学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列结论正确的是( )
A．若y＝cos
x，则y′＝sin
x
B．若y＝sin
x，则y′＝－cos
x
C．若y＝，则y′＝－
D．若y＝，则y′＝
【解析】 ∵(cos
x)′＝－sin
x，∴A不正确；
∵(sin
x)′＝cos
x，∴B不正确；
∵()′＝，∴D不正确．
【答案】 C
2．(2016·济南高二检测)在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为( )
A．(1,1)
B．(－1，－1)
C．(－1,1)
D．(1,1)或(－1，－1)
【解析】 切线的斜率k＝tan
π＝－1，
设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，
又f′(x)＝－，∴－＝－1，∴x0＝1或－1，
∴切点坐标为(1,1)或(－1，－1)．故选D.
【答案】 D
3．对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为( )
A．f(x)＝x3
B．f(x)＝x4－2
C．f(x)＝x3＋1
D．f(x)＝x4－1
【解析】 由f′(x)＝4x3知f(x)中含有x4项，然后将x＝1代入选项中验证可得，选B.
【答案】 B
4．(2016·北京高二检测)已知曲线y＝x3在点(2,8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝( )
A．4
B．－4
C．28
D．－28
【解析】 ∵y′＝3x2，∴点(2,8)处的切线斜率
k＝f′(2)＝12.
∴切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，
∴k＝12，b＝－16，∴k－b＝28.
【答案】 C
5．若f(x)＝sin
x，f′(α)＝，则下列α的值中满足条件的是( )
A.
B.
C.π
D.π
【解析】 ∵f(x)＝sin
x，∴f′(x)＝cos
x.
又∵f′(α)＝cos
α＝，
∴α＝2kπ±(k∈Z)．
当k＝0时，α＝.
【答案】 A
二、填空题
6．(2016·菏泽高二检测)已知f(x)＝x2，g(x)＝
ln
x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.
【解析】 因为f(x)＝x2，g(x)＝ln
x，
所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0，
f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0，
解得x＝1或x＝－(舍去)．故x＝1.
【答案】 1
7．直线y＝x＋b是曲线y＝ln
x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.
【导学号：60030011】
【解析】 设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝ln
x0.
∵y′＝(ln
x)′＝，
∴y′|x＝x0＝，由题意知＝，
∴x0＝2，y0＝ln
2.
由ln
2＝×2＋b，得b＝ln
2－1.
【答案】 ln
2－1
8．(2016·南京高二检测)已知函数y＝f(x)的图象在M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__________.
【解析】 依题意知，f(1)＝×1＋2＝，
f′(1)＝，∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3.
【答案】 3
三、解答题
9．若质点P的运动方程是s＝(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8
s时的瞬时速度．
【解】 ∵s′＝()′＝(t)′＝t－，
∴s′|t＝8＝×8－＝×2－1＝，
∴质点P在t＝8
s时的瞬时速度为
m/s.
10．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
【解】 因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.
令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.
则f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.
又f′(1)＝2×＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－
＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.
[能力提升]
1．设f0(x)＝sin
x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2
017(x)＝( )
A．sin
x
B．－sin
x
C．cos
x
D．－cos
x
【解析】 f0(x)＝sin
x，f1(x)＝f0′(x)＝(sin
x)′＝cos
x，
f2(x)＝f1′(x)＝(cos
x)′＝－sin
x，f3(x)＝f2′(x)＝(－sin
x)′＝－cos
x，f4(x)＝f3′(x)
＝(－cos
x)′＝sin
x，所以4为最小正周期，
故f2
017(x)＝f1(x)＝cos
x.
【答案】 C
2．若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝( )
A．64
B．32
C．16
D．8
【解析】 因为y′＝－x－，所以曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线方程为：
y－a－＝－a－(x－a)，由x＝0得y＝a－，由y＝0得x＝3a，
所以·a－·3a＝18，解得a＝64.
【答案】 A
3．(2016·潍坊高二检测)点P是f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是__________．
【解析】 与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小．设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1，
∴x0＝，y0＝.即P到直线y＝x－1的距离最短．
∴d＝＝.
【答案】
4．(2016·潍南高二检测)已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，
(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
【解】 (1)因为y′＝2x.
P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．
过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2，
过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4，
过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即
2x＋y＋1＝0.
过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝＝1，
切线的斜率k＝y′|x＝x0＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点M，
与PQ平行的切线方程为y－＝x－，
即4x－4y－1＝0.学业分层测评
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[学业达标]
一、选择题
1．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)( )
A．32,16
B．30,15
C．40,20
D．36,18
【解析】 要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此时长为＝32(米)，可使L最短．
【答案】 A
2．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为( )
A．2和6
B．4和4
C．3和5
D．以上都不对
【解析】 设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′<0；当4
0.所以当x＝4时，y最小．
【答案】 B
3．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为( )
【导学号：60030028】
A.和R
B.R和R
C.R和R
D．以上都不对
【解析】 设矩形的宽为x，则长为2，则l＝2x＋4(0令l′＝0，解得x1＝R，x2＝－R(舍去)．
当00；当R所以当x＝R时，l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为R，R.
【答案】 B
4．某公司生产某种产品，固定成本为20
000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是( )
A．100
B．150
C．200
D．300
【解析】 由题意，得总成本函数为
C(x)＝20
000＋100x，总利润P(x)＝R(x)－C(x)＝
所以P′(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，
总利润P(x)最大．
【答案】 D
5．用长为90
cm，宽为48
cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图1 4 4)，当容器的体积最大时，该容器的高为( )
图1 4 4
A．8
cm
B．9
cm
C．10
cm
D．12
cm
【解析】 设容器的高为x
cm，容器的体积为V(x)cm3，
则V(x)＝(90－2x)(48－2x)x
＝4x3－276x2＋4
320x(0因为V′(x)＝12x2－552x＋4
320，
由12x2－552x＋4
320＝0，
得x＝10或x＝36(舍)，
因为当00，当10V′(x)<0，
所以当x＝10时，V(x)在区间(0,24)内有唯一极大值，
所以容器高x＝10
cm时，容器体积V(x)最大．
【答案】 C
二、填空题
6．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为__________米.
【导学号：60030029】
【解析】 设广场的长为x米，则宽为米，于是其周长为y＝2(x>0)，所以y′＝2，令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800.当0200时，y′>0.所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800米．
【答案】 800
7．已知矩形的两个顶点A、D位于x轴上，另两个顶点B、C位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为________．
【解析】 由题意，设矩形边长AD＝2x，则AB＝4－x2，
∴矩形面积为S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(0∴S′＝8－6x2.
令S′＝0，解得x1＝
，x2＝－
(舍去)．
当00；
当
∴当x＝
时，S取得最大值为.
即矩形的边长分别是，时，矩形的面积最大．
【答案】 ，
8．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10
km/h时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为________km/h.
【解析】 设轮船的速度为x
km/h时，燃料费用为Q元，则Q＝kx3(k≠0)．
因为6＝k×103，所以k＝，所以Q＝x3.
所以行驶每千米的费用总和为
y＝·＝x2＋(x>0)．
所以y′＝x－.令y′＝0，解得x＝20.
因为当x∈(0,20)时，y′<0，此时函数单调递减；
当x∈(20，＋∞)时，y′>0，此时函数单调递增，
所以当x＝20时，y取得最小值，
即此轮船以20
km/h的速度行驶时，每千米的费用总和最小．
【答案】 20
三、解答题
9．如图1 4 5，一矩形铁皮的长为8
cm，宽为5
cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？
图1 4 5
【解】
设小正方形的边长为
x
cm，则盒子底面长为(8－2x)
cm，宽为(5－2x)
cm，
V＝(8－2x)(5－2x)x＝4x3－26x2＋40x，
V′＝12x2－52x＋40，
令V′＝0，得x＝1或x＝(舍去)，
V极大值＝V(1)＝18，在定义域内仅有一个极大值，
所以V最大值＝18，即当小正方形的边长为1
cm时，盒子容积最大．
10．(2016·银川高二检测)一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分几次进货、每次进多少册，可使所付的手续费与库存费之和最少？
【解】 设每次进书x千册(0x
(0,15)
15
(15,150)
y′
－
0
＋
y
单调递减?
极小值
单调递增?
所以当x＝15时，y取得极小值，且极小值唯一，故当x＝15时，y取得最小值，此时进货次数为＝10(次)．
即该书店分10次进货，每次进15千册书，所付手续费与库存费之和最少．
[能力提升]
1．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8
300－170p－p2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )
A．30元
B．60元
C．28
000元
D．23
000元
【解析】 设毛利润为L(p)，由题意知
L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8
300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11
700p－166
000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11
700.
令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．
此时，L(30)＝23
000.
因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，
所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23
000元．
【答案】 D
2．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20
cm，要使体积最大，则其高应为( )
A.
cm
B.
m
C．5
m
D.
m
【解析】 如图，设圆锥底面半径为r，高为h，则h2＋r2＝202.
所以r＝，
所以圆锥体积V＝πr2h＝π(400－h2)h＝π(400h－h3)，
所以V′＝π(400－3h2)，
令V′＝0，得h＝或h＝－(舍去)．
当00；当h>时，V′<0.
所以当h＝时，V最大．故选D.
【答案】 D
3．如图1 4 6，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是__________．
图1 4 6
【解析】 设CD＝x，则点C的坐标为，
点B的坐标为，
∴矩形ABCD的面积
S＝f(x)＝x·
＝－＋x，x∈(0,2)．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍)，x2＝，
∴x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
故当x＝时，f(x)取最大值.
【答案】
4．(2016·广州高二检测)如图1 4 7所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40
km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50
km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？
图1 4 7
【解】 设C点距D点x
km，则AC＝50－x(km)，
所以BC＝＝(km)．
又设总的水管费用为y元，
依题意，得y＝3a(50－x)＋5a(0y′＝－3a＋.
令y′＝0，解得x＝30.
在(0,50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30
km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．
故供水站建在A，D之间距甲厂20
km处，可使水管费用最省.学业分层测评
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[学业达标]
一、选择题
1．实数a，b，c不全为0等价于( )
A．a，b，c均不为0
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D．a，b，c中至少有一个不为0
【解析】 “不全为0”的对立面为“全为0”，故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”．
【答案】 D
2．(2014·山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
【解析】 依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.
【答案】 A
3．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( )
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
【解析】 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C.
【答案】 C
4．设a，b，c大于0，则3个数：a＋，b＋，c＋的值( )
【导学号：60030059】
A．都大于2
B．至少有一个不大于2
C．都小于2
D．至少有一个不小于2
【解析】 假设a＋，b＋，c＋三个数都小于2，则必有a＋＋b＋＋c＋<6，而＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，故二者相矛盾．所以假设不成立．
【答案】 D
5．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( )
A．有两个内角是钝角
B．有三个内角是钝角
C．至少有两个内角是钝角
D．没有一个内角是钝角
【解析】 “最多只有一个”的否定是“至少有两个”，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是___________________________________________________________．
【解析】 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是：没有一个面是三角形或四边形或五边形．
【答案】 没有一个面是三角形或四边形或五边形
7．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．
【解析】 假设a，b均不大于1，即a≤1，b≤1.
则①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a，b中至少有一个大于1”，故选③.
【答案】 ③
8．(2016·开原模拟)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1和△A2B2C2分别是________．(填三角形的种类)
【解析】 由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形．
由
得
那么，A2＋B2＋C2＝，
这与三角形内角和为180°相矛盾．
所以假设不成立，又显然△A2B2C2不是直角三角形，
所以△A2B2C2是钝角三角形．
【答案】 锐角三角形，纯角三角形
三、解答题
9．已知f(x)＝ax＋(a>1)，证明：方程f(x)＝0没有负数根．
【证明】 假设x0是f(x)＝0的负数根，
则x0<0且x0≠－1且ax0＝－，
由0解得故方程f(x)＝0没有负数根．
10．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1，求证：a，b，c中至少有一个大于.
【证明】 假设a，b，c都小于等于，
即a≤，b≤，c≤.
∵abc＝1，∴a，b，c三数同为正或一正两负．
又a＋b＋c＝0，
∴a，b，c只能是一正两负，
不妨设a＞0，b＜0，c＜0.
则b＋c＝－a，bc＝，
∴b，c为方程x2＋ax＋＝0的两根，
∴Δ＝a2－≥0，即a3≥4.
∴a≥
＞＝，这与a≤矛盾，
∴a，b，c中至少有一个大于.
[能力提升]
1．下列命题运用“反证法”证明正确的是( )
A．命题：若a>b>0，则>.用反证法证明：假设>不成立，则<.若<，则ab矛盾．故假设不成立，结论>成立
B．命题：已知二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，且a≠0)有实根，求证：Δ＝b2－4ac≥0.
用反证法证明：假设Δ＝b2－4ac<0，则ax2＋bx＋c＝0无实根，与已知方程有实根矛盾，∴Δ≥0
C．命题：已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，证明：关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实数根．用反证法证明：假设方程x2－2x＋5－p2＝0有实数根，由已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，解得－2∵－2D．命题：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.“若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0”．
用反证法证明：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.
∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，
则f(a)∴f(a)＋f(b)这与已知相矛盾．∴原命题成立
【解析】 A．反证法中的反证不全面，“>”的否定应为“≤”．
B．本题犯了“循环论证”的错误，实质上没有求出该题．
C．在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法．
【答案】 D
2．设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的( )
【导学号：60030060】
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 首先，若P，Q，R同时大于0，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P，Q，R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，所以b<0，与b>0矛盾．故P，Q，R都大于0.
【答案】 C
3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误；
②所以一个三角形不能有两个直角；
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为__________．
【解析】 由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②.
【答案】 ③①②
4．已知函数f(x)＝，如果数列{an}满足a1＝4，an＋1＝f(an)，求证：当n≥2时，恒有an<3成立．
【证明】 假设an≥3(n≥2)，
则由已知得an＋1＝f(an)＝，
所以当n≥2时，＝＝·
≤＝＜1(因为an－1≥3－1)，
又易证an>0，所以当n≥2时，an＋1所以当n＞2时，an而当n＝2时，a2＝＝＝＜3，
所以当n≥2时，an<3；
这与假设矛盾，故假设不成立，
所以当n≥2时，恒有an<3成立.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4
θ＝cos
2θ”的过程：“cos4
θ－sin4
θ＝(cos2
θ＋sin2
θ)(cos2
θ－sin2
θ)＝cos2
θ－sin2
θ＝cos
2θ”中应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．分析法和综合法综合使用
D．间接证法
【解析】 此证明符合综合法的证明思路．故选B.
【答案】 B
2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证( )
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
【解析】 要证a2＋b2－1－a2b2≤0，
只需证a2b2－a2－b2＋1≥0，
只需证(a2－1)(b2－1)≥0，故选D.
【答案】 D
3．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算 和 如下：
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
b
b
b
c
c
b
c
b
d
d
b
b
d
a
b
c
a
a
a
a
b
a
b
c
c
a
c
c
d
a
d
a
那么，d (a c)等于( )
A．a
B．b
C．c
D．d
【解析】 由 运算可知，a c＝c，
∴d (a c)＝d c.
由 运算可知，d c＝a.故选A.
【答案】 A
4．欲证－<－成立，只需证( )
A．(－)2<(－)2
B．(－)2<(－)2
C．(＋)2<(＋)2
D．(－－)2<(－)2
【解析】 ∵－<0，－<0，
故－<－ ＋<＋ (＋)2<(＋)2.
【答案】 C
5．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是( )
A．sin(α＋β)>sin
α＋sin
β
B．sin(α＋β)>cos
α＋cos
β
C．cos(α＋β)>sin
α＋sin
β
D．cos(α＋β)α＋cos
β
【解析】 因为0<α<，0<β<，
所以0<α＋β<π，
若≤α＋β<π，则cos(α＋β)≤0，
因为cos
α>0，cos
β>0.
所以cos
α＋cos
β>cos
(α＋β)．
若0<α＋β<，则α＋β>α且α＋β>β，
因为cos(α＋β)α，cos(α＋β)β，
所以cos(α＋β)α＋cos
β，
总之，对任意的锐角α，β有cos(α＋β)α＋cos
β.
