设x,y∈R,那么“x>y>0”是“>1”的　　　　条件(填“充分”“必要”).
【解析】由>1 >0 x>y>0或x因此“x>y>0”能推断“>1”.
答案:充分
8.(2015·济南高二检测)条件p:1-x<0,条件q:x>a,若p是q的充分条件,则a的取值范围是　　　　　.
【解析】p:x>1,若p是q的充分条件,则p q,即p对应集合是q对应集合的子集,故a≤1.
答案:(-∞,1]
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.判断“x=1”“x=2”“x=1或x=2”是方程x2-3x+2=0的充分条件还是必要条件.
【解析】当x=1时,方程成立,所以“x=1”是方程的充分条件,同理“x=2”、“x=1或x=2”都是方程的充分条件;
当方程成立时,x=1或x=2,所以“x=1”“x=2”是方程的充分条件,但不是必要条件,“x=1或x=2”既是方程的充分条件,也是方程的必要条件
10.(2015·昆明高二检测)已知命题p:对数loga(-2t2+7t-5)(a>0,且a≠1)有意义,q:关于实数t的不等式t2-(a+3)t+(a+2)<0.
(1)若命题p为真,求实数t的取值范围.
(2)若命题p是q的充分条件,求实数a的取值范围.
【解析】(1)因为命题p为真,则对数的真数-2t2+7t-5>0,解得1所以实数t的取值范围是.
(2)因为命题p是q的充分条件,所以{t|1方法一:因为方程t2-(a+3)t+(a+2)=0的两根为1和a+2,
所以只需a+2≥,解得a≥.
即实数a的取值范围为.
方法二:令f(t)=t2-(a+3)t+(a+2),因为f(1)=0,所以只需f≤0,解得a≥.
即实数a的取值范围为.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·新乡高二检测)“sinx=1”是“cosx=0”的　(　　)
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件,又是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选A.当sinx=1时,由sin2x+cos2x=1得cos2x=0即cosx=0;所以“sinx=1”是“cosx=0”的充分条件,当cosx=0时,由sin2x+cos2x=1,得sin2x=1,即sinx=±1,因此由cosx=0不能推出sinx=1,因此“sinx=1”不是“cosx=0”的必要条件.
2.(2015·福州高二检测)集合A=,B={x|-a“A∩B≠ ”的充分条件,则实数b的取值范围是　(　　)
A.[-2,0)
B.(0,2]
C.(-2,2)
D.[-2,2]
【解析】选C.A=={x|-1二、填空题(每小题5分,共10分)
3.下列不等式:①x<1;②0【解析】由于x2<1即-1答案:②③④
4.已知m,n为不同的直线,α,β为不同的平面,若①m∥n,n∥α;②m⊥n,n⊥α;③m α,m∥β,α∥β;④m⊥β,α⊥β.则其中能使m∥α成立的充分条件有　　　　.
【解析】①m∥n,n∥α,不能推得m∥α,m可能在平面α内;
②m⊥n,n⊥α,不能推得m∥α,m可能在平面α内;
③m α,m∥β,α∥β,能推得m∥α;
④m⊥β,α⊥β,不能推得m∥α,m可能在平面α内.
答案:③
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2015·青岛高二检测)已知p:x2-2x-3<0,若-ab恒成立的实数b的取值范围.
【解析】由于p:x2-2x-3<0 -1-a0).
依题意,得{x|-10),
所以解得a≥2,
则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b<2,
即(-∞,2).
6.(2015·宝鸡高二检测)已知集合A={y|y=x2-x+1,x∈,B={x||x-m|≥1},命题p:t∈A,命题q:t∈B,并且命题p是命题q的充分条件,求实数m的取值范围.
【解题指南】本题先根据已知条件表示出集合A,B,然后根据条件求出实数m的取值范围.
【解析】先化简集合A,由y=x2-x+1,配方,得
y=+.
因为x∈,
所以y∈.
所以A=.
由|x-m|≥1,
解得x≥m+1或x≤m-1.
所以B={x|x≥m+1或x≤m-1}.
因为命题p是命题q的充分条件,
所以A B.
所以m+1≤或m-1≥2,
解得m≤-或m≥3.
故实数m的取值范围是∪[3,+∞).
关闭Word文档返回原板块
PAGE温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业
十四
双曲线方程及性质的应用
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2015·全国卷Ⅰ)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若·<0,则y0的取值范围是　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为F1(-,0),F2(,0),-=1,
所以·=(--x0,-y0)·(-x0,-y0)=+-3<0,
即3-1<0,解得-2.(2016·重庆高二检测)已知双曲线x2-y2=2,过定点P(2,0)作直线l与双曲线有且只有一个交点,则这样的直线l的条数为　(　　)
A.1　　　　　B.2　　　　　C.3　　　　　D.4
【解析】选B.因为点P(2,0)在双曲线含焦点的区域内,故只有当直线l与渐近线平行时才会与双曲线只有一个交点,故这样的直线只有两条.
【补偿训练】过双曲线x2-=1的右焦点作直线与双曲线交于A,B两点,若|AB|=16,这样的直线有　(　　)
A.一条　　　
B.两条
C.三条
D.四条
【解析】选C.过右焦点且垂直于x轴的弦长为16,因为|AB|=16,所以当l与双曲线的两交点都在右支上时只有一条.又因为实轴长为2,16>2,所以当l与双曲线的两交点在左、右两支上时应该有两条,共三条.
3.(2016·泉州高二检测)若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差为8,则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是　(　　)
A.x+y=5
B.x2+y2=9
C.+=1
D.x2=16y
【解析】选B.因为M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差为8,所以M的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支,方程为-=1(x≥4),A:直线x+y=5过点(5,0)满足题意;B:x2+y2=9的圆心为(0,0),半径为3,与M的轨迹没有交点,不满足题意;C:+=1的右顶点(5,0),满足题意;D:方程代入-=1,可得y-=1,即y2-9y+9=0,所以y=3,满足题意.
4.(2016·青岛高二检测)过双曲线-=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若=,则双曲线的离心率是　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.右顶点为A(a,0),
则直线方程为x+y-a=0,
可求得直线与两渐近线的交点坐标B,C,则=,
=.
又2=,所以2a=b,所以e=.
【补偿训练】已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1作垂直于x轴的直线交双曲线于A,B两点.若△ABF2为直角三角形,则双曲线的离心率为　(　　)
A.1+
B.1±
C.
D.±1
【解析】选A.因为△ABF2是直角三角形,
所以∠AF2F1=45°,|AF1|=|F1F2|,=2c.
所以b2=2ac,所以c2-a2=2ac,
所以e2-2e-1=0.
解得e=1±.又e>1,所以e=1+.
5.(2016·沈阳高二检测)已知双曲线E的中心在原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB中点为N(-12,-15),则E的方程为　(　　)
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
【解析】选B.由已知条件易得直线l的斜率k==1,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1,-=1,两式相减并结合x1+x2=-24,y1+y2=-30得=,从而=1,又因为a2+b2=c2=9,故a2=4,b2=5,所以E的方程为-=1.
【拓展延伸】解决与双曲线弦的中点有关问题的两种方法
(1)根与系数的关系法:联立直线方程和双曲线方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
(2)点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入双曲线方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,可求斜率k=.这是解决与中点有关问题的简便而有效的方法.求弦中点轨迹问题,此方法依然有效.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·济南高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)和椭圆+=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为　　　　　　.
【解析】由题意知,椭圆的焦点坐标是(±,0),离心率是.故在双曲线中c=,e==,故a=2,b2=c2-a2=3,故所求双曲线的方程是-=1.
答案:-=1
7.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F且斜率为的直线交双曲线C于A,B两点.若=4,则双曲线C的离心率为　　　　.
【解析】设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
由
得(b2-3a2)y2+2b2cy+3b4=0,
因为b2-3a2≠0,
所以y1+y2=,y1y2=,
由=4得y1=-4y2,
所以-3y2=,-4=,
所以y2=,
代入-4=,得
16c2=27a2-9b2,又b2=c2-a2,
所以16c2=27a2-9c2+9a2,
所以36a2=25c2,所以e2=,
所以e=.
答案:
8.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值是　　　.
【解析】由
消去y得x2-2mx-m2-2=0.
Δ=4m2+4m2+8=8m2+8>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2).
则x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m,
所以线段AB的中点坐标为(m,2m),
又因为点(m,2m)在圆x2+y2=5上,
所以5m2=5,所以m=±1.
答案:±1
【补偿训练】双曲线-=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上,若PF1⊥PF2,则点P到x轴的距离为　　　　.
【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n(m>n),所以a=3,b=4,c=5.
由双曲线的定义知,m-n=2a=6,又PF1⊥PF2.
所以△PF1F2为直角三角形.
即m2+n2=(2c)2=100.
由m-n=6,得m2+n2-2mn=36,
所以2mn=m2+n2-36=64,mn=32.
设点P到x轴的距离为d,
=d|F1F2|=|PF1|·|PF2|,
即d·2c=mn.所以d===3.2,
即点P到x轴的距离为3.2.
答案:3.2
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F且垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.已知||,||,||成等差数列,且与同向.
(1)求双曲线的离心率.
(2)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.
【解析】(1)设OA=m-d,AB=m,OB=m+d,双曲线方程为-=1.
由勾股定理可得(m-d)2+m2=(m+d)2,
得d=m,tan∠AOF=,
tan∠AOB=tan2∠AOF==.
由倍角公式得=,
解得=,则离心率e=.
(2)直线AB的方程为y=-(x-c),与双曲线方程-=1联立消y并将a=2b,c=b代入,
化简有x2-x+21=0.
x1+x2=,x1·x2=,
设交点A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则|AB|=|x1-x2|
==4,
将数值代入,得4=,
解得b=3,故所求的双曲线方程为-=1.
10.已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A,B两点.
(1)若以AB为直径的圆过坐标原点,求实数a的值.
(2)是否存在这样的实数a,使A,B两点关于直线y=x对称 若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由消去y得,
(3-a2)x2-2ax-2=0.　　①
依题意
即-设A(x1,y1),B(x2,y2),
则
因为以AB为直径的圆过原点,所以OA⊥OB.
所以x1x2+y1y2=0,y1y2=a2x1x2+a(x1+x2)+1,
由③④知(a2+1)·+a·+1=0.
解得a=±1且满足②.
所以实数a的值为±1.
(2)假设存在实数a,使A,B关于y=x对称,
则直线y=ax+1与y=x垂直,所以a=-2.
直线l的方程为y=-2x+1.
将a=-2代入③得x1+x2=4.
所以AB中点横坐标为2,
纵坐标为y=-2×2+1=-3.
但AB中点(2,-3)不在直线y=x上.
即不存在实数a,使A,B关于直线y=x对称.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·郑州高二检测)直线y=x与双曲线C:-=1(a>0,b>0)左右两支分别交于M,N两点,F是双曲线C的右焦点,O是坐标原点,若||=||,则双曲线的离心率等于　(　　)
A.+
B.+1
C.+1
D.2
【解析】选B.由题知|MO|=|NO|=|FO|,
所以△MFN为直角三角形,且∠MFN=90°,
取左焦点为F0,连结NF0,MF0,由双曲线的对称性知,四边形NFMF0为平行四边形.
又因为∠MFN=90°,所以四边形NFMF0为矩形,
所以|MN|=|F0F|=2c,
又因为直线MN的倾斜角为60°,即∠NOF=60°,
所以∠NMF=30°,
所以|NF|=|MF0|=c,|MF|=c,
由双曲线定义知|MF|-|MF0|=c-c=2a,
所以e==+1.
