学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( )
A．相交
B．异面
C．平行
D．不确定
【解析】 因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，
所以l⊥平面ABC.
同理可证m⊥平面ABC，
所以l∥m，故选C.
【答案】 C
2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，m α，n β，则m⊥n
B．若α∥β，m α，n β，则m∥n
C．若m⊥n，m α，n β，则α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
【解析】 A中，m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中，m，n可能为异面直线；C中，m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．
【答案】 D
3．已知平面α、β和直线m、l，则下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β
B．若α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β
C．若α⊥β，l α，则l⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β
【解析】 选项A缺少了条件l α；选项B缺少了条件α⊥β；选项C缺少了条件α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件．故选D.
【答案】 D
4．(2016·蚌埠高二检测)如图1 2 64，PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是( )
图1 2 64
A．PD⊥BD
B．PD⊥CD
C．PB⊥BC
D．PA⊥BD
【解析】 若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，
又BA⊥平面PAD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，不成立，故A不正确；
因为PA⊥矩形ABCD，
所以PA⊥CD，AD⊥CD，
所以CD⊥平面PAD，所以PD⊥CD，
同理可证PB⊥BC.
因为PA⊥矩形ABCD，
所以由直线与平面垂直的性质得PA⊥BD.故选A.
【答案】 A
5．如图1 2 65所示，三棱锥P ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是( )
图1 2 65
A．一条线段
B．一条直线
C．一个圆
D．一个圆，但要去掉两个点
【解析】 ∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC 平面PAC，∴AC⊥平面PBC.
又∵BC 平面PBC，∴AC⊥BC.
∴∠ACB＝90°.
∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．
【答案】 D
二、填空题
6．如图1 2 66，在三棱锥P ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则＝________.
图1 2 66
【解析】 在三棱锥P ABC中，
因为PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面APC.
因为EF 平面PAC，所以EF⊥AB，
因为EF⊥BC，BC∩AB＝B，
所以EF⊥底面ABC，所以PA∥EF，
因为F是AC的中点，E是PC上的点，
所以E是PC的中点，所以＝1.
【答案】 1
7．如图1 2 67，平面α⊥平面β，在α与β交线上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和β内，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD＝________.
图1 2 67
【解析】 连接BC.∵BD⊥AB，α⊥β，α∩β＝AB，
∴BD⊥α.∵BC α，∴BD⊥BC，∴△CBD是直角三角形．
在Rt△BAC中，BC＝＝5.
在Rt△CBD中，CD＝＝13.
【答案】 13
8．如图1 2 68，在三棱锥P ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．
【导学号：60870046】
图1 2 68
【解析】 连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时，CM有最小值，此时有CM＝4×＝2，所以PM的最小值为2.
【答案】 2
三、解答题
9．(2016·成都高一检测)如图1 2 69，三棱锥P ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.
图1 2 69
【证明】 ∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，
∴PA⊥平面ABC.又BC 平面ABC，
∴PA⊥BC.
又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB 平面PAB，
PA 平面PAB，
∴BC⊥平面PAB.又BC 平面PBC，
∴平面PAB⊥平面PBC.
10．如图1 2 70，△ABC是边长为2的正三角形．若AE＝1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，且BD⊥CD.
图1 2 70
(1)求证：AE∥平面BCD；
(2)求证：平面BDE⊥平面CDE.
【证明】 (1)取BC的中点M，连接DM，
因为BD＝CD，且BD⊥CD，BC＝2.
所以DM＝1，DM⊥BC.
又因为平面BCD⊥平面ABC，
所以DM⊥平面ABC，
又AE⊥平面ABC，所以AE∥DM.
又因为AE 平面BCD，DM 平面BCD，所以AE∥平面BCD.
(2)由(1)知AE∥DM，
又AE＝1，DM＝1，所以四边形DMAE是平行四边形，
所以DE∥AM.连接AM，易证AM⊥BC，
因为平面BCD⊥平面ABC，所以AM⊥平面BCD，
所以DE⊥平面BCD.
又CD 平面BCD，所以DE⊥CD.
因为BD⊥CD，BD∩DE＝D，所以CD⊥平面BDE.
因为CD 平面CDE，所以平面BDE⊥平面CDE.
[能力提升]
1．(2016·烟台高一检测)已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则( )
A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直
B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直
D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
【解析】 如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在．
【答案】 C
2．(2016·广州模拟)用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.
其中真命题的序号是( )
A．①②
B．②③
C．①④
D．②④
【解析】 对于①，正方体从同一顶点引出的三条直线a，b，c，满足a⊥b，b⊥c，但是a⊥c，所以①错误；
对于②，若a∥b，a∥c，则b∥c，满足平行线公理，所以②正确；
对于③，平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以③错误；
对于④，由垂直于同一平面的两条直线平行，知④正确．故选D.
【答案】 D
3．如图1 2 71，边长为2a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列结论，其中正确的结论有________．(填上所有正确结论的序号)
图1 2 71
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；
②三棱锥A′ FED的体积有最大值；
③恒有平面A′GF⊥平面BCED；
④异面直线A′E与BD不可能互相垂直．
【解析】 因为DE⊥A′G，DE⊥GF，A′G∩GF＝G，
所以DE⊥平面A′GF，
又DE 平面BCED，
所以平面A′GF⊥平面BCED，故③正确．
过A′作A′H⊥AF，垂足为H，
则A′H 平面A′GF，
所以A′H⊥DE，又DE∩AF＝G，
所以A′H⊥平面ABC，故①正确．
三棱锥A′ FED的底面△FED的面积是定值，高是点A′到平面FED的距离．
易证当A′G⊥平面FED时距离(即高)最大，三棱锥A′ FED的体积最大，故②正确．
易知BD∥EF，所以∠A′EF是异面直线A′E与BD所成的角．正△ABC的边长为2a，AE＝a，EF＝a，
而A′F的长度的取值范围是(0,
a)，
当A′F＝a时，A′E2＋EF2＝A′F2，∠A′EF＝90°，
此时直线A′E与BD互相垂直，故④错误．
【答案】 ①②③
4．(2016·山东泰安模拟)如图1 2 72，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，E为AD的中点，F为B1C1的中点．
图1 2 72
(1)求证：A1F∥平面ECC1；
(2)在CD上是否存在一点G，使BG⊥平面ECC1？若存在，请确定点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．
【解】 (1)如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，取BC的中点M，连接AM，FM，
所以B1F∥BM且B1F＝BM，
所以四边形B1FMB是平行四边形，
所以FM∥B1B且FM＝B1B.
因为FM∥A1A且FM＝A1A，
所以四边形AA1FM是平行四边形，所以A1F∥AM.
因为E为AD的中点，所以AE∥MC且AE＝MC.
所以四边形AMCE是平行四边形．所以CE∥AM，所以CE∥A1F.
因为A1F 平面ECC1，EC 平面ECC1，
所以A1F∥平面ECC1.
(2)在CD上存在一点G，使BG⊥平面ECC1.
取CD的中点G，连接BG，如图．
在正方形ABCD中，DE＝EC，CD＝BC，∠ADC＝∠BCD，
所以△CDE≌△BCG，所以∠ECD＝∠GBC.
因为∠CGB＋∠GBC＝90°，所以∠CGB＋∠DCE＝90°，所以BG⊥EC.
因为CC1⊥平面ABCD，BG 平面ABCD，
所以CC1⊥BG.又EC∩CC1＝C，所以BG⊥平面ECC1.
故当G为CD的中点时，满足BG⊥平面ECC1.学业分层测评
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[学业达标]
一、选择题
1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是( )
A．一个点
B．一个圆
C．一条直线
D．不存在
【解析】 方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，
可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，故方程表示点(1，－2)．
【答案】 A
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圆过原点且圆心在直线y＝x上的条件是( )
A．D＝E＝0，F≠0
B．D＝F＝0，E≠0
C．D＝E≠0，F≠0
D．D＝E≠0，F＝0
【解析】 ∵圆过原点，∴F＝0，又圆心在y＝x上，
∴D＝E≠0.
【答案】 D
3．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆中，最大面积是( )
A.π
B.π
C．3π
D．不存在
【解析】 所给圆的半径为
r＝＝.
所以当m＝－1时，
半径r取最大值，此时最大面积是π.
【答案】 B
4．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为( )
A．－2或2
B.或
C．2或0
D．－2或0
【解析】 把圆x2＋y2－2x－4y＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，故此圆圆心为(1,2)，圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则＝，解得a＝2或a＝0.故选C.
【答案】 C
5．(2016·惠州高一检测)若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，则直角顶点C的轨迹方程为( )
A．x2＋y2＝25(y≠0)
B．x2＋y2＝25
C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0)
D．(x－2)2＋y2＝25
【解析】 线段AB的中点为(2,0)，因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以C到点(2,0)的距离为|AB|＝5，所以点C(x，y)满足＝5(y≠0)，即(x－2)2＋y2＝25(y≠0)．
【答案】 C
二、填空题
6．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.
【解析】 由题意可得圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，将代入直线方程得－1－＋2＝0，解得a＝－2.
【答案】 －2
7．过点M(－1,1)，且与已知圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0有相同圆心的圆的方程为________．
【解析】 圆C的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝16，则所求圆的圆心为(2，－3)．半径r＝＝5，方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
【答案】 (x－2)2＋(y＋3)2＝25
8．当动点P在圆x2＋y2＝2上运动时，它与定点A(3,1)连线中点Q的轨迹方程为________．
【解析】 设Q(x，y)，P(a，b)，由中点坐标公式得
所以
点P(2x－3,2y－1)满足圆x2＋y2＝2的方程，所以(2x－3)2＋(2y－1)2＝2，
化简得2＋2＝，即为点Q的轨迹方程．
【答案】 2＋2＝
三、解答题
9．(2016·吉林高一检测)已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程.
【导学号：60870076】
【解】 圆心C，
因为圆心在直线x＋y－1＝0上，
所以－－－1＝0，即D＋E＝－2，①
又r＝＝，所以D2＋E2＝20，②
由①②可得或
又圆心在第二象限，所以－<0，即D>0，
所以所以圆的一般方程为：
x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
10．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作 MONP，求点P的轨迹方程．
【解】
如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.
因为平行四边形的对角线互相平分，故＝，＝，
则有即N(x＋3，y－4)．
又点N在圆x2＋y2＝4上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
因此，点P的轨迹为圆，其轨迹方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点和.
[能力提升]
1．已知定点P1(－1,0)，P2(1,0)，动点M满足|MP1|＝|MP2|,
则构成△MP1P2面积的最大值是( )
A.
B．2
C.
D．2
【解析】 设M(x，y)，由|MP1|＝|MP2|，
可得＝，
化简得(x－3)2＋y2＝8，
即M在以(3,0)为圆心，2为半径的圆上运动，
又S△MP1P2＝·|P1P2|·|yM|＝|yM|≤2.故选B.
【答案】 B
2．方程|x|－1＝所表示的曲线是( )
A．一个圆
B．两个圆
C．一个半圆
D．两个半圆
【解析】 方程可化为(|x|－1)2＋(y－1)2＝1，
又|x|－1≥0，所以x≥1或x≤－1，若x≤－1，方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1；若x≥1，方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.
∴方程表示两个半圆．
【答案】 D
3．若圆x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A、B两点，且∠ACB＝90°(其中C为已知圆的圆心)，则实数m等于( )
A．1
B．－3
C．0
D．2
【解析】 设A(0，y1)，B(0，y2)，在圆方程中令x＝0得y2＋2y＋m＝0，y1，y2即为该方程的两根，
由根与系数的关系及判别式得
又由∠ACB＝90°，C(2，－1)，知kAC·kBC＝－1，
即·＝－1，
即y1y2＋(y1＋y2)＋1＝－4，
代入上面的结果得m－2＋1＝－4，
∴m＝－3，符合m<1的条件．
【答案】 B
4．已知圆的方程是x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0.
(1)求此圆的圆心与半径；
(2)求证：不论m为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆．
【解】 (1)x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0可化为[x＋(m－1)]2＋(y－2m)2＝9，
∴圆心为(1－m,2m)，半径r＝3.
(2)证明：由(1)可知，圆的半径为定值3，且圆心(a，b)满足方程组
即2a＋b＝2.
∴不论m为何值，方程表示的圆的圆心在直线2x＋y－2＝0上，且为等圆．学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是( )
A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α
B．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥α
D．m∥b，b⊥α
【解析】 由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确．
【答案】 D
2．如图1 2 47，三棱锥P ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，则直线PB和平面ABC所成的角是( )
图1 2 47
A．∠BPA
B．∠PBA
C．∠PBC
D．以上都不对
【解析】 由PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，
得PA⊥平面ABC，
所以∠PBA为BP与平面ABC所成的角．故选B.
【答案】 B
3．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( )
A．有且只有一个
B．至多一个
C．有一个或无数个
D．不存在
【解析】 若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．
【答案】 B
4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 如图所示，连接BD交AC于点O，连接D1O，由于BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即为所求．设正方体的棱长为1，则DD1＝1，DO＝，D1O＝，
∴cos
∠DD1O＝＝＝.
∴BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为.
【答案】 D
5．(2016·成都高二检测)已知ABCD A1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是( )
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．AC1⊥BD1
【解析】 正方体中由BD∥B1D1，易知A正确；
由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1，
从而BD⊥AC1，即B正确；
由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，
因此AC1⊥平面CB1D1，即C正确；
由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．故选D.
【答案】 D
二、填空题
6．(2016·太原高一检测)如图1 2 48，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________．
图1 2 48
【解析】 ∵EA⊥α，CD α，
根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.
同样，∵EB⊥β，CD β，则有EB⊥CD.
又EA∩EB＝E，
∴CD⊥平面AEB.
又∵AB 平面AEB，∴CD⊥AB.
【答案】 CD⊥AB
7．如图1 2 49所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________．
图1 2 49
【解析】
BC⊥平面PAC BC⊥PC，
∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.
【答案】 4
8．(2016·淮安高二检测)如图1 2 50，四棱锥S ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．
图1 2 50
①AC⊥SB；
②AB∥平面SCD；
③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；
④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．
【解析】 因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD.
因为ABCD是正方形，
所以AC⊥BD.又BD∩SD＝D，
所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确．
因为AB∥CD，AB 平面SCD，CD 平面SCD，
所以AB∥平面SCD，故②正确．
因为AD是SA在平面ABCD内的射影，
所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD.故③正确．
因为AB∥CD，
所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，
故④正确．
【答案】 4
三、解答题
9．如图1 2 51，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.
【导学号：60870043】
图1 2 51
【证明】 ∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE.
又AE 平面ABE，∴AE⊥BC.
∵BF⊥平面ACE，AE 平面ACE，∴AE⊥BF.
又∵BF 平面BCE，BC 平面BCE，BF∩BC＝B，
∴AE⊥平面BCE.
又BE 平面BCE，∴AE⊥BE.
10．如图1 2 52所示，三棱锥A SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC所成的角．
图1 2 52
【解】 因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB与△SAC都是等边三角形．因此AB＝AC.
如图所示，取BC的中点D，
连接AD，SD，则AD⊥BC.
设SA＝a，则在Rt△SBC中，BC＝a，CD＝SD＝a.
在Rt△ADC中，AD＝＝a.
则AD2＋SD2＝SA2，
所以AD⊥SD.
又BC∩SD＝D，
所以AD⊥平面SBC.
因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．
在Rt△ASD中，SD＝AD＝a，
所以∠ASD＝45°，
即直线AS与平面SBC所成的角为45°.
[能力提升]
1．已知三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是三角形ABC的( )
A．外心
B．内心
C．垂心
D．重心
【解析】 如图，∵PA、PB、PC两两垂直，
∴PA⊥平面PBC，∴PA⊥BC.
又BC⊥PH，PA∩PH＝P，
∴BC⊥平面PAH，
∴BC⊥AH.
同理AB⊥CH，AC⊥BH.
∴点H为△ABC的垂心．
【答案】 C
2．在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝，则PC与平面ABCD所成角的大小为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【解析】 如图，连接AC.
∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角．
∵AC＝，PA＝，
∴tan
∠PCA＝＝＝.
∴∠PCA＝60°.
【答案】 C
3．如图1 2 53，∠ACB＝90°，平面ABC外有一点P，PC＝4
cm，点P到角的两边AC、BC的距离都等于2
cm，那么PC与平面ABC所成角的大小为________．
图1 2 53
【解析】 过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，连接CO，则CO为∠ACB的平分线，且∠PCO为PC与平面ABC所成的角，设其为θ，连接OF，易知△CFO为直角三角形，
又PC＝4，PF＝2，
∴CF＝2，∴CO＝2，
在Rt△PCO中，cos
θ＝＝，
∴θ＝45°.
【答案】 45°
4．如图1 2 54，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．
图1 2 54
(1)求证：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
【证明】 (1)∵AB为⊙O的直径，
∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，
PB 平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ 平面ANQ，∴PB⊥NQ.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如图1 1 78是一个正四棱锥，它的俯视图是( )
图1 1 78
【解析】 由三视图的俯视图，易知D为正四棱锥的俯视图．故选D.
