学业分层测评(十三) 待定系数法
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.函数y＝kx＋b在区间[1,2]上的最大值比最小值大2，则k的值为( )
A.2
B.
C.－2或2
D.－2
【解析】 由题意，得|(2k＋b)－(k＋b)|＝2，得k＝±2.
【答案】 C
2.抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(－1,0)，(3,0)，其形状与抛物线y＝－2x2相同，则y＝ax2＋bx＋c的解析式为( )
A.y＝－2x2－x＋3
B.y＝－2x2＋4x＋5
C.y＝－2x2＋4x＋8
D.y＝－2x2＋4x＋6
【解析】 由题意得y＝－2(x＋1)(x－3)＝－2x2＋4x＋6，故选D.
【答案】 D
3.如果函数y＝ax＋2与y＝bx＋3的图象相交于x轴上一点，那么a，b的关系是( )
【导学号：60210054】
A.a＝b
B.a∶b＝2∶3
C.a＋2＝b＋3
D.ab＝1
【解析】 设两函数图象交于x轴上的点为(t,0)，代入解析式有a＝－，b＝－，
∴a∶b＝∶＝2∶3.
【答案】 B
4.已知函数f
(x)＝x2＋px＋q满足f
(1)＝f
(2)＝0，则f
(－1)的值是( )
A.5
B.－5
C.6
D.－6
【解析】 由f
(1)＝f
(2)＝0，知x2＋px＋q＝0的两根为1,2，则f
(x)＝x2＋px＋q＝(x－1)(x－2)，
得p＝－3，q＝2.∴f
(－1)＝6.
【答案】 C
5.(2016·承德高一检测)已知f
(x)＝x5－ax3＋bx＋2且f
(－5)＝17，则f
(5)的值为( )
A.－13
B.13
C.－19
D.19
【解析】 ∵g(x)＝x5－ax3＋bx是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，
∵f
(－5)＝17＝g(－5)＋2，∴g(5)＝－15，
∴f
(5)＝g(5)＋2＝－15＋2＝－13.
【答案】 A
二、填空题
6.抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点的横坐标分别为－1,3，与y轴交点的纵坐标为－，则抛物线的解析式为________.
【解析】 可设y＝a(x＋1)(x－3)，再把点代入上式可求得a＝，则y＝x2－x－.
【答案】 y＝x2－x－
7.已知f
(x)＝(x－a)(x－b)－2，m，n是方程f
(x)＝0的两根，且a
【解析】 函数g(x)＝(x－a)(x－b)与x轴两个交点坐标为(a,0)，(b,0).将g(x)图象向下平移2个单位可得f
(x)图象，f
(x)
图象与x轴交点分别为(m,0)，(n,0).由图(图略)可知m【答案】 m8.已知y＝f
(x)的图象如图2 2 9所示，则f
(x)的解析式为________；该函数的值域为________.
图2 2 9
【解析】 当0≤x≤2时，直线过(0,2)与(1,0)点，
所以设直线为y＝kx＋b.
得即y＝－2x＋2.
当2当3≤x≤5时，一次函数过(3，－2)与(5,0)点.
设为y＝k′x＋b′，得y＝x－5.
由图象可得值域为[－2,2].
【答案】 f
(x)＝ [－2,2]
三、解答题
9.已知二次函数满足f
(x－2)＝f
(－x－2)，且其图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为2，求f
(x)的表达式.
【解】 设f
(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f
(x－2)＝f
(－x－2)得对称轴为x＝－＝－2，
∴b＝4a.
∵图象在y轴上的截距为1，
∴c＝1，
又|x1－x2|＝＝2，
∴b＝2或b＝0(舍去)，a＝，
∴f
(x)＝x2＋2x＋1.
10.小东从A地出发以某一速度向B地走去，同时小明从B地出发以另一速度向A地而行，如图2 2 10所示，图中的线段y1、y2分别表示小东、小明离B地的距离(千米)与所用时间(小时)的关系.
图2 2 10
(1)试用文字说明：交点P所表示的实际意义；
(2)试求出A、B两地之间的距离.
【解】 (1)交点P所表示的实际意义是：经过2.5小时后，小东与小明在距离B地7.5千米处相遇.
(2)设y1＝kx＋b(k≠0)，
又y1经过点P(2.5,7.5)，(4,0)，
∴解得
∴y1＝－5x＋20.
当x＝0时，y1＝20.
∴A、B两地之间的距离为20千米.
[能力提升]
1.如图2 2 11所示，一次函数图象经过点A，且与正比例函数y＝－x的图象交于点B，则该一次函数的表达式为( )
图2 2 11
A.y＝－x＋2
B.y＝x＋2
C.y＝x－2
D.y＝－x－2
【解析】 设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
由已知可得A(0,2)，B(－1,1)在一次函数图象上.
所以解得
∴一次函数的表达式为y＝x＋2.
【答案】 B
2.二次函数f
(x)＝ax2＋bx＋c经过点(1,7)，且有f
(x)≥f
(－2)＝－2，则f
(x)的解析式为( )
【导学号：60210055】
A.f
(x)＝x2＋2x＋2
B.f
(x)＝x2＋4x＋2
C.f
(x)＝x2＋4x－2
D.f
(x)＝x2＋4x＋4
【解析】 依题意，f
(x)＝a(x＋2)2－2，将点(1,7)代入得7＝9a－2.∴a＝1，∴f
(x)＝(x＋2)2－2＝x2＋4x＋2.
【答案】 B
3.二次函数满足f
(1＋x)＝f
(1－x)，且在x轴上的一个截距为－1，在y轴上的截距为3，则其解析式为________.
【解析】 由f
(1＋x)＝f
(1－x)知二次函数的对称轴为x＝1，且过(－1,0)，(0,3)，设f
(x)＝ax2＋bx＋c.
则解得
即f
(x)＝－x2＋2x＋3.
【答案】 f
(x)＝－x2＋2x＋3
4.如果函数f
(x)＝(b，c∈N
)满足f
(0)＝0，f
(2)＝2，且f
(－2)<－，求f
(x)的解析式.
【解】 由f
(0)＝0，f
(2)＝2，
可得∴
∴f
(x)＝.
又f
(－2)<－，
∴<－，
解不等式得又∵b∈N
，∴b＝1或b＝2.
又2b－c＝2.故当b＝1时，c＝0，不符合题意.
当b＝2时，c＝2.
∴f
(x)＝(x≠1).学业分层测评(二十四) 函数的应用(Ⅱ)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2A.y1>y2>y3
B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2
D.y2>y3>y1
【解析】 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.
【答案】 B
2.某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )
A.y＝0.2x
B.y＝(x2＋2x)
C.y＝
D.y＝0.2＋log16x
【解析】 用排除法，当x＝1时，否定B项；当x＝2时，否定D项；当x＝3时，否定A项.
【答案】 C
3.高为h，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图3 4 5所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为V，则函数V＝f
(h)的大致图象是( )
图3 4 5
【解析】 当h＝H时，体积是V，故排除A，C.h由0到H变化的过程中，V的变化开始时增长速度越来越快，类似于指数型函数的图象，后来增长速度越来越慢，类似于对数型函数的图象，综合分析可知选B.
【答案】 B
4.函数y＝2x－x2的图象大致是( )
【解析】 y＝2x－x2，令y＝0，则2x－x2＝0，分别画出y＝2x，y＝x2的图象，如图所示，由图象可知，有3个交点，∴函数y＝2x－x2的图象与x轴有3个交点，故排除B，C；当x＜－1时，y＜0，故排除D，故选A.
【答案】 A
5.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f
(x)的图象大致为( )
【导学号：60210097】
【解析】 设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，函数为对数函数，所以函数y＝f
(x)的图象大致为D中图象，故选D.
【答案】 D
二、填空题
6.函数y＝x2与函数y＝xln
x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________
.
【解析】 当x变大时，y＝x2比y＝ln
x增长要快.
【答案】 y＝x2
7.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2
000ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒.
【解析】 当v＝12
000时，2
000×ln＝12
000，
∴ln＝6，∴＝e6－1.
【答案】 e6－1
8.在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图3 4 6所示.现给出下列说法：
图3 4 6
①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变.
其中正确的说法是________.(填序号)
【解析】 因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5min前每当t增加一个单位增量，则y相应的增量越来越小，而5min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确.
【答案】 ②④
三、解答题
9.某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度.
t(年)
1
2
3
4
5
6
h(米)
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7
【解】 据表中数据作出散点图如图：
由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理.
不妨将(2,1)代入到h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.
故可用函数h＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题.
当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2，
故可预测第8年松树的高度为2米.
10.有甲，乙两家健身中心，两家设备和服务都相当，但收费方式不同.甲中心每小时5元；乙中心按月计算，一个月中30小时以内(含30小时)90元，超过30小时的部分每小时2元.某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.
(1)设在甲中心健身活动x(15≤x≤40)小时的收费为f
(x)元，在乙中心健身活动x小时的收费为g(x)元，试求f
(x)和g(x)；
(2)问：选择哪家比较合算？为什么？
【解】 (1)f
(x)＝5x,15≤x≤40，
g(x)＝
(2)当5x＝90时，x＝18，
即当15≤x＜18时，f
(x)＜g(x)；
当x＝18时，f
(x)＝g(x)，
当18＜x≤40时，f
(x)＞g(x).
所以当15≤x＜18时，选甲比较合算；当x＝18时，两家一样合算；当18＜x≤40时，选乙比较合算.
[能力提升]
1.(2016·杭州高一检测)下列所给四个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为( )
(1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再去上学；
(2)我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；
(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.
图3 4 7
A.①②④
B.④②③
C.①②③
D.④①②
【解析】 离家不久发现自己作业本忘记在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故应先选图象④；回校途中有一段时间交通堵塞，则这段时间与家的距离必为一定值，故应选图象①；最后加速向学校，其距离与时间的关系为二次函数，故应选图象②.故选D.
【答案】 D
2.下面对函数f
(x)＝logx、g(x)＝x与h(x)＝x在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是( )
A.f
(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢
B.f
(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快
C.f
(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢
D.f
(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快
【解析】 观察函数f
(x)＝logx、g(x)＝
x与h(x)＝x在区间(0，＋∞)上的图象，由图可知：函数f
(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上递减较慢，且越来越慢；同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢.故选C.
【答案】 C
3.某航空公司规定，乘客所携带行李的质量x(kg)与运费y(元)由图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大质量为________.
图3 4 8
【解析】 设y＝kx＋b，将点(30,330)、(40,630)代入得y＝30x－570，令y＝0，得x＝19.故最大质量为19
kg.
【答案】 19
kg
4.已知函数y＝f
(x)是函数y＝log2x的反函数.
(1)求y＝f
(x)的解析式；
(2)若x∈(0，＋∞)，试分别写出使不等式；①log2x＜2x＜x2；②log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围；
(3)求不等式loga(x－3)＞loga(5－x)的解集.
【解】 (1)∵函数y＝f
(x)是函数y＝log2x的反函数，∴f
(x)＝2x，
(2)y＝2x，y＝x2，y＝log2x，可得22＝4,24＝42＝16，
①∵log2x＜2x＜x2，∴2＜x＜4，解集为(2,4).
②∵log2x＜x2＜2x，∴0＜x＜2，或x＞4，解集为(0,2)∪(4，＋∞).
(3)∵loga(x－3)＞loga(5－x)，
∴当a＞1时，
解得4＜x＜5；
∴当a＞1时，解集为(4,5)；
∵当0＜a＜1时，解得3＜x＜4，
∴当0＜a＜1时，解集为(3,4).
综上，当a＞1时，解集为(4,5)；
当0＜a＜1时，解集为(3,4).章末综合测评(二) 函数
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A.y＝x－1和y＝
B.y＝x0和y＝1
C.f
(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2
D.f
(x)＝和g(x)＝
【解析】 A、B中两函数的定义域不同；C中两函数的解析式不同.
【答案】 D
2.函数f
(x)＝＋的定义域是( )
A.[－1，＋∞)
B.(－∞，0)∪(0，＋∞)
C.[－1,0)∪(0，＋∞)
D.R
【解析】 要使函数有意义，需满足
即x≥－1且x≠0.
【答案】 C
3.设集合A＝{－1,3,5}，若f
：x→2x－1是集合A到集合B的映射，则集合B可以是( )
A.{0,2,3}
B.{1,2,3}
C.{－3,5}
D.{－3,5,9}
【解析】 当x＝－1,3,5时对应的2x－1的值分别为－3，5,9.
【答案】 D
4.已知f
(x)＝x3＋2x，则f
(a)＋f
(－a)＝( )
【导学号：60210069】
A.0
B.－1
C.1
D.2
【解析】 f
(x)＝x3＋2x是R上的奇函数，故f
(－a)＝－f
(a)，∴f
(a)＋f
(－a)＝0.
【答案】 A
5.下列四个函数中，在(－∞，0)上是增函数的为( )
A.f
(x)＝x2＋1
B.f
(x)＝1－
C.f
(x)＝x2－5x－6
D.f
(x)＝3－x
【解析】 A、C、D选项中的三个函数在(－∞，0)上都是减函数，只有B正确.
【答案】 B
6.函数f
(x)＝ax3＋bx＋4(a，b不为零)，且f
(5)＝10，则f
(－5)等于( )
A.－10
B.－2
C.－6
D.14
【解析】 ∵f
(5)＝125a＋5b＋4＝10，
∴125a＋5b＝6，
∴f
(－5)＝－125a－5b＋4
＝－(125a＋5b)＋4
＝－6＋4＝－2.
【答案】 B
7.已知函数f
＝x2＋，则f
(3)等于( )
A.8
B.9
C.11
D.10
【解析】 ∵f
＝x2＋＝2＋2，
∴f
(x)＝x2＋2，
∴f
(3)＝32＋2＝11.
【答案】 C
8.已知函数f
(x)＝若f
(2－a2)>f
(a)，则实数a的取值范围是
( )
A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B.(－1,2)
C.(－2,1)
D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
【解析】 ∵f
(x)＝
由函数图象(图略)知f
(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
由f
(2－a2)>f
(a)，得a2＋a－2<0，解得－2【答案】 C
9.函数y＝3x＋(x≥2)的值域是( )
A.
B.[6＋，＋∞)
C.[6，＋∞)
D.[，＋∞)
【解析】 ∵y＝3x＋在[2，＋∞)上是增函数，
∴ymin＝3×2＋
＝6＋.
∴y＝3x＋(x≥2)的值域为[6＋，＋∞).
【答案】 B
10.若函数y＝x2＋mx＋(m＋3)有两个不同的零点，则m的取值范围是( )
A.(－2,6)
B.[－2,6]
C.[－2,6)
D.(－∞，－2)∪(6，＋∞)
【解析】 若函数y＝x2＋mx＋(m＋3)有两个不同的零点，则方程x2＋mx＋(m＋3)＝0有两个不相等的实数根，从而应有Δ＝m2－4(m＋3)>0，解得m<－2或m>6.
【答案】 D
11.如果函数f
(x)＝x2＋bx＋c对于任意实数t都有f
(2＋t)＝f
(2－t)，那么
( )
A.f
(2)(1)(4)
B.f
(1)(2)(4)
C.f
(4)(2)(1)
D.f
(2)(4)(1)
【解析】 由f
(2＋t)＝f
(2－t)，可知抛物线的对称轴是直线x＝2，再由二次函数的单调性，可得f
(2)(1)(4).
【答案】 A
12.已知定义在R上的奇函数f
(x)满足f
(x－4)＝－f
(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f
(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4等于( )
A.－6
B.6
C.－8
D.8
【解析】 由f
(x－4)＝－f
(x) f
(4－x)＝f
(x) 函数图象关于直线x＝2对称.又函数f
(x)在[0,2]上是增函数，且为奇函数，故f
(0)＝0，故函数f
(x)在(0,2]上大于0.根据对称性知函数f
(x)在[2,4)上大于0，同理推知f
(x)在(4,8)上小于0，故在区间(0,8)上方程f
(x)＝m(m>0)的两根关于直线x＝2对称，故此两根之和等于4.f
(－6＋x)＝f
[(x－2)－4]＝－f
(x－2)＝－f
[(x＋2)－4]＝f
(x＋2)＝f
[(6＋x)－4]＝－f
(6＋x)＝f
(－6－x).
∴f
(x)关于直线x＝－6对称.此两根之和等于－12.综上，四个根之和等于－8.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13.已知函数f
(x)＝则f
(－3)＝________.
【导学号：60210070】
【解析】 ∵－3<0，∴f
(－3)＝f
(－3＋2)＝f
(－1)＝f
(－1＋2)＝f
(1).
∵1>0，∴f
(1)＝2×1＋1＝3.
∴f
(－3)＝3.
【答案】 3
14.已知f
(x)为R上的减函数，则满足f
>f
(1)的实数x的取值范围为________.
【解析】 ∵f
(x)在R上是减函数，
∴<1，解得x>1或x<0.
【答案】 (－∞，0)∪(1，＋∞)
15.已知函数f
(x)的图象如图1所示，则f
(x)的解析式是________.
图1
【解析】 设函数解析式为y＝ax＋b，利用待定系数法求解.
【答案】 f
(x)＝
16.对于定义在R上的任意函数f
(x)，若实数x0满足f
(x0)＝x0，则称x0是函数f
(x)的一个不动点.若二次函数f
(x)＝x2－ax＋1没有不动点，则实数a的取值范围是________.
【解析】 若二次函数f
(x)＝x2－ax＋1有不动点，则方程x2－ax＋1＝x，即x2－(a＋1)x＋1＝0有实数解.
∴Δ＝(a＋1)2－4＝a2＋2a－3＝(a＋3)(a－1)≥0，
∴a≤－3或a≥1.
∴当函数f
(x)＝x2－ax＋1没有不动点时，实数a的取值范围是－3【答案】 －3三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知直角三角形ABC的面积是y，AB⊥AC且|AB|＝x－1，|AC|＝x＋1，求y关于x的函数解析式，并求出函数的定义域.
【解】 由于△ABC是直角三角形，
则有y＝|AB|·|AC|＝(x－1)(x＋1)＝x2－，
由题意得解得x>1.
所以函数的定义域是(1，＋∞).
18.(本小题满分12分)若f
(x)对x∈R恒有2f
(x)－f
(－x)＝3x＋1，求f
(x).
【解】 2f
(x)－f
(－x)＝3x＋1，①
将①中的x换为－x，得2f
(－x)－f
(x)＝－3x＋1，②
①②联立，得
把f
(x)与f
(－x)看成未知数解得f
(x)＝x＋1.
19.(本小题满分12分)已知函数f
(x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R)，
(1)证明：函数f
(x)是偶函数；
(2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图象；
(3)写出函数的值域.
【解】 (1)由于函数定义域是R，且f
(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f
(x).
∴f
(x)是偶函数.
(2)f
(x)＝
图象如图所示：
(3)由函数图象知，函数的值域为[2，＋∞).
20.(本小题满分12分)已知函数f
(x)＝.
(1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值.
【解】 (1)f
(x)在[1，＋∞)上是增函数.证明如下：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1f
(x1)－f
(x2)＝－
＝.
∵x1－x2<0，(x1＋1)(x2＋1)>0，
所以f
(x1)－f
(x2)<0，
f
(x1)(x2)，
所以函数f
(x)在[1，＋∞)上是增函数.
(2)由(1)知函数f
(x)在[1,4]上是增函数.最大值为f
(4)＝＝，最小值为f
(1)＝＝.
21.(本小题满分12分)大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12
km为止温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12
km以上温度一定，保持在－55
℃.
(1)当地球表面大气的温度是a
℃时，在x
km的上空为y
℃，求a，x，y间的函数关系式；
(2)问当地表的温度是29
℃时，3
km上空的温度是多少？
【解】 (1)由题设知，可设y－a＝kx(0≤x≤12，k<0)，即y＝a＋kx.
依题意，当x＝12时，y＝－55，
∴－55＝a＋12k，
解得k＝－.
∴当0≤x≤12时，y＝a－(55＋a)(0≤x≤12).
又当x>12时，y＝－55.
∴所求的函数关系式为
y＝
(2)当a＝29，x＝3时，y＝29－(55＋29)＝8，
即3
km上空的温度为8
℃.
22.(本小题满分12分)设函数f
(x)的定义域为U＝{x|x∈R且x>0}，且满足条件f
(4)＝1.对任意的x1，x2∈U，有f
(x1·x2)＝f
(x1)＋f
(x2)，且当x1≠x2时，有>0.
(1)求f
(1)的值；
(2)如果f
(x＋6)＋f
(x)>2，求x的取值范围.
【导学号：60210071】
【解】 (1)因为对任意的x1，x2∈U，有f
(x1·x2)＝f
(x1)＋f
(x2)，
所以令x1＝x2＝1，得f
(1×1)＝f
(1)＋f
(1)＝2f
(1)，所以f
(1)＝0.
