选修2-1第3讲椭圆 专题训练
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第三讲 椭圆
A组
选择题
1．已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点，，若过的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】：由题意，，则，所以，解得．故选A．
2．若P是以F1，F2为焦点的椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )上的一点，且=0， ( http: / / www.21cnjy.com )，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得是以为直角顶点的直角三角形，由，可得，即，又且，则，解得，即.
3．设是椭圆的两个焦点，为椭圆上的点，以为直径的圆经过,若,则椭圆的离心率为（ ）21教育网
A． B． C． D．
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4．设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若△为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）21·cn·jy·com
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点在轴上方，则坐标为，因为△为等腰直角三角形，所以，即，等式两边同除以，化简得，解得，故选D．www.21-cn-jy.com
5．已知直线与椭圆相交于两点，若椭圆的离心率为，焦距为，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由条件知，所以，椭圆方程为，联立直线方程与椭圆方程可得，所以.
6．椭圆的离心率为，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】当焦点在轴时当焦点在轴时，故选C.
7．已知△的周长为，且顶点，，则顶点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
( http: / / www.21cnjy.com )8．椭圆的两个焦点为 ( http: / / www.21cnjy.com )，过 ( http: / / www.21cnjy.com )作垂直于 ( http: / / www.21cnjy.com )轴的直线与椭圆相交， ( http: / / www.21cnjy.com )为一个交点，则等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由椭圆可得椭圆的焦点坐标为，设F1点的坐标为，所以点P的坐标为，所以．根据椭圆的定义可得，所以21·世纪*教育网
9．在等腰梯形中，，且，其中，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由平几知识可得，所以，因为在上单调递减，所以 ，由不等式恒成立，得，即的最大值是，选B.www-2-1-cnjy-com
二、填空题
10．椭圆上的点到直线的距离的最大值为___________．
【答案】
【解析】设椭圆上的点 ( http: / / www.21cnjy.com )，点到直线的距离 ( http: / / www.21cnjy.com )，当时，距离取得最大值，，故填：.
11．短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为，过作直线交椭圆于、两点，则△周长为_____________．21世纪教育网版权所有
【答案】
【解析】由题意，得，则．由椭圆的定义，
知△的周长
12．已知椭圆，点与的焦点不重合．若关于的焦点的对称点分别为，线段的中点在上，则_______．21*cnjy*com
【答案】
【解析】设的中点为，椭圆的左，右焦点分别为，如图所示，连接，因为是的中点，是的中点，所以是△的中位线，所以，同理，，所以，因为在椭圆上，所以根据椭圆的定义，可得，所以．
( http: / / www.21cnjy.com )
13．设直线与椭圆相交于，两点，为椭圆的左顶点，若的重心在轴右侧，则的取值范围是 ．
( http: / / www.21cnjy.com )三、解答题
14.点在圆上运动，轴，为垂足，点在线段上，满足．
（1）求点的轨迹方程；
（2）过点作直线与点的轨迹相交于两点，使点为弦的中点，求直线的方程．
【解析】（1）∵点在线段上，满足，∴点是线段的中点，
设，则，
∵点在圆上运动，则，即，
∴点的轨迹方程为．
（2）当直线轴时，由椭圆的对称性可得弦的中点在轴上，不可能是点，这种情况不满足题意．
设直线的方程为，
由可得，
由韦达定理可得，
由的中点为，可得，解得，
即直线的方程为，∴直线的方程为．
【解析二】：当直线轴，由椭圆的对称性可得弦的中点在轴上，不可能是点，这种情况不满足题意．设，2-1-c-n-j-y
两点在椭圆上，满足，
由（1）-（2）可得，则，
由的中点为，可得，代入上式，
即直线的方程为，即，
经检验直线与椭圆相交，∴直线的方程为.
