2.2 二元一次方程组
一、二元一次方程组的相关概念
1.二元一次方程：含有 未知数，并且未知数的项的次数都是 ，像这样的方程叫做二元一次方程。
2.二元一次方程组：把具有 的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一 次方程组。
注意：二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。
3.二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。
4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
二、二元一次方程组的解法
基本思路：
1. （简称 ）的一般步骤：
①从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另 一个未知数（例如x）的 表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”
②将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的 ，即“代”
③解出这个 ，求出x的值，即“解”
④把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”
⑤写出方程组的解
2. （简称 ）的一般步骤：
①将两个方程其中一个未知数的系数化成 （或互为相反数）即“乘”
②通过 （或 ）消去这个未知数，得到一个 ，即“加减”
③解出这个 ，得到一个未知数的值，即“解”
④将求得的未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值，即“回代”
⑤写出方程组的解
三、二元一次方程组的应用
1.审题，搞清已知和未知，分析数量关系
2.考虑如何根据等量关系设元，列出方程组
3.列出方程组并求解，得到答案
4.检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意
考点一：二元一次方程组的解
（2017?眉山）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则a﹣2b的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3
【解答】解：把代入方程组得：，
解得：，
所以a﹣2b=﹣2×（﹣）=2，
【答案】B
【点评】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．
变式跟进1（2016·临沂模拟）已知关于x,y的二元一次方程组,若x+y>3,则m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m＜2 C．m＞3 D．m＞5
考点二：二元一次方程组的解法
（2015?河北）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．要消去y，可以将①×5+②×2 B．要消去x，可以将①×3+②×（﹣5）
C．要消去y，可以将①×5+②×3 D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2
【解答】解：利用加减消元法解方程组，
要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2．
【答案】D
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
变式跟进2（2017?枝江市模拟）若，则y用只含x的代数式表示为（ ）
A．y=2x+7 B．y=7﹣2x C．y=﹣2x﹣5 D．y=2x﹣5
考点三：由实际问题列二元一次方程组
（2017?济宁）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文，甲、乙两人原来各有多少钱？设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组是 ．
【解答】解：由题意可得数量关系：甲+乙×=48文；甲×+乙=48文，则可列出方程组：
【答案】
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
变式跟进3（2016?茂名）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
考点四：二元一次方程的应用
（2017?黑龙江）某企业决定投资不超过20万元建造A、B两种类型的温室大棚．经测算，投资A种类型的大棚6万元/个、B种类型的大棚7万元/个，那么建造方案有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【解答】解：设建造A种类型的温室大棚x个，建造B种类型的温室大棚y个，根据题意可得：
6x+7y≤20，
当x=1，y=2符合题意；
当x=2，y=1符合题意；
当x=3，y=0符合题意；
故建造方案有3种．
【答案】B
【点评】此题主要考查了二元一次方程的应用，正确表示出建造两种大棚的费用是解题关键．
变式跟进4（2016?黑龙江四模）周末，某团体组织公益活动，16名成员分甲、乙、丙三组到48个单位做宣传，若甲组a人每人负责4个单位，乙组b人每人负责3个单位，丙组每人负责1个单位，则分组方案有（ ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
考点五：二元一次方程组的应用
（2016?黔东南州）小明在某商店购买商品A、B共两次，这两次购买商品A、B的数量和费用如表：
购买商品A的数量（个）
购买商品B的数量（个）
购买总费用（元）
第一次购物
4
3
93
第二次购物
6
6
162
若小明需要购买3个商品A和2个商品B，则她要花费（ ）
A．64元 B．65元 C．66元 D．67元
【解答】解：设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，
根据题意，得，
解得：．
答：商品A的标价为12元，商品B的标价为15元；
所以3×12+2×15=66元，
【答案】C
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程组．
