模块检测卷(一)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A．π
B．4π
C．8π
D．9π
解析：选B 设P点的坐标为(x，y)，
∵|PA|＝2|PB|，
∴(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]．
即(x－2)2＋y2＝4.
故P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，它的面积为4π.
2．柱坐标对应的点的直角坐标是( )
A．(，－1,1)
B．(，1,1)
C．(1，，1)
D．(－1，，1)
解析：选C 由直角坐标与柱坐标之间的变换公式可得
3．在极坐标系中，点A的极坐标是(1，π)，点P是曲线C：ρ＝2sin
θ上的动点，则|PA|的最小值是( )
A．0
B.
C.＋1
D.－1
解析：选D A的直角坐标为(－1,0)，曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1，|AC|＝，则|PA|min＝－1.
4．直线(t为参数，θ是常数)的倾斜角是( )
A．105°
B．75°
C．15°
D．165°
解析：选A 参数方程
消去参数t得，y－cos
θ＝－tan
75°(x－sin
θ)，
∴k＝－tan
75°＝tan
(180°－75°)＝tan
105°.
故直线的倾斜角是105°.
5．双曲线(θ为参数)的渐近线方程为( )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±2x
解析：选D 把参数方程化为普通方程得－x2＝1，渐近线方程为y＝±2x.
6．极坐标方程ρ＝cos
θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是( )
A．圆、直线
B．直线、圆
C．圆、圆
D．直线、直线
解析：选A ∵ρ＝cos
θ，∴x2＋y2＝x表示圆．
∵∴y＋3x＝－1表示直线．
7．已知点P的极坐标为(π，π)，则过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为( )
A．ρ＝π
B．ρ＝cos
θ
C．ρ＝
D．ρ＝
解析：选D
设M(ρ，θ)为所求直线上任意一点，
由图形知|OM|cos∠POM＝π，∴ρcos(π－θ)＝π.∴ρ＝.
8．直线l：y＋kx＋2＝0与曲线C：ρ＝2cos
θ相交，则k满足的条件是( )
A．k≤－
B．k≥－
C．k∈R
D．k∈R且k≠0
解析：选A 由题意可知直线l过定点(0，－2)，曲线C的普通方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.由图可知，直线l与圆相切时，有一个交点，此时＝1，得－k＝.若满足题意，只需－k≥.
即k≤－即可．
9．参数方程(θ为参数，0≤θ<2π)所表示的曲线是( )
A．椭圆的一部分
B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分，且过点
D．抛物线的一部分，且过点
解析：选D 由y＝cos2＝＝，可得sin
θ＝2y－1，由x＝得x2－1＝sin
θ，∴参数方程可化为普通方程x2＝2y，
又x＝∈[0，]．∴表示抛物线的一部分，且过点.
10．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝，ρcos
θ＋ρsin
θ＝1围成的图形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B 三条直线的直角坐标方程依次为y＝0，y＝x，x＋y＝1，如图所示，围成的图形为△OPQ，可得S△OPQ＝|OQ|·|yP|＝×1×＝.
11．设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l的距离为的点的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选B 曲线C的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，它表示以(2，－1)为圆心，3为半径的圆，其中圆心(2，－1)到直线x－3y＋2＝0的距离d＝＝且3－<，故过圆心且与l平行的直线与圆交于两点，满足题意的点即为该两点．
12．已知直线(t为参数)与圆x2＋y2＝8相交于B、C两点，O为原点，则△BOC的面积为( )
A．2
B.
C.
D.
解析：选C (t′为参数)．
代入x2＋y2＝8，得t′2－3t′－3＝0，
∴|BC|＝|t′1－t′2|＝＝＝，
弦心距d＝
＝，S△BCO＝|BC|·d＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．将参数方程(t为参数)转化成普通方程为________．
解析：参数方程变为∴－＝4，∴－＝1.
答案：－＝1
14．在极坐标中，直线ρsin＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．
解析：直线ρsin＝2可化为x＋y－2＝0，圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式，得2＝2
＝4.
答案：4
15．(广东高考)已知曲线C的参数方程为(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．
解析：曲线C的普通方程为：x2＋y2＝
(
cos
t)2＋(
sin
t)2＝2(cos2t＋sin2t)＝2，由圆的知识可知，圆心(0,0)与切点(1,1)的连线垂直于切线l，从而l的斜率为－1，由点斜式可得直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.由ρcos
θ＝x，ρsin
θ＝y，可得l的极坐标方程为ρcos
θ＋ρsin
θ－2＝0.
答案：ρsin＝
16．(重庆高考)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos
θ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：ρcos
θ＝4化为直角坐标方程为x＝4，①
化为普通方程为y2＝x3，②
①②联立得A(4,8)，B(4，－8)，
故|AB|＝16.
答案：16
三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，M是C1上的动点，P点满足OP―→＝2OM―→，P点的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的方程；
(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.
解：(1)设P(x，y)，则由条件知M.由于M点在C1上，所以
即从而C2的参数方程为(α为参数)
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin
θ，曲线C2的极坐标方程为ρ1＝8sin
θ.
射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin
，射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin
.所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2.
18．(江苏高考)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.
同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.
联立方程组解得公共点的坐标为(2,2)，.
19．(福建高考)(本小题满分12分)已知方程y2－6ysin
θ－2x－9cos2θ＋8cos
θ＋9＝0，(0≤θ＜2π)．
(1)试证：不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线；
(2)θ为何值时，该抛物线在直线x＝14上截得的弦最长，并求出此弦长．
解：(1)证明：将方程y2－6ysin
θ－2x－9cos
2θ＋8cos
θ＋9＝0可配方为(y－3sin
θ)2＝2(x－4cos
θ)
∴图象为抛物线．
设其顶点为(x，y)，则有
消去θ得顶点轨迹是椭圆＋＝1.
(2)联立
消去x，得y2－6ysin
θ＋9sin
2θ＋8cos
θ－28＝0.
弦长|AB|＝|y1－y2|＝4，
当cos
θ＝－1，即θ＝π时，弦长最大为12.
20．(本小题满分12分)曲线的极坐标方程为ρ＝，过原点作互相垂直的两条直线分别交此曲线于A、B和C、D四点，当两条直线的倾斜角为何值时，|AB|＋|CD|有最小值？并求出这个最小值．
解：由题意，设A(ρ1，θ)，B(ρ2，π＋θ)，C，D.
则|AB|＋|CD|＝(ρ1＋ρ2)＋(ρ3＋ρ4)
＝＋＋＋＝.
∴当sin22θ＝1即θ＝或θ＝时，两条直线的倾斜角分别为，时，|AB|＋|CD|有最小值16.
21．(辽宁高考)(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin
θ，ρcos＝2.
(1)求C1与C2交点的极坐标；
(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)．求a，b的值．
解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，
直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
解得
所以C1与C2交点的极坐标为，.
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．
故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
由参数方程可得y＝x－＋1，所以解得a＝－1，b＝2.
22．(辽宁高考)(本小题满分12分)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
(1)写出C的参数方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得
由x＋y＝1得x2＋2＝1，
即曲线C的方程为x2＋＝1.
故C的参数方程为(t为参数)．
(2)由解得或
不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，于是所求直线方程为y－1＝，化为极坐标方程，并整理得
2ρcos
θ－4ρsin
θ＝－3，即ρ＝.课时跟踪检测(九)
参数方程和普通方程的互化
一、选择题
1．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为( )
A．y＝x－2
B．y＝x＋2
C．y＝x－2(2≤x≤3)
D．y＝x＋2(0≤y≤1)
解析：选C 代入法，将方程化为y＝x－2，但x∈[2,3]，
y∈[0,1]，故选C.
2．参数方程(θ为参数)表示的曲线是( )
A．直线
B．圆
C．线段
D．射线
解析：选C x＝cos2θ∈[0,1]，y＝sin2θ∈[0,1]，
∴x＋y＝1，(x∈[0,1])为线段．
3．下列参数方程中，与方程y2＝x表示同一曲线的是( )
A.(t为参数)
B.(t为参数)
C.(t为参数)
D.(t为参数)
解析：选D A中y有限制y＝t2≥0；B中sin2t和sin
t都表示在一定范围内；C中化简不是方程y2＝x，而是x2＝y且有限制条件；代入化简可知选D.
4．曲线的参数方程是(t是参数，t≠0)，它的普通方程是( )
A．(x－1)2(y－1)＝1
B．y＝(x≠1)
C．y＝－1(x≠1)
D．y＝(x≠±1)
解析：选B 由x＝1－，得＝1－x，由y＝1－t2，得t2＝1－y.
所以(1－x)2·(1－y)＝2·t2＝1，进一步整理得到y＝(x≠1)．
二、填空题
5．参数方程(θ为参数)所表示的曲线的普通方程为________．
解析：由于cos
2θ＝1－2sin2θ，故y＝1－2x2，
即y＝－2x2＋1(－1≤x≤1)．
答案：y＝－2x2＋1(－1≤x≤1)
6．(湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：(t为参数)平行，则常数a的值为________．
解析：由直线l1：(s为参数)，消去参数s得l1的普通方程为x－2y－1＝0，
由直线l2：(t为参数)，消去参数t得l2的普通方程为ay－2x＋a＝0，因为l1与l2平行，所以斜率相等，即＝，≠，所以a＝4.
答案：4
7．已知直线(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为________．
解析：直线的普通方程为y＝x－4，
代入圆的方程，得x2－6x＋8＝0，
设A，B两点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，
∴＝3，
∴＝3－4＝－.
∴A，B的中点坐标为(3，－)．
答案：(3，－)
三、解答题
8．把参数方程(k为参数)化为普通方程，并说明它表示什么曲线．
解：法一：若x≠0，两式相除，得k＝.
代入x＝，整理，得x2－y2－4y＝0(x≠0)．
若x＝0，则k＝0，可得y＝0.
显然点(0,0)在曲线x2－y2－4y＝0上．
又由y＝＝－4－，可知y≠－4.
则方程所表示的曲线是双曲线x2－y2－4y＝0，去掉点(0，－4)．
法二：由y＝－4－，知y≠－4，
所以可解得k2＝，代入x2的表达式，得
x2＝，整理，得
x2－y2－4y＝0(y≠－4)．
则方程所表示的曲线是双曲线x2－y2－4y＝0，除去点(0，－4)．
法三：∵x2＝2，y2＝2，
两式相减，并整理，得
x2－y2＝.
∵1－k2≠0，
∴x2－y2＝＝4y，
即x2－y2－4y＝0.
∴方程表示双曲线x2－y2－4y＝0，除去点(0，－4)．
9．如图所示，经过圆x2＋y2＝4上任一点P作x轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普通方程．
解：圆x2＋y2＝4的参数方程为(θ为参数)．
在此圆上任取一点P(2cos
θ，2sin
θ)，
PQ的中点为M(2cos
θ，sin
θ)，
PQ中点轨迹的参数方程为(θ为参数)．化成普通方程为＋y2＝1.
