登陆21世纪教育助您教考全无忧
课题：11.3.2多边形的内角和
教学目标：
掌握多边形的外角和及内角和公式．体会转化思想及从特殊到一般的认识问题的方法．
重点：
探索多边形的内角和公式及外角和．
难点：
利用转化及从特殊到一般思想推导多边形的内角和与外角和．
教学流程：
一、知识回顾
1.什么是多边形？
答案：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
2.什么是多边形的对角线？
答案：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
3.从n边形的一个顶点出发，可以引出_____条对角线，将多边形分割成了____个三角形.
答案：n－3，n－2
二、探究1
问题1：三角形的内角和等于180°，长方形、正方形的内角和等于______.任意四边形的内角和是否也等于360°呢？
答案：360°，等于.
分析：连接对角线，化四边形为2个三角形.
证明：连接AC，
∠BAD+∠B+∠BCD+∠D
＝∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D
＝（∠1+∠B+∠3）+（∠2+∠4+∠D）
∵∠1+∠B+∠3＝180°
∠2+∠4+∠D＝180°
∴∠BAD+∠B+∠BCD+∠D＝360°
四边形的内角和等于360°.
问题2：五边形、六边形的内角和呢？n边形呢？
答案：2，3，180°×3＝540°，3，4，180°×4＝720°，n－3，n－2，180°×(n－2)
归纳：n边形的内角和等于（n－2）×180°
练习1：
1.七边形的内角和等于( )
A.360° B.900° C.1080° D.1260°
答案：B
2.在四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶1∶2∶3，则该四边形中最大的角的度数是________.
答案：120°
三、探究2
问题：在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.你能求出六边形的外角和吗？
解：∵六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°，
∴六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6×180°.
∴六边形外角和＝总和－内角和
＝6×180°－（6－2）×180°＝2×180°＝360°
想一想：如果将六边形换为n边形呢？（n是不小于3的任意整数）
答案：n×180°－（n－2）×180°
＝2×180°
＝360°
归纳：多边形的外角和等于360°
欣赏：动画《多边形的外角和》
练习2：
1.若一个多边形的每个内角均为150°，则这个多边形的边数为( )
A.9 B.10 C.11 D.12
答案：D
2.一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于( )
A.60° B.72° C.90° D.108°
答案：B
四、应用提高
1.如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
解：如图，四边形ABCD中，
∠A+∠C＝180°．
∵∠A+∠B+∠C+∠D＝（4－2）×180°＝360°，
∴∠B+∠D＝360°－（∠A+∠C）
＝360°－180°＝180°．
归纳：如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.
2.四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°.
(1)如图①，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
(2)如图②,若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E,试求出∠BEC的度数.
解：(1)∵BE∥AD，
∴∠A＋∠ABE＝180°，
即140°＋∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝40°，
∴∠ABC＝80°，
由∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＝360°，
得∠C＝360°－140°－80°－80°＝60°
(2)∵∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD，
由∠A＋∠ABC＋∠BCD＋∠D＝360°得
140°＋2∠EBC＋2∠ECB＋80°＝360°，
∴∠EBC＋∠ECB＝70°，
∴∠BEC＝110°
五、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1.说一说多边形内角和公式？
2.在探究多边形内角和公式中，连接对角线起到什么作用？
3.多边形的外角和等于多少？
六、达标测评
1.已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是( )
A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形
答案：C
2.若n边形的内角和为1440°，则这个n边形的对角线共有________条．
答案：35
3.求如图所示图形中x的值．
解：(1)x＝360－150－90－70＝50
(2)x＝180－[360－(90＋73＋82)]＝65
4.如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还多30°，求这个多边形的内角和是多少？
解：设它的一个外角为x°，则与它相邻的内角为(4x＋30)°，
∴4x＋30＋x＝180，
解得x＝30，
360°÷30°＝12，
∴此多边形为十二边形，
∴它的内角和为180°×(12－2)＝1800°.
七、布置作业
教材25页习题11.3第5、6题．
21世纪教育网www.21cnjy.com精品试卷·第2页(共2页)
21世纪教育网www.21cnjy.com精品资料·第5页(共5页)版权所有@21世纪教育网(共19张PPT)
【义务教育教科书人教版八年级上册】
11.3.2多边形的内角和
学校：________
教师：________
知识回顾
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
1.什么是多边形？
3.从n边形的一个顶点出发，可以引出_______条对角线，将多边形分割成了________个三角形.