15．已知 ( http: / / www.21cnjy.com )，点 ( http: / / www.21cnjy.com )是圆 ( http: / / www.21cnjy.com )上的点， ( http: / / www.21cnjy.com )是线段 ( http: / / www.21cnjy.com )的中点．
（Ⅰ）求点 ( http: / / www.21cnjy.com )的轨迹 ( http: / / www.21cnjy.com )的方程;
（Ⅱ）过点 ( http: / / www.21cnjy.com )的直线 ( http: / / www.21cnjy.com )和轨迹 ( http: / / www.21cnjy.com )有两个交点 ( http: / / www.21cnjy.com )（ ( http: / / www.21cnjy.com )不重合）,若 ( http: / / www.21cnjy.com )，求直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的方程．
【解析】
（Ⅰ）设 ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com )关于 ( http: / / www.21cnjy.com )的对称点为 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵点 ( http: / / www.21cnjy.com )是圆 ( http: / / www.21cnjy.com )上的点，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，即 ( http: / / www.21cnjy.com )，
所以轨迹 ( http: / / www.21cnjy.com )的方程是 ( http: / / www.21cnjy.com )．
（Ⅱ）① 设 ( http: / / www.21cnjy.com )，由题意，直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的斜率存在，设为 ( http: / / www.21cnjy.com )，则直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的方程是 ( http: / / www.21cnjy.com ),
由方程组 ( http: / / www.21cnjy.com ) 得， ( http: / / www.21cnjy.com )，
由 ( http: / / www.21cnjy.com ),得 ( http: / / www.21cnjy.com )
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，∴ ( http: / / www.21cnjy.com ),
∴ ( http: / / www.21cnjy.com ),
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得， ( http: / / www.21cnjy.com )，∴直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的方程是 ( http: / / www.21cnjy.com )，
即直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的方程是 ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )．
【另解】设坐标原点为 ( http: / / www.21cnjy.com )，作 ( http: / / www.21cnjy.com )，垂足为 ( http: / / www.21cnjy.com )．
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，∴ ( http: / / www.21cnjy.com ),由（I）可知， ( http: / / www.21cnjy.com ),∴ ( http: / / www.21cnjy.com )．
又 ( http: / / www.21cnjy.com )，∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )．∴直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的斜率 ( http: / / www.21cnjy.com )，∴直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的方程是 ( http: / / www.21cnjy.com )，
即直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的方程是 ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )．
16．设是椭圆上的点且的纵坐标，点、，试判断是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
【解析】∵点在椭圆上，∴.①
∵点的纵坐标，∴.∴，.
∴②，将①代入②得：
.∴为定值，这个定值是.
B组
选择题
1．已知椭圆的两个焦点分别为，，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）2·1·c·n·j·y
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当动点从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值．∵椭圆上存在点使得是钝角，∴△中，，∴△中，
，所以，∴，∴，∴，∵，
∴.
2．已知椭圆的两个焦点分别为、，．若点在椭圆上，且，则点到轴的距离为 （ ）
A. B. C. D.
( http: / / www.21cnjy.com )3．椭圆的焦点坐标是( )
A． B. C. D.
【答案】C
【解析】化为标准方程是，∵，∴.
∴焦点在y轴上，且.故选C.
4．椭圆的焦点为、，为椭圆上一点，已知，则△的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由椭圆定义知，又因，所以
，从而得，
所以△的面积为，故选A.
5．动点为椭圆上异于椭圆顶点的一点，为椭圆的两个焦点，动圆与线段的延长线及线段相切，则圆心的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线的右支 D．一条直线
【答案】D
【解析】：如图,设切点分别为,由切线长相等可得,故由椭圆定义可得,即,也即,故点与点重合,所以点的横坐标是,即点的轨迹是一条直线,应选D.
( http: / / www.21cnjy.com )
6．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C．3 D．2
【答案】A
【解析】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，
由椭圆和双曲线的定义可知，
( http: / / www.21cnjy.com )7．已知为坐标原点，双曲线的两条渐近线分别为，，右焦点为，以为直径作圆交于异于原点的点，若点在上，且，则双曲线的离心率等于（ ）【出处：21教育名师】
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，，设，由题意，即，因为，所以，即，由得，又在直线上，则，解得．故选B．
8．设 ( http: / / www.21cnjy.com )为椭圆上的一个点，,为焦点,，则的周长和面积分别为 （ ）
A.16， B.18， C.16， D.18，
【答案】D
【解析】，，所以的周长为,根据余弦定理：
,
即,所以，故选D.
