(共43张PPT)
1.2
角的概念的推广
1.在初中角是如何定义的？
定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫作角.
顶点
边
边
定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫作角.
A
B
O
顶点
始边
终边
2.角是如何度量的
角的单位是度.规定:周角的
为1度的角.
3.我们学过哪些角 它们的大小是多少
锐角:大于0 小于90
直角：等于90
钝角:大于90 小于180
平角：等于180°
周角：等于360
我们以前所学过的角都是大于0°，小于或等于360°的角.
生活中很多实例不在0°～360°范围内.
像体操运动员转体720 ，跳水运动员向内、向外转体1
080 .
本节课我们进一步研究更广泛的角.
地球绕太阳旋转，角的范围如何来表示？
角
这就是这节课我们所要学习的内容——角
1.通过实例深刻理解推广后角的概念.(重点)
2.理解正角、负角和零角的定义及任意角、象限角的概念.（重点）
3.掌握所有与角α终边相同的角的表示方法.
（难点）
探究点1
任意角的概念
思考1：下面的角度如何表示？
（１）你的手表慢了５分钟，想将它校准，分针应该旋转多少度？
（２）假如你的手表快了2.5小时，想将它校准，分针应该旋转多少度？
注意：旋转方向和旋转量确定了校准手表的方式.
顺时针旋转30°
逆时针旋转900°
提示：类比正负数可表示具有相反意义的量，对于旋转方向不同的角，我们猜想：也可以用正负来表示.
思考2：类比数系的扩充，思考角的概念是否也可以推广
逆时针
顺时针
任意角定义：
正角：按逆时针方向旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角
零角：一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合
任意角
记法：角
或
,可简记为
.
注意角的旋转方向和旋转量.
【特别提醒】
1.角的正负由旋转方向决定.
2.角可以任意大小，其数值的大小由旋转次数及终边位置决定.
这样，我们就把角的概念推广到了任意角.
下列说法正确的是(
)
A.一条射线绕顶点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大
B.在坐标系中，将y轴的非负方向绕坐标原点顺时针旋转到x轴的非负方向形成的角为90°
C.将钟表调快一个小时，则分针转了360°
D.顺时针方向旋转形成的角一定小于逆时针方向旋转形成的角
【即时训练】
【解析】如果一条射线绕顶点顺时针方向旋转，则它形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小，故A不正确.在坐标系中，将y
轴的非负方向绕坐标原点旋转到x轴的非负方向时，是按顺时针方向旋转，故它形成的角为-90°，故B不正确.将钟表调快一个小时，也是按顺时针转动，故分针转了-360°，C不正确.顺时针方向旋转形成的角为负角，它一定小于逆时针方向旋转形成的正角，故D正确.
答案：D.
o
y
x
思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？
提示：如图，可以是坐标轴、
第一象限、第二象限、
第三象限、第四象限
探究点2
象限角
象限角
1.角的顶点与原点重合.
2.角的始边重合于x轴的非负半轴.
则角的终边（除端点外）在第几象限，就是第几象限角.
x
y
O
始边
终边
Ⅰ
终边
Ⅱ
终边
Ⅲ
终边
Ⅳ
提示：象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.
象限角的图形表示
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
思考2：如图所示的角α、角β是第几象限角？怎样判断一个角是第几象限角？
提示：角α是第一象限角，角β是第三象限角.判断方法是将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说的该角是第几象限角.
坐标轴上的角
如果角的终边落在了坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.
例如：角的终边落在x轴或y轴上.
坐标轴上的角
第三象限角
第四象限角
第三象限角
坐标轴上的角
坐标轴上的角
坐标轴上的角
坐标轴上的角
第一象限角
坐标轴上的角
坐标轴上的角
坐标轴上的角
象限角
坐标轴上的角
坐标轴上的角
坐标轴上的角
角
坐标轴上的角
坐标轴上的角
坐标轴上的角
按终边的位置分类
第二象限角
1.锐角是第几象限的角？
2.第一象限的角是否都是锐角？
3.小于90°的角都是锐角吗？
答：锐角是第一象限的角.
答：第一象限的角并不都是锐角.
答：小于90°的角并不都是锐角，它也有可能是零角或负角.
【即时训练】
思考1：在坐标轴上画出30°,390°,-330°,
它们有什么共同点和内在联系？
提示：终边相同，且
30°=30°+
0×360°
x
y
O
30°
390°
-330°
390°=30°+360°
-330°=30°-360°
=30°+1×360°
=30°-1×360°
探究点3
终边相同的角
390°,-330°两个角都可以表示成30°角与k个周角的和,其中k为整数.
提示：集合
思考2：所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？
提醒：所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素显然都与30°角终边相同.
终边相同的角的表示
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：
S=
即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
{β|β=α+k×360°,k∈Z}
(1)k∈Z.
(2)α是任意角.
(3)k×360°与α
之间是“+”号，
如k×360°-30°,应看成k×360°+（-30°）.
(4)k的两层含义：
①特殊性：每对k赋一个值可得一个具体角；
②一般性：表示了所有与终边α重合的角的集合.
【特别提醒】
(5)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍.
例1
判定下列各角是第几象限角：
（1）-60°.
（2）606°.
（3）
-950°12'.
解:（1）因为-60°角的终边在第四象限，所以它是第四象限角.
（2）因为606°=360°+246°,
所以606°与246°角的终边重合，而246°的终边在第三象限，所以606°是第三象限角.
（3）因为-950°12'
=
（-2）×360°-230°12',
而-230°12'的终边在第二象限，所以-950°12
'是第二象限角.
【总结提升】
判断一个角所在象限或不同角之间的终边关系，只要把它们化为
β
+
k·360°,k∈Z，（0°≤
β
＜360°），然后只要考查β
的相关问题即可.
【变式练习】
已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角.
(1)-75°.(2)855°.(3)-510°.
【解析】作出各角，其对应的终边如图所示：
(1)由图可知：-75°是第四象限的角.
(2)由图可知：855°是第二象限的角.
(3)由图可知：-510°是第三象限的角.
例2
在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（用0°～360°的角表示).
解:
在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°与270°角（如图）.因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1=
而所有与270°角终边相同的角构成集合
S2=
于是，终边在y轴上的角的集合
S=S1∪S2=
={β|
β=90°+k×180°,k∈Z}.
{β|
β=270°+k×360°,k∈Z}
∪
解：S
=｛β
丨
β=k×360°+60°,k∈Z｝.
S
中适合-360°≤
β
＜720°的元素是:
60°-1×360°
=-300°,
60°+0×360°=60°,
60°+1×360°=420°.
例3
写出与60°角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤
β
＜720°
的元素β
写出来.
【变式练习】
如图所示：
则终边在图中所示直线上的角的集合为________.
【解题关键】在0°～360°范围内找出终边落在图中直线上的角，利用终边相同的角表示出集合即可.
【解析】由题干图易知，在0°～360°范围内，终边在直线y=-x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y=-x上的角的集合为
S={β|β=135°+k×360°,k∈Z}∪
{β|β=315°+k×360°,k∈Z}
={β|β=135°+k×180°,k∈Z}.
答案:{β|β=135°+k×180°,k∈Z}
【总结提升】
1.终边相同角常用的两个结论
(1)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.
(2)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍.
2.表示区间角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-180°～180°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α≤x≤β}；
第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合.
1.时钟经过1小时，时针转动的角是(
)
A.30°
B.60°
C.-30°
D.-60°
【解析】时钟经过1小时，时针转过1格是30°，又顺时针旋转，所以大小为-30°.
C
2.
已知α=-130°,则α的终边落在 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
【解析】α=-130°的角的终边处在-180°和-90°之间,所以其终边落在第三象限.
3.与-800°终边相同的最小正角是_________.
【解析】与-800°终边相同的角的集合为{α|α=-800°
+k×360°,k∈Z}.当k=3时，得最小正角-800°+3×360°
=280°.
答案：280°
4.有一个小于360°的正角，这个角的6倍的终边与x轴的
正半轴重合，则这个角为_________.
【解析】由题知，6α=k×360°，k∈Z，所以α=k×
60°，k∈Z.又因为α是小于360°的正角，所以满足
条件的角α的值为60°，120°，180°，240°，300°.
答案:60°,120°,180°,240°,300°
5.在0°～360°范围内,找出与-990°15′角终边相同的角,并判定它是第几象限角.
【解析】
因为-990°15′=
89°45′-3×360°,
所以在0°～360°范围内,
与-990°15′角终边相同的角是89°45′,
它是第一象限角.
