学业分层测评(二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如图1 2 16，梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC延长线上一点，AE分别交BD于G，交BC于F.下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝.其中正确的个数是( )
图1 2 16
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 ∵BC∥AD，
∴＝，＝，故①④正确．
∵BF∥AD，
∴＝，故②正确．
【答案】 C
2．如图1 2 17，E是 ABCD的边AB延长线上的一点，且＝，则＝
( )
图1 2 17
A.
B.
C.
D.
【解析】 ∵CD∥AB，∴＝＝，
又AD∥BC，∴＝.
由＝，得＝，
即＝，
∴＝＝.故选C.
【答案】 C
3．如图1 2 18，平行四边形ABCD中，N是AB延长线上一点，则－为( )
【导学号：07370009】
图1 2 18
A.
B．1
C.
D.
【解析】 ∵AD∥BM，∴＝.
又∵DC∥AN，∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴－＝－＝＝1.
【答案】 B
4．如图1 2 19，AD是△ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AF∶FD为( )
图1 2 19
A．2∶1
B．3∶1
C．4∶1
D．5∶1
【解析】 过D作DG∥AC交BE于G，
如图，因为D是BC的中点，
所以DG＝EC，
又AE＝2EC，
故AF∶FD＝AE∶DG＝2EC∶EC＝4∶1.
【答案】 C
5．如图1 2 20，将一块边长为12的正方形纸ABCD的顶点A，折叠至边上的点E，使DE＝5，折痕为PQ，则线段PM和MQ的比是( )
图1 2 20
A．5∶12
B．5∶13
C．5∶19
D．5∶21
【解析】 如图，作MN∥AD交DC于点N，
∴＝.
又∵AM＝ME，
∴DN＝NE＝DE＝，
∴NC＝NE＋EC＝＋7＝.
∵PD∥MN∥QC，
∴＝＝＝.
【答案】 C
二、填空题
6．(2016·乌鲁木齐)如图1 2 21，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD＝CE，若AB∶AC＝3∶2，BC＝10，则DE的长为__________．
图1 2 21
【解析】 ∵DE∥BC，
∴AD∶AE＝AB∶AC＝3∶2.
∵AD＝CE，
∴CE∶AE＝3∶2.
∵AE∶AC＝2∶5，
∴DE∶BC＝2∶5.
∵BC＝10，
∴DE∶10＝2∶5，
解得DE＝4.
【答案】 4
7．如图1 2 22，已知B在AC上，D在BE上，且AB∶BC＝2∶1，ED∶DB＝2∶1，则AD∶DF＝________.
图1 2 22
【解析】 如图，过D作DG∥AC交FC于G.
则＝＝，∴DG＝BC.
又BC＝AC，∴DG＝AC.
∵DG∥AC，∴＝＝，
∴DF＝AF.
从而AD＝AF，∴AD∶DF＝7∶2.
【答案】 7∶2
8．如图1 2 23，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于O，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，则EF＝________.
图1 2 23
【解析】 ∵AD∥EF∥BC，∴＝＝＝，
∴EO＝FO，而＝＝，＝，BC＝20，AD＝12，
∴＝1－＝1－，∴EO＝7.5，∴EF＝15.
【答案】 15
三、解答题
9．线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连接AC，BD交于点P.如图1 2 24，当OA＝OB，且D为OA中点时，求的值．
图1 2 24
【解】 过D作DE∥CO交AC于E，
因为D为OA中点，
所以AE＝CE＝AC，＝，
因为点C为OB中点，所以BC＝CO，＝，
所以＝＝，所以PC＝CE＝AC，所以＝＝＝2.
10．如图1 2 25，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，连接AD，BC交于点E，EF⊥BD于F，求证：＋＝.
【导学号：07370010】
图1 2 25
【证明】 ∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，
∴AB∥EF∥CD，
∴＝，＝，
∴＋＝＋＝＝＝1，
∴＋＝.
[能力提升]
1．如图1 2 26，已知△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD与CE相交于F，则＋的值为( )
图1 2 26
A.
B．1
C.
D．2
【解析】 过点D作DG∥AB交EC于点G，则＝＝＝.而＝，即＝，所以AE＝DG，从而有AF＝FD，EF＝FG＝CG，故＋＝＋＝＋1＝.
【答案】 C
2．如图1 2 27，已知P，Q分别在BC和AC上，＝，＝，则＝
( )
图1 2 27
A．3∶14
B．14∶3
C．17∶3
D．17∶14
【解析】 过点P作PM∥AC，
交BQ于M，则＝.
∵PM∥AC且＝，
∴＝＝.
又∵＝，∴＝·＝×＝，
即＝.
【答案】 B
3.如图1 2 28所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2.E，F分别为AD，BC上点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为__________．
图1 2 28
【解析】 如图，延长AD，BC交于点O，作OH⊥AB于点H.
∴＝，得x＝2h1，＝，得h1＝h2.
∴S梯形ABFE＝×(3＋4)×h2＝h1，
S梯形EFCD＝×(2＋3)×h1＝h1，
∴S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝7∶5.
【答案】 7∶5
4．某同学的身高为1.6
m，由路灯下向前步行4
m，发现自己的影子长为2
m，求这个路灯的高．
【解】 如图所示，AB表示同学的身高，PB表示该同学的影长，CD表示路灯的高，则AB＝1.6
m，PB＝2
m，BD＝4
m.
∵AB∥CD，
∴＝，
∴CD＝＝＝4.8(m)，
即路灯的高为4.8
m.章末综合测评(二)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在⊙O中，∠AOB＝84°，则弦AB所对的圆周角是( )
【导学号：07370050】
A．42°
B．138°
C．84°
D．42°或138°
【解析】 弦AB所对的弧的度数为84°或276°，故其所对的圆周角为42°或138°.
【答案】 D
2．如图1，一圆内切四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形的周长为( )
图1
A．50
B．52
C．54
D．56
【解析】 由切线长定理知CD＋AB＝AD＋BC.
∵AB＋CD＝26，∴AB＋BC＋CD＋AD＝52.
【答案】 B
3．如图2，⊙O经过⊙O1的圆心，∠ADB＝α，∠ACB＝β，则α与β之间的关系是( )
图2
A．β＝α
B．β＝180°－2α
C．β＝(90°－α)
D．β＝(180°－α)
【解析】 如图所示，分别连接AO1，BO1.
根据圆内接四边形的性质定理，可得
∠AO1B＋∠ADB＝180°，
∴∠AO1B＝180°－∠ADB＝180°－α.
∵∠ACB＝∠AO1B，
∴β＝(180°－α)，故选D.
【答案】 D
4.如图3所示，∠A＝50°，∠ABC＝60°，BD是⊙O的直径，则∠AEB等于
( )
图3
A．70°
B．110°
C．90°
D．120°
【解析】 由题意知，∠D＝∠A＝50°，
∠BCD＝90°，
∴∠CBD＝90°－50°＝40°，
又∠ACB＝180°－50°－60°＝70°，
∴∠AEB＝∠CBD＋∠ACB＝40°＋70°＝110°.
【答案】 B
5．如图4，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，直线MN切⊙O于点C，BE∥MN交AC于点E，若AB＝6，BC＝4，则AE＝( )
图4
A.
B.
C．1
D.
【解析】 ∵MN为⊙O的切线，∴∠BCM＝∠A.
∵MN∥BE，∴∠BCM＝∠EBC，
∴∠A＝∠EBC.
又∠ACB＝∠BCE，
∴△ABC∽△BEC，∴＝.
∵AB＝AC，∴BE＝BC，∴＝.
∴EC＝，∴AE＝6－＝.
【答案】 A
6．如图5，已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙I是△ABC的内切圆，∠A＝80°，则∠BIC等于( )
图5
A．80°
B．100°
C．120°
D．130°
【解析】 ∵∠A＝80°，
∴∠ABC＋∠ACB＝100°.
∵∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，
∴∠IBC＋∠ICB＝(∠ABC＋∠ACB)＝50°，
∴∠BIC＝180°－50°＝130°.
【答案】 D
7．如图6，已知⊙O的直径与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC＝5，则⊙O的半径为( )
图6
A.
B.
C．10
D．5
【解析】 连接OC，则有∠COP＝60°，OC⊥PC，
∴PO＝2CO，
∴CO＝5，即CO＝.
【答案】 A
8．(2016·焦作模拟)如图7，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB于P，EF是过点P的弦，已知AB＝10，PA＝2，PE＝5，则CD和EF分别为( )
图7
A．8和7
B．7和
C．7和8
D．8和
【解析】 ∵PA·PB＝PC2，
∴PC2＝16，PC＝4，∴CD＝8.
∵PE·PF＝PC2，∴PF＝，
∴EF＝＋5＝.
【答案】 D
9．如图8，已知AT切⊙O于T.若AT＝6，AE＝3，AD＝4，DE＝2，则BC＝( )
图8
A．3
B．4
C．6
D．8
【解析】 ∵AT为⊙O的切线，
∴AT2＝AD·AC.
∵AT＝6，AD＝4，∴AC＝9.
∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB，
∴△EAD∽△CAB，
即＝，∴BC＝＝＝6.
【答案】 C
10．如图9，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BH，垂足是H，下列结论：①CH＝CP；②＝；③AP＝BH；④DH为圆的切线．其中一定成立的是( )
图9
A．①②④
B．①③④
C．②③④
D．①②③
【解析】 显然①可由△PCD≌△HCD得到；因为四边形ABCD为圆的内接四边形，所以∠BAD＝∠HCD＝∠ACD，即＝，故②成立；而③，连接BD，则AD＝BD，∠DAP＝∠DBH，所以Rt△APD≌Rt△BHD，得AP＝BH，③成立；对于④，不能判定DH是圆的切线，故应选D.
【答案】 D
11.如图10，在⊙O中，MN为直径，点A在⊙O上，且∠AON＝60°，点B是的中点，点P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为( )
图10
A．1
B.
C.－1
D.
【解析】 如图，过点B作BB′⊥MN，交⊙O于点B′，连接AB′交MN于点P′，即点P在点P′处时，AP＋BP最小．
易知B与B′点关于MN对称，
依题意∠AON＝60°，
则∠B′ON＝∠BON＝30°，
所以∠AOB′＝90°，
AB′＝＝.
故PA＋PB的最小值为，故选D.
【答案】 D
12．如图11所示，PT与⊙O切于T，CT是⊙O的直径，PBA是割线，与⊙O的交点是A，B，与直线CT的交点D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB＝( )
图11
A．10
B．20
C．5
D．8
【解析】 根据相交弦定理，可得
AD·DB＝CD·DT，∴3×4＝2DT，解得DT＝6，
∴圆的半径r＝4，AB＝7，不妨设PB＝x，则PA＝x＋7，根据切割线定理，可得PT2＝PB·PA，∴PT2＝x·(x＋7)，在Rt△PTD中，DT2＋PT2＝PD2，∴36＋PT2＝(x＋4)2，∴36＋x(x＋7)＝(x＋4)2，解得x＝20.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)
13．如图12所示，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB＝6，AE＝1，则DF·DB＝________.
图12
【解析】 由题意知，AB＝6，AE＝1，∴BE＝5.
∴CE·DE＝DE2＝AE·BE＝5.
在Rt△DEB中，∵EF⊥DB，由射影定理得DF·DB＝DE2＝5.
【答案】 5
14．如图13，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA＝PB＝2，PD＝1，则圆心O到弦CD的距离为________．
图13
【解析】 由相交弦定理得PA·PB＝PC·PD.
又PA＝PB＝2，PD＝1，则PC＝4，
∴CD＝PC＋PD＝5.
过O作CD的垂线OE交CD于E，则E为CD中点，
∴OE＝＝＝.
【答案】
15.如图14，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，则线段CF的长为________．
【导学号：07370051】
图14
【解析】 因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠C.因为AE与圆相切，所以∠EAB＝∠C.所以∠ABC＝∠EAB，所以AE∥BC.又因为AC∥DE，所以四边形AEBC是平行四边形．由切割线定理可得AE2＝EB·ED，于是62＝EB·(EB＋5)，所以EB＝4(负值舍去)，因此AC＝4，BC＝6.又因为△AFC∽△DFB，所以＝，解得CF＝.
【答案】
16．(2016·北京朝阳区检测)如图15，PC切圆O于点C，割线PAB经过圆心O，PC＝4，PB＝8，则tan∠COP＝________，△OBC的面积是________．
图15
【解析】 因为PC切圆O于点C，根据切割线定理即可得出PC2＝PA·PB，所以42＝8PA，解得PA＝2.设圆的半径为R，则2＋2R＝8，解得R＝3.在直角△OCP中，tan∠COP＝，sin∠COP＝.所以sin∠BOC＝sin∠COP＝.所以△OBC的面积是×R2sin∠BOC＝×32×＝.
【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图16，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.
求证：(1)BE·DE＋AC·CE＝CE2；
(2)E，F，C，B四点共圆．
图16
【证明】 (1)连接CD，由圆周角性质可知∠ECD＝∠EBA.
故△ABE∽△CDE，∴BE∶CE＝AE∶DE，
∴BE·DE＋AC·CE＝CE2.
(2)∵AB是⊙O的直径，所以∠ECB＝90°，∴CD＝BE.∵EF⊥BF，∴FD＝BE，∴E，F，C，B四点与点D等距，∴E，F，C，B四点共圆．
18．(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅲ)如图17，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．
图17
(1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；
(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD.
