2．2.1 综合法和分析法
综合法
[提出问题]
阅读下面证明过程，回答问题．
求证：π是函数f(x)＝sin的一个周期．
证明：因为f(x＋π)＝sin＝sin＝sin＝f(x)，所以由周期函数的定义可知，π是函数f(x)＝sin的一个周期．
问题1：本题的条件和结论各是什么？
提示：条件：f(x)＝sin；结论：π是f(x)的一个周期．
问题2：本题的证明顺序是什么？
提示：从已知利用诱导公式到待证结论．
[导入新知]
1．综合法的定义
利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
2．综合法的框图表示
―→―→―→…―→
(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)
[化解疑难]
综合法的特点
(1)综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理实际上是寻找已知条件的必要条件．
(2)综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理和运算法则，通过演绎推理，一步一步完成命题的证明.
分析法
[提出问题]
阅读下面证明过程，回答问题．
求证：＋≥2＋.
证明：要证原不等式成立，只需证(＋)2≥(2＋)2，即证2≥2，该式显然成立，因此原不等式成立．
问题1：本题证明从哪里开始？
提示：从结论开始．
问题2：证明思路是什么？
提示：寻求每一步成立的充分条件．
[导入新知]
1．分析法的定义
从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．
2．分析法的框图表示
―→―→―→…―→
[化解疑难]
分析法的特点
(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻找使结论成立的充分条件．
(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等．
综合法的应用
[例1] 已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.
[证明] ∵a，b，c是正数，∴b2＋c2≥2bc，
∴a(b2＋c2)≥2abc.①
同理，b(c2＋a2)≥2abc，②
c(a2＋b2)≥2abc.③
∵a，b，c不全相等，
∴b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，a2＋b2≥2ab三式中不能同时取到“＝”．
∴①②③式相加得
a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.
[类题通法]
综合法的证明步骤
(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；
(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．
特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．
[活学活用]
已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求证：＋≥9.
证明：∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，
∴＋＝＋＝4＋＋＋1
＝5＋＋≥5＋2
＝5＋4＝9.
当且仅当＝，
即a＝2b时“＝”成立.
分析法的应用
[例2] 设a，b为实数，求证
≥(a＋b)．
[证明] 当a＋b≤0时，∵≥0，
∴≥(a＋b)成立．
当a＋b>0时，
用分析法证明如下：
要证≥(a＋b)，
只需证()2≥2，
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.
∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
∴≥(a＋b)成立．
综上所述，不等式得证．
[类题通法]
分析法的证明过程及书写形式
(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．
(2)书写形式：要证……，只需证……，即证……，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．
[活学活用]
在锐角△ABC中，求证：tan
Atan
B＞1.
证明：要证tan
Atan
B＞1，只需证＞1.
∵A，B均为锐角，
∴cos
A＞0，cos
B＞0.
即证sin
Asin
B＞cos
Acos
B，
即cos
Acos
B－sin
Asin
B＜0，
只需证cos(A＋B)＜0.
∵△ABC为锐角三角形，
∴90°＜A＋B＜180°，
∴cos(A＋B)＜0，因此tan
Atan
B＞1.
综合法和分析法的综合应用
[例3] 已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
[证明] 法一：(分析法)
要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，
即证＋＝，
只需证＋＝3，
化简，得＋＝1，
即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，
所以只需证c2＋a2＝b2＋ac.
因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，
所以B＝60°，
所以cos
B＝＝，
即a2＋c2－b2＝ac成立．
∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立．
法二：(综合法)
因为△ABC的三内角A，B，C成等差数列，
所以B＝60°.
由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos
60°，
所以c2＋a2＝ac＋b2，
两边加ab＋bc，得
c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
两边同时除以(a＋b)(b＋c)，得
＋＝1，
所以＋＝3，
即＋＝，
所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
[类题通法]
综合法与分析法的适用范围
(1)综合法适用的范围
①定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等；
②已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型．
(2)分析法适用的范围
分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题．
[活学活用]
设a，b∈(0，＋∞)，且a≠b.
求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.
证明：法一：(分析法)
要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立，
即需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立．
又因a＋b＞0，
故只需证a2－ab＋b2＞ab成立，
即需证a2－2ab＋b2＞0成立，
即需证(a－b)2＞0成立．
而依题设a≠b，
则(a－b)2＞0显然成立．
由此命题得证．
法二：(综合法)
a≠b a－b≠0 (a－b)2＞0 a2－2ab＋b2＞0
a2－ab＋b2＞ab.
∵a＞0，b＞0，∴a＋b＞0，
(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)．
∴a3＋b3＞a2b＋ab2.
[典例] (12分)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数y＝f(x＋1)的图象与f(x)的图象关于y轴对称．
求证：f为偶函数．
[解题流程]
[规范解答]
法一：要证f为偶函数，只需证明其对称轴为直线x＝0，(2分)
即只需证－－＝0，只需证a＝－b，(4分)
由已知，抛物线f(x＋1)的对称轴x＝－－1与f(x)的对称轴x＝－关于y轴对称，(8分)
∴－－1＝－，
∴a＝－b，(10分)
∴f为偶函数．(12分)
法二：要证f为偶函数，
只需证f＝f.(2分)
令x＋＝t，则x＝t－，
∴只需证f(t)＝f(－t＋1)，(6分)
即证f(x)＝f(－x＋1)．
因为函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，
所以函数y＝f(x)上任一点(x，f(x))，
关于y轴的对称点(－x，f(x))在y＝f(x＋1)上，
即f(－x＋1)＝f(x)，(10分)
所以f为偶函数．(12分)
[名师批注]
用分析法证明，将问题转化为证明a＝－b.此处易找错对称轴而导致解题错误
利用综合法，将函数图象的对称问题转化为两条轴关于y轴对称．此处易出现找不到此关系式而导致问题无法证明的情况
由偶函数的定义可知，若f为偶函数，则有f＝f成立．此处易误认为f＝f成立而导致错误
以上是用分析法证明的 以下是用综合法证明的
此处易发生不会利用f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称这一条件，而造成问题无法证明
[活学活用]
已知a≥－，b≥－，a＋b＝1，求证：＋≤2.
证明：要证＋≤2，
只需证2(a＋b)＋2＋2·≤8.
因为a＋b＝1，即证·≤2.
因为a≥－，b≥－，
所以2a＋1≥0,2b＋1≥0，
所以·≤
＝＝2，
即·≤2成立，
因此原不等式成立．
[随堂即时演练]
1．“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a>b与a
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中正确判断的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选C 由于a，b，c不全相等中含有a≠b≠c这种情况，所以③错误，①②都正确．
2．欲证不等式
－＜
－成立，只需证( )
A．(－)2＜(－)2
B．(－)2＜(－)2
C．(＋)2＜(＋)2
D．(－－)2＜(－)2
解析：选C 要证
－＜
－成立，只需证
＋＜＋成立，只需证(＋)2＜(＋)2成立．
3．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
求证：≥8.
证明过程如下：
∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
∴－1＝＞0，－1＝＞0，－1＝＞0，
∴＝··≥＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，∴不等式成立．
这种证法是________(填“综合法”或“分析法”)．
解析：本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种方法是综合法．
答案：综合法
4．将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整：要证≥ab，只需证a2＋b2≥2ab，也就是证________，即证________．由于________显然成立，因此原不等式成立．
解析：用分析法证明≥ab的步骤为：
要证≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，
也就是证a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.
由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．
答案：a2＋b2－2ab≥0 (a－b)2≥0 (a－b)2≥0
5．已知a＞0，b＞0，求证：＋≥
＋.(要求用两种方法证明)
证明：法一：(综合法)因为a＞0，b＞0，
所以＋－－＝＋
＝＋＝(a－b)·
＝≥0，
所以＋≥＋.
法二：(分析法)要证＋≥
＋，
只需证a＋b≥a＋b，
即证(a－b)(－)≥0.
因为a＞0，b＞0，
所以a－b与－符号相同，
不等式(a－b)(－)≥0成立，
所以原不等式成立．
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
解析：选C ①②③⑤正确．
2．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex
D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：选A 本题就是找哪一个函数在(0，＋∞)上是减函数，A项中，f′(x)＝′＝－＜0，
∴f(x)＝在(0，＋∞)上为减函数．
3．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8
B．4
C．1
D.
解析：选B 是3a与3b的等比中项 3a·3b＝3 3a＋b＝3 a＋b＝1，
因为a＞0，b＞0，
所以≤＝ ab≤，
所以＋＝＝≥＝4.
4．A，B为△ABC的内角，A>B是sin
A>sin
B的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C 若A>B，则a>b，
又＝，∴sin
A>sin
B；
若sin
A>sin
B，则由正弦定理得a>b，∴A>B.
5．已知f(x)＝ax＋1,0＜a＜1，若x1，x2∈R，且x1≠x2，则( )
A.≤f
B.＝f
C.≥f
D.＞f
解析：选D 因为x1≠x2，
所以
＝＞
＝a＋1＝f，
所以＞f.
二、填空题
6．命题“函数f(x)＝x－xln
x在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln
x取导得f′(x)＝－ln
x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝－ln
x＞0，故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数”应用了______________的证明方法．
解析：该证明过程符合综合法的特点．
答案：综合法
7．如果a＋b＞a＋b，则实数a，b应满足的条件是________．
解析：a＋b＞a＋b
a－a＞b－b
a(－)＞b(－)
(a－b)(－)＞0
(＋)(－)2＞0，
故只需a≠b且a，b都不小于零即可．
答案：a≥0，b≥0且a≠b
8．已知sin
θ＋cos
θ＝且≤θ≤，则cos
2θ＝________.
解析：因为sin
θ＋cos
θ＝，
所以1＋sin
2θ＝，
所以sin
2θ＝－.
因为≤θ≤，
所以π≤2θ≤.
所以cos
2θ＝－＝－.
答案：－
三、解答题
9．求证：2cos(α－β)－＝.
证明：要证原等式成立，只需证：
2cos(α－β)sin
α－sin(2α－β)＝sin
β，
左边＝2cos(α－β)sin
α－sin[(α－β)＋α]
＝2cos(α－β)sin
α－sin(α－β)cos
α－cos(α－β)·sin
α
＝cos(α－β)sin
α－sin(α－β)cos
α
＝sin
β＝右边．
所以原等式成立．
10．(天津高考)已知{an}是各项均为正数的等差数列，公差为d，对任意的n∈N
，bn是an和an＋1的等比中项．
(1)设cn＝b－b，n∈N
，求证：数列{cn}是等差数列；
(2)设a1＝d，Tn＝(－1)kb，n∈N
，求证：＜.
证明：(1)由题意得b＝anan＋1，
cn＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1.
因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2，
所以{cn}是等差数列．
(2)Tn＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)
＝2d(a2＋a4＋…＋a2n)
＝2d·
＝2d2n(n＋1)．
所以＝＝＝·＜.3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
复数的加减法
[提出问题]
已知复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．
问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想，复数如何加减？
提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？
提示：满足．
问题3：以交换律进行说明．
提示：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，
z2＋z1＝(c＋di)＋(a＋bi)＝(c＋a)＋(d＋b)i，
∴z1＋z2＝z2＋z1.
[导入新知]
1．复数的加减法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，
z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.
2．复数加法的运算律
(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
[化解疑难]
对复数加减法的理解
1．把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就可以了．
2．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．
3．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．例如，(3－2i)＋2i＝3.
复数加减法的几何意义
[提出问题]
如图，分别与复数a＋bi，c＋di对应．
问题1：试写出，及＋，－的坐标．
提示：＝(a，b)，＝(c，d)，
＋＝(a＋c，b＋d)，－＝(a－c，b－d)．
问题2：向量＋，－对应的复数分别是什么？
提示：向量＋对应的复数是a＋c＋(b＋d)i，也就是z1＋z2；向量－对应的复数是a－c＋(b－d)i，也就是z1－z2.
[导入新知]
复数加减法的几何意义
如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为，，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是
，与z1－z2对应的向量是
.
[化解疑难]
对复数加减运算几何意义的认识
(1)若复平面内任意两点Z1，Z2所对应的复数分别是z1，z2，则Z1，Z2两点之间的距离|Z1Z2|＝|z2－z1|.
(2)复数加减法的几何意义包含两方面：一是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数的运算，使复数作为工具运用于几何之中；另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释．
复数的加减运算
[例1] 计算：(1)(－2＋3i)＋(5－i)；
(2)(－1＋i)＋(1＋i)；
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
[解] (1)(－2＋3i)＋(5－i)＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i.
(2)(－1＋i)＋(1＋i)＝(－1＋1)＋(＋)i＝2i.
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i
＝－a＋(4b－3)i.
[类题通法]
复数的加减运算的技巧
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．
[活学活用]
计算下列各题：
(1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)；
(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2
017－2
018i)．
解：(1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i＝－5＋20i.
(2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2
015－2
016＋2
017)＋(－2＋3－4＋5－…－2
016＋2
017－2
018)i＝1
009－1
010i.
复数加减运算的几何意义
[例2] 已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长．
[解] 如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点，所以有zM＝＝，
所以zD＝zA＋zC－zB＝1－7i.
因为：zC－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i，
所以||＝|7＋2i|＝＝.
因为：zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i，
所以||＝|5－12i|＝＝13.
故点D对应的复数是1－7i，AC与BD的长分别是和13.
[类题通法]
运用复数加减运算的几何意义应注意的问题
向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)．
[活学活用]
复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点，如图所示．求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
解：复数z1，z2，z3所对应的点分别为A，B，C，设正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)．
因为＝－，
所以对应的复数为
(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i.
因为＝－，
所以对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.
因为＝，
所以它们对应的复数相等，即解得故点D对应的复数为2－i.
综合应用
[例3] 设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.
[解] 法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，
又(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，
∴2ac＋2bd＝0.
∵|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2
＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，
∴|z1－z2|＝.
法二：作出z1，z2对应的向量，，使＋＝，
∵|z1|＝|z2|＝1，又，不共线(若，共线，
则|z1＋z2|＝2或0与题设矛盾)，
∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形．
又∵|z1＋z2|＝，
∴∠Z1OZ2＝90°，即四边形OZ1ZZ2为正方形，
故|z1－z2|＝.
[类题通法]
与复数模有关的几个常见结论
在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，Z1＋Z2对应的点为C，O为坐标原点：
(1)则四边形OACB为平行四边形；
(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；
(3)若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；
(4)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．
[活学活用]
已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
解：法一：设z1＝a＋bi，
z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴a2＋b2＝c2＋d2＝1， ①
(a－c)2＋(b－d)2＝1.
②
由①②得2ac＋2bd＝1.
∴|z1＋z2|＝
＝＝.
法二：设O为坐标原点，
z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴△OAB是边长为1的正三角形，
∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，
∴|z1＋z2|＝|OC|
＝＝.
[典例] M＝{z||z＋1|＝1}，N＝{z||z＋i|＝|z－i|}，则M∩N＝________.
[解析] 利用复数的几何意义解决问题．在复平面内，|z＋1|＝1的几何意义是以点(－1,0)为圆心，以1为半径的圆．|z＋i|＝|z－i|的几何意义是到点A(0,1)和点B(0，－1)距离相等的点的集合，是线段AB的垂直平分线，也就是x轴．M∩N的几何意义是x轴与圆的公共点对应的复数．故z＝0或z＝－2.
