本讲高考热点解读与高频考点例析
近两年高考中，由于各地的要求不同，所以试题的呈现形式也不同，但都主要考查相似三角形的判定与性质、射影定理、平行线分线段成比例定理．一般试题难度不大，解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线对解题可起到事半功倍的效果．在使用平行线分线段成比例定理及其推论时，一定要搞清有关线段或边的对应关系，切忌搞错比例关系．
1．(陕西高考)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.
解析：由∠B＝∠D，∠AEB＝∠ACD，
得△ACD∽△AEB，
所以＝，解得AE＝2，
故BE＝＝4.
答案：4
2．(广东高考)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________．
解析：由CD＝2，AB＝4，EF＝3，
得EF＝(CD＋AB)，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
则梯形ABFE与梯形EFCD有相同的高，设为h，
于是两梯形的面积比为(3＋4)h∶(2＋3)h＝7∶5.
答案：7∶5
平行线分线段的规律性质
平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理，其实质是揭示一组平行线在与其相交的直线上截得的线段所呈现的规律，主要用来证明比例式成立、证明直线平行、计算线段的长度，也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法，其中，平行线等分线段定理是线段的比为1的特例．
如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB边上一点，且AE＝AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证：BC＝2CD.
过点C作CF∥AB交ED于点F.
∴＝.
∵AM＝CM，
∴CF＝AE＝AB.
∴CF＝BE.
∵CF∥AB，
∴＝＝.
∴BD＝3CD，
即BC＋CD＝3CD.
∴BC＝2CD.
如图，在△ABC中，DE∥BC，DH∥GC.
求证：EG∥BH.
∵DE∥BC，
∴＝.
∵DH∥GC，
∴＝.
∴AE·AB＝AC·AD＝AH·AG.
∴＝.
∴EG∥BH.
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质揭示了形状相同，大小不一定相等的两个三角形之间的边、角关系．其应用非常广泛，涉及多种题型，可用来计算线段、角的大小，也可用来证明线段、角之间的关系，还可以证明直线之间的位置关系．其中，三角形全等是三角形相似的特殊情况．
如图所示，AD，CF是△ABC的两条高线，在AB上取一点P，使AP＝AD，再从P点引BC的平行线与AC交于点Q.
求证：PQ＝CF.
∵AD，CF是△ABC的两条高线，
∴∠ADB＝∠BFC＝90°.
又∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBF.
∴＝.
又∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC.
∴＝，∴＝，
∴＝.
又∵AP＝AD，∴CF＝PQ.
如图，在△ABC中，D为BC边的中点，E为AD上的一点，延长BE交AC于点F.若＝，求的值．
如图，过点A作AG∥BC，交BF的延长线于点G.
∵＝，∴＝.
∵△AGE∽△DBE，
∴＝＝.
∵D为BC的中点，∴BC＝2BD，∴＝.
∵△AGF∽△CBF，
∴＝＝，∴＝.
射影定理
射影定理揭示了直角三角形中两直角边在斜边上的射影、斜边及两直角边之间的比例关系，此定理常作为计算与证明的依据，在运用射影定理时，要特别注意弄清射影与直角边的对应关系，分清比例中项，否则在做题中极易出错．
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，DE⊥AC于点E，EF⊥AB于点F.
求证：CE2＝BD·DF.
∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，
∴DE∥BC.∴＝.
同理，CD∥EF，∴＝.
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB.
∴＝.∴＝.
∴CE2＝BD·DF.四
角三角形的射影定理
1．射影
(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．
(2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．
(3)射影：点和线段的正射影简称为射影．
2．射影定理
(1)文字语言：
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．
(2)图形语言：
如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，
则有CD2＝AD·BD，
AC2＝AD·AB，
BC2＝BD·AB.
射影定理的有关计算
如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，若AD＝2
cm，DB＝6
cm，求CD，AC，BC的长．
在直角三角形内求线段的长度，可考虑使用勾股定理和射影定理．
∵CD2＝AD·DB＝2×6＝12，∴CD＝＝2(cm)．
∵AC2＝AD·AB＝2×(2＋6)＝16，∴AC＝＝4(cm)．
∵BC2＝BD·AB＝6×(2＋6)＝48，∴BC＝＝4(cm)．
故CD，AC，BC的长分别为2
cm,4
cm，4
cm.
(1)在Rt△ABC中，共有AC，BC，CD，AD，BD和AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条．
(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两条可求出第三条．
1.如图，在△ABC中，AB＝m，∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝1∶2∶3，CD⊥AB于点D.求BD，CD的长．
解：设∠BAC的度数为x，
则由∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝1∶2∶3，
得∠ABC的度数为2x，∠ACB的度数为3x.
因为∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
所以x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°.
所以∠ABC＝60°，∠ACB＝90°.
因为AB＝m，
所以BC＝m.
又因为CD⊥AB，
所以BC2＝BD·AB，
即2＝BD·m.所以BD＝m.
AD＝AB－BD＝m－m＝m.
由CD2＝AD·BD＝m·m＝
m2，
得CD＝
m.
因此，BD的长是m，CD的长是m.
2．已知CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，如果两直角边AC，BC的长度比为AC∶BC＝3∶4.
求：(1)AD∶BD的值；
(2)若AB＝25
cm，求CD的长．
解：(1)∵AC2＝AD·AB，
BC2＝BD·AB，
∴＝.
∴＝2＝2＝.
(2)∵AB＝25
cm，AD∶BD＝9∶16，
∴AD＝×25＝9(cm)，
BD＝×25＝16(cm)．
∴CD＝＝＝12(cm).
利用射影定理证明
如图所示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F，G分别为垂足．
求证：AF·AC＝BG·BE.
先将图分解成两个基本图形(1)(2)，再在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论．
∵CD垂直平分AB，
∴△ACD和△BDE均为直角三角形，
且AD＝BD.
又∵DF⊥AC，DG⊥BE，
∴AF·AC＝AD2，
BG·BE＝DB2.
∵AD2＝DB2，
∴AF·AC＝BG·BE.
将原图分成两部分来看，就可以分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的．在求解此类问题时，关键就是把握基本图形，从所给图形中分离出基本图形进行求解或证明．
3．如图，Rt△ABC中有正方形DEFG，点D，G分别在AB，AC上，E，F在斜边BC上．
求证：EF2＝BE·FC.
证明：过点A作AH⊥BC于H.
则DE∥AH∥GF.
∴＝，＝.
∴＝.
又∵AH2＝BH·CH，
∴DE·GF＝BE·FC.
而DE＝GF＝EF，∴EF2＝BE·FC.
4.如图，已知∠CAB＝90°，AD⊥CB，△ACE，△ABF是正三角形，
求证：DE⊥DF.
证明：在Rt△ABC中，
AC2＝CD·CB，AB2＝BD·BC，AD2＝CD·BD.
所以＝
＝
＝＝＝.
因为AC＝AE，AB＝BF，
所以＝.
又∠FBD＝60°＋∠ABD，∠EAD＝60°＋∠CAD，∠ABD＝∠CAD，
所以∠FBD＝∠EAD，
所以△EAD∽△FBD.
所以∠BDF＝∠ADE.
所以∠FDE＝∠FDA＋∠ADE＝∠FDA＋∠BDF＝90°.
所以DE⊥DF.
课时跟踪检测(五)
一、选择题
1．已知Rt△ABC中，斜边AB＝5
cm，BC＝2
cm，D为AC上一点，DE⊥AB交AB于点E，且AD＝3.2
cm，则DE等于( )
A．1.24
cm
B．1.26
cm
C．1.28
cm
D．1.3
cm
解析：选C 如图，∵∠A＝∠A，
∴Rt△ADE∽Rt△ABC，∴＝，
∴DE＝＝＝1.28
(cm)．
2．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2，则它们在斜边上的射影比为( )
A．1∶2
B．2∶1
C．1∶4
D．4∶1
解析：选C 设直角三角形两直角边长分别为1和2，则斜边长为，∴两直角边在斜边上的射影分别为和.
3．一个直角三角形的一条直角边为3
cm，斜边上的高为2.4
cm，则这个直角三角形的面积为( )
A．7.2
cm2
B．6
cm2
C．12
cm2
D．24
cm2
解析：选B 长为3
cm的直角边在斜边上的射影为＝1.8(cm)，
由射影定理知斜边长为＝5(cm)，
∴三角形面积为×5×2.4＝6(cm2)．
4．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若CD＝6
cm，AD∶DB＝1∶2，则AD的长是( )
A．6
cm
B．3
cm
C．18
cm
D．3
cm
解析：选B ∵AD∶DB＝1∶2，
∴可设AD＝t，DB＝2t.
又∵CD2＝AD·DB，∴36＝t·2t，
∴2t2＝36，∴t＝3(cm)，即AD＝3
cm.
二、填空题
5．若等腰直角三角形的一条直角边长为1，则该三角形在直线l上的射影的最大值为________．
解析：射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长．
答案：
6．如图所示，四边形ABCD是矩形，∠BEF＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是________．
解析：因为四边形ABCD为矩形，
所以∠A＝∠D＝90°.
因为∠BEF＝90°，所以∠AEB＋∠DEF＝90°.
因为∠DEF＋∠DFE＝90°，所以∠AEB＝∠DFE.
所以△ABE∽△DEF.
答案：①③
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝6，AD＝3.6，则BC＝________.
解析：由射影定理得，
AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，
∴＝，即BC2＝.
又∵CD2＝AD·BD，
∴BD＝.
∴BC2＝＝＝64.
∴BC＝8.
答案：8
三、解答题
8．如图所示，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD＝∠B，若AD＝6，AB＝10，BD＝8，求CD的长．
解：在△ABD中，AD＝6，AB＝10，BD＝8，
满足AB2＝AD2＋BD2，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.
又∵∠CAD＝∠B，且∠C＋∠CAD＝90°.
∴∠C＋∠B＝90°，即∠BAC＝90°.
故在Rt△BAC中，AD⊥BC，
由射影定理知AD2＝BD·CD，即62＝8·CD，
∴CD＝.
9.如图，AD，BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F，直线FD交BE于点G，交AC的延长线于点H.
求证：DF2＝GF·HF.
证明：在△AFH与△GFB中，
因为∠H＋∠BAC＝90°，∠GBF＋∠BAC＝
90°，
所以∠H＝∠GBF.
因为∠AFH＝∠GFB＝90°，所以△AFH∽△GFB.
所以＝，
所以AF·BF＝GF·HF.
因为在Rt△ABD中，FD⊥AB，所以DF2＝AF·BF，
所以DF2＝GF·HF.
10．已知直角三角形的周长为48
cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分．
(1)求直角三角形的三边长；
(2)求两直角边在斜边上的射影的长．
解：(1)如图，
设CD＝3x，BD＝5x，
则BC＝8x，
过D作DE⊥AB，
由题意可得，
DE＝3x，BE＝4x，
∴AE＋AC＋12x＝48.
又AE＝AC，
∴AC＝24－6x，AB＝24－2x.
∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，
解得x1＝0(舍去)，x2＝2.
∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，
∴三边长分别为20
cm,12
cm,16
cm.
(2)作CF⊥AB于点F，
∴AC2＝AF·AB.
∴AF＝＝＝(cm)；
同理，BF＝＝＝(cm)．
∴两直角边在斜边上的射影长分别为
cm，
cm.本讲高考热点解读与高频考点例析
近两年高考中，主要考查圆的切线定理、切割线定理、相交弦定理、圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目难度不大，以容易题为主．对于与圆有关的比例线段问题通常要考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查题型，常见的证明方法有：①到某定点的距离都相等；②如果某两点在一条线段的同侧时，可证明这两点对该线段的张角相等；③证明凸四边形的内对角互补(或外角等于它的内对角)等．
1.(全国乙卷)如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB＝120°，以O为圆心，OA为半径作圆．
(1)证明：直线AB与⊙O相切；
(2)点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD.
证明：(1)设E是AB的中点，连接OE.
因为OA＝OB，∠AOB＝120°，
所以OE⊥AB，∠AOE＝60°.
在Rt△AOE中，OE＝AO，即O到直线AB的距离等于⊙O的半径，所以直线AB与⊙O相切．
(2)连接OD，因为OA＝2OD，
所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．
设O′是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO′.
由已知得O在线段AB的垂直平分线上，
又O′在线段AB的垂直平分线上，所以OO′⊥AB.
同理可证，OO′⊥CD，所以AB∥CD.
2．(全国丙卷)如图，⊙O中A的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．
(1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；
(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD.
解：(1)
连接PB，BC，
则∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，
∠PCD＝∠PCB＋∠BCD.
因为A＝B，
所以∠PBA＝∠PCB.
又∠BPD＝∠BCD，
所以∠BFD＝∠PCD.
又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD，
所以3∠PCD＝180°，
因此∠PCD＝60°.
(2)证明：因为∠PCD＝∠BFD，
所以∠EFD＋∠PCD＝180°，
由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在EC的垂直平分线上，又在FD的垂直平分线上，
故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，
所以G在CD的垂直平分线上．
又O也在CD的垂直平分线上，因此OG⊥CD.
3．(湖南高考)如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：
(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；
(2)FE·FN＝FM·FO.
证明：(1)如图所示，因为M，N分别是弦AB，CD的中点，
所以OM⊥AB，ON⊥CD，
即∠OME＝90°，
∠ENO＝90°，
因此∠OME＋∠ENO＝180°.
又四边形的内角和等于360°，
故∠MEN＋∠NOM＝180°.
(2)由(1)知，O，M，E，N四点共圆，
故由割线定理即得FE·FN＝FM·FO.
圆内接四边形的判定与性质
圆内接四边形是中学教学主要研究的问题之一，近几年各地的高考选做题中常涉及圆内接四边形的判定和性质．
已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和点B的圆与AD，BC分别交于E，F.
求证：C，D，E，F四点共圆．
连接EF，
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以∠B＋∠C＝180°.
因为四边形ABFE内接于圆，
所以∠B＋∠AEF＝180°.
所以∠AEF＝∠C.
