章末综合测评(一) 坐标系
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将曲线y＝sin
2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为( )
A．y′＝3sin
x′
B．y′＝3sin
2x′
C．y′＝3sinx′
D．y′＝sin
2x′
【解析】 由伸缩变换，得x＝，y＝.
代入y＝sin
2x，有＝sin
x′，即y′＝3sin
x′.
【答案】 A
2．(2016·重庆七校联盟)在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为，，则△AOB(其中O为极点)的面积为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 如图所示，OA＝3，OB＝4，∠AOB＝，所以S△AOB＝×3×4×＝3.
【答案】 C
3．已知点P的极坐标为(1，π)，那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )
A．ρ＝1
B．ρ＝cos
θ
C．ρ＝－
D．ρ＝
【答案】 C
4．在极坐标系中，点A与B之间的距离为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 由A与B，知∠AOB＝，
∴△AOB为等边三角形，因此|AB|＝2.
【答案】 B
5．极坐标方程4ρ·sin2＝5表示的曲线是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．抛物线
【解析】 由4ρ·sin2＝4ρ·＝2ρ－2ρcos
θ＝5，得方程为2－2x＝5，化简得y2＝5x＋，
∴该方程表示抛物线．
【答案】 D
6．直线ρcos
θ＋2ρsin
θ＝1不经过( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 由ρcos
θ＋2ρsin
θ＝1，得x＋2y＝1，
∴直线x＋2y＝1不过第三象限．
【答案】 C
7．点M的直角坐标为(，1，－2)，则它的球坐标为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 设M的球坐标为(r，φ，θ)，
则解得
【答案】 A
8．在极坐标系中，直线θ＝(ρ∈R)截圆
ρ＝2cos所得弦长是( )
【导学号：91060014】
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 化圆的极坐标方程ρ＝2cos为直角坐标方程得＋＝1，圆心坐标为，半径长为1，化直线θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为x－y＝0，由于－×＝0，即直线x－y＝0过圆＋＝1的圆心，故直线θ＝(ρ∈R)截圆ρ＝2cos所得弦长为2.
【答案】 B
9．若点P的柱坐标为，则P到直线Oy的距离为( )
A．1
B．2
C.
D.
【解析】 由于点P的柱坐标为(ρ，θ，z)＝，故点P在平面xOy内的射影Q到直线Oy的距离为ρcos
＝，可得P到直线Oy的距离为.
【答案】 D
10．设正弦曲线C按伸缩变换后得到曲线方程为y′＝sin
x′，则正弦曲线C的周期为( )
A.
B．π
C．2π
D．4π
【解析】 由伸缩变换知3y＝sin
x，
∴y＝sin
x，∴T＝＝4π.
【答案】 D
11．(2016·惠州调研)已知点A是曲线ρ＝2cos
θ上任意一点，则点A到直线ρsin＝4的距离的最小值是( )
A．1
B.
C.
D.
【解析】 曲线ρ＝2cos
θ即(x－1)2＋y2＝1，表示圆心为(1,0)，半径等于1的圆，直线ρsin＝4，即x＋y－8＝0，圆心(1,0)到直线的距离等于＝，所以点A到直线ρsin＝4的距离的最小值是－1＝.
【答案】 C
12．极坐标方程ρ＝2sin的图形是( )
【解析】 法一 圆ρ＝2sin是把圆ρ＝2sin
θ绕极点按顺时针方向旋转而得，圆心的极坐标为，故选C.
法二 圆ρ＝2sin的直角坐标方程为＋＝1，圆心为，半径为1，故选C.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)
13．(2016·深圳调研)在极坐标系中，经过点作圆ρ＝4sin
θ的切线，则切线的极坐标方程为________．
【解析】 圆ρ＝4sin
θ的直角坐标方程为x2＋y2＝4y，化成标准方程得x2＋(y－2)2＝4，表示以点(0,2)为圆心，以2为半径长的圆，点的直角坐标为(2,2)，由于22＋(2－2)2＝4，即点(2,2)在圆上，故过点且与圆相切的直线的方程为x＝2，其极坐标方程为ρcos
θ＝2.
【答案】 ρcos
θ＝2
14．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos
θ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝________.
【解析】 由ρ＝4cos
θ可得x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，因此圆心C的直角坐标为(2,0)．又点P的直角坐标为(2,2)，因此|CP|＝2.
【答案】 2
15．在极坐标系中，曲线C1：ρ(cos
θ＋sin
θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝________.
【解析】 ρ(cos
θ＋sin
θ)＝1，即ρcos
θ＋ρsin
θ＝1对应的直角坐标方程为x＋y－1＝0，ρ＝a(a>0)对应的普通方程为x2＋y2＝a2.在x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝.将代入x2＋y2＝a2得a＝.
【答案】
16．直线2ρcos
θ＝1与圆ρ＝2cos
θ相交的弦长为________．
【解析】 直线2ρcos
θ＝1可化为2x＝1，即x＝，圆ρ＝2cos
θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos
θ，化为直角坐标方程是x2＋y2＝2x，
即(x－1)2＋y2＝1，其圆心为(1,0)，半径为1，
∴弦长为2×
＝.
【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知⊙C：ρ＝cos
θ＋sin
θ，
直线l：ρ＝.求⊙C上点到直线l距离的最小值．
【解】 ⊙C的直角坐标方程是x2＋y2－x－y＝0，
即＋＝.
又直线l的极坐标方程为ρ(cos
θ－sin
θ)＝4，
所以直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0.
设M为⊙C上任意一点，M点到直线l的距离
d＝
＝，
当θ＝时，dmin＝＝.
18．(本小题满分12分)已知直线的极坐标方程ρsin＝，求极点到直线的距离．
【解】 ∵ρsin＝，∴ρsin
θ＋ρcos
θ＝1，
即直角坐标方程为x＋y＝1.
又极点的直角坐标为(0,0)，
∴极点到直线的距离d＝＝.
19．(本小题满分12分)(1)在极坐标系中，求以点(1,1)为圆心，半径为1的圆C的方程；
(2)将上述圆C绕极点逆时针旋转得到圆D，求圆D的方程．
【解】 (1)设M(ρ，θ)为圆上任意一点，如图，圆C过极点O，∠COM＝θ－1，
作CK⊥OM于K，则ρ＝|OM|＝2|OK|＝2cos(θ－1)，
∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－1)．
(2)将圆C：ρ＝2cos(θ－1)按逆时针方向旋转得到圆D：ρ＝2cos，
即ρ＝－2sin(1－θ)．
20．(本小题满分12分)如图1，正方体OABC D′A′B′C′中，|OA|＝3，A′C′与B′D′相交于点P，分别写出点C、B′、P的柱坐标．
图1
【解】 设点C的柱坐标为(ρ1，θ1，z1)，
则ρ1＝|OC|＝3，θ1＝∠COA＝，z1＝0，
∴C的柱坐标为；
设点B′的柱坐标为(ρ2，θ2，z2)，则ρ2＝|OB|＝＝＝3，
θ2＝∠BOA＝，z2＝3，
∴B′的柱坐标为；
如图，取OB的中点E，连接PE，
设点P的柱坐标为(ρ3，θ3，z3)，则ρ3＝|OE|＝|OB|＝，θ3＝∠AOE＝，z3＝3，
点P的柱坐标为.
21．(本小题满分12分)已知曲线C1的极坐标方程为ρcos＝－1，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos，判断两曲线的位置关系．
【解】 将曲线C1，C2化为直角坐标方程得：
C1：x＋y＋2＝0，
C2：x2＋y2－2x－2y＝0，即C2：(x－1)2＋(y－1)2＝2，
圆心到直线的距离d＝＝＞，
∴曲线C1与C2相离．
22．(本小题满分12分)在极坐标系中，极点为O，已知曲线C1：ρ＝2与曲线C2：ρsin＝交于不同的两点A，B.
(1)求|AB|的值；
(2)求过点C(1,0)且与直线AB平行的直线l的极坐标方程．
【解】 (1)∵ρ＝2，∴x2＋y2＝4.
又∵ρsin＝，∴y＝x＋2，
∴|AB|＝2＝2eq
\r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(2)))))＝2.