S1={β|
β=k×360°,
k∈Z
};
与180°角终边相同的角构成的集合
S2={β|
β=180°+k×360°,k∈Z
}
={β|
β=180°+2k×180°,k∈Z
}.
与0°角终边相同的角构成的集合
S=S1∪S2
={β|β=k×180°,
k∈Z
}.
6.写出终边落在x轴上的角的集合.
解：在0°～360°范围内,终边在x轴上的角有两个
0°,180°.
回顾本节课的收获
角的概念的推广
任意角的概念
象限角
终边相同的角的表示
不登高山，不知天之高也；不临深谷，不知地之厚也；不闻先王之遗言，不知学问之大也.
——荀况1.2
角的概念的推广
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.任意角的形成：角可以看成是_____________而成的，射线的端点叫做_____________，旋转开始的射线叫做_____________，旋转终止的射线叫做_____________，按逆时针方向旋转形成的角叫做_____________，按顺时针方向旋转形成的角叫做_____________，没有作任何旋转时，这样的角叫做_____________.
答案：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置
角的顶点
角的始边
角的终边
正角
负角
零角
2.在体操、花样滑冰、跳台跳水比赛中，常常听到“转体三周”“转体两周半”等说法，像这种动作名称表示的角是多大？
解：如果逆时针转体，分别是360°×3=1
080°和360°×2.5=900°；若顺时针转体，则分别为-1
080°和-900°.
3.在0°—360°之间，求出与下列各角终边相同的角，并判定下列各角是哪个象限的角.
（1）908°28′；
（2）-734°.
解：（1）908°28′=188°28′+2×360°，则188°28′即为所求的角，因为它是第三象限角，从而908°28′也是第三象限的角.
（2）-734°=346°-3×360°，则346°即为所求的角，因为它是第四象限角，从而-734°也是第四象限角.
4.在-720°—720°之间，写出与60°角终边相同的角的集合S.
解：与60°终边相同的角的集合为{α|α=60°+k·360°,k∈Z}，
令-720°≤60°+k·360°<720°,
得k=-2,-1,0,1，相应的角为-660°,-300°,60°,420°，
从而S={-660°,-300°,60°,420°}.
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.下列说法中,正确的有（
）
①第一象限的角一定是锐角
②终边相同的角一定相等
③相等的角终边一定相同
④小于90°的角一定是锐角
⑤钝角的终边在第二象限
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析：终边相同的角，有的正有的负，不一定相等；锐角指的是在（0°，90°）内的正角；小于90°的角可以是负角，所以二者不同.第一象限的角是指终边落在第一象限的角，它可正可负，可大可小，故并非仅是锐角，所以①不正确；同理，可知②④均不正确；③⑤正确.
答案：B
2.下列各角中属于第二象限的是（
）
A.-290°
B.585°
C.-950°
D.182°
解析：将角写成k·360°+α（k∈Z）（0°≤α＜360°）（k∈Z）的形式，α与它在同一象限.将超过［-360°，360°］范围内的角化为在这个范围内即可判断.易知-290°在第一象限，182°在第三象限，585°=360°+225°，在第三象限，-950°=-720°-230°在第二象限.
答案：C
3.若A={α|α=k·360°，k∈Z}，B={α|α=k·180°，k∈Z}，C={α|α=k·90°，k∈Z}，则下列关系正确的是（
）
A.ACB
B.BAC
C.CBA
D.ABC
解析：A中，α=k·360°，α的终边落在x轴非负半轴上；B中，α=k·180°，则α的终边落在x轴上；C中，α=k·90°，则α的终边落在坐标轴上.故可判断ABC.
答案：D
4.在0°—360°范围内，找出与下列各角终边相同的所有角，并判断它们是第几象限的角.
（1）-150°；
（2）650°；
（3）-950°15′.
解：（1）因为-150°=-360°+210°，所以在0°—360°范围内，与角-150°终边相同的角是210°角，它是第三象限的角.
（2）因为650°=360°+290°，所以在0°—360°范围内，与角650°终边相同的角是290°角，它是第四象限的角.
（3）因为-950°15′=-3×360°+129°45′，所以在0°—360°范围内，与角-950°15′终边相同的角是129°45′角，它是第二象限的角.
5.（1）写出与15°角终边相同的角的集合；
（2）在（1）的集合中，将适合不等式-1
080°＜α＜360°的元素α求出来.
解：（1）与15°角终边相同的角的集合是M={α|α=k·360°+15°，k∈Z}.
（2）在M中适合-1
080°<α<360°的元素是：
取k=-3时，-3×360°+15°=-1
065°;
取k=-2时，-2×360°+15°=-705°;
取k=-1时，-1×360°+15°=-345°;
取k=0时，0×360°+15°=15°,
即元素-1
065°，-705°，-345°，15°为所求.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.若α是第二象限的角，则180°-α是（
）
A.第一象限的角
B.第二象限的角
C.第三象限的角
D.第四象限的角
解析：α与-α的终边关于x轴对称，又α是第二象限的角，所以-α是第三象限的角.而-α与180°-α的终边关于原点对称，∴180°-α为第一象限的角.或者可以直接由已知得k·360°+90°＜α＜k·360°+180°（k∈Z），∴-k·360°-180°＜-α＜-k·360°-90°（k∈Z）.∴-k·360°＜180°-α＜-k·360°+90°（k∈Z）.确定180°-α是第一象限的角.
答案：A
2.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z}，B={β|-180°＜β＜180°},则A∩B等于（
）
A.{-36°,54°}
B.{-126°,144°}
C.{-126°,-36°,54°,144°}
D.{-126°,54°}
解析：在集合A中，令k取不同的整数，找出既属于A又属于B的角度即可.k=-2,-1,0,1,2,3，验证可知A∩B={-126°,-36°,54°,144°}.
答案：C
3.如果α与x+45°具有同一条终边，角β与x-45°具有同一条终边，那么α与β间的关系是（
）
A.α+β=0
B.α-β=0
C.α+β=k·360°,k∈Z
D.α-β=k·360°+90°,k∈Z
解析：由题意，α=k·360°+x+45°,k∈Z；β=n·360°+x-45°,n∈Z.两式相减得α-β=(k-n)·360°+90°,(k-n)∈Z.
答案：D
4.在0°—360°范围内，与-45°角终边相同的角是____________.
解析：由于-45°是第四象限的角，所以0°—360°之间终边与之相同的角是315°.
答案：315°
5.时针走过2小时40分，则分针转过的角度是____________.
解析：时针走过2小时40分钟，则分针走过周，所以转过的角度为×360°=-960°.
答案：-960°
6.(1)终边在第一、三象限角平分线上的角的集合为____________；
(2)终边在第二、四象限角平分线上的角的集合为____________.
解析：（1）终边落在第一象限角的平分线上的角为{α|α=k·360°+45°,k∈Z}；
终边落在第三象限角的平分线上的角为{α|α=k·360°+225°,k∈Z}.
所以终边落在第一、三象限角的平分线上的角的集合为
S={α|α=k·360°+45°,k∈Z}∪{α|α=k·360°+225°,k∈Z}
={α|α=k·360°+45°或α=k·360°+225°,k∈Z}
={α|α=2k·180°+45°或α=(2k+1)·180°+45°,?k∈Z}
={α|α=n·180°+45°,n∈Z}.
（2）同理，推得落在第二、四象限角平分线上的角的集合为{α|α=n·180°+135°,n∈Z}.
答案：（1）{α|α?n·180°+45°,n∈Z}
（2）{α|α=n·180°+45°,n∈Z}
7.射线OA绕端点O逆时针旋转270°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转一周到达OC位置，求∠AOC的大小.
解：由题意知∠AOB=270°，∠BOC=-360°，所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=270°+（-360°）=-90°.
8.已知A={锐角}，B={0°到90°的角}，C={第一象限角}，D={小于90°的角}.求A∩B,A∪C，C∩D，A∪D.
解：因为A={α|0°<α<90°};B={α|0°≤α<90°};C={α|k·360°<αD={α|α<90°},
所以A∩B={α|0°<α<90°};A∪C={α|?k·360°<α<α9.已知α是第一象限角，试确定，2α终边的位置.
解：(1)由已知k·360°<αk·180°<∴k为偶数时，是第一象限角，k为奇数时，为第三象限角，即为第一或第三象限角.
如图（1）中阴影部分.
（2）由已知得2k·360°<2α<2k·360°+180°(k∈Z).