∴M∩N＝{0，－2}．
[答案] {0，－2}
[易错防范]
1．本题若混淆复数运算与代数运算，则会错误地将集合M和N化简为M＝{z|z＋1＝±1}，N＝{z|z＋i＝±(z－i)}，从而造成解题错误．
2．在复数运算中，若z＝a＋bi，则|z|＝.要注意与实数运算中的绝对值运算的区别．
[成功破障]
已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝________.
解析：法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则|z|＝，
代入方程得a＋bi＋＝2＋8i，
∴
解得∴z＝－15＋8i.
法二：原式可化为z＝2－|z|＋8i，
∵|z|∈R，∴2－|z|是z的实部，
于是|z|＝，
即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，∴|z|＝17.
代入z＝2－|z|＋8i得z＝－15＋8i.
答案：－15＋8i
[随堂即时演练]
1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于( )
A．－1＋i
B．1－i
C．i
D．－i
解析：选A 原式＝(1－2)＋(－1－1＋3)i＝－1＋i.
2．在复平面内，，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则对应的复数为( )
A．－1－5i
B．－1＋5i
C．3－4i
D．3＋4i
解析：选A ＝－＝(－2－3i)－(－1＋2i)＝－1－5i.
3．实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy的值是________．
解析：由题意得x＋y＋(x－y)i＝2，
∴∴∴xy＝1.
答案：1
4．已知z是复数，|z|＝3且z＋3i是纯虚数，则z＝________.
解析：设z＝a＋bi，则a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i是纯虚数，
∴a＝0，b＋3≠0.又∵|z|＝3，∴b＝3，∴z＝3i.
答案：3i
5．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2＝13－2i，求z1，z2.
解：∵z＝z1－z2
＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]
＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
又∵z＝13－2i，且x，y∈R，
∴解得
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.
[课时达标检测]
一、选择题
1．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则|z1＋z2|＝( )
A．1
B.
C．2
D．3
解析：选B 由图象可知z1＝－2－2i，z2＝i，
所以z1＋z2＝－2－i，|z1＋z2|＝.
2．设f(z)＝z，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于( )
A．1－3i
B．－2＋11i
C．－2＋i
D．5＋5i
解析：选D ∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，
∴z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i.
又∵f(z)＝z，
∴f(z1－z2)＝z1－z2＝5＋5i.
3．在复平面内的平行四边形ABCD中，对应的复数是6＋8i，对应的复数是－4＋6i，则对应的复数是( )
A．2＋14i
B．1＋7i
C．2－14i
D．－1－7i
解析：选D 依据向量的平行四边形法则可得＋＝，－＝，由对应的复数是6＋8i，对应的复数是－4＋6i，依据复数加减法的几何意义可得对应的复数是－1－7i.
4．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为( )
A．2
B．4
C．4
D．16
解析：选C 由|z－4i|＝|z＋2|得
|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，
∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，
即x＋2y＝3，
∴2x＋4y＝2x＋22y≥2
＝2＝4，
当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值4.
5．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的( )
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
解析：选A 设复数z与复平面内的点Z相对应，由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3及|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知，点Z即为△ABC的外心．
二、填空题
6．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝________.
解析：∵z1＋z2＝5－6i，
∴(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i，
∴即
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
答案：－1＋10i
7．已知|z|＝，且z－2＋4i为纯虚数，则复数z＝________.
解析：设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，
则z－2＋4i＝(x－2)＋(y＋4)i.
由题意知
∴或
∴z＝2±i.
答案：2±i
8．已知复数z1＝1＋3i，z2＝3＋i(i为虚数单位)．则在复平面内z1－z2对应的点在第________象限．
解析：因为z1－z2＝－2＋2i，所以对应点(－2,2)在第二象限．
答案：二
三、解答题
9.如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0,3＋2i，－2＋4i.求：
(1)向量对应的复数；
(2)向量对应的复数；
(3)向量对应的复数．
解：(1)因为＝－，
所以向量对应的复数为－3－2i.
(2)因为＝－，
所以向量对应的复数为
(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为＝＋，
所以向量对应的复数为
(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
10．已知复平面内的A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos
2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数是z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值．
解：(1)∵点A，B对应的复数分别是
z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos
2θ，
∴点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，
B(－cos2θ，cos
2θ)，
∴＝(－cos2θ，cos
2θ)－(sin2θ，1)
＝(－cos2θ－sin2θ，cos
2θ－1)
＝(－1，－2sin2θ)．
∴对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i.
(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，
代入y＝x，
得－2sin2θ＝－，即sin2θ＝，
∴sin
θ＝±.
又∵θ∈(0，π)，
∴sin
θ＝，
∴θ＝或.3．2.2 复数代数形式的乘除运算
复数的乘法
[提出问题]
问题1：两个实数可以相乘，两个复数可以相乘吗？
提示：可以．
问题2：复数代数形式的乘法与多项式的乘法相类似吗？
提示：类似．
问题3：复数的乘法满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律吗？
提示：满足．
[导入新知]
1．复数的乘法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i(a，b，c，d∈R)．
2．复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有：
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
[化解疑难]
对复数乘法的理解
(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同，即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．
(2)两个复数的积仍然是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．
复数的除法
[提出问题]
问题1：复数z1＝a＋bi与z2＝a－bi(a，b∈R)有什么关系？
提示：两复数实部相等，虚部互为相反数．
问题2：试求z1＝a＋bi，z2＝a－bi(a，b∈R)的积．
提示：z1z2＝a2＋b2，积为实数．
问题3：如何规定两复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)相除？
提示：通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子和分母都乘(c－di)，化简后可得结果．
即＝
＝
＝＋i(c＋di≠0)．
[导入新知]
1．共轭复数的概念
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数z的共轭复数为，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
2．复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则＝＝＋i(c＋di≠0)．
[化解疑难]
对复数除法的理解
(1)复数的除法实质上就是分母实数化的过程，这与实数的除法有所不同．
(2)复数除法的法则形式复杂，难于记忆．所以有关复数的除法运算，只要记住利用分母的共轭复数对分母进行“实数化”，然后把结果再写成一个复数a＋bi(a，b∈R)的形式即可．
复数的乘除运算
[例1] 计算：
(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；
(2)(1＋i)；
(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)；
(4)－.
[解] (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)
＝1－i2＋(－1＋i)
＝2－1＋i＝1＋i.
(2)(1＋i)
＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝＋i
＝－＋i.
(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)
＝
＝
＝
＝＋i.
(4)法一：－
＝
＝＝＝2i.
法二：－＝－
＝i＋i＝2i.
[类题通法]
复数乘除运算的常用技巧
(1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．
(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．
[活学活用]
(1)已知复数z1＝4＋8i，z2＝6＋9i，求复数(z1－z2)i的实部与虚部．
(2)已知z是纯虚数，是实数，求z.
解：(1)由题意得z1－z2＝(4＋8i)－(6＋9i)＝(4－6)＋(8i－9i)＝－2－i，则(z1－z2)i＝(－2－i)i＝－2i－i2＝1－2i.于是复数(z1－z2)i的实部是1，虚部是－2.
(2)设纯虚数z＝bi(b∈R)，
则＝＝
＝.
由于是实数，所以b＋2＝0，即b＝－2，所以z＝－2i.
共轭复数
[例2] (1)(山东高考)若复数z＝，其中i为虚数单位，则＝( )
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
(2)(全国丙卷)若z＝1＋2i，则＝( )
A．1
B．－1
C．i
D．－i
[解析] (1)∵z＝＝＝＝1＋i，∴＝1－i.
(2)∵z＝1＋2i，则＝1－2i，∴z
＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则＝＝i.故选C.
[答案] (1)B (2)C
[类题通法]
共轭复数的求解与应用
(1)若复数z的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出，再进行复数的四则运算．必要时，需通过复数的运算先确定出复数z的代数形式，再根据共轭复数的定义求.
(2)共轭复数应用的另一种常见题型是：已知关于z和的方程，而复数z的代数形式未知，求z.解此类题的常规思路为：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．
[活学活用]
已知复数z＝1＋i，复数z的共轭复数＝1－i，求实数a，b使az＋2b＝(a＋2z)2.
解：∵z＝1＋i，＝1－i，
∴az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i，
(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i
＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.
∵a，b都是实数，
∴由az＋2b＝(a＋2z)2，得
解得或
复数运算的综合应用
[例3] 已知z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1.
(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；
(2)若ω＝，求证：ω为纯虚数．
[解] 设z1＝a＋bi(a，b∈R，且b≠0)．
(1)z2＝z1＋＝a＋bi＋＝＋i.
因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，所以z2＝2a.
由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－≤a≤，即z1的实部的取值范围是.
(2)ω＝＝＝＝－i.
因为a∈，b≠0，所以ω为纯虚数．
[类题通法]
解决双复数问题的方法
解决此类双复数问题的关键是设出已知条件较多的一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)，注意题目对a，b取值的限制，然后用a，b表示出另外的复数，进而转化求解．此类题目难度较大，除需正确进行复数的四则运算外，还需掌握复数的基本概念及复数模的定义．
[活学活用]
已知z，ω为复数，(1＋3i)z为实数，ω＝，且|ω|＝5，求ω.
解：设ω＝x＋yi(x，y∈R)，
由ω＝，得z＝ω(2＋i)＝(x＋yi)(2＋i)．
依题意，得(1＋3i)z＝(1＋3i)(x＋yi)(2＋i)＝(－x－7y)＋(7x－y)i，
∴7x－y＝0. ①
又∵|ω|＝5，
∴x2＋y2＝50. ②
由①②得或
∴ω＝1＋7i或ω＝－1－7i.
[典例] 已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实数根，则实数k的值为________．
[解析] 设x0是方程的实数根，代入方程并整理得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
由复数相等的充要条件得
解得或
所以k的值为－2或2.
[答案] ±2
[易错防范]
1．求解本题易出现如下错误：因为方程有实数根，所以Δ＝(k＋2i)2－4(2＋ki)≥0，解得k≥2或k≤－2.需注意由于虚数单位的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根．
2．复数范围内解方程的一般思路是：依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．
[成功破障]
在复数范围内方程x2－5|x|＋6＝0的解的个数为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：选C 设x＝a＋bi(a，b∈R)，
则原方程可化为(a＋bi)2－5＋6＝0，
即
解得或或
[随堂即时演练]
1．(全国卷Ⅱ)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：选B ∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i，
∴4a＋(a2－4)i＝－4i.
∴
解得a＝0.
2．(湖北高考)在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选D z＝＝＝1＋i的共轭复数为1－i，对应的点为(1，－1)，在第四象限．
3．已知复数z1＝(2－i)i，复数z2＝a＋3i(a∈R)，若复数z2＝kz1(k∈R)，则a＝________.
解析：依题意得z1＝1＋2i，由z2＝kz1得a＋3i＝k(1＋2i)，即有故a＝.
答案：
4．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
解析：设＝bi(b∈R且b≠0)，所以z1＝bi·z2，
即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi.所以
所以a＝.
答案：
5．计算：
(1)(1－i)(1＋i)；
(2)；
(3)(2－i)2.
解：(1)法一：(1－i)(1＋i)
＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝＋i＋i＋i2
＝－1＋i.
法二：原式＝(1－i)(1＋i)
＝(1－i2)
＝2
＝－1＋i.
(2)＝
＝＝
＝＝i.
(3)(2－i)2＝(2－i)(2－i)
＝4－4i＋i2＝3－4i.
[课时达标检测]
一、选择题
1．(全国乙卷)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝( )
A．－3
B．－2
C．2
D．3
解析：选A 由题意知(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，则a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故选A.
2．已知复数z＝1－i，则＝( )
A．2i
B．－2i
C．2
D．－2
解析：选B 法一：因为z＝1－i，
所以＝＝＝－2i.
法二：由已知得z－1＝－i，
而＝＝
＝＝－2i.
3．若i为虚数单位，如图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是( )
A．E
B．F
C．G
D．H
解析：选D 由题图可得z＝3＋i，
所以＝＝＝＝2－i，
则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．
4．(山东高考)若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．1＋2i
B．1－2i
C．－1＋2i
D．－1－2i
解析：选B 法一 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则2z＋＝2a＋2bi＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i.由复数相等的定义，得3a＝3，b＝－2，解得a＝1，b＝－2，∴z＝1－2i.
法二 由已知条件2z＋＝3－2i①，得2＋z＝3＋2i②，解①②组成的关于z，的方程组，得z＝1－2i.故选B.
5．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于( )
A.
B.
C．1
D．2
解析：选A ∵z＝
＝＝
＝＝
＝－＋，
∴＝－－，
∴z·＝.
二、填空题
6．若z＝－，则z2
012＋z102＝________.
解析：z2＝2＝－i.
z2
012＋z102＝(－i)1
006＋(－i)51
＝(－i)1
004·(－i)2＋(－i)48·(－i)3
＝－1＋i.
答案：－1＋i
7．设x，y为实数，且＋＝，则x＋y＝________.
解析：＋＝＋
＝＋i，
而＝＝＋i，
所以＋＝且＋＝，
解得x＝－1，y＝5，所以x＋y＝4.
答案：4
8．设z2＝z1－i1(其中1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为________．
解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，
则z2＝z1－i1＝a＋bi－i(a－bi)＝(a－b)－(a－b)i.
因为z2的实部是－1，即a－b＝－1，
所以z2的虚部为1.
答案：1
三、解答题
9．计算：(1)；
(2).
解：(1)＝
＝＝＝＋i.
(2)＝
＝＝
＝－－i.
10．已知z1＝1－i，z2＝1－3i，z3＝1－2i，且－＝.
(1)求实数x，y的值；
(2)求·.
解：(1)由已知－＝，
得－＝，
即＋i＝＋i.
∵x，y∈R，
∴
解得
(2)由(1)知＝1＋i，＝1＋3i，
则·＝(1＋i)(1＋3i)＝1＋4i＋3i2＝－2＋4i.2．2.2 反证法
反证法
[提出问题]
著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友们一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”
问题1：王戎的论述运用了什么推理思想？
提示：运用了反证法的思想．
问题2：反证法解题的实质是什么？
提示：否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确．
[导入新知]
1．反证法
假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．
2．反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．
[化解疑难]
1．反证法实质
用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用以下框图表示：
―→―→―→
2．反证法与逆否命题证明的区别
反证法的理论依据是p与綈p真假性相反，通过证明綈p为假命题说明p为真命题，证明过程中要出现矛盾；逆否命题证明的理论依据是“p q”与“綈q 綈p”是等价命题，通过证明命题“綈q 綈p”为真命题来说明命题“p q”为真命题，证明过程不出现矛盾．
用反证法证明否定性命题
[例1] 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．
求证：f(x)＝0无整数根．
[证明] 假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数，
∴n，an＋b均为奇数．又∵a＋b为偶数，
∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，
∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．
∴f(x)＝0无整数根．
[类题通法]
1．用反证法证明否定性命题的适用类型
一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明．
2．反证法的一般步骤
用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．这个过程包括下面三个步骤：
(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；
(2)归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；
(3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立．
即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬——存真．
[活学活用]
设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1.
求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
证明：假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.
因为ad－bc＝1，
所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，
即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0，
所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，
则a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾．
故假设不成立，
所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
用反证法证明唯一性命题
[例2] 已知a≠0，求证关于x的方程ax＝b有且只有一个实根．
[证明] 由于a≠0，
因此方程ax＝b至少有一个实根x＝.