【补偿训练】过双曲线M:x2-=1(b>0)的左顶点A作斜率为1的直线l.若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B,C,且B是AC的中点,则双曲线M的离心率为　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.由题意可知A(-1,0),故直线l的方程为y=x+1.两条渐近线方程为y=±bx,由已知联立得B,同理可得C,又B是AC的中点,故2×=0+,解得b=3.故c==.
所以e==.
2.(2016·黄冈高二检测)已知平面上两点M(-5,0)和N(5,0),若直线上存在点P使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“单曲型直线”,下列直线中是“单曲型直线”的是　(　　)
①y=x+1;　
②y=2;　
③y=x;　
④y=2x+1.
A.①③
B.③④
C.②③
D.①②
【解析】选D.因为|PM|-|PN|=6,所以点P在以M,N为焦点的双曲线的右支上,即-=1(x>0).
对于①,联立消y得7x2-18x-153=0,因为Δ=(-18)2-4×7×(-153)>0,所以y=x+1是“单曲型直线”.对于②,联立消y得x2=,所以y=2是“单曲型直线”.
对于③,联立整理得0=1,不成立,所以y=x不是“单曲型直线”.
对于④,联立消y得20x2+36x+153=0,因为Δ=362-4×20×153<0,所以y=2x+1不是“单曲型直线”.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·福州高二检测)设双曲线-=1的右顶点为A,右焦点为F.过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B,则△AFB的面积为　　　　　.
【解题指南】由双曲线的方程可得a,b的值,进而可得c的值,得到A,F两点的坐标.因此可得BF的方程为y=±(x-5),与双曲线的渐近线方程联立,得到点B的坐标,即可算出△AFB的面积.
【解析】根据题意,得a2=9,b2=16,
所以c==5,且A(3,0),F(5,0).
因为双曲线-=1的渐近线方程为y=±x.
所以直线BF的方程为y=±(x-5).
①若直线BF的方程为y=(x-5),
与渐近线y=-x交于点B,
此时S△AFB=|AF|·|yB|=×2×=;
②若直线BF的方程为y=-(x-5),与渐近线y=x交于点B.
此时S△AFB=|AF|·|yB|=×2×=.
因此,△AFB的面积为.
答案:
4.(2016·浙江高考)设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是　　　　.
【解析】由已知a=1,b=,c=2,则e==2,设P(x,y)是双曲线上任意一点,由对称性不妨设P在右支上,则1∠F1PF2为锐角,则|PF1|2+|PF2|2>|F1F2|2即(2x+1)2+(2x-1)2>42,解得x>,
所以答案:(2,8)
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2016·南昌高二检测)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0).如图,B是右顶点,F是右焦点,点A在x轴正半轴上,且满足||,||,||成等比数列,过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l,垂足为P.
(1)求证:·=·.
(2)若l与双曲线C的左右两支分别相交于点E,D,求双曲线离心率e的取值范围.
【解析】(1)双曲线的渐近线为y=±x,F(c,0),
所以直线l的斜率为-,
所以直线l:y=-(x-c).
由得P,
因为||,||,||成等比数列,
所以xA·c=a2,所以xA=,
A,=,=,
=
所以·=-,·=-,
则·=·.
(2)由得,
x2+2cx-=0,
x1x2=,
因为点E,D分别在左右两支上,所以<0,所以b2>a2,所以e2>2,所以e>.
6.(2016·哈尔滨高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率e=,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离是.
(1)求双曲线的方程及渐近线方程.
(2)若直线y=kx+5(k≠0)与双曲线交于不同的两点C,D,且两点都在以A为圆心的同一个圆上,求k的值.
【解析】(1)直线AB的方程为+=1,即bx-ay-ab=0.又原点O到直线AB的距离= ab=c,
由得
所求双曲线方程为-y2=1,
渐近线方程为y=±x.
(2)由(1)可知A(0,-1),设C(x1,y1),D(x2,y2),
由|AC|=|AD|得:
所以3+3+(y1+1)2=3+3+(y2+1)2,
整理得:(y1-y2)[2(y1+y2)+1]=0,
因为k≠0,所以y1≠y2,所以y1+y2=-,
又由
(1-3k2)y2-10y+25-3k2=0,
所以y1+y2==-,得k2=7,
由Δ=100-4(1-3k2)(25-3k2)>0 0【一题多解】
(2)由 (1-3k2)x2-30kx-78=0,
设C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点M(x0,y0),
因为|AC|=|AD|,所以M在CD的中垂线AM上,
因为
lAM:y+1=-x,所以+1=-·,
整理得k2=7,解得k=±.(k2=7满足1-3k2≠0且Δ>0).
关闭Word文档返回原板块
PAGE温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
综合质量评估
第一至第三章
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.“x>3”是“不等式x2-2x>0”的　(　　)
A.充分不必要条件
B.充分必要条件
C.必要不充分条件
D.非充分必要条件
【解析】选A.解不等式x2-2x>0得x<0或x>2,故“x>3”是“不等式x2-2x>0”的充分不必要条件.
2.(2016·临沂高二检测)命题:“ x∈R,都有x2-x+1>0”的否定是　(　　)
A. x∈R,都有x2-x+1≤0
B. x0∈R,使-x0+1>0
C. x0∈R,使-x0+1≤0
D. x0∈R,使x2-x0+1<0
【解析】选C.全称命题的否定是特称命题.
3.函数y=f(x)的图象如图1所示,则y=f′(x)的图象可能是　(　　)
【解析】选D.由函数y=f(x)的图象可知当x<0时,函数单调递增,故f′(x)>0,当x>0时,函数单调递减,故f′(x)<0.
4.(2016·河南南阳高二期末)若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-1时取得极值,则a等于　(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.f′(x)=3x2+2ax+3.由题意知f′(-1)=0,解得a=3.
5.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a的值为　(　　)
A.1
B.
C.-
D.-1
【解析】选A.y′=2ax,于是曲线y=ax2在点(1,a)处切线的斜率为2a,由题意得2a=2,解得a=1.
6.已知点P是双曲线-=1(a>0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|等于　(　　)
A.7
B.6
C.5
D.3
【解题指南】先根据渐近线方程求出a,再根据双曲线的定义求|PF2|.
【解析】选A.由双曲线方程得渐近线方程为3x±ay=0,
则a=2,双曲线中c=,b=3,
由|PF1|=3知P为双曲线左支上一点,
则|PF2|=|PF1|+4=7.
7.椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率
为　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由题意知=,得a2=4b2,
又a>b>0,所以a=2b.
所以双曲线的离心率e===.
【补偿训练】设双曲线-=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为　(　　)
A.
B.5
C.
D.
【解析】选D.设双曲线的渐近线方程为y=kx,这条直线与抛物线y=x2+1相切,联立方程得整理得x2-kx+1=0,则Δ=k2-4=0,解得k=±2,即=2,故双曲线的离心率e====.
8.(2016·青岛高二检测)设函数f(x)=x2-9lnx在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是　(　　)
A.(1,2]
B.[4,+∞)
C.(-∞,2]
D.(0,3]
【解析】选A.f′(x)=x-=(x>0),
令f′(x)≤0得0所以f(x)在(0,3]上单调递减,
所以解得19.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为　(　　)
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
【解析】选B.因为双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,所以F(-6,0)是双曲线的左焦点,即a2+b2=36,又双曲线的一条渐近线方程是y=x,所以=,解得a2=9,b2=27,所以双曲线的方程为-=1.
10.(2016·大连高二检测)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为　(　　)
A.2
B.4
C.6
D.8
【解析】选D.因为△OFM的外接圆与抛物线C:y2=2px(p>0)的准线相切,所以
△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.
因为圆的面积为36π,所以圆的半径为6,
又因为圆心在OF的垂直平分线上,|OF|=,
所以+=6,p=8.
11.(2015·济南二模)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x1处取得极大值,在x2处取得极小值,满足x1∈(-1,0),x2∈(0,1),则的取值范围是　(　　)
A.(0,2)
B.(1,3)
C.[0,3]
D.[1,3]
【解析】选B.因为f(x)=x3+ax2+bx+c,
所以f′(x)=x2+ax+b.
因为函数f(x)在区间(-1,0)内取得极大值,在区间(0,1)内取得极小值,
所以f′(x)=x2+ax+b=0在(-1,0)和(0,1)内各有一个根,
f′(0)<0,f′(-1)>0,f′(1)>0,
即
在aOb坐标系中画出其表示的区域,如图,
=1+2×,
令m=,其几何意义为区域中任意一点与点(-2,-1)连线的斜率,
分析可得0<<1,
则1<<3,
所以的取值范围是(1,3).
12.(2016·厦门模拟)若点O和点F(-2,0)分别是双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围为　(　　)
A.[3-2,+∞)
B.[3+2,+∞)
C.
D.
【解析】选B.因为F(-2,0)是已知双曲线的左焦点,所以a2+1=4,即a2=3,所以双曲线方程为-y2=1,设点P(x0,y0)(x0≥),则有-=1(x0≥),解得=-1
(x0≥),因为=(x0+2,y0),=(x0,y0),所以·=x0(x0+2)+=x0(x0+2)+
-1=+2x0-1,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-,因为x0≥,所以当x0=时,·取得最小值×3+2-1=3+2,故·的取值范围是[3+2,+∞).
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.函数f(x)=lnx的图象在点(e,f(e))处的切线方程是　　　　　　　.
【解析】因为f′(x)=,
所以f′(e)=,
又f(e)=1,所以切线方程为y-1=(x-e),
即y=x.
答案:y=x
14.若命题“ x0∈R,a+x0+1<0”是假命题,则a的取值范围是　　　　.
【解析】因为 x0∈R,a+x0+1<0是假命题,
所以 x∈R,ax2+x+1≥0恒成立,
当a=0时,1≥0,命题成立.
当a≠0时,
即
所以a≥,
所以a的取值范围为a≥或a=0.
答案:a≥或a=0
15.(2016·临沂高二检测)若直线y=kx是y=f(x)=lnx的一条切线,则k=　　　　.
【解析】设切点坐标为(x0,y0).
因为y=lnx,所以y′=.
所以f′(x0)==k.
因为点(x0,y0)既在直线y=kx上,
也在曲线y=lnx上,
所以
把k=代入①式得y0=1,
再把y0=1代入②式求出x0=e.
所以k==.
答案:
16.(2016·北京高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a=　　　　,b=　　　　.
【解题指南】焦点在x轴的双曲线的渐近线为y=±x,焦点(±c,0).
【解析】因为渐近线方程y=-2x,所以=2①.焦点(,0),所以c=.所以a2+b2=c2=5②.由①②联立解得a=1,b=2.
答案:1　2
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2016·西安高二检测)命题p:关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立,q:函数f(x)=(3-2a)x是增函数,若p或q为真,p且q为假,求实数a的取值范围.
【解析】设g(x)=x2+2ax+4,若p真,
由于关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒成立,
所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点,
故Δ=4a2-16<0,
所以-2若q真,即函数f(x)=(3-2a)x是增函数,
则3-2a>1,所以a<1.
又由于p或q为真,p且q为假,所以p和q一真一假,
(1)若p真q假,则
所以1≤a<2.
(2)若p假q真,
则
所以a≤-2.
综上可知,所求实数a的取值范围为(-∞,-2]∪[1,2).