2.什么是多边形的对角线？
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
n－3
n－2
探究1
三角形的内角和等于180°，长方形、正方形的内角和等于______.
任意四边形的内角和是否也等于360°呢？
360°
探究1
证明：连接AC，
∠BAD +∠B +∠BCD +∠D
=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D
=（∠1+∠B+∠3）+（∠2+∠4+∠D）
∵∠1+∠B+∠3= 180°
∠2+∠4+∠D= 180°
∴∠BAD +∠B +∠BCD +∠D = 360°
四边形的内角和等于360°.
连接对角线，化四边形为2个三角形.
探究1
五边形、六边形的内角和呢？
n边形呢？
2
3
180°×3
=540°
3
4
180°×4
=720°
n－3
n－2
180°×(n － 2)
n 边形的内角和等于（n －2）×180°
练习1
1.七边形的内角和等于( )
A.360° B.900°
C.1080° D.1260°
B
2.在四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C
∶∠D＝3∶1∶2∶3，则该四边形中最大的角
的度数是 .
120°
探究2
问题：在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.你能求出六边形的外角和吗？
解：∵六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180 °，
∴六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6×180°.
∴六边形外角和=总和－内角和
=6×180°－（6－2）×180°=2×180°=360°
探究2
想一想：如果将六边形换为n边形呢？（n是不小于3的任意整数）
n×180°－（n－2）×180°
=2×180°
=360°
多边形的外角和等于360°
探究2
欣赏——《多边形的外角和》
练习2
2.一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于( )
A.60° B.72° C.90° D.108°
B
1.若一个多边形的每个内角均为150°，则这个多边形的边数为( )
A.9 B.10 C.11 D.12
D
应用提高
解：如图，四边形ABCD 中，
∠A +∠C =180°．
∵∠A +∠B +∠C +∠D=（4 - 2）×180° =360°，
∴∠B +∠D=360°-（∠A + ∠C）
=360°- 180° =180°．
1.如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.
应用提高
2.四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°.
(1)如图①，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
解：(1)∵BE∥AD，
∴∠A＋∠ABE＝180°，
即140°＋∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝40°，
∴∠ABC＝80°，
由∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＝360°，
得∠C＝360°－140°－80°－80°＝60°
应用提高
2.四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°.
(2)如图②,若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E,试求出∠BEC的度数.
(2)∵∠EBC＝ ∠ABC，∠ECB＝ ∠BCD，
由∠A＋∠ABC＋∠BCD＋∠D＝360°得
140°＋2∠EBC＋2∠ECB＋80°＝360°，
∴∠EBC＋∠ECB＝70°，
∴∠BEC＝110°
今天我们学习了哪些知识？
1.说一说多边形内角和公式？
2.在探究多边形内角和公式中，连接对角线起到什么作用？
3.多边形的外角和等于多少？
体验收获
达标测评
1.已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是( )
A.五边形 B.六边形
C.七边形 D.八边形
C
2.若n边形的内角和为1440°，则这个n边形的对角线共有________条．
35
达标测评
3.求如图所示图形中x的值．
解：(1) x＝360－150－90－70＝50
(2) x＝180－[360－(90＋73＋82)]＝65
达标测评
4.如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还多30°，求这个多边形的内角和是多少？
解：设它的一个外角为x°，则与它相邻的内角为(4x＋30)°，
∴4x＋30＋x＝180，
解得x＝30，
360°÷30°＝12，
∴此多边形为十二边形，
∴它的内角和为180°×(12－2)＝1800°.
