2017_2018学年高中数学全一册学案（含解析）（打包16套）新人教A版选修2_3

第二课时　组合(习题课)
1．排列与组合的不同点是什么？
略
2．在利用组合数的性质应注意什么？
略
组合问题的简单应用
　某大学要从16名大学生(男10人，女6人)中选出8名学生组成“假期下乡送科学小组”．
(1)如果小组中至少有3名女生，可有多少种不同的选法？
(2)如果小组中至少有5名男生，可有多少种不同的选法？
(3)如果小组中至多有3名女生，可有多少种不同的选法？
　(1)至少有3名女生的选法可分为如下四类：有3名女生：C·C种选法；有4名女生：C·C种选法；有5名女生：C·C种选法；有6名女生：C·C种选法．所以至少有3名女生共有C·C＋C·C＋C·C＋C·C＝8
955种选法．
(2)至少有5名男生的选法可分为如下四类：
有5名男生：C·C种选法；有6名男生：C·C种选法；有7名男生：C·C种选法；有8名男生：C·C种选法．所以至少有5名男生共有C·C＋C·C＋C·C＋C·C＝8
955种选法．
(3)至多有3名女生的选法可分为如下四类：
不含女生：C种选法；有1名女生：C·C种选法；有2名女生：C·C种选法；有3名女生：C·C种选法．所以至多有3名女生共有C＋C·C＋C·C＋C·C＝8
955种选法．
解答有限制条件的组合问题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”．其中用直接法求解时，则应坚持“特殊元素优先选取”的原则，优先安排特殊元素的选取，再安排其他元素的选取．而选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大，不妨从反面问题入手，试一试看是否简捷些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此．
现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查．
(1)恰有一件是次品的抽法有多少种？
(2)至少有一件是次品的抽法有多少种？
解：(1)从2件次品中任取1件，有C种抽法；
从8件正品中取2件，有C种抽法．
由分步乘法计数原理可知，共有C×C＝56种不同的抽法．
(2)法一：含1件次品有C×C种抽法，
含2件次品有C×C种抽法．
由分类加法计数原理知，共有
C×C＋C×C＝56＋8＝64种不同的抽法．
法二：从10件产品中任取3件有C种抽法，
不含次品有C种抽法，
所以至少有1件次品有C－C＝64种抽法．
与几何有关的组合问题
　平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？
　法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准．
第1类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有CC＝48个不同的三角形；
第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有CC＝112个不同的三角形；
第3类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C＝56个不同的三角形．
由分类加法计数原理知，共有
48＋112＋56＝216个不同的三角形．
法二(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C＝4种．
故这12个点构成三角形的个数为C－C＝216.
1．解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理．
2．图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法．
四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们与点A在同一平面上，有多少种不同的取法？
解：如图所示，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外每个面都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共有3C种取法，含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类加法计数原理，有3C＋3＝33种与顶点A共面三点的取法．
排列与组合的综合运用
　(1)从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为(　　)
A．432　　　　　　　
B．288
C．216
D．108
(2)有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是(　　)
A．24
B．48
C．72
D．96
　(1)因为奇数有4个，偶数有3个，所以要想从取出的四个数字中组成四位数且是奇数，个位数字必须是奇数，因而这样的奇数有CCCA＝216.
(2)据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可，此时共有AA种摆放方法；当1本物理书放在2本语文书一侧时，共有AACC种不同的摆放方法，由分类加法计数原理可得共有AA＋AACC＝48种摆放方法．
　(1)C　(2)B
1．解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．
2．解排列、组合综合问题时要注意以下几点：
(1)元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．
(2)对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法．
有6名男医生、4名女医生，从中选3名男医生、2名女医生到5个不同的地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，则共有多少种不同的分派方案？
解：分两类：
第1类，甲被选中，共有CCCA种分派方案；
第2类，甲不被选中，共有CCA种分派方案．
根据分类加法计数原理，共有
CCCA＋CCA＝5
760＋7
200＝12
960种分派方案.
　　　　
　(6分)用0到9这10个数字组成没有重复数字的五位数，其中含3个奇数数字与2个偶数数字的五位数有多少个？
法一(直接法)：把从5个偶数中任取2个分为两类：
(1)不含0的：由3个奇数数字和2个偶数数字组成的五位数，可分两步进行：第1步，选出3奇2偶的数字，方法有CC种；第2步，对选出的5个数字全排列有A种方法．
(2)含有0的：这时0只能排在除首位(万位)以外的四个位置中的一个，有A种排法；再从2,4,6,8中任取一个，有C种取法；从5个奇数数字中任取3个，有C种取法，再把取出的4个数全排列有A种方法，故有ACCA种排法．(4分)
根据分类加法计数原理，共有CCA＋ACCA＝11
040个符合要求的数．(6分)
法二(间接法)：如果对0不限制，共有CCA种，(2分)
其中0居首位的有CCA种．(4分)
故共有CCA－CCA＝11
040个符合条件的数．(6
分)
由于数字0是一个特殊元素，5个数字含0与不含0的排列解法不一样，自然将问题分为两大类．
利用间接法，考不考虑限制条件决定解题的繁简程度，此题若从总体A中除去不符合条件的数，定会增加解题的难度.
从1,3,5,7,9中任取3个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？
解：①五位数中不含数字0.
第1步，选出5个数字，共有CC种选法．
第2步，排成偶数——先排末位数，有A种排法，再排其他四位数字，有A种排法．
∴N1＝CCAA.
②五位数中含有数字0.
第1步，选出5个数字，共有CC种选法．
第2步，排顺序又可分为两小类：
a．末位排0，有AA种排列方法．
b．末位不排0.这时末位数有1种选法，而因为0不能排在首位，所以首位有A种排法，其余3个数字则有A种排法．∴N2＝CC(AA＋AA)．
∴符合条件的偶数个数为
N＝N1＋N2＝CCAA＋CC(AA＋AA)＝4
560.
1．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有(　　)
A．140种　　　　　　　　
B．120种
C．35种
D．34种
解析：选D　分三种情况：①1男3女共有CC种选法．②2男2女共有CC种选法．③3男1女共有CC种选法．则共有CC＋CC＋CC＝34种选法．
2．(四川高考)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40
000大的偶数共有(　　)
A．144个
B．120个
C．96个
D．72个
解析：选B　当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2A个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有CA个偶数．故符合条件的偶数共有2A＋CA＝120(个)．
3．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案有________种．(用数字作答)
解析：先从7人中选6人参加公益活动有C种选法，再从6人中选3人在周六参加有C种选法，剩余3人在周日参加，因此有CC＝140种不同的安排方案．
答案：140
4．安排3名支教教师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有__________种．(用数字作答)
解析：每人去一所学校有A种；有两人去一所学校有C×A种，共有不同分配方案的种数为A＋C×A＝210.
答案：210
5．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有1名女生当选；
(2)两名队长当选；
(3)至少有1名队长当选．
解：(1)1名女生，4名男生，故共有C·C＝350种选法．
(2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C·C＝165种选法．
(3)法一：至少有1名队长含有两类：只有1名队长，2名队长．故共有C·C＋C·C＝825种选法．
法二：采用间接法共有C－C＝825种选法．
一、选择题
1．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告．要求最后必须播放公益广告，且2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式有(　　)
A．120种　　　　　　　　　
B．48种
C．36种
D．18种
解析：选C　最后必须播放公益广告有C种，2个公益广告不能连续播放，倒数第2个广告有C种，故共有CCA＝36种不同的播放方式．
2．编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的亮灯方案有(　　)
A．60种
B．20种
C．10种
D．8种
解析：选C　四盏熄灭的灯产生的5个空当中放入3盏亮灯，有C＝10种方案．
3．(四川高考)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　　)
A．24
B．48
C．60
D．72
解析：选D　第一步，先排个位，有C种选择；
第二步，排前4位，有A种选择．
由分步乘法计数原理，知有C·A＝72(个)．
4．将5本不同的书分给4人，每人至少1本，不同的分法有(　　)
A．120种
B．5种
C．240种
D．180种
解析：选C　先从5本中选出2本，有C种选法，再与其他三本一起分给4人，有A种分法，故共有C·A＝240种不同的分法．
5．从0,1,2,3,4,5这六个数中每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有(　　)
A．40个
B．120个
C．360个
D．720个
解析：选A　先选取3个不同的数，有C种方法；然后把其中最大的数放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有A种排法，故共有CA＝40个三位数．
二、填空题
6．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门．学校规定，每位同学选修4门，共有________种不同选修方案．(用数字作答)
解析：这里A，B，C三门课程“至多选一门”，即A，B，C三门课程都不选，或A，B，C这三门课程恰好选一门，所以分两类完成：第1类，A，B，C三门课程都不选，有C种不同选修方案；第2类，A，B，C三门课程恰好选修一门，有C·C种不同选修方案．故共有C＋C·C＝75种不同的选修方案．
答案：75
7．5名羽毛球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有________种．
解析：两老一新时，有C×CA＝12种排法；两新一老时，有C×CA＝36种排法，故共有48种排法．
答案：48
8．如图，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有________种．
解析：四个小岛中每两岛建一座桥共建六座桥，其中建三座桥连接四个小岛符合要求的建桥方案是只要三座桥不围成封闭的三角形区域符合要求，如桥AC，BC，BD符合要求，而围成封闭三角形不符合要求，如桥AC，CD，DA，不符合要求，故共有C－4＝16种不同的建桥方案．
答案：16
三、解答题
9．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲，分别按下列要求，各有多少种不同选法？(用数字作答)
(1)男、女同学各2名；
(2)男、女同学分别至少有1名．
解：(1)(CC)A＝1
440(种)，所以男、女同学各2名共有1
440种选法．
(2)(CC＋CC＋CC)A＝2
880(种)，所以男、女同学分别至少有1名共有2
880种选法．
10．从1到9的9个数中取3个偶数和4个奇数，则：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？
(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？
(4)在(1)中任意2个偶数都不相邻的七位数有几个？
解：(1)分步完成：第1步，在4个偶数中取3个，可有C种情况；第2步，在5个奇数中取4个，可有C种情况；第3步，3个偶数、4个奇数进行排列，可有A种情况，所以有C·C·A＝100
800个符合题意的七位数．
(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的个数共有C·C·A·A＝14
400.
(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的个数共有C·C·A·A·A＝5
760.
(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空的当中，共有C·C·A·A＝28
800个符合题意的七位数．
11．“渐升数”是指除最高位数字外，其余每一个数字比其左边的数字大的正整数(如13
456和35
678都是五位的“渐升数”)．
(1)共有多少个五位“渐升数”？(用数字作答)
(2)如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列，则第110个五位“渐升数”是多少？
解：(1)根据题意，“渐升数”中不能有0，则在其他9个数字中任取5个，每种取法对应一个“渐升数”，则共有“渐升数”C＝126个，
(2)对于这些“渐升数”，1在首位的有C＝70个，2在首位的有C＝35个，前四位数字是3
456的五位“渐升数”有C＝3个，前四位数字是3
457的“渐升数”有2个，为34
578,34
579.所以第110个五位“渐升数”是34
579.1.1
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理
一名游客从沈阳出发去长沙游玩，已知从沈阳到长沙每天有7个航班、6列火车．
问题1：该游客从沈阳到长沙的方案可分几类？
提示：两类，即乘飞机、坐火车．
问题2：这几类方案中各有几种方法？
提示：第1类方案(乘飞机)有7种方法，第2类方案(坐火车)有6种方法．
问题3：该游客从沈阳到长沙共有多少种不同的方法？
提示：共有7＋6＝13种不同的方法．
1．完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
2．完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
1．分类加法计数原理中各类办法相互独立，各类办法中的各种方法也相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．
2．要清楚“完成一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的是什么．
3．分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类标准，然后在这个标准下进行分类.
分步乘法计数原理
　
一名游客从沈阳出发去长沙游玩，但需在北京停留，已知从沈阳到北京每天有7个航班，从北京到长沙每天有6列火车．
问题1：该游客从沈阳到长沙需要经历几个步骤？
提示：两个，即先乘飞机到北京，再坐火车到长沙．
问题2：完成每一步各有几种方法？
提示：第1个步骤有7种方法，第2个步骤有6种方法．
问题3：该游客从沈阳到长沙共有多少种不同的方法？
提示：共有7×6＝42种不同的方法．
1．完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
2．完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
1．分步乘法计数原理是完成一件事要分成若干步，各个步骤相互依存，完不成其中任何的一步都不能完成这件事，只有当各个步骤都完成之后，才能完成该事件．
2．要清楚“完成一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的是什么．
3．分步时，首先要根据问题特点确定一个可行的分步标准，标准不同，分的步骤数也会不同．
分类加法计数原理
　　某校高三共有三个班，各班人数如下表.
男生数
女生数
总数
高三(1)班
30
20
50
高三(2)班
30
30
60
高三(3)班
35
20
55
(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
　(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，共有三类不同的方案：
第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法；
第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法；
第3类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50＋60＋55＝165种不同的选法．
从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有三类不同的方案：
(2)第1类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第2类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；
第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法．
根据分类加法计数原理知，从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30＋30＋20＝80种不同的选法．
利用分类加法计数原理计数时的解题流程
若x，y∈N
，且x＋y≤6，试求有序自然数对(x，y)的个数．
解：按x的取值进行分类：
x＝1时，y＝1,2,3,4,5，共构成5个有序自然数对；
x＝2时，y＝1,2,3,4，共构成4个有序自然数对；
……
x＝5时，y＝1，共构成1个有序自然数对．
根据分类加法计数原理，共有N＝5＋4＋3＋2＋1＝15个有序自然数对.
分步乘法计数原理
　从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个？
(1)三位数；
(2)三位偶数．
　(1)三位数有三个数位：
百位
十位
个位
故可分三个步骤完成：
第1步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法；
第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；
第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．
根据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．
(2)分三个步骤完成：
第1步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；
第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；
第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法．
根据分步乘法计数原理，共有2×3×2＝12个满足要求的三位偶数．
利用分步乘法计数原理计数时的解题流程
一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同．
(1)从两个口袋里各取1封信，有多少种不同的取法？
(2)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法？
解：(1)各取1封信，不论从哪个口袋里取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，由分步乘法计数原理知，共有5×4＝20种不同的取法．
(2)若从每封信投入邮筒的可能性考虑，第1封信投入邮筒有4种可能，第2封信仍有4种可能……第9封信还有4种可能，所以共有49种不同的投法.
两个计数原理的综合应用
　王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读．
(1)若他从这些参考书中带1本去图书馆，则有多少种不同的带法？
(2)若带外语、数学、物理参考书各1本，则有多少种不同的带法？
(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，则有多少种不同的带法？
　(1)完成的事情是带一本书，无论带外语书，还是数学书、物理书，事情都已完成，从而确定应用分类加法计数原理，结果为5＋4＋3＝12(种)．
(2)完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，结果为5×4×3＝60(种)．
(3)选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理，有5×4＝20种选法；同样，选外语书、物理书各1本，有5×3＝15种选法；选数学书、物理书各1本，有4×3＝12种选法．即有三类情况，应用分类加法计数原理，结果为20＋15＋12＝47(种)．
在用两个计数原理处理问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重”“不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意“步”与“步”之间的连续性．
有一项活动，需在3名老师、8名男同学和5名女同学中选部分人员参加．
(1)若只需一人参加，有多少种不同的选法？
(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？
(3)若需一名老师、一名同学参加，有多少种不同的选法？
解：(1)有三类：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法．
由分类加法计数原理知，有3＋8＋5＝16种选法．
(2)分三步：第1步选老师，有3种方法；第2步选男同学，有8种方法；第3步选女同学，有5种方法．
由分步乘法计数原理知，共有3×8×5＝120种选法．
(3)可分两类，每一类又分两步．
第1类，选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24种选法；
第2类，选一名老师再选一名女同学，共有3×5＝15种选法．
由分类加法计数原理知，共有24＋15＝39种选法.
　　　　
　有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面或3面旗纵向排列在某一旗杆上，表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？
　每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号；每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号．根据分类加法计数原理，共可组成3＋9＋27＝39种不同的信号．
1．求解时，易忽略信号可分为每次升1面、每次升2面、每次升3面这三类．
2．解决此类问题一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏，分步时要注意步与步之间的连续性．
某外语小组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人组成一个二人活动小组，有多少种不同的选法？
解：共分三类：第1类，当既会英语又会日语的人被当作会英语的人时，选出只会日语的一人即可，有2种选法；第2类，既会英语又会日语的人被当作会日语的人时，选出只会英语的一人即可，有6种选法；第3类，既会英语又会日语的人都不参加该二人组时，则需从只会日语和只会英语的人中各选一人，有2×6＝12种方法，故共有2＋6＋12＝20种选法．
1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为(　　)
A．7　　　　　　　　　　
B．12
C．64
D．81
解析：选B　要完成长裤与上衣配成一套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同的配法．
2．已知集合M＝{－2,1,3}，N＝{－4,5,6,7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是(　　)
A．18
B．17
C．16
D．10
解析：选B　分两类：第1类，M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则有3×3＝9个在第一、二象限内的点；第2类，N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则有4×2＝8个在第一、二象限内的点．由分类加法计数原理，共有9＋8＝17个点在第一、二象限内．
3．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有________个．
解析：第1步取b的数，有6种方法；第2步取a的数，也有6种方法．根据分步乘法计数原理，共有6×6＝36个虚数．
答案：36
4．一学习小组有4名男生、3名女生，任选一名学生当数学课代表，共有________种不同选法；若选男、女生各一名当组长，共有________种不同选法．
解析：任选一名当数学课代表可分两类，一类是从男生中选，有4种选法；另一类是从女生中选，有3种选法．根据分类加法计数原理，共有4＋3＝7种不同选法．
若选男、女生各一名当组长，需分两步：第1步，从男生中选一名，有4种选法；第2步，从女生中选一名，有3种选法．根据分步乘法计数原理，共有4×3＝12种不同选法．
答案：7　12
5．有不同的红球8个，不同的白球7个．
(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法？
(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？
解：(1)由分类加法计数原理得，
从中任取一个球共有8＋7＝15种取法．
(2)由分步乘法计数原理得，
从中任取两个不同颜色的球共有8×7＝56种取法．
一、选择题
1．若x∈{1,2,3}，y∈{5,7,9}，则x·y的不同值个数是(　　)
A．2　　　　　　　　　　
B．6
C．9
D．8
解析：选C　求积x·y需分两步取值：第1步，x的取值有3种；第2步，y的取值有3种，故有3×3＝9个不同的值．
2．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为(　　)
A．40
B．16
C．13
D．10
解析：选C　分两类：第1类，直线a与直线b上8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b与直线a上5个点可以确定5个不同的平面．故可以确定8＋5＝13个不同的平面．
3．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有(　　)
A．24种
B．18种
C．12种
D．6种
解析：选B　法一(直接法)：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2×1＝6种不同的种植方法．故共有6×3＝18种不同的种植方法．
法二(间接法)：从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有4×3×2＝24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种方法，故共有24－6＝18种不同的种植方法．
4．设集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{0,1,2,3}，定义A
B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A
B
中元素个数是(　　)
A．7
B．10
C．25
D．52
解析：选B　A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}，x有2种取法，y有5种取法．由分步乘法计数原理得2×5＝10.
5．用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有(　　)
A．36个
B．18个
C．9个
D．6个
解析：选B　分三步完成，1,2,3这三个数中必有某一个数字被重复使用2次．
第1步，确定哪一个数字被重复使用2次，有3种方法；
第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上有3种方法；
第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法．
故有3×3×2＝18个不同的四位数．
二、填空题
6．加工某个零件分三道工序．第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．
解析：从第一、第二、第三道工序中各选一人的方法数依次为5,6,4，由分步乘法计数原理知，选法总数为N＝5×6×4＝120.