【答案】 D
二、填空题
6．命题“函数f(x)＝x－xln
x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln
x求导得f′(x)＝－ln
x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln
x>0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．
【解析】 该证明方法是“由因导果”法．
【答案】 综合法
7．如果a>b，则实数a，b应满足的条件是__________．
【解析】 要使a>b，
只需使a>0，b>0，(a)2>(b)2，
即a>b>0.
【答案】 a>b>0
8．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是__________.
【导学号：60030056】
【解析】 若对任意x>0，≤a恒成立，只需求y＝的最大值，且令a不小于这个最大值即可．因为x>0，所以y＝＝≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立，所以a的取值范围是.
【答案】
三、解答题
9．已知倾斜角为60°的直线L经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，其中O为坐标原点．
(1)求弦AB的长；
(2)求三角形ABO的面积．
【解】 (1)由题意得，直线L的方程为y＝(x－1)，
代入y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝.
由抛物线的定义，得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝.
(2)点O到直线AB的距离d＝＝，所以三角形OAB的面积为S＝|AB|·d＝.
10．已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥4S.
【证明】 要证a2＋b2＋c2≥4S，
只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2abcos
C)≥2
absin
C，即证a2＋b2≥2absin(C＋30°)，因为2absin(C＋30°)≤2ab，
只需证a2＋b2≥2ab，
显然上式成立．所以a2＋b2＋c2≥4S.
[能力提升]
1．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8
B．4
C．1
D.
【解析】 是3a与3b的等比中项 3a·3b＝3 3a＋b＝3 a＋b＝1，因为a>0，b>0，所以≤＝ ab≤，所以＋＝＝≥＝4.
【答案】 B
2．(2016·石家庄高二检测)已知关于x的方程x2＋(k－3)x＋k2＝0的一根小于1，另一根大于1，则k的取值范围是( )
A．(－1,2)
B．(－2,1)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
【解析】 令f(x)＝x2＋(k－3)x＋k2.
因为其图象开口向上，由题意可知f(1)<0，
即f(1)＝1＋(k－3)＋k2＝k2＋k－2<0，
解得－2【答案】 B
3．如果a＋b>a＋b，则实数a，b应满足的条件是__________．
【解析】 a＋b>a＋b a－a>b－b a(－)>b(－) (a－b)(－)>0
(＋)(－)2>0，
故只需a≠b且a，b都不小于零即可．
【答案】 a≥0，b≥0且a≠b
4．(2016·天津高二检测)已知α，β≠kπ＋，(k∈Z)且sin
θ＋cos
θ＝2sin
α，sin
θcos
θ＝sin2β.求证：＝.
【导学号：60030057】
【证明】 要证＝成立，
即证＝.
即证cos2α－sin2α＝(cos2β－sin2β)，
即证1－2sin2α＝(1－2sin2β)，
即证4sin2α－2sin2β＝1，
因为sin
θ＋cos
θ＝2sin
α，
sin
θcos
θ＝sin
2β，
所以(sin
θ＋cos
θ)2＝1＋2sin
θcos
θ＝4sin2α，所以1＋2sin2β＝4sin2
α，即4sin2α－2sin2β＝1.
故原结论正确.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.dx等于( )
A．－2ln
2
B．2ln
2
C．－ln
2
D．ln
2
【解析】 dx＝ln
x|＝ln
4－ln
2＝ln
2.
【答案】 D
2．设a＝xdx，b＝x2dx，c＝x3dx，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c
B．c>a>b
C．a>c>b
D．c>b>a
【解析】 ∵a＝xdx＝＝，
b＝x2dx＝＝，c＝x3dx＝＝，
∴a>b>c.
【答案】 A
3．(2016·东莞高二检测)已知积分(kx＋1)dx＝k，则实数k＝( )
A．2
B．－2
C．1
D．－1
【解析】 (kx＋1)dx＝＝k＋1＝k，∴k＝2.
【答案】 A
4．已知f(x)＝2－|x|，则f(x)dx＝( )
A．3
B．4
C.
D.
【解析】 因为f(x)＝2－|x|＝所以
f(x)dx＝
(2＋x)dx＋(2－x)dx＝＋＝＋2＝.
【答案】 C
5．设f(x)＝则f(x)dx＝( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx
＝x3＋
＝＋＝.
【答案】 D
二、填空题
6．若(2x－3x2)dx＝0，则k等于__________.
【导学号：60030039】
【解析】 (2x－3x2)dx＝(x2－x3)|＝k2－k3＝0，∴k＝0(舍)或k＝1.
【答案】 1
7．(2016·南宁模拟)设抛物线C：y＝x2与直线l：y＝1围成的封闭图形为P，则图形P的面积S等于____________
.
【解析】 由得x＝±1.如图，由对称性可知，S＝2＝2＝.
【答案】
8．已知f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝__________.
【解析】 因为f(1)＝lg
1＝0，
且3t2dt＝t3|＝a3－03＝a3，
所以f(0)＝0＋a3＝1，所以a＝1.
【答案】 1
三、解答题
9．计算下列定积分．
(1)dx；
(2)
eq
\i\in(－,,)
(cos
x＋2x)dx.
【解】 (1)∵dx＝dx
＝[ln
x－ln(x＋1)]＝ln
.
(2)
eq
\i\in(－,,)
(cos
x＋2x)dx＝
＝2＋(2－2－)．
10．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，f(1)＝4，f′(1)＝1，f(x)dx＝，求f(x)．
【解】 因为f(1)＝4，所以a＋b＋c＝4，①
f′(x)＝2ax＋b，
因为f′(1)＝1，所以2a＋b＝1，②
f(x)dx＝
＝a＋b＋c＝，③
由①②③可得a＝－1，b＝3，c＝2.
所以f(x)＝－x2＋3x＋2.
[能力提升]
1．(2016·石家庄高二检测)若dx＝3－ln
2，且a>1，则a的值为( )
A．6
B．4
C．3
D．2
【解析】 dx＝(x2－ln
x)|
＝a2－ln
a－1，故有a2－ln
a－1＝3－ln
2，
解得a＝2.
【答案】 D
2．如图1 6 2所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为( )
图1 6 2
A.
B.
C.
D.
【解析】 因为S正方形＝1，
S阴影＝(－x)dx＝＝－＝，
所以点P恰好取自阴影部分的概率为＝.
【答案】 C
3．计算：(2|x|＋1)dx＝__________.
【导学号：60030040】
【解析】 (2|x|＋1)dx＝(－2x＋1)dx＋
(2x＋1)dx＝(－x2＋x)|＋(x2＋x)|
＝－(－4－2)＋(4＋2)＝12.
【答案】 12
4．已知f(x)＝－a(12t＋4a)dt，F(a)＝[f(x)＋3a2]dx，求函数F(a)的最小值．
【解】 因为f(x)＝－a(12t＋4a)dt＝(6t2＋4at)|
＝6x2＋4ax－(6a2－4a2)＝6x2＋4ax－2a2，
F(a)＝[f(x)＋3a2]dx＝(6x2＋4ax＋a2)dx
＝(2x3＋2ax2＋a2x)
＝2＋2a＋a2
＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1≥1.
所以当a＝－1时，F(a)的最小值为1.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数f(x)＝x3－3x(x<1)( )
A．有最大值，无最小值
B．有最大值，最小值
C．无最大值，最小值
D．无最大值，有最小值
【解析】 f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1(舍)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0.
从而函数f(x)有最大值，无最小值，故选A.
【答案】 A
2．(2016·哈尔滨高二检测)函数y＝x－sin
x，x∈的最大值是( )
A．π－1
B.－1
C．π
D．π＋1
【解析】 因为y′＝1－cos
x，当x∈时，y′>0，则函数在区间上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sin
π＝π，故选C.
【答案】 C
3．(2016·温州高二检测)函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( )
A．0≤a<1
B．0C．－1D．0【解析】 ∵f′(x)＝3x2－3a，则f′(x)＝0有解，可得a＝x2.
又∵x∈(0,1)，∴0【答案】 B
4．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≥
B．m>
C．m≤
D．m<
【解析】 令f′(x)＝2x3－6x2＝0，得x＝0或x＝3.
经检验，知x＝3是函数的最小值点，
所以函数f(x)的最小值为f(3)＝3m－.
因为不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，
所以3m－≥－9，解得m≥，故选A.
【答案】 A
5．(2016·海口高二检测)函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为( )
A．0
B.
C.
D.
【解析】 f′(x)＝＝，当x∈[2,4]时，f′(x)<0，即函数f(x)在区间[2,4]上单调递减，故当x＝4时，函数f(x)有最小值.
【答案】 C
二、填空题
6．(2016·连云港高二检测)当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝的值域是__________.
【导学号：60030025】
【解析】 ∵f′(x)＝′＝＝，x∈[－1,1]．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2(舍去)．
∵f(－1)＝e，f(0)＝0，f(1)＝，
∴函数f(x)＝，x∈[－1,1]的值域为[0，e]．
【答案】 [0，e]
7．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．
【解析】 f′(x)＝＝，当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当－0，f(x)单调递增，当x＝时，f(x)＝＝，＝<1，不合题意．
∴f(x)max＝f(1)＝＝，a＝－1.
【答案】 －1
8．已知函数f(x)＝＋2ln
x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是__________．
【解析】 由f(x)＝＋2ln
x得f′(x)＝，又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a>0，令f′(x)＝0，得x＝－(舍去)或x＝.当0时，f′(x)>0.故x＝是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()＝ln
a＋1.要使f(x)≥2恒成立，需ln
a＋1≥2恒成立，则a≥e.
【答案】 [e，＋∞)
三、解答题
9．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
【解】 易知f(x)的定义域为.
(1)f′(x)＝＋2x＝
＝.
当－0；
当－1当x>－时，f′(x)>0，
从而f(x)在区间，上单调递增，在区间上单调递减．
(2)由(1)知f(x)在区间上的最小值为f＝ln
2＋.
又因为f－f＝ln＋－ln－
＝ln＋＝<0，
所以f(x)在区间上的最大值为
f＝＋ln.
10．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)≥2
017对于 x∈[－2,2]恒成立，求a的取值范围．
【解】 (1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.
由f′(x)<0，得x<－1或x>3，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．
(2)由f′(x)＝0，－2≤x≤2，得x＝－1.
因为f(－2)＝2＋a，f(2)＝22＋a，f(－1)＝－5＋a，
故当－2≤x≤2时，f(x)min＝－5＋a.
要使f(x)≥2
017对于 x∈[－2,2]恒成立，只需f(x)min＝－5＋a≥2
017，解得a≥2
022.
[能力提升]
1．已知函数f(x)＝x3－x2＋6x＋a，若 x0∈[－1,4]，使f(x0)＝2a成立，则实数a的取值范围是( )
A．2≤a≤
B．－≤a≤
C．2≤a≤16
D．－≤a≤16
【解析】 ∵f(x0)＝2a，即x－x＋6x0＋a＝2a，
可化为x－x＋6x0＝a，
设g(x)＝x3－x2＋6x，则g′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)＝0，得x＝1或x＝2.
∴g(1)＝，g(2)＝2，g(－1)＝－，g(4)＝16.
由题意，g(x)min≤a≤g(x)max，∴－≤a≤16.
【答案】 D
2．若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
【导学号：60030026】
A．m>－1
B．m≥－1
C．m<－1
D．m≤－1
【解析】 因为f(x)＝的定义域为R，
所以ex－x＋m≠0恒成立．
令g(x)＝ex－x，则g′(x)＝ex－1，
所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
所以g(x)min＝g(0)＝e0－0＝1.
因为 x∈R，g(x)≥1恒成立，即g(x)－1≥0恒成立，所以m>－1.
【答案】 A
3．函数f(x)＝sin
x＋cos
x在x∈时的最大值，最小值分别是__________．
【解析】 f′(x)＝cos
x－sin
x.
令f′(x)＝0，即tan
x＝1，且x∈，所以x＝.
又因为f＝，f＝－1，f＝1，
所以当x∈时，函数的最大值为f＝，最小值为f＝－1.
【答案】 ，－1
4．设函数f(x)＝ex－e－x，若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求实数a的取值范围．
【解】 令g(x)＝f(x)－ax，
由g′(x)＝f′(x)－a＝ex＋e－x－a，
由于ex＋e－x＝ex＋≥2(当且仅当x＝0时等号成立，)
所以当a≤2时，g(x)＝ex＋e－x－a≥2－a≥0，故g(x)在(0，＋∞)上为增函数．
所以当x≥0时，g(x)≥g(0)＝0，即f(x)≥ax，
当a>2时，方程g′(x)＝0的根为
x1＝ln<0，x2＝ln>0，
此时，若x∈(0，x2)，则g′(x)<0，故g(x)在区间(0，x2)内为减函数，所以x∈(0，x2)时，g(x)即f(x)综上所述，满足条件的实数a的取值范围为a≤2.模块综合测评
(时间150分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若复数z＝a＋i的实部与虚部相等，则实数a＝( )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
【解析】 z＝a＋i的虚部为1，故a＝1，选B.
【答案】 B
2．已知复数z＝，则·i在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 ∵z＝＝，∴＝＋i，
∴·i＝－＋i.
【答案】 B
3．观察：＋<2，＋<2，＋<2，…，对于任意的正实数a，b，使＋<2成立的一个条件可以是( )
A．a＋b＝22
B．a＋b＝21
C．ab＝20
D．ab＝21
【解析】 由归纳推理可知a＋b＝21.故选B.
【答案】 B
4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln
x，则f′(1)＝( )
【导学号：60030088】
A．－e
B．－1
C．1
D．e
【解析】 ∵f(x)＝2xf′(1)＋ln
x，
∴f′(x)＝2f′(1)＋，
∴f′(1)＝2f′(1)＋1，
∴f′(1)＝－1.
【答案】 B
5．由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( )
A．②①③
B．③②①
C．①②③
D．③①②
【解析】 该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y＝2x＋5是一次函数(小前提)，y＝2x＋5的图象是一条直线(结论)．
【答案】 D
6．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图1所示，则( )
图1
A．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点
B．函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点
C．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点
D．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点
【解析】 根据极值的定义及判断方法，检查f′(x)的零点左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个点处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这个点处不是极值．由此可见，x2是函数f(x)的极大值点，x3是极小值点，x1，x4不是极值点．
【答案】 A
7．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A.e2
B．2e2
C．e2
D.
【解析】 ∵f′(x)＝ex，∴曲线在点(2，e2)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝e2，切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即e2x－y－e2＝0，切线与x轴和y轴的交点坐标分别为A(1,0)，B(0，－e2)，则切线与坐标轴围成的△OAB的面积为×1×e2＝.
【答案】 D
8．已知数列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则数列的第k项是( )
A．ak＋ak＋1＋…＋a2k
B．ak－1＋ak＋…＋a2k－1
C．ak－1＋ak＋…＋a2k
D．ak－1＋ak＋…＋a2k－2
【解析】 由归纳推理可知，第k项的第一个数为ak－1，且共有k项．故选D.
【答案】 D
9．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则( )
A．a≤0
B．a<1
C．a<2
D．a≤
【解析】 由题意可知f′(x)＝3ax2－1≤0在R上恒成立，则a≤0.
【答案】 A
10．设a＝x－dx，b＝1－xdx，c＝
x3dx则a，b，c的大小关系( )
A．a>b>c
B．b>a>c
C．a>c>b
D．b>c>a
【解析】 由题意可得a＝x－dx＝x＝；
b＝1－xdx＝1－x＝1－＝；
c＝x3dx＝＝.综上，a>b>c.
【答案】 A
11．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n＝k时成立推导n＝k＋1时成立时，f(n)＝1＋＋＋…＋增加的项数是( )
A．1
B．2k＋1
C．2k－1
D．2k
【解析】 ∵f(k)＝1＋＋＋……＋，
又f(k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋.
从f(k)到f(k＋1)是增加了(2k＋1－1)－2k＋1＝2k项．
【答案】 D
12．已知函数f(x)＝x3－ln(－x)，则对于任意实数a，b(a＋b≠0)，则的值为( )
A．恒正
B．恒等于0
C．恒负
D．不确定
【解析】 可知函数f(x)＋f(－x)＝x3－ln(－x)＋(－x)3－ln(＋x)＝0，
所以函数为奇函数，同时，
f′(x)＝3x2＋>0，f(x)是递增函数，＝，所以>0，所以选A.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．复数(i为虚数单位)的实部等于________．
【解析】 ∵＝－3－i，∴其实部为－3.