故2α的终边在第一或第二象限或y轴的非负半轴上.如图（2）中阴影部分
10.若角α的终边经过点P（-1，），写出角α的集合.
解：如图，AO=1，AP=，所以∠AOP=60°.所以角α的集合为{α|α=240°+k·360°，k∈Z}.
11.有一个小于360°的正角，这个角的6倍的终边与x轴的正半轴重合，求这个角.
解：由题意知6α=k·360°，k∈Z，所以α=k·60°，k∈Z.又因为α是小于360°的正角，所以满足条件的角α的值为60°，120°，180°，240°，300°.1.2
角的概念的推广
课后导练
基础达标
1.与30°终边相同的角的集合是（
）
A.{α|α=k·360°+30°,k∈Z}
B.{α|α=k·360°-30°,k∈Z}
C.{α|α=k·180°+30°,k∈Z}
D.{α|α=k·180°-30°,k∈Z}
解析：与30°终边相同的角α=k·360°+30°.
答案：A
2.下面属于第三象限角的是（
）
A.270°
B.179°
C.550°
D.1
000°
解析：270°不是象限角，179°是第二象限角，550°=360°+190°为第三象限角，1
000°=720°+280°为第四象限角，故选C.
答案：C
3.给出下列四个命题：①-15°是第四象限的角；②185°是第三象限的角；③475°是第二象限的角；④-350°是第一象限的角.其中正确的个数是（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:将题中的角化成α+k·360°(k∈Z),α在0°—360°之间的形式即可判断四个命题都正确.
答案：D
4.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z}，B={β|-180°＜β＜180°}则A∩B等于（
）
A.{-36°,54°}
B.{-126°,144°}
C.{-126°,-36°,54°,144°}
D.{-126°,54°}
解析:在集合A中，令k取不同的整数，找出既属于A又属于B的角度即可.k=-1,0,1,2验证可知A∩B={-126°,-36°,54°,144°}.
答案：C
5.若α是第一象限角，下列各角中为第四象限角的是（
）
A.90°-α
B.90°+α
C.360°-α
D.180°+α
解析：取α=30°，把它代入选项中检验，选C.
答案：C
6.时针走过2小时40分，则分针转过的角度是____________.
解析：要注意角的方向，钟表中时针和分针转过的角都是负角.
答案：-960°
7.已知-1
000°＜α＜-640°,且α与120°角的终边相同，则α=___________.
解析：∵α与120°终边相同，
故α=k·360°+120°,k∈Z.
又∵-1
000°＜α＜-640°,
∴-1
000°＜k·360°+120°＜-640°.
即-1
120°＜k·360°＜-760°.
当k=-3时，α=(-3)×360°+120°=-960°.
答案：-960°
8.写出终边在y轴上的角的集合.
解析：在0°—360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°,270°角.因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1={β|β=90°+k·360°,k∈Z},
而所有与270°角终边相同的角构成集合
S2={β|β=270°+k·360°,k∈Z}.
于是，终边在y轴上的角的集合
S=S1∪S2={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+180°+2k·180°,k∈Z}
={β|
β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1)180°,k∈Z}
={β|β=90°+n·180°,n∈Z}.
9.已知A={锐角}，B={0°到90°的角}，C={第一象限角}，D={小于90°的角}.求A∩B,A∪C,C∩D,A∪D.
解析：A={α|0°<α<90°};
B={α|0°≤α<90°}；
C={α|k·360°<αD={α|α<90°}.
所以A∩B={α|0°<α<90°};A∪C={α|k·360°<αC∩D={α|k·360°<α10.设两个集合M={α|α=k·90°+45°,k∈Z},N={α|α=k·180°-45°,k∈Z}，试求M、N之间的关系.
解析：集合M、N分别如图甲和图乙所示：
由上图可知：NM.
综合运用
11.如果α与x+45°具有同一条终边，角β与x-45°具有同一条终边，那么α与β间的关系是（
）
A.α+β=0
B.α-β=0
C.α+β=k·360°,k∈Z
D.α-β=k·360°+90°,k∈Z
解析:利用终边相同的角的关系，分别写出α、β，找出它们的关系即可.
由题意知，α=k·360°+x+45°,k∈Z;β=n·360°+x-45°,n∈Z.两式相减得α-β=(k-n)·360°+90°,(k-n)∈Z.
答案：D
12.已知2α的终边在x轴的上方（不与x轴重合），则α的终边在（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第一或第三象限
解析：360°·k＜2α＜360°·k+180°,
180°·k＜α＜180°·k+90°.
令k=0,1得
0°＜α＜90°,
180°＜α＜270°，故选D.
答案：D
13.角α小于180°而大于-180°，它的7倍角的终边又与自身终边重合，则满足条件的角α的集合为_________.
解析:终边相同的角的大小相差360°的整数倍.
与角α终边相同的角连同角α在内可表示为：
{β|β=α+k·360°,k∈Z}.
∵它的7倍角的终边与其终边相同，
∴7α=α+k·360°，
解得α=k·60°,k∈Z.
∴满足α的集合为：{-120°,-60°,0°,60°,120°｝.
答案：{-120°,-60°,0°,60°,120°｝
14.如右图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：
（1）终边落在射线OM上；（2）终边落在直线OM上；
（3）终边落在阴影区域内（含边界）.
解析：(1)终边落在射线OM上的角的集合
A={α|α=45°+k·360°,k∈Z},
(2)终边落在射线OM上的角的集合为
A={α|α=45°+k·360°,k∈Z}
终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为
B={α|α=225°+k·360°,k∈Z}.
所以终边落在直线OM上的角的集合为
A∪B={α|α=45°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=225°+k·360°,k∈Z}
={α|α=45°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=45°+(2k+1)·180°,k∈Z}
={α|α=45°+180°的偶数倍}∪{α|α=45°+180°的奇数倍}
={α|α=45°+180°的整数倍}
={α|α=45°+n·180°,n∈Z}.
(3)同理可得终边落在直线ON上的角的集合为{β|β=60°+n·180°,n∈Z},
所以终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为：
{α|45°+n·180°≤α≤60°+n·180°,n∈Z}.
15.若θ角的终边与168°角的终边相同，求在［0°,360°）内终边与角的终边相同的角.
解析：∵θ=k·360°+168°(k∈Z),
∴=k·120°+56°(k∈Z).
而0°≤k·120°+56<360°(k∈Z),
则k=0,1,2,
即在［0°,360°)内有=56°,176°,296°.
拓展探究
16.今天是星期三，那么7k(k∈Z)天后的第一天是星期几？7k(k∈Z)天前的第一天是星期几？100天后的第一天是星期几？
解析：每星期，从星期一直到星期日，每星期7天，呈现周期性变化，每7天都要重复出现.
∵今天是星期三，
∴7k(k∈Z)天后的第一天仍是星期三，
7k(k∈Z)天前的第一天仍是星期三.
∵100=7×14+2,
又∵今天是星期三，
∴100天后的第一天是星期五.1.2
角的概念的推广
自我小测
1．下列命题是真命题的是( )
A．三角形的内角必是第一、二象限内的角
B．第一象限内的角必是锐角
C．不相等的角的终边一定不相同
D．{α|α＝k×360°±90°，k∈Z}＝{β|β＝k×180°＋90°，k∈Z}
2．若角α是第二象限角，则角2α的终边不可能在( )
A．第一、二象限
B．第二、三象限
C．第三、四象限
D．第一、四象限
3．已知角α是第四象限角，则角是( )
A．第一或第三象限角
B．第二或第三象限角
C．第一或第四象限角
D．第二或第四象限角
4．如图，终边落在阴影部分的角的集合是( )
A．{α|－45°≤α≤120°}
B．{α|120°≤α≤315°}
C．{α|－45°＋k×360°≤α≤120°＋k×360°，k∈Z}
D．{α|120°＋k×360°≤α≤315°＋k×360°，k∈Z}
5．已知集合A＝{x|x＝k×180°＋(－1)k×90°，k∈Z}，B＝{x|x＝k×360°＋90°，k∈Z}，则A，B的关系为( )
A．BA
B．AB
C．A＝B
D．A B
6．若角α的终边为第二象限的角平分线，则角α的集合为__________．
7．已知点P(0，－1)在角α的终边上，则所有角α组成的集合S＝___________________.
8．与2
014°角终边相同的最小正角是__________，与2
014°角终边相同的绝对值最小的角是__________．
9．已知角α＝－1
910°.
(1)把角α写成β＋k×360°(0°≤β＜360°，k∈Z)的形式，并判定它是第几象限角；
(2)求角θ，使角θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.