【解】 (1)连接PB，BC，则∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，∠PCD＝∠PCB＋∠BCD.
因为＝，所以∠PBA＝∠PCB.又∠BPD＝∠BCD，
所以∠BFD＝∠PCD.
又∠PFB＋∠BFD＝180°，
∠PFB＝2∠PCD，
所以3∠PCD＝180°，因此∠PCD＝60°.
(2)证明：因为∠PCD＝∠BFD，所以∠EFD＋∠PCD＝180°，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上．又O也在CD的垂直平分线上，因此OG⊥CD.
19．(本小题满分12分)如图18，已知PE切⊙O于点E，割线PBA交⊙O于A，B两点，∠APE的平分线和AE，BE分别交于点C，D.求证：
图18
(1)CE＝DE；
(2)＝.
【证明】 (1)∵PE切⊙O于点E，∴∠A＝∠BEP.
∵PC平分∠APE，∴∠A＋∠CPA＝∠BEP＋∠DPE.
∵∠ECD＝∠A＋∠CPA，∠EDC＝∠BEP＋∠DPE，
∴∠ECD＝∠EDC，∴CE＝DE.
(2)∵∠PDB＝∠EDC，∠EDC＝∠ECD，∠PDB＝∠PCE，
∴∠BPD＝∠EPC，∴△PBD∽△PEC，∴＝.
同理△PDE∽△PCA，∴＝.
∴＝.∵DE＝CE，∴＝.
20．(本小题满分12分)如图19，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：
图19
(1)CD＝BC；
(2)△BCD∽△GBD.
【证明】 (1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.
因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.
(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.
由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD，所以∠BGD＝∠BDG.
由BC＝CD知∠CBD＝∠CD
B.
又因为∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，所以△BCD∽△GBD.
21．(本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅰ)如图20，△OAB是等腰三角形，∠AOB＝120°，以O为圆心，OA为半径作圆．
图20
(1)证明：直线AB与⊙O相切；
(2)点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD.
【证明】 (1)设E是AB的中点，连接OE.
因为OA＝OB，∠AOB＝120°，
所以OE⊥AB，∠AOE＝60°.
在Rt△AOE中，OE＝AO，即O到直线AB的距离等于⊙O的半径，所以直线AB与⊙O相切．
(2)因为OA＝2OD，
所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．
设O′是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO′.
由已知得O在线段AB的垂直平分线上，
又O′在线段AB的垂直平分线上，所以OO′⊥A
B.
同理可证，OO′⊥CD，所以AB∥CD.
22．(本小题满分12分)如图21，已知CP为⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB切⊙O于点D，并与CP的延长线相交于点B，又BD＝2BP.
图21
求证：(1)PC＝3BP；
(2)AC＝PC.
【证明】 (1)∵BD是⊙O的切线，
BPC是⊙O的割线，
∴BD2＝BP·BC.
∵BD＝2BP，
∴4BP2＝BP·BC，
∴4BP＝BC.
∵BC＝BP＋PC.
∴4BP＝BP＋PC，
∴PC＝3BP.
(2)连接DO.
∵AB切⊙O于点D，AC切⊙O于点C，
∴∠ODB＝∠ACB＝90°.
∵∠B＝∠B，∴△ODB∽△ACB，
∴＝＝＝，
∴AC＝2DO，又PC＝2DO，∴AC＝PC.学业分层测评(十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如图2 5 17，⊙O的两条弦AB与CD相交于点E，EC＝1，DE＝4，AE＝2，则BE＝( )
图2 5 17
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 由相交弦定理得AE·EB＝DE·EC，即2EB＝4×1，∴BE＝2.
【答案】 B
2．PT切⊙O于T，割线PAB经过点O交⊙O于A，B，若PT＝4，PA＝2，则cos∠BPT＝( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 如图所示，连接OT，根据切割线定理，可得
PT2＝PA·PB，即42＝2×PB，
∴PB＝8，∴AB＝PB－PA＝6，
∴OT＝r＝3，PO＝PA＋r＝5，
∴cos∠BPT＝＝.
【答案】 A
3．如图2 5 18，⊙O的直径CD与弦AB交于P点，若AP＝4，BP＝6，CP＝3，则⊙O的半径为( )
图2 5 18
A．5.5
B．5
C．6
D．6.5
【解析】 由相交弦定理知AP·BP＝CP·PD，
∵AP＝4，BP＝6，CP＝3，
∴PD＝＝＝8，
∴CD＝3＋8＝11，∴⊙O的半径为5.5.
【答案】 A
4．如图2 5 19，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.以BC上一点O为圆心作⊙O与AC，AB都相切，又⊙O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为( )
【导学号：07370047】
图2 5 19
A．1
B.
C.
D.
【解析】 观察图形，AC与⊙O切于点C，AB与⊙O切于点E，则AB＝＝5.
如图，连接OE，由切线长定理得AE＝AC＝4，
故BE＝AB－AE＝5－4＝1.
根据切割线定理得BD·BC＝BE2，
即3BD＝1，故BD＝.
【答案】 C
5.如图2 5 20，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：
图2 5 20
①AD＋AE＝AB＋BC＋AC；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.
其中正确结论的序号是( )
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
【解析】 ①项，∵BD＝BF，CE＝CF，∴AD＋AE＝AC＋CE＋AB＋BD＝AC＋AB＋CF＋BF＝AC＋AB＋BC，故①正确；
②项，∵AD＝AE，AD2＝AF·AG，∴AF·AG＝AD·AE，故②正确；
③项，延长AD于M，连接FD，∵AD与圆O切于点D，则∠GDM＝∠GFD，
∴∠ADG＝∠AFD≠∠AFB，则△AFB与△ADG不相似，故③错误，故选A.
【答案】 A
二、填空题
6．如图2 5 21，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线交于D，过点C作BD的平行线与圆交于点E，与AB交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则CD＝________.
图2 5 21
【解析】 因为AF·BF＝EF·CF，解得CF＝2，由CE∥BD，得＝，所以＝，即BD＝.设CD＝x，AD＝4x，所以4x2＝，所以x＝.
【答案】
7．如图2 5 22，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________，AB＝________.
图2 5 22
【解析】 由于PD∶DB＝9∶16，设PD＝9a，则DB＝16a.
根据切割线定理有PA2＝PD·P
B.又PA＝3，PB＝25a，
∴9＝9a·25a，∴a＝，∴PD＝，PB＝5.
在Rt△PAB中，AB2＝PB2－AP2＝25－9＝16，故AB＝4.
【答案】 4
8．如图2 5 23所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．
图2 5 23
【解析】 设⊙O的半径为r(r>0)，∵PA＝1，AB＝2，
∴PB＝PA＋AB＝3.
延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋r.
设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.
由圆的割线定理知，PA·PB＝PD·PC，
∴1×3＝(3－r)(3＋r)，
∴9－r2＝3，∴r＝.
【答案】
三、解答题
9．(2016·山西四校联考)如图2 5 24所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA＝10，PB＝5，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.
图2 5 24
(1)求证：＝；
(2)求AD·AE的值．
【解】 (1)证明：∵PA为圆O的切线，∴∠PAB＝∠ACP.又∠P为公共角，
△PAB∽△PCA，∴＝.
(2)∵PA为圆O的切线，PC是过点O的割线，
∴PA2＝PB·PC，∴PC＝20，BC＝15.
又∵∠CAB＝90°，∴AC2＋AB2＝BC2＝225.
又由(1)知＝＝，∴AC＝6，AB＝3，连接EC，则∠CAE＝∠EAB，∠AEC＝∠ABD.
∴△ACE∽△ADB，∴＝.
∴AD·AE＝AB·AC＝3×6＝90.
10．如图2 5 25，已知PA，PB切⊙O于A，B两点，PO＝4cm，∠APB＝60°，求阴影部分的周长．
图2 5 25
【解】 如图所示，连接OA，O
B.
∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，
∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝，
∠APO＝∠APB＝，
在Rt△PAO中，
AP＝PO·cos＝4×＝2
(cm)，
OA＝PO＝2
(cm)，PB＝2
(cm)．
∵∠APO＝，∠PAO＝∠PBO＝，∴∠AOB＝，
∴l＝∠AOB·R＝×2＝π(cm)，
∴阴影部分的周长为
PA＋PB＋l＝2＋2＋π＝(cm)．
[能力提升]
1．如图2 5 26，已知PT切⊙O于点T，TC是⊙O的直径，割线PBA交TC于点D，交⊙O于B，A(B在PD上)，DA＝3，DB＝4，DC＝2，则PB等于( )
【导学号：07370048】
图2 5 26
A．20
B．10
C．5
D．8
【解析】 ∵DA＝3，DB＝4，DC＝2，
由相交弦定理得DB·DA＝DC·DT，
即DT＝＝＝6.
因为TC为⊙O的直径，所以PT⊥DT.
设PB＝x，
则在Rt△PDT中，
PT2＝PD2－DT2＝(4＋x)2－36.
由切割线定理得PT2＝PB·PA＝x(x＋7)，
所以(4＋x)2－36＝x(x＋7)，
解得x＝20，即PB＝20.
【答案】 A
2．如图2 5 27，△ABC中，∠C＝90°，⊙O的直径CE在BC上，且与AB相切于D点，若CO∶OB＝1∶3，AD＝2，则BE等于( )
图2 5 27
A.
B．2
C．2
D．1
【解析】 连接OD，
则OD⊥BD，
∴Rt△BOD∽Rt△BAC，
∴＝.
设⊙O的半径为a，
∵OC∶OB＝1∶3，OE＝OC，
∴BE＝EC＝2a.
由题知AD，AC均为⊙O的切线，AD＝2，
∴AC＝2.
∴＝，∴BD＝2a2.
又BD2＝BE·BC，
∴BD2＝2a·4a＝8a2，
∴4a4＝8a2，∴a＝，
∴BE＝2a＝2.
【答案】 B
3．如图2 5 28，已知P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF＝12，PD＝4，则圆O的半径长为__________，∠EFD的度数为__________．
图2 5 28
【解析】 由切割线定理得，
PD2＝PE·PF，
∴PE＝＝＝4，EF＝8，OD＝4.
∵OD⊥PD，OD＝PO，
∴∠P＝30°，∠POD＝60°，
∴∠EFD＝30°.
【答案】 4 30°
4．如图2 5 29，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.
图2 5 29
(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；
(2)若OA＝CE，求∠ACB的大小．
【解】 (1)证明：如图，连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB.
在Rt△AEC中，由已知得DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.
连接OE，则∠OBE＝∠OEB.
又∠ACB＋∠ABC＝90°，
所以∠DEC＋∠OEB＝90°，
故∠OED＝90°，即DE是⊙O的切线．
(2)设CE＝1，AE＝x.
由已知得AB＝2，BE＝.
由射影定理可得AE2＝CE·BE，
即x2＝，即x4＋x2－12＝0，
解得x＝，所以∠ACB＝60°.学业分层测评(一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如图1 1 13，已知l1∥l2∥l3，AB，CD相交于l2上一点O，且AO＝OB，则下列结论中错误的是( )
图1 1 13
A．AC＝BD
B．AE＝ED
C．OC＝OD
D．OD＝OB
【解析】 由l1∥l2∥l3知AE＝ED，OC＝OD，
由△AOC≌△BOD知AC＝BD，
但OD与OB不能确定其大小关系．
故选D.
【答案】 D
2．如图1 1 14，已知AE⊥EC，CE平分∠ACB
，DE∥BC，则DE等于( )
【导学号：07370003】
图1 1 14
A．BC－AC
B．AC－BF
C.(AB－AC)
D.(BC－AC)
【解析】 由已知得CE是线段AF的垂直平分线．
∴AC＝FC，AE＝EF.
∵DE∥BC，
∴DE是△ABF的中位线，
∴DE＝BF＝(BC－AC)．
【答案】 D
3．如图1 1 15所示，过梯形ABCD的腰AD的中点E的直线EF平行于底边，交BC于F，若AE的长是BF的长的，则FC是ED的( )
图1 1 15
A.倍
B.倍
C．1倍
D.倍
【解析】 ∵AB∥EF∥DC，且AE＝DE，
∴BF＝FC.又∵AE＝BF，
∴FC＝ED.
【答案】 B
4．如图1 1 16，在梯形ABCD中，E为AD的中点，EF∥AB，EF＝30
cm，AC交EF于G，若FG－EG＝10
cm，则AB＝( )
图1 1 16
A．30
cm
B．40
cm
C．50
cm
D．60
cm
【解析】 由平行线等分线段定理及推论知，点G，F分别是线段AC，BC的中点，则
EG＝DC，FG＝AB，
∴
解得
【答案】 B
5.如图1 1 17，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC中点，且AE∥DC，AE交BD于点F，过点F的直线交AD的延长线于点M，交CB的延长线于点N，则FM与FN的关系为( )
图1 1 17
A．FM>FN
B．FMC．FM＝FN
D．不能确定
【解析】 ∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形.
∴AD＝EC＝BC，
即BE＝EC＝AD.
∴△ADF≌△EBF，
∴AF＝FE，
∴△AFM≌△EFN，
∴FM＝FN.
【答案】 C
二、填空题
6．如图1 1 18所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝6，E，F分别为对角线BD，AC的中点，则EF＝____.
图1 1 18
【解析】 如图所示，过E作GE∥BC交BA于G.