【答案】 D
2．(2016·南宁高一期末)下列几何体各自的三视图中，只有两个视图相同的是( )
图1 1 79
A．①③
B．②③
C．②④
D．③④
【解析】 ①③的三个三视图都相同，②④的主视图和左视图相同．故选C.
【答案】 C
3．(2016·葫芦岛高一期末)一根钢管如图1 1 80所示，则它的三视图为( )
图1 1 80
A B C D
【解析】 该几何体是由圆柱中挖去一个圆柱形成的几何体，三视图为B.
【答案】 B
4．(2016·台州高二检测)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图1 1 81所示，则该几何体的左视图为( )
图1 1 81
A
B
C
D
【解析】 被截去的四棱锥的三条可见棱中，有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合．故选D.
【答案】 D
5．(2016·安庆高二检测)如图1 1 82，点O为正方体ABCD A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影不可能是( )
图1 1 82
A
B
C
D
【解析】 由题意知光线从上向下照射，得到C.光线从前向后照射，得到A.光线从左向右照射得到B.故空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影不可能是D，故选D.
【答案】 D
二、填空题
6．一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的______(填入所有可能的几何体前的编号)．
①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．
【解析】 三棱锥、四棱锥和圆锥的主视图都是三角形．当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其主视图是三角形，四棱柱、圆柱无论怎样放置，其主视图都不可能是三角形．
【答案】 ①②③⑤
7．(2016·肇庆高二检测)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的主视图的面积S的取值范围是________．
【解析】 主视图的最小面积为正方形ABB1A1的面积，为1，最大面积为矩形ACC1A1的面积，为，故所求范围为[1,
]．
【答案】 [1,
]
8．(2016·昆明高二检测)如图1 1 83为长方体木块堆积成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成.
【导学号：60870021】
图1 1 83
【解析】 该几何体的实物图如图．故此几何体共有4块木块堆成．
【答案】 4
三、解答题
9．画出如图1 1 84所示的几何体的三视图．
图1 1 84
【解】 该几何体的三视图如图所示．
10．(2016·潍坊高一检测)已知一个几何体的三视图如图1 1 85，试根据三视图想象物体的原形，并试着画出实物草图．
图1 1 85
【解】 由三视图知，该物体下部为长方体、上部为一个与长方体等高的圆柱，且圆柱的底面相切于长方体的上底面，由此可画出实物草图如图．
[能力提升]
1．(2016·济南高一检测)如图1 1 86，E、F分别是正方体ABCD A1B1C1D1中AD1、B1C上的动点(不含端点)，则四边形B1FDE的俯视图可能是( )
图1 1 86
【解析】 D的投影为D1，E的投影在A1D1上，F的投影在B1C1上，则俯视图可能为B.
【答案】 B
2．(2016·台州高二检测)直角边分别为1和的三角形，绕一条直角边所在直线旋转，形成的圆锥的俯视图是半径为1的圆，则它的主视图是( )
A．等腰直角三角形
B．边长为的等边三角形
C．边长为2的等边三角形
D．不能确定
【解析】 如图，由题意得：该旋转体的主视图为△ABC，又因AB＝AC＝BC＝2，所以选C.
【答案】 C
3．已知某一几何体的主视图与左视图如图1 1 87所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有________．
图1 1 87
【解析】 由三视图的主视图和左视图分析，几何体上部、中部、下部的形状，只能是圆柱、四棱柱或三棱柱，因而⑤不正确．
【答案】 ①②③④
4．一个几何体的三视图如图1 1 88所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则用________个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体．
图1 1 88
【解析】 该几何体是四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高等于4，如图(1)所示的四棱锥A A1B1C1D1，
图(1) 图(2)
如图(2)所示，三个相同的四棱锥A A1B1C1D1，A BB1C1C，A DD1C1C可以拼成一个棱长为4的正方体．
【答案】 3
5．一个物体由几块相同的正方体组成，其三视图如图1 1 89所示，试据图回答下列问题：
【导学号：60870022】
图1 1 89
(1)该物体有多少层？
(2)该物体的最高部分位于哪里？
(3)该物体一共由几个小正方体构成？
【解】 (1)该物体一共有两层，从主视图和左视图都可以看出来．
(2)该物体最高部分位于左侧第一排和第二排．
(3)从左视图及俯视图可以看出，该物体前后一共三排，第一排左侧2个，右侧1个；第二排左侧2个，右侧没有；第三排左侧1个，右侧1个，该物体一共由7个小正方体构成.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·淄博高一检测)下列说法正确的是( )
A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．经过任意两个不同点P(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示
C．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
D．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
【解析】 当直线与y轴重合时，斜率不存在，选项A、D不正确；当直线垂直于x轴或y轴时，直线方程不能用截距式表示，选项C不正确；当x1≠x2，y1≠y2时由直线方程的两点式知选项B正确，当x1＝x2，y1≠y2时直线方程为x－x1＝0，即(x－x1)(y2－y1)＝(y－y1)(x2－x1)，同理x1≠x2，y1＝y2时也可用此方程表示．故选B.
【答案】 B
2．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )
A．3x－y－8＝0
B．3x＋y＋4＝0
C．3x－y＋6＝0
D．3x＋y＋2＝0
【解析】 kAB＝＝，AB的中点坐标为(－2,2)，所以所求方程为：y－2＝－3(x＋2)，化简为3x＋y＋4＝0.
【答案】 B
3．若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则( )
A．ab>0，bc>0
B．ab>0，bc>0
C．ab<0，bc>0
D．ab<0，bc<0
【解析】 直线经过第一、二、三象限，
则由y＝－
x－可知，
选D.
【答案】 D
4．两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )
【解析】 化为截距式＋＝1，＋＝1.
假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A项符合．
【答案】 A
5．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m是( )
【导学号：60870064】
A．1
B．2
C．－
D．2或－
【解析】 当2m2＋m－3≠0时，在x轴上的截距为＝1，即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－.
【答案】 D
二、填空题
6．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点________．
【解析】 将直线方程变形为y－2＝a(x－3)，由直线方程的点斜式可知，直线的斜率为a，过定点(3,2)．
【答案】 (3,2)
7．已知直线l1过点P(2,1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为________．
【解析】 直线l2的斜率k2＝1，故l1的斜率为－1，所以l1的点斜式方程为y－1＝－(x－2)．
【答案】 y－1＝－(x－2)
8．已知光线经过点A(4,6)，经x轴上的B(2,0)反射照到y轴上，则光线照在y轴上的点的坐标为________．
【解析】 点A(4,6)关于x轴的对称点A1(4，－6)，则直线A1B即是反射光线所在直线，由两点式可得其方程为：3x＋y－6＝0，令x＝0，得y＝6，所以反射光线经过y轴上的点的坐标为(0,6)．
【答案】 (0,6)
三、解答题
9．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．
(1)求实数m的范围；
(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．
【解】 (1)由解得m＝2，
若方程表示直线，则m2－3m＋2与m－2不能同时为0，故m≠2.
(2)由－＝1，解得m＝0.
10．求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．
【解析】 法一 设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1.
∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y＝1.
若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y＝7.
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，
∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
法二 设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)，
令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝.
又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，
∴|－4k－3|＝，
解得k＝1或k＝－1或k＝－.
∴所求的直线方程为
x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.
[能力提升]
1．直线x－y＋1＝0关于y轴对称的直线的方程为( )
A．x－y－1＝0
B．x－y－2＝0
C．x＋y－1＝0
D．x＋y＋1＝0
【解析】 令y＝0，则x＝－1，令x＝0，则y＝1，
∴直线x－y＋1＝0关于y轴对称的直线过点(0,1)和(1,0)，
由直线的截距式方程可知，x＋y＝1，即x＋y－1＝0.
【答案】 C
2．(2016·潍坊高一检测)已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图2 2 4所示，则( )
图2 2 4
A．b>0，d<0，aB．b>0，d<0，a>c
C．b<0，d>0，a>c
D．b<0，d>0，a【解析】 由题图可知直线l1、l2的斜率都大于0，即k1＝－>0，k2＝－>0且k1>k2，∴a<0，c<0且a>c.
又l1的纵截距－<0，l2的纵截距－>0，
∴b<0，d>0，故选C.
【答案】 C
3．已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．
【解析】 直线AB的方程为＋＝1，
设P(x，y)，则x＝3－y，
∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)
＝[－(y－2)2＋4]≤3.
即当P点坐标为时，xy取得最大值3.
【答案】 3
4．直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：
(1)△AOB的周长为12；
(2)△AOB的面积为6.
若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【导学号：60870065】
【解】 设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，
若满足条件(1)，则a＋b＋＝12.①
又∵直线过点P，∴＋＝1.②
由①②可得5a2－32a＋48＝0，
解得或
∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
若满足条件(2)，则ab＝12，③
由题意得：＋＝1，④
由③④整理得a2－6a＋8＝0，
解得或
∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x＋4y－12＝0.章末综合测评(一)
立体几何初步
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是( )
A．相交
B．异面
C．平行
D．异面或相交
【解析】 根据空间两条直线的位置关系和公理4可知c与b异面或相交，但不可能平行．
【答案】 D
2．下列说法不正确的是( )
A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形
B．同一平面的两条垂线一定共面
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
【解析】 A、B、C显然正确．易知过一条直线有无数个平面与已知平面垂直．选D.
【答案】 D
3．(2016·太原高二检测)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3 l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3 l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3 l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点 l1，l2，l3共面
【解析】 对于A，通过常见的图形正方体判断，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，故A错；对于B，因为l1⊥l2，所以l1，l2所成的角是90°，又因为l2∥l3，所以l1，l3所成的角是90°，所以l1⊥l3，故B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．故选B.
【答案】 B
4．设a、b为两条直线，α、β为两个平面，则正确的命题是( )
【导学号：60870050】
A．若a、b与α所成的角相等，则a∥b
B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
C．若a α，b β，a∥b，则α∥β
D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b
【解析】 A中，a、b可以平行、相交或异面；B中，a、b可以平行或异面；C中，α、β可以平行或相交．
【答案】 D
5．(2016·山西山大附中高二检测)如图1，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( )
图1
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
【解析】 如图，连接A1B、BC1、A1C1，则A1B＝BC1＝A1C1，
且EF∥A1B、GH∥BC1，
所以异面直线EF与GH所成的角等于60°.
【答案】 B
6．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
【解析】 选项A，平行于同一条直线的两个平面也可能相交，故选项A错误；选项B，垂直于同一直线的两个平面互相平行，选项B正确；选项C，由条件应得α⊥β，故选项C错误；选项D，l与β的位置不确定，故选项D错误．故选B.
【答案】 B
7．(2015·洛阳高一检测)如图2，△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形，且∠BAC＝60°，下列说法中错误的是( )
图2
A．AD⊥平面BDC
B．BD⊥平面ADC
C．DC⊥平面ABD
D．BC⊥平面ABD
【解析】 由题可知，AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC，又△ABD与△ADC均为以D为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB＝AC，BD＝DC＝AB.
又∠BAC＝60°，所以△ABC为等边三角形，故BC＝AB＝BD，
所以∠BDC＝90°，即BD⊥DC.
所以BD⊥平面ADC，同理DC⊥平面ABD.
所以A、B、C项均正确．选D.
【答案】 D
8．正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【解析】 由棱锥体积公式可得底面边长为2，高为3，在底面正方形的任一边上，取其中点，连接棱锥的顶点及其在底面的射影，根据二面角定义即可判定其平面角，在直角三角形中，因为tan
θ＝(设θ为所求平面角)，所以二面角为60°，选C.
【答案】 C
9．将正方形ABCD沿BD折成直二面角，M为CD的中点，则∠AMD的大小是( )
A．45°
B．30°
C．60°
D．90°
【解析】 如图，设正方形边长为a，作AO⊥BD，则AM＝＝＝a，
又AD＝a，DM＝，∴AD2＝DM2＋AM2，∴∠AMD＝90°.
【答案】 D
10．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，PA⊥平面AC，且PA＝1，则点P到对角线BD的距离为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接PE.
∵PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAE，
∴BD⊥PE.
∵AE＝＝，PA＝1，
∴PE＝＝.
【答案】 B
11．(2016·大连高一检测)已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为( )
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°
【解析】 如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为△ABC的中心，由题意知：PO⊥平面ABC，连接OA，则∠PAO即为PA与平面ABC所成的角．
在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝，
则S＝×()2＝，
VABC A1B1C1＝S×PO＝，∴PO＝.
又AO＝×＝1，
∴tan
∠PAO＝＝，∴∠PAO＝60°.
【答案】 B
12．正方体ABCD A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是( )
A．点H是△A1BD的垂心
B．AH⊥平面CB1D1
C．AH的延长线经过点C1
D．直线AH和BB1所成的角为45°
【解析】 因为AH⊥平面A1BD，
BD 平面A1BD，
所以BD⊥AH.又BD⊥AA1，且AH∩AA1＝A.
所以BD⊥平面AA1H.又A1H 平面AA1H.
所以A1H⊥BD，
同理可证BH⊥A1D，
所以点H是△A1BD的垂心，A正确．
因为平面A1BD∥平面CB1D1，
所以AH⊥平面CB1D1，B正确．
易证AC1⊥平面A1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC1和AH重合．故C正确．
因为AA1∥BB1，所以∠A1AH为直线AH和BB1所成的角．
因为∠AA1H≠45°，所以∠A1AH≠45°，故D错误．
【答案】 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.
【解析】 由面面平行的性质得AC∥BD，＝，解得SD＝9.
【答案】 9
14．如图3，四棱锥S ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件：________时，SC∥平面EBD.
图3
【解析】 当E是SA的中点时，
连接EB，ED，AC.
设AC与BD的交点为O，连接EO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是AC的中点．
又E是SA的中点，
∴OE是△SAC的中位线．
∴OE∥SC.
∵SC 平面EBD，OE 平面EBD，
∴SC∥平面EBD.
【答案】 E是SA的中点
15．如图4所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于________.
【导学号：60870051】
图4
【解析】 ∵B1C1⊥平面A1ABB1，
MN 平面A1ABB1，
∴B1C1⊥MN，又∠B1MN为直角，
∴B1M⊥MN，而B1M∩B1C1＝B1.
∴MN⊥平面MB1C1，又MC1 平面MB1C1，
∴MN⊥MC1，∴∠C1MN＝90°.
【答案】 90°
16．已知四棱锥P ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，点E、F分别是棱PC、PD的中点，则
①棱AB与PD所在直线垂直；
②平面PBC与平面ABCD垂直；
③△PCD的面积大于△PAB的面积；
④直线AE与直线BF是异面直线．
以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
【解析】 (图略)由条件可得AB⊥平面PAD，
∴AB⊥PD，故①正确；
若平面PBC⊥平面ABCD，由PB⊥BC，
得PB⊥平面ABCD，从而PA∥PB，这是不可能的，故②错；
S△PCD＝CD·PD，S△PAB＝AB·PA，
由AB＝CD，PD>PA知③正确；
由E、F分别是棱PC、PD的中点，
可得EF∥CD，又AB∥CD，
∴EF∥AB，故AE与BF共面，④错．
【答案】 ①③
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图5所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC，求证：AD⊥平面SBC.
图5
【证明】 ∵∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC.
又∵SA⊥平面ABC，
∴SA⊥BC，∵SA∩AC＝A，
∴BC⊥平面SAC，∴BC⊥AD.
又∵SC⊥AD，SC∩BC＝C，
∴AD⊥平面SBC.
18．(本小题满分12分)如图6，三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点．
图6
(1)求证：AC⊥B1C；
(2)求证：AC1∥平面CDB1.
【证明】 (1)∵C1C⊥平面ABC，∴C1C⊥AC.
∵AC＝9，BC＝12，AB＝15，∴AC2＋BC2＝AB2，
∴AC⊥BC.
又BC∩C1C＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，
而B1C 平面BCC1B1，
∴AC⊥B1C.
(2)连接BC1交B1C于O点，连接OD.如图，∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1.又OD 平面CDB1，AC1 平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.
19．(本小题满分12分)(2016·德州高一检测)某几何体的三视图如图7所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的中点．
(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；
(2)在直观图中，①证明：PD∥面AGC；
②证明：面PBD⊥面AGC.
图7
【解】 (1)该几何体的直观图如图所示：
(2)证明：①连接AC，BD交于点O，连接OG，因为G为PB的中点，O为BD的中点，所以OG∥PD.
②连接PO，由三视图知，PO⊥平面ABCD，所以AO⊥PO.
又AO⊥BO，所以AO⊥平面PBD.
因为AO 平面AGC，
所以平面PBD⊥平面AGC.
20．(本小题满分12分)(2016·济宁高一检测)如图8，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.
图8
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：CF⊥平面BDE.
【证明】 (1)如图，设AC与BD交于点G.
因为EF∥AG，且EF＝1，
AG＝AC＝1，
所以四边形AGEF为平行四边形．
所以AF∥EG.
因为EG 平面BDE，AF 平面BDE，
所以AF∥平面BDE.
(2)连接FG，
∵EF∥CG，EF＝CG＝1，
∴四边形CEFG为平行四边形，
又∵CE＝EF＝1，∴ CEFG为菱形，
∴EG⊥CF.
在正方形ABCD中，AC⊥BD.
∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，
∴BD⊥平面CEFG.∴BD⊥CF.
又∵EG∩BD＝G，∴CF⊥平面BDE.
21．(本小题满分12分)(2015·山东高考)如图9，三棱台DEF ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
图9
(1)求证：BD∥平面FGH；
(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.
【解】 (1)证法一：连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF ABC中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，则M为CD的中点．又H为BC的中点，所以MH∥BD.又MH 平面FGH，BD 平面FGH，所以BD∥平面FGH.
证法二：在三棱台DEF ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形BHFE为平行四边形，可得BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.因为BD 平面ABED，所以BD∥平面FGH.
(2)连接HE.
因为G，H分别为AC，BC的中点，
所以GH∥AB.
由AB⊥BC，得GH⊥BC.
又H为BC的中点，
所以EF∥HC，EF＝HC，
因此四边形EFCH是平行四边形．
所以CF∥HE.
又CF⊥BC，所以HE⊥BC.
又HE，GH 平面EGH，
HE∩GH＝H，
所以BC⊥平面EGH.
又BC 平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.
22．(本小题满分12分)(2016·重庆高一检测)如图10所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
图10
(1)求证：PA∥平面BDE；平面PAC⊥平面BDE；
(2)若二面角E BD C为30°，求四棱锥P ABCD的体积.
【导学号：60870052】
【解】 (1)证明：连接OE，如图所示．
∵O、E分别为AC、PC的中点，
∴OE∥PA.
∵OE 平面BDE，PA 平面BDE，
∴PA∥平面BDE.
∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD.
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面PAC.
又∵BD 平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE.
(2)取OC中点F，连接EF.
∵E为PC中点，
∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO.
又∵PO⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD.
∵OF⊥BD，∴OE⊥BD.
∴∠EOF为二面角E BD C的平面角，
∴∠EOF＝30°.
在Rt△OEF中，
OF＝OC＝AC＝a，
∴EF＝OF·tan
30°＝a，∴OP＝2EF＝a.
∴VP ABCD＝×a2×a＝a3.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知正六棱柱的高为h，底面边长为a，则它的表面积为( )
A．3a2＋6ah
B.a2＋6h
C．4a2＋6ah
D.a2＋6ah
【解析】 柱体的表面积是侧面积加上底面积，据正六棱柱的性质，得其表面积为S侧＋2S底＝3a2＋6ah.
【答案】 A
2．长方体的体对角线长为5，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )
A．20π
B．25π
C．50π
D．200π
【解析】 ∵对角线长为5，∴2R＝5，
S＝4πR2＝4π×2＝50π.
【答案】 C
3．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边所在直线为轴旋转，所形成几何体的侧面积之比为( )
A．1∶2
B．1∶1
C．1∶4
D．1∶3
【解析】 以边长为1的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S1＝2π×2×1＝4π，以2所在边为轴旋转形成的几何体的侧面积S2＝2π×1×2＝4π，
故S1∶S2＝1∶1，选B.
【答案】 B
4．圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台OO′的侧面积是( )
A．54π
B．8π
C．4π
D．16π
【解析】 S圆台侧＝π(r＋r′)l＝π(7＋2)×6＝54π.
【答案】 A
5．(2015·安徽高考)一个四面体的三视图如图1 1 98所示，则该四面体的表面积是( )
图1 1 98
A．1＋
B．2＋
C．1＋2
D．2
【解析】 根据三视图还原几何体如图所示，其中侧面ABD⊥底面BCD，另两个侧面ABC，ACD为等边三角形，则有S表面积＝2××2×1＋2××()2＝2＋.故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6
cm,4
cm，则该棱柱的侧面积为________cm2.
【解析】 棱柱的侧面积S侧＝3×6×4＝72(cm2)．
【答案】 72
7．(2016·潍坊高一检测)轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的________倍．
【解析】 设轴截面正三角形的边长为2a，
∴S底＝πa2，
S侧＝πa×2a＝2πa2，
∴S侧＝2S底．
【答案】 2倍
8．侧面是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，该三棱锥的表面积为________．
【解析】 底面边长为a，则斜高为，
故S侧＝3×a×a＝a2.
而S底＝a2，
故S表＝a2.
【答案】 a2
三、解答题
9.如图1 1 99所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为多少？
图1 1 99
【解】 几何体的表面积为：
S＝6×22－π×(0.5)2×2＋2π×0.5×2
＝24－0.5π＋2π
＝24＋1.5π.
10．正四棱台两底面边长分别为3和9.
(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；
(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．
【解】 (1)如图，设O1，O分别为上，下底面的中心，过C1作C1E⊥AC于E，过E作EF⊥BC于F，连接C1F，则C1F为正四棱台的斜高．
由题意知∠C1CO＝45°，
CE＝CO－EO＝CO－C1O1＝×(9－3)＝3.
在Rt△C1CE中，C1E＝CE＝3，
又EF＝CE·sin
45°＝3×＝3，
∴斜高C1F＝
＝＝3.
∴S侧＝(4×3＋4×9)×3＝72.
(2)由题意知，S上底＋S下底＝32＋92＝90，
∴(4×3＋4×9)·h斜＝32＋92＝90.
∴h斜＝＝.
又EF＝＝3，h＝＝.
[能力提升]
1．某四棱锥的三视图如图1 1 100所示，该四棱锥的表面积是( )
图1 1 100
A．32
B．16＋16
C．48
D．16＋32
【解析】 由三视图还原几何体的直观图如图所示．S表＝×4＋4×4＝16＋16.
【答案】 B
2．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是( )
A．2
B．4
C．6
D．8
【解析】 由已知得底面边长为1，侧棱长为＝2.
∴S侧＝1×2×4＝8.
【答案】 D
3．一个直角梯形的两底边长分别为2和5，高为4.将其绕较长底所在直线旋转一周，求所得旋转体的表面积是________．
【解析】 旋转所得几何体如图．
由图可知，几何体的表面积为一圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面圆的面积之和，
∴S＝S圆柱底＋S圆柱侧＋S圆锥侧
＝π×42＋2π×4×2＋π×4×5＝52π.
【答案】 52π
4．圆台的上、下底面半径分别是10
cm和20
cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？
【导学号：60870026】
【解】 如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，
故c＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20.
同理可得SB＝40，所以AB＝SB－SA＝20.
所以S表面积＝S侧＋S上＋S下
＝π(r1＋r2)·AB＋πr＋πr
＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202
＝1
100π(cm)2.
故圆台的表面积为1
100π
cm2.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·郑州高一检测)给出下列说法：
①梯形的四个顶点共面；
②三条平行直线共面；
③有三个公共点的两个平面重合；
④三条直线两两相交，可以确定3个平面．
其中正确的序号是( )
A．①
B．①④
C．②③
D．③④
【解析】 因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以①是正确的；三条平行直线不一定共面，如直三棱柱的三条平行的棱，所以②不正确；有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上，所以③不正确；三条直线两两相交，可以确定的平面个数是1或3，所以④不正确．
【答案】 A
2．a、b为异面直线是指
①a∩b＝ ，且a不平行于b；②a 平面α，b 平面α，且a∩b＝ ；③a 平面α，b 平面β，且α∩β＝ ；④不存在平面α能使a α，且b α成立．( )
A．①②③
B．①③④
C．②③
D．①④
【解析】 ②③中的a，b有可能平行，①④符合异面直线的定义．
【答案】 D
3．(2016·蚌埠高二检测)经过空间任意三点作平面( )
A．只有一个
B．可作两个
C．可作无数多个
D．只有一个或有无数多个
【解析】 若三点不共线，只可以作一个平面；若三点共线，则可以作出无数多个平面，选D.
【答案】 D
4．空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中( )
A．必有三点共线
B．必有三点不共线
C．至少有三点共线
D．不可能有三点共线
【解析】 如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确，如图(1)中A、B、D不共线．
(1) (2)
【答案】 B
5．如图1 2 10，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C l，直线AB∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过( )
图1 2 10
A．点A
B．点B
C．点C，但不过点D
D．点C和点D
【解析】 根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D.
【答案】 D
二、填空题
6．设平面α与平面β相交于l，直线a α，直线b β，a∩b＝M，则M________l.
【解析】 因为a∩b＝M，a α，b β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.
【答案】 ∈
7．如图1 2 11，在正方体ABCD A1B1C1D1中，试根据图形填空：
图1 2 11
(1)平面AB1∩平面A1C1＝________；
(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________；
(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝________；
(4)平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共点为________．
【答案】 (1)A1B1 (2)AC (3)OO1 (4)B1
8．空间三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是________．
【解析】 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，
①AA1∩AB＝A，AA1∩A1B1＝A1，直线AB，A1B1与AA1可以确定一个平面(平面ABB1A1)．
②AA1∩AB＝A，AA1∩A1D1＝A1，
直线AB，AA1与A1D1可以确定两个平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1)．
③三条直线AB，AD，AA1交于一点A，它们可以确定三个平面(平面ABCD，平面ABB1A1和平面ADD1A1)．
【答案】 1或2或3
三、解答题
9．如图1 2 12所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上．
图1 2 12
【证明】 ∵EF∩GH＝P，
∴P∈EF且P∈GH.
又∵EF 平面ABD，GH 平面CBD，
∴P∈平面ABD，且P∈平面CBD，
∴P∈平面ABD∩平面CBD，
∵平面ABD∩平面CBD＝BD，由公理3可得P∈BD.
∴点P在直线BD上．
10．求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
【解】 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
证明：法一 ∵l1∩l2＝A，
∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2 α，∴B∈α.
同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，
∴l3 α.
∴直线l1、l2、l3在同一平面内．
法二 ∵l1∩l2＝A，
∴l1、l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，
∴l2、l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．
∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．
[能力提升]
1．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是( )
【导学号：60870033】
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β a β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β α∩β＝A
D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线 α，β重合
【解析】 选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错．
【答案】 C
2．空间中有A，B，C，D，E五个点，已知A，B，C，D在同一个平面内，B，C，D，E在同一个平面内，那么这五个点( )
A．共面
B．不一定共面
C．不共面
D．以上都不对
【解析】 若B，C，D共线，则这五个点不一定共面；若B，C，D不共线，则这五个点一定共面，故选B.
【答案】 B
3．(2016·邯郸高一检测)如图1 2 13所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是________．
图1 2 13
①C1，M，O三点共线；
②C1，M，O，C四点共面；
③C1，O，A，M四点共面；
④D1，D，O，M四点共面．
【解析】 在题图中，连接A1C1，AC(图略)，则AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M.
∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，
∴选项①、②、③均正确，④不正确．
【答案】 ①②③
4．在正方体AC1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，如图1 2 14.
图1 2 14
(1)求证：D、B、E、F四点共面；
(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置．
【解】 (1)证明：由于CC1和BF在同一个平面内且不平行，故必相交．设交点为O，则OC1＝C1C.同理直线DE与CC1也相交，设交点为O′，则O′C1＝C1C，故O′与O重合．由此可证得DE∩BF＝O，故D、B、F、E四点共面(设为α)．
(2)由于AA1∥CC1，
所以A1、A、C、C1四点共面(设为β)．
P∈BD，而BD α，故P∈α.
又P∈AC，而AC β，所以P∈β，所以P∈α∩β.
同理可证得Q∈α∩β，从而有α∩β＝PQ.
又因为A1C β，
所以A1C与平面α的交点就是A1C与PQ的交点．
连接A1C，则A1C与PQ的交点R就是所求的交点．学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列说法正确的有( )
①若两直线斜率相等，则两直线平行；
②若l1∥l2，则k1＝k2；
③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；
④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】 当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，①不成立；②中斜率不存在时，不正确；④同①也不正确．只有③正确，故选A.
【答案】 A
2．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k＝( )
A．－2
B．－
C．2
D.
【解析】 由方程组解得代入x＋ky＝0，得k＝－.
【答案】 B
3．直线x＋a2y＋6＝0和直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0没有公共点，则a的值是( )
A．1
B．0
C．－1
D．0或－1
【解析】 两直线无公共点，即两直线平行，
∴1×3a－a2(a－2)＝0，
∴a＝0或－1或3，经检验知a＝3时两直线重合．
【答案】 D
4．以A(1,3)和B(－5,1)为端点的线段AB的中垂线方程是( )
A．3x－y＋8＝0
B．3x＋y＋4＝0
C．2x－y－6＝0
D．3x＋y＋8＝0
【解析】 kAB＝＝，AB的中点坐标为(－2,2)，AB的中垂线与AB垂直且过AB的中点，故k＝－3，∴方程为y－2＝－3(x＋2)，即3x＋y＋4＝0.
【答案】 B
5．点(－2,3)关于直线y＝x＋1的对称点的坐标为( )
A．(2，－1)
B．(3,0)
C．(3，－1)
D．(2,0)
【解析】 设对称点为(x，y)，∴＝－1，即x＋y－1＝0①
又∵＝＋1，
∴y＋3＝x，②
解①②得，x＝2，y＝－1，故选A.
【答案】 A
二、填空题
6．若直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝－7＋a平行，则实数a的值为_______________________________________________．
【解析】 显然当a＝1时两直线不平行；当a≠1时，因为两条直线平行，所以－＝，解得a＝3或a＝－2.经检验，a＝－2时两直线重合，故a＝3.
【答案】 3
7．已知定点M(0,2)、N(－2,0)，直线l：kx－y－2k＋2＝0(k为常数)，若点M、N到直线l的距离相等，则实数k的值是________．
【解析】 直线l的方程为kx－y－2k＋2＝0，
即y－2＝k(x－2)，恒过定点(2,2)．
又点M、N到直线l的距离相等，∴直线MN与直线l平行或MN的中点在直线l上，即k＝＝1或k·－－2k＋2＝0，k＝.
∴k＝1或k＝.
【答案】 1或
8．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m＋n－p＝________.
【解析】 由两条直线垂直，得k1·k2＝－1，
即－·＝－1，
∴m＝10，直线为10x＋4y－2＝0，
又∵垂足为(1，p)，故p＝－2，
∴垂足为(1，－2)，代入2x－5y＋n＝0，得n＝－12，
故m＋n－p＝10＋(－12)－(－2)＝0.
【答案】 0
三、解答题
9．已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，求点D的坐标，使CD⊥AB，且BC∥AD.
【解】 设点D的坐标为(x，y)，由题意知直线CD、AD的斜率都存在．
因为kAB＝＝3，kCD＝且CD⊥AB，
所以kAB·kCD＝－1，即3×＝－1.①
因为kBC＝＝－2，kAD＝且BC∥AD，
所以kBC＝kAD，即－2＝.②
由①②可得，x＝0，y＝1，所以点D的坐标为(0,1)．
10．(1)求与直线2x＋3y＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为的直线的方程；
(2)求过两条直线x－y＋5＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程．
【解】 (1)设直线的方程为2x＋3y＋λ＝0(λ≠5)，令x＝0，则在y轴上的截距为b＝－；令y＝0，则在x轴上的截距为a＝－，由a＋b＝－－＝，得λ＝－1，∴所求直线方程为2x＋3y－1＝0.
(2)解方程组得
即已知的两条直线的交点坐标为.
设所求直线方程为－2x－3y＋C＝0，
将点代入方程得，C＝，
故所求直线方程为－2x－3y＋＝0，
即14x＋21y－15＝0.
[能力提升]
1．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )
【导学号：60870068】
A．y＝x＋4
B．y＝2x＋4
C．y＝－2x＋4
D．y＝－x＋4
【解析】 ∵直线y＝2x＋1的斜率为2，
∴与其垂直的直线的斜率是－，
∴直线的斜截式方程为y＝－x＋4，故选D.
【答案】 D
2．已知两点A(2,0)，B(3,4)，直线l过点B，且交y轴于点C(0，y)，O是坐标原点，有O，A，B，C四点共圆，那么y的值是( )
A．19
B.
C．5
D．4
【解析】 由题意知AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，
即×＝－1，解得y＝，故选B.
【答案】 B
3．过点A(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为________．
【解析】 由题意可设所求直线方程为x－2y＋m＝0，
将点A(－1,3)代入，可得m＝7，
所以所求直线的方程为x－2y＋7＝0.
【答案】 x－2y＋7＝0
4．已知△ABC的顶点A(3，－1)，AB边上的中线所在直线的方程为6x＋10y－59＝0，∠B的平分线所在直线的方程为x－4y＋10＝0，求BC边所在直线的方程．
【解】 设A关于∠B的平分线的对称点为A′(x0，y0)，
则
解得即A′(1,7)．
设B的坐标为(4a－10，a)，所以AB的中点在直线6x＋10y－59＝0上，
所以6×＋10×－59＝0，所以a＝5，
即B(10,5)．由直线的两点式方程可得直线BC的方程为2x＋9y－65＝0.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．一条直线和x轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角
B．直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角
C．与x轴平行的直线的倾斜角为180°
D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率
【解析】 选项A成立的前提条件为直线和x轴相交，故错误；选项B中倾斜角α的范围是0°≤α<180°，故错误；选项C中与x轴平行的直线，它的倾斜角为0°，故错误；选项D中每一条直线都存在倾斜角，但是直线与y轴平行时，该直线的倾斜角为90°，斜率不存在，故正确．
【答案】 D
2．若A、B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是( )
A．45°，1
B．135°，－1
C．90°，不存在
D．180°，不存在
【解析】 由于A、B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C.