(2)∵曲线C2的斜率为1，∴过点(1,0)且与曲线C2平行的直线l的直角坐标方程为y＝x－1，
∴直线l的极坐标为ρsin
θ＝ρcos
θ－1，
即ρcos＝.学业分层测评(四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．空间直角坐标系Oxyz中，下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 由P(ρ，θ，z)，当θ＝时，点P在平面yOz内．
【答案】 A
2．设点M的直角坐标为(2,0,2)，则点M的柱坐标为( )
A．(2,0,2)
B．(2，π，2)
C．(，0,2)
D．(，π，2)
【解析】 设点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，
∴ρ＝＝2，tan
θ＝＝0，
∴θ＝0，z＝2，∴点M的柱坐标为(2,0,2)．
【答案】 A
3．在空间球坐标系中，方程r＝2表示( )
A.圆
B．半圆
C．球面
D．半球面
【解析】 设动点M的球坐标为(r，φ，θ)，由于r＝2，0≤φ≤，0≤θ＜2π.动点M的轨迹是球心在点O，半径为2的上半球面．
【答案】 D
4．已知点M的直角坐标为(0,0,1)，则点M的球坐标可以是( )
A．(1,0,0)
B．(0,1,0)
C．(0,0,1)
D．(1，π，0)
【解析】 设M的球坐标为(r，φ，θ)，
则r＝＝1，θ＝0，
又cos
φ＝＝1，∴φ＝0.
故点M的球坐标为(1,0,0)．
【答案】 A
5．在直角坐标系中，点P的坐标为，则其球坐标为( )
【导学号：91060011】
A.
B.
C.
D.
【解析】 r＝＝＝，
cos
φ＝＝＝，
∴φ＝.
tan
θ＝＝，又y＞0，x＞0，∴θ＝.
∴球坐标为.
【答案】 B
二、填空题
6．已知点M的球坐标为，则点M到Oz轴的距离为________．
【解析】 设M的直角坐标为(x，y，z)，
则由(r，φ，θ)＝，
知x＝4sincos＝－2，
y＝4sinsin＝2，
z＝4cos＝2，
∴点M的直角坐标为(－2,2,2)．
故点M到OZ轴的距离＝2.
【答案】 2
7．在柱坐标系中，点M的柱坐标为，则|OM|＝________.
【解析】 设点M的直角坐标为(x，y，z)．
由(ρ，θ，z)＝知
x＝ρcos
θ＝2cosπ＝－1，y＝2sinπ＝，
因此|OM|＝
＝＝3.
【答案】 3
8．(2015·广东高考)已知直线l的极坐标方程为
2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为________．
【解析】 由2ρsin＝，
得2ρ＝，∴y－x＝1.
由点A的极坐标为得点A的直角坐标为(2，－2)，∴d＝＝.
【答案】
三、解答题
9．在柱坐标系中，求满足的动点M(ρ，θ，z)围成的几何体的体积．
【解】 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1,0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)的轨迹如图所示，是以直线Oz为轴，轴截面为正方形的圆柱，圆柱的底面半径r＝1，h＝2，
∴V＝Sh＝πr2h＝2π.
10．经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2
384千米，地球半径为6
371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P的坐标．
【解】 在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O为原点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立球坐标系．由已知航天器位于经度为80°，可知θ＝80°＝.
由航天器位于纬度75°，可知，φ＝90°－75°＝15°＝，由航天器离地面2
384千米，地球半径为6
371千米，可知r＝2
384＋6
371＝8
755千米，所以点P的球坐标为.
[能力提升]
1．空间点P的柱坐标为(ρ，θ，z)，关于点O(0,0,0)的对称的点的坐标为(0＜θ≤π)( )
A．(－ρ，－θ，－z)
B．(ρ，θ，－z)
C．(ρ，π＋θ，－z)
D．(р，π－θ，－z)
【解析】 点P(ρ，θ，z)关于点O(0,0,0)的对称点为P′(ρ，π＋θ，－z)．
【答案】 C
2．点P的柱坐标为，则点P到原点的距离为________．
【解析】 x＝ρcos
θ＝4cos＝2，
y＝ρsin
θ＝4sin＝2，
即点P的直角坐标为(2，2,3)，其到原点距离为＝5.
【答案】 5
3．以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为xOy坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z轴正向，本初子午线所在平面为zOx坐标面，如图1 4 4所示，若某地在西经60°，南纬45°，地球的半径为R，则该地的球坐标可表示为________．
图1 4 4
【解析】 由球坐标的定义可知，该地的球坐标为.
【答案】
4．已知在球坐标系Oxyz中，M，
N，求|MN|.
【解】 法一 由题意知，
|OM|＝|ON|＝6，∠MON＝，
∴△MON为等边三角形，∴|MN|＝6.
法二 设M点的直角坐标为(x，y，z)，
则
故点M的直角坐标为，
同理得点N的直角坐标为，
∴|MN|
＝
＝＝6.章末综合测评(二) 参数方程
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列点不在直线(t为参数)上的是( )
A．(－1,2)
B．(2，－1)
C．(3，－2)
D．(－3,2)
【解析】 直线l的普通方程为x＋y－1＝0，
因此点(－3,2)的坐标不适合方程x＋y－1＝0.
【答案】 D
2．圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ<2π)，若Q(－2,2)是圆上一点，则对应的参数θ的值是( )
A.
B.π
C.π
D.π
【解析】 ∵点Q(－2,2)在圆上，
∴且0≤θ<2π，∴θ＝π.
【答案】 B
3．直线(t为参数)的斜率为( )
A．2
B．－2
C.
D．－
【解析】 直线的普通方程为2x＋y－8＝0，
∴斜率k＝－2.
【答案】 B
4．已知O为原点，当θ＝－时，参数方程
(θ为参数)上的点为A，则直线OA的倾斜角为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 当θ＝－时，x＝，y＝－，
∴kOA＝tan
α＝＝－，且0≤α<π，
因此α＝.
【答案】 C
5．已知A(4sin
θ，6cos
θ)，B(－4cos
θ，6sin
θ)，当θ为一切实数时，线段AB的中点轨迹为( )
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
【解析】 设线段AB的中点为M(x，y)，
则(θ为参数)，
∴
∴(3x＋2y)2＋(3x－2y)2＝144，
整理得＋＝1，表示椭圆．
【答案】 C
6．椭圆(θ为参数)的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 椭圆的标准方程为＋＝1，∴e＝.故选A.
【答案】 A
7．(2016·汕头月考)已知圆M：x2＋y2－2x－4y＝10，则圆心M到直线(t为参数)的距离为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 由题意易知圆的圆心M(1,2)，由直线的参数方程化为一般方程为3x－4y－5＝0，所以圆心到直线的距离为d＝＝2.
【答案】 B
8．若直线(t为参数)与圆
(φ为参数)相切，那么直线的倾斜角为( )
A.或
B.或
C.或
D．－或－
【解析】 直线的普通方程为y＝tan
α·x，圆的普通方程为(x－4)2＋y2＝4，由于直线与圆相切，则＝2.
∴tan
α＝±，∴α＝或.故选A.
【答案】 A
9．若直线y＝x－b与曲线θ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是( )
【导学号：91060032】
A．(2－，1)
B．[2－，2＋]
C．(－∞，2－)∪(2＋，＋∞)
D．(2－，2＋)
【解析】 由消去θ，得
(x－2)2＋y2＝1.(
)
将y＝x－b代入(
)，化简得
2x2－(4＋2b)x＋b2＋3＝0，
依题意，Δ＝[－(4＋2b)]2－4×2(b2＋3)>0，
解得2－【答案】 D
10．实数x，y满足3x2＋2y2＝6x，则x2＋y2的最大值是( )
A．2
B．4
C.
D．5
【解析】 由3x2＋2y2＝6x，得3(x－1)2＋2y2＝3，
令x＝1＋cos
θ，y＝sin
θ，代入x2＋y2，得
x2＋y2＝(1＋cos
θ)2＋sin2θ＝－(cos
θ－2)2＋，∴当cos
θ＝1时，(x2＋y2)max＝4.
【答案】 B
11．参数方程(θ为参数，0≤θ＜2π)所表示的曲线是( )
A．椭圆的一部分
B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分，且过点
D．抛物线的一部分，且过点
【解析】 由y＝cos2
＝＝，
可得sin
θ＝2y－1，
由x＝
得x2－1＝sin
θ，
∴参数方程可化为普通方程x2＝2y.
又x＝∈[0，]，故选D.
【答案】 D
12．已知直线l：(t为参数)，抛物线C的方程y2＝2x，l与C交于P1，P2，则点A(0,2)到P1，P2两点距离之和是( )
A．4＋
B．2(2＋)
C．4(2＋)
D．8＋
【解析】 将直线l参数方程化为(t′为参数)，代入y2＝2x，得t′2＋4(2＋)t′＋16＝0，设其两根为t1′、t2′，则t1′＋t2′＝－4(2＋)，
t1′t2′＝16>0.
