学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如果在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A和B有关，那么具体算出的数据满足( )
A．K2>3.841
B．K2<3.841
C．K2>6.635
D．K2<6.635
【解析】 对应P(K2≥k0)的临界值表可知，当K2>3.841时，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A与B有关．
【答案】 A
2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由K2＝算得，
k＝≈7.8.
附表：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是( )
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
【解析】 根据独立性检验的思想方法，正确选项为C.
【答案】 C
3．下列关于等高条形图的叙述正确的是( )
A．从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系
B．从等高条形图中可以看出两个变量频数的相对大小
C．从等高条形图中可以粗略地看出两个分类变量是否有关系
D．以上说法都不对
【解析】 在等高条形图中仅能粗略判断两个分类变量的关系，故A错．在等高条形图中仅能够找出频率，无法找出频数，故B错．
【答案】 C
3．分类变量X和Y的列联表如下，则( )
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
A.ad－bc越小，说明X与Y的关系越弱
B．ad－bc越大，说明X与Y的关系越强
C．(ad－bc)2越大，说明X与Y的关系越强
D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y的关系越强
【解析】 结合独立性检验的思想可知|ad－bc|越大，X与Y的相关性越强，从而(ad－bc)2越大，说明X与Y的相关性越强．
【答案】 C
4．在研究打鼾与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得到“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是( )
A．100个心脏病患者中至少有99人打鼾
B．1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打鼾
C．100个心脏病患者中一定有打鼾的人
D．100个心脏病患者中可能一个打鼾的人都没有
【解析】 这是独立性检验，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“打鼾与患心脏病有关”．这只是一个概率，即打鼾与患心脏病有关的可能性为99%.根据概率的意义可知答案应选D.
【答案】 D
5．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：
作文成绩优秀
作文成绩一般
总计
课外阅读量较大
22
10
32
课外阅读量一般
8
20
28
总计
30
30
60
由以上数据，计算得到K2的观测值k≈9.643，根据临界值表，以下说法正确的是( )
【导学号：19220006】
A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
B．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
D．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
【解析】 根据临界值表，9.643>7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．
【答案】 D
二、填空题
6．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：
①若K2的观测值k>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；
②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；
③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．
其中说法正确的是________．(填序号)
【解析】 K2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①错误；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．
【答案】 ③
6．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠．在照射后14天内的结果如表所示：
死亡
存活
总计
第一种剂量
14
11
25
第二种剂量
6
19
25
总计
20
30
50
进行统计分析时的统计假设是__________．
【解析】 由独立性检验的步骤知第一步先假设两分类变量无关，即假设电离辐射的剂量与小白鼠的死亡无关．
【答案】
假设电离辐射的剂量与小白鼠的死亡无关
7．为研究某新药的疗效，给50名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：
无效
有效
总计
男性患者
15
35
50
女性患者
6
44
50
总计
21
79
100
设H0：服用此药的效果与患者性别无关，则K2的观测值k≈________，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________．
【解析】 由公式计算得K2的观测值k≈4.882，
∵k>3.841，∴有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而有5%的可能性出错．
【答案】 4.882 5%
8．在对某小学的学生进行吃零食的调查中，得到如下表数据：
吃零食
不吃零食
总计
男生
27
34
61
女生
12
29
41
总计
39
63
102
根据上述数据分析，我们得出的K2的观测值k约为________．
【解析】 由公式可计算得k＝
≈2.334.
【答案】 2.334
三、解答题
9．为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下：
阳性数
阴性数
总计
铅中毒病人
29
7
36
对照组
9
28
37
总计
38
35
73
试画出列联表的等高条形图，分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系．
【解】 等高条形图如图所示：
其中两个浅色条的高分别代表铅中毒病人和对照组样本中尿棕色素为阳性的频率．由图可以直观地看出铅中毒病人与对照组相比较尿棕色素为阳性差异明显，因此铅中毒病人与尿棕色素为阳性有关系．
10．(2016·江西吉安高二检测)对某校小学生进行心理障碍测试得到如下表列联表：
有心理障碍
没有心理障碍
总计
女生
10
30
男生
70
80
总计
20
110
将表格填写完整，试说明心理障碍与性别是否有关？
附：
P(K2
≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【解】 将列联表补充完整如下：
有心理障碍
没有心理障碍
总计
女生
10
20
30
男生
10
70
80
总计
20
90
110
k＝≈6.366>5.024，
所以有97.5%的把握认为心理障碍与性别有关．
[能力提升]
1．(2016·玉溪高二检测)某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设
H：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算K2≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列表述中正确的是( )
A．有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”
B．若有人未使用该血清，那么他一年中有95%的可能性得感冒
C．这种血清预防感冒的有效率为95%
D．这种血清预防感冒的效率为5%
【解析】 根据随机变量K2的意义知A正确．
【答案】 A
2．有两个分类变量X，Y，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：
Y1
Y2
X1
a
20－a
X2
15－a
30＋a
其中a,15－a均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X，Y有关，则a的值为( )
A．8
B．9
C．8,9
D．6,8
【解析】 根据公式，得
k＝
＝>3.841，
根据a>5且15－a>5，a∈Z，求得a＝8,9满足题意．
【答案】 C
3．某班主任对全班50名学生作了一次调查，所得数据如下表：
认为作业多
认为作业不多
总计
喜欢玩电脑游戏
18
9
27
不喜欢玩电脑游戏
8
15
23
总计
26
24
50
由表中数据计算得到K2的观测值k≈5.059，于是________(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与作业多有关．
【解析】 查表知若要在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关，则临界值k0＝6.635.本题中，k≈5.059<6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关．
【答案】 不能
3．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：
非统计专业
统计专业
男
13
10
女
7
20
为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，计算得到K2＝________(保留三位小数)，所以判定________(填“有”或“没有”)95%的把握认为主修统计专业与性别有关系．
(参考公式：)K2＝；
P(K2≥k)
0.050
0.010
k
3.841
6.625
【解析】 根据提供的表格，得k＝≈4.844＞3.841，
∴可以判定有95%的把握认为主修统计专业与性别有关系．
【答案】 有
4．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下表：
男
女
需要志愿者
40
30
不需要志愿者
160
270
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．
参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【解】 (1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为＝14%.
(2)k＝≈9.967.
由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男女的比例，再把老年人分成男女两层，并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．章末综合测评(二) 推理与证明
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )
A．28
B．32
C．33
D．27
【解析】 观察知数列{an}满足：a1＝2，an＋1－an＝3n，故x＝20＋3×4＝32.
【答案】 B
2．(2016·汕头高二检测)有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点．因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是f(x)＝x3的极值点．以上推理中( )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．结论正确
【解析】 大前提是错误的，若f′(x0)＝0，x＝x0不一定是函数f(x)的极值点，故选A.
【答案】 A
3．下列推理过程是类比推理的是( )
A．人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为
B．科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼
C．通过检测溶液的pH值得出溶液的酸碱性
D．数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数
【解析】 A为归纳推理，C，D均为演绎推理，B为类比推理．
【答案】 B
4．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③由f(x)＝sin
x，满足f(－x)＝－f(x)，x∈R，推出f(x)＝sin
x是奇函数；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.
A．①②
B．①③④
C．①②④
D．②④
【解析】 合情推理分为类比推理和归纳推理，①是类比推理，②④是归纳推理，③是演绎推理．
【答案】 C
5．设a＝21.5＋22.5，b＝7，则a，b的大小关系是( )
A．a>b
B．a＝b
C．a
D．a>2(b＋1)
【解析】 因为a＝21.5＋22.5>2＝8>7，故a>b.
【答案】 A
6．将平面向量的数量运算与实数的乘法运算相类比，易得到下列结论：①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④|a·b|＝|a||b|；⑤由a·b＝a·c(a≠0)，可得b＝c.以上通过类比得到的结论中，正确的个数是( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【解析】 ①③正确；②④⑤错误．
【答案】 A
7．证明命题：“f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数”．现给出的证法如下：因为f(x)＝ex＋，所以f′(x)＝ex－.因为x>0，所以ex>1,0<<1.所以ex－>0，即f′(x)>0.所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是( )
A．综合法
B．分析法
C．反证法
D．以上都不是
【解析】 从已知条件出发利用已知的定理证得结论，是综合法．
【答案】 A
8．已知c>1，a＝－，b＝－，则正确的结论是( )
【导学号：19220032】
A．a>b
B．aC．a＝b
D．a，b大小不定
【解析】 要比较a与b的大小，由于c>1，所以a>0，b>0，故只需比较与的大小即可，
而＝＝＋，
＝＝＋，
显然>，从而必有a【答案】 B
9．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，经计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，观察上述结果，可推测出一般结论( )
A．f(2n)>
B．f(n2)≥
C．f(2n)≥
D．以上都不对
【解析】 f(2)＝，f(4)＝f(22)>，f(8)＝f(23)>，f(16)＝f(24)>，f(32)＝f(25)>.
由此可推知f(2n)≥.故选C.
【答案】 C
10．定义A
B，B
C，C
D，D
A的运算分别对应下面图1中的(1)(2)(3)(4)，则图中a，b对应的运算是( )
图1
A．B
D，A
D
B．B
D，A
C
C．B
C，A
D
D．C
D，A
D
【解析】 根据(1)(2)(3)(4)可知A对应横线，B对应矩形，C对应竖线，D对应椭圆．由此可知选B.
【答案】 B
11．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28
B．76
C．123
D．199
【解析】 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.
【答案】 C
12．在等差数列{an}中，若an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是( )
A．b4＋b8>b5＋b7
B．b4＋b8C．b4＋b7>b5＋b8
D．b4＋b7【解析】 在等差数列{an}中，由于4＋6＝3＋7时，有a4·a6>a3·a7，所以在等比数列{bn}中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b4＋b8>b5＋b7或b4＋b8因为b4＝b1q3，b5＝b1q4，b7＝b1q6，b8＝b1q7，
所以(b4＋b8)－(b5＋b7)＝(b1q3＋b1q7)－(b1q4＋b1q6)
＝b1q6·(q－1)－b1q3(q－1)＝(b1q6－b1q3)(q－1)
＝b1q3(q3－1)(q－1)．
因为q>1，bn>0，所以b4＋b8>b5＋b7.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．)
13．已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时假设应为________．
【解析】 “至少有一个”的否定为“一个也没有”，故假设应为“x，y均不大于1”(或x≤1且y≤1)．
【答案】 x，y均不大于1(或x≤1且y≤1)
14．如图2，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n－2(n>2)个图形中共有________个顶点．
图2
【解析】 设第n个图形中有an个顶点，
则a1＝3＋3×3，a2＝4＋4×4，…，
an＝(n＋2)＋(n＋2)·(n＋2)，an－2＝n2＋n.
【答案】 n2＋n
15．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
【解析】 因为(1＋)2－(1＋a)(1＋b)＝1＋2＋ab－1－a－b－ab
＝2－(a＋b)＝－(－)2≤0，
所以(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)，
所以lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
【答案】 ≤
16．(2016·杭州高二检测)对于命题“如果O是线段AB上一点，则||·＋||·＝0”将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝0，将它类比到空间的情形应为：若O是四面体ABCD内一点，则有_______________________________________________．
【导学号：19220033】
【解析】 根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为VO BCD·＋VO ACD·＋VO ABD·＋VO ABC·＝0.
【答案】 VO BCD·＋VO ACD·＋VO ABD·＋VO ABC·＝0
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)已知a，b，c成等差数列，求证：ab＋ac，b2＋ac，ac＋bc也成等差数列．
【证明】 因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以(ab＋ac)＋(ac＋bc)＝b(a＋c)＋2ac＝2(b2＋ac)．
所以ab＋ac，b2＋ac，ac＋bc也成等差数列．
18．(本小题满分12分)在平面几何中，对于Rt△ABC，∠C＝90°，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则
(1)a2＋b2＝c2；
(2)cos2A＋cos2B＝1；
(3)Rt△ABC的外接圆半径r＝.
把上面的结论类比到空间写出类似的结论，无需证明．
【解】 在空间选取三个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．
(1)设三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面积为S，则S＋S＋S＝S2.
(2)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
(3)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球半径R＝.
19．(本小题满分12分)已知△ABC的三条边分别为a，b，c，且a>b，求证：<.
【证明】 依题意a>0，b>0，
所以1＋>0,1＋a＋b>0.
所以要证<，
只需证(1＋a＋b)<(1＋)(a＋b)，
只需证因为a>b，所以<2所以<.
20．(本小题满分12分)(2016·大同高二检测)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，n∈N
，求a2，a3，a4，并猜想数列的通项公式，并给出证明．
【解】 数列{an}中，a1＝1，a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝，…，
所以猜想{an}的通项公式an＝(n∈N
)．
此猜想正确．
证明如下：
因为a1＝1，an＋1＝，
所以＝＝＋，
即－＝，
所以数列是以＝1为首项，
公差为的等差数列，
所以＝1＋(n－1)＝＋，
即通项公式an＝(n∈N
)．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－x2，x∈R.
(1)若正数m，n满足m·n>1，证明：f(m)，f(n)至少有一个不小于零；
(2)若a，b为不相等的正实数且满足f(a)＝f(b)，求证：a＋b<.
【证明】 (1)假设f(m)<0，f(n)<0，
即m3－m2<0，n3－n2<0，
∵m>0，n>0，
∴m－1<0，n－1<0，
∴0∴mn<1，这与m·n>1矛盾，
∴假设不成立，即f(m)，f(n)至少有一个不小于零．
(2)证明：由f(a)＝f(b)，得a3－a2＝b3－b2，
∴a3－b3＝a2－b2，
∴(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)(a＋b)，
∵a≠b，
∴a2＋ab＋b2＝a＋b，
∴(a＋b)2－(a＋b)＝ab<2，
∴(a＋b)2－(a＋b)<0，
解得a＋b<.
