1.3
简单的逻辑联结词
逻辑联结词“且”“或”“非”
[提出问题]
如图所示，有三种电路图．
问题1：甲图中，什么情况下灯亮？
提示：开关p闭合且q闭合．
问题2：乙图中，什么情况下灯亮？
提示：开关p闭合或q闭合．
问题3：丙图中，什么情况下灯不亮？
提示：开关p不闭合时．
[导入新知]
符号
含义
读法
p∧q
用联结词“且”把命题p和命题q联结起来的一个新命题
p且q
p∨q
用联结词“或”把命题p和命题q联结起来的一个新命题
p或q
綈p
对一个命题p全盘否定的一个新命题
非p或p的否定
[化解疑难]
1．“且”含义的理解
联结词“且”与日常用语中的“并且”“和”“同时”等词语等价，表示的是同时具有的意思．
2．“或”含义的理解
联结词“或”与日常用语中的“或者”“可能”等词语等价，它有三层含义，如“p或q”表示：要么是p不是q；要么是q不是p；要么是p且q.
3．“非”含义的理解
联结词“非”与日常用语中的“不是”“否定”“全盘否定”“问题的反面”等词语等价.
含有逻辑联结词的命题的真假判断
[提出问题]
如“知识点一”中的图，若开关p，q的闭合与断开分别对应命题p、q的真与假，则灯亮与不亮分别对应着p∧q，p∨q，綈p的真与假．
问题1：什么情况下，p∧q为真？
提示：当p真，q真时．
问题2：什么情况下，p∨q为假？
提示：当p假，q假时．
问题3：什么情况下，綈p为真？
提示：当p假时．
[导入新知]
“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假判断
p
q
p∨q
p∧q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
假
真
假
假
假
假
真
[化解疑难]
命题“p∧q”“p∨q”“綈p”真假的记忆
(1)对于“p∧q”，简称为“一假则假”，即p，q中只要有一个为假，则“p∧q”为假；
(2)对于“p∨q”，简称为“一真则真”，即p，q中只要有一个为真，则“p∨q”为真．
用逻辑联结词联结新命题
[例1] 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题．
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；
(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
[解] (1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．
p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．
綈p：梯形没有一组对边平行．
(2)p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
綈p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．
[类题通法]
用“或”“且”“非”联结两个简单命题时，要正确理解这三个联结词的意义，通常情况下，可以直接使用逻辑联结词联结，有时为了通顺也可以适当添加词语或省略联结词．如甲是运动员兼教练员，就省略了“且”．
[活学活用]
指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题：
(1)方程2x2＋1＝0没有实数根；
(2)12能被3或4整除．
解：(1)是“綈p”形式，其中p：方程2x2＋1＝0有实根．
(2)是“p或q”形式，其中p：12能被3整除；q：12能被4整除.
含有逻辑联结词的命题的真假判断
[例2] 分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题，并判断其真假．
(1)p：等腰梯形的对角线相等，q：等腰梯形的对角线互相平分；
(2)p：函数y＝x2－2x＋2没有零点，q：不等式x2－2x＋1＞0恒成立．
[解] (1)p∨q：等腰梯形的对角线相等或互相平分，真命题．
p∧q：等腰梯形的对角线相等且互相平分，假命题．
綈p：等腰梯形的对角线不相等，假命题．
(2)p∨q：函数y＝x2－2x＋2没有零点或不等式x2－2x＋1＞0恒成立，真命题．
p∧q：函数y＝x2－2x＋2没有零点且不等式x2－2x＋1＞0恒成立，假命题．
綈p：函数y＝x2－2x＋2有零点，假命题．
[类题通法]
1．命题结构的两种类型及判断方法
(1)从含有联结词“且”“或”“非”或者与之等价的词语上进行判断．
(2)若命题中不含有联结词，则从命题所表达的数学意义上进行判断．
2．判断命题真假的三个步骤
(1)明确命题的结构，即命题是“p∧q”“p∨q”，还是“綈p”；
(2)对命题p和q的真假作出判断；
(3)由“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假判断方法给出结论．
[活学活用]
分别写出下列含有逻辑联结词的命题的形式，并判断其真假．
(1)等腰三角形顶角的平分线平分且垂直于底边；
(2)1或－1是方程x2＋3x＋2＝0的根；
(3)A
(A∪B)．
(1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真，q真，则“p∧q”真，所以该命题是真命题．
(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：1是方程x2＋3x＋2＝0的根，q：－1是方程x2＋3x＋2＝0的根，因为p假，q真，则“p∨q”真，所以该命题是真命题．
(3)这个命题是“綈p”的形式，其中p：A (A∪B)，因为p真，则“綈p”假，所以该命题是假命题.
根据含逻辑联结词命题的真假求参数取值范围
[例3] 已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的正实数根，命题q：方程4x2＋4(m＋2)x＋1＝0无实数根．若“p或q”为真命题，求实数m的取值范围．
[解] “p或q”为真命题，则p为真命题或q为真命题．
当p为真命题时，有，
解得m＜－2；
当q为真命题时，
有Δ＝16(m＋2)2－16＜0，
解得－3＜m＜－1.
综上可知，实数m的取值范围是(－∞，－1)．
[类题通法]
解决此类问题的方法，一般是先假设p，q分别为真，化简其中的参数取值范围，然后当它们为假时取其补集，最后确定参数的取值范围．当p，q中参数的范围不易求出时，也可以利用綈p与p，綈q与q不能同真同假的特点，先求綈p，綈q中参数的范围．
[活学活用]
对命题p：1是集合{x|x2＜a}中的元素；q：2是集合{x|x2＜a}中的元素，则a为何值时，“p或q”为真？a为何值时，“p且q”为真？
解：若p为真，则1∈{x|x2＜a}，
所以12＜a，即a＞1；
若q为真，则2∈{x|x2＜a}，即a＞4.
若“p或q”为真，则a＞1或a＞4，即a＞1；
若“p且q”为真，则a＞1且a＞4，即a＞4.
[典例] (12分)已知命题p：函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3在[－2，＋∞)上单调递增，q：关于x的不等式ax2－ax＋1＞0解集为R.若p∧q假，p∨q真，求实数a的取值范围．
[解题流程]
[活学活用]
若命题p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，写出綈p，若綈p是假命题，则a的取值范围是什么？
解：綈p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上不是减函数．
因为綈p为假命题，
所以p为真命题．
因此－(a－1)≥4.
故a≤－3，
即所求a的取值范围是(－∞，－3]．
[随堂即时演练]
1．p：点P在直线y＝2x－3上，q：点P在抛物线y＝－x2上，下面使“p∧q”为真命题的一个点P(x，y)是( )
A．(0，－3)
B．(1,2)
C．(1，－1)
D．(－1,1)
解析：选C 使“p∧q”为真命题的点即为直线y＝2x－3与抛物线y＝－x2的交点．
2．已知命题p：设x∈R，若|x|＝x，则x>0，命题q：设x∈R，若x2＝3，则x＝，则下列命题为真命题的是( )
A．p∨q
B．p∧q
C．(綈p)∧q
D．(綈p)∨q
解析：选D 由|x|＝x应得x≥0而不是x>0，故p为假命题；由x2＝3应得x＝±，而不只有x＝，故q为假命题．因此綈p为真命题，从而(綈p)∨q也为真命题．
3．命题p：2 {1,3}，q：2 {x|x2－4＝0}，则命题p∧q：2 {1,3}且2 {x|x2－4＝0}是________(填“真”或“假”)命题，命题p∨q：____________，是________(填“真”或“假”)命题．
解析：命题p：2 {1,3}是真命题．
因为{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，
所以命题q：2 {x|x2－4＝0}是假命题．
答案：假 2 {1,3}或2 {x|x2－4＝0} 真
4．若p：不等式ax＋b＞0的解集为xx＞－，q：关于x的不等式(x－a)(x－b)＜0的解集为{x|a＜x＜b}，且“p∧q”为真命题，则a，b满足__________．
解析：因为命题“p∧q”为真命题，
所以p、q均为真命题，于是a＞0，且a＜b.
答案：0＜a＜b
5．判断下列命题的真假：
(1)函数y＝cos
x是周期函数并且是单调函数；
(2)x＝2或x＝－2是方程x2－4＝0的解．
解：(1)由p：“函数y＝cos
x是周期函数”，q：“函数y＝cos
x是单调函数”，用联结词“且”联结后构成命题p∧q.因为p是真命题，q是假命题，所以p∧q是假命题．
(2)由p：“x＝2是方程x2－4＝0的解”，q：“x＝－2是方程x2－4＝0的解”，用“或”联结后构成命题p∨q.因为p，q都是真命题，所以p∨q是真命题．
[课时达标检测]
一、选择题
1．“xy≠0”是指( )
A．x≠0且y≠0
B．x≠0或y≠0
C．x，y至少一个不为0
D．x，y不都是0
解析：选A xy≠0是指x，y均不能为0，故选A.
2．若命题“p且q”为假，且綈p为假，则( )
A．p或q为假
B．q假
C．q真
D．p假
解析：选B 綈p为假，则p为真，而p∧q为假，得q为假．
3．已知全集U＝R，A U，B U，如果命题p：∈(A∪B)，则命题“綈p”是( )
A. A
B.∈( UA)∩( UB)
C.∈ UB
D. (A∩B)
解析：选B 由p：∈(A∪B)，可知綈p： (A∪B)，即∈ U(A∪B)，而 U(A∪B)＝( UA)∩( UB)，故选B.
4．由下列各组命题构成p或q，p且q，非p形式的新命题中，p或q为真命题，p且q为假命题，非p为真命题的是( )
A．p：3是偶数，q：4是奇数
B．p：3＋2＝6，q：5＞3
C．p：a∈{a，b}，q：{a}?{a，b}
D．p：Q?R，q：N＝N
解析：选B 由p或q为真命题，p且q为假命题，非p为真命题可知p为假命题且q为真命题，选项中符合要求的只有B.
5．若命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝x－的单调递增区间是[1，＋∞)，则( )
A．p∧q是真命题
B．p∨q是假命题
C．綈p是真命题
D．綈q是真命题
解析：选D 因为函数y＝x2－2x在[1，＋∞)上是增函数，所以其单调递增区间是[1，＋∞)，所以p是真命题；因为函数y＝x－的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q是假命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题，綈q为真命题．故选D.
二、填空题
6．命题“若a＜b，则2a＜2b”的否命题是__________，命题的否定是________________________．
解析：命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，命题的否定是“若p，则綈q”．
答案：若a≥b，则2a≥2b 若a＜b，则2a≥2b
7．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p∧q”“綈q”都是假命题，则x的值组成的集合为________________________________________________________________________．
解析：因为“p∧q”为假，“綈q”为假，所以q为真，p为假．
故即
因此，x的值可以是－1,0,1,2.
答案：{－1,0,1,2}
8．已知条件p：(x＋1)2＞4，条件q：x＞a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
解析：由綈p是綈q的充分不必要条件，可知綈p 綈q，但綈q
綈p.由一个命题与它的逆否命题等价，可知q p但p
q．又p：x＞1或x＜－3，可知{x|x＞a}?{x|x＜－3或x＞1}，所以a≥1.
答案：[1，＋∞)
三、解答题
9．指出下列命题是简单命题还是含逻辑联结词的命题，若是含逻辑联结词的命题，写出构成它的简单命题．
(1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
(2)若x∈{x|x＜1或x＞2}，则x是不等式(x－1)(x－2)＞0的解．
解：(1)是“p且q”形式的命题，其中p：两个角是45°的三角形是等腰三角形，q：两个角是45°的三角形是直角三角形．
(2)是“p或q”形式的命题，其中p：若x∈{x|x＜1}，则x是不等式(x－1)(x－2)＞0的解，q：若x∈{x|x＞2}，则x是不等式(x－1)(x－2)＞0的解．
10．命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为 ，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的取值范围：
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．
解：甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，
即a＞或a＜－1，①
乙命题为真时，2a2－a＞1，
即a＞1或a＜－.②
(1)甲、乙至少有一个是真命题，
即为a＜－或a＞，
∴甲、乙至少有一个是真命题时，a的取值范围是
(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，＜a≤1，当甲假乙真时，－1≤a＜－.
∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a的取值范围是2．2.1 椭圆及其标准方程
椭圆的定义
[提出问题]
取一条定长的细绳，把它的两端分别固定在图板的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖．
问题1：若绳长等于两点F1，F2的距离，画出的轨迹是什么曲线？
提示：线段F1F2.
问题2：若绳长大于两点F1，F2的距离，画出的轨迹还是线段吗？其图形又是什么？
提示：不是线段，椭圆．
[导入新知]
椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
[化解疑难]
定义中的条件2a＞|F1F2|＞0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：
(1)当2a＝|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2；
(2)当2a＜|F1F2|时，其轨迹不存在.
椭圆的标准方程
[提出问题]
在平面直角坐标系中，设A(－4,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(0，－4)．
问题1：若|PA|＋|PB|＝10，则点P的轨迹方程是什么？
提示：轨迹方程为＋＝1.
问题2：若|PC|＋|PD|＝10，则点P的轨迹方程是什么？
提示：＋＝1.
[导入新知]
若|F1F2|＝2c，|MF1|＋|MF2|＝2a(a＞c)，则椭圆的标准方程、焦点坐标及a，b，c的关系见下表：
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
焦点坐标
(－c,0)，(c,0)
(0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
[化解疑难]
1．标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上，对称轴是坐标轴．
2．标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x，y的平方和，并且分母不相等．
3．a，b，c三个量的关系：椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆.
椭圆标准方程的识别
[例1] 当3＜k＜9时，指出方程＋＝1表示的曲线．
[解] ∵3＜k＜9，
∴9－k＞0，k－3＞0.
(1)当9－k＞k－3，即3＜k＜6时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；
(2)当9－k＝k－3，即k＝6时，方程表示圆x2＋y2＝3；
(3)当9－k＜k－3，即6＜k＜9时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．
[类题通法]
根据椭圆标准方程的两种形式可知，焦点在哪一坐标轴上，哪一变量对应的分母大，即x2对应的分母大，焦点就在x轴上；y2对应的分母大，焦点就在y轴上．
[活学活用]
已知椭圆＋＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于________．
解析：由题意得m－2＞10－m＞0，
解得6＜m＜10.
又a2＝m－2，b2＝10－m，
则c2＝a2－b2＝2m－12＝4，
解得m＝8.
答案：8
求椭圆的标准方程
[例2] 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．
[解] (1)因为椭圆的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
将点(5,0)代入上式解得a＝5，又c＝4，
所以b2＝a2－c2＝25－16＝9.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
所以
故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.
[类题通法]
确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
[活学活用]
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)，；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．
解：(1)法一：若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由已知条件得
解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
若焦点在y轴上，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由已知条件得
解得
即a2＝4，b2＝8，
则a2＜b2，与题设中a＞b＞0矛盾，舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，
A≠B)．将两点(2，－)，代入，
得
解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，
所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，
故a2－b2＝16.①
又点(，－)在椭圆上，
所以＋＝1，
即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
椭圆的定义及其应用
[例3] 已知P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
[解] 在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos
60°，
即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①
由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4，
即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②
由①②得|PF1|·|PF2|＝4.
∴S＝|PF1|·|PF2|·sin
60°＝.
[类题通法]
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．
[活学活用]
已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2是它的焦点．过F1的直线AB与椭圆交于A，B两点，求△ABF2的周长．
解：∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，则△ABF2的周长＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a，
∴△ABF2的周长为4a.
定义法是求轨迹方程的一种常用方法．求解时，若能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．下面利用椭圆的定义求轨迹方程．
1．求三角形顶点的轨迹方程
[例] 已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
[解] 以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图所示．
由|BC|＝8，可知点B(－4,0)，C(4，0)，c＝4.
由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，
得|AB|＋|AC|＝10.
因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0，且y≠0)，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，但点A不在x轴上．
由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.
所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
[类题通法]
利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程．这就是用定义法求椭圆标准方程的方法，要注意检验．
[活学活用]
1．若本题中“且△ABC周长等于18”变为“且△ABC周长等于24”，试求此时顶点A的轨迹方程．
解：由题可知，此时2a＝24－8＝16，
则a＝8，c＝4，得b2＝a2－c2＝48，
所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
2．求动圆圆心的轨迹方程
[例] 已知动圆M过定点A(－3,0)，并且内切于定圆B：(x－3)2＋y2＝64，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解] 设动圆M的半径为r，
则|MA|＝r，|MB|＝8－r，
∴|MA|＋|MB|＝8，且8＞|AB|＝6，
∴动点M的轨迹是椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)，且焦点分别是A(－3,0)，B(3,0)，且2a＝8，
∴a＝4，c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7.
∴所求动圆圆心M的轨迹方程是＋＝1.
[类题通法]
巧妙地应用几何知识(两圆内切时圆心距与半径之间的关系)，寻求到|MA|＋|MB|＝8，而且8＞|AB|＝6，从而判断动点M的轨迹是椭圆．
[活学活用]
2．已知动圆M和定圆C1：x2＋(y－3)2＝64相内切，并且外切于定圆C2：x2＋(y＋3)2＝4，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：设动圆M的半径为r，圆心M(x，y)，两定圆圆心C1(0,3)，C2(0，－3)，半径r1＝8，r2＝2.
则|MC1|＝8－r，|MC2|＝r＋2.
故|MC1|＋|MC2|＝(8－r)＋(r＋2)＝10.
又|C1C2|＝6，则动圆圆心M的轨迹是椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)，
且焦点为C1(0,3)，C2(0，－3)，2a＝10，即a＝5，c＝3，
则b2＝a2－c2＝25－9＝16.
所以动圆圆心M的轨迹方程是＋＝1.
[随堂即时演练]
1．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C．x2＋＝1
D.＋＝1
解析：选D 由题意知，椭圆焦点在x轴上，且c＝2，∴a2＝2＋4＝6，
因此椭圆方程为＋＝1，故选D.
2．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作x轴的垂线与椭圆相交，一个交点为P，则△PF1F2的面积等于( )
A.
B.
C.
D．4
解析：选A 如图所示，
由定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
c＝＝，
又由PF1⊥F1F2，
可设点P的坐标为(－，y0)，
代入＋y2＝1，得|y0|＝，
即|PF1|＝，
所以S＝|PF1|·|F1F2|＝.
3．椭圆9x2＋16y2＝144的焦点坐标为________．
解析：椭圆的标准方程为＋＝1，
∴a2＝16，b2＝9，c2＝7，且焦点在x轴上，
∴焦点坐标为(－，0)，(，0)．
答案：(－，0)，(，0)
4．已知椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，－2)且a＝2b，则椭圆的标准方程为________________．
解析：∵c＝2，a2＝4b2，
∴a2－b2＝3b2＝c2＝12，
b2＝4，a2＝16.
又∵焦点在y轴上，
∴标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
5．求适合下列条件的椭圆的方程．
(1)焦距是10，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26；
(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，
P到它较近的一个焦点的距离等于2.
解：(1)由题意知2c＝10,2a＝26，
所以c＝5，a＝13，
所以b2＝a2－c2＝132－52＝144.
因为焦点所在的坐标轴不确定，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
∵P(0，－10)在椭圆上，
∴a＝10.
又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2，
∴－c－(－10)＝2，故c＝8，
∴b2＝a2－c2＝36，
∴所求椭圆的标准方程是＋＝1.
[课时达标检测]
一、选择题
1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4
B．5
C．8
D．10
解析：选D 根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，故选D.
2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2
B．6
C．4
D．12
解析：选C 由于△ABC的周长与焦点有关，设另一焦点为F，利用椭圆的定义，|BA|＋|BF|＝2，|CA|＋|CF|＝2，便可求得△ABC的周长为4.
3．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分且必要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：选B 利用椭圆定义．若P点轨迹是椭圆，则|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，常数)，∴甲是乙的必要条件．
反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．
这是因为：仅当2a＞|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a＜|AB|时，P点无轨迹，
∴甲不是乙的充分条件．
综上，甲是乙的必要不充分条件．
4．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．(3，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(－∞，－2)∪(3，＋∞)
D．(－6，－2)∪(3，＋∞)
解析：选D 由a2＞a＋6＞0，得
所以
所以a＞3或－6＜a＜－2.
5．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1或＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或＋＝1
解析：选B 由已知2c＝|F1F2|＝2，
∴c＝.
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2.
∴b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.
二、填空题
6．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是________．
解析：当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又∵2c＝2，∴c＝1.
∴m－4＝1，m＝5.
当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，
∴c2＝4－m＝1，
∴m＝3.
答案：3或5
7．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为____________．
解析：法一：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，且可知左焦点为F′(－2,0)．
从而有
解得
又因为a2＝b2＋c2，
所以b2＝12，
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
法二：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，从而a2＝16.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
8．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆的标准方程为__________．
解析：
如图，当点P在y轴上时△PF1F2的面积最大，
∴×8b＝12，
∴b＝3.
又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
三、解答题
9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点．设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
解：由点在椭圆上，得＋＝1.
又因为2a＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．
10．已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2＝＋.
(1)求此椭圆的方程；
(2)若点P满足∠F1PF2＝120°，求△PF1F2的面积．
解：(1)由已知得＝2，
∴＋＝4＝2a，∴a＝2.
∴b2＝a2－c2＝4－1＝3，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)在△PF1F2中，由余弦定理得
2＝2＋2－2·cos
120°，
即4＝2－，
∴4＝(2a)2－＝16－，
∴＝12，
∴S△PF1F2＝sin
120°
＝×12×＝3.2．4.1 抛物线及其标准方程
抛物线的定义
[提出问题]
如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．
问题1：|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？
提示：是．AB是直角三角形的一条直角边．
问题2：点D在移动过程中，满足什么条件？
提示：|DA|＝|DC|.
问题3：画出的曲线是什么形状？
提示：抛物线．
[导入新知]
抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
[化解疑难]
对抛物线定义的认识
(1)定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F叫做抛物线的焦点；一条定直线l，叫做抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.
(2)注意定点F不在直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．
抛物线的标准方程
[提出问题]
平面直角坐标系中，有以下点和直线：A(1,0)，B(－2,0)；l1：x＝－1，l2：x＝2.
问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹是什么？对应方程是什么？
提示：抛物线；y2＝4x.
问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？
提示：y2＝－8x.
[导入新知]
抛物线标准方程的几种形式
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p＞0)
x＝－
y2＝－2px(p＞0)
x＝
x2＝2py(p＞0)
y＝－
x2＝－2py(p＞0)
y＝
[化解疑难]
1．标准方程特征：等号一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一变量的一次项．
2．标准方程中p表示焦点到准线的距离，p的值永远大于零．
3．四个标准方程的区分：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向.
求抛物线的焦点及准线
[例1] 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2＝－14x；
(2)5x2－2y＝0；
(3)y2＝ax(a＞0)．
[解] (1)因为p＝7，所以焦点坐标是，准线方程是x＝.
(2)抛物线方程化为标准形式为x2＝y，
因为p＝，
所以焦点坐标是，准线方程是y＝－.
(3)由a＞0知p＝，所以焦点坐标是，准线方程是x＝－.
[类题通法]
已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由标准方程得到参数p，从而得焦点坐标和准线方程．需注意p＞0，焦点所在轴由标准方程一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴．
[活学活用]
求抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点坐标和准线方程．
解：把抛物线方程y＝ax2化成标准方程x2＝y.
当a＞0时，焦点坐标是，准线方程是y＝－；
当a＜0时，焦点坐标是，准线方程是y＝－.
综上知，所求抛物线的焦点坐标为，准线方程为y＝－.
求抛物线的标准方程
[例2] 求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点M(－6,6)；
(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．
[解] (1)由于点M(－6,6)在第二象限，
∴过M的抛物线开口向左或开口向上．
若抛物线开口向左，焦点在x轴上，
设其方程为y2＝－2px(p＞0)，
将点M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，
∴p＝3.∴抛物线的方程为y2＝－6x.
若抛物线开口向上，焦点在y轴上，
设其方程为x2＝2py(p＞0)，
将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，
∴抛物线的方程为x2＝6y.
综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.
(2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0)，
∴抛物线的焦点是F(2,0)，
∴＝2，∴p＝4，
∴抛物线的标准方程是y2＝8x.
②∵直线l与y轴的交点为(0，－3)，
即抛物线的焦点是F(0，－3)，
∴＝3，∴p＝6，
∴抛物线的标准方程是x2＝－12y.
综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.
[类题通法]
求抛物线的标准方程的关键与方法
(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数．
(2)方法：①直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程；
②直接根据定义求p，最后写标准方程；
③利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数．
[活学活用]
根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)准线方程为y＝－1；
(2)焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.
(1)由准线方程为y＝－1知抛物线焦点在y轴正半轴上，且＝1，则p＝2.故抛物线的标准方程为x2＝4y.