(2)设00.
又因为当x1≠x2时，>0，
所以f
(x2)－f
(x1)>0，即f
(x2)＞f
(x1)，
所以f
(x)在定义域内为增函数.
令x1＝x2＝4，得f
(4×4)＝f
(4)＋f
(4)＝1＋1＝2，
即f
(16)＝2.
当即x>0时，
原不等式可化为f
[x(x＋6)]>f
(16).
又因为f
(x)在定义域上为增函数，
所以x(x＋6)>16，解得x>2或x<－8.
又因为x>0，所以x>2.
所以x的取值范围为(2，＋∞).学业分层测评(十六)
求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.用二分法求如图2 4 4所示函数f
(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
图2 4 4
A.x1
B.x2
C.x3
D.x4
【解析】 由题图知x1，x2，x4是变号零点，可用二分法求出，x3不是变号零点，不能用二分法求出.
【答案】 C
2.已知连续函数f
(x)的部分对应值如下表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f
(x)
14
8
－2
2
7
3
－2
－1
8
则函数f
(x)在区间[1,9]上的零点至少有( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
【解析】 ∵f
(2)＝8>0，f
(3)＝－2<0，f
(4)＝2>0，
f
(6)＝3>0，f
(7)＝－2<0，f
(8)＝－1<0，f
(9)＝8>0，
∴f
(2)·f
(3)<0，f
(3)·f
(4)<0，
f
(6)·f
(7)<0，f
(8)·f
(9)<0，
∴在(2,3)，(3,4)，(6,7)，(8,9)上都至少各有一个零点，
∴至少有4个零点，故选C.
【答案】 C
3.函数f
(x)＝x3－2x2＋3x－6在区间[－2,4]上的零点必定属于( )
【导学号：60210065】
A.[－2,1]
B.[2.5,4]
C.[1,1.75]
D.[1.75,2.5]
【解析】 ∵f
(－2)＝－28<0，f
(4)＝38>0，
f
(1)＝－4<0，f
(2.5)＝4.625>0，
f
(1.75)＝－1.515
625<0.
∴f
(x)在[－2,4]上的零点必定属于[1.75,2.5].故选D.
【答案】 D
4.在用二分法求函数f
(x)的一个正实数零点时，经计算，f
(0.64)<0，f
(0.72)>0，f
(0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )
A.0.68
B.0.72
C.0.7
D.0.6
【解析】 已知f
(0.64)<0，f
(0.72)>0，则函数f
(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72].又0.68＝(0.64＋0.72)，且f
(0.68)<0，所以零点在区间[0.68,0.72]上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，所以0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值.
【答案】 C
5.在用“二分法”求函数f
(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )
A.[1,4]
B.[－2,1]
C.
D.
【解析】 ∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，
∴第三次所取的区间可能为，，，.
【答案】 D
二、填空题
6.(2016·福州高一检测)用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________.
【解析】 设函数f
(x)＝x3－2x－5，∵f
(2)＝－1＜0，f
(3)＝16＞0，f
(4)＝51＞0，∴下一个有根区间是(2,3).
【答案】 (2,3)
7.用二分法研究函数f
(x)＝x2＋3x－1的零点时，第一次经过计算f
(0)＜0，f
(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________.
【解析】 由零点的存在性可知，x0∈(0,0.5)，取该区间的中点＝0.25.
∴第二次应计算f
(0.25).
【答案】 (0,0.5) f
(0.25)
8.已知函数f
(2x)＝3x2＋1，则f
(x＋5)有________个零点.
【解析】 ∵f
(2x)＝3x2＋1，
∴f
(x)＝＋1，
∴f
(x＋5)＝＋1，
令f
(x＋5)＝0，方程无解.
即f
(x＋5)无零点.
【答案】 0
三、解答题
9.用二分法求函数f
(x)＝x3－3的一个正零点.(精确度为0.01)
【解】 由于f
(1)＝－2<0，f
(2)＝5>0，因此可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
区间
中点的值
中点函数近似值
(1,2)
1.5
0.375
(1,1.5)
1.25
－1.046
9
(1.25,1.5)
1.375
－0.400
4
(1.375,1.5)
1.437
5
－0.029
5
(1.437
5,1.5)
1.468
75
0.168
4
(1.437
5,1.468
75)
1.453
125
0.068
4
(1.437
5,1.453
125)
1.445
312
5
0.019
2
(1.437
5,1.445
312
5)
∵|1.445
312
5－1.437
5|＝0.007
812
5<0.01，∴x＝1.445
312
5可作为函数的一个正零点.
10.用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解.(精确度为0.1)
【解】 令f
(x)＝x2－5，因为f
(2.2)＝－0.16<0，f
(2.4)＝0.76>0，
所以f
(2.2)·f
(2.4)<0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f
(2.3)＝0.29，因为f
(2.2)·f
(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)，
再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f
(2.25)＝0.062
5，因为f
(2.2)·f
(2.25)<0，
所以x0∈(2.2,2.25)，由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，
所以原方程的近似正解可取为2.25.
[能力提升]
1.若函数y＝f
(x)在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f
(x)＝0在(－2,2)上仅有一实根0，则f
(－1)·f
(1)的值( )
【导学号：60210066】
A.大于0
B.小于0
C.等于0
D.无法判断
【解析】 如图，根据连续函数零点的性质，若f
(－1)·f
(1)<0，则f
(x)在(－1,1)内必有零点，即方程f
(x)＝0在(－1,1)内有实根；反之，若方程f
(x)＝0在(－2,2)内有实根，不一定有f
(－1)·f
(1)<0，也可能有f
(－1)·f
(1)>0.故选D.
【答案】 D
2.二次函数f
(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
不求a，b，c的值，可以判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根所在的区间是( )
A.(－3，－1)和(2,4)
B.(－3，－1)和(－1,1)
C.(－1,1)和(1,2)
D.(－∞，－3)和(4，＋∞)
【解析】 ∵f
(－3)·f
(－1)<0，f
(2)·f
(4)<0.故选A.
【答案】 A
3.用二分法求函数f
(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f
(1.600
0)≈0.200
f
(1.587
5)≈0.133
f
(1.575
0)≈0.067
f
(1.562
5)≈0.003
f
(1.556
2)≈－0.029
f
(1.550
0)≈－0.060
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解可取________.(精确度为0.01)
【解析】 f
(1.562
5)＝0.003>0，f
(1.556
2)＝－0.029<0，方程3x－x－4＝0的一个近似解在(1.556
2，1.562
5)上，且满足精确度为0.01，所以所求近似解可取为1.562
5.
【答案】 1.562
5
4.已知函数f
(x)＝|x2－2x|－a，
(1)若函数f
(x)没有零点，求实数a的取值范围；
(2)若函数f
(x)有两个零点，求实数a的取值范围；
(3)若函数f
(x)有三个零点，求实数a的取值范围；
(4)若函数f
(x)有四个零点，求实数a的取值范围.
【解】 令|x2－2x|－a＝0，则|x2－2x|＝a，构造函数g(x)＝|x2－2x|，y＝a，作出函数g(x)＝|x2－2x|，y＝a的图象(如图所示)，由图象可知：
(1)当a<0时，a≠|x2－2x|，
此时函数y＝a与y＝g(x)的图象没有交点.
即函数f
(x)没有零点.
(2)当a＝0或a>1时，函数y＝a与y＝g(x)的图象有两个交点，即f
(x)有两个零点.
(3)当a＝1时，函数y＝a与y＝g(x)的图象有三个交点，即f
(x)有三个零点.
(4)当0(x)有四个零点.学业分层测评(二十一) 对数函数
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知下列函数：①y＝log(－x)(x<0)；②y＝2log4(x－1)(x>1)；③y＝ln
x(x>0)；④y＝log(a2＋a)x(x>0，a是常数).
其中为对数函数的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】 对于①，自变量是－x，故①不是对数函数；对于②，2log4(x－1)的系数为2，而不是1，且自变量是x－1，不是x，故②不是对数函数；对于③，ln
x的系数为1，自变量是x，故③是对数函数；对于④，底数a2＋a＝2－，当a＝－时，底数小于0，故④不是对数函数.
【答案】 A
2.(2016·重庆高一检测)函数y＝1＋log(x－1)的图象一定经过点( )
A.(1,1)
B.(1,0)
C.(2,1)
D.(2,0)
【解析】 ∵函数y＝logx恒过定点(1,0)，而y＝1＋log(x－1)的图象是由y＝logx的图象向右平移一个单位，向上平移一个单位得到，∴定点(1,0)也是向右平移一个单位，向上平移一个单位，∴定点(1,0)平移以后即为定点(2,1)，故函数y＝1＋log(x－1)恒过的定点为(2,1).故选C.
【答案】 C
3.(2016·漳州高一检测)函数y＝的定义域为( )
【导学号：60210088】
A.(－∞，2)
B.(2，＋∞)
C.(2,3)∪(3，＋∞)
D.(2,4)∪(4，＋∞)
【解析】 要使原函数有意义，则解得x＞2且x≠3，
所以原函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞).故选C.
【答案】 C
4.已知0＜a＜1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是( )
【解析】 函数y＝ax与y＝logax互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，y＝loga(－x)与y＝logax的图象关于y轴对称，又0＜a＜1，根据函数的单调性即可得出.故选D.
【答案】 D
5.函数f
(x)＝loga(x＋2)(0A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】 ∵f
(x)＝loga(x＋2)(0＜a＜1)，∴其图象如下，故选A.
【答案】 A
二、填空题
6.函数f
(x)＝的定义域是________.
【解析】 要使函数f
(x)有意义，则即
则0＜3x－2≤1，解得＜x≤1，故函数的定义域的.
【答案】
7.函数y＝log(2x－1)(x2－6x＋8)的定义域为________.
【解析】 由题意，得
解得
【答案】
8.已知函数y＝log2，下列说法：
①关于原点对称；②关于y轴对称；③过原点.其中正确的是________.
【解析】 由于函数的定义域为(－2,2)，关于原点对称，又f
(－x)＝log2＝－log2＝－f
(x)，故函数为奇函数，故其图象关于原点对称，①正确；因为当x＝0时，y＝0，所以③正确.
【答案】 ①③
三、解答题
9.已知函数f
(x)＝loga(a>0，且a≠1).
(1)求f
(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性.
【解】 (1)要使函数有意义，则有>0，即或
解得x>1或x<－1，
此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称.
(2)f
(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f
(x).
∴f
(x)为奇函数.
10.若函数f
(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f
(x)＝lg(x＋1)，求f
(x)的表达式，并画出大致图象.
【解】 ∵f
(x)为R上的奇函数，∴f
(0)＝0.
又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
∴f
(－x)＝lg(1－x).又f
(－x)＝－f
(x)，∴f
(x)＝－lg(1－x)，
∴f
(x)的解析式为f
(x)＝
∴f
(x)的大致图象如图所示：
[能力提升]
1.满足“对定义域内任意实数x，y，f
(x·y)＝f
(x)＋f
(y)”的函数可以是
( )
A.f
(x)＝x2
B.f
(x)＝2x
C.f
(x)＝log2x
D.f
(x)＝eln
x
【解析】 ∵对数运算律中有logaM＋logaN＝logaMN，∴f
(x)＝log2x，满足“对定义域内任意实数x，y，f
(x·y)＝f
(x)＋f
(y)”.故选C.
【答案】 C
2.(2016·台州高一检测)已知函数f
(x)＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)，若f
(x)的图象如图3 2 2所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致为( )
图3 2 2
【解析】 由二次方程的解法易得(x－a)(x－b)＝0的两根为a、b；根据函数零点与方程的根的关系，可得f
(x)＝(x－a)(x－b)的零点就是a、b，即函数图象与x轴交点的横坐标；观察f
(x)＝(x－a)(x－b)的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间(－∞，－1)与(0,1)上，又由a＞b，可得b＜－1,0＜a＜1；在函数g(x)＝ax＋b中，由0＜a＜1可得其是减函数，又由b＜－1，可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方；分析选项可得A符合这两点，B、C、D均不满足，故选A.
【答案】 A
3.(2016·长春模拟)已知函数y＝f
(x)(x∈R)满足f
(x＋2)＝f
(x)，且当x∈[－1,1]时，f
(x)＝x2，则y＝f
(x)与y＝log7x的图象的交点的个数为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】 因为f
(x＋2)＝f
(x)，所以T＝2，
又因为x∈[－1,1]时，f
(x)＝x2，
利用图象法分别作出y＝f
(x)与y＝log7x的图象可得有6个交点，故选D.
【答案】 D
4.(1)已知函数y＝lg(x2＋2x＋a)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)已知函数f
(x)＝lg[(a2－1)x2＋(2a＋1)x＋1]，若f
(x)的定义域为R，求实数a的取值范围.
【解】 (1)因为y＝lg(x2＋2x＋a)的定义域为R，所以x2＋2x＋a>0恒成立，所以Δ＝4－4a<0，
所以a>1.故a的取值范围是(1，＋∞).
(2)依题意(a2－1)x2＋(2a＋1)x＋1>0对一切x∈R恒成立.
当a2－1≠0时，
解得a<－.
当a2－1＝0时，显然(2a＋1)x＋1>0，对x∈R不恒成立.所以a的取值范围是.学业分层测评(五) 补集及其综合应用
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.若全集U＝{0,1,2,3}且 UA＝{2}，则集合A的真子集共有( )
A.3个
B.5个
C.7个
D.8个
【解析】 A＝{0,1,3}，真子集有23－1＝7.
【答案】 C
2.已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合 U(A∪B)＝( )
A.{x|x≥0}
B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1}
D.{x|0【解析】 由题意可知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以 U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}.
【答案】 D
3.(2015·天津高考)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩ UB＝( )
A.{2,5}
B.{3,6}
C.{2,5,6}
D.{2,3,5,6,8}
【解析】 由题意得 UB＝{2,5,8}，∴A∩ UB＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}.
【答案】 A
4.(2016·中山高一检测)设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,5}，B＝{2,4,6}，则图1 2 2中的阴影部分表示的集合为( )
图1 2 2
A.{2}
B.{4,6}
C.{1,3,5}
D.{4,6,7,8}
【解析】 全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,5}，B＝{2,4,6}，
由韦恩图可知阴影部分表示的集合为( UA)∩B，
∵ UA＝{4,6,7,8}，
∴( UA)∩B＝{4,6}.故选B.
【答案】 B
5.(2016·南阳高一检测)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪( RB)＝R，则实数a的取值范围是( )
A.a≤2
B.a＜1
C.a≥2
D.a＞2
【解析】 ∵集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，
∴ RB＝{x|x≤1或x≥2}，
因为A∪ RB＝R，所以a≥2，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6.(2016·杭州模拟)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则( RS)∪T＝________.
【解析】 ∵集合S＝{x|x>－2}，
∴ RS＝{x|x≤－2}，
由x2＋3x－4≤0，得T＝{x|－4≤x≤1}，
故( RS)∪T＝{x|x≤1}.
【答案】 (－∞，1]
7.已知集合A、B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且 U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩ UB＝________.
【解析】 ∵U＝{1,2,3,4}， U(A∪B)＝{4}，
∴A∪B＝{1,2,3}，
又∵B＝{1,2}，∴{3} A {1,2,3}.
又 UB＝{3,4}，∴A∩ UB＝{3}.
【答案】 {3}
8.设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则 UA与 UB的包含关系是________.
【解析】 UA＝{x|x<0}， UB＝{y|y<1}＝{x|x<1}.∴ UA UB.
【答案】 UA UB
三、解答题
9.(2016·宁波高一检测)设A＝{x∈Z||x|＜6}，B＝{1,2,3}，C＝{3,4,5}，
求：(1)A∪(B∩C)；
(2)A∩ A(B∪C).
【导学号：60210021】
【解】 A＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
(1)由B∩C＝{3}，∴A∪(B∩C)＝A＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}.
(2)由B∪C＝{1,2,3,4,5}， A(B∪C)＝{－5，－4，－3，－2，－1,0}，
∴A∩ A(B∪C)＝{－5，－4，－3，－2，－1,0}.
10.设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求：
(1)A∩B；
(2) RA；
(3) R(A∪B).
【解】 (1)∵A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，
∴A∩B＝{x|3≤x＜7}.
(2)又全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，
∴ RA＝{x|x＜3或x≥7}.
(3)∵A∪B＝{x|2＜x＜10}，
∴ R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}.
[能力提升]
1.(2016·石家庄高一检测)若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )
A.M∪N
B.M∩N
C.( UM)∪( UN)
D.( UM)∩( UN)
【解析】 ∵全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，∴M∪N＝{1,2,3,4}，
则( UM)∩( UN)＝ U(M∪N)＝{5,6}.故选D.
【答案】 D
2.已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合 U(A∪B)中元素个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】 ∵A＝{1,2}，∴B＝{2,4}，
∴A∪B＝{1,2,4}，
∴ U(A∪B)＝{3,5}.
【答案】 B
3.已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若 UA＝{1}，则实数a的值是________.
【导学号：60210022】
【解析】 ∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}， UA＝{1}，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.
【答案】 －1或2
4.(2016·哈尔滨师大附中高一检测)设全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2或x≥5}，B＝{x|x≤2}.求
(1) U(A∪B)；
(2)记 U(A∪B)＝D，C＝{x|2a－3≤x≤－a}，且C∩D＝C，求a的取值范围.
【解】 (1)由题意知，A＝{x|x≤－2或x≥5}，B＝{x|x≤2}，则A∪B＝{x|x≤2或x≥5}，
又全集U＝R， U(A∪B)＝{x|2＜x＜5}.
(2)由(1)得D＝{x|2＜x＜5}，
由C∩D＝C得C D，
①当C＝ 时，有－a＜2a－3，解得a＞1；
②当C≠ 时，有
解得a∈ .
综上，a的取值范围为(1，＋∞).学业分层测评(十) 函数的奇偶性
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.(2016·广州高一检测)函数f
(x)＝－x的图象关于( )
A.y轴对称
B.直线y＝－x对称
C.坐标原点对称
D.直线y＝x对称
【解析】 ∵f
(－x)＝－＋x＝－f
(x)，∴f
(x)＝－x是奇函数，所以f
(x)的图象关于原点对称，故选C.
【答案】 C
2.(2016·洛阳高一检测)设函数f
(x)，g(x)的定义域都为R，且f
(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A.f
(x)g(x)是偶函数
B.|f
(x)|g(x)是奇函数
C.f
(x)|g(x)|是奇函数
D.|f
(x)g(x)|是奇函数
【解析】 ∵f
(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f
(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数.
再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f
(x)|g(x)|为奇函数，故选C.
【答案】 C
3.(2016·济南高一检测)已知f
(x)是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，则f
(－0.5)，f
(－1)，f
(0)的大小关系是( )
【导学号：60210044】
A.f
(－0.5)＜f
(0)＜f
(1)
B.f
(－1)＜f
(－0.5)＜f
(0)
C.f
(0)＜f
(－0.5)＜f
(－1)
D.f
(－1)＜f
(0)＜f
(－0.5)
【解析】 ∵函数f
(x)为偶函数，∴f
(－0.5)＝f
(0.5)，f
(－1)＝f
(1)，又∵f
(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，∴f
(0)＜f
(0.5)＜f
(1)，即f
(0)＜f
(－0.5)＜f
(－1)，故选C.
【答案】 C
4.一个偶函数定义在区间[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图2 1 7，下列说法正确的是( )
图2 1 7
A.这个函数仅有一个单调增区间
B.这个函数有两个单调减区间
C.这个函数在其定义域内有最大值是7
D.这个函数在其定义域内有最小值是－7
【解析】 根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出在[－7,7]上的图象，如图所示，可知这个函数有三个单调增区间；有三个单调减区间；在其定义域内有最大值是7；在其定义域内最小值不是－7.故选C.
【答案】 C
5.设f
(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f
(x＋2)＝－f
(x)，当0≤x≤1时，f
(x)＝x，则f
(7.5)等于( )
A.0.5
B.－0.5
C.1.5
D.－1.5
【解析】 由f
(x＋2)＝－f
(x)，则f
(7.5)＝f
(5.5＋2)＝－f
(5.5)＝－f
(3.5＋2)＝f
(3.5)＝f
(1.5＋2)＝－f
(1.5)＝－f
(－0.5＋2)＝f
(－0.5)＝－f
(0.5)＝－0.5.
【答案】 B
二、填空题
6.(2016·沈阳高一检测)函数f
(x)在R上为偶函数，且x＞0时，f
(x)＝＋1，则当x＜0时，f
(x)＝________.
【解析】 ∵f
(x)为偶函数，x＞0时，f
(x)＝＋1，
∴当x＜0时，－x＞0，
f
(x)＝f
(－x)＝＋1，即x＜0时，f
(x)＝＋1.