∵E是DB的中点，
∴G是AB的中点，又F是AC的中点，
∴GF∥BC，∴G，E，F三点共线，
∴GE＝AD＝1，GF＝BC＝3，
∴EF＝GF－GE＝3－1＝2.
【答案】 2
7．如图1 1 19，已知在△ABC中，AD∶DC＝1∶1，E为BD的中点，AE延长线交BC于F，则BF与FC的比值为__________．
【导学号：07370004】
图1 1 19
【解析】 过D作DG平行于BC，交AF于点G，再根据平行线等分线段定理即可解决．
【答案】
8．如图1 1 20，在△ABC中，E是AB的中点，EF∥BD，EG∥AC，CD＝AD，若EG＝5
cm，则AC＝________；若BD＝20
cm，则EF＝________.
图1 1 20
【解析】 ∵E为AB的中点，EF∥BD，
∴F为AD的中点．
∵E为AB的中点，EG∥AC，∴G为BD的中点，若EG＝5
cm，则AD＝10
cm，又CD＝AD＝5
cm，∴AC＝15
cm.若BD＝20
cm
，则EF＝BD＝10
cm.
【答案】 15
cm 10
cm
三、解答题
9．(2016·南京模拟)如图1 1 21，在梯形ABCD中，CD⊥BC，AD∥BC，E为腰CD的中点，且AD＝2
cm，BC＝8
cm，AB＝10
cm，求BE的长度．
图1 1 21
【解】 过E点作直线EF平行于BC，交AB于F，作BG⊥EF于G(如图)，
因为E为腰CD的中点，所以F为AB的中点，所以BF＝AB＝5
cm，
又EF＝＝＝5(cm)，
GF＝BC－FE＝8
cm－5
cm＝3
cm，
所以GB＝＝＝4
cm，
EC＝GB＝4
cm，
所以BE＝＝＝4(cm)．
10．用一张矩形纸，你能折出一个等边三角形吗？如图1 1 22(1)，先把矩形纸ABCD对折，设折痕为MN；再把B点叠在折痕线上，得到Rt△ABE，沿着EB线折叠，就能得到等边△EAF，如图(2)．想一想，为什么？
图1 1 22
【解】 利用平行线等分线段定理的推论2，
∵N是梯形ADCE的腰CD的中点，NP∥AD，
∴P为EA的中点．
∵在Rt△ABE中，PA＝PB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，
∴∠1＝∠3.
又∵PB∥AD，
∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠2.
又∵∠1与和它重合的角相等，
∴∠1＝∠2＝30°.
在Rt△AEB中，∠AEB＝60°，∠1＋∠2＝60°，
∴△AEF是等边三角形．
[能力提升]
1．如图1 1 23，AD是△ABC的高，E为AB的中点，EF⊥BC于F，如果DC＝BD，那么FC是BF的( )
图1 1 23
A.倍
B.倍
C.倍
D.倍
【解析】 ∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD.
又E为AB的中点，由推论1知F为BD的中点，
即BF＝FD.
又∵DC＝BD，∴DC＝BF.
∴FC＝FD＋DC＝BF＋DC＝BF.
【答案】 A
2．梯形的一腰长10
cm，该腰和底边所形成的角为30°，中位线长为12
cm，则此梯形的面积为( )
A．30
cm2
B．40
cm2
C．50
cm2
D．60
cm2
【解析】 如图，过A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，AE＝ABsin
30°＝5
cm.又已知梯形的中位线长为12
cm，
∴AD＋BC＝2×12＝24(cm)．
∴梯形的面积S＝(AD＋BC)·AE
＝×5×24＝60(cm2)．
【答案】 D
3．如图1 1 24，AB＝AC，AD⊥BC于D，M是AD的中点，CM交AB于P，DN∥CP，若AB＝9
cm，则AP＝__________；若PM＝1
cm，则PC＝__________.
【导学号：07370005】
图1 1 24
【解析】 由AB＝AC和AD⊥BC，结合等腰三角形的性质，得D是BC的中点．再由DN∥CP，可得N是BP的中点．同理可得P是AN的中点，由此可得答案．
【答案】 3
cm 4
cm
4．如图1 1 25所示，AE∥BF∥CG∥DH，AB＝BC＝CD，AE＝12，DH＝16，AH交BF于点M，求BM与CG的长．
图1 1 25
【解】 如图，取BC的中点P，作PQ∥DH交EH于点Q，则PQ是梯形ADHE的中位线．
∵AE∥BF∥CG∥DH，
AB＝BC＝CD，
AE＝12，DH＝16，
∴＝，＝，
∴＝，
∴BM＝4.
∵PQ为梯形的中位线，
∴PQ＝(AE＋DH)＝(12＋16)＝14.
同理，CG＝(PQ＋DH)＝(14＋16)＝15.学业分层测评(七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如图2 2 13，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于( )
图2 2 13
A．120°
B．136°
C．144°
D．150°
【解析】 设∠BCD＝3x，∠ECD＝2x，
∴5x＝180°，∴x＝36°，
即∠BCD＝108°，∠ECD＝72°，
∴∠BAD＝72°，∴∠BOD＝2∠BAD＝144°.
【答案】 C
2．如图2 2 14，在⊙O中，弦AB的长等于半径，∠DAE＝80°，则∠ACD的度数为( )
图2 2 14
A．30°
B．45°
C．50°
D．60°
【解析】 连接OA，OB，
∵∠BCD＝∠DAE＝80°，∠AOB＝60°，
∴∠BCA＝∠AOB＝30°，
∴∠ACD＝∠BCD－∠BCA＝80°－30°＝50°.
【答案】 C
3．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是( )
A．4∶2∶3∶1
B．4∶3∶1∶2
C．4∶1∶3∶2
D．以上都不对
【解析】 由四边形ABCD内接于圆，得∠A＋∠C＝∠B＋∠D，从而只有B符合题意．
【答案】 B
4．如图2 2 15，四边形ABCD为圆内接四边形，AC为BD的垂直平分线，∠ACB＝60°，AB＝a，则CD等于( )
图2 2 15
A.a
B.a
C.a
D.a
【解析】 ∵AC为BD的垂直平分线，
∴AB＝AD＝a，AC⊥BD.
∵∠ACB＝60°，∴∠ADB＝60°，
∴AB＝AD＝BD，∴∠ACD＝∠ABD＝60°，
∴∠CDB＝30°，
∴∠ADC＝90°，∴CD＝tan
30°·AD＝a.
【答案】 A
5．如图2 2 16所示，圆内接四边形ABCD的一组对边AD，BC的延长线相交于点P，对角线AC和BD相交于点Q，则图中共有相似三角形的对数为( )
【导学号：07370035】
图2 2 16
A．4
B．3
C．2
D．1
【解析】 利用圆周角和圆内接四边形的性质定理，可得△PCD∽△PAB，△QCD∽△QBA，△AQD∽△BQC，△PAC∽△PBD.因此共4对．
【答案】 A
二、填空题
6．如图2 2 17，以AB＝4为直径的圆与△ABC的两边分别交于E，F两点，∠ACB＝60°，则EF＝________.
图2 2 17
【解析】 如图，连接AE.
∵AB为圆的直径，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°.
∵∠ACB＝60°，
∴∠CAE＝30°，
∴CE＝AC.
∵∠C＝∠C，∠CFE＝∠B，
∴△CFE∽△CBA，
∴＝，
∵AB＝4，CE＝AC，∴EF＝2.
【答案】 2
7．四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，＝40°，则∠D＝__________.
【解析】 如图，连接AC.∵＝40°.BC是⊙O的直径，
∴∠ACB＝20°，∠BAC＝90°，
∴∠B＝180°－∠BAC－∠ACB＝70°，
∴∠D＝180°－∠B＝110°.
【答案】 110°
8．如图2 2 18，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若＝，＝，则的值为________．
图2 2 18
【解析】 由于∠PBC＝∠PDA，∠P＝∠P，
则△PAD∽△PCB
，∴＝＝.
又＝，＝，∴×＝×，
∴×＝，∴×＝，
∴＝.
【答案】
三、解答题
9．如图2 2 19，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.
图2 2 19
(1)证明：CD∥AB；
(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．
【证明】 (1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.
因为A，B，C，D四点在同一圆上，
所以∠EDC＝∠EBA，
故∠ECD＝∠EBA，所以CD∥A
B.
(2)由(1)知，AE＝BE，∠EDF＝∠ECG，因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.
连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.
又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，
所以∠FAB＝∠GBA，所以∠AFG＋∠GBA＝180°.
故A，B，G，F四点共圆．
10．如图2 2 20，已知P为正方形ABCD的对角线BD上一点，通过P作正方形的边的垂线，垂足分别为E，F，G，H.你能判断出E，F，G，H是否在同一个圆上吗？试说明你的猜想．
【导学号：07370036】
图2 2 20
【解】 猜想：E，F，G，H四个点在以O为圆心的圆上．证明如下：
如图，连接OE，OF，OG，OH.
在△OBE，△OBF，△OCG，△OAH中，
OB＝OC＝OA.
∵PEBF为正方形，
∴BE＝BF＝CG＝AH，
∠OBE＝∠OBF＝∠OCG＝∠OAH＝45°.
∴△OBE≌△OBF≌△OCG≌△OAH.
∴OE＝OF＝OG＝OH.
由圆的定义可知：E，F，G，H在以O为圆心的圆上．
[能力提升]
1．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有( )
①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；
②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；
③∠A的外角与∠C的外角互补；
④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】 由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确，②④错误．
【答案】 B
2．如图2 2 21，以△ABC的一边AB为直径的圆交AC边于D，交BC边于E，连接DE，BD与AE交于点F.则sin∠CAE的值为( )
图2 2 21
A.
B.
C.
D.
【解析】 根据圆周角定理，易得∠AEB＝90°，进而可得∠AEC＝90°.
在Rt△AEC中，由锐角三角函数的定义，可得sin∠CAE＝，由圆内接四边形的性质，可得∠CED＝∠CAB，∠CDE＝∠CBA，可得△CDE∽△CBA，则有＝，故有sin∠CAE＝.
【答案】 D
3．如图2 2 22，AB＝10
cm，BC＝8
cm，CD平分∠ACB，则AC＝__________，BD＝__________.
图2 2 22
【解析】 ∠ACB＝90°，∠ADB＝90°.
在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝8，
∴AC＝＝6.
又∵CD平分∠ACB，
即∠ACD＝∠BCD，
∴AD＝BD，
∴BD＝＝5.
【答案】 6 5
4.如图2 2 23，锐角△ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，点E为内切圆I与边CA的切点．
图2 2 23
(1)求证：四点A，I，H，E共圆；
(2)若∠C＝50°，求∠IEH的度数．
【解】 (1)证明：由圆I与边AC相切于点E，
得IE⊥AE，
结合IH⊥AH，得∠AEI＝∠AHI＝90°.
所以四点A，I，H，E共圆．
(2)由(1)知四点A，I，H，E共圆，得∠IEH＝∠HAI.
在△HIA中，∠HIA＝∠ABI＋∠BAI＝∠B＋∠A＝(∠B＋∠A)
＝(180°－∠C)＝90°－∠C.
结合IH⊥AH，得∠HAI＝90°－∠HIA＝∠C，
所以∠IEH＝∠C.
由∠C＝50°，得∠IEH＝25°.学业分层测评(四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如图1 3 32，D，E，F是△ABC的三边中点，设△DEF的面积为，△ABC的周长为9，则△DEF的周长与△ABC的面积分别是( )
图1 3 32
A.，1
B．9,4
C.，8
D.，16
【解析】 ∵D，E，F分别为△ABC三边的中点，
∴EF綊BC，DE綊AC，DF綊AB.
∴△DFE∽△ABC，且＝，∴＝＝.
又∵l△ABC＝9，∴l△DEF＝.
又∵＝＝，S△DEF＝，
∴S△ABC＝1，故选A.
【答案】 A
2．如图1 3 33，在 ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是( )
图1 3 33
A．5
B．8.2
C．6.4
D．1.8
【解析】 由△CBF∽△CDE，得＝，
又点E是AD的中点，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6，
∴DE＝3，即＝，∴BF＝1.8.
【答案】 D
3．如图1 3 34所示，D是△ABC的AB边上一点，过D作DE∥BC交AC于E.已知AD∶DB＝1∶3，则△ADE与四边形BCED的面积比为( )
图1 3 34
A．1∶3
B．1∶9
C．1∶15
D．1∶16
【解析】 因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.
又因为AD∶DB＝1∶3.
所以AD∶AB＝1∶4，其面积比为1∶16，
则所求两部分面积比为1∶15.
【答案】 C
4．某同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图1 3 35所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30
cm，幻灯片到屏幕的距离是1.5
m，幻灯片上小树的高度是10
cm，则屏幕上小树的高度是( )
【导学号：07370017】
图1 3 35
A．50
cm
B．500
cm
C．60
cm
D．600
cm
【解析】 设屏幕上小树的高度为x
cm，则＝，解得x＝60(cm)．
【答案】 C
5．如图1 3 36，△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于D，E，S△ADE＝2S△DCE，则＝( )
图1 3 36
A.
B.
C.
D.
【解析】 ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
由S△ADE＝2S△DCE，得＝，∴＝.
【答案】 D
二、填空题
6．如图1 3 37，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝10，则AE的长为________．
图1 3 37
【解析】 ∵AE∥BC，∴△BGF∽△AGE，∴＝＝，
∵D为AC中点，∴＝＝1，∴AE＝CF，
∴BC∶AE＝2∶1，∵BC＝10，∴AE＝5.
