课时跟踪检测(七)
圆内接四边形的性质与判定定理
一、选择题
1．四边形ABCD的一个内角∠C＝36°，E是BA延长线上一点，若∠DAE＝36°，则四边形ABCD( )
A．一定有一个外接圆
B．四个顶点不在同一个圆上
C．一定有内切圆
D．四个顶点是否共圆不能确定
解析：选A 因为∠C＝36°，∠DAE＝36°，所以∠C与∠BAD的一个外角相等，由圆内接四边形判定定理的推论知，该四边形有外接圆，故选A.
2．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是( )
A．4∶2∶3∶1
B．4∶3∶1∶2
C．4∶1∶3∶2
D．以上都不对
解析：选B 由四边形ABCD内接于圆，得∠A＋∠C＝∠B＋∠D，从而只有B项符合题意．
3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AB的延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于( )
A．20°
B．40°
C．80°
D．100°
解析：选C 四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°，又由圆周角定理知∠AOC＝2∠D＝80°.
4．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有( )
①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；
②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；
③∠A的外角与∠C的外角互补；
④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：选B 由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确，②④错误．
二、填空题
5．如图，直径AB＝10，弦BC＝8，CD平分∠ACB，则AC＝______，BD＝________.
解析：∠ACB＝90°，∠ADB＝90°.
在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝8，
∴AC＝＝6.
又∵CD平分∠ACB，即∠ACD＝∠BCD，
∴AD＝BD.
∴BD＝
＝5.
答案：6 5
6．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝1，∠ACD＝60°，则四边形ABCD的面积为________．
解析：过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.
因为∠ADF＋∠ABC＝180°，
∠ABE＋∠ABC＝180°，
所以∠ABE＝∠ADF.
又因为AB＝AD，
∠AEB＝∠AFD＝90°，
所以Rt△AEB≌Rt△AFD.
所以S四边形ABCD＝S四边形AECF，AE＝AF.
又因为∠E＝∠AFC＝90°，AC＝AC，
所以Rt△AEC≌Rt△AFC.
因为∠ACD＝60°，∠AFC＝90°，
所以∠CAF＝30°.因为AC＝1，
所以CF＝，AF＝，
所以S四边形ABCD＝2S△ACF＝2×CF×AF＝.
答案：
7.如图，已知四边形ABCD内接于圆，分别延长AB和DC相交于点E，EG平分∠E，且与BC，AD分别相交于F，G，若∠AED＝40°，∠CFG＝80°，则∠A＝________.
解析：∵EG平分∠E，∴∠FEC＝20°.
∴∠FCE＝∠CFG－∠FEC＝60°.
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠A＝∠FCE＝60°.
答案：60°
三、解答题
8.如图，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为2.
(1)求证：△CDE∽△CBA；
(2)求DE的长．
解：(1)证明：因为四边形ABED为⊙O的内接四边形，
所以∠CED＝∠A(或∠CDE＝∠B)．
又∠C＝∠C，
所以△CDE∽△CBA.
(2)法一：连接AE.由(1)得＝，
因为AB为⊙O的直径，
所以∠AEB＝∠AEC＝90°.
在Rt△AEC中，因为∠C＝60°，所以∠CAE＝30°，
所以＝＝，即DE＝2.
法二：连接DO，EO.
因为AO＝DO＝OE＝OB，
所以∠A＝∠ODA，∠B＝∠OEB.
由(1)知∠A＋∠B＝∠CDE＋∠CED＝120°，
又∠A＋∠B＋∠ADE＋∠DEB＝360°，
所以∠ODE＋∠OED＝120°，
则∠DOE＝60°，
所以△ODE为等边三角形，
所以DE＝OB＝2.
9.如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.
(1)证明：CD∥AB；
(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．
证明：(1)因为EC＝ED，
所以∠EDC＝∠ECD.
因为A，B，C，D四点在同一圆上，
所以∠EDC＝∠EBA.
故ECD＝∠EBA.
所以CD∥AB.
(2)由(1)知，AE＝BE.
因为EF＝EG，
故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.
连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，
故∠FAE＝∠GBE.
又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，
所以∠FAB＝∠GBA.
所以∠AFG＋∠GBA＝180°.
故A，B，G，F四点共圆．
10．如图，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为2，点C与点D分别是劣弧与优弧上的任一点(点C，D均不与A，B重合)．
(1)求∠ACB；
(2)求△ABD的最大面积．
解：(1)连接OA，OB，作OE⊥AB，E为垂足，则AE＝BE.
Rt△AOE中，OA＝2，
AE＝AB＝×2＝.
∴sin
∠AOE＝＝，
∴∠AOE＝60°，∠AOB＝2∠AOE＝120°.
又∠ADB＝∠AOB，∴∠ADB＝60°.
又四边形ACBD为圆内接四边形，∴∠ACB＋∠ADB＝180°.
从而有∠ACB＝180°－∠ADB＝120°.
(2)作DF⊥AB，垂足为F，则
S△ABD＝AB·DF＝×2×DF＝DF.
显然，当DF经过圆心O时，DF取最大值，从而S△ABD取得最大值．
此时DF＝DO＋OF＝3，S△ABD＝3，
即△ABD的最大面积是3.阶段质量检测(一)
B卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.如图，AD∥EF∥BC，GH∥AB，则图中与△BOC相似的三角形有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：选C 根据相似三角形的预备定理可得
△OEF∽△OAD，△CHG∽△CBO，△OAD∽△OBC.
2.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则下列结论正确的是( )
A．△AED∽△ACB
B．△AEB∽△ACD
C．△BAE∽△ACE
D．△AEC∽△DAC
解析：选C ∵D为BC的中点，∠CAB＝90°，
∴AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA，
∴∠C＝∠BAE，又∵∠E＝∠E，
∴△BAE∽△ACE.
3．已知矩形ABCD，R、P分别在边CD、BC上，E、F分别为AP、PR的中点，当P在BC上由B向C运动时，点R在CD上固定不变，设BP＝x，EF＝y那么下列结论中正确的是( )
A．y是x的增函数
B．y是x的减函数
C．y随x的增大先增加后减小
D．无论x怎样变化，y为常数
解析：选D 连接AR，∵E、F分别为AP、PR的中点，
∴EF是△APR的中位线，
∴EF＝AR，
∵当P在BC上由B向C运动时，
点R在CD上固定不变，故选D.
4．如图，G点是△ABC的重心，GE∥BC，那么AB是BE的( )
A．3倍
B．6倍
C．2倍
D．4倍
解析：选A ∵G是△ABC的重心，
∴GC＝2DG，∵GE∥BC，∴BE＝2ED.
∴BE＝BD，即BD＝BE.
∵AB＝2BD，∴AB＝2×BE＝3BE.
5．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3.则△ACD与△CBD的相似比为( )
A．2∶3
B．4∶9
C.∶3
D．不确定
解析：选C 如右图，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得CD2＝AD·BD，
即＝.
又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴△ACD∽△CBD.又∵AD∶BD＝2∶3，令AD＝2x，
BD＝3x(x>0)．∴CD2＝6x2，∴CD＝x.
易知△ACD与△CBD的相似比为＝＝.
6.如右图，过梯形ABCD的腰AD的中点E的直线EF平行于底边，交BC于F，若AE的长是BF的长的，则FC是ED的________倍．( )
A.
B.
C．1
D.
解析：选B ∵AB∥EF∥DC，且AE＝DE，
∴BF＝FC.又∵AE＝BF，
∴FC＝ED.
7.如图，在正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且＝，AE＝BE，则有( )
A．△AED∽△BED
B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD
D．△BAD∽△BCD
解析：选B 直接法，注意到∠A＝∠C＝60°，可设AD＝a，
则AC＝3a，而AB＝AC＝BC＝3a.
所以AE＝BE＝a.所以＝＝.
又＝＝，所以＝，
∠A＝∠C＝60°，
故△AED∽△CBD，选B.
8．等腰梯形各边中点连线所围成的四边形是( )
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．等腰梯形
解析：选B 连接梯形各边中点，可得平行四边形，由于等腰梯形的对角线相等，所以平行四边形的各边相等，由此可以判定此四边形必定为菱形．
9．如图，锐角三角形ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三角形的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C ∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴△ODB，△ABE，△ADC，△OCE都是直角三角形．
又∵∠DBO＝∠EBA，∠A＝∠A，∠DOB＝∠EOC，
∴△ODB∽△AEB∽△ADC，△ODB∽△OEC，
∴与△ODB相似的三角形有3个．
10.如图所示，将边长为1的正方形ABCD绕A点按逆时针方向旋转60°至AB′C′D′的位置，则这两个正方形重叠部分的面积为( )
A．4
B．2－
C．2＋
D.－1
解析：选B 如图，过B′点作EF∥BC，
分别交AB、DC于E、F，连接AK.
由基本图形知，
Rt△KFB′∽Rt△B′EA.
在Rt△AB′E中，
∠EAB′＝60°，AB′＝1，
∴B′E＝.
∴＝＝＝＝2－
∴KB′＝2－.
又∵Rt△AB′K≌Rt△ADK，
∴SAB′KD＝2S△AB′K＝AB′×KB′＝2－.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上)
11．如图，在 ABCD中，BC＝24，E、F为BD的三等分点，则BM＝________，DN＝________.
解析：＝＝，
∴BM＝BC＝12，＝＝，
∴DN＝BM＝6.
答案：12 6
12．如图，已知在△ABC中，AD∶DC＝1∶1，E为BD的中点，AE延长线交BC于F，则BF与FC的比值为____________．
解析：过D作DG平行于BC，交AF于点G，再根据平行线等分线段定理即可解决．
答案：
13．如图，等边△DEF内接于△ABC，且DE∥BC，已知AH⊥BC于H，BC＝4
cm，AH＝2
cm，则△DEF的边长为________cm.
解析：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
又∵AH⊥BC，DE∥BC，
∴AG⊥DE，
∴＝，
设DE＝x，则GH＝x，AG＝AH－GH＝2－x.
∴＝.
解得：x＝2－2(cm)．
答案：2－2
14．(湖北高考)如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E.若AB＝3AD，则的值为________．
解析：连接AC，BC，则AC⊥BC.
∵AB＝3AD，
∴AD＝AB，BD＝AB，OD＝AB.
又AB是圆O的直径，OC是圆O的半径，
∴OC＝AB.
在△ABC中，根据射影定理有：CD2＝AD·BD＝AB2.
在△OCD中，根据射影
定理有：OD2＝OE·OC，
CD2＝CE·OC，可得OE＝AB，CE＝AB，
∴＝8.
答案：8
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)如图，△ABC中，D是BC的中点，M是AD上一点，BM，CM的延长线分别交AC，AB于F，E.
求证：EF∥BC.
证明：法一：延长AD至G，使DG＝MD，连接BG，CG.
∵BD＝DC，MD＝DG，
∴四边形BGCM为平行四边形．
∴EC∥BG，FB∥CG.
∴＝，＝.
∴＝.
∴EF∥BC.
法二：过点A作BC的平行线，
与BF，CE的延长线分别交于G，H.
∵AH∥DC，AG∥BD，
∴＝，＝.
∴＝.
∵BD＝DC，
∴AH＝AG.
∵HG∥BC，
∴＝，＝.
∵AH＝AG，
∴＝.
∴EF∥BC.
16．(本小题满分12分)如图所示，已知边长为12的正三角形ABC，DE∥BC，S△BCD∶S△BAC＝4∶9，求EC的长．
解：如图，过D作DF⊥BC，
过A作AG⊥BC，
S△BCD＝BC·DF，
S△BAC＝BC·AG.
因为S△BCD∶S△BAC＝4∶9，
所以DF∶AG＝4∶9.
因为△BDF∽△BAG，
所以BD∶BA＝DF∶AG＝4∶9.
因为AB＝12，
所以CE＝BD＝.
17．(本小题满分12分)如图所示，在四边形ABCD中，求证：AC·BD≤AB·CD＋AD·BC.
证明：如图所示．
取点E使∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠ACD，
连接AE，BE，DE，
则△ABE∽△ACD.
∴＝，①
＝.②
由①及∠BAC＝∠EAD，得△BAC∽△EAD.
∴＝.③
由②得BE＝，
由③得ED＝.
由于BE＋ED≥BD，
∴＋≥BD.
∴AB·CD＋BC·AD≥AC·BD.
18．(本小题满分14分)如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE是∠CAB的角平分线，CD与AE相交于点F，EG⊥AB于G.
求证：EG2＝FD·EB.
证明：因为∠ACE＝90°，CD⊥AB，
所以∠CAE＋∠AEC＝90°，∠FAD＋∠AFD＝90°.
因为∠AFD＝∠CFE，
所以∠FAD＋∠CFE＝90°.
