选修2-1第7讲圆锥曲线的综合问题 专题训练

21世纪教育网 –中小学教育资源及组卷应用平台
第7讲圆锥曲线综合问题
A组
一、选择题
1．若椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )与直线 ( http: / / www.21cnjy.com )交于 ( http: / / www.21cnjy.com )两点，过原点与线段 ( http: / / www.21cnjy.com )的中点的直线的斜率为 ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com )的值为（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】A
【解析】设，线段 ( http: / / www.21cnjy.com )的中点为，把点的坐标代入椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )，并相减可得，由题意知，代入上式可得，故选A.21·cn·jy·com
2．已知椭圆：（）的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点，若的中点坐标为，则的方程为（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
( http: / / www.21cnjy.com )3．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆的半径，则椭圆的标准方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意知：，故选A.
4．椭圆左右焦点分别为，为椭圆上任一点且最大值取值范围是，其中，则椭圆离心率的取值范围（ ）21·世纪*教育网
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，所以，所以由题意知，所以，所以，故选B．
5．已知椭圆与x轴负半轴交于点C，A为椭圆第一象限上的点，直线OA交椭圆于另一点B，椭圆的左焦点为F，若直线AF平分线段BC，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，连接，因为平分，即为的中点，所以为的中位线，所以，所以，即，所以，故选A.
( http: / / www.21cnjy.com )
6．已知直线与椭圆相交于A，B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】由已知，椭圆方程为，联立方程组得所以.
7．直线被椭圆所截得的弦的中点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由消去y得设方程两根为，则弦的中点的横坐标为，故所求中点坐标为.
8．已知椭圆，点在椭圆上，且，其中为坐标原点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
( http: / / www.21cnjy.com )9．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m＜0)的半径为2，椭圆C：1的左焦点为F(－c,0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】
圆的方程可化为，则由题意得，即，∴ ，则圆心的坐标为，由题意知直线的方程为，又∵ 直线与圆相切，∴，∴，∴．2-1-c-n-j-y
10．已知椭圆，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于（ ）
A．4 B．5 C．7 D．8【版权所有：21教育】
【答案】D
【解析】
将椭圆的方程转化为标准形式为，显然且，解得．
11．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ）
A．2 B．6 C．4 D．12
【答案】C
【解析】
如图，设椭圆的另外一个焦点为，
则．
( http: / / www.21cnjy.com )
12．双曲线的中心在坐标原点O，A、C分别为双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F是双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于D，若双曲线离心率为2，则的余弦值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得A（0，b），C（0，-b），B（-a，0），F（-c，0），．
∴BF=c-a=a，BD 的方程为，即 bx-ay+ab=0，
DC的方程为，即 bx+cy+bc=0，即 bx+2ay+2ab=0，
由得 D ，又，
∴，，
三角形BDF中，由余弦定理得，
13．双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
( http: / / www.21cnjy.com )14．双曲线的两条渐近线与抛物线交于三点，为坐标原点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由双曲线方程可知双曲线的渐近线方程为.
或,不妨令,同理可得.
.故C正确.
15．已知双曲线 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )、 ( http: / / www.21cnjy.com )是实轴顶点，是右焦点， ( http: / / www.21cnjy.com )是虚轴端点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得构成以 ( http: / / www.21cnjy.com )为斜边的直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
( http: / / www.21cnjy.com )16．已知双曲线的一个焦点为，则它的渐近线方程为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
【解析】
根据可知，由于焦点为，所以因此渐近线方程为，故选A.
17．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于点、，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由，故，∴.
法1【余弦定理】，
∴，
∴，
∴，解得，
∴，选C.
法2： ；，，，∴，，∴，排除A，B，D，选C.
二、填空题
18．已知椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )的左焦点为 ( http: / / www.21cnjy.com )，右顶点为 ( http: / / www.21cnjy.com )，点 ( http: / / www.21cnjy.com )在椭圆上，且 ( http: / / www.21cnjy.com )轴， 直线 ( http: / / www.21cnjy.com )交 ( http: / / www.21cnjy.com )轴于点 ( http: / / www.21cnjy.com )．若 ( http: / / www.21cnjy.com )，则椭圆的离心率是_________．
【答案】.