【补偿训练】已知p:f(x)=x+在区间
[1,+∞)上是增函数;q:f(x)=x3+ax2+3x+1在R上有极值.若“p∨q”为真,求实数a的取值范围.
【解析】若p真,f′(x)=1-.
因为f(x)=x+在区间[1,+∞)上是增函数,
则f′(x)=1-≥0在[1,+∞)上恒成立,
即a≤x2在[1,+∞)上恒成立,
所以a≤(x2)min,所以a≤1.
p:A={a|a≤1}.
若q真,f′(x)=3x2+2ax+3.
要使得f(x)=x3+ax2+3x+1在R上有极值,
则f′(x)=3x2+2ax+3=0有两个不相等的实数解,
Δ=4a2-4×3×3>0,解得a<-3或a>3.
q:B={a|a<-3或a>3}.
因为“p∨q”为真,所以A∪B={a|a≤1或a>3}.
所以所求实数a的取值范围为(-∞,1]∪(3,+∞).
18.(12分)(2016·衡水高二检测)已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.
(1)若f(x)的图象有与x轴平行的切线,求b的取值范围.
(2)若f(x)在x=1处取得极值,且x∈[-1,2]时,f(x)【解析】(1)f′(x)=3x2-x+b,f(x)的图象上有与x轴平行的切线,则f′(x)=0有实数解.
即方程3x2-x+b=0有实数解.
所以Δ=1-12b≥0,
解得b≤.
(2)由题意,得x=1是方程3x2-x+b=0的一个根,
设另一个根为x0,则
解得
所以f(x)=x3-x2-2x+c,
f′(x)=3x2-x-2.
当x∈时,f′(x)<0;
当x∈(1,2]∪时,f′(x)>0.
所以当x=-时,f(x)有极大值+c,
又f(-1)=+c,f(2)=2+c,
所以当x∈[-1,2]时,f(x)的最大值为f(2)=2+c.
因为当x∈[-1,2]时,f(x)所以c2>2+c,解得c<-1或c>2,
所以c的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞).
19.(12分)已知椭圆的两焦点为F1(-,0),F2(,0),离心率e=.
(1)求此椭圆的方程.
(2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值.
【解析】(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),
则c=,=,
所以a=2,b2=a2-c2=1.
所以所求椭圆方程为+y2=1.
(2)由消去y,
得5x2+8mx+4(m2-1)=0,
则Δ=64m2-80(m2-1)>0,得m2<5(
).
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=,
y1-y2=x1-x2,
|PQ|=
==2.
解得m2=,满足(
),
所以m=±.
20.(12分)已知函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b(a>0).
(1)当f(x)的极小值为-,极大值为-1时,求函数f(x)的解析式.
(2)若f(x)在区间[1,2]上为增函数,在区间[6,+∞)上为减函数,求实数a的取值范围.
【解析】(1)f′(x)=-x2+4ax-3a2=-(x-a)(x-3a),
令f′(x)≥0,得a≤x≤3a,
令f′(x)≤0,得x≥3a或x≤a,
所以f(x)在(-∞,a]上是减函数,在[a,3a]上是增函数,
在[3a,+∞)上是减函数,
所以f(x)在x=a处取得极小值,在x=3a处取得极大值.
由已知有
即
解得
所以函数f(x)的解析式为f(x)=-x3+2x2-3x-1.
(2)由(1)知f(x)在(-∞,a]上是减函数,在[a,3a]上是增函数,在[3a,+∞)上是减函数,
所以要使f(x)在区间[1,2]上为增函数,在区间[6,+∞)上是减函数,
则必须有
解得实数a的取值范围为.
21.(12分)(2016·南阳高二检测)如图,已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2)两点,T为抛物线的准线与x轴的交点.
(1)若·=1,求直线l的斜率.
(2)求∠ATF的最大值.
【解析】(1)由题意得F(1,0),T(-1,0),
当直线l与x轴垂直时,A(1,2),B(1,-2),
此时·=(2,2)·(2,-2)=0,这与·=1矛盾.
故直线l与x轴不垂直.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
直线l的方程为y=k(x-1).　①
将①代入y2=4x整理得
k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
所以x1+x2=,x1x2=1.
所以y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-4,
所以·=(x1+1,y1)·(x2+1,y2)
=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2
=1++1-4==1.
解得k=±2.
(2)因为y1>0,
所以tan∠ATF===≤1.
当且仅当y1=
即y1=2时取等号.
故∠ATF的最大值为.
22.(12分)已知函数f(x)=-x3+x2-2x(a∈R).
(1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间.
(2)若对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,求实数a的取值范围.
【解析】(1)当a=3时,
函数f(x)=-x3+x2-2x,
得f′(x)=-x2+3x-2=-(x-1)(x-2).
所以当10,函数f(x)单调递增;
当x<1或x>2时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
所以函数f(x)的单调递增区间为(1,2),
单调递减区间为(-∞,1)和(2,+∞).
(2)由f(x)=-x3+x2-2x,
得f′(x)=-x2+ax-2,
因为对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)<2(a-1)成立,所以问题转化为对于任意x∈[1,+∞)都有f′(x)max<2(a-1).
因为f′(x)=-+-2,其图象开口向下,对称轴为x=.
①当≤1即a≤2时,f′(x)在[1,+∞)上单调递减,
所以f′(x)max=f′(1)=a-3,
由a-3<2(a-1),得a>-1,此时-1②当>1即a>2时,
f′(x)在上单调减增,
在上单调递减,
所以f′(x)max=f′=-2,
由-2<2(a-1),
得0综上可得,实数a的取值范围为(-1,8).
关闭Word文档返回原板块
PAGE温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业
二十一
导数的运算法则
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.关于x的函数f(x)=cosx+sina,则f′(0)等于　(　　)
A.0
B.-1
C.1
D.±1
【解析】选A.f′(x)=-sinx,f′(0)=0.
2.(2016·临沂高二检测)若曲线f(x)=xsinx+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直,则实数a等于　(　　)
A.-2
B.-1
C.1
D.2
【解析】选D.f′(x)=sinx+xcosx,f′=1,
由题意得-=-1,
即a=2.
3.(2016·德州高二检测)函数y=(a>0)在x=x0处的导数为0,那么x0等
于　(　　)
A.a
B.±a
C.-a
D.a2
【解析】选B.y′=
==.
由=0,得x0=±a.
4.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点(1,3),则b的值为　(　　)
A.3
B.-3
C.5
D.-5
【解析】选A.由点(1,3)在直线y=kx+1上,得k=2,
由点(1,3)在曲线y=x3+ax+b上,得1+a+b=3,
即a+b=2,
y′=3x2+a,
由题意得3×12+a=2.
所以a=-1.
所以b=3.
5.(2016·武汉高二检测)正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是　(　　)
A.∪
B.[0,π)
C.
D.∪
【解析】选A.因为(sinx)′=cosx,
因为kl=cosx,所以-1≤kl≤1,
所以αl∈∪.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·滨州高二检测)在曲线y=上求一点P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°,则P点坐标为　　　　.
【解析】设点P(x0,y0),y′=′=(4x-2)′=-8x-3,
所以tan135°=-1=-8,
所以x0=2.所以y0=1.所以P点坐标为(2,1).
答案:(2,1)
7.(2016·天津高考)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(0)的值为　　　　.
【解题指南】求出f′(x),代入x=0即可.
【解析】因为f′(x)=(2x+3)ex,所以f′(0)=3.
答案:3
8.曲线y=xlnx在点(e,e)处的切线方程为　　　　.
【解析】因为y′=lnx+1,y′=2,
所以切线方程为y-e=2(x-e),即2x-y-e=0.
答案:2x-y-e=0
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx过点(1,5),其导函数y=f′(x)的图象如图所示,求f(x)的解析式.
【解题指南】本题主要考查利用导数求解参数问题,观察y=f′(x)的图象可知y=f′(x)过点(1,0),(2,0),即f′(1)=0,f′(2)=0.
【解析】f′(x)=3ax2+2bx+c,
又f′(1)=0,f′(2)=0,f(1)=5,故
解得a=2,b=-9,c=12.
故f(x)的解析式是f(x)=2x3-9x2+12x.
10.已知函数f(x)=的图象在点M(-1,f(-1))处的切线的方程为x+2y+5=0,求函数的解析式.
【解析】由于(-1,f(-1))在切线上,
所以-1+2f(-1)+5=0,所以f(-1)=-2.
因为f′(x)=,
所以
解得a=2,b=3(因为b+1≠0,所以b=-1舍去).
故f(x)=.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·临沂高二检测)已知函数f(x)=x3+(b-|a|)x2+(a2-4b)x是奇函数,则
f′(0)的最小值是　(　　)
A.-4
B.0
C.1
D.4
【解析】选A.由f(x)是奇函数,
得b-|a|=0,即b=|a|,
所以f(x)=x3+(b2-4b)x(b≥0),
f′(x)=3x2+(b2-4b),f′(0)=b2-4b=(b-2)2-4,
当b=2时,f′(0)取最小值-4.
2.(2016·广州高二检测)已知f(x)=x2+cosx,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(x)的大致图象是　(　　)
【解析】选A.因为f(x)=x2+cosx,所以f′(x)=-sinx.又因为f′(-x)=
-sin(-x)=-=-f′(x),
故f′(x)为奇函数,故函数f′(x)的图象关于原点对称,排除B、D,又因为
f′=×-sin=-<0,排除C.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=　　　　　.
【解析】y′=1+,则曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线斜率为k=f′(1)=1+1=2,故切线方程为y=2x-1.因为y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,联立得ax2+ax+2=0,显然a≠0,所以由Δ=a2-8a=0 a=8.
答案:8
【补偿训练】若f(x)=(2x+a)2,且f′(2)=20,则a=　　　　.
【解析】f(x)=(2x+a)2=4x2+4ax+a2,f′(x)=8x+4a,
所以f′(2)=16+4a=20,所以a=1.
答案:1
4.(2015·太原高二检测)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=
2xf′(e)+lnx则f′(e)=　　　　.
【解析】因为f(x)=2xf′(e)+lnx,
所以f′(x)=2f′(e)+,所以f′(e)=2f′(e)+,
解得f′(e)=-.
答案:-
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2016·烟台高二检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+3(a≠0),其导函数
f′(x)=2x-8.
(1)求a,b的值.
(2)设函数g(x)=exsinx+f(x),求曲线g(x)在x=0处的切线方程.
【解析】(1)因为f(x)=ax2+bx+3(a≠0),
所以f′(x)=2ax+b,
又知f′(x)=2x-8,
所以a=1,b=-8.
(2)由(1)可知g(x)=exsinx+x2-8x+3,
所以g′(x)=exsinx+excosx+2x-8,
所以g′(0)=e0sin0+e0cos0+2×0-8=-7,
又知g(0)=3.
所以曲线g(x)在x=0处的切线方程为y-3=-7(x-0),
即7x+y-3=0.
6.(2016·重庆高二检测)设f(x)=x3+ax2+bx+1的导数f′(x)满足f′(1)=2a,
f′(2)=-b,其中常数a,b∈R.求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
【解题指南】求出导函数,根据f′(1)=2a,f′(2)=-b求出a,b,最后将x=1分别代入原函数及导函数求出f(1)及切线斜率.
【解析】因为f(x)=x3+ax2+bx+1,所以f′(x)=3x2+2ax+b.