所以C，D，E，F四点共圆．
如图，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于( )
A．120°
B．136°
C．144°
D．150°
由圆内接四边形性质知∠A＝∠DCE，
而∠BCD∶∠ECD＝3∶2，且∠BCD＋∠ECD＝180°，所以∠ECD＝72°.
又由圆周角定理知∠BOD＝2∠A＝144°.
C
直线与圆相切
直线与圆有三种位置关系，即相交、相切、相离．其中直线与圆相切的位置关系非常重要，结合此知识点所设计的有关切线的判定与性质、弦切角的性质等问题是高考选做题热点之一，解题时要特别注意．
如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB.
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)已知PA＝，BC＝1，求⊙O的半径．
(1)证明：如图，连接OB.
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.
∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA.
∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA，即∠PAO＝∠PBO.
又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.
∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB.
又OB是⊙O半径，
∴PB是⊙O的切线．
(2)连接OP，交AB于点D.
∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．
∵OA＝OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上．
∴OP垂直平分线段AB.
∴∠PAO＝∠PDA＝90°.
由射影定理得AP2＝PO·DP.
又∵OD＝BC＝，
∴PO(PO－OD)＝AP2，
即PO2－PO＝2，
解得PO＝2.
在Rt△APO中，OA＝＝1，
即⊙O的半径为1.
与圆有关的比例线段
圆的切线、割线、相交弦可以构成许多相似三角形，结合相似三角形的性质，又可以得到一些比例式、乘积式，在解题中，多联系这些知识，能够计算或证明角、线段的有关结论．
如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3
cm,4
cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则＝________.
由题意得BC＝4，AC＝3，
∴AB＝5.
由切割线定理得BC2＝BD·AB，
∴BD＝，AD＝5－＝.
∴＝.
△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆，交BC于D，O是圆心，DM是⊙O的切线交AC于M(如图)．
求证：DC2＝AC·CM.
连接AD，OD.
∵AB是直径，∴AD⊥BC.
∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA.
又AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD.
则∠CAD＝∠ODA，OD∥AC.
∵DM是⊙O切线，∴OD⊥DM.
则DM⊥AC，
∴DC2＝AC·CM.三
圆的切线的性质及判定定理
1．切线的性质
(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
如图，已知AB切⊙O于A点，则OA⊥AB.
(2)推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
(3)推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
2．圆的切线的判定方法
(1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
(2)数量关系：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．
(3)定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线．
其中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用数量关系来判定，而(3)是用位置关系加以判定的．
圆的切线的性质
如图，已知∠C＝90°，点O在AC上，CD为⊙O的直径，⊙O切AB于点E，若BC＝5，AC＝12.求⊙O的半径．
⊙O切AB于点E，由圆的切线的性质，易联想到连接OE构造Rt△OAE，再利用相似三角形的性质，求出⊙O的半径．
连接OE.
∵AB与⊙O切于点E，
∴OE⊥AB，即∠OEA＝90°.
∵∠C＝90°，∠A＝∠A，
∴Rt△ACB∽Rt△AEO，
∴＝.
∵BC＝5，AC＝12，
∴AB＝13，
∴＝，
∴OE＝，
即⊙O的半径为.
利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．
1.如图，已知AD为⊙O的直径，B为AD延长线上一点，BC与⊙O切于C点，∠A＝30°.
求证：(1)BD＝CD.
(2)△AOC≌△BDC.
证明：(1)因为AD为⊙O的直径，所以∠ACD＝90°.
又因为∠A＝30°，OA＝OC＝OD，
所以∠ACO＝30°，∠ODC＝∠OCD＝60°.
又因为BC与⊙O切于C点，
所以∠OCB＝90°.
∠BCD＝30°，∠B＝30°，
∠BCD＝∠B，BD＝CD.
(2)因为∠A＝∠ACO＝∠BCD＝∠B＝30°，
所以AC＝BC.
在△AOC和△BDC中，
所以△AOC≌△BDC.
2.如图，已知PAB是⊙O的割线，AB为⊙O的直径，PC为⊙O的切线，C为切点，BD垂直PC交PC的延长线于点D，交⊙O于点E，PA＝AO＝OB＝1.
(1)求∠P的度数；
(2)求DE的长．
解：(1)连接OC.
∵C为切点，∴OC⊥PC，
△POC为直角三角形．
∵OC＝OA＝1，PO＝PA＋AO＝2，
∴sin
∠P＝＝.∴∠P＝30°.
(2)∵BD⊥PD，∴在Rt△PBD中，
由∠P＝30°，PB＝PA＋AO＋OB＝3，
得BD＝.
连接AE.则∠AEB＝90°，∴AE∥PD.
∴∠EAB＝∠P＝30°，∴BE＝ABsin
30°＝1，
∴DE＝BD－BE＝.
圆的切线的判定
已知D是△ABC的边AC上的一点，AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ADB＝60°，求证：AB是△BCD的外接圆的切线．
→→→
→.
如图，连接OB，OC，OD，
OD交BC于E.
∵∠DCB是所对的圆周角，
∠BOD是所对的圆心角，
∠BCD＝45°，
∴∠BOD＝90°.
∵∠ADB是△BCD的一个外角，
∴∠DBC＝∠ADB－∠ACB
＝60°－45°＝15°，
∴∠DOC＝2∠DBC＝30°，
从而∠BOC＝120°.
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°.
在△OEC中，∵∠EOC＝∠ECO＝30°，
∴OE＝EC.
在△BOE中，∵∠BOE＝90°，∠EBO＝30°.
∴BE＝2OE＝2EC，
∴＝＝，
∴AB∥OD，
∴∠ABO＝90°，
故AB是△BCD的外接圆的切线．
要证明某直线是圆的切线，主要是运用切线的判定定理，除此以外，还有圆心到直线的距离等于半径等判定方法，但有时需添加辅助线构造判定条件，其中过圆心作直线的垂线是常用辅助线．
3．本例中，若将已知改为“∠ABD＝∠C”，怎样证明：AB是△BCD的外接圆的切线．
证明：作直径BE，连接DE，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE＝90°，
∴∠E＋∠DBE＝90°.
∵∠C＝∠E，∠ABD＝∠C，
∴∠ABD＋∠DBE＝90°.
即∠ABE＝90°.
∴AB是△BCD的外接圆的切线．
4.如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sin
B＝，∠D＝30°.
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若AC＝6，求AD的长．
解：(1)证明：如图，连接OA，
∵sin
B＝，∴∠B＝30°.
∵∠AOC＝2∠B，
∴∠AOC＝60°.
∵∠D＝30°，
∴∠OAD＝180°－∠D－∠AOC＝90°.
∴AD是⊙O的切线．
(2)∵OA＝OC，∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形．
∴OA＝AC＝6.
∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，
∴AD＝AO＝6.
圆的切线的性质和判定的综合考查
如图，AB为⊙O的直径，D是的中点，DE⊥AC交AC的延长线于点E，⊙O的切线BF交AD的延长线于点F.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若DE＝3，⊙O的半径为5，求BF的长．
(1)连接OD，证明OD⊥DE；
(2)作DG⊥AB.
(1)连接OD，
∵D是中点，
∴∠1＝∠2.
∵OA＝OD，
∴∠2＝∠3.
∴∠1＝∠3.∴OD∥AE.
∵DE⊥AE，
∴DE⊥OD，即DE是⊙O的切线．
(2)过D作DG⊥AB，∵∠1＝∠2，∴DG＝DE＝3.
在Rt△ODG中，OG＝＝4，∴AG＝4＋5＝9.
∵DG⊥AB，FB⊥AB，∴DG∥FB.
∴△ADG∽△AFB.
∴＝.
∴＝.∴BF＝.
对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解相关结果．
5．如图，已知两个同心圆O，大圆的直径AB交小圆于C，D两点，大圆的弦EF切小圆于点C，ED交小圆于点G，若小圆的半径为2，EF＝4，试求EG的长．
解：连接GC，则GC⊥ED.
∵EF切小圆于点C，
∴EF⊥CD，EC＝EF＝2.
又CD＝4，
∴在Rt△ECD中，
ED＝
＝
＝2.
由射影定理可知EC2＝EG·ED，
∴EG＝＝＝.
6.如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，延长BA到E，使AE＝AB，连接ED.
(1)求证：直线ED是⊙O的切线；
(2)连接EO交AD于点F，求证：EF＝2FO.
证明：(1)连接OD.
∵四边形ABCD为正方形，
AE＝AB，
∴AE＝AB＝AD，
∠EAD＝∠DAB＝90°.
∴∠EDA＝45°，∠ODA＝45°.
∴∠ODE＝∠ADE＋∠ODA＝90°.
∴直线ED是⊙O的切线．
(2)作OM⊥AB于M.
∵O为正方形的中心，
∴M为AB的中点．
∴AE＝AB＝2AM，AF∥OM.
∴＝＝2，
∴EF＝2FO.
课时跟踪检测(八)
一、选择题
1.如图，AB切⊙O于点B，延长AO交⊙O于点C，连接BC.若∠A＝40°，则∠C等于( )
A．20°
B．25°
C．40°
D．50°
解析：选B 连接OB，因为AB切⊙O于点B，
所以OB⊥AB，即∠ABO＝90°，
所以∠AOB＝50°，
又因为点C在AO的延长线上，且在⊙O上，
所以∠C＝∠AOB＝25°.
2．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于D.若AB＝6，BC＝8，则BD等于( )
A．4
B．4.8
C．5.2
D．6
解析：选B ∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AC.
∵BC是⊙O的切线，∴AB⊥BC.
∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.
∴BD＝＝4.8.
3．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是( )
A．DE＝DO
B．AB＝AC
C．CD＝DB
D．AC∥OD
解析：选A 当AB＝AC时，如图，
连接AD，因为AB是⊙O的直径，
所以AD⊥BC，所以CD＝BD.
因为AO＝BO，
所以OD是△ABC的中位线，
所以OD∥AC.
因为DE⊥AC，所以DE⊥OD，
所以DE是⊙O的切线．
所以选项B正确．
当CD＝BD时，AO＝BO，
同选项B，所以选项C正确．
当AC∥OD时，因为DE⊥AC，
所以DE⊥OD.
所以DE是⊙O的切线．
所以选项D正确．
4．如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于C，若AD＝DC，则sin
∠ACO等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A 连接BD，则BD⊥AC.
∵AD＝DC，∴BA＝BC，
∴∠BCA＝45°.
∵BC是⊙O的切线，切点为B，
∴∠OBC＝90°.
∴sin
∠BCO＝＝＝，
cos
∠BCO＝＝＝.
∴sin
∠ACO＝sin(45°－∠BCO)
＝sin
45°cos
∠BCO－cos
45°sin
∠BCO
＝×－×＝.
二、填空题
5.如图，⊙O的半径为3
cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB＝OA，动点P从点A出发，以π
cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间t为________s时，BP与⊙O相切．
解析：连接OP.
当OP⊥PB时，BP与⊙O相切．
因为AB＝OA，OA＝OP，
所以OB＝2OP，
又因为∠OPB＝90°，所以∠B＝30°，
所以∠O＝60°.
因为OA＝3
cm，
所以＝＝π，圆的周长为6π，
所以点P运动的距离为π或6π－π＝5π；
所以当t＝1
s或5
s时，BP与⊙O相切．
答案：1或5
6．已知PA是圆O的切线，切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1.则圆O的半径R＝________.
解析：
如图，连接AB，
则AB＝＝.
由AB2＝PB·BC，
∴BC＝3，在Rt△ABC中，
AC＝＝2.
∴半径R＝.
答案：
7．圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D，E，则∠DAC＝________，DC＝________.
解析：连接OC.
∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.
又∠DCA＋∠ACO＝90°，
∠ACO＋∠OCB＝90°，
∴∠DCA＝∠OCB.
∵OC＝3，BC＝3，
∴△OCB是正三角形．
∴∠OBC＝60°，即∠DCA＝60°.
∴∠DAC＝30°.
在Rt△ACB中，AC＝＝3，
DC＝ACsin
30°＝.
答案：30°
三、解答题
8．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC于E.
求证：(1)DE⊥AC；
(2)BD2＝CE·CA.
证明：(1)连接OD，AD.
∵DE是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥DE.
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC.又AB＝AC，
∴BD＝DC.又O为AB的中点，
∴OD∥AC.∴DE⊥AC.
(2)∵AD⊥BC，DE⊥AC，
∴△CDE∽△CAD.
∴＝.∴CD2＝CE·CA.
又∵BD＝DC，∴BD2＝CE·CA.
9.如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F，AB＝AC，连接AD交⊙O于H，直线FH交BC的延长线于G.
(1)求证：圆心O在AD上；
(2)求证：CD＝CG；
(3)若AH∶AF＝3∶4，CG＝10，求FH的长．
解：(1)证明：由题知AE＝AF，
CF＝CD，BD＝BE，
又∵AB＝AC，
∴CD＝CF＝BE＝BD.
∴D为BC中点．
∴AD是∠BAC的角平分线．
∴圆心O在AD上．
(2)证明：连接DF.
∵O在AD上，∴DH为直径．∴∠DFH＝90°.
∵CF＝CD，∴∠CFD＝∠FDC.
∴∠G＝90°－∠FDC＝90°－∠CFD＝∠CFG.
∴CG＝CF.∴CG＝CD.
(3)∵∠AFH＝∠90°－∠CFD＝90°－∠FDC＝∠FDA，
又∠FAD为公共角，则△AHF∽△AFD.
∴＝＝.
∴在Rt△HFD中，FH∶FD∶DH＝3∶4∶5.
∵△HDF∽△DGF，
∴DF∶GF∶DG＝3∶4∶5.
∴DF＝3×20×＝12，∴FH＝FD＝9.
10.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE.
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)若∠DBC＝30°，DE＝1
cm，求BD的长．
解：(1)证明：连接OA.
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA＝∠EDA.
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD.
∴∠OAD＝∠EDA.
∴OA∥CE.
∵AE⊥DE，
∴AE⊥OA.
∴AE是⊙O的切线．
(2)∵BD是直径，
∴∠BCD＝∠BAD＝90°.
