www.
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（2）
编审：周彦
魏国庆
【学习目标】
1.领会两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，并能灵活运用公式进行运算.
2.会推导并会应用公式（其中，.
【新知自学】
知识回顾
写出下列公式：
：
；
：
；：
；
：
；：
；
：
.
对点练习：
1、
2、
3、
4、
【合作探究】
典例精析：
例1、已知
求的值．
变式练习：1、已知是第二象限角，又，则
.
例2、计算的值.
变式练习：2、化简.
变式练习：3、化简得（
）
A.
B.
C.
D.
规律总结：
怎样化简类型？
【课堂小结】
【当堂达标】
1.
=（
）
A.
B.
C.
D.
2.可化为（
）
A.
B.
C.
D.
3.
若，则=
【课时作业】
1.
在△ABC中，，则△ABC为（
）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．等腰三角形
2.
△ABC中，若2cosBsinA=sinC
则△ABC的形状一定是（
）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
3.
函数y=sinx+cosx+2的最小值是
（
）
A．2-
B．2+
C．0
D．1
4．如果cos=
-
，那么
cos=________．
5.
求函数y=cosx+cos(x+)的最大值
6.
化简．
7.
已知＜α＜，0＜β＜，cos（+α）=－，sin（+β）=，求sin（α+β）的值．
8、在三角形ABC中，求证：
9.已知函数
的最大值是1，其图象经过点.
（1）求的解析式；
（2）已知，且
，求的值.
【延伸探究】
是否存在锐角和，使得（1）+2=；（2）同时成立，若存在，求出和的值，若不存在，请说明理由。www.
2.4
平面向量的数量积
小结
编审：周彦
魏国庆
【学习目标】
1.
理解数量积的含义掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
2．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
3．会用向量方法解决某些简单的实际问题．
【新知自学】
知识梳理：
1．向量的夹角
已知两个________向量a和b，作＝a，＝b，则_________称作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．
向量夹角〈a，b〉的范围是______，且______＝〈b，a〉．
若〈a，b〉＝______，则a与b垂直，记作__________．
2．平面向量的数量积
__________叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝__________.可见，a·b是实数，可以等于正数、负数、零．其中|a|cos
θ(|b|cos
θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影．
数量积的记号是a·b，不能写成a×b，也不能写成ab.
向量数量积满足下列运算律：
①a·b＝__________(交换律)
②(a＋b)·c＝__________(分配律)
③(λa)·b＝__________＝a·(λb)(数乘结合律)．
3．平面向量数量积的性质：已知非零向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)
性质
几何表示
坐标表示
定义
a·b＝|a||b|cos〈a，b〉
a·b＝a1b1＋a2b2
模
a·a＝|a|2或|a|＝
|a|＝
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)
||＝
a⊥b
a·b＝0
a1b1＋a2b2＝0
夹角
cos〈a，b〉＝(|a||b|≠0)
cos〈a，b〉＝
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|a1b1＋a2b2|≤
对点练习：
1．已知下列各式：
①|a|2＝a2；②＝；③(a·b)2＝a2b2；
④(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，其中正确的有( )．
A．1个
B．2个
C．3个
D．
4个
2．设向量a＝(1,0)，b＝，则下列结论中正确的是( )．
A．|a|＝|b|
B．a·b＝
C．a∥b
D．a－b与b垂直
3．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，则(b·c)a等于( )．
A．(26，－78)
B．(－28，－42)
C．－52
D．－78
4．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2且a与b的夹角为，则|a＋b|＝__________.
5．已知|a|＝2，|b|＝4且a⊥(a－b)，则a与b的夹角是__________．
【合作探究】
典例精析：
一、平面向量数量积的运算
例1、（1)在等边△ABC中，D为AB的中点，AB＝5，求·，||；
(2)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，求(a－2b)·(2a＋3b)和|a＋2b|.
变式练习：
如图，在菱形ABCD中，若AC＝4，则·＝________.
规律总结：
向量数量积的运算与实数运算不同：
(1)若a，b为实数，且ab＝0，则有a＝0或b＝0，但a·b＝0却不能得出a＝0或b＝0.
(2)若a，b，c∈R，且a≠0，则由ab＝ac可得b＝c,
但由a·b＝a·c及a≠0却不能推出b＝c.
(3)若a，b，c∈R，则a(bc)＝(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，c，而(a·b)c与a(b·c)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．
(4)若a，b∈R，则|a·b|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，等号当且仅当a∥b时成立．
二、两平面向量的夹角与垂直
例2、已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)若＝a，＝b，求△ABC的面积．
规律总结：
1．数量积大于0说明两向量的夹角为锐角或共线同向；数量积等于0说明两向量的夹角为直角；数量积小于0说明两向量的夹角为钝角或反向．
2．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它们的关系．
变式练习：
已知平面内A，B，C三点在同一条直线上，＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，且⊥，求实数m，n的值．
三、求平面向量的模
例3、（1）设单位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，则|x＋2y|＝__________.
（2）已知向量a＝，b＝，且x∈.
(1)求a·b及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．
规律总结：
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：
(1)|a|2＝a2＝a·a；
(2)|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.
变式练习：
已知a与b是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．
四、平面向量的应用
例4、已知向量＝a＝(cos
α，sin
α)，＝b＝(2cos
β，2sin
β)，＝c＝(0，d)(d＞0)，其中O为坐标原点，且0＜α＜＜β＜π.
(1)若a⊥(b－a)，求β－α的值；
(2)若＝1，＝，求△OAB的面积S.
变式练习：
△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cos
A＝.
(1)求·；
(2)若c－b＝1，求a的值．
【课堂小结】
【当堂达标】
1．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是( )．
A．x＝－
B．x＝－1
C．x＝5
D．x＝0
2．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－2，则λ＝( )．
A．
B．
C．
D．2
3．在长江南岸渡口处，江水以12.5
km/h的速度向东流，渡船的速度为25
km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为__________．
4．给出以下四个命题：
①对任意两个向量a，b都有|a·b|＝|a||b|；
②若a，b是两个不共线的向量，且＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A，B，C共线 λ1λ2＝－1；
③若向量a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，则a＋b与a－b的夹角为90°；
④若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝，则a，b的夹角为60°.
以上命题中，错误命题的序号是__________．
【课时作业】
1.
已知向量a和b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|a－b|＝( )
A.
B.
2
C.
D.
4
2．已知a，b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是( )
A.
B.
C.
D.
3.已知两个非零向量a与b，定义|a×b|＝|a|·|b|sinθ，其中θ为a与b的夹角．若a＝(－3,4)，b＝(0,2)，则|a×b|的值为( )
A.
－8 B.
－6
C.
8 D.
6
4.
已知向量a＝(2,1)，b＝(1，m)，若a与b的夹角是锐角，则实数m的取值范围是________．
5.已知向量a，b满足|2a＋b|＝，且a⊥b，则|2a－b|＝________.
6.在△ABC中，∠A＝90°，且·＝－1，则边c的长为________．
7、已知a=(4,2)
，（1）求与a
垂直的单位向量；
（2）与垂直的单位向量；（3）与平行的单位向量
8、已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求∠BAC的正弦值。
【延伸探究】
已知平面上三点A，B，C，向量＝(2－k,3)，＝(2,4)．
(1)若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；
(2)若△ABC为直角三角形，求k的值．www.
2.2.3向量数乘运算及其几何意义
编审：周彦
魏国庆
【学习目标】
1．掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义；
2．理解两个向量共线的含义，并能证明简单的平行及共线问题；3.了解向量的线性运算性质及其几何意义；
【新知自学】
知识回顾：
已知非零向量，求作和．
新知梳理：
1．实数与向量的积的定义：
一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：
（1）；
（2）当时，的方向与的方向
；
当时，的方向与的方向
；
当
时，．
2．实数与向量的积的运算律：
（1）（结合律）；
（2）（第一分配律）；
（3）（第二分配律）．
对点练习
1、下面给出四个命题：
①
对于实数和向量,,恒有
()=
；
②
对于实数,和向量，恒有
()
=mn；
③
若
=
(
∈
R),
则有
=；
④
若
=
(,
∈
R,
≠
),
则有
=
.
其中正确命题的个数是(
)
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
2、将化简成最简形式为(
)
A.
B.
C.
D.
3．向量共线定理：
定理：
如果有一个实数，使
（），那么向量与是共线向量；反之，如果向量与（）是共线向量，那么有且只有一个实数，使得．
对点练习3、
与非零向量同向的单位向量是
；
与非零向量反向的单位向量是
；
与非零向量共线的单位向量是
.
【合作探究】
典型精析
例1
计算：（1）
（2）
（3）．
变式练习：1
化简：
例2．已知向量和向量，求作向量和
例3．判断并证明：向量，是否共线？
变式练习：2
例4．已知两个非零向量和不共线，，，
.
求证：三点共线.
变式练习：3设两个非零向量与不共线，若，，
.求证：、、三点共线.
【课堂小结】
【当堂达标】
1.
若32()
=
，则=(
)
A.
2
B.
-2
C.
D.
-
2.
设,
是两个不共线的向量，下列情况下，向量，共线的有（
）
①，；
②，；
③，
④，
A.
①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④
3.
已知向量,,
且=+2,
=5+6,
=7
2,则一定共线的三点是(
)
A.
A、B、D
B.
A、B、C
C.
B、C、D
D.
A、C、D
4.已知向量与反向，且，，，则的值等于( ).
A.
B.
C.
D.
【课时作业】
1.
设，下面叙述不正确的是（
）
A.
B.
C.
D.与的方向相同（）
2.已知向量与不共线，且，则点三点共线应满足（
）
A.
B.
C.
D.
3.
已知O是ΔABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2++
=
，那么(
)
A.
=
B.
=2
C.
=3
D.
2=
4.
在ΔABC中，,
,,三边BC,CA,AB的中点依次是D,E,F，则++=
.
5.
若=+2,
=34，且,
共线，则与的关系是
.
6.若,
为平面上任意一点，则=
(用,表示).
7.已知x，y是实数，向量,不共线，若，则____，_______.
8.
设,
是两个不共线的向量，已知,
,
.
若三点A,B,D共线，求的值.
9.
在四边形ABCD中，，，，且，不共线，试判断四边形ABCD的形状.
【延伸探究】
在ΔABC中，D为BC的一个三等分点，求证:
=
+www.
第一章
三角函数
章末小结
编审：周彦
魏国庆
【学习目标】
1.理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算；
2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，并会利用三角函数线表示正弦、余弦和正切；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；并能应用它们进行简单的求值、化简、证明；
3.能画出正弦函数、余弦函数、正切函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义；并通过它们的图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数及的图象，理解
的物理意义；
4.
复习中渗透“变换”、“化归”思想；体会数形结合思想，学会用数形结合来思考和解决数学问题。
【新知自学】
知识回顾：
1、图表一：知识网络结构图
理解本章知识结构体系（如下图），了解本章知识之间的内在联系。
图表二：三角函数定义、同角三角函数基本关系式、三角函数值的正负
1．
2．
3．“第一象限全为正，”
图表三：诱导公式
函数角
图表四：三角函数的图像和性质
函数
正弦函数
余弦函数
正切函数
图像
定义域
值域
最大值为1，最小值为-1
最大值为1，最小值为-1
无最值
周期性
最小正周期
最小正周期
最小正周期
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在上是增函数；在上是减函数（）
在上是增函数；在上是减函数（）
在上是增函数；
对点练习：
1、若角的终边落在直线上，求和的值。
2.
利用图像变换讨论由得图像怎样得到的图像（写出你能想到的方法）
3、判断下列函数的奇偶性
①y=-3sin2x
②y=-2cos3x-1
③y=-3sin2x+1
④y=sinx+cosx
⑤y=1-cos(-3x-5π)
【合作探究】
典例精析：
例1、已知，求下列各式的值：
（1）
（2）
变式练习1：
（1）计算：
（2）证明：
例2.已知函数试确定该函数的值域、单调增区间、最大值及取得最大值时x的集合。
变式练习2：
（1）观察正弦函数的图像，写出使的的集合。
（2）求适合的集合。
例3
、求函数y=-3cos(2x-π)的最大值，并求此时角x的值。
例4
、求函数的定义域。
【课堂小结】
【当堂达标】
1．已知cos240约等于0.92
,则sin660约等于（
）
A．0.92
B．0.85
C．0.88
D．0.95
2．已知tanx=2，则的值是（
）。
A．
B．
C．-
D．
3．
tan（-）=
.
4．函数y=sinx（≤x≤）的值域是
。
【课时作业】
1、下列函数中，图象的一部分如下图所示的是
( )A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝cos
D．y＝cos
2．不等式tanx≤-1的解集是（
）。
A．（k∈Z）
B.
（k∈Z）
C.
（k∈Z）
D.
（k∈Z）
3.
有以下四种变换方式：
①向左平移，再将横坐标变为原来的；
②将横坐标变为原来的，再向左平移；
③将横坐标变为原来的，再向左平移；
④向左平移，再将横坐标变为原来的。
其中，能将正弦函数y=sinx的图象变为y=sin（2x+）的图象的是（
）
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
4．若函数y=a+bsinx的值域为，则此函数的解析式是
。
5．对于函数y=Asin（ωx+）（A、ω、均为不等于零的常数）有下列说法：
①最大值为A；
②最小正周期为；
③在λο上至少存在一个x，使y=0；
④由≤ωx+≤（k∈Z）解得x的范围即为单调递增区间，
其中正确的结论的序号是
。
【延伸探究】
已知函数f(x)＝2sin
xcos
x＋2sin2x－1，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)在区间上的值域．
角度制与弧度制
任意角的概念
同角函数关系
函数
终边相同角
象
限
角
区
间
角
任意角的三角函数
弧长与扇形面积公式
三角函数图象与性质
诱
导
公
式
第三章：三角恒等变换
符号法则
三角函数线
sin
tan
cos
全tanwww.
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）
编审：周彦
魏国庆
【学习目标】
1.理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法；
2.掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的应用.
【新知自学】
知识回顾
1.两角差的余弦公式是
（公式1）
2.化简
=
3.=
；
=
；
=
；
=
.
新知梳理
两角和的余弦公式中的角可以是任意角，那么，作如下的代换，你会有什么发现？
1、把（1）式中的角“”换成“”，可得
（公式2）
2、把（1）式中的角“”换成“”，可得
（公式3）
3、把（1）式中的角“”换成“”，可得
(公式4)
4、把（3）式除以（2）式，
可得
（公式5）
5、把（4）式除以（1）式，
可得
（公式6）
思考感悟
1、上述6个公式之间还有哪些联系，你能发现吗？
2、在正切公式中应满足什么条件？
3、如何熟练记忆公式？
对点练习
1、=
；
=
；
=
；
=
2、（
）
A．
0
B．2
C．
D．
【合作探究】
典例精析：
例1、求下列各式的值.
（1）；
（2）.
变式练习：
1、求值：=
变式练习：
2、已知，，均为锐角，求的值。
例2、已知是第四象限角，求的值.
变式练习：
3、已知，则=
.
【课堂小结】
【当堂达标】
1.
sincos－cossin的值是(
)
A．－
B．
C．-sin
D．sin
2.
若sin（α+β）cosβ－cos（α+β）sinβ=0，则sin（α+2β）+sin（α－2β）等于(
)
A．1
B．－1
C．0
D．±1
3.
求值：（1）sin75°；
（2）sin13°cos17°+cos13°sin17°．
【课时作业】
1.
sin14 cos16 +sin76 cos74 的值是（
）
A．
B．
C．
D．-
2.
=
；
=
.
3.
=
；
=
.
4.已知，，若是第三象限角，求.
5.已知，求的值.
6.
已知
，求与的值.
7.在中，，求的值.
8、已知，，且，求的值。
【延伸探究】
已知，求的值.www.
2.2向量的线性运算
小结
编审：周彦
魏国庆
【学习目标】
1．掌握向量加法的平行四边形法则及加减法的三角形法则．
2．理解学会共线向量定理在平面几何图形中的应用．
【新知自学】
知识梳理：
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的加法与减法
加法：
（1）定义：求两个向量和的运算
（2）法则(或几何意义)：
三角形法则
平行四边形法则
（3）运算律：交换律：a＋b＝b＋a.
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法：
（1）定义：向量a加上向量b的相反向量，叫做a与b的差，即a＋(－b)＝a－b
（2）法则(或几何意义)：
三角形法则
（3）运算律：a－b＝a＋(－b)
3.向量的数乘运算及其几何意义
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.
(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则
①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③
λ(a＋b)＝λa＋λb.
4．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
感悟：
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．
2.在△ABC中，若D为BC的中点，则＝(＋)．
3.向量的平行与直线的平行不同，向量的平行包括两向量所在直线平行和重合两种情形．
对点练习：
1．若向量a与b不相等，则a与b一定( )．
A．有不相等的模
B．不共线
C．不可能都是零向量
D．不可能都是单位向量
2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k( )．
A．共线
B．不共线
C．共线且同向
D．不一定共线
3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )．
A．＝＋
B．＝－
C．＝－＋
D．＝－－
4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于( )．
A．－＋
B．－－
C.－
D.＋
5．设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝________.
【合作探究】
典例精析：
专题一 平面向量的有关概念
例1．给出下列命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是________．
变式练习1：
给出下列四个命题：
①a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四顶点；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行．
其中所有正确命题的序号是________．
专题二 平面向量的线性运算
例2．如图，在梯形ABCD中，||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点．若＝e1，＝e2，用e1，e2表示，，.
变式练习2：
如图，在△ABC中，＝，DE∥BC交AC于点E，BC边上的中线AM交DE于点N.设＝a，＝b，用a，b表示向量，，，，，.