【答案】 5
7．如图1 3 38，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________.
图1 3 38
【解析】 因为PE∥BC，所以∠C＝∠PED.又因为∠C＝∠A，所以∠A＝∠PED.又∠P＝∠P，所以△PDE∽△PEA，则＝，即PE2＝PD·PA＝2×3＝6，故PE＝.
【答案】
8．(2016·湛江高三调研)如图1 3 39，在△ABC中，已知DE∥BC，△ADE的面积是a2，梯形DBCE的面积是8a2，则＝________.
图1 3 39
【解析】 ∵S△ADE＝a2，SDBCE＝8a2，∴S△ABC＝S△ADE＋SBDCE＝a2＋8a2＝9a2，
∴2＝＝＝，∴＝.
【答案】
三、解答题
9．如图1 3 40，已知在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与
AB相交于点E，EC与AD相交于点F.
图1 3 40
(1)求证：△ABC∽△FCD；
(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．
【解】 (1)证明：∵DE⊥BC，D是BC的中点，
∴EB＝EC，∴∠B＝∠1，
又∵AD＝AC，
∴∠2＝∠ACB.
∴△ABC∽△FCD.
(2)过点A作AM⊥BC，垂足为点M.
∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，
∴＝2＝4.
又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20.
∵S△ABC＝BC·AM，BC＝10，
∴20＝×10×AM，∴AM＝4.
又∵DE∥AM，∴＝.
∵DM＝DC＝BC＝，
BM＝BD＋DM，
BD＝BC＝5，∴＝，
∴DE＝.
10．如图1 3 41，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝200
mm，高AD＝300
mm，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，求这个矩形零件的边长．
图1 3 41
【解】 设矩形EFGH为加工成的矩形零件，边FG在BC上，则点E，H分别在AB，AC上，△ABC的高AD与边EH相交于点P，设矩形的边EH的长为x
mm.
∵EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，
∴＝，∴＝，
解得x＝
(mm)，2x＝(mm)．
答：加工成的矩形零件的边长分别为mm和mm.
[能力提升]
1．如图1 3 42所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝1，BC＝2，则AF∶FC等于( )
图1 3 42
A．1∶3
B．1∶4
C．1∶2
D．2∶3
【解析】 设正方形边长为x，则由△AFE∽△ACB，
可得AF∶AC＝FE∶CB，即＝，
所以x＝，于是＝.
【答案】 C
2．如图1 3 43，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，DC＝80，那么EF的值是( )
图1 3 43
A．10
B．12
C．16
D．18
【解析】 ∵AB∥EF∥CD，
∴＝＝＝，
∴＝＝，
∴EF＝AB＝×20＝16.
【答案】 C
3．在△ABC中，如图1 3 44所示，BC＝m，DE∥BC，DE分别交AB，AC于E，D两点，且S△ADE＝S四边形BCDE，则DE＝________.
【导学号：07370018】
图1 3 44
【解析】 ∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB.
又∵S△ADE＋S四边形BCDE＝S△ABC；S△ADE＝S四边形BCDE，
∴S△ADE＝S△ABC，
∴2＝，∴2＝，
∴DE＝m.
【答案】 m
4．某生活小区的居民筹集资金1
600元，计划在一块上、下两底分别为10
cm、20
cm的梯形空地上种植花木．
(1)他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD地带种满花后(如图1 3 45阴影部分)共花了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用；
图1 3 45
(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择种哪种花木可以刚好用完所筹集的资金？
【解】 (1)∵四边形ABCD是梯形，∴AD∥BC，
∴△AMD∽△CMB，∴＝2＝.
∵种植△AMD地带花费160元，
∴S△AMD＝＝20
(m2)，∴S△CMB＝80
(m2)．
∴△BMC地带的花费为80×8＝640(元)．
(2)设△AMD，△BMC的高分别为h1，h2，梯形ABCD的高为h，
∵S△AMD＝×10h1＝20，∴h1＝4(m)．
又∵＝，∴h2＝8(m)．
∴h＝h1＋h2＝12(m)．
∴S梯形ABCD＝(AD＋BC)h＝×30×12
＝180
(m2)，
∴S△AMB＋S△DMC＝180－20－80＝80
(m2)．
∴160＋640＋80×12＝1
760(元)，
160＋640＋80×10＝1
600(元)．
∴应种植茉莉花刚好用完所筹资金．章末综合测评(三)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.如图1，已知AB∥A′B′，BC∥B′C′，那么下列比例式成立的是( )
图1
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
【解析】 ∵AB∥A′B′∴＝.同理＝，
∴＝，∴A不成立．
＝＝，∴＝，∴B成立．
由于＝，∴AC∥A′C′，
∴＝，∴C不成立．
＝＝，∴D不成立．
【答案】 B
2．PAB为过圆心O的割线，且PA＝OA＝4，PCD为⊙O的另一条割线，且PC＝CD，则PC长为( )
【导学号：07370057】
A．4
B.
C．24
D．2
【解析】 由题意知PA·PB＝PC·PD，
设PC＝x，则PD＝2x，
∴2x·x＝4×12，∴x＝2，即PC＝2.
【答案】 D
3．如图2，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，CD＝2，则的值为( )
图2
A.
B.
C.
D.
【解析】 由题意得，CD2＝AD·BD，
∴BD＝.又AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，
则＝＝，故＝.
【答案】 A
4．如图3，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F.已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于( )
图3
A．40°
B．55°
C．65°
D．70°
【解析】 ∵∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°，∴∠EOF＝110°，∴∠EDF＝55°.
【答案】 B
5．如图4，四边形BDEF是平行四边形，如果CD∶DB＝2∶3，那么S BDEF是S△ABC的( )
图4
A.
B.
C.
D.
【解析】 因为DE∥AB，所以△CDE∽△ABC，
所以＝2.
又CD∶DB＝2∶3，所以CD∶CB＝2∶5，
所以＝2＝2＝，
所以S△CDE＝S△ABC.
因为DE∥AB，所以＝＝，所以＝.
同理，S△AFE＝S△ABC.
所以S BDEF＝S△ABC－S△AFE－S△EDC
＝S△ABC－S△ABC－S△ABC＝S△ABC.
【答案】 D
6．如图5，点C在以AB为直径的半圆上，连接AC，BC，AB＝10，tan∠BAC＝，则阴影部分的面积为( )
图5
A.π
B.π－24
C．24
D.＋24
【解析】 ∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.
∵tan∠BAC＝，∴sin∠BAC＝.
又∵sin∠BAC＝，AB＝10，
∴BC＝×10＝6，AC＝×BC＝×6＝8，
∴S阴影＝S半圆－S△ABC＝×π×52－×8×6＝π－24.
【答案】 B
7．如图6，用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为( )
图6
A.
B.
C.
D．非上述结论
【解析】 用平面截圆柱，椭圆截线的短轴长为圆柱截面圆的直径，且椭圆所在平面与底面成30°角，则离心率e＝sin
30°＝.
【答案】 A
8．如图7，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，AD＝DC，∠ADB＝20°，则∠ACB，∠DBC分别为( )
图7
A．15°与30°
B．20°与35°
C．20°与40°
D．30°与35°
【解析】 ∵∠ADB＝20°，
∴∠ACB＝∠ADB＝20°.
又∵BC为⊙O的直径，
∴的度数为180°－40°＝140°.
∵D为的中点，∴的度数为70°，
∴∠DBC＝＝35°.
【答案】 B
9．如图8，AB，CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的中垂线，已知AB＝6，CD＝2，则线段AC的长度为( )
图8
A．5
B.
C.
D．3
【解析】 连接BC，∵AB垂直平分CD，
∴CP2＝AP·PB.设PB＝x，则AP＝6－x，
∴x(6－x)＝5，∴x1＝1，x2＝5(由题图可知，不合题意，舍去)，即AP＝5.
又CP＝＝，∴AC＝＝.
【答案】 C
10．如图9，E，C分别是∠A两边上的点，以CE为直径的⊙O交∠A的两边于点D，点B，若∠A＝45°，则△AEC与△ADB的面积比为( )
图9
A．2∶1
B．1∶2
C.∶1
D.∶1
【解析】 连接BE，求△AEC与△ABD的面积比，即求AE2∶AB2的值．设AB＝a，∵∠A＝45°，
CE为⊙O的直径，∴∠CBE＝∠ABE＝90°，
∴BE＝AB＝a，∴AE＝a，
∴AE2∶AB2＝2a2∶a2，
即AE2∶AB2＝2∶1，∴S△AEC∶S△ABD＝2∶1.
【答案】 A
11.如图10所示，球O与圆柱的上、下底面以及侧面均相切，用一平面去截圆柱和球，得到的截面图有可能是( )
图10
A．①②④
B．①②③
C．②③④
D．①②③④
【解析】 如图所示，连接AB，AB为圆柱的轴，当平面与AB垂直且过AB中点时，截得图形是图①.当平面与AB垂直不过AB中点时，截得图形是两个同心圆，是图②.当平面经过轴AB时，截得的图形是图③.当平面与轴AB不垂直且平面与圆柱的侧面有交线时，截得的图形是图④.故有可能的图形是①②③④.
【答案】 D
12．如图11，已知△ABC中，＝，＝，AD，BE交于F，则·的值为( )
图11
A.
B.
C.
D.
【解析】 过D作DG∥BE交AC于G.
∵＝，∴＝，
∴＝＝，
∴DG＝BE.
又＝＝，∴EG＝EC.
又＝，∴EC＝AE，
∴＝＝
＝＝，
∴FE＝DG＝×BE＝BE，
∴＝，＝＝，
∴·＝×＝.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)
13．如图12，点E，F分别在AD，BC上，已知CD＝2，EF＝3，AB＝5，若EF∥CD∥AB,
则等于________．
【导学号：07370058】
图12
【解析】 如图，过C作CH∥DA交EF于G，交AB于H，则EG＝AH＝DC＝2，GF＝1，BH＝3.
∵GF∥HB，∴＝＝，∴＝.
【答案】
14．(2016·重庆七校联盟联考)如图13，半径为4的圆O中，∠AOB＝90°，D为OB的中点，AD的延长线交圆O于点E，则线段DE的长为________．
图13
【解析】 延长BO交圆O于点F，则DF＝6，BD＝2.由勾股定理得：AD＝＝2.
由相交弦定理得：AD·DE＝FD·DB，所以2·DE＝12 DE＝＝.
【答案】
15．一平面与半径为4的圆柱面相截，截面的Dandelin双球的球心距离为12，则截线椭圆的离心率e＝________.
【解析】 依题意，Dandelin双球球心距离即为圆柱母线长，
∴2a＝12，∴a＝6.又b＝r＝4，
∴c＝＝＝2，
∴椭圆的离心率e＝＝＝.
【答案】
16．如图14，已知△ABC中，边AC上一点F分AC为＝，BF上一点G分BF为＝，AG的延长线与BC交于点E，则BE∶EC＝________.
图14
【解析】 过F作FD∥AE交BC于D，如图所示，
则＝＝，＝＝，故CD＝DE，BE＝DE，EC＝CD＋DE＝DE＋DE＝DE，
从而＝.
【答案】 3∶5
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2016·唐山二模)如图15所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．
图15
(1)求证：AB∥DE；
(2)求证：2AD·CD.＝AC·BC.
【证明】 (1)连接BD，因为D为的中点，所以BD＝DC.
因为E为BC的中点，所以DE⊥BC.
因为AC为圆的直径，所以∠ABC＝90°，
所以AB∥DE.
(2)因为D为的中点，所以∠BAD＝∠DAC，
又∠BAD＝∠DCB，则∠DAC＝∠DCB.
又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD，
所以＝，AD·CD＝AC·CE,2AD·CD＝AC·2CE，
因此2AD·CD＝AC·BC.
18．(本小题满分12分)如图16，AB为⊙O的直径，AD，BC是⊙O的切线，DC切⊙O于E，并与AD，BC分别交于D，C两点，BD与AC交于点F，求证：FE∥AD.
图16
【证明】 ∵AB为⊙O的直径，AD，BC是⊙O的切线，
∴AD⊥AB，BC⊥AB，
∴AD∥BC，∴＝.
∵DC与⊙O切于E，并与AD，BC分别交于D，C两点，
∴AD＝DE，BC＝CE，
∴＝，∴FE∥AD.
19．(本小题满分12分)如图17，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1＞r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值．
图17
【证明】 连接AO1，并延长分别交两圆于点E和点D，连接BD，CE.
因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上．故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．
从而∠ABD＝∠ACE＝，所以BD∥CE，
于是＝＝＝，
所以AB∶AC为定值．
20．(本小题满分12分)如图18所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.
(1)求证：AD∥EC；
(2)若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．
图18
【解】 (1)证明：连接AB，
∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC＝∠D，
又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E，∴AD∥EC.
(2)设BP＝x，PE＝y，
∵PA＝6，PC＝2，∴xy＝12.①
∵AD∥EC，∴＝ ＝.②
由①②得，或(舍去)，
∴DE＝9＋x＋y＝16.
∵AD是⊙O2的切线，
∴AD2＝DB·DE＝9×16，∴AD＝12.
21．(本小题满分12分)如图19，已知⊙O和⊙M相交于A，B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为中点，连接AG分别交⊙O，BD于点E，F，连接CE.