由此知在l上两点P1，P2都在A(0,2)的下方，则|AP1|＋|AP2|＝|t1′|＋|t2′|＝|t1′＋t2′|＝4(2＋)．
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．双曲线(φ是参数)的渐近线方程为________．
【解析】 化参数方程为普通方程，得y2－x2＝1.故其渐近线为y＝±x，即x±y＝0.
【答案】 x±y＝0
14．(2016·东莞模拟)在极坐标系中，直线过点(1,0)且与直线θ＝(ρ∈R)垂直，则直线极坐标方程为________．
【解析】 由题意可知在直角坐标系中，直线θ＝的斜率是，所求直线是过点(1,0)，且斜率是－，所以直线方程为y＝－(x－1)，化为极坐标方程ρsin
θ＝－(ρcos
θ－1)，化简得2ρsin＝1.
【答案】 2ρsin＝1或2ρcos＝1或ρcos
θ＋ρsin
θ＝1
15．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．
【解析】 曲线可化为y＝(x－2)2，射线θ＝可化为y＝x(x≥0)，联立这两个方程得：x2－5x＋4＝0，点A，B的横坐标就是此方程的根，线段AB的中点的直角坐标为.
【答案】
16．在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(φ为参数，a>b>0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin＝m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．
【解析】 由已知可得椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由ρsin＝m可得ρsin
θ＋ρcos
θ＝m，即直线的普通方程为x＋y＝m.又圆的普通方程为x2＋y2＝b2，不妨设直线l经过椭圆C的右焦点(c,0)，则得c＝m.又因为直线l与圆O相切，所以＝b，因此c＝b，即c2＝2(a2－c2)．整理，得＝，故椭圆C的离心率为e＝.
【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知圆O的参数方程为(θ为参数，0≤θ<2π)．
(1)求圆心和半径；
(2)若圆O上点M对应的参数θ＝，求点M的坐标．
【解】 (1)由(0≤θ<2π)，
平方得x2＋y2＝4，
∴圆心O(0,0)，半径r＝2.
(2)当θ＝时，x＝2cos
θ＝1，y＝2sin
θ＝－，
∴点M的坐标为(1，－)．
18．(本小题满分12分)已知曲线C：(φ为参数)．
(1)将C的方程化为普通方程；
(2)若点P(x，y)是曲线C上的动点，求2x＋y的取值范围．
【解】 (1)由曲线C：得
＋＝1即＋＝1.
(2)2x＋y＝8cos
φ＋3sin
φ＝sin(φ＋θ)，
，
∴2x＋y∈[－，]，
∴2x＋y的取值范围是[－，]．
19．(本小题满分12分)已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长．
【解】 (1)由曲线C：得x2＋y2＝16，
∴曲线C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)将代入x2＋y2＝16，
整理，得t2＋3t－9＝0.
设A，B对应的参数为t1，t2，则
t1＋t2＝－3，t1t2＝－9.
|AB|＝|t1－t2|＝＝3.
20．(本小题满分12分)已知动点P、Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
【解】 (1)依题意有P(2cos
α，2sin
α)，
Q(2cos
2α，2sin
2α)，
因此M(cos
α＋cos
2α，sin
α＋sin
2α)．
M的轨迹的参数方程为(α为参数，0＜α＜2π)．
(2)M点到坐标原点的距离
d＝＝(0＜α＜2π)．
当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．
21．(本小题满分12分)(2016·昆明调研)在直角坐标系xOy中，l是过定点P(4,2)且倾斜角为α的直线；在极坐标系(以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos
θ.
(1)写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；
(2)若曲线C与直线相交于不同的两点M，N，求|PM|＋|PN|的取值范围．
【解】 (1)直线l的参数方程为(t为参数)．
∵ρ＝4cos
θ，∴ρ2＝4ρcos
θ，所以C：x2＋y2＝4x.
(2)直线l的参数方程为(t为参数)，代入C：x2＋y2＝4x，得
t2＋4(sin
α＋cos
α)t＋4＝0，
则有
∴sin
α·cos
α>0，又α∈[0，π)，
所以α∈，t1<0，t2<0.
而|PM|＋|PN|
＝＋
＝|t1|＋|t2|
＝－t1－t2＝4(sin
α＋cos
α)＝4sin.
∵α∈，∴α＋∈，
∴所以|PM|＋|PN|的取值范围为(4,4]．
22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，曲线C2的参数方程为(a＞b＞0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．
(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
(2)设当α＝时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2
B1的面积．
【解】 (1)C1是圆，C2是椭圆．
当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.
当α＝时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.
(2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和＋y2＝1.
当α＝时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝，与C2交点B1的横坐标为x′＝.
当α＝－时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．
故四边形A1A2B2B1的面积为
＝.学业分层测评(一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．动点P到直线x＋y－4＝0的距离等于它到点M(2,2)的距离，则点P的轨迹是( )
A．直线
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【解析】 ∵M(2,2)在直线x＋y－4＝0上，
∴点P的轨迹是过M与直线x＋y－4＝0垂直的直线．
【答案】 A
2．已知线段BC长为8，点A到B，C两点距离之和为10，则动点A的轨迹为( )
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
【解析】 由椭圆的定义可知，动点A的轨迹为一椭圆．
【答案】 C
3．若△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,2)，B(2,3)，C(3,1)，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
【解析】 |AB|＝＝，
|BC|＝＝，
|AC|＝＝，
|BC|＝|AC|≠|AB|，△ABC为等腰三角形．
【答案】 A
4．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A．π
B．4π
C．8π
D．9π
【解析】 设P点的坐标为(x，y)，
∵|PA|＝2|PB|，
∴(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，
即(x－2)2＋y2＝4.
故P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，它的面积为4π.
【答案】 B
5．在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝cos
2x按伸缩变换后为( )
A．y′＝cos
x′
B．y′＝3cosx′
C．y′＝2cosx′
D．y′＝cos
3x′
【解析】 由得
代入y＝cos
2x，得＝cos
x′，
∴y′＝cos
x′.
【答案】 A
二、填空题
6．若点P(－2
016,2
017)经过伸缩变换后的点在曲线x′y′＝k上，则k＝________.
【解析】 ∵P(－2
016,2
017)经过伸缩变换得
代入x′y′＝k，
得k＝－1.
【答案】 －1
7．将点P(2,3)变换为点P′(1,1)的一个伸缩变换公式为________.
【导学号：91060002】
【解析】 设伸缩变换为
由解得∴
【答案】
8．平面直角坐标系中，在伸缩变换φ：
作用下仍是其本身的点为________．
【解析】 设P(x，y)在伸缩变换φ：作用下得到P′(λx，μy)．
依题意得其中λ>0，μ>0，λ≠1，μ≠1，
∴x＝y＝0，即P(0,0)为所求．
【答案】 (0,0)
三、解答题
9．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形．
(1)x2－y2＝1；
(2)＋＝1.
【解】 由伸缩变换得①
(1)将①代入x2－y2＝1得9x′2－4y′2＝1，
因此，经过伸缩变换后，双曲线x2－y2＝1变成双曲线9x′2－4y′2＝1，如图甲所示．
(2)将①代入＋＝1得x′2＋＝1，因此，经过伸缩变换后，椭圆＋＝1变成椭圆x′2＋＝1，如图乙所示．
10．台风中心从A地以20
km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30
km内的地区为危险区，城市B在A地正东40
km处．求城市B处于危险区内的时间．
【解】 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(40,0)，
以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y2＝302，
台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区．台风中心移动的轨迹为直线y＝x，与圆B相交于点M，N，
点B到直线y＝x的距离d＝＝20.
求得|MN|＝2＝20(km)，故＝1，
所以城市B处于危险区的时间为1
h.
[能力提升]
1．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换后曲线C变为曲线2x′2＋8y′2＝0，则曲线C的方程为( )
A．25x2＋36y2＝0
B．9x2＋100y2＝0
C．10x＋24y＝0
D.x2＋y2＝0
【解析】 将代入2x′2＋8y′2＝0，得：
2·(5x)2＋8·(3y)2＝0，即：25x2＋36y2＝0.
【答案】 A
2．如图1 1 1，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域(含边界)，A、B、C、D是该圆的四等分点．若点P(x，y)、点P′(x′，y′)满足x≤x′且y≥y′，则称P优于P′.如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其他点优于点Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧( )
图1 1 1
A.
B.
C.
D.
【解析】 如图，过任一点P作与坐标轴平行的直线，则两直线将平面分为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分，由题意，Ⅱ(包含边界)区域内的点优于P，在圆周上取点，易知只有P在上时，Ⅱ(含边界)内才不含Ω内的点，故点Q的集合为.