专题三 共线向量定理的应用
例3．设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
变式练习3：
若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？
【课堂小结】
【当堂达标】
1．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么( )．
A．＝
B．＝2
C．＝3
D．2＝
2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么＝( )．
A．＋
B．－－
C．－＋
D．－
3．已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则( )．
A．a－b＋c－d＝0
B．a－b－c＋d＝0
C．a＋b－c－d＝0
D．a＋b＋c＋d＝0
4．已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若＋2＝3，则的值为( )．
A．
B．
C．
D．
5．设a，b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．
6.如图，在矩形ABCD中，||＝1，||＝2，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝________.
【课时作业】
1．设a，b是两个非零向量．( )．
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
2．已知A，B，C
是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝，则点P一定为三角形ABC的( )．
A．AB边中线的中点
B．AB边中线的三等分点(非重心)
C．重心
D．AB边的中点
3．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为( )．
A．
B．
C．
D．
4．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________．
5．(1)设两个非零向量e1，e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．
(2)设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．
【延伸探究】
6.在△OAB中，＝a，＝b，OD是AB边上的高，若＝λ，则实数λ＝( )．
A．
B．
C．
D．
7
．如图，在平行四边形OADB中，设＝a，＝b，＝，＝.试用a，b表示，及.www.
1.6
三角函数模型的简单应用
【学习目标】
1.
体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
2.让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力。
【新知自学】
知识回顾：
1．三角函数的周期性
y＝Asin(ωx＋φ)
(ω≠0)的周期是T＝________；y＝Acos(ωx＋φ)
(ω≠0)的周期是T＝________；
y＝Atan(ωx＋φ)
(ω≠0)的周期是T＝________.
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k
(A>0，ω>0)的性质
(1)ymax＝________，ymin＝________.
(2)A＝__________，k＝__________.
(3)ω可由__________确定，其中周期T可观察图象获得．
(4)由ωx1＋φ＝______，ωx2＋φ＝__________，ωx3＋φ＝__________，ωx4＋φ＝__________，ωx5＋φ＝________中的一个确定φ的值．
3．三角函数模型的应用
三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．
新知梳理：
1、创设情境、激活课堂
生活中普遍存在着周期性变化规律的现象，昼夜交替四季轮回，潮涨潮散、云卷云舒，情绪的起起落落，庭前的花开花谢，一切都逃不过数学的眼睛！这节课我们就来学习如何用数学的眼睛洞察我们身边存在的周期现象-----1.6三角函数模型的简单应用。
2、结合三角函数图象的特点，思考后写出下列函数的周期．
(1)y＝|sin
x|的周期是________；
(2)y＝|cos
x|的周期是________；
(3)y＝|tan
x|的周期是________；
(4)y＝|Asin(ωx＋φ)|
(Aω≠0)的周期是________；
(5)y＝|Asin(ωx＋φ)＋k|
(Aωk≠0)的周期是__________；
(6)y＝|Atan(ωx＋φ)|
(Aω≠0)的周期是__________．
对点练习：
1、如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s
cm和时间t
s的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A.
s
B.
s
C．50
s
D．100
s
2．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则f等于( )
A．3或0
B．－3或0
C．0
D．－3或3
3.如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是( )
【合作探究】
典例精析：
题型一、由图象探求三角函数模型的解析式
例1．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数．
（1）求这一天6～14时的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式
变式练习：
某动物种群数量1月1日低至最小值700,7月1日高至最大值900，其总量在此两值之间变化，且总量与月份的关系可以用函数来刻画，试求该函数表达式。
题型二、由解析式作出图象并研究性质
例2．画出函数的图象并观察其周期．
变式练习：
的周期是
．
的周期是 ．
的周期是 ．
规律总结：
利用图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，是研究数学问题的常用方法；本题也可用代数方法即周期性定义验证：
∴的周期是．（体现数形结合思想！）
题型三、应用数学知识解决实际问题
例3．如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是．当地夏半年取正值，冬半年取负值．
如果在北京地区(纬度数约为北纬)的一幢高为的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？
变式练习：
交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝220sin来表示，求：
(1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间．
【课堂小结】
【当堂达标】
1、据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N
)
B．f(x)＝9sin(1≤x≤12，x∈N
)
C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N
)
D．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N
)
2、如图所示为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8
m，圆上最低点与地面距离为0.8
m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.
(1)求h与θ间关系的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式．
3、如图表示电流I与时间t的函数关系式：I＝Asin(ωt＋φ)在同一周期内的图象．
(1)据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)为使I＝Asin(ωt＋φ)中t在任意一段的时间内电流I能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？
【课时作业】
1、函数y＝2sin的最小正周期在内，则正整数m的值是________．
2．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．
3．一根长l
cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式时s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1
s时，线长l等于________．
4、如图所示，一个摩天轮半径为10
m，轮子的底部在地面上2
m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30
s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17
m.
5.如图，一个水轮的半径为4
m，水轮圆心O距离水面2
m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？
【延伸探究】
如图，某市拟在长为8
km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin
ωx(A＞0，ω＞0)，x∈的图象，且图象的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.
(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；
(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？www.
2.3.2平面向量的正交分解和坐标表示
编审：周彦
魏国庆
【学习目标】
1.了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念；
2.理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；
3.能够在具体问题中适当选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
【新知自学】
知识回顾：1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个
向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2；
使得
给定基底，分解形式惟一.
λ1，λ2由，，唯一确定.
2.
向量的夹角:已知两个非零向量、，作，，则∠AOB＝，叫向量、的夹角，
当=
，、同向；当=
，、反向（同向、反向通称平行）；
当=
°，称与垂直，记作。
新知梳理：
由前面知识知道，平面中的任意一个向量都可以用给定的一组基底来表示；当然也可以用两个互相垂直的向量来表示，这样能给我们研究向量带来许多方便。
1．平面向量的正交分解：把向量分解为两个
的向量。
思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一个向量，如何表示呢？
2．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得=x+y………
我们把叫做向量的（直角）坐标，记作=(x,y)………
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为.
特别地，=(1,0)
=(0,1)，=(0,0).
3.
在平面直角坐标系中,一个平面向量和其坐标是一一对应的。
如图，在直角坐标平面内，以原点为起点作=，则点的位置由唯一确定.
设=x+y，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.
对点练习：
1.
如图，向量、是两个互相垂直的单位向量，向量与的夹角是30°，且||=4，以向量、为基底，向量=_________
2.
在平面直角坐标系下，起点是坐标原点，终点A落在直线上，且模长为1的向量的坐标是___________
【合作探究】
典例精析：
例1：请写出图中向量,,的坐标
变式1：请在平面直角坐标系中作出向量、，其中=（1,-3）、=（-3，-1）.
例2:如图所示，用基底、分别表示向量、、、并求出它们的坐标。
变式2：已知O为坐标原点，点A在第一象限，，，求向量的坐标
【课堂小结】
向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义。
将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标。
【当堂达标】
1、已知力在水平方向与竖直方向的分力分别是4和3，则力的实际大小是__________，若水平方向为x轴的正方向，竖直方向为y轴的正方向，则力的坐标表示是______________
2、若，（，为单位向量），则的坐标（x，y）就是____的坐标，即若=（x，y），则点A的坐标就是_______________。
3、如右图：|OA|=4,B(1,2),求向量
的坐标。
【课时作业】
1．设、是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，且，
，则△OAB的面积等于（
）
A、15
B、10
C、7.5
D、5
2、在平面直角坐标系中，A（2,3），B(-3,4)，如图所示，x轴，y轴上的两个单位向量分别是和，则下列说法正确的是__________
①2+3;②3+4;
③-5+;④5-.
3、如图所示的直角坐标系中，四边形OABC为等腰梯形，BC‖OA，OC=6，，则用坐标表示下列向量：_______________；
______________；______________；
______________；
4.在直角坐标系xoy中，向量的方向如图所示，且，分别写出他们的坐标。
5.如图，已知O为坐标原点，点A在第一象限，，，求向量的坐标。
【延伸探究】
在平面直角坐标系中，A（1,1），B（-2,4），则向量的坐标是_________
y
x
O
A
B
A
O
P
C(6,2)
B
(4,-1)
A(2,3)
y
x
O
y
C
B
A
x
0
B(-3,4)
A(2,3)
y
x
O
O
A
B
C
O
y
x
O
x
y
A(1,1)
90
O
y
x
B(-2,4)www.
2.3.4
平面向量共线的坐标表示
编审：周彦
魏国庆
【学习目标】
1．理解平面向量共线的坐标表示；
2．掌握平面上两点间的中点坐标公式及定点坐标公式；
3．会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
【新知自学】
知识回顾：
1．平面向量基本定理：
2．平面向量的坐标表示:
=x+y，=()
3．平面向量的坐标运算
（1）
若=(),=()，
则
，
（2）若，，
则
4．什么是共线向量？
新知梳理：
1、两个向量共线的坐标表示
设=(x1，
y1)
，=(x2，
y2)共线，其中 .
由=λ得，
(x1，
y1)
=λ(x2，
y2)
消去λ即可
所以∥
( )的等价条件是
思考感悟：
（1）上式在消去λ时能不能两式相除？
（2）条件x1y2-x2y1=0能不能写成
？
(3)向量共线的几种表示形式：∥( )
x1y2-x2y1=0
对点练习：
1．若=(2，3)，=(4，-1+y)，且∥，则y=（
）
A.6
B.5
C.7
D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（
）
A.-3
B.-1
C.1
D.3
3.若=+2，
=(3-x)+(4-y)
(其中、的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量).
与共线，则x、y的值可能分别为（
）
A.1，2
B.2，2
C.3，2
D.2，4
【合作探究】
典例精析：
例1：已知=(4，2)，=(6，
y)，且∥，求y.
变式1：若向量=(-1，x)与=(-x，
2)共线且方向相同，求x
变式2：已知A(-1，
-1)，
B(1，3)，
C(1，5)
，D(2，7)
，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
例2：已知A(-1，
-1)，
B(1，3)，
C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.（你有几种方法）
变式3：已知：四点A(5，
1)，
B(3，
4)，
C(1，
3)，
D(5，
-3)
，
如何求证：四边形ABCD是梯形.？
规律总结：要注意向量的平行与线段的平行之间的区别和联系
例3：设点P是线段P1P2上的一点，
P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).
当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
思考探究：本例在（1）中P1P：PP2=
；在（2）中P1P：PP2=
；若P1P：PP2=，如何求点P的坐标？
【课堂小结】
1、知识
2.方法
3.思想
【当堂达标】
1.
若=(-1，x)与=(－x，2)共线且方向相同，则x=
．
2.已知=(1，2)，=(x，1)，若与平行，则x的值为
3.
设=(4，－3)，=(x，5)，=(－1，y)，若+=，则（x，y）=
．
4、若A(－1，
－1)，
B(1，3)，
C(x，5)
三点共线，则x=
．
【课时作业】
1.已知=(5，－3)，C(－1，3)，
=2，则点D坐标
A．(11，9)
B．(4，0)
C．(9，3)
D．(9，-3)
2、若向量=(1，－2)
，
|
|
=
4
||，且，共线，则可能是
A．(4，8)
B．(－4，8)
C．(－4，－8)
D．(8，4)
3
、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(－1,3)．若点C(x，y)满足＝α＋β，其中α，β∈R且α＋β＝1，则x，y所满足的关系式为( )
A．3x＋2y－11＝0
B．(x－1)2＋(y－2)2＝5
C．
2x－y＝0
D．x＋2y－5＝0
4、已知=(3，2)，=(－2，1)，若λ+与+λ（λ∈R）平行，则λ=
．
5、已知||=10，=（4，－3），且∥，则向量的坐标是
．
6．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
7.如图所示，在你四边形ABCD中，已知，求直线AC与BD交点P的坐标。
【延伸探究】
1．对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算“ ”为m n＝(ac－bd，bc＋ad)，运算“ ”为m n＝(a＋c，b＋d)．设m＝(p，q)，若(1,2) m＝(5,0)，则(1,2) m等于________．
2、如图所示，已知△AOB中，A(0,
5)，O(0,0)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
P
D
C
B
A
O
x
ywww.
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
编审：周彦
魏国庆【学习目标】
1.以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，了解二倍角正弦、余弦和正切公式的推导；
2.会应用二倍角公式进行简单的求值、化简与证明；
3.理解二倍角公式在“升幂”“降幂”中的作用.
【新知自学】
知识回顾：
cos()=
cos()=
sin()=
sin=
tan=
tan=
新知梳理
由上述公式能否得到的公式呢？
注意：
思考感悟
公式cos()、cos()、sin()、sin、tan、tan、、、间的区别与联系？
对点练习：
（1）已知=－,且，则的值等于
（
）
A．
B．
C．－
D．－
（2）若，则的值为
（
）
A、
B、
C、
D、
（3）已知,则
【合作探究】
典例精析：
例1、已知
求的值．
变式练习：
1、已知，求的值.
例2、在△ABC中，，
变式练习：
2、已知，则=（
）
A.
B.
C.
D.
例3、已知
【课堂小结】
【当堂达标】
1.
若x
=
，则的值为
（
）
A．
B．
C．
D．
2.
=
=
3.
已知：，求：的值．
【课时作业】
1.
（
）
A、
B、
C、
D、
2.
若，则的值等于（
）
A、
B、
C、
D、
3.
的值等于
（
）
A、
B、
C、
2
D、
4
4．已知
sin（x－）=
,则sin2x
=
（
）
A．
B．
C．
D．－
5.
求函数的最大值.
6.
已知：，求：的值．
7.
已知：
=
－2，求：的值．
【延伸探究】
已知向量，
，设函数，
（1）求的最小正周期。
（2）求在上的
最大值和最小值。www.
1.2
任意角的三角函数
章末小结
【学习目标】
1.
能够利用终边相同角的表示方法判断角所在的象限，会判断半角和倍角所在的象限。
2.
利用三角函数的定义求三角函数值，判断三角函数值的符号。
【新知自学】
知识梳理：
1、任意角
（1）角概念的推广
①按旋转方向不同分为_____、_____、_____；
②按终边位置不同分为_______和_______。
（2）终边与角α相同的角可写成______________
（3）象限角及其集合表示
象限角
象限角的集合表示
第一象限角的集合
第二象限角的集合
第三象限角的集合
第四象限角的集合
感悟：
终边落在x轴上的角的集合________________；
终边落在y轴上的角的集合________________；
终边落在坐标轴上的角的集合_______________.
2、弧度制
（1）长度等于_______的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。
（2）如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为,那么角α的弧度数的绝对值是|α|=______.
（3）角度与弧度的换算：
①10=π/180rad;
②1rad=（180/π）0.
（4）扇形面积的公式：设扇形的弧长为，圆心角大小为α(rad)，半径为r,则扇形的面积为S=r=r2α
3、任意角的三角函数
（1）定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:
y叫做α的正弦，记作sinα；
x叫做α的余弦，记作cosα；
y/x叫做α的正切，记作tanα
（2）终边相同角三角函数值(k∈Z)（公式一）sin(α+k·2π)=sinα
cos(α+k·2π)=cosα
tan
(α+k·2π)=tanα
（3）三角函数线
有向线段MP为正弦线；
有向线段OM为余弦线；
有向线段AT为正切线
感悟：
1、在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．
2、注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．
对点练习：
1、若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )
A．第一或第三象限 B．在第一或第二象限
C．第二或第四象限
D．在第三或第四象限
2、已知tan
α>0，且sin
α＋cos
α>0，那么角α的终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3、sin
2cos
3tan
4的值( )
A．小于0
B．大于0
C．等于0
D．不存在
4、已知角α的终边过点P(－8m，－6sin
30°)，且cos
α＝－，则m的值为________．
5、已知角α的终边过点P(－3cos
θ，4cos
θ)，其中θ∈，求α的三角函数值．
【合作探究】
典例精析：
题型一 角的集合表示及象限角的判定
例1、(1)写出终边在直线y＝x上的角的集合；
(2)若角θ的终边与角的终边相同，求在[0,2π)内终边与角的终边相同的角；
(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、所在的象限．
变式练习1：
已知点P(sin，cos)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ是第________象限角．( )
A．一 B．二
C．三
D．四
题型二 三角函数的定义
例2、已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan
θ＝－x，求sin
θ，cos
θ.
变式练习2：
已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos
2θ＝( )．
A．－
B．－
C.
D.
题型三 弧度制的应用
【例3】4已知扇形的周长是6
cm，面积是2
cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1或4
B．1
C．4
D．8
变式练习3：
已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
题型四 三角函数线及其应用
例4、在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：
(1)sin
α≥；
(2)cos
α≤－.
变式练习4：求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝lg(3－4sin2x)．
【课堂小结】
【当堂达标】
1、已知θ为锐角，则下列选项提供的各值中，可能为sin
θ＋cos
θ的是( )
A. B. C. D.
2、判断下列各式的符号：
(1)sin
340°cos
265°；(2)sin
4tan；
(3)已知|cos
θ|＝－cos
θ且tan
θ<0.则的符号．
3、已知tan
θ＝2，则sin2
θ＋sin
θcos
θ－2cos2
θ等于( )
A．－
B.
C．－
D.
4、已知角α的终边过点P(－3cos
θ，4cos
θ)，其中θ∈，求α的三角函数值．
5、已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cos
α＝x，求sin
α、tan
α的值．
【课时作业】
1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )．
A．第一或第三象限
B．第一或第二象限
C．第二或第四象限
D．第三或第四象限
2．与的终边相同的角的集合，表达正确的是（）．
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋π(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
3．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos
α的值为( )．
A．－
B.
C．－
D．－
4．若sin
α＜0且tan
α＞0，则α是( )．
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin
θ＝－，则y＝________.
6、如果tan
α＝m
(m≠0)且sin
α＝，那么α所在的象限是( )
A．一、二象限
B．二、三象限
C．二、四象限
D．一、四象限
7、已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin
α＋cos
α＋tan
α.
8、已知sin
α－cos
α＝－，π<α<，求tan
α的值．
9、已知集合M＝{α|sin
α>cos
α，0≤α≤}，N＝{α|sin
αα}，则M∩N等于( )
A.