∵∠DBC＝30°，∴∠BDC＝60°.
∴∠BDE＝120°.
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA＝∠EDA＝60°.
∴∠ABD＝∠EAD＝30°.
在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，
∴AD＝2DE.
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，
∴BD＝2AD＝4DE＝4
(cm)．2．相似三角形的性质
1．相似三角形的性质定理
相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
相似三角形周长的比等于相似比．
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
2．两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系
相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．
相似三角形中的“对应线段”不仅仅指对应边、对应中线、角平分线和高，应包括一切“对应点”连接的线段；同时也可推演到对应的内切圆、外接圆的半径．
利用相似三角形性质计算
如图，已知△ABC中，CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，若S△ABC＝36
cm2，S△AEF＝4
cm2，求sin
A的值．
由题目条件证明△AEC∽△AFB，得AE∶AF＝AC∶AB，由此推知△AEF∽△ACB，进而求出线段EC与AC的比值．
∵CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，
∴∠AEC＝∠AFB＝90°.
又∵∠A＝∠A，∴△AEC∽△AFB.
∴＝.
又∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB.
∴2＝＝.
∴＝＝.
设AE＝k，则AC＝3k，
∴EC＝2k.
∴sin
A＝＝.
利用相似三角形的性质进行有关的计算往往与相似三角形对应边的比及对应角相等有关，解决此类问题，要善于联想，变换比例式，从而达到目的．
1．如图，D，E分别是AC，AB上的点，∠ADE＝∠B，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F.若AD＝3，AB＝5，求：
(1)的值；
(2)△ADE与△ABC的周长之比；
(3)△ADE与△ABC的面积之比．
解：(1)在△ADE与△ABC中，
因为∠ADE＝∠B，∠BAD为公共角，
所以△ADE∽△ABC，所以＝＝.
(2)△ADE与△ABC的周长之比等于它们的相似比，
即AD∶AB＝3∶5.
(3)△ADE与△ABC的面积之比等于它们相似比的平方，即2＝.
2.如图，在 ABCD中，AE∶EB＝2∶3.
(1)求△AEF与△CDF周长的比；
(2)若S△AEF＝8，求S△CDF.
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD且AB＝CD.
∵＝，
∴＝，即＝.
∴＝.
又由AB∥CD知△AEF∽△CDF，
∴△AEF的周长∶△CDF的周长＝2∶5.
(2)S△AEF∶S△CDF＝4∶25，
又S△AEF＝8，
∴S△CDF＝50.
利用相似三角形的性质解决实际问题
如图，一天早上，小张正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一水塔DC，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是纳闷．经过了解，教学楼、水塔的高分别是20
m和30
m，它们之间的距离为30
m，小张身高为1.6
m．小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？
此题的解法很多，其关键是添加适当的辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的知识解题．
如图，设小张与教学楼的距离至少应有x
m，才能看到水塔．
连接FD，由题意知，点A在FD上，过F作FG⊥CD于点G，交AB于点H，
则四边形FEBH，四边形BCGH都是矩形．
∵AB∥CD，∴△AFH∽△DFG.
∴AH∶DG＝FH∶FG.
即(20－1.6)∶(30－1.6)＝x∶(x＋30)，解得x＝55.2(m)．
故小张与教学楼的距离至少应有55.2
m才能看到水塔．
此类问题是利用数学模型解实际问题，关键在于认真分析题意，将实际问题转化成数学问题，构造相似三角形求解．
3．如图，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18
m，已知小明的身高是1.6
m，他的影长是2
m.
(1)图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？
(2)求古塔的高度．
解：(1)△ABC∽△ADE.
∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB＝∠AED＝90°.
∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE.
(2)由(1)得△ABC∽△ADE，∴＝.
∵AC＝2
m，AE＝2＋18＝20
m，BC＝1.6
m.
∴＝，∴DE＝16
m.
答：古塔的高度为16
m.
4．有一块三角形铁片ABC，已知最长边BC＝12
cm，高AD＝8
cm，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，且矩形的长是宽的2倍．则加工成的铁片的面积为多少？
解：本题有图(1)和图(2)两种情况．
如图(1)，矩形的长EF在BC上，G、H分别在AC、AB上，高AD交GH于K，设矩形的宽为x
cm，则长为2x
cm.由HG∥BC，得△AHG∽△ABC.得AK∶AD＝HG∶BC，所以(8－x)∶8＝2x∶12，即x＝(cm)．
则S矩形EFGH＝2x2＝(cm2)．
如图(2)，矩形的宽MN在BC上，类似地可求得S矩形MNPQ＝18(cm2)．
即加工成的铁片的面积为
cm2或18
cm2.
课时跟踪检测(四)
一、选择题
1．如图，△ABC中，DE∥BC，若AE∶EC＝1∶2，且AD＝4
cm，则DB等于( )
A．2
cm
B．6
cm
C．4
cm
D．8
cm
解析：选D 由DE∥BC，得△ADE∽△ABC，
∴＝，∴＝＝.
∴DB＝4×2＝8(cm)．
2.如图，在 ABCD中，E是BC的中点，AE交对角线BD于点G，且△BEG的面积是1
cm2，则 ABCD的面积为( )
A．8
cm2
B．10
cm2
C．12
cm2
D．14
cm2
解析：选C 因为AD∥BC，所以△BEG
∽△DAG，
因为BE＝EC，所以＝＝.
所以＝2＝，
即S△DAG＝4S△BEG＝4(cm2)．
又因为AD∥BC，所以＝＝2，
所以＝＝2，
所以S△BAG＝2S△BEG＝2(cm2)，
所以S△ABD＝S△BAG＋S△DAG＝2＋4＝6(cm2)，
所以S ABCD＝2S△ABD＝2×6＝12(cm2)．
3．如图所示，在 ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是( )
A．5
B．8.2
C．6.4
D．1.8
解析：选D ∵△CBF∽△CDE，
∴＝.
∴BF＝＝＝1.8.
4．如图，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，DC＝80，那么EF的值是( )
A．10
B．12
C．16
D．18
解析：选C ∵AB∥EF∥CD，
∴＝＝＝.
∴＝＝.
∴EF＝AB＝×20＝16.
二、填空题
5．(广东高考)如图，在平行四边形
ABCD中，点E
在AB
上且EB＝2AE，AC
与DE交于点F,
则＝________.
解析：由CD∥AE，得△CDF∽△AEF，
于是＝＝＝3.
答案：3
6．如图，在△ABC中有一个矩形EFGH，其顶点E，F分别在AC，AB上，G，H在BC上，若EF＝2FG，BC＝20，△ABC的高AD＝10，则FG＝________.
解析：设FG＝x，因为EF＝2FG，所以EF＝2x.
因为EF∥BC，所以△AFE∽△ABC，
所以＝，即＝，
解得x＝5，即FG＝5.
答案：5
7．如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形ABCD＝40
cm2.S△ABE∶S△DBA＝1∶5，则AE的长为________．
解析：因为∠BAD＝90°，AE⊥BD，
所以△ABE∽△DBA.
所以S△ABE∶S△DBA＝AB2∶DB2.
因为S△ABE∶S△DBA＝1∶5，
所以AB∶DB＝1∶.
设AB＝k
cm，DB＝k
cm，
则AD＝2k
cm.
因为S矩形ABCD＝40
cm2，
所以k·2k＝40，所以k＝2(cm)．
所以BD＝k＝10
(cm)，AD＝4(cm)．
又因为S△ABD＝BD·AE＝20，
所以·10·AE＝20.
所以AE＝4(cm)．
答案：4
cm
三、解答题
8．如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为AB的中点，E是AC上的点，BE，CD交于点M.若AC＝3AE，求∠EMC的度数．
解：如图，作EF⊥BC于点F，
设AB＝AC＝3，
则AD＝，BC＝3，
CE＝2，EF＝FC＝.
∴BF＝BC－FC＝2.
∴EF∶BF＝∶2＝1∶2＝AD∶AC.
∴△FEB∽△ADC，∴∠2＝∠1.
∵∠EMC＝∠2＋∠MCB，
∴∠EMC＝∠1＋∠MCB＝∠ACB＝45°.
9.如图， ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE＝CD.
(1)求证：△ABF∽△CEB；
(2)若△DEF的面积为2，求 ABCD的面积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD.
∴∠ABF＝∠E.
∴△ABF∽△CEB.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.
∵DE＝CD，
∴＝2＝，
＝2＝.
∵S△DEF＝2，
∴S△CEB＝18，S△ABF＝8，
∴S四边形BCDF＝S△CEB－S△DEF＝16.
∴S ABCD＝S四边形BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24.
10．如图所示，甲、乙、丙三位同学欲测量旗杆AB的高度，甲在操场上C处直立3
m高的竹竿CD，乙从C处退到E处恰好看到竹竿顶端D与旗杆顶端B重合，量得CE＝3
m，乙的眼睛到地面的距离FE＝1.5
m；丙在C1处也直立3
m高的竹竿C1D1，乙从E处退后6
m到E1处，恰好看到竹竿顶端D1与旗杆顶端B也重合，量得C1E1＝4
m，求旗杆AB的高．
解：设F1F与AB，CD，C1D1分别交于点G，M，N，
GB＝x
m，GM＝y
m.
因为MD∥GB，
所以∠BGF＝∠DMF，∠GBF＝∠MDF，
所以△BGF∽△DMF，
所以＝.
又因为MD＝CD－CM＝CD－EF＝1.5
(m)，
所以＝.①
又因为ND1∥GB，同理可证得△BGF1∽△D1NF1，
所以＝，
即＝.②
解方程①②组成的方程组，得
又AB＝GB＋GA＝9＋1.5＝10.5(m)，
即旗杆AB的高为10.5
m.五
与圆有关的比例线段
1．相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，弦AB与CD相交于P点，则PA·PB＝PC·PD.
2．割线有关定理
(1)割线定理：
①文字叙述：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
②图形表示：
如图，⊙O的割线PAB与PCD，则有PA·PB＝PC·PD.
(2)切割线定理：
①文字叙述：
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；
②图形表示：
如图，⊙O的切线PA，切点为A，割线PBC，则有PA2＝PB·PC.
3．切线长定理
(1)文字叙述：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
(2)图形表示：
如图，⊙O的切线PA，PB，
则PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.
相交弦定理
如图，已知在⊙O中，P是弦AB的中点，过点P作半径OA的垂线分别交⊙O于C，D两点，垂足是点E.
求证：PC·PD＝AE·AO.
由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P为AB的中点，∴PC·PD＝AP2.在Rt△PAO中再使用射影定理即可．
连接OP.
∵P为AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB.
∵PE⊥OA，∴AP2＝AE·AO.
∵PD·PC＝PA·PB＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.
相交弦定理的运用多与相似三角形联系在一起，也经常与垂径定理、射影定理、直角三角形的性质相结合证明某些结论．
1．已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12
cm和16
cm两段，第二条弦的长为32
cm，求第二条弦被交点分成的两段长．
解：设第二条弦被交点分成的一段长为x
cm，
则另一段长为(32－x)
cm.
由相交弦定理得x(32－x)＝12×16，
解得x＝8或24，
故另一段长为32－8＝24(cm)或32－24＝8(cm)，
所以另一条弦被交点分成的两段长分别为8
cm和24
cm.
2．如图，已知AB是⊙O的直径，OM＝ON，P是⊙O上的点，PM，PN的延长线分别交⊙O于Q，R.
求证：PM·MQ＝PN·NR.
PM·MQ＝PN·NR.
切割线定理
如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC＝AB.
证明：(1)AD·AE＝AC2；
(2)FG∥AC.
(1)利用切割线定理；
(2)证△ADC∽△ACE.
(1)∵AB是⊙O的一条切线，ADE是⊙O的割线，
∴由切割线定理得AD·AE＝AB2.
又AC＝AB，∴AD·AE＝AC2.
(2)由(1)得＝，
又∠EAC＝∠DAC，∴△ADC∽△ACE.
∴∠ADC＝∠ACE.
又∠ADC＝∠EGF，∴∠EGF＝∠ACE.∴FG∥AC.
切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形结合在一起解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等．
3.如图，点P是⊙O外一点，PAB为⊙O的一条割线，且PA＝AB，PO交⊙O于点C，若OC＝3，OP＝5，则AB的长为( )
A.
B．2
C.
D.
解析：选B 设PA＝AB＝x，延长PO交圆于点D.
因为PA·PB＝PC·PD，
OC＝3，OP＝5，
所以PC＝2，PD＝8.
所以x·2x＝16，
所以x＝2.
4．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B，C，∠APC的角平分线分别与AB，AC相交于点D，E.
求证：(1)AD＝AE；
(2)AD2＝DB·EC.
证明：(1)因为∠AED＝∠EPC＋∠C，
∠ADE＝∠APD＋∠PAB，
PE是∠APC的角平分线，
所以∠EPC＝∠APD，
因为PA是⊙O的切线，
所以∠C＝∠PAB.
所以∠AED＝∠ADE.故AD＝AE.
(2) △PCE∽△PAD ＝.
△PAE∽△PBD ＝.
PA是切线，PBC是割线 PA2＝PB·PC ＝.
故＝.又AD＝AE，
故AD2＝DB·EC.
切线长定理
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的切线与过A，B两点的切线分别交于点E，F，AF与BE交于点P.
求证：∠EPC＝∠EBF.
→→→→
∵EA，EF，FB是⊙O的切线，
∴EA＝EC，FC＝FB.
∵EA，FB切⊙O于A，B，AB是直径，
∴EA⊥AB，FB⊥AB.
∴EA∥FB.∴＝.∴＝.
∴CP∥FB.∴∠EPC＝∠EBF.
运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系，即①切线长相等，②圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明．
5．两个等圆⊙O与⊙O′外切，过O作⊙O′的两条切线OA，OB，A，B是切点，则∠AOB等于( )
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
解析：选B 如图，连接OO′，O′A.
∵OA为⊙O′的切线，
∴∠OAO′＝90°.
又∵⊙O与⊙O′为等圆且外切，
∴OO′＝2O′A.
