(共33张PPT)
1.6
余弦函数的图像与性质
1.余弦函数图像的画法
(1)平移法：
左
(2)五点法：
①五个关键点：
x
0
π
2π
cos
x
__
__
___
__
__
1
0
-1
0
1
②函数y=cos
x，x∈［0,2π］的简图：
y=cosx(x∈[0,2π])的图像向左、向右平行移动(每次平移____个单
位)得到余弦函数y=cosx(x∈R)的图像,此图像叫作余弦曲线.
2π
2.余弦函数的性质
函数
性质
余弦函数y=cos
x
图像
定义域
R
值域
［-1,1］
函数
性质
余弦函数y=cos
x
最值
当x=2kπ(k∈Z)时，ymax=1
当x=(2k+1)π(k∈Z)时，ymin=-1
周期性
是周期函数，最小正周期为____
奇偶性
是偶函数，图像关于y轴对称
单调性
在［(2k-1)π,2kπ］(k∈Z)上是_____的
在［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z)上是_____的
2π
增加
减少
【即时小测】
1.思考下列问题
(1)由y=sinx,x∈R的图像得到y=cosx,x∈R的图像,平移的方法唯一吗
提示:可向左平移也可向右平移,方法不唯一.
(2)形如y=Acos(ωx+φ)(A>0,x∈R)的值域还是[-1,1]吗
提示:不一定是.值域是[-A,A].
(3)余弦函数是偶函数,图像关于y轴对称,那么余弦函数的对称轴只有一条吗
提示:余弦函数的对称轴有无数条.
2.函数y=cosx-2的最小值是 ( )
A.-2 B.-3 C.0 D.-1
【解析】选B.cosx∈[-1,1],故y=cosx-2的最小值为-3.
3.已知函数y=3cos(π+x),则当x=________时,函数取得最大值.
【解析】y=3cos(π+x)=-3cosx,所以当x=2kπ+π(k∈Z)时函数取得最大值.
答案:2kπ+π(k∈Z)
4.设
则M与N的大小关系为________.
【解析】
y=cosx在[0,π]上为减少的且
所以
所以N>M.
答案:N>M
5.求
的定义域.
【解析】根据函数解析式可得
所以
借助数轴,得原函数的定义域为
【知识探究】
知识点
余弦函数的图像和性质
观察如图所示内容,回答下列问题:
问题:你能类比正弦函数的性质总结出余弦函数的性质吗
【总结提升】
1.对余弦函数单调性的三点说明
(1)余弦函数在定义域R上不是单调函数,但存在单调区间.
(2)求解或判断余弦函数的单调区间(或单调性),是求与之相关的值域(或最值)的关键,通常借助其求值域(或最值).
(3)确定较复杂函数的单调性,要注意使用复合函数单调性的判断方法.
2.对余弦函数最值的两点说明
(1)明确余弦函数的有界性:|cosx|≤1.
(2)形如y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数求最值,通常用“整体代换”令z=ωx+φ,将函数转化为y=Acosz的形式.
【题型探究】
类型一
余弦函数的图像
【典例】试用“五点法”作出函数y=2cosx+1的图像.
【解题探究】要作函数的图像,要求的“五点”是什么
提示:“五点”分别是(0,3),
,(π,-1),
,(2π,3).
【解析】列表:
描点连线:
【方法技巧】“五点法”画函数图像的三个步骤
【变式训练】(2015·汉中高一检测)函数y=cosx-2,x∈[-π,π]的图像是 ( )
【解析】选A.y=cosx,x∈[-π,π]的图像为
,向下平移
2个单位得y=cosx-2,其图像为
,故选A.
类型二
余弦函数的性质
【典例】不等式sinx
(x∈(0,2π))的解集为__________.
【解题探究】当sinx(x∈(0,2π))
时,y=sinx与y=cosx的图像之间的关系是怎样的
提示:y=sinx的图像在y=cosx的下方.
【解析】在同一个坐标系中作出y=sinx,y=cosx在[0,2π]上的图像如图:
因为sinx故
所以不等式的解集为
答案:
【延伸探究】
1.(变换条件)若本例中x∈R,试求不等式的解集.
【解析】因为正余弦函数的周期都是2π,由本例的解法可知当x∈R时,
不等式的解集为
,k∈Z.
2.(变换条件)设f(x)=
给出下列四个命题:
①该函数是以π为最小正周期的周期函数;
②当且仅当x=π+kπ(k∈Z)时,该函数取得最小值-1;
③该函数的图像关于x=
+2kπ(k∈Z)对称;
④当且仅当2kπ+2kπ(k∈Z)时,0.
其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上)
【解析】由题意函数f(x)=
画出f(x)在x∈[0,2π]上的图像.
由图像知,函数f(x)的最小正周期为2π,
在x=π+2kπ(k∈Z)和x=
+2kπ(k∈Z)时,该函数都取得最小值-1,
故①②错误,
由图像知,函数图像关于直线x=
+2kπ(k∈Z)对称,
在2kπ+2kπ(k∈Z)时,0,故③④正确.
答案:③④
【方法技巧】关于余弦函数性质的应用
应用余弦函数的性质时一般要结合余弦函数的图像,特别注意余弦函数单调区间、最值、对称性等性质在图像中的体现,解题中要善于利用图像发现函数的性质用于解题.
【补偿训练】函数f（x）=
有意义,则x的取值范围
是____________.
【解析】要使函数有意义,则1-2cosx≥0,即cosx≤
,x∈(0,2π)
,
解得
即不等式的解集为
答案:
规范解答
余弦函数性质的应用
【典例】(12分)求函数
的最大值及
最小值,并写出x取何值时,函数有最大值和最小值.
【审题指导】要求函数的最值,需要把cosx看作整体,换元后配方求最值,再根据取最值时的cosx值,求x的值.