B.
C.
D.
10、已知A为锐角，lg(1＋cos
A)＝m，lg
＝n，则lgsin
A的值为( )
A．m＋
B．m－n
C.
D.(m－n)
【延伸探究】
若sin2
x>cos2
x，则x的取值范围是( )
A．{x|2kπ－πB．{x|2kπ＋C．{x|kπ－D．{x|kπ＋3.1两角和与差的正弦、余弦和正切
3.1.1两角差的余弦公式
编审：周彦
魏国庆
【学习目标】
1.理解用三角函数线或向量方法推导两角差的余弦公式.
2.掌握两角差的余弦公式及其应用.
【新知自学】
知识回顾
1、三角函数线的有关定义？
2、三角函数中，已学习了哪些基本的三角函数公式？
新知梳理
1、设为两个任意角,
你能判断恒成立吗
2、我们设想的值与的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？
cos(60°－30°)
cos60°
cos30°
sin60°
sin30°
cos(120°－60°)
cos120°
cos60°
sin120°
sin60°
猜想：=
3、试推导上述公式（利用三角函数线）
思考感悟
1、公式中的角适用于任意角吗？
2、公式的特点是什么？如何记忆？公式能逆用吗？
对点练习
cos17等于
（
）
A.cos20cos3-sin20sin3
B.
cos20cos3+sin20sin3
C.
sin20sin3-
cos20cos3
D.cos20
sin20
+sin3
cos3
【合作探究】
典例精析：
例1、利用差角余弦公式求的值.
变式练习：1、利用差角余弦公式求的值.
变式练习：2、=
例2、利用两角差的余弦公式证明等式.
变式练习：3、利用两角差的余弦公式证明等式.
例3、已知，
是第三象限角，求的值.
变式练习：
4、，，则=（
）
A.
B.
C.
D.
【课堂小结】
【当堂达标】
1.
=（
）
A.
B.
C.
D.
2.
=
3.
=
4.
=
【课时作业】
1.计算的结果是（
）
A.
1
B.
C.
D.
2.已知，则=（
）
A.
B.
C.
D.
3.化简=（
）
A.
B.
C.
D.
4已知则
5.已知
，求的值.
6.
已知sin，是第三象限角，求的值.
7.已知都是锐角，
，求的值.www.
1.5.1
函数的图象与性质（1）
【学习目标】
1.
了解的实际意义，会用五点法画出函数的简图.
2.会对函数进行振幅变换，周期变换，相位变换，领会“由简单到复杂，从特殊到一般”的化归思想.
（预习教材P49~
P53，完成下列问题）
【新知自学】
知识回顾：
1、函数y=sinx，y=cosx的图象、性质
2、“五点法”作图
新知梳理：
1、情景引入：物体作简谐运动时，位移s与时间t的关系为
，请你思考一下，能说出简谐运动的振幅，周期，频率，相位，初相是什么吗？它的图象与有何关系？
2、新知探索
问题1，在同一坐标系中，画出,,的简图，思考与的图象有什么关系
结论：一般地,函数的图象可以看做将函数的图象上所有的点
(当)或
(当)平移个单位长度而得到的.
问题2，，与的图象有什么关系
结论：
一般地,函数的图象可以看做将函数的图象上所有的点的纵坐标变为原来的
倍
(横坐标不变)
而得到的.
问题3.
与的图象有什么关系
结论：一般地,函数的图象可以看做将函数的图象上所有的点的横坐标变为原来的
倍(纵坐标不变)
而得到.
对点练习：
1、函数的图象经过
、
、
即得到函数的图象。
2、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：
（1）；
（2）；
（3）；
3、要得到函数的图象，只需将函数的图象（
）
A向左平移个单位
B向右平移个单位
C向左平移个单位
D向右平移个单位
【合作探究】
典例精析：
例1：①叙述到的变化过程.
②向 _______平移_______个单位得到
变式练习1：
①叙述到的变化过程.
②向右平移个单位得到,求
例2:
将函数的图象先沿x轴向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，求与最终的图象对应的很熟解析式。
变式2：函数的图象可看作是函数的图象，经过如下平移得到的，其中正确的是（ ）.
A.右移个单位
B.左移个单位
C.右移个单位
D.左移个单位
例3:
用“五点法”作出函数y＝3sin(2x＋)，x∈R的简图，说明它与y＝sin
x图象之间的关系．
【感悟】（1）整体代换：令取0、、、、2得到五点作图；它在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最小值．
变式3：已知函数y＝3sin(x－)．(1)用“五点法”画函数的图象；
(2)说出此图象是由y＝sin
x的图象经过怎样的变换得到的；
【课堂小结】
知识：
2．方法：
3．思想：
【当堂达标】
1、1.若将某函数的图象向左平移，所得到的图象的函数式是,则原来的函数表达式为（ ）.
A.
B.
C.
D.
2.已知函数在同一周期内，当时,y有最大值2，当x＝y有最小值-2，那么函数的解析式为（ ）.
A.
B.
C.
D.
3.
已知函数图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图形沿着x轴向左平移个单位，这样得到的曲线与的图象相同，那么已知函数的解析式为（ ）.
A.
B.
C.
D.
【课时作业】
1、要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝sin(x＋)的图象( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
2、将函数y＝5sin
3x的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象右移个单位，得到图象的解析式是( )
A．y＝5sin(－x)
B．y＝sin(－x)
C．y＝5sin(－6x)
D．y＝－5cosx
3、要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos
2x的图象( )
A．向左平移1个单位
B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
4、为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin的图象( )
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位
5．把函数的图象适当变动就可以得到的图象，这种变动
可以是(
)
A
向右平移
B
向左平移
C
向右平移
D
向左平移
6.说明的图象是由的图象经过怎样的变换得到的？并用“五点法”作出再一个周期上的图象。
【延伸探究】
1、若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f(＋x)＝f(－x)，则f()等于( )
A．3或0
B．－3或0
C．0
D．－3或3
2、已知函数f(x)＝sin
(x∈R).
(1)求f(x)的单调减区间；
(2)经过怎样的图象变换使f(x)的图象关于y轴对称？(仅叙述一种方案即可)．
O
x
y
O
x
y
O
x
ywww.
3.2 三角恒等变换
小结
编审：周彦
魏国庆
【学习目标】
1．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
2．能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式进行简单的恒等变换。
【知识梳理】
熟练掌握公式：
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式
几个公式变形：
=__________=_______________
tan±tan
=tan(±)(1tantan)
；
；
3．形如asin
α＋bcos
α的化简：
asin
α＋bcos
α＝sin(α＋φ)，
其中cos
φ＝_____，sin
φ＝______，
即tan
φ＝.
【自学探究】
一、两角和与差的三角函数公式的应用
例1:在△ABC中，角C＝120°，tan
A＋tan
B＝，则tan
Atan
B的值为( )．
A．
B．
C．
D．
例2：化简：.
思考感悟：要熟练、准确地运用和、差、倍角公式，同时要熟悉公式的逆用及变形。
二、角的变换
例3、已知sin＝－，则sin
2x＝__________.
例4、已知0＜β＜＜α＜π，cos＝，sin＝，求sin(α＋β)的值．
思考感悟：
1．应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，把“所求角”用“已知角”来表示，然后应用诱导公式．
2．常见的配角技巧：
α＝(α＋β)－β；
＋α＝－；
α＝；
β＝；
三、三角函数式的化简、求值
例5：化简：
(π＜α＜2π)．
例6：已知π＜α＜π，，求的值．
思考感悟：三角函数式的化简要遵循“三看”原则．
(1)一看“角”，找到之间的差别与联系，把角进行合理拆分；
(2)二看“函数名称”，看函数名称间的差异与联系，常见有“切化弦”；
(3)三看“结构特征”，可以帮我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．
四、三角恒等式的证明
例7：求证：＝sin
2α.
例8：已知0＜α＜，0＜β＜，且3sin
β＝sin(2α＋β)，4tan＝1－tan2，证明：α＋β＝.
思考感悟：
1．证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的的化繁为简、左右归一。
2．三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．
(1)证明绝对恒等式要根据两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，化异为同．
(2)条件恒等式的证明则要比较已知条件与求证等式间的联系，选择适当途径．常用代入法、消元法、两头凑等方法．
【课堂小结】
【当堂达标】
1．化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos
2αcos
2β.
2．求值：sin
50°(1＋tan
10°)＝__________.
3．已知sin
β＝msin(2α＋β)(m≠1)，求证：tan(α＋β)＝tan
α.
【课后作业】
1．cos2－的值为(
)
A.1
B.
C.
D.
2．cos2＋cos2＋coscos的值等于(
)
A.
B.
C.
D.1＋
3．已知π＜α＜，且sin(＋α)＝，则tan等于(
)
A.3
B.2
C.－2
D.－3
4．如果tan＝，那么cosα的值是(
)
A.
B.
C.－
D.－
5．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则此三角形为(
)
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
6．已知sinα＝，2π＜α＜3π，那么sin＋cos＝_____.
7．coscos＝_____.
8．tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝_____.
9．已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，)，求sinα、tanα.
10．已知sin(x－)cos(x－)＝－，求cos4x的值.
【延伸探究】
11．已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的最小值及取得最小值时的集合．
12．把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的面积最大？（分别设边与角为自变量）
θwww.
2.4平面向量的数量积
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
编审：周彦
魏国庆
【学习目标】
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；
【自学新知】
知识回顾：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量
与，作＝，＝，则
∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角.
说明：（1）当θ＝０时，与同向；
（2）当θ＝π时，与反向；
（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；
新知梳理：
1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则
叫与的数量积，记作
，即有
=
，（０≤θ≤π）.
并规定向量与任何向量的数量积为
.
思考感悟：
1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？
2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？
（1）两个向量的数量积是一个
，不是向量，符号由
的符号所决定.
（2）向量的数量积写成·；符号“·”既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在实数中，若，且，则b=0；但是在数量积中，若 ，且 =0，不能推出=.因cos 有可能为0.
2．“投影”的概念：
作图：
定义：||cos 叫做向量在方向上的投影.
思考感悟：
投影不是向量，是一个数量。当 为锐角时投影为
值；当 为钝角时投影为
值，当 为直角时投影为
；当 =0 时投影为||；当
=180 时投影为 ||
3．向量的数量积的几何意义：
数量积 等于
与
||cos 的乘积.
4.
两个向量的数量积的性质：设，为两个非零向量，
(1)
=
(2)当与同向时，
=
，
当与反向时，
=
特别的： =||2或；
| |≤||||；
cos
=
5.平面向量数量积的运算律
①交换律：
=
②数乘结合律：()
=( )
=
()③分配律：(
+)
=
+
说明：
（1）一般地，(·)
≠（·）
（2）·＝·＝
对点练习
1．下列叙述不正确的是（
）
A.
向量的数量积满足交换律
B.
向量的数量积满足分配律
C.
向量的数量积满足结合律
D.
是一个实数
2．||=3，||=4，向量+与-的位置关系为（
）
A.平行
B.垂直
C.夹角为
D.不平行也不垂直
3.已知||=，=(cosθ,sinθ)，
·=9，
则,
的夹角为
（
）
A.150
B.120
C.60
D.30
4.已知，，，则向量在向量方向上的投影是___________，向量在向量方向上的投影是___________。
【合作探究】
典例精析：
例1．证明：
变式1．已知||=6，||=4，与的夹角为60o，求：
（1）(+2)·(-3).
（2）|+|与|-|.
例2．已知||=12，||=9，，求与的夹角。
变式2．已知||=3，
||=4，
且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直.
【课堂小结】
【当堂达标】
1．下列命题中：①若≠，且·=·，则=；②若=，则3＜4;
③(·)·=·(·),
对任意向量，，都成立；④2·2=(·)2
；正确命题的个数为____
2．若||＝2sin15°，||＝4cos375°、，夹角为30°，则·为（ ）
A．
B．
C． D．
3．若||=||=|－|,则与+的夹角为（
）
A．30°
B．60°
C．150°
D．120°
4.．已知、均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|+
3|
=（
）
A．
B．
C．
D．4
【课时作业】
1.已知||=1，||=，且(-)与垂直，则与的夹角是（
）
A.60°
B.30°
C.135°
D.４５°2.
若向量的夹角为，，则向量的模
为
3．向量、满足（－）·（2+）=－4，且||=2，
||=4，则与夹角的余弦值等于
4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，求·.
5．已知||=8，
||=10，
|+|=16，求与的夹角.
6
.向量互相垂直，向量互相垂直，求与夹角。
7
.已知||=3，||=3，与夹角为，求使向量的夹角为锐角时，的取值范围。
8．(2012全国卷)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
【延伸探究】
已知平面上三个向量的模都是1，他们互相之间的夹角均是，
（1）求证：
（）若，求得取值范围。www.
1.2.1任意角的三角函数
（第二课时）
【学习目标】
1．进一步理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；
2.
了解角的正弦线、余弦线、正切线，认识三角函数的定义域；
3.
掌握并能初步运用定义、公式一分析和解决与三角函数值有关的一些问题.
【新知自学】
知识回顾：
1.
三角函数定义
在直角坐标系中，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么：
(1)____叫做的正弦，记作____，即____；
（2）___叫做的余弦，记作____，即____；
（3）___叫做的正切，记作___，即_____.
2．三角函数的符号
正弦值对于第一、二象限为____（y>0,r>0），对于第三、四象限为____(y<0,r>0)
余弦值对于第一、四象限为_____(x>0,r>0),对于第二、三象限为___
(x<0,r>0)
正切值对于第一、三象限为____（x,y同号），对于第二、四象限为____（x,y异号）．
新知梳理：
1.
诱导公式
终边相同的角的_________________相等.
公式一:
____
___=sin，
__________
__=cos，
_____
____=tan.
（其中，）
2．
正弦线、余弦线、正切线：
如上图，分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线.
对点练习：
1、比较sin
1
155°与sin(－1654°)的大小．
2．用三角函数线比较sin1和cos1的大小，结果是_______________．
3．利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或“<”连接)：
(1)sin
π________sin
π；
(2)cos
π________cos
π；
(3)tanπ________tanπ.
【合作探究】
典例精析：
题型一：诱导公式的应用
例1.
求下列三角函数值：
（1）；
（2）；
（3）
变式练习
（1）sin(-13950)cos11100+cos(-10200)sin7500;
变式练习（2）sin(.
题型二：三角函数线的应用
例2.在单位圆中，画出满足的角的终边.
变式练习（3）已知，确定的大小关系.
变式练习（4）：
如果＜α＜，那么下列不等式成立的是( )
A．cos
α＜sin
α＜tan
α
B．tan
α＜sin
α＜cos
α
C．sin
α＜cos
α＜tan
α
D．cos
α＜tan
α＜sin
α
【课堂小结】
【当堂达标】
1．=（
）
A.
B.
C.
D.
2．若，则的大小关系是
3.求值：.
4、利用三角函数线比较下列各组数的大小：
(1)sin
与sin
；
(2)tan
与tan
；
(3)cos
与cos
.
【课时作业】
1.
若，则角一定是（
）
A.第三象限角
B.
第四象限角
C.
第三象限角或第四象限角
D.
不确定
2.
的值为（
）
A.
2
B.
2或0
C.
2或0或
D.不确定
3.
求下列各式的值：
（1）
（2）.
4.
用三角函数线，比较sin1与cos1的大小.
5.在单位圆中，用阴影部分表示出满足的角的集合，并写出该集合.
6．用三角函数线证明：|sin
α|＋|cos
α|≥1
【延伸探究】
利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围．
(1)sin
θ≥；
(2)－≤cos
θ<.
规律提示：用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：
(1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的角θ的范围，然后再加上周期；
(2)注意区间是开区间还是闭区间．www.
1.2.2同角三角函数的基本关系
【学习目标】
1．掌握同角三角函数的基本关系式；
2．灵活运用公式解决变形、求值、证明等问题.
【新知自学】
预习课本P30---33页的内容，
知识回顾：
1、知识回顾：（1）任意角的三角函数是如何定义的？
（2）在单位圆中，任意角的正弦、余弦、正切函数线分别是什么？
对于一个任意角是三个不同的三角函数，从联系的观点来看，三者之间应存在一定的内在联系，你能找出这种同角三角函数之间的基本关系吗？
新知梳理：
1、（1）同角三角函数的基本关系
①平方关系：=_______；（运用三角函数线，体现数形结合）
②商的关系：___________
().（运用定义）
（2）文字叙述：同一个角错误！未找到引用源。的正弦、余弦的_________等于1，商等于角错误！未找到引用源。的_______.
感悟：
在同角的三个三角函数中，可“知一求二”.
对点练习：
1．化简的结果是（
）
A.sin
B.-sin
C.cos
D.-cos
2.已知是第二象限角，且sin=，则cos=_________,tan=_________.
3.已知sin=，则
sin4-cos4=_______________.
4．化简：
（1）=
；
（2）=
；
（3）
=
；
（4）
=
；
【合作探究】
典例精析：
题型一：利用同角三角函数关系求值
例1.
若sin
θ＝－，tan
θ>0，求cos
θ.
变式1.
（1）已知α是第二象限角且tan
α＝－，求sin
α、cos
α的值.
（2）已知tan
α＝3，求sin2α＋2sin
α·cos
α的值．
题型二：利用同角三角函数关系化简、证明
例2.
求证
变式2.
化简
题型三：正余弦的和、差、积之间的转化
例3、已知sin
θ＋cos
θ＝，θ∈(0，π)，试分别求①sinθcosθ；②sin
θ-cos
θ；③tanθ+.的值。
变式2.已知sin
αcos
α＝，且<α<，则cos
α－sin
α＝_______.
感悟：结合过去学过的代数公式，及其上边的关系式，小组内讨论：sin、sin、sin、这四个式子间的关系。
【课堂小结】
【当堂达标】
1．已知α是第四象限角，cosα=则sinα等于（
）
A.