又因为∠CAE＝∠FAD，
所以∠AEC＝∠CFE.
所以CF＝CE.
因为AE是∠CAB的平分线，EG⊥AB，EC⊥AC，
所以EC＝EG，CF＝EG.
因为∠B＋∠CAB＝90°，∠ACF＋∠CAB＝90°，
所以∠ACF＝∠B.
因为∠CAF＝∠BAE，
所以△AFC∽△AEB，＝.
因为CD⊥AB，EG⊥AB，
所以Rt△ADF∽Rt△AGE.
所以＝.
所以＝.
所以CF·EG＝FD·EB，
即EG2＝FD·EB.课时跟踪检测(五)
直角三角形的射影定理
一、选择题
1．已知Rt△ABC中，斜边AB＝5
cm，BC＝2
cm，D为AC上一点，DE⊥AB交AB于点E，且AD＝3.2
cm，则DE等于( )
A．1.24
cm
B．1.26
cm
C．1.28
cm
D．1.3
cm
解析：选C 如图，∵∠A＝∠A，
∴Rt△ADE∽Rt△ABC，∴＝，
∴DE＝＝＝1.28
(cm)．
2．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2，则它们在斜边上的射影比为( )
A．1∶2
B．2∶1
C．1∶4
D．4∶1
解析：选C 设直角三角形两直角边长分别为1和2，则斜边长为，∴两直角边在斜边上的射影分别为和.
3．一个直角三角形的一条直角边为3
cm，斜边上的高为2.4
cm，则这个直角三角形的面积为( )
A．7.2
cm2
B．6
cm2
C．12
cm2
D．24
cm2
解析：选B 长为3
cm的直角边在斜边上的射影为＝1.8(cm)，
由射影定理知斜边长为＝5(cm)，
∴三角形面积为×5×2.4＝6(cm2)．
4．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若CD＝6
cm，AD∶DB＝1∶2，则AD的长是( )
A．6
cm
B．3
cm
C．18
cm
D．3
cm
解析：选B ∵AD∶DB＝1∶2，
∴可设AD＝t，DB＝2t.
又∵CD2＝AD·DB，∴36＝t·2t，
∴2t2＝36，∴t＝3(cm)，即AD＝3
cm.
二、填空题
5．若等腰直角三角形的一条直角边长为1，则该三角形在直线l上的射影的最大值为________．
解析：射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长．
答案：
6．如图所示，四边形ABCD是矩形，∠BEF＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是________．
解析：因为四边形ABCD为矩形，
所以∠A＝∠D＝90°.
因为∠BEF＝90°，所以∠AEB＋∠DEF＝90°.
因为∠DEF＋∠DFE＝90°，所以∠AEB＝∠DFE.
所以△ABE∽△DEF.
答案：①③
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝6，AD＝3.6，则BC＝________.
解析：由射影定理得，
AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，
∴＝，即BC2＝.
又∵CD2＝AD·BD，
∴BD＝.
∴BC2＝＝＝64.
∴BC＝8.
答案：8
三、解答题
8．如图所示，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD＝∠B，若AD＝6，AB＝10，BD＝8，求CD的长．
解：在△ABD中，AD＝6，AB＝10，BD＝8，
满足AB2＝AD2＋BD2，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.
又∵∠CAD＝∠B，且∠C＋∠CAD＝90°.
∴∠C＋∠B＝90°，即∠BAC＝90°.
故在Rt△BAC中，AD⊥BC，
由射影定理知AD2＝BD·CD，即62＝8·CD，
∴CD＝.
9.如图，AD，BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F，直线FD交BE于点G，交AC的延长线于点H.
求证：DF2＝GF·HF.
证明：在△AFH与△GFB中，
因为∠H＋∠BAC＝90°，∠GBF＋∠BAC＝
90°，
所以∠H＝∠GBF.
因为∠AFH＝∠GFB＝90°，所以△AFH∽△GFB.
所以＝，
所以AF·BF＝GF·HF.
因为在Rt△ABD中，FD⊥AB，所以DF2＝AF·BF，
所以DF2＝GF·HF.
10．已知直角三角形的周长为48
cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分．
(1)求直角三角形的三边长；
(2)求两直角边在斜边上的射影的长．
解：(1)如图，
设CD＝3x，BD＝5x，
则BC＝8x，
过D作DE⊥AB，
由题意可得，
DE＝3x，BE＝4x，
∴AE＋AC＋12x＝48.
又AE＝AC，
∴AC＝24－6x，AB＝24－2x.
∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，
解得x1＝0(舍去)，x2＝2.
∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，
∴三边长分别为20
cm,12
cm,16
cm.
(2)作CF⊥AB于点F，
∴AC2＝AF·AB.
∴AF＝＝＝(cm)；
同理，BF＝＝＝(cm)．
∴两直角边在斜边上的射影长分别为
cm，
cm.课时跟踪检测(三)
相似三角形的判定
一、选择题
1．如图所示，点E是 ABCD的边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中相似三角形共有( )
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
解析：选B 有3对，因为∠ABC＝∠ADF，∠AEB＝∠EAD，所以△ABE∽△FDA，
因为∠ABC＝∠DCE，∠E为公共角，
所以△BAE∽△CFE.
因为∠AFD＝∠EFC，∠DAF＝∠AEC，
所以△ADF∽△ECF.
2．三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，则这个三角形是( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解析：选D 等腰三角形底边上的高或直角三角形斜边上的高分得的两个三角形分别相似．
3．如图，要使△ACD∽△BCA，下列各式中必须成立的是( )
A.＝
B.＝
C．AC2＝CD·CB
D．CD2＝AC·AB
解析：选C ∠C＝∠C，只有＝，即AC2＝CD·CB时，才能使△ACD∽△BCA.
4．如图，在等边三角形ABC中，E为AB的中点，点D在AC上，使得＝，则有( )
A．△AED∽△BED
B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD
D．△BAD∽△BCD
解析：选B 因为∠A＝∠C，＝＝2，所以△AED∽△CBD.
二、填空题
5．如图所示，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC＝∠ADC，AC＝8，BC＝16，那么CD＝________.
解析：∵∠BAC＝∠ADC，
又∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DAC.
∴＝.
又∵AC＝8，BC＝16.
∴CD＝4.
答案：4
6．如图所示，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝3，AC＝4，则AD＝________，BD＝________.
解析：由题设可求得AB＝5，
∵Rt△ABC∽Rt△ACD，
∴＝.∴AD＝＝.
又∵Rt△ABC∽Rt△CBD，
∴＝.∴BD＝＝.
答案：
7．已知在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF与AD交于点E，与BC的延长线交于点F，若CF＝4，BC＝5，则DF＝________.
解析：连接AF.
∵EF⊥AD，AE＝ED，
∴AF＝DF，
∠FAD＝∠FDA.
又∵∠FAD＝∠DAC＋∠CAF，
∠FDA＝∠BAD＋∠B，
且∠DAC＝∠BAD，
∴∠CAF＝∠B.而∠CFA＝∠AFB，
∴△AFC∽△BFA.
∴＝.
∴AF2＝CF·BF＝4×(4＋5)＝36.
∴AF＝6，即DF＝6.
答案：6
三、解答题
8.如图，D在AB上，且DE∥BC交AC于点E，F在AD上，且AD2＝AF·AB.
求证：△AEF∽△ACD.
证明：∵DE∥BC，∴＝.
∵AD2＝AF·AB，∴＝.
∴＝.
又∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACD.
9.如图，直线EF交AB，AC于点F，E，交BC的延长线于点D，AC⊥BC，且AB·CD＝DE·AC.
求证：AE·CE＝DE·EF.
证明：∵AB·CD＝DE·AC
∴＝.
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°.
∴△ACB∽△DCE.
∴∠A＝∠D.
又∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF∽△DEC.
∴＝.
∴AE·CE＝DE·EF.
10.如图，在△ABC中，EF∥CD，∠AFE＝∠B，AE＝6，ED＝3，AF＝8.
(1)求AC的长；
(2)求的值．
解：(1)∵EF∥CD，
∴＝.
∵AE＝6，ED＝3，AF＝8，
∴＝.
∴AC＝12.
(2)∵EF∥DC，∴∠AFE＝∠ACD，
又∠AFE＝∠B，∴∠ACD＝∠B.
又∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC.
∴＝＝＝.
∴＝.模块综合检测(二)
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.如图，AB∥EM∥DC，AE＝ED，EF∥BC，EF＝12
cm，则BC的长为( )
A．6
cm
B．12
cm
C．18
cm
D．24
cm
解析：选D 根据AE＝ED，AB∥EM∥DC，有BM＝MC.
又EF∥BC，所以EF＝MC，于是EF＝BC.
2．在 ABCD中，E是AD的中点，AC、BD交于O，则与△ABE面积相等的三角形有( )
A．5个
B．6个
C．7个
D．8个
解析：选C 利用三角形面积公式，等底等高的两个三角形面积相等，再利用平行四边形的面积为中介，建立面积相等关系．
3．在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE∶EB＝2∶1，AF⊥DE于G，交BC于F，则△AEG的面积与四边形BEGF的面积比为( )
A．1∶2
B．1∶4
C．4∶9
D．2∶3
解析：选C 易证△ABF≌△DAE.故知BF＝AE.
因为AE∶EB＝2∶1，故可设AE＝2x，EB＝x，
则AB＝3x，BF＝2x.
由勾股定理得AF＝＝x.
易证△AEG∽△ABF.
可得S△AEG∶S△ABF＝AE2∶AF2＝(2x)2∶(x)2＝4∶13.可得S△AEG∶S四边形BEGF＝4∶9.
4．在梯形ABCD中，AD∥BC(其中BC>AD)E、F分别是AB、DC的中点，连接EF，且EF交BD于G，交AC于H，则GH等于( )
A．AD
B.(AD＋BC)
C．BC
D.(BC－AD)
解析：选D 结合平行线等分线段定理及梯形中位线定理可解决此问题．
5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝135°，以A为圆心，AB为半径，作⊙A交AD、BC于E、F两点，并交BA延长线于G，则的度数是( )
A．45°
B．60°
C．90°
D．135°
解析：选C 的度数等于圆心角∠BAF的度数．
由题意知∠B＝45°，所以∠BAF＝180°－2∠B.
6．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列条件中，不能判定DE∥BC的是( )
A．AD＝5，AB＝8，AE＝10，AC＝16
B．BD＝1，AD＝3，CE＝2，AE＝6
C．AB＝7，BD＝4，AE＝4，EC＝3
D．AB＝AC＝9，AD＝AE＝8
解析：选C 对应线段必须成比例，才能断定DE和BC是平行关系，显然C中的条件不成比例．
7.如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PC是⊙O的割线，且PB＝BC，则等于( )
A．2
B.
C.
D．1
解析：选C 利用切割线定理得PA2＝PB·PC＝3PB2，
则＝.
8．D、E、F是△ABC的三边中点，设△DEF的面积为4，△ABC的周长为9，则△DEF的周长与△ABC的面积分别是( )
A.，16
B．9,4
C.，8
D.，16
解析：选A 如右图，D、E、F分别为△ABC三边中点．
∴EF綊BC，
∴△AEF∽△ABC，且＝.
∴＝＝，
又∵l△ABC＝9，∴l△DEF＝.
又∵＝＝，
又∵S△DEF＝4，
∴S△ABC＝16.
9.如图，已知在△ABC中，AD∶DC＝1∶2，E为BD的中点，AE延长线交BC于F，则BF∶FC等于( )
A．1∶5
B．1∶4
C．1∶3
D．1∶2
解析：选C 过D作DG平行于AF，交BC于点G，再根据平行线分线段成比例定理即可解决．
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，AD＝DC，∠ADB＝20°，则∠ACB，∠DBC分别为( )
A．15°与30°
B．20°与35°
C．20°与40°
D．30°与35°
解析：选B ∵∠ADB＝20°，
∴∠ACB＝∠ADB＝20°.
又∵BC为⊙O的直径，
∴的度数为180°－40°＝140°.
∵D为的中点，
∴的度数为70°，
∴∠DBC＝＝35°.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上)
11.(湖北高考)如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB＝4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为________．
解析：由题意知CD2＝OC2－OD2，OC是半径，所以当OD的值最小时，DC最大，易知D为AB的中点时，DB＝DC＝2最大．
答案：2
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径作半圆交AB于D，过D作半圆的切线交AC于E，若AD＝2，DB＝4，则DE＝________.
解析：由切割线定理得：
AC2＝AD·AB＝2×6＝12.
所以AC＝2.
连接CD，可证：EC＝ED，∠A＝∠EDA.
所以AE＝ED，所以ED＝AE＝EC＝AC＝.
