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课后提升作业
二十
几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2016·丽江高二检测)函数f(x)=,则f′(3)等于 ( )
A.
B.0
C.
D.
【解析】选A.因为f′(x)=()′=,
所以f′(3)==.
【规律总结】求函数在某点处导数的方法
函数f(x)在点x0处的导数等于f′(x)在点x=x0处的函数值.在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数,再将x0代入导函数求解,不能先代入后求导.
2.若y=lnx,则其图象在x=2处的切线斜率是 ( )
A.1
B.0
C.2
D.
【解析】选D.因为y′=,
所以当x=2时,y′=,
故图象在x=2处的切线斜率为.
3.已知函数f(x)=x3的切线的斜率等于3,则切线有 ( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.不确定
【解析】选B.因为f′(x)=3x2=3,
解得x=±1.
切点有两个,即可得切线有两条.
【补偿训练】若曲线y=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线4x-y+1=0,则点P0的一个坐标是 ( )
A.(0,-2)
B.(1,1)
C.(-1,-4)
D.(1,4)
【解析】选C.因为y′=3x2+1=4,所以x=±1,
所以y=0或-4,
所以P0的坐标为(1,0)或(-1,-4).
4.给出下列四个导数式:
①(x4)′=4x3;②(2x)′=2xln2;③(lnx)′=-;④′=.
其中正确的导数式共有 ( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
【解析】选A.根据导数的基本公式求导,再判断即可.
①(x4)′=4x3;②(2x)′=2xln2;③(lnx)′=;
④′=-,故①②正确.
【补偿训练】下列各式中正确的是 ( )
A.(lnx)′=x
B.(cosx)′=sinx
C.(sinx)′=cosx
D.(x-8)′=-x-9
【解析】选C.因为(lnx)′=,(cosx)′=-sinx,(x-8)′=-8x-9=-,所以A,B,D均不正确,C正确.
5.(2016·南宁高二检测)质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s=,则质点在t=4时的速度为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.s′=.
当t=4时,s′=·=.
6.函数y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为 ( )
A.e2
B.2e2
C.e2
D.
【解析】选D.因为y′|x=2=e2,
所以切线方程为y-e2=e2(x-2).
当x=0时,y=-e2,
当y=0时,x=1.
故切线与坐标轴围成三角形面积为×|-e2|×1=.
7.(2016·福州高二检测)设函数f(x)=logax,f′(1)=-1,则a= ( )
A.3
B.2
C.
D.e
【解析】选C.因为f′(x)=,
所以f′(1)==-1.
所以lna=-1.所以a=.
8.(2016·宝鸡高二检测)已知直线y=kx是曲线y=ex的切线,则实数k的值
为 ( )
A.
B.-
C.-e
D.e
【解析】选D.设切点为(x0,).y′=ex,
当x=x0时,y′=,
所以过切点的切线方程为y-=(x-x0),
即y=x+(1-x0),
又y=kx是切线,
所以所以
【延伸探究】若将本题中的曲线“y=ex”改为“y=lnx”,则实数k= ( )
A.
B.-
C.-e
D.e
【解析】选A.设切点为(x0,lnx0).y′=,
当x=x0时,y′=,
所以过切点的切线方程为y-lnx0=(x-x0),
即y=x+lnx0-1,
所以所以
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2016·兴义高二检测)设曲线y=xn+1(n∈N
)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lgxn,则a1+a2+…+a99的值为 .
【解析】y′=(n+1)xn,曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),
令y=0,得xn=.
an=lgxn=lg=lgn-lg(n+1),
则a1+a2+…+a99=lg1-lg2+lg2-lg3+…+lg99-lg100=-lg100=-2.
答案:-2
10.(2016·广州高二检测)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=lnx在x=e(e为自然对数的底数)处的切线与直线ax-y+3=0垂直,则实数a的值为 .
【解析】因为y=lnx的导数为y′=,
即曲线y=lnx在x=e处的切线斜率为k=,
由于切线与直线ax-y+3=0垂直,则a·=-1,
解得a=-e.
答案:-e
【补偿训练】函数f(x)=lnx的图象在x=1处的切线方程是 .
【解析】f′(x)=,f′(1)=1,所以切点为(1,0),根据点斜式写出方程:y=x-1.
答案:y=x-1
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.求下列函数的导数.
(1)y=x8. (2)y=. (3)y=.
(4)y=2x. (5)y=log2x. (6)y=cos.
【解题指南】(1)利用幂函数公式求导.(2)转化为幂函数求导.(3)转化为幂函数求导.(4)利用指数函数求导.(5)利用对数函数求导.(6)先化简再求导.
【解析】(1)y′=(x8)′=8x8-1=8x7.
(2)y′=′=(x-4)′=-4x-5.
(3)y′=()′=()′==.
(4)y′=(2x)′=2xln2.
(5)y′=(log2x)′=.
(6)因为y=cos=sinx,
所以y′=(sinx)′=cosx.
【规律总结】
1.公式记忆:对于公式(ax)′=axlna与(logax)′=记忆较难,又易混淆,要注意区分公式的结构特征,既要从纵的方面(lnx)′与(logax)′和(ex)′与(ax)′区分,又要从横的方面(logax)′与(ax)′区分,找出差异记忆公式.
2.求导注意点:
(1)应用导数公式时不需对公式说明,掌握这些公式的基本结构和变化规律直接应用即可.
(2)需要根据所给函数的特征,恰当地选择公式.
(3)对一些函数求导时,要弄清一些函数的内部关系,合理转化后再求导,如y=,y=,可以转化为y=,y=x-3后再求导.
【补偿训练】求下列函数的导数.
(1)y=a2(a为常数).
(2)y=x12.
(3)y=x-5.
(4)y=lgx.
【解析】(1)因为a为常数,所以a2为常数,所以y′=(a2)′=0.
(2)y′=(x12)′=12x11.
(3)y′=(x-5)′=-5x-6=-.
(4)y′=(lgx)′=.
12.(2016·烟台高二检测)求过曲线y=cosx上点P且与在这点的切线垂直的直线方程.
【解析】因为y=cosx,所以y′=-sinx,
曲线在点P处的切线斜率是
y′=-sin=-.
所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为,
所以所求的直线方程为y-=,
即2x-y-+=0.
【误区警示】已知与曲线上某点的切线垂直这一条件具有双重含义:一是所求直线与切线垂直;二是所求直线也过此点.在确定与切线垂直的直线方程时,应注意函数在切点处的导数y′是否为零,当y′=0时切线平行或重合于x轴,过切点P垂直于切线的直线斜率不存在.
【能力挑战题】
已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A,B两点,O是坐标原点,试在抛物线的弧AOB上求一点P,使△ABP的面积最大,并求最大值.
【解题指南】解答本题的关键点是注意到|AB|是定值,通过图形分析使△ABP的面积最大,只需点P到AB的距离最大,即点P是抛物线的平行于AB的切线的切点.
【解析】设P(x0,y0),过点P作与AB平行的直线为l,
如图,
设直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A(x1,y1),B(x2,y2),
联立方程组,得
得x2-12x+16=0,x1+x2=12,x1x2=16,
所以|AB|=|x1-x2|
===10,
要使△ABP的面积最大,只要点P到AB的距离最大,而P点是抛物线的弧AOB上的一点,因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点,
由图知点P在x轴上方,y=,y′=,
由题意知kAB=.所以kl==,即x0=1,
所以y0=1.所以P(1,1).
又点P到直线AB的距离d===,
所以S△PAB=×|AB|·d=×10×=5.
故所求点为P(1,1),△ABP的面积最大值为5.
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课后提升作业
十五
抛物线及其标准方程
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2016·新乡高二检测)设动点C到点M(0,3)的距离比点C到直线y=0的距离大1,则动点C的轨迹是 ( )
A.抛物线
B.双曲线
C.椭圆
D.圆
【解析】选A.由题意,点C到M(0,3)的距离等于点C到直线y=-1的距离,所以点C的轨迹是抛物线.
【补偿训练】(2016·济南高二检测)若动点P与定点F(1,1)和直线3x+y-4=0的距离相等,则动点P的轨迹是 ( )
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线
D.直线
【解析】选D.由于点F(1,1)在直线3x+y-4=0上,故满足条件的动点P的轨迹是一条直线.
2.顶点在原点,焦点是F(0,3)的抛物线标准方程是 ( )
A.y2=21x
B.x2=12y
C.y2=x
D.x2=y
【解析】选B.由=3得p=6,且焦点在y轴正半轴上,故x2=12y.
3.焦点在x轴上,且焦点到准线距离为2的抛物线的标准方程是 ( )
A.y2=4x
B.y2=-4x
C.y2=±2x
D.y2=±4x
【解析】选D.由抛物线标准方程中p的几何意义知p=2,焦点在x轴的抛物线开口向左,y2=-4x;开口向右,y2=4x.
4.抛物线y=ax2的准线方程为y=-1,则实数a的值是 ( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选A.由条件知a≠0,则y=ax2可以变形为x2=y,由于准线是y=-1,可知a>0,抛物线标准方程可设为x2=2py(p>0),2p=,则p=,又由于-=-1,知p=2,所以=2,解得a=,故选A.
【补偿训练】抛物线y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是 ( )
A.
B.
C.|a| D.-
【解析】选B.因为y2=ax,所以p=,即焦点到准线的距离为.
5.(2016·大连高二检测)已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在双曲线-=1上,则抛物线方程为 ( )
A.y2=8x
B.y2=4x
C.y2=2x
D.y2=±8x
【解析】选D.由题意知抛物线的焦点为双曲线-=1的顶点,即为(-2,0)或(2,0),所以抛物线的方程为y2=8x或y2=-8x.
6.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有 ( )
A.|P1F|+|P2F|=|P3F|
B.|P1F|2+|P2F|2=|P3F|2
C.2|P2F|=|P1F|+|P3F|
D.|P2F|2=|P1F|·|P3F|
【解析】选C.因为P1,P2,P3在抛物线上,且2x2=x1+x3,两边同时加上p,
得2=x1++x3+.
即2|P2F|=|P1F|+|P3F|.
7.已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|= ( )
A.2∶
B.1∶2
C.1∶
D.1∶3
【解题指南】利用射线FA的斜率和抛物线的定义求解.
【解析】选C.射线FA的方程为x+2y-2=0(x≥0).
由条件知tanα=,所以sinα=,
由抛物线的定义知|MF|=|MG|,
所以==sinα==.
8.(2016·重庆高二检测)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为 ( )
A.2
B.2
C.2
D.4
【解题指南】由|PF|=4及抛物线的定义求出点P的坐标,进而求出面积.
【解析】选C.抛物线C的准线方程为x=-,焦点F(,0),由|PF|=4及抛物线的定义知,P点的横坐标xP=3,从而yP=±2,
所以=|OF|·|yP|=××2=2.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2016·泰安高二检测)已知动点P到点(3,0)的距离比它到直线x=-2的距离大1,则点P的轨迹方程为________.
【解析】由题意可知点P到(3,0)的距离与它到x=-3的距离相等,故P的轨迹是抛物线,p=6,所以方程为y2=12x.
答案:y2=12x
10.若抛物线y2=-2px(p>0)上有一点M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为10,则点M的坐标为________.
【解析】由抛物线方程y2=-2px(p>0),得其焦点坐标为F,准线方程为x=,设点M到准线的距离为d,则d=|MF|=10,即-(-9)=10,
所以p=2,故抛物线方程为y2=-4x.
将M(-9,y)代入抛物线方程,得y=±6,
所以M(-9,6)或M(-9,-6).
答案:(-9,-6)或(-9,6)
【补偿训练】(2015·皖南八校联考)若抛物线y2=2x上一点M到坐标原点O的距离为,则点M到抛物线焦点的距离为________.
【解析】设M(x,y),则由
得x2+2x-3=0.解得x=1或x=-3(舍).
所以点M到抛物线焦点的距离d=1-=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2016·吉林高二检测)已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
【解题指南】设动圆圆心为M(x,y),半径为r,则由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等,则动圆圆心的轨迹是一条抛物线,其方程易求.
【解析】设动圆圆心为M(x,y),半径为r,
则由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等,
则动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,y=3为准线的一条抛物线,其方程为x2=-12y.
12.(2016·邢台高二检测)如图所示,花坛水池中央有一喷泉,水管O′P=1m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下,若最高点距水面2m,P距抛物线的对称轴1m,则水池的直径至少应设计为多少米 (精确到1m)
【解题指南】以抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴建立平面直角坐标系,则易得P点坐标,再由P在抛物线上求出抛物线方程,再由抛物线方程求出相关点坐标即可获解.
【解析】如图所示,建立平面直角坐标系.设抛物线方程为x2=-2py(p>0).
依题意有P(-1,-1)在此抛物线上,代入得p=.
故得抛物线方程为x2=-y.
又B在抛物线上,将B(x,-2)代入抛物线方程得x=,
即|AB|=,则|O′B|=|O′A|+|AB|=+1,
因此所求水池的直径为2(1+)m,约为5m,
即水池的直径至少应设计为5m.
【补偿训练】某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成,尺寸如图所示,某卡车空车时能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽3米,车与箱共高4.5米,问此车能否通过此隧道 说明理由.
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,
则B(-3,-3),A(3,-3).
设抛物线方程为x2=-2py(p>0),
将B点的坐标代入,得9=-2p·(-3),所以p=,所以抛物线方程为x2=-3y(-3≤y≤0).
因为车与箱共高4.5米,
所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5米.
设抛物线上点D的坐标为(x0,-0.5),D′的坐标为(-x0,-0.5),
则=-3×(-0.5),解得x0=±=±.
所以|DD′|=2|x0|=<3,故此车不能通过隧道.
【能力挑战题】
已知抛物线x2=4y,定点A(12,39),点P是此抛物线上的一动点,F是该抛物线的焦点,求|PA|+|PF|的最小值.
【解析】将x=12代入x2=4y,
得y=36<39.
所以点A(12,39)在抛物线内部,
抛物线的焦点为(0,1),准线l为y=-1.
过P作PB⊥l于点B,
则|PA|+|PF|=|PA|+|PB|,
由图可知,当P,A,B三点共线时,
|PA|+|PB|最小.
所以|PA|+|PB|的最小值为|AB|=39+1=40.
故|PA|+|PF|的最小值为40.
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课后提升作业
一
命 题
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.下列语句中不是命题的是 ( )
A.一个数不是正数就是负数
B.二次函数不是偶函数
C.x>0
D.对于x∈R,总有x2>0
【解析】选C.能判断真假的陈述句是命题,只有x>0无法判断真假,不是命题.
2.(2016·太原高二检测)下列语句不是命题的是 ( )
A.5>8
B.若a是正数,则是正数
C.x∈{-1,0,1,2}
D.正弦函数是奇函数
【解析】选C.A,B,D中语句是陈述句且能判断真假,是命题.而C中,x∈{-1,0,1,2}不能判断真假,故不是命题.
【补偿训练】(2016·潍坊高二检测)“若x2-2x-8<0,则p”为真命题,那么p是
( )
A.{x|-2
B.{x|2C.{x|x>4或x<-2}
D.{x|x>4或x<2}
【解析】选A.解不等式x2-2x-8<0,得不等式的解集为{x|-23.“若x>1,则p”为真命题,那么p不能是 ( )
A.x>-1
B.x>0
C.x>1
D.x>2
【解析】选D.大于1的实数不一定大于2.
4.命题“6的倍数既能被2整除,也能被3整除”的结论是 ( )
A.这个数能被2整除
B.这个数能被3整除
C.这个数既能被2整除,也能被3整除
D.这个数是6的倍数
【解析】选C.命题可改写为:若一个数是6的倍数,则这个数既能被2整除,也能被3整除.
【补偿训练】把命题“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”写为“若p,则q”的形式为__________.
【解析】若一条直线到圆心的距离等于半径,则它是圆的切线.
答案:若一条直线到圆心的距离等于半径,则它是圆的切线
5.(2016·合肥高二检测)设l是直线,α,β是两个不同的平面,则下列为真命题的是 ( )
A.若l∥α,l∥β,则α∥β
B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β
C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥β
D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
【解析】选B.若l∥α,l∥β,
则α∥β或α与β相交,选项A不正确;
若l∥α,过l的平面与平面α交于直线m,则l∥m,
又l⊥β,所以m⊥β,
又mα,从而α⊥β,选项B正确;
若α⊥β,l⊥α,则l∥β或lβ,选项C不正确;
若α⊥β,l∥α,则l⊥β或l∥β或l与β斜交,选项D不正确.
【补偿训练】(2015·烟台高二检测)设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;
②若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;
③设α和β相交于直线l,若α内一条直线垂直于l,则α和β垂直.
上面命题中,真命题的序号为________(写出所有真命题的序号).
【解析】由线面平行及面面平行的判定定理可知,
①②正确;当两平面斜交时,在α内的直线可以与交线垂直,故③不对.
答案:①②
6.(2016·衡水高二检测)给出命题“方程x2+ax+1=0没有实数根”,则使该命题为真命题的a的一个值可以是 ( )
A.4
B.2
C.1
D.-3
【解析】选C.方程无实根时,应满足Δ=a2-4<0.故a=1时适合条件.
7.给定下列命题:①若a>b,则2a>2b;②命题“若a,b是无理数,则a+b是无理数”是真命题;③命题“平行四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”的结论是“这个四边形的对角线垂直”;④直线x=是函数y=sinx图象的一条对称轴;⑤在
△ABC中,若·>0,则△ABC是钝角三角形.
其中为真命题的个数是 ( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
【解析】选B.①是真命题;②当a=,b=-时,a+b=0为有理数,故②为假命题;③中结论应为“这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”.故③为假命题;④是真命题;⑤·=||||cos(π-B)>0,所以cosB<0,所以B为钝角,故⑤为真命题.
8.(2016·重庆高二检测)已知下列命题:
(1)已知平面向量a,b,若a·b=0,则a⊥b.
(2)已知平面向量a,b,若a∥b,则a=λb(λ∈R).
(3)若两个平面同时垂直于一条直线,则这两个平面平行.
(4)若一个几何体的正视图、侧视图、俯视图完全相同,则该几何体是正方体.
其中真命题的个数是 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选A.对于(1),当a,b中有一个为零向量时,a⊥b不成立,故(1)是假命题;对于(2),当b=0,a≠0时,a=λb不成立,故(2)是假命题;(3)为真命题;对于(4),几何体还可以是球,故(4)为假命题.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2016·广州高二检测)判断下列语句,是命题的有________;其中是真命题的有__________.(只填序号)
①等边三角形是等腰三角形吗
②作三角形的一个内角平分线;
③在三角形中,大边对大角,小边对小角;
④若x+y为有理数,则x,y也都是有理数;
⑤x>8.
【解题指南】先根据命题的概念,判断所给语句是否为命题,若是,再判断真假.
【解析】①是疑问句.②是祈使句,①②不是命题.③是真命题.④是假命题.⑤不能判断真假,不是命题.
答案:③④ ③
【拓展延伸】判断语句是否为命题的方法
要判断一个语句是不是命题就要看它是否符合“可以判断真假”这个条件.
一般来说,疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.
数学中的定义、公理、定理等都是命题.
猜想类的,如“每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和(哥德巴赫猜想)”虽然目前不能确定真假,但随着科技发展总能确定其真假.这一类猜想可以作为命题.
10.设y=f(x)是定义在R上的函数,给定下列条件:
(1)y=f(x)为偶函数.
(2)y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
(3)T=2为y=f(x)的一个周期.
如果将上面的(1)(2)(3)中的任意两个作为条件,余下一个作为结论,那么构成的三个命题中,真命题有________个.
【解题指南】先写出相应的命题,然后判断真命题的个数.
【解析】①(1)(2)(3),由(2)知f(x)=f(2-x),
又f(x)=f(-x),所以f(-x)=f(2-x),
所以T=2为y=f(x)的一个周期.
②(1)(3)(2),由(3)知f(x)=f(2+x),
又f(x)=f(-x),所以f(-x)=f(2+x),
所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
③(2)(3)(1),由(2)知f(x)=f(2-x),
所以f(-x)=f(2+x),由(3)知f(x)=f(2+x),
所以f(x)=f(-x),即y=f(x)为偶函数.
答案:3
【延伸探究】若把条件中的“偶函数”改为“奇函数”,“关于直线x=1对称”改为“关于点(1,0)对称”,结论如何
【解析】①(1)(2)(3),由(2)知f(x)=-f(2-x),
又f(x)=-f(-x),所以f(-x)=f(2-x),
所以T=2为y=f(x)的一个周期.
②(1)(3)(2),
由(3)知f(x)=f(2+x),
又f(x)=-f(-x),
所以f(-x)=-f(2+x),
所以y=f(x)的图象关于点(1,0)对称.
③(2)(3)(1),
由(2)知f(x)=-f(2-x),
所以f(-x)=-f(2+x),
由(3)知f(x)=f(2+x),
所以f(x)=-f(-x),即y=f(x)为奇函数.故真命题仍有3个.
【补偿训练】命题:若a>0,则二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包括边界),条件p:__________,结论q:__________,是__________命题.(填“真”或“假”)
【解析】把握命题结构特征分析易得答案,本命题的条件是a>0,结论是二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包括边界),又由a>0可知,直线x+ay-1=0的斜率小于0,截距大于0,把(0,0)代入知原点不在x+ay-1≥0的区域内,故该命题是真命题.
答案:a>0 二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包括边界) 真
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.判断下列命题的真假,并说明理由:
(1)函数y=ax是指数函数.
(2)关于x的方程ax+1=x+2有唯一解.
【解题指南】(1)根据指数函数的定义判断,注意底数的取值范围.
(2)注意对参数进行分类讨论.
【解析】(1)当a>0且a≠1时,函数y=ax是指数函数,所以是假命题.
(2)关于x的方程ax+1=x+2即(a-1)x=1,
当a=1时,方程无解;
当a≠1时,方程有唯一解,所以是假命题.
12.指出下列命题中的条件p和结论q,并判断各命题的真假:
(1)若b2=ac,则a,b,c成等比数列.
(2)正角的正弦值是正数.
(3)函数f(x)=2|x|的图象关于y轴对称.
(4)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
【解析】(1)命题的条件p为“b2=ac”,结论q为“a,b,c成等比数列”,若a=b=0时,a,b,c不成等比数列,所以是假命题.
(2)命题的条件p为“一个角是正角”,结论q为“它的正弦值是正数”,由于
sinπ=0,所以是假命题.
(3)命题的条件p为“f(x)=2|x|”,结论q为“该函数的图象关于y轴对称”.由于f(-x)=f(x)=2|x|,
所以f(x)=2|x|是偶函数,所以函数的图象关于y轴对称,是真命题.
(4)命题的条件p为“两个正数”,结论q为“它们的算术平均数不小于它们的几何平均数”.基本不等式≥(a>0,b>0)一定成立,而表示两个正数的算术平均数,表示两个正数的几何平均数,所以此命题是真命题.
【能力挑战题】
已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0},B={x|x<0}.若A∩B= 是假命题,求实数m的取值范围.
【解析】设全集U={m|Δ=(-4m)2-4(2m+6)≥0}=.
若设方程x2-4mx+2m+6=0的两根分别为x1,x2,当两根均为非负实根时,有
因为关于U的补集是{m|m≤-1},
所以实数m的取值范围是{m|m≤-1}.
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课后提升作业
十
椭圆的简单几何性质
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.椭圆(m+1)x2+my2=1的长轴长是 ( )
A.
B.
C.
D.-
【解析】选C.椭圆方程可简化为+=1,由题意知m>0,所以<,所以a=,所以椭圆的长轴长2a=.
2.已知椭圆C的左、右焦点的坐标分别是(-,0),(,0),离心率是,则椭圆C的方程为 ( )
A.+y2=1
B.x2+=1
C.+=1
D.+=1
【解析】选A.因为=,且c=,
所以a=,b==1,
所以椭圆C的方程为+y2=1.
3.已知椭圆2x2+y2=2的两个焦点为F1,F2,且B为短轴的一个端点,则△F1BF2的外接圆方程为 ( )
A.x2+y2=1
B.(x-1)2+y2=4
C.x2+y2=4
D.x2+(y-1)2=4
【解析】选A.由2x2+y2=2得x2+=1,所以b=1,c=1.F1(0,-1),F2(0,1),取B(1,0),故△F1BF2外接圆方程为x2+y2=1.
4.F,A分别为椭圆的一个焦点和顶点,若椭圆的长轴长是6,且cos∠OFA=,则椭圆的标准方程为 ( )
A.+=1
B.+=1
C.+=1或+=1
D.+=1或+=1
【解析】选D.当焦点在x轴上时,cos∠OFA====.
因为2a=6,所以a=3,c=2,所以b2=a2-c2=9-4=5.
所以椭圆方程为+=1,
同理,当焦点在y轴上时,椭圆方程为+=1.
5.椭圆+=1的离心率为,则k的值为 ( )
A.-21
B.21
C.-或21
D.或21
【解析】选C.当椭圆的焦点在x轴上时,a2=9,b2=4+k,
得c2=5-k.由==,得k=-;
当焦点在y轴上时,a2=4+k,b2=9,得c2=k-5.由==,得k=21.
【误区警示】认真审题,防止丟解
在求椭圆方程或利用方程研究椭圆性质时,一定要注意椭圆的位置是否确定,若没有确定,则应该有两解.
6.(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(
)
【解析】选B.设椭圆的标准方程为=1(a>b>0)，右焦点F(c,0)，则直线l的方程为=1，即bx+cy-bc=0，由题意可知b，又a2=b2+c2，得b2c2=b2a2，所以e=
7.(2016·衡水高二检测)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是 ( )
A.(0,1)
B.
C.
D.
【解析】选C.设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a,b,c,因为·=0,
所以M点的轨迹是以原点O为圆心,半焦距c为半径的圆.
又M点总在椭圆内部,所以该圆内含于椭圆,即c8.椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆M上任一点,且·的最大值的取值范围是[c2,3c2],其中c=,则椭圆M的离心率e的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.设P(x,y),F1(-c,0),F2(c,0),则=(-c-x,-y),=(c-x,-y),
·=x2+y2-c2.又x2+y2可看作P(x,y)到原点的距离的平方,所以(x2+y2)max=a2,所以(·)max=b2,所以c2≤b2=a2-c2≤3c2,即≤e2≤,所以≤e≤.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2016·台州高二检测)若椭圆的两焦点为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,且△PF1F2的最大面积是12,则椭圆的短半轴长为________.
【解析】设P点到x轴的距离为h,则=|F1F2|h,
当P点在y轴上时,h最大,此时最大.
因为|F1F2|=2c=8,所以h=3,即b=3.
答案:3
10.(2016·嘉兴高二检测)已知椭圆+=1的左顶点为A1,右焦点为F2,点P为该椭圆上一动点,则当·取最小值时|+|的取值为__________.
【解析】由已知得a=2,b=,c=1,
所以F2(1,0),A1(-2,0),设P(x,y),
则·=(1-x,-y)·(-2-x,-y)
=(1-x)(-2-x)+y2.
又点P(x,y)在椭圆上,所以y2=3-x2,代入上式,
得·=x2+x+1=(x+2)2.
又x∈[-2,2],
所以当x=-2时,·取得最小值.
所以P(-2,0),求得|+|=3.
答案:3
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.
(1)求椭圆离心率的范围.
(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.
【解析】(1)不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0),
|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.
在△PF1F2中,由余弦定理可知,
4c2=m2+n2-2mncos60°=(m+n)2-3mn
=4a2-3mn≥4a2-3·
=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号).
所以≥,即e≥.
又0(2)由(1)知mn=b2,所以=mnsin60°=b2,
即△PF1F2的面积只与短轴长有关.
12.已知椭圆x2+=1(0【解题指南】根据圆的性质,得圆心P为FC的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点,因此分别算出FC,BC的垂直平分线方程,得到它们的交点,代入直线x+y=0解出b2,即可得出此椭圆的方程.
【解析】设圆心P的坐标为(m,n),因为☉P过点F,B,C三点,所以圆心P既在FC的垂直平分线上,也在BC的垂直平分线上,FC的垂直平分线方程为x=.①
因为BC的中点为,kBC=-b,
所以BC的垂直平分线方程为y-=.②
由①,②联立,得x=,y=,即m=,n=.
因为P(m,n)在直线x+y=0上,所以+=0,
可得(1+b)(b-c)=0,
因为1+b>0,所以b=c,结合b2=1-c2得b2=,
所以椭圆的方程为x2+=1,即x2+2y2=1.
【能力挑战题】
设椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e=,已知点P到这个椭圆上的点的最远距离为,求这个椭圆方程.
【解题指南】先设出椭圆的标准方程,根据离心率得到a,b的关系,再设M(x,y)为椭圆上的点,用两点间距离表示出|PM|,最后利用二次函数知识求解椭圆的标准方程.
【解析】设椭圆方程为+=1(a>b>0),M(x,y)为椭圆上的点,由=得a=2b,|PM|2=x2+=-3+4b2+3(-b≤y≤b),
若0,故矛盾.
若b≥,则当y=-时,4b2+3=7,b2=1,
从而a2=4.所求方程为+y2=1.
【补偿训练】已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2∶.
(1)求椭圆C的方程.
(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点.当||最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.
【解析】(1)由题意知
解得
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)设P(x0,y0),且+=1,
所以||2=(x0-m)2+
=-2mx0+m2+12=-2mx0+m2+12=(x0-4m)2-3m2+12.
所以||2为关于x0的二次函数,开口向上,对称轴为x0=4m.
由题意知,当x0=4时,||2最小,
所以4m≥4,所以m≥1.
又点M(m,0)在椭圆长轴上,所以1≤m≤4.
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课后提升作业
二
四种命题
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2016·重庆高二检测)已知直线l1:x+ay+1=0,直线l2:ax+y+2=0,则命题“若a=1或a=-1,则直线l1与l2平行”的否命题为 ( )
A.若a≠1且a≠-1,则直线l1与l2不平行
B.若a≠1或a≠-1,则直线l1与l2不平行
C.若a=1或a=-1,则直线l1与l2不平行
D.若a≠1或a≠-1,则直线l1与l2平行
【解析】选A.命题“若p,则q”的否命题为“若﹁p,则﹁q”,显然“a=1或a=-1”的否定为“a≠1且a≠-1”,“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”,所以选A.
【举一反三】若本题中条件不变,则原命题的逆命题是__________.
【解析】将原命题中条件与结论交换即可.即逆命题为“若直线l1与l2平行,则a=1或a=-1”.
答案:若直线l1与l2平行,则a=1或a=-1
2.(2016·银川高二检测)命题“若-1A.若x≥1或x≤-1,则x2≥1
B.若x2<1,则-1C.若x2>1,则x>1或x<-1
D.若x2≥1,则x≥1或x≤-1
【解析】选D.若原命题是“若p,则q”,则逆否命题为“若﹁q,则﹁p”,故此命题的逆否命题是“若x2≥1,则x≥1或x≤-1”.
3.(2016·吉林高二检测)命题“若△ABC有一内角为,则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题 ( )
A.与原命题同为假命题
B.与原命题的否命题同为假命题
C.与原命题的逆否命题同为假命题
D.与原命题同为真命题
【解析】选D.原命题显然为真,原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列,则△ABC有一内角为”,它是真命题.
4.下列命题的否命题为“邻补角互补”的是 ( )
A.邻补角不互补
B.互补的两个角是邻补角
C.不是邻补角的两个角不互补
D.不互补的两个角不是邻补角
【解题指南】解答本题只需求命题“邻补角互补”的否命题,因此把所给命题的条件与结论都否定,即为所求.
【解析】选C.“邻补角互补”与“不是邻补角的两个角不互补”互为否命题.
5.“在△ABC中,若∠C=90°,则∠B,∠A全是锐角”的否命题为 ( )
A.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B全不是锐角
B.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不全是锐角
C.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B中必有一个钝角
D.以上均不对
【解析】选B.否命题的条件与结论分别是原命题的条件与结论的否定,故选B.
【误区警示】解答本题易出现选A的错误,导致出现这种错误的原因是混淆了“全是”的否定是“不全是”,而非“全不是”.
6.若命题p的逆命题是q,命题p的逆否命题是r,则q是r的 ( )
A.逆命题
B.否命题
C.逆否命题
D.以上都不正确
【解题指南】设命题p为“若s,则t”的形式,分别写出q,r,再判断q与r条件与结论的关系,从而作出选择.
【解析】选B.设命题p为:“若s,则t”,则命题q为:若t,则s,命题r是:若
﹁t,则﹁s,由此知q为r的否命题.
7.(2016·济南高二检测)已知命题p:已知m≠0,若2a>2b,则am2>bm2,则其否命题为 ( )
A.已知m=0,若2a>2b,则am2>bm2
B.已知m≠0,若2a≤2b,则am2>bm2
C.已知m≠0,若2a>2b,则am2≤bm2
D.已知m≠0,若2a≤2b,则am2≤bm2
【解析】选D.命题p:已知m≠0,
若2a>2b,则am2>bm2,
则其否命题为:已知m≠0,
若2a≤2b,则am2≤bm2.
8.(2016·昆明高二检测)有下列命题:
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;
②“若x>y,则x2>y2”的逆否命题;
③“若x≤3,则x2-x-6>0”的否命题;
④“对顶角相等”的逆命题.