10．化下列参数方程为普通方程．
(1)(t∈R且t≠－1)；
(2).
解：(1)变形为
∴x≠－1，y≠2，
∴x＋y＝1(x≠－1)．
(2)
②式平方结合①，得y2＝x2＋2x，
由x＝tan
θ＋知|x|≥2.
∴普通方程为(x＋1)2－y2＝1(|x|≥2)．课时跟踪检测(十一)
双曲线的参数方程
抛物线的参数方
一、选择题
1．曲线(t为参数)的焦点坐标是( )
A．(1,0)
B．(0,1)
C．(－1,0)
D．(0，－1)
解析：选B 将参数方程化为普通方程(y－1)2＝4(x＋1)，
该曲线为抛物线y2＝4x向左、向上各平移一个单位得到，
所以焦点为(0,1)．
2．圆锥曲线(θ是参数)的焦点坐标是( )
A．(－5,0)
B．(5,0)
C．(±5,0)
D．(0，±5)
解析：选C 由(θ为参数)得
－＝1，
∴它的焦点坐标为(±5,0)．
3．方程(t为参数)的图形是( )
A．双曲线左支
B．双曲线右支
C．双曲线上支
D．双曲线下支
解析：选B ∵x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4.
且x＝et＋e－t≥2＝2.
∴表示双曲线的右支．
4．点Μ0(0,2)到双曲线x2－y2＝1的最小距离(即双曲线上任一点Μ与点Μ0的距离的最小值)是( )
A．1
B．2
C.
D．3
解析：选C ∵双曲线方程为x2－y2＝1，∴a＝b＝1.
∴双曲线的参数方程为(θ为参数)．
设双曲线上一动点为Μ(sec
θ，tan
θ)，
则2＝sec2θ＋(tan
θ－2)2
＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan
θ＋4)
＝2tan2θ－4tan
θ＋5＝2(tan
θ－1)2＋3.
当tan
θ＝1时，2取最小值3，
此时有＝.
二、填空题
5．已知动圆方程x2＋y2－xsin
2θ＋2y·sin＝0(θ为参数)．则圆心的轨迹方程是________．
解析：圆心轨迹的参数方程为
即消去参数，得
y2＝1＋2x.
答案：y2＝1＋2x
6．双曲线(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________．
解析：将参数方程化为y2－＝1，
此时a＝1，b＝，
设渐近线倾斜角为α，则tan
α＝±＝±.
∴α＝30°或150°.
答案：30°或150°
7．(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
解析：由(t为参数)得y＝，
又由(θ为参数)得x2＋y2＝2.
由得
即曲线C1与C2的交点坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
三、解答题
8．已知圆O1：x2＋(y－2)2＝1上一点P与双曲线x2－y2＝1上一点Q，求P，Q两点距离的最小值．
解：由题意可知O1(0,2)，∵Q为双曲线x2－y2＝1上一点，设Q(sec
θ，tan
θ)，
在△O1QP中，|O1P|＝1，|O1P|＋|PQ|≥|O1Q|.
又|O1Q|2＝sec2θ＋(tan
θ－2)2
＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan
θ＋4)
＝2tan2θ－4tan
θ＋5
＝2(tan
θ－1)2＋3.
∴当tan
θ＝1，即θ＝时，|O1Q|2取最小值3，此时有|O1Q|min＝.
∴|PQ|min＝－1.
9．已知双曲线方程为x2－y2＝1，Μ为双曲线上任意一点，点Μ到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数．
证明：设d1为点Μ到渐近线y＝x的距离，d2为点Μ到渐近线y＝－x的距离，
因为点Μ在双曲线x2－y2＝1上，则可设点Μ的坐标为(sec
α，tan
α)．
d1＝，d2＝，
d1d2＝＝，
故d1与d2的乘积是常数．
10．过点A(1,0)的直线l与抛物线y2＝8x交于M，N两点，求线段MN的中点的轨迹方程．
解：法一：设抛物线的参数方程为(t为参数)，可设M(8t，8t1)，N(8t，8t2)，
则kMN＝＝.
又设MN的中点为P(x，y)，
则∴kAP＝，
由kMN＝kAP知t1t2＝－，又
则y2＝16(t＋t＋2t1t2)＝16＝4(x－1)．
∴所求轨迹方程为y2＝4(x－1)．
法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由M，N在抛物线y2＝8x上知
两式相减得y－y＝8(x1－x2)，即(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)，
∴＝.设线段MN的中点为P(x，y)，∴y1＋y2＝2y.
由kPA＝，又kMN＝＝＝，
∴＝.∴y2＝4(x－1)．
∴线段MN的中点P的轨迹方程为y2＝4(x－1)．课时跟踪检测(三)
简单曲线的极坐标方程
一、选择题
1．极坐标方程ρ＝1表示( )
A．直线
B．射线
C．圆
D．半圆
解析：选C ∵ρ＝1，∴ρ2＝1，∴x2＋y2＝1.∴表示圆．
2．极坐标方程ρ＝sin
θ＋2cos
θ表示的曲线为( )
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
解析：选B 由ρ＝sin
θ＋2cos
θ，得ρ2＝ρsin
θ＋2ρcos
θ，
∴x2＋y2＝y＋2x，即x2＋y2－2x－y＝0，表示圆．
3．在极坐标系中，方程ρ＝6cos
θ表示的曲线是( )
A．以点(－3,0)为圆心，3为半径的圆
B．以点(3，π)为圆心，3为半径的圆
C．以点(3,0)为圆心，3为半径的圆
D．以点为圆心，3为半径的圆
解析：选C 由ρ＝6cos
θ得ρ2＝6ρcos
θ，即x2＋y2－6x＝0，
表示以(3,0)为圆心，半径为3的圆．
4．以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是( )
A．ρ＝2cos
B．ρ＝2sin
C．ρ＝2cos(θ－1)
D．ρ＝2sin(θ－1)
解析：选C 在极坐标系中，圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为：
r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos(θ－θ0)，所以可得ρ＝2cos(θ－1)．
二、填空题
5．把圆的普通方程x2＋(y－2)2＝4化为极坐标方程为________．
解析：将x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ代入，得
ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsin
θ＝0，即ρ＝4sin
θ.
答案：ρ＝4sin
θ
6．已知圆的极坐标方程为ρ＝2cos
θ－2sin
θ，θ∈，则圆心的极坐标是________．
解析：设圆心为(a，β)(a>0)，半径为a的圆的极坐标方程为ρ＝2acos(θ－β)．
因为ρ＝2cos
θ－2sin
θ＝4cos
＝4cos＝4cos，
所以此圆的圆心的极坐标为.
答案：
7．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos
θ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝________.
解析：由ρ＝4cos
θ得ρ2＝4ρcos
θ，
即x2＋y2＝4x，
即(x－2)2＋y2＝4，
∴圆心C(2,0)，
又由点P的极坐标为可得点P的直角坐标为(2,2)，
∴|CP|＝
＝2.
答案：2
三、解答题
8．求极坐标方程ρ＝所对应的直角坐标方程．
解：ρ＝可化为ρ＝，
即ρ＝.
化简，得ρ＝2＋ρcos
θ.将互化公式代入，
得x2＋y2＝(2＋x)2.
整理可得y2＝4(x＋1)．
9．从极点O引定圆ρ＝2cos
θ的弦OP，延长OP到Q使＝，求点Q的轨迹方程，并说明所求轨迹是什么图形．
解：设Q(ρ，θ)，P(ρ0，θ0)，
则θ＝θ0，＝，
∴ρ0＝ρ.
∵ρ0＝2cos
θ0，
∴ρ＝2cos
θ，即ρ＝5cos
θ，
它表示一个圆．
10．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos
θ，ρ＝－4sin
θ.
(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
解：(1)因为x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ，
由ρ＝4cos
θ得ρ2＝4ρcos
θ.
所以x2＋y2＝4x.
即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程．
同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程．
(2)由解得
即⊙O1，⊙O2交于点(0,0)和(2，－2)．
则过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.课时跟踪检测(一)
平面直角坐标系
一、选择题
1．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( )
A．椭圆
B．比原来大的圆
C．比原来小的圆
D．双曲线
解析：选D 由伸缩变换的意义可得．
2．已知线段BC长为8，点A到B，C两点距离之和为10，则动点A的轨迹为( )
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
解析：选C 由椭圆的定义可知，动点A的轨迹为一椭圆．
3．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足||·|
|＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为( )
A．y2＝8x
B．y2＝－8x
C．y2＝4x
D．y2＝－4x
解析：选B 由题意，得＝(4,0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)，由||·||＋·＝0，
得4＋4(x－2)＝0，整理，得y2＝－8x.
4．在同一坐标系中，将曲线y＝3sin
2x变为曲线y′＝sin
x′的伸缩变换是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B 设则μy＝sin
λx，
即y＝sin
λx.
比较y＝3sin
2x与y＝sin
λx，则有＝3，λ＝2.
∴μ＝，λ＝2.∴
二、填空题
5．y＝cos
x经过伸缩变换后，曲线方程变为________．
解析：由得代入y＝cos
x，
得y′＝cosx′，即y′＝3cosx′.
答案：y＝3cos
6．把圆X2＋Y2＝16沿x轴方向均匀压缩为椭圆x2＋＝1，则坐标变换公式是________．
解析：设
则代入X2＋Y2＝16得
＋＝1.
∴16λ2＝1,16μ2＝16.
∴故
答案：
7．△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则点A的轨迹方程为________．
解析：∵△ABC的周长为10，
∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10.其中|BC|＝4，
即有|AB|＋|AC|＝6＞4.
∴点A轨迹为椭圆除去B，C两点，且2a＝6,2c＝4.
∴a＝3，c＝2，b2＝5.
∴点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
答案：＋＝1(y≠0)
三、解答题
8.
在同一平面直角坐标系中，将曲线x2－36y2－8x＋12＝0变成曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0，求满足条件的伸缩变换．
解：x2－36y2－8x＋12＝0可化为2－9y2＝1.①
x′2－y′2－4x′＋3＝0可化为(x′－2)2－y′2＝1.②
比较①②，可得即
所以将曲线x2－36y2－8x＋12＝0上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的3倍，就可得到曲线x′2－y′2－4x′＋3＝0的图象．
9．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|＝|BC|.
证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)．
则M点的坐标为.
由于|BC|＝，
|AM|＝
＝，
故|AM|＝|BC|.
10．如图，椭圆C0：＋＝1(a>b>0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t，b
解：设
A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知A1(－a,0)，A2(a,0)，
则直线A1A的方程为y＝(x＋a)，①
直线A2B的方程为y＝(x－a)．②
由①②，得y2＝(x2－a2)．③
由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故＋＝1.