【答案】 C
3．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于( )
A．1
B．5
C．－1
D．－5
【解析】 由斜率公式可得：＝tan
135°，
∴＝－1，∴y＝－5.∴选D.
【答案】 D
4．(2016·陕西府谷高一检测)若直线l的向上方向与y轴的正方向成60°角，则l的倾斜角为( )
A．30°
B．60°
C．30°或150°
D．60°或120°
【解析】 直线l可能有两种情形，如图所示，故直线l的倾斜角为30°或150°.故选C.
【答案】 C
5．直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是( )
A．0
B．1
C.
D．2
【解析】 如图，kOA＝2，kl′＝0，只有当直线落在图中阴影部分才符合题意，故k∈[0,2]．故直线l的斜率k的最大值为2.
【答案】 D
二、填空题
6．a，b，c是两两不等的实数，则经过P(b，b＋c)，C(a，c＋a)两点直线的倾斜角为________．
【导学号：60870061】
【解析】 由题意知，b≠a，
所以k＝＝1，
故倾斜角为45°.
【答案】 45°
7．已知三点A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)在同一直线上，则实数m的值为________．
【解析】 ∵A、B、C三点在同一直线上，
∴kAB＝kBC，
∴＝，
∴m＝2.
【答案】 2
8．在平面直角坐标系中，正△ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为________．
【解析】 如图，易知kAB＝，kAC＝－，则kAB＋kAC＝0.
【答案】 0
三、解答题
9．已知点A(1,2)，在坐标轴上求一点P使直线PA的倾斜角为60°.
【解】 (1)当点P在x轴上时，设点P(a,0)，
∵A(1,2)，∴kPA＝＝.
又∵直线PA的倾斜角为60°，
∴tan
60°＝，解得a＝1－.
∴点P的坐标为.
(2)当点P在y轴上时，设点P(0，b)．
同理可得b＝2－，
∴点P的坐标为(0,2－)．
10．已知A(2,4)，B(3,3)，点P(a，b)是线段AB(包括端点)上的动点，试结合斜率公式k＝(x2≠x1)．求的取值范围．
【解析】 设k＝，则k可以看成点P(a，b)与定点Q(1,1)连线的斜率．如图，当P在线段AB上由B点运动到A点时，PQ的斜率由kBQ增大到kAQ，
因为kBQ＝＝1，kAQ＝＝3，
所以1≤k≤3，即的取值范围是[1,3]．
[能力提升]
1．斜率为2的直线经过点A(3,5)，B(a,7)，C(－1，b)三点，则a，b的值分别为( )
A．4,0
B．－4，－3
C．4，－3
D．－4,3
【解析】 由题意，得即
解得a＝4，b＝－3.
【答案】 C
2．已知直线l1的斜率为1，l2的斜率为a，其中a为实数，当两直线的夹角在(0°，15°)内变动时，则a的取值范围是( )
A．(0,1)
B.
C.∪(1，)
D．(1，)
【解析】 ∵l1的倾斜角为45°，∴l2的倾斜角的取值范围为(30°，45°)∪(45°，60°)，∴a的取值范围为∪(1，)，故选C.
【答案】 C
3．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，把直线l2绕着点A按逆时针方向旋转到和直线l1重合时所转的最小正角为60°，则直线l2的斜率的值为________．
【解析】 设直线l2的倾斜角为α2，则由题意知：
180°－α2＋15°＝60°，
α2＝135°，
k2＝tan
α2＝－tan
45°＝－1.
【答案】 －1
4．点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求的取值范围．
【解】 ＝的几何意义是过M(x，y)，N(－1，－1)两点的直线的斜率．
∵点M在函数y＝－2x＋8的图象上，且x∈[2,5]，
∴设该线段为AB且A(2,4)，B(5，－2)，
设直线NA，NB的斜率分别为kNA，kNB.
∵kNA＝，kNB＝－，∴－≤≤.
∴的取值范围是.章末综合测评(二) 平面解析
几何初步
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2016·吉林高一检测)在直角坐标系中，直线x－y－3＝0的倾斜角是( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【解析】 直线的斜率k＝，倾斜角为60°.
【答案】 B
2．(2016·许昌高一检测)若A(－2,3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为( )
A.
B．－
C．－2
D．2
【解析】 由＝，得m＝.
【答案】 A
3．在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是( )
【解析】 当a>0时，A，B，C，D均不成立；当a<0时，只有C成立．
【答案】 C
4．两平行直线5x＋12y＋3＝0与10x＋24y＋5＝0之间的距离是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 5x＋12y＋3＝0可化为10x＋24y＋6＝0.
由平行线间的距离公式可得d＝＝.
【答案】 C
5．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切
B．相交
C．相离
D．不确定
【解析】 由题意知点在圆外，则a2＋b2＞1，圆心到直线的距离d＝＜1，故直线与圆相交．
【答案】 B
6．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )
A．2x－y－5＝0
B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0
D．x－y－3＝0
【解析】 圆心C(1,0)，kPC＝＝－1，
则kAB＝1，AB的方程为y＋1＝x－2，
即x－y－3＝0，故选D.
【答案】 D
7．圆心在x轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆的方程是( )
A．(x－2)2＋y2＝1
B．(x＋2)2＋y2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－2)2＝1
【解析】 设圆心坐标为(a,0)，则由题意可知(a－2)2＋(1－0)2＝1，解得a＝2.故所求圆的方程是(x－2)2＋y2＝1.
【答案】 A
8．(2016·泰安高一检测)圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是( )
A．36
B．18
C．6
D．5
【解析】 圆x2＋y2－4x－4y－10＝0的圆心为(2,2)，半径为3，圆心到直线x＋y－14＝0的距离为＝5＞3，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R＝6.
【答案】 C
9．过点P(－2,4)作圆O：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l平行，则直线l与m的距离为( )
A．4
B．2
C.
D.
【解析】 P为圆上一点，则有kOP·kl＝－1，而kOP＝＝－，
∴kl＝.∴a＝4，∴m：4x－3y＝0，l：4x－3y＋20＝0.∴l与m的距离为＝4.
【答案】 A
10．一个几何体的三视图如图1所示，主视图和左视图都是等边三角形，该几何体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(0,0,0)，(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2,0)，则第五个顶点的坐标可能是( )
图1
A．(1,1,1)
B．(1,1,
)
C．(1,1,
)
D．(2,2,
)
【解析】 由三视图知，该几何体为正四棱锥，正四棱锥的顶点在底面的射影是底面正方形的中心，高为，则第五个顶点的坐标为(1,1，)．故选C.
【答案】 C
11．经过点(2,1)的直线l到A(1,1)、B(3,5)两点的距离相等，则直线l的方程为( )
A．2x－y－3＝0
B．x＝2
C．2x－y－3＝0或x＝2
D．以上都不对
【解析】 满足条件的直线l有两种情况：①过线段AB的中点；②与直线AB平行．
由A(1,1)，B(3,5)可知线段AB的中点坐标为(2,3)，
所以直线x＝2满足条件．由题意知kAB＝＝2.
所以直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0，
综上可知，直线l的方程为x＝2或2x－y－3＝0，故选C.
【答案】 C
12．(2016·台州高二检测)已知圆O：x2＋y2－4＝0，圆C：x2＋y2＋2x－15＝0，若圆O的切线l交圆C于A，B两点，则△OAB面积的取值范围是( )
图2
A．[2，2]
B．[2，8]
C．[2，2]
D．[2，8]
【解析】 S△OAB＝|AB|·2＝|AB|，
设C到AB的距离为d，
则|AB|＝2，又d∈[1,3]，
7≤42－d2≤15，
所以S△OAB＝|AB|∈[2，2]．
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．若直线l的方程为y－a＝(a－1)(x＋2)，且l在y轴上的截距为6，则a＝________.
【解析】 令x＝0，得y＝(a－1)×2＋a＝6，∴a＝.
【答案】
14．经过两条直线2x＋y＋2＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程为________.
【导学号：60870090】
【解析】 由方程组得交点A(－2,2)，因为所求直线垂直于直线3x－2y＋4＝0，故所求直线的斜率k＝－，由点斜式得所求直线方程为y－2＝－(x＋2)，即2x＋3y－2＝0.
【答案】 2x＋3y－2＝0
15．(2015·重庆高考)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．
【解析】 ∵以原点O为圆心的圆过点P(1,2)，
∴圆的方程为x2＋y2＝5.
∵kOP＝2，∴切线的斜率k＝－.
由点斜式可得切线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0.
【答案】 x＋2y－5＝0
16．若x，y∈R，且x＝，则的取值范围是________．
【解析】 x＝ x2＋y2＝1(x≥0)，此方程表示半圆，如图，设P(x，y)是半圆上的点，则表示过点P(x，y)，Q(－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA的斜率为k，则它的方程为y＋2＝k(x＋1)．从而由＝1，解得k＝.又kBQ＝3，∴所求范围是.
【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程．
【解】 法一 ∵圆心在y轴上，
设圆的标准方程是x2＋(y－b)2＝r2.
∵该圆经过A、B两点，
∴∴
所以圆的方程是x2＋(y－1)2＝10.
法二 线段AB的中点为(1,3)，
kAB＝＝－，
∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，
即y＝2x＋1.
由得(0,1)为所求圆的圆心．
由两点间距离公式得圆半径r为
＝，
∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
18．(本小题满分12分)如图3所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．求：
图3
(1)AD边所在直线的方程；
(2)DC边所在直线的方程．
【解】 (1)由题意知ABCD为矩形，则AB⊥AD，
又AB边所在直线方程为x－3y－6＝0，
∴AD边所在的直线的斜率kAD＝－3，
而点T(－1,1)在直线AD上，
∴AD边所在直线的方程为3x＋y＋2＝0.
(2)∵M为矩形ABCD两条对角线的交点，
∴点M到直线AB和直线DC的距离相等．
又DC∥AB，∴可令DC的直线方程为
x－3y＋m＝0(m≠－6)．
而M到直线AB的距离d＝＝.
∴M到直线DC的距离为，
即＝ m＝2或－6，
又m≠－6，∴m＝2，
∴DC边所在的直线方程为x－3y＋2＝0.
19．(本小题满分12分)已知△ABC的顶点B(－1，－3)，AB边上高线CE所在直线的方程为x－3y－1＝0，BC边上中线AD所在的直线方程为8x＋9y－3＝0.
(1)求点A的坐标；
(2)求直线AC的方程．
【解】 (1)设点A(x，y)，
则
解得
故点A的坐标为(－3,3)．
(2)设点C(m，n)，
则
解得m＝4，n＝1，故C(4,1)，
又因为A(－3,3)，
所以直线AC的方程为＝，
即2x＋7y－15＝0.
20．(本小题满分12分)点A(0,2)是圆x2＋y2＝16内的定点，B，C是这个圆上的两个动点，若BA⊥CA，求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．
【解】 设点M(x，y)，因为M是弦BC的中点，故OM⊥BC.
又∵∠BAC＝90°，∴|MA|＝|BC|＝|MB|.
∵|MB|2＝|OB|2－|OM|2，
∴|OB|2＝|MO|2＋|MA|2，即42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]，化简为x2＋y2－2y－6＝0，
即x2＋(y－1)2＝7.
∴所求轨迹为以(0,1)为圆心，以为半径的圆．
21．(本小题满分12分)如图4所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于E点，定点A，C的坐标分别是A(－2,3)，C(2,1)．
图4
(1)求以线段AC为直径的圆E的方程；
(2)若B点的坐标为(－2，－2)，求直线BC截圆E所得的弦长.
【导学号：60870091】
【解】 (1)AC的中点E(0,2)即为圆心，
半径r＝|AC|＝＝，
所以圆E的方程为x2＋(y－2)2＝5.
(2)直线BC的斜率k＝＝，
其方程为y－1＝(x－2)，即3x－4y－2＝0.
点E到直线BC的距离为d＝＝2，所以BC截圆E所得的弦长为2＝2.
22.
(本小题满分12分)如图5，已知圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0，点A(0,6)．
图5
(1)求圆心在直线y＝x上，经过点A，且与圆C相外切的圆N的方程；
(2)若过点A的直线m与圆C交于P，Q两点，且圆弧PQ恰为圆C周长的，求直线m的方程．
【解】 (1)由x2＋y2＋10x＋10y＝0，
化为标准方程：(x＋5)2＋(y＋5)2＝50.
所以圆C的圆心坐标为C(－5，－5)，
又圆N的圆心在直线y＝x上，
所以当两圆外切时，切点为O，设圆N的圆心坐标为(a，a)，
则有＝，
解得a＝3，
所以圆N的圆心坐标为(3,3)，半径r＝3，
故圆N的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18.
(2)因为圆弧PQ恰为圆C周长的，所以CP⊥CQ.
所以点C到直线m的距离为5.
当直线m的斜率不存在时，点C到y轴的距离为5，直线m即为y轴，所以此时直线m的方程为x＝0.
当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y＝kx＋6，
即kx－y＋6＝0.
所以＝5，解得k＝.
所以此时直线m的方程为x－y＋6＝0，
即48x－55y＋330＝0，
故所求直线m的方程为x＝0或48x－55y＋330＝0.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知两圆的圆心距是6，两圆的半径分别是方程x2－6x＋8＝0的两个根，则这两个圆的位置关系是( )
A．外离
B．外切
C．相交
D．内切
【解析】 由已知两圆半径的和为6，与圆心距相等，故两圆外切．
【答案】 B
2．半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为( )
A．x2＋y2－6x－8y＝0
B．x2＋y2＋6x－8y＝0
C．x2＋y2＋6x＋8y＝0
D．x2＋y2－6x－8y＝0或x2＋y2－6x＋8y＝0
【解析】 已知圆的圆心为(3，－4)，半径为5，所求圆的半径也为5，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－3,4)，可知选B.
【答案】 B
3．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是( )
A．5
B．1
C．3－5
D．3＋5
【解析】 圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝3－5.
【答案】 C
4．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )
A．4
B．4
C．8
D．8
【解析】 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，
∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．
设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，
则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，
即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0.
∴a＋b＝10，ab＝17，
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32.
∴|C1C2|＝＝＝8.
【答案】 C
5．过点P(2,3)向圆C：x2＋y2＝1上作两条切线PA，PB，则弦AB所在的直线方程为( )
A．2x－3y－1＝0
B．2x＋3y－1＝0
C．3x＋2y－1＝0
D．3x－2y－1＝0
【解析】 弦AB可以看作是以PC为直径的圆与圆x2＋y2＝1的交线，而以PC为直径的圆的方程为(x－1)2＋2＝.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB所在的直线方程为：(x－1)2＋2－－(x2＋y2－1)＝0，整理可得2x＋3y－1＝0，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．两圆C1：x2＋y2＋4x－4y－1＝0，C2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0的公切线有________条.
【导学号：60870082】
【解析】 圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝9，
圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16，
圆心C1(－2,2)，圆心C2(2,5)，r1＝3，r2＝4.
则|C1C2|＝＝5<3＋4，
故r2－r1<|C1C2|两圆相交，则有两条公切线．
【答案】 两
7．过两圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程是________．
【解析】 设所求圆的方程为
(x2＋y2－x－y－2)＋λ(x2＋y2＋4x－4y－8)＝0(λ≠－1)，将(3,1)代入得λ＝－，故所求圆的方程为x2＋y2－x＋y＋2＝0.
【答案】 x2＋y2－x＋y＋2＝0
8．两圆相交于两点A(1,3)和B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________．
【解析】 由题意知，线段AB的中点在直线x－y＋c＝0上，
且kAB＝＝－1，即m＝5，
又点在该直线上，
所以－1＋c＝0，所以c＝－2，所以m＋c＝3.
【答案】 3
三、解答题
9．求圆心为(2,1)且与已知圆x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程．
【解】 设所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，
即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，①
已知圆的方程为x2＋y2－3x＝0，②
②－①得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，又此直线经过点(5，－2)，∴5－4－5＋r2＝0，∴r2＝4，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
10．有相距100
km的A，B两个批发市场，商品的价格相同，但在某地区居民从两地运回商品时，A地的单位距离的运费是B地的2倍．问怎样确定A，B两批发市场的售货区域对当地居民有利？
【解】 建立以AB所在直线为x轴，AB中点为原点的直角坐标系，则A(－50,0)，B(50,0)．
设P(x，y)，由2|PA|＝|PB|，得x2＋y2＋x＋2
500＝0，
所以在圆x2＋y2＋x＋2
500＝0内到A地购物合算；在圆x2＋y2＋x＋2
500＝0外到B地购物合算；在圆x2＋y2＋x＋2
500＝0上到A，B两地购物一样合算．
[能力提升]
1．(2016·吉林高一检测)已知0＜r＜＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是( )
A．外切
B．相交
C．外离
D．内含
【解析】 设圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圆心为O′，则O′(1，－1)．圆x2＋y2＝r2的圆心O(0,0)，两圆的圆心距离dOO′＝＝.显然有|r－|＜＜＋r.所以两圆相交．
【答案】 B
2．以圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0相交的公共弦为直径的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C.2＋2＝
D.2＋2＝
【解析】 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x－y＝0，因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等，排除C，D选项，画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象限，排除A.故选B.