如果方程不只有一个实根，不妨假设x1，x2是它的不同的两个根，
从而有ax1＝b，ax2＝b，
两式作差得a(x1－x2)＝0.
因为x1≠x2，从而a＝0，
这与已知条件a≠0矛盾，从而假设不成立，原命题成立．
即当a≠0时，关于x的方程ax＝b有且只有一个实根．
[类题通法]
用反证法证明唯一性命题的适用类型
(1)当证明结论是“有且只有”“只有一个”“唯一”等形式的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明唯一性比较简单．
(2)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方面，即存在性问题和唯一性问题两个方面．
[活学活用]
用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．
证明：由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．
假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.
因为b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，
所以假设错误，原命题成立.
用反证法证明“至少”“至多”等存在性命题
[例3] 已知a1＋a2＋a3＋a4＞100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.
[证明] 假设a1，a2，a3，a4均不大于25，
即a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，
则a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100，
这与已知a1＋a2＋a3＋a4＞100矛盾，
故假设错误．
所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.
[类题通法]
常见“结论词”与“反设词”
结论词
至少有一个
至多有一个
至少有n个
至多有n个
反设词
一个也没有(不存在)
至少有两个
至多有(n－1)个
至少有(n＋1)个
结论词
只有一个
对所有x成立
对任意x不成立
反设词
没有或至少有两个
存在某个x不成立
存在某个x成立
结论词
都是
一定是
p或q
p且q
反设词
不都是
不一定是
綈p且綈q
綈p或綈q
[活学活用]
已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数．求证：函数y＝f(x)在区间(a，b)上至多有一个零点．
证明：假设函数y＝f(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，设x1，x2(x1≠x2)为函数y＝f(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1＜x2，则f(x1)＝f(x2)＝0.
因为函数y＝f(x)在区间(a，b)上为增函数，
x1，x2∈(a，b)且x1＜x2，
∴f(x1)＜f(x2)，与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，
假设不成立，故原命题正确．
3．反证法的应用
[典例] (12分)如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．
用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．
[解题流程]
[规范解答]
假设ME与BN共面，则AB 平面MBEN，
且平面MBEN与平面DCEF交于EN.
由已知两正方形不共面，故AB 平面DCEF.(4分)
又因为AB∥CD，所以AB∥平面DCEF，
而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，
所以AB∥EN.(8分)
又因为AB∥CD∥EF，
所以EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，
故假设不成立，所以ME与BN不共面，
它们是异面直线．(12分)
[名师批注]
利用反证法证明问题，必须从假设出发，即本题必须以ME与BN共面为条件证明．此处极易忽视，造成解题错误
极易忽视此条件，直接由AB∥平面DCEF得出AB∥EN而失分
必须由矛盾否定假设，而肯定原命题正确
[活学活用]
在同一平面内，设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0，证明l1与l2相交．
证明：假设直线l1与l2不相交，则l1与l2平行，由直线l1与l2的方程可知实数k1，k2分别为两直线的斜率，则有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，消去k1，得k＋2＝0，k2无实数解，这与已知k2为实数矛盾，所以k1≠k2，即l1与l2相交．
[随堂即时演练]
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用( )
①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．
A．①②
B．②③
C．①②③
D．①②④
解析：选C 除原结论不能作为推理条件外其余均可．
2．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是( )
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a不能被5整除
D．a，b有1个不能被5整除
解析：选B 用反证法只否定结论即可，而“至少有1个”的反面是“1个也没有”，故B正确．
3．下列命题适合用反证法证明的是________(填序号)．
①已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)，证明：方程f(x)＝0没有负实数根；
②若x，y∈R，x＞0，y＞0，且x＋y＞2，求证：和中至少有一个小于2；
③关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的；
④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．
解析：①是“否定”型命题；②是“至少”型命题；③是“唯一”型命题，且题中条件较少；④中条件较少不足以直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明．
答案：①②③④
4．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b α，直线c β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．
解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．
答案：b与c平行或相交
5．若下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围．
解：若三个方程均无实根，
则
－＜a＜－1.
设A＝，则 RA＝，
故所求实数a的取值范围是.
[课时达标检测]
一、选择题
1．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至少有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
解析：选B “至少有一个”即“全部中最少有一个”．
2．用反证法证明“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为( )
A．a，b，c都是偶数
B．a，b，c都是奇数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
解析：选D 自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”．
3．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容应是( )
A.＝成立
B.＜成立
C.＝或＜成立
D.＝且＜成立
解析：选C “大于”的否定为“小于或等于”．
4.“已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B<90°.”下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
(1)所以∠A＋∠B＋∠C>180°，这与三角形内角和定理相矛盾；
(2)所以∠B<90°；
(3)假设∠B≥90°；
(4)那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序应是( )
A．(1)(2)(3)(4)
B．(4)(3)(2)(1)
C．(3)(4)(1)(2)
D．(3)(4)(2)(1)
解析：选C 根据反证法证题的步骤可知选C.
5．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且a＞b，那么两个数列中序号与数值均相同的项有( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．无穷多个
解析：选A 假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意a＞b，n∈N
，则恒有an＞bn，从而an＋2＞bn＋1恒成立，∴不存在n使an＝bn.
二、填空题
6．△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC内的一点，∠APB＞∠APC，求证：∠BAP＜∠CAP，用反证法证明时的假设为________________．
解析：反证法对结论的否定是全面否定，∠BAP＜∠CAP的对立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP.
答案：∠BAP＝∠CAP或∠BAP＞∠CAP
7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．
②所以一个三角形不能有两个直角．
③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.
上述步骤的正确顺序为________．
解析：由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②.
答案：③①②
8．和两条异面直线AB，CD都相交的两条直线AC，BD的位置关系是________．
解析：假设AC，BD共面，均在平面α内，
即AC α，BD α，则A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，
∴AB α，CD α，这与AB，CD异面矛盾，
∴AC，BD异面．
答案：异面
三、解答题
9．已知x，y>0，且x＋y>2.求证：，中至少有一个小于2.
证明：假设，都不小于2，
即≥2，≥2.
∵x>0，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x，
∴2＋x＋y≥2(x＋y)，
即x＋y≤2，与已知x＋y>2矛盾，
∴，中至少有一个小于2.
10．已知f(x)＝ax＋(a＞1)，证明方程f(x)＝0没有负数根．
证明：假设x0是f(x)＝0的负数根，
则x0＜0且x0≠－1且ax0＝－，
由0＜ax0＜1 0＜－＜1，
解得＜x0＜2，这与x0＜0矛盾，
所以假设不成立，
故方程f(x)＝0没有负数根．2．1.1 合情推理
归纳推理
[提出问题]
如图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME 7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图乙中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn的长度构成数列{an}．
问题1：试计算a1，a2，a3，a4的值．
提示：由图知：a1＝OA1＝1，
a2＝OA2＝＝＝，
a3＝OA3＝＝＝，
a4＝OA4＝＝＝＝2.
问题2：由问题1中的结果，你能猜想出数列{an}的通项公式an吗？
提示：能猜想出an＝(n∈N
)．
问题3：直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，你能猜想出什么结论？
提示：所有三角形的内角和都是180°.
问题4：以上两个推理有什么共同特点？
提示：都是由个别事实推出一般结论．
[导入新知]
1．归纳推理的定义
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．
2．归纳推理的特征
归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
[化解疑难]
归纳推理的特点
(1)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．
(2)一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠.
类比推理和合情推理
[提出问题]
问题1：在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？
提示：四面体中任意三个面的面积之和大于第四个面的面积．
问题2：三角形的面积等于底边与高乘积的，那么在四面体中，如何表示四面体的体积？
提示：四面体的体积等于底面积与高乘积的.
问题3：以上两个推理有什么共同特点？
提示：根据三角形的特征，推出四面体的特征．
问题4：以上两个推理是归纳推理吗？
提示：不是．归纳推理是从特殊到一般的推理，而以上两个推理是从特殊到特殊的推理．
[导入新知]
1．类比推理的定义
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理．
2．类比推理的特征
类比推理是由特殊到特殊的推理．
3．合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，它们统称为合情推理．
[化解疑难]
对类比推理的定义的理解
(1)类比推理是两类对象特征之间的推理．
(2)对象的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互联系和相互制约的．如果两个对象有些性质相似或相同，那么它们另一些性质也可能相似或相同．
(3)在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比提出新问题和获得新发现．
数、式中的归纳推理
[例1] 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且Sn＋＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．
[解] 当n＝1时，S1＝a1＝－；
当n＝2时，＝－2－S1＝－，
所以S2＝－；
当n＝3时，＝－2－S2＝－，
所以S3＝－；
当n＝4时，＝－2－S3＝－，
所以S4＝－.
猜想：Sn＝－，n∈N
.
[类题通法]
归纳推理的一般步骤
归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．该过程包括两个步骤：
(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．
[活学活用]
(1)(陕西高考)观察分析下表中的数据：
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．
(2)将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
…
按照以上排列的规律，则第n(n≥3)行从左向右数第3个数为________．
解析：(1)观察表中数据，并计算F＋V分别为11,12,14，又其对应E分别为9,10,12，
容易观察并猜想F＋V－E＝2.
(2)前(n－1)行共有正整数[1＋2＋…＋(n－1)]个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第个，即为.
答案：(1)F＋V－E＝2 (2)
图形中的归纳推理
[例2] (1)有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )
A．26
B．31
C．32
D．36
(2)把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是________．
[解析] (1)法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：
图案
1
2
3
…
个数
6
11
16
…
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.
法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.故选B.
(2)第七个三角形数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.
答案：(1)B (2)28
[类题通法]
解决图形中归纳推理的方法
解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手：
(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．
(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．
[活学活用]
某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图．
n级分形图中共有________条线段．
解析：分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，
由题图知，一级分形图有3＝(3×2－3)条线段，
二级分形图有9＝(3×22－3)条线段，
三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，
按此规律n级分形图中的线段条数an＝3×2n－3.
答案：3×2n－3
类比推理
[例3] 设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．
[解析] 由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列．下面证明该结论的正确性：
设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，
则T4＝bq6，T8＝bq1＋2＋…＋7＝bq28，
T12＝bq1＋2＋…＋11＝bq66，
T16＝bq1＋2＋…＋15＝bq120，
∴＝bq22，＝bq38，
＝bq54，
即2＝·T4，2＝·，
故T4，，，成等比数列．
答案：
[类题通法]
类比推理的一般步骤
类比推理的思维过程大致是：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论．
该过程包括两个步骤：
(1)找出两类对象之间的相似性或一致性；
(2)用一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
[活学活用]
如图所示，在△ABC中，a＝b·cos
C＋c·cos
B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，写出对空间四面体性质的猜想．
解：如图所示，在四面体P ABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，
α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
猜想S＝S1·cos
α＋S2·cos
β＋S3·cos
γ.
[典例] 三角形与四面体有下列相似性质：
(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形．
(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形．
通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，并填写下表：
三角形
四面体
三角形的两边之和大于第三边
三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边
三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心
[解] 三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应四面体的面，即平面的线类比到空间为面．三角形的中位线对应四面体的中截面(以任意三条棱的中点为顶点的三角形)，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球．具体见下表：
三角形
四面体
三角形的两边之和大于第三边
四面体的三个面的面积之和大于第四个面的面积
三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边
四面体的中截面的面积等于第四个面的面积的，且平行于第四个面
三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心
四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心
[多维探究]
1．解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下：
平面图形
点
线
边长
面积
线线角
三角形
平行四边形
圆
空间图形
线
面
面积
体积
二面角
四面体
平行六面体
球
2．常见的从平面到空间的类比有以下几种情况，要注意掌握：
(1)三角形类比到三棱锥
例：在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A BCD的三个侧面△ABC，△ACD，△ADB两两相互垂直，则______________________________”．
解析：“直角三角形的直角边长、斜边长”类比为“直三棱锥的侧面积、底面积”．
答案：S＋S＋S＝S
(2)平行四边形类比到平行六面体
例：平面几何中，有结论：“平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和”，类比这一结论，将其拓展到空间，可得到结论：“_________________________”．
解析：“平行四边形的边、对角线”类比为“平行六面体的棱、对角线”．
答案：平行六面体四条对角线的平方和等于十二条棱的平方和
(3)圆类比到球
例：半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr， ①
①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子②：________________________，②式可以用语言叙述为：________________________.
解析：通过给出的两个量之间的关系，类比球的体积公式和球的表面积公式，我们不难发现′＝4πR2，从而使问题解决．
答案：′＝4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数
(4)平面解析几何类比到空间解析几何
例：类比平面内一点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离公式，猜想空间中一点P(x0，y0，z0)到平面Ax＋By＋Cz＋D＝0(A2＋B2＋C2≠0)的距离公式为d＝______________________.
解析：类比平面内点到直线的距离公式
d＝，
易知答案应填.
答案：
[随堂即时演练]
1．平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到( )
A．空间中平行于同一直线的两直线平行
B．空间中平行于同一平面的两直线平行
C．空间中平行于同一直线的两平面平行
D．空间中平行于同一平面的两平面平行
解析：选D 利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比．
2．根据给出的等式猜测123
456×9＋7等于( )
1×9＋2＝11，
12×9＋3＝111，
123×9＋4＝1
111，
1
234×9＋5＝11
111，
12
345×9＋6＝111
111，
…
A．1
111
110
B．1
111
111
C．1
111
112
D．1
111
113
解析：选B 由题中给出的等式猜测，应是各位数的数字都是1的七位数，即1
111
111.
3．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．
解析：＝＝·＝×＝.
答案：1∶8
4．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为____________________．
解析：观察等式，发现等式左边各指数幂的指数均为3，底数之和等于右边指数幂的底数，右边指数幂的指数为2，故猜想第五个等式应为13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.
答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
5．已知结论：“在三边长都相等的△ABC中，若D是BC的中点，G是△ABC外接圆的圆心，则＝2.”若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则＝k(k为定值)．”求k的值．
解：如图，易知球心O在线段AM上，不妨设四面体ABCD的边长为1，外接球的半径为R，
则BM＝×＝，
AM＝＝，
R＝，解得R＝.
于是，k＝＝＝3.
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列类比推理恰当的是( )
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin
x＋sin
y
C．把(ab)n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn
D．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c
答案：D
2．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( )
A．a1a2a3…a9＝29
B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9
D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析：选D 等比数列中的积运算类比等差数列中的和运算，从而有a1＋a2＋…＋a9＝2＋2＋…＋＝2×9.
3．观察式子：
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，…，
则可归纳出第n－1个式子为( )
A．1＋＋＋…＋<
B．1＋＋＋…＋<
C．1＋＋＋…＋<
D．1＋＋＋…＋<
解析：选C 观察可得第n－1个式子为：
不等式的左边为的前n项的和，
右边为分式.
4．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．289
B．1
024
C．1
225
D．1
378
解析：选C 记三角形数构成的数列为{an}，
则a1＝1，a2＝3＝1＋2，
a3＝6＝1＋2＋3，
a4＝10＝1＋2＋3＋4，
可得通项公式为
an＝1＋2＋3＋…＋n＝.
同理可得正方形数构成的数列的通项公式为bn＝n2.
将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n都为正整数的只有1
225.