变式跟进4（2016?河南模拟）为了鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费）．规定：用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费．如图是张磊家2015年9月和10月所交电费的收据，则该市规定的第一阶梯电价和第二阶梯电价分别为每度（ ）
A．0.5元、0.6元 B．0.4元、0.5元
C．0.3元、0.4元 D．0.6元、0.7元
一、选择题
1．（2016?毕节市）已知关于x，y的方程x2m﹣n﹣2+4ym+n+1=6是二元一次方程，则m，n的值为（ ）
A．m=1，n=﹣1 B．m=﹣1，n=1
C． D．
2．（2016?天水）有一根40cm的金属棒，欲将其截成x根7cm的小段和y根9cm的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x，y应分别为（ ）
A．x=1，y=3 B．x=4，y=1
C．x=3，y=2 D．x=2，y=3
3．（2015?巴中）若单项式2x2ya+b与﹣xa﹣by4是同类项，则a，b的值分别为（ ）
A．a=3，b=1 B．a=﹣3，b=1
C．a=3，b=﹣1 D．a=﹣3，b=﹣1
4．（2016?常德）某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（ ）
A．9天 B．11天
C．13天 D．22天
5．（2017?台湾）若二元一次联立方程式的解为x=a，y=b，则a+b之值为何？（ ）
A． B． C．7 D．13
6．（2017?台州）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目
里程费
时长费
远途费
单价
1.8元/公里
0.3元/分钟
0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元．
小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里．如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（ ）
A．10分钟 B．13分钟 C．15分钟 D．19分钟
二、填空题
7．（2017?包头）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则ab的值为 ．
8．（2016?成都）已知是方程组的解，则代数式（a+b）（a﹣b）的值为 ．
9．（2015?南充）已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是 ．
10．（2015?武汉）定义运算“*”，规定x*y=ax2+by，其中a、b为常数，且1*2=5，2*1=6，则2*3= ．
11．（2016?宜宾）今年“五一”节，A、B两人到商场购物，A购3件甲商品和2件乙商品共支付16元，B购5件甲商品和3件乙商品共支付25元，求一件甲商品和一件乙商品各售多少元．设甲商品售价x元/件，乙商品售价y元/件，则可列出方程组 ．
12．（2016?盐城）李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需 分钟．
三、解答题
13．（2017?广州）解方程组．
14．（2017?吉林）被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km．求隧道累计长度与桥梁累计长度．
15．（2017?威海）某农场去年计划生产玉米和小麦共200吨，采用新技术后，实际产量为225吨，其中玉米超产5%，小麦超产15%，该农场去年实际生产玉米、小麦各多少吨？
16．（2015?滨州）根据要求，解答下列问题
（1）解下列方程组（直接写出方程组的解即可）
①的解为 ②的解为
③的解为
（2）以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为 x=y ．
（3）请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解．
17．（2017?湘潭）“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问笼中各有几只鸡和兔？
18．（2015?珠海）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y=5 即2（2x+5y）+y=5③
把方程①带入③得：2×3+y=5，∴y=﹣1
把y=﹣1代入①得x=4，∴方程组的解为．
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组
（2）已知x，y满足方程组．
（i）求x2+4y2的值；
（ii）求+的值．
一、选择题
1．（2017?哈尔滨市道外区二模）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．8x2+1=y B．y=8x+1 C．y= D．xy=1
2．（2017?杭州市萧山区模拟）若方程组的解是二元一次方程3x﹣5y﹣90=0的一个解，则a的值是（ ）
A．3 B．2 C．6 D．7
3．（2016?利川市模拟）将一张面值为50元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，兑换方案有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
4．（2016?河北模拟）利用代入消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．由①得x= B．由①得y=
C．由②得y= D．由②得y=
5．（2017?盘锦三模）若方程组的解x，y满足0＜x+y＜1，则k的取值范围是（ ）
A．﹣4＜k＜0 B．﹣1＜k＜0 C．0＜k＜8 D．k＞﹣4
6．（2017?枣庄市峄城区模拟）方程组的解为，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
7．（2017?深圳模拟）对于数对（a，b）、（c，d），定义：当且仅当a=c且b=d时，（a，b）=（c，d）；并定义其运算如下：