【答案】 －3
14．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．
【解析】 第n个等式左边为1到n＋1的立方和，右边为1＋2＋3＋…＋(n＋1)的平方，所以第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.
【答案】 13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
15．曲线y＝sin
x(0≤x≤π)与直线y＝围成的封闭图形的面积为__________.
【导学号：60030089】
【解析】 由于曲线y＝sin
x(0≤x≤π)与直线y＝的交点的横坐标分别为x＝及x＝，因此所求图形的面积为eq
\i\in(,,)∫dx＝
＝－.
【答案】 －
16．已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＋n＝________
.
【解析】 ∵f′(x)＝3x2＋6mx＋n，
∴由已知可得
∴或
当时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立与x＝－1是极值点矛盾，
当时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，
显然x＝－1是极值点，符合题意，∴m＋n＝11.
【答案】 11
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设复数z＝，若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a，b的值．
【解】 z＝＝＝
＝＝＝1－i.
因为z2＋az＋b＝(1－i)2＋a(1－i)＋b
＝－2i＋a－ai＋b＝(a＋b)－(2＋a)i＝1＋i，
所以解得
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.
(1)当a＝－时，讨论f(x)的单调性；
(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．
【解】 (1)当a＝－时，f(x)＝x3－3x2＋3x＋1，
f′(x)＝3x2－6x＋3.
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝＋1.
当x∈(－∞，
－1)时，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，－1)上是增函数；
当x∈(－1，＋1)时，f′(x)＜0，f(x)在(－1,
＋1)上是减函数；
当x∈(＋1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(＋1，＋∞)上是增函数．
(2)由f(2)≥0，得a≥－.
当a≥－，x∈(2，＋∞)时，
f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3
＝3(x－2)＞0，
所以f(x)在(2，＋∞)上是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0.
综上，a的取值范围是.
19．(本小题满分12分)设等差数列{an}的公差为d，Sn是{an}中从第2n－1项开始的连续2n－1项的和，即
S1＝a1，
S2＝a2＋a3，
S3＝a4＋a5＋a6＋a7，
……
Sn＝a2n－1＋a2n－1＋1＋…＋a2n－1，
……
若S1，S2，S3成等比数列，问：数列{Sn}是否成等比数列？请说明你的理由．
【解】 ∵S1，S2，S3成等比数列，
∴S1＝a1≠0，且S1·S3＝S，
由S1·S3＝S，得a1(a4＋a5＋a6＋a7)＝(a2＋a3)2，
即a1(4a1＋18d)＝(2a1＋3d)2,2a1d＝3d2.∴d＝0或a1＝d.
当d＝0时，Sn＝2n－1a1≠0，
＝＝2(常数)，n∈N
，{Sn}成等比数列；
当a1＝d时，
Sn＝a2n－1＋a2n－1＋1＋a2n－1＝2n－1a2n－1＋d
＝2n－1[a1＋(2n－1－1)d]＋d
＝2n－1＝d·4n－1≠0，
＝＝4(常数)，n∈N
，{Sn}成等比数列．
综上所述，若S1，S2，S3成等比数列，则{Sn}成等比数列．
20．(本小题满分12分)已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋ax3＋x2－b(x∈R)，其中a，b∈R，若函数g(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围.
【导学号：60030090】
【解】 (1)因为f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，
所以－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，
所以－1而m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数，m＝1时，
f(x)＝x4是偶函数，
所以f(x)＝x4.
(2)由(1)知g(x)＝x4＋ax3＋x2－b，
则g′(x)＝x(x2＋3ax＋9)，显然x＝0不是方程x2＋3ax＋9＝0的根．
为使g(x)仅在x＝0处有极值，
必须x2＋3ax＋9≥0恒成立，
即有Δ＝9a2－36≤0，解不等式得a∈[－2,2]．
这时，g(0)＝－b是唯一极值，所以a∈[－2,2]．
21．(本小题满分12分)在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝.
(1)求a1，a2，a3；
(2)由(1)猜想到数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
【解】 (1)由S1＝a1＝，得a＝1，
因为an>0，所以a1＝1.
由S2＝a1＋a2＝，得a＋2a2－1＝0，所以a2＝－1，
由S3＝a1＋a2＋a3＝，
得a＋2a3－1＝0，所以a3＝－.
(2)猜想an＝－(n∈N
)．
证明：①当n＝1时，
a1＝－＝1，命题成立；
②假设n＝k(k≥1，k∈N
)时，
ak＝－成立，
则n＝k＋1时，
ak＋1＝Sk＋1－Sk
＝－，即ak＋1
＝
－
＝－，
所以a＋2ak＋1－1＝0.
所以ak＋1＝－，
则n＝k＋1时，命题成立．
则①②知，n∈N
，an＝－.
22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝aexln
x＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.
(1)求a，b；
(2)证明：f(x)>1.
【解】 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝aexln
x＋ex－ex－1＋ex－1.
由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e.故a＝1，b＝2.
(2)证明：由(1)知，f(x)＝exln
x＋ex－1，
从而f(x)>1等价于xln
x>xe－x－.
设函数g(x)＝xln
x，则g′(x)＝1＋ln
x.
所以当x∈时，g′(x)<0；
当x∈时，g′(x)>0.
故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为
g＝－.
设函数h(x)＝xe－x－，则h′(x)＝e－x(1－x)．
所以当x∈(0,1)时，h′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.
故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.
综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是( )
A．1
B．2
C．－2
D．－1
【解析】 z1－z2＝y＋xi－(yi－x)＝x＋y＋(x－y)i＝2，
∴∴x＝y＝1.
∴xy＝1.
【答案】 A
2．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，
在复平面内z1－z2对应点的坐标为(5，－7)，位于第四象限．
【答案】 D
3．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量O，O对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则C对应的复数是( )
【导学号：60030078】
A．2＋4i
B．－2＋4i
C．－4＋2i
D．4－2i
【解析】 在平行四边形ABCD中，C＝B＝O－O＝3＋i－(－1＋3i)＝4－2i，故选D.
【答案】 D
4．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【解析】 复数z1对应向量O，复数z2对应向量O.
则|z1＋z2|＝|O＋O|，|z1－z2|＝|O－O|，
依题意有|O＋O|＝|O－O|.
∴以O，O为邻边所作的平行四边形是矩形．
∴△AOB是直角三角形．
【答案】 B
5．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝( )
A．0
B．6i
C．6
D．6－6i
【解析】 ∵z＋3i－3＝3－3i，
∴z＝(3－3i)－(3i－3)
＝6－6i.
【答案】 D
二、填空题
6．实部为5，模与复数4－3i的模相等的复数的个数为________个．
【解析】 依题意设z＝5＋bi，则|z|＝，
而|4－3i|＝＝5，
所以＝5，即b＝0.
【答案】 1
7．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝__________，z2＝__________.
【解析】 z＝z1－z2
＝－
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i，
∴解得
∴z1＝5－9i，z2＝－8－7i.
【答案】 5－9i －8－7i
8．已知z1＝2－2i，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值为________．
【解析】 如图所示，因为|z|＝1，所以z的轨迹可看作是半径为1，圆心为原点的圆，而z1对应坐标系中的点为(2，－2)，所以|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点的最大距离，则|z－z1|max＝2＋1.
【答案】 2＋1
三、解答题
9．如图3 2 1所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0,3＋2i，－2＋4i.求：
图3 2 1
(1)向量A对应的复数；
(2)向量C对应的复数；
(3)向量O对应的复数．
【解】 (1)因为A＝－O，所以向量A对应的复数为－3－2i.
(2)因为C＝O－O，所以向量C对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为O＝O＋O，所以向量O对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
10．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.
【解】 ∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，
∴z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i＝5－6i，
∴
解得
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
[能力提升]
1．(2016·南昌高二检测)如图3 2 2，设向量O，P，O所对应的复数为z1，z2，z3，那么( )
图3 2 2
A．z1－z2－z3＝0
B．z1＋z2＋z3＝0
C．z2－z1－z3＝0
D．z1＋z2－z3＝0
【解析】 由题图可知，P＋Q＝0，∴P＋O－O＝0，
∴z1＋z2－z3＝0.
【答案】 D
2．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为( )
A．2
B．4
C．4
D．16
【解析】 由|z－4i|＝|z＋2|，得
|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，
∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，
即x＋2y＝3，
∴2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4，
当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值4.
【答案】 C
3．设f(z)＝z－3i＋|z|，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，则f(z1＋z2)＝__________.
【导学号：60030079】
【解析】 ∵z1＋z2＝－2＋4i＋5－i＝3＋3i，
∴f(z1＋z2)＝(3＋3i)－3i＋|3＋3i|
＝3＋＝3＋3.
【答案】 3＋3
4．已知复平面上的四个点A，B，C，D构成平行四边形，顶点A，B，C对应复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数．
【解】 因为B＝C，所以zA－zB＝zD－zC，
所以zD＝zA－zB＋zC＝(－5－2i)－(－4＋5i)＋2＝1－7i.
即点D对应的复数为1－7i，如图①.
用相同的方法可求得另两种情况下点D对应的复数z.
图②中点D对应的复数为3＋7i，
图③中点D对应的复数为－11＋3i.
故点D对应的复数为1－7i或3＋7i或－11＋3i.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·广州高二检测)用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N
)，第一步验证( )
A．n＝1
B．n＝2
C．n＝3
D．n＝4
【解析】 由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．
【答案】 C
2．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则( )
A．f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B．f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
C．f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋
D．f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
【解析】 结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2的连续自然数共有n2－n＋1个，且f(2)＝＋＋.
【答案】 D
3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1(n∈N
)时，等式左边应在n＝k的基础上加上( )
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
【解析】 当n＝k时，等式左边＝1＋2＋…＋k2，当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2，故选D.
【答案】 D
4．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均为f(k)≥k2成立
【解析】 对于A，若f(3)≥9成立，由题意只可得出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错；对于B，若f(5)≥25成立，则当k≥5时均有f(k)≥k2成立，故B错；对于C，应改为“若f(7)≥49成立，则当k≥7时，均有f(k)≥k2成立．”
【答案】 D
5．已知命题1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1及其证明：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立．
(2)假设n＝k(k≥1，k∈N
)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1成立，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)知，对任意的正整数n等式都成立．判断以上评述( )
A．命题、推理都正确
B．命题正确、推理不正确
C．命题不正确、推理正确
D．命题、推理都不正确
【解析】 推理不正确，错在证明n＝k＋1时，没有用到假设n＝k的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________.
【导学号：60030063】
【解析】 ∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2，
f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，
∴f(k＋1)－f(k)＝(2k＋1)2＋(2k＋2)2，
即f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2.
【答案】 f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
7．用数学归纳法证明：＋＋…＋>－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是___________________________．
【解析】 当n＝k＋1时，目标不等式为：＋＋…＋＋>－.
【答案】 ＋＋…＋＋>－
8．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是__________．
【解析】 当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12.
当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，
所以左边添加的式子为(k＋1)2＋k2.
【答案】 (k＋1)2＋k2
三、解答题
9．用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N
)．
【解】 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，那么，当n＝k＋1时，1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
这就是说，当n＝k＋1时等式成立．
根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立．
10．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋，n>1)．
【证明】 (1)当n＝2时，左边＝1＋＋，右边＝2，左边<右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k时，不等式成立，即1＋＋＋…＋由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立．
[能力提升]
1．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成( )
A．假设n＝2k＋1(k∈N
)时正确，再推n＝2k＋3时正确
B．假设n＝2k－1(k∈N
)时正确，再推n＝2k＋1时正确
C．假设n＝k(k∈N
)时正确，再推n＝k＋1时正确
D．假设n＝k(k∈N
)时正确，再推n＝k＋2时正确
【解析】 ∵n为正奇数，∴在证明时，归纳假设应写成：
假设n＝2k－1(k∈N
)时正确，再推出n＝2k＋1时正确．故选B.
【答案】 B
2．对于不等式≤n＋1(n∈N
)，某学生的证明过程如下：
(1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立；
(2)假设当n＝k(k∈N
)时，不等式成立，即≤k＋1，则当n＝k＋1时，＝<＝
＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立．
上述证法( )
A．过程全都正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
【解析】 n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，这不符合数学归纳法的证题要求．故选D.
【答案】 D
3．用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为__________.
【导学号：60030064】
【解析】 当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81·34k＋2＋25·52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2.
【答案】 25(34k＋2＋52k＋1)＋56·34k＋2
4．设函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.
(1)求f(0)的值；
(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；
(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N
)的表达式，并用数学归纳法加以证明．
【解】 (1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0 f(0)＝0.
(2)f(1)＝1，f(2)＝f(1＋1)＝1＋1＋2＝4，
f(3)＝f(2＋1)＝4＋1＋2×2×1＝9，
f(4)＝f(3＋1)＝9＋1＋2×3×1＝16.
(3)猜想f(n)＝n2，下面用数学归纳法证明．
当n＝1时，f(1)＝1满足条件．
假设当n＝k(k∈N
)时成立，即f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2k＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，从而可得当n＝k＋1时满足条件，所以对任意的正整数n，都有f(n)＝n2.章末综合测评(一) 导数及其应用
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2016·天津高二检测)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则
的值为( )
A．f′(x0)
B．2f′(x0)
C．－2f′(x0)
D．0
【解析】
＝2
＝2f′(x0)，故选B.
【答案】 B
2．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )
A．1
B.
C．－
D．－1
【解析】 y′＝2ax，于是切线斜率k＝y′|x＝1＝2a，由题意知2a＝2，∴a＝1.
【答案】 A
3．下列各式正确的是( )
A．(sin
a)′＝cos
a(a为常数)
B．(cos
x)′＝sin
x
C．(sin
x)′＝cos
x
D．(x－5)′＝－x－6
【解析】 由导数公式知选项A中(sin
a)′＝0；选项B中(cos
x)′＝－sin
x；选项D中(x－5)′＝－5x－6.
【答案】 C
4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2)
B．(0,3)
C．(1,4)
D．(2，＋∞)
【解析】 f′(x)＝(x－2)ex，由f′(x)>0，得x>2，所以函数f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)．
【答案】 D
5．(2016·东北三校联考)若函数f(x)＝x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为( )
A．0
B．2
C．1
D．－1
【解析】 f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，则f′(1)＝12－2f′(1)·1－1，解得f′(1)＝0.
【答案】 A
6．如图1所示，图中曲线方程为y＝x2－1，用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )
图1
A.
B.(x2－1)dx
C.|x2－1|dx
D.(x2－1)dx－(x2－1)dx
【解析】 S＝[－(x2－1)]dx＋(x2－1)dx
＝|x2－1|dx.
【答案】 C
7．(2016·泰安高二检测)函数f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是( )
A．2
B．1
C．0
D．由a确定
【解析】 f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0，∴函数f(x)在R上单调递增，无极值．故选C.
【答案】 C
8．若函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为( )
A．－5
B．7
C．10
D．－19
【解析】 ∵f(x)′＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，
所以函数在[－2，－1]内单调递减，
所以最大值为f(－2)＝2＋a＝2.
∴a＝0，最小值f(－1)＝a－5＝－5.
【答案】 A
9．已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′(x)>1，则f(x)>x的解集是( )
A．(0,1)
B．(－1,0)∪(0,1)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
【解析】 不等式f(x)>x可化为f(x)－x>0，
设g(x)＝f(x)－x，则g′(x)＝f(x)′－1，
由题意g′(x)＝f′(x)－1>0，
∴函数g(x)在R上单调递增，又g(1)＝f(1)－1＝0，
∴原不等式 g(x)>0 g(x)>g(1)．
∴x>1，故选C.
【答案】 C
10．已知函数f(x)＝x2＋2x＋aln
x，若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是( )
A．a≥0
B．a<－4
C．a≥0或a≤－4
D．a>0或a<－4
【解析】 f′(x)＝2x＋2＋，x∈(0,1)，
∵f(x)在(0,1)上单调，
∴f′(x)≥0或f′(x)≤0在(0,1)上恒成立，
∴2x＋2＋≥0或2x＋2＋≤0在(0,1)上恒成立，
即a≥－2x2－2x或a≤－2x2－2x在(0,1)上恒成立．
设g(x)＝－2x2－2x＝－22＋，则g(x)在(0,1)上单调递减，
∴g(x)max＝g(0)＝0，g(x)min＝g(1)＝－4.