答案：
13．如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则∠DAC＝________，线段AE的长为________．
解析：因为AB为⊙O的直径，所以∠ACB＝90°.
又因为AB＝6，BC＝3，所以∠CAB＝30°.
又∠DCA＝90°－30°＝60°，而AD⊥DC，
所以∠DAC＝30°，
即可得出＝＝.所以AE＝BC＝3.
答案：30° 3
14．如图，△ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，A为切点，PB交AC于点E，交圆O于点D，若PE＝PA，∠ABC＝60°，且PD＝1，BD＝8，则AC＝________.
解析：因为PA是圆O的切线，
所以∠CAP＝∠ABC＝60°.
又PE＝PA，
所以△PAE为等边三角形．
由切割线定理得PA2＝PD·PB＝1×9＝9，
所以PA＝3，
所以PA＝PE＝AE＝3，
ED＝PE－PD＝3－1＝2，
BE＝BD－ED＝8－2＝6.
由相交弦定理得AE·EC＝BE·ED.
所以EC＝＝＝4，
所以AC＝AE＋EC＝3＋4＝7.
答案：7
三、解答题(本大题共4个小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，EF∥BC交AB于F，FG∥BD交AD于G.
求证：AG＝DG.
证明：∵AD∥EF∥BC，E是CD的中点，∴F是AB的中点．
又∵FG∥BD，∴G是AD的中点．∴AG＝DG.
16．(本小题满分12分)(江苏高考)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.求证：AC＝2AD.
证明：连接OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，
所以∠ADO＝∠ACB＝90°.
又因为∠A＝∠A，
所以Rt△ADO∽Rt△ACB.
所以＝.
又BC＝2OC＝2OD，
故AC＝2AD.
17．(本小题满分12分)如图所示，两圆内切于点T，大圆的弦AB切小圆于点C.TA，TB与小圆分别相交于点E，F.FE的延长线交两圆的公切线TP于点P.
求证：(1)
＝；
(2)AC·PF＝BC·PT.
证明：(1)设小圆的圆心为点O，连接OC.
∵AB切小圆于点C，∴OC⊥AB.
∵∠1＝∠3＝∠2，
∴EF∥AB，∴OC⊥EF，
∴＝.
(2)∵EF∥AB，∴＝＝.
∵AB切小圆于点C，
∴AC2＝AE·AT，BC2＝BF·BT.
∴＝＝，＝.
∵PT是公切线，∴∠PTF＝90°，
∵TF是⊙O的直径，
∴TE⊥PF，△PTF∽△TEF，
∴＝，∴＝，
∴AC·PF＝BC·PT.
18．(本小题满分14分)如图，在矩形ABCD中，以A为圆心，AD为半径的圆交AC，AB于M，E.CE的延长线交⊙A于F，CM＝2，AB＝4.
(1)求⊙A的半径；
(2)求CE的长和△AFC的面积．
解：(1)∵四边形ABCD为矩形，AB＝4，∴CD＝4.
在Rt△ACD中，AC2＝CD2＋AD2，
∴(2＋AD)2＝42＋AD2.
解得：AD＝3，即⊙A的半径为3.
(2)过点A作AG⊥EF于点G，
∵BC＝3，
BE＝AB－AE＝4－3＝1，
∴CE＝
＝＝.
∵∠ADC＝90°，
∴CD为⊙A的切线，
∴CE·CF＝CD2，
∴CF＝＝＝.
又∠B＝∠AGE＝90°，∠BEC＝∠GEA，
∴△BCE∽△GAE，
∴＝即＝.∴AG＝，
∴S△AFC＝CF·AG＝××＝.课时跟踪检测(一)
平行线等分线段定理
一、选择题
1．在梯形ABCD中，M，N分别是腰AB与腰CD的中点，且AD＝2，BC＝4，则MN等于( )
A．2.5
B．3
C．3.5
D．不确定
解析：选B 由梯形中位线定理知选B.
2．如图，AD是△ABC的高，E为AB的中点，EF⊥BC于F，如果DC＝BD，那么FC是BF的( )
A.倍
B.倍
C.倍
D.倍
解析：选A ∵EF⊥BC，AD⊥BC，
∴EF∥AD.
又E为AB的中点，由推论1知F为BD的中点，
即BF＝FD.
又DC＝BD，
∴DC＝BF.
∴FC＝FD＋DC＝BF＋DC＝BF.
3．梯形的中位线长为15
cm，一条对角线把中位线分成3∶2两段，那么梯形的两底长分别为( )
A．12
cm 18
cm
B．20
cm 10
cm
C．14
cm 16
cm
D．6
cm 9
cm
解析：选A 如图，设MP∶PN＝2∶3，则MP＝6
cm，PN＝9
cm.
∵MN为梯形ABCD的中位线，在△BAD中，MP为其中位线，
∴AD＝2MP＝12
cm.
同理可得BC＝2PN＝18
cm.
4．梯形的一腰长为10
cm，该腰和底边所形成的角为30°，中位线长为12
cm，则此梯形的面积为 ( )
A．30
cm2
B．40
cm2
C．50
cm2
D．60
cm2
解析：选D 如图，过A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，
AE＝ABsin
30°＝5
cm.
又已知梯形的中位线长为12
cm，
∴AD＋BC＝2×12＝24(cm)．
∴梯形的面积S＝(AD＋BC)·AE＝×5×24＝60
(cm2)．
二、填空题
5．如图，在AD两旁作AB∥CD且AB＝CD，A1，A2为AB的两个三等分点，C1，C2为CD的两个三等分点，连接A1C，A2C1，BC2，则把AD分成四条线段的长度________(填“相等”或“不相等”)．
解析：如图，过A作直线AM平行于A1C，过D作直线DN平行于BC2，由AB∥CD，A1，A2为AB的两个三等分点，C1，C2为CD的两个三等分点，可得四边形A1CC1A2，四边形A2C1C2B为平行四边形，所以A1C∥A2C1∥C2B，所以AM∥A1C∥A2C1∥C2B∥DN，因为AA1＝A1A2＝A2B＝CC1＝C1C2＝C2D，由平行线等分线段定理知，A1C，A2C1，BC2把AD分成四条线段的长度相等．
答案：相等
6．如图，在△ABC中，E是AB的中点，EF∥BD，EG∥AC交BD于G，CD＝AD，若EG＝2
cm，则AC＝______；若BD＝10
cm，则EF＝________.
解析：由E是AB的中点，EF∥BD，得F为AD的中点．
由EG∥AC，得EG＝AD＝FD＝2
cm，
结合CD＝AD，
可以得到F，D是AC的三等分点，
则AC＝3EG＝6
cm.
由EF∥BD，得EF＝BD＝5
cm.
答案：6
cm 5
cm
7．如图，AB＝AC，AD⊥BC于点D，M是AD的中点，CM交AB于点P，DN∥CP.若AB＝6
cm，则AP＝________；若PM＝1
cm，则PC＝________.
解析：由AD⊥BC，AB＝AC，知BD＝CD，
又DN∥CP，
∴BN＝NP，
又AM＝MD，PM∥DN，知AP＝PN，
∴AP＝AB＝2
cm.
易知PM＝DN，DN＝PC，
∴PC＝4PM＝4
cm.
答案：2
cm 4
cm
三、解答题
8．已知△ABC中，D是AB的中点，E是BC的三等分点(BE>CE)，AE，CD交于点F.
求证：F是CD的中点．
证明：如图，
过D作DG∥AE交BC于G，
在△ABE中，∵AD＝BD，DG∥AE，
∴BG＝GE.
∵E是BC的三等分点，
∴BG＝GE＝EC.
在△CDG中，∵GE＝CE，DG∥EF，
∴DF＝CF，
即F是CD的中点．
9.如图，在等腰梯形中，AB∥CD，AD＝12
cm，AC交梯形中位线EG于点F，若EF＝4
cm，FG＝10
cm.求此梯形的面积．
解：作高DM，CN，
则四边形DMNC为矩形．
∵EG是梯形ABCD的中位线，
∴EG∥DC∥AB.
∴F是AC的中点．
∴DC＝2EF＝8，AB＝2FG＝20，
MN＝DC＝8.
在Rt△ADM和Rt△BCN中，
AD＝BC，∠DAM＝∠CBN，∠AMD＝∠BNC，
∴△ADM≌△BCN.
∴AM＝BN＝(20－8)＝6.
∴DM＝＝＝6.
∴S梯形＝EG·DM＝14×6＝84
(cm2)．
10.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，四边形ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F.
求证：EF＝FC.
证明：法一：如图，连接BE交AF于点O.
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BO＝OE.
又∵AF∥BC，
∴EF＝FC.
法二：如图，
延长ED交BC于点H.
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥ED，AB∥DH，
AB＝ED.
又∵AF∥BC，
∴四边形ABHD是平行四边形．
∴AB＝DH.
∴ED＝DH.
∴EF＝FC.
法三：如图，延长EA交CB的延长线于点M.
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD∥EA，AE＝BD.
又∵AD∥BC.
∴四边形AMBD是平行四边形．
∴AM＝BD.
∴AM＝AE.
∴EF＝FC.课时跟踪检测(十一)
平行射影
平面与圆柱面的截线
平面与圆锥面的截线
一、选择题
1．一条直线在一个面上的平行投影是( )
A．一条直线
B．一个点
C．一条直线或一个点
D．不能确定
解析：选C 当直线与面垂直时，平行投影可能是点．
2．△ABC的一边在平面α内，一顶点在平面α外，则△ABC在面α内的射影是( )
A．三角形
B．一直线
C．三角形或一直线
D．以上均不正确
解析：选D 当△ABC所在平面平行于投影线时，射影是一线段，不平行时，射影是三角形．
3．下列说法不正确的是( )
A．圆柱面的母线与轴线平行
B．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面
C．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关
D．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径
解析：选D 显然A正确，由于任一轴面过轴线，故轴面与圆柱的直截面垂直，B正确，C显然正确，D中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确．
4．设圆锥的顶角(圆锥轴截面上两条母线的夹角)为120°，当圆锥的截面与轴成45°角时，则截得二次曲线的离心率为( )
A.
B.
C．1
D.
解析：选B 由题意知α＝60°，β＝45°，满足β<α，这时截圆锥得的交线是双曲线，其离心率为e＝＝.
二、填空题
5．用平面截球面和圆柱面所得到的截线形状分别是________、________.
解析：联想立体图形及课本方法，可得结论．要注意平面截圆柱面所得的截线的不同情况．
答案：圆 圆或椭圆
6．有下列说法：
①矩形的平行射影一定是矩形；
②梯形的平行射影一定是梯形；
③平行四边形的平行射影可能是正方形；
④正方形的平行射影一定是菱形；
其中正确命题是________．(填上所有正确说法的序号)
解析：利用平行射影的概念和性质进行判断．
答案：③
7．在底面半径为6的圆柱内有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13.若作一个平面与这两个球面相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为________．
解析：如图，为圆柱的轴截面，AB为与两球O1和球O2都相切的平面与轴截面的交线，
由对称性知AB过圆柱的几何中心O.
由O1O⊥OD，O1C⊥OA，
故∠OO1C＝∠AOD，且O1C＝OD＝6，
所以Rt△OO1C≌Rt△AOD，
则AO＝O1O.
故AB＝2AO＝2O1O＝O1O2＝13.
显然AB即为椭圆的长轴，
所以椭圆的长轴长13.
答案：13
三、解答题
8．△ABC是边长为2的正三角形，BC∥平面α，A，B，C在α的同侧，它们在α内的射影分别为A′，B′，C′，若△A′B′C′为直角三角形，BC与α间的距离为5，求A到α的距离．
解：由条件可知A′B′＝A′C′，
∴∠B′A′C′＝90°.
设AA′＝x，在直角梯形AA′C′C中，
A′C′2＝4－(5－x)2，
由A′B′2＋A′C′2＝B′C′2，
得2×[4－(x－5)2]＝4，x＝5±.
即A到α的距离为5±.
9．若圆柱的一正截面的截线为以3为半径的圆，圆柱的斜截面与轴线成60°，求截线椭圆的两个焦点间的距离．
解：设椭圆长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，
则b＝3，
a＝＝3×2＝6，
∴c2＝a2－b2＝62－32＝27.
∴两焦点间距离2c＝2＝6.
10.如图所示，圆锥侧面展开图扇形的中心角为π，AB，CD是圆锥面的正截面上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么圆锥曲线．
解：设⊙O的半径为R，母线VA＝l，
则侧面展开图的中心角为＝π，
∴圆锥的半顶角α＝.
连接OE，∵O，E分别是AB，VB的中点，
∴OE∥VA，
∴∠VOE＝∠AVO＝.
又∵AB⊥CD，VO⊥CD，
∴CD⊥平面VAB.
∴平面CDE⊥平面VAB.