（a，b）※（c，d）=（ac﹣bd，ad+bc），如（1，2）※（3，4）=（1×3﹣2×4，1×4+2×3）=（﹣5，10）．若（x，y）※（1，﹣1）=（1，3），则xy的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
8．（2017?河北一模）父子二人并排垂站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的，儿子露出水面的高度是他自身身高的，父子二人的身高之和为3.2米．若设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2016?石家庄市藁城区校级模拟）如图所示是由截面为同一种矩形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高10cm，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低40cm，则每块墙砖的截面面积是（ ）
A．425cm2 B．525cm2 C．600cm2 D．800cm2
10．（2017?兴化市三模）已知关于x、y的方程组，给出下列说法：
①当a=1时，方程组的解也是方程x+y=2的一个解；
②当x﹣2y＞8时，a＞；
③不论a取什么实数，2x+y的值始终不变；
④若y=x2+5，则a=﹣4． 以上说法正确的是（ ）
A．②③④ B．①②④ C．③④ D．②③
二、填空题
11．（2016?富顺县校级模拟）当a= 时，方程组的解为x=y．
12．（2016?富顺县校级模拟）若方程组与的解相同，则a= ，b= ．
13．（2016?潍坊一模）关于x、y的方程组，那么= ．
14．（2017?赣州模拟）江西某旅行社组织甲、乙两个旅游团分别到庐山、婺源旅游，已知这两个旅游团共有55人，甲旅游团的人数比乙旅游团的人数的2倍少5人，问甲、乙两个旅游团各有多少人？设甲、乙两个旅游团各有x人、y人，根据题意可列方程组为 ．
15．（2017?泰兴市校级二模）杨老师解方程组时得其解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数●= ，★= ．
16.（2016?佛山市南海区校级模拟）一个两位数，它的个位数字是十位数字的2倍，且十位数字与个位数字和的4倍，等于这个两位数，这个两位数是 ．
三、解答题
17．（2017?威海二模）解方程组：．
18．（2017?长沙模拟）已知方程组的解x﹣y是负数，求a的取值范围？
19．（2017?临沭县校级模拟）已知关于x，y的二元一次方程组 ．
（1）解该方程组；
（2）若上述方程组的解是关于x，y的二元一次方程ax+by=2的一组解，求代数式6b﹣4a的值．
20．（2017?延边州模拟）如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的质量相等，且每个果冻的质量也相等．求每块巧克力和每个果冻的质量．
21．（2017?北京市门头沟区一模）学完二元一次方程组的应用之后，老师写出了一个方程组如下：，要求把这个方程组赋予实际情境．
小军说出了一个情境：学校有两个课外小组，书法组和美术组，其中书法组的人数的二倍比美术组多5人，书法组平均每人完成了4幅书法作品，美术组平均每人完成了3幅美术作品，两个小组共完成了40幅作品，问书法组和美术组各有多少人？
小明通过验证后发现小军赋予的情境有问题，请找出问题在哪？
22．（2017?瑞安市一模）某地区住宅用电之电费计算规则如下：每月每户不超过50度时，每度以4元收费；超过50度的部分，每度以5元收费，并规定用电按整数度计算（小数部份无条件舍去）．
（1）下表给出了今年3月份A，B两用户的部分用电数据，请将表格数据补充完整，
电量（度）
电费（元）
A
240
B
合计
90
2.2 二元一次方程组
一、二元一次方程组的相关概念
1.二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是一次，像这样的方程叫做二元一次方程。
2.二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一 次方程组。
注意：二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。
3.二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。
4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
二、二元一次方程组的解法
基本思路：
1.代入消元法（简称代入法）的一般步骤：
①从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另 一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”
②将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”
③解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”
④把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”
⑤写出方程组的解
2.加减消元法（简称消元法）的一般步骤：
①将两个方程其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数）即“乘”
②通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程，即“加减”
③解出这个一元一次方程，得到一个未知数的值，即“解”
④将求得的未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值，即“回代”
⑤写出方程组的解
三、二元一次方程组的应用
1.审题，搞清已知和未知，分析数量关系
2.考虑如何根据等量关系设元，列出方程组
3.列出方程组并求解，得到答案
4.检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意
考点一：二元一次方程组的解