【答案】 D
3．已知A(2，－1)，B(－1,1)，O为坐标原点，动点M满足＝m＋n，其中m，n∈R，且2m2－n2＝2，则M的轨迹方程为________．
【解析】 设M(x，y)，则(x，y)＝m(2，－1)＋n(－1,1)＝(2m－n，n－m)，∴
又2m2－n2＝2，消去m，n得－y2＝1.
【答案】 －y2＝1
4.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图1 1 2，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为＋＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8,0)，观测点A(4,0)，B(6,0)同时跟踪航天器．
图1 1 2
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
(2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A，B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
【解】 (1)设曲线方程为y＝ax2＋.
因为D(8,0)在抛物线上，∴a＝－，
∴曲线方程为y＝－x2＋.
(2)设变轨点为C(x，y)．
根据题意可知
∴4y2－7y－36＝0，
解得y＝4或y＝－(不合题意，舍去)，
∴y＝4.
解得x＝6或x＝－6(不合题意，舍去)，
∴C点的坐标为(6,4)，|AC|＝2，|BC|＝4.
即当观测点A、B测得离航天器的距离分别为2、4时，应向航天器发出变轨指令．模块综合测评
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．极坐标方程cos
θ＝(ρ∈R)表示的曲线是( )
A．两条相交直线
B．两条射线
C．一条直线
D．一条射线
【解析】 由cos
θ＝，解得θ＝或θ＝π，
又ρ∈R，故为两条过极点的直线．
【答案】 A
2．极坐标系中，过点P(1，π)且倾斜角为的直线方程为( )
A．ρ＝sin
θ＋cos
θ
B．ρ＝sin
θ－cos
θ
C．ρ＝
D．ρ＝
【解析】 设M(ρ，θ)
为直线上任意一点，则
在△OPM中，由正弦定理得＝，
∴ρ＝.
【答案】 D
3．已知参数方程(a、b、λ均不为零，0≤θ≤2π)，分别取①t为参数；②λ为参数；③θ为参数，则下列结论中成立的是( )
A．①、②、③均是直线
B．只有②是直线
C．①、②是直线，③是圆
D．②是直线，①③是圆
【解析】 ①t为参数，原方程可化为：y－λsin
θ＝(x－λcos
θ)，②λ为参数，原方程可化为：
y－bt＝(x－at)·tan
θ，③θ为参数，原方程可化为：
(x－at)2＋(y－bt)2＝λ2，即①、②是直线，③是圆．
【答案】 C
4．将曲线＋＝1按φ：变换后的曲线的参数方程为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 ＋＝1→＋＝1→(x′)2＋(y′)2＝1→→
即故选D.
【答案】 D
5．化极坐标方程ρ2cos
θ－ρ＝0为直角坐标方程为( )
A．x2＋y2＝0或y＝1
B．x＝1
C．x2＋y2＝0或x＝1
D．y＝1
【解析】 由ρ2cos
θ－ρ＝0，得ρ(ρcos
θ－1)＝0，
又ρ＝，x＝ρcos
θ，
∴x2＋y2＝0或x＝1.
【答案】 C
6．柱坐标对应的点的直角坐标是( )
A．(，－1,1)
B．(，1,1)
C．(1，，1)
D．(－1，，1)
【解析】 由直角坐标与柱坐标之间的变换公式，可得故应选C.
【答案】 C
7．直线l：3x＋4y－12＝0与圆C：(θ为参数)的公共点个数为( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．无法确定
【解析】 圆C的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
∴圆心C(－1,2)，半径r＝2.
圆心C到直线l的距离
d＝＝，
因此d【答案】 C
8．双曲线(θ为参数)上，当θ＝时对应的点为P，O为原点，则OP的斜率为( )
A.
B.
C.
D．2
【解析】 ∵x＝4sec
θ＝＝－8，
y＝2tan
θ＝2tan＝－2，
∴kOP＝＝.
【答案】 A
9．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝6sin
θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l与曲线C相交所得弦长为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－6y＝0，即x2＋(y－3)2＝9，
直线的直角坐标方程为x－2y＋1＝0，
∵圆心C到直线l的距离
d＝＝，
∴直线l与圆C相交所得弦长为
2＝2＝4.
【答案】 D
10．直线(t为参数)与圆ρ＝2cos
θ的位置关系为( )
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
【解析】 直线(t为参数)的普通方程为3x＋4y＋2＝0，圆ρ＝2cos
θ的普通方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，圆心到直线3x＋4y＋2＝0的距离d＝1＝r，所以直线与圆的位置关系为相切．故选B.
【答案】 B
11．已知曲线的参数方程是(α为参数)，若以此曲线所在的直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为( )
A．ρ＝sin
θ
B．ρ＝2sin
θ
C．ρ＝2cos
θ
D．ρ＝cos
θ
【解析】 由(α为参数)得普通方程为＋y2＝，
故圆心为C，半径r＝，
所以极坐标方程为ρ＝cos
θ.
【答案】 D
12．若动点(x，y)在曲线＋＝1(b>0)上变化，则x2＋2y的最大值为( )
A.
B.
C.＋4
D．2b
【解析】 设动点的坐标为(2cos
θ，bsin
θ)，
代入x2＋2y＝4cos2θ＋2bsin
θ
＝－＋4＋，
当0当b>4时，(x2＋2y)max＝－＋4＋＝2b.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．
【解析】 射线θ＝的普通方程为y＝x(x≥0)，代入得t2－3t＝0，解得t＝0或t＝3.
当t＝0时，x＝1，y＝1，即A(1,1)；
当t＝3时，x＝4，y＝4，即B(4,4)．
所以AB的中点坐标为.
【答案】
14．极坐标系中，曲线ρ＝－4cos
θ上的点到直线ρ＝8的距离的最大值是________．
【解析】 曲线方程化为：ρ2＝－4ρcos
θ，即x2＋y2＋4x＝0，化为：(x＋2)2＋y2＝4，圆心坐标为(－2,0)，半径为r＝2，直线方程化为：x＋y－8＝0，圆心到直线的距离为：d＝＝5，所以最大距离为：5＋2＝7.
【答案】 7
15．直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为________．
【解析】 直线与曲线的普通方程分别为
x＋y－1＝0， ①
x2＋y2＝9,
②
②表示圆心为O(0,0)，半径为3的圆，
设O到直线的距离为d，则d＝＝，
∵<3，∴直线与圆有2个交点．
【答案】 2
16．已知曲线C的参数方程为(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为________．
【解析】 由sin2t＋cos2t＝1得曲线C的普通方程为x2＋y2＝2，过原点O及切点(1,1)的直线的斜率为1，故切线l的斜率为－1，所以切线l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.把x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ代入直线l的方程可得ρcos
θ＋ρsin
θ－2＝0，
即ρsin－2＝0，
化简得ρsin＝.
【答案】 ρsin＝
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆(φ为参数)的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线的普通方程．
【解】 由题设知，椭圆的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，从而c＝＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程x－2y＋2＝0.故所求直线的斜率为，因此其方程为y＝(x－4)，即x－2y－4＝0.
18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，
以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上．
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；
(2)圆C的参数方程为(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．
【解】 (1)由点A在直线ρcos＝a上，可得a＝，
所以直线l的方程可化为ρcos
θ＋ρsin
θ＝2，
从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
所以圆C的圆心为(1,0)，半径r＝1.
因为圆心C到直线l的距离d＝＝＜1，
所以直线l与圆C相交．
19．(本小题满分12分)已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin
θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
【解】 (1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得
ρ2－8ρcos
θ－10ρsin
θ＋16＝0，
所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos
θ－10ρsin
θ＋16＝0.
(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.
由
解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为，.
20．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.
(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．
【解】 (1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，圆C2的极坐标方程为ρ＝4cos
θ.
解得ρ＝2，θ＝±.
故圆C1与圆C2交点的坐标为
或.
注：极坐标系下点的表示不惟一．
(2)法一 将x＝1代入得ρcos
θ＝1，从而ρ＝.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为.
法二 由得圆C1与圆C2交点的直角坐标分别为(1，－)或(1，)．
故圆C1与C2公共弦的参数方程为
(－≤t≤)．
21．(本小题满分12分)在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acos
θ(a>0)，已知过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C分别交于M，N两点．
(1)写出曲线C和直线l的普通方程；
(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．
【解】 (1)曲线C：y2＝2ax，直线l：x－y－2＝0.
(2)将直线的参数表达式代入抛物线得
t2－(4＋a)t＋16＋4a＝0，
所以t1＋t2＝8＋2a，t1t2＝32＋8a.