从而y＝b2，代入③，得
－＝1(x<－a，y<0)，此方程即为点M的轨迹方程．课时跟踪检测(七)
参数方程的概念
一、选择题
1．下列方程可以作为x轴的参数方程的是( )
A.(t为参数)
B.(t为参数)
C.(θ为参数)
D.(t为参数)
解析：选D x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
2．已知曲线C的参数方程为(θ为参数，π≤θ<2π)，若点Μ(14，a)在曲线C上，则a等于( )
A．－3－5
B．－3＋5
C．－3＋
D．－3－
解析：选A ∵(14，a)在曲线C上，
∴
由①，得cos
θ＝.又π≤θ＜2π，
∴sin
θ＝－＝－，
∴tan
θ＝－.
∴a＝5·(－)－3＝－3－5.
3．在方程(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为( )
A．(2，－7)
B.
C.
D．(1,0)
解析：选C 将点的坐标代入参数方程，若能求出θ，则点在曲线上，经检验，知C满足条件．
4．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹方程为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A 设(x，y)为所求轨迹上任一点．
由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0，得
(x－2t)2＋(y－t)2＝4＋2t2.
∴
二、填空题
5．已知曲线(θ为参数，0≤θ＜2π)．
下列各点：A(1,3)，B(2,2)，C(－3,5)，其中在曲线上的点是________．
解析：将点A坐标代入方程，得θ＝0或π，
将点B，C坐标代入方程，方程无解，
故点A在曲线上．
答案：A(1,3)
6．下列各参数方程与方程xy＝1表示相同曲线的是________(填序号)．
①②③
④
解析：普通方程中，x，y均为不等于0的实数，而①②③中x的取值依次为：[0，＋∞)，[－1,1]，[－1,1]，故①②③均不正确，而④中，x∈R，y∈R，且xy＝1，故④正确．
答案：④
7．动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M位于A(1,1)，则点M的参数方程为________________________．
解析：设M(x，y)，
则在x轴上的位移为x＝1＋9t，
在y轴上的位移为y＝1＋12t.
∴参数方程为(t为参数)．
答案：(t为参数)
三、解答题
8．已知动圆x2＋y2－2axcos
θ－2bysin
θ＝0(a，b∈R＋，且a≠b，θ为参数)，求圆心的轨迹方程．
解：设P(x，y)为所求轨迹上任一点．
由x2＋y2－2axcos
θ－2bysin
θ＝0，得
(x－acos
θ)2＋(y－bsin
θ)2＝a2cos2θ＋b2sin2θ.
∴(θ为参数)．
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a，射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P的轨迹方程．
解：设P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ，
由PQ⊥OA，PB∥OA，得
x＝OD＝OQcos
θ＝OAcos2θ＝2acos2θ，
y＝AB＝OAtan
θ＝2atan
θ.
所以P点轨迹的参数方程为
θ∈.
10．试确定过M(0,1)作椭圆x2＋＝1的弦的中点的轨迹方程．
解：设过M(0,1)的弦所在的直线方程为y＝kx＋1，
其与椭圆的交点为(x1，y1)和(x2，y2)．
设中点P(x，y)，则有：x＝，y＝.
由
得(k2＋4)y2－8y＋4－4k2＝0.
∴x1＋x2＝，y1＋y2＝.
∴(k为参数)．
这就是以动弦斜率k为参数的动弦中点的轨迹方程．课时跟踪检测(六)
球坐标系
一、选择题
1．已知一个点的球坐标为，则它的方位角为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A 由球坐标的定义可知选A.
2．设点M的柱坐标为，则它的球坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B 设点M的直角坐标为(x，y，z)，
故
设点M的球坐标为(ρ，φ，θ)．
则ρ＝＝2，
由＝2cos
φ知φ＝.
又tan
θ＝＝1，
故θ＝，
故点M的球坐标为.
3．点P的球坐标为，则它的直角坐标为( )
A．(1,0,0)
B．(－1，－1,0)
C．(0，－1,0)
D．(－1,0,0)
解析：选D x＝rsin
φcos
θ＝1·sin·cos
π＝－1，
y＝rsin
φsin
θ＝1·sin·sin
π＝0，
z＝rcos
φ＝1·cos＝0.
∴它的直角坐标为(－1,0,0)．
4．设点M的直角坐标为(－1，－1，)，则它的球坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B 由坐标变换公式，得
r＝＝2，
cos
φ＝＝，∴φ＝.
∵tan
θ＝＝＝1，∴θ＝.
∴M的球坐标为.
二、填空题
5．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是________．
解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标．
答案：(－2,2,2)
6．在球坐标系中，方程r＝1表示________．
解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状．
答案：球心在原点，半径为1的球面
7．在球坐标系中A和B的距离为________．
解析：A，B两点化为直角坐标分别为：A(1,1，)，B(－1,1，－)．
∴|AB|＝＝2.
答案：2
三、解答题
8．将下列各点的球坐标化为直角坐标．
(1)；
(2).
解：(1)x＝4sincos＝2，y＝4sinsin＝－2，
z＝4cos＝0，
∴它的直角坐标为(2，－2，0)．
(2)x＝8sincos
π＝－4，
y＝8sinsin
π＝0，z＝8cos＝－4，
∴它的直角坐标为(－4，0，－4)．
9．如图，请你说出点M的球坐标．
解：
由球坐标的定义，记|OM|＝R，OM与z轴正向所夹的角为φ，设M在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点M的位置就可以用有序数组(R，φ，θ)表示．
∴点M的球坐标为：M(R，φ，θ)．
10．如图建立球坐标系，正四面体ABCD的棱长为1，求A，B，C，D的球坐标．(其中O是△BCD的中心)
解：∵O是△BCD的中心，
∴OC＝OD＝OB＝，AO＝.
∴C，D，
B，A.课时跟踪检测(十三)
渐开线与摆线
一、选择题
1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )
A．π
B．2π
C．12π
D．14π
解析：选C 根据条件可知，圆的摆线方程为(φ为参数)，
把y＝0代入，得φ＝2kπ(k∈Z)，此时x＝6kπ(k∈Z)．
2．给出下列说法：
①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；
②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；
③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；
④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．
其中正确的说法有( )
A．①③
B．②④
C．②③
D．①③④
解析：选C 对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．
3．已知一个圆的参数方程为(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取对应的点A与点B之间的距离为( )
A.－1
B.
C.
D.
解析：选C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得
即A，∴|AB|＝
＝.
4.如图ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是( )
A．3π
B．4π
C．5π
D．6π
解析：选C 根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.
二、填空题
5．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为________．
解析：关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于y＝x对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换．
答案：(φ为参数)
6．已知圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是__________，当参数φ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．
解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝时对应的坐标只需把φ＝代入曲线的参数方程，得x＝＋，y＝－，由此可得对应的坐标为.
答案：2
7．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为______________
.
解析：圆的摆线的参数方程为(φ为参数)，令r(1－cos
φ)＝0，得φ＝2kπ(k∈Z)，代入x＝r(φ－sin
φ)，得x＝r(2kπ－sin
2kπ)(k∈Z)，
又∵过(1,0)，∴r(2kπ－sin
2kπ)＝1(k∈Z)，∴r＝(k∈Z)．
又∵r＞0，∴k∈N
.
答案：(φ为参数，k∈N
)
三、解答题
8．有一个半径是2a的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M，与轮子中心的距离是a，求点M的轨迹方程．
解：设轮子中心为O，则OM＝a.点M的轨迹即是以O为圆心，a为半径的基圆的摆线．
由参数方程知点M的轨迹方程为(φ为参数)．
9．已知一个圆的摆线方程是(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．
解：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是(φ为参数)．
10．已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．
解：令y＝0，可得a(1－cos
φ)＝0，
由于a＞0，即得cos
φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．
代入x＝a(φ－sin
φ)，得x＝a(2kπ－sin
2kπ)(k∈Z)．
又因为x＝2，所以a(2kπ－sin
2kπ)＝2(k∈Z)，
即得a＝(k∈Z)．又由实际可知a＞0，所以a＝(k∈N
)．
易知，当k＝1时，a取最大值为.
代入即可得圆的摆线的参数方程为(φ为参数)．
圆的渐开线的参数方程为(φ为参数)．课时跟踪检测(八)
圆的参数方程
一、选择题
1．圆的参数方程为：(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )
A．(0,2)
B．(0，－2)
C．(－2,0)
D．(2,0)
解析：选D 将化为(x－2)2＋y2＝4，其圆心坐标为(2,0)．
2．直线：x＋y＝1与曲线(θ为参数)的公共点有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
解析：选C 将化为x2＋y2＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，
由于＝<2＝r，
故直线与圆相交，有两个公共点．
3．直线：3x－4y－9＝0与圆：(θ为参数)的位置关系是( )
A．相切
B．相离
C．直线过圆心
D．相交但直线不过圆心
解析：选D 圆心坐标为(0,0)，半径为2，显然直线不过圆心，
又圆心到直线距离d＝<2，故选D.
4．P(x，y)是曲线(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )
A．36
B．6
C．26
D．25
解析：选A 设P(2＋cos
α，sin
α)，代入，得
(2＋cos
α－5)2＋(sin
α＋4)2
＝25＋sin2α＋cos2α－6cos
α＋8sin
α
＝26＋10sin(α－φ)．
∴最大值为36.
二、填空题
5．参数方程(φ为参数)表示的图形是________．
解析：x2＋y2＝(3cos
φ＋4sin
φ)2＋(4cos
φ－3sin
φ)2＝25.∴表示圆．
答案：圆
6．已知圆C的参数方程为(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos
θ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为________．
解析：由极坐标系与直角坐标系互化关系可知，直线l的直角坐标方程为x＝1.
由圆C的参数方程可得x2＋(y－1)2＝1，
由
得直线l与圆C的交点坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
7．(广东高考)已知曲线C的极坐标方程为
ρ＝2cos
θ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．
解析：由极坐标方程与直角坐标方程互化公式可得，曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
故曲线C对应的参数方程可写为
(θ为参数)．
答案：(θ为参数)
三、解答题
8．P是以原点为圆心，半径r＝2的圆上的任意一点，Q(6,0)，M是PQ中点．
(1)画图并写出⊙O的参数方程；
(2)当点P在圆上运动时，求点M的轨迹的参数方程．
解：(1)如图所示，⊙O的参数方程(θ为参数)．
(2)设M(x，y)，P(2cos
θ，2sin
θ)，
∵Q(6,0)，∴M的参数方程为
即(θ为参数)．
9．设点M(x，y)在圆x2＋y2＝1上移动，求点Q(x(x＋y)，y(x＋y))的轨迹．
解：设M(cos
θ，sin
θ)(0≤θ＜2π)，点Q(x1，y1)，
则
∴
将sin
2θ＝x1＋y1－1代入另一个方程，
整理，得2＋2＝.
∴所求轨迹是以为圆心，以为半径的圆．
10．已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(θ为参数)．
(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；
(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
解：(1)当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.
联立方程组解得C1与C2的交点坐标为(1,0)，.
(2)C1的普通方程为xsin
α－ycos
α－sin
α＝0.