（2017?眉山）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则a﹣2b的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3
【解答】解：把代入方程组得：，
解得：，
所以a﹣2b=﹣2×（﹣）=2，
【答案】B
【点评】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．
变式跟进1（2016·临沂模拟）已知关于x,y的二元一次方程组,若x+y>3,则m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m＜2 C．m＞3 D．m＞5
【解析】解：
由①+②得：4x=4m-6，即x=，
-②×3得：4y=-2，即y=，
根据x+y＞3得：＞3，
去分母得：2m-3-1＞6，
解得：m＞5．
【答案】D
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
考点二：二元一次方程组的解法
（2015?河北）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．要消去y，可以将①×5+②×2 B．要消去x，可以将①×3+②×（﹣5）
C．要消去y，可以将①×5+②×3 D．要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2
【解答】解：利用加减消元法解方程组，
要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2．
【答案】D
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
变式跟进2（2017?枝江市模拟）若，则y用只含x的代数式表示为（ ）
A．y=2x+7 B．y=7﹣2x C．y=﹣2x﹣5 D．y=2x﹣5
【解答】解：，
由①得：m=3﹣x，
代入②得：y=1+2（3﹣x），
整理得：2x+y=7，即y=7﹣2x．
【答案】B
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
考点三：由实际问题列二元一次方程组
（2017?济宁）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文，甲、乙两人原来各有多少钱？设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组是 ．
【解答】解：由题意可得数量关系：甲+乙×=48文；甲×+乙=48文，则可列出方程组：
【答案】
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
变式跟进3（2016?茂名）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：设有x匹大马，y匹小马，根据题意得数量关系：大马的数量+小马的数量=100匹；大马的数量×3+小马的数量×=100片瓦，则可列出方程组：
，
【答案】C
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
考点四：二元一次方程的应用
（2017?黑龙江）某企业决定投资不超过20万元建造A、B两种类型的温室大棚．经测算，投资A种类型的大棚6万元/个、B种类型的大棚7万元/个，那么建造方案有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【解答】解：设建造A种类型的温室大棚x个，建造B种类型的温室大棚y个，根据题意可得：
6x+7y≤20，
当x=1，y=2符合题意；
当x=2，y=1符合题意；
当x=3，y=0符合题意；
故建造方案有3种．
【答案】B
【点评】此题主要考查了二元一次方程的应用，正确表示出建造两种大棚的费用是解题关键．
变式跟进4（2016?黑龙江四模）周末，某团体组织公益活动，16名成员分甲、乙、丙三组到48个单位做宣传，若甲组a人每人负责4个单位，乙组b人每人负责3个单位，丙组每人负责1个单位，则分组方案有（ ）
A．5种 B．6种 C．7种 D．8种
【解答】解：依题意有4a+3b+（16﹣a﹣b）=48，
3a+2b=32，
∵a，b是正整数，
∴当a=2时，b=13，16﹣a﹣b=1，符合题意；
当a=4时，b=10，16﹣a﹣b=2，符合题意；
当x=6时，b=7，16﹣a﹣b=3，符合题意；
当a=8时，b=4，16﹣a﹣b=4，符合题意；
当a=10时，b=1，16﹣a﹣b=5，符合题意．
故分组方案有5种．
【答案】A
【点评】考查了二元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求量的等量关系．
考点五：二元一次方程组的应用
（2016?黔东南州）小明在某商店购买商品A、B共两次，这两次购买商品A、B的数量和费用如表：
购买商品A的数量（个）
购买商品B的数量（个）
购买总费用（元）
第一次购物
4
3
93
第二次购物
6
6
162
若小明需要购买3个商品A和2个商品B，则她要花费（ ）
A．64元 B．65元 C．66元 D．67元
【解答】解：设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，
根据题意，得，
解得：．
答：商品A的标价为12元，商品B的标价为15元；
所以3×12+2×15=66元，
【答案】C
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程组．
变式跟进4（2016?河南模拟）为了鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费）．规定：用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费．如图是张磊家2015年9月和10月所交电费的收据，则该市规定的第一阶梯电价和第二阶梯电价分别为每度（ ）
A．0.5元、0.6元 B．0.4元、0.5元
C．0.3元、0.4元 D．0.6元、0.7元
【解答】解：设第一阶梯电价每度x元，第二阶梯电价每度y元，
由题意可得，，
解得．
即：第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯电价每度0.6元．