5．将正整数排成下表：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 13 14 15 16
…
…
则在表中数字2
013出现在( )
A．第44行第78列
B．第45行第78列
C．第44行第77列
D．第45行第77列
解析：选D 第n行有2n－1个数字，
前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
∵442＝1
936,452＝2
025，
且1
936＜2
013＜2
025，
∴2
013在第45行．
又2
025－2
013＝12，
且第45行有2×45－1＝89个数字，
∴2
013在第89－12＝77列．
二、填空题
6．设函数f(x)＝(x＞0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝，
f2(x)＝f(f1(x))＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝，
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N
且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________________________.
解析：由已知可归纳如下：
f1(x)＝，
f2(x)＝，
f3(x)＝，
f4(x)＝，
…，
fn(x)＝.
答案：
7．在平面直角坐标系xOy中，二元一次方程Ax＋By＝0(A，B不同时为0)表示过原点的直线．类似地：在空间直角坐标系Oxyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示_________________．
解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系Oxyz中，三元一次方程Ax＋By＋Cz＝0(A，B，C不同时为0)表示过原点的平面．
答案：过原点的平面
8．观察下列等式：
23＝3＋5，
33＝7＋9＋11，
43＝13＋15＋17＋19，
53＝21＋23＋25＋27＋29，…，
若类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m等于________．
解析：经观察，等式右边的数组成数列：3,5,7,9,11，…，所以由3＋(n－1)×2＝109得n＝54，再由等式右边的数的个数为2,3,4，…，且分别等于左边数的底数，
可得2＋3＋4＋…＋m＝54，
即＝54，解得m＝10.
答案：10
三、解答题
9．如图所示为m行m＋1列的士兵方阵(m∈N
，m≥2)．
(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；
(2)若把(1)中的数列记为{an}，归纳该数列的通项公式；
(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；
(4)已知an＝9
900，an是数列第几项？
解：(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….
(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，
所以猜想an＝(n＋1)(n＋2)，n∈N
.
(3)a10＝11×12＝132.
a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.
(4)令(n＋1)(n＋2)＝9
900，
所以n＝98，
即an是数列的第98项，此时方阵为99行100列．
10．已知椭圆具有以下性质：已知M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1(a＞0，b＞0)写出类似的性质，并加以证明．
解：类似的性质为：
已知M，N是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上关于原点对称的两个点，
点P是双曲线上任意一点，
若直线PM，PN的斜率都存在，
并记为kPM，kPN，
那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
证明如下：设点M，P的坐标为(m，n)，(x，y)，
则N点的坐标为(－m，－n)．
∵点M(m，n)在已知双曲线－＝1上，
∴－＝1，得n2＝m2－b2.
同理y2＝x2－b2.
∴y2－n2＝(x2－m2)．
则kPM·kPN＝·＝
＝·＝(定值)．
∴kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．4.1
程图
流
程
图
[提出问题]
问题1：在《数学必修3》中，我们学习了程序框图，它由哪些基本要素组成？
提示：算法的输入、输出、条件、循环等基本单元构成了程序框图的基本要素，基本要素之间的关系由流向线来建立．
问题2：下图是图书借阅流程：
此图是程序框图吗？
提示：不是，是流程图．
[导入新知]
1．流程图的概念
由一些图形符号和文字说明构成的图示称为流程图．流程图常常用来表示一些动态过程，通常会有一个“起点”，一个或多个“终点”．
2．工序流程图
用于描述工业生产的流程图通常称为工序流程图．
[化疑解难]
流程图的特点
(1)流程图通常用来描述一个过程性的活动．活动的每一个明确的步骤构成流程图的一个基本单元，基本单元之间通过流程线产生联系．基本单元中的内容要根据需要确定，可在基本单元中具体说明，也可为基本单元设置若干子单元．
流程图由基本单元和流程线构成．
(2)通常，人们习惯按照从左到右、从上到下的顺序阅读图示．所以，流程图一般按照从左到右、从上到下的顺序来画．
(3)流程图可以比较直观地表达数学计算或证明过程中的主要思路．
画算法的程序框图
[例1] 已知函数f(x)＝写出求该函数的函数值的算法，并画出程序框图．
[解] 第一步 输入x.
第二步 判断x≥0是否成立，若成立，则y＝2－5x；否则，y＝3x－1.
第三步 输出y.
程序框图为：
[类题通法]
程序框图的画法
画算法的程序框图，一般需要将自然语言描述的算法的每一个步骤分解为若干输入、输出、条件结构、循环结构等基本算法单元，然后根据各单元的逻辑关系，用流程线将这些基本单元连接起来．即基本单元是构成程序框图的基本要素，基本要素之间的关系由流程线建立．
[活学活用]
求两底面半径分别为1和4，高为4的圆台的表面积及体积，写出解决该问题的一个算法，并画出程序框图．
解：算法步骤如下：
第一步 r1＝1，r2＝4，h＝4.
第二步 计算l＝
.
第三步 计算S1＝πr，S2＝πr，S3＝π(r1＋r2)l.
第四步 计算S＝S1＋S2＋S3，V＝(S1＋＋S2)h.
第五步 输出S和V.
该算法的程序框图如下：
流程图的读图问题
[例2] 某地联通公司推出10011电话服务，其中话费查询业务流程如图所示：
如果某人用手机查询该手机卡上的余额，请画出操作的流程图．
[解] 由题意知，查询本机卡上余额，操作步骤如下：
第一步 拨通10011电话．
第二步 按1号键．
第三步 按2号键．
画出流程图如图所示．
―→―→
[类题通法]
解决流程图的读图问题应关注两点
(1)一般按照从左到右、从上到下的顺序进行，弄清各步骤间的连接关系即可．
(2)需注意从同一个基本单元出发是否有两条流程线引出，是否有条件判断等．
[活学活用]
如图所示的工序流程图中，设备采购的下一道工序是( )
A．设备安装
B．土建设计
C．厂房土建
D．工程设计
解析：选A 由工序流程图易知，设备采购的下一道工序是设备安装.
画工序流程图
[例3] 阅读下面乌龙茶的制作工序步骤，并绘制其工序流程图：
首先，通过萎凋散发部分水分，提高叶片韧性，便于后续工序进行．
做青是乌龙茶制作的重要工序．经过做青，叶片边缘细胞受到破坏，发生轻度氧化，呈现红色．叶片中央部分，叶色由暗绿转变为黄绿，即所谓的“绿叶红镶边”．
炒青是承上启下的转折工序．主要是抑制鲜叶中的酶的活性，控制氧化进程，防止叶子继续变红，固定做青形成的品质．
揉捻是塑造外形的一道工序．通过外力作用使叶片揉破变轻，卷转成条，体积缩小，且便于冲泡．
干燥可抑制酶性氧化，蒸发水分和软化叶片，并起热化作用，消除苦涩味，使滋味醇厚．
[解] 第一步 确定工序：乌龙茶的制作工序概括起来可分为萎凋、做青、炒青、揉捻、干燥．
第二步 确定这些工序之间的先后顺序．各工序有着严格的先后顺序，如下：(1)萎凋；(2)做青；(3)炒青；(4)揉捻；(5)干燥．
第三步 画出工序流程图，如图所示：
[类题通法]
工序流程图的画法
(1)从需要管理的任务的总进度着眼，进行合理工作或工序的划分．
(2)明确各工作或工序之间的关系．
(3)根据各工作或各工序所需要的工时进行统筹安排．
(4)开始时流程图可以画得粗疏，然后进行逐步细化．
[活学活用]
高考成绩公布后，考生如果认为公布的高考成绩与本人估算的成绩有误，可以在规定的时间内申
请查分，具体过程如下：
(1)本人填写“查分登记表”，交县(区)招办申请查分，县(区)招办呈交市招办，再报省招办．
(2)省招办复查，无误，则查分工作结束后通知市招办；有误，则具体认定，并改正，也在查分工作结束后通知市招办．
(3)市招办通知县(区)招办，再由县(区)招办通知考生．
试画出该事件的流程图．
解：如图所示．
[典例] 某工程的工序流程图如图，则该工程的总工时为( )
A．9天
B．8天
C．7天
D．6天
[解析] 因为各个不同工序中用时最多的是①→②→④→⑥→⑦，即9天．
[答案] A
[易错防范]
1．若对“工程的总工时”理解有误，则会错误地认为用时为①→③→④→⑤→⑦，即6天，从而误选D.
2．根据各工序之间的关系，有时可将一些工序同时进行，以节省时间．完成一件事，巧妙运用统筹图，适当安排，能够在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，努力争取获得在允许范围内的最佳效益，实现优化．但是，解决此类问题的前提条件是工序完整．
[成功破障]
在华罗庚先生的《统筹方法平话》一文中，有一个“喝茶问题”：假设洗水壶需要2
min，烧开水需要15
min，洗茶壶、杯需要3
min，取、放茶叶需要2
min，沏茶需要1
min.则最快能喝到茶所需要的时间为________
min.
解析：这些工作，有些没有先后顺序，可以同时进行，有些有先后顺序，需要依次完成．最快能喝上茶的流程图如图所示：
上述流程图需要时间18
min.
答案：18
[随堂即时演练]
1．流程图描述动态过程，关于其“终点”的描述中，较为恰当的是( )
A．只允许有一个终点
B．只允许有两个终点
C．可以有一个或多个终点
D．可以没有终点
解析：选C 流程图中的终点可以有一个或多个．
2．下面是求过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率的流程图，则空白处应填( )
A．x1＝x2？
B．x1≠x2
C．y1＝y2
D．y1≠y2
解析：选A 根据过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的斜率的定义知，当x1＝x2时，直线的斜率不存在．
3．(全国丙卷)执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：选B 程序运行如下：
开始a＝4，b＝6，n＝0，s＝0.
第1次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；
第2次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；
第3次循环：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；
第4次循环：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4.
此时，满足条件s>16，退出循环，输出n＝4.
故选B.
4．某工程的工序流程图如图所示．其中流程线上字母表示工序，数字表示工序所需工时(单位：天)，现已知工程总工时为10天，则工序c所需工时为________天．
解析：由工序流程图可知a，c，e，g是一个完整的工程流程，且工序a所需工时为1天，工序e所需工时为4天，工序g所需工时为1天，已知工程总工时为10天，故工序c所需工时为4天．
答案：4
5．某高校大一新生入学注册，分为以下几步：
①交录取通知书；
②交费；
③班级注册；
④领书及宿舍钥匙；
⑤办理伙食卡；
⑥参加年级迎新大会．
请用流程图表示新生入学注册的步骤．
解：流程图如图所示：
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列表示旅客搭乘火车的流程正确的是( )
A．买票→候车→检票→上车
B．候车→买票→检票→上车
C．买票→候车→上车→检票
D．候车→买票→上车→检票
解析：选A 旅客搭乘火车的流程应为“买票→候车→检票→上车”．
2．淮南麻鸭资源的开发与利用的流程图如图所示，则羽绒加工的前一道工序是( )
A．孵化鸭雏
B．商品鸭饲养
C．商品鸭收购、育肥、加工
D．羽绒服加工生产体系
解析：选C 由工序流程图可知，羽绒加工的前一道工序是商品鸭收购、育肥、加工．
3．已知实数x∈[2,30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：选B 由程序框图可知，经过3次循环跳出，设输入的初始值为x＝x0，则输出的x＝2[2(2x0＋1)＋1]＋1≥103，所以8x0≥96，即x0≥12，故输出的x不小于103的概率为P＝＝＝.
4．某工厂加工某种零件的工序流程图如图所示：
按照这个工序流程图，一件成品至少经过几道加工和检验程序( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析：选B 由工序流程图可知加工零件有三道工序：粗加工、返修加工和精加工，每道工序完成都要对产品进行检验，粗加工的合格品进入精加工，不合格品进入返修加工，返修加工的合格品进入精加工，不合格品作为废品处理；精加工的合格品为成品，不合格品为废品．由上可知一件成品至少要经过粗加工、检验、精加工、检验四道程序．
5．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( )
A．26
B．24
C．20
D．19
解析：选D 路线A→D→C→B的最大信息量是3；
路线A→D→E→B的最大信息量为4；
路线A→G→F→B的最大信息量为6；
路线A→G→H→B的最大信息量为6.
故从A到B的最大信息量为3＋4＋6＋6＝19.
二、填空题
6．如图，该程序框图的功能是判断正整数x是奇数还是偶数，则①处应填________．
解析：若r＝1，则x是奇数；若r≠1，则x是偶数，故填r＝1.
答案：r＝1
7．如图是一个程序框图，则输出的k的值是________．
解析：解一元二次不等式k2－5k＋4＞0，得k＜1或k＞4，依据k的初始值和增量，可知当k＝5时跳出循环．故输出的k值是5.
答案：5
8．(江苏高考改编)如图是一个算法流程图，则输出的n的值是________．
解析：该流程图共运行5次，各次2n的值分别是2,4,8,16,32，所以输出的n的值是5.
答案：5
三、解答题
9．下图是某工厂加工笔记本电脑屏幕的流程图：
根据此流程图回答下列问题：
(1)一件屏幕成品可能经过几次加工和检验程序？
(2)哪些环节可能导致废品的产生？二次加工产品的来源是什么？
(3)该流程图的终点是什么？
解：(1)一件屏幕成品经过一次加工、二次加工两道加工程序和检验、最后检验两道检验程序；也可能经过一次加工、返修加工、二次加工三道加工程序和检验、返修检验、最后检验三道检验程序．
(2)返修加工和二次加工可能导致屏幕废品的产生，二次加工产品的来源是一次加工的合格品和返修加工的合格品．
(3)流程图的终点是“屏幕成品”和“屏幕废品”．
10．某市环境保护局信访工作流程如下：
(1)信访办受理来访，一般信访填单转办；重大信访报局长批示后转办．
(2)及时转送有关部门办理、督办，如特殊情况未能按期办理完毕，批准后可延办，办理完毕后反馈．
(3)信访办理情况反馈后，归档备查，定期通报．
据上画出该局信访工作流程图．
解：流程图如图所示．1.1
回归分析的基本思想及其初步应用
线性回归模型
[提出问题]
问题1：由《数学必修3》的知识可知，相关关系中自变量和因变量的关系是确定的吗？
提示：不是．
问题2：利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？
提示：不一定．
[导入新知]
1．回归分析
(1)函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系，即自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系．
(2)由《数学必修3》的知识可知，回归分析是对具有线性相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，回归分析的基本步骤是画出两个变量的散点图，求回归直线方程，并用回归直线方程进行预报．
2．线性回归模型
(1)线性回归模型y＝bx＋a＋e，其中a和
b是模型的未知参数，e称为随机误差．自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量．
(2)在回归方程＝x＋中，
eq
\o(b,\s\up6(^))＝＝，
＝－.
其中＝i，＝i,
(，)称为样本点的中心．
[化解疑难]
对线性回归方程的理解
(1)回归直线方程＝x＋一定经过点(，)．我们把(，)称为样本点的中心，因此，回归直线必过样本点的中心．
(2)线性回归方程＝x＋中的截距和斜率都是通过估计而得来的，存在着误差，这种误差可能导致预测结果的偏差．
(3)当>0时，变量y与x具有正的线性相关关系；当<0时，变量y与x具有负的线性相关关系.
