本讲高考热点解读与高频考点例析
?考情分析
通过对近几年高考试题的分析可知，高考对本讲的考查主要涉及极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等．预计今后的高考中，仍以考查圆、直线的极坐标方程为主．
?真题体验
1．(北京高考)在极坐标系中，点到直线ρ(cos
θ＋sin
θ)＝6的距离为________．
解析：由知极坐标可化为(1，)，直线ρ(cos
θ＋sin
θ)＝6可化为x＋y－6＝0.故所求距离为d＝＝1.
答案：1
2．(广东高考)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos
θ和ρsin
θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为________．
解析：由ρsin2θ＝cos
θ，
得ρ2sin2θ＝ρcos
θ，其直角坐标方程为y2＝x，ρsin
θ＝1的直角坐标方程为y＝1，由得C1和C2的交点为(1,1)．
答案：(1,1)
3．(安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝8sin
θ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值是________．
解析：圆ρ＝8sin
θ化为直角坐标方程为x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16，直线
θ＝(ρ∈R)化为直角坐标方程为y＝x，结合图形知圆上的点到直线的最大距离可转化为圆心到直线的距离再加上半径．
圆心(0,4)到直线y＝x的距离为＝2，又圆的半径r＝4，所以圆上的点到直线的最大距离为6.
答案：6
用解析法解决几何问题
利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是要兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x轴、y轴(坐标原点)．
坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．
已知圆的半径为6，圆内一定点P离圆心的距离为4，A，B是圆上的两动点且满足∠APB＝90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．
如图，以圆心O为原点，OP所在直线为x轴建立直角坐标系，则圆的方程为x2＋y2＝36，P(4,0)．
设Q(x，y)，PQ与AB相交于P1，
则P1.
由|PQ|＝|AB|＝2，
即＝2，
化简，可得x2＋y2＝56.
即所求顶点Q的轨迹方程为x2＋y2＝56.
平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．
在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，求曲线C的方程，并判断其形状．
将代入
(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1中，
得(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1.
化简，得2＋(y＋3)2＝.
该曲线是以为圆心，半径为的圆.
极坐标方程
在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，θ)＝0，如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程．
由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．
求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ，θ的关系．
△ABC底边BC＝10，∠A＝∠B，以B为极点，BC为极轴，建立极坐标系，求顶点A的轨迹的极坐标方程．
如图：令A(ρ，θ)，
△ABC内，设∠B＝θ，∠A＝，
又|BC|＝10，|AB|＝ρ.
由正弦定理，得
＝，
化简，得点A的轨迹的极坐标方程为
ρ＝10＋20cos
θ.
极坐标与直角坐标的互化
互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度．
互化公式为
直角坐标方程化为极坐标方程直接将x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcos
θ，ρsin
θ的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常常两端同乘ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．
已知圆的极坐标方程ρ＝2cos
θ，直线的极坐标方程为ρcos
θ－2ρsin
θ＋7＝0，则圆心到直线的距离为________．
将ρ＝2cos
θ化为ρ2＝2ρcos
θ，即有
x2＋y2－2x＝0，亦即(x－1)2＋y2＝1.
将ρcos
θ－2ρsin
θ＋7＝0化为x－2y＋7＝0，
故圆心到直线的距离d＝＝.
在极坐标系中，点M的坐标是，曲线C的方程为ρ＝2sin.
以极点为坐标原点，x轴的正半轴为极轴建立平面直角坐标系，直线l经过点M和极点．
(1)写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)直线l和曲线C相交于两点A，B，求线段AB的长．
(1)∵直线l过点M和极点，
∴直线l的直角坐标方程是θ＝(ρ∈R)．
ρ＝2sin，即ρ＝2(sin
θ＋cos
θ)，
两边同乘ρ，得ρ2＝2(ρsin
θ＋ρcos
θ)，
∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＝0.
(2)点M的直角坐标为(1，)，直线l过点M和原点，
∴直线l的直角坐标方程为y＝x.
曲线C的圆心坐标为(1,1)，半径r＝，圆心到直线l的距离为d＝，
∴|AB|＝＋1.2．直线的极坐标方程
1．直线的极坐标方程
(1)若直线经过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
(2)当直线l过极点，即ρ0＝0时，l的方程为θ＝α.
(3)当直线l过点M(a,0)且垂直于极轴时，l的方程为ρcos_θ＝a.
(4)当直线l过点M且平行于极轴时，l的方程为ρsin_θ＝b.
2．图形的对称性
(1)若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称．
(2)若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线θ＝所在直线对称．
(3)若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点对称．
求直线的极坐标方程
求从极点出发，倾斜角是的射线的极坐标方程．
将射线用集合表示出来，进而用坐标表示．
设M(ρ，θ)为射线上任意一点(如图)，
则射线就是集合P＝.
将已知条件用坐标表示，得θ＝(ρ≥0)．
这就是所求的射线的极坐标方程．
方程中不含ρ，说明射线上点的极坐标中的ρ无论取任何正值，θ的对应值都是.
求直线的极坐标方程，首先应明确过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α的直线的极坐标方程的求法．
另外，还要注意过极点、与极轴垂直和平行的三种特殊情况的直线的极坐标方程．
1．在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线方程为( )
A．ρ＝sin
θ
B．ρ＝cos
θ
C．ρsin
θ＝
D．ρcos
θ＝
解析：选D 由于点的直角坐标为，
则过此点垂直于x轴的直线方程为x＝，
化为极坐标方程为ρcos
θ＝，
所以选D.
2．设点A的极坐标为，直线l过点A且与极轴所成的角为，求直线l的极坐标方程．
解：设P(ρ，θ)为直线上任意一点(如图)．
则α＝－＝，β＝π－＝＋θ，
在△OPA中，有＝，即ρsin＝1.
直线的极坐标方程的应用
在极坐标系中，直线l的方程是ρsin＝1，求点P到直线l的距离．
将极坐标问题转化为直角坐标问题．
点P的直角坐标为(，－1)．
直线l：ρsin＝1可化为ρsin
θ·cos－ρcos
θ·sin＝1，
即直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
∴点P(，－1)到直线x－y＋2＝0的距离为
d＝＝＋1.
故点P到直线ρsin＝1的距离为＋1.
对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等问题，通常是将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究．
3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin
θ与ρcos
θ＝－1的交点的极坐标为________．
解析：由ρ＝2sin
θ，得ρ2＝2ρsin
θ，
其直角坐标方程为x2＋y2＝2y，
ρcos
θ＝－1的直角坐标方程为x＝－1，
联立
解得点(－1,1)的极坐标为.
答案：
4．(陕西高考)在极坐标系中，点到直线ρsin
θ＝2
的距离是________．
解析：将极坐标转化为直角坐标为(，1)．
极坐标方程ρsin
θ＝2转化为直角坐标方程为y＝2，
则点(，1)到直线y＝2的距离为1，即点到直线ρsin
θ＝2的距离为1.
答案：1
课时跟踪检测(四)
一、选择题
1．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( )
A．ρ＝cos
θ
B．ρ＝sin
θ
C．ρcos
θ＝1
D．ρsin
θ＝1
解析：选C 设P(ρ，θ)是直线上任意一点，则显然有ρcos
θ＝1，即为此直线的极坐标方程．
2．7cos
θ＋2sin
θ＝0表示( )
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
解析：选A 两边同乘ρ，得7ρcos
θ＋2ρsin
θ＝0.
即7x＋2y＝0，表示直线．
3．(陕西高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos
θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos
θ＝2
B．θ＝(ρ∈R)和ρcos
θ＝2
C．θ＝(ρ∈R)和ρcos
θ＝1
D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos
θ＝1
解析：选B 在直角坐标系中，圆的方程为x2＋y2＝2x，
即(x－1)2＋y2＝1.从而垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0，x＝2，即θ＝(ρ∈R)和ρcos
θ＝2.
4．已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为( )
A．2 B. C. D.
解析：选D 由2ρsin＝，
得2ρ＝，
∴y－x＝1.由点A的极坐标为得点A的直角坐标为(2，－2)，∴d＝＝.
二、填空题
5．把极坐标方程ρcos＝1化为直角坐标方程是________________________．
解析：将极坐标方程变为ρcos
θ＋ρsin
θ＝1，
化为直角坐标方程为x＋y＝1，
即x＋y－2＝0.
答案：x＋y－2＝0
6．在极坐标系中，过点作圆ρ＝4sin
θ的切线，则切线的极坐标方程是________．
解析：将圆的极坐标方程ρ＝4sin
θ化为直角坐标方程，得x2＋y2＝4y，
即x2＋(y－2)2＝4，
将点的极坐标化为直角坐标为(2,2)，
由于22＋(2－2)2＝4，点(2,2)与圆心的连线的斜率k＝＝0，
故所求的切线方程为y＝2，
故切线的极坐标方程为ρsin
θ＝2.
答案：ρsin
θ＝2
7．(湖南高考)在极坐标系中，曲线C1：ρ(cos
θ＋sin
θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝________.
解析：曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝1，曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝a2，
C1与x轴的交点坐标为，
此点也在曲线C2上，代入解得a＝.
答案：
三、解答题
8．求过(－2,3)点且斜率为2的直线的极坐标方程．
解：由题意知，直线的直角坐标方程为y－3＝2(x＋2)，
即2x－y＋7＝0.
设M(ρ，θ)为直线上任意一点，
将x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ代入直角坐标方程2x－y＋7＝0，
得2ρcos
θ－ρsin
θ＋7＝0，这就是所求的极坐标方程．
9．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos
θ与直线3ρcos
θ＋4ρsin
θ＋a＝0相切，求实数a的值．
解：将极坐标方程化为直角坐标方程，
得圆的方程为x2＋y2＝2x，
即(x－1)2＋y2＝1，
直线的方程为3x＋4y＋a＝0.
由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有＝1，
解得a＝－8或a＝2.故a的值为－8或2.
10．已知双曲线的极坐标方程为ρ＝，过极点作直线与它交于A，B两点，且|AB|＝6.求直线AB的极坐标方程．
解：设直线AB的极坐标方程为θ＝θ1.
A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ1＋π)，
ρ1＝，ρ2＝＝.
|AB|＝|ρ1＋ρ2|
＝＝，
∴＝±1，
∴cos
θ1＝0或cos
θ1＝±.
故直线AB的极坐标方程为θ＝，θ＝或θ＝.一
平面直角坐标系
1．平面直角坐标系
(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标、曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合．
(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．
2．平面直角坐标系中的伸缩变换
(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换．
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
求轨迹方程问题
设A是单位圆x2＋y2＝1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|＝m|DA|(m>0，且m≠1)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.
求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标．
设出点M的坐标(x，y)，直接利用条件求解．
如图，设M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|＝m|DA|(m>0，且m≠1)，可得x＝x0，|y|＝m|y0|，
所以x0＝x，|y0|＝|y|. ①
因为A点在单位圆上运动，
所以x＋y＝1.