因为|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|，
由题意知，|t1－t2|2＝|t1t2| (t1＋t2)2＝5t1t2，
代入得a＝1.
22．(本小题满分12分)如图1，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点．
图1
(1)求证：＋为定值；
(2)求AB的中点M的轨迹方程．
【解】 设直线AB的方程为(t为参数，α≠0)，代入y2＝2px整理，得t2sin2α－2ptcos
α－p2＝0.
设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，
则由根与系数的关系，得
t1＋t2＝，t1t2＝－.
(1)＋＝＋＝
＝＝
＝＝(定值)．
(2)设AB的中点M(x，y)，
则M对应的参数为t＝＝，
∴(α为参数)，
消去α，得y2＝p为所求的轨迹方程．学业分层测评(九)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知圆的渐开线的参数方程是(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的周长是( )
A．π B．2π C．3π D．4π
【解析】 圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，所以基圆的周长为2π，故选B.
【答案】 B
2．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是惟一的交点．
其中正确的说法有( )
【导学号：91060029】
A．①③
B．②④
C．②③
D．①③④
【解析】 ①错，②正确，对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，故③正确，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．故④错误，故选C.
【答案】 C
3．当φ＝2π时，圆的渐开线上的点是( )
A．(6,0)
B．(6,6π)
C．(6，－12π)
D．(－π，12π)
【解析】 当φ＝2π时，代入圆的渐开线方程．
∴x＝6(cos
2π＋2π·sin
2π)＝6，
y＝6(sin
2π－2π·cos
2π)＝－12π.
【答案】 C
4．已知一个圆的参数方程为(θ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝对应的点A与点B之间的距离为( )
A.－1
B.
C.
D.
【解析】 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得
即A，
∴|AB|＝＝.
【答案】 C
5．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 圆的摆线的参数方程为
令r(1－cos
φ)＝0，
得：φ＝2kπ，代入x＝r(φ－sin
φ)
得：x＝r(2kπ－sin
2kπ)，又过(1,0)．
∴r(2kπ－sin
2kπ)＝1，∴r＝.
又r＞0，∴k∈N＋.
【答案】 A
二、填空题
6．已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数φ＝，则点P的坐标为________．
【解析】 由题意，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为(φ为参数)．
当φ＝时，x＝π，y＝2，故点P的坐标为P(π，2)．
【答案】 (π，2)
7．已知平摆线的方程为(α为参数)，则该平摆线的拱高是________，周期是________．
【解析】 由已知方程可化为
知基圆半径为r＝1，
∴拱高为2r＝2，周期为2π.
【答案】 2 2π
8．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________．
【解析】 根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r＝6，其方程为x2＋y2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为2＋y2＝36，整理可得＋＝1，这是一个焦点在x轴上的椭圆．c＝＝＝6，故焦点坐标为(6，0)和(－6，0)．
【答案】 (6，0)和(－6，0)
三、解答题
9．已知圆C的参数方程是(α为参数)和直线l对应的普通方程是x－y－6＝0.
(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线有什么位置关系？
(2)写出平移后圆的渐开线方程．
【解】 (1)圆C平移后圆心为O(0,0)，它到直线x－y－6＝0的距离为d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．
(2)由于圆的半径是6，所以可得渐开线方程是(φ为参数)．
10．有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22
mm，求齿廓线所在的渐开线的参数方程．
【解】 因为基圆的直径为22
mm，所以基圆的半径为11
mm，因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为
(φ为参数)．
[能力提升]
1．如图2 4 1，四边形ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中、、、…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是( )
图2 4 1
A．3π
B．4π
C．5π
D．6π
【解析】 根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π，所以曲线AEFGH的长是5π.
【答案】 C
2．我们知道关于直线y＝x对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线(φ为参数)关于直线y＝x对称的曲线的参数方程为________．
【解析】 关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于y＝x对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换．
【答案】 (φ为参数)
3．已知圆的渐开线的参数方程是(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．
【解析】 圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝时对应的坐标只需把φ＝代入曲线的参数方程，得x＝＋，y＝－，由此可得对应的坐标为.
【答案】 2
4．如图2 4 2，若点Q在半径AP上(或在半径AP的延长线上)，当车轮滚动时，点Q的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ|＝或|AQ|＝，请推出Q的轨迹的参数方程．
图2 4 2
【解】 设Q(x，y)、P(x0，y0)，若A(rθ，r)，
则当|AQ|＝时，
有代入
∴点Q的轨迹的参数方程为
(θ为参数)．
当AQ＝时，有
代入
∴点Q的轨迹方程为(θ为参数)．学业分层测评(七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．曲线C：(φ为参数)的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 由题设，得＋＝1，
∴a2＝9，b2＝5，c2＝4，
因此e＝＝.
【答案】 A
2．已知曲线(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则P点坐标是( )
A．(3,4)
B.
C．(－3，－4)
D.
【解析】 因为＝tan
θ＝tan＝1，所以tan
θ＝，所以cos
θ＝，sin
θ＝，代入得P点坐标为.
【答案】 D
3．参数方程(α为参数)的普通方程是( )
A．y2－x2＝1
B．x2－y2＝1
C．y2－x2＝1(1≤y≤)
D．y2－x2＝1(|x|≤)
【解析】 因为x2＝1＋sin
α，
所以sin
α＝x2－1.
又因为y2＝2＋sin
α＝2＋(x2－1)，
所以y2－x2＝1.
∵－1≤sin
α≤1，y＝，
∴1≤y≤，
∴普通方程为y2－x2＝1，y∈[1，]．
【答案】 C
4．点P(1,0)到曲线(参数t∈R)上的点的最短距离为( )
A．0
B．1
C.
D．2
【解析】 d2＝(x－1)2＋y2＝(t2－1)2＋4t2＝(t2＋1)2，
由t2≥0得d2≥1，故dmin＝1.
【答案】 B
5．方程(t为参数)表示的曲线是( )
【导学号：91060023】
A．双曲线
B．双曲线的上支
C．双曲线的下支
D．圆
【解析】 将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，得：
x2－y2＝(2t－2－t)2－(2t＋2－t)2＝－4，
即y2－x2＝4.
又注意到2t＞0,2t＋2－t≥2＝2，得y≥2.
可见与以上参数方程等价的普通方程为：
y2－x2＝4(y≥2)．
显然它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支．
【答案】 B
二、填空题
6．已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为________．
【解析】 由
得点M的坐标为(1,2)
直线OM的斜率k＝＝2.
【答案】 2
7．设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．
【解析】 化为普通方程为y＝x2，由于ρcos
θ＝x，ρsin
θ＝y，所以化为极坐标方程为ρsin
θ＝ρ2cos2θ，即ρcos2θ－sin
θ＝0.
【答案】 ρcos2θ－sin
θ＝0
8．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
【解析】 由得y＝，又由得x2＋y2＝2.
由得
即曲线C1与C2的交点坐标为(1,1)．
【答案】 (1,1)
三、解答题
9．如图2 2 2所示，连接原点O和抛物线y＝x2上的动点M，延长OM到点P，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明是什么曲线？
图2 2 2
【解】 抛物线标准方程为x2＝2y，其参数方程为得M(2t,2t2)．
设P(x，y)，则M是OP中点．
∴
∴(t为参数)，
消去t得y＝x2，是以y轴对称轴，焦点为(0,1)的抛物线．
10．已知直线l的极坐标方程是ρcos
θ＋ρsin
θ－1＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，椭圆C的参数方程是(θ为参数)，求直线l和椭圆C相交所成弦的弦长．
【解】 由题意知直线和椭圆方程可化为：
x＋y－1＝0，①
＋y2＝1，②
①②联立，消去y得：5x2－8x＝0，
解得x1＝0，x2＝.
设直线与椭圆交于A、B两点，
则A、B两点直角坐标分别为(0,1)，，
则|AB|＝＝，
故所求的弦长为.
[能力提升]
1．P为双曲线(θ为参数)上任意一点，F1，F2为其两个焦点，则△F1PF2重心的轨迹方程是( )
A．9x2－16y2＝16(y≠0)
B．9x2＋16y2＝16(y≠0)
C．9x2－16y2＝1(y≠0)
D．9x2＋16y2＝1(y≠0)
【解析】 由题意知a＝4，b＝3，可得c＝5，
故F1(－5,0)，F2(5,0)，
设P(4sec
θ，3tan
θ)，重心M(x，y)，则
x＝＝sec
θ，y＝＝tan
θ.