令x=1,得f′(1)=3+2a+b,又f′(1)=2a,
因此3+2a+b=2a,解得b=-3.
又令x=2,得f′(2)=12+4a+b,
又f′(2)=-b,因此12+4a+b=-b,解得a=-.
因此f(x)=x3-x2-3x+1,从而f(1)=-.
又f′(1)=2×=-3,
故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-=-3(x-1),即6x+2y-1=0.
关闭Word文档返回原板块
PAGE温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业
二
四
种
命
题
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2016·泉州高二检测)已知命题p:垂直于平面α内无数条直线的直线l垂直于平面α,q是p的否命题,下面结论正确的是　(　　)
A.p真,q真
B.p假,q假
C.p真,q假
D.p假,q真
【解析】选D.当平面α内的直线相互平行时,l不一定垂直于平面α.故p为假命题.
易知p的否命题q:若直线l不垂直于平面α内无数条直线,则l不垂直于平面α.易知q为真命题.
2.命题“若A∩B=A,则A B”的逆否命题是　(　　)
A.若A∪B≠A,则A B
B.若A∩B≠A,则A B
C.若A B,则A∩B≠A
D.若A B,则A∩B≠A
【解析】选C.命题:“若A∩B=A,则A B”的逆否命题是:若A B,则A∩B≠A.故C正确.
3.(2016·宝鸡高二检测)有下列四个命题:
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;
②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题;
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题;
其中真命题为　(　　)
A.①②　
B.②③
C.①③
D.③④
【解析】选C.①逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”是真命题;②的否命题为“不全等的三角形面积不等”为假命题;③当q≤1时,Δ=4-4q≥0,方程有实根,为真命题,故逆否命题为真命题;④逆命题为“若三角形三内角相等,则三角形是不等边三角形”为假命题.
【补偿训练】下列有关命题的说法正确的是　(　　)
A.“若x>1,则2x>1”的否命题为真命题
B.“若cosβ=1,则sinβ=0”的逆命题是真命题
C.“若平面向量a,b共线,则a,b方向相同”的逆否命题为假命题
D.命题“若x>1,则x>a”的逆命题为真命题,则a>0
【解析】选C.A中,2x≤1时,x≤0,从而否命题“若x≤1,则2x≤1”为假命题,故A不正确;B中,sinβ=0时,cosβ=±1,则逆命题为假命题,故B不正确;D中,由已知条件得a的取值范围为[1,+∞),故D不正确.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.“已知a∈U(U为全集),若a A,则a∈A”的逆命题是　　　　,它是
　　　　(填“真”或“假”)命题.
【解析】“已知a∈U(U为全集)”是大前提,条件是“a A”,结论是“a∈A”,所以原命题的逆命题为“已知a∈U(U为全集),若a∈A,则a A”.它为真命题.
答案:已知a∈U(U为全集),若a∈A,则a A　真
【误区警示】改写逆命题时,易漏大前提
5.命题p:“若=b,则a,b,c成等比数列”,则命题p的否命题是　　　　(填“真”或“假”)命题.
【解析】命题p的否命题是“若≠b,则a,b,c不成等比数列”,是假命题,如a=c=1,b=-1满足≠b,但a,b,c成等比数列.
答案:假
三、解答题
6.(10分)(教材P6练习1改编)写出命题“末位数字是偶数的整数能被2整除”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断真假.
【解析】因为原命题是:“若一个整数的末位数字是偶数,则它能被2整除”.
所以逆命题:若一个整数能被2整除,则它的末位数字是偶数,真命题.
否命题:若一个整数的末位数字不是偶数,则它不能被2整除,真命题.
逆否命题:若一个整数不能被2整除,则它的末位数字不是偶数,真命题.
【补偿训练】已知命题p:“若ac≥0,则二次方程ax2+bx+c=0没有实根”.
(1)写出命题p的否命题.
(2)判断命题p的否命题的真假,并证明你的结论.
【解题指南】(1)根据命题“若p,则q”的否命题是“若p,则q”即可写出命题p的否命题.(2)根据二次方程有实根的条件,即可判断命题的真假.
【解析】(1)命题p的否命题为:“若ac<0,则二次方程ax2+bx+c=0有实根”.
(2)命题p的否命题是真命题.
证明:因为ac<0 -ac>0 Δ=b2-4ac>0 二次方程ax2+bx+c=0有实根,所以该命题是真命题.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.命题“若x≠3且x≠2,则x2-5x+6≠0”的否命题是　(　　)
A.若x=3且x=2,则x2-5x+6=0　　
B.若x≠3且x≠2,则x2-5x+6=0
C.若x=3或x=2,则x2-5x+6=0　　
D.若x=3或x=2,则x2-5x+6≠0
【解题指南】“若x≠3且x≠2”是同时不成立的意思,否定时要改成不同时不成立,即至少一个成立.
【解析】选C.命题的否命题需将条件和结论分别否定,x≠3且x≠2的否定是x=3或x=2,因此该命题的否命题为“若x=3或x=2,则x2-5x+6=0”.
【补偿训练】命题“若a>b,则a-1>b-1”的否命题是　(　　)
A.若a>b,则a-1≤b-1
B.若a≥b,则a-1C.若a≤b,则a-1≤b-1
D.若a【解析】选C.命题的否命题是将条件和结论分别否定,对a>b的否定为a≤b,对a-1>b-1的否定为a-1≤b-1,所以命题的否命题为“若a≤b,则a-1≤b-1”.
2.(2016·郴州高二检测)“若x2-3x+2=0,则x=2”为原命题,则它的逆命题、否命题与逆否命题中真命题的个数是　(　　)
A.1
B.2
C.3
D.0
【解析】选B.逆命题是“若x=2,则x2-3x+2=0”,为真命题;否命题是“若x2-3x+2≠0,则x≠2”为真命题;逆否命题是“若x≠2,则x2-3x+2≠0”,因为x=1时,x2-3x+2=0,所以为假命题;所以真命题的个数为2.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.“若a>b,则2a>2b”的逆否命题为　　　　.
【解析】原命题:“若p,则q”的逆否命题为:“若q,则p”.所以“若a>b,则2a>2b”的逆否命题为“若2a≤2b,则a≤b”.
答案:若2a≤2b,则a≤b
4.命题“若实数a满足a≤3,则a2<9”的否命题是　　　　(填“真”或“假”)命题.
【解析】命题“若实数a满足a≤3,则a2<9”的否命题是“若实数a满足a>3,则a2≥9”,命题是真命题.
答案:真
三、解答题
5.(10分)(2016·合肥高二检测)设M是一个命题,它的结论是q:x1,x2是方程x2+2x-3=0的两个根,M的逆否命题的结论是p:x1+x2≠-2或x1x2≠-3.
(1)写出M.
(2)写出M的逆命题、否命题、逆否命题.
【解题指南】把逆否命题的结论否定即可得到原命题的条件.
【解析】(1)设命题M表述为:若p,则q,那么由题意知其中的结论q为:x1,x2是方程x2+2x-3=0的两个根.而条件p的否定形式p为:x1+x2≠-2或x1x2≠-3,故p的否定形式即p为:x1+x2=-2且x1x2=-3.所以命题M为:若x1+x2=-2且x1x2=-3,则x1,x2是方程x2+2x-3=0的两个根.
(2)M的逆命题为:若x1,x2是方程x2+2x-3=0的两个根,则x1+x2=-2且x1x2=-3.
逆否命题为:若x1,x2不是方程x2+2x-3=0的两个根,则x1+x2≠-2或x1x2≠-3.
否命题为:若x1+x2≠-2或x1x2≠-3,则x1,x2不是方程x2+2x-3=0的两个根.
关闭Word文档返回原板块
PAGE温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
单元质量评估(二)
第二章
(120分钟　150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则k应满足的条件是　(　　)
A.k>3
B.2C.k=2
D.0【解析】选C.
k>0,=,所以k=2.
2.(2016·菏泽高二检测)若双曲线的顶点为椭圆x2+=1长轴的端点,且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1,则双曲线的方程为　(　　)
A.x2-y2=1
B.y2-x2=1
C.x2-y2=2
D.y2-x2=2
【解析】选D.由题意设双曲线方程为-=1,离心率为e,椭圆x2+=1长轴端点为(0,),所以a=,又椭圆的离心率为,所以双曲线的离心率为,所以c=2,b=,则双曲线的方程为y2-x2=2.
3.(2016·浙江高考)已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则　(　　)
A.m>n且e1e2>1
B.m>n且e1e2<1
C.m1
D.m【解题指南】根据椭圆与双曲线离心率的定义求解,注意a2,b2与c2的关系.
【解析】选A.由题意知m2-1=n2+1,即m2=n2+2,(e1e2)2=·=
,因为m2=n2+2,m>1,n>0,所以m>n,(e1e2)2>1,所以e1e2>1.
4.(2016·潍坊高二检测)设椭圆+=1(m>0,n>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同,离心率为,则此椭圆的方程为　(　　)
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
【解析】选B.因为y2=8x的焦点为(2,0),
所以+=1的右焦点为(2,0),所以m>n且c=2.
又e==,所以m=4.
因为c2=m2-n2=4,所以n2=12.
所以椭圆方程为+=1.
【补偿训练】(2016·成都高二检测)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点,MN中点的横坐标为-,则此双曲线的方程是　(　　)
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
【解题指南】先根据题意设出双曲线的方程-=1,然后与直线方程联立方程组,消元得二元一次方程,根据根与系数的关系及MN中点的横坐标建立a,b的一个方程,又双曲线中有c2=a2+b2,则另得a,b的一个方程,最后解a,b的方程组即得双曲线方程.
【解析】选B.设双曲线方程为-=1,
将y=x-1代入-=1,
整理得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0,
由根与系数的关系得x1+x2=,
则==-.
又c2=a2+b2=7,解得a2=2,b2=5,
所以双曲线的方程为-=1.
5.P是长轴在x轴上的椭圆+=1上的点,F1,F2分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为c,则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差一定是　(　　)
A.1
B.a2
C.b2
D.c2
【解析】选D.由椭圆的几何性质得
|PF1|∈[a-c,a+c],
|PF1|+|PF2|=2a,
所以|PF1|·|PF2|≤=a2,
当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号.
|PF1|·|PF2|=|PF1|(2a-|PF1|)
=-|PF1|2+2a|PF1|=-(|PF1|-a)2+a2
≥-c2+a2=b2,
所以|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差为a2-b2=c2.
6.(2016·天津高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,
△AOB的面积为,则p=　(　　)
A.1
B.
C.2
D.3
【解析】选C.因为e=2,所以b2=3a2,双曲线的两条渐近线方程为y=±x,不妨设A=,B,则AB=p,又三角形的高为,则S△AOB=××p=,即p2=4,又因为p>0,所以p=2.
7.(2016·东营高二检测)已知点P是抛物线y2=-8x上一点,设点P到此抛物线准线的距离是d1,到直线x+y-10=0的距离是d2,则d1+d2的最小值是　(　　)
A.
B.2
C.6
D.3
【解析】选C.抛物线y2=-8x的焦点F(-2,0),根据抛物线的定义知,d1+d2=|PF|+d2,显然当由点F向直线x+y-10=0作垂线与抛物线的交点为P时,d1+d2取到最小值,即=6.
8.若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两个不同的点,且AB的中点的横坐标为2,则k等于　(　　)
A.2或-1
B.-1
C.2
D.1±
【解析】选C.由消去y得,
k2x2-4(k+2)x+4=0,
故Δ=[-4(k+2)]2-4k2×4=64(1+k)>0,
解得k>-1,由x1+x2==4,
解得k=-1或k=2,又因为k>-1,故k=2.