线性回归分析
[提出问题]
问题1：利用什么方法判断所建立的线性模型的拟合效果？
提示：利用残差．
问题2：由散点图知，残差有正、负，如何更好地判断拟合效果？
提示：利用残差平方和，即(yi－i)2越小，R2越大，拟合效果越好．
[导入新知]
1．残差分析
(1)残差
样本点(xn，yn)的随机误差ei＝yi－bxi－a，其估计值为i＝yi－i＝yi－xi－，i称为相应于点(xi，yi)的残差(residual)．(以上i＝1,2，…，n)
(2)残差图
作图时，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或xi数据，或yi数据，这样作出的图形称为残差图．
(3)残差分析
残差分析即通过残差发现原始数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合效果，其步骤为：计算残差——画残差图——在残差图中分析残差特性．
残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高．
2．相关指数
我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：
R2＝1－.
R2越大，残差平方和(yi－i)2越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，残差平方和(yi－i)2越大，即模型的拟合效果越差．在线性回归模型中，R2的取值范围为[0,1]，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，1－R2表示随机误差对于预报变量变化的贡献率．R2越接近于1，表示回归的效果越好．
[化解疑难]
残差分析的注意点
在残差图中，可疑数据的特征表现为：
(1)个别样本点的残差过大，即大多数的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，而个别残差点偏离该区域过于明显，需要确认在采集这些样本点的过程中是否有人为的错误．如果采集数据有错误，那么需要纠正，然后重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，那么需要寻找其他原因．
(2)残差图有异常，即残差呈现不随机的规律性，此时需要考虑所采用的线性回归模型是否合适．
线性回归分析
[例1] 某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
(1)请画出上表数据的散点图(要求：点要描粗)；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为14的同学的判断力．
[解] (1)散点图如图所示：
(2)＝＝9，＝＝4，
(xi－)2＝9＋1＋1＋9＝20，
(xi－)(yi－)＝(－3)×(－2)＋(－1)×(－1)＋1×1＋3×2＝14，
＝＝＝0.7，
＝－＝4－0.7×9＝－2.3，
故线性回归方程为＝0.7x－2.3.
(3)由(2)中线性回归方程知，当x＝14时，
＝0.7×14－2.3＝7.5，
预测记忆力为14的同学的判断力约为7.5.
[类题通法]
求线性回归方程的步骤
(1)列表表示xi，yi；
(2)计算，
，(xi－)(yi－)，(xi－)2；
(3)代入公式计算，的值；
(4)写出回归直线方程．
[活学活用]
某公司利润y(单位：千万元)与销售总额x(单位：千万元)之间有如下对应数据：
x
10
15
17
20
25
28
32
y
1
1.3
1.8
2
2.6
2.7
3.3
(1)画出散点图；
(2)求回归直线方程；
(3)估计销售总额为24千万元时的利润．
解：(1)散点图如图：
(2)列下表，并利用科学计算器进行有关计算.
i
1
2
3
4
5
6
7
xi
10
15
17
20
25
28
32
yi
1
1.3
1.8
2
2.6
2.7
3.3
＝21，＝2.1＝3
447，iyi＝346.3
于是＝≈0.104.
＝2.1－0.104×21＝－0.084，
因此回归直线方程为＝0.104x－0.084.
(3)当x＝24时，y＝0.104×24－0.084＝2.412(千万元)．
残差分析
[例2] 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
零件数x/个
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
加工时间y/分
62
68
75
81
89
95
102
108
115
122
(1)建立零件数为解释变量，加工时间为预报变量的回归模型，并计算残差；
(2)你认为这个模型能较好地刻画零件数和加工时间的关系吗？
[解] (1)根据表中数据画出散点图，如图所示．
由图可看出，这些点在一条直线附近，可以用线性回归模型来拟合数据．计算得加工时间对零件数的线性回归方程为＝0.668x＋54.93.
残差数据如下表：
编号
1
2
3
4
5
残差
0.39
－0.29
0.03
－0.65
0.67
编号
6
7
8
9
10
残差
－0.01
0.31
－0.37
－0.05
0.27
(2)以零件数为横坐标，残差为纵坐标画出残差图如图所示．
由图可知，残差点分布较均匀，即用上述回归模型拟合数据效果很好．但需注意，由残差图可以看出，第4个样本点和第5个样本点的残差比较大，需要确认在采集这两个样本点的过程中是否有人为的错误．
[类题通法]
残差分析应注意的问题
利用残差分析研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据．然后通过图形来分析残差特性，用残差1，2，…，n来判断原始数据中是否存在可疑数据，用R2来刻画模型拟合的效果．
[活学活用]
已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下几组数据：
x
14
16
18
20
22
y
12
10
7
5
3
求y关于x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．
解：＝×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，
＝×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，
＝142＋162＋182＋202＋222＝1
660，
iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，
所以＝
＝＝－1.15，
＝7.4＋1.15×18＝28.1，
所以所求回归直线方程是
＝－1.15x＋28.1.
列出残差表：
yi－i
0
0.3
－0.4
－0.1
0.2
yi－
4.6
2.6
－0.4
－2.4
－4.4
所以(yi－i)2＝0.3，
(yi－)2＝53.2，
R2＝1－≈0.994，
所以回归模型的拟合效果很好．
非线性回归分析
[例3] 在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：
x
0.25
0.5
1
2
4
y
16
12
5
2
1
试建立y与x之间的回归方程．
[解] 作出变量y与x之间的散点图如图所示．
由图可知变量y与x近似地呈反比例函数关系．
设y＝，令t＝，则y＝kt.
由y与x的数据表可得y与t的数据表：
t
4
2
1
0.5
0.25
y
16
12
5
2
1
作出y与t的散点图如图所示．
由图可知y与t近似地呈线性相关关系．
又＝1.55，＝7.2，iyi＝94.25，＝21.312
5，
＝
＝≈4.134
4，
＝－＝7.2－4.134
4×1.55≈0.8，
∴＝4.134
4t＋0.8.
所以y与x之间的回归方程是＝＋0.8.
[类题通法]
非线性回归分析的步骤
非线性回归问题有时并不给出经验公式．这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．其一般步骤为：
[活学活用]
为了研究某种细菌随时间x变化繁殖个数y的变化，收集数据如下
时间x/天
1
2
3
4
5
6
繁殖个数y
6
12
25
49
95
190
(1)用时间作解释变量，繁殖个数作预报变量作出这些数据的散点图；
(2)求y与x之间的回归方程．
解：(1)散点图如图所示：
(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y1＝c1ec2x(c1>0)的周围，则ln
y＝ln
c1＋c2x，于是令z＝ln
y，则
x
1
2
3
4
5
6
z
1.79
2.48
3.22
3.89
4.55
5.25
画出相应的散点图(图略)，可知变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可用线性回归方程来拟合，由表中数据得到线性回归方程为＝0.69x＋1.115，则有＝e0.69x＋1.115.
[典例] 某种产品的广告费支出x(单元：万元)与销售额y(单位：万元)之间有下表关系：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
y与x的线性回归方程为＝6.5x＋17.5，当广告费支出5万元时，随机误差的效应(残差)为( )
A．10
B．20
C．30
D．40
[解析] 因为y与x的线性回归方程为＝6.5x＋17.5，当x＝5时，＝50，当广告费支出5万元时，由表格得y＝60，故随机误差的效应(残差)为60－50＝10.
[答案] A
[易错防范]
1．对残差i不理解，误认为i＝i－yi＝xi－－yi，i＝1,2，…，n.
2．残差平方和越小，说明模型的拟合效果就越好．
[成功破障]
已知方程＝0.85x－82.71是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中x的单位是cm，的单位是kg，那么针对某个体(160,53)的残差是________．
解析：把x＝160代入＝0.85x－82.71，得＝0.85×160－82.71＝53.29，所以残差＝y－＝53－53.29＝－0.29.
答案：－0.29
[随堂即时演练]
1．(湖北高考)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且＝2.347x－6.423；
②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；
③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；
④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
解析：选D ①中y与x负相关而斜率为正，不正确；④中y与x正相关而斜率为负，不正确．
2．关于回归分析，下列说法错误的是( )
A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定
B．线性相关系数可以是正的也可以是负的
C．在回归分析中，如果r2＝1或r＝±1，说明x与y之间完全线性相关
D．样本相关系数r∈(－1,1)
解析：选D 样本的相关系数应满足－1≤r≤1.
3．在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指数R2≈0.85，则表明气温解释了________的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的________，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多．
解析：由相关指数R2的意义可知，R2≈0.85表明气温解释了85%，而随机误差贡献了剩余的15%.
答案：85% 15%
4．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(mg/L)与消光系数计数的结果如下：
尿汞含量x
2
4
6
8
10
消光系数y
64
138
205
285
360
若y与x具有线性相关关系，则回归直线方程是______________________________．
解析：由已知表格中的数据，利用科学计算器进行计算得＝6，＝210.4，＝220，
iyi＝7
790，
所以＝＝36.95，
＝－＝－11.3.
所以回归直线方程为＝－11.3＋36.95x.
答案：＝－11.3＋36.95x
5．某工厂为了对新研究的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x/元
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y/件
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程＝x＋，其中＝－20，＝－；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
解：(1)＝×(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，
＝×(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，
从而＝＋20＝80＋20×8.5＝250，
故＝－20x＋250.
(2)由题意知，工厂获得利润
z＝(x－4)y＝－20x2＋330x－1
000
＝－202＋361.25，
所以当x＝＝8.25时，
zmax＝361.25(元)．
即当该产品的单价定为8.25元时，工厂获得最大利润．
[课时达标检测]
一、选择题
1．(重庆高考)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )
A.＝0.4x＋2.3
B.＝2x－2.4
C.＝－2x＋9.5
D.＝－0.3x＋4.4
解析：选A 依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C、D.且直线必过点(3,3.5)，代入A、B得A正确．
2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R2分别如下表：
甲
乙
丙
丁
R2
0.98
0.78
0.50
0.85
建立的回归模型拟合效果最好的同学是( )
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
解析：选A 相关指数R2越大，表示回归模型拟合效果越好．
3．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71.则下列结论中不正确的是( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1
cm，则其体重约增加0.85
kg
D．若该大学某女生身高为170
cm，则可断定其体重必为58.79
kg
解析：选D 回归方程中x的系数为0.85＞0，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；
由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心(，)，B正确；
依据回归方程中的含义可知，x每变化1个单位，相应变化约0.85个单位，C正确；
用回归方程对总体进行估计不能得到肯定结论，故D不正确．
4．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和(yi－i)2，如下表：
甲
乙
丙
丁
散点图
残差平方和
115
106
124
103
哪位同学的试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高？( )
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
解析：选D 从题中的散点图上来看，丁同学的散点图中的点更加近似在一条直线附近；从残差平方和来看，丁同学的最小，说明拟合精度最高．
5．(福建高考)已知x与y之间的几组数据如下表：
x
1
2
3
4
5
6
y
0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是( )
A.>b′，>a′
B.>b′，C.a′
D.解析：选C 由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y＝2x－2，b′＝2，a′＝－2.
而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，
可求得＝
＝＝，
＝－＝－×＝－，
所以a′.
二、填空题
6．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为_________．
解析：根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1.
答案：1
7．某咖啡厅为了了解热饮的销售量y(个)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：
气温(℃)
18
13
10
－1
销售量(个)
24
34
38
64
由表中数据，得线性回归方程＝－2x＋a.当气温为－4
℃时，预测销售量约为________．
解析：∵＝(18＋13＋10－1)＝10，＝(24＋34＋38＋64)＝40，∴40＝－2×10＋a，∴a＝60，当x＝－4时，y＝－2×(－4)＋60＝68.
答案：68
8．关于x与y有如下数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
为了对x，y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：甲：＝6.5x＋17.5，乙：＝7x＋17，则____________(填“甲”或“乙”)模型拟合的效果更好．
解析：设甲模型的相关指数为R，
则R＝1－＝1－＝0.845；
设乙模型的相关指数为R，
则R＝1－＝0.82.
因为0.845＞0.82，即R＞R，
所以甲模型拟合效果更好．
答案：甲
三、解答题
9．(新课标全国卷Ⅱ)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－.
解：(1)由所给数据计算得
＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
＝×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
(ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
(ti－)(yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
＝＝＝0.5，
＝－＝4.3－0.5×4＝2.3，
所求回归方程为＝0.5t＋2.3.
(2)由(1)知，＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2015年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得＝0.5×9＋2.3＝6.8，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
10．(全国丙卷)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
参考数据：i＝9.32，iyi＝40.17,
＝0.55，≈2.646.
参考公式：相关系数r＝，回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－
.
解：(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得
＝4，(ti－)2＝28,
＝0.55，
(ti－)(yi－)＝iyi－i＝40.17－4×9.32＝2.89，
∴r≈≈0.99.
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
(2)由＝≈1.331及(1)得
＝＝≈0.103.
＝－
≈1.331－0.103×4≈0.92.
所以y关于t的回归方程为＝0.92＋0.10t.
将2016年对应的t＝9代入回归方程得＝0.92＋0.10×9＝1.82.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．4.2
构图
结构图
[提出问题]
问题1：教材第45页的小结中，“本章知识结构”下的图是流程图吗？
提示：不是，是结构图．
问题2：结构图有哪几种表示形式？
提示：“树”形结构图和“环”形结构图两种．
[导入新知]
1．结构图的概念
结构图是一种描述系统结构的图示，通常用来描述一个系统各部分和各环节之间的关系．
结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成．连线通常按照从上到下、从左到右的方向(方向箭头按照箭头所指的方向)表示要素的从属关系或逻辑的先后关系．
2．结构图的分类
(1)“树”形结构图
表达要素之间的从属关系的结构图呈“树”形结构，即构成系统的要素一般至少有一个“上位”或“下位”要素．一般情况下，“下位”要素比“上位”要素更为具体，“上位”要素比“下位”要素更为抽象．“下位”要素越多，结构图越复杂．
“树”形结构图经常用来表示一个组织的构成，即组织结构图一般都呈“树”形结构，这种图比较直观，容易理解，应用广泛．
(2)“环”形结构图
表达逻辑先后关系时通常使用“环”形结构图．在绘制“环”形结构图时，可以先根据逻辑先后关系按照从左到右或从上到下的顺序画出各要素的图框，再用连线或方向箭头适当连接．
“环”形结构图经常用来表示知识的网络关系，即复杂的知识结构图一般都呈“环”形结构，这种图能从多种不同联系的角度来理解各版块知识之间的关系．
[化疑解难]
结构图与流程图的比较
(1)相同点：①它们都是框图．框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示，它能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系，是表达和交流思想的有力工具．
②画结构图与画流程图一样，首先要确定组成结构图的基本要素，然后通过连线来表明各要素之间的关系．
(2)不同点：流程图描述动态过程，结构图刻画系统结构．流程图通常会有一个“起点”，一个或多个“终点”，其基本单元之间由流程线连接；结构图则更多地表现为“树”形结构，其基本要素之间一般为概念上的从属关系或逻辑上的先后关系．
“树”形结构图的画法
[例1] 某期货商会组织结构设置如下：
(1)会员代表大会下设监事会、会长办公会，而会员代表大会与会长办公会共同管辖理事会；
(2)会长办公会下设会长，会长管理秘书长；
(3)秘书长分管秘书处、规范自律委员会、服务推广委员会、发展创新委员会．
据上绘制其组织结构图．
[解] 组织结构图如图所示：
[类题通法]
画“树”形结构图应注意的问题
“树”形结构图多用来表示结构设置的层次、显示事物的分类等．画“树”形结构图时，必须理清一个系统中各部分的层次，首先要确定最高层次的基本单元，可称为“最上位要素”，然后要注意分清它的各下位要素之间是并列关系还是继续分上位、下位要素．
[活学活用]
某中学行政机构关系如下：校长下设两名副校长和校长办公室，两名副校长又各自管理教务处、教科室和保卫科、政教处、总务处，各科室共同管理和服务各班级．试画出该校的行政组织结构图．
解：该校的行政组织结构图如图所示：
“环”形结构图的画法
[例2] 试画出《数学必修3》“算法初步”一章的知识结构图．
[解] 知识结构图如图所示．
[类题通法]
画“环”形结构图应注意的问题
画“环”形结构图时，必须从整体上理清层次，并抓住系统的主要要素进行分解至基本单元，通过把握各要素之间的相互关系，确定各基本单元之间的逻辑先后顺序，然后按照一定的顺序连接基本单元．
[活学活用]
数列是一种特殊的函数，你能画出这一章的知识结构图吗？并指出“等差数列”与“等比数列”的下位要素是什么？
解：“数列”一章的知识结构图如图所示：
因此，“等差数列”与“等比数列”的下位要素是：定义、通项公式、性质、前n项和公式.