22．(本小题满分12分)设f(x)＝，g(x)＝(其中a>0，且a≠1)．
(1)5＝2＋3，请你推测g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示；
(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．
【解】 (1)f(3)g(2)＋g(3)f(2)
＝·＋·＝，
又g(5)＝，
∴g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)．
(2)由(1)知g(5)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，
即g(3＋2)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，
于是推测g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y)．
证明：∵f(x)＝，
g(x)＝，
g(x＋y)＝，
g(y)＝，f(y)＝，
∴f(x)g(y)＋g(x)f(y)
＝·＋·
＝＝g(x＋y)．学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知a，b为非零实数，则使不等式：＋≤－2成立的一个充分而不必要条件是( )
A．a·b>0
B．a·b<0
C．a>0，b<0
D．a>0，b>0
【解析】 ∵＋≤－2，∴≤－2.
∵a2＋b2>0，
∴ab<0，则a，b异号，故选C.
【答案】 C
2．平面内有四边形ABCD和点O，＋＝＋，则四边形ABCD为( )
A．菱形
B．梯形
C．矩形
D．平行四边形
【解析】 ∵＋＝＋，
∴－＝－，
∴＝，
∴四边形ABCD为平行四边形．
【答案】 D
3．若实数a，b满足0【导学号：19220019】
A.
B．a2＋b2
C．2ab
D．a
【解析】 ∵a＋b＝1，a＋b>2，
∴2ab<.
而a2＋b2>＝，
又∵0∴a<，∴a2＋b2最大，故选B.
【答案】 B
4．A，B为△ABC的内角，A>B是sin
A>sin
B的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 若A>B，则a>b，
又＝，∴sin
A>sin
B；
若sin
A>sin
B，则由正弦定理得a>b，
∴A>B.
【答案】 C
5．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )
A．若m β，α⊥β，则m⊥α
B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
【解析】 对于A，m与α不一定垂直，所以A不正确；对于B，α与β可以为相交平面；对于C，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D，β与γ不一定垂直．
【答案】 C
二、填空题
6．设e1，e2是两个不共线的向量，＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，若A，B，C三点共线，则k＝________.
【解析】 若A，B，C三点共线，则＝λ，即2e1＋ke2＝λ(e1＋3e2)＝λe1＋3λe2，
∴
∴
【答案】 6
7．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为________．
【解析】 ∵a2－c2＝2－(8－4)＝－>0，∴a>c，
又∵＝＝>1，∴c>b，∴a>c>b.
【答案】 a>c>b
8．已知三个不等式：①ab>0；②>；③bc>ad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可能组成________个正确的命题．
【解析】 对不等式②作等价变形：> >0.于是，若ab>0，bc>ad，则>0，故①③ ②.若ab>0，>0，则bc>ad，故①② ③.若bc>ad，>0，则ab>0，故②③ ①.因此可组成3个正确的命题．
【答案】 3
三、解答题
9．如图2 2 3，四棱锥P ABCD的底面是平行四边形，E，F分别为AB，CD的中点，求证：AF∥平面PEC.
图2 2 3
【证明】 ∵四棱锥P ABCD的底面是平行四边形，
∴AB綊CD.
又∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴CF綊AE.
∴四边形AECF为平行四边形．
∴AF∥EC.
又AF 平面PEC，EC 平面PEC，
∴AF∥平面PEC.
10．(2016·临沂高二检测)在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c也成等差数列．求证：△ABC为等边三角形．
【证明】 由A，B，C成等差数列知，B＝，由余弦定理知b2＝a2＋c2－ac，
又a，b，c也成等差数列，∴b＝，
代入上式得＝a2＋c2－ac，
整理得3(a－c)2＝0，∴a＝c，从而A＝C，
而B＝，则A＝B＝C＝，
从而△ABC为等边三角形．
[能力提升]
1．设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为( )
A．2
B.
C．1
D.
【解析】 ∵ax＝by＝3，x＝loga3，y＝logb3，
∴＋＝log3(ab)≤log32＝1.故选C.
【答案】 C
2．(2016·西安高二检测)在△ABC中，tan
A·tan
B>1，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
【解析】 因为tan
A·tan
B>1，
所以角A，角B只能都是锐角，
所以tan
A>0，tan
B>0,1－tan
A·tan
B<0，
所以tan(A＋B)＝<0.
所以A＋B是钝角，即角C为锐角．
【答案】 A
3．若0【导学号：19220020】
【解析】 由0且a≠b，得a＋b>2，a2＋b2>2ab.
又a>a2，b>b2，
知a＋b>a2＋b2，从而a＋b最大．
【答案】 a＋b
4．(2016·泰安高二检测)如图2 2 4所示，M是抛物线y2＝x上的一点，动弦ME，MF分别交x轴于A，B两点，且MA＝MB.若M为定点，求证：直线EF的斜率为定值．
图2 2 4
【证明】 设M(y，y0)，直线ME的斜率为k(k>0)，
∵MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA，
∴直线MF的斜率为－k，
∴直线ME的方程为y－y0＝k(x－y)．
由消去x得ky2－y＋y0(1－ky0)＝0.
解得yE＝，∴xE＝.
同理可得yF＝，∴xF＝.
∴kEF＝＝＝
＝－(定值)．
∴直线EF的斜率为定值．学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是( )
A．预报变量在x轴上，解释变量在y轴上
B．解释变量在x轴上，预报变量在y轴上
C．可以选择两个变量中任意一个变量在x轴上
D．可以选择两个变量中任意一个变量在y轴上
【解析】 结合线性回归模型y＝bx＋a＋e可知，解释变量在x轴上，预报变量在y轴上，故选B.
【答案】 B
2．(2016·泰安高二检测)在回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和( )
A．越大
B．越小
C．可能大也可能小
D．以上均错
【解析】 ∵R2＝1－，∴当R2越大时，
(yi－i)2越小，即残差平方和越小，故选B.
【答案】 B
3．(2016·西安高二检测)已知x和y之间的一组数据
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y与x的线性回归方程＝x＋必过点( )
A．(2,2)
B.
C．(1,2)
D.
【解析】 ∵＝(0＋1＋2＋3)＝，＝(1＋3＋5＋7)＝4，
∴回归方程＝x＋必过点.
【答案】 D
4．已知人的年龄x与人体脂肪含量的百分数y的回归方程为＝0.577x－0.448，如果某人36岁，那么这个人的脂肪含量( )
【导学号：19220003】
A．一定是20.3%
B．在20.3%附近的可能性比较大
C．无任何参考数据
D．以上解释都无道理
【解析】 将x＝36代入回归方程得＝0.577×36－0.448≈20.3.由回归分析的意义知，这个人的脂肪含量在20.3%附近的可能性较大，故选B.
【答案】 B
5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元
B．65.5万元
C．67.7万元
D．72.0万元
【解析】 样本点的中心是(3.5,42)，则＝－＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回归直线方程是＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得＝65.5.
【答案】 B
二、填空题
6．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．
【解析】 根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1.
【答案】 1
7．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________．
【解析】 由斜率的估计值为1.23，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)，可得－5＝1.23(x－4)，即＝1.23x＋0.08.
【答案】 ＝1.23x＋0.08
7．某学生课外活动兴趣小组对两个相关变量收集到5组数据如下表：
x
10
20
30
40
50
y
62
■
75
81
89
由最小二乘法求得回归方程为＝0.67x＋54.9，现发现表中有一个数据模糊不清，请推断该点数据的值为________．
【解析】 由题意可得＝(10＋20＋30＋40＋50)＝30，
设要求的数据为t，则有＝(62＋t＋75＋81＋89)＝，因为回归直线＝0.67x＋54.9过样本点的中心(，)，所以＝0.67×30＋54.9，
解得t＝68.
【答案】 68
8．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
【解析】 以x＋1代x，得＝0.254(x＋1)＋0.321，与＝0.254x＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．
【答案】 0.254
三、解答题
9．(2016·包头高二检测)关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)，有如下的统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
如由资料可知y对x呈线性相关关系．试求：
(1)线性回归方程：
(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
【解】 (1)＝＝4，
＝＝5，
＝90，iyi＝112.3，
＝＝＝1.23.
于是＝－x＝5－1.23×4＝0.08.
所以线性回归方程为＝1.23x＋0.08.
(2)当x＝10时，＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，
即估计使用10年时维修费用是12.38万元．
10．关于x与y有如下数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
为了对x，y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：甲模型＝6.5x＋17.5，乙模型＝7x＋17，试比较哪一个模型拟合的效果更好．
【解】 R＝1－＝1－＝0.845，
R＝1－＝1－＝0.82，
因为84.5%>82%，所以甲模型拟合效果更好．
[能力提升]
1．某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表：
考试次数x
1
2
3
4
所减分数y
4.5
4
3
2.5
显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为( )
A．y＝0.7x＋5.25
B．y＝－0.6x＋5.25
C．y＝－0.7x＋6.25
D．y＝－0.7x＋5.25
【解析】 由题意可知，所减分数y与模拟考试次数x之间为负相关，所以排除A.考试次数的平均数为＝×(1＋2＋3＋4)＝2.5，所减分数的平均数为＝×(4.5＋4＋3＋2.5)＝3.5.即直线应该过点(2.5,3.5)，代入验证可知直线y＝－0.7x＋5.25成立，选D.
【答案】 D
2．已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
A.>b′，>a′
B.>b′，C.a′
D.【解析】 根据所给数据求出直线方程y＝b′x＋a′和回归直线方程的系数，并比较大小．
由(1,0)，(2,2)求b′，a′.
b′＝＝2，
a′＝0－2×1＝－2.
求，时，
iyi＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，
＝3.5，＝，
＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，
∴＝＝，
＝－×3.5＝－＝－，
∴a′.
【答案】 C
3．(2016·江西吉安高二检测)已知x，y的取值如下表所示，由散点图分析可知y与x线性相关，且线性回归方程为y＝0.95x＋2.6，那么表格中的数据m的值为________.
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
m
【解析】 ＝＝2，＝＝，把(，)代入回归方程得＝0.95×2＋2.6，解得m＝6.7.
【答案】 6.7
4．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数，得到如下资料：
日期
12月1日
12月2日
12月3日
12月4日
12月5日
温差x(℃)
10
11
13
12
8
发芽y(颗)
23
25
30
26
16
该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，剩下的2组数据用于回归方程检验．
(1)若选取的是12月1日与12月5日的2组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠？
(3)请预测温差为14
℃的发芽数．
【解】 (1)由数据求得，＝12，＝27，
＝434，iyi＝977.
由公式求得，＝，＝－＝－3.
所以y关于x的线性回归方程为＝x－3.
(2)当x＝10时，＝×10－3＝22，|22－23|<2；
当x＝8时，＝×8－3＝17，|17－16|<2.
所以该研究所得到的线性回归方程是可靠的．
(3)当x＝14时，有＝×14－3＝35－3＝32，
所以当温差为14
℃时的发芽数约为32颗.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．复数－2i的实部与虚部分别是( )
A．0,2
B．0,0
C．0，－2
D．－2,0
【解析】 －2i的实部为0，虚部为－2.
【答案】 C
2．(2016·鹤岗高二检测)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A．1
B．2
C．－1或－2
D．1或2
【解析】 由得a＝2.
【答案】 B
3．若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 由b＋(a－2)i＝1＋i，得b＝1，a＝3，所以a＋b＝4.
【答案】 D
4．在下列命题中，正确命题的个数是( )
①两个复数不能比较大小；
②若z1和z2都是虚数，且它们的虚部相等，则z1＝z2；
③若a，b是两个相等的实数，则(a－b)＋(a＋b)i必为纯虚数．
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 两个复数，当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①错误；
设z1＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，z2＝c＋di(c，d∈R，且d≠0)，因为b＝d，所以z2＝c＋bi.
当a＝c时，z1＝z2，当a≠c时，z1≠z2，故②错误；
③当a＝b≠0时，(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，当a＝b＝0时，(a－b)＋(a＋b)i＝0是实数，故③错误，因此选A.
【答案】 A
5．下列命题中，正确命题的个数是( )
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 对于①，由于x，y∈C，所以x，y不一定是x＋yi的实部和虚部，故①是假命题；
对于②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；
对于③，如12＋i2＝0，但1≠0，i≠0，故③是假命题．
【答案】 A
5．已知复数z＝(a2－4)＋(a－3)i(a，b∈R)，则“a＝2”是“z为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【解析】 因为复数z＝(a2－4)＋(a－3)i(a，b∈R)为纯虚数 a＝±2,
所以“a＝2”是“z为纯虚数”的充分不必要条件．
【答案】 A
二、填空题
6．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是________．
【解析】 3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i，实部为－3，故应填3－3i.
【答案】 3－3i
7．若x是实数，y是纯虚数，且(2x－1)＋2i＝y，则x，y的值为________.
【导学号：19220037】
【解析】 由(2x－1)＋2i＝y，得
∴x＝，y＝2i.
【答案】 x＝，y＝2i
8．给出下列说法：
①复数由实数、虚数、纯虚数构成；
②满足x2＝－1的数x只有i；
③形如bi(b∈R)的数不一定是纯虚数；
④复数m＋ni的实部一定是m.