【解析】
如图，由于轴，故；设点，因为,所以，得；所以.
19．椭圆的左焦点为 ，为椭圆上的动点，是圆上的 动点，则的最大值是
( http: / / www.21cnjy.com )20．已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为5，则b的值是 ．
【答案】
【解析】
由题意：，的最大值为，的最小值为，当且仅当轴时，取得最小值，此时，代入椭圆方程可得，，，，故答案为.
21．已知双曲线的左、右焦点分别是，，过的直线交双曲线的右支于，两点，若，且，则该双曲线的离心率为 .
【答案】
【解析】
由双曲线的性质可知，，，∴，，
∴
，故填：.
22．已知命题：在平面直角坐标系xOy中，椭圆，△ABC的顶点B在椭圆上，顶点A，C分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为e，则，现将该命题类比到双曲线中，△ABC的顶点B在双曲线上，顶点A、C分别为双曲线的左、右焦点，设双曲线的方程为．双曲线的离心率为e，则有________．
【答案】
【解析】
由正弦定理和椭圆的定义，得；类比双曲线的定义，得故填．
三、解答题
23．已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为，短轴长为，过右焦点F的直线l与C相交于A，B两点．O为坐标原点.www.21-cn-jy.com
(1)求椭圆C的方程；
(2)若点P在椭圆C上，且，求直线l的方程；
【解析】
(1)由2b＝2.得b＝
，
所以
椭圆方程为
( http: / / www.21cnjy.com )24．已知动点到直线的距离是它到点的距离的倍.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与轨迹交于两点，若是的中点，求直线的斜率.
【解析】
如图，设点到直线的距离为，
( http: / / www.21cnjy.com )
根据题意，，由此
化简得：
所以动点的轨迹的方程为
（2）由题意，设直线的方程为
，，如图所示.
( http: / / www.21cnjy.com )
将代入，得
其中，
且…①，…②
又是的中点，故…③
将③代入①②，得，
所以，且
解得或
所以直线的斜率为或.
25．点在圆上运动，轴，为垂足，点在线段上， 满足．
(Ⅰ) 求点的轨迹方程；
(Ⅱ) 过点作直线与点的轨迹相交于、两点，使点为弦的中点，求直线的方程．
【解析】
(Ⅰ) 点在线段上，满足
点是线段的中点
设，则
点在圆上运动
则 即
点的轨迹方程为．
(Ⅱ) 方法一：
当直线轴时，由椭圆的对称性可得弦的中点在轴上，不可能是
点，这种情况不满足题意．
设直线的方程为，
由 可得
由韦达定理可得
由的中点为，可得
解得
即直线的方程为
直线的方程为
方法二：
当直线轴时，由椭圆的对称性可得弦的中点在轴上，不可能是
点，这种情况不满足题意
设、
、两点在椭圆上，满足
由可得
则
由的中点为，可得，代入上式
即直线的方程为
直线的方程为
26．已知椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1和F2，由4个点M（﹣a，b）、N（a，b）、F2和F1组成了一个高为 ( http: / / www.21cnjy.com )，面积为3 ( http: / / www.21cnjy.com )的等腰梯形．2·1·c·n·j·y
（1）求椭圆的方程；
（2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求△F2AB面积的最大值．
【解析】
（1）由题意知b= ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )=3 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以a+c=3①，
又a2=b2+c2，即a2=3+c2②，
联立①②解得a=2，c=1，
所以椭圆方程为： ( http: / / www.21cnjy.com )；
( http: / / www.21cnjy.com )B组
选择题
1．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线的方程是（ ）21*cnjy*com
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
设双曲线方程为 ，将代入双曲线方程整理得，由韦达定理得，则 ．又，解得，所以双曲线的方程是 ．故答案为B.【出处：21教育名师】
2．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点,为原点，若，则双曲线的离心率为（ ）21教育名师原创作品
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
设抛物线的焦点为，为的中点，由得为的中点，所以，设，.过点作轴的垂线，点到该垂线的距离为，由勾股定理得，，即，解得．21*cnjy*com
3．过双曲线的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于两点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意，得代入，得交点，，则.整理，得，故选D.
