高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的作用1.3.3极大值与极小值（2）学案苏教版选修2_2

极大值与极小值(2)
　
教学过程
一、
问题情境
问题1　已知f(x)=x3-3x2-9x+11.
(1)
写出函数f(x)的单调区间;
(2)
讨论函数f(x)的极值.
[规范板书]　解　f'(x)=3(x+1)(x-3),令f'(x)=0,得x1=-1,x2=3.
列表如下:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,3)
3
(3,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值f(-1)
↘
极小值f(3)
↗
(1)
单调递减区间为(-1,3),单调递增区间为(-∞,-1),(3,+∞).
(2)
极大值为f(-1)=16,极小值为f(3)=-16.
二、
数学建构
问题2　你能作出上述函数f(x)=x3-3x2-9x+11的草图吗 [2]
问题3　你能从图上看出函数的哪些性质 [3]
问题4　你能对引例1进行变式,得到新的问题吗 [4]
三、
数学运用
【例1】　已知f(x)=x3-3x2-9x+11,设a为实数,函数g(x)=f(x)+a,
求a的取值范围,使曲线y=g(x)与x轴:
(1)
有1个交点;
(2)
恰有2个交点;
(3)
有3个交点.
(见学生用书P21)
[处理建议]　由学生讨论、研究,并适当地变题,呈现结论.
[规范板书]　解　(1)
曲线y=g(x)与x轴仅有1个交点,即g(x)极小值>0,或者g(x)极大值<0,由问题1得-16+a>0或16+a<0,即a>16或a<-16.
(2)
a=±16.
(3)
-16[题后反思]　有效利用图形语言,并强调解题的规范性.
【例2】　若函数f(x)=x3-3x2-9x+11,根据下列条件,分别求实数t的取值范围:
(1)
f(x)在区间(t,t+2)上单调递减;
(2)
f(x)在区间(t,t+2)上单调递增.
(见学生用书P22)
[处理建议]　先由学生口答,教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的解题过程,纠正出现的错误.
[规范板书]　解　(1)
由前知所以-1≤t≤1.
(2)
由问题1知t≥3或t+2≤-1,即t≤-3或t≥3.
[题后反思]　若函数f(x)=x3-3x2-9x+11在区间(t,t+2)上不单调,你能否求出实数t的取值范围
【例3】　已知x=1是函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R,m≠0.
(1)
求m与n的关系表达式;
(2)
求f(x)的单调区间.
[规范板书]　解　(1)
f'(x)=3mx2-6(m+1)x+n,由f'(1)=0得n=3m+6.
(2)
由(1)得f'(x)=3mx2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1).
当m>0时,单调递增区间为(-∞,1),,单调递减区间为.
当m<0时,单调递增区间为,单调递减区间为,(1,+∞).
[题后反思]　此题是逆向思维题,已知极值求参数的值,解题时充分利用f'(x)=0,同时注意单调性对极值的限制.根据导数法解决函数的单调性和极值问题,具有一般性,解题时强调解题的规范性.
【例4】　探究函数g(x)=-ax(x>0)的单调性和极值.
[规范板书]　解　g'(x)=-a,x>0.
当a≤0时,g'(x)>0,单调递增区间为(0,+∞),函数无极值;
当a>0时,
令g'(x)>0,即
-a>0,解得0-a<0,解得x>.所以单调递增区间为,单调递减区间为.所以函数极大值为f=.
四、
课堂练习
1.
设a∈R,若函数y=ex+ax(x∈R)有大于0的极值点,则实数a的取值范围为(-∞,-1).
2.
若函数f(x)=-x3+ax2+1(a∈R)在(-2,3)内有2个不同的极值点,求实数a的取值范围.
解　f'(x)=-3x2+2ax.由题意知f'(x)在(-2,3)上有两个不同的实数解,解得a∈(-3,0)∪.
五、
课堂小结
1.
用导数处理函数极值中的参数讨论问题,主要有两类运用:一是对导数等于0的根的讨论,二是关于单调区间的判断的问题.
2.
注意领会分类讨论的思想、数形结合的思想、函数和方程的思想在解题中的灵活运用.