www.
第二讲 2.3
一、选择题
1．(2016·北京海淀模拟)若直线(t为参数)与圆(θ为参数)相切，则b＝( A )
A．－4或6
B．－6或4
C．－1或9
D．－9或1
解析：直线4x＋3y＝3，圆x2＋(y－b)2＝9，圆心(0，b)，半径r＝3，由直线与圆相切知圆心(0，b)到直线的距离d＝＝3 b＝6或b＝－4，故选A．
2．(2016·安徽三模)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ＝2sin
θ，直线l的参数方程为(t为参数)，则圆C截直线l所得的弦长为( C )
A．1
B．
C．2
D．2
解析：直线l：y＝x＋1，圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝1，圆心(0,1)，半径为1.又圆心坐标满足l，从而圆C截直线l所得弦长为直径即长为2，故选C．
3．(2016·北京东城二模)若直线(t为参数)被圆(α为参数)所截得的弦长为2，则a的值为( A )
A．1或5
B．－1或5
C．1或－5
D．－1或－5
解析：直线的普通方程为x＋y＝1＋a，圆的圆心坐标为(2,2)，半径为2，则圆心到直线的距离d＝，故直线被圆截得的弦长为2＝2，解得a＝1或a＝5.
4．(2016·北京丰台二模)直线l1：x＋y－2＝0与直线l2：(t为参数)的交点到原点O的距离是( C )
A．1
B．
C．2
D．2
解析：直线l2的普通方程为y＝x，两直线的交点坐标为(，)，该点到坐标原点的距离为2.
5．若圆的方程为(θ为参数)，直线的方程为(t为参数)，则直线与圆的位置关系是( B )
A．相交过圆心
B．相交而不过圆心
C．相切
D．相离
解析：直线的普通方程为y＝3x＋2，，圆的普通方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，圆心(－1,3)到直线的距离为＝＝＜2.故直线与圆相交而不过圆心．
6．(2016·广东期末)一条直线的参数方程是(t为参数)，另一条直线的方程是x－y－2＝0，则两条直线的交点与点(1，－5)之间的距离是( B )
A．2
B．4
C．
D．
解析：由题意可知，点(1，－5)在直线(t为参数)上．将参数方程代入x－y－2＝0，得6＋t＝2，所以t＝＝4，根据t的几何意义，得两直线的交点与点(1，－5)之间的距离是4.
二、填空题
7．已知直线C1的参数方程(t为参数)，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin
θ，设曲线C1，C2相交于A，B两点，则|AB|＝.
解析：曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，
将C1：代入C2得5t2－6t－2＝0，
则t1＋t2＝，t1t2＝－，
∴|AB|＝|t1－t2|＝＝.
8．已知直线(t为参数)和圆x2＋y2＝1交于A，B两点，若P点坐标为(2，－1)，则|PA|·|PB|＝4.
解析：直线的参数方程标准形式为(t′为参数)，直线过P(2，－1)，将直线参数方程代入圆x2＋y2＝1中，得t′2－t′＋4＝0，于是t′1t′2＝4，从而|PA|·|PB|＝|t′1t′2|＝4.
9．已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin
2θ－4cos
θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝.
解析：由题意，得直线l的普通方程为x－y＋1＝0，曲线C的平面直角坐标方程为y2＝4x，
联立直线l与曲线C的方程，解得
所以直线l与曲线C的公共点的极径
ρ＝＝.
三、解答题
10．在平面直角坐标系中，取原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cos
θ，直线C2的参数方程为
(t为参数)．
(1)求曲线C1的直角坐标方程，曲线C2的普通方程．
(2)先将曲线C1上所有的点向左平移1个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍得到曲线C3，P为曲线C3上一动点，求点P到直线C2的距离的最小值，并求出相应的P点的坐标．
解析：(1)C1的极坐标方程为ρ＝2cos
θ，即ρ2＝2ρcos
θ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即为(x－1)2＋y2＝1；
直线C2的参数方程为(t为参数)，
消去t得普通方程为x－y＋2＝0.
(2)依题意曲线C3的方程为＋y2＝1，
设点P，θ∈[0,2π)，点P到直线C2的距离为d＝＝.
由三角函数的性质知，当θ＋＝π时，d取得最小值0，此时θ＝，所以P点的坐标为.
11．已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
解析：(1)曲线C的参数方程为
(θ为参数)，
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos
θ，3sin
θ)到l的距离
d＝|4cos
θ＋3sin
θ－6|，
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，
其中α为锐角，且tan
α＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
12．(2016·江西师大鹰潭一中期中)已知直线l：(t为参数)，曲线C1：(θ为参数)．
(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；
(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍．得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
解析：(1)直线l的普通方程为y＝(x－1)，
C1的普通方程为x2＋y2＝1.
联立方程组得l与C1的交点为A(1,0)，B，则|AB|＝1.
(2)曲线C2为(θ为参数)，
∴P，P到l的距离
d＝＝，
当sin
＝－1时，dmin＝(－1)．www.
第一讲 1.2
一、选择题
1．(2015·湖南大学附中期末)在极坐标系中与点A重合的点是( C )
A．
B．
C．
D．
解析：在极坐标系中与点A重合的点是，故选C．
2．(2015·北京东城一模)已知点M的极坐标为，那么将点M的极坐标化成直角坐标为( D )
A．
B．
C．
D．
解析：由点M的极坐标为，得xM＝5cos
π＝－，yM＝5sin
＝，∴M点的直角坐标为.
3．(2015·福建泉州一中期末)点M的直角坐标是(，－1)，在ρ≥0,0≤θ<2π的条件下，它的极坐标是( A )
A．
B．
C．
D．
解析：∵点M的直角坐标是(，－1)，
∴在ρ≥0,0≤θ<2π的条件下，ρ＝＝2，
tan
θ＝＝－，又点M是第四象限的点，∴θ＝π，
∴其极坐标为，选A．
4．点M(2，)经过伸缩变换后所得点的极坐标为( C )
A．
B．
C．
D．
解析：点M(2，)经过伸缩变换后所得点的直角坐标为(1，)，因为ρ＝＝2，tan
θ＝＝，又因为(1，)在第一象限，所以θ＝，故选C．
5．在极坐标系中，点(ρ，θ)与点(ρ，π－θ)的位置关系是( D )
A．关于极轴所在直线对称
B．关于极点对称
C．重合
D．关于过极点且垂直于极轴的直线对称
解析：两点的极径相等，且极径所在射线关于过极点且垂直于极轴的直线对称，故选D．
6．(2016·北京高三模拟)在极坐标下，圆C：ρ2＋4ρsin
θ＋3＝0的圆心坐标为( D )
A．(2,0)
B．
C．(2，π)
D．
解析：圆的直角坐标方程为x2＋y2＋4y＋3＝0，
圆心坐标为(0，－2)，圆心的极坐标为.
二、填空题
7．(2016·广东汕头二模)在极坐标系中，定点A，点B在直线ρcos
θ＋ρsin
θ＝0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标为.
解析：直线ρcos
θ＋ρsin
θ＝0的直角坐标方程
为x＋y＝0①，定点A的直角坐标为(0，－2)，
动点B在直线x＋y＝0上运动，
当线段AB最短时，直线AB垂直于直线x＋y＝0，
则直线AB：y＝x－2②
联立①②可得B，化成极坐标为.
8．(2016·广东惠州中学期末)在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为，，则△AOB(其中O为极点)的面积为3.
解析：A，B的直角坐标分别为，(2，2)，则S△AOB＝3.
9．将点M的直角坐标化为极坐标(ρ>0，θ∈[0,2π))为.
解析：ρ＝＝π，
又∵tan
θ＝＝－1，θ∈[0,2π)且点在第二象限，∴θ＝π，∴极坐标为.
三、解答题
10．在极坐标系中，已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A，B(2，π)，C.
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
解析：(1)由极坐标系中两点间的距离公式得到＝＝＝2，故△ABC是等边三角形．
(2)
由(1)得S△ABC＝×(2)2＝3.
11．在极坐标系中，如果A，B为等腰直角三角形ABC的两个顶点，求直角顶点C的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
解析：设直角顶点C的极坐标为(ρ，θ)，
由题意可知＝＝，
故
＝＝＝2.
所以θ＝π或θ＝π，ρ＝2.
所以直角顶点C的极坐标为或.
12．(2016·湖北团风中学高二月考)在极坐标系中，已知三点M，N(2,0)，P.
(1)将M，N，P三点的极坐标化为直角坐标；
(2)判断M，N，P三点是否在一条直线上．
解析：(1)由公式得M的直角坐标为(1，－)；
N的直角坐标为(2,0)；P的直角坐标为(3，)．
(2)∵kMN＝＝，kNP＝＝，
∴kMN＝kNP，∴M，N，P三点在一条直线上．www.