答案：120
7．如图，从A→C有________种不同的走法．
解析：分为两类，不过B点有2种走法，过B点有2×2＝4种走法，共有4＋2＝6种走法．
答案：6
8.如图所示，由电键组A，B组成的串联电路中，合上两个电键使电灯发光的方法有________种．
解析：只有在合上A组两个电键中的任意一个之后，再合上B组三个电键中的任意一个，才能使电灯发光．根据分步乘法计数原理共有2×3＝6种不同的方法接通电源，使电灯发光．
答案：6
三、解答题
9．若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？
解：分两类完成：
第1类，当A或B中有一个为0时，表示的直线为x＝0或y＝0，共2条．
第2类，当A，B不为0时，直线Ax＋By＝0被确定需分两步完成：
第1步，确定A的值，有4种不同的方法；
第2步，确定B的值，有3种不同的方法．
由分步乘法计数原理知，共可确定4×3＝12条直线．
由分类加法计数原理知，方程所表示的不同直线共有2＋12＝14条．
10．设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．
(1)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
(2)从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？
解：(1)分三步完成：第一步选国画有5种；第二步选油画有2种；第三步选水彩画有7种．根据分步乘法计数原理得，共有5×2×7＝70种不同的选法．
(2)分三类：第一类，选国画和油画共有5×2＝10种；第二类，选国画和水彩画共有5×7＝35种；第三类，选油画和水彩画共有2×7＝14种．根据分类加法计数原理共有10＋35＋14＝59种不同的选法．
11.如图所示，要给“三”“维”“设”“计”四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法？
解：“三”“维”“设”“计”四个区域依次涂色，分四步完成：
第1步，涂“三”区域，有3种选择；
第2步，涂“维”区域，有2种选择；
第3步，涂“设”区域，由于它与“三”“维”区域颜色不同，有1种选择；
第4步，涂“计”区域，由于它与“维”“设”区域颜色不同，有1种选择．
所以根据分步乘法计数原理，共有3×2×1×1＝6种不同的涂色方法．1．3.2　“杨辉三角”与二项式系数的性质
(a＋b)n的展开式的二次项系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：
问题1：从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？
提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和．
问题2：计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？
提示：2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n
问题3：二项式系数的最大值有何规律？
提示：n＝2,4,6时，中间一项最大；n＝3,5时，中间两项最大．
二项式系数的性质
性质
内容
对称性
C＝C，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.
增减性与最大值
如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式中间一项T的二项式系数最大．
如果n为奇数，那么其展开式中间两项T与T的二项式系数相等且同时取得最大值．
二项式系数的和
二项展开式中各二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n.
奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2n－1，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
1．求二项式系数最大的项时，要特别注意n的奇偶性，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
2．奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边二项式系数的个数相同．当n为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数相同.
与“杨辉三角”有关的问题
　　　
如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指数字组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S19的值．
　S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C＋C)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C＝＋220＝274.
解决与“杨辉三角”有关问题的一般思路
如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.
第0行　1
第1行　1　1
第2行　1　2　1
第3行　1　3　3　1
第4行　1　4　6　4　1
第5行　1　5　10　10　5　1
…　　　　　…
解析：由“杨辉三角”知，第1行中的数是C，C；第2行中的数是C，C，C；第3行中的数是C，C，C，C；…；第n行中的数是C，C，C，…，C.设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3，则C∶C＝2∶3，解得n＝34.
答案：34
求二项展开式中系数和
　设(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.
求：(1)a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值；
(2)a1＋a3＋a5的值；
(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|的值．
　记f(x)＝(1－2x)5.
(1)a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝f(1)－f(0)＝－2.
(2)f(1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，
所以a1＋a3＋a5＝＝(－1－35)＝－122.
(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝f(－1)－f(0)＝35－1＝242.
“赋值法”是解决二项式系数问题常用的方法，根据题目要求，灵活赋予字母所取的不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．
多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10.
(1)求a0＋a1＋…＋a10；
(2)求a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10.
解：(1)令x＋1＝1，
即令x＝0，得0＝a0＋a1×1＋…＋a10×110，
得a0＋a1＋…＋a10＝0.
(2)令x＋1＝－1，
即令x＝－2，得(－2)3＋(－2)10＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10，得a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10＝1
016.
二项式系数的性质
　已知n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
　令x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.
又展开式中二项式系数和为2n，
∴＝2n＝32，n＝5.
(1)∵n＝5，展开式共6项，
∴二项式系数最大的项为第3,4两项，
∴T3＝C(x)3(3x2)2＝90x6，
T4＝C(x)2(3x2)3＝270x.
(2)设展开式中第k＋1项的系数最大，
则由Tk＋1＝C(x)5－k(3x2)k＝3kCx，
得∴≤k≤，∴k＝4，
即展开式中系数最大的项为
T5＝Cx·(3x2)4＝405x.
1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
2．求展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得．
在8的展开式中：
(1)求二项式系数最大的项．
(2)系数的绝对值最大的项是第几项？
解：(1)二项式系数最大的项为中间项，
即为第5项．
故T5＝C·24·x2－8＝1
120x－6.
(2)因Tk＋1＝C·()8－kk＝(－1)k·C·2k·x4－.设第k＋1项系数的绝对值最大，
则即
整理得
于是k＝5或6.故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项．
　　　　
　已知(2x－1)n的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，求C＋C＋C＋…＋C的值．
　设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋…，
由已知得B－A＝38，
令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，
即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，即B－A＝(－3)n，
所以(－3)n＝38＝(－3)8，所以n＝8，
所以C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝28－1＝255.
1．求解本题易犯下列问题：
一是误把奇次项、偶次项看成是奇数项、偶数项．二是错误地认为－38＝(－3)8.三是把C＋C＋C＋…＋C看成二项展开式各项二项式系数和，忽略了C.
2．解答此类问题应掌握(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和为2n，且奇数项二项式系数的和与偶数项二项式系数的和都等于2n－1.
已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________．
解析：依题可得a0＋a2＋a4＝－(a1＋a3＋a5)＝16，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256.
答案：－256
1．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是(　　)
A．n，n＋1　　　　　　　　
B．n－1，n
C．n＋1，n＋2
D．n＋2，n＋3
解析：选C　该式展开共2n＋2项，中间有两项，第n＋1项与第n＋2项，所以第n＋1项与第n＋2项为二项式系数最大的项．
2．已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于(　　)
A．64
B．32
C．63
D．31
解析：选B　C＋2C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，∴n＝6，∴C＋C＋C＝32.
3．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝(　　)
A．32
B．1
C．－243
D．1或－243
解析：选B　(a－x)5展开式的通项为Tk＋1＝(－1)k·Ca5－kxk，令k＝2，得a2＝(－1)2Ca3＝80，解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
4．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．
解析：(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.
答案：5
5．求(1－x)8的展开式中：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数最小的项．
解：(1)因为(1－x)8的幂指数8是偶数，由二项式系数的性质，知(1－x)8的展开式中间一项(即第5项)的二项式系数最大．该项为T5＝C(－x)4＝70x4.
(2)二项展开式系数的最小值应在各负项中确定最小者，即第4项和第6项系数相等且最小，分别为
T4＝C(－x)3＝－56x3，T6＝C(－x)5＝－56x5.
一、选择题
1．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8等于(　　)
A．180　　　　　　　　　　
B．－180
C．45
D．－45
解析：选A　a8＝C·22＝180.
2．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是(　　)
A．第15项
B．第16项
C．第17项
D．第18项
解析：选B　第6项的二项式系数为C，又C＝C，所以第16项符合条件．
3．“杨辉三角”如图所示，“杨辉三角”中的第5行除两端数字1外，均能被
5整除，则具有类似性质的行是(　　)
1
第1行　1　1
第2行　1　2　1
第3行　1　3　3　1
第4行　1　4　6　4　1
第5行　1　5　10　10　5　1
　
…　　　　
　　　　　…
A．第6行
B．第7行
C．第8行
D．第9行
解析：选B　由题意，第6行为1　6　15　20　15
6　1，第7行为1　7　21　35　35　21　7　1，故第7行除去两端数字1外，均能被7整除．
4．关于(a－b)10的说法，错误的是(　　)
A．展开式中的二项式系数之和为1
024
B．展开式中的第6项的二项式系数最大
C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
解析：选C　根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的．
5．在(x－)2
016的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于(　　)
A．23
023
B．－23
023
C．23
024
D．－23
024
解析：选B　因为S＝，当x＝时，S＝－＝－23
023.
二、填空题
6．在(1＋2x)7的展开式中，C是第________项的二项式系数，第3项的系数是________．
解析：由二项式系数的定义知C为第k＋1项的系数，∴C为第3项的二项式系数．
∵T2＋1＝C·(2x)2＝22·Cx2，
∴第3项的系数为22·C＝84.
答案：3　84
7．(1－3a＋2b)5的展开式中不含b的项的系数之和是________．　
解析：令a＝1，b＝0，
即得不含b的项的系数和为(1－3)5＝－32.
答案：－32
8．设(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)50＝a0＋a1·x＋a2·x2＋…＋a50·x50，则a3等于________．
解析：a3＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C.
答案：C
三、解答题
9．(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
解：T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依题意有C25＝C26 n＝8.∴(1＋2x)n的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C(2x)4＝1
120x4.
设第k＋1项系数最大，则有
∴5≤k≤6.
又∵k∈{0,1,2，…，8}，∴k＝5或k＝6.
∴系数最大的项为T6＝1
792x5，T7＝1
792x6.
10．设m，n∈N，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n.
(1)当m＝n＝7时，f(x)＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求a0＋a2＋a4＋a6；
(2)当m＝n时，f(x)展开式中x2的系数是20，求n的值；
(3)f(x)展开式中x的系数是19，当m，n变化时，求x2系数的最小值．
解：(1)赋值法：分别令x＝1，x＝－1，得a0＋a2＋a4＋a6＝128.
(2)T3＝2Cx2＝20x2，∴n＝5.
(3)m＋n＝19，x2的系数为C＋C＝m(m－1)
＋n·(n－1)＝＝171－mn＝171－(19－n)n＝2＋，
所以，当n＝10或n＝9时，f(x)展开式中x2的系数最小值为81.
11．(2x－3y)9展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
(3)所有奇数项系数之和；
(4)各项系数绝对值的和．
解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
(1)二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝29.
(2)令x＝1，y＝1，得各项系数之和
a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.
(3)令x＝1，y＝－1，得
a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝59，
又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，
两式相加得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，
故所有奇数项系数之和为.
(4)∵Tk＋1＝C(2x)9－k(－3y)k
＝(－1)k29－k·3kCx9－k·yk，
∴a1<0，a3<0，a5<0，a7<0，a9<0.
∴|a0|＋|a1|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…－a9，
令x＝1，y＝－1，
得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…－a9＝59.2.1
离散型随机变量及其分布列
随机变量
问题1：抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？
提示：可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．
问题2：在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗棵数为X，则X可取哪些数字？
提示：X＝0,1,2,3，…，10.
1．随机变量
(1)定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．
(2)表示法：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
2．离散型随机变量
所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
1．随机变量是将随机试验的结果数量化，有些随机试验的结果不具有数量性质，但我们仍可以用数量表示它们．例如，掷一枚硬币，X＝1表示正面向上，X＝0表示反面向上．
2．并不是所有的随机变量的取值都能一一列出，有些随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量不是离散型随机变量.
离散型随机变量的分布列
投掷一枚骰子，所得点数为X.
问题1：X可取哪些数字？
提示：X＝1,2,3,4,5,6.
问题2：X取不同的值时，其概率分别是多少？
提示：都等于.
问题3：你能用表格表示X与p的对应关系吗？
提示：列表如下：
X
1
2
3
4
5
6
p
1．分布列的定义
若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．
2．分布列的性质
(1)pi≥0，i＝1,2,3，…，n；
(2)i＝1.
1．离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且还能清楚地看到每一个值的概率大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础．
2．离散型随机变量可以用分布列、解析式、图象表示.
两个特殊分布
问题1：在妇产科医院统计一天的新生婴儿的出生情况，在性别这一方面共有几种情况？
提示：两种．
问题2：在含有5名男生的100名学生中，任选3人，求恰有2名男生的概率表达式．
提示：.
1．两点分布
称分布列
X
0
1
P
1－p
p
为两点分布列．若随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．
2．超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N
.
称分布列
X
0
1
…
m
P
…
为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．
1．一般地，在只有两个结果的随机试验中，用0表示事件不成功，1表示事件成功，即随机变量的取值只有0,1两个，故又称为0－1分布．
2．超几何分布的公式给出了求解这一类问题的方法．运用公式直接求解时重在理解实质：运用排列组合知识求出X所有可能取值的概率，即有条件的排列组合数与无条件的排列组合数的比值．
离散型随机变量
　写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品的件数X是随机变量；
(2)一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X是一个随机变量．
　(1)随机变量X可能的取值为：0,1,2,3,4.
{X＝0}，表示抽出0件次品；
{X＝1}，表示抽出1件次品；
{X＝2}，表示抽出2件次品；
{X＝3}，表示抽出3件次品；
{X＝4}，表示抽出的全是次品．
(2)随机变量X可能的取值为：0,1,2,3.
{X＝0}，表示取出0个白球，3个黑球；
{X＝1}，表示取出1个白球，2个黑球；
{X＝2}，表示取出2个白球，1个黑球；
{X＝3}，表示取出3个白球，0个黑球．
这类问题主要考查随机变量的概念，解答过程中要明确随机变量满足的四个特征：
(1)可用数来表示；
(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；
(3)在试验之前不能确定取何值；
(4)试验结果能一一列出．
判断下列各个变量是否是随机变量，若是，是否是离散型随机变量？
(1)某公司信息台一天接到的咨询电话个数；
(2)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被抽出卡片的号数；
(3)某林场的树木最高达30
m，在此林场中任取一棵树木的高度；
(4)体积为27
cm3的正方体的棱长．
解：(1)接到的咨询电话的个数可能是0,1,2,3，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量，并且是离散型随机变量．
(2)被抽取的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，是离散型随机变量．
(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值
，无法一一列出，不是离散型随机变量．
(4)体积为27
cm3的正方体的棱长为3
cm，为定值，不是随机变量.
离散型随机变量分布列的性质
　设随机变量X的分布列为P＝
ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P；
(3)求P.
　(1)由P＝ak(k＝1,2,3,4,5)，可知＝k＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝.
(2)由(1)可知P＝(k＝1,2,3,4,5)，所以P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝.
(3)P＝P＋P＋P＝＋＋＝.
在求解有关离散型随机变量性质的题目时，记准以下两条即可
(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；
(2)i＝1.
若离散型随机变量X的分布列为：
X
0
1
P
9C2－C
3－8C
试求出常数C.
解：由离散型随机变量的分布列性质可知：
P(X＝0)＋P(X＝1)＝1，
即9C2－9C＋3＝1，得C＝或C＝.
又因为
解得≤C≤，
所以C＝.
离散型随机变量的分布列
　(天津高考节选)某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列．
　(1)由已知，有P(A)＝＝.
所以事件A发生的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X，求X的分布列．
解：将O，A，B，AB四种血型分别编号为1,2,3,4，则X的可能取值为1,2,3,4.
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
故其分布列为
X
1
2
3
4
P
超几何分布的应用
　在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖品．
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列．
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张．
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列．
　(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．
P(X＝1)＝＝＝，
则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝.
因此X的分布列为
X
0
1
P
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．故所求概率P＝＝＝.
②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且
P(Y＝0)＝＝＝，
P(Y＝10)＝＝＝，
P(Y＝20)＝＝＝，
P(Y＝50)＝＝＝，
P(Y＝60)＝＝＝.
因此随机变量Y的分布列为
Y
0
10
20
50
60
P
1．解决此类问题的关键是判断随机变量是否服从超几何分布，可以从以下两个方面判断：一是超几何分布描述的是不放回抽样问题；二是随机变量为抽到的某类个体的个数．
2．若随机变量X服从超几何分布，则可直接代入超几何分布的概率公式求解．
从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数为X的分布列．
解：设随机变量X表示取出次品的个数，则X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3，X可能的取值为0,1,2.相应的概率依次为
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
　　　　
　(12分)口袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列．
随机变量X的可能取值为3,4,5,6.　(2分)
所以，P(X＝3)＝＝，(4分)
P(X＝4)＝＝，(6分)
P(X＝5)＝＝，(8分)
P(X＝6)＝＝.(10分)
因此随机变量X的分布列为
X
3
4
5
6
P
　　　　　　　　(12分)
　　　　　　　　　　　　　　　　
从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为C\o\al(3,6).事件“X＝4”包含的基本事件总数为C\o\al(2,3) 取出的3个球恰含有4号球和1，2，3号球中的2个 .
口袋中装有大小相同的红球、黑球各3个，现从中随机取出3个球，记X表示取出的红球个数，求X的分布列．
解：随机变量X的可能取值为0,1,2,3.
且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
因此随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为y，则y所有可能值的个数是(　　)
A．25　　　　　　　　　　
B．10
C．7
D．6
解析：选C　y的可能取值为3,4,5,6,7,8,9，共7个．
2．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选B　由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝＝.
3．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，且c＝ab，
X
0
2
3
P
a
b
c
则这名运动员得3分的概率是________．
解析：由题中条件，知2b＝a＋c，c＝ab，再由分布列的性质，知a＋b＋c＝1，且a，b，c都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a＝，b＝，c＝，所以得3分的概率是.
答案：
4．在掷一枚图钉的随机试验中，令X＝如果针尖向上的概率为0.8，随机变量X的分布列为________________________．
解析：随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＋P(X＝1)＝1，由P(X＝1)＝0.8，可得P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，故可写出X的分布列．
答案：
X
0
1
P
0.2
0.8
5．一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．
(1)从中任意摸出一个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝求X的分布列．
(2)从中任意摸出两个球，用“η＝0”表示两个球全是白球，用“η＝1”表示两个球不全是白球，求η的分布列．
解：(1)由题意知P(X＝0)＝，P(X＝1)＝.
所以X的分布列如下表：
X
0
1
P
(2)由题意知P(η＝0)＝＝，
P(η＝1)＝1－P(η＝0)＝.
所以η的分布列如下表：
η
0
1
P
一、选择题
1．下列不是离散型随机变量的是(　　)
①某机场候车室中一天的游客量为X；
②某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X；
③某水文站观察到一天中长江的水位为X；
④某立交桥一天经过的车辆数为X.
A．①中的X　　　　　　　
B．②中的X
C．③中的X
D．④中的X
解析：选C　①②④中随机变量X可能取的值，我们都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故其不是离散型随机变量．
2．抛掷两枚骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X的所有可能的取值为(　　)
A．0≤X≤5，X∈N
B．－5≤X≤0，X∈Z
C．1≤X≤6，X∈N
D．－5≤X≤5，X∈Z
解析：选D　两次掷出点数均可取1～6所有整数，
∴X∈，X∈Z.
3．若随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则P(X＝2)等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选D　由分布列的性质，可得＋＋＝1，解得a＝3，则P(X＝2)＝＝.
4．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员．从这10人中任选4人参加某项活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选D　P(X＝3)＝＝
5．一个盒子里装有相同大小的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是(　　)
A．P(0B．P(X≤1)
C．P(X＝1)
D．P(X＝2)
解析：选B　本题相当于最多取出1个白球的概率，也就是取到1个白球或没有取到白球．
二、填空题
6．抛掷两枚骰子，设所得点数之和为X，那么X＝4表示的随机试验结果是____________________．
解析：抛掷一枚骰子，可能出现的点数是1,2,3,4,5,6，而X表示抛掷两枚骰子所得到的点数之和，所以X＝4＝1＋3＝3＋1＝2＋2表示的随机试验结果是一枚是1点、另一枚是3点，或者两枚都是2点．
答案：一枚是1点、另一枚是3点，或者两枚都是2点
7．某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程，从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是________．
解析：设X表示选修A课程的学生数，由题意知，X服从超几何分布，其中N＝50，M＝15，n＝2.
依题意所求概率为P(X＝1)＝＝.
答案：
8．从装有除颜色外其余均相同的3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，随机变量ξ的概率分布列如下：
ξ
0
1
2
P
x1
x2
x3
则x1，x2，x3的值分别为________．
解析：ξ的可能取值为0,1,2.P(ξ＝0)＝＝0.1，
P(ξ＝1)＝＝0.6，P(ξ＝2)＝＝0.3.
答案：0.1,0.6,0.3
三、解答题
9．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ，若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．
解：由题意可得η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3}，∴η对应的各值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值为{6,11,16,21}．显然，η为离散型随机变量．
10．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量/件
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．
(1)求当天商店不进货的概率．
(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．
解：(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝＋＝.
(2)由题意知，X的可能取值为2,3.
P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝＝；
P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝＋＋＝.
故X的分布列为
X
2
3
P
11．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道试题，乙能答对其中的8道试题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，答对一题得5分，答错一题得0分．
求：(1)甲答对试题数X的分布列；
(2)乙所得分数Y的分布列．
解：(1)X的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝.