从而有9x2－16y2＝16(y≠0)．
【答案】 A
2．若曲线(θ为参数)与直线x＝m相交于不同两点，则m的取值范围是( )
A．R
B．(0，＋∞)
C．(0,1)
D．[0,1)
【解析】 将曲线
化为普通方程得(y＋1)2＝－(x－1)(0≤x≤1)．它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m<1.
【答案】 D
3．对任意实数，直线y＝x＋b与椭圆(0≤θ≤2π)，恒有公共点，则b的取值范围是________．
【解析】 将(2cos
θ，4sin
θ)代入y＝x＋b得：
4sin
θ＝2cos
θ＋b.
∵恒有公共点，∴以上方程有解．
令f(θ)＝4sin
θ－2cos
θ＝2sin(θ＋φ)，
∴－2≤f(θ)≤2，
∴－2≤b≤2.
【答案】 [－2，2]
4．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
【解】 (1)把极坐标系下的点P化为直角坐标，得点(0,4)．因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．
(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cos
α，sin
α)，从而点Q到直线l的距离为
d＝
＝
＝cos＋2，由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.学业分层测评(八)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列可以作为直线2x－y＋1＝0的参数方程的是( )
A.(t为参数)
B.(t为参数)
C.(t为参数)
D.(t为参数)
【解析】 题目所给的直线的斜率为2，选项A中直线斜率为1，选项D中直线斜率为，所以可排除选项A、D.而选项B中直线的普通方程为2x－y＋3＝0，故选C.
【答案】 C
2．直线(t为参数)上对应t＝0，t＝1两点间的距离是( )
A．1
B.
C．10
D．2
【解析】 因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来得距离，应将t＝0，t＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即＝.
【答案】 B
3．极坐标方程ρ＝cos
θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是( )
A．直线、直线
B．直线、圆
C．圆、圆
D．圆、直线
【解析】 ∵ρ＝cos
θ，∴ρ2＝ρcos
θ，
即x2＋y2＝x，即＋y2＝，
∴ρ＝cos
θ所表示的图形是圆．
由(t为参数)消参得：x＋y＝1，表示直线．
【答案】 D
4．直线与曲线ρ＝2cos
θ相交，截得的弦长为( )
【导学号：91060026】
A.
B.
C.
D.
【解析】 曲线ρ＝2cos
θ的直角坐标方程为x2＋y2＝2x，标准方程为(x－1)2＋y2＝1，表示以点(1,0)为圆心，半径长为1的圆，直线的一般式方程为x＋2y－3＝0，则圆心到直线的距离为d＝＝，因此直线与圆相交所得的弦长为2＝2＝.
【答案】 A
5．直线(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A、B两点，则AB的中点坐标为( )
A．(3，－3)
B．(－，3)
C．(，－3)
D．(3，－)
【解析】 将x＝1＋，y＝－3＋t代入圆方程，
得＋＝16，
∴t2－8t＋12＝0，则t1＝2，t2＝6，
因此AB的中点M对应参数t＝＝4，
∴x＝1＋×4＝3，y＝－3＋×4＝－，
故AB中点M的坐标为(3，－)．
【答案】 D
二、填空题
6．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________．
【解析】 直线l：消去参数t后得y＝x－a.
椭圆C：消去参数φ后得＋＝1.
又椭圆C的右顶点为(3,0)，代入y＝x－a得a＝3.
【答案】 3
7．若直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为________．
【解析】 由参数方程可知，cos
θ＝－，sin
θ＝(θ为倾斜角)，
∴tan
θ＝－，即为直线斜率．
【答案】 －
8．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和(t为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
【解析】 曲线C1和C2的普通方程分别为
(0≤x≤，0≤y≤)，
联立①②解得
∴C1与C2的交点坐标为(2,1)．
【答案】 (2,1)
三、解答题
9．(2016·扬州月考)在直角坐标系中，参数方程为(t为参数)的直线l被以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，极坐标方程为ρ＝2cos
θ的曲线C所截，求截得的弦长．
【解】 参数方程为(t为参数)表示的直线l是过点A(2,0)，倾斜角为30°，极坐标方程ρ＝2cos
θ表示的曲线C为圆x2＋y2－2x＝0.
此圆的圆心为(1,0)，半径为1，且圆C也过点A(2,0)；设直线l与圆C的另一个交点为B，在Rt△OAB中，|AB|＝2cos
30°＝.
10．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
【解】 因为直线l的参数方程为(t为参数)，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.
同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.
联立方程组
解得公共点的坐标为(2,2)，.
[能力提升]
1．直线的参数方程为M0(－1,2)和M(x，y)是该直线上的定点和动点，则t的几何意义是( )
A．有向线段M0M的数量
B．有向线段MM0的数量
C．|M0M|
D．以上都不是
【解析】 参数方程可化为
【答案】 B
2．若直线(t为参数)与圆(φ为参数)相切，那么直线的倾斜角α为( )
A.
B.
C.
D.或
【解析】 直线化为＝tan
α，即y＝tan
α·x，
圆方程化为(x－4)2＋y2＝4，
∴由＝2 tan2α＝，
∴tan
α＝±，又α∈[0，π)，∴α＝或.
【答案】 D
3．直线(t为参数)被圆x2＋y2＝4截得的弦长为________．
【解析】 直线为x＋y－1＝0，圆心到直线的距离d＝＝，
弦长的一半为＝，
得弦长为.
【答案】
4．已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程是ρ＝，以极点为原点，极轴为x轴正方向建立直角坐标系，点M(－1,0)，直线l与曲线C交于A、B两点．
(1)求直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；
(2)线段MA，MB长度分别记为|MA|，|MB|，求|MA|·
|MB|的值．
【解】 (1)直线l：(t为参数)的直角坐标方程为x－y＋1＝0，所以极坐标方程为ρcos＝－1，
曲线C：ρ＝即(ρcos
θ)2＝ρsin
θ，
所以曲线的普通方程为y＝x2.
(2)将(t为参数)
代入y＝x2得t2－3t＋2＝0，
∴t1t2＝2，
∴|MA|·|MB|＝|t1t2|＝2.学业分层测评(六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．曲线(θ为参数)的方程等价于( )
A．x＝
B．y＝
C．y＝±
D．x2＋y2＝1
【解析】 由x＝|sin
θ|得0≤x≤1；由y＝cos
θ得－1≤y≤1.故选A.
【答案】 A
2．参数方程(0≤t≤5)表示的曲线是( )
A．线段
B．双曲线的一支
C．圆弧
D．射线
【解析】 消去t，得x－3y－5＝0.
∵0≤t≤5，
∴－1≤y≤24.
【答案】 A
3．直线y＝2x＋1的参数方程是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 由y＝2x＋1知x，y可取全体实数，故排除A、D，在B、C中消去参数t，知C正确．
【答案】 C
4．若x，y满足x2＋y2＝1，则x＋y的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 由于圆x2＋y2＝1的参数方程为(θ为参数)，则x＋y＝sin
θ＋cos
θ＝2sin，故x＋y的最大值为2.故选B.
【答案】 B
5．能化为普通方程x2＋y－1＝0的参数方程为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 对A，可化为x2＋y＝1(y∈[0,1])；对B，可化为x2＋y－1＝0；对C，可化为x2＋y－1＝0(x≥0)；对D，可化为y2＝4x2－4x4(x∈[－1,1])．
【答案】 B
二、填空题
6．已知曲线C的参数方程是(α为参数)，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程是________.
【导学号：91060020】
【解析】 曲线C的参数方程为(α为参数)，它表示以点(1,2)为圆心，以为半径的圆，则曲线C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，化为一般方程即x2＋y2－2x－4y＝0，化为极坐标方程得ρ2－2ρcos
θ－4ρsin
θ＝0，即ρ2＝2ρcos
θ＋4ρsin
θ，两边约去ρ得ρ＝2cos
θ＋4sin
θ.
【答案】 ρ＝2cos
θ＋4sin
θ
7．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos
θ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.
【解析】 由ρcos
θ＝4，知x＝4.
又∴x3＝y2(x≥0)．
由得或
∴|AB|＝＝16.
【答案】 16
8．点(x，y)是曲线C：(θ为参数，0≤θ＜2π)上任意一点，则的取值范围是________．
【解析】 曲线C：是以(－2,0)为圆心，1为半径的圆，即(x＋2)2＋y2＝1.
设＝k，∴y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，k取得最小值与最大值，
∴＝1，k2＝，
∴的范围为.