【答案】 ＋1
7.若函数f
(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0)上是增函数，且f
(2)＝0，则使得f
(x)＜0的x的取值范围是________.
【解析】 ∵函数f
(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f
(2)＝0，∴f
(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f
(－2)＝f
(2)＝0，∴当x＞2或x＜－2时，f
(x)＜0，如图，即f
(x)＜0的解为x＞2或x＜－2，即不等式的解集为{x|x＞2或x＜－2}.
【答案】 {x|x＞2或x＜－2}
8.已知函数y＝f
(x)是奇函数，若g(x)＝f
(x)＋2，且g(1)＝1，则g(－1)＝________.
【解析】 由g(1)＝1，且g(x)＝f
(x)＋2，
∴f
(1)＝g(1)－2＝－1，
又y＝f
(x)是奇函数.∴f
(－1)＝－f
(1)＝1，
从而g(－1)＝f
(－1)＋2＝3.
【答案】 3
三、解答题
9.若函数f
(x)＝当a为何值时，f
(x)是奇函数？并证明.
【解】 假设f
(x)是奇函数，则有f
(－x)＝－f
(x).
当x>0时，即－x<0，则f
(－x)＝a(－x)2＋(－x)＝ax2－x.
又∵x>0时，f
(x)＝－x2＋x，∴－f
(x)＝x2－x.
∵f
(－x)＝－f
(x)，即ax2－x＝x2－x，∴a＝1.
下面证明f
(x)＝是奇函数.
证明：当x>0时，即－x<0，则f
(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f
(x)；
当x＝0时，f
(0)＝0＝－f
(0)；
当x<0时，即－x>0，则f
(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f
(x)，
于是f
(－x)＝
∴f
(－x)＝－f
(x).
∴假设成立，即a＝1时，f
(x)是奇函数.
10.设定义在[－2,2]上的偶函数f
(x)在区间[0,2]上单调递减，若f
(1－m)(m)，求实数m的取值范围.
【解】 ∵f
(x)是偶函数，∴f
(－x)＝f
(x)＝f
(|x|)，∴不等式f
(1－m)(m)等价于f
(|1－m|)(|m|).
又当x∈[0,2]时，f
(x)是减函数.
∴解得－1≤m<.
故实数m的取值范围为.
[能力提升]
1.若x∈R，n∈N
，规定H＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n－1)，
例如：H＝(－4)·(－3)·(－2)·(－1)＝24，则f
(x)＝x·H的奇偶性为( )
A.是奇函数不是偶函数
B.是偶函数不是奇函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
【解析】 由定义可知，f
(x)＝x·H＝x(x－2)(x－1)x(x＋1)(x＋2)＝x2(x2－1)(x2－4)，因为f
(－x)＝x2(x2－1)(x2－4)＝f
(x)，所以函数f
(x)是偶函数不是奇函数.故选B.
【答案】 B
2.(2016·四平高一检测)若x，y∈R，且f
(x＋y)＝f
(x)＋f
(y)，则( )
【导学号：60210045】
A.f
(0)＝0且f
(x)为奇函数
B.f
(0)＝0且f
(x)为偶函数
C.f
(x)为增函数且为奇函数
D.f
(x)为增函数且为偶函数
【解析】 ∵对任意的x，y∈R，都有f
(x＋y)＝f
(x)＋f
(y)，∴令x＝y＝0，得f
(0)＝f
(0)＋f
(0)＝2f
(0)，
∴f
(0)＝0，令y＝－x，得f
(x－x)＝f
(x)＋f
(－x)＝f
(0)＝0，∴f
(－x)＝－f
(x)，∴函数f
(x)为奇函数.
【答案】 A
3.(2016·德阳高一检测)定义在R上的奇函数f
(x)，满足f
＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf
(x)＞0的解集为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 ∵函数f
(x)是奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f
＝0，
∴f
＝0，且在区间(－∞，0)上单调递减，
∵当－＜x＜0时，f
(x)＜0，此时xf
(x)＞0，当0＜x＜时，f
(x)＞0，此时xf
(x)＞0，
综上，xf
(x)＞0的解集为x或－【答案】 B
4.已知函数f
(x)，当x，y∈R时，恒有f
(x＋y)＝f
(x)＋f
(y).当x＞0时，f
(x)＞0.
(1)求证：f
(x)是奇函数；
(2)若f
(1)＝，试求f
(x)在区间[－2,6]上的最值.
【解】 (1)证明：令x＝0，y＝0，则f
(0)＝2f
(0)，
∴f
(0)＝0.令y＝－x，
则f
(0)＝f
(x)＋f
(－x)，∴f
(x)＝－f
(－x)，即f
(x)为奇函数.
(2)任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
∵f
(x＋y)＝f
(x)＋f
(y)，
∴f
(x2)－f
(x1)＝f
(x2－x1)，
∵当x＞0时，f
(x)＞0，且x1＜x2，
∴f
(x2－x1)＞0，即f
(x2)＞f
(x1)，
∴f
(x)为增函数，
∴当x＝－2时，函数有最小值，f
(x)min＝f
(－2)＝－f
(2)＝－2f
(1)＝－1.
当x＝6时，函数有最大值，f
(x)max＝f
(6)＝6f
(1)＝3.学业分层测评(二十二)
指数函数与对数函数的关系
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.设f
(x)＝3x＋9，则f
－1(x)的定义域是( )
A.(0，＋∞)
B.(9，＋∞)
C.(10，＋∞)
D.(－∞，＋∞)
【解析】 ∵f
(x)＝3x＋9>9，
∴反函数的定义域为(9，＋∞)，故选B.
【答案】 B
2.设a＝x，b＝x－1，c＝logx，若x>1，则a，b，c的大小关系为( )
A.aB.bC.cD.b【解析】 ∵x>1，
∴a＝x<1＝，b＝x－1>0＝1，
∴0∴c【答案】 C
3.已知函数y＝ex的图象与函数y＝f
(x)的图象关于直线y＝x对称，则( )
A.f
(2x)＝e2x(x∈R)
B.f
(2x)＝ln
2·ln
x(x>0)
C.f
(2x)＝2ex(x∈R)
D.f
(2x)＝ln
x＋ln
2(x>0)
【解析】 由y＝ex得f
(x)＝ln
x，
∴f
(2x)＝ln
2x＝ln
2＋ln
x(x>0).
【答案】 D
4.函数y＝x＋2(x∈R)的反函数为( )
A.x＝2－y
B.x＝y－2
C.y＝2－x(x∈R)
D.y＝x－2(x∈R)
【解析】 由y＝x＋2(x∈R)，得x＝y－2(x∈R).互换x，y，得y＝x－2(x∈R).
【答案】 D
5.已知函数y＝log3(3－x)(0≤x<3)，则它的反函数是( )
A.y＝3－3x(x≥0)
B.y＝3＋3x(x≤1)
C.y＝3＋3x(x≥0)
D.y＝3－3x(x≤1)
【解析】 由y＝log3(3－x)，得3－x＝3y，∴x＝3－3y，
∴有f
－1(x)＝3－3x，排除B、C，
∵原函数中0≤x<3，∴0<3－x≤3，
∴y＝log3(3－x)≤1，
所以f
－1(x)的定义域为x≤1，故选D.
【答案】 D
二、填空题
6.若函数f
(x)的反函数为f
－1(x)＝x2(x>0)，则f
(4)＝________.
【导学号：60210091】
【解析】 设f
(4)＝b，则4＝f
－1(b)＝b2且b>0，∴b＝2.
【答案】 2
7.已知函数y＝ax＋b的图象过点(1,4)，其反函数的图象过点(2,0)，则a＝________，b＝________.
【解析】 由函数y＝ax＋b的图象过点(1,4)，得a＋b＝4.
由反函数的图象过点(2,0)，则原函数图象必过点(0,2)，得a0＋b＝2，因此a＝3，b＝1.
【答案】 3 1
8.设函数g(x)的图象与f
(x)＝的图象关于直线y＝x对称，则g(2)的值等于________.
【解析】 ∵g(x)的图象与f
(x)＝的图象关于直线y＝x对称，∴g(x)与f
(x)互为反函数，
由＝2，解得x＝－，
∴g(2)＝－.
【答案】 －
三、解答题
9.求函数y＝2x＋1(x<0)的反函数.
【解】 因为y＝2x＋1,0<2x<1，所以1<2x＋1<2.
所以1由2x＝y－1，得x＝log2(y－1).
所以f
－1(x)＝log2(x－1)(110.已知f
(x)＝loga(ax－1)(a>0，且a≠1).
(1)求f
(x)的定义域；
(2)讨论f
(x)的单调性；
(3)解方程f
(2x)＝f
－1(x).
【解】 (1)要使函数有意义，必须ax－1>0，
当a>1时，x>0；
当0∴当a>1时，f
(x)的定义域为(0，＋∞)；
当0(x)的定义域为(－∞，0).
(2)当a>1时，设0故0∴loga(ax1－1)∴f
(x1)(x2).
故当a>1时，f
(x)在(0，＋∞)上是增函数；
类似地，当0(x)在(－∞，0)上为增函数.
(3)令y＝loga(ax－1)，则ay＝ax－1，
∴x＝loga(ay＋1).
∴f
－1(x)＝loga(ax＋1).
由f
(2x)＝f
－1(x)，得loga(a2x－1)＝loga(ax＋1)，
∴a2x－1＝ax＋1，
解得ax＝2或ax＝－1(舍去)，∴x＝loga2.
[能力提升]
1.设a＝log32，b＝ln
2，c＝5－，则( )
A.a＜b＜c
B.b＜c＜a
C.c＜a＜b
D.c＜b＜a
【解析】 a＝log32＝，b＝ln
2＝，而log23＞log2e＞1，所以a＜b.又c＝5－＝，而＞2＝log24＞log23，所以c＜a.综上知c＜a＜b.
【答案】 C
2.设函数f
(x)＝loga(x＋b)
(a>0，且a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则a＋b等于( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解析】 f
(x)＝loga(x＋b)的反函数为f
－1(x)＝ax－
b，又f
(x)过点(2,1)，∴f
－1(x)过点(1,2)，
∴
解得或
又a>0，∴
∴a＋b＝4.
【答案】 B
3.函数y＝的反函数是________.
【导学号：60210092】
【解析】 当x<0时，y＝x＋1的反函数是y＝x－1，x<1；
当x≥0时，y＝ex的反函数是y＝ln
x，x≥1.
故原函数的反函数为y＝
【答案】 y＝
4.设a>0，且a≠1，函数y＝ax2－2x＋3有最大值，求函数f
(x)＝loga(3－2x)的单调区间.
【解】 设t＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2.
当x∈R时，t有最小值，为2.
∵y＝ax2－2x＋3有最大值，∴0由f
(x)＝loga(3－2x)，得其定义域为.
设u(x)＝3－2x，x∈，则f
(x)＝logau(x).
∵u(x)＝3－2x在上是减函数，0∴f
(x)＝logau(x)在上是增函数.
∴f
(x)＝loga(3－2x)的单调增区间为，无单调减区间.学业分层测评(十二)
二次函数性质与图象
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.函数y＝x2－2x＋m的单调增区间为( )
A.(－∞，＋∞)
B.[1，＋∞)
C.(－∞，1]
D.[0，＋∞)
【解析】 此二次函数的图象开口向上，且对称轴为x＝1，所以其单调增区间为[1，＋∞).
【答案】 B
2.若抛物线y＝x2－(m－2)x＋m＋3的顶点在y轴上，则m的值为( )
A.－3
B.3
C.－2
D.2
【解析】 因为抛物线y＝x2－(m－2)x＋m＋3的顶点在y轴上，所以顶点横坐标－＝＝0，故m＝2.
【答案】 D
3.设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，
f
(x)＝则f
(x)的值域是( )
A.∪(1，＋∞)
B.[0，＋∞)
C.
D.∪(2，＋∞)
【解析】 当x<－1或x>2时，f
(x)＝2＋>2，当－1≤x≤2时，f
(x)＝2－∈.故选D.
【答案】 D
4.已知偶函数f
(x)的定义域为R，且在(－∞，0)上是增函数，则f
与f
(a2－a＋1)的大小关系为( )
A.f
＜f
(a2－a＋1)
B.f
＞f
(a2－a＋1)
C.f
≤f
(a2－a＋1)
D.f
≥f
(a2－a＋1)
【解析】 ∵a2－a＋1＝2＋≥，
又∵f
(x)在(0，＋∞)上为减函数，
∴f
(a2－a＋1)≤f
＝f
，故选D.
【答案】 D
5.函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最大值小于0，那么( )
【导学号：60210050】
A.a<0且b2－4ac>0
B.a<0且b2－4ac<0
C.a>0且b2－4ac＜0
D.a>0且b2－4ac>0
【解析】 根据二次函数的图象形状可知：开口向下且与x轴无交点.即a<0，Δ＝b2－4ac<0，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6.已知函数y＝(m2－3m)xm2－2m＋2是二次函数，则m＝________，此时函数的值域为________.
【解析】 由题意得
∴
∴m＝2，此时y＝－2x2.
故值域为{y|y≤0}.
【答案】 2 {y|y≤0}
7.函数f
(x)＝2x2－6x＋1在区间[－1,2]上的最小值是
________，最大值是________.
【解析】 函数f
(x)＝22－，开口向上，则在[－1,2]上先减再增，f
(x)min＝f
＝－，－1距离对称轴比2远.
∴f
(x)max＝f
(－1)＝9.
【答案】 － 9
8.函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b]上(a【解析】 ∵y＝－x2＋6x＋9的对称轴为x＝3，而a∴函数在[a，b]上单调递增.
∴
解得
又∵a∴a＝－2，b＝0.
【答案】 －2 0
三、解答题
9.(1)若函数f
(x)＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
(2)若函数f
(x)＝x2＋(2a－1)x＋1的单调递减区间是(－∞，2]，求实数a的值.
【解】 (1)该函数的对称轴是x＝.
所以该函数的递减区间是，递增区间是.
由题意知(－∞，2] ，
∴≥2，∴a≤－.
(2)由题意知＝2，
∴a＝－.
10.已知函数f
(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5].
(1)求实数a的取值范围，使得y＝f
(x)在区间[－5,5]上是单调函数；
(2)求f
(x)的最小值.
【解】 (1)f
(x)＝(x＋a)2＋2－a2，
可知f
(x)的图象开口向上，对称轴方程为x＝－a，要使f
(x)在[－5,5]上单调，则－a≤－5或－a≥5，
即a≥5或a≤－5.
(2)当－a≤－5，即a≥5时，f
(x)在[－5,5]上是增函数，
所以f
(x)min＝f
(－5)＝27－10a.
当－5<－a≤5，即－5≤a<5时，
f
(x)min＝f
(－a)＝2－a2，
当－a>5，即a<－5时，f
(x)在[－5,5]上是减函数，
所以f
(x)min＝f
(5)＝27＋10a，
综上可得，f
(x)min＝
[能力提升]
1.已知函数f
(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f
(1)的取值范围是( )
A.f
(1)≥25
B.f
(1)＝25
C.f
(1)≤25
D.f
(1)>25
【解析】 f
(x)图象的对称轴方程为x＝.
∵f
(x)在[－2，＋∞)上是增函数，
∴≤－2，∴m≤－16，
∴－m≥16，∴9－m≥25.
∴f
(1)＝4－m＋5＝9－m≥25.故选A.
【答案】 A
2.一道不完整的数学题如下：
已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过(1,0)，…求证这个二次函数的图象关于直线x＝2对称.
根据已知信息，题中二次函数图象不具有的性质是( )
A.过点(3,0)
B.顶点为(2，－2)
C.在x轴上截得线段长是2
D.与y轴交点是(0,3)
【解析】 ∵图象关于x＝2对称，且过(1,0)点，
∴另一点是(3,0)且在x轴上截得线段长为2，
假设顶点(2，－2)，则y＝a(x－2)2－2，
∵过点(1,0)，
∴a＝2与y＝x2＋bx＋c矛盾.∴选B.
【答案】 B
3.二次函数y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得二次函数的解析式为y＝x2－3x＋5的图象，则b＝________，c＝________.
【解析】 ∵y＝x2－3x＋5＝2＋，将其图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得二次函数为y＝2＋＋2的图象，即y＝x2＋3x＋7的图象，所以b＝3，c＝7.
【答案】 3 7
4.已知点A(－1，－1)在抛物线f
(x)＝(k2－1)x2－2(k－2)x＋1上.
【导学号：60210051】
(1)求抛物线的对称轴；
(2)求抛物线上A点关于对称轴对称的点B的坐标；
(3)不直接计算函数值，试比较f
(－4)与f
(3)的大小.
【解】 (1)∵－1＝k2－1＋2(k－2)＋1，
∴k2＋2k－3＝0，∴k＝1或k＝－3.
∵k＝1时，k2－1＝0，不合题意，
∴k＝－3，
∴f
(x)＝8x2＋10x＋1，
∴对称轴为x＝－.
(2)设B(x0，y0)，则
∴∴B.
(3)∵>，∴f
(3)>f
(－4).学业分层测评(七) 映射与函数
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.设集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则从A到B的映射个数共有( )
A.2
B.4
C.6
D.8
【解析】 从A到B的映射有4个，如图所示：
【答案】 B
2.下列对应法则中，能建立从集合A＝{1,2,3,4,5}到集合B＝{0,3,8,15,24}的映射的是( )
A.f：x→x2－x
B.f：x→x＋(x－1)2
C.f：x→x2＋1
D.f：x→x2－1
【解析】 集合B中的每个元素都可以写成x2－1的形式.
【答案】 D
3.下列集合A到集合B中的对应f是映射的为( )
A.A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方
B.A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开平方
C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D.A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值
【解析】 在B项中，集合A中的元素1在B中有±1两个元素与之对应，∴B项不正确.C项中，集合A中的元素0没有倒数，∴C项不正确.D项中，集合A中的元素0的绝对值仍然是0，而0 B，∴D项不正确.
【答案】 A
4.设f：A→B是集合A到B的映射，其中A＝{x|x>0}，B＝R，且f：x→x2－2x－1，则A中元素1＋的象和B中元素－1的原象分别为( )
A.，0或2
B.0,2
C.0,0或2
D.0,0或
【解析】 x＝1＋时，x2－2x－1＝(1＋)2－2(1＋)－1＝0.∴1＋的象为0.当x2－2x－1＝－1时，x＝0或2.∵x>0，∴x＝2，即－1的原象是2.
【答案】 B
5.(2016·南阳高一检测)若集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，则下列对应法则中不能从P到Q建立映射的是( )
【导学号：60210033】
A.y＝x
B.y＝x
C.y＝x
D.y＝x
【解析】 在y＝x中，在P中取x＝4，在Q中没有y＝与之相对应，
∴在y＝x这个对应法则中不能从P到Q建立映射.故选A.
【答案】 A
二、填空题
5.设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B表示把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，象20的原象是________.
【解析】 ∵20＝2n＋n，∴n＝4.
【答案】 4
6.已知A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b是从A到B的映射，若1和8的原象分别为3和10，则5的象是________.
【解析】 由题可得解得∴y＝x－2，∴5的象为：f(5)＝5－2＝3.
【答案】 3
7.已知映射f：A→B，其中A＝R＝B，对应法则f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是________.
【解析】 ∵y＝－x2＋2x＝－x2＋2x－1＋1＝－(x－1)2＋1，∴y≤1.
∵k∈R，且在集合A中不存在原象，∴k>1.
【答案】 k>1
三、解答题
8.已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f：x→y＝ax＋b，若8和14的原象分别是1和3，求5在f作用下的象.
【解】 ∵8和14的原象分别为1和3，
即解得
∴f：x→y＝3x＋5.
又∵x＝5，∴y＝3×5＋5＝20.
故5在f作用下的象为20.
9.已知集合A＝{a，b}，集合B＝{c，d，e}.
(1)试建立一个从A到B的映射；
(2)从A到B的映射共有多少个？
【解】 (1)如图答案不唯一.
(2)由于映射的对应形式只有“一对一”“多对一”两种情况，故从A到B的映射有9种情况，如图所示.
[能力提升]
1.已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是( )
A.4
B.5
C.6
D.7
【解析】 ∵a∈A，∴|a|＝1,2,3,4，
即B＝{1,2,3,4}.
【答案】 A
2.已知点C(x，y)在映射f下的象为(，)，则点(2,0)在f作用下的原象是( )
A.(0,2)
B.(2,0)
C.(－，1)
D.(，1)
【解析】 由题意知
解得
所以原象为(，1)，故选D.
【答案】 D
3.设M＝{a，b}，N＝{－2,0,2}，则从M到N的映射中满足f(a)≥f(b)的映射f的个数为________.
【导学号：60210034】
【解析】 由f(a)≥f(b)知，f(a)>f(b)或f(a)＝f(b)，
当f(a)>f(b)时，有或或，共3种可能；
当f(a)＝f(b)时，有f(a)＝f(b)＝0,2，－2，共3种可能.