第一讲 讲末学考测评
(满分：150分 测试时间：120分钟)
题号
第Ⅰ卷
第Ⅱ卷
总分
填空题
解答题
得分
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知f1(x)＝sin
x，f2(x)＝sin
ωx(ω>0)，f2(x)的图象可以看作把f1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变)而得到的，则ω为( C )
A．
B．2
C．3
D．
解析：对照伸缩变换公式φ：由y＝sin
x得到y′＝sin
ωx′，故即∴＝，∴ω＝3.故选C．
2．极坐标方程ρ＝cos
θ与ρsin
θ＝的图形是( A )
解析：ρ＝cos
θ两边同乘以ρ得ρ2＝ρcos
θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－x＝0表示圆，ρsin
θ＝表示过点与极轴平行的直线．故选A．
3．(2016·北京石景山区一模)在极坐标系中，圆ρ＝2被直线ρsin
θ＝1截得的弦长为( C )
A．
B．2
C．2
D．3
解析：圆ρ＝2的极坐标方程转化成直角坐标方程为x2＋y2＝4.直线ρsin
θ＝1转化为直角坐标方程为y＝1.所以圆心到直线y＝1的距离为1，则弦长l＝2＝2.故选C．
4．(2016·安徽模拟)在极坐标系中，直线ρ＝2与圆ρ＝4sin
θ的交点的极坐标为( A )
A．
B．
C．
D．
解析：直线ρ＝2，即x－y－2＝0，圆ρ＝4sin
θ，即x2＋(y－2)2＝4，表示以(0,2)为圆心、半径等于2的圆．由求得故直线和圆的交点坐标为(，1)，它的极坐标为，故选A．
5．(2016·北京西城区一模)在极坐标系中，曲线ρ＝
2cos
θ是( D )
A．过极点的直线
B．半径为2的圆
C．关于极点对称的图形
D．关于极轴对称的图形
解析：曲线ρ＝2cos
θ化为ρ2＝2ρcos
θ，化为直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆，它关于极轴对称．故选D．
6．极坐标系中，曲线ρ＝－4sin
θ和ρcos
θ＝1相交于点A，B，则|AB|＝( D )
A．4
B．5
C．2
D．2
解析：平面直角坐标系中，曲线ρ＝－4sin
θ和ρcos
θ＝1分别表示圆x2＋(y＋2)2＝4和直线x＝1，作图易知|AB|＝2.故选D．
7．AB是圆O的直径，C，D是圆O上的点，∠CBA＝60°，∠ABD＝45°，＝x＋y，则x＋y的值为( A )
A．－
B．－
C．
D．－
解析：＝x＋y＝x＋y(－)＝(x＋y)＋y，设|OA|＝1，建立如图所示坐标系，则＝，＝(－1,0)，＝
，故x＋y＝－.
8．在极坐标系中，直线l：ρ(sin
θ－cos
θ)＝a把曲线C：ρ＝2sin
θ所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a的值是( B )
A．－1
B．1
C．2
D．－2
解析：l：y－x＝a，曲线C：x2＋(y－1)2＝1，由题知圆心(0,1)在直线l上，即1－0＝a，∴a＝1.故选B．
9．(2016·广东广州期末)在极坐标系中，直线ρsin＝2被圆ρ＝4所截得的弦长为( D )
A．2
B．2
C．4
D．4
解析：直线的直角坐标方程为x＋y＝2圆的直角坐标方程为x2＋y2＝16.∴弦长为2，其中r＝4，d＝，∴弦长等于2＝4.故选D．
10．(2016·河南郑州质检)在极坐标系中，曲线C1：ρ＝4上有3个不同的点到曲线C2：ρsin＝m的距离都等于2，则m的值为( C )
A．2
B．－2
C．±2
D．0
解析：曲线C2的直角坐标方程为x＋y＝m，曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＝16.圆心(0,0)到直线距离d＝＝|m|，从而|m|＝2 m＝±2.故选C．
11．在极坐标系中，圆ρ＝2cos
θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( B )
A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos
θ＝2
B．θ＝(ρ∈R)和ρcos
θ＝2
C．θ＝(ρ∈R)和ρcos
θ＝1
D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos
θ＝1
解析：圆ρ＝2cos
θ，即x2＋y2＝2x即(x－1)2＋y2＝1，圆的垂直于极轴的两条切线的直角坐标方程为x＝0和x＝2，从而ρcos
θ＝0或ρcos
θ＝2，∴θ＝(ρ∈R)和ρcos
θ＝2，故选B．
12．(2016·湖北黄冈中学检测)已知平面内的四边形ABCD和该平面内任一点P满足2＋2＝2＋2，那么四边形ABCD一定是( C )
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
解析：如图所示建立直角坐标系，由2＋2＝2＋2 (4a－2c1＋2d1)x＋(2d2－2c2)y＋c＋c－d－d＝0.
∵P是任意一点，∴对任意的x，y上式恒成立，
∴
解得
∴四边形ABCD是矩形．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．(2016·广东六校联考)在极坐标系中，过点作圆ρ＝4sin
θ的切线，则切线的极坐标方程是ρcos_θ＝2.
解析：圆ρ＝4sin
θ的直角坐标方程即为x2＋(y－2)2＝4，圆心(0,2)，半径为2.点直角坐标为(2,2)，(2,2)在圆上，于是切线方程为x＝2，其极坐标方程为ρcos
θ＝2.
14．(2016·北京通州一模)在平面直角坐标系中，曲线x2－2y2－3x＝0经过一个伸缩变换后变成曲线4x′2－y′2－6x′＝0，则该伸缩变换是.
解析：曲线即为2－2y2＝，变换后曲线为：42－y′2＝，即－y′2＝，
∴伸缩变换为，即.
15．(2016·广东中山月考)在极坐标系中，直线ρcos＝1被曲线ρ＝3所截得的弦长为4.
解析：直线的直角坐标方程为：x＋y＝，曲线ρ＝3的直角坐标方程为x2＋y2＝9.∴弦长|AB|＝2，其中r＝3，d＝＝1，∴弦长为2＝4.
16．在平行四边形ABCD中，∠A＝，
边AB，AD的长分别为2,1.
若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是[2,5]．
解析：如图建系，
则A(0,0)，B(2,0)，D，C.
设＝＝t∈[0,1]，则||＝t，||＝2t，所以M，N，
故·＝＋·
＝－t2－2t＋5＝－(t＋1)2＋6＝f(t)，
因为t∈[0,1]，所以f(t)递减，
(·)max＝f(0)＝5，(·)min＝f(1)＝2.
所以·的取值范围是[2,5]．
三、解答题(本大题共6小题，第17题10分，第18－22题每题12分)
17．(10分)(2016·江西临川中学期末)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为3ρ2＝12ρcos
θ－10(ρ>0)．求曲线C1的直角坐标方程．
解析：由3ρ2＝12ρcos
θ－10(ρ＞0)，得3x2＋3y2＝12x－10，即(x－2)2＋y2＝.∴曲线C1的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝.
18．(12分)(2015·江苏卷)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径．
解析：由ρ2＋2ρsin
＝4，得x2＋y2＋2y－2x－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，∴r＝
19．(12分)(2016·河南郑州高三预测)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos
θ＋sin
θ和直线l：ρsin＝.
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．
解析：(1)圆O：ρ＝cos
θ＋sin
θ，即ρ2＝ρcos
θ＋ρsin
θ，故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0.
直线l：ρsin
＝，即ρsin
θ－ρcos
θ＝1，则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.
(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为，即为所求．
20．(12分)已知直线l的极坐标方程为ρcos＝1＋，圆C的极坐标方程为ρ＝acos
θ，a∈R.
(1)当a＝－2时，求直线l被圆C截得的弦长；
(2)若直线l与圆C相切，求实数a的值．
解析：由已知得，直线l的直角坐标方程为x＋y＝＋a，圆C的直角坐标方程为2＋y2＝.
(1)当a＝－2时，直线l的方程为x＋y＝0，圆C的圆心为(－，0)，半径r＝，则圆心C到直线l的距离d＝1，
则直线l被圆C截得的弦长为2＝2.
(2)圆C的圆心为C，半径r＝|a|，则圆心C到直线l的距离d＝1，则1＝|a|，解得a＝±
21．(12分)设过原点O的直线与圆C：(x－1)2＋y2＝1的另一个交点为P，点M为线段OP的中点．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．
解析：(1)圆(x－1)2＋y2＝1的极坐标方程为ρ＝2cos
θ
(2)设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，点M的极坐标为(ρ，θ)，
∵点M为线段OP的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将其代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos
θ.
∴点M轨迹的极坐标方程为ρ＝cos
θ，它表示圆心在点，半径为的圆．
22．(12分)(2015·江苏泰州二模)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，若直线的极坐标方程为ρsin(θ－)＝3.