其中正确说法的个数为________．
【解析】 ③中，b＝0时，bi＝0不是纯虚数．故③正确；①中，复数分为实数与虚数两大类；②中，平方为－1的数是±i；④中，m，n不一定为实数，故①②④错误．
【答案】 1
三、解答题
9．已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i，当实数m取什么值时：(1)复数z是零；(2)复数z是纯虚数．
【解】 (1)∵z是零，
∴
解得m＝1.
(2)∵z是纯虚数，
∴解得m＝0.
综上，当m＝1时，z是零；当m＝0时，z是纯虚数．
10．已知集合M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
【解】 因为M∪P＝P，所以M P，
即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，得
解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，得
解得m＝2.
综上可知，m＝1或m＝2.
[能力提升]
1．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是( )
A．－1或3
B．{a|a>3或a<－1}
C．{a|a>－3或a<1}
D．{a|a>3或a＝－1}
【解析】 由已知可以得到a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，解得a>3或a<－1，因此，实数a的取值范围是{a|a>3或a<－1}．
【答案】 B
2．若复数cos
θ＋isin
θ和sin
θ＋icos
θ相等，则θ值为( )
A.
B.或π
C．2kπ＋(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
【解析】 由复数相等定义得
∴tan
θ＝1，
∴θ＝kπ＋(k∈Z)．
【答案】 D
3．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是________．
【解析】 ∵log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，
∴
∴
∴
∴x＝－2.
【答案】 －2
4．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根x0，求x0以及实数k的值.
【导学号：19220038】
【解】 x＝x0是方程的实根，代入方程并整理，得
(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
由复数相等的充要条件，得
解得或
∴方程的实根为x0＝或x0＝－，相应的k值为k＝－2或k＝2.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列关于结构图的说法不正确的是( )
A．结构图中各要素之间通常表现为概念上的从属关系和逻辑上的先后关系
B．结构图都是“树形”结构
C．简洁的结构图能更好地反映主体要素之间关系和系统的整体特点
D．复杂的结构图能更详细地反映系统中各细节要素及其关系
【解析】 结构图是指以模块的调用关系为线索，用自上而下的连线表示调用关系并注明参数传递的方向和内容，从宏观上反映软件层次结构的图形．
A．结构图中各要素之间通常表现为概念上的从属关系和逻辑上的先后关系，正确；
B．结构图不一定都是“树形”结构，错误；
C．简洁的结构图能更好地反映主体要素之间关系和系统的整体特点，正确；
D．复杂的结构图能更详细地反映系统中各细节要素及其关系，正确．
【答案】 B
2．如图所示的框图中是结构图的是( )
【解析】 A，B，C都是表达了完成某一件事情的流程图，而不是结构图；
只有D表达了高考文科所包含的考试科目，体现了总—分的关系，故是结构图．故选D.
【答案】 D
3．如图4 2 6是某工厂的组织结构图，由图可以知道，工厂办公室所管辖的科室有( )
【导学号：19220064】
图4 2 6
A．销售科、后勤科、宣传科
B．汽车队、接待科、宣传科
C．生产部、销售科、后勤科
D．生产部、汽车队、宣传科
【解析】 由结构图可知工厂办公室的“下位”要素共有3个，分别为汽车队、接待科、宣传科．
【答案】 B
4．如图4 2 7是人教A版选修1－2第二章“推理与证明”的知识结构图(部分)，如果要加入知识点“三段论”，那么应该放在图中( )
图4 2 7
A．“①”处
B．“②”处
C．“③”处
D．“④”处
【解析】 三段论是演绎推理的内容，因此应放在“②”处．
【答案】 B
5．把平面内两条直线的位置关系填入结构图4 2 8中的M，N，E，F中，顺序较为恰当的是( )
图4 2 8
①平行；②垂直；③相交；④斜交．
A．①②③④
B．①④②③
C．①③②④
D．②①④③
【解析】 平行无交点，而垂直、相交、斜交都有交点，垂直与斜交是并列的，都隶属于相交．
【答案】 C
二、填空题
6．按边对三角形进行分类的结构图为：
图4 2 9
则①处应填入________．
【解析】 等腰三角形又可分为“等边三角形”和“腰和底边不等的等腰三角形”两类．
【答案】 等边三角形
7．如图4 2 10所示的结构图中，进一步细化时，二面角应放在________的下位．
图4 2 10
【解析】 二面角反映的是两平面的位置关系，应放在“平面与平面”的下位．
【答案】 平面与平面
8．在工商管理学中，MRP(Material
Requirement
Planning)指的是物资需求计划，基本MRP的体系结构如图4 2 11所示：
图4 2 11
从图中可以看出，基本MRP直接受________、____________________
和________的影响．
【解析】 由图看出箭头指向基本MRP的有三点：产品结构、主生产计划、库存状态．
【答案】 产品结构 主生产计划 库存状态
三、解答题
9．(2016·安庆高二检测)目前我省高考科目为文科考：语文，数学(文科)，英语，文科综合(政治、历史、地理)；理科考：语文，数学(理科)，英语，理科综合(物理、化学、生物)．请画出我省高考科目结构图.
【导学号：19220065】
【解】
10．某大学的学校组织结构图如图4 2 12所示，由图回答下列问题：
图4 2 12
(1)学生工作处的“下位”要素是什么？
(2)学生工作处与其“下位”要素是什么关系？
【解】 (1)由图可知学生工作处的“下位”要素包括工业工程系、城建环保工程系、电气工程系、计算机工程系、机械工程系、汉教部．
(2)学生工作处与其“下位”要素的关系是从属关系．
[能力提升]
1．下列结构图中，体现各要素之间是逻辑先后关系的是( )
【解析】 C选项中的结构图表达了从整数指数幂到无理指数幂的发展过程与顺序，体现的是各要素间的逻辑先后关系，故选C.
【答案】 C
2．如图4 2 13是一商场某一个时间制订销售计划时的局部结构图，则“计划”受影响的主要要素有( )
图4 2 13
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】 影响“计划”的主要要素应是三个“上位”要素，有“政府行为”，“策划部”，“社会需求”．
【答案】 C
3．在平面几何中，特殊四边形的分类关系可用以下框图描述：
图4 2 14
则在①中应填入________；在②中应填入________．
【解析】 结合①的条件可知：有一组邻边相等的平行四边形为菱形，故①处应填菱形．结合②的条件可知：两腰相等的梯形叫等腰梯形，故②处应填等腰梯形．
【答案】 菱形 等腰梯形
4．据有关人士预测，我国居民的消费正由生存型消费转向质量型消费，城镇居民消费热点是商品住房、小轿车、新型食品、服务消费和文化消费；农村居民消费热点是住房、家电，试设计表示我国居民消费情况的结构图．
【解】 结构图如图所示．模块综合测评(二)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．有下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系．其中有相关关系的是( )
A．①②③
B．①②
C．②③
D．①③④
【解析】 曲线上的点与该点的坐标之间是确定关系——函数关系，故②不正确．其余均为相关关系．
【答案】 D
2．(2015·山东高考)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．1－i
B．1＋i
C．－1－i
D．－1＋i
【解析】 由已知得＝i(1－i)＝i＋1，则z＝1－i，故选A.
【答案】 A
3．有一段演绎推理：直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b 平面α，直线a 平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a.这个结论显然是错误的，这是因为( )
【导学号：19220073】
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．非以上错误
【解析】 大前提错误，直线平行于平面，未必有直线平行于平面内的所有直线．
【答案】 A
4．如图1所示的知识结构图为什么结构( )
图1
A．树形
B．环形
C．对称性
D．左右形
【解析】 由题图可知结构图为树形结构．
【答案】 A
5．(2015·陕西高考)根据右边框图，当输入x为2
006时，输出的y＝( )
图2
A．2
B．4
C．10
D．28
【解析】 x每执行一次循环减少2，当x变为－2时跳出循环，y＝3－x＋1＝32＋1＝10.
【答案】 C
6．(2016·吉林高二检测)已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是( )
A.＝1.23x＋4
B.＝1.23x＋5
C.＝1.23x＋0.08
D.＝0.08x＋1.23
【解析】 由题意可设回归直线方程为＝1.23x＋a，又样本点的中心(4,5)在回归直线上，
故5＝1.23×4＋a，即a＝0.08，
故回归直线的方程为＝1.23x＋0.08.
【答案】 C
7．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S ABC的体积为V，则R＝( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 四面体中以内切球的球心为顶点，四面体的各个面为底面，可把四面体分割成四个高均为R的三棱锥，从而有S1R＋S2R＋S3R＋S4R＝V.即(S1＋S2＋S3＋S4)R＝3V.
∴R＝.
【答案】 C
8．(2016·南昌高二检测)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4猜想an等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 ∵a1＝1，Sn＝n2·an(n≥2)，
∴a1＋a2＝22·a2，得a2＝；
由a1＋a2＋a3＝32·
a3，得a3＝；
由a1＋a2＋a3＋a4＝42·a4，得a4＝；….
猜想an＝.
【答案】 B
9．(2016·临沂高二检测)若关于x的一元二次实系数方程x2＋px＋q＝0有一个根为1＋i(i为虚数单位)，则p＋q的值是( )
A．－1
B．0
C．2
D．－2
【解析】 把1＋i代入方程得(1＋i)2＋p(1＋i)＋q＝0，
即2i＋p＋pi＋q＝0，即p＋q＋(p＋2)i＝0，
∵p，q为实数，∴p＋q＝0.
【答案】 B
10．(2016·西安高二检测)满足条件|z－i|＝|3－4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是( )
A．一条直线
B．两条直线
C．圆
D．椭圆
【解析】 |z－i|＝|3－4i|＝5，
∴复数z对应点到定点(0,1)的距离等于5，故轨迹是个圆．
【答案】 C
11．(2016·大同高二检测)设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 必要性显然成立；PQR>0，包括P，Q，R同时大于0，或其中两个为负两种情况．假设P<0，Q<0，则P＋Q＝2b<0，这与b为正实数矛盾．同理当P，R同时小于0或Q，R同时小于0的情况亦得出矛盾，故P，Q，R同时大于0，所以选C.
【答案】 C
12．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2,4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再染16后面最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规律一直染下去，得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，….则在这个红色子数列中，由1开始的第60个数是( )
A．103
B．105
C．107
D．109
【解析】 由题可知染色规律是：每次染完色后得到的最后一个数恰好是染色个数的平方．故第10次染完后的最后一个数为偶数100，接下来应该染101,103,105,107,109，此时共60个数．
【答案】 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．)
13．(2015·上海高考)若复数z满足3z＋＝1＋i，其中i为虚数单位，则z＝________.
【解析】 设复数z＝a＋bi，a，b∈R，则＝a－bi，a，b∈R,3z＋＝4a＋2bi＝1＋i，a，b∈R，则a＝，b＝，故z＝＋i.
【答案】 ＋i
14．(2016·郑州高二检测)某工程的工序流程图如图3所示，现已知工程总工时数为10天，则工序c所需工时为________天.
【导学号：19220074】
图3
【解析】 设工序c所需工时为x天．由题意知：
按①→③→④→⑥→⑦→⑧所需工时为0＋2＋3＋3＋1＝9(天)，
按①→②→④→⑥→⑦→⑧所需工时为1＋0＋3＋3＋1＝8(天)，
故按①→②→⑤→⑦→⑧所需工时应为10天．
∴1＋x＋4＋1＝10，∴x＝4.
【答案】 4
15．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC外接圆半径r＝.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R＝________.
【解析】 通过类比可得R＝.
证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为a，b，c的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是，故这个长方体的外接球的半径是，这也是所求的三棱锥的外接球的半径．
【答案】
16．(2016·三明高二检测)某考察团对中国10个城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)调查，y与x具有相关关系，回归方程为＝0.66x＋1.562，若A城市居民人均消费水平为7.765(千元)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为________.
【导学号：19220075】
【解析】 因为y与x具有线性相关关系，满足回归方程＝0.66x＋1.562，A城市居民人均消费水平为y＝7.765，所以可以估计该城市的职工人均工资水平x满足7.765＝0.66x＋1.562，所以x≈9.4，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为×100%≈83%.
【答案】 83%
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)复数z＝1＋i，求实数a，b，使az＋2b＝(a＋2z)2.
【解】 ∵z＝1＋i，
∴az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i，
又∵(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i，
∵a，b都是整数，
∴
解得或
∴所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2.
18．(本小题满分12分)在调查男女乘客是否晕机的情况中，已知男乘客晕机为28人，不会晕机的也是28人，而女乘客晕机为28人，不会晕机的为56人．
(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；
(2)试判断晕机是否与性别有关？
(参考数据：K2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；K2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；K2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．参考公式：K2＝)
【解】 (1)2×2列联表如下：
晕机
不晕机
总计
男乘客
28
28
56
女乘客
28
56
84
总计
56
84
140
(2)根据列联表中的数据，
得K2的观测值k＝＝≈3.889>3.841，所以有95%的把握认为晕机与性别有关．
19．(本小题满分12分)某省公安消防局对消防产品的监督程序步骤为：首先受理产品请求，如果是由公安部发证的产品，则审核考察，领导复核，不同意，则由窗口将信息反馈出去，同意，则报公安部审批，再经本省公安消防局把反馈信息由窗口反馈出去．如果不是由公安部发证的产品，则由窗口将信息反馈出去．试画出此监督程序的流程图．
【解】 某省公安消防局消防产品监督程序的流程图如下：
20．(本小题满分12分)(2016·中山高二检测)已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：＋＋>3.
【证明】 法一(分析法)：要证＋＋>3，
只需证明＋－1＋＋－1＋＋－1>3，
即证＋＋＋＋＋>6，
而事实上，由a，b，c是全不相等的正实数，
∴＋>2，＋>2，＋>2.