其中真命题的个数是 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.①的否命题为“若x+y≠0,则x,y不互为相反数”为真命题.
②的逆否命题为“若x2≤y2,则x≤y”为假命题,如x=0,y=-1时,02≤(-1)2,但0>-1.
③的否命题为“若x>3,则x2-x-6≤0”,为假命题.
④的逆命题是“相等的角是对顶角”,是假命题.
【拓展延伸】命题的四种形式及其真假的判断
(1)四种形式:写出命题的四种形式,需要确定原命题的条件和结论,交换条件与结论可得到逆命题,否定条件与结论可得到否命题,既交换条件与结论,又否定条件与结论可得到逆否命题.
(2)真假的判断:判断命题的真假时,需要结合命题所含的相关知识点进行推理判断,或用举反例法说明是假命题.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.“若a+是有理数,则a是无理数”的逆否命题为________________________,是________命题.(填“真”或“假”)
【解析】a+是有理数,令a+=b(b为有理数),
则a=b-(b为有理数),所以a是无理数.
所以原命题与逆否命题均为真命题.
答案:若a不是无理数,则a+不是有理数 真
10.(2016·长春高二检测)给定下列命题:
①若a>0,则方程ax2+2x=0有解.
②“等腰三角形都相似”的逆命题;
③“若x-是有理数,则x是无理数”的逆否命题;
④“若a>1且b>1,则a+b>2”的否命题.
其中真命题的序号是________.
【解析】显然①为真,②为假.对于③中,原命题“若x-是有理数,则x是无理数”为假命题,所以其逆否命题为假命题.
对于④中,“若a>1且b>1,则a+b>2”的否命题是“若a≤1或b≤1,则a+b≤2”为假命题.
答案:①
三、解答题
11.(10分)已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”.
(1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论.
(2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.
【解析】(1)逆命题:若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),
则a+b≥0,真命题.
用反证法证明:假设a+b<0,则a<-b,b<-a.
因为f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,
所以f(a)所以f(a)+f(b)这与题设相矛盾.
所以逆命题为真命题.
(2)逆否命题:若f(a)+f(b)因为互为逆否的命题真假性相同,
所以可证明原命题为真命题.
因为a+b≥0,所以a≥-b,b≥-a.
又因为f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,
所以f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),
所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
所以逆否命题为真.
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课后提升作业
三
四种命题间的相互关系
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2016·济南高二检测)一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中 ( )
A.真命题与假命题的个数相同
B.真命题的个数一定是奇数
C.真命题的个数一定是偶数
D.真命题的个数可能是奇数,也可能是偶数
【解析】选C.因为原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假,所以真命题的个数一定是偶数.
2.(2015·烟台高二检测)与命题“若x=3,则x2-2x-3=0”等价的命题是 ( )
A.若x≠3,则x2-2x-3≠0
B.若x=3,则x2-2x-3≠0
C.若x2-2x-3≠0,则x≠3
D.若x2-2x-3≠0,则x=3
【解题指南】只需找其逆否命题即可.
【解析】选C.与其等价的命题为逆否命题:若x2-2x-3≠0,则x≠3.
3.命题“正数a的平方根不等于0”是命题“若一个数a的平方根不等于0,则a是正数”的 ( )
A.逆命题
B.否命题
C.逆否命题
D.否定
【解析】选A.两个命题的条件和结论互换,所以互为逆命题.
4.(2016·吉林高二检测)给出命题:“若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限”.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( )
A.3
B.2
C.1
D.0
【解析】选C.由已知原命题为真命题,则逆否命题为真命题.逆命题为“若函数y=f(x)的图象不过第四象限,则函数y=f(x)是幂函数”,为假命题,如f(x)=3x2.故否命题也为假命题.
5.已知命题“若ab≤0,则a≤0或b≤0”,则下列结论正确的是 ( )
A.真命题,否命题:“若ab>0,则a>0或b>0”
B.真命题,否命题:“若ab>0,则a>0且b>0”
C.假命题,否命题:“若ab>0,则a>0或b>0”
D.假命题,否命题:“若ab>0,则a>0且b>0”
【解析】选B.逆否命题“若a>0且b>0,则ab>0”,显然为真命题,又原命题与逆否命题等价,故原命题为真命题.否命题为“若ab>0,则a>0且b>0”.
6.(2016·石家庄高二检测)已知下列命题:
①“若xy=0,则x=0且y=0”的逆否命题;
②“正方形是菱形”的否命题;
③“若m>2,则不等式x2-2x+m>0的解集为R”.
其中真命题的个数为 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.对①,原命题是假命题,其逆否命题也是假命题;
对②,其否命题是:不是正方形的四边形不是菱形,是假命题;
对③,不等式x2-2x+m>0的解集为R,需满足Δ=4-4m<0,解得m>1.而m>2满足m>1.故只有③是真命题.
7.下列命题中正确的是 ( )
①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;
②“正多边形都相似”的逆命题;
③“若m>0,则x2+x-m=0有实根”的逆否命题;
④“若x-3是无理数,则x是无理数”的逆否命题.
A.①②③④
B.①③④
C.②③④
D.①④
【解析】选B.①中否命题为“若x2+y2=0,则x=y=0”,正确;②中逆命题不正确;③中,Δ=1+4m,当m>0时,Δ>0,原命题正确,故其逆否命题正确;④中原命题正确,故逆否命题正确.
8.若一个命题的逆命题、否命题、逆否命题中有且只有一个是真命题,我们就把这个命题叫做“正向真命题”.给出以下命题:①函数y=x2(x∈R)是偶函数;②若两条直线相交,则它们的倾斜角一定不相等;③α,β,γ为三个不同的平面,若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;④若a·c=b·c,则a=b;⑤若m+n≤2,则m≤1或n≤1.其中是“正向真命题”的序号是 ( )
A.①⑤
B.②③
C.③④
D.②④
【解析】选A.①中命题是真命题,其逆命题为“若一个函数是偶函数,则这个函数是y=x2,是假命题,故它是“正向真命题”;②中命题是真命题,其逆命题为“若两条直线的倾斜角不相等,则它们一定相交”,也是真命题,所以②中命题不是“正向真命题”;③、④中命题都是假命题,所以它们都不是“正向真命题”;
⑤中命题的逆否命题是“若m>1且n>1,则m+n>2”是真命题,而它的否命题是“若m+n>2,则n>1且m>1”,显然不是真命题,所以这个命题是“正向真命题”.综上,是“正向真命题”的序号是①⑤.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题为____________命题,逆命题为__________命题.(填“真”或“假”)
【解析】逆否命题为:a,b都小于1,则a+b<2是真命题,
所以原命题是真命题,逆命题为:若a,b中至少有一个不小于1,则a+b≥2,例如a=3,b=-3满足条件a,b中至少有一个不小于1,但此时a+b=0,故逆命题是假命题.
答案:真 假
10.(2016·郑州高二检测)已知命题“若1【解析】因为原命题与逆否命题的真假性相同,
所以由已知得原命题为真命题.
所以1≤m≤2.
答案:1≤m≤2
三、解答题
11.(10分)
a,b,c为三个人,命题A:“如果b的年龄不是最大的,那么a的年龄最小”和命题B:“如果c的年龄不是最小的,那么a的年龄最大”都是真命题,则a,b,c的年龄的大小顺序是否能确定 请说明理由.
【解析】能确定.理由如下:
显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的,因此应该从它的逆否命题来考虑.
①由命题A为真可知,当b不是最大时,则a是最小的,即若c最大,则a最小,所以c>b>a;而它的逆否命题也为真,即“若a不是最小,则b是最大”为真,所以b>a>c.总之由命题A为真可知:c>b>a或b>a>c.
②同理由命题B为真可知a>c>b或b>a>c.从而可知,b>a>c.所以三个人年龄的大小顺序为b最大,a次之,c最小.
【拓展延伸】感悟等价命题与反证法
本题实质是利用了“两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性”来解题的,即逆否证法.逆否证法实质是利用了命题的等价性,与反证法不同,反证法是通过否定命题的结论,引出矛盾,来肯定命题的.
【能力挑战题】
已知ad-bc=1,求证:a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1.
【证明】假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1,则2a2+2b2+2c2+2d2+2ab+2bc+2cd-2ad-2bc+2ad
=2,
即(a+b)2+(b+c)2+(c+d)2+(a-d)2+2ad-2bc=2,
若(a+b)2+(b+c)2+(c+d)2+(a-d)2=0,则a=b=c=d=0,于是ad-bc<1;
若(a+b)2+(b+c)2+(c+d)2+(a-d)2≠0,
则(a+b)2+(b+c)2+(c+d)2+(a-d)2为正数,所以必有ad-bc<1.
综上,命题“若a2+b2+c2+d2+ab+cd=1,则ad-bc≠1”成立,由原命题与它的逆否命题同真同假,知原命题也成立,从而原命题得证.
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课后提升作业
十七
抛物线方程及性质的应用
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2016·大理高二检测)过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有
( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.0条
【解析】选C.易知过点(0,1),斜率不存在的直线为x=0,满足与抛物线y2=4x只有一个公共点.当斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,再与y2=4x联立整理得k2x2+(2k-4)x+1=0,当k=0时,方程是一次方程,有一个解,满足一个交点;当k≠0时,由Δ=0可得k值有一个,即有一个公共点,所以满足题意的直线有3条.
2.抛物线y2=3x关于直线y=x对称的抛物线方程为 ( )
A.y2=x
B.x2=3y
C.x2=y
D.y2=3x
【解题指南】利用点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x)进行求解.
【解析】选B.因为点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x),所以y2=3x关于y=x对称的抛物线方程为x2=3y.
3.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是 ( )
A.
B.
C.
D.3
【解析】选A.设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为,当m=时,取得最小值为.
【一题多解】选A.设与4x+3y-8=0平行的直线l方程为:4x+3y+m=0,
由消去y得,3x2-4x-m=0,
由Δ=0得,16+12m=0,解得m=-.
所以l的方程为4x+3y-=0.
因此抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是d==.
4.(2016·成都高二检测)抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为 ( )
A.2
B.4
C.6
D.4
【解析】选D.根据题意知,△FPM为等边三角形,
|PF|=|PM|=|FM|,所以PM⊥抛物线的准线.
设P,则M(-1,m),
等边三角形边长为1+,
又由F(1,0),|PM|=|FM|,得1+=,
得m=2,
所以等边三角形的边长为4,其面积为4.
5.(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,点A,B是C的准线与E的两个交点,则= ( )
A.3
B.6
C.9
D.12
【解析】选B.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),
右焦点为(c,0),依题意得解得a=4,
由b2=a2-c2=16-4=12,
所以椭圆E的方程为+=1,
因为抛物线C:y2=8x的准线为x=-2,
将x=-2代入到+=1,
解得A(-2,3),B(-2,-3),故=6.
6.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为 ( )
A.x=1
B.x=-1
C.x=2
D.x=-2
【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得:①-②得,
(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2).
又因为y1+y2=4,所以===k=1,所以p=2.
所以所求抛物线的准线方程为x=-1.
7.(2016·兰州高二检测)斜率为1,过抛物线y=x2的焦点的直线被抛物线所截得的弦长为 ( )
A.8
B.6
C.4
D.10
【解析】选A.设弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),
易知直线方程为y=x+1,
直线方程与抛物线方程联立,消元得:x2-x-1=0,
所以x1+x2=4,x1x2=-4,
所以弦长l==8.
8.(2016·商丘高二检测)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为 ( )
A.
B.
C.1
D.2
【解析】选D.由题意知,抛物线的准线l:y=-1,
过A作AA1⊥l于A1,过B作BB1⊥l于B1,
设弦AB的中点为M,过M作MM1⊥l于M1,
则|MM1|=.
|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点),
即|AF|+|BF|≥6,|AA1|+|BB1|≥6,
2|MM1|≥6,|MM1|≥3,
故M到x轴的距离d≥2.
【拓展延伸】“两看两想”的应用
与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.
【补偿训练】已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( )
A.
B.3
C.
D.
【解析】选A.抛物线y2=2x的焦点为F,准线是l,由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离,因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值,可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值,不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(0,2)的距离.因此所求的最小值等于=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2016·临沂高二检测)直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k=________.
【解析】当k=0时,直线与抛物线有唯一交点,当k≠0时,联立方程消y得:k2x2+4(k-2)x+4=0,
由题意Δ=16(k-2)2-16k2=0,所以k=1.
答案:0或1
10.抛物线y2=x上的点到直线x-2y+3=0的距离最短的点的坐标是________.
【解析】设与直线x-2y+3=0平行的直线方程为x-2y+m=0,与抛物线方程y2=x联立成方程组消去x得y2-2y+m=0,令Δ=(-2)2-4m=0,解得m=1,代入y2-2y+m=0中得y2-2y+1=0,解得y=1,把y=1代入y2=x中,解得x=1,则所求点的坐标是(1,1).
答案:(1,1)
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2016·宁波高二检测)已知抛物线C:y2=4x,F是抛物线C的焦点,过点F的直线l与C相交于A,B两点,O为坐标原点.
(1)如果l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程.
(2)设|FA|=2|BF|,求直线l的方程.
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)因为y2=4x,所以F(1,0),
又因为直线l的斜率为1,
所以直线l的方程为y=x-1,
代入y2=4x,得x2-6x+1=0,
由根与系数的关系得易得AB的中点,
即圆心的坐标为(3,2),
又|AB|=x1+x2+p=8,
所以圆的半径r=4,
所以所求的圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16.
(2)因为|FA|=2|BF|,所以=2,
而=(x1-1,y1),=(1-x2,-y2),
所以
易知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,
则直线l的方程为y=k(x-1),
代入y2=4x,
得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
由根与系数的关系得
因为x1-1=2(1-x2),
所以或所以k=±2,
所以直线l的方程为y=±2(x-1).
【补偿训练】已知顶点在原点,焦点在x轴的负半轴的抛物线截直线y=x+所得的弦长|P1P2|=4,求此抛物线的方程.
【解析】设抛物线方程为y2=-2px(p>0),
把直线方程与抛物线方程联立得消元得x2+(3+2p)x+=0①,
判别式Δ=(3+2p)2-9=4p2+12p>0,
解得p>0或p<-3(舍去),
设P1(x1,y1),P2(x2,y2),
则①中由根与系数的关系得x1+x2=-(3+2p),
x1·x2=,
代入弦长公式得·=4,
解得p=1或p=-4(舍去),
把p=1代入抛物线方程y2=-2px(p>0)中,
得y2=-2x.
综上,所求抛物线方程为y2=-2x.
12.过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y0)(y0≠0)分别作斜率为-k和k的直线l1,
l2,设l1,
l2与抛物线y2=2px交于A,B两点,证明直线AB的斜率为定值.
【证明】设A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去x得
y2-y+-2px0=0,
由根与系数的关系得y0+y1=,
所以y1=-y0.①
同理y0+y2=-,所以y2=--y0.②
由①,②得y1+y2=-2y0,
所以kAB====-,
即直线AB的斜率为定值.
【能力挑战题】
已知抛物线方程为y2=-2px,其准线方程为x=,直线l:y=k(x+1)与抛物线交于A,B两个不同的点,O为坐标原点.
(1)求证:OA⊥OB.
(2)当△OAB的面积等于时,求k的值.
【解析】(1)因为抛物线y2=-2px的准线方程为x=,所以=,得p=,
即抛物线的方程为y2=-x,联立y=k(x+1),
消去x后,整理得:ky2+y-k=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由根与系数的关系得:y1+y2=-,y1y2=-1,
因为A,B两点在抛物线y2=-x上,
所以=-x1,=-x2,·=x1·x2,
所以kOA·kOB=·===-1,
所以OA⊥OB.
(2)设直线l与x轴交于N,由题意可得k≠0,
令y=0,则x=-1,即N(-1,0),
因为S△OAB=S△OAN+S△OBN=|ON|y1+|ON|y2
=×1×|y1-y2|=
==,
所以k=-或k=.
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课后提升作业
五
充要条件
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2015·安徽高考)设p:11,则p是q成立的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由q:2x>20x>0可知:由p能推出q,但由q不能得出p,所以p是q成立的充分不必要条件.
2.(2016·济南高二检测)设α,β∈,那么“α<β”是“tanαA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.在中,函数y=tanx为增函数,所以设α,β∈,那么“α<β”是“tanα3.若非空集合A,B,C满足A∪B=C,且B不是A的子集,则 ( )
A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C.“x∈C”是“x∈A”的充要条件
D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
【解析】选B.由A∪B=C知,x∈Ax∈C,x∈Cx∈A.
所以x∈C是x∈A的必要不充分条件.
4.(2016·石家庄高二检测)设a,b∈R,则“(a-b)a2<0”是“aA.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.因为a,b∈R,则(a-b)a2<0,
所以a由a所以根据充分必要条件的定义可以判断:
a,b∈R,则“(a-b)a2<0”是a5.（2016·北京高考）设a,b是向量，则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的(
)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选D.由|a+b|=|a-b|可得a⊥b.
所以“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条件.
6.(2015·陕西高考)“sinα=cosα”是“cos
2α=0”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.方法一:由cos2α=0得
cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=0,
得sinα=cosα或sinα=-cosα.
所以sinα=cosαcos
2α=0,
即“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件.
方法二:由sinα=cosα,得sin=0,
即α-=kπ,α=kπ+,k∈Z.
而cos
2α=0,得2α=kπ+,α=+,k∈Z.
所以sinα=cosαcos2α=0,即“sinα=cosα”是
“cos2α=0”的充分不必要条件.
【补偿训练】“α=+2kπ(k∈Z)”是“cos2α=”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.因为当α=+2kπ(k∈Z)时,
cos2α=cos=,所以“α=+2kπ(k∈Z)”是“cos
2α=”的充分条件.而当α=-时,cos2α=,但-≠+2kπ(k∈Z),所以“α=+2kπ(k∈Z)”不是“cos2α=”的必要条件.
7．(2016·浙江高考)已知函数f(x)=x2+bx，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由题意知f(x)=x2+bx=，最小值为-
，令t=x2+bx，则f(f(x))=f(t)=t2+bt=
，t≥-当b<0时，f(f(x))的最小值为-，所以“b<0”能推出“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”；当b=0时，f(f(x))=x4的最小值为0，f(x)的最小值也为0，所以“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”不能推出“b<0”.
8.“关于x的不等式x2-2ax+a>0对x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是
( )
A.0B.0≤a≤1
C.0D.a≥1或a≤0
【解析】选B.当关于x的不等式x2-2ax+a>0对x∈R恒成立时,应有Δ=4a2-4a<0,解得0二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2015·杭州高二检测)设m∈N
,一元二次方程x2-4x+m=0有整数根的充要条件是m=________.
【解题指南】先将根用m表示,再用整数等有关概念分析验证.
【解析】x==2±,因为x是整数,
即2±为整数,所以为整数,且m≤4,又m∈N
,取m=1,2,3,4.验证可得m=3,4符合题意,所以m=3,4时可以推出一元二次方程x2-4x+m=0有整数根.
答案:3或4
10.给定空间中的直线l及平面α,条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的______条件.
【解析】“直线l与平面α内无数条直线都垂直”中的“无数条直线”是“一组平行直线”时,不能推出线面垂直;由“直线l与平面α垂直”可以推出“直线l与平面α内无数条直线都垂直”.
答案:必要不充分
【延伸探究】本题条件中的两处“垂直”都变为“平行”,则结论如何
【解析】当直线lα时,不能推出l∥α,不是充分条件;由“直线l与平面α平行”可以推出“直线l与平面α内无数条直线都平行”,所以是必要不充分条件.
三、解答题
11.(10分)(2015·郑州高二检测)(1)是否存在实数m,使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件
(2)是否存在实数m,使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件
【解析】(1)欲使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件,则只要 {x|x<-1或x>3},即只需-≤-1,所以m≥2.
故存在实数m≥2,使2x+m<0是x2-2x-3>0的充分条件.
(2)欲使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件,则只要{x|x<-1或x>3} ,这是不可能的.故不存在实数m,使2x+m<0是x2-2x-3>0的必要条件.
【能力挑战题】
已知数列{an}的前n项和为Sn=(n+1)2+c,探究{an}是等差数列的充要条件.
【解析】当{an}是等差数列时,
因为Sn=(n+1)2+c,所以当n≥2时,Sn-1=n2+c,
所以an=Sn-Sn-1=2n+1,所以an+1-an=2为常数.
又a1=S1=4+c,所以a2-a1=5-(4+c)=1-c,
因为{an}是等差数列,
所以a2-a1=2,所以1-c=2.
所以c=-1,反之,当c=-1时,Sn=n2+2n,
可得an=2n+1(n≥1,n∈N
)为等差数列,
所以{an}为等差数列的充要条件是c=-1.
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课后提升作业
二十五
生活中的优化问题举例
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.用长为24m的钢筋做成一个长方体框架,若这个长方体框架的底面为正方形,则这个长方体体积的最大值为 ( )
A.8m3
B.12m3
C.16m3
D.24m3
【解析】选A.设长方体的底面边长为xm,
则高为(6-2x)m,
所以0V′=12x-6x2,
令V′=0得x=2或x=0(舍),
所以当x∈(0,2)时,V是增函数,
当x∈(2,3)时,V是减函数,
所以当x=2时,Vmax=4×2=8(m3).
2.某工厂需要建一个面积为512m2的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,则要使砌墙所用材料最省,则堆料场的长和宽各为 ( )
A.16
m,16
m
B.32
m,16
m
C.32
m,8
m
D.16
m,8
m
【解析】选B.如图所示,
设场地一边长为xm,则另一边长为m.因此新墙总长度L=2x+(x>0),
L′=2-.令L′=0,得x=16或x=-16(舍去).
因为L在(0,+∞)上只有一个极值点,
所以它必是最小值点.因为x=16,所以=32.
故当堆料场的宽为16m,长为32m时,可使砌墙所用的材料最省.
【拓展延伸】求几何体面积或体积的最值问题的关键:
1.分析几何体的几何特征,根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数,
2.再用导数求最值.
3.某银行准备新设一种定期存款业务,经预算,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k>0).已知贷款的利率为0.0486,且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x,x∈(0,0.0486),若使银行获得最大收益,则x的取值
为 ( )
A.0.016
2
B.0.032
4
C.0.024
3
D.0.048
6
【解析】选B.依题意,存款量是kx2,银行支付的利息是kx3,获得的贷款利息是0.0486kx2,其中x∈(0,0.0486).
所以银行的收益是y=0.0486kx2-kx3(0则y′=0.0972kx-3kx2.
令y′=0,得x=0.0324或x=0(舍去).
当00;
当0.0324所以当x=0.0324时,y取得最大值,即当存款利率为0.0324时,银行获得最大收益.
4.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则其高应
为 ( )
A.cm
B.100cm
C.20cm
D.cm
【解析】选A.设高为xcm,则底面半径为cm,
所以圆锥体积V=π·(400-x2)·x
=(cm3),V′=,
令V′=0,得x=或x=(舍去),
经判断可得x=(cm)时,V最大.
5.(2016·梅州高二检测)设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时,底面边长为 ( )
A.
B.
C.
D.2
【解析】选C.如图,
设底面边长为x(x>0),则底面积S=x2,
所以h==.
S表=x·×3+x2×2=+x2,
S′表=x-,令S′表=0得x=,
因为S表只有一个极值,故x=为最小值点.
6.把一个周长为12cm的长方形作为一个圆柱的侧面,当圆柱的体积最大时,该圆柱底面周长与高的比为 ( )
A.1∶2
B.1∶π
C.2∶1
D.2∶π
【解析】选C.设圆柱高为x,底面半径为r,
则r=,圆柱体积V=π·x
=(x3-12x2+36x)(0V′=(x-2)(x-6),
当x=2时,V最大.此时底面周长为4,底面周长∶高=
4∶2=2∶1.
7.三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直,OC=2x,OA=x,OB=y,且x+y=3,则三棱锥O-ABC体积的最大值为 ( )
A.4
B.8
C.
D.
【解析】选C.V=×·y===(0V′==2x-x2=x(2-x).
令V′=0,得x=2或x=0(舍去),
所以x=2时,V最大为.
8.(2015·昆明高二检测)某公司生产一种产品,固定成本为20000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x的关系是R(x)=
则当总利润最大时,每年生产产品的单位数
是 ( )
A.150
B.200
C.250
D.300
【解析】选D.因为总利润
p(x)=
当0≤x≤390时,p′(x)=-x2+300,
令p′(x)=0,得x=±300,
当x∈(0,300)时,p′(x)>0,p(x)递增,
当x∈(300,390)时,p′(x)<0,p(x)递减,
所以当x=300时,p(x)有最大值40000元,
当x>390时,p(x)=90090-100x-20000<90090-100×390-20000=31090<40000,
所以当x=300时,总利润最大.
【补偿训练】某厂生产某产品x(万件)的总成本C(x)=1200+x3(万元),已知产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100万件这样的产品单价为50万元,产量定为多少时总利润最大( )
A.23万件
B.25万件
C.50万件
D.75万件
【解析】选B.设单价为a万元,由题意知
a2=且502=,所以k=502×100=25×104,
所以a2=,即a=,
总利润y=a·x-C(x)
=·x-=500×-x3-1200,
y′=250-x2,
令y′=0得x=25,
所以产量定为25万件时总利润最大.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2016·河源高二检测)把长为60cm的铁丝围成矩形,长为 ,宽为
时,矩形的面积最大.
【解析】设长为xcm,则宽为(30-x)cm,
此时S=x·(30-x)=30x-x2,S′=30-2x=0,
所以x=15.所以长为15cm,宽为15cm时,矩形的面积最大.
答案:15cm 15cm
【补偿训练】若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式y=-x3+27x+123(x>0),则获得最大利润时的年产量为 百万件.
【解析】依题意得,y′=-3x2+27=-3(x-3)(x+3),
当00;当x>3时,y′<0.
因此,当x=3时,该商品的年利润最大.
答案:3
10.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比,如果在距离车站10千米处建仓库,y1和y2分别为2万元和8万元.那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 千米处.
【解析】设仓库与车站相距x千米,依题意可设每月土地占用费y1=,每月库存货物的运费y2=k2x,其中x是仓库到车站的距离,k1,k2是比例系数,
于是由2=得k1=20;由8=10k2得k2=.
所以两项费用之和为y=+(x>0),
y′=-+,令y′=0,
得x=5或x=-5(舍去).
当0当x>5时,y′>0.所以当x=5时,y取得极小值,也是最小值.所以当仓库建在离车站5千米处时,两项费用之和最小.
答案:5
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2016·韶关高二检测)已知A,B两地相距200km,一只船从A地逆水行驶到B地,水速为8km/h,船在静水中的速度为vkm/h(8【解析】设每小时的燃料费为y1元,比例系数为k(k>0),则y1=kv2,当v=12时,y1=720,
所以720=k·122,得k=5.
设全程燃料费为y元,
由题意y=y1·=,
所以y′=
=.
令y′=0,得v=16,所以当v0≥16,
v=16km/h时全程燃料费最省,ymin=32000(元);
当v0<16,v∈(8,v0]时,y′<0,
即y在(8,v0]上为减函数,
所以当v=v0时,ymin=(元).
综上,当v0≥16,v=16km/h时,船的实际速度为16-8=8(km/h),此时全程燃料费最省,为32000元;
当v0<16,v=v0时,船的实际速度为(v0-8)km/h,此时全程燃料费最省,为元.
【误区警示】忽视定义域致错
本题在解题过程中容易忽视定义域,误以为v=16时取得最小值.本题的关键是弄清极值点是否在定义域范围内.
12.某种产品每件成本为6元,每件售价为x元(6(1)求年利润y万元关于售价x的函数关系式.
(2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润.
【解析】(1)设-u=k,
因为售价为10元时,年销量为28万件,
所以-28=k,解得k=2.
所以u=-2+
=-2x2+21x+18.
所以y=(-2x2+21x+18)(x-6)
=-2x3+33x2-108x-108(6(2)y′=-6x2+66x-108
=-6(x2-11x+18)=-6(x-2)(x-9).
令y′=0,得x=2(舍去)或x=9,
显然,当x∈(6,9)时,y′>0;
当x∈(9,11)时,y′<0.
所以函数y=-2x3+33x2-108x-108在(6,9)上是递增的,在(9,11)上是递减的.
所以当x=9时,ymax=135,所以售价为9元时,年利润最大,最大年利润为135万元.
【补偿训练】某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x,y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架的总面积为8m2,问:x,y分别是多少时用料最省 (精确到0.001m)
【解析】依题意,有xy+·x·=8,
所以y==-(0于是框架用料长度为
l=2x+2y+2=x+.
l′=+-=0,
解得x1=8-4,x2=4-8(舍去).
当0l′<0;
当8-4l′>0,
所以当x=8-4时,l取得最小值,
此时,x=8-4≈2.343(m),y≈2.829m.
即当x为2.343m,y为2.829m时,用料最省.
【能力挑战题】
请您设计一个帐篷,它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥.试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时,帐篷的体积最大 最大体积是多少
【解题指南】帐篷可看做一个正六棱锥与一个正六棱柱的组合体.
【解析】设OO1为xm,则1由题设可得正六棱锥底面边长为
=.
于是底面正六边形的面积为
6··()2=(8+2x-x2).
帐篷的体积为
V(x)=(8+2x-x2)
=(16+12x-x3).
求导数,得V′(x)=(12-3x2).
令V′(x)=0,解得x=-2(不合题意,舍去),x=2.
当10,V(x)为增函数;
当2所以当x=2时,V(x)最大.所以当OO1为2m时,帐篷的体积最大,最大体积为16m3.
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模块质量评估
(第一至第三章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求)
1.命题“若A B,则A=B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是 ( )
A.0
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.原命题为假,故其逆否命题为假;其逆命题为真,故其否命题为真;故共有2个真命题.
2.若在区间(a,b)内,f′(x)>0,且f(a)≥0,则在(a,b)内有 ( )
A.f(x)>0
B.f(x)<0
C.f(x)=0
D.不能确定
【解析】选A.因为f(x)在(a,b)上为增函数,所以f(x)>f(a)≥0.
3.已知命题p: x∈[-1,2],函数f(x)=x2-x的值大于0.若p∨q是真命题,则命题q可以是 ( )
A. x∈(-1,1),使得cosx<
B.“-3C.x=是曲线f(x)=sin2x+cos2x的一条对称轴
D.若x∈(0,2),则在曲线f(x)=ex(x-2)上任意一点处的切线的斜率不小于-
【解题指南】首先根据题中所给的条件,判断出命题p是假命题,再结合p∨q是真命题从而断定命题q是真命题,下边关于命题q所涉及的知识点比较多,需要逐个去分析,A项需要对余弦函数的性质要熟练掌握,B项利用函数零点存在性定理即可解决,C项将函数解析式化简,利用其性质求得,D项利用导数的几何意义,求导函数的值域即可,所以对学生的要求标准比较高.
【解析】选C.可判断命题p是假命题,若p∨q是真命题,则命题q为真命题,A,B,D均不正确.f(x)=sin2x+cos2x=2sin,则x=是曲线f(x)的一条对称轴.
4.“a>0”是“|a|>0”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.因为|a|>0,所以a>0或a<0,所以a>0 |a|>0,但|a|>0a>0,所以“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件.
5.(2016·长春高二检测)若抛物线的准线方程为x=-7,则抛物线的标准方程
为 ( )
A.x2=-28y
B.x2=28y
C.y2=-28x
D.y2=28x
【解析】选D.由抛物线的准线方程为x=-7,可以得出该抛物线的焦点在x轴上,开口向右,设抛物线标准方程为y2=2px(p>0),则=7,所以p=14,抛物线方程为y2=28x.
【补偿训练】(2016·邯郸高二检测)抛物线的准线方程为y=-4,则抛物线的标准方程为 ( )
A.x2=16y
B.x2=8y
C.y2=16x
D.y2=8x
【解析】选A.由题意可知抛物线的焦点在y轴的正半轴,
设抛物线标准方程为:x2=2py(p>0),
因为抛物线的准线方程为y=-4,
所以-=-4,
所以p=8,
所以抛物线的标准方程为:x2=16y.
6.当a取下列哪个值时,函数f(x)=2x3-9x2+12x-a恰好有两个不同的零
点 ( )
A.8
B.6
C.4
D.2
【解析】选C.f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2),
知函数的极值点为x=1,x=2,且f(1)=5-a,f(2)=4-a,结合选项可知当a=4时,函数f(x)恰好有两个零点.
7.已知命题p:函数f(x)=sinxcosx的最小正周期为π;命题q:函数g(x)=sin的图象关于原点对称.则下列命题中为真命题的是 ( )
A.p∧q
B.p∨q
C. p
D.( p)∨q
【解析】选B.命题p:函数f(x)=sinxcosx=sin2x,最小正周期为T=,故命题p是真命题;
命题q:函数g(x)=sin=cosx,图象关于y轴对称,故命题q为假命题,所以p∨q为真命题.
8.设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c,直线y=(x+c)与椭圆的一个交点为M,若∠MF1F2=2∠MF2F1,则椭圆离心率为 ( )
A.
B.2-
C.
D.-1
【解析】选D.如图所示,直线y=(x+c)的斜率k=,
所以倾斜角α=60°,
因为∠MF1F2=2∠MF2F1,
所以∠MF2F1=30°,
所以∠F1MF2=90°,
设=m,=n,
则有解得e==-1.