(1)把直线的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)已知P为椭圆C：＋＝1上一点，求P到直线的距离的最大值．
解析：(1)把直线的极坐标方程ρsin＝3展开得ρ＝3，化为ρsin
θ－ρcos
θ＝6，得到直角坐标方程x－y＋6＝0.
(2)∵P为椭圆C：＋＝1上一点，
∴可设P(4cos
α，3sin
α)，利用点到直线的距离公式得
d＝＝≤＝，当且仅当sin(α－φ)＝－1时取等号．
∴P到直线的距离的最大值是www.
第二讲 2.4 2.1.2
1．与普通方程x2＋y－1＝0等价的参数方程为(t为参数)( D )
A．
B．
C．
D．
解析：由y＝1－x2，x∈R知D满足．
2．已知0＜r＜＋1，曲线C1：(θ为参数)与曲线C2：x2＋y2＝r2的位置关系是( B )
A．外切
B．相交
C．外离
D．内含
解析：曲线C1：(θ为参数)化为普通方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2，两圆心之间的距离＝＝，∴r1－r2＜＜r1＋r2，故选B．
3．将参数方程化成普通方程为x2＝1＋2y(|x|≤)．
解析：应用三角变形消去θ，同时注意到|x|≤.
4．已知曲线C的参数方程为(t为参数，t>0)，求曲线C的普通方程．
解析：因为x2＝t＋－2，所以x2＋2＝t＋＝，故曲线C的普通方程为：3x2－y＋6＝0.
1课末随堂演练
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第一讲 1.4
1．在空间柱坐标系中，点P的柱坐标为，点P在Oxy平面上的射影为Q，则Q点的坐标为( B )
A．(2,0,3)
B．
C．
D．
解析：由点的柱坐标的定义可知，ρ，θ没变，z＝0.故选B．
2．已知点M的直角坐标为(0,0,1)，则点M的球坐标可以是( A )
A．(1,0,0)
B．(0,1,0)
C．(0,0,1)
D．(1，π，0)
解析：设点M的球坐标为(γ，φ，θ)，则r＝＝1，φ＝0，θ＝0，故选A．
3．在柱坐标系中，点M的柱坐标为，则＝3.
解析：方法一 设点M在Oxy平面上的映射为Q，则Q的柱坐标为，故在Rt△OMQ中，|OM|＝＝＝3.
方法二 设点M的直角坐标为(x，y，z)，则x＝ρcos
θ＝2cos
π＝－1，y＝ρsin
θ＝2sin
π＝，z＝，故|OM|＝＝3.
4．(1)设点M的柱坐标为，求它的直角坐标；
(2)设点
N的直角坐标为(3，－3,7)，求它的柱坐标．
解析：由互化公式得：
因此点M的直角坐标为(2,2，4)．
(2)由互化公式得：ρ＝＝6，tan
θ＝＝，由x＞0，y＜0，得θ＝π，因此点N的柱坐标为.www.
第二讲 2.4
一、选择题
1．圆(θ为参数)的摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( D )
A．π
B．2π
C．3π
D．6π
解析：根据条件可知摆线的参数方程为
(φ为参数)，把y＝0代入得cos
φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)，
则x＝3φ－3sin
φ＝6kπ(k∈Z)．故选D．
2．已知圆的渐开线的参数方程为(φ为参数)，则基圆的直径为( B )
A．6
B．12
C．3
D．2
解析：根据条件可知基圆的半径为6，故基圆的直径为12.故选B．
3．圆的渐开线方程为(θ为参数)，当θ＝π时，渐开线上对应的点的坐标为( A )
A．(－2,2π)
B．(－2，π)
C．(4,2π)
D．(－4,2π)
解析：将θ＝π代入参数方程得x＝2(cos
π＋πsin
π)＝－2，y＝2(sin
π－πcos
π
)＝2π，∴对应的点的坐标为(－2,2π)．故选A．
4．摆线(0≤t<2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是( A )
A．(π－2,2)，(3π＋2,2)
B．(π－3,2)，(3π＋3,2)
C．(π，2)，(－π，2)
D．(2π－2,2)，(2π＋2,2)
解析：由2＝2(1－cos
t)得cos
t＝0，∵t∈[0,2π)，∴t1＝，t2＝，代入参数方程得到对应的交点的坐标为(π－2,2)，(3π＋2,2)．故选A．
5．有一个半径为8的圆盘沿着直线轨道滚动，在圆盘上有一点M与圆盘中心的距离为3，则点M的轨迹方程是( C )
A．(φ为参数)
B．(φ为参数)
C．(φ为参数)
D．(φ为参数)
解析：由摆线产生的过程知，M的轨迹是圆的摆线，圆半径为3，故选C．
6．已知一个圆的参数方程为(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取对应的点A与点B之间的距离为( C )
A．－1
B．
C．
D．
解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得即A.
∴|AB|＝＝.
二、填空题
7．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则摆线(θ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为(θ为参数)．
解析：关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于直线y＝x的对称曲线的参数方程，只需把其中的x与y互换．
8．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两个焦点间的距离为12.
解析：根据渐开线方程知基圆的半径为6，则基圆的方程为x2＋y2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍得到的椭圆方程＋y2＝36，即＋＝1，对应的焦点坐标为(6，0)和(－6，0)，它们之间的距离为12.
9．圆的渐开线上与t＝对应的点的直角坐标为.
解析：对应点的直角坐标为
∴t＝对应的点的直角坐标为.
三、解答题
10．已知一个圆的摆线方程是(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．
解析：根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积为16π，该圆对应的渐开线的方程是(φ为参数)．
11．已知圆C的参数方程(α为参数)和直线l的普通方程x－y－6＝0.
(1)如果把圆心平移到原点O，那么平移后圆和直线满足什么关系？
(2)根据(1)中的条件，写出平移后的圆的摆线方程．
解析：(1)圆C平移后圆心为O(0,0)，它到直线x－y－6＝0的距离d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．
(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线的方程是
(φ为参数)．
12．半径为r的圆沿直轨道滚动，M在起始处和原点重合，当M转过π和π时，求点M的坐标．
解析：由摆线方程知
φ＝π时，xM＝r，
yM＝r；φ＝π时，xM＝r(7π＋2)，yM＝r.
∴点M的坐标分别是，www.
第二讲 讲末学考测评
(满分：150分 测试时间：120分钟)
题号
第Ⅰ卷
第Ⅱ卷
总分
填空题
解答题
得分
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．参数方程
(t为参数)所表示的曲线是
( D )
解析：将参数方程进行消参，则有t＝，把t＝代入y＝中，得当x>0时，x2＋y2＝1，此时y≥0；当x<0时，x2＋y2＝1，此时y≤0.对照选项，可知D正确．
2．在方程
(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为
( C )
A．(2，－7)
B．
C．
D．(1,0)
解析：把参数方程化为普通方程时注意范围的等价性，普通方程是y＝1－2x2
(－1≤x≤1)，再根据选择项逐个代入进行检验即可．故选C．
3．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为( C )
A．y＝x－2
B．y＝x＋2
C．y＝x－2(2≤x≤3)
D．y＝x＋2(0≤y≤1)
解析：将参数方程(θ为参数)消去参数化为普通方程是y＝x－2，由0≤sin2θ≤1，可得2≤x≤3.故选C．
4．下列参数方程(t为参数)与普通方程x2－y＝0表示同一曲线的方程是( D )
A．
B．
C．
D．
解析：注意参数范围，可利用排除法．普通方程x2－y＝0中的x∈R，y≥0.A中x＝|t|≥0，B中x＝cos
t∈[－1,1]，故排除A和B．而C中y＝＝＝，即x2y＝1，故排除C．故选D．
5．直线3x－4y－9＝0与圆
(θ为参数)的位置关系是
( D )
A．相切
B．相离
C．直线过圆心
D．相交但直线不过圆心
解析：把圆的参数方程化为普通方程，得x2＋y2＝4，得到半径为2，圆心为(0,0)，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可判断直线和圆的位置关系．故选D．
6．参数方程
(t为参数)所表示的曲线是
( B )
A．一条射线
B．两条射线
C．一条直线
D．两条直线
解析：根据参数中y是常数可知，方程表示的是平行于x轴的直线，再利用不等式知识求出x的范围可得x≤－2或x≥2，可知方程表示的图形是两条射线．故选B．
7．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos
θ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝
( D )
A．13
B．14
C．15
D．16
解析：∵直线的极坐标方程为ρcos
θ＝4，化为直角坐标方程x＝4，把x＝4代入曲线方程
(t为参数)中，
解得t＝±2，∴y＝±8.∴点A(4,8)，B(4，－8)，∴|AB|＝|－8－8|＝16.故选D．
8．过点(0,2)且与直线(t为参数)互相垂直的直线方程为
( B )
A．
B．
C．
D．
解析：直线化为普通方程为y＝x＋1－2，其斜率k1＝，设所求直线的斜率为k，由kk1＝－1，得k＝－，故参数方程为(t为参数)．故选B．
9．若圆的方程
(θ为参数)，直线的方程为(t为参数)，则直线与圆的位置关系是
( B )
A．相交过圆心
B．相交但不过圆心
C．相切
D．相离
解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，直线的方程为3x－y＋2＝0，圆心坐标为(－1,3)，易验证圆心不在直线3x－y＋2＝0上．而圆心到直线的距离d＝＝<2，∴直线与圆相交．故选B．
10．曲线(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是( D )
A．
B．
C．1
D．
解析：
设曲线上的点到两坐标轴的距离之和为d，
∴d＝|x|＋|y|＝|cos
θ|＋|sin
θ|，
设θ∈，∴d＝sin
θ＋cos
θ＝sin
，
∴dmax＝.故选D．
11．(2016·湖南科大附中期末)已知O为原点，P为椭圆(α为参数)上第一象限内一点，OP的倾斜角为，则点P坐标为( D )
A．(2,3)
B．(4,3)
C．(2，)
D．
解析：∵P在椭圆上，∴可设P坐标为(4cos
α，2sin
α)，又kOP＝＝tan＝ tan
α＝2且α∈，
∴∴P，故选D．
12．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为
(t为参数)
和
(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点个数为( D )
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：在中，当t＞0时，x≥2＝2；
当t＜0时，－x＝(－t)＋≥2＝2，得x≤－2.