所以甲答对试题数X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(2)乙答对试题数可能为1,2,3，所以乙所得分数Y＝5,10,15.
P(Y＝5)＝＝＝，
P(Y＝10)＝＝＝，
P(Y＝15)＝＝＝.
所以乙所得分数Y的分布列为
Y
5
10
15
P第一课时　排列与排列数公式
排列的定义
1．在学校奖学金发放仪式上，校长和两位获得特等奖学金的男女同学合影留念．师生三人站成一排，校长站在中间．
问题1：男生在左边和女生在左边是相同的排法吗？
提示：不是．
问题2：有几种排法？
提示：2种，男—师—女，女—师—男．
2．从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动．
问题1：让你安排这项活动需分几步？它们是什么？
提示：分两步：第1步，确定上午的同学；第2步，确定下午的同学．
问题2：有几种排法？
提示：上午有3种，下午有2种，
因此共有3×2＝6种排法．
问题3：甲乙和乙甲是相同的排法吗？
提示：不是．甲乙是甲上午、乙下午；乙甲是乙上午、甲下午．
排列的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
排列定义的理解
(1)排列的定义包括两个方面：一是从n个不同的元素中取出元素；二是按一定顺序排列．
(2)两个排列相同的条件：①元素相同；②元素的排列顺序相同.
排列数及排列数公式
两个同学从写有数字1,2,3或4的卡片中选取卡片进行组数字游戏．
问题1：从这4个数字中选出2个能构成多少个无重复数字的两位数？
提示：4×3＝12个无重复数字的两位数．
问题2：从这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？
提示：4×3×2＝24个无重复数字的三位数．
问题3：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，共有多少种不同的排法？
提示：n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)种不同的排法．
排列数定义及表示
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示
排列数公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
阶乘式A＝(n，m∈N
，m≤n)
特殊情况
A＝n！，A＝1,0！＝1
排列与排列数的区别
“排列”是指从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数．
“排列数”是指从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．符号A只表示排列数，而不表示具体的排列．
排列的有关概念
　下列问题是排列问题吗？
(1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个数字做加法，其结果有多少种不同的可能？
(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个数字做除法有多少种不同的可能？
(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？
　(1)不是；(2)是；(3)第一问不是，第二问是．理由是：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法求结果时，与两个元素的位置无关，但列除法算式时，两个元素谁作除数谁作被除数不一样，此时与位置有关．“入座”问题同“排队”，与顺序有关，故选3个座位安排3位客人入座是排列问题．
判断是不是排列问题，要抓住排列的本质特征
(1)取出的元素无重复．
(2)取出的元素必须按顺序排列．元素有序还是无序是判断是否是排列问题的关键．
判断下列问题是否为排列问题．
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票价格(假设来回的票价相同)；
(2)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(3)某班40名学生在假期相互通信．
解：(1)票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2)每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(3)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在顺序问题，属于排列问题.
用列举法解决排列问题
　写出下列问题的所有排列：
(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
(2)由1,2,3,4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出．
　(1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数．
(2)画出树形图，如图所示．
由上面的树形图知，所有的四位数为
1
234,1
243,1
324,1
342,1
423,1
432,2
134，2
143，2
314，2
341,2
413,2
431,3
124,3
142,3
214，3
241，3
412，3
421,4
123,4
132,4
213,4
231,4
312，4
321，共24个没有重复数字的四位数．
在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列．
某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5,4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法．
解：如图
由树形图可写出所有不同试验方法如下：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种.
排列数公式的应用
　计算下列各题：
(1)A；(2)；(3)若3A＝2A＋6A，求x.
　(1)A＝6！＝6×5×4×3×2×1＝720.
(2)法一：
＝
＝
＝.
法二：＝＝＝.
(3)由3A＝2A＋6A，得3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)．因为x≥3且x∈N
，所以3x2－17x＋10＝0.
解得x＝5或x＝(舍去)．所以x＝5.
1．计算排列数或解含有排列数的方程或不等式时，要注意先提取公因式化简，然后计算．这样做往往会减少运算量．
2．连续正整数(因式)的乘积可以写成某个排列数A，其中最大的数是排列元素的总个数n，而因式的个数是取出的元素个数m.
计算：(1)；(2).
解：(1)＝＝6.
(2)原式＝·(n－m)！·＝·(n－m)！·＝1.
　　　　
　解不等式：A<6A.
　由A<6A，
得<6×，
化简得x2－19x＋84<0，
解之得7又
∴2由①②及x∈N
得x＝8.
1．本题若忽视公式A中的条件“m≤n”，易得到“7，即x＝8,9,10,11”的错误结论．
2．本题若忽视公式A中的条件“m，n∈N
”，则易得到“23．在解答排列数的方程或不等式时，要注意排列数A，m，n∈N
且m≤n这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围．
求满足nA>3A且A<6A的n的值．
解：两不等式可化为
∵n－1>0，∴①式可化为n(n－2)>3，
即n2－2n－3>0，
∴n>3或n<－1(舍去)．
由②得<6·，
∴(8－n)(7－n)<6，
即n2－15n＋50<0，∴5由排列数的意义可知：n≥3，且n＋2≤8，
∴3≤n≤6.综上，5，
∴n＝6.
1．89×90×91×…×100可表示为(　　)
A．A　　　　　　　　　
B．A
C．A
D．A
解析：选C　A＝100×99×…×(100－12＋1)＝100×99×…×89.
2．A，B，C三名同学照相留念，三人站成一排，所有排列的方法种数为(　　)
A．3
B．4
C．6
D．12
解析：选C　列举如下：A—B—C，A—C—B，B—A—C，B—C—A，C—A—B，C—B—A.
3．满足不等式>12的n的最小值为________．
解析：由排列数公式得>12，即(n－5)(n－6)>12，解得n>9或n<2.又n≥7，所以n>9，
又n∈N
，所以n的最小值为10.
答案：10
4．一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有________种．
解析：从原来4个节目形成的5个空中选2个空排列，共有A＝20种添加方法．
答案：20
5．写出从a，b，c，d这4个字母中，每次取出2个字母的所有排列．
解：画出树形图如图所示：
因此，共计有12个不同的排列，它们是ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc.
一、选择题
1．已知下列问题：
①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组；
②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；
③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母；
④从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数．
其中是排列问题的有(　　)
A．1个　　　　　　　
B．2个
C．3个
D．4个
解析：选B　①是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关；②不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列．
2．计算：等于(　　)
A．12
B．24
C．30
D．36
解析：选D　A＝7×6×A，A＝6×A，所以原式＝＝36.
3．已知A＝2A，则logn25的值为(　　)
A．1
B．2
C．4
D．不确定
解析：选B　因为A＝2A，所以2n·(2n－1)·(2n－2)＝2(n＋1)·n·(n－1)·(n－2)，由题意知n≥3，整理方程，解得n＝5，所以logn25＝2.
4．若n∈N
，n<20，则(20－n)·(21－n)·(22－n)·…·(29－n)·(30－n)等于(　　)
A．A
B．A
C．A
D．A
解析：选D　从(20－n)到(30－n)共有11个数，其中最大的数为30－n.
5．要从a，b，c，d，e
5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是(　　)
A．20
B．16
C．10
D．6
解析：选B　不考虑限制条件有A种选法，若a当副组长，有A种选法，故a不当副组长，有A－A＝16种不同的选法．
二、填空题
6．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成______________个以b为首的不同的排列，它们分别是__________________________________________________．
解析：画出树形图如下：
可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.
答案：12　bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed
7．集合P＝{x|x＝A，m∈N
}，则集合P中共有________个元素．
解析：因为m∈N
，且m≤4，所以P中的元素为A＝4，A＝12，A＝A＝24，即集合P中有3个元素．
答案：3
8．从集合{0,1,2,5,7,9,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的系数A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条．
解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则C＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A，B，有A种，而且其中没有相同的直线，所以符合条件的直线有A＝30条．
答案：30
三、解答题
9．解不等式：A<140A.
解：根据原方程，x∈N
，且应满足
解得x≥3.
根据排列数公式，原不等式可化为
(2x＋1)·2x·(2x－1)·(2x－2)<140x·(x－1)·(x－2)．　
∵x≥3，∴两边同除以4x(x－1)，得(2x＋1)·(2x－1)<35(x－2)，即
4x2－35x＋69<0，
解得3∵x∈N
，
∴x＝4或x＝5.
10．求证：(1)A＝A·A；
(2)k·A＝(k＋1)！－k！.
证明：(1)A·A＝(n－m)！＝n！＝A，∴等式成立．
(2)左边＝k·A＝k·k！＝(k＋1－1)·k！＝(k＋1)！－k！＝右边，∴等式成立．
11．写出下列问题的所有排列．
(1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排；
(2)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长．
解：(1)四名同学站成一排，共有A＝24个不同的排列，它们是：
甲乙丙丁，甲丙乙丁，甲丁乙丙，甲乙丁丙，甲丙丁乙，甲丁丙乙；
乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲；
丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙丁甲乙，丙丁乙甲；
丁甲乙丙，丁甲丙乙，丁乙甲丙，丁乙丙甲，丁丙甲乙，丁丙乙甲．
(2)从五名同学中选出两名同学任正、副班长，共有A＝20种选法，形成的排列是：
12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54.2.4
正态分布
正态曲线及正态分布
1．正态曲线
函数φμ，σ(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
随机变量X落在区间(a，b]的概率为P(a＜X≤b)≈φμ，σ(x)dx，即由正态曲线，过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积，就是X落在区间(a，b]的概率的近似值，如图．
2．正态分布
如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布．
正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．
参数μ和σ的意义：正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ就是随机变量X的均值，它可以用样本的均值去估计；参数σ就是随机变量X的标准差，它可以用样本的标准差去估计．把μ＝0，σ＝1的正态分布叫做标准正态分布.
正态曲线的特点及3σ原则
1．正态曲线的特点
正态曲线φμ，σ(x)＝e－，x∈R有以下特点：
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(3)曲线在x＝μ处达到峰值(最大值)；
(4)曲线与x轴之间的面积为1；
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，
曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
2．3σ原则
正态分布在三个特殊区间内取值的概率：
P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6；
P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4；
P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.
正态曲线的特点的理解
特点(1)说明函数的值域为正实数的子集，且以x轴为渐近线；
特点(2)是曲线的对称性，曲线关于直线x＝μ对称；
特点(3)说明函数在x＝μ时取得最大值；
特点(4)说明正态分布的随机变量在
(－∞，＋∞)内取值的概率为1；
特点(6)说明当均值一定，σ变化时，总体分布的集中、离散程度．
正态曲线的图象和性质
　　
　如图是一个正态曲线．试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的均值和方差．
　从正态曲线的图象可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为，
所以μ＝20，＝，
解得σ＝.
于是概率密度函数的解析式为
φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)．
总体随机变量的均值是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.
利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.
(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ.
设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有(　　)
A．μ1<μ2，σ1<σ2　　　　B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2
D．μ1>μ2，σ1>σ2
解析：选A　μ反映的是正态分布的平均水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1<μ2；σ反映的是正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图可知σ1<σ2
正态分布中的概率计算
　设随机变量X～N(1,22)，试求：
(1)P(－1(2)P(3　(1)P(－16.
(2)P(3＝
＝
＝(0.954
4－0.682
6)＝0.135
9.
关于正态总体在某个区间内取值的概率求法
(1)熟记P(μ－σ(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
特别注意：在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是x＝μ，而不是x＝0.
在本例条件下求P(X>5)．
解：P(X>5)＝P(X≤－3)＝＝＝0.022
8.
正态分布的实际应用
　设在一次数学考试中，某班学生的成绩X～N(110,202)，且知满分是150分，这个班的学生共54人．求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人数．
　　因为X～N(110,202)，
所以μ＝110，σ＝20，
P(110－20＜X≤110＋20)＝0.682
6.
于是X＞130的概率为×(1－0.682
6)＝0.158
7，
X≥90的概率为0.682
6＋0.158
7＝0.841
3，
故及格的人数为54×0.841
3≈45(人)，130分以上的人数为54×0.158
7≈9(人)．
解决此类问题一定要灵活把握3σ原则，将所求概率向P(μ－σ某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4,0.52)，质量检查人员从该厂生产的1
000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为5.7
cm，该厂生产的这批零件是否合格？
解：由于X服从正态分布N(4,0.52)，由正态分布的性质，可知正态分布N(4,0.52)在(4－3×0.5,4＋3×0.5)之外的取值的概率只有0.003，而5.7 (2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的．
　　　　
　随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，如果P(ξ≤1)＝0.841
3，求P(－1<ξ≤0)．
　如图所示，
因为P(ξ≤1)＝0.841
3，
所以P(ξ>1)
＝1－0.841
3
＝0.158
7.
所以P(ξ≤－1)＝0.158
7，
所以P(－1<ξ≤0)
＝0.5－0.158
7
＝0.341
3.
1．求解时，不注意结合图形对称性，错解为P(－1<ξ≤0)＝1－P(ξ≤1)＝0.158
7.
2．针对μ＝0的正态分布，求某区间上的取值概率时常利用如下两个公式：
(1)P(X<－x0)＝1－P(X≤x0)；
(2)P(a如果ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ>3)＝P(ξ<1)成立，则μ＝________.
解析：因为ξ～N(μ，σ2)，故正态曲线关于直线x＝μ对称，又P(ξ<1)＝P(ξ>3)，从而μ＝＝2，
即μ的值为2.
答案：2
1．设X～N(μ，σ2)，则众数、中位数、平均数满足(　　)
A．众数＝σ2，中位数＝平均数＝μ
B．平均数＝μ，众数＝中位数＝σ2
C．中位数＝μ，众数＝平均数＝σ2
D．众数＝中位数＝平均数＝μ
解析：选D　利用众数、中位数、平均数的定义同频率分布直方图的关系．
2．设X～N，则X落在(－3.5，－0.5]内的概率是(　　)
A．95.44%　　　　　　　
B．99.74%
C．4.56%
D．0.26%
解析：选B　由X～N知，μ＝－2，σ＝，
则P(－3.5＝P
＝0.997
4.
3．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为________．
解析：∵X服从正态分布(1，σ2)，
∴X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同，均为0.4.∴X在(0,2)内取值的概率为0.4＋0.4＝0.8.
答案：0.8
4．如图是三个正态分布X～N(0,0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的________、________、________.
解析：在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．
答案：①　②　③
5．设随机变量X～N(0,1)，求P(X≤0)，P(－2解：对称轴X＝0，故P(X≤0)＝0.5，P(－24.
一、选择题
1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为(　　)
A．1　　　　　　　　　　
B．－1
C．0
D．不确定
解析：选C　均值即为其对称轴，∴μ＝0.
2．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)等于(　　)
A．0.16
B．0.32
C．0.68
D．0.84
解析：选A　由X～N(2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为直线x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16.
3．若随机变量X的密度函数为f(x)＝·e－，X在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p1，p2，则p1，p2的关系为(　　)
A．p1>p2
B．p1C．p1＝p2
D．不确定
解析：选C　由正态曲线的对称性及题意知，μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x＝0对称，所以p1＝p2.
4．总体密度曲线是函数f(x)＝e－，x∈R的图象的正态总体有以下命题：
①正态曲线关于直线x＝μ对称；
②正态曲线关于直线x＝σ对称；
③正态曲线与x轴一定不相交；
④正态曲线与x轴一定相交．
其中正确的命题是(　　)
A．②④
B．①④
C．①③
D．②③
解析：选C　利用正态函数图象的基本特征判断．
5．如果提出统计假设：某工厂制造的零件尺寸X服从正态分布N(μ，σ2)，当随机抽取某一个测量值α时，可以说明假设不成立的是下列中的(　　)
A．α∈(μ－3σ，μ＋3σ)
B．α (μ－3σ，μ＋3σ)
C．α∈(μ－2σ，μ＋2σ)
D．α (μ－2σ，μ＋2σ)
解析：选B　由生产实际中的3σ原则可知，P(μ－3σ4，故α (μ－3σ，μ＋3σ)几乎为不可能事件．
二、填空题
6．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点．
解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称且在x＝μ处达到峰值和其落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2.
答案：0.2
7．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ解析：ξ服从正态分布N(2,9)，
且P(ξ>c＋1)＝P(ξ∴μ＝2，σ＝3，＝2，则c＝2.
答案：2
8．设随机变量X～N(1,22)，则Y＝3X－1服从的总体分布可记为________．
解析：因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.
又Y＝3X－1，所以E(Y)＝3E(X)－1＝3μ－1＝2，D(Y)＝9D(X)＝62.
∴Y～N(2,62)．
答案：Y～N(2,62)
三、解答题
9．设ξ～N(1,1)，试求：
(1)P(0<ξ≤2)；
(2)P(2<ξ≤3)；
(3)P(ξ≥3)．
解：∵ξ～N(1,1)，
∴μ＝1，σ＝1.
(1)P(0<ξ≤2)＝P(1－1<ξ≤1＋1)
＝P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)
＝0.682
6.
(2)∵P(2<ξ≤3)＝P(－1<ξ≤0)，
∴P(2<ξ≤3)＝
＝
＝
＝×(0.954
4－0.682
6)＝0.135
9.
(3)∵P(ξ≥3)＝P(ξ≤－1)，
∴P(ξ≥3)＝
＝
＝×(1－0.954
4)＝0.022
8.
10．在一次测试中，测量结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0,2)内取值的概率为0.2，求：
(1)X在(0,4)内取值的概率；
(2)P(X>4)．
解：(1)由于X～N(2，σ2)，对称轴x＝2，画出示意图如图：
∵P(0∴P(0(2)P(X>4)＝
＝(1－0.4)＝0.3.
11．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．
(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少．
(2)若这次考试共有2
000名考生，试估计考试成绩在(80,100)的考生大约有多少人．
解：因为ξ～N(90,100)，
所以μ＝90，σ＝＝10.
(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954
4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954
4.
(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.
由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682
6，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.682
6.一共有2
000名学生，
所以考试成绩在(80,100)的考生大约有2
000×0.682
6≈1
365(人)．2．3.2　离散型随机变量的方差
A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：
A机床
次品数X1
0
1
2
3
P
0.7
0.2
0.06
0.04
B机床
次品数X2
0
1
2
3
P
0.8
0.06
0.04
0.10
问题1：试求E(X1)，E(X2)．
提示：E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.
E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.
问题2：由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？
提示：不能，因为E(X1)＝E(X2)．
问题3：试想利用什么指标可以比较加工质量．
提示：样本方差．
1．定义
设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根
为随机变量X的标准差．
2．意义
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离平均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．
3．性质
设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．
4．两点分布和二项分布的方差
X
X服从两点分布
X～B(n，p)
D(X)
p(1－p)(p为成功概率)
np(1－p)
1．方差与标准差的作用
随机变量的方差与标准差一样，都是反映随机变量的取值的稳定与波动、集中与离散程度的，方差越小，取值越集中，稳定性越高，波动性越小；反之，方差越大，取值越不集中，稳定性越差，波动性越大．
2．随机变量的方差与样本方差的关系
随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．
求离散型随机变量的方差
　袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2,3,4)．现从袋中任取一个球，X表示所取球的标号．
(1)求X的分布列、均值和方差；
(2)若Y＝a(X)＋b(a，b∈R)，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．
　(1)X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.
∴D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.
(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，
即a＝±2.又E(Y)＝aE(X)＋b，
∴当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4，
∴或即为所求．
1．离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体，一般在试题中综合在一起考查，其关键是求出分布列．
2．在求分布列时，要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质，简化概率计算．
3．对于已知D(X)求D(aX＋b)型，利用方差的性质求解，即利用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．
编号为1,2,3的三位同学随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位同学一个座位，设与座位编号相同的学生的个数为X，求D(X)．
解：由题意可知，X的所有可能的取值为0,1,3.
P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；
P(X＝3)＝＝.
所以，X的分布列为
X
0
1
3
P
E(X)＝0×＋1×＋3×＝1，
D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(3－1)2×＝1.
求两点分布、二项分布的方差、标准差
　某厂一批产品的合格率是98%.
(1)计算从中抽取一件产品为正品的正品数的方差；
(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差．
　(1)用ξ表示抽得的正品数，则ξ＝0,1.ξ服从两点分布，且P(ξ＝0)＝0.02，P(ξ＝1)＝0.98，所以由D(ξ)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.019
6.
(2)用X表示抽得的正品数，则X～B(10，0.98)，所以D(X)＝10×0.98×0.02＝0.196，标准差≈0.44.