【答案】
三、解答题
9．已知曲线C的参数方程为(t为参数，t>0)，求曲线C的普通方程．
【解】 由x＝－两边平方得x2＝t＋－2，
又y＝3，则t＋＝(y≥6)．
代入x2＝t＋－2，得x2＝－2，
∴3x2－y＋6＝0(y≥6)．
故曲线C的普通方程为3x2－y＋6＝0(y≥6)．
10．已知P(x，y)是圆x2＋y2－2y＝0上的动点．
(1)求2x＋y的取值范围；
(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围．
【解】 方程x2＋y2－2y＝0变形为x2＋(y－1)2＝1，
其参数方程为(θ为参数)．
(1)2x＋y＝2cos
θ＋sin
θ＋1＝sin(θ＋φ)＋1其中φ由tan
φ＝2确定，
∴1－≤2x＋y≤1＋.
(2)若x＋y＋c≥0恒成立，即c≥－(cos
θ＋sin
θ＋1)对一切θ∈R恒成立．
∵－(cos
θ＋sin
θ＋1)的最大值是－1，
∴当且仅当c≥－1时，x＋y＋c≥0恒成立．
[能力提升]
1．已知在平面直角坐标系xOy中圆C的参数方程为：(θ为参数)，以Ox为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcos＝0，则圆C截直线所得弦长为( )
A.
B．2
C．3
D．4
【解析】 圆C的参数方程为的圆心为(，1)，半径为3，直线普通方程为ρcos
θcos
－sin
θsin
＝x－y＝0，即x－y＝0，圆心C(，1)到直线x－y＝0的距离为d＝＝1，所以圆C截直线所得弦长|AB|＝2＝2＝4.
【答案】 D
2．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos
θ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________．
【解析】 ρ＝2cos
θ化为普通方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，则其参数方程为(α为参数)，即(α为参数)．
【答案】 (α为参数)
3．若点(x，y)在圆(θ为参数)上，则x2＋y2的最小值是________．
【解析】 法一：由题意可知，x2＋y2＝(3＋2cos
θ)2＋(－4＋2sin
θ)2＝29＋12cos
θ－16sin
θ＝29＋20cos(θ＋φ)，当cos(θ＋φ)＝－1时最小，因此可得最小值为9.
法二：将原式转化为普通方程(x－3)2＋(y＋4)2＝4，它表示圆．令t＝x2＋y2，则t可看做圆上的点到点(0,0)的距离的平方，圆外一点与圆上点的最近距离为该点与圆心的距离减去半径，tmin＝(－2)2＝9，所以x2＋y2的最小值为9.
【答案】 9
4．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，，圆C的参数方程为(θ为参数)．
(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
(2)判断直线l与圆C的位置关系．
【解】 (1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，.又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为，故直线OP的平面直角坐标方程为y＝x.
(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，，
所以直线l的平面直角坐标方程为x＋y－2＝0.
又圆C的圆心坐标为(2，－)，半径为r＝2，
圆心到直线l的距离d＝＝(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．极坐标方程ρ＝1表示( )
A．直线
B．射线
C．圆
D．椭圆
【解析】 由ρ＝1，得ρ2＝1，即x2＋y2＝1，故选C.
【答案】 C
2．过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程可以为( )
A．θ＝
B．θ＝，ρ≥0
C．θ＝，ρ≥0
D．θ＝和θ＝，ρ≥0
【解析】 以极点O为端点，所求直线上的点的极坐标分成两条射线．
∵两条射线的极坐标方程为θ＝和θ＝π，
∴直线的极坐标方程为θ＝和θ＝π(ρ≥0)．
【答案】 D
3．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin
θ的圆心的极坐标是( )
A.
B.
C．(1,0)
D．(1，π)
【解析】 由ρ＝－2sin
θ得ρ2＝－2ρsin
θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.
【答案】 B
4．在极坐标系中，圆ρ＝2cos
θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos
θ＝2
B．θ＝(ρ∈R)和ρcos
θ＝2
C．θ＝(ρ∈R)和ρcos
θ＝1
D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos
θ＝1
【解析】 由ρ＝2cos
θ，得ρ2＝2ρcos
θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x＝0和x＝2，相应的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcos
θ＝2.
【答案】 B
5．在极坐标系中与圆ρ＝4sin
θ相切的一条直线的方程为( )
【导学号：91060008】
A．ρcos
θ＝
B．ρcos
θ＝2
C．ρ＝4sin
D．ρ＝4sin
【解析】 极坐标方程ρ＝4sin
θ化为ρ2＝4ρsin
θ，即x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.
由所给的选项中ρcos
θ＝2知，x＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切．
【答案】 B
二、填空题
6．在极坐标系中，圆ρ＝4被直线θ＝分成两部分的面积之比是________．
【解析】 ∵直线θ＝过圆ρ＝4的圆心，
∴直线把圆分成两部分的面积之比是1∶1.
【答案】 1∶1
7．(2016·惠州模拟)若直线l的极坐标方程为ρcosθ－＝3，曲线C：ρ＝1上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为________．
【解析】 直线的直角坐标方程为x＋y－6＝0，曲线C的方程为x2＋y2＝1，为圆；d的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为dmax＝＋1＝3＋1.
【答案】 3＋1
8．在极坐标系中，圆ρ＝4sin
θ的圆心到直线θ＝(ρ∈R)的距离是________．
【解析】 极坐标系中的圆ρ＝4sin
θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝转化为平面直角坐标系中的方程为y＝x，即x－3y＝0，
∴圆心(0,2)到直线x－3y＝0的距离为＝.
【答案】
三、解答题
9．(2016·银川月考)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．
(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
【解】 (1)由ρcos＝1，
得ρ＝1.
又x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ，
∴曲线C的直角坐标方程为＋y＝1，
即x＋y－2＝0.
当θ＝0时，ρ＝2，∴点M(2,0)．
当θ＝时，ρ＝，∴点N.
(2)由(1)知，M点的坐标(2,0)，点N的坐标.
又P为MN的中点，
∴点P，则点P的极坐标为.
所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
10．(2016·南通期中)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos
θ＋sin
θ和直线l：ρsin＝，
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．
【解】 (1)由ρ＝cos
θ＋sin
θ，可得ρ2＝ρcos
θ＋ρsin
θ，
又代入得⊙O：x2＋y2－x－y＝0，
由l：ρsin＝，得：ρsin
θ－ρcos
θ＝，ρsin
θ－ρcos
θ＝1，
又代入得：x－y＋1＝0.
(2)由解得
又得
又因为θ∈(0，π)，则θ＝，故为.
[能力提升]
1．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin关于( )
A．直线θ＝对称
B．直线θ＝对称
C．点对称
D．极点对称
【解析】 由方程ρ＝4sin，
得ρ2＝2ρsin
θ－2ρcos
θ，
即x2＋y2＝2y－2x，
配方，得(x＋)2＋(y－1)2＝4.
它表示圆心在(－，1)、半径为2且过原点的圆，
所以在极坐标系中，它关于直线θ＝成轴对称．
【答案】 B
2．(2016·湛江模拟)在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sin
θ，过点作曲线C的切线，则切线长为( )
A．4
B.
C．2
D．2
【解析】 ρ＝4sin
θ化为直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，点化为直角坐标为(2，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为＝2.
【答案】 C
3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin
θ与ρcos
θ＝－1的交点的极坐标为________．
【解析】 由ρ＝2sin
θ，得ρ2＝2ρsin
θ，
其直角坐标方程为x2＋y2＝2y，
ρcos
θ＝－1的直角坐标方程为x＝－1，
联立
解得点(－1,1)的极坐标为.
【答案】
4．在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为，半径r＝1，P在圆C上运动．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴)中，若Q为线段OP的中点，求点Q轨迹的直角坐标方程．
【解】 (1)设圆C上任一点坐标为(ρ，θ)，由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcos，
所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋3＝0.
(2)设Q(x，y)，则P(2x,2y)，由于圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－)2＝1，P在圆C上，所以(2x－1)2＋(2y－)2＝1，则Q的直角坐标方程为＋＝.学业分层测评(五)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．参数方程(t为参数)的曲线必过点( )
A．(1,2)
B．(－2,1)
C．(2,3)
D．(0,1)
【解析】 代入检验知曲线经过点(2,3)．
【答案】 C
2．已知O为原点，参数方程(θ为参数)上的任意一点为A，则OA＝( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 OA＝＝＝1，故选A.
【答案】 A
3．直线l的参数方程为(t为参数)，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P(a，b)之间的距离是( )
A．|t1|
B．2|t1|
C.|t1|
D.|t1|
【解析】 ∵P1(a＋t1，b＋t1)，P(a，b)，
∴|P1P|＝＝
＝|t1|.