原方程化为普通方程是y＝2(x≥2，或x≤－2)．①
方程
的普通方程为x2＋y2＝4.②
将①式中的y＝2代入②式中，得x＝0，
显然不满足①，即方程组
无实数解，所以曲线C1与C2的交点个数为0.故选D．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．(2016·湖南十三校联考)以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的参数方程为
(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos
θ，若直线l经过圆C的圆心，则常数a的值为1.
解析：将直线l的参数方程(t为参数)化为普通方程为y＝x－a，将圆C的极坐标方程ρ＝2cos
θ化为普通方程为x2＋y2＝2x，则圆心为(1,0)，代入直线y＝x－a可得a＝1.
14．(2016·广东南澳校级二模)在平面直角坐标系中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：(t为参数)平行，则常数a的值为4.
解析：直线l1的参数方程为(s为参数)，消去s得普通方程为x－2y－1＝0，
直线l2的参数方程为(t为参数)，消去t得普通方程为2x－ay－a＝0，
∵l1∥l2，∴＝，解得a＝4.
当a＝4时，两直线在y轴上的截距不等．
15．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的极坐标方程为ρsin
θ－ρcos
θ＝3，则C1与C2的交点在直角坐标系中的坐标为(2,5)．
解析：曲线C1普通方程为y＝x2＋1(x≥0)，曲线C2的直角坐标方程为：y＝x＋3，将y＝x＋3代入y＝x2＋1，得x2－x－2＝0，解得x＝－1(舍去)或x＝2，代入y＝x＋3得y＝5，所以交点坐标为(2,5)．
16．(2015·重庆卷)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos
2θ＝4，则直线l与曲线C的交点的极坐标为(2，π)．
解析：直线l的直角坐标方程为y＝x＋2，曲线C的直角坐标方程为x2－y2＝4，联立得交点的直角坐标为(－2,0)，从而交点的极坐标为(2，π)．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin
θ，C3：ρ＝2cos
θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
解析：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，
曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，
联立 或
∴C2和C3交点的直角坐标为(0,0)和.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π，A的极坐标为(2sin
α，α)，B的极坐标为(2cos
α，α)．
∴|AB|＝|2sin
α－2cos
α|＝4，
当α＝π时，|AB|取最大值，最大值为4
18．(12分)(2016·重庆高三检测)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin＝2.
(1)求曲线C和直线l在该直角坐标系下的普通方程；
(2)动点A在曲线C上，动点B在直线l上，定点P的坐标为(－2,2)，求|PB|＋|AB|的最小值．
解析：(1)由曲线C的参数方程
可得(x－1)2＋y2＝cos
2α＋sin2α＝1，
所以曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1.
由直线l的极坐标方程：ρsin
＝2，
可得ρ(sin
θ＋cos
θ)＝4，即x＋y＝4.
(2)设点P关于直线l的对称点Q(a，b)，则解得∴Q(2,6)．
由(1)知，曲线C为圆，圆心坐标为C(1,0)，
故|PB|＋|AB|＝|QB|＋|AB|≥|QC|－1＝－1.当Q，B，A，C四点共线，且A在B，C之间时，等号成立，所以|PB|＋|AB|的最小值为－1.
19．(12分)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)若P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin的公共点，求x＋y的取值范围．
解析：因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sin，
所以ρ2＝4ρsin
＝4ρ.
所以x2＋y2＝2y－2x，所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0.
(2)设z＝x＋y，由圆C的方程x2＋y2＋2x－2y＝0 (x＋1)2＋(y－)2＝4，所以圆C的圆心是(－1，)，半径是2.
将代入z＝x＋y，得z＝－t.
又直线l过点C(－1，)，圆C的半径是2，由题意有－2≤t≤2，所以－2≤－t≤2，即x＋y的取值范围是[－2,2]
20．(12分)(2016·云南昆明两区七校调研)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中θ为参数)，点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，且满足＝2，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝.
(1)求曲线C2的普通方程，射线l的参数方程；
(2)射线l与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|.
解析：(1)设P(x，y)，M(x′，y′)，∵＝2，
∴∵点M在曲线C1上，
∴∴(x′－1)2＋y′2＝3.
故曲线C2的普通方程为(x－2)2＋y2＝12.
由l：θ＝可得l：(t为参数且t≥0)．
(2)方法一 将l：(t为参数且t≥0)代入C1的方程得t2－t－2＝0，∵t≥0，∴t＝2，同理代入C2的方程得t2－2t－8＝0，∵t≥0，∴t＝4.∴|AB|＝4－2＝2.
方法二 曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρcos
θ－2＝0，将θ＝代入得ρ＝2，∴A的极坐标为，曲线C2的极坐标方程为ρ2－4ρcos
θ－8＝0，将θ＝代入得ρ＝4，
∴B的极坐标为，∴|AB|＝4－2＝2.
21．(12分)在直角坐标系中xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)写出曲线C的极坐标方程和普通方程；
(2)过点A(m,0)作曲线C的两切线AP，AQ，切点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点．
解析：(1)将x＝t代入y＝t2＋1中，得曲线C的普通方程为y＝x2＋1，将代入曲线C的普通方程y＝x2＋1中，得曲线C的极坐标方程为ρsin
θ＝ρ2cos
2θ＋1，即ρ2sin
2θ＋ρsin
θ＝ρ2＋1.
(2)由已知，两切线的斜率存在，设切点P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，∵y′＝2x，∴切线AP：y－yP＝2xP(x－xP)，即2xPx－y－yP＋2＝0，切线AQ：y－yQ＝2xQ(x－xQ)，即2xQx－y－yQ＋2＝0.又两切线均过点A(m,0)，
因而2xPm－yP＋2＝0且2xQm－yQ＋2＝0，∴直线PQ的方程为2mx－y＋2＝0，该直线恒过定点(0,2)
22．(12分)极坐标系与直线坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos
θ(ρ≥0)，曲线C2的参数方程为(t为参数，0≤α<π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋，θ＝φ－与曲线C1分别交于(不包括极点O)点A，B，C.
(1)求证：|OB|＋|OC|＝|OA|；
(2)当φ＝时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．
解析：(1)证明：依题意|OA|＝4cos
φ，|OB|＝4cos
，|OC|＝4cos
，则|OB|＋|OC|＝4cos
＋4cos
＝2(cos
φ－sin
φ)＋2(cos
φ＋sin
φ)＝4cos
φ＝|OA|.
(2)当φ＝时，B，C两点的极坐标分别是，，化为直角坐标为B(1，)，C(3，－)，所以经过点B，C的直线方程为y－＝－(x－1)，而C2是经过点(m,0)且倾斜角为α的直线，故m＝2，α＝www.
第一讲 1.1
一、选择题
1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2＋4y′2＝1，则曲线C的方程为( A )
A．25x2＋36y2＝1
B．9x2＋100y2＝1
C．10x＋24y＝1
D．x2＋y2＝1
解析：将代入x′2＋4y′2＝1，得25x2＋36y2＝1，所得方程即为所求曲线C的方程．故选A．
2．在平面直角坐标系中，方程x2＋y2＝1所对应的图形经过伸缩变换后的图形所对应的方程是( C )
A．4x′2＋9y′2＝1
B．9x′2＋4y′2＝1
C．＋＝1
D．＋＝1
解析：由伸缩变换得到①，将①代入x2＋y2＝1可得＋＝1.
3．椭圆C：＋＝1经过伸缩变换得到椭圆C′的一个焦点是
( A )
A．(，0)
B．(0,3)
C．(0，)
D．(0，－)
解析：椭圆C：＋＝1经过伸缩变换
得到椭圆C′为＋＝1.