结构图的应用
[例3] 国内某知名网站设有房地产频道，其栏目结构图如图所示．
(1)若某人上网搜索租房信息，应如何操作？
(2)某人在建材装修方面遇到法律咨询需求，应如何操作？
[解] (1)搜租房信息：打开该房地产网站首页的“租房搜索”的链接即可．
(2)建材装修方面法律咨询：打开该房地产网站首页的“建材装修”的链接，然后在该页面下打开“律师楼”的链接．
[类题通法]
实际问题中结构图的画法
对于此类问题，往往在题目的背景材料部分就已交代清楚各部分的基本结构，解题时只要依据生活或社会常识，弄清各部分的逻辑顺序和从属关系，便可设计出所需要的结构图．
[活学活用]
下图为某集团组织结构图，请据图分析财务部、人力资源部的隶属关系．
解：由组织结构图分析可得：
财务部直属总裁管理；而总裁又由董事长管理，董事长服从于董事会．
人力资源部由董事长助理直接管理，董事长助理服从于董事长，董事长又服从于董事会，董事会是最高管理部门．
[典例] 下列关于结构图的说法正确的是( )
A．结构图只能从左向右分解
B．结构图只能从上向下分解
C．结构图只能从下向上分解
D．以上都不对
[解析] 结构图主要有两类：“树”形结构图和“环”形结构图．“树”形结构图构成系统的要素一般至少有一个“上位”或“下位”要素，“环”形结构图包含逻辑先后关系，可能呈“环”形结构，至于按什么方向分解，没有严格的要求．
[答案] D
[易错防范]
1．本题易对结构图的概念理解有误，错选A或B.
2．结构图的画法步骤为：
(1)整体把握，理清要素间的逻辑先后关系或上下从属关系；
(2)对主要脉络进行细化，分解成若干步骤；
(3)将步骤进行总结归纳，将提炼出的要素填入矩形框中；
(4)按其内在的逻辑顺序，用线(或方向箭头)连接．
[成功破障]
下列框图中不是结构图的是( )
解析：选C C选项是流程图而不是结构图．
[随堂即时演练]
1．下列关于函数、函数的定义域、函数的值域、函数的对应法则的结构图正确的是( )
解析：选A 该题考查结构图之间的从属关系，要注意掌握题中所叙述的事物之间的逻辑关系．
2．下列结构图中，各要素之间表示从属关系的是( )
A.→→
B.→
解析：选D A、B、C中的结构图表示的是逻辑关系，只有D中结构图表示的是从属关系．
3．在如图所示的知识结构图中，“求简单函数的导数”的“上位”要素有________个．
解析：基本导数公式、导数的运算法则、复合函数求导法则都是其“上位”要素．
答案：3
4．如图所示为《数学5》第三章“不等式”的知识结构图，填空：①_________________________________________________________；
②________________________________________________________________________.
答案：二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
基本不等式：≤
5．我们学过圆的有关知识及应用，试画出有关圆的知识结构图．
解：知识结构图如图所示：
[课时达标检测]
一、选择题
1．下列关于结构图的说法不正确的是( )
A．结构图中各要素之间通常表现为概念上的从属关系或逻辑上的先后关系
B．结构图都是“树”形结构
C．简洁的结构图能清晰地反映主体要素之间的关系和系统的整体特点
D．复杂的结构图能更详细地反映系统中各细节要素及其关系
解析：选B 由结构图的概念及应用可知A、C、D正确，结构图有两种结构：“树”形结构和“环”形结构．
2．下图所示的是“概率”知识的( )
A．流程图
B．结构图
C．程序框图
D．直方图
解析：选B 这是关于“概率”知识的结构图．
3．下图是“集合”的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在( )
A．“集合的概念”的下位
B．“集合的表示”的下位
C．“基本关系”的下位
D．“基本运算”的下位
解析：选C 子集是集合与集合之间的基本关系，故应为“基本关系”的下位．
4．如图是人教A版教材选修1－2第二章“推理与证明”的知识结构图(部分)，如果要加入知识点“三段论”，那么应该放在图中( )
A．①处
B．②处
C．③处
D．④处
解析：选B 三段论是演绎推理的内容，因此应放在②处．
5．某自动化仪表公司组织结构图如图，其中“采购部”的直接领导是( )
A．副总经理(甲)
B．副总经理(乙)
C．总经理
D．董事会
解析：选B 由组织结构图可知：采购部由副总经理(乙)直接领导．
二、填空题
6．下图是一种信息管理系统的结构图，则其构成有________部分．
解析：由框图的结构知共4个部分．
答案：4
7．某市质量技术监督局质量认证审查流程图如图所示，从图中可得在审查过程中可能不被审查通过的环节有________处．
解析：这是一个实际问题，观察流程图可知有3处判断框，即3处环节可能不被审查通过．
答案：3
8．如图是一商场制订销售计划时的局部结构图，则“计划”受影响的直接要素有________个．
解析：影响“计划”的主要要素是3个上位要素：政府行为、策划部、社会需求．
答案：3
三、解答题
9．试画出我们认识的“数”的知识结构图．
解：从大范围到小范围，逐步细化．知识结构图如图所示．
10．某地行政服务中心办公分布结构如下：
(1)服务中心管理委员会全面管理该中心工作，下设办公室、综合业务处、督查投诉中心，三部门设在一楼，其余局、委办理窗口分布如下：
(2)二楼：公安局、民政局、财政局；
(3)三楼：工商局、地税局、国税局、技监局、交通局；
(4)四楼：城建局、人防办、计生局、规划局；
(5)五楼：其余部门办理窗口．
试绘制该服务中心的结构图．
解：该中心的结构图如图所示．3．1.2 复数的几何意义
复数的几何意义
[提出问题]
平面直角坐标系内的点与有序实数对之间的关系是一一对应的，即平面直角坐标系内的任一点对应着一对有序实数；任一对有序实数，在平面直角坐标系内都有唯一的点与它对应．
问题1：复数z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)有怎样的对应关系？
提示：一一对应．
问题2：有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？
提示：一一对应．
问题3：复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？
提示：由问题1,2可知能一一对应．
[导入新知]
1．复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．
x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应复平面内的点Z(a，b)；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)一一对应平面向量＝(a，b)．
3．复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则
的模叫做复数z的模，记作|z|或|a＋bi|，且|z|＝.
[化解疑难]
探究复数的几何意义
根据复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，可知复数z＝a＋bi、复平面内的点Z(a，b)和平面向量之间的关系可用下图表示：
[注意] 复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应点的坐标不是(a，bi)，而是(a，b)，做题时要注意这一点．
复数与复平面内点的一一对应
[例1] 实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z满足下列条件？
(1)位于第三象限；
(2)位于第四象限；
(3)位于直线x－y－3＝0上．
[解] 因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．
(1)当实数x满足即－3＜x＜2时，点Z位于第三象限．
(2)当实数x满足
即2＜x＜5时，点Z位于第四象限．
(3)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即3x＋6＝0，x＝－2时，点Z位于直线x－y－3＝0上．
[类题通法]
探究复数z对应复平面内的点的位置
如果Z是复平面内表示复数z＝a＋bi(a，b∈R)的点，则：
(1)当a＞0，b＞0时，点Z位于第一象限；当a＜0，b＞0时，点Z位于第二象限；当a＜0，b＜0时，点Z位于第三象限；当a＞0，b＜0时，点Z位于第四象限．
(2)当a＝0时，点Z在虚轴上；当b＝0时，点Z在实轴上．
(3)当b＞0时，点Z位于实轴上面的半平面内；当b＜0时，点Z位于实轴下面的半平面内．
[活学活用]
在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点分别满足下列条件，求复数z：
(1)在虚轴上；
(2)在实轴负半轴上．
解：(1)若复数z对应点在虚轴上，
则m2－m－2＝0，
所以m＝－1或m＝2，
此时，z＝6i或z＝0.
(2)若复数z对应点在实轴负半轴上，
则
解得m＝1，所以z＝－2.
复数与平面向量的一一对应
[例2] (1)已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是( )
A．－5＋5i
B．5－5i
C．5＋5i
D．－5－5i
(2)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
①求向量，，对应的复数；
②判定△ABC的形状．
[解析] (1)选B 向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，根据复数的几何意义，
可得向量＝(2，－3)，＝(－3,2)．
由向量减法的坐标运算可得向量
＝－＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，
根据复数与复平面内的点一一对应，
可得向量对应的复数是5－5i.
(2)①由复数的几何意义知，
＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)，
∴＝－＝(1,1)，
＝－＝(－2,2)，
＝－＝(－3,1)，
∴，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.
②∵||＝，||＝2，||＝，
∴||2＋||2＝||2，
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
[类题通法]
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
[活学活用]
在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i.
(1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；
(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数．
解：(1)设向量对应的复数为z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，则点B的坐标为(x1，y1)，
由题意可知，点A的坐标为(2,1)．
根据对称性可知：x1＝2，y1＝－1，故z1＝2－i.
(2)设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，
则点C的坐标为(x2，y2)，
由对称性可知：x2＝－2，y2＝－1，故z2＝－2－i.
复数模的计算
[例3] 求复数z1＝6＋8i及z2＝－－i的模，并比较它们的模的大小．
[解] ∵z1＝6＋8i，z2＝－－i，
∴|z1|＝＝10，
|z2|＝
＝.
∵10>，
∴|z1|>|z2|.
[类题通法]
复数模的计算方法
计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
[活学活用]
已知复数z＝3＋ai，且|z|＜4，求实数a的取值范围．
解：∵z＝3＋ai(a∈R)，|z|＝，
由已知得
＜4，
∴a2＜7，
即－＜a＜，
∴a∈(－，)．
2．复数模的几何意义及其应用
[典例] 设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
(1)|z|＝2； (2)2＜|z|＜3.
[解] (1)因为|z|＝2，即|OZ|＝2，所以满足|z|＝2的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆，如图①.
(2)不等式2＜|z|＜3可化为不等式组不等式|z|＞2的解集是圆|z|＝2外部所有的点组成的集合，不等式|z|＜3的解集是圆|z|＝3内部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集．
因此，满足条件2＜|z|＜3的点Z的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图②.
[多维探究]
解决复数模的几何意义问题，需把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题来解决．要注意掌握复数模的几何意义常与轨迹、最值等问题相结合命题．
1．满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是________．
解析：由已知得|z－i|＝5，
令z＝x＋yi(x，y∈R)，
则|x＋(y－1)i|＝5.
∴x2＋(y－1)2＝25.
∴复数z在复平面上对应点的轨迹是圆．
答案：圆
2．已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，则|z－z1|的最大值为________．
解析：|z|＝1，即|OZ|＝1，∴满足|z|＝1的点Z的集合是以(0,0)为圆心，以1为半径的圆，又复数z1＝2(1－i)在坐标系内对应的点为(2，－2)．
故|z－z1|的最大值为点Z1(2，－2)到圆上的点的最大距离，即|z－z1|的最大值为2＋1.
答案：2＋1
[随堂即时演练]
1．(全国甲卷)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－3,1)
B．(－1,3)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，－3)
解析：选A 由题意知即－32．在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则a的值为( )
A．a＝0或a＝2
B．a＝0
C．a≠1且a≠2
D．a≠1或a≠2
解析：选A ∵复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，∴a2－2a＝0，∴a＝0或a＝2.
3．若复数z1＝3－5i，z2＝1－i，z3＝－2＋ai在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数＝________.
解析：复数z1，z2，z3分别对应点P1(3，－5)，P2(1，－1)，P3(－2，a)，由已知可得＝，从而可得a＝5.
答案：5
4．已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系为________．
解析：由3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，
得x＝3，y＝－4.
而|1－5i|＝＝，
|x－yi|＝|3＋4i|＝＝5，
|y＋2i|＝|－4＋2i|＝＝.
∵<5<，
∴|y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|.
答案：|y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|
5．在复平面内画出复数z1＝＋i，z2＝－1，z3＝－i对应的向量，，
，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．
解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z1，Z2，Z3的坐标分别为，(－1,0)，，则向量，，如图所示．
|z1|＝＝1，
|z2|＝|－1|＝1，|z3|＝＝1.
如图，在复平面xOy内，点Z1，Z3关于实轴对称，且Z1，Z2，Z3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．
[课时达标检测]
一、选择题
1．设z＝a＋bi对应的点在虚轴右侧，则( )
A．a＞0，b＞0
B．a＞0，b＜0
C．b＞0，a∈R
D．a＞0，b∈R
解析：选D 复数对应的点在虚轴右侧，则该复数的实部大于零，虚部可为任意实数．
2．已知复数z＝a＋bi(i为虚数单位)，集合A＝，B＝.若a，b∈A∩B，则|z|等于( )
A．1
B.
C．2
D．4
解析：选B 因为A∩B＝，所以a，b∈，所以|z|＝＝.
3．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量对应的复数为( )
A．－2－i
B．－2＋i
C．1＋2i
D．－1＋2i
解析：选B 因为复数－1＋2i对应的点为A(－1,2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，所以对应的复数为－2＋i.
4．当＜m＜1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选D 由∴复数z在复平面内对应的点位于第四象限．
5．(全国乙卷)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝( )
A．1
B．
C.
D．2
解析：选B ∵(1＋i)x＝1＋yi，
∴x＋xi＝1＋yi.
又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝1.
∴|x＋yi|＝|1＋i|＝，故选B.
二、填空题
6．已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是________．
解析：由题意得z＝a＋i，根据复数的模的定义可知
|z|＝.
因为0＜a＜2，
所以1＜a2＋1＜5，
故1＜＜.
答案：(1，)
7．在复平面内，表示复数z＝(m－3)＋2i的点位于直线y＝x上，则实数m的值为________．
解析：由表示复数z＝(m－3)＋2i的点位于直线y＝x上，得m－3＝2，解得m＝9.
答案：9
8．已知z－|z|＝－1＋i，则复数z＝________.
解析：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由题意，得x＋yi－＝－1＋i，
即(x－)＋yi＝－1＋i.
根据复数相等的条件，得
解得∴z＝i.
法二：由已知可得z＝(|z|－1)＋i，
等式两边取模，得|z|＝.
两边平方，得|z|2＝|z|2－2|z|＋1＋1 |z|＝1.