即平面VAB为截面CDE的轴面，
∴∠VOE为截面与轴线所夹的角，即为.
又∵圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，
故截面CDE与圆锥的截线为一抛物线．课时跟踪检测(二)
平行线分线段成比例定理
一、选择题
1.如图所示，DE∥AB，DF∥BC，下列结论中不正确的是( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
解析：选D ∵DF∥EB，DE∥FB，
∴四边形DEBF为平行四边形．
∴DE＝BF，DF＝EB.
∴＝＝，A正确．
＝＝，B正确．
＝＝，C正确．
2．已知线段a，m，n且ax＝mn，求作x，图中作法正确的是( )
解析：选C 因为ax＝mn，所以＝，故选C.
3.如图，在△ACE中，B，D分别在AC，AE上，下列推理不正确的是( )
A．BD∥CE ＝
B．BD∥CE ＝
C．BD∥CE ＝
D．BD∥CE ＝
解析：选D 由平行线分线段成比例定理的推论不难得出选项A、B、C都是正确的，D项是错误的．
4．如图，将一块边长为12的正方形纸ABCD的顶点A，折叠至DC边上的点E，使DE＝5，折痕为PQ，则线段PM和MQ的比是( )
A．5∶12
B．5∶13
C．5∶19
D．5∶21
解析：选C 如图，作MN∥AD交DC于N，
∴＝.
又∵AM＝ME，∴DN＝NE＝DE＝.
∴NC＝NE＋EC＝＋7＝.
∵PD∥MN∥QC，
∴＝＝＝.
二、填空题
5．如图所示，已知DE∥BC，BF∶EF＝3∶2，则AC∶AE＝________.
解析：∵DE∥BC，
∴＝＝.
∵BF∶EF＝3∶2，
∴AC∶AE＝3∶2.
答案：3∶2
6.如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，AE的延长线交BC于点F，则＝________.
解析：过点D作DM∥AF交BC于点M.
∵点E是BD的中点，
∴在△BDM中，BF＝FM.
∵点D是AC的中点，
∴在△CAF中，CM＝MF.
∴＝＝.
答案：
7．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD∶AB∶BC＝3∶4∶6，E，F分别是AB，CD上的点，AE∶AB＝DF∶DC＝1∶3.若四边形ABCD的周长为1，则四边形AEFD的周长为________．
解析：因为在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，
AD∶AB∶BC＝3∶4∶6，
所以可设AD＝3k，AB＝4k，BC＝6k，
作DG⊥BC交BC于点G，交EF于点H，
则DG＝4k，GC＝3k，
所以DC＝＝5k，
因为四边形ABCD的周长为1，
所以3k＋4k＋6k＋5k＝1，所以k＝，
因为E，F分别是AB，CD上的点，
AE∶AB＝DF∶DC＝1∶3，
所以AE＝，DF＝，
取BE，CF的中点M，N，令EF＝x，MN＝y，
则由梯形中位线得
解得即EF＝4k.
所以四边形AEFD的周长是
3k＋＋4k＋＝10k＝10×＝.
答案：
三、解答题
8.如图，B在AC上，D在BE上，且AB∶BC＝2∶1，ED∶DB＝2∶1，求AD∶DF.
解：过点D作DG∥AC交FC于点G，
则＝＝，所以DG＝BC，
又BC＝AC，
所以DG＝AC，
所以＝＝，所以DF＝AF，
从而AD＝AF，故AD∶DF＝7∶2.
9.如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，过O作AB的平行线，与AD，BC分别交于E，F，与CD的延长线交于K.
求证：KO2＝KE·KF.
证明：延长CK，BA，设它们交于点H.
因为KO∥HB，
所以＝，＝.
所以＝，即＝.
因为KF∥HB，
同理可得＝.
所以＝，即KO2＝KE·KF.
10.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD.
(1)求证：EO＝OF；
(2)求＋的值；
(3)求证：＋＝.
解：(1)证明：∵EF∥AD，AD∥BC，
∴EF∥AD∥BC.
∵EF∥BC，∴＝，＝.
∵EF∥AD∥BC，
∴＝.
∴＝.
∴EO＝OF.
(2)∵EO∥AD，
∴＝.
由(1)知＝，
∴＋＝＋＝＝1.
(3)证明：由(2)知＋＝1，
∴＋＝2.又EF＝2EO，
∴＋＝2.
∴＋＝.课时跟踪检测(九)
弦切角的性质
一、选择题
1．P在⊙O外，PM切⊙O于C，PAB交⊙O于A，B，则( )
A．∠MCB＝∠B
B．∠PAC＝∠P
C．∠PCA＝∠B
D．∠PAC＝∠BCA
解析：选C 由弦切角定理知∠PCA＝∠B.
2．如图，PC与⊙O相切于C点，割线PAB过圆心O，∠P＝40°，则∠ACP等于( )
A．20°
B．25°
C．30°
D．40°
解析：选B 连接OC.
∵PC切⊙O于C点，
∴OC⊥PC.∵∠P＝40°，
∴∠POC＝50°.
连接BC，
则∠B＝∠POC＝25°，
∴∠ACP＝∠B＝25°.
3．如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为( )
A．2
B．3
C．2
D．4
解析：选C 连接BC，则∠ACB＝90°，
又AD⊥EF，
∴∠ADC＝90°，
即∠ADC＝∠ACB，
又∵∠ACD＝∠ABC，
∴△ABC∽△ACD，
∴＝，
∴AC2＝AD·AB＝12，
即AC＝2.
4．如图，AB是⊙O的直径，P在AB的延长线上，PD切⊙O于C点，连接AC，若AC＝PC，PB＝1，则⊙O的半径为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选A
连接BC.
∵AC＝PC，∴∠A＝∠P.
∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P.
∴BC＝BP＝1.
由△BCP∽△CAP得
＝.
∴PC2＝PB·PA，
即AC2＝PB·PA.
而AC2＝AB2－BC2，
设⊙O半径为r，
则4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r＝1.
二、填空题
5．如图，AB是⊙O的直径，PB，PE分别切⊙O于B，C，若∠ACE＝40°，则∠P＝________.
解析：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
又∠ACE＝40°，
∴∠PCB＝∠PBC＝50°.
∴∠P＝80°.
答案：80°
6．如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.
解析：连接OC.
∵PC切⊙O于C点，
∴OC⊥PC.
∵PB＝OB＝2，
OC＝2.
∴PC＝2.
∵OC·PC＝OP·CD，
∴CD＝＝.
答案：
7．如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________.
解析：由PA为⊙O的切线，BA为弦，
得∠PAB＝∠BCA，
又∠BAC＝∠APB，
于是△APB∽△CAB，
所以＝.
而PB＝7，BC＝5，
故AB2＝PB·BC＝7×5＝35，即AB＝.
答案：
三、解答题
8.如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点(异于A，B)，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，垂足为D，AD交半圆于点E.
求证：CB＝CE.
证明：连接AC，BE，在DC延长线上取一点F，因为AB是半圆O的直径，C为圆周上一点，
所以∠ACB＝90°，
即∠BCF＋∠ACD＝90°.
又因为AD⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90°.
所以∠BCF＝∠DAC.
又因为直线l是圆O的切线，所以∠CEB＝∠BCF，
又∠DAC＝∠CBE，
所以∠CBE＝∠CEB，
所以CB＝CE.
9.如图所示，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC，BD相交于点E.
(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)若AB＝6
cm，BC＝4
cm，求AE的长．
解：(1)证明：因为XY是⊙O的切线，
所以∠1＝∠2.
因为BD∥XY，所以∠1＝∠3，
所以∠2＝∠3.
因为∠3＝∠4，所以∠2＝∠4.
因为∠ABD＝∠ACD，
又因为AB＝AC，
所以△ABE≌△ACD.
(2)因为∠3＝∠2，∠ABC＝∠ACB，
所以△BCE∽△ACB，所以＝，
即AC·CE＝BC2.
因为AB＝AC＝6
cm，BC＝4
cm，
所以6·(6－AE)＝16.
所以AE＝
(cm)．
10.如图，已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是∠ACB的角平分线，交AE于点F，交AB于D点．
(1)求∠ADF的度数；
(2)若AB＝AC，求AC∶BC.
解：(1)∵AC为圆O的切线，
∴∠B＝∠EAC.
又DC是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝∠DCB.
∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD，即∠ADF＝∠AFD.
又∵BE为圆O的直径，
∴∠DAE＝90°，
∠ADF＝(180°－∠DAE)＝45°.
(2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACE，
∴△ACE∽△BCA.∴＝.
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝∠ADF＝30°.
∴在Rt△ABE中，＝＝tan
∠B＝tan
30°＝.课时跟踪检测(四)
相似三角形的性质
一、选择题
1．如图，△ABC中，DE∥BC，若AE∶EC＝1∶2，且AD＝4
cm，则DB等于( )
A．2
cm
B．6
cm
C．4
cm
D．8
cm
解析：选D 由DE∥BC，得△ADE∽△ABC，
∴＝，∴＝＝.
∴DB＝4×2＝8(cm)．
2.如图，在 ABCD中，E是BC的中点，AE交对角线BD于点G，且△BEG的面积是1
cm2，则 ABCD的面积为( )
A．8
cm2
B．10
cm2
C．12
cm2
D．14
cm2
解析：选C 因为AD∥BC，所以△BEG
∽△DAG，
因为BE＝EC，所以＝＝.
所以＝2＝，
即S△DAG＝4S△BEG＝4(cm2)．
又因为AD∥BC，所以＝＝2，
所以＝＝2，
所以S△BAG＝2S△BEG＝2(cm2)，
所以S△ABD＝S△BAG＋S△DAG＝2＋4＝6(cm2)，
所以S ABCD＝2S△ABD＝2×6＝12(cm2)．
3．如图所示，在 ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是( )
A．5
B．8.2
C．6.4
D．1.8
解析：选D ∵△CBF∽△CDE，
∴＝.
∴BF＝＝＝1.8.
4．如图，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，DC＝80，那么EF的值是( )
A．10
B．12
C．16
D．18
解析：选C ∵AB∥EF∥CD，
∴＝＝＝.
∴＝＝.
∴EF＝AB＝×20＝16.
二、填空题
5．(广东高考)如图，在平行四边形
ABCD中，点E
在AB
上且EB＝2AE，AC
与DE交于点F,
则＝________.
解析：由CD∥AE，得△CDF∽△AEF，
于是＝＝＝3.
答案：3
6．如图，在△ABC中有一个矩形EFGH，其顶点E，F分别在AC，AB上，G，H在BC上，若EF＝2FG，BC＝20，△ABC的高AD＝10，则FG＝________.
解析：设FG＝x，因为EF＝2FG，所以EF＝2x.
因为EF∥BC，所以△AFE∽△ABC，
所以＝，即＝，
解得x＝5，即FG＝5.
答案：5
7．如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形ABCD＝40
cm2.S△ABE∶S△DBA＝1∶5，则AE的长为________．
解析：因为∠BAD＝90°，AE⊥BD，
所以△ABE∽△DBA.
所以S△ABE∶S△DBA＝AB2∶DB2.
因为S△ABE∶S△DBA＝1∶5，
所以AB∶DB＝1∶.
设AB＝k
cm，DB＝k
cm，
则AD＝2k
cm.
因为S矩形ABCD＝40
cm2，
所以k·2k＝40，所以k＝2(cm)．
所以BD＝k＝10
(cm)，AD＝4(cm)．
又因为S△ABD＝BD·AE＝20，
所以·10·AE＝20.
所以AE＝4(cm)．
答案：4
cm
三、解答题
8．如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为AB的中点，E是AC上的点，BE，CD交于点M.若AC＝3AE，求∠EMC的度数．
解：如图，作EF⊥BC于点F，
设AB＝AC＝3，
则AD＝，BC＝3，
CE＝2，EF＝FC＝.
∴BF＝BC－FC＝2.
∴EF∶BF＝∶2＝1∶2＝AD∶AC.
∴△FEB∽△ADC，∴∠2＝∠1.
∵∠EMC＝∠2＋∠MCB，
∴∠EMC＝∠1＋∠MCB＝∠ACB＝45°.
9.如图， ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE＝CD.
(1)求证：△ABF∽△CEB；
(2)若△DEF的面积为2，求 ABCD的面积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD.
∴∠ABF＝∠E.
∴△ABF∽△CEB.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.
∵DE＝CD，
∴＝2＝，
＝2＝.
∵S△DEF＝2，
∴S△CEB＝18，S△ABF＝8，
∴S四边形BCDF＝S△CEB－S△DEF＝16.
∴S ABCD＝S四边形BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24.