A点坐标为(sin2α，－cos
αsin
α)，
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为
(α为参数)．
P点轨迹的普通方程为2＋y2＝.
故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．阶段质量检测（二）B卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．方程(θ为参数)表示的曲线上的一个点的坐标是( )
A．(2，－7)
B．(1,0)
C.
D.
解析：选C 由y＝cos
2θ得y＝1－2sin2θ，
∴参数方程化为普通方程是y＝1－2x2(－1≤x≤1)，
当x＝时，y＝1－2×2＝，故选C.
2．直线x＋y＝0被圆(θ为参数)截得的弦长是( )
A．3
B．6
C．2
D.
解析：选B 圆的普通方程为x2＋y2＝9，半径为3，直线x＋y＝0过圆心，故所得弦长为6.
3．过点(3，－2)且与曲线(θ为参数)有相同焦点的椭圆方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：选A 化为普通方程是：＋＝1，焦点坐标为(－，0)，(，0)，排除B、C、D.
4．直线(t为参数)的斜率是( )
A．2
B.
C．－2
D．－
解析：选C 由
①×2＋②得2x＋y－1＝0，∴k＝－2.
5．参数方程(θ为参数)所表示的曲线为( )
A．抛物线的一部分
B．一条抛物线
C．双曲线的一部分
D．一条双曲线
解析：选A x＋y2＝cos2θ＋sin2θ＝1，即y2＝－x＋1.
又x＝cos2θ∈[0,1]，y＝sin
θ∈[－1,1]，
∴为抛物线的一部分．
6．当参数θ变化时，动点P(2cos
θ，3sin
θ)所确定的曲线必过( )
A．点(2,3)
B．点(2,0)
C．点(1,3)
D．点
解析：选B 令x＝2cos
θ，y＝3sin
θ，则动点(x，y)的轨迹是椭圆：＋＝1，∴曲线过点(2,0)．
7．若P(x，y)是椭圆2x2＋3y2＝12上的一个动点，则x＋y的最大值为( )
A．2
B．4
C.＋
D．2
解析：选D 椭圆为＋＝1，设P(cos
θ，2sin
θ)，
x＋y＝cos
θ＋sin
θ＝2sin≤2.
8．若直线(t为参数)与圆(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )
A.
B.
C.
D.或
解析：选D 直线化为＝tan
α，即y＝tan
α·x，
圆方程化为(x－4)2＋y2＝4，
∴由＝2 tan2α＝，
∴tan
α＝±，又α∈[0，π)，∴α＝或.
9．点P(x，y)在椭圆＋(y－1)2＝1上，则x＋y的最大值为( )
A．3＋
B．5＋
C．5
D．6
解析：选A 椭圆的参数方程为(θ为参数)，
x＋y＝2＋2cos
θ＋1＋sin
θ＝3＋sin
(θ＋φ)，
∴(x＋y)max＝3＋.
10．曲线(θ为参数)的图形是( )
A．第一、三象限的平分线
B．以(－a，－a)、(a，a)为端点的线段
C．以(－a，－a)、(－a，－a)为端点的线段和以(a，a)、(a，a)为端点的线段
D．以(－a，－a)、(a，a)为端点的线段
解析：选D 显然y＝x，而x＝asin
θ＋acos
θ＝asinθ＋，－|a|≤x≤|a|.
故图形是以(－a，－a)、(a，a)为端点的线段．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．双曲线(θ为参数)的渐近线方程为______________．
解析：双曲线的普通方程为－x2＝1，
由－x2＝0，得y＝±2x，即为渐近线方程．
答案：y＝±2x
12．圆的参数方程为(θ为参数)，则此圆的半径为________．
解析：平方相加得x2＋y2＝9sin2θ＋24sin
θcos
θ＋16cos
2θ＋16sin
2θ－24sin
θcos
θ＋9cos
2θ＝25，所以圆的半径为5.
答案：5
13．在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的参数方程分别为l：(s为参数)和C：(t为参数)，若l与C相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：直线l可化为x＋y－2＝0，①
曲线C可化为y＝(x－2)2，②
联立①②消去y，得x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝·
＝|x1－x2|＝.
答案：
14．(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
解析：由得y＝，又由得x2＋y2＝2.
由得即曲线C1与C2的交点坐标为(1,1)．
答案：(1,1)
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)半径为r的圆沿直轨道滚动，M在起始处和原点重合，当M转过和时，求点M的坐标．
解：由摆线方程可知：
φ＝时，xM＝r，yM＝r，
∴M点坐标为.
φ＝时，xM＝r(7π＋2)，yM＝r，
∴点M坐标为.
16．(本小题满分12分)求直线(t为参数)被曲线ρ＝cos所截的弦长．
解：将方程ρ＝cos分别化为普通方程3x＋4y＋1＝0，x2＋y2－x＋y＝0，
圆心C，
半径为，圆心到直线的距离d＝，
弦长＝2＝2＝.
17．(本小题满分12分)已知某曲线C的参数方程为，(其中t是参数，a∈R)，点M(3,1)在该曲线上．(1)求常数a；(2)求曲线C的普通方程．
解：(1)由题意可知有故∴a＝1.
(2)由已知及(1)可得，曲线C的方程为
由第一个方程得t＝代入第二个方程得y＝()2，
即(x－1)2＝4y为所求方程．
18．(本小题满分12分)已知经过A(5，－3)且倾斜角的余弦值是－的直线，直线与圆x2＋y2＝25交于B、C两点．
(1)求BC中点坐标；
(2)求过点A与圆相切的切线方程及切点坐标．
解：(1)直线参数方程为(t为参数)，
代入圆的方程得t2－t＋9＝0，∴tM＝＝，
则xM＝，yM＝，中点坐标为M.
(2)设切线方程为(t为参数)，
代入圆的方程得t2＋(10cos
α－6sin
α)t＋9＝0.
Δ＝(10cos
α－6sin
α)2－36＝0，
整理得cos
α(8cos
α－15sin
α)＝0，
cos
α＝0或tan
α＝.
∴过A点切线方程为x＝5,8x－15y－85＝0.
又t切＝－＝3sin
α－5cos
α，
由cos
α＝0得t1＝3，由8cos
α－15sin
α＝0，
解得可得t2＝－3.
将t1，t2代入切线的参数方程知，相应的切点为(5,0)，.
19．(本小题满分12分)在双曲线x2－2y2＝2上求一点P，使它到直线x＋y＝0的距离最短，并求这个最短距离．
解：设双曲线－y2＝1上一点P(sec
α，tan
α)0≤α＜2π，且α≠，α≠，
则它到直线x＋y＝0的距离为d＝＝.
于是d2＝，化简得，
(1＋2d2)sin2α＋2sin
α＋2(1－d2)＝0.
∵sin
α是实数，
∴Δ＝(2)2－8(1＋2d2)(1－d2)≥0，∴d≥.
当d＝时，sin
α＝－，
∴α＝或，这时x0＝sec＝－2，y0＝tan＝1.
或x0＝sec＝2，y0＝tan
＝－1.
故当双曲线上的点P为(－2,1)或(2，－1)时，
它到直线x＋y＝0的距离最小，这个最小值为.
20．(新课标全国卷Ⅰ)(本小题满分12分)已知曲线C1的参数方程为
(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin
θ
.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
解：(1)将
消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，
得ρ2－8ρcos
θ－10ρsin
θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos
θ－10ρsin
θ＋16＝0.
(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.
由
得相交弦方程x＋y－2＝0，
联立得解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为，.阶段质量检测（一）
B卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为( )
A．(π，0)
B．(π，2π)
C．(－π，0)
D．(－2π，0)
解析：选A x＝πcos(－2π)＝π，y＝πsin(－2π)＝0，所以化为直角坐标为(π，0)．
2．在极坐标系中，已知A、B，则OA、OB的夹角为( )
A.
B．0
C.
D.
解析：选C
如图所示，夹角为.
3．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝cos
2x按伸缩变换后为( )
A．y＝cos
x
B．y＝3cos
C．y＝2cos
D．y＝cos
3x
解析：选A 由得
代入y＝cos
2x，得＝cos
x′.
∴y′＝cos
x′，即曲线y＝cos
x.
4．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin
θ的圆心的极坐标是( )
A.
B.
C．(1,0)
D．(1，π)
解析：选B 由ρ＝－2sin
θ得ρ2＝－2ρsin
θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.
5．曲线θ＝与ρ＝6sin
θ的两个交点之间的距离为( )
A．1
B.
C．3
D．6
解析：选C 极坐标方程θ＝，ρ＝6sin
θ分别表示直线与圆，如图所示，圆心C，∠AOC＝，∴|AO|＝2×3×cos
＝6×＝3.
6．点M关于直线θ＝(ρ∈R)的对称点的极坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A 法一：点M关于直线θ＝(ρ∈R)的对称点为，即.
法二：点M的直角坐标为＝－，－，
直线θ＝(ρ∈R)，即直线y＝x，
点关于直线y＝x的对称点为－，－，
再化为极坐标即.
7．极坐标方程ρsin2θ－2cos
θ＝0表示的曲线是( )
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
解析：选C 由ρsin2θ－2cos
θ＝0，得ρ2sin2θ－2ρcos
θ＝0，
∴化为直角坐标方程是y2－2x＝0，即x＝y2，表示抛物线．
8．在极坐标系中与圆ρ＝4sin
θ相切的一条直线的方程为( )
A．ρcos
θ＝
B．ρcos
θ＝2
C．ρ＝4sin
D．ρ＝4sin
解析：选B 极坐标方程ρ＝4sin
θ化为ρ2＝4ρsin
θ，
即x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.
由所给的选项中ρcos
θ＝2知，x＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切．
9．圆ρ＝4cos
θ的圆心到直线tan
θ＝1的距离为( )
A.
B.
C．2
D．2
解析：选B 圆ρ＝4cos
θ的圆心C(2,0)，如图，|OC|＝2，
在Rt△COD中，∠ODC＝，∠COD＝，
∴|CD|＝.
10．圆ρ＝r与圆ρ＝－2rsin(r>0)的公共弦所在直线的方程为( )
A．2ρ(sin
θ＋cos
θ)＝r
B．2ρ(sin
θ＋cos
θ)＝－r
C.ρ(sin
θ＋cos
θ)＝r
D.ρ(sin
θ＋cos
θ)＝－r
解析：选D 圆ρ＝r的直角坐标方程为x2＋y2＝r2，①
圆ρ＝－2rsin＝－2rsin
θcos
＋cos
θsin
＝－r(sin
θ＋cos
θ)．
两边同乘以ρ得ρ2＝－r(ρsin
θ＋ρcos
θ)
∵x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ，ρ2＝x2＋y2，
∴x2＋y2＋rx＋ry＝0.②
①－②整理得(x＋y)＝－r，即为两圆公共弦所在直线的普通方程．再将直线(x＋y)＝－r化为极坐标方程为ρ(cos
θ＋sin
θ)＝－r.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．直线xcos
α＋ysin
α＝0的极坐标方程为________．
解析：ρcos
θcos
α＋ρsin
θsin
α＝0，cos
(θ－α)＝0，
取θ－α＝.