②
将①式代入②式，
即得所求曲线C的方程为x2＋＝1(m>0，且m≠1)．
因为m∈(0,1)∪(1，＋∞)，
所以当0
两焦点坐标分别为(－，0)，(，0)；
当m>1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为(0，－)，(0，)．
求轨迹的常用方法
(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的步骤直接求解．
(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程．
(3)代入法：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，x1，y1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即为所求．
(4)参数法：动点P(x，y)的横纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程．
1．二次方程x2－ax＋b＝0的两根为sin
θ，cos
θ，求点P(a，b)的轨迹方程.
解：由已知可得
①2－2×②，得a2＝2b＋1.
∵|θ|≤，由sin
θ＋cos
θ＝sin，
知0≤a≤.
由sin
θcos
θ＝sin
2θ，知|b|≤.
∴点P(a，b)的轨迹方程是a2＝2b＋1(0≤a≤)．
2．△ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，求点A的轨迹方程．
解：取BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则D(0,0)，B(－2,0)，C(2,0)．
设A(x，y)为所求轨迹上任意一点，
则|AD|＝.
又|AD|＝3，
∴＝3，即x2＋y2＝9(y≠0)．
∴点A的轨迹方程为x2＋y2＝9(y≠0).
用坐标法解决几何问题
已知△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别为两腰上的高．求证：BD＝CE.
由于△ABC为等腰三角形，故可以BC为x轴，以BC中点为坐标原点建立直角坐标系，在坐标系中解决问题．
如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．
设B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h)．
则直线AC的方程为
y＝－x＋h，
即：hx＋ay－ah＝0.
直线AB的方程为y＝x＋h，
即：hx－ay＋ah＝0.
由点到直线的距离公式，得|BD|＝，
|CE|＝.
∴|BD|＝|CE|，即BD＝CE.
建立平面直角坐标系的原则
根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点；②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；③使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．
3．求证等腰梯形对角线相等．
已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC.求证：AC＝BD.
证明：取BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，
建立如图所示的直角坐标系．
设A(－a，h)，B(－b,0)，
则D(a，h)，C(b,0)．
∴|AC|＝，
|BD|＝.
∴|AC|＝|BD|，
即等腰梯形ABCD中，AC＝BD.
4．已知△ABC中，D为边BC的中点，求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋BD2)．
证明：以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0,0)．
设B(a,0)，C(b，c)，
则D，
所以AD2＋BD2
＝＋＋＋
＝(a2＋b2＋c2)，
又AB2＋AC2＝a2＋b2＋c2，
所以AB2＋AC2＝2(AD2＋BD2).
直角坐标系中的伸缩变换
求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线x2＋y2＝1变成曲线＋＝1.
设出变换公式，代入方程，比较系数，得出伸缩变换．
设变换为
代入方程＋＝1，得＋＝1.
与x2＋y2＝1比较，将其变形为
x2＋y2＝1，比较系数得λ＝3，μ＝2.
∴即将圆x2＋y2＝1上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，可得到椭圆＋＝1.
坐标伸缩变换φ：注意变换中的系数均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标伸缩变换φ可以求变换前和变换后的曲线方程．已知变换前、后曲线方程也可求伸缩变换φ.
5．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x2＋9y2＝36变成曲线x′2＋y′2＝1.
解：设变换为可将其代入x′2＋y′2＝1，得λ2x2＋μ2y2＝1.将4x2＋9y2＝36变为
x2＋y2＝1，
即x2＋y2＝1，与λ2x2＋μ2y2＝1比较，
比较系数得λ＝，μ＝.
∴即将椭圆4x2＋9y2＝36上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，可得到圆x′2＋y′2＝1.
6．求4x2－9y2＝1经过伸缩变换后的图形所对应的方程．
解：由伸缩变换得
将其代入4x2－9y2＝1，
得42－92＝1.
整理，得x′2－y′2＝1.
∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为x′2－y′2＝1.
课时跟踪检测(一)
一、选择题
1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( )
A．椭圆
B．比原来大的圆
C．比原来小的圆
D．双曲线
解析：选D 由伸缩变换的意义可得．
2．已知线段BC长为8，点A到B，C两点距离之和为10，则动点A的轨迹为( )
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
解析：选C 由椭圆的定义可知，动点A的轨迹为一椭圆．
3．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN―→|·|MP―→|＋MN―→·NP―→＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为( )
A．y2＝8x
B．y2＝－8x
C．y2＝4x
D．y2＝－4x
解析：选B 由题意，得MN―→＝(4,0)，MP―→＝(x＋2，y)，NP―→＝(x－2，y)，由|MN―→|·|MP―→|＋MN―→·NP―→＝0，
得4＋4(x－2)＝0，整理，得y2＝－8x.
4．在同一坐标系中，将曲线y＝3sin
2x变为曲线y′＝sin
x′的伸缩变换是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B 设则μy＝sin
λx，
即y＝sin
λx.
比较y＝3sin
2x与y＝sin
λx，则有＝3，λ＝2.
∴μ＝，λ＝2.∴
二、填空题
5．y＝cos
x经过伸缩变换后，曲线方程变为________．
解析：由得代入y＝cos
x，
得y′＝cosx′，即y′＝3cosx′.
答案：y＝3cos
6．把圆X2＋Y2＝16沿x轴方向均匀压缩为椭圆x2＋＝1，则坐标变换公式是________．
解析：设
则代入X2＋Y2＝16得
＋＝1.
∴16λ2＝1,16μ2＝16.
∴故
答案：
7．△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则点A的轨迹方程为________．
解析：∵△ABC的周长为10，
∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10.其中|BC|＝4，
即有|AB|＋|AC|＝6＞4.
∴点A轨迹为椭圆除去B，C两点，且2a＝6,2c＝4.
∴a＝3，c＝2，b2＝5.
∴点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
答案：＋＝1(y≠0)
三、解答题
8.
在同一平面直角坐标系中，将曲线x2－36y2－8x＋12＝0变成曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．
解：x2－36y2－8x＋12＝0可化为2－9y2＝1.①
x′2－y′2－4x′＋3＝0可化为(x′－2)2－y′2＝1.②
比较①②，可得即
所以将曲线x2－36y2－8x＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0的图象．
9．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|.
证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)．
则M点的坐标为.
由于|BC|＝，
|AM|＝
＝，
故|AM|＝|BC|.
10．如图，椭圆C0：＋＝1(a>b>0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t，b解：设
A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知A1(－a,0)，A2(a,0)，
则直线A1A的方程为y＝(x＋a)，①
直线A2B的方程为y＝(x－a)．②
由①②，得y2＝(x2－a2)．③
由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故＋＝1.
从而y＝b2，代入③，得
－＝1(x<－a，y<0)，此方程即为点M的轨迹方程．本讲高考热点解读与高频考点例析
?考情分析
通过对近几年高考试题的分析可见，高考对本讲知识的考查，主要是以参数方程为工具，考查直线与圆或与圆锥曲线的有关问题．
?真题体验
1．(湖北高考)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sin
θ－3cos
θ)＝0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：由ρ(sin
θ－3cos
θ)＝0，得ρsin
θ＝3ρcos
θ，则y＝3x.由得y2－x2＝4.
由可得或不妨设A，则B，
故|AB|＝
＝2.
答案：2
2．(全国甲卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．
解：(1)由x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos
θ＋11＝0.
(2)法一：由直线l的参数方程(t为参数)，消去参数得y＝x·tan
α.
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为kx－y＝0.
由圆C的方程(x＋6)2＋y2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5.
又|AB|＝，由垂径定理及点到直线的距离公式得＝
，即＝，
整理得k2＝，解得k＝±，即直线l的斜率为±.
法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos
α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos
α，ρ1ρ2＝11.
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.
由|AB|＝得cos2α＝，tan
α＝±.
所以直线l的斜率为或－.
3．(全国卷Ⅰ)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos
θ，3sin
θ)到l的距离为
d＝|4cos
θ＋3sin
θ－6|，
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，
其中α为锐角，且tan
α＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
4．(全国丙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
解：(1)C1的普通方程为＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos
α，sin
α)．
因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，
d(α)＝＝，
当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.
曲线的参数方程与普通方程的互化
在求出曲线的参数方程后，通常利用消参法得出普通方程．一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法．但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意x，y的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线．
参数方程θ为参数，－≤θ≤表示的曲线是什么？
化为普通方程是：x2＋y2＝25，
∵－≤θ≤，
∴0≤x≤5，－5≤y≤5.
∴表示以(0,0)为圆心，5为半径的右半圆．
将参数方程(t为参数)化为普通方程．
由x＝t＋1，得t＝(x－1)，
代入y＝t2－1，得y＝(x－1)2－1，即为所求普通方程.
直线与圆的参数方程
直线的参数方程主要考查求直线的参数方程，根据参数方程参数的几何意义，求直线上两点间的距离；求直线的倾斜角；判断两直线的位置关系等几个方面．圆的参数方程主要考查根据已知条件求圆的参数方程，根据圆的参数方程解决与圆有关的最值、位置关系等问题．
求直线l：4x－y－4＝0与l1：x－2y－2＝0及l2：4x＋3y－12＝0所得两交点间的距离．
在l上任取一点(0，－4)得l的参数方程为
将这一参数方程代入l1和l2即可求出两交点的参数值分别为t1＝和t2＝.
根据直线参数方程的几何意义，两交点间的距离为：
|t1－t2|＝＝，
即两交点间距离为.
已知实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝9，求x2＋y2的最大值和最小值．
因为实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝9，所以点(x，y)可视为圆(x－1)2＋(y－1)2＝9上的点，于是可利用圆的参数方程来求解．
设(θ为参数)，
则x2＋y2＝(1＋3cos
θ)2＋(1＋3sin
θ)2
＝11＋6(sin
θ＋cos
θ)＝11＋6sin.
因为－1≤sin≤1，
所以11－6≤x2＋y2≤11＋6.
所以x2＋y2的最大值为11＋6，最小值为11－6.
圆锥曲线的参数问题
能根据条件求椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，并利用圆锥曲线的参数方程解最值、直线与圆锥曲线的位置关系等问题．
一直线经过P(1,1)点，倾斜角为α，它与椭圆＋y2＝1相交于P1，P2两点．当α取何值时，|PP1|·|PP2|有最值，并求出最值．
设直线方程为(t为参数)，
代入椭圆方程，得(cos2α＋4sin2α)t2＋(2cos
α＋8sin
α)t＋1＝0.
∵Δ＝(2cos
α＋8sin
α)2－4(cos2α＋4sin2α)＞0，∴tan
α＜－或tan
α＞0.
|PP1|·|PP2|＝t1·t2＝
＝＝
＝＋，
tan2α→＋∞时，(|PP1|·|PP2|)min＝，
此时α＝.|PP1|·|PP2|无最大值．
已知点P(3,2)平分抛物线y2＝4x的一条弦AB，求弦AB的长．
设弦AB所在的直线方程为(t为参数)，
代入方程y2＝4x整理，得t2sin2α＋4(sin
α－cos
α)t－8＝0.①
∵点P(3,2)是弦AB的中点，由参数t的几何意义可知，方程①的两个实根t1，t2满足关系t1＋t2＝0.即sin
α－cos
α＝0.