10．如图所示，甲、乙、丙三位同学欲测量旗杆AB的高度，甲在操场上C处直立3
m高的竹竿CD，乙从C处退到E处恰好看到竹竿顶端D与旗杆顶端B重合，量得CE＝3
m，乙的眼睛到地面的距离FE＝1.5
m；丙在C1处也直立3
m高的竹竿C1D1，乙从E处退后6
m到E1处，恰好看到竹竿顶端D1与旗杆顶端B也重合，量得C1E1＝4
m，求旗杆AB的高．
解：设F1F与AB，CD，C1D1分别交于点G，M，N，
GB＝x
m，GM＝y
m.
因为MD∥GB，
所以∠BGF＝∠DMF，∠GBF＝∠MDF，
所以△BGF∽△DMF，
所以＝.
又因为MD＝CD－CM＝CD－EF＝1.5
(m)，
所以＝.①
又因为ND1∥GB，同理可证得△BGF1∽△D1NF1，
所以＝，
即＝.②
解方程①②组成的方程组，得
又AB＝GB＋GA＝9＋1.5＝10.5(m)，
即旗杆AB的高为10.5
m.模块综合检测(一)
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，该图中只有x个三角形与△ABC相似，则x的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选B 由题所给图形为射影定理的基本图形，△ACD，△BCD均与△ABC相似．
2．已知：如图， ABCD中，EF∥AC交AD，DC于E，F两点，AD，BF的延长线交于点M，则下列等式成立的是( )
A．AD2＝AE·AM
B．AD2＝CF·DC
C．AD2＝BC·AB
D．AD2＝AE·ED
解析：选A 在 ABCD中，
∵DF∥AB，∴＝.
∵DM∥BC，∴＝.
∵EF∥AC，∴＝.
∴＝，
∴AD2＝AE·AM.
3．对于半径为4的圆在平面上的投影的说法错误的是( )
A．射影为线段时，线段的长为8
B．射影为椭圆时，椭圆的短轴可能为8
C．射影为椭圆时，椭圆的长轴可能为8
D．射影为圆时，圆的直径可能为4
解析：选D 由平行投影的性质易知射影为圆时，直径为8.
4.如图，已知正方形ABCD的边长为4，P为AB上的点，且AP∶PB＝1∶3，PQ⊥PC，则PQ的长为( )
A．1
B.
C.
D.
解析：选B ∵PQ⊥PC，
∴∠APQ＋∠BPC＝90°，
∴∠APQ＝∠BCP.
∴Rt△APQ∽Rt△BCP.
∵AB＝4，AP∶PB＝1∶3，
∴PB＝3，AP＝1.
∴＝.
即AQ＝＝＝，
∴PQ＝＝＝.
5．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PC是⊙O的割线，且PB＝BC，则等于( )
A．2
B.
C.
D．1
解析：选C 利用切割线定理得PA2＝PB·PC，又PB＝PC，∴PA2＝3PB2，∴＝.
6.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，那么∠P等于( )
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
解析：选B ∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠POC＝2∠A＝70°.
∵OC⊥PC，
∴∠P＝90°－∠POC＝20°.
7.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，∠DAB＝80°，则∠ACO等于( )
A．30°
B．35°
C．40°
D．45°
解析：选C ∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD.
又∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
由此得∠ACO＝∠CAD.
∵OC＝OA，
∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠CAD＝∠CAO.
故AC平分∠DAB，
∴∠CAO＝40°.
又∠ACO＝∠CAO，
∴∠ACO＝40°.
8.如图，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BH，垂足是H，下列结论：①CH＝CP；②＝；③AP＝BH；④DH为圆的切线．其中一定成立的是( )
A．①②④
B．①③④
C．②③④
D．①②③
解析：选D 显然①可由△PCD≌△HCD得到；②因为四边形ABCD为圆的内接四边形，所以∠BAD＝∠HCD＝∠ACD，即＝，②成立；而③连接BD，则AD＝BD，∠DAP＝∠DBH，所以Rt△APD≌△BHD，得AP＝BH，③成立；对于④不能判定DH是圆的切线，故应选D.
9．一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴为8，长轴的两端点到顶点的距离分别是6和10，则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C 如图所示为截面的轴面，
则AB＝8，SB＝6，SA＝10，
则∠SBA＝，
cos
∠ASB＝，
cos
∠BSP＝cos∠ASB＝＝.
∴cos
∠SPB＝sin
∠BSP＝.
∴e＝＝.
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：
①∠B＋∠DAC＝90°，
②∠B＝∠DAC，
③＝，
④AB2＝BD·BC.
其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有( )
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
解析：选A 验证法：①不能判定△ABC为直角三角形，因为∠B＋∠DAC＝90°，而∠B＋∠DAB＝90°，则∠BAD＝∠DAC，同理∠B＝∠C，不能判定∠BAD＋∠DAC等于90°；而②中∠B＝∠DAC，∠C为公共角，则△ABC∽△DAC，又△DAC为直角三角形，所以△ABC为直角三角形；在③中，由＝可得△ACD∽△BAD，则∠BAD＝∠C，∠B＝∠DAC，所以∠BAD＋∠DAC＝90°；而④中AB2＝BD·BC，即＝，∠B为公共角，则△ABC∽△DBA，即△ABC为直角三角形．所以正确命题有3个．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上)
11.(陕西高考)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.
解析：∵B，C，F，E四点在同一个圆上，
∴∠AEF＝∠ACB，又∠A＝∠A，
∴△AEF∽△ACB，
∴＝，
即＝，
∴EF＝3.
答案：3
12．如图，AB是⊙O的直径，＝，AB＝10，BD＝8，则cos
∠BCE＝________.
解析：如图，连接AD.
则∠ADB＝90°，且∠DAC＝∠B，
所以cos
∠BCE＝cos
∠DAB
＝＝＝.
答案：
13.如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则CD＝________.
解析：由于PC切⊙O于点C，
由切割线定理得PC2＝PA·PB，
∴PA＝＝＝2，
∴AB＝PB－PA＝8－2＝6.
由于CD⊥AB，且AB为圆O的直径，
由垂径定理知CE＝DE，连接OC，
在Rt△OCP中，由射影定理，得OC2＝OE·OP，
则OE＝＝，
∵CE2＝OE·EP＝×＝×，
∴CE＝，
∴CD＝.
答案：
14．如图，△ABC中，AD∥BC，连接CD交AB于E，且AE∶EB＝1∶2，过E作EF∥BC交AC于F，若S△ADE＝1，则S△AEF＝________.
解析：∵AD∥BC，
∴△ADE∽△BCE.
∴＝＝.
∵EF∥AD，
∴＝＝.
∵△ADE与△AFE的高相同，
∴＝＝.
∴S△AEF＝.
答案：
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)如图，已知AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦AG交CD于F.
(1)求证：E，F，G，B四点共圆；
(2)若GF＝2FA＝4，求线段AC的长．
解：(1)证明：如图，连接GB，由AB为圆O的直径可知∠AGB＝90°.
又CD⊥AB，所以∠AGB＝∠BEF＝90°.
因此E，F，G，B四点共圆．
(2)连接BC.
由E，F，G，B四点共圆得AF·AG＝AE·AB.
又AF＝2，AG＝6，
所以AE·AB＝12.
因为在Rt△ABC中，AC2＝AE·AB，所以AC＝2.
16.(本小题满分12分)如图，已知⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为M，P是CD延长线上一点，PE切⊙O于点E，连接BE交CD于点F，证明：
(1)∠BFM＝∠PEF；
(2)PF2＝PD·PC.
证明：(1)连接OE.
∵PE切⊙O于点E，
∴OE⊥PE.
∴∠PEF＋∠FEO＝90°.
又∵AB⊥CD，
∴∠B＋∠BFM＝90°.
又∵∠B＝∠FEO，
∴∠BFM＝∠PEF.
(2)∵∠EFP＝∠BFM，
∴∠EFP＝∠PEF.
∴PE＝PF.
又∵PE2＝PD·PC，
∴PF2＝PD·PC.
17.(本小题满分12分)如图，圆O与圆P相交于A，B两点，圆心P在圆O上，圆O的弦BC切圆P于点B，CP及其延长线交圆P于D，E两点，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F.
(1)求证：B，P，E，F四点共圆；
(2)若CD＝2，CB＝2，求出由B，P，E，F四点所确定的圆的直径．
解：(1)证明：如图，连接PB.
因为BC切圆P于点B，所以PB⊥BC.
因为EF⊥CE，所以∠PBF＋∠PEF＝180°，
所以B，P，E，F四点共圆．
(2)连接PF，因为B，P，E，F四点共圆，
且EF⊥CE，PB⊥BC，所以此圆的直径就是PF.
因为BC切圆P于点B，且CD＝2，CB＝2，
所以由切割线定理得CB2＝CD·CE，
所以CE＝4，所以DE＝2，则BP＝PE＝1.
又因为Rt△CBP
∽Rt△CEF，
所以＝，得EF＝.
在Rt△FEP中，PF＝＝，
即由B，P，E，F四点确定的圆的直径为.
18．(本小题满分14分)如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD，BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.
(1)求证：∠P＝∠EDF；
(2)求证：CE·EB＝EF·EP；
(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长．
解：(1)证明：∵DE2＝EF·EC，
∴＝.
∵∠DEF是公共角，
∴△DEF∽△CED.
∴∠EDF＝∠C.
∵CD∥AP，
∴∠C＝∠P.
∴∠P＝∠EDF.
(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，
∴△DEF∽△PEA.
∴＝.即EF·EP＝DE·EA.
∵弦AD，BC相交于点E，
∴DE·EA＝CE·EB.
∴CE·EB＝EF·EP.
(3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，∴EC＝9.
∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.
∵CE·EB＝EF·EP，
∴9×6＝4×EP.
解得：EP＝.
∴PB＝PE－BE＝，PC＝PE＋EC＝.
由切割线定理得：PA2＝PB·PC，
∴PA2＝×.∴PA＝.阶段质量检测(二)
A卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在⊙O中，∠AOB＝84°，则弦AB所对的圆周角是( )
A．42°
B．138°
C．84°
D．42°或138°
答案：D
2.如图，在⊙O中，弦AB长等于半径，E为BA延长线上一点，∠DAE＝80°，则∠ACD的度数是( )
A．60°
B．50°
C．45°
D．30°
解析：选B ∠BCD＝∠DAE＝80°，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝30°.∴∠ACD＝80°－30°＝50°.
3．如图所示，在半径为2
cm的⊙O内有长为2
cm的弦AB.则此弦所对的圆心角∠AOB为( )
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
解析：选C 作OC⊥AB于C，则BC＝，
在Rt△BOC中，cos
∠B＝＝.
∴∠B＝30°.
∴∠BOC＝60°.∴∠AOB＝120°.
4.如图，已知⊙O的半径为5，两弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝8，CE∶ED＝4∶9，则圆心到弦CD的距离为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A 过O作OH⊥CD，连接OD，
则DH＝CD.
由相交弦定理知，
AE·BE＝CE·DE.
设CE＝4x，则DE＝9x，
∴4×4＝4x×9x，解得x＝，
∴OH＝＝
＝.
5.如图，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，且PB＝BC，PA＝3，那么BC的长为( )
A.
B．2
C．3
D．3
解析：选C 根据切割线定理PA2＝PB·PC，
所以(3)2＝2PB2.所以PB＝3＝BC.
6．两个同心圆的半径分别为3
cm和6
cm，作大圆的弦MN＝6
cm，则MN与小圆的位置关系是( )
A．相切
B．相交
C．相离
D．不确定
解析：选A 作OA⊥MN于A.连接OM.
则MA＝MN＝3.
在Rt△OMA中，
OA＝＝3
cm.
∴MN与小圆相切．
7.如图，⊙O的两条弦AD和CB相交于点E，AC和BD的延长线相交于点P，连接AB，CD，下面结论：
①PA·PC＝PD·PB；
②PC·CA＝PB·BD；
③CE·CD＝BE·BA；
④PA·CD＝PD·AB.
其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：选A 根据割线定理及相交弦定理知只有①式正确．
8．已知⊙O的两条弦AB，CD交于点P，若PA＝8
cm，PB＝18
cm，则CD的长的最小值为( )
A．25
cm
B．24
cm
C．20
cm
D．12
cm
解析：选B 设CD＝a
cm，CD被P分成的两段中一段长x
cm，另一段长为(a－x)
cm.
则x(a－x)＝8×18，即8×18≤2＝a2.
所以a2≥576＝242，即a≥24.
当且仅当x＝a－x，即x＝a＝12时等号成立．
所以CD的长的最小值为24
cm.
9．如图，点C在以AB为直径的半圆上，连接AC，BC，AB＝10，tan
∠BAC＝，则阴影部分的面积为( )
A.π
B.π－24
C．24
D.π＋24
解析：选B ∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，
∵tan
∠BAC＝，
∴sin
∠BAC＝.