【易错警示】本题易忽略Δ>0而错选A.
9.(2016·邯郸高二检测)设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为　(　　)
A.y=±x
B.y=±x
C.y=±x
D.y=±2x
【解析】选A.由题意得解得
所以a==,
因此双曲线的方程为-y2=1,
所以渐近线方程为y=±x.
10.(2015·福建高考)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.不妨设左焦点为F2,连接AF2,BF2,由椭圆的对称性可知四边形AFBF2的对角线互相平分,所以四边形AFBF2为平行四边形,所以+=+=2a=4,所以a=2,设M(0,b),所以d=b≥ b≥1,所以e==≤=,
又e∈(0,1),所以e∈.
11.(2016·哈尔滨高二检测)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的标准方程
为　(　　)
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
【解析】选D.设A点坐标为(x1,y1),
B点坐标为(x2,y2),
所以两式相减得,=,
即=,
因为x1+x2=2,y1+y2=-2,所以k==,
又因为k==,所以=,
又因为c2=a2-b2=2b2-b2=b2,c2=9,
所以b2=9,a2=18,
即E的标准方程为+=1.
12.(2016·宝鸡高二检测)设抛物线C:y2=3px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点A(0,2),则C的方程为　(　　)
A.y2=4x或y2=8x
B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x
D.y2=2x或y2=16x
【解析】选C.由已知得F,A(0,2),M,
因为AF⊥AM,所以kAF·kAM=-1,
即×=-1,
所以-8y0+16=0,所以y0=4,所以M,
因为|MF|=5,所以5=,
所以=9.
所以-=3或-=-3,
所以9p2-36p-64=0,①
或9p2+36p-64=0,②
由①得p=-(舍),p=.
由②得p=,p=-,
所以C的方程为y2=4x或y2=16x.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.椭圆mx2+ny2=1与直线l:x+y=1交于M,N两点,过原点与线段MN中点的直线斜率为,则=　　　　.
【解析】设M(x1,y1),N(x2,y2),
所以m+n=1　①
m+n=1　②
又因为=-1,所以①-②得:m=n·,
因为==,
所以m=n,所以=.
答案:
14.直线y=kx+1(k∈R)与椭圆+=1恒有公共点,则m的取值范围为　　　　.
【解析】将y=kx+1代入椭圆方程,消去y并整理,得(m+5k2)x2+10kx+5-5m=0.
由m>0,5k2≥0,知m+5k2>0,故
Δ=100k2-4(m+5k2)(5-5m)≥0对k∈R恒成立.
即5k2≥1-m对k∈R恒成立,故
1-m≤0,所以m≥1.
又因为m≠5,所以m的取值范围是m≥1且m≠5.
答案:m≥1且m≠5
【易错警示】本题易忽略隐含条件m≠5而出错.
15.(2015·山东高考)过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P,若点P的横坐标为2a,则C的离心率为　　　　　.
【解题指南】本题是双曲线性质的综合应用,应从焦点和渐近线出发构造a,b,c的关系,进而求出离心率e.
【解析】将y=(x-c)代入-=1消去y得-=1,因为xP=2a所以-=1,
化简得3a2=(2a-c)2,即a=c-2a,
所以e=2+.
答案:2+
【补偿训练】(2016·济宁高二检测)已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的取值范围
为　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.由PF1⊥PF2,知△F1PF2是直角三角形,
所以|OP|=c≥b,即c2≥a2-c2,所以a≤c,
因为e=,016.(2015·浙江高考)椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是　　　　　.
【解题指南】利用已知条件求出点Q的坐标,从而求出a,b,c的关系.
【解析】设F(c,0)关于直线y=x的对称点为Q(m,n),则有解得m=,n=,所以Q在椭圆上,即有+=1,解得a2=2c2,所以离心率e==.
答案:
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线-=1的一个焦点,并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直,抛物线与双曲线交点为P,求抛物线方程和双曲线方程.
【解析】依题意,设抛物线方程为y2=2px(p>0),
因为点在抛物线上,所以6=2p×,
所以p=2,所以所求抛物线方程为y2=4x.
因为双曲线左焦点在抛物线的准线x=-1上,
所以c=1,即a2+b2=1,
又点在双曲线上,所以-=1,
由
解得a2=,b2=.
所以所求双曲线方程为4x2-y2=1.
【补偿训练】若已知椭圆+=1与双曲线x2-=1有相同的焦点,又椭圆与双曲线交于点P,求椭圆及双曲线的方程.
【解析】由椭圆与双曲线有相同的焦点得
10-m=1+b,即m=9-b,①
又因为点P在椭圆、双曲线上,所以
y2=m,②
y2=.③
解由①②③组成的方程组得m=1,b=8,
所以椭圆方程为+y2=1,双曲线方程为x2-=1.
18.(12分)求以直线x+2y=0为渐近线,且截直线x-y-3=0所得弦长为的双曲线的标准方程.
【解析】由于双曲线的渐近线方程为x+2y=0,故可设双曲线方程为x2-4y2=λ(λ≠0).
设直线x-y-3=0与双曲线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).
联立方程组消去y,
整理得3x2-24x+36+λ=0.
由Δ=(-24)2-3×4(36+λ)>0,解得λ<12.
由根与系数关系可得
代入弦长公式中,
|AB|=|x1-x2|=·
=·=,
于是=,解得λ=4(与λ<12符合).
故所求的双曲线的标准方程为-y2=1.
19.(12分)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1(1)求该抛物线的方程.
(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若=+λ,求λ的值.
【解析】(1)直线AB的方程是y=2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=,由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,
所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x.
(2)由p=4,方程4x2-5px+p2=0可化为x2-5x+4=0,
从而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,
从而A(1,-2),B(4,4).
设=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)
=(4λ+1,4λ-2),
又=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),
即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.
20.(12分)已知点P(3,4)是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,F1,F2为椭圆的两焦点,若PF1⊥PF2,试求:
(1)椭圆的方程.
(2)△PF1F2的面积.
【解析】(1)令F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),
则b2=a2-c2.因为PF1⊥PF2,
所以·=-1,即·=-1,
解得c=5,所以设椭圆方程为+=1.
因为点P(3,4)在椭圆上,所以+=1.
解得a2=45或a2=5.
又因为a>c,所以a2=5(舍去).
故所求椭圆方程为+=1.
(2)由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6,①
又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,②
①2-②得2|PF1|·|PF2|=80,
所以=|PF1|·|PF2|=20.
【补偿训练】已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于 若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
【解析】(1)将(1,-2)代入y2=2px,
得(-2)2=2p·1,所以p=2.
故所求的抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.
(2)假设存在符合题意的直线l,
其方程为y=-2x+t.
由得y2+2y-2t=0.
因为直线l与抛物线C有公共点,
所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.
另一方面,由直线OA到l的距离d=,
可得=,解得t=±1.
因为-1 ,1∈,
所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.
21.(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点,离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M,若=m,=n,求m+n的值.
【解析】(1)设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0).
抛物线方程可化为x2=4y,其焦点为(0,1),
则椭圆C的一个顶点为(0,1),即b=1.
由e===.
得a2=5,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)易求出椭圆C的右焦点F(2,0),
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0),显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-2),
代入方程+y2=1,
得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0.
所以x1+x2=,x1x2=.
又=(x1,y1-y0),=(x2,y2-y0),
=(x1-2,y1),=(x2-2,y2).
因为=m,=n,
所以m=,n=,
所以m+n=,
又2x1x2-2(x1+x2)=
=-,
4-2(x1+x2)+x1x2
=4-+=,
所以m+n=10.
22.(12分)(2016·北京高考)已知椭圆C:+=1过A(2,0),B(0,1)两点.
(1)求椭圆C的方程及离心率.
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.
【解题指南】(1)把A,B两点代入可求得a,b.
(2)设P(x0,y0),表示出直线AP,BP方程,求出点M,N坐标,表示出面积.再利用点P在椭圆上化简整理为定值.
【解析】(1)把A(2,0),B(0,1)分别代入椭圆方程得a=2,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.
因为c==,
所以离心率e==.
(2)设P(x0,y0),其中x0<0,y0<0.
则直线AP方程为y=(x-2),直线BP方程为y=x+1.
所以M,N.
所以|AN|=2+,|BM|=+1.
所以四边形ABNM的面积为S=|AN||BM|=
=××=
=.
因为点P在椭圆C上,所以=4-4.代入上式得
S
=
==2.
因此,四边形ABNM的面积为定值2.
关闭Word文档返回原板块温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业
二十四
函数的最大(小)值与导数
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·临沂高二检测)函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是　(　　)
A.5,-15
B.5,4
C.-4,-15
D.5,-16
【解析】选A.y′=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1),
令y′=0,得x=2或x=-1(舍).
因为f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,
所以ymax=5,ymin=-15.
【补偿训练】函数y=在区间上的最小值为　(　　)
A.2
B.e2
C.
D.e
【解析】选D.y′=,令y′=0,得x=1,
故f(x)min=f(1)=e.
2.(2016·德州高二检测)已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且f′(x)A.f(a)-g(a)
B.f(b)-g(b)
C.f(a)-g(b)
D.f(b)-g(a)
【解析】选A.[f(x)-g(x)]′=f′(x)-g′(x)<0,所以函数f(x)-g(x)在[a,b]上单调递减,所以f(x)-g(x)的最大值为f(a)-g(a).
3.(2016·长春高二检测)若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围
是　(　　)
A.(-∞,+∞)
B.(-2,+∞)
C.(0,+∞)
D.(-1,+∞)
【解析】选D.因为2x(x-a)<1,所以a>x-.
令f(x)=x-,所以f′(x)=1+2-xln2>0.
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)>f(0)=0-1=-1,
所以a的取值范围为(-1,+∞).
4.(2016·安庆高二检测)已知函数f(x)=-x3+2ax2+3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5,则在函数f(x)图象上的点(1,f(1))处的切线方程是　(　　)
A.3x-15y+4=0
B.15x-3y-2=0
C.15x-3y+2=0
D.3x-y+1=0
【解题指南】首先由导函数的最大值可以求出a值,再求切线方程.
【解析】选B.因为f(x)=-x3+2ax2+3x,
所以f′(x)=-2x2+4ax+3=-2(x-a)2+2a2+3,
因为导数f′(x)的最大值为5,
所以2a2+3=5,因为a>0,所以a=1,
所以f′(1)=5,f(1)=,
所以在函数f(x)图象上的点(1,f(1))处的切线方程是y-=5(x-1),即15x-3y-2=0.
5.(2016·潍坊高二检测)已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是　(　　)
A.-37
B.-29
C.-5
D.以上都不对
【解题指南】先根据最大值求出m,再求出f(x)在[-2,2]上的最小值.
【解析】选A.因为f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),
因为f(x)在[-2,0]上为增函数,
在[0,2]上为减函数,
所以当x=0时,f(x)=m最大.
所以m=3,从而f(-2)=-37,f(2)=-5.
所以最小值为-37.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.当x∈[-1,1]时,函数f(x)=的值域为　　　　.
【解析】f′(x)==,
令f′(x)=0,得x1=0,x2=2(舍去)
当x∈[-1,0)时,f′(x)<0;当x∈(0,1]时,f′(x)>0,
所以当x=0时,f(x)取极小值f(0)=0,也是最小值;
而f(-1)=e,f(1)=,
所以f(x)的最大值为f(-1)=e.