【补偿训练】设F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=a上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则椭圆的离心率e为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,
所以=
,
因为P为直线x=a上一点,
所以2=2c,
所以椭圆的离心率为e==.
9.已知函数f(x)=x3-2x2+3m,x∈[0,+∞),若f(x)+5≥0恒成立,则实数m的取值范围是 ( )
A.
B.
C.(-∞,2]
D.(-∞,2)
【解析】选A.f′(x)=x2-4x,
由f′(x)>0,得x>4或x<0.
所以f(x)在(0,4)上单调递减,
在(4,+∞)上单调递增,
所以当x∈[0,+∞)时,f(x)min=f(4).
所以要使f(x)+5≥0恒成立,只需f(4)+5≥0恒成立即可,代入解之得m≥.
【补偿训练】已知f(x)=alnx+x2(a>0),若对任意两个不等的正实数x1,x2都有≥2恒成立,则a的取值范围是 .
【解析】因为f(x)=alnx+x2(a>0),
对任意两个不等的正实数x1,x2都有≥2恒成立,
所以f′(x)=+x≥2(x>0)恒成立,
所以a≥2x-x2恒成立,
令g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1,
则a≥g(x)max,
因为g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1为开口方向向下,对称轴为x=1的抛物线,
所以当x=1时,g(x)=2x-x2取得最大值g(1)=1,
所以a≥1.即a的取值范围是[1,+∞).
答案:[1,+∞)
10.(2016·南昌高二检测)设O为坐标原点,F1,F2是-=1(a>0,b>0)的焦点,若在双曲线上存在点P,满足∠F1PF2=60°,|OP|=a,则该双曲线的渐近线方程
为 ( )
A.x±y=0
B.x±y=0
C.x±y=0
D.x±y=0
【解析】选D.如图所示,因为O是F1F2的中点,
+=,所以(+)2=(2)2.
即||2+||2+2||·||·cos60°=4||2.
又因为|PO|=a,
所以||2+||2+||||=28a2. ①
又由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a,
所以(|PF1|-|PF2|)2=4a2.
即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4a2. ②
由①-②得|PF1|·|PF2|=8a2,
所以|PF1|2+|PF2|2=20a2.
在△F1PF2中,由余弦定理得
cos60°=,
所以8a2=20a2-4c2.即c2=3a2.
又因为c2=a2+b2,所以b2=2a2.
即=2,=.
所以双曲线的渐近线方程为x±y=0.
11.(2015·全国卷Ⅰ)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0,使得f(x0)<0,则a的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.设g(x)=ex(2x-1),y=ax-a,由题意知存在唯一的整数x0,使得g(x0)在直线y=ax-a的下方.因为g′(x)=ex(2x+1),所以当x<-时,g′(x)<0,当x>-时,g′(x)>0,
所以,当x=-时,[g(x)]min=-2.
当x=0时,g(0)=-1,g(1)=e,直线y=ax-a恒过点(1,0),且斜率为a,故-a>g(0)=-1,
且g(-1)=-3e-1≥-a-a,解得≤a<1.
12.已知a,b∈R,直线y=ax+b+与函数f(x)=tanx的图象在x=-处相切,设g(x)=ex+bx2+a,若在区间[1,2]上,不等式m≤g(x)≤m2-2恒成立,则实数
m ( )
A.有最小值-e
B.有最小值e
C.有最大值e
D.有最大值e+1
【解析】选D.注意到函数f(x)=tanx=,
所以f′(x)==,
即得a=f′=2,又点在直线y=ax+b+上,所以-1=2·+b+,得b=-1,
又g(x)=ex-x2+2,所以g′(x)=ex-2x,g″(x)=ex-2,
当x∈[1,2]时,g″(x)≥g″(1)=e-2>0,
所以g′(x)在[1,2]上单调递增,所以g′(x)≥g(1)=e-2>0,
所以g(x)在[1,2]上单调递增,根据不等式恒成立的意义可得
所以m≤-e或e≤m≤e+1,
所以m的最大值为e+1,无最小值.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.若f(x)在(a,b)内存在导数,则“f′(x)<0”是“f(x)在(a,b)内单调递减”的 条件.
【解析】对于导数存在的函数f(x),若f′(x)<0,
则f(x)在区间(a,b)内单调递减,反过来,函数f(x)在(a,b)内单调递减,不一定恒有f′(x)<0,如f(x)=-x3在R上是单调递减的,但f′(x)≤0.
答案:充分不必要
14.已知椭圆+=1的焦距为6,则k的值是 .
【解析】当椭圆的焦点在x轴时,a2=20,b2=k,
所以c2=a2-b2=20-k,所以c=,
因为椭圆+=1的焦距为6,
所以c==3,所以k=11;
当椭圆的焦点在y轴时,a2=k,b2=20,
所以c2=a2-b2=k-20,所以c=,
因为椭圆+=1的焦距为6,
所以c==3,所以k=29.
答案:11或29
【误区警示】焦点的位置
忽视讨论焦点的位置,从而导致漏解,对双曲线与椭圆的题目一定要分清焦点的位置,若不能确定要进行分类讨论.
15.若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱,则它的高为
时,材料最省.
【解题指南】把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题,然后列出所用材料的面积关于边长a的函数关系式.
【解析】设水箱的高度为h,底面边长为a,那么V=a2h=324,则h=,水箱所用材料的面积是S=a2+4ah=a2+,
令S′=2a-=0,
得a3=648,a=6,
所以h===3,
经检验当水箱的高为3时,材料最省.
答案:3
16.下列语句:
①“x2=1”是“x=1”的充分不必要条件;
②“x=2时,x2-3x+2=0”的否命题为真命题;
③命题“ x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“ x∈R,均有x2+x+1<0”;
④命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题.其中说法错误的是 .
【解析】因为当x=1成立时有x2=1成立;
当x2=1时,不一定有x=1,
所以“x2=1”是“x=1”的必要不充分条件,故①错;
“x=2时,x2-3x+2=0”的否命题为“x≠2时,有x2-3x+2≠0”,而x=1时,x2-3x+2=0,故②错;
命题“ x∈R,使得x2+x+1<0”的否定应为:“ x∈R,均有x2+x+1≥0”,故③错误;
命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为“若sinx≠siny,则x≠y”是真命题,故④正确.
答案:①②③
【误区警示】“否命题”与“命题的否定”
如果原命题是“若p则q”,那么这个命题的否命题是“若非p,则非q”,而这个命题的否定是“若p则非q”.可见,否命题既否定条件又否定结论,而命题的否定只否定结论.一个命题与它的否定形式是完全对立的.两者之间有且只有一个成立.“都是”的否定是“不都是”,“不都是”包含“都不是”,“至少有一个”的否定是“一个都没有”,“所有的”的否定是“某些”,“任意”的否定是“某个”,“至多有一个”的否定是“至少有两个”,“至多有n个”的否定是“至少有n+1个”,“任意两个”的否定是“某两个”.“p且q”的形式,其否定应该为“非p或非q”,“p或q”的形式,其否定应该为“非p且非q”.
三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)命题p:方程+=1,(k∈R)表示双曲线,命题q:函数y=log2(kx2+kx+1)的定义域为R,若命题p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数k的取值范围.
【解题指南】首先分别求出命题p,q为真命题时,实数k的取值范围,然后由真值表并结合已知条件命题p,q的关系可得,命题p,q为一真一假,最后根据补集的思想可得出实数k的取值范围.
【解析】命题p:由(k-3)(k+3)<0,得-3命题q:令t=kx2+kx+1,
由t>0对x∈R恒成立.
(1)当k=0时,1>0,所以k=0符合题意.
(2)当k≠0时,
解得
所以q:0≤k<4,
又因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,
所以或
所以-3【补偿训练】命题p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负实数根,命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根.若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求m的取值范围.
【解析】命题p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根,所以
解得m>2.
命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,
所以Δ′=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0,
解得1因为“p或q”为真,“p且q”为假,
所以p为真、q为假或p为假、q为真,
则或
解得m≥3或118.(12分)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P是椭圆短轴的一个端点,且焦距为6,ΔPF1F2的周长为16.
(1)求椭圆C的方程.
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线l被椭圆C所截的线段的中点坐标.
【解题指南】(1)利用椭圆的标准方程及其参数a,b,c的关系即可得出.(2)把直线与椭圆的方程联立,利用根与系数的关系和线段的中点坐标公式即可得出.
【解析】(1)设椭圆的半焦距为c,
则由题设得
解得
所以b2=a2-c2=52-32=16,
故所求C的方程为+=1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y=(x-3),将之代入C的方程,得+=1,
即x2-3x-8=0.
设直线l与椭圆有两个交点A(x1,y1),B(x2,y2),
因为x1+x2=3,所以线段AB中点的横坐标为=,纵坐标为×=-.
故所求线段的中点坐标为.
19.(12分)已知函数f(x)=2lnx-x2+ax(a∈R).
(1)当a=2时,求f(x)的图象在x=1处的切线方程.
(2)若函数g(x)=f(x)-ax+m在[,e]上有两个零点,求实数m的取值范围.
【解析】(1)当a=2时,f(x)=2lnx-x2+2x,
f′(x)=-2x+2,切点坐标为(1,1),
切线的斜率k=f′(1)=2,
则切线方程为y-1=2(x-1),
即y=2x-1.
(2)g(x)=2lnx-x2+m,
则g′(x)=-2x=.
因为x∈,
所以当g′(x)=0时,x=1.
当0;
当1故g(x)在x=1处取得极大值g(1)=m-1.
又g=m-2-,
g(e)=m+2-e2,g(e)-g=4-e2+<0,
则g(e)所以g(x)在上的最小值是g(e).
g(x)在上有两个零点的条件是
解得1所以实数m的取值范围是.
20.(12分)(2016·广州高二检测)某食品厂进行蘑菇的深加工,每公斤蘑菇的成本20元,并且每公斤蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2≤t≤5),设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40),根据市场调查,日销售量q与ex成反比,当每公斤蘑菇的出厂价为30元时,销售量为100公斤.(每日利润=日销售量×(每公斤出厂价-成本价-加工费)).
(1)求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式.
(2)若t=5,当每公斤蘑菇的出厂价x为多少元时,该工厂的每日利润y最大,并求最大值.
【解析】(1)设日销售量q=,则=100,
所以k=100e30,所以日销售量q=,
所以y=(25≤x≤40,2≤t≤5).
(2)当t=5时,y=,y′=.
由y′≥0得x≤26,由y′≤0得x≥26,
所以y在[25,26]上单调递增,在[26,40]上单调递减,
所以当x=26时,ymax=100e4.
当每公斤蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的利润最大,最大值为100e4元.
21.(12分)(2015·北京高考)设函数f(x)=-klnx,k>0.
(1)求f(x)的单调区间和极值.
(2)证明若f(x)有零点,则f(x)在区间(1,)上仅有一个零点.
【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=x-=.
因为k>0,所以令f′(x)=0得x=,列表如下:
x
(0,)
(,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
减区间为(0,),增区间为(,+∞).
当x=时,取得极小值f()=.
(2)当≤1,即0f(1)=,f()=-=>0,所以f(x)在区间(1,)上没有零点.
当1<<,即1f(1)=>0,f()=>0,f()==>0,
此时函数没有零点.
当≥,即k≥e时,f(x)在(1,)上单调递减,f(1)=>0,f()=<0.所以f(x)在区间(1,)上仅有一个零点.
综上,若f(x)有零点,则f(x)在区间(1,)上仅有一个零点.
22.(12分)(2016·银川高二检测)已知椭圆的一个顶点为A(0,-1),焦点在x轴上,离心率为.
(1)求椭圆的方程.
(2)设椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点M,N,当=时,求m的取值范围.
【解题指南】(1)首先设出椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),然后由已知可得a,b,c之间的关系,求解即可.
(2)首先联立直线与椭圆的标准方程,并消去y可得一元二次方程(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,然后由直线与椭圆相交于不同的两点可得其判别式Δ>0,再设M(x1,y1),N(x2,y2),由根与系数的关系可得x1+x2,x1x2的值,即可得出MN的中点P的坐标,并结合已知条件可得等式3k2=2m-1,最后得出m的取值范围即可.
【解析】(1)因为椭圆的焦点在x轴上,
故设椭圆的方程为:+=1(a>b>0),
又椭圆的一个顶点为A(0,-1),离心率为,
所以b=1,e==,即b=1,c=a,
又a2=b2+c2,所以a2=1+a2,
所以a2=3,
所以椭圆的方程为:+y2=1.
(2)联立消y得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,
因为直线与椭圆相交于不同的两点,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
所以Δ=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-3)>0,
得:3k2-m2+1>0,①
所以x1+x2=-,x1x2=,
所以y1+y2=kx1+m+kx2+m
=k(x1+x2)+2m=,
取MN的中点P,则点P,
又=,则AP⊥MN,
所以由直线MN的斜率k≠0知直线AP的斜率必存在,
所以kAP·k=·k=-1,
化简得3k2=2m-1,
代入①式得2m-1-m2+1>0,
所以m2-2m<0,
所以0【补偿训练】(2016·梅州高二检测)如图所示,椭圆C:x2-=1(0(1)若点P的坐标为,求m的值.
(2)若椭圆C上存在点M,使得OP⊥OM,求m的取值范围.
【解题指南】(1)由题意知M是线段AP的中点,由中点坐标公式可得点M坐标,代入椭圆方程即可得到m值.
(2)设M(x0,y0)(-1【解析】(1)依题意,M是线段AP的中点,
因为A(-1,0),P,
所以,点M的坐标为,
由于点M在椭圆C上,
所以+=1,解得m=.
(2)设M(x0,y0)(-1则+=1,①
因为M是线段AP的中点,
所以P(2x0+1,2y0).
因为OP⊥OM,
所以⊥,
所以·=0,
即x0(2x0+1)+2=0.②
由①,②消去y0,整理得m=,
所以m=1+≤-,
当且仅当x0=-2+时,上式等号成立.
所以m的取值范围是.
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课后提升作业
二十二
函数的单调性与导数
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2016·广州高二检测)函数f(x)=x2-lnx的单调递减区间为 ( )
A.(-1,1]
B.(0,1]
C.[1,+∞)
D.(0,+∞)
【解析】选B.由题意知,
函数的定义域为(0,+∞),
又由f′(x)=x-≤0,
解得0所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1].
2.下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是 ( )
A.y=sinx
B.y=xex
C.y=x3-x
D.y=lnx-x
【解析】选B.A中,y′=cosx,
当x>0时,y′的符号不确定;
B中,y′=ex+xex=(x+1)ex,
当x>0时,y′>0,故在(0,+∞)内为增函数;
C中:y′=3x2-1,当x>0时,y′>-1;
D中,y′=-1,当x>0时,y′>-1.
3.下列函数中,在区间(-1,1)上是减函数的是 ( )
A.y=2-3x2
B.y=lnx
C.y=
D.y=sinx
【解析】选C.A中,y′=-6x,
当-10,
当0故函数y=2-3x2在区间(-1,1)上不是减函数,
B中,y=lnx在x≤0处无意义;
C中,y′=-<0对x∈(-1,1)恒成立,
所以函数y=在区间(-1,1)上是减函数;
D中,y′=cosx>0对x∈(-1,1)恒成立,
所以函数y=sinx在(-1,1)上是增函数.
4.(2015·湖南高考)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是 ( )
A.奇函数,且在上是增函数
B.奇函数,且在上是减函数
C.偶函数,且在上是增函数
D.偶函数,且在上是减函数
【解题指南】先判断函数的奇偶性,再判断函数的单调性.
【解析】选A.显然,f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,
又因为f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),
所以f(x)为奇函数,
因为f′(x)=+=,
在(0,1)上f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)上是增函数.
5.设f(x)=x3+ax2+5x+6在区间[1,3]上为单调函数,则实数a的取值范围
为 ( )
A.[-,+∞)
B.(-∞,-3]
C.(-∞,-3]∪[-,+∞)
D.[-,]
【解析】选C.f′(x)=x2+2ax+5,当f(x)在[1,3]上单调递减时,由得a≤-3;
当f(x)在[1,3]上单调递增时,f′(x)≥0恒成立,
则有Δ=4a2-4×5≤0或或
得a∈[-,+∞).
综上a的取值范围为(-∞,-3]∪[-,+∞).
6.(2016·烟台高二检测)设函数f(x)=ax3-x2(a>0)在(0,3)内不单调,则实数a的取值范围是 ( )
A.a>
B.0C.0D.【解题指南】f(x)在(0,3)内不单调,所以f′(x)在(0,3)内有零点.
【解析】选A.因为f(x)=ax3-x2,
所以f′(x)=ax2-2x,
又f(x)=ax3-x2(a>0)在(0,3)内不单调,
所以f′(x)在(0,3)内有零点.
而f′(x)=ax2-2x有零点0,(a>0),
所以0<<3,解得a>.
7.已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)=f(4-x),且当x≠2时,导函数f′(x)满足(x-2)f′(x)>0.若2A.f(2a)B.f(3)C.f(log2a)D.f(log2a)【解析】选C.由(x-2)f′(x)>0可得x>2时f′(x)>0,
所以f(x)在(2,+∞)是增函数.
因为24,2<4-log2a<3,
即2a>3>4-log2a>2,
所以f(4-log2a)又f(x)=f(4-x),所以f(log2a)【补偿训练】对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必
有 ( )
A.f(0)+f(2)<2f(1)
B.f(0)+f(2)≤2f(1)
C.f(0)+f(2)≥2f(1)
D.f(0)+f(2)>2f(1)
【解题指南】首先对x分段讨论,解不等式求出f′(x)的符号,判断出f(x)的单调性,然后利用函数的单调性比较出函数f(0),f(2)与f(1)的大小关系,最后利用不等式的性质即可得出所选的答案.
【解析】选C.因为(x-1)f′(x)≥0,
所以当x>1时,f′(x)>0;
当x<1时,f′(x)<0,所以f(x)在(1,+∞)上为增函数,在(-∞,1)上为减函数,所以f(2)≥f(1),f(0)≥f(1),所以f(0)+f(2)≥2f(1).
8.已知函数f(x)满足:f(x)+2f′(x)>0,那么下列不等式成立的是 ( )
A.f(1)>
B.f(2)<
C.f(1)>f(2)
D.f(0)>e2f(4)
【解析】选A.令g(x)=f(x),
则g′(x)=f(x)+f′(x)
=(f(x)+2f′(x)),因为函数f(x)满足f(x)+2f′(x)>0,所以g′(x)>0,所以函数g(x)在定义域内为增函数,所以g(1)>g(0),所以f(1)>f(0),故f(1)>.
【补偿训练】已知偶函数y=f(x)对于任意的x∈满足f′(x)cosx+
f(x)sinx>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式中成立的有 .
(1)f (2)f>f
(3)f(0) (4)f【解析】因为偶函数y=f(x)对于任意的x∈满足f′(x)cosx+f(x)sinx>0,且
f′(x)cosx+f(x)sinx=f′(x)cosx-f(x)(cosx)′,
所以可构造函数g(x)=,
则g′(x)=>0,
所以g(x)为偶函数且在上单调递增,
所以有g=g==2f,
g=g==f,
g==f.
由函数单调性可知g即f对于(3),g=g=f>g(0)=f(0),所以(3)正确.
答案:(2)(3)(4)
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.若函数f(x)=-x3+x2+2ax在上存在单调递增区间,则a的取值范围是 .
【解析】对f(x)求导,得f′(x)=-x2+x+2a
=-++2a.
当x∈时,f′(x)的最大值为f′=+2a.
令+2a>0,解得a>-.
答案:
10.使y=sinx+ax在R上是增函数的a的取值范围为 .
【解析】因为f′(x)=cosx+a≥0,所以a≥-cosx,
又-1≤cosx≤1,所以a≥1.
答案:[1,+∞)
【误区警示】解答本题易出现以下两种错误
一是认为f′(x)>0,得出a>1;二是由a≥-cosx,得出a≥-1的结论.
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.
(2016·北京高考)设函数f(x)=xea-x+bx，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.
(1)求a，b的值.
(2)求f(x)的单调区间.
【解析】(1)f′(x)=ea-x-xea-x+b，由切线方程可得
解得a=2，b=e.
(2)f(x)=xe2-x+ex，f′(x)=(1-x)e2-x+e.
令g(x)=(1-x)e2-x，则g′(x)=-e2-x-(1-x)e2-x=e2-x(x-2).
令g′(x)=0得x=2.
当x＜2时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；
当x＞2时，g′(x)＞0,g(x)单调递增.所以x=2时，g(x)取得极小值-1，也是最小值.
所以f′(x)=g(x)+e≥e-1＞0.所以f(x)的增区间为(-∞,+∞)，无减区间.
12.(2016·天津高二检测)已知函数f(x)=x3-ax-1.
(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围.
(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减 若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由已知,得f′(x)=3x2-a.
因为f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数,
所以f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,
即a≤3x2对x∈(-∞,+∞)恒成立.
因为3x2≥0,所以只需a≤0.
又a=0时,f′(x)=3x2≥0,f(x)在实数集R上单调递增,所以a≤0.
(2)假设f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,
则a≥3x2在x∈(-1,1)时恒成立.
因为-1当a=3时,在x∈(-1,1)上,f′(x)=3(x2-1)<0,
即f(x)在(-1,1)上为减函数,所以a≥3.
故存在实数a≥3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.
【能力挑战题】
已知函数f(x)=lnx-ax+-1,a∈R.
(1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间.
(2)当0≤a<时,讨论f(x)的单调性.
【解析】(1)当a=-1时,f(x)=lnx+x+-1,x∈(0,+∞),所以f′(x)=,
x∈(0,+∞).
由f′(x)=0,得x=1或x=-2(舍去),
所以当x∈(0,1)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.
故当a=-1时,函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).
(2)因为f(x)=lnx-ax+-1,
所以f′(x)=-a+=-,
x∈(0,+∞).
令g(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+∞).
①当a=0时,g(x)=-x+1,x∈(0,+∞),
当x∈(0,1)时,g(x)>0,此时f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,此时f′(x)>0,函数f(x)单调递增.
②当01>0,
所以当x∈(0,1)时,g(x)>0,此时f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
x∈时,g(x)<0,此时f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
x∈时,g(x)>0,此时f′(x)<0,函数f(x)单调递减.
综上所述,当a=0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;
当0【规律总结】确定单调区间的两个策略
(1)不含参的函数:当f(x)不含参数时,可通过解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)直接得到单调递增(或递减)区间.
(2)含参的函数:讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下,这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论,在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论,在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的,千万不要忽视了定义域的限制.
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课后提升作业
二十一
导数的运算法则
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2016·沈阳高二检测)已知f(x)=x-5+3sinx,则f′(x)等于 ( )
A.-5x-6-3cosx
B.x-6+3cosx
C.-5x-6+3cosx
D.x-6-3cosx
【解析】选C.f′(x)=-5x-6+3cosx.
【补偿训练】函数y=xsinx+的导数是 ( )
A.y=sinx+xcosx+
B.y=sinx-xcosx+
C.y=sinx+xcosx-
D.y=sinx-xcosx-
【解析】选A.因为y=xsinx+,
所以y′=′
=′+′
=x′sinx+x·(sinx)′+
=sinx+xcosx+.
2.(2016·临沂高二检测)已知函数f(x)=x2+cosx,f′(x)是函数f(x)的导函数,则f′(x)的图象大致是 ( )
【解析】选A.因为函数f(x)是偶函数,所以其导函数f′(x)=x-sinx是奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除B,D两项,又因为在原点右侧靠近于原点的区间上,sinx>x,所以f′(x)<0,所以靠近于原点的地方在原点的右侧,图象应该落在第四象限,排除C.
3.下列求导运算正确的是 ( )
A.′=1+
B.′=
C.′=3x·log3e
D.′=-2sinx
【解析】选B.因为′=x′+′=1-,所以A选项错误;
又′=,所以选项B正确;
又′=3xln3,所以选项C错误;
又′=(x2)′cosx+x2(cosx)′
=2xcosx-x2sinx,所以选项D错误.
4.已知曲线y=x2-2上一点P,则过点P的切线的倾斜角为 ( )
A.30°
B.45°
C.135°
D.165°
【解析】选B.由y=x2-2,得y′=x,由导数的几何意义知,曲线上过点P的切线的斜率为y′|x=1=1,因此过点P的切线的倾斜角为45°.
5.(2016·太原高二检测)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=
2xf′(e)+lnx,则f′(e)=( )
A.e-1
B.-1
C.-e-1
D.-e
【解析】选C.因为f(x)=2xf′(e)+lnx,
所以f′(x)=2f′(e)+,
所以f′(e)=2f′(e)+,
解得f′(e)=-=-e-1.
6.(2016·银川高二检测)已知曲线y=-3lnx的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为 ( )
A.3
B.2
C.1
D.
【解题指南】解决本题的关键是掌握导数的几何意义,正确求出导函数.
【解析】选A.定义域为,设切点为,
因为f′=y′=x-,
所以f′=x0-=,
解得x0=3或x0=-2(舍去)
【补偿训练】已知函数f(x)=lnx-ax2在点(2,f(2))处的切线的斜率是-,则a= .
【解析】由题意,得f′(x)=-2ax,则由导数的几何意义,知f′(2)=-4a=-,解得a=.
答案:
【误区警示】(1)“过点A的曲线的切线方程”与“在点A处的曲线的切线方程”是不相同的,后者A必为切点,前者未必是切点.(2)曲线在某点处的切线若有且只有一条,曲线过某点的切线往往不止一条,切线与曲线的公共点不一定只有一个.
7.函数f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,则的最小值是 ( )
A.10
B.9
C.8
D.3
【解析】选B.由题f′(x)=2ax+b,
又f(x)=ax2+bx(a>0,b>0)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,
所以f′(1)=2a+b=2,所以a+=1,
所以=+==++5≥2+5=9,
当且仅当时“=”成立,
所以的最小值是9.
【补偿训练】设点P是曲线y=x3-x+b(b为实常数)上任意一点,P点处切线的倾斜角为α,则α的取值范围是 ( )
A.
B.
C.∪
D.∪
【解析】选D.y=x3-x+b,
所以y′=3x2-≥-,所以切线斜率k≥-,
所以tanα≥-,倾斜角α的范围为
∪.
8.(2016·聊城高二检测)设f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x),f2(x)=
f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N,则f2015(x)= ( )
A.sinx
B.-sinx
C.cosx
D.-cosx
【解析】选D.f1(x)=(sinx)′=cosx,f2(x)=(cosx)′=-sinx,f3(x)=
(-sinx)′=-cosx,f4(x)=(-cosx)′=sinx,f5(x)=(sinx)′=f1(x),
f6(x)=f2(x),…,fn+4(x)=fn(x),可知周期为4.2015=4×503+3,所以f2015(x)=f3(x)=-cosx.
【延伸探究】若将“f0(x)=sinx”改为“f0(x)=sinx+cosx,其他条件不变,则f2015(x)= .
【解析】f1(x)=f0′(x)=cosx-sinx,f2(x)
=(cosx-sinx)′=-sinx-cosx,
f3(x)=-cosx+sinx,f4(x)=sinx+cosx,以此类推,可得出fn(x)=fn+4(x).2015=4×503+3,
所以f2015(x)=f3(x)=-cosx+sinx.
答案:-cosx+sinx
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2016·南宁高二检测)已知函数f(x)=2lnx+8x,则
的值等于 .
【解析】f(x)=2lnx+8x,
所以f′=+8,
=-2
=-2f′=-20.
答案:-20
10.曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程的一般形式为 .
【解析】利用导数的几何意义求切线的斜率,k=y′|x=0=-5,点斜式写出切线方程y+2=-5x,即5x+y+2=0,所以答案应填:5x+y+2=0.
答案:5x+y+2=0
【补偿训练】(2016·南宁高二检测)曲线y=在点(-1,-1)处的切线方程为 .
【解析】由y=f(x)=得f′(-1)=2,所以所求切线的斜率为2,由点斜式可得y+1=2(x+1),整理得2x-y+1=0.
答案:2x-y+1=0
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.求下列函数的导数.
(1)y=(1-).
(2)y=cost(t为常数).
(3)y=.
【解析】(1)y=(1-)=1-+-1
=-,
故y′=′=′-′
=--.
(2)y=cost=cost=cost,
y′=′=cost.
(3)y==+=+,
y′=′=-.
【补偿训练】求下列函数的导数.
(1)y=.(2)y=(2x2-1)(3x+1).
【解题指南】(1)直接运用′=并令f(x)=ex,g(x)=x,分别求出f′(x),g′(x)代入即可得出所求的结果.
(2)直接运用[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x),并令f(x)=2x2-1,g(x)=3x+1,分别代入公式即得出所求的结果.
【解析】(1)y′=′===.
(2)因为y=(2x2-1)(3x+1)
=6x3+2x2-3x-1,
所以y′=(6x3+2x2-3x-1)′
=(6x3)′+(2x2)′-(3x)′-(1)′=18x2+4x-3.
【误区警示】利用积(或商)的导数运算法则时,注意避免以下错误:
①[f(x)g(x)]′=f′(x)g′(x);
②′=;
③′=.
12.已知函数f(x)=lnx,g(x)=x2+a(a为常数),直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切,且直线l与函数f(x)的切点的横坐标为1,求直线l的方程及a的值.
【解题指南】解题时应紧扣已知条件“直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切”,挖掘出“直线l在两个函数的切点处的导数值相同”这一隐含条件.
【解析】由f′(x),故直线l的斜率为1,切点为(1,f(1)),即(1,0).
所以l:y=x-1,①
又因为g′(x)|x=1=1,切点为,
所以l:y-=x-1,即y=x-+a②,
比较①和②得-+a=-1,所以a=-.
直线l的方程为y=x-1.
【一题多解】由f′(x),直线l的斜率为1,切点为(1,f(1)),即(1,0).所以l:y=x-1①,
又因为直线l与g(x)的图象相切,
联立方程组得,
消去y得x2-x+a+1=0.
所以Δ=1-2(a+1)=0,即a=-.
【能力挑战题】
若曲线C1:y=x2与曲线C2:y=aex(a>0)存在公共切线,试求a的取值范围.
【解析】y=x2在点的切线斜率为2x,y=aex在点的切线斜率为aex,如果两个曲线存在公共切线,由图象可知,a值越大,y=aex越靠近y轴,不可能有公切线,a值越小,y=aex越远离y轴,有公切线,只有当x2=aex,2x=aex,即x2=2x,求得x=0或2,x=0时,a=0,x=2时,a=最大,又因为a>0,所以a的取值范围为.
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阶段通关训练(三)
(60分钟 100分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图象可能是 ( )
【解析】选A.加速过程,路程对时间的导数逐渐变大,图象下凸;减速过程,路程对时间的导数逐渐变小,图象上凸,故选A.
2.(2016·枣庄高二检测)若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为 ( )
A.(1,3)
B.(-1,3)
C.(1,0)
D.(-1,0)
【解析】选C.f′(x)=4x3-1,
设P(x0,y0),
则f′(x0)=4-1=3.
所以x0=1,y0=f(1)=1-1=0,
所以点P的坐标为(1,0).
3.当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围
是 ( )
A.[-5,-3]
B.
C.[-6,-2]
D.[-4,-3]
【解析】选C.当x∈(0,1]时,
得a≥-3-4+,
令t=,则t∈[1,+∞),a≥-3t3-4t2+t,
令g(t)=-3t3-4t2+t,t∈[1,+∞),
则g′(t)=-9t2-8t+1=-(t+1)(9t-1),
显然在[1,+∞)上,g′(t)<0,g(t)单调递减,
所以g(t)max=g(1)=-6,因此a≥-6.
同理,当x∈[-2,0)时,
有a≤-3-4+.
令t=,则t<-.
令g(t)=-3t3-4t2+t,则g′(t)=-(t+1)(9t-1),
显然当-10,t<-1时,g′(t)<0,
故g(t)≥g(-1)=-2,得a≤-2.
由以上两种情况得-6≤a≤-2,
显然当x=0时也成立.
故实数a的取值范围为[-6,-2].
4.如图是函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象,则下面判断正确的是 ( )
A.在区间(-2,1)上f(x)是增函数
B.在(1,3)上f(x)是减函数
C.在(4,5)上f(x)是增函数
D.当x=4时,f(x)取极大值
【解析】选C.由导函数y=f′(x)的图象知,f(x)在(-2,1)上先减后增,在(1,3)上先增后减,在(4,5)上单调递增,x=4是f(x)的极小值点,故A,B,D错误.
5.函数y=x2-4x+1在[0,5]上的最大值和最小值依次是 ( )
A.f(5),f(0)
B.f(2),f(0)
C.f(2),f(5)
D.f(5),f(2)
【解析】选D.y′=2(x-2).x=2时,y′=0;x<2时,y′<0;x>2时,y′>0.所以x=2是极小值点,f(2)=-3;又f(0)=1,f(5)=6,故f(5)是最大值,f(2)是最小值.