综上所述，满足条件f(a)≥f(b)的映射有6个.
【答案】 6
4.某学习小组共有5名学生，一次期末考试语文、数学、外语成绩如表格所示：
科目姓名
语文
数学
外语
总分
张军
100
100
100
300
李伟
90
90
90
270
刘平
110
110
110
330
王刚
80
80
80
240
李明
70
70
70
210
试问：若以5名同学组成集合A，各科成绩组成集合B，总分组成集合C.
(1)集合A到集合B是映射吗？集合B到集合A呢？
(2)集合A到集合C是映射吗？是一一映射吗？若是映射，是函数吗？
【解】 (1)集合A到集合B不是映射，因为每名同学对应三个成绩；而集合B到A是映射，其中每三个成绩对应一名同学，是多对一，符合映射定义.
(2)集合A到集合C是映射，且是一一映射，因为集合A中每一名同学在集合C中都有唯一一个总分与之对应，故是映射，又集合C中的每一个总分，在集合A中都有唯一的同学(原象)对应，故是一一映射.该映射不是函数，因为集合A不是数集.学业分层测评(十八)
指数函数
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值是( )
A.4
B.1或3
C.3
D.1
【解析】 由题意得得a＝3，故选C.
【答案】 C
2.下列各函数中，是指数函数的是( )
A.y＝(－3)x
B.y＝－3x
C.y＝3x－1
D.y＝x
【解析】 根据指数函数的定义y＝ax(a>0且a≠1)，可知只有D项正确.故选D.
【答案】 D
3.(2016·蚌埠高一检测)函数f
(x)＝2|x|－1在区间[－1,2]上的值域是( )
【导学号：60210077】
A.[1,4]
B.
C.[1,2]
D.
【解析】 函数f
(x)＝2t－1在R上是增函数，∵－1≤x≤2，∴0≤|x|≤2，∴t∈[0,2]，
∴f
(0)≤f
(t)≤f
(2)，即≤f
(t)≤2，∴函数的值域是，故选B.
【答案】 B
4.函数y＝a|x|(a>1)的图象是( )
【解析】 当x≥0时，y＝a|x|的图象与指数函数y＝ax(a>1)的图象相同，当x<0时，y＝a|x|与y＝a－x的图象相同，由此判断B正确.
【答案】 B
5.如图3 1 1是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是( )
图3 1 1
A.a＜b＜1＜c＜d
B.b＜a＜1＜d＜c
C.1＜a＜b＜c＜d
D.a＜b＜1＜d＜c
【解析】 法一 当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴，得b＜a＜1＜d＜c.
法二 令x＝1，由题图知c1＞d1＞a1＞b1，∴b＜a＜1＜d＜c.
【答案】 B
二、填空题
6.指数函数f
(x)＝ax＋1的图象恒过定点________.
【解析】 由函数y＝ax恒过(0,1)点，可得当x＋1＝0，即x＝－1时，y＝1恒成立，故函数恒过点(－1,1).
【答案】 (－1,1)
7.函数f
(x)＝3的定义域为________.
【解析】 由x－1≥0可得x≥1，所以函数f
(x)＝3的定义域为[1，＋∞).
【答案】 [1，＋∞)
8.函数y＝x2－1的值域为________.
【解析】 因为x2－1≥－1，所以0【答案】 (0,2]
三、解答题
9.设f
(x)＝3x，g(x)＝x.
(1)在同一坐标系中作出f
(x)，g(x)的图象；
(2)计算f
(1)与g(－1)，f
(π)与g(－π)，f
(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
【解】 (1)函数f
(x)，g(x)的图象如图所示：
(2)f
(1)＝31＝3，g(－1)＝－1＝3，
f
(π)＝3π，g(－π)＝－π＝3π，
f
(m)＝3m，g(－m)＝－m＝3m.
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称.
10.已知函数f
(x)＝b·ax(其中a，b为常数且a＞0，a≠1)的图象经过点A(1,8)，B(3,32).
(1)求f
(x)的解析式；
(2)若不等式x＋x＋1－2m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围.
【解】 (1)把点A(1,8)，B(3,32)代入函数f
(x)＝b·ax，可得求得∴f
(x)＝4·2x.
(2)不等式x＋x＋1－2m≥0，
即m≤·2＋·x＋.
令t＝x，则m≤·t2＋t＋.
记g(t)＝·t2＋t＋＝·2＋，
由x∈(－∞，1]，可得t≥.
故当t＝时，函数g(t)取得最小值为.
由题意可得，m≤g(t)min，∴m≤.
[能力提升]
1.已知f
(x)＝2|x－1|，该函数在区间[a，b]上的值域为[1,2]，记满足该条件的实数a、b所形成的实数对为点P(a，b)，则由点P构成的点集组成的图形为( )
图3 1 2
A.线段AD
B.线段AB
C.线段AD与线段CD
D.线段AB与BC
【解析】 ∵函数f
(x)＝2|x－1|的图象为开口方向朝上，以x＝1为对称轴的曲线，如图(1)，
当x＝1时，函数取最小值1，若y＝2|x－1|＝2，则x＝0，或x＝1，而函数y＝2|x－1|在闭区间[a，b]上的值域为[1,2]，则或则有序实数对(a，b)在坐标平面内所对应点组成的图形为图(2)，
故选C.
(1) (2)
【答案】 C
2.函数y＝(0【解析】 由函数式可知当x>0时，y＝ax(0【答案】 D
3.(2016·郴州高一检测)函数f
(x)＝的值域是________.
【导学号：60210078】
【解析】 函数y＝f
(x)＝，即有3x＝，由于3x＞0，则＞0，
解得0＜y＜1，值域为(0,1).
【答案】 (0,1)
4.已知f
(x)为定义在(－1,1)上的奇函数，当x∈(0,1)时，f
(x)＝2x2－2x.
(1)求f
(x)在(－1,1)上的解析式；
(2)求函数f
(x)的值域.
【解】 (1)∵f
(x)在(－1,1)上为奇函数，f
(0)＝0，
当x∈(－1,0)时，即－x∈(0,1)，f
(－x)＝2x2＋2x＝－f
(x)，
∴f
(x)＝－2x2＋2x.
∴f
(x)＝
(2)当x∈(0,1)时，由复合函数的单调性可知，f
(x)＝2x2－2x在(0,1)上单调递减，∴f
(x)∈.
∵f
(x)为奇函数，∴当x∈(－1,0)时，
∴f
(x)∈，
∴综上所述，f
(x)的值域为∪.章末综合测评(一) 集合
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A.4
B.2
C.0
D.0或4
【解析】 由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合题意舍去).
【答案】 A
2.集合A＝{x∈Z|－2≤x<3}用列举法可表示为( )
A.{－1,0,1,2}
B.{0,1,2}
C.{－2，－1,0,1,2}
D.{－2,0,1,2,3}
【解析】 A＝{x∈Z|－2≤x<3}＝{－2，－1,0,1,2}.
【答案】 C
3.若集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集个数为( )
A.2
B.3
C.4
D.16
【解析】 A∩B＝{1,3}，故A∩B的子集有4个.
【答案】 C
4.下面说法中正确的个数是( )
①集合N＋中最小的数是1；
②若－a N＋，则a∈N＋；
③若a∈N＋，b∈N＋，则a＋b的最小值是2；
④x2＋4＝4x的解集是由“2,2”组成的集合.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】 N＋是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a N＋，且a N＋，故②错；若a∈N＋，则a的最小值是1，又b∈N＋，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的，故①③正确.
【答案】 C
5.已知集合M＝{1,0，－1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M}，则集合M与集合N的关系是( )
A.M＝N
B.M?N
C.M?N
D.以上都不正确
【解析】 由于M＝{1,0，－1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M}＝{1,0，－1}，故有M＝N.
【答案】 A
6.下面给出的几个关系中：①{ } {a，b}；②{(a，b)}＝{a，b}；③{a，b} {b，a}；④ {0}.正确的是( )
A.①③
B.②③
C.③④
D.②④
【解析】 显然①②错误；因为{a，b}＝{b，a}，所以③正确；又空集是任何集合的子集，④正确.
【答案】 C
7.已知全集U＝A∪B中有m个元素，( UA)∪( UB)中有n个元素.若A∩B是非空集合，则A∩B的元素个数为( )
A.mn
B.m＋n
C.n－m
D.m－n
【解析】 画出Venn图，如图.
∵U＝A∪B中有m个元素，
( UA)∪( UB)＝ U(A∩B)中有n个元素，
∴A∩B中有m－n个元素.
【答案】 D
8.如图1，I为全集，M，P，S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是
( )
图1
A.(M∩P)∩S
B.(M∩P)∪S
C.(M∩P)∩( IS)
D.(M∩P)∪( IS)
【解析】 设阴影部分为集合A，显然A P，A M，但AS，故选C.
【答案】 C
9.已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0【导学号：60210024】
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】 由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，
∴A＝{1,2}.
由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个.
【答案】 D
10.对于集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A，且x B}，A B＝(A－B)∪(B－A).设M＝{1,2,3,4,5,6}，N＝{4,5,6,7,8,9,10}，则M
N中元素个数为( )
A.5
B.6
C.7
D.4
【解析】 ∵M＝{1,2,3,4,5,6}，N＝{4,5,6,7,8,9,10}，
∴M－N＝{x|x∈M，且x N}＝{1,2,3}，
N－M＝{x|x∈N，且x M}＝{7,8,9,10}.
∴M N＝(M－N)∪(N－M)＝{1,2,3}∪{7,8,9,10}＝{1,2,3,7,8,9,10}.
【答案】 C
11.设集合U＝{a，b，c}，则满足条件 U(M∪N)＝{c}的集合M和N有( )
A.5组
B.7组
C.9组
D.11组
【解析】 由题意知：M∪N＝{a，b}，故集合M和N可以为：
共9组.
【答案】 C
12.集合A＝{x|－2≤x≤a}，B＝{y|y＝2x＋3，x∈A}，C＝{y|y＝x2，x∈A}，且C B，则实数a的取值范围是( )
A.≤a≤3
B.－≤a≤3
C.2≤a≤3
D.－1≤a≤3
【解析】 因为－2≤x≤a，所以－1≤2x＋3≤2a＋3，所以B＝{y|－1≤y≤2a＋3}，
当－2≤a≤0时，C＝{y|a2≤y≤4}，因为－1≤2a＋3≤3，不可能有C B；
当0为使C B，应有2a＋3≥4，解得a≥，所以≤a≤2；当a>2时，C＝{y|0≤y所以有2【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13.设参加某会议的代表构成集合A，其中的全体女代表构成集合B，全体男代表构成集合C，则B∪C＝________.(填“A”或“B”或“C”)
【解析】 B∪C表示参加该会议的全体女代表和全体男代表构成的集合即为集合A，故B∪C＝A.
【答案】 A
14.设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为____.
【解析】 由题意知，a2＋4>3，故a＋2＝3，即a＝1，经验证，a＝1符合题意，∴a＝1.
【答案】 1
15.定义集合运算A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{－1，0,1}，B＝{2
014,2
015}，则集合A×B中的元素个数为________.
【解析】 ∵A＝{－1,0,1}，B＝{2
014,2
015}，
∴A×B＝{(－1,2
014)，(－1,2
015)，(0,2
014)，(0，2
015)，(1,2
014)，(1,2
015)}，
因此A×B中的元素个数为6.
【答案】 6
16.某高级中学高三特长班有100名学生，其中学绘画的学生67人，学音乐的学生65人，则同时学绘画和音乐的学生至少有________人.
【解析】 设该高级中学高三特长班的100名学生构成全集U，学绘画的学生构成集合A，学音乐的学生构成集合B，同时学绘画和音乐的学生有x人，则学绘画但不学音乐的学生有(67－x)人，学音乐但不学绘画的学生有(65－x)人，如图所示，
则A∪B中的人数是(67－x)＋x＋(65－x)＝132－x.
又A∪B中的人数不大于全集U中的人数，则132－x≤100，解得x≥32，所以同时学绘画和音乐的学生至少有32人.
【答案】 32
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知全集U＝{0,1,2,3}，集合A＝{1，m}，集合B＝{1,0}，集合C＝{1,2}，且A＝B.
(1)求实数m的值；
(2)求A∩C，A∪C，C∩ UA.
【解】 (1)由于A＝B，即{1，m}＝{1,0}，则有m＝0.
(2)由(1)知A＝{0,1}，则 UA＝{2,3}，
所以A∩C＝{0,1}∩{1,2}＝{1}，
A∪C＝{0,1}∪{1,2}＝{0,1,2}，
C∩ UA＝{1,2}∩{2,3}＝{2}.
18.(本小题满分12分)已知全集U为R，集合A＝{x|01}.求：
(1)A∩B；
(2)( UA)∩( UB).
【解】 结合数轴(数轴略)可得， UA＝{x|x≤0或x>2}，
UB＝{x|－3≤x≤1}，A∪B＝{x|x<－3或x>0}.
所以：(1)A∩B＝{x|1(2)( UA)∩( UB)＝{x|－3≤x≤0}.
19.(本小题满分12分)设二次方程x2＋ax＋b＝0和x2＋cx＋15＝0的解集分别是A和B，又A∪B＝{3,5}，A∩B＝{3}，求a，b，c的值.
【解】 ∵A∩B＝{3}，∴3一定为方程x2＋cx＋15＝0的根，于是c＝－8，将c＝－8代回方程得方程的两根为3,5，
又∵A∪B＝{3,5}，A∩B＝{3}，
∴方程x2＋ax＋b＝0有两个相等的实数根为3，
∴3＋3＝－a,3×3＝b.
∴a＝－6，b＝9，c＝－8.
20.(本小题满分12分)已知集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1，或x>5}，全集U＝R.
(1)若A∩B＝ ，求实数a的取值范围；
(2)若 UB A，求实数a的取值范围.
【解】 (1)∵a∴A≠ .
又A∩B＝ ，则－1≤a≤2.
(2)∵B＝{x|x<－1，或x>5}，
∴ UB＝{x|－1≤x≤5}，若A UB，
则
∴－1≤a≤2.
故 UB A时，实数a的取值范围为a<－1或a>2.
21.(本小题满分12分)已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|1≤2x＋5≤15},
【导学号：60210025】
(1)已知a＝3，求( RP)∩Q；
(2)若P∪Q＝Q，求实数a的取值范围.
【解】 (1)∵a＝3，∴集合P＝{x|4≤x≤7}，
∴ RP＝{x|x<4或x>7}，
Q＝{x|1≤2x＋5≤15}＝{x|－2≤x≤5}，
∴( RP)∩Q＝{x|－2≤x<4}.
(2)∵P∪Q＝Q，∴P Q.
①当a＋1>2a＋1，即a<0时，P＝ ，∴P Q；
②当a≥0时，∴P Q，∴
综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤2}.
22.(本小题满分12分)已知A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}.若B∪A≠A，求实数a的取值范围.
【解】 若B∪A＝A，则B A，又因为A＝{x|x2－2x－8＝0}＝{－2,4}，所以集合B有以下三种情况：
①当B＝ 时，Δ＝a2－4(a2－12)<0，即a2>16，
∴a<－4或a>4.
②当B是单元素集时，Δ＝a2－4(a2－12)＝0，
∴a＝－4或a＝4.
若a＝－4，则B＝{2} A；若a＝4，则B＝{－2} A.
∴a＝4.
③当B＝{－2,4}时，－2,4是方程x2＋ax＋a2－12＝0的两根，
∴
∴a＝－2.
综上可得，B∪A＝A时，a的取值范围为a<－4或a＝－2或a≥4.
∴满足B∪A≠A的实数a的取值范围为{a|－4≤a<4，且a≠－2}.学业分层测评(六) 变量与函数的概念
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]，那么集合{(x，y)|y＝f(x)，x∈[a，b]}∩{(x，y)|x＝2}中元素的个数为( )
A.1
B.0
C.1或0
D.1或2
【解析】 从函数观点看，问题是求函数y＝f(x)，x∈[a，b]的图象与直线x＝2的交点个数(这是一个数到形的转化)，不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“唯一确定”的规定得到的，这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的.
这里给出了函数y＝f(x)的定义域是[a，b]，但未明确给出1与[a，b]的关系，当1∈[a，b]时有1个交点，当1 [a，b]时没有交点，故选C.
【答案】 C
2.(2016·中山高一检测)下列四组函数中表示同一函数的是( )
A.f(x)＝x，g(x)＝()2
B.f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2
C.f(x)＝，g(x)＝|x|
D.f(x)＝0，g(x)＝＋
【解析】 ∵y＝x(x∈R)与g(x)＝()2(x≥0)两个函数的定义域不一致，
∴A中两个函数不表示同一函数；∵f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2两个函数的对应法则不一致，∴B中两个函数不表示同一函数；∵f(x)＝＝|x|与g(x)＝|x|，两个函数的定义域均为R，∴C中两个函数表示同一函数；f(x)＝0，g(x)＝＋＝0(x＝1)两个函数的定义域不一致，∴D中两个函数不表示同一函数，故选C.
【答案】 C
3.函数y＝＋的定义域为( )
A.{x|x≤1}
B.{x|x≥0}
C.{x|x≥1或x≤0}
D.{x|0≤x≤1}
【解析】 由题意可知解得0≤x≤1.
【答案】 D
4.(2016·三明高一检测)下列四个区间能表示数集A＝{x|0≤x＜5或x＞10}的是( )
A.(0,5)∪(10，＋∞)
B.[0,5)∪(10，＋∞)
C.(5,0]∪[10，＋∞)
D.[0,5]∪(10，＋∞)
【解析】 根据区间的定义可知数集A＝{x|0≤x＜5或x＞10}可以用区间[0,5)∪(10，＋∞)表示.故选B.
【答案】 B
5.若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正常数，且f[f(－1)]＝－1，那么a的值是
( )
A.1
B.0
C.－1
D.2
【解析】 f(－1)＝a·(－1)2－1＝a－1，f[f(－1)]＝a·(a－1)2－1＝a3－2a2＋a－1＝－1.
∴a3－2a2＋a＝0，∴a＝1或a＝0(舍去).
【答案】 A
二、填空题
6.已知f(x)＝x2＋x＋1，则f()＝________.
【解析】 ∵f(x)＝x2＋x＋1，∴f()＝()2＋＋1＝3＋.
【答案】 3＋
7.若A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝________.
【导学号：60210029】
【解析】 由A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，得A＝[－1，＋∞)，B＝[1，＋∞)，∴A∩B＝[1，＋∞).
【答案】 [1，＋∞)
8.已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝f＋f(x－1)的定义域是________.
【解析】 由题意知即从而0＜x＜2，
于是函数g(x)的定义域为(0,2).
【答案】 (0,2)
三、解答题
9.求下列函数的定义域：
(1)y＝＋；
(2)y＝.
【解】 (1)由已知得∴
∴－≤x≤，∴函数的定义域为.
(2)由已知得：
∵|x＋2|－1≠0，∴|x＋2|≠1，即x≠±1，－3，
∴函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3，－1)∪(－1，＋∞).
10.已知函数f(x)＝x2＋1，x∈R.
(1)分别计算f(1)－f(－1)，f(2)－f(－2)，f(3)－f(－3)的值；
(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明.
【解】 (1)f(1)－f(－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0；
f(2)－f(－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0；
f(3)－f(－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0.
(2)由(1)可发现结论：对任意x∈R，有f(x)－f(－x)＝0.
证明如下：
∵f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，
∴对任意x∈R，总有f(x)－f(－x)＝0.
[能力提升]
1.下列式子中不能表示函数y＝f(x)的是( )
A.x＝y2＋1
B.y＝2x2＋1
C.x－2y＝6
D.x＝
【解析】 对于选项A，若x＝5，则y＝±2，不满足函数定义中的唯一性.
【答案】 A
2.已知f(x)满足f(x)＋f(y)＝f(xy)，且f(5)＝m，f(7)＝n，即f(175)＝________.
【解析】 ∵f(x)满足f(x)＋f(y)＝f(xy)，且f(5)＝m，f(7)＝n，∴把x＝5，y＝7代入得f(5)＋f(7)＝f(35)，∴m＋n＝f(35)，把y＝35代入得f(5)＋f(35)＝f(175)，
∴m＋m＋n＝f(175)，即2m＋n＝f(175)，∴f(175)＝2m＋n.
【答案】 2m＋n
3.若函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(2x)＋f的定义域为________.
【导学号：60210030】
【解析】 由得
即x∈.
【答案】
4.已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值；
(2)求证：f(x)＋f是定值；
(3)求f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2
016)＋f的值.
【解】 (1)∵f(x)＝，
∴f(2)＋f＝＋＝1，
f(3)＋f＝＋＝1.