∴a≥g(x)max＝0或a≤g(x)min＝－4.
【答案】 C
11．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为( )
A.
B．2
C．3
D．2
【解析】 设曲线上的点A(x0，ln(2x0－1))到直线2x－y＋3＝0的距离最短，
则曲线上过点A的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
因为y′＝·(2x－1)′＝，
所以y′|x＝x0＝＝2，解得x0＝1.
所以点A的坐标为(1,0)．
所以点A到直线2x－y＋3＝0的距离为
d＝＝＝.
【答案】 A
12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为( )
【导学号：60030047】
A．3
B.
C．2
D.
【解析】 由题意，得f′(x)＝2ax＋b.
由对任意实数x，有f(x)≥0，知图象开口向上，所以a>0，且Δ＝b2－4ac≤0，所以ac≥.
因为f′(0)>0，所以b>0，且在x＝0处函数递增．
由此知f(0)＝c>0.
所以＝≥≥＝2.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．eq
\i\in(0,
,)(3x＋sin
x)dx＝__________.
【解析】 eq
\i\in(0,
,)
(3x＋sin
x)dx＝eq
\b\lc\|\rc\
(\a\vs4\al\co1(,0))＝－(0－cos
0)＝＋1.
【答案】 ＋1
14．(2014·江西高考)若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
【解析】 设P(x0，y0)，∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，
∴点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，
∴－x0＝ln
2，∴x0＝－ln
2，
∴y0＝eln
2＝2，
∴点P的坐标为(－ln
2,2)．
【答案】 (－ln
2,2)
15．(2016·南京高二检测)直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有三个相异的公共点，则a的取值范围是__________．
【解析】 令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，
可求得f(x)的极大值为f(－1)＝2，
极小值为f(1)＝－2，
如图所示，－2【答案】 (－2,2)
16．周长为20
cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm3.
【解析】 设矩形的长为x，则宽为10－x(0∴V′(x)＝20πx－3πx2.
由V′(x)＝0，得x＝0(舍去)，x＝，
且当x∈时，V′(x)>0，
当x∈时，V′(x)<0，
∴当x＝时，V(x)取得最大值为π
cm3.
【答案】 π
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限，
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．
【解】 (1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，
由已知得3x2＋1＝4，解得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又因为点P0在第三象限，
所以切点P0的坐标为(－1，－4)．
(2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，
所以直线l的斜率为－，
因为l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，
所以直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝aln(x＋1)＋x2－ax＋1(a>0)．
(1)求函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)当a>1时，求函数y＝f(x)的单调区间和极值．
【解】 (1)f(0)＝1，f′(x)＝＋x－a＝，f′(0)＝0，所以函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)函数的定义域为(－1，＋∞)，令f′(x)＝0，
即＝0.
解得x＝0或x＝a－1.
当a>1时，f(x)，f′(x)随x变化的变化情况为
x
(－1,0)
0
(0，a－1)
a－1
(a－1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增?
极大值
单调递减?
极小值
单调递增?
可知f(x)的单调减区间是(0，a－1)，单调增区间是(－1,0)和(a－1，＋∞)，极大值为f(0)＝1，极小值为f(a－1)＝aln
a－a2＋.
19．(本小题满分12分)(2016·菏泽高二检测)已知函数f(x)＝x2－mln
x，h(x)＝x2－x＋a，
(1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；
(2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围．
【解】 (1)由f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，
得m≤在(1，＋∞)上恒成立，
令g(x)＝，则g′(x)＝，故g′(e)＝0，
当x∈(1，e)时，g′(x)<0；
x∈(e，＋∞)时，g′(x)>0.
故g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
故当x＝e时，g(x)的最小值为g(e)＝e.
所以m≤e.
(2)由已知可知k(x)＝x－2ln
x－a，函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x－2ln
x与直线y＝a有两个不同的交点，
φ′(x)＝1－＝，故φ′(2)＝0，
所以当x∈[1,2)时，φ′(x)<0，所以φ(x)单调递减，
当x∈(2,3]时，φ′(x)>0，所以φ(x)单调递增．
所以φ(1)＝1，φ(3)＝3－2ln
3，φ(2)＝2－2ln
2，
且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0，
所以2－2ln
23.
所以实数a的取值范围为(2－2ln
2,3－2ln
3]．
20．(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V
m3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池的总建造成本为12
000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
【解】 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh(元)，
底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．
又根据题意200πrh＋160πr2＝12
000π，
所以h＝(300－4r2)，从而
V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因为r>0，又由h>0可得r<5，
故函数V(r)的定义域为(0,5)．
(2)因为V(r)＝(300r－4r3)，
所以V′(r)＝(300－12r2)．
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．
当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；
当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
21．(本小题满分12分)(2016·长沙高二检测)抛物线y＝ax2＋bx在第一象限内与直线x＋y＝4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S.求使S达到最大值的a，b值，并求S的最大值．
【解】 由题设可知抛物线为凸形，它与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝－，
所以S＝eq
\i\in(0,
－,)(ax2＋bx)dx＝b3，①
又直线x＋y＝4与抛物线y＝ax2＋bx相切，即它们有唯一的公共点，
由方程组得
ax2＋(b＋1)x－4＝0，其判别式Δ＝0，
即(b＋1)2＋16a＝0.
于是a＝－(b＋1)2，代入①式得：
S(b)＝(b>0)，S′(b)＝；
令S′(b)＝0，得b＝3，且当00；
当b>3时，S′(b)<0.
故在b＝3时，S(b)取得极大值，也是最大值，
即a＝－1，b＝3时，S取得最大值，且Smax＝.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0.
(1)求a，b的值；
(2)求证：当x>0，且x≠1时，f(x)>.
【解】 (1)f′(x)＝－，
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，
故即解得
(2)证明：由(1)知，f(x)＝＋，
所以f(x)－＝.
设函数h(x)＝2ln
x－(x>0)，
则h′(x)＝－＝－.
所以当x≠1时，h′(x)<0，而h(1)＝0，
所以当x∈(0,1)时，h(x)>0，得f(x)>；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，得f(x)>.
故当x>0，且x≠1时，f(x)>.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列结论中，正确的是( )
A．导数为零的点一定是极值点
B．如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值
C．如果在x0点附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值
D．如果在x0点附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值
【解析】 根据极值的概念，左侧f′(x)>0，单调递增；右侧f′(x)<0，单调递减，f(x0)为极大值．
【答案】 B
2．设函数f(x)＝＋ln
x，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
【解析】 f′(x)＝－，令f′(x)＝0，即－＝0，得x＝2，
当x∈(0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，
f′(x)>0.
因此x＝2为f(x)的极小值点，故选D.
【答案】 D
3．(2016·烟台高二检测)已知函数f(x)＝x2－2(－1)k
ln
x(k∈N
)存在极值，则k的取值集合是( )
A．{2,4,6,8，…}
B．{0,2,4,6,8，…}
C．{1,3,5,7，…}
D．N
【解析】 ∵f′(x)＝2x－且x∈(0，＋∞)，
令f′(x)＝0，得x2＝(－1)k，(
)
要使f(x)存在极值，则方程(
)在(0，＋∞)上有解．
∴(－1)k>0，又k∈N
，∴k＝2,4,6,8，…，
所以k的取值集合是{2,4,6,8，…}．
【答案】 A
4．设函数f(x)＝x－ln
x(x>0)，则y＝f(x)( )
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
【解析】 f′(x)＝－＝，令f′(x)＝0，得x＝3，当00，f(e)＝－1<0，f＝＋1>0，所以y＝f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点．
【答案】 D
5．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有且只有一个极小值，则( )
A．0B．b<1
C．b>0
D．b<
【解析】 f′(x)＝3x2－3b，要使f(x)在(0,1)内有极小值，则即解得0【答案】 A
二、填空题
6．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝__________处取得极小值.
【导学号：60030021】
【解析】 由f(x)＝x3－3x2＋1，
得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；
当x∈(－∞，0)和(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．
故当x＝2时，函数f(x)取得极小值．
【答案】 2
7．已知函数f(x)＝x(ln
x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________
.
【解析】 由题知，x＞0，f′(x)＝ln
x＋1－2ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f′(x)＝0有两个不等的正根，即函数y＝ln
x＋1与y＝2ax的图象有两个不同的交点(x＞0)，则a＞0；设函数y＝ln
x＋1上任一点(x0,1＋ln
x0)处的切线为l，则kl＝y′＝，当l过坐标原点时，＝ x0＝1，令2a＝1 a＝，结合图象(略)知0＜a＜.
【答案】
8．(2016·石家庄高二检测)若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________．
【解析】 ∵f′(x)＝3x2＋2x－a，
函数f(x)在区间(－1,1)上恰有一个极值点，
即f′(x)＝0在(－1,1)内恰有一个根．
又函数f′(x)＝3x2＋2x－a的对称轴为x＝－.
∴应满足∴
∴1≤a<5.
【答案】 [1,5)
三、解答题
9．已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数y的极小值．
【解】 (1)y′＝3ax2＋2bx.
由题意，知即
解得
(2)由(1)知y＝－6x3＋9x2.
所以y′＝－18x2＋18x＝－18x(x－1)．
令y′＝0，解得x1＝1，x2＝0.
所以当x<0时，y′<0；当00；
当x>1时，y′<0.
所以当x＝0时，y有极小值，其极小值为0.
10．(2016·太原高二检测)已知函数f(x)＝，若函数在区间(其中a>0)上存在极值，求实数a的取值范围．
【解】 因为f(x)＝，x>0，
则f′(x)＝－，
当00，
当x>1时，f′(x)<0.
所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以函数f(x)在x＝1处取得极大值．
因为函数f(x)在区间(其中a>0)上存在极值，
所以解得[能力提升]
1．(2016·哈尔滨高二检测)已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴相切于(1,0)点，则f(x)( )
A．极大值为，极小值为0
B．极大值为0，极小值为
C．极大值为0，极小值为－
D．极大值为，极小值为－
【解析】 f′(x)＝3x2－2px－q，
依题意知，∴
解得p＝2，q＝－1.
∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝.
∴当x∈时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
∴当x＝时，函数有极大值，f＝3－2×2＋＝，
当x＝1时，函数有极小值，f(1)＝1－2＋1＝0，
故选A.
【答案】 A
2．如图1 3 8是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x＋x等于( )
图1 3 8
A.
B.
C.
D.
【解析】 函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d＝0，b＋c＋1＝0,4b＋2c＋8＝0，则b＝－3，c＝2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c＝3x2－6x＋2，且x1，x2是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的两个极值点，即x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的实根，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.
【答案】 C
3．函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是__________．
【解析】 由题意，知f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，得x＝±.
因为函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，
所以f()＝2，f(－)＝6，即()3－3a＋b＝2，(－)3＋3a＋b＝6，解得a＝1，b＝4.
所以f′(x)＝3x2－3，令f′(x)<0，解得－1所以f(x)的单调递减区间是(－1,1)．
【答案】 (－1,1)
4．设f(x)＝a(x－5)2＋6ln
x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
【导学号：60030022】
【解】 (1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln
x，
故f′(x)＝2a(x－5)＋.
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)．
由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln
x(x>0)，
f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.
当03时，f′(x)>0，
故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；
当2故f(x)在(2,3)上为减函数．
由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝＋6ln
2，
在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln
3.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·广州高二检测)用S表示图1 7 4中阴影部分的面积，则S的值是( )
图1 7 4
A.f(x)dx
B.
C.f(x)dx＋f(x)dx
D.f(x)dx－f(x)dx
【解析】 在区间[a，b]上图形在x轴下方，积分为负值，
∴S＝f(x)dx－f(x)dx.故选D.
【答案】 D
2．如图1 7 5，阴影部分的面积是( )
图1 7 5
A．2
B．2－
C.
D.
【解析】 S＝(3－x2－2x)dx＝＝.
【答案】 C
3．一物体以速度v＝3t2＋2t(单位：m/s)做直线运动，则它在t＝0
s到t＝3
s时间段内的位移是( )
A．31
m
B．36
m
C．38
m
D．40
m
【解析】 S＝(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)|＝33＋32＝36(m)．
【答案】 B
4．如果某飞行物以初速度v0＝10
m/s，加速度a(t)＝10t
m/s2做直线运动，则飞行物在t＝3
s时的瞬时速度为( )
A．40
m/s
B．45
m/s
C．50
m/s
D．55
m/s
【解析】 飞行物在t＝3
s时的瞬时速度为
v＝v0＋a(t)dt＝10＋10tdt
＝10＋5t2＝55
m/s.
【答案】 D
5．曲线y＝x3与直线y＝x所围成的图形的面积等于( )
A.
(x－x3)dx
B.
(x3－x)dx
C．2(x－x3)dx
D．2(x－x3)dx
【解析】 由题意知，由y＝x3及y＝x所围成的图形如图所示．
显然S＝2(x－x3)dx.
【答案】 C
二、填空题
6．由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为________．
【解析】 由得其交点坐标为(4,2)．因此y＝与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为＝(－x＋2)dx＝＝×8－×16＋2×4＝.
【答案】
7．一物体沿直线以v＝(单位：m/s)的速度运动，该物体运动开始后10
s内所经过的路程是________________.
【导学号：60030043】
【解析】 s＝
dt＝(1＋t)
＝.
【答案】
8．若1
N的力能使弹簧伸长2
cm，则使弹簧伸长12
cm时(在弹性限度内)，克服弹力所作的功为________．
【解析】 由题意可知1＝k×0.02，∴k＝50，故在弹簧伸长12
cm时所做的功为
∫50ldl＝25l2＝0.36(J)．
【答案】 0.36
J
三、解答题
9．求曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所围成的图形(如图1 7 6阴影部分)的面积的最小值．
图1 7 6
【解】 由定积分与微积分基本定理，得
S＝S1＋S2
＝(t2－x2)dx＋(x2－t2)dx
＝＋
＝t3－t3＋－t2－t3＋t3
＝t3－t2＋，t∈(0,1)，
所以S′＝4t2－2t，所以t＝或t＝0(舍去)．
当t变化时，S′，S变化情况如下表：
t
S′
－
0
＋
S
单调递减?
极小值
单调递增?
所以当t＝时，S最小，且Smin＝.
10.如图1 7 7，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．
图1 7 7
【解】 抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标x1＝0，x2＝1，所以抛物线与x轴所围图形的面积
S＝(x－x2)dx＝＝－＝.
由可得抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x′1＝0，x′2＝1－k，
所以＝(x－x2－kx)dx
＝＝(1－k)3.
又S＝，所以(1－k)3＝.
于是k＝1－＝1－，所以k的值为1－.
[能力提升]
1．直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( )
A.
B．2
C.
D.
【解析】 ∵抛物线方程为x2＝4y，∴其焦点坐标为F(0,1)，故直线l的方程为y＝1.如图所示，可知l与C围成的图形的面积等于矩形OABF的面积与函数y＝x2的图象和x轴正半轴及直线x＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，即S＝4－2dx＝4－2·＝4－＝.
【答案】 C
2．已知过原点的直线l与抛物线y＝x2－2ax(a>0)所围成的图形面积为a3，则直线l的方程为( )
A．y＝ax
B．y＝±ax
C．y＝－ax
D．y＝－5ax
【解析】 显然，直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y＝kx，
由得
交点坐标为(0,0)，(2a＋k,2ak＋k2)，
所以图形面积S＝[kx－(x2－2ax)]dx
＝
＝－
＝.
又因为S＝a3，所以＝a3，
解得k＝a，所以直线l的方程为y＝ax.故选A.
【答案】 A
3．物体A以速度v＝3t2＋1(t的单位：s，v的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5
m处以v＝10t(t的单位：s，v的单位：m/s)的速度与A同向运动，则两物体相遇时物体A运动的距离为( )
A．110
m
B．120
m
C．130
m
D．140
m
【解析】 依题意，设自开始运动到两物体相遇所用时间为x
s，则有(3t2＋1)dt＝5＋10tdt，即x3＋x＝5＋5x2，(x－5)(x2＋1)＝0，因此x＝5.两物体相遇时物体A运动的距离等于x3＋x＝53＋5＝130
m.
【答案】 C
4．已知曲线C：y＝2x3－3x2－2x＋1，点P，求曲线C的过点P的切线l与曲线C围成的图形的面积.