∴sin
∠AOO′＝＝.
∴∠AOO′＝30°.
∴由切线长定理知∠AOB＝2∠AOO′＝60°.
6.如图，P为圆O外一点，PA，PB是圆O的两条切线，A，B为切点，OP与AB相交于点M，且点C是上一点．
求证：∠OPC＝∠OCM.
证明：连接OB，由切线长定理，得PA＝PB，PM⊥AB，
PO平分∠APB.
又PB⊥OB，在Rt△OPB中，OB2＝OP·OM，
∵OB＝OC，∴OC2＝OP·OM，
即＝.∴△OCP∽△OMC.
∴∠OPC＝∠OCM.
课时跟踪检测(十)
一、选择题
1．在半径为12
cm的圆中，垂直平分半径的弦的长为( )
A．3
cm
B．27
cm
C．12
cm
D．6
cm
解析：选C
法一：如图所示，OA＝12，CD为OA的垂直平分线，连接OD.
在Rt△POD中，
PD＝＝＝6，
∴CD＝2PD＝12(cm)．
法二：如图，延长AO交⊙O于M，
由相交弦定理得PA·PM＝PC·PD.
又∵CD为线段OA的垂直平分线，
∴PD2＝PA·PM.
又∵PA＝6，PM＝6＋12＝18，
∴PD2＝6×18.
∴PD＝6.
∴CD＝2PD＝12(cm)．
2．如图，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB，CD，CE的长度，下列关系正确的是( )
A．AB>CE>CD
B．AB＝CE>CD
C．AB>CD>CE
D．AB＝CD＝CE
解析：选A 因为∠1＝60°，∠2＝65°，
所以∠ABC＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－65°＝55°，
所以∠2>∠1>∠ABC，
所以AB>BC>AC.
因为CA，CD分别切圆O1于A，D两点，
CB，CE分别切圆O2于B，E两点，
所以AC＝CD，BC＝CE，
所以AB>CE>CD.
3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则( )
A．CE·CB＝AD·DB
B．CE·CB＝AD·AB
C．AD·AB＝CD2
D．CE·EB＝CD2
解析：选A 在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.
4.如图，已知PT切⊙O于点T，TC是⊙O的直径，割线PBA交TC于点D，交⊙O于B，A(B在PD上)，DA＝3，DB＝4，DC＝2，则PB等于( )
A．20
B．10
C．5
D．8
解析：选A ∵DA＝3，DB＝4，DC＝2，
∴由相交弦定理得DB·DA＝DC·DT，
即DT＝＝＝6.
∵TC为⊙O的直径，所以PT⊥DT.
设PB＝x，
则在Rt△PDT中，
PT2＝PD2－DT2＝(4＋x)2－36.
由切割线定理得PT2＝PB·PA＝x(x＋7)，
∴(4＋x)2－36＝x(x＋7)，
解得x＝20，即PB＝20.
二、填空题
5．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，AM＝4，BM＝9，则弦CD的长为________．
解析：根据相交弦定理，AM·BM＝2，
所以＝6，CD＝12.
答案：12
6.如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.
解析：因为直线PB是圆的切线，所以∠PBA＝∠C.
又因为∠PBA＝∠DBA，所以∠DBA＝∠C.
又因为∠A＝∠A，所以△ABD∽△ACB，
所以＝，所以AB＝＝.
答案：
7．如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD＝，∠OAP＝30°，则CP＝________.
解析：∵点P为弦AB的中点，
∴OP⊥AB.
∵∠OAP＝30°，OA＝a，
∴PA＝a，PB＝a.
由相交弦定理，得PA·PB＝PD·CP.
∴CP＝＝＝a.
答案：a
三、解答题
8.如图，已知PA，PB，DE分别切⊙O于A，B，C三点，PO＝13
cm，⊙O半径r＝5
cm.
求△PDE的周长．
解：∵PA，PB，DE分别切⊙O于A，B，C三点，
∴DA＝DC，EB＝EC.
∴△PDE的周长为
PA＋PB＝2PA.
连接OA，则OA⊥PA.
∴PA＝＝＝12(cm)．
∴△PDE的周长为24
cm.
9．如图，BC是半圆的直径，O是圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AD⊥BC于点D.
(1)若∠B＝30°，AB与AP是否相等？请说明理由；
(2)求证：PD·PO＝PC·PB；
(3)若BD∶DC＝4∶1，且BC＝10，求PC的长．
解：(1)相等．
连接AO，如图所示．
∵PA是半圆的切线，
∴∠OAP＝90°.
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB.
∴∠AOD＝2∠B＝60°.
∴∠APO＝30°.
∴∠B＝∠APO.∴AB＝AP.
(2)证明：在Rt△OAP中，
∵AD⊥OP，∴PA2＝PD·PO.
∵PA是半圆的切线，
∴PA2＝PC·PB.
∴PD·PO＝PC·PB.
(3)∵BD∶DC＝4∶1，且BC＝10，
∴BD＝8，CD＝2.∴OD＝3.
∵OA2＝OD·OP，∴25＝3×OP.
∴OP＝.
∴PC＝－5＝.
10.如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F.AD，BE相交于点G，连接BD.
(1)求BD的长；
(2)求∠ABE＋2∠D的度数；
(3)求的值．
解：(1)连接OC，因为AB是小圆的切线，C是切点，
所以OC⊥AB，
所以C是AB的中点．
因为AD是大圆的直径，
所以O是AD的中点．
所以OC是△ABD的中位线．
所以BD＝2OC＝10.
(2)连接AE.
由(1)知C是AB的中点．
同理F是BE的中点．
即AB＝2BC，BE＝2BF，
由切线长定理得BC＝BF.
所以BA＝BE.
所以∠BAE＝∠E.
因为∠E＝∠D，
所以∠ABE＋2∠D＝∠ABE＋∠E＋∠BAE＝180°.
(3)连接BO，在Rt△OCB中，
因为OB＝13，OC＝5，
所以BC＝12，AB＝24.
由(2)知∠OBG＝∠OBC＝∠OAC.
因为∠BGO＝∠AGB，
所以△BGO∽△AGB.
所以＝＝.二
行线分线段成比例定理
1．平行线分线段成比例定理
(1)文字语言：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
(2)图形语言：
如图l1∥l2∥l3，
则有：＝，
＝，＝.
变式有：＝，＝，＝.
“对应线段”是指一条直线被两条平行线截得的线段与另一条直线被这两条平行线截得的线段成对应线段，如图中AB和DE；而“对应线段成比例”是指同一条直线上的两条线段的比等于与它们对应的另一条直线上的两条线段的比．
2．平行线分线段成比例定理的推论
(1)文字语言：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．
(2)图形语言：如图l1∥l2∥l3，
则有：＝，＝，＝.
3．平行线分线段成比例定理的作用
平行线分线段成比例定理及推论是研究相似三角形的理论基础，它可以判定线段成比例．另外，当不能直接证明要证的比例成立时，常用该定理借助“中间比”转化成另两条线段的比，来得出正确结论．合理添加平行线，运用定理及推论列比例式，再经过线段间的转换可以求线段的比值或证明线段间倍数关系．
从复杂的图形中找出基本图形
已知：如图在梯形ABCD中，AD∥BC，F为对角线AC上一点，FE∥BC交AB于点E，DF的延长线交BC于点H，DE的延长线交CB的延长线于点G.
求证：BC＝GH.
可找出两个基本图形：△ABC和△DHG，EF是这两个图形的截线．
∵FE∥BC，
∴＝，＝.
∵AD∥EF∥BH，∴＝.
∴＝.∴BC＝GH.
在利用平行线证明或计算时，常常根据已知条件将复杂的图形进行分解，从中找出基本图形，“借图解题”．
1．已知：如图所示，l1∥l2∥l3，＝.求证：＝.
证明：∵l1∥l2∥l3，
∴＝＝.
∴＝，则＝，
即＝.
∴＝.
2.如图，已知AE∥CF∥DG，AB∶BC∶CD＝1∶2∶3，CF＝12
cm，求AE，DG的长．
解：∵AE∥CF，∴＝.
∴AE＝·CF.
∵AB∶BC＝1∶2，CF＝12
cm，
∴AE＝×12＝6
(cm)．
∵CF∥DG，
∴＝.
∵＝，
∴＝.
∴DG＝·CF＝×12＝30(cm).
寻找目标式的公共比
已知：如图，AD∥BE∥CF，EG∥FH.
求证：＝.
由题目中的两组平行线，利用平行线分线段成比例定理，寻求与，均相等的公共比例式．
∵AD∥BE∥CF，∴＝.
又∵EG∥FH，∴＝.
∴＝.
在此题中，是与的公共比，公共比大多是两个或两个以上的比例式都具有的一个公共比，通常是两个图形中公共边的比．当要证的结论不是比例式(通常是等积式)时，常转化为比例式来突破题设的条件，其中公共比是常用的转化方法．
3．已知：如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到点E，连接AE交CD于点F，FG∥AD交DE于点G.
求证：FC＝FG.
证明：在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴＝.
∵FG∥AD，∴＝.
∴＝.
∵AB＝AD.
∴FC＝FG.
4．如图，在 ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交AC于点G，交BC于点F.
求证：(1)DG2＝GE·GF；
(2)＝.
证明：(1)∵CD∥AE，
∴＝.
又∵AD∥CF，
∴＝.
∴＝，即DG2＝GE·GF.
(2)∵BF∥AD，∴＝.
又∵CD∥BE，∴＝.
∴＝.
通过添加平行线构造基本图形寻找公共比
如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E为BC中点，延长AC，DE相交于点F，求证：＝.
由已知条件，结合图形特点，可添加平行线，构造出能够运用平行线分线段成比例定理或其推论的基本图形，再结合直角三角形的性质，找出公共比，得证．
作EH∥AB交AC于点H，
则＝，∴＝.
同理，＝，∴＝.
∵△BDC为直角三角形，且E为BC边中点，∴BE＝CE＝DE.
∴＝.∴＝.
证明比例式成立，往往会将比例式中各线段放到一组平行线中进行研究．有时图形中没有平行线，要添加辅助线，构造相关图形，创造可以形成比例式的条件，达到证明的目的．
5．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别在AB，CD上，且EF∥BC，若＝，AD＝8
cm，BC＝18
cm，求EF的长．
解：作AG∥DC分别交BC，EF于G，H，
∴AD＝HF＝GC＝8
cm.
BG＝18－8＝10(cm)．
∵＝，
∴＝.
∴＝＝.
∴EH＝×BG＝×10＝4(cm)．
∴EF＝EH＋HF＝4＋8＝12(cm)．
6.如图所示，已知△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD与CE相交于点F，求＋的值．
解：过点D作DG∥AB交EC于点G，
则＝＝＝，而＝，
即＝，
所以AE＝DG.
从而有AF＝DF，EF＝FG＝CG，
故＋＝＋
＝＋1＝.
课时跟踪检测(二)
一、选择题
1.如图所示，DE∥AB，DF∥BC，下列结论中不正确的是( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
解析：选D ∵DF∥EB，DE∥FB，
∴四边形DEBF为平行四边形．
∴DE＝BF，DF＝EB.
∴＝＝，A正确．
＝＝，B正确．
＝＝，C正确．
2．已知线段a，m，n且ax＝mn，求作x，图中作法正确的是( )
解析：选C 因为ax＝mn，所以＝，故选C.
3.如图，在△ACE中，B，D分别在AC，AE上，下列推理不正确的是( )
A．BD∥CE ＝
B．BD∥CE ＝
C．BD∥CE ＝
D．BD∥CE ＝
解析：选D 由平行线分线段成比例定理的推论不难得出选项A、B、C都是正确的，D项是错误的．
4．如图，将一块边长为12的正方形纸ABCD的顶点A，折叠至DC边上的点E，使DE＝5，折痕为PQ，则线段PM和MQ的比是( )
A．5∶12
B．5∶13
C．5∶19
D．5∶21
解析：选C 如图，作MN∥AD交DC于N，
∴＝.
又∵AM＝ME，∴DN＝NE＝DE＝.
∴NC＝NE＋EC＝＋7＝.
∵PD∥MN∥QC，
∴＝＝＝.
二、填空题
5．如图所示，已知DE∥BC，BF∶EF＝3∶2，则AC∶AE＝________.
解析：∵DE∥BC，
∴＝＝.
∵BF∶EF＝3∶2，
∴AC∶AE＝3∶2.
答案：3∶2
6.如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，AE的延长线交BC于点F，则＝________.
解析：过点D作DM∥AF交BC于点M.
∵点E是BD的中点，
∴在△BDM中，BF＝FM.
∵点D是AC的中点，
∴在△CAF中，CM＝MF.
∴＝＝.
答案：
7．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD∶AB∶BC＝3∶4∶6，E，F分别是AB，CD上的点，AE∶AB＝DF∶DC＝1∶3.若四边形ABCD的周长为1，则四边形AEFD的周长为________．
解析：因为在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，
AD∶AB∶BC＝3∶4∶6，
所以可设AD＝3k，AB＝4k，BC＝6k，
作DG⊥BC交BC于点G，交EF于点H，
则DG＝4k，GC＝3k，
所以DC＝＝5k，
因为四边形ABCD的周长为1，
所以3k＋4k＋6k＋5k＝1，所以k＝，
因为E，F分别是AB，CD上的点，
AE∶AB＝DF∶DC＝1∶3，
所以AE＝，DF＝，
取BE，CF的中点M，N，令EF＝x，MN＝y，
则由梯形中位线得
解得即EF＝4k.
所以四边形AEFD的周长是
3k＋＋4k＋＝10k＝10×＝.
答案：
三、解答题
8.如图，B在AC上，D在BE上，且AB∶BC＝2∶1，ED∶DB＝2∶1，求AD∶DF.
解：过点D作DG∥AC交FC于点G，
则＝＝，所以DG＝BC，
又BC＝AC，
所以DG＝AC，
所以＝＝，所以DF＝AF，
从而AD＝AF，故AD∶DF＝7∶2.