又∵sin
∠BAC＝，AB＝10，
∴BC＝×10＝6.
AC＝×BC＝×6＝8，
∴S阴影＝S半圆－S△ABC＝×π×52－×8×6＝π－24.
10．(天津高考)如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC
的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE·DE；④AF·BD＝AB·BF.则所有正确结论的序号是(
)
A．①②
B．③④
C．①②③
D．①②④
解析：选D 由弦切角定理可得∠DBF＝∠DAB，又∠CBD＝∠CAD＝∠DAB，所以∠DBF＝∠CBD，即BD是∠CBF的平分线，所以①正确；由切割线定理可得②正确；由相交弦定理可得＝，所以③错误；因为△ABF∽△BDF，所以＝，即AF·BD＝AB·BF，所以④正确．故正确结论的序号是①②④.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上)
11.如图所示，已知AB是⊙O的直径，CD与AB相交于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝45°，则∠AEC＝________.
解析：如图，连接BC.根据圆周角定理的推论1，可知∠ACB＝90°.
∵∠ACD＝60°，
∴∠DCB＝30°，的度数＝60°.
∵∠ADC＝45°，∴的度数＝90°.
∴∠AEC＝∠DCB＋∠CBE＝(＋)的度数＝75°.
答案：75°
12．如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.
解析：由相交弦定理可知ED2＝AE·EB＝1×5＝5，又易知△EBD与△FED相似，得DF·DB＝ED2＝5.
答案：5
13．如图，PA与⊙O相切于点A，过点P的割线与弦AC交于点B，与⊙O交于D，E两点，且PA＝PB＝BC，若PD＝4，DE＝21，则AB＝________.
解析：由切割线定理知
PA2＝PD·PE＝4×25＝100，
∴PA＝10，
∴BD＝PB－PD＝PA－PD＝10－4＝6，
BE＝DE－BD＝21－6＝15，
又AB·BC＝BE·BD，BC＝PA＝10，
∴AB＝＝＝9.
答案：9
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，圆E过A，B两点且与BC相切于点B，与AC交于点D，连接BD，若BC＝－1，则AC＝________.
解析：∵AB＝AC，∠C＝72°，∴∠ABC＝72°，
则∠BAC＝36°.
∵BC切圆E于点B，∴∠CBD＝∠BAC＝36°，
∴∠ABD＝∠BAC＝36°，
∴∠BDC＝∠ABD＋∠BAC＝36°＋36°＝72°，
∴∠C＝∠BDC，∴AD＝BD＝BC＝－1，
设CD＝x，由切割线定理得BC2＝CD·AC，
即(－1)2＝x·(x＋－1)，
即x2＋(－1)x－(－1)2＝0，
由于x>0，解得x＝3－，
∴AC＝CD＋AD＝(3－)＋(－1)＝2.
答案：2
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)如图，E是圆O内两弦AB和CD的交点，过AD延长线上一点F作圆O的切线FG，G为切点，已知EF＝FG.
求证：(1)△DEF
∽△EAF；
(2)EF∥CB.
证明：(1)由切割线定理得FG2＝FA·FD.
又EF＝FG，所以EF2＝FA·FD，
即＝.
因为∠EFA＝∠DFE，
所以△DEF
∽△EAF.
(2)由(1)得∠FED＝∠FAE.
因为∠FAE＝∠DCB，
所以∠FED＝∠BCD，所以EF∥CB.
16．(本小题满分12分)(江苏高考)如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点．
证明：∠OCB＝∠D.
证明：因为B，C是圆O上的两点，
所以OB＝OC.
故∠OCB＝∠B.
又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点，
故∠B，∠D为同弧所对的两个圆周角，
所以∠B＝∠D.
因此∠OCB＝∠D.
17．(本小题满分12分)如图，AF是⊙O的直径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，DE⊥OB，垂足为E.
求证：(1)D是AB的中点；
(2)DE是⊙C的切线；
(3)BE·BF＝2AD·ED.
证明：(1)连接OD.
∵OA为⊙C的直径，
∴OD⊥AB.
又∵OD过⊙O的圆心，
∴D为AB的中点．
(2)连接CD.
∵C为OA的中点，
D为AB的中点，
∴CD∥OB.
又∵DE⊥OB，
∴CD⊥DE，即DE为⊙C的切线．
(3)∵AF为⊙O的直径，
∴∠ABF＝90°.
∵DE⊥OB，
∴∠BED＝90°.
∴∠ABF＝∠BED.
又∵OA＝OB，
∴∠BAF＝∠EBD.
∴△ABF∽△BED.
∴＝，即BE·BF＝AB·ED.
又AB＝2AD，
∴BE·BF＝2AD·ED.
18．(本小题满分14分)如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．
(1)证明：A，P，O，M四点共圆；
(2)求∠OAM＋∠APM的大小．
解：(1)证明：如图，连接OP，OM.
∵AP与⊙O相切于点P，
∴OP⊥AP.
∵M是⊙O的弦BC的中点，
∴OM⊥BC.
于是∠OPA＋∠OMA＝180°.
由圆心O在∠PAC的内部，
可知四边形APOM的对角互补，
∴A，P，O，M四点共圆．
(2)由(1)得A，P，O，M四点共圆，
∴∠OAM＝∠OPM.
由(1)得OP⊥AP.
由圆心O在∠PAC的内部，
可知∠OPM＋∠APM＝90°.
∴∠OAM＋∠APM＝90°.阶段质量检测(一)
A卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，已知＝，DE∥BC，则等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C ∵DE∥BC，＝，
∴＝.∴＝.
又∵＝，∴＝.
2.如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，CD＝2，则AC∶BC的值是( )
A．3∶2
B．9∶4
C.∶
D.∶
解析：选A Rt△ACD∽Rt△CBD，
∴＝＝.
3．在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝18，D为AC上一点，DC＝AC，在AB上取一点E，得到△ADE.若图中的两个三角形相似，则DE的长是( )
A．6
B．8
C．6或8
D．14
解析：选C 依题意，本题有两种情形：
(1)如图1，过D作DE∥CB交AB于E.
则＝.
又∵DC＝AC，
∴＝.
∴DE＝BC＝6.
(2)如图2，作∠ADE＝∠B，交AB于E，
则△ADE
∽△ABC.
∴＝.
又∵AD＝AC＝4，
∴DE＝＝＝8.
∴DE的长为6或8.
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，DE是△ACD的高，且AC＝5，CD＝2，则DE的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A AC2＝CD·BC，
即52＝2×BC，
∴BC＝.
∴AB＝＝
＝.
∵＝，∴DE＝.
5．如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，若BD＝3
cm，AC＝2
cm，则CD和BC的长分别为( )
A.
cm和3
cm
B．1
cm和
cm
C．1
cm和3
cm
D.
cm和2
cm
解析：选D 设AD＝x，
则由射影定理得x(x＋3)＝4，
即x＝1(负值舍去)，
则CD＝＝(cm)，
BC＝＝＝2(cm)．
6.如图，DE∥BC，S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，则AD∶DB的值为( )
A．1∶4
B．1∶3
C．1∶2
D．1∶5
解析：选C 由S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，
得S△ADE∶S△ABC＝1∶9.
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴2＝＝.
∴＝，＝.
7．△ABC和△DEF满足下列条件，其中不一定使△ABC与△DEF相似的是( )
A．∠A＝∠D＝45°38′，∠C＝26°22′，∠E＝108°
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝12，EF＝8，DF＝16
C．BC＝a，AC＝b，AB＝c，DE＝，EF＝，DF＝
D．AB＝AC，DE＝DF，∠A＝∠D＝40°
解析：选C A项中∠A＝∠D，∠B＝∠E＝108°，
∴△ABC∽△DEF；
B项中AB∶AC∶BC＝EF∶DE∶DF＝2∶3∶4；
∴△ABC∽△EFD；
D项中＝，∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEF；
而C项中不能保证三边对应成比例．
8．在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD⊥AB于D.若BD∶AD＝1∶4，则tan∠BCD的值是( )
A.
B.
C.
D．2
解析：选C 由射影定理得CD2＝AD·BD，
又BD∶AD＝1∶4.
令BD＝x，则AD＝4x(x>0)，
∴CD2＝4x2，
∴CD＝2x，tan∠BCD＝＝＝.
9.如图，在 ABCD中，E为CD上一点，DE∶CE＝2∶3，连接AE，BE，BD且AE，BD交于点F，则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF等于( )
A．4∶10∶25
B．4∶9∶25
C．2∶3∶5
D．2∶5∶25
解析：选A ∵AB∥CD，∴△ABF∽△EDF.
∴＝＝.
∴＝2＝.
又△DEF和△BEF等高．
∴＝＝＝.
∴S△DEF∶S△EBF∶S△ABF＝4∶10∶25.
10．如图，已知a∥b，＝，＝3，则AE∶EC等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A ∵a∥b，∴＝，＝.
∵＝3，∴BC＝3CD，∴BD＝4CD.
又＝，
∴＝＝.∴＝.∴＝.
∴＝＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上)
11．如图，设l1∥l2∥l3，AB∶BC＝3∶2，DF＝20，则DE＝________.
解析：EF∶DE＝AB∶BC＝3∶2，
∴＝，又DF＝20，∴DE＝8.
答案：8
12．如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________.
解析：∵PE∥BC，∠C＝∠A，
∴∠PED＝∠C＝∠A.
∴△PDE∽△PEA.
∴＝，
即PE2＝PD·PA.
又PD＝2，DA＝1，
∴PA＝3.
∴PE2＝2×3＝6，故PE＝.
答案：
13.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.
解析：在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝，
所以∠BAC＝60°.
因为BE⊥AC，AB＝，所以AE＝.
在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，
由余弦定理知，
ED2＝AE2＋AD2－2AE·AD·cos∠EAD
＝＋9－2××3×＝，
故ED＝.
答案：
14．如图， ABCD中，N是AB延长线上一点，－的值为________．
解析：∵AD∥BM，∴＝.
又∵DC∥AN，
∴＝.
∴＝，
即＝.
∴－＝－＝＝1.
答案：1
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)如图，△ABC中，BC的中点为D，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB，AC于点M，N.
求证：MN∥BC.
证明：∵MD平分∠ADB，
∴＝.
∵ND平分∠ADC，∴＝.
∵BD＝DC，∴＝＝＝.
∴MN∥BC.
16．(本小题满分12分)如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F.
求证：BP2＝PE·PF.
证明：连接PC，
∵AB＝AC，AD是中线，
∴AD是△ABC的对称轴，
故PC＝PB.
∠PCE＝∠ABP.
∵CF∥AB，
∴∠PFC＝∠ABP，
故∠PCE＝∠PFC.
∵∠CPE＝∠FPC，
∴△EPC∽△CPF，
故＝，
即PC2＝PE·PF，
∴BP2＝PE·PF.
17．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是平行四边形，P是BD上任意一点，过P点的直线分别交AB，DC于E，F，交DA，BC的延长线于G，H.
(1)求证：PE·PG＝PF·PH；
(2)当过P点的直线绕点P旋转到F，H，C重合时，请判断PE，PC，PG的关系，并给出证明．
解：(1)证明：∵AB∥CD，∴＝.
∵AD∥BC，∴＝.
∴＝.∴PE·PG＝PF·PH.
(2)关系式为PC2＝PE·PG.
证明：由题意可得到右图，
∵AB∥CD，
∴＝.
∵AD∥BC，
∴＝.
∴＝，即PC2＝PE·PG.
18．(本小题满分14分)如图(1)，已知矩形ABCD中，AB＝1，点M在对角线AC上，AM＝AC，直线l过点M且与AC垂直，与边AD相交于点E.
(1)如果AD＝，求证点B在直线l上；
(2)如图(2)，如果直线l与边BC相交于点H，直线l把矩形分成的两部分的面积之比为2∶7，求AD的长；
(3)如果直线l分别与边AD，AB相交于E，G，当直线l把矩形分成的两部分的面积之比为1∶6时，求AE的长．
解：(1)证明：连接BD，交AC于O点，
∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝AC.
∵AM＝AC，∴AM＝OM.
在Rt△ABD中，AB＝1，AD＝，
∴BD＝＝2.
∴BO＝OA＝AB＝1.
∴△AOB是等边三角形．又AM＝OM，
∴BM⊥AO.∴点B在直线l上．
(2)设AD＝a，则AC＝.
∵∠EAM＝∠CAD，∠AME＝∠D＝90°，
∴△AEM∽△ACD.∴＝.
又AM＝AC＝
，
∴AE＝＝.
由AE∥HC，得△AEM∽△CHM，
∴＝＝.∴HC＝3AE.