解此类问题，首先要确定正确的离散型随机变量，然后确定它是否服从特殊分布，若它服从两点分布，则其方差为p(1－p)；若其服从二项分布，则其方差为np(1－p)(其中p为成功概率)．
一个人每天开车上班，从他家到上班的地方有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件相互独立，并且概率都是.设X为这人途中遇到红灯的次数，求X的均值和方差．
解：由题意知X～B，∴E(X)＝np＝6×＝2，D(X)＝np(1－p)＝6××＝.
离散型随机变量的均值、方差的实际应用
　甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X与Y，且X，Y的分布列如下：
X
1
2
3
P
a
0.1
0.6
Y
1
2
3
P
0.3
b
0.3
(1)求a，b的值；
(2)计算X，Y的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况．
　(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，得a＝0.3.
同理0.3＋b＋0.3＝1，得b＝0.4.
(2)E(X)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，
E(Y)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，
D(X)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，
D(Y)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E(X)>E(Y)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(X)>D
(Y)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．
均值体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值大小是不够的，比如：两个随机变量的均值相等(即均值相等)，这时还需要知道随机变量的取值如何在均值附近变化，即计算其方差，方差大说明随机变量取值比较分散；方差小说明随机变量的取值比较集中、稳定．
甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为
甲保护区
X
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
乙保护区
Y
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
试评定这两个保护区的管理水平．
解：甲保护区的违规次数X的均值和方差分别为：
E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；
D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.
乙保护区的违规次数Y的均值和方差分别为：
E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；
D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因为E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，
所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，
故乙保护区的管理水平较高．
　　　　
　已知随机变量X的分布列如下表：
X
－2
－1
0
1
2
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
且Y＝3X＋1，求E(Y)，D(Y)．
　因为E(X)＝－2×0.1＋(－1)×0.2＋0×0.4＋1×0.1＋2×0.2＝0.1，
所以E(Y)＝E(3X＋1)＝3E(X)＋1＝1.3.
又因为D(X)＝(－2－0.1)2×0.1＋(－1－0.1)2×0.2＋(0－0.1)2×0.4＋(1－0.1)2×0.1＋(2－0.1)2×0.2＝1.49，
所以D(Y)＝D(3X＋1)＝9D(X)＝13.41.
1．求解D(Y)时错误类比均值的关系，把D(Y)错误地求解为D(Y)＝D(3X＋1)＝3D(X)＋1＝5.47.
2．求解此类问题，学会利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)，将求E(aX＋b)，D(aX＋b)的问题转化为求E(X)，D(X)的问题，从而可以避免求aX＋b的分布列的烦琐的计算，解题时可根据两者之间的关系列出等式，进行相关计算．
已知随机变量X的分布列如下表：
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.2
0.3
0.2
0.1
试求D(X)和D(2X－1)．
解：E(X)＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1＝1.8，
所以D(X)
＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.
所以D(2X－1)＝4D(X)＝4×1.56＝6.24.
1．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝3,6,9.则D(X)等于(　　)
A．6　　　　　　　　　　
B．9
C．3
D．4
解析：选A　E(X)＝3×＋6×＋9×＝6.
D(X)＝(3－6)2×＋(6－6)2×＋(9－6)2×＝6.
2．已知ξ～B(n，p)，E(ξ)＝8，D(ξ)＝1.6，则n与p的值分别为(　　)
A．100和0.08
B．20和0.4
C．10和0.2
D．10和0.8
解析：选D　由于ξ～B(n，p)，所以
解得n＝10，p＝0.8.
3．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X，Y，已知E(X)＝E(Y)，D(X)>D(Y)，则自动包装机________的质量较好．
解析：在均值相等的情况下，方差越小，说明包装的质量越稳定，所以自动包装机乙的质量较好．
答案：乙
4．已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X
－1
0
1
2
P
a
b
c
若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝______，b＝______.
解析：由题意得
解得a＝，b＝c＝.
答案：　
5．已知某运动员投篮命中率p＝0.6.
(1)求一次投篮命中次数ξ的均值与方差；
(2)求重复5次投篮时，命中次数η的均值与方差．
解：(1)投篮一次命中次数ξ的分布列为
ξ
0
1
P
0.4
0.6
则E(ξ)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，
D(ξ)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.
(2)由题意知，重复5次投篮，命中次数η服从二项分布，即η～B(5,0.6)．
由二项分布均值与方差的计算公式，有：
E(η)＝5×0.6＝3，D(η)＝5×0.6×0.4＝1.2.
一、选择题
1．如果ξ是离散型随机变量，η＝3ξ＋2，那么(　　)
A．E(η)＝3E(ξ)＋2，D(η)＝9D(ξ)
B．E(η)＝3E(ξ)，D(η)＝3D(ξ)＋2
C．E(η)＝3E(ξ)＋2，D(η)＝9D(ξ)＋4
D．E(η)＝3E(ξ)＋4，D(η)＝3D(ξ)＋2
解析：选A　直接代入均值与方差的公式中．
2．同时抛两枚均匀硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为X，则D(X)等于(　　)
A.　　　　　　　
B.
C.
D．5
解析：选A　∵X～B，∴D(X)＝10××＝.
3．已知ξ的分布列如下表：
ξ
－1
0
1
P
若η＝2ξ＋2，则D(η)的值为(　　)
A．－
B.
C.
D.
解析：选D　E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－，D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝，所以D(η)＝D(2ξ＋2)＝4D(ξ)＝.
4．随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
P
x
y
若E(X)＝，则D(X)等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选D　由得
所以D(X)＝2×＋2×＋2×＝.
5．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是(　　)
A．6,2.4
B．2,2.4
C．2,5.6
D．6,5.6
解析：选B　由已知随机变量X＋Y＝8，有Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(Y)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.
二、填空题
6．设投掷一枚骰子的点数为随机变量X，则X的方差为________．
解析：解析：依题意X的分布列为
X
1
2
3
4
5
6
P
故E(X)＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝，
D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＋2×＋2×＝.
答案：
7．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差分别为________．
解析：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数(成绩)为Y，则Y＝4X.
由题知X～B(25,0.6)，
所以E(X)＝25×0.6＝15，D(X)＝25×0.6×0.4＝6，
E(Y)＝E(4X)＝4E(X)＝60，D(Y)＝D(4X)＝42×D(X)＝16×6＝96，所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96.
答案：60,96
8．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1解析：由题意可得E(X)＝x1＋x2，
D(X)＝2×＋2×，
∴
解得x1＋x2＝.
答案：
三、解答题
9．有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样验查，他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数如下：
ξ
110
120
125
130
135
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
η
100
115
125
130
145
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
其中ξ和η分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性好．
解：E(ξ)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，
E(η)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，
D(ξ)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，
D(η)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165，
由于E(ξ)＝E(η)，D(ξ)10．某班从5名班干部(其中男生3人，女生2人)中选3人参加学校学生会的干部竞选．设所选3人中女生人数为X，求随机变量X的方差．
解：X的所有可能取值为0,1,2，所以依题意得
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
D(X)＝2×＋2×＋2×＝.
11．A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2.根据市场分析，X1和X2的分布列分别为
X1
5%
10%
P
0.8
0.2
X22%8%12%P0.20.50.3
(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1(万元)和Y2(万元)分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)．
(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，(100－x)万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．
解：(1)由题设可知Y1和Y2的分布列分别为
Y1
5
10
P
0.8
0.2
Y2
2
8
12
P
0.2
0.5
0.3
E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，
D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；
E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，
D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.
(2)f(x)＝D＋D
＝2D(Y1)＋2D(Y2)
＝
＝(4x2－600x＋3×1002)．
所以当x＝＝75时，f(x)＝3为最小值．3.2
立性检验的基本思想及其初步应用
独立性检验的有关概念
在某次调查中，480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲．
问题1：患色盲与性别有关系吗？
提示：有．
问题2：通过怎样比较看出患色盲与性别有关系？
提示：通过患色盲的人数占性别类型的比例．
1．分类变量
变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2．2×2列联表
假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(也称为2×2列联表)为：
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
3.K2统计量
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，我们构造一个随机变量K2
＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．
4．独立性检验
利用随机变量K2来确定是否能以给定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量独立性检验．
1．2×2列联表的特征
2．在列联表中，如果两个分类变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.因此|ad－bc|越小，说明两个分类变量之间的关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个分类变量之间的关系越强.
独立性检验的思想
吸烟与患肺癌“列联表”中，事件A表示不吸烟，B表示不患肺癌．
问题1：事件A，B发生的频率可求吗？
提示：可以．
问题2：通常情况下，为研究问题方便，常用什么近似于概率？
提示：频率．
问题3：事件A，B无关有怎样的概率公式？
提示：P(AB)＝P(A)P(B)．
独立性检验的思想：要确定“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立．在该假设下我们构造的随机变量K2应该很小，如果由观测数据计算得到的K2观测值k很大，那么在一定程度上说明假设不合理，根据随机变量K2的含义，可以通过可信度表评价该假设不合理的程度，即“两个分类变量有关系”的可信程度．
1．P(K2≥6.635)≈0.01表明H0成立的概率很小，是小概率事件，可以判断H0不成立，也就是“两个分类变量之间没有关系”错误地判断为“两个分类变量之间有关系”的概率不超过0.01，也可以理解为“有99%的把握认为两个分类变量之间有关系”．
2．利用独立性检验解决问题的基本步骤：
(1)根据相关数据作列联表；
(2)求K2的观测值；
(3)与临界值作比较，得出结论．
列联表和等高条形图的应用
　某学校对高三学生作了一项调查，发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张．作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系．
　作列联表如下：
性格内向
性格外向
总计
考前心情紧张
332
213
545
考前心情不紧张
94
381
475
总计
426
594
1
020
相应的等高条形图如图所示：
图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例．从图中可以看出考前心情紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高，可以认为考前紧张与性格类型有关．
进行独立性检验的前提是根据题中数据获得2×2列联表，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征，即将与(或与)的值相比，由此能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，但是此方法较粗劣．
为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系，调查了一千多名青少年及其家长，数据如下：
父母吸烟
父母不吸烟
总计
子女吸烟
237
83
320
子女不吸烟
678
522
1
200
总计
915
605
1
520
利用等高条形图判断父母吸烟对子女吸烟是否有影响．
解：等高条形图如下：
由图形观察可以看出父母吸烟者中子女吸烟的比例要比父母不吸烟者中子女吸烟的比例高，因此可以在某种程度上认为“子女吸烟与父母吸烟有关系”．
　某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
喜欢甜品
不喜欢甜品
合计
南方学生
60
20
80
北方学生
10
10
20
合计
70
30
100
根据表中数据，问能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．
　将2×2列联表中的数据代入公式计算，得k＝
＝＝≈4.762.
由于4.762>3.841，故在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异．
根据题意列出2×2列联表，计算K2的观测值，如果K2的观测值很大，说明两个分类变量有关系的可能性很大；如果K2的观测值比较小，则认为没有充分的证据显示两个分类变量有关系．这需要给出正确的计算，避免计算失误．
在一次天气恶劣的飞机航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人．请你根据所给数据判定：在天气恶劣的飞机航程中，男乘客是否比女乘客更容易晕机？
解：根据题意，列出2×2列联表如下：
晕机
不晕机
总计
男乘客
24
31
55
女乘客
8
26
34
总计
32
57
89
假设在天气恶劣的飞机航程中男乘客不比女乘客更容易晕机．
由公式可得K2的观测值
k＝
＝≈3.689>2.706，
故在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为“在天气恶劣的飞机航程中男乘客比女乘客更容易晕机”.
　　　　
　(12分)某工厂有工人1
000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)．现用分层抽样的方法(按A类、B类分两层)从该工厂的工人中抽取100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)，结果如下表．
表1　A类工人生产能力的频数分布表
生产能力分组
[110,120)
[120,130)
[130,140)
[140,150)
人数
8
x
3
2
表2　B类工人生产能力的频数分布表
生产能力分组
[110,120)
[120,130)
[130,140)
[140,150)
人数
6
y
27
18
(1)确定x，y的值；
(2)完成下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为工人的生产能力与工人的类别有关系.
　　　　生产能力分组工人类别
[110,130)
[130,150)
总计
A类工人
B类工人
总计
(1)∵从该工厂的工人中抽取100名工人，且该工厂中有250名A类工人，750名B类工人，∴要从A类工人中抽取25名，从B类工人中抽取75名，(2分)　∴x＝25－8－3－2＝12，y＝75－6－27－18＝24.(4分)(2)根据所给的数据可以完成列联表，如下表所示：　　　　生产能力分组工人类别　　　　　[110,130)[130,150)总计A类工人20525B类工人304575总计5050100　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　由列联表中的数据，得K2的观测值为k＝＝12＞10.828.(10分)因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为工人的生产能力与工人的类别有关系．(12分)
要确定x，y的值，应先确定A类工人及B类工人中应各抽取多少人，此处易误认为x＝25，y＝75，从而导致解题错误.此处易犯错误有两点：①计算失误；②将公式中的数据搞错.
某学生对其亲属30人的饮食进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)
(1)根据以上数据完成下面2×2列联表：
主食蔬菜
主食肉类
总计
50岁以下
50岁以上
总计
(2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？请写出简要分析．
解：(1)2×2列联表如下：
主食蔬菜
主食肉类
总计
50岁以下
4
8
12
50岁以上
16
2
18
总计
20
10
30
(2)因为K2＝＝10>6.635，
P(K2>6.635)＝0.01.
所以可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．
1．下面是一个2×2列联表：
y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
2
25
27
总计
b
46
100
则表中a，b处的值分别为(　　)
A．94,96　　　　　　　　
B．52,50
C．52,54
D．54,52
解析：选C　由得
2．某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列联表：
文化程度与月收入列联表(单位：人)
月收入2
000元以下
月收入2
000元及以上
总计
高中文化以上
10
45
55
高中文化及以下
20
30
50
总计
30
75
105
由上表中数据计算得K2的观测值
k＝≈6.109，请估计有多少把握认为文化程度与月收入有关系(　　)
A．1%
B．99%
C．2.5%
D．97.5%
解析：选D　由于6.109>5.024，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，即有97.5%的把握认为文化程度与月收入有关系．
3．独立性检验所采用的思路是：要研究A，B两类型变量彼此相关，首先假设这两类变量彼此无关，在此假设下构造随机变量K2，如果K2的观测值较大，那么在一定程度上说明假设不成立．
4．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：
①若K2的观测值k>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；
②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；
③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．
其中说法正确的是________．(填序号)
解析：K2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①不正确；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．
答案：③
5．下面是高二年级统计案例的测验成绩统计表(单位：分)的一部分，试分析实验效果.
70分及70分以下
70分以上
总计
对照班
32
18
50
实验班
12
38
50
总计
44
56
100
附：
P(K2≥k0)
0.025
0.010
0.005
k0
5.024
6.635
7.879
解：根据列联表中的数据，由公式得K2的观测值
k＝
＝≈16.234.
因为16.234＞6.635，所以，在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为高二年级统计案例的测试成绩与高一年级数学教学中增加统计思想的渗透有联系．
一、选择题
1．判断两个分类变量是彼此相关还是相互独立的常用的方法中，最为精确的是(　　)
A．2×2列联表　　　　　
B．独立性检验
C．等高条形图
D．其他
解析：选B　A、C只能直观地看出两个分类变量x与y是否相关，但看不出相关的程度；独立性检验通过计算得出相关的可能性，较为准确．
2．对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是(　　)
A．k越大，“X与Y有关系”的可信程度越小
B．k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小
C．k越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小
D．k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大
解析：选B　k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小，则“X与Y有关系”的可信程度越大，即k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小．
3．利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时，若有99.5%的把握认为事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是(　　)
A．k≥6.635
B．k＜6.635
C．k≥7.879
D．k＜7.879
解析：选C　有99.5%的把握认为事件A和B有关系，即犯错误的概率为0.5%，对应的k0的值为7.879，由独立性检验的思想可知应为k≥7.879.
4．(江西高考)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是(　　)
表1　　　　　　　　　　
成绩性别
不及格
及格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
表2
视力性别
好
差
总计
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52
表3　　　　　　　　　
智商性别
偏高
正常
总计
男
8
12
20
女
8
24
32
总计
16
36
52
　
表4
阅读量性别
丰富
不丰富
总计
男
14
6
20
女
2
30
32
总计
16
36
52
A．成绩
B．视力
C．智商
D．阅读量
解析：选D　根据列联表中的数据，由公式得K2的观测值：
k1＝＝，
k2＝＝，
k3＝＝，
k4＝＝，
则有k4>k2>k3>k1，
所以阅读量与性别关联的可能性最大．
5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由K2＝算得，观测值
k＝≈7.8.
附表：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是(　　)
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
解析：选A　由k≈7.8及P(K2≥6.635)＝0.010可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”，也就是有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．
二、填空题
6．下列关于K2的说法中，正确的有________．
①K2的值越大，两个分类变量的相关性越大；
②K2的计算公式是
K2＝；
③若求出K2＝4＞3.841，则有95%的把握认为两个分类变量有关系，即有5%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；
④独立性检验就是选取一个假设H0条件下的小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则作出拒绝H0的推断．
解析：对于①，K2的值越大，只能说明我们有更大的把握认为二者有关系，却不能判断相关性大小，故①错；对于②，(ad－bc)应为(ad－bc)2，故②错；③④对．
答案：③④
7．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目的观众抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示.
文艺节目
新闻节目
总计
20岁至40岁
40
18
58
大于40岁
15
27
42
总计
55
45
100
由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关：________(填“是”或“否”)．
解析：因为在20岁至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而在大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即＝，＝，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．
答案：是
8．某班主任对全班30名男生进行了认为作业量多少的调查，数据如下表：
认为作业多
认为作业不多
总计
喜欢玩电脑游戏
12
8
20
不喜欢玩电脑游戏
2
8
10
总计
14
16
30
该班主任据此推断男生认为作业多与喜欢玩电脑游戏有关系，则这种推断犯错误的概率不超过________．
解析：计算得K2的观测值为k
＝≈4.286＞3.841，则推断犯错误的概率不超过0.050.
答案：0.050
三、解答题
9．用两种检验方法对某食品做沙门氏菌检验，结果如下表：
阳性
阴性
总计
荧光抗体法
160
5
165
常规培养法
26
48
74
总计
186
53
239
附：
P(K2≥k0)
0.010
0.005
0.001
k0
6.635
7.879
10.828
能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为采用荧光抗体法与检验结果呈阳性有关系？
解：通过计算K2＝≈113.184
6.而查表可知，因为P(K2≥10.828)≈0.001，而113.184
6远大于10.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为采用荧光抗体法与检验结果呈阳性有关系．
10．某校在两个班进行教学方式对比实验，两个月后进行了一次检测，实验班与对照班成绩统计如下表所示(单位：人).
80分及80分以上
80分以下
总计
实验班
35
15
50
对照班
20
m
50
总计
55
45
n
(1)求m，n.
(2)能否在犯错误的概率不超过0.005的情况下认为教学方式与成绩有关系？
解：(1)m＝45－15＝30，n＝50＋50＝100.
(2)由表中的数据，得K2的观测值为
k＝≈9.091.
因为9.091>7.879，所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为教学方式与成绩有关系．
11．某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表：
喜欢
不喜欢
总计
大于40岁
20
5
25
20岁至40岁
10
20
30
总计
30
25
55
(1)判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关．
(2)用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6位市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位“大于40岁”的市民和1位“20岁至40岁”的市民的概率．
解：(1)由公式K2＝
≈11.978>7.8709，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关．
(2)设所抽样本中有m个“大于40岁”市民，
则＝，得m＝4人，
所以样本中有4个“大于40岁”的市民，2个“20岁至40岁”的市民，分别记作B1，B2，B3，B4，C1，C2，从中任选2人的基本事件有(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，B4)，(B3，C1)，(B3，C2)，(B4，C1)，(B4，C2)，(C1，C2)，共15个，其中恰有1名“大于40岁”和1名“20岁至40岁”之间的市民的事件有(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(B4，C1)，(B4，C2)，共8个，所以恰有1名“大于40岁”和1名“20岁至40岁”之间的市民的概率为P＝.2．2.1　条件概率
100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．
令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长度、质量都合格}．
问题1：试求P(A)，P(B)，P(AB)．
提示：P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
问题2：任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率．
提示：事件A|B发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P(A|B)＝.