6.设函数f(x)=x3-12x+b,则下列结论正确的是 ( )
A.函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增
B.函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减
C.若b=-6,则函数f(x)的图象在点处的切线方程为y=10
D.若b=0,则函数f(x)的图象与直线y=10只有一个公共点
【解析】选C.因为f(x)=x3-12x+b,
所以f′(x)=3x2-12,
令f′(x)>0,即3x2-12>0,
所以x<-2或x>2,
所以函数f(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)上为增函数,
令f′(x)<0,即3x2-12<0,
所以-2所以函数f(x)在(-2,2)上为减函数,
所以排除A,B;
当b=-6时,f(x)=x3-12x-6,f(-2)=-8+24-6=10,所以曲线的切点为(-2,10),
因为f′(x)=3x2-12,所以k=f′(-2)=0,
所以y=10,故C正确;
当b=0时,f(x)=x3-12x,
所以f′(x)=3x2-12=0,所以x=±2,
所以函数f(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)上为增函数,在(-2,2)上为减函数,且f(-2)=16,f(2)=-16,
所以函数f(x)的极大值为16,极小值为-16,所以函数f(x)的图象与直线y=10有三个公共点,故D错.
二、填空题(每小题5分,共20分)
7.面积为S的一矩形中,其周长的最小值为 .
【解析】设矩形的一边边长为x,
则另一边边长为,
其周长为l(x)=2x+,x>0,l′(x)=2-,
令l′(x)=0,解得x=,易知,
当x=时,
其周长取最小值,最小值为2+2=4.
答案:4
8.若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为 .
【解析】点P是曲线y=x2-lnx上任意一点,
当过点P的切线和直线y=x-2平行时,
点P到直线y=x-2的距离最小.
直线y=x-2的斜率等于1,
令y=x2-lnx的导数y′=2x-=1可得,
x=1,或x=-(舍去),
故曲线y=x2-lnx上和直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标为(1,1),
点(1,1)到直线y=x-2的距离等于,
故点P到直线y=x-2的最小距离为.
答案:
【补偿训练】若曲线y=上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是 .
【解析】设点P(x0,y0),
因为y′=-,
所以曲线在点P处的切线的斜率为k=-,
又因为切线平行于直线2x+y+1=0,所以-=-2,解得x0=-ln2,
代入y=得y0=2,所以点P(-ln2,2).
答案:(-ln2,2)
【规律总结】
求切点的步骤:
(1)设切点P(x0,f(x0)).
(2)求出函数y=f(x)在点x=x0的导数,即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率.
(3)切点不仅是直线上的一个点,也是曲线上的点,利用这些条件列方程求切点.
9.设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为 .
【解析】若x=0,则不论a取何值,f(x)≥0显然成立;
当x>0时,即x∈(0,1]时,
f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≥-.
令g(x)=-,则g′(x)=,
所以g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.
因此g(x)max=g=4,从而a≥4.
当x<0时,即x∈[-1,0)时,同理a≤-.
g(x)在区间[-1,0)上单调递增,
所以g(x)min=g(-1)=4,
从而a≤4,
综上可知a=4.
答案:4
10.已知函数f(x)=在[1,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围为 .
【解析】f′(x)=
=,
因为f(x)在[1,+∞)上为减函数,
故f′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,
即lna≥1-lnx,
在[1,+∞)上恒成立.
设φ(x)=1-lnx,
φ(x)max=1,
故lna≥1,a≥e.
答案:[e,+∞)
三、解答题(共4小题,共50分)
11.(12分)在岛礁上修建面积为xm2的飞机场需要成本y元,且y是x的函数:y=f(x)=10x2+x.
(1)求当x从50变到60时,成本y关于修建面积x的平均变化率,并解释它的实际意义.
(2)求f′(50),并解释它的实际意义.
【解析】(1)当x从50变到60时,成本y关于修建面积x的平均变化率为
=
=1101(元/m2).
它表示在修建面积从50m2增加到60
m2的过程中,修建面积每增加1m2,成本平均增加1101元.
(2)f′(x)=20x+1,所以f′(50)=1001.
f′(50)表示当修建面积为50m2时,每增加1m2,成本就要增加1001元.
12.(12分)若函数f(x)=ax2+2x+blnx在x=1和x=2时取极值.
(1)求a,b的值.
(2)求在上的最大值和最小值.
【解析】(1)f′(x)=2ax+2+,
所以f′(1)=f′(2)=0.
即解得
(2)由(1)知,f(x)=-x2+2x-lnx,
因为f(x)在x=1和x=2时取极值,
且f(2)=-ln2,f(1)=,
又f=-+1-ln=+ln2,
所以函数f(x)的最小值f(x)min=f(1)=,
最大值f(x)max=f=+ln2.
13.(13分)设函数f(x)=x3+ax2-12x的导函数为f′(x),若f′(x)的图象关于y轴对称.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)求函数f(x)的极值.
【解析】(1)f′(x)=3x2+2ax-12为偶函数,
所以a=0,所以f(x)=x3-12x.
(2)f′(x)=3x2-12,
由f′(x)>0得x<-2或x>2,
由f′(x)<0得-2所以f(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)上是增函数,
在(-2,2)上是减函数,故极小值为f(2)=-16,极大值为f(-2)=16.
14.(13分)(2013·温州模拟)已知函数f(x)=+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.
(1)求a,b的值.
(2)证明:当x>0,且x≠1时,f(x)>.
【解析】(1)f′(x)=-,
由于直线x+2y-3=0的斜率为-,
且过点(1,1),故
即
解得a=1,b=1.
(2)由(1)知f(x)=+,
所以f(x)==,
考虑函数h(x)=2lnx+(x>0),
则h′(x)=-=-.
所以x≠1时h′(x)<0,
而h(1)=0,故当x∈时h(x)>0可得
f(x)>,
x∈时h(x)<0亦可得f(x)>,
从而当x>0,且x≠1时,f(x)>.
【补偿训练】已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间.
(2)当a=-1时,证明:当x∈(1,+∞)时,f(x)+2>0.
【解析】(1)根据题意知,f′(x)=(x>0),
当a>0时,则当x∈(0,1)时,f′(x)>0,
当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,
f(x)的单调递增区间为(0,1),
单调递减区间为(1,+∞);
当a<0时,f(x)的单调递增区间为(1,+∞),
单调递减区间为(0,1);
当a=0时,f(x)=-3,不是单调函数,无单调区间.
(2)当a=-1时,f(x)=-lnx+x-3,
所以f(1)=-2,
由(1)知f(x)=-lnx+x-3在(1,+∞)上单调递增,
所以当x∈(1,+∞)时,f(x)>f(1).
即f(x)>-2,所以f(x)+2>0.
【能力挑战题】求S=1+2x+3x2+4x3+…+nxn-1.
【解析】因为x≠0,1时,x+x2+x3+…+xn
==,两边求导,得:
S=1+2x+3x2+4x3+…+nxn-1
=
=,即为所求.
【规律总结】导数在求和中的应用
本题的常规方法是“错位相减法”,这里构造函数妙用导数,简洁、新颖、自然,毫无斧凿之迹,令人耳目一新!
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课后提升作业
十四
双曲线方程及性质的应用
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.若ab≠0,则ax-y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲线只可能是下图中的 ( )
【解析】选C.方程可化为y=ax+b和+=1.从B,D中的两椭圆看a,b∈(0,+∞),但B中直线有a<0,b<0矛盾,应排除;D中直线有a<0,b>0矛盾,应排除;再看A中双曲线的a<0,b>0,但直线有a>0,b>0,也矛盾,应排除;C中双曲线的a>0,b<0和直线中a,b一致.
2.(2016·德化高二检测)直线y=k(x+)与双曲线-y2=1有且只有一个公共点,则k的不同取值有 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选D.由已知可得,双曲线的渐近线方程为y=±x,顶点(±2,0),而直线恒过(-,0),故有两条与渐近线平行,有两条切线,共4条直线与双曲线有一个交点.
【补偿训练】(2016·天水高二检测)已知双曲线方程为x2-=1,过P(1,0)的直线L与双曲线只有一个公共点,则共有L ( )
A.4条
B.3条
C.2条
D.1条
【解析】选B.因为双曲线方程为x2-=1,所以P(1,0)是双曲线的右顶点,所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线,与双曲线只有一个公共点,另外还有两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线,所以符合要求的共有3条.
【拓展延伸】数形结合思想在研究直线与双曲线问题中的应用
①直线过定点时,根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.
②直线斜率一定时,通过平行移动直线,比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.
3.过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上,则双曲线的离心率为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.如图,不妨设F为右焦点,向渐近线y=x所作垂线的垂足为P,则由题意知|PO|=|PF|,所以∠POF=45°,即=1,所以双曲线的离心率e==.
4.(2016·唐山高二检测)已知双曲线-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其中一条渐近线方程为y=x,点P(,y0)在该双曲线上,则·= ( )
A.-12
B.-2
C.0
D.4
【解析】选C.由已知得,b2=2,c=2,点P为(,±1),左、右焦点坐标分别为(-2,0),(2,0),结合向量的乘法,易知选C.
5.设双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与函数y=x2+1的图象相切,则该双曲线的离心率等于 ( )
A.
B.2
C.
D.
【解析】选C.由双曲线-=1,得双曲线的渐近线方程为y=±x,与y=x2+1联立,得x2±x+1=0.所以Δ=-4=0,则b2=4a2.又c2=a2+b2,所以c2=5a2,则e==.
6.已知曲线-=1与直线x+y-1=0相交于P,Q两点,且·=0(O为原点),则-的值为 ( )
A.1
B.2
C.3
D.
【解析】选B.将y=1-x代入-=1,
得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=.
因为·=x1x2+y1y2
=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1,
所以-+1=0,
即2a+2ab-2a+a-b=0,
即b-a=2ab,
所以-=2.
7.(2015·天津高考)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆+y2=3相切,则双曲线的方程为 ( )
A.-=1
B.-=1
C.-y2=1
D.x2-=1
【解析】选D.由双曲线的渐近线bx-ay=0与圆(x-2)2+y2=3相切可知=,又因为c==2,所以有a=1,b=,故双曲线的方程为x2-=1.
8.斜率为2的直线l与双曲线-=1交于A,B两点,且|AB|=4,则直线l为
( )
A.y=2x+
B.y=2x-
C.y=2x±
D.以上都不对
【解析】选C.设直线l的方程为y=2x+m,代入双曲线方程中得:10x2+12mx+3m2+6=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.
因为|AB|=·=4,
所以·=4,
解得m=±,
所以直线l的方程为y=2x±.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2016·广州高二检测)过点P(-3,0)的直线l与双曲线-=1交于点A,B,设直线l的斜率为k1(k1≠0),弦AB的中点为M,OM的斜率为k2(O为坐标原点),则k1·k2=__________.
【解析】显然直线l的斜率存在.设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
所以-=1,-=1.
两式相减得-=0,
即k1==.
因为M,
所以k2=,所以k1·k2=.
答案:
10.
(2016·北京高考)双曲线=1(a＞0,b＞0)
的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a=
.
【解析】因为正方形OABC的边长为2，所以B(2,0)，渐近线为y=±x.所以c=2,a=b.又因为a2+b2=c2，所以a=b=2.
答案：2
【补偿训练】过双曲线-=1的右焦点的直线被双曲线所截得的弦长为,这样的直线的条数为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【解析】选D.依题意可得右焦点F(5,0),
所以垂直x轴,过F的直线是x=5.
代入-=1,求得y=±,
所以此时弦长=+=.
不是垂直x轴的,如果直线与双曲线有两个交点,则弦长一定比它长,所以这里只有一条,
因为两个顶点距离=4,即左右两支上的点最短是4,所以如果是交于两支的话,弦长不可能为,所以只有1条.
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.焦点在x轴上的双曲线过点P(4,-3),且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,求此双曲线的标准方程.
【解析】因为双曲线焦点在x轴上,所以设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),F1(-c,0),F2(c,0).
因为双曲线过点P(4,-3),所以-=1.
又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,
所以·=0,即-c2+25=0.
所以c2=25.又c2=a2+b2,
所以可得a2=16或a2=50(舍去).
所以b2=9,所以所求的双曲线的标准方程是-=1.
12.(2016·黄石高二检测)已知双曲线3x2-y2=3,直线l过右焦点F2,且倾斜角为45°,与双曲线交于A,B两点,试问A,B两点是否位于双曲线的同一支上 并求弦AB的长.
【解题指南】联立方程后根据两根的符号确定两个交点的位置.
【解析】因为a=1,b=,c=2,
又直线l过点F2(2,0),且斜率k=tan
45°=1,
所以l的方程为y=x-2,
由
消去y并整理得2x2+4x-7=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
因为x1·x2=-<0,
所以A,B两点分别位于双曲线的左、右两支上.
因为x1+x2=-2,x1·x2=-,
所以|AB|=|x1-x2|
=·
=·=6.
【能力挑战题】
设双曲线C:-y2=1(a>0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A,B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围.
(2)若设直线l与y轴的交点为P,且=,求a的值.
【解析】(1)由双曲线C与直线l相交于两个不同的点得有两个不同的解,
消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,
所以
解得-又因为a>0,所以0因为双曲线的离心率e==,
又因为0且e≠.
所以双曲线C的离心率e的取值范围是∪(,+∞).
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1).
因为=,所以(x1,y1-1)=(x2,y2-1),
由此可得x1=x2.因为x1,x2都是方程(1-a2)x2+2a2x-2a2=0的根,
且1-a2≠0,所以x1+x2=,x2=-,
x1x2=,=-,消去x2,
得a2=.又因为a>0,所以a=.
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课后提升作业
九
椭圆及其标准方程
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.设F1,F2为定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则动点M的轨迹是
( )
A.椭圆
B.直线
C.圆
D.线段
【解析】选D.因为|MF1|+|MF2|=6=|F1F2|,所以动点M的轨迹是线段.
2.设椭圆的标准方程为+=1,若其焦点在x轴上,则k的取值范围是
( )
A.k>3
B.3C.4D.3【解析】选C.由题意得k-3>5-k>0,所以43.(2015·广东高考)已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m= ( )
A.2
B.3
C.4
D.9
【解析】选B.因为椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),所以c=4=,
所以m2=9,所以m=3.
4.若椭圆+=1的焦距为6,则m的值为 ( )
A.7
B.7或25
C.25
D.或5
【解析】选B.①设a2=16,b2=m,所以c2=16-m,
所以16-m=9,所以m=7;
②设a2=m,b2=16,则c2=m-16,所以m-16=9,
所以m=25.
【误区警示】忽视焦点位置,导致丟解
椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标准方程中x2和y2项分母的大小,如果x2项的分母大于y2项的分母,则椭圆的焦点在x轴上;反之,焦点在y轴上.由于本题中x2和y2项分母的大小不确定,因此需要进行分类讨论.
5.(2016·成都高二检测)如果椭圆的两个焦点为F1(-1,0)和F2(1,0),P是椭圆上的一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,那么椭圆的方程是 ( )
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
【解析】选C.因为|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,
所以|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,即a=2,c=1,
所以b2=a2-c2=3,因为焦点在x轴上,故选C.
6.已知椭圆+=1的两个焦点F1,F2,M是椭圆上一点,且|MF1|-|MF2|=1,则△MF1F2是 ( )
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等边三角形
【解题指南】利用条件和椭圆的定义解出|MF1|,|MF2|的长度,再判断.
【解析】选B.由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a=4,且已知|MF1|-|MF2|=1,所以|MF1|=,|MF2|=.又|F1F2|=2c=2.所以有|MF1|2=|MF2|2+|F1F2|2.因此∠MF2F1=90°,即△MF1F2为直角三角形.
7.(2016·合肥高二检测)设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2的面积等于 ( )
A.5
B.4
C.3
D.1
【解析】选B.由椭圆方程,得a=3,b=2,c=,
所以|PF1|+|PF2|=2a=6,又|PF1|∶|PF2|=2∶1,
所以|PF1|=4,|PF2|=2,由22+42=(2)2,
可知,△F1PF2是直角三角形,故△F1PF2的面积为
|PF1|·|PF2|=×4×2=4.
【补偿训练】椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=________;∠F1PF2的大小为________.
【解析】由椭圆定义,|PF1|+|PF2|=2a=6,
所以|PF2|=2,
cos∠F1PF2=
==-.
所以∠F1PF2=120°.
答案:2 120°
8.已知椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到x轴的距离为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由·=0,得MF1⊥MF2,
可设=m,=n,在△F1MF2中,
由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,
根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,
所以mn=2b2,即mn=2,
所以=mn=1.
设点M到x轴的距离为h,则:×|F1F2|×h=1,
又|F1F2|=2,所以h=.
【延伸探究】将本题中的椭圆方程改为+=1,其他条件不变,如何解答
【解析】设M到F1,F2的距离分别为r1,r2,则r1+r2=10.
又+=(2c)2=64,
所以(r1+r2)2-2r1r2=64即r1r2=18.令M到x轴的距离为h,
所以r1r2=×2c×h,解得h=.
【拓展延伸】揭秘焦点三角形
椭圆中的焦点三角形问题由于涉及知识面广,探究性强,综合性高,成为椭圆和解三角形、三角函数以及不等式等知识交汇的命题点,是命题的“焦点”.在解决与椭圆有关的焦点三角形问题中,常用到以下结论:
设F1,F2为椭圆焦点,M为椭圆上的点.
(1)|MF1|+|MF2|=2a.
(2)|MF1|·|MF2|≤=a2.
(3)|MF1|·|MF2|=2a2-.
(4)=b2tan(其中∠F1MF2=θ).
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2016·昆明高二检测)已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为________.
【解析】由已知,2a=8,2c=2,所以a=4,c=,所以b2=a2-c2=16-15=1,所以椭圆的标准方程为+x2=1.
答案:+x2=1
10.(2016·衡水高二检测)已知P是椭圆+=1上的一动点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹方程是________.
【解析】依题意,|PF1|+|PF2|=2a(a是常数且a>0).
又|PQ|=|PF2|,所以|PF1|+|PQ|=2a,
即|QF1|=2a.
由题意知,a=2,b=,c===1.
所以|QF1|=4,F1(-1,0),
所以动点Q的轨迹是以F1为圆心,4为半径的圆,
所以动点Q的轨迹方程是(x+1)2+y2=16.
答案:(x+1)2+y2=16
三、解答题
11.(10分)(2016·绵阳高二检测)求满足下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点在y轴上,焦距是4,且经过点M(3,2).
(2)c∶a=5∶13,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
【解析】(1)由焦距是4可得c=2,且焦点坐标为(0,-2),(0,2).
由椭圆的定义知,2a=+=8,所以a=4,所以b2=a2-c2=16-4=12.又焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为+=1.
(2)由题意知,2a=26,即a=13,又c∶a=5∶13,所以c=5,
所以b2=a2-c2=132-52=144,
因为焦点所在的坐标轴不确定,
所以椭圆的标准方程为+=1或+=1.
【补偿训练】1.已知椭圆的焦点在x轴上,且焦距为4,P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.
(1)求椭圆的方程.
(2)若△PF1F2的面积为2,求P点坐标.
【解析】(1)由题意知,2c=4,c=2.
且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,即2a=8,所以a=4.所以b2=a2-c2=16-4=12.又椭圆的焦点在x轴上,
所以椭圆的方程为+=1.
(2)设P点坐标为(x0,y0),
依题意知,|F1F2||y0|=2,
所以|y0|=,y0=±,
代入椭圆方程得+=1,得x0=±2,
所以P点坐标为(2,)或(2,-)或(-2,)或(-2,-).
2.F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,求△AF1F2的面积.
【解析】|F1F2|=2,|AF1|+|AF2|=6,
|AF2|=6-|AF1|,
|AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|·|F1F2|cos45°
=|AF1|2-4|AF1|+8,(6-|AF1|)2
=|AF1|2-4|AF1|+8,|AF1|=,
S=××2×=.
【能力挑战题】
如图,△ABC中底边BC=12,其他两边AB和AC上中线的和为30,求此三角形重心G的轨迹方程,并求顶点A的轨迹方程.
【解析】以BC边所在直线为x轴,BC边中点为原点,建立如图所示坐标系,
则B(6,0),C(-6,0),CE,BD为AB,AC边上的中线,则|BD|+|CE|=30.
由重心性质可知|GB|+|GC|
=(|BD|+|CE|)=20.
因为B,C是两个定点,G点到B,C距离和等于定值20,且20>12,
所以G点的轨迹是椭圆,B,C是椭圆焦点.
所以2c=|BC|=12,c=6,2a=20,a=10,
b2=a2-c2=102-62=64,
故G点的轨迹方程为+=1,去掉(10,0),(-10,0)两点.
又设G(x′,y′),A(x,y),则有+=1.
由重心坐标公式知
故A点轨迹方程为+=1,
即+=1,去掉(-30,0),(30,0)两点.
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课后提升作业
十一
椭圆方程及性质的应用
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:+=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为 ( )
A.1个
B.1个或2个
C.2个
D.0个
【解析】选C.因为直线过定点(3,-1)且+<1,所以点(3,-1)在椭圆的内部,故直线l与椭圆有2个公共点.
【补偿训练】直线y=k(x-2)+1与椭圆+=1的位置关系是 ( )
A.相离
B.相交
C.相切
D.无法判断
【解析】选B.直线y=k(x-2)+1过定点P(2,1),将P(2,1)代入椭圆方程,得+<1,所以P(2,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.
2.椭圆+=1的右焦点到直线y=x的距离是 ( )
A.
B.
C.1
D.
【解析】选B.椭圆的右焦点为F(1,0),由点到直线的距离公式得d==.
3.(2016·长沙高二检测)若直线y=x+与椭圆x2+=1(m>0且m≠1)只有一个公共点,则该椭圆的长轴长为 ( )
A.1
B.
C.2
D.2
【解析】选D.由得(1+m2)x2+2x+6-m2=0,由已知Δ=24-4(1+m2)(6-m2)=0,解得m2=5,所以椭圆的长轴长为2.
【补偿训练】直线y=x+m与椭圆+=1有两个公共点,则m的取值范围是
( )
A.(-5,5)
B.(-12,12)
C.(-13,13)
D.(-15,15)
【解析】选C.联立直线与椭圆方程,由判别式Δ>0,可得-134.(2016·济南高二检测)已知椭圆+=1的上焦点为F,直线x+y-1=0和x+y+1=0与椭圆分别相交于点A,B和C,D,则|AF|+|BF|+|CF|+|DF|= ( )
A.2
B.4
C.4
D.8
【解析】选D.如图,设F1为椭圆的下焦点,两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点,连结AF1,BF1.由椭圆的对称性可知,四边形AFDF1为平行四边形,
所以|AF1|=|FD|,同理|BF1|=|CF|,所以|AF|+|BF|+|CF|+|DF|
=|AF|+|BF|+|BF1|+|AF1|=4a=8.
5.(2016·马鞍山高二检测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B,若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F1F2|,则椭圆C的离心率e= ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.设椭圆C的焦距为2c(c由于直线AB的方程为ay+bx-ab=0,
所以=c,
因为b2=a2-c2,所以3a4-7a2c2+2c4=0,
解得a2=2c2或3a2=c2(舍),所以e=.
6.过点M的直线l与椭圆x2+2y2=2交于A,B两点,设线段AB中点为M,设直线l的斜率为k1(k1≠0).直线OM的斜率为k2,则k1k2的值为 ( )
A.2
B.-2
C.
D.-
【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),
则+2=2,①
+2=2,②
②-①得(x2-x1)(x2+x1)+2(y2-y1)(y2+y1)=0.
即=-,所以k1==-=1,
而k2==-,故k1k2=-.
7.(2016·重庆高二检测)椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M,N两点,过原点与线段MN中点所在直线的斜率为,则的值是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.联立方程组可得
(m+n)x2-2nx+n-1=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点P(x0,y0),
则x0==,
y0=1-x0=1-=.所以kOP===.
8.椭圆+=1上的点到直线x+2y-=0的最大距离是 ( )
A.3
B.
C.2
D.
【解析】选D.设与直线x+2y-=0平行的直线为x+2y+m=0,与椭圆联立得,(-2y-m)2+4y2-16=0,即4y2+4my+4y2-16+m2=0,得2y2+my-4+=0.
Δ=m2-8=0,即-m2+32=0,所以m=±4.所以两直线间距离最大是当m=4时,
dmax==.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2016·天津高二检测)直线l交椭圆+=1于A,B两点,AB的中点为M(2,1),则l的方程为________.
【解析】由点差法求出kAB=-,
所以l的方程为y-1=-(x-2).
化简得:3x+2y-8=0.
答案:3x+2y-8=0
【补偿训练】直线y=x+1被椭圆+=1所截得的线段的中点坐标为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由消去y,得3x2+4x-2=0.设直线与椭圆的交点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,所以y1+y2=x1+x2+2=.所以AB中点的坐标为.
10.(2016·邯郸高二检测)过椭圆+=1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为________.
【解析】由已知可得直线方程为y=2x-2,联立方程得交点坐标,不妨令A(0,-2),
B,所以S△AOB=·|OF|·|yA-yB|=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.
(1)求动点M的轨迹C的方程.
(2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点.若A是PB的中点,求直线m的斜率.
【解题指南】由动点M的坐标,根据已知条件列方程即可;设出直线方程与椭圆方程联立,得出k与x1,x2的关系式,利用中点坐标即可得斜率.
【解析】(1)点M(x,y)到直线x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍,则|x-4|=2+=1.
所以,动点M的轨迹为椭圆,方程为+=1.
(2)P(0,3),设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知:2x1=0+x2,2y1=3+y2,椭圆的上下顶点坐标分别是(0,)和(0,-),经检验直线m不经过这两点,即直线m斜率k存在.设直线m的方程为:y=kx+3.联立椭圆和直线方程,整理得:
(3+4k2)x2+24kx+24=0x1+x2=,x1·x2=,+=+2==k=±,
所以直线m的斜率k=±.
12.已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.
(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围.
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.
【解析】(1)由题意得消y整理得:
5x2+2mx+m2-1=0.
因为直线与椭圆有公共点,
所以Δ=4m2-20(m2-1)=20-16m2≥0,
所以-≤m≤.
(2)设直线与椭圆交点A(x1,y1),B(x2,y2),
则由(1)得
所以|AB|=|x1-x2|=·=·
=.因为-≤m≤,所以0≤m2≤,
所以当m=0时,|AB|取得最大值,此时直线方程为y=x,即x-y=0.
【延伸拓展】解决与椭圆有关的最值问题常用的方法有以下几种
(1)利用定义转化为几何问题处理.
(2)利用数与形的结合,挖掘数学表达式的几何特征,进而求解.
(3)利用函数的最值,将其转化为函数的最值问题来处理,此时,应注意椭圆中x,y的取值范围,常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解.
【补偿训练】(2016·池州高二检测)已知动点P与平面上两定点A(-1,0),B(1,0)连线的斜率的积为定值-2.
(1)试求动点P的轨迹C的方程.
(2)设直线l:y=x+1与曲线C交于M,N两点,求|MN|.
【解析】(1)设点P(x,y),则依题意有·=-2,
整理得x2+=1,由于x≠±1,
所以求得的曲线C的方程为x2+=1(x≠±1).
(2)由消去y得:3x2+2x-1=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,
|MN|=|x1-x2|==.
【能力挑战题】
已知△ABC的顶点A,B在椭圆x2+3y2=4上,C在直线l:y=x+2上,且AB∥l.
(1)当AB边通过坐标原点O时,求AB的长及△ABC的面积.
(2)当∠ABC=90°,且斜边AC的长最大时,求AB所在直线的方程.
【解析】(1)因为AB∥l,且AB边通过点(0,0),
所以AB所在直线的方程为y=x.
设A,B两点坐标为(x1,y1),(x2,y2),
由得x=±1,
所以|AB|=|x1-x2|=2,
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离,
所以h=,所以S△ABC=|AB|·h=2.
(2)设AB所在直线方程为y=x+m.
由得4x2+6mx+3m2-4=0.
因为A,B在椭圆上,所以Δ=-12m2+64>0.
设A,B两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=,
所以|AB|=|x1-x2|=.
又因为BC的长等于点(0,m)到直线l的距离,即|BC|=.
所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=-(m+1)2+11.
所以当m=-1时,AC边最长.(这时Δ=-12+64>0)此时AB所在直线方程为y=x-1.
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课后提升作业
二十三
函数的极值与导数
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.已知函数f(x),x∈R,且在x=1处,f(x)存在极小值,则 ( )
A.当x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0
B.当x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0
C.当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0
D.当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0
【解析】选C.因为f(x)在x=1处存在极小值,
所以x<1时,f′(x)<0,x>1时,f′(x)>0.
2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选A.从f′(x)的图象可知f(x)在(a,b)内从左到右单调性依次为增→减→增→减,根据极值点的定义可知在(a,b)内只有一个极小值点.
3.下列说法正确的是 ( )
A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大
B.函数在闭区间上的极大值一定比极小值小
C.函数f(x)=|x|只有一个极小值
D.函数y=f(x)在区间(a,b)上一定存在极值
【解析】选C.函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系,单调函数在区间(a,b)上没有极值,故A,B,D错误,C正确,函数f(x)=|x|只有一个极小值为0.
4.(2016·惠州高二检测)函数y=x3-6x的极大值为 ( )
A.4
B.3
C.-3
D.-4
【解析】选A.y′=3x2-6,令y′>0,得
x>或x<-,令y′<0,得-所以函数y=x3-6x在(-∞,-),(,+∞)上递增,在(-,)上递减,
所以当x=-时,函数取得极大值4.
【补偿训练】函数f(x)=2-x2-x3的极值情况是 ( )
A.有极大值,没有极小值
B.有极小值,没有极大值
C.既无极大值也无极小值
D.既有极大值又有极小值
【解析】选D.f′(x)=-2x-3x2,
令f′(x)=0有x=0或x=-.
当x<-时,f′(x)<0;
当-0;
当x>0时,f′(x)<0,
从而在x=0时,f(x)取得极大值,
在x=-时,
f(x)取得极小值.
5.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值,则+的最小值
为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值,所以f′(1)=12-
2a-2b=0,即a+b=6,则+=(a+b)=≥=(当且仅当=且a+b=6,即a=2b=4时取“=”);
6.(2016·沈阳高二检测)若函数f(x)=x2-2bx+3a在区间(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是 ( )
A.(-∞,1)
B.(1,+∞)
C.(0,1)
D.
【解析】选C.f′(x)=2x-2b=2(x-b),令f′(x)=0,解得x=b.由于函数f(x)在区间(0,1)内有极小值,则有00,符合题意.所以实数b的取值范围是(0,1).
7.(2016·广州高二检测)设函数f(x)=ex(sinx-cosx)(0≤x≤2015π),则函数f(x)的各极大值之和为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.由题意,得
f′(x)=(ex)′(sinx-cosx)+ex(sinx-cosx)′
=2exsinx,所以x∈(2kπ,2kπ+π)时f(x)递增,
x∈(2kπ+π,2kπ+2π)时,f(x)递减,
故当x=2kπ+π时,f(x)取极大值,
其极大值为
f(2kπ+π)=e2kπ+π[sin(2kπ+π)-cos(2kπ+π)]
=e2kπ+π,
又0≤x≤2015π,
所以函数f(x)的各极大值之和为
S=eπ+e3π+e5π+…+e2015π=
=
8.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(x)+xf′(x)=,f(e)=,则下列结论正确的是 ( )
A.f(x)有极大值无极小值
B.f(x)有极小值无极大值
C.f(x)既有极大值又有极小值
D.f(x)没有极值
【解析】选D.因为f(x)+xf′(x)=,
所以[xf(x)]′=,
所以xf(x)=(lnx)2+c.又因为f(e)=,
所以e·=(lne)2+c,解得c=,
所以f(x)=[(lnx)2+1]·,
f′(x)=
=≤0,
所以函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,
所以f(x)在(0,+∞)上没有极值.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2016·银川高二检测)函数f(x)=x3-x4在区间上的极值点为 .
【解析】因为f(x)=x3-x4,所以f′(x)=x2-x3=-x2(x-1),令f′(x)=0,则x=0或x=1,因为x∈,所以x=1,并且在x=1左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,所以函数f(x)=x3-x4在区间上的极值点为1.
答案:1
【警示误区】函数的极值点都是其导数等于0的根,但须注意导数等于0的根不一定都是极值点,应根据导数图象分析再下结论是不是其极值点.
10.如果函数y=f(x)的图象如图所示,给出下列判断:
①函数y=f(x)在区间内单调递增;
②函数y=f(x)在区间内单调递减;
③函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增;
④当x=2时,函数y=f(x)有极小值;
⑤当x=-时,函数y=f(x)有极大值.
则上述判断中正确的是 .
【解析】由函数图象可知,在函数递增,在函数递减,在(3,5)函数递增,当x=-3时取得最小值,当x=-时取得极大值,当x=3时函数取得极小值,综上可知①②③⑤正确.
答案:①②③⑤
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2016·银川高二检测)已知函数f(x)=x3-x2-2x+c,
(1)求函数f(x)的极值.
(2)求函数f(x)的单调区间.
【解析】f′(x)=3x2-x-2.
(1)令f′(x)=3x2-x-2=0,即(3x+2)(x-1)=0,
所以x=-或x=1.
当x变化时,f(x)与f′(x)的变化情况如表,
x
-
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单增
极大值
单减
极小值
单增
从表中可以看出当x=-时,f(x)有极大值,极大值为+c;当x=1时,f(x)有极小值,极小值为c-.