【答案】 B
3．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．
【解析】
曲线化为(x－6)2＋(y－6)2＝18，其圆心C1(6,6)到直线x＋y－2＝0的距离为d＝＝5.过点C1且垂直于x＋y－2＝0的直线为y－6＝x－6，即y＝x，所以所求的最小圆的圆心C2在直线y＝x上，如图所示，圆心C2到直线x＋y－2＝0的距离为＝，则圆C2的半径长为.设C2的坐标为(x0，y0)，则＝，解得x0＝2(x0＝0舍去)，所以圆心坐标为(2,2)，
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
【答案】 (x－2)2＋(y－2)2＝2
4．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1)．
(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线方程．
(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且AB＝2，求圆O2的方程．
【解】 (1)由两圆外切，所以|O1O2|＝r1＋r2
r2＝|O1O2|－r2＝2(－1)
故圆O2的方程及(x－2)2＋(y－1)2＝4(－1)2
两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程为x＋y＋1－2＝0.
(2)设圆O2的方程为：(x－2)2＋(y－1)2＝r，
因为圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2＝4，
此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程：
4x＋4y＋r－8＝0.①
作O1H⊥AB，则AH＝AB＝，
O1H＝，
由圆心(0，－1)到直线①的距离得＝，
得r＝4或r＝20，
故圆O2的方程为：
(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．点P在x轴上，且到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为( )
A．(8,0)
B．(－12,0)
C．(8,0)或(－12,0)
D．(－8,0)或(12,0)
【解析】 设点P的坐标为(x,0)，则根据点到直线的距离公式可得＝6，
解得x＝8或x＝－12.
所以点P的坐标为(8,0)或(－12,0)．
【答案】 C
2．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，
由平行线间的距离公式得d＝＝.
【答案】 C
3．到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为( )
A．3x－4y－1＝0
B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0
C．3x－4y＋1＝0
D．3x－4y－21＝0
【解析】 设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意＝2，解得c＝－1或c＝－21.故选B.
【答案】 B
4．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为( )
A．0或－
B.或－6
C．－或
D．0或
【解析】 由题意知直线mx＋y＋3＝0与AB平行或过AB的中点，则有－m＝或m×＋＋3＝0，∴m＝或m＝－6.
【答案】 B
5．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 设P(x0，－x)为y＝－x2上任意一点，则由题意得P到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝，
∴当x0＝时，dmin＝＝.
【答案】 A
二、填空题
6．倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为____________．
【解析】 因为直线斜率为tan
60°＝，可设直线方程为y＝x＋b，化为一般式得x－y＋b＝0.由直线与原点距离为5，得＝5 |b|＝10.所以b＝±10.
所以直线方程为x－y＋10＝0或x－y－10＝0.
【答案】 x－y＋10＝0或x－y－10＝0
7．若点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是________.
【导学号：60870071】
【解析】 |OP|的最小值，即为点O到直线x＋y－4＝0的距离，d＝＝2.
【答案】 2
8．已知x＋y－3＝0，则的最小值为________．
【解析】 设P(x，y)，A(2，－1)，
则点P在直线x＋y－3＝0上，
且＝|PA|.
|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝.
【答案】
三、解答题
9．已知直线l1和l2的方程分别为7x＋8y＋9＝0,7x＋8y－3＝0，直线l平行于l1，直线l与l1的距离为d1，与l2的距离为d2，且＝，求直线l的方程．
【解】 由题意知l1∥l2，故l1∥l2∥l.
设l的方程为7x＋8y＋c＝0，
则2·＝，
解得c＝21或c＝5.
∴直线l的方程为7x＋8y＋21＝0或7x＋8y＋5＝0.
10．已知正方形的中心为直线x－y＋1＝0和2x＋y＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x＋3y－2＝0，求其他三边所在直线的方程．
【解】 ∵由解得
∴中心坐标为(－1,0)．
∴中心到已知边的距离为＝.
设正方形相邻两边方程为x＋3y＋m＝0和3x－y＋n＝0.
∵正方形中心到各边距离相等，
∴＝和＝.
∴m＝4或m＝－2(舍去)，n＝6或n＝0.
∴其他三边所在直线的方程为x＋3y＋4＝0,3x－y＝0,3x－y＋6＝0.
[能力提升]
1．在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
【解析】 由题可知所求直线显然不与y轴平行，
∴可设直线为y＝kx＋b，
即kx－y＋b＝0.
∴d1＝＝1，
d2＝＝2，两式联立，
解得b1＝3，b2＝，∴k1＝0，k2＝－.
故所求直线共有两条．
【答案】 B
2．若动点A(x1，y1)、B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB中点M到原点距离的最小值为( )
A．3
B．2
C．3
D．4
【解析】 根据已知条件可以知道，AB的中点M一定在处于l1，l2之间且与l1，l2距离相等的直线上，即M在直线x＋y－6＝0上，M到原点距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，由点到直线的距离公式得d＝＝3.
【答案】 A
3．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°，其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)
【解析】 两平行线间的距离为d＝＝，由题意知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.
【答案】 ①⑤
4．如图2 2 5，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程．
图2 2 5
【解】 设l2的方程为y＝－x＋b(b>0)，则题图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)．所以AD＝，BC＝b.梯形的高h就是A点到直线l2的距离，故h＝＝＝(b>1)，由梯形面积公式得×＝4，所以b2＝9，b＝±3.但b>1，所以b＝3.从而得到直线l2的方程是x＋y－3＝0.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．给出以下几个命题，其中正确命题的个数是( )
①数轴上起点相同的向量方向相同；
②数轴上相等的向量，若起点不同，则终点一定不同；
③数轴上不相等的向量，终点一定不相同；
④零向量没有方向．
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 起点相同的向量，它的终点位置不定，所以方向不一定相同，故①错；相等的向量，若终点不同，则起点一定不同，故②对；向量的相等与起点、终点无关，因此不相等的向量，终点完全可以相同，故③错；零向量是方向不确定的向量，不是没有方向，若没有方向，则它就不是向量了，故④错．综上，正确的只有②.
【答案】 A
2．在数轴上M、N、P的坐标分别是3、－1、－5，则MP－PN等于( )
A．－4
B．4
C．－12
D．12
【解析】 MP＝(－5)－3＝－8，PN＝(－1)－(－5)＝4，MP－PN＝－8－4＝－12.
【答案】 C
3．若A，B，C，D是数轴上的四个点，且BA＝6，BC＝－2，CD＝6，则AD＝( )
A．0
B．－2
C．10
D．－10
【解析】 由题意知AD＝AB＋BC＋CD
＝－BA＋BC＋CD＝－6－2＋6＝－2，故选B.
【答案】 B
4．数轴上向量的坐标为－8，且B(－5)，则点A的坐标为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 由AB＝xB－xA，得－5－xA＝－8，解得xA＝3.
【答案】 C
5．对于数轴上任意三点A，B，O，如下关于线段的数量关系不恒成立的是( )
A．AB＝OB－OA
B．AO＋OB＋BA＝0
C．AB＝AO＋OB
D．AB＋AO＋BO＝0
【解析】 由有向线段数量关系的运算知：AB＝OB－OA，AB＝AO＋OB，AO＋OB＋BA＝AB＋BA＝0，所以A、B、C都恒成立，而对于D，AB＋AO＋BO＝OB－OA＋AO＋BO＝2AO，故选D.
【答案】 D
二、填空题
6．若在直线坐标系中，有两点A(5)，B(－2)，且AB＋CB＝0，则C点的坐标为________.
【导学号：60870054】
【解析】 设C点的坐标为x，则－2－5＋(－2－x)＝0，
解得x＝－9.
【答案】 －9
7．已知数轴上点A，B的坐标分别为x1，x2，若x2＝－1，且|AB|＝5，则x1的值为________．
【解析】 |AB|＝|x2－x1|＝5，即|x1＋1|＝5，
解得x1＝－6或x1＝4.
【答案】 －6或4
8．已知点A(2x)，B(x2)，且点A在点B右侧，则x的取值范围是________．
【解析】 ∵A在B点的右侧，∴2x>x2，即x2－2x<0，∴0【答案】 (0,2)
三、解答题
9．在数轴上，已知点M(x＋2)位于点N(2x＋4)的左侧，试求实数x的取值范围．
【解】 根据题意，由M(x＋2)位于N(2x＋4)的左侧可知：2x＋4>x＋2，所以x>－2，
所以实数x的取值范围是{x|x>－2}．
10．(2016·烟台高一检测)已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3.
(1)求向量、的数量；
(2)求所有满足条件的点B到原点O的距离之和．
【解】 (1)∵A与原点的距离为3，
∴A(3)或A(－3)．
当A(3)时，∵A、B距离为1，∴B(2)或B(4)，这时的数量为3，的数量为－1或1，
当A(－3)时，∵A、B距离为1，所以B(－4)或B(－2)，此时的数量为－3，的数量为－1或1.
(2)满足条件的所有点B到原点的距离和为2＋4＋4＋2＝12.
[能力提升]
1．对于数轴上的任意三点A，B，O，在如下向量的坐标关系中不恒成立的是( )
A.＝－
B.＋＋＝0
C.＝＋
D.＋＋＝0
【解析】 由向量知识可得．
【答案】 D
2．若点A，B，C，D在一条直线上，BA＝－6，BC＝－2，CD＝6，则AD等于( )
A．0
B．－2
C．10
D．－10
【解析】 由BA＝－6知AB＝6，∴AD＝AB＋BC＋CD＝10.
【答案】 C
3．数轴上任取不同的三个点P，Q，R，则下列各式中一定为0的值的是________．
①PQ＋PR；②PQ＋RQ；③PQ＋PR＋QR；④PQ＋QR＋RP.
【解析】 由向量加法公式可得．
【答案】 ④
4．已知数轴上有点A(－2)，B(1)，D(3)，点C在直线AB上，且有＝.问：在线段DC上是否存在点E，使＝？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
【导学号：60870055】
【解】 设点C的坐标为x，点E的坐标为x′，
则＝＝，即x＝－5，
∴点C的坐标为－5.
又点E在线段DC上，∴＝＝＝，
即4x′＋20＝3－x′，解得x′＝－∈(－5,3)．
∴在线段DC上存在点E，使＝.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
【解析】 由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
【答案】 D
2．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则( )
A．a2＋b2＝0
B．a2＋b2＝r2
C．a2＋b2＋r2＝0
D．a＝0，b＝0
【解析】 由题意得(0－a)2＋(0－b)2＝r2，即a2＋b2＝r2.
【答案】 B
3．(2016·湖南师大附中高一检测)圆x2＋y2＝1上的点到点M(3,4)的距离的最小值是( )
A．1
B．4
C．5
D．6
【解析】 圆心(0,0)到M的距离|OM|＝＝5，所以所求最小值为5－1＝4.
【答案】 B
4．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 (－a，－b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，再由各象限内点的坐标的性质得解，D正确．
【答案】 D
5．(2016·兰州高一检测)当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，
为半径的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5
B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5
D．(x－1)2＋(y－2)2＝5
【解析】 直线方程变为(x＋1)a－x－y＋1＝0.
由得∴C(－1,2)，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.
【答案】 C
二、填空题
6．已知A(－1,4)，B(5，－4)，则以AB为直径的圆的标准方程是________．
【解析】 由题意知圆心坐标为，即(2,0)，半径为＝5，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝25.
【答案】 (x－2)2＋y2＝25
7．若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为________．
【解析】 ∵P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1,169a2>1，a2>，∴|a|>，即a>或a<－.
【答案】 a>或a<－
8．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________．
【解析】 圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1,1)，圆心到直线x－y＝2的距离为＝，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋.
【答案】 1＋
三、解答题
9．已知圆C过点A(4,7)，B(－3,6)，且圆心C在直线l：2x＋y－5＝0上，求圆C的方程．
【解】 法一 设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
∵A，B∈圆C，C∈l，
∴解得
故圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝25.
法二 设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，∵C∈l，
∴2a＋b－5＝0，则b＝5－2a，
∴圆心为C(a,5－2a)．
由圆的定义得|AC|＝|BC|，
即
＝.
解得a＝1，从而b＝3，即圆心为C(1,3)，半径r＝|CA|＝＝5.
故圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝25.
10．求圆2＋(y＋1)2＝关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程．
【解】 圆2＋(y＋1)2＝的圆心为M，半径r＝.设所求圆的圆心为(m，n)，
∵它与关于直线x－y＋1＝0对称，
∵解得
∴所求圆的圆心坐标为，半径r＝.
∴对称圆的方程是(x＋2)2＋2＝.
[能力提升]
1．(2016·青岛高一检测)若直线x＋y－3＝0始终平分圆(x－a)2＋(y－b)2＝2的周长，则a＋b等于( )
A．3
B．2
C．5
D．1
【解析】 由题可知，圆心(a，b)在直线x＋y－3＝0上，所以a＋b－3＝0，即a＋b＝3，故选A.
【答案】 A
2．已知两点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是( )
A．2，(4－)
B.(4＋)，(4－)
C.，4－
D.(＋2)，(－2)
【解析】 点A(－1,0)，B(0,2)所在的直线方程为2x－y＋2＝0，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线的距离为＝，又|AB|＝，所以△PAB面积的最大值为××＝(4＋)，最小值为××＝(4－)，选B.
【答案】 B
3．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________．
【解析】 设圆C的方程为(x－a)2＋y2＝r2(r>0)，
则
解得
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
【答案】 (x－2)2＋y2＝10
4．设P(0,0)，Q(5,0)，R(0，－12)，求△PQR的内切圆的方程和外接圆的方程．
【解】 |PQ|＝5，|PR|＝12，|QR|＝13，
∴|PQ|2＋|PR|2＝|QR|2，
∴△PQR为直角三角形，且∠P为直角，
∴内切圆的半径r1＝＝2，
圆心为C1(2，－2)．
∴内切圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4.
∵外接圆的半径r2＝，
圆心为C2，
∴外接圆的方程为
2＋(y＋6)2＝.模块综合测评
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．过点A(3，－4)，B(－2，m)的直线l的斜率为－2，则m的值为( )
A．6
B．1
C．2
D．4
【解析】 由题意知kAB＝＝－2，∴m＝6.
【答案】 A
2．在x轴、y轴上的截距分别是－2、3的直线方程是( )
A．2x－3y－6＝0
B．3x－2y－6＝0
C．3x－2y＋6＝0
D．2x－3y＋6＝0
【解析】 由直线的截距式得，所求直线的方程为＋＝1，即3x－2y＋6＝0.
【答案】 C
3．已知正方体外接球的体积是π，那么正方体的棱长等于( )
A．2
B.
C.
D.
【解析】 设正方体的棱长为a，球的半径为R，则πR3＝π，∴R＝2.又∵a＝2R＝4，∴a＝.
【答案】 D
4．关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1,2,3)有下列说法：
①点P到坐标原点的距离为；
②OP的中点坐标为；
③与点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；
④与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)；
⑤与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2，－3)．
其中正确的个数是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【解析】 点P到坐标原点的距离为＝，故①错；②正确；与点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③错；与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故④错；⑤正确，故选A.
【答案】 A
5．如图1，在长方体ABCD A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1和DM所成角为( )
【导学号：60870092】
图1
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【解析】 因为MN⊥DC，MN⊥MC，
所以MN⊥平面DCM.
所以MN⊥DM.
因为MN∥AD1，所以AD1⊥DM.
【答案】 D
6．(2015·福建高考)某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积等于( )
图2
A．8＋2
B．11＋2
C．14＋2
D．15
【解析】 由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．
直角梯形斜腰长为＝，所以底面周长为4＋，侧面积为2×(4＋)＝8＋2，两底面的面积和为2××1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋2＋3＝11＋2.
【答案】 B
7．已知圆x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0和定点P(1，－1)，若过点P的圆的切线有两条，则k的取值范围是( )
A．(－2，＋∞)
B．(－∞，2)
C．(－2,2)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
【解析】 因为方程x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0表示一个圆，所以
4＋4－4k＞0，所以k＜2.由题意知点P(1，－1)在圆外，所以12＋(－1)2＋2×1＋2×(－1)＋k＞0，解得k＞－2，所以－2＜k＜2.
【答案】 C
8．在三棱柱ABC A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【解析】 如图，取BC的中点E，连接DE、AE、AD.依题设知AE⊥平面BB1C1C.故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为2，则AE＝×2＝，DE＝1.
∵tan∠ADE＝＝＝，
∴∠ADE＝60°，故选C.
【答案】 C
9．(2015·开封高一检测)若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列说法中正确的是( )
①若直线m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线；
②若直线m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线；
③已知平面α、β互相垂直，且直线m、n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；
④若直线m、n在平面α内的射影互相垂直，则m⊥n.
A．②
B．②③
C．①③
D．②④
【解析】 对于①，m与n可能平行，可能相交，也可能异面；
对于②，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故②正确；
对于③，还有可能n∥β；对于④，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面α，则m与n在α内的射影分别为AB与BC，且AB⊥BC.而m与n所成的角为60°，故④错．因此选A.