9．已知 ( http: / / www.21cnjy.com )为坐标原点， ( http: / / www.21cnjy.com )是椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )：的左焦点， ( http: / / www.21cnjy.com )分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )的左，右顶点. ( http: / / www.21cnjy.com )为 ( http: / / www.21cnjy.com )上一点，且 ( http: / / www.21cnjy.com )轴.过点 ( http: / / www.21cnjy.com )的直线 ( http: / / www.21cnjy.com )与线段 ( http: / / www.21cnjy.com )交于点 ( http: / / www.21cnjy.com )，与 ( http: / / www.21cnjy.com )轴交于点 ( http: / / www.21cnjy.com ).若直线 ( http: / / www.21cnjy.com )经过 ( http: / / www.21cnjy.com )的中点，则 ( http: / / www.21cnjy.com )的离心率为【版权所有：21教育】
（A） （B） （C） （D）
( http: / / www.21cnjy.com )二、填空题
10．若椭圆的焦点在 ( http: / / www.21cnjy.com )轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )，直线 ( http: / / www.21cnjy.com )恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是___________.
【答案】
【解析】设过点（1，）的圆的切线为l：y-=k（x-1），即kx-y-k+=0
①当直线 ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )轴垂直时， ( http: / / www.21cnjy.com )不存在，直线方程为 ( http: / / www.21cnjy.com )，恰好与圆相切于点 ( http: / / www.21cnjy.com )；
②当直线 ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )轴不垂直时，原点到直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的距离为：，解之得，
此时直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的方程为， ( http: / / www.21cnjy.com )切圆相切于点；
因此，直线 ( http: / / www.21cnjy.com )斜率为，直线 ( http: / / www.21cnjy.com )方程为y=-2（x-1）
∴直线 ( http: / / www.21cnjy.com )交 ( http: / / www.21cnjy.com )轴交于点 ( http: / / www.21cnjy.com )，交y轴于点C（0，2）．
椭圆的右焦点为 ( http: / / www.21cnjy.com )，上顶点为（0，2）
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，可得=5，椭圆方程为
11．已知椭圆，、是椭圆的左右顶点，是椭圆上不与、重合的一点，、的倾斜角分别为、，则______．21教育名师原创作品
【答案】
【解析】
设，所以
，．
12．已知椭圆C：，斜率为1的直线与椭圆C交于两点，且，则直线的方程为 .21*cnjy*com
【答案】
【解析】
设直线方程为，联立可得
，所以直线方程为
13．椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )的右焦点为 ( http: / / www.21cnjy.com )，双曲线 ( http: / / www.21cnjy.com )的一条渐近线与椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )交于 ( http: / / www.21cnjy.com )两点，且 ( http: / / www.21cnjy.com )，则椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )的离心率为 _____.
( http: / / www.21cnjy.com )三、解答题
14．定圆,动圆过点且与圆相切，记圆心的轨迹为.
（1）求轨迹的方程；
（2）设点在上运动,与关于原点对称，且,当的面积最小时, 求直线的方程.
【解析】
（1）在圆内,
所以圆内切于圆.点的轨迹为椭圆，
且轨迹的方程为.
（2）①当为长轴（或短轴）时，此时.
② 当直线的斜率存在且不为时，设直线方程为,
联立方程得.
将上式中的 替换为,得
.
,
当且仅当 ,
即时等号成立，此时面积最小值是.
面积最小值是,此时直线的方程为或.
15．若椭圆的离心率等于,抛物线的焦点在椭圆的顶点上.
（1）求抛物线的方程；
（2）设和为抛物线上的两个动点, 其中且,线段的垂直平分线与轴交于点,求面积的最大值.21cnjy.com
【解析】
（1）已知椭圆的长半轴长为,半焦距,
由离心率,得椭圆的上顶点为,
即抛物线的焦点为,,抛物线的方程为.
设线段中点,
则
直线的方程为,即过定点.
联立,
得,
,
设到的距离
.
当且仅当,即时取等号，的最大值为.
16．已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）点在圆上，且在第一象限，过作的切线交椭圆于两点，问：的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是。说明理由.
【解析】
（1）由题意得
所以椭圆方程为
（2）由题意，设的方程为
与圆相切，，即
由
设，则
又
，同理
（定值）
17．已知椭圆：的两个焦点为，离心率为，点在椭圆上，在线段上，且的周长等于.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过圆上任意一点作椭圆的两条切线和与圆交于点，求面积的最大值.
【解析】
（1）由的周长为，得，.