∵c2＝a2－b2＝11，∴c＝，焦点又在x轴上．故选A．
4．已知平面上两定点A，B，且A(－2,0)，B(2,0)，动点P与两定点A，B连线斜率之积为－1，则动点P的轨迹是( B )
A．直线
B．圆的一部分
C．椭圆的一部分
D．双曲线的一部分
解析：设点P的坐标为(x，y)，则由kPA·kPB＝－1，
得·＝－1，整理得x2＋y2＝4(x≠±2)．故选B．
5．已知f1(x)＝cos
x，f2(x)＝cos
ωx(ω>0)，f2(x)的图象可以看作是把f1(x)的图象的横坐标压缩到原来的(纵坐标不变)而得到的，则ω＝( B )
A．
B．2
C．3
D．
解析：由伸缩变换公式可知ω＝2，故选B．
6．点P是边长为a的正△ABC所在平面内一点，则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最小值是( A )
A．a2
B．2a2
C．3a2
D．4a2
解析：如图，以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，
则A，B，C.设P(x，y)，
则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝x2＋2＋2＋y2＋2＋y2＝3x2＋3y2－ay＋a2＝3x2＋32＋a2≥a2，当且仅当x＝0，y＝a时取等号．故选A．
二、填空题
7．在同一平面直角坐标系中，使曲线y＝2sin
3x变为曲线y′＝sin
x′的伸缩变换是.
解析：对照比较曲线y＝2sin
3x和曲线y′＝sin
x′得
8．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为5.
解析：以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立如图的直角坐标系．
由题设，A(2,0)，设C(0，c)，P(0，y)，则B(1，c)．
＝(2，－y)，＝(1，c－y)．
＋3＝(5,3c－4y)．
＝≥5，
当且仅当y＝时，等号成立．
于是，当y＝时，有最小值5.
9．椭圆＋＝1按公式φ：变化得到的椭圆长轴变为短轴，短轴变成长轴．
解析：变换前椭圆方程为＋＝1，变换后的椭圆方程为＋＝1，将φ：代入变换后椭圆方程得到变换前的椭圆方程＋＝1.所以＝，＝，所以λ2＝9，μ2＝.所以λ＝3，μ＝.
三、解答题
10．在同一平面直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．
解析：设变换为代入第二个方程，
得2λx－μy＝4，与x－2y＝2即2x－4y＝4比较，
得λ＝1，μ＝4.则伸缩变换公式为
故直线x－2y＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x′－y′＝4.
11．(2016·广东高三质检)在正三角形ABC内有一动点P，已知P到三顶点的距离分别为|PA|，|PB|，|PC|，且满足|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，求点P的轨迹方程．
解析：以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设点P(x，y)，B(－a,0)，C(a,0)，A(0，a)，(y＞0，a＞0)，用点的坐标表示等式|PA|2＝|PB|2＋|PC|2，
有x2＋(y－a)2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2，
化简得x2＋(y＋a)2＝(2a)2，
即点P的轨迹方程为x2＋(y＋a)2＝4a2(y＞0)．
12．我国海军第五批护舰队编队由“广州”号导弹驱逐舰、“微山湖”号综合补给舰、以及先期到达亚丁湾、索马里海域执行任务的“巢湖”号导弹护卫舰汇合，对商船进行护航．某日，“广州”舰在“巢湖”舰正东6千米处，“微山湖”舰在“巢湖”舰北偏西30°，相距4千米．某时刻“广州”舰发现商船的某种求救信号．由于“巢湖”、“微山湖”两舰比“广州”舰距商船远，因此4
s后“巢湖”、“微山湖”两舰才同时发现这一信号，若此信号的传播速度为1
km/s.若“广州”舰赶赴救援，行进的方位角是多少？
解析：设A，B，C，P分别表示“广州”舰、“巢湖”舰、“微山湖”舰和商船．如图所示，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立平面直角坐标系，
则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,2)．
∵＝，∴点P在BC的垂直平分线上．
又kBC＝－，线段BC的中点D(－4，)，则kPD＝.∴直线PD的方程为y－＝(x＋4)．①
又∵－＝4，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，双曲线的方程为－＝1(x≥2)．②
联立①②，解得P点坐标为(8,5)．∴kPA＝＝.
因此“广州”舰行进的方位角为北偏东30°.www.
第二讲 2.2
一、选择题
1．(2016·华师一附中高三检测)参数方程(θ为参数)所表示的曲线为( B )
A．圆的一部分
B．抛物线的一部分
C．双曲线的一部分
D．椭圆的一部分
解析：参数方程(θ为参数)化为普通方程为x2＝y(0≤y≤2)，表示抛物线的一部分．
2．已知过曲线(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P和原点O的连线PO的倾斜角为，则P点的坐标是( D )
A．(3,4)
B．
C．
D．
解析：直线PO的方程是y＝x，又点P为曲线上一点，故3cos
θ＝4sin
θ即tan
θ＝，因为倾斜角为，0≤θ≤π，所以曲线与直线的交点在第一象限，故sin
θ＝，cos
θ＝，所以x＝y＝.
3．点P(x，y)是椭圆2x2＋3y2＝12上的一个动点，则x＋2y的最大值为( A )
A．
B．22
C．
D．4
解析：椭圆方程为＋＝1，设P(cos
θ，2sin
θ)，则x＋2y＝cos
θ＋4sin
θ＝sin(θ＋φ)，故x＋2y≤.x＋2y的最大值为.
4．双曲线C：(φ为参数)的一个焦点为
( C )
A．(3,0)
B．(4,0)
C．(5,0)
D．(0,5)
解析：由得于是2－2＝－tan2φ＝1，即双曲线方程为－＝1，
焦点为(±5,0)．故选C．
5．已知两曲线参数方程分别为(0≤θ＜π)和(t∈R)，它们的交点坐标为( A )
A．
B．(5,2)
C．(5，－2)
D．
解析：由(0≤θ＜π)，得＋y2＝1(y≥0)．由x＝t2，y＝t(t∈R)得x＝y2，∴5y4＋16y2－16＝0，
解得y2＝或y2＝－4(舍去)．所以x＝y2＝1.又θ≥0，得交点坐标为.
6．(2015·湖北黄石月考)椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－4＝0的距离的最小值为( A
)
A．
B．
C．
D．0
解析：可设椭圆＋＝1上的点为(3cos
θ，2sin
θ)，
该点到直线x＋2y－4＝0的距离d＝＝≥＝.故选A．
二、填空题
7．(2016·湖南株洲模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴)中，直线C2的方程为ρ(cos
θ－sin
θ)＋1＝0，则曲线C1与C2的交点的个数为2.
解析：由题意，曲线C1的参数方程(α为参数)可化为一般方程＋＝1，直线C2的极坐标方程ρ(cos
θ－sin
θ)＋1＝0可化为普通方程x－y＋1＝0.联立两个方程，消去y可得＋＝1，即7x2＋8x－8＝0.因为Δ＝82＋4×7×8>0，所以直线与椭圆相交，且有两个交点．
8．已知抛物线C的参数方程为(t为参数)．若斜率为1
的直线过抛物线C的焦点，且与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相离，则r的取值范围是
(0，)．
解析：由得y2＝8x，抛物线C的焦点坐标为F(2,0)，直线方程为y＝x－2，即x－y－2＝0.因为直线y＝x－2与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相离，由题意得
d＝＝>r.
9．(2016·山西太原一模)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参方程为(θ为参数)，点M是曲线C1上的动点．点P在曲线C2上，且＝2，则曲线C2的普通方程为(x－2)2＋y2＝12.
解析：设M(x′，y′)是曲线C1上的动点，P(x，y)是曲线C2上的点，则x＝2x′，y＝2y′.
而(θ为参数)消去θ得(x′－1)2＋y′2＝3，∴曲线C2的普通方程为(x－2)2＋y2＝12.
三、解答题
10．已知P为椭圆4x2＋y2＝4上的点，A(0,6)，求的取值范围．
解析：由4x2＋y2＝4，得x2＋＝1.
令(φ为参数)，
则2＝(0－cos
φ)2＋(6－2sin
φ)2＝3sin2φ－24sin
φ＋37＝3(sin
φ－4)2－11，
∵sin
φ∈[－1,1]，∴2∈[16,64]，∴∈[4,8]．
11．已知椭圆C：＋＝1与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，动点P是椭圆上任一点，求△PAB面积的最大值．
解析：∵P在椭圆上，可设P(4cos
α，3sin
α)，
又lAB：＋＝1，P到lAB距离
d＝＝≤(＋1)，
∴(S△PAB)max＝6(＋1)．
12．(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标．
解析：(1)C1的普通方程为＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
(2)设P(cos
α，sin
α)，|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，d(α)＝
＝，
当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时d(α)取得最小值，最小值为，此时点P的直角坐标为www.