(2)设焦点在x轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，
则焦点坐标为，准线为x＝－，
则焦点到准线的距离是－－＝p＝3，
因此所求的抛物线的标准方程是y2＝6x.
利用抛物线定义求轨迹方程
[例3] 平面上动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程．
[解] 法一：设点P的坐标为(x，y)，
则有＝|x|＋1.
两边平方并化简，得y2＝2x＋2|x|.
∴y2＝∴点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0)．
法二：由题意，动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，由于点F(1,0)到y轴的距离为1，故当x＜0时，直线y＝0上的点符合条件；当x≥0时，题中条件等价于点P到点F(1,0)与到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，方程为y2＝4x.
故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x(x≥0)或y＝0(x＜0)．
[类题通法]
求轨迹方程一般有两种方法：一是直接法，根据题意直接列方程确定点P的轨迹方程；二是定义法，利用抛物线的定义确定轨迹的一部分为抛物线，再根据抛物线的性质写出方程．
[活学活用]
已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程．
解：法一：设点P的坐标为(x，y)，
由条件知|AP|＝r＋1(r为圆P的半径)，
即＝|x－1|＋1，
化简，整理得y2＝－8x.
∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.
法二：如图所示，作PK垂直于直线x＝1，垂足为K，作PQ垂直于直线x＝2，垂足为Q，则|KQ|＝1，∴|PQ|＝r＋1.
又|AP|＝r＋1，∴|AP|＝|PQ|，
故点P到圆心A(－2,0)的距离和定直线x＝2的距离相等，
∴点P的轨迹为抛物线，A(－2,0)为焦点，直线x＝2为准线．
∴＝2，∴p＝4.∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.
[典例] 已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标．
[解] 如图，作PN⊥l于N(l为准线)，作AB⊥l于B，
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|，
当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号．
∴(|PA|＋|PF|)min
＝|AB|＝3＋＝.
此时yP＝2，代入抛物线得xP＝2，
∴P点坐标为(2,2)．
[多维探究]
(1)若已知抛物线上点P到焦点F的距离(或与此有关)，往往转化为点P到准线的距离，其步骤是：
①过P作PN垂直于准线l，垂足N；
②连接PF；
③|PF|＝(焦点在x轴正半轴上时)．
(2)上例中，求|PA|＋|PF|的最小值时，结合图形，根据平面几何知识判断|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|.体现了数形结合的思想．
1．若点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．
由图可知，P点，(0,2)点，和抛物线的焦点三点共线时距离之和最小，
所以最小距离d＝
＝.
2．若点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值．
解：如图．
|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|≥|AF|min.
AF的最小值为F到直线3x－4y＋＝0的距离．
d＝＝1.
3．若长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，求M点到y轴的最短距离．
解：设抛物线焦点为F，连接AF，BF，如图抛物线y2＝2x的准线为l：x＝－，过A，B，M分别作AA′，BB′，MM′垂直于l，垂足分别为A′，B′，M′.
由抛物线定义，知|AA′|＝|FA|，|BB′|＝|FB|.
又M为AB中点，由梯形中位线定理，
得|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)
＝(|FA|＋|FB|)
≥|AB|＝×3＝.
则x≥－＝1(x为M点的横坐标，当且仅当AB过抛物线的焦点时取得等号)，
所以xmin＝1，
即M点到y轴的最短距离为1.
[类题通法]
解决此类问题通过回归抛物线定义和运用平面几何知识中的两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等，使问题化难为易．
[随堂即时演练]
1．焦点是F(0,5)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝20x
B．x2＝20y
C．y2＝x
D．x2＝y
解析：选B 由5＝得p＝10，且焦点在y轴正半轴上，故方程形式为x2＝2py，所以x2＝20y.
2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4
B．6
C．8
D．12
解析：选B 由抛物线的方程得＝＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.
3．若双曲线－＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则m＝________.
解析：∵抛物线焦点为(3,0)，
∴＝3且m＞0，则m＝6.
答案：6
4．焦点为F的抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M在准线上的射影为N，若|MN|＝p，则|FN|＝________.
解析：由条件知|MF|＝|MN|＝p，MF⊥MN，
在△MNF中，∠FMN＝90°，得|FN|＝p.
答案：p
5．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求点M的坐标．
解：由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，
得其焦点坐标为F，
准线方程为x＝，
设点M到准线的距离为d，
则d＝|MF|＝10，
即－(－9)＝10，
因此p＝2.
故抛物线的方程为y2＝－4x.
将M(－9，y)代入抛物线方程，得y＝±6.
故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．
[课时达标检测]
一、选择题
1．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－4x
B．x2＝4y
C．y2＝－4x或x2＝4y
D．y2＝4x或x2＝－4y
解析：选C 设抛物线方程为y2＝－2p1x或x2＝2p2y，把(－4,4)代入得16＝8p1或16＝8p2，即p1＝2或p2＝2.
故抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝4y.
2．已知点P(8，a)在抛物线y2＝4px上，且点P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( )
A．2
B．4
C．8
D．16
解析：选B 准线方程为x＝－p，
∴8＋p＝10，p＝2.
∴焦点到准线的距离为2p＝4.
3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A.
B．1
C．2
D．4
解析：选C ∵抛物线y2＝2px的准线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切，∴－＝－1，即p＝2.
4．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( )
A．抛物线
B．双曲线
C．椭圆
D．圆
解析：选A 由题意知，圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大1，即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．
5．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取最小值时，点P的坐标为( )
A.
B.
C．(1,2)
D．(1，－2)
解析：选A 点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图，|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，故最小值在S，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是－1，故点P坐标为.
二、填空题
6．抛物线x＝y2的焦点坐标是________．
解析：方程改写成y2＝4mx，得2p＝4m，∴p＝2m，即焦点坐标为(m,0)．
答案：(m,0)
7．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________.
解析：根据抛物线的定义得1＋＝5，p＝8.不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1，故a＝.
答案：
8．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
答案：②④
三、解答题
9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，则焦点F，准线l：y＝.作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋，3＋＝5，即p＝4.
所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2.
法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，
则焦点为F.
∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
故解得
∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.
10．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．
(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)．
解：如图所示：
(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)．
因为点C(5，－5)在抛物线上，
所以该抛物线的方程为x2＝－5y.
(2)设车辆高h，则|DB|＝h＋0.5，
故D(3.5，h－6.5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米．3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
空间向量基本定理
[提出问题]
如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为4，在AB，AD，AD1上分别取单位向量e1，e2，e3.
问题1：e1，e2，e3共面吗？
提示：不共面．
问题2：试用e1，e2，e3表示.
提示：＝4e1＋4e2＋4e3.
问题3：若M为A1B1的中点，能否用e1，e1，e3表示？
提示：能，＝4e1＋2e2＋4e3.
[导入新知]
空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
[化解疑难]
1．空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．
2．由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0.
3．向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都可由基向量唯一的线性表示，为向量的坐标表示奠定了基础．
空间向量的正交分解及其坐标表示
[提出问题]
{a，b，c}是空间的一个基底，{e1，e2，e3}是空间的单位正交基底．
问题1：基底中的每一个基向量一定是非零向量吗？
提示：一定．
问题2：任一向量p＝xa＋yb＋zc，则数组(x，y，z)是唯一的吗？
提示：是．
问题3：单位正交基底之间的数量积e1·e2，e1·e3，e2·e3，e1·e1，e2·e2，e3·e3分别为多少？
提示：e1，e2，e3是两两垂直的单位向量，故有e1·e2＝e2·e3＝e1·e3＝0，e1·e1＝e2·e2＝e3·e3＝1.
[导入新知]
空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底：
三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．
(2)空间直角坐标系：
以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.
(3)空间向量的坐标表示：
对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，即点P的坐标为(x，y，z)．
[化解疑难]
空间向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为{e1，e2，e3}，b＝λe1＋μe2＋ke3，则b的坐标为(λ，μ，k).
空间向量基本定理的理解
[例1] 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．
[解] 假设，，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使＝x＋y成立．
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)．
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，
∴e1，e2，e3不共面，
∴此方程组无解，
即不存在实数x，y，使＝x＋y成立．
∴，，不共面．
故{，，}能作为空间的一个基底．
[类题通法]
判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判断这三个向量是否共面，首先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组，若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面．
[活学活用]
设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：
①{a，b，x}，
②{x，y，z}，
③{b，c，z}，
④{x，y，a＋b＋c}．
其中可以作为空间的基底的向量组有______个．
解析：如图，所设a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝.由A，B1，D，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作为空间的基底．因x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作为基底．
答案：3
空间向量基本定理的应用
[例2] 如图，四棱锥P OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，，，.
[解] 连接BO，
则＝＝(＋)＝(c－b－a)＝－a－b＋c，
＝＋＝－a＋
＝－a＋(＋)
＝－a－b＋c，
＝＋
＝＋＋(＋)
＝－a＋c＋(－c＋b)
＝－a＋b＋c，
＝＝＝a.
[类题通法]
用基底表示向量时：
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行；
(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．
[活学活用]
如图，已知正方体ABCD A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值．
(1)
＝x＋y＋z；
(2)＝x＋y＋z.
解：(1)∵＝＋＝＋＋
＝－＋＋，
又＝x＋y＋z，
∴x＝1，y＝－1，z＝1.
(2)∵＝＋＝＋
＝＋(＋)
＝＋＋
＝＋＋，
又＝x＋y＋z，
∴x＝，y＝，z＝1.
空间向量的坐标表示
[例3] 如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1.试建立适当的空间直角坐标系，并求向量的坐标．
[解] ∵PA＝AB＝AD＝1，
PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，
∴，，是两两垂直的单位向量．
设＝e1，＝e2，＝e3，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系Axyz.
法一：∵＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋(＋)
＝－＋＋(＋＋)
＝＋＝e2＋e3，
∴＝.
法二：如图所示，连接AC，BD交于点O.则O为AC，BD的中点，连接MO，ON，
∴＝＝，
＝，
∴＝＋
＝＋
＝e2＋e3.
∴＝.
[类题通法]
用坐标表示空间向量的方法步骤为
[活学活用]
在直三棱柱ABO A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点．在如图所示的空间直角坐标系中，求，的坐标．
解：∵＝－＝－(＋)
＝－[＋(＋)]
＝－－－
＝－4e3－×4e1－×2e2
＝－2e1－e2－4e3，
∴＝(－2，－1，－4)．
∵＝－＝－(＋)
＝－－＝2e2－4e1－4e3，
∴＝(－4,2，－4).
[典例] 在正三棱柱ABC A1B1C1中，已知△ABC的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出，，的坐标．
[解] 分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则A，A1，
B1，C1，
所以
＝(0,0,2)，＝，
＝，－，2.
[易错防范]
1．建系时，误认为与垂直，从而以A为原点，以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向
建立坐标系导致错误．
2．在建系时应该注意，若图中没有建系的环境，则应根据已知条件，通过作辅助线来创造合适的图形环境．
[成功破障]
已知正三棱柱ABC A1B1C1中，底面边长AB＝2，侧棱BB1＝2，点O，O1分别是AC，A1C1的中点．若M为BC1的中点，试建立适当的空间直角坐标系并写出的坐标．
解：
建系方法不唯一．如：连接OB，OO1，则由已知易得，，两两垂直，故可以O为坐标原点，以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．
故A(0，－1,0)，B(，0,0)，C1(0,1,2)，
则＝(，1,0)，＝(0,2,2)，
∴＝(＋)＝.
[随堂即时演练]
1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( )
A．3a，a－b，a＋2b
B．2b，b－2a，b＋2a
C．a,2b，b－c
D．c，a＋c，a－c
解析：选C 对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能作为基底；同理可判断B，D错误．
2.如图，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，则＝( )
A.a－b＋c
B．－a＋b＋c
C.a＋b－c
D.a＋b－c
解析：选B 连接ON(图略)，＝－＝(＋)－＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.
3．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，则向量a，b的坐标分别为________________．
解析：由空间向量坐标概念知a＝(2，－4,5)，b＝(1,2，－3)．
答案：(2，－4,5)，(1,2，－3)
4．如图所示，点M是OA的中点，以{，，}为基底的向量＝x＋y＋z，则(x，y，z)＝________.
解析：∵＝＋＝－＋，
又∵＝x＋y＋z
∴x＝，y＝0，z＝－1.
答案：
5．棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，以{，，}为基底，求下列向量的坐标：
(1)，，；
(2)，，.
解：(1)＝＋＝＋＝＋＝，
＝＋＝＋＝，
＝＋＋＝＋＋＝.
(2)＝－＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋＋\f(1,2)
→
))－eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(1,2)
))＝＋＝，
＝－＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(1,2)
))－＋
＝－－＝，
＝－＝＋－＝－＝.
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知点A(3,2，－3)，则点A关于y轴的对称点的坐标是( )
A．(－3，－2,3)
B．(－3,2，－3)
C．(－3,2,3)
D．(－3，－2，－3)
解析：选C 由对称定义知选项C正确．
2．设p：a，b，c是三个非零向量，q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底；当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此p /
q，q p.
3．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是( )
A．向量的坐标与点B的坐标相同
B．向量的坐标与点A的坐标相同
C．向量与向量的坐标相同
D．向量与向量－的坐标相同
解析：选D 因为A点不一定为坐标原点，所以A不正确；B，C都不正确；由于＝－，所以D正确．
4．已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则等于( )
A.＋＋
B.(＋＋)
C.(＋＋)
D.＋＋
解析：选B 如图，
＝(＋)
＝＋×(＋)
＝＋＋
＝(＋＋)．
5．若向量，，的起点与终点互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量，，成为空间一个基底的关系是( )
A．＝＋＋
B．≠＋
C．＝＋＋
D．＝2－
解析：选C 若，，为空间一组基底向量，则M，A，B，C四点不共面．选项A中点M，A，B，C共面，因为－＝＋－＝(－)＋(－) ＝＋；选项B中可能共面，≠＋，但可能＝λ＋μ；选项D中的四点显然共面．
二、填空题
6．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为______________________．
解析：由于{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，
所以a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)．
答案：(4，－8,3)，(－2，－3,7)
7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝______，y＝________.
解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，
于是有解得
答案：1 －1
8．正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝________.
解析：如图，连接A1C1，C1D，
则E在A1C1上，F在C1D上，
易知EF綊A1D.
∴＝，
即－＝0.
∴λ＝－.
答案：－
三、解答题
9．已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，c}为空间的另一个基底，若向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，试求向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标．
解：设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，
则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋z
c
＝(x＋y)a＋(x－y)b＋z
c.
又∵p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，
即p＝a＋2b＋3c，
∴(x＋y)a＋(x－y)b＋z
c＝a＋2b＋3c，
∴
解得
∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是，－，3.
10．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥AB1.
证明：设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＝(＋)
＝(＋)＝(＋－)＝(－a＋b＋c)，
＝＋＝＋＝a＋b.
∴·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)
＝(|b|2－|a|2)＝0.
∴⊥，即EF⊥AB1.第一课时 椭圆的简单几何性质
[提出问题]
图中椭圆的标准方程为
＋＝1(a＞b＞0)．
问题1：椭圆具有对称性吗？
提示：有．椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形．
问题2：可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？
提示：可以，令y＝0得x＝±a，故A1(－a,0)，A2(a,0)，同理可得B1(0，－b)，B2(0，b)．
问题3：椭圆方程中x，y的取值范围是什么？
提示：x∈[－a，a]，y∈[－b，b]．
问题4：当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？
提示：b越小，椭圆越扁．
[导入新知]
椭圆的简单几何性质
焦点
的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
离心率
e＝(0[化解疑难]
1．由不等式＝1－≤1可得|x|≤a，由＝1－≤1可得|y|≤b，从而可得椭圆的范围．
2．椭圆有四个顶点、两个焦点共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置，注意长轴长是2a，而不是a.
3．椭圆的离心率e的大小，描述了椭圆的扁平程度．e越接近1，则c就越接近a，从而b＝越小，因此，椭圆越扁；反之，e越接近0，则c就越接近0，从而b越接近a，这时椭圆越接近圆．特别地，当a＝b时，c＝0，椭圆就变为圆了，此时方程为x2＋y2＝a2.
椭圆的几何性质
[例1] 求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
[解] 椭圆方程变形为＋＝1，
∴a＝3，b＝2，
∴c＝
＝＝.
∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6,2c＝2，
焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，B1(0，－2)，B2(0,2)，
离心率e＝＝.
[类题通法]
求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．
[活学活用]
已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上．
(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；
(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质．
解：(1)由椭圆C1：＋＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e＝.
(2)椭圆C2：＋＝1，
性质：①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；
③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；
④离心率：e＝.
利用椭圆的几何性质求其标准方程
[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长是10，离心率是；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
[解] (1)设椭圆的标准方程为
＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)．
由已知得2a＝10，a＝5.
又∵e＝＝，∴c＝4.
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)依题意可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，
且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，
则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
[类题通法]
(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
①确定焦点位置．
②设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)．
③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式为b2＝a2－c2，e＝等．
(2)在椭圆的简单性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件确定的椭圆方程可能有两个．
[活学活用]
求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在x轴上，短轴长为2，离心率e＝；
(2)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0)．
解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由题意知解得a＝，b＝1，
因此，椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由题意得
解得故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；
若焦点在y轴上，设其标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由题意，得解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
椭圆的离心率
[例3] 如图，已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的一点，当PF1⊥F1A，PO∥AB(O为椭圆的中心)时，求椭圆的离心率．
[解] 由已知可设椭圆的标准方程为
＋＝1(a＞b＞0)，
则由题意可知P.
∵△PF1O∽△BOA，
∴＝，∴＝，即b＝c，
∴a2＝2c2，∴e＝＝.
[类题通法]
椭圆的离心率的求法
求椭圆的离心率，关键是寻找a与c的关系，一般地：
(1)若已知a，c，则直接代入e＝求解；
(2)若已知a，b，则由e＝
求解；
(3)若已知a，b，c的关系，则可转化为a，c的齐次式，再转化为含e的方程求解即可．
[活学活用]
若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A 依题意，△BF1F2是正三角形．
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，∴acos
60°＝c，
∴＝，即椭圆的离心率e＝.
[典例] 已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e＝，且过P(2,3)，求此椭圆的标准方程．
[解] (1)当焦点在x轴上时，
设椭圆的标准方程为
＋＝1(a＞b＞0)．
由题意知解得b2＝10，a2＝40.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)当焦点在y轴上时，
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由题意得解得b2＝，a2＝25.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
综上，所求椭圆的标准方程为
＋＝1或＋＝1.
[易错防范]
求解时不讨论焦点的位置，而默认为椭圆的焦点在x轴上，这是最常见的错解．
[成功破障]
若椭圆＋＝1的离心率e＝，则k的值等于________．
解析：分两种情况进行讨论：
当焦点在x轴上时，a2＝k＋8，b2＝9，得c2＝k－1，
又∵e＝，
∴＝，解得k＝4.
当焦点在y轴上时，a2＝9，b2＝k＋8，得c2＝1－k，
又∵e＝，
∴＝，
解得k＝－.
∴k＝4或k＝－.
答案：4或－
[随堂即时演练]
1．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：选A 因为2a＝18,2c＝×2a＝6，所以a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.
2．椭圆C1：＋＝1与椭圆C2：＋＝1(k＜9)( )
A．有相同的长轴
B．有相同的短轴
C．有相同的焦点
D．有相等的离心率
解析：选C 25－9＝(25－k)－(9－k)，故两椭圆有相同的焦点．
3．椭圆x2＋4y2＝16的短轴长为________．
解析：由＋＝1可知b＝2，
∴短轴长2b＝4.
答案：4
4．直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率e＝________.
解析：由题意知椭圆焦点在x轴上，
∴在直线x＋2y－2＝0中，
令y＝0得c＝2；令x＝0得b＝1.
∴a＝＝.
∴e＝＝.
答案：
5．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12；
(2)对称轴是坐标轴，一个焦点是(0,7)，一个顶点是(9,0)．
解：(1)由题意设椭圆的标准方程为
＋＝1(a＞b＞0)，
∵椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12，
∴2a＝12，即a＝6.
∵椭圆的离心率为，
∴e＝＝＝＝，
∴b2＝9.∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知椭圆的焦点在y轴上，
可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则b＝9.
因为c＝7，所以a2＝b2＋c2＝81＋49＝130，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
[课时达标检测]
一、选择题
1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )
A．(±13,0)
B．(0，±10)
C．(0，±13)
D．(0，±)
解析：选D 由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，
则c＝＝，故焦点坐标为(0，±)．
2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A.＋＝1
B.＋y2＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：选A 由椭圆的性质知
|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，
又∵△AF1B的周长＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，
∴a＝.
又∵e＝，
∴c＝1.
∴b2＝a2－c2＝2，
∴椭圆的方程为＋＝1.
3．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则( )
A．a2＝25，b2＝16
B．a2＝9，b2＝25
C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25
D．a2＝25，b2＝9
解析：选D 因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9.
4．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若AP―→＝2PB―→，则椭圆的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D ∵AP―→＝2PB―→，
∴|AP―→|＝2|PB―→|.
又∵PO∥BF，
∴＝＝，
即＝，
∴e＝＝.
5．椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(mA．(0，±)
B．(±，0)
C．(0，±)
D．(±，0)
解析：选C 化为标准方程是＋＝1，
∵m∴焦点在y轴上，且c＝＝.
二、填空题
6．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是________________．
解析：椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，因此可设待求椭圆为＋＝1.
又因为b＝2，故m＝20，得＋＝1.
答案：＋＝1
7．椭圆＋＝1的离心率为，则m＝________.
解析：当焦点在x轴上时，＝ m＝3；
当焦点在y轴上时，＝ m＝.
综上，m＝3或m＝.
答案：3或
8．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，
且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为__________．
解析：∵e＝＝，
∴＝＝，
∴5a2－5b2＝a2，
即4a2＝5b2.
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞0)．
∵椭圆过点P(－5,4)，∴＋＝1，
解得a2＝45.∴椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
三、解答题
9．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程．
解：设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由e＝知＝，故＝，
从而＝，＝.
由△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，得a＝4，∴b2＝8.
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
10．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围．
解：设P(x，y)，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是：2＋y2＝2，
所以y2＝ax－x2.①
又因为P点在椭圆上，故＋＝1.②
把①代入②化简，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，
即(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0.
∵x≠a，x≠0，
∴x＝，又0＜x＜a，
∴0＜＜a，即2b2＜a2.
由b2＝a2－c2，得a2＜2c2，所以e＞.
又∵0＜e＜1，∴＜e＜1，
即椭圆离心率的取值范围是.3．1.5 空间向量运算的坐标表示
[提出问题]
一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到从三个方向拉巨石．这三个力分别为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3
000
N，|F2|＝2
000
N，|F3|＝2
000
N.
问题1：若以F1，F2，F3的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？
提示：F＝(3
000,2
000,2
000)．
问题2：巨石受到的合力有多大？
提示：|F|＝5
000
N.
[导入新知]
1．空间向量的加减和数乘的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；
(2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；
(3)λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)；
(4)若b≠0，则a∥b a＝λb(λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3.
2．空间向量数量积的坐标表示及夹角公式
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
(1)a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；
(2)|a|＝＝；
(3)cos〈a，b〉＝
＝；
(4)a⊥b a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
3．空间中向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)．
(1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；
(2)dAB＝||＝.
[化解疑难]
1．空间向量的坐标运算实质是平面向量坐标运算的推广，包括运算法则，仅是在平面向量运算法则的基础上增加了竖坐标的运算．
2．空间两向量平行与平面向量平行的表达式不一样，但实质一样，即对应坐标成比例．
3．空间中两向量垂直的充要条件形式上与平面内两向量垂直类似，仅多了一个基向量．
空间向量的坐标运算
[例1] 已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)．求点P的坐标，使：
(1)＝(－)；
(2)＝(－)．
[解] ＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)，
∴－＝(6,3，－4)．
(1)＝(6,3，－4)＝，
则点P的坐标为.
(2)设点P的坐标为(x，y，z)，
则＝(x－2，y＋1，z－2)，
∵(－)＝＝，
∴x＝5，y＝，z＝0，
则点P的坐标为.
[类题通法]
(1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
(2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算；先算括号里，后算括号外．
(3)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用．
[活学活用]
已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1,2,1)，(1,3,4)，(0，－1,4)，(2，－1，－2)，设p＝，q＝.
求：(1)p＋2q；
(2)3p－q；
(3)(p－q)·(p＋q)．
解：因为A(－1,2,1)，B(1,3,4)，C(0，－1,4)，D(2，－1，－2)，所以p＝＝(2,1,3)，q＝＝(2,0，－6)．
(1)p＋2q＝(2,1,3)＋2(2,0，－6)＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)．
(2)3p－q＝3(2,1,3)－(2,0，－6)＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)．
(3)(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26.