∵0≤α＜π，∴α＝.
∴AB＝|t1－t2|＝＝＝8.
即弦AB的长为8.1．椭圆的参数方程
椭圆的参数方程
(1)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的参数方程是(φ是参数)，规定参数φ的取值范围是 已知实数x，y满足＋＝1，求目标函数z＝x－2y的最大值与最小值．
将椭圆上的点的坐标设成参数方程的形式，将问题转化成三角函数求最值问题．
椭圆＋＝1的参数方程为
(φ为参数)．
代入目标函数得z＝5cos
φ－8sin
φ
＝cos(φ＋φ0)
＝cos(φ＋φ0).
所以目标函数zmin＝－，zmax＝.
利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解．
1．已知椭圆＋＝1，点A的坐标为(3,0)．在椭圆上找一点P，使点P与点A的距离最大．
解：椭圆的参数方程为(θ为参数)．
设P(5cos
θ，4sin
θ)，则
|PA|＝＝
＝＝|3cos
θ－5|≤8，
当cos
θ＝－1时，|PA|最大．
此时，sin
θ＝0，点P的坐标为(－5,0)．
2．椭圆＋＝1上一动点P(x，y)与定点A(a,0)(0＜a＜3)之间的距离的最小值为1，求a的值．
解：椭圆的参数方程为(θ为参数)．
设动点P(3cos
θ，2sin
θ)，则
|PA|2＝(3cos
θ－a)2＋4sin2θ
＝52－a2＋4.
∵0＜a＜3，∴0＜a＜.于是
若0＜a≤1，则当cos
θ＝a时，
|PA|min＝
＝1，得a＝(舍去)；
若1＜a＜，则当cos
θ＝1时，
由|PA|min＝＝1，
得|a－3|＝1，∴a＝2，故满足要求的a值为2.
椭圆参数方程的应用：求轨迹方程
已知A，B分别是椭圆＋＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．
由条件可知，A，B两点坐标已知，点C在椭圆上，故可设出点C坐标的椭圆参数方程形式，由三角形重心坐标公式求解．
由题意知A(6,0)，B(0,3)．由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cos
θ，3sin
θ)，点G的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得
即
消去参数θ得到＋(y－1)2＝1.
本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．
3．已知椭圆方程是＋＝1，点A(6,6)，P是椭圆上一动点，求线段PA中点Q的轨迹方程．
解：椭圆的参数方程为(θ为参数)．
设P(4cos
θ，3sin
θ)，Q(x，y)，则有
即(θ为参数)．
∴9(x－3)2＋16(y－3)2＝36，
即为所求轨迹方程．
4．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点．
(1)若椭圆C上的点A到F1，F2的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程．
解：(1)由椭圆上点A到F1，F2的距离之和是4，
得2a＝4，即a＝2.
又点A在椭圆上，
因此＋＝1，得b2＝3，
于是c2＝a2－b2＝1，
所以椭圆C的方程为＋＝1，
焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)．
(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cos
θ，sin
θ)，线段F1P的中点坐标为(x，y)，则
x＝，y＝，
所以x＋＝cos
θ，＝sin
θ.
消去θ，得2＋＝1.
即为线段F1P中点的轨迹方程.
椭圆参数方程的应用：恒成立问题
已知椭圆＋y2＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线分别交x轴于P，Q两点，求证：|OP|·|OQ|为定值．
利用参数方程，设出点M的坐标，并由此得到直线MB1，MB2的方程，从而得到P，Q两点坐标，求出|OP|，|OQ|，再求|OP|·|OQ|的值．
设M(2cos
φ，sin
φ)，φ为参数，
B1(0，－1)，B2(0,1)．
则MB1的方程：y＋1＝x，
令y＝0，则x＝，即|OP|＝.
MB2的方程：y－1＝x，
令y＝0，则x＝.
∴|OQ|＝.
∴|OP|·|OQ|＝×＝4.
即|OP|·|OQ|＝4为定值．
利用参数方程证明定值(或恒成立)问题，首先是用参数把要证明的定值(或恒成立的式子)表示出来，然后利用条件消去参数，得到一个与参数无关的定值即可．
5．对任意实数，直线y＝x＋b与椭圆(0≤θ≤2π)恒有公共点，则b的取值范围是________．
解析：将(2cos
θ，4sin
θ)代入y＝x＋b，得4sin
θ＝2cos
θ＋b.
∵恒有公共点，∴以上方程有解．
令f(θ)＝4sin
θ－2cos
θ
＝2sin(θ－φ)．
∴－2≤f(θ)≤2.
∴－2≤b≤2.
答案：
6．曲线(a＞b＞0)上一点M与两焦点F1，F2所成角为∠F1MF2＝α.
求证：△F1MF2的面积为b2tan.
证明：∵M在椭圆上，
∴由椭圆的定义，得|MF1|＋|MF2|＝2a，
两边平方，得|MF1|2＋|MF2|2＋2|MF1||MF2|＝4a2.
在△F1MF2中，由余弦定理，得
|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|cos
α＝|F1F2|2＝4c2.
由两式，得|MF1|·|MF2|＝.
故S△F1MF2＝|MF1|·|MF2|sin
α＝b2tan.
课时跟踪检测(十)
一、选择题
1．椭圆(θ为参数)，若θ∈，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ等于( )
A．π
B.
C．2π
D.
解析：选A ∵点(－a,0)中x＝－a，
∴－a＝acos
θ，
∴cos
θ＝－1，∴θ＝π.
2．已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为( )
A.
B．－
C．2
D．－2
解析：选C 点M的坐标为(1,2)，
∴kOM＝2.
3．直线＋＝1与椭圆＋＝1相交于A，B两点，该椭圆上点P使得△PAB的面积等于4，这样的点P共有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：
选B 设椭圆上一点P1的坐标为(4cos
θ，3sin
θ)，θ∈，如图所示，则S四边形P1AOB＝S△OAP1＋S△OBP1
＝×4×3sin
θ＋×3×4cos
θ
＝6(sin
θ＋cos
θ)＝6sin.
当θ＝时，S四边形P1AOB有最大值为6.
所以S△ABP1≤6－S△AOB＝6－6＜4.
故在直线AB的右上方不存在点P使得△PAB的面积等于4，又S△AOB＝6＞4，所以在直线AB的左下方，存在两个点满足到直线AB的距离为，使得S△PAB＝4.
故椭圆上有两个点使得△PAB的面积等于4.
4．两条曲线的参数方程分别是(θ为参数)和(t为参数)，则其交点个数为( )
A．0
B．1
C．0或1
D．2
解析：选B
由得x＋y－1＝0(－1≤x≤0,1≤y≤2)，由得＋＝1.如图所示，可知两曲线交点有1个．
二、填空题
5．椭圆(θ为参数)的焦距为________．
解析：椭圆的普通方程为＋＝1.
∴c2＝21，∴2c＝2.
答案：2
6．实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则2x＋y的最大值是________．
解析：因为实数x，y满足3x2＋4y2＝12，
所以设x＝2cos
α，y＝sin
α，则
2x＋y＝4cos
α＋3sin
α＝5sin(α＋φ)，
其中sin
φ＝，cos
φ＝.
当sin(α＋φ)＝1时，2x＋y有最大值为5.
答案：5
7．在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(φ为参数，a＞b＞0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆
O的极坐标方程分别为ρsin＝m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆
O相切，则椭圆C的离心率为____________．
解析：l的直角坐标方程为x＋y＝m，圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝b2，由直线l与圆O相切，
得m＝±b.
从而椭圆的一个焦点为(b,0)，即c＝b，
所以a＝b，则离心率e＝＝.
答案：
三、解答题
8．已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，求它们的交点坐标．
解：将(0≤θ＜π)化为普通方程，得
＋y2＝1(0≤y≤1，x≠－)，
将x＝t2，y＝t代入，得
t4＋t2－1＝0，
解得t2＝，
∴t＝(∵y＝t≥0)，x＝t2＝·＝1，
∴交点坐标为.
9．对于椭圆(θ为参数)，如果把横坐标缩短为原来的，再把纵坐标缩短为原来的即得到圆心在原点，半径为1的圆的参数方程(θ为参数)．那么，若把圆看成椭圆的特殊情况，试讨论圆的离心率，并进一步探讨椭圆的离心率与椭圆形状的关系．
解：设圆的参数方程为(θ为参数)，
如果将该圆看成椭圆，
那么在椭圆中对应的数值分别为a＝b＝r，
所以c＝＝0，
则离心率e＝＝0.
即把圆看成椭圆，其离心率为0，而椭圆的离心率的范围是(0,1)，可见椭圆的离心率越小即越接近于0，形状就越接近于圆，离心率越大，椭圆越扁．
10．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为
(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
解：(1)把极坐标系下的点P化为直角坐标，
得P(0,4)．
因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程
x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．
(2)因为点Q在曲线C上，
故可设点Q的坐标为(cos
α，sin
α)，从而点Q到直线l的距离为
d＝
＝＝cos＋2.
由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.2．球坐标系
球坐标系
(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.
(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为
将点的球坐标化为直角坐标
已知点P的球坐标为，求它的直角坐标．
直接套用变换公式求解．
由变换公式，得
x＝rsin
φcos
θ＝4sincos＝2.
y＝rsin
φsin
θ＝4sinsin＝2.
z＝rcos
φ＝4cos＝－2.
∴它的直角坐标为(2,2，－2)．
已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求得，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ.
1．求下列各点的直角坐标：
(1)M；(2)N.
解：(1)由变换公式，得
x＝rsin
φcos
θ＝2sincos＝，
y＝rsin
φsin
θ＝2sinsin＝，
z＝rcos
φ＝2cos＝.
∴它的直角坐标是.
(2)由变换公式，得
x＝rsin
φcos
θ＝2sincos＝－.
y＝rsin
φsin
θ＝2sinsin＝－.
z＝rcos
φ＝2cos＝－.
∴它的直角坐标为.
2．将点M的球坐标(π，π，π)化成直角坐标．
解：∵(r，φ，θ)＝(π，π，π)，
∴x＝rsin
φcos
θ＝0，
y＝rsin
φsin
θ＝0，
z＝rcos
φ＝－π.
∴点M的直角坐标为(0,0，－π).
将点的直角坐标化为球坐标
设点M的直角坐标为(1,1，)，求它的球坐标．
直接套用坐标变换公式求解．
由坐标变换公式，可得
r＝＝＝2.
由rcos
φ＝z＝，
得cos
φ＝＝，φ＝.
又tan
θ＝＝1，θ＝(M在第一象限)，
从而知M点的球坐标为.