由离心率，得，.
所以椭圆标准方程为：.
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第三讲 椭圆
A组
选择题
1．已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点，，若过的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】：由题意，，则，所以，解得．故选A．
2．若P是以F1，F2为焦点的椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )上的一点，且=0， ( http: / / www.21cnjy.com )，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得是以为直角顶点的直角三角形，由，可得，即，又且，则，解得，即.
3．设是椭圆的两个焦点，为椭圆上的点，以为直径的圆经过,若,则椭圆的离心率为（ ）21教育网
A． B． C． D．
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4．设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若△为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）21·cn·jy·com
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点在轴上方，则坐标为，因为△为等腰直角三角形，所以，即，等式两边同除以，化简得，解得，故选D．www.21-cn-jy.com
5．已知直线与椭圆相交于两点，若椭圆的离心率为，焦距为，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由条件知，所以，椭圆方程为，联立直线方程与椭圆方程可得，所以.
6．椭圆的离心率为，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】当焦点在轴时当焦点在轴时，故选C.
7．已知△的周长为，且顶点，，则顶点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
( http: / / www.21cnjy.com )8．椭圆的两个焦点为 ( http: / / www.21cnjy.com )，过 ( http: / / www.21cnjy.com )作垂直于 ( http: / / www.21cnjy.com )轴的直线与椭圆相交， ( http: / / www.21cnjy.com )为一个交点，则等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由椭圆可得椭圆的焦点坐标为，设F1点的坐标为，所以点P的坐标为，所以．根据椭圆的定义可得，所以21·世纪*教育网
9．在等腰梯形中，，且，其中，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由平几知识可得，所以，因为在上单调递减，所以 ，由不等式恒成立，得，即的最大值是，选B.www-2-1-cnjy-com
二、填空题
10．椭圆上的点到直线的距离的最大值为___________．
【答案】
【解析】设椭圆上的点 ( http: / / www.21cnjy.com )，点到直线的距离 ( http: / / www.21cnjy.com )，当时，距离取得最大值，，故填：.
11．短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为，过作直线交椭圆于、两点，则△周长为_____________．21世纪教育网版权所有
【答案】
【解析】由题意，得，则．由椭圆的定义，
知△的周长
12．已知椭圆，点与的焦点不重合．若关于的焦点的对称点分别为，线段的中点在上，则_______．21*cnjy*com
【答案】
【解析】设的中点为，椭圆的左，右焦点分别为，如图所示，连接，因为是的中点，是的中点，所以是△的中位线，所以，同理，，所以，因为在椭圆上，所以根据椭圆的定义，可得，所以．
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13．设直线与椭圆相交于，两点，为椭圆的左顶点，若的重心在轴右侧，则的取值范围是 ．
( http: / / www.21cnjy.com )三、解答题
14.点在圆上运动，轴，为垂足，点在线段上，满足．
（1）求点的轨迹方程；
（2）过点作直线与点的轨迹相交于两点，使点为弦的中点，求直线的方程．
【解析】（1）∵点在线段上，满足，∴点是线段的中点，
设，则，
∵点在圆上运动，则，即，
∴点的轨迹方程为．
（2）当直线轴时，由椭圆的对称性可得弦的中点在轴上，不可能是点，这种情况不满足题意．
设直线的方程为，
由可得，
由韦达定理可得，
由的中点为，可得，解得，
即直线的方程为，∴直线的方程为．
【解析二】：当直线轴，由椭圆的对称性可得弦的中点在轴上，不可能是点，这种情况不满足题意．设，2-1-c-n-j-y
两点在椭圆上，满足，
由（1）-（2）可得，则，
由的中点为，可得，代入上式，
即直线的方程为，即，
经检验直线与椭圆相交，∴直线的方程为.