【答案】A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
一、选择题
1．（2016?毕节市）已知关于x，y的方程x2m﹣n﹣2+4ym+n+1=6是二元一次方程，则m，n的值为（ ）
A．m=1，n=﹣1 B．m=﹣1，n=1
C． D．
【解析】解：∵方程x2m﹣n﹣2+4ym+n+1=6是二元一次方程，
∴，
解得：，
【答案】A
【点评】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．
2．（2016?天水）有一根40cm的金属棒，欲将其截成x根7cm的小段和y根9cm的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x，y应分别为（ ）
A．x=1，y=3 B．x=4，y=1
C．x=3，y=2 D．x=2，y=3
【解析】解：根据题意得：7x+9y≤40，
则x≤，
∵40﹣9y≥0且y是正整数，
∴y的值可以是：1或2或3或4．
当y=1时，x≤，则x=4，此时，所剩的废料是：40﹣1×9﹣4×7=3cm；
当y=2时，x≤，则x=3，此时，所剩的废料是：40﹣2×9﹣3×7=1cm；
当y=3时，x≤，则x=1，此时，所剩的废料是：40﹣3×9﹣7=6cm；
当y=4时，x≤，则x=0（舍去）．
则最小的是：x=3，y=2．
【答案】C．
【点评】本题考查了不等式的应用，读懂题意，列出算式，正确确定出x，y的所有取值情况是本题的关键．
3．（2015?巴中）若单项式2x2ya+b与﹣xa﹣by4是同类项，则a，b的值分别为（ ）
A．a=3，b=1 B．a=﹣3，b=1
C．a=3，b=﹣1 D．a=﹣3，b=﹣1
【解析】解：∵单项式2x2ya+b与﹣xa﹣by4是同类项，
∴，
解得：a=3，b=1，
【答案】A．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
4．（2016?常德）某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（ ）
A．9天 B．11天
C．13天 D．22天
【解析】解：解法一：设有x天早晨下雨，这一段时间有y天，
根据题意得：
①+②得：2y=22
y=11
所以一共有11天，
解法二：设一共有x天，早晨下雨的有y天，晚上下雨的有z天，
根据题意得：，
解得：，
所以一共有11天，
【答案】B．
【点评】本题以天气为背景，考查了学生生活实际问题，恰当准确设未知数是本题的关键；根据生活实际可知，早晨和晚上要么下雨，要么晴天；本题也可以用算术方法求解：（9+6+7）÷2=11．
5．（2017?台湾）若二元一次联立方程式的解为x=a，y=b，则a+b之值为何？（ ）
A． B． C．7 D．13
【解析】解：
由①×2-②得，7x=7，x=1，
将x=1代入①中得y=12，
则a+b=1+12=13。
【答案】D．
【点评】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．
6．（2017?台州）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目
里程费
时长费
远途费
单价
1.8元/公里
0.3元/分钟
0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元．
小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里．如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（ ）
A．10分钟 B．13分钟 C．15分钟 D．19分钟
【解析】解：设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，依题可得：
1.8×6+0.3x=1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5﹣7），
10.8+0.3x=16.5+0.3y，
0.3（x﹣y）=5.7，
x﹣y=19．
故这两辆滴滴快车的行车时间相差19分钟．
【答案】D．
【点评】考查了二元一次方程的应用，解题的关键是仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
二、填空题
7．（2017?包头）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则ab的值为 ．
【解析】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解是，
∴，
解得a=﹣1，b=2，
∴ab=（﹣1）2=1．
【答案】1．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．也考查了解二元一次方程组．
8．（2016?成都）已知是方程组的解，则代数式（a+b）（a﹣b）的值为 ．
【解析】解：把代入方程组得：，
①×3+②×2得：5a=﹣5，即a=﹣1，
把a=﹣1代入①得：b=﹣3，
则原式=a2﹣b2=1﹣9=﹣8，
【答案】﹣8
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
9．（2015?南充）已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是 ．
【解析】解：解方程组得：，
因为关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，
可得：2k+3﹣2﹣k=0，
解得：k=﹣1．
【答案】﹣1．
【点评】此题考查方程组的解，关键是用k表示出x，y的值．
10．（2015?武汉）定义运算“*”，规定x*y=ax2+by，其中a、b为常数，且1*2=5，2*1=6，则2*3= ．
【解析】解：根据题中的新定义化简已知等式得：，
解得：a=1，b=2，
则2*3=4a+3b=4+6=10，
【答案】10．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键．