由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M的球坐标为(r，φ，θ)，再利用变换公式求出r，θ，φ代入点的球坐标即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tan
θ＝，cos
φ＝.特别注意由直角坐标求球坐标时，θ和φ的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．
3．求下列各点的球坐标：
(1)M(1，，2)；(2)N(－1,1，－)．
解：(1)r＝＝
＝2，
由z＝rcos
φ，得
cos
φ＝＝＝.
∴φ＝，
又tan
θ＝＝＝，x>0，y>0，
∴θ＝，
∴它的球坐标为.
(2)由变换公式，得
r＝＝
＝2.
由z＝rcos
φ，得cos
φ＝＝－.
∴φ＝.
又tan
θ＝＝＝－1，x＜0，y＞0，
∴θ＝.
∴它的球坐标为.
课时跟踪检测(六)
一、选择题
1．已知一个点的球坐标为，则它的方位角为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A 由球坐标的定义可知选A.
2．设点M的柱坐标为，则它的球坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B 设点M的直角坐标为(x，y，z)，
故
设点M的球坐标为(ρ，φ，θ)．
则ρ＝＝2，
由＝2cos
φ知φ＝.
又tan
θ＝＝1，
故θ＝，
故点M的球坐标为.
3．点P的球坐标为，则它的直角坐标为( )
A．(1,0,0)
B．(－1，－1,0)
C．(0，－1,0)
D．(－1,0,0)
解析：选D x＝rsin
φcos
θ＝1·sin·cos
π＝－1，
y＝rsin
φsin
θ＝1·sin·sin
π＝0，
z＝rcos
φ＝1·cos＝0.
∴它的直角坐标为(－1,0,0)．
4．设点M的直角坐标为(－1，－1，)，则它的球坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B 由坐标变换公式，得
r＝＝2，cos
φ＝＝，∴φ＝.
∵tan
θ＝＝＝1，∴θ＝.
∴M的球坐标为.
二、填空题
5．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是________．
解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标．
答案：(－2,2,2)
6．在球坐标系中，方程r＝1表示________．
解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状．
答案：球心在原点，半径为1的球面
7．在球坐标系中A和B的距离为________．
解析：A，B两点化为直角坐标分别为：A(1,1，)，B(－1,1，－)．
∴|AB|＝＝2.
答案：2
三、解答题
8．将下列各点的球坐标化为直角坐标．
(1)；
(2).
解：(1)x＝4sincos＝2，y＝4sinsin＝－2，
z＝4cos＝0，
∴它的直角坐标为(2，－2，0)．
(2)x＝8sincos
π＝－4，
y＝8sinsin
π＝0，z＝8cos＝－4，
∴它的直角坐标为(－4，0，－4)．
9．如图，请你说出点M的球坐标．
解：
由球坐标的定义，记|OM|＝R，OM与z轴正向所夹的角为φ，设M在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点M的位置就可以用有序数组(R，φ，θ)表示．
∴点M的球坐标为：M(R，φ，θ)．
10．如图建立球坐标系，正四面体ABCD的棱长为1，求A，B，C，D的球坐标．(其中O是△BCD的中心)
解：∵O是△BCD的中心，
∴OC＝OD＝OB＝，AO＝.
∴C，D，
B，A.1．柱坐标系
柱坐标系
(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R.
(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为
将直角坐标化为柱坐标
设点A的直角坐标为(1，，5)，求它的柱坐标．
由公式求出ρ，再由tan
θ＝求θ.
由公式得ρ2＝x2＋y2，
即ρ2＝12＋()2＝4，∴ρ＝2.
tan
θ＝＝，
又x>0，y>0，点在第一象限．∴θ＝，
∴点A的柱坐标为.
已知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和θ，尤其是θ，要注意求出tan
θ后，还要根据点所在象限确定θ的值(θ的范围是 已知点P的柱坐标为，求它的直角坐标．
直接利用公式求解．
由变换公式得
x＝4cos＝2，y＝4sin＝2，z＝8.
∴点P的直角坐标为(2,2，8)．
已知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式
即可．
3．点N的柱坐标为，求它的直角坐标．
解：由变换公式得
x＝ρcos
θ＝2cos＝0，y＝ρsin
θ＝2sin＝2，
故点N的直角坐标为(0,2,3)．
4．已知点A的柱坐标为(1，π，2)，B的柱坐标为，求A，B两点间距离．
解：由x＝ρcos
θ，得x＝cos
π＝－1.
由y＝ρsin
θ，得y＝sin
π＝0.
∴A点的直角坐标为(－1,0,2)．
同理，B点的直角坐标为(0,2,1)．
∴|AB|＝＝.
故A，B两点间的距离为.
课时跟踪检测(五)
一、选择题
1．设点M的直角坐标为(1，－，2)，则它的柱坐标是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D ρ＝＝2，tan
θ＝－，
又x>0，y<0，M在第四象限，
∴θ＝，
∴柱坐标是.
2．点P的柱坐标为，则点P与原点的距离为( )
A.
B．2
C．4
D．8
解析：选B 点P的直角坐标为(4，4，2)．
∴它与原点的距离为：
＝2.
3．空间点P的柱坐标为(ρ，θ，z)，关于点O(0,0,0)的对称点的坐标为(0＜θ≤π)( )
A．(－ρ，－θ，－z)
B．(－ρ，θ，－z)
C．(ρ，π＋θ，－z)
D．(ρ，π－θ，－z)
答案：C
4．在直角坐标系中，(1,1,1)关于z轴对称点的柱坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C (1,1,1)关于z轴的对称点为(－1，－1,1)，它的柱坐标为.
二、填空题
5．设点Μ的柱坐标为，则点Μ的直角坐标为________．
解析：x＝ρcos
θ＝2cos＝.
y＝ρsin
θ＝2sin
＝1.
∴直角坐标为(，1,7)．
答案：(，1,7)
6．已知点M的直角坐标为(1,0,5)，则它的柱坐标为________．
解析：
∵x＞0，y＝0，
∴tan
θ＝0，θ＝0.
ρ＝＝1.
∴柱坐标为(1,0,5)．
答案：(1,0,5)
7．在空间的柱坐标系中，方程ρ＝2表示________．
答案：中心轴为z轴，底半径为2的圆柱面
三、解答题
8．求点M(1,1,3)关于xOz平面对称点的柱坐标．
解：点M(1,1,3)关于xOz平面的对称点为(1，－1,3)．
由变换公式得
ρ2＝12＋(－1)2＝2，∴ρ＝.
tan
θ＝＝－1，
又x＞0，y＜0，∴θ＝.
∴其关于xOz平面的对称点的柱坐标为.
9．已知点M的柱坐标为，求M关于原点O对称的点的柱坐标．
解：M的直角坐标为
∴M关于原点O的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)．
∵ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2，
∴ρ＝.tan
θ＝＝1，
又x＜0，y＜0，
∴θ＝.
∴其柱坐标为.
∴点M关于原点O对称的点的柱坐标为.
10．建立适当的柱坐标系表示棱长为3的正四面体各个顶点的坐标．
解：以正四面体的一个顶点B为极点O，选取以O为端点且与BD垂直的射线Ox为极轴，在平面BCD上建立极坐标系．过O点与平面BCD垂直的线为z轴．
过A作AA′垂直于平面BCD，垂足为A′，
则|BA′|＝×＝，|AA′|＝＝，
∠A′Bx＝90°－30°＝60°＝，
则A，B(0,0,0)，C，D.一
曲线的参数方程
1．参数方程的概念
1．参数方程的概念
在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫这条曲线的参数方程，t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫做普通方程．
2．参数的意义
参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．
求曲线的参数方程
如图，△ABP是等腰直角三角形，∠B是直角，腰长为a，顶点B，A分别在x轴、y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程．
此类问题的关键是参数的选取．本例中由于A，B的滑动而引起点P的运动，故可以OB的长为参数，或以角为参数，不妨取BP与x轴正向夹角为参数来求解．
法一：设P点的坐标为(x，y)，过P点作x轴的垂线交x轴于点Q.
如图所示，则Rt△OAB≌Rt△QBP.
取OB＝t，t为参数(0＜t＜a)．
∵|OA|＝，
∴|BQ|＝.
∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为(0＜t＜a)．
法二：设点P的坐标为(x，y)，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，如图所示．
取∠QBP＝θ，
θ为参数，
则∠ABO＝－θ.
在Rt△OAB中，
|OB|＝acos＝asin
θ.
在Rt△QBP中，
|BQ|＝acos
θ，|PQ|＝asin
θ.
∴点P在第一象限的轨迹的参数方程为
.
求曲线参数方程的主要步骤
第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系．
第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”，直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．
第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略．
1．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀角速度运动，角速度为
rad/s，试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．
解：如图，运动开始时质点位于点A处，
此时t＝0，设动点M(x，y)对应时刻t，由图可知(θ为参数)，
又θ＝t，
故参数方程为(t为参数)．
2．选取适当的参数，把直线方程y＝2x＋3化为参数方程．
解：选t＝x，则y＝2t＋3.
由此得直线的参数方程为(t为参数)．
也可选t＝x＋1，则y＝2t＋1.
参数方程为(t为参数).
参数方程表示的曲线上的点
已知曲线C的参数方程是
(t为参数)．
(1)判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系；
(2)已知点M3(6，a)在曲线C上，求a的值．
由参数方程的概念，只需判断对应于点的参数是否存在即可，若存在，说明点在曲线上，否则不在曲线上．
(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，得
解得t＝0.∴点M1在曲线C上．
同理，可知点M2不在曲线C上．
(2)∵点M3(6，a)在曲线C上，∴
解得t＝2，a＝9.
∴a＝9.
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的．
3．曲线(x－1)2＋y2＝4上的点可以表示为( )
A．(－1＋cos
θ，sin
θ)
B．(1＋sin
θ，cos
θ)
C．(－1＋2cos
θ，2sin
θ)
D．(1＋2cos
θ，2sin
θ)
解析：选D 将点的坐标代入方程，使方程成立的即可．
4．已知某条曲线C的参数方程为(其中t为参数，a∈R)，点M(5,4)在该曲线上，求常数a.
解：∵点M(5,4)在曲线C上，
∴
解得
∴a的值为1.
课时跟踪检测(七)
一、选择题
1．下列方程可以作为x轴的参数方程的是( )
A.(t为参数)
B.(t为参数)
C.(θ为参数)
D.(t为参数)
解析：选D x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
2．已知曲线C的参数方程为(θ为参数，π≤θ<2π)，若点Μ(14，a)在曲线C上，则a等于( )
A．－3－5
B．－3＋5
C．－3＋
D．－3－
解析：选A ∵(14，a)在曲线C上，
∴
由①，得cos
θ＝.又π≤θ＜2π，
∴sin
θ＝－＝－，
∴tan
θ＝－.
∴a＝5·(－)－3＝－3－5.
3．在方程(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( )
A．(2，－7)
B.
C.
D．(1,0)
解析：选C 将点的坐标代入参数方程，若能求出θ，则点在曲线上，经检验，知C满足条件．
4．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A 设(x，y)为所求轨迹上任一点．
由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0，得
(x－2t)2＋(y－t)2＝4＋2t2.