(2)证明：f(x)＋f＝＋＝＋＝＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f＝1，
∴f(2)＋f＝1，f(3)＋f＝1，f(4)＋f＝1，…，f(2
016)＋f＝1.
∴f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2
016)＋f＝2
015.学业分层测评(二十) 对数的运算
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知a＝log32，则log38－2log36＝( )
A.a－2
B.5a－2
C.3a－(1＋a)2
D.3a－a2－1
【解析】 log38－2log36＝3log32－2(log32＋log33)＝3a－2(a＋1)＝a－2.
【答案】 A
2.(2016·承德高一检测)若lg
a，lg
b是方程3x2＋6x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于( )
A.2
B.
C.
D.
【解析】 ∵lg
a，lg
b是方程3x2＋6x＋1＝0的两个实根，由韦达定理得：lg
a＋lg
b＝－2，∴ab＝.故选C.
【答案】 C
3.(2016·青岛高一检测)已知函数f
(x)＝则f
(log27)＝
( )
A.
.
C.
.
【解析】 因为log27>1，所以f
(log27)＝f
(log27－1)＝f
＝f
＝f
.
而log2<1，所以f
＝2log2＝.
【答案】 C
4.若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则logabcx的值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】 logax＝＝2，∴logxa＝.
同理logxb＝，logxc＝.
logabcx＝＝＝1.
【答案】 A
5.已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为( )
【导学号：60210084】
A.6
B.9
C.12
D.18
【解析】 ∵2a＝3b＝k(k≠1)，∴a＝log2k，b＝log3k，
∴＝logk2，＝logk3，
∵2a＋b＝ab，∴＋＝2logk3＋logk2＝logk9＋logk2＝logk18＝1，∴k＝18.
【答案】 D
二、填空题
6.已知3a＝2,3b＝，则32a－b＝________.
【解析】 ∵3a＝2,3b＝，两边取对数得a＝log32，b＝log3＝－log35，
∴2a－b＝2log32＋log35＝log320，∴32a－b＝20.
【答案】 20
7.计算100
－log98·log4＝________.
【解析】 100－log98·log4＝10lg
9÷10lg
4－·
＝－·＝－＝2.
【答案】 2
8.已知x，y∈(0,1)，若lg
x＋lg
y＝lg(x＋y)，则lg(1－x)＋lg(1－y)＝________.
【解析】 lg(x＋y)＝lg
x＋lg
y＝lg(xy) x＋y＝xy，
lg(1－x)＋lg(1－y)＝lg[(1－x)(1－y)]＝lg(1－x－y＋xy)＝lg
1＝0.
【答案】 0
三、解答题
9.求值：(1)lg
52＋lg
8＋lg
5·lg
20＋(lg
2)2；
(2)log89·log2732－()lg
1＋log535－log57.
【解】 (1)原式＝2lg
5＋2lg
2＋2lg
5lg
2＋(lg
5)2＋(lg
2)2＝2(lg
5＋lg
2)＋(lg
5＋lg
2)2＝2＋1＝3.
(2)log89·log2732－()lg
1＋log535－log57＝×－1＋log5＝×－1＋1＝.
10.2015年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%，那么过多少年后国民生产总值是2015年的2倍(lg
2≈0.301
0，lg
1.08≈0.033
4，精确到1年).
【解】 设经过x年国民生产总值为2015年的2倍.
经过1年，国民生产总值为a(1＋8%)，
经过2年，国民生产总值为a(1＋8%)2，
…
经过x年，国民生产总值为a(1＋8%)x＝2a，
∴1.08x＝2，两边取常用对数，得x·lg
1.08＝lg
2.
∴x＝≈≈9.
故约经过9年，国民生产总值是2015年的2倍.
[能力提升]
1.已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为( )
A.3
B.8
C.4
D.log48
【解析】 由2x＝3，得x＝log23.∴x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋
＝log23＋(3log22－log23)＝3.
【答案】 A
2.已知x3＝3，则3log3x－logx23＝________.
【导学号：60210085】
【解析】 3log3x＝log3x3＝log33＝1，
∴3log3x－logx23＝1－＝－.
【答案】 －
3.方程log3(x－1)＝log9(x＋5)的解是________.
【解析】 由题意知解之得x＝4.
【答案】 x＝4
4.已知lg
a，lg
b
是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值.
【解】 由题设，得lg
a＋lg
b＝2，lg
a
·lg
b＝.
所以lg(ab)·(logab＋logba)＝(lg
a＋lg
b)·
＝(lg
a＋lg
b)·＝(lg
a＋lg
b)·
＝2×＝12.学业分层测评(十九)
对数概念与常用对数
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.若logx＝z，则( )
A.y7＝xz
B.y＝x7z
C.y＝7x
D.y＝z7x
【解析】 由logx＝z，得xz＝，y＝x7z.
【答案】 B
2.方程2log3x＝的解是( )
A.9
B.
C.
D.
【解析】 ∵2log3x＝＝2－2.∴log3x＝－2.∴x＝3－2＝.
【答案】 D
3.log5[log3(log2x)]＝0，则x－等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 ∵log5[log3(log2x)]＝0，∴log3(log2x)＝1，
∴log2x＝3.∴x＝23＝8.
∴x＝8＝＝＝.
【答案】 C
4.设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝( )
A.
B.10
C.20
D.100
【解析】 ＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m2＝10，又∵m＞0，∴m＝.故选A.
【答案】 A
5.下列各式：
①lg(lg
10)＝0；②lg(ln
e)＝0；③若10＝lg
x，x＝10；④若log25x＝，得x＝±5.
其中正确的个数有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】 底的对数为1,1的对数为0，故①②正确，0和负数没有对数，故④错误，③中10＝lg
x，应该有x＝1010，所以只有①②正确.
【答案】 B
二、填空题
6.(2016·湘潭高一检测)已知a＝，则loga＝________.
【解析】 ∵a＝＝2，∴a＝4，∴loga＝4.
【答案】 4
7.已知logx＝3，则x＝________.
【解析】 ∵logx＝3，∴x＝3.
∴x＝＝.
【答案】
8.使log(x－1)(x＋2)有意义的x的取值范围是________.
【解析】 要使log(x－1)(x＋2)有意义，则∴x>1且x≠2.
【答案】 (1,2)∪(2，＋∞)
三、解答题
9.求下列各式中x的值.
【导学号：60210081】
(1)log5(log3x)＝0；
(2)log3(lg
x)＝1；
(3)ln[log2(lg
x)]＝0.
【解】 (1)设t＝log3x，则log5t＝0，∴t＝1，
即log3x＝1，∴x＝3.
(2)∵log3(lg
x)＝1，∴lg
x＝3，∴x＝103＝1
000.
(3)∵ln[log2(lg
x)]＝0，∴log2(lg
x)＝1，
∴lg
x＝2，∴x＝102＝100.
[能力提升]
1.已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值是( )
A.1
B.0
C.x
D.y
【解析】 由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则(x－2)2＋(y－1)2＝0，∴x＝2，y＝1，logx(yx)＝log2(12)＝0.
【答案】 B
2.设g(x)＝则g＝________.
【解析】 ∵>0，∴g＝ln
.
而g＝g＝eln
＝.
【答案】
3.若loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n＝________.
【解析】 ∵loga2＝m，loga3＝n，
∴am＝2，an＝3，
∴a2m＋n＝(am)2·an＝22·3＝12.
【答案】 12
4.已知二次函数f
(x)＝(lg
a)x2＋2x＋4lg
a的最大值为3，求a的值.
【解】 原函数式可化为f
(x)＝lg
a2－＋4lg
a.
∵f
(x)有最大值3，
∴lg
a<0，且－＋4lg
a＝3，
整理得4(lg
a)2－3lg
a－1＝0，解之得lg
a＝1或lg
a＝－.
又∵lg
a<0，∴lg
a＝－.∴a＝10.学业分层测评(八) 函数的表示方法
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：
每间客房定价
100元
90元
80元
60元
住房率
65%
75%
85%
95%
要使每天的收入最高，每间客房的定价应为( )
A.100元
B.90元
C.80元
D.60元
【解析】 不同的房价对应着不同的住房率，也对应着不同的收入，因此求出4个不同房价对应的收入，然后找出最大值对应的房价即可.
【答案】 C
2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( )
【解析】 距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.
【答案】 C
3.(2016·晋城高一检测)已知f
(x)＝2x＋3，g(x)＝4x－5，则使得f
(h(x))＝g(x)成立的h(x)＝( )
A.2x＋3
B.2x－11
C.2x－4
D.4x－5
【解析】 由f
(x)＝2x＋3，得f
(h(x))＝2h(x)＋3，
则f
(h(x))＝g(x)可化为2h(x)＋3＝4x－5，
解得h(x)＝2x－4，故选C.
【答案】 C
4.(2016·青岛高一检测)已知f
(x)是一次函数，且f
(x－1)＝3x－5，则f
(x)的解析式为( )
A.f
(x)＝3x＋2
B.f
(x)＝3x－2
C.f
(x)＝2x＋3
D.f
(x)＝2x－3
【解析】 ∵f
(x)是一次函数，∴设f
(x)＝kx＋b(k≠0)，可得f
(x－1)＝k(x－1)＋b＝kx－k＋b，∵f
(x－1)＝3x－5，∴解之得k＝3且b＝－2.
因此，f
(x)的解析式为f
(x)＝3x－2，故选B.
【答案】 B
5.函数y＝－的大致图象是( )
【解析】 函数y＝－的图象是由函数y＝－的图象向左平移1个单位得到，而函数y＝－的图象在第二、第四象限且是单调下降的两支图象，考查所给的四个图象只有B符合，选B.
【答案】 B
二、填空题
6.设函数g(x＋2)＝2x＋3，则g(x)的解析式是________.
【解析】 令x＋2＝t x＝t－2，所以g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1.∴g(x)＝2x－1.
【答案】 g(x)＝2x－1
7.已知函数F(x)＝f
(x)＋g(x)，其中f
(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且F＝16，F(1)＝8，则F(x)的解析式为________.
【解析】 设f
(x)＝kx(k≠0)，g(x)＝(m≠0)，
则F(x)＝kx＋.
由F＝16，F(1)＝8，
得解得
所以F(x)＝3x＋.
【答案】 F(x)＝3x＋
8.函数f
(x)＝则f
{f
[f
(－2)]}＝________.
【解析】 因为－2<－1，所以f
(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，又－1≤－1≤1，所以f
[f
(－2)]＝f
(－1)＝(－1)2＝1，又因为－1≤1≤1，所以f
{f
[f
(－2)]}＝f
(1)＝12＝1.
【答案】 1
三、解答题
9.求下列函数的解析式：
(1)已知f
(x＋1)＝x2－3x＋2，求f
(x)；
(2)已知f
(1＋)＝x－2－1，求f
(x).
【解】 (1)设x＋1＝t，则x＝t－1，∴f
(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，∴f
(x)＝x2－5x＋6，
(2)设1＋＝t(t≥1)，则＝t－1，∴f
(t)＝(t－1)2－2(t－1)－1＝t2－4t＋2，
∴f
(x)＝x2－4x＋2，(x≥1).
10.已知f
(x)＝ax2＋bx＋c，若f
(0)＝0且f
(x＋1)＝f
(x)＋x＋1,
【导学号：60210037】
(1)求f
(x)的表达式；
(2)求f
()的值.
【解】 (1)由f
(0)＝0，得c＝0，∴f
(x)＝ax2＋bx，又f
(x＋1)＝f
(x)＋x＋1，
∴ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
∴解得
∴f
(x)＝x2＋x.
(2)由(1)得，f
()＝×2＋×＝1＋.
[能力提升]
1.已知函数f
(x)满足f
(ab)＝f
(a)＋f
(b)，且f
(2)＝p，f
(3)＝q，那么f
(12)＝
( )
A.p＋q
B.2p＋q
C.p＋2q
D.p2＋q
【解析】 由f
(ab)＝f
(a)＋f
(b)，
∴f
(12)＝f
(4)＋f
(3)＝2f
(2)＋f
(3)＝2p＋q.
【答案】 B
2.若x∈R，f
(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f
(x)的最大值为( )
A.2
B.1
C.－1
D.无最大值
【解析】 在同一坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图：
根据题意，图中实线部分即为函数f
(x)的图象.
∴当x＝1时，f
(x)max＝1，故选B.
【答案】 B
3.已知函数y＝f
(x)满足f
(x)＝2f
＋x，则f
(x)的解析式为________.
【导学号：60210038】
【解析】 ∵f
(x)＝2f
＋x，①
∴将x换成，得f
＝2f
(x)＋.②
由①②消去f
，得f
(x)＝－－，
即f
(x)＝－(x≠0).
【答案】 f
(x)＝－(x≠0)
4.某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间的关系式为：y＝ax＋.且当x＝2时，y＝100；当x＝7时，y＝35.且此产品生产件数不超过20件.
(1)写出函数y关于x的解析式；
(2)用列表法表示此函数，并画出图象.
【解】 (1)将
代入y＝ax＋中，得
所以所求函数解析式为y＝x＋(x∈N,0(2)当x∈{1,2,3,4,5，…，20}时，列表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
197
100
68.3
53
44.2
38.7
35
32.5
30.8
29.6
x
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
y
28.8
28.3
28.1
28
28.1
28.25
28.5
28.9
29.3
29.8
依据上表，画出函数y的图象如图所示，是由20个点构成的点列.学业分层测评(九) 函数的单调性
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( )
A.y＝3－x
B.y＝x2＋1
C.y＝
D.y＝－|x|
【解析】 A.y＝3－x＝－x＋3，是减函数，故A错误；
B.∵y＝x2＋1，y为偶函数，图象开口向上，关于y轴对称，当x＞0，y为增函数，故B正确；
C.∵y＝，当x＞0，y为减函数，故C错误；
D.当x＞0，y＝－|x|＝－x，为减函数，故D错误.故选B.
【答案】 B
2.对于函数y＝f
(x)在给定区间上有两个数x1，x2，且x1(x1)(x2)成立，则y＝f
(x)( )
A.一定是增函数
B.一定是减函数
C.可能是常数函数
D.单调性不能确定
【解析】 由单调性定义可知，不能用特殊值代替一般值.
【答案】 D
3.(2016·济南高一检测)若f
(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是( )
A.(－1,0)∪(0,1]
B.(－1,0)∪(0,1)
C.(0,1)
D.(0,1]
【解析】 f
(x)＝－(x－a)2＋a2，当a≤1时，f
(x)在[1,2]上是减函数；g(x)＝，当a>0时，g(x)在[1,2]上是减函数，则a的取值范围是0【答案】 D
4.f
(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，则不等式f
(x)＞f
(8(x－2))的解集是
( )
A.(0，＋∞)
B.(0,2)
C.(2，＋∞)
D.
【解析】 由f
(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数得， 2＜x＜，
选D.
【答案】 D
5.(2016·六安高一检测)已知函数f
(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f
(1)的范围是( )
【导学号：60210041】
A.f
(1)≥25
B.f
(1)＝25
C.f
(1)≤25
D.f
(1)＞25
【解析】 由y＝f
(x)的对称轴是x＝，可知f
(x)在上递增，
由题设只需≤－2，即m≤－16，∴f
(1)＝9－m≥25.应选A.
【答案】 A
二、填空题
6.函数f
(x)＝2x2－3|x|的单调递减区间是________.
【解析】 函数f
(x)＝2x2－3|x|＝
图象如图所示，f
(x)的单调递减区间为和.
【答案】 和
7.函数y＝在区间(0，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是____.
【解析】 ∵函数y＝在区间(0，＋∞)上是增函数，∴1－3m＜0，解得m＞.
【答案】
8.已知函数f
(x)为区间[－1,1]上的增函数，则满足f
(x)的实数x的取值范围为________.
【解析】 由题设得即－1≤x<.
【答案】 －1≤x<
三、解答题
9.证明：函数y＝在(－1，＋∞)上是增函数.
【证明】 设x1>x2>－1，
则y1－y2＝－＝，
∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，
∴>0，即y1－y2>0，y1>y2，
∴y＝在(－1，＋∞)上是增函数.
10.已知f
(x)＝
(1)画出这个函数的图象；
(2)求函数的单调区间.
【解】 (1)f
(x)＝作出其图象如下：
(2)由f
(x)的图象可得，单调递减区间为[－3，－2)，[0,1)，[3,6]；单调递增区间为[－2,0)，[1,3).
[能力提升]
1.下列有关函数单调性的说法，不正确的是( )
A.若f
(x)为增函数，g(x)为增函数，则f
(x)＋g(x)为增函数
B.若f
(x)为减函数，g(x)为减函数，则f
(x)＋g(x)为减函数
C.若f
(x)为增函数，g(x)为减函数，则f
(x)＋g(x)为增函数
D.若f
(x)为减函数，g(x)为增函数，则f
(x)－g(x)为减函数
【解析】 ∵若f
(x)为增函数，g(x)为减函数，则f
(x)＋g(x)的增减性不确定.
例如：f
(x)＝x＋2为R上的增函数，当g(x)＝－x时，则f
(x)＋g(x)＝＋2为增函数；
当g(x)＝－3x，则f
(x)＋g(x)＝－2x＋2在R上为减函数.∴不能确定f
(x)＋g(x)的单调性.
【答案】 C
2.函数f
(x)＝在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________.
【解析】 函数f
(x)＝的单调递减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)，
又f
(x)在(a，＋∞)上单调递减，所以a≥－1.
【答案】 a≥－1
3.(2016·常州高一检测)若f
(x)＝是R上的单调函数，则实数a的取值范围为________.
【导学号：60210042】
【解析】 ∵f
(x)＝是R上的单调函数，
∴解得a≥，
故实数a的取值范围为.
【答案】
4.(2016·济南高一检测)设函数f
(x)的定义域为R，当x＜0时，f
(x)＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f
(x＋y)＝f
(x)f
(y).
(1)求f
(0)的值；
(2)证明：f
(x)在R上是减函数.
【解】 (1)∵x，y∈R，f
(x＋y)＝f
(x)·f
(y)，当x＜0时，f
(x)＞1，令x＝－1，y＝0，
则f
(－1)＝f
(－1)f
(0).
∵f
(－1)＞1，∴f
(0)＝1.
(2)证明：若x＞0，－x＜0，
∴f
(x－x)＝f
(0)＝f
(x)f
(－x)，
∴f
(x)＝∈(0,1)，
故x∈R，f
(x)＞0，
任取x1＜x2，f
(x2)＝f
(x1＋x2－x1)＝f
(x1)f
(x2－x1)，
∵x2－x1＞0，
∴0＜f
(x2－x1)＜1，∴f
(x2)＜f
(x1).
故f
(x)在R上是减函数.学业分层测评(四) 交集、并集
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.(2016·湛江高一检测)设集合A＝{1,3}，集合B＝{1,2,4,5}，则集合A∪B＝
( )
A.{1,3,1,2,4,5}
B.{1}
C.{1,2,3,4,5}
D.{2,3,4,5}
【解析】 ∵集合A＝{1,3}，集合B＝{1,2,4,5}，∴集合A∪B＝{1,2,3,4,5}.故选C.
【答案】 C
2.(2016·中山高一检测)已知集合A＝{x∈R|x≤5}，B＝{x∈R|x＞1}，那么A∩B等于( )
A.{1,2,3,4,5}
B.{2,3,4,5}
C.{2,3,4}
D.{x∈R|1＜x≤5}
【解析】 ∵A＝{x∈R|x≤5}，B＝{x∈R|x＞1}，∴A∩B＝{x∈R|1＜x≤5}，故选D.
【答案】 D
3.设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是( )
A.1
B.3
C.4
D.8
【解析】 A＝{1,2}，A∪B＝{1,2,3}，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A＝{1,2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有22＝4个.故选C.
【答案】 C
4.(2016·保定高一检测)设集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}且A∪B＝{1,4，x}，则满足条件的实数x的个数是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】 ∵A＝{1,4，x}，∴x≠1，x≠4且x2≠1，得x≠±1且x≠4，∵A∪B＝{1,4，x}，
∴x2＝x或x2＝4，解之得x＝0或x＝±2，满足条件的实数x有0,2，－2，共3个，故选C.
【答案】 C
5.(2016·东城高一检测)已知集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝( )
A.{0，x,1,2}
B.{2,0,1,2}
C.{0,1,2}
D.不能确定
【解析】 ∵M∩N＝{2}，∴2∈M，而M＝{0，x}，则x＝2，∴M＝{0,2}，∴M∪N＝{0,1,2}，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6.某校高一某班共有45人，摸底测验数学20人得优，语文15人得优，两门都不得优20人，则两门都得优的人数为________人.
【导学号：60210016】
【解析】 如图，设两门都得优的人数是x，则依题意得20－x＋(15－x)＋x＋20＝45，
整理，得－x＋55＝45，解得x＝10，即两门都得优的人数是10人.