(2)由(1)可知f(x)的递增区间为和(1,+∞),递减区间为.
【补偿训练】已知函数f(x)=x-1+.
(1)若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值.
(2)求函数f(x)的极值.
【解题指南】(1)由导数的几何意义可知函数在x=1处的导数值等于切线的斜率0,从而得到关于a的方程,求解其值.
(2)首先计算函数的导函数f′(x)=1-,通过讨论a的取值范围得到导数值不同的正负情况,从而确定函数的单调性,求得极值.
【解析】(1)由f(x)=x-1+,得f′(x)=1-.
由函数f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,得f′(1)=1-=0,解得a=e.
(2)f′(x)=1-①当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在R上为增函数,f(x)无极值.
②当a>0时,令f′(x)=0,得ex=a,x=lna,
所以x∈(-∞,lna),f′(x)<0;x∈(lna,+∞),
f′(x)>0,
所以f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增,
所以f(x)在x=lna处取得极小值,且极小值为f(lna)=lna,无极大值.
综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;
当a>0时,所以f(x)在x=lna处取得极小值lna,无极大值.
12.(2016·山东高考)设f(x)=xln
x-ax2+(2a-1)x，a∈R.
(1)令g(x)=f′(x)，求g(x)的单调区间.
(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.
【解析】(1)g(x)=f′(x)=ln
x－2ax+2a,
所以g′(x)=
当a≤0,x∈(0,+∞)时，g′(x)>0,函数g(x)单调递增.
当a>0,x∈时，g′(x)>0,函数g(x)单调递增,
x∈时，g′(x)<0,函数g(x)单调递减.
综上：当a≤0,函数g(x)单调递增区间为(0,+∞).
当a>0,函数g(x)单调递增区间为，
函数g(x)单调递减区间为.
(2)由(1)知f′(1)=0.
①当a≤0，f′(x)单调递增，所以x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
所以f(x)在x=1处取得极小值，不合题意.
②当01时，由(1)知f′(x)在内单调递增，
所以x∈(0,
1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
所以f(x)在x=1处取得极小值，不合题意.
③当a=,=1时，f′(x)在(0,1)内单调递增，在(1,+∞)内单调递减，所以
x∈(0,+∞)时,f′(x)≤0,f(x)单调递减，不合题意.
④当a>,0<<1时，x∈,f′(x)>0,f(x)单调递增，
当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减，
所以f(x)在x=1处取得极大值，符合题意.
综上可知a>.
【补偿训练】(2015·梅州高二检测)已知函数f(x)=x3-bx2+2cx的导函数的图象关于直线x=2对称.
(1)求b的值.
(2)若函数f(x)无极值,求c的取值范围.
【解析】(1)f′(x)=3x2-2bx+2c,
因为函数f′(x)的图象关于直线x=2对称,
所以-=2,即b=6.
(2)由(1)知,f(x)=x3-6x2+2cx,
f′(x)=3x2-12x+2c=3(x-2)2+2c-12,
当2c-12≥0,即c≥6时,f′(x)≥0恒成立,此时函数f(x)无极值.
【能力挑战题】
已知函数f(x)=(c>0且c≠1,k∈R)恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是x=-c.
(1)求函数f(x)的另一个极值点.
(2)求函数f(x)的极大值M和极小值m,并求M-m≥1时k的取值范围.
【解析】(1)f′(x)=
=,
由题意知f′(-c)=0,即得c2k-2c-ck=0,(
)
因为c≠0,所以k≠0.
由f′(x)=0得-kx2-2x+ck=0,
由根与系数的关系知另一个极值点为x=1(或x=c-).
(2)由(
)式得k=,即c=1+.
当c>1时,k>0;当0(i)当k>0时,
f(x)在(-∞,-c)和(1,+∞)内是减函数,
在(-c,1)内是增函数.
所以M=f(1)==>0,
m=f(-c)==<0,
由M-m=+≥1及k>0,
解得k≥.
(ii)当k<-2时,f(x)在(-∞,-c)和(1,+∞)内是增函数,在(-c,1)内是减函数.
所以M=f(-c)=>0,m=f(1)=<0,
M-m=-=1-≥1恒成立.
综上可知,所求k的取值范围为(-∞,-2)∪[,+∞).
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课后提升作业
十二
双曲线及其标准方程
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.已知F1(-5,0),F2(5,0)为定点,动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a=3和a=5时,P点的轨迹为 ( )
A.双曲线和一条直线
B.双曲线的一支和一条直线
C.双曲线和一条射线
D.双曲线的一支和一条射线
【解析】选D.当a=3时,|PF1|-|PF2|=6<|F1F2|,P的轨迹为双曲线的一支;当a=5时,|PF1|-|PF2|=10=|F1F2|,所以P的轨迹是一条射线.
2.(2015·福建高考)若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于 ( )
A.11
B.9
C.5
D.3
【解析】选B.因为=2a,
所以-=±6,
所以=9或-3(舍去).
【补偿训练】已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线的左支交于A,B两点,线段AB的长为5,若2a=8,那么△ABF2的周长是 ( )
A.16 B.18 C.21 D.26
【解析】选D.|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8,
所以|AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=16,
所以|AF2|+|BF2|=16+5=21,所以△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.
3.(2016·嘉兴高二检测)在平面内,已知双曲线C:-=1的焦点为F1,F2,则|PF1|-|PF2|=6是点P在双曲线C上的 ( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分又不必要条件
【解析】选B.点P在双曲线C上的充要条件为||PF1|-|PF2||=6,故|PF1|-|PF2|=6为点P在双曲线上的充分不必要条件.
4.设θ∈,则关于x,y的方程-=1所表示的曲线是 ( )
A.焦点在y轴上的双曲线
B.焦点在x轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆
D.焦点在x轴上的椭圆
【解析】选C.因θ∈,所以sinθ>0,cosθ<0,
且-cosθ>sinθ,所以方程为+=1,故方程表示焦点在y轴上的椭圆.
5.与椭圆+y2=1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是 ( )
A.-y2=1
B.-y2=1
C.-=1
D.x2-=1
【解析】选B.椭圆的焦点F1(-,0),F2(,0),
由双曲线定义知2a=||PF1|-|PF2||
=|-|
=|-|=2,所以a=,所以b2=c2-a2=1,所以双曲线方程为-y2=1.
【补偿训练】椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则m的值是 ( )
A.±1
B.1
C.-1
D.不存在
【解析】选A.验证法:当m=±1时,m2=1,
对椭圆来说,a2=4,b2=1,c2=3.
对双曲线来说,a2=1,b2=2,c2=3,
故当m=±1时,它们有相同的焦点.
直接法:显然双曲线焦点在x轴上,故4-m2=m2+2.
所以m2=1,即m=±1.
6.一动圆P过定点M(-4,0),且与已知圆N:(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心P的轨迹方程是 ( )
A.-=1(x≥2)
B.-=1(x≤2)
C.-=1
D.-=1
【解析】选C.由已知N(4,0),内切时,定圆N在动圆P的内部,有|PN|=|PM|-4,
外切时,有|PN|=|PM|+4,故||PM|-|PN||=4,
因此2a=4,2c=8,所以b2=12,
点P的轨迹是双曲线-=1.
【误区警示】本题易把“相切”理解为外切或内切,错选A或B.
7.已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点M在双曲线上,且MF1⊥x轴,则F1到直线F2M的距离为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由双曲线的方程知,a=,b=,
所以c=3,F1(-3,0),F2(3,0).
将x=-3代入双曲线的方程得y2=.
不妨设点M在x轴的上方,则M.
所以|MF1|=,|MF2|=.
设点F1到直线F2M的距离为d,
则有|MF1|·|F1F2|=|MF2|·d,所以d=.
8.已知双曲线中心在坐标原点,且一个焦点为F1(-,0),点P位于该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的方程是 ( )
A.-y2=1
B.x2-=1
C.-=1
D.-=1
【解析】选B.设双曲线方程为-=1,
因为c=,c2=a2+b2,所以b2=5-a2,所以-=1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2),则P点的坐标为(,4).
代入双曲线方程得-=1,解得a2=1或a2=25(舍去),所以双曲线方程为x2-=1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.已知双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),则k的值为________.
【解析】将双曲线方程化为kx2-y2=1,即-=1.
因为一个焦点是(0,3),所以焦点在y轴上,
所以c=3,a2=-,b2=-,
所以a2+b2=--=-=c2=9.所以k=-1.
答案:-1
10.设F1,F2是双曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且·=0,则|PF1|·|PF2|=________.
【解析】因为||PF1|-|PF2||=4,
又PF1⊥PF2,|F1F2|=2,所以|PF1|2+|PF2|2=20,
所以(|PF1|-|PF2|)2=20-2|PF1|·|PF2|=16,
所以|PF1|·|PF2|=2.
答案:2
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.已知双曲线-=1的左、右焦点分别是F1,F2,若双曲线上一点P使得∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.
【解题指南】在△PF1F2中,由余弦定理能得到|F1F2|,|PF1|,|PF2|三者满足的关系式,再结合双曲线的定义,求出|PF1|·|PF2|的值,进而求出△F1PF2的面积.
【解析】由-=1,得a=3,b=4,c=5.
由定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6,
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°,
所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,
所以|PF1|·|PF2|=64,
所以=|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=×64×=16.
【拓展延伸】双曲线的定义对于解题的主要作用
双曲线的定义对于解题具有双向作用:
(1)可用来判断平面内动点的轨迹是否为双曲线(或双曲线的一支).
(2)可以用来解决焦点三角形和焦点弦的有关问题.
12.在△ABC中,B(4,0),C(-4,0),动点A满足sinB-sinC=sinA,求动点A的轨迹方程.
【解析】设A点的坐标为(x,y),在△ABC中,由正弦定理,得===2R,代入sinB-sinC=sinA,
得-=·,
又|BC|=8,所以|AC|-|AB|=4.
因此A点的轨迹是以B,C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a=4,2c=8,所以a=2,c=4,b2=12.
所以A点的轨迹方程为-=1(x>2).
【能力挑战题】当0°≤α≤180°时,方程x2cosα+y2sinα=1表示的曲线如何变化
【解析】(1)当α=0°时,方程为x2=1,它表示两条平行直线x=±1.
(2)当0°<α<90°时,方程为+=1.
①当0°<α<45°时,0<<,它表示焦点在y轴上的椭圆;
②当α=45°时,它表示圆x2+y2=;
③当45°<α<90°时,>>0,它表示焦点在x轴上的椭圆.
(3)当α=90°时,方程为y2=1,它表示两条平行直线y=±1.
(4)当90°<α<180°时,方程为-=1,它表示焦点在y轴上的双曲线.
(5)当α=180°时,方程为x2=-1,它不表示任何曲线.
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阶段通关训练(一)
(60分钟 100分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.“若x2=1,则x=1或x=-1”的否命题是 ( )
A.若x2≠1,则x=1或x=-1
B.若x2=1,则x≠1且x≠-1
C.若x2≠1,则x≠1或x≠-1
D.若x2≠1,则x≠1且x≠-1
【解析】选D.否命题是命题的条件与结论分别是原命题条件的否定和结论的否定,“或”的否定是“且”.
2.(2016·成都高二检测)已知命题p:“x>3”是“x2>9”的充要条件,命题q:“>”是“a>b”的充要条件,则 ( )
A.“p∨q”为真
B.“p∧q”为真
C.p真q假
D.p,q均为假
【解析】选A.由x>3能够得出x2>9,反之不成立,故命题p是假命题;由>能够推出a>b,反之,因为>0,所以由a>b能推出>成立,故命题q是真命题.因此选A.
3.设p:log2x<0,q:>1,则p是q的 ( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由log2x<0,得0即p:0由>1得x-1<0,
所以x<1,即q:x<1;
因此pq但qp.
【补偿训练】命题p:x+y≠3,命题q:x≠1或y≠2,则命题p是q的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.命题“若p,则q”的逆否命题为:“若x=1且y=2,则x+y=3”,是真命题,故原命题为真,反之不成立.
4.下列命题的否定是真命题的是 ( )
A.有理数是实数
B.末位是零的实数能被2整除
C.x0∈R,2x0+3=0
D.x∈R,x2-2x>0
【解析】选D.只有原命题为假命题时,它的否定才是真命题,A,B,C为真命题,D为假命题.
【补偿训练】(2016·襄阳高二检测)下列命题中是全称命题的是 ( )
A.圆有内接四边形
B.>
C.<
D.若三角形的三边长分别为3,4,5,则这个三角形为直角三角形
【解析】选A.由全称命题的定义可知:“圆有内接四边形”,即为“所有圆都有内接四边形”,是全称命题.
5.(2014·江西高考)下列叙述中正确的是 ( )
A.若a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2-4ac≤0”
B.若a,b,c∈R,则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
C.命题“对任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x0∈R,有≥0”
D.l是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l⊥α,l⊥β,则α∥β
【解析】选D.对于选项A,a<0时不成立;
对于选项B,b=0时不成立;
对于选项C,否定应为<0;
对于选项D,垂直于同一直线的两平面平行.所以只有D正确.
【补偿训练】下列命题:
①x∈R,不等式x2+2x>4x-3成立;
②若log2x+logx2≥2,则x>1;
③命题“若a>b>0且c<0,则>”的逆否命题;
④若命题p:x∈R,x2+1≥1.命题q:x0∈R,-2x0-1≤0,则命题p∧﹁q是真命题.
其中真命题有 ( )
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
【解析】选A.①中,x2+2x>4x-3(x-1)2+2>0恒成立,①真.
②中,由log2x+logx2≥2,且log2x与logx2同号,所以log2x>0,所以x>1,故②为真命题.
③中,易知“a>b>0且c<0时,>”.
所以原命题为真命题,故逆否命题为真命题,③真.
④中,p,q均为真命题,则命题p∧﹁q为假命题.
6.若命题p:函数y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞),命题q:函数y=x-的单调递增区间是[1,+∞),则 ( )
A.p∧q是真命题
B.p∨q是假命题
C.﹁p是真命题
D.﹁q是真命题
【解析】选D.因为函数y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞),所以p是真命题;
因为函数y=x-的单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞),所以q是假命题.
所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,﹁p为假命题,﹁q为真命题,故选D.
二、填空题(每小题5分,共20分)
7.(2016·许昌高二检测)命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是______________.
【解析】逆否命题只需将原命题的条件与结论变换并否定即可.逆否命题为:圆的切线到圆心的距离等于半径.
答案:圆的切线到圆心的距离等于半径
8.(2016·九江高二检测)命题p:α0,sinα0>1是__________(填“全称命题”或“特称命题”),它是__________命题(填“真”或“假”),它的否定﹁p:
__________,它是__________命题(填“真”或“假”).
【解析】命题p含有存在量词“”,故p是特称命题,是假命题,它的否定是全称命题,真命题.
答案:特称命题 假 α,sinα≤1 真
9.(2016·兰州高二检测)已知命题p:|x2-x|≠6,q:x∈N,且“p∧q”与“﹁q”都是假命题,则x的值为__________.
【解析】由“p∧q”与“﹁q”都是假命题,知p假q真,得解得x=3.
答案:3
10.下列结论:
①若命题p:x∈R,tanx=1;命题q:x∈R,x2-x+1>0.则命题“p∧﹁q”是假命题;
②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是=-3;
③命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题:“若x≠1,则x2-3x+2≠0”.其中正确结论的序号为________.
【解析】①中命题p为真命题,命题q为真命题,
所以p∧﹁q为假命题,故①正确;
②当b=a=0时,有l1⊥l2,故②不正确;③正确.
答案:①③
【补偿训练】给出以下判断:
①命题“负数的平方是正数”不是全称命题;
②命题“x∈N,x3>x2”的否定是“x0∈N,使>”;
③“b=0”是“函数f(x)=ax2+bx+c为偶函数”的充要条件;
④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题.
其中正确命题的序号是________.
【解析】①②④是假命题,③是真命题.
答案:③
三、解答题(共4小题,共50分)
11.(12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假.
(1)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除.
(2)x∈{x|x>0},x+≥2.
(3)x0∈{x|x∈Z},log2x0>2.
【解析】(1)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是特称命题,真命题.
(2)命题中含有全称量词“”,是全称命题,真命题.
(3)命题中含有存在量词“”,是特称命题,真命题.
12.(12分)设命题p:(4x-3)2≤1;命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若﹁p是﹁q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
【解析】由(4x-3)2≤1,得≤x≤1,
令A=.
由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,
得a≤x≤a+1,
令B={x|a≤x≤a+1}.
由﹁p是﹁q的必要不充分条件,得p是q的充分不必要条件,即AB,所以
所以0≤a≤.
所以实数a的取值范围是.
【补偿训练】条件p:1-x<0,条件q:x>a,若﹁q是﹁p的充分不必要条件,求a的取值范围.
【解析】因为﹁q是﹁p的充分不必要条件,
所以p是q的充分不必要条件.
即{x|x>1}{x|x>a},可知a<1.所以a的取值范围为(-∞,1).
13.(13分)已知方程x2+(2k-1)x+k2=0,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件.
【解析】令f(x)=x2+(2k-1)x+k2,方程有两个大于1的实数根
即k<-2,所以其充要条件为k<-2.
14.(13分)(2016·金陵高二检测)命题p:实数x满足x2-4ax+3a2<0(a>0),命题q:实数x满足
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围.
(2)若q﹁p,求实数a的取值范围.
【解析】(1)由于a=1,则x2-4ax+3a2<0x2-4x+3<01所以p:1解不等式组
得2由于p∧q为真,所以p,q均是真命题.
解不等式组得2所以实数x的取值范围是(2,3).
(2)﹁p:x2-4ax+3a2≥0,a>0,x2-4ax+3a2≥0(x-a)(x-3a)≥0x≤a或x≥3a,
所以﹁p:x≤a或x≥3a,
设A={x|x≤a或x≥3a},
由(1)知q:2设B={x|2由于q﹁p,所以B A,
所以3≤a或3a≤2,即0所以实数a的取值范围是∪[3,+∞).
【补偿训练】命题p:过原点O可以作两条直线与圆x2+y2+x-3y+(m2+m)=0相切,命题q:直线x-y+m-=0不过第二象限,若命题“p∧q”为真命题,求实数m的取值范围.
【解析】因为过原点O可以作两条直线与圆x2+y2+x-3y+(m2+m)=0相切,
所以原点O在圆外,所以(m2+m)>0,
所以m2+m>0,所以m>0或m<-1.
所以p:m>0或m<-1.
由直线x-y+m-=0不过第二象限,得或m+=0,
所以-≤m≤.
所以q:-≤m≤.
又因为p∧q为真命题,所以p,q都是真命题.
所以
所以-≤m<-1或0【能力挑战题】
已知函数f(x)=x2-2x+5.
(1)是否存在实数m0,使不等式m0+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由.
(2)若存在一个实数x0,使不等式m-f(x0)>0成立,求实数m的取值范围.
【解析】(1)不等式m0+f(x)>0可化为m0>-f(x),
即m0>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.
要使m0>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,
只需m0>-4即可.
故存在实数m0,使不等式m0+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时,只需m0>-4.
(2)不等式m-f(x0)>0可化为m>f(x0),
若存在一个实数x0,使不等式m>f(x0)成立,
只需m>f(x0)min.
又f(x0)=(x0-1)2+4,
所以f(x0)min=4,所以m>4.
所以,所求实数m的取值范围是(4,+∞).
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课后提升作业
六
简单的逻辑联结词
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.命题“2是3的约数或2是4的约数”中,使用的逻辑联结词的情况是 ( )
A.没有使用逻辑联结词
B.使用了逻辑联结词“且”
C.使用了逻辑联结词“或”
D.使用了逻辑联结词“非”
【解析】选C.命题可改写为“2是3的约数或是4的约数”.
2.(2016·厦门高二检测)命题“方程x2-4=0的解是x=±2”中,使用的逻辑联结词的情况是 ( )
A.没有使用联结词
B.使用了逻辑联结词“或”
C.使用了逻辑联结词“且”
D.使用了逻辑联结词“非”
【解析】选A.注意到虽然x=±2是x=2或x=-2的意思,但是“方程x2-4=0的解是x=±2”是一个命题,不是由“或”联结的命题,故没有使用逻辑联结词.
3.对于命题p和q,若p∧q为真命题,则下列四个命题:
①p∨q是真命题;②p∨﹁q是假命题;
③﹁p∧﹁q是假命题;④﹁p∨q是假命题.
其中真命题是 ( )
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
【解析】选C.因为p∧q为真,所以p与q都为真,所以﹁p∧﹁q为假,p∨q为真,所以只有①③正确.
4.命题p:“方程x2+2x+a=0有实数根”;命题q:“函数f(x)=(a2-a)x是增函数”,若“p∧q”为假命题,且“p∨q”为真命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.a>0
B.a≥0
C.a>1
D.a≥1
【解析】选B.当p真时,Δ=4-4a≥0,解得a≤1.当q真时,a2-a>0,解得a<0或a>1.
因为p∧q为假命题,p∨q为真命题,
所以p,q中一真一假.
(1)当p真q假时,得0≤a≤1.
(2)当p假q真时得a>1,
由(1)(2)得所求a的取值范围是a≥0,故选B.
5.命题p:函数y=loga(ax+2a)(a>0且a≠1)的图象必过定点(-1,1);命题q:如果函数y=f(x)的图象关于(3,0)对称,那么函数y=f(x-3)的图象关于原点对称,则有 ( )
A.“p且q”为真
B.“p或q”为假
C.p真q假
D.p假q真
【解题指南】首先验证命题p,q,然后再根据选项作出判断.
【解析】选C.由于将点(-1,1)代入y=loga(ax+2a)成立,故p真;由y=f(x)的图象关于(3,0)对称,知y=f(x-3)的图象关于(6,0)对称,故q假.
【补偿训练】若命题p:2m-1(m∈Z)是奇数;命题q:2m+1(m∈Z)是偶数,则下列说法正确的是 ( )
A.p∨q为真
B.p∧q为真
C.﹁p为真
D.﹁q为假
【解析】选A.命题p:“2m-1(m∈Z)是奇数”是真命题,而命题q:“2m+1(m∈Z)是偶数”是假命题,所以p∨q为真.
6.(2014·重庆高考)已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0;q:x>1是x>2的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是 ( )
A.p∧q
B.﹁p∧﹁q
C.﹁p∧q
D.p∧﹁q
【解析】选D.易知命题p为真命题,因为x>1无法推出x>2成立,所以命题q为假命题,故p∧q为假命题,﹁p∧﹁q为假命题,﹁p∧q为假命题,p∧﹁q为真命题.
【补偿训练】(2016·合肥高二检测)“p∨q是真命题”是“﹁p为假命题”的
( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.①p∨q是真命题p为真命题或q为真命题,不能得出﹁p是假命题,即p∨q是真命题不能得出﹁p是假命题;②﹁p是假命题p是真命题p∨q是真命题.由①②可知“p∨q是真命题”是“﹁p为假命题”的必要不充分条件.
7.(2016·武汉高二检测)在一次跳高比赛前,甲、乙两名运动员各试跳了一次,设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”,命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”,则命题(﹁p)∨(﹁q)表示 ( )
A.甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米
B.甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米
C.甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米
D.甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米
【解析】选D.﹁p表示“甲的试跳成绩不超过2米”,﹁q表示“乙的试跳成绩不超过2米”,故(﹁p)∨(﹁q)表示“甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米”.
8.(2016·衡阳高二检测)命题:关于x的方程x2+ax+2=0无实根,命题q:函数f(x)=logax在(0,+∞)上单调递增,若“p∧q”为假命题,“p∨q”真命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-2,1]∪[2,+∞)
B.(-2,2)
C.(-2,+∞)
D.(-∞,2)
【解题指南】(1)根据方程x2+ax+2=0无实根,判别式Δ<0,求出a的取值范围,得命题p成立的条件.
(2)根据函数f(x)=logax在(0,+∞)上单调递增,求出a的取值范围,得命题q成立的条件.
(3)由“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题知p与q一真一假,因此分类讨论,求出a的取值范围.
【解析】选A.因为方程x2+ax+2=0无实根,
所以Δ=a2-8<0,
所以-2所以p:-2因为函数f(x)=logax在(0,+∞)上单调递增,所以a>1.
所以q:a>1.
因为p∧q为假,p∨q为真,
所以p与q一真一假.
当p真q假时,-2当p假q真时,a≥2.
综上可知,实数a的取值范围为(-2,1]∪
[2,+∞).
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.命题p:{2}∈{2,3},q:{2} {2,3},则下列对命题的判断,正确的是________(填上所有正确的序号).
①p或q为真;②p或q为假;③p且q为真;④p且q为假;⑤非p为真;⑥非q为假.
【解析】由题可知p为假,q为真,所以p或q为真,p且q为假,非p为真,非q为假.
答案:①④⑤⑥
10.(2016·营口高二检测)设命题p:a20,命题p∧q为假,p∨q为真,则实数a的取值范围是______.
【解析】由a20恒成立知Δ=16a2-4<0,所以-答案:-三、解答题(每小题10分,共20分)
11.用“且”“或”改写下列命题并判断真假:
(1)1不是质数也不是合数.
(2)2既是偶数又是质数.
(3)5和7都是质数.
(4)2≤3.
【解析】(1)p:1不是质数;q:1不是合数,p∧q:1不是质数且1不是合数.(真)
(2)p:2是偶数;q:2是质数;p∧q:2是偶数且2是质数.(真)
(3)p:5是质数;q:7是质数;p∧q:5是质数且7是质数.(真)
(4)2≤32<3或2=3.(真)
【拓展延伸】用逻辑联结词构造新命题的两个步骤
第一步:确定两个简单命题p,q;
第二步:分别用逻辑联结词“且”“或”“非”将p和q联结起来就得到一个新命题“p∧q”“p∨q”“﹁p”.
12.(2016·新乡高二检测)给定两个命题,p:对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立;q:a2+8a-20<0,如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围.
【解析】ax2+ax+1>0恒成立,
当a=0时,不等式恒成立,满足题意.
当a≠0时,由题意得
解得0a2+8a-20<0,所以-10因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,
所以p,q一真一假.
当p真q假时,
所以2≤a<4.
当p假q真时,
所以-10综上可知,实数a的取值范围是(-10,0)∪[2,4).
【补偿训练】(2016·泰安高二检测)已知命题p:函数f(x)=x2+2mx+1在(-2,+∞)上单调递增;命题q:函数g(x)=2x2+2(m-2)x+1的图象恒在x轴上方,若p∨q为真,p∧q为假,求m的取值范围.
【解析】函数f(x)=x2+2mx+1在(-2,+∞)上单调递增,则-m≤-2,
所以m≥2,
函数g(x)=2x2+2(m-2)x+1的图象恒在x轴上方;则不等式g(x)>0恒成立,
故Δ=8(m-2)2-8<0.
解得1若p∨q为真,p∧q为假,则p,q一真一假.
当p真q假时,由得m≥3,
当p假q真时,
由得1综上,m的取值范围是{x|m≥3或1【能力挑战题】
已知命题A:函数f(x)=x2-4mx+4m2+2在区间[-1,3]上的最小值为2;
命题B:若g(x)=且g(x)>1对任意x∈R恒成立;
命题C:{x|m≤x≤2m+1} {x|x2-4≥0}.
(1)若A,B,C中至少有一个为真命题,试求实数m的取值范围.
(2)若A,B,C中恰有一个为假命题,试求实数m的取值范围.
【解析】(1)因为f(x)=x2-4mx+4m2+2=(x-2m)2+2,
所以只有x=2m时,f(x)的最小值为2.
又因为f(x)在区间[-1,3]上的最小值为2,
所以-1≤2m≤3,所以-≤m≤,
所以命题A为真的条件是-≤m≤.
因为g(x)=
当x≥m时,g(x)=2x-m在[m,+∞)上单调递增,g(x)min=g(m)=m;
当x所以x∈R时,g(x)的最小值为m,
所以命题B为真的条件是m>1.
因为{x|m≤x≤2m+1} {x|x2-4≥0},
所以m>2m+1或或
所以m<-1或m≥2或m∈ ,
所以命题C为真的条件是m<-1或m≥2.
因为命题A,B,C都为假的条件是
-1≤m<-,
所以命题A,B,C中至少有一个为真命题的条件是m<-1或m≥-.
(2)当A假,B,C为真时,m≥2;
当A真,B假,C为真时,m∈ ;
当A真,B真,C为假时,
1所以A,B,C中恰有一个为假命题的条件是m≥2或1关闭Word文档返回原板块
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课后提升作业
四
充分条件与必要条件
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.使x>1成立的一个必要条件是 ( )
A.x>0
B.x>3
C.x>2
D.x<2
【解析】选A.只有x>1x>0,其他选项均不可由x>1推出,故选A.
2.(2016·大连高二检测)已知p:x2-x<0,那么命题p的一个充分条件是 ( )
A.0B.-1C.D.【解析】选C.x2-x<003.(2016·郑州高二检测)下列p是q的必要条件的是 ( )
A.p:a=1,q:|a|=1
B.p:a<1,q:|a|<1
C.p:aD.p:a>b,q:a>b+1
【解析】选D.要满足p是q的必要条件,即qp,只有q:a>b+1q:a-b>1p:a>b,故选D.
4.下列所给的p,q中,p是q的充分条件的个数是 ( )
①p:x>1,q:-3x<-3;②p:x>1,q:2-2x<2;
③p:x=3,q:sinx>cosx;④p:直线a,b不相交,q:a∥b.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解题指南】根据充分条件与必要条件的意义判断.
【解析】选C.①由于p:x>1q:-3x<-3,所以p是q的充分条件;
②由于p:x>1q:2-2x<2(即x>0),所以p是q的充分条件;
③由于p:x=3q:sinx>cosx,所以p是q的充分条件;
④由于p:直线a,b不相交q:a∥b,所以p不是q的充分条件.
5.(2016·武汉高二检测)如果A.B.≤a≤
C.a>或a<
D.a≥或a≤
【解析】选B.|x-a|<1a-1由题意知
(a-1,a+1),
则有且等号不同时成立,
解得≤a≤,故选B.
【补偿训练】(2016·上海高二检测)集合A=,B={x||x-b|<1},若“a=1”是“A∩B≠ ”的充分条件,则实数b的取值范围是______.
【解析】“a=1”是“A∩B≠ ”的充分条件的意思是说当a=1时,A∩B≠ ,现在A=(-1,1),B=(b-1,b+1),由A∩B≠ 得-1≤b-1<1或-1答案:(-2,2)
6.(2016·温州高二检测)已知集合A={x∈R|<2x<8},B=
,若x∈B成立的一个充分条件是x∈A,则实数m的取值范围是 ( )
A.m≥2
B.m≤2
C.m>2
D.-2【解析】选A.A=={x|-1因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A,
所以A B,所以3≤m+1,即m≥2.
7.
“x<0”是“ln(x+1)<0”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.由ln(x+1)<0,得x+1>0且x+1<1,所以-1故“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件.
【补偿训练】若条件p:(x+1)2>4,条件q:x2-5x+6<0,则q是p的______条件.
【解析】因为(x+1)2>4,所以x<-3或x>1.又x2-5x+6<0,所以2答案:充分
8.(2016·广州高二检测)已知f(x)=x-x2,且a,b∈R,则“a>b>1”是“f(a)A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选A.画出函数f(x)=x-x2的图象,如图所示:
由图象得:f(x)在上递减,
所以a>b>1时,f(a)如f(0)=0二、填空题(每小题5分,共10分)
9.若【解析】|x-m|<1,即m-1由题意可知且等号不同时成立,
即-≤m≤,故实数m的取值范围是.
答案:
10.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ=”的__________________条件(填“充分”或“必要”).
【解题指南】先由f(x)是奇函数可以得到φ的取值,再由φ=判断f(x)是否为奇函数,最后再判断.
【解析】f(x)是奇函数φ=+kπ,k∈Z;φ=f(x)是奇函数,所以“f(x)是奇函数”是“φ=”的必要条件.
答案:必要
【补偿训练】“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的________条件(填“充分”或“必要”).
【解析】若m=,两直线斜率之积等于-1,得两条直线垂直;若两条直线垂直,可得(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0,解得m=-2或m=,故“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的充分条件.
答案:充分
三、解答题
11.(10分)(2016·潍坊高二检测)若p:-2【解析】若a=-1,b=,则Δ=a2-4b<0,关于x的方程x2+ax+b=0无实根,故pq.
若关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,不妨设这两个根为x1,x2,且0则x1+x2=-a,x1x2=b.于是0<-a<2,0所以,p是q的必要条件,但不是充分条件.
【一题多解】针对必要条件的判断给出下面另一种解法:设f(x)=x2+ax+b,因为关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,所以
即-2【拓展延伸】充分条件和必要条件的应用
(1)若p是q的充分条件,则pq,此时还可以得出q是p的必要条件;若p是q的必要条件,则qp,此时还可以得出q是p的充分条件.
(2)充分条件在解题中,通常作为一个条件来使用,结合有关知识点进行运算、化简、推导.
(3)必要条件一般在解答题中不出现,需要判断必要条件时,通常是由结论推导出此条件.