9.如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，过O作AB的平行线，与AD，BC分别交于E，F，与CD的延长线交于K.
求证：KO2＝KE·KF.
证明：延长CK，BA，设它们交于点H.
因为KO∥HB，
所以＝，＝.
所以＝，即＝.
因为KF∥HB，
同理可得＝.
所以＝，即KO2＝KE·KF.
10.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD.
(1)求证：EO＝OF；
(2)求＋的值；
(3)求证：＋＝.
解：(1)证明：∵EF∥AD，AD∥BC，
∴EF∥AD∥BC.
∵EF∥BC，∴＝，＝.
∵EF∥AD∥BC，
∴＝.
∴＝.
∴EO＝OF.
(2)∵EO∥AD，
∴＝.
由(1)知＝，
∴＋＝＋＝＝1.
(3)证明：由(2)知＋＝1，
∴＋＝2.又EF＝2EO，
∴＋＝2.
∴＋＝.一
圆周角定理
1．圆周角定理
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
应当注意的是，圆周角与圆心角一定是对着同一条弧，它们才有上面定理中所说的数量关系．
2．圆心角定理
(1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数，它与圆的半径无关，也就是说在大小不等的两个圆中，相同度数的圆心角，它们所对的弧的度数相等；反过来，弧的度数相等，它们所对的圆心角的度数也相等．
(2)圆心角(∠AOB)与它所对的弧()的度数相等，不能写成∠AOB＝，正确写法是∠AOB的度数＝的度数．
3．圆周角定理的推论
(1)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
(1)若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，则结论不成立．
(2)相等的弧与相同度数的弧含义是不同的．只有弧的度数和弧的长度都相等的两条弧才是等弧，即等弧一定有相同的度数，而有相同度数的弧不一定是等弧．
(3)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”，应用推论时要时刻记住这一点．
(2)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
与圆周角定理相关的证明
已知：如图，△ABC内接于⊙O，D，E在BC边上，且BD＝CE，∠1＝∠2.
求证：AB＝AC.
证明此题可先添加辅助线构造等弦、等弧的条件，再由圆周角定理及其推论证明．
如图，延长AD，AE分别交⊙O于F，G两点，连接BF，CG，
∵∠1＝∠2，∴＝，
∴BF＝CG，＝，
∴∠FBD＝∠GCE.
又∵BD＝CE，
∴△BFD≌△CGE，
∴∠F＝∠G，
∴＝，∴AB＝AC.
利用圆周角定理证明等量关系时，主要是分析圆周角、圆心角、弧、弦之间的等量关系，有时需添加辅助线构造等弧、等角、等弦的条件．
1．已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径．
求证：∠BAE＝∠DAC.
证明：连接BE，
因为AE为直径，
所以∠ABE＝90°.
因为AD是△ABC的高，
所以∠ADC＝90°.
所以∠ADC＝∠ABE.
因为∠E＝∠C，
∠BAE＝90°－∠E，
∠DAC＝90°－∠C.
所以∠BAE＝∠DAC.
2．已知⊙O中，AB＝AC，D是BC延长线上一点，AD交⊙O于点E.
求证：AB2＝AD·AE.
证明：如图，∵AB＝AC，∴＝.
∴∠ABD＝∠AEB.
在△ABE与△ADB中，
∠BAE＝∠DAB，
∠AEB＝∠ABD，
∴△ABE∽△ADB.
∴＝，即AB2＝AD·AE.
利用圆周角进行计算
如图，已知BC为半⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，BF交AD于点E，且AE＝BE.
(1)求证：＝；
(2)如果sin
∠FBC＝，AB＝4，求AD的长．
BC为半⊙O的直径，连接AC，构造Rt△ABC.
(1)证明：如图，连接AC.
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
又AD⊥BC，垂足为D，
∴∠BAD＝∠ACB.
在△AEB中，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE.
∴∠ABF＝∠ACB，即＝.
(2)设DE＝3x，
∵AD⊥BC，sin∠FBC＝，
∴BE＝5x，BD＝4x.
∵AE＝BE，∴AE＝5x，AD＝8x.
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，AB＝4，
∴(8x)2＋(4x)2＝(4)2，
解得x＝1，∴AD＝8.
与圆周角定理有关的线段的计算、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时还可以通过三角形相似、解三角形等来计算．
3.如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧⊙A弧上一点，则cos∠OBC的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B 法一：设⊙A与x轴另一个交点为D，
连接CD，如图所示．
因为∠COD＝90°，
所以CD为⊙A的直径．
又因为∠CBO与∠CDO为圆弧CO所对的圆周角，
所以∠CBO＝∠CDO.
又因为C(0,5)，
所以OC＝5.
在Rt△CDO中，CD＝10，CO＝5，
根据勾股定理得
OD＝＝5.
所以cos∠OBC＝cos∠CDO＝＝＝，故选B.
法二：连接AO，AC，因为OC＝5，AC＝AO＝5，
所以△ACO为等边三角形，
∠CAO＝60°，
∠CBO＝∠CAO＝30°，
所以cos∠CBO＝cos
30°＝.
4.已知，如图，△ABC内接于⊙O，＝，点D是上任意一点，AD与BC交于点E，AD＝6
cm，BD＝5
cm，CD＝3
cm，求DE的长．
解：∵＝，
∴∠ADB＝∠CDE.
又∵＝，∴∠BAD＝∠ECD.
∴△ABD∽△CED.
∴＝，
即＝.
∴ED＝2.5
(cm)．
5.如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.
(1)证明：△ABE∽△ADC；
(2)若△ABC的面积S＝AD·AE，
求∠BAC的大小．
解：(1)证明：由已知条件可得∠BAE＝∠CAD.
因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，
所以∠AEB＝∠ACD.
故△ABE∽△ADC.
(2)因为△ABE∽△ADC，
所以＝，即AB·AC＝AD·AE.
又S＝AB·AC·sin
∠BAC，且S＝AD·AE，
所以AB·AC·sin
∠BAC＝AD·AE.
则sin
∠BAC＝1.
又∠BAC为三角形内角，
所以∠BAC＝90°.
课时跟踪检测(六)
一、选择题
1．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是( )
A．40° B．25°
C．50°
D．60°
解析：选A 连接OB.因为∠A＝50°，所以BC弦所对的圆心角∠BOC＝100°，∠COD＝∠BOC＝50°，∠OCD＝90°－∠COD＝90°－50°＝40°.所以∠OCD＝40°.
2．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，∠BCD＝25°，则下列结论错误的是( )
A．AE＝BE
B．OE＝DE
C．∠AOD＝50°
D．D是的中点
解析：选B 因为CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，
所以＝，AE＝BE.
因为∠BCD＝25°，
所以∠AOD＝2∠BCD＝50°，
故A、C、D项结论正确，选B.
3．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，则此三角形外接圆的半径为( )
A.
B．2
C．2
D．4
解析：选B 由推论2知AB为Rt△ABC的外接圆的直径，又AB＝＝4，故外接圆半径r＝AB＝2.
4．如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，若CD＝3，AB＝4，则tan
∠BPD等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D 连接BD，则∠BDP＝90°.
∵△CPD∽△APB，∴＝＝.
在Rt△BPD中，cos
∠BPD＝＝，
∴tan
∠BPD＝.
二、填空题
5．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC＝68°，则∠BAC＝________.
解析：AB是⊙O的直径，所以弧ACB的度数为180
°，它所对的圆周角为90°，所以∠BAC＝90°－∠ABC＝90°－∠ADC＝90°－68°＝22°.
答案：22°
6．如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为______．
解析：如图，连接AB，AC，
由A，E为半圆周上的三等分点，
得∠FBD＝30°，∠ABD＝60°，
∠ACB＝30°.
由BC＝4，
得AB＝2，AD＝，BD＝1，
则DF＝，故AF＝.
答案：
7．如图所示，已知⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC＝6，弦AE交BC于点D，若AD＝4，则AE＝________.
解析：连接CE，则∠AEC＝∠ABC.
又△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠AEC＝∠ACB，
∴△ADC∽△ACE，
∴＝，
∴AE＝＝9.
答案：9
三、解答题
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1＝∠C.
(1)求证：CB∥MD；
(2)若BC＝4，sin
M＝，求⊙O的直径．
解：(1)证明：因为∠C与∠M是同一弧所对的圆周角，
所以∠C＝∠M.
又∠1＝∠C，所以∠1＝∠M，
所以CB∥MD(内错角相等，两直线平行)．
(2)由sin
M＝知，sin
C＝，
所以＝，BN＝×4＝.
由射影定理得：BC2＝BN·AB，则AB＝6.
所以⊙O的直径为6.
9.如图，已知△ABC内接于圆，D为的中点，连接AD交BC于点E.
求证：(1)＝；
(2)AB·AC＝AE2＋EB·EC.
证明：(1)连接CD.
∵∠1＝∠3，∠4＝∠5，
∴△ABE∽△CDE.∴＝.
(2)连接BD.
∵＝，
∴AE·DE＝BE·EC.
∴AE2＋BE·EC＝AE2＋AE·DE
＝AE(AE＋DE)＝AE·AD.①
在△ABD与△AEC中，∵D为的中点，
∴∠1＝∠2.
又∵∠ACE＝∠ACB＝∠ADB，
∴△ABD∽△AEC.∴＝，
即AB·AC＝AD·AE②
由①②知：AB·AC＝AE2＋EB·EC.
10.如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交⊙O于点D，连接BD，DC.
(1)求证：BD＝DC＝DI；
(2)若⊙O的半径为10
cm，∠BAC＝120°，求△BCD的面积．
解：(1)证明：因为AI平分∠BAC，
所以∠BAD＝∠DAC，
所以＝，所以BD＝DC.
因为BI平分∠ABC，所以∠ABI＝∠CBI，
因为∠BAD＝∠DAC，∠DBC＝∠DAC，
所以∠BAD＝∠DBC.
又因为∠DBI＝∠DBC＋∠CBI，
∠DIB＝∠ABI＋∠BAD，
所以∠DBI＝∠DIB，所以△BDI为等腰三角形，
所以BD＝ID，所以BD＝DC＝DI.
(2)当∠BAC＝120°时，
△ABC为钝角三角形，
所以圆心O在△ABC外．
连接OB，OD，OC，
则∠DOC＝∠BOD＝2∠BAD
＝120°，
所以∠DBC＝∠DCB＝60°，
所以△BDC为正三角形．
所以OB是∠DBC的平分线．
延长CO交BD于点E，则OE⊥BD，
所以BE＝BD.
又因为OB＝10，
所以BC＝BD＝2OBcos
30°＝2×10×＝10，
所以CE＝BC·sin
60°＝10×＝15，
所以S△BCD＝BD·CE＝×10×15＝75.
所以△BCD的面积为75.一
平行线等分线段定理
1．平行线等分线段定理
(1)如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
(2)用符号语言表述：
已知a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A′，B′，C′(如图)，如果AB＝BC，那么A′B′＝B′C′.
(1)定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的一组特殊的平行线，它是由三条或三条以上的平行线组成的．
(2)“相等线段”是指在“同一条直线”上截得的线段相等．
2．平行线等分线段定理的推论
(1)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．
(2)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．
推论既可用来平分已知线段，也可用来证明线段的倍数问题．
平行线等分线段定理
如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，l，l′分别交l1，l2，l3，l4于A，B，C，D和A1，B1，C1，D1，AB＝BC＝CD.
求证：A1B1＝B1C1＝C1D1.
直接利用平行线等分线段定理即可．
∵直线l1∥l2∥l3，且AB＝BC，∴A1B1＝B1C1.
∵直线l2∥l3∥l4，且BC＝CD，∴B1C1＝C1D1，
∴A1B1＝B1C1＝C1D1.
平行线等分线段定理的应用非常广泛，在运用的过程中要注意其所截线段的确定与对应，分析存在相等关系的线段，并会运用相等线段来进行相关的计算与证明．
1．如图，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，OE＝6，则BE等于( )
A．9
B．10
C．11
D．12
解析：选A 过O作一直线与AB，CD，EF平行，
因为AO＝OD＝DF，
由平行线等分线段定理知，BO＝OC＝CE，
又OE＝6，所以BE＝9.
2．如图，已知 ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点A，B，C，D，O分别作直线a的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，D′，O′.
求证：A′D′＝B′C′.
证明：∵ ABCD的对角线AC，BD交于O点，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AA′⊥a，OO′⊥a，CC′⊥a，∴AA′∥OO′∥CC′.
∴O′A′＝O′C′.
同理，O′D′＝O′B′.∴A′D′＝B′C′.
平行线等分线段定理推论1的运用
如图，在△ABC中，AD，BF为中线，AD，BF交于点G，CE∥FB交AD的延长线于点E.
求证：AG＝2DE.
→→→
在△AEC中，
∵AF＝FC，GF∥EC，
∴AG＝GE.
∵CE∥FB，
∴∠GBD＝∠ECD，∠BGD＝∠E.
又BD＝DC，
∴△BDG≌△CDE.
故DG＝DE，即GE＝2DE，
∴AG＝2DE.
此类问题往往涉及平行线等分线段定理的推论1的运用，寻找便于证明三角形中线段相等或平行的条件，再结合三角形全等或相似的知识，达到求解的结果．
3.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE平行于AB交BC于E，AD＝6，求BE的长．
解：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以OA＝OC，BC＝AD.
因为AB∥DC，OE∥AB，
所以DC∥OE∥AB.
因为AD＝6，
所以BE＝EC＝BC＝AD＝3.
4．已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F.
求证：AF＝AC.
证明：如图，过D作DG∥BF交AC于点G.
在△BCF中，D是BC的中点，
DG∥BF，
∴G为CF的中点，即CG＝GF.
在△ADG中，E是AD的中点，
EF∥DG，
∴F是AG的中点，即AF＝FG.
∴AF＝AC.
平行线等分线段定理推论2的运用
如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，M是CD的中点．
求证：AM＝BM.
解答本题应先通过作辅助线构造推论2的应用条件．
过点M作ME∥BC交AB于点E.
∵AD∥BC，∴AD∥EM∥BC.