【规范解答】
【题后悟道】关于换元法的应用
换元法在求解析式、值域、单调区间等问题中有着广泛的应用,应用
换元法时要特别注意换元范围的确定,换元的范围决定了相应问题的
正误.如本题中换元t∈
决定了函数的最值,如果换元的范围不准
确,很容易把最值的范围求错.1.6
余弦函数的图像与性质
知识梳理
1.任意角的余弦函数
（1）定义
如图1-5-1所示，单位圆与角α的终边交于P点.设P（a，b）,则P点横坐标a是角α的函数，称为余弦函数，记为a=cosα(α∈R).通常用x、y表示自变量和因变量，将余弦函数表示为y=cosx(x∈R).
图1-5-1
（2）余弦线
如图1-5-1所示，过点P作x轴的垂线PM，垂足为M.单位圆中的有向线段OM叫做角α的余弦线（是三角函数线之一）.当角α的终边在y轴上时，M与O重合，此时余弦线变成一个点.
（3）余弦线所表示的余弦值可如下确定：
余弦线的方向是表示余弦值的符号，同x轴一致，向上为正，向下为负；正弦线的长度是正弦值的绝对值.
（4）任意角的余弦函数定义的推广
如图1-5-2所示，设P(x,y)是α的终边上任意一点，它到原点的距离|OP|=r，有r=,则cosα=.
图1-5-2
对于每一个确定的角α，总有唯一确定的余弦值与之对应，所以这个对应法则是以角α为自变量的函数，叫做余弦函数.余弦函数值与点P在角α终边上的位置无关，只依赖于角α的大小.
2.余弦函数值的符号
（1）图形表示：余弦值在各象限的符号如图1-5-3所示.
图1-5-3
（2）用表格表示
α的终边
cosα
x非负半轴
+
第一象限
+
y非负半轴
0
第二象限
-
x非正半轴
-
第三象限
-
y非正半轴
0
第四象限
+
3.余弦函数的图像和性质
(1)图像：如图1-5-4所示.
图1-5-4
(2)性质
函数性质
y=cosx
定义域
R
值域
［-1，1］
当x=2kπ(k∈Z)时，y取最大值1
当x=(2k+1)π(k∈Z)时，y取最小值-1
周期
2π
奇偶性
偶函数
单调性
增区间
［-π+2kπ,2kπ］(k∈Z)
减区间
［2kπ,π+2kπ］(k∈Z)
对称性
对称中心
（kπ+,0)(k∈Z)
对称轴
x=kπ(k∈Z)
4.正、余弦函数的诱导公式
X
sinx
cosx
-α
-sinα
cosα
π-α
sinα
-cosα
π+α
-sinα
-cosα
2π-α
-sinα
cosα
2kπ+α(k∈Z)
sinα
cosα
-α
cosα
sinα
+α
Cosα
-sinα
知识导学
1.复习初中学过的锐角的余弦函数，本节是锐角的余弦函数的补充和延伸.
2.任意角的余弦值的符号记忆口诀：“左负右正”.其含义是终边在y轴左侧的任意角余弦值为负，在y轴右侧的任意角余弦值为正.sin±cos的符号规律及应用
由三角函数的定义，sin＝，cos＝，则极易得到sin±cos的符号，即sin±cos＝，故符号由y±x决定，易得以下规律．
一、符号规律
①＞0(或＜0)的终边在直线的上(或下)方；
②＞0(或＜0)的终边在直线的上(或下)方．
③＝0的终边在直线上；
④＝0的终边在直线上．
以上四条规律，可利用图1表示．
二、应用举例
例1在(0，2)内，使sinx＞cosx成立的x的取值范围为（
）
(A)
(，)∪(，)
(B)
(，)
(C)
(，)
(D)
(，)∪(，)
分析：移项，化为sinx－cosx＞0，利用符号规律②即可解决．
解：由sinx＞cosx，即sinx－cosx＞0，故x应在直线y－x＝0上方的区域，故选(C)．
评注：利用符号规律来解，体现了数形结合法思想．本题还可用特殊值法排除．
例2已知点P(sin－cos，tan)在第一象限，则在内的取值是
(
)
(A)
()∪()
(B)
()∪()
(C)
()∪()
(D)
()∪()
分析：由点P在第一象限，则可转化为三角不等式组，解此不等式即可．
解：由题意，得，由①得应在直线x－y＝0上方，由②知应在第一、三象限，所以∈()∪()，而选(B)．
评注：本题应注意限制条件内，同时解不等式组应取①②交集，但其结果是并集形式．
例3
若，则取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
分析：粗看无从入手，但通过移项及因式分解，即发现可以转化为符号法则来解．
解：由，得，知与
同号，角终边落在如图3所示的阴影部分，故选(D)．
评注：常规方法需用到三角变换公式，而符号规律法，用到的仅是定义法．而“回到定义去”也是数学解题大师波利亚特别强调一种重要解题方法．1.6
余弦函数的图像和性质
自我小测
1．下列函数中，在上增加的是( )
A．y＝sin
x
B．y＝cos
x
C．y＝sin
2x
D．y＝cos
2x
2．函数y＝cos
x－2，x∈[－π，π]的图像是( )
3．函数y＝cos，x∈的值域是( )
A．
B．
C．
D．
4．函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是( )
A．0
B．
C．
D．π
5．在函数y＝sin|x|，y＝|sin
x|，y＝sin，y＝cos中，是周期函数的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
6．比较大小：cosπ__________cosπ.
7．函数y＝－3cos
x－1的减区间是__________．
8．不等式cos
x＋≤0的解集是________________．
9．画出函数y＝cos
x(x∈R)的简图，并根据图像写出y≥时x的集合．
10．已知函数f(x)＝acos
x＋b的最大值是1，最小值是－3，试确定g(x)＝bsin的解析式．
参考答案
1．解析：∵≤x≤π，∴π≤2x≤2π，∴y＝sin
2x在[π，2π]内不具备单调性；
而y＝sin
x与y＝cos
x在上都是减少的，只有D符合．
答案：D
2．解析：用五点法作出函数y＝cos
x－2，x∈[－π，π]的图像或把函数y＝cos
x，x∈[－π，π]的图像向下平移2个单位长度均可．
答案：A
3．解析：∵0≤x≤，∴≤x＋≤，
∴－≤cos≤.