11．（2016?宜宾）今年“五一”节，A、B两人到商场购物，A购3件甲商品和2件乙商品共支付16元，B购5件甲商品和3件乙商品共支付25元，求一件甲商品和一件乙商品各售多少元．设甲商品售价x元/件，乙商品售价y元/件，则可列出方程组 ．
【解析】解：设甲商品售价x元/件，乙商品售价y元/件，
由数量关系：3×甲的售价+2×乙的售价=16；5×甲的售价+3×乙的售价=25，
则可列出方程组：
．
【答案】．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
12．（2016?盐城）李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需 分钟．
【解析】解：设李师傅加工1个甲种零件需要x分钟，加工1个乙种零件需要y分钟，
依题意得：，
由①+②，得
7x+14y=140，
所以x+2y=20，
则2x+4y=40，
所以李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需40分钟．
【答案】40．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用．解题的关键是弄清题意，找出题中的等量关系，列出方程组并能正确解答．
三、解答题
13．（2017?广州）解方程组．
【解析】解：，
①×3﹣②得：x=4，
把x=4代入①得：y=1，
则方程组的解为．
【答案】
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
14．（2017?吉林）被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km．求隧道累计长度与桥梁累计长度．
【解析】解：设隧道累计长度为x km，桥梁累计长度为y km，
根据题意得：，
解得：．
答：隧道累计长度为126km，桥梁累计长度为216km．
【答案】216km
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
15．（2017?威海）某农场去年计划生产玉米和小麦共200吨，采用新技术后，实际产量为225吨，其中玉米超产5%，小麦超产15%，该农场去年实际生产玉米、小麦各多少吨？
【解析】解：设农场去年计划生产小麦x吨，玉米y吨，根据题意可得：
，
解得：，
则50×（1+5%）=52.5（吨），
150×（1+15%）=172.5（吨），
【答案】农场去年实际生产玉米52.5吨，小麦172.5吨．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据计划以及实际生产的粮食吨数得出等式是解题关键．
16．（2015?滨州）根据要求，解答下列问题
（1）解下列方程组（直接写出方程组的解即可）
①的解为 ②的解为
③的解为
（2）以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为 x=y ．
（3）请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解．
【解析】解：（1）①的解为；②的解为；③的解为；
（2）以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为x=y；
（3），解为，
【答案】（1）①；②；③ （2）x=y
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，弄清题中的规律是解本题的关键．
17．（2017?湘潭）“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿．问笼中各有几只鸡和兔？
【解析】解：设鸡有x只，兔有y只，根据题意得
有，
解之，得，
【答案】鸡23只，兔12只．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用．注意：每只兔子有4只足，每只鸡有2只足．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
18．（2015?珠海）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y=5 即2（2x+5y）+y=5③
把方程①带入③得：2×3+y=5，∴y=﹣1
把y=﹣1代入①得x=4，∴方程组的解为．
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组
（2）已知x，y满足方程组．
（i）求x2+4y2的值；
（ii）求+的值．
【解析】解：（1）把方程②变形：3（3x﹣2y）+2y=19③，
把①代入③得：15+2y=19，即y=2，
把y=2代入①得：x=3，
则方程组的解为；
（2）（i）由①得：3（x2+4y2）=47+2xy，即x2+4y2=③，
把③代入②得：2×=36﹣xy，
解得：xy=2，
则x2+4y2=17；
（ii）∵x2+4y2=17，
∴（x+2y）2=x2+4y2+4xy=17+8=25，
∴x+2y=5或x+2y=﹣5，
则+==±．
【答案】（1） （2）（i）x2+4y2=17 （ii）±
【点评】此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键．
一、选择题
1．（2017?哈尔滨市道外区二模）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．8x2+1=y B．y=8x+1 C．y= D．xy=1
【解析】解：A、是一元二次方程，故A不符合题意；
B、是二元一次方程，故B符合题意；
C、是分式方程，故C不符合题意；
D、是二元二次方程，故D不符合题意；
【答案】B．
【点评】本题考查了二元一次方程，二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有2个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程．
2．（2017?杭州市萧山区模拟）若方程组的解是二元一次方程3x﹣5y﹣90=0的一个解，则a的值是（ ）
A．3 B．2 C．6 D．7
【解析】解：，
①+②得：2x=5a，
解得：x=2.5a，