∴＋＋＋＋＋>6，
∴＋＋>3得证．
法二(综合法)：∵a，b，c全不相等，
∴与，与，与全不相等，
∴＋>2，＋>2，＋>2，
三式相加得＋＋＋＋＋>6，
∴＋＋>3，
即＋＋>3.
21．(本小题满分12分)某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有下表所对应的数据：
广告支出x(单位：万元)
1
2
3
4
销售收入y(单位：万元)
12
28
42
56
(1)画出表中数据的散点图；
(2)求出y对x的线性回归方程；
(3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？
【导学号：19220076】
【解】 (1)散点图如图：
(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以备计算，.
i
xi
yi
x
xiyi
1
1
12
1
12
2
2
28
4
56
3
3
42
9
126
4
4
56
16
224
于是＝，＝，
代入公式得：
＝
＝＝，
＝－＝－×＝－2.
故y与x的线性回归方程为＝x－2，其中回归系数为，它的意义是：广告支出每增加1万元，销售收入y平均增加万元．
(3)当x＝9万元时，y＝×9－2＝129.4(万元)．
所以当广告费为9万元时，可预测销售收入约为129.4万元．
22．(本小题满分12分)(2016·吉林临江高二检测)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图4(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
图4
(1)求出f(5)；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)的关系式；
(3)根据你得到的关系式求f(n)的表达式．
【解】 (1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，
∴f(5)＝25＋4×4＝41.
(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1.
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，
由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.
(3)∵f(2)－f(1)＝4×1，
f(3)－f(2)＝4×2，
f(4)－f(3)＝4×3，f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，
f(n)－f(n－1)＝4·(n－1)，
∴以上各式相加得f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n－2)＋(n－1)]＝2(n－1)·n，
∴f(n)＝2n2－2n＋1.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若a，b∈R，则>成立的一个充分不必要条件是( )
A．ab>0
B．b>a
C．aD．ab(a－b)<0
【解析】 由a，但>不能推出a∴a的一个充分不必要条件．
【答案】 C
2．求证：－1>－.
证明：要证－1>－，
只需证＋>＋1，
即证7＋2＋5>11＋2＋1，即证>，
∵35>11，
∴原不等式成立．
以上证明应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．分析法与综合法配合使用
D．间接证法
【解析】 该证明方法符合分析法的定义，故选A.
【答案】 A
3．(2016·汕头高二检测)要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( )
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
【解析】 要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(a2－1)＋b2(1－a2)≤0，只要证明(a2－1)(1－b2)≤0，即证(a2－1)(b2－1)≥0.
【答案】 D
4．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件( )
A．a2B．a2＝b2＋c2
C．a2>b2＋c2
D．a2≤b2＋c2
【解析】 由余弦定理得
cos
A＝<0，
∴b2＋c2－a2<0，
即b2＋c2【答案】 C
5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：A．a－b>0
B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0
D．(a－b)(a－c)<0
【解析】 由题意知 b2＋a(a＋b)<3a2 b2＋a2＋ab<3a2
b2＋ab<2a2 2a2－ab－b2>0
a2－ab＋a2－b2>0 a(a－b)＋(a＋b)(a－b)>0
a(a－b)－c(a－b)>0 (a－b)(a－c)>0，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．(2016·烟台高二检测)设A＝＋，B＝(a>0，b>0)，则A，B的大小关系为________．
【解析】 ∵A－B＝－＝＝≥0，∴A≥B.
【答案】 A≥B
7．(2016·西安高二检测)如果a>b，则实数a，b应满足的条件是________.
【导学号：19220024】
【解析】 要使a>b成立，只需(a)2>(b)2，只需a3>b3>0，即a，b应满足a>b>0.
【答案】 a>b>0
8．如图2 2 5，四棱柱ABCD A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．
图2 2 5
【解析】 要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.
【答案】 AC⊥BD(或底面为菱形)
三、解答题
9．设a，b>0，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.
【证明】 法一：分析法
要证a3＋b3>a2b＋ab2成立．
只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，
又因a＋b>0，
只需证a2－ab＋b2>ab成立，
只需证a2－2ab＋b2>0成立，
即需证(a－b)2>0成立．
而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立，
由此命题得证．
法二：综合法
a≠b a－b≠0 (a－b)2>0 a2－2ab＋b2>0 a2－ab＋b2>ab.
注意到a，b>0，a＋b>0，由上式即得
(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)．
∴a3＋b3>a2b＋ab2.
10．(2016·深圳高二检测)已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥4S.
【证明】 要证a2＋b2＋c2≥4S，
只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2abcos
C)≥2absin
C，
即证a2＋b2≥2absin(C＋30°)，
因为2absin(C＋30°)≤2ab，
只需证a2＋b2≥2ab，
显然上式成立．所以a2＋b2＋c2≥4S.
[能力提升]
1．已知a，b，c，d为正实数，且<，则( )
A.<<
B.<<
C.<<
D．以上均可能
【解析】 先取特殊值检验，∵<，
可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，
则＝，满足<<.
∴B，C不正确．
要证<，∵a，b，c，d为正实数，
∴只需证a(b＋d)只需证<.而<成立，
∴<.同理可证<.故A正确，D不正确．
【答案】 A
2．(2016·黄冈高二检测)下列不等式不成立的是( )
A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca
B.＋>(a>0，b>0)
C.－<－(a≥3)
D.＋>2
【解析】 对于A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；
对于B，∵(＋)2＝a＋b＋2，()2＝a＋b，∴＋>；
对于C，要证－<－(a≥3)成立，只需证明＋<＋，两边平方得2a－3＋2<2a－3＋2，即<，两边平方得a2－3a对于D，(＋)2－(2)2＝12＋4－24＝4(－3)<0，∴＋<2，故D错误．
【答案】 D
3．使不等式＋2>1＋成立的正整数p的最大值是________.
【导学号：19220025】
【解析】 由＋2>1＋，得<＋2－1，
即p<(＋2－1)2，
所以p<12＋4－4－2，
由于12＋4－4－2≈12.7，因此使不等式成立的正整数p的最大值是12.
【答案】 12
4．(2016·唐山高二检测)已知a，b，c是不全相等的正数，且0＋logx
＋logx
【证明】 要证明logx＋logx＋logx只需要证明logx而已知0abc.
∵a，b，c是不全相等的正数，
∴≥>0，≥>0，≥>0，
∴··>＝abc.
即··>abc成立．
∴logx＋logx＋logx(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( )
A．有两个内角是钝角
B．有三个内角是钝角
C．至少有两个内角是钝角
D．没有一个内角是钝角
【解析】 “最多有一个”的反设是“至少有两个”，故选C.
【答案】 C
2．下列命题错误的是( )
A．三角形中至少有一个内角不小于60°
B．四面体的三组对棱都是异面直线
C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点
D．设a，b∈Z，若a，b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数
【解析】 a＋b为奇数 a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．
【答案】 D
3．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为( )
【导学号：19220029】
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
【解析】 自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．
【答案】 D
4．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数( )
A．至少有一个不大于2
B．都小于2
C．至少有一个不小于2
D．都大于2
【解析】 若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6，①
而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6，②
显然①，②矛盾，所以C正确．
【答案】 C
5．(2016·温州高二检测)用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为( )
A．①②③
B．①③②
C．②③①
D．③①②
【解析】 根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论．
【答案】 D
二、填空题
6．(2016·南昌高二检测)命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是__________________．
【解析】 “至少有一个”的否定是“没有一个”．
【答案】 任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形
7．(2016·汕头高二检测)用反证法证明命题“如果a>b，那么>”时，假设的内容应是________．
【解析】 与的关系有三种情况：>，＝和<，所以“>”的反设应为“＝或<”．
【答案】 ＝或<
8．(2016·石家庄高二检测)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．
【解析】 若a＝，b＝，则a＋b＝1，但a<1，b<1，故①不能推出．若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出．
若a＝－2，b＝1，则a2＋b2>2，故④不能推出．
对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1.
反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
【答案】 ③
三、解答题
9．已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明：a，b，c至少有一个不小于1.
【导学号：19220030】
【证明】 假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3.
而与a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝22＋3≥3矛盾，故假设不成立，即a，b，c至少有一个不小于1.
10．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：
，
，
不成等差数列．
【证明】 假设，
，
成等差数列，则＋＝2，两边同时平方得a＋c＋2＝4b.
把b2＝ac代入a＋c＋2＝4b，可得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列，这与a，b，c不成等差数列矛盾．
所以，
，
不成等差数列．
[能力提升]
1．有以下结论：
①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；
②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.
下列说法中正确的是( )
A．①与②的假设都错误
B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确；②的假设错误
D．①的假设错误；②的假设正确
【解析】 用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p＋q>2，故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．
【答案】 D
2．已知命题“在△ABC中，A≠B.求证sin
A≠sin
B”．若用反证法证明，得出的矛盾是( )
A．与已知条件矛盾
B．与三角形内角和定理矛盾
C．与已知条件矛盾且与三角形内角和定理矛盾
D．与大边对大角定理矛盾
【解析】 证明过程如下：假设sin
A＝sin
B，因为0A≠sin
B.
【答案】 C
3．(2016·九江高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．
【解析】 因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说的对，同时甲、乙中只有一人说的对，假设乙说的对，这样丙就说的错，丁就说的对，也就是甲也说的对，与甲说的错矛盾，所以乙说的错，从而知甲、丙说的对，所以丙为获奖歌手．
【答案】 丙
4．(2016·温州高二检测)设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列．
【证明】 假设数列{cn}是等比数列，则
(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．①
因为{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，
所以a＝an－1an＋1，b＝bn－1bn＋1.
代入①并整理，得
2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1
＝anbn，
即2＝＋.②
当p，q异号时，＋<0，与②相矛盾；
当p，q同号时，由于p≠q，
所以＋>2，与②相矛盾．
故数列{cn}不是等比数列．章末综合测评(四) 框图
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．要描述一工厂某产品的生产工艺，应用( )
A．程序框图
B．工序流程图
C．知识结构图
D．组织结构图
【解析】 这是设计生产过程，应为工序流程图，选B.
【答案】 B
2．在下面的图示中，是结构图的是( )
A.→→→
C.
D.
【解析】 A是流程图；C是图表；D是图示；B是知识结构图．
【答案】 B
A．图象变换
B．奇偶性
C．对称性
D．解析式
【解析】 函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等，故选B.
【答案】 B
4．阅读如图2所示的知识结构图：
图2
“求简单函数的导数”的“上位”要素有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】 “上位”要素有“基本导数公式”“函数四则运算求导法则”“复合函数求导法则”共3个．
【答案】 C
5．(2015·湖南高考)执行如图3所示的程序框图，如果输入n＝3，则输出的S＝( )
图3
A.
B.
C.
D.
【解析】 第一次循环：S＝，i＝2；
第二次循环：S＝＋，i＝3；
第三次循环：S＝＋＋，i＝4，满足循环条件，结束循环．
故输出S＝＋＋
＝＝，故选B.
【答案】 B
6．学校教职成员、教师、后勤人员、理科教师、文科教师的结构图正确的是( )
【解析】 由学校教职工组织结构易知选A.
【答案】 A
7．(2015·重庆高考)执行如图4所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是( )
图4
A．s≤
B．s≤
C．s≤
D．s≤
【解析】 由s＝0，k＝0满足条件，则k＝2，s＝，满足条件；k＝4，s＝＋＝，满足条件；k＝6，s＝＋＝，满足条件；k＝8，s＝＋＝，不满足条件，输出k＝8，所以应填s≤.
【答案】 C
8．(2016·锦州高二检测)如图5是“向量的线性运算”知识结构图，如果要加入“三角形法则”和“平行四边形法则”，应该放在( )
【导学号：19220067】
A．“向量的加减法”中“运算法则”的下位
B．“向量的加减法”中“运算律”的下位
C．“向量的数乘”中“运算法则”的下位
D．“向量的数乘”中“运算律”的下位
【解析】 因为“三角形法则”和“平行四边形法则”是向量的加减法的运算法则，故应该放在“向量的加减法”中“运算法则”的下位．
【答案】 A
9．(2014·湖南高考)执行如图6所示的程序框图，如果输入的t∈[－2,2]，则输出的S属于( )
图6
A．[－6，－2]
B．[－5，－1]
C．[－4,5]
D．[－3,6]
【解析】 由程序框图知，当0≤t≤2时，输出S＝t－3，此时S∈[－3，－1]；当－2≤t<0时，执行t＝2t2＋1后1【答案】 D
10．如图7所示的工序流程图中，设备采购的下一道工序是( )
图7
A．设备安装
B．土建设计
C．厂房土建
D．工程设计
【解析】 结合工序流程图可知，设备采购的下一道工序是设备安装．
【答案】 A
11．执行如图8所示的程序框图，若输入x＝9，则输出y＝( )
图8
A.
B.
C.
D.
【解析】 x＝9时，y＝＋2＝5，|y－x|＝|5－9|＝4＜1不成立；
x＝5，y＝＋2＝，|y－x|＝＝＜1不成立；
x＝，y＝＋2＝，|y－x|＝＝＜1成立，输出y＝.