答案：B
4．解析：当φ＝时，y＝sin＝cos
2x，而y＝cos
2x是偶函数．
答案：C
5．解析：由y＝sin|x|的图像知，它是非周期函数．
答案：C
6．解析：∵cosπ＝cos＝cos，
cos＝cos＝cosπ，
而0＜＜＜，
∴cos＞cos，
即cosπ＞cosπ.
答案：＞
7．解析：∵函数y＝cos
x的增区间是[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)，
∴函数y＝－3cos
x－1的减区间是[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)．
答案：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)
8．解析：由cos
x＋≤0，得cos
x≤－.
根据余弦函数的图像可知，原不等式的解集为.
答案：，k∈Z
9．解：用五点法作出y＝cos
x的简图，如图所示．
过点作x轴的平行线，从图像中看出：
在区间[－π，π]上，y＝与余弦曲线交于点，，故在区间[－π，π]内，y≥时，x的集合为.
当x∈R时，若y≥，则x的集合为.
10．解：当a＞0时，有∴
此时g(x)＝－sin；
当a＜0时，有∴
此时g(x)＝－sin＝sin.
综上，当a＞0时，g(x)＝－sin；
当a＜0时，g(x)＝sin.(共16张PPT)
1.6.1余弦函数的图像
正弦函数的图像
1.描点法
2.几何法
3.五点法（关键点）
思考：余弦函数的图像怎么画呢？
余弦函数的图像
1.描点法
-2
-
o
2
3
x
-1
1
y
提示：由已知到未知？
思考：还有其他的方法吗？
2.几何法
3.五点法
作余弦函数
y=cosx
(x∈R)
的图像
思考：如何将余弦函数用诱导公式写成正弦函数？
注：余弦曲线的图像可以通过将正弦曲线
向左平移
个单位长度而得到.余弦函数
的图像叫做余弦曲线.
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
正弦、余弦函数的图像
余弦函数的图像
正弦函数的图像
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
余弦曲线
(0,1)
(
,0)
(
,-1)
(
,0)
(
2
,1)
正弦曲线
形状完全一样只是位置不同
例：作函数
的简图
解:
列表
描点作图
-
-
-
作函数
的简图
思考
函数
例题分析
y=cosx+1
y=-cosx
y=cosx
的图像有什么关系
练习
画出函数
简图
描点作图
解：列表
余弦函数图像的应用
例：解下列关于x的不等式
本节课主要介绍了作余弦函数图像的方法，其中五点作图法最常用，要牢记五个关键点的选取特点。
作余弦函数图像的简图的方法是
“五点法”
你记住了吗？
点不在多
,
五个就行
!
画出下列函数的简图：
x
y=cosx
y=-cos
x
0
1
0
-1
0
1
-1
0
1
0
-1
练习
列表:
描点得y=-cosx的图像
．
．
．
．
x
y
0
π
．
2π
1
-1
x
y=cosx,
x∈[0,2π]
y=-cosx,
x∈[0,2π]
.
.
.
.
X
Y
O
.
x
0
0
1
0
-1
0
1
-1
用五点法作y=sinx
,x∈[0，2π]的简图
.
.
.
.
O
.
x
0
1
0
-1
0
1
1
-1
五点法作y=cosx,
x∈[0，2π]的简图
与x轴的交点
图像的最高点
图像的最低点
与x轴的交点
图像的最高点
图像的最低点
简图作法
(五点作图法)
(1)
列表(列出对图像形状起关键作用的五点坐标)
(2)
描点(定出五个关键点)
(3)
连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
练习：用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]的简图.
(1)y=cosx-1；
(2)y=3cos
x.
y=cos
x
-1
x∈[0,2π]
y=3cos
x，
x∈[0,2π]
．
．
．
．
x
y
0
π
．
2π
1
-1
x
2
3
思考：能否由余弦函数的图像得到正弦函数的图
像？
由诱导公式知：
正弦曲线的图像可以通过将余弦曲线向右平移
个单位长度而得到.(共27张PPT)
1.6
余弦函数的图像与性质
y
x
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图像在
…与y=sinx,x∈[0,2π]的图像相同
的图像
正弦函数
正弦曲线
1.如何作正弦函数的图像？
由
能得到余弦函数的图像吗？
今天我们学习余弦函数的图像及性质.
1.会用“图像变换法”和“五点法”作余弦函数的图像.（重点）
2.掌握余弦函数y=cosx的图像和性质.（重点）
3.会应用余弦函数y=cosx的图像与性质解决一些简单问题.（难点）
探究点1
余弦函数y=cosx
(x∈R)
的图像
思考：如何将余弦函数用诱导公式写成正弦函数？
注：余弦曲线的图像可以通过将正弦曲线向左平移
个单位长度而得到.余弦函数的图像叫作余弦曲线.
根据诱导公式，可得:
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
余弦函数的图像
正弦函数的图像
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
y=cosx=sin(x+
),
x R
余弦曲线
正弦曲线
形状完全一样，只是位置不同
方法：利用图像平移
【即时训练】
D
最高点：
最低点：
与x轴的交点：
在函数
的图像上，起关键作用的点有：
五点法作图
探究点2
余弦函数的性质
-1
-
-
-
1
-
余弦曲线：y=cosx,x∈R
思考1：观察图中所示的余弦曲线，说出它们的图像的对称性？
提示：由图像可以看出，关于y轴对称.
奇偶性：偶函数
思考2：如何判断三角函数的奇偶性？
提示：(1)利用图像法：若图像关于原点对称，则函数为奇函数；若图像关于y轴对称，则函数为偶函数.
(2)根据奇偶性的定义判断：若对定义域内的任意x都有f(-x)=f(x)，则函数为偶函数；若对定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),则函数为奇函数.
对称轴方程x=k (k∈Z)
对称中心为(k +
,0)(k∈Z)
函数y=cosx的对称性
由于正、余弦曲线无限延伸，对称轴、对称中心有无限多个.
y
x
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1
定义域
周
期
奇偶性
函数
性质
R
R
y=sinx
y=cosx
奇函数：图像关于原点对称
偶函数：图像关于y轴对称
单调性
值
域
提升总结：正弦和余弦函数的性质对比
【即时训练】
例1.画出函数
的简图，根据图像讨论函数的性质．
x
y=cosx
0
0
-1
-2
-1
0
０
－１
０
１
解：列表
1
y=cosx-1
y=cosx-1
y
x
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1
-2
y=cosx
函数
y=cosx-1
定义域
值域
奇偶性
周期性
单调性
最值
R
[-2,0]
偶函数
2π
思考交流：
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
≥
解：
【变式练习】
D
(－π，0]
3.不求值比较下列两个三角函数值的大小.