又BH＝BC－HC＝a－＝，
而S梯形ABHE＝(AE＋BH)·AB
＝·1＝.
∵S梯形ABHE∶S梯形EHCD＝2∶7，
∴S梯形ABHE＝S矩形ABCD＝a.
∴＝a.
解得a＝3，即AD＝3.
(3)如图，由题意知直线l分别交AD，AC，AB于E，M，G三点，
则有△AEG∽△DCA，
∴＝.
∵DC＝1，
∴AE＝.
∵S△AEG＝AE·AG，＝，
∴＝.
∴＝，
即＝.
∴AE2＝，AE＝.课时跟踪检测(十)
与圆有关的比例线段
一、选择题
1．在半径为12
cm的圆中，垂直平分半径的弦的长为( )
A．3
cm
B．27
cm
C．12
cm
D．6
cm
解析：选C
法一：如图所示，OA＝12，CD为OA的垂直平分线，连接OD.
在Rt△POD中，
PD＝＝＝6，
∴CD＝2PD＝12(cm)．
法二：如图，延长AO交⊙O于M，
由相交弦定理得PA·PM＝PC·PD.
又∵CD为线段OA的垂直平分线，
∴PD2＝PA·PM.
又∵PA＝6，PM＝6＋12＝18，
∴PD2＝6×18.
∴PD＝6.
∴CD＝2PD＝12(cm)．
2．如图，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB，CD，CE的长度，下列关系正确的是( )
A．AB>CE>CD
B．AB＝CE>CD
C．AB>CD>CE
D．AB＝CD＝CE
解析：选A 因为∠1＝60°，∠2＝65°，
所以∠ABC＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－65°＝55°，
所以∠2>∠1>∠ABC，
所以AB>BC>AC.
因为CA，CD分别切圆O1于A，D两点，
CB，CE分别切圆O2于B，E两点，
所以AC＝CD，BC＝CE，
所以AB>CE>CD.
3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则( )
A．CE·CB＝AD·DB
B．CE·CB＝AD·AB
C．AD·AB＝CD2
D．CE·EB＝CD2
解析：选A 在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.
4.如图，已知PT切⊙O于点T，TC是⊙O的直径，割线PBA交TC于点D，交⊙O于B，A(B在PD上)，DA＝3，DB＝4，DC＝2，则PB等于( )
A．20
B．10
C．5
D．8
解析：选A ∵DA＝3，DB＝4，DC＝2，
∴由相交弦定理得DB·DA＝DC·DT，
即DT＝＝＝6.
∵TC为⊙O的直径，所以PT⊥DT.
设PB＝x，
则在Rt△PDT中，
PT2＝PD2－DT2＝(4＋x)2－36.
由切割线定理得PT2＝PB·PA＝x(x＋7)，
∴(4＋x)2－36＝x(x＋7)，
解得x＝20，即PB＝20.
二、填空题
5．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，AM＝4，BM＝9，则弦CD的长为________．
解析：根据相交弦定理，AM·BM＝2，
所以＝6，CD＝12.
答案：12
6.如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.
解析：因为直线PB是圆的切线，所以∠PBA＝∠C.
又因为∠PBA＝∠DBA，所以∠DBA＝∠C.
又因为∠A＝∠A，所以△ABD∽△ACB，
所以＝，所以AB＝＝.
答案：
7．如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD＝，∠OAP＝30°，则CP＝________.
解析：∵点P为弦AB的中点，
∴OP⊥AB.
∵∠OAP＝30°，OA＝a，
∴PA＝a，PB＝a.
由相交弦定理，得PA·PB＝PD·CP.
∴CP＝＝＝a.
答案：a
三、解答题
8.如图，已知PA，PB，DE分别切⊙O于A，B，C三点，PO＝13
cm，⊙O半径r＝5
cm.
求△PDE的周长．
解：∵PA，PB，DE分别切⊙O于A，B，C三点，
∴DA＝DC，EB＝EC.
∴△PDE的周长为
PA＋PB＝2PA.
连接OA，则OA⊥PA.
∴PA＝＝＝12(cm)．
∴△PDE的周长为24
cm.
9．如图，BC是半圆的直径，O是圆心，P是BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AD⊥BC于点D.
(1)若∠B＝30°，AB与AP是否相等？请说明理由；
(2)求证：PD·PO＝PC·PB；
(3)若BD∶DC＝4∶1，且BC＝10，求PC的长．
解：(1)相等．
连接AO，如图所示．
∵PA是半圆的切线，
∴∠OAP＝90°.
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB.
∴∠AOD＝2∠B＝60°.
∴∠APO＝30°.
∴∠B＝∠APO.∴AB＝AP.
(2)证明：在Rt△OAP中，
∵AD⊥OP，∴PA2＝PD·PO.
∵PA是半圆的切线，
∴PA2＝PC·PB.
∴PD·PO＝PC·PB.
(3)∵BD∶DC＝4∶1，且BC＝10，
∴BD＝8，CD＝2.∴OD＝3.
∵OA2＝OD·OP，∴25＝3×OP.
∴OP＝.
∴PC＝－5＝.
10.如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F.AD，BE相交于点G，连接BD.
(1)求BD的长；
(2)求∠ABE＋2∠D的度数；
(3)求的值．
解：(1)连接OC，因为AB是小圆的切线，C是切点，
所以OC⊥AB，
所以C是AB的中点．
因为AD是大圆的直径，
所以O是AD的中点．
所以OC是△ABD的中位线．
所以BD＝2OC＝10.
(2)连接AE.
由(1)知C是AB的中点．
同理F是BE的中点．
即AB＝2BC，BE＝2BF，
由切线长定理得BC＝BF.
所以BA＝BE.
所以∠BAE＝∠E.
因为∠E＝∠D，
所以∠ABE＋2∠D＝∠ABE＋∠E＋∠BAE＝180°.
(3)连接BO，在Rt△OCB中，
因为OB＝13，OC＝5，
所以BC＝12，AB＝24.
由(2)知∠OBG＝∠OBC＝∠OAC.
因为∠BGO＝∠AGB，
所以△BGO∽△AGB.
所以＝＝.课时跟踪检测(八)
圆的切线的性质及判定定理
一、选择题
1.如图，AB切⊙O于点B，延长AO交⊙O于点C，连接BC.若∠A＝40°，则∠C等于( )
A．20°
B．25°
C．40°
D．50°
解析：选B 连接OB，因为AB切⊙O于点B，
所以OB⊥AB，即∠ABO＝90°，
所以∠AOB＝50°，
又因为点C在AO的延长线上，且在⊙O上，
所以∠C＝∠AOB＝25°.
2．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于D.若AB＝6，BC＝8，则BD等于( )
A．4
B．4.8
C．5.2
D．6
解析：选B ∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AC.
∵BC是⊙O的切线，∴AB⊥BC.
∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.
∴BD＝＝4.8.
3．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是( )
A．DE＝DO
B．AB＝AC
C．CD＝DB
D．AC∥OD
解析：选A 当AB＝AC时，如图，
连接AD，因为AB是⊙O的直径，
所以AD⊥BC，所以CD＝BD.
因为AO＝BO，
所以OD是△ABC的中位线，
所以OD∥AC.
因为DE⊥AC，所以DE⊥OD，
所以DE是⊙O的切线．
所以选项B正确．
当CD＝BD时，AO＝BO，
同选项B，所以选项C正确．
当AC∥OD时，因为DE⊥AC，
所以DE⊥OD.
所以DE是⊙O的切线．
所以选项D正确．
4．如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于C，若AD＝DC，则sin
∠ACO等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A 连接BD，则BD⊥AC.
∵AD＝DC，∴BA＝BC，
∴∠BCA＝45°.
∵BC是⊙O的切线，切点为B，
∴∠OBC＝90°.
∴sin
∠BCO＝＝＝，
cos
∠BCO＝＝＝.
∴sin
∠ACO＝sin(45°－∠BCO)
＝sin
45°cos
∠BCO－cos
45°sin
∠BCO
＝×－×＝.
二、填空题
5.如图，⊙O的半径为3
cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB＝OA，动点P从点A出发，以π
cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间t为________s时，BP与⊙O相切．
解析：连接OP.
当OP⊥PB时，BP与⊙O相切．
因为AB＝OA，OA＝OP，
所以OB＝2OP，
又因为∠OPB＝90°，所以∠B＝30°，
所以∠O＝60°.
因为OA＝3
cm，
所以＝＝π，圆的周长为6π，
所以点P运动的距离为π或6π－π＝5π；
所以当t＝1
s或5
s时，BP与⊙O相切．
答案：1或5
6．已知PA是圆O的切线，切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1.则圆O的半径R＝________.
解析：
如图，连接AB，
则AB＝＝.
由AB2＝PB·BC，
∴BC＝3，在Rt△ABC中，
AC＝＝2.
∴半径R＝.
答案：
7．圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D，E，则∠DAC＝________，DC＝________.
解析：连接OC.
∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.
又∠DCA＋∠ACO＝90°，
∠ACO＋∠OCB＝90°，
∴∠DCA＝∠OCB.
∵OC＝3，BC＝3，
∴△OCB是正三角形．
∴∠OBC＝60°，即∠DCA＝60°.
∴∠DAC＝30°.
在Rt△ACB中，AC＝＝3，
DC＝ACsin
30°＝.
答案：30°
三、解答题
8．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC于E.
求证：(1)DE⊥AC；
(2)BD2＝CE·CA.
证明：(1)连接OD，AD.
∵DE是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥DE.
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC.又AB＝AC，
∴BD＝DC.又O为AB的中点，
∴OD∥AC.∴DE⊥AC.
(2)∵AD⊥BC，DE⊥AC，
∴△CDE∽△CAD.
∴＝.∴CD2＝CE·CA.
又∵BD＝DC，∴BD2＝CE·CA.
9.如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F，AB＝AC，连接AD交⊙O于H，直线FH交BC的延长线于G.
(1)求证：圆心O在AD上；
(2)求证：CD＝CG；
(3)若AH∶AF＝3∶4，CG＝10，求FH的长．
解：(1)证明：由题知AE＝AF，
CF＝CD，BD＝BE，
又∵AB＝AC，
∴CD＝CF＝BE＝BD.
∴D为BC中点．
∴AD是∠BAC的角平分线．
∴圆心O在AD上．
(2)证明：连接DF.
∵O在AD上，∴DH为直径．∴∠DFH＝90°.
∵CF＝CD，∴∠CFD＝∠FDC.
∴∠G＝90°－∠FDC＝90°－∠CFD＝∠CFG.
∴CG＝CF.∴CG＝CD.
(3)∵∠AFH＝∠90°－∠CFD＝90°－∠FDC＝∠FDA，
又∠FAD为公共角，则△AHF∽△AFD.
∴＝＝.
∴在Rt△HFD中，FH∶FD∶DH＝3∶4∶5.
∵△HDF∽△DGF，
∴DF∶GF∶DG＝3∶4∶5.
∴DF＝3×20×＝12，∴FH＝FD＝9.
10.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE.
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)若∠DBC＝30°，DE＝1
cm，求BD的长．
解：(1)证明：连接OA.
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA＝∠EDA.
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD.
∴∠OAD＝∠EDA.
∴OA∥CE.
∵AE⊥DE，
∴AE⊥OA.
∴AE是⊙O的切线．
(2)∵BD是直径，
∴∠BCD＝∠BAD＝90°.
∵∠DBC＝30°，∴∠BDC＝60°.
∴∠BDE＝120°.
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA＝∠EDA＝60°.
∴∠ABD＝∠EAD＝30°.
在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，
∴AD＝2DE.
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，
∴BD＝2AD＝4DE＝4
(cm)．阶段质量检测(二)
B卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，已知：⊙O的内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，∠BCD＝120°.过D点的切线PD与BA的延长线交于P点，则∠ADP的度数是( )
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
解析：选B 要求弦切角∠ADP，即连接BD，
则∠ADP＝∠ABD，又AB是直径，所以∠ADB＝90°，
而四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
所以∠C＋∠DAB＝180°，即∠DAB＝60°，
所以∠ABD＝30°，故∠ADP＝30°.
2．(北京高考)如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：
①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；
②AF·AG＝AD·AE；
③△AFB∽△ADG.
其中正确结论的序号是( )
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
解析：选A 逐个判断：由切线定理得CE＝CF，BD＝BF，所以AD＋AE＝AB＋BD＋AC＋CE＝AB＋AC＋BC，即①正确；由切割线定理得AF·AG＝AD2＝AD·AE，即②正确；因为△ADF∽△AGD，所以③错误．
3．点P为⊙O的弦AB上一点，且AP＝9，PB＝4，连接PO，作PC⊥OP交圆于点C，则PC等于( )
A．4
B．6
C．8
D．9
解析：选B 延长CP交⊙O于点D，则OP垂直平分弦CD，
且CP·PD＝AP·PB＝36，
∴PC2＝36，PC＝6，故选B.