∴
二、填空题
5．已知曲线(θ为参数，0≤θ＜2π)．
下列各点：A(1,3)，B(2,2)，C(－3,5)，其中在曲线上的点是________．
解析：将点A坐标代入方程，得θ＝0或π，
将点B，C坐标代入方程，方程无解，
故点A在曲线上．
答案：A(1,3)
6．下列各参数方程与方程xy＝1表示相同曲线的是________(填序号)．
①②③
④
解析：普通方程中，x，y均为不等于0的实数，而①②③中x的取值依次为：，，故①②③均不正确，而④中，x∈R，y∈R，且xy＝1，故④正确．
答案：④
7．动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M位于A(1,1)，则点M的参数方程为________________________．
解析：设M(x，y)，
则在x轴上的位移为x＝1＋9t，
在y轴上的位移为y＝1＋12t.
∴参数方程为(t为参数)．
答案：(t为参数)
三、解答题
8．已知动圆x2＋y2－2axcos
θ－2bysin
θ＝0(a，b∈R＋，且a≠b，θ为参数)，求圆心的轨迹方程．
解：设P(x，y)为所求轨迹上任一点．
由x2＋y2－2axcos
θ－2bysin
θ＝0，得
(x－acos
θ)2＋(y－bsin
θ)2＝a2cos2θ＋b2sin2θ.
∴(θ为参数)．
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a，射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P的轨迹方程．
解：设P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ，
由PQ⊥OA，PB∥OA，得
x＝OD＝OQcos
θ＝OAcos2θ＝2acos2θ，
y＝AB＝OAtan
θ＝2atan
θ.
所以P点轨迹的参数方程为
θ∈.
10．试确定过M(0,1)作椭圆x2＋＝1的弦的中点的轨迹方程．
解：设过M(0,1)的弦所在的直线方程为y＝kx＋1，
其与椭圆的交点为(x1，y1)和(x2，y2)．
设中点P(x，y)，则有：x＝，y＝.
由
得(k2＋4)y2－8y＋4－4k2＝0.
∴x1＋x2＝，y1＋y2＝.
∴(k为参数)．
这就是以动弦斜率k为参数的动弦中点的轨迹方程．2．圆的参数方程
圆的参数方程
(1)在t时刻，圆周上某点M转过的角度是θ，点M的坐标是(x，y)，那么θ＝ωt(ω为角速度)．设|OM|＝r，那么由三角函数定义，有cos
ωt＝，sin
ωt＝，即圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为(t为参数)．其中参数t的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时刻．
(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt，于是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM0(M0为t＝0时的位置)绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度．
(3)若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R，则圆的参数方程为(0≤θ＜2π)．
求圆的参数方程
圆(x－r)2＋y2＝r2(r＞0)，点M在圆上，O为原点，以∠MOx＝φ为参数，求圆的参数方程．
根据圆的特点，结合参数方程概念求解．
如图所示，
设圆心为O′，连接O′M，
∵O′为圆心，
∴∠MO′x＝2φ.
∴(φ为参数)
(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成(φ为参数)
(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．
1．已知圆的方程为x2＋y2＝2x，写出它的参数方程．
解：x2＋y2＝2x的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，
设x－1＝cos
θ，y＝sin
θ，则
参数方程为(θ为参数，0≤θ＜2π)．
2．已知点P(2,0)，点Q是圆上一动点，求PQ中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解：设中点M(x，y)．则
即(θ为参数)．
这就是所求的轨迹方程．
它是以(1,0)为圆心，以为半径的圆.
圆的参数方程的应用
若x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求2x＋y的最值．
(x－1)2＋(y＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x＋y的最值转化为求三角函数最值问题．
令x－1＝2cos
θ，y＋2＝2sin
θ，则有
x＝2cos
θ＋1，y＝2sin
θ－2，
故2x＋y＝4cos
θ＋2＋2sin
θ－2.
＝4cos
θ＋2sin
θ＝2sin(θ＋φ)．
∴－2≤2x＋y≤2.
即2x＋y的最大值为2，最小值为－2.
圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．
3．求原点到曲线C：(θ为参数)的最短距离．
解：原点到曲线C的距离为：
＝
＝
＝
＝
≥＝＝－2.
∴原点到曲线C的最短距离为－2.
4．已知圆C：(θ为参数)与直线x＋y＋a＝0有公共点，求实数a的取值范围．
解：法一：∵消去θ，
得x2＋(y＋1)2＝1，
∴圆C的圆心为(0，－1)，半径为1.
∴圆心到直线的距离d＝≤1.
解得1－≤a≤1＋，即a的取值范围是．
法二：将圆C的方程代入直线方程，得
cos
θ－1＋sin
θ＋a＝0，
即a＝1－(sin
θ＋cos
θ)＝1－sin.
∵－1≤sin≤1，
∴1－≤a≤1＋，即a的取值范围是．
课时跟踪检测(八)
一、选择题
1．圆的参数方程为：(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )
A．(0,2)
B．(0，－2)
C．(－2,0)
D．(2,0)
解析：选D 将化为(x－2)2＋y2＝4，其圆心坐标为(2,0)．
2．直线：x＋y＝1与曲线(θ为参数)的公共点有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：选C 将化为x2＋y2＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，
由于＝<2＝r，
故直线与圆相交，有两个公共点．
3．直线：3x－4y－9＝0与圆：(θ为参数)的位置关系是( )
A．相切
B．相离
C．直线过圆心
D．相交但直线不过圆心
解析：选D 圆心坐标为(0,0)，半径为2，显然直线不过圆心，
又圆心到直线距离d＝<2，故选D.
4．P(x，y)是曲线(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )
A．36
B．6
C．26
D．25
解析：选A 设P(2＋cos
α，sin
α)，代入，得
(2＋cos
α－5)2＋(sin
α＋4)2
＝25＋sin2α＋cos2α－6cos
α＋8sin
α
＝26＋10sin(α－φ)．
∴最大值为36.
二、填空题
5．参数方程(φ为参数)表示的图形是________．
解析：x2＋y2＝(3cos
φ＋4sin
φ)2＋(4cos
φ－3sin
φ)2＝25.∴表示圆．
答案：圆
6．已知圆C的参数方程为(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos
θ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为________．
解析：由极坐标系与直角坐标系互化关系可知，直线l的直角坐标方程为x＝1.
由圆C的参数方程可得x2＋(y－1)2＝1，
由
得直线l与圆C的交点坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
7．(广东高考)已知曲线C的极坐标方程为
ρ＝2cos
θ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．
解析：由极坐标方程与直角坐标方程互化公式可得，曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
故曲线C对应的参数方程可写为
(θ为参数)．
答案：(θ为参数)
三、解答题
8．P是以原点为圆心，半径r＝2的圆上的任意一点，Q(6,0)，M是PQ中点．
(1)画图并写出⊙O的参数方程；
(2)当点P在圆上运动时，求点M的轨迹的参数方程．
解：(1)如图所示，⊙O的参数方程(θ为参数)．
(2)设M(x，y)，P(2cos
θ，2sin
θ)，
∵Q(6,0)，∴M的参数方程为
即(θ为参数)．
9．设点M(x，y)在圆x2＋y2＝1上移动，求点Q(x(x＋y)，y(x＋y))的轨迹．
解：设M(cos
θ，sin
θ)(0≤θ＜2π)，点Q(x1，y1)，
则
∴
将sin
2θ＝x1＋y1－1代入另一个方程，
整理，得2＋2＝.
∴所求轨迹是以为圆心，以为半径的圆．
10．已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(θ为参数)．
(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；
(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
解：(1)当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.
联立方程组解得C1与C2的交点坐标为(1,0)，.
(2)C1的普通方程为xsin
α－ycos
α－sin
α＝0.A点坐标为(sin2α，－cos
αsin
α)，故当α变化时，P点轨迹的参数方程为
(α为参数)．
P点轨迹的普通方程为2＋y2＝.故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．四
渐开线与摆线
1．渐开线的产生过程
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．
2．摆线的概念及产生过程
一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．
3．圆的渐开线和摆线的参数方程
(1)圆的渐开线方程：(φ为参数)．
(2)摆线的参数方程：(φ为参数)．
求圆的渐开线的参数方程
求半径为4的圆的渐开线的参数方程．
关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系．
以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量OM0―→的方向为x轴正方向，建立坐标系．设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM.按渐开线定义，弧的长和线段AM的长相等，记和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM|＝＝4θ.
作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得＝(4cos
θ，4sin
θ)．
由几何知识知∠MAB＝θ，＝(4θsin
θ，－4θcos
θ)，
得＝＋
＝(4cos
θ＋4θsin
θ，4sin
θ－4θcos
θ)
＝(4(cos
θ＋θsin
θ)，4(sin
θ－θcos
θ))．
又＝(x，y)，因此有(θ是参数)．
这就是所求圆的渐开线的参数方程．
用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤
(1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y)．
(2)取定点运动中产生的某一角度为参数．
(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．
(4)用向量运算得到的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．
1．圆的渐开线(t是参数)上与t＝对应的点的直角坐标为( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
2．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．
解：取φ为参数，φ为基圆上点与原点的连线与x轴正方向的夹角．
∵直径为10，∴半径r＝5.
代入圆的渐开线的参数方程，得
这就是所求的圆的渐开线的参数方程.
求摆线的参数方程
求半径为2的圆的摆线的参数方程．
利用向量知识和三角函数的有关知识求解．
当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如上图所示，∠ABM＝α.
由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA的长和圆弧的长相等，它们的长都等于2α，从而B点坐标为(2α，2)，
向量＝(2α，2)，向量＝(2sin
α，2cos
α)，
＝(－2sin
α，－2cos
α)，
因此＝＋
＝(2α－2sin
α，2－2cos
α)
＝(2(α－sin
α)，2(1－cos
α))．
动点M的坐标为(x，y)，向量＝(x，y)，
所以
这就是所求摆线的参数方程．
(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．
(2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．
3．摆线(t是参数，0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是________．
答案：(π－2,2)或(3π＋2,2)
4．圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点O.圆上点M起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M的轨迹方程．
解：由题意设M(xM，yM)，则xM＝r·φ－rcos
＝r(φ－sin
φ)，yM＝r＋rsin＝r(1－cos
φ)．
即点M的轨迹方程为(φ为参数)．
课时跟踪检测(十三)
一、选择题
1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )
A．π
B．2π
C．12π
D．14π
解析：选C 根据条件可知，圆的摆线方程为(φ为参数)，
把y＝0代入，得φ＝2kπ(k∈Z)，此时x＝6kπ(k∈Z)．
2．给出下列说法：
①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；
②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；
③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；
④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．
其中正确的说法有( )
A．①③
B．②④
C．②③
D．①③④
解析：选C 对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．
3．已知一个圆的参数方程为(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取对应的点A与点B之间的距离为( )
A.－1
B.
C.
D.