解：
>
解：
x
0
y=cosx
1
0
-1
0
1
y=2cosx
2
0
-2
0
2
4.用五点法画函数y=2cosx，x R的图像.
y=2cosx
，x R
由周期性得整个图像.
y
x
o
-
-2
2
2
5.判断函数的奇偶性：
.
.
【解析】∵函数y1的最大值是
，最小值是
.
当b>0时，由题意得
∴
当b<0时，由题意得
∴
因此y＝－2sin
3x或y＝2sin
3x.
函数的最大值均为2.
【特别提醒】
回顾本节课的收获
余弦函数y=cosx
的图像
余弦函数y=cosx
的性质
余弦函数的图像与性质
周期性
奇偶性
值域
定义域
单调性
最值
五点法
图像变换法
观察图象
性质的应用
被人揭下面具是一种失败，自己揭下面具却是一种胜利.
——雨果1.6
余弦函数
自主广场
我夯基
我达标
1.cos600°等于（
）
A.-
B.
C.-
D.
思路解析：利用诱导公式cos600°＝cos(360°+240°)＝cos240°=-cos60°=-.
答案：A
2.已知角α的终边上一点P(1,-2),则sinα+cosα等于（
）
A.-1
B.
C.-
D.-
思路解析：直接利用正弦、余弦函数的定义,分别求出sinα，cosα即可.
答案：C
3.如果α+β=180°，那么下列等式中成立的是（
）
A.cosα=cosβ
B.cosα=-cosβ
C.sinα=-sinβ
D.以上都不对
思路解析：利用诱导公式π-α即可推导.cosα＝cos(180°-β)=-cosβ.
答案：B
4.(2006山东临沂二模，理1)cos(-)+sin(-)的值为（
）
A.
B.
C.
D.
思路解析：cos(-)+sin(-）
=cos-sin=cos-sin=-cos+sin=.
答案：C
5.若，则角α的终边在（
）
A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第二、三象限
D.第一、四象限
思路解析：由题意，得cosα＜0，则角α的终边在第二、三象限.
答案：C
6.化简：+sin(-θ).
思路分析：由三角函数诱导公式，结合同角基本关系化简即可.
解：原式=
=
=
=
=1-sinθ.
我综合
我发展
7.已知y=2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是_________________.
思路解析：如图1-5-10所示，根据余弦函数图像的对称性知y=2cosx(0≤x≤2π)的图像与直线y=2围成的封闭图形的面积等于△ABC的面积.
图1-5-10
由题意，得△ABC的面积为×2π×4=4π，
则所求封闭图形的面积是4π.
答案：4π
8.求下列函数值域：
（1）y=2cos2x+2cosx+1；
（2）y=.
思路分析：利用换元法转化为求二次函数等常见函数的值域.
解：（1）y=2(cosx+)2+，将其看作关于cosx的二次函数，注意到-1≤cosx≤1，
∴当cosx=-时，ymin=；当cosx=1时，ymax=5.
∴y∈［,5］.
（2）由原式得cosx=.
∵-1≤cosx≤1，
∴-1≤≤1.
∴y≥3或y≤.
值域为{y|y≥3或y≤}.
9.求函数y=lgsin(-2x)的最大值.
思路分析：将sin(-2x)化简为-cos2x，然后利用对数函数单调性及余弦函数的有界性求得最大值.
解：sin(-2x)=sin(2π+-2x)=sin(-2x）=-cos2x.
∴y=lgsin(-2x)=lg(-cos2x).
又∵0＜-cos2x≤1，
∴ymax=lg1=0，
即函数y=lgsin(-2x)的最大值为0.
10.已知0≤x≤，求函数y=cos2x-2acosx的最大值M（a）与最小值m（a）.
思路分析：利用换元法转化为求二次函数的最值问题.
解：设cosx=t，
∵0≤x≤，∴0≤t≤1.
∵y=t2-2at=(t-a)2-a2，
∴当a＜0时，m(a)=0,M(a)=1-2a;
当0≤a＜时，m(a)=-a2,M(a)=1-2a；
当≤a＜1时，m(a)=-a2,M(a)=0；
当a≥1时，m(a)=1-2a,M(a)=0.1.6
余弦函数的图像与性质
整体设计
教学分析
1.上两节刚刚学习了正弦函数的图像与性质,对于本节的学习,有两个内容:一是余弦函数的图像,二是余弦函数的性质.我们可以完全类比正弦函数,只是作余弦函数图像时可通过平移的方法得到,这也是类比思想、数形结合思想、图像变换思想方法的应用.
2.由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质,那么我们就会完全清楚它在整个定义域内的性质.教材要求我们研究三角函数性质“就是要研究这类函数性质具有的共同特点”,这是对数学思考方向的一种引导.
3.余弦函数性质的难点,在于函数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论是由图像观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易;单调性只要求由图像观察,不要求证明.而余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可.
三维目标
1.通过类比正弦函数图像的作图方法,会用几何法画出余弦函数的图像;通过诱导公式能用图像平移的方法得到余弦函数的图像.
2.观察函数y=cosx,x∈［0,2π］的图像上,哪些点起着关键作用,并会用关键点画出函数y=cosx在x∈［0,2π］上的简图.
3.通过类比、知识迁移的学习方法,提高探究新知的能力,并通过正弦函数和余弦函数的图像与性质的对比,理解两种函数的区别及内在联系.
重点难点
教学重点:会通过平移得到余弦函数的图像,并会用五点法画出余弦函数的图像;余弦函数的性质.
教学难点:结合图像,余弦函数性质的灵活运用是本节的一个难点.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(直接导入)我们在研究了正弦函数的图像,你能类比正弦函数图像的作法作出余弦函数的图像吗？从学生画图像、观察图像入手,由此展开余弦函数性质的探究.