所以f(x)的值域为[0,e].
答案:[0,e]
7.(2016·洛阳高二检测)函数f(x)=(x∈[-2,2])的最大值是　　　　,最小值是　　　　.
【解析】因为f′(x)==,
令f′(x)=0,得x=1或x=-1.
又因为f(1)=2,f(-1)=-2,f(2)=,f(-2)=-,
所以f(x)在[-2,2]上的最大值为2,最小值为-2.
答案:2　-2
8.若函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为　　　　.
【解析】f′(x)==,当x>时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当-0,f(x)单调递增;当x=时,f(x)==,解得=<1,不合题意,
所以f(x)max=f(1)==,所以a=-1.
答案:-1
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2016·宁波高二检测)设函数f(x)=exsinx.
(1)求函数f(x)的单调递增区间.
(2)当x∈[0,π]时,求函数f(x)的最大值和最小值.
【解析】(1)f′(x)=ex(sinx+cosx)
=exsin.
f′(x)≥0,所以sin≥0,
所以2kπ≤x+≤2kπ+π,k∈Z,
即2kπ-≤x≤2kπ+π,k∈Z.
f(x)的单调增区间为,k∈Z.
(2)由(1)知当x∈[0,π]时,
是单调增区间,是单调减区间.
f(0)=0,f(π)=0,f=,
所以f(x)max=f=,
f(x)min=f(0)=f(π)=0.
10.(2015·全国卷Ⅱ)已知f(x)=lnx+a(1-x).
(1)讨论f(x)的单调性.
(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.
【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-a.
若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
若a>0,则当x∈时,f′(x)>0;
x∈时,f′(x)<0,
所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;
当a>0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln+a=-lna+a-1.
因此f>2a-2等价于lna+a-1<0,
令g(a)=lna+a-1,
则g(a)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0.
于是,当01时,g(a)>0.
因此,a的取值范围是(0,1).
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·长沙高二检测)设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时t的值为　(　　)
A.1
B.
C.
D.
【解析】选D.|MN|的最小值,即函数h(x)=x2-lnx的最小值,h′(x)=2x-=,显然x=是函数h(x)在其定义域内惟一的极小值点,也是最小值点,故t=.
【补偿训练】函数f(x)=ex(sinx+cosx),x∈[0,1]的值域为　　　　.
【解析】当0≤x≤1时,f′(x)=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)=excosx>0,所以f(x)在[0,1]上单调递增,则f(0)≤f(x)≤f(1),即函数f(x)的值域为.
答案:
2.(2016·武汉高二检测)当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是　(　　)
A.[-5,-3]
B.
C.[-6,-2]
D.[-4,-3]
【解析】选C.当x=0时,3≥0恒成立,a∈R.
当0设h(x)=,
则h′(x)==.
因为x∈(0,1],
所以h′(x)>0,h(x)递增,
所以h(x)max=h(1)=-6,
所以a≥-6.
当-2≤x<0时,a≤.
易知h(x)=在[-2,-1)上递减,
在(-1,0)上递增.
所以h(x)min=h(-1)=-2,
所以a≤-2.
综上,-6≤a≤-2.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·沈阳高三模拟)已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是　　　　.
【解题指南】先求f′(x),判断f(x)的单调性,根据函数的单调性得到函数的最值.本题只要使f(x)的最小值不大于零即可.
【解析】f′(x)=ex-2.由f′(x)>0得ex-2>0,所以x>ln2.由f′(x)<0得x只要f(x)min≤0即可,所以eln2-2ln2+a≤0,所以a≤2ln2-2.
答案:(-∞,2ln2-2]
4.定义在R上的可导函数f(x)=x2+2xf′(2)+15,在闭区间[0,m]上有最大值15,最小值-1,则m的取值范围是　　　　.
【解析】函数f(x)=x2+2xf′(2)+15的导函数为f′(x)=2x+2f′(2),
所以f′(2)=4+2f′(2),
所以f′(2)=-4,
所以f(x)=x2-8x+15,且对称轴为x=4.
又因为在闭区间[0,m]上有最大值15,最小值-1,且f(0)=15,f(4)=-1,
所以[0,4] [0,m],且f(m)≤f(0)=15,
所以4≤m≤8.
答案:[4,8]
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2016·江苏高考改编)已知函数f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).设a=2,b=.
(1)求方程f(x)=2的根.
(2)若对任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值.
【解题指南】(1)应用指数的运算性质求方程的根.
(2)分离变量m,应用基本不等式求最值.
【解析】(1)f(x)=2x+,由f(x)=2可得2x+=2 =0 2x=1 x=0.
(2)由题意得22x+≥m-6恒成立,
令t=2x+,则由2x>0可得t≥2=2,此时t2-2≥mt-6恒成立,即m≤=t+恒成立,
因为t≥2时t+≥2=4,当且仅当t=2时等号成立,因此实数m的最大值为4.
6.(2016·郑州高二检测)设函数f(x)=x3-(1+a)x2+4ax+24a,其中常数a>1.
(1)讨论f(x)的单调性.
(2)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
【解析】(1)f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a),由a>1知,2a>2,当x<2时,
f′(x)>0,故f(x)在区间(-∞,2)上是增函数;
当2当x>2a时,f′(x)>0,故f(x)在区间(2a,+∞)上是增函数.
综上,当a>1时,f(x)在区间(-∞,2)和(2a,+∞)上是增函数,在区间(2,2a)上是减函数.
(2)由(1)知,当x≥0时,f(x)在x=2a或x=0处取得最小值.
f(2a)=(2a)3-(1+a)(2a)2+4a·2a+24a=-a3+4a2+24a,f(0)=24a.
由假设知即
解得1故a的取值范围是(1,6).
关闭Word文档返回原板块
PAGE温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业
二十二
函数的单调性与导数
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·重庆高二检测)函数f(x)=x2-lnx的单调递减区间为　(　　)
A.(-1,1)　　
B.(-∞,1)　　
C.(0,1)　
　
D.(1,+∞)
【解析】选C.函数f(x)=x2-lnx的定义域是(0,+∞),f′(x)=x-,令f′(x)<0,即x-<0,解得0【补偿训练】函数f(x)=xlnx的单调递增区间是　(　　)
A.(0,1)　　　　　　　
B.(1,+∞)
C.
D.
【解析】选D.因为f(x)=xlnx(x>0),所以f′(x)=lnx+1,令f′(x)>0,得lnx+1>0,即x>,
所以函数f(x)的单调递增区间是.
2.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是　(　　)
A.y=sinx
B.y=xe2
C.y=x3-x
D.y=lnx-x
【解析】选B.对于A,y=sinx在(0,+∞)内有增有减,
对于B,y′=(xe2)′=e2>0,故y=xe2在(0,+∞)内是增函数;
对于C,y′=3x2-1=3,
当x∈时,y′<0;
故y=x3-x在上是减函数,
对于D,y′=-1=,当x∈(1,+∞)时,y′<0,
故y=lnx-x在(1,+∞)上是减函数.
3.(2016·临沂高二检测)已知函数y=f(x)的图象是如图四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则该函数的图象是　(　　)
【解析】选B.由函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象知f(x)的图象是上升的,且先由“平缓”变“陡峭”,再由“陡峭”变“平缓”.观察图象可得B正确.
4.若f(x)=,eA.f(a)>f(b)
B.f(a)=f(b)
C.f(a)D.f(a)f(b)>1
【解题指南】先判断f(x)的单调性,再比较f(a)与f(b)的大小.
【解析】选A.因为f′(x)==.
当x∈(e,+∞)时,1-lnx<0,
所以f′(x)<0,
所以f(x)在(e,+∞)内为单调递减函数.
故f(a)>f(b).
5.(2016·烟台高二检测)若a>0,且f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是　(　　)
A.0B.0C.a>3
D.a≥3
【解析】选B.因为f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是增函数,
所以f′(x)=3x2-a≥0在[1,+∞)上恒成立.
所以a≤3x2在[1,+∞)上恒成立.
又g(x)=3x2在[1,+∞)上有最小值3,故0【补偿训练】已知函数f(x)=x3-12x,若f(x)在区间(2m,m+1)上单调递减,则实数m的取值范围是　(　　)
A.[-1,1]
B.(-1,1]
C.(-1,1)
D.[-1,1)
【解析】选D.f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),
由f′(x)<0得-2由题意(2m,m+1) (-2,2),
所以
解得-1≤m<1.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·中山高二检测)若函数f(x)的导函数为f′(x)=x2-4x+3,则函数f(1+x)的单调递减区间是　　　　.
【解析】令f′(x)=x2-4x+3<0,得1由1<1+x<3,解得0答案:(0,2)
7.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递减区间为(-1,2),则b=　　　　,c=　　　　.
【解析】f′(x)=3x2+2bx+c,由题意知-1答案:-　-6
8.(2016·洛阳高二检测)已知y=x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是单调递增函数,则b的取值范围为　　　　.
【解析】若y′=x2+2bx+b+2≥0恒成立,则Δ=4b2-4(b+2)≤0,
所以-1≤b≤2,由题意知y′≥0不恒成立,所以b<-1或b>2.
答案:(-∞,-1)∪(2,+∞)
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2016·长沙高二检测)已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)ex.设f(x)在区间[-1,1]上是单调函数,求a的取值范围.
【解析】f′(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex
=ex[x2+2(1-a)x-2a].
令f′(x)=0,即x2+2(1-a)x-2a=0.
解得x1=a-1-,x2=a-1+,
其中x1当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况见下表:
x
(-∞,x1)
x1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
↘
↗
因为a≥0,
所以x1<-1,x2≥0,f(x)在(x1,x2)上单调递减.
由此可得f(x)在[-1,1]上是单调函数的充要条件为x2≥1,
即a-1+≥1,解得a≥.
故所求a的取值范围为.
10.(2016·青岛高二检测)已知函数y=f(x)=x3+bx2+cx+d的图象经过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0.
(1)求函数y=f(x)的解析式.
(2)求函数y=f(x)的单调区间.
【解析】(1)由y=f(x)的图象经过点P(0,2),知d=2,
所以f(x)=x3+bx2+cx+2,f′(x)=3x2+2bx+c.
由在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0,
知-6-f(-1)+7=0,
即f(-1)=1,f′(-1)=6.
所以即
解得b=c=-3.
故所求的解析式是y=f(x)=x3-3x2-3x+2.
(2)f′(x)=3x2-6x-3.
令f′(x)>0,得x<1-或x>1+;
令f′(x)<0,得1-故f(x)=x3-3x2-3x+2的单调递增区间为(-∞,1-)和(1+,+∞),单调递减区间为(1-,1+).
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且当x>0时,有f′(x)>0,
g′(x)>0,则当x<0时,有　(　　)
A.f′(x)>0,g′(x)>0
B.f′(x)>0,g′(x)<0
C.f′(x)<0,g′(x)>0
D.f′(x)<0,g′(x)<0
【解析】选B.由题知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,根据奇偶函数图象特点知,当x<0时,f(x)的单调性与x>0时相同,g(x)的单调性与x>0时恰好相反.因此,当x<0时,有f′(x)>0,g′(x)<0.
2.(2016·南昌高二检测)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集
是　(　　)
A.(-3,0)∪(3,+∞)
B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞)
D.(-∞,-3)∪(0,3)
【解析】选D.因为[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x),
所以当x<0时,[f(x)g(x)]′>0,
所以f(x)·g(x)在(-∞,0)上是增函数,
又g(-3)=0,所以f(-3)g(-3)=0.