空间向量的垂直与平行的判断
[例2] 已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)．设a＝，b＝.
(1)设|c|＝3，c∥，求c；
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
[解] (1)∵＝(－2，－1,2)，且c∥，
∴设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)．
∴|c|＝＝3|λ|＝3.
解得λ＝±1.
∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．
(2)∵a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)，
∴ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)．
∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，
∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0，
即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.
解得k＝2或k＝－.
[类题通法]
解决空间向量垂直、平行问题的思路
(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．例如，设向量a＝(x，y，z)．
(2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数．例如，已知a∥b，则引入参数λ，有a＝λb，再转化为方程组求解．
(3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．
[活学活用]
已知向量a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)，c＝(2，x，－4)．
(1)判断a，b的位置关系；
(2)若a∥c，求|c|；
(3)若b⊥c，求c在a方向上的投影．
解：(1)∵a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)，
∴b＝(－2，－4,4)＝－2(1,2，－2)＝－2a.
∴a∥b.
(2)∵a∥c，∴＝＝，解得x＝4，
∴c＝(2,4，－4)，
从而|c|＝＝6.
(3)∵b⊥c，∴b·c＝0.
∴(－2，－4,4)·(2，x，－4)＝－4－4x－16＝0，
解得x＝－5.
∴c＝(2，－5，－4)．
∴c在a方向上的投影为|c|cos〈a，c〉＝|c|×＝＝＝0.
利用坐标运算解决夹角、距离问题
[例3] 如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值．
[解] 如图，以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系Cxyz.
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，
∴||＝＝，
∴线段BN的长为.
(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，
∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又∵||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝eq
\f(·,||||)＝.
故A1B与B1C所成角的余弦值为.
[类题通法]
在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．
[活学活用]
在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点．
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值；
(3)求FH的长．
解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，
则有E，F，，0，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G，H.
＝－＝，
＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)．
∴·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0，
∴⊥，即EF⊥B1C.
(2)∵＝－(0,1,1)＝，
∴|
|＝.
又∵·＝×0＋×＋×(－1)＝，||＝，
∴cos〈，〉＝eq
\f(·,||||)＝.
即EF与C1G所成角的余弦值为.
(3)∵F，H，
∴＝，
∴||＝
＝.
[典例] 已知向量a＝(5,3,1)，b＝.若a与b的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
[解] 由已知，得
a·b＝5×(－2)＋3t－＝3t－，
∵a与b的夹角为钝角，
∴a·b＜0.
∴3t－＜0，即t＜.
若a与b的夹角为180°，
则存在λ＜0，使a＝λb(λ＜0)，
即(5,3,1)＝λ，
∴
∴t＝－.
故t的取值范围为∪.
[多维探究]
1．在本例条件下，若a与b的夹角为180°，求t的值．
解：由本例的解法知t＝－.
2．在本例条件下，若a与b的夹角为锐角，求实数t的取值范围．
解：由已知，得a·b＝5×(－2)＋3t－＝3t－，
因为a与b的夹角为锐角，
所以a·b＞0，
即3t－＞0，
所以t＞.
若a与b的夹角为0°，
则存在λ＞0，使a＝λb(λ＞0)，
即(5,3,1)＝λ，
所以5＝－2λ，3＝λt,1＝－λ，进而得t＝－(舍去)．
故t的取值范围是.
3．若a＝(1，t，－2)，b＝(－2，t，－1)，试求a和b夹角θ余弦值的范围．
解：cos
θ＝＝，
当t＝0时，cos
θ＝0；
当t≠0时，cos
θ＝＜1，
∴0≤cos
θ＜1，即夹角θ的余弦值的取值范围是[0,1)．
[类题通法]
求解时，易误认为a，b的夹角是钝角与a·b＜0等价，而a·b＜0中包含着〈a，b〉＝180°的情形，〈a，b〉＝180°的情形可利用a＝λb(λ＜0)，也可利用a·b＝－|a|·|b|，即cos〈a，b〉＝－1求得，同样a·b＞0也包含着〈a，b〉＝0°的情形，解题时应把这种情况剔除．
[随堂即时演练]
1．已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且＝，则点C的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C 由题意知，2＝，设C(x，y，z)，
则2(x－4，y－1，z－3)＝(2－x，－5－y,1－z)，
所以所以
2．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A．1
B.
C.
D.
解析：选D 由题意得：(ka＋b)·(2a－b)＝(k－1，k,2)·(3,2，－2)＝3(k－1)＋2k－4＝0，所以k＝.
3．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则与的夹角的大小是________．
解析：∵＝(－2，－1,3)，＝(－1,3，－2)，
cos〈，〉
＝
＝＝－，
∴〈，〉＝120°.
答案：120°
4．已知向量a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为________．
解析：由a＝(2,4，x)，得|a|＝＝6，所以x＝±4.又因为a⊥b，所以a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，解得x＝4，y＝－3或x＝－4，y＝1.所以x＋y＝1或x＋y＝－3.
答案：1或－3
5．已知向量a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：
(1)a，b，c；
(2)a＋c与b＋c所成角的余弦值．
解：(1)因为a∥b，所以＝＝，解得x＝2，y＝－4.
这时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)．
又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，
于是c＝(3，－2,2)．
(2)由(1)得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，
因此a＋c与b＋c所成角的余弦值
cos
θ＝＝－.
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是( )
A．a＋b＝(10，－5，－6)
B．a－b＝(2，－1，－6)
C．a·b＝10
D．|a|＝6
解析：选D a＋b＝(10，－5，－2)，a－b＝(－2,1，－6)，a·b＝22，|a|＝6，∴选项A，B，C错误．
2．已知A(3,3,3)，B(6,6,6)，O为原点，则与的夹角是( )
A．0
B．π
C.π
D．2π
解析：选B ∵·＝3×6＋3×6＋3×6＝54，
且||＝3，||＝6，
∴cos〈，〉＝＝1.
∵〈，〉∈[0，π]，
∴〈，〉＝0.
∴〈，〉＝π.
3．若非零向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则＝＝是a与b同向或反向的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：选A 若＝＝，则a与b同向或反向，反之不成立．
4．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
解析：选C ＝(3,4，－8)，＝(5,1，－7)，
＝(2，－3,1)，
∴||＝＝，
||＝＝，
||＝＝，
∴||2＋||2＝75＋14＝89＝||2.
∴△ABC为直角三角形．
5．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O(0,0,0)，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为( )
A．±
B.
C．－
D．±
解析：选C ∵＝(1,0,0)，＝(0，－1,1)，
∴＋λ＝(1，－λ，λ)，
∴(＋λ)·＝λ＋λ＝2λ，
|＋λ|＝＝，||＝.
∴cos
120°＝＝－，
∴λ2＝.
又∵＜0，
∴λ＝－.
二、填空题
6．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝，且λ＞0，则λ＝________.
解析：∵a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，
∴λa＋b＝(4,1－λ，λ)．
∵|λa＋b|＝，
∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29.
∴λ2－λ－6＝0.
∴λ＝3或λ＝－2.
∵λ＞0，
∴λ＝3.
答案：3
7．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，则m＋n＝________.
解析：因为＝(m－1,1，m－2n－3)，＝(2，－2，6)，由题意得∥，则＝＝，
所以m＝0，n＝0，m＋n＝0.
答案：0
8．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是________．
解析：由已知，得
b－a＝(2，t，t)－(1－t,1－t，t)＝(1＋t,2t－1,0)．
∴|b－a|＝
＝＝
.
∴当t＝时，|b－a|的最小值为.
答案：
三、解答题
9．空间三点A(1,2,3)，B(2，－1,5)，C(3,2，－5)，试求：
(1)△ABC的面积；
(2)△ABC的AB边上的高．
解：(1)＝(2，－1,5)－(1,2,3)＝(1，－3,2)，
＝(2,0，－8)，
·＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，
||＝，||＝2，
cos〈，〉＝＝－，
sin〈，〉＝
，
S△ABC＝||·||sin〈，〉
＝×2×
＝3.
(2)||＝，
设AB边上的高为h，
则|AB|·h＝S△ABC＝3，
∴h＝3.
10.如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上的点，＝λ，且PC⊥AB.求：
(1)λ的值；
(2)异面直线PC与AC1所成角的余弦值．
解：(1)设正三棱柱的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0，1,0)，A1(0，－1,2)，B1(，0,2)，C1(0,1,2)，
于是＝(，1,0)，＝(0，－2,2)，＝(，1，－2)．
因为PC⊥AB，
所以·＝0，即(＋)·＝0，
也即(＋λ)·＝0.
故λ＝－eq
\f(·,·
)＝.
(2)由(1)知＝，＝(0,2,2)，
cos〈，〉＝eq
\f(·,||||)＝＝－，
所以异面直线PC与AC1所成角的余弦值是.2．4.2 抛物线的简单几何性质
[提出问题]
问题1：抛物线有几个焦点？
提示：一个焦点．
问题2：有人说“抛物线是双曲线的一支”，这句话对吗？
提示：不对．
问题3：抛物线y2＝2px有对称性吗？
提示：有，关于x轴对称．
[导入新知]
抛物线的简单几何性质
类型
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图形
性质
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0,0)
离心率
e＝1
开口方向
向右
向左
向上
向下
[化解疑难]
1．抛物线只有一条对称轴，一个顶点，一个焦点，一条准线．无对称中心，无渐近线．标准方程只有一个参数，不同于椭圆、双曲线．
2．p的几何意义：焦点到准线的距离．它的大小，影响抛物线开口大小.
抛物线方程及其几何性质
[例1] 已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上不同的两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程．
[解] 如图所示．设A(x0，y0)，由题意可知B(x0，－y0)，
又F是△AOB的垂心，
则AF⊥OB，
∴kAF·kOB＝－1，
即·＝－1，
∴y＝x0，
又y＝2px0，
∴x0＝2p＋＝.
因此直线AB的方程为x＝.
[类题通法]
根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，一般利用待定系数法，先“定形”，再“定量”．但要注意充分运用抛物线定义，并结合图形，必要时还要进行分类讨论．
[活学活用]
已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．
解：由题意，可设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，则
焦点F，直线l：x＝，
∴A，B两点坐标分别为，，
∴|AB|＝2|p|.
∵△OAB的面积为4，
∴··2|p|＝4，
∴p＝±2.
∴抛物线方程为y2＝±4x.
直线与抛物线的位置关系
[例2] 若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证：OA⊥OB.
证明：由消去y，
得x2－12x＋16＝0.
∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同两点A，B，
∴可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有x1＋x2＝12，x1x2＝16.
∵·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)
＝x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16
＝16＋16－4×12＋16＝0，
∴⊥，即OA⊥OB.
[类题通法]
将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解．
[活学活用]
过点(－3,2)的直线与抛物线y2＝4x只有一个公共点，求此直线方程．
解：显然，直线斜率k存在，
设其方程为y－2＝k(x＋3)，
由
消去x，整理得ky2－4y＋8＋12k＝0.①
(1)当k＝0时，方程①化为－4y＋8＝0，即y＝2，此时过(－3,2)的直线方程为y＝2，满足条件．
(2)当k≠0时，方程①应有两个相等实根．
由即
得k＝或k＝－1.
所以直线方程为y－2＝(x＋3)或y－2＝－(x＋3)，
即x－3y＋9＝0或x＋y＋1＝0.
故所求直线有三条，其方程分别为：y＝2，x－3y＋9＝0，x＋y＋1＝0.
抛物线中的最值问题
[例3] 在抛物线y2＝2x上求一点P，使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．
[解] 法一：设P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，
则点P到直线l的距离
d＝＝
＝，
当y0＝1时，dmin＝，
∴P.
法二：设与抛物线相切且与直线x－y＋3＝0平行的直线方程为x－y＋m＝0，
由
得y2－2y＋2m＝0，
∵Δ＝(－2)2－4×2m＝0，
∴m＝.
∴平行直线的方程为x－y＋＝0，
此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则dmin＝＝，此时点P的坐标为.
[类题通法]
解决与抛物线有关的最值问题时，一方面注意从几何方面观察、分析，并利用抛物线的定义解决问题；另一方面，还要注意从代数角度入手，建立函数关系，利用函数知识求解．总之，与抛物线有关的最值问题主要有两种方法：(1)定义法；(2)函数法．
[活学活用]
点P在抛物线2y2＝x上，点Q在圆(x－2)2＋y2＝1上，求|PQ|的最小值．
解：圆(x－2)2＋y2＝1的圆心为M(2,0)，
设P(2y，y1)，
则|PM|2＝(2y－2)2＋y＝4y－7y＋4
＝42＋≥，
∴|PM|≥，
∴|PQ|min＝|PM|min－1＝－1.
[典例] 已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，点F是抛物线的焦点．求证：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)|AB|＝x1＋x2＋p.
[证明] (1)过焦点F的直线AB的方程为y＝k或x＝.
当直线AB的方程为y＝kx－时，
由消去x，得ky2－2py－kp2＝0.
∵AB与抛物线有两个交点，
∴k≠0.由根与系数的关系得y1y2＝－p2.
又y＝2px1，y＝2px2，
∴x1x2＝·＝＝.
当直线AB的方程为x＝时，x1x2＝，y1＝p，y2＝－p，
∴y1y2＝－p2.
(2)由抛物线的焦半径可知：
|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.
[多维探究]
解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算．
1．若本例中，AB是经过焦点且倾斜角为的直线l被抛物线所截得的弦，其弦长为6，求抛物线方程．
解：直线l的方程可写为y＝x－.
因|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝6，
∴x1＋x2＝6－p.①
由消去y，
得2＝2px，
即x2－3px＋＝0.
∴x1＋x2＝3p，代入①式，
得3p＝6－p，
∴p＝.
∴抛物线的标准方程是y2＝3x.
2．在本例条件下，试求＋的值．
解：设直线AB：y＝k或x＝.
当直线AB的方程为y＝k时，
由
消去y，得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0.
∵AB与抛物线有两个交点，
∴k≠0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
又|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，
∴|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.
|AF|·|BF|＝
＝x1x2＋(x1＋x2)＋
＝(x1＋x2)＋
＝(x1＋x2＋p)
＝(|AF|＋|BF|)，
即|AF|＋|BF|＝·|AF|·|BF|，
∴＋＝.
当直线AB的方程为x＝时，
x1＝x2＝，
y1＝p，y2＝－p.
∴|AF|＝|BF|＝p.
∴＋＝.
3．在本例条件下，若M是AB的中点，过点A，B，M向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为A1，B1，M1.试证：
(1)以AB为直径的圆与准线l相切；
(2)∠AM1B＝90°；
(3)∠A1FB1＝90°.
证明：如图．
(1)∴|MM1|＝(|AA1|＋|BB1|)
＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.
∴以AB为直径的圆与准线l相切．
(2)由(1)知，以AB为直径的圆与准线l相切于点M1，
则∠AM1B＝90°.
(3)如图：
∵|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，
∴∠AA1F＝∠AFA1，
∠BB1F＝∠BFB1.
又AA1∥x轴，BB1∥x轴，
∴∠AA1F＝∠A1FO，
∠BB1F＝∠B1FO.
∴∠AFA1＝∠A1FO，∠BFB1＝∠B1FO.
∴∠A1FO＋∠B1FO＝90°，
即∠A1FB1＝90°.
[随堂即时演练]
1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )
A．(6，＋∞)
B．[6，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．[3，＋∞)
解析：选D ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
∴＝3，即p＝6.
又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，
∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)．
2．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于( )
A．2或－1
B．－1
C．2
D．3
解析：选C 由
得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.
由Δ＝(4k＋8)2－16k2＞0，得k＞－1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝＝4，
解得k＝2或k＝－1(舍去)．
3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝________.
解析：|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
答案：8
4．线段AB是抛物线y2＝x的一条焦点弦，且|AB|＝4，则线段AB的中点C到直线x＋＝0的距离为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由于|AB|＝x1＋x2＋p＝4，
∴x1＋x2＝4－＝，
∴中点C(x0，y0)到直线x＋＝0的距离为x0＋＝＋＝＋＝.
答案：
5．已知抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋m所得弦长|AB|＝3，求m的值．
解：由得4x2＋4(m－1)x＋m2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由根与系数的关系得x1＋x2＝1－m，x1·x2＝，
∴|AB|＝
＝
＝
.
由|AB|＝3
，即
＝3
，
解得m＝－4.
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是( )
A．y2＝－11x
B．y2＝11x
C．y2＝－22x
D．y2＝22x
解析：选C 在方程2x－4y＋11＝0中，
令y＝0，得x＝－，
∴抛物线的焦点为F，
即＝，
∴p＝11，
∴抛物线的方程是y2＝－22x.
2．过点(2,4)作直线l，与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线l有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
解析：选B 可知点(2,4)在抛物线y2＝8x上，∴过点(2,4)与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．
3．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标为( )
A．(2，±2
)
B．(1，±2)
C．(1,2)
D．(2,2)
解析：选B 设A(x，y)，则y2＝4x， ①
＝(x，y)，＝(1－x，－y)，
·＝x－x2－y2＝－4.②
由①②可解得x＝1，y＝±2.
4．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|
|＋||＋||的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C 依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F，所以x1＋x2＋x3＝3×＝，则||＋|
|＋|
|＝＋＋x3＋＝(x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3.
5.(全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：选B 设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.
∵|AB|＝4，|DE|＝2，
抛物线的准线方程为x＝－，
∴不妨设A，D.
∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，∴∴＋8＝＋5，
∴p＝4(负值舍去)．
∴C的焦点到准线的距离为4.
二、填空题
6．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的方程是________________．
解析：顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py或x2＝2py(p＞0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线的方程为x2＝16y或x2＝－16y.
答案：x2＝16y或x2＝－16y
7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________．
解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为.
因此，点M到抛物线准线的距离为＋1＝.
答案：
8．过抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在y轴左侧)，则＝________.
解析：由题意可得焦点F，故直线AB的方程为y＝x＋，与x2＝2py联立得A，B两点的横坐标为xA＝－p，xB＝p，故A－p，p，Bp，p.所以|AF|＝p，|BF|＝2p，所以＝.
答案：
三、解答题
9．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个正三角形的边长．
解：如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y＝2px1，y＝2px2.
又因为|OA|＝|OB|，
所以x＋y＝x＋y，
即x－x＋2px1－2px2＝0，
整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
因为x1＞0，x2＞0,2p＞0，所以x1＝x2，
由此可得|y1|＝|y2|，即点A，B关于x轴对称．
由此得∠AOx＝30°，
所以y1＝x1，与y＝2px1联立，
解得y1＝2p.所以|AB|＝2y1＝4p.
10.已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB的长的最小值．
解：由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋，从而x1＝4－1＝3.代入y2＝4x，解得y1＝±2.
∴点A的坐标为(3,2)或(3，－2)．
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为
y＝k(x－1)．
与抛物线方程联立，
得
消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
∵直线与抛物线相交于A，B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，
∴x1＋x2＝2＋.
由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋＞4.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，
∴|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.1．1.2
&
1.1.3 四种命题 四种命题间的相互关系
四种命题
[提出问题]
观察下列四个命题：
(1)若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形；
(2)若一个四边形是矩形，则其两对角线相等；
(3)若一个四边形两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形；
(4)若一个四边形不是矩形，则其两对角线不相等．
问题：命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？
提示：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件；
对于命题(1)和(3)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；
对于命题(1)和(4)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．
[导入新知]
1．四种命题的概念
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题，如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．
2．四种命题结构
[化解疑难]
1．用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p，q的否定．
2．四种命题是相对的，一个命题是什么命题不是固定不变的.
四种命题之间的关系
[提出问题]
问题：我们同样观察知识点一中的四个命题，你能说出其中任意两个命题之间的相互关系吗？
提示：命题(2)(3)是互为逆否命题，命题(2)(4)是互否命题，命题(3)(4)是互逆命题．
[导入新知]
1．四种命题之间的关系
2．四种命题的真假性之间的关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
[化解疑难]
互逆命题、互否命题、互为逆否命题反映的是两个命题之间的相对关系，不具有特指性，即四种命题中的任意两个命题之间一定具有这三种关系中的一种，且唯一.
四种命题的概念
[例1] 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)全等三角形的对应边相等；
(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0.
[解] (1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等；
逆命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等；
否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三边对应不相等；
逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．
(2)原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0；
逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2；
否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0；
逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2.
[类题通法]
(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命题．
(2)如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．
[活学活用]
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断它们的真假：
(1)正数a的平方根不等于0；
(2)平行于同一条直线的两条直线平行．
解：(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.是真命题．
逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数．是假命题．
否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.是假命题．
逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．是真命题．
(2)原命题：若两条直线平行于同一条直线，则这两条直线平行．是真命题．
逆命题：若两条直线平行，则这两条直线平行于同一条直线．是真命题．
否命题：若两条直线不平行于同一条直线，则这两条直线不平行．是真命题．
逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不平行于同一条直线．是真命题.
四种命题真假的判断
[例2] 有下列四个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
(2)“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；
(3)“若x≤3，则x2－x－6＞0”的否命题；
(4)“对顶角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解] 选B (1)原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，为真命题；
(2)原命题与其逆否命题具有相同的真假性，而原命题为假命题(如x＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题；
(3)该命题的否命题为“若x＞3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题；
(4)该命题的逆命题是“相等的角是对顶角”，显然是假命题．
[类题通法]
解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念，原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题，同真同假，故只判断二者中的一个即可．
[活学活用]
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
(1)在△ABC中，若BC＞AC，则A＞B；
(2)相等的两个角的正弦值相等．
解：(1)逆命题：在△ABC中，若A＞B，则BC＞AC.真命题．
否命题：在△ABC中，若BC≤AC，则A≤B.真命题．
逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则BC≤AC.真命题．
(2)
逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等．假命题．
否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等．假命题．
逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等．真命题.
等价命题的应用
[例3] 证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
[解] 证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)”．
若a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，
∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．
即原命题的逆否命题为真命题．
∴原命题为真命题．
法二：假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)．
∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．
这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．
因此假设不成立，故a＋b≥0.
[类题通法]
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
[活学活用]
证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.
证明：将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n＞2，则m2＋n2≠2”．
由于m＋n＞2，则m2＋n2≥(m＋n)2＞×22＝2，所以m2＋n2≠2.
故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．
[典例] 将命题“当a＞0时，函数y＝ax＋b是增函数”写成“若p，则q”的形式，并写出其否命题．
[解] “若p，则q”的形式：若a＞0，则函数y＝ax＋b是增函数．
否命题：若a≤0，则函数y＝ax＋b不是增函数．
[易错防范]
1．“a＞0”的否定易误为“a＜0”，“增函数”的否定易误为“减函数”，这是初学者易犯的错误．
2．在写一个命题的否命题、逆否命题时，一定要搞清楚所否定的对象及其所对应的性质，如本题中，实数a可能有三种取值，分别为a＞0，a＝0，a＜0，从而a＞0的否定是a≤0.
[成功破障]
(山东高考)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
解析：选D 根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．故选D.
[随堂即时演练]
1．命题“若a A，则b∈B”的否命题是( )
A．若a A，则b B
B．若a∈A，则b B
C．若b∈B，则a A
D．若b B，则a A
解析：选B 命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，“∈”与“ ”互为否定形式．
2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
解析：选C 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．
3．命题“若x＞1，则x＞0”的逆命题是__________，逆否命题是________________．
答案：若x＞0，则x＞1 若x≤0，则x≤1
4．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．
解析：逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；
否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；
逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”；
全为真命题．
答案：4
5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c＞0无解”．
(1)写出命题p的否命题；
(2)判断命题p的否命题的真假．
解：(1)命题p的否命题为：“若ac＜0，则二次不等式ax2＋bx＋c＞0有解”．
(2)命题p的否命题是真命题．
判断如下：因为ac＜0，
所以－ac＞0 Δ＝b2－4ac＞0 二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根 ax2＋bx＋c＞0有解．
所以该命题是真命题．
[课时达标检测]
一、选择题
1．命题“若a＝－b，则＝”的逆命题是( )
A．若a≠－b，则≠
B．若a＝－b，则≠
C．若≠，则a≠－b
D．若＝，则a＝－b
解析：选D 原命题的条件是a＝－b，把它作为逆命题的结论；原命题的结论是＝，把它作为逆命题的条件，即得逆命题“若＝，则a＝－b”．
2．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选B 命题“若a＞－3，则a＞－6”的逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”，为假命题，则它的否命题“若a≤－3，则a≤－6”也必为假命题；它的逆否命题“若a≤－6，则a≤－3”为真命题．故真命题的个数为2.