思路2.(复习导入)研究函数就是要讨论一些性质,y＝cosx是函数,我们当然也要探讨它的一些属性.本节课,我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质.请同学们回想一下,一般来说,我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值) 然后逐一进行探究.
推进新课
新知探究
提出问题
①你能类比作正弦函数图像的方法,用几何方法画出余弦函数的图像吗？
②你能类比正弦函数性质的学习得到函数y=cosx,x∈［0,2π］的性质吗？
③比较正弦函数、余弦函数的图像与性质,你能发现它们都有哪些不同？
活动:先让学生充分思考、交流后再回答.对回答正确的学生,教师可鼓励他按自己的思路继续探究;对找不到思考方向的学生,教师可参与到他们中去,并适时地给予点拨、指导.在上一节中,要求学生不仅会画图,还要识图,这也是学生必须掌握的基本功.因此在研究余弦函数图像与性质时,教师要引导学生充分挖掘余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线,当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的.因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系,是研究三角函数性质的好工具.用三角函数线研究三角函数的性质,体现了数形结合的思想方法,有利于我们从整体上把握有关性质.对问题①学生不一定画准确,教师要求学生尽量画准确,能画出它们的变化趋势.
由诱导公式y=cosx=cos(-x)=sin［-(-x)］=sin(+x)可知,y=cosx的图像就是函数y=sin(+x)的图像.从而,余弦函数y=cosx的图像可以通过将正弦曲线y=sinx向左平移个单位长度得到(如图1所示).
图1
也可以利用描点法作出余弦函数的图像(如图2所示).余弦函数y=cosx(x∈R)的图像叫作余弦曲线.
图2
教师引导学生类比正弦函数的性质学习,让学生观察余弦函数的图像,从定义域、值域、周期性、最大值与最小值、单调性、奇偶性这几个方面探究.可完全放给学生自己探究,教师仅是适时地给予引导.学生很容易得出余弦函数y＝cosx,x∈R具有以下主要性质:
(1)定义域
余弦函数的定义域是R.
(2)值域
余弦函数的值域是［-1,1］.
(3)周期性
余弦函数是周期函数,它的最小正周期是2π.
由于余弦函数具有周期性,为了研究问题方便,我们可以选取任意一个x值,讨论余弦函数在区间［x,x+2π］上的性质,然后拓展到整个定义域(-∞,+∞)上.
(4)最大值与最小值
当x=2kπ(k∈Z)时,余弦函数取得最大值1;
当x=(2k+1)π(k∈Z)时,余弦函数取得最小值-1.
(5)单调性
我们选取长度为2π的区间［-π,π］.可以看出,当x由-π增大到0时,cosx的值由-1增大到1,当x由0增大到π时,cosx的值由1减小到-1.
因此,余弦函数在区间［-π,0］上递增,在区间［0,π］上递减.
由余弦函数的周期性可知,余弦函数在每一个区间［(2k-1)π,2kπ］(k∈Z)上都是递增的,在每一个区间［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z)上都是递减的.所以这两类闭区间的每一个都是余弦函数的单调区间.
(6)奇偶性
余弦函数的图像关于y轴对称,即cos(-x)=cosx.∴余弦函数是偶函数.
这个变化情况可从下表及图像中直观地显示出来,教师可引导学生画图并列出下表:
图3
x
-π
…
-
…
0
…
…
π
cosx
-1
↗
0
↗
1
↘
0
↘
-1
类比正弦函数性质的探究,学生可能通过图像已经看出来了,在余弦曲线上也有其他的对称点和对称轴,如余弦曲线还关于直线x＝0,x＝π等多条直线对称,余弦曲线还关于点(,0)等多个点对称,这是由它的周期性而来的.教师可就此引导学生进一步探讨,以开阔学生的视野.
探究余弦函数的性质后,学生自然会拿它与正弦函数的性质进行比较一番,这种习惯很好.比较最能澄清问题的本质属性,比较是最好的学习方法.
当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后,会发现它们有很多共同之处.我们不妨把两个图像中的直角坐标系都去掉,会发现它们其实都是同样形状的曲线.所以它们的定义域相同,都为R.值域也相同,都是［-1,1］.最大值都是1,最小值都是-1,只不过由于y轴放置的位置不同,使取得最大(或最小)值的时刻不同.它们的周期相同,最小正周期都是2π.它们的图像都是轴对称图形和中心对称图形,且都是以图像上函数值为零所对应的点为对称中心,以过最值点且垂直于x轴的直线为对称轴.但是由于y轴的位置不同,对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同.它们都不具备单调性,但都有单调区间,且都是增、减区间间隔出现.也是由于y轴的位置改变,使增、减区间的位置有所不同.也使奇偶性发生了改变.由此可以看出,图像的平移变换对函数的性质会产生怎样的影响.
讨论结果:①—③略.
应用示例
例1
画出函数y=cosx-1,x∈R的简图,并根据图像讨论函数的性质.
活动:这是课本上紧接着余弦性质后的一道例题,目的是通过这道例题直接巩固所学的余弦函数的图像与性质.课堂上可放手让学生自己去求,教师适时地指导、点拨、纠错.并提示-1对余弦函数的图像与性质的影响.让学生进一步熟悉“五点法”作图,领悟图像作法的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,“五点法”作图易学却难掌握,学生需练扎实的基本功.可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生操作中一一纠正,这对以后学习大有好处.
解:按五个关键点列表,描点画出图像(如图4所示).
x
0
π
2π
cosx
1
0
-1
0
1
cosx-1
0
-1
-2
-1
0
图4
不难看出,函数y=cosx-1的主要性质有(如下表所示).