又∵M是CD的中点，
∴E是AB的中点．
∵∠ABC＝90°，
∴ME垂直平分AB.
∴AM＝BM.
有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理推论2的基本图形，进而进行几何证明或计算．
5．若将本例中“M是CD的中点”与“AM＝BM”互换，那么结论是否成立？若成立，请给予证明．
解：结论成立．证明如下：
过点M作ME⊥AB于点E，
∵AD∥BC，∠ABC＝90°，
∴AD⊥AB，BC⊥AB.
∵ME⊥AB，
∴ME∥BC∥AD.
∵AM＝BM，且ME⊥AB，
∴E为AB的中点，
∴M为CD的中点．
6．如图所示，E，F是 ABCD的边AD，BC上的点，过AB的中点M作MN∥BC，分别交EF，CD于点P，N，则EP＝________，CD＝2________＝2________＝2________＝2________.
答案：EF DN NC AM MB
课时跟踪检测(一)
一、选择题
1．在梯形ABCD中，M，N分别是腰AB与腰CD的中点，且AD＝2，BC＝4，则MN等于( )
A．2.5
B．3
C．3.5
D．不确定
解析：选B 由梯形中位线定理知选B.
2．如图，AD是△ABC的高，E为AB的中点，EF⊥BC于F，如果DC＝BD，那么FC是BF的( )
A.倍
B.倍
C.倍
D.倍
解析：选A ∵EF⊥BC，AD⊥BC，
∴EF∥AD.
又E为AB的中点，由推论1知F为BD的中点，
即BF＝FD.
又DC＝BD，
∴DC＝BF.
∴FC＝FD＋DC＝BF＋DC＝BF.
3．梯形的中位线长为15
cm，一条对角线把中位线分成3∶2两段，那么梯形的两底长分别为( )
A．12
cm 18
cm
B．20
cm 10
cm
C．14
cm 16
cm
D．6
cm 9
cm
解析：选A 如图，设MP∶PN＝2∶3，则MP＝6
cm，PN＝9
cm.
∵MN为梯形ABCD的中位线，在△BAD中，MP为其中位线，
∴AD＝2MP＝12
cm.
同理可得BC＝2PN＝18
cm.
4．梯形的一腰长为10
cm，该腰和底边所形成的角为30°，中位线长为12
cm，则此梯形的面积为 ( )
A．30
cm2
B．40
cm2
C．50
cm2
D．60
cm2
解析：选D 如图，过A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，
AE＝ABsin
30°＝5
cm.
又已知梯形的中位线长为12
cm，
∴AD＋BC＝2×12＝24(cm)．
∴梯形的面积S＝(AD＋BC)·AE＝×5×24＝60
(cm2)．
二、填空题
5．如图，在AD两旁作AB∥CD且AB＝CD，A1，A2为AB的两个三等分点，C1，C2为CD的两个三等分点，连接A1C，A2C1，BC2，则把AD分成四条线段的长度________(填“相等”或“不相等”)．
解析：如图，过A作直线AM平行于A1C，过D作直线DN平行于BC2，由AB∥CD，A1，A2为AB的两个三等分点，C1，C2为CD的两个三等分点，可得四边形A1CC1A2，四边形A2C1C2B为平行四边形，所以A1C∥A2C1∥C2B，所以AM∥A1C∥A2C1∥C2B∥DN，因为AA1＝A1A2＝A2B＝CC1＝C1C2＝C2D，由平行线等分线段定理知，A1C，A2C1，BC2把AD分成四条线段的长度相等．
答案：相等
6．如图，在△ABC中，E是AB的中点，EF∥BD，EG∥AC交BD于G，CD＝AD，若EG＝2
cm，则AC＝______；若BD＝10
cm，则EF＝________.
解析：由E是AB的中点，EF∥BD，得F为AD的中点．
由EG∥AC，得EG＝AD＝FD＝2
cm，
结合CD＝AD，
可以得到F，D是AC的三等分点，
则AC＝3EG＝6
cm.
由EF∥BD，得EF＝BD＝5
cm.
答案：6
cm 5
cm
7．如图，AB＝AC，AD⊥BC于点D，M是AD的中点，CM交AB于点P，DN∥CP.若AB＝6
cm，则AP＝________；若PM＝1
cm，则PC＝________.
解析：由AD⊥BC，AB＝AC，知BD＝CD，
又DN∥CP，
∴BN＝NP，
又AM＝MD，PM∥DN，知AP＝PN，
∴AP＝AB＝2
cm.
易知PM＝DN，DN＝PC，
∴PC＝4PM＝4
cm.
答案：2
cm 4
cm
三、解答题
8．已知△ABC中，D是AB的中点，E是BC的三等分点(BE>CE)，AE，CD交于点F.
求证：F是CD的中点．
证明：如图，
过D作DG∥AE交BC于G，
在△ABE中，∵AD＝BD，DG∥AE，
∴BG＝GE.
∵E是BC的三等分点，
∴BG＝GE＝EC.
在△CDG中，∵GE＝CE，DG∥EF，
∴DF＝CF，
即F是CD的中点．
9.如图，在等腰梯形中，AB∥CD，AD＝12
cm，AC交梯形中位线EG于点F，若EF＝4
cm，FG＝10
cm.求此梯形的面积．
解：作高DM，CN，
则四边形DMNC为矩形．
∵EG是梯形ABCD的中位线，
∴EG∥DC∥AB.
∴F是AC的中点．
∴DC＝2EF＝8，AB＝2FG＝20，
MN＝DC＝8.
在Rt△ADM和Rt△BCN中，
AD＝BC，∠DAM＝∠CBN，∠AMD＝∠BNC，
∴△ADM≌△BCN.
∴AM＝BN＝(20－8)＝6.
∴DM＝＝＝6.
∴S梯形＝EG·DM＝14×6＝84
(cm2)．
10.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，四边形ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F.
求证：EF＝FC.
证明：法一：如图，连接BE交AF于点O.
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BO＝OE.
又∵AF∥BC，
∴EF＝FC.
法二：如图，
延长ED交BC于点H.
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥ED，AB∥DH，
AB＝ED.
又∵AF∥BC，
∴四边形ABHD是平行四边形．
∴AB＝DH.
∴ED＝DH.
∴EF＝FC.
法三：如图，延长EA交CB的延长线于点M.
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD∥EA，AE＝BD.
又∵AD∥BC.
∴四边形AMBD是平行四边形．
∴AM＝BD.
∴AM＝AE.
∴EF＝FC.二
圆内接四边形的性质与判定定理
1．圆内接四边形的性质
(1)圆的内接四边形对角互补．
如图，四边形ABCD内接于⊙O，则有：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.
(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．
如图，∠CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有∠CBE＝∠D.
2．圆内接四边形的判定
(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．
(2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
圆内接四边形的性质
如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.
求证：∠DEA＝∠DFA.
本题主要考查圆内接四边形判定及性质的应用．解题时，证A，D，E，F四点共圆后可得结论．
连接AD，
因为AB为圆的直径，
所以∠ADB＝90°.
又EF⊥AB，∠EFA＝90°，
所以A，D，E，F四点共圆．
所以∠DEA＝∠DFA.
圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角，可用来作为三角形相似的条件，从而证明一些比例式成立或证明某些等量关系．
1．圆内接四边形ABCD中，已知∠A，∠B，∠C的度数比为4∶3∶5，求四边形各角的度数．
解：设∠A，∠B，∠C的度数分别为4x,3x,5x，
则由∠A＋∠C＝180°，
可得4x＋5x＝180°，
∴x＝20°.
∴∠A＝4×20°＝80°，∠B＝3×20°＝60°，
∠C＝5×20°＝100°，∠D＝180°－∠B＝120°.
2.已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD，BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若AC＝3
cm，AD＝2
cm，求DE的长．
解：(1)证明：∵∠ABC＝∠2，
∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3，
∴∠ABC＝∠4.
∴AB＝AC.
(2)∵∠3＝∠4＝∠ABC，
∠DAB＝∠BAE，
∴△ABD∽△AEB.
∴＝.
∵AB＝AC＝3
cm，AD＝2
cm，
∴AE＝＝
cm.
∴DE＝－2＝(cm).
圆内接四边形的判定
如图，在△ABC中，E，D，F分别为AB，BC，AC的中点，且AP⊥BC于P.
求证：E，D，P，F四点共圆．
可先连接PF，构造四边形EDPF的外角∠FPC，证明∠FPC＝∠C，再证明∠FPC＝∠FED即可．
如图，连接PF，
∵AP⊥BC，F为AC的中点，
∴PF＝AC.
∵FC＝AC，
∴PF＝FC.
∴∠FPC＝∠C.
∵E，F，D分别为AB，AC，BC的中点．
∴EF∥CD，ED∥FC.
∴四边形EDCF为平行四边形，
∴∠FED＝∠C.
∴∠FPC＝∠FED.
∴E，D，P，F四点共圆．
证明四点共圆的常见方法：
(1)如果四点与一定点等距离，那么这四点共圆；
(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；
(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；
(4)如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．
3．判断下列各命题是否正确．
(1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不止一个；
(2)矩形有唯一的外接圆；
(3)菱形有外接圆；
(4)正多边形有外接圆．
解：(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；
(2)正确，矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；
(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；
(4)正确，正多边形的中心到各顶点的距离相等．
4．已知：在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G.
求证：(1)D，E，F，G四点共圆；
(2)G，B，C，F四点共圆．
证明：(1)如图，连接GF，
由DF⊥AB，EG⊥AC，
知∠GDF＝∠GEF＝90°，
∴GF中点到D，E，F，G四点距离相等，
∴D，E，F，G四点共圆．
(2)连接DE.
由AD＝DB，AE＝EC，知DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B.
又由(1)中D，E，F，G四点共圆，
∴∠ADE＝∠GFE.
∴∠GFE＝∠B.
∴G，B，C，F四点共圆.
圆内接四边形的综合应用
(新课标全国卷Ⅱ)如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．
(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；
(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．
(1)要证CA是△ABC外接圆的直径，只需证∠ABC为直角；
(2)要求两圆的面积比，可先求两圆的直径比．
(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A.由题设知＝，
故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.
因为B，E，F，C四点共圆，
所以∠CFE＝∠DBC，
故∠EFA＝∠CFE＝90°.
所以∠CBA＝
90°，
因此CA是△ABC外接圆的直径．
(2)连接CE，因为∠CBE＝90°，
所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE.
由BD＝BE，有CE＝DC.
又BC2＝DB·BA＝2DB2，
所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.
而DC2＝DB·DA＝3DB2，
故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.
此类问题综合性强，知识点丰富，解决的办法大多是先判断四点共圆，然后利用圆内接四边形的性质证明或求得某些结论成立．
5.如图，P点是等边△ABC外接圆的上一点，CP的延长线和AB的延长线交于点D，连接BP.
求证：(1)∠D＝∠CBP；
(2)AC2＝CP·CD.
证明：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠A＝60°.
∴∠DBC＝120°.
又∵四边形ABPC是圆内接四边形，
∴∠BPC＝180°－∠A＝120°.
∴∠BPC＝∠DBC.
又∵∠DCB＝∠BCP，
∴△BCP∽△DCB.
∴∠D＝∠CBP.
(2)由(1)知△BCP∽△DCB，
∴＝.
∴CB2＝CP·CD.
又CB＝AC，∴AC2＝CP·CD.
6.如图，已知CF是⊙O的切线，C为切点，弦AB∥CF，E为圆周上一点，CE交AB延长线于点D.
求证：(1)AC＝BC；
(2)BC2＝CD·CE.
证明：(1)∵AB∥CF，∴∠FCA＝∠BAC.
∵CF是⊙O的切线，∴∠FCA＝∠ABC.
∴∠BAC＝∠ABC.
∴AC＝BC.
(2)∠BEC＝180°－∠BED，
∵A，B，E，C四点共圆，
∴∠BED＝∠BAC.
∴∠BEC＝180°－∠BAC.
由(1)得∠BAC＝∠ABC，
∵∠DBC＝180°－∠ABC，
∴∠BEC＝∠DBC.
又∵∠BCE＝∠DCB，∴△BCE∽△DCB.
∴＝，即BC2＝CD·CE.
课时跟踪检测(七)
一、选择题
1．四边形ABCD的一个内角∠C＝36°，E是BA延长线上一点，若∠DAE＝36°，则四边形ABCD( )
A．一定有一个外接圆
B．四个顶点不在同一个圆上
C．一定有内切圆
D．四个顶点是否共圆不能确定
解析：选A 因为∠C＝36°，∠DAE＝36°，所以∠C与∠BAD的一个外角相等，由圆内接四边形判定定理的推论知，该四边形有外接圆，故选A.
2．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是( )
A．4∶2∶3∶1
B．4∶3∶1∶2
C．4∶1∶3∶2
D．以上都不对
解析：选B 由四边形ABCD内接于圆，得∠A＋∠C＝∠B＋∠D，从而只有B项符合题意．
3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AB的延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于( )
A．20°
B．40°
C．80°
D．100°
解析：选C 四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°，又由圆周角定理知∠AOC＝2∠D＝80°.
4．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有( )
①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；
②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；
③∠A的外角与∠C的外角互补；
④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：选B 由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确，②④错误．
二、填空题
5．如图，直径AB＝10，弦BC＝8，CD平分∠ACB，则AC＝______，BD＝________.
解析：∠ACB＝90°，∠ADB＝90°.
在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝8，
∴AC＝＝6.
又∵CD平分∠ACB，即∠ACD＝∠BCD，
∴AD＝BD.
∴BD＝
＝5.
答案：6 5
6．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝1，∠ACD＝60°，则四边形ABCD的面积为________．
解析：过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.
因为∠ADF＋∠ABC＝180°，
∠ABE＋∠ABC＝180°，
所以∠ABE＝∠ADF.
又因为AB＝AD，
∠AEB＝∠AFD＝90°，
所以Rt△AEB≌Rt△AFD.
所以S四边形ABCD＝S四边形AECF，AE＝AF.