【导学号：60030044】
【解】 设切线l与曲线C相切于点M(x0，y0)，由于y′＝6x2－6x－2，
所以有
解得x0＝0，于是切线l的斜率k＝－2，
方程为y＝－2，即y＝－2x＋1.
解方程组
得或故切线l与曲线C围成图形的面积为S＝eq
\i\in(0,,)|2x3－3x2－2x＋1－(－2x＋1)|dx＝
eq
\i\in(0,,)|2x3－3x2|dx＝＝，即所求面积为.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数y＝x＋xln
x的单调递减区间是( )
A．(－∞，e－2)
B．(0，e－2)
C．(e－2，＋∞)
D．(e2，＋∞)
【解析】 因为y＝x＋xln
x，所以定义域为(0，＋∞)．
令y′＝2＋ln
x<0，解得0即函数y＝x＋xln
x的单调递减区间是(0，e－2)，
故选B.
【答案】 B
2．(2016·深圳高二检测)如图1 3 3是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )
图1 3 3
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数
B．在区间(1,3)上f(x)是减函数
C．在区间(4,5)上f(x)是增函数
D．在区间(3,5)上f(x)是增函数
【解析】 由导函数f′(x)的图象知在区间(4,5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在(4,5)上单调递增．故选C.
【答案】 C
3．若函数f(x)＝ax3－x在R上是减函数，则( )
A．a≤0
B．a<1
C．a<2
D．a≤
【解析】 f′(x)＝3ax2－1.因为函数f(x)在R上是减函数，所以f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，所以a≤0.故选A.
【答案】 A
4．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2.则f(x)>2x＋4的解集为( )
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－∞，＋∞)
【解析】 构造函数g(x)＝f(x)－(2x＋4)，
则g(－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f′(x)>2.
∴g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)是R上的增函数．
∴f(x)>2x＋4 g(x)>0 g(x)>g(－1)，
∴x>－1.
【答案】 B
5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－)∪[，＋∞)
B．[－，]
C．(－∞，－)∪(，＋∞)
D．(－，
)
【解析】 f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a2－12≤0 －≤a≤.
【答案】 B
二、填空题
6．函数f(x)＝x－2sin
x在(0，π)上的单调递增区间为
__________.
【解析】 令f′(x)＝1－2cos
x>0，则cos
x<，又x∈(0，π)，解得【答案】
7．(2016·佛山高二检测)函数y＝x3－ax2＋x－2a在R上不是单调函数，则a的取值范围是________．
【解析】 y′＝x2－2ax＋1有两个不相等零点，得Δ＝(－2a)2－4>0，得a2>1，解得a<－1或a>1.
【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
8．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是__________.
【导学号：60030018】
【解析】 若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.
【答案】 (0，＋∞)
三、解答题
9．(2016·吉林高二检测)定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋3同时满足以下条件：
①f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数；
②f(x)的导函数是偶函数；
③f(x)在x＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直．
求函数y＝f(x)的解析式．
【解】 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
因为f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数，
所以f′(－1)＝3a－2b＋c＝0.①
由f(x)的导函数是偶函数，得b＝0，②
又f(x)在x＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直，所以f′(0)＝c＝－1，③
由①②③得a＝，b＝0，c＝－1，
即f(x)＝x3－x＋3.
10．若函数f(x)＝x3－mx2＋2m2－5的单调递减区间是(－9,0)，求m的值及函数的其他单调区间．
【解】 因为f′(x)＝3x2－2mx，
所以f′(x)<0，即3x2－2mx<0.
由题意，知3x2－2mx<0的解集为(－9,0)，
即方程3x2－2mx＝0的两根为x1＝－9，x2＝0.
由根与系数的关系，得－＝－9，即m＝－.
所以f′(x)＝3x2＋27x.
令3x2＋27x>0，解得x>0或x<－9.
故(－∞，－9)，(0，＋∞)是函数f(x)的单调递增区间．
综上所述，m的值为－，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－9)，(0，＋∞)．
[能力提升]
1．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图1 3 4所示，那么y＝f′(x)，y＝g′(x)的图象可能是( )
图1 3 4
【解析】 由题图，知函数g′(x)为增函数，f′(x)为减函数，且都在x轴上方，所以g(x)的图象上任一点的切线的斜率都大于0且在增大，而f(x)的图象上任一点的切线的斜率都大于0且在减小．又由f′(x0)＝g′(x0)，知选D.
【答案】 D
2．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当aA．f(x)g(x)>f(b)g(b)
B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(b)>f(b)g(x)
D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
【解析】 因为′＝
.又因为f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，所以在R上为减函数．又因为a>，又因为f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x)．因此选C.
【答案】 C
3．(2016·亳州高二检测)若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围为________．
【解析】 f′(x)＝3x2＋2x＋m，由于f(x)是R上的单调函数，所以f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．
由于导函数的二次项系数3>0，所以只能有f′(x)≥0恒成立．
法一 由上述讨论可知要使f′(x)≥0恒成立，只需使方程3x2＋2x＋m＝0的判别式Δ＝4－12m≤0，故m≥.
经检验，当m＝时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．
所以实数m的取值范围是m≥.
法二 3x2＋2x＋m≥0恒成立，即m≥－3x2－2x恒成立．
设g(x)＝－3x2－2x＝－32＋，易知函数g(x)在R上的最大值为，所以m≥.
经检验，当m＝时，只有个别点使f′(x)＝0，符合题意．
所以实数m的取值范围是m≥.
【答案】
4．设函数f(x)＝a2ln
x－x2＋ax(a>0)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．
【解】 (1)∵f(x)＝a2ln
x－x2＋ax，其中x>0，
∴f′(x)＝－2x＋a
＝－，
由于a>0，∴f(x)的增区间为(0，a)，减区间为(a，＋∞)．
(2)由题意得，f(1)＝a－1≥e－1，
即a≥e，
由(1)知f(x)在[1，e]上单调递增，
要使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立，
只要
解得a＝e.章末综合测评(二) 推理与证明
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下面四个推理不是合情推理的是( )
A．由圆的性质类比推出球的有关性质
B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°
C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分
D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的
【解析】 逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．
【答案】 C
2．下列几种推理是演绎推理的是( )
A．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
B．某校高三共有12个班，其中(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得出高三所有班级的人数都超过50人
C．由平面三角形的性质，推测出空间四面体的性质
D．两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝π
【解析】 A，B为归纳推理，C为类比推理．
【答案】 D
3．下列推理是归纳推理的是( )
A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆
B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＋＝1的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
【解析】 由归纳推理的特点知，选B.
【答案】 B
4．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理( )
A．完全正确
B．推理形式不正确
C．不正确，两个“自然数”概念不一致
D．不正确，两个“整数”概念不一致
【解析】 大前提“凡是自然数都是整数”正确．小前提“4是自然数”也正确，推理形式符合演绎推理规则，所以结论正确．
【答案】 A
5．用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为( )
A．(5k－2k)＋4×5k－2k
B．5(5k－2k)＋3×2k
C．(5－2)(5k－2k)
D．2(5k－2k)－3×5k
【解析】 5k＋1－2k＋1＝5k·5－2k·2＝5k·5－2k·5＋2k·5－2k·2＝5(5k－2k)＋3·2k.
【答案】 B
6．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…－＝2时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立．( )
A．k＋1
B．k＋2
C．2k＋2
D．2(k＋2)
【解析】 根据数学归纳法的步骤可知，n＝k(k≥2且k为偶数)的下一个偶数为n＝k＋2，故选B.
【答案】 B
7．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．28
B．76
C．123
D．199
【解析】 利用归纳法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．
【答案】 C
8．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：A．a－b>0
B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0
D．(a－b)(a－c)<0
【解析】 因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，
所以3c0，c<0.
要证明0，只需证明2a＋c>0(a>0，c<0，则a－c>0)，只需证明a＋c＋(－b－c)>0，即证明a－b>0，这显然成立，故选A.
【答案】 A
9．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N
)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b11＝1，则有( )
A．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b19－n
B．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b21－n
C．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b19－n
D．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b21－n
【解析】 令n＝10时，验证即知选B.
【答案】 B
10．将石子摆成如图1的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2
016项与5的差，即a2
016－5＝( )
【导学号：60030067】
图1
A．2
018×2
014
B．2
018×2
013
C．1
010×2
012
D．1
011×2
013
【解析】 an－5表示第n个梯形有n－1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n＋2个．
∴an－5＝，∴a2
016－5
＝＝2
013×1
011.
【答案】 D
11．在直角坐标系xOy中，一个质点从A(a1，a2)出发沿图2中路线依次经过B(a3，a4)，C(a5，a6)，D(a7，a8)，…，按此规律一直运动下去，则a2
015＋a2
016＋a2
017＝( )
图2
A．1
006
B．1
007
C．1
008
D．1
009
【解析】 依题意a1＝1，a2＝1；a3＝－1，a4＝2；a5＝2，a6＝3；…，归纳可得a1＋a3＝1－1＝0，a5＋a7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a2
015＋a2
017＝0，a2＝1，a4＝2，a6＝3，…，进而可归纳得a2
016＝×2
016＝1
008，a2
015＋a2
016＋a2
017＝1
008.故选C.
【答案】 C
12．记集合T＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，M＝，将M中的元素按从大到小排列，则第2
016个数是( )
A.＋＋＋
B.＋＋＋
C.＋＋＋
D.＋＋＋
【解析】 因为＋＋＋
＝(a1×103＋a2×102＋a3×101＋a4)，括号内表示的10进制数，其最大值为9
999，从大到小排列，第2
016个数为9
999－2
016＋1＝7
984，
所以a1＝7，a2＝9，a3＝8，a4＝4.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆＋＝1类似的性质为__________．
【解析】 圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆＋＝1类似的性质为：过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1.
【答案】 经过椭圆＋＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为＋＝1
14．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是________
.
【解析】 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到＜60＜，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．
【答案】 (5,7)
15．(2016·东莞高二检测)当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，当n＝2时，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当n∈N
时，你能得到的结论是__________．
【解析】 根据题意，由于当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，当n＝2时，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，
当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，
当n∈N
时，左边第二个因式可知为an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn，那么对应的表达式为(a－b)·(an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1.
【答案】 (a－b)(an＋an－1b＋…＋abn－1＋bn)＝an＋1－bn＋1
16．如图3，如果一个凸多面体是n(n∈N
)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f(n)对异面直线，则f(4)＝________，f(n)＝__________.(答案用数字或n的解析式表示)
图3
【解析】 所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n＋n＋＝.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f(4)＝4×2＋×2＝12，所以f(n)＝n(n－2)＋·(n－2)＝.
【答案】 12
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：
(1)如果a，b>0，则lg
≥；
(2)＋>2＋2.
【导学号：60030068】
【证明】 (1)当a，b>0时，有≥，
∴lg≥lg，
∴lg
≥lg
ab＝.
(2)要证＋>2＋2，
只要证(＋)2>(2＋2)2，
即2>2，这是显然成立的，
所以，原不等式成立．
18．(本小题满分12分)观察以下各等式：
sin230°＋cos260°＋sin
30°cos
60°＝，
sin220°＋cos250°＋sin
20°cos
50°＝，
sin215°＋cos245°＋sin
15°cos
45°＝.
分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．
【解】 猜想：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin
αcos(α＋30°)＝.
证明如下：
sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin
αcos(α＋30°)
＝sin2α＋2
＋sin
α
＝sin2α＋cos2α－sin
αcos
α＋sin2α＋
sin
α·cos
α－sin2α
＝sin2α＋cos2α
＝.
19．(本小题满分12分)等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N
)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
【解】 (1)由已知得∴d＝2.
故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0，
∵p，q，r∈N
，
∴∴2＝pr，(p－r)2＝0.
∴p＝r，与p≠r矛盾．
∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
20．(本小题满分12分)点P为斜三棱柱ABC A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.
(1)求证：CC1⊥MN；
(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．
【解】 (1)因为PM⊥BB1，PN⊥BB1，又PM∩PN＝P，
所以BB1⊥平面PMN，所以BB1⊥MN.
又CC1∥BB1，所以CC1⊥MN.
(2)在斜三棱柱ABC A1B1C1中，有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1SACC1A1cos
α.
其中α为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角．
证明如下：
因为CC1⊥平面PMN，所以上述的二面角的平面角为∠MNP.
在△PMN中，
因为PM2＝PN2＋MN2－2PN·
MNcos∠MNP，
所以PM2·CC＝PN2·CC＋MN2·CC－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，
由于SBCC1B1＝PN·CC1，SACC1A1＝MN·CC1，
SABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，
所以S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1·cos
α.
21．(本小题满分12分)(2014·江苏高考)如图4，在三棱锥P ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求证：
图4
(1)直线PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
【证明】 (1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.
又因为PA 平面DEF，DE 平面DEF，
所以直线PA∥平面DEF.
(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.
又因为DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.
又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.
因为AC∩EF＝E，AC 平面ABC，EF 平面ABC，
所以DE⊥平面ABC.
又DE 平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABC.
22．(本小题满分12分)在数列{an}中，a1＝1，a2＝，且an＋1＝(n≥2)．
(1)求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明；
(2)设bn＝，
求证：对任意的n∈N
，都有b1＋b2＋…＋bn<.
【解】 (1)容易求得：a3＝，a4＝.
故可以猜想an＝，n∈N
.
下面利用数学归纳法加以证明：
①显然当n＝1,2,3,4时，结论成立，
②假设当n＝k(k≥4，k∈N
)时，结论也成立，即
ak＝.
那么当n＝k＋1时，由题设与归纳假设可知：
ak＋1＝＝
＝＝
＝＝.
即当n＝k＋1时，结论也成立，综上，对任意n∈N
，an＝成立．
(2)bn＝
＝
＝＝(－)，
所以b1＋b2＋…＋bn
＝[(－1)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]
＝(－1)，
所以只需要证明(－1)< <＋1 3n＋1<3n＋2＋1 0<2(显然成立)，
所以对任意的n∈N
，都有b1＋b2＋…＋bn<.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．关于定积分m＝dx，下列说法正确的是( )
A．被积函数为y＝－x
B．被积函数为y＝－
C．被积函数为y＝－x＋C
D．被积函数为y＝－x3
【解析】 被积函数为y＝－.
【答案】 B
2．(2016·菏泽高二检测)已知定积分f(x)dx＝8，且f(x)为偶函数，则f(x)dx＝( )
A．0
B．16
C．12
D．8
【解析】 偶函数图象关于y轴对称，故f(x)dx＝2f(x)dx＝16.故选B.
【答案】 B
3．设f(x)＝则f(x)dx的值是( )
A.
x2dx
B.
2xdx
C.
x2dx＋2xdx
D.
2xdx＋x2dx
【解析】 被积函数f(x)是分段函数，故将积分区间[－1,1]分为两个区间[－1,0]和[0,1]，由定积分的性质知选D.
【答案】 D
4．下列各阴影部分的面积S不可以用S＝[f(x)－g(x)]dx求出的是( )
【导学号：60030035】
【解析】 定积分S＝[f(x)－g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积，必须注意f(x)的图象要在g(x)的图象上方，对照各选项，知D中f(x)的图象不全在g(x)的图象上方．
【答案】 D
5．定积分f(x)dx的大小( )
A．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关
B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关
C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关
D．与f(x)，积分区间[a，b]和ξi的取法都有关
【解析】 定积分的大小与被积函数以及区间有关，与ξi的取法无关．
【答案】 A
二、填空题
6．(2016·长春高二检测)定积分(－3)dx＝__________.
【解析】 由定积分的几何意义知，定积分
(－3)dx表示由x＝1，x＝3与y＝－3，y＝0
所围成图形面积的相反数．所以(－3)dx
＝－(2×3)＝－6.
【答案】 －6
7．定积分－1|x|dx＝__________.
【解析】 如图，|x|dx＝＋2＝.
【答案】
8．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________．
【解析】 如图所示，阴影部分的面积可表示为xdx－dx＝dx.
【答案】 dx
三、解答题
9．(2016·济南高二检测)已知x3dx＝，x3dx＝，x2dx＝，x2dx＝，求：
(1)3x3dx；(2)6x2dx；(3)(3x2－2x3)dx.
【解】 (1)3x3dx＝3x3dx
＝3
＝3＝12.