【答案】 A
10．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC为等边三角形．设BC的中点为D，点E为外心，同时也是重心．所以|AE|＝|AD|＝，从而|OE|＝＝＝，故选B.
【答案】 B
11．(2016·重庆高一检测)已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一点，PA是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A是切点，若PA长度的最小值为2，则k的值是( )
A．3
B.
C．2
D．2
【解析】 圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心是(0,1)，半径是r＝1，
∵PA是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A是切点，PA长度的最小值为2，∴圆心到直线kx＋y＋4＝0的最小距离为，
由点到直线的距离公式可得＝，
∵k＞0，∴k＝2，故选D.
【答案】 D
12．(2016·德州高一检测)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D ABC的体积为( )
A.a3
B.
C.a3
D.
【解析】 取AC的中点O，如图，
则BO＝DO＝a，
又BD＝a，所以BO⊥DO，
又DO⊥AC，
所以DO⊥平面ACB，
VD ABC＝S△ABC·DO
＝××a2×a＝a3.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知两条平行直线的方程分别是2x＋3y＋1＝0，mx＋6y－5＝0，则实数m＝________.
【解析】 由于两直线平行，所以＝≠，∴m＝4.
【答案】 4
14．一个横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为________．
【解析】 设圆柱形水桶的底面半径为R，高为h，桶直立时，水的高度为x.
横放时水桶底面在水内的面积为，水的体积为V水＝h.
直立时水的体积不变，则有V水＝πR2x，
∴x∶h＝(π－2)∶4π.
【答案】 (π－2)∶4π
15．已知一个等腰三角形的顶点A(3,20)，一底角顶点B(3,5)，另一顶点C的轨迹方程是________．
【解析】 设点C的坐标为(x，y)，
则由|AB|＝|AC|得
＝，
化简得(x－3)2＋(y－20)2＝225.
因此顶点C的轨迹方程为(x－3)2＋(y－20)2＝225(x≠3)．
【答案】 (x－3)2＋(y－20)2＝225(x≠3)
16．(2015·湖南高考)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝__________.
【导学号：60870093】
【解析】 如图，过点O作OD⊥AB于点D，则|OD|＝＝1.
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠OBD＝30°，
∴|OB|＝2|OD|＝2，即r＝2.
【答案】 2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程．
【解】 若直线l1，l2的斜率都不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，此时l1，l2之间距离为5，符合题意；
若l1，l2的斜率均存在，设直线的斜率为k，由斜截式方程得直线l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，
由点斜式可得直线l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，在直线l1上取点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝.
∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.
综上知，满足条件的直线方程为
l1：x＝0，l2：x＝5或l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.
18．(本小题满分12分)已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0.
(1)求证：两圆相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程．
【解】 (1)证明：圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0化为标准方程分别为圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝5与圆C2：x2＋(y－1)2＝5，则圆心坐标分别为C1(2，－1)与C2(0,1)，半径都为，故圆心距为＝2，又0<2<2，故两圆相交．
(2)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在直线的方程，即(x2＋y2－4x＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，得x－y－1＝0.
19．(本小题满分12分)如图3，在三棱锥A BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．
图3
(1)求证：DM∥平面APC；
(2)求证：平面ABC⊥平面APC.
【证明】 (1)∵M为AB的中点，D为PB的中点，
∴MD∥AP.
又∵DM 平面APC，AP 平面APC，
∴DM∥平面APC.
(2)∵△PMB为正三角形，D为PB中点，
∴MD⊥PB.又∵MD∥AP，∴AP⊥PB.
又∵AP⊥PC，PC∩PB＝P，∴AP⊥平面PBC.
∵BC 平面PBC，∴AP⊥BC.
又∵AC⊥BC，且AC∩AP＝A，∴BC⊥平面APC.
又∵BC 平面ABC，∴平面ABC⊥平面APC.
20．(本小题满分12分)已知△ABC的顶点A(0,1)，AB边上的中线CD所在的直线方程为2x－2y－1＝0，AC边上的高BH所在直线的方程为y＝0.
(1)求△ABC的顶点B、C的坐标；
(2)若圆M经过A、B且与直线x－y＋3＝0相切于点P(－3,0)，求圆M的方程．
【解】 (1)AC边上的高BH所在直线的方程为y＝0，所以AC边所在直线的方程为x＝0，
又CD边所在直线的方程为2x－2y－1＝0，
所以C，
设B(b,0)，
则AB的中点D，
代入方程2x－2y－1＝0，
解得b＝2，
所以B(2,0)．
(2)由A(0,1)，B(2,0)可得，圆M的弦AB的中垂线方程为4x－2y－3＝0，①
由与x－y＋3＝0相切，切点为(－3,0)可得，圆心所在直线方程为y＋x＋3＝0，②
①②联立可得，M，
半径|MA|＝＝，
所以所求圆方程为2＋2＝.
21．(本小题满分12分)如图4，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．
图4
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求证：C1F∥平面ABE；
(3)求三棱锥E ABC的体积.
【导学号：60870094】
【解】 (1)证明：在三棱柱ABC A1B1C1中，
BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.
又因为AB⊥BC，
所以AB⊥平面B1BCC1，
又AB 平面ABE，
所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.
因为E，F分别是A1C1，BC的中点，
所以FG∥AC，且FG＝AC.
因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，
所以FG∥EC1，且FG＝EC1，
所以四边形FGEC1为平行四边形．所以C1F∥EG.
又因为EG 平面ABE，C1F 平面ABE，
所以C1F∥平面ABE.
(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，
所以AB＝＝.
所以三棱锥E ABC的体积V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.
22．(本小题满分12分)已知圆M过两点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PC、PD是圆M的两条切线，C、D为切点，求四边形PCMD面积的最小值．
【解】 (1)法一 线段AB的中点为(0,0)，其垂直平分线方程为x－y＝0.
解方程组
所以圆M的圆心坐标为(1,1)，
半径r＝＝2.
故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
法二 设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，(r＞0)，
根据题意得
解得a＝b＝1，r＝2.
故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
(2)由题知，四边形PCMD的面积为
S＝S△PMC＋S△PMD＝|CM|·|PC|＋|DM|·|PD|.
又|CM|＝|DM|＝2，|PC|＝|PD|，
所以S＝2|PC|，
而|PC|＝
＝，
即S＝2.
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以
|PM|min＝＝3，
所以四边形PCMD面积的最小值为S＝2＝2＝2.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·温州高一检测)在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是( )
A．(－1,3，－5)
B．(1,3,5)
C．(1，－3,5)
D．(－1，－3,5)
【解析】 P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标为(1,3,5)．
【答案】 B
2．点P到原点O的距离是( )
A.
B．1
C.
D.
【解析】 |PO|＝＝1.
【答案】 B
3．与A(3,4,5)，B(－2,3,0)两点距离相等的点M(x，y，z)满足的条件是( )
A．10x＋2y＋10z－37＝0
B．5x－y＋5z－37＝0
C．10x－y＋10z＋37＝0
D．10x－2y＋10z＋37＝0
【解析】 由|MA|＝|MB|，得(x－3)2＋(y－4)2＋(z－5)2＝(x＋2)2＋(y－3)2＋z2，化简得10x＋2y＋10z－37＝0，故选A.
【答案】 A
4．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为( )
A．3
B．3
C．2
D．2
【解析】 |AB|＝
＝
＝，
当a＝－1时，|AB|min＝＝3.
【答案】 B
5．如图2 4 3，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为( )
图2 4 3
A.a
B.a
C．a
D.a
【解析】 由题意得F，A1(a,0，a)，C(0，a,0)，
∴E，则|EF|＝
＝a.
【答案】 B
二、填空题
6．点P(1,2，－1)在xOz平面内的射影为B(x，y，z)，则x＋y＋z＝________.
【导学号：60870085】
【解析】 点P(1,2，－1)在xOz平面内的射影为B(1,0，－1)，
∴x＝1，y＝0，z＝－1，
∴x＋y＋z＝1＋0－1＝0.
【答案】 0
7．已知A点坐标为(1,1,1)，B点坐标为(3,3,3)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为________．
【解析】 设P点坐标为(x,0,0)，
则(x－1)2＋1＋1＝(x－3)2＋(0－3)2＋(0－3)2，
解得x＝6.
故P点坐标为(6,0,0)．
【答案】 (6,0,0)
8．(2016·景德镇高一检测)在空间直角坐标系中，以O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)为一个三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积为________．
【解析】 S△AOC＝S△BOC＝S△AOB＝×2×2＝2，
S△ABC＝×|AB|2＝×8＝2，
故三棱锥的表面积S＝6＋2.
【答案】 6＋2
三、解答题
9．已知点A(－4，－1，－9)，B(－10,1，－6)，C(－2，－4，－3)，判断△ABC的形状．
【解】 |AB|＝
＝，
|BC|＝＝，
|AC|＝＝.
因为|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
所以△ABC为等腰直角三角形．
10．正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，且CM＝BN＝a.求a为何值时，MN的长最小．
【解】 因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，所以BE⊥平面ABCD，
所以AB，BC，BE两两垂直．
过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，垂足分别为G，H，连接NG，易证NG⊥AB.
因为CM＝BN＝a，
所以CH＝MH＝BG＝GN＝a，
所以以B为原点，以AB，BE，BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则M，N.
所以|MN|
＝
＝＝，
所以当a＝时，|MN|最短，最短为，这时M，N恰好为AC，BF的中点．
[能力提升]
1．在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 设P(x，y，z)，由题意可知
∴x2＋y2＋z2＝.
∴＝.
【答案】 A
2．在平面直角坐标系Oxyz中，M与N关于xOy面对称，OM与平面xOy所成的角是60°，若|MN|＝4，则|OM|＝( )
A．4
B．1
C.
D．2
【解析】 由题意知MN⊥平面xOy，设垂足为H(图略)，
则|MH|＝|NH|＝|MN|＝2，
又OM与平面xOy所成的角为60°，
则|OM|sin
60°＝|MH|.
∴|OM|＝＝.
【答案】 C
3．(2016·成都高一检测)在△ABC中，已知A(－1,2,3)，B(2，－2,3)，C，则AB边上的中线CD的长是________．
【解析】 由题可知AB的中点D的坐标是，由距离公式可得|CD|
＝＝.
【答案】
4．已知直三棱柱ABC A1B1C1(侧棱与底面垂直)中，AC＝2，CB＝CC1＝4，E，F，M，N分别是A1B1，AB，C1B1，CB的中点．如图2 4 4所示，建立空间直角坐标系．
图2 4 4
(1)在平面ABB1A1内找一点P，使△ABP为等边三角形；
(2)能否在MN上求得一点Q，使△AQB为以AB为斜边的直角三角形？若能，请求出点Q的坐标；若不能，请予以证明．
【解】 (1)因为EF是AB的中垂线，在平面ABB1A1内只有EF上的点与A，B两点的距离相等，又A(2,0,0)，B(0,4,0)，设点P坐标为(1,2，m)，
由|PA|＝|AB|得
＝.
所以m2＝15.
因为m∈[0,4]，所以m＝，
故平面ABB1A1内的点P(1,2，)，
使得△ABP为等边三角形．
(2)设MN上的点Q(0,2，n)满足题意，由△AQB为直角三角形，其斜边上的中线长必等于斜边长的一半，
所以|QF|＝|AB|，又F(1,2,0)，
则
＝，
整理得＝.
所以n2＝4.
因为n∈[0,4]，所以n＝2.
故MN上的点Q(0,2,2)使得△AQB为以AB为斜边的直角三角形．学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若直线l不平行于平面α，且l α，则( )
A．α内的所有直线与l异面
B．α内不存在与l平行的直线
C．α内存在唯一的直线与l平行
D．α内的直线与l都相交
【解析】 直线l不平行于平面α，且l α，所以l与α相交，故选B.
【答案】 B
2．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．有以下说法：
①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 把符号语言转换为文字语言或图形语言．可知①是面面平行的判定定理；②③中平面α、β还有可能相交，所以选B.
【答案】 B
3．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为( )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．可能重合
【解析】 若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．
【答案】 C
4．如果AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．AC在此平面内
D．平行或相交
【解析】 把这三条线段放在正方体内如图，
显然AC∥EF，AC 平面EFG.
EF 平面EFG，故AC∥平面EFG.故选A.
【答案】 A
5．以下四个命题：
①三个平面最多可以把空间分成八部分；
②若直线a 平面α，直线b 平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；
③若α∩β＝l，直线a 平面α，直线b 平面β，且a∩b＝P，则P∈l；
④若n条直线中任意两条共面，则它们共面．
其中正确的是( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．①③
【解析】 对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错．所以正确的是①③.
【答案】 D
二、填空题
6．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为________.
【导学号：60870039】
【解析】 三条平行线段共面时，两平面可能平行也可能相交，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行．
【答案】 平行或相交
7．(2016·蚌埠高二检测)下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．
图1 2 34
【解析】 ①设MP中点为O，连接NO.易得AB∥NO，
又AB 平面MNP，
所以AB∥平面MNP.
②若下底面中心为O，易知NO∥AB，NO 平面MNP，
所以AB与平面MNP不平行．
③易知AB∥MP，所以AB∥平面MNP.
④易知存在一直线MC∥AB，且MC 平面MNP，
所以AB与平面MNP不平行．
【答案】 ①③
8．在如图1 2 35所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四边形，则平面ABC与平面A1B1C1平行吗？______(填“是”或“否”)．
图1 2 35
【解析】 因为侧面AA1B1B是平行四边形，
所以AB∥A1B1，
因为AB 平面A1B1C1，A1B1 平面A1B1C1，
所以AB∥平面A1B1C1，
同理可证：BC∥平面A1B1C1.
又因为AB∩BC＝B，AB 平面ABC，
BC 平面ABC，所以平面ABC∥平面A1B1C1.
【答案】 是
三、解答题
9．如图1 2 36所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1.
图1 2 36
【证明】 由棱柱性质知，
B1C1∥BC，B1C1＝BC，
又D，E分别为BC，B1C1的中点，
所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形，
因此EB∥C1D，
又C1D 平面ADC1，
EB 平面ADC1，
所以EB∥平面ADC1.
连接DE，同理，EB1綊BD，
所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED綊B1B.
因为B1B綊A1A(棱柱的性质)，
所以ED綊A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，
所以A1E∥AD，又A1E 平面ADC1，AD 平面ADC1，
所以A1E∥平面ADC1.
由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1.
A1E 平面A1EB，EB 平面A1EB，
且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.
10．如图1 2 37所示，ABCD A1B1C1D1是正方体，在图中，E，F分别是D1C1，B1B的中点，画出图①②中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．
图1 2 37
【解】 如图①所示，过点E作EN平行于BB1交CD于N，连接NB并延长交EF的延长线于M，连接AM，则直线AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．
如图②所示，延长DC，过点C1作C1M∥A1B交DC的延长线于点M，连接BM，则直线BM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．
证明：在图①中，因为直线EN∥BF，所以B，N，E，F四点共面，因此EF与NB相交，交点为M.因为M∈EF，且M∈NB，而EF 平面AEF，NB 平面ABCD，所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点．又因为点A是平面ABCD与平面AEF的公共点，故直线AM为两平面的交线．
在图②中，C1M在平面CDD1C1内，因此与DC的延长线相交，交点为M，则点M为平面A1C1B与平面ABCD的公共点，又点B也是这两个平面的公共点，因此直线BM是两平面的交线．
[能力提升]
1．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C( )
A．不共面
B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．无论点A，B如何移动都共面
【解析】 无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．
【答案】 D
2．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
【解析】 如图，∵EG∥E1G1，EG 平面E1FG1，E1G1 平面E1FG1，
∴EG∥平面E1FG1，
又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，
又H1E∩EG＝E，
∴平面E1FG1∥平面EGH1.
【答案】 A
3．如图1 2 38，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱C1C，C1D1，D1D，DC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1，其中N是BC的中点．(填上一个正确的条件即可，不必考虑全部可能的情况)
图1 2 38
【解析】 连接FH(图略)，因为N FH，所以平面FHN∥平面B1BDD1，若M∈FH，则MN 平面FHN，所以MN∩平面B1BDD1＝ ，所以MN∥平面B1BDD1.
【答案】 M∈FH
4．如图1 2 39，三棱柱ABC A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF.
【导学号：60870040】
图1 2 39
【解】 如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ∥AE.
因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB∥EF.又AE，EF 平面AEF，PQ，PB 平面AEF，
所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.
又PQ∩PB＝P，所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ 平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′等于( )
A．45°
B．135°
C．45°或135°
D．90°
【解析】 在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.
【答案】 C
2．由斜二测画法得到：
①相等的线段和角在直观图中仍然相等；
②正方形在直观图中是矩形；
③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形；
④菱形的直观图仍然是菱形．
上述结论正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 只有平行且相等的线段在直观图中才相等，而相等的角在直观图中不一定相等，如角为90°，在直观图中可能是135°或45°，故①错，由直观图的斜二测画法可知②③④皆错．故选A.