答案：θ＝＋α
13换题内容
13．(2015·金华高二检测)极坐标方程ρ＝cosθ化为直角坐标方程为________．
12．在极坐标系中，若过点A(4,0)的直线l与曲线ρ2＝4ρcos
θ－3有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________．
解析：
将ρ2＝4ρcos
θ－3化为直角坐标方程得(x－2)2＋y2＝1，如图易得－≤k≤.
答案：
13．已知点M的柱坐标为，则点M的直角坐标为________，球坐标为________．
解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，
柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，
由得
由得即
∴点M的直角坐标为，球坐标为.
答案：
14．在极坐标系中，定点A(1，)，点B在直线l：ρcos
θ＋ρsin
θ＝0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是________．
解析：将ρcos
θ＋ρsin
θ＝0化为直角坐标方程为x＋y＝0，点A化为直角坐标得A(0,1)，如图，过A作AB⊥直线l于B，因为△AOB为等腰直角三角形，又因为|OA|＝1，
则|OB|＝，θ＝，故B点的极坐标是B.
答案：
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)在极坐标系中，求圆心A为，半径为1的圆的极坐标方程．
解：在极坐标系中，设点P(ρ，θ)是圆上任意一点，则有
r2＝OP2＋OA2－2OP·OA·cos，
即1＝ρ2＋1－2ρcos.
即ρ2－2ρcos＝0为所求圆的极坐标方程．
16．(本小题满分12分)极坐标方程ρ＝－2cos
θ与ρcos＝1表示的两个图形的位置关系是什么？
解：ρ＝－2cos
θ可变为ρ2＝－2ρcos
θ，
化为普通方程为x2＋y2＝－2x，
即(x＋1)2＋y2＝1表示圆，
圆心为(－1,0)，半径为1.
将ρcos＝1化为普通方程为x－y－2＝0，
∵圆心(－1,0)到直线的距离为＝＞1，
∴直线与圆相离．
17．(本小题满分12分)极坐标系中，求点(m＞0)到直线ρcos＝2的距离．
解：将直线极坐标方程化为ρcos
θcos
＋sin
θsin
＝2，化为直角坐标方程为x＋y－4＝0，
点的直角坐标为，
∴点到直线x＋y－4＝0的距离为＝＝|m－2|.
18．(本小题满分12分)在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为，半径r＝1，P在圆C上运动．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴)中，若Q为线段OP的中点，求点Q轨迹的直角坐标方程．
解：(1)设圆C上任一点坐标为(ρ，θ)，
由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcos，
所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋3＝0.
(2)设Q(x，y)，则P(2x,2y)，
由于圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－)2＝1，P在圆C上，
所以(2x－1)2＋(2y－)2＝1，
则Q的直角坐标方程为2＋2＝.
19．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
解：在ρsin＝－中令θ＝0，得ρ＝1，
所以圆C的圆心坐标为(1,0)．
因为圆C经过点P，
所以圆C的半径PC
＝
＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos
θ.
20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．
(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
解：(1)∵ρcos＝1，
∴ρcos
θ·cos＋ρsin
θ·sin＝1.
又∴x＋y＝1.
即曲线C的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
令y＝0，则x＝2；令x＝0，则y＝.
∴M(2,0)，N.
∴M的极坐标为(2,0)，N的极坐标为.
(2)M、N连线的中点P的直角坐标为，
直线OP的极角为θ＝.
∴直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．课时跟踪检测(十)
椭圆的参数方程
一、选择题
1．椭圆(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ等于( )
A．π
B.
C．2π
D.
解析：选A ∵点(－a,0)中x＝－a，
∴－a＝acos
θ，
∴cos
θ＝－1，∴θ＝π.
2．已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为( )
A.
B．－
C．2
D．－2
解析：选C 点M的坐标为(1,2)，
∴kOM＝2.
3．直线＋＝1与椭圆＋＝1相交于A，B两点，该椭圆上点P使得△PAB的面积等于4，这样的点P共有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：选B 设椭圆上一点P1的坐标为(4cos
θ，3sin
θ)，θ∈，如图所示，则S四边形P1AOB＝S△OAP1＋S△OBP1
＝×4×3sin
θ＋×3×4cos
θ
＝6(sin
θ＋cos
θ)＝6sin.
当θ＝时，S四边形P1AOB有最大值为6.
所以S△ABP1≤6－S△AOB＝6－6＜4.
故在直线AB的右上方不存在点P使得△PAB的面积等于4，又S△AOB＝6＞4，所以在直线AB的左下方，存在两个点满足到直线AB的距离为，使得S△PAB＝4.
故椭圆上有两个点使得△PAB的面积等于4.
4．两条曲线的参数方程分别是(θ为参数)和(t为参数)，则其交点个数为( )
A．0
B．1
C．0或1
D．2
解析：选B
由得x＋y－1＝0(－1≤x≤0,1≤y≤2)，由得＋＝1.如图所示，可知两曲线交点有1个．
二、填空题
5．椭圆(θ为参数)的焦距为________．
解析：椭圆的普通方程为＋＝1.
∴c2＝21，∴2c＝2.
答案：2
6．实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则2x＋y的最大值是________．
解析：因为实数x，y满足3x2＋4y2＝12，
所以设x＝2cos
α，y＝sin
α，则
2x＋y＝4cos
α＋3sin
α＝5sin(α＋φ)，
其中sin
φ＝，cos
φ＝.
当sin(α＋φ)＝1时，2x＋y有最大值为5.
答案：5
7．在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(φ为参数，a＞b＞0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆
O的极坐标方程分别为ρsin＝m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆
O相切，则椭圆C的离心率为____________．
解析：l的直角坐标方程为x＋y＝m，圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝b2，由直线l与圆O相切，
得m＝±b.
从而椭圆的一个焦点为(b,0)，即c＝b，
所以a＝b，则离心率e＝＝.
答案：
三、解答题
8．已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，求它们的交点坐标．
解：将(0≤θ＜π)化为普通方程，得
＋y2＝1(0≤y≤1，x≠－)，
将x＝t2，y＝t代入，得
t4＋t2－1＝0，
解得t2＝，
∴t＝(∵y＝t≥0)，x＝t2＝·＝1，
∴交点坐标为.
9．对于椭圆(θ为参数)，如果把横坐标缩短为原来的，再把纵坐标缩短为原来的即得到圆心在原点，半径为1的圆的参数方程(θ为参数)．那么，若把圆看成椭圆的特殊情况，试讨论圆的离心率，并进一步探讨椭圆的离心率与椭圆形状的关系．
解：设圆的参数方程为(θ为参数)，
如果将该圆看成椭圆，
那么在椭圆中对应的数值分别为a＝b＝r，
所以c＝＝0，
则离心率e＝＝0.
即把圆看成椭圆，其离心率为0，而椭圆的离心率的范围是(0,1)，可见椭圆的离心率越小即越接近于0，形状就越接近于圆，离心率越大，椭圆越扁．
10．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为
(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
解：(1)把极坐标系下的点P化为直角坐标，
得P(0,4)．
因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程
x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．
(2)因为点Q在曲线C上，
故可设点Q的坐标为(cos
α，sin
α)，从而点Q到直线l的距离为
d＝
＝＝cos＋2.
由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.阶段质量检测（一）A卷
一、选择题
(本大题共10小题，每小题6分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．点M的极坐标为(1，π)，则它的直角坐标是( )
A．(1,0)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(0，－1)
解析：选B x＝1×cos
π＝－1，y＝1×sin
π＝0，即直角坐标是(－1,0)．
2．已知曲线C的极坐标方程ρ＝2cos
2θ，给定两点P，Q(2，π)，则有( )
A．P在曲线C上，Q不在曲线C上
B．P，Q都不在曲线C上
C．P不在曲线C上，Q在曲线C上
D．P，Q都在曲线C上
解析：选C 当θ＝时，ρ＝2cos
π＝－2≠0，故点P不在曲线上；当θ＝π时，ρ＝2cos
2π＝2，故点Q在曲线上．
3．在同一坐标系中，将曲线y＝2sin
3x变为曲线y＝sin
x的伸缩变换是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B 将代入y＝sin
x，得μy＝sin
λx，
即y＝sin
λx，与y＝2sin
3x比较，得μ＝，λ＝3，
即变换公式为
4．曲线的极坐标方程ρ＝4sin
θ化为直角坐标为( )
A．x2＋(y＋2)2＝4
B．x2＋(y－2)2＝4
C．(x－2)2＋y2＝4
D．(x＋2)2＋y2＝4
解析：选B 由ρ＝4sin
θ，得ρ2＝4ρsin
θ，故化为直角坐标方程是x2＋y2＝4y，即(y－2)2＋x2＝4.
5.如图，在柱坐标系中，长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5)，C1，则此长方体的体积为( )
A．100
B．120
C．160
D．240
解析：选B 由长方体的两个顶点分别为A1(4,0,5)，C1，可知|OA|＝4，|OC|＝6，|OO1|＝5，故长方体的体积为4×5×6＝120.
6．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A．π
B．4π
C．8π
D．9π
解析：选B 设P点的坐标为(x，y)，∵|PA|＝2|PB|，
∴(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]．
即(x－2)2＋y2＝4.
故P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，它的面积为4π.
7．在极坐标系中，过点A(6，π)作圆ρ＝－4cos
θ的切线，则切线长为( )
A．2
B．6
C．2
D．2
解析：选C 圆ρ＝－4cos
θ化为(x＋2)2＋y2＝4，点(6，π)化为(－6,0)，所以切线长＝＝＝2.
8．极坐标方程θ＝，θ＝π和ρ＝4所表示的曲线围成的图形面积是( )
A.π
B.π
C.π
D.π
解析：选B 三条曲线围成一个扇形，半径为4，圆心角为－＝.
∴扇形面积为：×4××4＝.
9．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin关于( )
A．θ＝轴对称
B．θ＝轴对称
C.中心对称
D．极点中心对称
解析：选B ρ＝4sin可化为ρ＝4cos，可知此曲线是以为圆心的圆，故圆关于θ＝对称．
10．极坐标系内曲线ρ＝2cos
θ上的动点P与定点Q的最近距离等于( )
A.－1
B.－1
C．1
D.
解析：选A 将曲线ρ＝2cos
θ化成直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，点Q的直角坐标为(0,1)，则P到Q的最短距离为点Q与圆心的距离减去半径，即－1.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．(陕西高考)直线2ρcos
θ＝1与圆ρ＝2cos
θ相交的弦长为________．
解析：直线的方程为2x＝1，圆的方程为x2＋y2－2x＝0，圆心为(1,0)，半径r＝1，圆心到直线的距离为d＝＝，设所求的弦长为l，则12＝2＋2，解得l＝.