问题3：试探求P(B)，P(AB)，P(A|B)间的关系．
提示：P(A|B)＝.
1．条件概率
设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．
2．条件概率的性质
(1)条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1.
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
1．事件B在“事件A发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的．
2．由条件概率的定义知，P(B|A)与P(A|B)是不同的；另外
，在事件A发生的前提下，事件B发生的可能性大小不一定是P(B)，即P(B|A)与P(B)不一定相等．
3．P(B|A)＝可变形为P(AB)＝P(B|A)·P(A)，即只要知道其中两个值就可以求得第三个值．
4．利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)求解有些条件概率问题较为简捷，但应注意这个性质是在“B与C互斥”这一前提下才具备的，因此不要忽视这一条件而乱用这个公式．
利用条件概率公式求解
　5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，求：
(1)第一次取到新球的概率；
(2)第二次取到新球的概率；
(3)在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率．
　记第一次取到新球为事件A，第二次取到新球为事件B.
(1)P(A)＝.
(2)P(B)＝＝.
(3)法一：因为P(AB)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
法二：因为n(A)＝3×4＝12，n(AB)＝3×2＝6，
所以P(B|A)＝＝＝.
计算条件概率的两种方法
(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即P(B|A)＝；
(2)在原样本空间Ω中，先计算P(AB)，P(A)，再按公式P(B|A)＝计算求得P(B|A)．
设某种动物能活到20岁的概率为0.8，能活到25岁的概率为0.4，现有一只20岁的这种动物，问：它能活到25岁的概率是多少？
解：设事件A为“能活到20岁”，事件B为“能活到25岁”，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，而所求概率为P(B|A)，由于B A，故AB＝B，
于是P(B|A)＝＝＝＝0.5，所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.
利用条件概率的性质求概率
　在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对20道题中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率．
　设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道题答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，由古典概型计算概率的公式及概率的加法公式可知：
P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝，
P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，
P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝
＋＝＋＝.
故所求的概率为.
若事件B，C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，即为了求得比较复杂事件的概率，往往可以先把它分解成两个(或若干个)互斥的较简单事件，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．
1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球．现随机地从1号箱中取出一个球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一个球，问：从2号箱取出红球的概率是多少？
解：记A＝{从2号箱中取出的是红球}，
B＝{从1号箱中取出的是红球}，则
P(B)＝＝，
P()＝1－P(B)＝，
P(A|B)＝＝，P(A|)＝＝，
P(A)＝P(AB∪A
)＝P(AB)＋P(A
)
＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝×＋×＝.
　　
　袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，求第二次才能取到黄球的概率．
　记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才取到黄球”为事件C，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝.
1．解答本题易混淆P(AB)与P(B|A)的含义，而误认为P(C)＝P(B|A)＝＝.
2．P(AB)表示A与B同时发生的概率；而P(B|A)表示在事件A已经发生的条件下事件B发生的概率．
一个盒子装有4件产品，其中3件一等品、1件二等品，从中取产品两次，每次任取1件，做不放回抽样，若第一次取到的是一等品，求第二次取到一等品的概率．
解：设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则AB表示“第一次取到一等品，第二次也取到一等品”．
因为P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以在第一次取到一等品的情况下，第二次取到一等品的概率为P(B|A)＝＝＝.
1．已知P(A)＝0.4，P(B)＝0.5，P(A|B)＝0.6，则P(B|A)为(　　)
A．0.2　　　　　　　
B．0.4
C．0.75
D．0.24
解析：选C　∵P(A|B)＝，
∴P(AB)＝0.3.
∴P(B|A)＝＝＝0.75.
2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是(　　)
A.
B.
C.
D．1
解析：选B　因为第一名同学没有抽到中奖券已知，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是.
3．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.
解析：由公式P(A|B)＝＝，P(B|A)＝＝.
答案：　
4．某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为________．
解析：设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，则P(A)＝，P(AB)＝，故P(B|A)＝＝.
答案：
5．一个口袋内装有2个白球和2个黑球．
(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？
(2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？
解：(1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A，“再摸出1个白球”为事件B，则“先后两次摸出白球”为事件AB，“先摸一个球不放回，再摸一个球”共有4×3种结果，所以P(A)＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝.所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为.
(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A1，“再摸出1个白球”为事件B1，“两次都摸出白球”为事件A1B1，P(A1)＝，P(A1B1)＝＝，所以P(B1|A1)＝＝＝.所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为.
一、选择题
1．下列说法正确的是(　　)
A．P(B|A)＝P(A|B)
B．P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)
C．P(B|A)＝
D．P(AB)＝P(B|A)·P(A)
解析：选D　∵P(B|A)＝，
∴P(AB)＝P(B|A)·P(A)．
2．为考察某种药物预防疾病的效果，科研人员进行了动物试验，结果如下表：
患病
未患病
总计
服用药
10
45
55
未服药
20
30
50
总计
30
75
105
在服药的前提下，未患病的概率为(　　)
A.　　　　　　　　
B.
C.
D.
解析：选C　在服药的前提下，未患病的概率P＝＝.
3．抛掷两枚骰子，则在已知它们点数不同的情况下，至少有一枚出现6点的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A　设“至少有一枚出现6点”为事件A，“两枚骰子的点数不同”为事件B.
则n(B)＝6×5＝30，n(AB)＝10，
所以P(A|B)＝＝＝.
4．某班学生的考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A　设A为事件“数学不及格”，B为事件“语文不及格”，P(B|A)＝＝＝.所以数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为.
5．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A等于“取到的2个数之和为偶数”，事件B等于“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选B　∵P(A)＝＝，P(AB)＝＝，∴P(B|A)＝＝.
二、填空题
6．设A，B为两个事件，若事件A和B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为________．
解析：由题意知，P(AB)＝，P(B|A)＝.
由P(B|A)＝，得P(A)＝＝.
答案：
7．分别用集合M＝{2,4,6,7,8,11,12}中的任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是12，则取出的另一个元素与之构成可约分数的概率是________．
解析：设取的两个元素中有一个是12为事件A，取出的两个元素构成可约分数为事件B，则n(A)＝6，n(AB)＝4.所以P(B|A)＝＝.
答案：
8．根据历年气象资料统计，某地4月份刮东风的概率是，既刮东风又下雨的概率是.则在4月份刮东风的条件下，该地4月份下雨的概率为________．
解析：设某地4月份刮东风为事件A，该地4月份下雨为事件B，则AB为该地4月份既刮东风又下雨，则P(A)＝，P(AB)＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
答案：
三、解答题
9．某个兴趣小组有学生10人，其中有4人是三好学生．现已把这10人分成两小组进行竞赛辅导，第一小组5人，其中三好学生2人．
(1)如果要从这10人中选一名同学作为该兴趣小组组长，那么这个同学恰好在第一小组内的概率是多少？
(2)现在要在这10人中任选一名三好学生当组长，这名同学在第一小组内的概率是多少？
解：设A表示“在兴趣小组内任选一名同学，该同学在第一小组内”，B表示“在兴趣小组内任选一名同学，该同学是三好学生”，而第二问中所求概率为P(A|B)．
(1)由等可能事件概率的定义知，P(A)＝＝.
(2)P(B)＝＝，P(AB)＝＝.
所以P(A|B)＝＝.
10．某班从6名班干部中(其中男生4人，女生2人)，任选3人参加学校的义务劳动．
(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；
(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；
(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．
解：(1)ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意得
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝.∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，
则P(C)＝＝＝，
∴所求概率为P()＝1－P(C)＝1－＝.
(3)P(B)＝＝＝，P(B|A)＝＝＝.
11．一袋中共有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为.
(1)求白球的个数．
(2)现从中不放回地取球，每次取1个球，取2次，已知第2次取得白球，求第1次取得黑球的概率．
解：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A，记袋中白球数为x个．
则P(A)＝1－＝，
故x＝5，即白球的个数为5.
(2)令“第2次取得白球”为事件B,
“第1次取得黑球”为事件C，则
P(BC)＝·＝＝，
P(B)＝＝＝.
故P(C|B)＝＝＝.3.1
回归分析的基本思想及其初步应用
回归直线方程
教材《必修3》中学习了回归直线方程＝x＋.
问题1：回归直线方程准确地反映了x，y之间的关系吗？
提示：不是．
问题2：所有的两个相关变量都可以求回归方程吗？
提示：可以，但拟合程度很差．
1．回归分析
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
2．回归直线方程
方程＝x＋是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中，是待定参数，其最小二乘估计分别为：
其中＝i，＝i，(，)称为样本点的中心．
线性回归方程中系数的含义
(1)是回归直线的斜率的估计值，表示x每增加一个单位，y的平均增加单位数，而不是增加单位数．
(2)当＞0时，变量y与x具有正的线性相关关系；当＜0时，变量y与x具有负的线性相关关系．
线性回归分析
具有相关关系的两个变量的回归直线方程＝x＋.
问题1：预报变量与真实值y一样吗？
提示：不一定．
问题2：预报值与真实值y之间误差大了好还是小了好？
提示：越小越好．
1．残差平方和法
(1)i＝yi－i＝yi－xi－(i＝1,2，…，n)，称为相应于点(xi，yi)的残差．
(2)残差平方和(yi－i)2越小，模型拟合效果越好．
2．残差图法
残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域宽度越窄，说明模型的精确度越高．
3．利用相关指数R2刻画回归效果
其计算公式为R2＝1－，
其几何意义：R2越接近于1，表示回归效果越好．
1．在线性回归模型中，因为e是一个随机变量，所以可以通过其数字特征来刻画它的一些总体特征．
2．在线性回归模型中，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好．
求线性回归方程
　某种产品的广告费用支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应数据．
x/百万元
2
4
5
6
8
y/百万元
30
40
60
50
70
(1)画出散点图；
(2)求线性回归方程；
(3)试预测广告费用支出为10百万元时，销售额多大？
　(1)散点图如图所示：
(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.
i
1
2
3
4
5
合计
xi
2
4
5
6
8
25
yi
30
40
60
50
70
250
xiyi
60
160
300
300
560
1
380
x
4
16
25
36
64
145
所以，＝＝5，＝＝50，＝145，
iyi＝1
380.
于是可得＝＝＝6.5，
＝－
＝50－6.5×5＝17.5.
所以所求的线性回归方程为＝6.5x＋17.5.
(3)根据上面求得的线性回归方程，当广告费用支出为10百万元时，
＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，
即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元．
求线性回归方程的步骤
(1)列表表示xi，yi，xiyi，x；
(2)计算，，，iyi；
(3)代入公式计算，的值；
(4)写出线性回归方程.
某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据．
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
(1)请画出上表数据的散点图；(要求：点要描粗)
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．
解：(1)如图：
(2)iyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
＝＝9，
＝＝4，
＝62＋82＋102＋122＝344，
＝＝＝0.7，
＝－＝4－0.7×9＝－2.3，
故线性回归方程为＝0.7x－2.3.
(3)由(2)中线性回归方程当x＝9时，＝0.7×9－2.3＝4，预测记忆力为9的同学的判断力约为4.
线性回归分析
　已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据.
x/元
14
16
18
20
22
y/件
12
10
7
5
3
求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．
　＝×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，
＝×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
＝142＋162＋182＋202＋222＝1
660，
iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
∴＝＝＝－1.15
＝－
＝7.4＋1.15×18＝28.1，
∴所求回归直线方程为＝－1.15x＋28.1.
列出残差表
yi－i
0
0.3
－0.4
－0.1
0.2
yi－
4.6
2.6
－0.4
－2.4
－4.4
∴(yi－i)2＝0.3，(yi－)2＝53.2，
R2＝1－≈0.994，
故回归模型的拟合效果很好．
在进行线性回归分析时，要按线性回归分析步骤进行．在求R2时，通常采用分步计算的方法，R2越大，模型的拟合效果越好．
关于x与y有如下数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
有如下的两个线性模型：(1)＝6.5x＋17.5；
(2)＝7x＋17.试比较哪一个拟合效果更好．
解：由(1)可得yi－i与yi－的关系如下表：
yi－i
－0.5
－3.5
10
－6.5
0.5
yi－
－20
－10
10
0
20
∴(yi－i)2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋102＋(－6.5)2＋0.52＝155，
(yi－)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1
000.
∴R＝1－＝1－＝0.845.
由(2)可得yi－i与yi－的关系如下表：
yi－i
－1
－5
8
－9
－3
yi－
－20
－10
10
0
20
∴(yi－i)2＝(－1)2＋(－5)2＋82＋(－9)2＋(－3)2＝180，
(yi－)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1
000.
∴R＝1－＝1－＝0.82.
由于R＝0.845，R＝0.82,0.845＞0.82，
∴R＞R.
∴(1)的拟合效果好于(2)的拟合效果.
非线性回归分析
　在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：
x
0.25
0.5
1
2
4
y
16
12
5
2
1
试建立y与x之间的回归方程．
　作出变量y与x之间的散点图，如图所示．
由图可知变量y与x近似地呈反比例函数关系．
设y＝，令t＝，则y＝kt.
由y与x的数据表可得y与t的数据表：
t
4
2
1
0.5
0.25
y
16
12
5
2
1
作出y与t的散点图，如图所示：
由图可知y与t近似地呈线性相关关系．
又＝1.55，＝7.2，iyi＝94.25，＝21.312
5，
＝＝≈4.134
4，＝－
＝7.2－4.134
4×1.55≈0.8，
∴＝4.134
4t＋0.8.
所以y与x的回归方程是＝＋0.8.
非线性回归分析的步骤
非线性回归问题有时并不给出经验公式．这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．其一般步骤为：
某电容器充电后，电压达到100
V，然后开始放电，由经验知道，此后电压U随时间t变化的规律用公式U＝Aebt(b＜0)表示，现测得时间t(s)时的电压U(V)如下表：
t/s
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
U/V
100
75
55
40
30
20
15
10
10
5
5
试求：电压U对时间t的回归方程．(提示：对公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题)
解：对U＝Aebt两边取对数得ln
U＝ln
A＋bt，令y＝ln
U，a＝ln
A，x＝t，则y＝a＋bx，y与x的数据如下表：
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
4.6
4.3
4.0
3.7
3.4
3.0
2.7
2.3
2.3
1.6
1.6
根据表中数据画出散点图，如图所示，从图中可以看出，y与x具有较好的线性相关关系，由表中数据求得＝5，≈3.045，由公式计算得≈－0.313，＝－
＝4.61，所以y对x的线性回归方程为＝－0.313x＋4.61.
所以ln
＝－0.313t＋4.61，即＝e－0.313t＋4.61＝e－0.313t·e4.61，因此电压U对时间t的回归方程为＝e－0.313t·e4.61.
　　　　
　下列现象的线性相关程度最高的是(　　)
A．某商店的职工人数与商品销售额之间的相关系数为0.87
B．流通费用率与商业利润率之间的相关系数为－0.94
C．商品销售额与商业利润率之间的相关系数为0.51
D．商品销售额与流通费用率之间的相关系数为0.81
　|r|越接近于1，相关程度越高．
　B
1．本题易错误地认为r越接近于1，相关程度越高，从而误选A.
2．变量之间线性相关系数r具有如下性质：
(1)r2≤1，故变量之间线性相关系数r的取值范围为．
(2)|r|越大，变量之间的线性相关程度越高；|r|越接近0，变量之间的线性相关程度越低．
(3)当r>0时，两个变量的值总体上呈现出同时增减的趋势，此时称两个变量正相关；当r<0时，一个变量增加，另一个变量有减少的趋势，称两个变量负相关；当r＝0时，称两个变量线性不相关．
变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3，2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则(　　)
A．r2＜r1＜0　　　　　　　
B．0＜r2＜r1
C．r2＜0＜r1
D．r2＝r1
解析：选C　对于变量X与Y而言，Y随X的增大而增大，
故变量Y与X正相关，即r1＞0；
对于变量U与V而言，V随U的增大而减小，
故变量V与U负相关，
即r2＜0.故r2＜0＜r1.
1．关于回归分析，下列说法错误的是(　　)
A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定
B．线性相关系数可以是正的也可以是负的
C．在回归分析中，如果r2＝1或r＝±1，说明x与y之间完全线性相关
D．样本相关系数r∈(－1,1)
解析：选D　样本的相关系数应满足－1≤r≤1.
2．若某地财政收入x与支出y满足回归方程＝bx＋a＋ei(i＝1,2，…)(单位：亿元)，其中＝0.8，＝2，|ei|＜0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过(　　)
A．10亿元　　　　　　　
B．9亿元
C．10.5亿元
D．9.5亿元
解析：选C　＝0.8×10＋2＋ei＝10＋ei，
∵|ei|＜0.5，∴＜10.5.
3．在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指数R2≈0.85，则表明气温解释了________的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的________，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多．
解析：由相关指数R2的意义可知，R2≈0.85表明气温解释了85%的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的15%.
答案：85%　15%
4．若施肥量x(kg)与小麦产量y(kg)之间的回归直线方程为＝250＋4x，当施肥量为50
kg时，预计小麦产量为________kg.
解析：把x＝50代入＝250＋4x，可求得＝450.
答案：450
5．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x/元
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y/件
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程＝x＋，其中＝－20，＝－；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
解：(1)因为＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，
＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.
从而＝＋20＝80＋20×8.5＝250，
故＝－20x＋250.
(2)由题意知，工厂获得利润z＝(x－4)y＝－20x2＋330x－1
000＝－202＋361.25，所以当x＝＝8.25时，zmax＝361.25(元)．
即当该产品的单价定为8.25元时，工厂获得最大利润．
一、选择题
1．(福建高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程＝x＋，其中＝0.76，＝－.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(　　)
A．11.4万元　　　　　　
B．11.8万元
C．12.0万元
D．12.2万元
解析：选B　由题意知，
＝＝10，
＝＝8，
∴＝8－0.76×10＝0.4，
∴当x＝15时，＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．
2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如下表：
甲
乙
丙
丁
R2
0.98
0.78
0.50
0.85
哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？(　　)
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
解析：选A　相关指数R2越大，表示回归模型的拟合效果越好．
3．对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是(　　)
解析：选A　用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．
4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x/万元
4
2
3
5
销售额y/万元
49
26
39
54
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(　　)
A．63.6万元
B．65.5万元
C．67.7万元
D．72.0万元
解析：选B　样本点的中心是(3.5,42)，
则＝－＝42－9.4×3.5＝9.1，
所以回归直线方程是＝9.4x＋9.1，
把x＝6代入得＝65.5.
5．(湖北高考)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是(　　)
A．x与y正相关，x与z负相关
B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y负相关，x与z负相关
D．x与y负相关，x与z正相关
解析：选C　因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x与y负相关．因为y与z正相关，可设z＝y＋，＞0，则z＝y＋＝－0.1x＋＋，故x与z负相关．
二、填空题
6．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．
解析：根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1.
答案：1
7．若一个样本的总偏差平方和为80，残差平方和为60，则相关指数R2为________．
解析：回归平方和＝总偏差平方和－残差平方和＝80－60＝20，
故R2＝＝0.25.
答案：0.25
8．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位：千箱)与单位成本(单位：元)的资料进行线性回归分析，结果如下：
＝，＝71，＝79，iyi＝1
481.
则销量每增加1
000箱，单位成本下降________元．
解析：由题意知，＝≈－1.818
2，
＝71－(－1.818
2)×≈77.36，＝－1.818
2x＋77.36，销量每增加1
000箱，则单位成本下降1.818
2元．
答案：1.818
2
9．某中高二某班为了对即将上市的班刊进行合理定价，将对班刊按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(元)
90
84
83
80
75
68
(1)求线性回归方程＝x＋.
(2)预计今后的销售中，销量与单价服从(1)中的关系，且班刊的成本是4元/件，为了获得最大利润，班刊的单价定为多少元？
解：(1)＝＝8.5，
＝＝80，
iyi＝8×90＋8.2×84＋8.4×83＋8.6×80＋8.8×75＋9×68＝4
066，
＝82＋8.22＋8.42＋8.62＋8.82＋92＝434.2，
＝＝＝－20，
＝－＝80＋20×8.5＝250，
所求线性回归方程为＝－20x＋250.
(2)获得利润z＝(x－4)y＝－20x2＋330x－1
000，
当x＝8.25时，zmax＝361.25(元)，
所以当单价定为8.25元时，可获得最大利润．
10．下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．
参考数据：i＝9.32，iyi＝40.17,
＝0.55，≈2.646.
参考公式：相关系数r＝，回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－
.