布置作业
教材25页习题11.3第5、6题．登陆21世纪教育 助您教考全无忧
11.3.2多边形的内角和
班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________
一、选择题(每小题6分，共30分)
1.多边形的外角和等于（ ）
A.180° B.360° C.720° D.（n﹣2） 180°
2.已知正多边形的每个内角均为108°，则这个正多边形的边数为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
3.如果n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
4.一个正多边形的边长为2，每个内角为135°，则这个多边形的周长是（ ）
A.8 B.12 C.16 D.18
5.如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（ ）
A.140米 B.150米 C.160米 D.240米
二、填空题(每小题6分，共30分)
6.五边形的内角和为________．
7.一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数是________．
8.如图，将边长相等的一个正方形和一个正五边形叠放在一起，则∠1=________．
第8题图 第8题图 第10题图
9.如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数为________°．
10.两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于________度．
三、解答题(每小题20分，共40分)
11.一个多边形的各个内角与它的某个外角和是1456°，求它的边数和这个外角的度数．
12.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC，∠ADC的平分线分别与AD，BC相交于E，F两点，FG⊥BE于点G，∠1与∠2之间有怎样的数量关系？为什么？
参考答案
1.B
【解析】根据多边形的外角和定理，可得答案．
解：多边形的外角和是360°，
故选：B．
2.C
【解析】解：∵多边形的每一个内角都等于108°，多边形的内角与外角互为邻补角，
∴每个外角是72度，
∴多边形中外角的个数是360÷72=5，则多边形的边数是5．
故选C．
3.C
【解析】设出外角的度数，表示出内角的度数，根据一个内角与它相邻的外角互补列出方程，解方程得到答案．
解：设外角为x，则相邻的内角为2x， 由题意得，2x+x=180°，
解得，x=60°，
360÷60°=6，
故选：C．
4.C
【解析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数，根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，求得多边形的边数，即可得到结论．
解：∵正多边形的一个内角为135°， ∴外角是180﹣135=45°，
∵360÷45=8，
则这个多边形是八边形，
∴这个多边形的周长=2×8=16，
故选C．
5.B
【解析】多边形的外角和为360°每一个外角都为24°，依此可求边数，再求多边形的周长．
解：∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°， ∴多边形的边数为360°÷24°=15，
∴小华一共走了：15×10=150米．
故选B．
6.540°
【解析】根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°计算即可．
解：（5﹣2） 180°=540°． 故答案为：540°．
7.8
【解析】n边形的内角和是（n﹣2） 180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
解：根据n边形的内角和公式，得 （n﹣2） 180=1080，
解得n=8．
∴这个多边形的边数是8．
故答案为：8．
8.18°
【解析】∠1的度数是正五边形的内角与正方形的内角的度数的差，根据多边形的内角和定理求得角的度数，进而求解．
解：正五边形的内角的度数是 ×（5﹣2）×180°=108°， 正方形的内角是90°，
则∠1=108°﹣90°=18°．
故答案为：18°．
9.95
【解析】首先利用平行线的性质得出∠BMF=80°，∠FNB=70°，再利用翻折变换的性质得出∠FMN=∠BMN=50°，∠FNM=∠MNB=35°，进而求出∠B的度数以及得出∠D的度数．
解：∵MF∥AD，FN∥DC，∠A=100°，∠C=70°， ∴∠BMF=80°，∠FNB=70°，
∵将△BMN沿MN翻折，得△FMN，
∴∠FMN=∠BMN=50°，∠FNM=∠MNB=35°，
∴∠F=∠B=180°﹣50°﹣35°=95°，
∴∠D=360°﹣100°﹣70°﹣95°=95°．
故答案为：95．
10.108
【解析】根据多边形的内角和，可得∠1，∠2，∠3，根据等腰三角形的内角和，可得∠7，根据角的和差，可得答案．
解：如图
，
由正五边形的内角和，得∠1=∠2=∠3=∠4=108°，
∠5=∠6=180°﹣108°=72°，
∠7=180°﹣72°﹣72°=36°．
∠AOB=360°﹣108°﹣108°﹣36°=108°，
故答案为：108．
11.十，16°
【解析】根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°，用1456除以180，商就是n﹣2，余数就是那个外角的度数．
解：1456÷180=8‥‥‥16， 则n﹣2=8，
解得n=10．
答：它的边数是十，外角度数为16°．
12. ∠1=∠2，理由见解析
【解析】先根据四边形的内角和求出∠ADC+∠ABC=180°，再结合角平分线得出∠EBC+∠2=90°，再利用直角三角形的两锐角互余得出，∠1+∠EBC=90°，即可得出结论．
解：∠1=∠2，
理由：∵∠A=∠C=90°，根据四边形的内角和得，∠ADC+∠ABC=180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠EBC= ∠ABC，∠2= ∠ADC，
∴∠EBC+∠2= ∠ABC+ ∠ADC=90°，
∵FG⊥BE，
∴∠FGB=90°，
∴∠1+∠EBC=90°，
∴∠1=∠2
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页)
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 3 页 (共 5 页) 版权所有@21世纪教育网