把|z|＝1代入原方程，可得z＝i.
答案：i
三、解答题
9．实数m取什么值时，复数z＝2m＋(4－m2)i在复平面内对应的点满足下列条件？
(1)位于虚轴上；
(2)位于第一、三象限；
(3)位于以原点为圆心，4为半径的圆上．
解：(1)若复数z在复平面内的对应点位于虚轴上，
则2m＝0，即m＝0.
(2)若复数z在复平面内的对应点位于第一、三象限，
则2m(4－m2)>0，
解得m<－2或0(3)若复数z的对应点位于以原点为圆心，4为半径的圆上，则＝4，即m4－4m2＝0，解得m＝0或m＝±2.
10．已知复数z＝2＋cos
θ＋(1＋sin
θ)i(θ∈R)，试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线．
解：设复数z与复平面内的点(x，y)相对应，则由复数的几何意义可知由sin2θ＋cos2θ＝1可得(x－2)2＋(y－1)2＝1.所以复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(2,1)为圆心，1为半径的圆．2．1.2 演绎推理
演绎推理
[提出问题]
看下面两个问题：
(1)一切奇数都不能被2整除，(22
012＋1)是奇数，所以(22
012＋1)不能被2整除；
(2)两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面，如果直线a是其中一个平面内的一条直线，那么a平行于另一个平面．
问题1：这两个问题中的第一句都说的是什么？
提示：都说的是一般原理．
问题2：第二句又说的是什么？
提示：都说的是特殊示例．
问题3：第三句呢？
提示：由一般原理对特殊示例作出判断．
[导入新知]
1．演绎推理的概念
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理称为演绎推理．
2．三段论
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
(1)大前提——已知的一般原理；
(2)小前提——所研究的特殊情况；
(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
“三段论”可以表示为：
大前提：M是P.
小前提：S是M.
结论：S是P.
[化解疑难]
演绎推理的三个特点
(1)演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中．
(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具．
(3)演绎推理是由一般到特殊的推理．
把演绎推理写成三段论的形式
[例1] 将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数．
(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°.
(3)菱形对角线互相平分．
(4)通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．
[解] (1)一切奇数都不能被2整除，(大前提)
75不能被2整除，(小前提)
75是奇数．(结论)
(2)三角形的内角和为180°，(大前提)
Rt△ABC是三角形，(小前提)
Rt△ABC的内角和为180°.(结论)
(3)平行四边形对角线互相平分，(大前提)
菱形是平行四边形，(小前提)
菱形对角线互相平分．(结论)
(4)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列，(大前提)
通项公式an＝3n＋2，n≥2时，
an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)，(小前提)
通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．(结论)
[类题通法]
三段论的推理形式
三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b c，a b，则a c”．其中，b c为大前提，提供了已知的一般性原理；a b为小前提，提供了一个特殊情况；a c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．
[活学活用]
把下列推断写成三段论的形式：
(1)y＝sin
x(x∈R)是周期函数．
(2)若两个角是对顶角，则这两个角相等，所以若∠1和∠2是对顶角，则∠1和∠2相等．
解：(1)三角函数是周期函数，
大前提
y＝sin
x(x∈R)是三角函数，
小前提
y＝sin
x(x∈R)是周期函数．
结论
(2)两个角是对顶角，则这两个角相等，
大前提
∠1和∠2是对顶角，
小前提
∠1和∠2相等．
结论
三段论在证明几何问题中的应用
[例2] 用三段论证明并指出每一步推理的大、小前提．如图，在锐角△ABC中，AD，BE是高，D，E为垂足，M为AB的中点．求证：ME＝MD.
[证明] ∵有一个内角为直角的三角形为直角三角形，(大前提)
在△ABD中，AD⊥CB，∠ADB＝90°，(小前提)
∴△ABD为直角三角形．(结论)
同理△ABE也为直角三角形．
∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，(大前提)
M是直角△ABD斜边AB上的中点，DM为中线，(小前提)
∴DM＝AB.(结论)
同理EM＝AB.
∵和同一条线段相等的两条线段相等，(大前提)
DM＝AB，EM＝AB，(小前提)
∴ME＝MD.(结论)
[类题通法]
三段论在几何问题中的应用
(1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提．
(2)几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．
[活学活用]
如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求证：EF∥平面BCD.
证明：三角形的中位线平行于底边，
大前提
点E，F分别是AB，AD的中点，
小前提
所以EF∥BD.
结论
若平面外一条直线平行于平面内一条直线，
则这条直线与此平面平行，
大前提
EF 平面BCD，BD 平面BCD，EF∥BD，
小前提
所以EF∥平面BCD.
结论
演绎推理在代数中的应用
[例3] 已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)，求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
[证明] 如果在(－1，＋∞)上f′(x)>0，那么函数f(x)在(－1，＋∞)上是增函数，(大前提)
∵a>1，∴f′(x)＝axln
a＋>0，(小前提)
∴函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(结论)
[类题通法]
使用三段论应注意的问题
(1)应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的、严密的，才能得出正确的结论．
(2)证明中常见的错误：
①条件分析错误(小前提错)．
②定理引入和应用错误(大前提错)．
③推理过程错误等．
[活学活用]
已知a，b，m均为正实数，b＜a，用三段论形式证明＜.
证明：因为不等式两边同乘一个正数，不等号不改变方向，(大前提)
b＜a，m＞0，(小前提)
所以，mb＜ma.(结论)
因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提)
mb＜ma，(小前提)
所以，mb＋ab＜ma＋ab，即b(a＋m)＜a(b＋m)．(结论)
因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)
b(a＋m)＜a(b＋m)，a(a＋m)＞0，(小前提)
所以，＜，即＜.(结论)
[典例] 定义在实数集R上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x－y)＋f(x＋y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数．
证明：令x＝y＝0，
则有f(0)＋f(0)＝2f(0)×f(0)．
又因为f(0)≠0，所以f(0)＝1.令x＝0，
则有f(－y)＋f(y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，
所以f(－y)＝f(y)，
因此，f(x)是偶函数．
以上证明结论“f(x)是偶函数”运用了演绎推理的三段论，其中大前提是：________________________________________________________________________.
[解析] 通过两次赋值先求得“f(0)＝1”，再证得“f(－y)＝f(y)”，从而得到结论“f(x)是偶函数”．所以这个三段论推理的小前提是“f(－y)＝f(y)”，结论是“f(x)是偶函数”，显然大前提是“若对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数”．
[答案] 若对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数
[易错防范]
解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式：大前提——小前提——结论，其中大前提是一个一般性的命题，即证明这个具体问题的理论依据．因此结合f(x)是偶函数的定义和证明过程容易确定本题答案．本题易误认为题目的已知条件为大前提而导致答案错误．
[成功破障]
所有眼睛近视的人都是聪明人，我近视得很厉害，所以我是聪明人．下列各项中揭示了上述推理是明显错误的是________．
①我是个笨人，因为所有的聪明人都是近视眼，而我的视力那么好．
②所有的猪都有四条腿，但这种动物有八条腿，所以它不是猪．
③小陈十分高兴，所以小陈一定长得很胖，因为高兴的人都长得很胖．
④所有尖嘴的鸟都是鸡，这种总在树上待着的鸟是尖嘴的，因此这种鸟是鸡．
解析：根据④中的推理可得：这种总在树上待着的鸟是鸡，这显然是错误的．①②③不符合三段论的形式．
答案：④
[随堂即时演练]
1．“四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充该推理的大前提是( )
A．正方形的对角线相等
B．矩形的对角线相等
C．等腰梯形的对角线相等
D．矩形的对边平行且相等
解析：选B 得出“四边形ABCD的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等”．
2．“因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，而y＝logx是对数函数(小前提)，所以y＝logx是增函数(结论)．”上面推理错误的原因是( )
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
解析：选A 大前提是错误的，因为对数函数y＝logax(0＜a＜1)是减函数．
3．求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是有意义，即a≥0，小前提是有意义，结论是________．
解析：由三段论的形式可知，结论是log2x－2≥0.
答案：log2x－2≥0
4．用三段论证明函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上为增函数的过程如下，试将证明过程补充完整：
①________________________________________________________________(大前提)
②_________________________________________________________________(小前提)
③____________________________________________________________________(结论)
答案：①如果函数f(x)满足：在给定区间内任取自变量的两个值x1，x2，若x1＜x2，则f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)在给定区间内是增函数．
②任取x1，x2∈(1，＋∞)，x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝，由于1＜x1＜x2，故x1－x2＜0，x1x2＞1，即x1x2－1＞0，所以f(x1)＜f(x2)．
③函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上为增函数．
5．将下列推理写成三段论的形式．
(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；
(2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；
(3)0.33是有理数．
解：(1)向量是既有大小又有方向的量，……………………………大前提
零向量是向量，……………………………小前提
零向量也有大小和方向．……………………………结论
(2)每一个矩形的对角线相等，……………………………大前提
正方形是矩形，……………………………小前提
正方形的对角线相等．……………………………结论
(3)所有的循环小数都是有理数，……………………………大前提
0．33是循环小数，……………………………小前提
0．33是有理数．……………………………结论
[课时达标检测]
一、选择题
1．给出下面一段演绎推理：
有理数是真分数，……………………………大前提
整数是有理数，……………………………小前提
整数是真分数．……………………………结论
结论显然是错误的，是因为( )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．非以上错误
解析：选A 推理形式没有错误，小前提也没有错误，大前提错误．举反例，如2是有理数，但不是真分数．
2．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于( )
A．演绎推理
B．类比推理
C．合情推理
D．归纳推理
解析：选A 是由一般到特殊的推理，故是演绎推理．
3．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C．由三角形的性质，推测四面体的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出an的通项公式
解析：选A B项是归纳推理，C项是类比推理，D项是归纳推理．
4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”补充以上推理的大前提( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
解析：选B 推理的大前提应该是矩形的对角线相等，表达此含义的选项为B.
5．有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b 平面α，直线a 平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a.结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．非以上错误
解析：选A 大前提是错误的，直线平行于平面，则不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况．
二、填空题
6．若有一段演绎推理：“大前提：整数是自然数．小前提：－3是整数．结论：－3是自然数．”这个推理显然错误，则推理错误的是________(填“大前提”“小前提”或“结论”)．
解析：整数不全是自然数，还有零与负整数，故大前提错误．
答案：大前提
7．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形．”若将其恢复成完整的三段论，则大前提是____________________．
解析：大前提：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形．
小前提：△ABC的三边长依次为3,4,5，满足32＋42＝52.结论：△ABC是直角三角形．
答案：一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形
8．若不等式ax2＋2ax＋2＜0的解集为空集，则实数a的取值范围为________．
解析：①a＝0时，有2＜0，显然此不等式解集为 .
②a≠0时需有
所以0＜a≤2.
综上可知，实数a的取值范围是[0,2]．
答案：[0,2]
三、解答题
9．如图，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．求证：
(1)平面AD1E∥平面BGF；
(2)D1E⊥AC.
证明：(1)∵E，F分别是B1B和D1D的中点，
∴D1F綊BE，
∴四边形BED1F是平行四边形，
∴D1E∥BF.
又∵D1E 平面BGF，BF 平面BGF，
∴D1E∥平面BGF.
∵F，G分别是D1D和DA的中点，
∴FG是△DAD1的中位线，
∴FG∥AD1.
又∵AD1 平面BGF，FG 平面BGF，
∴AD1∥平面BGF.
又∵AD1∩D1E＝D1，
∴平面AD1E∥平面BGF.
(2)连接BD，B1D1，
∵底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.
∵D1D⊥AC，BD∩D1D＝D，
∴AC⊥平面BDD1B1.
∵D1E 平面BDD1B1，
∴D1E⊥AC.
10．在数列中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N
.
(1)证明数列是等比数列．
(2)求数列的前n项和Sn.
(3)证明不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N
皆成立．
解：(1)证明：因为an＋1＝4an－3n＋1，
所以an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N
.
又a1－1＝1，
所以数列是首项为1，且公比为4的等比数列．
(2)由(1)可知an－n＝4n－1，
于是数列的通项公式为an＝4n－1＋n.
所以数列的前n项和Sn＝＋.
(3)证明：对任意的n∈N
，
Sn＋1－4Sn＝＋－4＋＝－(3n2＋n－4)≤0.
所以不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N
皆成立．3．1.1 数系的扩充和复数的概念
复数的概念及代数表示
[提出问题]
问题1：方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？
提示：没有．
问题2：若有一个新数i满足i2＝－1，方程x2＋1＝0有解吗？
提示：有解(x＝±i)，但不在实数范围内．
[导入新知]
1．复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.全体复数所成的集合C叫做复数集．
2．复数的表示
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部．
3．复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
[化解疑难]
对复数概念的理解
(1)对复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时，a和b才分别是复数的实部和虚部，并注意：虚部是实数b而非bi.
(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．
(3)利用复数相等，可以把复数问题转化成实数问题进行解决，并且一个复数等式可得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件.
复数的分类
[提出问题]
问题1：复数z＝a＋bi在什么情况下表示实数？
提示：b＝0.
问题2：如何用集合关系表示实数集R和复数集C
提示：R?C.
[导入新知]
复数的分类
(1)复数a＋bi(a，b∈R)
(2)集合表示
[化解疑难]
1．0的特殊性
0是实数，因此也是复数，写成a＋bi(a，b∈R)的形式为0＋0i，即其实部和虚部都是0.
2．a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的充分条件吗？
因为当a＝0且b≠0时，z＝a＋bi才是纯虚数，所以a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的必要不充分条件．
复数相等的充要条件
[例1] (1)若5－12i＝xi＋y(x，y∈R)，则x＝________，y＝________.
(2)已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x，y∈R，i为虚数单位．求实数x，y的值．
[解析] (1)由复数相等的充要条件可知x＝－12，y＝5.
(2)根据复数相等的充要条件，
由(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，
得
解得
即x＝，y＝4.
答案：(1)－12 5 (2)x＝，y＝4.
[类题通法]
解决复数相等问题的步骤
(1)等号两侧都写成复数的代数形式；
(2)根据两个复数相等的充要条件列出方程(组)；
(3)解方程(组)．
[活学活用]
已知(2x＋8y)＋(x－6y)i＝14－13i，求实数x，y的值．
解：由复数相等的充要条件得
解得
复数的分类
[例2] 已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i.
(1)当m为何值时，z为实数？
(2)当m为何值时，z为虚数？
(3)当m为何值时，z为纯虚数？
[解] (1)要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且有意义即m－1≠0，解得m＝－3.
(2)要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且有意义即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
(3)要使z为纯虚数，需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.
[类题通法]
利用复数的分类求参数的方法及注意事项
利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.
[活学活用]
设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i.
(1)当m为何值时，z是实数？
(2)当m为何值时，z是纯虚数？
解：(1)要使复数z为实数，需满足
解得m＝－2或－1.
即当m＝－2或－1时，z是实数．
(2)要使复数z为纯虚数，需满足
解得m＝3.
即当m＝3时，z是纯虚数．
[典例] (上海高考)设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
[解析] 复数m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数的充要条件是
解得即m＝－2.
故m＝－2时，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数．
[答案] －2
[易错防范]
1．若忽视“纯虚数的虚部不为0”这一条件，易得出m＝1或－2的错误结论．
2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数的充要条件为二者缺一不可．
[成功破障]
若z＝(x2－1)2＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．－1或1
解析：选A 因为z为纯虚数，所以(x2－1)2＝0.