函数
y=cosx-1
定义域
R
值域
［-2,0］
奇偶性
偶函数
周期
2π
单调性
当x∈［(2k-1)π,2kπ］(k∈Z)时,函数是递增的;当x∈［2kπ,(2k+1)π］(k∈Z)时,函数是递减的
最大值与最小值
当x=2kπ(k∈Z)时,最大值为0;当x=(2k+1)π(k∈Z)时,最小值为-2
点评:“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法,本例是最简单的变化.本例的目的是让学生熟悉“五点法”.如果是多媒体教学,要突破课件教学的互动性,多留给学生一些动手操作的时间,或者增加图像纠错的环节,效果将会更加令人满意,切不可教师画图学生看.完成本例余弦后,学生从图像上就可以一目了然地说出函数的性质了.这也让学生从中体会到了数形结合的好处.
例2
利用三角函数的单调性,比较cos(-)与cos(-)的大小.
活动:学生很容易回忆起利用指数函数、对数函数的大小比较,这很好,充分利用学生的知识迁移有利于学生能力的快速提高.本例是余弦,只需将角化为同一个单调区间,然后根据单调性比较大小即可.课堂上仍是让学生自己独立地去操作,教师点拨、纠错,对思考方法不对的学生给予帮助指导.
解:cos(-)=cos=cos,cos(-)=cos()=cos.因为0＜＜＜π,且函数y=cosx,x∈［0,π］是减函数,所以cos＞cos,即cos(-)＜cos(-).
点评:推进本例时应提醒学生注意,在今后遇到的三角函数值大小比较时,必须将已知角化为同一个单调区间.其次要注意首先大致的判断一下有没有符号不同的情况,以便快速解题,如本例中,cos＞0,cos＜0,显然大小立判.
例3
求函数y=cos(x-),x∈［-2π,2π］的单调递增区间.
活动:教师引导学生探究,可以利用余弦函数的单调性来求所给函数的单调区间.教师引导学生的思考方向:把x-看成z,问题就转化为求y＝cosz的单调区间问题,而这就简单多了,教师应点出,这里用的是换元的思想方法.
解:令z=x-.函数y=cosz的单调递增区间是［-π+2kπ,2kπ］.
由-π+2kπ≤x-≤2kπ,得-+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z.
取k=0,得-≤x≤,而［-,］［-2π,2π］,
因此,函数y=cos(x-),x∈［-2π,2π］的单调递增区间是［-,］.
点评:本例的求解是转化与化归思想的运用,即利用余弦函数的单调性,将问题转化为一个关于x的不等式问题.然后通过解不等式得到所求的单调区间,要让学生熟悉并灵活运用这一数学思想方法,善于将复杂的问题简单化.
4.求函数y＝的定义域.
活动:学生探究操作,寻找解题方向,教师提醒学生充分利用函数图像.并根据实际情况进行适当的指导点拨,纠正出现的一些错误或书写不规范等.
解:由cosx≥0得-＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z).
∴原函数的定义域为［-＋2kπ,＋2kπ］(k∈Z).
点评:本例虽然短小,学生却易出错,本例实际上是解三角不等式,应根据余弦曲线探究适合题目要求的条件,然后解之.本例可分作两步,第一步转化,第二步利用余弦函数曲线写出解集.变式训练
函数y＝1+cosx的图像(
)
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线x＝对称
答案:B
例5
(2007山东临沂一模,17(1))在给定的直角坐标系(如图5)中,作出函数f(x)=cos(2x+)在区间［0,π］上的图像.
图5
解:列表取点如下:
x
0
π
π
2π
f(x)
1
0
-
0
1
描点连线作出函数f(x)＝cos(2x+)在区间［0,π］上的图像如图6.
图6
点评:本题按说难度不大,但学生得分率却不高,画图是学生较薄弱的环节.
知能训练
课本练习1-4.
课堂小结
1.由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识？学习了哪些数学思想方法？
这节课我们研究了余弦函数的图像与性质.通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的的比较,加深了我们对这两个函数的理解.同时也巩固了本节课所学的余弦函数的图像的画法及性质的理解,将我们所学内容很快地就纳入了已有的知识系统.
2.进一步熟悉了数形结合的思想方法,转化与化归的思想方法,类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点.
作业
课本习题1—5
3、4、5、6.
设计感想
1.本节教案设计的容量较大,指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动.作为函数的性质,从初中就开始学习,到高中学习幂、指数、对数函数后,对函数性质有了较深的认识.这是高中所学的最后一个基本初等函数.但由于以前所学的函数不是周期函数,所以理解较为容易,而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外,又有其特殊性,共性中包含特性,特性又离不开共性,这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟.
2.在学完余弦函数性质后,应着重引导学生比较正、余弦函数的性质的异同,以加深他们对两个函数的区别与联系的认识;让学生在同一坐标系中画出正弦、余弦函数的图像,在解题中突出数形结合思想,在训练中降低变化技巧的难度,提高应用图像与性质解题的力度.较好地利用图像解决问题,这也是是本节课主要强调的数学思想.
3.学习正、余弦函数性质后,引导学生对过去所学的知识重新认识,例如cos(α+2π)＝cosα这个公式,以前我们只简单地把它看成一个诱导公式,现在我们认识到了它表明余弦函数的周期性,以提升学生的思维层次.
备课资料
备用习题
1.函数y=cosx,x∈［-,］的值域是
(
)
A.［0,1］
B.［-1,1］
C.［0,］
D.［-,1］
2.(2007山东临沂)对于函数y=f(x)=下列命题中正确的是(
)
A.该函数的值域是［-1,1］
B.当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时,函数取得最大值1
C.该函数是以π为最小正周期的周期函数
D.当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+(k∈Z)时,f(x)＜0
3.(2005山东潍坊)已知-≤x＜,cosx=,则m的取值范围是(
)
A.m＜-1
B.3＜m≤7+4
C.m＞3
D.3＜m＜7+4或m＜-1
4.(2004天津,12)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈［0,］时,f(x)=sinx,则f()的值为(
)
A.-
B.
C.-
D.
5.(2006广东珠海)已知函数y=2cosx(0≤x≤1
000π)的图像与直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是__________________.
6.(2005上海,10)函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈［0,2π］的图像与直线y=k有且只有两个不同的交点,则k的取值范围是______________.
7.根据余弦函数的图像,求满足cos2x≥的x的集合.
参考答案:
1.A
画出y=cosx,x∈［-,］的图像,从而得出y∈［0,1］,故选A.