B.-
C.
D.-
2．若，，且，则的值为
___
．
3．已知tan=2，则
=_______________
4．已知sinα－cosα＝，求sin3α－cos3α的值.
【课时作业】
1．若cosα=，且α，则tanα=_____________.
2．化简：
（1）错误！未找到引用源。=__________；
（2）=_______________.
3．已知，则tanα=（
）
A.-1
B.
C.
D.1
4．已知tan
α＝3，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋cos2α.
5．求证：
6．求证：sin4α-cos4α=2sin2α-1.
7．若cos
α<0，化简
+=_______________．
【延伸探究】
8．已知sin
θ、cos
θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根(a∈R)．
(1)求sin3θ＋cos3θ的值；
(2)求tan
θ＋的值．www.
1.5
函数的图象
小结
【学习目标】
1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数y＝Asin
(ωx＋φ)的图象；了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．
2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．
【新知自学】
知识梳理：
y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
(A＞0，ω＞0)，x∈2，求函数g(x)在x∈上的最大值，并确定此时x的值．
变式练习3：已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象过点P，图象上与点P最近的一个最高点是Q.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数f(x)的递增区间．
【课堂小结】
【当堂达标】
1、为了得到函数y＝sin
3x＋cos
3x的图象，可以将函数y＝cos
3x的图象( )
A．向右平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向左平移个单位
2.函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0且|φ|<)在区间[，]上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为( )
A.
B.
C.
D.
3.将函数f(x)＝sinωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是( )
A.
B.
1
C.
D.
2
4.如图所示为函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f(－1)＝( )
A.
2
B.
C.
－
D.
－2
【课时作业】
1、函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为A.
B．π
C．2π
D．4π
2、如图是周期为2π的三角函数y＝f(x)的图象，那么f(x)可以写成( )
A.
f(x)＝sin(1＋x)
B.
f(x)＝sin(－1－x)
C.
f(x)＝sin(x－1)
D.
f(x)＝sin(1－x)
3、将函数y＝cos
2x＋1的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为
( )
A．y＝sin
2x
B．y＝sin
2x＋2
C．y＝cos
2x
D．y＝cos
4、将函数y＝sin
x的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A．y＝f(x)是奇函数
B．y＝f(x)的周期为π
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
D．y＝f(x)的图象关于点对称
5、将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin
x的图象，则f＝________
6、已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为________．
7、已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点，则函数解析式f(x)＝________.
8、函数f(x)＝4cos
x·sin＋a的最大值为2.
(1)求a的值及f(x)的最小正周期；
(2)在坐标系上作出f(x)在上的图象．
9、已知函数f(x)＝Asin
ωx＋Bcos
ωx(A、B、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为2，并且当x＝时，f(x)max＝2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)在闭区间上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．www.
1.3三角函数的诱导公式（小结）
【学习目标】
1.
理解正弦、余弦和正切的诱导公式；
2.能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数；
3.会解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题.
预习课本P23---26页，理解记忆下列公式
【新知自学】
知识梳理：
公式一：
公式二：
公式三：
公式四：
记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；
公式五：sin(90
)
=
cos ,
cos(90
)
=
sin .
公式六：sin(90
+ )
=
cos ,
cos(90
+ )
=
sin .
记忆方法：“正变余不变，符号看象限”；
注意：①公式中的指任意角；
②在角度制和弧度制下，公式都成立；
感悟：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：
(1)______________
；(2)________________；(3)_______________
对点练习：
1.化简的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
2.
sin（－）=_______________
3．若，则=________
题型一：利用诱导公式求值
例1.
计算:.
变式1.
求值：
题型二：利用诱导公式化简
例2.
化简：（）．
变式2.
化简：
题型三：利用诱导公式证明三角恒等式
例3.
在△ABC中，求证:
.
变式3.
在△ABC中，求证:
．
【课堂小结】
知识----方法---思想
【当堂练习】
1．求下列三角函数值：
（1）；
（2）；
2.已知tanα=m，则
．
3.若α是第三象限角，则
=_________．
4.化简
【课时作业】
1．设，且为第二象限角，则的值为（
）
A．
B．－
C．
D．－
2．化简：得（
）
A.sin2+cos2
B.cos2-sin2
C.sin2-cos2
D.±
(cos2-sin2)
3．下列三角函数值：①；②；③；④；⑤（其中）．其中函数值与的值相等的是（
）
A．①②
B．①③④
C．②③⑤
D．①③⑤
4.设A、B、C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（
）
A．cos（A+B）=cosC
B．sin（A+B）=sinC
C．tan（A+B）=tanC
D．sin=sin
5.
已知sin(+α)=，则sin(-α)值为（
）
A.
B.
—
C.
D.
—
6.已知值
7.
已知sin是方程5x2-7x-6=0的根，则
的值是
．
8.
若，则
。
9.
已知，求
的值．
【延伸探究】
1.已知函数求的值。
2．已知cos(75°＋α)＝，α是第三象限角，求sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值．www.
2．3．3平面向量的坐标运算
编审：周彦
魏国庆
【学习目标】
1.理解平面向量的坐标的概念；掌握平面向量的坐标运算；
2.会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
【新知自学】
知识回顾：
1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=______________
(1)不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组
；
(2)由定理可将任一向量在给出基底，的条件下进行分解；分解形式惟一.
λ1，λ2是被，，唯一确定的实数对；
2.
向量的夹角:已知两个非零向量、，作，，则∠AOB＝，叫向量、的夹角，当=
，、同向，当=
，
、反向，当=
，与垂直，记作⊥。
3．向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，取=(1,0)，=(0,1)作为一组基底,设=x+y，则向量的坐标就是点的坐标。
新知梳理：
1．平面向量的坐标运算
已知：=(),=()，我们考虑如何得出、、的坐标。
设基底为、，
则=
=
即=
，
同理可得=
结论：(1)
若=(),=()，
则，
即：两个向量和与差的坐标分别等于
.
（2）若=(x,y)和实数，则.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
思考感悟：
已知，，怎样来求的坐标？
若，，= =
则=
结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的
对点练习：
1.设向量，坐标分别是（-1，2），（3，-5）则+=__________，
-=________，3= _______，2+5=___________
2.
如右图所示，平面向量的坐标是（
）
A.
B.
C.
D.
3．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则 2=
.
【合作探究】
典例精析：
例1：
已知=(2，1)，
=(-3，4)，求+，-，3+4的坐标.
变式1：
已知，求：
（1）
（2）
（3）
例2：
已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A( 2，
1)，
B( 1，
3)，
C(3，
4)，求点D的坐标。
变式2：设，，,用表示
【课堂小结】
【当堂达标】
1、设则=___________
2、已知M（3，-2）N（-5，-1），且，则=（
）
A．（-8，1）
B．
C．（-16,2）
D．(8,-1)
3、若点A的坐标是，向量=，则点B的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
4、已知
则=（
）
A．（6，-2）
B．（5，0）
C．（-5，0）
D．（0，5）
【课时作业】
1．如图，已知，，
点是的三等分点，则（
）
A.
B.
C.
D.
2．若M(3，-2)
N(-5，-1)
且
，则P点的坐标
3．已知
，
则
4.在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________.
5.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是( )
A．(1,5)或(5,5)
B．(1,5)或(－3，－5)
C．(5，－5)或(－3，－5)
D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)
6.
已知＝(1,2)，＝(－2,3)，＝(－1,
2)，以，为基底，试将分解为的形式．
7.
已知三个力=(3，
4)，=(2，
5)，=
(x，
y)的合力++=，求的坐标.
8.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，求第四个顶点的坐标。
9.已知点，若，
（1）试求为何值时，点P在第一、三象限的交平分线上？
（2）试求为何值时，点P在第三象限？
【延伸探究】
已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且＝＋t，试问：
(1)t为何值时，P在x轴上，P在y轴上，P在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．www.
1.4
三角函数的图象和性质
小结
编审：周彦
魏国庆
【学习目标】
1．能画出y＝sin
x，y＝cos
x，y＝tan
x的图象，了解三角函数的周期性．
2．理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．
【新知自学】
知识梳理：
1．周期函数及最小正周期
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有__________，则称f(x)为周期函数，T为它的一个周期．若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
y＝tan
x
图象
定义域
x∈R
x∈R
x∈R且x≠＋kπ，k∈Z
值域
______
______
______
单调性
在______上递增，k∈Z；在______上递减，k∈Z
在______上递增，k∈Z；在______上递减，k∈Z
在______上递增，k∈Z
最值
x＝________(k∈Z)时，ymax＝1；x＝________(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝________(k∈Z)时，ymax＝1；x＝__________(k∈Z)时，ymin＝－1
无最值
奇偶性
________
________
________
对称性
对称中心
______
______
______
对称轴
______
____
无对称轴
最小正周期
______
______
______
对点练习：
1、函数y＝cos，x∈R( )．
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
2．下列函数中，在上是增函数的是( )．
A．y＝sin
x
B．y＝cos
x
C．y＝sin
2x
D．y＝cos
2x
3．函数y＝cos的图象的一条对称轴方程是( )．
A．x＝－
B．x＝－
C．x＝
D．x＝π
4．函数f(x)＝tan
ωx(ω＞0)的图象的相邻的两支截直线y＝所得线段长为，则f的值是( )．
A．0
B．1
C．－1
D．
5．已知函数y＝sin
x的定义域为，值域为，则b－a的值不可能是( )．
A．
B．
C．π
D．
【合作探究】
典例精析：
一、三角函数的定义域与值域
例1、(1)求函数y＝lg
sin
2x＋的定义域．
(2)求函数y＝cos2x＋sin
x的最大值与最小值．
规律总结：
1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：
(1)利用sin
x，cos
x的值域；
(2)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出值域；
(3)换元法：把sin
x或cos
x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．
变式练习1：
(1)求函数y＝的定义域．
(2)已知函数f(x)＝cos＋2sin·sin，求函数f(x)在区间上的最大值与最小值．
二、三角函数的单调性
例2、（1）已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝时，f(x)取得最大值，则( )．
A．f(x)在区间
上是增函数
B．f(x)在区间上是增函数
C．f(x)在区间上是减函数
D．f(x)在区间上是减函数
（2）设a∈R，f(x)＝cos
x(asin
x－cos
x)＋cos2满足f＝f(0)，求函数f(x)在上的最大值和最小值．
规律总结：
1．熟记y＝sin
x，y＝cos
x，y＝tan
x的单调区间是求复杂的三角函数单调区间的基础．
2．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的单调区间时，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin
x的相应单调区间即可，注意A的正负以及要先把ω化为正数．
变式练习2：
（1）若函数y＝2cosωx在区间上递减，且有最小值1，则ω的值可以是( )
A.
2 B.
C.
3 D.
（2）函数f(x)＝sin的单调减区间为_____________．
三、三角函数的周期性和奇偶性及对称性
例3、设函数f(x)＝sin2ωx＋2sin
ωx·cos
ωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)的值域．
规律总结：
求三角函数周期的方法：
(1)利用周期函数的定义；
(2)公式法：y=Asin(ωx＋φ)和y=Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y=tan(ωx＋φ)的最小正周期为；
变式练习3：已知函数f(x)＝(sin
x－cos
x)sin
x，x∈R，则f(x)的最小正周期是________．
【课堂小结】
【当堂达标】
1．若函数f(x)＝sin(φ∈)是偶函数，则φ＝( )．
A．
B．
C．
D．
2．函数y＝ln(sin
x－cos
x)的定义域为__________．
3．函数y＝2sin的单调递增区间为__________．
4．设函数f(x)＝cos＋sin2x.
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期．
(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，若cos
B＝，=-，且C为锐角，求sin
A.
5．已知函数f(x)＝sin
x(cos
x－sin
x)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)将函数y＝sin
2x的图象向左平移a个单位，向下平移b个单位，得到函数y＝f(x)的图象，求a，b的值；
(3)求函数f(x)的单调增区间．
【课时作业】
1、已知函数y＝sinx的定义域为，值域为，则b－a的值不可能是( )
A.
B.
C.
π D.
2、若函数f(x)＝sin(φ∈)
是偶函数，则φ＝( )
A.
B.
C.
D.
3、函数y＝cos图象的对称轴方程可能是( )．
A．x＝－
B．x＝－
C．x＝
D．x＝
4.
如果函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)的两个相邻零点之间的距离为，则ω的值为( )
A.
3 B.
6
C.
12
D.
24
5.函数f(x)＝cos(2x＋)(x∈R)，下面结论不正确的是( )
A.
函数f(x)的最小正周期为π
B.
函数f(x)的对称中心是(，0)
C.
函数f(x)的图象关于直线x＝对称
D.
函数f(x)是偶函数
6、若0＜α＜，g
(x)＝sin是偶函数，则α的值为________．
7、函数y＝2sin(3x＋φ)的一条对称轴为x＝，则φ＝________.
8、函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.
9.若函数f(x)＝2tan(kx＋)的最小正周期T满足110.
设二次函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知不论α、β为何实数恒有f(sinα)≥0和f(2+cosβ)≤0.
(1)求证：b+c=－1；
(2)求证c≥3；
(3)若函数f(sinα)的最大值为8，求b，c的值.
11、有一块半径为R，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值.
12、是否存在实数a，使得函数y=sin2x+a·cosx+a－在闭区间［0，］上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由.
【延伸探究】
设f(x)＝asin
2x＋bcos
2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f(x)≤对一切x∈R恒成立，则
①f＝0
②＜
③f(x)既不是奇函数也不是偶函数
④f(x)的单调递增区间是(k∈Z)
⑤存在经过点(a，b)的直线与函数f(x)的图象不相交．
以上结论正确的是__________(写出正确结论的编号)．www.
2.3
平面向量基本定理及坐标表示
小结
编审：周彦
魏国庆
【学习目标】
1.
了解平面向量的基本定理及其意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
2．会用坐标表示平面向量的线性运算；会用坐标表示的平面向量共线的条件.
【知识重温】
1．平面向量基本定理
如果，是同一平面内的两个______向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，，使＝__________.向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴______的两个单位向量、作为基底，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数x，y，使得＝__________，则有序数对(x、y)叫做向量的坐标，记作__________，其中x，y分别叫做在x轴、y轴上的坐标，＝(x，y)叫做向量的坐标表示。相等的向量其______相同，______相同的向量是相等向量．
3．平面向量的坐标运算
(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
＝__________________，
2)已知＝(x1，y1)，=(x2，y2)，则
＋=____________，
－=___________，
λ＝___________；
∥(≠0)______________.
(3)＝(x1，y1)，=
(x2，y2)，＝ ________________.
思考感悟
1．基底的不唯一性
只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，故基底的选取是不唯一。
平面内任意向量都可被这个平面的一组基底，线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．
2．向量坐标与点的坐标区别
在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量＝，此时点A的坐标与的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量＝＝(x，y)．
当平面向量平行移动到时，向量不变即＝＝(x，y)，但的起点O1和终点A1的坐标都发生了变化．
对点练习：
1．已知向量=(1，－2)，=(－3,4)，则等于( )
A．(－2,3)
B．(2，－3)
C．(2,3)
D．(－2，－3)
2．已知向量=(1,1)，=(2，x)，若＋与4－2平行，则实数x的值是( )
A．－2
B．0
C．1
D．2
3．已知向量=(1,2)，＝(1,0)，＝(3,4)．若λ为实数，(＋λ)∥，则λ＝( )
A.
B.
C．1
D．2
4．下列各组向量中，能作为基底的是( )
①=(1,2)，＝(2,4)
②=(1,1)，＝(－1，－1)
③=(2，－3)，＝(－3,2)
④=(5,6)，=(7,8)．
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
【自学探究】
考点一
平面向量基本定理
例1、如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知＝，＝，试用，表示，.
规律总结：应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．解题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
变式1：如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为__________．
考点二
平面向量的坐标运算
例2、已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝，＝，＝，且＝3，＝－2.
(1)求3＋－3；
(2)求满足＝m＋n的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
规律总结：若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及运算法则的正确使用．
变式2 在ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝( )
A．(－2，－4)
B．(－3，－5)
C．(3,5)
D．(2,4)
考点三
平面向量共线的坐标表示
例3、平面内给定三个向量＝(3,2)，=
(－1,2)，＝(4,1)．回答下列问题：
(1)若(＋k)∥(2－)，求实数k；
(2)设＝(x，y)满足(－)∥(＋)且|－|＝1，求.
规律总结：用坐标来表示向量平行，实际上是一种解析几何(或数形结合)的思想，其实质是用代数(主要是方程)计算来代替几何证明，这样就把抽象的逻辑思维转化为了计算．
变式3、
(1)(2013·陕西卷)已知向量＝(1，m)，=(m,2)，若∥，则实数m等于( )
A．－
B.
C．－或
D．0
(2)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为__________．
【课堂小结】
1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．
2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理．
3．在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．
4．要注意区分点的坐标与向量的坐标有可能。
【当堂达标】
1．(2014·北京卷)已知向量＝(2,4)，=
(－1,1)，则2－＝( )
A．(5,7)
B．(5,9)
C．(3,7)
D．(3,9)
2．(2014·揭阳二模)已知点A(－1,5)和向量＝(2,3)，若＝3，则点B的坐标为( )
A．(7,4)
B．(7,14)
C．(5,4)
D．(5,14)
3．(2015·许昌模拟)在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于( )
A．(－2,7)
B．(－6,21)
C．(2，－7)
D．(6，－21)
4.已知两点在直线AB上，求一点P是。
【课时作业】
1、若向量＝（x+3，x2－3x－4）与相等，已知A（1，2）和B（3，2），则x的值为( )
A、－1
B、－1或4
C、4
D、1或－4
2、一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是（5，7），（－3，5），（3，4），则第四个顶点的坐标不可能是（
）
A、（－1，8）
B，（－5，2）
C、（1l，6）
D、（5，2）
3、己知P1(2,－1)
、P2(0,5)
且点P在P1P2的延长线上,,
则P点坐标为(
)
A、(－2,11)
B、(
C、(,3)
D、(2,－7)
4、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3,1），B（－1,3），若点C满足，其中α、β∈R，且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为
（
）
A、3ｘ＋2ｙ－11＝0
B、（x-1）2+（y-2）2=5
C、2ｘ－ｙ＝0
D、ｘ＋2ｙ－5＝0
5、已知点A（－1，5），若向量与向量＝（2，3）同向，且＝3，则点B的坐标为_____________
6、平面上三个点，分别为A（2，－5），B（3，4），C（－1，－3），D为线段BC的中点，则向量的坐标为_______________
7、已知点A（－1，2），B（2，8）及，，求点C、D和的坐标。
8、已知平行四边形ABCD的一个顶点坐标为A（－2，1），一组对边AB、CD的中点分别为M（3，0）、N（－1，－2），求平行四边形的各个顶点坐标。
【延伸探究】
如图，中AD是三角形BC边上的中线且AE=2EC，BE交AD于G，求及的值。
G
E
D
C
B
Awww.