又x－1≠0，所以x＝－1.
[随堂即时演练]
1．在2＋，i,0,8＋5i，(1－)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选C i，(1－)i是纯虚数，2＋，0，0.618是实数，8＋5i是虚数．
2．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的复数是( )
A．2－2i
B．2＋2i
C．－＋i
D.＋i
解析：选A －＋2i的虚部为2，i＋2i2＝－2＋i，其实部为－2，故所求复数为2－2i.
3．下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；
③两个虚数不能比较大小．
其中正确命题的序号是________．
解析：当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错；两个虚数不能比较大小，故③对．
答案：③
4．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________.
解析：由复数相等的充要条件有
答案：2 ±2
5．已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求：
(1)实数a取什么值时，z为实数？
(2)实数a取什么值时，z为虚数？
(3)实数a取什么值时，z为纯虚数？
解：(1)当z为实数时，
则∴
∴当a＝6时，z为实数．
(2)当z为虚数时，则有
∴
即a≠±1且a≠6.
∴当a≠±1且a≠6时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，
则有∴
∴不存在实数a使z为纯虚数．
[课时达标检测]
一、选择题
1．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为( )
A．－2
B.
C．－
D．2
解析：选D 复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，所以b＝2.
2．方程1－z4＝0在复数范围内的根共有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：选D 由已知条件可得z4＝1，
即z2＝±1，故z1＝1，z2＝－1，z3＝i，z4＝－i，
故方程有4个根．
3．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为( )
A．－1
B．2
C．1
D．－1或2
解析：选D ∵复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，
∴m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.
4．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( )
A．a＝－1
B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1
D．a≠2
解析：选C 若此复数是纯虚数，则得a＝－1，所以当a≠－1时，已知的复数不是纯虚数．
5．下列命题中，正确命题的个数是( )
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；
②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选A 对①，由于x，y∈C，
所以x，y不一定是x＋yi的实部和虚部，
故①是假命题；
对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；
③是假命题，如12＋i2＝0，但1≠0，i≠0.
二、填空题
6．设x，y∈R，且满足(x＋y)＋(x－2y)i＝(－x－3)＋(y－19)i，则x＋y＝________.
解析：因为x，y∈R，所以利用两复数相等的条件有解得所以x＋y＝1.
答案：1
7．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1，则实数m的值为______．
解析：由题意得解得m＝2.
答案：2
8．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2，则a的值为________．
解析：由z1>z2，
得
即
解得a＝0.
答案：0
三、解答题
9．当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i满足下列条件？
(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．
解：(1)当即m＝2时，复数z是实数．
(2)当m2－2m≠0，且m≠0，即m≠0且m≠2时，
复数z是虚数．
(3)当即m＝－3时，复数z是纯虚数．
10．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
解：∵M∪P＝P，
∴M P，
即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
得
解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，
得
解得m＝2.
综上可知m＝1或m＝2.1．2
独立性检验的基本思想及其初步应用
独立性检验的有关概念
[提出问题]
问题1：观察教材第10页的探究，其中的频数表叫什么？
提示：列联表．
问题2：由表中数据，你能说吸烟对患肺癌有影响吗？
提示：能．
问题3：如何用数字分析此类问题？
提示：利用随机变量K2进行分析．
[导入新知]
1．分类变量
变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2．2×2列联表
假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(也称2×2列联表)为：
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
3．等高条形图
将列联表中的数据用高度相同的两个条形图表示出来，其中两列的数据分别对应不同的颜色，这就是等高条形图．
4．K2统计量
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，我们构造一个随机变量K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．
5．独立性检验
利用随机变量K2来确定是否能以给定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量独立性检验．
[化解疑难]
反证法原理与独立性检验原理的比较
反证法原理——在假设H0下，如果推出一个矛盾，就证明了H0不成立．
独立性检验原理——在假设H0下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，就推断H0不成立，且该推断犯错误的概率不超过小概率.
独立性检验的步骤
[提出问题]
问题：利用随机变量K2进行独立性检验需要几步？
提示：三步．
[导入新知]
独立性检验的具体做法
(1)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查右表确定临界值k0.
P(K2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
P(K2≥k0)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(2)利用公式K2＝，计算随机变量K2的观测值k.
(3)如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”．
[化解疑难]
详析独立性检验
(1)通过列联表或观察等高条形图判断两个分类变量之间有关系，属于直观判断，不足之处是不能给出推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率，而独立性检验可以弥补这个不足．
(2)列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性，因此，需要用独立性检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体．
列联表和等高条形图的应用
[例1] 某学校对高三学生作了一项调查，发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张．作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系．
[解] 作列联表如下：
性格内向
性格外向
总计
考前心情紧张
332
213
545
考前心情不紧张
94
381
475
总计
426
594
1
020
相应的等高条形图如图所示：
图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例．从图中可以看出考前心情紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高，可以认为考前紧张与性格类型有关．
[类题通法]
细解等高条形图
(1)绘制等高条形图时，列联表的行对应的是高度，两行的数据不相等，但对应的条形图的高度是相同的；两列的数据对应不同的颜色．
(2)等高条形图中有两个高度相同的矩形，每一个矩形中都有两种颜色，观察下方颜色区域的高度，如果两个高度相差比较明显即和相差很大，就判断两个分类变量之间有关系．
[活学活用]
为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系，调查了一千多名青少年及其家长，数据如下：
父母吸烟
父母不吸烟
总计
子女吸烟
237
83
320
子女不吸烟
678
522
1
200
总计
915
605
1
520
利用等高条形图判断父母吸烟对子女吸烟是否有影响．
解：等高条形图如下：
由图形观察可以看出子女吸烟者中父母吸烟的比例要比子女不吸烟者中父母吸烟的比例高，因此可以在某种程度上认为“子女吸烟与父母吸烟有关系”.
独立性检验的原理
[例2] (辽宁高考节选)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
喜欢甜品
不喜欢甜品
合计
南方学生
60
20
80
北方学生
10
10
20
合计
70
30
100
根据表中数据，问：是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”？
[解] 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得k＝＝≈4.762.
由于4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．
[类题通法]
解决独立性检验问题的思路
解决一般的独立性检验问题，首先由题目所给的2×2列联表确定a，b，c，d，n的值，然后代入随机变量K2的计算公式求出观测值k，将k与临界值k0进行对比，确定有多大的把握认为“两个分类变量有关系”．
[活学活用]
某医院对治疗支气管肺炎的两种方案A，B进行比较研究，将志愿者分为两组，分别采用方案A和方案B进行治疗，统计结果如下：
有效
无效
总计
使用方案A组
96
120
使用方案B组
72
总计
32
(1)完成上述列联表；
(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关？
解：(1)列联表如下：
有效
无效
总计
使用方案A组
96
24
120
使用方案B组
72
8
80
总计
168
32
200
(2)K2＝≈3.571＜3.841，
所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为治疗是否有效与方案选择有关．
[典例] (12分)某工厂有工人1
000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)．现用分层抽样的方法(按A类、B类分两层)从该工厂的工人中抽取100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)，结果如下表．
表1：A类工人生产能力的频数分布表
生产能力分组
[110,120)
[120,130)
[130,140)
[140,150)
人数
8
x
3
2
表2：B类工人生产能力的频数分布表
生产能力分组
[110,120)
[120,130)
[130,140)
[140,150)
人数
6
y
27
18
(1)确定x，y的值；
(2)完成下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为工人的生产能力与工人的类别有关系.
生产能力分组工人类别
[110,130)
[130,150)
总计
A类工人
B类工人
总计
附：K2＝，
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
[解题流程]
[规范解答]
(1)∵从该工厂的工人中抽取100名工人，且该工厂中有250名A类工人，750名B类工人，
∴要从A类工人中抽取25名，从B类工人中抽取75名，(2分)
∴x＝25－8－3－2＝12，y＝75－6－27－18＝24.(4分)
(2)根据所给的数据可以完成列联表，如下表所示：
生产能力分组工人类别
[110,130)
[130,150)
总计
A类工人
20
5
25
B类工人
30
45
75
总计
50
50
100
由列联表中的数据，得K2的观测值为
k＝＝12＞10.828.(10分)
因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为工人的生产能力与工人的类别有关系．(12分)
[名师批注]
要确定x，y的值，应先确定A类工人及B类工人中应各抽取多少人，此处易误认为x＝25，y＝75，从而导致解题错误
6分
此处易犯错误有两点：①计算失误；②将公式中的数据搞错
[活学活用]
电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
根据已知条件完成下面的2×2列联表，据此资料，你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
总计
男
女
总计
附：
P(K2≥k0)
0.05
0.01
k0
3.841
6.635
解：由频率分布直方图可知，在抽取的100名观众中，“体育迷”有25名，“非体育迷”有75名，又已知100名观众中女性有55名，女“体育迷”有10名，所以男性有45名，男“体育迷”有15名，从而可完成2×2列联表，如下表：
非体育迷
体育迷
总计
男
30
15
45
女
45
10
55
总计
75
25
100
由2×2列联表中的数据，得K2的观测值为
k＝≈3.030.
因为3.030＜3.841，所以没有充分的证据表明“体育迷”与性别有关．
[随堂即时演练]
1．下面是一个2×2列联表：
y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
2
25
27
总计
b
46
则表中a，b处的值分别为( )
A．94,96
B．52,50
C．52,54
D．54,52
解析：选C 由得
2．博士生和硕士生毕业情况的一个随机样本给出了关于所获取的学位类别与学生性别的分类数据如下表．由表中的数据，可得( )
硕士
博士
总计
男
162
27
189
女
143
8
151
总计
305
35
340
A．性别与获取学位类别有关
B．性别与获取学位类别无关
C．性别决定获取学位的类别
D．以上说法都不正确
解析：选A 由列联表中的数据，得K2的观测值为k＝≈7.34>6.635，
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为性别与获取学位类别有关．而选项C中的表述不恰当，因为性别与获取学位类别不是因果关系，只是统计学上的一种非确定性关系，故不能用“决定”二字描述．
3．独立性检验所采用的思路是：要研究A，B两类变量彼此相关，首先假设这两类变量彼此________．在此假设下构造随机变量K2，如果K2的观测值较大，那么在一定程度上说明假设________．
答案：无关 不成立
4．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：
①若K2的观测值k>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；
②从独立性检验可知，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；
③从独立性检验可知，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．
其中说法正确的是________(填序号)．
解析：K2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①不正确；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．
答案：③
5．在一次天气恶劣的飞机航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人．能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下推断在天气恶劣的飞机航程中男乘客比女乘客更容易晕机？
解：由已知条件得出下面的2×2列联表：
晕机
不晕机
总计
男乘客
24
31
55
女乘客
8
26
34
总计
32
57
89
由公式可得K2的观测值
k＝
＝≈3.689>2.706.
故在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为“在天气恶劣的飞机航程中男乘客比女乘客更容易晕机”．
[课时达标检测]
一、选择题
1．判断两个分类变量是彼此相关还是相互独立的常用的方法中，最为精确的是( )
A．2×2列联表
B．独立性检验
C．等高条形图
D．其他
解析：选B A、C只能直观地看出两个分类变量x与y是否相关，但看不出相关的程度．独立性检验通过计算得出相关的可能性，较为准确．
2．对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是( )
A．k越大，“X与Y有关系”的可信程度越小
B．k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小
C．k越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小
D．k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大
解析：选B k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小，则“X与Y有关系”的可信程度越大．即k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小．故选B.
3．利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时，若在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是( )
A．k≥6.635
B．k＜6.635
C．k≥7.879
D．k＜7.879
解析：选C 犯错误的概率为0.5%，对应的k0的值为7.879，由独立性检验的思想可知应为k≥7.879.
4．(江西高考)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )
表1
成绩性别
不及格
及格
总计
男
6
14
20
女
10
22
32
总计
16
36
52
表2
视力性别
好
差
总计
男
4
16
20
女
12
20
32
总计
16
36
52
表3
智商性别
偏高
正常
总计
男
8
12
20
女
8
24
32
总计
16
36
52
表4
阅读量性别
丰富
不丰富
总计
男
14
6
20
女
2
30
32
总计
16
36
52
A．成绩
B．视力
C．智商
D．阅读量
解析：选D 因为k1＝
＝，
k2＝
＝，
k3＝
＝，
k4＝
＝，
则有k4>k2>k3>k1，
所以阅读量与性别关联的可能性最大.
5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由K2＝算得，观测值k＝≈7.8.
附表：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是( )
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
解析：选A 由k≈7.8及P(K2≥6.635)＝0.010可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”，也就是有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．
二、填空题
6．下列关于K2的说法中，正确的有________(填序号)．
①K2的值越大，两个分类变量的相关性越大；
②K2的计算公式是
K2＝；
③若求出K2＝4＞3.841，则有95%的把握认为两个分类变量有关系，即有5%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；
④独立性检验就是选取一个假设H0条件下的小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则作出拒绝H0的推断．
解析：对于①，K2的值越大，只能说明我们有更大的把握认为二者有关系，却不能判断相关性大小，故①错；对于②，(ad－bc)应为(ad－bc)2，故②错；③④对．
答案：③④
7．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
文艺节目
新闻节目
总计
20至40岁
40
18
58
大于40岁
15
27
42
总计
55
45
100
由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关：________(填“是”或“否”)．
解析：因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即＝，＝，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．
答案：是
8．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：
又发作过心脏病
未发作过心脏病
合计
心脏搭桥手术
39
157
196
血管清障手术
29
167
196
合计
68
324
392
试根据上述数据计算K2≈________，能否作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论________(填“能”或“不能”)．
解析：根据列联表中的数据，可以求得K2的观测值k＝≈1.779.
K2＜2.072的概率为0.85.不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论．
答案：1.779 不能
三、解答题
9．巴西医生马廷恩收集犯有各种贪污、受贿罪的官员与廉洁官员寿命的调查资料：500名贪官中有348人的寿命小于平均寿命，152人的寿命大于或等于平均寿命；590名廉洁官员中有93人的寿命小于平均寿命，497人的寿命大于或等于平均寿命．这里，平均寿命是指“当地人均寿命”．能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为官员在经济上是否清廉与他们寿命的长短之间有关系？
解：据题意列2×2列联表如下：
短寿(B)
长寿()
总计
贪官(A)
348
152
500
廉洁官()
93
497
590
总计
441
649
1
090
假设官员是否清廉与他们寿命的长短无关．
由公式得K2的观测值
k＝
≈325.635.
因为325.635＞6.635，因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为官员在经济上是否清廉与他们寿命的长短之间是有关系的．
10．某地震观测站对地下水位的变化和发生地震的情况共进行1
700次观测，列联表如下：
有震
无震
总计
水位有变化
98
902
1
000
水位无变化
82
618
700
总计
180
1
520
1
700
利用图形判断地下水位的变化与地震的发生是否有关系，并用独立性检验分析是否有充分的证据显示二者有关系．
解：相应的等高条形图如图所示．
图中两个阴影条的高分别表示水位有变化和水位无变化的样本中有震的频率．由图可看出，水位有变化样本中有震的频率与水位无变化样本中有震的频率相差不大，因此不能判断地震与水位变化有关系．
根据列联表中的数据，得K2的观测值为
k＝≈1.594<2.072，
所以题中数据没有充分的证据显示地下水位的变化与地震的发生有关系，但也不能认为二者无关系．