第二讲 2.1 2.1.1
一、选择题
1．(2016·重庆期末)P(x，y)是曲线(α为参数)上任一点，则(x－2)2＋(y＋4)2的最大值是( A )
A．36
B．6
C．26
D．25
解析：消去参数得(x＋1)2＋y2＝1，故曲线是以C(－1,0)为圆心，1为半径的圆，(x－2)2＋(y＋4)2表示圆上点(x，y)到P(2，－4)距离的平方，最大距离为|CP|＋R(圆的半径)，即＋1＝6，即所求的最大值为36.
2．曲线xy＝1的参数方程是( D )
A．
B．
C．
D．
解析：注意x，y的范围，知答案为D．
3．已知曲线C满足方程
(t为参数)，则曲线C上点的横坐标的取值范围是( D )
A．R
B．
[0，＋∞)
C．
[1，＋∞)
D．
解析：横坐标的取值范围即为t的范围，由y＝，知2t－1≥0即t≥，故选D．
4．(2016·湖北黄冈中学检测)设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：化曲线C的参数方程为普通方程：(x－2)2＋(y＋1)2＝9，圆心(2，－1)到直线x－3y＋2＝0的距离d＝＝<3，直线和圆相交，过圆心和l平行的直线和圆的2个交点符合要求，又>3－，在直线l的另外一侧没有圆上的点符合要求，所以选B．
5．曲线的参数方程是(t是参数，t≠0)，它的普通方程是( B )
A．(x－1)2(y－1)＝1(y<1)
B．y＝(y<1)
C．y＝－1(y<1)
D．y＝－1(y<1)
解析：由x＝1－，得t＝，故y＝1－＝，又y＝1－t2，t≠0，故y＜1，因此所求的普通方程为y＝(y＜1)．
6．直线y＝x－1上的点到曲线(θ为参数)上点的最近距离是( C )
A．2
B．－1
C．2－1
D．1
解析：设曲线上任一点P(－2＋cos
θ，1＋sin
θ)，则点P到直线x－y－1＝0的距离d＝＝|cos
θ－sin
θ－4|＝，所以dmin＝|－4|＝2－1.
二、填空题
7．(2016·湖南怀化期末)若正数x，y满足x2＋y2＝1，则x＋2y的最大值为.
解析：令x＝cos
θ，y＝sin
θ，则x＋2y＝cos
θ＋2sin
θ
＝
＝sin
(α＋θ)，
则x＋2y的最大值是.
8．(2016·广东广州模拟)已知曲线C的参数方程是(α为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程是ρ＝2cos_θ＋4sin_θ.
解析：曲线C的普通方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，，即x2＋y2－2x－4y＝0，把ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ代入，得其极坐标方程为ρ2－2ρcos
θ－4ρsin
θ＝0，即ρ＝2cos
θ＋4sin
θ.
9．(2016·广东期末)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为(θ∈R)．
解析：圆的方程 2＋y2＝ 圆的半径r＝ OP＝cos
θ·2r＝cos
θ x＝OP·cos
θ＝cos2
θ，y＝OP·sin
θ＝cos
θ·sin
θ，所以圆的方程为(θ∈R)．
三、解答题
10．已知点P(x，y)是圆x2＋y2＝2y上的动点．
(1)求2x＋y的取值范围；
(2)若x＋y＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围．
解析：(1)设圆的参数方程为
则2x＋y＝2cos
θ＋sin
θ＋1＝sin
(θ＋φ)＋1，
所以－＋1≤2x＋y≤＋1.
即2x＋y的取值范围是[－＋1，＋1]．
(2)因为x＋y＋a＝cos
θ＋sin
θ＋1＋a≥0恒成立，
所以a≥－(cos
θ＋sin
θ)－1＝－sin
－1恒成立，
所以a≥－1.故实数a的取值范围为[－1，＋∞)．
11．(2016·江西南昌校级二模)已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin
θ.
(1)求C1的极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
解析：(1)曲线C1的普通方程为(x－4)2＋(y－5)2＝25化为极坐标方程为ρ2－8ρcos
θ－10ρsin
θ＋16＝0.
(2)曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1，
由得或即交点坐标为，.
12．过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
解析：设M(x，y)，设直线l1的方程为y－4＝k(x－2)(k≠0)，又l1⊥l2，则直线l2的方程为y－4＝－(x－2)，
故l1与x轴交点A的坐标为，
l2与y轴交点B的坐标为.
∵M为AB的中点，∴
(k为参数)．
消去k，得x＋2y－5＝0.
另外，当k＝0时，AB中点为M(1,2)，满足上述轨迹方程；
当k不存在时，AB中点为M(1,2)，也满足上述轨迹方程．
综上所述，M的轨迹方程为x＋2y－5＝0.www.
第二讲 2.3
1．直线的参数方程为(t为参数)，M0(－1,2)和M(x，y)是该直线上的定点和动点，则|t|的几何意义是( C )
A．
B．
C．
D．以上都不是
解析：由参数t的几何意义及向量模的定义知选C．
2．直线(a，b为常数，t为参数)的方向向量可以是( B )
A．(－a，b)
B．(－a，－b)
C．(a，－b)
D．
解析：由参数方程知直线的方向向量为(－a，－b)，也可以是(a，b)，不能选D，原因是a有可能等于0，故选B．
3．已知曲线C1的参数方程是(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，则C1与C2交点的直角坐标为(，1)．
解析：由消去t得y＝x(x≥0)，即曲线C1的普通方程是y＝x(x≥0)；由ρ＝2，得ρ2＝4，得x2＋y2＝4，即曲线C2的直角坐标方程是x2＋y2＝4.联立得故曲线C1与C2交点的直角坐标是(，1)．
4．(2016·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝.求l的斜率．
解析：(1)将代入(x＋6)2＋y2＝25
得ρ2＋12ρcos
θ＋11＝0.
(2)设直线l的斜率为k，
由得l：y＝kx.
联立得(k2＋1)x2＋12x＋11＝0
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴|AB|＝＝
＝· k＝±.www.
第二讲 2.1 2.1.2
一、选择题
1．已知曲线的参数方程为(θ为参数)，则曲线的普通方程为( C )
A．x2＝y
B．y2＝x
C．x2＝y(0≤y≤2)
D．以上都不对
解析：将x＝sin
θ＋cos
θ两边平方得
x2＝sin2θ＋2sin
θcos
θ＋cos2θ＝1＋sin
2θ＝y.
而y＝1＋sin
2θ∈[0,2]，故选C．
2．(2016·湖北武汉期末)与参数方程为(t为参数)等价的普通方程为( D )
A．＋＝1
B．＋＝1(0≤x≤1)
C．＋＝1(0≤y≤2)
D．＋＝1(0≤x≤，0≤y≤2)
解析：x2＝1＋t，＝1－t，故x2＋＝2，而－1≤t≤1，得0≤x≤，0≤y≤2.故选D．
3．参数方程(t为参数)化为普通方程为
( D )
A．x2＋y2＝1
B．x2＋y2＝1去掉(0,1)点
C．x2＋y2＝1去掉(1,0)点
D．x2＋y2＝1去掉(－1,0)点
解析：x2＋y2＝2＋2＝1，
又x＝＝－1＋≠－1，故选D．
4．直线l：(t为参数)与圆(α为参数)相切，则直线的倾斜角θ为
( A )
A．或
B．或
C．或
D．－或－
解析：直线l的普通方程为tan
θ·x－y＝0，圆的普通方程为(x－4)2＋y2＝4.
所以圆心(4,0)到直线l的距离d＝＝2，
解得
tan
θ＝±，又∵θ∈[0，π)，∴θ＝或θ＝，故选A．
5．(2016·湖北黄冈中学期末)已知0＜r2＜＋1，曲线C1：(θ为参数)与曲线C2：x2＋y2＝r的位置关系是( B )
A．外切
B．相交
C．外离
D．内含
解析：曲线C1：(θ为参数)化成普通方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2，两圆心之间的距离＝＝，所以r1－r2＜＜r1＋r2，故选B．
6．下列参数方程(t为参数)中，与x2－4y＝0表示同一曲线的是( D )
A．
B．
C．
D．
解析：A化为普通方程是x2－4y＝0，但有x≥0限制．
B化为普通方程是x2－4y＝0，但有x>0的限制，而原方程无限制．
C化为普通方程是x2－4y＝0，但有x∈[－2,2]的限制，原方程无限制．
D化为普通方程是x2－4y＝0，x∈R与原方程等价．故选D．
二、填空题
7．参数方程(t为参数)表示的曲线的焦点坐标是(10,0)，(－10,0)．
解析：∵2－2＝4，∴2－2＝4，
∴－＝1.故它的焦点坐标是(10,0)，(－10,0)．
8．(2016·江西九江一中检测)直线＋＝1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是x＋y＝1(x≠0，x≠1)．
解析：设直线＋＝1与x，y轴交点为A(a,0)，B(0，2－a)，A，B中点为M(x，y)，
则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1，
∵a≠0，a≠2，∴x≠0，x≠1.