【能力挑战题】
已知全集U=R,非空集合A={x|(x-2)[x-(3a+1)]<0},B={x|(x-a2-2)(x-a)
<0}.p:x∈A,q:x∈B,若q是p的必要条件,求实数a的取值范围.
【解析】若q是p的必要条件,即pq,可知A B,
由a2+2>a,得B={x|a当3a+1>2,即a>时,A={x|2解得当3a+1=2,即a=时,A= ,符合题意;
当3a+1<2,即a<时,A={x|3a+1解得-≤a<;
综上,a∈.
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阶段通关训练(二)
(60分钟 100分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.如果方程x2+ky2=1表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是
( )
A.(0,+∞)
B.(0,2)
C.(1,+∞)
D.(0,1)
【解析】选D.因为方程表示焦点在y轴上的椭圆,所以>1,所以02.已知F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P为椭圆上一点,则|PF1|·|PF2|有
( )
A.最大值16
B.最小值16
C.最大值4
D.最小值4
【解析】选A.由椭圆的定义知a=4,|PF1|+|PF2|=2a=2×4=8.由基本不等式知|PF1|·|PF2|≤==16,当且仅当|PF1|=|PF2|=4时等号成立,
所以|PF1|·|PF2|有最大值16.
3.(2016·郑州高二检测)如果点P(2,y0)在以点F为焦点的抛物线y2=4x上,则|PF|= ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.根据抛物线的定义,点P到点F的距离等于点P到其准线x=-1的距离d=|2-(-1)|=3.
【补偿训练】若动圆圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点 ( )
A.(4,0)
B.(2,0)
C.(0,2)
D.(0,-2)
【解析】选B.根据抛物线的定义可得.
4.(2016·福州高二检测)已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=20y的焦点重合,且其渐近线的方程为3x±4y=0,则该双曲线的标准方程为 ( )
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
【解析】选C.因为双曲线的一个焦点与抛物线x2=20y的焦点重合,所以双曲线的焦点在y轴上,且c=5,设双曲线的标准方程为-=1,又因为双曲线的渐近线方程为3x±4y=0,所以=,所以a=3,b=4,所以双曲线的标准方程为-=1.
5.(2016·襄阳高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线与圆(x-3)2+y2=9相交于A,B两点,若|AB|=2,则该双曲线的离心率为 ( )
A.8
B.2
C.3
D.
【解析】选C.双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,因为圆心为(3,0),半径为3,由|AB|=2,可知圆心到直线AB的距离为2,于是=2,解得b2=8a2,于是c==3a,所以e==3.
【补偿训练】1.(2016·龙岩高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,则双曲线的离心率为 ( )
A.
B.2
C.
D.3
【解析】选B.易知双曲线的渐近线方程为y=±x,
因为渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,
所以=1,整理得:=3.
所以双曲线的离心率为e===2.
2.(2016·西安高二检测)已知椭圆x2+ky2=3k(k>0)的一个焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该椭圆的离心率是________.
【解析】抛物线的焦点为F(3,0),
椭圆的方程为:+=1,
所以3k-3=9,所以k=4,
所以离心率e==.
答案:
【方法技巧】离心率求解策略
(1)利用圆锥曲线方程:设法求出圆锥曲线的方程,再依方程求出a,b,c,进而求出离心率.
(2)借助题目中的等量关系:充分利用已知条件中等量关系求出a,b,c的等量关系,再对其等量关系进行变形,从而求出a,c的关系.
(3)巧用圆锥曲线中的线段关系:圆锥曲线图形中通常会综合圆、三角形、四边形等平面图形,掌握各平面图形自身特点,能快速找到对应的等量关系,如直径所对角为直角.
6.(2014·福建高考)设P,Q分别为圆x2+=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是 ( )
A.5
B.+
C.7+
D.6
【解析】选D.圆心M(0,6),设椭圆上的点为Q(x,y),
则==
=,
当y=-∈[-1,1]时,=5.
所以=5+=6.
二、填空题(每小题5分,共20分)
7.椭圆的两个焦点为F1,F2,短轴的一个端点为A,且三角形F1AF2是顶角为120°的等腰三角形,则此椭圆的离心率为________.
【解析】由已知得∠AF1F2=30°,故cos30°=,从而e=.
答案:
8.(2014·山东高考)已知双曲线-=1的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且=c,则双曲线的渐近线方程为________.
【解析】由题意知==b,
抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为,
即,代入双曲线方程为-=1,得=2,
所以==1,
所以渐近线方程为y=±x.
答案:y=±x
【补偿训练】若双曲线的渐近线方程为y=±x,它的一个焦点是(,0),则双曲线的标准方程是________.
【解析】由双曲线的渐近线方程为y=±x,知=,它的一个焦点是(,0),知a2+b2=10,因此a=3,b=1,故双曲线的方程是-y2=1.
答案:-y2=1
9.(2016·池州高二检测)以下三个关于圆锥曲线的命题中:
①双曲线-=1与椭圆+=1有相同的焦点;
②在平面内,设A,B为两个定点,P为动点,且|PA|+|PB|=k,其中常数k为正实数,则动点P的轨迹为椭圆;
③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率.
其中真命题的序号为__________.
【解析】①正确,双曲线-=1与椭圆有相同的焦点(±5,0);
②不正确,根据椭圆的定义,当k>|AB|时是椭圆;
③正确,方程2x2-5x+2=0的两根为或2,可分别作为椭圆和双曲线的离心率.
答案:①③
10.(2016·青岛高二检测)已知椭圆+=1,过点P(1,1)作直线l,与椭圆交于A,B两点,且点P是线段AB的中点,则直线l的斜率为________.
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),
则
①-②,得+=0,
又点P(1,1)是AB的中点,所以x1+x2=2,y1+y2=2,
所以+=0,
从而+y1-y2=0,
又x1≠x2,所以直线l的斜率k==-.
答案:-
三、解答题(共4小题,共50分)
11.(12分)(2016·漳州高二检测)(1)抛物线的顶点在原点,准线方程为y=-1,求抛物线的标准方程.
(2)已知双曲线的一条渐近线方程是x+2y=0,并经过点(2,2),求此双曲线的标准方程.
【解析】(1)依题意可设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),
因为准线为y=-1,所以=1,即p=2,
所以抛物线的标准方程为x2=4y.
(2)设双曲线方程为x2-4y2=λ,
因为双曲线经过点(2,2),所以λ=22-4×22=-12,
故双曲线方程为-=1.
12.(12分)直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A,B两点,若线段AB中点的横坐标等于2,求弦AB的长.
【解析】将y=kx-2代入y2=8x中变形整理得:k2x2-(4k+8)x+4=0,
由得k>-1且k≠0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意得:x1+x2==4k2=k+2k2-k-2=0.
解得:k=2或k=-1(舍去)
由弦长公式得:
|AB|=·=×=2.
13.(13分)(2016·福州高二检测)设抛物线y2=2px(p>0),Rt△AOB内接于抛物线,O为坐标原点,AO⊥BO,AO所在的直线方程为y=2x,|AB|=5,求抛物线方程.
【解题指南】根据AO⊥BO,直线AO的斜率为2,可知直线BO的斜率为-,进而得出直线BO的方程.把这两条直线方程代入抛物线方程,分别求出A,B的坐标.根据两点间的距离为5及勾股定理求得p.
【解析】因为AO⊥BO,直线AO的斜率为2,
所以直线BO的斜率为-,即方程为y=-x,
把直线y=2x代入抛物线方程解得A点坐标为,
把直线y=-x代入抛物线方程解得B点坐标为(8p,-4p).
因为|AB|=5,
所以+p2+64p2+16p2=25×13,所以p2=4,
因为p>0,所以p=2.故抛物线方程为y2=4x.
14.(13分)(2016·西安高二检测)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,-2).
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于 若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.
【解题指南】(1)将点代入易求方程.
(2)假设存在,根据条件求出直线,注意验证.
【解析】(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,
所以p=2.
故所求的抛物线C的方程为y2=4x,
其准线方程为x=-1.
(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.
由得y2+2y-2t=0.
因为直线l与抛物线C有公共点,
所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.
由直线OA到l的距离d=,
可得=,解得t=±1.
又因为-1,1∈,
所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.
【补偿训练】(2016·泉州高二检测)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆W:+=1(a>b>0)的离心率为,过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆所得的弦的弦长为,过点A的直线与椭圆W交于另一点C.
(1)求椭圆W的标准方程.
(2)当AC的斜率为时,求线段AC的长.
(3)设D是AC的中点,且以AB为直径的圆恰过点D,求直线AC的斜率.
【解析】(1)由=,设a=3k(k>0),则c=k,b2=3k2,
所以椭圆W的方程为+=1,
把x=k代入椭圆方程,解得y=±k,于是2k=,即k=,
所以椭圆W的标准方程为+y2=1.
(2)由已知A(0,-1),
直线AC的方程为y=x-1.
由得2x2-3x=0,
解得x=或x=0(舍),
所以点C的坐标为,
所以|AC|==.
(3)依题意,设直线AC的方程为y=k1x-1,k1≠0.
由得(3+1)x2-6k1x=0,
解得x=或x=0(舍),所以点C的横坐标为,
设点D的坐标为(x0,y0),则x0=,
y0=k1x0-1=,
因为以AB为直径的圆恰过点D,
所以|OD|=1,
即+=1.
整理得=,所以k1=±.
【能力挑战题】
(2016·日照高二检测)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点,离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M,若=m,=n,求m+n的值.
【解析】(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).
抛物线方程可化为x2=4y,其焦点为(0,1),
则椭圆C的一个顶点为(0,1),即b=1.
由e===.
得a2=5,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)易求出椭圆C的右焦点F(2,0),
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0),显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为
y=k(x-2),代入方程+y2=1,
得(1+5k2)x2-20k2x+20k2-5=0.
所以x1+x2=,x1x2=.
又=(x1,y1-y0),=(x2,y2-y0),
=(x1-2,y1),=(x2-2,y2).
因为=m,=n,
所以m=,n=,
所以m+n=,
又2x1x2-2(x1+x2)=
=-,
4-2(x1+x2)+x1x2
=4-+=,
所以m+n=10.
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课后提升作业
十八
变化率问题 导数的概念
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.已知一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在时间[3,3+Δt]s内的平均速度是 ( )
A.5+Δt(m/s)
B.5+(Δt)2(m/s)
C.5(Δt)2+Δt(m/s)
D.5(Δt)2(m/s)
【解析】选A.因为Δs=1-(3+Δt)+(3+Δt)2-(1-3+32)=(Δt)2+5Δt,所以物体在时间[3,3+Δt]s内的平均速度是==Δt+5.
2.(2016·天津高二检测)如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率
是 ( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2
【解题指南】可直接求直线AB的斜率.
【解析】选B.===-1.
3.(2016·宝鸡高二检测)如果函数f(x)=ax+b在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a= ( )
A.-3
B.2
C.3
D.-2
【解析】选C.根据平均变化率的定义,
可知==a=3.
4.过曲线y=f(x)=图象上一点(2,-2)及邻近一点(2+Δx,-2+Δy)作割线,则当Δx=0.5时割线的斜率为 ( )
A.
B.
C.1
D.-
【解题指南】利用平均变化率的几何意义解题.
【解析】选B.=
===.
【补偿训练】已知函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,
1+Δy),则等于 ( )
A.4
B.4+2Δx
C.4+Δx
D.4Δx+(Δx)2
【解析】选B.因为f(x)=2x2-1,所以f(1+Δx)=
2(1+Δx)2-1=2(Δx)2+4Δx+1,f(1)=1,
所以==
==4+2Δx.
5.f(x)在x=x0处可导,
则 ( )
A.与x0,Δx有关
B.仅与x0有关,而与Δx无关
C.仅与Δx有关,而与x0无关
D.与x0,Δx均无关
【解析】选B.式子表示的意义是求f′(x0),即求f(x)在x0处的导数,它仅与x0有关,与Δx无关.
【补偿训练】设f(x)在x=x0处可导,则等于 ( )
A.-f′(x0)
B.f′(-x0)
C.f′(x0)
D.2f′(x0)
【解析】选A.
=
=-=-f′(x0).
6.函数y=x+在x=1处的导数是 ( )
A.2
B.
C.1
D.0
【解析】选D.Δy=(Δx+1)+-1-1
=Δx+,=1-,
==1-1=0,
所以,函数y=x+在x=1处的导数为0.
7.(2016·潮州高二检测)物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示,下列说法正确的是 ( )
A.在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
C.在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
【解析】选C.在0到t0范围内,甲、乙所走的路程相同,时间一样,所以平均速度相同,在t0到t1范围内,时间相同,而甲走的路程较大,所以甲的平均速度较大.
8.函数y=f(x)=x2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为k1,在区间[x0-Δx,x0]上的平均变化率为k2,则k1与k2的大小关系为 ( )
A.k1>k2
B.k1C.k1=k2
D.不确定
【解题指南】分别利用平均变化率公式求出k1与k2再进行比较.
【解析】选A.由题意k1=
==2x0+Δx,
k2==
=2x0-Δx.
由题意知:Δx>0,所以k1>k2.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.物体做匀速运动,其运动方程是s=vt,则该物体在运动过程中的平均速度与任何时刻的瞬时速度的关系是 .
【解析】物体做匀速运动,所以任何时刻的瞬时速度都是一样的.
答案:相等
10.(2016·武汉高二检测)在自行车比赛中,运动员的位移s与比赛时间t存在函数关系s=10t+5t2(s单位:m,t单位:s),则t=20s时的瞬时速度为 .
【解析】由导数的定义知
v==
=10+10t+5Δt.
当Δt趋于0时,v趋于10+10t,
在t=20s时的瞬时速度为v=10×20+10=210m/s.
答案:210m/s
【规律总结】做直线运动的物体,它的运动规律可以用函数s=s(t)描述,设Δt为时间改变量,在t0+Δt这段时间内,物体的位移(即位置)改变量是Δs=s(t0+
Δt)-s(t0),那么位移改变量Δs与时间改变量Δt的比就是这段时间内物体的平均速度,即==.
【补偿训练】若物体运动方程为s(t)=-2t2+t,则其初速度为 .
【解析】物体的初速度即t=0时的瞬时速度,==-2Δt+1,当Δt趋于0时,趋于1,即初速度为1.
答案:1
三、解答题
11.(10分)(2016·济南高二检测)已知质点M按规律s=3t2+2做直线运动(位移s单位:cm,时间t单位:s).
(1)当t=2,Δt=0.01时,求.
(2)求质点M在t=2时的瞬时速度.
【解析】==
=6t+3Δt.
(1)当t=2,Δt=0.01时,
=6×2+3×0.01=12.03cm/s.
(2)当Δt趋于0时,6t+3Δt趋于6t,
所以质点M在t=2时的瞬时速度为12cm/s.
【补偿训练】1.(2016·聊城高二检测)求函数y=在x=1处的导数.
【解析】Δy=-1,
==,
所以=
=,即函数y=在x=1处的导数为.
2.质点M按规律s(t)=at2+1做直线运动(位移s的单位:m,时间t的单位:s).问是否存在常数a,使质点M在t=2时的瞬时速度为8m/s
【解析】假设存在常数a,则Δs=s(2+Δt)-s(2)=a(2+Δt)2+1-a×22-1=4a+
4aΔt+a(Δt)2+1-4a-1
=4aΔt+a(Δt)2,
所以==4a+aΔt.
当Δt趋于0时,4a+aΔt趋于4a,4a=8,解得a=2.
所以存在常数a=2,使质点M在t=2时的瞬时速度为8m/s.
【规律总结】对于是否存在的探究性问题,可先假设其存在,然后按瞬时速度的定义求解即可.
3.路灯距地面8m,一个身高1.6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影C沿某直线离开路灯,
(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式.
(2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率.
【解析】(1)如图所示,设人从C点运动到B处的路程为xm,AB为身影长度,AB的长度为ym.
由于CD∥BE,则=,
即=,所以y=x.
(2)因为84m/min=1.4m/s,而x=1.4t.
所以y=x=×1.4t=t,t∈[0,+∞).
Δy=(10+Δt)-×10=Δt,
所以=.
即人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率为.
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课后提升作业
二十四
函数的最大(小)值与导数
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2016·衡水高二检测)函数y=x-sinx,x∈的最大值是 ( )
A.π-1
B.-1
C.π
D.π+1
【解析】选C.因为y′=1-cosx,
当x∈时,y′>0,则函数y在区间上为增函数,
所以y的最大值为ymax=π-sinπ=π.
【补偿训练】函数f(x)=x2-lnx的最小值为 ( )
A.
B.1
C.0
D.不存在
【解析】选A.f′(x)=x-=,且x>0.
令f′(x)>0,得x>1;令f′(x)<0,得0所以f(x)在x=1处取得极小值也是最小值,
且f(1)=-ln1=.
2.函数f(x)=2+,x∈(0,5]的最小值为 ( )
A.2
B.3
C.
D.2+
【解析】选B.由f′(x)=-==0,得x=1,
且x∈(0,1)时,f′(x)<0;
x∈(1,5]时,f′(x)>0,
所以x=1时f(x)最小,最小值为f(1)=3.
3.已知函数f(x)=ax-lnx,当x∈(0,e](e为自然常数),函数f(x)的最小值为3,则a的值为 ( )
A.e
B.e2
C.2e
D.2e2
【解析】选B.由f(x)=ax-lnx得f′(x)=a-,
因为x∈(0,e],
所以当a≤时,f(x)在x∈(0,e]是减函数,
最小值为f(e)=ae-1≤0,不满足题意,
当a>,f(x)在是减函数,
是增函数,
所以最小值为f=1+lna=3 a=e2.
【补偿训练】(2015·大庆高二检测)若函数y=x3+x2+m在[-2,1]上的最大值为,则m等于 ( )
A.0
B.1
C.2
D.
【解题指南】先求出函数y=x3+x2+m在[-2,1]上的最大值,再依据题设条件可得到关于m的方程,解方程即得出m的值.
【解析】选C.y′=′
=3x2+3x=3x(x+1).
由y′=0,得x=0或x=-1.
因为f(0)=m,f(-1)=m+.
f(1)=m+,
f(-2)=-8+6+m=m-2,
所以f(1)=m+最大.所以m+=.所以m=2.
4.已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=lnx-ax,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于 ( )
A.
B.
C.
D.1
【解析】选D.因为f(x)是奇函数,
所以f(x)在(0,2)上的最大值为-1.
当x∈(0,2)时,f′(x)=-a,
令f′(x)=0得x=,
又a>,所以0<<2.
当00,f(x)在上单调递增;
当2>x>时,f′(x)<0,f(x)在上单调递减,
所以f(x)max=f=ln-a·=-1,
解得a=1.
5.设函数f(x)=x3--2x+5,若对任意x∈[-1,2],都有f(x)>m,则实数m的取值范围是 ( )
A.m<
B.m<7
C.m<
D.m<
【解析】选D.
f′(x)=3x2-x-2=0,
解得x=1或-,f(-1)=,
f=,
f(1)=,f(2)=7.所以m<.
【规律总结】简化法求最值
(1)求函数的最值,显然求极值是关键的一环.但仅仅是求最值,可用下面简化的方法求得.
①求出导数为零的点.
②比较这些点与端点处函数值的大小,
就可求出函数的最大值和最小值.
(2)若函数在闭区间[a,b]上连续单调,则最大、最小值在端点处取得.
6.(2016·大连高二检测)已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为 ( )
A.37
B.-37
C.5
D.-5
【解析】选B.因为f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),
所以f(x)在(-2,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,
因此,当x=0时,f(x)取得最大值,
即f(0)=m=3,然而f(-2)=-37,f(2)=-5,
因此f(x)min=f(-2)=-37.
7.(2016·武汉高二检测)函数f(x)=x3-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是 ( )
A.20
B.18
C.3
D.0
【解析】选A.因为f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),
令f′(x)=0,得x=±1,
所以-1,1为函数的极值点.
又f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,
所以在区间[-3,2]上f(x)max=1,f(x)min=-19.
又由题设知在区间[-3,2]上f(x)max-f(x)min≤t,
从而t≥20,所以t的最小值是20.
8.已知函数f(x),g(x)均为[a,b]上的可导函数,在[a,b]上连续且f′(x)<
g′(x),则f(x)-g(x)的最大值为 ( )
A.f(a)-g(a)
B.f(b)-g(b)
C.f(a)-g(b)
D.f(b)-g(a)
【解析】选A.令u(x)=f(x)-g(x),则u′(x)=f′(x)-g′(x)<0,所以u(x)在[a,b]上为减函数,
所以u(x)的最大值为u(a)=f(a)-g(a).
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.函数f(x)=ex(sinx+cosx)在区间上的值域为 .
【解析】因为x∈,所以f′(x)=excosx≥0,
所以f(0)≤f(x)≤f.即≤f(x)≤.
答案:
【误区警示】解答本题易出现如下错误:一是导函数易求错;二是忽略函数的定义域区间.
【补偿训练】函数f(x)=x3-3x2-9x+k在区间[-4,4]上的最大值为10,则其最小值为 .
【解析】f′(x)=3x2-6x-9=3(x-3)(x+1).
由f′(x)=0得x=3或x=-1.
又f(-4)=k-76,f(3)=k-27,
f(-1)=k+5,f(4)=k-20.
由f(x)max=k+5=10,得k=5,
所以f(x)min=k-76=-71.
答案:-71
10.(2016·沈阳高二检测)已知a≤+lnx对于x∈恒成立,则a的最大值为 .
【解析】设f(x)=+lnx,
则f′(x)=+=,
当x∈时,f′(x)<0,
故函数f(x)在上单调递减;
当x∈(1,2]时,f′(x)>0,
故函数f(x)在(1,2]上单调递增,
所以f(x)min=f(1)=0,
所以a≤0,即a的最大值为0.
答案:0
【规律总结】“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型,对于不能分离参数的恒成立问题,直接求含参函数的最值即可.一般地,可采用分离参数法.
λ≥f(x)恒成立 λ≥[f(x)]max;λ≤f(x)恒成立 λ≤[f(x)]min.
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.(2016·长沙高二检测)已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,x∈[-1,2]的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.
【解析】f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),
令f′(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).
(1)当a>0时,列表如下:
x
-1
(-1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
+
0
-
f(x)
-7a+b
↗
b
↘
-16a+b
由表可知,当x=0时,f(x)取极大值,
也就是函数在[-1,2]上的最大值,
所以f(0)=3,即b=3.
又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3所以f(2)=-16a+3=-29,所以a=2.
(2)当a<0时,同理可得,
当x=0时,f(x)取极小值,也就是函数在[-1,2]上的最小值,
所以f(0)=-29,即b=-29.
又f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29>f(-1),
所以f(2)=-16a-29=3,
所以a=-2.
综上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29.
【警示误区】分类讨论
由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值的变化.所以解决这类问题常需要分类讨论,并结合不等式的知识进行求解.
12.(2016·黄山高二检测)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a.
(1)求f(x)的单调递减区间.
(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
【解题指南】(1)先求出函数f(x)的导函数f′(x),然后令f′(x)<0,解得的区间即为函数f(x)的单调递减区间.
(2)先求出端点的函数值f(-2)与f(2),比较f(2)与f(-2)的大小,然后根据函数f(x)在[-1,2]上单调递增,在[-2,-1]上单调递减,得到f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,建立等式关系求出a,从而求出函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值.
【解析】(1)f′(x)=-3x2+6x+9.
令f′(x)<0,解得x<-1或x>3,
所以函数f(x)的单调递减区间为
(-∞,-1),(3,+∞).
(2)因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,
f(2)=-8+12+18+a=22+a,
所以f(2)>f(-2).
因为在(-1,3)上f′(x)>0,
所以f(x)在[-1,2]上单调递增,
又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减,
因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值,
于是有22+a=20,解得a=-2.
故f(x)=-x3+3x2+9x-2,
因此f(-1)=1+3-9-2=-7,
即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.
【能力挑战题】
已知函数f(x)=x2+lnx(a∈R).
(1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值.
(2)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,求a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,f(x)=x2+lnx,
f′(x)=x+=;
对于x∈[1,e],有f′(x)>0,
所以f(x)在区间[1,e]上为增函数,
所以f(x)max=f(e)=1+,
f(x)min=f(1)=.
(2)令g(x)=f(x)-2ax
=x2-2ax+lnx,
在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax下方,等价于g(x)<0在区间(1,+∞)上恒成立,
因为g′(x)=(2a-1)x-2a+
=
=.
①若a>,
令g′(x)=0,得x1=1,x2=,
当x2>x1=1,即在(x2,+∞)上有g′(x)>0,
此时g(x)在区间(x2,+∞)上是增函数,
当x→+∞时,有x2-2ax→+∞,lnx→+∞,
g(x)∈[g(x2),+∞),不合题意;
当x2≤x1=1,即a≥1时,
同理可知,g(x)在区间(1,+∞)上是增函数,
当x→+∞时,有x2-2ax→+∞,lnx→+∞,
g(x)∈(g(1),+∞),也不合题意.
②若a≤,则2a-1≤0,
此时在区间(1,+∞)上恒有g′(x)<0,
从而g(x)在区间(1,+∞)上是减函数.
要使g(x)<0在此区间上恒成立,
只须满足g(1)=-a-≤0 a≥-,
即-≤a≤.
综上所述,a的取值范围是.
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课后提升作业
七
全称量词 存在量词
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.下列语句不是全称命题的是 ( )
A.任何一个实数乘以零都等于零
B.自然数都是正整数
C.高二(一)班绝大多数同学是团员
D.每一个向量都有大小
【解析】选C.“高二(一)班绝大多数同学是团员”,即“高二(一)班有的同学不是团员”,是特称命题.
2.下列命题为特称命题的是 ( )
A.偶函数的图象关于y轴对称
B.正四棱柱都是平行六面体
C.不相交的两条直线是平行直线
D.存在实数大于等于3
【解析】选D.A,B,C三个选项都含有“所有”这个全称量词,只有D选项中有存在量词“存在”.
3.下列命题中,是真命题且是全称命题的是 ( )
A.对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2<0
B.菱形的两条对角线相等
C.x∈R,=x
D.对数函数在定义域上是单调函数
【解析】选D.C是特称命题,A,B都是全称命题,但为假命题,只有D既为全称命题又是真命题.
4.下列命题为真命题的是 ( )
A.对任意x∈R,都有cosx<2成立
B.存在x∈Z,使log2(3x-1)<0成立
C.对任意x>0,都有3x>3成立
D.存在x∈Q,使方程x-2=0有解
【解析】选A.A中,由于函数y=cosx的最大值是1,
又1<2,所以A是真命题;
B中,log2(3x-1)<00<3x-1<1C中,当x=1时,31=3,所以C是假命题;
D中,x-2=0x=Q,
所以D是假命题,故选A.
5.下列命题中是全称命题并且是真命题的是 ( )
A.每个二次函数的图象都开口向上
B.存在一条直线与两个相交平面都垂直
C.对任意实数c,若a+c≤b+c,则a≤b
D.存在一个实数x,使不等式x2-2x+3<0成立
【解析】选C.B,D是特称命题,故应排除;对于A,二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象开口向下,也应排除,故应选C.
6.(2016·海口高二检测)下列命题中真命题为 ( )
A.若sinA=sinB,则∠A=∠B
B.x∈R,都有x2+1>0
C.若lgx2=0,则x=1
D.x∈Z,使1<4x<3
【解析】选B.若sinA=sinB,不一定有∠A=∠B,A不正确,B正确;若lgx2=0,则x2=1,x=±1,C不正确,D不正确.
7.(2016·泰安高二检测)若命题“x∈R,x2+(a-1)x+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是 ( )
A.[-1,3]
B.(-1,3)
C.(-∞,-1]∪[3,+∞)
D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
【解析】选D.依题意,关于x的不等式x2+(a-1)x+1<0有解,因此Δ=(a-1)2-4>0,即a2-2a-3>0,解得a<-1或a>3.
8.(2016·杭州高二检测)若存在x0∈R,使a+2x0+a<0,则实数a的取值范围是
( )
A.a<1
B.a≤1
C.-1D.-1【解析】选A.当a≤0时,显然存在x0∈R,使a+2x0+a<0;
当a>0时,由Δ=4-4a2>0,
解得-1综上所述,实数a的取值范围是a<1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.已知命题p:x∈R,x2-x+<0,命题q:x0∈R,sinx0+cosx0=,则p∨q,p∧q,﹁p,﹁q中是真命题的有________.
【解题指南】先判断p,q的真假,再判断p∨q,p∧q,﹁p,﹁q的真假.
【解析】因为x2-x+=≥0,
故p是假命题,所以﹁p为真命题,
而存在x0=使sinx0+cosx0=,故q是真命题,
﹁q为假命题,因此p∨q为真命题,p∧q为假命题.
答案:p∨q,﹁p
10.已知命题p:“x∈[0,1],a≥ex”,命题q:“x0∈R,+4x0+a=0”,若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是____________.
【解析】由命题“p∧q”是真命题得命题p,q都是真命题.
因为x∈[0,1],所以ex∈[1,e],
所以a≥e;x0∈R,+4x0+a=0,
即方程x2+4x+a=0有实数解,
所以Δ=42-4a≥0,
解得a≤4,取交集得a∈[e,4].
答案:[e,4]
【延伸探究】本题条件“若命题p∧q是真命题”改为“若命题p∧q是假命题”,其他条件不变,则实数a的取值范围是________.
【解析】若命题p∧q是假命题,则有三种情形:p真q假,p假q真,p假q假,直接求解比较复杂,可求原题结果的补集即得,[e,4]的补集是(-∞,e)∪(4,+∞).
答案:(-∞,e)∪(4,+∞)
三、解答题
11.(10分)已知函数f(x)=lg,若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围.
【解析】根据f(x)>0得lg>lg1,
即x+-2>1在x∈[2,+∞)上恒成立,
分离参数,得a>-x2+3x在x∈[2,+∞)上恒成立,
设g(x)=-x2+3x,
则g(x)=-+,
当x∈[2,+∞)时,g(x)max=f(2)=2,所以a>2,
故a的取值范围是(2,+∞).
【补偿训练】(2016·武汉高二检测)已知ax-y+2a+1=0,当a∈时,恒有y>0,求x的取值范围.
【解析】因为ax-y+2a+1=0,
所以y=ax+2a+1.
当a∈时,恒有y>0,
即ax+2a+1>0在a∈时恒成立;
设f(a)=ax+2a+1,a∈;
则
即
解得-5所以x的取值范围是-5关闭Word文档返回原板块温馨提示：
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单元质量评估(三)
(第三章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.设正弦函数y=sinx在x=0和x=附近的瞬时变化率为k1,k2,则k1,k2的大小关系为 ( )
A.k1>k2
B.k1C.k1=k2
D.不确定
【解析】选A.y=sinx,y′=cosx,
所以k1=cos0=1,k2=cos=0,k1>k2.
2.若f′(x0)=-3,则= ( )
A.-12
B.-9
C.-6
D.-3
【解析】选A.因为
=+3
=f′(x0)+3f′(x0)=4f′(x0),
所以=-12.
3.函数f(x)=2x-cosx在(-∞,+∞)上 ( )
A.单调递增
B.单调递减
C.有最大值
D.有最小值
【解析】选A.f′(x)=2+sinx>0恒成立,
所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
4.设函数g(x)=x(x2-1),则g(x)在区间[0,1]上的最小值为 ( )
A.-1
B.0
C.-
D.
【解析】选C.g(x)=x3-x,由g′(x)=3x2-1=0,解得x1=,x2=-(舍去).
当x变化时,g′(x)与g(x)的变化情况如下表:
x
0
1
g′(x)
-
0
+
g(x)
0
↘
极小值
↗
0
所以当x=时,g(x)有最小值g=-.
5.已知函数f(x)=ax3-x2+x-5在(-∞,+∞)上既有极大值,也有极小值,则实数a的取值范围为 ( )
A.a>
B.a≥
C.a<且a≠0
D.a≤且a≠0
【解题指南】函数有极大值、极小值说明该函数的导数值等于0至少有两个根,由一元二次方程根的判别式即可求解.
【解析】选C.f′(x)=3ax2-2x+1,函数f(x)在(-∞,+∞)上有极大值,也有极小值,等价于f′(x)=0有两个不等实根,即解得a<且a≠0.
6.(2016·沈阳高二检测)三次函数f(x)=mx3-x在(-∞,+∞)上是减函数,则m的取值范围是 ( )
A.m<0
B.m<1
C.m≤0
D.m≤1
【解析】选C.f′(x)=3mx2-1,
由题意f′(x)≤0在R上恒成立.
当m等于0时,显然成立,
当m不等于0时,
综上可知,m≤0.
【误区警示】解答本题易出现如下错误:
一是忽略m=0的情况,二是当m不等于0时的情况处理失误,从而造成结果出错.
7.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)的图象的是 ( )
【解析】选D.设h(x)=f(x)ex,
则h′(x)=(2ax+b)ex+(ax2+bx+c)ex
=(ax2+2ax+bx+b+c)ex.
由x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,
得当x=-1时,
ax2+2ax+bx+b+c=c-a=0,所以c=a.
所以f(x)=ax2+bx+a.
若方程ax2+bx+a=0有两根x1,x2,则x1x2==1,D中图象一定不满足该条件.