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象
【学习目标】
1.了解利用正弦线作正弦函数图象的方法；
2.掌握正、余弦函数图象间的关系；
3.会用“五点法”画出正、余弦函数的图象.
预习课本P30---33页的内容
【新知自学】
知识回顾：
1、正弦线、余弦线、正切线：
设角α的终边落在第一象限,第二象限,….
则有向线段为正弦线、余弦线、正切线.
2、函数图像的画法:
描点法:列表,描点,连线
新知梳理：
1.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有向线段_________叫做角α的正弦线，有向线段___________叫做角α的余弦线．
2.正弦函数图象画法（几何法）：
（1）函数y=sinx，x∈的图象
第一步：12等分单位圆；
第二步：平移正弦线；
第三步：连线.
根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为______，就得到y=sinx，x∈R的图象.
感悟：一般情况下，两轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的“胖瘦不一”，形状各不相同．
（2）余弦函数y=cosx，x∈的图象
根据诱导公式,还可以把正弦函数x=sinx的图象向左平移单位即得余弦函数y=cosx的图象.
探究：
正弦函数曲线怎么变换可以得到余弦曲线？方法唯一吗？
3.正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
4．“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图：
（1）正弦函数y=sinx，x∈的图象中，五个关键点是：
(0,0)，__________,
( ,0),
_________,(2 ,0).
（2）余弦函数y=cosx,x 的图象中，五个关键点是:
(0,1),_________,( ,-1),__________,(2 ,1).
对点练习：
1．函数y=cosx的图象经过点（
）
A.()
B.()
C.(,0)
D.(,1)
2.
函数y=sinx经过点（，a），则的值是（
）
A.1
B.-1
C.0
D.
3.
函数y=sinx，x∈的图象与直线y=的交点个数是（
）
A.1
B.2
C.0
D.3
4.
sinx≥0，x∈的解集是________________________.
【合作探究】
典例精析：
题型一：“五点法”作简图
例1.作函数y=1+sinx，x∈
的简图.
变式1.画出函数ｙ＝2sinx
，ｘ∈〔0，２π〕的简图.
题型二：图象变换作简图
例2．用图象变换作下列函数的简图：
（1）y=-sinx；
（2）y=|cosx|,x.
题型三：正、余弦函数图象的应用
例3 利用函数的图象，求满足条件sinx,x的x的集合.
变式2.求满足条件cosx，x的x的集合.
【课堂小结】
知识
方法
思想
【当堂达标】
1．函数y=-sinx的图象经过点（
）
A.(,-1)
B.(,1)
C.(,-1)
D.(,1)
2.函数y=1+sinx,
x的图象与直线y=2的交点个数是（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
3.方程x2=cosx的解的个数是（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
4.求函数的定义域.
【课时作业】
1.用“五点法”画出函数y=sinx-1,x的图象.
2.用变换法画出函数y=-cosx,
x的图象.
3.
求满足条件cosx(x的x的集合.
4.在同一坐标系内，观察正、余弦函数的图象，在区间内，写出满足不等式sinx≤cos的集合.
【延伸探究】
5.方程sinx=x的解的个数是_____________________.
6.画出函数y=sin|x|的图象.www.
第二章
平面向量
章末小结
编审：周彦
魏国庆
【本章知识体系】
【题型归纳】
专题一、平面向量的概念及运算
包含向量的有关概念、加法、减法、数乘。向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算。利用向量证明三点共线时，应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
1、1.＋－＋化简后等于( )
A．3
B.
C.
D.
2、在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，则下列运算正确的是( )
A．a＋b＋c＋d＝0
B．a－b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0
D．a－b－c＋d＝0
3、已知圆O的半径为3，直径AB上一点D使＝3，E、F为另一直径的两个端点，则·＝( )
A．－3
B．－4
C．－8
D．－6
4、如图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则在以a，b为基底时，可表示为________，在以a，c为基底时，可表示为________．
5、下列说法正确的是( )
A．两个单位向量的数量积为1
B．若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c
C．＝－
D．若b⊥c，则(a＋c)·b＝a·b
专题二、平面向量的坐标表示及坐标运算
向量的坐标表示及运算强化了向量的代数意义。若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标，解题过程中，常利用向量相等，则其坐标相同这一原则。
6、已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A．1
B.
C．2
D．4
7、设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则d＝( )
A．(2,6)
B．(－2,6)
C．(2，－6)
D．(－2，－6)
8、已知a＝(1,1)，b＝(1,0)，c满足a·c＝0，且|a|＝|c|，b·c>0，则c＝________.
专题三、平面向量的基本定理
平面向量的基本定理解决了所有向量之间的相互关系，为我们研究向量提供了依据。
9、已知AD、BE分别为△ABC的边BC、AC上的中线，设＝a，＝b，则等于( )
A.a＋b
B.a＋b
C.a－b
D．－a＋b
10、在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A，B，C三点在同一直线上的等价条件为存在唯一的实数λ，使得＝λ＋(1－λ)成立，此时称实数λ为“向量关于和的终点共线分解系数”．若已知P1(3,
1)，P2(－1,3)，且向量与向量a＝(1,1)垂直，则“向量关于和的终点共线分解系数”为( )
A．－3
B．3
C．1
D．－1
11、已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，
(1)用，表示；
(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形．
解：
12、如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H、M是AD、DC的中点，BC上点F使BF＝BC.
(1)以a、b为基底表示向量与；
(2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求·.
专题四、平面向量的数量积
求平面向量的数量积的方法有两个：一个是根据数量积的定义a·b＝|a||b|cosθ，其中θ为向量a，b的夹角；另一个是根据坐标法，坐标法是a＝(，)，b＝(，)时，a·b＝＋。利用数量积可以求长度，也可判断直线与直线的关系(相交的夹角以及垂直)，还可以通过向量的坐标运算转为代数问题解决．
13、在直角坐标系xOy中，＝(2,1)，＝(3，k)，若三角形ABC是直角三角形，则k的可能值个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
14、A，B，C，D为平面上四个互异点，且满足(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
15、已知|a|＝，|b|＝4，|c|＝2，且a＋b＋c＝0，则a·b＋b·c＋c·a＝________.
16．已知|a|＝1，|b|＝1，a与b的夹角为120°，则向量2a－b在向量a＋b方向上的投影为________．
17．如图所示，在正方形ABCD中，已知||＝2，若N为正方形内(含边界)任意一点，则·的最大值是________．
18、设平面上向量a＝(cos
α，sin
α)(0≤α<2π)，b＝(－，)，a与b不共线．
(1)证明向量a＋b与a－b垂直；
(2)当两个向量a＋b与a－b的模相等时，求角α.
19、已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)
a与b的夹角为钝角．
专题五、平面向量的应用
用向量的方法研究代数问题与一些几何问题，往往能有一种简易的奇妙效果，关键是建立几何与向量问题的联系，利用向量的运算。
20、如图，在平行四边形ABCD中，E为对角线BD上的一点，且BE：ED=2:3，连接CE并延长交AB与F，求AF：FB的值。
21、在平面直角坐标系中，A(1,1)、B(2,3)、C(s，t)、P(x，y)，△ABC是等腰直角三角形，B为直角顶点．
(1)求点C(s，t)；
(2)设点C(s，t)是第一象限的点，若＝－m，m∈R，则m为何值时，点P在第二象限？
F
E
D
C
B
Awww.
1.1.2弧度制
【学习目标】
1.
理解并掌握弧度制定义.
熟练进行角度制与弧度制地互化换算.
2．掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用.
【新知自学】
知识回顾：
1．角的概念
一条射线OA由原来的位置，绕着它的________按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角。
按__________方向旋转所形成的角叫正角；
按_______方向旋转所形成的角叫负角；
如果一条射线_______________，我们称它形成了一个零角.
2．象限角
角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的________________重合,那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.
3．终边相同的角
所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合________________________,
新知梳理：
1.
角度制规定
将一个圆周分成360份，每一份叫做_____度，故周角等于_____度，平角等于______度，直角等于90度.
2.
弧度制的定义
长度等于__________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).
思考：在大小不同的圆中，等长的弧所对的圆心角相等吗？
3．弧度数的求法
一个半径为的圆的圆心角所对的弧长是,那么角的弧度数的绝对值是：________.的正负由
__决定.
正角的弧度数是一个
，负角的弧度数是一个
，零角的弧度数是
.
4．角度与弧度的换算
（1）3600=________；
（2）________=；
度数=弧度数；
弧度数=度数.
【感悟】在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.
对点练习1：
填写下表
度
0°
1°
30°
45°
60°
90°
弧度
度
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
5.
扇形的公式:
(1);
(2);
(3).
对点练习2：
若扇形OAB的面积是1
cm2，它的周长是4
cm，求扇形圆心角的弧度数．
【合作探究】
典例精析：
一、角度与弧度的换算
例1.
将下列各角度与弧度互化:
（1）-210 ；
(2)1200 ；
（3）；
(4)
-3.5.
变式1.
将下列各角度与弧度互化:
(1)22
30′；(2)-1125°；(3)
-；（4）.
二、用弧度制表示角的集合
例2.
如下图，用弧度制表示终边落在阴影部分的角的集合．
变式2.
用弧度制表示终边在第四象限的角的集合.
三、弧长、扇形面积的有关计算
例3.
若2弧度的圆心角所对的弧长是，求这个圆心角所在的扇形面积．
变式3.
已知扇形的周长为8，圆心角为2，，求该扇形的面积.
【课堂小结】
【当堂达标】
1．将下列弧度转化为角度：
(1)＝________°；
(2)-＝________°；
(3)＝________°.
2．将下列角度转化为弧度：
(1)36°＝______(rad)；
(2)-105°＝_______(rad)；
(3)37°30′＝_______(rad)．
3．把-1035°化成α＋2kπ
(0≤α<2π，k∈Z)的形式是___________________．
4．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．
5、如下图所示，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积．
【课时作业】
1．下列叙述中正确的是( )
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位
2.弧度化为角度是( )
A．110°
B．160°
C．108°
D．218°
3．若α＝5
rad，则角α的终边所在的象限为( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4．集合，
，则=（
）
A.
B.
C.
D.
5.把下列角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)形式，写出终边相同的角的集合，并指出它是第几象限角．
(1)-π；
(2)
1
690°；
(3)-20.
6．扇形周长为6
cm，面积为2
cm2，求其圆心角的弧度数．
7．若角α，β终边关于原点对称，且α＝-，写出β角的集合．
8．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R，若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积．
【延伸探究】
已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10
cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；
(2)若扇形的周长是一定值c
(c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？www.
1.3.2
诱导公式5—6
【学习目标】
1．借助单位圆，推导出正弦、余弦第五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题
2．通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。
【新知自学】
知识回顾：
1、问题1：请同学们回顾一下前一节我们学习的与、、的三角函数关系。
2、问题2：
如果两个点关于直线y=x对称，它们的坐标之间有什么关系呢？若两个点关
于y轴对称呢？
新知梳理：
1、问题1：如图：设的终边与单位圆相交于点P，则P点坐标为
，点P关于直线y=x的轴对称点为M，则M点坐标为
，
点M关于y轴的对称点N，则N的坐标为
，
∠XON的大小与的关系是什么呢？点N的坐标又可以怎么表示呢？
学生活动：学生看图口答
P（，），M（，），N（-，），∠XON=
N（，）
（教师在引导学生分析问题过程中，积极观察学生的反映，适时进行激励性评价）
2、问题2：观察点N的坐标，你从中发现什么规律了？
设置意图：让学生总结出公式=-，=
感悟：我们学习了的诱导公式，还知道的诱导公式，那么对于，又有怎样的诱导公式呢？
设置意图：利用已学诱导公式推导新公式。
学生活动：
对点练习：
1、利用上面所学公式求下列各式的值：
（1）
（2）
2．将下列三角函数化为到之间的三角函数：
（1）
（2）
3、已知，，则
__________．
4、已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则（
）
A．
B．2
C．0
D．
【合作探究】
典例精析：
例1
利用上面所学公式求下列各式的值：
（1）
（2）
（3）
（4）
变式练习1：
将下列三角函数化为到之间的三角函数：
（1）
（2）
（3）
例2、 已知方程sin(
3 )
=
2cos(
4 )，求的值
变式练习2：
已知，求的值。
【课堂小结】
知识：前一节课我们学习了，，，的诱导公式，这节我们又学习了，的诱导公式
思想方法：从特殊到一般；数形结合思想；对称变换思想；
规律：
“奇变偶不变，符号看象限”。
你对这句话怎么理解？
【当堂达标】
1．已知，则值为（
）
A.
B.
—
C.
D.
—
2．cos
(+α)=
—，<α<,sin(-α)
值为（
）
A.
B.
C.
D.
—
3．化简：得（
）
A.
B.
C.
D.±
4．已知，，那么的值是
5．如果且那么的终边在第
象限
6．求值：2sin(－1110 )
－
sin960 +＝ ．
【课时作业】
1、已知cos(＋α)＝－，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)( )
A.
B．－
C．±
D.
2、若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cosB－sinA，sinB－cosA)在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于( )
A．2
B．－2
C．2－
D.－2
4．已知cos(＋φ)＝且|φ|<，则tanφ等于( )
A．－
B.
C．－
D.
5、tan110°＝k，则sin70°的值为( )
A．－
B.
C.
D．－
6、A、B、C为△ABC的三个内角，下列关系式中不成立的是( )
①cos(A＋B)＝cosC
②cos＝sin
③tan(A＋B)＝－tanC
④sin(2A＋B＋C)＝sinA
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③
7．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290°的值为________．
8．已知方程sin(
3 )
=
2cos(
4 )，求的值。
9．已知α是第三象限角，f(α)＝
.
(1)若cos＝，求f(α)的值；
(2)若α＝－1860°，求f(α)的值．
10．求证：＝
【延伸探究】
1、是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α、
β的值；若不存在，说明理由．
2．若sinα，cosα是关于x的方程3x2＋6mx＋2m＋1＝0的两根，求实数m的值．www.
第三章
三角恒等变换
章末小结
编审：周彦
魏国庆
【复习目标】
进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：
【知识与方法】
1、熟练记忆三角恒等变换公式：
2、三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即:
（1）找差异：角、名、形的差别；
（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；
（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式。
如：升降幂公式；
；
；
tan±tan=tan(±)(1tantan)；
1=
sin2+cos2（1的代换）；
拆角cos=
coscos(-)-
sinsin(-)；
切化弦等。
3．asin＋bcos＝sin(＋φ)，其中cos
φ＝___，sin
φ＝___，即tan
φ＝.
【题型总结】
题型1、化简求值：综合使用三角函数的定义、性质、公式，求出三角函数式的值。
化简要求：________、________、__________、__________、__________、__________；
1、化简（1）；
（2）sin2sin2+cos2cos2-cos2cos2。
2、求值：
题型2、条件求值：综合考虑要求值的式子和条件式的关联，对于已知条件式的应用及其变形是解决此类问题的关键。
3、已知=，=，求的值。
4.
已知
求的值。
题型3、知值求角：
（1）先求角的某一个三角函数值：要注意象限角的范围与三角函数值的符号之间联系；
（2）尽量小的确定角的范围：通过已知的角的范围及其函数值的大小。
5．已知在中，
求角的大小。
6.
设、为锐角，且3sin2+2sin2=1，3sin2-2sin2=0，求证：+2=。
题型4、恒等式的证明：是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等。
7．已知，
求证：
8．求证
题型5、化成一个角的形式：
9.函数有最大值，最小值，则实数____，___。
10．函数的图象的一个对称中心是（
）
A.
B.
C.
D.
题型6、三角函数的综合应用，
11．已知△ABC的内角满足，若，且满足：，，为的夹角.求。
12．如图所示，某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠，为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面。若水渠断面面积设计为定值m，渠深8米。则水渠壁的倾角应为多少时，方能使修建的成本最低？
【课时练习】
1．当时,函数的最小值是（
）
A．
B．
C．
D．
2．在△ABC中，，则△ABC为
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法判定
3．函数的最小正周期是
(
)
A．
B．
C．
D．
4．已知那么的值为
,的值为
5．已知，，则=__________。
6．函数在区间上的最小值为
．
7．已知函数的定义域为，
（1）当时，求的单调区间；
（2）若，且，当为何值时，为偶函数．
8.已知函数
（1）求取最大值时相应的的集合；
（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到的图象
【延伸探究】
9．已知函数
(1)写出函数的单调递减区间；
(2)设，的最小值是，最大值是，求实数的值．
8
A
E
D
B
Cwww.
2.1平面向量的实际背景及基本概念
编审：周彦
魏国庆
【学习目标】
1.了解平面向量的实际背景，理解平面向量的概念，掌握向量的几何表示，学会用字母表示向量；
2.理解向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念.
【新知自学】
新知梳理
1.向量的概念：我们把既有
又有
的量叫向量.