2.D
画图像可知,值域为［-,1］,x=2kπ或x=2kπ+时取最大值,T=2π,故选D.
3.C
由-≤x＜,＜cosx≤1,∴＜≤1.∴m＞3.故选C.
4.D
由f(x)的周期为π知,f()=f()=f(-).
由f(x)是偶函数知f(-)=f().
又当x∈［0,］时,f(x)=sinx,
∴f()=sin=.
故选D.
5.2
000π
由图像知y=2cosx在［0,2π］上与直线y=2围成封闭图形的面积是2π×2=4π
∵1
000π÷2π=500,∴在0≤x≤1
000π上所围成的封闭图形的面积S=4π×500=2
000π.
6.1＜k＜3f(x)=sinx+2|sinx|=则k的取值范围是1＜k＜3.
7.解:由余弦函数的图像与性质知
-+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),
即-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).
∴满足函数cos2x≥的x的集合是{x|-+kπ≤x≤+kπ}(k∈Z).1.6
余弦函数
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.135°角的正弦和余弦为（
）
A.
B.
C.
D.
解析：设135°角的终边与单位圆交于点P，则
P点坐标为（，）.
∴sin135°=，cos135°=.
答案：B
2.（1）已知角α的终边经过点P（3，4），求角α的正弦和余弦;
（2）已知角α的终边经过点P（3t，4t），t≠0，求角α的正弦和余弦.
解：（1）由x=3，y=4，得|OP|=r==5.
∴sinα=，cosα=.
（2）由x=3t，y=4t，得r==5|t|.
当t>0时，r=5t.
因此sinα=，cosα=.
当t<0时，r=-5t.因此sinα=，
cosα=.
3.已知角α的终边与函数y=的图像重合，求sinα、cosα.
解：由题意可知α的终边在第一或第三象限.
若α终边在第一象限，则在终边上任取点P（2，3）.
此时x=2，y=3，r=.
∴sinα=,cosα=.
若α终边在第三象限，则在终边上任取点P（-2，-3）.
此时x=-2，y=-3，r=.
∴sinα=,cosα=.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.若cosα=0，则角α等于（
）
A.kπ（k∈Z）
B.+kπ（k∈Z）
C.+2kπ（k∈Z）
D.+2kπ（k∈Z）
解析：根据余弦函数的定义，cosα==0.所以x=0.所以α的终边落在x轴上.所以α=
+kπ(k∈Z).
答案：B
2.如果角θ满足cosθ与sinθ同号，则角θ所在的象限是（
）
A.第一、三象限
B.第二、三象限
C.第三、四象限
D.第一、四象限
解析：由cosθ、sinθ同号，可知角θ可能在第一象限，也可能在第三象限.
答案：A
3.若角α的终边经过点M（-3，-1），则sinα=____________，cosα=____________.
解析：依题意x=-3，y=-1，
∴r=.
∴sinα=，
cosα=.
答案：
4.若MP和OM分别是α=的正弦线和余弦线，则MP、OM、0的大小关系是__________.
解析：在单位圆中，画出角α=的正弦线MP和余弦线OM，易知MP＞0＞OM.
答案：MP＞0＞OM
5.角α终边上一点P（4t，-3t）（t≠0），求2sinα+cosα的值.
解：据题意有x=4t，y=-3t，
∴r==5|t|.
（1）当t＞0时，r=5t，sinα=，cosα=，
∴原式=.
（2）当t＜0时，r=-5t，sinα=,cosα=，
∴原式=.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.已知角α的终边与射线y=-3x(x≥0)重合，则sinα·cosα等于（
）
A.
B.
C.
D.
解析：根据三角函数的定义，在终边上取点求值.在α终边上取一点P（1，-3），此时x=1,y=-3,
∴r=.
∴sinα=，cosα=.
∴sinα·cosα=.
答案：A
2.如果角α满足sinα＞0，且cosα＜0，则α是第几象限的角(
)
A.一
B.二
C.三
D.四
解析：由sinα＞0、cosα＜0可知角α必在第二象限.
答案：B
3.若角α的终边经过点P（-3，b），且cosα=，则b=___________，sinα=___________.
解析：由，得b=±4.
∴r=5，sinα=.
答案：±4
±
4.已知α的终边经过点（3a-9，a+2）且cosα≤0、sinα＞0，则a的取值范围是___________.
解析：α终边在y轴正半轴或者第二象限内，所以有解此不等式即可得到a的取值范围.
答案：-25.在（0，2π）内满足=-cosx的x的取值范围是___________.
解析：∵=|cosx|=-cosx，∴cosx≤0，
∴x在第二或第三象限或x轴非正半轴上或y轴上.
又x∈（0，2π），∴≤x≤.
答案：≤x≤
6.已知角α的终边落在直线y=kx上，且cosα=a（a≠0），求k的值.
解：∵cosα=a，∴sin2α=1-a2，sinα=±,
∴当α为第一、二象限角时，sinα=，k=tanα=；
当α为第三、四象限角时，sinα=，k=tanα=.
7.已知θ为正锐角，求证：
（1）sinθ＋cosθ＜；
（2）sin3θ+cos3θ＜1.
证明：（1）如图所示，设角θ的终边与单位圆交于P（x，y）.
过P作PM⊥Ox，PN⊥Oy，M、N为垂足.
∵y=sinθ，x=cosθ，
S△OAP=|OA|·|PM|=y=sinθ，
S△OPB=|OB|·|NP|=x=cosθ，
S扇形OAB=，
又四边形OAPB被扇形OAB所覆盖，
∴S△OAP+S△OPB＜S扇形OAB，
即.∴sinθ+cosθ＜.
（2）∵0∵函数y=ax（0∴cos3θ∴cos3θ+sin3θ∵sin2θ+cos2θ=x2+y2=1，
∴sin3θ+cos3θ<1.
8.已知角α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴.若角α终边过点P（，y），且sinα=（y≠0），判断角α所在的象限，并求cosα的值.
解：依题意，P到原点O的距离为|OP|=，
∴sinα=.
∵y≠0，∴9+3y2=16.
∴y2=，y=±.
∴点P在第二或第三象限.