【答案】 A
3．如图1 1 57为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是( )
【导学号：60870017】
图1 1 57
A B
C
D
【解析】 根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直．
【答案】 C
4．(2016·江西师大附中高一检测)已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图1 1 58所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC中∠ABC的大小是( )
图1 1 58
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【解析】 根据斜二测画法可知△ABC中，BC＝2，AO＝，AO⊥BC，∴AB＝AC＝＝2，故△ABC是等边三角形，则∠ABC＝60°.
【答案】 C
5．下列说法：
①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；
②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；
③两条相交直线的平行投影是两条相交直线．
其中正确的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】
序号
正误
原因分析
①
√
由平行投影和中心投影的定义可知
②
×
空间图形经过中心投影后，直线可能变成直线，也可能变成一个点，如当投影中心在直线上时，投影为点；平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点
③
×
两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线
【答案】 B
二、填空题
6．下列图形：①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体．其中投影不可能是线段的是________．
【解析】 根据投影的定义知②⑤不可能．
【答案】 ②⑤
7．如图1 1 59所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则在直观图中梯形的高为________．
图1 1 59
【解析】 按斜二测画法，得梯形的直观图O′A′B′C′，如图所示，原图形中梯形的高CD＝2，在直观图中C′D′＝1，且∠C′D′E′＝45°，作C′E′垂直于x′轴于E′，则C′E′＝C′D′·sin
45°＝.
【答案】
8．(2016·雅安高二检测)如图1 1 60所示，斜二测画法得到直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是________．
图1 1 60
【解析】 在梯形A′B′C′D′中，B′C′＝A′D′＋2·A′B′cos
45°＝1＋，则原平面图形是上底为1，下底为1＋，高为2的直角梯形，其面积S＝(1＋1＋)×2＝2＋.
【答案】 2＋
三、解答题
9．如图1 1 61，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．
图1 1 61
【解】 画法：(1)如图②，画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；
① ②
(2)在图①中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在图②中，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′.
(3)连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图②.
10．有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3
cm，高为3
cm，画出这个正六棱锥的直观图．
【解】 (1)先画出边长为3
cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示；
(2)过正六边形的中心O′建立z′轴，在z′轴上截取O′V′＝3
cm，如图②所示；
(3)连接V′A′、V′B′、V′C′、V′D′、V′E′、V′F′，如图③所示；
(4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示．
[能力提升]
1．如图1 1 62所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是( )
图1 1 62
A．AB
B．AD
C．BC
D．AC
【解析】 还原直观图后知，原图形是以AC为斜边的直角三角形ABC，AD是直角边BC的中线，所以AC最长．
【答案】 D
2．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图1 1 63所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，则△ABC中AB边上的中线的长度为( )
图1 1 63
A.
B.
C．5
D.
【解析】 由斜二测画法规则知△ABC是∠ACB为直角的三角形，其中AC＝3，BC＝8，AB＝，所以AB边上的中线长为.
【答案】 A
3．如图1 1 64，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为________.
【导学号：60870018】
图1 1 64
【解析】 易知原图形OABC是平行四边形，且OA＝BC＝6，平行四边形的高为OE，则OE××＝O′C′.
∵O′C′＝2，∴OE＝4，
∴S OABC＝6×4＝24.
【答案】 24
4．(2016·咸阳高一检测)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图1 1 65所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求原平面图形的面积．
图1 1 65
【解】 过A作AE⊥BC，垂足为E，
又∵DC⊥BC且AD∥BC，
∴四边形ADCE是矩形，
∴EC＝AD＝1，由∠ABC＝45°，AB＝AD＝1知BE＝，
∴原平面图形是梯形且上下两底边长分别为1和1＋，高为2，
∴原平面图形的面积为××2＝2＋.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．水平放置的平面是大小确定的平行四边形
B．平面ABCD就是四边形ABCD的四条边围起来的部分
C．100个平面重叠在一起比10个平面重叠在一起厚
D．通常把平行四边形的锐角画成45°，一般根据需要也可画成90°，60°，30°，…
【解析】 A平面不是平行四边形；B平面是无限延伸的；C平面没有厚度，故A、B、C都不对．
【答案】 D
2．如图1 1 8，平面α，β，γ可将空间分成( )
图1 1 8
A．五部分
B．六部分
C．七部分
D．八部分
【解析】 由平面α，β，γ的位置关系可知，三平面将空间分成六部分，故选B.
【答案】 B
3．能正确表示点A在直线l上且直线l在平面α内的是( )
【解析】 选项A只表示点A在直线l上；选项D表示直线l与平面α相交于点A；选项B中的直线l有部分在平行四边形的外面，所以不能表示直线在平面α内，故选C.
【答案】 C
4．若空间三个平面两两相交，则它们的交线条数是( )
A．1或2
B．2或3
C．1或3
D．1或2或3
【解析】 若三个平面经过同一条直线，则有1条交线；若三个平面不过同一条直线，则有3条交线．
【答案】 C
5．图1 1 9所表示的简单组合体，可由下面某个图形绕虚线旋转而成，这个图形是( )
【导学号：60870003】
图1 1 9
【解析】 分析题图所表示的几何体可知，该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组合而成的．根据“线动成面”的规律可知形成圆锥可由直角三角形绕一条直角边旋转而成，而圆柱则可由长方形绕其中一边旋转而成，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．给出下列三个命题：
①任何一个平面图形都是一个平面；②空间图形中先画的是实线，后画的是虚线；③直线平行移动，不但可以形成平面，也可以形成曲面．
其中正确命题的序号是________．
【解析】 任何一个平面图形都只是平面的一部分，故①错；画图时，看得见的画实线，看不见的画虚线，与先后顺序无关，故②错；③正确．
【答案】 ③
7．在如图1 1 10所示的长方体ABCD－A′B′C′D′中，互相平行的平面共有________对，与A′A垂直的平面是________．
【解析】 面ABCD与面A′B′C′D′平行，面ABB′A′与面CDD′C′平行，面ADD′A′与面BCC′B′平行，共3对．
与AA′垂直的平面是面ABCD，面A′B′C′D′.
【答案】 3 面ABCD、面A′B′C′D′
8．(2016·铜陵高一检测)水平放置的正方体的六个面分别用前面、后面、上面、下面、左面、右面表示，图1 1 11是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面上，那么这个正方体的前面上的字是________．
图1 1 11
【解析】 如图折叠可知，“努”与“有”是互为对面上的两个字，“力”与“收”是互为对面上的两个字，“定”与“获”是互为对面上的两个字．
【答案】 有
三、解答题
9．如图1 1 12所示，长方体ABCD－A1B1C1D1可以看成是由哪些面进行怎样的移动而得到的？
图1 1 12
【解】 ①将矩形ABCD上各点向上平移相同距离到矩形A1B1C1D1处得到长方体ABCD－A1B1C1D1.
②将矩形A1B1C1D1上各点向下平移相同距离到矩形ABCD处得到长方体ABCD－A1B1C1D1.
③将矩形ADD1A1上各点向右平移相同距离到矩形BCC1B1处得到长方体ABCD－A1B1C1D1.
④将矩形BCC1B1上各点向左平移相同距离到矩形ADD1A1处得到长方体ABCD－A1B1C1D1.
⑤将矩形ABB1A1上各点向后平移相同距离到矩形DCC1D1处得到长方体ABCD－A1B1C1D1.
⑥将矩形DCC1D1上各点向前平移相同距离到矩形ABB1A1处得到长方体ABCD－A1B1C1D1.
10．试指出下列各几何体的基本元素(如图1 1 13)：
(1) (2)
(3) (4)
图1 1 13
【解】 (1)中几何体有6个顶点，12条棱和8个三角形面；
(2)中几何体有12个顶点，18条棱和8个面；
(3)中几何体有6个顶点，10条棱和6个面；
(4)中几何体有2条曲线，3个面(2个圆面和1个曲面)．
[能力提升]
1．下列四个长方体中，由如图1 1 14中的纸板折成的是( )
图1 1 14
【解析】 根据题图中纸板的折叠情况及特殊面的阴影部分可以判断答案A.
【答案】 A
2．如图1 1 15，一个正方体去掉一个“角”后减少了一个顶点，这个几何图形是________(填序号)．
图1 1 15
【解析】 正方体共有8个顶点，去掉一个“角”后减少了一个顶点即有7个顶点．
【答案】 ③
3．下列关于长方体的说法中，正确的是________．
①长方体中有3组对面互相平行；
②长方体ABCD－A1B1C1D1中，与AB垂直的只有棱AD，BC和AA1；
③长方体可看成是由一个矩形平移形成的；
④长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1平行且相等．
【解析】 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，故①正确；与AB垂直的棱除了AD，BC、AA1外，还有B1C1，A1D1，BB1，CC1和DD1，故②错误；这个长方体可看成由它的一个面ABCD上各点沿竖直
方向向上移动相同距离AA1所形成的几何体，故③正确；棱AA1，BB1，CC1，DD1的长度是长方体中面ABCD和面A1B1C1D1的距离，因此它们平行且相等，故答案是①③④.
【答案】 ①③④
4.如图1 1 16是边长为1
m的正方体，有一蜘蛛潜伏在A处，B处有一小虫被蜘蛛网粘住，请制作出实物模型，将正方体剪开，描述蜘蛛爬行的最短路线.
【导学号：60870004】
图1 1 16
【解】 制作实物模型(略)．通过正方体的展开图(如图所示)．
可以发现，AB间的最短距离为A、B两点间的线段的长，为＝.由展开图可以发现，C点为其中一条棱的中点．
爬行的最短路线如图(1)～(6)所示．
图1 1 10学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )
A．相离
B．相切
C．相交但直线不过圆心
D．相交且直线过圆心
【解析】 易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．
【答案】 C
2．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是A(1,2)，则直线PQ的方程是( )
A．x＋2y－3＝0
B．x＋2y－5＝0
C．2x－y＋4＝0
D．2x－y＝0
【解析】 结合圆的几何性质知直线PQ过点A(1,2)，且和直线OA垂直，故其方程为：y－2＝－(x－1)，整理得x＋2y－5＝0.
【答案】 B
3．(2015·安徽高考)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )
A．－2或12
B．2或－12
C．－2或－12
D．2或12
【解析】 法一 由3x＋4y＝b得y＝－x＋，代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，并化简得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或12.
法二 由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可知圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以＝1，解得b＝2或12.
【答案】 D
4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )
A．－1或
B．1或3
C．－2或6
D．0或4
【解析】 由弦长公式l＝2，可知圆心到直线的距离d＝，即＝，解得a＝0或4.
【答案】 D
5．圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n＝( )
A．10－2
B．5－
C．10－3
D．5－
【解析】 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，圆心(2，－3)到(－1,0)的距离为＝3<5.∴最大弦长为直径，即m＝10，最小弦长为以(－1,0)为中点的弦，即n＝2＝2.
∴m－n＝10－2.
【答案】 A
二、填空题
6．直线x－y＝0与圆(x－2)2＋y2＝4交于点A、B，则|AB|＝________.
【解析】 圆心到直线的距离d＝＝，半径r＝2，∴|AB|＝2＝2.
【答案】 2
7．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0只有一个公共点，则实数m的值为________．
【解析】 将圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0化为标准方程，得(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆心为(1，－2)，半径为1.
若直线与圆只有一个公共点，即圆心到直线的距离等于半径，即d＝＝＝1，
∴m＝0或m＝10.
【答案】 0或10
8．(2015·烟台高一检测)圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点有________个．
【解析】 圆的方程可化为
(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，
所以弦心距为d＝＝.
又圆的半径为2，所以到直线x＋y＋1＝0的距离为的点有3个．
【答案】 3
三、解答题
9．过点A(1,1)，且倾斜角是135°的直线与圆(x－2)2＋(y－2)2＝8是什么位置关系？若相交，试求出弦长．
【解】 因为tan
135°＝－tan
45°＝－1，
所以直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
圆心到直线的距离d＝＝＜r＝2，所以直线与圆相交．
弦长为2＝2＝2.
10．已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程.
【导学号：60870079】
【解】 (1)设圆A的半径为r，
∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
∴r＝＝2，
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)当直线l与x轴垂直时，
则直线l的方程x＝－2，
此时有|MN|＝2，即x＝－2符合题意．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＝0，
∵Q是MN的中点，∴AQ⊥MN，
∴|AQ|2＋2＝r2，
又∵|MN|＝2，r＝2，
∴|AQ|＝＝1，
解方程|AQ|＝＝1，得k＝，
∴此时直线l的方程为y－0＝(x＋2)，
即3x－4y＋6＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
[能力提升]
1．若直线ax＋by－3＝0和圆x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)，则ab的值为( )
A．－3
B．－2
C．2
D．3
【解析】 圆的标准方程为(x＋2)2＋y2＝5，直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，所以＝，
整理得a2－12a＋5b2－9＝0且直线过P(－1,2)，
代入得2b－a－3＝0，
两式联立，得a＝1，b＝2，所以ab＝2.
【答案】 C
2．直线y＝x＋b与曲线x＝有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围是( )
A．b＝
B．－1＜b≤1或b＝－
C．－1≤b≤1
D．以上都不正确
【解析】 如图，作半圆的切线l1和经过端点A，B的直线l3，l2，由图可知，当直线y＝x＋b为直线l1或位于l2和l3之间(包括l3，不包括l2)时，满足题意．
∵l1与半圆相切，∴b＝－；
当直线y＝x＋b位于l2时，b＝－1；
当直线y＝x＋b位于l3时，b＝1.
∴b的取值范围是－1＜b≤1或b＝－.
【答案】 B
3．(2014·重庆高考)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.
【解析】 圆心C(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离为.因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝2，所以2＋12＝22，解得a＝4±.
【答案】 4±
4．(1)圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程；
(2)已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．
【解】 (1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，
∴2r＝＝4，∴r＝2，
∴＝r＝2，即|2a＋b＋15|＝10，①
＝r＝2，即|2a＋b－5|＝10，②
又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，
∴＝，③
由①②③解得
∴所求圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.
(2)设圆心坐标为(3m，m)．
∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，
∴圆心到直线y＝x的距离为＝|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，
∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.学业分层测评
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[学业达标]
一、选择题
1．下列命题中，结论正确的有( )
(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
(2)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等；
(3)如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【解析】 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故(1)错；(2)正确；(3)正确．故选C.
【答案】 C
2．已知下列叙述：
①一条直线和另一条直线平行，那么它就和经过另一条直线的任何平面平行；
②一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点，因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行；
③若直线l与平面α不平行，则l与α内任一直线都不平行；
④与一平面内无数条直线都平行的直线必与此平面平行．
其中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 一条直线和另一条直线平行，那么它就在经过这两条直线的平面内，①错；一条直线平行于一个平面，这个平面内的直线可能与它异面，②错；对于③④，直线有可能在平面内．
【答案】 A
3．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3 l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3 l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3 l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点 l1，l2，l3共面
【解析】 当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1也可能与l3相交或异面，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3 l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．
【答案】 B
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【解析】 如图所示，结合图形可知AA1∥平面BC1，AA1∥平面DC1，AA1∥平面BB1D1D.
【答案】 B
5．如图1 2 20，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是棱AB、BC、A1B1、BB1、C1D1、CC1的中点，则下列结论正确的是( )
图1 2 20
A．直线GH和MN平行，GH和EF相交
B．直线GH和MN平行，MN和EF相交
C．直线GH和MN相交，MN和EF异面
D．直线GH和EF异面，MN和EF异面
【解析】 易知GH∥MN，又∵E、F、M、N分别为中点，由平面基本性质3可知EF、DC、MN交于一点，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．平行四边形的一组对边平行于一个平面，则另一组对边与这个平面的位置关系是________．
【答案】 平行或相交
7．如图1 2 21，ABCD－A1B1C1D1是正方体，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与AC的关系是________．
图1 2 21
【解析】 连接A1C1，∵AC∥A1C1，∴AC∥面A1B1C1D1，
又∵AC 面AB1C，面AB1C∩面A1B1C1D1＝l，
∴AC∥l.
【答案】 平行
8．如图1 2 22，P为 ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝__________.
图1 2 22
【解析】 连接AC交BE于G，连接FG，因为PA∥平面EBF，
PA 平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，
所以PA∥FG，
所以＝.
又因为AD∥BC，E为AD的中点，
所以＝＝，所以＝.
【答案】
三、解答题
9．如图1 2 23所示，三棱锥A－BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.
求证：CD∥EF.
图1 2 23
【证明】 ∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥GH，
又GH 平面BCD，
EF 平面BCD，∴EF∥平面BCD.
而EF所在的平面ACD∩平面BCD＝CD，
∴EF∥CD.
10．一块长方体木块如图1 2 24所示，要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开，应该怎样画线？
图1 2 24
【解】 在平面A1B1C1D1内，经过点P作EF∥B1C1，且交A1B1于E，交D1C1于F；连接BE、CF，则BE、CF即为平面与长方体侧面的交线，可知，要满足题意，只要沿BE、EF、FC画线即可．如图所示．
[能力提升]
1．能保证直线a与平面α平行的条件是( )
【导学号：60870036】
A．a α，b α，a∥b
B．b α，a∥b
C．b α，c α，a∥c
D．b α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BD
【解析】 由直线与平面平行的判定定理知A正确．
【答案】 A
2．若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( )
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB与O1B1不平行
D．OB与O1B1不一定平行
【解析】 如图①②所示，OB，O1B1不一定平行．
图① 图②
【答案】 D
3．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线有________条．
【解析】 如图所示，
∵l∥平面α，P∈α，
∴直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，
∴P∈m，∴l∥m且m是唯一的．
【答案】 一条
4．如图1 2 25所示，已知P是 ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.