(2)6x2dx＝6x2dx
＝6＝6＝126.
(3)(3x2－2x3)dx＝3x2dx－2x3dx＝3×－2×＝－.
10．利用定积分的几何意义，求1dx的值．
【解】 y＝(－1≤x≤1)表示圆x2＋y2＝1在x轴上方的半圆(含圆与x轴的交点)．根据定积分的几何意义，知dx表示由曲线y＝与直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积，
所以dx＝S半圆＝π.
[能力提升]
1．(2016·黄冈高二检测)设曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭区域的面积为S，则下列等式成立的是( )
A．S＝(x2－x)dx
B．S＝(x－x2)dx
C．S＝(y2－y)dy
D．S＝(y－)dy
【解析】 作出图形如图，由定积分的几何意义知，S＝(x－x2)dx，
选B.
【答案】 B
2．已知和式S＝(p>0)，当n趋向于∞时，S无限趋向于一个常数A，则A可用定积分表示为( )
【导学号：60030036】
A.dx
B.xpdx
C.pdx
D.pdx
【解析】 S＝＋p＋p＋…＋
＝p·，
∴p·＝xpdx.
【答案】 B
3．(2016·深圳高二检测)定积分2
017
dx＝________________.
【解析】 由定积分的几何意义知，定积分表示由直线x＝2
016，x＝2
017与y＝2
017，y＝0所围成矩形的面积，所以2
017dx＝(2
017－2
016)×2
017＝2
017.
【答案】 2
017
4．已知函数f(x)＝求f(x)在区间[－2,2π]上的积分．
【解】 由定积分的几何意义知x3dx＝0，
2xdx＝＝π2－4，
cos
xdx＝0.
由定积分的性质得
f(x)dx＝x3dx＋2xdx＋cos
xdx＝π2－4学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝( )
A．4
B．－4
C．－2
D．2
【解析】 由导数的几何意义知f′(1)＝2，故选D.
【答案】 D
2．直线y＝kx＋1与曲线y＝x2＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值等于( )
A．2
B．－1
C．1
D．－2
【解析】 依导数定义可求得y′＝3x2＋a，则由此解得所以2a＋b＝1，选C.
【答案】 C
3．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是( )【导学号：60030007】
A．(1,1)
B．(－1,1)
C．(1,1)或(－1，－1)
D．(2,8)或(－2，－8)
【解析】 因为y＝x3，所以y′＝
＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.
由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.
当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.
故点P的坐标是(1,1)或(－1，－1)．
【答案】 C
4．(2016·银川高二检测)若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A．4x－y－4＝0
B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0
D．x＋4y＋3＝0
【解析】 设切点为(x0，y0)，
∵f′(x)＝
＝
(2x＋Δx)＝2x.
由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，
∴x0＝2，∴切点坐标为(2,4)，∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故选A.
【答案】 A
5．曲线y＝在点处的切线的斜率为( )
A．2
B．－4
C．3
D.
【解】 因为y′＝
＝
＝
＝－，
所以曲线在点处的切线斜率为k＝y′|x＝＝－4.
【答案】 B
二、填空题
6．已知函数y＝f(x)的图象如图1 1 5所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是__________(填序号)．
图1 1 5
【解析】 由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时f′(x)＝0，当x>0时f′(x)<0，故②符合．
【答案】 ②
7．曲线y＝x2－2x＋3在点A(－1,6)处的切线方程是
__________.
【解析】 因为y＝x2－2x＋3，切点为点A(－1,6)，所以斜率k＝y′|x＝－1
＝
＝
(Δx－4)＝－4，
所以切线方程为y－6＝－4(x＋1)，即4x＋y－2＝0.
【答案】 4x＋y－2＝0
8．若曲线y＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，则点P的坐标是__________．
【解析】 设P(x0，y0)，则
y′|x＝x0＝
＝
(2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2.
因为点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，
所以点P处的切线的斜率为2，
所以2x0＋2＝2，解得x0＝0，即点P的坐标是(0,0)．
【答案】 (0,0)
三、解答题
9．(2016·安顺高二检测)已知抛物线y＝f(x)＝x2＋3与直线y＝2x＋2相交，求它们交点处抛物线的切线方程．
【解】 由方程组得x2－2x＋1＝0，
解得x＝1，y＝4，所以交点坐标为(1,4)，又＝Δx＋2.
当Δx趋于0时Δx＋2趋于2，所以在点(1,4)处的切线斜率k＝2，
所以切线方程为y－4＝2(x－1)，即y＝2x＋2.
10．试求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程．
【解】 y′＝
＝
＝2x.
设所求切线的切点为A(x0，y0)．
∵点A在曲线y＝x2上，
∴y0＝x，
又∵A是切点，
∴过点A的切线的斜率y′|x＝x0＝2x0，
∵所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，
∴其斜率为＝.
∴2x0＝，
解得x0＝1或x0＝5.
从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)．
当切点为(1,1)时，切线的斜率为k1＝2x0＝2；
当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10.
∴所求的切线有两条，方程分别为y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)，即y＝2x－1和y＝10x－25.
[能力提升]
1．(2016·天津高二检测)设f(x)为可导函数，且满足
＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
【导学号：60030008】
A．2
B．－1
C．1
D．－2
【解析】 ∵
＝
＝－1，
∴
＝－2，即f′(1)＝－2.
由导数的几何意义知，曲线在点(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝－2，故选D.
【答案】 D
2．直线y＝kx＋1与曲线y＝x2＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值等于( )
A．2
B．－1
C．1
D．－2
【解析】 依导数定义可求得y′＝3x2＋a，则由此解得所以2a＋b＝1，选C.
【答案】 C
3．(2016·郑州高二检测)已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a的值为________．
【解析】 设切点为P(x0，y0)．
则f′(x0)＝
＝
＝
(2ax0＋aΔx)＝2ax0，即2ax0＝1.
又y0＝ax，x0－y0－1＝0，
联立以上三式，得解得a＝.
【答案】
4．已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公切线，求a，b的值．
【解】 因为f′(x)＝
＝
＝2ax，
所以f′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.
因为g′(x)＝
＝
＝3x2＋b，
所以g′(1)＝3＋b，即切线的斜率k2＝3＋b.
因为在交点(1，c)处有公切线，
所以2a＝3＋b.①
又因为c＝a＋1，c＝1＋b，
所以a＋1＝1＋b，即a＝b，
代入①式，得学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·青岛高二检测)在复平面内，复数z＝sin
2＋icos
2对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 ∵sin
2>0，cos
2<0，
∴复数z对应的点(sin
2，cos
2)在第四象限．故选D.
【答案】 D
2．已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )
A．a≠2或a≠1
B．a≠2，且a≠1
C．a＝0
D．a＝2或a＝0
【解析】 由题意，得a2－2a＝0，得a＝0或a＝2.故选D.
【答案】 D
3．在复平面内，O为原点，向量O对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量O对应的复数为( )
A．－2－i
B．－2＋i
C．1＋2i
D．－1＋2i
【解析】 因为复数－1＋2i对应的点为A(－1,2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，所以O对应的复数为－2＋i.
【答案】 B
4．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是( )
A．1个圆
B．线段
C．2个点
D．2个圆
【解析】 由题意知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
即|z|＝3或|z|＝－1，
∵|z|≥0，
∴|z|＝3，
∴复数z对应点的轨迹是1个圆．
【答案】 A
5．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 由题意可得复数z＝－2＋i，故在复平面内对应的点为(－2,1)，在第二象限，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝______.
【解析】 复数z1＝2－3i对应的点为(2，－3)，则z2对应的点为(－2,3)，所以z2＝－2＋3i.
【答案】 －2＋3i
7．已知在△ABC中，，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则对应的复数为________．
【解析】 因为，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，所以＝(－1,2)，＝(－2，－3)，又＝－＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以对应的复数为－1－5i.
【答案】 －1－5i
8．已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系为________.
【导学号：60030076】
【解析】 由3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，
得x＝3，y＝－4.
而|1－5i|＝＝，
|x－yi|＝|3＋4i|＝＝5，
|y＋2i|＝|－4＋2i|＝＝，
∵<5<，
∴|y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|.
【答案】 |y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|
三、解答题
9．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．
【解】 ∵复数z对应的点在第一象限．
∴
解得m<或m>.
所以实数m的取值范围为
∪.
10．求复数z＝1＋cos
α＋isin
α(π<α<2π)的模．
【解】 |z|＝＝＝2，因为π<α<2π，
所以<<π，
所以cos
<0，所以|z|＝－2cos
.
[能力提升]
1．已知复数z对应的向量为O(O为坐标原点)，O与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为( )
A．1＋i
B．2
C．(－1,
)
D．－1＋i
【解析】 设复数z对应的点为(x，y)，则
x＝|z|·cos
120°＝2×＝－1，
y＝|z|·sin
120°＝2×＝，
∴复数z对应的点为(－1,
)，∴z＝－1＋i.
【答案】 D
2．与x轴同方向的单位向量e1，与y轴同方向的单位向量e2，它们对应的复数分别是( )
A．e1对应实数1，e2对应虚数i
B．e1对应虚数i，e2对应虚数i
C．e1对应实数1，e2对应虚数－i
D．e1对应实数1或－1，e2对应虚数i或－i
【解析】 e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．
【答案】 A
3．复数z＝－5－12i在复平面内对应的点到原点的距离为__________．
【解析】 复数z＝－5－12i在复平面内对应点Z(－5，－12)，所以点Z与原点O的距离为|OZ|＝＝13.
【答案】 13
4．已知O为坐标原点，O1对应的复数为－3＋4i，O2对应的复数为2a＋i(a∈R)．若O1与O2共线，求a的值．
【解】 因为O1对应的复数为－3＋4i，O2对应的复数为2a＋i，所以O1＝(－3,4)，O2＝(2a,1)．因为O1与O2共线，所以存在实数k使O2＝k1，即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，
所以所以
即a的值为－.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．把区间[1,3]n等分，所得n个小区间中每个小区间的长度为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 区间长度为2，n等分后每个小区间的长度都是，故选B.
【答案】 B
2．和式(yi＋1)可表示为( )
A．(y1＋1)＋(y5＋1)
B．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋1
C．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5
D．(y1＋1)(y2＋1)…(y5＋1)
【解析】 (yi＋1)＝(y1＋1)＋(y2＋1)＋(y3＋1)＋(y4＋1)＋(y5＋1)＝y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5.
【答案】 C
3．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值可以用下列哪个值近似代替( )
【导学号：60030031】
A．f
B．f
C．f
D．f(0)
【解析】 当n很大时，f(x)＝x2在区间上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替．
【答案】 C
4．(2016·郑州高二检测)直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为( )
A．3.92,5.52
B．4,5
C．2,51,3.92
D．5.25,3.59
【解析】 将区间[0,2]5等分为，，，，，以小区间左端点对应的函数值为高，得S1＝
×＝3.92，
同理S2＝
×＝5.52.故选A.
【答案】 A
5．(2016·大连高二检测)设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0A．与f(x)和区间[a，b]有关，与分点的个数n和ξi的取法无关
B．与f(x)，区间[a，b]和分点的个数n有关，与ξi的取法无关
C．与f(x)，区间[a，b]，分点的个数n和ξi的取法都有关
D．与f(x)，区间[a，b]和ξi取法有关，与分点的个数n无关
【解析】 因为用分点a＝x0，和式的大小与函数式，区间，分点的个数和变量的取法都有关．
【答案】 C
二、填空题
6．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为__________．
【解析】 ∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.
∴物体运动的路程近似值S＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.
【答案】 55
7．物体运动的速度和时间的函数关系式为v(t)＝2t(t的单位：h，v的单位：km/h)，近似计算在区间[2,8]内物体运动的路程时，把区间6等分，则过剩近似值(每个ξi均取值为小区间的右端点)为__________km.
【解析】 以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度，可得过剩近似值为s＝(2×3＋2×4＋2×5＋2×6＋2×7＋2×8)×1＝66(km)．
【答案】 66
8．汽车以v＝(3t＋2)m/s做变速直线运动时，第1
s到第2
s间的1
s内经过的路程是________m.
【解析】 由题意知，所求路程为直线x＝1，x＝2，y＝0与y＝3x＋2所围成的直角梯形的面积，故S＝×(5＋8)×1＝6.5(m)．
【答案】 6.5
三、解答题
9．(2016·深圳高二检测)有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)＝3t2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？
【解】 在时间区间[0,2]上等间隔地插入n－1个分点，将它分成n个小区间，记第i个小区间为(i＝1,2，…，n)，其长度为Δt＝－＝.每个时间段上行驶的路程记为Δsi(i＝1,2，…，n)，则显然有s＝si，取ξi＝(i＝1,2，…，n)．于是
Δsi≈Δs′i＝v·Δt
＝·，
sn＝si＝·＋4
＝8＋4.
从而得到s的近似值s≈sn.
s＝sn＝
＝8＋4＝12.
所以这段时间内行驶的路程为12
km.
10．(2016·泰安高二检测)求由直线x＝0，x＝1，y＝0及曲线f(x)＝x2所围成的图形的面积．
【解】 (1)分割
将区间[0,1]等分成n个小区间：
，，…，，…，.
每个小区间的长度为Δx＝.
过各分点作x轴的垂线，将曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.
(2)近似代替
在区间上，用处的函数值
2作为高，以小区间的长度Δx＝作为底边长的小矩形的面积近似代替第i个小曲边梯形的面积，即ΔSi≈2·.
(3)求和
曲边梯形的面积为
Sn＝Si≈2·
＝0·＋·2·＋·2·＋…＋·2·＝[12＋22＋…＋(n－1)2]
＝.
(4)取极限
所围成图形的面积为S＝
＝.
[能力提升]
1．下列函数在其定义域上不是连续函数的是( )
A．y＝x2
B．y＝|x|
C．y＝
D．y＝
【解析】 由于函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故其图象不是连续不断的曲线．
【答案】 D
2．在等分区间的情况下f(x)＝(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 将(0,2]进行n等分，每个区间长度为，则每一个小矩形的面积为·，再由曲边梯形的面积的意义求之．
【答案】 B
3．汽车以10
m/s的速度行驶，在某处需要减速停车，设汽车以加速度－2
m/s2刹车，若把刹车时间5等分，则从开始刹车到停车，汽车刹车距离的过剩估计值(取每个小区间的左端点对应的函数值)为__________m.
【解析】 由题意知，v(t)＝v0＋at＝10－2t.
令v(t)＝0，得t＝5，即t＝5
s时，汽车将停车．
将区间[0,5]5等分，用每个小区间的左端点的函数值近似替代每个小区间上的平均速度，可得汽车刹车距离的过剩近似值为
S＝(10＋10－2×1＋10－2×2＋10－2×3＋10－2×4)×1＝30(m)．
【答案】 30
4．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)＝kx(k为常数，x是伸长量)，求将弹簧从平衡位置拉长b所做的功．
【解】 将物体用常力F沿力的方向拖动距离x，则所做的功W＝F·x.
(1)分割
在区间[0，b]上等间隔地插入n－1个点，将区间[0，b]等分成n个小区间：
，，…，，记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝－＝.
把在分段，，…，上所做的功分别记作：
ΔW1，ΔW2，…，ΔWn.
(2)近似代替
取各小区间的右端点函数值作为小矩形的高，由条件知：ΔWi≈F·Δx＝k··(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
Wn＝Wi≈··
＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝×＝.
从而得到W的近似值
W≈Wn＝.
(4)取极限
W＝Wn＝Wi
＝
＝.
所以将弹簧从平衡位置拉长b所做的功为.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为( )
A．3
B．2
C．1
D．4
【解析】 由已知得：＝3，
∴m＋1＝3，∴m＝2.
【答案】 B
2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )
【导学号：60030003】
A．－3
B．3
C．6
D．－6
【解析】 由平均速度和瞬时速度的关系可知，
v＝s′(1)＝
(－3Δt－6)＝－6.
【答案】 D
3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则＝( )
A．4
B．4x
C．4＋2Δx
D．4＋2(Δx)2
【解析】 因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－4－(2×12－4)＝4Δx＋2(Δx)2，
所以＝＝4＋2Δx.
【答案】 C
4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a
B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a
D．f′(x0)＝b
【解析】 ∵f′(x0)＝
＝
＝
(a＋bΔx)＝a，
∴f′(x0)＝a.