2、
叫做有向线段.以A为起点，B为终点的有向线段记作
.
有向线段包括三个要素:
、
、
.
3、向量的表示方法有两种，即
或
4、向量的大小，也就是向量的
（或模），记作
.长度为0的向量叫做
；长度为1的向量叫做
.
5、
的向量叫做平行向量.向量与向量平行，通常记作
.规定零向量与
向量平行.
6、
的向量叫做相等向量，若向量与向量相等，记作
7、共线向量与相等向量的关系是
思考感悟
1、数量与向量有何区别？
2、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？
3、共线向量用有向线段表示时必须在同一直线上吗？
对点练习：
1.
判断正误：
（1）不相等的向量一定不平行.
（2）平行向量一定方向相同.
（3）共线向量一定在同一直线上.
2.
填空：
（1）与零向量相等的向量必定是________向量
（2）与任意向量都平行的向量是_________向量
（3）两个非零向量相等，当且仅当_____
_____
（4）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是_______向量
3．给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.
正确的是
(
)
A.
①②③是数量，④⑤⑥是向量
B.
②④⑥是数量，①③⑤是向量
C.
①④是数量，②③⑤⑥是向量
D.
①②④⑤是数量，③⑥是向量
4.
下列说法错误的是
(
)
A.
向量与的长度相同
B.
单位向量的长度都相等
C.
向量的模是一个非负实数
D.
非零向量与是平行向量，则直线与直线平行
【合作探究】
典例精析：
例1．如图，设是正六边形的中心，
分别写出图中与向量、、相等的向量.
变式练习1：
例1中，与向量长度相等的向量有多少个？
变式练习2：例1中，是否存在与向量、、长度相等、方向相反的向量？
例2.
.
如图，D、E、F分别是ΔABC的边AB、BC、CA的中点，写出以A、B、C、D、E、F这六个点中任意两个点为起点和终点的向量中，与平行的所有向量.
变式练习3：例2中，与向量共线的向量有哪些？
【课堂小结】
【当堂达标】
1.
关于零向量，下列说法中错误的是
(
)
A.
零向量是没有方向的
B.
零向量的长度是0
C.
零向量与任一向量平行
D.
零向量的方向是任意的
2.
若向量与任意向量都平行，则=_
__；若||=1,则向量是
.
3.
把平面上一切单位向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是
.
4.
把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是_______.
5.
如图，ABCD的对角线交于点O,则在以A、B、C、D、O这五个点中任意两个点为起点和终点的向量中，与和都不平行的向量有哪些？
【课时作业】
1.
给出下列命题：
①向量的大小是实数
②
平行向量的方向一定相同
③向量可以用有向线段表示
④单位向量都相等
正确的有
.
2.
给出下列命题：①若||=0,则=0；②若是单位向量，则||=1；③与不平行，则与都是非零向量.④如果//,
//,那么//
其中真命题是
(填序号)
3.
下列各组中的两个量是不是向量？如果是向量，说明它们是不是平行向量.
(1)
两个平面图形各自的面积.
(2)
停放在广场上的两辆小汽车各自受到的重力.
(3)
小船驶向河对岸的速度与水流速度.
(4)
浮在水面的物体受到的重力与与浮力.
4.
如图所示，已知矩形，对角线上向量与的关系是
5.
如图所示，四边形ABCD和BCED都是平行四边形,
（1）写出与相等的向量：_______.
（2）写出与共线的向量：____
___.
（3）写出与的模相等的向量:
6.如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形.以图中各点为起点和终点，写出与向量的模相等的所有向量.
7.
某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向，向西偏北的方向走450m到达C点，最后又改变方向，向东走200m
到达D点.
（1）做出向量(1cm表示200米)；
（2）求的模.
【延伸探究】
在矩形ABCD中，AB=2BC=2，M、N分别是AB和CD的中点，在以A、B、C、D、M、N为起点和终点的所有向量中，回答下列问题：
（1）与向量相等的向量有哪些？向量的相反向量有哪些？
（2）与向量相等的向量有哪些？向量的相反向量有哪些？
（3）在模为的向量中，相等的向量有几对？
（4）在模为1的向量中，相等的向量有几对？
F
D
E
O
B
A
C
F
B
A
C
D
E
D
C
B
A
M
D
N
C
B
Awww.
2.2.2向量减法运算及其几何意义
【学习目标】
1.了解相反向量的概念；
2.理解向量减法的几何意义，掌握向量的减法运算；会作两个向量的差向量，并能和向量的加法综合运用.
【新知自学】
知识回顾：
1.如何用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两向量的和？2.向量加法的运算律：
新知梳理：
1、
“相反向量”的定义：与向量长度相同、方向相反的向量.记作
2、
规定：
（1）零向量的相反向量仍是零向量.
（2） (
)
=
.
（3）任一向量与它的相反向量的和是零向量.
即
+
( )
=
(4)如果、互为相反向量，则
=
，
=
，
+
=
3、
向量减法的定义：向量加上的相反向量，叫做
，即：
=
求两个向量差的运算叫做向量的减法.
向量减法的几何意义是
4、
若
+
x
=，则x叫做与的差，记作
求作差向量：已知向量，，求作向量
作法：
思考感悟：
（1）向量的起点与向量的起点相同时，如果从向量的终点指向向量的终点作向量，那么所得向量是
（2）若∥，
如何作出
？
对点练习：
1.
化简-
+
+
的结果是(
)
A.
B.
C.
D.
2.
下列四式中不能化简为的是(
）
A.
++
B.
+++
C.
-
+
D.
+-
3.如图四边形ABCD中，设，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
4.如图，D、E、F分别是的边AB、BC、CA的中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【合作探究】
典例精析：
例1、已知向量、、、，求作向量 、 .
变式练习：1课本练习1.
例2、平行四边形中，，，
用、表示向量、.
变式练习：2
已知，，且，则=
【课堂小结】
【当堂达标】
1、在△ABC中，
=
，
=
，则等于(
)
A.
+
?
B.-
+(-
)
C.
-
?
D.
-
2.
可以写成：①；②；③；④,其中正确的是（
）
A.①②
B.
②③
C.
③④
D.
①④
3.如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AC与BD交于O点，则_______
4、化简
【课时作业】
1、在△ABC中，向量可表示为①
②
；③；
④；中的是（
）
A．①②③
B．①③④
C．②③④
D．①②④
2.
在ABCD中，|+|
=
|-|，则必有(
)
A.
=
B.
=
或=
C.
ABCD是矩形
D.
ABCD是正方形
3.
设分别为的三边的中点，则(
)
A.
B.
C.
D.
4.
若非零向量和互为相反向量，则错误的是（
）
A、
B、
C、
D、
5.
已知中，，，则下列等式成立的是______________。
（1）
（2）
（3）
（4）
6.
若，下列结论正确的是______________________。
（1）
（2）
（3）
（4）
7.
中，是的中点，设，则
；
.
8.
如图，已知=,
=,=,=,=,=,试用,,,,,表示下列向量.
(1)
-
;
(2)
+;
(3)
-
.
9.
如图，在ABCD中，设
=
,
=
,
则
(1)
当,满足什么条件时，+与-垂直？
(2)
当,满足什么条件时，|+|
=
|-|？
(3)
+与-
可能是相等向量吗？
(4)
当,满足什么条件时，+平分与所夹的角
【延伸探究】
已知||=8,
||=5,，则||的取值范围是
.
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
A
B
D
C
O
D
C
A
Bwww.
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
编审：周彦
魏国庆
【学习目标】
1.掌握平面向量数量积运算规律；能利用数量积的性质解决有关问题；
2.掌握向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，能解决一些简单问题.
【知识梳理】
知识回顾：
1．两个向量的数量积的性质：
设
与为两个非零向量.
(1)、
=
(2)、当与同向时，
=
，
当与反向时，
=
特别的：
=_____或，
| |
≤
||||，
cos
=________
新知探究：
已知非零向量，，怎样用和的坐标表示 ？
平面两向量数量积的坐标表示：
=
即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
2.
平面内两点间的距离公式
（1）设，
则
或
.
（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么
(平面内两点间的距离公式)
3.向量垂直的判定：设，，则
4.两向量夹角的余弦（）
cos
==
思考感悟:
向量不能比较大小，也不能与数0比较大小，但能否有 >0（<0）？
对点练习：
1.已知=(3,4),=(5,2),
则·等于(
)
A.
14
B.
7
C.
7
D.
8
2.已知=(3,4),=(5,2),=(1,1),
则(·)·等于
(
)
A.
14
B.
7
C.
(7,7)
D.
(7,7)
3.已知A(1,1),B(1,2),
则||等于
(
)
A.
5
B.
C.
1
D.
7
4.
已知=(3,4),=(5,12),
则,夹角的余弦为(
)
A.
B.
C.
D.
【合作探究】
典例精析：
例1.已知向量，；
（1）求，；
（2）求的值；
（3）求的值；
变式1：已知向量，；
（1）求向量与的夹角；
（2）若向量与垂直，求的值；
例2.设
=
(5， 7)，
=
( 6， 4)，求·及、间的夹角θ的余弦值。
变式2：已知A(1，
2)，B(2，
3)，C( 2，
5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.
【课堂小结】
夹角为锐角（钝角）
【当堂达标】
1．已知向量＝(1，－1)，＝(2，x)，若·＝1，则x等于(
)
A．－1
B．－
C.
D．1
2.已知=(4,3),=(5,6),则3||24·=
(
)
A.23
B.57
C.63
D.83
3.
与=(3,4)垂直的单位向量是(
)
A.
(,
)
B.
(,
)
C.
(,
)或(,
)
D.
(,
)或(,
)
4.已知||=6,=(cosθ,sinθ),
·=9,
则,
的夹角为
(
)
A.150
B.120
C.60
D.30
【课时作业】
1、已知A(1,1),B(1,2),C(3,
)
,
则·等于(
)
A.
B.
C.
D.
2.若=(2,1)与=(1,
)互相垂直，则m的值为(
)
A.
6
B.8
C.
10
D.
10
3.
=(2,3),=(3,5),
则在方向上的投影为_
_
____.
4.
已知三个点A(1,0)，B(3,1)，C(2,0)，且=,=，则与的夹角为
5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-)在线段AB的中垂线上，则x=
.
6.已知，，对以下两种情况分别求出m值，
(1)⊥，
(2)∥。
8
．已知向量,向量求的最值，
9
.
=(1,2),
=(3,2),当k为何值时：
(1)
k+与3垂直
(2)
k+与3平行吗？平行时它们是同向还是反向？
10
、以原点和A(5，
2)为顶点作等腰直角△OAB，使 B
=
90 ，求点B和向量的坐标.
【延伸探究】
已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求||与点D的坐标．www.
2.2平面向量的线性运算
2.2.1向量加法运算及其几何意义
【学习目标】
1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
http://www./
( http: / / www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网 )3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法.
【新知自学】
知识回顾：
1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？
2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反映的？什么叫零向量和单位向量？
新知梳理
思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按原方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按反方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
思考3：如图，某人从点A到点B，再从点B改变方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
结论：1、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.2、三角形法则：
已知向量、.在平面内任取一点，作＝，＝，则向量叫做
，记作
.图示为：
注：(1)“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加.
即：
（2）对于零向量与任一向量，规定：
3、平行四边形法则：
图示为:
4、有关向量模的性质：
当向量与不共线时，+、、的方向不同向，|+|
||+||；
(2)当与同向时，则+、、同向，
|+|
||+||，
(3)当与反向时，
若||>||，则+的方向与相同，
且|+|
||-||；
若||<||，则+的方向与相同，
且|+b|
||-||.
5、向量加法的交换律和结合律
（1）向量加法的交换律：
（2）向量加法的结合律：
对点练习：
1.如图，为正六边形的中心，
（1）
=______
_
（2）
=______
_
（3）
=______
_
2..
平行四边形ABCD中，++=(
)
A.
B.
C.
D.
【合作探究】
典例精析：
例题1：已知向量、，求作向量+
法一：（三角形法则）
法一：（平行四边形法则）
变式练习:
（多边形法则）
（1）在正六边形ABCDEF中，________
（2）化简
_____
____________
=____________
例2.如图，一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水的流速为，求船实际航行的速度的大小与方向。
变式练习:
某人在静水中游泳，速度为千米/小时，他在水流为4千米/小时的河中游泳，如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
【课堂小结】
【当堂达标】
1、化简
__________
2、已知正方形的边长为，
则
______
_
3、在平行四边形ABCD中，++等于
4、当________时，；
________时，平分之间的夹角。
5、在四边形中，若，则四边形一定是___.
6、向量满足，则的最大值和最小值分
__________。
【课时作业】
1.
向量++++化简后等于(
)
A.
B.
C.
D.
2.
设,,+均为非零向量，且+平分与的夹角，则(
)
A.
=
B.
||=||
C.
||=2||
D.
以上都不对
3.
在矩形ABCD中，||=4,
||=2,
则向量++的长度等于(
)
A.
2
B.
4
C.
12
D.
6
4.
若在ΔABC中,
=
,
=
,
且||
=
||
=
1,
|+|=,
则ΔABC的形状是(
)
A.
正三角形
B.
锐角三角形
C.
斜三角形
D.
等腰直角三角形
5.
向量,
皆为非零向量，下列说法不正确的是(
)
A.
与反向，且||>||,则+与同向
B.
与反向，且||>||,则+与同向
C.
与同向，则+与同向
C.
与同向，则+与同向
6.
设,都是单位向量，则|+|的取值范围是
.
7.
在四边形ABCD中，
=
,
AC
⊥
BD,
||=6,
||=8,
求：
(1)
||的值；
(2)
四边形ABCD的面积
8
.
一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为，求水流的速度.
9
.在长江南岸某渡口处，江水以的速度向东流，渡船的速度为。渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
10
.如图所示，在平行四边形ABCD对角线BD的延长线和反向延长线上取点F，E，使得BE=DF，求证：四边形AECF是平行四边形。
【延伸探究】
在四川5.12大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东方向飞行了40km到B地，再由B地沿正北方向飞行40km到C地，求此时直升飞机与A地的相对位置。
A
B
C
C
A
B
A
B
C
O
A
E
B
F
C
D
b
F
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
Awww.
3.2简单的三角恒等变换
3.2.1简单的三角恒等式的证明
编审：周彦
魏国庆
【学习目标】
1.
加深对三角函数的概念、公式的理解，把握三角恒等变换的基本特点。
2.
以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，培养提高学生推理、运算能力。
【新知自学】
知识回顾：回顾复习以下公式并填空：
=________________
=
________________
=
=
________________
=
=
________________
=
=________________
=________________
=________________
对点练习：
1、已知sin·sin=1，那么cos(+)的值为(
)．
(A)-l
(B)0
(C)1
(D)±l
2．已知tan=，且∈(,)，则sin(+)的值是(
)．
(A)-
(B)
(c)
(D)-
3．
【合作探究】
典例精析：
例1．试用表示，，
讨论展示：在前面学习的二倍角公式中，2角是的二倍，大家体会一下：这里角与可以有什么关系？进一步体会二倍角公式中，倍角的相对性。
解答：
规律总结：
1、本题的结果可以表示成：，，，并称之为半角公式（不要求记忆），其中的符号由_____来确定。
2、思考：代数变换与三角变换有什么不同？（答案见课本）
变式练习1：
求证：（优点：避免选择符号）
例2．求证：
(1)；
(2)．
讨论展示：
①两角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特点？②它们与本例在结构形式上有什么联系？③如何完成本题的证明？
思考感悟：
①本题证明过程中，体现了什么数学思想方法？_____、________
②在本例证明过程中，如果不用（1）的结果，如何证明（2）？
变式练习2：
已知，，求证：
【课堂小结】
三角变换的特点：
换元法、方程思想的运用
【当堂达标】
1、求证：=cos2x．
2、求证：
3、求证：
【课时作业】
1、已知cos（α+β）cos（α－β）=，则cos2α－sin2β的值为（
）
A．－
B．－
C．
D．
2、求证：1+2cos2θ－cos2θ=2．
3、求证：=1
4、求证：4sinθ·cos2=2sinθ+sin2θ．
5、求证：证明＝
6、证明：(1)sin
θ(1＋cos
2θ)＝sin
2θcos
θ；
(2)＝.
【延伸探究】
证明：www.
1.4.3正切函数的性质和图象
【学习目标】
1.能借助单位圆中正切线画出y=tanx的图象.
2.理解正切函数在上的性质.
（预习课本第页42----44页的内容）
【新知自学】
知识回顾：
1、周期性
2、奇偶性
3.单调性：
y=sinx在每一个区间__________上是增函数，在每一个区间___________上是减函数；
y=cosx在每一个区间__________上是增函数，在每一个区间___________上是减函数；
4.
最值：
当且仅当x=_______时，y=sinx取最大值___，当且仅当x=_______时，y=sinx取最小值______.
当且仅当x=_______时，取最大值____，
当且仅当x=_______时，y=cosx取最小值______.
新知梳理：
1.正切函数的性质
（1）周期性：正切函数的最小正周期为_____;y=tanx()的最小正周期为_____.
（2）定义域、值域：正切函数的定义域为_________,值域为_________.
（3）奇偶性：正切函数是______函数.
（4）单调性：正切函数的单调递增区间是______________________.
2．正切函数的图象：正切函数y=tanx,xR且的图象，称“正切曲线”.
探究：1.
正切函数图象是被平行直线y=所隔开的无穷多支曲线组成。能否认为正切函数在它的定义域内是单调递增的？
2.正切曲线的对称中心是什么？
对点练习：
1.
函数的周期是（
）
A.
B.
C.
D.
2.函数的定义域为
(
)
A.
B.
C.
D.
3.下列函数中,同时满足(1)在(0,
)上递增,(2)以2为周期,(3)是奇函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
4.
求函数y＝的定义域
【合作探究】
典例精析：
题型一：与正切函数有关的定义域问题
例1.求函数的定义域.