9．参数方程(t为参数)的普通方程为－＝1(x≥2)．
解析： ＝4.
三、解答题
10．以过点A(0,4)的直线的斜率为参数，试求方程4x2＋y2＝16的参数方程．
解析：设M(x，y)是曲线4x2＋y2＝16上不同于点A(0,4)和(0，－4)的任意一点，则＝k(k≠0)，所以y＝kx＋4(k≠0)．将y＝kx＋4代入4x2＋y2＝16，得x[(4＋k2)x＋8k]＝0，所以(舍去)或(k≠0，k为参数)．
当k＝0时，A(0,4)在曲线4x2＋y2＝16上；当k不存在时，即点M为(0，－4)，在曲线4x2＋y2＝16上．故所求的参数方程为或(k为参数)．
11．(2016·湖北团风中学期末)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，求的最小值．
解析：消掉参数θ，得到关于x，y的一般方程C1：(x－3)2＋y2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C2表示的是以原点为圆心的单位圆，两圆心之间的距离＝3，
所以的最小值为－r1－r2＝3－1－1＝1.
12．(2016·重庆高三质检)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，曲线C2的参数方程为(a>b>0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．
(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
(2)设当α＝时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
解析：(1)C1是圆，C2是椭圆．当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.当α＝时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.
(2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和＋y2＝1.
当α＝时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝，与C2交点B1的横坐标为x′＝.
当α＝－时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形，故四边形A1A2B2B1的面积为＝.www.
第一讲 1.3
一、选择题
1．(2016·安徽高三质检)在极坐标系中，点到圆ρ＝2cos
θ的圆心的距离为( D )
A．2
B．
C．
D．
解析：点的直角坐标为(1，)，ρ＝2cos
θ化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，故圆心为(1,0)，点(1，)到圆心(1,0)的距离为，故选D．
2．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( C )
A．两个圆
B．两条直线
C．一个圆和一条射线
D．一条直线和一条射线
解析：由题意得ρ＝1，或θ＝π(ρ≥0)，ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线．故选C．
3．(2016·北京东城一模)在极坐标系中，点到直线ρcos
θ－ρsin
θ－1＝0的距离等于( A )
A．
B．
C．
D．2
解析：点的直角坐标为(1,1)，直线ρcos
θ－ρsin
θ－1＝0的直角坐标方程为x－y－1＝0，所以点到直线ρcos
θ－ρsin
θ－1＝0的距离为＝.
4．(2016·安徽一模)在极坐标系中，点P到圆ρ＝－2cos
θ的圆心的距离为( D )
A．2
B．
C．
D．
解析：点P化为直角坐标为xP＝2cos＝1，yP＝2sin
＝－，即P(1，－)．圆ρ＝－2cos
θ化为ρ2＝－2ρcos
θ，化为直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝1，可得圆心C(－1,0)．∴|PC|＝＝.故选D．
5．在极坐标系中有如下三个结论：
①点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程；
②tan
θ＝1与θ＝表示同一条曲线；
③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．
在这三个结论中正确的是( D )
A．①③
B．①
C．②③
D．③
解析：点P在曲线C上要求点P的极坐标中至少有一个满足C的极坐标方程；tan
θ＝1能表示θ＝和θ＝π两条射线；ρ＝3和ρ＝－3都表示以极点为圆心，以3为半径的圆，所以只有③成立．故选D．
6．(2016·安徽安庆二模)在极坐标系中，曲线C：ρ＝2sin
θ上的两点A，B对应的极角分别为，，则弦长|AB|＝( C )
A．1
B．
C．
D．2
解析：A，B两点的极坐标分别为，，化为直角坐标为，.
故|AB|＝＝.故选C．
二、填空题
7．极坐标系下，直线ρcos
＝与圆ρ＝的公共点个数是1.
解析：直线方程ρcos
＝，
即ρ＝，
所以直角坐标方程为x＋y－2＝0.
圆的方程ρ＝，即ρ2＝2，所以直角坐标方程为x2＋y2＝2.
因为圆心到直线的距离为d＝＝＝r，
所以直线与圆相切，即公共点个数是1.
8．(2016·湖北武汉模拟)在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，圆C1：ρ＝4sin
θ，直线C2：ρcos＝－2，则直线C2截圆C1所得的弦长为2.
解析：由ρ＝4sin
θ，得ρ2＝4ρsin
θ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝4y，化为标准形式为x2＋(y－2)2＝4，该圆是以(0,2)为圆心，2为半径的圆．直线C2：ρcos＝－2的直角坐标方程为x－y＋4＝0.
设圆心到直线的距离为d，则d＝＝，则直线C2截圆C1所得的弦长为2＝2.
9．(2016·广东珠海模拟)在极坐标系中，曲线ρ＝－4cos
θ上的点到直线ρ(cos
θ＋sin
θ)＝8的距离的最大值是7.
解析：曲线ρ＝－4cos
θ的直角坐标方程为x2＋y2＝－4x，即(x＋2)2＋y2＝22，圆心坐标为(－2,0)，半径为2.直线的直角坐标方程为x＋y－8＝0.由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离d＝＝5，，故圆上的点到直线的距离的最大值为5＋2＝7.
三、解答题
10．判断两圆ρ＝cos
θ＋sin
θ和ρ＝2cos
θ的位置关系．
解析：将圆的方程的两边同乘以ρ，
得到ρ2＝ρcos
θ＋ρsin
θ，ρ2＝2ρcos
θ，
再用互化公式ρ2＝x2＋y2，ρcos
θ＝x，ρsin
θ＝y，
代入以上两方程分别得x2＋y2－x－y＝0，x2＋y2－2x＝0，
所以两圆的直角坐标方程分别为2＋2＝1，
(x－1)2＋y2＝1.所以两圆的圆心分别为C1，C2(1,0)，半径都为1.
又∵＝＝1，
∴0＝1－1<<1＋1＝2.
∴两圆相交．
11．(2016·江苏高三模拟)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρ
cos＝2.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
解析：由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.由ρ2－2ρcos
＝2，整理得ρ2－2ρcos
θ－2ρsin
θ－2＝0.
所以圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcos
θ＋ρsin
θ＝1，
即ρsin
＝.
12．在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sin
θ上的一动点，Q是曲线ρ＝12cos
上的动点，M是曲线ρsin
＝－10上的一动点．
(1)试求的最大值；
(2)试求的最小值．
解析：(1)将曲线ρ＝12sin
θ化为直角坐标方程为x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36.
将曲线ρ＝12cos
两边同乘ρ，
得到ρ2＝12ρ，
化为直角坐标方程为x2＋y2－6x－6y＝0，化成标准形式为(x－3)2＋(y－3)2＝36.
所以|PQ|max＝6＋6＋＝18.
(2)将曲线ρsin
＝－10，化为直角坐标方程为x＋y＋10＝0.因为圆x2＋(y－6)2＝36的圆心到直线的距离d＝＝10＋3>r＝6，所以的最小值就是圆x2＋(y－6)2＝36的圆心到直线x＋y＋10＝0的距离减半径．
所以|PM|min＝(10＋3)－6＝4＋3.www.
第二讲 2.2
1．曲线C:
(α为参数)的离心率为( A )
A．
B．
C．
D．
解析：由题设得＋＝1，∴a2＝9，b2＝5，c2＝4.
∴e＝＝.故选A．
2．已知点M(3，m)在以F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|MF|＝( D )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由得，∴＝，即y2＝4x，∴p＝2，∴|MF|＝3＋＝4.故选D．
3．点P(x，y)在椭圆＋y2＝1上，则x＋y的最大值为.
解析：由已知可得椭圆的参数方程为(α为参数)，则x＋y＝2cos
α＋sin
α＝sin
(α＋φ)(tan
φ＝2)，∴(x＋y)max＝.
4．由抛物线y2＝2x上各点做y轴的垂线段，求线段中点的轨迹方程(参数形式)．
解析：∵抛物线的方程为y2＝2x，∴可设抛物线上任一点的坐标为(2t2,2t)，向y轴作垂线，垂足为(0,2t)，∴它们中点的坐标为(t2,2t)，∴中点的轨迹方程为(t为参数)，轨迹为一条抛物线．
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第二讲 2.4
1．半径为2的圆的渐开线的参数方程是( D )
A．(φ为参数)
B．(φ为参数)
C．(φ为参数)
D．(φ为参数)
解析：∵r＝2，∴半径为r的圆的渐开线的参数方程(φ为参数)，可知选D．
2．已知摆线的参数方程是(φ为参数)，该摆线一个拱的宽度和高度分别是( D )
A．2π，2
B．2π，4
C．4π，2
D．4π，4
解析：由摆线的参数方程可知，产生摆线的圆的半径r＝2，又由摆线的产生过程可知，摆线一个拱的宽度等于圆的周长为2πr＝4π，摆线的拱高等于圆的直径为4，故选D．
3．摆线(φ为参数，0≤φ<2π)与直线y＝4的交点的直角坐标为
(2π－4,4)或(6π＋4,4)．
解析：由题设得4＝4(1－cos
φ)，∴cos
φ＝0，∵φ∈[0,2π)，∴φ
1＝，φ
2＝，对应的交点坐标为或即(2π－4,4)或(6π＋4,4)．
4．当φ＝，φ＝时，求出渐开线(φ为参数)上对应的点A，B，并求出A，B两点间的距离．
解析：将φ＝，φ＝分别代入参数方程得
所以A，B.