解：(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得
＝4，(ti－)2＝28,
＝0.55，
(ti－)(yi－)＝iyi－i＝40.17－4×9.32＝2.89，
∴r≈≈0.99.
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
(2)由＝≈1.331及(1)得
＝＝≈0.103.
＝－
≈1.331－0.103×4≈0.92.
所以y关于t的回归方程为＝0.92＋0.10t.
将2017年对应的t＝10代入回归方程得＝0.92＋0.10×10＝1.92.
所以预测2017年我国生活垃圾无害化处理量约为1.92亿吨．
11．假设关于某设备使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料知，y对x呈线性相关关系，试求：
(1)回归直线方程；
(2)估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？
解：(1)由表格中的数据可得
＝(2＋3＋4＋5＋6)＝4
＝(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0)＝5.
＝22＋32＋42＋52＋62＝90，
iyi＝2×2.2＋3×3.8＋4×5.5＋5×6.5＋6×7.0＝112.3，所以回归系数
＝＝＝＝1.23.
可得＝－＝5－1.23×4＝0.08.
所以回归直线方程为＝1.23x＋0.08.
(2)当x＝10时，＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)
即估计用10年时，维修费约为12.38万元．2．2.2　事件的相互独立性
甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球、2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A＝“从甲箱里摸出白球”，B＝“从乙箱里摸出白球”．
问题1：事件A发生会影响事件B发生的概率吗？
提示：不影响．
问题2：试求P(A)，P(B)，P(AB)．
提示：P(A)＝，P(B)＝，
P(AB)＝＝.
问题3：P(B|A)与P(B)相等吗？
提示：因为P(B|A)＝＝＝，
所以P(B|A)与P(B)相等．
问题4：P(AB)与P(A)P(B)相等吗？
提示：因为P(B|A)＝＝P(B)，
所以P(AB)与P(A)P(B)相等．
1．相互独立事件的概念
设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
2．相互独立事件的性质
(1)若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．
(2)如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立．
1．相互独立的两个事件实质上是一个事件发生与否对另一个事件的发生没有影响，也就是若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，且P(A|B)＝P(A)，因而有P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(A)P(B)．
2．定义的推广：对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件A1，A2，…，An相互独立.
相互独立事件的判断
　判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件．
(1)掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”；事件N：“出现的点数为偶数”．
(2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”．
　(1)∵二者不可能同时发生，∴M与N是互斥事件．
(2)基本事件空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，
∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，
P(AB)＝＝×，即P(AB)＝P(A)P(B)．
故事件A与B相互独立．当“出现6点”时，事件A，B可以同时发生，因此，A，B不是互斥事件．
判断事件是否相互独立的方法
(1)定义法：事件A，B相互独立 P(AB)＝P(A)·P(B)．
(2)利用性质：A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．
(3)有时通过计算P(B|A)＝P(B)可以判断两个事件相互独立．
下列每对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？
(1)袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M：“第一次摸到白球”；事件N：“第二次摸到白球”．
(2)袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M：“第一次摸到白球”；事件N：“第二次摸到黑球”．
解：(1)根据事件的特点易知，事件M是否发生对事件N发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事件．
(2)由于第一次摸到球不放回，因此会对第二次摸到球的概率产生影响，但不会造成“再从中任意取1球是黑球”的事件不发生，所以这两个事件既不是互斥事件，又不是相互独立事件.
相互独立事件的概率
　掷三枚骰子，试求：
(1)没有一枚骰子出现1点或6点的概率；
(2)恰好有一枚骰子出现1点或6点的概率．
　记“第一、二、三枚骰子出现1点或6点”分别为事件A，B，C，由已知A，B，C是相互独立事件，且P(A)＝P(B)＝P(C)＝.
(1)没有一枚骰子出现1点或6点，也就是事件A，B，C全不发生，即事件
，
所以所求概率为P(
)＝P()×P()×P()＝××＝.
(2)恰好有一枚骰子出现1点或6点，即A，B，C恰有一个发生，用符号表示为事件A
＋B
＋
C，所求概率为
P(A
＋
B
＋
C)＝P(A
)＋P(
B
)＋P(
C)＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)＝××＋××＋××＝.
1．公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
2．用相互独立事件的乘法公式解题的步骤：
(1)用恰当的字母表示题中有关事件；
(2)根据题设条件，分析事件间的关系；
(3)将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)；
(4)利用乘法公式计算概率．
设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求：
(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；
(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率．
解：记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5；
记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6；
记C表示事件“进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买”；
记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”．
(1)易知C＝AB，则P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)易知D＝(A
)∪(B)，则P(D)＝P(A
)＋P(B)＝P(A)·P()＋P()P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.
相互独立事件概率的实际应用
　某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为.
求：(1)恰有一名同学当选的概率；
(2)至多两人当选的概率．
　设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B和C.
∴P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)因为事件A，B，C相互独立，恰有一名同学当选的概率为P(A
)＋P(
B
)＋P(
C)
＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)
＝××＋××＋××＝.
(2)至多有两人当选的概率为
1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－××＝.
求相互独立事件同时发生的概率的主要方法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．
解：如图所示，记这段时间内开关KA，KB，KC能够闭合为事件A，B，C.
由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是
P(··)＝P()P()P()
＝
＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027.
于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能够正常工作的概率是
1－P(··)＝1－0.027＝0.973.
即这段时间内线路正常工作的概率是0.973.
3．“罗列”相互独立事件的几种类型　
　
　甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求两个人都译出密码的概率．
　记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A，B为相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝.
2个人都译出密码的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝.
解此类问题首先要判断事件的相互独立性，然后使用公式P(AB)＝P(A)·P(B)求解；若事件A与B相互独立，则A与，与B，与也相互独立，本例条件不变，下面利用它们的相互独立性求下列类型的概率．
　本例条件不变，两个人都译不出密码的概率．
解：两个人都译不出密码的概率为
P(·)＝P()·P()＝
＝×＝.
　本例条件不变，恰有1个人译出密码的概率．
解：恰有1个人译出密码可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为
P(A·＋·B)＝P(A·)＋P(·B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×＋×＝.
　本例条件不变，至多1个人译出密码的概率．
解：“至多1个人译出密码”的对立事件为“两个人都译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为
1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－×＝.
　本例条件不变，至少1个人译出密码的概率．
解：“至少有1个人译出密码”的对立事件为“两个人都未译出密码”，所以至少有1个人译出密码的概率为1－P(·)＝1－P()P()＝1－×＝.
已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有
事件
表示
概率
A，B同时发生
AB
P(A)P(B)
A，B都不发生
P()P()
A，B恰有一个发生
(A
)∪(B)
P(A)P()＋P()P(B)
A，B中至少有一个发生
(A
)∪(B)∪(AB)　　　　
P(A)P()＋P()P(B)＋P(A)P(B)
A，B中至多有一个发生
(A
)∪(B)∪(
)　　　　
P(A)P()＋P()P(B)＋P()P()
1．两名射手射击同一目标，命中的概率分别为0.8和0.7，若各射击一次，目标被击中的概率是(　　)
A．0.56　　　　　　　
B．0.92
C．0.94
D．0.96
解析：选C　∵两人都没有击中的概率为0.2×0.3＝0.06，∴
目标被击中的概率为1－0.06＝0.94.
2．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选C　两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB为两班派出的都是三好学生，则P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
3．甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，从每袋中任取一球，则取到相同颜色的球的概率是________．
解析：由题意知P＝×＋×＝.
答案：
4．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________．
解析：由题意可知三人都达标的概率为P＝0.8×0.6×0.5＝0.24；三人中至少有一人达标的概率为P′＝1－(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.96.
答案：0.24　0.96
5．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.在同一时间内，求：
(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；
(2)至少有一个气象台预报准确的概率．
解：记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B.
(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)至少有一个气象台预报准确的概率为P＝1－P(
)＝1－P()P()＝1－×＝.
一、选择题
1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C的关系是(　　)
A．A与B，A与C均相互独立
B．A
与B相互独立，A与C互斥
C．A与B，A与C均互斥
D．A与B互斥，A与C相互独立
解析：选A　由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥，故选A.
2．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.　　　
解析：选D　设Ai(i＝1,2)表示继续比赛时，甲在第i局获胜，B事件表示甲队获得冠军．
法一：B＝A1＋1A2，故P(B)＝P(A1)＋P(1)P(A2)＝＋×＝.
法二：P(B)＝1－P(1
2)＝1－P(1)P(2)＝1－×＝.
3．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选D　由P(A)＝P(B)，得P(A)P()＝P(B)P()，即P(A)＝P(B)，∴P(A)＝P(B)，又P(
)＝，
则P()＝P()＝.∴P(A)＝.
4.荷花池中，有只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A　青蛙跳三次要回到A叶只有两条途径．第一条：按A→B→C→A，P1＝××＝；第二条：按A→C→B→A，P2＝××＝，所以跳三次之后停在A叶上的概率为P＝P1＋P2＝＋＝.
5．在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选B　设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，则灯亮这一事件E＝ABC∪AB
∪A
C，且A，B，C相互独立，ABC，AB
，A
C互斥，所以P(E)＝P(ABC∪AB
∪A
C)
＝P(ABC)＋P(AB
)＋P(A
C)
＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)
＝××＋××＋××＝.
二、填空题
6．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(A∪B)＝________，P(A|B)＝________.
解析：因为A，B相互独立，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65，P(A|B)＝P(A)＝0.3.
答案：0.65　0.3
7．甲、乙两人参加环保知识竞赛，在10道备选试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．现规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题为合格．则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为__________．
解析：设甲、乙两人考试合格的事件分别为A，B，事件A，B相互独立．
P(A)＝＝，P(B)＝＝.
所以甲、乙两人考试均不合格的概率为
P()＝P()()＝＝，
故甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P＝1－P()＝1－＝.
答案：
8．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．
解析：设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.5，
且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3∪A1
2A3∪1A2A3发生，
故所求概率为
P＝P(A1A2A3∪A1
2A3∪1A2A3)
＝P(A1A2A3)＋P(A1
2A3)＋P(1A2A3)
＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(2)P(A3)＋
P(1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.
答案：0.46
三、解答题
9．(山东高考节选)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；
(2)“星队”两轮得分之和X的分布列．
解：(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，
记事件B：“乙第一轮猜对”，
记事件C：“甲第二轮猜对”，
记事件D：“乙第二轮猜对”，
记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．
由题意，E＝ABCD＋BCD＋ACD＋ABD＋ABC，由事件的独立性与互斥性，
得P(E)＝P(ABCD)＋P(BCD)＋P(ACD)＋P(ABD)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)·P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)P()＝×××＋2××××＋×××＝，
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.
(2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得
P(X＝0)＝×××＝，
P(X＝1)＝2××××＋×××＝＝，
P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，
P(X＝3)＝×××＋×××＝＝，
P(X＝4)＝2××××＋×××＝＝，
P(X＝6)＝×××＝＝.
可得随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
6
P
10．在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.
(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；
(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率．
解：(1)设甲队获第一且丙队获第二为事件A，
则P(A)＝××＝.
(2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜．设事件B为“甲两场只胜一场”，设事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为B＋C，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝×＋×＋×＝＋＝.
11．A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A有效的白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为.
(1)求一个试验组为甲类组的概率；
(2)观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率．
解：(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2.Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2.据题意有：P(A0)＝×＝，
P(A1)＝2××＝，
P(A2)＝×＝，
P(B0)＝×＝，
P(B1)＝2××＝.
所求概率为P＝P(B0A1)＋P(B0A2)＋P(B1A2)＝×＋×＋×＝.
(2)所求概率P′＝1－3＝.2．3.1．离散型随机变量的均值
1．离散型随机变量的均值
(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或均值．
(2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(3)性质：若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
2．两点分布与二项分布的均值
X
X服从两点分布
X～B(n，p)
E(X)
p(p为成功概率)
np
1．对离散型随机变量均值的理解
离散型随机变量的均值E(X)是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．
2．随机变量的均值与样本平均值的关系
随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．
求离散型随机变量的均值
　甲、乙两人各自独立破译某个密码，甲破译出密码的概率是，乙破译出密码的概率是，设破译出该密码的人数为X，求其均值．
　设A，B分别为甲、乙破译出该密码的事件，X的可能取值是0,1,2.
P(X＝0)＝P(·)＝P()·P()＝×＝；
P(X＝1)＝P(A·)＋P(·B)＝×＋×＝；
P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
所以X的分布列是
X
0
1
2
P
因此E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
求期望的关键是写出分布列，一般分四步
(1)确定X可能的取值；
(2)计算出P(X＝k)；
(3)写出分布列；
(4)利用E(X)的计算公式计算E(X)．
盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有2节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．
解：X可取的值为1,2,3，则
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××1＝.
抽取次数X的分布列为
X
1
2
3
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
　　
求两点分布及二项分布的均值
　某运动员投篮投中的概率为0.6.求：
(1)一次投篮时投中次数X的均值；
(2)重复5次投篮时投中次数Y的均值．
　(1)X的分布列为
X
0
1
P
0.4
0.6
则E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，
即一次投篮时投中次数X的均值为0.6.
(2)Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)．
故E(Y)＝5×0.6＝3，
即重复5次投篮时投中次数Y的均值为3.
设p为成功概率，则服从两点分布的离散型随机变量的均值为p，服从二项分布的离散型随机变量的均值为np.
若将题型一中的“无放回”改为“有放回”，并去掉条件“直到取到好电池为止”，求检验5次取到好电池次数X的均值．
解：每次检验取到好电池的概率均为，
故X～B，
则E(X)＝5×＝3.
均值问题的实际应用
　随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.
(1)求X的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
　(1)X的所有可能取值有6,2,1，－2，
P(X＝6)＝＝0.63，P(X＝2)＝＝0.25，
P(X＝1)＝＝0.1，
P(X＝－2)＝＝0.02.
故X的分布列为
X
6
2
1
－2
P
0.63
0.25
0.1
0.02
(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元)．
(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)，
依题意，E(X)≥4.73，
即4.76－x≥4.73，
解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.
解答此类题目时，首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的均值．
交5元钱，可以参加一次抽奖，一袋中装有同样大小的10个球，其中8个标有“1元钱”，2个标有“5元钱”，抽奖者从中任取两个球，他所得的奖金是所抽取的两球上标的钱数之和，求抽奖人获利的均值．
解：设X为抽到的两球所标的钱数之和，则X的可能取值如下：
X＝2，抽到两个标有“1元钱”的球；
X＝6，抽到一个标有“1元钱”的球，一个标有“5元钱”的球；
X＝10，抽到两个标有“5元钱”的球．
由题意可知
P(X＝2)＝＝，P(X＝6)＝＝，
P(X＝10)＝＝.
因此E(X)＝2×＋6×＋10×＝＝.
若用Y表示抽奖人获利的可能值，则Y＝X－5，
故获利的均值E(Y)＝E(X)－5＝－5＝－＝－1.4.
　　　　
　(12分)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．求该射手的总得分X的分布列及均值E(X)．
记：“该射手射击甲靶命中”为事件B，
“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，
“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D.
由题意知P(B)＝，P(C)＝P(D)＝，(2分)
根据题意知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.(3分)
根据事件的独立性和互斥性得P(X＝0)＝P(
)
＝
＝××＝；(4分)
P(X＝1)＝P(B
)＝P(B)P()P()
＝××＝；(5分)
P(X＝2)＝P(
C
＋
D)
＝P(
C
)＋P(
D)
＝××＋××
＝；(7分)
P(X＝3)＝P(BC
＋B
D)＝P(BC
)＋P(B
D)
＝××＋××＝；(8分)
P(X＝4)＝P(CD)＝××＝；
P(X＝5)＝P(BCD)＝××＝.(10分)
故X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P
(11分)
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋
4×＋5×＝.(12分)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　
　　　　　　　　　　　　　　　　
利用公式计算应细心，不要出现计算错误.
运动员射击一次所得环数X的分布列如下：
X
0～6
7
8
9
10
P
0
0.2
0.3
0.3
0.2
现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ.
(1)求ξ的分布列；
(2)求ξ的均值．
解：(1)ξ的可能取值为7,8,9,10，
P(ξ＝7)＝0.04，P(ξ＝8)＝2×0.2×0.3＋0.32
＝0.21，
P(ξ＝9)＝2×0.2×0.3＋2×0.3×0.3＋0.32＝0.39，
P(ξ＝10)＝2×0.2×0.2＋2×0.3×0.2＋2×0.3×0.2＋0.22＝0.36，
ξ的分布列为
ξ
7
8
9
10
P
0.04
0.21
0.39
0.36
(2)ξ的均值为E(ξ)＝7×0.04＋8×0.21＋9×0.39＋10×0.36＝9.07.
1．已知ξ的分布列为
ξ
－1
0
1
2
P
则ξ的均值为(　　)
A．0　　　B．－1　　　C.　　　D.
解析：选D　E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＋2×＝.
2．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是(　　)
A．20　　　　　　　　　
B．25
C．30
D．40
解析：选B　抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为＝.
所以X～B.
故E(X)＝80×＝25.
3．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为________．
解析：依题意得
即解得y＝0.4.
答案：0.4
4．设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3)．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝________.
解析：∵P(X＝1)＝a＋b，P(X＝2)＝2a＋b，
P(X＝3)＝3a＋b，
∴E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＝3，
∴14a＋6b＝3.①
又∵(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＝1，
∴6a＋3b＝1.②
∴由①②可知a＝，b＝－，
∴a＋b＝－.
答案：－
5．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X表示取得的分数．求：
(1)X的分布列；
(2)X的均值．
解：(1)由题意知，X可能取值为0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.故X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
(2)E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
一、选择题
1．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为(　　)
A．2×0.44　　　　　　　
B．2×0.45
C．3×0.44
D．3×0.64
解析：选C　因为ξ～B(n,0.6)，所以E(ξ)＝n×0.6，故有0.6n＝3，解得n＝5.P(ξ＝1)＝C×0.6×0.44＝3×0.44.
2．设ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选D　E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.
3．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为ξ，则E(ξ)等于(　　)
A．0.765
B．1.75
C．1.765
D．0.22
解析：选B　ξ可能的取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，P(ξ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22，P(ξ＝2)＝0.9×0.85＝0.765，所以E(ξ)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.
4．现有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的均值是(　　)
A．6
B．7.8
C．9
D．12
解析：选B　设此人的得奖金额为X，则X的所有可能取值为12,9,6.P(X＝12)＝＝，P(X＝9)＝＝，P(X＝6)＝＝，故E(X)＝7.8.
5．节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后卖不出的鲜花以每束1.6元处理．根据节前的销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X(束)的分布列如下表．若进这种鲜花500束，则期望利润是(　　)
X
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30
0.15
A．706元
B．690元
C．754元
D．720元
解析：选A　节日期间这种鲜花需求量的均值E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝40＋105＋120＋75＝340，则利润Y＝5X＋1.6(500－X)－500×2.5＝3.4X－450，所以E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706.故期望利润为706元．
二、填空题
6．(四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是__________．
解析：法一：由题意可知每次试验不成功的概率为，成功的概率为，在2次试验中成功次数X的可能取值为0,1,2，则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝C××＝，P(X＝2)＝2＝.
所以在2次试验中成功次数X的分布列为
X
0
1
2
P
则在2次试验中成功次数X的均值为
E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
法二：此试验满足二项分布，其中p＝，所以在2次试验中成功次数X的均值为E(X)＝np＝2×＝.
答案：
7．已知随机变量ξ的分布列为
ξ
－1
0
1
P
m
若η＝a(ξ)＋3，E(η)＝，则a＝________.
解析：由分布列的性质，得＋＋m＝1，即m＝，所以E(ξ)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.
则E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝，
即－a＋3＝，得a＝2.
答案：2
8．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X＝0)＝，则随机变量X的均值E(X)＝________.
解析：因为P(X＝0)＝＝(1－p)2×，
所以p＝.随机变量X的可能值为0,1,2,3，
因此P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝×2＋×2×2＝，
P(X＝2)＝×2×2＋×2＝，
P(X＝3)＝×2＝，
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
答案：
三、解答题
9．A，B两个试验方案在某科学试验中成功的概率相同，已知A，B两个方案至少一个成功的概率为0.36.
(1)求两个方案均获成功的概率；
(2)设试验成功的方案的个数为随机变量X，求X的分布列及均值．
解：(1)设A方案、B方案独立进行科学试验成功的概率均为x，则A，B方案在试验中都未能成功的概率为(1－x)2，则1－(1－x)2＝0.36，x＝0.2，
所以两种方案均获成功的概率为0.22＝0.04.
