高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的作用1.3.1单调性学案苏教版选修2_2

单调性
　
教学过程
一、
问题情境
导数和单调性都是对函数上升和下降的变化趋势的刻画,导数与函数的单调性有什么关系呢
二、
数学建构
问题1　由函数f(x)在区间(a,b)上是增函数,对于任意x1,x2∈(a,b),当x1解　导数大于0与函数递增密切相关.
问题2　函数f(x)在区间(a,b)上是减函数,你又能推出什么结论呢
解　导数小于0与函数递减密切相关.
问题3　怎样用数学语言刻画导数的正负与函数的单调性的关系 [3]
解　一般地,我们有以下结论:
对于函数y=f(x),
如果在某区间上f'(x)>0,那么f(x)为该区间上的增函数;
如果在某区间上f'(x)<0,那么f(x)为该区间上的减函数.
问题4　你能结合具体函数图象得到上述结论吗
解　以y=x2-4x+9为例.
从函数的图象可以看出:在区间(2,+∞)上,切线的斜率为正,函数y=f(x)在区间(2,+∞)上为增函数;在区间(-∞,2)上,切线的斜率为负,函数y=f(x)在区间(-∞,2)上为减函数.
问题5　函数f(x)在某区间上单调递增(或递减),那么在该区间上必有f'(x)>0或f'(x)<0吗
上述的条件和结论对调后,结论正确吗 如果不正确,你能举出反例吗 [4]
概念理解
1.
若某个区间内恒有y'=0,则f(x)为常数.
2.
y'>0(或y'<0)是函数在区间上单调递增(或递减)的充分不必要条件.
三、
数学运用
【例1】　(教材第29页例3)确定函数f(x)=sinx,x∈[0,2π]的单调递减区间.(见学生用书P18)
[规范板书]　解　f'(x)=cosx.令f'(x)<0,即cosx<0,又x∈[0,2π],所以x∈,故所求的的单调递减区间为.
[题后反思]　本题也可直接利用函数的图象得出,求导的方法不是唯一的方法,也不一定是最好的方法,但它是一种一般性的方法.学习数学,是为了分析问题、解决问题的,从以上3个例题中,可让学生体会到导数在研究函数单调性中的有效性和一般性.
【例2】　求函数f(x)=3x2-2lnx的单调区间.
[处理建议]　先考虑定义域,再根据导数知识来求解.
[规范板书]　解　定义域为(0,+∞),f'(x)=6x-=.由f'(x)>0

x>;由f'(x)<0

0[题后反思]　任何函数问题,定义域都是关键前提.
【例3】　若函数f(x)=x2+(x≠0,a∈R)在[2,+∞)上的导数的值不是负数,求实数a的取值范围.
[处理建议]　让学生分析“不是负数”包含正数和0两种情况,之后根据题意来反推.
[规范板书]　解　∵f'(x)=2x-≥0在[2,+∞)上恒成立,∴≤2x,即a≤2x3.
∵x≥2,∴2x3≥16,∴a≤16.
[题后反思]　恒成立问题优先考虑用参变分离来处理解决.
【例4】　已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k>0),若f(x)的单调递减区间是(0,4).
(1)
求k的值;
(2)
当x>k时,求证:2>3-.
[规范板书]　解　(1)
f'(x)=3kx2-6(k+1)x=3kx,k>0.
由题意f'(x)=0的两根为0和4,故=4,解得k=1.
(2)
令g(x)=2+-3,g'(x)=-,
当x>1时,g'(x)>0,g(x)=2+-3在(1,+∞)上递增,
又因为g(1)=0,x>k=1,所以g(x)>0,
故2>3-.
四、
课堂练习
1.
设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调递增区间是.
2.
若函数f(x)=x3-ax2+1在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围为[3,+∞).
3.
求函数f(x)=2x2-lnx的单调区间.
解　增区间为,减区间为.
4.
已知a>0,函数f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调递增函数,求实数a的取值范围.
解　f'(x)=3x2-a,函数f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调递增函数,则当x∈[1,+∞)时,f'(x)≥0恒成立,即x∈[1,+∞)时a≤3x2恒成立,得a≤3.又
a>0,所以0五、
课堂小结
1.
导数的正负与函数单调性之间的关系.
2.
利用导数判断函数单调性的步骤:
(1)
确定函数f(x)的定义域;(2)
求出函数的导数;(3)
解不等式f'(x)>0,得函数的单调递增区间;解不等式f'(x)<0,得函数的单调递减区间.
3.
求函数的单调区间,求导的方法不是唯一的方法,也不一定是最好的方法,但它是一种一般性的方法.对于不熟悉的函数,常常利用导数法来研究函数的单调性.