答案：
12．点A的直角坐标为，则它的球坐标为________．
解析：r＝＝6.cos
φ＝＝，
∴φ＝.tan
θ＝＝，∴θ＝.
∴它的球坐标为.
答案：
13．在极坐标系中，点A关于直线l：ρcos
θ＝1的对称点的一个极坐标为________．
解析：由直线l的方程可知直线l过点(1,0)且与极轴垂直，设A′是点A关于l的对称点，则四边形OBA′A是正方形，∠BOA′＝，且OA′＝2，
故A′的极坐标可以是.
答案：
14．已知直线l的方程为y＝x＋1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cos
θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径
ρ＝________.
解析：直线l的方程为y＝x＋1，曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，故直线l与曲线C的交点坐标为(1,2)．故该点的极径ρ＝＝.
答案：
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形．
(1)x2－y2＝1；(2)＋＝1.
解：由伸缩变换得 ①
(1)将①代入x2－y2＝1得9x′2－4y′2＝1，
因此，经过伸缩变换后，
双曲线x2－y2＝1变成双曲线9x′2－4y′2＝1，如图(1)所示．
(2)将①代入＋＝1得x′2＋＝1，因此，经过伸缩变换后，椭圆＋＝1变成椭圆x′2＋＝1，如图(2)所示．
16．(本小题满分12分)如果点的极坐标为A，B，且△ABC为等腰直角三角形，如何求直角顶点C的极坐标．
解：对于点A，直角坐标为(，)，点B的直角坐标为(－，－)，
设点C的直角坐标为(x，y)，由题意得AC⊥BC，且|AC|＝|BC|，
∴·＝0，
即(x－，y－)·(x＋，y＋)＝0，
∴x2＋y2＝4.①
又||2＝||2，
于是(x－)2＋(y－)2＝(x＋)2＋(y＋)2，
∴y＝－x，代入①，得x2＝2，
解得x＝±.
∴或
∴点C的直角坐标为(，－)或(－，)，
∴ρ＝＝2，tan
θ＝－1，θ＝或，
∴点C的极坐标为或.
17．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos
θ与直线3ρcos
θ＋4ρsin
θ＋a＝0相切，求实数a的值．
解：将极坐标方程化为直角坐标方程，
得圆的方程为x2＋y2＝2x，
即(x－1)2＋y2＝1，
直线的方程为3x＋4y＋a＝0.
由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，
即有＝1，解得a＝－8或a＝2.
故a的值为－8或2.
18．(本小题满分12分)在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sin
θ上的一动点，Q是曲线ρ＝12cosθ－上的动点，试求|PQ|的最大值．
解：∵ρ＝12sin
θ，∴ρ2＝12ρsin
θ，
∴x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36.
又∵ρ＝12cos，
∴ρ2＝12ρ，
∴x2＋y2－6x－6y＝0，
∴(x－3)2＋(y－3)2＝36.
∴|PQ|max＝6＋6＋＝18.
19．(本小题满分12分)已知线段BB′＝4，直线l垂直平分BB′，交BB′于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P、P′，使OP·OP′＝9，建立适当的坐标系，求直线BP与直线B′P′的交点M的轨迹方程．
解：以O为原点，BB′为y轴，l为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则B(0,2)，B′(0，－2)，设P(a,0)(a≠0)，则由OP·OP′＝9，得P′(，0)，直线BP的方程为＋＝1，直线B′P′的方程为＋＝1，即lBP：2x＋ay－2a＝0，lB′P′：2ax－9y－18＝0.
设M(x，y)，则由解得
(a为参数)．消去a，可得4x2＋9y2＝36(x≠0)，
所以点M的轨迹是焦点在x轴上，长轴长为6，短轴长为4的椭圆(除去点B，B′)．
20．(本小题满分12分)已知曲线C1的方程为x2＋y2－8x－10y＋16＝0.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin
θ.
(1)把C1的方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
解：(1)将
代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，
得ρ2－8ρcos
θ－10ρsin
θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为
ρ2－8ρcos
θ－10ρsin
θ＋16＝0.
(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.
由
解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为，.模块检测卷(二)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．点M的直角坐标是(－1，)，则点M的极坐标为( )
A.
B.
C.
D.，(k∈Z)
解析：选D ρ2＝(－1)2＋()2＝4，∴ρ＝2.又
∴
∴θ＝＋2kπ，k∈Z.
即点M的极坐标为，(k∈Z)．
2．设r>0，那么直线xcos
θ＋ysin
θ＝r(θ是常数)与圆(φ是参数)的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．视r的大小而定
解析：选B 圆心到直线的距离d＝＝|r|＝r，故相切．
3．方程(t为参数)表示的曲线是( )
A．双曲线
B．双曲线的上支
C．双曲线的下支
D．圆
解析：选B 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得：
x2－y2＝(2t－2－t)2－(2t＋2－t)2＝－4，即y2－x2＝4.
又注意到2t>0,2t＋2－t≥2＝2，即y≥2.
可见与以上参数方程等价的普通方程为：y2－x2＝4(y≥2)．
显然它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支．
4．直线(t为参数)被圆x2＋y2＝9截得的弦长为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B
把直线代入x2＋y2＝9，
得(1＋2t)2＋(2＋t)2＝9,5t2＋8t－4＝0，
|t1－t2|＝＝＝，
弦长为|t1－t2|＝.
5．极坐标ρ＝cos表示的曲线是( )
A．双曲线
B．椭圆
C．抛物线
D．圆
解析：选D 法一：由于ρ不恒等于0，方程两边同乘ρ，得
ρ2＝ρcos＝ρ＝(ρcos
θ＋ρsin
θ)，
化为直角坐标方程得x2＋y2＝(x＋y)，故方程ρ＝cos表示圆．
法二：极坐标方程ρ＝2acos
θ表示圆，而－θ与极轴的旋转有关，它只影响圆心的位置，而不改变曲线的形状，故方程ρ＝cos表示圆．
6．柱坐标P转换为直角坐标为( )
A．(5,8,8)
B．(8,8，5)
C．(8，8,5)
D．(4,8，5)
解析：选B 由公式得即P点的直角坐标为(8,8，5)．
7．双曲线(θ为参数)，那么它的两条渐近线所成的锐角是( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
解析：选C 由 y2－＝1，两条渐近线的方程是y＝±x，
所以两条渐近线所夹的锐角是60°.
8．若动点(x，y)在曲线＋＝1(b>0)上变化，则x2＋2y的最大值为( )
A.
B.
C.＋4
D．2b
解析：选A 设动点的坐标为(2cos
θ，bsin
θ)，代入x2＋2y＝
4cos2θ＋2bsin
θ＝－2＋4＋，
当0当b≥4时，(x2＋2y)max＝－2＋4＋＝2b.
9．若直线y＝x－b与曲线(θ∈[0,2π))有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为( )
A．(2－，1)
B．[2－，2＋
]
C．(－∞，2－)∪(2＋，＋∞)
D．(2－，2＋)
解析：选D 将参数方程
化为普通方程(x－2)2＋y2＝1.依题意得，圆心(2,0)到直线y＝x－b，
即x－y－b＝0的距离小于圆的半径1，
则有＜1，|2－b|＜，－＜2－b＜，
即2－＜b＜2＋.
10．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( )
A．只有圆才有渐开线
B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形
C．正方形也可以有渐开线
D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同
解析：选C 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．
11．已知过曲线(θ为参数且0≤θ≤)上一点P与原点O的距离为，则P点坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A 设P(3cos
θ，5sin
θ)，则|OP|2＝9cos2θ＋25sin2θ＝9＋16sin2θ＝13，
得sin2θ＝.又0≤θ≤，∴sin
θ＝，cos
θ＝.
∴x＝3cos
θ＝，y＝5sin
θ＝，∴P点坐标为.
12．设曲线与x轴交点为M、N，点P在曲线上，则PM与PN所在直线的斜率之积为( )
A．－
B．－
C.
D.
解析：选A 令y＝0得：sin
θ＝0，∴cos
θ＝±1.
∴M(－2,0)，N(2,0)．设P(2cos
θ，sin
θ)．
∴kPM·kPN＝·＝＝－.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知圆O：x2＋y2＝9，圆O1：(x－3)2＋y2＝27，则大圆被小圆截得的劣弧的长________．
解析：设O1的参数方程为：(0≤θ＜2π)，
将上式代入圆O的方程得：
(3＋3cos
θ)2＋(3sin
θ)2＝9.整理得cos
θ＝－，
∴θ1＝，θ2＝.∠MO1N＝－＝.
∴的长为：3·＝π.
答案：π
14．(江西高考)设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．
解析：消去曲线C中的参数t得y＝x2，将x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ代入y＝x2中，得ρ2cos2θ＝ρsin
θ，即ρcos2θ－sin
θ＝0.
答案：ρcos2θ－sin
θ＝0
15．(湖北高考)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．
解析：曲线可化为y＝(x－2)2，
射线θ＝可化为y＝x(x>0)，
联立这两个方程得：x2－5x＋4＝0，点A(x1，y1)，B(x2，y2)的横坐标就是此方程的根，∴x1＋x2＝5，线段AB的中点的直角坐标为.
答案：
16．(天津高考)在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin
θ和直线ρsin
θ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为________．
解析：由于圆和直线的直角坐标方程分别为x2＋y2＝4y和y＝a，它们相交于A，B两点，△AOB为等边三角形，所以不妨取直线OB的方程为y＝x，联立消去y，得x2＝x，解得x＝或x＝0，所以y＝x＝3，即a＝3.
答案：3
三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.
(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
(2)求直线AM的参数方程．
解：(1)由已知，得点M的极角为，且点M的极径等于，故点M的极坐标为.
(2)点M的直角坐标为，A(1,0)，故直线AM的参数方程为(t为参数)．
18．(本小题满分12分)已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线x－2y－7＝0距离的最小值．
解：(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1.
C1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．
C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
(2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cos
θ，3sin
θ)，
故M(－2＋4cos
θ，2＋sin
θ)．M到C3的距离d＝|4cos
θ－3sin
θ－13|＝|5sin
(φ－θ)－13|φ为锐角且tan
φ＝.
从而当sin(φ－θ)＝1时，d取得最小值.
19．(本小题满分12分)已知某圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos
(θ－)＋6＝0，求：
(1)圆的普通方程和参数方程；
(2)在圆上所有的点(x，y)中x·y的最大值和最小值．
解：(1)原方程可化为ρ2－4ρ(cos
θcos
＋sin
θsin
)＋6＝0，
即ρ2－4ρcos
θ－4ρsin
θ＋6＝0.①
因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ，所以①可化为x2＋y2－4x－4y＋6＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝2，此方程即为所求圆的普通方程．
设cos
θ＝，sin
θ＝，
所以参数方程为(θ为参数)．
(2)由(1)可知xy＝(2＋cos
θ)·(2＋sin
θ)
＝4＋2(cos
θ＋sin
θ)＋2cos
θ·sin
θ
＝3＋2(cos
θ＋sin
θ)＋(cos
θ＋sin
θ)2.②
设t＝cos
θ＋sin
θ，则t＝sin
(θ＋)，t∈[－，]．
所以xy＝3＋2t＋t2＝(t＋)2＋1.