10．设集合A＝{α|k×360°＋60°＜α＜k×360°＋300°，k∈Z}，B＝{β|k×360°－210°＜β＜k×360°，k∈Z}，求A∩B，A∪B.
参考答案
1．解析：若三角形的内角为90°，它就不是第一、二象限内的角，故A错误；390°是第一象限内的角，但它不是锐角，故B错误；390°≠30°，但390°角与30°角的终边相同，故C错误；终边在y轴上的角的集合既可表示成{α|α＝k×360°±90°，k∈Z}，也可表示成{β|β＝k×180°＋90°，k∈Z}，故D正确．
答案：D
2．解析：∵角α是第二象限角，
∴k×360°＋90°＜α＜k×360°＋180°，k∈Z.
∴2k×360°＋180°＜2α＜2k×360°＋360°，k∈Z.
∴2α可能是第三或第四象限角或是终边在y轴的非正半轴上的角，
即其终边不可能在第一、二象限．
答案：A
3．解析：∵角α是第四象限角，
∴k×360°－90°＜α＜k×360°，k∈Z，
∴k×180°－45°＜＜k×180°，k∈Z.
∴角是第二或第四象限角．
答案：D
4．解析：注意角的范围不能局限于0°～360°，故在－360°～360°范围内，阴影部分表示－45°到120°范围内的角(包括－45°和120°)．又终边相同的角一般相差360°的整数倍，于是所求角的集合为选项C中的集合．故选C.
答案：C
5．解析：集合A中，当k为奇数时，x＝k×180°－90°，终边落在y轴的非负半轴上；当k为偶数时，x＝k×180°＋90°，终边落在y轴的非负半轴上；集合B表示的角的终边落在y轴的非负半轴上．故A＝B.
答案：C
6．解析：∵角α的终边为第二象限的角平分线，
∴角α的集合为{α|α＝135°＋k×360°，k∈Z}．
答案：{α|α＝135°＋k×360°，k∈Z}
7．解析：易知点P在y轴的负半轴上．又270°角的终边在y轴的负半轴上，则S＝{α|α＝270°＋k×360°，k∈Z}．
答案：{α|α＝270°＋k×360°，k∈Z}
8．解析：与2
014°角终边相同的角为2
014°＋k×360°(k∈Z)．
当k＝－5时，214°为最小正角；
当k＝－6时，－146°为绝对值最小的角．
答案：214° －146°
9．解：(1)设α＝－1
910°＝β＋k×360°(k∈Z)，
则β＝－1
910°－k×360°(k∈Z)．
令－1
910°－k×360°≥0°，解得k≤－＝－5.
故k的最大整数解为－6，相应的β＝250°.
于是α＝250°－6×360°，它是第三象限角．
(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，
取k＝－1，－2时，得到符合－720°≤θ＜0°的角θ为250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.
故θ＝－110°或－470°.
10．解：在直角坐标系内表示集合A，B，如图所示．
∴A∩B＝{α|150°＋k×360°＜α＜k×360°＋300°，k∈Z}，A∪B＝{β|60°＋k×360°＜β＜k×360°＋360°，k∈Z}．关注角集
我们知道，集合的元素多种多样，它可以是数、代数式、物、图形等，因此，在解答集合问题时应“一切从元素出发”.在学习三角函数后，以角为元素的集合问题也就摆在了我们的面前.以角为元素的集合我们称它为角集．对于角集应关注什么，下面加以讨论．
一、会写
是指已知角终边所在位置，会写时此时角的集合．
例1
如右图所示，写出终边落在阴影处(包括边界)的角的集合.
分析：写角集合是有要求的，本题不能写成：①{|
k·360＋330°＜＜k·360＋45°，k∈Z}，错误在于出现矛盾不等式；②{|2k＋330°＜＜2k＋45°，k∈Z}；错误有两点，其一是单位不统一，即角度制与弧度制不能混用，这里没有统一用弧度制；其二是角的大小没搞清楚，出现了矛盾不等式．
解：OB的终边上找到一个角－30°，而OA的终边上的角45°．故所求的区域角的集合为：
{|
k·360－30°＜＜k·360＋45°，k∈Z}；
或写成弧度形式：{|2k－＜＜2k＋，k∈Z}．
评注：由图形写出区域角的方法是：首先依逆时针方向由小到大找出一个代表区间角，再在两端加上k·360(k∈Z)，如果是互成对顶的区域，可用一个表达式表示，先在一个区域角中找出一个区间角，然后再在两端加上k·180．
二、会判断
是指给出多个角集，会判断它们之间的包含关系．
例2设两个集合M＝{x|x＝＋,k∈Z}，N＝{x|x＝k－,k∈Z}，试确定M与N之间的关系.
分析1：由于集合M、N中的角都与k有关，故应采用坐标系将角的终边的范围表示出来，再求解.
解法1：集合M所表示的角的终边落在四个象限的角平分线上，集合N所表示的角的终边落在二、四象限的角平分线上，如图所示，由图形可知：NM.
分析2：可用列举法把两个集合表示出来，再比较两个集合元素的异同，从而找出两集合的关系．
解法2：分别取k＝…，－1，0，1，2，…．得
M＝{…，－，，，，，…}，
N＝{…，－，，
，，…}．
易看出，
N中的元素在M中都有，而M中的元素如?N．
所以NM.
评注：此类题可用数形结合法或列举法加以解决．
三、会算
是指给出两个角集，会进行交集、并集、补集等运算．
例3已知集合A＝{|30＋k·180＜＜90＋k·180,k∈Z}，集合B＝{|－45＋k·360＜＜45＋k·360,k∈Z}，求A∩B，A∪B．
分析：借助图形，在直角坐标平面内，分别找出集合A和集合B中的角的终边所在区域，终边在这两个区域的公共部分内的角的集合，就是A∩B.区域的所有部分的角的集合，就是A∪B．
解：由30＋k·180＜＜90＋k·180(k∈Z)，得
当k为偶数，即k＝2n时，30＋n·360＜＜90＋n·360(n∈Z)，
当k为奇数，即k＝2n＋1时，210＋n·360＜＜270＋n·360(n∈Z)，
∴A集合中角的终边在右图阴影(1)内，集合B中的角的终边在阴影(2)内，因此集合A∩B中的角的终边在阴影(1)和(2)的公共部分内，
所以A∩B＝{|30＋k·360＜＜45＋k·360,k∈Z}.
说明：此类问题应注意两点：①当所给角集中，不是以360°为周期出现时，要对k进进行讨论，转化为周期是360°，方便画出终边所在区域；②解决问题时，可借助于图形，在平面坐标系中，作出它们终边所在区域，直观得出其交集或并集．
四、会综合
是指角集与其它问题的综合，如与其它数集的综合．
例4
已知集合A＝{x|k＜x＜k＋,k∈Z}，B＝{x||x＋1|≤2}，求A∩B.
分析：由于k的取值的任意性，因此集合A实质上包含了无数多个区间，但B只有一个区间，则公共部分的区间只有有限个，因此只要找出这有限个区间即可.
解：由B＝{x||x＋1|≤2}＝{x|－3≤x≤1}．
取k＝0，－1，得A的区间为(－，)∪(0，)，而k取其它值时，A与B没有公共元素．
在数轴上标出集合A与集合B的区域范围，不难发现
A∩B＝[－3，)∪(0，)．
评注：应注意角集中往往是无限个区间，与有限区间的交集，谨防遗漏．角的有关概念中的误区警示
高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略,经常出现错误。本文结合实例就角的有关概念中的误区，剖析致错原因，给出相应的求解策略，希望能对同学们的学习有警示作用，不断提高思维的严密性。
误区警示1
表示角时角度和弧度混用，忽略整数的条件致错。
[例1]
用弧度制表示终边在轴上的角的集合.
[解]：
终边在轴上的角的集合能够表示为的形式,只需要把角度制表示的角的集合转化为弧度制表示的集合就可以,故有终边在轴上的角的集合
[这样做对吗 ]
当然不对.
[为什么错了 ]
在表示角时，注意使用表示制度的统一性,不能弧度制与角度制混用,也即是说,在同一表示中用角度制表示就不能够出现弧度,
用弧度制表示就不能够出现角度.
所以终边在轴上的角的集合应表示为;
[感悟]:
在表示角的时候，由于弧度制的优点，常常使用弧度表示角，但也要注意，用弧度制表示角时，不能与角度制混用，比如α＝2kπ＋30°（k∈Z），
,等都是不正确的。
同时应该知道,只表示与终边相同的角的集合,而则表示与角和角的反向延长线的终边相同的角的集合,(也即是角终边所在直线的角的集合);则表示互相垂直的4个角的终边相同的角的集合，且要注意整数的条件.