解析：选C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得
即A，∴|AB|＝
＝.
4.
如图ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是( )
A．3π
B．4π
C．5π
D．6π
解析：选C 根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.
二、填空题
5．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为________．
解析：关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于y＝x对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换．
答案：(φ为参数)
6．已知圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是__________，当参数φ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．
解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝时对应的坐标只需把φ＝代入曲线的参数方程，得x＝＋，y＝－，由此可得对应的坐标为.
答案：2
7．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为______________
.
解析：圆的摆线的参数方程为(φ为参数)，令r(1－cos
φ)＝0，得φ＝2kπ(k∈Z)，代入x＝r(φ－sin
φ)，得x＝r(2kπ－sin
2kπ)(k∈Z)，
又∵过(1,0)，∴r(2kπ－sin
2kπ)＝1(k∈Z)，∴r＝(k∈Z)．
又∵r＞0，∴k∈N
.
答案：(φ为参数，k∈N
)
三、解答题
8．有一个半径是2a的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M，与轮子中心的距离是a，求点M的轨迹方程．
解：设轮子中心为O，则OM＝a.点M的轨迹即是以O为圆心，a为半径的基圆的摆线．
由参数方程知点M的轨迹方程为(φ为参数)．
9．已知一个圆的摆线方程是(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．
解：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是(φ为参数)．
10．已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．
解：令y＝0，可得a(1－cos
φ)＝0，
由于a＞0，即得cos
φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．
代入x＝a(φ－sin
φ)，得x＝a(2kπ－sin
2kπ)(k∈Z)．
又因为x＝2，所以a(2kπ－sin
2kπ)＝2(k∈Z)，
即得a＝(k∈Z)．又由实际可知a＞0，所以a＝(k∈N
)．
易知，当k＝1时，a取最大值为.
代入即可得圆的摆线的参数方程为(φ为参数)．
圆的渐开线的参数方程为(φ为参数)．1．圆的极坐标方程
1．曲线的极坐标方程
(1)在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．
(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤：
①建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点．
②列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式．
③将列出的关系式整理、化简．
④证明所得方程就是曲线的极坐标方程．
2．圆的极坐标方程
(1)圆心在C(a,0)(a＞0)，半径为a的圆的极坐标方程为ρ＝2acos
θ.
(2)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为ρ＝r.
(3)圆心在点处且过极点的圆的方程为ρ＝2asin_θ(0≤θ≤π)．
圆的极坐标方程
求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程．
结合圆的定义求其极坐标方程．
如图，在圆周上任取一点P，
设其极坐标为(ρ，θ)．
由余弦定理知：
CP2＝OP2＋OC2－2OP·OCcos∠COP，
故其极坐标方程为r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)．
几种特殊情形下的圆的极坐标方程
当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos
θ，若再有ρ0＝r，则其方程为ρ＝2ρ0cos
θ＝2rcos
θ，若ρ0＝r，θ0≠0，则方程为ρ＝2rcos(θ－θ0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置．
1．在极坐标系中，以为圆心，为半径的圆的方程是________．
解析：即在直角坐标系中以为圆心，为半径的圆，
∴方程为x2＋2＝.
即：x2＋y2－ay＝0，化为极坐标方程为：ρ＝asin
θ.
答案：ρ＝asin
θ
2．求圆心在A处并且过极点的圆的极坐标方程．
解：设M(ρ，θ)为圆上除O，B外的任意一点，连接OM，MB，则有OB＝4，OM＝ρ，∠MOB＝θ－π.∠BMO＝，
从而△BOM为直角三角形．
∴|OM|＝|OB|cos∠MOB，
即ρ＝4cos＝－4sin
θ.
极坐标方程与直角坐标方程的互化
进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：
(1)y2＝4x；(2)x2＋y2－2x－1＝0；
(3)ρ＝.
将方程的互化转化为点的互化：
(1)将x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ代入y2＝4x，
得(ρsin
θ)2＝4ρcos
θ.
化简，得ρsin2θ＝4cos
θ.
(2)将x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ
代入x2＋y2－2x－1＝0，
得(ρcos
θ)2＋(ρsin
θ)2－2ρcos
θ－1＝0，
化简，得ρ2－2ρcos
θ－1＝0.
(3)∵ρ＝，
∴2ρ－ρcos
θ＝1.
∴2－x＝1.
化简，得3x2＋4y2－2x－1＝0.
在进行两种坐标方程间的互化时，要注意
(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同．
(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在0≤θ＜2π范围内求值．
(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简．
(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端．应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形；否则，不是等价变形．
3．把下列直角坐标方程化为极坐标方程．
(1)y＝x；
(2)x2－y2＝1.
解：(1)将x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ代入y＝x，得
ρsin
θ＝ρcos
θ，从而θ＝.
(2)将x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ代入x2－y2＝1，得
ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1，化简，得ρ2＝.
4．把下列极坐标方程化为直角坐标方程．
(1)ρ2cos
2θ＝1；
(2)ρ＝2cos.
解：(1)因为ρ2cos
2θ＝1，所以ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝1.
所以化为直角坐标方程为x2－y2＝1.
(2)因为ρ＝2cos
θcos＋2sin
θsin＝cos
θ＋sin
θ，
所以ρ2＝ρcos
θ＋ρsin
θ.
所以化为直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0.
课时跟踪检测(三)
一、选择题
1．极坐标方程ρ＝1表示( )
A．直线
B．射线
C．圆
D．半圆
解析：选C ∵ρ＝1，∴ρ2＝1，∴x2＋y2＝1.∴表示圆．
2．极坐标方程ρ＝sin
θ＋2cos
θ表示的曲线为( )
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
解析：选B 由ρ＝sin
θ＋2cos
θ，得ρ2＝ρsin
θ＋2ρcos
θ，
∴x2＋y2＝y＋2x，即x2＋y2－2x－y＝0，表示圆．
3．在极坐标系中，方程ρ＝6cos
θ表示的曲线是( )
A．以点(－3,0)为圆心，3为半径的圆
B．以点(3，π)为圆心，3为半径的圆
C．以点(3,0)为圆心，3为半径的圆
D．以点为圆心，3为半径的圆
解析：选C 由ρ＝6cos
θ得ρ2＝6ρcos
θ，即x2＋y2－6x＝0，
表示以(3,0)为圆心，半径为3的圆．
4．以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是( )
A．ρ＝2cos
B．ρ＝2sin
C．ρ＝2cos(θ－1)
D．ρ＝2sin(θ－1)
解析：选C 在极坐标系中，圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为：
r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)，所以可得ρ＝2cos(θ－1)．
二、填空题
5．把圆的普通方程x2＋(y－2)2＝4化为极坐标方程为________．
解析：将x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ代入，得
ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsin
θ＝0，即ρ＝4sin
θ.
答案：ρ＝4sin
θ
6．已知圆的极坐标方程为ρ＝2cos
θ－2sin
θ，θ∈，则圆心的极坐标是________．
解析：设圆心为(a，β)(a>0)，半径为a的圆的极坐标方程为ρ＝2acos(θ－β)．
因为ρ＝2cos
θ－2sin
θ＝4cos
＝4cos＝4cos，
所以此圆的圆心的极坐标为.
答案：
7．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos
θ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝________.
解析：由ρ＝4cos
θ得ρ2＝4ρcos
θ，
即x2＋y2＝4x，
即(x－2)2＋y2＝4，
∴圆心C(2,0)，
又由点P的极坐标为可得点P的直角坐标为(2,2)，
∴|CP|＝
＝2.
答案：2
三、解答题
8．求极坐标方程ρ＝所对应的直角坐标方程．
解：ρ＝可化为ρ＝，
即ρ＝.
化简，得ρ＝2＋ρcos
θ.将互化公式代入，
得x2＋y2＝(2＋x)2.
整理可得y2＝4(x＋1)．
9．从极点O引定圆ρ＝2cos
θ的弦OP，延长OP到Q使＝，求点Q的轨迹方程，并说明所求轨迹是什么图形．
解：设Q(ρ，θ)，P(ρ0，θ0)，
则θ＝θ0，＝，
∴ρ0＝ρ.
∵ρ0＝2cos
θ0，
∴ρ＝2cos
θ，即ρ＝5cos
θ，
它表示一个圆．
10．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos
θ，ρ＝－4sin
θ.
(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
解：(1)因为x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ，
由ρ＝4cos
θ得ρ2＝4ρcos
θ.
所以x2＋y2＝4x.
即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程．
同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程．
(2)由解得
即⊙O1，⊙O2交于点(0,0)和(2，－2)．
则过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.2～3.双曲线的参数方程 抛物线的参数方程
1．双曲线的参数方程
(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线－＝1的参数方程是(φ为参数)．规定参数φ的取值范围为φ∈ (1)双曲线(α为参数)的焦点坐标是________．
(2)将方程(t为参数)化为普通方程是________．
(1)可先将方程化为普通方程求解；
(2)利用代入法消去t.
(1)将化为－＝1，
可知双曲线焦点在y轴，且c＝＝4，
故焦点坐标是(0，±4)．
(2)由y＝＝＝tan2t，
将tan
t＝x代入上式，得y＝x2，即为所求方程．
(1)(0，±4) (2)y＝x2
(1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参数方程，特别是将参数方程化为普通方程，还要明确参数的意义．
(2)对双曲线的参数方程，如果x对应的参数形式是sec
φ，则焦点在x轴上；如果y对应的参数形式是sec
φ，则焦点在y轴上．
1．如果双曲线(θ为参数)上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的左焦点距离是________．
解析：由双曲线参数方程可知a＝1，
故P到它左焦点的距离|PF|＝10或|PF|＝6.
答案：10或6
2．过抛物线(t为参数)的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________.
解析：化为普通方程是x＝，即y2＝4x，∴p＝2.
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝8.
答案：8
双曲线、抛物线参数方程的应用
连接原点O和抛物线2y＝x2上的动点M，延长OM到P点，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明它是何曲线．
由条件可知，M点是线段OP的中点，利用中点坐标公式，求出点P的轨迹方程，再判断曲线类型．
设M(x，y)为抛物线上的动点，P(x0，y0)在OM的延长线上，且M为线段OP的中点，抛物线的参数方程为(t为参数)．用中点公式得
变形为y0＝x，即P点的轨迹方程为x2＝4y.
此曲线为抛物线．
在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将x，y表示成关于参数的函数)，这种方法是参数法，而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标．
3．设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1和F2为两个焦点，证明：|F1P|·|F2P|＝|OP|2.
证明：如图，设双曲线上的动点为P(x，y)，焦点F1(－，0)，F2(，0)，双曲线的参数方程为(θ为参数)．
则：(|F1P|·|F2P|)2
＝
＝(sec2
θ＋2sec
θ＋2＋tan2θ)(sec2
θ－2sec
θ＋2＋tan2θ)
＝(sec
θ＋1)2(sec
θ－1)2
＝(2sec2
θ－1)2.
又|OP|2＝sec2
θ＋tan2θ＝2sec2
θ－1，
由此得|F1P|·|F2P|＝|OP|2.