求证：(1)AG·EF＝CE·GD；
(2)＝.
图19
【证明】 (1)如图，连接AB，AC，
∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD＝90°，
∴∠ABC＝90°，∴AC为⊙O的直径，
∴∠CEF＝∠AGD.
∵∠DFG＝∠CFE，∴∠ECF＝∠GDF.
∵G为弧BD的中点，∴∠DAG＝∠GDF，
∴∠DAG＝∠ECF，∴△CEF∽△AGD，
∴＝，∴AG·EF＝CE·GD.
(2)由(1)知∠DAG＝∠GDF，∠G＝∠G，
∴△DFG∽△ADG，∴DG2＝AG·GF，
由(1)知＝，∴＝.
22．(本小题满分12分)如图20，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交于M，连接DC，AB＝10，AC＝12.
(1)求证：BA·DC＝GC·AD；
(2)求BM.
图20
【解】 (1)证明：因为AC⊥OB，所以∠AGB＝90°.
又AD是圆O的直径，所以∠DCA＝90°，
又因为∠BAG＝∠ADC(弦切角等于同弧所对圆周角)，
所以△AGB∽△DCA，所以＝.
又因为OG⊥AC，所以GC＝AG，
所以＝，即BA·DC＝GC·AD.
(2)因为AC＝12，所以AG＝6.
因为AB＝10，所以BG＝＝8，
由(1)知，Rt△AGB∽Rt△DCA，所以＝，
所以AD＝15，即圆的直径2r＝15.
又因为AB2＝BM·(BM＋2r)，即BM2＋15BM－100＝0，
解得BM＝5.章末综合测评(一)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图1，已知DE∥BC，EF∥AB，现得到下列式子：
图1
①＝；②＝；③＝；④＝.
其中正确式子的个数有( )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【解析】 由平行线分线段成比例定理知，①②④正确．故选B.
【答案】 B
2．如图2，DE∥BC，S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，则AD∶DB的值为( )
【导学号：07370024】
图2
A．1∶4
B．1∶3
C．1∶2
D．1∶5
【解析】 由S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，得S△ADE∶S△ABC＝1∶9，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∵2＝＝，
∴＝，
∴AD∶DB＝1∶2.
【答案】 C
3．如图3所示，将△ABC的高AD三等分，过每一分点作底面平行线，这样把三角形分成三部分，则这三部分的面积为S1，S2，S3，则S1∶S2∶S3等于( )
图3
A．1∶2∶3
B．2∶3∶4
C．1∶3∶5
D．3∶5∶7
【解析】 如图所示，E，F分别为△ABC高AD的三等分点，过点E作BC的平行线交AB，AC于点M，N，过点F作BC的平行线交AB，AC于点G，H.△AMN∽△ABC，＝，∴S1＝S△ABC.
又△AGH∽△ABC，＝，S△AGH＝S1＋S2，
∴S1＋S2＝S△ABC，
∴S2＝S△ABC，∴S3＝S△ABC，
∴S1∶S2∶S3＝1∶3∶5，故选C.
【答案】 C
4．如图4，在△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E在AC的延长线上，BD＝3CE，DE交BC于F，则DF∶FE等于( )
图4
A．5∶2
B．2∶1
C．3∶1
D．4∶1
【解析】 过D作DG∥AC，交
BC于G，
则DG＝DB＝3CE，
即CE∶DG＝1∶3.
易知△DFG∽△EFC，
∴DF∶FE＝DG∶CE，
所以DF∶FE＝3∶1.
【答案】 C
5．如图5所示，梯形ABCD的对角线交于点O，则下列四个结论：
图5
①△AOB∽△COD；
②△AOD∽△ACB；
③S△DOC∶S△AOD＝CD∶AB；
④S△AOD＝S△BOC.
其中正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 ∵DC∥AB，∴△AOB∽△COD，①正确．由①知，＝.S△DOC∶S△AOD＝OC∶OA＝CD∶AB，③正确．
∵S△ADC＝S△BCD，
∴S△ADC－S△COD＝S△BCD－S△COD，
∴S△AOD＝S△BOC，④正确．
故①③④正确．
【答案】 C
6．如图6所示，铁道口的栏杆短臂长1
m，长臂长16
m，当短臂端点下降0.5
m时，长臂端点升高( )
图6
A．11.25
m
B．6.6
m
C．8
m
D．10.5
m
【解析】 本题是一个实际问题，可抽象为如下数学问题：如图，等腰△AOC∽等腰△BOD，OA＝1
m，OB＝16
m，高CE＝0.5
m，求高DF.由相似三角形的性质可得OA∶OB＝CE∶DF，即1∶16＝0.5∶DF，解得DF＝
8
m.
【答案】 C
7．如图7所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形＝40
cm2，S△ABE∶S△DBA＝1∶5，则AE的长为( )
图7
A．4
cm
B．5
cm
C．6
cm
D．7
cm
【解析】 ∵∠BAD＝90°，AE⊥BD，
∴△ABE∽△DBA.
∴S△ABE∶S△DBA＝AB2∶DB2.
∵S△ABE∶S△DBA＝1∶5，
∴AB2∶DB2＝1∶5，
∴AB∶DB＝1∶.
设AB＝k，DB＝k，则AD＝2k.
∵S矩形＝40
cm2，∴k·2k＝40，
∴k＝2，
∴BD＝k＝10，AD＝4，
S△ABD＝BD·AE＝20，即×10·AE＝20，
∴AE＝4
cm.
【答案】 A
8．如图8，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分(即图中的阴影部分)的面积是
△ABC的面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离AA′是( )
【导学号：07370025】
图8
A.－1
B.
C．1
D.
【解析】 由题意可知，阴影部分与△ABC相似，且等于△ABC面积的，∴A′B∶AB＝＝1∶.
又∵AB＝，∴A′B＝1，
∴AA′＝－1.
【答案】 A
9．如图9所示，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，CD⊥AB于D，则BD∶AD＝( )
图9
A.
B.
C.
D.
【解析】 设CD＝，则AD＝3，BD＝1，∴＝.
【答案】 A
10．已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD>BD)，若CD＝6，则AD的长为( )
A．8
B．9
C．10
D．11
【解析】 如图，连接AC，CB.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
设AD＝x，∵CD⊥AB于D，
由射影定理得CD2＝AD·DB，
即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，
解得x1＝4，x2＝9.
∵AD>BD，∴AD＝9.
【答案】 B
11.某社区计划在一块上、下底边长分别是10米，20米的梯形空地上种植花木(如图10所示)，他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/米2的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，还需资金( )
图10
A．500元
B．1
500元
C．1
800元
D．2
000元
【解析】 在梯形ABCD中，AD∥BC，∴△AMD∽△BMC，
AD＝10
m，BC＝20
m，
＝2＝，
∵S△AMD＝500÷10＝50(m2)，∴S△BMC＝200
m2，
则还需要资金200×10＝2
000(元)．
【答案】 D
12．如图11所示，将一个矩形纸片BADC沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比应为( )
图11
A．1∶
B．1∶
C.∶1
D.∶1
【解析】 ∵矩形AEFB∽矩形ABCD，∴BF∶AB＝AB∶AD.
∵BF＝AD，∴AB2＝AD2，∴AD∶AB＝∶1.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)
13．如图12，已知DE∥BC，且BF∶EF＝4∶3，则AC∶AE＝________.
图12
【解析】 ∵DE∥BC，
∴＝，
同理＝，
∴＝＝＝.
【答案】 4∶3
14．如图13，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于________米.
【导学号：07370026】
图13
【解析】 如图，GC⊥BC，AB⊥BC，∴GC∥AB.
∴△GCD∽△ABD，∴＝.
设BC＝x，则＝，同理，得＝.
∴＝，∴x＝3，∴＝，
∴AB＝6(米)．
【答案】 6
15．如图14所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的中线，且AD，BE交于点G，那么＝________.
图14
【解析】 ∵AD，BE是△ABC的中线，且AD交BE于G，
∴G是△ABC的重心，∴＝，
∴＝，
又∵D为BC的中点，∴＝，∴＝.
【答案】
16．如图15，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则DE＝________.
图15
【解析】 法一：因为AB＝，BC＝3，所以AC＝＝2，tan
∠BAC＝＝，所以∠BAC＝.在Rt△BAE中，AE＝ABcos
＝，则CE＝2－＝.在△ECD中，DE2＝CE2＋CD2－2CE·CDcos
∠ECD＝2＋()2－2×××＝，故DE＝.
法二：如图，作EM⊥AB交AB于点M，作EN⊥AD交AD于点N.因为AB＝，BC＝3，所以tan
∠BAC＝＝，则∠BAC＝，AE＝ABcos
＝，NE＝AM＝AEcos＝×＝，AN＝ME＝AEsin
＝×＝，ND＝3－＝.在Rt△DNE中，DE＝＝＝.
【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图16，点E是四边形ABCD的对角线上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.
图16
(1)求证：BE·AD＝CD·AE；
(2)根据图形的特点，猜想可能等于哪两条线段的比(只写出图中一组比即可)？并证明你的猜想．
【解】 (1)证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠DAC.
∵∠DAE＝∠BDC，∴∠AEB＝∠ADC，
∴△ABE∽△ACD，∴＝，
即BE·AD＝CD·AE.
(2)猜想：＝.
证明：∵由(1)△ABE∽△ACD，∴＝，
又∵∠BAC＝∠EAD，∴△BAC∽△EAD，
∴＝.
18．(本小题满分12分)如图17，已知正方形ABCD的边长为4，P为AB上的一点，且AP∶PB＝1∶3，PQ⊥PC，试求PQ的长．
图17
【解】 ∵PQ⊥PC，
∴∠APQ＋∠BPC＝90°，
∴∠APQ＝∠BCP，
∴Rt△APQ∽Rt△BCP.
∵AB＝4，AP∶PB＝1∶3，
∴PB＝3，AP＝1，∴＝，
即AQ＝＝＝，
∴PQ＝＝
＝.
19．(本小题满分12分)在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2＝BD·DC，求∠BCA的度数．
【解】 (1)当AD在△ABC内部时，如图(1)，由AD2＝BD·DC，可得△ABD∽△CAD.
∴∠BCA＝∠BAD＝65°；
(2)当AD在△ABC外部时，如图(2)，
由AD2＝BD·DC，得△ABD∽△CAD，
∴∠B＝∠CAD＝25°，
∴∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115°.
故∠BCA等于65°或115°.
20．(本小题满分12分)如图18所示，CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线，CE⊥CD，CE＝，连接DE交BC于点F，AC＝4，BC＝3.求证：
图18
(1)△ABC∽△EDC；
(2)DF＝EF.
【证明】 (1)在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，则AB＝5.
∵D为斜边AB的中点，
∴AD＝BD＝CD＝AB＝2.5，
∴＝＝＝，∴△ABC∽△EDC.
(2)由(1)知，∠B＝∠CDF，
∵BD＝CD，∴∠B＝∠DCF，
∴∠CDF＝∠DCF.
∴DF＝CF.①
由(1)知，∠A＝∠CEF，∠ACD＋∠DCF＝90°，∠ECF＋∠DCF＝90°，
∴∠ACD＝∠ECF.由AD＝CD，得∠A＝∠ACD.
∴∠ECF＝∠CEF，
∴CF＝EF.②
由①②，知DF＝EF.
21．(本小题满分12分)已知在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，直线MN是梯形的对称轴，P是MN上的一点，直线BP交直线DC于F，交CE于E，且CE∥AB.
(1)若点P在梯形内部，如图19(1)．
求证：BP2＝PE·PF.
(2)若点P在梯形的外部，如图19(2)，那么(1)的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(1) (2)
图19
【解】 (1)证明：连接PC，因为MN是梯形ABCD的对称轴，所以PB＝PC，
∠PBC＝∠PCB.
因为梯形ABCD是等腰梯形，
所以∠ABC＝∠DCB，
即∠ABP＋∠PBC＝∠PCB＋∠DCP，
所以∠ABP＝∠DCP.
又因为CE∥AB，所以∠E＝∠ABP＝∠DCP，
而∠CPE＝∠FPC，所以△CPE∽△FPC.
所以＝，即PC2＝PE·PF，
又因为PC＝BP，所以BP2＝PE·PF.
(2)结论成立．证明如下：
连接PC，
由对称性知PB＝PC，
所以∠PBC＝∠PCB.
因为梯形ABCD是等腰梯形，
所以∠ABC＝∠DCB，
所以∠ABC＋∠PBC＝∠DCB＋∠PCB，
即∠ABP＝∠DCP.
因为CE∥AB，所以∠ABP＋∠PEC＝180°，而∠DCP＋∠PCF＝180°，
所以∠PEC＝∠PCF.又因为∠EPC＝∠CPF，所以△EPC∽△CPF.
所以＝，即PC2＝PE·PF，
所以BP2＝PE·PF.
22．(本小题满分12分)如图20，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上的一点，＝(m，n>0)．取CF的中点D，连接AD并延长交BC于E.
图20
(1)求的值；
(2)如果BE＝2EC，那么CF所在的直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论；
(3)E点能否为BC中点？如果能，求出相应的的值；如果不能，证明你的结论．
【导学号：07370027】
【解】 (1)如图所示，作CG∥AB交AE的延长线于G.
在△GCD与△AFD中，
∠G＝∠FAD，∠CDG＝∠FDA，DC＝DF，
∴△GCD≌△AFD，∴GC＝AF.