15．已知 ( http: / / www.21cnjy.com )，点 ( http: / / www.21cnjy.com )是圆 ( http: / / www.21cnjy.com )上的点， ( http: / / www.21cnjy.com )是线段 ( http: / / www.21cnjy.com )的中点．
（Ⅰ）求点 ( http: / / www.21cnjy.com )的轨迹 ( http: / / www.21cnjy.com )的方程;
（Ⅱ）过点 ( http: / / www.21cnjy.com )的直线 ( http: / / www.21cnjy.com )和轨迹 ( http: / / www.21cnjy.com )有两个交点 ( http: / / www.21cnjy.com )（ ( http: / / www.21cnjy.com )不重合）,若 ( http: / / www.21cnjy.com )，求直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的方程．
【解析】
（Ⅰ）设 ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com )关于 ( http: / / www.21cnjy.com )的对称点为 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵点 ( http: / / www.21cnjy.com )是圆 ( http: / / www.21cnjy.com )上的点，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，即 ( http: / / www.21cnjy.com )，
所以轨迹 ( http: / / www.21cnjy.com )的方程是 ( http: / / www.21cnjy.com )．
（Ⅱ）① 设 ( http: / / www.21cnjy.com )，由题意，直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的斜率存在，设为 ( http: / / www.21cnjy.com )，则直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的方程是 ( http: / / www.21cnjy.com ),
由方程组 ( http: / / www.21cnjy.com ) 得， ( http: / / www.21cnjy.com )，
由 ( http: / / www.21cnjy.com ),得 ( http: / / www.21cnjy.com )
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，∴ ( http: / / www.21cnjy.com ),
∴ ( http: / / www.21cnjy.com ),
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得， ( http: / / www.21cnjy.com )，∴直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的方程是 ( http: / / www.21cnjy.com )，
即直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的方程是 ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )．
【另解】设坐标原点为 ( http: / / www.21cnjy.com )，作 ( http: / / www.21cnjy.com )，垂足为 ( http: / / www.21cnjy.com )．
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )，∴ ( http: / / www.21cnjy.com ),由（I）可知， ( http: / / www.21cnjy.com ),∴ ( http: / / www.21cnjy.com )．
又 ( http: / / www.21cnjy.com )，∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )．∴直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的斜率 ( http: / / www.21cnjy.com )，∴直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的方程是 ( http: / / www.21cnjy.com )，
即直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的方程是 ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )．
16．设是椭圆上的点且的纵坐标，点、，试判断是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
【解析】∵点在椭圆上，∴.①
∵点的纵坐标，∴.∴，.
∴②，将①代入②得：
.∴为定值，这个定值是.
B组
选择题
1．已知椭圆的两个焦点分别为，，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）2·1·c·n·j·y
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当动点从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值．∵椭圆上存在点使得是钝角，∴△中，，∴△中，
，所以，∴，∴，∴，∵，
∴.
2．已知椭圆的两个焦点分别为、，．若点在椭圆上，且，则点到轴的距离为 （ ）
A. B. C. D.
( http: / / www.21cnjy.com )3．椭圆的焦点坐标是( )
A． B. C. D.
【答案】C
【解析】化为标准方程是，∵，∴.
∴焦点在y轴上，且.故选C.
4．椭圆的焦点为、，为椭圆上一点，已知，则△的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由椭圆定义知，又因，所以
，从而得，
所以△的面积为，故选A.
5．动点为椭圆上异于椭圆顶点的一点，为椭圆的两个焦点，动圆与线段的延长线及线段相切，则圆心的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线的右支 D．一条直线
【答案】D
【解析】：如图,设切点分别为,由切线长相等可得,故由椭圆定义可得,即,也即,故点与点重合,所以点的横坐标是,即点的轨迹是一条直线,应选D.
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6．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C．3 D．2
【答案】A
【解析】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，
由椭圆和双曲线的定义可知，
( http: / / www.21cnjy.com )7．已知为坐标原点，双曲线的两条渐近线分别为，，右焦点为，以为直径作圆交于异于原点的点，若点在上，且，则双曲线的离心率等于（ ）【出处：21教育名师】
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，，设，由题意，即，因为，所以，即，由得，又在直线上，则，解得．故选B．
8．设 ( http: / / www.21cnjy.com )为椭圆上的一个点，,为焦点,，则的周长和面积分别为 （ ）
A.16， B.18， C.16， D.18，
【答案】D
【解析】，，所以的周长为,根据余弦定理：
,
即,所以，故选D.