当t＝－时xy有最小值为1；
当t＝时，xy有最大值为9.
20．(新课标全国卷Ⅱ)(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos
θ，θ∈.
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．
(2)设D(1＋cos
t，sin
t)．由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．
因为C在点D处的切线与l垂直，
所以直线GD与l的斜率相同，tan
t＝，t＝.
故D的直角坐标为，即.
21．(福建高考)(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上．
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；
(2)圆C的参数方程为(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．
解：(1)由点A在直线ρcos＝a上，可得a＝.
所以直线l的方程可化为ρcos
θ＋ρsin
θ＝2，
从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
所以圆C的圆心为(1,0)，半径r＝1，
因为圆心C到直线l的距离d＝＝<1，
所以直线l与圆C相交．
22．(本小题满分12分)已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.
(1)求点A，B，C，D的直角坐标；
(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．
解：(1)由已知可得C2的直角坐标方程为x2＋y2＝4，
A，B2cos，2sin，
C，
D，
即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．
(2)设P(2cos
φ，3sin
φ)，
令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则
S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.
因为0≤sin2φ≤1，
所以S的取值范围是[32,52]．课时跟踪检测(五)
柱坐标系
一、选择题
1．设点M的直角坐标为(1，－，2)，则它的柱坐标是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选D ρ＝＝2，tan
θ＝－，
又x>0，y<0，M在第四象限，
∴θ＝，
∴柱坐标是.
2．点P的柱坐标为，则点P与原点的距离为( )
A.
B．2
C．4
D．8
解析：选B 点P的直角坐标为(4，4，2)．
∴它与原点的距离为：
＝2.
3．空间点P的柱坐标为(ρ，θ，z)，关于点O(0,0,0)的对称点的坐标为(0＜θ≤π)( )
A．(－ρ，－θ，－z)
B．(－ρ，θ，－z)
C．(ρ，π＋θ，－z)
D．(ρ，π－θ，－z)
答案：C
4．在直角坐标系中，(1,1,1)关于z轴对称点的柱坐标为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选C (1,1,1)关于z轴的对称点为(－1，－1,1)，它的柱坐标为.
二、填空题
5．设点Μ的柱坐标为，则点Μ的直角坐标为________．
解析：x＝ρcos
θ＝2cos＝.
y＝ρsin
θ＝2sin
＝1.
∴直角坐标为(，1,7)．
答案：(，1,7)
6．已知点M的直角坐标为(1,0,5)，则它的柱坐标为________．
解析：
∵x＞0，y＝0，
∴tan
θ＝0，θ＝0.
ρ＝＝1.
∴柱坐标为(1,0,5)．
答案：(1,0,5)
7．在空间的柱坐标系中，方程ρ＝2表示________．
答案：中心轴为z轴，底半径为2的圆柱面
三、解答题
8．求点M(1,1,3)关于xOz平面对称点的柱坐标．
解：点M(1,1,3)关于xOz平面的对称点为(1，－1,3)．
由变换公式得
ρ2＝12＋(－1)2＝2，∴ρ＝.
tan
θ＝＝－1，
又x＞0，y＜0，∴θ＝.
∴其关于xOz平面的对称点的柱坐标为.
9．已知点M的柱坐标为，求M关于原点O对称的点的柱坐标．
解：M的直角坐标为
∴M关于原点O的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)．
∵ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2，
∴ρ＝.tan
θ＝＝1，
又x＜0，y＜0，
∴θ＝.
∴其柱坐标为.
∴点M关于原点O对称的点的柱坐标为.
10．建立适当的柱坐标系表示棱长为3的正四面体各个顶点的坐标．
解：以正四面体的一个顶点B为极点O，选取以O为端点且与BD垂直的射线Ox为极轴，在平面BCD上建立极坐标系．过O点与平面BCD垂直的线为z轴．
过A作AA′垂直于平面BCD，垂足为A′，
则|BA′|＝×＝，|AA′|＝＝，
∠A′Bx＝90°－30°＝60°＝，
则A，B(0,0,0)，C，D.课时跟踪检测(二)
极
坐
标
系
一、选择题
1．在极坐标平面内，点M，N，G，H中互相重合的两个点是( )
A．M和N
B．M和G
C．M和H
D．N和H
解析：选A 由极坐标的定义知，M，N表示同一个点．
2．将点M的极坐标化成直角坐标是( )
A．(5,5)
B．(5，5)
C．(5,5)
D．(－5，－5)
解析：选A x＝ρcos
θ＝10cos＝5，y＝ρsin
θ＝10sin＝5.
3．在极坐标系中，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是两点M(ρ1，θ1)和N(ρ2，θ2)重合的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 前者显然能推出后者，但后者不一定推出前者，因为θ1与θ2可相差2π的整数倍．
4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M1(ρ1，θ1)与点M2(ρ2，θ2)的位置关系是( )
A．关于极轴所在直线对称
B．关于极点对称
C．关于过极点垂直于极轴的直线对称
D．两点重合
解析：选A 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，关于极轴所在直线对称．
二、填空题
5．点关于极点的对称点为________．
解析：如图，易知对称点为.
答案：
6．在极坐标系中，已知A，B两点，则|AB|＝________.
解析：|AB|＝＝.
答案：
7．直线l过点A，B，则直线l与极轴的夹角等于________．
解析：如图所示，先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小．
因为|AO|＝|BO|＝3，
∠AOB＝－＝，
所以∠OAB＝＝，
所以∠ACO＝π－－＝.
答案：
三、解答题
8．在极轴上求与点A的距离为5的点M的坐标．
解：设M(r,0)，因为A，
所以
＝5，
即r2－8r＋7＝0.
解得r＝1或r＝7.
所以M点的坐标为(1,0)或(7,0)．
9．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．
(1)(，3)；(2)(－1，－1)；(3)(－3,0)．
解：(1)ρ＝＝2.tan
θ＝＝.
又因为点在第一象限，
所以θ＝.
所以点(，3)的极坐标为.
(2)ρ＝＝，tan
θ＝1.
又因为点在第三象限，
所以θ＝.
所以点(－1，－1)的极坐标为.
(3)ρ＝＝3，画图可知极角为π，
所以点(－3,0)的极坐标为(3，π)．
10．已知定点P.
(1)将极点移至O′处极轴方向不变，求P点的新坐标；
(2)极点不变，将极轴顺时针转动角，求P点的新坐标．
解：(1)设点P新坐标为(ρ，θ)，
如图所示，由题意可知|OO′|＝2，|OP|＝4，∠POx＝，∠O′Ox＝，
∴∠POO′＝.
在△POO′中，ρ2＝42＋(2)2－2·4·2·cos＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.
又∵＝，
∴sin∠OPO′＝·2＝，
∴∠OPO′＝.
∴∠OP′P＝π－－＝，
∴∠PP′x＝.
∴∠PO′x′＝.
∴P点的新坐标为.
(2)如图，设P点新坐标为(ρ，θ)，
则ρ＝4，θ＝＋＝.
∴P点的新坐标为.课时跟踪检测(四)
直线的极坐标方程
一、选择题
1．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( )
A．ρ＝cos
θ
B．ρ＝sin
θ
C．ρcos
θ＝1
D．ρsin
θ＝1
解析：选C 设P(ρ，θ)是直线上任意一点，则显然有ρcos
θ＝1，即为此直线的极坐标方程．
2．7cos
θ＋2sin
θ＝0表示( )
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
解析：选A 两边同乘ρ，得7ρcos
θ＋2ρsin
θ＝0.
即7x＋2y＝0，表示直线．
3．(陕西高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos
θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos
θ＝2
B．θ＝(ρ∈R)和ρcos
θ＝2
C．θ＝(ρ∈R)和ρcos
θ＝1
D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos
θ＝1
解析：选B 在直角坐标系中，圆的方程为x2＋y2＝2x，
即(x－1)2＋y2＝1.从而垂直于x轴的两条切线方程分别为x＝0，x＝2，即θ＝(ρ∈R)和ρcos
θ＝2.
4．(安徽高考)在极坐标系中，点到圆ρ＝2cos
θ的圆心的距离为( )
A．2
B.
C.
D.
解析：选D 点对应的直角坐标为(1，)，圆ρ＝2cos
θ的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，其圆心为(1,0)，
故所求两点间距离d＝＝.
二、填空题
5．把极坐标方程ρcos＝1化为直角坐标方程是________________________．
解析：将极坐标方程变为ρcos
θ＋ρsin
θ＝1，
化为直角坐标方程为x＋y＝1，
即x＋y－2＝0.
答案：x＋y－2＝0
6．在极坐标系中，过点作圆ρ＝4sin
θ的切线，则切线的极坐标方程是________．
解析：将圆的极坐标方程ρ＝4sin
θ化为直角坐标方程，得x2＋y2＝4y，
即x2＋(y－2)2＝4，
将点的极坐标化为直角坐标为(2,2)，
由于22＋(2－2)2＝4，点(2,2)与圆心的连线的斜率k＝＝0，
故所求的切线方程为y＝2，
故切线的极坐标方程为ρsin
θ＝2.
答案：ρsin
θ＝2
7．(湖南高考)在极坐标系中，曲线C1：ρ(cos
θ＋sin
θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝________.
解析：曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝1，曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝a2，
C1与x轴的交点坐标为，
此点也在曲线C2上，代入解得a＝.
答案：
三、解答题
8．求过(－2,3)点且斜率为2的直线的极坐标方程．
解：由题意知，直线的直角坐标方程为y－3＝2(x＋2)，
即2x－y＋7＝0.
设M(ρ，θ)为直线上任意一点，
将x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ代入直角坐标方程2x－y＋7＝0，
得2ρcos
θ－ρsin
θ＋7＝0，这就是所求的极坐标方程．
9．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos
θ与直线3ρcos
θ＋4ρsin
θ＋a＝0相切，求实数a的值．
解：将极坐标方程化为直角坐标方程，
得圆的方程为x2＋y2＝2x，
即(x－1)2＋y2＝1，
直线的方程为3x＋4y＋a＝0.
由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有＝1，
解得a＝－8或a＝2.故a的值为－8或2.
10．已知双曲线的极坐标方程为ρ＝，过极点作直线与它交于A，B两点，且|AB|＝6.求直线AB的极坐标方程．
解：设直线AB的极坐标方程为θ＝θ1.
A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ1＋π)，
ρ1＝，ρ2＝＝.
|AB|＝|ρ1＋ρ2|
＝＝，
∴＝±1，
∴cos
θ1＝0或cos
θ1＝±.