当点P在第二象限时，y=，cosα=;
当点P在第三象限时，y=，cosα=.
9.求适合条件2cosα-1≥0的角α的集合.
解：如图.
∵2cosα-1≥0,∴cosα≥.
∴α∈［］(k∈Z).1.6
余弦函数
课后导练
基础达标
1.如果α+β=180°，那么下列等式中成立的是（
）
A.cosα=cosβ
B.cosα=-cosβ
C.sinα=-sinβ
D.以上都不对
解析:利用诱导公式π-α即可推导.
cosα=cos(180°-β)=-cosβ.
答案：B
2.cos()的值是（
）
A.0
B.
C.
D.1
解析：∵=-4π+,
∴cos()=cos(-4π+)
=cos=cos=0
答案：A
3.若sinθ·cosθ＞0,则θ在（
）
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第一、四象限
D.第二、四象限
解析：∵sinθ·cosθ＞0,
∴
∴θ在第一象限或第三象限.
答案：B
4.已知角θ的终边经过点P（4a,-3a），（a≠0）则2sinθ+cosθ的值是（
）
A.
B.
C.或
D.不确定
解析：分a＞0与a＜0两种情况进行讨论，当a＞0时，r=5a，
∴sinθ=,cosθ=.
∴2sinθ+cosθ=2×()+=.
同理得a＜0时，2sinθ+cosθ=.
答案：C
5.若α为第一象限角，则sin2α,cos2α,sin,cos中必定取正值的有（
）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
解析：根据α角所在象限，求出2α与的象限,再根据象限确定三角函数值的符号.
答案：B
6.若=cosx,则x的取值范围是________.
答案：-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z
7.x∈(0,2π)且cosx＜sinx＜,则x的取值范围是__________-.
解析：依题意得
借助函数图象或三角函数线可知，x∈(π,π).
答案：(π,π)
8.|cosα|=cos(π+α)，则角α的集合为_______________.
解析：由绝对值的意义确定角α所在象限，进而写出范围.
由已知得：|cosα|=-cosα，
∴α为第二、三象限角或终边落在y轴上的角.
∴2kπ+≤α≤2kπ+(k∈Z).
答案：2kπ+≤α≤2kπ+
(k∈Z)
9.求y=cos(x+)的周期.
解析：cos［(x+)+2π］=cos［(x+3π)+］=f(x+3π),
而f(x)=cos(x+)=cos［(x+)+2π］,
∴f(x+3π)=f(x)，即原函数的周期为3π.
10.设函数f(x)=-x2+2x+3(0≤x≤3)的最大值为m，最小值为n，当角α终边经过点P（m,n-1）时，求sinα+cosα的值.
解析：f(x)=-x2+2x+3
=-(x-1)2+4（0≤x≤3）.
当x=1时，f(x)max=f(1)=4,即m=4.
当x=3时，f(x)min=f(3)=0,即n=0.
∴角α的终边经过P（4,-1）.
∴r=.
∴sinα+cosα=.
综合运用
11.若θ是第三象限角且=-cos,则角所在象限是（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：∵θ是第三象限角，则的终边落在第一、三、四象限.
又cos＜0,
∴角的终边在第三象限.
答案：C
12.如右图所示，定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x∈［3,4］时，f(x)=x-2,则（
）
A.f(sin)＜f(cos)
B.f(sin)＞f(cos)
C.f(sin1)＜f(cos1)
D.f(sin)＞f(cos)
解析：当0≤x≤1时，-1≤-x≤0,3≤-x+4≤4.
f(x)=f(-x)=f(-x+2)=f(-x+4)
=-x+4-2=-x+2.
故当x∈［0,1］时f(x)为减函数.
又sin＜cos,sin＞cos,sin1＞cos1,sin＞cos,
故f(sin)＞f(cos),f(sin)＜f(cos),f(sin1)＜f(cos1),f(sin)＜f(cos).
答案：C
13.(2006北京高考，文5)
函数y=1+cosx的图象（
）
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线x=对称
答案：B
14.已知cos(75°+α)=，其中α为第三象限角，求cos(105°-α)+sin(α-105°)的值.
解析：cos(105°-α)=cos［180°-(75°+α)］
=-cos(75°+α)=.
sin(α-105°)=-sin(105°-α)
=-sin［180°-(75°+α)］=-sin(75°+α).
∵cos(75°+α)=>0,又α为第三象限角,可知75°+α为第四象限角.
则有sin(75°+α)=;
则cos(105°-α)+sin(α-105°)=.
15.求下列函数的最大值和最小值：
（1）y=;
(2)y=3+2cos(2x+);
(3)y=2sin(2x+)(-≤x≤);
(4)y=acosx+b.
解析：（1）∵∴-1≤sinx≤1.
∴当sinx=-1时，ymax=;
当sinx=1时，ymin=.
(2)∵-1≤cos(2x+)≤1,
∴当cos(2x+)=1时，ymax=5;
当cos(2x+)=-1时，ymin=1.
(3)∵-≤x≤,∴0≤2x+≤.
∴0≤sin(2x+)≤1.
∴当sin(2x+)=1时，ymax=2;
当sin(2x+)=0时，ymin=0.
(4)当a＞0时；
cosx=1，即x=2kπ(k∈Z)时，ymax=a+b;
cosx=-1，即x=(2k+1)
π(k∈Z)时，ymin=b-a;
当a＜0时；
cosx=-1，即x=(2k+1)π(k∈Z)时，ymax=b-a;
cosx=1，即x=2kπ(k∈Z)时，ymin=a+b.
拓展探究
16.如右图所示，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面0.5米.风车圆周上一点A从最低点O开始运动，t秒后与地面的距离是h米.
（1）求函数h=f(t)的关系式；
（2）画出函数h=f(t)的图象.
解析：如图(1)，以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立直角坐标系.
设点A的坐标为(x,y)，则h=y+0.5.
设∠OO1A=θ，
则cosθ=,y=-2cosθ+2.
又θ=×t,即θ=t.
所以y=-2cost+2.
所以h(t)=-2cost+2.5.
（2）h(t)=-2cost+2.5的图象如图(2).