3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( )
A．能被3整除的整数，一定能被6整除
B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除
C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除
D．不能被6整除的整数，能被3整除
解析：选B 即写命题“若一个整数能被6整除，则一定能被3整除”的逆否命题．
4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是( )
A．互逆命题
B．互否命题
C．互为逆否命题
D．以上都不正确
解析：选A 设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．
5．下列四个命题：①“若xy＝0，则x＝0，且y＝0”的逆否命题；②“正方形是矩形”的否命题；③“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题；④若m＞2，则不等式x2－2x＋m＞0.其中真命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选B 命题①的逆否命题是“若x≠0，或y≠0，则xy≠0”，为假命题；
命题②的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；
命题③的逆命题是“若a＞b，则ac2＞bc2”，为假命题；
命题④为真命题，当m＞2时，方程x2－2x＋m＝0的判别式Δ＜0，对应二次函数图象开口向上且与x轴无交点，所以函数值恒大于0.
二、填空题
6．命题“若x≠1，则x2－1≠0”的真假性为______．
解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若x2－1＝0，则x＝1”，因为x2－1＝0时，x＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题．
答案：假命题
7．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．
解析：由已知得，若1＜x＜2成立，则m－1＜x＜m＋1也成立．
∴
∴1≤m≤2.
答案：[1,2]
8．下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；
③正方形的四条边相等；
④圆内接四边形对角互补；
⑤对角不互补的四边形不内接于圆；
⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有________________________________________________________________________；
互为否命题的有________________________________________________________________________；
互为逆否命题的有________________________________________________________________________．
(填序号)
解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．
答案：②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤
三、解答题
9．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假．
(1)等高的两个三角形是全等三角形；
(2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．
解：(1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．它是真命题．
否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．它是真命题．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．它是假命题．
(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．它是假命题．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．它是假命题．
逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．它是真命题．
10．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
解：原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a＜1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集”．判断其真假如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为a＜1，所以4a－7＜0.
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象与x轴无交点．所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
故原命题的逆否命题为真命题．2．3.1 双曲线及其标准方程
双曲线的定义
[提出问题]
问题1：平面内，动点P到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之和为12，动点P的轨迹是什么？
提示：椭圆．
问题2：平面内，动点P到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之差的绝对值为6，动点P的轨迹还是椭圆吗？是什么？
提示：不是，是双曲线．
[导入新知]
双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
[化解疑难]
平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为常数，即||MF1|－|MF2||＝2a，关键词“平面内”．
当2a＜|F1F2|时，轨迹是双曲线；
当2a＝|F1F2|时，轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；
当2a＞|F1F2|时，轨迹不存在．
双曲线的标准方程
[提出问题]
问题1：“知识点一”的问题2中，动点P的轨迹方程是什么？
提示：－＝1.
问题2：平面内，动点P到两定点F1(0,5)，F2(0，－5)的距离之差的绝对值为定值6，动点P的轨迹方程是什么？
提示：－＝1.
[导入新知]
双曲线的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
焦点坐标
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
[化解疑难]
1．标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x，y的平方差，并且分母大小关系不确定．
2．a，b，c三个量的关系：
标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中a＞b＞0，而双曲线中，a，b大小不确定．
对双曲线标准方程的认识
[例1] 已知方程－＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是( )
A．(5，＋∞)
B．(－2,2)∪(5，＋∞)
C．(－2,2)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
[解] ∵方程对应的图形是双曲线，
∴(k－5)(|k|－2)＞0.
即或
解得k＞5或－2＜k＜2.
[答案]
B
[类题通法]
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为＋＝1，则当mn＜0时，方程表示双曲线．若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线．
[活学活用]
若k＞1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在y轴上的双曲线
D．焦点在x轴上的双曲线
解析：选C 原方程化为－＝1，
∵k＞1，
∴k2－1＞0，k＋1＞0.
∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线．
求双曲线的标准方程
[例2] 求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)a＝4，经过点A；
(2)经过点(3,0)，(－6，－3)．
[解] (1)当焦点在x轴上时，
设所求双曲线的标准方程为－＝1(b＞0)，
把A点的坐标代入，得b2＝－×＜0，不符合题意；
当焦点在y轴上时，
设所求双曲线的标准方程为－＝1(b＞0)，
把A点的坐标代入，得b2＝9，
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，
∴解得
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
[类题通法]
1．双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．
(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．
2．求双曲线标准方程的两个关注点
(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
[活学活用]
根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)；
(2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．
解：(1)椭圆＋＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，故可设双曲线的方程为－＝1.
由题意，知解得
故双曲线的方程为－＝1.
(2)∵焦点在x轴上，c＝，
∴设所求双曲线方程为－＝1(其中0＜λ＜6)．
∵双曲线经过点(－5,2)，∴－＝1，
∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
∴所求双曲线方程是－y2＝1.
双曲线定义及标准方程的应用
[例3] 设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为( )
A．6
B．12
C．12
D．24
[解] 如图所示，
∵|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
且|PF1|∶|PF2|＝3∶2，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.
又∵|F1F2|＝2c＝2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴S＝|PF1|·|PF2|＝×6×4＝12.
[答案]
B
[类题通法]
在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正弦定理、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．
[活学活用]
若把本题中的“|PF1|∶|PF2|＝3∶2”改为“·＝0”，求△PF1F2的面积．
解：由题意·＝0，
得PF1⊥PF2，
∴△PF1F2为直角三角形，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
∴(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2.
又∵||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
|F1F2|2＝4c2＝4(a2＋b2)
＝4(1＋12)＝52，
∴4＋2|PF1|·|PF2|＝52，
∴|PF1|·|PF2|＝24，
∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝12.
[典例] 已知定点A(－3,0)和定圆C：(x－3)2＋y2＝16，动圆和圆C相外切，并且过定点A，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解] 设M(x，y)，设动圆与圆C的切点为B，|BC|＝4.则|MC|＝|MB|＋|BC|，|MA|＝|MB|，
所以|MC|＝|MA|＋|BC|，
即|MC|－|MA|＝|BC|＝4＜|AC|.
所以由双曲线的定义知，M点轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，设其方程为－＝1(x<0)，且a＝2，c＝3，所以b2＝5.
所以所求圆心M的轨迹方程是－＝1(x≤－2)．
[易错防范]
1．求解中易把动点的轨迹看成双曲线，忽视了双曲线定义中“距离的差的绝对值是常数”这一条件，动点轨迹实际上是双曲线的一支．
2．在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能保证解题的正确性．当||PF1|－|PF2||＝2a＜|F1F2|(a＞0)，即|PF1|－|PF2|＝±2a(0＜2a＜|F1F2|)时，P点的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右支，取负号时为双曲线的左支．
[成功破障]
求与⊙C1：x2＋(y－1)2＝1和⊙C2：x2＋(y＋1)2＝4都外切的动圆圆心M的轨迹方程．
解：∵⊙M与⊙C1，⊙C2都外切，
∴|MC1|＝r＋1，|MC2|＝r＋2.
从而可知|MC2|－|MC1|＝1＜|C1C2|.
因此，点M的轨迹是以C2，C1为焦点的双曲线的上支，且有a＝，c＝1，b2＝c2－a2＝.
故所求的双曲线的方程为4y2－＝1.
[随堂即时演练]
1．已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是( )
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．直线
D．一条射线
解析：选D F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．
2．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是( )
A.－y2＝1
B.－y2＝1
C.－＝1
D．x2－＝1
解析：选B 法一：椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，因为双曲线过点P(2,1)，所以－＝1，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是－y2＝1.
法二：设所求双曲线方程为＋＝1(1<λ<4)，将点P(2,1)的坐标代入可得＋＝1，
解得λ＝2(λ＝－2舍去)，
所以所求双曲线方程为－y2＝1.
3．若方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．
解析：由题意知，(1＋k)(1－k)＞0，即－1＜k＜1.
答案：(－1,1)
4．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．
解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，)或(3，－)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.
答案：4
5．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上；
(2)经过点(3，－4)，.
解：(1)由题设知，a＝3，c＝4，
由c2＝a2＋b2得，b2＝c2－a2＝42－32＝7.
因为双曲线的焦点在x轴上，
所以所求双曲线的标准方程为
－＝1.
(2)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
因为双曲线经过点(3，－4)，，
所以解得
故所求双曲线的标准方程为
－＝1.
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或－＝1
D.－＝0或－＝0
解析：选C 由于焦点所在轴不确定，∴有两种情况．又∵a＝5，c＝7，∴b2＝72－52＝24.
2．已知m，n∈R，则“m·n＜0”是“方程＋＝1表示双曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C 若方程＋＝1表示双曲线，则必有m·n＜0；当m·n＜0时，方程＋＝1表示双曲线．所以“m·n＜0”是“方程＋＝1表示双曲线”的充要条件．
3．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为( )
A. B.
C.
D．5
解析：选C 如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当点P在点M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝.
4．双曲线－＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到焦点F1的距离是12，则点P到焦点F2的距离是( )
A．17
B．7
C．7或17
D．2或22
解析：选D 依题意及双曲线定义知，||PF1|－|PF2||＝10，即12－|PF2|＝±10，∴|PF2|＝2或22，故选D.
5．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )
A．x2－＝1
B.－y2＝1
C．y2－＝1
D.－＝1
解析：选A 由双曲线定义知，
2a＝－＝5－3＝2，
∴a＝1.
又∵c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，
因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
二、填空题
6．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________.
解析：由点F(0,5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m＞0，且m＋9＝52，解得m＝16.
答案：16
7．经过点P(－3,2)和Q(－6，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是______________．
解析：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)，
则解得
故双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
8．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为________．
解析：由题意可设双曲线方程为
－＝1(a＞0，b＞0)．
由·＝0，得PF1⊥PF2.根据勾股定理得
|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，即|PF1|2＋|PF2|2＝20.
根据双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝±2a.
两边平方并代入|PF1|·|PF2|＝2得
20－2×2＝4a2，解得a2＝4，从而b2＝5－4＝1，
所以双曲线方程为－y2＝1.
答案：－y2＝1
三、解答题
9．已知与双曲线－＝1共焦点的双曲线过点P，求该双曲线的标准方程．
解：已知双曲线－＝1.据c2＝a2＋b2，
得c2＝16＋9＝25，
∴c＝5.
设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
依题意，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－a2，
故双曲线方程可写为－＝1.
∵点P在双曲线上，
∴－＝1.
化简，得4a4－129a2＋125＝0，
解得a2＝1或a2＝.
又当a2＝时，b2＝25－a2＝25－＝－＜0，不合题意，舍去，故a2＝1，b2＝24.
∴所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
10．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sin
B－sin
A＝sin
C.
(1)求线段AB的长度；
(2)求顶点C的轨迹方程．
解：(1)将椭圆方程化为标准形式为＋y2＝1.
∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，
则A(－2,0)，B(2,0)，|AB|＝4.
(2)∵sin
B－sin
A＝sin
C，
∴由正弦定理得
|CA|－|CB|＝|AB|＝2＜|AB|＝4，
即动点C到两定点A，B的距离之差为定值．
∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c＝2，a＝1，∴所求的点C的轨迹方程为
x2－＝1(x＞1)．3．1.3 空间向量的数量积运算
空间向量的夹角
[提出问题]
如图所示，已知平面向量a，b.
问题1：试作出向量a，b的夹角．
提示：如图，∠AOB为a和b的夹角．
问题2：若a，b为空间非零向量，两向量还有夹角吗？若有，试作出．
提示：有；在空间取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB为两向量的夹角．
[导入新知]
如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b.
[化解疑难]
1．由定义知，两个非零向量才有夹角，当两个非零向量共线同向时，夹角为0；共线反向时，夹角为π.
2．对空间任意两个非零向量a，b，有：
(1)〈a，b〉＝〈b，a〉＝〈－a，－b〉＝〈－b，－a〉；
(2)〈a，－b〉＝〈－a，b〉＝π－〈a，b〉.
空间向量的数量积
[提出问题]
问题1：平面向量的数量积a·b是怎样定义的？
提示：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
问题2：类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间向量数量积定义吗？
提示：能，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
问题3：空间向量数量积运算满足交换律和分配律吗？
提示：满足．
[导入新知]
1．空间向量的数量积
(1)定义：
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)运算律：
①(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
2．空间向量数量积的性质
序号
性质
(1)
a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)
(2)
若a，b为非零向量，则a⊥b a·b＝0
(3)
a·a＝|a|2或|a|＝＝
(4)
若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝
(5)
|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立)
[化解疑难]
1．向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab.
2．向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定：θ为锐角时，a·b＞0，但a·b＞0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b＜0，但a·b＜0时，θ可能为π.
3．向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即a·b＝a·c b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立．
空间向量的数量积的运算
[例1] 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：
(1)·；
(2)·；
(3)·.
[解] (1)·＝·
＝||||·cos〈，〉
＝cos
60°＝.
(2)·＝·＝||2＝.
(3)·＝·(－)
＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉
＝cos
60°－cos
60°＝0.
[类题通法]
求向量的数量积的关键是求两个向量的模和夹角，而该题目所给的四面体各棱长均为1，每个面都是正三角形，每个角都是60°，因此可结合这一特点进行分解，然后再具体求解数量积的值．
[活学活用]
如图所示，已知正四面体OABC的棱长为a，求：
(1)·；
(2)(＋)·(＋)．
解：(1)·＝a×a×cos
60°＝a2.
(2)(＋)·(＋)
＝(＋)·(－＋－)
＝a2＋a2cos
60°－2a2cos
60°＋a2cos
60°＋a2－2a2cos
60°＝a2.
利用空间向量的数量积求夹角
[例2] 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，求与夹角的大小．
[解] 不妨设正方体的棱长为1，
·＝(＋)·(＋)
＝(＋)·(＋)
＝·＋2＋·＋·
＝0＋2＋0＋0
＝2＝1，
又∵|
|＝，||＝，
∴cos〈，〉＝eq
\f(·,||||)＝＝.
∵〈，〉∈[0，π]，
∴〈，〉＝.
∴与夹角的大小为.
[类题通法]
(1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合转化为求平面中的角的大小．
(2)由两个向量的数量积定义得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，转化为求两个向量的数量积及两个向量的模，求出〈a，b〉的余弦值，进而求〈a，b〉的大小．在求a·b时注意结合空间图形，把a，b用基向量表示出来，进而化简得出a·b的值．
[活学活用]
如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值．
解：∵＝＋＝＋，＝－，
且·＝·＝·＝0，
∴·＝－＝－1.
又∵||＝，||＝＝，
∴cos〈，〉＝eq
\f(·,||||)＝＝－，
则异面直线BA1与AC所成角的余弦值为.
利用空间向量的数量积证明垂直
[例3] 已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.
[证明] ∵AB⊥CD，AC⊥BD，
∴·＝0，·＝0.
∴·＝(＋)·(－)
＝·＋·－－·
＝·－－·
＝·(－－)＝·＝0.
∴⊥，从而AD⊥BC.
[类题通法]
当直接证明线线垂直但条件不易利用时，常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零．利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定．
[活学活用]
如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
证明：设＝a，＝b，＝c，
则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.
∵＝＋
＝＋(＋)＝c＋a＋b，
＝－＝b－a，
＝＋＝(＋)＋
＝a＋b－c.
∴·＝·(b－a)
＝c·b－c·a＋a·b－a2＋b2－b·a
＝(b2－a2)＝(|b|2－|a|2)＝0.
于是⊥，即A1O⊥BD.
同理可证⊥，即A1O⊥OG.
又∵OG∩BD＝O，
∴A1O⊥平面GBD.
利用空间向量数量积求距离(即线段长度)
[例4] 在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝|ND|，求|MN|.
[解] ∵＝＋＋
＝＋(－)＋
(－)＝－＋＋.
∴·＝－＋＋·－＋＋
＝2－·－·＋·＋2＋2
＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2＝a2.
故||＝
eq
\r(·
)＝a，
即|MN|＝a.
[类题通法]
求两点间的距离或线段长度的方法
(1)将此线段用向量表示；
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
(3)利用|a|＝，通过计算求出|a|，即得所求距离．
[活学活用]
如图所示，在 ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求线段PC的长．
解：∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2
＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos
120°
＝61－12＝49.
∴||＝7，即PC＝7.
[典例] 如图，在120°的二面角α l β中，A∈l，B∈l，AC α，BD β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长．
[解] ∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴·＝0，
·＝0.
又∵二面角α AB β的平面角为120°，
∴〈，〉＝60°，
∴CD2＝||2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)
＝3×62＋2×62×cos
60°
＝144，∴CD＝12.
[易错防范]
1．求解时，易混淆二面角的平面角与向量夹角的概念，易把〈，〉＝60°错解为〈，〉＝120°，
此处应结合图形，根据向量的方向与二面角的棱的方向关系正确地转化为向量夹角．
2．对所用的公式要熟练，变形时运用公式要正确并注意符号等细节，避免出错．
[成功破障]
如图所示，在空间四边形ABCD中，每条边的长度和两条对角线的长度都等于1，M，N分别为AB，AD的中点，求·.
解：·＝·＝||||·cos〈，〉＝cos
120°＝－.
[随堂即时演练]
1．如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，对角线AC1和BD1相交于点O，则有( )
A．·＝2a2
B．·＝a2
C．·＝a2
D．·＝a2
解析：选C ∵·＝·
＝·(＋＋)
＝(2＋·＋·)
＝2＝||2
＝a2.
2．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为( )
A.
B.
C．－
D．0
解析：选D 如图所示，
∵·＝·(－)
＝·－·
＝||||·cos∠AOC－||·||·cos∠AOB＝0，
∴⊥，∴〈，〉＝，cos〈，〉＝0.
3．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________.
解析：由m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋(λ＋1)a·b＋λ|b|2＝0，得18＋(λ＋1)×3×4×cos
135°＋16λ＝0，可得18－12λ－12＋16λ＝0，解得λ＝－.
答案：－
4．如图，四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则|＋|＝________，|－|＝________.
解析：|＋|＝||＝2.＝，
·＝2×2×cos
60°＝2，
故|－|2＝－
2＝2－·＋2＝4－2＋×4＝3，
故|－|＝.
答案：2
5．如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.
求证：BD⊥平面ADC.
证明：不妨设AD＝BD＝CD＝1，则AB＝AC＝.
·＝(－)·＝·－·，
由于·＝·(＋)＝·＝1，
·＝||·||cos
60°＝××＝1.
∴·＝0，即BD⊥AC.
又∵BD⊥AD，∴BD⊥平面ADC.
[课时达标检测]
一、选择题
1．正方体ABCD A′B′C′D′中，〈，〉＝( )
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
解析：选D 因为B′D′∥BD，
所以A′B，B′D′的夹角即为A′B，BD的夹角．
因为△A′BD为正三角形，所以∠A′BD＝60°.
由向量夹角的定义可知〈，〉＝120°，
即〈，〉＝120°.
2．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是( )
A．60°
B．120°
C．30°
D．90°
解析：选B a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝e－e1·e2－2e
＝1－1×1×－2＝－，
|a|＝＝＝＝＝，
|b|＝＝＝
＝＝.
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
∴〈a，b〉＝120°.
3.如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点，那么( )
A．·＜·
B．·＝·
C．·＞·
D．·与·不能比较大小
解析：选C 易知AE⊥BC，∴·＝0，
·＝(＋)·＝·(－)＋·＝||·||·cos
120°－||·||
cos
120°＋||·||cos
120°＜0.
4．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )
A．与
B．与
C．与
D．与
解析：选A 用排除法，因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥CD，故·＝0，排除D；
因为AD⊥AB，PA⊥AD，又PA∩AB＝A，
所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，
故·＝0，排除B；
同理·＝0，排除C.
5．在正方体ABCD A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；
②·(－)＝0；
③与的夹角为60°；
④正方体的体积为|··|.
其中正确命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选B 如图所示，
(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32；
·(－)＝·＝0；
与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°；
正方体的体积为||||||.
综上可知，①②正确．
二、填空题
6．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________.
解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22.
答案：22
7．已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，如图，则PC等于________．
解析：∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·
＝36＋36＋36＋0＋0＋2||||cos
60°
＝108＋2×6×6×＝144.
∴PC＝12.
答案：12
8．已知a，b是异面直线，点A，B∈a，点C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a，b所成的角是________．
解析：＝＋＋，
∴·＝·(＋＋)＝||2＝1，
∴cos〈，〉＝eq
\f(·,||||)＝，
∴异面直线a，b所成角是60°.
答案：60°
三、解答题
9．已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值．
解：如图所示，
设＝a，＝b，＝c，|a|＝|b|＝|c|＝1，
易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，
则a·b＝b·c＝c·a＝.
∵＝(＋)＝(a＋b)，
＝－＝－＝c－b，
又∵||＝||＝，
∴·＝(a＋b)·＝a·c＋b·c－a·b－b2＝－，
∴cos〈，〉＝eq
\f(·,||||)＝－.
∴异面直线OE与BF所成角的余弦值是.
10.如图，正三棱柱ABC A1B1C1中，底面边长为.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
解：(1)证明：＝＋，
＝＋.
∵BB1⊥平面ABC，
∴·＝0，·＝0.
又∵△ABC为正三角形，
∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.
∵·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋2＋·
＝||·||·cos〈，〉＋2
＝－1＋1＝0，
∴AB1⊥BC1.
(2)由(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.
又∵||＝eq
\r(2＋2)＝eq
\r(2＋2)＝||，
∴cos〈，〉＝eq
\f(2－1,2＋2)＝，
∴||＝2，即侧棱长为2.第一课时 空间向量与平行、垂直关系
平面的法向量
[提出问题]
1．如图(1)所示，直线l∥m，在直线l上取两点A，B，在直线m上取两点C，D.
2．如图(2)所示，直线l⊥平面α，直线l∥m，在直线m上取向量n.
问题1：与直线l有何关系？与直线l有何关系？
提示：在直线l上，与直线l平行．
问题2：图(2)中，n与直线l平行吗？
提示：平行．
问题3：l⊥α，向量n也垂直于α吗？
提示：垂直．
[导入新知]
1．直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量．
2．平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量．
[化解疑难]
平面的法向量是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量.
空间平行关系的向量表示
[提出问题]
由直线上一点和直线的方向向量可以确定直线的位置；由平面上一点和平面的法向量也可以确定平面的位置．
问题1：若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，当a∥u时，l与α有什么关系？若a⊥u呢？
提示：a∥u时，l⊥α；a⊥u时，l∥α或l α.
问题2：若u，v分别是平面α，β的法向量，则u∥v，u⊥v时，α，β分别是什么位置关系？
提示：u∥v时，α∥β；u⊥v时，α⊥β.
[导入新知]
1．线线平行
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m a∥b a＝λb a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
2．线面平行
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α a⊥u a·u＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
3．面面平行
设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β u∥v u＝λv a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
[化解疑难]
平行关系的判断
(1)若证线线平行，则利用方向向量平行来证明；
(2)若证线面平行，则证直线的方向向量与平面的法向量垂直；
(3)若证面面平行，则证两平面的法向量平行.
空间垂直关系的向量表示
[提出问题]
问题1：直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线与平面有什么关系？
提示：垂直．
问题2：若两平面的法向量垂直，则两平面垂直吗？
提示：垂直．
[导入新知]
1．线线垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
2．线面垂直
设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α a∥u a＝λu a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
3．面面垂直
若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β u⊥v u·v＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
[化解疑难]
垂直关系的证明
(1)若证线线垂直，则证直线的方向向量垂直；
(2)若证线面垂直，则证直线的方向向量与平面的法向量平行；
(3)若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直.
求平面的法向量
[例1] 已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，求平面α的一个法向量．
[解] 因为A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，
所以＝(1，－2，－4)，＝(2，－4，－3)．
设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，
则有eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(n·＝0，,n·＝0，))即
得z＝0，x＝2y.令y＝1，则x＝2，
所以平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．
[类题通法]
利用待定系数法求法向量的解题步骤
[活学活用]
四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如图所示的坐标系Axyz中，分别求平面SAB和平面SCD的一个法向量．
解：A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)．
∵AD⊥平面SAB，
∴＝(1,0,0)是平面SAB的一个法向量．
设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)，
则n·＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0，
∴y＝－.
又∵n·＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0，
∴z＝.
∴n＝即为平面SCD的一个法向量.
用空间向量证明平行问题
[例2] 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
[证明] 如图所示建立空间直角坐标系Dxyz，
则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，
所以＝(0,2,1)，
＝(2,0,0)，＝(0,2,1)．
(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，
则n1⊥，n1⊥，
即eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(n1·＝2x1＝0，,n1·＝2y1＋z1＝0，))得
令z1＝2，则y1＝－1，
所以n1＝(0，－1,2)．
因为·n1＝－2＋2＝0，
所以⊥n1.
又因为FC1 平面ADE，
所以FC1∥平面ADE.