①﹣②得：2y=﹣3a，
解得：y=﹣1.5a，
把x=2.5a，y=﹣1.5a代入方程得：7.5a+7.5a﹣90=0，
整理得：15a=90，
解得：a=6，
【答案】C
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程组两方程都成立的未知数的值．
3．（2016?利川市模拟）将一张面值为50元的人民币，兑换成10元或20元的零钱，兑换方案有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【解析】解：设能兑换x张10元、y张20元的零钱，
根据题意得：10x+20y=50，
即x+2y=5．
∵x、y为自然数，
∴当y=0时，x=5；当y=1时，x=3；当y=2时，x=1．
∴兑换方案有三种．
【答案】A．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，根据总钱数不变列出关于x、y的二元一次方程是解题的关键．
4．（2016?河北模拟）利用代入消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A．由①得x= B．由①得y=
C．由②得y= D．由②得y=
【解析】解：由①得，2x=6﹣3y，
x=；
3y=6﹣2x，
y=；
由②得，5x=2+3y，
x=，
3y=5x﹣2，
y=．
【答案】B．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，主要是代入消元法y=kx+b形式的转化，是基础题．
5．（2017?盘锦三模）若方程组的解x，y满足0＜x+y＜1，则k的取值范围是（ ）
A．﹣4＜k＜0 B．﹣1＜k＜0 C．0＜k＜8 D．k＞﹣4
【解析】解：∵0＜x+y＜1，
观察方程组可知，上下两个方程相加可得：4x+4y=k+4，
两边都除以4得，x+y=，
所以＞0，
解得k＞﹣4；
＜1，
解得k＜0．
所以﹣4＜k＜0．
【答案】A．
【点评】当给出两个未知数的和的取值范围时，应仔细观察找到题中所给式子与它们和的关系，进而求值．
6．（2017?枣庄市峄城区模拟）方程组的解为，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：∵方程组的解为，
∴，即，
又∵方程组，
∴，
解得，
【答案】C．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题时注意：当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
7．（2017?深圳模拟）对于数对（a，b）、（c，d），定义：当且仅当a=c且b=d时，（a，b）=（c，d）；并定义其运算如下：
（a，b）※（c，d）=（ac﹣bd，ad+bc），如（1，2）※（3，4）=（1×3﹣2×4，1×4+2×3）=（﹣5，10）．若（x，y）※（1，﹣1）=（1，3），则xy的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【解析】解：∵（a，b）※（c，d）=（ac﹣bd，ad+bc），
∴（x，y）※（1，﹣1）=（x+y，﹣x+y）=（1，3），
∵当且仅当a=c且b=d时，（a，b）=（c，d）；
∴，
解得：，
∴xy的值是（﹣1）2=1，
【答案】C．
【点评】此题主要考查了新定义．根据已知得出规律以及解二元一次方程组，根据题意得出（x，y）※（1，﹣1）=（x+y，﹣x+y）是解决问题的关键．
8．（2017?河北一模）父子二人并排垂站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的，儿子露出水面的高度是他自身身高的，父子二人的身高之和为3.2米．若设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】解：设爸爸的身高为x米，儿子的身高为y米，由题意得：
，
【答案】D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，解决此题的关键是知道父亲和儿子没在水中的身高是相等的．
9．（2016?石家庄市藁城区校级模拟）如图所示是由截面为同一种矩形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高10cm，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低40cm，则每块墙砖的截面面积是（ ）
A．425cm2 B．525cm2 C．600cm2 D．800cm2
【解析】解：设每块墙砖的长为xcm，宽为ycm，
根据题意得：，
解得：，
则每块墙砖的截面面积是35×15=525cm2，
【答案】B．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系列方程组是解题的关键．
10．（2017?兴化市三模）已知关于x、y的方程组，给出下列说法：
①当a=1时，方程组的解也是方程x+y=2的一个解；
②当x﹣2y＞8时，a＞；
③不论a取什么实数，2x+y的值始终不变；
④若y=x2+5，则a=﹣4． 以上说法正确的是（ ）
A．②③④ B．①②④ C．③④ D．②③
【解析】解：关于x、y的方程组，
解得：．
①将a=1代入，得：，
将x=4，y=﹣4代入方程左边得：x+y=0，右边=2，左边≠右边，本选项错误；
②当x﹣2y＞8时，
a+3﹣2（﹣2a﹣2）＞8，
解得a＞，本选项正确；
③将原方程组中第一个方程×3，加第二个方程得：4x+2y=8，
即2x+y=4，不论a取什么实数，2x+y的值始终不变，本选项正确；
④若y=x2+5，则﹣2a﹣2=（a+3）2+5，
解得a=﹣4，此选项正确．
【答案】A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是牢记二元一次方程组的解题方法．
二、填空题
11．（2016?富顺县校级模拟）当a= 时，方程组的解为x=y．
【解析】解：∵x=y，
∴，
解得a=﹣3，
【答案】﹣3．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是把x=y代入方程组得到新的方程组．