【答案】 10
7.(2016·廊坊高一检测)若集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x≤a}，若A∩B≠ ，则实数a的取值范围是________.
【解析】 A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x≤a}，由A∩B≠ ，得a≥－1.
【答案】 a≥－1
8.(2016·达州高一检测)已知A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋1＝0，a∈A}，若A∩B＝B，则a的值为________.
【解析】 由题意得，当a＝1时，方程x2－ax＋1＝0即x2－x＋1＝0无解，集合B＝ ，满足题意；
当a＝2时，方程x2－ax＋1＝0即x2－2x＋1＝0有两个相等的实根1，集合B＝{1}，满足题意；
当a＝3时，方程x2－ax＋1＝0即x2－3x＋1＝0有两个不相等的实根，，集合B＝，不满足题意.综上可知，a的值为1或2.
【答案】 1或2
三、解答题
9.(2016·滁州高一检测)设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}，
(1)求a，b的值及A，B；
(2)求(A∪B)∩C.
【解】 (1)∵A∩B＝{2}，∴4＋2a＋12＝0，即a＝－8,4＋6＋2b＝0，即b＝－5，
∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2,6}，B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}.
(2)∵A∪B＝{－5,2,6}，C＝{2，－3}，∴(A∪B)∩C＝{2}.
10.已知集合A＝{x|a－1＜x＜2a＋1}，B＝{x|0＜x＜1}.
(1)若a＝，求A∩B；
(2)若A∩B＝ ，求实数a的取值范围.
【解】 (1)当a＝时，A＝，B＝{x|0＜x＜1}，∴A∩B＝{x|0＜x＜1}.
(2)若A∩B＝ ，当A＝ 时，有a－1≥2a＋1，∴a≤－2.
当A≠ 时，有
∴－2＜a≤－或a≥2.
综上可得，a≤－或a≥2.
[能力提升]
1.设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}.若A∩B＝B，则实数a组成的集合C中元素的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】 当a＝0时，由题意B＝ ，又A＝{3,5}，B A，当a≠0时，B＝，又A＝{3,5}，B A，此时＝3或5，则有a＝或a＝，故C＝.
【答案】 D
2.设集合A＝，B＝{t|t2＋2(a＋1)t＋(a2－5)＝0}.若A∩B＝B，则实数a的取值范围为( )
A.{a|a≤－2}
B.{a|a≤－3}
C.{a|a≤－4}
D.{a|a≤－1}
【解析】 ∵A＝＝{1,2}，B＝{t|t2＋2(a＋1)t＋(a2－5)＝0}.由A∩B＝B，
得B A.
当4(a＋1)2－4(a2－5)＜0，即a＜－3时，B＝ ，符合题意；
当4(a＋1)2－4(a2－5)＝0，即a＝－3时，B＝{t|t2－4t＋4＝0}＝{2}，符合题意；
当4(a＋1)2－4(a2－5)＞0，即a＞－3时，要使B A，则B＝A，
即此方程组无解.∴实数a的取值范围是{a|a≤－3}.
【答案】 B
3.集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )
【导学号：60210017】
A.0
B.1
C.2
D.4
【解析】 ∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，
∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.
【答案】 D
4.(2016·郑州高一检测)设集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝，C＝{x|1－2a＜x＜2a}.
(1)若C＝ ，求实数a的取值范围；
(2)若C≠ 且C (A∩B)，求实数a的取值范围.
【解】 (1)∵C＝{x|1－2a＜x＜2a}＝ ，
∴1－2a≥2a，∴a≤，
即实数a的取值范围是.
(2)∵C＝{x|1－2a＜x＜2a}≠ ，∴1－2a＜2a，即a>.
∵A＝{x|－1＜x＜4}，B＝，
∴A∩B＝，
∵C (A∩B)，∴
解得实数指数幂及其运算
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列各式正确的是( )
A.＝－3
B.＝a
C.＝2
D.＝2
【解析】 由于＝3，＝|a|，＝－2，故A、B、D错误，故选C.
【答案】 C
2.0－(1－0.5－2)÷的值为( )
A.－
B.
C.
D.
【解析】 原式＝1－(1－22)÷2＝1－(－3)×＝.
【答案】 D
3.下列各式运算错误的是( )
A.(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8
B.(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3
C.(－a3)2·(－b2)3＝a6b6
D.[－(a3)2·(－b2)3]3＝a18b18
【解析】 对于A，(－a2b)2·(－ab2)3＝a4b2·(－a3b6)＝－a7b8，故A正确；对于B，(－a2b3)3÷(－ab2)3＝－a6b9÷(－a3b6)＝a6－3b9－6＝a3b3，故B正确；对于C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6，故C错误；对于D，易知正确，故选C.
【答案】 C
A.
B.ab
C.
D.a2b
【答案】 C
5.若a>1，b>0，ab＋a－b＝2，则ab－a－b等于( )
【导学号：60210074】
A.
B.2或－2
C.－2
D.2
【解析】 ∵a>1，b>0，∴ab>a－b，(ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝(2)2－4＝4，∴ab－a－b＝2.
【答案】 D
二、填空题
6.若x<0，则|x|－＋＝________.
【解析】 由于x<0，所以|x|＝－x，＝－x，所以原式＝－x－(－x)＋1＝1.
【答案】 1
7.已知3a＝2,3b＝，则32a－b＝________.
【解析】 32a－b＝＝＝＝20.
【答案】 20
【答案】 5
三、解答题
[能力提升]
【答案】 －1
3.设a2＝b4＝m(a>0，b>0)，且a＋b＝6，则m＝________.
【解析】 ∵a2＝b4＝m(a>0，b>0)，∴a＝m，b＝m，a＝b2.
由a＋b＝6，得b2＋b－6＝0，
解得b＝2或b＝－3(舍去).
∴m＝2，m＝24＝16.
【答案】 16
4
(1)a＋a－1；
(2)a2＋a－2；
(3)a2－a－2.
【解】 (1)将a＋a－＝两边平方，得a＋a－1＋2＝5，则a＋a－1＝3.
(2)由a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，则a2＋a－2＝7.
(3)设y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，所以y＝±3，即a2－a－2＝±3.模块综合测评
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则( UA)∪B＝
( )
A.{1,2,4}
B.{2,3,4}
C.{0,2,4}
D.{0,2,3,4}
【解析】 ∵全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，∴ UA＝{0,4}，又B＝{2,4}，
则( UA)∪B＝{0,2,4}.故选C.
【答案】 C
2.可作为函数y＝f
(x)的图象的是( )
【解析】 由函数的定义可知：每当给出x的一个值，则f
(x)有唯一确定的实数值与之对应，只有D符合.
【答案】 D
3.同时满足以下三个条件的函数是( )
①图象过点(0,1)；②在区间(0，＋∞)上单调递减；③是偶函数.
A.f
(x)＝－(x＋1)2＋2
B.f
(x)＝3|x|
C.f
(x)＝|x|
D.f
(x)＝x－2
【解析】 A.若f
(x)＝－(x＋1)2＋2，则函数关于x＝－1对称，不是偶函数，不满足条件③.
B.若f
(x)＝3|x|，在区间(0，＋∞)上单调递增，不满足条件②.
C.若f
(x)＝|x|，则三个条件都满足.
D.若f
(x)＝x－2，则f
(0)无意义，不满足条件①.故选C.
【答案】 C
4.与函数y＝有相同图象的一个函数是( )
A.y＝－x
B.y＝x
C.y＝－
D.y＝x2
【解析】 要使函数解析式有意义，则x≤0，即函数y＝的定义域为(－∞，0]，故y＝＝|x|·＝－x，又因为函数y＝－x的定义域也为(－∞，0]，故函数y＝与函数y＝－x表示同一个函数，则他们有相同的图象，故选A.
【答案】 A
5.函数f
(x)＝2x－1＋log2x的零点所在区间是( )
A.
B.
C.
D.(1,2)
【解析】 ∵函数f
(x)＝2x－1＋log2x，
∴f
＝－1，f
(1)＝1，
∴f
f
(1)＜0，故连续函数f
(x)的零点所在区间是，故选C.
【答案】 C
6.幂函数y＝f
(x)的图象经过点，则满足f
(x)＝27的x的值是( )
A.
B.－
C.3
D.－3
【解析】 设幂函数为y＝xα，因为图象过点，所以有－＝(－2)α，
解得α＝－3，所以幂函数的解析式为y＝x－3，由f
(x)＝27，得x－3＝27，所以x＝.
【答案】 A
7.函数f
(x)＝＋lg
(3x＋1)的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 要使函数有意义，x应满足：解得－＜x＜1，
故函数f
(x)＝＋lg
(3x＋1)的定义域为.
【答案】 A
8.设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是( )
A.c＜a＜b
B.b＜a＜c
C.c＜b＜a
D.a＜b＜c
【解析】 因为y＝x0.5在(0，＋∞)上是增函数，且0.5＞0.3，所以0.50.5＞0.30.5，
即a＞b，c＝log0.30.2＞log0.30.3＝1，而1＝0.50＞0.50.5.所以b＜a＜c.故选B.
【答案】 B
9.若函数f
(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是( )
【解析】 由f
(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，所以k＝2,0【答案】 A
10.已知函数f
(x)是定义在R上的增函数，则函数y＝f
(|x－1|)－1的图象可能是( )
【解析】 ∵y＝f
(|x－1|)－1＝且f
(x)是R上的增函数；∴当x≥1时，y＝f
(x－1)－1是增函数，当x＜1时，y＝f
(－x＋1)－1是减函数.
∴函数y＝f
(|x－1|)－1的图象可能是第二个.故选B.
【答案】 B
11.在y＝2x，y＝log2x，y＝x2这三个函数中，当0＜x1＜x2＜1时，使f
＞恒成立的函数的个数是( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【解析】 当0＜x1＜x2＜1时，
y＝2x使f
<恒成立，
y＝log2x使f
＞恒成立，
y＝x2使f
＜恒成立.故选B.
【答案】 B
12.若f
(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f
(－3)＝0，则(x－1)f
(x)＜0的解是( )
A.(－3,0)∪(1，＋∞)
B.(－3,0)∪(0,3)
C.(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D.(－3,0)∪(1,3)
【解析】 ∵f
(x)是R上的奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，∴在(－∞，0)内f
(x)也是增函数，
又∵f
(－3)＝0，∴f
(3)＝0，∴当x∈(－∞，－3)∪(0,3)时，f
(x)＜0；当x∈(－3,0)∪(3，＋∞)时，f
(x)＞0，∵(x－1)·f
(x)＜0，
∴或解得－3＜x＜0或1＜x＜3，
∴不等式的解集是(－3,0)∪(1,3)，故选D.
【答案】 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13.当a＞0且a≠1时，函数f
(x)＝ax－2－3必过定点________.
【导学号：60210101】
【解析】 因为a0＝1，故f
(2)＝a0－3＝－2，所以函数f
(x)＝ax－2－3必过定点(2，－2).
【答案】 (2，－2)
14.(2016·北京模拟)已知f
(x)＝不等式f
(x＋a)>f
(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________.
【解析】 二次函数y1＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，
∴x2－4x＋3≥3，
同样可知函数y2＝－x2－2x＋3在(0，＋∞)上单调递减，
∴－x2－2x＋3<3，
∴f
(x)在R上单调递减，
∴由f
(x＋a)>f
(2a－x)，得到x＋a<2a－x，
即2x∴2x∴2(a＋1)∴a<－2，
∴实数a的取值范围是(－∞，－2).
【答案】 (－∞，－2)
15.已知函数f
(x)＝若关于x的方程f
(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.
【解析】 关于x的方程f
(x)＝k有两个不同的实根，
等价于函数f
(x)与函数y＝k的图象有两个不同的交点，
作出函数的图象如下：
由图可知实数k的取值范围是(1,2).
【答案】 (1,2)
16.对于定义在R上的函数f
(x)，有下述四个命题，其中正确命题的序号为________.
①若函数f
(x)是奇函数，则f
(x－1)的图象关于点A(1,0)对称；
②若对x∈R，有f
(x＋1)＝f
(x－1)，则y＝f
(x)关于直线x＝1对称；
③若函数f
(x－1)关于直线x＝1对称，则函数f
(x)为偶函数；
④函数f
(x＋1)与函数f
(1－x)关于直线x＝1对称.
【解析】 ①，∵函数f
(x)是奇函数，∴f
(x)的图象关于点O(0,0)对称.
又y＝f
(x－1)的图象是将y＝f
(x)的图象向右平移一个单位得到的，∴f
(x－1)的图象关于点A(1,0)对称，故①正确；
②，∵f
(x＋1)＝f
(x－1)≠f
(1－x)，∴y＝f
(x)不关于直线x＝1对称，故②错误；
③，∵函数y＝f
(x－1)关于直线x＝1对称，∴函数y＝f
(x)的图象关于直线x＝0对称，
∴函数f
(x)为偶函数，故③正确；
④，函数f
(x＋1)的图象与函数f
(1－x)的图象不关于直线x＝1对称，如f
(x)＝x时，f
(1＋x)＝x＋1，f
(1－x)＝1－x，这两条直线显然不关于x＝1对称，故④错误.
【答案】 ①③
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)计算下列各式的值：
18.(本小题满分12分)已知函数f
(x)是R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f
(x)＝2x＋x，求f
(x)的解析式.
【解】 由题意，当x＝0时，f
(x)＝0，∵x＞0时，f
(x)＝2x＋x，∴当x＜0时，－x＞0，f
(－x)＝2－x－x，又∵函数y＝f
(x)是定义在R上的奇函数，
∴x＜0时，f
(x)＝－f
(－x)＝－2－x＋x，
综上所述，f
(x)＝
19.(本小题满分12分)已知集合A＝{x|(a－1)x2＋3x－2＝0}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}.
(1)若A≠ ，求实数a的取值范围；
(2)若A∩B＝A，求实数a的取值范围.
【解】 (1)分两种情况考虑：①当a＝1时，A＝≠ ；
②当a≠1时，Δ＝9＋8(a－1)≥0，即a≥－且a≠1，
综上所述，a的取值范围为a≥－.
(2)由A∩B＝A，得到A B，分两种情况考虑：
①当A＝ 时，a＜－；
②当A≠ 时，得到B中方程的解1和2为A的元素，即A＝{1,2}，
把x＝1代入A中方程得：a＝0.
综上所述，a的取值范围为.
20.(本小题满分12分)已知函数f
(x)＝loga(2x＋1)，g(x)＝loga(1－2x)(a＞0且a≠1)，
(1)求函数F(x)＝f
(x)－g(x)的定义域；
(2)判断F(x)＝f
(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)确定x为何值时，有f
(x)－g(x)＞0.
【解】 (1)要使函数有意义，则有
∴.
(2)F(x)＝f
(x)－g(x)＝loga(2x＋1)－loga(1－2x)，
F(－x)＝f
(－x)－g(－x)＝loga(－2x＋1)－loga(1＋2x)＝－F(x).
∴F(x)为奇函数.
(3)∵f
(x)－g(x)＞0，∴loga(2x＋1)－loga(1－2x)＞0，
即loga(2x＋1)＞loga(1－2x).
①当0＜a＜1时，有0<2x＋1<1－2x，∴－②当a＞1时，有2x＋1>1－2x>0，∴0综上所述，当0＜a＜1时，有x∈，使得f
(x)－g(x)＞0；
当a＞1时，有x∈，使得f
(x)－g(x)＞0.
21.(本小题满分12分)甲乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲，乙两图：
甲 乙
图1
甲调查表明：每个鱼池平均产量直线上升，从第1年1万条鳗鱼上升到第6年2万条.
乙调查表明：全县鱼池总个数直线下降，由第1年30个减少到第6年10个.
请你根据提供的信息说明：
(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数；
(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模比第1年扩大了还是缩小了？说明理由；
(3)哪一年的规模(即总产量)最大？说明理由.
【解】 由题意可知，图甲图象经过(1,1)和(6,2)两点，从而求得其解析式为y甲＝0.2x＋0.8，
图乙图象经过(1,30)和(6,10)两点，从而求得其解析式为y乙＝－4x＋34.
(1)当x＝2时，y甲＝0.2×2＋0.8＝1.2，y乙＝－4×2＋34＝26，y甲×y乙＝1.2×26＝31.2.
所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万条.
(2)第1年出产鳗鱼1×30＝30(万条)，第6年出产鳗鱼2×10＝20(万条)，可见第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了.
(3)设第m年的规模最大，总出产量为n，
那么n＝y甲y乙＝(0.2m＋0.8)(－4m＋34)＝－0.8m2＋3.6m＋27.2＝－0.8(m2－4.5m－34)
＝－0.8(m－2.25)2＋31.25，因此，当m＝2时，n最大值为31.2.
即当第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万条.
22.(本小题满分12分)已知函数f
(x)＝(a∈R).
【导学号：60210102】
(1)试判断f
(x)的单调性，并证明你的结论；
(2)若f
(x)为定义域上的奇函数，
①求函数f
(x)的值域；
②求满足f
(ax)＜f
(2a－x2)的x的取值范围.
【解】 (1)函数f
(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且f
(x)＝a－，
任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1＜x2，
∵y＝2x在R上单调递增，且x1＜x2，
∴0<2x1<2x2，2x2－2x1>0,2x1＋1>0,2x2＋1>0，
∴f
(x2)－f
(x1)＞0，即f
(x2)＞f
(x1)，
∴f
(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数.
(2)∵f
(x)在定义域上是奇函数，
∴f
(－x)＝－f
(x)，
即a－＋＝0对任意实数x恒成立，
化简得2a－＝0，
∴2a－2＝0，即a＝1，
①由a＝1得f
(x)＝1－，
∵2x＋1＞1，∴0<<1，
∴－2<－<0，
∴－1<1－<1，故函数f
(x)的值域为(－1,1).
②由a＝1，得f
(x)＜f
(2－x2)，
∵f
(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，∴x＜2－x2，
解得－2＜x＜1，故x的取值范围为(－2,1).学业分层测评(二十三) 幂函数
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知幂函数y＝f
(x)的图象过点，则log2f
(2)的值为( )
A.
B.－
C.2
D.－2
【解析】 设log2f
(2)＝n，则f
(2)＝2n，∴f
(x)＝xn，
又∵由幂函数y＝f
(x)的图象过点，
∴n＝＝
n＝，故选A.
【答案】 A
2.(2016·滨州高一检测)已知幂函数f
(x)＝xa，当x＞1时，恒有f
(x)＜x，则a的取值范围是( )
A.0＜a＜1
B.a＜1
C.a＞0
D.a＜0
【解析】 当x＞1时，f
(x)＜x恒成立，即xa－1＜1＝x0恒成立，因为x＞1，所以a－1＜0，解得a＜1，故选B.
【答案】 B
3.如图3 3 3所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是
( )
图3 3 3
【解析】 因为y＝x3的定义域为R且为奇函数，故应为图①；y＝x2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B正确.
【答案】 B
4.已知幂函数f
(x)的图象经过点(4,2)，则f
(x)的增区间为( )
A.(－∞，＋∞)
B.(－∞，0)
C.(0，＋∞)
D.(1，＋∞)
【解析】 设幂函数f
(x)＝xn，则4n＝2，解得n＝，即有f
(x)＝，则有x≥0，
则增区间为(0，＋∞).故选C.
【答案】 C
【答案】 B
二、填空题
6.若幂函数y＝(m2－2m－2)x－4m－2在x∈(0，＋∞)上为减函数，则实数m的值是________.
【解析】 因为函数y＝(m2－2m－2)x－4m－2既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，
所以 解得m＝3.
【答案】 3
8.已知n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若n＞n，则n＝________.
【解析】 ∵－＜－，且n＞n，
∴y＝xn在(－∞，0)上为减函数.
又n∈{－2，－1,0,1,2,3}，∴n＝－1或n＝2.
【答案】 －1或2
三、解答题
9.比较下列各组数的大小：
10.(2016·亳州高一检测)已知幂函数y＝f
(x)经过点.
(1)试求函数解析式；
(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间.
【解】 (1)由题意，得f
(2)＝2a＝，即a＝－3，故函数解析式为f
(x)＝x－3.
(2)∵f
(x)＝x－3＝，∴要使函数有意义，则x≠0，即定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
∵f
(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f
(x)，∴该幂函数为奇函数.
当x＞0时，根据幂函数的性质可知f
(x)＝x－3，在(0，＋∞)上为减函数，∵函数f
(x)是奇函数，∴在(－∞，0)上也为减函数，故其单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞).
[能力提升]
1.若(a＋1)
<(3－2a)，则a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 令f
(x)＝x＝，∴f
(x)的定义域是(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数，故原不等式等价于解得【答案】 B
2.如图，函数y＝x的图象是( )
【解析】 幂函数y＝x是偶函数，图象关于y轴对称.