变式1.求函数的定义域.
题型二：正切函数的单调性
例2.（1）求函数y=tan(3x-)的周期及单调区间.（2）比较tan与tan的大小.
变式2.(1)求函数y=tan(-x)的周期及单调区间.(2)比较大小：tan与tan
(－).
【课堂小结】
【当堂达标】
1.下列各式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．大小关系不确定
2.函数y＝5tan(2x＋1)的最小正周期为________．
3.函数y＝tan的单调区间是____________________，且此区间为函数的________区间（填递增或递减）．
4.写出函数y=|tanx|的定义域、值域、单调区间、奇偶性和周期.
【课时作业】
1、在定义域上的单调性为（
）.
A．在整个定义域上为增函数
B．在整个定义域上为减函数
C．在每一个上为增函数
D．在每一个上为增函数
2、若,则（
）.
A．
B．
C．
D．
3.与函数的图象不相交的一条直线是（
）
4.
已知函数的图象过点，则可以是
5．tan1,tan2,tan3的大小关系是
_________________________________.
6.下列四个命题：①函数y＝tan
x在定义域内是增函数；②函数y＝tan(2x＋1)的最小正周期是π；③函数y＝tan
x的图象关于点(π，0)成中心对称；④函数y＝tan
x的图象关于点成中心对称．其中正确命题的序号为__________________．
7.求函数y=3tan(2x+),()的值域、单调区间。
8.比较tan与tan(－)的大小
9.求下列函数的定义域
（1）
（2）
（3）y=lg(1-tanx)
（4）y＝
10.函数的定义域是
,
周期是
单调区间为
【延伸探究】
7函数f(x)＝tan
ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得线段长为，则的值是________．
8.已知
，求函数f(x)的最值及相应的x值.www.
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（一）
【学习目标】
1.理解周期函数、周期和最小正周期的定义；
2.掌握三角函数的奇偶性和对称性问题.
预习课本P34---36页的内容，完成下列问题
【新知自学】
知识回顾：
1、函数的性质包括：定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、等等
2、正弦函数的定义：
余弦函数的定义：
新知梳理：
1.周期函数定义：一般地，对于函数f
(x)，如果存在一个___________，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：____________，那么函数f
(x)就叫做_________，非零常数T叫做这个函数的_______.
讨论展示：
①对于函数，，有
，能否说是它的周期？
②若函数的周期为，则（其中也是的周期吗？为什么？
③最小正周期：在周期函数所有的周期中，如果存在一个______________，这个_____________就叫做这个周期函数的最小正周期；
并不是所有的周期函数都有最小正周期。
④正弦函数y=sinx，余弦函数y=cosx都是周期函数
（）是他们周期，是最小正周期。
2．奇偶性：
①函数奇偶性的概念：
②由知，正弦函数y=sinx是奇函数；
由知，余弦函数y=cosx是偶函数；
3．对称性:
由正弦函数的奇偶性知道，正弦函数y=sinx的图像关于________成中心对称图形，除此之外，y=sinx的图像关于每一个点_______________都成中心对称；关于每一条直线_____________成轴对称；
由余弦函数的奇偶性知道，余弦函数y=cosx的图像关于________成中心对称图形，除此之外，y=cosx的图像关于每一个点_______________都成中心对称；关于每一条直线_____________成轴对称；
对点练习：
1.
下列函数为奇函数的是（
）
A.y=x2
B.y=sinx
C.y=cosx
D.y=|sinx|
2.
函数的周期是_______________.
3.
函数的定义域：
4.指出下列函数的周期
(1)；
(2)；
【合作探究】
典例精析：
例1.写出下列函数的周期:
(1)
(2)
(3)
变式练习1：
设是R上的奇函数，且，当时，，=
变式练习2：
定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，当时，，=
；
例2.
下列直线中，是函数的对称轴的是(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
变式练习3：
函数的图象的一条对称轴方程是（
）
A．
B.
C.
D.
规律总结：
结论：如果函数对于，那么函数的周期T=2k；
如果函数对于，那么函数的对称轴是
例3.已知函数的定义域是，求的定义域
【课堂小结】
【当堂达标】
1.
函数y=sin(x+)的图象是（
）
A.
关于x轴对称
B.
关于y轴对称
C.
关于原点对称
D.
关于x=-π对称
2.函数的最小正周期为
.
3.判断函数的奇偶性：
（1）f(x)=3sin2x;
(2)f(x)=sin().
4.
求函数的定义域
【课时作业】
1．下列函数中，周期为的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．下列函数中是奇函数的是（
）
A.
y=-|sinx|
B.
y=sin(-|x|)
C.
y=sin|x|
D.
y=xsin|x|
3．已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（
）
A.关于点对称
B.关于直线对称
C.关于点对称
D.关于直线对称函数
4．函数的定义域是______．
5．的最小正周期为，则＝______．
6．函数的定义域是__________．
7．给出下列命题：①存在实数x，使sinxcosx＝1；②存在实数x，使sinx＋cosx＝3；
③是偶函数；④()是y＝tanx的对称中心
其中正确的是______．
【延伸探究】
1、函数的最小正周期为(
)
(A)2
(B)1
(C)
(D)
2、已知函数的最小正周期满足，求正整数的值。www.
1.1
任意角和三角函数
1.1.1
任意角
编审：周彦
魏国庆
【学习目标】
1、解任意角的概念.
2、边相同的角的含义及表示.
【新知自学】
知识回顾：
回忆初中角的概念：
从一个点引出的两条_________构成的几何图形.
新知梳理：
1．角的定义
高中:一条射线OA由原来的位置，绕着它的________按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角.其中射线OA叫角的_______，射线OB叫角的_______，O叫角的_______.
2．正角、负角、零角概念
把按__________方向旋转所形成的角叫正角；按_______方向旋转所形成的角叫负角；如果一条射线_______________，我们称它形成了一个零角.在不引起混淆的前提下，“角”或“∠”可简记为.
感悟：角的概念推广到任意角，其中包括_________、________、_______,正角可以到正无穷大，负角可以到负无穷大.
对点练习：
1、如果你的手表慢了25分钟，有比较简单的两种校正方式，请问校正时分针分别转过的角度是多少？
3．象限角
角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的________________重合,那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.
思考：任意角都可以归结为象限角吗？
锐角都是第一象限角吗？第一象限角都是锐角吗？
4．终边相同的角
所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合________________________,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与________________的和.
对点练习：
2、在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)360°～720°的角．
3．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.
【合作探究】
典例精析：
一、角的基本概念
例1.下列说法正确的是（
）
A.三角形的内角必定是第一、二象限角
B.第一象限角必是锐角
C.不相等的角终边必定不同
D.若,则
变式1.下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③第二象限角大于第一象限角；④第二象限角是钝角；⑤小于1800的角是钝角、直角或锐角.其中正确的命题序号是_________________.
二、象限角
例2.
在00～3600间，分别找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.
（1）-1200；
（2）6600；
（3）-9500．
变式练习
2.分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β<3600的元素β写出来：
（1）4600；
（2）-3610.
三、终边相同的角
例3．写出终边在如图所示的直线上的角的集合.
变式练习3.集合M＝{|=k·1800+900，k∈Z}中，各角的终边都在（
）
A．x轴正半轴上
B．x轴上
C．y轴上
D．x轴正半轴或
y轴正半轴上
变式练习：
4．写出终边落在坐标轴上的角的集合S.
【课堂小结】
【当堂达标】
1.下列命题：
①第一象限角是锐角；
②锐角都是第一象限角；
③第一象限角一定不是负角；
④第二象限角大于第一象限角；
⑤第二象限角是钝角；
⑥三角形内角是第一、第二象限的角；
⑦向左转体1周形成的角为360°.
其中是真命题的为__________(把正确命题的序号都写上)．
2.下列命题正确的是( )
A．－330°与330°都是第四象限角
B．45°角是按顺时针方向旋转形成的
C．钝角都是第二象限角
D．小于90°的角都是锐角
3、分别指出它们是哪个象限的角？
（1）8550；
（2）-5100.
4．用集合表示（1）锐角;（2）第一象限角.
5．一个角为300，其终边按逆时针方向旋转两周后的角度数为_________.
6．与
-4900终边相同的角的集合是
__________________________，
它们是第________象限的角，其中最小的正角是___________，最大负角是___________．
【课时作业】
1．-11200角所在象限是（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2．给出下列四个命题：①－75°角是第四象限角；②225°角是第三象限角；③475°角是第二象限角；④－315°是第一象限角，其中真命题有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3.
已知是第三象限角，则1800+是（
）
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
4.集合中各角的终边都在（
）
A.x轴的非负半轴上
B.y轴的非负半轴上
C.x轴或y轴上
D.x轴的非负半轴或y轴的非负半轴上
5．在0o~360o范围内，分别找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角.
（1）－265;
（2）－1000o;
（3）3900o.
6.已知是第三象限角，则-是第__________象限角.
7.若是第二象限角，则，分别是第几象限的角？
8．已知角β的终边在直线x－y＝0上．
(1)写出角β的集合S；
(2)写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素．
【延伸探究】
已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．www.
2.5.1平面几何中的向量方法
编审：周彦
魏国庆
【学习目标】
1.
通过模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；
2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.
3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性.
【新知自学】
知识梳理：
1.
两个向量的数量积：
2.
平面两向量数量积的坐标表示:
3.
向量平行与垂直的判定（坐标法）:
4.
平面内两点间的距离公式：
5.
求模：
；
；
感悟：
用向量的知识方法解决几何问题,主要在于:
几何中证明线段平行,相似问题,常用向量平行(共线)的等价条件来解决;
证明垂直问题,如证明四边形是矩形,正方形等,常用向量垂直的等价条件
求夹角问题,往往利用向量的夹角公式,
求线段的长度或证明线段相等,可以利用向量的线性运算,向量模的公式
对点练习：
1、在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则AB边的中线AD的长是（
）
A．2
B．5
C．2
D．7
2、已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的( )．
A．重心、外心、垂心
B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心
D．外心、重心、内心
3．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
【合作探究】
典例精析：
例1.
已知AC为⊙O的一条直径，∠ABC为圆周角.求证：∠ABC＝90o.
变式1.
如图，AD，BE，CF是△ABC的三条高.
求证：AD，BE，CF相交于一点.
例2.
平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图，
你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
规律总结：运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？
“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
例3．如图，□ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、
BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？
【课堂小结】
知识
方法
思想
【当堂达标】
1、在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形
D．菱形
2、已知A、B是圆心为C，半径为的圆上两点，且||＝，则·等于( )
A．－
B.
C．0
D.
3、在△ABC中，∠C＝90°，＝(k,1)，＝(2,3)，则k的值是( )
A.
B．－
C．5
D．－5
4、已知：AM是△ABC中BC边上的中线，求证：AM2＝(AB2＋AC2)－BM2.
【课时作业】
1．在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，则( )
A.＝
B..与共线
C..＝
D
．与共线
2．已知点A、B的坐标分别为A(4,6)，，则坐标分别为：①；②；
③；
④(－7,9)的向量中与直线AB平行的有(
)
A．①
B．①②
C．①②③
D．①②③④
3．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为( )
A．－1
B．1
C．2
D．－1或2
4．直角坐标平面xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是________．
5．如右图所示，在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·＝________.
6
．如下图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
7．如图所示，以原点O和为两个顶点作直角三角形OAB，∠B＝90°，判断点B的轨迹是什么图形，并用向量法求B点的轨迹方程．
8
．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是圆C上任意一点，点N在线段MA的延长线上，且＝2，求点N的轨迹方程．
【延伸探究】
证明：对于任意的，恒有不等式www.
1.3.1
诱导公式1—4
【学习目标】
1.
借助单位圆，推导出正弦、余弦和正切的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题
2.
通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。
【新知自学】
知识回顾：
1、背诵30度、45度、60度角的正弦、余弦、正切值；
2、在平面直角坐标系中做出单位圆，并分别找出任意角的正弦线、余弦线、正切线。
新知梳理：
问题1：我们知道，任一角都可以转化为终边在内的角，如何进一步求出它的三角函数值？
我们对范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把内的角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，则问题将得到解决。那么如何实现这种转化呢？
探究1.
诱导公式的推导
由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等，即有公式一：
（公式一）
诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为之间角的正弦、余弦、正切。
注意：运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成
，是不对的
问题2：利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到角后，又如何将角间的角转化到角呢？
除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等。那么它们的三角函数值有何关系呢？
探究2：若角的终边与角的终边关于轴对称，那么与的三角函数值之间有什么关系？特别地，角与角的终边关于轴对称，由单位圆性质可以推得：
（公式二）
特别地，角与角的终边关于轴对称，故有
（公式三）
特别地，角与角的终边关于原点对称，故有
（公式四）
所以，我们只需研究的同名三角函数的关系即研究了的关系了。
说明：①公式中的指任意角；
②在角度制和弧度制下，公式都成立；
③记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；
方法小结：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：
①
；
②
；
③
。
可概括为：
”（有时也直接化到锐角求值）。
对点练习：
1、tan690°的值为( )
A．－
B.
C.
D．－
2、已知sin(π＋α)＝，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )
A．－
B.
C．±
D.
3已知sin＝m，则cos的值等于( )
A．m
B．－m
C.
D．－
4设cos(－80°)＝k，那么tan100°＝( )
A.
B．－
C.
D．－
5若sin＝，则sin＝________.
【合作探究】
典例精析：
例1：求下列三角函数值：（1）；
（2）．
变式练习:1：sin，cos，tan，从小到大的顺序是________．
例2、化简．
变式练2:：
化简：(1)sin()cos(－π)tan(2π＋)；
(2).
【课堂小结】
【当堂达标】
1．若，则的取值集合为（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知那么
（
）
A．
B．
C．
D．
3．设角
的值等于（
）
A．
B．－
C．
D．－
4．当时，的值为
（
）
A．－1
B．1
C．±1
D．与取值有关
5．设为常数），且那么（
）
A．1
B．3
C．5
D．7
6．已知则
.
【课时作业】
1．已知，则值为（
）
A.
B.
—
C.
D.
—
2．cos
(+α)=
—，<α<,sin(-α)
值为（
）
A.
B.
C.
D.
—
3．化简：得（
）
A.
B.
C.
D.±
4．已知，，那么的值是（
）
A
B
C
D
5．如果且那么的终边在第
象限
6．求值：2sin(－1110 )
－sin960 +
＝ ．
7．设
，
求的值．
8．已知方程sin(
3 )
=
2cos(
4 )，求的值。
【延伸探究】
1、设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ(k∈Z)．若f(2009)＝5，则f(2010)等于( )
A．4 B．3 C．－5
D．5
2、设tan(α＋π)＝m.求证：＝.www.
2.3平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1平面向量基本定理
编审：周彦
魏国庆
【学习目标】
1.
了解平面向量基本定理；
2.
理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；
3.能够在具体问题中适当选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
【新知自学】
知识回顾：
1、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个
，记作
；规定：
（1）|λ|=
（2）λ>0时，λ与方向
；
λ<0时，λ与方向
；
λ=0时，λ=
2．运算定律：
结合律：λ(μ)=
；
分配律：(λ+μ)
=
，
λ(+)=
3.
向量共线定理：向量与非零向量共线，则有且只有一个非零实数λ，使=λ.
新知梳理：
1．给定平面内两个向量，，请你作出向量3+2，-2，
2.由上，同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ1+λ2的向量表示？
平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个
向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使
不共线的向量，叫做这一平面内表示所有向量的一组基底。
思考感悟：
(1)
基底不惟一，关键是
；不同基底下，一个向量可有不同形式表示；
(2)
基底给定时，分解形式惟一.
λ1，λ2是被，，唯一确定的数.
3.
向量的夹角:平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？
已知两个非零向量、，作，，则∠AOB＝，叫向量、的夹角。
当=
，、同向；
当=
，、反向；统称为向量平行，记作
如果=
，与垂直，记作⊥。
对点练习：
1.设、是同一平面内的两个向量，则有(
)
A.
、一定平行
B.
、的模相等
C.同一平面内的任一向量
都有
＝λ+μ(λ、μ∈R)
D.若、不共线，则同一平面内的任一向量都有
=λ+u
(λ、u∈R)
2.已知向量
＝-2，
＝2+，其中、不共线，则+与
＝6-2的关系（
）
A.不共线
B.共线
C.相等
D.无法确定
3.已知λ1＞0，λ2＞0，、是一组基底，且
＝λ1+λ2，则与
，
与
．
(填共线或不共线).
【合作探究】
典例精析：
例1：
已知向量，
求作向量 2.5+3
变式1：已知向量、
(如图),求作向量：
（1）+2. （2）-+3
例2:
如图，，不共线，且
，用，来表示
变式2：已知G为△ABC的重心,设=,=,试用、表示向量.
【课堂小结】
知识、方法、思想
【当堂达标】
1.
设是已知的平面向量且,关于向量的分解,其中所列述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,
有如下四个命题：
①给定向量,总存在向量,使;
②给定向量和,总存在实数和,使;
③给定单位向量和正数,总存在单位向量和实数,使;
④给定正数和,总存在单位向量和单位向量,使;
上述命题中的则真命题的个数是(
)
（ ）
A．1
B．2
C．3
D
2.如图，正六边形ABCDEF中，=
A．
B．
C．
D．
3.在中，，，，为的中点，则____________.
（用表示）
【课时作业】
1、若、不共线，且λ+μ=（λ、μ
），则（
）
A．=,= B．=0,
=0
C．=0,
=
D．=,=0
2．在△ABC中，＝，DE∥BC，且DE与AC相交于点E，M是BC的中点，AM与DE相交于点N，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y等于( )
A．1
B.
C.
D.
3．在如图所示的平行四边形ABCD中，＝a，＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则＝________.(用a，b表示)．
4.
如图
ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和
5.