4．如图所示，O是直角坐标系的原点，A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，OM⊥AB于点M，求点M的轨迹方程．
解：根据条件，设点M，A，B的坐标分别为(x，y)，
(2pt，2pt1)，(2pt，2pt2)(t1≠t2，且t1t2≠0)，则
＝(x，y)，＝(2pt，2pt1)，
＝(2pt，2pt2)，＝(2p(t－t)，2p(t2－t1))．
因为⊥，
所以·＝0，
即(2pt1t2)2＋(2p)2t1t2＝0，
所以t1t2＝－1.①
因为⊥，
所以·＝0，
即2px(t－t)＋2py(t2－t1)＝0，
所以x(t1＋t2)＋y＝0，
即t1＋t2＝－(x≠0)．②
因为＝(x－2pt，y－2pt1)，
＝(2pt－x,2pt2－y)，
且A，M，B三点共线，
所以(x－2pt)(2pt2－y)
＝(y－2pt1)(2pt－x)，
化简，得y(t1＋t2)－2pt1t2－x＝0.③
将①②代入③，得到y＋2p－x＝0，
即x2＋y2－2px＝0(x≠0)，
这就是点M的轨迹方程．
课时跟踪检测(十一)
一、选择题
1．曲线(t为参数)的焦点坐标是( )
A．(1,0)
B．(0,1)
C．(－1,0)
D．(0，－1)
解析：选B 将参数方程化为普通方程(y－1)2＝4(x＋1)，
该曲线为抛物线y2＝4x向左、向上各平移一个单位得到，
所以焦点为(0,1)．
2．圆锥曲线(θ是参数)的焦点坐标是( )
A．(－5,0)
B．(5,0)
C．(±5,0)
D．(0，±5)
解析：选C 由(θ为参数)得
－＝1，
∴它的焦点坐标为(±5,0)．
3．方程(t为参数)的图形是( )
A．双曲线左支
B．双曲线右支
C．双曲线上支
D．双曲线下支
解析：选B ∵x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4.
且x＝et＋e－t≥2＝2.
∴表示双曲线的右支．
4．点Μ0(0,2)到双曲线x2－y2＝1的最小距离(即双曲线上任一点Μ与点Μ0的距离的最小值)是( )
A．1
B．2
C.
D．3
解析：选C ∵双曲线方程为x2－y2＝1，∴a＝b＝1.
∴双曲线的参数方程为(θ为参数)．
设双曲线上一动点为Μ(sec
θ，tan
θ)，
则2＝sec2θ＋(tan
θ－2)2
＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan
θ＋4)
＝2tan2θ－4tan
θ＋5＝2(tan
θ－1)2＋3.
当tan
θ＝1时，2取最小值3，
此时有＝.
二、填空题
5．已知动圆方程x2＋y2－xsin
2θ＋2y·sin＝0(θ为参数)．则圆心的轨迹方程是________．
解析：圆心轨迹的参数方程为
即消去参数，得
y2＝1＋2x.
答案：y2＝1＋2x
6．双曲线(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．
解析：将参数方程化为y2－＝1，
此时a＝1，b＝，
设渐近线倾斜角为α，则tan
α＝±＝±.
∴α＝30°或150°.
答案：30°或150°
7．(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
解析：由(t为参数)得y＝，
又由(θ为参数)得x2＋y2＝2.
由得
即曲线C1与C2的交点坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
三、解答题
8．已知圆O1：x2＋(y－2)2＝1上一点P与双曲线x2－y2＝1上一点Q，求P，Q两点距离的最小值．
解：由题意可知O1(0,2)，∵Q为双曲线x2－y2＝1上一点，设Q(sec
θ，tan
θ)，
在△O1QP中，|O1P|＝1，|O1P|＋|PQ|≥|O1Q|.
又|O1Q|2＝sec2θ＋(tan
θ－2)2
＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan
θ＋4)
＝2tan2θ－4tan
θ＋5
＝2(tan
θ－1)2＋3.
∴当tan
θ＝1，即θ＝时，|O1Q|2取最小值3，此时有|O1Q|min＝.
∴|PQ|min＝－1.
9．已知双曲线方程为x2－y2＝1，Μ为双曲线上任意一点，点Μ到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数．
证明：设d1为点Μ到渐近线y＝x的距离，d2为点Μ到渐近线y＝－x的距离，
因为点Μ在双曲线x2－y2＝1上，则可设点Μ的坐标为(sec
α，tan
α)．
d1＝，d2＝，
d1d2＝＝，
故d1与d2的乘积是常数．
10．过点A(1,0)的直线l与抛物线y2＝8x交于M，N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．
解：法一：设抛物线的参数方程为(t为参数)，可设M(8t，8t1)，N(8t，8t2)，
则kMN＝＝.
又设MN的中点为P(x，y)，
则∴kAP＝，
由kMN＝kAP知t1t2＝－，又
则y2＝16(t＋t＋2t1t2)＝16＝4(x－1)．
∴所求轨迹方程为y2＝4(x－1)．
法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由M，N在抛物线y2＝8x上知
两式相减得y－y＝8(x1－x2)，即(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)，
∴＝.设线段MN的中点为P(x，y)，∴y1＋y2＝2y.
由kPA＝，又kMN＝＝＝，
∴＝.∴y2＝4(x－1)．
∴线段MN的中点P的轨迹方程为y2＝4(x－1)．三
直线的参数方程
1．直线的参数方程
(1)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数为(t为参数)．
(2)由α为直线的倾斜角知，α∈ 已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P(1,1)在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4)的距离．
由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正弦值、余弦值，从而得到直线参数方程．
由直线方程3x－4y＋1＝0可知，直线的斜率为，设直线的倾斜角为α，
则tan
α＝，sin
α＝，cos
α＝.
又点P(1,1)在直线l上，所以直线l的参数方程为
(t为参数)．
因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M在直线l上．
由1＋t＝5，得t＝5，即点P到点M的距离为5.
理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t的几何意义，即直线上动点M到定点M0的距离等于参数t的绝对值，是解决此类问题的关键．
1．一直线过P0(3,4)，倾斜角α＝，求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间的距离．
解：由题意设直线的参数方程为(t为参数)，将它代入已知直线3x＋2y－6＝0，
得3＋2＝6.解得t＝－，∴|MP0|＝|t|＝.
2．已知直线l的参数方程为求直线l的倾斜角．
解：将参数方程化成另一种形式
若2t为一个参数，则在α∈ 已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝，
(1)写出直线l的参数方程；
(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．
(1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解．
(1)∵直线l过点P(1,1)，倾斜角为，
∴直线的参数方程为
即(t为参数)为所求．
(2)∵点A，B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，则点A，B的坐标分别为
A，B，
将直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4整理得到t2＋(＋1)t－2＝0，①
又∵t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2.
∴|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.
求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数t的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．
3．已知直线l经过点P0(－4,0)，倾斜角α＝，直线l与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点．
(1)求弦长AB；
(2)求A，B两点的坐标．
解：(1)∵直线l经过点P0(－4,0)，倾斜角α＝，
∴可设直线l的参数方程为(t为参数)．
代入圆的方程，得2＋2＝7.
整理得t2－4t＋9＝0. ①
设A，B对应的参数分别为t1和t2，由根与系数的关系得t1＋t2＝4，t1t2＝9，
∴AB＝|t2－t1|＝＝2.
(2)解①式，得t1＝3，t2＝，代入直线参数方程
(t为参数)，得A点坐标为，B点坐标为.
4．已知椭圆的参数方程(0≤θ≤2π)，求椭圆上一点P到直线(t为参数)的最短距离．
解：由题意，得P点的直角坐标为(3cos
θ，2sin
θ)，直线的普通方程为2x＋3y－10＝0.
d＝＝，
而6sin－10∈，
∴∈.∴dmin＝.
课时跟踪检测(十二)
一、选择题
1．已知曲线的参数方程为(t是参数)，则曲线是( )
A．线段
B．双曲线的一支
C．圆
D．射线
解析：选D 由y＝t2－1，得y＋1＝t2，代入x＝3t2＋2，
得x－3y－5＝0(x≥2)．故曲线所表示的是一条射线．
2．直线(t为参数)上对应t＝0，t＝1两点间的距离是( )
A．1
B.
C．10
D．2
解析：选B 因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来求距离，应将t＝0，t＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即＝.
3．(安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos
θ，则直线l被圆C截得的弦长为( )
A.
B．2
C.
D．2
解析：选D 由消去t，得x－y－4＝0，
C：ρ＝4cos
θ ρ2＝4ρcos
θ，∴圆C的普通方程为x2＋y2＝4x，
即(x－2)2＋y2＝4，∴C(2,0)，r＝2.
∴点C到直线l的距离d＝＝，
∴所求弦长等于2＝2.故选D.
4．若直线(t为参数)与圆
(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )
A.
B.
C.
D.或
解析：选D 直线化为＝tan
α，即y＝tan
α·x，圆方程化为(x－4)2＋y2＝4，
∴由＝2 tan2α＝，
∴tan
α＝±，又α∈．
9．将曲线C1：x2＋y2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)得到曲线C2，A为C1与x轴正半轴的交点，直线l经过点A且倾斜角为30°，记l与曲线C1的另一个交点为B，与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C，D.
(1)写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程；
(2)求|AC|－|BD|.
解：(1)由题意可得C2：＋y2＝1，对曲线C1，令y＝0，得x＝1，所以l：(t为参数)．
(2)将代入＋y2＝1，整理得5t2＋4t－4＝0.
设点C，D对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－，且|AC|＝t1，|AD|＝－t2.
又|AB|＝2|OA|cos
30°＝，
故|AC|－|BD|＝|AC|－(|AD|－|AB|)＝|AC|－|AD|＋|AB|＝t1＋t2＋＝.
10．在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.
(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．
解：(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，
圆C2的极坐标方程为ρ＝4cos
θ.
解得ρ＝2，θ＝±，
故圆C1与圆C2交点的坐标为，.
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)法一：由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，－)．
故圆C1与C2的公共弦的参数方程为
(t为参数，－≤t≤)．
(或参数方程写成－≤y≤)
法二：将x＝1代入得ρcos
θ＝1，
从而ρ＝
.
于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为
(θ为参数，－≤θ≤)．二
极坐标系
1．极坐标系的概念
(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)就叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．
2．极坐标和直角坐标的互化
(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．
(2)互化公式
求点的极坐标
已知点Q(ρ，θ)，分别按下列条件求出点P的极坐标．
(1)点P是点Q关于极点O的对称点；
(2)点P是点Q关于直线θ＝的对称点．
确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义．
(1)由于P，Q关于极点对称，得极径|OP|＝|OQ|，极角相差(2k＋1)π(k∈Z)．所以，点P的极坐标为(ρ，(2k＋1)π＋θ)(k∈Z)或(－ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)．
(2)由P，Q关于直线θ＝对称，
得它们的极径|OP|＝|OQ|，
点P的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2kπ(k∈Z)，
所以点P的坐标为(ρ，(2k＋1)π－θ)
或(－ρ，2kπ－θ)(k∈Z)．
设点M的极坐标是(ρ，θ)，则M点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．
另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的．
1．设点A，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求：
(1)点A关于极轴的对称点；
(2)点A关于直线l的对称点；
(3)点A关于极点的对称点．(规定ρ>0，－π＜θ≤π)．
解：如图所示：(1)点A关于极轴的对称点为B.