所以当x∈(-∞,-3)时,f(x)g(x)<0;
当x∈(-3,0)时,f(x)g(x)>0.
又因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,
所以f(x)g(x)在R上是奇函数,其图象关于原点对称.
所以当x∈(0,3)时,f(x)g(x)<0.综上,选D.
【补偿训练】(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围
是　(　　)
A.(-∞,-1)∪(0,1)　　
B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0)
D.(0,1)∪(1,+∞)
【解析】选A.记函数g(x)=,
则g′(x)=,
因为当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,
故当x>0时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减;
又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数,故函数g(x)是偶函数,
所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,
且g(-1)=g(1)=0.
当00,则f(x)>0;
当x<-1时,g(x)<0,则f(x)>0,
综上所述,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2016·泰安模拟)如果函数f(x)=2x2-lnx在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,那么实数k的取值范围是　　　　　.
【解析】显然函数f(x)的定义域为(0,+∞),
y′=4x-=.
由y′>0,得函数f(x)的单调递增区间为;
由y′<0,得函数f(x)的单调递减区间为,
由于函数在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,
所以解得1≤k<.
答案:
4.(2016·盐城高二检测)若函数f(x)=(mx-1)ex在(0,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是　　　　.
【解析】因为f′(x)=(mx+m-1)ex,
由题意得f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
令g(x)=mx+m-1,则,解得m≥1.
答案:[1,+∞)
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.若函数f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)内为增函数,试求实数a的取值范围.
【解析】方法一:f′(x)=x2-ax+a-1=(x-1)[x-(a-1)],
令f′(x)=0,得x1=1,x2=a-1.
因为f(x)在(1,4)内为减函数,
所以当x∈(1,4)时,f′(x)≤0;
因为f(x)在(6,+∞)内为增函数,
所以当x∈(6,+∞)时,f′(x)≥0.
所以4≤a-1≤6,
解得5≤a≤7.
所以实数a的取值范围为[5,7].
方法二:f′(x)=x2-ax+a-1.
因为f(x)在(1,4)内为减函数,
所以当x∈(1,4)时,f′(x)≤0;
因为f(x)在(6,+∞)内为增函数,
所以当x∈(6,+∞)时,f′(x)≥0.
所以即
解得5≤a≤7.
所以实数a的取值范围为[5,7].
6.(2015·驻马店高二检测)已知函数f(x)=(ax2+x-1)ex,其中e是自然对数的底数,a∈R.
(1)若a=1,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
(2)若a=-1,求f(x)的单调区间.
【解析】(1)因为f(x)=(x2+x-1)ex,
所以f′(x)=(2x+1)ex+(x2+x-1)ex=(x2+3x)ex,所以曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=4e.
又因为f(1)=e,所以所求切线方程为y-e=4e(x-1),即4ex-y-3e=0.
(2)f(x)=(-x2+x-1)ex,
因为f′(x)=-x(x+1)ex,令f′(x)<0,
得x<-1或x>0,f′(x)>0得-1所以f(x)的减区间为(-∞,-1),(0,+∞),增区间为(-1,0).
关闭Word文档返回原板块
PAGE温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
课时提升作业
六
简单的逻辑联结词
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·东莞高二检测)若命题“p”与命题“p∨q”都是真命题,那么　(　　)
A.命题p与命题q的真假相同
B.命题p一定是真命题
C.命题q不一定是真命题
D.命题q一定是真命题
【解题指南】根据命题和其否定真假性相反,判定出p的真假,结合“或”命题真假确定q的真假.对照选项即可.
【解析】选D.命题p是真命题,则p是假命题.又命题p∨q是真命题,所以必有q是真命题.
【补偿训练】如果命题“p且q”是假命题,“非p”是真命题,那么　(　　)
A.命题p一定是真命题
B.命题q一定是真命题
C.命题q可以是真命题也可以是假命题
D.命题q一定是假命题
【解析】选C.“非p”是真命题,则p为假命题,命题q可以是真命题也可以是假命题.
2.(2016·黄冈高二检测)如果命题“(p∨q)”为真命题,则　(　　)
A.p,q均为真命题
B.p,q均为假命题
C.p,q中至少有一个为真命题
D.p,q中一个为真命题,一个为假命题
【解析】选B.由(p∨q)为真等价于(p)∧(q)为真命题,故p和q均为真命题,可得p和q均为假命题.
3.(2016·石家庄高二检测)已知命题p:“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”,命题q:“>”的充要条件为“lna>lnb”,则下列复合命题中假命题是　(　　)
A.p∨q　
B.p∧q　
C.(p)∨(q)　
D.p∧(q)
【解析】选B.对于命题p,中括号内【“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”】整个是p命题,而不是单看引号内的命题,p为真;对于命题q,当a=1,b=0时,>,但lna>lnb不成立,q是假命题,所以q是真命题;所以p∧q是假命题,p∨q,(p)∨(q)和p∧(q)是真命题.
4.已知命题p:函数f(x)=2ax2-x-1(a≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题q:函
数y=x2-a在(0,+∞)上是减函数.若p且q为真命题,则实数a的取值范围
是　(　　)
A.(1,+∞)
B.(1,2]
C.(-∞,2]
D.(-∞,1]∪(2,+∞)
【解析】选B.由题意,命题p:
解得a>1.命题q:2-a<0,得a>2,
所以q:a≤2,故由p且q为真命题,得15.(2016·湛江高二检测)已知实数a满足1A.p或q为真命题
B.p且q为假命题
C.p且q为真命题
D.p或q为真命题
【解析】选A.因为实数a满足1【补偿训练】命题p:函数y=x+在[1,4]上的值域为;命题q:lo(a+1)>loa(a>0).下列命题中,真命题是　(　　)
A.p∧q　　　　　
B.(p)∨q
C.p∧(q)　　　
D.p∨q
【解析】选B.因为y=x+在[1,]上为减函数,在[,4]上为增函数,
所以当x=1时,y=1+2=3,当x=4时,y=4+=,即最大值为,
当x=时,y=+=+=2,即最小值为2,
故函数的值域为,故命题p为假命题.
若a>0,则a+1>a,则lo(a+1)则(p)∨q为真命题.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2016·信阳高二检测)已知命题p:a2≥0(a∈R),命题q:函数f(x)=x2-x在区间[0,+∞)上单调递增,则下列命题
①p∨q;②p∧q;③(p)∧(q);④(p)∨q.
其中为假命题的序号为　　　　.
【解析】显然命题p为真命题,p为假命题.
因为f(x)=x2-x=-,
所以函数f(x)在区间上单调递增.
所以命题q为假命题,q为真命题.
所以p∨q为真命题,p∧q为假命题,(p)∧(q)为假命题,(p)∨q为假命题.
答案:②③④
【拓展延伸】含有逻辑联结词的命题的真假判断规律
(1)p∨q:p、q中有一个为真,则p∨q为真,即一真即真.
(2)p∧q:p、q中有一个为假,则p∧q为假,即一假即假.
(3)p:与p的真假相反,即一真一假,真假相反.
7.命题p:若a·b>0,则a与b的夹角为锐角;命题q:若函数f(x)在(-∞,0]及
(0,+∞)上都是减函数,则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.给出下列结论:
①“p∨q”是真命题　　　
②“p∨q”是假命题
③p为假命题
④q为假命题
其中所有正确结论的序号为　　　　.
【解析】当a·b>0时,a与b的夹角为锐角或零度角,所以命题p是假命题;命题q是假命题,例如f(x)=故①③④错误,②正确.
答案:②
8.(2016·临汾高二检测)已知c>0,且c≠1.设命题p:函数f(x)=logcx为减函数,命题q:当x∈时,函数g(x)=x+>恒成立.如果p或q为真命题,p且q为假命题,则实数c的取值范围为　　　　.
【解题指南】先从p,q都为真命题求出c的范围,再利用p,q一真一假确定c的范围.
【解析】由f(x)=logcx为减函数得0恒成立,得2>,解得c>,又c≠1,所以c>且c≠1.如果p真q假,则01,所以实数c的取值范围为∪(1,+∞).
答案:∪(1,+∞)
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(教材P18习题1.3A组T3改编)写出下列命题的p∨q,p∧q,p的形式,并判断其真假:
(1)p:是有理数;q:是实数.
(2)p:5不是15的约数;q:5是15的倍数.
(3)p:空集是任何集合的子集;q:空集是任何集合的真子集.
【解析】(1)p∨q:是有理数或是实数,真命题;
p∧q:是有理数且是实数,假命题;
p:不是有理数,真命题.
(2)p∨q:5不是15的约数或5是15的倍数,假命题;
p∧q:5不是15的约数且5是15的倍数,假命题;
p:5是15的约数,真命题.
(3)p∨q:空集是任何集合的子集或空集是任何集合的真子集,真命题;
p∧q:空集是任何集合的子集且空集是任何集合的真子集,假命题;
p:空集不是任何集合的子集;假命题.
【补偿训练】分别指出由下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“p”形式的命题的真假:
(1)p:6<6,q:6=6.
(2)p:梯形的对角线相等;q:梯形的对角线互相平分.
(3)p:函数y=x2+x+2的图象与x轴没有公共点;
q:不等式x2+x+2<0无解.
【解析】(1)因为p为假命题,q为真命题,
所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,p为真命题.
(2)因为p为假命题,q为假命题,
所以p∧q为假命题,p∨q为假命题,p为真命题.
(3)因为p为真命题,q为真命题,
所以p∧q为真命题,p∨q为真命题,p为假命题.
10.(2016·泉州高二检测)设命题p:函数f(x)=是R上的减函数,命题q:函数f(x)=x2-4x+3在[0,a]上的值域是[-1,3].若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.
【解析】若命题p为真,则0若命题q为真,即f(x)=(x-2)2-1在[0,a]上的值域是[-1,3],得2≤a≤4.
因为p∨q为真,p∧q为假,得p,q中一真一假.
若p真q假,
则
得若p假q真,
则
得≤a≤4;
综上:实数a的取值范围为一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·益阳高二检测)已知命题p:函数f(x)=|sin2x-|的最小正周期为π;命题q:若函数f(x+1)为偶函数,则f(x)关于x=1对称.则下列命题是真命题的
是　(　　)
A.p∧q
B.p∨q
C.(p)∧(q)
D.p∨(q)
【解析】选B.函数f(x)==|2sin2x-1|=|cos2x|,
因为cos2x的周期是π,
所以函数f(x)=的最小正周期为,即命题p是假命题.
若函数f(x+1)为偶函数,则f(-x+1)=f(x+1),即f(x)关于x=1对称,所以命题q为真命题,则p∨q为真命题.
2.(2016·株洲高二检测)已知命题p:π是有理数,命题q:x2-3x+2<0的解集是(1,2).给出下列结论:
(1)命题p∧q是真命题.
(2)命题p∧(q)是假命题.
(3)命题(p)∨q是真命题.
(4)命题(p)∨(q)是假命题,其中正确的是　(　　)
A.(1)(3)
B.(2)(4)
C.(2)(3)
D.(1)(4)
【解析】选C.因为命题p:π是有理数,是假命题,命题q:x2-3x+2<0的解集是(1,2)是真命题,
所以p是真命题,q是假命题,所以(1)命题p∧q是真命题错误.