练一练
1．把-1480°写成α+2kπ(k∈Z)的形式是
.
其中0≤α＜2π.
【提示】先把-1480°转化成弧度制再写成α+2kπ(k∈Z)的形式。
答案：
误区警示2
运用不等式性质求整体角的范围，多次运用同向不等式相加法则致使扩大了整体角的范围。
[例2]
已知＜α+β＜，-＜α-β＜-，求2α-β的范围.
[解]：
因为＜α+β＜，-＜α-β＜-,
两同向不等式相加得0＜2α＜
再由第二个已知不等式得＜β-α＜
②
将第一个已知不等式与②
相加得：
＜2β＜即＜β＜，所以-＜2α-β＜
③
①
与
③
相加得
-＜2α-β＜。
[这样做对吗 ]
当然不对.
[为什么错了 ]
欲求2α-β的范围，一般考虑建立相应的不等式再解之，因此多直接从两已知不等式出发，运用不等式四则运算法则先导出α的范围和β的范围，最后再导出2α-β的范围，但由于同向不等式相加时不是同解变形，因此所求结果误差太大.
为了解决这一问题，应尽量少进行此类运算.
为此，可先利用待定系数法用A(α+β)+B(α-β)表示2α-β，
最后再利用条件导出所求范围,解答过程如下:.
设2α-β=A(α+β)+B(α-β)表示2α-β=(A+B)α+(A-B)β
比较α与β的系数
所以A=，B=.
所以2α-β=(α+β)+
(α-β).
而＜(α+β)＜，-＜(α-β)＜-
所以-＜2α-β＜.
[感悟]:
通过比较我们可以发现,前面的算法把范围扩大了,
其原因是多两次同向不等式相加运算.角的范围的确定是三角函数中的一个重要内容,不等式的运用要注意是否扩大了角的范围.借助待定系数沟通所求整体角范围与已知的整体角的范围，可避免上当受骗，随着后继的线性规划的学习你将会进一步的明确错因，体会待定系数法线性表示的作用。
练一练
2．若,则的范围是_________________________.
【提示】
注意〈0
答案：
误区警示3
应用问题中忽略角的方向致错。
[例3]
如图所示，点P沿单位圆从点A(1,0)出发,依顺时针方向运动,
在1秒钟内转过的角度为.经过2秒钟第一次到达第三象限.经过14秒钟后又恰好回到出发点A，求.
[解]：
如何认识P点重回A点的数学语言？
即的终边与x正半轴重合.
于是.
又
,从而,
n=4或n=5故或
.
[这样做对吗 ]
当然不对.
[为什么错了 ]
顺时针转过的角度是负角,故.
解答过程如下:
于是.
又
,从而,
n=-2或n=-3故或
.
[感悟]:
对角的认识经历了一个从“静态的,特定的”到“动态的,任意的”过程,角被看成是轴的正半轴的方向的射线绕其端点旋转所成的图形.需要注意的是逆时针旋转成正角,顺时针旋转成负角，不旋转时的角为0角.
练一练
3．
经过5小时25分钟,时针与分针各转了多少弧度
【提示】时针与分针所成角为负角。答案：时针转；分针转
x
y
A(共52张PPT)
1.2
角的概念的推广
【知识提炼】
1.角的概念
平面内一条_____绕着_____从一个位置旋转到另一个位置所形成的
图形.
射线
端点
终边
始边
顶点
2.角的分类
(1)任意角
逆时针
顺时针
不作任
何
(2)象限角
①前提条件:
(ⅰ)角的顶点与_____重合.
(ⅱ)角的始边与____的非负半轴重合.
②分类:
(ⅰ)象限角:角的终边(除端点外)在第几象限,就是___________.
(ⅱ)终边落在坐标轴上的角.
原点
x轴
第几象限角
3.终边相同的角的表示
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=
_________________},即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示
成角α与周角的_______的和.
α+k·360°,k∈Z
整数倍
【即时小测】
1.思考下列问题
(1)角的概念推广后,角的范围是什么
提示:根据角的定义可知,角的范围推广到了任意角,即(-∞,+∞).
(2)在坐标系中终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同吗
提示:一定.在平面直角坐标系中来讨论角时必须满足以下条件:角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴的非负半轴,因此,相等的角终边一定相同.
2.与角-80°终边相同的角是 ( )
A.180° B.100° C.240° D.280°
【解析】选D.因为280°=-80°+360°,故280°与角-80°终边相同.
3.在0°～360°范围内,与2015°角终边相同的角为________.
【解析】因为215°=2015°-5×360°,故在0°～360°范围内,与2015°角终边相同的角为215°.
答案:215°
4.-2000°是第________象限的角.
【解析】因为160°=-2000°+6×360°,因为160°是第二象限的角,故-2000°是第二象限的角.
答案:二
5.若角α的终边和函数y=-|x|的图像重合,则角α的集合为________.
【解析】由于y=-|x|的图像是第三、四象限的平分线,故在0°～360°范围内所对应的两个角分别为225°及315°,从而角α的集合为S={α|α=k×360°+225°或α=k×360°+315°,k∈Z}.
答案:{α|α=k×360°+225°或α=k×360°+315°,k∈Z}
【知识探究】
知识点1
角的概念的推广
观察图形,回答下列问题:
问题1:构成角的要素有哪几个
问题2:用旋转观点定义角会出现哪几类角 旋转时,要注意哪些要素
【总结提升】
角的概念的四个关注点
(1)三个要素:顶点、始边、终边.
(2)运动观点下的定义:抓住“旋转”两个字,它有正负之分,与初中学习的静止观点下的角是有区别的.
(3)角的大小:不仅与旋转的大小有关,还与旋转的方向有关,正角大于负角.
(4)角的加减法运算:角的范围推广到任意角后,类似于实数的加减法运算.
知识点2
象限角与终边相同的角
观察图形,回答下列问题:
问题1:定义象限角、终边相同的角的前提条件是什么
问题2:终边相同的角之间有什么关系
问题3:如何用集合和符号表示各象限角
【总结提升】
1.定义的前提条件
(1)研究象限角、终边相同的角时,必须注意前提条件:角的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合.
(2)如果角的顶点不与坐标原点重合,或者角的始边不与x轴的非负半轴重合,则没有象限角、终边相同的角的概念.
2.象限角的集合表示
象限角
集合表示
第一象限角
{α|k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z}
第二象限角
{α|90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z}
第三象限角
{α|180°+k·360°<α<270°+k·360°,k∈Z}
第四象限角
{α|270°+k·360°<α<360°+k·360°,k∈Z}
3.对于终边相同的角的认识
所有与角α终边相同的角,连同角α在内可以用式子k·360°+α,
k∈Z表示,在运用时需注意以下三点:
(1)k是整数,这个条件不能漏掉.
(2)α是任意角.
(3)k·360°与α之间用“+”连接,如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°),k∈Z.
【题型探究】
类型一
角的概念的推广
【典例】1.时钟的时针走过了1小时20分钟,则分针转过的角为_____.
2.射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置,接着逆时针旋转250°到OC位置,然后再顺时针旋转270°到OD位置,则∠AOD=________.
【解题探究】1.分针转过的圈数是多少
提示:分针转过的圈数是
圈.
2.题2中逆时针旋转250°是+250°,还是-250° 顺时针旋转270°是+270°,还是-270°
提示:逆时针旋转250°是+250°,顺时针旋转270°是-270°.
【解析】1.时针走过了1小时20分钟,则分针转了
圈,又因为按顺时针方向旋转的角为负角,所以分针转过的角为-
×360°=-480°.
答案:-480°
2.如图
∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD
=(-80°)+250°+(-270°)=-100°.
答案:-100°
【方法技巧】
1.角的表示
(1)通常用希腊字母α,β等表示,如“角α”或“∠α”,也可以简化为“α”.
(2)也可以用三个大写字母表示(前面要加“∠”),如“∠AOB”.
(3)用图示表示角时,箭头不可以丢掉,因为箭头代表
了旋转的方向,也即箭头代表着角的正负.
2.理解角的概念的三个“明确”
【变式训练】写出图(1)(2)中的角α,β,γ的度数.
【解析】图(1)中,α=360°-30°=330°.
图(2)中,β=-360°+60°+150°=-150°;
γ=360°+60°+(-β)=360°+60°+150°=570°.