(2)因为＝(2,0,0)，
设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．
由n2⊥，n2⊥，得
eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(n2·＝2y2＋z2＝0，,n2·＝2x2＝0，))得
令z2＝2，得y2＝－1，
所以n2＝(0，－1,2)．
因为n1＝n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
[类题通法]
利用向量法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现
(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系；
(2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．
[活学活用]
在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．
求证：PQ∥RS.
证明：法一：以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，
则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)，
＝(－3,2,1)，＝(－3,2,1)，
∴＝，∴∥，∴PQ∥RS.
法二：＝＋＝－＋，
＝＋＝＋－，
∴＝，∴∥，∴RS∥PQ.
利用空间向量证明垂直问题
[例3] 如图，在四棱锥E ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°.
求证：平面ADE⊥平面ABE.
[证明] 取BE的中点O，连接OC，
则OC⊥EB，
又∵AB⊥平面BCE，
∴以点O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示．
则由已知条件有C(1,0,0)，B(0，，0)，E(0，－，0)，D(1,0,1)，A(0，，2)．
设平面ADE的法向量为n＝(a，b，c)，
则n·＝(a，b，c)·(0,2，2)＝2b＋2c＝0，
n·＝(a，b，c)·(－1，，1)＝－a＋b＋c＝0.
令b＝1，则a＝0，c＝－，
∴n＝(0,1，－)．
又∵AB⊥平面BCE，
∴AB⊥OC，∴OC⊥平面ABE，
∴平面ABE的法向量可取为m＝(1,0,0)．
∵n·m＝(0,1，－)·(1,0,0)＝0，
∴n⊥m，
∴平面ADE⊥平面ABE.
[类题通法]
(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行，或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．
(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.
[活学活用]
在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥平面B1AC.
证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)．
法一：＝(－1，－1,1)，
＝(0,2,2)，
＝(－2,2,0)，
∴·＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0，
·＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0，
∴EF⊥AB1，EF⊥AC，
又AB1∩AC＝A，
∴EF⊥平面B1AC.
法二：设平面B1AC的法向量为n＝(x，y，z)．
又＝(0,2,2)，＝(－2,2,0)，
则eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(n⊥，,n⊥
)) eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(n·＝2y＋2z＝0，,n·＝－2x＋2y＝0.))
令x＝1，可得平面B1AC的一个法向量为n＝(1,1，－1)．
又∵＝－n，
∴∥n，
∴EF⊥平面B1AC.
[典例] (12分)在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE.
[解题流程]
[活学活用]
如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，
AD＝1，AB＝，BC＝4.
(1)求证：BD⊥PC；
(2)设点E在棱PC上，＝λ，若DE∥平面PAB，求λ的值．
解：如图，在平面ABCD内过点D作直线DF∥AB，交BC于点F，以D为坐标原点，DA，DF，DP所
在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，
则A(1,0,0)，B(1，，0)，D(0，0,0)，C(－3，，0)．
(1)证明：设PD＝a，则P(0,0，a)，＝(－1，－，0)，
＝(－3，，－a)，∵·＝3－3＝0，∴BD⊥PC.
(2)由题意知，＝(0，，0)，＝(0,0，a)，
＝(1,0，－a)，＝(－3，，－a)，
∵＝λ，∴＝(－3λ，λ，－aλ)，
＝＋＝(0,0，a)＋(－3λ，λ，－aλ)
＝(－3λ，λ，a－aλ)．
设n＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，
则eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(·n＝0，,
·n＝0，))即
令z＝1，得x＝a，∴n＝(a,0,1)．
∵DE∥平面PAB，∴·n＝0，
∴－3aλ＋a－aλ＝0，即a(1－4λ)＝0.
∵a≠0，∴λ＝.
[随堂即时演练]
1．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则( )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α，β相交但不垂直
D．以上均不正确
解析：选A ∵v＝－3u，∴α∥β.
2．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B 由·＝0得3＋5－2z＝0，
∴z＝4.
又∵⊥平面ABC，
∴eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(·＝0，,
·＝0，))即
解得
∴＝.
3．已知直线l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，且l∥α，则m＝________.
解析：∵l∥α，∴l的方向向量与α的法向量垂直．
∴(2，m,1)·＝2＋m＋2＝0.
解得m＝－8.
答案：－8
4．下列命题中：
①若u，v分别是两个不同的平面α，β的法向量，则u∥v α∥β；
②若u，v分别是平面α，β的法向量，则α∥β u∥v；
③若u是平面α的法向量且向量a与α共面，则u·a＝0；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
其中正确命题的序号是________．
解析：①正确；②正确；
③中，∵u⊥α，a所在直线与平面α平行或在平面α内，∴u⊥a，∴u·a＝0，③正确；④正确．
答案：①②③④
5.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)指出直线MN的一个以A为起点的方向向量；
(2)若∠PDA＝45°，求证为平面PCD的一个法向量．
解：(1)取PD的中点E，连接NE，AE，
∵N是PC的中点，
∴NE綊DC.
又∵DC綊AB，AM＝AB，
∴AM綊CD，∴NE綊AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE.
∴为直线MN的一个以A为起点的方向向量．
(2)证明：在Rt△PAD中，∠PDA＝45°，
∴AP＝AD，∴AE⊥PD.
又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD.
∵AE 平面PAD，∴CD⊥AE.
又∵MN∥AE，
∴CD⊥MN，
∴MN⊥平面PCD.
∴为平面PCD的一个法向量．
[课时达标检测]
一、选择题
1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A．(0，－3,1)
B．(2,0,1)
C．(－2，－3,1)
D．(－2,3，－1)
解析：选D 问题即求与n共线的一个向量，
即n＝(2，－3，1)＝－(－2,3，－1)．
2．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于( )
A．3
B．6
C．－9
D．9
解析：选C ∵l⊥α，v与平面α平行，
∴u⊥v，即u·v＝0，
∴1×3＋(－3)×(－2)＋z×1＝0，
∴z＝－9.
3．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量中能作为平面ABC的一个法向量的是( )
A．(1,1，－1)
B．(1，－1,1)
C．(－1,1,1)
D．(－1，－1，－1)
解析：选D ＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)．
设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有
取x＝－1，则y＝－1，z＝－1.
故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1)．
4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC
B．BD
C．A1D
D．A1A
解析：选B 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E.
∴＝，
＝(－1,1,0)，＝(－1，－1,0)，
＝(－1,0，－1)，＝(0,0，－1)．
∵·＝(－1)×＋(－1)×＋0×1＝0，∴CE⊥BD.
5．如图，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．
给出下列结论：
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1.
这四个结论中正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C ∵A1M―→＝＋＝＋，
D1P―→＝＋＝＋，
∴A1M―→∥D1P―→，从而A1M∥D1P，可得①③④正确．
又因为B1Q与D1P不平行，故②不正确．
二、填空题
6.
已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：
①AP⊥AB；
②AP⊥AD；
③是平面ABCD的法向量；
④∥.
其中正确的是________(填序号)．
解析：由于·＝(－1)×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，
所以①②③正确．
答案：①②③
7．在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos
x＋1，2cos
2x＋2,0)和点Q(cos
x，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．
解析：由OP⊥OQ，得·＝0.
即(2cos
x＋1)·cos
x＋(2cos
2x＋2)·(－1)＝0.
∴cos
x＝0或cos
x＝.
∵x∈[0，π]，∴x＝或x＝.
答案：或
8．如图所示，在直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________.
解析：建立如图所示的坐标系，
则B1(0,0,3a)，D，，3a，
C(0，a,0)．
设E(a,0，z)(0≤z≤3a)，
则＝，
＝(a,0，z－3a)．
由题意得2a2＋z2－3az＝0，解得z＝a或2a.
故AE＝a或2a.
答案：a或2a
三、解答题
9.如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：
(1)PA∥平面EDB；
(2)PB⊥平面EFD.
证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，设DC＝PD＝1，则P(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B(1,1,0)，E.
∴＝(1,1，－1)，＝，＝，
设F(x，y，z)，则＝(x，y，z－1)，
＝.
∵⊥，
∴x＋－＝0，即x＋y－z＝0.①
又∵∥，可设＝λ，
∴x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.②
由①②可知，x＝，y＝，z＝，
∴＝.
(1)设n1＝(x1，y1，z1)为平面EDB的一个法向量，则有
eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(n1·＝0，,n1·＝0，))即
∴
取z1＝－1，则n1＝(－1,1，－1)．
∵＝(1,0，－1)，∴·n1＝0.
又∵PA 平面EDB，∴PA∥平面EDB.
(2)设n2＝(x2，y2，z2)为平面EFD的一个法向量，则有eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(n2·＝0，,n2·＝0，))即
∴
取z2＝1，则n2＝(－1，－1,1)．
∵∥n2，∴PB⊥平面EFD.
10.如图所示，直棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.
(1)求证：AC⊥平面BB1C1C.
(2)在A1B1上是否存在一点P，使得DP与平面BCB1和平面ACB1都平行？证明你的结论．
解：(1)证明：以点A为坐标原点，AD，AB，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
∵AD＝CD＝1，AB＝2，
∴D(1,0,0)，B(0,2,0)．
设AA1＝a，则A1(0,0，a)，B1(0,2，a)，C1(1,1，a)，C(1,1,0)．
＝(1,1,0)，＝(1，－1,0)，＝(0,0，a)，
∵·＝1－1＋0＝0，·＝0＋0＋0＝0，
∴AC⊥BC，AC⊥BB1，
又∵BC∩BB1＝B，
∴AC⊥平面BB1C1C.
(2)点P存在．证明如下：假设存在一点P(0，y，a)，
则＝(－1，y，a)．由(1)知，平面BCB1的法向量为.
∵·＝(－1，y，a)·(1,1,0)＝－1＋y，
又∵DP∥平面BCB1，
∴·＝0，∴y＝1.
设n＝(x，y，z)为平面ACB1的一个法向量，
∴n·＝0，n·＝0.
又∵＝(－1,1，a)，
∴
∴n为.
∵DP∥平面ACB1，∴⊥n，
∴·n＝(－1)×(－y)＋y·y＋a·＝y2－y＝0，
∴y＝0(舍去)或y＝1，这与·＝0时相一致，故假设成立．
∴存在一点P，且P为A1B1中点，使DP与平面BCB1和平面ACB1都平行．2.1
曲线与方程
曲线与方程
[提出问题]
在平面直角坐标系中：
问题1：直线x＝5上的点到y轴的距离都等于5，对吗？
提示：对．
问题2：到y轴的距离都等于5的点都在直线x＝5上，对吗？
提示：不对，还可能在直线x＝－5上．
问题3：到y轴的距离都等于5的点的轨迹是什么？
提示：直线x＝±5.
[导入新知]
曲线的方程、方程的曲线
在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
①曲线上点的坐标都是这个方程的解；
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
[化解疑难]
“纯粹性”与“完备性”
(1)定义中的关系①说明曲线上任何点的坐标都满足方程，即曲线上所有的点都符合这个条件而无例外，这是轨迹的“纯粹性”．
(2)定义中的关系②说明符合条件的所有点都在曲线上而无遗漏，这是轨迹的“完备性”.
求曲线的方程
[提出问题]
在平面直角坐标系中，已知A(2,0)，B(－2,0)．
问题1：平面上任一点P(x，y)到A点的距离是多少？
提示：|PA|＝.
问题2：平面上到A，B两点距离相等的点(x，y)满足的方程是什么？
提示：
＝.
问题3：到A，B两点距离相等的点的运动轨迹是什么？
提示：轨迹是一条直线．
[导入新知]
求曲线的方程的步骤
[化解疑难]
1．步骤(1)中“建立适当的坐标系”指坐标系建立的要恰当、合理．如定点作为原点，互相垂直的直线作为坐标轴等．合理地建立坐标系，能使运算更方便．
2．步骤(2)可以不必写出，也就是说可以根据等量关系列出方程，即(2)(3)步合并．
3．步骤(5)没有特殊情况可以省略不写．如有特殊情况，可以适当的说明，缺少的补上，多余的剔除.
曲线的方程与方程的曲线的概念
[例1] 分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；
(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；
(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．
[解] (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．
(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.
[类题通法]
这类题目主要是考查“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件，正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．这就是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．
[活学活用]
命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是( )
A．方程f(x，y)＝0的曲线是C
B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C
C．f(x，y)＝0是曲线C的方程
D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
解析：选B “曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，但“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A，C，D都不正确，B正确.
曲线与方程的关系
[例2] 下列方程分别表示什么曲线：
(1)(x＋y－1)＝0；
(2)4x2－y2＋6x－3y＝0.
[解] (1)由方程(x＋y－1)＝0，可得
或x－1＝0，
即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1.
故方程表示一条射线x＋y－1＝0(x≥1)和一条直线x＝1.
(2)方程可化为(2x－y)(2x＋y＋3)＝0，
即2x－y＝0或2x＋y＋3＝0.
故原方程表示的是两条直线2x－y＝0和2x＋y＋3＝0.
[类题通法]
判断方程表示什么曲线，常需对方程进行变形，如配方、因式分解或利用符号法则、基本常识转化为熟悉的形式，然后根据化简后的特点判断．特别注意，方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线．另外，当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想．
[活学活用]
已知方程x2＋(y－1)2＝10.
(1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；
(2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值．
解：(1)∵12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10，
∴点P在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，
点Q不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．
(2)x＝，y＝－m适合方程x2＋(y－1)2＝10，
即2＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或m＝－.所以m的值为2或－.
求曲线的方程
[例3] 过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
[解] 法一：设点M的坐标为(x，y)．
∵M为线段AB的中点．
∴A点坐标是(2x,0)，B点坐标是(0,2y)．
∵l1，l2均过点P(2,4)，且l1⊥l2，
∴PA⊥PB，当x≠1时，kPA·kPB＝－1.
而kPA＝＝，kPB＝＝，
∴·＝－1，
整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)．
当x＝1时，A，B点的坐标分别为(2,0)，(0,4)，
∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0，
综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
法二：设点M的坐标为(x，y)，则A，B两点坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接PM.
∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|.
而|PM|＝，|AB|＝，
∴2＝.
化简，得x＋2y－5＝0，即为所求轨迹方程．
[类题通法]
直接法、定义法、代入法是求轨迹方程(或轨迹)的常用方法，对于此类问题，在解题过程中，最容易出错的环节是求轨迹方程中自变量的取值范围，一定要慎重分析和高度重视．
[活学活用]
已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程．
解：法一(直接法)：如图所示，连接QC，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°.
设Q(x，y)，由题意，得
|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，
即x2＋y2＋x2＋(y－3)2＝9，
所以OP的中点Q的轨迹方程为x2＋2＝(去掉原点)．
法二：(定义法)：如图所示，因为Q是OP的中点，
所以∠OQC＝90°，则Q在以OC为直径的圆上．
故Q点的轨迹方程为x2＋2＝(去掉原点)．
法三：(代入法)：设P(x1，y1)，Q(x，y)，
由题意得即
又因为x＋(y1－3)2＝9，所以4x2＋42＝9，
即x2＋2＝(去掉原点)．
[典例] (12分)在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程．
[解题流程]
[活学活用]
已知线段AB在直线y＝－2上移动，|AB|＝4，O为坐标原点．求△AOB的外心M的轨迹方程．
解：∵点A，B在直线y＝－2上，且|AB|＝4，
故设A(x1，－2)，B(x1＋4，－2)，
∴直线OA的垂直平分线为y＝－1，直线AB的垂直平分线为x＝x1＋2.
联立
消去x1，得x2＝4(y＋2)．
故M的轨迹方程为x2＝4(y＋2)．
[随堂即时演练]
1．方程x2＋xy＝x表示的曲线是( )
A．一个点
B．一条直线
C．两条直线
D．一个点和一条直线
解析：选C 由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0.由此知方程x2＋xy＝x表示两条直线．
2．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A．π
B．4π
C．8π
D．9π
解析：选B 设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得＝2，整理得x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4.所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，则其面积是22·π＝4π.
3．若点P(2，－3)在曲线x2－ky2＝1上，则实数k＝________.
解析：将点P(2，－3)代入曲线方程得4－9k＝1，∴k＝.
答案：
4．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则动点P的轨迹方程是________________．
解析：圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为点B(1,0)，半径r＝1，
则|PB|2＝|PA|2＋r2.∴|PB|2＝2.
∴P的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝2.
答案：(x－1)2＋y2＝2
5．一个动点到直线x＝8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍，求动点的轨迹方程．
解：设动点坐标为(x，y)，则动点到直线x＝8的距离为|x－8|，到点A的距离为.
由已知，得|x－8|＝2，
化简得3x2＋4y2＝48.
所以动点的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)( )
A．在直线l上，但不在曲线C上
B．在直线l上，也在曲线C上
C．不在直线l上，也不在曲线C上
D．不在直线l上，但在曲线C上
解析：选B 将点M(2,1)的坐标代入方程知M∈l，M∈C.
2．曲线y＝x2与x2＋y2＝5的交点坐标是( )
A．(2,1)
B．(±2,1)
C．(2,1)或(2，5)
D．(±2,1)或(±2，5)
解析：选B 将x2＝4y代入x2＋y2＝5，得y2＋4y－5＝0，得(y＋5)(y－1)＝0，解得y＝－5或y＝1，y＝－5不符合题意，舍去，∴y＝1，则x2＝4，解得x＝±2.
3．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是( )
解析：选B 方程x＋|y－1|＝0可化为|y－1|＝－x≥0，则x≤0，因此选B.
4．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足||·||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为( )
A．y2＝8x
B．y2＝－8x
C．y2＝4x
D．y2＝－4x
解析：选B 设点P的坐标为(x，y)，
则＝(4,0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)，
∴||＝4，||＝，·＝4(x－2)．
根据已知条件得4
＝4(2－x)．
整理得y2＝－8x.
∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.
5．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是( )
A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0
B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0
D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
解析：选B 由两点式，得直线AB的方程是
＝，即4x－3y＋4＝0，
线段AB的长度|AB|＝＝5.
设点C的坐标为(x，y)，
则×5×＝10，
即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.
二、填空题
6．方程x2＋2y2－4x＋8y＋12＝0表示的图形为________．
解析：对方程左边配方得(x－2)2＋2(y＋2)2＝0.
∵(x－2)2≥0,2(y＋2)2≥0，
∴
解得
从而方程表示的图形是一个点(2，－2)．
答案：一个点(2，－2)
7．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P满足PM―→·PN―→＝12，则点P的轨迹方程为____________．
解析：设P(x，y)，则PM―→＝(－2－x，－y)，PN―→＝(2－x，－y)．
于是PM―→·PN―→＝(－2－x)(2－x)＋y2＝12，
化简得x2＋y2＝16，此即为所求点P的轨迹方程．
答案：x2＋y2＝16
8．已知点A(0，－1)，当点B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是________________．
解析：设M(x，y)，B(x0，y0)，则y0＝2x＋1.
又因为M为AB的中点，
所以即
将其代入y0＝2x＋1得，2y＋1＝2(2x)2＋1，即y＝4x2.
答案：y＝4x2
三、解答题
9．在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，且·＝4，求动点P的轨迹方程．
解：由已知得M(0，y)，N(x，－y)，则＝(x，－2y)，
故·＝(x，y)·(x，－2y)＝x2－2y2.
依题意知x2－2y2＝4，
因此动点P的轨迹方程为x2－2y2＝4.
10．已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量＝＋，求动点Q的轨迹．
解：设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)(y0≠0)，则点N的坐标为(0，y0)．
因为＝＋，即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0,2y0)，则x0＝x，y0＝.
又因为点M在圆C上，
所以x＋y＝4，
即x2＋＝4(y≠0)．
所以动点Q的轨迹方程是＋＝1(y≠0)．第二课时 空间向量与空间角、距离
[提出问题]
山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科技人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的A处，乙站在山坡斜面上的B处，A，B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和BD分别为30
m和40
m，CD的长为60
m，AB的长为80
m.
问题1：如何用向量方法求异面直线AC和BD所成的角？
提示：设异面直线AC与BD所成角为θ，
则cos
θ＝|cos〈，〉|.
问题2：如何求斜线BD与地面所成角α？
提示：设地面的法向量为n，
则sin
α＝|cos〈，n〉|.
问题3：如何求水平地面与斜坡面所成二面角β？
提示：cos
β＝cos〈，〉．
[导入新知]
1．空间角及向量求法
角的分类
向量求法
范围
异面直线所成的角
设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cos
θ＝|cos〈a，b〉|＝
直线与平面所成的角
设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin
θ＝|cos〈a，n〉|＝
二面角
设二面角α l β的平面角为θ，平面α，β的法向量为n1，n2，则|cos
θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝
[0，π]
2．空间距离的向量求法
分类
向量求法
两点距
设A，B为空间中任意两点，则d＝|AB|
点面距
设平面α的法向量为n，B α，A∈α，则B点到平面α的距离d＝
[化解疑难]
1．若直线l(方向向量为a)与平面α(法向量为n)所成的角为θ，则当〈a，n〉∈0，时，θ＝－〈a，n〉；当〈a，n〉∈，π时，θ＝〈a，n〉－.
2．将二面角转化为两个平面的法向量的夹角求解时，应注意判断二面角是锐角还是钝角．
3．点到平面的距离的实质，就是平面的单位法向量与从该点出发的平面的斜线段向量数量积的绝对值．
求两异面直线所成的角
[例1] 如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，若AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是( )
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
[解析] 不妨设AB＝BC＝AA1＝1，则＝－＝(－)，＝＋，
∴||＝|－BA―→|＝，||＝，
·＝(－BA―→)·(＋)＝，
∴cos〈，〉＝eq
\f(·,||·||)＝＝，∴〈，〉＝60°.
即异面直线EF与BC1的夹角是60°.
[答案] B
[类题通法]
利用空间向量求两条异面直线所成的角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需通过相应的向量运算即可，但应注意：用向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的，而两条异面直线所成角θ的取值范围是0，，两向量的夹角α的取值范围是[0，π]，所以cos
θ＝|cos
α|.
[活学活用]
正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值．
解：不妨设正方体棱长为2，分别取DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)，F(1，1,2)，
则＝(－1,0,2)，
＝(1，－1,2)，
∴||＝，||＝.
·＝－1＋0＋4＝3.
∴cos〈，〉＝eq
\f(·,||·||)＝，
∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为.
求直线与平面所成的角
[例2] 如图，在四棱锥P ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分别为PC，PB的中点．
(1)求证：PB⊥DM；
(2)求BD与平面
ADMN所成的角．
[解] 如图，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，
设BC＝1，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，C(2,1,0)，M(1，，1)，＝(2,0，－2)，＝，＝(0,2,0)，＝(2，－2,0)．
(1)证明：·＝(2,0，－2)·＝0，
∴PB⊥DM.
(2)∵·＝(2,0，－2)·(0,2,0)＝0，
∴PB⊥AD.
又∵PB⊥DM，∴PB⊥平面ADMN.
即为平面ADMN的一个法向量．
因此〈，〉的余角即是BD与平面ADMN所成的角．
∵cos〈，〉＝eq
\f(·,||·||)＝＝，
∴〈，〉＝，∴BD和平面ADMN所成的角为.
[类题通法]
求直线与平面的夹角的方法与步骤
思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．
思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量．
利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：
(1)建立空间直角坐标系；
(2)求直线的方向向量；
(3)求平面的法向量n；
(4)计算：设线面角为θ，则sin
θ＝eq
\f(|n·|,|n|·||).
[活学活用]
(全国丙卷)如图，四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明MN∥平面PAB；
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
解：(1)证明：由已知得
AM＝AD＝2.
取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.
又AD∥BC，故TN綊AM，
所以四边形AMNT为平行四边形，
于是MN∥AT.
因为MN 平面PAB，AT 平面PAB，
所以MN∥平面PAB.
(2)取BC的中点E，连接AE.
由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，
且AE＝＝
＝.
以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz.
由题意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，
C(，2,0)，N，
＝(0,2，－4)，＝，
＝.
设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，
则eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(n·＝0，,n·＝0，))即
可取n＝(0,2,1)．
于是|cos〈n，〉|＝eq
\f(|n·|,|n||
|)＝.
所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.
求二面角
[例3] 如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.
(1)证明：DC1⊥BC；
(2)求二面角A1 BD C1的大小．
[解] (1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．
由于D为AA1的中点，故DC＝DC1.
又因为AC＝AA1，可得DC＋DC2＝CC，
所以DC1⊥DC.
而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD.
BC 平面BCD，故DC1⊥BC.
(2)由(1)知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1，所以CA，CB，CC1两两相互垂直．
以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.
由题意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)，
则＝(0,0，－1)，＝(1，－1,1)，＝(－1,0,1)．
设n＝(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，
则eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(n·＝0，,n·＝0，))
即可取n＝(1,1,0)．
同理，设m是平面C1BD的法向量，
则eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(m·＝0，,m·＝0.))可取m＝(1,2,1)．
从而cos?n，m?＝＝.