【答案】 C
4．圆的圆心坐标是( )
A．(0,2)
B．(2,0)
C．(0，－2)
D．(－2,0)
【解析】 ∵x＝2cos
θ，y－2＝2sin
θ，
∴x2＋(y－2)2＝4，
∴圆心坐标是(0,2)，故选A.
【答案】 A
5．圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( )
A.(0≤θ<2π)
B.(0≤θ<2π)
C.(0≤θ<π)
D.(0≤θ<2π)
【解析】 圆心在点C(a，b)，半径为r的圆的参数方程为(θ∈[0,2π))．故圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为(0≤θ<2π)．
【答案】 D
二、填空题
6．若点(－3，－3)在参数方程(θ为参数)的曲线上，则θ＝________.
【解析】 将点(－3，－3)的坐标代入参数方程
(θ为参数)得
解得θ＝＋2kπ，k∈Z.
【答案】 ＋2kπ，k∈Z
7．参数方程(α为参数)表示的图形是________．
【解析】 ∵且cos2α＋sin2α＝1，
∴x2＋(y－1)2＝1，
∴该参数方程表示以(0,1)为圆心，以1为半径的圆．
【答案】 圆
8．已知某条曲线C的参数方程为(其中t为参数，a∈R)，点M(5,4)在该曲线上，则实数a＝________.
【解析】 ∵点M(5,4)在曲线C上，
∴解得：
∴a的值为1.
【答案】 1
三、解答题
9．已知曲线C的参数方程是(θ为参数，0≤θ<2π)，试判断点A(1,3)，B是否在曲线C上.
【导学号：91060017】
【解】 将A(1,3)的坐标代入
得即
由0≤θ<2π得θ＝π.
将B的坐标代入
得即这样的角θ不存在．
所以点A在曲线C上，点B不在曲线C上．
10．已知圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋6＝0.
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．
【解】 (1)由ρ2－4ρcos＋6＝0得
ρ2－4ρcos
θ－4ρsin
θ＋6＝0，
即x2＋y2－4x－4y＋6＝0为所求，
即圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2，
令x－2＝cos
α，y－2＝sin
α，
得圆的参数方程为(α为参数)．
(2)由(1)知，x＋y＝4＋(cos
α＋sin
α)
＝4＋2sin，
又－1≤sin≤1，
故x＋y的最大值为6，最小值为2.
[能力提升]
1．P(x，y)是曲线(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )
A．36 B．6 C．26 D．25
【解析】 设P(2＋cos
α，sin
α)，代入得：
(2＋cos
α－5)2＋(sin
α＋4)2
＝25＋sin2α＋cos2α－6cos
α＋8sin
α
＝26＋10sin(a－φ)，
∴最大值为36.
【答案】 A
2．如图2 1 4，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________．
图2 1 4
【解析】 将x2＋y2－x＝0配方，得＋y2＝，∴圆的直径为1.设P(x，y)，则x＝|OP|cos
θ＝1×cos
θ×cos
θ＝cos2θ，
y＝|OP|sin
θ＝1×cos
θ×sin
θ＝sin
θcos
θ，
∴圆x2＋y2－x＝0的参数方程为
(θ为参数)．
【答案】 (θ为参数)
3．P(x，y)是曲线(α为参数)上任意一点，则P到直线x－y＋4＝0的距离的最小值是________．
【解析】 由P在曲线上可得P的坐标为(2＋cos
α，sin
α)，
由点到直线的距离公式得d＝
＝，当cos＝－1时，
d最小，dmin＝＝－1＋3.
【答案】 －1＋3
4．已知圆系方程为x2＋y2－2axcos
φ－2aysin
φ＝0(a>0且为已知常数，φ为参数)，
(1)求圆心的轨迹方程；
(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值．
【解】 (1)由已知圆的标准方程为：
(x－acos
φ)2＋(y－asin
φ)2＝a2(a>0)．
设圆心坐标为(x，y)，
则(φ为参数)，
消参数得圆心的轨迹方程为x2＋y2＝a2.
(2)证明 由方程
得公共弦的方程：2axcos
φ＋2aysin
φ＝a2，即xcos
φ＋y
sin
φ－＝0，
圆x2＋y2＝a2的圆心到公共弦的距离d＝为定值，
∴弦长l＝2＝a(定值)．学业分层测评(二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列各点中与不表示极坐标系中同一个点的是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 与极坐标相同的点可以表示为(k∈Z)，只有不适合．
【答案】 C
2．将点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为( )
A．(π，0)
B．(π，2π)
C．(－π，0)
D．(－2π，0)
【解析】 x＝πcos(－2π)＝π，y＝πsin(－2π)＝0，
所以点的极坐标(π，－2π)化为直角坐标为(π，0)．
【答案】 A
3．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M1(ρ1，θ1)与点M2(ρ2，θ2)的位置关系是( )
A．关于极轴所在直线对称
B．关于极点对称
C．关于过极点垂直于极轴的直线对称
D．两点重合
【解析】 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称．
【答案】 A
4．在极坐标系中，已知点P1、P2，则|P1P2|等于( )
A．9 B．10
C．14 D．2
【解析】 ∠P1OP2＝－＝，∴△P1OP2为直角三角形，由勾股定理可得|P1P2|＝10.
【答案】 B
5．在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－)．若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是
( )
【导学号：91060005】
A.
B.
C.
D.
【解析】 极径ρ＝＝2，极角θ满足tan
θ＝＝－，
∵点(1，－)在第四象限，∴θ＝－.
【答案】 A
二、填空题
6．平面直角坐标系中，若点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标为Q的点到极轴所在直线的距离等于________．
【解析】 ∵点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标为Q的点到极轴所在直线的距离等于6＝3.
【答案】 3
7．已知点P在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时，点P的极坐标为________．
【解析】 ∵点P(x，y)在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，
∴x＝－2，且y＝－2，
∴ρ＝＝2，
又tan
θ＝＝1，且θ∈[0,2π)，∴θ＝.
因此点P的极坐标为.
【答案】
8．极坐标系中，点A的极坐标是，则
(1)点A关于极轴的对称点的极坐标是________；
(2)点A关于极点的对称点的极坐标是________；
(3)点A关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是________．(本题中规定ρ>0，θ∈[0,2π))
【解析】 点A关于极轴的对称点的极坐标为；点A关于极点的对称点的极坐标为；点A关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标为.
【答案】 (1) (2) (3)
三、解答题
9．(1)已知点的极坐标分别为A，B，C，D，求它们的直角坐标．
(2)已知点的直角坐标分别为A(3，)，B，C(－2，－2)，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．
【解】 (1)根据x＝ρcos
θ，y＝ρsin
θ，
得A，
B(－1，)，C，
D(0，－4)．
(2)根据ρ2＝x2＋y2，tan
θ＝得A，B，C.
10．在极坐标系中，已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A，B(2，π)，C.
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
【解】 (1)如图所示，由A，B(2，π)，C，
得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2，
∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，
∴△AOB≌△BOC≌△AOC，∴AB＝BC＝CA，故△ABC为等边三角形．
(2)由上述可知，
AC＝2OAsin＝2×2×＝2.
∴S△ABC＝×(2)2＝3.
[能力提升]
1．已知极坐标平面内的点P，则P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为
( )
A.，(1，)
B.，(1，－)
C.，(－1，)
D.，(－1，－)
【解析】 点P关于极点的对称点为
，
即，且x＝2cos＝－2cos
＝－1，y＝2sin＝－2sin＝－.
【答案】 D
2．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ＜2π，M，在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为________．
【解析】 如图所示，|OM|＝3，∠xOM＝，在直线OM上取点P、Q，使|OP|＝7，|OQ|＝1，∠xOP＝，∠xOQ＝，显然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4.
【答案】 或
3．直线l过点A，B，则直线l与极轴夹角等于________．
【解析】 如图所示，先在图形中找到直线l与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A，B的位置分析夹角大小．
因为|AO|＝|BO|＝3，
∠AOB＝－＝，
所以∠OAB＝＝，
所以∠ACO＝π－－＝.
【答案】
4．某大学校园的部分平面示意图如图1 2 3：用点O，A，B，C，D，E，F，G分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB|＝|BC|，|OC|＝600
m．建立适当的极坐标系，写出除点B外各点的极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π且极点为(0,0))．
图1 2 3
【解】 以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1
m)，建立极坐标系，
由|OC|＝600
m，∠AOC＝，∠OAC＝，得|AC|＝300
m，|OA|＝300
m，
又|AB|＝|BC|，所以|AB|＝150
m.
同理，得|OE|＝2|OG|＝300
m，
所以各点的极坐标分别为O(0,0)，A(300，0)，
C，D，E，F(300，π)，G.