类型二
终边相同的角
【典例】(2015·宿州高一检测)写出与角-2010°终边相同的角的集合S,求S中的最小正角.
【解题探究】与角α终边相同的角如何表示
提示:与角α终边相同的角表示为α+k·360°,k∈Z.
【解析】与角-2010°终边相同的角的集合为
S={α|α=-2010°+k·360°,k∈Z}.
因为-2010°+6×360°=150°,
故-2010°与150°的终边相同,且150°为其中的最小正角.
答案:150°
【延伸探究】
1.(改变问法)求S中的最大负角.
【解析】因为-2010°+5×360°=-210°,
故-2010°与-210°的终边相同,且-210°为其中的最大负角.
答案:-210°
2.(变换条件)求S中在-720°～720°范围内的角.
【解析】令α=-2010°+k·360°,k∈Z,
当k=4时,α=-2010°+4×360°=-570°,
当k=5时,α=-2010°+5×360°=-210°,
当k=6时,α=-2010°+6×360°=150°,
当k=7时,α=-2010°+7×360°=510°.
故S中在-720°～720°范围内的角为
-570°,-210°,150°,510°.
【方法技巧】
1.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
(1)一般地,可以将所给的角α化成k·360°+β的形式(其中0°≤
β<360°,k∈Z),其中的β就是所求的角.
(2)如果所给的角的绝对值不是很大,可以通过如下方法完成:当所给角是负角时,采用连续加360°的方式;当所给角是正角时,采用连续减360°的方式,直到所得结果达到要求为止.
2.终边相同角常用的三个结论
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍.
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍.
【补偿训练】1.与-457°角的终边相同的角的集合是 ( )
A.{α|α=475°+k·360°,k∈Z}
B.{α|α=97°+k·360°,k∈Z}
C.{α|α=263°+k·360°,k∈Z}
D.{α|α=-263°+k·360°,k∈Z}
【解析】选C.因为263°=-457°+2×360°,故与-457°角的终边相同的角的集合可表示为{α|α=263°+k·360°,k∈Z}.
2.已知α,β的终边相同,那么α-β的终边在 ( )
A.x轴的非负半轴上
B.y轴的非负半轴上
C.x轴的非正半轴上
D.y轴的非正半轴上
【解析】选A.因为α,β的终边相同,
所以α=k·360°+β(k∈Z),
所以α-β=k·360°(k∈Z),
所以α-β的终边在x轴的非负半轴上.
类型三
象限角
【典例】1.(2015·渭南高一检测)给出下列四个命题,其中正确的
有 ( )
①-75°是第四象限角
②225°是第三象限角
③475°是第二象限角
④-315°是第一象限角
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.已知角α是锐角,则2α是 ( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.小于180°的正角
D.第一或第二象限角
3.已知角的顶点在原点,始边在x轴的非负半轴上,作出下列各角,并指出它们是第几象限角.
(1)-50°;(2)780°;(3)-680°.
【解题探究】1.象限角有什么特点
提示:角的始边在x轴的非负半轴上,顶点在原点,角的终边旋转,角的终边在哪个象限即哪个象限的角.
2.题2中角α是锐角,则α的范围是什么
提示:0°<α<90°.
3.题3中如何作负角
提示:顺时针旋转即可得到负角.
【解析】1.选D.①②显然正确;因为115°=475°-360°,故475°是第二象限的角,③正确;因为45°=-315°+360°,故-315°是第一象限的角,④正确.
2.选C.因为α是锐角,所以0°<α<90°,
所以0°<2α<180°.
3.作出各角,其对应的终边如图所示.
(1)-50°是第四象限角.
(2)780°是第一象限角.
(3)-680°是第一象限角.
【方法技巧】
1.象限角的判定方法
(1)根据图像判定.利用图像实际操作时,依据是终边相同的角的概念,因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系.
(2)将角转化到0°～360°范围内.在直角坐标平面内,0°～360°范围内没有两个角终边是相同的.
2.α,2α,
等角的终边位置的确定方法
不等式法
①利用象限角的概念或已知条件,写出角α的范围.
②利用不等式的性质,求出2α,
等角的范围.
③利用“旋转”的观点,确定角终边的位置.
例如,如果得到k×120°<
<30°所表示的区域,再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图
所示).
【变式训练】(2015·大庆高二检测)若α是第三象限角,则180°-α一定是 ( )
Α.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
【解题指南】利用角的对称、旋转确定角的范围.
【解析】选D.因为α是第三象限角,故-α是第二象限角,逆时针旋转180°为第四象限的角,故180°-α是第四象限的角.
【补偿训练】若角α满足α=-30°+k·180°,k∈Z,则角α的终边落在 ( )
A.第一或第三象限
B.第一或第二象限
C.第二或第四象限
D.第三或第四象限
【解析】选C.当k=2n时,α=-30°+n·360°是第四象限角,当k=2n+1时,α=150°+n·360°是第二象限角.
易错案例
象限角的判断
【典例】已知α是第一象限角,那么角2α的终边位于_______.
【失误案例】
【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗
提示:出错的根本原因是只注意到了象限角,忽视了终边在坐标轴上的角也在2α的范围内.
【自我矫正】因为α是第一象限角,
所以k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z,
所以k·720°<2α<180°+k·720°,k∈Z,
则角2α的终边位于第一、二象限,及y轴的正半轴.
答案:第一、二象限及y轴的正半轴
【防范措施】角的终边范围的确定
(1)确定角的终边的位置时一般要先求出角的范围(含k),再给k赋值,根据赋值后的角的范围确定角终边的位置,有时需要对k分奇偶分别赋值.
(2)确定角终边的位置时,不能只关注角的终边所在的象限,还要考察角的终边是否在坐标轴上.帮你认识角
角是平面几何中的一个基本图形，对角的图形特点，一般有以下两种认识：(1)角可以看成是平面内一点引出的两条射线所组成的图形，(2)平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角．下面我们通过几个例子理解角的概念.
一.
任意角
规定:按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.
例1.画图表示下列各角:=3900,
-2100，=-3300.
分析:
为正角，将射线绕其端点逆时针旋3900,、为负角，将射线绕其端点顺时针分别旋转2100和3300.
解:
如图.
点评:
画图表示一个大小为定值的角，先要画一条射线作为角的始边（一般画成水平向右的射线），再由角的正负确定角的旋转方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注．
二.象限角和轴线角
为了便于讨论角，我们常常将角放到直角坐标系中，并且使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，这样就出现了象限角和轴线角．
(1)象限角：当角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
(2)轴线角：当角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么角的终边落在坐标轴上，称做轴线角，这个角不属于任何一个象限．例如00，900，1800，2700,3600,-900,-1800，-2700，-3600，-10800等都是轴线角．
例2
已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的正半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角：
(1)2250；（2）-3000；（3）-4500.
分析：以原点为顶点,x轴的正半轴为始边作出2250,-3000，-4500.
解答：如图，观察角的终边所在位置，知2250,-3000分别是第三象限角和第一象限角，-4500的终边在y轴负半轴上，不属于任何象限．
点评：在直角坐标系内作角，其始边位置及角的顶点是统一固定的，结合角的正负符号和角的绝对值大小作出其终边，并用带箭头的螺旋线标注就行了．确定一个角是第几象限角，可以通过在直角坐标系内作出这个角来说明，这是象限角概念的直接应用．
三.终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·3600,k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
例3
求与39000终边相同的最小正角和最大负角，并指出它们是第几象限角．
分析：与39000终边相同的最小正角和最大负角，就是分别在00～3600;-3600～00范围内，与39000终边相同的角．找出了在00～3600范围内与39000终边相同的角，就能指出它的象限位置．
解：设β=39000+k·3600,(k∈Z).
则当k=-l0时,β=39000-10×3600=3000
当k=-11时，β=39000-11×3600=-600.
∴与3
9000终边相同的最小正角是3000,最大负角是-600,且39000是第四象限的角.
点评：求在某个范围内与α终边相同的角，先要写出其一般表达式：β=α+k·3600(k∈Z)，再根据β的取值范围确定整数k的取值.确定绝对值较大的角的象限位置，可先在00～3600范围内找出其终边相同的角，再作出判断.
四.