(2)点A关于直线l的对称点为
C.
(3)点A关于极点O的对称点为
D.
2．在极坐标系中，点A的极坐标是，求点A关于直线θ＝的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈)．
解：作出图形，可知A关于直线θ＝的对称点是.
点的极坐标与直角坐标的互化
(1)把点A的极坐标化成直角坐标；
(2)把点P的直角坐标(1，－)化成极坐标．(ρ>0，0≤θ<2π)．
依据极坐标与直角坐标互化的公式解题．
(1)x＝2cos＝－，y＝2sin＝－1，
故点A的直角坐标为(－，－1)．
(2)ρ＝＝2，tan
θ＝＝－.
又因为点P在第四象限且0≤θ<2π，得θ＝.
因此点P的极坐标是.
(1)极坐标和直角坐标互化的前提条件有三，即极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，有相同的长度单位，三者缺一不可．
(2)熟记互化公式，必要时可画图来分析．
3．点P的直角坐标为(－，)，那么它的极坐标可表示为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B 点P(－，)在第二象限，与原点的距离为2，且与极轴的夹角为.
4．若以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．
(1)已知点A的极坐标，求它的直角坐标；
(2)已知点B和点C的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π)
解：(1)∵x＝ρcos
θ＝4cos＝2.
y＝ρsin
θ＝4sin＝－2.
∴A点的直角坐标为(2，－2)．
(2)∵ρ＝＝＝2，
tan
θ＝＝－1.
且点B位于第四象限内，
∴θ＝，
∴点B的极坐标为.
又∵x＝0，y＜0，
∴ρ＝15，θ＝.
∴点C的极坐标为.
课时跟踪检测(二)
一、选择题
1．在极坐标平面内，点M，N，G，H中互相重合的两个点是( )
A．M和N
B．M和G
C．M和H
D．N和H
解析：选A 由极坐标的定义知，M，N表示同一个点．
2．将点M的极坐标化成直角坐标是( )
A．(5,5)
B．(5，5)
C．(5,5)
D．(－5，－5)
解析：选A x＝ρcos
θ＝10cos＝5，y＝ρsin
θ＝10sin＝5.
3．在极坐标系中，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是两点M(ρ1，θ1)和N(ρ2，θ2)重合的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ1与θ2可相差2π的整数倍．
4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M1(ρ1，θ1)与点M2(ρ2，θ2)的位置关系是( )
A．关于极轴所在直线对称
B．关于极点对称
C．关于过极点垂直于极轴的直线对称
D．两点重合
解析：选A 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，关于极轴所在直线对称．
二、填空题
5．点关于极点的对称点为________．
解析：如图，易知对称点为.
答案：
6．在极坐标系中，已知A，B两点，则|AB|＝________.
解析：|AB|＝＝.
答案：
7．直线l过点A，B，则直线l与极轴的夹角等于________．
解析：如图所示，先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小．
因为|AO|＝|BO|＝3，
∠AOB＝－＝，
所以∠OAB＝＝，
所以∠ACO＝π－－＝.
答案：
三、解答题
8．在极轴上求与点A的距离为5的点M的坐标．
解：设M(r,0)，因为A，
所以
＝5，
即r2－8r＋7＝0.
解得r＝1或r＝7.
所以M点的坐标为(1,0)或(7,0)．
9．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．
(1)(，3)；(2)(－1，－1)；(3)(－3,0)．
解：(1)ρ＝＝2.tan
θ＝＝.
又因为点在第一象限，
所以θ＝.
所以点(，3)的极坐标为.
(2)ρ＝＝，tan
θ＝1.
又因为点在第三象限，
所以θ＝.
所以点(－1，－1)的极坐标为.
(3)ρ＝＝3，画图可知极角为π，
所以点(－3,0)的极坐标为(3，π)．
10．已知定点P.
(1)将极点移至O′处极轴方向不变，求P点的新坐标；
(2)极点不变，将极轴顺时针转动角，求P点的新坐标．
解：(1)设点P新坐标为(ρ，θ)，
如图所示，由题意可知|OO′|＝2，|OP|＝4，∠POx＝，∠O′Ox＝，
∴∠POO′＝.
在△POO′中，ρ2＝42＋(2)2－2·4·2·cos＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.
又∵＝，
∴sin∠OPO′＝·2＝，
∴∠OPO′＝.
∴∠OP′P＝π－－＝，
∴∠PP′x＝.
∴∠PO′x′＝.
∴P点的新坐标为.
(2)如图，设P点新坐标为(ρ，θ)，
则ρ＝4，θ＝＋＝.
∴P点的新坐标为.3．参数方程和普通方程的互化
参数方程和普通方程的互化
(1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型．曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．
(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
把曲线的普通方程化为参数方程
根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程．
(1)＋＝1，x＝cos
θ＋1.(θ为参数)
(2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t为参数)
(1)将x＝cos
θ＋1代入＋＝1，得y＝2＋sin
θ.
∴(θ为参数)．这就是所求的参数方程．
(2)将x＝t＋1代入x2－y＋x－1＝0，得y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1＝t2＋3t＋1，
∴(t为参数)．这就是所求的参数方程．
普通方程化为参数方程时，①选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．②参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．如本例(2)，若令x＝tan
θ(θ为参数)，则参数方程为(θ为参数)．
1．求xy＝1满足下列条件的参数方程：
(1)x＝t(t≠0)；(2)x＝tan
θ.
解：(1)将x＝t代入xy＝1，得ty＝1，
∵t≠0，∴y＝，∴(t为参数，t≠0)．
(2)将x＝tan
θ代入xy＝1，得y＝.
∴.
将参数方程化为普通方程
将下列参数方程化为普通方程：
(1)(t为参数)(2)(θ为参数)．
(1)可采用代入法，由x＝解出t代入y表达式．
(2)采用三角恒等变换求解．
(1)由x＝，得t＝.
代入y＝化简，
得y＝(x≠1)．
(2)由得
①2＋②2,
得＋＝1.
消去参数的方法一般有三种
(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；
(2)利用三角恒等式消去参数；
(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数．
将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．
2．方程(t为参数)表示的曲线是( )
A．一条直线
B．两条射线
C．一条线段
D．抛物线的一部分
解析：选B t＞0时，x＝t＋≥2.
当t＜0时，x＝t＋＝－≤－2.
即曲线方程为y＝2(|x|≥2)，表示两条射线．
3．(湖南高考)在平面直角坐标系中，曲线C：
(t
为参数)的普通方程为________．
解析：由参数方程直接消去参数t，得x－y＝2－1，
即x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
课时跟踪检测(九)
一、选择题
1．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为( )
A．y＝x－2
B．y＝x＋2
C．y＝x－2(2≤x≤3)
D．y＝x＋2(0≤y≤1)
解析：选C 代入法，将方程化为y＝x－2，但x∈，
y∈，故选C.
2．参数方程(θ为参数)表示的曲线是( )
A．直线
B．圆
C．线段
D．射线
解析：选C x＝cos2θ∈，y＝sin2θ∈，
∴x＋y＝1，(x∈)为线段．
3．下列参数方程中，与方程y2＝x表示同一曲线的是( )
A.(t为参数)
B.(t为参数)
C.(t为参数)
D.(t为参数)
解析：选D A中y有限制y＝t2≥0；B中sin2t和sin
t都表示在一定范围内；C中化简不是方程y2＝x，而是x2＝y且有限制条件；代入化简可知选D.
4．曲线的参数方程是(t是参数，t≠0)，它的普通方程是( )
A．(x－1)2(y－1)＝1
B．y＝(x≠1)
C．y＝－1(x≠1)
D．y＝(x≠±1)
解析：选B 由x＝1－，得＝1－x，由y＝1－t2，得t2＝1－y.
所以(1－x)2·(1－y)＝2·t2＝1，进一步整理得到y＝(x≠1)．
二、填空题
5．参数方程(θ为参数)所表示的曲线的普通方程为________．
解析：由于cos
2θ＝1－2sin2θ，故y＝1－2x2，
即y＝－2x2＋1(－1≤x≤1)．
答案：y＝－2x2＋1(－1≤x≤1)
6．(湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：(t为参数)平行，则常数a的值为________．
解析：由直线l1：(s为参数)，消去参数s得l1的普通方程为x－2y－1＝0，
由直线l2：(t为参数)，消去参数t得l2的普通方程为ay－2x＋a＝0，因为l1与l2平行，所以斜率相等，即＝，≠，所以a＝4.
答案：4
7．已知直线(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为________．
解析：直线的普通方程为y＝x－4，
代入圆的方程，得x2－6x＋8＝0，
设A，B两点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，
∴＝3，
∴＝3－4＝－.
∴A，B的中点坐标为(3，－)．
答案：(3，－)
三、解答题
8．把参数方程(k为参数)化为普通方程，并说明它表示什么曲线．
解：法一：若x≠0，两式相除，得k＝.
代入x＝，整理，得x2－y2－4y＝0(x≠0)．
若x＝0，则k＝0，可得y＝0.
显然点(0,0)在曲线x2－y2－4y＝0上．
又由y＝＝－4－，可知y≠－4.
则方程所表示的曲线是双曲线x2－y2－4y＝0，去掉点(0，－4)．
法二：由y＝－4－，知y≠－4，
所以可解得k2＝，代入x2的表达式，得
x2＝，整理，得
x2－y2－4y＝0(y≠－4)．
则方程所表示的曲线是双曲线x2－y2－4y＝0，除去点(0，－4)．
法三：∵x2＝2，y2＝2，
两式相减，并整理，得
x2－y2＝.
∵1－k2≠0，
∴x2－y2＝＝4y，
即x2－y2－4y＝0.
∴方程表示双曲线x2－y2－4y＝0，除去点(0，－4)．
9．如图所示，经过圆x2＋y2＝4上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通方程．
解：圆x2＋y2＝4的参数方程为(θ为参数)．
在此圆上任取一点P(2cos
θ，2sin
θ)，
PQ的中点为M(2cos
θ，sin
θ)，
PQ中点轨迹的参数方程为(θ为参数)．化成普通方程为＋y2＝1.
10．化下列参数方程为普通方程．
(1)(t∈R且t≠－1)；
(2).
解：(1)变形为
∴x≠－1，y≠2，
∴x＋y＝1(x≠－1)．
(2)
②式平方结合①，得y2＝x2＋2x，
由x＝tan
θ＋知|x|≥2.
∴普通方程为(x＋1)2－y2＝1(|x|≥2)．