【答案】 C
12．阅读下面程序框图，如果输出的函数值在区间内，那么输入实数x的取值范围是( )
【导学号：19220068】
图9
A．(－∞，－2]
B．[－2，－1]
C．[－1,2]
D．[2，＋∞)
【解析】 若输出f(x)∈，则x∈[－2，－1]．
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．)
13．在组织结构图中，一般采用________形结构绘制，它直观、容易理解，被应用于很多领域．
【解析】 组织结构图一般采用“树”形结构．
【答案】 “树”
14．如图10为有关函数的结构图，由图我们可以知道基本初等函数包括________．
图10
【解析】 基本初等函数包括指数函数、对数函数、幂函数三种．
【答案】 指数函数、对数函数、幂函数
15．某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若完成该工程共需9天，则完成工序C需要的天数最大是________.
【导学号：19220069】
【解析】 由题意可画出工序流程图如图所示：
∴2＋x＋4≤9，∴x≤3.
【答案】 3
16．(2014·山东高考)执行如图11所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为________．
图11
【解析】 由x2－4x＋3≤0，解得1≤x≤3.
当x＝1时，满足1≤x≤3，所以x＝1＋1＝2，n＝0＋1＝1；
当x＝2时，满足1≤x≤3，所以x＝2＋1＝3，n＝1＋1＝2；
当x＝3时，满足1≤x≤3，所以x＝3＋1＝4，n＝2＋1＝3；
当x＝4时，不满足1≤x≤3，所以输出n＝3.
【答案】 3
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)画出求平方值小于2
000的最大整数的程序框图．
【解】 如图：
18．(本小题满分12分)某公司局域网设置如下：经理室、市场部、销售部、客户服务部、系统管理员通过服务器与外部连接．试画出该公司局域网设置的结构图．
【解】 该公司局域网设置的结构图如图所示．
19．(本小题满分12分)写出《数学3(必修)》第2章“统计”的知识结构图．
【解】
20．(本小题满分12分)阅读如图12所示的结构图：
图12
试根据此结构图阐述“圆锥曲线与方程”知识的逻辑关系．
【解】 先由椭圆的实际背景引出椭圆的定义，用坐标法由定义推导出椭圆的标准方程和简单几何性质，然后是椭圆的简单应用．
再由双曲线的实际背景引出双曲线的定义，用坐标法由定义推导出双曲线的标准方程和简单几何性质，然后是双曲线的简单应用．
最后由抛物线的实际背景引出抛物线的定义，用坐标法由定义推导出抛物线的标准方程和简单几何性质，然后是抛物线的简单应用．
21．(本小题满分12分)在选举过程中常用差额选举(候选人数多于当选人数)，某班选举班长，具体方法是：筹备选举，由班主任提名候选人，同学投票(同意，不同意，弃权)，验票统计．
若有得票多者，则选为班长，若票数相同由班主任决定谁当选，请用流程图表示该选举过程．
【解】 选举过程流程图为：
22．(本小题满分12分)某公司组织结构中的部门及关系有：股东大会为一切政策制订和计划实施的最终审批机构，其下有董事会为其负责，监事会为董事会提供顾问和决策建议，董事会下设总经理管理日常工作，总经理直接领导综合办公室的工作，由综合办公室再去管理其他各部门的工作，有职能管理部门，管理人力企划部、计财部、监察审计部，市场营销部门又下辖市场开拓部、采购部、集团客户部，工程部门负责工程部、后勤部、售后服务部的工作，技术研发部门管理产品开发部、技术支援部．
根据以上信息，绘制出其组织结构图．
【解】 该公司组织结构图如下：学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·保定高二检测)下面几种推理中是演绎推理的为( )
A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电
B．猜想数列，，，…的通项公式为an＝(n∈N＋)
C．半径为r的圆的面积S＝πr2，则单位圆的面积S＝π
D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2
【解析】 A，B为归纳推理，D为类比推理，C为演绎推理．
【答案】 C
2．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a＜b.
证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＜∠B，∴a＜b，画线部分是演绎推理的( )
A．大前提
B．小前提
C．结论
D．三段论
【解析】 结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提．
【答案】 B
3．“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，而y＝logx是对数函数(小前提)，所以y＝logx是增函数(结论)．”上面推理错误的是( )
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
【解析】 大前提y＝logax是增函数错误，当0【答案】 A
4．在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为( )
A．三角形的中位线平行于第三边
B．三角形的中位线等于第三边的一半
C．EF为中位线
D．EF∥CB
【解析】 三段论中的大前提是指一个已知的一般性结论，本题中指：三角形的中位线平行于第三边，故选A.
【答案】 A
5．定义运算“ ”为：a b＝ab＋a2＋b2，若1 m<3，则m的取值范围是( )
【导学号：19220017】
A．(－2,1)
B．(－1,2)
C．(－2，－1)
D．(1,2)
【解析】 依题意，1 m<3，即m＋1＋m2<3，整理得m2＋m－2<0，解得－2【答案】 A
二、填空题
6．以下推理过程省略的大前提为________．
因为a2＋b2≥2ab，
所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.
【解析】 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋b2，故大前提为：若a≥b，则a＋c≥b＋c.
【答案】 若a≥b，则a＋c≥b＋c
7．命题：“若空间两条直线a，b分别垂直平面α，则a∥b”．学生小夏这样证明：
设a，b与面α分别相交于A，B，连接A，B，
∵a⊥α，b⊥α，AB α，①
∴a⊥AB，b⊥AB，②
∴a∥b.③
这里的证明有两个推理，即：① ②和② ③.老师认为小夏的证明推理不正确，这两个推理中不正确的是________．
【解析】 ② ③时，大前提错误，导致结论错误．
【答案】 ② ③
8．“如图2 1 7，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD”．
图2 1 7
证明：在△ABC中，
因为CD⊥AB，AC>BC，①
所以AD>BD，②
于是∠ACD>∠BCD.③
则在上面证明的过程中错误的是________(填序号)．
【解析】 由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．
【答案】 ③
三、解答题
9．用三段论证明通项公式为an＝cqn(c，q为常数，且cq≠0)的数列{an}是等比数列．
【证明】 设an＋1，an是数列中任意相邻两项，则从第二项起，后项与前项的比是同一个常数的数列叫等比数列(大前提)，
因为＝＝q(常数)(小前提)，
所以{an}是等比数列．(结论)
10．已知a>0且函数f(x)＝＋是R上的偶函数，求a的值．
【解】 由于f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对x∈R恒成立，即＋＝＋，所以＋a·2x＝＋，整理得(2x－2－x)＝0，必有a－＝0.又因为a>0，所以a＝1.
[能力提升]
1．(2016·海淀区模拟)下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)>0恒成立．因为f(x)＝x3在(－1,1)内可导且单调递增，所以在(－1,1)内，f′(x)＝3x2>0恒成立．以上推理中( )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．结论正确
D．推理形式错误
【解析】 f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)≥0恒成立，故大前提错误，选A.
【答案】 A
2．设 是R内的一个运算，A是R的非空子集．若对于任意a，b∈A，有a b∈A，则称A对运算 封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )
A．自然数集
B．整数集
C．有理数集
D．无理数集
【解析】 A错，因为自然数集对减法不封闭；B错，因为整数集对除法不封闭；C对，因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D错，因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．
【答案】 C
3．(2016·西城高二检测)若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N
)，且f(1)＝2，则＋＋…＋＝________.
【解析】 ∵f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N
)(大前提)．
令b＝1，则＝f(1)＝2(小前提)．
∴＝＝…＝＝2(结论)，
∴原式＝2＋2＋…＋＝2
018.
【答案】 2
018
4．设数列{an}的首项a1＝a≠，且an＋1＝记bn＝a2n－1－，n＝1,2,3，….
(1)求a2，a3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论．
【解】 (1)a2＝a1＋＝a＋，
a3＝a2＝a＋.
(2)∵a4＝a3＋＝a＋，
∴a5＝a4＝a＋.
∴b1＝a1－＝a－≠0，
b2＝a3－＝，
b3＝a5－＝.
猜想{bn}是公比为的等比数列．
证明如下：
∵bn＋1＝a2n＋1－
＝－
＝
＝bn(n∈N
)，
∴{bn}是首项为a－，公比为的等比数列.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)的结果为( )
A．5－3i
B．3＋5i
C．7－8i
D．7－2i
【解析】 (6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)
＝(6－1＋2)＋(－3－3－2)i
＝7－8i.
【答案】 C
2．在复平面内，复数1＋i和1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝( )
A.
B．2
C.
D．4
【解析】 由复数减法运算的几何意义知，
对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，
∴||＝2.
【答案】 B
3．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为( )
A．a＝－3，b＝－4
B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4
D．a＝3，b＝4
【解析】 由题意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚数，故
解得a＝－3，b＝－4.
【答案】 A
4．(2016·石家庄高二检测)A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【解析】 根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△AOB为直角三角形．
【答案】 B
5．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 ∵z＝3－4i，
∴z－|z|＋(1－i)＝3－4i－＋1－i
＝(3－5＋1)＋(－4－1)i＝－1－5i.
【答案】 C
二、填空题
6．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i＋3－4i＝_______________________.
【导学号：19220046】
【解析】 原式＝2＋7i－5＋13i＋3－4i＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i＝16i.
【答案】 16i
7．z为纯虚数且|z－1－i|＝1，则z＝________.
【解析】 设z＝bi(b∈R且b≠0)，|z－1－i|＝|－1＋(b－1)i|＝＝1，解得b＝1，
∴z＝i.
【答案】 i
8．已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值为________．
【解析】 |z|＝1，即|OZ|＝1，∴满足|z|＝1的点Z的集合是以(0,0)为圆心，以1为半径的圆，又复数z1＝2(1－i)在坐标系内对应的点为(2，－2)．故|z－z1|的最大值为点Z1(2，－2)到圆上的点的最大距离，即|z－z1|的最大值为2＋1.
【答案】 2＋1
三、解答题
9．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i，(a，b∈R)，且z1－z2＝4，求复数z＝a＋bi.
【解】 z1－z2＝－[－3b＋(b＋2)i]＝＋(a－b－1)i，
∴
解得
∴z＝2＋i.
10．如图3 2 3，已知复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形ABCD的三个顶点A，B，C，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
图3 2 3
【解】 法一：设正方形的第四个点D对应的复数为
x＋yi(x，y∈R)，
∴＝－对应的复数为
(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，
＝－对应的复数为
(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.
∵＝，
∴(x－1)＋(y－2)i＝1－3i，
即解得
故点D对应的复数为2－i.
法二：∵点A与点C关于原点对称，
∴原点O为正方形的中心，于是(－2＋i)＋(x＋yi)＝0，
∴x＝2，y＝－1，故点D对应的复数为2－i.
[能力提升]
1．(2016·昆明高二检测)实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是( )
A．1
B．2
C．－2
D．－1
【解析】 z1－z2＝(y＋xi)－(－x＋yi)＝(y＋x)＋(x－y)i＝2，
∴
∴x＝y＝1，∴xy＝1.
【答案】 A
2．△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的( )
【导学号：19220047】
A．内心
B．垂心
C．重心
D．外心
【解析】 由已知z对应的点到z1，z2，z3对应的点A，B，C的距离相等．所以z对应的点为△ABC的外心．
【答案】 D
3．已知|z|＝2，则|z＋3－4i|的最大值是________．
【解析】 由|z|＝2知复数z对应的点在圆x2＋y2＝4上，圆心为O(0,0)，半径r＝2.
而|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|表示复数z对应的点与M(－3,4)之间的距离，由于|OM|＝5，
所以|z＋3－4i|的最大值为|OM|＋r＝5＋2＝7.
【答案】 7
4．在复平面内，A，B，C三点分别对应复数1,2＋i，－1＋2i.
(1)求，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状．
【解】 (1)∵A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
∴，，对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i(O为坐标原点)，
∴＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)．
∴＝－＝(1,1)，＝－＝(－2,2)，
＝－＝(－3,1)．
即对应的复数为1＋i，对应的复数为－2＋2i，对应的复数为－3＋i.
(2)∵||＝＝，||＝＝，
||＝＝，
∴||2＋||2＝10＝||2.
又∵||≠||，
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形.章末综合测评(一) 统计案例
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．在下列各量与量的关系中是相关关系的为( )
①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的支出与收入之间的关系；⑤某户家庭用电量与电费之间的关系．
A．①②③
B．③④
C．④⑤
D．②③④
【解析】 ①⑤是一种确定性关系，属于函数关系．②③④正确．
【答案】 D
2．(2016·哈尔滨高二检测)散点图在回归分析过程中的作用是( )
A．查找个体个数
B．比较个体数据大小关系
C．探究个体分类
D．粗略判断变量是否线性相关
【解析】 由散点图可以粗略地判断两个变量是否线性相关，故选D.
【答案】 D
3．身高与体重有关系可以用________来分析．( )
A．残差
B．回归分析
C．等高条形图
D．独立性检验
【解析】 因为身高与体重是两个具有相关关系的变量，所以要用回归分析来解决．
【答案】 B
4．一位母亲记录了她儿子3岁到9岁的身高，建立了她儿子身高与年龄的回归模型＝73.93＋7.19x，她用这个模型预测儿子10岁时的身高，则下面的叙述正确的是( )
A．她儿子10岁时的身高一定是145.83
cm
B．她儿子10岁时的身高一定是145.83
cm以上
C．她儿子10岁时的身高在145.83
cm左右
D．她儿子10岁时的身高一定是145.83
cm以下
【解析】 由回归模型得到的预测值是可能取值的平均值，而不是精确值，故选C.