图1 2 25
(1)求证：l∥BC；
(2)MN与平面APD是否平行？试证明你的结论．
【解】 (1)因为BC∥AD，
BC 平面PAD，AD 平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD＝l，
所以BC∥l.
(2)平行．取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.
可知四边形AMNE为平行四边形．
所以MN∥AE，又因为MN 平面APD，AE 平面APD，所以MN∥平面APD.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个大球，则这个大球的半径为( )
A.
B.
C．2
D.
【解析】 设大球的半径为r，则π×13×2＝πr3，
∴r＝.
【答案】 A
2．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是( )
A.π
B.
C．4π
D．32π
【解析】 由题意可知，6a2＝24，∴a＝2.
设正方体外接球的半径为R，则
a＝2R，∴R＝，∴V球＝πR3＝4π.
【答案】 C
3．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是( )
A.π
B．2
C.π
D.π
【解析】 S1＝π，S2＝4π，
∴r＝1，R＝2，S侧＝6π＝π(r＋R)l，
∴l＝2，∴h＝.
∴V＝π(1＋4＋2)×＝
π.故选D.
【答案】 D
4．如图1 1 108，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1
cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3
cm，高为6
cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )
图1 1 108
A.
B.
C.
D.
【解析】 由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体．其中左面圆柱的高为4
cm，底面半径为2
cm，右面圆柱的高为2
cm，底面半径为3
cm，则组合体的体积V1＝π×22×4＋π×32×2＝16π＋18π＝34π(cm3)，原毛坯体积V2＝π×32×6＝54π(cm3)，则所求比值为＝.
【答案】 C
5．某几何体的三视图如图1 1 109所示，则它的体积是( )
图1 1 109
A．8－
B．8－
C．8－2π
D.
【解析】 由三视图可知，该几何体是一个正四棱柱挖去一个圆锥，正四棱柱的体积为2×2×2＝8，圆锥的体积为π×2＝，所以该几何体的体积为8－，选A.
【答案】 A
二、填空题
6．一个长方体的三个面的面积分别是
，
，
，则这个长方体的体积为________．
【解析】 设长方体的棱长分别为a，b，c，则三式相乘可知(abc)2＝6，所以长方体的体积V＝abc＝.
【答案】
7．圆柱形容器内盛有高度为8
cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图1 1 110所示)，则球的半径是________cm.
图1 1 110
【解析】 设球的半径为r，则由3V球＋V水＝V柱，得6r·πr2＝8πr2＋3×πr3，解得r＝4.
【答案】 4
8．半径为2的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为________.
【导学号：60870029】
【解析】 由题意可知该圆锥的侧面展开图为半圆，如图所示，设圆锥底面半径为r，高为h，
则 ∴
∴它的体积为×π×12×＝π.
【答案】 π
三、解答题
9．一个三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图如图1 1 111所示，AA1＝3.
(1)请画出它的直观图；(2)求这个三棱柱的表面积和体积．
图1 1 111
【解】 (1)直观图如图所示．
(2)由题意可知，S△ABC＝×3×＝.
S侧＝3AC×AA1＝3×3×3＝27.
故这个三棱柱的表面积为27＋2×＝27＋.
这个三棱柱的体积为×3＝.
10．如图1 1 112，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．
图1 1 112
【解】 因为V半球＝×πR3＝×π×43＝π(cm3)，
V圆锥＝πr2h＝π×42×10
＝π(cm3)，
因为V半球所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．
[能力提升]
1．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得的这个圆台的圆锥的体积是( )
A．54
B．54π
C．58
D．58π
【解析】 设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52＝πh1(r2＋9r2＋3r·r)，
∴πr2h1＝12.令原圆锥的高为h，由相似知识得＝，
∴h＝h1，
∴V原圆锥＝π(3r)2×h＝3πr2×h1＝×12＝54.
【答案】 A
2．(2016·长沙高一检测)一个几何体的三视图如图1 1 113所示，则它的体积为( )
图1 1 113
A.
B.
C．20
D．40
【解析】 由三视图知该几何体是一个放倒的四棱锥(如图所示的四棱锥A BCDE)，其中四棱锥的底面BCDE为直角梯形，其上底CD为1，下底BE为4，高BC为4.棱锥的高AB为4，所以四棱锥的体积为××4×4＝，故选B.
【答案】 B
3．(2016·蚌埠市高二检测)圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，则圆锥的表面积是________．
【解析】 因为圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，
所以圆锥的侧面积等于扇形的面积＝＝π，
设圆锥的底面圆的半径为r，
因为扇形的弧长为×2＝π，
所以2πr＝π，所以r＝，
所以底面圆的面积为π.所以圆锥的表面积为π××＝π.
【答案】 π
4．若E，F是三棱柱ABC A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A BEFC的体积．
【解】 如图所示，连接AB1，AC1.
∵B1E＝CF，
∴梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积．
又四棱锥A BEFC的高与四棱锥
A B1EFC1的高相等，
∴VA BEFC＝VA B1EFC1＝VA BB1C1C，
又VA A1B1C1＝S△A1B1C1·h，
VABC A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝m，
∴VA A1B1C1＝，
∴VA BB1C1C＝VABC A1B1C1－VA A1B1C1＝m，
∴VA BEFC＝×m＝.
即四棱锥A BEFC的体积是.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列命题中，真命题的个数是( )
①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个；②圆柱的所有平行于底面的截面都是圆面；③圆台的两个底面可以不平行．
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 ①中当圆锥过顶点的轴截面顶角大于90°时，其面积不是最大的；③圆台的两个底面一定平行，故①③错误．
【答案】 B
2．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是( )
A．两个圆锥拼接而成的组合体
B．一个圆台
C．一个圆锥
D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥
【解析】 如图，以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．
【答案】 D
3．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是( )
【导学号：60870012】
A．圆锥
B．圆柱
C．球
D．棱柱
【解析】 用一个平面去截圆锥、圆柱、球均可以得到圆面，但截棱柱一定不会产生圆面．
【答案】 D
4．在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是( )
图1 1 41
A．一个棱柱中挖去一个棱柱
B．一个棱柱中挖去一个圆柱
C．一个圆柱中挖去一个棱锥
D．一个棱台中挖去一个圆柱
【解析】 一个六棱柱挖去一个等高的圆柱，选B.
【答案】 B
5．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图1 1 42所示，则截面可能的图形是( )
图1 1 42
A．①③
B．②④
C．①②③
D．②③④
【解析】 当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.
【答案】 C
二、填空题
6．如图1 1 43是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________．
图1 1 43
【解析】 一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱．
【答案】 圆柱
7．直角梯形绕其较长底边所在直线旋转一周，所得旋转体的结构特征是________________．
【解析】 由旋转体的定义知，该几何体为一个圆锥和一个圆柱拼接成的组合体．
【答案】 一个圆锥和一个圆柱拼接成的组合体
8．一个圆锥的母线长为20
cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.
【解析】 如图是圆锥的轴截面，
则SA＝20
cm，∠ASO＝30°，
∴AO＝10
cm，SO＝10
cm.
【答案】 10
三、解答题
9．指出如图1 1 44(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的.
【导学号：60870013】
图1 1 44
【解】 图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．
图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．
10．一个圆台的母线长为12
cm，两底面面积分别为4π
cm2和25π
cm2.求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长．
【解】 (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．
由已知可得上底半径O1A＝2(cm)，
下底半径OB＝5(cm)，又因为腰长为12
cm，
所以高AM＝＝3(cm)．
(2)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO可得＝，解得l＝20(cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20
cm.
[能力提升]
1．下列判断中正确的个数是( )
①圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的；
②球面和球是同一个概念；
③经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆．
A．1
B．2
C．3
D．0
【解析】 ①正确；球面和球是两个不同的概念，②错误；若球面上不同的两点恰好为最大的圆的直径的端点，则过此两点的最大圆有无数个，故③错误．
【答案】 A
2．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是( )
A．4
B．3
C．2
D．0.5
【解析】 如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π、8π，∴两个截面圆的半径分别为r1＝，r2＝2.
∵球心到两个截面的距离d1＝，d2＝，
∴d1－d2＝－＝1，∴R2＝9，∴R＝3.
【答案】 B
3．在如图1 1 45所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40
cm，母线长最短50
cm、最长80
cm，则斜截圆柱侧面面积S＝________cm2.
图1 1 45
【解析】 将侧面展开可得S＝(50＋80)×40π＝2
600π(cm2)．
【答案】 2
600π
4．一个圆锥的底面半径为2
cm，高为6
cm，在圆锥内部有一个高为x
cm的内接圆柱．
(1)用x表示圆柱的轴截面面积S；
(2)当x为何值时，S最大？
【解】 (1)如图，设圆柱的底面半径为r
cm，则由＝，得r＝，∴S＝－x2＋4x(0(2)由S＝－x2＋4x＝－(x－3)2＋6，
∴当x＝3时，Smax＝6
cm2.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列描述中，不是棱柱的结构特征的是( )
A．有一对面互相平行
B．侧面都是四边形
C．相邻两个侧面的公共边都互相平行
D．所有侧棱都交于一点
【解析】 由棱柱的结构特征知D错．
【答案】 D
2．观察如图1 1 27的四个几何体，其中判断不正确的是( )
图1 1 27
A．①是棱柱
B．②不是棱锥
C．③不是棱锥
D．④是棱台
【解析】 结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误．
【答案】 B
3．四棱柱的体对角线的条数为( )
A．6
B．7
C．4
D．3
【解析】 共有4条体对角线，一个底面上的每个点与另一个底面上的不相邻的点连成一条体对角线．
【答案】 C
4．(2016·长春高二检测)若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是( )
【导学号：60870007】
A．三棱锥
B．四棱锥
C．五棱锥
D．六棱锥
【解析】 因为正六边形的边长与它的外接圆半径相等，所以满足上述条件的棱锥一定不是六棱锥．
【答案】 D
5．纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平得到如图1 1 28所示的平面图形，则标“△”的面的方位是( )
图1 1 28
A．南
B．北
C．西
D．下
【解析】 将题给图形还原为正方体，并将已知面“上”、“东”分别指向上面、东面，则标记“△”的为北面，选B.
【答案】 B
二、填空题
6．有下列说法：
①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是四边形的几何体不一定是棱台；③两个互相平行的面是正方形，其余各面是四边形的几何体一定是棱台．
其中正确的说法的序号是________．
【解析】 ①正确，因为具有这些特征的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②正确，如图所示；③不正确，当两个平行的正方形完全相等时，一定不是棱台．
【答案】 ①②
7．如图1 1 29所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．
图1 1 29
【解析】 将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝＝.
【答案】
8．下列四个平面图形都是正方体的展开图，还原成正方体后，数字排列规律完全一样的两个是________．
(1) (2) (3) (4)
图1 1 30
【解析】 (2)(3)中，①④为相对的面，②⑤为相对的面，③⑥为相对的面，故它们的排列规律完全一样．
【答案】 (2)(3)
三、解答题
9．如图1 1 31，已知四边形ABCD是一个正方形，E，F分别是边AB和BC的中点，沿折痕DE，EF，FD折起得到一个空间几何体，问：这个空间几何体是什么几何体？
【导学号：60870008】
图1 1 31
【解】 折起后是一个三棱锥(如图所示)．
10．根据下面对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．
(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的六边形，其他各面都是平行四边形；
(2)由五个面围成，其中一个是正方形，其他各面都是有一个公共顶点的三角形．
【解】 (1)根据棱柱的结构特征可知，该几何体为六棱柱．
(2)根据棱锥的结构特征可知，该几何体为四棱锥．
[能力提升]
1．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有( )
A．20
B．15
C．12
D．10
【解析】 如图，在五棱柱ABCDE A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×
5＝10(条)．
【答案】 D
2．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图1 1 32)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为( )
图1 1 32
【解析】 两个不能并列相邻，B、D错误；两个不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定．
【答案】 A
3．(2016·临沂高一检测)如图1 1 33，在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________．
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③每个面都是等边三角形的四面体；④每个面都是直角三角形的四面体．
图1 1 33
【解析】 ①正确，如四边形A1D1CB为矩形；②不正确，任选四个顶点若组成平面图形，则一定为矩形；③正确，如四面体A1 C1BD；④正确，如四面体B1 ABD.
【答案】 ①③④
4.如图1 1 34所示，已知三棱台ABC A′B′C′.
图1 1 34
(1)把它分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示；
(2)把它分成三个三棱锥并用字母表示．
【导学号：60870009】
【解】 (1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′ AB″C″，多面体是B′C′ BCC″B″.
(2)如图②所示：三个三棱锥分别是A′ ABC，B′ A′BC，C′ A′B′C.
① ②学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知线段AB的中点在坐标原点，且A(x,2)，B(3，y)，则x＋y等于( )
A．5
B．－1
C．1
D．－5
【解析】 易知x＝－3，y＝－2.∴x＋y＝－5.
【答案】 D
2．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是( )
A．2
B．3＋2
C．6＋3
D．6＋
【解析】 由题意知|AB|＝＝3，
|AC|＝＝3，
|BC|＝＝3.
∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝6＋3.
【答案】 C
3．已知A(3,1)，B(2,4)，C(1,5)，且点A关于点B的对称点为D，则|CD|＝( )
A．2
B．4
C.
D.
【解析】 由题意知，设D(x，y)，∴
∴∴D(1,7)．
∴|CD|＝＝2，故选A.
【答案】 A
4．已知A(x,5)关于C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则P(x，y)到原点的距离为( )
A．4
B.
C.
D.
【解析】 由题意知点C是线段AB的中点，
则∴∴|OP|2＝17，∴|OP|＝.
【答案】 D
5．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2,10)，则光线从A到B的路程为( )
A．5
B．2
C．5
D．10
【解析】 (－3,5)关于x轴的对称点为A′(－3，－5)，则|A′B|＝＝5.
【答案】 C
二、填空题
6．在△ABC中，设A(3,7)，B(－2,5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则C点坐标为________．
【解析】 设C(a，b)，则AC的中点为，BC的中点为，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则若AC的中点在y轴上，BC的中点在x轴上，则
【答案】 (2，－7)或(－3，－5)
7．已知三角形的三个顶点A(7,8)，B(10、4)，C(2，－4)，则BC边上的中线AM的长为________．
【解析】 设BC边的中点M的坐标为(x，y)，则
即M的坐标为(6,0)，所以|AM|＝＝.
【答案】
8．点A(1，－2)关于原点对称的对称点到(3，m)的距离是2，则m的值是________．
【解析】 A的对称点A′(－1,2)
2＝
解得m＝2或－6.
【答案】 2或－6
三、解答题
9．已知A(1,2)，B(4，－2)，试问在x轴上能否找到一点P，使∠APB为直角？
【导学号：60870058】
【解】 假设在x轴上能找到点P(x,0)，使∠APB为直角，
由勾股定理可得
|AP|2＋|BP|2＝|AB|2，
即(x－1)2＋4＋(x－4)2＋4＝25，
化简得x2－5x＝0，
解得x＝0或5.
所以在x轴上存在点P(0,0)或P(5,0)，使∠APB为直角．
10．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．
【证明】 如图所示，D，E分别为边AC和BC的中点，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，
则|AB|＝c，又由中点坐标公式，
可得D，E，
所以|DE|＝－＝，
所以|DE|＝|AB|，
即三角形的中位线长度等于底边长度的一半．
[能力提升]
1．以A(1,5)，B(5,1)，C(－9，－9)为顶点的三角形是( )
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．不等边三角形
D．直角三角形
【解析】 根据两点的距离公式，
|AB|＝＝4，
|AC|＝＝，
|BC|＝＝，
∴|AC|＝|BC|≠|AB|，∴△ABC为等腰三角形．
【答案】 B
2．(2016·潍坊高一检测)已知点A(－1,3)，B(3,1)，点C在坐标轴上，∠ACB＝90°，则满足条件的点C的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 若点C在x轴上，
设C(x,0)，由∠ACB＝90°，
得|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，
即[3－(－1)]2＋(1－3)2＝(x＋1)2＋32＋(x－3)2＋12，解得x＝0或x＝2.
若点C在y轴上，
设C(0，y)，同理可求得y＝0或y＝4，
综上，满足条件的点C有3个．故选C.
【答案】 C
3．已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，则当|AB|取得最小值时，实数a等于________．
【解析】 |AB|2＝(5－a－1)2＋(2a－1－a＋4)2＝2a2－2a＋25＝22＋，所以当a＝时，
|AB|取得最小值．
【答案】
4．求函数y＝＋的最小值．
【解】 原函数化为y＝＋，设A(0,2)，B(1，－1)，P(x,0)，借助于几何图形可知它表示x轴上的点P到两个定点A、B的距离的和，当A、P、B三点共线时，函数取得最小值．∴ymin＝|AB|＝.