故二面角A1 BD C1的大小为30°.
[类题通法]
向量法求二面角(或其某个三角函数值)的四个步骤
[活学活用]
(全国甲卷)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝.
(1)证明：D′H⊥平面ABCD；
(2)求二面角B D′A C的正弦值．
解：(1)证明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD.
又由AE＝CF，得＝，
故AC∥EF.
因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.
由AB＝5，AC＝6，
得DO＝BO＝＝4.
由EF∥AC，得＝＝.
所以OH＝1，D′H＝DH＝3.
于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，
故D′H⊥OH.
又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，
所以D′H⊥平面ABCD.
(2)如图，以H为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系H xyz，则H(0,0,0)，A(－3，－1,0)，B(0，－5,0)，C(3，－1,0)，D′(0,0,3)，
故＝(3，－4,0)，＝(6,0,0)，
＝(3,1,3)．
设m＝(x1，y1，z1)是平面ABD′的法向量，
则eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(m·＝0，,m·＝0))即
所以可取m＝(4,3，－5)．
设n＝(x2，y2，z2)是平面ACD′的法向量，
则eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(n·＝0，,n·＝0，))即
所以可取n＝(0，－3,1)．
于是cos〈m，n〉＝＝＝－.
故sin〈m，n〉＝.
因此二面角B D′A C的正弦值是.
用空间向量求距离
[例4] 四棱锥P ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．
(1)求证：DE∥平面PFB；
(2)求点E到平面PFB的距离．
[解] (1)证明：以D为原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0,0,2)，F(1,0,0)，B(2，2,0)，E(0,1,1)，
＝(－1,0,2)，＝(1,2,0)，＝(0,1,1)，
∴＝＋，∴∥平面PFB.
又∵DE 平面PFB，∴DE∥平面PFB.
(2)∵DE∥平面PFB，
∴点E到平面PFB的距离等于点D到平面PFB的距离．
设平面PFB的一个法向量n＝(x，y，z)，
则eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(n·＝0，,n·＝0))
令x＝2，得y＝－1，z＝1.
∴n＝(2，－1,1)．又∵＝(－1,0,0)，
∴点D到平面PFB的距离
d＝eq
\f(|·n|,|n|)＝＝.
∴点E到平面PFB的距离为.
[类题通法]
求点到平面的距离的四步骤
[活学活用]
在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，CD的中点，求点B到平面AEC1F的距离．
解：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，
F，E，
B(1,1,0)．
∴＝，
＝－1，，0.
设平面AEC1F的法向量为n＝(1，λ，μ)，
则n·＝0，n·＝0.
∴∴
∴n＝(1,2，－1)．
又∵＝(0,1,0)，
∴点B到平面AEC1F的距离d＝eq
\f(|·n|,|n|)＝＝.
[典例]
(12分)平面图形ABB1A1C1C如图①所示，其中BB1C1C是矩形，BC＝2，BB1＝4，AB＝AC＝，A1B1＝A1C1＝，现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠，使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直，再分别连接A1A，A1B，A1C，得到如图②所示的空间图形．对此空间图形解答下列问题．
(1)证明：AA1⊥BC；
(2)求AA1的长；
(3)求二面角A BC A1的余弦值．
[解题流程]
由题设，可得A1D1＝2，AD＝1.
由以上可知AD⊥平面BB1C1C，A1D1⊥平面BB1C1C，
于是AD∥A1D1.(4分)
所以A(0，－1,4)，B(1,0,4)，A1(0,2,0)，C(－1,0,4)，D(0,0,4)，
故＝(0,3，－4)，＝(－2,0,0)，·＝0，(5分)
因此⊥，即AA1⊥BC.(6分)
(2)因为＝(0,3，－4)，
所以||＝5，即AA1＝5.(8分)
(3)设平面A1BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
又因为＝(－1，－2,4)，＝(1，－2,4)，(9分)
所以eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(·n1＝0，,
·n1＝0，))(10分)
即
令z1＝1，则n1＝(0,2,1)．
[活学活用]
如图，在圆锥PO中，已知PO＝，⊙O的直径AB＝2，C是的中点，D为AC的中点．
(1)证明：平面POD⊥平面PAC；
(2)求二面角B PA C的余弦值．
解：(1)如图，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0，)，D.
设n1＝(x1，y1，z1)是平面POD的一个法向量，
则由n1·＝0，n1·＝0，得
∴z1＝0，x1＝y1.取y1＝1，得n1＝(1,1,0)．
设n2＝(x2，y2，z2)是平面PAC的一个法向量，
则由n2·＝0，n2·＝0，得
∴x2＝－z2，y2＝z2.取z2＝1，得n2＝(－，，1)．
∵n1·n2＝(1,1,0)·(－，，1)＝0，∴n1⊥n2.
从而平面POD⊥平面PAC.
(2)∵y轴⊥平面PAB，
∴平面PAB的一个法向量为n3＝(0,1,0)．
由(1)知，平面PAC的一个法向量为n2＝(－，，1)．
设向量n2和n3的夹角为θ，则cos
θ＝＝＝.
由图可知，二面角B PA C的平面角与θ相等，
∴二面角B PA C的余弦值为.
[随堂即时演练]
1．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．120°
B．60°
C．30°
D．以上均错
解析：选C ∵l的方向向量与平面的法向量的夹角为120°，
∴它们所在直线的夹角为60°，
则直线l与平面α所成的角为90°－60°＝30°.
2．在长方体ABCD A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A 建立如图所示的空间直角坐标系，可知∠CB1C1＝60°，∠DC1D1＝45°，
设B1C1＝1，CC1＝＝DD1.
∴C1D1＝，则有B1(，0,0)，C(，1，)，C1(，1,0)，D(0,1，)．
∴＝(0,1，)，＝(－，0，)．
∴cos〈，〉＝eq
\f(·,|
|||)＝＝.
3．已知向量n＝(1,0，－1)与直线l垂直，且直线l经过点A(2,3,1)，则点P(4,3,2)到直线l的距离为________．
解析：＝(－2,0，－1)，又n与l垂直，
∴P到l的距离为
＝＝.
答案：
4．在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为边长是1的正方形，PA＝2，则AB与PC的夹角的余弦值为________．
解析：因为·＝·(＋)＝·＋·＝1××cos
45°＝1，
又∵||＝1，||＝，
∴cos〈，〉＝eq
\f(·,||||)＝＝.
答案：
5．如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE与AD的交点，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小．
解：∵四边形ACDE是正方形，
∴EA⊥AC，AM⊥EC.
∵平面ACDE⊥平面ABC，
∴EA⊥平面ABC.
以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以AC和AE所在直线为y轴和z轴，建立空间直角坐标系Axyz.
设EA＝AC＝BC＝2，
则A(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0,2)．
∵M是正方形ACDE的对角线的交点，
∴M(0,1,1)．
(1)证明：∵＝(0,1,1)，＝(0,2，－2)，
＝(2,0,0)，
∴·＝0，·＝0.
∴AM⊥EC，AM⊥CB.
又∵EC∩CB＝C，∴AM⊥平面EBC.
(2)∵AM⊥平面EBC，
∴为平面EBC的一个法向量．
∵＝(0,1,1)，＝(2,2,0)，
∴cos〈，〉＝eq
\f(·,||·||)＝.
∴〈，〉＝60°.
∴直线AB与平面EBC所成角的大小为30°.
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为( )
A．10
B．3
C.
D.
解析：选D 点P到平面α的距离
d＝eq
\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(·n,|n|)))＝＝.
2．在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为( )
A．0
B.
C．－
D.
解析：选A 建立如图空间直角坐标系，则D1(0,0,3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，
∴＝(－2，－2,3)，＝(－2,2,0)．
∴cos〈，〉＝eq
\f(·,|||
|)＝0.
∴〈，〉＝90°，其余弦值为0.
3．已知正四棱锥S
ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C 建立如图所示的空间直角坐标系，令正四棱锥的棱长为2，则A(1，－1,0)，D(－1，－1,0)，S(0,0，)，E，
∴＝，
＝(－1，－1，－)，
∴cos〈，〉＝eq
\f(·,|||)＝－，
∴AE，SD所成的角的余弦值为.
4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为( )
A．－
B.
C．－
D.
解析：选B 建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0，2,1)．
∴＝(－2，－2,0)，＝(0,0,2)，＝(－2,0,1)．
设平面B1BD的法向量为n＝(x，y，z)．
∵n⊥，n⊥，
∴∴
令y＝1，则n＝(－1,1,0)．
∴cos〈n，〉＝eq
\f(n·,|n|||)＝，
设直线BE与平面B1BD所成角为θ，
则sin
θ＝|cos〈n，〉|＝.
5．正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD.若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析：选B 建立空间直角坐标系如图，设AB＝1，
则A(0,0,0)，B(0,1,0)，
P(0,0,1)，D(1,0,0)，C(1,1,0)．
平面PAB的法向量为n1＝(1,0,0)．
设平面PCD的法向量n2＝(x，y，z)，
则eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(n2·＝0，,n2·＝0，))得
令x＝1，则z＝1.
∴n2＝(1,0,1)，cos〈n1，n2〉＝＝.
∴平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值为.
∴此角的大小为45°.
二、填空题
6．直线l的方向向量a＝(－2,3,2)，平面α的一个法向量n＝(4,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________．
解析：设直线l与平面α所成的角是θ，a，n所成的角为β，sin
θ＝|cos
β|＝＝.
答案：
7．在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉＝________.
解析：建立如图空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则C(0，2,0)，M(2,0,1)，D1(0,0,2)，N(2，2,1)．
可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)，
·＝2×2＋(－2)×2＋1×(－1)＝－1，
||＝3，||＝3，
∴cos〈，〉＝eq
\f(·,||||)＝－，
∴sin〈，〉＝.
答案：
8.
如图，已知矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角D AB E为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为θ，且cos
θ＝，则＝________.
解析：建立如图所示空间直角坐标系，设AB＝1，BC＝λ，则F(λ，0,0)，M，B(0,1,0)，D(0,0，λ)．
∵＝，＝(0，－1，λ)．
∴cos
θ＝eq
\f(|·|,||·||)＝＝，
解得λ＝，所以＝.
答案：
三、解答题
9.如图所示，已知在四面体ABCD中，O为BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.
(1)求证：AO⊥平面BCD；
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．
解：(1)证明：因为BO＝DO，AB＝AD，所以AO⊥BD.
因为BO＝DO，BC＝CD，
所以CO⊥BD.
在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝，
而AC＝2，所以AO2＋CO2＝AC2，
所以∠AOC＝90°，即AO⊥OC.
因为BD∩OC＝O，所以AO⊥平面BCD.
(2)以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0，，0)，A(0,0,1)，
＝(－1,0,1)，
＝(－1，－，0)，
所以cos〈，〉＝eq
\f(·,||||)＝，
所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.
10．如图，四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，∠ACB＝90°.
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)若二面角D PC A的余弦值为，求点A到平面PBC的距离．
解：(1)证明：∵PA⊥底面ABCD，BC 平面ABCD，
∴PA⊥BC，
∵∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC，
又PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC.
(2)设AP＝h，取CD的中点E，则AE⊥CD，
∴AE⊥AB.又∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AE.
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，P(0，0，h)，C，，0，
D，－，0，B(0,2,0)，
＝(0,0，h)，＝，
＝，
＝.
设平面PAC的一个法向量为n1＝(x，y，z)，
则eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(·n1＝0，,
·n1＝0，))即
令x＝h，得n1＝(h，－h，0)．
同理得平面PDC的一个法向量n2＝.
∵cos〈n1，n2〉＝＝，
∴h＝.
又可求得平面PBC的一个法向量n3＝(3，，2)，
所以，点A到平面PBC的距离为
d＝eq
\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(·n3,|n3|)))＝＝.3．1.2 空间向量的数乘运算
空间向量的数乘运算
[提出问题]
作向量＝a＋a＋a，＝(－a)＋(－a)＋(－a)(a≠0)．
问题1：的模是a的模的几倍？
提示：3倍．
问题2：的方向与a的方向一致吗？
提示：一致．
问题3：||是|a|的几倍？与a的方向有怎样的关系？
提示：3倍，相反．
[导入新知]
定义
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘
几何意义
λ＞0
λa与向量a的方向相同
λa的长度是a的长度的|λ|倍
λ＜0
λa与向量a的方向相反
λ＝0
λa＝0，其方向是任意的
运算律
分配律
λ(a＋b)＝λa＋λb
结合律
λ(μa)＝(λμ)a
[化解疑难]
对空间向量数乘运算的理解
(1)任何实数与向量的积仍是一个向量，当λ＝0时，λa＝0.
(2)向量数乘运算满足以下运算律：
λ(μ
a)＝λμ
a，λ(a＋b)＝λa＋λb.
(3)运算律中是实数与向量的乘积，不是向量与向量的乘法运算.
共线、共面向量
[提出问题]
空间中有向量a，b，c(均为非零向量)．
问题1：向量a与b共线的条件是什么？
提示：存在唯一实数λ，使a＝λb.
问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？
提示：一定；不一定．
问题3：空间两非零向量a，b共面，能否推出a＝λb(λ∈R)
提示：不能．
[导入新知]
共线(平行)向量
共面向量
定义
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量
平行于同一个平面的向量叫做共面向量
充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb
若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
推论
共线(平行)向量
共面向量
如果l为经过点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，①其中a叫做直线l的方向向量，如图所示．若在l上取＝a，则①式可化为
＝＋t
如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y
，或对空间任意一点O来说，有＝＋x＋y
[化解疑难]
对共线、共面向量的理解
(1)共面向量不具有传递性．
(2)共线向量定理及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据．定理中的条件a≠0不可遗漏．
(3)直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．
(4)空间任意两个向量总是共面的，空间任意三个向量可能共面，也可能不共面．
(5)向量p与a，b共面的充要条件是在a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立．
空间向量的线性运算
[例1] 已知正四棱锥P ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值．
(1)＝＋y＋z；
(2)
＝x＋y＋.
[解] 如图．
(1)∵＝－＝－(＋)
＝－－，
∴y＝z＝－.
(2)∵O为AC的中点，Q为CD的中点，
∴＋＝2，＋＝2，
∴＝2－，＝2－，
∴＝2－2＋，
∴x＝2，y＝－2.
[类题通法]
利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法．一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径，结果应是唯一的．
应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，一定要熟练掌握．
[活学活用]
如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简：－－；
(2)设E是棱DD1上的点，且＝，若＝x＋y＋z，试求实数x，y，z的值．
解：(1)原式＝－(＋)＝－＝.
(2)
＝－＝(＋)－－
＝－－，
∴x＝，y＝－，z＝－.
空间向量共线问题
[例2] 如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．
[解] 因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形，
所以＝＋＋＝＋＋.
又因为＝＋＋＋＝－＋－－，
以上两式相加得＝2，所以∥，
即与共线．
[类题通法]
(1)判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb成立，同时要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简得出a＝λb，从而得出a∥b.
(2)当两个空间向量共线时，即存在实数λ，使得a＝λb成立，既可以用于证明，也可以用待定系数法求参数的值．
[活学活用]
如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，
点E在A1D1上，且＝2，点F在对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线．
证明：设＝a，＝b，＝c.
∵＝2，＝，
∴＝，＝，
∴＝＝b，
＝(－)
＝(＋－)
＝a＋b－c.
∴＝－
＝a－b－c
＝.
又∵＝＋＋
＝－b－c＋a
＝a－b－c，
∴＝.又∵EF∩EB＝E，
∴E，F，B三点共线.
空间向量共面问题
[例3] 已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足＝＋＋.
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断M点是否在平面ABC内．
[解] (1)∵＋＋＝3，
∴－＝(－)＋(－)＝＋，
∴＝＋＝－－，
∴向量，，共面．
(2)由(1)知向量，，共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，
∴点M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．
[类题通法]
(1)证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明．
(2)向量共面向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面(向量的起点、终点共面)．
[活学活用]
已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：
(1)E，F，G，H四点共面．
(2)BD∥平面EFGH.
证明：如图，连接EG，BG.
(1)因为＝＋
＝＋(＋)
＝＋＋
＝＋，
由向量共面的充要条件知：E，F，G，H四点共面．
(2)因为＝－＝－＝，所以EH∥BD.
又EH 平面EFGH，BD 平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
[典例] (8分)空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别在边CB，CD上，且＝，＝.
求证：四边形EFGH为梯形．
[解题流程]
[规范解答]
根据题意，∵＝－，＝－，又∵＝，＝，
∴＝.(2分) ①
∵＝－，＝－，又∵＝，＝，
[活学活用]
对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点，试判断与，的关系．
解：如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，利用多边形加法法则可得，
＝＋＋，
＝＋＋.
又∵＝－，＝－，
∴＝－＋－，
∴2＝＋，
所以＝＋，
∴与，共面．
[随堂即时演练]
1．已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则＋(＋)等于( )
A．
B．
C．
D.
解析：选A ＋(＋)＝＋×(2)＝＋＝.
2．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x的值为( )
A．1
B．0
C．3
D.
解析：选D ∵＝x＋＋，且M，A，B，C四点共面，∴x＋＋＝1，即x＝.
3．在三棱锥A BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＋－－化简的结果为________．
解析：延长DE交边BC于点F，
则有＋＝，
＋＝＋＝，
故＋－－＝0.
答案：0
4．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k的值是________．
解析：∵＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，
∴＝＋＝(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝6e1＋6e2.
∵A，B，D三点共线，
∴＝λ，
∴e1＋ke2＝λ(6e1＋6e2)．
∵e1，e2是不共线向量，
∴∴k＝1.
答案：1
5.如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点．证明：向量，，是共面向量．
解：＝＋＋
＝－＋
＝(＋)－
＝－.
由向量共面的充要条件知，，，是共面向量．
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列命题中正确的个数是( )
①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；
②向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面；
③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选A ①当b＝0时，a与c不一定共线，故①错误；
②中a，b，c共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误；③当b为零向量，a不为零向量时，λ不存在．
2．已知空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D
B．A，B，C
C．B，C，D
D．A，C，D
解析：选A ∵＝＋＝2a＋4b＝2，
∴A，B，D三点共线．
3．若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则( )
A．P∈AB
B．P AB
C．点P可能在直线AB上
D．以上都不对
解析：选A 因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以＝(1－n)＋n，即－＝n(－)，即＝n，所以与共线．又有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB.
4．在下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是( )
A．＝3－2－
B．＋＋＋＝0
C．＋＋＝0
D．＝－＋
解析：选C ∵＋＋＝0，
∴＝－－，
∴点M与点A，B，C必共面．
5．已知正方体ABCD A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则( )
A．x＝1，y＝
B．x＝，y＝1
C．x＝1，y＝
D．x＝1，y＝
解析：选D ＝＋＝＋＝＋(＋)．所以x＝1，y＝.
二、填空题
6．化简：(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)＝________.
解析：原式＝a＋b－c＋a－b＋c－3a＋6b－3c＝a＋b＋c＝a＋b－c.
答案：a＋b－c
7．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________.
解析：＝－＝－＝－(－)＝＋，又
＝＋λ，所以λ＝.
答案：
8．有下列命题：
①若∥，则A，B，C，D四点共线；
②若∥，则A，B，C三点共线；
③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b；
④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.
其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．
解析：根据共线向量的定义，若∥，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错；∥且，有公共点A，所以②正确；由于a＝4e1－e2＝－4－e1＋e2＝－4b，所以a∥b，故③正确；易知④也正确．
答案：②③④
三、解答题
9.如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
(1)＋；
(2)＋＋；
(3)－－.
解：(1)＋＝
.
(2)因为点M是BB1的中点，
所以＝.
又因为＝，
所以＋＋＝＋＝.
(3)－－＝－＝.
向量，，如图所示．
10.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．
(1)试用向量方法证明E，F，G，H四点共面；
(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断．
证明：
(1)分别连接PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，连接MN，NQ，QR，RM，∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心，
∴M，N，Q，R是所在边的中点，且＝，＝，＝，＝.
由题意知四边形MNQR是平行四边形，
∴＝＋MR―→＝(－)＋(－)
＝(－)＋(－)
＝(＋)．
又＝－＝－＝.
∴＝＋，
由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．
(2)平行．证明如下：
由(1)得＝，∴∥，
∴∥平面ABCD.
又＝－＝－
＝，∴∥.即EF∥平面ABCD.
又∵EG∩EF＝E，
∴平面EFGH与平面ABCD平行．1.1.1 命 题
[提出问题]
观察下列语句：
(1)三角形的三个内角的和等于360°.
(2)今年校运动会我们班还能得第一吗？
(3)这是一棵大树呀！
(4)实数的平方是正数．
(5)能被4整除的数一定能被2整除．
问题1：上述语句哪几个语句能判断真假？
提示：(1)(4)(5)．
问题2：你能判断它们的真假吗？
提示：能，(5)真，(1)(4)为假．
[导入新知]
命题
[化解疑难]
1．判断一个语句是命题的两个要素：
(1)是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言；
(2)可以判断真假．
2．命题的条件与结论之间的关系属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可．
命题的判断
[例1] 判断下列语句是不是命题，并说明理由．
(1)是有理数；
(2)3x2≤5；
(3)梯形是不是平面图形呢？
(4)x2－x＋7＞0.
[解] (1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．
(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．
(4)因为x2－x＋7＝2＋＞0，所以“x2－x＋7＞0”是真的，故是命题．
[类题通法]
判断语句是不是命题的策略
判断一个语句是不是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件，如果满足这两个条件，该语句就是命题，否则就不是．
[活学活用]
判断下列语句是否为命题，并说明理由．
(1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形；
(2)任何集合都是它自己的子集；
(3)对顶角相等吗？
(4)x＞3.
解：(1)是陈述句，能判断真假，是命题．
(2)是陈述句，能判断真假，是命题．
(3)不是陈述句，不是命题．
(4)是陈述句，但不能判断真假，不是命题.
判断命题的真假
[例2] 判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)正方形既是矩形又是菱形；
(2)当x＝4时，2x＋1＜0；
(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；
(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．
[解] (1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．
(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1＜0.
(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.
(4)是假命题，因为当等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列．
[类题通法]
命题真假的判定方法
(1)真命题的判定方法：
真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．
(2)假命题的判定方法：
通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．
[活学活用]
下列命题中真命题有( )
①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．
A．1个 B．2个
C．3个
D．4个
解析：选A ①中当m＝0时，是一元一次方程；②中当Δ＝4＋4a＜0时，抛物线与x轴无交点；③是正确的；④中空集不是本身的真子集．
命题的结构形式
[例3] 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)6是12和18的公约数；
(2)当a＞－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；
(3)平行四边形的对角线互相平分；
(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.
[解] (1)若一个数是6，则它是12和18的公约数．是真命题．
(2)若a＞－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根．是假命题．
(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分．是真命题．
(4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2.是假命题．
[类题通法]
(1)把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，要将条件写在前面，结论写在后面．
(2)若条件和结论比较隐含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一．
[活学活用]
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)奇数不能被2整除；
(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；
(3)两个相似三角形是全等三角形；
(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．
解：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除．是真命题．
(2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1.是真命题．
(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形．是假命题．
(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行．是假命题．
[典例] 将命题“已知a，b为正数，当a＞b时，有＞”写成“若p，则q”的形式，并指出条件和结论．
[解] 根据题意，“若p，则q”的形式为：已知a，b为正数，若a＞b，则＞.
其中条件p：a＞b，结论q：＞.
[易错防范]
1．易误把大前提“已知a，b为正数”当作条件，实际上若一个命题有大前提，则应把它写在“若p，则q”之前，不能写在条件中．
2．任一命题都可以改写成“若p，则q”的形式，关键是分清命题的条件和结论，并且把它们补充成语意完整的句子．
[成功破障]
把命题“已知a，b为正数，当a＞b时，有log2a＞log2b”写成“若p，则q”的形式．
解：“若p，则q”的形式：
已知a，b为正数，
若a＞b，则log2a＞log2b.
[随堂即时演练]
1．下列命题中是真命题的是( )
A．若ab＝0，则a2＋b2＝0
B．若a＞b，则ac＞bc
C．若M∩N＝M，则N M
D．若M N，则M∩N＝M
解析：选D A项中，a＝0，b≠0时，a2＋b2＝0不成立；B项中，c≤0时不成立；C项中，M∩N＝M说明M N.故选项A、B、C皆错误．
2．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中，真命题是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
解析：选B a·b＝0，在a，b为非零向量时可得a⊥b；a2＝b2可改写为|a|2＝|b|2，只能得出|a|＝|b|；a·b＝a·c，可移项得a⊥(b－c)，不可两边同除以向量．
3．命题“函数y＝2x＋1是增函数”的条件是____________，结论是__________________．
答案：函数为y＝2x＋1 该函数是增函数
4．下列命题：
①若xy＝1，则x，y互为倒数；
②二次函数的图象与x轴有公共点；
③平行四边形是梯形；
④若a＞b，则a＞b.