设与是两个不共线向量,
=3+4,=-2+5,若实数λ、μ满足λ+μ=5-,求λ、μ的值.
6如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝m＋，求实数m的值．
7.
如图所示，P是△ABC内一点，且满足条件＋2＋3＝0，设Q为CP延长线与AB的交点，令＝p，用p表示.
【延伸探究】
已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+++=4
A
B
P
O
F
E
D
C
B
Awww.
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（二）
【学习目标】
1.理解正、余弦函数在一个周期上的单调性，从而归纳正余弦函数的单调性；
2.会求正、余弦函数在给定区间上的单调性，会用单调性比较函数值的大小.
预习课本P37---40页的内容，完成下列问题
【新知自学】
知识回顾：
1.周期函数定义：一般地，对于函数f
(x)，如果存在一个___________，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：____________，那么函数f
(x)就叫做_________，非零常数T叫做这个函数的_______.
在周期函数的所有的周期中，如果存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做这个周期函数都有最小正周期
2.奇偶性：正弦函数是________函数，余弦函数是________函数
正弦函数关于每一个点________成中心对称；关于每一条直线________成轴对称；
余弦函数关于每一个点________成中心对称；关于每一条直线________成轴对称；
新知梳理：
1.由正余弦函数的图象可以看出：
正弦函数y=sinx在每一个区间___________上都是增函数，在每一个区间___________上都是减函数；其中
余弦函数y=cosx在每一个区间___________上都是增函数，在每一个区间___________上都是减函数；其中
2.
最值：
正弦函数y=sinx当且仅当x=_______时，y取最大值1，当且仅当x=_______时，y取最小值______.
余弦函数y=cosx当且仅当x=_______时，y取最大值1，当且仅当x=_______时，y取最小值______.
3.三角函数的值域
正弦函数y=sinx的值域：
余弦函数y=cosx的值域：
对点练习：
1.
给出的下列函数中在上是增函数的是（
）
A、
B、
C、
D、
2.函数y=1-3cosx的最大值是_______，最小值是________；其中取得最大值时的自变量x的集合是_______________.
3.
函数的最小正周期和最大值分别为（
）
A.，
B.，
C.，
D.，
4.把从小到大排列起来为________________
【合作探究】
典例精析：
题型一：三角函数的单调性
例1.
求函数y=sin(2x-)的单调增区间.
变式1.求函数的单调递减区间.
题型二：有关三角函数的最值
例2.求函数f(x)=-3sin(2x-)的最值，并求函数取得最值时自变量x的取值的集合．
变式练习2：已知函数的定义域为，函数的最大值为，最小值为，求的值
例3．求下列函数的值域
（1）
（2）
（3）
【课堂小结】
【当堂达标】
1.函数y=sinx,的值域是（
）
A.
B.[,1]
C.[,]
D.
[,1]
2.
已知f(x)=sinx，则以下不等式正确的是(
)
A．f(3)>f(1)>f(2)
B．f(1)>f(2)>f(3)
C．f(3)>f(2)>f(1)
D．f(1)>f(3)>f(2)
3.
.函数的单调递增区间是（
）
A.
B.
C.
D.
4.在下列各区间中，是函数的单调递增区间的是(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
5.求函数（）的最值,并求函数取得最值时自变量x的取值的集合．
【课时作业】
1．已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，则下列各式中符合条件的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
2．函数的一个单调增区间是（
）
A.
B.
C.
D.
3、设和分别表示函数的最大值和最小值，则等于
（
）
A．
B．
C．
D．
4．函数y＝cosx和y＝sinx都是增函数的区间是(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
5．下列不等式成立的是(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
6．函数，则y的取值范围是(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
7．在
(0,2π)
内，使
sinx>cosx
成立的x取值范围是______________.
8．已知y=2sin(2x+),（1）求函数的单调递减区间；（2）求时函数的值域.
9.已知关于的函数
，的一条对称轴是
(Ⅰ)
求的值；
(Ⅱ)
求使成立的的取值集合.
【延伸探究】
1.求函数y=sin2x
-
4cosx
+
3的最值.
2．已知函数，求：
（1）函数y的最大值，最小值及最小正周期；
（2）函数y的单调递增区间www.
1.5.2
函数的图象与性质（2）
【学习目标】
1.熟练掌握由到的图象的变换过程.
2.根据三角函数的图象给出的条件求函数解析式.
（预习教材P53~
P56，找出疑惑之处）
【新知自学】
知识回顾：
1.把y=sinx图象向
（>0)或向
(个单位，得到y=sin(x+)的图象；再将得到图象上各点横坐标变为原来的
倍，得到y=sin()(>0)的图象；再把得到图象上各点的纵坐标变为原来的
倍，得到y=Asin()(A>0，>0)
的图象。
2.考虑按→→A的顺序，如何进行图像变换？
探索新知：
1.y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中A、、的物理意义：
A叫振幅，决定图象最高(低)点的位置；叫相位，叫初相，影响图象的零值点；影响其周期，T=．通常情况下：A>0，>0，可正可负，也可为O．
2.图象的对称性:函数y=Asin()(A>0，>0)的图象具有轴对称和中心对称，具体如下：
(1)函数y=Asin()的图象关于每一条直线成轴对称图形.
（2)函数y=Asin()的图象关于点(，0)(其中()，成中心对称图形．
3、对点练习：
（1）将函数y＝sin
x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为________．
（2）把y＝sin
x图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到的图象对应的函数解析式为________．
（3）函数y＝2sin(＋)的周期、振幅依次是________、________.
【合作探究】
典例精析：
题型一：函数y=Asin()的性质
例1.
已知函数f(x)＝sin(2x＋)＋，
(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调增区间；
(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；
(3)求f(x)的最小值及取得最小值时的x的取值集合．
变式1：函数y＝6sin(x－)的振幅是________，周期是________，频率是________，初相是________，图象最高点的坐标是________．
题型二：求函数y=Asin()得解析式
例2，如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象的一部分，求此函数的解析式．
变式2：若函数
的最小值为-2，周期为，且它的图象过点（0，），求此函数的表达式。
规律总结：由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值。
(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|；(2)通过求周期T来确定ω，相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T；(3)从寻找“五点法”中的第一零点(也叫初始点)作为突破口．
【课堂小结】
【当堂达标】
1、函数(>0，||<，x∈R)的部分图象如图所示，则函数表达式为(
)．
(A)y=-4sin(x+)
(B)y=4sin(x-)
(C)y=4sin(x-)
(D)y=4sin(x+)
2.已知函数（A>0，>0，0<）的两个邻近的最值点为（）和（），则这个函数的解析式为_________.
3．设函数在同一周期内，当时，y有最大值为；当，y有最小值。求此函数解析式.
【课时作业】
1、已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则( )
A．ω＝1，φ＝
B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝2，φ＝
D．ω＝2，φ＝－
2.将函数的图象沿x轴向右平移，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与的图象相同，则是(
)
（A
）
（
B
）
（C
）
（
D
）
3.已知如图是函数的图象，那么（
）
A
B
C
D
4、函数y＝sin
2x的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x＝对称，则φ的最小值是________．
5、关于f(x)＝4sin
(x∈R)，有下列命题：①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos；③y＝f(x)图象关于对称；
④y＝f(x)图象关于x＝－对称．其中正确命题的序号为______(将你认为正确的都填上)．
6、已知函数图象的一个最高点（2，3）与这个最高点相邻的最低点为（8，-3），求该函数的解析式.
7、函数
的最小值为-2，其图象相邻的最高点和最低点横坐标差是,又图象过点（0，1），求这个函数的解析式.
8、用五点法作出函数y＝2sin(x－)＋3的图象，并指出它的周期、频率、相位、初相及最值．
【延伸探究】
已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)
(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．www.
3．2．2三角恒等变换---化简、求值、应用
编审：周彦
魏国庆
【学习目标】
1．能够进行基本的三角函数式的化简、求值，初步掌握三角变换的内容、思路和方法。并应用三角变换解决某些实际问题。
2．进一步认识三角变换的特点，提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力，提高解题中化简、推理、运算能力。
【新知自学】
知识回顾：
1、三角变换的基本特点：①注意式子的结构特征；②注意角之间的变换。
2、同角三角函数基本关系式，诱导公式，两角和差倍角公式。
新知梳理：
1、化简要求：
(1)能求出值的就求出值；
(2)使三角函数种数尽量少；
(3)使项数尽量少；
(4)尽量使分母不含三角函数；
(5)尽量使被开方数不含三角函数．
2．化简常用方法：
(1)能直接使用公式时就用公式(包括正用、逆用、变形用)；
(2)常用切化弦、异名化同名、异角化同角等．
3、化简常用技巧：
、
(1)注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；
(2)注意利用代数上的一些恒等变形法则和分数的基本性质；
(3)注意利用角与角之间隐含关系；
(4)注意利用“1”的恒等变形．
4．灵活运用角的变形和公式变形，如2=(+)+(-)，
tan±tan=tan(±)(1tantan)等．
5．要重视角的范围对三角函数值的影响，因此要注意角的范围的讨论．
6．形如y=asinx+bcosx的函数转化为形如y=Asin()的函数，使问题得到简化．
对点练习：
1、已知cos-cos=，sin-sin=，则cos(-)=
．
2、设－3π＜α＜－，化简．
【合作探究】
典例精析：
例1、已知sin()=，0<<，
求的值．
变式练习：已知-(1)求sinx-cosx的值；
(2)求的值．
例2、．已知函数f(x)＝sin(2x－)＋2sin2(x－)(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
规律总结：利用asinx+bcosx=Asin(ωx+φ)的变化，将多个三角函数的和差转化为一个三角函数值的形式，方便研究其有关性质．
变式练习：求函数
的最小值，并求其单调区间。
例3、课本（例4），对于实际应用问题，适当的选择变量，方便问题的求解。
规律总结：运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。
【课堂小结】
知识、方法、思想
【当堂达标】
1、已知sin-cos=sincos，则sin2的值为(
)．
(A)-l
(B)l-
(c)2-2
(D)
2-2
2、已知α为钝角、β为锐角且sinα=，sinβ=，则的值为____________．
3、已知函数f(x)=2asinxcosx+2bcosx，且f(0)=8,f()=12．
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值．
【课时作业】
1、在△ABC中，若sinAsinB=cos2，则△ABC是（
）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．不等边三角形
D．直角三角形
2、已知为第三象限角，且sin(-)cos-cos(-)sin=,则的值为(
)．
(A)2
(B)
(C)
或2
(D)1或3
3、在ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=l，则C的大小是(
)．
(A)
(B)
(c)
或
(D)
或
4、若π＜α＜π，sin2α=－，求tan________________
5、化简．
6、求的值．
7、已知、为锐角，tan=,sin=，求+2的值．
8、已知、∈(0，)，且sin=sincos(+)．
(1)求证：tan=；
(2)将tan表示成tan的函数关系式；
(3)求tan的最大值，并求当tan取得最大值时tan(+)的值．
【延伸探究】
已知sinα=，sin（α+β）=，α与β均为锐角，求．www.
1.2.1任意角的三角函数
（第一课时）
【学习目标】
1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，会用定义求任意角的三角函数值；
2.
会用三角函数值的符号解决问题；
3.
掌握并能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一些问题.
【新知自学】
知识回顾：
1.
弧度制的定义
长度等于__________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，
2．弧度数的求法
一个半径为的圆的圆心角所对的弧长是,那么角的弧度数的绝对值是：________.的正负由
__决定.
正角的弧度数是一个
，负角的弧度数是一个
，零角的弧度数是
.
3．角度与弧度的换算
（1）3600=________；
（2）________=；
新知梳理：
1.
三角函数定义
在直角坐标系中，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么：
(1)______叫做的正弦，记作_______，即________；
（2）_______叫做的余弦，记作_______，即_________；
（3）_______叫做的正切，记作_______，即_________.
推广：终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(x,y)，它与原点的距离为r,那么
sin=____
；
cos=___
____,
tan=____
_
__.
（三角函数值的大小与P点的位置有关吗？）
2．三角函数的符号
(1)正弦值对于第一、二象限为____（y>0,r>0），对于第三、四象限为____(y<0,r>0)
(2)余弦值对于第一、四象限为_____(x>0,r>0),对于第二、三象限为___
(x<0,r>0)
(3)正切值对于第一、三象限为____（x,y同号），对于第二、四象限为____（x,y异号）．
记忆口诀：
“第一象限全为正，第二象限正弦正，
第三象限是正切，余弦就在四象正”
对点练习：
1、下列选项中错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
2、已知角终边上一点，求角的正弦、余弦和正切值。
【合作探究】
典例精析：
题型一：利用三角函数的定义求三角函数值
例1.求的正弦、余弦、正切.
变式练习（1）：
利用三角函数的定义求、的三个三角函数值
例2.已知角的终边经过点,求角的正弦、余弦和正切值.
变式练习（2）已知角α的终边经过点
变式练习（3）已知角α的终边在直线上，求.
题型二：三角函数的符号规律的应用
例3.求证：当右边不等式组成立时，角为第二象限角.反之也对.
变式练习：
（1）已知且则是（
）
A．第一象限的角
B．第二象限的角
C．第三象限的角
D．第四象限的角
（2）若为锐角，k·180°＋所在的象限是____________．
【课堂小结】
【当堂达标】
1．若，且α的终边经过点，则点的横坐标是（
）
A.
B.
C.
D.
2．代数式的值是（
）
A.大于0
B.小于0
C.大于或等于0
D.小于或等于0
3.
若角α的终边过点P(5，－12)，则sin
α＋cos
α＝________.
4、设点P在角的终边上，且，求cos和tan的值
【课时作业】
1、角α的终边上有一点P（a，a），a∈R，a≠0，则sinα的值是(
)
A.
B.-
C.或-
D.1
2、（
）
A．正值
B．负值
C．大于等于0
D．不能确定
3、已知角为第二象限角，则为（ ）
A．正值
B．负值
C．可正可负
D．不能确定
4、已知角终边上一点
A．４
B．－４
C．
D．不确定
5.已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第______象限．
6．sin2·cos4·tan6与0的大小关系为_____________.
(填>，<，≥，≤)
7．求下列各式的值：
（1）
(2)；
（3）tan.
8．若角α的终边经过P(－3，b)，且cos
α＝－，判断角α所在的象限，并求sin
α、tanα的值.
【延伸探究】
9.
已知角α的终边经过点P(x,－2)，且cos
α＝，求sin
α和tan
α.
y
函
余
正
切
x
owww.
3.1
两角和与差的三角函数
小结
编审：周彦
魏国庆
【学习目标】
1.
熟练掌握和应用两角和的三角函数公式；
2.
初步学会进行有关三角函数的化简、求值和证明。
【新知自学】
知识梳理：
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；
cos(α β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β；
tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin
2α＝2sin_αcos_α；
cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan
2α＝.
3．有关公式的逆用、变形等
(1)tan
α±tan
β＝tan(α±β)(1 tan_αtan_β)；
(2)cos2α＝，sin2α＝；
(3)1＋sin
2α＝(sin
α＋cos
α)2,1－sin
2α＝(sin
α－cos
α)2，
sin
α±cos
α＝sin.
感悟：
1．拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；
α＝(α＋β)－β；β＝－；
＝－.
2.三个变换
(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．
(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．
(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．
对点练习：
1．已知tan＝3，则tan
α的值为( )．
A．
B．－
C．
D．－
2．
＝( )．
A．－
B．－
C．
D．
3．已知cos
α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，则cos(α－β)的值等于( )．
A．－
B．
C．－
D．
4．已知cos
α＝，α是第一象限角，则＝( )．
A．
B．
C．
D．－
5．tan
20°＋tan
40°＋tan
20°
tan
40°＝________.
【合作探究】
典例精析：
考向一 三角函数式的化简
例1．(1)化简(0<θ<π)；
(2)化简·.
规律总结：
(1)把角θ变为入手，合理使用公式．
(2)切化弦，通分，利用公式把非特殊角化为特殊角．
变式练习1：化简下列各式：
(1)
＝________.
(2)＝________.
考向二 三角函数的求值
例2．(1)已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值；
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan
β＝－，求2α－β的值．
规律总结：
(1)拆分角：＝－，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦．
(2)2α－β＝α＋(α－β)；α＝(α－β)＋β.
变式练习2：已知cos
α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，
(1)求tan
2α的值；
(2)求β.
考向三 三角变换的简单应用
例3．已知f(x)＝sin2x－2sin·sin.
(1)若tan
α＝2，求f(α)的值；
(2)若x∈，求f(x)的取值范围．
规律总结：
(1)化简f(x)，由tan
α＝2代入求f(α)；(2)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，求f(x)的取值范围．
变式练习3：【训练3】
(2013·石家庄质检)设函数f(x)＝sin－2cos2.
(1)求y＝f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，求当x∈时，函数y＝g(x)的最大值．
【课堂小结】
【当堂达标】
1、＝( )．
A．2
B．
C．
D．
2．计算的值为( )．
A．－2
B．2
C．－1
D．1
3．若tan＝3，则＝( )．
A．3
B．－3
C．
D．－
4．设α为锐角，若cos＝，则
sin的值为________．
5．已知sin
α＝，α∈，tan
β＝.
(1)求tan
α的值；
(2)求tan(α＋2β)的值．
【课时作业】
1．若tan
α＝lg(10a)，tan
β＝lg，且α＋β＝，则实数a的值为( )．
A．1
B．
C．1或
D．1或10
2．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos等于( )．
A．
B．－
C．
D．－
3．已知cos＝，且α∈，则＝________.
4．方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>2)的两根为tan
A，tan
B，且A，B∈，则A＋B＝________.
5．已知函数f(x)＝cos2－sin
cos
－.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝，求sin
2α的值．
6．已知sin
α＋cos
α＝，α∈，sin＝，β∈.
(1)求sin
2α和tan
2α的值；
(2)求cos(α＋2β)的值．
【延伸探究】
已知函数f(x)＝Acos，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．