【答案】 D
3.三个数60.7,0.76，log0.76的大小顺序是( )
A.0.76＜60.7＜log0.76
B.0.76＜log0.76＜60.7
C.log0.76＜60.7＜0.76
D.log0.76＜0.76＜60.7
【解析】 由指数函数和对数函数的图象可知：60.7＞1,0＜0.76＜1，log0.76＜0，
∴log0.76＜0.76＜60.7，故选D.
【答案】 D
4.已知幂函数y＝f
(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；
(2)对任意的x∈R，都有f
(－x)＋f
(x)＝0.
求同时满足(1)，(2)的幂函数f
(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f
(x)的值域.
【解】 因为m∈{x|－2f
(－x)＋f
(x)＝0，即f
(－x)＝－f
(x)，所以f
(x)是奇函数.
当m＝－1时，f
(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；
当m＝1时，f
(x)＝x0，条件(1)、(2)都不满足.
当m＝0时，f
(x)＝x3，条件(1)、(2)都满足，且在区间[0,3]上是增函数，所以x∈[0,3]时，函数f
(x)的值域为[0,27].章末综合测评(三) 基本初等函数(Ⅰ)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.与函数y＝x的图象关于直线y＝x对称的函数是( )
A.y＝4x
B.y＝4－x
C.y＝logx
D.y＝log4x
【解析】 由指数、对数函数图象性质知，与函数y＝x的图象关于直线y＝x对称的函数是对数函数y＝logx，故选C.
【答案】 C
2.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A.y＝ln(x＋2)
B.y＝－
C.y＝x
D.y＝x2－2x
【解析】 y＝ln(x＋2)的定义域为(－2，＋∞)，在(0，＋∞)上递增；y＝－的定义域为[－1，＋∞)，在(0，＋∞)上递减；y＝x的定义域为R，在(0，＋∞)上递减；y＝x2－2x的定义域为R，在(1，＋∞)上递增，在(0,1)上递减.故选A.
【答案】 A
3.函数y＝的定义域是( )
A.(1，＋∞)
B.(2，＋∞)
C.(－∞，2]
D.(1,2]
【解析】 由log(x－1)≥0，
得0∴1【答案】 D
4.设幂函数f
(x)的图象经过点，设0(a)与f
－1(a)的大小关系是( )
A.f
－1(a)>f
(a)
B.f
－1(a)＝f
(a)
C.f
－1(a)(a)
D.不确定
【解析】 设f
(x)＝xα，将点的坐标代入得：＝α，∴α＝－.
∴f
(x)＝x
，即y＝x，
∴x＝y－2，
∴f
－1(x)＝x－2.
又0∴f
－1(a)>f
(a).
故选A.
【答案】 A
5.设函数f
(x)＝若f
(a)＝1，则a的值为( )
A.－1
B.1
C.－1或1
D.－1或1或－2
【解析】 ∵f
(a)＝1，
∴
或(a2＋a>0与a>0的公共解为a>0)
∴或
∴a＝－1或a＝1.
【答案】 C
6.设a>1，则log0.2a,0.2a，a0.2的大小关系是( )
A.0.2a>log0.2a>a0.2
B.log0.2a<0.2aC.log0.2aD.0.2a【解析】 当a>1时，log0.2a而a0.2>a0＝1.故选B.
【答案】 B
7.函数f
(x)＝lg，x∈(－1,1)的图象关于( )
A.y轴对称
B.x轴对称
C.原点对称
D.直线y＝x对称
【解析】 f
(x)＝lg，x∈(－1,1)，
∴f
(－x)＝lg＝lg－1＝－lg＝－f
(x).
即f
(x)为奇函数，关于原点对称.
【答案】 C
8.若f
(x)＝logax(a>0且a≠1)，f
(x)的反函数为g(x)，且g(2)<1，则f
(x)的图象是( )
【解析】 g(x)＝ax(a>0且a≠1)，∴g(2)＝a2<1，故0∴f
(x)＝logax是减函数，应选B.
【答案】 B
9.已知函数t＝－144lg的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t(小时)表示达到打字水平N(字/分)所需的学习时间，N表示打字速度(字/分)，则按此曲线要达到90字/分的水平，所需的学习时间是( )
A.144小时
B.90小时
C.60小时
D.40小时
【解析】 由N＝90可知t＝－144lg＝144(小时).
【答案】 A
10.设a＝log0.50.6，b＝log1.10.6，c＝1.10.6，则( )
【导学号：60210099】
A.aB.bC.bD.c【解析】 ∵log0.511.10＝1，即c>1，∴b【答案】 C
11.已知U＝{y|y＝log2x，x>1}，P＝，则 UP＝( )
A.
B.
C.(0，＋∞)
D.(－∞，0]∪
【解析】 ∵U＝{y|y＝log2x，x>1}＝{y|y>0}，P＝＝，∴ UP＝＝.
【答案】 A
12.函数y＝ax－2(a＞0且a≠1，－1≤x≤1)的值域是，则实数a＝
( )
A.3
B.
C.3或
D.或
【解析】 当a＞1时，y＝ax－2在[－1,1]上为增函数，
∴解得a＝3；
当0＜a＜1时，y＝ax－2在[－1,1]上为减函数，
∴
解得a＝.
综上可知a＝3或.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
15.函数f
(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域为________.
【解析】 要使函数有意义，须满足
解得－【答案】
16.对于下列结论：
①函数y＝ax＋2(x∈R)的图象可以由函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象平移得到；
②函数y＝2x与函数y＝log2x的图象关于y轴对称；
③方程log5(2x＋1)＝log5(x2－2)的解集为{－1,3}；
④函数y＝ln
(1＋x)－ln
(1－x)为奇函数.
其中正确的结论是________.(把你认为正确结论的序号都填上)
【解析】 y＝ax＋2的图象可由y＝ax的图象向左平移2个单位得到，①正确；y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称，②错误；
由log5(2x＋1)＝log5(x2－2)，得
∴
∴x＝3，③错误；
设f
(x)＝ln
(1＋x)－ln
(1－x)，定义域为(－1,1)，关于原点对称，f
(－x)＝ln
(1－x)－ln
(1＋x)＝－[ln
(1＋x)－ln
(1－x)]＝－f
(x).
∴f
(x)是奇函数，④正确.故正确的结论是①④.
【答案】 ①④
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)求下列函数的定义域.
(1)f
(x)＝；
(2)f
(x)＝
.
【解】 (1)要使函数有意义，
须满足
∴
∴函数的定义域为{x|x>－1且x≠7}.
(2)要使函数有意义，须满足：92x－1－≥0，
∴34x－2≥3－3，∴x≥－，
∴函数的定义域为.
18.(本小题满分12分)若lg
a，lg
b是方程2x2－4x＋1＝0的两根，
求lg(ab)·2的值.
【解】 ∵lg
a，lg
b是方程2x2－4x＋1＝0的两根，
∴
∴
∴2＝(lg
a－lg
b)2
＝(lg
a＋lg
b)2－4lg
a·lg
b
＝[lg
(ab)]2－4lg
a·lg
b
＝22－4×
＝2.
∴lg(ab)·2＝2×2＝4.
19.(本小题满分12分)求y＝(logx)2－logx＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值.
【导学号：60210100】
【解】 ∵2≤x≤4，
∴－2≤logx≤－1.
设t＝logx，
则－2≤t≤－1，
y＝t2－t＋5＝2＋.
∵对称轴t＝ [－2，－1]，
∴y＝t2－t＋5在[－2，－1]上是减函数.
∴y(－1)≤y≤y(－2)，
即当t＝－1时，ymin＝，
当t＝－2时，ymax＝10.
20.(本小题满分12分)已知f
(x)＝loga(a>0，且a≠1).
(1)求f
(x)的定义域；
(2)求使f
(x)>0的x的取值范围.
【解】 (1)要使f
(x)有意义，x的取值必须满足>0，
即或
解得－1故f
(x)的定义域为(－1,1).
(2)当a>1时，由loga>0＝loga1，
得>1，
即
解得0当00＝loga1，
得0<<1，
即
解得－1故当a>1时，所求x的取值范围为0当021.(本小题满分12分)分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把声压P0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB).分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区.
(1)根据上述材料，列出分贝值y与声压P的函数关系式；
(2)某地声压P＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区？
(3)某晚会中，观众用仪器测量到最响亮的一次音量达到了90分贝，试求此时的声压是多少？
【解】 (1)由已知，得y＝20lg.
又P0＝2×10－5，则y＝20lg.
(2)当P＝0.002时，y＝20lg＝20lg
102＝40(分贝).
由已知条件知40分贝小于60分贝，所以该地区为无害区.
(3)由题意，得90＝20lg，则＝104.5，
所以P＝104.5P0＝104.5×2×10－5＝2×10－0.5≈0.63(帕).
22.(本小题满分12分)已知指数函数y＝g(x)满足g(2)＝4，定义域为R的函数f
(x)＝是奇函数.
(1)确定y＝g(x)的解析式；
(2)求m，n的值；
(3)若对任意的t∈R，不等式f
(t2－2t)＋f
(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围.
【解】 (1)g(x)＝2x.
(2)由(1)知f
(x)＝.
∵f
(x)在R上是奇函数，
∴f
(0)＝0，即＝0，∴n＝1.
∴f
(x)＝.
又由f
(1)＝－f
(－1)知＝－，解得m＝2.
(3)由(2)知f
(x)＝＝－＋，
易知f
(x)在(－∞，＋∞)上为减函数.
又f
(x)是奇函数，从而不等式f
(t2－2t)＋f
(2t2－k)<0等价于f
(t2－2t)<－f
(2t2－k)＝f
(k－2t2)，
∴t2－2t>k－2t2，即3t2－2t－k>0.
由判别式Δ＝4＋12k<0可得k<－.学业分层测评(十四) 函数的应用(Ⅱ)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4
000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A.200副
B.400副
C.600副
D.800副
【解析】 由5x＋4
000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本.
【答案】 D
2.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A.
B.
C.
D.－1
【解析】 设年平均增长率为x，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，
解得x＝－1.
【答案】 D
3.某种细胞在正常培养过程中，时刻t(单位：分)与细胞数n(单位：个)的部分数据如下表：
t
0
20
60
140
n
1
2
8
128
根据表中数据，推测繁殖到1
000个细胞时的时刻t最接近于( )
A.200
B.220
C.240
D.260
【解析】 由表中数据可以看出，n与t的函数关系式为n＝2，令n＝1
000，则2＝1
000，而210＝1
024，所以繁殖到1
000个细胞时，时刻t最接近200分钟，故应选A.
【答案】 A
4.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f
(x)＝(A，c为常数).已知工人组装第4件产品用时30
min，组装第A件产品用时15
min，那么c和A的值分别是( )
A.75,25
B.75,16
C.60,25
D.60,16
【解析】 由题意知，组装第A件产品所需时间为＝15，故组装第4件产品所需时间为＝30，解得c＝60.将c＝60代入＝15，得A＝16.
【答案】 D
5.一个人以6
m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25
m时，交通灯由红变绿，汽车以1
m/s2的加速度匀加速开走，那么( )
A.此人可在7
s内追上汽车
B.此人可在10
s内追上汽车
C.此人追不上汽车，其间距最少为5
m
D.此人追不上汽车，其间距最少为7
m
【解析】 设汽车经过t
s行驶的路程为s
m，则s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7.当t＝6时，d取得最小值7.
【答案】 D
二、填空题
6.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3
km(不超过3
km按起步价付费)；超过3
km但不超过8
km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8
km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
【解析】 设出租车行驶x
km时，付费y元，
则y＝由y＝22.6，解得x＝9.
【答案】 9
7已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x，宽减少，则面积最大，此时x＝________，面积S＝________.
【解析】 根据题目条件0＜＜3，即0＜x＜6，所以S＝(4＋x)＝－(x2－2x－24)＝－(x－1)2(0＜x＜6).故当x＝1时，S取得最大值.
【答案】 1
8.国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4
000元的按超出800元部分的14%纳税；超过4
000元的按全稿酬的11.2%纳税.某人出版了一书共纳税420元，这个人的稿费为________元.
【解析】 若这个人的稿费为4
000元时，应纳税(4
000－800)×14%＝448(元).
又∵420＜448，∴此人的稿费应在800到4
000之间，设为x，∴(x－800)×14%＝420，解得x＝3
800元.
【答案】 3
800
三、解答题
9.有时可用函数f
(x)＝描述学习某学科知识的掌握程度.其中x表示某学科知识的学习次数(x∈N
)，f
(x)表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关.
(1)证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f
(x＋1)－f
(x)总是下降；
(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133].当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.
【解】 (1)证明：当x≥7时，f
(x＋1)－f
(x)＝，
而当x≥7时，函数y＝(x－3)(x－4)单调递增，且(x－3)(x－4)＞0，故函数f
(x＋1)－f
(x)单调递减，所以当x≥7时，掌握程度的增长量f
(x＋1)－f
(x)总是下降.
(2)由题意可知0.1＋15ln
＝0.85，整理得＝e0.05，
解得a＝·6＝20.50×6＝123,123∈(121,127]，由此可知，该学科是乙学科.
10.一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是40
cm与60
cm，现在将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪才能使剩下的残料最少？并求出此时残料的面积.
【解】 设直角三角形为△ABC，AC＝40，BC＝60，矩形为CDEF，如图所示，设CD＝x，CF＝y，则由Rt△AFE∽Rt△EDB得＝，即＝，解得y＝40－x，
记剩下的残料面积为S，则
S＝×60×40－xy＝x2－40x＋1
200＝(x－30)2＋600(0＜x＜60)，
故当x＝30时，Smin＝600，此时y＝20，
所以当x＝30，y＝20时，剩下的残料面积最小为600
cm2.
[能力提升]
1.一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图2 3 3所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V＝f
(h)的图象大致是( )
【导学号：60210058】
图2 3 3
【解析】 水深h越大，水的体积V就越大，故函数V＝f
(h)是一个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的，曲线斜率是先增大后变小的.
【答案】 D
2.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝x∈N，其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A.15
B.40
C.25
D.130
【解析】 若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意.故拟录用人数为25人.
【答案】 C
3.经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数.日销售量为f
(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数解析式为S(t)＝________.
【解析】 日销售额＝日销售量×价格，故S＝f
(t)×g(t)＝(2t＋100)×(t＋4)＝2t2＋108t＋400，t∈N.
【答案】 2t2＋108t＋400，t∈N
4.某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：(单位：万美元)
项目类别
年固定成本
每件产品成本
每件产品销售价
每年最多可生产的件数
A产品
20
m
10
200
B产品
40
8
18
120
其中年固定成本与年生产的件数无关，m是待定常数，其值由生产A产品的原材料决定，预计m∈[6,8]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去.
(1)求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系，并求出其定义域；
(2)如何投资才可获得最大年利润？请设计相关方案.
【解】 (1)y1＝10x－(20＋mx)＝(10－m)x－20,0≤x≤200，且x∈N，
y2＝18x－(8x＋40)－0.05x2＝－0.05x2＋10x－40，0≤x≤120且x∈N.
(2)∵6≤m≤8，∴10－m＞0，∴y1＝(10－m)x－20为增函数，又0≤x≤200，x∈N.
∴x＝200时，生产A产品有最大利润(10－m)×200－20＝1
980－200m(万美元)，
y2＝－0.05x2＋10x－40＝－0.05(x－100)2＋4
60,0≤x≤120，x∈N.
∴x＝100时，生产B产品有最大利润460(万美元)，
(y1)max－(y2)max＝1
980－200m－460＝1
520－200m，
当6≤m＜7.6时，(y1)max－(y2)max＞0，
当m＝7.6时，(y1)max－(y2)max＝0，
当7.6＜m≤8时，(y1)max－(y2)max＜0，
∴当6≤m＜7.6，投资A产品200件可获得最大利润，
当7.6＜m≤8，投资B产品100件可获得最大利润，
m＝7.6生产A产品与B产品均可获得最大年利润.学业分层测评(十五) 函数的零点
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.下列函数没有零点的是( )
A.f
(x)＝0
B.f
(x)＝2
C.f
(x)＝x2－1
D.f
(x)＝x－
【解析】 函数f
(x)＝2，不能满足方程f
(x)＝0，因此没有零点.
【答案】 B
2.函数f
(x)＝－x3－3x＋5的零点所在的大致区间是( )
A.(－2,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,3)
【解析】 ∵函数f
(x)＝－x3－3x＋5是单调递减函数，又∵f
(1)＝－13－3×1＋5＝1＞0，
f
(2)＝－23－3×2＋5＝－9＜0，∴函数f
(x)的零点必在区间(1,2)上，故必存在零点的区间是(1,2)，故选C.
【答案】 C
3.函数y＝x3－16x的零点个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】 令x3－16x＝0，易解得x＝－4,0,4，由函数零点的定义知，函数y＝x3－16x的零点有3个.
【答案】 D
4.方程x3＋x－1＝0的一个根存在区间可能是( )
A.[0,1]
B.[1,2]
C.[2,3]
D.[3,4]
【解析】 原方程可化为x3＝－x＋1，
由y＝x3与y＝－x＋1的图象知两函数图象的交点在(0,1)之间，故原方程的根在[0,1]之间.
【答案】 A
5.若函数f
(x)的零点与g(x)＝2x－2的零点相同，则f
(x)可以是( )
A.f
(x)＝4x－1
B.f
(x)＝(x－1)2
C.f
(x)＝x2＋4x－5
D.f
(x)＝x2－1
【解析】 令g(x)＝2x－2＝0，得x＝1，
∴g(x)的零点为1.
由题意知方程f
(x)＝0只有x＝1一个根.
只有选项B中函数f
(x)＝(x－1)2满足.
【答案】 B
二、填空题
6.函数f
(x)＝2x2－ax＋3有一零点为，则f
(1)＝________.
【解析】 ∵是f
(x)的零点，
∴2×2－a×＋3＝0，
∴a＝5，∴f
(x)＝2x2－5x＋3，
∴f
(1)＝0.
【答案】 0
7.若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________.
【导学号：60210061】
【解析】 由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象，则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0＜a＜4.
【答案】 (0,4)
8.若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在(0,1)内，另一根在(1,2)内，则k的取值范围为________.
【解】 设f
(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1.
∵f
(x)＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，
∴即∴【答案】
三、解答题
9.设函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，且g(1)＝－.
(1)求证：函数g(x)有两个零点；
(2)讨论函数g(x)在区间(0,2)内的零点个数.
【解】 (1)证明：∵g(1)＝a＋b＋c＝－，∴3a＋2b＋2c＝0，∴c＝－a－b.
∴g(x)＝ax2＋bx－a－b，∴Δ＝(2a＋b)2＋2a2，∵a＞0，∴Δ＞0恒成立，
故函数f
(x)有两个零点.
(2)根据g(0)＝c，g(2)＝4a＋2b＋c，由(1)知3a＋2b＋2c＝0，∴g(2)＝a－c.
①当c＞0时，有g(0)＞0，又∵a＞0，∴g(1)＝－＜0，
故函数g(x)在区间(0,1)内有一个零点，故在区间(0,2)内至少有一个零点.
②当c≤0时，g(1)＜0，g(0)＝c≤0，g(2)＝a－c＞0，
∴函数f
(x)在区间(1,2)内有一零点，
综合①②，可知函数g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.
10.(2016·沈阳高一检测)设函数f
(x)＝
(1)画出函数y＝f
(x)的图象；
(2)讨论方程|f
(x)|＝a的解的个数.(只写明结果，无需过程)
【解】 (1)函数y＝f
(x)的图象如图所示：
(2)函数y＝|f
(x)|的图象如图所示：
①0＜a＜4时，方程有四个解；
②a＝4时，方程有三个解；
③a＝0或a＞4时，方程有二个解；
④a＜0时，方程没有实数解.
[能力提升]
1.若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一个实根，则a的取值范围是( )
A.a<－1
B.a>1
C.－1D.0≤a<1
【解析】 若a＝0时显然不符合，令y＝2ax2－x－1，由f
(0)＝－1，结合图象(略)知：若在(0,1)内恰有一零点，则或即a>1.
【答案】 B
2.若一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根，则有( )
A.a<0
B.a>0
C.a<－1
D.a>1
【解析】 法一：令f
(x)＝ax2＋2x＋1(a≠0)，
∵其图象经过(0,1)点，
∴欲使方程有一正根和一负根(即f
(x)的图象与x轴的交点一个在y轴左边，一个在y轴右边)，需满足a<0.
法二：设方程的两根为x1，x2，由题意得
∴∴a<0.
【答案】 A
3.函数f
(x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x12且x2>5；③x1<2且x2>5；④25；⑤x1＋x2＝7.
其中错误的有________.(填序号)
【解析】 令g(x)＝(x－2)·(x－5)，则f
(x)＝g(x)－1，
∴函数y＝f
(x)的零点就是函数g(x)＝(x－2)(x－5)与函数y＝1图象交点的横坐标.