(2)试验成功的方案种数X的分布列为
X
0
1
2
P
0.64
0.32
0.04
因此随机变量X的均值
E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.
10．某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、平面几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格．现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同(见下表)，且每一门课程是否合格相互独立.
课程
初等代数
平面几何
初等数论
微积分初步
合格的概率
(1)求甲同学取得参加数学竞赛复赛资格的概率；
(2)记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛资格的人数，求ξ的分布列及均值E(ξ)．
解：(1)分别记甲对初等代数、平面几何、初等数论、微积分初步这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，且事件A，B，C，D相互独立，
“甲能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为P(ABCD)＋P(ABC)＋P(ABD)＝×××＋×××＋×××＝.
(2)由题设知ξ的所有可能取值为0,1,2,3，
ξ～B，P(ξ＝0)＝C3＝，
P(ξ＝1)＝C2＝，
P(ξ＝2)＝C2＝，
P(ξ＝3)＝C3＝，
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
∵ξ～B，∴E(ξ)＝3×＝.
11．盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．
(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P.
(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数．求X的概率分布和均值E(X)．
解：(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，
所以P＝＝＝.
(2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4.
{X＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P(X＝4)＝＝；
{X＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P(X＝3)＝＝＝.
于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－－＝.
所以随机变量X的概率分布如下表：
X
2
3
4
P
因此随机变量X的均值
E(X)＝2×＋3×＋4×＝.1．3.1　二项式定理
问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式．
提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.
问题2：上述两个等式的右侧有何特点？
提示：(a＋b)3的展开式有4项，每项的次数是3；(a＋b)4的展开式有5项，每一项的次数为4.
问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？
提示：(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式的乘法法则知，从每个(a＋b)中选a或选b相乘即得展开式中的一项．
若都选a，则得Ca4b0；
若有一个选b，其余三个选a，则得Ca3b；
若有两个选b，其余两个选a，则得Ca2b2；
若都选b，则得Ca0b4.
问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N
)的展开式吗？
提示：能，(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Cbn.
二项式定理及其相关概念
二项式定理
公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，称为二项式定理
二项式系数
C(k＝0,1，…，n)
通项
Tk＋1＝Can－kbk
二项式定理的特例
(1＋x)n＝1＋Cx＋…＋Cxk＋…＋xn
1．二项展开式的特点
(1)展开式共有n＋1项．
(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n.
(3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n.
2．二项展开式的通项公式的特点
(1)它表示(a＋b)n的展开式的第k＋1项，该项的二项式系数为C.
(2)字母b的次数与二项式系数的组合数的上标相同．
(3)a和b的次数之和为n.
二项式定理的正用、逆用
　(1)求(x＋2y)4的展开式．
(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.
　(1)(x＋2y)4＝Cx4＋Cx3(2y)＋Cx2(2y)2＋Cx·(2y)3＋C(2y)4＝x4＋8x3y＋24x2y2＋32xy3＋16y4.
(2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝n＝xn.
1．(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
2．逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．
1．求4的展开式．
解：法一：4＝C(2x)4＋C(2x)3·＋C(2x)22＋C(2x)3＋C4＝16x4－48x＋－＋.
法二：4＝4＝(4x3－3)4
＝＝16x4－48x＋－＋.
2．化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
解：原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C－C＝5－1＝x5－1.
求二项展开式中的特定项
　(1)在20的展开式中，系数是有理数的项共有(　　)
A．4项　　　　　　　　
B．5项
C．6项
D．7项
(2)(浙江高考)设二项式5的展开式中常数项为A，则A＝________.
　(1)Tk＋1＝C(x)20－kk
＝k·()20－kC·x20－k.
∵系数为有理数，
∴k与2均为有理数，
∴k能被2整除，且20－k能被3整除．
故k为偶数，20－k是3的倍数，0≤k≤20，
∴k＝2,8,14,20.
(2)Tk＋1＝C()5－kk
＝C(－1)kx，
令－＝0，得k＝3，所以A＝－C＝－10.
　(1)A　(2)－10
1．在通项公式Tk＋1＝Can－kbk(n∈N
，k＝0,1,2,3，…，n)中含有a，b，n，k，Tk＋1五个量，只要知道其中4个量，便可求出第5个量．在运用二项式定理解决展开式中的项或项的系数的一些问题时，常涉及这5个量的求解问题．这通常是化归为方程的问题来解决．
2．对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；而对于有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好是整数的项．
已知在n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求展开式中所有的有理项．
解：通项公式为Tk＋1＝Cx
(－3)kx
＝C(－3)kx.
(1)∵第6项为常数项，
∴k＝5时，有＝0，即n＝10.
(2)根据通项公式，
由题意得
令＝r(r∈Z)，
则10－2k＝3r，即k＝5－r.
∵k∈Z，∴r应为偶数．
于是r可取2,0，－2，即k可取2,5,8.
故第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为
C(－3)2x2，C(－3)5，C(－3)8x－2.
求二项式系数与项的系数
　在8的展开式中，求：
(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；
(2)倒数第3项．
　法一：利用二项式的展开式解决．
(1)8＝(2x2)8－C(2x2)7·＋C(2x2)6·2－C(2x2)5·3＋C(2x2)4·4－C(2x2)3·5＋C(2x2)2·6－C(2x2)·7＋C8，
则第5项的二项式系数为C＝70，第5项的系数为C·24＝1
120.
(2)由(1)中8的展开式可知倒数第3项为C·(2x2)2·6＝112x2.
法二：利用二项展开式的通项公式．
(1)T5＝C·(2x2)8－4·4＝C·24·x，
则第5项的二项式系数是C＝70，第5项的系数是C·24＝1
120.
(2)展开式中的倒数第3项即为第7项，T7＝C·(2x2)8－6·6＝112x2.
1．本例第(2)问也可转化为求另一二项展开式的某些项，即在8展开式中的倒数第3项就是8展开式中第3项，T3＝C·8－2·(－2x2)2＝112x2.
2．要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数C；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关．
1．(全国乙卷)(2x＋)5的展开式中，x3的系数是________．(用数字填写答案)
解析：(2x＋)5展开式的通项为
Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝25－r·C·x5－.
令5－＝3，得r＝4.
故x3的系数为25－4·C＝2C＝10.
答案：10
2．(山东高考)若5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________.
解析：Tr＋1＝C·(ax2)5－rr＝C·a5－rx10－r.令10－r＝5，解得r＝2.又展开式中x5的系数为－80，则有C·a3＝－80，解得a＝－2.
答案：－2
　　　　
　求5的展开式的常数项．
　法一：由二项式定理得
5＝5
＝C·5＋C·4·＋
C·3·()2＋C·2·()3＋
C··()4＋C·()5.
其中为常数项的有：
C4·中的第3项：CC·2·；
C·2·()3中的第2项：
CC··()3；
展开式的最后一项C·()5.
综上可知，常数项为CC·2·＋CC··()3＋C·()5＝.
法二：原式＝5
＝·5
＝·(x＋)10.
求原式中展开式的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5的项的系数，即C·()5.
所以所求的常数项为＝.
解决三项式问题有两种方法：方法一，反复利用二项式定理，先把三项式中的某两项视为一项，用二项式定理展开，然后再利用二项展开式求解．方法二，转化为二项式．转化为二项式常见的有两种形式：三项式恰好是二项式的平方，则可转化为二项式定理求解，三项式可分解因式，则转化为两个二项式的积的形式．利用二项式定理求特定项，注意下列题型的变化．
　(1－)4的展开式中x的系数是(　　)
A．1　　　　　　　　　　
B．2
C．3
D．12
解析：选C　根据题意，所给式子的展开式中含x的项有(1－)4展开式中的常数项乘中的x以及(1－)4展开式中的含x2的项乘中的两部分，所以所求系数为1×2＋1＝3，故选C.
　在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，含x4的项的系数是(　　)
A．－15
B．85
C．－120
D．274
解析：选A　根据分类加法、分步乘法计数原理，得－5x4－4x4－3x4－2x4－x4＝－15x4，
所以原式的展开式中，含x4的项的系数为－15.
　在(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)6的展开式中，x2的系数是________．(用数字作答)
解析：法一(转化为二项式定理解决)：(1＋x)2，(1＋x)3，…，(1＋x)6中x2的系数分别为C，C，…，C，所以原式的展开式中，x2的系数为C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＝35.
法二(利用数列求和方法解决)：由题意知1＋x≠0，原式＝，
故只需求(1＋x)7中x3的系数，
即(1＋x)7的展开式中第4项的系数，
即C＝35.
答案：35
1．在(x－)10的展开式中，含x6的项的系数是(　　)
A．－27C　　　　　　　　
B．27C
C．－9C
D．9C
解析：选D　含x6的项是T5＝Cx6(－)4＝9Cx6.
2．(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是(　　)
A．56
B．84
C．112
D．168
解析：选D　(1＋x)8的展开式中x2的系数为C，(1＋y)4的展开式中y2的系数为C，所以x2y2的系数为CC＝168.
3．在6的展开式中，中间项是________．
解析：由n＝6知中间一项是第4项，因T4＝C(2x2)3·3＝C·(－1)3·23·x3，所以T4＝－160x3.
答案：－160x3
4.9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________．
解析：Tk＋1＝C·(x2)9－k·k＝k·C·x18－3k，当k＝3时，T4＝3·C·x9＝－x9，所以第4项的二项式系数为C＝84，项的系数为－.
答案：84　－
5．求5的展开式的第3项的系数和常数项．
解：T3＝C(x3)32＝C·x5，所以第3项的系数为C·＝.
通项Tk＋1＝C(x3)5－kk＝k·Cx15－5k，令15－5k＝0得k＝3，所以常数项为T4＝C(x3)2·3＝.
一、选择题
1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是(　　)
A．2n　　　　　　　　　　
B．2n＋1
C．2n－1
D．2(n＋1)
解析：选B　根据二项式定理可知，展开式共有2n＋1项．
2．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是(　　)
A．(2x＋2)5
B．2x5
C．(2x－1)5
D．32x5
解析：选D　原式＝5＝(2x)5＝32x5.
3．在24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有(　　)
A．3项
B．4项
C．5项
D．6项
解析：选C　Tk＋1＝C·x·x－＝C·x12－k，则k＝0,6,12,18,24时，x的幂指数为整数．
4．在n(n∈N
)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是(　　)
A．3
B．5
C．8
D．10
解析：选B　Tk＋1＝C(2x3)n－kk＝2n－k·Cx3n－5k.令3n－5k＝0，∵0≤k≤n，
∴n的最小值为5.
5．对于二项式n(n∈N
)，有以下四种判断：
①存在n∈N
，展开式中有常数项；
②对任意n∈N
，展开式中没有常数项；
③对任意n∈N
，展开式中没有x的一次项；
④存在n∈N
，展开式中有x的一次项．
其中正确的是(　　)
A．①与③
B．②与③
C．②与④
D．①与④
解析：选D　二项式n的展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx4k－n，由通项公式可知，当n＝4k(k∈N
)和n＝4k－1(k∈N
)时，展开式中分别存在常数项和一次项．
二、填空题
6．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是________．
解析：由得
解得答案：
7．(1＋x＋x2)(1－x)10的展开式中含x4的项的系数为________．　
解析：因为(1＋x＋x2)(1－x)10＝(1＋x＋x2)(1－x)·(1－x)9＝(1－x3)(1－x)9，
所以展开式中含x4的项的系数为1×C(－1)4＋(－1)×C(－1)＝135.
答案：135
8．230＋3除以7的余数是________．
解析：230＋3＝(23)10＋3＝810＋3＝(7＋1)10＋3＝C·710＋C·79＋…＋C·7＋C＋3＝7×(C·79＋C·78＋…＋C)＋4，所以230＋3除以7的余数为4.
答案：4
三、解答题
9．已知在n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3，求展开式中的常数项．
解：T5＝C()n－424x－8＝16Cx，
T3＝C()n－222x－4＝4Cx.
由题意知，＝，解得n＝10.
Tk＋1＝C()10－k2kx－2k＝2kCx，
令5－＝0，解得k＝2.
∴展开式中的常数项为C22＝180.
10．在6的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项．
解：(1)第3项的二项式系数为C＝15，
又T3＝C(2)42＝24·Cx，
所以第3项的系数为24C＝240.
(2)Tk＋1＝C(2)6－kk＝
(－1)k26－kCx3－k.
令3－k＝2，得k＝1.
所以含x2的项为第2项，
且T2＝－192x2.
11．已知在n的展开式中，第9项为常数项．求：
(1)n的值；
(2)展开式中x5的系数；
(3)含x的整数次幂的项的个数．
解：二项展开式的通项为Tk＋1＝Cn－k·k＝(－1)kn－kCx.
(1)因为第9项为常数项，
即当k＝8时，2n－k＝0，解得n＝10.
(2)令2n－k＝5，得k＝(2n－5)＝6，
所以x5的系数为(－1)64C＝.
(3)要使2n－k，即为整数，只需k为偶数，由于k＝0,1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．2．2.3　独立重复试验与二项分布
独立重复试验
要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验．
问题1：每次试验的前提是什么？
提示：条件相同．
问题2：试验结果有哪些？
提示：正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生．
问题3：各次试验的结果有无影响？
提示：无，即各次试验相互独立．
独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．
对独立重复试验概念的理解
(1)每次试验都是在相同的条件下进行；
(2)每次试验的结果相互独立；
(3)每次试验都只有两种结果(即某事件要么发生，要么不发生)，并且在任何一次试验中事件发生的概率均相等；
(4)独立重复试验是相互独立事件的特例.
二项分布
在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8.用Ai(i＝1,2,3)表示第i次投篮命中这件事，用B1表示仅投中1次这件事．
问题1：试用Ai表示B1.
提示：B1＝(A123)∪(1A23)∪(1
2A3)．
问题2：试求P(B1)．
提示：因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8，
且A123，1A23，12A3两两互斥，
故P(B1)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3)
＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22
＝3×0.8×0.22.
问题3：用Bk表示投中k次这件事，试求P(B2)和P(B3)．
提示：P(B2)＝3×0.2×0.82，P(B3)＝0.83.
问题4：由以上结果你能得出什么结论？
提示：P(Bk)＝C0.8k0.23－k，k＝0,1,2,3.
二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
二项分布的理解
(1)若X～B(n，p)，则X必须是n次独立重复试验中事件A发生的次数，且p为成功概率(即事件A发生的概率)．
(2)由于P(X＝k)恰好是n的展开式中的第k＋1项，与二项式定理有关，所以称随机变量X的概率分布为二项分布．
求有关二项分布的概率
　某安全监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检)，若安检不合格，则必须整改．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率都是0.5.计算：
(1)恰有两家煤矿必须整改的概率；
(2)至少有两家煤矿必须整改的概率．
　设需整改的煤矿有X家，则X～B(5，0.5)．
(1)恰好有两家煤矿必须整改的概率为
P(X＝2)＝C×(1－0.5)2×0.53＝.
(2)“至少有两家煤矿必须整改”的对立事件为“5家都不用整改或只有一家必须整改”，其概率为
P(X＝0)＋P(X＝1)＝C×(1－0.5)0×0.55＋C×(1－0.5)1×0.54＝，所以至少有两家煤矿必须整改的概率为1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－＝.
1．二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n，p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率．
2．二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．
甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，求：
(1)甲恰好击中目标2次的概率；
(2)乙至少击中目标2次的概率；
(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率．
解：(1)甲恰好击中目标2次的概率为
C2·＝.
(2)乙至少击中目标2次的概率为
C2·＋C3＝.
(3)设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次为事件B1，乙恰好击中目标3次且甲恰好击中目标1次为事件B2，则A＝B1∪B2，B1，B2为互斥事件．
P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝C2··C3＋C3·C·2＝＋＝.
求二项分布的分布列
　(湖南高考节选)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；
(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列．
　(1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，
B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．
由题意知A1与A2相互独立，A12与1A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A12＋1A2，C＝B1＋B2.
因为P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，
所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，
P(B2)＝P(A12＋1A2)＝P(A12)＋P(1A2)
＝P(A1)P(2)＋P(1)P(A2)
＝P(A1)(1－P(A2))＋(1－P(A1))P(A2)
＝×＋×＝.
故所求概率为P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝.
(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，
由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，
所以X～B.
于是P(X＝0)＝C03＝，
P(X＝1)＝C12＝，
P(X＝2)＝C21＝，
P(X＝3)＝C30＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
P
解此类问题，一定要掌握如何建模，这一点至关重要，利用二项分布求解时，注意n是独立重复试验的次数，p是每次试验中某事件发生的概率．
袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．有放回抽样时，求取到黑球的个数X的分布列．
解：有放回抽样时，取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.又每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则X～B.
∴P(X＝0)＝C×0×3＝，
P(X＝1)＝C×1×2＝，
P(X＝2)＝C×2×1＝，
P(X＝3)＝C×3×0＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
　　　　
　某气象台预报每天天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少有2天预报准确的概率是________．
　至少有2天预报准确，即为恰有2天或恰有3天预报准确概率为C×0.82×0.2＋C×0.83＝0.896.
所以至少有2天预报准确的概率为0.896.
　0.896
1．求解时对“至少有2天”的含义理解出错，误认为“恰有2天”，实际是“恰有2天”和“有3天”两种情况．
2．在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．
在本例条件下，至少有一个连续2天预报都准确的概率是多少？
解：至少有一个连续2天预报都准确，即为恰有一个连续2天预报都准确或3天预报都准确，概率为2×0.82×0.2＋0.83＝0.768.所以至少有一个连续2天预报都准确的概率为0.768.
1．任意抛掷三枚硬币，恰有两枚正面朝上的概率为(　　)
A.　　　　　　　　
B.
C.
D.
解析：选B　每枚硬币正面朝上的概率为，正面朝上的次数X～B，故所求概率为C2×＝.
2．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)等于(　　)
A．C2×
B．C2×
C.2×
D.2×
解析：选C　ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是2×.
3．下列说法正确的是________．(填序号)
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6)；
②某福彩的中奖概率为P，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，P)；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B.
解析：①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．
答案：①②
4．设X～B(4，p)，且P(X＝2)＝，那么一次试验成功的概率p等于________．
解析：P(X＝2)＝Cp2(1－p)2＝，即p2(1－p)2＝2·2，解得p＝或p＝.
答案：或
5．甲、乙两人各射击一次击中目标的概率分别是和，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，每次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．
(1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率．
解：设“甲、乙两人各射击一次目标击中分别记为A，B”，则P(A)＝，P(B)＝.
(1)甲射击4次，全击中目标的概率为
C40＝4＝.
所以甲射击4次至少1次未击中目标的概率为
1－＝.
(2)甲、乙各射击4次，甲恰好击中2次，概率为
C4·2＝6×2×2＝.
乙恰好击中3次，概率为C3·1＝.
故所求概率为×＝.
一、选择题
1．某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分．已知他解题的正确率为，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率是(　　)
A．C4×
B．C5
C．C4×＋C5
D．1－C3×2
解析：选C　该生被选中包括“该生做对4道题”和“该生做对5道题”两种情形．
故所求概率为P＝C4×＋C5.
2．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测：方法一，在10箱中各任意抽查一枚；方法二，在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、方法二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p1和p2，则(　　)
A．p1＝p2　　　　　
B
.p1C
.p1>p2
D．以上三种情况都有可能
解析：选B　方法一：每箱选中劣币的概率为，则p1＝1－C×0.010×0.9910＝1－10；同理，方法二：所求事件的概率p2＝1－5＝1－5，∴p13．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是(　　)
A．
B．(0,0.4]
C．(0,0.6]
D．
设有12个西瓜，其中重5
kg的有4个，重6
kg的有3个，重7
kg的有5个．
问题1：任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试想X可以取哪些值．
提示：X＝5,6,7.
问题2：X取上述值时对应的概率分别是多少？
提示：，，.