半角与倍角
已知α角的象限，确定α角的半角、倍角的象限是学习和、差、倍、半三角公式的基础，解决这类问题一般是根据终边相同的角的集合表示，再通过分类讨论的方法进行．
例4
已知角θ的终边与300的终边关于x轴对称，试在00～3600范围内找出与终边相同的角．
分析：利用角θ的终边与300角的终边关于x轴对称，可得到θ的一般表达式，进而得到的一般表达式．再由00≤<3600,确定k的取值，就能得出结论．
解答：∵角θ的终边与300角的终边关于x轴对称，
∴θ=k·3600-300，∴＝k·1200-100(k∈Z)．
由00≤<3600，
得00≤k·1200-100<3600.
∵k∈Z，∴k=1，2，3.
当k=1时，=1100，当k=2时，=2300，
当k=3时，=3500.
故在00～3600内与终边相同的角是1100,2300,3500.
点评：求在00～3600范围内与终边相同的角，也可转化为先求在00～10800范围内与θ终边相同的角，共有3个角，即3300,6900，1
0500．再分别除以3即得结果．1.2
角的概念的推广
整体设计
教学分析
教材首先通过实际问题的展示,引发学生的认知冲突,然后通过具体例子,将初中学过的角的概念推广到任意角,在此基础上引出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在已有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上,更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念.让学生体会到把角推广到任意角的必要性,引出角的概念的推广问题.本节充分结合角和平面直角坐标系的关系,建立了象限角的概念.使得任意角的讨论有一个统一的载体.教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法,引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题.让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角.能熟练写出与已知角终边相同的角的集合,是本节的一个重要任务.
学生的活动过程决定着课堂教学的成败,教学中应反复挖掘“分析理解”栏目及“分析理解”示图的过程功能,在这个过程上要不惜多花些时间,让学生进行操作与思考,自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式,也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的含义.如能借助信息技术,则可以动态表现角的终边旋转的过程,更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系,让学生在动态的过程中体会,既要知道旋转量,又要知道旋转方向,才能准确刻画角的形成过程的道理,更好地了解任意角的深刻涵义.
三维目标
1.通过实例的展示,使学生理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示,树立运动变化的观点,并由此深刻理解推广之后的角的概念.
2.通过自主探究、合作学习,认识集合S中k、α的准确含义,明确终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个,它们相差360°的整数倍.这对学生的终身发展,形成科学的世界观、价值观具有重要意义.
3.通过类比正、负数的规定,让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用,为今后的学习与发展打下良好的基础.
重点难点
教学重点:将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合.
教学难点:用集合来表示终边相同的角.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(情境导入)可由学生所熟悉的游戏引入,激起学生的探求兴趣.
如图1,在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机,只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品.由此发问:指针怎样旋转,旋转多少度才能赢 还有我们所熟悉的体操运动员旋转的角度,自行车车轮旋转的角度,螺丝扳手的旋转角度,这些角度都怎样解释 在学生急切想知道的渴望中引入角的概念的推广,进而引入角的概念的推广的问题.
图1
思路2.(复习导入)回忆初中我们是如何定义一个角的 所学的角的范围是什么 用这些角怎样解释现实生活的一些现象,比如你原地转体一周的角度,应怎样修正角的定义才能解释这些现象 由此让学生展开讨论,进而引入角的概念的推广问题.
推进新课
知识探究
提出问题
①你的手表慢了5分钟,你将怎样把它调整准确 假如你的手表快了1.25小时,你应当怎样将它调整准确 当时间调整准确后,分针转过了多少度角
②体操运动中有转体两周,在这个动作中,运动员转体多少度
③请两名男生(或女生、或多名男女学生)起立,做由“面向黑板转体背向黑板”的动作.在这个过程中,他们各转体了多少度
活动:让学生到讲台利用准备好的教具——钟表,实地演示拨表的过程.让学生站立原地做转体动作.教师强调学生观察旋转方向和旋转量,并思考怎样表示旋转方向.对回答正确的学生及时给予鼓励、表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.
角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形,设一条射线的端点是O,它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB,则形成了一个角α,点O是角的顶点,射线OA、OB分别是角α的始边和终边.如图2.
图2
我们规定:一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫作正角,按顺时针方向旋转形成的角叫作负角.钟表的时针和分针在旋转过程中所形成的角总是负角,为了简便起见,在不引起混淆的前提下,“角α”或“∠α”可以简记作“α”.
如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转,终止位置OB与起始位置OA重合,我们称这样的角为零度角,又称零角,零角的始边和终边重合,如果α是零角,记作α=0°.
讨论结果:①顺时针方向旋转了30°;逆时针方向旋转了450°.
②顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°.
③-180°或+180°或-540°或+540°或900°或1
260°……
提出问题
①能否以同一条射线为始边作出下列角:210°,-45°,-150°.
②如何在坐标系中作出这些角,象限角是什么意思 0°角又是什么意思
活动:先让学生看书、思考、并讨论这些问题,教师提示、点拨,并对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生,教师提示、引导考虑问题的思路.学生作这样的角,使用一条射线作为始边,没有固定的参照,所以会作出很多形式不同的角.教师可以适时地提醒学生:如果将角放到平面直角坐标系中,问题会怎样呢 并让学生思考讨论在直角坐标系内讨论角的好处:使角的讨论得到简化,还能有效地表现出角的终边“周而复始”的现象.
今后我们在坐标系中研究和讨论角,为了讨论问题的方便,我们使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.要特别强调角与直角坐标系的关系——角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.
讨论结果:①能.如图3.
图3
②使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.这样:
210°角是第三象限角;
-45°角是第四象限角;
-150°角是第三象限角.
特别地,终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限,比如0°角.
可以借此进一步设问:
锐角是第几象限角 钝角是第几象限角 直角是第几象限角 反之如何
将角按照上述方法放在直角坐标系中,给定一个角,就有唯一一条终边与之对应,反之,对于直角坐标系中的任意一条射线OB,以它为终边的角是否唯一 如果不唯一,那么终边相同的角有什么关系
提出问题
①在直角坐标系中标出210°,-150°的角的终边,你有什么发现 它们有怎样的数量关系 328°,-32°,-392°角的终边及数量关系是怎样的 终边相同的角有什么关系
②所有与α终边相同的角,连同角α在内,怎样用一个式子表示出来
活动:让学生从具体问题入手,探索终边相同的角的关系,再用所准备的教具或是多媒体给学生演示:演示象限角、终边相同的角,并及时地引导:终边相同的一系列角与0°到360°间的某一角有什么关系,从而为终边相同的角的表示作好准备.
为了使学生明确终边相同的角的表示方法,还可以用教具作一个32°角,放在直角坐标系内,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,形成-32°角后提问学生这是第几象限角 是多少度角 学生对后者的回答是多种多样的.
至此,教师因势利导,予以启发,学生对问题探究的结果已经水到渠成,本节难点得以突破.同时学生也在这一学习过程中,体会到了探索的乐趣,激发起了极大的学习热情,这是比学习知识本身更重要的.
讨论结果:①210°与-150°角的终边相同;328°,-32°,-392°角的终边相同.终边相同的角相差360°的整数倍.
设S={β|β=-32°+k·360°,k∈Z},则328°,-392°角都是S的元素,-32°角也是S的元素(此时k=0).因此,所有与-32°角的终边相同的角,连同-32°在内,都是集合S的元素;反过来,集合S的任何一个元素显然与-32°角终边相同.
②所有与α终边相同的角,连同角α在内,可以构成一个集合S={β|β=k·360°+α,k∈Z},
即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的整数倍的和.
教师适时引导学生认识:
①k∈Z;
②α是任意角;
③终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍.
应用示例
例1
判定下列各角是第几象限角:
(1)-60°;
(2)585°;
(3)-950°12′.
解:(1)因为-60°角的终边在第四象限,所以它是第四象限角.
(2)因为585°=360°+225°,所以585°与225°角的终边重合,而225°的终边在第三象限,所以585°是第三象限角.
(3)因为-950°12′=(-2)·360°-230°12′,而-230°12′的终边在第二象限,所以-950°12′是第二象限角.
变式训练
在0°—360°范围内,找出与-950°12′角终边相同的角,并判定它是第几象限角.
解:-950°12′=129°48′-3×360°,所以在0°—360°的范围内,与-950°12′角终边相同的角是129°48′,它是第二象限的角.
点评:教师可引导学生先估计-950°12′大致是360°的几倍,然后再具体求解.
例2
在直角坐标系中,写出终边在y轴上的角的集合.(用0°—360°的角表示)
活动:终边落在y轴上,应分y轴的正方向与y轴的负方向两个.
学生很容易分别写出所有与90°,270°的终边相同的角构成集合,这时应启发引导学生进一步思考:能否化简这两个式子,用一个式子表示出来.