(2)命题p∧(q)是假命题,正确.
(3)命题(p)∨q是真命题,正确.
(4)命题(p)∨(q)是假命题,错误.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.给出命题p:直线ax+3y+1=0与直线2x+(a+1)y+1=0互相平行的充要条件是a=-3,命题q:若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β.关于以上两个命题,下列结论中正确的是　　　.
①命题“p且q”为真　　②命题“p或q”为假
③命题“p或q”为假　　④命题“p且q”为真
【解析】若两直线平行,则必满足a(a+1)-2×3=0,解得a=-3或a=2,但当a=2时两直线重合,所以两直线平行 a=-3,所以命题p为真;命题q中如果这三点不在平面β的同侧,则不能推出α∥β,所以命题q为假,故只有④正确.
答案:④
4.(2016·洛阳高二检测)已知命题p:关于x的方程x2-ax+4=0有实根;命题q:关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数.若p∨q是真命题,p∧q是假命题,则实数a的取值范围是　　　　.
【解析】命题p等价于Δ=a2-16≥0,解得a≤-4或a≥4;命题q等价于-≤3,解得a≥-12.由p∨q是真命题,p∧q是假命题知,命题p和q一真一假.若p真q假,则a<-12;若p假q真,则-4答案:(-∞,-12)∪(-4,4)
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2016·杭州高二检测)已知a>0,设命题p:函数y=ax在R上单调递减,q:函数y=且y>1恒成立,若p∧q为假,p∨q为真,求a的取值范围.
【解析】若p是真命题,则0若q是真命题,则y>1恒成立,
即y的最小值大于1,
而y的最小值为2a,只需2a>1,
所以a>,所以q为真命题时,a>.
又因为p∨q为真,p∧q为假,所以p与q一真一假,
若p真q假,则0若p假q真,则a≥1,
故a的取值范围为06.(2016·扬州高二检测)设命题p:a∈{y=,x∈R},命题q:关于x的方程x2+x-a=0有实根.
(1)若p为真命题,求a的取值范围.
(2)若“p∧q”为假命题,且“p∨q”为真命题,求a的取值范围.
【解题指南】(1)若p为真命题,根据根式有意义的条件进行求解即可求a的取值范围.
(2)若“p∧q”为假命题,且“p∨q”为真命题,得到p与q一真一假,即可求a的取值范围.
【解析】(1)由题意得,
y==∈[0,3],
故p为真命题时,a的取值范围为[0,3].
(2)当q为真命题时a的取值范围为a≥-,
由题意得,p与q一真一假,从而
当p真q假时有a无解;
当p假q真时有
所以a>3或-≤a<0.
所以实数a的取值范围是∪(3,+∞).
【补偿训练】已知命题p:(x+1)(x-5)≤0,命题q:1-m≤x≤1+m.
(1)若p是q的必要条件,求实数m的取值范围.
(2)若m=5,“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数x的取值范围.
【解析】(1)由p可得集合A={x|-1≤x≤5},由q可得集合B={x|1-m≤x≤1+m}.由p是q的必要条件,则B A,
①B= ,1-m>1+m,m<0;
②B≠ ,m≥0,1-m≥-1且1+m≤5,0≤m≤2,
综上,m≤2.
(2)“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,
则p与q一真一假,
p真q假,x的取值范围是 .
p假q真,x的取值范围是[-4,-1)∪(5,6].
所以x的取值范围为[-4,-1)∪(5,6].
关闭Word文档返回原板块
PAGE温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
考前过关训练(二)
圆锥曲线与方程
(30分钟　60分)
一、选择题(每小题4分,共24分)
1.(2015·湖南高考)若双曲线-=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.因为双曲线的一条渐近线经过点(3,-4),所以3b=4a,所以9(c2-a2)=16a2,所以e==.
【补偿训练】(2016·长沙高二检测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与圆x2+y2=b2相切于点A,并与椭圆C交于不同的两点P,Q,如图,若PF1⊥PQ,则椭圆的离心率为　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解题指南】连接OA,PF1,则OA⊥PQ,又PF1⊥PQ,所以A为线段PF2的中点,于是PF1=2b.结合椭圆的定义有PF2=2a-2b,由此能求出椭圆的离心率.
【解析】选C.连接OA,PF1,
则OA⊥PQ,又PF1⊥PQ,可得OA∥PF1,
所以A为线段PF2的中点,
于是PF1=2b.
结合椭圆的定义有PF2=2a-2b,
在直角三角形PF1F2中,
利用勾股定理得(2a-2b)2+(2b)2=(2c)2,
将c2=a2-b2代入,
整理可得b=a,
于是e====.
2.(2016·南昌高二检测)过双曲线C:-=1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为　　(　　)
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
【解题指南】设右焦点为F,|OF|=|AF|=4.
【解析】选A.设右焦点为F.由题意得|OF|=|AF|=4,即a2+b2=16,
可设A(a,b),由F(4,0)可得(a-4)2+b2=16,
故a=2,b2=12,所以双曲线的方程为-=1.
3.(2016·广州高二检测)以(-6,0),(6,0)为焦点,且经过点(-5,2)的双曲线的标准方程是　(　　)
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
【解析】选C.设双曲线的标准方程是-=1(a>0,b>0),因为双曲线以(-6,0),(6,0)为焦点,且经过点(-5,2),
所以
解之得a2=20,b2=16,
因此,该双曲线的标准方程为-=1.
4.(2016·西安高二检测)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.依题意:a=b=,所以c=2.
因为|PF1|=2|PF2|,则设|PF2|=m,则|PF1|=2m,
又|PF1|-|PF2|=2=m.
所以|PF1|=4,|PF2|=2.
又|F1F2|=4,
所以cos∠F1PF2==.
5.(2016·桂林高二检测)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A,与抛物线的准线的交点为B,点A在抛物线准线上的射影为C,若=,·=48,则抛物线的方程为　(　　)
A.y2=4x
B.y2=8x
C.y2=16x
D.y2=4x
【解析】选A.设抛物线的准线与x轴的交点为D,依题意,F为线段AB的中点,
故|AF|=|AC|=2|FD|=2p,
|AB|=2|AF|=2|AC|=4p,
所以∠ABC=30°,||=2p,
·=4p·2p·cos30°=48,解得p=2,
所以抛物线的方程为y2=4x.
6.已知椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点.若AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈,则该椭圆离心率e的取值范围为　(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.已知椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右焦点,设左焦点为N
连接AF,AN,BN,BF,
所以:四边形AFBN为长方形.
根据椭圆的定义得|AF|+|AN|=2a,
∠ABF=α,则∠ANF=α.
所以:2a=2ccosα+2csinα
利用e===,
α∈,
所以≤α+≤,
则≤≤-1,
即椭圆离心率e的取值范围为.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2016·济南高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为　　　　.
【解题指南】本题考查了双曲线的知识,利用双曲线与抛物线准线的交点为突破口求出a,b之间的关系,进而求得双曲线的渐近线方程.
【解析】由题意知==b,
抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为,
即(c,-b),代入双曲线方程为-=1,得=2,
所以==1,所以渐近线方程为y=±x.
答案:y=±x
【补偿训练】若曲线+=1的焦距与k无关,则它的焦点坐标是　　　　.
【解析】因为k+5>k-2,
又曲线+=1的焦距与k无关,
所以k+5>0,k-2<0,曲线是焦点在y轴上的双曲线,且a2=k+5,b2=2-k,c2=a2+b2=7,故焦点坐标为(0,±).
答案:(0,±)
8.(2016·青岛高二检测)已知椭圆+=1,过点P(1,1)作直线l与椭圆交于A,B两点,且点P是线段AB的中点,则直线l的斜率为　　　　　.
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则
①-②,得+=0,
又点P(1,1)是AB的中点,
所以x1+x2=2,y1+y2=2,
所以+=0,
从而+y1-y2=0,
又x1≠x2,所以直线l的斜率k==-.
答案:-
9.(2016·重庆高二检测)设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是　　　　.
【解题指南】根据双曲线的对称性找到渐近线与直线A1B1和A2B2的斜率之间的关系即可.
【解析】由题意知,直线A1B1和A2B2关于x轴对称,又所成的角为60°,所以直线方程为y=±x或y=±x.又因为有且只有一对相交于点O所成的角为60°的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,所以渐近线斜率满足<≤,解得答案:
三、解答题(每小题12分,共24分)
10.(2016·衡水高二检测)已知A,B,C均在椭圆M:+y2=1(a>1)上,直线AB,AC分别过椭圆的左右焦点F1,F2,当·=0时,有9·=.
(1)求椭圆M的方程.
(2)设P是椭圆M上的任一点,EF为圆N:x2+(y-2)2=1的任一条直径,求·的最大值.
【解析】(1)因为·=0,所以有⊥,
所以△AF1F2为直角三角形,
所以||cos∠F1AF2=||,
因为9·=,
所以9·=9||||cos∠F1AF2
=9||2==||2,
所以||=3||,
又||+||=2a,
所以||=,||=,
在Rt△AF1F2中,
有||2=||2+||2,
即=+4(a2-1),
解得a2=2,椭圆M的方程为+y2=1.
(2)·=(-)·(-)
=(--)·(-)=(-)2-=-1,从而将求·的最大值转化为求的最大值,P是椭圆M上的任一点,设P(x0,y0),则有+=1,即=2-2,
又N(0,2),所以=+(y0-2)2=-(y0+2)2+10,
而y0∈[-1,1],所以当y0=-1时,取最大值9,
故·的最大值为8.
【补偿训练】设抛物线y2=2px(p>0),Rt△AOB内接于抛物线,O为坐标原点,AO⊥BO,AO所在的直线方程为y=2x,|AB|=5,求抛物线的方程.
【解题指南】根据AO⊥BO,直线AO的斜率为2,可知直线BO的斜率为-,进而得出直线BO的方程.把这两条直线方程代入抛物线方程,分别求出A,B的坐标.根据两点间的距离为5求得p.
【解析】因为AO⊥BO,直线AO的斜率为2,
所以直线BO的斜率为-,即直线BD的方程为y=-x,
把直线y=2x代入抛物线方程解得A坐标为,
把直线y=-x代入抛物线方程解得B坐标为(8p,-4p).
因为|AB|=5,
所以+p2+64p2+16p2=25×13,所以p2=4,
因为p>0,所以p=2.故抛物线方程为y2=4x.
11.(2016·郑州高二检测)已知经过点A(-4,0)的动直线l与抛物线G:x2=2py(p>0)相交于B,C.
(1)当直线l的斜率是时,=,求抛物线G的方程.
(2)设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.
【解析】(1)设B(x1,y1),C(x2,y2),由已知得,当k1=时,
l方程为y=(x+4),即x=2y-4.由得2y2-(8+p)y+8=0,所以由根与系数的关系得又因为=,所以y2=y1或y1=4y2.
由p>0得:y1=4,y2=1,p=2,即抛物线G的方程为x2=4y.
(2)由题意知l的斜率存在.设l:y=k(x+4),BC中点坐标为(x0,y0),
由得x2-4kx-16k=0.①
所以x0==2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k.
所以BC的垂直平分线的方程为
y-2k2-4k=-(x-2k),
所以BC的垂直平分线在y轴上的截距为b=2k2+4k+2=2(k+1)2,
对于方程①由Δ=16k2+64k>0得k>0或k<-4.
所以b∈(2,+∞).
所以b的取值范围为(2,+∞).
关闭Word文档返回原板块
PAGE