【答案】 C
5．设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且
＝1，则f′(x0)等于( )
A．1
B．－1
C．－
D.
【解析】 ∵
＝[·(－3)]
＝－3f′(x0)＝1，
∴f′(x0)＝－.
【答案】 C
二、填空题
6．(2016·太原高二检测)若f′(x0)＝1，则
＝__________.
【解析】
＝－
＝－f′(x0)＝－.
【答案】 －
7．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图1 1 2所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，其三者的大小关系是________．
图1 1 2
【解析】 ∵1＝＝kMA，
2＝＝kAB，
3＝＝kBC，
由图象可知：kMA2>1.
【答案】 3>2>1
8．一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是__________．
【解析】 物体的速度为v＝s′(t)，
∴s′(t)＝
＝
＝
＝2－6t.
即v＝2－6t，
所以物体的初速度是v0＝2－6×0＝2.
【答案】 2
三、解答题
9．已知某物体按照s(t)＝3t2＋t＋4(t的单位：s，s的单位：m)的规律做直线运动，求该物体在4
s附近的平均速度．
【解】 ＝＝
＝
＝(25＋3Δt)m/s，
即该物体在4
s附近的平均速度为(25＋3Δt)m/s.
10．(2016·聊城高二检测)求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数．
【解】 因为Δy＝[(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b]－(x2＋ax＋b)＝2x·Δx＋(Δx)2＋a·Δx＝(2x＋a)·Δx＋(Δx)2，
故＝＝(2x＋a)＋Δx，
＝
(2x＋a＋Δx)＝2x＋a，所以y′＝2x＋a.
[能力提升]
1．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是( )
A．1
B．－1
C．±1
D．3
【解析】 ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2，
∴f′(x0)＝[3x＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x，
由f′(x0)＝3，得3x＝3，∴x0＝±1.
【答案】 C
2．如果函数y＝f(x)在x＝1处的导数为1，那么
＝( )
【导学号：60030004】
A.
B．1
C．2
D.
【解析】 因为f′(1)＝1，所以
＝1，
所以
＝
＝.
【答案】 A
3．已知f′(x0)>0，若a＝
，b＝
，c＝
，
d＝
，e＝
，
则a，b，c，d，e的大小关系为__________．
【解析】 a＝
＝f′(x0)，
b＝
＝－
＝－f′(x0)，
c＝
＝2
＝2f′(x0)，
d＝
＝f′(x0)，
e＝
＝f′(x0)．
即c>a＝d＝e>b.
【答案】 c>a＝d＝e>b
4．(2016·南充高二检测)某一运动物体，在x(s)时离开出发点的距离(单位：m)是f(x)＝x3＋x2＋2x.
(1)求在第1
s内的平均速度；
(2)求在1
s末的瞬时速度；
(3)经过多少时间该物体的运动速度达到14
m/s
【解】 (1)物体在第1
s内的平均变化率(即平均速度)为＝
m/s.
(2)＝
＝
＝6＋3Δx＋(Δx)2.
当Δx→0时，→6，
所以物体在1
s末的瞬时速度为6
m/s.
(3)＝＝
＝2x2＋2x＋2＋(Δx)2＋2x·Δx＋Δx.
当Δx→0时，→2x2＋2x＋2，
令2x2＋2x＋2＝14，
解得x＝2，
即经过2
s该物体的运动速度达到14
m/s.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·厦门高二检测)用火柴棒摆“金鱼”，如图2 1 7所示：
图2 1 7
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )
A．6n－2
B．8n－2
C．6n＋2
D．8n＋2
【解析】 观察易知第1个“金鱼”图中需要火柴棒8根，而第2个“金鱼”图中比第1个“金鱼”图中多的部分需要火柴棒6根，第3个“金鱼”图中比第2个“金鱼”图中多的部分需要火柴棒6根……由此可猜测第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数比第n－1个“金鱼”图需要火柴棒的根数多6，即各个“金鱼”图需要火柴棒的根数组成以8为首项，6为公差的等差数列，易求得通项公式为an＝6n＋2.
【答案】 C
2．数列－3,7，－11,15，…的通项公式可能是( )
A．an＝4n－7
B．an＝(－1)n(4n＋1)
C．an＝(－1)n(4n－1)
D．an＝(－1)n＋1(4n－1)
【解析】 当数列中负项、正项交替出现时，用(－1)n来控制；若是正项、负项交替出现，则用(－1)n＋1来控制．
【答案】 C
3．定义A
B，B
C，C
D，D
B依次对应下列4个图形：
图2 1 8
那么下列4个图形中，
可以表示A
D，A
C的分别是( )
A．(1)，(2)
B．(1)，(3)
C．(2)，(4)
D．(1)，(4)
【解析】 由①②③④可归纳得出：符号“
”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，∴A
D是(2)，A
C是(4)．
【答案】 C
4．下列推理正确的是( )
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则sin(x＋y)＝sin
x＋sin
y
C．把(ab)n与(x＋y)n类比，则(x＋y)n＝xn＋yn
D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则(xy)z＝x(yz)
【解析】 A错误，因为logax＋logay＝logaxy(x>0，y>0)；
B错误，因为sin(x＋y)＝sin
xcos
y＋cos
xsin
y；
C错误，如当n＝2时，若xy≠0，则(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2≠x2＋y2；
D正确，类比的是加法、乘法的结合律．
【答案】 D
5．给出下列等式：
1×9＋2＝11，
12×9＋3＝111，
123×9＋4＝1
111，
1
234×9＋5＝11
111，
12
345×9＋6＝111
111，
…
猜测123
456×9＋7等于( )
A．1
111
110
B．1
111
111
C．1
111
112
D．1
111
113
【解析】 由题中给出的等式猜测，应是各位数都是1的七位数，即1
111
111.
【答案】 B
二、填空题
6．已知
＝2·
，＝3·，＝4·
，….若＝8·(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a＋t＝________.
【解析】 由所给等式知，a＝8，t＝82－1＝63，∴a＋t＝71.
【答案】 71
7．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为__________.
【导学号：60030050】
【解析】 ∵f(2)＝，f(4)>2＝，f(8)>，f(16)>3＝，∴由此可推测一般性的结论为f(2n)≥.
【答案】 f(2n)≥
8．对于命题“如果O是线段AB上一点，则|
|·＋||·＝0”，将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝0，将它类比到空间的情形应为：若O是四面体ABCD内一点，则有________________________________________________．
【解析】 根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为
VO BCD·＋VO ACD·＋VO ABD·＋VO ABC·＝0.
【答案】 VO BCD·＋VO ACD·＋VO ABD·＋VO ABC·＝0
三、解答题
9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：
(1)三角形两边之和大于第三边．
(2)三角形的面积S＝×底×高．
(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的.
…
请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．
【解】 由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：
(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．
(2)四面体的体积V＝×底面积×高．
(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.
10．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图2 1 9(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
图2 1 9
(1)求出f(5)；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式．
【解】 (1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，
∴f(5)＝25＋4×4＝41.
(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.
∴f(2)－f(1)＝4×1，
f(3)－f(2)＝4×2，
f(4)－f(3)＝4×3，
…
f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，
f(n)－f(n－1)＝4·(n－1)．
∴f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n－2)＋(n－1)]
＝2(n－1)·n，
∴f(n)＝2n2－2n＋1.
[能力提升]
1．观察下列各式：
1＝12，
2＋3＋4＝32，
3＋4＋5＋6＋7＝52，
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，
…
可以得出的一般结论是( )
A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2
B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2
D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2
【解析】 观察已知等式，第n个等式左边都是2n－1个数相加，第1个数是n，等式右边是(2n－1)2.由此可得一般结论为：
n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，故选B.
【答案】 B
2．已知x>0，由不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…我们可以得出推广结论：x＋≥n＋1(n∈N
)，则a＝( )
A．2n
B．n2
C．3n
D．nn
【解析】 ∵x＋≥2＝2，
x＋＝＋＋≥3＝3.
…
由此猜想，x＋＝＋≥n＋1，
n个
所以a＝nn，选D.
【答案】 D
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径为r＝，将此结论类比到空间，得到相类似的结论为：________.
【导学号：60030051】
【解析】 利用类比推理，可把Rt△ABC类比为三棱锥P ABC，且PA，PB，PC两两垂直，当PA＝a，PB＝b，PC＝c时，其外接球半径为R＝.
【答案】 在三棱锥P ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝a，PB＝b，PC＝c，则三棱锥P ABC的外接球的半径为R＝
4．如图2 1 10所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N
，m≥2)．
图2 1 10
(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；
(2)若把(1)中的数列记为{an}，归纳该数列的通项公式；
(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；
(4)已知an＝9
900，问an是数列的第几项？
【解】 (1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….
(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想an＝(n＋1)·(n＋2)，n∈N
.
(3)a10＝11×12＝132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.
(4)令(n＋1)(n＋2)＝9
900，所以n＝98，即an是数列的第98项，此时方阵为99行100列．学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．i为虚数单位，2＝( )
A．－1
B．1
C．－i
D．i
【解析】 2＝＝＝－1.
【答案】 A
2．如图3 2 3，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )
图3 2 3
A．A
B．B
C．C
D．D
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，且a<0，b>0，则z的共轭复数为a－bi，其中a<0，－b<0，故应为B点．
【答案】 B
3．复数z＝－ai，a∈R，且z2＝－i，则a的值为( )
A．1
B．2
C.
D.
【解析】 由z＝－ai，a∈R，得z2＝2－2××ai＋(ai)2＝－a2－ai，因为z2＝－i，所以解得a＝.
【答案】 C
4．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于( )
【导学号：60030082】
A.
B.
C．1
D．2
【解析】 ∵z＝＝＝
＝＝＝－＋，
∴＝－－，
∴z·＝.
【答案】 A
5．已知复数z＝2－i，则z·的值为( )
A．5
B.
C．3
D.
【解析】 z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故选A.
【答案】 A
二、填空题
6．复数的值是________
.
【解析】 ＝＝－1.
【答案】 －1
7．设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，若z1z2∈R，则x等于________．
【解析】 ∵z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，
∴z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝(x－2)＋(x＋2)i.
∵z1z2∈R，∴x＋2＝0，即x＝－2.
【答案】 －2
8．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝__________.
【解析】 ∵＝b＋i，
∴a＋2i＝(b＋i)i＝－1＋bi，
∴a＝－1，b＝2，
∴a＋b＝1.
【答案】 1
三、解答题
9．计算：
(1)(1－i)(－1＋i)＋(－1＋i)；
(2)(1＋i).
【解】 (1)原式＝－1＋i＋i－i2－1＋i＝－1＋3i.
(2)原式＝(1＋i)＝1＋i.
10．已知复数z满足z＝(－1＋3i)(1－i)－4.
(1)求复数z的共轭复数；
(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．
【解】 (1)z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，
所以复数z的共轭复数为－2－4i.
(2)w＝－2＋(4＋a)i，复数w对应向量为(－2,4＋a)，其模为＝.
又复数z所对应向量为(－2,4)，其模为2.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，a(a＋8)≤0，
所以实数a的取值范围是－8≤a≤0.
[能力提升]
1．(2016·宁夏练习)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
【解析】 A，|z1－z2|＝0 z1－z2＝0 z1＝z2 1＝2，真命题；
B，z1＝2 1＝2＝z2，真命题；
C，|z1|＝|z2| |z1|2＝|z2|2 z1·1＝z2·2，真命题；
D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z＝1，z＝－1，即z≠z，假命题．
【答案】 D
2．已知3－i＝z·(－2i)，那么复数z在复平面内对应的点应位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 ∵3－i＝z·(－2i)，
∴z＝＝＝＝＋i.
∴其对应点的坐标为，在第一象限．
【答案】 A
3．若复数z＝的实部为3，则z的虚部为________．
【导学号：60030083】
【解析】 z＝＝＝＝＋i.由题意知＝3，∴a＝－1，∴z＝3＋i.
∴z的虚部为1.
【答案】 1
4．已知z为复数，为实数，为纯虚数，求复数z.
【解】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝＝(a－1＋bi)·(－i)＝b－(a－1)i.
因为为实数，所以a－1＝0，即a＝1.
又因为＝＝为纯虚数，
所以a－b＝0，且a＋b≠0，所以b＝1.
故复数z＝1＋i.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．给出下面一段演绎推理：
有理数是真分数，大前提
整数是有理数，小前提
整数是真分数．结论
结论显然是错误的，是因为( )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．非以上错误
【解析】 举反例，如2是有理数，但不是真分数，故大前提错误．
【答案】 A
2．已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：BC方框部分的证明是演绎推理的( )
A．大前提
B．小前提
C．结论
D．三段论
【解析】 因为本题的大前提是“在同一个三角形中，大角对大边，小角对小边”，证明过程省略了大前提，方框部分的证明是小前提，结论是“BC【答案】 B
3．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( )
A．①④
B．②④
C．①③
D．②③
【解析】 根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．
【答案】 A
4．(2016·郑州高二检测)在R上定义运算 ：x y＝x(1－y)．若不等式(x－a) (x＋a)<1对任意实数x都成立，则( )
【导学号：60030053】
A．－1B．0C．－D．－【解析】 ∵x y＝x(1－y)，
∴(x－a) (x＋a)＝(x－a)(1－x－a)＝－x2＋x＋a2－a<1.∴x2－x－a2＋a＋1>0，∵不等式(x－a) (x＋a)<1对任意实数x都成立，
∴Δ＝1－4×(－a2＋a＋1)<0，
解得－【答案】 C
5．“四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充该推理的大前提是( )
A．正方形的对角线相等
B．矩形的对角线相等
C．等腰梯形的对角线相等
D．矩形的对边平行且相等
【解析】 得出“四边形ABCD的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等”．
【答案】 B
二、填空题
6．在三段论“因为a＝(1,0)，b＝(0，－1)，所以a·b＝(1,0)·(0，－1)＝1×0＋0×(－1)＝0，所以a⊥b”中，
大前提：_________________________________________________________，
小前提：_________________________________________________________，
结论：___________________________________________________________.
【解析】 本题省略了大前提，即“a，b均为非零向量，若a·b＝0，则a⊥b”．
【答案】 若a，b均为非零向量，a·b＝0，则a⊥b
a＝(1,0)，b＝(0，－1)，且a·b＝(1,0)·(0，－1)＝1×0＋0×(－1)＝0 a⊥b
7．(2016·苏州高二检测)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除．其演绎推理的“三段论”的形式为_______________________
_________________________________________________________________
_______________________________________________________________.
【答案】 一切奇数都不能被2整除，
大前提
2100＋1是奇数，小前提
所以2100＋1不能被2整除．结论
8．若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N
)，且f(1)＝2，则＋＋…＋＋＝________.
【解析】 利用三段论．∵f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N
)(大前提)．
令b＝1，则＝f(1)＝2(小前提)．
∴＝＝…＝＝＝2(结论)，
∴原式＝＝2
018.
【答案】 2
018
三、解答题
9．用三段论的形式写出下列演绎推理．
(1)自然数是整数，所以6是整数；
(2)y＝cos
x(x∈R)是周期函数．
【解】 (1)自然数是整数，(大前提)
6是自然数，(小前提)
所以6是整数．(结论)
(2)三角函数是周期函数，(大前提)
y＝cos
x(x∈R)是三角函数，(小前提)
所以y＝cos
x(x∈R)是周期函数．(结论)
10．已知y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x2)＝2f(x)；
(2)求f(1)的值；
(3)若f(x)＋f(x＋3)≤2，求x的取值范围．
【解】 (1)∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，(大前提)
∴f(x2)＝f(x·x)
＝f(x)＋f(x)＝2f(x)．(结论)
(2)∵f(1)＝f(12)＝2f(1)，(小前提)
∴f(1)＝0.(结论)
(3)∵f(x)＋f(x＋3)＝f(x(x＋3))≤2
＝2f(2)＝f(4)，(小前提)
且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，(大前提)
∴解得0[能力提升]
1．有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b 平面α，直线a 平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a.结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．非以上错误
【解析】 大前提是错误的，直线平行于平面，但不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况．
【答案】 A
2．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的”中的“小前提”是( )
A．①
B．②
C．①②
D．③
【解析】 大前提为①，小前提为③，结论为②.