让学生观察、讨论、思考,并逐渐形成共识,教师再规范地板书出来.并强调数学的简捷性.在数学表达式子不唯一的情况下,注意采用简约的形式.
解:在0°—360°范围内,终边在y轴上的角有两个,
即90°和270°角,如图4.
图4
因此,所有与90°的终边相同的角构成集合
S1={β|β=90°+k·360°,k∈Z}.
而所有与270°角的终边相同的角构成集合
S2={β|β=270°+k·360°,k∈Z}.
于是,终边在y轴上的角的集合
S=S1∪S2
={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+180°+2k·180°,k∈Z}
={β|β=90°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1)·180°,k∈Z}
={β|β=90°+n·180°,n∈Z}.
点评:本例是让学生理解终边在坐标轴上的角的表示.教学中,应引导学生体会用集合表示终边相同的角时,表示方法不唯一,要注意采用简约的形式.
变式训练
写出终边在坐标轴上的角的集合.
答案:S={β|β=n·90°,n∈Z}.
3.写出与60°角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β＜720°的元素β写出来.
解:S={β|β=60°+k·360°,k∈Z}.
S中适合-360°≤β＜720°的元素是:
60°-1×360°=-300°,
60°+0×360°=60°,
60°+1×360°=420°.
变式训练
写出终边在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β＜720°的元素β写出来.
解:如图5,在直角坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴夹角是45°,在0°—360°范围内,终边在直线y=x上的角有两个:45°和225°,因此,终边在直线y=x上的角的集合
图5
S={β|β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z}.
S中适合-360°≤β＜720°的元素是:
45°-2×180°=-315°,
45°-1×180°=-135°,
45°+0×180°=45°,
45°+1×180°=225°,
45°+2×180°=405°,
45°+3×180°=585°.
点评:本例是让学生表示终边在已知直线的角,并找出某一范围的所有的角,即按一定顺序取k的值,应训练学生掌握这一方法.
例4
写出在下列象限的角的集合:
①第一象限;
②第二象限;
③第三象限;
④第四象限.
活动:本题关键是写出第一象限的角的集合,其他象限的角的集合依此类推即可,如果学生阅读例题后没有解题思路,或者把①中的范围写成0°—90°,可引导学生分析360°—450°范围的角是不是第一象限的角呢 进而引导学生写出所有终边相同的角.
解:①终边在第一象限的角的集合:{β|n·360°＜β＜n·360°+90°,n∈Z}.
②终边在第二象限的角的集合:{β|n·360°+90°＜β＜n·360°+180°,n∈Z}.
③终边在第三象限的角的集合:{β|n·360°+180°＜β＜n·360°+270°,n∈Z}.
④终边在第四象限的角的集合:{β|n·360°+270°＜β＜n·360°+360°,n∈Z}.
点评:教师给出以上解答后可进一步提问:以上的解答形式是唯一的吗 充分让学生思考、讨论后形成共识,并进一步深刻理解终边相同角的意义.
知能训练
课本习题1—2
1、2.
课堂小结
提问的方式与学生一起回顾顺理本节所学内容并简要总结.
让学生自己回忆:本节课都学习了哪些新知识 你是怎样获得这些新知识的 你从本节课上都学到了哪些数学方法 让学生自己得到以下结论:
本节课推广了角的概念,学习了正角、负角、零角的定义,象限角的概念以及终边相同的角的表示方法,零角是射线没有作任何旋转.一个角是第几象限的角,关键是看这个角的终边落在第几象限,终边相同的角的表示有两方面的内容:(1)与角α终边相同的角,这些角的集合为S={β|β=k·360°+α,k∈Z};(2)在0°—360°内找与已知角终边相同的角α,其方法是用所给的角除以360°,所得的商为k,余数为α(α必须是正数),α即为所找的角.
数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法,也是我们学习本章知识的常用思想方法,要细心领悟.
作业
①习题1—2
3.
②预习下一节:弧度制.
设计感想
1.本节课设计的容量较大,学生的活动量也较大,若用信息技术辅助教学效果会很好.教师可充分利用多媒体做好课件,在课堂上演示给学生;有条件的学校,可以让学生利用计算机或计算器进行探究,让学生在动态中掌握知识、提炼方法.
2.本节设计的指导思想是充分利用实际背景加强直观.利用几何直观有利于对抽象概念的理解.在学生得出象限角的概念后,可以充分让学生讨论在直角坐标系中研究角的好处.前瞻性地引导学生体会:在直角坐标系中角的“周而复始”的变化规律,为研究三角函数的周期性奠定基础.
3.几点说明:
(1)列举不在0°—360°的角时,应注意所有的角在同一个平面内,且终边在旋转的过程中,角的顶点不动.
(2)在研究终边相同的两个角的关系时,k的正确取值是关键,应让学生独立思考领悟.
(3)在写出终边相同的角的集合时,可根据具体问题,对相应的集合内容进行复习.
习题详解
习题1—2
1.点拨:由锐角的集合(0°,90°);第一象限角的集合{x|k·360°＜x＜k·360°+90°，k∈Z}可知,锐角是第一象限角,而第一象限角不一定是锐角,对于直角不属于任何象限,轴线角不一定是直角.钝角是第二象限角,第二象限角不一定是钝角.
2.解:①-54°18′=-1×360°+305°42′,
故0°到360°范围内与其终边相同的角为305°42′,第四象限角.
②395°8′=1×360°+35°8′,
故0°到360°范围内与其终边相同的角为35°8′,第一象限角.
③-1
190°30′=-4×360°+249°30′,
故0°到360°范围内与其终边相同的角为249°30′,第三象限角.
④1
563°=4×360°+123°,
故0°到360°范围内与其终边相同的角为123°,第二象限角.
点拨:把角化为k·360°+α,k∈Z,0°≤α＜360°的形式,即可回答.
3.解:①｛β|β=k·360°+60°,k∈Z},
当-720°≤β＜360°时,β为-300°,-660°,60°
②｛β|β=k·360°-45°,k∈Z｝,
当-720°≤β＜360°时,β为-405°,-45°,315°.
③｛β|β=k·360°+1
303°18′,k∈Z｝,
当-720°≤β＜360°时,β为-136°42′,223°18′,-496°42′.
④｛β|β=k·360°-225°,k∈Z｝,
当-720°≤β＜360°时,β为-225°,-585°,135°.
点拨:利用终边相同的角的定义写出β的集合,再取k的值,求出符合条件的角.
备课资料
备用习题
1.若角α与β终边相同,则一定有(
)
A.α+β=180°
B.α+β=0°
C.α-β=k·360°(k∈Z)
D.α+β=k·360°(k∈Z)
2.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°＜β＜180°},则A∩B等于(
)
A.{-36°,54°}
B.{-126°,144°}
C.{-126°,-36°,54°,144°}
D.{-126°,54°}
3.在直角坐标系中,若角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系是(
)
A.β=α+90°
B.β=α±90°
C.β=α+90°+k·360°(k∈Z)
D.β=α±90°+k·360°(k∈Z)
4.集合Z={x|x=(2n+1)·180°,n∈Z},Y={x|x=(4k±1)·180°,k∈Z}之间的关系是(
)
A.ZY
B.ZY
C.Z=Y
D.Z与Y之间的关系不确定
5.已知角θ的终边与168°角的终边相同,则在(0°,360°)范围内终边与角的终边相同的角是_____________________.
6.若集合A={α|k·180°+30°＜α＜k·180°+90°,k∈Z},集合B={β|k·360°+315°＜β＜k·360°+
405°,k∈Z},求A∩B.
7.写出终边在四个象限角平分线上的角的集合.
参考答案:
1.C
2.C
3.答案:D
点拨:将角的终边按逆(或顺)时针旋转90°后,知α±90°与角β的终边重合.
4.答案:C
点拨:先分别将n和k赋以不同的整数值,找出角x的终边,然后再比较.
5.答案:56°,176°,296°
点拨:根据已知条件有θ=k·360°+168°,k∈Z,=k·120°+56°,k∈Z.又0≤k·120°+56°
＜360°,满足条件的k为0,1,2.
6.解:B={β|k·360°-45°＜β＜k·360°+45°,k∈Z}.
采用数形结合法,在直角坐标系内,分别寻找集合A和集合B中的角的终边所在的区域,终边在这两个区域的公共部分内的角的集合就是A∩B,可以求得
A∩B={x|30°+k·360°＜x＜45°+k·360°,k∈Z}.
7.解:终边在四个象限角平分线上的角的集合为
{β|β=n·90°-45°,n∈Z}.