【答案】 C
5．下列关于等高条形图的叙述正确的是( )
A．从等高条形图中可以精确地判断两个分类变量是否有关系
B．从等高条形图中可以看出两个变量频数的相对大小
C．从等高条形图可以粗略地看出两个分类变量是否有关系
D．以上说法都不对
【解析】 在等高条形图中仅能粗略地判断两个分类变量的关系，故A错．在等高条形图中仅能够找出频率，无法找出频数，故B错．
【答案】 C
6．(2016·咸阳高二检测)已知一个线性回归方程为＝1.5x＋45，其中x的取值依次为1,7,5,13,19，则＝( )
A．58.5
B．46.5
C．60
D．75
【解析】 ∵＝(1＋7＋5＋13＋19)＝9，回归直线过样本点的中心(，)，
∴＝1.5×9＋45＝58.5.
【答案】 A
7．若两个变量的残差平方和是325，(yi－i)2＝923，则随机误差对预报变量的贡献率约为( )
A．64.8%
B．60%
C．35.2%
D．40%
【解析】 相关指数R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，故随机误差对预报变量的贡献率为×100%＝×100%≈35.2%，故选C.
【答案】 C
8．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据并整理、分析，得到“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%的把握认为这个结论成立．下列说法正确的个数是( )
①在100个吸烟者中至少有99个人患肺癌；②如果一个人吸烟，那么这个人有99%的概率患肺癌；③在100个吸烟者中一定有患肺癌的人；④在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有.
【导学号：19220008】
A．4
B．3
C．2
D．1
【解析】 有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”，指的是“吸烟与患肺癌有关”这个结论成立的可能性或者可信程度有99%，并不表明在100个吸烟者中至少有99个人患肺癌，也不能说如果一个人吸烟，那么这个人就有99%的概率患肺癌；更不能说在100个吸烟者中一定有患肺癌的人，反而有可能在100个吸烟者中，一个患肺癌的人也没有．故正确的说法仅有④，选D.
【答案】 D
9．下面是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图1中可以看出( )
图1
A．性别与喜欢理科无关
B．女生中喜欢理科的百分比为80%
C．男生比女生喜欢理科的可能性大些
D．男生不喜欢理科的百分比为60%
【解析】 从题图中可以分析，男生喜欢理科的可能性比女生大一些．
【答案】 C
10．两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35，若判断变量X和Y有关出错概率不超过2.5%，则c等于( )
A．3
B．4
C．5
D．6
【解析】 列2×2列联表如下：
x1
x2
总计
y1
a
b
31
y2
c
d
35
总计
10＋c
21＋d
66
故K2的观测值k＝≥5.024.
将选项A、B、C、D代入验证可知选A.
【答案】 A
11．在两个学习基础相当的班级实行某种教学措施的试验，测试结果见下表，则试验效果与教学措施( )
优、良、中
差
总计
实验班
48
2
50
对比班
38
12
50
总计
86
14
100
A.有关
B．无关
C．关系不明确
D．以上都不正确
【解析】 随机变量K2的观测值为
k＝≈8.306>7.879，则认为“试验效果与教学措施有关”的概率为0.995.
【答案】 A
12．为预测某种产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取了8组观测值．计算知i＝52，i＝228，＝478，iyi＝1
849，则y对x的回归方程是( )
A.＝11.47＋2.62x
B.＝－11.47＋2.62x
C.＝2.62＋11.47x
D.＝11.47－2.62x
【解析】 由已知数据计算可得＝2.62，＝11.47，所以回归方程是＝11.47＋2.62x，故选A.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．)
13．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之间满足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1,2，…，n)，若ei恒为0，则R2的值为________．
【解析】 由ei恒为0，知yi＝i，即yi－i＝0，故R2＝1－＝1－0＝1.
【答案】 1
14．已知方程＝0.85x－82.71是根据女大学生的身高预报体重的回归方程，其中x的单位是cm，y的单位是kg，那么针对某个体(160,53)的随机误差是________．
【解析】 因为回归方程为＝0.85x－82.71，所以当x＝160时，＝0.85×160－82.71＝53.29，所以针对某个体(160,53)的随机误差是53－53.29＝－0.29.
【答案】 －0.29
15．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
理科
文科
男
13
10
女
7
20
已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到k＝≈4.844，则认为“选修文科与性别有关系”出错的可能性为________．
【解析】 k≈4.844>3.841，故判断出错的概率为0.05.
【答案】 0.05
16．若对于变量y与x的10组统计数据的回归模型中，相关指数R2＝0.95，又知残差平方和为120.53，那么(yi－)2的值为________．
【解析】 ∵R2＝1－，
残差平方和(yi－i)2＝120.53，
∴0.95＝1－，
∴(yi－)2＝2
410.6.
【答案】 2
410.6
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)假设某农作物基本苗数x与有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下：
x
15.0
25.8
30.0
36.6
44.4
y
39.4
42.9
42.9
43.1
49.2
请画出散点图，并用散点图粗略地判断x，y是否线性相关．
【解】 散点图如图所示．
从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，所以x，y线性相关．
18．(本小题满分12分)吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表是性别与吃零食的列联表：
男
女
总计
喜欢吃零食
5
12
17
不喜欢吃零食
40
28
68
总计
45
40
85
请问喜欢吃零食与性别是否有关？
【解】 k＝，
把相关数据代入公式，得
k＝≈4.722>3.841.
因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为“喜欢吃零食与性别有关”．
19．(本小题满分12分)(2016·曲阜师大附中高二检测)为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
m
75
68
根据最小二乘法建立的回归直线方程为＝－20x＋250.
(1)试求表格中m的值；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从建立的回归方程，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
【导学号：19220009】
【解】 (1)由于＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，
所以＝－20×8.5＋250＝80，
故(90＋84＋83＋m＋75＋68)＝80，
解得m＝80.
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得
L＝(x－5)(－20x＋250)
＝－20(x>0)，
所以x＝8.75时，L取得最大值．
故当单价定为8.75元/件时，工厂可获得最大利润．
20．(本小题满分12分)如图2是对用药与不用药，感冒已好与未好进行统计的等高条形图．若此次统计中，用药的患者是70人，不用药的患者是40人，试问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“感冒已好与用药有关”？
图2
【解】 根据题中的等高条形图，可得在用药的患者中感冒已好的人数为70×＝56，在不用药的患者中感冒已好的人数为40×＝12.
2×2列联表如下：
感冒已好
感冒未好
总计
用药
56
14
70
不用药
12
28
40
总计
68
42
110
根据表中数据，得到
k＝≈26.96>10.828.
因此，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为感冒已好与用药有关系．
21．(本小题满分12分)(2016·湛江高二检测)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
零件个数x(个)
2
3
4
5
加工时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
图3
(2)求出y关于x的线性回归方程＝x＋，并在坐标系中画出回归直线；
(3)试预测加工10个零件需要多少时间？
参考公式：回归直线＝x＋，其中＝＝，＝－.
【解】 (1)散点图如图：
(2)由表格计算得iyi＝52.5，＝3.5，＝3.5，＝54，所以＝0.7，＝1.05，所以＝0.7x＋1.05，回归直线如上图；
(3)将x＝10代入回归直线方程得＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)，
所以预测加工10个零件需要8.05小时．
22．(本小题满分12分)为了研究某种细菌随时间x变化时，繁殖个数y的变化，收集数据如下：
天数x/天
1
2
3
4
5
6
繁殖个数y/个
6
12
25
49
95
190
(1)用天数x作解释变量，繁殖个数y作预报变量，作出这些数据的散点图；
(2)描述解释变量x与预报变量y之间的关系；
(3)计算相关指数．
【解】 (1)所作散点图如图所示．
(2)由散点图看出样本点分布在一条指数型函数y＝c1ec2x的周围，于是令z＝ln
y，则
x
1
2
3
4
5
6
z
1.79
2.48
3.22
3.89
4.55
5.25
由计算得：＝0.69x＋1.115，则有＝e0.69x＋1.115.
(3)
6.08
12.12
24.17
48.18
96.06
191.52
y
6
12
25
49
95
190
＝(yi－i)2＝4.816
1，(yi－)2＝24
642.8，
R2＝1－≈0.999
8，
即解释变量“天数”对预报变量“繁殖细菌个数”解释了99.98%.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·郑州高二检测)下列说法正确的是( )
A．由合情推理得出的结论一定是正确的
B．合情推理必须有前提有结论
C．合情推理不能猜想
D．合情推理得出的结论无法判定正误
【解析】 合情推理得出的结论不一定正确，故A错；合情推理必须有前提有结论，故B对；合情推理中类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，可进行猜想，故C错；合情推理得出的结论可以进行判定正误，故D错．
【答案】 B
2．下面使用类比推理恰当的是( )
A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”
C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”
【解析】 由实数运算的知识易得C项正确．
【答案】 C
3．(2016·大连高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图2 1 7所示，
图2 1 7
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )
A．6n－2
B．8n－2
C．6n＋2
D．8n＋2
【解析】 从①②③可以看出，从第②个图开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.
【答案】 C
4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的( )
A．一条中线上的点，但不是中心
B．一条垂线上的点，但不是垂心
C．一条角平分线上的点，但不是内心
D．中心
【解析】 由正四面体的内切球可知，内切球切于四个面的中心．
【答案】 D
5．(2016·南昌调研)已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第57个数对是( )
A．(2,10)
B．(10,2)
C．(3,5)
D．(5,3)
【解析】 由题意，发现所给数对有如下规律：
(1,1)的和为2，共1个；
(1,2)，(2,1)的和为3，共2个；
(1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个；
(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个；
(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5个．
由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)．
【答案】 A
二、填空题
6．把正数排列成如图2 1 8甲的三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图2 1 8乙的三角形数阵，现把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{an}，若an＝2
017，则n＝__________.
【导学号：19220014】
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
甲
1
2
4
5
7
9
10
12
14
16
乙
图2 1 8
【解析】 图乙中第k行有k个数，第k行最后的一个数为k2，前k行共有个数，由44×44＝1
936,45×45＝2
025知an＝2
017出现在第45行，第45行第一个数为1
937，第＋1＝41个数为2
017，所以n＝＋41＝1
031.
【答案】 1
031
7．(2016·日照高二检测)二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，观察发现V′＝S.已知四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝________.
【解析】 因为V＝8πr3，所以W＝2πr4，满足W′＝V.
【答案】 2πr4
8．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为________．
【解析】 结合等差数列的特点，类比等比数列中b1b2b3…b9＝29可得，在{an}中，若a5＝2，则有a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.
【答案】 a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9
三、解答题
9．已知数列，，…，，…，Sn为其前n项和，计算S1，S2，S3，S4，观察计算结果，并归纳出Sn的公式．
【解】 S1＝＝＝＝，
S2＝＋＝＝＝，
S3＝＋＝＝＝，
S4＝＋＝＝＝，
由此归纳猜想Sn＝.
10．(2016·咸阳高二检测)在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a.类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明．
【解】 类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值a.
证明：设M是正四面体P ABC内任一点，M到平面ABC，平面PAB，平面PAC，平面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：
VP ABC＝VM ABC＋VM PAB＋VM PAC＋VM PBC＝·S△ABC·(d1＋d2＋d3＋d4)，而S△ABC＝a2，VP ABC＝a3，故d1＋d2＋d3＋d4＝a(定值)．
[能力提升]
1．根据给出的数塔，猜测123
456×9＋7等于( )
1×9＋2＝11；
12×9＋3＝111；
123×9＋4＝1
111；
1
234×9＋5＝11
111；
12
345×9＋6＝111
111；
A．1
111
110
B．1
111
111
C．1
111
112
D．1
111
113
【解析】 由前5个等式知，右边各位数字均为1，位数比前一个等式依次多1位，所以123
456×9＋7＝1
111
111，故选B.
【答案】 B
2．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 如图，设正四面体的棱长为1，即易知其高AM＝，此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等体积法有4××r＝×× r＝，故AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶OM＝∶＝3∶1.
【答案】 C
3．(2016·温州高二检测)如图2 1 9所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于_________________________．
【导学号：19220015】
图2 1 9
【解析】 如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
则F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)，
所以＝(c，b)，＝(－a，b)．
又因为⊥，
所以·＝b2－ac＝0，
所以c2－a2－ac＝0，所以e2－e－1＝0，
所以e＝或e＝(舍去)．
【答案】
4．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin
13°cos
17°；
②sin215°＋cos215°－sin
15°cos
15°；
③sin218°＋cos212°－sin
18°cos
12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos
48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos
55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
【解】 (1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin
15°cos
15°＝1－sin
30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin
αcos(30°－α)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sin
αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos
30°cos
α＋sin
30°sin
α)2－sin
α(cos
30°·cos
α＋sin
30°sin
α)
＝sin2α＋cos2α＋sin
αcos
α＋sin2α－sin
αcos
α－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·广州高二检测)如图4 1 6所示流程图中，判断正整数x是奇数还是偶数，判断框内的条件是( )
图4 1 6
A．余数是1？
B．余数是0
C．余数是3
D．余数不为0
【解析】 依据判断框的出口进行选择，出口为“是”时x为偶数．故判断框内应该填“余数是0？”．
【答案】 B
2．进入互联网时代，发电子邮件是不可少的，一般而言，发电子邮件要分成以下几个步骤：a.打开电子信箱；b.输入发送地址；c.输入主题；d.输入信件内容；e.点击“写邮件”；f.点击“发送邮件”．则正确的是( )
A．a→b→c→d→e→f
B．a→c→d→f→e→b
C．a→e→b→c→d→f
D．b→a→c→d→f→e
【解析】 依题意知发送电子邮件的步骤应是：a→e→b→c→d→f.
【答案】 C
3．如图4 1 7，小黑点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量是( )
【导学号：19220059】
图4 1 7
A．26
B．24
C．20
D．19
【解析】 由A→B有4条路线，4条路线单位时间内传递的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.