9．已知 ( http: / / www.21cnjy.com )为坐标原点， ( http: / / www.21cnjy.com )是椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )：的左焦点， ( http: / / www.21cnjy.com )分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )的左，右顶点. ( http: / / www.21cnjy.com )为 ( http: / / www.21cnjy.com )上一点，且 ( http: / / www.21cnjy.com )轴.过点 ( http: / / www.21cnjy.com )的直线 ( http: / / www.21cnjy.com )与线段 ( http: / / www.21cnjy.com )交于点 ( http: / / www.21cnjy.com )，与 ( http: / / www.21cnjy.com )轴交于点 ( http: / / www.21cnjy.com ).若直线 ( http: / / www.21cnjy.com )经过 ( http: / / www.21cnjy.com )的中点，则 ( http: / / www.21cnjy.com )的离心率为【版权所有：21教育】
（A） （B） （C） （D）
( http: / / www.21cnjy.com )二、填空题
10．若椭圆的焦点在 ( http: / / www.21cnjy.com )轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )，直线 ( http: / / www.21cnjy.com )恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是___________.
【答案】
【解析】设过点（1，）的圆的切线为l：y-=k（x-1），即kx-y-k+=0
①当直线 ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )轴垂直时， ( http: / / www.21cnjy.com )不存在，直线方程为 ( http: / / www.21cnjy.com )，恰好与圆相切于点 ( http: / / www.21cnjy.com )；
②当直线 ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )轴不垂直时，原点到直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的距离为：，解之得，
此时直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的方程为， ( http: / / www.21cnjy.com )切圆相切于点；
因此，直线 ( http: / / www.21cnjy.com )斜率为，直线 ( http: / / www.21cnjy.com )方程为y=-2（x-1）
∴直线 ( http: / / www.21cnjy.com )交 ( http: / / www.21cnjy.com )轴交于点 ( http: / / www.21cnjy.com )，交y轴于点C（0，2）．
椭圆的右焦点为 ( http: / / www.21cnjy.com )，上顶点为（0，2）
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，可得=5，椭圆方程为
11．已知椭圆，、是椭圆的左右顶点，是椭圆上不与、重合的一点，、的倾斜角分别为、，则______．21教育名师原创作品
【答案】
【解析】
设，所以
，．
12．已知椭圆C：，斜率为1的直线与椭圆C交于两点，且，则直线的方程为 .21*cnjy*com
【答案】
【解析】
设直线方程为，联立可得
，所以直线方程为
13．椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )的右焦点为 ( http: / / www.21cnjy.com )，双曲线 ( http: / / www.21cnjy.com )的一条渐近线与椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )交于 ( http: / / www.21cnjy.com )两点，且 ( http: / / www.21cnjy.com )，则椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )的离心率为 _____.
( http: / / www.21cnjy.com )三、解答题
14．定圆,动圆过点且与圆相切，记圆心的轨迹为.
（1）求轨迹的方程；
（2）设点在上运动,与关于原点对称，且,当的面积最小时, 求直线的方程.
【解析】
（1）在圆内,
所以圆内切于圆.点的轨迹为椭圆，
且轨迹的方程为.
（2）①当为长轴（或短轴）时，此时.
② 当直线的斜率存在且不为时，设直线方程为,
联立方程得.
将上式中的 替换为,得
.
,
当且仅当 ,
即时等号成立，此时面积最小值是.
面积最小值是,此时直线的方程为或.
15．若椭圆的离心率等于,抛物线的焦点在椭圆的顶点上.
（1）求抛物线的方程；
（2）设和为抛物线上的两个动点, 其中且,线段的垂直平分线与轴交于点,求面积的最大值.21cnjy.com
【解析】
（1）已知椭圆的长半轴长为,半焦距,
由离心率,得椭圆的上顶点为,
即抛物线的焦点为,,抛物线的方程为.
设线段中点,
则
直线的方程为,即过定点.
联立,
得,
,
设到的距离
.
当且仅当,即时取等号，的最大值为.
16．已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）点在圆上，且在第一象限，过作的切线交椭圆于两点，问：的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是。说明理由.
【解析】
（1）由题意得
所以椭圆方程为
（2）由题意，设的方程为
与圆相切，，即
由
设，则
又
，同理
（定值）
17．已知椭圆：的两个焦点为，离心率为，点在椭圆上，在线段上，且的周长等于.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过圆上任意一点作椭圆的两条切线和与圆交于点，求面积的最大值.
【解析】
（1）由的周长为，得，.
由离心率，得，.
所以椭圆标准方程为：.
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