8.(2016·重庆高二检测)已知函数f(x)=ex-mx+1的图象是曲线C,若曲线C不存在与直线y=ex垂直的切线,则实数m的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解题指南】求出函数的导数,设切点为(s,t),求得切线的斜率,若曲线C不存在与直线y=ex垂直的切线,则关于s的方程es-m=-无实数解,由指数函数的值域,即可得到m的取值范围.
【解析】选D.函数f(x)=ex-mx+1的导数为f′(x)=ex-m,
设切点为(s,t),即有切线的斜率为es-m,
若曲线C不存在与直线y=ex垂直的切线,则关于s的方程es-m=-无实数解,由于es>0,即有m-≤0,解得m≤.
9.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,+∞)
B.(-2,+∞)
C.(0,+∞)
D.(-1,+∞)
【解析】选D.因为2x(x-a)<1,所以a>x-.
令f(x)=x-,
所以f′(x)=1+2-xln2>0.
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)>f(0)=0-1=-1,
所以a的取值范围为(-1,+∞).
10.如果圆柱的轴截面周长为定值4,则圆柱体积的最大值为 ( )
A.π
B.π
C.π
D.π
【解题指南】先确定一个变量,再确定一个函数关系式,求导确定函数的最值,并注意自变量的取值范围.
【解析】选A.设圆柱横截面圆的半径为R,圆柱的高为h,则2R+h=2.因为V=πR2h=πR2(2-2R)=2πR2-2πR3,
所以V′=2πR(2-3R).
令V′=0,则R=0(舍)或R=.
经检验知,当R=时,圆柱体积最大,此时h=,
Vmax=π·×=π.
11.(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0)
D.(0,1)∪(1,+∞)
【解析】选A.记函数g(x)=,
则g′(x)=,
因为当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,
故当x>0时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减;
又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数,故函数g(x)是偶函数,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,
且g(-1)=g(1)=0.
当00,则f(x)>0;
当x<-1时,g(x)<0,则f(x)>0,
综上所述,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).
12.已知y=f(x)是(0,+∞)上的可导函数,满足(x-1)[2f(x)+xf′(x)]>0(x≠1)恒成立,f(1)=2,若曲线f(x)在点(1,2)处的切线为y=g(x),且g(a)=2016,则a等于( )
A.-500.5
B.-501.5
C.-502.5
D.-503.5
【解析】选C.令F(x)=x2f(x),
则F′(x)=2xf(x)+x2f′(x)=x[2f(x)+xf′(x)],
当x>1时,F′(x)>0,F(x)在(1,+∞)上递增;
当0因为F′(1)=0,所以2f(1)+f′(1)=0,所以f′(1)=-4,
所以切线方程为y-2=-4(x-1),即y=-4x+6,
所以由-4a+6=2016,得a=-502.5
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.已知函数f(x)=axlnx,x∈(0,+∞),其中a为实数,f′(x)为f(x)的导函数.若f′(1)=3,则a的值为 .
【解析】f′(x)=alnx+ax·=a(lnx+1),由f′(1)=3得,a(ln1+1)=3,得a=3.
答案:3
14.(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f=ax3+x+1的图象在点处的切线过点,则a= .
【解析】因为f′(x)=3ax2+1,所以图象在点处的切线的斜率k=3a+1,所以切线方程为y-7=(3a+1)(x-2),即y=(3a+1)x-6a+5,又切点为,
所以f(1)=3a+1-6a+5=-3a+6,又f(1)=a+2,所以-3a+6=a+2,解得a=1.
答案:1
15.函数f(x)=的单调增区间是 .
【解析】因为f′(x)===>0,又x≠1.
所以f(x)的单调增区间为(-∞,1),(1,+∞).
答案:(-∞,1),(1,+∞)
16.(2016·青岛高二检测)已知函数f(x)=x-,g(x)=x2-2ax+4,若对于任意x1∈[0,1],存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是 .
【解析】由于f′(x)=1+>0,
因此函数f(x)在[0,1]上单调递增,
所以x∈[0,1]时,f(x)min=f(0)=-1.
根据题意可知存在x∈[1,2],使得g(x)=x2-2ax+4≤-1,即x2-2ax+5≤0,即a≥+能成立,
令h(x)=+,则要使a≥h(x)在x∈[1,2]能成立,只需使a≥h(x)min,
又函数h(x)=+在x∈[1,2]上单调递减,
所以h(x)min=h(2)=,故只需a≥.
答案:
三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知f(x)=x2+ax+b,g(x)=x2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且f′(x)=
g′(x),f(5)=30.求g(4).
【解析】由f(2x+1)=4g(x),
得4x2+2(a+2)x+(a+b+1)=4x2+4cx+4d.
于是有
由f′(x)=g′(x),得2x+a=2x+c,所以a=c,③
由f(5)=30,得25+5a+b=30.④
由①③可得a=c=2,由④得b=-5,
再由②得d=-,
所以g(x)=x2+2x-.故g(4)=16+8-=.
18.(12分)已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点P(1,-2),过点P作直线l.
(1)求使直线l和y=f(x)相切,且以P为切点的直线方程.
(2)求使直线l和y=f(x)相切,且切点异于P的直线方程.
【解题指南】(1)由已知可得斜率函数为f′(x)=3x2-3,进而求出所过点的切线的斜率,代入点斜式公式即可.(2)设另一切点为(x0,y0),求出该点切线方程,再由条件计算.
【解析】(1)由f(x)=x3-3x,得f′(x)=3x2-3,过点P以P(1,-2)为切点的直线的斜率f′(1)=0,
所以所求直线方程为y=-2.
(2)设过P(1,-2)的直线l与y=f(x)切于另一点(x0,y0),则f′(x0)=3-3,
又直线过(x0,y0),P(1,-2),
故其斜率可表示为=,
又=3-3,即-3x0+2=3(-1)(x0-1).
解得x0=1(舍去),或x0=,
故所求直线的斜率为k=3×=-.
所以直线l的方程为y-(-2)=-(x-1).
即9x+4y-1=0.
【规律方法】用导数求切线方程的关键在于求出切点P(x0,y0)及斜率,其求法为:设P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的一点,则以P的切点的切线方程为:y-y0=
f′(x0)(x-x0).若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))的切线平行于y轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为x=x0.
【补偿训练】已知函数f(x)=x2+xlnx.
(1)求f′(x).
(2)求函数f(x)图象上的点P(1,1)处的切线方程.
【解题指南】(1)直接使用求导公式和法则得结果.
(2)由导数的几何意义,求切线斜率,再由点斜式得切线方程.
【解析】(1)f′(x)=(x2)′+(xlnx)′=2x+1×lnx+x·=2x+lnx+1.
(2)由题意可知切点的横坐标为1,所以切线的斜率是k=f′(1)=2×1+ln1+1=3,
所以切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.
19.(12分)已知函数f(x)=x3-ax2,其中x∈R,a为参数.
(1)记函数g(x)=f′(x)+lnx,讨论函数g(x)的单调性.
(2)若曲线y=f(x)与x轴正半轴有交点且交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g′(x),求证:对于任意的正实数x,都有f(x)≥g(x).
【解题指南】(1)整理函数g(x)解析式,求得其导函数g′(x),结合函数定义域对参数a的范围加以讨论,从而得到g′(x)的正负,确定函数的单调性.(2)将证明不等式f(x)≥g(x)转化为求函数h(x)=f(x)-g(x)=x3-ax2-a2x+a3的最小值问题,从而借助于导数求解.
【解析】(1)函数g(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=3x2-2ax,g(x)=(3x2-2ax)+
lnx,
g′(x)=(6x-2a)+=x+-≥2-.
当a≤6时,则2-≥0,所以g′(x)≥0,所以函数g(x)在定义域(0,+∞)上单调递增,
当a>6时,令g′(x)==0,则x1=,x2=.
可知函数g(x)在上单调递增,
在单调递减,
在上单调递增.
(2)令f(x)=0,则x=0或x=a.
若曲线y=f(x)与x轴正半轴有交点,则a>0且交点坐标为P(a,0).
又f′(x)=3x2-2ax,则f′(a)=a2,
所以曲线在点P处的切线方程为y=a2(x-a),即g(x)=a2x-a3,
令h(x)=f(x)-g(x)=x3-ax2-a2x+a3,
h′(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)(x-a),
函数h(x)在区间(0,a)上单调递增,在区间(a,+∞)上单调递减,所以当x=a时,h(x)有最小值,所以h(x)≥0,则f(x)≥g(x).
20.(12分)(2015·全国卷Ⅱ)已知f(x)=lnx+a(1-x).
(1)讨论f(x)的单调性.
(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.
【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-a.
若a≤0,则f′(x)>0,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
若a>0,则当x∈时,f′(x)>0;x∈时,f′(x)<0,
所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;
当a>0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln+a=-lna+a-1.
因此f>2a-2等价于lna+a-1<0,令g(a)=lna+a-1,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0.于是,当01时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).
21.(12分)若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值-.
(1)求函数的解析式.
(2)若方程f(x)=k有3个不同的根,求实数k的取值范围.
【解析】f′(x)=3ax2-b.
(1)由题意得
解得
故所求函数的解析式为f(x)=x3-4x+4.
(2)由(1)可得f′(x)=x2-4=(x-2)(x+2),
令f′(x)=0,得x=2或x=-2.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
↘
-
↗
因此,当x=-2时,f(x)有极大值,当x=2时,f(x)有极小值-,
所以函数f(x)=x3-4x+4的图象大致如图所示.
若f(x)=k有3个不同的根,则直线y=k与函数f(x)的图象有3个交点,所以-【延伸探究】若本题(2)中“若方程f(x)=k有3个不同的根”改为“若方程f(x)=k有2个不同的根”结果如何呢 若改为“若方程f(x)=k有1个根”呢
【解析】由上面的解法可知:当k=-或k=时,方程有两个不同的实数根;当k>或k<-时方程只有1个实数根.
22.(12分)已知函数f(x)=mex-lnx-1.
(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
(2)当m≥1时,证明:f(x)>1.
【解题指南】(1)先代入m=1,对f(x)求导数,再算出f′(1),f(1),进而可得曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.(2)利用(1)中结论进行放缩可先构造函数g(x)=ex-lnx-2,再利用导数可得g(x)的最小值,进而可证当m≥1时,f(x)>1.
【解析】(1)当m=1时,f(x)=ex-lnx-1,所以f′(x)=ex-.
所以f(1)=e-1,f′(1)=e-1.
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e-1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x.
(2)当m≥1时,f(x)=mex-lnx-1≥ex-lnx-1,
要证明f(x)>1,只需证明ex-lnx-2>0.
设g(x)=ex-lnx-2,则g′(x)=ex-.
设h(x)=ex-,
则h′(x)=ex+>0,所以函数h(x)=g′(x)=ex-在(0,+∞)上单调递增.
因为g′=-2<0,
g′(1)=e-1>0,所以函数g′(x)=ex-在(0,+∞)上有唯一零点x0,且x0∈.
因为g′(x0)=0,所以=,即lnx0=-x0,
当x∈(0,x0)时,g′(x)<0;
当x∈(x0,+∞)时,g′(x)>0,所以当x=x0时,g(x)取得最小值g(x0).
故g(x)≥g(x0)=-lnx0-2=+x0-2>0,
综上可知,当m≥1时,f(x)>1.
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单元质量评估(一)
(第一章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)
1.命题“若x2<1,则-1A.若x2≥1,则x≥1,或x≤-1
B.若-1C.若x>1,或x<-1,则x2>1
D.若x≥1或x≤-1,则x2≥1
【解析】选D.命题“若p,则q”的逆否命题为“若 q,则 p”.
2.(2015·北京高考)设α,β是两个不同的平面,m是直线且mα,“m∥β”是“α∥β”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.当m∥β时,可能α∥β,也可能α与β相交.当α∥β时,由mα可知,m∥β.因此,“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.
【补偿训练】(2016·烟台高二检测)已知p:α≠β,q:cosα≠cosβ,则p是q的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解题指南】根据原命题与其逆否命题的真假性相同,要判断p是q的什么条件,只需判断 q是 p的什么条件.
【解析】选B. p:α=β; q:cosα=cosβ,显然 p q成立,但 q p,所以 q是 p的必要不充分条件,即p是q的必要不充分条件.
3.设a,b为向量,则“”是“a∥b”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.a,b为向量,设a与b的夹角为θ.
由从而得=1,cosθ=±1,所以θ=0或π,能够推得a∥b,反之也能够成立,为充分必要条件.
4.若一个命题p的逆命题是一个假命题,则下列判断一定正确的是 ( )
A.命题p是真命题
B.命题p的否命题是假命题
C.命题p的逆否命题是假命题
D.命题p的否命题是真命题
【解析】选B.命题p的逆命题与其否命题是互为逆否命题,具有相同的真假性,其他命题的真假无法确定.
5.(2016·海口高二检测)已知命题p:x0∈(-∞,0),<,命题q:x∈(0,1),log2x<0,则下列命题为真命题的是 ( )
A.p∧q
B.p∨( q)
C.( p)∧q
D.p∧( q)
【解析】选C.由指数函数的图象与性质可知,命题p是假命题,由对数函数的图象与性质可知,命题q是真命题,则命题“p∧q”为假命题,命题“p∨( q)”为假命题,命题“( p)∧q”为真命题,命题“p∧( q)”为假命题,故选C.
6.(2016·杭州高二检测)命题“x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是 ( )
A.a≥4
B.a≤4
C.a≥5
D.a≤5
【解析】选C.命题“x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的充要条件是a≥4,故其充分不必要条件是实数a的取值范围是集合[4,+∞)的非空真子集,正确选项为C.
【误区警示】本题易出现的误区是条件与结论没有区别开,若a是b成立的条件,则a是条件,b是结论,若a成立的条件是b,则结论是a.
7.对x∈R,kx2-kx-1<0是真命题,则k的取值范围是 ( )
A.-4≤k≤0
B.-4≤k<0
C.-4D.-4【解析】选C.由题意知kx2-kx-1<0对任意x∈R恒成立,当k=0时,-1<0恒成立;当k≠0时,有即-48.(2016·广州高二检测)下列各小题中,p是q的充分必要条件的是 ( )
①p:cosα=cosβ,q:tanα=tanβ;
②p:=1,q:y=f(x)是偶函数;
③p:A∩B=A;q:BA;
④p:m<-2或m>6;q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点.
A.①②
B.②③
C.③④
D.②③④
【解析】选C.当α=,β=-时,cosα=cosβ,tanα≠tanβ,故pq,同理p
q,①不符合;
由=1f(x)=f(-x)f(x)为偶函数,而逆命题为假,如f(x)=x2,②不符合;
由A∩B=AA B
QUOTE
B A,③符合;
函数y=x2+mx+m+3有两个不同的零点的充要条件为Δ=m2-4(m+3)>0,
即(m+2)(m-6)>0,解得m<-2或m>6,④符合.
【误区警示】原命题与逆命题都真时,命题的条件与结论互为充要条件,本题易忽视对命题“若p,则q”以及逆命题“若q,则p”的真假的判断而误选D.
9.已知命题p:函数y=2-ax+1(a>0,a≠1)图象恒过(1,2)点;命题q:若函数f(x-1)为偶函数,则f(x)的图象关于直线x=1对称,则下列命题为真命题的是 ( )
A.p∧q
B. p∧ q
C. p∧q
D.p∧ q
【解析】选B.函数y=2-ax+1图象恒过定点(-1,1),所以命题p为假命题;若函数f(x-1)为偶函数,所以有f(-x-1)=f(x-1),关于直线x=-1对称,所以命题q为假命题;所以 p为真, q为真,故选B.
10.(2016·郑州高二检测)下列结论中,正确的是 ( )
①命题“如果p2+q2=2,则p+q≤2”的逆否命题是“如果p+q>2,则p2+q2≠2”;
②已知a,b,c为非零的平面向量.甲:a·b=a·c,乙:b=c,则甲是乙的必要条件,但不是充分条件;
③p:y=ax(a>0,且a≠1)是周期函数,q:y=sinx是周期函数,则p∧q是真命题;
④命题p:x0∈R,-3x0+2≥0的否定是 p:x∈R,x2-3x+2<0.
A.①②
B.①④
C.①②④
D.①③④
【解析】选C.容易判断①正确,②中,由b=c可得a·b=a·c,但由a·b=a·c只能得出a·(b-c)=0,不一定有b=c,故②正确,③中,p为假命题,q为真命题,故p∧q是假命题,③不正确,显然④正确,故选C.
【补偿训练】1.下面说法正确的是 ( )
A.命题“x0∈R,使得+x0+1≥0”的否定是“x∈R,使得x2+x+1≥0”
B.实数x>y是x2>y2成立的充要条件
C.设p,q为简单命题,若“p∨q”为假命题,则“ p∧ q”也为假命题
D.命题“若α=0,则cosα=1”的逆否命题为真命题
【解析】选D.对A,命题的否定是:“x∈R,使得x2+x+1<0”,故不正确.
对于B,由x>yx2>y2,且x2>y2x>y,故不正确.
对于C,若“p∨q”为假命题,则“ p∧ q”为真命题,故不正确.
对于D,若α=0,则cosα=1是真命题,故其逆否命题也为真命题,故正确.
2.(2016·枣庄高二检测)给出如下四个命题:
①若“p且q”为假命题,则p,q均为假命题;
②命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b-1”;
③“x∈R,x2+1≥1”的否定是“x0∈R,
x02+1≤1”;
④在△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件.
其中不正确的命题的个数是 ( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【解析】选C.①若“p且q”为假命题,则p,q中有一个为假命题,不一定p,q均为假命题,故错;
②根据命题写出其否命题时,只须对条件与结论都进行否定即可,故命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b-1”,正确;
③根据由一个命题的否定的定义可知:改变相应的量词,然后否定结论:“x∈R,x2+1≥1”的否定是“x0∈R,+1<1”,故错;
④在△ABC中,根据大边对大角及正弦定理即可得:“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件.故正确.
其中不正确的命题的个数是2.
11.已知命题p:“对x∈R,m∈R,使4x+2xm+1=0”.若命题 p是假命题,则实数m的取值范围是 ( )
A.-2≤m≤2
B.m≥2
C.m≤-2
D.m≤-2或m≥2
【解析】选C.因为 p假,所以p真.
对x∈R,t=2x>0,即求使t2+mt+1=0(t>0)成立的m的范围,而二次函数y=t2+mt+1开口向上,且恒过定点(0,1),
故所以m≤-2.
12.(2016·武汉高二检测)定义域为R的偶函数f(x)满足对x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x∈[2,3]时,f(x)=-2(x-3)2,若函数y=f(x)-loga(x+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,则a的取值范围为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解题指南】对函数恒等式进行赋值,探究函数的周期性、对称性,画出函数图象,建立不等式求解.
【解析】选B.由于定义域为R的偶函数f(x)满足对x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),得f(-1+2)=f(-1)-f(1)=0,故f(x+2)=f(x),可知f(x)的周期T=2,图象以x=2为对称轴,作出f(x)的部分图象,如图,
因为y=loga(x+1)的图象与f(x)的图象至少有三个交点,即有loga(2+1)>f(2)=-2且0解得a∈.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.(2016·三明高二检测)命题“若x=1或x=2,则x2-3x+2=0”的否命题是______________.
【解析】条件与结论都否定,即“若x≠1且x≠2,
则x2-3x+2≠0”.
答案:若x≠1且x≠2,则x2-3x+2≠0
14.命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是________.
【解析】ax2-2ax-3≤0恒成立,
当a=0时,-3≤0成立;
当a≠0时,由得-3≤a<0;
所以-3≤a≤0.
答案:[-3,0]
15.设n∈N
,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________.
【解析】由Δ=16-4n≥0得n≤4,又因为n∈N
,故n=1,2,3,4,验证可知n=3,4,符合题意;反之,当n=3,4时,可以推出一元二次方程有整数根.
答案:3或4
【补偿训练】已知p:-40,若 p是 q的充分条件,则实数a的取值范围是________.
【解析】p:a-4因为由 p是 q的充分条件(即 p q),
所以qp,所以所以-1≤a≤6.
答案:[-1,6]
16.下列三个命题中
①“k=1”是“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π”的充要条件;
②“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7相互垂直”的充要条件;
③函数y=的最小值为2.
其中是假命题的为________(将你认为是假命题的序号都填上)
【解析】①“k=1”可以推出“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π”,但是函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π,
即y=cos2kx,T==π,k=±1.
②“a=3”不能推出“直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7相互垂直”,反之垂直推出a=;
③函数y===+,
令=t,t≥,ymin=+=.
答案:①②③
三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)判断下列语句是否为命题,若是命题,再判断是全称命题还是特称命题,并判断真假.
(1)有一个实数α,tanα无意义.
(2)任何一条直线都有斜率吗
(3)圆的圆心到其切线的距离等于该圆的半径.
(4)圆内接四边形的对角互补.
(5)对数函数都是单调函数.
【解析】(1)特称命题.当α=时,tanα不存在,所以,特称命题“有一个实数α,tanα无意义”是真命题.
(2)不是命题.
(3)虽然不含有全称量词,但该命题是全称命题.它的含义是任何一个圆的圆心到切线的距离都等于圆的半径,所以,全称命题“圆的圆心到其切线的距离等于该圆的半径”是真命题.
(4)“圆内接四边形的对角互补”的实质是“所有的圆内接四边形,其对角都互补”,所以该命题是全称命题且为真命题.
(5)虽然不含全称量词,但“对数函数都是单调函数”中省略了“所有的”,所以该命题是全称命题且为真命题.
18.(12分)判断命题“已知a,x为实数,如果关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,则a≥1”的逆否命题的真假.
【解析】方法一:(直接法)
逆否命题:已知a,x为实数,如果a<1,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集.
判断如下:
二次函数y=x2+(2a+1)x+a2+2图象的开口向上,判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.
因为a<1,所以4a-7<0.
即二次函数y=x2+(2a+1)x+a2+2与x轴无交点,
所以关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集,故逆否命题为真.
方法二:(先判断原命题的真假)
因为a,x为实数,且关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,
所以Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0,即4a-7≥0,解得a≥,
因为a≥>1,所以原命题为真.
又因为原命题与其逆否命题等价,所以逆否命题为真.
19.(12分)若p:|x-3|≤2,q:(x-m+1)(x-m-1)≤0,且 p是 q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
【解析】由题意p:-2≤x-3≤2,所以1≤x≤5.
所以 p:x<1或x>5.
q:m-1≤x≤m+1,所以 q:xm+1.
又因为 p是 q的充分不必要条件,
所以所以2≤m≤4.
20.(12分)(2016·宿州高二检测)已知命题p:方程x2-2mx+m=0没有实数根;命题q:x∈R,x2+mx+1≥0.
(1)写出命题q的否定“ q”.
(2)如果“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数m的取值范围.
【解析】(1) q:x0∈R,+mx0+1<0.
(2)若方程x2-2mx+m=0没有实数根,则Δ=4m2-4m<0,解得0若x∈R,x2+mx+1≥0,则m2-4≤0,解得-2≤m≤2,即q:-2≤m≤2.
因为“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,所以p,q两命题应一真一假,即p真q假或p假q真.
则或
解得-2≤m≤0或1≤m≤2.
【拓展延伸】完美解决参数问题
通过已知条件,探索命题的真假,然后求解参数的取值范围,是逻辑用语部分常见的、基本的题型.解决此类问题要从三个方面入手:
(1)熟练掌握真值表,判断单个命题p,q的真假.
(2)具备丰富的基础知识储备,求解单个命题成立的参数范围.
(3)辅助应用集合的运算确定参数的最后范围.
【补偿训练】(2016·贵阳高二检测)已知两个命题p:sinx+cosx>m,q:x2+mx+1>0,如果对任意x∈R,有p∨q为真,p∧q为假,求实数m的取值范围.
【解析】当命题p是真命题时,
由于x∈R,则sinx+cosx=sin≥-,
所以有m<-.
当命题q是真命题时,
由于x∈R,x2+mx+1>0,
则Δ=m2-4<0,解得-2由于p∨q为真,p∧q为假,所以p与q一真一假.
考虑到函数f(x)=x2+mx+1的图象为开口向上的抛物线,对任意的x∈R,x2+mx+1≤0不可能恒成立.所以只能是p为假,q为真,
此时有解得-≤m<2,
所以实数m的取值范围是[-,2).
21.(12分)已知二次函数f(x)=ax2+x.对于x∈[0,1],|f(x)|≤1成立,试求实数a的取值范围.
【解析】|f(x)|≤1-1≤f(x)≤1-1≤ax2+x≤1,x∈[0,1]. ①
当x=0时,a≠0,①式显然成立;
当x∈(0,1]时,①式化为--
≤a≤-在x∈(0,1]上恒成立.
设t=,则t∈[1,+∞),
则有-t2-t≤a≤t2-t,
所以只需-2≤a≤0,
又a≠0,故-2≤a<0.
综上,所求实数a的取值范围是[-2,0).
22.(12分)(2016·临沂高二检测)求关于x的方程ax2+2x+a+1=0至少有一个负的实数根的充要条件.
【解析】方程ax2+2x+a+1=0至少有一个负的实数根的充要条件是:方程只有一个负实数根或有一个正实数根与一个负实数根或有两个负实数根,或有一负一零根,设两根为x1,x2,则
a=0或
或
或
即a=0或或
或
即a=0或或
a=0或-1即方程ax2+2x+a+1=0至少有一个负的实数根的充要条件是-1【拓展延伸】分类讨论的思想在求充要条件中的应用
对于含有参数的数学式子,或者有关几何图形的不同位置的问题等,解题时通常要对问题进行分类讨论.分类讨论时要清晰全面,做到不重复、不遗漏,分类讨论后,要进行概括性的整合总结.
【补偿训练】设a,b,c为△ABC的三边,求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.
【证明】充分性:因为∠A=90°,所以a2=b2+c2.
于是方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0,
所以x2+2ax+(a+c)(a-c)=0.
所以[x+(a+c)][x+(a-c)]=0.
所以该方程有两根x1=-(a+c),x2=-(a-c),
同样另一方程x2+2cx-b2=0也可化为x2+2cx-(a2-c2)=0,
即[x+(c+a)][x+(c-a)]=0,
所以该方程有两根x3=-(a+c),x4=-(c-a).
可以发现,x1=x3,
所以方程有公共根.
必要性:设x是方程的公共根,
则
由①+②,得x=-(a+c),x=0(舍去).
代入①并整理,可得a2=b2+c2.
所以∠A=90°.所以结论成立.
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课后提升作业
十六
抛物线的简单几何性质
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2015·陕西高考)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则抛物线焦点坐标为 ( )
A.(-1,0)
B.(1,0)
C.(0,-1)
D.(0,1)
【解析】选B.因为抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),所以=1,所以该抛物线焦点坐标为(1,0).
2.经过抛物线y2=2x的焦点且平行于直线3x-2y+5=0的直线l的方程是 ( )
A.6x-4y-3=0
B.3x-2y-3=0
C.2x+3y-2=0
D.2x+3y-1=0
【解析】选A.设直线l的方程为3x-2y+c=0,抛物线y2=2x的焦点F,
所以3×-2×0+c=0,
所以c=-,故直线l的方程是6x-4y-3=0.
3.(2016·衡水高二检测)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则p的值为 ( )
A.-2
B.2
C.-4
D.4
【解析】选D.椭圆+=1的右焦点为(2,0),
所以=2,所以p=4.
4.(2016·武汉高二检测)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为 ( )
A.-
B.-1
C.-
D.-
【解析】选C.因为抛物线C:y2=2px的准线为x=-,且点A(-2,3)在准线上,故-=-2,解得p=4,所以y2=8x,所以焦点F的坐标为(2,0),这时直线AF的斜率kAF==-.
5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos∠AFB=
( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选D.由得x2-5x+4=0,
所以x=1或x=4.不妨设A(4,4),B(1,-2),
则||=5,||=2,·=(3,4)·(0,-2)=-8,
所以cos∠AFB===-.
6.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,
l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则△ABP的面积为 ( )
A.18
B.24
C.36
D.48
【解析】选C.如图所示,设抛物线方程为y2=2px(p>0).
因为当x=时,|y|=p,所以p===6.
又P到AB的距离始终为p,所以S△ABP=×12×6=36.
【补偿训练】设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是 ( )
A.(0,2) B.[0,2]
C.(2,+∞)
D.[2,+∞)
【解析】选C.因为x2=8y,所以焦点F的坐标为(0,2),准线方程为y=-2.由抛物线的定义知|FM|=y0+2.
以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x2+(y-2)2=(y0+2)2.
由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交,
又圆心F到准线的距离为4,故4所以y0>2.
7.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点，交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为(
)
A.2
B.4
C.6
D.8
【解析】选B.以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理可得.
设抛物线为y2=2px(p>0)，设圆的方程为x2+y2=r2，题目条件翻译如图：
设
点A(x0,2)在抛物线y2=2px上，所以8=2px0.①
点D在圆x2+y2=r2上，所以5+=r2.②
点A(x0,2)在圆x2+y2=r2上，所以x02+8=r2.③
联立①②③解得：p=4，焦点到准线的距离为p=4．
8.(2016·天津高二检测)若抛物线x2=2y上距离点A(0,a)的最近点恰好是抛物线的顶点,则a的取值范围是 ( )
A.a>0
B.0C.a≤1
D.a≤0
【解析】选C.设抛物线上任一点P的坐标为(x,y),则
|PA|2=d2=x2+(y-a)2=2y+(y-a)2=y2-(2a-2)y+a2=[y-(a-1)]2+(2a-1).
因为y∈[0,+∞),根据题意知,
(1)当a-1≤0,即a≤1,y=0时,=a2.这时dmin=|a|.
(2)当a-1>0,即a>1时,y=a-1时d2取到最小值,不符合题意.
综上可知a≤1.
【易错警示】忽视了y的取值范围是[0,+∞),只想到当点在y轴负半轴时,d最小,导致错选D,或胡乱猜测以致错选B.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.以双曲线-=1的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程为________.
【解析】由-=1知a2=4,b2=5,
所以c2=a2+b2=9,双曲线的右焦点为(3,0),
依题意,抛物线的焦点F(3,0),=3,
所以p=6,所以抛物线的方程为y2=12x.
答案:y2=12x
10.(2016·长春高二检测)已知点P是抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上射影是M,点A(4,6),则|PA|+|PM|的最小值是________.
【解题指南】将P到y轴的距离,转化为点P到焦点的距离,当A,P,F共线时,|PA|+|PM|最小.
【解析】由y2=4x,得p=2,
所以焦点F(1,0),如图,
|PM|=|PN|-=|PF|-1,
所以|PA|+|PM|
=|PA|+|PF|-1≥|AF|-1=-1=3-1.
答案:3-1
【补偿训练】抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点A是抛物线上一点,且
∠AFO=120°(O为坐标原点),AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是________.
【解析】如图,设A(x0,y0),过A作AH⊥x轴于H,
在Rt△AFH中,|FH|=x0-1,由∠AFO=120°,得∠AFH=60°,
故y0=|AH|=(x0-1).所以点A的坐标为(x0,(x0-1)),
将此代入抛物线方程可得3-10x0+3=0,
解得x0=3或x0=(舍),
故S△AKF=×(3+1)×2=4.
答案:4
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,求抛物线的标准方程.
【解题指南】由双曲线离心率求得其渐近线方程,从而求得交点A,B的坐标,即可得到三角形面积表达式,从而得到p的值,进而写出标准方程.
【解析】由已知得=2,所以=4,解得=,
即渐近线方程为y=±x.
而抛物线准线方程为x=-,
于是A,B,
从而△AOB的面积为·p·=,可得p=2.因为抛物线开口向右,所以其标准方程为y2=4x.
12.若直线l过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线交于A,B两点,且线段AB中点的横坐标为2,求线段AB的长.
【解析】因为抛物线方程为y2=4x,
所以抛物线的焦点为F(1,0),准线为:x=-1,
设线段AB的中点为M(2,y0),
则M到准线的距离为:|MN|=2-(-1)=3,过A,B分别作AC,BD与准线垂直,垂足分别为C,D.根据梯形中位线定理,可得|AC|+|BD|=2|MN|=6.再由抛物线的定义知:|AF|=|AC|,|BF|=|BD|.
所以|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=6.
即线段AB的长为6.
【能力挑战题】
已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点为F,准线为l,抛物线C上一点A的横坐标为3,且点A到准线l的距离为5.
(1)求抛物线C的方程.
(2)若P为抛物线C上的动点,求线段FP的中点M的轨迹方程.
【解析】(1)由题意得,3+=5,所以p=4,
所以抛物线的方程为y2=8x.
(2)由(1)知F(2,0),设P(x0,y0),M(x,y),
则即
而点P(x0,y0)在抛物线C上,=8x0,
所以(2y)2=8(2x-2),即y2=4(x-1),
此即为所求点M的轨迹方程.
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课后提升作业
十九
导数的几何意义
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2016·天津高二检测)已知曲线f(x)=x2+2x的一条切线斜率是4,则切点的横坐标为 ( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
【解析】选D.Δy=f(x+Δx)-f(x)
=(x+Δx)2+2(x+Δx)-x2-2x
=x·Δx+(Δx)2+2Δx,
所以=x+Δx+2,所以f′(x)==x+2.
设切点坐标为(x0,y0),则f′(x0)=x0+2.
由已知x0+2=4,所以x0=2.