12．（2016?富顺县校级模拟）若方程组与的解相同，则a= ，b= ．
【解析】解：解方程组得，
代入方程组得，
解得，
【答案】33，．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是正确求出x，y的值，组成一个新的方程组．
13．（2016?潍坊一模）关于x、y的方程组，那么= ．
【解析】解：设a=，b=，方程组化为，
①×3﹣②×2得：5a=65，
解得：a=13，
将a=13代入①得：b=3，
则﹣=a﹣b=13﹣3=10．
【答案】10
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了换元的思想，是一道基本题型．
14．（2017?赣州模拟）江西某旅行社组织甲、乙两个旅游团分别到庐山、婺源旅游，已知这两个旅游团共有55人，甲旅游团的人数比乙旅游团的人数的2倍少5人，问甲、乙两个旅游团各有多少人？设甲、乙两个旅游团各有x人、y人，根据题意可列方程组为 ．
【解析】解：由题意可得数量关系：甲团人数+乙团人数=55人；甲团人数=2×乙团人数-5，则可列方程得
，
【答案】．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
15．（2017?泰兴市校级二模）杨老师解方程组时得其解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数●= ，★= ．
【解析】解：把代入方程2x﹣y=12得，10﹣★=12，解得★=﹣2，
把代入3x+y=●得，●=13．
【答案】13，﹣2．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是把方程组的解代入方程．
16.（2016?佛山市南海区校级模拟）一个两位数，它的个位数字是十位数字的2倍，且十位数字与个位数字和的4倍，等于这个两位数，这个两位数是 ．
【解析】解：设个位数字为x，十位数字为y，由题意得：
，
当x=2时，y=1，
当x=4时，y=2，
当x=6时，y=3，
当x=8时，y=4，
【答案】12，24，36，48．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，讨论出解．
三、解答题
17．（2017?威海二模）解方程组：．
【解析】解：方程组整理得：，
①+②得：8x=24，
解得：x=3，
把x=3代入②得：y=﹣5，
则方程组的解为．
【答案】
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18．（2017?长沙模拟）已知方程组的解x﹣y是负数，求a的取值范围？
【解析】解：，
①+②得，3x﹣3y=a+2，故x﹣y=
∵x﹣y是负数，
∴＜0，
解得a＜﹣2．
【答案】a＜﹣2．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组及解一元一次不等式组，先把a当作已知表示出x﹣y的值，再根据x﹣y是负数得出关于a的不等式是解答此题的关键．
19．（2017?临沭县校级模拟）已知关于x，y的二元一次方程组 ．
（1）解该方程组；
（2）若上述方程组的解是关于x，y的二元一次方程ax+by=2的一组解，求代数式6b﹣4a的值．
【解析】解：（1），
②﹣①得：y=3，
把y=3代入①得：x=﹣2，
则方程组的解为；
（2）把代入方程得：﹣2a+3b=2，即2a﹣3b=﹣2，
则原式=﹣2（2a﹣3b）=4．
【答案】（1） （2）4
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
20．（2017?延边州模拟）如图所示的两台天平保持平衡，已知每块巧克力的质量相等，且每个果冻的质量也相等．求每块巧克力和每个果冻的质量．
【解析】解：设每块巧克力质量为x克，每个果冻的质量为y克，
根据题意得：，
解得．
【答案】每块巧克力质量为20克，每个果冻的质量为30克．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据天平两边重量相同列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．
21．（2017?北京市门头沟区一模）学完二元一次方程组的应用之后，老师写出了一个方程组如下：，要求把这个方程组赋予实际情境．
小军说出了一个情境：学校有两个课外小组，书法组和美术组，其中书法组的人数的二倍比美术组多5人，书法组平均每人完成了4幅书法作品，美术组平均每人完成了3幅美术作品，两个小组共完成了40幅作品，问书法组和美术组各有多少人？
小明通过验证后发现小军赋予的情境有问题，请找出问题在哪？
【解析】解：设书法组有x人，美术组有y人，
根据题意得：，
解得：．
∵人数只能是非负整数，而x=5.5，
∴判小军不能以人数被未知数进行情境创设．
【答案】人数只能是非负整数
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，通过解方程组得出x不为整数，从而判定小军赋予的情境有问题是解题的关键．
22．（2017?瑞安市一模）某地区住宅用电之电费计算规则如下：每月每户不超过50度时，每度以4元收费；超过50度的部分，每度以5元收费，并规定用电按整数度计算（小数部份无条件舍去）．
（1）下表给出了今年3月份A，B两用户的部分用电数据，请将表格数据补充完整，
电量（度）
电费（元）
A
240
B
合计
90
（2）若假定某月份C用户比D用户多缴电费38元，求C用户该月可能缴的电费为多少？
【解析】解：（1）设A用户用电量为x度，则
4×50+5（x﹣50）=240，
解得x=58；
B用户的用电量：90﹣58=32（度）．
B用户的电费：32×4=128（元）
A、B用户的电费：240+128=368（元），
（2）设3月份C用户用电x度，D用户用电y度．
∵38不能被4和5整除，
∴x＞50，y≤50，
∴200+5（x﹣50）﹣4y=38
∴5x﹣4y=88，
∴．
∵，
∴50＜x≤57.6．
又∵x是4的倍数，
∴x=52，56 C用户可能缴的缴电费为210元或230元．
【答案】（1）
电量（度）
电费（元）
A
58
240
B
32
128
合计
90
368
（2）210元或230元
【点评】本题考查了二元一次方程的应用．根据题意，找到题中的等量关系是解题的难点．