问题3：试想每个西瓜的平均重量该如何求．
提示：＝5×＋6×＋7×.第二课时　排列(习题课)
1．两个计数原理有何区别？
略
2．排列与排列数有何不同？
略
无限制条件的排列问题
　有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(4)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？
　从5个不同的课题中选3个，由3个学习兴趣小组进行研究，每种选法对应于从5个不同元素中选出3个元素的一个排列．
因此有A＝5×4×3＝60种不同的安排方法．
没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．
某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示________种不同的信号．
解析：第1类，挂1面旗表示信号，有A种不同方法；
第2类，挂2面旗表示信号，有A种不同方法；
第3类，挂3面旗表示信号，有A种不同方法．
根据分类加法计数原理，共有A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15种可以表示的信号．
答案：15
元素的“在”与“不在”问题
　3名男生、4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排队方案有多少种．
(1)甲不站中间，也不站两端；
(2)甲、乙两人必须站两端．
　(1)分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的6人中选3人排列，有A种站法，然后再排其他位置，有A种站法，所以共有A·A＝2
880种不同站法．
(2)甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有A种站法，其余5人全排列，有A种站法．故共有A·A＝240种不同站法．
1．“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．
2．从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在剩余位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．注意：无论从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．
乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员安排在第一、三、五位置上，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置上，那么不同的出场安排有________种．
解析：分两步完成：第1步，安排3名主力队员有A种排法；第2步，安排另2名队员有A种排法，所以共有A·A＝252种不同的出场安排．
答案：252
元素的“相邻”或“不相邻”问题
　3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．
(1)全体站成一排，男、女各站在一起；
(2)全体站成一排，男生必须站在一起；
(3)全体站成一排，男、女各不相邻．
　(1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A种排法；
女生必须站在一起是女生的全排列，有A种排法；
全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法．
由分步乘法计数原理知，共有A·A·A＝288种排队方法．
(2)3名男生全排列有A种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A种排法．故有A·A＝720种排队方法．
(3)排好男生后让女生插空，共有A·A＝144种排法．
1．元素相邻问题利用“捆绑法”处理，即把相邻元素看做一个整体，视为一个元素，参与其他元素的排列．同时，应注意捆绑元素的内部排列．
2．元素不相邻问题利用“插空法”处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．
3．处理元素“相邻”“不相邻”或“元素定序”问题，应遵循“先整体，后局部”的原则，元素相邻问题一般用“捆绑法”，元素不相邻问题一般用“插空法”．
7人站成一排．求：
(1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？
(2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？
(3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？
(4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？
解：(1)(捆绑法)将甲、乙两人“捆绑”为一个元素，与其余5人全排列，共有A种排法．甲、乙两人可交换位置，有A种排法．故共有A·A＝1
440种排法．
(2)法一(间接法)：7人任意排列，有A种排法．甲、乙两人相邻有A·A种排法，故共有A－A·A＝3
600种甲、乙不相邻的排法．
法二(插空法)：将其余5人排列，有A种排法.5人之间及两端共有6个位置，任选2个排甲、乙两人，有A种排法．故共有A·A＝3
600种排法．
(3)(捆绑法)将甲、乙、丙三人捆绑在一起与其余4人全排列，有A种排法，甲、乙、丙三人有A种排法，共有A·A＝720种排法．
(4)(插空法)将其余4人排好，有A种排法．将甲、乙、丙插入5个空中，有A种排法．故共有A·A＝1
440种排法．
　　　　
数字排列问题是排列问题的重要题型，解题时要着重从附加限制条件入手分析，找出解题的思路．常见附加条件有：(1)首位不能为0；(2)有无重复数字；(3)奇偶数；(4)某数的倍数；(5)大于(或小于)某数．
　用0,1,2,3,4,5这六个数字组成无重复数字的整数，求满足下列条件的数各有多少个．
(1)六位数；
(2)六位奇数．
　(1)(间接法)：0,1,2,3,4,5六个数字共能形成A种不同的排法，当0在首位时不满足题意，故可以组成A－A＝600个没有重复数字的六位数．
(2)法一(位置分析法)：①从个位入手：个位数排奇数，即从1,3,5中选1个有A种方法，首位数在排除0及个位数余下的4位数字中选1个有A种方法，余下的数字可在其他位置全排列有A种方法，由分步乘法计数原理知，共有A·A·A＝288个不同的六位奇数．
②从首位入手：对首位排奇数还是非0偶数分两类进行．
第1类，首位排奇数，有A种选择，再个位排奇数有A种方法，其余位置全排列有A种．则共有A·A·A＝144种方法．
第2类，首位排非0偶数，共有A·A·A＝144种方法．
根据分类加法计数原理，共有144＋144＝288个六位奇数．
法二(元素分析法)：0不在两端有A种排法．从1,3,5中选1个排在个位，剩下的4个数字全排列．故共有A·A·A＝288个六位奇数．
排数字问题常见的解题方法
(1)“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”．
(2)“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意如下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏．
(3)“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数．
(4)“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好．
在本例条件下，试求：
(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？
(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？
解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：
第1类，0在个位时，有A个；第2类，2在个位时，首位上的数字从1,3,4,5中选定1个(A种)，十位上的数字和百位上的数字从余下的数字中选，有A种，于是有A·A个；第3类，4在个位时，与第2类同理，也有A·A个．由分类加法计数原理可知：共有A＋2A·A＝156个无重复数字的四位偶数．
(2)可分为两类：第1类，个位上为0的五位数有A个；第2类，个位上为5的五位数有A·A个，故共有A＋A·A＝216个无重复数字且为5的倍数的五位数．
1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为(　　)
A．36　　　　　　　　　　
B．120
C．720
D．240
解析：选C　由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A＝720.
2．要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有(　　)
A．1
440种
B．960种
C．720种
D．480种
解析：选B　从5名志愿者中选2人排在两端有A种排法，2位老人的排法有A种，其余3人和老人排有A种排法，共有A·A·A＝960种不同的排法．
3．(广东高考)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)
解析：A＝40×39＝1
560.
答案：1
560
4．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种．(用数字作答)
解析：文娱委员有3种选法，则安排学习委员、体育委员有A种方法．由分步乘法计数原理知，共有3A＝3×12＝36种选法．
答案：36
5．喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起拍合影照(排成一排)．
(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？
(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？
解：(1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，排法为A.又因为四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有A·A＝144种排法．
(2)分两步：第1步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有A种排法；第2步，让灰太狼、红太狼插四人形成的空(包括两端)，有A种排法，共有A·A＝480种排法．
一、选择题
1．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有(　　)
A．20种　　　　　　　　
B．30种
C．40种
D．60种
解析：选A　分类完成，甲排周一，乙、丙只能从周二至周五这4天中选2天排，有A种安排方法；甲排周二，乙、丙只能从周三至周五这3天中选2天排，有A种安排方法；甲排周三，乙、丙只能排周四和周五，有A种安排方法．由分类加法计数原理可知，共有A＋A＋A＝20种不同的安排方法．
2．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目、2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是(　　)
A．1
800
B．3
600
C．4
320
D．5
040
解析：选B　利用插空法，先将4个音乐节目和1个曲艺节目全排列，有A种，然后从6个空中选出2个空将舞蹈节目插入，有A种排法，所以共有A·A＝3
600种排法．
3．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为(　　)
A．324
B．328
C．360
D．648
解析：选B　若个位数是0，从其余9个数中取出两个数排在前两位，有A种排法；若个位数不是0,
先从2,4,6,8中取一个放在个位，在其余8个数(不包括0)中取出1个数排在百位，再从其余8个数(包括0)中取出一个数排在十位，有4×8×8＝256种排法，所以满足条件的三位偶数的个数共有A＋256＝328.
4．直线Ax＋By＝0的系数A，B可以在0,1,2,3,5,7这六个数字中选取，则这些方程所表示的不同直线有(　　)
A．30条
B．23条
C．22条
D．14条
解析：选B　当A＝B≠0时，表示同一直线x＋y＝0；当A＝0，B≠0时，表示直线y＝0；当A≠0，B＝0时，表示直线x＝0；当A≠0，B≠0，A≠B时有A条直线，故共有1＋1＋1＋A＝23条直线．
5．由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位数字的数共有(　　)
A．210个
B．300个
C．464个
D．600个
解析：选B　个位数要么小于十位数，要么大于十位数，故有AA＝300个．
二、填空题
6．8次投篮中，投中3次，其中恰有2次连续命中的情形有________种．
解析：将2次连续命中当作一个整体，和另一次命中插入另外5次不命中留下的6个空进行排列，有A＝30种情形．
答案：30
7．要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表．要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为__________．(用数字作答)
解析：先在前3节课中选一节安排数学，有A种安排方法；
在除了数学课与第6节课外的4节课中选一节安排英语课，有A种安排方法；
其余4节课无约束条件，有A种安排方法．
根据分步乘法计数原理，不同的排法种数为A·A·A＝288.
答案：288
8．用1,2,3,4,5,6,7,8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，这样的八位数共有________个．(用数字作答)
解析：把相邻的两个数捆绑(看成一个整体)，三捆组内部都有A种排列方法，它们与另外2个数之间又有A种排列方法．根据分步乘法计数原理知，共有AAAA＝8×120＝960个八位数．
答案：960
三、解答题
9．有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程，从中选4门安排在上午的4节课中，其中化学不排在第四节，共有多少种安排方法？
解：法一(分类法)：分两类：
第1类，化学被选上，有A·A种排法；
第2类，化学不被选上，有A种排法．
故共有A·A＋A＝300种不同的安排方法．
法二(分步法)：第1步，第四节有A种排法；
第2步，其余三节有A种排法，
故共有A·A＝300种不同的安排方法．
法三(间接法)：从6门课中选4门课有A种排法，而化学排第四节有A种排法，
故共有A－A＝300种不同的安排方法．
10．7名班委中有A，B，C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．
(1)若正、副班长两职只能从A，B，C三人中选两人担任，有多少种分工方案？
(2)若正、副班长两职至少要选A，B，C三人中的一人担任，有多少种分工方案？
解：(1)先排正、副班长有A种方法，再安排其余职务有A种方法，依分步计数原理，共有AA＝720种分工方案．
(2)7人中任意分工方案有A种，A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有AA种，因此A，B，C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A－AA＝3
600(种)．
11．用0,1,2，…，9十个数可组成多少个满足以下条件且没有重复数字的排列？
(1)五位奇数；
(2)大于30
000的五位偶数．
解：(1)要得到五位奇数，末位应从1,3,5,7,9五个数字中取，有5种取法，取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的8种不同取法．首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位、百位与千位三个数位选取，共有A种不同的排列方法．因此由分步乘法计数原理共有5×8×A＝13
440个没有重复数字的五位奇数．
(2)要得到偶数，末位应从0,2,4,6,8中选取，而要比30
000大的五位偶数，可分两类：
①末位数字从0,2中选取，则首位可取3,4,5,6,7,8,9中任一个，共7种选取方法，其余三个数位就有除首尾两个数位上的数字之外的八个数字可以选取，共A种取法．所以共有2×7×A种不同情况．
②末位数字从4,6,8中选取，则首位应从3,4,5,6,7,8,9中除去末位数字的六位数字中选取，其余三个数位仍有A种选法，所以共有3×6×A种不同情况．
由分类加法计数原理，比30
000大的无重复数字的五位偶数的个数共有2×7×A＋3×6×A＝10
752.第一课时　组合与组合数公式
组合与组合数
从1,3,5,7中任取两个数相除或相乘．
问题1：所得商和积的个数相同吗？
提示：不相同．
问题2：它们是排列吗？
提示：从1,3,5,7中任取两个数相除是排列，而相乘不是排列．
1．组合
一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．
组合定义的理解
(1)组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的．
(2)无序性是组合的特点，取出的m个元素是不讲顺序的，也就是说元素没有位置的要求．
(3)只要两个组合中的元素完全相同，则无论元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合.
组合数公式
从1,3,5,7中任取两个数相除．
问题1：可以得到多少个不同的商？
提示：A＝4×3＝12个不同的商．
问题2：如何用分步法求商的个数？
提示：第1步，从这四个数中任取两个数，有C种方法；第2步，将每个组合中的两个数排列，有A种排法．由分步乘法计数原理，可得商的个数为CA.
问题3：由问题1、问题2你能得出计算C的公式吗？
提示：能．因为A＝CA，所以C＝＝6.
问题4：你能把问题3的结论推广到一般吗？
提示：可以，从n个不同元素中取出m个元素的排列数可由以下两个步骤得到：
第1步，从这n个不同元素中取出m个元素，共有C种不同的取法；
第2步，将取出的m个元素全排列，共有A种不同的排法．
由分步乘法计数原理知，A＝C·A，故C＝.
组合数公式
组合数
公式
乘积形式C＝＝
阶乘形式C＝
性质
①C＝；②C＝
备注
①n，m∈N
，m≤n；②规定C＝1，C＝1
组合数公式C＝的分子是连续m个正整数n，n－1，n－2，…，(n－m＋1)的乘积，即从n开始减小的连续m个自然数的积，而分母是1,2,3，…，m的乘积．当含有字母的组合式要进行变形论证时，利用此公式较为方便．
组合的有关概念
　判断下列各事件是排列问题还是组合问题．
(1)10个人相互各写一封信，共写多少封信？
(2)10个人相互通一次电话，共通了多少次电话？
(3)从10个人中选3个代表去开会，有多少种选法？
(4)从10个人里选出3个不同学科的代表，有多少种选法？
　(1)是排列问题．因为发信人与收信人是有区别的．
(2)是组合问题．因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别．
(3)是组合问题．因为3个代表之间没有顺序的区别．
(4)是排列问题．因为3个人中，担任哪一学科的代表是有顺序区别的．
根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．
从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．
解：要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示．
由此可得所有的组合为
ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
与组合数有关的计算
　(1)计算：C－C·A；
(2)若－<，求n的取值集合．
　(1)原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0.
(2)由－<，
可得n2－11n－12<0，
解得－1又n∈N
，且n≥5，
所以n∈{5,6,7,8,9,10,11}．
所以n的取值集合为{5,6,7,8,9,10,11}．
在利用组合数公式进行计算、化简时，要灵活运用组合数的性质，一般地，计算C时，若m比较大，可利用性质①，不计算C而改为计算C，在计算组合数之和时，常利用性质②.
1．计算：C＋C·C.
解：原式＝C＋C×1＝＋＝56＋4
950＝5
006.　
2．求等式＝中的n的值．
解：原方程可变形为＋1＝，C＝C，即
＝·，化简整理，得n2－3n－54＝0.解此二次方程，得n＝9或n＝－6(不合题意，舍去)，所以n＝9为所求．
简单的组合问题
　在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选5人；
(2)甲、乙、丙三人必须参加；
(3)甲、乙、丙三人不能参加；
(4)甲、乙、丙三人中只能有1人参加．
　(1)从中任取5人是组合问题，共有C＝792种不同的选法．
(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C＝36种不同的选法．
(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C＝126种不同的选法．
(4)甲、乙、丙三人中只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C＝3种选法；再从另外9人中选4人，有C种选法．共有CC＝378种不同的选法．
解答简单的组合问题的方法
(1)弄清要做的这件事是什么事；
(2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题；
(3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果．
现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
(1)现要从中选2名教师去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种？
(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数为C＝＝45.
(2)可把问题分两类情况：
第1类，选出的2名是男教师有C种选法；
第2类，选出的2名是女教师有C种选法．
根据分类加法计数原理，共有C＋C＝15＋6＝21种不同的选法．
(3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有C×C＝×＝90种不同的选法．
　　　　
　已知：－＝，求m的值．
　依题意，m的取值范围是{m|0≤m≤5，m∈N
}．
因为－
＝，
化简得m2－23m＋42＝0，
解得m＝21或m＝2.
因为0≤m≤5，m∈N
，
所以m＝21舍去，所以m＝2.
1．运用组合数公式转化为关于m的一元二次方程后，易忽略0≤m≤5的取值范围，导致错误．解这类题目时，要将C中m，n的范围与方程的解综合考虑，切忌盲目求解．
2．应用组合数性质C＝C可以得到m＝p或m＋p＝n两种可能．切忌只考虑到了两者相等的情况，而忽略了m＋p＝n的情况，从而导致错误．
已知C＝C，则x的值是(　　)
A．2　　　　B．6　　　　C.　　　　D．2或6
解析：选D　根据组合数性质C＝C可得
若C＝C，则根据题意得
解得x＝2或x＝6.
1．方程C＝C的解为(　　)
A．4或9　　　　　　　　
B．4
C．9
D．其他
解析：选A　当x＝3x－8时，解得x＝4；当28－x＝3x－8时，解得x＝9.
2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为(　　)
A．14
B．24
C．28
D．48
解析：选A　从6人中任选4人的选法种数为C＝15，其中没有女生的选法有1种，故至少有1名女生的选法种数为15－1＝14.
3．计算：C＋C＝____________.
解析：C＋C＝C＝C＝＝1
275.
答案：1
275
4．10个人分成甲、乙两组，甲组4人、乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)
解析：先给甲组选4人，有C种选法，余下的6人为乙组，故共有不同的分组种数为C＝210.
答案：210
5．7名男生、5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种．
(1)A，B必须当选；
(2)A，B必不当选；
(3)A，B不全当选．
解：(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，故有不同的选法种数为C＝120.
(2)从除去的A，B两人的10人中选5人即可，故有不同的选法种数为C＝252.
(3)全部选法有C种，A，B全当选有C种，故A，B不全当选的选法种数为C－C＝672.
一、选择题
1．某乡镇共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该乡镇内建“村村通”工程，共需建公路的条数为(　　)
A．4　　　　　　　　　　
B．8
C．28
D．64
解析：选C　由于“村村通”公路的修建是组合问题，故共需要建C＝28条公路．
2．已知C－C＝C，则n等于(　　)
A．14
B．12
C．13
D．15
解析：选A　∵C＝C，∴7＋8＝n＋1，∴n＝14.
3．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有(　　)
A．252种
B．112种
C．20种
D．56种
解析：选B　每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人，3人，4人，5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定，所以有C＋C＋C＋C＝112种分配方案．
4．某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是(　　)
A．CC
B．CC
C．C
D．AA
解析：选B　按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有CC种抽法．
5．异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是(　　)
A．20
B．9
C．C
D．CC＋CC
解析：选B　分两类：第1类，在直线a上任取一点，与直线b可确定C个平面；第2类，在直线b上任取一点，与直线a可确定C个平面．故可确定C＋C＝9个不同的平面．
二、填空题
6．从0,1，，，，2这六个数字中，任取两个数字作为直线y＝xtan
α＋b的倾斜角和截距，可组成________条平行于x轴的直线．
解析：要使得直线与x轴平行，则倾斜角为0，截距在0以外的五个数字均可，故有C＝5条满足条件．
答案：5
7．不等式C－n<5的解集为________．
解析：由C－n<5，得－n<5，
∴n2－3n－10<0.
解得－2，
∴n＝2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}．
答案：{2,3,4}
8．设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A中含有3个元素的子集共有________个．
解析：从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的子集，则共有C＝10个子集．
答案：10
三、解答题
9．计算：(1)C＋C·C；
(2)C＋C＋C＋C＋C＋C；
(3)C·C.
解：(1)原式＝C＋C×1＝＋＝35＋1
225＝1
260.
(2)原式＝2(C＋C＋C)＝2(C＋C)
＝2＝32.
(3)法一：原式＝C·C＝·n＝·n＝(n＋1)·n＝n2＋n.
法二：原式＝(C＋C)·C＝(1＋C)·C＝(1＋n)·n＝n2＋n.
10．要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？
(1)甲当选且乙不当选；
(2)至少有1女且至多有3男当选．
解：(1)甲当选且乙不当选，只需从余下的8人中任选4人，有C＝70种选法．
(2)至少有1女且至多有3男时，应分三类：
第1类是3男2女，有CC种选法；
第2类是2男3女，有CC种选法；
第3类是1男4女，有CC种选法．
由分类加法计数原理知，共有CC＋CC＋CC＝186种选法．
11．判断下列问题是组合问题还是排列问题，然后再算出问题的结果．
(1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少？
(2)用没有任何三点共线的五个点可以连成多少条线段？如果连成有向线段，共有多少条？
(3)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？
解：(1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从集合{0,1,2,3,4}中取出3个数的组合．这是一个组合问题，组合的个数是C＝＝10，所以子集的个数是10.
(2)由5个点中取两个点恰好连成一条线段，不用考虑这两个点的次序，所以是组合问题，组合数是C＝＝10，连成的线段共有10条．再考虑有向线段问题，这时两个点的先后排列次序不同对应两个不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是A＝5×4＝20，所以有向线段共有20条．
(3)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题．排列数是A＝9×8＝72，所以选正、副班长共有72种选法．选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题．组合数是C＝＝36，所以不同的选法有36种．