【答案】 D
4．小明每天早晨起床后要做如下事情：洗漱用5分钟，收拾床褥用4分钟，听广播用15分钟，吃早饭用8分钟，要完成这些事情，小明要花费的最少时间为( )
A．17分钟
B．19分钟
C．23分钟
D．27分钟
【解析】 把过程简化，把能放在同一个时间内完成的并列，如听广播的同时可以洗涮、收拾被褥、吃早饭，共用5＋4＋8＝17(分钟)．
【答案】 A
5．(2014·全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图，若输入的a，b，k分别为1,2,3，则输出的M＝( )
图4 1 8
A.
B.
C.
D.
【解析】 当n＝1时，M＝1＋＝，a＝2，b＝；
当n＝2时，M＝2＋＝，a＝，b＝；
当n＝3时，M＝＋＝，a＝，b＝；
n＝4时，终止循环．输出M＝.
【答案】 D
二、填空题
6．椭圆＋＝1(a>b>0)的面积为S＝πab，当a＝4，b＝2时，计算椭圆面积的流程图如图4 1 9所示，则空白处应为________.
【导学号：19220060】
图4 1 9
【解析】 由S＝πab知，需要a，b的值，由已知a＝4，b＝2，而且用的是框，故为赋值．
【答案】 a＝4，b＝2
7．如图4 1 10是计算1＋＋＋…＋的程序框图，判断框中应填的内容是________，处理框中应填的内容是________．
图4 1 10
【解析】 用i来表示计数变量，故判断框内为“i>99？”，处理框内为“i＝i＋2”．
【答案】 i>99？ i＝i＋2
8．(2014·辽宁高考)执行如图4 1 11所示的程序框图，若输入n＝3，则输出T＝________.
图4 1 11
【解析】 初始值：i＝0，S＝0，T＝0，n＝3，
①i＝1，S＝1，T＝1；
②i＝2，S＝3；T＝4；
③i＝3，S＝6，T＝10；
④i＝4，S＝10，T＝20，
由于此时4≤3不成立，停止循环，输出T＝20.
【答案】 20
三、解答题
9．设计一个计算1＋2＋…＋100的值的程序框图．
【解】 程序框图设计如下：
10．数学建模过程的流程图如图4 1 12.
图4 1 12
根据这个流程图，说明数学建模的过程．
【解】 数学建模的过程：根据实际情境提出问题，从而建立数学模型得出数学结果，然后检验是否合乎实际，如果不合乎实际，进行修改后重新提出问题．如果合乎实际，则成为可用的结果．
[能力提升]
1．某工厂加工某种零件的工序流程图如图4 1 13：
图4 1 13
按照这个工序流程图，一件成品至少经过几道加工和检验程序( )
A．3
B．4
C．5
D．6
【解析】 由流程图可知加工零件有三道工序：粗加工、返修加工和精加工，每道工序完成都要对产品进行检验，粗加工的合格品进入精加工，不合格品进入返修加工；返修加工的合格品进入精加工，不合格品作为废品处理；精加工的合格品为成品，不合格品为废品．由上可知一件成品至少要经过粗加工、检验、精加工、最后检验四道程序．
【答案】 B
2．执行两次如图4 1 14所示的程序框图，若第一次输入的a的值为－1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为( )
图4 1 14
A．0.2,0.2
B．0.2,0.8
C．0.8,0.2
D．0.8,0.8
【解析】 第一次：a＝－1.2<0，a＝－1.2＋1＝－0.2，－0.2<0，a＝－0.2＋1＝0.8>0，a＝0.8≥1不成立，输出0.8.
第二次：a＝1.2<0不成立，a＝1.2≥1成立，a＝1.2－1＝0.2≥1不成立，输出0.2.
【答案】 C
3．如图4 1 15所示算法程序框图中，令a＝tan
315°，b＝sin
315°，c＝cos
315°，则输出结果为________.
【导学号：19220061】
图4 1 15
【解析】 程序框图的算法是求出a，b，c三个数中的最大值．对于tan
315°＝－1，sin
315°＝－，cos
315°＝，故输出的结果为.
【答案】
4．A，B，C，D四位同学分别拿着5,3,4,2个暖瓶一起去打开水，热水龙头只有一个，怎么安排他们打水的顺序，才能使他们打完水所花的总时间(含每个人排队、打水的时间)最少？如果打满一瓶水需1分钟，那么他们打完水所花的总时间最少是多少分钟？
【解】 由题意可知A，B，C，D四人把自己手中的暖瓶打满水分别需要5分钟，3分钟，4分钟，2分钟，A用时最长，D用时最短．对于A和D来说，如果先安排A打水用去5分钟，这样A等于用了5分钟，而D除了等A打完水用5分钟外，再加上自己打完水用2分钟，共需要7分钟，那么两个人总共用了5＋5＋2＝12(分钟)．若反过来将D安排在A前面，则D打完水用去2分钟，A等候2分钟，再加上自己打完水用去5分钟，两人总共用了2＋2＋5＝9(分钟)．相比较，第二种方案用时少于第一种．由此可以得出这样的结论：把打水占用时间少的人安排在前面可以使打完水所花的总时间最短．按占用时间由少到多的顺序安排四人打水顺序为D，B，C，A.流程图如图所示．由流程图知他们打完水所花的总时间最少为2＋5＋9＋14＝30(分钟)．学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知复数z＝2－i，则z·的值为( )
A．5
B.
C．3
D.
【解析】 z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故选A.
【答案】 A
2．i是虚数单位，复数＝( )
A．1－i
B．－1＋i
C.＋i
D．－＋i
【解析】 ＝＝＝1－i，故选A.
【答案】 A
3．z1，z2是复数，且z＋z<0，则正确的是( )
A．z<－z
B．z1，z2中至少有一个是虚数
C．z1，z2中至少有一个是实数
D．z1，z2都不是实数
【解析】 取z1＝1，z2＝2i满足z＋z<0，从而排除A和D；取z1＝i，z2＝2i，满足z＋z<0，排除C，从而选B.
【答案】 B
4．若z＋＝6，z·＝10，则z＝( )
A．1±3i
B．3±i
C．3＋i
D．3－i
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
∴解得a＝3，b＝±1，则z＝3±i.
【答案】 B
5．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝( )
【导学号：19220050】
A.
B.
C．1
D．2
【解析】 法一：z＝＝＝
＝＝－＋i，∴＝－－i.
∴z·＝
＝＋＝.
法二：∵z＝
∴|z|＝＝＝.
∴z·＝|z|2＝.
【答案】 A
二、填空题
6．若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝________.
【解析】 由题意，得x＋i＝＝＝＝2＋i，
所以x＝2.
【答案】 2
7．(2016·天津高二检测)复数的共轭复数是________．
【解析】 ＝＝＝2＋i，其共轭复数为2－i.
【答案】 2－i
8．复数的模为，则实数a的值是________．
【解析】 ＝＝＝，解得a＝±.
【答案】 ±
三、解答题
9．(2016·唐山高二检测)若z满足z－1＝(1＋z)i，求z＋z2的值.
【导学号：19220051】
【解】 ∵z－1＝(1＋z)i，
∴z＝＝＝－＋i，
∴z＋z2＝－＋i＋2＝－＋i＋＝－1.
10．(2016·天津高二检测)已知复数z满足z＝(－1＋3i)·(1－i)－4.
(1)求复数z的共轭复数；
(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．
【解】 (1)z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，
所以复数z的共轭复数为－2－4i.
(2)w＝－2＋(4＋a)i，复数w对应的向量为(－2,4＋a)，其模为＝.
又复数z所对应向量为(－2,4)，其模为2.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，
所以，实数a的取值范围是－8≤a≤0.
[能力提升]
1．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( )
A．1
B．2
C.
D.
【解析】 ∵z(1＋i)＝2i，∴z＝＝＝1＋i，
∴|z|＝＝.
【答案】 C
2．设z的共轭复数为，z＝1＋i，z1＝z·，则＋等于( )
A.＋i
B.－i
C.
D.
【解析】 由题意得＝1－i，∴z1＝z·＝(1＋i)(1－i)＝2.
∴＋＝＋＝－＝.
【答案】 C
3．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是________．
①|z－|＝2y；
②z2＝x2＋y2；
③|z－|≥2x；
④|z|≤|x|＋|y|.
【解析】 对于①，＝x－yi(x，y∈R)，
|z－|＝|x＋yi－x＋yi|＝|2yi|＝|2y|，
故不正确；
对于②，z2＝x2－y2＋2xyi，故不正确；
对于③，|z－|＝|2y|≥2x不一定成立，故不正确；
对于④，|z|＝≤|x|＋|y|，故正确．
【答案】 ④
4．复数z＝，若z2＋<0，求纯虚数a.
【解】 由z2＋<0可知z2＋是实数且为负数．
z＝＝＝＝1－i.
∵a为纯虚数，∴设a＝mi(m≠0)，则
z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋
＝－＋i<0，
∴
∴m＝4，∴a＝4i.章末综合测评(三)
数系的扩充与复数的引入
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(2015·福建高考)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于( )
A．3，－2
B．3,2
C．3，－3
D．－1,4
【解析】 (1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝－2.
【答案】 A
2．(2015·广东高考)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝( )
A．2－3i
B．2＋3i
C．3＋2i
D．3－2i
【解析】 ∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴＝2－3i.
【答案】 A
3．(2016·衡阳高二检测)若i(x＋yi)＝3＋4i(x，y∈R)，则复数x＋yi
的模是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【解析】 由i(x＋yi)＝3＋4i，得－y＋xi＝3＋4i，解得x＝4，y＝－3，所以复数x＋yi的模为＝5.
【答案】 D
4．(2014·广东高考)已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝( )
A．－3－4i
B．－3＋4i
C．3－4i
D．3＋4i
【解析】 由(3－4i)z＝25，得z＝＝＝3＋4i，故选D.
【答案】 D
5．(2016·天津高二检测)“m＝1”是“复数z＝(1＋mi)(1＋i)(m∈R，i为虚数单位)为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 z＝(1＋mi)(1＋i)＝1＋i＋mi－m＝(1－m)＋(1＋m)i，若m＝1，则z＝2i为纯虚数；若z为纯虚数，则m＝1.故选C.
【答案】 C
6．设z∈C，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在( )
【导学号：19220054】
A．实轴上
B．虚轴上
C．直线y＝±x(x≠0)上
D．以上都不对
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∵z2＝a2－b2＋2abi为纯虚数，∴
∴a＝±b，即z在复平面上的对应点在直线y＝±x(x≠0)上．
【答案】 C
7．设复数z满足＝i，则|1＋z|＝( )
A．0
B．1
C.
D．2
【解析】 ∵＝i，
∴z＝＝＝－i，
∴|z＋1|＝|1－i|＝.
【答案】 C
8．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝( )
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z·i＋2＝2z，得(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，即(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，由复数相等的条件得得
∴z＝1＋i.
【答案】 A
9．若z＝cos
θ＋isin
θ(i为虚数单位)，则使z2＝－1的θ值可能是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 z2＝(cos
θ＋isin
θ)2＝(cos2θ－sin2θ)＋2isin
θcos
θ＝cos
2θ＋isin
2θ＝－1，
∴
∴2θ＝2kπ＋π(k∈Z)，
∴θ＝kπ＋(k∈Z)，令k＝0知选D.
【答案】 D
10．当z＝－时，z100＋z50＋1的值是( )
A．1
B．－1
C．i
D．－i
【解析】 原式＝100＋50＋1＝50＋25＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝－i.故应选D.
【答案】 D
11．在复平面上，正方形OBCA的三个顶点A，B，O对应的复数分别为1＋2i，－2＋i,0，则这个正方形的第四个顶点C对应的复数是( )
A．3＋i
B．3－i
C．1－3i
D．－1＋3i
【解析】 ∵正方形的三个顶点的坐标分别是A(1,2)，B(－2,1)，O(0,0)，
∴设第四个顶点C的坐标为(x，y)，
则＝，
∴(x＋2，y－1)＝(1,2)．
∴
∴
∴第四个顶点C的坐标为(－1,3)．
【答案】 D
12．复数z＝(x－2)＋yi(x，y∈R)在复平面内对应向量的模为2，则|z＋2|的最大值为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
【解析】 由于|z|＝2，所以＝2，即(x－2)2＋y2＝4，故点(x，y)在以(2,0)为圆心，2为半径的圆上，而|z＋2|＝|x＋yi|＝，它表示点(x，y)与原点的距离，结合图形易知|z＋2|的最大值为4，故选B.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．)
13．(2015·天津高考)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
【解析】 由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数可得a＋2＝0,1－2a≠0，解得a＝－2.
【答案】 －2
14．复数z1＝2，z2＝2－i3分别对应复平面内的点P，Q，则向量对应的复数是________．
【解析】 ∵z1＝2＝－1，z2＝2－i3＝2＋i，
∴P(－1,0)，Q(2,1)，
∴＝(3,1)，即对应的复数为3＋i.
【答案】 3＋i
15．定义运算＝ad－bc，则对复数z＝x＋yi(x，y∈R)符合条件＝3＋2i的复数z等于_________________________________．
【导学号：19220055】
【解析】 由定义运算，得＝2zi－z＝3＋2i，则z＝＝＝－i.
【答案】 －i
16．复数z＝(a－2)＋(a＋1)i，a∈R对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是________．
【解析】 复数z＝(a－2)＋(a＋1)i对应的点的坐标为(a－2，a＋1)，因为该点位于第二象限，
所以解得－1由条件得|z|＝
＝
＝
＝，
因为－1【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)已知复数x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈R)是4－20i的共轭复数，求实数x的值．
【解】 ∵复数4－20i的共轭复数为4＋20i，
∴x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i＝4＋20i，
∴
∴x＝－3.
