选修2-1第8讲空间向量及其运算 专题练习

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第8讲空间向量及其运算
A组
一、选择题
1．已知 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，若三向量共面，则实数 ( http: / / www.21cnjy.com )等于（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】D
【解析】由题三个向量共面可设：，则：
得：，解得：，
2．设向量 ( http: / / www.21cnjy.com )，向量 ( http: / / www.21cnjy.com )，若 ( http: / / www.21cnjy.com )，则实数 ( http: / / www.21cnjy.com )的值为（ ）
A．—1 B．1 C．2 D．3【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】C
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，由向量 ( http: / / www.21cnjy.com )，可得，故选C.
3．已知，当取最小值时，的值等于（ ）
A． B．－ C．19 D．
【答案】A
【解析】
由题意得，，当时，取得最小值，故选A．
4．空间四边形ABCD中，若向量，，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
取中点，连接,,,而,故选B.
5．在空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（2，2，0），则=（ ）
A．（1，0，﹣3） B．（﹣1，0，3） C．（3，4，3） D．（1，0，3）
【答案】A
【解析】
空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（2，2，0），
∴=（2﹣1，2﹣2，0﹣3）=（1，0，﹣3）．
故选：A．
6．已知点A（1，1，1），点B（3，3，3），点P在x轴上，且|PA|=|PB|，则P点坐标为（ ）
A．（6，0，0） B．（0，2，0） C．（0，0，6） D．（2，0，0）
【答案】A
【解析】
因为点在轴上，所以设，又因为，所以
，解得，故选A．
7．若a＝（0，1，－1），b＝（1，1，0），且（a＋λb）⊥a，则实数λ的值是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．－2
【答案】D
【解析】
8．已知i，j，k是空间直角坐标系O－xyz的单位正交基底，并且＝－i＋j－k则B点的坐标为（ ）21世纪教育网版权所有
A．（－1，1，－1）
B．（－i，j，－k）
C．（1，－1，－1）
D．不确定
【答案】D
【解析】
∵i，j，k是空间直角坐标系O-xyz的单位正交基底，并且=-i+j-k，
A点坐标不确定，∴B点的坐标也不确定
9．在空间直角坐标系中，点A（1，2，﹣3）关于x轴的对称点为（ ）
A．（1，﹣2，﹣3） B．（1，﹣2，3）
C．（1，2，3） D．（﹣1，2，﹣3）
【答案】B
【解析】
∵在空间直角坐标系中，
点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为：（x，﹣y，﹣z），
∴点（1，2，﹣3）关于x轴的对称点的坐标为：（1，﹣2，3）．
故选：B．
10．已知，则与向量共线的单位向量是（ ）
A、
B、
C、
D、
( http: / / www.21cnjy.com )
二、填空题
11．在空间直角坐标系中，设，，且，则 .
【答案】1
【解析】
试题分析：，解得：，故填：1.
12．已知向量 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )且 ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com ) .
【答案】
【解析】
由 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )，可得，再由 ( http: / / www.21cnjy.com )，可得，因 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以，故答案填.
13．在空间直角坐标系中，已知平面的一个法向量是，且平面过点．若是平面上任意一点，则点的坐标满足的方程是__________．
【答案】
【解析】
，由得，，即．
14．已知，，，若向量共面，则 ．
( http: / / www.21cnjy.com )15．若直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的方向向量 ( http: / / www.21cnjy.com )，平面 ( http: / / www.21cnjy.com )的一个法向量 ( http: / / www.21cnjy.com )，则直线 ( http: / / www.21cnjy.com )与平面 ( http: / / www.21cnjy.com )所成角的正弦值等于_________。21·cn·jy·com
【答案】
【解析】
设直线与平面所成的角为．
所以．
16．在空间直角坐标系中,以点A（4,1 ( http: / / www.21cnjy.com ),9）,B（10,-1,6）,C（x,4,3）为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,则实数x的值为 ．21cnjy.com
【答案】2
【解析】
，，由题意，解得，此时有，所以．
17．已知，, , ,若四点共面，则= ．
( http: / / www.21cnjy.com )三、解答题
18.已知向量＝（x，1，2），＝（1，y，－2），＝（3，1，z），，．
（1）求向量，，；
（2）求向量）与）所成角的余弦值．
【解析】解：（1）∵向量＝（x，1，2），＝（1，y，－2），＝（3，1，z），
且，，
∴，
解得x＝－1，y＝－1，z＝1；
∴向量＝（－1，1，2），＝（1，－1，－2），＝（3，1，1）；
（2）∵向量）＝（2，2，3），）＝（4，0，－1），
∴）＝2×4＋2×0＋3×（－1）＝5，
||= ，
||=；
∴）与）所成角的余弦值为
/(||×||)＝ ．
B组
一、选择题
1．在空间直角坐标系中，点M的坐标是，则点M关于y轴的对称点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
在空间直角坐标系Oxyz中，设点关于y轴的对称点为，则，
解得．∴在空间直角坐标系Oxyz中点关于y轴的对称点是．故选B．
2．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
空间点关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标竖坐标互为相反数，因此点关于轴对称的点的坐标为
3．空间直角坐标系中,点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
空间直角坐标系中关于平面对称的两点,横坐标相同,纵坐标相同,竖坐标是互为相反数,所以点的坐标为,故选C.21教育网
4．已知向量，，则以，为邻边的平行四边形的面积为( )
A． B． C．4 D．8
【答案】B．
【解析】
首先由向量的数量积公式可求与夹角的余弦值，然后根据同角三角函数的关系得，最后利用正弦定理表示平行四边形的面．【来源：21·世纪·教育·网】
5．三棱锥中，两两垂直且相等，点分别是线段和上移动，且满足，，则和所成角余弦值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
( http: / / www.21cnjy.com )又因为与独立取值，所以，所以和所成角余弦值的取值范围为，即为所求.