4．已知双曲线以及双曲线的渐近线将第一象限三等分，则双曲线的离心率为（ ）
A．2或 B．或 C．2或 D．或
【答案】A
【解析】
双曲线一条的渐近线为，双曲线一条的渐近线为，由于这两条渐近线将第一象限三等分，即这两直线与横轴正半轴的夹角分别为，也即，所以，或，即，当时可求得，当时可求得，故本题的正确选项为A.
5．已知双曲线：的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
( http: / / www.21cnjy.com )6．过双曲线的左焦点，作圆的切线交双曲线右支于点，切点为，的中点在第一象限，则以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为是切点，所以连接，则，在中，．连接，在中，、分别是、的中点，所以，，故选D．【来源：21cnj*y.co*m】
7．已知双曲线的两顶点为，虚轴两端点为 ，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
( http: / / www.21cnjy.com )8．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E离心率为（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B．2 C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】D
【解析】
设在双曲线的左支上，且则的坐标为，代入双曲线方程可得，整理得，所以离心率故选D．
9．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为该抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，当取最小值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过作准线的垂线，垂足为，则由抛物线的定义可得，则，设的倾斜角为，则，当取得最小值时，最小，此时直线与抛物线相切，设直线的方程为，代入可得，即，所以，所以双曲线的实轴长为，双曲线的离心率故选C．
10．已知双曲线 的离心率为，且双曲线与抛物线的准线交于，，则双曲线的实轴长（ ）
A． B． C． D．
( http: / / www.21cnjy.com )11．设是双曲线的右焦点，为坐标原点，点分别在双曲线的两条渐近线上，轴，∥，，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意，设，∵，∴，直线的方程为，与联立可得∵，∴，∴，∴，∴．
12．若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则的值为（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．4
【答案】A
【解析】
因为抛物线的方程为，所以其焦点的坐标为，而双曲线的一个焦点坐标为：，所以，所以，故应选．
13．已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，则（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．
( http: / / www.21cnjy.com )14．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )的右焦点重合，则p的值为（ ）
A．4 B．1 C．2 D．8
【答案】A
【解析】
椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )中，右焦点为，所以抛物线y2=2px交点为
15．过点作直线与抛物线在第一象限相切于点，记抛物线的焦点为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】
设B点的坐标为，故过B点的抛物线切线方程为，
又∵切线过点，∴，∴或（舍去），∴，而焦点，
∴，故选D．
16．过点作直线，与抛物线只有一个公共点，满足条件的直线有（ ）条
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】C
【解析】
经验证点在抛物线上，因此过点与抛物线相切的直线有一条，除切线外直线与抛物线有一个交点，因此满足只有一个公共点的直线有2条
17．若抛物线的焦点与圆x2+y2-4x=0的圆心重合，则p的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-4 D．4【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】D
【解析】
由抛物线方程可知其焦点为，将圆的方程变形为可知其圆心为，根据题意可得，．故D正确．
18．已知直线 ( http: / / www.21cnjy.com )与抛物线C: ( http: / / www.21cnjy.com )相交A、B两点，F为C的焦点．若 ( http: / / www.21cnjy.com )，则k= （ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】D
【解析】
抛物线的准线为,设,
由抛物线的定义可知, ．
将 ( http: / / www.21cnjy.com )代入消去并整理可得．
由韦达定理可得．
解得．,,所以解得．故D正确．