又因为∠E＝∠AFC＝90°，AC＝AC，
所以Rt△AEC≌Rt△AFC.
因为∠ACD＝60°，∠AFC＝90°，
所以∠CAF＝30°.因为AC＝1，
所以CF＝，AF＝，
所以S四边形ABCD＝2S△ACF＝2×CF×AF＝.
答案：
7.如图，已知四边形ABCD内接于圆，分别延长AB和DC相交于点E，EG平分∠E，且与BC，AD分别相交于F，G，若∠AED＝40°，∠CFG＝80°，则∠A＝________.
解析：∵EG平分∠E，∴∠FEC＝20°.
∴∠FCE＝∠CFG－∠FEC＝60°.
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠A＝∠FCE＝60°.
答案：60°
三、解答题
8.如图，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为2.
(1)求证：△CDE∽△CBA；
(2)求DE的长．
解：(1)证明：因为四边形ABED为⊙O的内接四边形，
所以∠CED＝∠A(或∠CDE＝∠B)．
又∠C＝∠C，
所以△CDE∽△CBA.
(2)法一：连接AE.由(1)得＝，
因为AB为⊙O的直径，
所以∠AEB＝∠AEC＝90°.
在Rt△AEC中，因为∠C＝60°，所以∠CAE＝30°，
所以＝＝，即DE＝2.
法二：连接DO，EO.
因为AO＝DO＝OE＝OB，
所以∠A＝∠ODA，∠B＝∠OEB.
由(1)知∠A＋∠B＝∠CDE＋∠CED＝120°，
又∠A＋∠B＋∠ADE＋∠DEB＝360°，
所以∠ODE＋∠OED＝120°，
则∠DOE＝60°，
所以△ODE为等边三角形，
所以DE＝OB＝2.
9.如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.
(1)证明：CD∥AB；
(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．
证明：(1)因为EC＝ED，
所以∠EDC＝∠ECD.
因为A，B，C，D四点在同一圆上，
所以∠EDC＝∠EBA.
故ECD＝∠EBA.
所以CD∥AB.
(2)由(1)知，AE＝BE.
因为EF＝EG，
故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.
连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，
故∠FAE＝∠GBE.
又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，
所以∠FAB＝∠GBA.
所以∠AFG＋∠GBA＝180°.
故A，B，G，F四点共圆．
10．如图，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为2，点C与点D分别是劣弧与优弧上的任一点(点C，D均不与A，B重合)．
(1)求∠ACB；
(2)求△ABD的最大面积．
解：(1)连接OA，OB，作OE⊥AB，E为垂足，则AE＝BE.
Rt△AOE中，OA＝2，
AE＝AB＝×2＝.
∴sin
∠AOE＝＝，
∴∠AOE＝60°，∠AOB＝2∠AOE＝120°.
又∠ADB＝∠AOB，∴∠ADB＝60°.
又四边形ACBD为圆内接四边形，∴∠ACB＋∠ADB＝180°.
从而有∠ACB＝180°－∠ADB＝120°.
(2)作DF⊥AB，垂足为F，则
S△ABD＝AB·DF＝×2×DF＝DF.
显然，当DF经过圆心O时，DF取最大值，从而S△ABD取得最大值．
此时DF＝DO＋OF＝3，S△ABD＝3，
即△ABD的最大面积是3.第三讲
圆锥曲线性质的探讨
1．正射影的概念
给定一个平面α，从一点A作平面α的垂线，垂足为点A′，称点A′为点A在平面α上的正射影．
一个图形上各点在平面α上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影．
2．平行射影
设直线l与平面α相交，称直线l的方向为投影方向．过点A作平行于l的直线(称为投影线)必交α于一点A′，称点A′为A沿l的方向在平面α上的平行射影．
一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影．
3．正射影与平行射影的联系与区别
正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行的．因此，正射影也是平行射影，不同的是正射影的光线与投影面垂直．而平行射影的投影光线与投影面斜交．平面图形的正射影与原投影面积大小相等．而一般平行射影的面积要小于原投影图形的面积．
4．两个定理
(1)定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆．
(2)定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则
①β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆．
②β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线．
③β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线．
平行射影
若椭圆所在平面与投影面平行，则该椭圆的平行射影是( )
A．椭圆
B．圆
C．线段
D．射线
要确定椭圆在投影面上的平行射影，关键看投影面与椭圆所在平面的位置关系．
因为椭圆所在平面与投影面平行，所以椭圆的平行射影无论投射线的方向如何，始终保持与原图形全等．
A
平面图形可以看作点的集合，找到平面图形中关键点的正射影，就可找到平面图形正射影的轮廓，从而确定平面图形的正射影．
1．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影有可能是：
①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．
在上面的结论中，正确结论的编号是________．
解析：如图所示，由图可知①②④正确，而对于③两直线射影若是同一条直线，则两直线必共面，这与a，b异面矛盾，所以③错，故正确答案：①②④.
答案：①②④
2．梯形ABCD中，AB∥CD，若梯形不在α内，则它在α上的射影是____________．
解析：如果梯形ABCD所在平面平行于投影方向，则梯形ABCD在α上的射影是一条线段．
如果梯形ABCD所在平面不平行于投影方向，则平行线的射影仍是平行线，不平行的线的射影仍不平行，则梯形ABCD在平面α上的射影仍是梯形．
答案：一条线段或梯形
3．已知△ABC的边BC在平面α内，A在平面α上的射影为A′(A′不在BC上)．
(1)当∠BAC＝90°时，求证：△A′BC为钝角三角形；
(2)当∠BAC＝60°时，AB，AC与平面α所成的角分别是30°和45°时，求cos∠BA′C.
解：(1)证明：∵AB>A′B，AC>A′C，
∴A′B2＋A′C2
∴cos
∠BA′C＝<0.
∴∠BA′C为钝角．
∴△A′BC为钝角三角形．
(2)由题意，∠ABA′＝30°，∠ACA′＝45°.
设AA′＝1，则A′B＝，A′C＝1，AC＝，AB＝2，
∴BC＝
＝
，
cos
∠BA′C＝＝.
平面与圆柱面的截线
如图，在圆柱O1O2内嵌入双球，使它们与圆柱面相切，切线分别为⊙O1和⊙O2，并且和圆柱的斜截面相切，切点分别为F1，F2.
求证：斜截面与圆柱面的截线是以F1，F2为焦点的椭圆．
证明曲线的形状是椭圆，利用椭圆的定义(平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹)来证明．
如图，设点P为曲线上任一点，连接PF1，PF2，则PF1，PF2分别是两个球面的切线，切点为F1，F2，过P作母线，与两球面分别相交于K1，K2，则PK1，PK2分别是两球面的切线，切点为K1，K2.
根据切线长定理的空间推广
，
知PF1＝PK1，PF2＝PK2，
所以PF1＋PF2＝PK1＋PK2＝K1K2.
由于K1K2为定值，故点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆．
(1)证明平面与圆柱面的截线是椭圆，利用Dandelin双球确定椭圆的焦点，然后利用椭圆的定义判定曲线的形状．
(2)该题使用了切线长定理的空间推广
(从球外一点引球的切线，切线长都相等)．
4．一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴为6，则圆柱面的半径为________．
解析：由2a＝6，即a＝3，又e＝cos
45°＝，
故b＝c＝ea＝×3＝，即为圆柱面的半径．
答案：
5．已知一平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为一半径为2的圆，另一平面与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴长、短轴长和离心率．
解：由题意可知椭圆的短轴为2b＝2×2，
∴短轴长为4.
设长轴长为2a，则有＝sin
30°＝，
∴2a＝4b＝8.e＝＝.
∴长轴长为8，短轴长为4，离心率为.
平面与圆锥面的截线
证明：定理2的结论(1)，即β>α时，平面π与圆锥的交线为椭圆．
本题直接证明，难度较大，故可仿照定理1的方法证明，即Dandelin双球法．
如图，在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均相切．
当β>α时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一个封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F1，F2，与圆锥相切于圆S1，S2.
在截面的曲线上任取一点P，连接PF1，PF2.过P作母线交S1于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因此PF1＝PQ1.同理，PF2＝PQ2.
所以PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2.
由正圆锥的对称性，知Q1Q2的长度等于两圆S1，S2所在平行平面间的母线段的长度，而与P的位置无关，由此我们可知在β>α时，平面π与圆锥的交线为一个椭圆．
由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓展为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采用Dandelin双球法，这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使问题得到解决．
6．圆锥的顶角为50°，圆锥的截面与轴线所成的角为30°，则截线是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
解析：选B 由α＝＝25°，φ＝30°，φ>α，
∴截线是椭圆．
7．用一个平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，则会出现四种情况：________，________，________，________.
解析：如图．
答案：圆 椭圆 抛物线 双曲线
课时跟踪检测(十一)
一、选择题
1．一条直线在一个面上的平行投影是( )
A．一条直线
B．一个点
C．一条直线或一个点
D．不能确定
解析：选C 当直线与面垂直时，平行投影可能是点．
2．△ABC的一边在平面α内，一顶点在平面α外，则△ABC在面α内的射影是( )
A．三角形
B．一直线
C．三角形或一直线
D．以上均不正确
解析：选D 当△ABC所在平面平行于投影线时，射影是一线段，不平行时，射影是三角形．
3．下列说法不正确的是( )
A．圆柱面的母线与轴线平行
B．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面
C．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关
D．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径
解析：选D 显然A正确，由于任一轴面过轴线，故轴面与圆柱的直截面垂直，B正确，C显然正确，D中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确．
4．设圆锥的顶角(圆锥轴截面上两条母线的夹角)为120°，当圆锥的截面与轴成45°角时，则截得二次曲线的离心率为( )
A.
B.
C．1
D.
解析：选B 由题意知α＝60°，β＝45°，满足β<α，这时截圆锥得的交线是双曲线，其离心率为e＝＝.
二、填空题
5．用平面截球面和圆柱面所得到的截线形状分别是________、________.
解析：联想立体图形及课本方法，可得结论．要注意平面截圆柱面所得的截线的不同情况．
答案：圆 圆或椭圆
6．有下列说法：
①矩形的平行射影一定是矩形；
②梯形的平行射影一定是梯形；
③平行四边形的平行射影可能是正方形；
④正方形的平行射影一定是菱形；
其中正确命题是________．(填上所有正确说法的序号)
解析：利用平行射影的概念和性质进行判断．
答案：③
7．在底面半径为6的圆柱内有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13.若作一个平面与这两个球面相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为________．
解析：如图，为圆柱的轴截面，AB为与两球O1和球O2都相切的平面与轴截面的交线，
由对称性知AB过圆柱的几何中心O.
由O1O⊥OD，O1C⊥OA，
故∠OO1C＝∠AOD，且O1C＝OD＝6，
所以Rt△OO1C≌Rt△AOD，
则AO＝O1O.
故AB＝2AO＝2O1O＝O1O2＝13.
显然AB即为椭圆的长轴，
所以椭圆的长轴长13.
答案：13
三、解答题
8．△ABC是边长为2的正三角形，BC∥平面α，A，B，C在α的同侧，它们在α内的射影分别为A′，B′，C′，若△A′B′C′为直角三角形，BC与α间的距离为5，求A到α的距离．
解：由条件可知A′B′＝A′C′，
∴∠B′A′C′＝90°.
设AA′＝x，在直角梯形AA′C′C中，
A′C′2＝4－(5－x)2，
由A′B′2＋A′C′2＝B′C′2，
得2×＝4，x＝5±.
即A到α的距离为5±.
9．若圆柱的一正截面的截线为以3为半径的圆，圆柱的斜截面与轴线成60°，求截线椭圆的两个焦点间的距离．
解：设椭圆长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，
则b＝3，
a＝＝3×2＝6，
∴c2＝a2－b2＝62－32＝27.
∴两焦点间距离2c＝2＝6.
10.如图所示，圆锥侧面展开图扇形的中心角为π，AB，CD是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么圆锥曲线．
解：设⊙O的半径为R，母线VA＝l，
则侧面展开图的中心角为＝π，
∴圆锥的半顶角α＝.
连接OE，∵O，E分别是AB，VB的中点，
∴OE∥VA，
∴∠VOE＝∠AVO＝.
又∵AB⊥CD，VO⊥CD，
∴CD⊥平面VAB.
∴平面CDE⊥平面VAB.
即平面VAB为截面CDE的轴面，
∴∠VOE为截面与轴线所夹的角，即为.
又∵圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，
故截面CDE与圆锥的截线为一抛物线．1．相似三角形的判定
1．相似三角形
(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比或(相似系数)．
(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
2．相似三角形的判定定理
(1)判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，简述为：两角对应相等，两三角形相似．
(2)判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
(3)判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
在这些判定方法中，应用最多的是判定定理1，即两角对应相等，两三角形相似．因为它的条件最容易寻求．在实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角．判定定理2则常见于连续两次证明相似时，在证明时第二次使用此定理的情况较多．
3．直角三角形相似的判定定理
(1)定理：①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；
②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．
(2)定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
对于直角三角形相似的判定，除了以上方法外，还有其他特殊的方法，如直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．
在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的利用．
相似三角形的判定
如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线，证明：△ABC∽△BCD.
已知AB＝AC，∠A＝36°，所以∠ABC＝∠C＝72°，而BD是角平分线，因此，可以考虑使用判定定理1.
∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝72°.
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°.
∴∠A＝∠CBD.
又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BCD.
判定两三角形相似，可按下面顺序进行：
(1)有平行截线，用预备定理；
(2)有一对等角时，①找另一对等角，②找夹这个角的两边对应成比例；
(3)有两对应边成比例时，①找夹角相等，②找第三边对应成比例，③找一对直角．
1.如图，D，E分别是AB，AC上的两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是( )
A．∠B＝∠C
B．∠ADC＝∠AEB
C．BE＝CD，AB＝AC
D．AD∶AC＝AE∶AB
解析：选C 在选项A、B的条件下，两三角形有两组对应角相等，所以两三角形相似，在D项的条件下，两三角形有两边对应成比例且夹角相等．故选项A、B、D都能推出两三角形相似．在C项的条件下推不出两三角形相似．
2．如图，在四边形ABCD中，＝，＝，EH，FG相交于点O.