其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．
解析：对于②，二次函数图象与x轴不一定有公共点；对于③，平行四边形不是梯形．
答案：①④
5．已知命题p：x2－2x－2≥1；命题q：0＜x＜4，若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数x的取值范围．
解：由x2－2x－2≥1，即x2－2x－3≥0，
解得x≤－1或x≥3.
故命题p：x≤－1或x≥3.
又命题q：0＜x＜4，且命题p为真，命题q为假，
则
所以x≤－1或x≥4.
故满足条件的实数x的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列语句不是命题的有( )
①若a＞b，b＞c，则a＞c；②x＞2；③3＜4；
④函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在R上是增函数．
A．0个 B．1个
C．2个
D．3个
解析：选C ①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②④不能判断真假，不是命题．
2．下列命题中真命题的个数为( )
①面积相等的三角形是全等三角形；
②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
③若a＞b，则a＋c＞b＋c；
④矩形的对角线互相垂直．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选A ①错；②中，x＝3，y＝0，则xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故②错；③正确；④中，矩形的对角线相等，但不一定互相垂直．
3．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是平行四边形
解析：选C 命题可改为“若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直．”
4．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中，假命题是( )
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交
D．若α，β相交，则a，b相交
解析：选D 由已知a⊥α，b⊥β，若α，β相交，则a，b有可能异面．
5．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )
A．4
B．2
C．0
D．－3
解析：选C 方程无实根时，应满足Δ＝a2－4＜0.故a＝0时适合条件．
二、填空题
6．下列语句中是命题的有________，其中是真命题的有________．(写出序号)
①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
②一个数不是正数就是负数；
③大角所对的边大于小角所对的边；
④△ABC中，若∠A＝∠B，则sin
A＝sin
B；
⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．
解析：①是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；
②是假命题，0既不是正数也不是负数；
③是假命题，没有考虑在同一个三角形内；
④是真命题；
⑤祈使句，不是命题．
答案：②③④ ④
7．命题“若a＞0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)”的条件p：________，结论q：________________________.它是________(填“真”或“假”)命题．
解析：a＞0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，
∴命题为真命题．
答案：a＞0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真
8．若命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：∵ax2－2ax－3＞0不成立，
∴ax2－2ax－3≤0恒成立．
当a＝0时，－3≤0恒成立；
当a≠0时，则有
解得－3≤a＜0.综上，－3≤a≤0.
答案：[－3,0]
三、解答题
9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．
(1)乘积为1的两个实数互为倒数；
(2)奇函数的图象关于原点对称；
(3)与同一直线平行的两个平面平行．
解：(1)若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数．它是真命题．
p：两个实数乘积为1；q：两个实数互为倒数．
(2)若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称．它是真命题．
p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．
(3)若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行．它是假命题，这两个平面也可能相交．
p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．
10．已知A：5x－1＞a，B：x＞1，请选择适当的实数a，使得利用A，B
构造的命题“若p，则q”为真命题．
解：若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x＞，则x＞1”．由命题为真命题可知≥1，解得a≥4.
若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x＞1，则x＞”．由命题为真命题可知≤1，解得a≤4.
故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x＞1，则x＞”．1.4
全称量词与存在量词
全称量词和全称命题
[提出问题]
观察下列语句：
(1)2x是偶数；
(2)对于任意一个x∈Z,2x都是偶数．
(3)所有的三角函数都是周期函数．
问题1：以上语句是命题吗？
提示：(1)不是命题，(2)(3)是命题．
问题2：上述命题中强调的是什么？
提示：(2)强调“任意一个x∈Z”，(3)强调“所有的三角形”．
[导入新知]
全称量词和全称命题
全称量词
所有的、任给、每一个、对一切
符号
全称命题
含有全称量词的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为 x∈M，p(x)
[化解疑难]
全称命题是强调命题的一般性，是对于某一个给定集合的所有元素是否具有某种性质来说的.
存在量词与特称命题
[提出问题]
观察下列语句：
(1)存在一个x0∈R，使2x0＋2＝10；
(2)至少有一个x0∈R，使x0能被5和8整除．
问题1：以上语句是命题吗？
提示：都是命题．
问题2：上述命题有什么特点？
提示：两命题中变量x0取值有限制，即“存在一个x0∈R”，“至少有一个x0∈R”．
[导入新知]
存在量词和特称命题
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、对某个、有些
符号表示
特称命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为 x0∈M，p(x0)
[化解疑难]
特称命题是强调命题的存在性，是对于某一个给定集合的某些元素是否具有某种性质来说的．
含有一个量词的命题的否定
[提出问题]
观察下列命题：
(1)有的函数是偶函数；
(2)三角形都有外接圆．
问题1：上述命题是全称命题还是特称命题？
提示：(1)是特称命题，(2)是全称命题．
问题2：上述命题的量词各是什么？其量词的“反面”是什么？
提示：有的；所有的．所有的；存在一个．
[导入新知]
含有一个量词的命题的否定
[化解疑难]
一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．
全称命题与特称命题
[例1] 判断下列语句是全称命题，还是特称命题．
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的向量方向不定；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；
(4)矩形的对角线不相等；
(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
[解] (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．
(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．
(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．
(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．
(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．
[类题通法]
判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．
[活学活用]
用全称量词或存在量词表示下列语句：
(1)不等式x2＋x＋1＞0恒成立；
(2)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数；
(3)等式sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β对有些角α，β成立；
(4)方程3x－2y＝10有整数解．
解：(1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1＞0成立．
(2)对任意有理数x，x2＋x＋1是有理数．
(3)存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β成立．
(4)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立.
全称命题、特称命题的真假
[例2] 指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．
(1) x∈N,2x＋1是奇数；
(2)存在一个x0∈R，使＝0；
(3)存在一组m，n的值，使m－n＝1；
(4)至少有一个集合A，满足A{1,2,3}．
[解] (1)是全称命题．因为对任意自然数x,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．
(2)是特称命题．因为不存在x0∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．
(3)是特称命题．当m＝4，n＝3时，m－n＝1成立，所以该命题是真命题．
(4)是特称命题．存在A＝{3}，使A{1,2,3}成立，所以该命题是真命题．
[类题通法]
(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．
(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题．
[活学活用]
判断下列命题的真假：
(1)p：所有的单位向量都相等；
(2)p：任一等比数列{an}的公比q≠0；
(3)p： x0∈R，x＋2x0＋3≤0.
解：(1)p是全称命题，是假命题．
若两个单位向量e1，e2方向不相同，虽然有|e1|＝|e2|＝1，但e1≠e2.
(2)p是全称命题，是真命题．
根据等比数列的定义知，任一等比数列中，其每一项an≠0，所以其公比q＝≠0(n＝1,2,3，…)．
(3)p是特称命题，是假命题．
因为对于綈p： x∈R，x2＋2x＋3＞0是真命题，这是因为x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成立.
全称命题与特称命题的否定
[例3] 写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p： x∈R，x2－x＋≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r： x0∈R，x＋4x0＋6≤0；
(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
[解] (1)綈p： x0∈R，x－x0＋＜0，假命题．
因为 x∈R，x2－x＋＝2≥0恒成立．
(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
(3)綈r： x∈R，x2＋4x＋6＞0，真命题．
(4)綈s： x∈R，x3＋1≠0，假命题，
因为x＝－1时，x3＋1＝0.
[类题通法]
(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，
同时否定结论．
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
[活学活用]
判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出这些命题的否定：
(1)有一个奇数不能被3整除；
(2) x∈Z，x2与3的和不等于0；
(3)有些三角形的三个内角都为60°；
(4)每个三角形至少有两个锐角；
(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
解：(1)是特称命题，否定为：每一个奇数都能被3整除．
(2)是全称命题，否定为： x0∈Z，x与3的和等于0.
(3)是特称命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60°.
(4)是全称命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角．
(5)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线．
全称命题与特称命题的应用
[例4] 若命题“ x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．
[解] 法一：由题意， x∈[－1，＋∞)，
令f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立，
所以f(x)＝(x－a)2＋2－a2≥a可转化为 x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a恒成立，
而 x∈[－1，＋∞)，
f(x)min＝
由f(x)的最小值f(x)min≥a，知a∈[－3,1]．
法二：x2－2ax＋2≥a，
即x2－2ax＋2－a≥0，
令f(x)＝x2－2ax＋2－a，
所以全称命题转化为 x∈[－1，＋∞)，
f(x)≥0恒成立，
所以Δ≤0或
即－2≤a≤1或－3≤a＜－2.所以－3≤a≤1.
综上，所求实数a的取值范围是[－3,1]．
[类题通法]
应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型
(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．
(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
[活学活用]
若存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0，求实数a的取值范围．
解：当a≤0时，显然存在x0∈R，使ax＋2x0＋a＜0；
当a＞0时，需满足Δ＝4－4a2＞0，得－1＜a＜1，故0＜a＜1.
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1)．
[典例] (浙江高考)命题“ x∈R， n∈N
，使得n≥x2”的否定形式是( )
A． x∈R， n∈N
，使得n＜x2
B． x∈R， n∈N
，使得n＜x2
C． x∈R， n∈N
，使得n＜x2
D． x∈R， n∈N
，使得n＜x2
[解析] 由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“ x∈R， n∈N
，使得n≥x2”的否定形式为“ x∈R， n∈N
，使得n＜x2”．
[答案] D
[易错防范]
1．因只否定了一个量词，而误选B或C.
2．对含有量词的命题进行否定时，要明确否定的实质，不应只简单地对量词进行否定，应遵循否定的要求，同时熟练记住一些常用量词的否定形式及其规律．
[成功破障]
命题“存在x∈R，使得2x＋2x＋1<0”的否定是________________________．
答案：对于任意的x∈R，都有2x＋2x＋1≥0
[随堂即时演练]
1．下列全称命题为真命题的是( )
A．所有的素数是奇数
B． x∈R，x2＋1≥1
C．对每一个无理数x，x2也是无理数
D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5
解析：选B 2是素数，但2不是奇数，所以A是假命题；x2＋1≥1 x2≥0，显然 x∈R，x2≥0，故B为真命题，C、D均是假命题．
2．(湖北高考)命题“ x0∈(0，＋∞)，ln
x0＝x0－1”的否定是( )
A． x∈(0，＋∞)，ln
x≠x－1
B． x∈/(0，＋∞)，ln
x＝x－1
C． x0∈(0，＋∞)，ln
x0≠x0－1
D． x0∈/(0，＋∞)，ln
x0＝x0－1
解析：选A 改变原命题中的三个地方即可得其否定， 改为 ，x0改为x，否定结论，即ln
x≠x－1，故选A.
3．命题p： x0∈R，x＋2x0＋5＜0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________(填“真”或“假”)命题，它的否定为綈p：______________.
解析：命题p： x0∈R，x＋2x0＋5＜0是特称命题．
因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4＞0恒成立，
所以命题p为假命题．
命题p的否定为： x∈R，x2＋2x＋5≥0.
答案：特称命题 假 x∈R，x2＋2x＋5≥0
4．若 x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________________．
解析：由题意知，0＜a2－1＜1，
∴即
解得
∴1＜a＜或－＜a＜－1.
答案：(－，－1)∪(1，)
5．已知p：存在正实数x，使x2＋mx＋1＝0成立．若綈p是假命题，求实数m的取值范围．
解：∵綈p为假命题，∴p为真命题，
即关于x的方程x2＋mx＋1＝0有正解．
由x2＋mx＋1＝0，
得m＝－x－＝－≤－2，
当且仅当x＝1时取等号．
即m的取值范围为(－∞，－2]．
[课时达标检测]
一、选择题
1．(全国卷Ⅰ)设命题p： n∈N，n2>2n，则綈p为( )
A． n∈N，n2>2n
B． n∈N，n2≤2n
C． n∈N，n2≤2n
D． n∈N，n2＝2n
解析：选C 因为“ x∈M，p(x)”的否定是“ x∈M，綈p(x)”，所以命题“ n∈N，n2>2n”的否定是“ n∈N，n2≤2n”，故选C.
2．下列语句是真命题的是( )
A．所有的实数x都能使x2－3x＋6＞0成立
B．存在一个实数x使不等式x2－3x＋6＜0成立
C．存在一条直线与两个相交平面都垂直
D．有一条直线和两个相交平面都垂直
解析：选A Δ＜0，x2－3x＋6＞0对x∈R恒成立，故排除B；假设存在这样的直线与两个相交平面垂直，则两个平面必平行，故排除C，D.
3．有下列四个命题：① x∈R,2x2－3x＋4＞0；② x∈{1，－1,0},2x＋1＞0；③ x0∈N，使x≤x0；④ x0∈N
，使x0为29的约数．其中真命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3 D．4
解析：选C 对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4＜0，所以2x2－3x＋4＞0恒成立，故①为真命题；
对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1＞0不成立，故②为假命题；
对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x≤x0成立，故③为真命题；
对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，所以④为真命题．
4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使＞2
解析：选B A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有＜0，所以D是假命题．
5．已知a＞0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A． x∈R，f(x)≤f(x0)
B． x∈R，f(x)≥f(x0)
C． x∈R，f(x)≤f(x0)
D． x∈R，f(x)≥f(x0)
解析：选C 由题意知：x0＝－为函数f(x)图象的对称轴方程，所以f(x0)为函数的最小值，即对所有的实数x，都有f(x)≥f(x0)，因此 x∈R，f(x)≤f(x0)是假命题．
二、填空题
6．命题“ x∈R,3x2－2x＋1＞0”的否定是________．
解析：“ x∈M，p(x)”的否定为“ x0∈M，綈p(x0)”，∴其否定为 x0∈R,3x－2x0＋1≤0.
答案： x0∈R,3x－2x0＋1≤0
7．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号)
①正方形的四条边相等；
②有两个角相等的三角形是等腰三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．
答案：①②③ ④
8．已知命题“ x0∈R,2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意可得“对 x∈R,2x2＋(a－1)x＋＞0恒成立”是真命题．令Δ＝(a－1)2－4＜0，得－1＜a＜3.
答案：(－1,3)
三、解答题
9．用“ ”“ ”写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)二次函数的图象是抛物线；
(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象；
(3)有些四边形存在外接圆；
(4) a，b∈R，方程ax＋b＝0无解．
解：(1) f(x)∈{二次函数}，f(x)的图象不是抛物线．它是假命题．
(2)在直角坐标系中， l∈{直线}，l不是一次函数的图象．它是真命题．
(3) x∈{四边形}，x不存在外接圆．它是假命题．
(4) a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．它是假命题．
10．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a＞0成立”为真，试求参数a的取值范围．
解：法一：由题意知，x2＋2ax＋2－a＞0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则只需f(1)＞0或f(2)＞0，即1＋2a＋2－a＞0，或4＋4a＋2－a＞0.
整理得a＞－3或a＞－2，即a＞－3.故参数a的取值范围为(－3，＋∞)．
法二：綈p： x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a＞0无解，
令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，
则即
解得a≤－3.
故命题p中，a＞－3，
即参数a的取值范围为(－3，＋∞)．2．3.2 双曲线的简单几何性质
[提出问题]
已知双曲线C1的方程：－＝1.
问题1：双曲线C1中的三个参数a，b，c的值分别为多少？
提示：3,4,5.
问题2：试画出双曲线C1的草图？
提示：如图所示：
问题3：观察双曲线C1的图象，曲线与x轴、y轴哪一条轴有交点？有无对称性？
提示：与x轴有交点，有对称性．
[导入新知]
1．双曲线的几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或
x≥a，y∈R
y≤－a或
y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；半实轴长：a，半虚轴长：b
离心率
e＝∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±x
y＝±x
2．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率为e＝.
[化解疑难]
对双曲线的简单几何性质的几点认识
(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置．
(2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方程－＝1(a＞0，b＞0)，得＝1＋≥1，∴x2≥a2，∴|x|≥a，即x≤－a或x≥a.
(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．
(4)对称性：由双曲线的方程－＝1(a＞0，b＞0)，若P(x，y)是双曲线上任意一点，则P1(－x，y)，P2(x，－y)均在双曲线上，因P与P1，P2分别关于y轴、x轴对称，因此双曲线分别关于y轴、x轴对称．只不过双曲线的顶点只有两个，而椭圆有四个．
双曲线的几何性质
[例1] 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
[解] 双曲线的方程化为标准形式是－＝1，
∴a2＝9，b2＝4，
∴a＝3，b＝2，c＝.
又双曲线的焦点在x轴上，
∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，
焦点坐标为(－，0)，(，0)，
实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4，
离心率e＝＝，
渐近线方程为y＝±x.
[类题通法]
已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的先化成标准方程，确定方程中a，b的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．
[活学活用]
求双曲线9x2－16y2＋144＝0的实半轴长、虚半轴上长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出这个双曲线的草图．
解：把方程9x2－16y2＋144＝0化为标准方程为
－＝1.
由此可知，实半轴长a＝3；
虚半轴长b＝4；
c＝＝＝5，
焦点坐标为(0，－5)，(0,5)；
离心率e＝＝；
渐近线方程为y＝±x＝±x.
双曲线的草图如图．
利用双曲线的几何性质求其标准方程
[例2] 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x.
[解] (1)设双曲线的标准方程为
－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)．
由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8，
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为
－＝λ(λ≠0)，
当λ＞0时，a2＝4λ，
∴2a＝2＝6 λ＝.
当λ＜0时，a2＝－9λ，
∴2a＝2＝6 λ＝－1.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
[类题通法]
(1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合c2＝a2＋b2及e＝列关于a，b的方程(组)，解方程(组)可得标准方程．
(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，那么此双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
[活学活用]
分别求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)；
(2)双曲线过点(3,9)，离心率e＝.
(3)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．
解：(1)设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，
得b2＝1.
故双曲线C的标准方程为－y2＝1.
(2)由e2＝，得＝，
设a2＝9k(k＞0)，
则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.
于是，设所求双曲线方程为－＝1，①
或－＝1，②
把(3,9)代入①，得k＝－161与k＞0矛盾；
把(3,9)代入②，得k＝9，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k(k≠0)，
将点(2，－2)代入，得k＝－(－2)2＝－2，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
双曲线的离心率
[例3] 已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，求此双曲线的离心率．
[解] 当焦点在x轴上时，
其渐近线方程为y＝±x，
依题意，得＝，b＝a，c＝＝a，
∴e＝＝；
当焦点在y轴上时，其渐近线方程为y＝±x，
依题意，得＝，b＝a，c＝＝a，
∴e＝＝.
∴此双曲线的离心率为或.
[类题通法]
求双曲线离心率的常用方法
(1)依据条件求出a，c，计算e＝.
(2)依据条件建立a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解；另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后利用e＝求解．
[活学活用]
已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
解：设F1(c,0)，
将x＝c代入双曲线的方程得－＝1，
则y＝±.
由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，
知|PF1|＝|F1F2|，
∴＝2c，∴b2＝2ac.
∴c2－2ac－a2＝0，
∴2－2×－1＝0.
即e2－2e－1＝0.
∴e＝1＋或e＝1－(舍去)．
所以所求双曲线的离心率为1＋.
[典例] (12分)已知斜率为2的直线被双曲线－＝1所截得的弦长为4，求直线l的方程．
[解题流程]
[活学活用]
已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围．
(2)若直线l与双曲线C两支交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
解：(1)由
消去y整理，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
由题意知
解得－＜k＜且k≠±1.
所以实数k的取值范围为(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由(1)得x1＋x2＝－，x1x2＝－.
又直线l恒过点D(0，－1)，且x1x2＜0，
则S△OAB＝S△OAD＋S△OBD
＝|x1|＋|x2|＝|x1－x2|＝.
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2)2，
即2＋＝8.
解得k＝0或k＝±，
由(1)知上述k的值符合题意，
所以k＝0或k＝±.
[随堂即时演练]
1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：选A 由题意知c＝4，焦点在x轴上，
所以2＋1＝e2＝4，所以＝，又由a2＋b2＝4a2＝c2＝16，得a2＝4，b2＝12.所以双曲线的方程为－＝1.
2．(全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )
A.
B.
C.
D．2
解析：选A 因为MF1与x轴垂直，
所以|MF1|＝.又sin∠MF2F1＝，
所以＝，即|MF2|＝3|MF1|.
由双曲线的定义得
2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，
所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，
所以离心率e＝＝.
3．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为________．
解析：由题意得双曲线的焦点在x轴上，且a＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，
即c∶b＝5∶4，解得c＝5，b＝4，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
4．过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的直线AB，其中A，B分别为直线与双曲线的交点，则|AB|的长为________．
解析：双曲线的左焦点为F1(－2,0)，
将直线AB的方程y＝(x＋2)代入双曲线方程，
得8x2－4x－13＝0，显然Δ＞0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴|AB|＝·
＝
×
＝3.
答案：3
5．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)过点(3，－)，离心率e＝；
(2)中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－)．
解：(1)若双曲线的焦点在x轴上，
设其标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
因为双曲线过点(3，－)，
则－＝1.①
又e＝＝
＝，故a2＝4b2.②
由①②得a2＝1，b2＝，
故所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
若双曲线的焦点在y轴上，
设其标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
同理可得b2＝－，不符合题意．
综上可知，所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
(2)由2a＝2b得a＝b，
∴e＝
＝，
所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点P(4，－)，
∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列双曲线中离心率为的是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：选B 由e＝得e2＝，
∴＝，
则＝，∴＝，
即a2＝2b2.因此可知B正确．
2．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )
A．x2－y2＝8
B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8
D．y2－x2＝4
解析：选A 令y＝0得，x＝－4，
∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，
∴c＝4，a2＝c2＝×16＝8，故选A.
3．(全国乙卷)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A．(－1,3)
B．(－1，)
C．(0,3)
D．(0，)
解析：选A 由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m24．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是( )
A．(－10,0)
B．(－12,0)
C．(－3,0)
D．(－60，－12)
解析：选B 由题意知k＜0，∴a2＝4，b2＝－k.
∴e2＝＝＝1－.
又∵e∈(1,2)，∴1＜1－＜4，
∴－12＜k＜0.
5．(天津高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为( )
A.－y2＝1
B．x2－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：选A 由焦距为2，得c＝.因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以＝.又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.
二、填空题
6．若双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是________．
解析：由渐近线方程为y＝±x＝±x，得m＝3，所以c＝.又因为焦点在x轴上，所以焦点坐标为(±，0)．
答案：(±，0)
7．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．
解析：由题意知，a＋c＝，
即a2＋ac＝c2－a2，
∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0，
解得e＝2或e＝－1(舍去)．
答案：2
8．双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
解析：双曲线－＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x.
不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝，y＝－，所以B.
所以S△AFB＝|AF||yB|＝(c－a)|yB|
＝×(5－3)×＝.
答案：
三、解答题
9．已知椭圆方程是＋＝1，双曲线E的渐近线方程是3x＋4y＝0，若双曲线E以椭圆的焦点为其顶点，求双曲线的方程．
解：由已知，得椭圆的焦点坐标为(±，0)，顶点坐标为(±，0)和(0，±)．
因双曲线以椭圆的焦点为顶点，即双曲线过点(±，0)时，可设所求的双曲线方程为9x2－16y2＝k(k≠0)，将点的坐标代入得k＝45，故所求方程是－＝1.
10．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，且＝.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．
解：(1)由题意得解得
所以b2＝c2－a2＝2.
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．
由
得x2－2mx－m2－2＝0(判别式Δ＞0)．
所以x0＝＝m，y0＝x0＋m＝2m.
因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，
所以m2＋(2m)2＝5.
故m＝±1.1.2
分条件与必要条件
充分条件与必要条件
[提出问题]
在物理中，我们经常遇到这样的电路图：
问题1：图中A开关闭合时B灯一定亮吗？
提示：一定亮．
问题2：B灯亮时A开关一定闭合吗？
提示：不一定，还可能是C开关闭合．
[导入新知]
充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p q
pq
条件关系
p是q的充分条件q是p的必要条件
p不是q的充分条件q不是p的必要条件
[化解疑难]
1．p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立”．
2．q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有q成立”，或者说“若q不成立，则p一定不成立”；但即使有q成立，p未必会成立.
充要条件
[提出问题]
如图是一物理电路图．
问题1：图中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合吗？
提示：一定闭合．
问题2：开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q，你能判断p，q之间的推出关系吗？
提示：p q.