18．(本小题满分12分)已知复数z＝(2＋i)m2－－2(1－i)，当实数m取什么值时，复数z是：
(1)虚数；(2)纯虚数．
【解】 z＝(2＋i)m2－3m(1＋i)－2(1－i)＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i，
(1)当m2－3m＋2≠0，即m≠2且m≠1时，z为虚数．
(2)当
即m＝－时，z为纯虚数．
19．(本小题满分12分)设复数z＝，若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a，b的值．
【解】 z＝＝
＝＝＝1－i.
将z＝1－i代入z2＋az＋b＝1＋i，得
(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，
(a＋b)－(a＋2)i＝1＋i，
所以
所以
20．(本小题满分12分)已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.
【解】 设z＝x＋yi，x，y∈R，
因为OA∥BC，|OC|＝|BA|，
所以kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，
即
解得或
因为|OA|≠|BC|，
所以x2＝－3，y2＝4(舍去)，
故z＝－5.
21．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
【解】 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由已知条件得：a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，
∴2ab＝2.
∴a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i.
∴点A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，
∴S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.
当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i.
∴点A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
∴S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.
即△ABC的面积为1.
22．(本小题满分12分)已知关于x的方程：x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a，b的值；
(2)若复数z满足|－a－bi|－2|z|＝0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的值.
【导学号：19220056】
【解】 (1)∵b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)的实根，
∴(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，
∴
解得a＝b＝3.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由|－3－3i|＝2|z|，
得(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，
即(x＋1)2＋(y－1)2＝8，
∴复数z对应的点Z的轨迹是以O1(－1,1)为圆心，2为半径的圆，如图所示．
当点Z在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值，
∵|OO1|＝，半径r＝2，
∴当z＝1－i时，|z|有最小值且|z|min＝.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·长春高二检测)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A．4＋8i
B．8＋2i
C．2＋4i
D．4＋i
【解析】 由题意知A(6,5)，B(－2,3)，则AB中点C(2,4)对应的复数为2＋4i.
【答案】 C
2．复数z＝1＋3i的模等于( )
A．2
B．4
C.
D．2
【解析】 |z|＝|1＋3i|＝＝，故选C.
【答案】 C
3．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,1)
B．(1，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【解析】 ∵|z1|＝，|z2|＝，
∴<，∴－1【答案】 A
4．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为( )
A．－2－i
B．－2＋i
C．1＋2i
D．－1＋2i
【解析】 因为A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，所以向量对应的复数为－2＋i.
【答案】 B
5．已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部为－，则z为( )
【导学号：19220042】
A．－＋2i
B．－－2i
C．－＋3i
D．－－3i
【解析】 设z＝－＋bi(b∈R)，由|z|＝＝3，解得b＝±2，又复数z对应的点在第二象限，则b＝2，
∴z＝－＋2i.
【答案】 A
二、填空题
6．在复平面内，复数z与向量(－3,4)相对应，则|z|＝________.
【解析】 由题意知z＝－3＋4i，
∴|z|＝＝5.
【答案】 5
7．已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数x的取值范围是________．
【解析】 由已知得∴
∴1【答案】 (1,2)
8．已知△ABC中，，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则对应的复数为________．
【解析】 因为，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，
所以＝(－1,2)，＝(－2，－3)．
又＝－＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以对应的复数为－1－5i.
【答案】 －1－5i
三、解答题
9．若复数z＝x＋3＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝2，则点(x，y)的轨迹是什么图形？
【解】 ∵|z|＝2，
∴＝2，
即(x＋3)2＋(y－2)2＝4.
∴点(x，y)的轨迹是以(－3,2)为圆心，2为半径的圆．
10．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m－3)＋(m2－5m－14)i的点：
(1)位于第四象限；
(2)位于第一、三象限；
(3)位于直线y＝x上．
【解】 (1)由题意得
得3(2)由题意得或
∴m>7或－2此时复数z对应的点位于第一、三象限．
(3)要使复数z对应的点在直线y＝x上，只需
m2－5m－14＝m－3，
∴m2－6m－11＝0，
∴m＝3±2，
此时，复数z对应的点位于直线y＝x上．
[能力提升]
1．(2016·吉林高二检测)已知a∈R，且0A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 ∵00，且a－1<0，
故复数z＝a＋(a－1)i在复平面内所对应的点(a，a－1)位于第四象限．
【答案】 D
2．已知实数a，x，y满足a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，则点(x，y)的轨迹是( )
A．直线
B．圆心在原点的圆
C．圆心不在原点的圆
D．椭圆
【解析】 因为a，x，y∈R，所以a2＋2a＋2xy∈R，a＋x－y∈R.又a2＋2a＋2xy＋(a＋x－y)i＝0，所以消去a得(y－x)2＋2(y－x)＋2xy＝0，即x2＋y2－2x＋2y＝0，亦即(x－1)2＋(y＋1)2＝2，该方程表示圆心为(1，－1)，半径为的圆．
【答案】 C
3．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝________.
【解析】 依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝，得＝，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.
【答案】 1＋2i或－1－2i
4．(2016·黄山高二检测)已知O为坐标原点，对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i(a∈R)．若与共线，求a的值.
【导学号：19220043】
【解】 因为对应的复数为－3＋4i，
对应的复数为2a＋i，
所以＝(－3,4)，＝(2a,1)．
因为与共线，所以存在实数k使＝k，
即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，
所以所以
即a的值为－.模块综合测评(一)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(2015·湖北高考)i为虚数单位，i607的共轭复数为( )
A．i
B．－i
C．1
D．－1
【解析】 因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.
【答案】 A
2．根据二分法求方程x2－2＝0的根得到的程序框图可称为( )
A．工序流程图
B．程序流程图
C．知识结构图
D．组织结构图
【解析】 由于该框图是动态的且可以通过计算机来完成，故该程序框图称为程序流程图．
【答案】 B
3．利用独立性检测来考查两个分类变量X，Y是否有关系，当随机变量K2的值( )
【导学号：19220070】
A．越大，“X与Y有关系”成立的可能性越大
B．越大，“X与Y有关系”成立的可能性越小
C．越小，“X与Y有关系”成立的可能性越大
D．与“X与Y有关系”成立的可能性无关
【解析】 由K2的意义可知，K2越大，说明X与Y有关系的可能性越大．
【答案】 A
4．(2016·安庆高二检测)用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除”，那么a，b至少有一个能被5整除．则假设的内容是( )
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a不能被5整除
D．a，b有一个不能被5整除
【解析】 “至少有一个”的否定为“一个也没有”，故应假设“a，b都不能被5整除”．
【答案】 B
5．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．非以上错误
【解析】 一般的演绎推理是三段论推理：大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理对特殊情况作出的判断．此题的推理不符合上述特征，故选C.
【答案】 C
6．(2015·安徽高考)设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 ＝＝＝－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.
【答案】 B
7．(2016·深圳高二检测)在两个变量的回归分析中，作散点图是为了( )
A．直接求出回归直线方程
B．直接求出回归方程
C．根据经验选定回归方程的类型
D．估计回归方程的参数
【解析】 散点图的作用在于判断两个变量更近似于什么样的函数关系，便于选择合适的函数模型．
【答案】 C
8．给出下面类比推理：
①“若2a<2b，则a②“(a＋b)c＝ac＋bc(c≠0)”类比推出“＝＋(c≠0)”；
③“a，b∈R，若a－b＝0，则a＝b”类比推出“a，b∈C，若a－b＝0，则a＝b”；
④“a，b∈R，若a－b>0，则a>b”类比推出“a，b∈C，若a－b>0，则a>b(C为复数集)”．
其中结论正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 ①显然是错误的；因为复数不能比较大小，所以④错误，②③正确，故选B.
【答案】 B
9．(2015·全国卷Ⅰ)执行如图1的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝( )
图1
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】 运行第一次：S＝1－＝＝0.5，m＝0.25，n＝1，S>0.01；
运行第二次：S＝0.5－0.25＝0.25，m＝0.125，n＝2，S>0.01；
运行第三次：S＝0.25－0.125＝0.125，m＝0.062
5，n＝3，S>0.01；
运行第四次：S＝0.125－0.062
5＝0.062
5，m＝0.031
25，n＝4，S>0.01；
运行第五次：S＝0.031
25，m＝0.015
625，n＝5，S>0.01；
运行第六次：S＝0.015
625，m＝0.007
812
5，n＝6，S>0.01；
运行第七次：S＝0.007
812
5，m＝0.003
906
25，n＝7，S<0.01.
输出n＝7.故选C.
【答案】 C
10．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33为( )
A．3
B．－3
C．6
D．－6
【解析】 a1＝3，a2＝6，a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝－3，a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6，…
观察可知{an}是周期为6的周期数列，故a33＝a3＝3.
【答案】 A
11．(2016·青岛高二检测)下列推理合理的是( )
A．f(x)是增函数，则f′(x)＞0
B．因为a＞b(a，b∈R)，则a＋2i＞b＋2i(i是虚数单位)
C．α，β是锐角△ABC的两个内角，则sin
α＞cos
β
D．A是三角形ABC的内角，若cos
A＞0，则此三角形为锐角三角形
【解析】 A不正确，若f(x)是增函数，则f′(x)≥0；B不正确，复数不能比较大小；C正确，∵α＋β＞，
∴α＞－β，∴sin
α＞cos
β；D不正确，只有cos
A＞0，cos
B＞0，cos
C＞0，才能说明此三角形为锐角三角形．
【答案】 C
12．有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据如下表：
平均气温/℃
－2
－3
－5
－6
销售额/万元
20
23
27
30
根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间线性回归方程＝x＋的系数＝－2.4，则预测平均气温为－8℃时该商品销售额为( )
A．34.6万元
B．35.6万元
C．36.6万元
D．37.6万元
【解析】 ＝＝－4，
＝＝25，
所以这组数据的样本中心点是(－4,25)．
因为＝－2.4，
把样本中心点代入线性回归方程得＝15.4，
所以线性回归方程为＝－2.4x＋15.4.
当x＝－8时，y＝34.6.故选A.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．)
13．已知复数z＝m2(1＋i)－m(m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________.
【导学号：19220071】
【解析】 z＝m2＋m2i－m2－mi＝(m2－m)i，
∴m2－m＝0，
∴m＝0或1.
【答案】 0或1
14．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
文艺节目
新闻节目
总计
20至40岁
40
18
58
大于40岁
15
27
42
总计
55
45
100
由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关：________(填“是”或“否”)．
【解析】 因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即＝，＝，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．
【答案】 是
15．(2016·天津一中检测)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．
【解析】 已知等式可改写为：13＋23＝(1＋2)2；13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，
由此可得第五个等式为
13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.
【答案】 13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
16．(2016·江西吉安高二检测)已知等差数列{an}中，有＝，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论________．
【解析】 由等比数列的性质可知，b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，
∴＝.
【答案】 ＝
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)(2016·哈三中模拟)设z＝，求|z|.
【解】 z＝＝，
∴|z|＝＝＝.
18．(本小题满分12分)我校学生会有如下部门：文娱部、体育部、宣传部、生活部、学习部．请画出学生会的组织结构图．
【解】 学生会的组织结构图如图．
19．(本小题满分12分)给出如下列联表：
患心脏病
患其他病
总计
高血压
20
10
30
不高血压
30
50
80
总计
50
60
110
由以上数据判断高血压与患心脏病之间在多大程度上有关系？
(参考数据：P(K2≥6.635)＝0.010，P(K2≥7.879)＝0.005)
【解】 由列联表中数据可得
k＝≈7.486.
又P(K2≥6.635)＝0.010，
所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为高血压与患心脏病有关系．
20．(本小题满分12分)已知非零实数a，b，c构成公差不为0的等差数列，求证：，，不能构成等差数列.
【导学号：19220072】
【证明】 假设，，能构成等差数列，则＝＋，因此b(a＋c)＝2ac.
而由于a，b，c构成等差数列，且公差d≠0，可得2b＝a＋c，
∴(a＋c)2＝4ac，即(a－c)2＝0，于是得a＝b＝c，
这与a，b，c构成公差不为0的等差数列矛盾．
故假设不成立，即，，不能构成等差数列．
21．(本小题满分12分)已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1(分别用综合法、分析法证明)．
【证明】 综合法：∵2ax≤a2＋x2,2by≤b2＋y2，
∴2(ax＋by)≤(a2＋b2)＋(x2＋y2)．
又∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，
∴2(ax＋by)≤2，∴ax＋by≤1.
分析法：
要证ax＋by≤1成立，
只要证1－(ax＋by)≥0，
只要证2－2ax－2by≥0，
又∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，
∴只要证a2＋b2＋x2＋y2－2ax－2by≥0，
即证(a－x)2＋(b－y)2≥0，显然成立．
22．(本小题满分12分)某班5名学生的数学和物理成绩如下表：
A
B
C
D
E
数学成绩(x)
88
76
73
66
63
物理成绩(y)
78
65
71
64
61
(1)画出散点图；
(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程；
(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
＝，＝－.
【解】 (1)散点图如图，
(2)＝×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，
＝×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.
iyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25
054.
＝882＋762＋732＋662＋632＝27
174.
所以＝＝
≈0.625.
＝－≈67.8－0.625×73.2＝22.05.
所以y对x的回归直线方程是
＝0.625x＋22.05.
(3)x＝96，则＝0.625×96＋22.05≈82，即可以预测他的物理成绩是82分．