求证：△OEF∽△OHG.
证明：如图，连接BD.
∵＝，
∴EF∥BD.
又∵＝，
∴GH∥BD.
∴EF∥GH.
∴∠EFO＝∠HGO，∠OHG＝∠OEF.
∴△OEF∽△OHG.
3.如图，正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F在BC上，且CF∶BC＝1∶4，求证：＝.
证明：设正方形ABCD的边长为4a，
则AD＝BC＝4a，DE＝EC＝2a.
因为CF∶BC＝1∶4，所以CF＝a，
所以＝＝2，＝＝2，
所以＝.
又因为∠D＝∠C＝90°，
所以△ADE∽△ECF.
所以＝.
相似三角形的应用
如图，D为△ABC的边AB上一点，过D点作DE∥BC，DF∥AC，AF交DE于G，BE交DF于H，连接GH.
求证：GH∥AB.
根据此图形的特点可先证比例式＝成立，再证△EGH∽△EDB，由相似三角形的定义得∠EHG＝∠EBD即可．
∵DE∥BC，
∴＝＝，即＝.
又∵DF∥AC，∴＝.
∴＝.∴＝.
又∠GEH＝∠DEB，∴△EGH∽△EDB.
∴∠EHG＝∠EBD.
∴GH∥AB.
不仅可以由平行线得到比例式，也可以根据比例式的成立确定两直线的平行关系．有时用它来证明角与角之间的数量关系、线段之间的数量关系．
4.如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD于点E.
(1)求证：△CDE∽△FAE；
(2)当E是AD的中点，且BC＝2CD时，求证：∠F＝∠BCF.
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.
又∵点F在BA的延长线上，
∴∠DCF＝∠F，∠D＝∠FAE.
∴△CDE∽△FAE.
(2)∵E是AD的中点，
∴AE＝DE.
由△CDE∽△FAE，得＝.
∴CD＝FA.
∴AB＝CD＝AF.
∴BF＝2CD.
又∵BC＝2CD，∴BC＝BF.
∴∠F＝∠BCF.
5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，点E是AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.
求证：＝.
证明：∵E是Rt△ADC斜边AC上的中点，∴AE＝EC＝ED.
∴∠EDC＝∠C＝∠BDF.
又∵AD⊥BC且∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠C.
∴∠BAD＝∠BDF.
又∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF，
∴＝.
又在Rt△ABD与Rt△CBA中，＝，
∴＝.
课时跟踪检测(三)
一、选择题
1．如图所示，点E是 ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中相似三角形共有( )
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
解析：选B 有3对，因为∠ABC＝∠ADF，∠AEB＝∠EAD，所以△ABE∽△FDA，
因为∠ABC＝∠DCE，∠E为公共角，
所以△BAE∽△CFE.
因为∠AFD＝∠EFC，∠DAF＝∠AEC，
所以△ADF∽△ECF.
2．三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，则这个三角形是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解析：选D 等腰三角形底边上的高或直角三角形斜边上的高分得的两个三角形分别相似．
3．如图，要使△ACD∽△BCA，下列各式中必须成立的是( )
A.＝
B.＝
C．AC2＝CD·CB
D．CD2＝AC·AB
解析：选C ∠C＝∠C，只有＝，即AC2＝CD·CB时，才能使△ACD∽△BCA.
4．如图，在等边三角形ABC中，E为AB的中点，点D在AC上，使得＝，则有( )
A．△AED∽△BED
B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD
D．△BAD∽△BCD
解析：选B 因为∠A＝∠C，＝＝2，所以△AED∽△CBD.
二、填空题
5．如图所示，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC＝∠ADC，AC＝8，BC＝16，那么CD＝________.
解析：∵∠BAC＝∠ADC，
又∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DAC.
∴＝.
又∵AC＝8，BC＝16.
∴CD＝4.
答案：4
6．如图所示，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝3，AC＝4，则AD＝________，BD＝________.
解析：由题设可求得AB＝5，
∵Rt△ABC∽Rt△ACD，
∴＝.∴AD＝＝.
又∵Rt△ABC∽Rt△CBD，
∴＝.∴BD＝＝.
答案：
7．已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF与AD交于点E，与BC的延长线交于点F，若CF＝4，BC＝5，则DF＝________.
解析：连接AF.
∵EF⊥AD，AE＝ED，
∴AF＝DF，
∠FAD＝∠FDA.
又∵∠FAD＝∠DAC＋∠CAF，
∠FDA＝∠BAD＋∠B，
且∠DAC＝∠BAD，
∴∠CAF＝∠B.而∠CFA＝∠AFB，
∴△AFC∽△BFA.
∴＝.
∴AF2＝CF·BF＝4×(4＋5)＝36.
∴AF＝6，即DF＝6.
答案：6
三、解答题
8.如图，D在AB上，且DE∥BC交AC于点E，F在AD上，且AD2＝AF·AB.
求证：△AEF∽△ACD.
证明：∵DE∥BC，∴＝.
∵AD2＝AF·AB，∴＝.
∴＝.
又∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACD.
9.如图，直线EF交AB，AC于点F，E，交BC的延长线于点D，AC⊥BC，且AB·CD＝DE·AC.
求证：AE·CE＝DE·EF.
证明：∵AB·CD＝DE·AC
∴＝.
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°.
∴△ACB∽△DCE.
∴∠A＝∠D.
又∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF∽△DEC.
∴＝.
∴AE·CE＝DE·EF.
10.如图，在△ABC中，EF∥CD，∠AFE＝∠B，AE＝6，ED＝3，AF＝8.
(1)求AC的长；
(2)求的值．
解：(1)∵EF∥CD，
∴＝.
∵AE＝6，ED＝3，AF＝8，
∴＝.
∴AC＝12.
(2)∵EF∥DC，∴∠AFE＝∠ACD，
又∠AFE＝∠B，∴∠ACD＝∠B.
又∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC.
∴＝＝＝.
∴＝.四
弦切角的性质
弦切角定理
(1)文字语言叙述：
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
(2)图形语言叙述：
如图，AB与⊙O切于A点，则∠BAC＝∠D.
弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对弧的度数．
弦切角定理
如图，已知圆上的＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点．
证明：(1)∠ACE＝∠BCD；
(2)BC2＝BE·CD.
利用弦切角定理．
(1)因为＝，
所以∠BCD＝∠ABC.
又因为EC与圆相切于点C，
所以∠ACE＝∠ABC.
所以∠ACE＝∠BCD.
(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，
所以△BDC∽△ECB.
故＝，
即BC2＝BE·CD.
利用弦切角定理进行计算、证明时，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要添加辅助线构造所需要的弦切角．
1．如图，CD是⊙O的切线，T为切点，A是上的一点，若∠TAB＝100°，则∠BTD的度数为( )
A．20°
B．40°
C．60
°
D．80°
解析：选D 如图，作四边形ABET，因为四边形ABET是圆内接四边形，
所以∠E＝180°－∠TAB＝80°.
又CD是⊙O的切线，T为切点，
所以∠BTD＝∠E＝80°.
2．如图，AB是⊙O的弦，CD是经过⊙O上的点M的切线，求证：
(1)如果AB∥CD，那么AM＝MB；
(2)如果AM＝BM，那么AB∥CD.
证明：(1)∵CD切⊙O于M点，
∴∠CMA＝∠B.
∵AB∥CD，
∴∠CMA＝∠A.
∴∠A＝∠B.
∴AM＝MB.
(2)∵AM＝BM，
∴∠A＝∠B.
∵CD切⊙O于M点，∠CMA＝∠B，
∴∠CMA＝∠A.
∴AB∥CD.
3.如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB.
(1)求证：AD⊥CD；
(2)若AD＝2，AC＝，求AB的长．
解：(1)证明：如图，连接BC.
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴∠DCA＝∠B.
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB.
∴∠ADC＝∠ACB.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠ADC＝90°，即AD⊥CD.
(2)∵∠DCA＝∠B，∠DAC＝∠CAB，
∴△ADC∽△ACB.
∴＝，
∴AC2＝AD·AB.
∵AD＝2，AC＝，
∴AB＝.
运用弦切角定理证明比例式或乘积式
如图，PA，PB是⊙O的切线，点C在上，CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，垂足分别为D，E，F.
求证：CD2＝CE·CF.
―→→→
连接CA，CB.
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠CAP＝∠CBA，∠CBP＝∠CAB.
又CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，
∴Rt△CAE∽Rt△CBD，
Rt△CBF∽Rt△CAD，
∴＝，＝.
∴＝，
即CD2＝CE·CF.
证明乘积式成立，往往与相似三角形有关，若存在切线，常要寻找弦切角，确定三角形相似的条件，有时需要添加辅助线创造条件．
4．如图，已知MN是⊙O的切线，A为切点，MN平行于弦CD，弦AB交CD于点E.
求证：AC2＝AE·AB.
证明：连接BC.
△ACE∽△ABC
＝ AC2＝AB·AE.
5．如图，AD是△ABC的角平分线，经过点A，D的⊙O和BC切于点D，且AB，AC与⊙O相交于点E，F，连接DF，EF.
求证：(1)EF∥BC；
(2)DF2＝AF·BE.
证明：(1)∵⊙O切BC于点D，
∴∠CAD＝∠CDF.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD.
又∵∠BAD＝∠EFD，
∴∠EFD＝∠CDF.
∴EF∥BC.
(2)连接DE.
∵⊙O切BC于D，
∴∠BAD＝∠BDE.
由(1)可得∠BDE＝∠FAD，
又∵⊙O内接四边形AEDF，
∴∠BED＝∠DFA.
∴△BED∽△DFA.
∴＝.
又∵∠BAD＝∠CAD，
∴DE＝DF.
∴DF2＝AF·BE.
课时跟踪检测(九)
一、选择题
1．P在⊙O外，PM切⊙O于C，PAB交⊙O于A，B，则( )
A．∠MCB＝∠B
B．∠PAC＝∠P
C．∠PCA＝∠B
D．∠PAC＝∠BCA
解析：选C 由弦切角定理知∠PCA＝∠B.
2．如图，PC与⊙O相切于C点，割线PAB过圆心O，∠P＝40°，则∠ACP等于( )
A．20°
B．25°
C．30°
D．40°
解析：选B 连接OC.
∵PC切⊙O于C点，
∴OC⊥PC.∵∠P＝40°，
∴∠POC＝50°.
连接BC，
则∠B＝∠POC＝25°，
∴∠ACP＝∠B＝25°.
3．如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为( )
A．2
B．3
C．2
D．4
解析：选C 连接BC，则∠ACB＝90°，
又AD⊥EF，
∴∠ADC＝90°，
即∠ADC＝∠ACB，
又∵∠ACD＝∠ABC，
∴△ABC∽△ACD，
∴＝，
∴AC2＝AD·AB＝12，
即AC＝2.
4．如图，AB是⊙O的直径，P在AB的延长线上，PD切⊙O于C点，连接AC，若AC＝PC，PB＝1，则⊙O的半径为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选A
连接BC.
∵AC＝PC，∴∠A＝∠P.
∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P.
∴BC＝BP＝1.
由△BCP∽△CAP得
＝.
∴PC2＝PB·PA，
即AC2＝PB·PA.
而AC2＝AB2－BC2，
设⊙O半径为r，
则4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r＝1.
二、填空题
5．如图，AB是⊙O的直径，PB，PE分别切⊙O于B，C，若∠ACE＝40°，则∠P＝________.
解析：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
又∠ACE＝40°，
∴∠PCB＝∠PBC＝50°.
∴∠P＝80°.
答案：80°
6．如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.
解析：连接OC.
∵PC切⊙O于C点，
∴OC⊥PC.
∵PB＝OB＝2，
OC＝2.
∴PC＝2.
∵OC·PC＝OP·CD，
∴CD＝＝.
答案：
7．如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________.
解析：由PA为⊙O的切线，BA为弦，
得∠PAB＝∠BCA，
又∠BAC＝∠APB，
于是△APB∽△CAB，
所以＝.
而PB＝7，BC＝5，
故AB2＝PB·BC＝7×5＝35，即AB＝.
答案：
三、解答题
8.如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点(异于A，B)，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，垂足为D，AD交半圆于点E.
求证：CB＝CE.
证明：连接AC，BE，在DC延长线上取一点F，因为AB是半圆O的直径，C为圆周上一点，
所以∠ACB＝90°，
即∠BCF＋∠ACD＝90°.
又因为AD⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90°.
所以∠BCF＝∠DAC.
又因为直线l是圆O的切线，所以∠CEB＝∠BCF，
又∠DAC＝∠CBE，
所以∠CBE＝∠CEB，
所以CB＝CE.
9.如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC，BD相交于点E.
(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)若AB＝6
cm，BC＝4
cm，求AE的长．
解：(1)证明：因为XY是⊙O的切线，
所以∠1＝∠2.
因为BD∥XY，所以∠1＝∠3，
所以∠2＝∠3.
因为∠3＝∠4，所以∠2＝∠4.
因为∠ABD＝∠ACD，
又因为AB＝AC，
所以△ABE≌△ACD.
(2)因为∠3＝∠2，∠ABC＝∠ACB，
所以△BCE∽△ACB，所以＝，
即AC·CE＝BC2.
因为AB＝AC＝6
cm，BC＝4
cm，
所以6·(6－AE)＝16.
所以AE＝
(cm)．
10.如图，已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是∠ACB的角平分线，交AE于点F，交AB于D点．
(1)求∠ADF的度数；
(2)若AB＝AC，求AC∶BC.
解：(1)∵AC为圆O的切线，
∴∠B＝∠EAC.
又DC是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝∠DCB.
∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD，即∠ADF＝∠AFD.
又∵BE为圆O的直径，
∴∠DAE＝90°，
∠ADF＝(180°－∠DAE)＝45°.
(2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACE，
∴△ACE∽△BCA.∴＝.
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝∠ADF＝30°.
∴在Rt△ABE中，＝＝tan
∠B＝tan
30°＝.