2.曲线f(x)=3x+x2在点(1,f(1))处的切线方程为 ( )
A.y=5x-1
B.y=-5x+1
C.y=x+1
D.y=-x-1
【解析】选A.k==5.
f(1)=4.由点斜式得y-4=5(x-1),即y=5x-1.
3.(2016·泰安高二检测)曲线y=x3-2在点处切线的倾斜角为 ( )
A.30°
B.45°
C.135°
D.60°
【解析】选B.Δy=(-1+Δx)3-×(-1)3
=Δx-Δx2+(Δx)3,=1-Δx+(Δx)2,
==1,
所以曲线y=x3-2在点处切线的斜率是1,倾斜角为45°.
4.设f(x)为可导函数且满足=-1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为 ( )
A.2
B.-1
C.1
D.-2
【解析】选B.=
==f
′(1)=-1.
5.(2016·武汉高二检测)已知曲线y=在点P(1,4)处的切线与直线l平行且距离为,则直线l的方程为( )
A.4x-y+9=0
B.4x-y+9=0或4x-y+25=0
C.4x+y+9=0或4x+y-25=0
D.以上均不对
【解析】选C.y′==-4,所以k=-4,所以切线方程为y-4=-4(x-1),即4x+y-8=0,
设l:4x+y+c=0(c≠-8),由题意=,
所以c=9或-25.
6.(2016·广州高二检测)设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a等于 ( )
A.1
B.
C.-
D.-1
【解析】选A.因为y′|x=1=
==(2a+aΔx)=2a,
所以2a=2,所以a=1.
7.(2016·贵阳高二检测)已知函数y=f(x)的图象如图,f′(xA)与f′(xB)的大小关系是 ( )
A.0>f′(xA)>f′(xB)
B.f′(xA)C.f′(xA)=f′(xB)
D.f′(xA)>f′(xB)>0
【解析】选B.f′(xA)和f′(xB)分别表示函数图象在点A,B处的切线斜率,故
f′(xA)【补偿训练】已知y=f(x)的图象如图所示,则f′(xA)与f′(xB)的大小关系
是( )
A.f′(xA)>f′(xB)
B.f′(xA)=f′(xB)
C.f′(xA)D.f′(xA)与f′(xB)大小不能确定
【解析】选A.由y=f(x)的图象可知,kA>kB,根据导数的几何意义有:f′(xA)>
f′(xB).
8.已知函数f(x)=x2+2bx的图象在点A(0,f(0))处的切线l与直线x+y+3=0垂直,若数列的前n项和为Sn,则S2011的值为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解题指南】由条件利用函数在某一点的导数的几何意义求得b的值,根据f(n)的解析式,用裂项法求得数列的前n项和为Sn的值,可得S2011的值.
【解析】选B.由题意可得A(0,0),函数f(x)=x2+2bx的图象在点A(0,0)处的切线l的斜率k==2b,
再根据l与直线x+y+3=0垂直,可得2b·(-1)=1,所以b=-.
因为f(n)=n2+2bn=n2-n=n(n-1),
所以=-,故数列的前n项和为Sn=0++++…+=1-,所以S2011=1-=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.设函数y=f(x),f′(x0)>0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的倾斜角的范围是 .
【解析】由于f′(x0)>0,说明y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率大于0,故倾斜角为锐角.
答案:
【规律总结】f′(x0)>0时,切线的倾斜角为锐角;f′(x0)<0时,切线的倾斜角为钝角;f′(x0)=0时,切线与x轴平行.f(x)在x0处的导数不存在,则切线垂直于x轴或不存在.
10.(2016·兴义高二检测)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x),
f′(0)>0,对于任意实数x,有f(x)≥0,则的最小值为 .
【解题指南】由导数的定义,先求出f′(0)的值,从而求出的表达式,再利用“对于任意实数x,有f(x)≥0”这一条件,借助不等式的知识即可求解.
【解析】由导数的定义,得f′(0)=
==[a·(Δx)+b]=b.
又因为对于任意实数x,有f(x)≥0,
则所以ac≥,所以c>0.
所以=≥≥=2.
答案:2
三、解答题
11.(10分)已知直线l1为曲线y=x2+x-2在(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.
(1)求直线l2的方程.
(2)求由直线l1,l2和x轴围成的三角形的面积.
【解析】(1)y′=
==(2x+Δx+1)=2x+1.
y′|x=1=2×1+1=3,
所以直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3.
设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2),
则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2.
因为l1⊥l2,则有2b+1=-,b=-.
所以直线l2的方程为y=-x-.
(2)解方程组得
所以直线l1和l2的交点坐标为.
l1,l2与x轴交点的坐标分别为(1,0),.
所以所求三角形的面积S=××=.
【补偿训练】1.(2016·厦门高二检测)试求过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程.
【解析】=
==3xΔx+3x2+Δx2.
=3x2,因此y′=3x2,
设过(1,1)点的切线与y=x3+1相切于点P(x0,+1),据导数的几何意义,函数在点P处的切线的斜率为k=3 ①,
过(1,1)点的切线的斜率k= ②,
所以3=,解得x0=0或x0=,
所以k=0或k=,
因此y=x3+1过点M(1,1)的切线方程有两个,
分别为y-1=(x-1)和y=1,
即27x-4y-23=0或y=1.
【误区警示】本题易错将点(1,1)当成了曲线y=x3+1上的点.因此在求过某点的切线时,一定要先判断点是否在曲线上,再据不同情况求解.
2.设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求a的值.
【解析】设曲线y=f(x)与斜率最小的切线相切于点(x0,y0),
因为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
=(x0+Δx)3+a(x0+Δx)2-9(x0+Δx)-1-(+a-9x0-1)
=(3+2ax0-9)Δx+(3x0+a)(Δx)2+(Δx)3,
所以=3+2ax0-9+(3x0+a)Δx+(Δx)2.
当Δx无限趋近于零时,无限趋近于3+2ax0-9.
即f′(x0)=3+2ax0-9.
所以f′(x0)=3-9-.
当x0=-时,f′(x0)取最小值-9-.
困为斜率最小的切线与12x+y=6平行,所以该切线斜率为-12.所以-9-=-12.解得a=±3.
又a<0,所以a=-3.
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课后提升作业
十三
双曲线的简单几何性质
(45分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.若实数k满足0A.实半轴长相等
B.虚半轴长相等
C.离心率相等
D.焦距相等
【解析】选D.因为02.等轴双曲线的一个焦点是F1(-6,0),则它的标准方程是 ( )
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
【解析】选B.设等轴双曲线方程为-=1(a>0),
所以a2+a2=62,所以a2=18,
故双曲线方程为-=1.
【补偿训练】以椭圆+=1的顶点为顶点,离心率为2的双曲线方程为 ( )
A.-=1
B.-=1
C.-=1或-=1
D.以上都不对
【解析】选C.当顶点为(±4,0)时,a=4,c=8,b=4,双曲线方程为-=1;当顶点为(0,±3)时,a=3,c=6,b=3,双曲线方程为-=1.
3.(2015·全国卷Ⅰ)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的左、右两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.由双曲线方程可知F1(-,0),F2(,0),
因为·<0,所以(--x0)(-x0)+(-y0)(-y0)<0.
即+-3<0,所以2+2+-3<0,<,
所以-4.(2016·浙江高考)已知椭圆C1：+y2=1(m>1)与双曲线C2：-y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则(
)
A．m>n且e1e2>1
B．m>n且e1e2<1
C．m1
D．m【解析】选A.由题意知m2-1=n2+1，即m2=n2+2，(e1e2)2=
，因为m2=n2+2，m>1,n>0,所以m>n,(e1e2)2>1，所以e1e2>1．
5.(2016·吉林高二检测)已知双曲线-=1的一个焦点在圆x2+y2-4x-5=0上,则双曲线的渐近线方程为 ( )
A.y=±x
B.y=±x
C.y=±x
D.y=±x
【解析】选B.因为方程表示双曲线,所以m>0,
因为a2=9,b2=m,所以c2=a2+b2=9+m,
所以c=.因为双曲线的一个焦点在圆上,
所以是方程x2-4x-5=0的根,
所以=5,所以m=16,
所以双曲线的渐近线方程为y=±x.
【补偿训练】(2015·安徽高考)下列双曲线中,焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是 ( )
A.x2-=1
B.-y2=1
C.-x2=1
D.y2-=1
【解析】选C.由双曲线的焦点在y轴上,排除A,B;对于D,渐近线方程为y=±x,而对于C,渐近线方程为y=±2x.
6.若双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,则双曲线焦点F到渐近线的距离为
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选B.由已知可知双曲线的焦点在y轴上,
所以==.所以m=9.
所以双曲线的焦点为(0,±),焦点F到渐近线的距离为d=3.
7.(2016·郑州高二检测)双曲线-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.双曲线的渐近线为直线y=±x,即x±2y=0,顶点为(±2,0),所以所求距离为d==.
8.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线均与C:x2+y2-6x+5=0相切,则该双曲线离心率等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.圆的标准方程为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为C(3,0),半径r=2,双曲线的渐近线为y=±x,不妨取y=x,即bx-ay=0,因为渐近线与圆相切,所以圆心到直线的距离d==2,即9b2=4(a2+b2),所以5b2=4a2,b2=a2=c2-a2,即a2=c2,所以e2=,e=,选A.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程为________________.
【解析】根据双曲线渐近线方程为y=±x,可设双曲线的方程为-y2=m,把(4,)代入-y2=m,得m=1.
答案:-y2=1
【延伸探究】求双曲线方程的两个关注点
1.根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式.
2.利用渐近线与双曲线的位置关系,设有公共渐近线的双曲线系方程-=λ(λ≠0),这样可避免分类讨论,从而减少运算量,提高解题速度与准确性.
10.
(2016·北京高考)已知双曲线(a＞0,b＞0)的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为(,0)，则a=
，b=
.
【解题指南】焦点在x轴的双曲线的渐近线为y=±x，焦点(±c,0).
【解析】因为渐近线方程y=-2x，所以=2①.焦点(,0)
，所以c=.所以a2+b2=c2=5②.由①②联立解得a=1,b=2.
答案：1
2
三、解答题(每小题10分,共20分)
11.设双曲线-=1(0【解题指南】由截距式得直线l的方程,再由双曲线中a,b,c的关系及原点到直线l的距离建立等式,从而求出离心率.
【解析】由l过两点(a,0),(0,b),得l的方程为bx+ay-ab=0.由原点到l的距离为c,得=c.
将b=代入,平方后整理,
得16-16×+3=0.令=x,
则16x2-16x+3=0,解得x=或x=.
由e=有e=.故e=或e=2.
因为0,
所以e=应舍去,故所求离心率e=2.
12.如图所示,双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,F1,F2分别为左、右焦点,双曲线的左支上有一点P,∠F1PF2=,且△PF1F2的面积为2,又双曲线的离心率为2,求该双曲线的标准方程.
【解析】设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),
F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0).
在△PF1F2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos
=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,
即4c2=4a2+|PF1|·|PF2|.又因为=2,
所以|PF1|·|PF2|sin=2.所以|PF1|·|PF2|=8,所以4c2=4a2+8,即b2=2.
又因为e==2,所以a2=.所以双曲线的标准方程为-=1.
【能力挑战题】已知双曲线-=1的右焦点为(2,0).
(1)求双曲线的方程.
(2)求双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积.
【解析】(1)因为双曲线的右焦点坐标为(2,0),
且双曲线方程为-=1,
所以c2=a2+b2=3+b2=4,所以b2=1,
所以双曲线的方程为-y2=1.
(2)因为a=,b=1,双曲线的渐近线方程为y=±x,
令x=-2,则y=±,
设直线x=-2与双曲线的渐近线的交点为A,B,
则|AB|=,记双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形面积为S,则S=××2=.
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单元质量评估(二)
(第二章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)
1.平面内有定点A,B及动点P,设命题甲是“|PA|+|PB|是定值”,命题乙是“点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆”,那么甲是乙的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.点P在线段AB上时|PA|+|PB|是定值,但点P轨迹不是椭圆,反之成立,故选B.
2.(2015·广东高考)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点F2(5,0),则双曲线C的方程为 ( )
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
【解析】选B.因为所求双曲线的右焦点为F2且离心率为e==,所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以所求双曲线方程为-=1.
【补偿训练】与椭圆+=1有相同焦点,并且经过点(2,-)的双曲线的标准方程为__________.
【解析】由+=1知焦点F1(-,0),F2(,0).
依题意,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).
所以a2+b2=5,①
又点(2,-)在双曲线-=1上,
所以-=1.②
联立①②得a2=2,b2=3,
因此所求双曲线的方程为-=1.
答案:-=1
3.已知离心率为e的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个公共点,若∠F1PF2=,则e等于 ( )
A.
B.
C.
D.3
【解题指南】在△F1F2P中利用余弦定理列方程,然后利用定义和已知条件消元.
【解析】选C.设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,焦距为2c,|PF1|=m,|PF2|=n,且不妨设m>n,由m+n=2a1,m-n=2a2得m=a1+a2,n=a1-a2.
又∠F1PF2=,
所以4c2=m2+n2-mn=+3,
所以+=4,即+=4,解得e=.
【补偿训练】(2016·佛山一模)已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为 ( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.依题意,椭圆的焦距和短轴长相等,即b=c,所以a2-c2=c2,得e=.故选D.
4.设F1,F2是双曲线x2-=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于 ( )
A.4
B.8
C.24
D.48
【解析】选C.由3|PF1|=4|PF2|知|PF1|>|PF2|,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=8,|PF2|=6,又c2=a2+b2=1+24=25,所以c=5,所以|F1F2|=10,
所以△PF1F2为直角三角形,=|PF1||PF2|=24.
【拓展延伸】圆锥曲线中的焦点三角形问题解法
(1)△PF1F2由两焦点和曲线上一点形成,我们把这种三角形叫焦点三角形.焦点三角形问题的主要类型有:周长、面积、角度等,通常会用到圆锥曲线的定义、正弦定理、余弦定理、面积公式等.
(2)焦点三角形的面积主要有两种求法:=r1r2·sin∠F1PF2和=·2c·|yP|.
(3)涉及焦点、顶点、曲线上点(顶点以外)等问题,抓住几个特征三角形,举一反三.这是一个考查重点,容易出现离心率的值(或范围)的运算.
5.(2016·长春高二检测)已知抛物线y2=4x上的点P到抛物线的准线的距离为d1,到直线3x-4y+9=0的距离为d2,则d1+d2的最小值是 ( )
A.
B.
C.2
D.
【解析】选A.如图所示过点F作FM垂直于直线3x-4y+9=0,当P点为直线FM与抛物线的交点时,d1+d2最小值为=.
6.(2014·江西高考)过双曲线C:-=1的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为 ( )
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
【解析】选A.设右焦点为F,由题意得|OF|=|AF|=4,即a2+b2=16,
又A(a,b),F(4,0)可得(a-4)2+b2=16,
故a=2,b2=12,所以方程为-=1.
7.设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若++=0,则||+||+||等于 ( )
A.9
B.6
C.4
D.3
【解析】选B.设A,B,C三点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),F(1,0),
因为++=0,所以x1+x2+x3=3.
所以由抛物线定义知||+||+||=x1+1+x2+1+x3+1=6.
8.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 ( )
A.(1,2]
B.(1,2)
C.[2,+∞)
D.(2,+∞)
【解析】选C.如图所示,要使过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率小于等于渐近线的斜率,所以≥,离心率e2==≥4,所以e≥2.
9.(2016·厦门高二检测)已知(4,2)是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点,则l的方程是 ( )
A.x-2y=0
B.x+2y-4=0
C.2x+3y+4=0
D.x+2y-8=0
【解析】选D.设l与椭圆的两交点分别为(x1,y1),(x2,y2),则得=-,所以=-.
故方程为y-2=-(x-4),即x+2y-8=0.
10.若抛物线y2=8x的焦点是F,准线是l,则经过点F,M(3,3)且与l相切的圆共有
( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.4个
【解析】选B.由题意得F(2,0),l:x=-2,
线段MF的垂直平分线方程为y-=-(x-),即x+3y-7=0,设圆的圆心坐标为(a,b),
则圆心在x+3y-7=0上,
故a+3b-7=0,a=7-3b,
由题意得|a-(-2)|=,
即b2=8a=8(7-3b),即b2+24b-56=0.
又b>0,故此方程只有一个根,于是满足题意的圆只有一个.
【补偿训练】(2016·兰州模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a= ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.根据题意,抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)到其焦点的距离为5,则1+=5,解得p=8;即抛物线的方程为y2=16x,把M(1,m)代入,可得m=4,即M的坐标为(1,4),双曲线-y2=1的左顶点为A,则a>0,且A的坐标为,渐近线方程为y=±x,因为双曲线的一条渐近线与直线AM平行,所以kAM==,解得a=.
11.(2016·珠海高二检测)已知F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点,若的最小值为8a,则双曲线的离心率e的取值范围是 ( )
A.(1,+∞)
B.(1,2]
C.(1,]
D.(1,3]
【解析】选D.==+|PF2|+4a≥4a+4a=8a,当且仅当=|PF2|,即|PF2|=2a时取等号.这时|PF1|=4a.由|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,得6a≥2c,即e=≤3,得e∈(1,3].
12.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为 ( )
A.
B.
C.
D.2
【解析】选C.如图所示,由题意知,抛物线的焦点F的坐标为(1,0),又|AF|=3,
由抛物线定义知:点A到准线x=-1的距离为3,
所以点A的横坐标为2.
将x=2代入y2=4x得y2=8,
由图知点A的纵坐标y=2,所以A(2,2),
所以直线AF的方程为y=2(x-1).
联立直线与抛物线的方程
解得或由图知B,
所以=|OF|·|yA-yB|=×1×|2+|
=.
【补偿训练】(2016·邢台高二检测)已知抛物线y2=8x的准线为l,点Q在圆C:x2+y2+2x-8y+13=0上,记抛物线上任意一点P到直线l的距离为d,则d+|PQ|的最小值等于 ( )
A.3 B.2 C.4 D.5
【解析】选A.如图所示,由题意,知抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),连接PF,则d=|PF|.
圆C的方程配方,得(x+1)2+(y-4)2=4,圆心为C(-1,4),半径r=2.
d+|PQ|=|PF|+|PQ|,显然,|PF|+|PQ|≥|FQ|(当且仅当F,P,Q三点共线时取等号).
而|FQ|为圆C上的动点Q到定点F的距离,
显然当F,Q,C三点共线时取得最小值,最小值为
|CF|-r=-2=5-2=3.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.(2016·南昌高二检测)在平面直角坐标系中,O是原点,=(1,0),P是平面内的动点,若|-|=|·|,则P点的轨迹方程是________.
【解析】设P(x,y),则=(x,y),
又因为|-|=|·|,
所以(x-1)2+y2=x2,整理得y2=2x-1.
答案:y2=2x-1
14.(2016·兰州高二检测)直线y=x+3与曲线-=1的公共点的个数为________.
【解析】当x≥0时,-=1化为-=1;
当x<0时,-=1
化为+=1,
所以曲线-=1是由半个双曲线和半个椭圆组成的图形,结合图象可知(如图),
直线y=x+3与曲线-=1的公共点的个数为3.
答案:3
15.(2016·抚顺高二检测)已知点F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2为锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是________.
【解析】因为双曲线关于x轴对称,所以A,B两点关于x轴对称,所以|F2A|=|F2B|,△ABF2为锐角三角形∠AF2B为锐角∠AF2F1<45°|AF1|<|F1F2|,
因为F1(-c,0),所以A,即|AF1|=,
又|F1F2|=2c,所以<2c,所以c2-2ac-a2<0,
所以e2-2e-1<0,所以1-因为e>1,所以1答案:(1,1+)
【补偿训练】若椭圆+=1(a>b>0)的两焦点关于直线y=x的对称点均在椭圆内部,则椭圆的离心率e的取值范围为________.
【解析】由已知得两焦点为(±c,0),其关于直线y=x的对称点为(0,±c)均在椭圆内部,则<1,得<1,<1,解得0答案:
16.已知抛物线C:y2=2px(p>0),过焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A,B两点,若=3,则k=________.
【解析】设直线l为抛物线的准线,过A,B分别作AA1,BB1垂直于l,A1,B1为垂足,过B作BE垂直于AA1于点E,则|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,由=3,
所以cos∠BAE==,
所以∠BAE=60°,所以tan∠BAE=.即k=.
答案:
三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2016·郑州高二检测)已知点M在椭圆+=1上,MP′垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为P′,并且M为线段PP′的中点,求P点的轨迹方程.
【解析】设P点的坐标为(x,y),M点的坐标为(x0,y0).
因为点M在椭圆+=1上,所以+=1.
因为M是线段PP′的中点,
所以把
代入+=1,得+=1,即x2+y2=36.
所以P点的轨迹方程为x2+y2=36.
18.(12分)双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点,直线y=x为C的一条渐近线.求双曲线C的方程.
【解析】设双曲线方程为-=1.
由椭圆+=1,求得两焦点为(-2,0),(2,0),
所以对于双曲线C:c=2.
又y=x为双曲线C的一条渐近线,
所以=,解得a2=1,b2=3,
所以双曲线C的方程为x2-=1.
19.(12分)已知点F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的上顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°.
(1)求椭圆C的离心率.
(2)已知△AF1B的面积为40,求a,b的值.
【解析】(1)由题意知△AF1F2为正三角形,a=2c,e==.
(2)直线AB的方程为y=-(x-c),
(3a2+b2)x2-6a2cx+3a2c2-a2b2=0 ①
由a=2c,得a2=4c2,b2=a2-c2=3c2.
代入①中得5x2-8cx=0,x=0或x=,
得A(0,c),B,得|AB|=.
由△AF1B的面积为40,得|AB||AF1|sin60°=40,
··a·=40,由a=2c,得a2=4c2,b2=a2-c2=3c2.解得c=5,a=10,b=5.
20.(12分)已知动圆C过定点F(0,1),且与直线l1:y=-1相切,圆心C的轨迹为E.
(1)求动点C的轨迹方程.
(2)已知直线l2交轨迹E于两点P,Q,且PQ中点的纵坐标为2,则|PQ|的最大值为多少
【解析】(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离,所以点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线,所以所求轨迹的方程为x2=4y.
(2)由题意易知直线l2的斜率存在,又抛物线方程为x2=4y,当直线AB斜率为0时,|PQ|=4.
当直线AB斜率k不为0时,设中点坐标为(t,2),P(x1,y1),Q(x2,y2),则有=4y1,=4y2,两式作差得
-=4(y1-y2),即得k==,
则直线方程为y-2=(x-t),与x2=4y联立得x2-2tx+2t2-8=0.
由根与系数的关系得x1+x2=2t,x1x2=2t2-8,
|PQ|=
=
=
=≤6,即|PQ|的最大值为6.
21.(12分)(2015·陕西高考)如图,椭圆E:+=1(a>b>0)经过点A(0,-1),且离心率为.
(1)求椭圆E的方程.
(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.
【解析】(1)由题意知=,b=1,综合a2=b2+c2,解得a=,
所以,椭圆的方程为+y2=1.
(2)由题设知,直线PQ的方程为y=k(x-1)+1,代入+y2=1,
得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0,
由已知Δ>0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,
则x1+x2=,x1x2=,
从而直线AP与AQ的斜率之和
kAP+kAQ=+
=+
=2k+(2-k)
=2k+(2-k)
=2k+(2-k)
=2k-2(k-1)
=2.
22.(12分)(2016·株洲高二检测)已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F(2,0),M为椭圆的上顶点,O为坐标原点,且△MOF是等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程.
(2)过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=8,证明:直线AB过定点.
【解题指南】(1)根据几何性质求出a,b,然后代入椭圆的标准方程.(2)以参数k,m表示直线方程,代入椭圆方程,设出A,B的坐标,利用根与系数的关系和k1+k2=8求出m,k的关系式,建立直线AB的方程,证明直线过定点.
【解析】(1)由△MOF是等腰直角三角形,得c2=b2=4,所以a2=8,故椭圆方程为+=1.
(2)①若直线AB的斜率存在,设AB方程为y=kx+m,依题意m≠±2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0.
则x1+x2=-,x1x2=.
由已知k1+k2=8,可得+=8,
所以+=8,
即2k+(m-2)=8.
所以k-=4,整理得m=k-2.
故直线AB的方程为y=kx+k-2,
即y=k-2.
所以直线AB过定点.
②若直线AB的斜率不存在,设AB方程为x=x0,设A(x0,y0),B(x0,-y0),
由已知+=8,得x0=-.此时AB方程为x=-,显然过点.
综上,直线AB过定点.
【补偿训练】已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.
【解析】(1)由题意设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),且a+c=3,a-c=1,
所以a=2,c=1,所以b2=3,所以+=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由
得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,
Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0,3+4k2-m2>0.
又x1+x2=-,x1·x2=,
所以y1·y2=(kx1+m)·(kx2+m)
=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=.
因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),
所以kAD·kBD=-1,
即·=-1,
所以y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,
+++4=0,
7m2+16mk+4k2=0,
解得m1=-2k,m2=-,且满足3+4k2-m2>0.
当m=-2k时,l:y=k(x-2),直线过定点(2,0),与已知矛盾;
当m=-时,l:y=k,直线过定点.
综上可知,直线l过定点,定点坐标为.
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课后提升作业
八
含有一个量词的命题的否定
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2016·襄阳高二检测)已知命题p:x∈R,sinx≤1,则 ( )
A.﹁p:x0∈R,sinx0≥1
B.﹁p:x∈R,sinx≥1
C.﹁p:x0∈R,sinx0>1
D.﹁p:x∈R,sinx>1
【解析】选C全称命题的否定是特称命题,并将结论加以否定,所以命题的否定为x0∈R,sinx0>1.
2.(2015·全国卷Ⅰ)设命题p:n0∈N,>,则﹁p为 ( )
【解析】选C.﹁p:n∈N,n2≤2n.
3.命题“一次函数都是单调函数”的否定是 ( )
A.一次函数都不是单调函数
B.非一次函数都不是单调函数
C.有些一次函数是单调函数
D.有些一次函数不是单调函数
【解析】选D.命题的否定只对结论进行否定,“都是”的否定是“不都是”,即“有些”.
4.(2015·湖北高考)命题“x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是 ( )
A.x∈(0,+∞),lnx≠x-1
B.x(0,+∞),lnx=x-1
C.x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1
D.x0(0,+∞),lnx0=x0-1
【解析】选A.由特称命题的否定为全称命题可知,所求命题的否定为x∈
(0,+∞),lnx≠x-1.
【拓展延伸】对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法
(1)确定类型:是特称命题还是全称命题.
(2)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词;把存在量词换为恰当的全称量词.
(3)否定性质:原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.
注意:无量词的全称命题要先补回量词再否定.
【补偿训练】已知命题p:x0∈R,使tanx0=1,其中正确的是 ( )
A.﹁p:x0∈R,使tanx0≠1
B.﹁p:x0R,使tanx0≠1
C.﹁p:x∈R,使tanx≠1
D.﹁p:xR,使tanx≠1
【解析】选C.因为命题p:x0∈R,使tanx0=1为特称命题,所以它的否定为全称命题,即﹁p:
x∈R,使tanx≠1.
5.(2016·中山高二检测)已知命题p:x∈R,2x2+2x+<0,命题q:x0∈R,sinx0-cosx0=,则下列判断中正确的是 ( )
A.p是真命题
B.q是假命题
C.﹁p是假命题
D.﹁q是假命题
【解题指南】先判断p,q的真假,再得﹁p,﹁q真假,进而得结论.
【解析】选D.因为2x2+2x+=2≥0,
所以p是假命题,﹁p为真命题.
又sinx0-cosx0=sin≤,故q是真命题,﹁q为假命题.所以选D.
6.命题p:“x∈[1,2],2x2-x-m>0”,命题q:“x0∈[1,2],log2x0+m>0”,若“p∧q”为真命题,则实数m的取值范围是 ( )
A.m<1
B.m>-1
C.-1D.-1≤m≤1
【解题指南】解答本题可先求出p与q分别为真命题时,m的取值范围,然后取其交集即可.
【解析】选C.由“p∧q”为真命题,得p,q都是真命题,
命题p:“x∈[1,2],2x2-x-m>0”为真命题.
即对于x∈[1,2],m<2x2-x恒成立,
得m<(2x2-x)min=1.
命题q:“x0∈[1,2],log2x0+m>0”为真命题,
则x0∈[1,2],-m只要-m<(log2x)max=1,得m>-1.
综上所述,-17.(2016·天津高二检测)已知命题p:b∈[0,+∞),f(x)=x2+bx+c在[0,+∞)上为增函数,命题q:x0∈Z,使log2x0>0,则下列结论成立的是 ( )
A.(﹁p)∨(﹁q)
B.(﹁p)∧(﹁q)
C.p∧(﹁q)
D.p∨(﹁q)
【解题指南】先分别判断p,q的真假,再判断﹁p,﹁q的真假,从而得结论.
【解析】选D.f(x)=x2+bx+c=+c-,
对称轴为x=-≤0,
所以f(x)在[0,+∞)上为增函数,命题p为真命题,﹁p为假命题,
令x0=4∈Z,则log2x0=2>0,所以命题q是真命题,﹁q为假命题,p∨(﹁q)为真命题.故选D.
8.(2016·吉林高二检测)下列命题错误的是 ( )
A.命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”
B.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题
C.命题p:存在x0∈R,使得+x0+1<0,则﹁p:任意x∈R,都有x2+x+1≥0
D.“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件
【解析】选B.由逆否命题“条件的否定作结论,结论的否定为条件”知A正确;p∧q为假命题时,还可能p假或q假,故B错误;由“非”命题的定义知C正确;因为x>2时,x2-3x+2>0成立,x2-3x+2>0时,x<1或x>2,所以D正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2016·烟台高二检测)已知命题p:x>2,x3-8>0,那么﹁p是________.
【解题指南】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可.
【解析】命题p为全称命题,其否定为特称命题,
则﹁p:x0>2,-8≤0.
答案:x0>2,-8≤0
10.(2016·广州高二检测)若“x0∈,sinx0+cosx0【解析】令f(x)=sinx+cosx=2sin,x∈,
可知f(x)在上为增函数,在上为减函数,
由于f(0)=,f=2,f=1,所以1≤f(x)≤2,
由于“x0∈,sinx0+cosx0答案:(-∞,1]
三、解答题
11.(10分)已知函数f(x)=2x2-2ax+b,f(-1)=-8.对x∈R,都有f(x)≥f(-1)成立,记集合A={x|f(x)>0},B={x||x-t|≤1}.
(1)当t=1时,求(
QUOTE
A)∪B.
(2)设命题p:A∩B≠ ,若﹁p为真命题,求实数t的取值范围.
【解析】由题意知(-1,-8)为二次函数的顶点,
所以f(x)=2(x+1)2-8=2(x2+2x-3).
A={x|x<-3,或x>1}.
(1)B={x||x-1|≤1}={x|0≤x≤2}.
所以(A)∪B={x|-3≤x≤1}∪{x|0≤x≤2}
={x|-3≤x≤2}.
(2)B={x|t-1≤x≤t+1}.
由题得
所以实数t的取值范围是[-2,0].
【补偿训练】函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x恒成立,且f(1)=0.
(1)求f(0)的值.
(2)当f(x)+2【解析】(1)因为已知f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x对x,y∈R都为真,
所以令x=1,y=0,得f(1)-f(0)=2.
又f(1)=0,所以f(0)=-2.
(2)由(1)知,f(0)=-2,
所以f(x)+2=f(x)-f(0)=f(x+0)-f(0)=(x+1)x.
因为x∈,所以f(x)+2∈.
要使当x∈时,f(x)+21时不可能,
所以解得≤a<1.
【能力挑战题】
已知函数f(x)=x2,g(x)=-m.
(1)x∈[-1,3],求f(x)的值域.
(2)若对x∈[0,2],g(x)≥1成立,求实数m的取值范围.
(3)若对x1∈[0,2],x2∈[-1,3],使得g(x1)≤f(x2)成立,求实数m的取值范围.
【解题指南】(1)直接根据二次函数的性质,确定函数的单调性,从而可得函数的最值,即可求得函数的值域.
(2)根据对x∈[0,2],g(x)≥1成立,等价于g(x)在[0,2]上的最小值大于或等于1,而g(x)在[0,2]上单调递减,利用其单调性建立关于m的不等关系,即可求得实数m的取值范围.
(3)对x1∈[0,2],x2∈[-1,3],使得g(x1)≤f(x2)成立,等价于g(x)在[0,2]上的最大值小于或等于f(x)在[-1,3]上的最大值,从而建立关于m的不等式,由此可求结果.
【解析】(1)当x∈[-1,3]时,函数f(x)=x2∈[0,9],
所以f(x)的值域为[0,9].
(2)对x∈[0,2],g(x)≥1成立,
等价于g(x)在[0,2]上的最小值大于或等于1.
而g(x)在[0,2]上单调递减,
所以-m≥1,即m≤-.
(3)对x1∈[0,2],x2∈[-1,3],使得g(x1)≤f(x2)成立,等价于g(x)在[0,2]上的最大值小于或等于f(x)在[-1,3]上的最大值9,由1-m≤9,所以m≥-8.
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