而g(x)＝(x－2)(x－5)的图象与y＝1的图象在同一坐标系的图象如图所示，结合图象知只有③⑤正确.
∴①②④错误.
【答案】 ①②④
4.已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点.
(1)求m的范围；
(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值.
【导学号：60210062】
【解】 (1)当m＋6＝0时，
函数为y＝－14x－5，显然有零点；
当m＋6≠0时，
由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)
＝－36m－20≥0，得m≤－.
∴当m≤－且m≠－6时，二次函数有零点.
综上，m≤－.
(2)设x1，x2是函数的两个零点，则
x1，x2是方程(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1＝0(m＋6≠0)的两个根.
x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵＋＝－4，
即＝－4，
∴－＝－4，
解得m＝－3.
且当m＝－3时，
m＋6≠0，Δ＞0符合题意，
∴m的值为－3.学业分层测评(三) 集合之间的关系
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.(2016·漳州高一检测)已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则有( )
A.1 A
B.0 A
C. A
D.{0} A
【解析】 由已知，A＝{1，－1}，所以选项A，B，D都错误，因为 是任何非空集合的真子集，所以C正确.
【答案】 C
2.(2016·普洱高一检测)已知集合N＝{1,3,5}，则集合N的真子集个数为
( )
A.5
B.6
C.7
D.8
【解析】 ∵集合N＝{1,3,5}，∴集合N的真子集个数是23－1＝7个，故选C.
【答案】 C
3.集合A＝{2，－1}，B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m＝( )
A.2
B.－1
C.2或－1
D.4
【解析】 ∵A＝B，∴m2－m＝2，即m2－m－2＝0，∴m＝2或－1.
【答案】 C
4.已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q P，则a的值是( )
A.1
B.－1
C.1或－1
D.0,1或－1
【解析】 由题意，当Q为空集时，a＝0；当Q不是空集时，由Q P，a＝1或a＝－1.
【答案】 D
5.(2016·南阳高一检测)集合M＝x，k∈Z，N＝xk∈Z，则( )
A.M＝N
B.M N
C.N M
D.M∩N
【解析】 ∵M中：
【答案】 C
二、填空题
6.设a，b∈R，集合＝{1，a，a＋b}，则a＋2b＝________.
【导学号：60210011】
【解析】 ∵＝{1，a，a＋b}，而a≠0，
∴a＋b＝0，＝－1，
从而b＝1，a＝－1，
可得a＋2b＝1.
【答案】 1
7.已知集合A＝{x|1＜x－1≤4}，B＝(－∞，a)，若A B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.
【解析】 ∵A＝(2,5]，A B，∴5＜a，
又a∈(c，＋∞)，∴c＝5.
【答案】 5
8.集合A＝{x|1【解析】 ∵A＝{x|1【答案】 {a|a≥6}
三、解答题
9.(2016·菏泽高一检测)已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}.
(1)若B A，求a的取值范围；
(2)若A B，求a的取值范围.
【解】 (1)因为B A，B是A的子集，由图(1)得a≤3.
(1)
(2)因为A B，A是B的子集，由图(2)得a≥3.
(2)
10.已知集合A＝{x||x－a|＝4}，集合B＝{1,2，b}
.
(1)是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A B？若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由；
(2)若A B成立，求出对应的实数对(a，b).
【解】 (1)对于任意实数b都有A B，当且仅当集合A中的元素为1,2.
∵A＝{a－4，a＋4}，
∴或
解方程组可知无解.
∴不存在实数a，使得对于任意实数b都有A B.
(2)由(1)易知若A B，
则或或或
解得或或或
则所求实数对为(5,9)或(6,10)或(－3，－7)或(－2，－6)
.
[能力提升]
1.(2016·石家庄高一检测)已知集合A满足{1,2} A {1,2,3,4}，则集合A的个数为( )
A.8
B.2
C.3
D.4
【解析】 由题意，集合A可以为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}.故选D.
【答案】 D
2.(2016·达州高一检测)下列四个集合中，是空集的是( )
A.{x|x＋3＝3}
B.{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R}
C.{x|x2≤0}
D.{x|x2－x＋1＝0，x∈R}
【解析】 根据题意，由于空集中没有任何元素，对于选项A，x＝0；对于选项B，(0,0)是集合中的元素；对于选项C，由于x＝0成立；对于选项D，方程无解.故选D.
【答案】 D
3.(2016·衡水高一检测)若三个非零且互不相等的实数a、b、c满足＋＝，则称a、b、c是调和的；若满足a＋c＝2b，则称a、b、c是等差的.若集合P中元素a、b、c既是调和的，又是等差的，则称集合P为“好集”.若集合M＝{x||x|≤2
016，x∈Z}，集合P＝{a，b，c} M.则：
(1)“好集”P中的元素最大值为__________________；
(2)“好集”P的个数为______________________.
【解析】 (1)∵＋＝，且a＋c＝2b，∴(a－b)(a＋2b)＝0，∴a＝b(舍)，或a＝－2b，∴c＝4b，
令－2
016≤4b≤2
016，得－504≤b≤504，∴P中最大元素为4b＝4×504＝2
016.
(2)由(1)知P＝{－2b，b,4b}且－504≤b≤504，∴“好集”P的个数为2×504＝1
008.
【答案】 (1)2
016 (2)1
008
4.已知集合A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|m－2＜x＜2m－3}，且B A，求实数m的取值范围.
【导学号：60210012】
【解】 ∵集合A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|m－2＜x＜2m－3}，且B A，
∴当B≠ 时，应有解得1＜m≤4.
当B＝ 时，应有m－2≥2m－3，解得m≤1.
综上可得，实数m的取值范围为(－∞，4]
.学业分层测评(十一)
一次函数的性质与图象
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.若函数y＝ax2＋xb－1＋2表示一次函数，则a，b的值分别为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 若函数为一次函数，则有即
【答案】 C
2.一次函数y＝kx－k，若y随x的增大而增大，则它的图象经过( )
A.第一、二、三象限
B.第一、三、四象限
C.第一、二、四象限
D.第二、三、四象限
【解析】 由题意知k>0，所以－k<0，故y＝kx－k的图象经过第一、三、四象限.
【答案】 B
3.两条直线y1＝ax＋b与y2＝bx＋a在同一坐标系中的图象可能是下图中的
( )
【解析】 对于A，y1中a>0，b<0，y2中b<0，a>0，y1和y2中的a、b符号分别相同，故正确；
对于B，y1中a>0，b>0，y2中b<0，a>0，故不正确；
对于C，y1中a>0，b<0，y2中b<0，a<0，故不正确；
对于D，y1中a>0，b>0，y2中b<0，a<0，故不正确.
【答案】 A
4.已知f
(x－1)＝3x－1，则f
(x)等于( )
A.3x－2
B.3x＋2
C.2x－3
D.2x
【解析】 ∵f
(x－1)＝3x－1＝3(x－1)＋2，
∴f
(x)＝3x＋2.
【答案】 B
5.已知一次函数y＝(a－2)x＋1的图象不经过第三象限，化简＋的结果是( )
A.2a－5
B.5－2a
C.1
D.5
【解析】 ∵一次函数y＝(a－2)x＋1的图象不过第三象限，∴a－2<0，∴a<2.
∴＋＝|a－2|＋|a－3|
＝(2－a)＋(3－a)
＝5－2a.
故选B.
【答案】 B
二、填空题
6.如图2 2 2所示，一次函数y＝kx＋b(k<0)的图象经过点A，当y<3时，x的取值范围是________.
图2 2 2
【解析】 由函数图象可知，此函数是减函数，
当y＝3时，x＝2，
故当y<3时，x>2.
【答案】 x>2
7.已知函数y＝x＋m的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为25，则m＝________.
【解析】 函数与两坐标轴的交点为(0，m)，(－m,0)，
则S△＝m2＝25，
∴m＝±5.
【答案】 ±5
8.已知关于x的一次函数y＝(m－1)x－2m＋3，则当m∈________时，函数的图象不经过第二象限.
【解析】 函数的图象不过第二象限，如图.
所以得
故m≥.
【答案】
三、解答题
9.某航空公司规定乘客所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图2 2 3所示的一次函数确定，求乘客可免费携带行李的最大质量.
图2 2 3
【解】 设题图中的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，其中y≥0.
由题图，知点(40,630)和(50,930)在函数图象上，
∴得
∴函数解析式为y＝30x－570.
令y＝0，得30x－570＝0，解得x＝19.
∴乘客可免费携带行李的最大质量为19
kg.
10.已知y＋5与3x＋4成正比例，当x＝1时，y＝2.
(1)求y与x的函数解析式；
(2)求当x＝－1时的函数值；
(3)如果y的取值范围是0≤y≤5，求x的取值范围.
【解】 (1)由题意，设y＋5＝k(3x＋4).
把x＝1，y＝2代入，得7＝k(3＋4)，
∴k＝1，∴y＋5＝3x＋4，即y＝3x－1.
(2)把x＝－1代入函数解析式，得y＝3×(－1)－1＝－4.
(3)令0≤3x－1≤5，∴1≤3x≤6，
解得≤x≤2.
[能力提升]
1.如图2 2 4所示的坐标平面上，有一条通过点(－3，－2)的直线l.若四点(－2，a)，(0，b)，(c,0)，(d，－1)在l上，则下列数值的判断正确的是( )
图2 2 4
A.a＝3
B.b>－2
C.c<－3
D.d＝2
【解析】 由题意得，此函数为减函数，
对于选项A，∵－3<－2，
∴－2>a，即a<－2，
∴选项A不正确；
对于选项B，∵－3<0，
∴－2>b，即b<－2.
∴选项B不正确；
对于选项C，∵－2<0，
∴－3>c，即c<－3，
∴选项C正确；
对于选项D，∵－2<－1，
∴－3>d，即d<－3，
∴选项D不正确.
【答案】 C
2.如图2 2 5所示，在平面直角坐标系xOy中， OABC的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为(6,4).若直线l经过点(1,0)，且将 OABC分割成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式是( )
【导学号：60210048】
图2 2 5
A.y＝x＋1
B.y＝x＋1
C.y＝3x－3
D.y＝x－1
【解析】 设D(1,0)，∵直线l经过点D(1,0)，
且将 OABC分割成面积相等的两部分，
∴OD＝BE＝1，
∵顶点B的坐标为(6,4)，
∴E(5,4)，
设直线l的函数解析式是y＝kx＋b，
∵直线过D(1,0)，E(5,4)，
∴
解得
∴直线l的解析式为y＝x－1.故选D.
【答案】 D
3.若一次函数y＝f
(x)在区间[－1,2]上的最小值为1，最大值为3，则y＝f
(x)的解析式为________.
【解析】 设f
(x)＝kx＋b(k≠0)
当k>0时，
即
∴f
(x)＝x＋.
当k<0时，
即
∴f
(x)＝－x＋.
∴f
(x)的解析式为f
(x)＝x＋或
f
(x)＝－x＋.
【答案】 f
(x)＝x＋或f
(x)＝－x＋
4.对于每个实数x，设f
(x)取y＝x－3，y＝－x－4，y＝－2三个函数中的最大者，用分段函数的形式写出f
(x)的解析式，并求f
(x)的最小值.
【解】 在同一坐标系中作出函数y＝x－3，y＝－x－4，y＝－2的图象，如图所示.
由得
即A(－2，－2).
由得
即B(1，－2).
根据图象，可得函数f
(x)的解析式为
f
(x)＝
由上述过程及图象可知，当－2≤x≤1时，f
(x)均取到最小值－2.学业分层测评(一) 集合的概念
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列对象能构成集合的是( )
①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员，②所有的钝角三角形，③2015年诺贝尔经济学奖得主，④大于等于0的整数，⑤莘县第一中学所有聪明的学生．
A．①②④
B．②⑤
C．③④⑤
D．②③④
【解析】 由集合中元素的确定性知，①中“优秀的篮球运动员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合．
【答案】 D
2．已知集合M中的元素a，b，c是△ABC的三边，则△ABC一定不是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形
【解析】 因为集合中元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，因此选D.
【答案】 D
3．下面有三个命题：①集合N中最小的数是1；②若－a N，则a∈N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2.
其中正确命题的个数是( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【解析】 因为自然数集中最小的数是0，而不是1，所以①错；对于②，取a＝，则－ N， N，所以②错；对于③，a＝0，b＝0时，a＋b取得最小值是0，而不是2，所以③错．
【答案】 A
4．下列正确的命题的个数有( )
①1∈N；②∈N
；③∈Q；④2＋ R；⑤ Z.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】 ∵1是自然数，∴1∈N，故①正确；∵不是正整数，∴ N
，故②不正确；
∵是有理数，∴∈Q，故③正确；∵2＋是实数，∴2＋∈R，所以④不正确；
∵＝2是整数，∴∈Z，故⑤不正确．
【答案】 B
5．给出下列说法，其中正确的个数为( )
(1)由1，，，，这些数组成的集合有5个元素；
(2)方程(x－3)(x－2)2＝0的解组成的集合有3个元素；
(3)由一条边为2，一个内角为30°的等腰三角形组成的集合中含有4个元素．
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 (1)不正确．对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任意两个元素都是不同的，而与相同，与相同，故这些数组成的集合只有3个元素．
(2)不正确．方程(x－3)(x－2)2＝0的解是x1＝3，x2＝x3＝2，因此写入集合时只有3和2两个元素．
(3)正确．若2为底边长，则30°角可以是顶角或底角；若2为腰长，则30°角也可以是顶角或底角，故集合中有4个元素．
【答案】 B
二、填空题
6．由m－1,3m，m2－1组成的三元素集合中含有－1，则m的值是________.
【导学号：60210002】
【解析】 当m＝0时，三个数分别为－1,0，－1，组成的集合中只有两个元素，不合题意；当m＝－时，三个数分别为－，－1，－，符合题意，即m只能取－.
【答案】 －
7．设集合A是由1，k2为元素组成的集合，则实数k的取值范围是________．
【解析】 ∵1∈A，k2∈A，结合集合中元素的性质可知k2≠1，解得k≠±1.
【答案】 k≠±1
8．由实数t，|t|，t2，－t，t3所构成的集合M中最多含有________个元素．
【解析】 由于|t|至少与t和－t中的一个相等，故集合M中至多有4个元素．
【答案】 4
三、解答题
9．设非空数集A满足以下条件：若a∈A，则∈A，且1 A.
(1)若2∈A，你还能求出A中哪些元素？
(2)“3∈A”和“4∈A”能否同时成立？
【解】 (1)若2∈A，则＝－1∈A，于是＝∈A，而＝2.
所以集合A中还有－1，这两个元素．
(2)若“3∈A”和“4∈A”能同时成立，则＝3且＝4，由＝3解得a＝，由＝4解得a＝，矛盾，所以“3∈A”和“4∈A”不能同时成立．
10．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？
【解】 ∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；
当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；
当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.
由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个．
[能力提升]
1．集合A含有两个元素a－3和2a－1，则实数a的取值范围是________．
【解析】 由集合中元素的互异性，可得a－3≠2a－1，所以a≠－2.即实数a的取值范围为a≠－2.
【答案】 a≠－2
2．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2【解析】 ∵x∈N，且2【答案】 6
3．集合A中的元素y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为________．
【解析】 依题意A＝{y∈N|y＝－x2＋1}＝{y∈N|y≤1}＝{0,1}．又t∈A，∴t＝0或1.
【答案】 0或1
4．若所有形如3a＋b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断3－9是否是集合A中的元素．
【导学号：60210003】
【解】 ∵3－9＝－9＋3＝3×(－3)＋×3.
令a＝－3，b＝3，则－3∈Z,3∈Z.
∴3－9是集合A中的元素.学业分层测评(二) 集合的表示方法
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．把集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法表示为( )
A．{x＝1，x＝2}
B．{x|x＝1，x＝2}
C．{x2－3x＋2＝0}
D．{1,2}
【解析】 解方程x2－3x＋2＝0可得x＝1或2，所以集合{x|x2－3x＋2＝0}用列举法可表示为{1,2}．
【答案】 D
2．(2016·石家庄高一检测)设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为( )
A．4
B．5
C．6
D．7
【解析】 由题意，B＝{2,3,4,5,6,8}，共有6个元素，故选C.
【答案】 C
3．(2016·漳州高一检测)下列各组两个集合M和N表示同一集合的是( )
A．M＝{π}，N＝{3.141
59}
B．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{x|x2＋1＝0}，N＝
【解析】 对于A，∵π≠3.141
59，∴{π}≠{3.141
59}．对于B，前者包含2个元素，而后者只含一个元素，是个点．对于C，前者是直线x＋y＝1上点的集合，而后者是函数y＝－x＋1的值域．对于D，∵x2＋1＝0无解，∴{x|x2＋1＝0}＝ ，故选D.
【答案】 D
4．(2016·贵阳高一检测)设集合A＝{－2,0,1,3}，集合B＝{x|－x∈A,1－x A}，则集合B中元素的个数为( )
【导学号：60210006】
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 若x∈B，则－x∈A，∴x的可能取值为：2,0，－1，－3，
当2∈B时，则1－2＝－1 A，∴2∈B；
当0∈B时，则1－0∈A，∴0 B；
当－1∈B时，则1－(－1)＝2 A，
∴－1∈B；
当－3∈B时，则1－(－3)＝4 A，
∴－3∈B.
综上，B＝{－3，－1,2}，所以集合B含有的元素个数为3，故选C.
【答案】 C
5．已知P＝{x|2A．5B．5≤x<6
C．5D．5≤x≤6
【解析】 因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，可得5【答案】 C
二、填空题
6．已知集合A＝{－1，－2,0,1,2}，B＝{x|x＝y2，y∈A}，则用列举法表示B应为________．
【解析】 (－1)2＝12＝1，(－2)2＝22＝4,02＝0，所以B＝{0,1,4}．
【答案】 {0,1,4}
7．已知集合A＝{x|x2＋2x＋a＝0}，若1∈A，则A＝________.
【解析】 把x＝1代入方程x2＋2x＋a＝0可得a＝－3，解方程x2＋2x－3＝0可得A＝{－3,1}．
【答案】 {－3,1}
8．(2016·松原高一检测)若2 {x|x－a＜0}，则实数a的取值集合是________．
【解析】 由题意，{x|x－a＜0}＝{x|x＜a}，∵2 {x|x－a＜0}，∴a≤2，∴实数a的取值集合是{a|a≤2}．
【答案】 {a|a≤2}
三、解答题
9．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(2)1
000以内被3除余2的正整数组成的集合；
(3)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合．
【解】 (1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3，所以方程的解集为{(x，y)|x＝2，y＝－3}．
(2)集合的代表元素是数，用描述法可表示为{x|x＝3k＋2，k∈N且x<1
000}．
(3)“二次函数y＝x2－10图象上的所有点”用描述法表示为{(x，y)|y＝x2－10}．
10．(2016·宁德高一检测)若－3∈{a－3,2a－1，a2＋1}，求实数a的值．
【解】 ∵－3∈{a－3,2a－1，a2＋1}，又a2＋1≥1，
∴－3＝a－3，或－3＝2a－1，
解得a＝0，或a＝－1，
当a＝0时，{a－3,2a－1，a2＋1}＝{－3，－1,1}，满足集合三要素；
当a＝－1时，{a－3,2a－1，a2＋1}＝{－4，－3,2}，满足集合三要素；
∴a＝0或－1.
[能力提升]
1．集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,2,3}，C＝{z|z＝xy，x∈A且y∈B}，则集合C中的元素个数为( )
A．3
B．4
C．11
D．12
【解析】 C＝{1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15}，故选C.
【答案】 C
2．已知集合A＝{2,0,1,4}，B＝{k|k∈R，k2－2∈A，k－2 A}，则集合B中所有的元素之和为( )
A．2
B．－2
C．0
D.
【解析】 若k2－2＝2，得k＝2或k＝－2，当k＝2时，k－2＝0不满足条件，当k＝－2时，k－2＝－4，满足条件；若k2－2＝0，得k＝±，显然满足条件；若k2－2＝1，得k＝±，显然满足条件；若k2－2＝4，得k＝±，显然满足条件．所以集合B中的元素为－2，±，±，±，所以集合B中的元素之和为－2，则选B.
【答案】 B
3．已知集合M＝{a,2,3＋a}，集合N＝{3,2，a2}，若M＝N，则a＝( )
【导学号：60210007】
A．1
B．3
C．0
D．0或1
【解析】 因为集合M与集合N相等．
所以或
对于无解；
对于解得a＝0，
综上可知a＝0.
【答案】 C
4．设集合B＝，
(1)试判断元素1和2与集合B的关系；
(2)用列举法表示集合B.
【解】 (1)当x＝1时，＝2∈N；当x＝2时，＝ N，所以1∈B,2 B.
(2)令x＝0,1,4代入∈N检验，可得B＝{0,1,4}．