在△ABE和△GCE中，
∠BAE＝∠G，∠AEB＝∠GEC，
∴△ABE∽△GCE.∵＝(m，n>0)，
∴＝＝＝＋1＝＋1.
(2)∵BE＝2EC，∴＝2.
由(1)知＝＋1，∴＝1.
∴BF＝AF，F为AB的中点．
∵AC＝BC，∴CF⊥AB，∴CF所在的直线垂直平分边AB.
(3)不能．∵＝＋1，而>0，∴>1，
∴BE>EC.
∴E不能为BC的中点．学业分层测评(九)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如图2 4 12所示，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC＝BC，则sin∠MCA＝( )
图2 4 12
A.
B.
C.
D.
【解析】 由弦切角定理，得∠MCA＝∠ABC.
∵sin∠ABC＝＝＝＝，故选D.
【答案】 D
2．如图2 4 13，在圆的内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是( )
图2 4 13
A．4
B．5
C．6
D．7
【解析】 ∠DCF＝∠DAC，∠DCF＝∠BAC，∠DCF＝∠BCE，
∠DCF＝∠BDC，∠DCF＝∠DBC.
【答案】 B
3.如图2 4 14所示，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为( )
图2 4 14
A．2
B．3
C．2
D．4
【解析】 连接BC.∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥BC，由弦切角定理可知，
∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD，
∴＝，
∴AC2＝AB·AD＝6×2＝12，
∴AC＝2，故选C.
【答案】 C
4．如图2 4 15，PC与⊙O相切于C点，割线PAB过圆心O，∠P＝40°，则∠ACP等于( )
【导学号：07370043】
图2 4 15
A．20°
B．25°
C．30°
D．40°
【解析】 如图，连接OC，BC，
∵PC切⊙O于C点，
∴OC⊥PC，∵∠P＝40°，∴∠POC＝50°.
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠POC＝25°，
∴∠ACP＝∠B＝25°.
【答案】 B
5．如图2 4 16所示，已知AB，AC与⊙O相切于B，C，∠A＝50°，点P是⊙O上异于B，C的一动点，则∠BPC的度数是( )
图2 4 16
A．65°
B．115°
C．65°或115°
D．130°或50°
【解析】 当点P在优弧上时，
由∠A＝50°，得∠ABC＝∠ACB＝65°.
∵AB是⊙O的切线，∴∠ABC＝∠BPC＝65°.
当P点在劣弧上时，∠BPC＝115°.
故选C.
【答案】 C
二、填空题
6.如图2 4 17所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.
图2 4 17
【解析】 ∵PB切⊙O于点B，∴∠PBA＝∠ACB.
又∠PBA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠ACB，
∴△ABD∽△ACB.
∴＝，∴AB2＝AD·AC＝mn，
∴AB＝.
【答案】
7．如图2 4 18，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上．AD是⊙O的切线，若∠B＝30°，AC＝2，则OD的长为__________．
图2 4 18
【解析】 连接OA，
则∠COA＝2∠CBA＝60°，
且由OC＝OA知△COA为正三角形，所以OA＝2.
又因为AD是⊙O的切线，即OA⊥AD，
所以OD＝2OA＝4.
【答案】 4
8.如图2 4 19，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.
图2 4 19
【解析】 连接OC，∵PC切⊙O于点C，
∴OC⊥PC，
∵PB＝OB＝2，OC＝2，
∴PC＝2，∵OC·PC＝OP·CD，
∴CD＝＝.
【答案】
三、解答题
9．如图2 4 20所示，△ABT内接于⊙O，过点T的切线交AB的延长线于点P，∠APT的平分线交BT，AT于C，D.
图2 4 20
求证：△CTD为等腰三角形．
【证明】 ∵PD是∠APT的平分线，∴∠APD＝∠DPT.
又∵PT是圆的切线，∴∠BTP＝∠A.
又∵∠TDC＝∠A＋∠APD，
∠TCD＝∠BTP＋∠DPT，
∴∠TDC＝∠TCD，∴△CTD为等腰三角形．
10．如图2 4 21，AB是⊙O的弦，M是上任一点，过点M的切线与分别以A，B为垂足的直线AD，BC交于D，C两点，过M点作NM⊥CD交AB于点N，求证：MN2＝AD·BC.
图2 4 21
【证明】 连接AM，MB，
因为DA⊥AB，MN⊥CD，
所以∠MDA＋∠MNA＝180°.
又因为∠MNA＋∠MNB＝180°，
所以∠MDA＝∠MNB，
又因为CD为⊙O的切线，所以∠1＝∠2，
所以△ADM∽△MNB，
所以＝，同理＝，
所以＝，即有MN2＝AD·BC.
[能力提升]
1．在圆O的直径CB的延长线上取一点A，AP与圆O切于点P，且∠APB＝30°，AP＝，则CP＝( )
【导学号：07370044】
A.
B．2
C．2－1
D．2＋1
【解析】 如图，连接OP，则OP⊥PA，
又∠APB＝30°，
∴∠POB＝60°，
在Rt△OPA中，由AP＝，
易知，PB＝OP＝1，
在Rt△PCB中，
由PB＝1，∠PBC＝60°，得PC＝.
【答案】 A
2．如图2 4 22，AB是⊙O直径，P在AB的延长线上，PD切⊙O于C点，连接AC，若AC＝PC，PB＝1，则⊙O的半径为( )
图2 4 22
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 连接BC.
∵AC＝PC，∴∠A＝∠P.
∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P，
∴BC＝BP＝1.
由△BCP∽△CAP，得
PC2＝PB·PA，
即AC2＝PB·PA.
而AC2＝AB2－BC2，
设⊙O半径为r，
则4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r＝1.
【答案】 A
3．如图2 4 23，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝__________.
图2 4 23
【解析】 由PA为⊙O的切线，BA为弦，
得∠PAB＝∠BCA.
又∠BAC＝∠APB，
于是△APB∽△CAB，
所以＝.
而PB＝7，BC＝5，
故AB2＝PB·BC＝7×5＝35，即AB＝.
【答案】
4．如图2 4 24，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.
图2 4 24
证明：
(1)∠FEB＝∠CEB；
(2)EF2＝AD·BC.
【证明】 (1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.
由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝.
又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝.
从而∠FEB＝∠EAB，故∠FEB＝∠CEB.
(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.
类似可证Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.
又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，
所以EF2＝AD·BC.学业分层测评(五)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，BD＝2，则AC∶BC的值是( )
A．3∶2
B．9∶4
C.∶
D.∶
【解析】 如图，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理知AC2＝AD·AB，
BC2＝BD·AB，
又∵AD＝3，BD＝2，
∴AB＝AD＋BD＝5，
∴AC2＝3×5＝15，BC2＝2×5＝10.
∴＝＝，即AC∶BC＝∶，
故选C.
【答案】 C
2.如图1 4 9所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若CD＝6，AD∶DB＝1∶2，则AD的值是( )
图1 4 9
A．6
B．3
C．18
D．3
【解析】 由题意知
∴AD2＝18，
∴AD＝3.
【答案】 B
3．一个直角三角形的一条直角边为3
cm，斜边上的高为2.4
cm，则这个直角三角形的面积为( )
【导学号：07370021】
A．7.2
cm2
B．6
cm2
C．12
cm2
D．24
cm2
【解析】 长为3
cm的直角边在斜边上的射影为＝1.8(cm)，由射影定理知斜边长为＝5(cm)，
∴三角形面积为×5×2.4＝6(cm2)．
【答案】 B
4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若＝，则等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 如图，由射影定理，得AC2＝CD·BC，AB2＝BD·BC，
∴＝＝2，
即＝，
∴＝.
【答案】 C
5．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶4，则tan∠BCD的值是( )
【导学号：07370022】
A.
B.
C.
D．2
【解析】 如图，由射影定理得CD2＝AD·BD.
又∵BD∶AD＝1∶4，
令BD＝x，则AD＝4x(x>0)，
∴CD2＝AD·BD＝4x2，∴CD＝2x，
在Rt△CDB中，tan∠BCD＝＝＝.
【答案】 C
二、填空题
6．如图1 4 10，在矩形ABCD中，AE⊥BD，OF⊥AB.DE∶EB＝1∶3，OF＝a，则对角线BD的长为________．
图1 4 10
【解析】 ∵OF＝a，
∴AD＝2a.
∵AE⊥BD，
∴AD2＝DE·BD.
∵DE∶EB＝1∶3，∴DE＝BD，
∴AD2＝BD·BD，
∴BD2＝4AD2＝4×4a2＝16a2，∴BD＝4a.
【答案】 4a
7．如图1 4 11，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3
cm，4
cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝______cm.
图1 4 11
【解析】 连接CD，则CD⊥A
B.
由AC＝3
cm，BC＝4
cm，得AB＝5
cm.
由射影定理得BC2＝BD·BA，即42＝5BD.
所以BD＝
cm.
【答案】
8．已知在梯形ABCD中，DC∥AB，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10
cm，AC＝6
cm，则此梯形的面积为________．
【解析】 如图，过C点作CE⊥AB于E.
在Rt△ACB中，
∵AB＝10
cm，AC＝6
cm，
∴BC＝8
cm，
∴BE＝6.4
cm，AE＝3.6
cm，
∴CE＝＝4.8(cm)，
∴AD＝4.8
cm.
又∵在梯形ABCD中，CE⊥AB，
∴DC＝AE＝3.6
cm.
∴S梯形ABCD＝＝32.64(cm2)．
【答案】 32.64
cm2
三、解答题
9．已知直角三角形周长为48
cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分.
(1)求直角三角形的三边长；
(2)求两直角边在斜边上的射影的长．
【解】 (1)如图，设CD＝3x，BD＝5x，则BC＝8x，过D作DE⊥AB，
由题意可得，
DE＝3x，BE＝4x，
∴AE＋AC＋12x＝48.
又AE＝AC，
∴AC＝24－6x，AB＝24－2x，
∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，
解得x1＝0(舍去)，x2＝2，
∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，
∴三边长分别为20
cm,12
cm,16
cm.
(2)作CF⊥AB于F，
∴AC2＝AF·AB，
∴AF＝＝＝(cm)．
同理BF＝＝＝(cm)．
∴两直角边在斜边上的射影长分别为
cm，
cm.
10．如图1 4 12所示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，点F，G分别为垂足．求证：AF·AC＝BG·BE.
图1 4 12
【证明】 ∵CD垂直平分AB，
∴△ACD和△BDE均为直角三角形，并且AD＝BD.
又∵DF⊥AC，DG⊥BE，
∴AF·AC＝AD2，BG·BE＝DB2.
∵AD2＝DB2，∴AF·AC＝BG·BE.
[能力提升]
1．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2，则它们在斜边上的射影比为
( )
A．1∶2
B．2∶1
C．1∶4
D．4∶1
【解析】 设直角三角形两直角边长分别为1和2，则斜边长为，∴两直角边在斜边上的射影分别为和.
【答案】 C
2．已知Rt△ABC中，斜边AB＝5
cm，BC＝2
cm，D为AC上一点，DE⊥AB交AB于E，且AD＝3.2
cm，则DE＝( )
A．1.24
cm
B．1.26
cm
C．1.28
cm
D．1.3
cm
【解析】 如图，∵∠A＝∠A，
∴Rt△ADE∽Rt△ABC，
∴＝，
DE＝＝＝1.28.
【答案】 C
3．如图1 4 13所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝6，AD＝3.6，则BC＝__________.
图1 4 13
【解析】 由射影定理得，
AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，
∴＝，即BC2＝.
又∵CD2＝AD·BD，∴BD＝.
∴BC2＝＝＝64.
∴BC＝8.
【答案】 8
4．如图1 4 14，已知BD，CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G，H，交CE于F，且∠H＝∠BCE，求证：GD2＝FG·GH.
图1 4 14
【证明】 ∵∠H＝∠BCE，∠EBC＝∠GBH，
∴△BCE∽△BHG，
∴∠BEC＝∠BGH＝90°，
∴HG⊥BC.
∵BD⊥AC，在Rt△BCD中，
由射影定理得，GD2＝BG·CG. ①
∵∠FGC＝∠BGH＝90°，∠GCF＝∠H，
∴△FCG∽△BHG，
∴＝，
∴BG·CG＝GH·FG. ②
由①②得，GD2＝GH·FG.学业分层测评(八)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．AB是⊙O的切线，在下列给出的条件中，能判定AB⊥CD的是( )
A．AB与⊙O相切于直线CD上的点C
B．CD经过圆心O
C．CD是直径
D．AB与⊙O相切于C，CD过圆心O
【解析】 圆的切线垂直于过切点的半径或直径．
【答案】 D
2．已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC＝5，则⊙O的半径是( )
A.
B.
C．10
D．5
【解析】 如图，连接OC，
∠PAC＝30°，
由圆周角定理知，
∠POC＝2∠PAC＝60°，
由切线性质知∠OCP＝90°.
∴在Rt△OCP中，tan∠POC＝.
∴OC＝＝＝.
【答案】 A
3．如图2 3 13，CD切⊙O于B，CO的延长线交⊙O于A，若∠C＝36°，则∠ABD的度数是( )
图2 3 13
A．72°
B．63°
C．54°
D．36°
【解析】 连接O
B.
∵CD为⊙O的切线，∴∠OBC＝90°.
∵∠C＝36°，∴∠BOC＝54°.