因此|AB|＝＝2.
故A，B两点间的距离为2.www.
第一讲 1.3
1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin
θ的圆心的极坐标是( B )
A．
B．
C．(1,0)
D．(1，π)
解析：因为该圆的直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，即为x2＋(y＋1)2＝1，圆心的直角坐标方程为(0，－1)，化为极坐标可以为(1，－)，故选B．
2．(2016·湖北黄冈中学检测)极坐标方程4ρsin2＝5表示的曲线是( D )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
解析：已知即＝5，即2－2x＝5，化简即得y2＝5x＋，选D．
3．(2016·江西高二检测)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin
θ＋4cos
θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为x2＋y2－4x－2y＝0.
解析：由ρ＝2sin
θ＋4cos
θ得ρ2＝2ρsin
θ＋4ρcos
θ，又x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ，所以该曲线的直角坐标方程为x2＋y2－4x－2y＝0.
4．在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin
2θ＝cos
θ和ρsin
θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为(1,1)．
解析：将曲线C1的方程ρsin2θ＝cos
θ化为直角坐标方程为y2＝x，将曲线C2的方程ρsin
θ＝1化为直角坐标方程为y＝1.由解得故曲线C1和C2交点的直角坐标为(1,1)．www.
第一讲 1.1
1．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( B )
A．π
B．4π
C．8π
D．9π
解析：设P点的坐标为(x，y)，∵|PA|＝2|PB|，∴(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]．即(x－2)2＋y2＝4.故P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，它的面积为4π.
2．(2016·湖南高三质检)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2＋y′2＝1，则曲线C的方程为25x2＋9y2＝1.
解析：∵x′＝5x，y′＝3y，x′2＋y′2＝1，∴(5x)2＋(3y)2＝1，即25x2＋9y2＝1.
3．在平面直角坐标系上伸缩变换的表达式为正弦曲线y＝sin
x在此变换下得到的曲线方程是y＝
sin
2x.
解析：根据伸缩变换关系式
整理得代入y＝sin
x得y′＝
sin
2x′，
也可写为y＝
sin
2x.
4．简述由曲线y＝tan
x得到曲线y＝3tan
2x的变化过程，并求出坐标伸缩变换．
解析：y＝tan
x的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到y＝tan
2x，再将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线y＝3tan
2x.
设y′＝3tan
2x′，变换公式为
将其代入y′＝3tan
2x′得则www.
第二讲 2.4 2.1.1
1．(2016·江西师大高三月考)当参数θ变化时，由点P(2cos
θ，3sin
θ)所确定的曲线过点( D )
A．(2,3)
B．(1,5)
C．
D．(2,0)
解析：当2cos
θ＝2，即cos
θ＝1时，3sin
θ＝0.则曲线过点(2,0)．故选D．
2．曲线(θ为参数)的对称中心( B )
A．在直线y＝2x上
B．在直线y＝－2x上
C．在直线y＝x－1上
D．在直线y＝x＋1上
解析：曲线方程消参化为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，其对称中心点为(－1,2)，验证知其在直线y＝－2x上．
3．(2016·湖北黄冈中学月考)曲线
经过点，则a＝±.
解析：点(，a)代入曲线方程得cos
θ＝，a＝2sin
θ＝±2＝±.
答案：±
4．(2016·广东质检)求圆x2＋y2＝9上一点P与定点(1,0)之间距离的最小值．
解析：设P(3cos
θ，3sin
θ)，则P到定点(1,0)的距离为d(θ)＝＝，
当cos
θ＝1时d(θ)min＝2.
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第一讲 1.4
一、选择题
1．空间直角坐标系Oxyz中，下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是( A )
A．
B．
C．
D．
解析：由x＝ρcos
θ＝0得到θ＝，故选A．
2．设点M的直角坐标为(－2，－2，6)，则它的柱坐标是( A )
A．
B．
C．
D．
解析：∵ρ＝
＝4，θ＝π，z＝6.
∴M的柱坐标为.故选A．
3．设点M的直角坐标为(－2,2,2)，则它的球坐标为( B )
A．
B．
C．
D．
解析：由变换公式r＝＝4，cos
φ＝＝，∴φ＝.∵tan
θ＝＝－1，∴θ＝π.∴M的球坐标为.故选B．
4．点M的球坐标为，则它的直角坐标为( A )
A．(－3，，2)
B．(3，，4)
C．(－3，－，2)
D．(－3，，－2)
解析：由x＝4sin
cos
＝－3，y＝4sin
sin
＝，z＝4cos
＝2，得点M的直角坐标为(－3，，2)．故选A．
5．点M的柱坐标为，则它的球坐标为( A )
A．
B．
C．
D．
解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，则x＝ρcos
θ＝2cos＝1，y＝ρsin
θ＝2sin
＝，故点M的直角坐标为.设点M的球坐标为(r，φ，θ)，则r＝＝，cos
φ＝＝，所以φ＝.又θ＝，故选A．
6．已知球坐标系中，M，N，则的长度为
( D )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：∵|OM|＝|ON|＝6，∠MON＝.
∴△MON为等边三角形，∴|MN|＝6.故选D．
二、填空题
7．设点M的球坐标为，则点M的直角坐标为(－1，，0)．
解析：x＝rsin
φcos
θ＝2×sin
×cos
π＝－1，
y＝rsin
φsin
θ＝2×sin
×sin
π＝，
z＝rcos
φ＝2×cos
＝0，所以M(－1，，0)．
8．设点M的柱坐标为，则点M的直角坐标为(1，，5)．
解析：由x＝ρcos
θ＝2cos
＝1，y＝ρsin
θ＝2sin
＝，z＝5，得点M的直角坐标为(1，，5)．
9．已知柱坐标系中，点M的柱坐标为，且点M在数轴Oy上的射影为N，则|OM|＝2，|MN|＝2.
解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，
则x＝ρcos
θ＝4×cos
π＝－2，
y＝ρsin
θ＝4×sin
π＝－2，
z＝2，故点M的直角坐标为(－2，－2，2)．
所以|OM|＝＝2，
|MN|＝＝2.
三、解答题
10．设点M的直角坐标为(1,1，)，求点M的柱坐标与球坐标．
解析：由坐标变换公式，可得
ρ＝＝，tan
θ＝＝1，θ＝.
(点(1,1)在平面xOy的第一象限)，
r＝＝＝2.
由rcos
φ＝z＝，得cos
φ＝＝，φ＝.故点M的柱坐标为，点M的球坐标为.
11．在柱坐标系中，求满足
的动点M(ρ，θ，z)围成的几何体的体积．
解析：根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)的轨迹是以直线Oz为轴，轴截面为圆形的圆柱，如图所示，圆柱的底面半径r＝1，高h＝2，则V＝Sh＝πr2h＝2π(体积单位)．
12．在球坐标系中，点P与点Q
的球坐标分别为与，求P，Q两点间的距离．
解析：设点P的直角坐标为(x，y，z)，
则x＝6sin
cos
＝3，
y＝6sin
sin
＝3，z＝6cos＝0，
所以点P，
同理点Q的直角坐标为Q.
∴|PQ|＝＝3.www.
第一讲 1.2
1．已知M，下列所给出的能表示该点的坐标的是( D )
A．
B．
C．
D．
解析：M(ρ，θ)也可以表示为(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)，M(5，)也可以表示为(5，＋2kπ)(k∈Z)，故选D．
2．在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是( B )
A．(ρ，θ)
B．(ρ，－θ)
C．(ρ，θ＋π)
D．(ρ，π－θ)
解析：在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点的极径不变，极角关于极轴对称．故选B．
3．点M的直角坐标是(－1，)，则点M的极坐标为.
解析：ρ＝＝＝2，tan
θ＝＝－，因为点M在第二象限，所以取θ＝，故点M的极坐标为.
4．(2016·湖北黄冈检测)在极坐标系中，点A和点B的极坐标分别为，(3,0)，O为极点，求：
(1)|AB|；(2)求△AOB的面积．
解析：(1)△AOB中，|OA|＝2，|OB|＝3，∠AOB＝由余弦定理得
|AB|＝＝
＝.
(2)S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝
×2×3×＝.
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