【答案】 D
3．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N
(m，n∈N
)，且对任意m，n∈N
都有：
①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，
②f(m＋1,1)＝2f(m,1)．
给出以下三个结论：
(1)f(1,5)＝9，(2)f(5,1)＝16，(3)f(5,6)＝26.
其中正确结论为__________．
【解析】 由题设条件可知：
(1)f(1,5)＝f(1,4)＋2＝f(1,3)＋4＝f(1,2)＋6＝f(1,1)＋8＝1＋8＝9.
(2)f(5,1)＝2f(4,1)＝4f(3,1)＝8f(2,1)
＝16f(1,1)＝16.
(3)f(5,6)＝f(5,5)＋2＝f(5,4)＋4＝…＝f(5,1)＋10＝2f(4,1)＋10＝4f(3,1)＋10＝…＝16f(1,1)＋10＝16＋10＝26.
【答案】 (1)(2)(3)
4．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N
.
(1)证明：数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn；
(3)证明：不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N
皆成立．
【解】 (1)因为an＋1＝4an－3n＋1，
所以an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N
.
又a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
(2)由(1)可知an－n＝4n－1，于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n.
所以数列{an}的前n项和Sn＝＋.
(3)对任意的n∈N
，
Sn＋1－4Sn＝＋－
4＝－(3n2＋n－4)≤0.
所以不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N
皆成立.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( )
A．y＝un，u＝x2－1
B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n
D．y＝(t－1)n，t＝x2－1
【答案】 A
2．若f(x)＝，则f(x)的导数是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 f′(x)＝
＝.
【答案】 A
3．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( )
A．ln(2x＋5)－
B．ln(2x＋5)＋
C．2xln(2x＋5)
D.
【解析】 y′＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋
x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x··
(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋.
【答案】 B
4．(2016·宁波高二检测)函数f(x)＝x＋xln
x在(1,1)处的切线方程为( )
A．2x＋y－1＝0
B．2x－y－1＝0
C．2x＋y＋1＝0
D．2x－y＋1＝0
【解析】 ∵f′(x)＝(x＋xln
x)′
＝1＋x′ln
x＋x(lnx)′
＝1＋ln
x＋1＝2＋ln
x，
∴f′(1)＝2＋ln
1＝2，
∴函数f(x)在点(1,1)处的切线方程为
y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
【答案】 B
5．函数y＝cos
2x＋sin的导数为( )
A．－2sin
2x＋
B．2
sin
2x＋
C．－2sin
2x＋
D．2sin
2x－
【解析】 y′＝－sin
2x·(2x)′＋cos
·()′
＝－2sin
2x＋·cos
＝－2sin
2x＋.
【答案】 A
二、填空题
6．若曲线y＝xln
x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________.
【导学号：60030014】
【解析】 设P(x0，y0)．∵y＝xln
x，∴y′＝ln
x＋x·＝1＋ln
x.
∴k＝1＋ln
x0.又k＝2，∴1＋ln
x0＝2，∴x0＝e.
∴y0＝eln
e＝e.∴点P的坐标是(e，e)．
【答案】 (e，e)
7．已知函数f(x)＝f′sin
x＋cos
x，则f′＝________.
【解析】 ∵f′(x)＝f′cos
x－sin
x，
∴f′＝f′cos
－sin
＝－1，
∴f′(x)＝－cos
x－sin
x，
∴f′＝－cos
－sin
＝－.
【答案】 －
8．(2016·广州高二检测)若函数为y＝sin4x－cos4x，则y′＝________________.
【解析】 ∵y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＝－cos
2x，
∴y′＝(－cos
2x)′＝－(－sin
2x)·(2x)′
＝2
sin
2x.
【答案】 2sin
2x
三、解答题
9．求下列函数的导数．
(1)y＝；(2)y＝esin
x；
(3)y＝sin；(4)y＝5log2(2x＋1)．
【解】 (1)设y＝u，u＝1－2x2，
则y′＝(u)′(1－2x2)′＝·(－4x)
＝(1－2x2)－(－4x)＝.
(2)设y＝eu，u＝sin
x，
则yx′＝yu′·ux′＝eu·cos
x＝esin
xcos
x.
(3)设y＝sin
u，u＝2x＋，
则yx′＝yu′·ux′＝cos
u·2＝2cos.
(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，
则y′＝yu′·ux′＝＝.
10．求曲线y＝2sin2x在点P处的切线方程．
【解】 因为y′＝(2sin2x)′＝2×2sin
x×(sin
x)′
＝2×2sin
x×cos
x＝2sin
2x，
所以y′|x＝＝2sin＝.
所以过点P的切线方程为y－＝，
即x－y＋－＝0.
[能力提升]
1．(2016·长沙高二检测)函数y＝sin
2x－cos
2x的导数是( )
A．2
cos
B．cos
2x－sin
2x
C．sin
2x＋cos
2x
D．2cos
【解析】 ∵y′＝(sin
2x－cos
2x)′
＝(sin
2x)′－(cos
2x)′
＝cos
2x·(2x)′＋sin
2x·(2x)′＝2cos
2x＋2sin
2x
＝2＝2cos，
故选A.
【答案】 A
2．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 因为y＝，
所以y′＝＝＝.
因为ex>0，所以ex＋≥2，所以y′∈[－1,0)，所以tan
α∈[－1,0)．
又因为α∈[0，π)，所以α∈.
【答案】 D
3．曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为_________________________．
【解析】 因为y′＝e－5x(－5x)′＝－5e－5x，
所以y′|x＝0＝－5，故切线方程为y－3＝－5(x－0)，
即5x＋y－3＝0.
【答案】 5x＋y－3＝0
4．已知函数f(x)＝x3＋1(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围.
【导学号：60030015】
【解】 f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意得
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
∴关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，
即4a2＋4a＋1＞0，
∴a≠－.
∴a的取值范围为∪.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·泰安高二检测)－(2－i)的虚部是( )
A．－2
B．－
C.
D．2
【解析】 ∵－(2－i)＝－2＋i，
∴其虚部是.
【答案】 C
2．如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则( )
A．C＝R∪I
B．R∪I＝{0}
C．R＝C∩I
D．R∩I＝
【解析】 复数包括实数与虚数，所以实数集与纯虚数集无交集．∴R∩I＝ ，故选D.
【答案】 D
3．(2016·肇庆高二检测)若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝( )
A．－2＋i
B．2＋i
C．1－2i
D．1＋2i
【解析】 由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.
【答案】 B
4．下列命题中，正确命题的个数是( )
【导学号：60030072】
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 对于①，由于x，y∈C，所以x，y不一定是x＋yi的实部和虚部，故①是假命题；
对于②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；
③是假命题，如12＋i2＝0，但1≠0，i≠0.
【答案】 A
5．复数i－2的虚部是( )
A．i
B．－2
C．1
D．2
【解析】 i－2＝－2＋i，因此虚部是1.
【答案】 C
二、填空题
6．设i为虚数单位，若复数z＝(m2＋2m－3)＋(m－1)i是纯虚数，则实数m＝__________.
【解析】 依题意有解得m＝－3.
【答案】 －3
7．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是__________．
【解析】 3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，所以所求的复数是3－3i.
【答案】 3－3i
8．有下列说法：
①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；
②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；
③1－ai(a∈R)是一个复数；
④纯虚数的平方不小于0；
⑤－1的平方根只有一个，即为－i；
⑥i是方程x4－1＝0的一个根；
⑦i是一个无理数．
其中正确的有________(填序号)．
【解析】 若两个复数相等，则有它们的实部、虚部均相等，故①正确；若虚部不相等，则两个复数一定不相等，故②正确；因满足形如a＋bi(a，b∈R)的数均为复数，故③正确；纯虚数的平方，如i2＝－1，故④错误；－1的平方根不止一个，因为(±i)2＝－1，故⑤错误；∵i4－1＝0成立，故⑥正确；i是虚数，而且是纯虚数，故⑦错误．综上，①②③⑥正确．
【答案】 ①②③⑥
三、解答题
9．已知复数z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i，则当实数m为何值时，复数z
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．
【解】 z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i.
(1)令m2－m－6＝0 m＝3或m＝－2，即m＝3或m＝－2时，z为实数．
(2)令m2－m－6≠0，解得m≠－2且m≠3，所以m≠－2且m≠3时，z是虚数．
(3)由解得m＝－1，
所以m＝－1时，z是纯虚数．
10．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1，4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
【解】 ∵M∪P＝P，∴M P，
即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
得解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，
得解得m＝2.
综上可知，m＝1或m＝2.
[能力提升]
1．若复数z＝＋i是纯虚数，则tan的值为( )
A．－7
B．－
C．7
D．－7或－
【解析】 ∵复数z是纯虚数，
∴∴sin
θ＝且cos
θ≠，∴cos
θ＝－.
∴tan
θ＝＝－.
∴tan＝＝＝－7，故选A.
【答案】 A
2．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝( )
A．3＋i
B．3－i
C．－3－i
D．－3＋i
【解析】 由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0，
所以解得
所以z＝3－i.
【答案】 B
3．设复数z＝＋(m2＋2m－15)i为实数，则实数m的值是__________.
【导学号：60030073】
【解析】 依题意有
解得m＝3.
【答案】 3
4．如果log(m＋n)－(m2－3m)i>－1，求自然数m，n的值．
【解】 因为log(m＋n)－(m2－3m)i>－1，所以log(m＋n)－(m2－3m)i是实数，从而有
由①得m＝0或m＝3，
当m＝0时，代入②得n<2，又m＋n>0，所以n＝1；
当m＝3时，代入②得n<－1，与n是自然数矛盾．
综上可得，m＝0，n＝1.章末综合测评(三)
数系的扩充与复数的引入
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a，b∈C，下列命题正确的是( )
A．3i<5i
B．a＝0 |a|＝0
C．若|a|＝|b|，则a＝±b
D．a2≥0
【解析】 A选项中，虚数不能比较大小；B选项正确；C选项中，当a，b∈R时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝，但i≠－＋i或－i；D选项中，当a∈R时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i2＝－1<0.
【答案】 B
2．i是虚数单位，则的虚部是( )
A.i
B．－i
C.
D．－
【解析】 ＝＝＝＋i.
【答案】 C
3.＝( )
A．2
B．2
C.
D．1
【解析】 由＝＝＝1－i，
∴＝|1－i|＝.故选C.
【答案】 C
4.是z的共轭复数．若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z＝( )
A．1＋i
B．－1－i
C．－1＋i
D．1－i
【解析】 法一：设z＝a＋bi，a，b为实数，则＝a－bi，∵z＋＝2a＝2，∴a＝1.又(z－)i＝2bi2＝－2b＝2，∴b＝－1.故z＝1－i.
法二：∵(z－)i＝2，∴z－＝＝－2i.又z＋＝2，
∴(z－)＋(z＋)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，
∴z＝1－i.
【答案】 D
5．复数的共轭复数为( )
A．－＋i
B.＋i
C.－i
D．－－i
【解析】 ∵＝＝＝－＋i，
∴其共轭复数为－－i.故选D.
【答案】 D
6．下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2；
p2：z2＝2i；
p3：z的共轭复数为1＋i；
p4：z的虚部为－1.
其中的真命题为( )
A．p2，p3
B．p1，p2
C．p2，p4
D．p3，p4
【解析】 ∵z＝＝－1－i，
∴|z|＝＝，
∴p1是假命题；
∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命题；
∵＝－1＋i，∴p3是假命题；
∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．
其中的真命题为p2，p4.
【答案】 C
7．复平面上平行四边形ABCD的四个顶点中，A，B，C所对应的复数分别为2＋3i,3＋2i，－2－3i，则D点对应的复数是( )
A．－2＋3i
B．－3－2i
C．2－3i
D．3－2i
【解析】 设D(x，y)，由平行四边形对角线互相平分得∴
∴D(－3，－2)，∴对应复数为－3－2i.
【答案】 B
8．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( )
【导学号：60030086】
A．a＝－1
B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1
D．a≠2
【解析】 要使复数不是纯虚数，则有
∴解得a≠－1.
【答案】 C
9．若a，b∈R，则复数(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i对应的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 复数对应点的坐标为(a2－6a＋10，－b2＋4b－5)，
又∵a2－6a＋10＝(a－3)2＋1>0，
－b2＋4b－5＝－(b－2)2－1<0.
所以复数对应的点在第四象限．故选D.
【答案】 D
10．如果复数z＝3＋ai满足条件|z－2|<2，那么实数a的取值范围是( )
A．(－2，2)
B．(－2,2)
C．(－1,1)
D．(－，
)
【解析】 因为|z－2|＝|3＋ai－2|＝|1＋ai|＝<2，所以a2＋1<4，所以a2<3，即－【答案】 D
11．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则( )
A．b＝2，c＝3
B．b＝－2，c＝3
C．b＝－2，c＝－1
D．b＝2，c＝－1
【解析】 因为1＋i是实系数方程的一个复数根，所以1－i也是方程的根，则1＋i＋1－i＝2＝－b，(1＋i)(1－i)＝3＝c，解得b＝－2，c＝3.
【答案】 B
12．设z是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2<0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2<0
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
选项A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确．
选项B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则则故z一定为虚数，正确．
选项C，若z为虚数，则b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，
由于a的值不确定，故z2无法与0比较大小，错误．
选项D，若z为纯虚数，则则z2＝－b2<0，正确．
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知i是虚数单位，计算＝________.
【解析】 ＝＝＝＝＝－－i.
【答案】 －－i
14．a为正实数，i为虚数单位，＝2，则a＝__________.
【解析】 ＝＝1－ai，
则＝|1－ai|＝＝2，所以a2＝3.
又a为正实数，所以a＝.
【答案】
15．设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b的值为__________．
【解析】 a＋bi＝＝＝＝5＋3i，依据复数相等的充要条件可得a＝5，b＝3.
从而a＋b＝8.
【答案】 8
16．若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．
【解析】 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z－i|≤可得≤，即x2＋(y－1)2≤2，它表示以点(0,1)为圆心，为半径的圆及其内部，所以z在复平面内所对应的图形的面积为2π.
【答案】 2π
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)计算：
(1)(＋i)2(4＋5i)；
(2)＋2
016.
【解】 (1)(＋i)2(4＋5i)＝2(1＋i)2(4＋5i)
＝4i(4＋5i)＝－20＋16i.
(2)＋2016
＝＋1
008
＝i(1＋i)＋1
008
＝－1＋i＋(－i)1
008
＝－1＋i＋1
＝i.
18．(本小题满分12分)已知关于x，y的方程组有实数解，求实数a，b的值．
【解】 由①得解得
将x，y代入②得(5＋4a)－(6＋b)i＝9－8i，
所以
所以a＝1，b＝2.
19．(本小题满分12分)实数k为何值时，复数z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.
【解】 (1)当k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1时，z是实数．
(2)当k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1时，z是虚数．
(3)当即k＝4时，z是纯虚数．
(4)当即k＝－1时，z是0.
20．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部是2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积.
【导学号：60030087】
【解】 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由题意得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1.
21．(本小题满分12分)已知复数z1＝i，z2＝－i，z3＝2－i，z4＝－在复平面上对应的点分别是A，B，C，D.
(1)求证：A，B，C，D四点共圆；
(2)已知＝2
，求点P对应的复数．
【解】 (1)∵|z1|＝|z2|＝|z3|＝|z4|＝，
即|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|，
∴A，B，C，D四点都在圆x2＋y2＝5上，即A，B，C，D四点共圆．
(2)∵A(0，)，B(，－)，
∴＝(，－－)．
设P(x，y)，则＝(x，y－)，
若＝2
，那么(，－－)＝(2x,2y－2)，
∴
解得
∴点P对应的复数为＋i.
22．(本小题满分12分)设O为坐标原点，已知向量O1，O2分别对应复数z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，a∈R.若1＋z2可以与任意实数比较大小，求O1·O2的值．
【解】 由题意，得1＝－(10－a2)i，
则1＋z2＝－(10－a2)i＋＋(2a－5)i
＝＋(a2＋2a－15)i.
因为1＋z2可以与任意实数比较大小，
所以1＋z2是实数，
所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
又因为a＋5≠0，所以a＝3，所以z1＝＋i，z2＝－1＋i.
所以O1＝，O2＝(－1,1)．
所以O1·O2＝×(－1)＋1×1＝.