19．已知抛物线，过焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为
A． B． C． D．
( http: / / www.21cnjy.com )
填空题
20．已知点在抛物线的准线上，点M，N在抛物线C上，且位于轴的两侧，O是坐标原点，若，则点A到动直线MN的最大距离为 ．
【答案】
【解析】
因为点在抛物线的准线上，所以准线方程为，所以，所以抛物线方程为，点在抛物线上，所以可设，由得，，即，解之得或，又因为点在轴的两侧，所以，直线的方程为：，即，当时，，所以直线恒过定点，所以点到直线的最大距离为．
21．已知抛物线，过定点作两条互相垂直的直线，与抛物线交于两点，与抛物线交于两点，设的斜率为．若某同学已正确求得弦的中垂线在y轴上的截距为，则弦MN的中垂线在y轴上的截距为 ．
( http: / / www.21cnjy.com )22．设抛物线的焦点为，，两点在抛物线上，且，，三点共线，过的中点作轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点，若，则点的横坐标为 ．
【答案】
【解析】
由题意，得，，准线为，设、，直线的方程为，代入抛物线方程消去，得，所以，．又设，则，所以，所以．因为，解得，所以点的横坐标为．
23．在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1．记点M的轨迹为C，则曲线C与交点的坐标是 ；若点为曲线C上动点, 又点，那么的最小值为 ．
【答案】,2
【解析】
设点M（x,y）,由已知得，，即，并将其与联立求解得交点坐标为。过点P向准线作垂线，垂足为N，则由抛物线的定义得，，当且仅当B、P、N三点共线时，取得最小值2．
24．已知为抛物线的焦点，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点．若为直角三角形，则双曲线的离心率为__________．
( http: / / www.21cnjy.com )25．直线与抛物线和圆，从左到右的交点依次为、、、，则的值为 ．
【答案】
【解析】
直线过圆心，也是抛物线的焦点,由直线与抛物线联立方程组得,因此，,从而
26．设为原点，是抛物线上一点，为焦点， ，则 ．
【答案】
【解析】
根据题意设，则根据，可知点到抛物线的准线的距离为，结合抛物线的准线方程为，所以有，从而有，故．
27．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】
抛物线的准线方程为，焦点为，与双曲线的右焦点重合，过点作于点，连结，由得点为线段的中点，所以且，又因为，由抛物线的定义可知，所以点的横坐标为，将其代入抛物线方程可得，在中，，所以，又在直角三角形中，由勾股定理得
即，所以，
解之得或（舍去）．
三、解答题
28．给定直线m：y=2x－16，抛物线C：y2=ax（a>0）.
（1）当抛物线C的焦点在直线m上时，确定抛物线C的方程；
（2）若△ABC的三个顶点都在（1）所确定的抛物线C上，且点A的纵坐标y=8，△ABC的重心恰在抛物线C的焦点上，求直线BC的方程．21教育网
【解析】
（1）∵抛物线的焦点为（，0），代入y=2x-16，得a=32．
∴抛物线方程为y2=32x．
（2）∵yA=8，∴xA=2.
∵F（8，0）为△ABC的重心，∴
又（yB+yC）（yB-yC）=32（xB-xC） =-4=kBC，
又中线AF与BC交点坐标x==11，y===-4，
∴BC的直线方程为y+4=-4（x-11），即4x+y-40=0．
29．设抛物线：的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点，且．
( http: / / www.21cnjy.com )
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）已知点，且的面积为，求的值．
( http: / / www.21cnjy.com )30．设抛物线：的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两
点，且．
( http: / / www.21cnjy.com )
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）已知点，且的面积为，求的值．
【解析】
（Ⅰ），设直线的方程为，
联立，消，得：，
，从而，抛物线的方程为．
（Ⅱ）由已知，，直线的方程为，
联立，消，得，所以
．
又到直线的距离．
故．
故得 ．
31．已知A、B为抛物线C：y2 = 4 ( http: / / www.21cnjy.com )x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点．www-2-1-cnjy-com
（Ⅰ）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；
（Ⅱ）设C、D为直线l1、l2与直线x = 4的交点，求面积的最小值．
【解析】
（Ⅰ）设， （）．
易知斜率存在，设为，则方程为．
由得， ①
由直线与抛物线相切，知．
于是，，方程为．
同理，方程为．
联立、方程可得点坐标为 ，
∵，方程为，
过抛物线的焦点．
，
，点在定直线上．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
∴．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 版权所有@21世纪教育网(www.21cnjy.com)