故直线AB的极坐标方程为θ＝，θ＝或θ＝.阶段质量检测（二）
A卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知曲线的方程为(t为参数)，则下列点中在曲线上的是( )
A．(1,1)
B．(2,2)
C．(0,0)
D．(1,2)
解析：选C 当t＝0时，x＝0且y＝0，即点(0,0)在曲线上．
2．(北京高考)曲线(θ为参数)的对称中心( )
A．在直线y＝2x上
B．在直线y＝－2x上
C．在直线y＝x－1上
D．在直线y＝x＋1上
解析：选B 曲线(θ为参数)的普通方程为
(x＋1)2＋(y－2)2＝1，该曲线为圆，圆心(－1,2)为曲线的对称中心，其在直线y＝－2x上，故选B.
3．直线l的参数方程为(t为参数)，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P(a，b)之间的距离是( )
A．|t1|
B．2|t1|
C.|t1|
D.|t1|
解析：选C ∵P1(a＋t1，b＋t1)，P(a，b)，
∴|P1P|＝＝＝|t1|.
4．已知三个方程：①②
③(都是以t为参数)．那么表示同一曲线的方程是( )
A．①②③
B．①②
C．①③
D．②③
解析：选B ①②③的普通方程都是y＝x2，但①②中x的取值范围相同，都是x∈R，而③中x的取值范围是－1≤x≤1.
5．参数方程(t为参数)所表示的曲线是( )
A．一条射线
B．两条射线
C．一条直线
D．两条直线
解析：选B 因为x＝t＋∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，
即x≤－2或x≥2，故是两条射线．
6．已知曲线C的参数方程为(θ为参数，π≤θ＜2π)．已知点M(14，a)在曲线C上，则a＝( )
A．－3－5
B．－3＋5
C．－3＋
D．－3－
解析：选A ∵(14，a)在曲线C上，
∴
由①得：cos
θ＝，又π≤θ＜2π.
∴sin
θ＝－＝－，∴tan
θ＝－.
∴a＝5·(－)－3＝－3－5.
7．直线(t为参数)上与点P(－2,3)的距离等于的点的坐标是( )
A．(－4,5)
B．(－3,4)
C．(－3,4)或(－1,2)
D．(－4,5)或(0,1)
解析：选C 可以把直线的参数方程转化成标准式，或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得·|t|＝，解得t＝±，将t代入原方程，得或所以所求点的坐标为(－3，4)或(－1,2)．
8．若圆的参数方程为(θ为参数)，直线的参数方程为(t为参数)，则直线与圆的位置关系是( )
A．过圆心
B．相交而不过圆心
C．相切
D．相离
解析：选B 将圆、直线的参数方程化成普通方程，利用圆心到直线的距离与圆的半径进行比较，可知圆心到直线的距离小于半径，并且圆心不在直线上．
9．设F1和F2是双曲线(θ为参数)的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，那么△F1PF2的面积是( )
A．1
B.
C．2
D．5
解析：选A 方程化为普通方程是－y2＝1，∴b＝1.
由题意，得
∴2|PF1|·|PF2|＝4b2.
∴S＝|PF1|·|PF2|＝b2＝1.
10．已知方程x2－ax＋b＝0的两根是sin
θ和cos
θ，则点(a，b)的轨迹是( )
A．椭圆弧
B．圆弧
C．双曲线弧
D．抛物线弧
解析：选D 由题知即
a2－2b＝(sin
θ＋cos
θ)2－2sin
θ·cos
θ＝1.
又|θ|≤.∴表示抛物线弧．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．若直线l：y＝kx与曲线C：(参数θ∈R)有唯一的公共点，则实数k＝________.
解析：曲线C的普通方程为(x－2)2＋y2＝1，由题意知，＝1，∴k＝±.
答案：±
12．(湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．
解析：由直线l的参数方程(t为参数)消去参数t得直线l的一般方程：y＝x－a，由椭圆的参数方程可知其右顶点为(3,0)．因为直线l过椭圆的右顶点，所以3－a＝0，即a＝3.
答案：3
13．已知点P在直线(t为参数)上，点Q为曲线(θ为参数)上的动点，则|PQ|的最小值等于________．
解析：直线方程为3x－4y－5＝0，由题意，点Q到直线的距离
d＝＝，
∴dmin＝，即|PQ|min＝.
答案：
14．(天津高考)已知抛物线的参数方程为
(t为参数)，其中p>0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.
解析：由题意知，抛物线的普通方程为y2＝2px(p>0)，焦点F，准线x＝－，设准线与x轴的交点为A.由抛物线定义可得|EM|＝|MF|，所以△MEF是正三角形，
在Rt△EFA中，|EF|＝2|FA|，即3＋＝2p，得p＝2.
答案：2
三、解答题(本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分10分)求曲线C1：(t为参数)被直线l：y＝x－所截得的线段长．
解：曲线C1：得t＝，代入①，化简得x2＋y2＝2x.
又x＝≠0，
∴C1的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠0)．
圆C1的圆心到直线l：y＝x－的距离d＝＝.
所求弦长为2＝.
16．(本小题满分12分)已知实数x，y满足x2＋(y－1)2＝1，求t＝x＋y的最大值．
解：方程x2＋(y－1)2＝1表示以(0,1)为圆心，以1为半径的圆．
∴其参数方程为
∴t＝x＋y＝cos
θ＋sin
θ＋1
＝sin(θ＋)＋1
∴当sin
(θ＋)＝1时tmax＝＋1.
17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，曲线C2的参数方程为(a＞b＞0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．
(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
(2)设当α＝时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
解：(1)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和＋＝1.因此C1是圆，C2是椭圆．
当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.
当α＝时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.
(2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和＋y2＝1.
当α＝时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝，与C2交点B1的横坐标为x′＝.
当α＝－时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形，故四边形A1A2B2B1的面积为＝.
18．(本小题满分12分)舰A在舰B的正东，距离6千米；舰C在舰B的北偏西30°，距离4千米．它们准备围捕海中某动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A于是发射麻醉炮弹，假设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹初速度为
千米/秒，其中g为重力加速度，空气阻力不计，求舰A炮击的方位角与仰角．
解：以BA为x轴，BA中垂线为y轴建立直角坐标系(如图)，则B(－3，0)，A(3,0)，C(－5,2)．设海中动物为P(x，y)．
因为|BP|＝|CP|，
所以P在线段BC的中垂线上，易知中垂线方程是y＝(x＋7)．
又|PB|－|PA|＝4，所以P在以A、B为焦点的双曲线右支上，双曲线方程是－＝1.从而得P(8,5)．
设∠xAP＝α，则tan
α＝kAP＝，
∴α＝60°，这样炮弹发射的方位角为北偏东30°.再以A为原点，AP为x′轴建立坐标系x′Ay′，(如图)．|PA|＝10，设弹道曲线方程是
(其中θ为仰角)
将P(10,0)代入，消去t便得sin
2θ＝，θ＝30°或60°这样舰A发射炮弹的仰角为30°或60°.
19．(本小题满分12分)已知曲线C1：(t是参数)，C：(θ是参数)．
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t是参数)距离的最小值．
解：(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1，
C1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．
C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
(2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cos
θ，3sin
θ)，
故M.
C3为直线x－2y－7＝0，
M到C3的距离d＝|4cos
θ－3sin
θ－13|.
从而当cos
θ＝，sin
θ＝－时，d取得最小值.
20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数，且0≤θ≤2π)，点M是曲线C1上的动点．
(1)求线段OM的中点P的轨迹的参数方程；
(2)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为ρcos
θ－ρsin
θ＋1＝0(ρ>0)，求点P到直线l距离的最大值．
解：(1)曲线C1上的动点M的坐标为(4cos
θ，4sin
θ)，坐标原点O(0,0)，设P的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式得x＝(0＋4cos
θ)＝2cos
θ，y＝(0＋4sin
θ)＝2sin
θ，所以点P的坐标为(2cos
θ，2sin
θ)，因此点P的轨迹的参数方程为，(θ为参数，且0≤θ≤2π)．
(2)由直角坐标与极坐标关系得直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0，
又由(1)知点P的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，
因为原点(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离为＝＝，
所以点P到直线l距离的最大值为2＋.课时跟踪检测(十二)
直线的参数方程
一、选择题
1．已知曲线的参数方程为(t是参数)，则曲线是( )
A．线段
B．双曲线的一支
C．圆
D．射线
解析：选D 由y＝t2－1，得y＋1＝t2，代入x＝3t2＋2，
得x－3y－5＝0(x≥2)．故曲线所表示的是一条射线．
2．直线(t为参数)上对应t＝0，t＝1两点间的距离是( )
A．1
B.
C．10
D．2
解析：选B 因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来求距离，应将t＝0，t＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即＝.
3．(安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos
θ，则直线l被圆C截得的弦长为( )
A.
B．2
C.
D．2
解析：选D 由消去t，得x－y－4＝0，
C：ρ＝4cos
θ ρ2＝4ρcos
θ，∴圆C的普通方程为x2＋y2＝4x，
即(x－2)2＋y2＝4，∴C(2,0)，r＝2.
∴点C到直线l的距离d＝＝，
∴所求弦长等于2＝2.故选D.
4．若直线(t为参数)与圆
(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )
A.
B.
C.
D.或
解析：选D 直线化为＝tan
α，即y＝tan
α·x，圆方程化为(x－4)2＋y2＝4，
∴由＝2 tan2α＝，
∴tan
α＝±，又α∈[0，π)，∴α＝或.
二、填空题
5．已知点A(1,2)和点B(－1,5)在直线(t为参数)上，则它们所对应的参数分别为________．
答案：0，－1
6．若直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为________．
解析：由参数方程可知，cos
θ＝－，sin
θ＝(θ为倾斜角)．
∴tan
θ＝－，即为直线斜率．
答案：－
7．已知直线l1：(t为参数)，
l2：(s为参数)，若l1∥l2，则k＝______；若l1⊥l2，则k＝________.
解析：将l1，l2的方程化为普通方程，得
l1：kx＋2y－4－k＝0，l2：2x＋y－1＝0，
l1∥l2 ＝≠ k＝4.
l1⊥l2 (－2)·＝－1 k＝－1.
答案：4 －1
三、解答题
8．(福建高考)已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．
(1)求直线l和圆C的普通方程；
(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．
解：(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，圆C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)因为直线l与圆C有公共点，
故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，
解得－2≤a≤2，
即实数a的取值范围是[－2，2]．
9．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长．
解：将直线l的参数方程代入抛物线方程y2＝4x，
得2＝4，
解得t1＝0，t2＝－8.
所以AB＝|t1－t2|＝8.
10．在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.
(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．
解：(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，
圆C2的极坐标方程为ρ＝4cos
θ.
解得ρ＝2，θ＝±，
故圆C1与圆C2交点的坐标为，.
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)法一：由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，－)．
故圆C1与C2的公共弦的参数方程为
(t为参数，－≤t≤)．
(或参数方程写成－≤y≤)
法二：将x＝1代入得ρcos
θ＝1，
从而ρ＝
.
于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为
(θ为参数，－≤θ≤)．