4.如图，在⊙O中，弦AB与半径OC相交于点M，且OM＝MC，AM＝1.5，BM＝4，则OC＝( )
A．2
B.
C．2
D．2
解析：选D 延长CO交⊙O于D，则DM＝3CM，CM·MD＝MA·MB，所以1.5×4＝3CM2，CM＝，OC＝2.
5．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙I是△ABC的内切圆，∠A＝80°，则∠BIC等于( )
A．80°
B．100°
C．120°
D．130°
解析：选D ∵∠A＝80°，
∴∠ABC＋∠ACB＝100°.
∵∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，
∴∠IBC＋∠ICB＝(∠ABC＋∠ACB)＝50°，
∴∠BIC＝180°－50°＝130°.
6.如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于P点，∠B＝30°，∠APD＝80°，则∠A＝( )
A．40°
B．50°
C．70°
D．110°
解析：选B 易知∠A＝∠D，
又∵∠APD＝∠B＋∠D，∠B＝30°，∠APD＝80°，
∴∠D＝∠APD－∠B＝80°－30°＝50°.
∴∠A＝50°.
7．如图，AB是⊙O的直径，C为半圆上一点，CD⊥AB于D，若BC＝3，AC＝4，则AD∶CD∶BD等于( )
A．4∶6∶3
B．6∶4∶3
C．4∶4∶3
D．16∶12∶9
解析：选D 由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形．由勾股定理知AB＝5.又CD⊥AB，根据射影定理就有AC2＝AD·AB，于是AD＝.同理，BD＝，CD＝，据此即得三条线段的比值．
8．在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝6
cm，则其外接圆的直径为( )
A.
cm
B．2
cm
C．4
cm
D．6
cm
解析：选C 作BC边上的中线AD，则AD⊥BC，延长AD交△ABC外接圆于E，连接CE.
∵AE⊥BC，AE平分BC，
∴AE为△ABC外接圆的直径，
∴∠ACE＝90°.
在Rt△ACD中，
∠CAD＝∠BAC＝60°，CD＝BC＝3
cm，
∴AC＝＝＝2(cm)．
在Rt△ACE中，AE＝＝＝4(cm)．
即△ABC外接圆的直径为4
cm.
9.如图，四边形ABCD为圆内接四边形，AC为BD的垂直平分线，∠ACB＝60°，AB＝a，则CD等于( )
A.a
B.a
C.a
D.a
解析：选A ∵AC为BD的垂直平分线，
∴AB＝AD＝a，AC⊥BD，
∵∠ACB＝60°，∴∠ADB＝60°，
∴AB＝AD＝BD，
∴∠ACD＝∠ABD＝60°，
∴∠CDB＝30°，
∴∠ADC＝90°，
∴CD＝tan
30°·AD＝a.
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8
cm，AB＝10
cm，点P由C出发以每秒2
cm的速度沿线段CA向点A运动(不运动至A点)，⊙O的圆心在BP上，且⊙O分别与AB、AC相切，当点P运动2
s时，⊙O的半径是( )
A.
cm
B.
cm
C.
cm
D．2
cm
解析：选A ∵PC＝2×2＝4
cm，
∴P是AC的中点，
∴BC＝6
cm，BP＝2
cm.连接OD，∵D为切点，
∴OD⊥AC，则OD∥BC，
即＝＝＝.设半径OD＝3k，DP＝2k，
∴OP＝＝k，
∴OB＝2－k.
∵AE、AD为⊙O的切线，
∴AE＝AD＝AP＋PD＝4＋2k，
BE＝10－(4＋2k)＝6－2k.
在Rt△BOE中，∵OB2＝BE2＋OE2，
∴(2－k)2＝(6－2k)2＋(3k)2，解得k＝.
故半径OD＝3k＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上)
11．如图，过点P作⊙O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE，BE，∠APE的平分线分别与AE、BE相交于点C，D，若∠AEB＝30°，则∠PCE＝________.
解析：由题易得∠PEB＝∠PAE，又由三角形外角性质得∠PCE＝∠CPA＋∠PAE，又△PEC的内角和为2(∠CPA＋∠PAE)＋30°＝180°，所以∠CPA＋∠PAE＝75°，即∠PCE＝75°.
答案：75°
12.如图，已知P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF＝12，PD＝4，则圆O的半径长为________、∠EFD的度数为________．
解析：由切割线定理得，
PD2＝PE·PF，
∴PE＝＝＝4，EF＝8，OD＝4.
∵OD⊥PD，OD＝PO，
∴∠P＝30°，∠POD＝60°，
∴∠EFD＝30°.
答案：4 30°
13．如图，⊙O中的弦AB与直径CD相交于P，M为DC延长线上一点，MN为⊙O的切线，N为切点，若AP＝8，PB＝6，PD＝4，MC＝6，则MN的长为________．
解析：由相交弦定理得：CP·PD＝AP·PB，CP＝＝12，又由切割线定理得：MN2＝MC·MD＝6×22，所以，MN＝2.
答案：2
14．(重庆高考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________．
解析：由题意得BC＝AB·sin
60°＝10，由弦切角定理知∠BCD＝∠A＝60°，所以CD＝5，BD＝15，由切割线定理知，CD2＝DE·BD，则DE＝5.
答案：5
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，弦AC交OB于D，E是OB延长线上一点，若∠OAD＝30°，ED＝CE.
求证：EC是⊙O的切线．
证明：连接OC.
因为OA⊥OB，
所以∠CAO＋∠ADO＝90°.
因为DE＝CE，
所以∠ECD＝∠EDC＝∠ADO.
因为OA＝OC，
所以∠ACO＝∠CAO.
所以∠ECD＋∠ACO＝90°.
所以EC是⊙O的切线．
16．(本小题满分12分)如图，已知AB为⊙O的弦，CD切⊙O于P，AC⊥CD于C，BD⊥DC于D，PQ⊥AB于Q.
求证：PQ2＝AC·BD.
证明：如图，连接PA、PB，
因为CD切⊙O于P，
所以∠1＝∠2.
因为AC⊥CD于C，PQ⊥AB于Q，
所以∠ACP＝∠PQB＝90°.
所以△ACP∽△PQB.
所以AC∶PQ＝AP∶PB.
同理，△BDP∽△PQA，
所以PQ∶BD＝AP∶PB.
所以AC∶PQ＝PQ∶BD，即PQ2＝AC·BD.
17．(本小题满分12分)如图，已知AB切⊙O于B，BC是⊙O的直径，AC交⊙O于D，DE是⊙O的切线，CE⊥DE于E，DE＝3，CE＝4，求AB的长．
解：因为CE⊥DE于E，DE＝3，CE＝4，
所以CD＝5.
连接BD.因为DE切⊙O于点D，
所以∠EDC＝∠DBC.
又因为BC为⊙O的直径，
所以∠BDC＝90°.
所以Rt△BDC∽Rt△DEC.
所以＝＝，
即＝＝.
所以BC＝，BD＝.
又因为AB与⊙O相切于点B，
所以AB⊥BC.
所以＝.
所以AB＝.
18．(本小题满分14分)如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A，B，D三点，CB的延长线交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.在满足上述条件的情况下，当∠CAB的大小变化时，图形也随着改变，但在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系．
(1)连接图中已标明字母的某两点，得到一条新线段与线段CE相等，并说明理由；
(2)若CF＝CD，求sin
F的值．
解：(1)连接AE，则AE＝CE.
∵∠ABE＝90°，
∴AE为直径，连接DE.
则∠ADE＝90°，
又AD＝CD，
∴AE＝CE.
(2)设CF＝x，
则FA＝3x，FD＝2x，AD＝x.
∵FE为⊙O的切线，
∴AE⊥EF.
∴DE2＝AD·DF＝2x2，
即DE＝x.
FE2＝FD·FA＝2x·3x＝6x2，
即FE＝x.
∴sinF＝＝＝.课时跟踪检测(六)
圆周角定理
一、选择题
1．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D，∠A＝50°，则∠OCD的度数是( )
A．40° B．25°
C．50°
D．60°
解析：选A 连接OB.因为∠A＝50°，所以BC弦所对的圆心角∠BOC＝100°，∠COD＝∠BOC＝50°，∠OCD＝90°－∠COD＝90°－50°＝40°.所以∠OCD＝40°.
2．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，∠BCD＝25°，则下列结论错误的是( )
A．AE＝BE
B．OE＝DE
C．∠AOD＝50°
D．D是的中点
解析：选B 因为CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，
所以＝，AE＝BE.
因为∠BCD＝25°，
所以∠AOD＝2∠BCD＝50°，
故A、C、D项结论正确，选B.
3．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，则此三角形外接圆的半径为( )
A.
B．2
C．2
D．4
解析：选B 由推论2知AB为Rt△ABC的外接圆的直径，又AB＝＝4，故外接圆半径r＝AB＝2.
4．如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，若CD＝3，AB＝4，则tan
∠BPD等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D 连接BD，则∠BDP＝90°.
∵△CPD∽△APB，∴＝＝.
在Rt△BPD中，cos
∠BPD＝＝，
∴tan
∠BPD＝.
二、填空题
5．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC＝68°，则∠BAC＝________.
解析：AB是⊙O的直径，所以弧ACB的度数为180
°，它所对的圆周角为90°，所以∠BAC＝90°－∠ABC＝90°－∠ADC＝90°－68°＝22°.
答案：22°
6．如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为______．
解析：如图，连接AB，AC，
由A，E为半圆周上的三等分点，
得∠FBD＝30°，∠ABD＝60°，
∠ACB＝30°.
由BC＝4，
得AB＝2，AD＝，BD＝1，
则DF＝，故AF＝.
答案：
7．如图所示，已知⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC＝6，弦AE交BC于点D，若AD＝4，则AE＝________.
解析：连接CE，则∠AEC＝∠ABC.
又△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠AEC＝∠ACB，
∴△ADC∽△ACE，
∴＝，
∴AE＝＝9.
答案：9
三、解答题
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1＝∠C.
(1)求证：CB∥MD；
(2)若BC＝4，sin
M＝，求⊙O的直径．
解：(1)证明：因为∠C与∠M是同一弧所对的圆周角，
所以∠C＝∠M.
又∠1＝∠C，所以∠1＝∠M，
所以CB∥MD(内错角相等，两直线平行)．
(2)由sin
M＝知，sin
C＝，
所以＝，BN＝×4＝.
由射影定理得：BC2＝BN·AB，则AB＝6.
所以⊙O的直径为6.
9.如图，已知△ABC内接于圆，D为的中点，连接AD交BC于点E.
求证：(1)＝；
(2)AB·AC＝AE2＋EB·EC.
证明：(1)连接CD.
∵∠1＝∠3，∠4＝∠5，
∴△ABE∽△CDE.∴＝.
(2)连接BD.
∵＝，
∴AE·DE＝BE·EC.
∴AE2＋BE·EC＝AE2＋AE·DE
＝AE(AE＋DE)＝AE·AD.①
在△ABD与△AEC中，∵D为的中点，
∴∠1＝∠2.
又∵∠ACE＝∠ACB＝∠ADB，
∴△ABD∽△AEC.∴＝，
即AB·AC＝AD·AE②
由①②知：AB·AC＝AE2＋EB·EC.
10.如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交⊙O于点D，连接BD，DC.
(1)求证：BD＝DC＝DI；
(2)若⊙O的半径为10
cm，∠BAC＝120°，求△BCD的面积．
解：(1)证明：因为AI平分∠BAC，
所以∠BAD＝∠DAC，
所以＝，所以BD＝DC.
因为BI平分∠ABC，所以∠ABI＝∠CBI，
因为∠BAD＝∠DAC，∠DBC＝∠DAC，
所以∠BAD＝∠DBC.
又因为∠DBI＝∠DBC＋∠CBI，
∠DIB＝∠ABI＋∠BAD，
所以∠DBI＝∠DIB，所以△BDI为等腰三角形，
所以BD＝ID，所以BD＝DC＝DI.
(2)当∠BAC＝120°时，
△ABC为钝角三角形，
所以圆心O在△ABC外．
连接OB，OD，OC，
则∠DOC＝∠BOD＝2∠BAD
＝120°，
所以∠DBC＝∠DCB＝60°，
所以△BDC为正三角形．
所以OB是∠DBC的平分线．
延长CO交BD于点E，则OE⊥BD，
所以BE＝BD.
又因为OB＝10，
所以BC＝BD＝2OBcos
30°＝2×10×＝10，
所以CE＝BC·sin
60°＝10×＝15，
所以S△BCD＝BD·CE＝×10×15＝75.
所以△BCD的面积为75.