又∵∠BOC＝2∠A，∴∠A＝27°，
∴∠ABD＝∠A＋∠C＝27°＋36°＝63°.
【答案】 B
4.如图2 3 14所示，⊙O是正△ABC的内切圆，切点分别为E，F，G，点P是弧EG上的任意一点，则∠EPF＝( )
图2 3 14
A．120°
B．90°
C．60°
D．30°
【解析】 如图所示，连接OE，OF.
∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO＝∠BFO＝90°，
∴∠EOF＋∠ABC＝180°，
∴∠EOF＝120°，∴∠EPF＝∠EOF＝60°.
【答案】 C
5．如图2 3 15所示，AC切⊙O于D，AO的延长线交⊙O于B，且AB⊥BC，若AD∶AC＝1∶2，则AO∶OB＝( )
图2 3 15
A．2∶1
B．1∶1
C．1∶2
D．1∶1.5
【解析】 如图所示，连接OD，OC，则OD⊥AC.
∵AB⊥BC，∴∠ODC＝∠OBC＝90°.
∵OB＝OD，OC＝OC，
∴△CDO≌△CBO，∴BC＝DC.
∵＝，∴AD＝DC，
∴BC＝AC.
又OB⊥BC，∴∠A＝30°，
∴OB＝OD＝AO，∴＝.
【答案】 A
二、填空题
6.如图2 3 16，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，⊙O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C.则⊙O的半径是________．
图2 3 16
【解析】 连接OE，设OE＝r，
∵OC＝OE＝r，BC＝12，
则BO＝12－r，AB＝＝13，
由△BEO∽△BCA，得＝，
即＝，解得r＝.
【答案】
7．如图2 3 17，在半径分别为5
cm和3
cm的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为______cm.
图2 3 17
【解析】 连接OA，OC，
∵AB是小圆的切线，
∴OC⊥AB，∴AC＝A
B.
∵在Rt△AOC中，
AC＝＝4(cm)，
∴AB＝8
cm.
【答案】 8
8．如图2 3 18所示，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________.
图2 3 18
【解析】 连接OA.∵AP为⊙O的切线，
∴OA⊥AP.
又∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°.
∴在Rt△AOP中，OA＝1，PA＝OA·tan
60°＝.
【答案】
三、解答题
9.如图2 3 19，已知D是△ABC的边AC上的一点，AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ADB＝60°，求证：AB是△BCD的外接圆的切线.
【导学号：07370040】
图2 3 19
【证明】 如图，连接OB，OC，OD，设OD交BC于E.
因为∠DCB是所对的圆周角，
∠BOD是所对的圆心角，
∠BCD＝45°，
所以∠BOD＝90°.
因为∠ADB是△BCD的一个外角，
所以∠DBC＝∠ADB－∠ACB＝60°－45°＝15°，
所以∠DOC＝2∠DBC＝30°，
从而∠BOC＝120°.
因为OB＝OC，所以∠OBC＝∠OCB＝30°.
在△OEC中，
因为∠EOC＝∠ECO＝30°，
所以OE＝EC.
在△BOE中，因为∠BOE＝90°，∠EBO＝30°，所以BE＝2OE＝2EC，
所以＝＝，
所以AB∥OD，所以∠ABO＝90°，
故AB是△BCD的外接圆的切线．
10．如图2 3 20，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于E，∠POC＝∠PCE.
图2 3 20
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O半径．
【解】 (1)证明：在△OCP与△CEP中，
∵∠POC＝∠PCE，∠OPC＝∠CPE，
∴∠OCP＝∠CEP.
∵CD⊥AB，∴∠CEP＝90°，
∴∠OCP＝90°.
又∵C点在圆上，∴PC是⊙O的切线．
(2)法一：设OE＝x，则EA＝2x，OC＝OA＝3x.
∵∠COE＝∠AOC，∠OEC＝∠OCP＝90°，
∴△OCE∽△OPC，
∴＝，
即(3x)2＝x(3x＋6)，∴x＝1，
∴OA＝3x＝3，即圆的半径为3.
法二：由(1)知PC是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°.
又∵CD⊥OP，由射影定理知OC2＝OE·OP，以下同法一．
[能力提升]
1．如图2 3 21，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于C，若AD＝DC，则sin∠ACO等于( )
图2 3 21
A.
B.
C.
D.
【解析】 连接BD，则BD⊥AC.
∵AD＝DC，∴BA＝BC，
∴∠BCA＝45°.
∵BC是⊙O的切线，切点为B，
∴∠OBC＝90°.
∴sin∠BCO＝＝＝，
cos
∠BCO＝＝＝.
∴sin∠ACO＝sin(45°－∠BCO)
＝sin45°cos
∠BCO－cos
45°sin
∠BCO
＝×－×＝.
【答案】 A
2．如图2 3 22所示，已知PA是圆O的切线，切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于B点，PB＝1，则圆O的半径R＝__________.
图2 3 22
【解析】 AB＝＝.
由AB2＝PB·BC，
∴BC＝3，Rt△ABC中，
AC＝＝2，
∴R＝.
【答案】
3．圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l，圆交于点D，E，则∠DAC＝__________，DC＝__________.
【解析】 连接OC，
∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.
又∠DCA＋∠ACO＝90°，
∠ACO＋∠OCB＝90°，
∴∠DCA＝∠OCB.
∵OC＝3，BC＝3，
∴△OCB是正三角形，
∴∠OBC＝60°，即∠DCA＝60°，
∴∠DAC＝30°.
在Rt△ACB中，AC＝＝3，
DC＝ACsin
30°＝
.
【答案】 30°
4．如图2 3 23，AD是⊙O的直径，BC切⊙O于点D，AB，AC与圆分别相交于点E，F.
【导学号：07370041】
图2 3 23
(1)AE·AB与AF·AC有何关系？请给予证明；
(2)在图中，如果把直线BC向上或向下平移，得到图2 3 24(1)或图(2)，在此条件下，(1)题的结论是否仍成立？为什么？
图2 3 24
【解】 (1)AE·AB＝AF·AC.
证明：连接DE.
∵AD为⊙O的直径，∴∠DEA＝90°.
又∵BC与⊙O相切于点D，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠DEA.
又∵∠BAD＝∠DAE，∴△BAD∽△DAE，
∴＝，即AD2＝AB·AE.
同理AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC.
(2)(1)中的结论仍成立．
因为BC在平移时始终与AD垂直，设垂足为D′，
则∠AD′B＝90°.
∵AD为圆的直径，
∴∠AED＝∠AD′B＝90°.
又∵∠DAE＝∠BAD′，∴△ABD′∽△ADE，
∴＝，∴AB·AE＝AD·AD′.
同理AF·AC＝AD·AD′，故AE·AB＝AF·AC.学业分层测评(六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如图2 1 12所示，若圆内接四边形的对角线相交于E，则图中相似三角形有( )
图2 1 12
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
【解析】 由推论知：∠ADB＝∠ACB，∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD，∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC.
【答案】 B
2．如图2 1 13所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD＝4，BD＝8，则圆O的半径等于( )
图2 1 13
A．6
B．8
C．4
D．5
【解析】 ∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.
又∵CD⊥AB，
由射影定理可知，CD2＝AD·BD，
∴42＝8AD，∴AD＝2，
∴AB＝BD＋AD＝8＋2＝10，
∴圆O的半径为5.
【答案】 D
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，则此三角形外接圆半径为( )
【导学号：07370031】
A.
B．2
C．2
D．4
【解析】 由推论2知AB为Rt△ABC的外接圆的直径，又AB＝＝4，故外接圆半径r＝AB＝2.
【答案】 B
4．如图2 1 14所示，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠A＝40°，D是的中点，E是的中点，分别连接BD，DE，BE，则△BDE的三内角的度数分别是( )
图2 1 14
A．50°，30°，100°
B．55°，20°，105°
C．60°，10°，110°
D．40°，20°，120°
【解析】 如图所示，连接AD.
∵AB＝AC，D是的中点，
∴AD过圆心O.
∵∠A＝40°，
∴∠BED＝∠BAD＝20°，
∠CBD＝∠CAD＝20°.
∵E是的中点，
∴∠CBE＝∠CBA＝35°，
∴∠EBD＝∠CBE＋∠CBD＝55°，
∴∠BDE＝180°－20°－55°＝105°，
故选B.
【答案】 B
5．如图2 1 15，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于( )
图2 1 15
A．4π
B．8π
C．12π
D．16π
【解析】 连接OA，OB.
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°.
又∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形．
又AB＝4，∴OA＝OB＝4，
∴S⊙O＝π·42＝16π.
【答案】 D
二、填空题
6．如图2 1 16，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3
cm，4
cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则＝________.
图2 1 16
【解析】 连接CD，∵AC是⊙O的直径，
∴∠CDA＝90°.由射影定理得BC2＝BD·AB，AC2＝AD·AB，
∴＝，即＝.
【答案】
7．(2016·天津高考)如图2 1 17，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE＝2AE＝2，BD＝ED，则线段CE的长为________．
图2 1 17
【解析】 如图，设圆心为O，连接OD，则OB＝OD.
因为AB是圆的直径，BE＝2AE＝2，所以AE＝1，OB＝.
又BD＝ED，∠B为△BOD与△BDE的公共底角，
所以△BOD∽△BDE，所以＝，
所以BD2＝BO·BE＝3，所以BD＝DE＝.
因为AE·BE＝CE·DE，所以CE＝＝.
【答案】
8.如图2 1 18，AB为⊙O的直径，弦AC，BD交于点P，若AB＝3，CD＝1，则sin∠APD＝__________.
图2 1 18
【解析】 由于AB为⊙O的直径，则∠ADP＝90°，
所以△APD是直角三角形，
则sin∠APD＝，cos∠APD＝，
由题意知，∠DCP＝∠ABP，∠CDP＝∠BAP，
所以△PCD∽△PBA.
所以＝，又AB＝3，CD＝1，则＝.
∴cos∠APD＝.又∵sin2∠APD＋cos2∠APD＝1，
∴sin∠APD＝.
【答案】
三、解答题
9．如图2 1 19所示，⊙O中和的中点分别为点E和点F，直线EF交AC于点P，交AB于点Q.求证：△APQ为等腰三角形．
图2 1 19
【证明】 连接AF，AE.
∵E是的中点，即＝，
∴∠AFP＝∠EAQ，
同理∠FAP＝∠AEQ.
又∵∠AQP＝∠EAQ＋∠AEQ，∠APQ＝∠AFP＋∠FAP，
∴∠AQP＝∠APQ，即△APQ为等腰三角形．
10．如图2 1 20(1)所示，在圆内接△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一点，E是直线AD和△ABC外接圆的交点．
图2 1 20
(1)求证：AB2＝AD·AE；
(2)如图2 1 20(2)所示，当D为BC延长线上的一点时，第(1)题的结论成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【解】 (1)证明：如图(3)，
连接BE.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠ACB＝∠AEB，
∴∠ABC＝∠AEB.
又∠BAD＝∠EAB，
∴△ABD∽△AEB，
∴AB∶AE＝AD∶AB，
即AB2＝AD·AE.
(2)如图(4)，连接BE，
结论仍然成立，证法同(1)．
[能力提升]
1．如图2 1 21，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，那么等于( )
【导学号：07370032】
图2 1 21
A．sin∠BPD
B．cos∠BPD
C．tan∠BPD
D．以上答案都不对
【解析】 连接BD，由BA是直径，
知△ADB是直角三角形．
由∠DCB＝∠DAB，
∠CDA＝∠CBA，∠CPD＝∠BPA，得△CPD∽△APB，
＝＝cos
∠BPD.
【答案】 B
2．如图2 1 22所示，已知⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC＝6，弦AE交BC于D，若AD＝4，则AE＝__________.
图2 1 22
【解析】 连接CE，则∠AEC＝∠ABC，
又△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠AEC＝∠ACB，
∴△ADC∽△ACE，
∴＝，
∴AE＝＝9.
【答案】 9
3．如图2 1 23，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝3，则△ABC的周长是__________．
图2 1 23
【解析】 由圆周角定理，
得∠A＝∠D＝∠ACB＝60°，
∴AB＝BC，
∴△ABC为等边三角形．
∴周长等于9.
【答案】 9
4.如图2 1 24，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连接BE，AD交于点P.求证：
图2 1 24
(1)D是BC的中点；
(2)△BEC∽△ADC；
(3)AB·CE＝2DP·AD.
【证明】 (1)因为AB是⊙O的直径，
所以∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
因为AB＝AC，所以D是BC的中点．
(2)因为AB是⊙O的直径，
所以∠AEB＝∠ADB＝90°，
即∠CEB＝∠CDA＝90°，
因为∠C是公共角，
所以△BEC∽△ADC.
(3)因为△BEC∽△ADC，
所以∠CBE＝∠CAD.
因为AB＝AC，BD＝CD，
所以∠BAD＝∠CAD，
所以∠BAD＝∠CBE，
因为∠ADB＝∠BEC＝90°，
所以△ABD∽△BCE，
所以＝，所以＝，
因为∠BDP＝∠BEC＝90°，∠PBD＝∠CBE，
所以△BPD∽△BCE，
所以＝.
因为BC＝2BD，所以＝，
所以AB·CE＝2DP·AD.学业分层测评(三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如图1 3 12，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK.其中，②～⑥中与三角形①相似的是
( )
图1 3 12
A．②③④
B．③④⑤
C．④⑤⑥
D．②③⑥
【解析】 由相似三角形判定定理知选B.