[导入新知]
充要条件
如果既有p q，又有q p，记作p q.则p是q的充分必要条件，简称充要条件．
[化解疑难]
p是q的充要条件时，q也是p的充要条件，即充要条件是相互的，我们也称条件p和条件q是等价的，如果p和q是两个命题，则这两个命题是等价命题．
充分条件、必要条件、充要条件的判断
[例1] 判断下列各题中p是q的什么条件．
(1)在△ABC中，p：cos2A＝cos2B，q：A＝B；
(2)p：x＞1，q：x2＞1；
(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；
(4)p：a＜b，q：＜1.
[解] (1)在△ABC中，A∈(0，π)，B∈(0，π)，且A＋B＋C＝π.若cos2A＝cos2B，则A＝B；反之，若A＝B，则cos2A＝cos2B.因此，p是q的充要条件．
(2)由x＞1可以推出x2＞1；由x2＞1，得x＜－1，或x＞1，不一定有x＞1.因此，p是q的充分不必要条件．
(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2，或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．
(4)由于a＜b，当b＜0时，＞1；
当b＞0时，＜1，故若a＜b，不一定有＜1；
当a＞0，b＞0，＜1时，可以推出a＜b；
当a＜0，b＜0，＜1时，可以推出a＞b.
因此p是q的既不充分也不必要条件．
[类题通法]
充分、必要、充要条件的判断方法
判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．
[活学活用]
指出下列各组命题中p是q的什么条件．
(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；
(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
解：(1)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形四边形的对角线相等，
∴p是q的既不充分也不必要条件．
(2)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0 x＝1且y＝2 (x－1)·(y－2)＝0，
而(x－1)(y－2)＝0(x－1)2＋(y－2)2＝0，
∴p是q的充分不必要条件.
充要条件的证明
[例2] 试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
[解] (1)必要性：
因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)，所以ac＜0.
(2)充分性：由ac＜0可推得Δ＝b2－4ac＞0及x1x2＝＜0(x1，x2为方程的两根)．
所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，
且两根异号，
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
[类题通法]
充要条件的证明思路
(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q p，“必要性”是p q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．
(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．
[活学活用]
已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：＜的充要条件是xy＞0.
证明：(1)必要性：由＜，
得－＜0，即＜0，
又由x＞y，得y－x＜0，所以xy＞0.
(2)充分性：由xy＞0及x＞y，
得＞，即＜.
综上所述，＜的充要条件是xy＞0.
充分、必要条件的应用
[例3] 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
[解] 因为p是q的充分不必要条件，
所以p q但q /
p，
即是的真子集，
所以或解得m≥9.
所以实数m的取值范围为.
[类题通法]
应用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解，注意数形结合思想的应用．
[活学活用]
已知P＝{x|a－4＜x＜a＋4}，Q＝{x|x2－4x＋3＜0}，若x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围．
解：由题意知，Q＝{x|1＜x＜3}，Q P，
所以
解得－1≤a≤5.
故实数a的取值范围是[－1,5]．
有关充分条件与必要条件的判断是高中数学的一个重点，贯穿整个高中数学的始终，与不等式、函数等重要知识点联系密切，下面介绍几种常用的判断充分、必要条件的方法．
1．定义法
定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p，则q”与“若q，则p”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p与q之间的充要关系．其基本步骤是：
[例1] (四川高考)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足则p是q的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]
p表示以点(1,1)为圆心，为半径的圆面(含边界)，如图所示．q表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p是q的必要不充分条件．故选A.
[答案] A
[活学活用]
1．“sin
α＝”是“cos
2α＝”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由cos
2α＝可得sin2α＝，即sin
α＝±，故sin
α＝是cos
2α＝的充分不必要条件．
2．等价转化法
等价转化法就是在判断充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．其基本步骤为：
[例2] 已知x，y为两个正整数，p：x≠2或y≠3，q：x＋y≠5，则p是q的________条件．
[解析] 綈p：x＝2且x＝3，綈q：x＋y＝5.可知綈p 綈q，而綈q /
綈p.所以綈q是綈p的必要不充分条件，故p是q的必要不充分条件．
[答案] 必要不充分
[活学活用]
2．“m≠3”是“|m|≠3”的________条件．
答案：必要不充分
3．集合法
集合法就是利用满足两个条件的参数的取值集合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题．其解决的一般步骤是：
[例3] 指出下列命题中p是q的什么条件．
(1)p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x＜2；
(2)p：x2－2x－8＝0，q：x＝－2或x＝4.
[解] (1)令A＝{x|(x－1)(x＋2)≤0}＝
{x|－2≤x≤1}，集合B＝{x|x＜2}．
显然，A?B，
所以p q，但qp，
即p是q的充分不必要条件．
(2)令A＝{x|x2－2x－8＝0}
＝{x|x＝－2或x＝4}＝{－2,4}，
B＝{x|x＝－2或x＝4}＝{－2,4}．
∵A＝B，∴p q，
即p是q的充要条件．
[活学活用]
3．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A．a＜0
B．a＞0
C．a＜－1
D．a＜1
解析：选C ∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．
∴即
解得a＜0.
由于{a|a＜－1}?{a|a＜0}，故选C.
[随堂即时演练]
1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 直线l与平面内无数直线都垂直，不能得到直线l⊥α，因为有可能是直线l在平面α内与一组平行直线垂直．若l⊥α，则直线l垂直于α内的所有直线．
2．已知非零向量a，b，c，则“a·b＝a·c”是“b＝c”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B ∵a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c，但b与c不一定相等，
∴a·b＝a·c /
b＝c；
反之，b＝c a·b＝a·c.
3.已知M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的________条件．
解析：∵由a∈M /
a∈N，但a∈N a∈M，
∴“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件．
答案：必要不充分
4．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充要条件是m＝________.
解析：x＋(m＋1)y＝2－m与mx＋2y＝－8互相垂直 1·m＋(m＋1)·2＝0 m＝－.
答案：－
5．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，求实数a的值．
解：p：x2＋x－6＝0，
即x＝2或x＝－3.
q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；
当a≠0时，x＝－.
由题意知p /
q，q p，
故a＝0舍去；
当a≠0时，应有－＝2或－＝－3，
解得a＝－或a＝.
[课时达标检测]
一、选择题
1．“tan
α＝1”是“α＝”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B 若tan
α＝1，则α＝kπ＋(k∈Z)，α不一定等于；而若α＝，则tan
α＝1.∴tan
α＝1是α＝的必要不充分条件．
2．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
解析：选A
因为甲是乙的必要条件，所以乙 甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙 乙，但乙 /
丙，如图．
综上，有丙 甲，但甲 /
丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
3．(陕西高考)“sin
α＝cos
α”是“cos
2α＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A cos
2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cos
α＝±sin
α.由cos
α＝sin
α可得到cos
2α＝0，反之不成立，故选A.
4．(天津高考)设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A |x－2|<1 10 x>1或x<－2.由于{x|11或x<－2}的真子集，所以“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的充分而不必要条件．
5．使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是( )
A．x≥0
B．x2≥－x
C．log2(x＋1)＞0
D．2x＜1
解析：选B ∵|x|＝x x≥0，
∴选项A是充要条件，选项C，D均不符合题意．
对于选项B，由x2≥－x，得x(x＋1)≥0.
∴x≥0或x≤－1.
故选项B是使|x|＝x成立的必要不充分条件．
二、填空题
6．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”或“充要”)条件．
解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A /
B.
又因否命题为真，所以逆命题为真，即B A，
所以A是B的必要不充分条件．
答案：必要不充分
7．条件p：1－x＜0，条件q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
解析：p：x＞1，若p是q的充分不必要条件，则p q，但，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a＜1.
答案：(－∞，1)
8．下列命题：
①“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充要条件；
②b2－4ac＜0是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0解集为R的充要条件；
③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；
④“xy＝1”是“lg
x＋lg
y＝0”的必要而不充分条件．
其中真命题的序号为______________．
解析：①x＞2且y＞3时，x＋y＞5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充分不必要条件．
②不等式解集为R的充要条件是a＜0且b2－4ac＜0，故②为假命题．
③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，∴a＝2.因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件．
④lg
x＋lg
y＝lg(xy)＝0，
∴xy＝1且x＞0，y＞0.
所以“lg
x＋lg
y＝0”成立，xy＝1必成立，反之不然．
因此“xy＝1”是“lg
x＋lg
y＝0”的必要不充分条件．
综上可知，真命题是④.
答案：④
三、解答题
9．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；
(4)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.
解：(1)∵|x|＝|y| /
x＝y，但x＝y |x|＝|y|，
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
(2)∵△ABC是直角三角形 /
△ABC是等腰三角形，
△ABC是等腰三角形 /
△ABC是直角三角形，
∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
(3)∵四边形的对角线互相平分 /
四边形是矩形，
四边形是矩形 四边形的对角线互相平分，
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
(4)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，则圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即r＝，
所以c2＝(a2＋b2)r2.
反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，则＝r成立，
说明x2＋y2＝r2的圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，
即圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，
故p是q的充要条件．
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
证明：充分性：当q＝－1时，a1＝p－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
当n＝1时，上式也成立．
于是＝＝p，即数列{an}为等比数列．
必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
∵p≠0且p≠1，
∴＝＝p.
因为{an}为等比数列，
所以＝＝p＝，
∴q＝－1，
即数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.3．1.1 空间向量及其加减运算
[提出问题]
李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1
000
m，再向东行驶1
500
m，最后乘电梯上升15
m到5楼的住处．在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示)．
问题1：以上三个位移是同一个平面内的向量吗？
提示：不是．
问题2：如何刻画李老师行驶的位移？
提示：借助于空间向量的运算．
[导入新知]
1．空间向量的有关概念
(1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度：向量的大小叫做向量的长度或模．
2．几类特殊向量
特殊向量
定义
表示法
零向量
长度为0的向量
0
单位向量
模为1的向量
|a|＝1或|
|＝1
相反向量
与a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量
－a
相等向量
方向相同且模相等的向量
a＝b或＝
3.空间向量的加法和减法运算
空间向量的运算
加法
＝＋
＝a＋b
减法
＝－
＝a－b
加法运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
[化解疑难]
1．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行．
2．单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1.
3．方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．
4．空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两个向量
空间向量的概念辨析
[例1] 下列说法中正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反
B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C．空间向量的减法满足结合律
D．在四边形ABCD中，一定有＋＝
[解] |a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有＋＝，只有在平行四边形中才能成立．故选B.
答案：B
[类题通法]
(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；
(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．
[活学活用]
给出下列命题：
①零向量没有确定的方向；
②在正方体ABCD A1B1C1D1中，＝；
③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反．
其中正确命题的序号是________．
解析：①正确；②正确，因为与的大小和方向均相同；③不正确，因为|a|＝|b|，不能确定其方向，所以a与b的方向不能确定．
综上可知，正确命题为①②.
答案：①②
空间向量的加减运算
[例2] 已知在正方体ABCD A1B1C1D1中，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1)＋－；
(2)－－.
[解] (1)＋－＝＋＋＝＋＝
(如图)．
(2)－－
＝＋(＋)
＝＋(＋)
＝＋
＝
(如图)．
[类题通法]
在进行减法运算时，可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量，而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量在哪个平面内，然后与平面向量求和一样，运用向量运算的平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求即可．
[活学活用]
化简：(－)－(－)．
解：法一：(统一成加法)
原式＝－－＋
＝＋＋＋
＝＋＋＋＝0.
法二：(利用－＝)
原式＝－－＋
＝(－)－＋
＝－＋＝＋＝0.
法三：(利用＝－)
设O是空间内任意一点，则
原式＝[(－)－(－)]－[(－)－(－)]
＝－－＋－＋＋－＝0.
[典例] 在正方体ABCD A1B1C1D1中，化简－＋－＋－.
[解] 如图，
－＋－＋－
＝(－)＋(－)＋(－)
＝＋＋＝＋
＝.
[易错防范]
1．在应用三角形法则求－时易出错，误写成，其原因是对三角形法则理解记忆不准，导致结果计算错误．
2．化简空间向量式的常用思路
(1)统一成加法后利用空间多边形法则化简；
(2)利用向量的减法法则，即利用－＝化简；
(3)利用＝－，把各个向量转化成与空间的某一点有关的向量化简．
[成功破障]
化简：－＋－－＝________.
解析：原式＝(－)＋(－)－＝＋－＝－＝.
答案：
[随堂即时演练]
1．在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，由顶点连接的向量中，与向量相等的向量共有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：选C 与向量相等的向量有，，，共3个．
2．已知向量，，满足||＝||＋||，则( )
A．＝＋
B．＝－－
C．与同向
D．与同向
解析：选D 由条件可知，点C在线段AB上，故选项D正确．
3．式子(－)＋运算的结果是________．
解析：(－)＋＝(＋)＋
＝＋＝.
答案：
4．下列命题中正确的是________(填序号)．
①如果a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；
②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同；
③若a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，则a∥c；
④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内．
解析：对于①：由单位向量的定义即得|a|＝|b|＝1，故①正确；对于②：共线不一定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．
答案：①③④
5．如图，已知长方体ABCD A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
(1)
－；
(2)
＋＋.
解：(1)
－＝－＝＋
＝＋＝.
(2)
＋＋＝(＋)＋
＝＋＝.
向量，如图所示．
[课时达标检测]
一、选择题
1．空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则－＋＝( )
A．2
B．3
C．3
D．2
解析：选B －＋＝＋＝＋2＝3.
2．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形
B．空间四边形
C．等腰梯形
D．矩形
解析：选A ∵＋＝＋，
∴＝.
∴∥且||＝||.
∴四边形ABCD为平行四边形．
3．在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为向量的共有( )
①(＋)＋；
②(＋)＋；
③(＋)＋；
④(＋)＋.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：选D 根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知①②③④都是符合题意的．
4．空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是( )
A．＋＋＋＝0
B．＋＋＋＝0
C．＋＋＋＝0
D．－＋＋＝0
解析：选B 由于E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，所以四边形EFGH为平行四边形，其中＝，且＝，而E，B，F，G四点构成一个封闭图形，首尾相接的向量的和为零向量，即有＋＋＋＝0.
5．已知正方体ABCD A1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确的结论共有( )
①＋与＋是一对相反向量；
②－与－是一对相反向量；
③＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量；
④－与－是一对相反向量．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：选C 利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．
二、填空题
6．如图所示，在三棱柱ABC A′B′C′中，与是________向量，与是________向量．(用“相等”或“相反”填空)
答案：相等 相反
7．在直三棱柱ABC A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝________.
解析：如图，
＝－
＝－＝－－(－)
＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.
答案：－c－a＋b
8．给出下列四个命题：
①方向相反的两个向量是相反向量；
②若a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b；
③不相等的两个空间向量的模必不相等；
④对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.
其中正确命题的序号为________．
解析：对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，向量是不能比较大小的，故不正确；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错；只有④正确．
答案：④
三、解答题
9.如图，在长、宽、高分别为AB＝4，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD A1B1C1D1中，以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中：
(1)单位向量共有多少个？
(2)写出模为的所有向量；
(3)试写出的相反向量．
解：(1)因为长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．
(2)因为长方体的左、右两侧的对角线长均为，故模为的向量有，，
，，，，，.
(3)向量的相反向量为，，，，共4个．
10.如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c.M是C1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶NA1＝4∶1.用a，b，c表示以下向量：
(1)；(2)
.
解：(1)＝(＋)
＝[(＋＋)＋(＋)]
＝(＋2＋2)＝a＋b＋c.
(2)＝＋＝＋(－)
＝＋＋＝a＋b＋c.第二课时 直线与椭圆的位置关系
[导入新知]
1．直线与椭圆的位置关系
(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个公共点．
(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入椭圆的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，椭圆方程为f(x，y)＝0.
由消元，
如消去y后得ax2＋bx＋c＝0.
设Δ＝b2－4ac.
①Δ＞0时，直线和椭圆相交于不同两点；
②Δ＝0时，直线和椭圆相切于一点；
③Δ＜0时，直线和椭圆没有公共点．
2．椭圆的弦
直线与椭圆相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做椭圆的弦，线段的长就是弦长，简单地说，椭圆的弦就是连接椭圆上任意两点所得的线段．
[化解疑难]
1．直线与椭圆有三种位置关系，即相交、相切和相离．
2．解决直线与椭圆的位置关系，一般是联立直线方程和椭圆方程组成方程组，根据方程组解的个数判断直线与椭圆的公共点的个数，从而确定位置关系．
直线与椭圆的位置关系
[例1] 对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系．
[解] 由
消去y，得＋(x＋m)2＝1，整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.
Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．
当－＜m＜时，Δ＞0，直线与椭圆相交；
当m＝－或m＝时，Δ＝0，直线与椭圆相切；
当m＜－或m＞时，Δ＜0，直线与椭圆相离．
[类题通法]
判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则
Δ＞0 直线与椭圆相交；
Δ＝0 直线与椭圆相切；
Δ＜0 直线与椭圆相离．
[活学活用]
若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，求m的取值范围．
解：由
消去y，得(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，
∴Δ＝100k2－20(m＋5k2)(1－m)＝20m(5k2＋m－1)．
∵直线与椭圆总有公共点，
∴Δ≥0对任意k∈R都成立．
∵m＞0，∴5k2≥1－m恒成立．
∵5k2≥0，∴1－m≤0，即m≥1.
又椭圆的焦点在x轴上，
∴0＜m＜5，∴1≤m＜5，
弦长问题
[例2] 已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长．
[解] 法一：∵直线l过椭圆＋＝1的右焦点F1(1,0)，且直线的斜率为2，
∴直线l的方程为y＝2(x－1)，
即2x－y－2＝0.
由方程组
得交点A(0，－2)，B.
|AB|＝
＝
＝
＝.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B的坐标为方程组的解．
消去y得，3x2－5x＝0，则x1＋x2＝，x1·x2＝0.
∴|AB|＝
＝
＝
＝
＝.
[类题通法] 当直线与椭圆相交时，两交点间的距离，称为弦长．
(1)求弦长的方法：将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x的一元二次方程，然后运用根与系数的关系求弦长．不必具体求出方程的根，即不必求出直线与椭圆的交点．这种方法是求弦长常采用的方法．
(2)求弦长的公式：设直线l的斜率为k，方程为y＝kx＋b，设端点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则|AB|＝
＝
＝·
＝·，
其中，x1＋x2，x1x2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y后得到关于x的一元二次方程得到．
[活学活用]
椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q，且|PQ|＝，求椭圆的方程．
解：∵e＝，∴b2＝a2.
∴椭圆的方程为x2＋4y2＝a2.
与x＋2y＋8＝0联立消去y，
得2x2＋16x＋64－a2＝0，
由Δ＞0，得a2＞32，
由弦长公式得10＝×[64－2(64－a2)]．
∴a2＝36，b2＝9.∴椭圆的方程为＋＝1.
中点弦问题
[例3] 已知点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程．
[解] 法一：由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，
而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.
将直线方程代入椭圆的方程有
(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.
∴x1＋x2＝＝8，
∴k＝－.
∴直线l的方程为y－2＝－(x－4)，
即x＋2y－8＝0.
法二：设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
∴＝－，
即k＝－.
∴直线l的方程为x＋2y－8＝0.
[类题通法]
解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，
则
由①－②，得(x－x)＋(y－y)＝0，
变形得＝－·＝－·，
即kAB＝－.
[活学活用]
已知中心在原点，一个焦点为F(0，)的椭圆被直线l：y＝3x－2截得的弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程．
解：设所求椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
弦两端点为(x1，y1)，(x2，y2)，
由＋＝1及y＝3x－2得
(a2＋9b2)x2－12b2x＋b2(4－a2)＝0，
x1＋x2＝，
由已知＝，
即＝1，
所以a2＝3b2.
又c2＝a2－b2＝50，
所以得a2＝75，b2＝25，
所以椭圆的方程为＋＝1.
[典例] (12分)(北京高考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
[解题流程]
[活学活用]
(浙江高考)如图，设椭圆＋y2＝1(a＞1)．
(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；
(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．
解：(1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AP，
由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，故x1＝0，x2＝－.
因此|AP|＝|x1－x2|＝.
(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2＞0，k1≠k2.由(1)知，|AP|＝，
|AQ|＝，故＝，所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)kk]＝0.
由k1≠k2，k1，k2＞0得1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0，因此＝1＋a2(a2－2)． ①
因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a2(a2－2)＞1，所以a＞.
因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤.
由e＝＝，得0＜e≤.所求离心率的取值范围为.
[随堂即时演练]
1．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A. B.
C.
D.
解析：选A 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝≥，所以1≤b＜2，所以e＝＝＝
.因为1≤b＜2，所以0＜e≤.
2．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C 设A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线与椭圆的交点，中点M(x0，y0)，
由得3x2＋4x－2＝0.
x0＝＝·＝－，
y0＝x0＋1＝，∴中点坐标为.
3．已知焦点在x轴上的椭圆C：＋y2＝1(a>0)，过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝1，则该椭圆的离心率为________．
解析：因为椭圆＋y2＝1(a>0)的焦点在x轴上，所以c＝，又过右焦点且垂直于x轴的直线为x＝c，将其代入椭圆方程中，得＋y2＝1，则y＝±
，又|AB|＝1，所以2＝1，得＝，所以该椭圆的离心率e＝＝(负值舍去)．
答案：
4．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是________．
解析：由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.
又∵直线与椭圆有两个公共点，
∴Δ＝(4m)2－4m(m＋3)＝16m2－4m2－12m
＝12m2－12m＞0，
解得m＞1或m＜0.
又∵m＞0且m≠3，∴m＞1且m≠3.
答案：(1,3)∪(3，＋∞)
5．过点P(－1,1)的直线与椭圆＋＝1交于A，B两点，若线段AB的中点恰为点P，求AB所在的直线方程及弦长|AB|.
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由A，B两点在椭圆上得
两式相减得
(x1－x2)(x1＋x2)＋2(y1－y2)(y1＋y2)＝0.①
显然x1≠x2，故由①得
kAB＝＝－.
因为点P是AB的中点，所以有
x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2.②
把②代入①得kAB＝，
故AB的直线方程是y－1＝(x＋1)，即x－2y＋3＝0.
由消去y得3x2＋6x＋1＝0.
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝，
|AB|＝
＝
＝
＝·
＝
·＝.
[课时达标检测]
一、选择题
1．椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点．若|AB|＝8，则|AF1|＋|BF1|的值为( )
A．10
B．12
C．16
D．18
解析：选B ∵|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝4a，
∴|AF1|＋|BF1|＝4×5－8＝12.
2．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m＝( )
A.
B.
C．2
D．4
解析：选A 将椭圆方程化为标准方程为
x2＋＝1.∵焦点在y轴上，∴＞1，
∴0＜m＜1.由方程得a＝
，b＝1.
∵a＝2b，∴m＝.
3．两个正数1,9的等差中项是a，等比中项是b且b＞0，则曲线＋＝1的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A ∵a＝＝5，b＝＝3，
∴e＝＝.
4．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1)
B．0，
C．0，
D.，1
解析：选C ∵⊥，∴点M在以F1F2为直径的圆上．又∵点M在椭圆内部，∴c＜b，
∴c2＜b2＝a2－c2，即2c2＜a2，
∴＜，即＜.又∵e＞0，∴0＜e＜.
5．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则|
|＝( )
A.
B．2
C.
D．3
解析：选A 设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1.
∴右焦点F(1,0)．
由＝3，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝，y0＝n.将x0，y0代入＋y2＝1，
得×2＋2＝1.解得n2＝1，
∴||＝＝＝.
二、填空题
6．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．
解析：由消去y并化简得x2＋2x－6＝0.设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
∴弦长|MN|＝|x1－x2|
＝
＝
＝.
答案：
7．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值是________．
解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．
∵·＝0，∴⊥.
∴||2＝||2－||2＝|
|2－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，
∴||min＝2，∴||min＝.
答案：
8．(江苏高考)
如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
解析：将y＝代入椭圆的标准方程，得＋＝1，所以x＝±a，故B，C.
又因为F(c,0)，所以＝，
＝.
因为∠BFC＝90°，所以·＝0，
所以＋2＝0，
即c2－a2＋b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，
得a2＝c2，所以e2＝＝，
所以e＝(负值舍去)．
答案：
三、解答题
9．设直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点．
(1)求实数b的取值范围；
(2)当b＝1时，求|AB|.
解：(1)将y＝x＋b代入＋y2＝1，
消去y，整理得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.①
因为直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点，
所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2＞0，
解得－＜b＜.
所以b的取值范围为(－，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
当b＝1时，方程①为3x2＋4x＝0.
解得x1＝0，x2＝－.
相应地y1＝1，y2＝－.
所以|AB|＝＝.
10．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，
∴b＝4.又e＝＝，得＝，
即1－＝，∴a＝5，∴C的方程为＋＝1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，
得＋＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＋x2＝3.∴AB的中点坐标
＝＝，
＝＝(x1＋x2－6)＝－，
即中点坐标为.
