高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的作用1.3.2极大值与极小值（1）学案苏教版选修2_2

极大值与极小值(1)
　
教学过程
一、
问题情境
　(图1)
观察给定函数图象,在P和Q两侧图象的单调性变化:
P点处从左侧到右侧由上升变为下降(函数由单调递增变为单调递减),这时在点P附近,点P的位置最高;
Q点处从左侧到右侧由下降变为上升(函数由单调递减变为单调递增),这时在点Q附近,点Q的位置最低.[1]
二、
数学建构
问题1　上述的结论如果用数学语言该怎样来描述 [2]　
解　1.
极大值点:已知函数f(x),设x1是定义域内一点,如果在x1附近的所有的x,都有f(x)极小值点:已知函数f(x),设x2是定义域内一点,如果在x2附近的所有的x,都有f(x)>f(x2),就说函数f(x)在x2处取得极小值,把x2称为f(x)的一个极小值点.
2.
极大值:称f(x1)为函数f(x)的一个极大值;
极小值:称f(x2)为函数f(x)的一个极小值.
极大值与极小值统称为极值.
问题2　在定义域内,函数的极大值是唯一的吗 函数的极大值一定大于其极小值吗
函数的极值点可能在区间的端点产生吗 试作图说明.[3]
问题3　极值点处导数有何特点 当f'(x0)=0时,能否肯定函数f(x)在x0处取得极值 [4]
问题4　函数的极值与函数的导数有怎样的关系 [5]
3.
函数极值与导数关系:
如果f'(x0)=0,且在x0的附近的左侧f'(x0)>0,右侧f'(x0)<0,那么f(x0)是极大值;如果f'(x0)=0,且在x0的附近的左侧f'(x0)<0,右侧f'(x0)>0,那么f(x0)是极小值.
表1
x
x1左侧
x1
x1右侧
f'(x)
f'(x)>0
f'(x)=0
f'(x)<0
f(x)
增↗
极大值f(x1)
↘减
表2
x
x2左侧
x2
x2右侧
f'(x)
f'(x)<0
f'(x)=0
f'(x)>0
f(x)
↘减
极小值f(x2)
增↗
　　概念理解
1.
取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.
2.
极值是一个局部的概念,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
3.
函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.
4.
极大值与极小值之间无确定的大小关系,一个函数的极大值未必大于极小值.
5.
函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点,而使函数取得最大值、最小值的点既可能在区间的内部,也可能在区间的端点.
三、
数学运用
【例1】　(教材第31页例1)求f(x)=x2-x-2的极值.(见学生用书P19)
[规范板书]　解　f'(x)=2x-1,令f'(x)=0,解得x=.
列表如下:
x
左侧
右侧
f'(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值f
↗
　　所以当x=时,f(x)有极小值f=-.
[题后反思]　求极值的具体步骤:(1)
求导数f'(x);(2)
求f'(x)=0的根;(3)
列表,检查f'(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右都是正,或者左右都是负,那么f(x)在这个根处无极值.
【例2】　(教材第31页例2)求f(x)=x3-4x+的极值.(见学生用书P20)
[处理建议]　让学生学会纵向看图,并体会在相应的区间上,导数的正负与函数增减的关系,体现数形结合思想.
[规范板书]　解　f'(x)=x2-4,令f'(x)=0,解得x1=-2,x2=2.
列表如下:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值f(-2)
↘
极小值f(2)
↗
　　所以当x=-2时,f(x)有极大值f(-2)=;当x=2时,f(x)有极小值f(2)=-5.
思考:你能画出函数及其导数的图象吗 [6]
[题后反思]　有效利用图形语言,对照在相同的区间上函数及其导函数的图象,体会导数与函数单调性的关系,并强调书写格式.
【例3】　已知函数f(x)=x3+ax2-(a-1)x+7有极大值和极小值,求a的取值范围.(见学生用书P20)
[处理建议]　先由学生思考后交流思路,采用数形结合的方法,帮助学生理解.
[规范板书]　解　f'(x)=3x2+2ax-a+1,函数f(x)=x3+ax2-(a-1)x+7有极大值和极小值,即f'(x)=0有两个不同的实数解,则Δ=4a2+12(a-1)>0,解得a>或a<.
【例4】　(教材第31页练习3)根据下列条件大致作出函数f(x)的图象.
(1)
f(4)=3,f'(4)=0,当x<4时f'(x)>0,当x>4时f'(x)<0;
(2)
f(1)=1,f'(1)=0,当x≠1时f'(x)>0.
　　[处理建议]　先由学生讨论,尝试进行作图;教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的作业,由学生纠正出现的错误及处理建议,并且给出理由.[7]
解　(1)
　(2)
　　　　　　　(例4(1))　　　　　(例4(2))
四、
课堂练习
1.
函数f(x)=x3-12x+12的极大值是　28　,极小值是　-4　.
2.
若函数f(x)=x3+mx2+x+1在R上无极值点,则实数m的取值范围是[-,].
3.
已知函数f(x)=x3-3x2+2.
(1)
写出函数的单调区间;
(2)
讨论函数的极大值和极小值是否存在,如果存在,写出极值.
解　(1)
f'(x)=3x2-6x,令f'(x)>0,则x>2或x<0;令f'(x)<0,则0(2)
存在极值,极大值为2,极小值为-2.
五、
课堂小结
1.
极值点是自变量的值,极值指的是函数值.极值是一个局部的概念,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.函数的极值不是唯一的,极大值与极小值之间无确定的大小关系,一个函数的极大值未必大于极小值.
2.
极值点两侧单调性互异,极值点处导数为0;但导数为0的点不一定是极值点,要看这点两侧的导数是否异号.
3.
求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)
确定函数的定义域,求导数f'(x);(2)
求方程f'(x)=0的根;(3)
用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查f'(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值.