【答案】 B
2．如图1 3 13，在△ABC中，M在BC上，N在AM上，CM＝CN，且＝，下列结论中正确的是( )
图1 3 13
A．△ABM∽△ACB
B．△ANC∽△AMB
C．△ANC∽△ACM
D．△CMN∽△BCA
【解析】 ∵CM＝CN，∴∠CMN＝∠CNM.
∵∠AMB＝∠CNM＋∠MCN，
∠ANC＝∠CMN＋∠MCN，∴∠AMB＝∠ANC.
又＝，
∴△ANC∽△AM
B.
【答案】 B
3．如图1 3 14，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于( )
【导学号：07370013】
图1 3 14
A.
B.
C.
D.
【解析】 ∵AF⊥DE，∴Rt△DAO∽Rt△DEA，
∴＝＝.
【答案】 D
4．如图1 3 15，在等边三角形ABC中，E为AB中点，点D在AC上，使得＝，则有( )
图1 3 15
A．△AED∽△BED
B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD
D．△BAD∽△BCD
【解析】 因为∠A＝∠C，＝＝2，所以△AED∽△CBD.
【答案】 B
5.如图1 3 16所示，已知点E，F分别是△ABC中AC，AB边的中点，BE，CF相交于点G，FG＝2，则CF的长为( )
图1 3 16
A．4
B．4.5
C．5
D．6
【解析】 ∵E，F分别是△ABC中AC，AB边的中点，∴FE∥BC，由相似三角形的预备定理，得△FEG∽△CBG，∴＝＝.
又FG＝2，∴GC＝4，∴CF＝6.
【答案】 D
二、填空题
6．如图1 3 17，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝________，CE＝________.
图1 3 17
【解析】 在Rt△ACE和Rt△ADB中，∠A为公共角，∴△ACE∽△ADB，∴＝，
∴AE＝＝＝＝8，则DE＝AE－AD＝5，
在Rt△ACE中，CE＝＝＝2.
【答案】 5 2
7．如图1 3 18，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________.
图1 3 18
【解析】 由∠B＝∠D，AE⊥BC及∠ACD＝90°可以推得：
Rt△ABE∽Rt△ADC，故＝
∴AE＝＝2.
【答案】 2
8.如图1 3 19，在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE∶EC＝1∶2，则BF∶BE＝________.
【导学号：07370014】
图1 3 19
【解析】 ∵DE∶EC＝1∶2，
∴DC∶EC＝3∶2，∴AB∶EC＝3∶2.
∵AB∥EC，
∴△ABF∽△CEF，
∴＝＝，∴＝.
【答案】 3∶5
三、解答题
9．如图1 3 20，已知△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于点F.
求证：PB2＝PE·PF.
图1 3 20
【证明】 连接PC.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵AD是中线，∴AD垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴∠PBD＝∠PCD，
∴∠ABP＝∠ACP.
又∵CF∥AB，∴∠ABP＝∠F＝∠ACP，
而∠CPE＝∠FPC.
∴△PCE∽△PFC，
∴＝，∴PC2＝PE·PF，
即PB2＝PE·PF.
10.如图1 3 21，某市经济开发区建有B，C，D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB＝CD＝900米，AD＝BC＝1
700米．自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B，C两厂之间的公路与自来水主管道交于E处，EC＝500米．若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负责修建，每米造价800元．
图1 3 21
(1)要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图中画出该路线；
(2)求出各厂所修建的自来水管道的最低造价各是多少元？
【解】 (1)如图，过B，C，D分别作AN的垂线段BH，CF，DG交AN于H，F，G，BH，CF，DG即为所求的造价最低的管道路线．
(2)在Rt△ABE中，AB＝900米，
BE＝1
700－500＝1
200米，
∴AE＝＝1
500(米)，
由△ABE∽△CFE，得到＝，
即＝，
可得CF＝300(米)．由△BHE∽△CFE，
得＝，
即＝，可得BH＝720(米)．
由△ABE∽△DGA，得＝，
即＝，
可得DG＝1020(米)．
所以，B，C，D三厂所建自来水管道的最低造价分别是720×800＝576
000(元)，300×800＝240
000(元)，1
020×800＝816
000(元)．
[能力提升]
1.如图1 3 22所示，要使△ACD∽△BCA，下列各式中必须成立的是( )
图1 3 22
A.＝
B.＝
C．AC2＝CD·CB
D．CD2＝AC·AB
【解析】 ∠C＝∠C，只有＝，即AC2＝CD·CB时，才能使△ACD∽△BCA.
【答案】 C
2．如图1 3 23所示，∠AOD＝90°，OA＝OB＝BC＝CD，则下列结论正确的是( )
图1 3 23
A．△DAB∽△OCA
B．△OAB∽△ODA
C．△BAC∽△BDA
D．△OAC∽△ABD
【解析】 设OA＝OB＝BC＝CD＝a，
则AB＝a，BD＝2a，
∴＝，＝＝，
∴＝，且∠ABC＝∠DBA，
∴△BAC∽△BDA.
【答案】 C
3．如图1 3 24所示，∠BAC＝∠DCB，∠CDB＝∠ABC＝90°，AC＝a，BC＝B.当BD＝__________时，△ABC∽△CDB.
图1 3 24
【解析】 由＝即可得到．
【答案】
4．如图1 3 25所示，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC(AB>AE)．
图1 3 25
(1)△AEF与△ECF是否相似？若相似证明你的结论；若不相似，请说明理由；
(2)设＝k，是否存在这样的k值
，使得△AEF与△BFC相似，若存在，证明你的结论，并求出k的值；若不存在，说明理由．
【解】 (1)相似．在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°.
∵EF⊥EC，A，E，D共线，∴∠AEF＋∠DEC＝90°.
又∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEF＝∠DCE，
∴△AEF∽△DCE，∴＝，
∴AE＝DE，∴＝.
又∵∠A＝∠FEC＝90°，∴△AEF∽△ECF.
(2)存在．由于∠AEF＝90°－∠AFE<180°－∠CFE－∠AFE＝∠BFC，
∴只能是△AEF∽△BCF，∠AEF＝∠BCF.
由(1)知∠AEF＝∠DCE＝∠ECF＝∠FCB＝30°.
∴＝＝＝，即k＝.
反过来，在k＝时，＝，∠DCE＝30°，
∠AEF＝∠DCE＝30°，∠ECF＝∠AEF＝30°，
∠BCF＝90°－30°－30°＝30°＝∠AEF.
∴△AEF∽△BCF.学业分层测评(十一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．在空间，给出下列命题：
(1)一个平面的两条斜线段相等，那么它们在平面上的射影相等；
(2)一条直线和平面的一条斜线垂直，必和这条斜线在这个平面上的射影垂直；
(3)一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角是这条斜线和平面内过斜足的所有直线所成的一切角中最小的角；
(4)若点P到△ABC三边所在的直线的距离相等，则点P在平面ABC上的射影是△ABC的内心．
其中正确的命题是( )
A．(3)
B．(3)(4)
C．(1)(3)
D．(2)(4)
【解析】 由平行投影变换的性质知，当两条线段共线、平行或两线段是过同一点的平面的斜线段时，才有(1)正确，在(2)中这条直线可能在平面外，(3)显然正确，(4)中P点有可能是△ABC的旁心．
【答案】 A
2．如果一个三角形的平行射影仍是一个三角形，则下列结论正确的是( )
A．内心的平行射影还是内心
B．重心的平行射影还是重心
C．垂心的平行射影还是垂心
D．外心的平行射影还是外心
【解析】 三角形的重心是三条中线的交点，三角形平行射影后各边的中点位置不会变，故其中线的交点，即重心仍是三角形的重心，而内心、外心、垂心都有可能改变．故只有B正确．
【答案】 B
3．已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形，用一个与轴线成30°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线的离心率为( )
【导学号：07370054】
A.
B.
C.
D.
【解析】 ∵圆锥的轴截面为等腰直角三角形，∴母线与轴线的夹角α＝45°.又截面与轴线的夹角β＝30°，即β＜α，
∴截线是双曲线，其离心率e＝＝＝＝.
【答案】 A
4．椭圆＋y2＝1的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使A1点在平面B1A2B2上的射影恰是该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小是( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
【解析】 设所成的二面角为α，
因为a＝2，b＝1，c＝，
所以cos
α＝＝，所以α＝30°.
【答案】 A
5．设平面π与圆柱的轴的夹角为β(0°<β<90°)，现放入Dandelin双球使之与圆柱面和平面π都相切，若已知Dandelin双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 Dandelin双球与平面π的切点恰好是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长，由题意知，2b＝2c，
所以e＝＝＝＝.
【答案】 B
二、填空题
6．有下列说法：
①矩形的平行射影一定是矩形；
②梯形的平行射影一定是梯形；
③平行四边形的平行射影可能是正方形；
④正方形的平行射影一定是菱形．
其中正确命题有________________．(填上所有正确说法的序号)
【解析】 利用平行射影的概念和性质进行判断．
【答案】 ③
7．在梯形ABCD中，AB∥CD，若梯形不在α内，则它在α上的射影是________．
【解析】 如果梯形ABCD所在平面平行于投影方向，则梯形ABCD在α上的射影是一条线段．
如果梯形ABCD所在平面不平行于投影方向，则平行线的射影仍是平行线，不平行的线的射影仍不平行，则梯形ABCD在平面α上的射影仍是梯形．
【答案】 一条线段或一个梯形
8．一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴长为6，则圆柱面内切球的半径为________．
【解析】 由2a＝6，得a＝3，又e＝cos
45°＝，
∴c＝e·a＝×3＝，
∴b＝＝＝，
∴圆柱面内切球的半径r＝.
【答案】
三、解答题
9．已知点A(1,2)在椭圆＋＝1内，F的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P，使|PA|＋2|PF|最小．
【解】 如图所示，
∵a2＝16，b2＝12，
∴c2＝4，c＝2，
∴F为椭圆的右焦点，并且离心率为＝.
设P到右准线的距离为d，
则|PF|＝d，d＝2|PF|，
∴|PA|＋2|PF|＝|PA|＋d.
由几何性质可知，当P点的纵坐标(横坐标大于零)与A点的纵坐标相同时，|PA|＋d最小，
把y＝2代入＋＝1，
得x＝，
即点P为所求．
10．在空间中，取直线l为轴．直线l′与l相交于O点，夹角为α.l′绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴l的交角为β.
试用Dandelin双球证明：当β＝α时，平面π与圆锥的交线为抛物线.
【导学号：07370055】
【证明】 如图：
设Dandelin双球与圆锥面的交线为圆S.
记圆所在的平面为π′，π与π′的交线为m.
在平面π与圆锥面的交线上任取一点P，
设平面π与Dandlin球的切点为F，连接PF.
在平面π中过P作m的垂线，垂足为A，过P作π′的垂线，垂足为B，连接AB，则AB为PA在平面π′上的射影．显然，m⊥AB，故∠PAB是平面π与平面π′所成的二面角的平面角．
在Rt△APB中，∠APB＝β，
则PB＝PA·cos
β. ①
又设过点P的母线交圆S于点Q，
则PQ＝PF.
在Rt△PBQ中，PB＝PQ·cos
α，
∴PB＝PF·cos
α.②
由①②得＝×＝.
因为α＝β，所以＝1，
即曲线任一点P到定点F的距离恒等于P到定直线m的距离．故点P的轨迹为抛物线．
[能力提升]
1．一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴为6，则圆柱面的半径为( )
A.
B.
C．2
D.
【解析】 由2a＝6，即a＝3，又e＝cos
45°＝，
故b＝c＝ea＝×3＝，即为圆柱面的半径．
【答案】 D
2．设圆锥的顶角(圆锥轴截面上两条母线的夹角)为120°，当圆锥的截面与轴成45°角时，则截得二次曲线的离心率为( )
A.
B.
C．1
D.
【解析】 由题意知α＝60°，β＝45°，满足β<α，这时截圆锥得的交线是双曲线，其离心率为e＝＝.
【答案】 B
3．在底面半径为6的圆柱内有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13.若作一个平面与这两个球面相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为__________．
【解析】 如图，为圆柱的轴截面，AB为与两球O1和球O2都相切的平面与轴截面的交线．由对称性知AB过圆柱的几何中心O.由O1O⊥OD，O1C⊥OA，故∠OO1C＝∠AOD，且O1C＝OD＝6，
所以Rt△OO1C≌Rt△AOD，则AO＝O1O.
故AB＝2AO＝2O1O＝O1O2＝13.
显然AB即为椭圆的长轴，所以AB＝13.
【答案】 3
4.如图3 1 7，圆柱被平面α所截．已知AC是圆柱口在平面α上最长投影线段，BD是最短的投影线段，EG＝FH，EF⊥AB，垂足在圆柱的轴上，EG和FH都是投影线，分别与平面α交于点G，H.
图3 1 7
(1)比较EF，GH的大小；
(2)若圆柱的底面半径为r，平面α与母线的夹角为θ，求CD.
【解】 (1)∵EG和FH都是投影线，
∴EG∥FH.又EG＝FH，
∴四边形EFHG是平行四边形，
∴EF＝GH.
(2)如图，过点D作DP⊥AC于点P，
则在Rt△CDP中，有：
sin∠DCP＝.
又∠DCP＝θ，DP＝2r，
∴CD＝.