6．若，，不共线，对于空间任意一点都有，则，，，四点（ ）
A．不共面 B．共面 C．共线 D．不共线
【答案】B
【解析】
试题分析：由已知可得，即，可得,所以，，共面但不共线，故，，，四点共面．
7．设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由是上一点，且，可得
又因为是的重心，所以
而，所以，所以，选A.
8．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABC-OA′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为 (　　)．21·世纪*教育网
A.a 　　B. a C．a 　　　 D.a
【答案】B
【解析】由图易知A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A′(a,0，a)，F，E.
∴|EF|＝＝.
9．设点关于原点的对称点为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
关于原点对称的两个点的坐标之间横坐标、纵坐标、坚坐标的数都是相反数，故，所以，故选A.
10．已知空间四边形，其对角线为，分别是边的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量是 （ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：因为,选A
二、填空题
11．已知，，，若向量共面，则 ．
【答案】3
【解析】
由题意可设：，则
12．若，，三点共线，则=
【答案】0
【解析】
，，两个向量平行的条件，可知,故知，解得，故.
13．已知点，，点在轴上，且点到的距离相等，则点的坐标为___________．
【答案】（0,0,3）
【解析】
设，由题意，所以，解得
14．已知向量，若，则 ;
【答案】
【解析】
因为，存在一个实数，使得，可见，则
15．在直三棱柱中，底面ABC为直角三角形，，. 已知Ｇ与Ｅ分别为和的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段和上的动点（不包括端点）. 若，则线段的长度的最小值为 。2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com )16．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．则以为边的平行四边形的面积为________．www.21-cn-jy.com
【答案】
【解析】
由空间中两点坐标可得，，由两向量间的夹角公式可得，可知，．
17．已知向量，，.若与共线，则= .
【答案】1
【解析】
，因为与共线，所以，解得。
18．已知向量a=(1,－2)，b=(4,2)，c=(x,y).若|c|的取值范围是[0，5]，则实数 ( http: / / www.21cnjy.com )=(c-a) (c-b)的最大值为 .www-2-1-cnjy-com
【答案】0
【解析】∵ ( http: / / www.21cnjy.com )=(c-a) (c-b)=(1-x,-2-y) (4-x,2-y)=x2-5x+y2=(x- ( http: / / www.21cnjy.com ))2+y2-( ( http: / / www.21cnjy.com ))2
∴(x- ( http: / / www.21cnjy.com ))2+y2=( ( http: / / www.21cnjy.com ))2+ ( http: / / www.21cnjy.com )
又|c|= ( http: / / www.21cnjy.com )∈[0， 5]
∴向量c在以原点为圆心,5为半径的圆面上
即以( ( http: / / www.21cnjy.com ),0)为圆心的圆,其半径最大值为 ( http: / / www.21cnjy.com )
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )的最大值为0
19．在空间直角坐标系中，已知M（2，0，0），N（0，2，10），若在z轴上有一点D，满足，则点D的坐标为 ．2-1-c-n-j-y
【答案】（0，0，5 ）
【解析】
由D在z轴上可设,再由两点间距离公式,
,因为所以,故
三、解答题
20．已知空间中三点A（－2,0,2），B（－1,1,2），C（－3,0,4），设a＝,b＝．
（1）求向量a与向量b的夹角的余弦值；
（2）若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值
【解析】
（1）∵a＝（1,1,0），b＝（－1,0,2）， ∴a·b＝（1,1,0）·（－1,0,2）＝－1，
又|a|＝＝， |b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－， 即向量a与向量b的夹角的余弦值为－．
（2）方法一 ∵ka＋b＝（k－1，k,2）．ka－2b＝（k＋2，k，－4），且ka＋b与ka－2b互相垂直，21*cnjy*com
∴（k－1，k,2）·（k＋2，k，－4）＝（k－1）（k＋2）＋k2－8＝0， ∴k＝2或k＝－，
∴当ka＋b与ka－2b互相垂直时，实数k的值为2或－．、
方法二 由（1）知|a|＝，|b|＝，a·b＝－1，
∴（ka＋b）·（ka－2b）＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0， 得k＝2或k＝－．
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